Aula05 VA Dist Binomial e Dist Normal IFBA

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia

Probabilidade e

Estatística

Gustavo Costa

2014.2

Variáveis Aleatórias e

Distribuição de Probabilidade

(Binomial e Normal)

Variáveis aleatórias (VA)

 Uma variável aleatória X associa é uma

associação (função) dos elementos do espaço amostral a números.

 O acaso tem influência em seus valores (Experimento aleatório).

 Exemplo: lançamento de 3 moedas – resultados possíveis:

 KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC. Vamos definir a VA X como a quantidade de K (caras), então:

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Tipos

 Discreta

 Quando seus valores são números inteiros (contagem).

 Exemplos:

 X: a quantidade de resultados pares em 20 lançamentos

de um dado;

 X: a quantidade de peças defeituosas da produção de

uma indústria;

 X: a quantidade de doadores de sangue na turma.

 Contínua

 Quando seus valores são números reais (qualquer número).

 Exemplos:

 X: Quantidade de energia consumida diariamente por

uma empresa;

 X: Peso de um equipamento.

Probabilidade em VA

 Para VA discretas a probabilidade que procuramos,

em geral, é do tipo: ◦ P(X=x0)

◦ Ex.: Probabilidade de se obter 2 caras no lançamento de 3 moedas.

 Para VA contínuas buscamos a probabilidade do valor da variável pertencer a um intervalo:

◦ P(x0<X<x1)

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Distribuição de Probabilidade

Observar os valores possíveis de uma VA

X e suas respectivas probabilidades:

◦ x1 x2 x3... ◦ P(x1) P(x2) P(x3)... 

Devem ocorrer:

◦ (i)

◦ (ii)

n i i 1

P(x ) 1

i

P(x ) 0

Exemplo

Lançamento de 3 moedas:

◦ KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CKC, CCK, CCC. ◦ X=3, X=2, X=2, X=2, X=1, X=1, X=1, X=0 ◦ P(X=3)=1/8

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Distribuição Binomial

B(n,p)

 Modelo para distribuição de probabilidades – características:

◦ Consiste em n ensaios, n tentativas ou n eventos idênticos;

◦ Cada ensaio só pode resultar em dois resultados

(“sucesso” e “fracasso”) – binário;

◦ A VA é o número de sucessos (s) em n ensaios;

◦ A probabilidade de ocorrer sucesso é p e o valor de

p é o mesmo para todos os ensaios (reposição);

◦ Os ensaios são independentes (o resultado de um não interfere no outro);

◦ Sucesso (p) e fracasso (q) são exaustivos e mutuamente exclusivos: p + q = 1.

Exemplos de VA binárias

Cara (K) e Coroa (C);

Indivíduos RH+ e RH

;

Sexo Masculino e Feminino;

Peça defeituosa ou não;

Satisfaz determinada característica ou

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Exemplo

Considere a fabricação de 3 peças. O

número de defeituosas (df) é nossa VA.

P(df)=p e P(ap)=q.

◦ P(X=0)=P(ap,ap,ap)=q.q.q=q3

◦ P(X=1)=P(df,ap,ap)+P(ap,df,ap)+P(ap,ap,df) =p.q.q+q.p.q+q.q.p=3pq2

◦ P(X=2)=3p2q

◦ P(X=3)=p3

Fórmula para Probabilidade

Podemos generalizar o exemplo anterior

e obter uma fórmula (modelo) para o

cálculo de probabilidades numa

distribuição binomial (obter s sucessos

em n ensaios):

 (número binomial - nCr) 

 

  

 

s n s

n

P(X

s)

p q

s

     

n n!

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Retomando o exemplo

Considere a fabricação de 3 peças. O

número de defeituosas (df) é nossa VA.

P(df)=p e P(ap)=q.

 

 

 

2 3 2 2

3

P(X 2)

p q

3p q

2

Exemplos

 Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas de

maneiras independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.

 Dois times de basquete, A e B, disputam 6 jogos entre si. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.

 A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a

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Exemplos

 Em um teste clínico da droga Viagra, verificou-se que 4% das pessoas no grupo estudado tiveram, dores de cabeça. ◦ Calcule a probabilidade de que entre oito indivíduos usuários de

Viagra, três tenham apresentado dores de cabeça.

◦ Calcule a probabilidade de que entre oito usuários de Viagra, selecionados aleatoriamente, todos tenha dores de cabeça.

 Com base em dados passos, foi verificado que existe uma probabilidade de 72,30% para que um vôo da GOL chegue no horário. Selecionados 6 vôos da GOL, determine o que se pede:

◦ Calcule a probabilidade de que pelo menos cinco vôos da GOL cheguem no horário. È não-usual que pelo menos cinco dos deis vôos da GOL cheguem no horário?

◦ Calcule a probabilidade de que mais de um vôo da GOL chegue no horário. È não-usual NÃO se obter mais de um de seis vôos da Gol no horário?

◦ Calcule a probabilidade de que pelo menos um vôo da GOL chegue no horário. È não-usual NÂO se obter pelo menos um de seis vôos da GOL no horário?

Medidas descritivas

A partir de uma distribuição binomial

podemos calcular o Valor esperado de X

ou sua Esperança Matemática, ou,

simplesmente, sua Média E(X), pela

expressão:

◦ E(X)=µ=n.p

A variância e o desvio padrão são dados

por:

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Exemplo

Um exame é constituído de 100 testes

com 5 opções, onde apenas uma é

correta.

◦ Um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame acerta, em média, quantos testes? ◦ Qual a variância e o desvio padrão desta

distribuição?

◦ Qual a probabilidade deste aluno acertar 40 testes?

Distribuição Normal

Quando usamos ?

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N(0,1)

Normal Padrão

_

x

x

Z

s

Onde:

•x é o valor intervalar; •x (barra) é a média; •s é o desvio padrão;

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Exemplo

Uma empresa de fabricação de esmaltes apresenta uma produção normalmente distribuída, com média igual a 12g e desvio 4g.

Freqüência

Variável X

= 12

= 4

a) Qual a probabilidade de um frasco escolhido ao

acaso apresentar um peso entre 12 e 14,56 g?

Resolução

Freqüência

Variável X

12

= 4

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Resolução

 

x

Z

Probabilidade

em tabela Z

Z

14,56 12

Z

4

Z = +0,64

0,64

0

Freqüência

Variável X

12

= 4

14,56

Tabela Z

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

Para Z =0,64

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 

x

Z

Freqüência

Variável X

12

= 4

17

Probabilidade

em tabela Z

Z

17 12

Z

4

Z = +1,25

1,25

0

b) Entre 12 e 17 gramas.

Exemplo

Na Tabela Z

Z = +1,25

1,20

0,05

Z 0,04 0,05 0,06

0,00 0,0160 0,0199 0,0239

0,10 0,0557 0,0596 0,0636

... ... ... ...

1,10 0,3729 0,3749 0,3770

1,20 0,3925 0,3944 0,3962

1,30 0,4099 0,4115 0,4131

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 

x

Z

Freqüência

Variável X

12

= 4

6

Probabilidade

em tabela Z

Z

6 12

Z

4

Z = -1,5

-1,5

0

c) Entre 6 e 12 gramas.

Exemplo

Na tabela Z

Z 0,00 0,01 0,02

0,00 (0,0000) 0,0040 0,0080

0,10 0,0398 0,0438 0,0478

1,50 0,4332 0,4345 0,4357

Z = -1,50

1

,5

0

0,00

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d) Entre 11 e 15 gramas.

Z

11 12

 

0,25

4

Freqüência

Variável X

12

= 4

11

Z

15 12

 

Z

0,75

4

-0,25

0

15

+0,75

Área = 9,87%

Área = 27,34%

Área total

37,21%

Exemplo

e) Entre 13 e 17 gramas.

Z

13 12

 

0,25

4

Freqüência

Variável X

12

= 4

13

17 12

 

Z

1,25

4

17

Área = 9,87%

Área = 39,44%

Área diferença

29,57%

Z

0,25

0

1,25

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1. Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota.

a)Maior que 120;

b)Entre 85 e 115;

2. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio

padrão 5,5 Kg. Determine o número de estudantes que pesam:

a)Entre 60 e 70 Kg

b)Mais que 63,2 kg.

Exemplo

Exemplo

3. Os tempos de gravidez são normalmente distribuídos, com uma média de 268 dias e um desvio-padrão de 15 dias.

A) Um uso clássico da distribuição normal é inspirado em

uma carta para “Dear Abby” na qual uma mulher

afirmava ter dado a luz 308 dias após a visita do seu marido, que estava em serviço na marinha. Dada essa informação, ache a probabilidade de que uma gravidez durar 308 dias ou mais. O que esse resultado sugere? B) Se um bêbe é classificado como prematuro no caso da

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