O tormento de Cardano- Jaime B. Ripoll, Cydara C. Ripoll, F. Porto da Silveira.

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O TORMENTO DE CARDANO.

  Jaime B. Ripoll, Cydara C. Ripoll, F. Porto da Silveira.

  

Instituto de Matem´atica da UFRGS.

  1).- O Problema de Cardano

  Nos cursos de ´ Algebra aprende-se v´arias maneiras de reduzir toda equa¸c˜ao c´ ubica e coe- 3 2 3 ficientes reais, ax + bx + cx + d = 0, `a forma canˆonica x + px + q = 0 ; uma maneira consiste em trocar x por x − b/3a. Uma raz˜ao da importˆancia dessa c´ubica canˆonica ´e que ela, e ent˜ ao a equa¸c˜ ao original, pode ser resolvida a partir da seguinte f´ormula que costuma-se denominar f´ ormula de Tartaglia-Cardano: s s 3 r r 2 3 3 2 3 q q p q q p

  • x = (⋆) + .
  • 2

  − − −

  4

  27

  2

  4

  27 Infelizmente, j´ a em 1 545, o pr´ oprio Cardano descobriu que essa f´ormula esconde segredos: 3 ela “trava” ao ser usada para calcular a raiz real x = 4 da equa¸c˜ao c´ ubica x −15x−4 = 0 , pois exige o c´ alculo da raiz quadrada do n´ q q 3 umero negativo −121 : 3

  √ √ 2 + −121 + 2 − −121 = 4 ?

  Tamb´em ´e bem conhecido que, em 1 572, R. Bombelli “destravou” esse c´alculo (vide [7]) introduzindo o que hoje denominamos n´ umeros complexos: q q 3 3 3 3 √ √

  √ √ x = 2 + 2 + 11i + 3 −121 + 2 − −121 = 2 − 11i 3 3 3

  • = (2 + i) + (2 − i) = 4 .

  = p(2 + i) p(2 − i)

  Cardano, que vinha –h´ a mais de 20 anos– procurando achar alternativas de c´alculo que evitassem o uso de ra´ızes quadradas de negativos na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes c´ ubicas, reagiu violentamente contra o que achava solu¸c˜ao artificiosa de Bombelli. No ano seguinte, aos 72 anos de idade, publicou sua indigna¸c˜ ao em um panfleto entitulado Sermo de plus et minus, contribuindo bastante para propagar a suspei¸c˜ ao da legitimidade dos n´ umeros complexos, os quais passaram a ser denominados sof´ısticos ou imagin´ arios. Cardano morreu em 1 576, atormentado pela busca de resposta negativa para o problema que denominaremos

  anti-Cardano

Tormento de Cardano: ser´ a que existem c´ ubicas ? Mais precisamente,

1

ser´ a que existem equa¸c˜ oes c´ ubicas inteiras tendo somente ra´ızes reais, e para as quais

n˜ ao h´ a nenhum meio de expressar suas ra´ızes por radicais reais? 1 Por “c´ ubica inteira” entenda “c´ ubica de coeficientes inteiros”. Note que toda equa¸c˜ ao c´ ubica de coeficientes racionais ´e facilmente transformada numa c´ ubica inteira.

  

Neste texto, por radical real entenderemos uma f´ ormula escrita apenas com opera¸c˜ oes

aritm´eticas e de radicia¸c˜ ao com n´ umeros inteiros; ademais, exige-se que a quantidade des-

sas opera¸c˜ oes seja finita e que nenhuma delas seja uma raiz quadrada, ou qualquer outra

radicia¸c˜ ao de ordem par, de n´ umero negativo. Para maiores detalhes, vide se¸c˜ ao 8.2 de [1].

2 Obviamente, n˜ ao podemos calcular ra´ızes imagin´arias usando radicais reais; da´ı termos

  formulado o Tormento de Cardano apenas para equa¸c˜oes que tenham “somente ra´ızes reais”. Com efeito, se n˜ ao tiv´essemos feito essa exigˆencia, seria f´acil dar uma resposta

  

positiva para nosso problema: qualquer c´ ubica de coeficientes inteiros e ra´ızes imagin´arias,

2 + 1) = 0, serviria como anti-Cardano.

  como (x − 1)(x O tipo mais importante de c´ ubicas inteiras tendo somente ra´ızes reais ´e o das que tˆem 3 todas as ra´ızes distintas, como ´e o caso de x

  − 15x − 4 = 0. Cardano as denominou casus

  

irreducibilis . Esse nome, hoje cl´ assico, foi dado porque, conforme se mostra nos cursos de

  Teoria das Equa¸c˜ oes (vide [4]), nesse tipo de c´ ubicas a aplica¸c˜ao da f´ormula de Tartaglia- Cardano sempre envolve raiz quadrada de n´ umeros negativos: nunca ´e uma f´ormula radical real. Contudo, observe bem, nem todas as c´ ubicas do tipo casus irreducibilis s˜ao anti- 3 Cardano. Com efeito, a citada x

  −15x−4 = 0 n˜ao ´e anti-Cardano, pois suas ra´ızes podem √ ser expressas por f´

  2 , ormulas envolvendo apenas radicais reais, por exemplo: x = −2 + √ 2 e x = 4. x = −2 − Entre as c´ ubicas que tˆem somente ra´ızes reais, ´e imediato que s´o existe um outro tipo, al´em das casus irreducibilis : o das c´ ubicas com ao menos duas ra´ızes iguais. Para esse outro tipo, tamb´em mostra-se na Teoria das Equa¸c˜oes (vide [4]) que –a partir da f´ormula de Tartaglia-Cardano– sempre se consegue obter f´ormulas radicais reais para todas as ra´ızes.

  N˜ao existe anti-Cardano entre elas!

  

Conclus˜ ao preliminar: a decis˜ ao do Tormento de Cardano deve ser buscada entre as

  c´ ubicas que tˆem todas as ra´ızes reais e distintas (casus irreducibilis). Faremos esse estudo segundo duas abordagens: uma primeira com m´etodos da ´ Algebra Cl´assica, e a segunda com os m´etodos mais modernos e sofisticados da Teoria de Galois.

  2).- A abordagem de Ruffini-Wantzel

  Em 1 813, Paolo Ruffini anunciou a decis˜ ao positiva do Tormento de Cardano, uma vez que afirmava ter demonstrado a existˆencia de c´ ubicas anti-Cardano; contudo, sua argu- menta¸c˜ ao foi considerada vaga e pouco rigorosa. Em 1 843, P. L. Wantzel (o mesmo que alguns anos antes tinha se imortalizado ao provar a impossibilidade de trisseccionar um 3

  ˆ angulo qualquer e de duplicar um cubo com constru¸c˜ oes euclidianas ) conseguiu corrig´ı-la, vide [1], provando o que denominaremos: 2 3 Por “ra´ızes imagin´ arias” entenderemos “raizes complexas de parte imagin´ aria n˜ ao nula”.

  Constru¸ c˜ oes euclidianas oes com r´ egua e compasso , tamb´em conhecidas como constru¸c˜ , s˜ ao as cons- Teorema de Ruffini-Wantzel. Numa equa¸c˜ ao polinomial de coeficientes inteiros:

  

a). se n˜ ao existirem ra´ızes racionais, ent˜ ao nenhuma das ra´ızes ser´ a construt´ıvel euclidi-

anamente;

b). se todas as ra´ızes forem reais, ent˜ ao dizer que uma delas n˜ ao ´e construt´ıvel euclidia-

namente equivale a dizer que uma delas n˜ ao pode ser expressa por radicais reais.

  A demonstra¸c˜ ao de resultados equivalentes a esse teorema pode ser encontrada em [4] ou [2] (Corol´ ario 2). Aqui, vamos nos limitar a mostrar como ele nos permite achar exemplos 3 de c´ ubicas anti-Cardano. Uma delas ´e x

  − 3x − 1 = 0. Provemos. 3 e o

  • Nenhuma das ra´ızes dessa c´ubica ´e racional; com efeito, como o coeficiente de x do termo constante s˜ ao unit´ arios, as poss´ıveis ra´ızes racionais tˆem de estar no conjunto {1, −1}, mas nenhum destes n´umeros ´e raiz, como se verifica diretamente.
  • 3 e y = 3x + 1 mostr
  • O estudo da intersec¸c˜ao dos gr´aficos cartesianos de y = x todas as ra´ızes dessa equa¸c˜ ao s˜ ao reais (e distintas), uma ´e positiva e as outras duas s˜ao negativas. Confira na figura seguinte.
  • 6 8 y = 3x + 1 y = x 3 Figura 1 y -2 2

      4

    • 4 -2 -1 x
    • 1 2 3 3 Logo, pelo item (a) do Teorema, nenhuma das ra´ızes da c´ ubica x

        −3x−1 = 0 ´e construt´ıvel; consequentemente, como todas as ra´ızes s˜ao reais, o item (b) garante que nenhuma delas pode ser expressa por radical real. Esta c´ ubica ´e anti-Cardano! 4

        3).- A abordagem segundo a Teoria de Galois

        L´ a por 1 830, ao estudar a resolubilidade alg´ebrica das equa¸c˜ oes polinomiais de grau qual- quer, E. Galois aprofundou as id´eias de grupo de simetrias introduzidas por N. Abel e Ruffini, esbo¸cando as linhas mestras do que no s´eculo XX tornaram-se duas das mais importantes teorias matem´ aticas: a Teoria dos Grupos e a Teoria de Galois. N˜ ao ´e um

        

      tru¸c˜ oes geom´etricas realizadas exclusivamente com r´egua e compasso n˜ ao graduados, os quais s´ o podem

      ser usados um n´ umero finito de vezes. Um estudo sistem´ atico desse tema ´e encontrado em [6]. 4 Esta teoria mostra como achar as equa¸c˜ oes polinomiais que admitem solu¸c˜ ao por radicais, agora n˜ ao necessariamente reais. Uma abordagem introdut´ oria dessa teoria pode ser vista em [3] ou [4].

        exerc´ıcio dif´ıcil, para quem j´ a domina esta sofisticada teoria, aplic´a-la para decidir o Tor- mento de Cardano. Aqui, nos limitaremos a dar uma no¸c˜ao bem introdut´oria do que est´a envolvido. Iniciamos com um conceito fundamental da Teoria dos Polinˆomios:

        redut´ıvel

      Defini¸c˜ ao. Uma equa¸c˜ ao polinomial de coeficientes inteiros ´e dita (sobre os

      n´ umeros racionais) se, e s´ o se, o correspondente polinˆ omio puder ser fatorado como um

      produto de dois polinˆ omios (n˜ ao constantes) de coeficientes racionais; caso n˜ ao exista uma

      5

      irredut´ıvel

      tal fatora¸c˜ ao, diremos que a equa¸c˜ ao ´e . 2

        ´ E trivial dar exemplos de equa¸c˜

      • 1) = 0, oes redut´ıveis: (x−1)(x−2)(x−3) = 0, (x−1)(x etc. Contudo, decidir se uma equa¸c˜ao dada ´e redut´ıvel, ou irredut´ıvel, pode ser dif´ıcil. Apesar disso, o caso das c´ ubicas ´e bem f´acil, pois podemos nos valer do grau trˆes.

        Teorema. Uma c´

      ubica inteira ´e redut´ıvel ⇐⇒ tiver uma raiz racional.

        Com efeito, devido ao grau trˆes, qualquer fatora¸c˜ao tem de envolver um polinˆomio de grau um e coeficientes racionais, o que d´ a origem a uma raiz racional da equa¸c˜ao. Reciproca- mente, sendo r uma raiz racional de uma tal equa¸c˜ao p(x) = 0, dividindo o correspondente polinˆomio p(X) por X − r, obtemos um quociente quadr´atico de coeficientes obrigatoria- mente racionais, pois r e os coeficientes de p(X) s˜ao n´ umeros racionais. 3 Exemplificando. A c´ ubica de Cardano, x

        − 15x − 4 = 0, ´e redut´ıvel, pois tem x = 4 como 3 2 raiz; tamb´em pode-se verificar diretamente que X + 4X + 1) . 3 − 15X − 4 = (X − 4)(X Por outro lado, a j´ a conhecida anti-Cardano x

        − 3x − 1 = 0 ´e irredut´ıvel; com efeito, j´a vimos que todas suas trˆes ra´ızes s˜ ao irracionais.

        

      Consequˆ encia. Toda equa¸c˜ ao c´ ubica inteira que tiver s´ o ra´ızes distintas e todas irraci-

      onais ´e anti-Cardano: suas ra´ızes n˜ ao podem ser calculadas por radicais reais.

        Com efeito, pelo teorema anterior, uma tal equa¸c˜ao ´e irredut´ıvel; ora, pela Teoria de Galois, toda c´ ubica inteira que tem somente ra´ızes reais e ´e irredut´ıvel ´e anti-Cardano. (Vide Corol´ ario 1 de [2] para uma demonstra¸c˜ao usando a metodologia atual da Teoria do Galois, ou [3] para uma argumenta¸c˜ao mais acess´ıvel, pois que segue o desenvolvimento hist´orico do problema, explorando casos particulares de equa¸c˜oes.) 3 Esse teorema nos permite confirmar que x

        − 3x − 1 = 0 ´e anti-Cardano; com efeito, j´a vimos que todas as suas ra´ızes s˜ ao irracionais e distintas.

        4).- Generalizando o Tormento de Cardano equac¸ ˜oes anti-Cardano

        

      Para cada grau que escolhermos, existem ? Ou seja, dado um inteiro

        n > 1, ser´ a que existem equa¸c˜ oes polinomiais de grau n (e coeficientes inteiros) para as

        

      quais ´e imposs´ıvel achar um meio de expressar suas eventuais ra´ızes reais usando apenas

      radicais reais? 5 N˜ ao confunda a ideia de “equa¸c˜ ao irredut´ıvel” com a de equa¸c˜ ao tipo casus irreducibilis.

        ´ E imediato que n˜ ao existem anti-Cardano no universo das equa¸c˜oes lineares (ou seja: grau n = 1). Assim, passemos ao caso n = 2, o das equa¸c˜oes quadr´aticas. A f´ormula de Bhaskara nos mostra imediatamente que tamb´em n˜ao existem equa¸c˜oes quadr´aticas anti-Cardano; com efeito, essa f´ ormula envolver´a radicais n˜ ao reais quando, e s´o quando, a equa¸c˜ ao tiver ra´ızes n˜ ao reais. Consequentemente, ´e somente a partir das equa¸c˜oes c´ ubicas que h´ a possibilidade de encontrarmos exemplos anti-Cardano.

        Como j´ a achamos uma c´ ubica anti-Cardano, cabe perguntar se isso ´e uma exclusividade das c´ ubicas. A seguinte generaliza¸c˜ ao do teorema anterior, a demonstra¸c˜ao do qual pode ser vista em [2] ou [3], mostra que tamb´em existem exemplos de anti-Cardano entre as equa¸c˜ oes de grau maior do que trˆes.

        Teorema.

        Para grau n = 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11 . . . (ou seja: n ´ımpar 6= 1 ou n par que n˜ao ´e

      uma potˆencia de 2), toda equa¸c˜ ao polinomial (de coeficientes inteiros), que tiver somente

      ra´ızes reais e for irredut´ıvel, ´e anti-Cardano: suas ra´ızes n˜ ao podem ser calculadas por

      radicais reais.

        ´

      E oportuno se observar que existem procedimentos sistem´ aticos para decidir a irredutibilidade de

      equa¸c˜ oes polinˆ omiais de coeficientes inteiros (vide Se¸c˜ ao 5.6 de [5]), mas sua implementa¸c˜ ao ´e

      trabalhosa. Os modernos sistemas de computa¸c˜ ao simb´ olica – como o Mathematica, o Maple e o

      Sage – automatizam a decis˜ ao usando poderosos comandos. Mais conhecidas dos cursos de ´ Algebra

      s˜ ao as solu¸c˜ oes parciais para esse problema, como o Crit´erio de Eisenstein, que d´ a condi¸c˜ oes apenas

      suficientes para garantir a irredutibilidade para alguns tipos de equa¸c˜ oes polinomiais (vide [4]) .

        Limitamo-nos a mostrar como usar esse teorema para achar um exemplo de qu´ıntica anti- Cardano. As hip´ oteses cruciais, todas as ra´ızes reais e equa¸c˜ao irredut´ıvel, agora s˜ao bem mais dif´ıceis de verificar e juntas fazem com que n˜ao seja imediato achar tal exemplo. A 5 2 intersec¸c˜ao dos gr´ aficos cartesianos de y = x e y = ax + bx + c mostra que esse exemplo 5 2

        

      n˜ ao est´a entre as qu´ınticas da forma x + ax + bx + c = 0, pois elas tˆem no m´aximo trˆes

      2

        ra´ızes reais (vide figura a seguir, onde a par´abola tem equa¸c˜ao y = 3x 5 y = 3x y = x 2 1 5 Figura 2 − 1). y 2 3 4-2 -1

        1

      • 1.5 -1 -0.5 x
      • 0.5 1 1.5

          3 Contudo, se incluirmos um adequado termo em x conseguimos nosso objetivo. Com efeito, 3 2 o estudo dos gr´ aficos cartesianos y = 30x + 60x 5 − 30x − 70 = 30(x + 2)(x + 1)(x − 1) − 10 5 3 2 e y = x , vide Figura 3, mostra que a qu´ıntica x + 30x + 70 = 0 tem

          − 30x − 60x todas suas ra´ızes reais (usando-se t´ecnicas de C´alculo Num´erico, mostra-se que elas valem, aproximadamente: -3.39, -2.74, -1.15, 1.06, 6.21): 1000 30x 60x − 30x 3 + y = 2 y = x 70 5 Figura 3 y -500 500 -1500 -1000 -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 Al´em disso, com o comando IrreduciblePolynomialQ[x^5-30x^3-60x^2+30x+70] do

          Mathematica , ou explorando a fatora¸c˜ao em primos de 30, 60 e 70 e usando resultados elementares de polinˆ omios, verifica-se que ela tamb´em ´e irredut´ıvel. Logo, ela ´e uma qu´ıntica anti-Cardano!

          Bibliografia [1] F. Cajori, “Pierre Laurent Wantzel” , Amer. Math. Soc. Bulletin 24(1917/18), pp. 339-347, especialmente pp. 345-346, ou www.ams.org/bull/1918-24-07/S0002-9904-1918-03088-7/S0002-9904-1918-03088-7.pdf. ujo Moreira

          [2] C. G. de Ara´ , “Um teorema sobre solubilidade de equa¸c˜oes polinomiais por radicais reais” . Mat. Universit´ aria n. 12 (1990), pp. 87-93. [3] J. Bewersdorff, Galois Theory for Beginners, A Historical Perspective, Amer. Math. Soc., Student Mathematical Library, 2006. a [4] G. Birkhoff, S. Mac Lane, ´ Algebra Moderna B´ asica, 4 ed., Guanabara, RJ, 1986. [5] B. van der Waerden, Algebra, Vol. 1, Springer-Verlag, NY, 2003. a [6] E. Wagner, Constru¸c˜ oes Geom´etricas, 2 ed., Col. Professor de Matem´ atica, SBM, Rio de Janeiro, 1998. [7] J. B. Ripoll, C. C. Ripoll, F. Porto da Silveira, N´ umeros Racionais, Reais e a Complexos, 2 ed., UFRGS Editora, Porto Alegre, 2011.

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