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Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Superf´ıcies tipo-espac ¸o de curvatura m´ edia

constante com bordo livre em espac ¸os de

Lorentz-Minkowski

  

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 Superf´ıcies tipo-espac ¸o de curvatura m´ edia constante com bordo livre em espac ¸os de Lorentz-Minkowski

  Ednaldo Oliveira da Silva Junior

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2009 Silva Junior, Ednaldo Oliveira da.

  Superf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura m´ edia constante com bordo livre em espa¸cos de Lorentz-Minkowski / Ednaldo Oliveira da Silva Junior. – Salvador, 2009. 32 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2009. Referˆ encias bibliogr´ aficas.

  1. Geometria diferencial.

  2. Superf´ıcies (Matem´ atica).

  3. Superf´ıcies de curvatura constante.

I. Vergasta, Enaldo Silva.

  II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDD - 516 Superf´ıcies tipo-espac ¸o de curvatura m´ edia constante com bordo livre em espac ¸os de Lorentz-Minkowski

  Ednaldo Oliveira da Silva Junior

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador) UFBA

  a a

  Prof. Dr. Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves USP

  Prof. Dr. Evandro Carlos Ferreira dos Santos UFBA

  Aos meus pais, irm˜a e ami- gos sem os quais n˜ao seria poss´ıvel esse trabalho. Agradecimentos

  Agrade¸co primeiramente `a Deus, por me ceder for¸cas para alcan¸car meus objeti- vos. N˜ao menos importante agrade¸co `a minha querida m˜ae, sem a qual seria praticamente

  

o

  imposs´ıvel este trabalho. Agrade¸co ao prof Dr Enaldo Silva Vergasta, pelas palavras de est´ımulo e as broncas nas horas certas. Aos meus colegas de mestrado e amigos de con- vivio di´ario pelos aux´ılos t´ecnicos na elabora¸c˜ao deste trabalho. Agrade¸co a todos os funcion´arios e professores e `a CAPES pela ajuda financeira.

  Resumo

  Neste trabalho, tratamos de um problema variacional para superf´ıcies tipo-espa¸co no espa¸co de Lorentz-Minkowski, cujos pontos cr´ıticos s˜ao superf´ıcies de curvatura m´edia constante que intersectam uma dada superf´ıcie suporte sob um ˆangulo hiperb´olico cons- tante. Verifica-se que, se a superf´ıcie suporte ´e um plano tipo-espa¸co ou um plano hi- perb´olico, ent˜ao os pontos cr´ıticos tˆem que ser, respectivamente, um disco plano ou uma calota hiperb´olica.

  Palavras-chave: Superf´ıcies tipo-espa¸co; curvatura m´edia constante; bordo livre; espa¸cos de Minkowski.

  Abstract

  In this work, we deal with a variacional problem for spacelike into Lorentz- Minkowski space, whose critical points are constant mean curvature that intersect a given support surface under a constant hyperbolic angle. It is shown that, if the support surface is a spacelike plain or a hyperbolic plan, then the critical points must be a hyperbolic plain disc or a hyperbolic cap, respectively.

  Keywords: Spacelike surfaces; Constant mean curvature; Free boundary; Minkowiski space.

  Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares 3 1.1 Nota¸c˜oes necess´arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Defini¸c˜oes e resultados necess´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2.1 Conex˜oes afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2.2 Primeira e segunda forma fundamentais . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  2 O problema variacional

  7

  3 Superf´ıcies Estacion´ arias com bordo livre plano ou hiperb´ olico

  13

  4 Algumas considera¸ c˜ oes sobre o caso n-dimensional

  28 Referˆ encias

  31 Introdu¸ c˜ ao

  O estudo de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co (ou mas geralmente hipersuperf´ıcies) em espa¸cos de Lorentz ´e de interesse substancial, n˜ao somente do ponto de vista matem´atico, mas tamb´em do ponto de vista f´ısico. Por exemplo, as hipersuperf´ıcies maximais (que s˜ao hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura m´edia nula) s˜ao solu¸c˜oes iniciais conveni- entes para o problema de Cauchy das equa¸c˜oes de Einstein. Quando a hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co possui curvatura m´edia constante n˜ao-nula, elas s˜ao usadas no estudo da propaga¸c˜ao de ondas gravitacionais.

  Do ponto de vista matem´atico, Barbosa e Oliker em [BO1] e [BO2] mostraram que as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura m´edia constante s˜ao solu¸c˜oes de um problema variacional, j´a que s˜ao pontos cr´ıticos do funcional ´area para varia¸c˜oes que possuem fun¸c˜ao volume constante e mantˆem o bordo fixo.

3 Sejam Σ uma superf´ıcie tipo-espa¸co conexa mergulhada e M uma superf´ıcie

  ⊂ L

  3

  3

  tipo-espa¸co compacta imersa em L , com bordo contido em Σ e interior contido em L

  • (futuro de Σ).

  Nosso problema consiste em estudar os pontos cr´ıticos de um certo funcional

  3

  , energia, para todas as superf´ıcies imersas em L com bordo contido em Σ e interior contido no futuro de Σ. Tais pontos cr´ıticos s˜ao chamados de superf´ıcies estacion´arias.

  O funcional energia ´e dado por E = A − cosh βS onde A ´e a ´area de M, S ´e a

  ´area do dom´ınio de Σ limitada pelo bordo de M e β ´e o ˆangulo formado pela interse¸c˜ao entre Σ e M.

  Esta disserta¸c˜ao ´e baseada no artigo de Lu´ıs J Al´ıas e Jos´e A Pastor [AP2]. Enunciaremos abaixo os teoremas principais deste trabalho.

  3 Teorema 3.0.5. As ´ unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L com su-

  perf´ıcie suporte plana s˜ao os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

  3 Teorema 3.0.6.

  As ´ unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L com su- perf´ıcie suporte hiperb´olica s˜ao os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

  Em 1998, Lu´ıs Al´ıas e R. L´opez obtiveram um resultado de unicidade similar para

  3

  , o caso de superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura m´edia constante em L com bordo circular fixado, onde a prova foi baseada em duas f´ormulas integrais para superf´ıcies tipo-espa¸co

  3 em L : a f´ormula do fluxo e a desigualdade integral.

  A prova feita por Al´ıas e Pastor ´e baseada na estrutura complexa da superf´ıcie como uma superf´ıcie de Riemann, explorando o fato de que a curvatura m´edia ´e cons- tante, condi¸c˜ao esta que implica que a diferencial de Hopf da imers˜ao ´e holomorfa. A demostra¸c˜ao dos teoremas principais depende da combina¸c˜ao de dois resultados.

  O primeiro ´e uma caracteriza¸c˜ao de superf´ıcies estacion´arias, dada pela seguinte proposi¸c˜ao.

  3 Proposi¸ c˜ ao 2.0.2. Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M uma

  −→ L

  

3

  imers˜ao tipo-espa¸co tal que x(int(M )) e x(∂M ) = Γ ⊂ L ⊂ Σ ´e uma curva fechada + contida em Σ cujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Ent˜ao x ´e estacion´aria, se e somente se, a curvatura m´edia H ´e constante e x(M ) intersecta a superf´ıcie suporte Σ, ao

  3

  longo de Γ, sob um ˆangulo hiperb´olico β, dado por cosh β = ´e

  Σ

  −hN, N i. Se x : M −→ L , N estacion´aria, ent˜ao

  Σ Σ

  {τ, ν, N} e {τ, ν } s˜ao dois triedros ao longo de Γ que satisfazem `as equa¸c˜oes,

  ν = cosh βν Σ Σ

  − sinh βN e N

  = Σ + cosh βN Σ − sinh βν

  O outro resultado trata de observar que a superf´ıcie ´e topologicamente um disco, resultado este que ´e consequˆencia do seguinte Lema,

  

3

Lema 3.0.7. Seja x : M uma imers˜ao tipo-espa¸co compacta tal que

  −→ L x (∂M ) = Γ ´e uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸co Σ, cujo bordo delimita um dom´ınio Ω. Ent˜ao a proje¸c˜ao ortogonal de M sobre o plano Σ ´e um difeomorfismo entre

  M e Ω.

  No Cap´ıtulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados com Geometria Riemanianna, que ser˜ao utilizados ao longo do trabalho. No Cap´ıtulo 2, trataremos do problema variacional e mostraremos a Proposi¸c˜ao 2.0.2. No Cap´ıtulo 3, mostraremos os teoremas principais deste trabalho, referentes `a superf´ıcies estacion´arias com bordo livres plano ou hiperb´olico, bem com o Lema 3.0.7. Finalmente, no cap´ıtulo 4, faremos alguns coment´arios, e divagaremos sobre uma poss´ıvel generaliza¸c˜ao (caso n-dimensional) do caso n = 2. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e apresentar defini¸c˜oes, resultados e estabelecer as nota¸c˜oes necess´arias `a compreens˜ao dos cap´ıtulos subseq¨ uentes.

1.1 Nota¸ c˜ oes necess´ arias

3 Denotaremos por L o espa¸co tri-dimensional de Lorentz-Minkowski, formado por

  3

  vetores do R com a m´etrica Lorentziana

  2

  2

  2

  , ) + (dx ) )

  1

  2

  3

  h. , .i = (dx − (dx

  3

  1

  , x , x onde (x

  2 3 ) s˜ao as coodenadas canˆonicas em R . Durante esta disserta¸c˜ao, denotare-

  3

  mos por Σ uma superf´ıcie conexa tipo-espa¸co mergulhada em L , e consideraremos que Σ est´a orientada por N , que ´e o ´ unico campo vetorial unit´ario normal a Σ, do tipo-tempo

  Σ e dirigido para o futuro, ou seja, apontando para o mesmo lado do vetor (0, 0, 1).

  3

  3 Assuma que Σ divide L em duas componentes conexas e denotaremos por L

  • a componente para a qual N Σ est´a apontando. Neste caso, n˜ao h´a dificuldade em ver

  2

  que a proje¸c˜ao Π : Σ sobre o plano x = 0 ´e um difeomorfismo local que satisfaz

  

3

  −→ R

  ∗

  2

  Π ( ) representa a metrica Euclidiana no R . Isso mostra que Π

  h., .i ≥ h., .i, onde h., .i

  2

  aumenta a distˆancia. Como Σ ´e completa isto implica que Π(Σ) = R e que Π ´e uma

  2

  aplica¸c˜ao de recobrimento. J´a que R ´e simplesmente conexo, ent˜ao Π ´e um difeomorfismo global e a superf´ıcie Σ ´e, de fato, um gr´afico inteiro sobre o plano (x , x ).

  1

  2 Seja M uma superf´ıcie conexa compacta e suave com bordo n˜ao-vazio ∂M e seja

  3

  x : M uma imers˜ao suave tipo-espa¸co tal que

  → L

  3

  x (int(M) (1.1)

  ⊂ L + e x (∂M) = Γ (1.2)

  ⊂ Σ

  ´e uma curva contida em Σ cujo bordo ´e um dom´ınio compacto Ω ⊂ Σ.

  Assumiremos que a restri¸c˜ao da imers˜ao x ao bordo ∂M ´e um difeomorfismo sobre

  3 Γ e dizemos que a imers˜ao x : M ´e uma superf´ıcie tipo-espa¸co com bordo Γ.

  → L Ao longo deste trabalho, consideraremos que M ´e orientada por um campo vetorial

  3

  unit´ario tipo-tempo N normal a M. Se denota a m´etrica da conex˜ao flat de L , ent˜ao ∇ o operador de Weingartein A associado a N ´e dado por

  A N (υ) = υ

  −∇ para um vetor tangente qualquer υ. A fun¸c˜ao curvatura m´edia de M ´e definida por H = 1 tr(A). −

  2 A orienta¸c˜ao de M induz uma orienta¸c˜ao natural em ∂M da seguinte maneira: um vetor tangente n˜ao-nulo υ p (∂M) ´e orientado positivamente, se e somente se, para ∈ T qualquer vetor w p Σ apontando para dentro, p Σ orientada

  ∈ T {υ, w} ´e uma base de T positivamente. Denotaremos por ν um vetor conormal unit´ario ao longo de ∂M apon- tando para dentro. Da mesma forma, τ denotar´a um campo vetorial unit´ario orientado

  3

  positivamente ao longo de ∂M. Denotaremos por v de dois ∧ w o produto vetorial em L

  3

  vetores v, w , definido como o ´ unico vetor v ∈ L ∧ w tal que hv ∧ w, ui = det(v, w, u)

  3

  para todo u . Observe ent˜ao que τ ´e dado por τ = ∈ L −N ∧ ν.

1.2 Defini¸ c˜ oes e resultados necess´ arios

  Na se¸c˜ao anterior, falamos sobre superf´ıcies tipo-espa¸co, vetores tipo-espa¸co, ve- tores tipo-tempo, entre outros. Mas o que vem a ser esses entes matem´aticos? Bom, nosso ambiente de trabalho ´e o espa¸co de Minkowiski, que nada mais ´e do

  3

  2

  2

  2 que o R munido da m´etrica ) + (dx ) ) .

  1

  2

  3

  h., .i = (dx − (dx

  3

  ´ E f´acil ver que, com essa m´etrica, R fica dividido em trˆes subconjuntos, da seguinte maneira: vetores v para os quais hv, vi > 0 (incluindo v = 0), hv, vi < 0 e hv, vi = 0. Tais vetores s˜ao chamados de vetores tipo-espa¸co, tipo-tempo e tipo-luz, respectivamente. O conjunto formado pelos vetores tipo-luz ´e chamado de cone de luz.

  

3

Dizemos que uma superf´ıcie Σ ´e do tipo-espa¸co se dado um ponto qualquer

  ⊂ L p p Σ ´e do tipo-espa¸co, ou seja, ∈ Σ, tivermos que qualquer vetor n˜ao-nulo v ∈ T hv, vi > 0. Observe, na figura seguinte, uma representa¸c˜ao dos vetores v , v , v , que s˜ao

  1

  2

  3 tipo-espa¸co, tipo-luz e tipo-tempo, respectivamente.

  

Figura 1.2.1

  1.2.1 Conex˜ oes afins ∞

  Indicaremos por χ(Σ) o conjunto dos campos de vetores de classe C em Σ e por

  ∞ definidas em Σ.

  D(Σ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C Uma conex˜ao afim

  ∇ em uma variedade diferenci´avel Σ ´e uma aplica¸c˜ao ∇ : χ(Σ) × χ(Σ) −→ χ(Σ) que se indica por (X, Y ) X Y e que satisfaz as seguintes propriedades:

  7−→ ∇ 1. f X Z = f X Z + g Y Z ,

  • gY

  ∇ ∇ ∇

  • Y Z 2. X (Y + Z) =
  • X X , ∇ ∇ ∇

      Y 3. X (f Y ) = f X + X(f )Y , ∇ ∇ onde X, Y Z

      ∈ χ(Σ) e f, g ∈ D(Σ). Seja Σ uma variedade diferenci´avel com conex˜ao afim

      ∇ e m´etrica Riemanniana

      h., .i. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h, i se para toda curva diferenci´avel c e

      ′ ′

      quaisquer pares de campos de vetores pararelos P e P ao longo de c, tivermos hP, P i = constante .

      Lema 1.2.1. Uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana Σ ´e compat´ıvel com a m´etrica se e s´o se

      X X Y, Z X Z hY, Zi = h∇ i + hY, ∇ i, ∀X, Y, Z ∈ χ(Σ).

      1.2.2 Primeira e segunda forma fundamentais

    3 O produto interno natural de L induz, em cada plano tangente T Σ de uma

      p

      3 superf´ıcie regular Σ , um produto interno, que indicaremos por p .

      ⊂ L h., .i

      , w , w Se w p Σ, ent˜ao p ´e o produto interno Lorentziano de w e w como vetores

      1

      2

      1

      2

      1

      2

      ∈ T hw i

      3

      do L . A esse produto interno, que ´e uma forma bilinear e sim´etrica, corresponde uma forma quadr´atica I p : T p Σ −→ R, dada por

      2 I p (w) = p =

      hw, wi | w | ≥ 0, que ´e chamada de primeira forma fundamental de Σ em p. Como vimos anteriormente, N representa um campo vetorial normal unit´ario

      Σ

      do tipo-tempo dirigido para o futuro de Σ. Assim, a aplica¸c˜ao dN : T p Σ p Σ

      Σ p −→ T com p

      ∈ Σ, ´e uma aplica¸c˜ao linear auto-adjunta. Esse resultado ´e bastante conhecido na literatura corrente e isso nos permite associar a dN uma forma quadr´atica em T p Σ

      Σ p

      definida por II p (v) = p (v), v

      Σ

      −hdN | i, que ´e chamada a segunda forma fundamental de Σ em p. Cap´ıtulo 2 O problema variacional

      ´ E bastante conhecida a caracteriza¸c˜ao das superf´ıcies de curvatura m´edia cons- tante, como solu¸c˜oes de um problema variacional. Elas s˜ao pontos cr´ıticos do funcional

      ´area quando se consideram varia¸c˜oes que mantˆem o bordo fixo e preservam volume.

      Neste cap´ıtulo, abordaremos um problema variacional um pouco diferente, que

      3

      se origina na tentativa de encontrar as superf´ıcies estacion´arias imersas em L , com bordo contido numa superf´ıcie suporte. Por´em nosso problema possui uma condi¸c˜ao menos res- tritiva no bordo. A formula¸c˜ao do problema variacional, neste caso, nos leva a considerar varia¸c˜oes de uma dada superf´ıcie impondo que, para cada parˆametro num intervalo real, a superf´ıcie correspondente tenha seu bordo (n˜ao necessariamente fixo) sobre uma su- perf´ıcie dada (superf´ıcie suporte), intersectando-a sob um ˆangulo hiperb´olico constante β. Em virtude da condi¸c˜ao estabelecida sobre o bordo, um problema deste tipo ´e chamado de problema de bordo livre.

      Seja x :

      3

      mathbf M uma imers˜ao suave tipo-espa¸co satisfazendo −→ L

      3

      x (intM )

      ⊂ L + e x

      (∂M ) = Γ ⊂ Σ. Uma varia¸c˜ao admiss´ıvel de x ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel X : (

      −ǫ, ǫ) × M −→

      3

      3 L

      tal que, para cada t t : M definida por X t (p) = X(t, p) ∈ (−ǫ, ǫ), a aplica¸c˜ao X −→ L

      ´e uma imers˜ao tipo-espa¸co com

      3 X t (intM )

      ⊂ L + e X t (∂M )

      ⊂ Σ, onde X = x. Por esta raz˜ao, nos referimos a Σ como superf´ıcie suporte. Dada uma varia¸c˜ao admiss´ıvel X, a fun¸c˜ao energia E : ( −ǫ, ǫ) −→ R ´e definida por

      E (t) = A(t)

      − cosh(β)S(t), onde β ∈ R ´e uma constante real arbitr´aria, Z

      A (t) = ´area(M, X t ) = dA t M ´e a ´area de M na m´etrica induzida por X t e Z s d

      (t) = ´area(Ω t ) = Σ

      Ω t

      ´e a ´area do dom´ınio em Σ limitado por Γ t = X t (∂M ), denotado por Ω t ⊂ Σ.

      Aqui dΣ denota o elemento de ´area de Σ com respeito `a m´etrica induzida e a escolha da orienta¸c˜ao, dA t denota o elemento de ´area de M com respeito `a m´etrica , induzida por X t e a orienta¸c˜ao dada pelo campo vetorial normal a X t tipo-tempo dirigido

      . para o futuro o qual ser´a denotado por N t

      A fun¸c˜ao volume de uma varia¸c˜ao V : ( Z −ǫ, ǫ) −→ R ´e dada por

      ∗

      V t = (dV ),

      X

      [0,t]×M

      3

      onde dv ´e o elemento canˆonico de volume do L . Como no caso euclidiano, V (t) representa . o volume limitado pelas superf´ıcies X = x e X t A varia¸c˜ao ´e dita preservar volume se V (t) = V (0) = 0 para todo t.

      Denotemos por ξ o campo variacional de X, dado por ∂X

      ξ (p) = (0, p).

      ∂t Ao longo da imers˜ao x :

      3

      mathbf M , decompondo ξ em suas componentes tangente e normal, temos ξ = T N T N −→ L ξ + ξ , onde ξ = aN, ent˜ao

      ∈ X (M) ´e tangente a M. Mas ξ T ξ T = ξ + aN

      , N Como hN, Ni = −1 e hξ i = 0, obtemos T

      , N hξ, Ni = hξ i + ahN, Ni =

      −a Consequentemente, T

      ξ = ξ − hξ, NiN. Em 1976, Brill e Flahert em [BF] mostraram que as f´ormulas da primeira varia¸c˜ao da `area eram dadas por Z I dA δ A H ξ = =

      −2 hξ, NidA − hξ, νids dt | t=0 M ∂M e I dS δ S ξ = =

      Σ

      − hξ, ν ids, dt | t=0 ∂M onde ds ´e o elemento de linha induzido em ∂M e ν Σ = N Σ ∧ τ ´e o vetor unit´ario conormal apontando para dentro de Ω ao longo de Γ.

      Logo, a f´ormula da primeira varia¸c˜ao da energia ´e dada por Z I dE δ E H ξ = = ( Σ

      −2 hξ, NidA − hξ, νi − cosh βhξ, ν i)ds dt | t=0 Z M ∂M I H H =

      −2 hξ, NidA + hξ, ν Σ i(cosh β + hN, N Σ i)ds. (2.1) M ∂M Por outro lado, em 1993, Barbosa e Oliker em ([BO1] e [BO2]) mostraram que Z dV

      δ ξ = =

      V (2.2)

      − hξ, NidA dt | t=0 M E Dizemos que a imers˜ao x ´e estacion´aria se δ ξ = 0 para toda varia¸c˜ao adimiss´ıvel de x que preserva volume. A seguinte caracteriza¸c˜ao de superf´ıcies estacion´arias segue das f´ormulas 2.1 e 2.2.

      3 Proposi¸ c˜ ao 2.0.2.

      Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M uma imers˜ao −→ L

      3

      suave tipo-espa¸co tal que x(intM ) e x(∂M = Γ) ⊂ L ⊂ Σ ´e uma curva fechada contida + em Σ cujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Ent˜ao x ´e estacion´aria se, e somente se, a curvatura m´edia H ´e constante e x(M ) intersecta a superf´ıcie suporte Σ sob um ˆangulo hiperb´olico constante β, ao longo de Γ, dado por cosh β =

      Σ −hN, N i.

      3 Se x : M ´e estacion´aria, ent˜ao Σ Σ,N

      −→ L {τ, ν, N} e {τ, ν } s˜ao dois triedros ao longo de Γ que satisfazem as rela¸c˜oes ν

      = cosh βν Σ Σ (2.3) − sinh βN e

      N = + cosh βN

      Σ Σ

      − sinh βν Prova. Se H ´e constante e cosh β =

      Σ Z −hN, N i, ent˜ao, I dE

      δ E H ξ = = ( Σ −2 hξ, NidA − hξ, νi − cosh βhξ, ν i)ds dt | t=0 M ∂M Z I

      = Σ ( Σ Σ −2H hξ, NidA + hξ, ν −hN, N i + hN, N i)ds Z M ∂M

      = −2H hξ, NidA. M Tome uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume, ou seja, V (t) = V (0) = 0 para todo t, o que nos diz que dV

      δ ξ = = 0.

      V dt | t=0 dV R Por outro lado sabemos que δ ξ V = =

      − hξ, NidA. Assim, M Z dt | t=0 M hξ, NidA = 0, e finalmente chegamos a δ ξ E = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume.

      Provaremos a primeira implica¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.0.2 em duas estapas. Primeiro vamos mostrar que H = cte em M, e para isso assumiremos o seguinte resultado. R Lema 2.0.3. f dM

      Seja f : M = 0

      −→ R uma fun¸c˜ao diferenci´avel por partes tal que M ∂M e f

      ≡ 0. Ent˜ao existe uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume cujo campo variacional ´e dado por ξ = f N. A prova deste Lema ´e essencialmente a mesma que a do Lema 2.4 em [BdC]. Vamos ent˜ao construir uma fun¸c˜ao f : M R −→ R que cumpra as condi¸c˜oes do

    1 HdM.

      lema acima. Seja H = A M Assuma que (H )(p)

      − H 6= 0 num ponto p ∈ intM. Podemos portanto assumir que (H )(p) > 0. − H

      Tome M = )(q) > 0) = )(q) < 0 {q ∈ intM; (H −H }, M {q ∈ intM; (H −H },

      e observe que M 6= ∅ e M 6= ∅.

    • .

      De fato, por hip´otese (H )(p) > 0 e ent˜ao p Como Z Z Z − H ∈ M (H )dM = HdM dM M M M − H − H

      = H A A − H

      = 0, ou seja, H possui m´edia nula, ent˜ao existe q )(q) < 0, logo − H ∈ intM tal que (H − H

      − q .

      ∈ M Sejam ϕ, ψ : M

      −→ R fun¸c˜oes reais n˜ao-negativas, diferenci´aveis por partes, satisfazendo

    • p ,

      ∈ suppϕ ⊂ M e

      −

      q ∈ suppψ ⊂ M onde suppϕ =

      {x ∈ M; ϕ(x) 6= 0} ´e o suporte da fun¸c˜ao ϕ. Podemos tamb´em assumir que Z (ϕ + ψ)(H )dM = 0. (2.4) M − H

      De fato, por continuidade existem vizinhan¸cas V p de p e V q de q tais que V p ⊂ suppϕ e

      V q ⊂ suppψ, logo Z Z Z

      ϕ ψ (ϕ + ψ)(H )dM = (H )dM + (H )dM M − H − H − H V p q V Por outro lado ϕ(H ) > 0 em V p e ψ(H ) < 0 em V q , logo

      − H − H Z ϕ

      (H )dM > 0 V p − H e Z ψ (H )dM < 0. V q − H Multiplicando uma das fun¸c˜oes ϕ ou ψ por uma constante apropriada, obtemos novas fun¸c˜oes, denotadas ainda por ϕ e ψ, satisfazendo (2.4), ou seja, Z (ϕ + ψ)(H )dM = 0. M − H R

      Seja f = (ϕ + ψ)(H ). Ent˜ao f = 0 em ∂M e f dM = 0. Pelo Lema 2.0.3, − H M existe uma varia¸c˜ao que preserva volume cujo campo variacional ´e ξ = f N, ou seja, hξ, Ni = hfN, Ni

      = f hN, Ni = f

      ∂M Em particular, ξ ≡ 0.

      Como x ´e estacion´aria, ent˜ao Z I H 0 = −2 hξ, NidM + hξ, ν Σ i(cosh β + hN, N Σ i)ds. M ∂M

      ∂M Mas ξ

      ≡ 0. logo Z Z H f HdM.

      0 = R R −2 hξ, NidM = −2 M M Note que f (H )dM = f HdM. De fato, M M − H Z Z Z f (H )dM = f HdM + H f dM M M M − H Z

      = f HdM, portanto, Z Z Z

      2

      f HdM f dM > 0 = = (H )dM = (ϕ + ψ)(H ) 0,

      −2 −2 − H −2 − H M M M o que nos fornece uma contradi¸c˜ao. Logo, H = H = cte. A segunda etapa consiste em mostrar que cosh β =

      Σ

      −hN, N i. Para isso, assu- mimos tamb´em o seguinte resultado que na sua essencia ´e muito similar ao Lema 2.0.3 utilizado na primeira etapa. Lema 2.0.4.

      Dados p p p ´e uma vizinhan¸ca de p em M, ent˜ao ∈ ∂M e f : V −→ R onde V existe uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume tal que

      ξ (p) = f ν (p) .

      Σ p

      ∀p ∈ V Dado p

      Σ

      ∈ ∂M, suponha que (cosh β + hN, N i)(p) > 0. Assim por continuidade, temos (cosh β+ p de p em ∂M. Seja g : ∂M

      Σ

      hN, N i)(q) > 0, para todo q numa vizinhan¸ca V −→ R tal que g (p) > 0, g

      (q) ≥ 0 ∀q ∈ ∂M, e suppg p .

      ⊂ V Pelo lema acima, existe uma varia¸c˜ao t que preserva volume tal que

      X ∂

      X ξ . (p) = (0, p) = g(p)ν Σ (p) p

      ∀p ∈ V ∂t

      Como x ´e estacion´aria, ent˜ao Z I 0 = Σ Σ R −2H hξ, NidM + hξ, ν i(cosh β + hN, N i)ds. M ∂M f dM Mas = 0, pois t preserva volume, logo M

      X I 0 =

      Σ Σ ∂M hξ, ν i(cosh β + hN, N i)ds.

      , ν Como ξ(p) = g(p)ν (p) para todo p p

      Σ Σ Σ Σ

      ∈ V ⊂ ∂M, hν i = 1 e (cosh β + hN, N i) > 0, ent˜ao I g , ν 0 = (p) Σ Σ Σ V p hν i(cosh β + hN, N i) > 0, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao.

      Logo (cosh β +

      Σ hN, N i)(p) = 0.

      Mas p ´e arbitr´ario, assim cosh β =

      Σ

      −hN, N i, ∀p ∈ ∂M Isto conclui a prova da Proposi¸c˜ao 2.0.2. Cap´ıtulo 3 Superf´ıcies Estacion´ arias com bordo livre plano ou hiperb´ olico

      Neste cap´ıtulo consideramos o caso onde a superf´ıcie suporte ´e um plano tipo- espa¸co ou um plano hiperb´olico. Nosso objetivo ´e mostrar os seguintes resultados de unicidade.

      3 Teorema 3.0.5. As ´ unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L com superf´ıcie suporte

      plana s˜ao os discos planos, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

      3 Teorema 3.0.6. As ´ unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L com superf´ıcie suporte

      hiperb´olica s˜ao os discos planos, com H = 0 e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

      Antes de iniciarmos a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.0.5, precisaremos de uma pro- posi¸c˜ao, algumas afirma¸c˜oes e um lema. O primeiro aux´ılio na prova do Teorema 3.0.5 ´e mostrar que a superf´ıcie ´e topologicamente um disco. Isso ´e consequˆencia do seguinte fato.

    3 Lema 3.0.7. Seja x : M um imers˜ao tipo-espa¸co compacta tal que x(∂M ) = Γ

      → L ´e uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸co Σ o qual delimita com seu bordo um dom´ınio Ω. Ent˜ao a proje¸c˜ao ortogonal de M sobre o plano Σ ´e um difeomorfismo entre M e Ω. Em particular, M ´e difeomorfa a um disco.

      2 Prova. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que o plano tipo-espa¸co Σ = E 2 ⊥

      passando pela origem ´e dado por E = a , para um vetor a unit´ario tipo-tempo dirigido x para o futuro. Seja ˜ : M

      −→ Σ a proje¸c˜ao ortogonal de M sobre o plano Σ e denotaremos x x tamb´em por ˜ sua restri¸c˜ao ao interior de M, ˜ : int(M ) −→ Σ. x

      Afirma¸c˜ao 1: ˜ : int(M ) −→ Σ ´e um difeomorfismo local e, portanto, ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

      2 Prova da Afirma¸c˜ao 1. Tomemos sem perda de generalidade, E = = 0

      3

      {x }, ou seja, x , x , x , x , x x , v , v , v , ˜ (x ) = (x 0), logo d˜ p (v) = d˜ p (v ) = (v 0), para qualquer v =

      1

      2

      3

      1

      2

      1

      2

      3

      1

      2

      , v , v (v

      1

      2 3 ).

      2

      2

      

    2

      2

      2 Por outro lado, v = = v + v . Como M ´e uma superf´ıcie tipo- p

      |d˜x | |v|

      

    1

    2 − v

      3

      

    2

      espa¸co e v p int (M ), se v > 0, logo temos que p v ∈ T 6= 0 ent˜ao |v| |d˜x | > 0 e portanto d x v ˜ p p ´e injetiva, logo pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa,

      6= 0. E assim chegamos que d˜x x ˜ ´e um difeomorfismo local e portanto uma aplica¸c˜ao aberta. Isto mostra a Afirma¸c˜ao 1. x x

      Nosso objetivo agora ´e mostrar que ˜ (int(M )) = Ω e, a partir da´ı, que ˜ ´e um difeomorfismo local. Primeiro veremos que ∂ ˜ x (int(M )) = ∂ ˜x(M) ⊂ Γ, que ser´a consequˆencia das duas afirma¸c˜oes abaixo. x Afirma¸c˜ao 2: ˜ ´e sobrejetiva. x

      Prova da Afirma¸c˜ao 2. De fato, como M ´e aberto em M e ˜ ´e uma aplica¸c˜ao aberta ent˜ao ˜ x (M ) e aberto em Ω. Por outro lado M ´e compacta, ent˜ao ˜ x (M ) ´e compacta, em particular fechado, e assim ˜ x (M ) ´e aberto e fechado em Ω, e como Ω ´e conexo, conclu´ımos x x que ˜ (M ) = Ω. Portanto, ˜ ´e sobrejetiva. Isto mostra a Afirma¸c˜ao 2. Afirma¸c˜ao 3: Se q ∈ ∂(˜x(M)), ent˜ao existe p ∈ ∂M tal que ˜x(p) = q. Prova da Afirma¸c˜ao 3. De acordo com a Afirma¸c˜ao 2, existe p ∈ M tal que ˜x(p) = q. Se p p de p

      ∈ int(M), ent˜ao existe uma vizinhan¸ca aberta U ∈ int(M) e uma vizinhan¸ca aberta de V q de q p q ´e um difeomorfismo. Isto implica ∈ ˜x(int(M)) tais que ˜x : U −→ V que q

      ∈ ˜x(int(M)), que ´e uma contradi¸c˜ao com o fato que q ´e um ponto do bordo de x ˜ (M ). Isto mostra a Afirma¸c˜ao 3. x

      Decorre ent˜ao das Afirma¸c˜oes 2 e 3 que ∂ ˜ (int(M )) ⊂ Γ. Se existir um ponto em ˜ x (int(M )) que n˜ao est´a em Ω, j´a que ˜ x (int(M )) ´e limitado, x existiriam pontos em ∂ ˜ (int(M )) fora de Ω, o que n˜ao ´e poss´ıvel. Analogamente, se x x existirem pontos em Ω que n˜ao est˜ao em ˜ (int(M )), existiriam pontos em ∂ ˜ (int(M )) x dentro de Ω, o que novamente seria imposs´ıvel. Concluimos ent˜ao que Ω = ˜ (int(M )).

      Consequentemente, ˜ x : M −→ Ω ´e um difeomorfismo local, e a compacidade de

      M implica que ˜ x ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento. J´a que Ω ´e simplesmente conexo, ˜ x tem que ser um difeomorfismo global, o que demostra o Lema 3.0.7.

      Vamos agora `a demostra¸c˜ao do Teorema 3.0.5. Prova. Seja z = x + iy = re a coordenada usual em C. Sabemos que a m´etrica em M

      2

      ´e um m´ ultiplo da m´etrica em R , ou seja, ´e dada pela express˜ao ρ

      2

      2

      ds , = e

      |dz| para uma fun¸c˜ao suave ρ = ρ(z).

      Afirma¸c˜ao 4: A segunda forma fundamental da imers˜ao ´e dada por ρ

      

    2

    II dzdz

      = Re + He {φdz }. onde e

      − g φ

      = − if. Prova da Afirma¸c˜ao 4. De acordo com o Lema 3.0.7, sabemos que M ´e topologicamente um disco. Podemos ent˜ao parametrizar M por um disco unit´ario fechado D no plano complexo.

      Seja z = x + iy = re a coordenada usual em C. Como E > 0, podemos conside- ρ rar, sem perda de generalidade, E = e para uma fun¸c˜ao ρ : C −→ R. Seja w = aX x + bX y ent˜ao,

      Π(w) = −hdN(w), (w)i

      = x + bX y ), aX x + bX y −hdN(aX i

      = x + bN y , aX x + bX y −haN i

      2

      2

      , X , X , X , X = x x y y x y y x −[a hN i + b hN i + ab(hN i + hN i)].

      Sabemos que x x , X hN i = −e, y y , X hN i = −g e x y y x , X , X hN i = hN i = −f. Da´ı,

      2

      2

      e g. Π(w) = a + 2abf + b

      Por outro lado, utilizando que X ´e isot´ermica, ou seja, E = G e F = 0, temos que

      I (w) = hw, wi

      = x + bX y , aX x + bX y haX i

      2

      

    2

      2

      2 = a E + b E = (a + b )E.

      Portanto

      2

      2

      2 I

      (w) = E = E(dx + dy ), |dz| logo

      2

      2 .

      Π(w) = edx + 2f dxdy + gdy Como z = x + iy, temos dz dz

      = dx + idy, = dx − idy e

      2

      2

      2

      2

      2 dz = dx + 2idxdy, dzdz = dx + dy .

      − dy Podemos ent˜ao escrever φdz

      2

      2 ).

      2

    • 2idxdy
    • HE(dx
    • dy
    • HEdzdz = e − g

      2 − if dx

      

    2

      − dy

      2

    2 E

    • g
    • 2idxdy + e
    • g
    • dy
    • HEdzdz = e − g
    • e
    • g
    • e + g
    • gdy
    • 2f dxdy + i(A), onde A ´e uma fun¸c˜ao real. Dessa forma,
    • HEdzdz
    • 2f dxdy + gdy
    • He ρ dzdz .

      2

      2

      dy

      2

      2

      )

      2

      2

      dy

      

    2

      − 2dx

      2

      )

      2

      = (dx

      = (dx

      

    2

      )

      2

      − dy

      2

      = (dx

      2

      |

      2

      − dy

      2

      2

      2

      2

      2

      2 .

      2

      (v) = a

      2

      e, aplicando a um vetor v = (a, b) temos |dz|

      2

      2

      = dx

      2

      , onde |dz|

      2

      = E |dz|

      I = ds

      )

      (3.2) Sabemos que

      

    2

    .

      )

      2

      2

      = (dx

      2

      )

      2

      2

      dy

      

    2

      2

      = |dx

      2

      |

      2

      = edx

      2

      Re φdz

      2

      2

      − 2fdxdy + i(A) = edx

      2

      2 dy

      − g

      2 − e

      

    2

      2 dx

      = e − g

      2 .

      2

      2

      2 dx

      2

      − dy

      2

      2 − if dx

      2

      , logo φdz

      2

      − f

      2E e K = eg

      2

      e assim Π = Re φdz

      Mas H = e

      2

      e |dz

      2

      |

      |dz

      2

      = |φ|

      2

      De fato, |Q|

      2 .

      |φ|

      −2ρ

      = 2e

      |Q|

      

    2

      (3.1) Prova da Afirma¸c˜ao 5. Mostremos inicialmente que

      2 − K) ≥ 0.

      = 2(H

      2

      |φ|

      −2ρ

      = 2e

      2

      |Q|

      define uma diferencial quadr´atica invariante em M , que ´e chamada de Diferencial de Hopf. Afirma¸c˜ao 5: A norma intr´ınseca de Q ´e dada por

      2

      A express˜ao Q = φdz

      o que prova a Afirma¸c˜ao 4.

    • 2idxdy
    • (2dxdy)
    • (dy
    • 4dx
    • 2dx
    • (dy
    • dy
    • dy
    • b
    • b

    • |Qv
    • b
    • b
    • b
    • b
    • |Qv
    • |φdz

      1

      2

      1 E

      2

      =

      1 E (a

      2

      1

      2

      )

      

    2

      2

      =

      1 E

      

    2

    .

      Do mesmo modo, |dz

      2

      (v

      2

      ) |

      

    1

    E

      = a

      =

      ) |

      2

      (v

      2

      ) |

      2

      , por (3.2) temos que |dz

      2

      (v

      1

      2

      2

      = (dx

      2

      (v

      1

      ) + dy

      2

      (v

      1

      ))

      2

      1 E

      ) |

      − 2eg + g

      = e

      2

      − 2eg + g

      2

      4

      2

      = e

      2

      2

      |φ|

      2

      4 , ou seja,

      4 |φ|

      2

      = e

      2

      − 2eg + g

      2

      2

      2

      2 − if, temos que

      2

      2

      , logo |Q|

      2

      = |φ|

      2

      2 E

      2

      = 2E

      

    −2

      |φ|

      = 2e

      − g

      −2ρ

      |φ|

      2 .

      (3.3) que ´e a primeira igualdade em (3.1). Vamos mostrar agora que

      |Q|

      2

      = 2(H

      2

      − K) ≥ 0. De fato, Como φ = e

      2

      1

      (3.4) usando (3.3) e (3.4), temos,

      E (a

      E (a

      1

      , b

      1

      ) e v

      2

      =

      1 √

      2

      =

      , b

      2

      ), com a

      2

      1

      2

      1

      = a

      2

      1 √

      1

      2

      = |Qv

      Assim, ds

      2

      (v) = E |dz|

      2

      (v) = E(a

      2

      2 ).

      Por outro lado, |Q|

      2

      1

      } ´e uma base ortonormal de T p Σ. Considere v

      |

      2

      2

      |

      2

      , onde {v

      1

      , v

      2

      2

      2

      (v

      ) |

      1 |

      2

      2 |

      2

      = |φdz

      2

      (v

      1

      

    2

      2

      2

      (v

      2

      ) |

      2

      = |φ|

      2

      |dz

      

    2

      = |Qv

      Da´ı |Q|

      = 1 e hv

      1 E

      1

      , v

      2

      i = 0. Assim, ds

      2

      (v

      1

      ) = E a

      2

      2

      2 E = 1.

      1 E

      = 1 e ds

      2

      (v

      2

      ) = E a

      2

      2 E

      2

    • |dz
    • b
    • b
    • f
    • 4f
    • 4f

      2

      2

      f e + g

      2 − eg

    • H − K =

      2

      2E E

      2

      2

      2

      e

    • 2eg + g 4f

      − 4eg

    • =

      2

      2

      4E

      4E

      2

      2

      2

      e

    • 4f − 2eg + g

      =

      2

      4E

      2

      |φ| =

      2 E −2ρ

      

    2

      = e |φ|

      2

      |Q| . =

      2 que ´e a segunda igualdade em (3.1). Verifica-se facilmente que, se k e k s˜ao as curvaturas principais da imers˜ao x,

      1

      

    2

      ent˜ao

      2

      2 H ,

      1 2 )

      − K = (k − k

      2

      logo H − K ≥ 0 e a igualdade ocorre exatamente nos pontos umb´ılicos. E isto conclui a prova da Afirma¸c˜ao 5.

      ∂φ ∂H . Afirma¸c˜ao 6: = E

      ∂z ∂z Prova da Afirma¸c˜ao 6. Sabemos, de acordo com [dC2], que as equa¸c˜oes de Mainardi- Codazzi s˜ao dadas por f H y x = x (3.5)

      − g −E e e y x = E y (3.6)

      H, − f as quais podem ser reescritas como e − g

    • f y = EH x (3.7)

      2 x e e − g x = y (3.8) .

      − f −EH

      2 y De fato, como x ´e isot´ermica temos e

    • g

      1

      1 H , = = (e + g)

      2E

      2 E que derivando com rela¸c˜ao a x d´a origem a

      1

      1

      1 H E x = (e x + g x ) x − (e + g)

      2 E E

      2 H e + g Note que = , logo

    2 E

      2E e e + g x + g x H E x = x

      −

      2

      2E

      2E e assim e x + g x

      EH x = x H.

      − E

      2 Por (3.5) temos que e x + g x EH x = + f y x

      − g

      2 e x x − g

      = + f y

      2 e − g = + f y ,

      2 x e isso mostra a equa¸c˜ao (3.7). Derivando agora a fun¸c˜ao H com rela¸c˜ao a y temos

      1

      1

      1 H y = (e y + g y ) E y . − (e + g)

      2 E E

      2 H e

    • g

      , Lembrando que = ficamos com

    2 E

      2E e y + g y e + g H y = E y ,

      −

      2

      2E

      2E e assim e y + g y

      EH y = y H.

      − E

      2 Por (3.6), temos que e y + g y EH y = y + f x

      − e y + g y

      2 −e

      = + f x " #

      2 e − g ,

      = x − − f

      2 y e isso mostra a equa¸c˜ao (3.8). Sabemos que

      1 ∂ z = (∂ x y )

      − i∂

      2 e 1 ∂ z = (∂ x + i∂ y ).

      2 Assim, ficamos com ∂φ ∂φ ∂φ

      1 = + i

      ∂z ∂u ∂v

      2 ( " #)

      1 e − g e − g = x + i y

      − if − if

      2 ( )

      2 x y

      2

      1 e − g e − g = x + i + f y

      − if

      2 ( " #)

      2 x y

      2

      1 e − g e − g = + f y + i x

      − f

      2

      2 x y

      2 e assim teremos que ∂φ

      1 = (EH x y )

      − iEH ∂z

      2

      1 = E (H x y )

      − iH

      2 ∂H

      = E , ∂z e isto mostra a Afirma¸c˜ao 6.

      Decorre da Afirma¸c˜ao 6, que como H = cte ent˜ao φ ´e holomorfa. De acordo com o Lema 3.0.7, M ´e topologicamente um disco. Assim no bordo de M ,

      1 temos que r = z = (∂ x y ). Sabemos que |z| = 1 e ∂ − i∂

      2 z , = x + iy = re onde p

      2

      2

      r x = + y

      |z| = e y θ . = arctan x

      Por outro lado, ∂r ∂θ

    • ∂ ∂ ∂ x = r θ

      ∂x ∂x e ∂r ∂θ = + ∂ y ∂ r ∂ θ . ∂y ∂y

      Como ∂r 1 x

      = 2x = ,

      

    2

      2

      ∂x r 2 px + y

      ∂r 1 y = 2y = ,

      

    2

      2

      ∂y r   2 px + y ∂θ

      1   −y −y ,

      = =

      

    2 

      2

      2

      ∂x y x r 1 +

      2

      x e   ∂θ 1 x  

      1 ,

      = =  

      

    2

      2

      ∂y y x r 1 +

      

    2

      x para r = 1 ficamos com ∂r

      = x, ∂x

      ∂r = y,

      ∂y ∂θ

      = −y,

      ∂x e ∂θ = x. ∂y

      Portanto,

      1 ∂ z = (∂ x y )

      − i∂

      2

      1 = [x∂ r θ r + x∂ θ )]

      − y∂ − i (y∂

      2

      1 = [(x r + ( θ ] .

      − iy) ∂ −y − ix) ∂

      2 Por outro lado, sabemos que x − iy = z e

      −y − ix = −iz. Note tamb´em que

      −iθ

      z = e e ! θ π

    • −i

      2 iz . = e

      Logo, temos que

      ∂ z =

      − iz∂ θ ) =

      Π(∂ r , ∂ r )

      2

      2 [z

      1

      =

      , −iz∂ θ )]

      , z∂ r ) + Π( −iz∂ θ

      , z∂ r ) + Π(z∂ r , −iz∂ θ ) + Π( −iz∂ θ

      2 [Π(z∂ r

      1

      − iz∂ θ , z∂ r

      2

      2 Π(z∂ r

      1

      2

      1

      − iz∂ θ )] = 2

      2 (z∂ r

      1

      − iz∂ θ ),

      2 (z∂ r

      1

      − iz

      Π(∂ r , ∂ θ )

      − iz∂ θ ), logo φ

      4

      = ∂ θ

      Por outro lado, o vetor tangente unit´ario τ e o conormal unit´ario ν apontando para dentro ao longo de ∂M s˜ao dados por τ

      φ ) = −Π(∂ r , ∂ θ ).

      2

      − 2iΠ(∂ r , ∂ θ ) − Π(∂ θ , ∂ θ )], e finalmente temos que Im (z

      2 [Π(∂ r , ∂ r )

      1

      φ =

      2

      = 1, assim ficamos com z

      = |z|

      − iz

      2

      z

      2

      Para |z| = 1, temos que z

      Π(∂ θ , ∂ θ )].

      2

      z

      2

      −i)

      Π(∂ θ , ∂ r ) + (

      2

      = 2Π(∂ z , ∂ z ) = 2Π[

      2 (z∂ r

      1

      − iz∂ θ ) . Afirma¸c˜ao 7: φ = 2Π(∂ z , ∂ z ). prova da Afirma¸c˜ao 7. Como Π ´e bilinear e sim´etrica, ent˜ao 2Π[

      2 Π(∂ x

      1

      2

      1

      − i∂ y )] = 2

      2 (∂ x

      1

      − i∂ y ),

      2 (∂ x

      1

      2 (z∂ r

      − i∂ y ) =

      1

      =

      2 ! ∂ θ

      π

      −i θ +

      ∂ r − e

      −iθ

      2 e

      1

      − i∂ y ) =

      2 (∂ x

      − i∂ y , ∂ x

      1

      1

      1

      Sabemos tamb´em que ∂ z =

      2 − if = φ. o que mostra a Afirma¸c˜ao 7.

      − g − 2if] = e − g

      2 [e

      1

      2Π(∂ z , ∂ z ) =

      , ∂ y )] Como Π(∂ x , ∂ x ) = e, Π(∂ y , ∂ y ) = g e Π(∂ x , ∂ y ) = f, temos que

      , ∂ y ) − 2iΠ(∂ x

      , ∂ x ) − Π(∂ y

      2 [Π(∂ x

      =

      2 [Π(∂ x

      Π(∂ y , ∂ y )]

      2

      , ∂ x ) + ( −i)

      , ∂ y ) − iΠ(∂ y

      , ∂ x ) − iΠ(∂ x

      2 [Π(∂ x

      1

      =

      , −i∂ y )]

      , ∂ x ) + Π( −i∂ y

      , ∂ x ) + Π(∂ x , −i∂ y ) + Π( −i∂ y

      |∂ θ | e r −∂ ν .

      = r ρ |∂ |

      2

    2 Sabemos que ds = e , x = r cos θ e y = r sin θ. Assim, para r = 1, ficamos

      |dz| com dx

      = cos θdr − sin θdθ e dy = sin θdr + cos θdθ. ρ

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      , Portanto, = dx + dy = dr + dθ logo ds = e (dr + dθ ), o que nos leva

      |dz| a ρ ρ

      2

      2

      2

      2 r = ds (∂ r ) = e e θ = ds (∂ θ ) = e ,

      |∂ | |∂ | ou seja, r ρ 2 |∂ | = e e θ , 2 ρ −ρ −ρ 2 2 |∂ | = e e assim teremos τ = e ∂θ e ν = ∂r. −e

      2

      φ , ∂ Mas como Im(z ) = r θ ), ent˜ao

      −Π(∂ −ρ −ρ

      2 2 2 Im φ τ, ν

      (z ) = ) −Π(e −e −ρ −ρ 2 2

      = ( )Π(τ, ν) −e −e ρ = e Π(τ, ν).

      De acordo com a Proposi¸c˜ao 2.0.2 e sabendo que N = a, temos que, ao longo de Γ,

      Σ

      ν = cosh βν

      

    Σ

      − a sinh β e N = + a cosh β.

      Σ

      − sinh βν Assim, lembrando que

      Π(v) = −hdN(v), vi temos

      N, ν ν, N Π(τ, ν) =

      −h∇ τ i = h∇ τ i = (cosh βν

      Σ

      h∇ τ − a sinh β), Ni = (cosh βν ), N (a sinh β), N τ Σ τ h∇ i − h∇ i

      ν , N

      a, N = cosh β τ Σ τ h∇ i − sinh βh∇ i

      ν ,

      a, = cosh β Σ ( Σ + a cosh β) ( Σ + a cosh β) h∇ τ − sinh βν i − sinh βh∇ τ − sinh βν i = cosh β[ ν , ν ν , a

      Σ Σ Σ

      − sinh βh∇ τ i + cosh βh∇ τ i] + τ Σ τ

      a, ν

      a, a − sinh β[− sinh βh∇ i + cosh βh∇ i]. Desse modo, obtemos

      2

      2

      ν , ν ν , a β

      a, ν Π(τ, ν) = Σ Σ Σ Σ

      − cosh β sinh βh∇ τ i + cosh h∇ τ i + sinh h∇ τ i +

      a, a (3.9) − cosh β sinh βh∇ τ i.

      Lembramos que = a ´e um campo vetorial unit´ario tipo-tempo, normal a Σ dirigido para o futuro;

    • N Σ

      = N

      Σ Σ

    • ν ∧ τ ´e um vetor conormal unit´ario apontando para dentro de Ω ao longo da curva Γ.

      Mas a conex˜ao ´e compat´ıvel com a m´etrica, ou seja, ∇

      X Y, Z Z hY, Zi = h∇ X i + hY, ∇ X i onde X, Y, Z ∈ X (M).

      X Se fizermos Y = Z, teremos que Z, Z , X = τ,

      Σ

      h∇ X i = hZ, Zi e fazendo Z = ν

      2 teremos τ τ Σ Σ Σ Σ ν , ν , ν h∇ i = hν i,

      2 e assim a equa¸c˜ao (3.9) fica τ τ τ

      2

      2

      , ν β , a β Π(τ, ν) =

      Σ Σ Σ τ Σ − cosh β sinh β hν i−cosh hν ∇ i+sinh ha, ν i−cosh β sinh β ha, ai.

      2

      2

      2 Mas sabemos que τ , ν

      Σ Σ

      hν i = τha, ai = 0,

      Σ

      ha, ν i = 0, e , a

      Σ

      hν ∇ τ i = 0, logo Π(τ, ν) = 0

      2

      φ Em outras palavras a fun¸c˜ao harmˆonica Im(z ) se anula em ∂D, e portanto de acordo com o princ´ıpio do m´aximo ter´a que ser identicamente nula em D, o que implica que a

      2

      fun¸c˜ao holomorfa Ψ = z φ, tem que ser constante em D. Observe que essa constante s´o

      2

      2

      pode ser zero, pois Ψ(0) = z φ = 0, ou seja, Ψ φ z ≡ 0, da´ı z ≡ 0. Mas z ∈ D − {0}

      =0 e

    −g

      ent˜ao φ(z) = 0 em D e assim φ ≡ 0. Assim − if = 0, o que nos leva a, e = g e f = 0,

      

    2

    ou seja, a imers˜ao ´e totalmente umb´ılica.

      E isso finaliza a demostra¸c˜ao do Teorema 3.0.5.

      

    Figura 3.1.

      Vamos agora ao segundo resultado de unicidade deste trabalho.

      3 Teorema 3.0.6. As ´ unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L com superf´ıcie su-

      porte hiperb´olica s˜ao os discos planos,com H = 0 e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0. Prova.

      Podemos assumir, sem perda de generalidade, que a superf´ıcie suporte ´e o plano

      2

      hiperb´olico Σ = H definido por

      2

    3 H

      = :

      3

      {x ∈ L hx, xi = −1, x ≥ 1 > 0} e orientado por N (x) = x, onde

      Σ

      3

    3 L

      = :

      3

      {x ∈ L hx, xi ≤ −1, x ≥ 1 > 0}. + Como na prova do Teorema 3.0.5, o primeiro aux´ılio ´e ver que a superf´ıcie ´e

      3

      topologicamente um disco. Seja x : M ´e uma imers˜ao compacta tipo-espa¸co tal −→ L

      3 2 que x(M ) e x(∂M ) = Γ ´e uma curva contida em H cujo bordo ´e um dom´ınio Ω.

      ⊂ L +

      3

      2 J´a que x(M ) podemos projetar ortogonalmente a imers˜ao sobre H e con-

      ⊂ L +

      2

      x siderar a aplica¸c˜ao ˜ : int(M ) dada por −→ H

      1 x ˜ (p) = x (p) |x(p)| para todo p

      ∈ int(M), onde |x(p)| = p−hx(p), x(p)i ≥ 1.

      2 A aplica¸c˜ao ˜ x ´e, de fato uma proje¸c˜ao sobre H , pois x x (p) (p)

      , h˜x(p), ˜x(p)i = h i |x(p)| |x(p)|

      1 = hx(p), x(p)i

      2

      |x(p)| hx(p), x(p)i =

      −hx(p), x(p)i = −1. x

      Afirma¸c˜ao 8: ˜ satisfaz

      1 hdx, xi

    • d x ˜ = dx x

      2

      |x| |x| Prova da Afirma¸c˜ao 8: Seja α : (

      −ǫ, ǫ) −→ int(M) uma curva suave tal que α(0) = p e

      ′

      α (0) = v. Ent˜ao x

      (α(t)) x ˜ (α(t)) =

      |x(α(t))| x (α(t))

      = p−hx(α(t)), x(α(t))i 2 1 x = ( (α(t)).

      −hx(α(t)), x(α(t))i) Dessa forma, 3 d x −

      ˜ −1 ′ 2

      = ( )( [ (t), x(α(t)) −hx(α(t)), x(α(t))i) −2hdx(α(t))α i]x(α(t)) dt

      2

      1

      ′

    • dx (α(t))α (t) p−hx(α(t)), x(α(t))i

      ′ ′

      dx (t), x(α(t)) (α(t))α (t) hdx(α(t))α ix(α(t))

      . = +

      

    3

      p(−hx(α(t)), x(α(t))i) p−hx(α(t)), x(α(t))i Assim, avaliando d˜ x em t = 0, temos que d x dx

      ˜ (p)v hdx(p)v, x(p)ix(p) t + =

      =0

      3

      dt p(−hx(p), x(p)i) p−hx(p), x(p)i Portanto

      1 hdx, xi

      ˜ =

    • d x dx x ,

      2

      |x| |x| e isso mostra a Afirma¸c˜ao 8.

      1

      ∗ 2 2

      x Decorre da Afirma¸c˜ao 8, que ˜ ( ) denota a m´etrica

      H H

      h, i ≥

      h, i, onde h, i

      2

      |x|

      2 em H . Isso mostra que ˜ x ´e um difeomorfismo local e portanto, ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

      Procedendo agora como no Lema 3.0.7, mostramos que ˜ x (int(M )) = Ω e que ˜ x : M −→ Ω

      ´e um difeomorfismo. Em particular, M ´e um disco topol´ogico. Uma vez que sabemos que M ´e um disco topol´ogico, podemos parametriz´a-lo por um disco unit´ario fechado D e proceder como na prova do Teorema 3.0.5, e assim obter ρ

    2 Im (z φ ) = e Π(τ, ν).

      No caso atual, N (x) = x e, usando (2.3), teremos que, ao longo de Γ,

      Σ

      N, ν Π(τ, ν) = τ

      −h∇ i ν , N

      = cosh β Σ h∇ τ i − sinh βhτ, Ni. Recorde que

      {τ, ν, N} ´e um triedro ortonormal, logo hτ, Ni = 0, e assim, ν , N

      Π(τ, ν) = cosh β Σ h∇ τ i

      2

      = ν , ν β ν , x τ Σ Σ τ Σ − cosh β sinh βh∇ i + cosh h∇ i

      1

      2

      = ( , ν β , τ

      Σ Σ Σ

      − cosh β sinh β hν i) − cosh hν i

      2 = 0. Concluimos ent˜ao a prova do Teorema 3.0.6, do mesmo modo como provamos o Teorema 3.0.5.

      Figura 3.2. Cap´ıtulo 4 Algumas considera¸ c˜ oes sobre o caso n-dimensional

      Neste c´apitulo discutiremos um pouco a respeito do problema abordado nesta disserta¸c˜ao, mas no caso n-dimensional. O objetivo aqui ser´a conjecturar os teoremas principais do presente trabalho em dimens˜ao n.

      Vejamos ent˜ao algumas considera¸c˜oes sobre o caso geral de hipersuperf´ıcies tipo- n

    • 1 espa¸co de dimens˜ao n, no espa¸co de Minkowski L de dimens˜ao n + 1.

      Podemos come¸car com o problema variacional, que nos cap´ıtulos 2 e 3 deste trabalho foi discutido no caso de dimens˜ao 2. ´ E claro que podemos facilmente estender o problema para o caso geral,ou seja, dimens˜ao n, com pequenas modifica¸c˜oes, conforme exposto a seguir. n n

    • 1

      Denote por Σ uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co conexa imersa em L orientada n n

    • 1

      , por N e assuma que Σ divide L em duas componentes conexas. Denotaremos por n Σ

    • 1

      L a componente conexa para a qual N Σ est´a apontando.

    • n n
    • 1

      Seja x : M uma imers˜ao tipo-espa¸co suave de uma variedade compacta n −→ L M de dimens˜ao n, com bordo n˜ao vazio ∂M, orientada por N e tal que n

    • 1

      x (int(M ))

      ⊂ L + e n −1 n x (∂M ) = Γ .

      ⊂ Σ n ´e uma variedade fechada de dimens˜ao n cujo bordo ´e um dom´ınio n − 1 contida em Σ compacto Ω ,

      ⊂ Σ Podemos ent˜ao considerar uma varia¸c˜ao admiss´ıvel t , de x, t

      X ∈ (−ǫ, ǫ) e definir um correspondente funcional energia E : ( −ǫ, ǫ) −→ R por

      E (t) = A(t)

      − cosh βS(t), onde A(t) e S(t) s˜ao agora as ´areas n-dimensionais. O funcional volume da varia¸c˜ao ´e dado por Z

      ∗

      V X (t) = (dV ),

      

    [0,t]×M

    n

    • 1 .

      onde dV ´e agora o elemento canˆonico de volume de dimens˜ao n + 1 de L A primeira varia¸c˜ao do funcional energia ´e agora dada por Z I

      δ E = H ξ Σ Σ −n hξ, NidA + hξ, ν i(cosh β + hN, N i)ds, M ∂M n onde dA e ds denotam, respectivamente, o elemento de ´area de dimens˜ao n de M e o elemento de ´area de dimens˜ao n

      ´e o

      Σ

      − 1 de ∂M, ξ ´e a varia¸c˜ao do campo de vetores e ν n n

      −1 vetor conormal unit´ario apontando para dentro de Ω ao longo de Γ .

      ⊂ Σ Para a primeira varia¸c˜ao de volume, teremos Z

      δ ξ =

      V − hξ, NidA M

      E Isso implica que δ ξ = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel de x que preserva volume, se e n

      −1 somente se, a curvatura m´edia H de x ´e constante e cosh β = . Σ

      −hN, N i ao longo de Γ Portanto, para dimens˜ao n as imers˜oes estacion´arias deste problema variacio- nal podem ser caracterizadas como as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co, com curvatura m´edia n +1 n

      , constante em L que intersectam Σ sob um ˆangulo hiperb´olico constante. Al´ıas e Pastor [1998], generalizaram para o caso de dimens˜ao n e previram o resultado de unicidade para superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura m´edia constante em

    3 L

      com bordo circular fixo, obtido juntamente com L´opez em [ALP] exatamente um ano antes de [AP1].

      Recentemente eles provaram que as ´ unicas hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co compactas n

    • 1

      imersas em L , com curvatura m´edia constante H e limitada por uma esfera de dimens˜ao n − 1 s˜ao as bolas hiperplanares com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

      Essa prova foi consequˆencia de duas f´ormulas integrais a f´ormula do fluxo e a desigualdade integral. A vers˜ao de dimens˜ao 2 dessas f´ormulas pode ser encontrada em [AP1], usando essencialmente o fato de a superf´ıcie carregar uma estrutura complexa e o bordo ∂M ser uma curva.

      Para os resultados encontrados aqui neste trabalho, seria desej´avel estendˆe-los ao caso de dimens˜ao n, ou pelo menos ao caso de dimens˜ao 3, que naturalmente seria de grande interesse do ponto de vista f´ısico.

      Pode-se enunciar as duas conjecturas seguintes n Conjectura 1. Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σ seja um hiperplano tipo- n

    • 1

      espa¸co. Ent˜ao as ´ unicas hipersuperf´ıcies estacion´arias imersas em L s˜ao as bolas hiperplanares, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0. n

      Conjectura 2. Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σ ´e o espa¸co hiperb´olico n +1 de dimens˜ao n. Ent˜ao as ´ unicas hipersuperf´ıcies estacion´arias imersas em L s˜ao as bolas hiperplanares, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

      Entretanto, a t´ecnica usado por n´os para provar a vers˜ao bidimensional somente tem resultado para n = 2, j´a que fazemos o uso essencial da estrutura complexa da superf´ıcie como superf´ıcie de Riemann. Uma outra pergunta interessante a ser considerada seria a respeito da estabilidade do problema variacional no caso geral.

      Mas esse ´e um assunto que fica para outra opotunidade. Referˆ encias

      [ALP] Al´ıas, L. J.; L´opez, R.; Pastor, J. A. Compact Spacelike Surfaces with Constant Mean Curvature in the Lorentz-Minkowisk 3-space, Tˆohoku Math. J., v. 50, p. 491- 501, 1998.

      [AP1] Al´ıas, L. J.; Pastor, J. A. Constant Mean Curvature Spacelike Hypersurfaces with Spherical Boundary in the Lorentz-Minkowski space, J. Geom. Phys., v. 28, p. 85-93, 1998.

      [AP2] Al´ıas, L. J.; Pastor, J. A. Spacelike surfaces of constant mean curvature with free boundary in the Minkowski space. Class. Quantum Grav., v. 16, p. 1323-1331, 1999. [BdC] Barbosa, J. L.; do Carmo, M. P. Stability of Hypersurfaces with Constant Mean Curvature, Math. Z., v. 185, p. 339-353, 1984. [BO1] Barbosa, J. L.; Oliker, V. Spacelike Hypersurfaces with Constant Mean Curvature in Lorentz space, Mat. Contemp., v. 4, 27-44, 1993b. [BO2] Barbosa, J. L.; Oliker, V. Stable Spacelike Hypersurfaces with constant mean Cur- vature in Lorentz Space, Geometry and Global Analysis (Sendai), Tˆohoku University, p. 161-164, 1993a. [BF] Brill, D.; Flaherty,

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