Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem ´atica

Livre

0
0
90
1 year ago
Preview
Full text

  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica Programa de P ´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Disserta¸c˜ao de Mestrado

  

Hiperbolicidade Fraca Via Funções De Lyapunov

Infinitesimais.

  

Junilson Cerqueira da Silva

  Hiperbolicidade Fraca Via Funções De Lyapunov Infinitesimais. Junilson Cerqueira da Silva

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten- ção do Título de Mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Vítor D. Martins

  de Araújo Silva, Junilson Cerqueira da.

  Hiperbolicidade Fraca Via Funções de Lyapunov / Junilson Cerqueira da Silva. - 2014. 88 f.: il.

  Orientador: Prof. Dr. Vitor D. Martins de Araújo. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Salvador, 2014.

  Dedico este trabalho aos meus pais, meus irmãos e a todas as pessoas que se sentem incapazes de vencer nesta vida. Vocês não sabem o quão longe Deus pode lhes levar.

  

Agradecimentos

  Ao meu Deus e criador por ser infinitamente bom comigo. Agradeço a ele por ter me capacitado para enfrentar e vencer os desafios que surgiram nestes últimos dois anos. Eu nunca esquecerei que tudo que tenho, tudo que sou e o que vier a ser vem de Deus.

  Á minha mãe, Joanita, exemplo de força e coragem, pelas orações diárias para que eu estivesse em segurança em uma cidade longe da nossa. Eu acredito que cada uma delas foi atendida por Deus. Agradeço aos meus queridos irmãos, Daniele, Jamile e Jandilson por acreditarem em mim. Sou eternamente grato à minha família que é minha motivação. Amo vocês.

  Aos meus avós que sempre estiveram dispostos a me ajudar e também são responsáveis por esta vitória. Eu amo vocês. Agradeço aos meus tios pela disposição a ajudar quando tive problemas com estadia em Salvador.

  A Caroline, minha Caroline, minha noiva amada. Muito obrigado por estar ao meu lado quando precisei chorar, me lamentar e contar com alguém. Muito obrigado pelos vários momentos de sorrisos que passamos juntos neste dois anos. Muito obrigado por acreditar em mim. Meu amor e amizade são seus por toda vida. Te amo muito e para sempre.

  A Diego, pelo amigo que sempre se mostrou ser a mim, pelo apoio sempre disponível. Serei eternamente grato e amigo. Ao professor e orientador Vítor Araújo por ser tão prestativo e dedi- cado ao que faz, pelas correções e orientações que foram necessárias para o desenvolvimento deste trabalho, por me oferecer algo que eu realmente gostei de estudar. Agradeço aos outros professores que também me ensi- naram nesses dois últimos anos e contribuíram para minha formação.

  Aos amigos da UFBA por proporcionarem um bom ambiente de estudo. Foi um prazer conhecer vocês. Espero que a amizade construída perma- neça. Agradeço também aos amigos distantes que compreenderam minha ausência nestes dois anos e a todos que contribuíram direta e indiretamente para o meu sucesso, mesmo que apenas com a torcida.

  “Porque com Deus eu salto muralhas, com meu Deus eu derroto exércitos.

  Deus é quem me dá força e aperfeiçoa meus caminhos.” Salmo 18:29,32.

  

Resumo

  Apresentamos condições necessárias e suficientes para que uma decom- posição contínua invariante do fibrado tangente de um conjunto compacto invariante Λ seja hiperbólica ou parcialmente hiperbólica, com respeito

  

1

  a um difeomorfismo ou um fluxo C (com ou sem singularidades). Nós aplicamos estes resultados ao atrator solenóide e ao atrator geométrico de Lorenz. Palavras-chave: Decomposição dominada, conjunto parcialmente hiperbó- lico, hiperbolicidade e hiperbolicidade seccional.

  

Abstract

  We present necessary and sufficient conditions for a continuous in- variant splitting over a compact invariant subset Λ to be hyperbolic or

  1

  partially hyperbolic, with respect to a diffeomorphism or a C flow (with or without singularities). We apply the results to the solenoid attractor and the geometric Lorenz attractor. Keywords: Dominated splitting, partial hyperbolic set, hyperbolicity, infini- tesimal Lyapunov functions, strict separation.

  Sumário viii

   1 . . .

  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 . . . . . . . . .

  3

  . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 . . . . . . . . .

  7 . . . . . . . . . .

  8

  . . . . . . . . . . . . . 10

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  

  13

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  . . 19

  . . . . . . . . . . 25

  

  29

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  

  41

  . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  . . . . . . 49

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  

  69

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

  

  74

  Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  . . . . . . . . . . . . 36

  . . . . . . . . . 39

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  Capítulo 1 Introdução

  A teoria dos sistemas dinâmicos tem uma longa história que remonta às leis da mecânica clássica expressa em termos de equações diferenci- ais. Um exemplo relevante nessa teoria é o problema dos n-corpos: num campo gravitacional, este problema modela, por exemplo, o nosso sistema solar. É na busca da solução de problemas como esse que muitas ferramen- tas matemáticas foram desenvolvidas, aprofundando a teoria de sistemas dinâmicos.

  Desde Poincaré, no final do século XIX, a ênfase ao desenvolvimento da teoria tem sido o estudo do comportamento assintótico das soluções das equações diferenciais, em vez de buscar explicitamente expressões para as soluções.

  Destacaremos, dentre as possíveis linhas de pesquisa da teoria dos sistemas dinâmicos, a teoria de sistemas dinâmicos hiperbólicos, desen- volvida nos anos 60 e 70, após o trabalho de Smale, Sinai, Ruelle, Bowen entre outros. Essa teoria busca entender o comportamento de conjuntos compactos invariantes Λ para fluxos e difeomorfismos em varie- dades compactas de dimensão finita tendo uma decomposição hiperbólica do espaço tangente.

  Em muitos exemplos clássicos vindos da Mecânica, Química e outros, os modelos matemáticos envolvem um fluxo gerado por um campo de o sistema possui algum tipo de hiperbolicidade. Em caso afirmativo, será que tal hiperbolicidade pode ser caracterizada diretamente do campo de vetores e sua derivada, isto é, das propriedades do gerador infinitesimal do fluxo, sem lidar diretamente com o fluxo X t como requer a definição? É este o objetivo principal deste trabalho: deduzir hiperbolicidade parcial para um conjunto compacto invariante de um fluxo X t utilizando apenas o campo de vetores X e sua derivada DX.

  

1.1 Hiperbolicidade, hiperbolicidade parcial e

dominação

  Uma variedade riemanniana M é uma variedade diferenciável com

  .

  ∞

  Seja M uma variedade compacta riemanniana n-dimensional C conexa e sem bordo. Um campo de vetores X sobre M é uma correspondência associando a cada ponto x de M um vetor X(x) em T M , o espaço de x

  1

  vetores tangentes a M no ponto x. Denotamos por X (M) o espaço dos r campos de vetores de classe C , r ≥ 1. Pelo teorema de existência e unicidade de soluções, para cada campo

  1

  (M), existe um único fluxo associado representado por X t X ∈ X

  : M −→ M, t ∈ R tal que d

  = (X X t t=t X t (y)| (y)), ∀y ∈ M, t ∈ R. dt

  Se M é uma variedade fechada (uma variedade sem bordo), então o fluxo está definido para todo t ∈ R. Entretanto, se ∂(M) , ∅, o fluxo está definido no bordo apenas para t ≥ 0.

  Lembramos que um difeomorfismo f sobre M é uma aplicação diferen- ciável cuja inversa também é diferenciável. Para cada t ∈ R fixado, temos 1 Uma métrica riemanniana (ou estrutura riemanniana) em uma variedade diferenciável

  M (isto é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um produto interno h, i p

  1

  que X é um difeomorfismo C de difeomorfismos, t t } . A família {X t∈R satisfaz a propriedade:

  =

1. X Id , onde Id : M −→ M é a aplicação identidade.

  =

  2. X t ◦ X s t+s

  X , ∀t, s ∈ R.

  1.1.1 Hiperbolicidade Seja X um campo de vetores e X o fluxo gerado por X. t

Definição 1.1.1. Um conjunto compacto invariante Λ (isto é, X t (Λ) = Λ, para

t se existe uma decomposição contínua

  todo t ∈ R) é hiperbólico para um fluxo X Λ , λ > 0 s X u invariante do fibrado tangente T M = E e existem constantes C ⊕ E ⊕ E tais que t E E s u −λt −λt s u kDX | k ≤ Ce , kDX −t | k ≤ Ce , x ∈ Λ e t ∈ R. x x Ou seja, E é uniformemente contraído e E é uniformemente expandido por DX . X t

  Na expressão acima E denota o subfibrado unidimensional gerado pela direção do campo e os subfibrados são DX t − invariantes, ou seja, são invariantes pela derivada DX do fluxo X , no seguinte sentido i i t t

  (E ) = E DX t x , x ∈ Λ, t ∈ R, i = s, X, u. X t (x)

  

Observação 1.1.2. As normas usadas são decorrentes de uma estrutura rieman-

  niana fixada na variedade M. Como esta tem dimensão finita, as normas são equivalentes. Assim, a definição de hiperbolicidade não depende da métrica rie- manniana escolhida.

  1.1.2 Hiperbolicidade parcial e dominação

  Na tentativa de ampliar o alcance da teoria hiperbólica, motivado, por exemplo, em entender as propriedades do atrator de Lorenz (que de decomposição dominada que será estudada neste trabalho. Ela foi introduzida inicialmente nos trabalhos de Mañé

  

  

Definição 1.1.3. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Uma decompo-

Λ

  sição contínua do fibrado tangente sobre Λ,T t com M = E ⊕ F invariante por DX

  0) para todo x ∈ Λ, diz-se dominada se existem constantes positivas K , λ satisfazendo

  , , 0 e F E x , F x não triviais (E x x

  −λt

  (1.1) k DX t | E k · kDX | F k ≤ Ke x −t , ∀ x ∈ Λ e ∀ t > 0. Xt(x) Isto significa que a contração/expansão ao longo da direção E é mais forte que (domina) qualquer expansão/contração na direção F.

  A partir do conceito de decomposição dominada, podemos definir hi- perbolicidade parcial para conjuntos compactos invariantes.

  

Definição 1.1.4. Um conjunto compacto invariante Λ diz-se parcialmente hi-

Λ

  perbólico se existe uma decomposição dominada T M = E ⊕ F tal que uma das seguintes propriedades é satisfeita:

  • E é subfibrado uniformemente contraído, ou seja, existe constantes positivas

  −λt

  C t | E k ≤ Ce , λ tal que kDX x , ∀ t ≥ 0.

  • F é subfibrado uniformemente expandido, ou seja, existe constantes positivas

  −λt

  C | F k ≤ Ce , λ tal que kDX −t x , ∀ t ≥ 0.

  

Observação 1.1.5. Note que as definições de hiperbolicidade, hiperbolicidade

  parcial e dominação são invariantes por troca de direção do tempo, ou seja, se uma delas vale para o campo X e seu fluxo X t , t ∈ R, então também vale para o campo

  −X com fluxo sendo X −t , t ∈ R.

  Novamente, estas noções mais fracas de hiperbolicidade não dependem da norma riemanniana fixada em M. 2 Tal conjectura foi provada para difeomorfismos por Mañé em e para fluxos, por

  Apresentaremos a seguir noções preliminares que permeiam este tra- balho. Um região armadilha U para um fluxo X é um subconjunto da variedade t

  M que satisfaz:

  1. X (U) está contido em U para todo t > 0; t 2. Existe T > 0 tal que X (U) é contido no interior de U para todo t > T. t Definimos a órbita de X como o conjunto O(x) :={X (x), onde X (x) t t estiver definido}. No caso de um difeomorfismo, f : M −→ M, a órbita de n um ponto x ∈ M é dada por O(x) := { f (x), n ∈ Z}. Uma singularidade para o campo de vetores X é um ponto σ ∈ M tal que

  X (σ) = 0 ou, equivalentemente, X t (σ) = σ para todo t ∈ R. O conjunto for- mado pelas singularidades é o conjunto singular de X. Uma singularidade

  σ é hiperbólica se os autovalores da derivada DX(σ) do campo de vetores na singularidade σ têm parte real não-nula. Se σ não é uma singularidade e existe t > 0 tal que X t (σ) = σ, dizemos que a órbita de σ é fechada. Se σ não é uma singularidade ou se sua órbita não é fechada, então sua órbita é chamada de regular.

  Um conjunto Λ é dito isolado se existe uma vizinhança compacta (um X (U). O conjunto Λ é um conjunto t bloco isolante) U de Λ tal que Λ = ∩ t∈R que atrai se é isolado e com um bloco isolante U que é uma região armadilha. X t >0 t X (U) o

  Agora, seja U ⊂ M uma região armadilha e seja Λ = Λ (U) := ∩ conjunto maximal invariante associado (também chamado de sumidouro ou atrator por alguns autores).

  Definição 1.1.6. Um subconjunto compacto invariante Λ é não-trivial se

  • Λ não contém singularidades;
  • ou Λ contém, no máximo, um número finito de singularidades, Λ contém alguma órbita regular e é conexo.

  Isto significa que um conjunto compacto invariante Λ é não trivial se suas singularidades são acumuladas por órbitas regulares em Λ.

  

1.1.3 Cones e campo de formas quadráticas ou funções de

Lyapunov infinitesimais

  Uma das dificuldades técnicas na teoria hiperbólica é efetivamente provar a existência de uma tal estrutura, mesmo nas suas formas mais fracas (decomposição dominada, hiperbolicidade parcial, hiperbolicidade singular entre outras). O modo mais usual e geométrico para fazer isso é através de um campo de cones.

  Seja J : E U → R um campo contínuo de formas quadráticas não- degeneradas J : E x x → R que têm índice 0 < q < dim(E) = n, onde U ⊂ M é uma vizinhança de um compacto invariante Λ para o campo X em M. Lembramos que o índice de uma forma quadrática é a maior dimensão de um subespaço vetorial restrita ao qual a forma é negativa.

  A hipótese de continuidade sobre J significa que, para todo v M , x (v x x ∈ T x a aplicação x ∈ U 7→ J ) ∈ R é contínua. Assumimos também que (J x ) é continuamente diferenciável ao longo do fluxo, isto é, a aplicação

  x∈U X (x) (v t t X (x)

  t ∈ R 7→ J ) ∈ R é continuamente diferenciável para todo x ∈ U e . Este campo J é também chamado de “função de Lyapunov v X (x) t ∈ T t X (x) M infinitesimal". A partir deste, construímos os campos de cones como segue:

  Denotaremos por C o campo de cones positivos e negati- = {C

  ± ± (x)} x∈U

  vos induzidos por J , isto é, x C x x

  

± (x) := {0} ∪ {v ∈ E : ±J (v) > 0}, x ∈ U

  e também C a família correspondente de vetores zeros C (x) = = {C

  (x)} x∈U

  −1

  J x ({0}) para todo x ∈ U.

1.2 Resultados principais

  Apresentaremos agora os principais resultados deste trabalho. A partir deles podemos mostrar que um conjunto compacto invariante Λ é parcial-

1.2.1 Hiperbolicidade para difeomorfismos

  A definição de hiperbolicidade para difeomorfismos é similar àquela para fluxos.

  Definição 1.2.1. Seja f

  : M −→ M um difeomorfismo. Um conjunto compacto s M e

  ⊂ T x e invariante Λ é hiperbólico se, para cada x ∈ Λ, existem subespaços E x u E M tais que: x ⊂ T x s u 1. T M = E , com esta decomposição variando continuamente. x ⊕ E u u s s x x

  = = 2. D f E E e D f E E . x x x x f f (x) (x)

  3. Existem constantes C > 0 e 0 < λ < 1 tais que: n n s kvk se ∀v ∈ E a) kD f vk ≤ Cλ x e n ≥ 0. n u

  −n

  kvk se ∀v ∈ E x b) kD f vk ≤ Cλ e n ≥ 0.

  Figura 1.1: Hiperbolicidade em superfícies Agora, apresentamos o resultado principal para difeomorfismos. O teo- rema é uma generalização, para conjuntos parcialmente hiperbólicos, da equivalência entre os ítens 1, 2 e 3 do teorema a seguir .

  Teorema 1.2.2. Sambarino] Seja f

  : M −→ f (M) um di-

  1. Λ é hiperbólico

  2. Existe um campo contínuo B em Λ de formas quadráticas não-degeneradas

  ∗

  = cuja dimensão é constante ao longo das órbitas e tal que ( f x B − B)

  B f (x) (D f x x ) − B é definida positiva para cada x ∈ M. s u

  3. Existem dois campo de cones C e C em Λ com dimensões complementares e dimensão constante ao longo das órbitas tais que: u u s s

  −1 a) D f C e D f C . x x ⊂ C x x ⊂ C f f (x) (x) −1 m u

  b) Existem e

  σ > 1 e m > 0 tais que kD f vk ≥ σkvk, para todo v ∈ C s

  −m .

  kD f vk ≥ σkvk, para todo v ∈ C

1.2.2 Hiperbolicidade Parcial para fluxos O principal resultado é o que segue.

  

Teorema 1.2.3. Teorema A]Um conjunto que atrai não-trivial Λ de uma região

  armadilha U é parcialmente hiperbólico para o fluxo X se, e somente se, existe um t

  1

  campo J de formas quadráticas C não-degeneradas com índice constante, igual a dimensão do subespaço estável de Λ, tal que X t é não-negativo e estritamente J -separado em U.

  Como havíamos dito, este teorema generaliza o resultado para difeo- morfismos. Nós conseguimos hipóteses semelhantes para fluxos envol- vendo cones e formas quadráticas. Chamamos atenção para a J-separação e o fato do fluxo ser não-negativo. Vejamos a definição:

  Definição 1.2.4. Dado um campo de formas quadráticas J : E U → R, dizemos

  • + que um fluxo X é estritamente J-separado sobre X se DX (x)(C t
  • t

      (x) ∪ C (x)) ⊂ + C (X t t é dito não-negativo

      (x)) para todo t > 0 e x ∈ U (ver Figura O fluxo X se o vetor direção do campo de vetores que o gera, X (x), está contido no cone positivo, isto é, J x (X(x)) > 0, para todo x ∈ U.

      Figura 1.2: J-separação estrita C (X (x)). Esta é a propriedade equivalente a 3)a) do teorema

      (x)) ⊂ C − −t

      Além disso, veremos que a propriedade do fluxo ser J-negativo garantirá a existência de contração uniforme que aparece na definição de hiperbolicidade parcial.

      Dizemos que um campo de formas quadráticas J em U é compatível com J, e escrevemos J ∼ J , se existe C > 1 satisfazendo x ∈ Λ

      1 ,

      · J x ∪ F x (v) ≤ J(v) ≤ C · J (v), v ∈ E

      C t -decomposição invariante de T Λ M . onde E ⊕ F é uma DX

      O critério que permite deduzir J-separação de um fluxo X t usando apenas o campo X e sua derivada DX é dado pelo próximo resultado.

      

    Proposição 1.2.5. Proposição 1.3] Um campo de vetores J-não-negativo X

      em U é (estritamente) J-separado se, e somente se, existe um campo compatível de formas J e existe uma função := J · DX(x) +

      δ : U → R tal que o operador ˜J 0,x

      ∗

      DX (x) satisfaz · J

      ˜J é positivo (definido) semidefinido ,

      0,x − δ(x)J

      x ∈ U, Observamos que a condição obtida na proposição é uma condição es- sencialmente local ou pontual, e para ser verificada não é necessário usar o fluxo X de X, mas apenas o campo X, sua derivada e uma função de t Lyapunov infinitesimal J juntamente com uma função auxiliar δ : U → R.

    1.2.3 Exemplos simples de aplicação

      Vamos exemplificar o uso destes resultados no caso particular simples de uma singularidade hiperbólica de um campo de vetores. Um exemplo mais elaborado será apresentado no capítulo

      

    Exemplo 1.2.6. Vamos considerar uma singularidade hiperbólica tipo sela σ =

      3

      (0, 0, 0) para um campo de vetores suave em R tal que os autovalores de DX (σ), ρ

      1 , ρ 2 e ρ 3 , são reais e satisfazem ρ 1 < ρ 2 < 0 < ρ 3 . Através de uma mudança de

      coordenadas, nós podemos assumir que DX

      1 , ρ 2 , ρ

      (σ) = diag{ρ

      3 }.

      2

      2

      2

      1. Seja J

      1 y z . Então J 1 é representado pela matriz

      (x, y, z) = −x

      3

      = J

      1

    1 (v) =< J

    1 e o produto

      diag{−1, 1, 1}, isto é, J (v), v >, com v ∈ R interno canônico.

      ∗

      = = Dessa forma, ˜J

    1 J

      1

      1 1 , 2ρ 2 , 2ρ

      3

      · DX(σ) + DX(σ) · J } e diag{−2ρ < δ < 2ρ < 0. Logo, δ tem que ser negativa

      ˜J

      1

      1

      1

      2

      − δ · J > 0 ⇐⇒ 2ρ e ˜J

      1 é não positiva definida. Do teorema

      nós temos J -separação estrita, então temos hiperbolicidade parcial

      1

      com E = {(x, 0, 0); ∈ R} = R × {(0, 0)} contraído uniformemente (este é o subespaço maximal invariante negativo para J ) e dominando F =

      1

      2

      (este é o subespaço maximal invariante {(0, y, z); y, z ∈ R} = {0} × R positivo para J ).

      1

      2

      2

      2

    • 2 z representada pela

      2. Como no item anterior, seja J − y

      (x, y, z) = −x

      2

      2

      1 2 , 2ρ

      3

      2 2 >

      = = matriz J

      } e ˜J −δ·J diag{−1, −1, 1}. Então ˜J diag{−2ρ , −2ρ

      2 < δ < 2ρ 3 . Assim, δ pode assumir valores positivos

      0 ⇐⇒ 2ρ ou negativos, mas ainda temos J-separação estrita, nesse caso ˜J

      2 é

    2 X , com R t × {0} o subespaço maximal invariante negativo para J 2 , logo contraído por DX .

      t o fluxo associado Agora, se considerarmos o campo −X com X −t

      2

      e tomarmos −J garantimos (−J)-separação estrita para o fluxo X −t trocando δ por −δ na proposição a decom-

      3

      2

      = posição R (R × {0}) ⊕ ({(0, 0)} × R) é parcialmente hiperbólica para

      X

      −t e {(0, 0)} × R é o subespaço maximal invariante negativo para 2 ( que é positivo para J 2 ), logo contraído por DX (o que implica

      −J

      −t expansão por DX t ).

      Portanto, temos mais hiperbolicidade parcial, conseguimos garantir

      3

      2

      = quea decomposição R (R × {0}) ⊕ ({(0, 0)} × R) em σ é hiperbólica.

      2

      2

      

    2

    • =

      3. Seja agora J (x, y, z) = x z representada por J

      3

      3

      − y diag{1, −1, 1}. =

      Neste caso ˜J

      3

      1

    2 , 2ρ

      3

      3

      3

      } não é positiva definida e ˜J − δ · J diag{2ρ , −2ρ

    • 1 ,

      1 2 δ, 2ρ

      3

      − δ, −2ρ − δ} que representa uma é dada pela matriz diag{2ρ

      forma quadrática semidefinida positiva se, e somente se, δ ≤ 2ρ

      2 3 , o que é impossível. Portanto, não temos dominação

      δ ≥ 2ρ e δ ≤ 2ρ do subfibrado E = {0} × R × {0} por F = R × {0} × R.

    1.3 Organização do trabalho

      Esta dissertação é composta de 5 capítulos. No capítulo que deno- minamos de “Introdução", são apresentados as definições e os resultados principais com os quais lidaremos ao longo deste trabalho.

      No capítulo “Campo de formas quadráticas não-degeneradas´´, nós estudamos propriedades importantes das formas quadráticas que serão utilizadas nos capítulos posteriores. O resultado principal deste capítulo é o lema

      A partir do capítulo “Conjuntos hiperbólicos para difeomorfismos´´, começamos a estudar de forma detalhada a hiperbolicidade para difeo- morfismos. Apresentamos o teorema que relaciona hiperbolicidade,

      No capítulo “Conjuntos parcialmente hiperbólicos para fluxos´´, con- tinuamos o estudo sobre hiperbolicidade, caracterizando um conjunto que atrai em parcialmente hiperbólico. Nele apresentamos uma generalização para fluxos da equivalência entre os ítens 1, 2 e 3 do teorema Esta generalização, devida a como pode- mos deduzir hiperbolicidade parcial para o atrator geométrico de Lorenz usando os resultados apresentados.

      Por fim, no capítulo “Generalizações: hiperbolicidade seccional e fun- ções de Lyapunov infinitesimais´´, tratamos de algumas generalizações. Uma delas é a extensão do teorema para garantir que os resultados mostrados no capítulo anterior válidos para um conjunto compacto inva- riante Λ também valem em uma vizinhança deste conjunto. Além disso, apresentamos o conceito de hiperbolicidade seccional e sua relação com as funções de Lyapunov infinitesimais.

      Capítulo 2 Campo de formas quadráticas não-degeneradas

      Vamos agora começar a apresentar resultados necessários para a prova do teorema Estes resultados dizem respeito às formas quadráticas. O primeiro deles garante que podemos sempre, em um certo sentido, diagonalizar uma forma quadrática. É o teorema de Lagrange. O último é o lema de Kuhne que nos dá ferramentas para provar a proposição

      

    2.1 Teorema de Lagrange de diagonalização de

    formas quadráticas Teorema 2.1.1. Dada f

      : E −→ R forma quadrática não-nula, existe uma base no espaço vetorial E relativamente à qual f tem uma matriz diagonal cujos elementos não-nulos são 1 ou −1, isto é,

      2

      2

      2

      2

      2

      f w ... + w , (v) = −w − w

      2 − ... − w r

    1 i i+

    1 onde v = (w , w , ..., w ) nesta base, i é o índice de f e r é o posto de f .

      1 2 r

      , ..., u Demonstração.

      1 m

      } ⊂ E uma base qualquer na qual se tem Seja U = {u

    • ... + y n
    • ... + y n a 1n )u
    • ... + (y
    • ... + y n a nn )u n

    • ... + ( n

      X i ,j=1 c ij y i y j , onde A = (a ij ) é a matriz de passagem da base U para V e C = (c ij ) é tal que C = A T BA .

      y k a jk ) =

      1

      X k=

      y k a ik )( n

      1

      X k=

      X i ,j b ij ( n

      y k a jk . Assim, f (v) = n

      1

      X k=

      y k a ik e x j = n

      1

      X k=

      x i u i e a representação na base U é única, temos que x i = n

      O que usaremos para demonstrar o teorema é a técnica de completar quadrados juntamente com as mudanças de variáveis necessárias. Cada mudança de variável corresponde à passagem de uma base para outra como feito acima.

      Podemos supor que b ii , 0 para algum i ∈ {1, ..., n}. Observe que isso sempre é possível pois, se b ii = 0 para todo i ∈ {1, ..., n}, tome b rs

      , 0 ( se f é não-nula, isso acontece), com r , s. Fazemos x r

      X i ,j=1 c ij y i y j

      2

      X

      2 s n

      − 2b rs y

      2 r

      y

      X i ,j=1 c ij y i y j + 2b rs x r x s = n

      = y r

      = n

      X i ,j=1 b ij x i x j

      X i ,j=1 b ij x i x j = n

      = y i se i , r, s . E então: f (v) = n

      − y s e x i

      , x s = y r

      1

      Logo, como v = n

      X i=

      1

      u k ) + ... + y n ( n

      1

      a k

      1

      X k=

      ( n

      v n = y

      y k a nk ).

      1

      v

      1

      v = y

      1 , ..., v n } base de E, temos que

      Dada V = {v

      X k=

      1

      a kn u k ) =

      (y

      1

      X k=

      

    1

      )u

      1k

      y k a

      1

      X k=

      = ( n

      1

      1 a n

      1

      11

      1 a

    • y s
    • b rs x r x s
    • b sr x s x r
    • 2b rs

      2

    • n
    • n
    • n
    • n
    • x

    • 2x
    • 2b
    • 2x
    • 2x
    • 2ab com a = x
    • 2ab = (a + b)

      2 , ..., u m .

      x j u j , isto é, ψ é uma forma quadrática definida no subespaço F ⊂ E, de dimensão m − 1, gerado por u

      2

      X j=

      = m

      ′

      ) depende apenas de v

      ′

      ), onde c j = b 1j b 11 e ψ(v

      ′

      c j x j )) + ψ(v

      2

      X j=

      1

      ( n

      1

      2

      (x

      11

      ) = b

      ′

      x j ) + ψ(v

      

    11

      b 1j b

      2

      X j=

      11 x 1 ( n

      1

      A expressão x

      1

      2

      1

      c j x j   

      2

      X j=

      −    n

      2

      c j x j   

      2

      X j=

      1

      c j x j ) =   x

      2

      X j=

      1 ( n

      2

      1 ( n

      , assim: x

      2

      − b

      2

      2

      c j x j . Sabemos que a

      2

      X j=

      1 e b = n

      2

      c j x j ) é do tipo a

      2

      X j=

      2

      11 x

      ) = b

      1

      b ij x i x j ) = b

      2

      X j=

      1

      1 x i x

      (b i

      2

      X i=

      1 x j

      b 1j x

      2

      X j=

      11 x 1 x

      ′

      b ij x i x j ) = b

      2

      X j=

      1

      x

      1 x i

      (b i

      1

      X i=

      , 0 ( reordenando os elementos da base, se necessário) e uma vez que B = (b ij ) é simétrica: f (v) = n

      11

      Supondo, então, que b

      com c rr , c ss ,

      11

      x

      2

      X i=

      b 1j x j ) + ψ(v

      2

      X j=

      1 ( n

      1

      2

      11 x

      b ij x i )x j = b

      2

      X j=

      ( n

      2

      x i ) + n

      1

      1

      b i

      2

      X i=

      ( n

      1

      x j ) + x

      1j

      b

      2

      X j=

      ( n

      1

      2 .

    • n
    • 2x

      n

      X = = =

      Fazendo z x c x , z x ,...,z :

    • x

      1 1 j j j=

      2

    2 m m

      2

          n

      

    2

    X

      2

      2 ′ ′

          j= f (v) = b c x ) = b (v ) z f

    • 11 j j

      −

      11

      2

      1

      1

        z  + ψ(v

      2 n

      X

      2 ′ ′

    • 2

      onde f

      2 (v ( c x )

    11 ψ(v

    j j

    : F −→ R, f ) = −b ) e dim F = n − 1. w 1 j=

      2

      2

      = √ = Agora, escrevendo z e z

    • 1 w

      j j

      , j ≥ 2, chegamos em f (v) = ±w

      1 b 11 |b 11 |

      2 ′ ′

    • 2

      f (v ) (observe que f (v) = w f (v ), deixando claro que o coeficiente ±1

      2

      1 |b 11 |

      depende diretamente de b ) . Repetindo o processo para f e escolhendo

      11

      2

      2 a

      11

      , um b 0 ( o índice 2 indica que, na 2 etapa, escolhemos b como antes), ii

      2

      2

      3

      3

    ′′

    • = = f

      3 (v ). Se agora tivermos b 0 e b 0,

      1 2 ii

    • ±w vamos obter f (v) = ±w
    • rs

        caso em que f

        3 é identicamente nula, o processo se encerra aqui. Caso

        contrário, continuamos da mesma forma até que na r-ésima (r ≤ n) etapa (dependendo do sinal de cada b ): ii

        2

        2

        2

        2

        2

        ... + w , +

      • f w

        − w − ... − w r (v) = −w

        1 2 i i+

        1 onde i é o índice de f e r é o posto de f (o posto da matriz que a representa).

        Os números w são as coordenadas de v na base E obtida após a última j mudança de coordenadas.

        

      2.1.1 Persistência e continuidade da diagonalização de um

      campo contínuo não-degenerado de formas quadráti- cas

        Considere um campo de formas quadráticas φ : E x x x ⊆ T

        M −→ R P n x ij i j (v) = b x x , onde v = (x , ..., x

        1 n

        definida para cada x ∈ M, com φ i ,j=1 ) ∈ =

        E . Supondo que os coeficientes b b (x) dependem continuamente de x ij ij x ij , mais ainda, para cada i, j ∈ {1, ..., n}, a função b : M ∋ x 7−→ b (x) ∈ R

        = b b (x ) , 0, então, por continuidade, b (x) , 0, para todo x pertecente ii ii ii x de x. Logo, todo o processo acima feito para φ x a uma vizinhança V ⊂ E pode ser feito para φ . x

        = De forma análoga, se b ii

        0, para todo i ∈ {1, ..., n}, podemos tomar b rs (x ) , 0 e então b rs (x) , 0, para todo x ∈ V, repetindo o processo de diagonalização. Estamos querendo dizer é que o processo de diagonali- zação via completamento de quadrados varia continuamente. Com isso, podemos enunciar o próximo resultado.

        Se φ : E

        Proposição 2.1.2. x x ⊆ T x

        M −→ R é uma forma quadrática não- degenerada, então existe uma vizinhança V de x tal φ é não-degenerada para x y x ⊂ E x x . Além disso, a matriz de φ é todo y ∈ V diag{±1, ..., ±1} com relação a uma família de bases que depende continuamente de x.

        Demonstração. De fato, φ é não-degenerada se, e somente se, a matriz de x =

        φ é F x x x . Mas, como na diag{±1, ..., ±1} em relação à uma base de E demonstração do teorema de Lagrange, cada coeficiente ±1 é encontrado

        , quando se tem b (x) , 0 (ou b 0). Segue da observação acima que existe ii rs uma vizinhança V de x tal que b ii (y) , 0, para todo y ∈ V. Como a matriz

        F x não possui zeros na diagonal principal, cada coeficiente ±1 nos dará , um b ii (x) , 0 (ou b rs 0) e, pelo Teorema de Lagrange, a matriz de φ y é

        = é não-degenerada. F y y diag{±1, ..., ±1}, isto é, φ

        

      2.1.2 Descontinuidade da diagonalização de operadores

      auto-adjuntos

        Observe que a diagonalização via completamento de quadrados varia continuamente e por isso obtivemos os resultados acima. Sabemos que dada uma forma quadrática f , existe uma matriz simétrica (ou operador auto-adjunto) tal que f (v) = hAv, vi. Como todo operador auto-adjunto é diagonalizável, então existe uma base ortonormal de autovetores que diagonaliza A. Agora, será que a diagonalização de uma matriz simétrica

        Exemplo 2.1.3. Exemplo 5.3, p.111]

        Para cada x ∈ R, seja   1

        2

        2

        cos sen

        − x2 x x

        T (x) = e  

        2

        2

          , sen x x − cos se x , 0 e T(x) = 0, se x = 0.

        Observe que 1 1

        2

        2

        − − x2 x2

        = = lim e cos lim e sen 0,

        x→0 x→0

        x x pois uma das funções tende a zero enquanto a outra é limitada. Assim, T

        2

        : R −→ M (R) é contínua em 0. Veja que para cada x ∈ R, T(x) é uma matriz simétrica e, portanto, diagonalizável. Observe que = λ =

        1 2 0 são os autovalores de T(x).

      • Se x = 0, então λ
      • 1 1

          − − x2 x2

          = e λ

          1 e

          2

        • Se x , 0, então, para cada x ∈ R fixado, λ = −e são os autovalores de T(x) obtidos resolvendo-se a equação p(λ) = det(T(x) − λId) = 0.

          2

          ) , 0, então os autoespaços associados são dados por V (x) =

        • Se sen( x
        • λ 1 h i h i

            2

            2

            2

            2 , cos e V (x) = , cos 1) .

          • 2 (R) a função “diagonalização” que a cada

            − 1) λ (−sen x x x x 2 (−sen

            Denotamos por D : R −→ M x ∈ R associa uma única matriz D(x) que diagonaliza T(x) ( para cada x escolhemos um representante em V λ ). Observe que, se x for tal que i

            2

            sen( ) , 0, então lim D (x) não existe, isto é, D não é contínua em 0, x x→0 mesmo T variando continuamente.

            Portanto, em geral, a diagonalização de uma matriz simétrica não varia continuamente com a matriz simétrica.

            

          2.2 Propriedades de formas quadráticas não-

          degeneradas

            Provaremos agora dois lemas que serão usados na demonstração do teorema

            

          Lema 2.2.1. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita munido de produto

          n (R) tem todos os autovalores positivos, então interno. Se a matriz simétrica S ∈ M

            hx, yi S = hx, Syi, para x, y ∈ E, define um produto interno em E, denominado produto interno associado à matriz S. Demonstração. S

            A bilinearidade de h, i segue da bilinearidade de h, i. Como

            ∗ ∗

            S é simétrica, então S = S x S = hx, Syi = hS e assim hx, yi , yi = hy, Sxi = é simétrico. Toda matriz simétrica é diagonalizável. hy, xi S S

            , isto é, h, i Além disso, o Teorema Espectral nos garante que existe uma base orto-

            , ..., u

            1 n

            } ⊂ E formada pelos autovetores de S. Dessa forma, se normal {u ,

            , ..., x x = (x

            1 n ) , 0, então existe x i n n n n n

            0. Assim:

            X X

            X X

            X

            2 S x i u i x i u i x i u i x i i u i x i

            , S( , λ λ > 0, hx, xi = hx, Sxi = h i =

            )i = h i i= i= i= i= i=

            1

            1

            1

            1

            1 i j i = 0, se i , j e hu i j i = 1, se i = j e todos autovalores são , u , u pois hu S S é um produto interno em positivos. Logo, h, i é positivo. Portanto, h, i

            E .

            Corolário 2.2.2. Se f

            : E −→ R é uma forma quadrática positiva definida e E um espaço vetorial de dimensão finita munido de um produto interno, então existem

            2

            2

            a ≤ f (v) ≤ akvk , b ∈ R tais que bkvk , onde k.k é a norma definida em E.

            Demonstração. Toda forma quadrática possui uma matriz simétrica S as- sociada (que é sempre diagonalizável) tal que f (v) = hv, Svi. Se f é definida positiva, S tem todos autovalores positivos. Por outro lado, as normas são equivalentes. Logo existem constantes a, b ∈ R tais que

            2

            2

            2

            2

            2 .

            ≤ kvk ≤ akvk ≤ f (v) ≤ akvk bkvk S , ou seja, bkvk

            Lema 2.2.3. Seja K um conjunto compacto. Se f : E K → R é um campo contínuo

            de formas quadráticas e E x é um espaço vetorial de dimensão finita munido de um x , para

            2

            produto interno para cada x ∈ K, então existe c ∈ R tal que | f (v)| ≤ ckvk todo x ∈ K. Demonstração.

            De fato, para cada x ∈ K, existe um operador simétrico A tal que f v x x x

            (v) = hA , vi. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz x x k · kvk, temos que juntamente com o fato de que kA vk ≤ kA

            2 v .

            | f x x x x k · kvk (v)| = |hA , vi| ≤ kA vk · kvk ≤ kA

            Mas f varia continuamente com x num compacto K, o que implica que x .

            2

            k : x ∈ K} = c. Logo, | f (v)| ≤ ckvk existe um c ∈ R tal que sup{kA

          2.3 Espaços vetoriais pseudo-euclidianos

            x com produto Agora, para cada x ∈ M, considere o espaço vetorial E interno. Associamos a cada espaço E a forma quadrática J : E tal x x x −→ E x que J v : E é um operador linear auto-adjunto x x x x −→ E x

            (v) = hJ , vi, onde J ( sua matriz é simétrica). Assim, a forma bilinear simétrica definida por x x v x

            (v, w) = hJ , wi, v,w ∈ E para x ∈ M, por ser não-degenerada, confere a E uma estrutura pseudo-euclideana.

            Com isso, resultados importantes já conhecidos da Álgebra Linear para espaços vetoriais com produto interno são válidos para o espaço vetorial E x com a forma bilinear (·, ·). Listamos alguns deles a seguir.

            Proposição 2.3.1. Seja

            (·, ·) : V × V −→ R uma forma bilinear real simétrica não-degenerada sobre o espaço vetorial real de dimensão finita V.

            1. E é um subespaço de V para o qual (·, ·) é não-degenerada se, e somente de E. Como em espaços euclideanos, usaremos a notação v⊥w para indicar que v é pseudo-ortogonal a w.

            1 , ..., v n } de V pode ser ortogonalizada pelo processo usual de

            2. Toda base {v Gram-Schmidt de espaços euclideanos, isto é, existem combinações lineares

            , ..., w

            1 n

            } tais que elas formam uma base de V e dos vetores da base {w (w , w ) = 0 para i , j. Além disso, essa última base pode ser pseudo- i j 1

            − 2

            normalizada: fazendo u , w w obtemos (u , u , i,j = i i i i i j ij = |(w )| ) = ±δ

            = = 1, ..., n, onde δ 1, se i = j e δ 0, se i , j. ij ij

            3. Existe uma dimensão maximal p para um subespaço P de vetores J-positivos + (J (v) > 0) e uma dimensão maximal q para um subespaço P de vetores J-

            −

            negativos (J (v) < 0); temos que p + q = dim V e o número q é conhecido como o índice de J.

            4. Para toda aplicação linear L : V −→ R existe um único v ∈ V tal que +

            L (w) = (v, w) para cada w ∈ V. +

            5. Para cada L : V −→ V linear existe um único operador linear L : V −→ V +

            (o pseudo-adjunto) tal que (L(v), w) = (v, L (w)) para todo v, w ∈ V.

            6. Todo operador pseudo-autoadjunto L , : V −→ V, isto é, tal que L = L satisfaz

            (a) autoespaços correspondentes a autovalores distintos são pseudo-ortogo- nais;

            ⊥ (b) se um subespaço E é L-invariante, então E é também L-invariante.

            Antes de demonstrarmos a proposição, observe que no item 2 escre- 1 1

            − − 2 2

            vemos u , w w , ao invés de u w i = |(w i i i i = kw i k i )| , pois (·, ·) não induz uma norma em V, como acontece com o produto interno em espaços eu- clideanos. Essa é a razão pela qual também escrevemos (u , u . i j ij

            ) = ±δ No entanto, quando a matriz J é definida positiva, a forma bilinear é um x

            Demonstração.

            1 , ..., v n }

            Começamos demonstrando o item 2. Seja β = {v

            1 , ..., w n } de V a partir

            base de V. Construiremos uma base ortogonal {w desta.

            = Iniciamos o processo tomando w

            1 v 1 e prosseguimos por indução.

            Suponhamos já obtidos os vetores não-nulos w

            1 ,...,w , dois a dois orto- n−1

            gonais, gerando o subespaço W (o mesmo que é gerado por v 1 ,...,v ).

            n−1 n−1

            Definimos w como n

            

          n−1

            X (w , v ) i n

            = w n v n w i −

            , w i= (w i i )

            

          1

          Temos que (w , w i j

            ) = 0, se i , j, com i, j ∈ {1, ..., n − 1}, por hipótese de indução. Isto implica que w é ortogonal a w , ..., w pois: n

            1 n−1 n−1 n−1

            X X (w , v ) (w , v ) i n i n

            , v , v , (w j n w i ) = (w j n j w i )

            − ) − (w

            (w , w ) (w , w ) i i i i i= i=

            1

            1 n−1

            X , v

            (w i n ) =

            (w , v (w , w ) j n j i ) − i= (w , w ) i i

            1

            (w , v ) j n = (w , v (w , w ) = 0. j n j j ) −

            (w j , w j ) ,

            = Além disso, w 0 pois, se w 0, então v , ..., v n n n ∈ Ger{v

            1 }, mas isto n−1 1 , ..., v n } é um conjunto linearmente independente.

            não é possível pois {v

            1 , ..., w n } também é linearmente independente. De fato, se

            O conjunto {w P n P n

            = = = a w 0, então 0 = a w , w ) a (w , w ) e assim a 0, para todo i= i= 1 i i 1 i i j j j j j j ∈ {1, ..., n}.

            1 , ..., w n } é uma base ortogonal

            Portanto, como dim V = n, o conjunto {w de V. A partir desta base ortogonal, podemos pseudo-normalizá-la colocando 1

            − 2

            , w , u = u i i i w i e teremos < u i j ij . Lembrando que δ ij 0, se i , j, = |(w >= ±δ

            )| e δ = 1, se i = j. ij Para provar o item 1, por contrapositividade, vamos assumir primei-

            ⊥ .

            V = E ⊕ E E é não-degenerada, vamos mostrar que Assumindo agora que (·, ·)|

            ⊥ ⊥

            V = E ⊕ E . Bem, se u ∈ E∩E , então, para todo v ∈ E, temos que (u, v) = 0, E

            ⊥ = {0}.

            mas se (·, ·)| é não-degenerada, devemos ter u = 0. Logo, E ∩ E Agora, pela construção feita no item 1, considere uma base ortogonal

            , ..., w

            1 k

            {w } de E. Se v ∈ E, então a decomposição é a trivial v = v + 0. Se P (w ,v) k i

            . Uma vez que i= w i

            1

            v ∈ V\E, então fazemos novamente w = v − (w ,w ) i i i ) = 0 e isto v ∈ V\E, temos que w , 0. Além disso, já mostramos que (w, w implica que (w, u) = 0 (basta usar a bilinearidade de (·, ·)), para todo u ∈ E,

            P k (w ,v) i

            ⊥

            . Logo, fazendo u = w i ∈ E, temos que v = u + w. isto é, w ∈ E i=

            1 (w ,w ) i i

            . Portanto, V = E ⊕ E

            Vamos provar agora afirmação 3. Já vimos no teorema que existe

            

          2

            2

            2

            2

            2

            1 , ..., v x ...+x . Neste caso n

            

          1

          2 q+

            1

            } na qual J(v) = −x −x −...−x uma base {v q r

            1 , ..., v q }. q − Ger{v

            = em que J é não-degenerada, r = n = dim V. Definimos P

            P , isto é, v = x v então J(v) < 0. Agora, k k

            Observe que se v , 0 e v ∈ P − k=

            1 F

            . De fato, se o vetor não-nulo se F ⊂ V e J| < 0, então dim F ≤ dim P − n

            X v = x v k= k k ∈ F,

            1

            então

            2

            2

            2

            2

            2

          • 1
          • x ... + x < 0.

            −x − x − ... − x

            2 q q+ 1 n

            2

            2

            2

          • Assim, x x ... + x > 0 e (x
          • q 1 , ..., x ) , 0. Por isso, a transformação linear q

              1

              2

                n q

              X , T(v) = T , ..., x

              T  x k v k 

              1 q ),

              : F −→ R   = (x k=

              1

              é um subespaço de vetores J-

              −

              é injetiva e assim dim F ≤ q. Logo, P negativos de dimensão maximal q. De forma análoga, P = , ..., v p+ +

              1 n

              } Ger{v é o subespaço de vetores J-positivos de dimensão maximal p = n − q.

              Temos, portanto, dim V = p + q.

              Agora, vamos provar a afirmação 4. Pelo item 1, existe uma base

              {1, ..., n}, temos que: n

              X

              2 (u , v) = (u , L (u )(u , u )u ) = (u , L(u )(u , u )u ) = L(u , u = L (u ). i i j j j j i i i i i i i i i j=

              )|(u )|

            1 Como esta igualdade se verifica para elementos da base, então L(w) =

              , w) = (v , w), para

              1

              2

              (v, w), para todo w ∈ V. Este v é único pois se L(w) = (v =

              , w) = 0 implica em v v . Provamos assim o

              1 − v

              2

              1

              2

              todo w ∈ V, então (v item 4.

              A fim de provar a existência do operador pseudo-adjunto, dado w ∈ V, definamos a aplicação linear f : V −→ R tal que f (v) = (L(v), w). Pelo

            • + item 4, existe u ∈ V tal que f (v) = (u, v), ou seja, (L(v), w) = (u, v) = (v, u). Construímos a aplicação L +

              : V −→ V que a cada w escolhido inicialmente + + associa o vetor u, isto é, L (w) = u. Temos então que (L(v), w) = (v, L (w))

              é linear, considere vetores para cada u,w ∈ V. Para mostrarmos que L , v , v u

            • + 1

              2

              ∈ V e um escalar λ ∈ R. Então,

              1

              2

              1

              

            2

              1 + +

              2

            • (u, L (v λv )) = (L(u), v λv ) = (L(u), v ) + λ(L(u), v )

              = (u, L (v )) + λ(u, L (v ))

              1 + +

              2

              = (u, L (v ) + (u, λL (v ))

            • + +

              1

              2

              = (u, L

            • + + +

              (v

              1 ) + λL (v 2 )),

            • 1 λv

              2 ) = L (v 1 ) + λL (v 2 ). O mesmo

              para todo u ∈ V, por isso L argumento é usado para provar a unicidade do operador L .

              (v +

              Vamos provar o item 6(a). Sejam λ

              1 ,λ 2 autovalores distintos associados

              aos autovetores v

              1 , v 2 . Uma vez que L é pseudo-auto-adjunto, temos:

              (λ )(v , v ) = (λ v , v , λv ) = (Lv , v , Lv ) = 0

              1

              1

              1

              2

              1

              1

              2

              

            1

              2

              1

              2

              1

              2

              − λ ) − (v ) − (v e isto implica que v e v são pseudo-ortogonais. Por bilinearidade, V ,

              1

              2 λ 1 V λ 2 , os autoespaços associados , são pseudo-ortogonais, isto é, v⊥w, paraλ λ

              ,

              é L-invariante, se v ∈ E, então L(v) ∈ E e assim (w, L(v)) = 0, mas L = L

            • + ,

              ⊥ ⊥

              , isto é, E é implicando que (L(w), v) = (w, L(v)) = 0. Portanto, L(w) ∈ E L -invariante.

              

            Observação 2.3.2. Pelo item 3 da proposição ob-

              servamos que se J : V −→ R é uma forma quadrática não-degenerada, então +

              V = P . Assim, os cones apresentados na seção podem ser definidos ⊕ P − + como C

              ± (x) = {0} ∪ {(u, v) ∈ P (x) × P − (x) : ±kuk > ±kvk}, onde k.k é a norma

              em V. Observe que esta definição do cone é equivalente a inicial, basta colocarmos

              2

            2 J que é uma forma quadrática.

              − kvk (v) := kuk

              

            2.4 Formas bilineares simétricas não negativas

            no cone de vetores nulos de um espaço pseu- do-euclidiano Mostramos a seguir o lema de

              

            Lema 2.4.1. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita dotado de uma

              forma quadrática não-degenerada e não-positiva definida J : V −→ R.

              Se uma forma bilinear simétrica F , então : V × V −→ R é não-negativa em C

              F (v, v) F (u, u) = = + r inf r

              ≥ sup

              −

            • + v∈C

              hJv, vi hJu, ui

              u∈C

              , r e para cada r ∈ [r ] temos que F(v, v) ≥ rhJv, vi para cada vetor v. Além

            • +

              disso, se F é positiva em C < r e F + \{0}, então r

              − (v, v) > rhJv, vi para todo v e , r ).

              r ∈ (r

            • +

              Observação 2.4.2. O lema mostra que se F

              (v, w) = heJv, wi para algum operador auto-adjunto e J e F (v, v) ≥ 0 para todo v ∈ V tal que hJv, vi = 0, então,

              Jv , vi ≥ ahJv, vi. podemos encontrar a ∈ R tal que e J ≥ aJ, o que significa que he

              Se, além disso, tivermos F (v, v) > 0 para todo v tal que hJv, vi = 0, então

              Agora, em se tratando de um campo J : E U −→ R de formas quadráticas não-degeneradas com índice constante, se, para cada x ∈ U, valer o lema então obtemos uma função x ≥ δ(x)J x

              δ : U −→ R tal que eJ , que a cada x ∈ U escolhe um único número real a satisfazendo e J x x .

              ≥ aJ Demonstração. Suponha que

              F (v, v) F (u, u) = = r inf < sup r , +

              −

            • + v∈C

              hJv, vi hJu, ui

              u∈C −

              F (v, v) F (u, u) com F não-negativa em C tal que inf < . . Então existe u ∈ C − +

              v∈C

              hJv, vi hJu, ui , então

              De fato, se isso não acontecer para algum v ∈ C − F (u, u) F (v, v) F (u, u)

              < sup , ≤ inf +

              v∈C

              hJu, ui hJv, vi hJu, ui

              u∈C

              , o que uma contradiz a definição de supremo. Por sua para todo u ∈ C − vez, por definição de ínfimo, temos que

              F (v, v) F (u, u) inf <

            • + v∈C

              hJv, vi hJu, ui + tal que implica que existe v ∈ C

              F (v, v) F (u, u) < hJv, vi hJu, ui

              . u v

              √ √

              = = Faça u e v c d tal que hJu, ui = −c < 0 e hJv, vi = d > 0.

              , u , v , v , u ), i = −1 e hJv i = 1. Logo, F(v

              Vemos então que hJu ) < −F(u ou seja, F(v , v ) + F(u , u ) < 0. Por outro lado, existe ângulo θ tal que v = v cos θ + u e u senθ + u , com F(v , v

              1

              1

              1

              1

              senθ ∈ C = −v cos θ ∈ C ) ≥ 0 e F(u , u , v ) + F(u , u

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              ) ≥ 0, por hipótese, e então F(v ) ≥ 0. Mas, a bilinearidade de F nos dá que:

              2 F (v 1 , v 1 ) + F(u 1 , u

            1 ) = cos θF(v , v ) + 2 cos θsenθF(v , u )

              2

              2

            • 2

              θF(u , u θF(v , v , u sen ) + sen ) ) − cos θsenθF(v

              , v ) + cos θF(u , u ) − cos θsenθF(u = F (v , v ) + F(u , u ) < 0, uma contradição. Portanto,

              F (v, v) F (u, u) = = . r inf r

              ≥ sup

              − +

            • + v∈C

              hJv, vi hJu, ui

              u∈C −

              Além disso, para cada r ∈ [r − ], temos que F(v, v) ≥ r · hJv, vi, para todo + , r v ∈ V. De fato, F

              (v,v)

              , então + • Se v ∈ C ≥ r, isto é, F(v, v) ≥ r · hJv, vi.

              hJv,vi

            • Se v ∈ C , então, por hipótese, F(v, v) ≥ 0 = r · hJv, vi (na verdade, para todo r real). F

              (v,v)

              , então,

            • Se v ∈ C ≤ r, mas como hJv, vi < 0, chegamos em

              − hJv,vi

              F (v, v) ≥ r · hJv, vi. De forma análoga, se F é positiva em C

              \{0}, provamos os resultados + , v , u supondo que r e encontrando F(v ) + F(u

              ≥ r

              −

              ) ≤ 0 para certos v , v , u e u . Com estes, construímos u

              1 , v 1 tais que F(v

              1 1 ) + F(u

              1 1 ) > 0, mas

              (v , v ) + F(u , u ) = F(v , v ) + F(u , u F

              1

              1

              1

              1

              ) ≤ 0, chegando novamente a uma contradição.

            • + Resultados adicionais como os seguintes envolvendo r e r podem ser

              −

              provados na presença de um operador J-separado. Eles serão úteis na prova do teorema

              Proposição 2.4.3. Seja L

              : V −→ V um operador linear J-separado. Então

              1. L pode ser unicamente representado por L = RU, onde U é uma J-isometria

              2. O operador R pode ser diagonalizado por uma J-isometria. Alem disso, os autovalores de R satisfazem 0 < r q

              −

              ≤ · · · ≤ r

              1 −

              = r

              − ≤ r + =

              r +

              1

              ≤ · · · r p + .

              3. O operador L é (estritamente) J-monótono se, e somente se, r

              −

              ≤ (<)1 e r + ≥ (>)1.

              Capítulo 3 Conjuntos Hiperbólicos Para Difeomorfismos

              Neste capítulo, estudamos os conjuntos hiperbólicos para um difeo- morfismo f : M −→ f (M) ⊆ M em uma variedade riemanniana, isto é, x definido em cada uma variedade diferenciável com produto interno h, i espaço tangente T e variando continuamente em x. Os resultados deste x M capítulo nos ajudarão a entender como chegamos aos resultados principais.

              Assumiremos que M é uma variedade compacta, conexa e sem bordo.

              A seguir, relembramos a definição de hiperbolicidade para difeomor- fismos. Quando M é uma superfície, a hiperbolicidade pode ser descrita pela figura

              Definição 3.0.4. Seja f

              : M −→ f (M) ⊆ M um difeomorfismo. Um conjunto compacto e invariante Λ é hiperbólico se, para cada x ∈ Λ, existem subespaços s u E M e E M tais que: x x ⊂ T x ⊂ T x s u

              1. T x M = E , com esta decomposição variando continuamente; u u s s x x ⊕ E = =

              2. D f E E e D f E E ; x x x x f (x) f (x) > 0 e 0 < λ < 1 tais que:

              3. Existem constantes C n n

            Observação 3.0.5. A aplicação D f : T (x) M é definida, de acordo

            n x M −→ T x f

              = n−1 com a Regra da Cadeia, como D f D f s x , n ≥ 1, . f (x) ◦ ... ◦ D f x

              1 u −n

            Observação 3.0.6. n , temos

              Se u ∈ E , então kD f uk ≥ kuk e se u ∈ E n C λ

              1 n

              kD f kvk, para n ≥ 0 vk ≥ C λ x x kvk. Mas D f s n n x é um iso- De fato, se v ∈ E , temos que kD f vk ≤ Cλ morfismo (pois f é um difeomorfismo) para todo x ∈ M. Logo, dado s s n n

              −n n tal que u = D f v e como D f (D f v ) = v, então n u ∈ E , existe v ∈ E x x x f (x) n f (x) −n

              kuk ≤ Cλ kD f n uk, ou seja, f (x)

              1

              −n kD f −n kuk. f (x) uk ≥ n

              C λ s

              −1

              Concluímos que D f expande vetores em E . Analogamente, chegamos n f (x) em n

              1 kD f kuk x uk ≥ n λ u C u

              −n

              , onde u = D f v para algum v em E . Assim, D f n n x para todo u ∈ E x u s u f f (x) (x) expande vetores em E . Os subespaços E e E são chamados, respectiva- x x x mente, de estável e instável.

              Segundo a definição, para classificarmos um conjunto compacto e in- variante em hiperbólico, precisamos explicitar seus subespaços estável e instável e então verificar se estes possuem as propriedades da definição.

              O Teorema nos dá duas condições necessárias e suficientes para deduzir hiperbolicidade para um difeomorfismo sem precisar exibir estes subespaços. A primeira, devida a é uma condição dinâmica envol- vendo formas quadráticas e órbitas, enquanto que a segunda requer a existência de cones com certas propriedades.

              Lembramos que a equivalência entre os ítens 1 e 2 do Teorema para conjuntos parcialmente hiperbólicos para fluxos. Esta generalização deve-se a

            3.1 Prova do Teorema 1.2.2 Recordamos primeiro o enunciado para conveniência do leitor.

              1 Teorema 3.1.1. Seja f

              e Λ um conjunto : M −→ f (M) ⊆ M um difeomorfismo C compacto invariante. São equivalentes as seguintes afirmações:

              1. Λ é hiperbólico.

              2. Existe um campo contínuo B em Λ de formas quadráticas não-degeneradas

              ∗

              = cuja dimensão é constante ao longo das órbitas e tal que ( f x B − B)

              B f (x) (D f x x ) − B é definida positiva para cada x ∈ Λ. s u

              3. Existem doiss campos de cones C e C em Λ com dimensões complementares e dimensão constante ao longo das órbitas tais que: u u s s

              −1 a) D f C e D f C . x ⊂ C ⊂ C x x x f f (x) (x) −1 m u

              b) Existem e

              σ > 1 e m > 0 tais que kD f vk ≥ σkvk, para todo v ∈ C s

              −m .

              kD f vk ≥ σkvk, para todo v ∈ C Demonstração.

              (1) ⇒ (2). m

              1

              . Pelas observações ≤

              Já que 0 < λ < 1, então existe m ∈ N tal que Cλ

              5 s

              1 u −m m , temos

              kvk ≥ 5kvk e se v ∈ E feitas acima, se v ∈ E x , então kD f vk ≥ x m C λ

              1 m

              kD f kvk ≥ 5kvk. Precisamos mostrar agora que, para todo v , 0, vk ≥ C λ

              2

              2 m

              2 −m

              > 0. Isto será útil porque a forma − 2kvk + kD f temos kD f vk vk

              2

              2 m

              2 ∗ −m

              quadrática B a ser construída terá ( f .

              −2kvk +kD f B−B)(v) = kD f vk vk s u s s u u s u x M , já que Λ é hiperbólico, podemos escrever v = v v ,

              Dado v ∈ T

            • com v e v

              ∈ E x ∈ E x k ≥ kv k. Logo, . Suponhamos que kv s u s m u

              −m −m −m

              (v v v D f

            • v kD f

              k

            • vk = kD f )k = kD f s u

              1 v ≥ 5kv k − k

              5k s s

              1 v ≥ 5kv k − k s 5k

              s s s s u

              2

              2 −m

              . k = 2kv k+2kv k ≥ 2kv k+2kv k ≥ 2kvk. Logo, kD f

              Mas, 4kv vk > 2kvk m s u

              

            2

              2

              k ≤ kv k. Portanto, em De forma análoga, obtemos kD f vk > 2kvk , se kv qualquer caso,

              2

              

            2

            m

              2 −m

              > 0. kD f − 2kvk + kD f vk vk x em T x M , a

              Agora, assumindo que k · k provém do produto interno h·, ·i

              m−1 m−1

              X j j

              X

              −j−1 −j−1

              partir da forma bilinear B (v, w) = v , D f v , D f x hD f hD f j= j= x x wi− x x wi, definimos a forma quadrática

              m−1 m−1

              X X j

              

            2

              2 −j−1

              B (v) = x kD f − kD f j= j= x vk x vk x ∈ B(T x M , R). Uma vez que f é difeomor- Considere B : Λ ∋ x 7→ B fismo, a aplicação derivada D f é contínua e já que o produto interno h·, ·i

              é contínuo em x, garantimos a continuidade de B. Vamos mostrar que

              ∗

              ( f é definida positiva. Temos que: x B − B)

              m−1 m−1

              X X

            j

              2

              2 −j−1

              B (D f v (v) = (D f v (D f v f (x) x x kD f x − kD f x ) − B )k )k j= j= f f (x) (x)

            m−1 m−1

              X j

              2 −j−1

              2 X

              −kD f x kD f x j= j= vk vk

              m−1

              X j j

              2

              2

              = (D f v )

            • kD f x (−kD f x vk )k
            • j= f (x) m−1

                X

                2

                2 −j−1 −j−1 j= f (x) (D f x v ).

              • vk
              • kD f x (−kD f )k

                Temos aqui duas somas telescópicas. Logo, chegamos em

                2 m

                2

                2

                2 ∗ −m

                ( f x + kD f − kvk + kD f B − B) (v) = −kvk vk vk

                

              2

                2 m

                2 −m

                > 0. = kD f − 2kvk + kD f vk vk

                s s s s s −j

                , Agora, se v , com v 0, então D f v e

                ∈ E x ∈ E x −1 f (x)

                m−1 m−1

                X X s s −j−1 s j

                

              2

                2 B (v ) = v v x kD f k − kD f k j= j= m x x

                X

                2

              m s

              −j −j 2 s

                = (D f v v < 0, j= kD f x − kD f x k x )k m s s s u u −j 1 −j −j

                (D f v v v , com kD f k < kD f k. Além disso, se v ∈ E pois kD f x x )k ≤ x x x

                5 u u u m u u −j −j −1

                , v 0, então D f v (D f v v x ∈ E x k pela f (x) −j e assim kD f x x )k > 5kD f u observação feita no início desta seção. Logo, B (v ) > 0. Agora, seja x n = dim B (aqui n é a dimensão máxima entre todas as dimensões de x = x x x M : B subespaços F contidos em {v ∈ T (v) ≤ 0}). Afirmamos que dim B s dim E . x s s

                De fato, temos que dim E x pois E x M : B x x x (v) ≤ 0}. ≤ dim B ⊆ {v ∈ T u =

                Agora, seja F um subespaço tal que dim B x dim F = {0}, u u u . Temos que F ∩ E x pois mostramos que v implica em B x (v

                ∈ E x u ) ≥ 0, com a igualdade ocorrendo apenas se v =

                0. Mas sabemos que dados F e F subespaços de

                1

                2

                um espaço vetorial E, então dim F dim F = dim (F ) + dim (F F ). + +

                1

                2

                1

                2

                1

                2 u u s u ∩ F s s x x ) ≤ dim T x x = x

                Assim, dim F + dim E dim (F + E M = dim E dim E e então

              • = . Logo, dim B dim E . x dim F ≤ dim E x x s s

                = Uma vez que D f é isomorfismo, temos que dim E dim D f (E ) = x s s x x x

                = dim E f (x) i j

                e, consequentemente, dim E dim E i j f (x) f (x) para quaisquer i, j ∈ Z.

                = Portanto, dim B dim B , isto é, a dimensão de B é constante ao longo f (x) (x) f das órbitas de x ∈ M.

                Para concluir, nos falta mostrar apenas que B é não-degenerada para x todo x ∈ Λ. Bem, suponha que exista x ∈ Λ tal que, para um certo s u v = v v M , tenhamos B M . Assim: ∈ T x x x s u s u s s u u s s (v, w) = 0 , para todo w ∈ T

                B (v, v ) = B (v, v (v v , v ) = B (v v , v (v ) + x x x x x , v u s s u u u s u ) ⇐⇒ B ) ⇐⇒ B , v , v , v B x (v ) = B x (v ) + B x (v x (v ) = B x (v ). s u ) ⇐⇒ B

                = Isto implica que v 0 = v , ou seja, v = 0. Logo, B x é não-degenerada

                (2) ⇒ (3) s u Definamos C M : B M : B s u x (v) ≤ 0} e C x (v) ≥ 0}. = {v ∈ T x x = {v ∈ T x x s u Sejam F e F subespaços de dimensão máxima em C e C respectivamente. x x x x

                Por hipótese, dimensão de B é constante ao longo das órbitas o que implica s que dimensão de C é constante ao longo das órbitas e, consequentemente, u isso acontece também para C . Além disso, como B é não-degenerada, pelo item 3 da proposição estes cones tem dimensões complementares.

                ∗

                Uma vez que ( f é definida positiva, temos que B (D f v x f (x) x B − B)

                ) − B x

                (v) ≥ 0 ( onde a igualdade é válida se, e somente se, v = 0) e assim u u B (D f v , então D f pois B (D f v f (x) x x x f (x) x x

                ) ≥ B (v). Se v ∈ C x (v) ∈ C ) ≥ B (v) ≥ u u f (x)

                0. Logo D f C . Analogamente, B (D f u x ⊂ C f (y) y y x ) − B (u) ≥ 0 se, e somente f (x) −1 se, B −1 (D f v ) com f (y) = x e D f (u) = v. Temos então que x f (x) y

                (v) ≥ B x s s

                −1 −1

                implica D f pois B −1 (D f f (x) x v ∈ C x x (v) ∈ C −1 x (v)) ≤ B (v) ≤ 0, isto é, s s f (x)

                −1

                D f C . Provamos assim o item (a). Mostraremos que o item x x −1 ⊂ C f (x) u s (b) também é válido. O resultado será mostrado para C , pois para C o processo é análogo.

                Pela compacidade de Λ e pela continuidade de B, dado a > 0, existe √ z z

                δ > 0 tal que kw − 0k < δ implica em |B (w) − B (0)| < a. Observe que esta z

                2

                ≥ δ. Agora, última implicação é equivalente a: se |B (w)| ≥ a então kwk

                ∗

                como ( f x B − B) é definida positiva, pelo corolário existem a, b ∈ R tais que

                2

                2 ∗

                , (3.1) ≤ ( f z akwk B − B) (w) ≤ bkwk z M . para qualquer z ∈ Λ e w ∈ T

                2 x . Sejam δ = δ(a)

                Pelo lema existe c ∈ R tal que |B (v)| ≤ ckvk

                2 ma δ u

                = e m tal que σ (já mostramos c > 1. Consideremos x ∈ Λ e v ∈ C x j

                j−1 ∗ j−1 j

                B x f (x) x f (x) x (D f v ) = B (D f v (v) ≥ 0) tal que kvk = 1, temos que ( f B − B) ) − j−1 j−1

                B (D f v f (x) x ) ≥ 0. Logo:

                B f j

                (x)

                (x)

                C u f −(n+1)

                (n+1) f −(n+1) (x)

                e D f

                (x)

                C s f n

                −n f n (x)

                ⊂ D f

                C s f (n+1)

                (x)

                −(n+1) f (n+1) (x)

                , temos que D f

                (x)

                C s x ⊂ C s f −1

                

              −1

              x

                Uma vez que D f x C u x ⊂ C u f (x) e D f

                , provando assim o item (b) (3) ⇒ (1)

                2

                ⊂ D f n f −n

                C u f −n

                > ma δ c =

                D f n f −n

                (x)

                , C u f −n

                (x)

                Por definição, sabemos que 0 ∈ C s f n

                A figura nos dá uma ideia da construção do subespaço estável E s x . A construção para E u x é análoga.

                (x) .

                C u f −n

                (x)

                n≥0

                (x) .

                e E u x = ∩

                (x)

                C s f n

                −n f n (x)

                D f

                n≥0

                = ∩

                Definamos assim: E s x

                σ

                2

                (x)

                )

                (x)

                = a , para qualquer j ≥ 1. Mas já vimos que B f j

                2

                B − B) x (v) ≥ akvk

                ∗

                (v) = ( f

                (D f x v ) − B x

                (D f x v ) ≥ B f (x)

                v ) ≥ ... ≥ B f ( x

                2

                j−2 x

                (D f

                (x)

                v ) ≥ B f j−2

                j−1 x

                (D f

                (x)

                (D f j x v ) ≥ B f j−1

                (D f j x v ) ≥ a implica em kD f j x vk

                ≥ δ. Agora, usando chegamos em:

                Isto implica que kD f m x vk

                v ) − B f j

                2 .

                v ) ≤ ckD f m x vk

                (x) (D f m x

                v ) − B x (v) ≤ B f m

                (x) (D f m x

                B f m

                (D f j x v )) =

                (x)

                1 x

                m−1

                (D f j+

                (x)

                X j= (B f j+ 1

                m−1

                ≤

                2

                X j= akD f j x k

                m−1

                X j= am δ ≤

                , assim E s x , E u x não são vazios. Figura 3.1: Construção dos subespaços invariantes s s u u Afirmamos que D f (E ) = E e D f (E ) = E . Bem, x x x x s s −(n−1) s

              f f

              (x) (x)

              −n n n

                D f x (E D f x (D f C D f C x n≥0 n≥0 n−1 ) = ∩ f (x) f (x) ) = ∩ n−1 f ( f (x)) f ( f (x)) s −(n−1) s \

                = C D f C

                ∩ f (x) n−1 ( f (x)) n≥1 n−1 f ( f (x)) f −(n−1) s D f C . = ∩ n−1

                n≥1 n−1 f ( f (x)) f ( f (x))

                Pois a sequência é decrescente. Mas isto nos dá, fazendo k = n − 1, que s s s

                −k

                = D f x (E D f C E . Analogamente, concluímos que x ) = ∩ k≥0 k k u u f f ( f (x)) ( f (x)) f (x) s u

                (E ) = E . Note que ainda não mostramos que E e E são subes- D f x x x x f (x) paços vetoriais, mas já temos que estes são invariantes pela derivada. s

                , Provaremos agora que existem C > 0 e 0 < λ < 1 tal que se v ∈ E x n n então kD f vk ≤ Cλ se n ≥ 0. Dado n ∈ N, escrevemos n = km + r com s

                −m

                . Seja 0 ≤ r < m, onde m é, por hipótese, tal que kD f vk ≥ σkvk se v ∈ C −r

                kD f x wk n s

                = C inf e então:

                1 {min n x∈M : 0 ≤ r < m}. Façamos w = D f x v ∈ C (x) kwk f k −n −r −km −km n (D f n w 1 n

                1 σ kvk = kD f kD f kwk. f f f (x) wk = kD f (x) )k ≥ C (x) wk ≥ C

                Logo, r 1 n n n

                1

                −1 − m m

                σ (σ ) kD f kvk = C kvk ≤ Cλ kvk, x vk ≤ k

                

              1

              C σ r

                1 1 −1 − m m

                1 n u s u u s −n

                σ . Analogamente, concluímos onde C = max{C : 0 ≤ r < m} e λ = σ

                . Além disso, E kvk, para v ∈ E ∩C = {0} e E ∩C = {0} . que kD f x vk ≤ Cλ x x x x x s u m

                ∩ C De fato, se v ∈ E x x , então kD f x vk ≥ σkvk, mas para n = m, a construção m

                −1

                = que fizemos acima nos dá que C

                1 e então kD f x vk ≤ σ

                1 C = kvk.

                −1

                Chegamos em σ kvk ≥ σkvk, mas σ > 1 e assim v = 0. Da mesma forma, s u se, e somente se, v = 0. concluímos que v ∈ E x ∩ C x s

                Agora, para cada n escolhemos um subespaço E de dimensão n n ⊂ C s f (x) −n

                = = máxima tal que dim E dim C e seja S D f E . Da mesma forma, n n n n u u n f (x) = = seja F com dim F dim C e U D f F . Observe que as n ⊂ C n n n −n −n f f (x) (x) dimensões de E e S são as mesmas assim como as dimensões de F e n n n

                = U o são pois D f é um isomorfismo. Temos que dim E dim E , já que a n s i j dimensão de C

                é a mesma ao longo da órbita de x ∈ M, e isso implica que = = dim S dim S , também temos que dim U dim U . Além disso, S e E i j i j n n têm dimensões complementares. n n n n m k

                = Considere e , ..., e , isto é, e )

                = {e } uma base ortonormal de S n ∈ (S m m n n n n 1 k S e < e , e , e

                × ... × S i = 0, se i , j. Observe n m k i j i j >= 1, se i = j e he que (e ) é uma sequência em (S ) que é um compacto e então possui

                n∈N m k

                subsequência convergente em (S ) . Seja e o limite dessa subsequência com

                1 k m k n n

                , ..., e , ..., e , e e = (e )

                1 k

                } é ortonormal pois lim he i = ) ∈ (S . O conjunto {e i j n i j , e , ..., e

                e, de forma

                1 k n

                he i. Temos que S = ger{e } é subespaço limite de S , ..., f , com k + l =

                1 l n

                análoga, construímos U = ger{ f } subespaço limite de U dim T M . x s u Além disso, S ⊂ E e U ⊂ E . De fato, para cada n ∈ N, temos que

                −(n+1) s s −(n+1) s s −n −n

                D f C n C n e então D f C n C n . Dessa (n+1) n+ 1 ⊂ D f (n+1) n+ 1 ⊂ D f f f f f (x) (x) f (x) f (x) f (x) f (x) s s −n −k forma, fixado k, S n C n C n ⊂ D f ⊂ D f k k n ⊂ s f (x) f (x) f (x) f (x) , para todo n ≥ k. Logo, S

                −n

                . Como interseção infinita de fechados ainda é um conjunto D f n C n

                ∩ n≥k f f (x) (x) s −n fechado e S é um subespaço limite de S D f C n n n

                , segue que S ⊂ ∩ n≥k ⊂ f f (x) (x) −(n−1) s s s u D f C . ∩ n≥k ⊂ E

                Como S e U têm dimensões complementares, segue que T x s u s M = S ⊕ U. Afirmamos que S = E e U = E x x . Suponha que v ∈ E x n n n − S, com v , 0 pois 0 ∈ S. Temos que v = s + u, com u , 0 e kD f x vk = kD f x (u + s)k ≥ kD f x uk − n n n u

                , e kD f x sk, mas kD f x vk −→ 0, enquanto kD f x uk −→ ∞, pois u ∈ U ⊂ E x n s s =

                , o que é um absurdo. Logo, E S

                e, de kD f x sk −→ 0, já que s ∈ S ⊂ E x u s u = modo semelhante, E U . Portanto, T x M = E . Concluímos assim x x ⊕ E x que Λ é hiperbólico.

              3.2 Exemplo de aplicação: o solenóide

                Como aplicação do teorema mostraremos que o solenóide é um conjunto hiperbólico usando os cones invariantes. Conseguimos exibir um dos espaços da decomposição requirida na definição

              3.2.1 O atrator solenóide

                1

                = {z ∈ C : kzk = 1} e defina, para cada Sejam D = {z ∈ C : kzk ≤ 1} e S

                1

                1 1 w z

                2

              • 8

                , z por f (w, z) = ( ). −→ D × S

                (w, z) ∈ D × S , a aplicação f : D × S

                2 w z

                A aplicação f é diferenciável e injetiva. De fato, as funções f

                1 (w, z) =

                2

              • e f (w, z) = z são diferenciáveis e isso se deve ao fato de g (w) =

                2

                1

                8

                2

                f (w, z) e h (z) = f (w, z) serem diferenciáveis, assim como g (w) = f (w, z)

                1

                1

                1

                2

                2

                e h (z) = f (w, z) o são. A injetividade de f segue do fato de que f (w , z ) =

                2

                2 w 1 z 1 w 2 z 2

                1

                1

                2

                2

                2

                2

                = = = f (w , z ) se, e somente se, e z z . Se z z , então

                2

                2

                8

                2

                8

                2

                1

                2

                1

                2

                = z z ou z . Se esta última igualdade ocorrer, chegamos em

                2

                1 z 2 z 2 = −z 2 kw 1 −w

                1 2 k kw 1 k+kw 2 k

                1

              • 2

                kz

                2 k = k k = ≤ ≤ 2 k = 1, uma contradição.

                , mas kz

                2

                8 w z w z 1 1 2

                8

              2

                4

                1

                2 1 , z

                1 2 , z

                2

                = = + + Logo, z z e então . Assim, (w ) = (w ).

                8

                2

                8

                2 w z w z

              • 8

                k ≤ k k + k k ≤ A aplicação f não pode ser sobrejetiva pois k

                2

                8

                2

                2

                1

                1

                2

                1

                1

                = ). No entanto, a k k + k k < 1 e kz k = kzk

                1, isto é, f (D × S ) ⊂ (D × S

                8

                2

                √ √

                1

                1 −1

                ) é bijetiva com f b , b ) −→ f (D × S aplicação f : D × S (a, b) = (8a − 4 que também é diferenciável. Observe que pela continuidade de f , uma

                n

                1

                = Temos então que F f ) é uma sequência encaixada de con- n

                (D × S juntos compactos e então lim F F é não-vazio e compacto. O n = ∩ n n

              n−→∞ n≥0

                1 F f ) é um conjunto hiperbólico chamado n = ∩ conjunto Λ = ∩ n≥0 n≥0 (D × S

                de Solenóide (ver Figura

                Figura 3.2: Primeiras etapas de construção do solenóide O conjunto Λ, além de ser compacto, é invariante. De fato, como f é n

                1 n 1 n

                1

                f f f ) = injetiva, então f (Λ) = f (∩ n≥0 (D×S )) = ∩ n≥1 (D×S ) = ∩ n≥0 (D×S Λ .

              3.2.2 O solenóide é hiperbólico

                1

                1

                = Identificamos T T S (u, v) =

                (w,z) w z = C×R. Vemos que D f (w,z) u v s D×S D⊕T

              • 8

                = w ( , 2zv). Logo, E T

                D ⊕ {0} = C × {0} é um fibrado invariante e

                2 (w,z) /E s

                1 n n s

                1

                ) ). Observe que o k D f k= kvk, v ∈ E (isso implica que kD f (v)k ≤ (

                8 u

                8

                subespaço instável E não é dado por {0}×R, uma vez que este subespaço

                (w,z)

                nem sequer é D f -invariante. Apesar disso, como na demonstração do u teorema podemos construir E (onde x = (w, z)) a partir de um x u cone positivamente invariante. Seja C = {(u, v) : kuk ≤ kvk}. Este cone u u v u v

                é invariante por D f . De fato, se (u, v) ∈ C , então |

              • | ≤ | | + | | ≤
              • v v

                  8

                  2

                  8

                  2

                  k k + k k < 2kvk. Além disso,

                  8

                  2

                  2

                  u v

                  2

                  2

                  2

                  2

                  2

                  = + + kD f (u, v)k = k + k2vk ≥ k2vk 2kvk 2kvk 8 2k

                  √ u n u D f C .

                  = ∩ −n −n ou seja, kD f (u, v)k ≥ 2k(u, v)k. Assim, definimos E x n≥0 s f (x) f (x) Este é o subespaço instável que satisfaz juntamente com E as propriedades x requeridas na definição de conjunto hiperbólico. Portanto, o solenóide é hiperbólico.

                  Capítulo 4 Conjuntos Parcialmente Hiperbólicos Para Fluxos

                  Este capítulo contém os resultados principais deste trabalho. Estuda- remos os cociclos multiplicativos. Os resultados mostrados para cociclos são particularizados na subseção

                  De agora em diante, consideramos M uma variedade riemanniana de dimensão finita compacta e conexa com ou sem bordo, U ⊂ M uma região armadilha, Λ(U) = Λ X t >0 t X (U) o subconjunto invariante maximal

                  (U) := ∩ positivo em U para um campo de vetores X e E um fibrado vetorial sobre U U . Assumimos que todas as singularidades de X em U (se existem) são hiperbólicas.

                4.1 Cociclos lineares J-separados sobre fluxos

                  Seja A : E × R −→ E uma aplicação diferenciável dada por uma coleção de bijeções lineares A (x) : E t x X (x)

                  −→ E t , x ∈ M, t ∈ R, onde M é o espaço base do fibrado vetorial E de dimensão finita, satisfa- zendo a propriedade do cociclo: A (x) = Id, A t+s (x) = A t (X s s

                  (x)) ◦ A (x), x ∈ M, t, s ∈ R, t um fluxo diferenciável sobre M. Notemos que para cada t > 0 com {X } t∈R fixado a apicação A (v ) = A (x)v é um automorfismo t t x t x ∈ E X (x)

                  : E −→ E, A t do fibrado vetorial E. O exemplo natural do cociclo multiplicativo linear sobre o fluxo dife- renciável X na variedade é o cociclo derivada A (x) = DX (x) no fibrado t t t tangente TM de uma variedade compacta M de dimensão finita. Os resultados seguintes dão uma caracterização de cociclos J-separados A (x) sobre um fluxo X em termos do gerador infnitesimal D(x) de A (x). t t t

                  O próximo teorema é mais geral que a proposição Esta é um caso particular quando A t (x) = DX t (x).

                  Seja A t (x) um cociclo multilplicativo linear sobre um fluxo X t . Defini- mos o gerador infinitesimal de A t (x) por A t

                  (x) − Id D (x) := lim

                  t→0

                  t .

                  

                Definição 4.1.1. Dado um campo contínuo de formas quadráticas não-degene-

                  radas J com índice constante na região armadilha U para o fluxo X , o cociclo t A (x) sobre X é dito: t

                  (x)(C (X + +

                • J-separado se A t t (x)) ⊂ C (x)), para todo t > 0 e x ∈ U. +

                  (x)(C (X (x)), para todo +

                • estritamente J-separado se A t t

                  (x) ∪ C (x)) ⊂ C t > 0 e x ∈ U;

                  (x) (A

                • J-monótono se J X t t x x

                  (x)v) ≥ J (v), para cada v ∈ T M\{0} e t > 0;

                  (x) (A (x)v) = J

                • J-isometria se J X t t x x (v), para cada v ∈ T M e x ∈ U.

                  Note que a J-separação corresponde à invariância simples do cone e a J

                • separação estrita corresponde à invariancia estrita do cone sob a ação do cociclo A t (x).

                  Observação 4.1.2.

                  Sabemos que, para cada x ∈ U, existe um operador auto- adjunto J x tal que J x x v x . No entanto, no contexto (v) = hJ , vi, para todo v ∈ E de formas quadráticas não-degeneradas com índice constante, nós garantimos, fazendo uma mudança de coordenadas se necessário, que o operador J independe de X t t (x) é J-separado, é dizer

                  (x), para t ≥ 0. Assim, por exemplo, afirmar que A que J X t t t t x (x) (A (x)v, A (x)v) = hJA (x)vi > 0 sempre que J (v) = hJv, vi > 0.

                  

                Observação 4.1.3. Quando A (x) = DX (x), dizemos que X é (estritamente) J-

                t t t

                  separado em U, se DX (x) for (estritamente) J-separado em T M. Analogamente, t U o fluxo de X em U é (estritamente) J-monótono, se DX (x) for estritamente J- t monótono.

                  Se um fluxo for estritamente J-separado, então DX (C (x)),

                  

                −t − (x) ∪ C (x)) ⊂ C(X −t

                  isto é, se J M, então J (DX v e para x x X (x) x (v) ≤ 0, para v ∈ T −t ) < 0, com v ∈ E −t todo t > 0 e x tal que X

                  −s (x) ∈ U para cada s ∈ [−t, 0]. De fato, se tivéssemos

                  J X (x) (DX v (v) = J (DX (DX (v))) > x x t −t −t ) ≥ 0, então, pela J-separação estrita, J −t 0, uma contradição.

                  Portanto, um fluxo X é estritamente J-separado se, e somente se, seu fluxo t inverso X é estritamente

                  −t (−J)-separado.

                  A seguir, demonstramos um resultado que usamos na demonstração do teorema

                  ′ Lema 4.1.4. Seja x

                  ≥ a(t)x(t) e x(t)>0. Então, x(t) ≥ : I −→ R tal que x(t)

                  R t Demonstração. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos: a t (s)ds ≤ R ′ t x (s) ds = t x (s) ln |x(t)| − ln |x(t )| e, tomando a exponencial, chegamos em

                  Z t x exp a (s)ds, (t) ≥ x t onde x(t ) = x é uma condição inicial dada.

                  R t exp a (s)ds. Observe que se x(t) < 0, então chegaríamos em x(t) ≤ x t

                4.2 Prova dos resultados principais

                  Nesta seção, demonstraremos a proposição os resultados principais deste trabalho. Para isso, apresentamos resultados auxiliares cujas as demonstrações são apresentadas para maioria deles e outros resultados, devido à extensão de suas demonstrações, são apenas enunciados com indicação sobre onde encontrar suas provas com maiores detalhes.

                  Seja X um fluxo definido em um subconjunto U positivamente

                  Teorema 4.2.1. t

                  invariante por este fluxo, A (x) um cociclo sobre X em U e D (x) seu gerador t t infinitesimal. Então: J

                  1. ∂ (A (x) A (x)v, A t t X t t t x (x)v) = heJ (x)vi para todo v ∈ E e x ∈ U, onde

                  ∗

                  eJ x (4.1)

                  · J := J · D(x) + D(x)

                  ∗

                  (x) (x) : E e D denota o adjunto da aplicação linear D x x com respeito −→ E ao produto interno adaptado em x.

                  2. O cociclo A t (x) é J-separado se, e somente se, existe uma função δ : U −→ R tal que

                  Em particular, obtemos que ∂ t t t x log |J(A (x)v)| ≥ δ(X (x)), v ∈ E , x ∈ U, t ≥ 0;

                  3. Se as desigualdades no item anterior são estritas, então o cociclo A (x) t é estritamente J-separado. Reciprocamente, se A t (x) for estritamente J- separado, então existe um campo J de formas compatíveis em U satisfazendo

                  2. a desigualdade estrita do item

                  4. Defina a função t Z ts (x) := δ(X s (x))ds (4.3) s

                  |J(A (x)v)| t2 t 2 Para um cociclo J-separado A (x), temos (x) para todo t ≥ exp∆ t 1 |J(A (x)v)| t1 x t

                  e reais t

                  1 < t 2 tais que J (A 1 , t 2 ].

                  v ∈ E (x)v) , 0, para todo t ∈ [t J e e J

                  (v) (v)

                  5. Podemos limitar .

                  δ em cada x ∈ U por sup δ(x) ≤ inf J (x) J

                  v∈C

                  (v) ≤ (v)

                  (x) + v∈C −

                  Antes de demonstrarmos o teorema, fazemos algumas observações.

                  J

                Observação 4.2.2. Se δ(x) = 0, então e e um operador positivo semidefinido.

                x J Mas, se δ(x) , 0, operador simétrico e pode ser uma forma quadrática indefinida. x

                  

                Observação 4.2.3. A condição necessária no item 3 do teorema e J (v)

                  δ(x) por r

                • +

                  Observação 4.2.4. Pela limitação de (x) = sup e r (x) =

                  − (x) J (v) v∈C J (v) (x)+r (x) e

                r

                • + δ(x) = inf

                  

                (x) , podemos tomar já que, pelo lema

                v∈C J (v)

                  δ(x) ∈

                • + 2

                  [r (x), r (x)]. Além disso, como os cones variam continuamente, então r (x) e

                  − +

                  (x) são contínuas e a função δ pode ser tomada sempre como função contínua de + r x.

                  Complementando a observação a condição necessária e Observação 4.2.5. suficiente nos ítens 2 − 3 do teorema para J-separação(estrita), mostra que

                  

                Observação 4.2.6. A desigualdade mostra que δ é a medida da "taxa de

                t

                  expansão instântanea minimal"de |J ◦ A (x)| sobre vetores positivos; Demonstração. x −→ R por ψ(t, v) := t (x)v, A t Para cada x fixado, definamos ψ : R×E s (X t (x)), com hJA (x)vi. Usando agora o gerador infinitesimal de A s (x), temos que t ∈ R, e as propriedades do cociclo de A

                  ∂ A (x)v = D(X (x)v. (4.4) t t t t (x)) · A

                  De fato, A s+t t (x)v

                  (x)v − A ∂ (A (x)v) = lim t t

                  s→0

                  s A (X (x))(A (x)v s t t t

                  (x)v) − A = lim

                  s→0

                  s (A (X (x)v s t t

                  (x)) − Id)A = lim

                  s→0

                  s (A (X s t

                  (x)) − Id) = (lim )A (x)v t

                  s→0

                  s =

                  D (X (x))A (x)v, t t x . Assim, para todo t ∈ R, x ∈ M, v ∈ E ∂ (JA (x)v), A (x)v, ∂ A t t t t t t t

                  ψ(t, v) = h∂ (x)vi + hJA (x)vi (x)v, A (x)v, D(X

                  = hJ · D(X t t t t t t (x)) · A (x)vi + hJA (x)) · A (x)i t t (x)v, A t t (x)) t (x)v), A t

                  = hJ · D(X (x)) · A (x)vi + hD(X (J · A (x)vi t t (x)v + D(X t (x)) t (x)v), A t

                  = hJ · D(X (x)) · A (J · A (x)vi.

                  ∗

                  = t t x ·J chegamos (x)v), fazendoeJ Como hJ(A (x)v), At(x)vi = J(A J·D(x)+D(x)

                  J em ∂ (A A (x)v, A t t X (x) t t (x)v) = heJ t (x)vi.

                  Note que o argumento é o mesmo caso x = σ seja uma singularidade de X . t Para provar o segundo item, vamos assumir que A (x) é J-separado. t Assim, fixado x ∈ U, para todo t ≥ 0,temos que Agora, para todo t > 0 e v ∈ C , podemos encontrar w ∈ C + + com v + w ∈ C . Assim, se λ > 0, temos que para v ∈ C existe w ∈ C

                • + tal que

                  (x)(v + λw), A (x) hJA t t t

                  (x)(v + λw)i > 0. Dessa forma, por continuidade de A e de h·, ·i: t t t t (x)v, A (x)(v + λw), A hJA (x)vi = lim hJA (x)(v + λw)i > 0.

                  λ→0 t t (x)v, A

                  Portanto, para v ∈ C , temos que ψ(t, v) = hJA (x)vi ≥ 0 = hJv, vi = ψ(0, v) e assim, como ψ é diferenciável,

                  ψ(t, v) − ψ(0, v) =

                  ∂ lim t t= ≥ 0.

                  ψ(t, v)| +

                  

                t→0 t

                  Com isso, temos que

                  ∗

                  ∂ t t= ψ(t, v)| = h(J · D(x) + D(x) · J)v, vi ≥ 0

                  ∗

                  para v ∈ C . Além disso, como J é auto-adjunto, então (J · D(x) + D(x) · J) é auto-adjunto e a forma bilinear F : E x x × E x −→ R,

                  ∗

                  F x · J)v, wi (v, w) = h(J · D(x) + D(x)

                  . Estamos então com as hipóteses é simétrica e F(v, v) ≥ 0 para todo v ∈ C do lema que x

                  ≥ δ(x)J, para todo x ∈ U. Fazendo existe uma função δ : U −→ R tal que eJ J e x x v

                  , vi, o lema ainda nos garante que (v) = heJ

                  J J e e (v) (v) sup

                  δ(x) ≤ inf J (x) J

                  v∈C

                  (v) ≤ (v)

                • + (x) v∈C

                  , r (onde δ(x) é um real r ∈ [r

                • + − ]), para cada x ∈ U fixado, provando o item 6.

                  Vamos mostrar agora que a existência de uma função δ : U −→ R verificando a desigualdade é suficiente para a J-separação de A t (x). J ∂ (A (x))J(A t t t t x

                  (x)v) ≥ δ(X (x)v). Seja v ∈ E tal que hJv, vi > 0. Temos que x (t) = J(A (x)v é contínua e x(0) > 0, assim, conseguimos um intervalo t t [−s, s] tal que x(t) = J(A (x)v > 0 para todo t ∈ [−s, s]. O lema garante que

                  ! Z t

                  δ(X (x))ds |J(A t s = |J(v)| exp ∆(x, t) > 0. (x)v)| ≥ |J(v)| exp

                  Assim, J(A t > 0 tal

                  (x)v) , 0 para todo t ∈ [0, s]. Suponha que exista um t que J(A (x)v) < 0. Por hipótese, J(A (x)v) > 0 para t = 0, então, por causa t t da continuidade de J(A (x)v), o Teorema do Valor Intermediário garante t = um t ) tal que J(A (x)v) = 0, uma contradição. Seja s sup S :=

                  1 ∈ (0, t t 1

                  sup{s > 0 : x(t) > 0, t ∈ [0, s]} < ∞. Consideremos agora uma sequência (s ) . Temos que n ⊂ S tendendo a s

                  n∈N

                  ! Z s n

                  = x (s δ(X (x))ds x (0) exp ∆(x, s ) > 0 n s n ) ≥ x(0) exp implica, pela continuidade de x, que

                  ! Z s

                  δ(X = x (s s (x))ds x (0) exp ∆(x, s ) > 0. ) ≥ x(0) exp

                  R R s s = e se x(s δ(X (x))dt 0, a não ser que δ(X (x))dt = t t

                  ) ≤ 0, então exp −∞ o que é impossível já que δ foi tomada sendo limitada e contínua. Logo, x(s

                  , s ǫ) ) > 0 e, pela continuidade de x, existe um intervalo (−ǫ+s

                • tal que x(t) > 0 para todo t neste intervalo, mas isto contradiz a escolha de s como supremo. Portanto, s t (x)v) > 0, para

                  = ∞ e concluímos que J(A (x), isto é, A t (x) é J-separado. todo v ∈ C +

                  Agora, se as desigualdades do item 2 são estritas, conseguimos também t , então J(A (x)v > 0, t que |J(A (x)v)| > |J(v)| exp ∆(x, t) = 0 e se v ∈ C pelo mesmo argumento anterior. Assim, A (x)(C (X (x)). t t + +

                  (x) ∪ C (x)) ⊂ C Portanto, A é estritamente J-separado. t Como A t t

                  (x) é J-separado, para cada v ∈ C (x), temos que |J(A (x)v)| > 0,

                  x t

                  e t

                  1 < t 2 tais que J(A 1 , t 2 ], que

                  implica, para todo v ∈ E (x)v) , 0 para t ∈ [t t Z t Z t 2 2 |J(A 2 (x)v)| t 2 log ∂ δ(X (x))dt = ∆ (x). ≥ t t t t log|J(A (x)v)|dt ≥ t 1

                  |J(A 1 (x)v)| t t 1 1

                  |J(A (x)v)| t2 t 2 Portanto, (x).

                  ≥ exp ∆ t 1

                  |J(A (x)v)| t1 J

                  4.2.1 -separação estrita de cociclos e dominação

                  Assumimos de agora em diante que a família A (x) de cociclos multipli- t cativos lineares num subfibrado E U sobre o fluxo X t numa região armadilha U ⊂ M tem sido dada. Mostraremos que se, além disso, houver um campo de formas quadráticas não-degeneradas J em E U com índice constante q menor que a dimensão de E tal que A (x) é estritamente J-separado, então U t E admite uma decomposição dominada com respeito a A (x). Por outro U t lado, se já tivermos decomposição dominada, então podemos construir um campo J de formas quadráticas não-degeneradas com índice constante menor que a dimensão E tal que A (x) é J-separado. U t

                  Observe que como J x tem o mesmo índice q para todo x ∈ U, então o cone C x

                  − (x) = {0}∪{v ∈ E : J(v) > 0} tem dimensão q para todo x ∈ U, já que

                  o índice de J x x : é a máxima dimensão de um subespaço contido em {v ∈ E +

                  J x (v) > 0}. Consequentemente, a dimensão de C (x) é p = dim M − q = n − q para todo x ∈ U. Assim, se β é uma base de um subespaço de dimensão q

                • + em C (x) e γ é uma base de um subespaço de dimensão p em C (x), então

                  − x M .

                  α = β ∪ γ é uma base de T Mostraremos como dominação implica J-separação estrita. Para isso, apresentaremos alguns resultados técnicos. O primeiro deles apresenta uma relação entre a norma riemanniana e uma dada forma quadrática J. + Lema 4.2.7.

                  , com Suponha que |J(w)|, J(v) > 0, para todos w ∈ F − e v ∈ F

                  , v , 0. Existe uma constante K > 0 tal que para cada par de vetores não-nulos w

                  1

                  2

                  2

                  1

                  2

                  2

                • + (x) temos que e

                  (w, v) ∈ F − (x)×F kwk ≤ |J(w)| ≤ Kkwk kvk ≤ J(v) ≤ Kkvk K K

                  , com w, v , Temos que |J(w)|, J(v) > 0, se w ∈ F − e v ∈ F + F F são positivas. Pelo corolário existem constantes

                • + Demonstração.

                  0, isto é, |J| − , J| K (x),K (x) > 0 (observe que tais constantes variam com o x) tais que +

                  −

                  2

                  2

                  2

                  2

                  1

                  1

                  e . Tome agora + kwk ≤ |J(w)| ≤ K kvk ≤ J(v) ≤ K K K + (x) − (x)kwk (x) (x)kvk

                • + K = (x), K

                  − −

                  max{K (x)} que existe pois as funções Λ ∋ x 7→ K (x) ∈ R e Λ ∋ + x 7→ K (x) ∈ R são contínuas (pois os cones variam continuamente) e estão

                  1

                  2

                  2

                  1

                  2

                  definidas num compacto. Logo, e K K kwk ≤ |J(w)| ≤ Kkwk kvk ≤ J(v) ≤

                  2

                  . Agora, manipulando essas duas últimas expressões, chegamos em Kkvk r r

                  1 |J(w)| kwk |J(w)| .

                  ≤ K J J

                  K (v) ≤ (v) kvk Nós estamos supondo dominação. Na definição de decomposição do- minada, usamos a norma riemanniana, porém o próximo resultado nos permite trocar esta norma por uma outra equivalente tal que a nova cons- tante C na definição seja igual a 1. Esta outra norma é chamada de norma adaptada .

                  Seja Λ um conjunto compacto invariante para um campo de vetores X

                1 C e seja E um fibrado vetorial sobre M. Usamos a seguir o resultado de Gourmelon[8].

                  ⊕ F

                • +

                  Teorema 4.2.8. Suponha que T Λ M = F é uma decomposição dominada

                  −

                  para um cociclo linear multiplicativo A (x) sobre E. Existe uma vizinhança V de t Λ e uma métrica riemanniana hh·, ·ii induzindo uma norma (norma adaptada) | · | em E tal que existe V

                  λ > 0 satisfazendo para todo t > 0 e x ∈ Λ +

                  −1 −λt t F (x) t F (x) ) .

                  |A | · |(A | < e (x)| − (x)|

                  1

                  2 Sejam J e J formas quadráticas de mesmo índice que não Observação 4.2.9. x x

                  1

                  2

                  mudam de sinal em F são produtos internos

                  

                ± (x). Pelo lema ±J x e ±J x

                  em F (x) e definem duas normas em F (x) que são equivalentes, isto é, existem

                  ± ±

                  1

                  2

                  1 i

                  , i = 1, 2, também são. Chegamos assim em funções contínuas pois x 7−→ J x

                  1

                  2

                  1 −1

                  C .

                  |J x (v)| ≤ |J x (v)| ≤ C|J x (v)|, v ∈ F ± Além disso, temos também que a norma riemanniana k·k de M e a norma adaptada

                  −1 | · | também são equivalentes: podemos assumir que C | · | ≤ k · k ≤ C| · |.

                  Podemos assumir, sem perda de generalidade, que V dado pelo Teo- rema coincide com U. Agora, usando a métrica riemanniana garantida pelo teorema o próximo teorema nos permite construir um campo de formas quadráticas quando se tem decomposição dominada em E Λ .

                  = Suponha que Λ tem uma decomposição dominada E Λ F Teorema 4.2.10.

                  ⊕

                  −

                  1

                • + F . Então existe um campo C de formas quadráticas J em Λ tal que A (x) é t estritamente J-separado em Λ com respeito a X. Mais precisamente, existem constantes κ, ω > 0 tais que

                  −wt

                • + J (x)v (A (x)v ), v (x), J(v

                  |J(A t t ∈ F

                  − )| ≤ κe ± ± ± ) = ±1; onde F são os subfibrados da decomposição dominada de E Λ . ±

                  Primeiramente, escolhemos um campo de bases ortonor- Demonstração.

                  (x), ..., e

                  1 s

                  mais (com respeito à métrica adaptada do teorema {e (x)} de F (x), ..., e s+ e c = dim F . + +

                  1 s+c − (x) e {e (x)} de F (x) para x ∈ Λ, onde s = dim F s+ci x é uma base para E

                  Então {e (x)} , x ∈ Λ. Agora, para cada x ∈ Λ, seja i= s+c

                1 X

                  v = α e M e considere a forma quadrática i i x i= (x) ∈ T

                  1 s+c s

                  X X

                  2

                  2

                  2

                  2 +

                  J = x | − |v | − α α , (4.5)

                  (v) := |v i=s+ i j

                  1 j=

                  1

                • + ± −

                  onde v (x) são únicos tais que v = v ( já sabemos que T v Λ M =

                • ∈ F

                  ± F ). Assim, temos um campo de formas quadráticas em Λ.

                  ⊕ F

                • +

                  Observe que, já que F é A ⊕ F t

                • + − (x)-invariante para x ∈ Λ, e o campo
                • A t (x) · F ± é diferenciável em t ∈ R para cada x ∈ Λ. Da construção, vemos que F é um subespaço J-negativo e F é um subespaço J-positivo, logo +

                    −

                    o índice de J é igual a s e a forma definida por é não-degenerada pois = dim F dim F

                  • + V .

                    • +

                      Além disso, temos J-separação estrita sobre Λ. De fato, v = v v + + ∈ +

                      −

                      C x | ≥ |v | e, pela

                      (x) ∪ C (x) para x ∈ Λ significa que J (v) ≥ 0, ou seja, |v +

                      ± −

                      invariância de F por A (x), A (x)v (X (x)) com A (x)v = A (x)(v ) = t t t t t v +

                      ± ∈ F ±

                    • + p
                      • +

                        J A (x)v A (x)v . Temos ainda, pelo teorema que (A (x)v ) = t t t

                      • λt

                        p (x)v (x)v (x)v (X (x)), isto é, A (x) +

                        −

                        |A t | > e |A t | > |J(A t t t t é estritamente J-separado.

                        )|, e daí A (x)v ∈ C

                      • +

                        Bem, vamos agora mostrar a desigualdade. + Observe que do teorema para v e v + +

                        ∈ F ∈ F | = |v | = 1,

                        − − com |v −

                      • + −λt
                      • t (x)v (x)v

                          | < e |A t |. Assim então |A −

                          

                        2

                          2

                          2

                          (x)v (x)v (x)v |J(A t t k ≤ C |A t |

                          − )| ≤ KkA − −

                          2

                          2

                          4

                          2 −2λt −2λt

                        • + Ke t (x)v Ke t (x)v

                          ≤ C |A | ≤ C kA |

                          −

                          4

                          2 −2λt

                          J K e (A t (x)v ),

                          ≤ C +

                          4

                          2 fazendo κ = C K e w = 2λ, temos o resultado.

                          A seguir mostraremos como a existência de um campo de formas qua- dráticas não-degeneradas nos permite concluir dominação.

                          = C (x) e denotemos por G (C ) todos p- p + + +

                          Dado x ∈ Λ, fixemos C + subespaços de C , onde p = n−q. Esta variedade pode ser identificada com

                          ∗

                          T < I , p o conjunto de todas as matrizes q × p com entradas reais tais que T onde I é a matriz identidade e “<"indica que para o produto interno p p p

                          ∗

                          canônico em R Tu . Daremos a temos hT , ui < hu, ui, para todo u ∈ R seguir um esboço de como é feita tal identificação.

                        • + Lema 4.2.11. G p (C ) pode ser naturalmente identificado com
                        •   .

                          • + Demonstração. Seja E um p-subespaço em C e E o q-subespaço em C . p q
                          • p q − =

                              Podemos identificá-los com R e R , respectivamente. Uma vez que E p q x + E p q , pela observação escrevemos C :

                              ⊕ E = {0} ∪ {(u, v) ∈ R × R p +

                              = , ..., v , ..., v

                              1 p 1 p

                              kuk > kvk}. Agora, seja E } ⊂ C } é L.I em p+q Ger{v , onde {v

                              1

                              2 1 p 2 q

                              R . Podemos escrever v = (v , v ), com v , v , i = 1, ..., p e, i i i i i ∈ R ∈ R

                              1

                              2 além disso, kv k > kv k. i i

                              P p

                              1

                              1 1 p

                              1

                              = , v , ..., v . De fato, se a v 0, i

                              Afirmamos que {v p } é L.I. em R

                              1

                              2 i= 1 i

                              P p P p P p

                              1

                              2

                            • + 2

                              2

                              0. Assim, ) ∈ C i= i= i= 1 i i 1 i 1 i

                              = então a (v , v ) = (0, a v implica que a v i i i

                              P p P p

                              1

                              2 p+q

                              1 p } é L.I em R i i= , mas {v 1 i i i=

                              = 0 = a (v , v ) = a v , ..., v , logo a 0, i i i

                              1

                              = = para i = 1, ..., p. Observe que se v (a, c) e v (a, b), com i , j, então i j =

                              = v , o que implica que, ou v i − v j p i − v j i − v j k, (0, c − b) ∈ E 0 ou 0 > kv

                              = logo v v . i j

                              1

                              1

                              1

                              , v , ..., v }, que é L.I, define uma aplicação linear

                              Portanto, o conjunto {v p p q

                              1

                              2

                              1

                              2 L : R tal que L(v ) = v cujo gráfico é E

                              → R p i i . Isto implica que ku k>k Luk, p . Se considerarmos T sendo a matriz de L na base para todo u ∈ R q×p canônica (L(v) = Tv), então, sabendo que kuk > kTuk, temos que:

                              2

                              2 ∗

                              Tu kTuk < kuk ⇐⇒ hTu, Tui < hu, ui ⇐⇒ hT , ui < hu, ui.

                              Esta identificação não depende do ponto x ∈ Λ, já que só usamos p ⊂ C + o fato de que E (x) tem dimensão p, mas isto acontece para todo p p (C (x)) e G (C (y)) como os mesmos espaços. + + x ∈ Λ. Assim, podemos ver G Um operador J-separado L envia naturalmente G (C ) em si mesmo. De + p fato, se A (x) é J-separado, então A (x)C (X (x)), mas como A (x) + + t t t t

                              (x) ⊂ C é isomorfismo linear, então leva base em base e assim A (x)E é um p- t p subespaço em C (X t (x)). Além disso, esta operação é uma contração em + uma distância apropriada, como afirma o teorema seguinte.

                              (C ) tal que G (C ) torna-se + +

                              Teorema 4.2.12. Existe uma distância dist em G p p

                              então r

                              −

                              dist (L(T

                              1 ), L(T 2 dist (T 1 , T 2 ),

                              )) ≤ r + onde r± são dados pela proposição

                              Para ver a demonstração deste teorema, confira Teorema 1.6], onde se usa que G (C ) é um espaço métrico e sua métrica riemanniana natural + p para definir a distância dist.

                              Apresentaremos agora o teorema envolvendo dominação e J- separação estrita. Usaremos o lema a seguir que nos oferece um critério para decomposição dominada quando já se tem decomposição contínua. A demonstração pode ser encontrada em p.23.

                              1 Lema 4.2.13. Seja X um fluxo C e Λ um conjunto compacto invariante para X t t

                              admitindo uma decomposição contínua invariante T Λ M = F . Então esta ⊕ F

                            • +

                              decomposição é dominada se, e somente se, existe uma métrica riemanniana em Λ induzindo uma norma tal que lim t F (x) (X t F (X (x)) + kA k · kA −t t k = 0,

                              (x)| − (x))|

                              t→∞ para todo x ∈ Λ.

                              (x) é estritamente J-separado se, e somente se, E

                              Teorema 4.2.14. O cociclo A t U

                            • + admite uma decomposição dominada F com respeito a A (x) no subconjunto t

                              

                            − ⊕ F

                              = maximal invariante Λ de U, com dimensões constantes sendo dim F q e

                              −

                              = dim F p, dim M = p + q. + Demonstração. Vamos iniciar provando a existência da decomposição do- minada quando se tem J-separação estrita do cociclo.

                              Direções invariantes Pelo teorema temos que (G (C (x)); dist) é um espaço métrico + p e A (x) é uma contração em G (C + t p

                              ). Considere agora, para cada x ∈ Λ + n nt (x)) = (A (X (X )) . Esta é uma e t ∈ R fixado, a sequência (S −nt ) · C −nt

                              n∈N

                            • + n n

                              S (x) está bem definido. De forma quando n → ∞. Portanto, F (x) = ∩ análoga, pela observação A

                              −t (x) é −J-separado e assim, pelo mesmo

                              argumento, existe F (C (x)) tal que A (x)F (x) = F (X (x)), para q

                              − (x) ∈ G − −t − − −t todo x ∈ Λ.

                              Mostremos que F ± (x) não depende da escolha de t. De fato, se + + < t, então A s ns (X )C (X nt (X )C (X ) e se ms > nt temos

                              −ns −nt −nt −nt

                              ) ⊃ A + que A (X )C (X (X )C (X ). Logo, F (x) não depende de ms nt + +

                              −ms −mt ) ⊂ A

                            −nt −nt

                              s , t. Analogamente, mostramos também que F (x) não depende da esco-

                              −

                              lha de t. Observe que, para X (X (x))F (X (x)) = t t t (x) ∈ Λ, temos que A −t −

                              F (X (X (x))) = F (x) e observando que t

                              − −t −

                              Id = A (X (x)) = A (X (X (X (x)) = A (X (x))A (X (x)), t t t t t t t

                              

                            t−t −t (x))) ◦ A −t (x) ◦ A −t −t

                              então A (X (x))F (X (x)) = F (x) é equivalente a A (x)F (x) = F (X (x)). As- t t t t

                              −t − − − −

                              sim, F (x) e F (x) são invariantes pelo cociclo. Uma vez que dim(A nt (X +

                              − −nt ) ·

                            • + +

                              C (X (x) = p e tam-

                              −nt

                              ) = p, para todo x ∈ Λ, o que implica que dim F bém temos que dim F (x) = q, com dim F

                            • + − −

                              (x) ∩ F (x) = {0}. Portanto, . + T x M = F

                              − ⊕ F Vamos mostrar dominação para o cociclo.

                              Dominação x , v = v v , Vamos fixar t > 0 no que segue. Agora, para v ∈ E

                            • +

                              −

                              v ∈ F x

                              

                            ± ± (x), consideraremos a norma | · | induzida em E para cada x ∈ U

                              por p

                              2

                              2 J

                              

                            • J (v ) (v ) + kvk :=

                              Pela contração dos cones C e C por A (x) e A (x), respectivamente, + t

                              − −t

                              já temos que A (x)F (x) = F (X t t

                              ± ± (x)), para x ∈ Λ. Fixados x ∈ Λ e t > 0,

                              considere F : E (x)u, A x × E x −→ R com F(u, v) = hJA t t (x)vi. Observe que se v , então F(v , v (x)v , A (x)v (x)v ) > 0 pela J-

                              ∈ C t t i = J(A t ) = hJA separação estrita de A (x). Assim, pelo lema t

                              F (v, v) F (u, u) + = = r inf r , (4.6)

                              ≥ sup

                              − p

                              2 J

                            • + + =

                              (x), então A (X (A (x)v) t t t t mas se v ∈ F (x)v ∈ C (x)) e assim |A (x)v| = J

                              (A (x), então A (X t t t t (x)v) = F(v, v) e se u ∈ F − (x)u ∈ F − (x)) e assim |A (x)u| = p

                            2 J

                              (A (x)u) t = |J(A t t t (x)u)| e daí −|A (x)u| = J(A (x)u) = F(u, u). Como |u| =

                              −J(u) e |v| = J(v), a expressão nos dá que t t |A |A

                              (x)v| (x)u| > r

                              ≥ r ≥ −

                              − + t t . Pela proposição |v| |u| +

                              e assim |A (x)v| ≥ |v|, v ∈ F e |A (x)u| ≤ |u|, u ∈ F t (x)u| r

                              |A |u| |u|

                              < r < 0 < r , e assim .

                            • + − ≤ t (x)v| r + |A |v| |v| t (U) associa o número t por r (x) t
                              • + Denotaremos a função que a cada x ∈ X r (x) r . A função r : X t

                                (U) −→ R é contínua e então r atinge o supremo no compacto X t (U). Assim, se |u| = |v| = 1, então t t t r (x) r (z)

                                |A (x)u| − −

                                = := sup a < 1

                                ≤ ≤ s t t t (x) (z)

                                |A t r r + + (x)v|

                                (U) z∈X t

                                Observe que t t t (X (x))(A (X (X

                                2t t t t t t t

                                |A (x)u| = |A (x)u)| ≤ r (x))|A (x)u| ≤ r (x)) · r (x)|u|

                                − − −

                                e t t t

                                2t (X (x))(A (X (X

                                |A t t t t t t + + + (x)v| = |A (x)v)| ≥ r (x))|A (x)v| ≥ r (x)) · r (x)|v|. Desta última desigualdade, fazendo w = A

                                2 t −2t t t (x)v, temos que |A (x)w| ≤ r (X t

                              • + +
                              • nt

                                  (x)) · r (x)|w|. Repetindo esse processo para A (x), com n ∈ N, chega- nt n mos em |A (x)u| · |A −nt (x)w| ≤ a |u| · |w|. Logo,

                                • + lim

                                  |A nt F (x) | · |A F (X (x)) | = 0 (x)| −nt (x)| nt

                                  n→∞

                                  para cada t > 0 fixado e portanto lim (x) (X (x)) (4.7)

                                • + |A t F | · |A F t | = 0.
                                  • + em seguida), o lema nos garante que a decomposição F (x) é

                                    − (x) ⊕ F dominada.

                                    Continuidade da decomposição Precisamos mostrar a continuidade da decomposição. Mostraremos n (x n (x). A convergência de

                                    → x, então F ± ± que, quando n → ∞, se x ) → F

                                  • + F (x n ) a F

                                    , existem sequências

                                    ± ± −

                                    (x) significa que para todo v ∈ F e u ∈ F (v ) e (u ) tais que v (x ) e u (x ). n n n n n n n n

                                  • + n∈N n∈N → v e u → u, com v ∈ F ∈ F − n n n n n n
                                    • + Sejam e , ..., e , ..., f (x ) e n

                                      = {e p } e f = { f q } bases ortonormais de F

                                    • + 1 −

                                    1 F (x

                                      n (x) e F (x) têm +

                                      − ) respectivamente. Lembre que para cada x ∈ Λ, F −

                                      dimensões constantes. Como na demonstração do teorema obtemos = subsequências (e ) e ( f ) e então subespaços E , ..., e + n n k k∈N l l∈N ger{e 1 p } e

                                      = = = E 1 , ..., f F (x) e E F (x). q }. Afirmamos que E + + − ger{ f p q − −

                                      X X + α β

                                      , onde v = i e i e u = i f i . Observe que

                                      −

                                      Seja v ∈ E e u ∈ E p q i= i=

                                      1

                                      1 X n n k l

                                      X definindo v := α e (x ) e u := β e (x ), garantimos + n i ∈ F n n i ∈ F n k k l − l i= i i

                                      1 i=

                                      1

                                      que v n → v e u n → u. Por temos que k l (x )u

                                      |A t n n | l l lim | = 0,

                                      t→∞

                                      (x )v |A t n n | k k e quando n , n crescem teremos também k l

                                      |A t (x)u|

                                      = lim 0, (4.8)

                                      t→∞

                                      |A t (x)v| +

                                      . Em particular, se w fosse um vetor unitário para todo v ∈ E e u ∈ E −

                                      −1

                                      t→∞ (x)w| · |A (x)w|

                                    • + = =

                                      = em E , então lim 0, um absurdo. Portanto,

                                    • + + ∩ E |A t t

                                      E E , já que dim E dim E p + q = n . Então + + ∩ E = {0} e assim E ⊕ E x

                                      − − −

                                      = = temos que F (x) = E e falta mostrar que E F (x) e + + x + (x) ⊕ F − E + ⊕E − +

                                      = E F

                                      , assim

                                      − − (x). Observe que é válida para todo u ∈ E − e v ∈ E

                                    • + (x). Suponha que E não esteja contido como para todo u ∈ F − (x) e v ∈ F − em F tal que v < F (x), com v = v F v F e

                                    • + − (x). Dessa forma, existe v ∈ E

                                      − − −

                                      t (x)v F t (x)v F ! |A t |A | |A |

                                      (x)v| + lim

                                      = +

                                      1 ≤ lim

                                      t→∞ t→∞

                                    t (x)v F t (x)v F t (x)v F

                                    + + +

                                      |A | |A | |A | e ! t F t F (x)v (x)v

                                      |A t |A | |A | (x)v| − +

                                      1. ≥ lim −

                                      = lim

                                      t→∞ t→∞

                                      (x)v (x)v (x)v |A t F | |A t F | |A t F | + + + t (x)v|

                                      |A

                                      = Concluímos que lim 1 o que implica que v e v crescem à F

                                      t→∞ + (x)v |A t | F+ F E E E + + + + = t (x)v| mesma taxa pelo cociclo. Por outro lado, v v v e se v fosse não

                                      |A

                                      t→∞ t (x)v |A | E+ e v E . Segue que v F v E .

                                    • + +

                                      = nulo, então, também chegaríamos em lim 1, uma contradição

                                      =

                                      − ∈ E ∈ F ∩ F −

                                      já que v ∈ E + + + + (x) com w < E e w = w E w E com w E não

                                    • − −

                                      Mas também existe w ∈ F nulo. Fazendo

                                      !

                                      −1

                                      (x)v (x)v (x)v (x)w + + + + |A t F | |A t F | |A t F | |A t E |

                                      = t t (x)w E t (x)w E t (x)w E t (x)w E ≤ · 1 − + + + |A |A − |A | |A | |A |

                                      (x)w| chegamos em

                                      (x)v |A t | F+

                                      t→∞ t (x)w| |A

                                    • + = =

                                      = lim 0 contradizendo

                                      Logo, E F (x) e, analogamente, E F (x). Portanto, a decomposi-

                                    • +

                                      − ção do fibrado E U varia continuamente.

                                      Concluímos que E admite decomposição dominada F com res- + U

                                      − ⊕ F

                                      peito a A (x) no subconjunto Λ e dim F = q , dim F = p e dim M = p + q. + t

                                      −

                                      Agora, supondo que exista dominação, usamos o teorema para garantir a existência de um campo J de formas quadráticas tal que o cociclo A (x) é estritamente J-separado, completando a prova do teorema. t

                                      Por fim, podemos agora demonstrar a recíproca do item 3 do teorema

                                      Proposição 4.2.15. Se o cociclo A (x) é estritamente J-separado sobre um subcon- t

                                      junto Λ compacto X -invariante, então existe um campo J de formas quadráticas t J compatível e uma função > δ(x)J

                                      0,x δ : Λ −→ R tal que e para todo x ∈ Λ. construimos um campo de formas quadráticas J de acordo com os ar-

                                      2

                                      2

                                    • + gumentos anteriores da seguinte forma: J , para cada

                                      | − |u | (u) = |u −

                                    • +

                                    • u . Agora, para todo t > 0, vamos escrever a forma x ∈ Λ, onde u = u
                                      • + 2

                                        2 −

                                      • + J

                                        = (A t t (x)v t (x)v (x), v v v

                                      • − ± ±

                                        | − |A | ∈ C (x)v) = |A . Sejam x ∈ Λ e v

                                        com v ∈ F ± | = 1. Usando o

                                        (x) e |v !

                                        

                                      2

                                        (x)v + |A t |

                                        2

                                        2 2λt − −

                                        J (A (x)v (x)v (x)v (4.9) t t t ) = |A | − 1 ≥ |A | · (e − 1).

                                        

                                      2

                                      t (x)v

                                        |A | Usando e sabendo que J (A (x)v ) é diferenciável em t, conseguimos t que

                                        J J (A (x)v (A (x)v ) (A (x)v ) t t

                                        ) − J ∂ = = t (J (A t (x)v t= lim lim

                                        ))|

                                        tց0 tց0

                                        t t

                                        2 2λt −

                                        (x)v |A t | · (e − 1)

                                        2 2λt

                                        = ∂ (x)v

                                        ≥ lim t t | · (e − 1))| t= (|A −

                                        tց0 t

                                        

                                      2

                                        2 2λt − 2λt −

                                        = =

                                        (2λe (x)v (e (x)v ) |A t | − 1)∂ t |A t | t= 2λ ≥ 0.

                                      • Argumentando agora como fizemos na demonstração do item 2 do teorema chegamos em

                                        J e J x t t t= (v ) = ∂ (A (x)v )| ≥ 2λ > 0, x ∈ Λ,

                                        J para 0 , v (x), implicando, pelo lema que e > δ(x)J para ∈ C x alguma função real δ(x).

                                        Além disso, pela observação as formas J e J são compatíveis pois não mudam de sinal em F .

                                        ±

                                        

                                      4.3 Hiperbolicidade parcial: provas da proposi- ção campo de vetores X, sem exibir o fluxo associado como requer a definição.

                                        A partir de agora, vamos considerar o cociclo derivada DX do fluxo di- t ferenciável X no lugar de A (x) e usar os resultados obtidos anteriormente. t t Neste contexto, temos que o gerador infinitesimal é dado por D(x) = DX(x), a derivada espacial do campo de vetores X.

                                        A J-separação estrita em U para X t implica que qualquer subfibrado invariante de T ao longo da órbita do fluxo X tem que estar contido x M t em F (x). Em particular, o espaço característico correspondente à direção

                                        ±

                                        do fluxo está contido em F (x). Mostramos isso no próximo lema. Para + prová-lo usamos a definição de ângulo entre subespaços, inspirada na noção de ângulo entre subespaços unidimensionais. Essa definição está relacionada com a projeção paralela de subespaços. Não daremos detalhes dessa definição, mas o leitor interessado pode conferir Vejamos o seguinte lema:

                                        

                                      Lema 4.3.1. Seja Λ um conjunto compacto invariante para o fluxo X t de um

                                      campo vetorial X em M.

                                        1. Dado uma decomposição contínua T Λ M = E ⊕ F tal que E é uniformemente contraído, então X x (x) ∈ F para todo ponto regular x ∈ Λ.

                                        2. Assumindo que Λ é não-trivial e tem uma decomposição dominada T Λ M = x E ⊕ F tal que X(x) ∈ F para todo x ∈ Λ, então E é um subfibrado unifor- memente contraído.

                                        Denote π(E ) : T a projeção de E paralelo a F em Demonstração. x x x x x

                                        M −→ E T M e π(F ) : T a projeção de F paralelo a E em T M . Note que x x x x x x x

                                        M −→ F para x ∈ Λ X (x) = π(E x x

                                        ) · X(x) + π(F ) · X(x) t e a invariância da decomposi- e para t ∈ R, temos pela linearidade de DX ção T Λ que t

                                        M = E ⊕ F por DX DX t · X(x) = DX t · (π(E x x

                                        ) · X(x) + π(F ) · X(x)) Considere agora z um ponto limite da órbita negativa de x. Isto é, estamos supondo que há uma sequência estritamente crescente t n −→ +∞ = = tal que x n n n n n · X (x) satisfaz, lim x lim X (x) = z e lim DX

                                        −t −t −t n−→+∞ n−→+∞ n−→+∞

                                        X (x) = lim X (x n ) = X(z) para algum z ∈ Λ. Por outro lado temos que

                                        n−→+∞ x t x (DX k π(E ) · X(x) k = k DX n −t n · π(E ) · X(x) ) k

                                        | {z }

                                        ∈E Xtn (x)

                                        −λt n

                                        ≤ ce k DX · π(E x

                                        −t n ) · X(x) k λt n −1 n · (π(E x k π(E x e Daí temos que k DX −t ) · X(x)) k≥ c ) · X(x) k.

                                        Supondo que π(E não é o vetor nulo e usando a contração x x ) · X(x) ∈ E uniforme em E x , obtemos λt n

                                        −1 x e x (4.10) k DX −t n · (π(E ) · X(x)) k≥ c k π(E ) · X(x) k−−−−−→ +∞. x x n · (π(E x n−→+∞

                                        Só que kπ(E n )k ≥ kπ(E n ) · X(x )k = kDX −t n ) · X(x))k, o que implica que o ângulo entre E e F x x n n tende a zero quando n −→ +∞. De fato, usando a metrica riemanniana em T M , o ângulo α(y) = y

                                        , F ) está relacionado com a norma de π(E ) como se segue: ∠(E y y y

                                        1 k π(E y +∞ =⇒ sin(α(y)) −→ 0 ) k= sin(α(y)) −→

                                        Portanto, k DX n · (π(E x x n n · X(x) k

                                        −t ) · X(x)) k = k π(E ) · DX −t

                                        ≤ k π(E x n n · X(x) k ) k · k DX −t

                                        1 =

                                        X (x n ) k sin(α(x n ))· k para todo n ≥ 1. Assim se a sequência é ilimitada concluímos que lim sin(α(X

                                        −t n (x))) = 0. No entanto, já que a decomposição E ⊕ F n−→+∞

                                        é contínua no compacto Λ, o ângulo α(y) é uma função contínua e posi-

                                        Esta contradição mostra que π(E , x x )·X(x) é o vetor nulo e assim X(x) ∈ F ∀x ∈ Λ. x e como

                                        Provemos o item 2. Fixe x ∈ Λ com X(x) , 0, tome v ∈ E X x , usamos a dominação e obtemos, para cada t > 0:

                                        (x) ∈ F t t kDX (x)vk kDX (x)vk

                                        −λt −1

                                        Ke ≥ ≥ ≥ C kDX t

                                        (x)vk, kDX t kX(X t (x)(X(x))k (x))k onde 0 < C = sup{kX(y)k : y ∈ Λ} < ∞ pela compacidade de Λ e continui- dade de X.

                                        Suponha agora σ ∈ Λ com X(σ) = 0. Escolhemos T > 0 tal que

                                        1 −λT

                                        CKe <

                                        e, já que Λ é não-trivial, podemos encontrar uma sequên-

                                        2 1 −λT

                                        cia x n T x < .

                                        → σ de pontos regulares de Λ. Temos que kDX |E n k ≤ CKe

                                        2 Pela continuidade da decomposição e do cociclo derivada, E x σ e n → E T σ T x

                                        1 σ kDX |E k = lim kDX |E n k ≤ . Portanto, quando t → ∞, vemos que E

                                        n→∞

                                        2 também é um subespaço uniformemente contraído. A seguir, demonstraremos a proposição Através dela podemos garantir J-separação para o fluxo X , usando o campo. Recordamos o t enunciado antes da prova.

                                        

                                      Proposição 4.3.2. Proposição 1.3] Um campo de vetores J-não-negativo X

                                        em U é (estritamente) J-separado se, e somente se, existe um campo compatível de formas J e existe uma função := J

                                        0,x · DX(x) +

                                        δ : U → R tal que o operador ˜J

                                        ∗

                                        DX (x) satisfaz · J

                                        ˜J é positivo (definido) semidefinido ,

                                        0,x − δ(x)J

                                        x ∈ U,

                                        onde DX é a adjunta DX Demonstração. Considere um campo de vetores J-não-negativo X em U que é estritamente J-separado. Usamos agora a proposição para garantir a existência de um campo de formas compatíveis J e uma função

                                        ∗ (x) (x) com respeito ao produto interno adaptado. Vamos provar agora a recíproca da proposição. Se ˜J é

                                        0,x − δ(x)J

                                        positivo (definido) semidefinido, pelo teorema o campo DX (x) é t (estritamente) J -separado, isto é, X é (estritamente) J -separado. Agora,

                                        −1

                                        J pela compatibilidade de J e J , C (v) ≤ J(v) ≤ CJ (v). Assim, se v ∈ +

                                        C (x), então J (DX t (x)) > 0 e então J(DX t (x)v) > 0. Portanto, X é (x) ∪ C (estritamente) J-separado.

                                        A seguir, a demonstração do teorema Nós mostramos que J-separação estrita de um fluxo J-não-negativo

                                        X numa região armadilha U implica a existência de uma decomposição t dominada e que o fibrado dominante ( aquele onde a contração é mais forte) é necessariamente uniformemente contrator; ou seja, temos de fato decomposição parcialmente hiperbólica. X Uma vez que a direção do fluxo E x := R · X(x) = {s · X(x) : s ∈ R} é

                                        DX t t é

                                      • invariante para todo t ∈ R, se U é uma região armadilha onde X J
                                      • t<
                                      • separado e J(X(x)) ≥ 0 para algum x ∈ U, então J(DX (X(x))) ≥ 0 para todo t &gt; 0 e esta função é limitada.

                                        

                                      Teorema 4.3.3. Teorema A] Um conjunto que atrai não-trivial Λ de uma região

                                        armadilha U é parcialmente hiperbólico para o fluxo X t se, e somente se, existe um

                                        1

                                        campo J de formas quadráticas C não-degeneradas com índice constante, igual a dimensão do subespaço estável de Λ, tal que X t é não-negativo estritamente J -separado em U.

                                        1 Suponha que exista um campo C de formas quadráticas J Demonstração.

                                        não-degeneradas com índice constante, tal que X é não-negativo estrita- t mente J-separado em U. Pelo teorema Λ admite decomposição do- minada F com respeito a DX (x). Como X

                                        ⊕F t t +

                                        − é não-negativo, J(X(x)) ≥ 0

                                        . Pelo lema F é uniformemente contraído e o índice e então X(x) ∈ F

                                      • + − de J é igual a dimensão de F , o subespaço estável de Λ.

                                        −

                                        Provando agora a recíproca. Por hipótese, Λ admite decomposição + = parcialmente hiperbólica E F com um subfibrado uniformemente λ ⊕ F

                                        −

                                        contraído, suponhamos que seja F . Pelo teorema como Λ admite

                                        − campo, colocamos o subfibrado uniformemente contraído F para ser o

                                        −

                                      • + , isto é, X é não-negativo. t subespaço J-negativo. Pelo lema X(x) ∈ F Além disso, por construção de J, a dimensão de F (x) é o índice de J . x

                                        − Portanto, a prova do teorema está completa.

                                      4.4 O atrator de Lorenz geométrico

                                        O atrator Lorenz de geométrico Exemplo 4.4.1. O Teorema que é parcialmente hiperbólico, admite um campo J de formas quadráticas de índice 1 para qual o fluxo é estritamente J separado. Reciprocamente, podemos deduzir que este conjunto é parcialmente hiperbólico, construindo um campo diferenciável de formas quadráticas de índice constante tais que o campo X seja estritamente J-separado, como mostramos a seguir.

                                        Figura 4.1: O atrator de Lorenz Mostraremos a seguir que o atrator de Lorenz geométrico é parcial- mente hiperbólico. O atrator de Lorenz é onde se acumulam as órbitas do

                                        ′ ′ ′

                                        = = = x a (y − x), y rx − y − xz, z xy − bz,

                                        8

                                        onde a = 10, r = 28 e b = , partindo da maioria dos pontos do espaço. Na

                                        3

                                        figura vemos o comportamento da órbita de um ponto deste sistema se acumulando no atrator de Lorenz.

                                        O atrator apresentado na figura acima pode ser representado geome- tricamente por um modelo conhecido como o atrator de Lorenz geométrico descrito na figura abaixo. Sugerimos que o leitor não familiarizado com tal modelo veja sua construção detalhada em Mostraremos que o atrator de Lorenz geométrico é parcialmente hiperbólico usando o teorema

                                        Figura 4.2: O atrator de Lorenz geométrico Observando a figura vemos que o atrator de Lorenz geométrico

                                        é constituído por duas regiões que denominaremos de “lóbulos" e uma região contida no cubo unitário.

                                        Analisaremos a hiperbolicidade parcial do atrator de Lorenz geométrico , dividindo-o em três partes. Parte 1

                                        8

                                        λ

                                        

                                      3 . Assim, em uma vizinhança V da origem, o teorema de Hartman-

                                        = −

                                      3 Grobman para fluxos a seguir nos garante que as equações de Lorenz são equivalentes a um sistema linear por uma conjugação.

                                        n r σ = 0 uma singularidade

                                        Teorema 4.4.2. Seja X um campo C e

                                        : U → R hiperbólica de X. Seja L = DX (σ). Então X é localmente equivalente a L em 0. No modelo geométrico do atrator de Lorenz, assumimos que X(x) =

                                        D · x, onde D = DX(σ) e então DX(x) = D, para todo x ∈ V, e que V

                                        2

                                        × [0, 1]. Os autovalores de DX(σ) se estende até o cubo unitário [−1, 1] que são dados por λ

                                        1 ≈ 11, 83, λ 2 ≈ −22, 83 e λ 3 ≈ −2, 67 satisfazem

                                        λ &lt; λ &lt; 0 &lt; λ . Como no ítem 1 do exemplo consideramos

                                        2

                                        3

                                        1

                                        2

                                        2

                                        2

                                      • J y z e mostramos que temos J-separação estrita, pela

                                        (x, y, z) = −x

                                      • proposição já que podemos escolher δ tal que 2λ

                                        2 &lt; δ &lt; 2λ 3 &lt; 0, isto

                                        é, δ negativa e limitada por constante menor que zero. Assim, pelo teorema temos hiperbolicidade parcial com o eixo y contraído uniformemente, já que dim E é igual ao índice de J e este é o subespaço J-negativo, que domina pelo plano xz, o subespaço J-positivo. Parte 2

                                        Vamos agora mostrar hiperbolicidade parcial nos lóbulos, onde o fluxo é uma combinação de uma rotação no plano xz, uma dilatação e uma translação na direção do eixo y (ver seção 3.3 em

                                        ′

                                        No interior dos lóbulos, podemos escrever o sistema como X = i i A ·(X − C ) + P , onde C é o centro da rotação, P é um vetor representando uma i i i i translação e

                                          i τλ

                                        1

                                        −(−1)  

                                        = A ζλ com 0 &lt; τ, ζ &lt;&lt; 1, i = 1, 2. i

                                        2

                                           i 

                                        τλ

                                        1

                                        (−1) Aqui i = 1 corresponde ao lóbulo começando com x &gt; 1 e i = 2 para o

                                        −1 ′ ′

                                        outro lóbulo. Observamos que, fazendo Y = i i i i

                                        X A P com Y = X ), + − C i i i

                                        ′

                                        = podemos escrever a equação do campo X acima como Y A . Usando i i · Y i i

                                      • A
                                      •    

                                        Podemos encontrar um caminho diferenciável e A indo de D na região linear V a A i nos lóbulos através de matrizes, assegurando que eJpermane- cerá diagonal. Vejamos: Considere o segmento de reta em M(R, 3) que liga D a A i , isto é, [A i , D] =

                                            .

                                        Assim eJ i é positiva definida e eJ i − δ · J = diag{2τλ

                                        1

                                        − δ, −2ζλ

                                        2

                                        1

                                        − δ} é positivo se, e somente se, 2λ

                                        2

                                        &lt; δ &lt; 2λ

                                        1 .

                                        Parte 3 Resta-nos agora verificar hiperbolicidade parcial na região de transição entre a região linear e os lóbulos.

                                        {(1 − µ)A i

                                        2τλ

                                        ∗

                                        · J =

                                        (1 − µ) · (J · A i

                                        ∗ i

                                        · J) + µ · (J · D + D

                                        ∗

                                        · J) = diag{2λ

                                        1

                                        (µ + (1 − µ)τ), −2λ

                                        2

                                        (µ + (1 − µ)τ), 2(µλ

                                        3

                                        1

                                        2

                                        Para que eJ− δ · J &gt; 0, devemos ter

                                        1

                                        a mesma forma quadrática J, temos J e i

                                        = J · A i

                                        ∗ i

                                        · J =

                                            1 0 0

                                        0 −1 0 0 0 1    

                                        ·    

                                        τλ

                                        1

                                        0 −(−1) i 0 ζλ

                                        2

                                        (−1) i τλ

                                           

                                        0 −2ζλ

                                        τλ

                                        1

                                        0 (−1) i ζλ

                                        2

                                        −(−1) i 0 τλ

                                        1

                                           

                                        ·     1 0 0

                                        0 −1 0 0 0 1    

                                        =    

                                        2τλ

                                        1

                                      • δ, 2ζλ
                                      • µD : 0 ≤ µ ≤ 1}. Para cada µ, o campo Z i na região de transição será dado pela combinação linear µX + (1 − µ)X i dos campos associados a região linear e aos lóbulos. Temos que eJ= J · ((1 − µ)A i
                                      • µD)
                                      • µD) + ((1 − µ)A i
                                      • A
                                      • (1 − µ)τλ 1 ).

                                        2 &lt; δ &lt; 2λ 3 &lt; 0 &lt; 2λ 1 como

                                        , para cada 0 ≤ µ ≤ 1, assim se µ = 1 então 2λ antes.

                                        Concluímos que, se tomarmos δ tal que 2λ

                                        2 &lt; δ &lt; 2λ 3 &lt; 0 &lt; 2λ 1 ,

                                        garantimos J-separação estrita. E, pelo teorema temos que a forma

                                        2

                                        2

                                        2

                                      • o atrator de Lorenz geométrico, com o subespaço J-negativo contraído uniformemente.
                                      • y z nos dá hiperbolicidade parcial para quadrática J(x, y, z) = −x

                                        Capítulo 5 Generalizações: Hiperbolicidade seccional e funções de Lyapunov infinitesimais

                                        Apresentamos neste capítulo resultados e conceitos mais gerais. Co- meçamos com a extensão do teorema e então introduzimos a noção de hiperbolicidade seccional bem como este conceito está relacionado com as funções de Lyapunov infinitesimais.

                                      5.1 Extensão do teorema 4.2.10

                                        O teorema pode ser generalizado no seguinte sentido: dada uma decomposição dominada de um fibrado vetorial sobre um subconjunto

                                        1

                                        numa região arma- compacto invariante Λ da base, para um campo X ∈ C dilha U, existem um campo diferenciável de formas quadráticas J e uma vizinhança V de Λ tais que para cada campo de vetores Y suficientemente

                                      1 C -perto de X e cada cociclo correspondente a este campo perto o bastante

                                        do cociclo associado a X, temos que Y é estritamente J-separado em E V sobre uma vizinhança V de Λ.

                                        Sejam D (x), D (x) : E os geradores infinitesimais dos cociclos A B x −→ E x A (x),B (x) sobre o fluxos de X e Y respectivamente. Definimos a distância t t d entre os cociclos A e B por t t

                                        , (B d ((A t ) t t ) t ) := sup A B kD (x) − D (x)k.

                                        

                                      x∈M

                                        Cabe aqui algumas observações a respeito desta distância. Primeira- mente, note que o supremo sempre existe devido à compacidade de M e continuidade do gerador infinitesimal. Além disso, dentre as proprieda-

                                        = des satisfeitas pela distância d, temos que d((A ) , (B ) B t t t t t t A B ) = 0 ⇐⇒ A devido ao seguinte fato: kD (x)−D (x)k = 0, para todo x ∈ M, se, e somente = se, D A D B , mas, por causa da equação cada cociclo A t satisfaz a equação diferencial ordinária não-autônoma

                                        

                                        ′

                                        = Y D (X (x))Y A t

                                         

                                        Y (0) = Id =

                                        Assim, se D A D B , então A t e B t satisfazem a mesma equação diferen- cial e, pela unicidade de soluções, temos A = . t B t Como antes, seja Λ = Λ(U) um subconjunto maximal positivamente

                                        1

                                        invariante para um campo vetorial X de classe C com um cociclo multi- plicativo A (x) definido num fibrado vetorial sobre U. Seja agora U uma t região armadilha para o fluxo de X e denotemos Λ(U) = Λ (U) o conjunto X que atrai correspondente.

                                        1 Existe uma vizinhança U de X em X (M) e uma vizinhança aberta Lema 5.1.1.

                                        V de Λ &gt; 0

                                        (U) tal que V é uma região armadilha para todo Y ∈ U, isto é, existe t para o qual t

                                      • Y (V) ⊂ V ⊂ U para todo t &gt; 0; t e
                                      • Y t

                                        (V) ⊂ V para todo t &gt; t

                                      • Y (V) ⊂ U para todo t &gt; 0.

                                        Usando o lema anterior e a desigualdade que define a J-separação estrita, é possível demonstrar o seguinte resultado ( veja

                                        =

                                      Teorema 5.1.2. Suponha que Λ tem uma decomposição dominada E Λ F .

                                        ⊕ F

                                      • +

                                      1 Então existe um campo C

                                        de formas quadráticas J numa vizinhança V ⊂ U de

                                        1

                                        Λ , uma C -vizinhança V de X e uma C -vizinhança W de A (x) tal que B (x) é t t estritamente J-separado em V com respeito a Y ∈ V e B ∈ W. Mais precisamente, existe constantes Y Y e

                                        κ, ω &gt; 0 tal que, para cada Y ∈ V, B ∈ W, x ∈ Λ , x ∈ Λ t ≥ 0. B +

                                        −wt t (x)v (B t (x)v ), v (x), J(v J

                                        |J(B

                                        

                                      − ± ∈ F ±

                                        )| ≤ κe ) = ±1; B ± Λ onde F são os subfibrados da decomposição dominada de E . Y

                                        ±

                                      5.2 Hiperbolicidade seccional

                                        Seja M uma variedade compacta n-dimensional, n ≥ 3, com ou sem

                                        1

                                        bordo e X um campo de vetores de classe pelo menos C , tal que X aponta transversalmente para dentro do bordo, se este existir.

                                        Motivado pelo Atrator de Lorenz temos a seguinte noção mais fraca que a de expansão uniforme.

                                        

                                      Definição 5.2.1. Um subfibrado DX Λ M é dito “ seccio-

                                      t − invariante, F ⊂ T

                                        nalmente expansor” se dim F x ≥ 2 é constante para todo x ∈ Λ e existem constantes positivas C , λ tais que para todo x ∈ Λ e todo subespaço bidimensional

                                        L x x tem-se ⊂ F λt

                                        (5.1) | det(DX t | L x )| &gt; Ce , ∀ t &gt; 0.

                                        Noutras palavras, a expansão seccional é a expansão de área ao longo de todo subespaço bidimensional do subfibrado F. Notamos que um su- bespaço invariante expansor com dimensão maior do que ou igual a 2 é de todo plano bidimensional. Mas expansão de área não garante expansão de comprimento de qualquer vetor: tome por exemplo, a transformação

                                        2

                                        2

                                        linear A : R definida por A(x, y) = (2x, y) que tem det A = 2 e −→ R

                                        2 (0, 1) com autovalor λ = 1.

                                        = autovetor e

                                        A definição a seguir é uma extensão da noção de hiperbolicidade para fluxos abarcando conjuntos que podem ter singularidades acumuladas por órbitas regulares (veja definição para fluxos em dimensão três e Metzger-Morales em dimensões maiores.

                                        

                                      Definição 5.2.2. Um conjunto compacto invariante Λ é dito seccionalmente

                                        hiperbólico, se Λ é um conjunto parcialmente hiperbólico cujas singularidades são hiperbólicas e o subfibrado central é seccionalmente expansor.

                                        Mais precisamente, temos que Λ é seccionalmente hiperbólico se existe decomposição contínua e DX Λ t −invariante T M = E ⊕ F que satisfaz

                                        −λt t | E x || ≤ Ce ;

                                        1. ||DX t L ; para todo subespaço linear bidimensional λt | x

                                        2. | det(DX )| &gt; Ce L x x ;

                                        ⊂ F t σ F −λt 3. kDX |E k · kDX −t | σ k ≤ Ce , ∀σ ∈ Λ ∩ Sing(X) . para algumas constantes positivas C, λ.

                                        A noção de hiperbolicidade seccional é uma extensão natural da noção de hiperbolicidade para conjuntos invariantes com singularidades, como mostra o teorema seguinte.

                                        

                                      Teorema 5.2.3. (Lema Hiperbólico). Todo subconjunto compacto invariante sem

                                        singularidade de um conjunto seccionalmente hiperbólico é um conjunto hiperbó- lico.

                                        

                                      5.3 Funções de Lyapunov infinitesimais e hiper-

                                      bolicidade seccional

                                        No trabalho se acha uma condição necessária e suficiente para hi- perbolicidade seccional via funções de Lyapunov infinitesimais no caso de campos tridimensionais, generalizando os critérios apresentados nesta dissertação.

                                        Como é sabido que o atrator das equações de Lor 

                                        ′

                                        = x a (y − x) a = 10

                                        

                                        8

                                        

                                        ′

                                        = y rx − y − xz b =

                                        3

                                        

                                        ′

                                         z = r = 28 xy − bz

                                        é hiperbólico-seccional, mas a prova conhecida foi obtida com a assistência de métodos computacionais. Como as equações de Lorenz dão um campo de vetores X com componentes polinomiais de segunda ordem, os resulta- dos obtidos para funções de Lyapunov infinitesimais poderão ser usados para obter uma prova mais direta da hiperbolicidade seccional deste e de outros atratores caóticos.

                                      5.4 Considerações finais

                                        Vimos, ao longo deste trabalho, como deduzir hiperbolicidade para difeomorfismos e hiperbolicidade parcial para fluxos. Chamamos a aten- ção para o fato de que isto pode ser feito a partir da existência de um campo de formas quadráticas e cones invariantes, o que é mais fácil de se garantir do que exibirmos os subespaços da decomposição e verificarmos as propriedades requeridas pela hiperbolicidade parcial, pois necessitaría- mos explicitamente do fluxo. Assim, o teorema aparecem como ferramentas importantes na teoria hiperbólica, garantem hiperbolicidade parcial sem a necessidade de exibir a derivada do fluxo estendem para vizinhança dos conjuntos apresentados finalizando com o teorema Dessa forma, ampliamos o alcance da teoria apresentada neste trabalho.

                                        Para trabalhos futuros, podemos explorar hiperbolicidade seccional e a relação desta com as funções de Lyapunov infinitesimais. Estudar o uso das funções de Lyapunov infinitesimais para obter outros resultados na teoria hiperbólica que envolvem fluxos incompressíveis e fluxos que expandem volume.

                                        Bibliografia

                                        [1] Araújo, V., Salgado, L. S., Dominated splitting for exterior K- powers of cocycles and singular hyperbolicity. Disponível em: http://arxiv.org/abs/1204.4843v4

                                        [2] Araújo, V., Salgado, L. S., Infinitesimal Lyapunov functions for singu- lar flows. Mathematische Zeitschrift (online). DOI 10.1007/s00209-013- 1163-8, abril, 2013. [3] Araújo, V., Pacifico, M. J., Three-dimensional flows, Vol. 53 of Er- gebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] , Springer, Heidelberg (2010), ISBN 978-3-642-11413-7. With a foreword by Mar- celo Viana.

                                        [4] Bonatti, C., Díaz, L. J., Viana, M., Dynamics beyond uniform hyperbo- licity, volume 102 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer- Verlag, Berlin, 2005. A global geometric and probabilistic perspective, Mathematical Physics, III.

                                        [5] Bowen, R., Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffe- omorphisms, Lect. Notes in Math., Vol. 470, Springer Verlag. 1975. [6] Bowen, R., Ruelle, D., The ergodic theory of Axiom A flows, Invent.

                                        , 29, 181–202. 1975. Math.

                                        [8] Gourmelon, N.: Adapted metrics for dominated splittings. Ergodic Theory Dyn. Syst. 27(6), 1839-1849 (2007).

                                        1

                                        [9] Hayashi, S., Connecting invariant manifolds and the solution of the C stability and Ω-stability conjectures for flows, Annals of Math., 145, no.

                                        1, 81-137. 1997. [10] Kato, Tosio. Perturbation theory for linear operators, Classics in Mathe- matics , Springer-Verlag. 2013. ISBN: 354058661X [11] Lewowicz, J., Lyapunov functions and topological stability, J. Diffe- rential Equations, 38(2), 192-209. 1980.

                                        [12] Liao, S., On the stability conjecture, Chinese Ann. of Math., 1, 9-30. 1980. [13] Lorenz,E.N.: Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20, 130-141 (1963).

                                        [14] Mañé, R., Contributions to the stability conjecture, Topology, 17, 383- 396. 1978.

                                        1 [15] Mañé, R., A proof of C -stability conjecture, Inst. Hautes Etudes Sci.

                                        Publ. Math. , 66, 161-210. 1988. [16] Metzger, R., Morales, C., Sectional-hyperbolic systems, Ergodic Theory and Dynamical System , 28 1587–1597. 2008.

                                        [17] Morales, C., Pacifico, M. J., Pujals, E. R., Robust transitive singular sets for 3-flows are partially hyperbolic attractors or repellers, Ann. of Math. , (2), 160, no. 2, 375–432. 2004. [18] Palis, J., Smale, S., Structural stability theorems, Proc. A. M. S. Symp.

                                        Pure Math. , 14, 223-232. 1970. [19] Pliss, V., On a conjecture due to Smale, Differ. Uravn., 8, 262–268. 1972. [20] Potapov, V.P.: Linear-fractional transformations of matrices. In: Stu-

                                        [21] Salgado, L. S., Sobre hiperbolicidade fraca para fluxos singulares. Tese de doutorado em matemática. Rio de Janeiro UFRJ/PGPIM, 2012. [22] Sambarino, M.,Hiperbolicidad y estabilidad, XXII Escuela venezolana de matematicas . Merida, Venezuela, 09/09/2009. [23] Santos, F.F.. Sobre decomposição denominada para fluxos singulares, pp. Dissertação (Mestrado em Matemática)-Instituto de Matemática,

                                        Universidade Federal da Bahia, Salvador, 2014. [24] Sinai, Y. Markov partitions and C-diffeomorphisms, Func. Anal. and Appl. , 2, 64–89. 1968.

                                        [25] Smale, S., Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 73. 747-817. 1967. [26] Tucker, W., The Lorenz attractor exists, C. R. Acad. Sci. Paris, 328, Série I, 1197–1202. 1999. [27] Wojtkowski, M.P.: Monotonicity, J-algebra of Potapov and Lyapunov exponents. Em: Smooth Ergodic Theory and its Applications (Seattle,

                                        WA, 1999). Proceedings of Symposia Pure Mathematics, vol. 69, pp. 499- 521. American Mathematical Society, Providence (2001).

                                        Universidade Federal da Bahia-UFBA Instituto de Matemática / Colegiado da Pós-Graduação em Matemática

                                        Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus de Ondina, Salvador-BA CEP: 40170 -110

Novo documento