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   Interpola¸c˜ao Polinomial

   DCC008 - C´alculo Num´erico

  

  Departamento de Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao Universidade Federal de Juiz de Fora

  Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  Introdu¸c˜ao

  Interpolar a fun¸c˜ao f (x) nos Suponha que temos um

  

  pontos x , . . . , x n consiste em

  1

  conjunto de pontos

  

  aproxim´a-la por uma fun¸c˜ao

  

  x , x , . . . , x n e os valores de

  1

  g (x) tal que:

  

  uma fun¸c˜ao f (x) nestes pontos

   y = f (x ), . . . , y = f (x ). n n

  

  g (x ) = y

  

  . . .

  

  g (x ) = y

  2

  2 Introdu¸c˜ao

  Iremos supor que a fun¸c˜ao interpolante g (x) ´e um •

  

  polinˆ omio .

   Porque polinˆ omios? Polinˆ omios s˜ao facilmente •

  comput´aveis, suas derivadas e integrais s˜ao tamb´em

   polinˆ omios, e etc.

  A interpola¸c˜ao polinomial ´e usada para aproximar uma fun¸c˜ao f (x), principalmente, nas seguintes situa¸c˜oes:

  N˜ao conhecemos a express˜ao anal´ıtica de f (x). Isto ´e, • somente conhecemos o valor da fun¸c˜ao em um conjunto de pontos (isso ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais). f (x) ´e complicada e de dif´ıcil manejo. •

  Interpola¸c˜ ao ser´ a usada tamb´em para calcular a integral

  • num´erica de f (x). Veremos mais sobre isso em Integra¸c˜ ao Num´ erica . •
  • O problema geral da interpola¸c˜ao por meio de polinˆ omios

  1 , . . . , x n sejam distintos.

  = f (x

  , . . . P n (x n ) = y n Veremos que tal polinˆ omio existe e ´e ´ unico, desde que os pontos x , x

  1

  ) = y

  1

  que: P n (x ) = y , P n (x

  n = f (x n )

  y

  1 ), . . .

  1

  

  y = f (x ), y

  1 , . . . , x n , isto ´e

  , . . . , y n , valores de uma fun¸c˜ao y = f (x) em x , x

  1

  , . . . , x n e n + 1 n´ umeros y , y

  1

  consiste em, dados n + 1 pontos distintos x , x

  Introdu¸c˜ao

  • Determinar um polinˆ omio P n (x) de grau no m´aximo n tal

  Introdu¸c˜ao

  Sendo assim, procuramos um polinˆ omio na forma:

   n

  2 P n (x) = a + a x + a x + . . . + a n x

  1

  2 Para isso ´e preciso encontrar os coeficientes a , a •

  , . . . a n

  1

  de tal forma que P n (x) satifa¸ca

   n

  2 P (x ) = a + a x + a x + . . . + a x = y n 1 2 n n

  2 P n (x ) = a + a x + a x + . . . + a n x = y

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1 ..

  .

  2 n

  P x x x

  n (x n ) = a + a n + a + . . . + a n = y n

  1 2 n n

  que pode ser visto como um sistema de equa¸c˜oes lineares , a , . . . , a n .

  1

  (n + 1) × (n + 1) onde as inc´ognitas s˜ao a

  Introdu¸c˜ao

  • Escrevendo de forma matricial temos

  

       

   n

  2

  1 x x . . . x a y

   n

  2

        x a y 1 x . . . x

  

  1

  1

  1

  1

  1

       

  

  =       .. .. .. .. .. ..       . . . . . .

   n

  2

  1 x x . . . x a y

  n n n n n

  A matriz de coeficientes ´e chamada de • Matriz de Vandermonde. Sabe-se que det(A) 6= 0 desde que os pontos x , x , . . . , x sejam distintos.

  1 n Teorema

  Dados n + 1 pontos distintos x , x , . . . , x e seus valores

  1 n

  y = f (x ), y = f (x ), . . . , y n = f (x n ), existe um ´ unico

  1

  1

  polinˆ omio P

  n

  (x), de grau ≤ n, tal que: P i

  n (x i ) = f (x i ), = 0, 1, . . . , n

  Exemplo: Interpola¸c˜ao linear

  Este exemplo consiste em encontrar a reta que passa pelos

  

  pontos (x , y ) e (x

  1 , y 1 ). Existe uma ´ unica reta que passa por

  esses pontos. Ent˜ao procuramos

  

  P x (x) = a + a

  

1

  1

  tal que

  

  P x (i)

  1 (x ) = a + a 1 = y

  (ii) P (x ) = a + a x = y

  

1

  1

  1

  1

  1

  x De (i) temos que a = y . Substituindo em (ii) temos

  1

  − a que y x + a x = y

  

1

  1

  1

  1

  − a a (x ) = y

  

1

  1

  1

  − x − y y

  1

  − y a

  1 =

  x

  1

  − x Exemplo: Interpola¸c˜ao linear Como

  a = y x

  1

  − a

  

  y

  

  1

  − y a =

1 Forma de

  x

  1

  − x

  

  temos

  

  P x (x) = a + a

  1

  1

  y y

  1

  1

  − y − y

  (x) = y

  • P x x

  1

  − x x

  1

  1

  − x − x y

  1

  − y

  1 (x) = y )

  • P

  (x − x x

  1

  − x Basta avaliar P (x) em x = x e x = x para verificar que de

  1

  1 fato este ´e o polinˆ omio interpolador de (x , y ) e (x , y ).

  1

  1 Exemplo

  Exemplo de interpola¸c˜ao linear

  Dada a seguinte tabela

  

  x

  

  1

  1.1

  1.2

  1.3 tan (x) 1.5574 1.9648 2.5722 3.6021

   use interpola¸c˜ao linear para estimar o valor de tan (1.15).

  Assim (x , y ) = (1.1, 1.9648), (x , y ) = (1.2, 2.5722)

  1

  1

  e portanto (2.5722 − 1.9648) tan (1.15) ≈ 1.9648 + (1.15 − 1.1) = 2.2685

  (1.2 − 1.1) Valor exato: tan (1.15) = 2.2345. Resultado da interpola¸c˜ao linear

  6 tan(x)

   P (x)

  1

  5

  4 y

  

  3

  2

  1

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8

  1

  1.2

  1.4 x Resultado da interpola¸c˜ao linear (zoom)

  

3.2 Diferen¸cas

  tan(x)

  P (x)

  1

3 Forma de

  

2.8 Erro na

  

  2.6 y

  2.4

  2.2

  2

  1.8

  1.6

  1.05

  1.1

  1.15

  1.2

  1.25 x Matriz de interpola¸c˜ao De forma geral, dados (x i , y i ) para i = 0, 1, . . . , n, para

  encontrar o polinˆ omio P (x), precisamos resolver o sistema de

  

n

  equa¸c˜oes lineares

  

       

  n

  

2

  1 x x . . . x a y

   2 n

        x a y 1 x . . . x

  1

  1

  1

  

1

  1

       

  

  =      

   . . . .   .   . 

   .. .. .. .. .. ..

  n

  

2

  1 x x . . . x a y

  n n n n n

  usando algum m´etodo que j´a estudamos (Elimina¸c˜ao Gaussiana, Decomposi¸c˜ao LU, etc).

  Exemplo

  Exemplo

  x

  • 1

  1 f (x)

  0.54

  1

  0.54

  

  Vamos encontrar o polinˆ omio de grau ≤ 2 que interpola estes

   pontos.

  Exemplo

  Exemplo

  x

  • 1

  1 f (x)

  0.54

  1

  0.54

  

  Vamos encontrar o polinˆ omio de grau ≤ 2 que interpola estes

   pontos.

  Solu¸c˜ao

  2

  a

  • a = 0.54

  1

  2

  (−1) + a (−1)

  2

  a

  • a

  1 (0) + a 2 (0) = 1.00

  2

  a + a (1) + a (1) = 0.54

  1

  2

  Exemplo

  Solu¸c˜ao

       

  

  2

  a

  0.54 1 −1 −1

  

  2

  1

  1

        1 a =

  2

  a

  1

  1

  1

  2

  0.54 Resolvendo este sistema encontramos que a = 1, a = 0 e

  1

  a

  2

  = −0.46 e portanto

  2 P

  

2

  (x) = 1 − 0.46x Observa¸c˜oes Importantes

  • Veremos formas mais simples de se obter o polinˆ omio

   interpolante, sem a necessidade de resolver um sistema de

equa¸c˜oes lineares.

  Al´em disso, a matriz de Vandermonde costuma ser mal

  condicionada, o que leva a perda de precis˜ao na solu¸c˜ao

   quando temos que resolver o sistema.

  Exercicios

1) Conhecendo a seguinte tabela:

  

  x -1

  3

  

  f(x)

  15 8 -1 determinar o polinˆ omio de interpola¸c˜ao para a fun¸c˜ao definida por este conjunto de pontos, usando a resolu¸c˜ao do sistema linear.

  Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  Forma de Lagrange

Para ilustrar a id´eia vamos come¸car com um exemplo onde

temos trˆes pontos distintos (x , y ),(x , y ) e (x , y ).

  1

  1

  2

  2

  Queremos encontrar o polinˆ omio

  

  2 P (x) = a + a x + a x

  2

  1

  2

  que satisfaz

  

  P (x ) = y , i = 0, 1, 2

  2 i i para os dados fornecidos.

  Forma de Lagrange Uma f´ormula para encontrar tal polinˆomio ´e a seguinte:

  P (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x)

  2

  1

  1

  2

  2

  onde

   (x−x )(x−x )

  1

  2

  L (x) =

  (x −x )(x −x )

  1

  2 (x−x )(x−x )

  2 L 1 (x) = −x −x

  (x 1 )(x

  1 2 ) (x−x )(x−x 1 )

  L (x) =

  2 −x −x (x )(x )

  2

  2

  1 As fun¸c˜oes L (x), L (x) e L (x) s˜ao chamadas de fun¸c˜oes de

  1

  2 base de Lagrange para interpola¸c˜ao quadr´atica.

  Forma de Lagrange

  1.0 L (x)

   L (x)

  1

  0.8 L (x)

  2

  0.6

  0.4

  0.2

  0.0 −0.2

  1.0

  1.5

  2.0

  2.5

  3.0 Forma de Lagrange Essas fun¸c˜oes possuem a seguinte propriedade

  (

  

  1 se i = j

   L

i (x j ) =

  0 se i 6= j

  

  para i, j = 0, 1, 2. E ainda, cada uma possui grau 2.

  

  Consequentemente P

  2

  (x) tem grau ≤ 2 e assim fica claro que este polinˆ omio interpola os dados, pois P L L L

  (x ) = y (x ) +y (x ) +y (x ) = y

  2

  1

  1

  2

  2

  | {z } | {z } | {z }

  =1 =0 =0

  P (x ) = y L (x ) + y L (x ) + y L (x ) = y

  2

  1

  

1

  1

  1

  1

  2

  2

  1 P L L L

  (x ) = y (x ) + y (x ) + y (x ) = y

  2

  2

  

2

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2 Forma de Lagrange Interpola¸c˜ ao Quadr´ atica

  

  Exemplo

  Voltando ao exemplo anterior

   x -1

  1 f (x)

  0.54

  1

  0.54 Assim

  x

)

(x − x 1 )(x − x 2 (x − 0)(x − 1) (x − 1) L

  (x) = = = (x 1 )(x 2 )

  2 − x − x (−1 − 0)(−1 − 1)

  2 ) x (x − x )(x − x

  2 (x + 1)(x − 1) − 1

  2 L

(x) = = =

  1 = 1 − x (x )(x )

  1 − x 1 − x 2 (0 + 1)(0 − 1) −1 x ) (x + 1)

  (x − x )(x − x 1 (x + 1)(x − 0) L

2 (x) = = =

  (x )(x )

  2 2 − x 2 − x 1 (1 + 1)(1 − 0) Forma de Lagrange Interpola¸c˜ ao Quadr´ atica

  

  Exemplo - Forma de Lagrange - Interpola¸c˜ao Quadr´atica

  Obtemos ent˜ao

   P (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x)

  2

  

1

  1

  2

  2

  x x (x + 1)

  (x − 1)

  2

  = (0.54) ) + (0.54)

  • (1)(1 − x

  2

  2

  0.54

  2

  x =

  (x − 1 + x + 1) + 1 − x

  2

  2

  2

  = 0.54x

  • 1 − x

  2

  = 1 − 0.46x Observe que este ´e o mesmo polinˆ omio obtido anteriormente, pois como vimos este polinˆ omio ´e ´ unico.

  Forma de Lagrange Caso Geral

  

  (x , y ), . . . , (x n , y n )

  

  e queremos encontrar um polinˆ omio P n

  

  (x) de grau ≤ n que

  

  interpola os pontos acima. Definindo os polinˆ omios de

  

  Lagrange:

   i − i n )

  

1

1 +1

  (x − x )(x − x ) . . . (x − x )(x − x ) . . . (x − x L

  i (x) =

  (x i )(x i ) . . . (x i i − )(x i i ) . . . (x i n )

  

1

1 +1

  − x − x − x − x − x

  n

  Y )

  j

  (x − x =

  (x )

  i j

  − x

  j , j

  6 =0 =i

  logo o polinˆ omio interpolador (na forma de Lagrange!) ´e dado por:

  n

  X P n (x) = y L (x) + y L (x) + . . . + y n L n (x) = y i L i (x)

  1

  

1

  Exemplo Forma de Lagrange

  

  x

  1

  1.1

  1.2

  1.3

  

  tan (x) 1.5574 1.9648 2.5722 3.6021

  

  podemos construir polinˆ omios interpoladores de grau

  

  n = 1, 2, 3, com os seguintes n´ os: x x x x

  = 1, = 1.1, = 1.2, = 1.3

  

1

  2

  3 Sem descrever a constru¸c˜ao temos os seguintes resultados

  n

  1

  2

  3 P (x) 2.2685 2.2435 2.2296

  n

  erro -0.0340 -0.0090 0.0049 considerando que o valor exato ´e tan (1.15) = 2.2345.

  

  para j = 1 at´e n fa¸ca

  r = r + y i

  9

  j );

  − x

  

i

  d = d ∗ (x

  8

  j );

  c = c ∗ (z − x

  7

  se i 6= j ent˜ao

  6

  5

  Forma de Lagrange - Algoritmo

  d = 1;

  4

  c = 1;

  3

  para i = 1 at´e n fa¸ca

  2

  r = 0 ;

  1

  Sa´ıda: r : valor interpolado

  , y : vetores dos dados z : valor a interpolar

  Entrada: n : n´ umero de pontos x

  Algoritmo 1: Forma de Lagrange

  ∗ (c/d) ;

  Exerc´ıcios

1) Considere a tabela:

  

  x

  1

  3

  4

  5 f(x)

  6

  24

  60

   a) Determine o polinˆ omio de interpola¸c˜ao, na forma de

   Lagrange, sobre todos os pontos.

  b) Calcule f (3.5)

  2) Construir o polinˆ omio de interpola¸c˜ao, na forma de

  Lagrange, para a fun¸c˜ao f (x) = sen(πx), escolhendo os pontos: x = 0, x

  1 = 1/6, e x 2 = 1/2 (N˜ao se esque¸ca de

  colocar sua calculadora em Radianos) .

  3

  1 3) Calcular e usando a f´ ormula de Lagrange sobre trˆ es

  pontos e a tabela:

  x . . . . . . . .

  2

  4

  2

  6

  2

  

8

  3

  3

  2

  3

  4

  3

  6

  3

  8 x e 11 .

  02 13 .

  46

16 .

  44 20 .

  08 24 .

  53 29 .

  96 36 .

  59 44 .

  70 Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  • Antes de estudarmos a forma de Newton para se obter o
  • Considere a fun¸c˜ao f (x). A diferen¸ca dividida de ordem zero
  • • Considere agora dois pontos distintos x e x

  1 ] =

  1

  ) − f (x ) x

  1

  − x = f (x

  1

  ] − f [x ] x

  1

  f [x

  , definimos f [x , x

  

  1

  )

  i

  ] = f (x

  i

  ´e simplesmente o valor de f no ponto x i f [x

  polinˆ omio interpolador, iremos apresentar o conceito de operador de diferen¸ ca dividida .

  Diferen¸cas divididas

  − x que ´e chamada de diferen¸ca dividida de primeira ordem de f (x). Diferen¸cas divididas

  Podemos definir os operadores de diferen¸ca divida de ordem

  

  mais alta de forma recursiva:

  

  • segunda ordem

  

  f [x , x , x ]

  1

  2

  1

  ] − f [x

  

  f [x , x , x ] =

  

1

2 Newton

  x

  2

  − x

  

  • f [x , x , x , x , x ]

  terceira ordem

  1

  2

  3

  1

  2

  ] − f [x f [x , x

  1 , x

2 , x

3 ] =

  x

  3

  − x

  • n -´esima ordem

  f [x , . . . , x , . . . , x ]

  1 n n −

  1

  ] − f [x f [x , . . . , x n ] = x n

  − x Lembrando que a defini¸ c˜ ao ´ e v´ alida para x , x , . . . , x

  1 n distintos.

  • Observe que, do lado direito de cada uma das express˜oes
  • Exemplo:

  − x =

  − x

  2

  x

  1 −x

  1 )−f (x ) x

  f (x

  −

  1

  2 −x

  1 ) x

  2 )−f (x

  f (x

  2

  ] x

  1

  ] − f [x , x

  2

  , x

  1

  f [x

  1 , x 2 ] =

  f [x , x

  de diferen¸ca dividida de ordem > 1, precisamos aplicar sucessivamente a defini¸c˜ao de diferen¸ca dividida at´e que os c´alculos envolvam apenas o valor da fun¸c˜ao nos pontos.

  Diferen¸cas divididas

  

  • Entretanto, como veremos a seguir, podemos calcular as

  diferen¸cas divididas de uma fun¸c˜ao, de uma forma mais simples e sistem´atica.

  Diferen¸cas divididas

  edio

   ′

  

  f (x ) = f (c)(x )

  1

  1

  ) − f (x − x

  

  para algum c entre x e x . Ent˜ao

1 Forma de

   ′

  

  f [x , x ] = f (c)

  1

  e podemos ver que a diferen¸ca dividida ´e muito parecida com a derivada, especialmente se x e x s˜ao muito pr´oximos.

  1

  Exemplo

  Exemplo

  Seja f (x) = cos (x) e x = 0.2 e x = 0.3. Ent˜ao

  1 cos (x )

  1 ) − cos (x cos (0.3) − cos (0.2) f [x , x ] = =

   1 = −0.2473 . . . x

  

  Note que

  

  x x

  • x + x

  ′

  1

  1

  f = − sin = −0.2474 . . .

  2

  2 isto ´e x + x

  1 ′

  f [x , x

  

1

  ] ≈ f

  2 Diferen¸cas divididas

  x , x , x , x , . . . podemos usar o seguinte esquema para

  1

  2

3 Lagrange calcular as suas diferen¸cas divididas.

   x f x x x i (x i ) [x i , j ] [x i , j , k ]

   x f

   [x ] = f (x ) f [x ]

  1 ]−f [x f x [x ,

  1 ] = x 1 −x f , x , x [x ]

  1 2 ]−f [x

  1

x f f x x

  1 [x 1 ] = f (x 1 ) [x , 1 , 2 ] = x 2 −x f [x ]

  2 ]−f [x

  1 f x [x

  1 , 2 ] = x 2 −x

  1 f x x [x , , ]

  2 3 ]−f [x

  1

  2

x f f x x

  2 [x 2 ] = f (x 2 ) [x 1 , 2 , 3 ] = x 3 −x

  1 f [x ]

  3 ]−f [x

  2 f x [x

  2 , 3 ] = x 3 −x

  2 f x x [x , , ]

  3 4 ]−f [x

  2

  3

x f f x x

  3 [x 3 ] = f (x 3 ) [x 2 , 3 , 4 ] = x 4 −x

  2 f [x ]

  4 ]−f [x

  3 f x [x

  3 , 4 ] = x 4 −x

  3 x f

  4 [x 4 ] = f (x 4 ) .. .. .. ..

  . . . .

  Exemplo

  Exemplo

  Seja f (x) = cos (x), encontre f [x , x , x ] onde x = 0.2,

  1

  2

  x = 0.3, x = 0.4.

  1

  2 x f (x) ordem 1 ordem 2

   0.2 0.980

   f [x , x

  1 ] = (0.955 − 0.98)/0.1 = −0.247 0.3 0.955

  • 0.475 f [x , x

  1 2 ] = (0.921 − 0.955)/0.1 = −0.342 0.4 0.921

  Observe que

  ′′ x +x ′′

  1

  1

  1

  1

  f f =

  (0.3) = − cos (0.3) = −0.4777

  2

  2

  2

  2 ′′

  1

  f f (0.3) [0.2, 0.3, 0.4] ≈

  2 Diferen¸cas divididas Analisando f [x , x ] vemos que

1 Forma de

  

  f f (x

  1 ) (x 1 )

  ) − f (x ) − f (x f [x , x ] = = = f [x , x ]

  1

  1

  x x

  1

  1 − x − x

  Ou seja, a ordem de x e x

  1 n˜ao importa. Podemos mostrar

  que de forma geral

  

  f [x , . . . , x , . . . , x ]

  1 n 1 n −

  1

  ] − f [x f [x , . . . , x n ] = x

  n

  − x , . . . , x n

  ´e independente da ordem dos argumentos {x }, isto ´e f [x , . . . , x n ] = f [x i , . . . , x i n ] para qualquer permuta¸c˜ao (i , i , . . . , i n ) de (0, 1, . . . , n).

  1

  Exerc´ıcios

1) Para a seguinte fun¸c˜ao tabelada:

  

  x -2 -1

  1

  2 f(x) -2

  29

  30

  31

  62 construir a tabela de diferen¸cas divididas. Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  Forma de Newton

  y i = f (x i ), i = 0, 1, . . . , n

  

  Usando as diferen¸cas divididas

  

  f f f [x , x ], [x , x , x ], . . . [x , . . . , x n ]

  

  1

  1

  2

  podemos escrever polinˆ omios interpoladores P (x), P (x), . . . , P (x)

  1 2 n

  de forma simples de calcular P (x) = f (x ) + f [x , x )

  1

  1

  ](x − x P

  2 (x) = f (x ) + f [x , x 1 ) + f [x , x 1 , x

  2 1 )

  ](x − x ](x − x )(x − x = P (x) + f [x , x , x )

  1

  

1

  2

  1

  ](x − x )(x − x

  Forma de Newton

  P

  

n (x) = f [x ] + f [x , x )

  1

  ](x − x

  

  • f [x , x , x ) + . . .

  1

  2

  1

  ](x − x )(x − x

  

  • f [x , . . . , x n n − )

  

  1

  ](x − x ) . . . (x − x

  

  que podemos escrever de forma recursiva como P (x) = P − (x) + f [x , . . . , x − )

  1

  n n 1 n n

  ](x − x ) . . . (x − x Observa¸c˜oes:

  Desta forma, tendo em m˜aos um polinˆ omio de grau •

  n (x) apenas

  ≤ n − 1, sobre n pontos, podemos obter P somando o ´ ultimo termo associado ao operador de diferen¸ca dividida de ordem n. Note a semelhan¸ca com a s´erie de Taylor •

  Polinˆomio interpolador na forma de Newton

  

  

Polinˆomio interpolador na forma de Newton

  P

  

n (x) = f [x ] + f [x , x )

  1

  ](x − x

  1

  2

  1

  ](x − x )(x − x

   + f [x , x , x ) + . . .

  

  • f [x , . . . , x n n − )

  1

  ](x − x ) . . . (x − x ´e o polinˆ omio de interpola¸c˜ao da fun¸c˜ao y = f (x) sobre os pontos x , x , . . . , x n , isto ´e,

  1 P (x ) = f (x ), k = 0, 1, . . . , n

n k k

  Exemplo Resolvido

  Exemplo

  Encontre o polinˆ omio de grau ≤ 2 que interpola os dados:

  

  x -1

  1

  

  f (x)

  0.54

  1

  0.54

  

  Exemplo Resolvido

  Exemplo

  Encontre o polinˆ omio de grau ≤ 2 que interpola os dados:

  

  x -1

  1

  

  f (x)

  0.54

  1

  0.54

   Solu¸c˜ao

  Pela forma de Newton temos x f (x) ordem 1 ordem 2

  • 1

  0.54 0.46 -0.46 1 -0.46

  1

  0.54

  Exemplo Resolvido

  Solu¸c˜ao

  x f (x) ordem 1 ordem 2

  

  • 1

  0.54 0.46 -0.46

  1 -0.46

  

  1

0.54 Logo o polinˆ omio P (x) na forma de Newton ´e dado por

  2 P f f f

  • 2 (x) = [x ] [x , x

  1 ] ) + [x , x 1 , x 2 ] 1 )

  (x − x (x − x )(x − x = 0.54 + 0.46(x + 1) − 0.46(x + 1)(x − 0)

2 P

  2

  (x) = 1 − 0.46x

  Exemplo Resolvido

  Exemplo de aplica¸c˜ao da forma de Newton

  Encontre o polinˆ omio que interpola os dados

  

  x

  0.1

  0.3

  0.4

  0.6

  

f (x) 0.3162 0.5477 0.6325 0.7746

  usando a forma de Newton e avalie no ponto x = 0.2.

  Exemplo Resolvido

  Exemplo de aplica¸c˜ao da forma de Newton

  Encontre o polinˆ omio que interpola os dados

  

  x

  0.1

  0.3

  0.4

  0.6

   f (x) 0.3162 0.5477 0.6325 0.7746

  usando a forma de Newton e avalie no ponto x = 0.2.

  Solu¸c˜ao do Exemplo x f (x) ordem 1 ordem 2 ordem 3 0.1 0.3162 1.158 -1.0333 1.1494

  0.3 0.5477 0.848 -0.4583 0.4 0.6325 0.710 0.6 0.7746

  P (x) = f [x + ] f [x , x ] ) + f [x , x , x ] )

  3

  1

  1

  2

  1

  (x − x (x − x )(x − x

  f [x + , x , x , x ] )

  1

  2

  3

  1

  2

  (x − x )(x − x )(x − x

  Exemplo Resolvido

  Solu¸c˜ao . 3162

  1 . 158

  z }| { z }| { P f f

  (x) = [x ] + [x , x )

  

  3

  1

  ](x − x |{z}

   .

  1 − 1 . 0333

  

  z }| { f [x , x , x ) +

  1

  

2

  1

  ](x − x )(x − x |{z} |{z} . . .

  1

  3 1 1494

  z }| { f [x , x , x , x ) +

  1

  

2

  3

  1

  2

  ](x − x )(x − x )(x − x |{z} |{z} |{z} . . .

  1

  3

  4 Exemplo Resolvido Solu¸c˜ao

  

  P 3 (x) = 0.3162 + (1.158)(x − 0.1) + (−1.033)(x − 0.1)(x − 0.3)

  

  • + (1.1494)(x − 0.1)(x − 0.3)(x − 0.4)

  

  3

  2 P (x) = 1.1494x + 1.789586x + 0.1556172

  3

  − 1.95252x Vamos avaliar o polinˆ omio em x = 0.2

  P 3 (0 . 2) = 0 . 3162 + 1 . 158(0 . . . 033(0 . . 1)(0 . . 3)

  2 − 0 1) − 1 2 − 0 2 − 0

  • 1 . 1494(0 . . 1)(0 . . 3)(0 . . 4) 2 − 0 2 − 0 2 − 0 P

  3 (0 . 2) = 0 . 3162 + 1 . 158(0 . . 033(0 . . 1) 1) − 1 1)(−0

  • 1 . 1494(0 . . . 2) = 0 . 4446288 1)(−0 1)(−0

  

  Exerc´ıcios

1) Seja a fun¸c˜ao tabelada:

  x

  • 2 -1

  1

  2 f (x) 1 -1

  a) Determinar o polinˆ omio de interpola¸c˜ao usando a formula de Newton.

  b) Calcular f(0.5)

2) Dada a fun¸c˜ao tabelada:

  1

  2.5

  3.0 f (x)

  1.0

  0.5 0.4 0.286

  0.25

  a) Determinar o polinˆ omio de interpola¸c˜ao na forma de Newton sobre 2 pontos (linear)

  b) Determinar o polinˆ omio de interpola¸c˜ao na forma de Newton sobre 3 pontos (quadr´atica)

  

c) Calcular f(0.5) usando os itens anteriores

  x

  1.5

  Conte´udo

  1

  2

  3

  4

  5

  Erro na Interpola¸c˜ao

  Estimativa do erro na interpola¸c˜ao

  Sejam x , . . . , x n um conjunto de n + 1 pontos distintos. Seja

  

  f (x) uma fun¸c˜ao n + 1 continuamente diferenci´avel. Ent˜ao, em

  

  qualquer ponto x entre x , . . . , x n o erro ´e dado por:

  (n+1)

  f (ξ) E

  n n n )

  (x) = f (x) − P (x) = (x − x ) . . . (x − x (n + 1)! onde ξ est´a entre x , . . . , x n .

  Erro na Interpola¸c˜ao

  A importˆancia do teorema do erro ´e mais te´ orica do que •

   pr´atica, visto que n˜ao conhecemos o ponto ξ.

  Na pr´atica para estimar o erro cometido ao aproximar o

  

  valor da fun¸c˜ao em um ponto por seu polinˆ omio

  

  interpolador, usamos o seguinte resultado. Seja E • n n (x). Se f (x) e suas derivadas at´e

  (x) = f (x) − P ordem n + 1 s˜ao cont´ınuas em [a, b], ent˜ao:

  1 n

  |x − x ||x − x | . . . |x − x | (n+1)

  n max

  |E (x)| ≤ |f (t)|

  a ≤t≤b

  (n + 1)!

  Exemplo Resolvido

  Exemplo

  Dada a tabela

  

  x

  0.0

  0.1

  0.2

  0.3

  0.4

  0.5

  3x

  xe 0.0000 0,1350 0,3644 0,7379 1,3280 2,2408

  

  calcular um limitante superior para o erro de truncamento

  3x

  quando avaliamos f (0.25), onde f (x) = xe usando polinˆ omio de interpola¸c˜ao de segundo grau

  Exemplo Resolvido

  Exemplo

  Dada a tabela

  

  x

  0.0

  0.1

  0.2

  0.3

  0.4

  0.5

  3x

  xe 0.0000 0,1350 0,3644 0,7379 1,3280 2,2408

  

  calcular um limitante superior para o erro de truncamento

  3x

  quando avaliamos f (0.25), onde f (x) = xe usando polinˆ omio de interpola¸c˜ao de segundo grau

  Solu¸c˜ao

  Temos que

  1 2 ′′′

  |x − x ||x − x ||x − x | max

  2

  |E (x)| ≤ |f (t)|

  x ≤t≤x

  2

  3!

  Exemplo Resolvido

  Solu¸c˜ao

  3t

  Como f (t) = te , temos:

   ′ 3t 3t 3t

  

  f (t) = e + 3te = e (1 + 3t)

   ′′ 3t 3t 3t 3t

  f

   ′′′ 3t 3t 3t 3t

  f (t) = 18e + 9e + 27te = 27e (1 + t)

  3x

  Como queremos estimar o valor da fun¸c˜ao f (x) = xe no ponto 0.25 usando o polinˆ omio de segundo grau, demos tomar 3 pontos consecutivos nas vizinhansas de 0.25. Tomando ent˜ao x

  = 0.2,x = 0.3 e x = 0.4 obtemos que:

  1

  2

′′′ .

  30

  4

  max (1 + 0.4) = 125.4998 |f (t)| = 27e

  x ≤t≤x

  2

  Exemplo Resolvido

  Solu¸c˜ao

  Assim, para calcular o limitante superior:

  

  1

  2

  |0.25 − x ||0.25 − x ||0.25 − x | 125.4998

2 Erro na |E (x)| ≤

  3!

  

  |0.25 − 0.2||0.25 − 0.3||0.25 − 0.4| 125.4998

  ≤

  6

  −

  3

  2

  |E (x)| ≤ 0.0078 ≈ 8 × 10 Por este resultado, vemos que ao tomar um polinˆ omio de segundo grau para avaliar f (0.25), obteremos o resultado com 2 casas decimais corretas

  Exemplo Resolvido Exemplo

   x

  

  Sejam f (x) = e e o polinˆ omio que interpola P (x) nos pontos

  1

  x , x e x .

  1

  1

  ∈ [0, 1]. Estimar o erro para um ponto x entre x

  

  Exemplo Resolvido Exemplo

   x

  

  Sejam f (x) = e e o polinˆ omio que interpola P (x) nos pontos

  1

  x , x e x .

  1

  1

  ∈ [0, 1]. Estimar o erro para um ponto x entre x

  

  Solu¸c˜ao do Exemplo

  Pela f´ormula do erro

   ′′

  f (x)

  1

  1

  |E (x)| ≤ |x − x ||x − x | max

  x ∈ , x [x ]

  2

  1 ′′ x

  Considerando que x < x e que f (x) = e , temos que

  

1

x x

  1

  1

  e max = e ≤ e

  x ∈ , x [x 1 ]

  pois x , x

  1

  ∈ [0, 1]. Logo

  e

  1

  1

  |E (x)| ≤ |x − x ||x − x |

  Exemplo Resolvido Solu¸c˜ao do Exemplo

   e

  1

  1

  |E (x)| ≤ |x − x ||x − x |

  2

  1 Vamos calcular agora o maior valor que |x − x ||x − x | pode

  tomar no intervalo [x , x

1 ].

  

  w )

  1

  (x) = (x − x )(x − x x + x

  1 ′

  w

  1

  (x) = (x − x ) + (x − x ) = 0 ⇒ x =

  2

  x

  • x
  • Considere que x = h, ent˜ao x = = x . Logo

  1

  − x

  2

  2

  2 h h h h h h

  • w (x ) = (x )(x

  − x − x − h) = − = −

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  e assim

  2

  2 h e h e 1 =

  |E (x)| ≤

  4

  2

  8

1) Considerando a fun¸c˜ao f (x) =

  

  x

  a) Determinar uma aproxima¸c˜ao para cos(1.05) utilizando um polinˆ omio de interpola¸c˜ao na forma de Lagrange sobre 4 pontos b) Determinar um limitante superior para o erro desta aproxima¸c˜ao

  1.5 cos (x) 0.6967 0.6216 0.5403 0.4536 0.2675 0.0707

  1.3

  1.1

  1.0

  0.9

  0.8

  

b) Calcular um limitante superior para este erro

  Exerc´ıcios

  a) Determinar o valor aproximado de √ 1.12 usando o polinˆ omio de interpola¸c˜ao na forma de Newton sobre 3 pontos.

  1.000 1.048 1.072 1.118 1.140

  3x

  1.30 xe

  1.25

  1.15

  1.10

  1.00

  √ x tabelada: x

2) Conhecendo-se a tabela:

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