Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática - Departamento de Matemática

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matemática - Departamento de Matemática

Cálculo II-A (MAT 042) – 1a Lista de Exercícios Última atualização: 26/05/04

I) Resolva as integrais usando substituição de variável:

1)

sen(2x)dx C

2 ) x 2 cos( : . sp

Re − +

2)

−1) x 3 ( sen

dx

2 3 C

) 1 x 3 ( g cot : . sp

Re − − +

3)

−7 x 3

dx

ln3x 7 C

3 1 : . sp

Re − +

4)

tg(2x)dx lncos2x C

2 1 : . sp

Re − +

5)

(cotg(ex)exdx Resp.:lnsen(ex) +C

6)

x2+1.xdx (x 1) C

3 1 : . sp

Re 2 + 3 +

7)

−1 ) x ( tg ) x ( cos

dx

2 Resp.:2 tg(x)1+C

8)

+1 ) x sen( 2

dx ) x cos(

C 1 ) x sen( 2 : . sp

Re + +

9)

+sen (x) 1

dx ) x 2 sen(

2

C ) x ( sen 1 2 : . sp

Re + 2 +

10)

x2 1

dx ) x arcsen(

C

2 ) x ( arcsen :

. sp Re

2

+

11)

+ 2 2

x 1

dx ) x ( arctg

C

3 ) x ( arctg : . sp Re

3

(2)

2/13 12)

x ln x

dx

C x ln ln : . sp

Re +

13)

3x2+4x+3(x+2)dx

C ) 3 ln( . 2 3 . sp Re

3 x 4 x2

+

+ +

14)

− 2

x 9 16

dx

C

4 x 3 arcsen 3 1 . sp

Re +

    

15)

− 2

x 9 4

dx

C

x 3 2

x 3 2 ln 12

1 . sp

Re +

− +

16) dx

x 1

x ) x arccos(

2

− −

arccos (x) 1 x C

2 1 : . sp

Re − 2 + − 2 +

II) Use integração por partes para resolver as integrais:

1)

(x2+2x)exdx Resp.: x2 ex + C

2)

(16x3+4x+1)ln(x)dx Resp.: ln(x).(4x4+2x2+x) - (x4+x2 + x) + C

3)

(x2+1)sen(x)dx Resp.: - (x 2

–1) cos(x) +2xsen(x) + C

4) dx

arctg(3x) ln(9x 1) C 6

1 ) x 3 ( arctg . x : . sp

Re − 2 + +

dx 2) arcsen(x

5)

Resp.:(x2)arcsen(x2)+ x2 +4x3+C

dx (x) 2 sen

x

6)

Resp.:xcotg(x)+ln|sen(x)|+C

3x8.cos(x3)dx

7) Resp.:x6sen(x3)+2x3cos(x3)−2sen(x3)+C

x5(1+4ex3)dx

8) C

6 x 3

4 x 4 e : . sp Re

6 3

x3 + +

    

 

(3)

3/13

∫e 2x+1.dx

9) Resp.:( 2x+1−1)e 2x+1 +C

dx

2 x + 1 x.arctg(x)

10) Resp.: 1+x2arctg(x)−lnx+ 1+x2 +C

III) Resolva as integrais contendo um trinômio ax2 + bx + c:

x +dx2x+5 )

1

2

C 2

1 x arctg 2 1 : . sp

Re + +

x dx6x+5 )

2

2 x 1 C

5 x ln 4 1 : . sp

Re +

− −

++ +

3 4x 2 2x

5)dx (x

3)

C )] 1 x ( 2 [ arctg . 2 2 | 3 x 4 x 2 | ln 4 1 : . sp

Re 2 + + + + +

4) dx

x 4 x 4 3

3 x

2

+ + C

2 1 x 2 arcsen 4 7 x 4 x 4 3 4 1 : . sp

Re − + − 2 + − +

5) ∫

+ + +

3 4x 2 2x

5)dx (x

2x 4x 3 2 2ln| 2x 4x 3 2(x 1)| C 2

1 : . sp

Re 2+ + + 2+ + + + +

6) dx

) 1 x 2 ( x

5 x 3

+ ln4x 1 8(2x x) C

2 4

23 x x 2 2 3 : . sp

Re 2− + − + 2− +

IV) Classifique as funções em racional (r) ou não racional (n); racional própria (p) ou racional imprópria (i)

) 3 ( tg x

1 x . 2 ) x ( f ) 1

2

+ =

) 3 ( tg x

1 x 2 )

x ( f ) 2

2 +

+ =

1 x 2 x

1 x ) 7 sen( ) x ( f ) 3

3 4

+ +

+ =

2 4

2 x x

) 9 x ln( ) x ( f ) 4

− + =

) 6 x 5 x )( 1 x (

x 3 1 )

x ( f ) 5

2 2

+ − −

+ =

) 1 x )( 1 x (

) 1 x ).( 2 ln( )

x ( f ) 6

2

3

(4)

4/13 )

9 x 6 x ( ) 3 x x (

1 ) x . e ( )

x ( f ) 7

2 2 2

2

+ − +

+

+ =

8 x 6 x

1 x 3 x ) x ( f ) 8

2 2

+ −

+ + =

2 2 2

2

) 1 x ( ) 1 x (

) x 8 x 4 ( ) x ( f ) 9

+ −

− =

Resp.1) (r); (p). 2) (n). 3) (r); (i). 4) (n). 5) (r); (p). 6) (r); (p). 7) (r); (p). 8) (r); (i). 9) (r); (p).

V) No exercício anterior, apresente uma forma de decomposição em frações parciais para cada uma das funções racionais próprias.

Resp.

(

) (

x tg(3)

)

B )

3 ( tg x

A )

x ( f ) 1

+ + −

=

3 x

C 2 x

B 1 x

A ) x ( f ) 5

− + − + − =

1 x x

E Dx )

1 x (

C )

1 x (

B ) 1 x (

A )

x ( f ) 6

2

2 + +

+ +

− + − + + =

2 2

2 2

) 3 x x (

F Ex 3

x x

D Cx )

3 x (

B 3

x A ) x ( f ) 7

+ +

+ +

+ +

+ + − + − =

2 2 2

2

) 1 x (

F Ex 1

x D Cx )

1 x (

B 1

x A ) x ( f ) 9

+ + + + + + − + − =

VI) Resolva as integrais das funções racionais:

dx 1 x 2

1 x ) 1

+ +

ln2x 1 C 4

1 x 2 1 . sp

Re + + +

(x+1)(xxdx+3)(x+5) )

2 C

) 1 x ( ) 5 x (

) 3 x ( ln 8 1 . sp Re

5 6

+ + +

+

− −1) (x 2) x

(

dx )

3

2 x 1 C

2 x ln 1 x

1 . sp

Re +

(5)

5/13 dx x 4 x 4 x 8 x ) 4 2 3

+ C

x 2 x ln 2 x 3 . sp Re 2 +       − + − dx x 3 4x 1 3 x 5)

− +

16[9ln|2x 1| 7ln|2x 1|] C 1 | x | ln 4 x : . sp

Re − + − + + +

dx ) 5 x 2 x )( 1 x ( 3 x 3 x 2 ) 6 2 2

+ C 2 1 x arctg 2 1 1 x ) 5 x 2 x ( ln : . sp Re 2 3 2 +       − + − + − dx 8 x 6 x 6 x ) 7 2 4 3

++ C

2 x arctg 2 3 2 x artg 2 3 2 x 4 x ln : . sp Re 2 2 +       −       + + + dx 4 x 4 x x 7 x 3 ) 8 2 3

+ ++ arctg(x/2) C

2 1 ) 1 x ( 4 x ln : . sp Re 2 2 + + + + dx x 16 16 8x 9) 4

− C

2 x arctg | x 2 | ln x 4 ln : . sp

Re 2 +

     − + − +

2−+ + 2 2 1) 1)(x (x 3)dx 2x (x 10) C x 1 1 | 1 x | ln 1 x ln arctgx : sp

Re 2 +

− + − − + +

x(5x5x+12)dx+4x 11) 2 3 3 C | 4 |x ln 3 83 | 1 |x ln 3 17 x ln 3 x 5 sp.:

Re + − − + − +

VII) Resolva as integrais das funções irracionais:

∫ + − + 3) x 2 x(x 3)dx (x 1) C 2 1 x arctg 2 2 x ln 2 : . sp

Re +

      ⋅ + dx x 6 x x ) 2 4 3 3

− C x 13 2 x 27 2 : . sp

Re 4 9 − 12 13+

     

−2) (x 2) 1 x ( dx ) 3 3 2

6 5 3arctg x 2 C

(6)

6/13

x.(1+x) dx

)

4 3

2

C ) x 1 ( 5 3 ) x 1 ( 8 3 : . sp

Re + 83 − + 53 +

2 xdx+ x )

5 3

C ) x 2 ln( 48 x 24 x 6 x 2 : . sp

Re − 3 + 6 − +6 +

2 x dx x 1

x 1 ) 6

+ −

C

x x

x x

x x

sp − − +

+ − −

+ +

− 2

1 1

1

1 1

ln : . Re

11+xx dxx )

7 C

x 1 x 1

x 1 x 1 ln x 1

x 1 arctg 2 : . sp

Re +

+ − −

+ + − +

+ −

VIII) Resolva as integrais das funções trigonométricas:

sen (x)dx )

1 3 cos (x) cos(x) C

3 1 : sp

Re 3 − +

sen (x)cos (x)dx )

2 2 3 sen (x) C

5 1 ) x ( sen 3 1 : sp

Re 3 − 5 +

dx

) x ( sen

) x ( cos ) 3

4 3

C ) x ( csc 3 1 ) x ( csc : sp

Re − 3 +

sec(2x)dx )

4

C ) x 2 sen( 1

) x 2 sen( 1 ln 4 1 : sp

Re +

− +

3 3 4 ) x ( cos

dx ) x ( sen )

5

C ) x cos(

3 )

x ( cos 5 3 : . sp Re

3

3 5 + +

sen (3x)dx )

6 2 C

12 ) x 6 ( sen 2 x : . sp

Re − +

sen (x).cos (x)(dx )

7 2 2 C

32 ) x 4 ( sen 8 x : . sp

Re − +

tg (x)dx )

8 3

C ) x cos( ln 2

) x ( tg : . sp Re

2

+ +

tg(dxx)1 )

9 C

2 x 4

) 1 ) x ( tg ln( 2

| 1 ) x ( tg | ln : . sp Re

2

+ − + −

(7)

7/13

n(3x).dx sen(5x).se

) 10

C 4

) x 8 sen( ) x 2 sen( 4 1 : . sp

Re +

  

sen(x).cos(5x).dx )

11 C

8 ) x 4 cos( 12

) x 6 cos( :

. sp

Re − + +

IX) Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t = tg(x/2) e as as fórmulas

1 ) 2 / x ( tg

) 2 / x ( tg 2 ) x sen(

2 +

= e

1 ) 2 / x ( tg

) 2 / x ( tg 1 ) x cos(

2 2

+ −

=

sen(1+senx)dxx )

1

C x

2 x tg 1

2 : . sp

Re + +

      +

1sen(xdx)+cos(x) )

2 Resp.:−ln 1−tg(x/2) +C

cos(x) sen(x)

dx 3)

Resp.: C

2 1 2 x tg

2 1 2 x tg ln 2

2

+ + +

− +

cos(x) sen(x)

1

cos(x).dx 4)

+

− Resp.: 2 C

x 2 x sec

ln + +

X) Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:

dx x

x a ) 1

2 2 2

− C

a x arcsen x

x a : . sp Re

2 2

+ −

− −

dx x 4 x )

2

2 − 2 x 4 x C

4 1 x 4 x 2 1 2 x arcsen 2 : . sp

Re − − 2 + 3 − 2 +

+ 2 2

x 1 x

dx )

3

C x

x 1 : . sp Re

2

+ + −

dx x

a x ) 4

2 2

C x a arccos . a a x : . sp

Re 2 2 +

     −

(8)

8/13

+ 2 5 ) x (4 dx 5) C x 4 ) x 4 ( 3 x x 4 x 16 1 : . sp Re 2 2 3

2 +

       + + − + 10 2x x . 1) + (x dx 6) 2 4

+ + C

) 1 x ( 3 ] ) 1 x ( 9 [ ) 1 x ( 3 ) 1 x ( 9 : . sp Re 3 5 3 2 4 2 + + + + − + + + dx x 4 )

7

+ 2 4 x C

2 x x x 4 ln 2 : . sp

Re 2 + + 2 +

     + + 8) 2 2x 2 x 2 1) (x dx

+ +

+ Resp.: x x 21x 2 C

2 + + + + −

(x2+9)2 dx

9) C

3 x arctg 54 1 ) 9 x ( 18 x . sp Re

2 +

    + +

(x2++9)2 1)dx (x 10) C 3 x arctg 54 1 ) 9 x ( 18 9 x . sp Re

2 +

    + + −

(x2+2+x+10)2 3)dx (2x 11) C 3 1 x arctg 54 1 ) 10 x 2 x ( 18 17 x . sp Re

2 +

    + + + + −

XI) Resolver as seguintes integrais usando métodos adequados:

+ ).dx

x 1 x.ln(1

1) Resp.: ln x 1 C

2 x x 1 x ln 2 x2 + + − +       +

∫cos4(2x).dx

2) Resp.: C

8 ) x 8 sen( ) x 4 sen( x 3 8 1 +       + +

∫(3x2 +6x+5)arctg(x).dx

3) Resp.: 3x 2ln|1 x | 3arctg(x) C

2 x ) x ( arctg ) x 5 x 3 x ( 2 2 2

3+ + + + +

dx 2 x 5 6x 9 2x 4)

− − −

Resp.: C

1 x 5 x ln 4 3 | 5 x x 6 |

ln 2 +

− − + − − − dx 2 x 5 6x 9 2x 5)

− − −

Resp.: C

2 3 x arcsen 3 x 5 x 6

2 2 +

     − − − − −

+ ++ ++ + 5) ](x 2 x 2 [x 3).dx 2 x ( )

6 Resp.: 12ln| x+2+1|−ln x+5+ 3arctg x3+2+C (x).dx 4 (x).sec 3 tg )

7 ∫ Resp.: sec (x) C

4 1 ) x ( sec 6

1 6 4

(9)

9/13 ∫ − − + − .dx 2 1) (x 9 8 2 x 2x 2 1) -(x

8) Resp.:29 arcsen x31 (x 1) 2x9 x 8 C

2 +         + −       − x cosec(x).d

9)

Resp.: Cln|cossec(x)−cotg(x)|+

1) x 2e 2x 2)(e 2x (e .dx 3x 4.e 10)

+ − +

Resp.: C

) 1 x e ( 3 4 ) 1 x e ln( 2 ) 2 x 2 e ln( 2 x e 2 arctg 2 9 4 + − − − + + −                

tg3x.cosx.dx

11) Resp.: Ccos(x)+sec(x)+

− −lnx ln2x 1

x

lnx.dx

12) Resp.: C

5 1 ) x (ln 2 arcsen 2 1 ) x (ln x ln

1 2 +

     + − − − − ∫ + + +

+2)[ x 2 3x 2] (x

xdx

13) Resp.:

(

)

C 2 x 6 2 x 12 2 x 6 2 x 3 2 x 2 2 x ln 12 1 2 x ln 6 3 6 6 3 6 6 + + + + − + + + − + + + − + +

∫sen2(x).cos5(x).dx )

14

Resp.: C

7 x sen 5 x sen 2 3 x

sen3 5 7

+ +

∫ 16−x2

15) Resp.: 16 x C

2 x 4 x arcsen

8  − 2 +

     +       dx x e 2x e 16

16)∫ − Resp.: C

4 e arcsen e e 16 x x x 2 +         − − − dx 4 x 2 ln x. x 3 ln 17)∫ −

Resp.: ln x 4 C

3 1 4 x ln 4 3 2 2 +       + − 3 5) 2x 2 (x dx ) 18 ∫ + +

Resp.: C

5 x 2 x 4 1 x

2+ + +

+

+ +

+1 (x 1)3 x

dx

19) Resp.: 2arctg( x+1)+C

∫ x2ln( 1−x).dx )

20 Resp.: C

6 x 12 x 18 x | 1 x | ln 6 1 x 1 ln . 3

x3 3 2 +

∫ − 2 x 1 dx 5 x

22) Resp.: C

5 ) x 1 ( 3 ) x 1 ( 2 1 x 1 2 2 2 2 +         + − − − −

∫sen5(x).3 cos(x)

23) Resp.: cos x C

16 3 x cos 5 3 x cos 4

33 4 + 3 10 3 16 +

− x )].d 3 x ( 4 tg ) 3 x ( 3 [tg

24) + Resp.: x C

3 x cos ln 3 3 x tg 3 3 x tg 3 x tg 2

3 2 3 + +

      +       −       +       dx . x 1 x 4x

25)∫ +

Resp.: C

(10)

10/13 XII ) Encontrar a primitiva F(x), para a função f(x), tal que:

1 = F(0) e ) 2 sen(x . x f(x)

1) = Resp.:

2 3 ) x cos( 2 1 ) x (

F =− 2+

4 = ) 3 F( e x + 9

2 x = f(x)

2) 3

6

π

Resp.:

9 2 ) 3 x ( arctg 9 1 ) x ( F

3 π

+ =

2 3 ) 0 F( e ) 2 .cos(x 3 x = f(x) )

3 = Resp.: 1

2 x cos 2

x sen . x ) x ( F

2 2

2

+ +

=

XIII) Determinar a função f(x):

1)

(x3−4x).f′(x).dx=x2 +C e f(0) = −2 Resp.: 2 2 x

2 x ln ) x (

f −

+ − =

2)

x4 −9.f′(x).dx=7x2 +C e f( 3 ) = 8ln3. Resp.:f(x) =7ln|x2+ x4−9|+ln3

XIV) A equação da reta tangente a uma curva no ponto (0, 2) é y = 3x + 2. Sabendo que em um ponto qualquer (x,y) da curva, f (x) = 3x2 + k (k uma constante), encontrar a equação ′ dessa curva.

Resp.:f x( ) =x3 +3x+2

XV) Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se d 2 y dx2

tg2x

= . Sabendo que a reta tangente a

essa curva no ponto (0,1) é paralela ao eixo OX, determinar a equação da mesma.

Resp.: f x( ) = −ln|cos( )|xx +

2

2 1

XVI) Determine o valor médio de cada função f, abaixo, nos intervalos indicados e o valor de x em que este ocorre.

1) f ( x) 1 1 x2

em [0,1 2

=

− ]. Resp.: π3; ππ−9

2

2) f ( x) = sen2 ( x) em [0, ].π Resp.:

4 3 , 4 ; 2

1 π π

3) f(x) = x2 – 2x + 1 em [-1, 5] Resp.: 4; -1; 3

(11)

11/13 a.

ponto O 2)

. f(x).dx 1)∫a8

Resp.: 1) 25; 2) 19/4

XVIII) Sejam as funções dt

2 t sen )

x ( F

x 0

2



      π

= e G(x)= x

1) Determine F´(x). Resp.:

      π =

2 x sen ) x ´( F

2

2) Determine os pontos x em que F(x) possui máximos locais

Resp.: x =± 2k , k ∈ N tal que k é ímpar

3) Determine FoG (x) Resp.: dt

2 t sen )

x )( G F (

x 0

2



      π =

o

4) Determine (FoG)´ (x) Resp.: x

1 2

x sen 2 1 ) x )´( G F

( 

     π =

o

XIX) Determine as derivadas das funções dadas a seguir:

dt t 1

t e F(x)

1) ∫tg(x)3

+

= Resp.:

) x ( tg 1

) x ( sec . e ) x ( F

2 ) x ( tg

+ − = ′

dt 5 t 1 F(x)

2) = ∫xx3 + Resp.: F′(x)= 1+x15.3x2 − 1+x5

XX) Sendo G definida por du dt

u ) u ( sen )

x ( G

x 3

t

2 2

3 4

∫ ∫

  

 

  

 

= , determine G´´(x).

Resp.: G′′( )x =4x−5.sen (3 x4)

XXI) Calcule

2 0

dx ) x (

f , sendo:

   

≤ ≤

≤ ≤ =

2 x 1 se , x

1 x 0 se , 2 x f(x) )

(12)

12/13 Resp.: 1)4 2 1

3

2) 1

XXII) Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:

1) y = ln(x), x = 2 e o eixo OX. .

Resp.: 2.ln(2) -1

2) x = 8 + 2y - y2, y = 1, y = 3 e x = 0. Resp.: 46 3 3) xy = 4 e x + y = 5.

Resp.: 15

2 −8ln( ) 2 4) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2 Resp.: 3

2 4 3 ln( ) − 5) y = 2x, y = 1 e y = 2/x

Resp.: 2ln(2) 4

3+

6) y = x3 – 3x, y = 2x2 Resp.: 71/6

7) y = x3, y = x2 + 2x Resp.: 37/12

08) y = 9/x, y = 9x, y = x Resp.: 9ln(3)

XXIII) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano:

1) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8.

Resp.:

(

)

  

+

− +

   

 

dy y dy dx x xdx

y y

0

2 2

-2

0

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 8

x -8 2

ou 8

4 2

8

2) Limitada pela hipérbole x a

y

b 1

2 2

2 2

− = e a reta x = 2a.

Resp.: b y dy

b a a

b

  

+

3

0

2 2 2

2

3) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 4x.

Resp.: 

  

+

2

1

2 1

0

2

4 4

2 x x dx x dx

XXIV) Calcule a área da região do plano limitada,

1) pela curva x+y2+ =1 0, pela reta tangente à essa curva no ponto A = (−5, −2 ) e pelo eixo OX.

(13)

13/13 2) pelas curvas x= y2 −3, x = y -1 e acima do eixo OX.

Resp.: 13 3 3) pelas curvas x= y2 e x = 2 - y.

Resp.: 7 3

4) pela curva x y

2 2

9 + 4 =1 e pela reta que passa pelos pontos A=(0,2) e B = (−3,0) e situada no 2o quadrante.

Resp.: 3

2 3

π

XXV) Uma partícula se desloca sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = sen2(t) m/s. Calcule o deslocamento entre os instantes t = 0 s e t = π s.

Resp.: 2

π

m

XXVI) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = 1m e x = e m, atua a força Fr(x)=ln(x).ri, dada em Newton. Determine o trabalho, em joule, realizado por Fr.

Resp.:

e 1

dx ) x

ln( = 1

XXVII) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = -1 m e x = 0 m, atua a força Fr, que aponta na direção do ponto (0, 1) e cujo módulo, dado em Newton, é igual a |Fr(x)|=x2. Determine:

1) A componente de Fr na direção de Ox.

Resp.: i

x 1

x 2 3 r

+ −

2) O trabalho realizado por Fr, dado em joule

Resp.:

− +

0

1 2

3 x 1

dx x

= 3

Figure

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