OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS VARIEDADES BANDEIRA

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

SOLUC ¸ ˜ OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS

VARIEDADES BANDEIRA

  

Wendell Otero Prates

  Salvador-Bahia Abril de 2010 SOLUC ¸ ˜ OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS

VARIEDADES BANDEIRA

  Wendell Otero Prates

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito par- cial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa. Co-orientador: Prof. Dr. Evandro C. F. dos Santos.

  Salvador-Bahia Abril de 2010 Prates, Wendell Otero.

  SOLUC ¸ ˜ OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS VARIEDADES BAN- DEIRA / Wendell Otero Prates. – Salvador, 2010. 63 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa. Co-Orientador: Prof. Dr. Evandro C. F. dos Santos. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2010. Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Andreas Arvanitoyeorgos. 2. (Colocar aqui 2 o descritor oficial de conte´ udo, se quiser). 3. (Colocar aqui 3 o descritor oficial de conte´ udo,

se quiser). I. Barbosa, Jos´e N. Bastos. II. dos Santos, Evandro C.

  

Ferreira. III. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica.

III. SOLUC ¸ ˜ OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS VARIEDADES BAN- DEIRA.

  CDU : 512.81 : 517.2 SOLUC ¸ ˜ OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS

VARIEDADES BANDEIRA

  Wendell Otero Prates

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de Abril de 2010.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Evandro Carlos Ferreira dos Santos (Co-Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Caio Jos´e Colletti Negreiros

  IMECC-UNICAMP

  Ao meu “pequeno” irm˜ao, Vitor Garcia. Agradecimentos

  Mesmo que a palavra “obrigado” signifique tanto, n˜ao expressar´a por inteiro o quanto estou agradecido. No entanto, n˜ao tendo outra forma de manisfestar minha gratid˜ao, venho por meio deste, destacar as pessoas que tornaram poss´ıvel a conclus˜ao dessa etapa em minha vida.

  Obrigado: Ao meu co-orientador Evandro, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao; Ao meu orientador Nelson, pelos conselhos acadˆemicos; Ao professor Andr´e, pela disponibilidade de ajudar; A minha fam´ılia, pelo acolhimento incondicional e principalmente `a minha amada Camila, pela estabilidade emocional que ganhei depois que a conheci.

  “N˜ao me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, raz˜ao e intelecto, pretenda que n˜ao os utilizemos. ” (Galileu Galilei) Resumo

  Nosso trabalho tem como objetivo o estudo das solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao de Einstein em algumas variedades bandeira. Uma m´etrica Riemanniana ´e de Einstein quando a curvatura Ricci for proporcional `a mesma.

  Em variedades bandeira a equa¸c˜ao de Einstein invariante se resume a um sis- tema de equa¸c˜oes alg´ebricas. O m´etodo usado aqui ´e baseado nas simetrias deste sistema alg´ebrico. Existem v´arios resultados relacionados `a equa¸c˜ao de Einstein para variedades bandeira generalizadas, por´em daremos mais aten¸c˜ao aos resultados referentes as var- iedades bandeira do tipo geom´etrico. Palavras-chave: Equa¸c˜ao de Einstein; Variedades bandeira; Curvatura Ricci. Abstract

  The objective of this work is to study solutions of Einstein’s Equation in some flag manifolds. A Riemannian metric is Einstein when the Ricci curvature is proportional to the metric.

  In flag manifolds the invariant Einstein equation becomes a system of algebraic equations. The method used is based on the symmetries of this algebraic system. There are several results about Einstein’s equation for generalized flag manifolds, but we are mainly interested in results concerning algebraic flag manifolds.

  Keywords: Einstein’s Equation; Flag manifolds; Ricci Curvature.

  Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares 4 1.1 Variedade Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.2 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.3 O espa¸co tangente de um grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  1.4 Variedades das classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  1.5 Variedades bandeira generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  1.6 Espa¸cos homogˆeneos redut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.7 Descri¸c˜ao de uma variedade bandeira generalizada, via teoria de Lie. . . . . 15

  2 M´ etricas invariantes e as Equa¸ c˜ oes de Einstein

  17

  2.1 M´etricas Riemanniana G-invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  2.2 Estruturas complexas G-invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  2.3 Forma K¨ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  2.4 O tensor de Ricci e a equa¸c˜ao de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

  3 Solu¸ c˜ oes da Equa¸ c˜ ao de Einstein

  27

  3.1 M´etricas K¨akler-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  3.2 A m´etrica Normal-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  3.3 M´etricas Arvanitoyeorgos-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  3.4 M´etricas Senda-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  3.5 Novas m´etricas de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  4 Apˆ endice da disserta¸ c˜ ao

  44

  4.1 Teoremas de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  4.2 Representa¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  4.3 Deriva¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  4.4 S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ´

  4.5 Algebras sol´ uveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  4.6 Radicais sol´ uveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ´

  4.7 Algebras simples e ´algebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  4.8 Teorema de Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  4.9 Teorema de decomposi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  4.10 Crit´erios de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Referˆ encias

  62 Introdu¸ c˜ ao

  A Gravita¸c˜ao Newtoniana n˜ao ´e compat´ıvel com a relatividade, pois sup˜oe que a atra¸c˜ao gravitacional seja uma for¸ca que atua `a distˆancia instantaneamente (logo com velocidade infinita, o que criaria problemas de causalidade mencionadas em Relatividade Especial). Logo era preciso alterar a Teoria da Gravita¸c˜ao.

  Uma caracter´ıstica marcante da gravidade ´e que ela atrai todos os corpos da mesma maneira e a partir disso Einstein expandiu o postulado da equivalˆencia dos re- ferˆenciais inerciais para incluir tamb´em referˆenciais acelerados por um campo gravitacional constante.

  A id´eia ´e que se vocˆe acordasse de repente dentro de um elevador e percebesse que vocˆe e tudo o mais dentro do elevador est˜ao flutuando sem peso, n˜ao teria como vocˆe saber se ´e porque o elevador est´a em queda livre ou se ele est´a no espa¸co sem gravidade. Com mais algumas considera¸c˜oes ele chegou `a conclus˜ao de que ao inv´es de pensarmos na gravidade como sendo uma for¸ca, o certo seria pens´a-la como uma deforma¸c˜ao no espa¸co- tempo, e supˆor que os corpos simplesmente seguem as geod´esicas do espa¸co-tempo. Um corpo cai em dire¸c˜ao `a Terra simplesmente porque a massa da Terra curva o espa¸co-tempo de forma tal que as geod´esicas seguidas pelo corpo e pela Terra tendam a se aproximar.

  Para descrever como exatamente a massa deforma o espa¸co-tempo, Einstein supˆos que deveria haver alguma equa¸c˜ao relacionando o tensor de curvatura R com a massa. Da Teoria da Relatividade Especial j´a se sabia que massa e energia eram relacionadas (E =

  2

  mc ), e que a distribui¸c˜ao de massa e energia em uma regi˜ao era descrita por um tensor 2-covariante sim´etrico T (chamado de tensor energia-momento-stress). Como R ´e tensor do tipo (3,1) a rela¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao imediata e o tensor de Ricci (Ric ) ´e do mesmo tipo que

  g

  T, foi natural para Einstein propˆor que a equa¸c˜ao fosse simplesmente Ric = T. (1)

  g

  Mas logo se percebeu que isso n˜ao estava correto, pois para haver conserva¸c˜ao de energia e massa a divergˆencia de T deve ser nula, o que n˜ao vale para Ric . Contudo, a

  g

  2

  1

  divergˆencia de Ric poderia ser cancelada subtraindo sg (onde s ´e a curvatura escalar e

  g

  2

  g a m´etrica), de modo que a equa¸c˜ao foi corrigida para

  1 Ric sg = T, (2)

  g

  −

  2 que ´e a Equa¸c˜ao de Campo de Einstein. No v´acuo, isto ´e, na ausˆencia de mat´eria ou energia, temos T = 0 e portanto

  1

  sg = 0. Como s ´e o tra¸co de Ric g , e tr(g) = 4 (em cada ponto g ´e equivalente `a m´etrica

  2

  do espa¸co de Minkowski), tomando o tra¸co da equa¸c˜ao toda, descobrimos que nesse caso s = 0. Assim, a Equa¸c˜ao de Einstein no v´acuo se reduz a Ric = 0.

  

g

  Uma outra vers˜ao da Equa¸c˜ao de Einstein inclui um novo termo, com a chamada “constante cosmol´ogica” λ:

  1 Ric sg + λg = T (3)

  g

  −

  2 Esse termo foi acrescentado porque naquela ´epoca se imaginava que o Universo como um todo devia ser est´atico, enquanto que as solu¸c˜oes de (1) tendiam a se expandir ou contrair. J´a em (3) a expans˜ao ou contra¸c˜ao pode ser controlada ajustando o valor de λ, at´e se obter uma solu¸c˜ao est´atica. Logo depois, observa¸c˜oes astronˆomicas mostraram que o Universo estava realmente se expandindo, de modo que Einstein acabou descartando a constante cosmol´ogica como tendo sido “o maior erro da sua vida”.

  Normalmente se explica essa expans˜ao do Universo como tendo sido provocada por uma “grande explos˜ao original” (o Big Bang). Contudo, a atra¸c˜ao gravitacional deveria aos poucos ir freando essa expans˜ao, sendo que se a quantidade total de mat´eria do Universo for grande o bastante, a expans˜ao pode um dia parar completamente, para em seguida o Universo come¸car a contrair at´e finalmente terminar em um colapso final (o Big Crunch). No entanto, novas observa¸c˜oes mostraram que, ao inv´es de estar freando, a expans˜ao est´a na verdade ficando mais acelerada. Assim, a constante cosmol´ogica voltou a ser usada, mas agora com seu valor ajustado para gerar uma expans˜ao acelerada ao inv´es de uma solu¸c˜ao est´atica.

  Na verdade, do ponto de vista matem´atico a equa¸c˜aoo (3) ´e realmente melhor

  1

  • do que a (1), pois ´e poss´ıvel provar ([Wey] [Car]) que o tensor Ric sg + λg que

  g

  2

  aparece nela ´e o tensor sim´etrico 2-covariante mais geral poss´ıvel que pode ser constru´ıdo

  3 a partir da m´etrica e de suas derivadas at´e segunda ordem, e que satisfa¸ca a condi¸c˜ao de ter divergˆencia nula .

  Para concluir esta parte, vamos considerar (3) no v´acuo. Como antes, vamos pˆor

  1 T = 0 e tirar o tra¸co da equa¸c˜ao toda, o que resulta em s s

  − · 4 + 4λ = 0, de modo que

  2

  agora s = 4λ. Substituindo de volta na equa¸c˜ao chegamos em Ric = λg,

  g que ´e justamente a equa¸c˜ao das m´etricas de Einstein.

  Nessa disserta¸c˜ao veremos essa equa¸c˜ao no caso de variedades Riemannianas, e o espa¸co-tempo da Relatividade ´e uma variedade pseudo-Riemanniana. Em termos t´ecnicos, no caso Riemanniano essa equa¸c˜ao ´e de um tipo chamado de el´ıptico, enquanto no caso pseudo-Riemanniano ela passa a ser do tipo hiperb´olico. Mais precisamente, iremos trabalhar com as variedades do tipo bandeira, que ´e um espa¸co homogˆeneo G/K onde G ´e um grupo de Lie semi-simples e compacto, e K o centralizador de um toro em G. Esses espa¸cos homogˆeneos s˜ao compactos, simplesmente conexos e admitem uma estrutura K¨ahler.

  As variedades bandeiras tamb´em s˜ao conhecidas como espa¸cos C-K¨ahlerianos. N˜ao s˜ao conhecidos m´etodos gerais de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein. Nas variedades bandeira, por meio da teoria de Lie, as equa¸c˜oes de Einstein se reduzem a um sistema alg´ebrico de equa¸c˜oes e, mesmo neste caso n˜ao s˜ao conhecidas t´ecnicas gerais de resolu¸c˜ao[Bes].

  Este trabalho esta organizado da seguinte forma: No cap´ıtulo 1 apresentamos a constru¸c˜ao das variedades bandeira como espa¸cos homogˆeneos, que denotaremos por F = G/K, bem como sua descri¸c˜ao via teoria de Lie.

  Tamb´em apresentamos conceitos e resultados b´asicos sobre a representa¸c˜ao adjunta cor- respondente as variedades bandeira.

  No cap´ıtulo 2 apresentamos uma pequena abordagem sobre m´etricas invariantes em variedades bandeira. Ainda nesse cap´ıtulo descrevemos o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante e apresentamos a equa¸c˜ao de Einstein.

  Finalmente No cap´ıtulo 3 aapresentamos explicitamente algumas solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Einstein para F(n) 3 ≤ n≤ 5, do tipo K¨ahler, Normal, Arvanitoyeorgos, Senda e dos Santos. Cap´ıtulo 1 Preliminares

1.1 Variedade Diferencial

  Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e uma

  

n

  fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas x : U de R em M tais que:

  α α α n

  ⊂ R → M de abertos U S 1. x α (U α ) = M .

  α −1 −1

  2. Para todo par α, β, com x (U ) (U ) = W (W ) e x (W )

  α α β β

  ∩ x 6= ∅, os conjuntos x α β

  n −1

  s˜ao abertos em R e as aplica¸c˜oes x α s˜ao diferenci´aveis.

  ◦ x

  β

  3. A fam´ılia , x )

  α α {(U } ´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (1) e (2).

  O par (U , x ) (ou a aplica¸c˜ao x ) com p (U ) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao

  α α α α α

  ∈ x (ou sistema de coordanadas) de M em p; x (U ) ´e ent˜ao chamado uma vizinhan¸ca co-

  α α

  ordenada em p. Uma fam´ılia , x )

  α α

  {(U } satisfazendo (1) e (2) ´e chamada uma estrutura diferenci´avel em M . A condi¸c˜ao (3) comparece por raz˜oes puramente t´ecnicas.

  n n Defini¸ c˜ ao 1.2.

  Sejam M e M variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao ϕ : M

  1

  2

  1

  2

  → M

  m

  ´e diferenci´avel em p

  1 se dada uma parametriza¸c˜ao y : V 2 em ϕ(p) existe

  ∈ M ⊂ R → M

  n

  uma parametriza¸c˜ao x : U em p tal que ϕ(x(U ))

  1

  ⊂ R → M ⊂ y(V ) e a aplica¸c˜ao

  n m −1

  y (1.1)

  ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ R → R

  −1

  ´e diferenci´avel em x (p). ϕ ´e diferenci´avel em um aberto de M se ´e diferenci´avel em

  1 todos os pontos deste aberto.

  Decorre da condi¸c˜ao (2) da Defini¸c˜ao 1.1 que a defini¸c˜ao dada ´e independente da escolha das parametriza¸c˜oes. A aplica¸c˜ao (1.1) ´e chamada a express˜ao de ϕ nas parametriza¸c˜oes x e y.

  5 As considera¸c˜oes seguintes motivam a defini¸c˜ao que daremos a seguir. Seja α :

  n n

  ( uma curva diferenci´avel de R , com α(0) = p. Escreva −ǫ, ǫ) → R

  n

  α(t) = (x

  1 (t), . . . , x n (t)), t 1 , . . . , x n ) .

  ∈ (−ǫ, ǫ), (x ∈ R

  n ′ ′ ′

  Ent˜ao α (0) = (x (0), . . . , x (0)) = v . Seja agora f uma fun¸c˜ao diferenci´avel definida

  1 n ∈ R

  em uma vizinha¸ca de p. Podemos restringir f `a curva α e escrever a derivada direcional

  n

  segundo o vetor v como ∈ R

  !

  n

  i

  ◦ α)

  X X d(f ∂f dx ∂

  ′

  = = x (0) f.

  i

  dt ∂x dt ∂x

  i i t=0 t=0

i=1 i

t=0

  Portanto a derivada direcional segundo v ´e um operador sobre fun¸c˜oes diferenci´aveis que depende unicamente de v. Esta ´e a propriedade caracter´ıstica que usaremos para definir vetor tangente em variedades. Defini¸ c˜ ao 1.3. Seja M uma variedade diferenci´avel. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α : (

  −ǫ, ǫ) → M ´e chamada uma curva (diferenci´avel) em M. Suponha que α(0) = p ∈ M, e seja D o conjunto das fun¸c˜oes de M diferenci´aveis em p. O vetor tangente `a curva α em

  ′

  t = 0 ´e a fun¸c˜ao α (0) : D → R dada por d(f

  ◦ α)

  ′

  α (0)f = f ∈ D. dt

  t=0

  Um vetor tangente em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : ( −ǫ, ǫ) → M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por T M .

  p

  O conjunto T M , com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes, forma um espa¸co vetorial

  p

  de dimens˜ao n, e que a escolha de uma parametriza¸c˜ao x : U → M determina uma base

  ∂ ∂ associada , . . . , em T M . ´ E imediato que a estrutura linear em T M

  p p

  ∂x

  1 ∂x n

  assim definida n˜ao depende da parametriza¸c˜ao x. O espa¸co vetorial T p M ´e chamado o espa¸co tangente de M em p.

  Com a no¸c˜ao de espa¸co tangente podemos estender `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de diferencial de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Defini¸ c˜ ao 1.4.

  Seja f : M → N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Ent˜ao, para cada p ∈ M, a diferencial de f ´e a fun¸c˜ao df : T M N

  

p p f (p)

  → T definida por df (v)(g) = v(g

  p

  ◦ f) para todo v p M e g ∈ T ∈ F(N).

  6 Para cada ponto p ´e uma fun¸c˜ao linear entre os espa¸cos

  p

  ∈ M, a diferencial df tangentes. A proposi¸c˜ao seguinte fornece um m´etodo ´ util de calcular a diferencial de uma fun¸c˜ao.

  Proposi¸ c˜ ao 1.5. Seja f : M → N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel entre duas variedades, e seja p M . Tome qualquer curva diferenci´avel α : I

  p

  ∈ M e v ∈ T → M com α(0) = p e

  ′

  α (0) = v. Ent˜ao, a diferencial de f em p ´e dada por d df (v) = (f .

  p

  ◦ α) dt

  t=0 n

  Agora vamos para os campos vetoriais. Considere M uma variedade diferenci´avel e seja T M = p M {(p, v); p ∈ M, v ∈ T }. O conjunto T M munido de uma estrutura diferenci´avel (de dimens˜ao 2n) ´e uma variedade a qual chamamos de fibrado tangente de

  M . Desse modo, temos que sendo um campo vetorial X em uma variedade M uma fun¸c˜ao que associa a cada ponto p a M em p. Logo, X : M

  p

  ∈ M um vetor tangente X → T M com X p p M . Podemos pensar em X como uma cole¸c˜ao de setas, um em cada ponto ∈ T de M . Se X ´e um campo vetorial em M e f

  ∈ F(M), ent˜ao Xf denota uma fun¸c˜ao real em M dada por Xf (p) = X (f ) para todo p

  p ∈ M.

  O campo vetorial X ´e chamado diferenci´avel se a fun¸c˜ao Xf acima ´e diferenci´avel para todo f ∈ F(M). Denotaremos por χ(M) o conjunto de todas os campos vetoriais difer- enci´aveis em uma variedade M .

  Agora, a fun¸c˜ao definida acima pode ser vista como uma aplica¸c˜ao X : F(M) →

  F(M) que leva f em Xf. Esta aplica¸c˜ao tem as propriedades de uma deriva¸c˜ao, i.e., o que vem a seguir e satisfeito: X(af + bg) = aX(f ) + bX(g)

  a, b ∈ R, X(f g) = X(f )g + f X(g) (rebgra de Leibniz).

  Reciprocamente, qualquer deriva¸c˜ao D em F(M) vem de um campo vetorial diferenci´avel. De fato, para cada p : (f ) = D(f )(p).

  p p

  ∈ M defina X F(M) → R por X Esta interpreta¸c˜ao de campos vetoriais como deriva¸c˜oes leva a uma opera¸c˜ao importante de campos vetoriais.

  Seja X, Y ∈ χ(M). Defina [X, Y ] = XY − Y X. Esta ´e uma fun¸c˜ao de F(M) em

  F(M) levando cada f a X(Y f) − Y (Xf). Um c´alculo f´acil mostra que [X, Y ] ´e uma deriva¸c˜ao em F(M), da´ı um campo vetorial diferenci´avel em M, que ´e chamado o colchete de X em Y . O colchete designa para cada p p tal que

  ∈ M o vetor tangente [X, Y ] [X, Y ] (f ) = X (Y f ) (Xf ).

  

p p p

  − Y

  7 Mais ainda, a opera¸c˜ao colchete tem as seguintes propriedades: (a) [X, Y ] = (anti-simetria)

  −[Y, X] (b) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z],

  [Z, aX + bY ] = a[Z, X] + b[Z, Y ] (R-bilinearidade), (c) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (identidade de Jacobi).

  As propriedades acima dizem que o conjunto χ(M ) com a opera¸c˜ao ”colchete”dos campos vetoriais ´e uma ´algebra de Lie.

1.2 Grupos de Lie Defini¸ c˜ ao 1.6.

  Seja G uma variedade diferenci´avel. Ent˜ao G ´e um Grupo de Lie se: (a) G ´e um grupo.

  −1

  (b) As opera¸c˜oes de grupo G s˜ao fun¸c˜oes

  × G → G, (x, y) 7→ xy e G → G, x 7→ x diferenci´aveis. Um grupo de Lie ´e um conjunto que tem, tanto estrutura de variedade, quanto estrutura de grupo, que s˜ao compat´ıveis. Logo, come¸caremos esta discurs˜ao com um exemplo que exibe estas propriedades.

  Seja M R o conjunto de todas n )

  n ij 2 ×n matrizes reais. Associamos `a matriz A = (a n

  o ponto no espa¸co Euclidiano R cujas coordenadas s˜ao a , a , . . . , a . Da´ı, topologi-

  11 12 nn

  2 R

  camente, M ´e simplismente o espa¸co Euclidiano n . Depois, definimos o grupo linear

  n

  R geral GL n como o grupo (sobre multiplica¸c˜ao de matriz usual) de todas matrizes reais n ) com determinante det A

  ij

  × n A = (a 6= 0. Desde que det A ´e um polinomial de grau n nas coordenadas, ´e uma fun¸c˜ao suave em M R . Mais ainda, desde que o conjunto

  n

  R \{0} forma um conjunto aberto em R, e desde que a imagem inversa de um conjunto

  R aberto sobre uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e aberta, o conjunto GL ´e um conjunto aberto de

  n

  R R M n . Da´ı, topologicamente, GL n ´e um subconjunto de um espa¸co Euclidiano, e como

  2

  tal ´e uma variedade n -dimensional, como veremos mais tarde. Isto cuida da estrutura de variedade e grupo de GL R . Permitamos agora ver como eles se interagem.

  n

  Desde que (ab) = P a b , a matriz produto AB tem coordenadas que s˜ao

  ij ik kj

  fun¸c˜oes suaves de coordenadas de A e B. Tamb´em, da f´ormula para a inversa

  1

  −1

  A = adjA det A

  8 (onde adjA ´e a matriz cujas entradas s˜ao os cofatores asignados de cada uma das entradas

  −1

  a ), vemos que as coordenadas de A s˜ao tamb´em fun¸c˜oes suaves daquelas de A. Isto

  ij

  R conclui a descri¸c˜ao do grupo linear geral GL n como uma variedade e como um grupo, com as opera¸c˜oes de grupo da multiplica¸c˜ao e inversa sendo fun¸c˜oes suaves. ´ E um exemplo importante de um grupo de Lie. Veremos mais exemplos de grupos de Lie mais tarde, depois que fizermos uma breve revis˜ao de v´arias defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados sobre variedades que ser˜ao usadas depois.

  Teorema 1.7. Se H ´e um subgrupo fechado de um grupo de Lie G, ent˜ao H ´e uma subvariedade de G e da´ı um subgrupo de Lie de G. Em particular, H tem a topologia induzida.

  A demonstra¸c˜ao desse teorema ´e visto em [War].

1.3 O espa¸ co tangente de um grupo de Lie

  Defini¸ c˜ ao 1.8. Uma ´ Algebra de Lie consiste de um espa¸co vetorial g munido de um produto (colchete ou comutador) [ , ] : g

  × g → g com as seguintes propriedades: 1. ´e bilinear, 2. anti-sim´etrico, isto ´e, [X, X] = 0 para todo X

  ∈ g (o que implica [X, Y ] = −[Y, X] para todo X, Y ∈ g ´e equivalente se o corpo de escalares n˜ao ´e de caracter´ıstica dois) e

  3. satisfaz a identidade de Jacobi, isto ´e, para todo X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0.

  Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas (a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] (b) [[X, Y ], Z] = [[X, Z], Y ] + [X, [Y, Z]].

  9 No apˆendice o leitor encontrar´a al´em de exemplos, alguns resultados sobre as ´algebras de Lie, para uma leitura com mais detalhes recomendamos.[Mar-Bar]

  Seja a um elemento do grupo de Lie G. Considere as seguintes aplica¸c˜oes: L : G (g) = ag e R : G (g) = ga

  a a a a

  → G, L → G, R que s˜ao claramente diferenci´aveis.

  Proposi¸ c˜ ao 1.9.

  Qualquer grupo de Lie G ´e paraleliz´avel, i.e. T G ∼ = G G.

  e

  × T Demonstra¸c˜ao. Seja X o valor de um campo vetorial X em um ponto g

  g −1

  ∈ G. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao X (X )) ´e o isomorfismo desejado.

  g g g

  7→ (g, dL Defini¸ c˜ ao 1.10.

  Um campo vetorial X em um grupo G de Lie ´e invariante `a esquerda se X = dL (X) para todo a = (dL ) (X ) para todo

  a a ag a g g

  ◦ L ∈ G, ou mais explicitamente X

  a, g ∈ G.

  Um campo vetorial invariante `a esquerda possui a importante propriedade que ´e determinado pelos valores nos elementos de identidade e no grupo de Lie, visto que X = dL (X ) para todo a

  a a e

  ∈ G. Do mesmo modo, visto que a multiplica¸c˜ao em G ´e diferenci´avel, temos que o campo vetorial ´e invariante `a esquerda. Seja g o conjunto de todos os campos vetoriais invariantes `a esquerda de um grupo de Lie G. A adi¸c˜ao usual de campo de vetores e a multiplica¸c˜ao escalar de n´ umeros reais fazem de g um espa¸co vetorial. Ademais, g ´e fechado em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao colchete nos campos vetoriais. Portanto, g ´e uma ´algebra de Lie e a sua dimens˜ao ´e igual a dimens˜ao de G por causa da seguinte proposi¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 1.11.

  A fun¸c˜ao X define um isomorfismo linear entre os espa¸cos

  e

  7→ X vetoriais g e T e G.

  Demonstra¸c˜ao.

  A fun¸c˜ao ´e, obviamente, linear, e ´e bijetora, desde que se X = 0, ent˜ao X =

  e g

  dL (X ) = 0 para todo g G e defina

  g e e

  ∈ G. A fun¸c˜ao tamb´em ´e sobrejetora: Seja v ∈ T

  v v v

  o campo vetorial X por X = (dL ) (v) para todo g ´e invariante a

  g e e ∈ G. Ent˜ao, X v esquerda e X = v. e

  Exemplo 1.12. A ´algebra de Lie de um grupo linear geral GL R ´e (canonicamente)

  n

  R isomorfo a M , o conjunto de todas as matrizes reais n

  n

  × n. Realmente, recorde que

  10 GL R herda sua estrutura de varidade como uma subvariedade aberta de M R . Da´ı,

  n n

  obtemos os seguintes isomorfismos de espa¸cos vetoriais canˆonicos ´

  Algebra de Lie de GL R ∼ (GL R ) ∼ (M R ) ∼ R

  n = T e n = T e n = M n

  onde e ´e a matriz identidade n × n. O primeiro isomorfismo ´e obtido da Proposi¸c˜ao

  4.11, o segundo ´e a identifica¸c˜ao de subvariedade aberta, e a terciera ´e a identifica¸c˜ao de espa¸co vetorial canˆonico. Atrav´es de calculos no plano cartesiano vemos que os colchetes C H C s˜ao preservados tamb´em. Analogamente, as ´algebras de Lie de GL e GL s˜ao M

  n n n

  H e M n , respectivamente.

1.4 Variedades das classes laterais

  Dado um grupo de Lie G e um subgrupo fechado K, ´e poss´ıvel construir uma estrutura de variedade diferenci´avel no conjunto G/K = {gK : g ∈ G} de todos as classes laterais a esquerda de K em G. Al´em disso, h´a uma a¸c˜ao natural do grupo G

  −1

  em G/K, em que essa a¸c˜ao ´e transitiva, isto ´e, dados gK, hK ´e ∈ G/K o elemento gh

  −1

  tal que gh hK = gK. Esta variedade com esta a¸c˜ao transitiva ser´a chamada de espa¸co homogˆeneo. Os espa¸cos do tipo G/K, formam uma classe de variedades com importancia especial na matem´atica e na f´ısica.

  Considere o espa¸co das classes laterais G/K, e para uso posterior denote a classe lateral eK = K por 0. Seja π : G → G/K a proje¸c˜ao que leva cada g ∈ G `a classe lateral gK. Tamb´em, para cada a : G/H

  a

  ∈ G seja τ → G/H a transla¸c˜ao (a esquerda) que leva cada gK a agK. Se a, b ´e a transla¸c˜ao a esquerda em G, temos ∈ G, e L a π = τ = τ .

  a a ab a b

  ◦ L ◦ π, τ ◦ τ Proposi¸ c˜ ao 1.13. Seja G um gupo de Lie, e K um subgrupo fechado de G. H´a uma ´ unica forma de tornar G/K uma variedade de forma que a proje¸c˜ao π : G

  → G/K seja uma submers˜ao; isto ´e, dπ ´e sobrejetora para todo g

  g ∈ G.

  Para a prova desta proposi¸c˜ao, assim como de outros fatos nesta se¸c˜ao, referimos a [Br-Cl], [Ko-No], [War]. A variedade G/K construida nesta se¸c˜ao ´e chamada variedade de classe lateral. Frequentemente na literaura G/K ´e chamado de espa¸co homogˆeneo, por´em as vezes este termo ´e usado para significar uma variedade M na qual um grupo de Lie G atua transitivamente, como veremos depois. Defini¸ c˜ ao 1.14.

  Uma a¸c˜ao a esquerda de um grupo G em uma variedade M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ξ : G × M → M tal que ξ(e, m) = m e ξ(ab, m) = ξ(a, ξ(b, m)) para todo a, b

  ∈ G e m ∈ M.

  11 Denotaremos ξ(a, m) por a · m ou simplesmente por am se n˜ao houver chance de confus˜ao. Analogamente, podemos definir uma a¸c˜ao a direita. Um espa¸co M com uma a¸c˜ao de um grupo G ´e chamado de G-espa¸co. De agora em diante, G ser´a um grupo de Lie e M uma variedade diferenci´avel.

  Se ξ ´e uma a¸c˜ao de G em M , ent˜ao para todo a : M

  a

  ∈ G a aplica¸c˜ao ξ → M dada por ξ (m) = ξ(a, m) ´e um difeomorfismo ou transforma¸c˜oes de M . Por esta raz˜ao o

  a

  grupo de Lie G tamb´em ´e referenciado como um grupo de transforma¸c˜ao de uma variedade M . Defini¸ c˜ ao 1.15.

  (a) Uma a¸c˜ao ´e chamada transitiva se para todo m, n ∈ M existe um g ∈ G tal que g

  · m = n. (b) Seja m =

  m

  ∈ M. O conjunto G {g ∈ G : g · m = m} ´e chamada de grupo isotropo ou subgrupo de isotropia em m. (c) A ´orbita de um ponto m ∈ M ´e o conjunto G · m = {g · m : g ∈ G}.

  Seja G/K uma variedade de classe lateral. Ent˜ao a aplica¸c˜ao G × G/K →

  G/K que leva cada (a, gK) a agK ´e chamada a¸c˜ao natural de G em G/K. Esta a¸c˜ao ´e obviamente transitiva. Veremos que cada a¸c˜ao transitiva pode ser representada desta forma.

  Proposi¸ c˜ ao 1.16. Seja G × M → M uma a¸c˜ao transitiva de um grupo de Lie G em uma variedade M , e seja K = G um subgrupo isotropo de um ponto m. Ent˜ao:

  m (a) O subgrupo K ´e um subgrupo fechado de G.

  (b) A aplica¸c˜ao natural j : G/K → M dada por j(gK) = g · m ´e um difeomorfismo.

  (Em outras palavras, a ´orbita G · m ´e difeomorfo a G/K.)

  (c) A dimens˜ao de G/K ´e dim G − dim K. Defini¸ c˜ ao 1.17.

  Um espa¸co homogˆeneo ´e uma variedade M com uma a¸c˜ao transitiva de um grupo de Lie G. Equivalentemente, ´e uma variedade da forma G/K, onde G ´e um grupo de Lie e K um subgrupo fechado de G.

  Agora, seja (M, g) uma variedade Riemanniana. O conjunto I(M ) de todas as isometrias M → M forma um grupo ( com a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes). Ele ´e chamado grupo de isometria de M , ´e um outro invariante geom´etrico de M .

  Teorema 1.18 (Myers-Steenrod). O grupo de isometria de uma variedade Riemanniana ´e um grupo de Lie.

  12 Defini¸ c˜ ao 1.19. Um espa¸co homogˆeneo Riemaniano ´e uma variedade Riemanniana (M, g) na qual seu grupo de isometria I(M ) atua trasitivamente.

  Proposi¸ c˜ ao 1.20.

  Seja M uma variedade homogˆenea Riemanniana. Ent˜ao o subgrupo de isotropia de um ponto dado ´e um subgrupo compacto de I(M ). Mais ainda, I(M ) ´e compacto se, e somente se M ´e compacto.

  Da´ı, um espa¸co homogˆeneo Riemaniano ´e difeomorfo `a um espa¸co homogˆeneo G/K, onde G = I(M ) e K ´e o subgrupo isotropo de um ponto.

  n

  Exemplo 1.21. Variedades de Grassmann. Seja G R o conjunto de todos os espa¸cos k-

  τ k n

  dimensionais em R (tal espa¸co ´e chamado de k-plano). O grupo O(n) atua naturalmente

  n

  R em G pela multiplica¸c˜ao de matrizes. Esta a¸c˜ao ´e transitiva: Seja V o subespa¸co de

  τ k n n

  R gerado pelos primeiros k vetores da base canˆonica e

  1 , . . . , e n de R cujos primeiros k

  vetores geram W . Ent˜ao, se A ´e uma matriz que corresponde a uma aplica¸c˜ao linear que

  ′

  leva cada e a e , ent˜ao A

  i i ∈ O(n) e AV = W . O subgrupo isotropo do subespa¸co V consiste

  ! B

  n

  R do conjunto de matrizes com B =

  τ k

  ∈ O(k) e C ∈ O(n − k), portanto G

  0 C

  n

  R O(n)/O(k)

  τ , da´ı

  × O(n − k). Al´em disso, SO(n) tamb´em atua transitivamente em G k

  n n

  G R = SO(n)/S(O(k) = SO(n + 1)/S(O(n)

  τ k × O(n − k)). Em particular, RP × O(1)).

  Aqui, S(O(k) × O(l)) denota o subgrupo de SO(k + l) consistindo de matrizes da forma

  ! A 0 h = . e det(h) = 1.

  0 B Proposi¸ c˜ ao 1.22. Seja G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado de G. Ent˜ao o espa¸co quociente G/H admite uma estrutura de variedade anal´ıtica real de tal forma que a a¸c˜ao de G em G/H ´e anal´ıtica real, isto ´e, a aplica¸c˜ao G

  × G/H → G/H que associa (a, bH) em abH ´e analitica real. Em particular, a proje¸c˜ao G → G/H ´e anal´ıtica real.

  Para a prova, veja [Ch]. H´a uma outra classe de espa¸cos quociente: Seja G um grupo abstrato atuando em um espa¸co topol´ogico M pela direita como grupo de homeomorfismos. A atua¸c˜ao de

  G ´e chamada propriamente descont´ınua se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

  ′ ′

  1. Se dois pontos x e x de M n˜ao s˜ao congruentes m´odulo G (i.e., R x para todo

  a

  6= x

  ′ ′ ′

  a tˆem vinzinhan¸cas U e U , respectivamente, tal que R (U )

  a

  ∈ G), ent˜ao x e x ∩ U

  ´e vazio para todo a ∈ G;

  2. Para cada x = x = x ∈ G, o grupo de isotropia G x {a ∈ G; R a } ´e finito;

  3. Cada x , tal que U (U ) ´e vazio para

  x a

  ∈ M tem uma vizinhan¸ca U, est´avel por G ∩ R todo a .

  x

  ∈ G n˜ao contido em G

  13 Proposi¸ c˜ ao 1.23. Seja G um grupo descont´ınuo propriamente de transforma¸c˜oes difer- enci´aveis (respectivamente, anal´ıtico real) agindo livremente em uma variedade M difer- enci´avel (respectivamente, anal´ıtica real). Ent˜ao, o espa¸co quociente M/G tem uma estrutura de variedade diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtico real) tal que a proje¸c˜ao π : M → M/G ´e diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtico real). Demonstra¸c˜ao.

  A condi¸c˜ao (3) implica que cada ponto de M/G tem uma vizinhan¸ca V tal que

  −1

  π ´e um homeomorfismo de cada componente conexa de π (V ) em V . Seja U uma

  −1

  componente conexa de π (V ). Escolhendo V suficientemente pequeno, podemos assumir

  n

  que h´a um mapa adimiss´ıvel (U, ϕ), onde ϕ : U , para a variedade M . Introduza → R uma estrutura diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtica real) em M/G tomando (V, ψ),

  −1

  onde ψ ´e a composi¸c˜ao de π : V → U e ϕ, tem um mapa admissivel. Proposi¸ c˜ ao 1.24. Todo grupo discont´ınuo de G de isometrias de um espa¸co m´etrico M ´e propriamente discont´ınuo. Demonstra¸c˜ao.

  Primeiro, observe que, para cada x x; a

  a

  ∈ M, a ´orbita xG = {R ∈ G} ´e fechada

  ′

  em M . Dado um ponto x fora da ´orbita xG, seja r um n´ umero positivo tal que 2r ´e

  

′ ′

  menor que a distˆancia entre x e a ´orbita xG. Sejam U e U as esferas abertas de raios r

  ′ ′

  e centros x e x , respectivamente. Ent˜ao, R (U ) ´e vazio par todo a

  a ∩ U ∈ G, portanto provamos a condi¸c˜ao (1). A condi¸c˜ao (2) sempre ´e satisfeita por uma a¸c˜ao discont´ınua.

  Para provar (3), para cada x ∈ M, seja r um n´umero positivo tal que 2r ´e menor que a distˆancia entre x e o conjunto fechado xG

  − {x}. Basta levar a esfera aberta de raio r e centro x como U .

1.5 Variedades bandeira generalizadas

  Uma classe importante de espa¸cos homogˆeneos, ´e a classe de variedades bandeiras generalizadas. Estas s˜ao espa¸cos homogˆeneos da forma G/C(S), onde G ´e um grupo de Lie compacto, e C(S) ´e o centralizador de um toro S em G. Equivalentimente, ele s˜ao precisamente as ´orbitas de representa¸c˜ao adjunta de G em sua algebra de Lie g.

  Defini¸ c˜ ao 1.25.

  Seja G um grupo de Lie compacto com ´algebra de Lie g, e seja w ∈ g. A orbita adjunta de w ´e o conjunto M w = Ad(G)w = {Ad(g)w : g ∈ G} ⊂ g.

  14 Seja K = K =

  w

  {g ∈ G : Ad(g)w = w} o subgrupo de isotropia de w. Ent˜ao, M ´e difeomorfo ao espa¸co homogˆeneo G/K. O ponto w corresponde `a classe lateral

  w identidade o = eK.

  Exemplo 1.26. Seja G = U (n) com w = diag(iλ , iλ , . . . , iλ ), onde λ = = λ,

  1 2 n 1 k

  · · · = λ

  n

  λ = = µ (λ = U (k) C ,

  k+1 n w = Gr k

  · · · = λ 6= µ). Neste caso K × U(n − k) e Ad(U(n))w ∼ as variedades Grassmann dos k-planos em C n. Proposi¸ c˜ ao 1.27.

  1. O conjunto S = exp Rw ´e um toro em G.

  w

  2. O subgrupo isotropo K ´e o centralizador do toro S , isto ´e

  w w −1

  K = C(S ) = = h para todo h

  w w w {g ∈ G : ghg ∈ S }.

  3. Se o toro S w ´e um toro maximal em G, ent˜ao C(S w ) = S w .

  4. A ´algebra de Lie K ´e

  w

  k =

  w {X ∈ g : [w, X] = 0} = ker adw.

  Defini¸ c˜ ao 1.28.

  Uma variedade bandeira generalizada ´e um espa¸co homogˆeneo da forma G/K = G/C(S), onde G ´e um grupo de Lie compacto e S ´e um toro em G. Se o toro S ´e um toro maximal em G, diga T , ent˜ao G/T ´e chamado variedade bandeira maximal.

  A proposi¸c˜ao 1.27 nos permite dar uma descri¸c˜ao simples do espa¸co tangente de M em w. Recordamos a decomposi¸c˜ao redutiva g = k de g com respeito a um

  w w

  ⊕ m produto interno Ad-invariante em g (isto ´e, com respeito ao negativo da forma de Killing),

  ⊥

  onde m = k . Ent˜ao,

  w w ⊥ T (M ) ∼ .

w w = m = (ker adw)

  Entretanto, devido ao mergulho M

  w

  ⊂ g, h´a uma outra descri¸c˜ao de espa¸co tangente de M em w:

  w

  d T (M ) = Ad(exp tX)w : X

  w w t=0

  { | ∈ g} dt d

  = (exp tX)w(exp( : X

  t=0

  { −tX))| ∈ g} dt =

  {Xw − wX : X ∈ g} = {[X, w] : X ∈ g} = Im adw ⊂ g.

  15

  1.6 Espa¸ cos homogˆ eneos redut´ıveis

  Seja G/K um espa¸co homogˆeneo e considere novamente a proje¸c˜ao π : G → G/K,

  π(g) = gK. Calcularemos a diferencial dπ : g (G/K), onde o = π(e) = K. Seja

  e o

  → T

  X ∈ g e exp tX primeiro parˆametro do subgrupo correspondente. Ent˜ao, d d dπ (X) = (π = ((exp tX)K) .

  e

  ◦ exp tX) dt dt

  t=0 t=0 Disso obtemos que dπ e (k) = 0, isto ´e, ker dπ e = k, da´ı desde que dπ ´e sobrejetora.

  (Proposi¸c˜ao 1.4), temos o isomorfismo canˆonico g /k ∼ (G/K).

  = T o

  ∗

  Em geral, para qualquer X em G/K pela

  ∈ g podemos definir um campo vetorial X f´ormula d

  ∗ X = (exp tX)gK . gK

  dt

  t=0 ∗ ∗ ∗

  Note que a f´ormula [X , Y ] = .

  −[X, Y ] Agora, consideraremos o seguinte caso importante. Seja g e k as ´algebras de Lie de G e K, respectivamente.

  Defini¸ c˜ ao 1.29.

  Um espa¸co homogˆeneo ´e chamado redut´ıvel se h´a um subespa¸co m de g =Lie(G) tal que g = k ⊕m e Ad(k)m ⊂ m para todo k ∈ K, isto ´e, m ´e Ad(K)-invariante.

  A condi¸c˜ao Ad(k)m ⊂ m implica que [k, m] ⊂ m. A volta ´e verdadeira se K ´e conexo. Note que m n˜ao precisa ser fechado sobre colchetes, como k precisa. Da´ı, como consequencia do isomorfismo acima, se G/K ´e redut´ıvel, temos a isomorfismo can˜onico m ∼ (G/K).

  = T o

  

1.7 Descri¸ c˜ ao de uma variedade bandeira general-

izada, via teoria de Lie.

  Seja G/K uma variedade bandeira. Assumimos que G ´e semi-simples e compacto, por exemplo G ´e a forma real compacta de um grupo de Lie semi-simples complexo[?], logo a forma Killing ´e definida negativa em g, portanto torna poss´ıvel a decomposi¸c˜ao redutiva g = k

  ⊕ m. Como descrito na se¸c˜ao anterior, K ´e o centralizador do toro S em

  C. Seja T o toro maximal em G contendo S. Ent˜ao, T ⊂ C(S) = K. Seja h a ´algebra de C C

  C

  Lie de T e h sua complexifica¸c˜ao. Seja R o sistema de ra´ızes de g em rela¸c˜ao a h e C C C

  X X

  

α

  g = h g = h C E

  α

  ⊕ ⊕

  α∈R α∈R

  C C

  16 sua decomposi¸c˜ao do espa¸co de ra´ız. Desde que k cont´em h , h´a um subconjunto R de

  K

  R tal que C C

  X k C = h E α .

  ⊕ K

  α∈R

  Da´ı, obtemos C

  X m C = E α , M

  

α∈R

  Onde R M = R/R K . Isto ´e chamado de conjunto das ra´ızes complementares. Portanto, obtemos que R = R , e finalmente, que

  K M

  ∪ R C C

  

C

g = k .

  ⊕ m C O conjunto : α . A ´algebra de Lie real g ´e o

  α M

  {E ∈ R } ´e uma base do espa¸co m C C conjunto de pontos fixados da involu¸c˜ao padr˜ao de g que associa E α a .

  → g −E −α

  

α

−α

  Ent˜ao, + E ), E ).

  α α

  {i(E −α − E −α } gera g ∪ (g ⊕ g Cap´ıtulo 2 M´ etricas invariantes e as Equa¸ c˜ oes de Einstein

  Uma m´etrica g em uma variedade Riemaniana M ´e chamada de m´etrica de Einstein se Ric(g) = cg, onde Ric(g) ´e o tensor de Ricci da m´etrica g, e c ´e uma constante. A metodologia que usaremos ser´a a da redu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein a um sistema alg´ebrico atrav´es de uma descri¸c˜ao te´orica de Lie da curvatura de Ricci (Ric(g)) e a m´etrica G-invariante g. Sejam g e k as ´algebras de Lie de G e K repectivamente, e h uma sub-´algebra de Cartan fixada de k.

2.1 M´ etricas Riemanniana G-invariantes

  Recordemos que se M = G/K ´e uma espa¸co homogˆeneo, ent˜ao qualquer m´etrica

G/K

  G-invariante em M ´e determinada por um produto escalar Ad -invariante em m. Seja G semi-simples e compacto, isto ´e, a forma Killing em g ´e definida negativa. Seja m = m a decomposi¸c˜ao da representa¸c˜ao isotropica em subm´odulos irredut´ıveis.

  1 s

  ⊕ · · · m Uma m´etrica Riemanniana G-invariante ´e chamada diagonal, se o correspondente produto

G/K

  escalar Ad -invariante h , i em m pode ser expresso como ( ( +

  (2.1)

  1 m s m s

  h , i = x −B)| · · · + x −B)| onde x , . . . , x s˜ao constantes positivas.

  1 s

  Em particular, o operador B-sim´etrico A : m → m que determina o produto escalar, e ´e dada por

  A = x + 1 Id m s Id m s . 1 · · · + x Se os m’s s˜ao representa¸c˜oes inequivalentes em pares, ent˜ao a decomposi¸c˜ao de m ´e ´ unica, e 2.1 representa todas as m´etricas invariantes em G/K. Do contr´ario, precisamos n˜ao

  18 apenas de uma vari´avel positiva x para cada subm´odulo irredut´ıvel m , mas tamb´em de

  i i G/K

  uma parametriza¸c˜ao do espa¸co de todas aplica¸c˜oes Ad -equivariante entre cada par de representa¸c˜oes equivalentes.

  Agora, seja M = G/K uma variedade bandeira generalizada. Ent˜ao, os subm´odulos m s˜ao inequivalente, da´ı a express˜ao 2.1 descreve todas m´etricas G-invariante em M .

i Cada uma destas m´etrica depedem de s parˆametros positivos x , . . . , x .

  1 s

  Abusaremos da nota¸c˜ao e extenderemos C h , i sem qualquer mudan¸ca na nota¸c˜ao de m `a complexifica¸c˜ao m pela linearidade complexa. Da´ı, uma m´etrica G-invariante em C C M pode ser descrita por um produto escalar ad(k ) .

  − invariante g em m C

  α ∗

  Seja : α ) , que ´e dual `a base

  {ω ∈ R} uma base do espa¸co vetorial em (m

  α

  • α

  K +

  : α (E ) = δ ). Fixamos um sistema de ra´ızes positivas R = R ,

  α M β

  {E ∈ R } (ω β

  K ∩ R M

  • e seja R = κ(R ).

  T C C

  Proposi¸ c˜ ao 2.1 (Alek-Pe). Qualquer produto escalar ad(t )-invariante real g em m tem a forma

  X X

  X

  α α −α −α

  g = g ω = g ω ,

  α ξ

  • + + −1 ∨ ω ∨ ω

  (ξ) α∈κ α∈R M ξ∈R T

  1

  onde ω (ω s˜ao constantes positivas tais que g = g se

  α α β

  ∨ ρ = ⊗ ρ + ρ ⊗ ω), e os g

  2

  α = β . Portanto, uma m´etrica G-invariante em uma variedade bandeira generalizada

  T T

  | |

  • depende (m´odulo um fator escalar) de R parˆametros.

  T

2.2 Estruturas complexas G-invariantes

  Nesta se¸c˜ao exploraremos a existˆencia de uma extrutura complexa e uma m´etrica K¨ahler em uma variedade bandeira generalizada. Uma estrutura quase complexa em uma variedade Riemanniana M ´e um (1, 1)-

  2

  tensor J em M satisfazendo J = −Id, onde J ´e pensado como uma transforma¸c˜ao

  J em cada espa¸co tangente T (M ). Denotamos com a mesma letra sua extens˜ao `a

  p p C

  complexifica¸c˜ao T M . Se colocarmos

  p (1,0) C

  T p M = M : J X = iX

  p p

  {X ∈ T } e

  (0,1) C

  T p M = M : J X =

  p p C (1,0) (0,1) {X ∈ T −iX} ent˜ao obtemos que T p M = T p M p M .

  ⊕ T Uma estrutura quase complexa J ´e chamada de estrutura complexa ou estrutura complex integr´avel se J = 0, onde

  X

  ∇ ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M. Uma estru- tura complexa significa que a variedade tem coordenadas que s˜ao complexa-avaliadas e

  n

  com fun¸c˜oes transi¸c˜ao holom´orficas. Quer dizer, elas localmente parecem como C , tanto

  19 geometricamente e analiticamente. Se M = G/K ´e um espa¸co homogˆenio com decom- posi¸c˜ao redutiva g = k

  ⊕ m e o = eK, ent˜ao uma estrutura quase complexa ´e chamada G-invariante se J o comuta com a representa¸c˜ao isotr´opica de G/K; isto ´e,

G/K G/K

  J (Ad (k)X) = Ad (k)J X, para todo k

  o o ∈ k, X ∈ m.

  Agora, seja M = G/K uma variedade bandeira generalizada com decomposi¸c˜ao P P C C α α + de espa¸co de ra´ız g = h g g . Escolhemos um subconjunto R de R

  M

  ⊕ ⊕ K M M

  α∈R α∈R

  que satisfaz as condi¸c˜oes:

  − −

  1. R = R , onde R =

  K

  ∪ R M ∪ R M M {−α : α ∈ R M },

  • 2. se α K , β e α + β .

  ∈ R ∪ R ∈ R ∈ R, ent˜ao α + β ∈ R

  M M M

  A condi¸c˜ao 1 define uma ordena¸c˜ao em R , e ambas as condi¸c˜oes 1 e 2 definem uma

  M

  • ordena¸c˜ao invariante R em R .

  M M Proposi¸ c˜ ao 2.2.

  H´a uma correspondˆencia injetora entre estruturas complexas G-invariantes

  • em M e ordena¸c˜oes invariantes R em R M dada por

  M

  • J E = (α ).

  o α ±α ±iE ∈ R M

  Para uma prova e outras discuss˜oes em estruturas complexas G-invariantes em variedades bandeiras generalizadas referimos a [Alek-Pe], [B-H], [B-F-R], [Fr¨o], [Nis], [Wg].

2.3 Forma K¨ ahler

  Defini¸ c˜ ao 2.3. Uma estrutura quase complexa em uma variedade bandeira F ´e um campo F tensorial J que em cada ponto x

  , ou seja ´e um

  x

  ∈ F ´e uma estrutura complexa em T

  2 F F endomorfismo J x :T x x tal que (J x ) = -Id.

  →T Seja F uma variedade bandeira munida de uma m´etrica invariante g e uma estru- tura quase complexa J. Computando g(JX, JY ) na base de Weyl escolhida, ´e f´acil ver que g ´e quase Hermitiana com respeito a J, isto ´e, g(JX, JY ) = g(X, Y ).

  Denotaremos por Ω = Ω J,Λ a 2-forma fundamental de K¨ahler correspondente: Ω(X, Y ) = g(X, JY ) =

  (2.2) −(ΛX, JY ), X, Y ∈ m. Defini¸ c˜ ao 2.4. Uma variedade Hermitiana M ´e chamada K¨ahler se sua 2-forma funda- mental ´e fechada, isto ´e, dΩ = 0.

  20 Como ´e comum, continuaremos denotando por Ω, sua extens˜ao natural a uma C 2-forma invariante em m . Calculando o valor de Ω na base de Weyl , α

  α M

  {X ∈ R }, temos (

  α ¯ λ α ¯ se β =

  −iǫ −α Ω(X , X ) = , JX ) = ǫ ¯ (X X ) =

  α β α β α ¯ α β

  −(ΛX −iλ β caso contr´ario onde ¯ α = k(α), ¯ β = k(β) s˜ao as t-ra´ızes correspondentes a α e β respectivamente.

  Portanto, considerando a decomposi¸c˜ao

  

C C C

  m = m

  1 ⊕ · · · ⊕ m 2s

  em subm´odulos ad(k)-invariantes irredut´ıveis e inequivalentes, conclu´ımos que Ω ´e uma 2-forma dada por

  X C C C C C C

  X X

  X Ω( iǫ λ ( = iǫ λ ( = iǫ λ ( . ·, ·) = α α ·, ·)| g δ δ ·, ·)| g δ δ ·, ·)| m M t M α ×g α ×g ×m + −α −α −δ δ

  α∈R δ∈R α∈R δ∈R t ¯ α=¯ δ

  Pela invariˆancia de Ω a diferencial exterior dΩ ´e dada por 3dΩ(X, Y, Z) =

  −Ω([X, Y ], Z) + Ω([X, Z], Y ) − Ω([Y, Z], X) para todos campos de vetores X, Y, Z ∈ m em F, veja [Ko-No]. O pr´oximo resultado foi obtido em [Sil].

  Proposi¸ c˜ ao 2.5. Sejam α, β, γ ent˜ao dΩ(X , X , X ) ´e nulo, exceto quando α +

  M α β γ

  ∈ R β + γ=0. Neste caso dΩ(X , X , X )=-3iN (ε λ + ε λ + ε λ )

  α β γ α,β α α β β γ γ

  Podemos obter um resultado an´alogo `a proposi¸c˜aoo anterior usando t-ra´ızes. Para isto precisamos do seguinte resultado. Lema 2.6. ([Alek-Pe], Lema 4) Sejam ξ, η, ζ t-ra´ızes tais que ξ + η + ζ = 0. Ent˜ao existem ra´ızes α, β, γ com k(α) = ξ, k(β) = η, k(γ) = ζ, e tais que α + β + γ = 0.

  M

  ∈ R Se δ, ζ, η t s˜ao tais que δ + ζ + η = 0 diremos que a tripla (δ, ζ, η) ´e uma triplas

  ∈ R soma zero de t-ra´ızes.

  C C C

  Proposi¸ c˜ ao 2.7. Sejam δ, ζ, η t ent˜ao dΩ(m , m , m ) = ∈ R δ ζ η {0}, exceto quando δ + ζ +

  η = 0. Neste caso dΩ(X, Y, Z) = δ λ δ + ǫ ζ λ ζ + ǫ η λ η ).

  −3iN(ǫ

  C C C onde N , m e m , respectivamente.

  ∈ Q\{0} e X, Y, Z pertencem a m δ ζ η

  21 Demonstra¸c˜ao. Se α, β, γ s˜ao tais que α + β + γ = 0 ent˜ao δ + ζ + η = 0, quando

  M

  ∈ Π k(α) = δ, k(β) = ζ e k(γ) = η. Reciprocamente, se δ, ζ, η t t˜ao tais que δ + ζ + η = 0 ent˜ao, pelo Lema 2.6

  ∈ R existem α, β, γ com k(α) = δ, k(β) = ζ, k(γ) = η, e tais que α + β + γ = 0.

  M

  ∈ R Assim pela Proposi¸c˜ao 2.5 e pela caracteriza¸c˜ao de m´etricas invariante e estru- turas quase complexas invariantes temos dΩ(X , X , X ) = (ǫ λ + ǫ λ + ǫ λ ) = (ǫ λ + ǫ λ + ǫ λ ).

  α β γ α,β α α β β γ γ α,β δ δ ζ ζ η η

  −3iN −3iN

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  Observe ainda que se α , β , γ s˜ao tais que k(α ) = δ,k(β ) = ζ, k(γ ) = η e

  M

  ∈ R

  ′ ′ ′

  α + β + γ = 0 ent˜ao ′ ′ ′ ′ ′ dΩ(X , X , X ) = (ǫ λ + ǫ λ + ǫ λ ).

  α β γ α ,β δ δ ζ ζ η η

  −3iN Uma variedade quase Hermitiana (M, Λ,

  δ

  {ǫ }) ´e dita ser (1, 2)-simpl´etica (ou quase K¨ahler) se dΩ(X, Y, Z) = 0 quando um dos vetores X, Y, Z ´e dito do tipo (1, 0) e os outros dois s˜ao do tipo (0, 1). A Proposi¸c˜ao 2.7 fornece um crit´erio, em termos de triplas soma zero de t-ra´ızes, para uma estrutura (Λ, J) sobre F ser (1, 2)-simpl´etica. Defini¸ c˜ ao 2.8.

  Seja J = t {ǫ, δ ∈ R } uma equa¸c˜ao sobre F. Uma tripla soma zero de t-ra´ızes (δ, ζ, η) ´e dita ser uma δ = ǫ ζ = ǫ η e uma

  {0, 3}-tripla de t-ra´ızes se ǫ {1, 2}-tripla de t-ra´ızes caso contr´ario. Uma m´etrica invariante Λ ´e (1, 2)-simpl´etica com respeito a J se o par (Λ, J) ´e

  (1, 2)-simpl´etica. Uma equa¸c˜ao J ´e (1, 2)-admiss´ıvel se existe Λ tal que o par (Λ, J) ´e (1, 2)-simpl´etico.

  Uma variedade quase Hermitiana ´e dita ser quase K¨ahler se Ω ´e simpl´etica, isto ´e, dΩ = 0. Quando dΩ = 0 e J ´e integr´avel dizemos que a variedade ´e K¨ahler, [Ko-No]. Consideremos o tensor de Nijenhuis (invariante) sobre F, dado por:

  1 C N (X, Y ) = . − −[JX, JY ] + [X, Y ] + J[X, JY ] + J[JX, Y ], X, Y ∈ m

  2 Seja J = , δ t

  δ

  {ǫ ∈ R } uma eqci sobre F. O tensor de Nijenhuis calculado na base C , α ´e dado por

  {X α ∈ R M } de m

  1 N (X , X ) = , JX ] + [X , X ] + J[X , JX ] + J[X , X ]

  α β α β α β α β α β

  − −[JX

  2 = N α,β ǫ ǫ X α+β + N α,β X α+β

  k(α) k(β)

  ǫ ǫ X ǫ ǫ

  X

  α,β k(β) k(α)+k(β) α+β α,β k(α) k(α)+k(β) α+β

  − N − N = N ǫ + ǫ ǫ X (2.3)

  α,β k(α) k(β) k(β) k(α)+k(β) α+β

  − ǫ

  22 onde k(α), k(β) t . ∈ R

  Proposi¸ c˜ ao 2.9. ([San-Neg], [Sil]) Uma estrutura quase Hermitiana sobre F ´e quase K¨ahler se e somente se ´e K¨ahler. Demonstra¸c˜ao. Notamos que um par (Λ, J) quase K¨ahler n˜ao pode admitir

  {0, 3}-triplas de t-ra´ızes. Pois, se admitisse uma t , como dΩ = 0, pela {0, 3}-tripla (δ, ζ, η) em R

  Proposi¸c˜ao 2.7 ter´ıamos a igualdade λ + λ + λ = 0

  δ ζ η

  o que ´e imposs´ıvel, j´a que λ δ , λ ζ , λ η > 0. Assim a eqci J admite apenas {1, 2}-triplas e nesse caso, por 2.3, ´e f´acil ver que o tensor de Nijenhuis ´e nulo, logo J ´e integr´avel.

  Portanto o par (Λ, J) ´e K¨ahler. A rec´ıproca ´e imediata.

  Pelas Proposi¸c˜oes 2.7 e 2.9 obtemos um crit´erio para uma m´etrica ser K¨ahler. Proposi¸ c˜ ao 2.10.

  ([Alek-Arv], [Arv]) Dada uma estrutura complexa invariante J sobre F , uma m´etrica invarinate Λ ´e K¨ahler (com respeito a J) se e somente se satisfaz

  • λ = λ + λ para todo δ, η .

  

δ+η δ η t

  ∈ R

2.4 O tensor de Ricci e a equa¸ c˜ ao de Einstein

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma var- iedade bandeira e exibiremos a equa¸c˜ao de Einstein associada.

  n

  Defini¸ c˜ ao 2.11. Uma variedade Riemaniana (M , g) ´e Einstein, se a m´etrica cumprir Ric(g) = cg. Quando n

  ≥ 3, c ser´a chamada de constante de Einstein, ou seja, uma m´etrica Riemaniana ´e de Einstein se o tensor de Ricci for proporcional a m´etrica g. Logo uma m´etrica Riemaniana ´e de Einstien se, e somente se (M, g) possuir curvatura de Ricci constante. Come¸camos estudando o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante em um espa¸co homogˆeneo qualquer.

  Apresentaremos tamb´em o tensor de Ricci e consequentemente a equa¸c˜ao de Einstein nos pr´oximos lemas para uma variedade bandeira maximal. O primeiro Lema pode ser encontrado em [Sak] ou [Mut] e fornece as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre o espa¸co homogˆeneo M = U/K. Come¸camos com uma nota¸c˜ao introduzida por Wang-Ziller em [Wan-Zil].

  l

  L Considere m .

  α k

  {e } uma base β-ortonormal adaptada a decomposi¸c˜ao de m =

  k=1

  Em outras palavras, e para algum i ,

  α i α i

  ∈ m ∈ {1, · · · , l} e α < β se i < j com e ∈ m e . Defina como em [Wan-Zil],

  β j

  ∈ m

  γ

  A = ([e , e ], e ) , (2.4)

  α β γ CK α,β

  23 isto ´e, " #

  X X k

  γ γ

  2

  [e , e ] = A e e (A ) = (2.5)

  α β γ αβ αβ

  i j

  γ

  As somas acima 2.5 s˜ao tomadas sobre todos os ´ındices α, β, γ com e , e

  α i β

  ∈ m ∈ " # k m , e . Um ponto importante ´e que independe do referencial ortonormal

  j γ k

  ∈ m i j escolhido para m , m , m e

  i j k

  " # " # " # k k j = = . (2.6) i j j i k i

  Al´em disso se w ´e um elemento do grupo de Weyl ent˜ao: " # " # w(γ) γ

  = . (2.7) w(α) w(γ) α β Usaremos as nota¸c˜oes acima nos pr´oximos lemas. Lema 2.12. As componentes r do tensor de Ricci de uma m´etrica U -invariante sobre

  k

  M = U/K s˜ao dadas por: " # " #

  l l

  X X k j 1 1 λ 1 λ

  k k

  r = + (k = 1, (2.8)

  k

  − · · · , l) 2λ 4d λ λ 2d λ λ

  k k i j k i j

  i j k i

  i,j=1 i,j=1 l

  L m onde, m = k d k = dim m k .

  k=1

  Demonstra¸c˜ao. O tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma variedade ho- mogˆenea ´e dado por [Bes]:

  X X

  1

  1

  1

  2

  2

  • Ric(g)(X, X) = ] m (X, X) , X ] m , X . (2.9) +

  i i j

  − k[X, X k C−K h[X i

  2

  2

  4

  

i i,j

k

  Considere em rela¸c˜ao a ( .

  k CK

  {e a } uam base ortonormal de m ·, ·)

  k

  e

  a k k

  Considere tamb´em os vetores X = . Estes vetores X formam uma g base

  a √ a

  λ

  k

  ortonormal para m . Como o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante ´e dao por 2.9,

  k

  temos:

  k k

  r k = Ric(g)(X , X ) =

  a a

  1 λ j P P

  k i k i

  ([e , e ] m j , [e , e ] m j ) −

  i,j s a s a s

  2 λ λ

  i k

  1 1 λ P k P j

  i k

  , e + ([e ] m , e ). + k

  t s a i,j t,s

  2λ 4 λ λ

  k i j

  24 Portanto decorre de 2.4 e 2.5 que, " # " #

  d k

  X X

  k i k k k

  X d 1 λ j 1 λ k

  d r = Ric(g)(X , X ) = + (2.10)

  k k a a −

  2λ k 2 λ k λ i 4 λ j λ i k i j i

  a=1 i,j i,j O que prova o lema.

  Considere agora, M = U/T uma variedade bandeira maximal equipada com uma m´etrica invariante (Λ) = > 0 {λ }. +

  α α∈R M

  Lema 2.13. As componentes r do tensor de Ricci de uma m´etrica U -invariante sobre

  α

  uma variedade bandeira maximal M = U/T s˜ao dadas por: " # " #

  X X α γ

  1 1 λ α 1 λ γ

  • r α =
  • M

  (α ) (2.11) − ∈ R

  2λ 8 λ λ 4 λ λ

  α β γ α β

  • + + β γ α β

  β,γ∈R M β,γ∈R M + + β+γ∈R M β+γ∈R M

  Demonstra¸c˜ao. Basta aplicar o lema anterior em uma variedade bandeira M = U/T , L + u trocando m por α . Neste caso, d α = dim u α = 2.

  α∈R M

  Nesta disserta¸c˜ao alguns reultados s˜ao aplic´aveis a todas as variedades bandeiras, mas como encontramos solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Einstein apenas no caso A , concen-

  l traremos nossa aten¸c˜ao `as variedades deste tipo.

  Uma sub´algebra de Cartan para complexifica¸c˜ao de su(n), ´e formada pelas ma- trizes diagonais

  n C

  X h =

  1 , ǫ 2 , n ) ǫ i = 0 (2.12) {diag(ǫ · · · , ǫ ∈ C, }. i=1

  O sistema de ra´ızes tem a forma R = , i

  i j

  {ǫ − ǫ 6= j}, consequentemente as ra´ızes

  • positivas podem ser escolhidas como R = , i < j

  i j {ǫ − ǫ }.

  1 A forma de Cartan-Killing de SU (n) ´e (X, Y ) = 2n trXY temos (α, α) = para n X i j

  ǫ −ǫ ij

  todas as ra´ızes α e os vetores X α que satisfazem (X α , X ) = 1 s˜ao da forma X =

  −α √

  2n onde X ´e o vetor associado `a ra´ız ǫ . As constantes de estrutura s˜ao todas iguais

  ǫ i j i j −ǫ − ǫ

  1 a . √

  2n Agora podemos escrever, as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma variedade bandeira maximal do tipo A . Este ´e o conte´ udo do

  l pr´oximo Lema.

  25 Lema 2.14. [Sak] Sobre as variedades F(n), n ≥ 3, as componentes do tensor de Ricci + de uma m´etrica U (n)-invariante (Λ) s˜ao dadas por:

  α∈R

  X

  1 1 λ λ λ

  ij ik kj

  • r =

  (2.13)

  ij

  − − 2λ 4n λ λ λ λ λ λ

  ij ik kj ij kj ij ik k6=i,j

  Demonstra¸c˜ao. Pela lema anterior 2.13, as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica L + invariante g( λ m α s˜ao dadas por

  α

  ·, ·) = B|

  α∈Π

  " #

  1 8 λ α

  α

  r = +

  α

  P 2λ α λ β λ γ + β γ

  β,γ∈Π

  . (2.14) " #

  γ 1 λ P α

  −

  • + β,γ∈Π

  4 λ λ

  

β γ

  α β Mas, para F(n), n

  ≥ 3, temos: 

  " # 

  ǫ

  i j

  1 − ǫ

   

  = (k 6= i, j) n

  ǫ ǫ

  i k k j

  − ǫ − ǫ    caso contr´ario

  0. Para concluir a demonstra¸c˜ao do lema, basta observar as simetrias dos termos envolvidos nos dois somat´orios em 2.14 e que, conforme j´a mencionamos, pela defini¸c˜ao

  γ

  de A temos que:

  αβ

  " # " # " # γ β α = = .

  α β γ α β γ Veremos a seguir um exemplo para o caso de n = 3, ou seja, um m´etodo para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein em F(3): Na variedade mencionada, equa¸c˜ao de Einstein ´e dada por

  1 1 λ λ λ

  12

  13

  23 ′

  r = = c +

  11 − −

  2λ 12 λ λ λ λ λ λ

  12

  13

  23

  12

  23

  12

  13

  1 1 λ

  

13 λ

12 λ

  23 ′

  r = = c . (2.15)

  • 13

  − −

  2λ 12 λ λ λ λ λ λ

  13

  12

  23

  13

  23

  12

  13

  1 1 λ λ λ

  13

  12

  13 ′

  • r =

  = c

  23 − −

  2λ

  13

  12 λ

  12 λ

23 λ

23 λ 13 λ 23 λ

  12 Aplicando S 2 = 3 nas equa¸c˜oes, notamos que ainda se trata da mesma

  h(1, 2)i < S equa¸c˜ao. No entanto, usando as condi˜oes da m´etrica ser K¨ahleriana para que as mesmas sejam de Einstein, chegamos a λ = λ .

  13

  23

  • 1

  λ

  ′

  23

  =

  1 2λ

  13

  12 −λ

  12

  2

  13

  13

  = c Como estamos interessados em econtrar a solu¸c˜ao sem nos importarmos com o volume (por enquanto), podemos ajustar o volume da variedade de forma que λ

  13 = 1.

  Desse modo, segue de imediato que λ

  2 12 − 3λ 12 + 2 = 0, e com isso λ 12 = 1 ou λ 12 = 2.

  Portanto, a m´etrica dada por     0 1 1

  1 0 1 1 1 0     ou

      0 2 1

  = r

  ′

  2 0 1 1 1 0     s˜ao m´etricas de Einstein.

  

12

  26 Logo, a equa¸c˜ao 2.15 se reduz a r

  ′

  12

  =

  1 2λ

  12

  12 λ

  λ

  = c r

  

2

  

13

  −

  1 λ

  12

  −

  1 λ

  12

  • 1
Cap´ıtulo 3 Solu¸ c˜ oes da Equa¸ c˜ ao de Einstein

3.1 M´ etricas K¨ akler-Einstein

  A existˆencia de uma m´etrica Einstein, conforme j´a mencionamos, nem sempre ´e garan- tida. Sobre as variedades bandeira M = G/K equipadas com uma estrutura complexa invariante J mostraremos, seguindo os trabalhos de Matsushima [Mat], Koszul [Kos] e principalmente Borel [Bor], a existˆencia de uma m´etrica de Einstein distinguida, isto ´e, a existˆencia de uma m´etrica de K¨ahler-Einstein. Esta m´etrica ´e ´ unica, a menos de transforma¸c˜oes holomorfas, [Mat].

  Considere (M, J, g) uma variedade bandeira equipada com um por K¨ahler invari- ante (J, g = Λ ), veremos que o tensor de Ricci ou equivalentimente a forma Ricci neste

  α contexto independe da m´etrica invariante.

  Sobre uma variedade Hermitiana podemos construir uma 2-forma fundamental tamb´em chamada de forma K¨ahler fazendo Ω(X, Y ) = g(JX, Y ) (3.1)

  Diremos que M ´e K¨ahler se dΩ = 0. A forma Ricci ´e a 2-forma ρ(X, Y ) = Ric(JX, Y ). Desse modo uma m´etrica invariante ´e Einstein se, e somente se ρ(X, Y ) = cΩ(X, Y ), para alguma constante c. Segue da´ı que uma m´etrica K¨ahler invariante ´e Einstein se a forma Ricci for proporcional a forma K¨ahler, ou seja, se ρ(X, Y ) = cg(JX, Y ).

  Considere agora M = G/K, uma variedade bandeira com a decomposi¸c˜ao g = t ⊕ m. Uma estrutura complexa G-invariante J, e uma 2-forma podem ser identificadas

  2

  com uma Ad(K)-invariante transforma¸c˜ao linear J sobre m satisfazendo J =-1 e uma

  ◦

  Ad(K)-invariante n˜ao-degenerada forma anti-sim´etrica Ω sobre m. O mesmo pode ser

  ◦

  feito com o tensor de Ricci e a forma Ricci ρ. ´ E usual estender a m´etrica g , a estrutura

  28 quase complexa J e a forma K¨ahler a m C , sem qualquer mudan¸ca de nota¸c˜ao. O ponto central ´e que como J

  α

  [X, JY ] m C = J[X, Y ] m C

  X

  (JY ) = J ∇

  X Y. (3.4)

  Segue da´ı que tr(J ◦ ∇(X)∇(Y )) = tr(∇(X)J ◦ ∇(Y )) = tr(J ◦ ∇(Y )∇(X)). Isto significa que os dois primeiros termos de 3.3 n˜ao dever˜ao ser considerados para o c´alculo da forma Ricci. Al´em disso, pela invariˆancia da forma Ricci vemos que ´e suficiente calcul´a-la para X = X

  α

  e Y = X

  

−α

  . Mas, [X

  α

  , X

  −α

  ] = H

  ∈ t C Portanto do exposto acima e de 3.3,

  X J=0, temos que para

  ρ(X

  α

  , X

  −α

  ) =

  1

  2 tr(J

  ◦

  ad(H

  α

  )). (3.5) Por outro lado sobre m C os vetores X

  α

  , α ∈ R, s˜ao autovetores, tanto de J ◦ como de ad(H α ) com autovalores ±i e α(H), respectivamente.

  X,Y ∈ m

  ∇

  2 ◦

  [X,Y ]

  =-Id logo a complexifica¸c˜ao de J

  ◦

  possui autovalores ± i. Seja (M, J,Λ) uma variedade banceira equipada com uma estrutura complexa J e uma m´etrica invariante (Λ). O tensor de curvatura ´e dado por R(X, Y )Z =

  ∇

  X

  ∇

  Y

  Z −

  ∇

  Y

  ∇

  X Z

  − ∇

  Z ∀X, Y, Z onde ∇ denota a conex˜ao Riemanniana associada a m´etrica ds

  − ∇ [X,Y ] m Z − [[X, Y ] t , Z] (3.3) Como a estrutura complexa ´e G-invariante, e satisfaz

  2 Λ

  . Para variedades K¨ahler a forma Ricci pode ser escrita como [Ko-No] ρ(X, Y ) =

  1

  2 tr(JR(X, Y )). (3.2) No contexto invariante, o tensor de curvatura ´e dado por

  R

  ◦

  (X, Y )Z = ∇

  X

  ∇

  Y Z

  − ∇

  Y

  ∇

  

X Z

  Portanto,

  29 X i ρ (X , X ) = ǫ β(H )

  α β α ◦ −α

  2

  β∈R

  X X i = ( β(H α ) β(H α ))

  −

  2

  β∈R+ β∈R−

  X = i β(H )

  α β∈R+

  X = i α(H )

  β β∈R+

  X = iα H β (3.6)

  

β∈R+

  P

1 Onde δ = α. A partir dos fatos acima, descreveremos como construir

  2 α∈R+

  uma m´etrica K¨ahler-Einstein sobre uma variedade bandeira maximal M = G/B = U/T. C C Denotaremos por u e por t as complexificadas das ´algebra de Lie de u e m respectiva- C mente. Temos portanto uma decomposi¸c˜ao de u em espa¸cos de ra´ızes: C C

  X u = t (u )

  α

  ⊕ ⊕ u −α

  

α∈R

  P g At´e o final desta se¸c˜ao, b = h α denotar´a a sub´algebra de Borel de g

  ⊕

  α∈R+

  enquanto que B denotar´a o subgrupo de Borel de G correspondente a b, e T = G ∩B ser´a o toro maximal de U. C

  O sistema simples de ra´ızes de u , Σ = ,

  1 n

  {α · · · α } estar´a associado aos funcionais P C

  ∗ ∗

  = , ) da seguinte forma:

  1 n

  {ϕ · · · , ϕ } de (u 2(ϕ , α )

  i j

  = δ (1 (3.7)

  ij

  ≤ i < j ≤ n) (α , αj)

  j C

  Podemos identificar uma ra´ız de u com um elemento de −1t, atrav´es da duali- dade decorrente da forma Cartan-Killing β. Lembramos, que o fato de u ser semi-simples assegura que a forma Killing ´e n˜ao-degenerada. Em outras palavras, identificamos H α

  √ C com α, onde H , H) = α(H) para H .

  α α

  ∈ −1t ´e definido como β(H ∈ t √ P n

  Desse modo R . Defina a cˆamara positiva com respeito a escolha

  ϕ i

  −1t =

  i=1

  √ P

  1

  de P como c = ) > 0, i = 1, α, a

  i

  {λ ∈ −1t; β(λ, α · · · , n} e denote por δ =

  • 2 α∈R+ soma das ra´ızes positivas.

  1 n e portanto δ . A demonstra¸c˜ao do lema

  • Podemos escrever, δ = ϕ

  · · · + ϕ ∈ c

  • abaixo pode ser encontrada em [B-H]. Lema 3.1.

  [B-H] Existe uma correspondˆencia 1-1 entre as m´etricas K¨ahler U-invariantes sobre M = G/B = U/T e elementos de c . Portanto, para uma m´etrica K¨ahler U-

  • +

    invariante sobre M correspondente a λ , o tensor de Ricci ´e tamb´em uma m´etrica

  ∈ c

  • +

  30 K¨ahler U-invariante sobre M que corresponde a δ . A m´etrica K¨ahler que corresponde ∈ c

  • a δ ´e K¨ahler-Einstein.

  Observe que de acordo com a equa¸c˜ao 3.6 a m´etrica K¨ahler-Einstein U-invariante P sobre U/T correspondente a δ ´e dada por g = = β(ϕ , α) +

  α∈R+

  δ α 1 n {λ · · · + ϕ }.

  P l Podemos escrever cada ra´ız positiva α de forma ´ unica como α = m (α)α

  i i i=1

  onde m (α) s˜ao inteiros n˜ao-negativos. Utilizando a express˜ao 3.7 podemos escrever:

  i n

  X g = = m (α) , α ) (3.8)

  δ α i i i {λ B(α }. i=1

  A express˜ao acima 3.8 fornece, a menos de escalar, os coeficientes da m´etrica K¨ahler-Einstein sobre M = U/T . Exemplo 3.2. Sobre F(3) a m´etrica K¨ahler-Einstein de Matsushima [Mat] associada a

    √ √

  −1 − −1  

  √ √   estrutura complexa canˆonica ´e a menos de escalar dada por:

  − −1 −1  

  √ √ −1 − −1

   

  1

  1

  6

  3

   

  

1

  1

    Λ =

  

6

  6

   

  

1

  1

  

3

  6 Exemplo 3.3.

  De uma forma mais geral, a m´etrica K¨ahler-Einstein [Mat], sobre F(n) associada a estrutura complexa canˆonica ´e a menos de escalar dada por:  

  1

  1 n−1

  · · ·

  2n n 2n

   

  1

  1

  ...  2n 2n   

    . ..

  1

  1

  1

  . ..

    Λ = .

  n 2n n

     

  1

  2n

   

    ... ... ... ...

  1

  1 n−1

  · · ·

  

2n n 2n

  Portanto, sobre F(n), ≥ 3, uma vez fixada uma estrutura complexa, existe uma ´ unica m´etrica K¨ahler-Einstein [Mat].

  3.2 A m´ etrica Normal-Einstein

  Nesta se¸c˜ao estudaremos a condi¸c˜ao Einstein, para a m´etrica normal. Sejam G um grupo de Lie compacto, conexo, semi-simples e H um subgrupo fechado conexo de G. Con- sidere M = G/H pelas propriedades de G e H, M ´e um espa¸co homogˆeneo compacto e simplesmente conexo. Seguiremos a nota¸c˜ao de [Wa-Zi].

  31 Qualquer m´etrica bi-invariante sobre g = LieG, induz uma decomposi¸c˜ao g = h (M ), a restri¸c˜ao da m´etrica bi-invarinate a m

  eH

  ⊕ m. Podemos identificar m com T induz, por transla¸c˜oes `a esquerda, uma m´etrica G-invariante sobre M . Tal m´etrica ´e usualmente, chamada de m´etrica normal. A escolha canˆonica para a m´etrica bi-invariante sobre g ´e negativo da forma Cartan-Killing, chamaremos tal escolha de

  B, a m´etrica invariante induzida ser´a denotada por g .

  B

  No estudo da condi¸c˜ao Einstein, para a m´etrica g , a representa¸c˜ao isotr´opica

  B desempenha um papel central.

  Um elemento h ∈ H age sobre M por transla¸c˜oes `a esquerda, e a classe eH

  ´e est´avel para a a¸c˜ao. A diferencial de h, dh ´e a diferencial da transla¸c˜ao `a esquerda gerada por h, ou seja, dh = dL , dh ´e um automorfismo de m = T M . A representa¸c˜ao

  h eH

  isotr´opica χ ´e dada por h 7→ dh.

  A representa¸c˜ao χ induz uma representa¸c˜ao de h em m, que ainda ser´a denotada por χ, usando a identifica¸c˜ao de m com T (M ) essas represnta¸c˜oes ser˜ao dadas por:

  

eH

  χ(h) = Ad m (h), para h ∈ H, e para X ∈ h e Y ∈ m temos que χ(X)Y = [X, Y ].

  Sejam X, Y ∈ m, defina

  X X A(X, Y ) = ]], Z ) = , [Z , X]], Y ), (3.9)

  i i i i

  − B([X, [y, Z − B([Z

  i i

  pois B ´e ad(g)-invariante. Wang-Ziller provaram em [Wa-Zi] a seguinte proposi¸c˜ao:

  1

  1 Proposi¸ c˜ ao 3.4. Ric(g ) = A

  B B +

  4

  2 Demonstra¸c˜ao. Seja X ∈ m um vetor unit´ario. Sabemos ([35] Teorema X) que

  1 )X , X) = ] m , [X, X ] m ) + ] l , [X, X ] l )

  i i i i i i

  B(R(X, X B([X, X B([X, X

  4

  3 = ] m , [X, X ] m ) + ], [X, X ]),

  i i i i

  − B([X, X B([X, X

  4 onde . Portanto,

  i

  1

  {X } ´e uma B-base ortonormal de m e X = X

  3

  2 Ric(g )(X, X) = tr (pr m

  (3.10) +

  

B m ◦ adX) B(X, X) − A(X, X)

  4 Como [m, l] , X

  i j

  ⊂ m, e B ´e adg-invariante, a matriz de adX com respeito a {Z } possui a seguinte forma: ! a(X)

  .

  

t

  b(X) −a(X)

  Da´ı,

  2

2 t

  tr m (pr = tr(b(X) ) = ) = m ◦ adX) −B(X, X) + 2tr(a(X)a(X) −B(X, X) + 2A(X, X)

  . Ent˜ao usando agora 3.10, e a desigualdade acima temos:

  1

  1 Ric(g )(X, X) = A(X, X), conforme afirmado.

  B B(X, X) +

  4

  2

  32 O operador A pode ser relacionado ao operador de Casimir [31] da representa¸c˜ao isotr´opica. O operador de Casimir da representa¸c˜ao isotr´opica χ de h com rela¸c˜ao a h ´e definido por: h·, ·i = B|

  X C = χ(X )χ(Y ), (3.11)

  i i χ,h·,·i − i

  onde, , Y .

  i i i j ij

  {X }, {Y } s˜ao bases de h duais com rela¸c˜ao `a h·, ·i, ou seja, hX i = δ Portanto por 3.9 e 3.11

  A(X, Y ) = X, Y ) (3.12) B(C χh·,·i

  Combinando 3.4 com 3.12 Wang-Ziller obtiveram: Corol´ ario 3.5. Se escrevermos o tensor de Ricci como um endomorfismo sim´etrico de m ent˜ao

  1

  1 Ric(g ) = Id + C

  B χB| h

  4

  2 Portanto g ´e Einstein se, e somente se C = aId.

  B χB| h

  O resultado acima, e outros obtidos a partir deste, permitiram a Wang-Ziller classificarem todos os espa¸cos homogˆeneos de grupos de Lie simples sobre os quais a m´etrica normal ´e Einstein [Wa-Zi] p.577-80.

  Sabemos que sobre M = F(n), n ≥ 3, a m´etrica normal ´e Einstein [Wa-Zi].

3.3 M´ etricas Arvanitoyeorgos-Einstein

  Arvanitoyeorgos em [Arv] descreveu v´arias solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Einstein invariante sobre as variedades F(n), n ≥ 4. Ele provou o seguinte Teorema:

  Teorema 3.6 (Arvanitoyeorgos). As variedades F(n), n

  ≥ 4 admitem, a menos da a¸c˜ao do grupo de Weyl, pelo menos 3 classes de m´etricas de Einstein invariantes. A m´etrica n! normal, a m´etricas K¨ahler-Einstein que totalizam, e a classe dada por:

  2 λ = λ = n

  si sj

  − 1, i 6= s, j 6= s λ = n + 1, k, l

  kl

  6= s (1 ≤ s ≤ n) Antes de provar esse teorema, Considere a matriz da m´etrica invariante Λ = (λ ).

  α

  • Posto que a matriz Λ ´e sim´etrica basta considerar λ com α , ou seja, consideraremos

  α

  ∈ R M

  • a parte triangular superior e considere o conjunto das t-ra´ızes positivas R . Podemos

  M ′

  • escrever R = R

  1 2 k , com R s disjuntos. Com a decomposi¸c˜ao acima podemos

  ∪R ∪. . .∪R

  M i

  descrever a seguinte classe de m´etricas invariantes λ = a > 0, α .

  

α i i

  ∈ R

  33 Note que a m´etrica normal pertence a essa classe.

  Agora podemos enunciar o Lema, que nos ser´a ´ util na busca por solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Einstein. Lema 3.7. Se sobre o espa¸co homogˆeneo G/K a m´etrica normal g ´e Einstein, ent˜ao todo

  β

  decomposi¸c˜ao do conjunto dos coeficientes da m´etrica invariante ´e do tipo λ = a > 0, α ,

  

α i i

  ∈ R gera pelo menos uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein.

  Depois de apresentado o lema anterior a demonstra¸c˜ao do Terorema 3.5 ficar´a mais natural, pois a id´eia ´e reduzir o n´ umero de inc´ognitas da equa¸c˜ao de Einstein apli- cando uma redu¸c˜ao sugerida no Lema 3.6. Demonstra¸c˜ao. (Teorema 3.5) Usando o Lema 3.6 temos

  λ = λ (i = 2, 3,

  1i 12 · · · , n)

  (3.13) λ jk = λ

  23 (2

  ≤ j < k ≤ n) A figura abaixo ilustra esta situa¸c˜ao. Os coeficientes da m´etrica invariante que pertencem a uma regi˜ao delimitada na figura ser˜ao tomados iguais. Este processo reduz considerav- elmente o n´ umero de inc´ognitas da equa¸c˜ao de Einstein. n

  − 1 A B n

  − 2 Ap´os este processo as equa¸c˜oes de Einstein ser˜ao dadas por: 1 n

  23

  − 2 −λ

  • r = = c

  12

  

2

  2λ 4n λ

  12

  12

  (3.14)

  1 1 λ

  23

  2 n − 3 r = = c +

  23

  − −

  2

  2λ 4n λ λ λ

  23

  23

  23

  12 A condi¸c˜ao Einstein ´e dada por r 12 = 1n = . Com as condi¸c˜oes

  · · · = r · · · = r n−1n 3.13 mostramos que a equa¸c˜ao de Einstein 3.14 admite uma solu¸c˜ao diferente da solu¸c˜ao normal.

  34 Fa¸camos r = r esta igualdade ´e equivalente a:

  12

  23

  ((n )(λ ) = 0 (3.15)

  23

  12

  12

  23

  − 1)λ − (n + 1)λ − λ Observe que λ = n = n + 1 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima. Podemos

  12

  23

  − 1 e λ considerar tamb´em outras redu¸c˜oes equivalentes a esta, fazendo os elementos do grupo sim´etrico S , n

  n ≥ 4, agirem sobre as restri¸c˜oes. Como o grupo sim´etrico ´e gerado por

  transporsi¸c˜oes basta verificar o efeito destas sobre as restri¸c˜oes 3.13, por exemplo se fizermos a transposi¸c˜ao (1 3) agir sobre 3.13 obteremos as condi¸c˜oes: λ = λ (i = 2, 3,

  3i

13 · · · , n)

  λ jk = λ

  12 (1

  ≤ j < k ≤ n) j, k 6= 3 As condi¸c˜oes acima nos conduzem, a menos de permuta¸c˜ao, `as mesmas solu¸c˜oes do caso anterior e se continuarmos procedendo desta maneira, ou seja, considerando ap´os este outro conjunto de restri¸c˜oes obtido atrav´es da a¸c˜ao da transposi¸c˜ao (1 4) em 3.13, obteremos todas as n solu¸c˜oes.

  Uma maneira direta de encotrar as demais solu¸c˜oes, ´e escrever a matriz da primeira m´etrica obtida e aplicar as transposi¸c˜oes geradoras de S n diretamente nesta matriz. Assim teremos ao todo n solu¸c˜oes n˜ao-K¨ahler, para a equa¸c˜ao de Einstein sobre F (n), n

  ≥ 4 ([Arv] p.991). Estas m´etricas n˜ao s˜ao isom´etricas `a m´etrica normal. O que prova o Teorema.

  Para n = 4, Sakane provou que n˜ao existem, outras m´etricas de Einstein in- variantes sobre F(4) [Sak]. Sakane fez uso de recursos computacionais para obter tal resultado.

  ´ E importante salientar que no c´alculo acima 3.15, n˜ao foi levado em considera¸c˜ao se a m´etrica em quest˜ao possui volume unit´ario ou n˜ao.

  Para ilustrar, veremos em F(4), de maneira an´aloga ao que fizemos com F(3) no cap´ıtulo anterior, mas agora utilizando o subgrupo de permuta¸c˜oes S < S . A equa¸c˜ao

  3

  4

  de Einstein se reduzir´a a

  1

  1

  23

  −2λ

  ′ ′ ′

  r = r + = r = ( ) = c

  12

  13

  14

  2

  2λ 16 λ

  

12

  12

  1 1 λ

  3

  23 ′ ′ ′

  • r = r = r = ( ) = c

  23

  24 14 −

  2

  2λ

  

23

  16 λ λ

  23

  12

  2 Comparando as equa¸c˜oes e multiplicando-a por 16λ λ , temos

  23

  12

  2

  2

  2

  2

  2

  2 8λ λ = 8λ + λ + 8λ λ = 0.

  12

  23

  12

  23

  − 2λ

  23

  12 23 − 3λ 12 ⇒ −3λ 23 − 5λ

  12 Novamente, ajustando o volume da variedade de modo que λ = 1, segue que

  23 λ = 1 ou λ = 3/5.

  12

  12

  35 Portanto as m´etricas dadas por     0 1 1 1 0 3 3 3     1 0 1 1 3 0 5 5         ou     1 1 0 1 3 5 0 5     1 1 1 0 3 5 5 0 s˜ao m´etricas de Einstein.

3.4 M´ etricas Senda-Einstein

  Sakane e Senda descreveram solu¸c˜oes diferentes das solu¸c˜oes obtidas por Arvani- toyeorgos para a equa¸c˜ao de Einstein invariante sobre as variedades F(2m), m ≥ 3. Este ´e o conte´ udo do pr´oximo resultado.

  Teorema 3.8 (Sakane-Senda). [Sak] As variedades F(2m), m ≥ 3, admitem pelo menos 4 classes de m´etricas de Einstein invariantes.

  (2m)!

  1. A classe formada pelas m´etrics K¨ahler que cont´em ao todo m´etricas,

  2

  2. A classe descrita por Arvanitoyeorgos, que cont´em ao todo 2m m´etricas,

  3. A classe formada pela m´etrica normal e 4. a classe de m´etricas Einstein n˜ao-K¨ahler, que chamaremos de metricas de Senda, dadas por:

  λ = m + 2 (1

  ij

  ≤ i < j ≤ m) . (3.16)

  λ = 3m

  ij

  − 2 (i ≤ m < j) λ ij = m + 2 (m < i < j

  ≤ 2m) Demonstra¸c˜ao. Observe que sobre estes espa¸cos a m´etrica normal ´e Einstein. Portanto pelo Lema 3.6 todo e qualquer conjunto de restri¸c˜oes produz pelo menos uma solu¸c˜ao.

  Neste caso: λ = A (1

  ij

  ≤ i < j ≤ m) . (3.17)

  λ = B (i

  ij

  ≤ m < j) λ ij = C (m < i < j

  ≤ 2m) A figura abaixo ilustra esta situa¸c˜ao. Os coeficientes da m´etrica invariante que pertencem a uma regi˜ao delimitada na figura ser˜ao tomados iguais. Este processo reduz considerav- elmente o n´ umero de inc´ognitas da equa¸c˜ao de Einstein.

  36 A B C As equa¸c˜oes de Einstein s˜ao dadas por:

  λ

  1

  1 12 2−m −2

  r = + + + m 2 = c

  12 2λ 8m λ λ 12 12 12 λ 1n

  1 1 (1−m)λ 12 (1−m)λ n−1n

  • r = 2 + m = c (3.18)

  1n nλ 12 8m λ λ 1n 12 λ n−1n

  1

  1 2−m −2

  • r = + m = c +
  • 2

      n−1n 2λ 8m λ λ

    n−1n n−1n n−1n λ

    1n

      Uma m´etrica Riemanniana ´e de Einstein se, e somente se r = =

      12 1n

      · · · = r · · · = r . Mostraremos que, com as condi¸c˜oes acima 3.17, a equa¸c˜ao de Einstein 3.18 admite

      n−1n

      solu¸c˜ao diferente da m´etrica normal. Com as codi¸c˜oes acima devemos buscar solu¸c˜oes para, r

      12 = r 1n = r . Fa¸camos inicialmente, r 12 = r . Esta igualdade ´e equivalente n−1n n−1n

      a

      2

      (λ )(λ (m + 2) + mλ λ ) = 0 (3.19)

      12

      12 n−1n − λ 1n n−1n

      Observe que λ = λ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima. Precisamos encontrar λ

      12 1n n−1n

      de tal modo que r

      12 = r 1n . Podemos considerar que, a menos de escala, a m´etrica Einstein

      procurada possui λ = λ = 1. Desse modo r = r ´e equivalente a

      12 12 1n n−1n

      2

      (m + 2)λ (3.20)

      

    1n

    1n − 4mλ − 2 + 3m = 0.

      A equa¸c˜ao acima admite, para m = 1, e a outra solu¸c˜ao ´e

      1n

      ≥ 2 a solu¸c˜ao λ

      3m−2

      dada fazendo λ = . Multiplicando por m + 2, obtemos λ = λ = m + 2 e

      1n 12 n−1n m+2

      λ 1n = 3m − 2. Observe que para m = 2 obtemos sobre F(4), a menos de escala, a m´etrica normal.

      Para verificar que essas m´etricas s˜ao de fato diferentes das demais m´etricas de Einstein, vamos calcular a constante de Einstein. Calculando a constante de Einstein, diretamente de qualquer uma das equa¸c˜oes 3.18 temos:

      3

      2

      m + 4m + 7m − 2 c = m (3.21)

      ≥ 3. 8m(3m

      − 2)

    • n
    • 7n

      14

      Na tentativa de entender a constru¸c˜ao das m´etricas de Sakane-Senda calculamos a seguinte m´etrica invariante sobre F(5), que al´em das solu¸c˜oes normal, K¨ahler e de Arvanitoyeorgos obtidas por m´etodos j´a apresentados nessa disserta¸c˜ao, surgiu um outro m´etodo dado por Evandro Santos e Caio Negreiros, que ´e o que foi usado tanto para o c´alculo das m´etricas em F(3) e F(4), como visto em anteriormente, que ´e o uso da a¸c˜ao do grupo de permuta¸c˜ao na equa¸c˜ao de Einstein. No caso de F(5) usaremos o subgrupo S = h(1, 2) ◦ (4, 5), (1, 4) ◦ (2, 5)i < S

      4

      e, usando as condi¸c˜oes necess´arias de simetrias para que a equa¸c˜ao seja Einstein chega-se a λ

      12

      = λ

      13

      = λ

      23

      , λ

      = λ

      5 0 5 7 7 7 5 5 0 7 7 7 7 7 7 0 5 5 7 7 7 5 0 5 7 7 7 5 5 0

      15

      = λ

      24

      = λ

      25

      e λ

      34

      = λ

      35

      = λ

                  .

      A m´etrica de Senda sobre F(6) ´e:             0 5 5 7 7 7

      37 Precisamos por´em obter o valor da constante de Einstein impondo a condi¸c˜ao de volume unit´ario. Sabemos que o volume de uma m´etrica invariante sobre M ´e dado por [Arv], [Kim]:

      − 2) 2n−2 q (

      V = n + 4 2 n (n−2) 2

      · 3n − 4

      2 n2 2 . (3.22)

      Desse modo a constante de Einstein da m´etrica normalizada ´e dada por: c

      Senda

      = (

      n 3

      8

      2

      2

      n+4

      Exemplo 3.9.

      2

      )

      n(n−2)

      · (

      3n−4

      2

      )

      n 2

      2n(3n − 4)

      (3.23) Comparando com a constante e Einstein das demais m´etricas de Einstein n˜ao- K¨ahler podemos concluir que elas n˜ao s˜ao isom´etricas. O que encerra a demonstra¸c˜ao.

      45 .

    • λ
    • λ
    • λ
    • λ
    • λ
    • λ

      λ

      − λ

      34

      λ

      14

      λ

      13

      − λ

      34

      13

      λ

      λ

      14

      20 λ

      14

      1 2λ

      = c (I)

      12

      5 λ

      34

      13

      14

      20 λ

      34 λ

      λ

      13

      − λ

      14

      13 λ

      λ

      34

      34

      λ

      1 2λ

      = c (II)

      14

      2

      λ

      12 + λ 45 )

      − (λ

      14

      −

      2

      − λ

      24

      λ

      34

      k=2

      | {z }

      34

      λ

      23

      λ

      − λ

      λ

      24

      λ

      34

      λ

      23

      − λ

      24

      λ

      35

      45

      λ

      λ

      12

      20 2λ

      12

      1 2λ

          e usando as rela¸c˜oes obtidas pelo subgrupo de permuta¸c˜oes S, temos

      k=5

      | {z }

      34

      35

      − λ

      λ

      45

      − λ

      45

      λ

      34

      λ

      35

      14

      14

      λ

      2

      14

      12

      2

      λ

      14

      12

      λ

      14

      3 14 − λ 2 12 − 9λ

      12

      (iii) 3λ

      14 = 0

      − 2λ

      12

      2

      12 + 2λ 14 λ

      λ

      14

      λ

      − 3λ

      − 9λ

      > 0, temos −λ

      14

      = 1 ou λ

      14

      ⇒ λ

      14

      2 14 − 8λ

      14

      3

      12

      14

      e, como λ

      = 1

      12

      = 0 ou λ

      12

      = 0 Subtraindo as 2 primeiras, somando com a terceira chegamos a λ

      12

      − λ

      2

      12

      λ

      34 λ

      1 λ

      −

      34

      23 λ

      λ

      24

      − λ

      24

      λ

      = c (III) Fazendo (I)=(II), (I)=(III), (II)=(III) e ajustando o volume da variedade de forma que λ

      23

      − λ

      24

      

    23 λ

      λ

      

    34

      14

      13 λ

      34

      34

      2

      λ

      14

      2

      14

      3

      = 0 (ii) 2λ

      12

      14

      12

      14

      = 1, obtemos as seguintes equa¸c˜oes (i)

      2 12 − 10λ

      λ

      14

      14

      2

      14

      3

      −λ

      23

      34

      = 2

      12

      12

      λ

      15

      − λ

      25

      λ

      15

      λ

      k=4

      25

      | {z }

      12

      λ

      14

      λ

      24

      − λ

      24

      λ

      − λ

      12

      14

      ′

      = r

      24

      ′

      = r

      15

      ′

      = r

      ′

      25

      , r

         

      k=5

      | {z }

      12

      λ

      15

      λ

      λ

      λ

      =

      =

      13

      λ

      12

      λ

      20    

      1

      12

      1 2λ

      23

      23

      ′

      = r

      13

      ′

      = r

      12

      ′

      38 Desse modo as equa¸c˜oes da equa¸c˜ao de Einstein se reduz a 3. Dadas por r

      λ

      − λ

      14

      12

      − λ

      24

      λ

      14

      λ

      12

      k=3

      | {z }

      λ

      13

      13

      λ

      23

      − λ

      23

      λ

      12

      λ

      25

      1 2λ

      k=1

      34

      1 2λ

      =

      45

      ′

      = r

      35

      ′

      = r

      ′

      1

      , r

         

      k=5

      | {z }

      14

      15 λ

      λ

      45

      34

      20    

      45

      λ

      | {z }

      34

      λ

      13

      λ

      14

      − λ

      14

      34

      λ

      λ

      13

      − λ

      14

      λ

      13

      λ

      34

      − λ

      14 λ

      14

      λ

      | {z }

      14

      12 λ

      λ

      24

      − λ

      24

      14 λ

      12

      14

      − λ

      24

      12 λ

      λ

      14

      λ

      20    

      1

      k=2

      λ

      λ

      14

      15

      − λ

      45

      15 λ

      λ

      14

      k=3

      | {z }

      13 λ

      13 λ

      λ

      34

      − λ

      34

      14 λ

      λ

      13

      − λ

      34

    • 1
    • 1
    • 1
    • λ
    • λ
    • λ
    • λ
    • 10λ
    • 4 = 0

      39 Portanto, para todos os casos, a m´etrica de Einstein que ainda n˜ao havia sido mencionanda ´e a dada por λ

      14

      = 2, ou seja,          0 1 1 2 2

      1 0 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 0

               .

      Normalizando o volume obtemos c

      

    5

      =

      11 5

      4

      40

      . Como podemos perceber, esta m´etrica ´e n˜ao-K¨ahler e n˜ao ´e isom´etrica a nenhuma das demais m´etricas de Einstein descritas sobre F(5) em [Arv].

      Acreditamos que, al´em desta, n˜ao existam, a menos de isometrias e de escala, outras m´etricas de Einstein invairnates sobre F(5).

    3.5 Novas m´ etricas de Einstein

      F (2m + 2), m ≥ 5.

      λ

      (3.24)

      λ ij = m + 6 (m + 2 ≤ i < j ≤ 2m + 2)

      = 3m − 2 (i ≤ m + 1 < j)

      ij

      λ

      = m + 6 (1 ≤ i < j ≤ m + 1)

      ij

      4. A classe formada pela m´etrica normal e, 5. a classe:

      Teorema 3.10.

      3. A classe descrita por Senda 3.16,

      2. A classe descrita por Arvanitoyeorgos [Arv], que cont´em ao todo 2m + 2 m´etricas,

      m´etricas,

      2

      (2m+2)!

      1. A classe formada pelas m´etricas K¨ahler que cont´em ao todo

      Nesta se¸c˜ao descreveremos solu¸c˜oes obtidas nesta tese, para a equa¸c˜ao de Einstein invar- inate sobre as variedaddes F(2m + 2), m ≥ 5 e F(2m + 1), m ≥ 6. Come¸camos com

      As variedades F(2m + 2), m ≥ 5, admitem pelo menos 5 classes de m´etricas de Einstein invariantes.

      40 Demonstra¸c˜ao. Como a m´etrica normal ´e Einstein, todo e qualquer conjunto de restri¸c˜oes produz pelo menos uma solu¸c˜ao. Neste caso propomos as seguintes restri¸c˜oes: λ = A (1

      ij

      ≤ i < j ≤ m + 1) . (3.25)

      λ = B (i

      ij

      ≤ m + 1 < j) λ = C (m + 2

      ij

      ≤ i < j ≤ 2m + 2) A figura abaixo representa as condi¸c˜oes acima. Os coeficientes que pertencem a uma mesma regi˜ao ser˜ao tomados iguais. Assim o n´ umero de inc´ognitas da equa¸c˜ao de Einstein, reduz consideravelmente.

      A B C Ap´os essas restri˜oes as equa¸c˜oes de Einstein s˜ao dadas por:

      1

    1 λ

    12

    2−m −2

      r = + m + + 2 = c

      12 2λ 8m+8 λ λ 12 12 12 λ 1n

      1 1 (1−m)λ

      r = 2 + m = c . (3.26) 12 (1−m)λ n−1n

    • 1n nλ 8m+8 λ λ
    • 12 1n 12 λ

        1

        1 n−1n 2−m −2

        r = + m + + 2 = c

        n−1n 2λ n−1n 8m+8 λ n−1n λ n−1n λ 1n

        Uma m´etrica Riemanniana ´e de Einstein se, e somente se a curvatura de Ricci for constante, isto ´e, r = = . Mostraremos que, com as restri¸c˜oes acima

        12 1n

        · · · = r · · · = r n−1n 3.25, a equa¸c˜ao de Einstein 3.26 admite uma solu¸c˜ao diferente da m´etrica normal. Com as codi¸c˜oes acima devemos buscar solu¸c˜oes para, r = r = r . Fa¸camos inicialmente,

        12 1n n−1n

        r

        12 = r . Esta igualdade ´e equivalente a n−1n

        

      2

        (λ )((m + 6)λ λ ) = 0 (3.27)

        12

        12 n−1n − λ 1n − mλ n−1n

        Observe que λ = λ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima. Precisamos encontrar λ

        12 1n n−1n

        de tal modo que r = r . Podemos supor que, a menos de escala, a solu¸c˜ao procurada

        12 1n

        ´e tal que λ

        12 = λ = 1. Assim r 12 = r 1n ´e equivalente a n−1n

        2

        (m + 6)λ (3.28)

        1n 1n − (4m + 4)λ − 2 + 3m = 0.

      • 27m
      • 54(n

        2

        8n(3n − 6)

        2 (n−2) 2

        3n−10

        ·

        2 n(n−2)

        n+10

        − 16(n − 2) + 96) 2n(n−1) q

        − 2)

        Finalmente, podemos tratar da equa¸c˜ao de Einstein sobre as variedades F(2m+1), m ≥ 6, enunciando o seguinte.

        3

        (5(n − 2)

        . (3.31) Desse modo a constante de Einstein de m´etrica normalizada ´e dada por cpar =

        (n−2) 2

        2

        · 3n − 10

        n(n−2)

        . (3.32) Comparando com a constante de Einstein das demais m´etricas de Einstein n˜ao- K¨ahler podemos concluir que elas n˜ao s˜ao isom´etricas, isso encerra a demonstra¸c˜ao.

        Teorema 3.11.

        Precisamos por´em, obter o valor da constante de Einstein impondo a condi¸c˜ao de volume unit´ario. O volume ´e dado por 3.22. Assim, V = s n + 10

        λ

        λ ij = 1 (m + 1 ≤ i < j ≤ 2m + 1),

        2 (i < m + 1 < j)

        − 8m + 12

        2

        √ m

        = (m + 2) +

        ij

        = 1 (1 ≤ i < j ≤ m + 1)

        As variedades F(2m + 1), m ≥ 6, admitem pelo menos 5 classes de m´etricas de Einstein invariantes.

        ij

        3. A classe formada pela m´etrica normal e as classes: λ

        2. A classe descrita por Arvanitoyeorgos[5], que cont´em ao todo 2m + 1 m´etricas,

        m´etricas,

        2

        (2m+1)!

        1. A classe formada pelas m´etricas K¨ahler-Einstein que cont´em ao todo

        2

        − 6) . (3.30)

        (3.33)

        12

        2(2m + 2)(3m − 2)

        Essas m´etricas n˜ao s˜ao isom´etricas `a nenhuma das m´etricas de Einstein conheci- das. Verificaremos este fato analisando suas constantes de Einstein. De fato, substi- tuindo os coeficientes da m´etrica em qualquer uma das equa¸c˜oes 3.26 obtemos c =

        = 3m − 2.

        1n

        = m + 6 λ

        n−1n

        = λ

        ≥ 5 λ

        − (3m − 2)

        . Observe que para m = 4 obtemos, a menos de escala, sobre F(10) a m´etrica normal. Por fim, a menos de escala, obtemos para m

        3m−2 m+6

        =

        1n

        = 1, a outra solu¸c˜ao ´e dada por λ

        1n

        41 A equa¸c˜ao 3.28 admite, para m ≥ 4 a solu¸c˜ao λ

        2

        3

        − 16(n − 2) + 96 8n(3n

        . (3.29) Escrevendo m =

        2

        − 2)

        3

        − 2)

        , a express˜ao 3.29 pode ser reescrita como: c = 5(n

        2

        n−2

        2

        = m(m + 6)

        − 2)

        − 4m + 12 2(2m + 2)(3m

        2

        3

        = 5m

        2

        4(2m + 2)(3m − 2)

        2

      • 54(n

        42 4.

        λ = 1 (1

        ij

        ≤ i < j ≤ m + 1) √

        2

        (m + 2) + m − 8m + 12

        (3.34) λ = (i < m + 1 < j)

        ij

        2 λ ij = 1 (m + 1

        ≤ i < j ≤ 2m + 1), Demonstra¸c˜ao. Considere o conjunto de restri¸c˜oes:

        λ = A (1

        ij

        ≤ i < j ≤ m + 1) (3.35)

        λ = B (i < m + 1 < j)

        ij

        λ = C (m + 1 ij ≤ i < j). A figura abaixo representa as redu¸c˜oes acima. Os coeficientes da m´etrica invariante, que pertencem a uma mesma regi˜ao tomados iguais. Novamente vemos que este processo reduz consideravelmente o n´ umero de inc´ognitas da equa¸c˜ao de Einstein.

        A B C As equa¸c˜oes de Einstein nesta situa¸c˜ao 3.35 s˜ao dadas por:

        1 1 λ 1−m −2 12

        = + m + r + 2 = c

        12 2λ 8m+4 λ λ λ 12 12 12 λ λ λ 12 1n n−1n n−1n

        1 1 (1−m)λ (1−m)λ 1n 12

        = + + r + 2 2 = c (3.36)

        1n

        − −

        

      nλ 8m+4 λ λ λ λ12

      12 λ λ 1n 1n 12 λn−1n 1n λn−1n 1n mλ 1 1 n−1n (3m−1) r = = c. 2

      • n−1n

        −

        2λ 8m+4 λ λ n−1n n−1n 1n

        Com as condi¸c˜oes acima devemos buscar solu¸c˜oes para, r = r = r . Di-

        12 1n n−1n

        vidiremos a condi¸c˜ao Einstein em duas partes. A primeira parte da condi¸c˜ao de Einstein

        2 ser´a, r = r e ela ´e equivalente a (λ )[(m + 3)λ λ ] = 0. 12 − λ 12 − mλ

        12

      n−1n n−1n 1n n−1n

        Observe que λ = λ

        12 ´e solu¸c˜ao da igualdade acima. Mostraremos que existem n−1n

        solu¸c˜oes para a segunda parte da condi¸c˜ao de Einstein: r = r . Podemos supor que a

        12 1n

        menos de escala as solu¸c˜oes s˜ao λ = λ = 1, desse modo r = r se e somente se

        12 12 1n n−1n

        2

        λ = 1 ou λ satisfaz a equa¸c˜ao λ + (3m

        1n 1n 1n 1n − (m + 2)λ − 2) = 0, cujas solu¸c˜oes s˜ao:

        √

        

      2

        (2 + m) m ± − 8m + 12

        λ = , m

        1n ≥ 6.

        2

        − 2

      • 1

        − 4n + 16 !

        2

        − 1)

        − p (n

        2

        n+3

        4n 2n

        43 Substituindo os coeficientes das m´etricas acima em qualquer uma das equa¸c˜oes 3.36 e fazendo m =

        2

        1

        =

        1

        , temos que as constantes de Einstein destas m´etricas, s˜ao dadas por: c

        2

        n−1

        2 . Cap´ıtulo 4 Apˆ endice da disserta¸ c˜ ao

        Defini¸ c˜ ao 4.1. Uma ´ Algebra de Lie consiste de um espa¸co vetorial g munido de um produto (colchete ou comutador) [ , ] : g

        × g → g com as seguintes propriedades: 1. ´e bilinear, 2. anti-sim´etrico, isto ´e, [X, X] = 0 para todo X

        ∈ g (o que implica [X, Y ] = −[Y, X] para todo X, Y ∈ g ´e equivalente se o corpo de escalares n˜ao ´e de caracter´ıstica dois) e

        3. satisfaz a identidade de Jacobi, isto ´e, para todo X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0.

        Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas (a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] (b) [[X, Y ], Z] = [[X, Z], Y ] + [X, [Y, Z]].

        Defini¸ c˜ ao 4.2.

        Seja g uma ´algebra de Lie. Uma sub´algebra de g ´e um subespa¸co vetorial h de g que ´e fechado pelo colchete, isto ´e, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h.

        45 Defini¸ c˜ ao 4.3. Uma transforma¸c˜ao linear ψ : g → h (com g e h ´algebras de Lie) ´e um

      • homomorfismo se ψ[X, Y ] = [ψX, ψY ];
      • isomorfismo se for um homomorfismo invers´ıvel; • automorfismo se ´e um isomorfismo e g = h.

        As ´algebras g e h s˜ao isomorfismo se existe um isomorfismo ψ : g → h. Defini¸ c˜ ao 4.4.

        Um subespa¸co h ⊂ g ´e um ideal se

        ∀Y ∈ h, X ∈ g, [X, Y ] ∈ h, isto ´e, [g, h] = {[X, Y ] : X ∈ g, Y ∈ h} ⊂ h.

      4.1 Teoremas de isomorfismos Defini¸ c˜ ao 4.5.

        Seja g uma ´algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. No espa¸co vetorial quociente g /h, defina

        [X, Y ] = [X, Y ] onde X denota a classe X + h.

        Teorema 4.6. Seja ψ : g → h um homomorfismo. Ent˜ao, g / ker ψ

        ≈ im ψ. O isomorfismo ´e dado por X

        ∈ g/ ker ψ 7→ ψ(X) ∈ im ψ. A demosntra¸c˜ao desse teorema ´e a usual. Teorema 4.7. Sejam g ´algebra de Lie e h , h

        1

        2

        ⊂ g ideais de g. Ent˜ao, (h + h )/h /h .

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        ≈ h ∩ h O isomorfismo ´e obtido passando ao quociente o homomorfismo x + x + h /h .

        1

        2

        1

        2

        2

        2

        1

        2

        ∈ h 7→ x ∈ h ∩ h

        46 Defini¸ c˜ ao 4.8. Sejam g , . . . , g ´algebras de Lie e

        1 n

        g = g

        1 n

        ⊕ · · · ⊕ g sua soma direta como espa¸co vetoriais. Isto ´e, g = g com a estrutura vetorial

        1 n

        × · · · × g protudo. Para X = (X , . . . , X ) e Y = (Y , . . . , Y ), a express˜ao

        1 n 1 n

        [X, Y ] = ([X , Y ], . . . , [X , Y ])

        1 1 n n

        define em g uma estrutura de ´algebra de Lie em que a i-´esima componente ´e um ideal isomorfo a g i

      4.2 Representa¸ c˜ oes

        Seja V um espa¸co vetorial e gl(V ) a ´algebra de Lie das transforma¸c˜oes lineares de V . Seja tamb´em g uma ´algebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares de V ). Uma representa¸c˜ao de g em V ´e um homomorfismo

        ρ : g 7→ gl(V ). Na terminologia usual, V se denomina o espa¸co da representa¸c˜ao enquanto que sua dimens˜ao ´e a dimens˜ao da representa¸c˜ao. Uma representa¸c˜ao ´e dita fiel se kerρ =

        {0}. Para um elemento X na ´algebta de Lie g, considere a transforma¸c˜ao linear ad(X):g

        7→ g definida por ad(X)(Y )=[X, Y ]. A aplica¸c˜ao ad:g

        7→ gl(g) define uma representa¸c˜ao de g em g, denominada representa¸c˜ao adjunta. O n´ ucleo da representa¸c˜ao adjunta ´e denominado centro de g e ´e denotado por z(g): z

        (g)= {X ∈ g:ad(X)(Y )= [X, Y ] = 0 para todo Y ∈ g}

        Isto ´e, o centro de uma ´algebra de Lie ´e o conjunto de seus elementos que comutam com todos os seus elementos.

        De forma mais geral, o centralizador de um subconjunto A ⊂ g ´e definido como sendo z (A)= {Y ∈ g : ∀X ∈ A, [X, Y ] = 0}.

        47

        ∗

        Dada uma representa¸c˜ao ρ de g em V , pode-se tomar a representa¸c˜ao ρ de g no

        ∗

        dual V de V dada pela f´omula

        

      ∗ ∗

        ρ (X)(λ) = −λ ◦ ρ(X) λ ∈ V

        ∗

        A verifica¸c˜ao de que ρ definida desta forma ´e, de fato, uma representa¸c˜ao, ´e imediata. O sinal negativo que aparece nessa defini¸c˜ao ´e necess´ario para que os colchetes apare¸cam na ordem certa.

        ∗ ∗

        A representa¸c˜ao ad em g dual da representa¸c˜ao adjunta ´e denominada repre- senta¸c˜ao co-adjunta.

      4.3 Deriva¸ c˜ oes Defini¸ c˜ ao 4.9.

        Uma aplica¸c˜ao linear D : g → g ´e uma deriva¸c˜ao da ´algebra de Lie g se satisfaz

        D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ] para todo X, Y ∈ g

        De forma mais geral, uma deriva¸c˜ao de uma ´algebra ´e uma transforma¸c˜ao linear que satisfaz a regra de Leibniz de derivada de um produto D(xy) = D(x)y + xD(y). Um tipo de deriva¸c˜ao que aparece com freq¨ uˆencia na teoria s˜ao as adjuntas dos elementos de g. Deriva¸c˜oes desse tipo s˜ao denominadas deriva¸c˜oes internas.

        Proposi¸ c˜ ao 4.10.

        Seja g uma ´algebra de Lie real de dimens˜ao finita e D : g → g uma

        tD

        transforma¸c˜ao linear. Ent˜ao, D ´e uma deriva¸c˜ao se e s´o se para todo t ´e ∈ R, e automorfismo de g.

        Demonstra¸c˜ao.

        tD

        Suponha que para todo real t, e seja automorfismo, isto ´e,

        tD tD tD

        e [X, Y ] = [e X, e Y ] para todo X, Y ∈ g. A derivada desta igualdade, como fun¸c˜ao de t, se escreve

        

      tD tD tD tD tD

        De [X, Y ] = [De X, e Y ] + [e X, De Y ] que, avaliada em t = 0, mostra que D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X, DY ], isto ´e, D ´e deriva¸c˜ao. Por outro lado, assumindo que D ´e deriva¸c˜ao, sejam as curvas em g dadas por

        48

        

      tD

        α(t) = e [X, Y ]

        tD tD β(t) = [e X, e Y ].

        Tem-se α(0) = [X, Y ] = β(0),

        tD ′

        α (t) = De [X, Y ] = Dα(t) e

        

      tD tD tD tD tD tD

        β (t) = [De X, e Y ] + [e X, De Y ] = D[e X, e Y ] = Dβ(t), pois D ´e deriva¸c˜ao. Portanto, α e β satisfazem a mesma equa¸c˜ao diferencial linear e tˆem as mesmas condi¸c˜oes iniciais e da´ı que α = β.

      4.4 S´ eries

        Tomando como sempre, g como sendo uma ´algebra de Lie, para dois subconjuntos A e B de g ser´a usada a nota¸c˜ao [A, B] para indicar o subespa¸co gerado por {[X, Y ] : X ∈ A, Y ∈ B}.

        Define-se por indu¸c˜ao, os seguintes subespa¸cos de g:

        (0)

        g = g

        ′

        g = [g, g] ...

        (k) k−1 k−1

        g = [g , g ]. Essa seq¨ uˆencia de ideais ´e conhecida por s´erie derivada.

        Esses subespa¸cos s˜ao claramente ideiais de g.

        (k) (k−1)

        Proposi¸ c˜ ao 4.11.

        O quociente g /g ´e uma ´algebra abeliana.

        (k) (k−1)

        De fato, para todo X, Y , [X, Y ] .

        ∈ g ∈ g Esse resultado, tamb´em vale para as s´eries com a seguinte defini¸c˜ao:

        Defini¸ c˜ ao 4.12. A s´erie central descendente da ´algebra de Lie g ´e definida, por indu¸c˜ao, como

        1

        g = g

        2 ′

        g = [g, g] = g ...

        k k−1

        g = [g, g ].

        49 Proposi¸ c˜ ao 4.13.

        i j i+j 1. [g , g ] .

        ⊂ g

        k

        2. g ´e o subespa¸co gerado por todos os poss´ıveis produtos (colchetes) envolvendo k elementos de g : [X , . . . , [X , X ] . . .].

        1 k k−1

        Demonstra¸c˜ao.

        i+1

        1. Por indu¸c˜ao sobre j. Para j = 1 a inclus˜ao ´e a defini¸c˜ao de g . Assumindo o resultado para j,

        i j+1 i j i j j i

        [g , g ] = [g , [g , g]] , g ], g] + [g , [g , g]] ⊂ [[g

        i+j j i+1

        , g] + [g , g ] ⊂ [g

        i+j+1

        ⊂ g

        2. Para k = 1 ou 2, ´e imediato a partir da defini¸c˜ao. Para k ≥ 2, usa-se indu¸c˜ao sobre

        P

        k−1

        k. Assuma o resultado para k s˜ao ent˜ao da forma Z

        i

        − 1. Os elementos de g

        i k

        com Z produto de k ´e gerado por elementos da

        i

        − 1 elementos de g. Da´ı que g forma

        X [X i , Z i ],

        i isto ´e, por produtos de k elementos.

        Vice-versa, todo elemento de g que pode ser escrito como produto de k elementos

        k est´a em g como segue do item anterior.

        Proposi¸ c˜ ao 4.14. A s´erie derivada decresce mais r´apido que a s´erie central descendente:

        

      (k) k+1

        g ⊂ g Demonstra¸c˜ao.

        (k) k+1

        Por indu¸c˜ao. Supondo g , ent˜ao ⊂ g

        

      (k+1) (k) (k) k+1 k+2

        g = [g , g ] ] = g , ⊂ [g, g o que mostra o passo de indu¸c˜ao.

        50

        ´

      4.5 Algebras sol´ uveis Defini¸ c˜ ao 4.15.

        Uma ´algebra ´e sol´ uvel se alguma de suas ´algebras derivadas se anula, isto ´e,

        (k )

        g = 0

        (k) para algum k = 0 para todo k ).

        ≥ 1 (e, portanto, g ≥ k Defini¸ c˜ ao 4.16. Uma ´algebra de Lie ´e nilpotente se sua s´erie central descendente se anula em algum momento, isto ´e,

        k

        g =

        {0} para algum k = 0 para todo k ).

        k

        ≥ 1 (e, portanto, g ≥ k Proposi¸ c˜ ao 4.17.

        Se g ´e sol´ uvel e h ⊂ g ´e sub´algebra, ent˜ao h tamb´em ´e sol´uvel. Demonstra¸c˜ao.

        As ´algebras derivdas sucessivas de h est˜ao contidas nas corspondentes ´algebras derivadas de g. Portanto, h ´e sol´ uvel se g o for.

        Proposi¸ c˜ ao 4.18. Se g ´e sol´ uvel e h ⊂ g ´e um ideal, ent˜ao g/h tamb´em ´e sol´uvel. Demonstra¸c˜ao.

        (k) (k)

        Como (g/h) = π(g ), se alguma ´algebra derivada de g se anula, o mesmo ocorre com a ´algebra derivada correspondente de g/h.

        Proposi¸ c˜ ao 4.19. Seja g uma ´algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. Suponha que tanto h quanto g/h sejam sol´ uveis. Ent˜ao, g ´e sol´ uvel.

        Demonstra¸c˜ao.

        (k ) (k) (k) (k ) 1 1 Seja k 1 tal que (g/h) = ) = (g/h) , tem-se que π(g ) = 0.

        {0}. Por π(g

        (k ) 1 (k ) 2 Isso significa que g tal que h =

        2

        ⊂ h. Como h ´e sol´uvel, existe k {0}. Da´ı que

        (k +k ) (k ) (k ) (k ) 1 2 1 2 2

        g = (g ) = ⊂ h {0}. Portanto, g ´e sol´ uvel.

        Observa¸ c˜ ao 4.20. O mesmo vale para ´algebras nilpotentes.

        51

        4.6 Radicais sol´ uveis Proposi¸ c˜ ao 4.21.

        Seja g ´algebra de Lie de dimens˜ao finita. Ent˜ao, existe em g um ´ unico ideal sol´ uvel r ⊂ g que cont´em todos os ideais sol´uveis de g.

        Demonstra¸c˜ao.

        Denote por n o m´aximo das dimens˜oes dos ideais sol´ uveis de g e seja r um ideal sol´ uvel com dim r = n. Ent˜ao, todo ideal sol´ uvel de g est´a contido em r. De fato, se h ´e ideal sol´ uvel, r + h tamb´em ´e. Pela maximalidade da dimens˜ao, dim(r + h) = dim r e da´ı que r + h

        ⊂ r e h ⊂ r. Portanto, r cont´em todos os ideais sol´uveis e ele ´e evidentemente o ´ unico.

        Defini¸ c˜ ao 4.22. O ideal r da proposi¸c˜ao anterior ´e chamado de radical sol´ uvel (ou sim- plismente radical) de g. Para o radical de g ser´a utilizada a nota¸c˜ao r(g).

        ´

        4.7 Algebras simples e ´ algebras semi-simples Defini¸ c˜ ao 4.23.

        Uma ´algebra de Lie g ´e semi-simples se r (g) = 0 (isto ´e, n˜ao cont´em ideais sol´ uveis al´em de 0). Defini¸ c˜ ao 4.24. Uma ´algebra g ´e simples se

        1. os ´ unicos ideais de g s˜ao 0 e g 2. dim g

        6= 1 Proposi¸ c˜ ao 4.25. Sejam g uma ´algebra de Lie que n˜ao ´e sol´ uvel e h ⊂ g um ideal sol´uvel. Ent˜ao, g/h ´e semi-simples se e s´o se h = r(g). Demonstra¸c˜ao.

        Suponha que h = r(g). Seja π : g → g/r(g) o homomorfismo canˆonico e tome

        −1 −1 um ideal sol´ uvel i (i) ´e um ideal que cont´em r(g) e i = π (i)/r(g).

        ⊂ g/r(g). Ent˜ao, π

        −1

        Da´ı que π (i) ´e sol´ uvel e, portanto, est´a contido em r(g), isto ´e, i = 0, o que mostra que g /r(g) ´e semi-simples. Reciprocamente, se h ´e ideal sol´ uvel, h ⊂ r(g) e r(g)/h ´e um ideal sol´ uvel de g/h. A hip´otese de que g/h ´e semi-simples implica, ent˜ao, que r(g)/h = 0, isto

        ´e, r(g) = h.

        52

      4.8 Teorema de Engel

        Defini¸ c˜ ao 4.26. Seja g uma ´algebra de Lie. Uma representa¸c˜ao ρ de g no espa¸co vetorial V ´e uma representa¸c˜ao nilpotente ou uma nil-representa¸c˜ao se ρ(X) ´e nilpotente para todo

        X ∈ g. Isto significa que, dado X, existe um inteiro positivo k (dependente de X) tal que

        k ρ(X) = 0.

        Teorema 4.27. Seja V 6= 0 um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e g ⊂ gl(V ) uma sub´algebra. Suponha que todo X

        ∈ g ´e nilpotente. Ent˜ao, existe v ∈ V , v 6= 0 tal que Xv = 0 para todo X ∈ g.

        Demonstra¸c˜ao.

        ´ E por indu¸c˜ao sobre a dimens˜ao de g. Se dim g = 1, seja X

        ∈ g, X 6= 0. Como

        k k−1 k−1

        X ´e nilpotente, existe k = 0 e X w ≥ 1 tal que X 6= 0. Seja w ∈ V tal que X 6= 0

        k−1

        e tome v = X w. Ent˜ao, v 6= 0 e Xv = 0, o que mostra o resultado para ´algebras de dimens˜ao um.

        Para mostrar o passo de indu¸c˜ao, suponha que dim g > 1 e que o resultado vale para toda ´algebra com dimens˜ao estritamente menor que dim g. Com essa hip´otese, a primeira coisa que se mostra ´e que existe um ideal h

        ⊂ g de codimens˜ao um. De fato, g admite sub´algebras n˜ao-triviais, isto ´e, diferentes de 0 e g, pois subespa¸cos de dimens˜ao um s˜ao sub´algebras. Seja ent˜ao uma sub´algebra h n˜ao-trivial cuja dimens˜ao ´e m´axima entre as dimens˜oes das sub´algebras n˜ao-triviais. Ent˜ao, h ´e um ideal de codimens˜ao um de g. Para ver isso, considere o espa¸co vetorial g/h. Como ad(X) para X

        ∈ h deixa h invariante, a representa¸c˜ao adjunta de h em g induz uma representa¸c˜ao ρ de h em g/h. Pela proposi¸c˜ao anterior, ad(X), X

        ∈ h, ´e nilpotente em gl(V ) e, portanto, sua restri¸c˜ao a g tamb´em ´e nilpotente, o que implica que ρ ´e uma nil-representa¸c˜ao. Ent˜ao, ρ(h) ´e uma ´algebra que satisfaz as hip´oteses do teorema e tem dimens˜ao estritamente menor que g. O teorema vale, portanto, para ρ(h) e da´ı que existe w

        ∈ g/h, w 6= 0 tal que ρ(h)w = 0. Essa ´ ultima afirma¸c˜ao significa que existe X , h]

        ∈ g − h tal que [X ⊂ h, o que mostra que h ´e de codimens˜ao um, pois o subespa¸co gerado por X /

        ∈ h ´e uma sub´algebra de dimens˜ao estritamente maior que a dimens˜ao de h e h foi escolhido de dimens˜ao m´axima entre as sub´algebras n˜ao-triviais. Al´em do mais, como X / , h]

        ∈ h, [X ⊂ h e h ´e de codimens˜ao um, h ´e na verdade um ideal de g. Agora, aplicando a hip´otese e indu¸c˜ao para h como sub´algebra de gl(V ), o sube- spa¸co

        W = {v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ h}

        53 ´e n˜ao-nulo. Como os elementos de W se anulam pelos elementos de h, para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema ´e suficiente mostrar que existe v v = 0

        ∈ W , v 6= 0 tal que X com X como acima. Para isso, observa-se que W ´e invariante por X , j´a que se X ∈ h e w

        ∈ W , ent˜ao

        XX w = [X, X ]w + X Xw = 0, pois X, [X, X ] w . No entanto,

        ∈ h. Isso mostra que X ∈ W e que W ´e invariante por X X ´e nilpotente e, portanto, sua restri¸c˜ao a W tamb´em ´e nilpotente e da´ı que o argumento usado no caso em dim g = 1 permite concluir a demonstra¸c˜ao do teorema.

        Teorema 4.28.

        Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e g ⊂ gl(V ) uma sub´algebra tal que todo X

        ∈ g ´e invariante. Ent˜ao, existem subespa¸cos 0 = V = V

        1 n

        ⊂ V ⊂ · · · ⊂ V n−1 ⊂ V tal que XV , i = 1, . . . , n. Esses subespa¸cos podem ser definidos indutivamente por

        i

        ⊂ V i−1 V = 0

        V i = para todo X {v ∈ V : Xv ∈ V i−1 ∈ g}. Em particular, estendendo sucessivamente bases dos subespa¸cos V , chega-se uma base β

        i

        de V tal que a matriz de X em rela¸c˜ao a β ´e triangular superior com zeros na diagonal para todo X ∈ g.

        Demonstra¸c˜ao.

        Defina V =

        1 1 {v ∈ V : Xv = 0 para todo X ∈ g}. Pelo teorema anterior, V 6= 0.

        Al´em do mais, V ´e claramente g-invariante. Portanto, a representa¸c˜ao canˆonica de g em

      1 V passa ao quociente definindo uma representa¸c˜ao ρ de g em V /V . Como cada X

        1

        ∈ g ´e nilpotente, ρ ´e uma nil-representa¸c˜ao e o teorema anterior se aplica a ρ. Existe, portanto, w

        1 , w

        1

        ∈ V/V 6= 0 tal que ρ(X)w = 0 para todo X ∈ g. Isso significa que existe v ∈ V − V tal que Xv para todo X

        1

        ∈ V ∈ g, o que garante que o subespa¸co V = para todo X

        2

        1

        {v ∈ V : Xv ∈ V ∈ g} cont´em V , e ´e distinto de V . O mesmo argumento permite construir, sucessivamente,

        1

      1 V i = para todo X

        {v ∈ V : Xv ∈ V i−1 ∈ g} que cont´em e ´e diferente de V . Como dim V < = V , mostrando a primeira

        i

      i−1 ∞, algum V

        parte do teorema. Quanto `a segunda parte, tome a base β , . . . , v , v , . . . , v , . . . , v , . . . , v n

        1 i 1 i 1 +1 i 2 i +1 i

        {v n−1 }

        54 com v , . . . , v , j = 0, . . . , n

        i j +1 i j j+1 +1 ∈ V − 1. Em rela¸c˜ao a esta base, os elementos de g se

        representam todos como matrizes triangulares superiores com zeros nos blocos diagonais correspondentes `as dimens˜oes dos subespa¸cos V i .

        Corol´ ario 4.29. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e g ⊂ gl(V ) uma sub´algebra tal que todo X

        ∈ g ´e nilpotente. Ent˜ao, g ´e nilpotente. Em particular, ρ(h) ´e uma ´algebra nilpotente se ρ ´e uma nil-representa¸c˜ao de ´algebra h em V . Demonstra¸c˜ao.

        Para mostrar que nessa situa¸c˜ao h ´e nilpotente, conv´em introduzir a s´erie central ascendente de uma ´algebra de Lie g, que ´e definida indutivamente como g = 0 g

        i = para todo Y {X ∈ g : [Y, X] ∈ g i−1 ∈ g}.

        Os termos dessa s´erie s˜ao ideais de g, pois, como segue da defini¸c˜ao, [g, g ]

        i i

        ⊂ g para todo i. Em geral, pode ocorrer que, a partir de algum termo, a s´erie centra ascendente se estabilize num ideal pr´oprio de g. Isso n˜ao ocorre se a representa¸c˜ao adjunta de uma ´algebra de dimens˜ao finita ´e nilpotente. De fato, a sequˆencia de subespa¸cos V i do teorema anterior coincide, no caso de uma representa¸c˜ao adjunta, com a s´erie central ascendente. Dessa forma, se a representa¸c˜ao adjunta ´e nilpotente, a s´erie central ascendente termina em g. Isso mostra o corol´ario.

        Corol´ ario 4.30.

        Seja g uma ´algebra de Lie de dimens˜ao finita e suponha que ad ´e uma nil-representa¸c˜ao. Ent˜ao, a s´erie central ascendente satisfaz 0 = g = g

        1 n

        ⊂ g ⊂ · · · ⊂ g para algum n.

        Teorema 4.31.

        (Engel) Seja g uma ´algebra de Lie de dimens˜ao finita e suponha que, para todo X ∈ g, ad(X) ´e nilpotente. Ent˜ao, g ´e nilpotente.

        Demonstra¸c˜ao.

        Pela corol´ario anterior, a s´erie central ascendente termina em g = g. Dessa

        n

        forma, procedento por indu¸c˜ao e usando o fato de que [g, g ] , mostra-se que a s´erie

        i

        ⊂ g i−1 central descendente est´a contida na ascendente

        i

        g .

        ⊂ g

        n−i+1 n+1

        Da´ı que g = 0 e, portanto, g ´e nilpotente.

        55

      4.9 Teorema de decomposi¸ c˜ ao

        Defini¸ c˜ ao 4.32. Seja g ´algebra de Lie e ρ uma representa¸c˜ao de g em V . Um peso de ρ ´e um funcional linear λ : g de V definido por

        λ

        → K tal que o subespa¸co V

        n

        V = (v) = 0

        λ

        {v ∈ V : ∀X ∈ g, ∃n ≥ 1, (ρ(X) − λ(X)) } satisfaz V ´e chamado subespa¸co de pesos associados a λ. A dimens˜ao

        λ λ

        6= 0. O subespa¸co V de V λ ´e chamada de multiplicidade de λ. Teorema 4.33. Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre um corpo algebrica- mente fechado e g

        , . . . , v

        1 n

        ⊂ gl(V ) uma ´algebra sol´uvel. Ent˜ao, existe uma base β = {v } de V e funcionais lineares λ

        1 , . . . , λ n : g

        → K tal que, em rela¸c˜ao a β, X ∈ g se escreve como  

        λ (X)

        1

        ∗     X = .

        . ..  

        λ n (X) Demonstra¸c˜ao. Seja v

        1 autovetor comum aos elementos de g com autovalor λ 1 (X). Como

        foi visto, λ ´e um funcional linear. Seja V o subespa¸co gerado por v . Ent˜ao, g deixa

        1

        

      1

        1 V invariante e, portanto, se representa em V /V . Como g ´e sol´ uvel, existe w

        1

        1

        1

        ∈ V/V que ´e autovetor comum para os elementos da representa¸c˜ao de g com autovalor dado pelo funcional linear λ . Tomando v como representante de w em V , tem-se que Xv =

        2

        2

        2

        λ

        2 (X)v 2 +u com u 1 . Como w 1 , 1 , v

        2

        ∈ V 6= 0 em V/V {v } ´e linearmente independente. Esse procedimento pode ser repetido sucessivamente at´e ober a base e os pesos requeridos. Proposi¸ c˜ ao 4.34.

        Seja g uma ´algebra de Lie de dimens˜ao finita. Ent˜ao, g ´e sol´ uvel se e

        ′ s´o se a ´algebra derivada g ´e nilpotente.

        Demonstra¸c˜ao.

        ′ ′

        Se g ´e nilpotente, ela ´e, em particular, sol´ uvel. Como g/g ´e sempre abeliana e, portanto, sol´ uvel, segue-se que g ´e sol´ uvel.

        ′

        Reciprocamente, assumindo g sol´ uvel, para mostrar que g ´e nilpotente, pode- se supor, sem perda de generalidade, que os escalares est˜ao num corpo algebricamente fechado. De fato, a extens˜ao alg´ebrica do derivado ´e o derivado da extens˜ao alg´ebrica e uma ´algebra ´e nilpotente se e s´o se suas extens˜oes s˜ao nilpotentes.

        Assumindo o corpo como sendo algebricamente fechado, a representa¸c˜ao adjunta de g se escreve, em alguma base, como matrizes triangulares superiores. Como o colchete

        56 de matrizes triangulares superiores ´e trianglar superior com zeros na diagonal, os elemen-

        ′

        tos de g , na representa¸c˜ao adjunta, se escrevem como matrizes triangulares superiores com diagonal nula. Eles s˜ao portanto, nilpotentes. Conclui-se ent˜ao que a representa¸c˜ao

        ′

        adjunta de g em g ´e nilpotente. Por restri¸c˜ao, tem-se ent˜ao que a represent˜ao adjunta

        ′ ′

        de g ´e tamb´em nilpotente. O que mostra, juntamente com o teorema de Engel, que g ´e nilpotente.

      4.10 Crit´ erios de Cartan

        A forma Cartan-Killing de uma ´algebra de Lie g de dimens˜ao finita ´e a forma bilinear definida tr(ad(X)ad(Y )). Os crit´erios de Cartan-Killing s˜ao condi¸c˜oes necess´arias e suficientes, em termos dessa forma bilinear, para que g seja semi-simples ou sol´ uvel. Teorema 4.35. Sejam g uma ´algebra de Lie de dimens˜ao finita e D uma deriva¸c˜ao de g . Suponha que para toda deriva¸c˜ao M de g se tenha tr(DM ) = 0. Ent˜ao, D ´e nilpotente. Demonstra¸c˜ao. Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que o corpo de escalres ´e algebricamente fechado. Assumindo isso, seja D = S + N a decomposi¸c˜ao de D em com- penentes semi-seimples (S) e nilpotente (N ) que comutam entre si. Pretende-se mostrar S = 0. Como foi visto acima, S ´e uma deriva¸c˜ao e com a hip´otese de que o corpo ´e algebri- camente fechado, S = diag , . . . , λ

        1 k

        {λ } em alguma base de g. Evidentimente, mostrar que S = 0 ´e equivalente a mostrar que λ = 0 para i = 1, . . . , k. Isso ser´a feito construindo-se

        i uma quantidade suficiente de seq¨ uˆencias que imitam λ = (λ ldots, λ ).

        1 k

        Como o corpo de escalares K ´e de caracter´ıstica zero, ele cont´em os racionais Q e ´e um espa¸co vetorial sobre Q. Seja V ⊂ K o subespa¸co vetorial sobre Q gerado pelos autovalores λ , . . . , λ . ´ E claro que V ´e de dimens˜ao finita.

        1 k

        Seja ψ : V → Q um funcional linear em V , e defina µ i = ψ(λ i ) µ = (mu i , . . . , µ k ).

        A seq¨ uencia µ imita λ pois se λ + λ = λ ent˜ao µ + µ = ψ(λ + λ ) = µ .

        i i i i i i i i 1 2 3 1 2 1 2 3 Para essa seq¨ uˆencia µ, seja T como na proposi¸c˜ao anterior. Ent˜ao, T ´e deriva¸c˜ao e, por µ µ

        hip´otese,

        k

        X 0 = tr(DT ) = λ ψ(λ ).

        µ i i i=1

        57 Essa ´ ultima express˜ao ´e uma combina¸c˜ao linear sobre Q de λ , . . . , λ . Aplicando ψ a

        1 k

        esta combina¸c˜ao linear, obt´em-se

        

      k

        X

        2 0 == ψ(λ ) . i

      i=0

        e como esta ´e uma soma de racionais positivos, conclui-se que ψ(λ ) = 0 para todo i.

        i

        Como ψ ´e um funcional linear arbitr´ario e V ´e de dimens˜ao finita, tem-se que λ i = 0 para todo i, o que mostra o teorema. Proposi¸ c˜ ao 4.36.

        Suponha que o corpo de escalares seja algebricamente fechado e seja Γ

        ⊂ gl(V ) um subconjunto irredut´ıvel. Ent˜ao, o centralizador z (Γ) =

        {A ∈ gl(V ) : [A, X] = 0 para todo X ∈ Γ} ´e o subespa¸co das transforma¸c˜oes m´ ultiplas da identidade.

        Demonstra¸c˜ao.

        Se duas transforma¸c˜oes lineares comutam, os auto-espa¸cos e os auto-espa¸cos gen- eralizados de uma s˜ao invariantes pela outra. Dessa forma, se A ∈ z(Γ) ent˜ao seus auto-espa¸cos generalizados s˜ao invariantes por toda X

        ∈ Γ e da´ı que A tem um ´unico autovalor pois, caso contr´ario, existiriam subespa¸cos pr´oprios invarinates pelos elementos de Γ. Como os auto-espa¸cos de A s˜ao tamb´em invariantes por Γ, A ´e diagonaliz´avel e, portanto, ´e m´ ultipla da identidade.

        Dada uma representa¸c˜ao ρ de dimens˜ao finita da ´algebra de Lie g, define-se em g a forma tra¸co β que ´e a forma bilinear sim´etrica dada por

        ρ β ρ (X, Y )=tr(ρ(X)ρ(Y )).

        Essa forma, juntamente com a forma quadr´atica β (X, X) associada, desempenhar´a um

        ρ

        papel central no desenvolvimento da teoria principalmente no caso das representa¸c˜oes adjuntas. Para essas representa¸c˜oes, a forma tra¸co ´e denominada de forma de Cartan- Killing da ´algebra e ser´a denotada de maneira mais simples por quando g h·, ·i ou por h·, ·i se quiser ressaltar a ´algebra de g. Proposi¸ c˜ ao 4.37.

        1. As adjuntas dos elementos da ´algebra s˜ao anti-sim´etricas em rela¸c˜ao a β ρ , isto ´e, β ([X, Y ], Z) + β (Y, [X, Z]) = 0

        ρ ρ

        para todo X, Y, Z ∈ g.

        58

        2. J´a no caso espec´ıfico da forma de Cartan-Killing, tem-se (a) hφX, φY i = hX, Y i se φ ´e um automorfismo de g. (b) hDX, Y i + hX, DY i = 0 se D ´e uma deriva¸c˜ao de g. Demonstra¸c˜ao.

        A igualdade (1) ´e consequˆencia imediata de que o tra¸co de um comutador se anula. Quanto `as igualdades correspondentes `a forma de Cartan-Killing, a primeira ´e devido a que ad(φX) = φad(X)φ, se φ ´e um automorfismo. J´a a segunda segue do fato de que ad(DX) = [D, ad(X)] para uma deriva¸c˜ao D qualquer.

        Lema 4.38.

        Seja g uma ´algebra de Lie de dimens˜ao finita e suponha que sua forma de Cartan-Killing seja identicamente nula. Ent˜ao, g ´e sol´ uvel. Demonstra¸c˜ao.

        ′

        Para mostrar que g ´e sol´ uvel, ser´a mostrado que sua ´algebra derivada g ´e nilpo-

        ′

        tente. Para isso, seja X . Ent˜ao, X se escreve como ∈ g

        X X = [Y i , Z i ]

        

      i

        como Y i , Z i ∈ g. Agora, para uma deriva¸c˜ao D de g, tr(ad(X)D) = 0. De fato,

        X tr(ad(X)D) = tr([ad Y i , ad Z i ]D)

        i

        X = tr(ad Y ad Z D adZ

        D)

        i i i i

        − ad Y

        i

        X = tr(ad Z Dad Y ad Y

        D)

        i i − ad Z i i i

        X = tr(ad Z [D, ad Y ])

        i i i

        X = tr(ad Z ad(DY ))

        i i i

        X = , DY

        

      i i

        hZ i

        i

        = 0, pois, por hip´otese, a forma de Cartan-Killing ´e identicamente nula. Esta igualdade, juntamente com o teorema 3.4, mostra que ad(X) ´e nilpotente, pois a deriva¸c˜ao D foi

        ′

        tomada de maneira arbitr´aria. Portanto, a representa¸c˜ao adjunta de g ´e nilpotente o que

        ′ acarreta, pelo teorema de Engel, que g ´e nilpotente, concluindo a demonstra¸c˜ao do lema.

        59 Teorema 4.39. Denotando por h·, ·i a forma de Cartan-Killing da ´algebra de Lie g de dimens˜ao finita, tem-se que g ´e sol´ uvel se e s´o se hX, Y i = 0

        ′

        para todo X e Y ∈ g ∈ g. Demonstra¸c˜ao.

        A condi¸c˜ao ´e necess´aria pelo teorema de Lie. Por outro lado, a condi¸c˜ao garante,

        ′ ′

        em particular, que a forma de Cartan-Killing ´e identicamente nula em g . Como g ´e

        ′

        um ideal, os coment´arios acima garantem ent˜ao que a forma de Cartan-Killing de g ´e

        ′

        identicamente nula. Pelo lema anterior, conclui-se que g ´e sol´ uvel o que mostra, como se desejava, que g ´e sol´ uvel.

        Teorema 4.40. A forma de Cartan-Killing de g n˜ao ´e degenerada se e s´o se g ´e semi- simples. Demonstra¸c˜ao.

        Supondo, em primeiro lugar,que g n˜ao ´e semi-simples, tem-se que g admite um

        (k)

        ideal abeliano i n˜ao-trivial. Isso porque r(g) ´e um ideal abeliano 6= 0 e portanto r(g) n˜ao-nulo para algum k. Seja X

        ∈ ı. Ent˜ao, para todo Y ∈ g, a imagem de ad(Y )ad(X) est´a contida em i pois i ´e ideal. Por essa raz˜ao o tra¸co de ad(Y )ad(X)coincide com o tra¸co de sua restri¸c˜ao a i. Mas ad(Y )ad(X) = 0 pois i ´e abeliano. Conseq¨ uentemente,

        

      i

        | hY, Xi = 0 para todo X

        ∈ i e Y ∈ g. Isso mostra que as ´algebras que tˆem forma Cartan-killing n˜ao-degeneradas s˜ao semi-simples.

        ⊥

        Reciprocamente, assumindo que g ´e semi-simples, seja g o subespa¸co de g definido por

        ⊥

        g = {X ∈ g : hX, Y i = 0 para todo Y ∈ g}

        ⊥

        Ent˜ao, g ´e um ideal pois h[Z, X], Y i = −hX, [Z, Y ]i = 0

        ⊥ ⊥

        se X e Y, Z s˜ao arbitr´arios. Como a restri¸c˜ao de ´e identicamente nula, e ∈ g h·, ·i a g esta coincide com sua forma de Cartan-killing, conclui-se, a partir do teorema anterior,

        ⊥ ⊥

        que g ´e sol´ uvel. O fato de g ser semi-simples implica ent˜ao que g = 0. Mas dizer isso ´e o mesmo que dizer que a forma de Cartan-killing de g ´e n˜ao degenerada, concluindo a demonstra¸c˜ao do teorema.

        60 Teorema 4.41. Seja g uma ´algebra semi-simples. Ent˜ao, g se decomp˜oe em soma direta g = g (4.1)

        

      1 s

        ⊕ · · · ⊕ g com g , i = 1, . . . , s, ideais simples. Nessa decomposi¸c˜ao [g , g ] = 0 se i

        i i j

        6= j. Al´em do mais,

        ⊥

        1. o ortogonal g de uma componente simples, em rela¸c˜ao `a forma de Cartan-Killing,

        i

        ´e a soma das demais componentes, 2. os ideais de g s˜ao somas de algumas dessas componentes e 3. a decomposi¸c˜ao ´e ´ unica ( a menos de permuta¸c˜ao dos ´ındices).

        Demonstra¸c˜ao.

        A decomposi¸c˜ao em componentes simples foi mostrada acima. Para mostrar os itens seguintes, suponha que g se decomponha como soma de dois ideais g = h .

        

      1

        2

        ⊕ h

        ⊥

        Ent˜ao, o complementar ortogonal de um dos ideais ´e o outro. De fato, h complementa

        1

        h

        e, portanto, tem a mesma dimens˜ao que h . Por outro lado, os ideais s˜ao ortogonais

        1

        2

        em rela¸c˜ao `a forma de Cartan-Killing, pois se X

        1 e Y 2 , ent˜ao

        ∈ h ∈ h ad(X)ad(Y ) se anula em h e em h . Tomando ent˜ao uma base de g cujos elementos est˜ao contidos

        1

        2 ⊥

        ou em h , ou em h , vˆe-se que e essa inclus˜ao ´e uma

        1

        2

        2

        hX, Y i = 0. Portanto, h ⊂ h

        1 igualdade, pois as dimens˜oes coincidem.

        Seja agora g i uma componente simples e denote por c i a soma das demais compo- nentes simples. Ent˜ao c ´e um ideal, pois o colchete entre componentes simples diferentes

        i

        se anula. Pela que foi dito acima, c coincide com o complementar ortogonal de g o que

        i i

        mostra 1. Para ver o item 2, seja h um ideal de g. Ent˜ao ou h cont´em g ou h = 0

        i i

        ∩ g pois g ´e simples. No primeiro caso, h ´e um ideal que se for n˜ao-nulo, um argumento

        i i

        ∩ c por indu¸c˜ao permite mostrar que ele ´e soma de componentes simples, o mesmo ocorrendo com h. J´a se h = 0 ent˜ao h , pois se X e Y

        i i i i

        ∩ g ⊂ c ∈ g ∈ h ent˜ao ad(X) se anula em c e ad(Y ) se anula em g , o que garante que

        i

        hX, Y i = tr(ad(X)ad(Y )) = 0,

        ⊥

        mostrando que h = c . Usando novamente um argumento de indu¸c˜ao, conclui-se

        i

        ⊂ g i que h ´e soma de componentes simples da decomposi¸c˜ao (4.1). Por fim, o item 3 decorre do item anterior que garante que g , i = 1, . . . , s s˜ao os ´ unicos ideais simples de g.

        i

        61

        ′ Corol´ ario 4.42. Se g ´e semi-simples, ent˜ao g = g. ′

        Demonstra¸c˜ao. Como g ´e um ideal de g, a proposi¸c˜ao garante que existe um ideal i que

        ′ ′

        complementa g . Dados X, Y ∈ i, tem-se que [X, Y ] ∈ g ∩ i, isto ´e, i ´e um ideal abeliano

        ′ e, portanto, i = 0. Isso mostra que g = g.

        Proposi¸ c˜ ao 4.43. Seja g uma ´algebra semi-simples e ρ uma representa¸c˜ao de g em V . Ent˜ao,

        \

        X V = ker ρ(X) + im ρ(X).

        X∈g X∈g

        Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre a dimens˜ao de V . Se dim V = 1, ent˜ao a representa¸c˜ao ´e identicamente nula e o primeiro termo do segundo membro coincide com o espa¸co da representa¸c˜ao. Para dimens˜oes maiores que 1, existem duas possibilidades. Uma delas ´e que a imagem de g por ρ seja nula. Nesse caso, V coincide com o primeiro termo do segundo membro. Caso contr´ario, a imagem de g por ρ ´e uma ´algebra semi-simples de gl

        (V ), pois ´e o quociente de g por um ideal. Dessa forma, pode-se assumir, sem perda de generalidade, que g ´e uma sub´algebra semi-semiples de gl(V ). Sendo assim, seja Γ elemento de Casimir Γ de g. Ent˜ao, V se decomp˜oe como

        V = V

        1

        ⊕ V com V o auto-espa¸co generalizado associado ao autovalor 0 de Γ, e V

        1 a soma dos demais

        auto-espa¸cos generalizados. Esses subespa¸cos s˜ao g-invariantes pois Γ comuta com os elementos de g e se os dois n˜ao se anulam, pode-se aplicar o passo de indu¸c˜ao substituindo V por V e V e g pelas suas restri¸c˜oes, obtendo a decomposi¸c˜ao desses subespa¸cos e,

        1 portanto, de V .

        Agora, se um dos subespa¸cos V ou V se anula, esse ´e necessariamente V , pois

        1

        Γ ´e nilpotente em V

        e, no entanto,

        n

        X tr Γ = tr(Y X )n,

        i i i=1

        o que mostra que Γ n˜ao ´e nilpotente em V . Mas se V = 0, Γ ´e invers´ıvel e, portanto, V = im Γ e, como um elemento na imagem de Γ ´e uma soma de elementos das imagens de

        P Y , i = 1, . . . , n, isso mostra que V = im X, concluindo a demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao.

        i X∈g Referˆ encias

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