Aula05 VA Dist Binomial e Dist Normal IFBA

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  Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Probabilidade e Estatística Gustavo Costa 2014.2

  Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade (Binomial e Normal) Variáveis aleatórias (VA)  Uma variável aleatória X associa é uma

  associação (função) dos elementos do espaço amostral a números.

   O acaso tem influência em seus valores (Experimento aleatório).  Exemplo: lançamento de 3 moedas

  • – resultados possíveis:

   KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC. Vamos definir a VA X como a quantidade de K (caras), então: 2  X(KKK)=3, X(KKC)=2, X(CCC)=0.

  Tipos  Discreta

   Quando seus valores são números inteiros (contagem).  Exemplos:  X: a quantidade de resultados pares em 20 lançamentos  X: a quantidade de peças defeituosas da produção de de um dado;  X: a quantidade de doadores de sangue na turma. uma indústria;

   Contínua  Quando seus valores são números reais (qualquer número).

   Exemplos:  X: Quantidade de energia consumida diariamente por uma empresa; 3 X: Peso de um equipamento.

  Probabilidade em VA  Para VA discretas a probabilidade que procuramos, em geral, é do tipo: P(X=x )

  ◦ Ex.: Probabilidade de se obter 2 caras no

  ◦ lançamento de 3 moedas.

   Para VA contínuas buscamos a probabilidade do valor da variável pertencer a um intervalo:

  P(x <X<x ) ◦

1 Ex.: Probabilidade do peso de uma pessoa estar

  ◦ 4 entre 60kg e 70kg.

   Observar os valores possíveis de uma VA X e suas respectivas probabilidades:

  ◦

  P(x )

   Lançamento de 3 moedas: ◦ KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC.

  ◦

  X=3, X=2, X=2, X=2, X=1, X=1, X=1, X=0

  ◦

  P(X=3)=1/8

  P(X=2)=3/8

   n i i 1

  ◦

  P(X=1)=3/8

  ◦

  P(X=0)=1/8

   P(X)=1

   P(X=x i

  ) 0

  P(x ) 1  i

   

  ◦

  (ii)

  x

  1

  x

  2

  x

  

3

...

  ◦

  P(x

  1

  ) P(x

  2

  ) P(x

  3 )...

   Devem ocorrer: ◦

  (i)

  ◦

5 Distribuição de Probabilidade

6 Exemplo

  • – B(n,p)
  • – características:

  7 Distribuição Binomial

   Modelo para distribuição de probabilidades

  ◦ Consiste em n ensaios, n tentativas ou n eventos idênticos;

  ◦ Cada ensaio só pode resultar em dois resultados (“sucesso” e “fracasso”) – binário;

  ◦ A VA é o número de sucessos (s) em n ensaios;

  ◦ A probabilidade de ocorrer sucesso é p e o valor de p é o mesmo para todos os ensaios (reposição);

  ◦ Os ensaios são independentes (o resultado de um não interfere no outro);

  ◦ Sucesso (p) e fracasso (q) são exaustivos e mutuamente exclusivos: p + q = 1.

  • –;

  8 Exemplos de VA binárias  Cara (K) e Coroa (C);  Indivíduos RH+ e RH

   Sexo Masculino e Feminino;  Peça defeituosa ou não;

   Satisfaz determinada característica ou não.

  Exemplo Considere a fabricação de 3 peças. O

   número de defeituosas (df) é nossa VA.  P(df)=p e P(ap)=q.

  3 P(X=0)=P(ap,ap,ap)=q.q.q=q ◦

  P(X=1)=P(df,ap,ap)+P(ap,df,ap)+P(ap,ap,df)

  ◦

  2

  =p.q.q+q.p.q+q.q.p=3pq

  2 P(X=2)=3p q ◦

  3 P(X=3)=p ◦

9 Fórmula para Probabilidade

   Podemos generalizar o exemplo anterior e obter uma fórmula (modelo) para o cálculo de probabilidades numa distribuição binomial (obter s sucessos em n ensaios):

    n s n s 

  ◦ P(X  s) p q    s   n   n!

    (número binomial - nCr)

    s s!(n  s)! 10  

  Retomando o exemplo Considere a fabricação de 3 peças. O

   número de defeituosas (df) é nossa VA.  P(df)=p e P(ap)=q.

  2 ◦

  3   2 3 2 

  P(X 2)   p q  3p q   2  

11 Exemplos

   Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas de

  maneiras independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.

   Dois times de basquete, A e B, disputam 6 jogos

  entre si. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.

   A probabilidade de um atirador acertar o alvo é

  de 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a 12 probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?

  Exemplos Em um teste clínico da droga Viagra, verificou-se que 4% das

   pessoas no grupo estudado tiveram, dores de cabeça.

  Calcule a probabilidade de que entre oito indivíduos usuários de ◦ Viagra, três tenham apresentado dores de cabeça.

  Calcule a probabilidade de que entre oito usuários de Viagra, ◦ selecionados aleatoriamente, todos tenha dores de cabeça.

   Com base em dados passos, foi verificado que existe uma probabilidade de 72,30% para que um vôo da GOL chegue no horário. Selecionados 6 vôos da GOL, determine o que se pede:

  Calcule a probabilidade de que pelo menos cinco vôos da GOL ◦ cheguem no horário. È não-usual que pelo menos cinco dos deis vôos da GOL cheguem no horário? Calcule a probabilidade de que mais de um vôo da GOL chegue no

  ◦ horário. È não-usual NÃO se obter mais de um de seis vôos da Gol no horário? Calcule a probabilidade de que pelo menos um vôo da GOL chegue

  ◦ no horário. È não-usual NÂO se obter pelo menos um de seis vôos 13 da GOL no horário?

  Medidas descritivas  A partir de uma distribuição binomial podemos calcular o Valor esperado de X ou sua Esperança Matemática, ou, simplesmente, sua Média E(X), pela expressão:

  E(X)=µ=n.p

  ◦  A variância e o desvio padrão são dados por: 2

  n p q   e   n p q     14

  Exemplo Um exame é constituído de 100 testes

   com 5 opções, onde apenas uma é correta.

  Um aluno que nada sabe sobre a matéria do

  ◦

  exame acerta, em média, quantos testes? Qual a variância e o desvio padrão desta

  ◦

  distribuição? Qual a probabilidade deste aluno acertar 40

  ◦ 15 testes? Distribuição Normal

  Quando usamos ? Quando estivermos desejando conhecer a probabilidade de uma variável assumir um valor em um determinado intervalo.

  N(0,1) – Normal Padrão _ x  x Z  s

  Onde:

  • x é o valor intervalar;
  • x (barra) é a média;
  • s é o desvio padrão;
  • Z é a probabilidade do valor intervalar e a média.

  Exemplo

  Uma empresa de fabricação de esmaltes apresenta uma produção normalmente distribuída, com média igual a 12g e desvio 4g.

  Freqüência Variável X = 12 = 4

  a) Qual a probabilidade de um frasco escolhido ao acaso apresentar um peso entre 12 e 14,56 g?

  Resolução Freqüência Variável X

  12 = 4

  14,56

  Resolução   

   x Z

  Probabilidade em tabela Z Z  

  14,56 12

Z

  4 Z = +0,64 0,64 Freqüência Variável X

  12 = 4

  14,56 Tabela Z Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

  Para Z =0,64

  0,2389

      x

  Z Freqüência Variável X

  12 = 4

    17 12 Z

  4 Z = +1,25 1,25 b) Entre 12 e 17 gramas. Exemplo Na Tabela Z

17 Probabilidade em tabela Z Z

  0,05

  Z 0,04 0,05 0,06 0,00

  0,0160 0,0199 0,0239

  Z = +1,25 1,20

  0,0557 0,0596 0,0636 ... ... ... ...

  1,10

  0,3729 0,3749 0,3770

  1,20

  0,3925 0,3944 0,3962

  1,30

  0,4099 0,4115 0,4131 Área = 39,44%

  0,10

      x

  Z Freqüência Variável X

  12 = 4

    6 12 Z

  4 Z = -1,5

6 Probabilidade em tabela Z Z

  • -1,5 c) Entre 6 e 12 gramas. Exemplo Na tabela Z

  Z 0,00 0,01 0,02 0,00 (0,0000) 0,0040 0,0080 0,10

  0,0398 0,0438 0,0478

  1,50 0,4332 0,4345 0,4357

  Z = -1,50

  1 ,5 0,00

  Área = 43,32%

  Exemplo

d) Entre 11 e 15

  11 12  gramas. Z    0,25

  4 Freqüência Área = 9,87%

   = 4 15 12  Z    0,75

  4 Área = 27,34% Área total Variável X

  12 37,21%

  11

  15 -0,25 +0,75 Z Exemplo 13 12  e) Entre 13 e 17 gramas. Z    0,25

  4 Freqüência Área = 9,87%

   = 4 17 12  Z    1,25

  4 Área = 39,44% Área diferença Variável X

  13

  12 29,57%

  17 0,25 1,25 Z

  Exemplo

  1. Um teste padronizado de escolaridade tem

  distribuição normal com média 100 e desvio

  padrão 10. determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota. a)Maior que 120; b)Entre 85 e 115;

  2. Os pesos de 600 estudantes são normalmente

  distribuídos com média 65,3 kg e desvio

  padrão 5,5 Kg. Determine o número de estudantes que pesam: a)Entre 60 e 70 Kg b)Mais que 63,2 kg.

  Exemplo

3. Os tempos de gravidez são normalmente

  distribuídos , com uma média de 268 dias e um desvio-padrão de 15 dias.

  A) Um uso clássico da distribuição normal é inspirado em uma carta para “Dear Abby” na qual uma mulher afirmava ter dado a luz 308 dias após a visita do seu marido, que estava em serviço na marinha. Dada essa informação, ache a probabilidade de que uma gravidez durar 308 dias ou mais. O que esse resultado sugere?

  B) Se um bêbe é classificado como prematuro no caso da duração da gravidez estar dentro dos 4% tempos inferiores, ache o tempo de gravidez que separa os bêbes prematuros dos demais. Bêbes prematuros requerem tratamentos especiais, e esse resultado pode ser bastante útil para os administradores do Hospital no planejamento de tais cuidados.

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