OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS VARIEDADES BANDEIRA

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

SOLUC

¸ ˜

OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS

VARIEDADES BANDEIRA

Wendell Otero Prates

Salvador-Bahia

(2)

Wendell Otero Prates

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito par-cial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa.

Co-orientador: Prof. Dr. Evandro C. F. dos Santos.

Salvador-Bahia

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DEIRA / Wendell Otero Prates. – Salvador, 2010.

63 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa.

Co-Orientador: Prof. Dr. Evandro C. F. dos Santos.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Andreas Arvanitoyeorgos. 2. (Colocar aqui 2o

descritor oficial de

conte´udo, se quiser). 3. (Colocar aqui 3o

descritor oficial de conte´udo,

se quiser). I. Barbosa, Jos´e N. Bastos. II. dos Santos, Evandro C.

Ferreira. III. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica.

III. SOLUC¸ ˜OES DE EINSTEIN EM ALGUMAS VARIEDADES

BAN-DEIRA.

CDU : 512.81

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Wendell Otero Prates

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de Abril de 2010.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Evandro Carlos Ferreira dos Santos (Co-Orientador) UFBA

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Mesmo que a palavra “obrigado” signifique tanto, n˜ao expressar´a por inteiro o quanto estou agradecido. No entanto, n˜ao tendo outra forma de manisfestar minha gratid˜ao, venho por meio deste, destacar as pessoas que tornaram poss´ıvel a conclus˜ao dessa etapa em minha vida.

Obrigado:

Ao meu co-orientador Evandro, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao; Ao meu orientador Nelson, pelos conselhos acadˆemicos; Ao professor Andr´e, pela disponibilidade de ajudar;

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Nosso trabalho tem como objetivo o estudo das solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao de Einstein em algumas variedades bandeira. Uma m´etrica Riemanniana ´e de Einstein quando a curvatura Ricci for proporcional `a mesma.

Em variedades bandeira a equa¸c˜ao de Einstein invariante se resume a um sis-tema de equa¸c˜oes alg´ebricas. O m´etodo usado aqui ´e baseado nas simetrias deste sissis-tema alg´ebrico. Existem v´arios resultados relacionados `a equa¸c˜ao de Einstein para variedades bandeira generalizadas, por´em daremos mais aten¸c˜ao aos resultados referentes as var-iedades bandeira do tipo geom´etrico.

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The objective of this work is to study solutions of Einstein’s Equation in some flag manifolds. A Riemannian metric is Einstein when the Ricci curvature is proportional to the metric.

In flag manifolds the invariant Einstein equation becomes a system of algebraic equations. The method used is based on the symmetries of this algebraic system. There are several results about Einstein’s equation for generalized flag manifolds, but we are mainly interested in results concerning algebraic flag manifolds.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Variedade Diferencial . . . 4

1.2 Grupos de Lie . . . 7

1.3 O espa¸co tangente de um grupo de Lie . . . 8

1.4 Variedades das classes laterais . . . 10

1.5 Variedades bandeira generalizadas . . . 13

1.6 Espa¸cos homogˆeneos redut´ıveis . . . 15

1.7 Descri¸c˜ao de uma variedade bandeira generalizada, via teoria de Lie. . . 15

2 M´etricas invariantes e as Equa¸c˜oes de Einstein 17 2.1 M´etricas Riemanniana G-invariantes . . . 17

2.2 Estruturas complexas G-invariantes . . . 18

2.3 Forma K¨ahler . . . 19

2.4 O tensor de Ricci e a equa¸c˜ao de Einstein . . . 22

3 Solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao de Einstein 27 3.1 M´etricas K¨akler-Einstein . . . 27

3.2 A m´etrica Normal-Einstein . . . 30

3.3 M´etricas Arvanitoyeorgos-Einstein . . . 32

3.4 M´etricas Senda-Einstein . . . 35

3.5 Novas m´etricas de Einstein . . . 39

4 Apˆendice da disserta¸c˜ao 44 4.1 Teoremas de isomorfismos . . . 45

4.2 Representa¸c˜oes . . . 46

4.3 Deriva¸c˜oes . . . 47

4.4 S´eries . . . 48

4.5 Algebras sol´´ uveis . . . 50

(11)

4.8 Teorema de Engel . . . 52 4.9 Teorema de decomposi¸c˜ao . . . 55 4.10 Crit´erios de Cartan . . . 56

(12)

A Gravita¸c˜ao Newtoniana n˜ao ´e compat´ıvel com a relatividade, pois sup˜oe que a atra¸c˜ao gravitacional seja uma for¸ca que atua `a distˆancia instantaneamente (logo com velocidade infinita, o que criaria problemas de causalidade mencionadas em Relatividade Especial). Logo era preciso alterar a Teoria da Gravita¸c˜ao.

Uma caracter´ıstica marcante da gravidade ´e que ela atrai todos os corpos da mesma maneira e a partir disso Einstein expandiu o postulado da equivalˆencia dos re-ferˆenciais inerciais para incluir tamb´em rere-ferˆenciais acelerados por um campo gravitacional constante.

A id´eia ´e que se vocˆe acordasse de repente dentro de um elevador e percebesse que vocˆe e tudo o mais dentro do elevador est˜ao flutuando sem peso, n˜ao teria como vocˆe saber se ´e porque o elevador est´a em queda livre ou se ele est´a no espa¸co sem gravidade. Com mais algumas considera¸c˜oes ele chegou `a conclus˜ao de que ao inv´es de pensarmos na gravidade como sendo uma for¸ca, o certo seria pens´a-la como uma deforma¸c˜ao no espa¸co-tempo, e supˆor que os corpos simplesmente seguem as geod´esicas do espa¸co-tempo. Um corpo cai em dire¸c˜ao `a Terra simplesmente porque a massa da Terra curva o espa¸co-tempo de forma tal que as geod´esicas seguidas pelo corpo e pela Terra tendam a se aproximar.

Para descrever como exatamente a massa deforma o espa¸co-tempo, Einstein supˆos que deveria haver alguma equa¸c˜ao relacionando o tensor de curvatura R com a massa. Da Teoria da Relatividade Especial j´a se sabia que massa e energia eram relacionadas (E = mc2), e que a distribui¸c˜ao de massa e energia em uma regi˜ao era descrita por um tensor 2-covariante sim´etrico T (chamado de tensor energia-momento-stress). Como R ´e tensor do tipo (3,1) a rela¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao imediata e o tensor de Ricci (Ricg) ´e do mesmo tipo que

T, foi natural para Einstein propˆor que a equa¸c˜ao fosse simplesmente

Ricg =T. (1)

Mas logo se percebeu que isso n˜ao estava correto, pois para haver conserva¸c˜ao de energia e massa a divergˆencia de T deve ser nula, o que n˜ao vale para Ricg. Contudo, a

(13)

divergˆencia deRicg poderia ser cancelada subtraindo 12sg (onde s´e a curvatura escalar e

g a m´etrica), de modo que a equa¸c˜ao foi corrigida para

Ricg−

1

2sg =T, (2)

que ´e a Equa¸c˜ao de Campo de Einstein.

No v´acuo, isto ´e, na ausˆencia de mat´eria ou energia, temos T = 0 e portanto 1

2sg = 0. Comos´e o tra¸co de Ricg, e tr(g) = 4 (em cada ponto g ´e equivalente `a m´etrica do espa¸co de Minkowski), tomando o tra¸co da equa¸c˜ao toda, descobrimos que nesse caso

s= 0. Assim, a Equa¸c˜ao de Einstein no v´acuo se reduz a

Ricg = 0.

Uma outra vers˜ao da Equa¸c˜ao de Einstein inclui um novo termo, com a chamada “constante cosmol´ogica”λ:

Ricg−

1

2sg+λg=T (3)

Esse termo foi acrescentado porque naquela ´epoca se imaginava que o Universo como um todo devia ser est´atico, enquanto que as solu¸c˜oes de (1) tendiam a se expandir ou contrair. J´a em (3) a expans˜ao ou contra¸c˜ao pode ser controlada ajustando o valor de

λ, at´e se obter uma solu¸c˜ao est´atica. Logo depois, observa¸c˜oes astronˆomicas mostraram que o Universo estava realmente se expandindo, de modo que Einstein acabou descartando a constante cosmol´ogica como tendo sido “o maior erro da sua vida”.

Normalmente se explica essa expans˜ao do Universo como tendo sido provocada por uma “grande explos˜ao original” (o Big Bang). Contudo, a atra¸c˜ao gravitacional deveria aos poucos ir freando essa expans˜ao, sendo que se a quantidade total de mat´eria do Universo for grande o bastante, a expans˜ao pode um dia parar completamente, para em seguida o Universo come¸car a contrair at´e finalmente terminar em um colapso final (o Big Crunch). No entanto, novas observa¸c˜oes mostraram que, ao inv´es de estar freando, a expans˜ao est´a na verdade ficando mais acelerada. Assim, a constante cosmol´ogica voltou a ser usada, mas agora com seu valor ajustado para gerar uma expans˜ao acelerada ao inv´es de uma solu¸c˜ao est´atica.

Na verdade, do ponto de vista matem´atico a equa¸c˜aoo (3) ´e realmente melhor do que a (1), pois ´e poss´ıvel provar ([Wey] [Car]) que o tensor Ricg + 12sg + λg que

(14)

a partir da m´etrica e de suas derivadas at´e segunda ordem, e que satisfa¸ca a condi¸c˜ao de ter divergˆencia nula .

Para concluir esta parte, vamos considerar (3) no v´acuo. Como antes, vamos pˆor T = 0 e tirar o tra¸co da equa¸c˜ao toda, o que resulta ems−1

2s·4 + 4λ= 0, de modo que agoras = 4λ. Substituindo de volta na equa¸c˜ao chegamos em

Ricg =λg,

que ´e justamente a equa¸c˜ao das m´etricas de Einstein.

Nessa disserta¸c˜ao veremos essa equa¸c˜ao no caso de variedades Riemannianas, e o espa¸co-tempo da Relatividade ´e uma variedade pseudo-Riemanniana. Em termos t´ecnicos, no caso Riemanniano essa equa¸c˜ao ´e de um tipo chamado de el´ıptico, enquanto no caso pseudo-Riemanniano ela passa a ser do tipo hiperb´olico. Mais precisamente, iremos trabalhar com as variedades do tipo bandeira, que ´e um espa¸co homogˆeneo G/K onde G ´e um grupo de Lie semi-simples e compacto, e K o centralizador de um toro em G. Esses espa¸cos homogˆeneos s˜ao compactos, simplesmente conexos e admitem uma estrutura K¨ahler.

As variedades bandeiras tamb´em s˜ao conhecidas como espa¸cos C-K¨ahlerianos. N˜ao s˜ao conhecidos m´etodos gerais de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein. Nas variedades bandeira, por meio da teoria de Lie, as equa¸c˜oes de Einstein se reduzem a um sistema alg´ebrico de equa¸c˜oes e, mesmo neste caso n˜ao s˜ao conhecidas t´ecnicas gerais de resolu¸c˜ao[Bes].

Este trabalho esta organizado da seguinte forma:

No cap´ıtulo 1 apresentamos a constru¸c˜ao das variedades bandeira como espa¸cos homogˆeneos, que denotaremos por F = G/K, bem como sua descri¸c˜ao via teoria de Lie. Tamb´em apresentamos conceitos e resultados b´asicos sobre a representa¸c˜ao adjunta cor-respondente as variedades bandeira.

No cap´ıtulo 2 apresentamos uma pequena abordagem sobre m´etricas invariantes em variedades bandeira. Ainda nesse cap´ıtulo descrevemos o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante e apresentamos a equa¸c˜ao de Einstein.

(15)

Preliminares

1.1

Variedade Diferencial

Defini¸c˜ao 1.1. Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocas xα :Uα ⊂Rn →M de abertos Uα de Rn em M tais que:

1. S

α

xα(Uα) =M.

2. Para todo par α, β, com xα(Uα)∩xβ(Uβ) = W =6 ∅, os conjuntosx−α1(W)e x−β1(W)

s˜ao abertos em Rn e as aplica¸c˜oes x−β1xα s˜ao diferenci´aveis.

3. A fam´ılia {(Uα, xα)} ´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (1) e (2).

O par (Uα, xα) (ou a aplica¸c˜aoxα) comp∈xα(Uα) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao

(ou sistema de coordanadas) de M em p; xα(Uα) ´e ent˜ao chamado uma vizinhan¸ca

co-ordenada emp. Uma fam´ılia {(Uα, xα)} satisfazendo (1) e (2) ´e chamada uma estrutura

diferenci´avel em M.

A condi¸c˜ao (3) comparece por raz˜oes puramente t´ecnicas.

Defini¸c˜ao 1.2. Sejam Mn

1 e M2n variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao ϕ: M1 →M2

´e diferenci´avel em pM1 se dada uma parametriza¸c˜aoy :V ⊂Rm →M2 em ϕ(p)existe

uma parametriza¸c˜ao x: U ⊂Rn M

1 em p tal que ϕ(x(U))⊂y(V) e a aplica¸c˜ao

y−1ϕx: U Rn Rm (1.1)

´e diferenci´avel em x−1(p). ϕ ´e diferenci´avel em um aberto de M

1 se ´e diferenci´avel em

todos os pontos deste aberto.

Decorre da condi¸c˜ao (2) da Defini¸c˜ao 1.1 que a defini¸c˜ao dada ´e independente da escolha das parametriza¸c˜oes. A aplica¸c˜ao (1.1) ´e chamada a express˜ao de ϕ nas parametriza¸c˜oes x e y.

(16)

As considera¸c˜oes seguintes motivam a defini¸c˜ao que daremos a seguir. Seja α : (ǫ, ǫ)Rn uma curva diferenci´avel de Rn, com α(0) =p. Escreva

α(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), t∈(−ǫ, ǫ),(x1, . . . , xn)∈Rn.

Ent˜aoα′(0) = (x

1(0), . . . , x′n(0)) =v ∈Rn. Seja agoraf uma fun¸c˜ao diferenci´avel definida

em uma vizinha¸ca de p. Podemos restringir f `a curva α e escrever a derivada direcional segundo o vetorv ∈Rn como

d(f α)

dt t=0 = n X i=1 ∂f ∂xi t=0 dxi dt t=0 = X i

x′i(0) ∂

∂xi

!

f.

Portanto a derivada direcional segundov ´e um operador sobre fun¸c˜oes diferenci´aveis que depende unicamente de v. Esta ´e a propriedade caracter´ıstica que usaremos para definir vetor tangente em variedades.

Defini¸c˜ao 1.3. Seja M uma variedade diferenci´avel. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ)→M ´e chamada uma curva (diferenci´avel) em M. Suponha queα(0) =p∈M, e sejaD o conjunto das fun¸c˜oes de M diferenci´aveis em p. O vetor tangente `a curva α em t= 0 ´e a fun¸c˜ao α′(0) :D →R dada por

α′(0)f = d(f◦α)

dt t=0

f ∈ D.

Um vetor tangente em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ǫ, ǫ)→ M com α(0) =p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por TpM.

O conjunto TpM, com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes, forma um espa¸co vetorial

de dimens˜ao n, e que a escolha de uma parametriza¸c˜ao x: U M determina uma base associada ∂ ∂x1 0 , . . . , ∂ ∂xn 0

em TpM. ´E imediato que a estrutura linear emTpM

assim definida n˜ao depende da parametriza¸c˜ao x. O espa¸co vetorial TpM ´e chamado o

espa¸co tangente deM em p.

Com a no¸c˜ao de espa¸co tangente podemos estender `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de diferencial de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel.

Defini¸c˜ao 1.4. Seja f : M →N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Ent˜ao, para cada p∈M, a diferencial de f ´e a fun¸c˜ao

dfp : TpM →Tf(p)N

definida por

dfp(v)(g) = v(g◦f)

(17)

Para cada ponto p M, a diferencial dfp ´e uma fun¸c˜ao linear entre os espa¸cos

tangentes.

A proposi¸c˜ao seguinte fornece um m´etodo ´util de calcular a diferencial de uma fun¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.5. Seja f : M N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel entre duas variedades, e seja p M e v TpM. Tome qualquer curva diferenci´avel α : I → M com α(0) = p e

α′(0) =v. Ent˜ao, a diferencial de f em p ´e dada por

dfp(v) =

d

dt(f ◦α)

t=0

.

Agora vamos para os campos vetoriais. ConsidereMnuma variedade diferenci´avel

e seja T M = {(p, v);p ∈ M, v ∈ TpM}. O conjunto T M munido de uma estrutura

diferenci´avel (de dimens˜ao 2n) ´e uma variedade a qual chamamos de fibrado tangente de

M. Desse modo, temos que sendo um campo vetorialX em uma variedadeM uma fun¸c˜ao que associa a cada ponto pM um vetor tangente Xp aM em p. Logo, X : M →T M

com Xp ∈TpM. Podemos pensar em X como uma cole¸c˜ao de setas, um em cada ponto

deM. Se X ´e um campo vetorial em M ef ∈ F(M), ent˜ao Xf denota uma fun¸c˜ao real em M dada por

Xf(p) =Xp(f) para todo p∈M.

O campo vetorial X ´e chamado diferenci´avel se a fun¸c˜ao Xf acima ´e diferenci´avel para todof ∈ F(M). Denotaremos por χ(M) o conjunto de todas os campos vetoriais difer-enci´aveis em uma variedade M.

Agora, a fun¸c˜ao definida acima pode ser vista como uma aplica¸c˜ao X : F(M)→ F(M) que leva f em Xf. Esta aplica¸c˜ao tem as propriedades de uma deriva¸c˜ao, i.e., o que vem a seguir e satisfeito:

X(af +bg) = aX(f) +bX(g) a, bR,

X(f g) = X(f)g+f X(g) (rebgra de Leibniz).

Reciprocamente, qualquer deriva¸c˜ao D em F(M) vem de um campo vetorial diferenci´avel. De fato, para cada p M defina Xp : F(M) → R por Xp(f) =D(f)(p).

Esta interpreta¸c˜ao de campos vetoriais como deriva¸c˜oes leva a uma opera¸c˜ao importante de campos vetoriais.

Seja X, Y χ(M). Defina [X, Y] = XY Y X. Esta ´e uma fun¸c˜ao de F(M) em F(M) levando cada f a X(Y f)−Y(Xf). Um c´alculo f´acil mostra que [X, Y] ´e uma deriva¸c˜ao emF(M), da´ı um campo vetorial diferenci´avel emM, que ´e chamado o colchete deX em Y. O colchete designa para cada pM o vetor tangente [X, Y]p tal que

(18)

Mais ainda, a opera¸c˜ao colchete tem as seguintes propriedades:

(a) [X, Y] =−[Y, X] (anti-simetria)

(b) [aX +bY, Z] =a[X, Z] +b[Y, Z],

[Z, aX +bY] =a[Z, X] +b[Z, Y] (R-bilinearidade),

(c) [X,[Y, Z]] + [Y,[Z, X]] + [Z,[X, Y]] = 0 (identidade de Jacobi).

As propriedades acima dizem que o conjuntoχ(M) com a opera¸c˜ao ”colchete”dos campos vetoriais ´e uma ´algebra de Lie.

1.2

Grupos de Lie

Defini¸c˜ao 1.6. Seja G uma variedade diferenci´avel. Ent˜ao G ´e um Grupo de Lie se: (a) G ´e um grupo.

(b) As opera¸c˜oes de grupo G×G G, (x, y) 7→ xy e G G, x 7→ x−1 s˜ao fun¸c˜oes

diferenci´aveis.

Um grupo de Lie ´e um conjunto que tem, tanto estrutura de variedade, quanto estrutura de grupo, que s˜ao compat´ıveis. Logo, come¸caremos esta discurs˜ao com um exemplo que exibe estas propriedades.

SejaMnRo conjunto de todasn×nmatrizes reais. Associamos `a matrizA= (aij)

o ponto no espa¸co Euclidiano Rn2 cujas coordenadas s˜ao a11, a12, . . . , ann. Da´ı,

topologi-camente, MnR ´e simplismente o espa¸co Euclidiano n2. Depois, definimos o grupo linear

geral GLnR como o grupo (sobre multiplica¸c˜ao de matriz usual) de todas matrizes reais

n× n A = (aij) com determinante detA 6= 0. Desde que det A ´e um polinomial de

graun nas coordenadas, ´e uma fun¸c˜ao suave em MnR. Mais ainda, desde que o conjunto

R\{0} forma um conjunto aberto em R, e desde que a imagem inversa de um conjunto aberto sobre uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e aberta, o conjunto GLnR´e um conjunto aberto de

MnR. Da´ı, topologicamente, GLnR ´e um subconjunto de um espa¸co Euclidiano, e como

tal ´e uma variedade n2-dimensional, como veremos mais tarde. Isto cuida da estrutura de variedade e grupo de GLnR. Permitamos agora ver como eles se interagem.

Desde que (ab)ij = Paikbkj, a matriz produto AB tem coordenadas que s˜ao

fun¸c˜oes suaves de coordenadas de A e B. Tamb´em, da f´ormula para a inversa

A−1 = 1

(19)

(onde adjA´e a matriz cujas entradas s˜ao os cofatores asignados de cada uma das entradas

aij), vemos que as coordenadas de A−1 s˜ao tamb´em fun¸c˜oes suaves daquelas de A. Isto

conclui a descri¸c˜ao do grupo linear geral GLnR como uma variedade e como um grupo,

com as opera¸c˜oes de grupo da multiplica¸c˜ao e inversa sendo fun¸c˜oes suaves. ´E um exemplo importante de um grupo de Lie. Veremos mais exemplos de grupos de Lie mais tarde, depois que fizermos uma breve revis˜ao de v´arias defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados sobre variedades que ser˜ao usadas depois.

Teorema 1.7. Se H ´e um subgrupo fechado de um grupo de Lie G, ent˜ao H ´e uma subvariedade de G e da´ı um subgrupo de Lie de G. Em particular, H tem a topologia induzida.

A demonstra¸c˜ao desse teorema ´e visto em [War].

1.3

O espa¸

co tangente de um grupo de Lie

Defini¸c˜ao 1.8. Uma ´Algebra de Lie consiste de um espa¸co vetorial g munido de um produto (colchete ou comutador)

[, ] :g×gg

com as seguintes propriedades:

1. ´e bilinear,

2. anti-sim´etrico, isto ´e, [X, X] = 0 para todo X g (o que implica [X, Y] =[Y, X]

para todoX, Y g´e equivalente se o corpo de escalares n˜ao ´e de caracter´ıstica dois) e

3. satisfaz a identidade de Jacobi, isto ´e, para todo X, Y, Z ∈g,

[X,[Y, Z]] + [Z,[X, Y]] + [Y,[Z, X]] = 0.

Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas

(a) [X,[Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y,[X, Z]]

(20)

No apˆendice o leitor encontrar´a al´em de exemplos, alguns resultados sobre as ´algebras de Lie, para uma leitura com mais detalhes recomendamos.[Mar-Bar]

Seja a um elemento do grupo de LieG. Considere as seguintes aplica¸c˜oes:

La:G→G, La(g) =ag e Ra :G→G, Ra(g) =ga

que s˜ao claramente diferenci´aveis.

Proposi¸c˜ao 1.9. Qualquer grupo de LieG ´e paraleliz´avel, i.e. T G∼=G×TeG.

Demonstra¸c˜ao.

SejaXg o valor de um campo vetorial X em um pontog ∈G. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao

Xg 7→(g, dLg−1(Xg)) ´e o isomorfismo desejado.

Defini¸c˜ao 1.10. Um campo vetorial X em um grupoG de Lie ´e invariante `a esquerda se X◦La = dLa(X) para todo a ∈G, ou mais explicitamente Xag = (dLa)g(Xg) para todo

a, g∈G.

Um campo vetorial invariante `a esquerda possui a importante propriedade que ´e determinado pelos valores nos elementos de identidade e no grupo de Lie, visto que

Xa = dLa(Xe) para todo a ∈ G. Do mesmo modo, visto que a multiplica¸c˜ao em G ´e

diferenci´avel, temos que o campo vetorial ´e invariante `a esquerda.

Sejago conjunto de todos os campos vetoriais invariantes `a esquerda de um grupo de LieG. A adi¸c˜ao usual de campo de vetores e a multiplica¸c˜ao escalar de n´umeros reais fazem deg um espa¸co vetorial. Ademais,g ´e fechado em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao colchete nos campos vetoriais. Portanto,g ´e uma ´algebra de Lie e a sua dimens˜ao ´e igual a dimens˜ao deG por causa da seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.11. A fun¸c˜ao X 7→ Xe define um isomorfismo linear entre os espa¸cos

vetoriais g e TeG.

Demonstra¸c˜ao.

A fun¸c˜ao ´e, obviamente, linear, e ´e bijetora, desde que se Xe = 0, ent˜ao Xg =

dLg(Xe) = 0 para todo g ∈ G. A fun¸c˜ao tamb´em ´e sobrejetora: Seja v ∈ TeG e defina

o campo vetorial Xv por Xv

e = (dLg)e(v) para todo g ∈ G. Ent˜ao, Xv ´e invariante a

esquerda eXv e =v.

Exemplo 1.12. A ´algebra de Lie de um grupo linear geral GLnR ´e (canonicamente)

(21)

GLnR herda sua estrutura de varidade como uma subvariedade aberta de MnR. Da´ı,

obtemos os seguintes isomorfismos de espa¸cos vetoriais canˆonicos

´

Algebra de Lie de GLnR∼=Te(GLnR)∼=Te(MnR)∼=MnR

onde e ´e a matriz identidade n ×n. O primeiro isomorfismo ´e obtido da Proposi¸c˜ao 4.11, o segundo ´e a identifica¸c˜ao de subvariedade aberta, e a terciera ´e a identifica¸c˜ao de espa¸co vetorial canˆonico. Atrav´es de calculos no plano cartesiano vemos que os colchetes s˜ao preservados tamb´em. Analogamente, as ´algebras de Lie de GLnC e GLnH s˜ao MnC

e MnH, respectivamente.

1.4

Variedades das classes laterais

Dado um grupo de Lie G e um subgrupo fechado K, ´e poss´ıvel construir uma estrutura de variedade diferenci´avel no conjunto G/K = {gK : g G} de todos as classes laterais a esquerda de K em G. Al´em disso, h´a uma a¸c˜ao natural do grupo G

em G/K, em que essa a¸c˜ao ´e transitiva, isto ´e, dadosgK, hK G/K o elemento gh−1 ´e tal que gh−1hK =gK. Esta variedade com esta a¸c˜ao transitiva ser´a chamada de espa¸co homogˆeneo. Os espa¸cos do tipoG/K, formam uma classe de variedades com importancia especial na matem´atica e na f´ısica.

Considere o espa¸co das classes laterais G/K, e para uso posterior denote a classe lateraleK =K por 0. Sejaπ : GG/K a proje¸c˜ao que leva cadag G`a classe lateral

gK. Tamb´em, para cadaaGsejaτa : G/H →G/H a transla¸c˜ao (a esquerda) que leva

cada gK aagK. Se a, b∈G, e La´e a transla¸c˜ao a esquerda em G, temos

π◦La =τa◦π, τab =τa◦τb.

Proposi¸c˜ao 1.13. Seja G um gupo de Lie, e K um subgrupo fechado de G. H´a uma ´

unica forma de tornar G/K uma variedade de forma que a proje¸c˜ao π : G →G/K seja uma submers˜ao; isto ´e, dπg ´e sobrejetora para todo g ∈G.

Para a prova desta proposi¸c˜ao, assim como de outros fatos nesta se¸c˜ao, referimos a [Br-Cl], [Ko-No], [War]. A variedadeG/K construida nesta se¸c˜ao ´e chamada variedade de classe lateral. Frequentemente na literaura G/K ´e chamado de espa¸co homogˆeneo, por´em as vezes este termo ´e usado para significar uma variedadeM na qual um grupo de LieG atua transitivamente, como veremos depois.

Defini¸c˜ao 1.14. Uma a¸c˜ao a esquerda de um grupo G em uma variedade M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ξ : G×M M tal que ξ(e, m) = m e ξ(ab, m) = ξ(a, ξ(b, m))

(22)

Denotaremos ξ(a, m) por a·m ou simplesmente poramse n˜ao houver chance de confus˜ao. Analogamente, podemos definir uma a¸c˜ao a direita. Um espa¸co M com uma a¸c˜ao de um grupo G ´e chamado de G-espa¸co. De agora em diante, G ser´a um grupo de Lie e M uma variedade diferenci´avel.

Se ξ ´e uma a¸c˜ao de G em M, ent˜ao para todo a ∈ G a aplica¸c˜ao ξa : M → M

dada por ξa(m) =ξ(a, m) ´e um difeomorfismo ou transforma¸c˜oes de M. Por esta raz˜ao o

grupo de LieGtamb´em ´e referenciado como um grupo de transforma¸c˜ao de uma variedade

M.

Defini¸c˜ao 1.15.

(a) Uma a¸c˜ao ´e chamada transitiva se para todo m, n M existe um g G tal que g·m =n.

(b) Seja m ∈M. O conjunto Gm ={g ∈G: g ·m=m} ´e chamada de grupo isotropo

ou subgrupo de isotropia em m.

(c) A ´orbita de um ponto mM ´e o conjunto G·m={g·m :g G}.

Seja G/K uma variedade de classe lateral. Ent˜ao a aplica¸c˜ao G× G/K G/K que leva cada (a, gK) a agK ´e chamada a¸c˜ao natural de G em G/K. Esta a¸c˜ao ´e obviamente transitiva. Veremos que cada a¸c˜ao transitiva pode ser representada desta forma.

Proposi¸c˜ao 1.16. Seja G×M →M uma a¸c˜ao transitiva de um grupo de LieGem uma variedade M, e seja K =Gm um subgrupo isotropo de um ponto m. Ent˜ao:

(a) O subgrupo K ´e um subgrupo fechado de G.

(b) A aplica¸c˜ao natural j : G/K M dada por j(gK) = g·m ´e um difeomorfismo. (Em outras palavras, a ´orbita G·m ´e difeomorfo a G/K.)

(c) A dimens˜ao de G/K ´e dimG−dimK.

Defini¸c˜ao 1.17. Um espa¸co homogˆeneo ´e uma variedade M com uma a¸c˜ao transitiva de um grupo de Lie G. Equivalentemente, ´e uma variedade da forma G/K, onde G ´e um grupo de Lie e K um subgrupo fechado de G.

Agora, seja (M, g) uma variedade Riemanniana. O conjunto I(M) de todas as isometrias M M forma um grupo ( com a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes). Ele ´e chamado grupo de isometria de M, ´e um outro invariante geom´etrico de M.

(23)

Defini¸c˜ao 1.19. Um espa¸co homogˆeneo Riemaniano ´e uma variedade Riemanniana(M, g)

na qual seu grupo de isometria I(M) atua trasitivamente.

Proposi¸c˜ao 1.20. Seja M uma variedade homogˆenea Riemanniana. Ent˜ao o subgrupo de isotropia de um ponto dado ´e um subgrupo compacto de I(M). Mais ainda, I(M) ´e compacto se, e somente se M ´e compacto.

Da´ı, um espa¸co homogˆeneo Riemaniano ´e difeomorfo `a um espa¸co homogˆeneo

G/K, onde G=I(M) e K ´e o subgrupo isotropo de um ponto.

Exemplo 1.21. Variedades de Grassmann. SejaGτkR

no conjunto de todos os espa¸cos

k-dimensionais emRn (tal espa¸co ´e chamado dek-plano). O grupoO(n)atua naturalmente

em GτkR

n pela multiplica¸c˜ao de matrizes. Esta a¸c˜ao ´e transitiva: Seja V o subespa¸co de

Rn gerado pelos primeiros k vetores da base canˆonica e1, . . . , en de Rn cujos primeiros k

vetores geramW. Ent˜ao, se A ´e uma matriz que corresponde a uma aplica¸c˜ao linear que leva cadaei ae′i, ent˜aoA∈O(n)eAV =W. O subgrupo isotropo do subespa¸coV consiste

do conjunto de matrizes B 0

0 C

!

com B ∈ O(k) e C ∈ O(n−k), portanto GτkR

n =

O(n)/O(k)×O(nk). Al´em disso, SO(n) tamb´em atua transitivamente em GτkR

n, da´ı

GτkR

n=SO(n)/S(O(k)×O(nk)). Em particular, RPn=SO(n+ 1)/S(O(n)×O(1)).

Aqui, S(O(k)×O(l)) denota o subgrupo de SO(k+l) consistindo de matrizes da forma

h= A 0

0 B

!

. e det(h) = 1.

Proposi¸c˜ao 1.22. Seja G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado de G. Ent˜ao o espa¸co quociente G/H admite uma estrutura de variedade anal´ıtica real de tal forma que a a¸c˜ao de G em G/H ´e anal´ıtica real, isto ´e, a aplica¸c˜ao G×G/H →G/H que associa

(a, bH) em abH ´e analitica real. Em particular, a proje¸c˜ao GG/H ´e anal´ıtica real.

Para a prova, veja [Ch].

H´a uma outra classe de espa¸cos quociente: Seja G um grupo abstrato atuando em um espa¸co topol´ogico M pela direita como grupo de homeomorfismos. A atua¸c˜ao de

G´e chamada propriamente descont´ınua se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. Se dois pontosxe x′ deM n˜ao s˜ao congruentes m´oduloG(i.e., R

ax6=x′ para todo

a ∈G), ent˜ao x ex′ tˆem vinzinhan¸cas U e U, respectivamente, tal queR

a(U)∩U′

´e vazio para todo aG;

2. Para cada x∈G, o grupo de isotropia Gx ={a∈G; Rax=x}´e finito;

3. Cada xM tem uma vizinhan¸ca U, est´avel por Gx, tal queU∩Ra(U) ´e vazio para

(24)

Proposi¸c˜ao 1.23. Seja G um grupo descont´ınuo propriamente de transforma¸c˜oes difer-enci´aveis (respectivamente, anal´ıtico real) agindo livremente em uma variedade M difer-enci´avel (respectivamente, anal´ıtica real). Ent˜ao, o espa¸co quociente M/G tem uma estrutura de variedade diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtico real) tal que a proje¸c˜ao π: M →M/G´e diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtico real).

Demonstra¸c˜ao.

A condi¸c˜ao (3) implica que cada ponto de M/Gtem uma vizinhan¸ca V tal que

π ´e um homeomorfismo de cada componente conexa de π−1(V) em V. Seja U uma componente conexa deπ−1(V). EscolhendoV suficientemente pequeno, podemos assumir que h´a um mapa adimiss´ıvel (U, ϕ), onde ϕ : U → Rn, para a variedade M. Introduza uma estrutura diferenci´avel (respectivamente, anal´ıtica real) em M/G tomando (V, ψ), onde ψ ´e a composi¸c˜ao deπ−1 : V U e ϕ, tem um mapa admissivel.

Proposi¸c˜ao 1.24. Todo grupo discont´ınuo de G de isometrias de um espa¸co m´etrico M ´e propriamente discont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao.

Primeiro, observe que, para cada x∈M, a ´orbita xG={Rax; a∈G}´e fechada

em M. Dado um ponto x′ fora da ´orbita xG, seja r um n´umero positivo tal que 2r ´e

menor que a distˆancia entrex′ e a ´orbita xG. Sejam U e Uas esferas abertas de raiosr

e centros x e x′, respectivamente. Ent˜ao, R

a(U)∩U′ ´e vazio par todo a ∈ G, portanto

provamos a condi¸c˜ao (1). A condi¸c˜ao (2) sempre ´e satisfeita por uma a¸c˜ao discont´ınua. Para provar (3), para cadax M, seja r um n´umero positivo tal que 2r ´e menor que a distˆancia entre x e o conjunto fechadoxG− {x}. Basta levar a esfera aberta de raio r e centro x comoU.

1.5

Variedades bandeira generalizadas

Uma classe importante de espa¸cos homogˆeneos, ´e a classe de variedades bandeiras generalizadas. Estas s˜ao espa¸cos homogˆeneos da forma G/C(S), onde G´e um grupo de Lie compacto, e C(S) ´e o centralizador de um toro S em G. Equivalentimente, ele s˜ao precisamente as ´orbitas de representa¸c˜ao adjunta de Gem sua algebra de Lie g.

(25)

Seja K = Kw = {g ∈ G : Ad(g)w = w} o subgrupo de isotropia de w. Ent˜ao,

Mw ´e difeomorfo ao espa¸co homogˆeneo G/K. O ponto w corresponde `a classe lateral

identidadeo=eK.

Exemplo 1.26. SejaG=U(n)com w= diag(iλ1, iλ2, . . . , iλn), ondeλ1 =· · ·=λk =λ,

λk+1 =· · ·=λn =µ (λ 6=µ). Neste casoKw =U(k)×U(n−k)e Ad(U(n))w∼=GrkCn,

as variedades Grassmann dosk-planos em C n.

Proposi¸c˜ao 1.27.

1. O conjunto Sw = expRw ´e um toro em G.

2. O subgrupo isotropo Kw ´e o centralizador do toro Sw, isto ´e

Kw =C(Sw) = {g ∈G: ghg−1 =h para todo h∈Sw}.

3. Se o toro Sw ´e um toro maximal em G, ent˜ao C(Sw) = Sw.

4. A ´algebra de Lie Kw ´e

kw ={X ∈g : [w, X] = 0}= ker adw.

Defini¸c˜ao 1.28. Uma variedade bandeira generalizada ´e um espa¸co homogˆeneo da forma G/K =G/C(S), onde G ´e um grupo de Lie compacto e S ´e um toro em G. Se o toro S ´e um toro maximal em G, diga T, ent˜ao G/T ´e chamado variedade bandeira maximal.

A proposi¸c˜ao 1.27 nos permite dar uma descri¸c˜ao simples do espa¸co tangente de

Mw em w. Recordamos a decomposi¸c˜ao redutiva g = k⊕mw de g com respeito a um

produto interno Ad-invariante emg(isto ´e, com respeito ao negativo da forma de Killing), onde mw =k⊥w. Ent˜ao,

Tw(Mw)∼=m= (ker adw)⊥.

Entretanto, devido ao mergulhoMw ⊂ g, h´a uma outra descri¸c˜ao de espa¸co tangente de

Mw em w:

Tw(Mw) = {

d

dtAd(exptX)w|t=0 : X ∈g}

={d

dt(exptX)w(exp(−tX))|t=0 : X ∈g}

={XwwX : X g}={[X, w] : X g}

(26)

1.6

Espa¸

cos homogˆ

eneos redut´ıveis

SejaG/Kum espa¸co homogˆeneo e considere novamente a proje¸c˜aoπ : GG/K,

π(g) = gK. Calcularemos a diferencial dπe : g → To(G/K), onde o = π(e) = K. Seja

X g e exptX primeiro parˆametro do subgrupo correspondente. Ent˜ao,

dπe(X) =

d

dt(π◦exptX)

t=0

= d

dt((exptX)K)

t=0

.

Disso obtemos que dπe(k) = 0, isto ´e, kerdπe = k, da´ı desde que dπ ´e sobrejetora.

(Proposi¸c˜ao 1.4), temos o isomorfismo canˆonico

g/k∼=To(G/K).

Em geral, para qualquer X g podemos definir um campo vetorial X∗ em G/K pela

f´ormula

X∗

gK =

d

dt(exptX)gK

t=0

.

Note que a f´ormula [X∗, Y] =[X, Y].

Agora, consideraremos o seguinte caso importante. Seja g e k as ´algebras de Lie deG eK, respectivamente.

Defini¸c˜ao 1.29. Um espa¸co homogˆeneo ´e chamado redut´ıvel se h´a um subespa¸co m de g=Lie(G)tal queg=kmeAd(k)mmpara todok ∈K, isto ´e,m´eAd(K)-invariante.

A condi¸c˜ao Ad(k)m m implica que [k,m] ⊂ m. A volta ´e verdadeira se K ´e conexo. Note que m n˜ao precisa ser fechado sobre colchetes, como k precisa. Da´ı, como consequencia do isomorfismo acima, se G/K ´e redut´ıvel, temos a isomorfismo can˜onico

m∼=To(G/K).

1.7

Descri¸

ao de uma variedade bandeira

general-izada, via teoria de Lie.

SejaG/Kuma variedade bandeira. Assumimos queG´e semi-simples e compacto, por exemplo G ´e a forma real compacta de um grupo de Lie semi-simples complexo[?], logo a forma Killing ´e definida negativa em g, portanto torna poss´ıvel a decomposi¸c˜ao redutiva g =km. Como descrito na se¸c˜ao anterior, K ´e o centralizador do toro S em

C. Seja T o toro maximal emGcontendo S. Ent˜ao,T ⊂C(S) = K. Seja h a ´algebra de Lie deT e hC sua complexifica¸c˜ao. Seja R o sistema de ra´ızes de gC em rela¸c˜ao a hC e

gC=hCX

α∈R

gα=hCX

α∈R

(27)

sua decomposi¸c˜ao do espa¸co de ra´ız. Desde quekC

cont´em hC

, h´a um subconjunto RK de

R tal que

kC=hC X

α∈RK CEα.

Da´ı, obtemos

mC= X

α∈RM CEα,

Onde RM = R/RK. Isto ´e chamado de conjunto das ra´ızes complementares. Portanto,

obtemos que R=RK∪RM, e finalmente, que

gC=kC mC.

O conjunto {Eα : α ∈ RM} ´e uma base do espa¸co mC. A ´algebra de Lie real g ´e o

conjunto de pontos fixados da involu¸c˜ao padr˜ao de gC

→ gC

que associa Eα a −E−α.

(28)

etricas invariantes e as Equa¸

oes

de Einstein

Uma m´etrica g em uma variedade Riemaniana M ´e chamada de m´etrica de Einstein

se Ric(g) = cg, onde Ric(g) ´e o tensor de Ricci da m´etrica g, e c ´e uma constante. A metodologia que usaremos ser´a a da redu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein a um sistema alg´ebrico atrav´es de uma descri¸c˜ao te´orica de Lie da curvatura de Ricci (Ric(g)) e a m´etrica G-invariante g. Sejam g e k as ´algebras de Lie de G e K repectivamente, e h

uma sub-´algebra de Cartan fixada de k.

2.1

etricas Riemanniana

G

-invariantes

Recordemos que se M =G/K ´e uma espa¸co homogˆeneo, ent˜ao qualquer m´etrica

G-invariante em M ´e determinada por um produto escalar AdG/K-invariante em m. Seja

G semi-simples e compacto, isto ´e, a forma Killing em g ´e definida negativa. Seja

m=m1⊕ · · ·ms a decomposi¸c˜ao da representa¸c˜ao isotropica em subm´odulos irredut´ıveis.

Uma m´etrica RiemannianaG-invariante ´e chamada diagonal, se o correspondente produto escalar AdG/K-invariante h, i em m pode ser expresso como

h, i=x1(−B)|m+· · ·+xs(−B)|ms (2.1)

onde x1, . . . , xs s˜ao constantes positivas.

Em particular, o operador B-sim´etrico A : m m que determina o produto escalar, e ´e dada por

A =x1Idm1 +· · ·+xsIdms.

Se osm’s s˜ao representa¸c˜oes inequivalentes em pares, ent˜ao a decomposi¸c˜ao dem´e ´unica, e 2.1 representa todas as m´etricas invariantes em G/K. Do contr´ario, precisamos n˜ao

(29)

apenas de uma vari´avel positivaxi para cada subm´odulo irredut´ıvelmi, mas tamb´em de

uma parametriza¸c˜ao do espa¸co de todas aplica¸c˜oes AdG/K-equivariante entre cada par de representa¸c˜oes equivalentes.

Agora, sejaM =G/Kuma variedade bandeira generalizada. Ent˜ao, os subm´odulos

mi s˜ao inequivalente, da´ı a express˜ao 2.1 descreve todas m´etricas G-invariante em M.

Cada uma destas m´etrica depedem de s parˆametros positivos x1, . . . , xs.

Abusaremos da nota¸c˜ao e extenderemos h, i sem qualquer mudan¸ca na nota¸c˜ao dem`a complexifica¸c˜aomC

pela linearidade complexa. Da´ı, uma m´etrica G-invariante em

M pode ser descrita por um produto escalar ad(kC

)invariante g em mC

. Seja {ωα : α R} uma base do espa¸co vetorial em (mC

)∗, que ´e dual `a base

{Eα :α∈RM} (ωα(Eβ) =δαβ). Fixamos um sistema de ra´ızes positivas R+ =R+K∩RKM,

e sejaR+T =κ(R+).

Proposi¸c˜ao 2.1(Alek-Pe). Qualquer produto escalarad(tC

)-invariante real g emmC

tem a forma

g = X

α∈R+M

gαωα∨ω−α =

X

ξ∈R+T

X

α∈κ−1(ξ)

ωαω−α, onde ω ρ = 1

2(ω ⊗ρ +ρ ⊗ω), e os gα s˜ao constantes positivas tais que gα = gβ se

α|T =β|T. Portanto, uma m´etrica G-invariante em uma variedade bandeira generalizada

depende (m´odulo um fator escalar) deR+T parˆametros.

2.2

Estruturas complexas

G

-invariantes

Nesta se¸c˜ao exploraremos a existˆencia de uma extrutura complexa e uma m´etrica K¨ahler em uma variedade bandeira generalizada.

Uma estrutura quase complexa em uma variedade Riemanniana M ´e um (1, 1)-tensor J em M satisfazendo J2 = Id, onde J ´e pensado como uma transforma¸c˜ao

Jp em cada espa¸co tangente Tp(M). Denotamos com a mesma letra sua extens˜ao `a

complexifica¸c˜aoTpMC. Se colocarmos

Tp(1,0)M ={X ∈TpMC:JpX =iX} e

Tp(0,1)M ={X ∈TpMC:JpX =−iX}

ent˜ao obtemos queTpMC =Tp(1,0)M ⊕Tp(0,1)M.

Uma estrutura quase complexa J ´e chamada de estrutura complexa ouestrutura complex integr´avel se ∇XJ = 0, onde ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M. Uma

(30)

geometricamente e analiticamente. Se M = G/K ´e um espa¸co homogˆenio com decom-posi¸c˜ao redutiva g = km e o = eK, ent˜ao uma estrutura quase complexa ´e chamada

G-invariante se Jo comuta com a representa¸c˜ao isotr´opica de G/K; isto ´e,

Jo(AdG/K(k)X) = AdG/K(k)JoX, para todo k ∈k, X ∈m.

Agora, seja M =G/K uma variedade bandeira generalizada com decomposi¸c˜ao de espa¸co de ra´ız gC=hC P

α∈RK

P

α∈RM

gα. Escolhemos um subconjuntoR+M deRM

que satisfaz as condi¸c˜oes:

1. R =RK∪R+M ∪R−M, onde R−M ={−α:α∈R+M},

2. se αRK∪R+M, β ∈R

+

M e α+β ∈R, ent˜ao α+β ∈R

+

M.

A condi¸c˜ao 1 define uma ordena¸c˜ao em RM, e ambas as condi¸c˜oes 1 e 2 definem uma

ordena¸c˜ao invariante R+M em RM.

Proposi¸c˜ao 2.2. H´a uma correspondˆencia injetora entre estruturas complexasG-invariantes em M e ordena¸c˜oes invariantes R+M em RM dada por

JoE±α =±iEα (α∈R+M).

Para uma prova e outras discuss˜oes em estruturas complexas G-invariantes em variedades bandeiras generalizadas referimos a [Alek-Pe], [B-H], [B-F-R], [Fr¨o], [Nis], [Wg].

2.3

Forma K¨

ahler

Defini¸c˜ao 2.3. Uma estrutura quase complexa em uma variedade bandeiraF´e um campo tensorial J que em cada ponto x F ´e uma estrutura complexa em TxF, ou seja ´e um

endomorfismo Jx :TxF→TxF tal que (Jx)2 = -Id.

SejaFuma variedade bandeira munida de uma m´etrica invarianteg e uma estru-tura quase complexa J. Computando g(JX, JY) na base de Weyl escolhida, ´e f´acil ver queg ´e quase Hermitiana com respeito a J, isto ´e, g(JX, JY) =g(X, Y).

Denotaremos por Ω = ΩJ,Λ a 2-forma fundamental de K¨ahler correspondente: Ω(X, Y) =g(X, JY) =(ΛX, JY), X, Y m. (2.2)

(31)

Como ´e comum, continuaremos denotando por Ω, sua extens˜ao natural a uma 2-forma invariante em mC

. Calculando o valor de Ω na base de Weyl {Xα, α ∈ RM},

temos

Ω(Xα, Xβ) =−(ΛXα, JXβ) =−iλα¯ǫβ¯(XαXβ) =

(

−iǫα¯λα¯ seβ =−α 0 caso contr´ario

onde ¯α=k(α), ¯β =k(β) s˜ao ast-ra´ızes correspondentes aα e β respectivamente. Portanto, considerando a decomposi¸c˜ao

mC =mC1 ⊕ · · · ⊕mC2s

em subm´odulos ad(k)-invariantes irredut´ıveis e inequivalentes, conclu´ımos que Ω ´e uma 2-forma dada por

Ω(·,·) = X

α∈RM

iǫαλα(·,·)|gC α×g

C −α =

X

δ∈Rt

X

α∈RM

¯

α=¯δ

iǫδλδ(·,·)|gC α×g

C −α =

X

δ∈R+

t

iǫδλδ(·,·)|mC δ×m

C −δ.

Pela invariˆancia de Ω a diferencial exterior dΩ ´e dada por

3dΩ(X, Y, Z) =−Ω([X, Y], Z) + Ω([X, Z], Y)−Ω([Y, Z], X)

para todos campos de vetores X, Y, Z ∈m em F, veja [Ko-No]. O pr´oximo resultado foi obtido em [Sil].

Proposi¸c˜ao 2.5. Sejam α, β, γ RM ent˜ao dΩ(Xα, Xβ, Xγ) ´e nulo, exceto quando α+

β+γ=0. Neste caso

dΩ(Xα, Xβ, Xγ)=-3iNα,β(εαλα+εβλβ+εγλγ)

Podemos obter um resultado an´alogo `a proposi¸c˜aoo anterior usando t-ra´ızes. Para isto precisamos do seguinte resultado.

Lema 2.6. ([Alek-Pe], Lema 4) Sejam ξ, η, ζ t-ra´ızes tais que ξ +η +ζ = 0. Ent˜ao existem ra´ızes α, β, γ ∈RM com k(α) = ξ, k(β) = η, k(γ) = ζ, e tais que α+β+γ = 0.

Seδ, ζ, ηRts˜ao tais queδ+ζ+η = 0 diremos que a tripla (δ, ζ, η) ´e uma triplas

soma zero det-ra´ızes.

Proposi¸c˜ao 2.7. Sejamδ, ζ, η Rtent˜ao dΩ(mCδ,mCζ,mCη) = {0}, exceto quandoδ+ζ+

η= 0. Neste caso

dΩ(X, Y, Z) =−3iN(ǫδλδ+ǫζλζ+ǫηλη).

(32)

Demonstra¸c˜ao. Seα, β, γ ΠM s˜ao tais que α+β+γ = 0 ent˜ao δ+ζ+η= 0, quando

k(α) = δ, k(β) =ζ ek(γ) = η.

Reciprocamente, se δ, ζ, η Rt t˜ao tais que δ+ζ +η = 0 ent˜ao, pelo Lema 2.6

existem α, β, γ ∈RM com k(α) = δ, k(β) =ζ, k(γ) = η, e tais que α+β+γ = 0.

Assim pela Proposi¸c˜ao 2.5 e pela caracteriza¸c˜ao de m´etricas invariante e estru-turas quase complexas invariantes temos

dΩ(Xα, Xβ, Xγ) = −3iNα,β(ǫαλα+ǫβλβ +ǫγλγ) = −3iNα,β(ǫδλδ+ǫζλζ+ǫηλη).

Observe ainda que se α′, β′, γ′ ∈ RM s˜ao tais que k(α′) = δ,k(β′) = ζ, k(γ′) = η e

α′+β+γ= 0 ent˜ao

dΩ(Xα′, Xβ′, Xγ′) = −3iNα′(ǫδλδζλζηλη).

Uma variedade quase Hermitiana (M,Λ,{ǫδ}) ´e dita ser (1,2)-simpl´etica (ou

quase K¨ahler) se

dΩ(X, Y, Z) = 0

quando um dos vetores X, Y, Z ´e dito do tipo (1,0) e os outros dois s˜ao do tipo (0,1). A Proposi¸c˜ao 2.7 fornece um crit´erio, em termos de triplas soma zero de t-ra´ızes, para uma estrutura (Λ, J) sobre Fser (1,2)-simpl´etica.

Defini¸c˜ao 2.8. Seja J = {ǫ, δ Rt} uma equa¸c˜ao sobre F. Uma tripla soma zero de

t-ra´ızes(δ, ζ, η)´e dita ser uma{0,3}-tripla de t-ra´ızes se ǫδ =ǫζ =ǫη e uma{1,2}-tripla

de t-ra´ızes caso contr´ario.

Uma m´etrica invariante Λ ´e (1,2)-simpl´etica com respeito a J se o par (Λ, J) ´e (1,2)-simpl´etica. Uma equa¸c˜ao J ´e (1,2)-admiss´ıvel se existe Λ tal que o par (Λ, J) ´e (1,2)-simpl´etico.

Uma variedade quase Hermitiana ´e dita ser quase K¨ahler se Ω ´e simpl´etica, isto ´e, dΩ = 0. Quando dΩ = 0 e J ´e integr´avel dizemos que a variedade ´e K¨ahler, [Ko-No].

Consideremos o tensor de Nijenhuis (invariante) sobre F, dado por:

−12N(X, Y) = [JX, JY] + [X, Y] +J[X, JY] +J[JX, Y], X, Y mC.

Seja J ={ǫδ, δ∈Rt}uma eqci sobre F. O tensor de Nijenhuis calculado na base

{Xα, α∈RM} demC ´e dado por

−1

2N(Xα, Xβ) = −[JXα, JXβ] + [Xα, Xβ] +J[Xα, JXβ] +J[Xα, Xβ] = Nα,βǫk(α)ǫk(β)Xα+β+Nα,βXα+β

− Nα,βǫk(β)ǫk(α)+k(β)Xα+β −Nα,βǫk(α)ǫk(α)+k(β)Xα+β

= Nα,β ǫk(α)+ǫk(β)

ǫk(β)−ǫk(α)+k(β)

(33)

onde k(α), k(β)Rt.

Proposi¸c˜ao 2.9. ([San-Neg], [Sil]) Uma estrutura quase Hermitiana sobre F ´e quase K¨ahler se e somente se ´e K¨ahler.

Demonstra¸c˜ao. Notamos que um par (Λ, J) quase K¨ahler n˜ao pode admitir {0,3}-triplas de t-ra´ızes. Pois, se admitisse uma {0,3}-tripla (δ, ζ, η) em Rt, como dΩ = 0, pela

Proposi¸c˜ao 2.7 ter´ıamos a igualdade

λδ+λζ+λη = 0

o que ´e imposs´ıvel, j´a que λδ, λζ, λη > 0. Assim a eqci J admite apenas {1,2}-triplas

e nesse caso, por 2.3, ´e f´acil ver que o tensor de Nijenhuis ´e nulo, logo J ´e integr´avel. Portanto o par (Λ, J) ´e K¨ahler. A rec´ıproca ´e imediata.

Pelas Proposi¸c˜oes 2.7 e 2.9 obtemos um crit´erio para uma m´etrica ser K¨ahler.

Proposi¸c˜ao 2.10. ([Alek-Arv], [Arv]) Dada uma estrutura complexa invariante J sobre

F, uma m´etrica invarinate Λ ´e K¨ahler (com respeito a J) se e somente se satisfaz

λδ+η =λδ+λη para todoδ, η ∈Rt+.

2.4

O tensor de Ricci e a equa¸

ao de Einstein

Nesta se¸c˜ao apresentaremos o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma var-iedade bandeira e exibiremos a equa¸c˜ao de Einstein associada.

Defini¸c˜ao 2.11. Uma variedade Riemaniana (Mn, g) ´e Einstein, se a m´etrica cumprir

Ric(g) = cg. Quando n ≥ 3, c ser´a chamada de constante de Einstein, ou seja, uma m´etrica Riemaniana ´e de Einstein se o tensor de Ricci for proporcional a m´etrica g.

Logo uma m´etrica Riemaniana ´e de Einstien se, e somente se (M, g) possuir curvatura de Ricci constante. Come¸camos estudando o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante em um espa¸co homogˆeneo qualquer.

Apresentaremos tamb´em o tensor de Ricci e consequentemente a equa¸c˜ao de Einstein nos pr´oximos lemas para uma variedade bandeira maximal. O primeiro Lema pode ser encontrado em [Sak] ou [Mut] e fornece as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre o espa¸co homogˆeneo M = U/K. Come¸camos com uma nota¸c˜ao introduzida por Wang-Ziller em [Wan-Zil].

Considere {eα}uma baseβ-ortonormal adaptada a decomposi¸c˜ao dem= l

L

k=1

mk.

Em outras palavras, eα ∈ mi para algum i ∈ {1,· · · , l} e α < β se i < j com eα ∈ mi,

eβ ∈mj. Defina como em [Wan-Zil],

(34)

isto ´e,

[eα, eβ] =

X

γ

αβeγ e

X

(Aγαβ)2 =

" k i j

#

(2.5)

As somas acima 2.5 s˜ao tomadas sobre todos os ´ındicesα, β, γ comeα ∈mi,eβ ∈

mj, eγ ∈mk. Um ponto importante ´e que

" k i j

#

independe do referencial ortonormal

escolhido para mi,mj,mk e

" k i j # = " k j i # = " j k i # . (2.6)

Al´em disso se w ´e um elemento do grupo de Weyl ent˜ao:

"

w(γ)

w(α) w(γ)

# = " γ α β # . (2.7)

Usaremos as nota¸c˜oes acima nos pr´oximos lemas.

Lema 2.12. As componentes rk do tensor de Ricci de uma m´etrica U-invariante sobre

M =U/K s˜ao dadas por:

rk =

1 2λk

+ 1

4dk l

X

i,j=1

λk

λiλj

" k i j

#

− 1

2dk l

X

i,j=1

λk

λiλj

" j k i

#

(k = 1,· · · , l) (2.8)

onde, m= Ll

k=1

mk dk = dimmk.

Demonstra¸c˜ao. O tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma variedade ho-mogˆenea ´e dado por [Bes]:

Ric(g)(X, X) =1 2

X

i

k[X, Xi]mk2+

1

2(X, X)C−K+ 1 4

X

i,j

h[Xi, Xj]m, Xi2. (2.9)

Considere {ek

a} uam base ortonormal de mk em rela¸c˜ao a (·,·)CK.

Considere tamb´em os vetores Xak =

ek a

λk

. Estes vetores Xak formam uma g base

ortonormal para mk. Como o tensor de Ricci de uma m´etrica invariante ´e dao por 2.9,

temos:

rk = Ric(g)(Xak, Xak) =

− 1

2

P

i,j

λj

λiλk

P

s([eka, eis]mj,[eka, eis]mj)

+ 1

2λk

+1 4

P

i,j

λk

λiλj

P

t,s([e j

t, eis]mk, e

(35)

Portanto decorre de 2.4 e 2.5 que,

dkrk= dk

X

a=1

Ric(g)(Xak, Xak) = dk 2λk −

1 2

X

i,j

λi

λkλi

" j k i # + 1 4 X i,j λk

λjλi

" k j i

#

(2.10)

O que prova o lema.

Considere agora, M =U/T uma variedade bandeira maximal equipada com uma m´etrica invariante (Λ)αR+

M ={λα >0}.

Lema 2.13. As componentes rα do tensor de Ricci de uma m´etrica U-invariante sobre

uma variedade bandeira maximal M =U/T s˜ao dadas por:

rα =

1 2λα

+1 8

X

β,γ∈R+ M

β+γ∈R+ M

λα

λβλγ

" α β γ # − 1 4 X

β,γ∈R+ M

β+γ∈R+ M

λγ

λαλβ

" γ α β

#

(α∈R+M) (2.11)

Demonstra¸c˜ao. Basta aplicar o lema anterior em uma variedade bandeira M = U/T, trocandom por L

α∈R+ M

uα. Neste caso, dα = dimuα = 2.

Nesta disserta¸c˜ao alguns reultados s˜ao aplic´aveis a todas as variedades bandeiras, mas como encontramos solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Einstein apenas no caso Al,

concen-traremos nossa aten¸c˜ao `as variedades deste tipo.

Uma sub´algebra de Cartan para complexifica¸c˜ao de su(n), ´e formada pelas ma-trizes diagonais

hC={diag(ǫ1, ǫ2,· · · , ǫn) ǫi ∈C, n

X

i=1

= 0}. (2.12)

O sistema de ra´ızes tem a formaR ={ǫi−ǫj, i6=j}, consequentemente as ra´ızes

positivas podem ser escolhidas comoR+ ={ǫ

i−ǫj, i < j}.

A forma de Cartan-Killing de SU(n) ´e (X, Y) = 2ntrXY temos (α, α) = 1

n para

todas as ra´ızesαe os vetoresXα que satisfazem (Xα, X−α) = 1 s˜ao da formaXij =

Xǫi−ǫj

2n

ondeXǫi−ǫj ´e o vetor associado `a ra´ızǫi−ǫj. As constantes de estrutura s˜ao todas iguais

a √1

2n.

Agora podemos escrever, as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica invariante sobre uma variedade bandeira maximal do tipo Al. Este ´e o conte´udo do

(36)

Lema 2.14. [Sak] Sobre as variedades F(n), n 3, as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica U(n)-invariante (Λ)α∈R+ s˜ao dadas por:

rij =

1 2λij

+ 1 4n

X

k6=i,j

λij

λikλkj −

λik

λijλkj −

λkj

λijλik

(2.13)

Demonstra¸c˜ao. Pela lema anterior 2.13, as componentes do tensor de Ricci de uma m´etrica invarianteg(·,·) = L

α∈Π+

λαB|mα s˜ao dadas por

rα =

1 2λα

+ P8

β,γ∈Π+

λα

λβλγ

" α β γ

#

− 14Pβ,γ∈Π+

λα

λβλγ

" γ α β

# . (2.14)

Mas, para F(n), n≥3, temos:

       "

ǫi−ǫj

ǫi−ǫk ǫk−ǫj

#

= 1

n (k 6=i, j)

caso contr´ario 0.

Para concluir a demonstra¸c˜ao do lema, basta observar as simetrias dos termos envolvidos nos dois somat´orios em 2.14 e que, conforme j´a mencionamos, pela defini¸c˜ao deAγαβ temos que:

" γ α β # = " β γ α # = " α β γ # .

Veremos a seguir um exemplo para o caso de n = 3, ou seja, um m´etodo para a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein em F(3):

Na variedade mencionada, equa¸c˜ao de Einstein ´e dada por

r′

11 = 1 2λ12

+ 1 12

λ12

λ13λ23 −

λ13

λ12λ23 −

λ23

λ12λ13

=c

r′

13 = 1 2λ13

+ 1 12

λ13

λ12λ23 −

λ12

λ13λ23 −

λ23

λ12λ13

=c

r′

23 = 1 2λ13

+ 1 12

λ13

λ12λ23 −

λ12

λ23λ13 −

λ13

λ23λ12

=c

. (2.15)

(37)

Logo, a equa¸c˜ao 2.15 se reduz a

r′

12= 1 2λ12

+ 1 12

λ12

λ2 13 −

1

λ12 − 1

λ12

=c

r′

13=r′23= 1 2λ13

+ 1 12

−λ12

λ2 13

=c

Como estamos interessados em econtrar a solu¸c˜ao sem nos importarmos com o volume (por enquanto), podemos ajustar o volume da variedade de forma que λ13 = 1. Desse modo, segue de imediato que λ2

12−3λ12+ 2 = 0, e com issoλ12= 1 ou λ12= 2. Portanto, a m´etrica dada por

  

0 1 1 1 0 1 1 1 0

   ou

  

0 2 1 2 0 1 1 1 0

  

(38)

Solu¸

oes da Equa¸

ao de Einstein

3.1

etricas K¨

akler-Einstein

A existˆencia de uma m´etrica Einstein, conforme j´a mencionamos, nem sempre ´e garan-tida. Sobre as variedades bandeira M = G/K equipadas com uma estrutura complexa invariante J mostraremos, seguindo os trabalhos de Matsushima [Mat], Koszul [Kos] e principalmente Borel [Bor], a existˆencia de uma m´etrica de Einstein distinguida, isto ´e, a existˆencia de uma m´etrica de K¨ahler-Einstein. Esta m´etrica ´e ´unica, a menos de transforma¸c˜oes holomorfas, [Mat].

Considere (M, J, g) uma variedade bandeira equipada com um por K¨ahler invari-ante (J, g = Λα), veremos que o tensor de Ricci ou equivalentimente a forma Ricci neste

contexto independe da m´etrica invariante.

Sobre uma variedade Hermitiana podemos construir uma 2-forma fundamental tamb´em chamada de forma K¨ahler fazendo

Ω(X, Y) = g(JX, Y) (3.1)

Diremos que M ´e K¨ahler se dΩ = 0. A forma Ricci ´e a 2-forma ρ(X, Y) = Ric(JX, Y). Desse modo uma m´etrica invariante ´e Einstein se, e somente se ρ(X, Y) =

cΩ(X, Y), para alguma constante c. Segue da´ı que uma m´etrica K¨ahler invariante ´e Einstein se a forma Ricci for proporcional a forma K¨ahler, ou seja, se

ρ(X, Y) = cg(JX, Y).

Considere agora M = G/K, uma variedade bandeira com a decomposi¸c˜ao g =

tm. Uma estrutura complexa G-invariante J, e uma 2-forma podem ser identificadas com uma Ad(K)-invariante transforma¸c˜ao linear J sobre m satisfazendo J2=-1 e uma Ad(K)-invariante n˜ao-degenerada forma anti-sim´etrica Ω sobre m. O mesmo pode ser feito com o tensor de Ricci e a forma Ricci ρ. ´E usual estender a m´etrica g , a estrutura

(39)

quase complexa J e a forma K¨ahler a mC

, sem qualquer mudan¸ca de nota¸c˜ao. O ponto central ´e que como J2

◦=-Id logo a complexifica¸c˜ao de J◦ possui autovalores ± i.

Seja (M, J,Λ) uma variedade banceira equipada com uma estrutura complexa J e uma m´etrica invariante (Λ). O tensor de curvatura ´e dado porR(X, Y)Z =∇X∇YZ−

∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z∀X, Y, Z onde ∇ denota a conex˜ao Riemanniana associada a m´etrica

ds2

Λ. Para variedades K¨ahler a forma Ricci pode ser escrita como [Ko-No]

ρ(X, Y) = 1

2tr(JR(X, Y)). (3.2)

No contexto invariante, o tensor de curvatura ´e dado por

R(X, Y)Z =∇X∇YZ − ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]mZ −[[X, Y]t, Z] (3.3)

Como a estrutura complexa ´e G-invariante, e satisfaz ∇XJ=0, temos que para

X,Y ∈m

[X, JY]mC =J[X, Y]

mC ∇X(JY) =J∇XY. (3.4)

Segue da´ı que tr(J(X)(Y)) =tr((X)J(Y)) =tr(J(Y)(X)).

Isto significa que os dois primeiros termos de 3.3 n˜ao dever˜ao ser considerados para o c´alculo da forma Ricci. Al´em disso, pela invariˆancia da forma Ricci vemos que ´e suficiente calcul´a-la paraX =Xα e Y =X−α. Mas,

[Xα, X−α] =Hα ∈tC

Portanto do exposto acima e de 3.3,

ρ(Xα, X−α) =

1

2tr(J◦ad(Hα)). (3.5)

Por outro lado sobremC

os vetoresXα,α∈R, s˜ao autovetores, tanto deJ◦ como

dead(Hα) com autovalores±i eα(H), respectivamente.

(40)

ρ(Xα, X−α) =

i

2

X

β∈R

ǫββ(Hα)

= i

2(

X

β∈R+

β(Hα)−

X

β∈R−

β(Hα))

= i X

β∈R+

β(Hα)

= i X

β∈R+

α(Hβ)

= iα X

β∈R+

Hβ (3.6)

Onde δ = 12PαR+α. A partir dos fatos acima, descreveremos como construir uma m´etrica K¨ahler-Einstein sobre uma variedade bandeira maximal M = G/B = U/T. Denotaremos por uC

e por tC

as complexificadas das ´algebra de Lie de u e m respectiva-mente. Temos portanto uma decomposi¸c˜ao deuC em espa¸cos de ra´ızes:

uC =tCX

α∈R

(uα⊕u−α)

At´e o final desta se¸c˜ao, b = hPαR+gα denotar´a a sub´algebra de Borel de g

enquanto que B denotar´a o subgrupo de Borel de G correspondente ab, e T = G∩B ser´a o toro maximal de U.

O sistema simples de ra´ızes deuC

, Σ ={α1,· · ·αn}estar´a associado aos funcionais

P

={ϕ1,· · · , ϕn} de (uC)∗ da seguinte forma:

2(ϕi, αj)

(αj, αj)

=δij (1≤i < j ≤n) (3.7)

Podemos identificar uma ra´ız deuCcom um elemento de √−1t, atrav´es da duali-dade decorrente da forma Cartan-Killingβ. Lembramos, que o fato deu ser semi-simples assegura que a forma Killing ´e n˜ao-degenerada. Em outras palavras, identificamos Hα

com α, onde Hα ∈√−1t´e definido como β(Hα, H) = α(H) paraH ∈tC.

Desse modo √1t=Pni=1Rϕi. Defina a cˆamara positiva com respeito a escolha deP como c+ ={λ ∈

−1t;β(λ, αi)> 0, i = 1,· · · , n} e denote por δ = 12Pα∈R+α, a soma das ra´ızes positivas.

Podemos escrever, δ =ϕ1+· · ·+ϕn e portantoδ ∈c+. A demonstra¸c˜ao do lema

abaixo pode ser encontrada em [B-H].

Lema 3.1. [B-H] Existe uma correspondˆencia 1-1 entre as m´etricas K¨ahler U-invariantes sobre M = G/B = U/T e elementos de c+. Portanto, para uma m´etrica K¨ahler

(41)

K¨ahler U-invariante sobre M que corresponde aδc+. A m´etrica K¨ahler que corresponde

a δ ´e K¨ahler-Einstein.

Observe que de acordo com a equa¸c˜ao 3.6 a m´etrica K¨ahler-Einstein U-invariante sobre U/T correspondente a δ´e dada por gδ={λα =

P

α∈R+β(ϕ1+· · ·+ϕn, α)}.

Podemos escrever cada ra´ız positiva α de forma ´unica como α = Pil=1mi(α)αi

onde mi(α) s˜ao inteiros n˜ao-negativos. Utilizando a express˜ao 3.7 podemos escrever:

gδ={λα = n

X

i=1

mi(α)B(αi, αi)}. (3.8)

A express˜ao acima 3.8 fornece, a menos de escalar, os coeficientes da m´etrica K¨ahler-Einstein sobre M =U/T.

Exemplo 3.2. Sobre F(3) a m´etrica K¨ahler-Einstein de Matsushima [Mat] associada a

estrutura complexa canˆonica 

  

0 √1 1

−√−1 0 √1

−1 1 0

 

´e a menos de escalar dada por:

Λ =

  

0 16 13 1 6 0 1 6 1 3 1 6 0    

Exemplo 3.3. De uma forma mais geral, a m´etrica K¨ahler-Einstein [Mat], sobre F(n)

associada a estrutura complexa canˆonica ´e a menos de escalar dada por:

Λ =          

0 21n n1 · · · n−1 2n

1 2n 0

1

2n . .. ...

1

n

1

2n 0 . ..

1

n

... ... ... ... 1 2n n−1

2n · · ·

1

n

1 2n 0

          .

Portanto, sobre F(n), 3, uma vez fixada uma estrutura complexa, existe uma ´

unica m´etrica K¨ahler-Einstein [Mat].

3.2

A m´

etrica Normal-Einstein

(42)

Qualquer m´etrica bi-invariante sobre g = LieG, induz uma decomposi¸c˜ao g =

h m. Podemos identificar m com TeH(M), a restri¸c˜ao da m´etrica bi-invarinate a m

induz, por transla¸c˜oes `a esquerda, uma m´etrica G-invariante sobre M. Tal m´etrica ´e usualmente, chamada de m´etrica normal. A escolha canˆonica para a m´etrica bi-invariante sobre g ´e negativo da forma Cartan-Killing, chamaremos tal escolha de B, a m´etrica invariante induzida ser´a denotada porgB.

No estudo da condi¸c˜ao Einstein, para a m´etrica gB, a representa¸c˜ao isotr´opica desempenha um papel central.

Um elemento h H age sobre M por transla¸c˜oes `a esquerda, e a classe eH

´e est´avel para a a¸c˜ao. A diferencial de h, dh ´e a diferencial da transla¸c˜ao `a esquerda gerada porh, ou seja, dh=dLh, dh ´e um automorfismo dem=TeHM. A representa¸c˜ao

isotr´opica χ´e dada por h7→dh.

A representa¸c˜ao χinduz uma representa¸c˜ao de h em m, que ainda ser´a denotada por χ, usando a identifica¸c˜ao de m com TeH(M) essas represnta¸c˜oes ser˜ao dadas por:

χ(h) = Adm(h), para h∈H, e paraX ∈h e Y ∈mtemos que χ(X)Y = [X, Y].

Sejam X, Y ∈m, defina

A(X, Y) =X

i

B([X,[y, Zi]], Zi) = −

X

i

B([Zi,[Zi, X]], Y), (3.9)

poisB ´e ad(g)-invariante. Wang-Ziller provaram em [Wa-Zi] a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 3.4. Ric(gB) = 1 4B+

1 2A

Demonstra¸c˜ao. SejaX ∈m um vetor unit´ario. Sabemos ([35] Teorema X) que

B(R(X, Xi)Xi, X) =

1

4B([X, Xi]m,[X, Xi]m) +B([X, Xi]l,[X, Xi]l) = −3

4B([X, Xi]m,[X, Xi]m) +B([X, Xi],[X, Xi]), onde {Xi}´e uma B-base ortonormal de m eX =X1. Portanto,

Ric(gB)(X, X) = 3

4trm(prm◦adX)

2+

B(X, X)A(X, X) (3.10)

Como [m,l]⊂m, e B´e adg-invariante, a matriz de adX com respeito a {Zi, Xj}

possui a seguinte forma:

0 a(X)

−a(X)t b(X)

!

.

Da´ı,

trm(prm◦adX)

2 = tr(b(X)2) =

−B(X, X) + 2tr(a(X)a(X)t) = −B(X, X) + 2A(X, X) . Ent˜ao usando agora 3.10, e a desigualdade acima temos:

Ric(gB)(X, X) = 1

4B(X, X) + 1

(43)

O operadorA pode ser relacionado ao operador de Casimir [31] da representa¸c˜ao isotr´opica. O operador de Casimir da representa¸c˜ao isotr´opica χ de h com rela¸c˜ao a

h·,·i=B|h ´e definido por:

Cχ,h·,·i =−

X

i

χ(Xi)χ(Yi), (3.11)

onde,{Xi},{Yi} s˜ao bases de h duais com rela¸c˜ao `a h·,·i, ou seja, hXi, Yji=δij.

Portanto por 3.9 e 3.11

A(X, Y) =B(Cχh·,·iX, Y) (3.12)

Combinando 3.4 com 3.12 Wang-Ziller obtiveram:

Corol´ario 3.5. Se escrevermos o tensor de Ricci como um endomorfismo sim´etrico de m ent˜ao

Ric(gB) = 1 4Id+

1 2CχB|h

Portanto gB ´e Einstein se, e somente se CχB|h =aId.

O resultado acima, e outros obtidos a partir deste, permitiram a Wang-Ziller classificarem todos os espa¸cos homogˆeneos de grupos de Lie simples sobre os quais a m´etrica normal ´e Einstein [Wa-Zi] p.577-80.

Sabemos que sobre M =F(n), n 3, a m´etrica normal ´e Einstein [Wa-Zi].

3.3

etricas Arvanitoyeorgos-Einstein

Arvanitoyeorgos em [Arv] descreveu v´arias solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao de Einstein invariante sobre as variedades F(n),n 4. Ele provou o seguinte Teorema:

Teorema 3.6 (Arvanitoyeorgos). As variedades F(n), n≥4 admitem, a menos da a¸c˜ao do grupo de Weyl, pelo menos 3 classes de m´etricas de Einstein invariantes. A m´etrica normal, a m´etricas K¨ahler-Einstein que totalizam, n!

2 e a classe dada por:

λsi =λsj =n−1, i6=s, j 6=s

λkl =n+ 1, k, l6=s(1≤s≤n)

Antes de provar esse teorema, Considere a matriz da m´etrica invariante Λ = (λα).

Posto que a matriz Λ ´e sim´etrica basta considerarλαcomα ∈R+M, ou seja, consideraremos

a parte triangular superior e considere o conjunto das t-ra´ızes positivas R+M. Podemos escreverR+

M =R1∪R2∪. . .∪Rk, comR′isdisjuntos. Com a decomposi¸c˜ao acima podemos

descrever a seguinte classe de m´etricas invariantes

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