Zajęcia 15 października - lektura uzupełniająca

Livre

0
0
15
9 months ago
Preview
Full text

  Grzegorz Lissowski

UŻYTECZNOŚCI INDYWIDUALNE

  Racjonalne preferencje można reprezentować za pomocą liczb, dla ujednolicenia i uproszczenia zapisu, ale także dla określenia ich intensywności. W zależności od założenia o poziomie pomiaru intensywności preferencji liczby przyporządkowane alternatywom będą interpretowane jako użyteczności porządkowe (tj. wyniki pomiaru intensywności preferencji na skali porządkowej) lub jako użyteczności kardynalne (tj. wyniki pomiaru intensywności preferencji na skali przedziałowej). W pierwszym wypadku liczby przypisane alternatywom ułatwiają jedynie ich porównywanie, natomiast w drugim – umożliwiają także porównywanie intensywności preferencji między parami alternatyw. Użyteczności kardynalne są potrzebne dla podejmowania decyzji w warunkach niepewności, ryzyka i gry strategicznej, natomiast użyteczności porządkowe są przydatne przy podejmowaniu decyzji w warunkach pewności, a niekiedy także są wystarczające dla podejmowania decyzji w warunkach niepewności i w niektórych grach strategicznych.

1. Użyteczności porządkowe

  P rzypisanie każdej alternatywie liczby rzeczywistej w taki sposób, aby relacji mocnej preferencji odpowiadała relacja większości między tymi liczbami, a relacji indyferencji – relacja równości między nimi, nazywamy użytecznościami porządkowymi. Warunkiem ko niecznym, aby takie przypisanie było możliwe jest racjonalność relacji preferencji. Oczywiste jest na przykład, że pogwałcenie warunku przechodniości uniemożliwia przypisanie alternatywom liczb, gdyż relacja większości między liczbami jest przechodnia.

  Jak o przykład rozważmy racjonalną relację preferencji przedstawioną w postaci następującego uporządkowania preferencyjnego: a y

  • – z x b – c – w. Dla t ego przykładu użyteczności porządkowe mogłyby być następujące:

    u (a)=90, u(y)=u(z)=45, u(x)=30, u(b)=u(c)=u(w)=0.

  Jednak równie dobrą reprezentacją tej preferencji byłyby następujące: (a)=3, u(y)=u(z)=2, u(x)=1, u(b)=u(c)=u(w)=-1,

  u

  a także każde inne, które można byłoby uzyskać w wyniku rosnącego przekształcenia monotonicznego (tj . zachowującego uporządkowanie alternatyw). Ta druga reprezentacja preferencji ma nawet pewną przewagę nad pierwszą – nie sugeruje, że liczby te zdają sprawę z intensywności preferencji.

  Porządkowa funkcja użyteczności.

Porządkową funkcją użyteczności będziemy nazywać funkcję rzeczywistą u określoną na

  zbiorze alternatyw A

  u

  : A →ℝ spełniająca warunek: x,yA: u(x)≥u(y) ↔ x≿y.

  Jeżeli zbiór jest skończony, to określona na nim relacja słabego porządku ma zawsze reprezentację liczbową w postaci użyteczności porządkowych. Jednak gdy jest on nieskończony i nieprzeliczalny, to nie wszystkie preferencje mają taką reprezentację (np. preferencje leksykograficzne

  , tj. gdy alternatywy są oceniane według kolejnych składowych, przy czym 1 następna składowa uwzględniana jest dopiero wtedy, gdy poziomy poprzedniej są identyczne ).

2. Użyteczności kardynalne Dwa podejścia

  Pomiar intensywności preferencji wobec alternatyw należących do pewnego zbioru A na skali mocniejszej niż skala porządkowa wymaga sformułowania teorii tej własności oraz posiadania dodatkowych informacji o relacji preferencji, które nie ograniczają się do porównań par alternatyw z tego zbioru lub ich uporządkowania od najwyżej do najniżej ocenianej.

  Takimi dodatkowymi informacjami mogą być:

  • porównania różnic między parami alternatyw bądź też • porównania loterii określonych na tym zbiorze alternatyw.

  Aksjomatyczne konstrukcje użyteczności kardynalnych wykorzystywały jeden bądź drugi typ informacji.

  Porównania różnic między parami alternatyw, tj. oceny, czy różnica między daną parą alternatyw jest większa, mniejsza lub taka sama jak różnica między inną parą alternatyw, były podstawą aksjomatycznej konstrukcji przedstawionej przez Davida H. Krantza, R. Duncana Luce, Patricka Suppesa i Amos a Tversky’ego w monografii Foundations of

  Measurement (1971).

  Porównania loterii stanowiły podstawę wielu aksjomatyzacji użyteczności kardynalnych. 1 n n Zakładają one, że oprócz preferencji wobec samych alternatyw, dysponujemy =(1/n, 0) i y =(0, 1) y  (0,1) lim x  (0,0). n n

  Przykładem może być: x . Dla każdego n: x≻y, lecz lim n  n  również preferencjami wobec loterii, w których wynikami są alternatywy. Pierwszą i najważniejszą aksjomatyzację przedstawili John von Neumann i Oskar Morgenstern w fundamentalnej monografii Theory of Games and Economic Behavior (1947). W artykule tym ograniczymy się do przedstawienia tego drugiego podejścia.

  Użyteczności w sytuacjach ryzykownych Badania nad podejmowaniem decyzji w sytuacji ryzyka rozpoczęto w XVIII wieku.

  Francuski arystokrata zwrócił się do matematyków z prośbą o radę, jak ma grać w gry hazardowe.

  Aby zilustrować tę sytuację rozważmy najprostszy przykład. Niech gra polega na rzucie rzetelną monetą (tj. taką, że prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki są jednakowe, równe 0,5). Jeżeli gracz poprawnie przewidzi wynik rzutu, to otrzymuje wypłatę równą x. W przeciwnym wypadku nie wygrywa nic. Jednak za udział w grze musi zapłacić stawkę równą y. Pytanie: na jakich warunkach może zdecydować się na udział w tej grze? Odpowiedź polega ona na obliczeniu wartości oczekiwanej wypłaty, która jest równa: 0,5x + 0,5

   y. Jeżeli będzie ona większa od 0 (ma to miejsce, gdy x>y), to można wziąć udział w grze.

  Rozwiązanie jednak nie zawsze jest tak proste.

  W 1713 roku Nicolaus Bernoulli sformułował problem, który znany jest obecnie jako gra lub paradoks petersburski.

  Opis tego problemu jest następujący. „Piotr rzuca monetą tak

  

długo, aż wypadnie orzeł. Zgadza się dać Pawłowi jeden dukat, jeżeli orzeł wypadnie za

pierwszym razem; dwa dukaty, gdy orzeł wypadnie za drugim razem; cztery – gdy wypadnie

za trzecim; osiem

  • – gdy wypadnie za czwartym; i tak dalej, więc z każdym dodatkowym

    rzutem liczba dukatów, które musi zapłacić, jest podwojona. Załóżmy, że szukamy wartości

    oczekiwanej wypłaty, jaką otrzyma Paweł.” W liście, który Nicolaus Bernoulli napisał m.in.

  • 2

      do swojego kuzyna Daniela Bernoulliego , stwierdza, że wartość oczekiwana wypłaty Pawła jest nieskończenie wielka. Dodaje jednak, że każdy rozsądny człowiek z przyjemnością odsprzedałby udział Pawła w tej grze za dwadzieścia dukatów. Jakie rozwiązanie tego paradoks u zaproponował Daniel Bernoulli?

      Wartość oczekiwana wypłaty równa się sumie iloczynów wartości wypłaty i p ), przy czym sumowanie przebiega przez prawdopodobieństwa jej otrzymania, tj. E(X)=x j j wszystkie 2 możliwe wartości wypłat. W opisanej grze pierwsza wypłata, gdy wynikiem

      Daniel Bernoulli, podobnie jak Nicolaus Bernoulli, pochodził ze znanej szwajcarskiej rodziny wybitnych matematyków. W 1738 roku napisał w Petersburgu artykuł po łacinie, w którym przedstawił problem

    sformułowany przez Nicolausa i propozycję jego rozwiązania. Artykuł ten został przetłumaczony na j. angielski Nicolausa Bernoulliego

    i opublikowany w czasopiśmie „Econometrica” dopiero w 1954 roku. Powyższy opis problemu pochodzi z listu , którego fragment został przytoczony w tym artykule (tłumaczenie własne). pierwszego rzutu będzie orzeł, wynosi 1, a prawdopodobieństwo jej otrzymania ½; druga wypłata, gdy orzeł wypadnie dopiero za drugim razem, wynosi 2, a prawdopodobieństwo jej otrzymania ¼; trzecia – 4 z prawdopodobieństwem 1/8 itd. Można to zapisać następująco. jj nn 1 1 1 1 1 1 1 E(X) 2 ( )

      1

      2 4 ... 2 ( ) ...              2 2 4 8 2

       j 1 1 1 1 1 ... ....

              2 2 2 2 Wartość oczekiwana wypłaty jest więc nieskończona.

      Daniel Bernoulli wyjaśnia paradoks tym, że właściwą zmienną, którą powinno się uśredniać, nie jest pieniężna wartość wypłaty, ale raczej subiektywna ocena jej pieniężnej wartości, tj. użyteczność. Użyteczność wypłaty nie rośnie liniowo wraz z jej wzrostem, lecz wzrasta w tempie malejącym. Przykładowo, każdy dodatkowy tysiąc złotych ma coraz mniejszą subiektywną wartość. Ponadto, przyrost tej subiektywnej oceny zależy od posiadanego zasobu początkowego. Dla biedaka każdy dodatkowy tysiąc złotych ma znacznie większą wartość niż dla milionera. Szereg funkcji ma malejące tempo przyrostu np. logarytm, 3 pierwiastek.

      Rozważymy problem różnicy oceny loterii w kategoriach wypłat pieniężnych i użyteczności na prostszym przykładzie.

      

    Przykład 1. Dwie loterie polegają na rzucie rzetelną monetą. Gracz wygrywa, gdy wypadnie

      orzeł, a przegrywa, gdy wypadnie reszka. W loterii A wygrana wynosi 900 zł, a przegrana -64 zł. W loterii B wygrana wynosi 10 000 zł, a przegrana -6 400 zł. Wartości oczekiwane wy płaty są więc następujące. W loterii A

      E(X A ) = 900 zł  0,5 + (-64 zł)0,5 = 418 zł. W loterii B

      E(X B ) = 10 000 zł  0,5 + (-6 400 zł)0,5 = 1 800 zł. Wielu ludzi przedkłada jednak loterię A nad loterię B. Dlaczego? Jeżeli przyjmiemy, że użyteczności wygranych i przegranych są dla nich nieliniowymi

      , rosnącymi funkcjami pieniędzy np.

      u (10 000

      zł) = 100 (

      u

      900 zł) = 30

      u (-6 3 Daniel Bernoulli 4 zł) = -8 wykorzystywał w swoim artykule jako ocenę użyteczności zarówno logarytm, jak i pierwiastek wypłaty, a ponadto uwzględniał wielkość zasobu początkowego. Na określenie użyteczności w oryginale łacińskim stosował termin „emolumentum medium”.

      (-

      u

      6 400 zł) = -80 to wartości oczekiwane użyteczności będą następujące:

      E[u(X )] = 30 A  0,5 + (-8)  0,5 = 11 E[u(X )] = 100 B  0,5 + (-80) 0,5 = 10 i przedkładanie loterii A nad loterię B będzie uzasadnione.

      Przyjmuje się więc, że podstawą do porównywania loterii jest porównywanie wartości oczekiwanych użyteczności kardynalnych. Założenie to jest podstawą teorii wartości oczekiwanej użyteczności kardynalnych. Aby je zapisać musimy formalnie określić pojęcie loterii.

      .

      Loteria prosta

    Loterią prostą będzie nazywana loteria, której wynikami będą alternatywy ze zbioru A, przy

      . czym prawdopodobieństwo alternatywy a j będzie równe p j

      Będzie ona zapisywana następująco: ,p ; a ,p ,p ,p ],

      ℓ = [a 1 1 2 2 ;…; a j j ;…; a m m m gdzie a 1 j m A oraz j j  p 1 .

      ,…,a ,…,a {1,…,m}: p ≥0 i j

       j 1 Zbiór wszystkich loterii prostych określonych na zbiorze A będziemy oznaczali przez

      ℒ(A). Szczególnym przypadkiem loterii prostej będzie taka, w której prawdopodobieństwo określonej alternatywy a j będzie równe 1, a prawdopodobieństwa dla każdej innej alternatywy będą równe 0.

      Wartość oczekiwaną użyteczności loterii ℓ będziemy oznaczali przez u(ℓ) m ( ) ) ) =

      u p p p 1 1 + … u(a j j +… u(a m m (a ) p

      ℓ) = u(a uj j

       j 1 Kardynalna funkcja użyteczności.

      

    Kardynalną funkcją użyteczności będziemy nazywać funkcję rzeczywistą u określoną na

      zbiorze alternatyw A

      u

      : A →ℝ spełniającą warunek: ℓ,ℓ’ℒ(A): ℓ≿ℓ’ ↔ u(ℓ)≥u(ℓ’).

      Zasada porównywania loterii za pomocą wartości oczekiwanej użyteczności kardynalnych była proponowana już w osiemnastym wieku przez Gabriela Cramera w 1728 r.

      , a następnie przez Daniela Bernoulliego w 1738 r. Pierwszą aksjomatyzację użyteczności kardynalnych przedstawili jednak von Neumann i Morgenstern w e wspomnianej wyżej monografii (1947).

      Użyteczności kardynalne wykorzystujące porównania loterii nazywane są 4 na ogół użytecznościami von Neumanna-Morgensterna (w skrócie: użytecznościami vNM).

      Później opracowano szereg innych, równoważnych, aksjomatycznych charakterystyk intensywności preferencji (np. Marschak 1950, Herstein i Minor 1953, Luce i Raiffa 1957, Jensen 1967). Przedstawimy tu z minimalną modyfikacją aksjomatyzację w wersji, jaką zaproponowali R. Duncan Luce i Howard Raiffa w przetłumaczonej na język polski książce

      (1964: 32-35).

      Gry i decyzje Aksjomaty użyteczności kardynalnych

      Przed przedstawieniem aksjomatów użyteczności kardynalnych wprowadzimy jeszcze jedno, wykorzystywane w nich pojęcie.

      Loteria złożona.

    Loterią złożoną będzie nazywana loteria, której wynikami będą loterie ze zbioru ℒ(A), przy

    k będzie równe q k .

      czym prawdopodobieństwo loterii ℓ Będzie ona zapisywana następująco: 1 ,q ,q ,q ,q ], 1 ; ℓ 2 2 ;…; ℓ k k ;…; ℓ r r

      ℓ = [ℓ r gdzie , 1 1 r q  . k ≥0 i

      1

      ℓ ,…, ℓ ,…, ℓ ℒ(A) oraz k{1,…,r}: q k

       k 1 Jeden z aksjomatów głosi, że loterie złożone można zredukować do loterii prostych

      oraz że decydent jest indyferentny wobec loterii złożonej i pewnej loterii prostej, którą można wyznaczyć na podstawie loterii złożonej. Ilustrację tej redukcji przedstawia przykład 2.

      Istota konstrukcji użyteczności polega na założeniu, że znamy racjonalne preferencje nie tylko na zbiorze obiektów, ale także na zbiorze loterii, prostych i złożonych, określonych na tych obiektach.

      Funkcja użyteczności kardynalnych u powinna przyporządkowywać:

    • alternatywom ze zbioru A,
    • loteriom prostym, których wynikami są alternatywy ze zbioru A,
    • loteriom złożonym, których wynikami są loterie proste, liczby- miary „użyteczności kardynalne” w taki sposób, aby racjonalne preferencje na zbiorze loterii prostych i złożonych były zgodne z relacjami między wartościami oczekiwanymi tych
    • 4 użyteczności.

        Niekiedy określa się je nazwiskiem Daniela Bernoulliego (por. Adams 1960).

        Przykład 2. Redukcja loterii złożonej

      0,6 a

      0,3 a 2 1 0,6 0,3 l 1 0,1 0,2 0,5 a a a 2 3 1 l l 2 2 l* 0,1 0,5 0,3 0,1 a a a 3 2 1 Lo l 3 0,4 a 3 0,3 0,3 + 0,60,5 + 0,10,1 = 0,40 teria złożona 0,40 0,35 a a 2 1 0,3 0,6 + 0,60,2 + 0,10,5 = 0,35 0,3 0,1 + 0,60,3 + 0,10,4 = 0,25 l* 0,25 a 3 Rysunek 1

        Loteria prosta Redukcja loterii złożonej

        Postulaty nakładane na preferencje indywidualne są następujące. A.1.

        Racjonalność. Preferencja indywidualna na zbiorze alternatyw A i na zbiorze loterii ℒ(A) spełnia warunki zwrotności, spójności i przechodniości.

        A.2. Redukcja

        loterii złożonych. Osoba jest indyferentna między loterią złożoną a pewną loterią prostą.

        ,q ,q ,q ,q ] ,p ; a ,p ,p ,p ],  [a

        [ℓ 1 1 ; ℓ 2 2 ;…; ℓ k k ;…; ℓ r r 1 1 2 2 ;…; a j j ;…; a m m gdzie k = [a ,p k1 ; a ,p k2 ,p kj ,p km ], = q p p p . 1 2 ;…; a j ;…; a m zaś p j 1 1j + … + q k kj + … + q r rj

        Prawdopodobieństwa p k1 ,…,p kj ,…,p km są prawdopodobieństwami warunkowymi alternatyw a w wyniku loterii . 1 ,…, a j ,…,a m k

        A.3. jest najbardziej preferowan jest

        Ciągłość. Jeżeli a 1 ą alternatywą w zbiorze A, zaś a m

        najmniej preferowan A

        ą alternatywą w tym zbiorze, to dla każdej alternatywy a j istnieje taka loteria [a ,p; a ,(1-p)] 1 m , że osoba jest indyferentna między alternatywą a j oraz tą loterią.

        a A, p[0;1]: [a ,p; a ,(1-p)] a j 1 m j A.4.

        Podstawialność. Jeżeli w loterii na miejscu alternatywy a j podstawi się taką inną

        alternatywę a t (lub loterię jej równoważną), że osoba jest indyferentna między nimi, to w wyniku otrzyma się taką loterię, że osoba jest indyferentna między nią a loterią wyjściową. a ,p ; a ,p ,p ,p ] ,p ; a ,p ,p ,p ]. j t → [a a [a 1 1 2 2 ;…; a j j ;…; a m m 1 1 2 2 ;…; a t j ;…; a m m A.5.

        ,p; a ,(1-p)]

        Monotoniczność. Jeżeli a j ≻a k , to osoba przedkłada loterię [a j k nad loterię

        [a ,(1- j ,p’; a k p’)] lub jest wobec nich indyferentna wtedy i tylko wtedy, gdy p ≥ p’.

        { a ,p; a ,(1-p)] ,(1- j ≻a k → [a j k ≿ [a j ,p’; a k p’)]}↔ p ≥ p’. Można wykazać, że jeżeli preferencja indywidualna spełnia powyższe postulaty, to alternatywom ze zbioru A można przypisać użyteczności w taki sposób, że oczekiwane użyteczności loterii będą odzwierciedlały preferencje między loteriami.

        .

        Twierdzenie

      1 Jeżeli są spełnione postulaty A.1  A.5, to istnieje takie przypisanie alternatywom ze

        zbioru A użyteczności u: A →ℝ, że dla każdej pary loterii ℓ,ℓ’ℒ(A): ℓ≿ℓ’ ↔ u(ℓ)≥u(ℓ’).

        Twierdzenie to można nazwać – używając terminologii teorii pomiaru 

        twierdzeniem o istnieniu

        , gdyż jeżeli preferencja indywidualna spełnia pewne postulaty, to istnieje możliwość takiego przypisania alternatywom użyteczności, aby relacje między użytecznościami były zgodne z preferencjami wobec alternatyw, zaś relacje między oczekiwanymi użytecznościami były zgodne z preferencjami na loteriach.

        Twierdzenie 2 .

        Niech u : A →ℝ będzie funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna. Wówczas

        A funkcja v dla każdego a j : A →ℝ

        

      v (a ) = s + tu(a ), gdzie t > 0,

      j j jest również funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna.

        To drugie ważne twierdzenie teorii użyteczności – znowu używając terminologii teorii pomiaru

      • – można określić jako twierdzenie o reprezentacji. Stwierdza ono, że sposób przyporządkowania alternatywom użyteczności nie jest jednoznaczny, że istnieje nieskończenie wiele równoważnych liczbowych reprezentacji użyteczności. Wszystkie one są związane za pomocą rosnącego przekształcenia liniowego. Inaczej mówiąc, na skali użyteczności można zmieniać arbitralnie zarówno punkt zerowy, jak i jednostkę pomiaru. Twierdzenie o reprezentacji głosi więc, że pomiar użyteczności jest pomiarem na skali przedziałowej. W konsekwencji, można porównywać różnice między użytecznościami, ale nie można porównywać bezpośrednio wielkości samych użyteczności.
      Dyskusję przedstawionych wyżej postulatów oraz dowody twierdzeń można znaleźć w cytowanej książce (Luce i Raiffa 1964, rozdział 2).

        Ustalanie użyteczności kardynalnych. Typy postaw wobec ryzyka Sposób ustalania użyteczności kardynalnych zilustrujemy na prostym przykładzie.

        

      Przykład 3. Niech poniższe uporządkowanie preferencyjne przedstawia preferencję osoby

        wobec czterech alternatyw: a a a a 1 2 3 4 tj. najwyżej ocenia ona alternatywę a 1 , a najniżej alternatywę a 4 . Możemy arbitralnie ustalić, )=1

        że użyteczność alternatywy a 1 równa się 1 [u(a 1 ], a użyteczność alternatywy a 4 równa się 0 [u(a )=0 4 ]. Sprawdzamy, dla jakiej wartości prawdopodobieństwa p osoba jest indyferentna

        ,p; a ,(1-p)]. Niech między alternatywą a 3 1 4 wartością tą będzie p=0,3. i loterią ℓ=[a [a ,0,3; a (1-0,3)] , czyli u( ). 1 4 a 3 3

        ℓ)=10,3+00,7=0,3=u(a W podobny sposób możemy ustalić użyteczność alternatywy a 2 , znajdując dla jakiej wartości prawdopodobieństwa p osoba jest indyferentna między tą alternatywą a powyższą loterią ℓ. Możemy także wykorzystać do tego inną loterię utworzoną z alternatyw, których 1 , a i a 3 4 użyteczności są już ustalone (tj. a ). Oczywiście, najłatwiej jest przeprowadzać takie porównania z loteriami, które mają tylko dwa możliwe wyniki.

        Ustalanie użyteczności kardynalnych wymaga, tak jak w powyższym przykładzie, porównywania użyteczności poszczególnych alternatyw z użytecznościami loterii. Należy podkreślić, że do ustalenia użyteczności alternatyw, nawet wtedy, gdy mają one postać wypłat pieniężnych (lub ogólniej – gdy są opisane za pomocą wartości liczbowych), nie wystarczy znajomość użyteczności dla dwóch alternatyw: najwyżej ocenianej i najniżej ocenianej. Użyteczność alternatywy pośredniej, która jest średnią ważoną wypłat lub wartości tych dwóch alternatyw, przy pewnych ustalonych wagach, sumujących się do 1, nie musi być równa wartości oczekiwanej loterii składającej się z tych dwóch alternatyw, z prawdopodobieństwami równymi tym samym wagom. Tak jest tylko w wypadku neutralności wobec ryzyka. Możliwe są jednak różne postawy wobec ryzyka.

        1. Awersja do ryzyka Użyteczność wartości oczekiwanej wypłaty w loterii jest wyższa od wartości oczekiwanej użyteczności loterii. Funkcja użyteczności osoby z awersją do ryzyka jest wklęsła.

        p + a min }, to Jeżeli osoba ma awersję do ryzyka i {a max max min

        ≻ [a (1-p)] ≻ a

        ) ) {u[a p + a (1-p)] > [u(a p + u(a (1-p)]}. max min max min 2.

        Neutralność wobec ryzyka

        Użyteczność wartości oczekiwanej wypłaty w loterii jest równa wartości oczekiwanej użyteczności loterii. Funkcja użyteczności osoby neutralnej wobec ryzyka jest funkcją liniową. max max p + a min min }, to

        Jeżeli osoba jest neutralna wobec ryzyka i {a ≻ [a (1-p)] ≻ a

        ) ) {u[a max p + a min (1-p)] = [u(a max p + u(a min (1-p)]}.

        3. Skłonność do ryzyka Użyteczność wartości oczekiwanej wypłaty w loterii jest niższa od wartości oczekiwanej użyteczności loterii. Funkcja użyteczności osoby ze skłonnością do ryzyka jest wypukła.

        p + a min }, to Jeżeli osoba ma skłonność do ryzyka i {a max max min

        ≻ [a (1-p)] ≻ a ) ) {u[a p + a (1-p)] < [u(a p + u(a (1-p)]}. max min max min

        Krytyka aksjomatów

        Od początku lat pięćdziesiątych ubiegłego wieku przeprowadzono szereg badań eksperymentalnych, w których stwierdzono brak zgodności wyborów dokonywanych przez ludzi w warunkach ryzyka z przewidywaniami według teorii użyteczności kardynalnych von Neumanna i Morgensterna. Opiszemy tylko kilka najważniejszych.

        Jeden z pierwszych i najważniejszych eksperymentów przeprowadził Maurice Allais (1953). Przedstawił on badanym dwie hipotetyczne sytuacje decyzyjne, w których mieli dokonać wyboru między dwiema loteriami z wynikami wyrażonymi w milionach dolarów.

        Sytuacja A. Wybierz między: Loteria Otrzymanie $1.000.000 z 1 ℓ pewnością. Loteria 2

        ℓ Udział w loterii, w której można wygrać: $5.000.000 z szansą 10%, $1.000.000 z szansą 89%, $0 z szansą 1%.

        Sytuacja B.

        Wybierz między: Loteria 3

        ℓ Udział w loterii, w której można wygrać: $1.000.000 z szans

        ą 11%, $0 z szansą 89%. Loteria 4

        ℓ Udział w loterii, w której można wygrać: $5.000.000 z szansą 10%,

        $0 z szansą 90%. 1 2 , natomiast w Większość badanych w sytuacji A przedkładała loterię ℓ nad loterię ℓ 4 3

        . Takie wybory są jednak niezgodne z teorią sytuacji B przedkładała loterię ℓ nad loterię ℓ użyteczności. Aby to wyraźnie wykazać założymy, że każdy 1% szansy odpowiada jednemu biletowi loteryjnemu i przedstawimy loterie w postaci tabelarycznej.

        Tabela 1 . Paradoks Allaisa Bilety loteryjne z numerami Loteria

        1

        12 2 ― 11 ― 100 $1.000.000 $1.000.000 $1.000.000 Loteria ℓ 1 $0 $5.000.000 $1.000.000

        Loteria ℓ 2 $1.000.000 $1.000.000 $0 Loteria ℓ 3 $0 $5.000.000 $0

        Loteria ℓ 4 Loterie różnią się jedynie wartościami biletów loteryjnych o numerach 12-100, przy

        czym bilety te w loteriach i 1 2 ℓ ℓ mają identyczne wartości (równe $1.000.000), a w loteriach i i

        ℓ 3 ℓ 4 również mają identyczne wartości (równe $0). Inne preferencje między loteriami ℓ 1 ℓ 2 oraz i ℓ 3 ℓ 4 oznaczają, że preferencje osób badanych nie spełniają warunku niezależności.

        Daniel Ellsberg (1961: 654) sformułował hipotetyczny eksperyment (później był on kilkakrotnie realizowany) o znaczeniu jeszcze ogólniejszym niż paradoks Allaisa. Opis tego eksperymentu jest następujący.

        W urnie znajduje się 90 jednakowych kul, przy czym 30 kul pomalowano na czerwono , zaś pozostałe są albo czarne albo zielone. Osoba ma wybrać w dwóch sytuacjach między dwiema loteriami w wyniku których może wygrać $100 lub nie wygrać nic, w zależności od tego, jakiego koloru kula zostanie wylosowana.

        Tabela 2 . Paradoks Ellsberga 30 kul 60 kul Loteria czerwone czarne zielone $100 $0 $0

        Loteria ℓ 1 Loteria ℓ $0 $100 $0 2 $100 $0 $100 Loteria ℓ 3 $0 $100 $100

        Loteria ℓ 4 1 W eksperymentach większość badanych w pierwszej sytuacji przedkładała loterię ℓ 2 4 3 . Takie nad loterię ℓ , natomiast w drugiej sytuacji przedkładała loterię ℓ nad loterię ℓ

        wybory są jednak niezgodne z teorią użyteczności. Zauważmy, że podobnie jak w paradoksie Allaisa takie preferencje osób badanych nie spełniają warunku niezależności. Wygrane w i i maj wypadku wylosowania kuli żółtej w loteriach ℓ 1 ℓ 2 , a także ℓ 3 ℓ 4 ą identyczne wartości Ponadto jednak, wybory badanych ujawniają sprzeczność ich przekonań wobec oceny prawdopodobieństwa wylosowania kuli czarnej w obu typach sytuacji.

        Jeżeli przez p oznaczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej, to loteria je 1 2 ℓ st przedkładana nad loterię ℓ

         tj. gdy

        ⅓ u($100) + ⅔ u($0) > p u($100) + (1-p) u($0) p < ⅓, Natomiast loteria

        ℓ 4 jest przedkładana nad loterię ℓ 3 tj. gdy  ⅔ u($100) + ⅓ u($0) > (1-p) u($100) + p u($0) p > ⅓.

        Paul J.H. Schoemaker (1982: 542-3) opisuje sytuac ję pogwałcenia aksjomatu redukcji loterii złożonych (A.2). Badanym przedstawiono dwie sytuacje wyboru.

        Sytuacja A. 1 ℓ pewność straty $45 2 szansa 0,5 straty $100 i szansa 0,5 straty $0 ℓ Sytuacja B. 3 szansa 0,1 straty $45 i szansa 0,9 straty $04 szansa 0,05 straty $100 i szansa 0,95 straty $02 nad , natomiast w sytuacji B 1 Większość badanych w sytuacji A przedkładała ℓ ℓ 3 nad 4

        . Wybory te w sytuacji A oznaczają, że przedkładała ℓ ℓ [u(-$100)

        0,5 + u($0)0,5] > u(-$45), natomiast wybory w sytuacji B, że nierówność jest odwrotna. Aby jednak wykazać, że kierunek nierówności w obu sytuacjach powinien być jednakowy, wystarczy zapisać loterie 3 i i . 4 1 2

        ℓ ℓ ℓ za pomocą loterii ℓ 3 = [(-$45),0,1; ($0),0,9] = [ ,0,1; ($0),0,9] 1 ℓ ℓ 4 =[(-$100),0,05; ($0),0,95] = [ 2 ,0,1; ($0),0,9]

        ℓ ℓ 2 i redukując ją do loterii prostej Tę ostatnią równość można wykazać podstawiając loterię ℓ zgodnie z aksjomatem A2.

        [ ,0,1; ($0),0,9] = {[(-$100),0,5; ($0), 0,5],0,1; ($0),0,9]} = [(-$100),0,05; ($0),0,95] 21 nad 2 Aby aksjomat A.2 był spełniony badani powinni konsekwentnie przedkładać ℓ ℓ oraz 3 nad 4 lub 2 nad 1 oraz 4 nad 3 . ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ

        Pomiar użyteczności kardynalnych wymaga porównywania poszczególnych alternatyw z loteriami. Zasadność tego postępowania zależy od spełniania przez preferencję indywidualną aksjomatów teorii użyteczności. Niektóre z tych aksjomatów – jak widzieliśmy w powyższych przykładach – były kwestionowane już od początku lat pięćdziesiątych XX wieku. Szczególnie wiele zastrzeżeń budził postulat niezależności od alternatyw niezwiązanych. W reakcji na empiryczne przykłady pogwałcenia aksjomatów teorii użyteczności von Neumanna-Morgensterna, badacze analizowali, rozwijali i aksjomatyzowali inne, alternatywne modele preferencji i wyborów w sytuacji ryzyka. Zasadę maksymalizacji wartości oczekiwanej użyteczności zastępowano w nich przez inne, alternatywne zasady, w 5 których maksymalizowane były inne wielkości. Pierwsze alternatywne modele były formułowane już w latach 1950. przez Warda Edwardsa. Niektóre z nich zostały zaadaptowane przez

        Daniela Kahnemana i Amosa Tversky’ego w znanej „teorii perspektywy” (1979). Zwrócili oni uwagę, że oceny ludzi nie zależą wprost od prawdopodobieństw, ale od pewnych, nieliniowych ich funkcji: małe prawdopodobieństwa są niedoceniane, a duże przeszacowywane. Zauważyli też, że inaczej oceniane są zyski (według funkcji wklęsłej), a inaczej straty (według funkcji wypukłej). Ponadto, w licznych eksperymentach stwierdzili, że oceny osób zależą istotnie od sposobu sformułowania problemu. Przegląd modyfikacji klasycznej teorii użyteczności von Neumanna-Morgensterna przedstawili m.in. Chris Stramer (2000) oraz w bardziej rozwiniętej i sformalizowanej formie Ulrich Schmidt (2004).

      3. Problemy 1.

        , natomiast Wiadomo, że decydent przedkłada alternatywę a 4 nad alternatywę a 1 alternatywy a i a 2 3 są dla niego równie dobre, jak podane niżej loterie: a  [a ,0,6; a ,0,4] 2 1 4 , a  [a ,0,4; a ,0,6] 3 1 4 .

        a) Którą z dwóch loterii:

        = [a ,0,3; a ,0,2; a ,0,25; a ,0,25], ℓ 1 1 2 3 4

        = [a ,0,1; a ,0,3; a ,0,15; a ,0,45], ℓ 2 1 2 3 4 powinien on wybrać?

        b) Podaj użyteczności tych czterech alternatyw.

        2. Wyznaczono użyteczności kardynalne trzech alternatyw: x, y i z za pomocą dwóch 5 równoważnych funkcji użyteczności: u i v: Najbardziej znanym z tych modeli jest „rank-dependent expected utility model” sformułowany przez australijskiego ekonomistę Johna Quiggina. Podstawową jego ideą jest to, że ryzykowne alternatywy, tj. loterie, są oceniane za pomocą ważonych sum użyteczności alternatyw, przy czym wagi są uogólnionymi, nieliniowymi funkcjami odpowiednich prawdopodobieństw i zależą od uporządkowania ich wartości (tj. rang). Inne znane modele to na przykład: „dual expected utility” (Yaari), „ordinal independence” (Segal oraz Green i

        Jullien) , “weighted utility” (Chew). Jak widać nie są jeszcze ustalone polskie tłumaczenia nazw tych modeli.

        (x) = 5, u(y) = 3, u(z) = 2 oraz v(x) = 9, v(y) = 5, v(z) = 3.

        u

        a) Podaj funkcję liniową, która przekształca użyteczności u(.) w użyteczności v(.).

        b) Zilustruj na tym przykładzie, że takie same są stosunki różnic użyteczności między parami alternatyw, niezależnie od wykorzystanej funkcji użyteczności.

        3. Osobę poproszono o wybór jednej z dwóch loterii w dwóch sytuacjach. Sytuacja 1. Loteria 1.A. otrzymanie z pewnością 30 zł, Loteria 1.B. szansa 80% na otrzymanie 40 zł i 20% na otrzymanie 0 zł.

        Sytuacja 2. Loteria 2.A. szansa 25% na otrzymanie 30 zł i 75% na otrzymanie 0 zł,

        Loteria 2.B. szansa 20% na otrzyman ie 40 zł i 80% na otrzymanie 0 zł, W sytuacji 1 osoba wybrała loterię 1.A, natomiast w sytuacji 2 wybrała loterię 2.B. Czy jej wybory są zgodne z teorią użyteczności von Neumanna-Morgensterna? Uzasadnij odpowiedź. 2 4.

        . Decydent ma funkcję użyteczności wypłat z loterii u(x) = x

        a) Ile byłby on skłonny zapłacić za udział w loterii ℓ=[1,0,6; 5,0,4]?

        b) O ile kwota, którą byłby skłonny zapłacić różni się od oczekiwanej wypłaty w tej loterii? 5.

        Prawdopodobieństwo kradzieży w ciągu roku samochodu o wartości 40 000 zł wynosi 0,005. Roczna składka pełnego ubezpieczenia od kradzieży wynosi 400 zł.

        a) Jaką decyzję powinien podjąć właściciel samochodu, gdyby brał pod uwagę jedynie wartość oczekiwaną straty? b)

        Jaka musi być funkcja użyteczności właściciela samochodu, aby zdecydował się na ubez pieczenie samochodu od kradzieży? Podaj przykład takiej funkcji.

        Literatura Adams, Ernest W. 1960. Survey of Bernoullian utility theory. Part II: 151-268. W: H.

        Solomon (red.), Mathematical Thinking in the Measurement of Behavior. Illinois: The Free Press of Glencoe. Allais, Maurice. 1953. Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique

        des Postulats et Axiomesde l'Ecole Americaine . “Econometrica”, Vol. 21, No. 4: 503-546.

        Bernoulli, Daniel. 1954. Exposition of a new theory on the measurement of risk.

        „Econometrica” Vol. 22, No 1: 23-36. Ellsberg, Daniel. 1961. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms . “Quarterly Journal of Economics”, Vol. 75, No. 4: 643-669.

        Herstein, I. N., Milnor, John. 1953. An Axiomatic Approach to Measurable Utility.

        “Econometrica”, Vol. 21, No. 2: 291-297. Jensen, Niels Erik. 1967. An introduction to Bernoullian utility theory. I. Utility functions.

        “Swedish Journal of Economics”, Vol. :163-183. Kahneman, Daniel, Tversky, Amos. 1979. Prospect theory: An analysis of decision under .

        risk “Econometrica”, Vol.47, No 2: 263-291.

        Krantz, David H.; Luce, R. Duncan; Suppes, Patrick; Tversky, Amos. 1971. Foundations of

        

      Measurement. T. I. Additive and Polynomial Representations. New York: Academic

      Press.

        Luce, R. Duncan; Raiffa, Howard. 1964. Gry i decyzje . Przełożył Jerzy Kucharczyk.

        Warszawa : Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Pierwsze wydanie: Games and New York: Wiley, 1957.

        Decisions: Introduction and critical survey.

        Marschak, Jacob. 1950. Rational behavior, uncertain prospects, and measurable utility.

        “Econometrica”, Vol. 18, No. 2: 111-141. Schmidt, Ulrich. 2004. Alternatives to expected utility: some formal theories. Chapter 15: 7-88. W: S. Barbera, P.J. Hammond, C. Seidl (red.), Handbook of Utility Theory. T. 2.

        New York: Kluwer Academic Publishers. Schoemaker, Paul J.H. 1982. The expected utility model: its variants, purposes, evidence and

        limitations . “Journal of Economic Literature”, Vol. 20, No. 2: 529-563.

        Stramer, Chris. 2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for a descriptive

        theory of choice under risk . “Journal of Economic Literature”, Vol. 38, 332–382.

        von Neumann, John; Morgenstern, Oskar. 1947. Theory of Games and Economic Behavior.

        Princeton: Princeton University Press.

Novo documento

Tags