UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE F´ISICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM F´ISICA ADHEMAR RANCIARO NETO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  Foi aplicado o m´etodo num´erico de expans˜ao truncada de Taylor para a evolu¸c˜ao temporal da equa¸c˜ao de Schr¨odinger dependente do tempo em ambos os casos, enquantopara a dinˆamica das deforma¸c˜oes foram empregados m´etodos distintos (Euler e diferen¸cas finitas). No sistema (2), a associa¸c˜ao entre SAW e a intera¸c˜ao el´etron-rede destroem o fenˆomeno da localiza¸c˜ao de Anderson permitindo otransporte de carga, mesmo em n´ıveis altos de desordem.

1 INTRODU ¸ C ˜ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.1 Transporte de carga antes do advento da Mecˆ anica Quˆ antica . 13 1.3.2 Intera¸c˜ao el´etron-fˆonon e ondas ac´ usticas de superf´ıcie .

3 REDE UNIDIMENSIONAL NA PRESEN ¸ CA DE DESOR- DEM E DE ONDAS AC ´ USTICAS . . . . . . . . . . . . . . .

  32 3.1 Introdu¸ c˜ ao . 32 3.2 O Modelo .

3.3 Resultados e Discuss˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 CONCLUS ˜ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 Anexo A – ARTIGO 1: ELECTRONIC DYNAMICS UN- DER EFFECT OF A NONLINEAR MORSE INTERAC- TION AND A STATIC ELECTRIC FIELD . 47 Anexo B – ARTIGO 2: ELECTRONIC TRANSPORT IN DISORDERED CHAINS MEDIATED BY INTERACTI- ONS WITH ACOUSTIC WAVES .

1 INTRODU ¸ C ˜ AO

  A primeira investiga¸c˜ao consistiu em uma cadeia n˜ao harmˆonica sob atua¸c˜ao conjunta de um campo el´etrico est´atico e do acoplamento el´etron-rede; neste tipo sistema n˜aolinear, a presen¸ca de soliton na rede suscita uma dinˆamica eletrˆonica caracter´ıstica, com um consider´avel espectro de novos fenˆomenos. O outro estudo estribou-se em uma cadeia harmˆonica com desordem local n˜ao cor- relacionada na distribui¸c˜ao atˆomica, al´em da presen¸ca de intera¸c˜ao el´etron-fˆonon e daincidˆencia de ondas harmˆonicas de deforma¸c˜oes da rede.

1.1 Transporte de carga antes do advento da Mecˆ

a- nica Quˆ antica

1.1.1 Modelo de Drude

  Isto bastava para tal representa¸c˜ao, visto que, o estudioso considerou um metal como uma uni˜ao de elementos em que, somente aos el´etrons de valˆencia era permitido o movimentono arranjo. Logo, a energia de transla¸c˜ao do sistema corresponde a 3 k T , onde k ´e a constante de Boltzmann e T ´e a temperatura absoluta.

2 Em s´ıntese, as suposi¸c˜oes da teoria s˜ao as seguintes:

  Para um el´etron de massa m, que tenha acabado de sofrer uma colis˜ao, com velocidade de sa´ıda v , e que esteja sob a influˆencia de um campo el´etrico E, tem sua velocidades final, em um tempo t antes da colis˜ao seguinte, igual aeEt vf = v s (1.3)− m Por se tratar de um g´as de el´etrons, a dire¸c˜ao da velocidade de sa´ıda ´e aleat´oria, portanto, sua m´edia ´e zero. Como o tempo m´edio entre colis˜oes ´e τ , a velocidade m´ediado conjunto de portadores de carga ´e: eEτv =< v f(1.4) >= − mSubstituindo ( 1.4 ) em ( 1.2 ), obt´em-se: 2 ne τ j E= (1.5) mDeste modo, ficou demonstrada a lei de Ohm a partir do modelo de Drude, com2 ne τmσ σ = .

1.2 Teoria quˆ antica e transporte eletrˆ onico

1.2.1 Modelo de Sommerfeld

  Em linhas gerais, o cientista utilizou a equa¸c˜ao de Schr¨odinger em conjunto com o princ´ıpiode exclus˜ao de Pauli (dois ou mais el´etrons n˜ao podem ocupar o mesmo estado quˆantico) para estudar o transporte de carga e outras propriedades. 1.2.1.1 O estado fundamental do g´ as de el´ etrons livresDe acordo com as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, ´e poss´ıvel representar o sistema por meio de uma rede de pontos no espa¸co de vetores de onda (espa¸co k).

3 L

  Logo, o n´ umero de pontos por unidade de volume ´e igual a ( ) . O raio desta (k ) ´e o vetor de onda F de Fermi e est´a associado ao estado em que o el´etron est´a alocado na superf´ıcie da esfera.

3 N = πk

  2 (1.10) F 3 2πRearranjando a equa¸c˜ao ( 1.10 ), ´e poss´ıvel encontrar o raio e a energia de Fermi.21k = (3nπ) F 2 ~21 E F = (3nπ) (1.11)2m N N onde n = = 3 ´e o n´ umero de el´etrons por unidade de volume no espa¸co m´etrico. Assim, o campo el´etrico faz com que todos= k + dk = k − ~ os el´etrons mudem de estado ao mesmo tempo, mantendo a configura¸c˜ao, no espa¸co k, naforma da esfera de Fermi com o centro deslocado para o novo valor m´edio de vetores de onda k .

1.2.2 Modelo de Bloch

  Emseu modelo, Bloch ( 1929 ) incorporou o fato de que a periodicidade da rede possui tamanho de mesma ordem do comprimento de onda de de Broglie do el´etron de Sommerfeld, amecˆanica quˆantica e a intera¸c˜ao el´etron-´ıon. ( 1.15 ) podem ter a forma de uma onda plana multiplicada por uma fun¸c˜ao com a periodicidade da rede ik·r ψ (r) = e u (r) (1.16) nk nk onde u (r) = u (r + R) para todo R na rede de Bravais e n ´e o ´ındice de bandas, nk nk configurando a existˆencia de muitos autoestados independentes para cada vetor de ondak.

1.2.3 Modelo de Anderson

  A representa¸c˜ao do sistema pode ser obtida por meio de um hamiltoniano para o el´etron atuando em uma cadeia r´ıgida de ´ıons, em que somente est˜ao presentes os potenciaisaleat´orios dos elementos de rede e as energias cin´eticas de transla¸c˜ao (hopping) entre s´ıtios vizinhos. (1.18) e i i i,j j i ii i6=j † onde ǫ ´e o potencial aleat´orio do elemento i, D e D s˜ao, respectivamente, os operadores ii i de aniquila¸c˜ao e de cria¸c˜ao do el´etron no locus i da rede e V i,j ´e a integral de transferˆencia(ou amplitude de hopping) entre os s´ıtios i e j, que decresce rapidamente `a medida que a distˆancia entre os ´ıons aumenta.

i 2V cos(k), o que corresponde `a banda crstalna da teora de Bloch

  A ideia ´e a de que, em T = 0, a condutˆancia G de um sistema desordenado d depende de L , onde L ´e a escala de comprimento do sistema e d ´e o n´ umero de dimens˜oes do mesmo. As grandezas caracter´ısticas para o estudo do comportamento dos materiais proposta dE por Anderson, W e V , podem ser mapeadas, respectivamente, em , que ´e o espa¸camento dN m´edio entre os n´ıveis de energia e em ∆E, representando a m´edia geom´etrica da flutua¸c˜ao dos n´ıveis de energia causada pela substitui¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno peri´odicas poraperi´odicas.

1.3 Efeitos de intera¸ c˜ ao

  Nesta se¸c˜ao foram apresentados outros fatores, distintos das rela¸c˜oes j´a estudadas entre el´etrons e ´ıons, que tamb´em interferem no processo de transporte de carga. A lista n˜ao ´eexaustiva, contudo, ´e suficiente para a compreens˜ao dos sistemas estudados ao longo da obra.

1.3.1 Campo el´ etrico

  1.36 , a taxa de varia¸c˜ao de k ´e igual `a for¸ca el´etrica dividida por ~, o que leva a eF ~Portanto, o valor de k aumenta uniformemente com t. π π , ondeEm um cristal unidimensional, o intervalo permitido de valores de k ´e , − a a π a ´e o per´ıodo do potencial da rede.

1.3.2 Intera¸ c˜ ao el´ etron-fˆ onon e ondas ac´ usticas de superf´ıcie

  Aplicando o desenvolvimento de ( 1.38 ) de acordo com Holstein ( 1959a ), Dias ( 2011 ), NX 2 A 4 ∗ j j+1 j−1 hψ|H|ψi = |a | j 2 2M ω j=1 e a equa¸c˜ao n˜ao linear de Schr¨odinger ′ 2 i~a (t) = J[a (t) + a a (t), (1.41) j+1 j−1 j j2 j (t)] − χ|a (t)| A2 onde χ = M ω Outros trabalhos, por sua vez, visaram a estudar as intera¸c˜oes el´etron-fˆonon inserindo acoplamento via termo de hopping. ( 2007 ), q ´e o deslocamento do ente localizado no s´ıtio n n, C representa a energia t´ıpica de liga¸c˜ao e C ´e um parˆametro de alcance do referido 12 potencial.2p n Cada elemento n da rede possui energia cin´etica, dada por n e, desta forma, com 2m 2 n oX 2 p n 1 2 n n−1 1 − exp [−C − qHlattice = 2m n n onde p ´e o momentum.

1 Hlattice → Hlattice/(2C

  Por sua vez, o el´etron livre, que percorre a rede, tem seu hamiltoniano composto de HENNING et al.dois termos ( , 2007 )X † †X [(n − N/2)eE]D n n† n nem que D e D s˜ao, respectivamente, os operadores de cria¸c˜ao e de aniquila¸c˜ao para o n n el´etron no s´ıtio n, eE representa a for¸ca el´etrica que atua sobre a carga e e V ´e a n+1,n amplitude de hopping. ( 1996 ), Jr et al.( 2015 ), a equa¸c˜ao da dinˆamica de rede foi resolvida utilizando o m´etodo de Euler de primeira ordem enquanto que a parte eletrˆonica, por se tratar de um sistema com el´etronsinteragentes, foi resolvida por meio de um operador de evolu¸c˜ao baseado no c´alculo de uma cole¸c˜ao de autovalores e de autovetores de el´etrons isolados a partir do hamiltonianodo problema.

1 Bloch-like oscillations

  Parac F 6= 0, passa a existir a possibilidade de localiza¸c˜ao do pacote de onda na origem da rede, pois h´a um potencial linear que aprisiona o el´etron em torno da posi¸c˜ao inicial propiciandoas oscila¸c˜oes de Boch. O diagrama da figura 2.7 limitou-se a valores de F ≤ 1, 5, pois tanto na regi˜ao de mudan¸ca de regime de dinˆamica do el´etron para α = 1, 75 (1.5 < F < 2) quanto noestado de aprisionamento do pacote de onda na posi¸c˜ao inicial (F ≥ 2), somente foi E poss´ıvel obtida precis˜ao adequada nos c´alculos para valores de acoplamento at´e α ≈ 2.

2 X

  Destarte, a equa¸c˜ao de Schr¨odinger, sob a forma de vetores de estado ´e descrita por|Φ(∆t)i = U(∆t)|Φ(t = 0)i, onde U(∆t) ´e o operador de evolu¸c˜ao temporal e pode ser MOURA representado pela expans˜ao truncada em n ( , 2011 ): o o nX l ∆t) e (−iH∆t) = 1 + (3.7) e U (∆t) = exp (−iH l! Para minimizar os efeitos de borda, foi constru´ıda uma cadeia autoexpandida na qual a regra de inser¸c˜ao de elementos foi estabelecida do seguinte modo: se tanto a vibra¸c˜aoatˆomica quanto a probabilidade de se encontrar o el´etron no lado direito da rede fossem − 20 superiores a 10 , ent˜ao seriam criados 10 novos s´ıtios `a direita desta.

4 CONCLUS ˜ AO

  O cap´ıtulo 3 cont´em o estudo da dinˆamica de um el´etron inicialmente localizado em uma rede harmˆonica com desordem n˜ao correlacionada e com acoplamento el´etron-fˆonon,sob a influˆencia de uma onda ac´ ustica que atua sobre as deforma¸c˜oes da cadeia. Os formalismos da rede e do el´etron foram apresentados de modo an´alogo ao retratado no Por meio de m´etodos num´ericos empregados nas express˜oes relativas `a progress˜ao temporal do sistema, foi verificado que o acoplamento el´etron rede e o bombeamentoda onda ac´ ustica, em a¸c˜ao conjunta, anularam o fenˆomeno da localiza¸c˜ao de Anderson.

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