Katia Silene Ferreira Lima Rocha

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Tese de Doutorado

  

Aplicac ¸˜ oes Markovianas Induzidas para Medidas

Parcialmente Hiperb´ olicas

Katia Silene Ferreira Lima Rocha

  Salvador-Bahia Junho de 2015 Aplicac ¸˜ oes Markovianas Induzidas para Medidas Parcialmente Hiperb´ olicas Katia Silene Ferreira Lima Rocha

  Tese de Doutorado apresentada ao Colegiado do Programa de Doutorado em Matem´atica em Associa¸c˜ao UFBA/UFAL, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro.

  Salvador-Bahia Junho de 2015 Rocha, Katia Silene Ferreira Lima.

  Aplica¸c˜ oes Markovianas Induzidas para Medidas Parcialmente Hi-

perb´ olicas / Katia Silene Ferreira Lima Rocha. – Salvador: UFBA, 2015.

53 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Tese (doutorado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Ma- tem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2015. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Aplica¸c˜ oes Markovianas. Parcialmente Hiperbolico. 2. Difeomor- fismo. 3. Hiperbolicidade Fraca. I. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. II.

  

Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 519.218.84 Aplicac ¸˜ oes Markovianas Induzidas para Medidas Parcialmente Hiperb´ olicas Katia Silene Ferreira Lima RochA

  Tese de Doutorado apresentada ao Colegiado do Programa de Doutorado em Matem´atica em Associa¸c˜ao UFBA/UFAL, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica, aprovada em 09 de Junho de 2015.

  Salvador-Bahia Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) UFBA

  Prof a . Dr a . Luciana Silva Salgado UFBA

  Prof. Dr. Vitor Domingos Martins de Ara´ ujo UFBA

  Prof a . Dr a . Isabel Lug˜ao Rios.

  UFF Prof a . Dr a . Maria Jos´e Pac´ıfico.

  UFRJ Salvador-Bahia

  Junho de 2015

  ` A minha pequena Sophie Agradecimentos

  Durante esses quatro anos foram v´arios sentimentos e vibra¸c˜oes que tornaram poss´ıvel esta tese. Por essa raz˜ao, reservo esse texto para n˜ao somente agradecer a todos que me ajudaram neste novo projeto, quero trazer para dentro do meu texto aqueles que j´a o percorreram nas entrelinhas.

  A Deus, por me amparar nos momentos dif´ıceis e me proporcionar paz e for¸ca interior para superar diculdades. A CAPES, pela bolsa concedida durante os quatro anos de curso. Aos professores ainda em Seabra. Em especial a Douril´e Nunes, Efigˆenia, Maria Jos´e, Nelson e Zilda Paiva. Ao primo Warner Jos´e pelo apoio na chegada em Feira. Aos meus colegas, amigos e professores de trabalho da UEFS, pela torcida. Em especial a Marcos Grilo Rosa, Neima, Claudiano Goulart, Jo˜ao Cardeal, Fab´ıola, Jo´ılma,

  Jean Fernanes, Hildete e Cristiano Mascarenhas.

  A Wagner Rocha e C´ıntia pelo abrigo durante o primeiro ver˜ao e semestres se- guintes, e a Didi pelo apoio. A tia Nilza e tia Z´elia pelo cuidado di´ario. Aos colegas e amigos do programa de p´os gradua¸c˜ao UFBA-UFAL. Em espe- cial a Francisleide Pires, Renivaldo Sena, Ela´ıs Malheiro, M´arcia Graci, Luiz Alberto,

  Thiago Bomfim, Giovane Ferreira, Roberto Sacramento, Fellipe Antˆonio, Aubedir Sei- xas, Andressa Lima, ˆ Angela Soldatelli, Marcus Morro, Anderson Reis, Antonio Te´ofilo, Alejandra e Elen.

  A todos os funcion´arios do IM-UFBA, pela disposi¸c˜ao e profissionalismo. Em especial a Dona Tˆania, Dona Zez´e, Davilene, M´arcio, Gustavo, Kleber e Solange. A todos os professores do IM-UFBA. Em especial a Enaldo Vergasta, por ter me acolhido de bracos abertos, Ta´ıse Santiago, que por muitas vezes foi muito al´em de professora, obrigada pelo carinho e conselhos.

  A todos os professores da PGMAT do IM-UFBA. Em especial a Paulo Varandas, por ter me ensinado a arte de pensar o trabalho acadˆemico com rigor e disciplina, e pelo encorajamento em todas as fases. A Vitor Ara´ ujo seus aconselhamentos, sugest˜oes e manuscritos levaram a sucessivas revis˜oes. A Armando Castro, um exemplo de profissional a ser seguido. Diego Catalano pela simpatia e solicitude com que sempre me atendeu.

  A Vilton Pinheiro, por ter aceitado o desafio da orienta¸c˜ao e que rapidamente me encaminhou para o problema tratado nesta tese, obrigada pela disponibilidade revelada desde o in´ıcio, entusiasmo, encorajamento, pux˜oes de orelha e experiˆencias acadˆemicas que pude vivenciar durante estes dois anos de orienta¸c˜ao. Sua dedica¸c˜ao me fez um prossional diferente.

  Aos Professores Vitor Ara´ ujo, Maria Jos´e Pac´ıfico, Isabel Lug˜ao e Luciana Sal- gado por aceitarem participar da comiss˜ao julgadora da tese, pelas corre¸c˜oes e sugest˜oes para o texto.

  A meu Pai que cedo partiu deixando ´orf˜as paginas de minha vida. A minha M˜ae de uma forma muito carinhosa, pelo cuidado di´ario, ensinamentos, apoio e amor.

  A Neva, minha sempre Cunhada/irm˜a pelo carinho e inestimavel apoio familiar. Aos meus sobrinhos pela ternura sempre presente apesar do d´ebito de aten¸c˜ao e muitas vezes falta de paciˆencia, fruto do desgaste diario.

  A “Cheiro”, pois a cren¸ca absoluta na minha capacidade de realiza¸c˜ao deste foram elementos propulsores. Nesta trajetoria soube compreender como ningu´em as fases pelas quais eu estava passando, e as falhas que fui tendo por for¸ca da circunstˆancia, sempre tentando entender minhas diculdades, ausˆencia, e sempre encontrando um jeitinho ´ unico de se fazer pai e m˜ae para suprir v´arios momentos.

  A minha pequena Sophie, a quem dedido este trabalho, pois sem entender tudo que se passava me apoiava... em sorriso sincero, em abra¸co apertado e em v´arios at´e logo f´aceis.

  “A distˆancia entre o sonho e a conquista chama-se atitude” Nick Vujicic. Resumo

  Em [1] foi mostrado a existˆencia de medidas S.R.B suportadas em um conjunto parcialmente hiperb´olico - O espa¸co tangente ´e decomposto em dois subfibrados invari- antes, um dos quais ´e uniformemente contrativo, enquanto que o seu complementar ´e n˜ao uniformemente expansor. J´a em [10] foi proposta uma constru¸c˜ao geral de uma es- trutura de Markov Induzida para transforma¸c˜oes n˜ao uniformemente expansoras; esta estrutura foi usada para provar a existˆencia de medidas invariantes e erg´odicas absoluta- mente cont´ınuas com respeito a qualquer medida de referˆencia expansora cujo jacobiano satisfaz uma condi¸c˜ao de distor¸c˜ao. Em [14] a partir de uma estrutura hiperb´olica e no contexto de [1] s˜ao provadas propriedades estatisticas e existˆencia de medidas SRB.

  Neste trabalho constru´ımos uma Parti¸c˜ao Markoviana Induzida com rela¸c˜ao aos iterados da dinˆamica f no contexto do artigo [1]; associada a esta Parti¸c˜ao mostramos R

  (x)

  a existˆencia de um mapa induzido F (x) = f (x), denominada Aplica¸c˜ao Markoviana Induzida com um limite apropriado no tempo de indu¸c˜ao. Dada qualquer medida de referˆencia µ com um controle de distor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro-inst´avel, que d´a peso positivo a um conjunto n˜ao uniformemente expansor, usamos a Parti¸c˜ao Markoviana Induzida para provar a existˆencia de medidas invariantes e erg´odicas absolutamente cont´ınuas com respeito a µ, assim como em [14], visto que esta estrutura equivale a estrutura produto definida no mesmo artigo , ver defini¸c˜ao 1.3.7 . J´a quando a medida de referˆencia µ ´e invariante e erg´odica, mostramos a existˆencia de medida invariante para a aplica¸c˜ao induzida com tempo de retorno integr´avel, como em [10] para o contexto de medidas expansoras.

  Palavras-chave: Medidas Invariantes absolutamente cont´ınuas com respeito a medida de referˆencia n˜ao necessariamente Lebesgue; Difeomorfismo; Hiperbolicidade Parcial; Mapa Induzido e Estutura de Markov.

  Abstract

  In [1] it was shown the existence of SRB measures supported in a partially hyper- bolic set - The tangent space is decomposed into two subfibrados invariant, one of which is uniformly contractive while its complementary is not uniformly expander. In [10] it pro- posed a general construction of a Markov Induced structure for processing non-uniformly expander; This structure was used to prove the existence of invariant and ergodic abso- lutely continuous measures to any arrangement for expander reference whose Jacobian satisfies a distortion condition. In [14] from a hyperbolic structure and context [1] are statistical properties and proved existence of SRB measures.

  We construct a Markov Induced Partition regarding the iterated the dynamics f in the context of Article [1]; associated with this partition we showed the existence of an R

  (x)

  inducible map F (x) = f (x) called Map Markov induced with an appropriate limit on the induction time. Given any reference measured with a distortion control that gives positive weight to a set non-uniform expanding, we use this Markov Induced Partition to prove the existence of absolutely continuous invariant and ergodic measures to µ. As well as in [14], since this structure equivalent to the structure defined in the same product, see

  1.3.7. But when the reference measure µ is invariant and ergodic, we showed the existence of invariant measure for applying induced with integrable return time, as in [10] to the context of expanding measures. Keywords: ; Invariant Measures absolutely continuous with respect to reference mea- sures which are not necessarily Lebesgue;Diffeomorphism; Partial Hyperbolicity; Induced Map and Markov Estructure.

  Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Defini¸c˜ oes e Resultados 5 1.1 Sistemas Parcialmente Hiperb´olicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2.1 Tempos Hiperb´olicos e Distor¸c˜ao Limitada . . . . . . . . . . . . . .

  7

  1.3 Estrutura Torres de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  1.4 Estrutura Markoviana Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1.4.1 Conjuntos Hiperb´olicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1.4.2 Conjuntos NUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.4.3 Conjuntos Parcialmente Hiperb´olicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  2 Estruturas principais

  18

  2.1 Conjuntos Encaixados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  2.1.1 Constru¸c˜ao de Conjuntos Encaixados . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  2.2 Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.2.1 Resultados t´ecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.2.1.1 Existˆencia de componentes s-erg´odicas . . . . . . . . . . . 28

  2.2.2 Existˆencia de Atrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  3 Constru¸c˜ ao de uma Aplica¸c˜ ao de Markov Induzido Local

  33

  3.1 Aplica¸c˜ao Markoviana Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  3.2 Existˆencia de medida F-invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Existˆ encia de Medida Invariante.

  41

  4.1 Parti¸c˜ao Markoviana Induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  4.2 Existˆencia de medida f-invariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  5 Exemplo e Aplica¸c˜ oes

  47

  5.1 Entropia de um sistema dinˆamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  6 Perspectivas futuras

  50

  6.1 Hiperbolicidade parcial por peda¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  6.2 Existˆencia de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  6.3 Medida Misturadora e Decaimento de Correla¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 51 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  51 Introdu¸c˜ ao

  Neste trabalho, no contexto de hiperbolicidade parcial como no artigo [1], pro- pomos uma constru¸c˜ao geral de uma estrutura de Markov Induzida para transforma¸c˜oes em tempo discreto n˜ao uniformemente hiperb´olicas. Uma caracter´ıstica distintiva desta estrutura ´e que ela captura as trajet´orias com comportamento de expans˜ao na dire¸c˜ao cen- tro inst´avel. Este passo ´e natural visto que, desde o final dos anos 60 e 70, Sinai, Ruelle e Bowen j´a usavam a parti¸c˜ao de Markov e Dinˆamica Simb´olica de Sistemas Uniformemente Hiperb´olicos para deduzir propriedades estat´ısticas de tais sistemas, ver [5, 12, 13]. Tal t´ecnica consiste em substituir o sistema dinˆamico inicial por outro mais f´acil de entender e de onde se pode recuperar muito mais informa¸c˜oes sobre o sistema inicial. Recordamos que uma Parti¸c˜ao de Markov para uma aplica¸c˜ao f : Λ

  → Λ definido em um conjunto uniformemente hiperb´olico Λ ´e uma cobertura , . . . , R s

  1 P = {R } de Λ satisfazendo

  1. intR = i j u u s s ∩ intR ∅ para i 6= j ; 2. f (W (x, R i )) (f (x), R j ) e f (W ((x), R i )) (f (x), R j ) onde x i ,

  ⊃ W ⊂ W ∈ intR k k f (x) j e W (x, R) = W (x) ∈ intR ∩ R k ∈ {s, u}.

  Para o estudo de sistemas al´em dos uniformemente hiperb´olicos, Young usou a parti¸c˜ao de Markov para construir as denominadas torres de Young em sistemas com hiperbolicidade n˜ao uniforme, ver [14, 15], que podem ser entendidas como uma genera- liza¸c˜ao das parti¸c˜oes de Markov. Sob essas torres, Young mostrou a existˆencia de medidas SRB. Como essa estrutura geom´etrica ´e o ponto de partida para obter propriedades que implicam existˆencia de estados Gibbs, hoje em dia esta ´e referida em alguns trabalhos como uma estrutura tipo Gibbs-Markov-Young (GMY). Tal estrutura produto, denomi- nada estrutura produto - Torres de Young, ( ver defini¸c˜ao1.3.7), ´e caracterizada por uma regi˜ao adequada do espa¸co de fase, particionada em subconjuntos (parti¸c˜ao possivelmente infinita) cada um dos quais com um determinado tempo de retorno. Comparando-se com as parti¸c˜oes de Markov cl´assicas, temos que a principal diferen¸ca ´e quanto `a possibilidade de tempos de retorno arbitrariamente grandes. Isto ´e indispens´avel no contexto de hiper- bolicidade n˜ao uniforme, em que grandes tempos de espera s˜ao necess´arios para atingir

  Em [1] Alves, Bonatti e Viana consideraram atratores parcialmente hiperb´olicos com dire¸c˜ao centro-inst´avel n˜ao uniformemente expansora, isto ´e, o espa¸co tangente ´e cu s cu s s decomposto em subfibrados E e E tais que T M = E , com dire¸c˜ao E uniforme- cu ⊕ E mente contrativa e dire¸c˜ao E n˜ao uniformemente expansora. Eles construiram medidas Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) suportadas em tais atratores. Em [4] Alves e Pinheiro obtive- ram uma estrutura produto - Torres de Young e, al´em disso, o decaimento de correla¸c˜ao da fun¸c˜ao tempo de retorno pode ser controlado em termos de quanto tempo os pontos t´ıpicos precisam para alcan¸car algum tipo de expans˜ao na dire¸c˜ao centro inst´avel.

  Pinheiro, por sua vez, em [10] prop˜oe uma constru¸c˜ao geral de uma estrutura Induzida de Markov para transforma¸c˜oes n˜ao uniformemente expansoras, e com esta es- trutura ´e capaz de mostrar a existˆencia de medidas invariantes erg´odicas absolutamente cont´ınuas com rela¸c˜ao a qualquer medida de referˆencia expansora com algum controle do Jacobiano e, em especial, quando a medida de referˆencia ´e a medida de Lebesgue, isto resulta na medida f´ısica da transforma¸c˜ao. Tal trabalho aprofunda o desenvolvimento da teoria erg´odica desta classe de sistemas.

  Neste contexto, o presente trabalho d´a uma continuidade ao desenvolvimento da teoria erg´odica da classe de sistemas n˜ao uniformemente hiperb´olicos. Para isto, mos- tramos a existˆencia de uma aplica¸c˜ao markoviana induzida no contexto do artigo [1] que corresponde `a estrutura hiperb´olica de [14], quando a medida de referˆencia n˜ao ´e necessari- amente invariante (por exemplo, medida de Lebesgue) e satisfaz uma condi¸c˜ao de controle de distor¸c˜ao, conclui-se a existˆencia de medidas invariantes absolutamente cont´ınuas com respeito `a medida de referˆencia. Al´em disso, se a medida de referˆencia ´e invariante e erg´odica, mostramos a existˆencia de medidas invariantes para a aplica¸c˜ao induzida com tempo de retorno integr´avel. Os principais resultados deste trabalho s˜ao:

  1+

  Teorema A. Seja f : M , K → M um difeomorfismo C ⊂ M um conjunto compacto cs cu positivamente invariante em que f ´e parcialmente hiperb´olico, T k M = E onde cs

  ⊕ E E ´e uniformemente contrativo . Assuma que f ´e n˜ao-uniformemente expansor ao longo cu de dire¸c˜ao centro-inst´avel (NUE-E ), isto ´e n

  X

  1

  −1 −1 cu

  lim sup log E > 0 n k Df | k f j (x)

  →∞ n j =1

  para todo ponto x em um conjunto H ⊆ K de medida µ positiva. Se µ ´e uma medida f

  −invariante e erg´odica, ent˜ao existe uma aplica¸c˜ao Markoviana Induzida (F, P) definido em um aberto Y ⊂ K e uma medida ν F −invariante tal que ν(B) ≤ µ(B) para todo conjunto aberto B

  ⊂ Y e tal que ´ Rdν < ∞, onde R ´e tempo de indu¸c˜ao de F .

  1+

  Teorema B. Seja f : M , K → M um difeomorfismo C ⊂ M um conjunto compacto cs cu positivamente invariante em que f ´e parcialmente hiperb´olico, T k M = E onde cs cu ⊕ E

  E ´e uniformemente contrativo. Assuma que f ´e NUE-E para todo ponto x em um conjunto H ⊆ K de medida µ positiva. Se µ tem controle de distor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro- inst´avel, ent˜ao existe uma cole¸c˜ao de medidas f s absolutamente

  −invariantes erg´odicas ν cont´ınuas com respeito a µ tais que µ −quase todo ponto x ∈ K pertence `a bacia de uma destas medidas de probabilidade.

  O primeiro cap´ıtulo est´a organizado em quatro se¸c˜oes. Na primeira apresentamos as principais defini¸c˜oes no contexto de conjuntos Parcialmente Hiperb´olicos; na segunda se¸c˜ao recordamos algumas defini¸c˜oes e resultados em tempos hiperb´olicos provados em [1, 3]. Estes resultados assumidos aqui, visto que, se a medida de referˆencia n˜ao ´e neces- sariamente invariante e erg´odica, estamos sob a hip´otese de controle de distor¸c˜ao, hip´otese necess´aria para alguns destes resultados. Na terceira se¸c˜ao, definimos a estrutura produto Torres de Young, pois a estrutura constru´ıda aqui satisfaz a esta estrutura produto. Na quarta e ´ ultima se¸c˜ao definimos o nosso conceito de Estrutura Markoviana Induzida.

  J´a o segundo cap´ıtulo est´a organizado em duas se¸c˜oes. Na primeira generalizamos a constru¸c˜ao de conjuntos “Nested” proposto por Pinheiro em [10] para a constru¸c˜ao de conjuntos encaixados no contexto de hiperbolicidade parcial, adaptada a pr´e-imagens com algum tipo de contra¸c˜ao em uma dire¸c˜ao. Na segunda se¸c˜ao, sob a hip´otese de controle de distor¸c˜ao, estudamos componentes u-erg´odicas e mostramos a existˆencia de atratores dentro de cada componente. Em contrapartida, e por resultados desta mesma se¸c˜ao, se a medida de referˆencia ´e invariante e erg´odica temos uma ´ unica componente, mostrando assim a existˆencia de um ´ unico atrator, n˜ao necessariamente contendo um disco.

  No terceiro cap´ıtulo provamos o Teorema A. Para isto, constru´ımos uma Parti¸c˜ao Markoviana Induzida com rela¸c˜ao aos iterados da dinˆamica f no contexto do artigo [1]; Associada a esta Parti¸c˜ao mostramos a existˆencia de uma aplica¸c˜ao induzida R

  (x)

  F : (x) C(∆) → C(∆), com F (x) = f para ∆ um disco com dire¸c˜ao centro-inst´avel contida em cones centro-inst´aveis e

  C(∆) = S s x δ s W (x) denominados aqui por Cilindros. A aplica¸c˜ao F ´e denominado Aplica¸c˜ao

  ∈∆ Markoviana Induzida com um limite apropriado no tempo de indu¸c˜ao.

  Para o quarto cap´ıtulo, reservamos a prova do Teorema B. Para isto mostramos que a Parti¸c˜ao Markoviana definida no cap´ıtulo anterior satisfaz a estrutura produto definida pela Young em [14] , ver defini¸c˜ao 1.3.7.

  No quinto cap´ıtulo apresentamos exemplo de aplica¸c˜oes desta constru¸c˜ao. No sexto e ´ ultimo cap´ıtulo apresentamos o direcionamento para poss´ıveis trabalhos. Cap´ıtulo 1 Defini¸c˜ oes e Resultados

  Neste cap´ıtulo apresentamos resultados e defini¸c˜oes fundamentais no contexto de sistemas parcialmente hiperb´olicos, dentre eles tempos hiperb´olicos, estrutura produto Torres de Young e estrutura Markoviana Induzida.

1.1 Sistemas Parcialmente Hiperb´ olicos

  Seja M uma variedade Riemanianna compacta limitada e µ uma medida Riema- nianna normalizada definida em conjuntos Borel de M. Dada uma subvariedade γ ⊂ M, µ γ denota a medida µ em γ induzida pela restri¸c˜ao da estrutura Riemanianna para γ.

  Escrevemos d(., .) para denotar a distˆancia entre dois pontos, d γ (., .) a distˆancia induzida em γ e diam para o diˆametro.

  1+

  Seja f : M em uma variedade Riemanianna de → M um difeomorfismo C

  1+

  1

  dimens˜ao finita. Dizemos que f ´e C se f ´e C e Df ´e Holder cont´ınuo. Um conjunto K ⊂ M ´e dito invariante se f(K) = K e positivamente invariante se f(K) ⊂ K .

  Defini¸c˜ ao 1.1.1. Um subconjunto compacto positivamente invariante K ⊂ M tem de- composi¸c˜ao dominada, se existe decomposi¸c˜ao cont´ınua Df cs cu −invariante do subfibrado tangente T k M = E e 0 < β < 1 tais que (para alguma m´etrica Riemanianna

  ⊕ E k . k em M) cs cu x f

−1

cs cu k Df | E k . k Df | E (x) k≤ β, x ∈ K Chamamos E de subfibrado centro-est´avel e E de subfibrado centro-inst´avel.

  Defini¸c˜ ao 1.1.2. Um conjunto compacto invariante K ⊂ M ´e chamado de parcialmente cs cu cs cu

  memente contrativo ou E ´e uniformemente expansor, isto ´e, existe 0 < β < 1 tal que (para alguma metrica Riemanianna cs −1 cu −1 k . k em M) k Df | E x k≤ β, ou, k Df | E f (x) k ≤ β para x ∈ K

  Neste trabalho consideramos Conjunto Parcialmente Hiperb´olico no sentido do [1], em que a dire¸c˜ao centro-est´avel ´e uniformemente contrativa e a dire¸c˜ao centro-instavel cs s ´e n˜ao-uniformemente expansora, a definir. A partir daqui denote E por E .

  Defini¸c˜ ao 1.1.3. Dado λ > 0, dizemos que f ´e n˜ao-uniformemente expansor em um ponto x ∈ H na dire¸c˜ao centro-inst´avel, se para alguma m´etrica Riemanianna k . k em M n

  −1

  X

  1 cu

  −1 −1 j

  lim sup log > λ (1.1) k Df | E f k n (x) →∞ n j =0 cu Nota 1.1.4. Se H satisfaz defini¸c˜ao anterior, denotamos f em H por N U E .

  − E Defini¸c˜ ao 1.1.5. Chama-se bacia de uma medida invariante ν ao conjunto B(ν) de ponto

  ∗

  de M tais que a m´edia de Birkhoff ao longo da ´orbita de x converge na topologia f raca para ν , isto ´e n

  −1 ˆ

  X

  1 j lim sup φ(f (x)) = φdν, (M ). (1.2) n →∞ n j ∀φ ∈ C

  =0

1.2 Resultados Preliminares

  Nesta se¸c˜ao recordamos algumas defini¸c˜oes e resultados, em tempos hiperb´olicos, provados em [1, 3]. Vale ressaltar que estes resultados s˜ao assumidos aqui em abordagens de dois contextos diferentes. Se a medida de referˆencia n˜ao ´e necessariamente invariante e erg´odica, estamos sob a hip´otese de controle de distor¸c˜ao e quando a medida de referˆencia ´e invariante e erg´odica tais resultados n˜ao ser˜ao usados. A hip´otese de controle de disto¸c˜ao ´e desnecess´aria quando a medida de referˆencia ´e Lebesgue, que ´e a medida assumida para a prova destes resultados. s cu

  Considere uma extens˜ao de E e E , n˜ao necessariamente Df invariante, para s cu alguma vizinhan¸ca U de K, denotada respectivamente por ˜ E e ˜ E que, por abuso de s cu cu cu

  Defini¸c˜ ao 1.2.1. Dado 0 < a < 1, um Campo de Cones centro-inst´avel C = (C (x)) x a a ∈U de largura a ´e definido por cu s cu C (x) = + v /

a {v ∈ E x ⊕ E x k v k≤ a k v k}.

  1

  2 s s

  1

  2 O Campo de Cone est´avel C = (C (x)) x de largura a ´e definido similarmente s s cu a a ∈U

  por C (x) = + v / a

  1 2 x x

  2

  1 {v ∈ E ⊕ E k v k≤ a k v k}.

  Fixe a > 0 e U vizinhan¸ca pequena tal que a condi¸c˜ao de domina¸c˜ao (1) se verifica

  −1 s s cu cu

  para todo ponto x (U ) e todo vetor tangente v (x), v (f (x)): a a ∈ U ∩ f ∈ C ∈ C s −1 cu s cu

  (f (x))v k Df(x)v k . k Df k≤ β k v kk v k .

1 Defini¸c˜ ao 1.2.2. Uma subvariedade C mergulhada ∆

  ⊂ U ´e tangente ao Campo de Cone centro-inst´avel, denominada cu

  −disco, se o subespa¸co tangente de ∆ em cada ponto cu cu x a a (x), isto ´e T x ∆ (x), para todo ponto ∈ ∆ est´a contido no cone correspondente C ⊂ C x ∈ ∆.

  Nota 1.2.3. Se uma subvariedade L satisfaz a Defini¸c˜ao 1.2.2, e L ⊂ V , ent˜ao f(L) ´e tangente a um Campo de Cone centro-inst´avel, pela propriedade de domina¸c˜ao.

1.2.1 Tempos Hiperb´ olicos e Distor¸c˜ ao Limitada

  Nesta subse¸c˜ao definimos Tempos Hiperb´olicos, que ´e a no¸c˜ao que permite deduzir a expans˜ao e distor¸c˜ao uniforme da condi¸c˜ao de n˜ao-uniformemente expansor na dire¸c˜ao cu centro inst´avel (NUE-E ), e suas consequˆencias.

  Defini¸c˜ ao 1.2.4. Dado 0 < σ < 1, dizemos que n ´e tempo σ n −hiperb´olico para x ∈ K se Y

  

−1 cu k

j

  , 1 (1.3) k Df | E f k≤ σ ≤ k ≤ n. j =n−k+1

(x)

Para todo n

  ≥ 1, denote H n (σ) = {x ∈ K : n ´e tempo σ − hiperb´olico}. Nota 1.2.5. Dado 0 < σ < 1 e x n (σ), obtemos

  ∈ H n Y

  −k cu −1 cu k n j

  k Df | E f (x) k≤ k Df | E f k≤ σ

  (x) Nota 1.2.6. Por continuidade o Campo de Cone centro-inst´avel ´e positivamente invariante, cu cu −1 isto ´e, Df (x)C (x) (f (x)) para x (U ) e se a > 0 e δ > 0 s˜ao a a

  1

  ⊂ C ∈ K e x ∈ U ∩ f suficientemente pequenos tais que a δ

  1

  −vizinhan¸ca V de K est´a contido em U temos:

  1 cu

  −1 −1

  (f (y))v f (1.4) k Df k≤ √ k Df | E (x) kk v k 4 cu σ onde x

  1 , e v (y).

  ∈ K, dist(x, y) ≤ δ ∈ C a O pr´oximo Lema ´e devido a Pliss e sua prova pode ser encontrada em [1].

  Lema 1.2.7. Dado A

  2 > c 1 > 0 seja θ > 0 . Ent˜ao dados n´ umeros reais a 1 , . . . , a N

  ≥ c tais que N

  X a j

  2 N j ≥ c =1

  com a j < . . . < n l

  1

  ≤ A para todo 1 ≤ j ≤ N existe l > θN e 1 < n ≤ N de modo que N

  X a j (n i

  

1

j ≥ c − n) =1

  para todo 0 i e 1 ≤ n < n ≤ i ≤ l. O pr´oximo resultado garante a existˆencia de tempos σ

  −hiperb´olicos para pontos x em uma conjunto K parcialmente hiperb´olico como tomado anteriormente.

  Corol´ ario 1.2.8. Existe σ > 0 tal que todo x ∈ H tem infinitos tempos σ−hiperb´olicos. Demonstra¸c˜ao. Dado x

  ∈ H, pela equa¸c˜ao (1.1) temos que existem infinitos inteiros positivos N tal que N

  X cu

  −1 −1 j

  log f j k Df | E (x) k ≥ cN.

  =1 c cu −1 −1

  Ent˜ao ´e suficiente tomar c = , c = c, A = sup

  1

  

2

  | log k Df | E k |, e cu

  2 −1 −1

  a j = log no Lema 1.2.7. k Df | E k

  A pr´oxima proposi¸c˜ao est´a em [1] e garante frequˆencia positiva de tempos hi- perb´olicos pontos x ∈ H. Proposi¸c˜ ao 1.2.9. Dado λ > 0 existe θ > 0 tal que # j (σ) (1.5)

  {1 ≤ j ≤ n ; x ∈ H } ≥ θn onde n

  −1

  X j

  −1 −1

  log (x))) (1.6) i k (Df(f k ≥ λn

  =0

  Denote por H n (σ, θ) = {x ∈ H : a frequˆenica de tempos σ − hiperb´olico ´e ≥ θ}.

  1 Seja ∆ um cu contindo em V . Use dist (., .) , como antes, para denotar ∆

  −disco C distˆancia entre dois pontos no disco ∆. A distˆancia a partir de um ponto x ∈ ∆ para o bordo de ∆ ´e dist ∆ (x, ∂∆) = inf y ∈∂∆ dist ∆ (x, y).

  O pr´oximo resultado ´e o Lema 4.2 de [3]. Lema 1.2.10. Dado um cu

  , existe n o

  1

  −disco ∆ ⊂ U de raio δ, com 0 < δ < δ ≥ 1 tal δ que para x (x, ∂∆) e n o tempo σ

  ∆

  ∈ ∆ ∩ K com dist ≥ ≥ n −hiperb´olico para x, ent˜ao

  2

  existe vizinhan¸ca V n (x) de x tal que: n n 1. f envia difeomorficamente V n em um disco de raio δ

  1 em torno de f (x) tangente

  ao compo de cones centro-inst´avel;

  2. Para todo 1 n , ≤ k ≤ n e y, z ∈ V n n n n k n −k −k −k 2 n dist f (f (y), f (z)) dist f n (f (y), f (z));

  

(V n ) (V )

n ≤ σ k

  Q cu

  −1 2 3. Para todo 1 , j . n

  ≤ k ≤ n e y ∈ V j k Df | E k≤ σ

  =n−k+1 f (y) n

  Os conjuntos V n (x) s˜ao chamados de pr´e-discos hiperb´olicos e suas imagens f (V n (x)) = n D δ (f (x)) discos hiperb´olicos. 1 J´a o pr´oximo resultado est´a provado em [1].

1 Lema 1.2.11. Dado um C disco ∆ tangente ao campo de cones centro-inst´avel,

  ⊂ V x ∈ ∆ ∩ K e n ≥ 1 um tempo σ−hiperb´olico para x, ent˜ao n n n n k n −k −k −k 2 n dist (f (y), f (x)) dist f (f (y), f (x)) f (∆) (∆) n n ≤ σ Defini¸c˜ ao 1.2.12. Uma medida µ, finita e f -n˜ao singular definida na σ-´algebra de Borel associada a M ´e chamada medida parcialmente hiperb´ olica f raca se para algum σ < 1 e µ quase todo ponto possui infinitos tempos σ-hiperb´olicos. Uma medida µ parcialmente hiperb´ olica f raca ´e dita ser medida parcialmente hiperb´ olica se

  1 lim sup # j (σ, θ) (1.7) n n {1 ≤ j ≤ n; x ∈ H } > 0,

  →∞

  para µ quase todo ponto x ∈ M. cu Observa¸c˜ao 1.2.13. Dado um conjunto H NUE-E , isto ´e n −1

  X

  1

  −1 cu −1 j

  lim sup log > λ k Df | E f k

  (x)

  n j

  =0

  para todo x ∈ H, pelos resultados 1.2.9 e 1.2.10 temos que existem infinitos n tais que x n (σ, θ). Consequentemente, se µ ´e uma medida f -n˜ao singular em M tal que

  ∈ H µ(H) > 0, temos que µ ´e parcialmente hiperb´ olica . s Dados γ, γ cu-discos, e γ (x) a variedade est´avel de x. Definimos a holonomia Θ como segue:

  Θ : γ γ ∩ K → ∩ K s x (x)

  7→ γ ∩ γ n u n Para o que se segue dada qualquer n ) denota a restri¸c˜ao do mapa f a n u n u ≥ 1, (f um cu-disco e seja J µ (f ) o jacobiano de (f ) com respeito a medida µ.

  Defini¸c˜ ao 1.2.14. Dizemos que uma medida µ tem Jacobiano com respeito ao mapa

  

1

  f : M µ f (µ) tal que → M se existe uma fun¸c˜ao J ∈ L ˆ

  µ(f (A)) = J µ f dµ A para todo conjunto mensur´avel A tal que f A ´e injetivo.

  | Note que como estamos sob a hip´otese de uma dinˆamica dada por um difeomor-

  1+ fismo C a condi¸c˜ao de injetividade se torna desnecess´aria.

  Defini¸c˜ ao 1.2.15. Dizemos que uma medida µ parcialmente hiperb´olica possui distor¸c˜ao limitada na dire¸c˜ao centro-inst´avel se:

  −1

  1. ´ E f µ µ(= µ ) ´e o “push-forward” de µ

  ∗ ∗

  −n˜ao-singular, ou seja f ≪ µ, onde f ◦ f por f ;

  2. Θ ´e absolutamente cont´ınua com respeito a medida µ;

  3. J µ f (x) est´a definido em µ −quase todo ponto x ∈ H; u

  4. E existe C > 0 e 0 < ς µ f (x) ´e (C, ς) ≤ 1 tal que a fun¸c˜ao x 7→ J −Holder para µ quase todo ponto x

  ∈ H. O resultado seguinte est´a provado na Proposi¸c˜ao 5.5 de [3], e a mesma ´e no contexto da medida de referˆencia Lebesgue, para o qual a hip´otese de distor¸c˜ao limitada

  ´e desnecess´aria. Proposi¸c˜ ao 1.2.16. Seja ∆ um cu

  −disco e U ⊆ H, se a medida µ parcialmente hi- perb´olica possui distor¸c˜ao limitada com µ (U ) > 0. Ent˜ao existe uma sequˆencia de con-

  ∆ juntos . . .

  < n < . . . tais que:

  2

  1

  1

  2

  ⊆ W ⊆ W ⊆ ∆ e uma sequˆencia de inteiros n

  1. W k est´a contido em algum pr´e-disco hiperb´olico com tempo hiperb´olico n k ; n k δ 1 2. ∆ k := f (W k ) ´e um cu-disco de raio ;

  

4

µ f (U ∩∆) nk

  3. lim k = 1

  →∞ µ (∆ k ) ∆k

1.3 Estrutura Torres de Young

  Nesta se¸c˜ao n´os introduziremos a defini¸c˜ao de uma estrutura produto apresentada por Young em [14]. Defini¸c˜ ao 1.3.1. Um disco γ

  ⊂ M ´e chamado Variedade Est´avel se para todo x, y ∈ γ, ∃ 0 < λ < 1, tais que n n n dist(f (x), f (y)) quando n

  ≤ λ → ∞ De forma similar definimos uma Variedade Inst´avel γ se para todo x, y

  ∈ γ, ∃ 0 < λ < 1, tais que n

  −n −n

  dist(f (x), f (y)) quando n ≤ λ → ∞

  Defini¸c˜ ao 1.3.2. Seja Λ um conjunto hiperb´olico, para todo x ∈ Λ, existe ǫ, δ > 0, os conjuntos s n n

  W (x) = (x), f (y)) δ {y ∈ M ; dist(f ≤ δ, ∀n ∈ N}, s˜ao chamadas Variedade ou disco Est´avel Local e Variedade ou disco Inst´avel Local para s u x respectivamente. Note que W (x) e W (x) s˜ao subvariedades fechadas e com bordo de δ δ M . u n u

  1 Defini¸c˜ ao 1.3.3. Dado n um disco unit´ario em R e Emb (D , M ) um

  ≥ 1, seja D u

  1

  1

  espa¸co de mergulhos C de D em M . Uma Fam´ılia C Cont´ınua de Discos Inst´aveis ´e u u s um conjunto Γ de discos inst´aveis γ satisfazendo: Existe um conjunto compacto K e u s u uma aplica¸c˜ao Φ : K u u u × D → M tais que 1. γ = Φ ( ) ´e um disco inst´avel local; u s u {x} × D 2. Φ envia homeomorficamente K sobre sua imagem; u u s u × D

  1

  3. x ) ´e um mapa cont´ınuo de K para Emb (D , M ) 7→ Φ | ({x} × D

  1 s De forma similar definimos a Fam´ılia C Cont´ınua de discos Est´aveis Γ .

  Defini¸c˜ ao 1.3.4. Um subconjunto Λ ⊂ M tem uma Estrutura Produto se, para algum u u n

  = e uma ≥ 1, existe uma fam´ılia cont´ınua de discos inst´aveis n−dimensional Γ ∪γ s s fam´ılia cont´ınua de discos est´aveis (m) = tais que: u s −dimensional Γ ∪γ

  1. dimγ + dimγ = n + m = dimM ; u s

  2. Os γ −discos s˜ao transversais aos γ −discos com ˆangulos limitados e afastados de zero; s u

3. Cada γ u s −disco intersecta γ −disco em exatamente um ponto; 4. Λ = Γ .

  ∩ Γ Defini¸c˜ ao 1.3.5. Seja Λ s u ⊂ M um conjunto com Estrutura Produto definido por fam´ılias Γ e Γ . Um subconjunto Λ tem uma estrutura

  ⊂ Λ ´e chamado s-subconjunto se Λ u s s s produto e as fam´ılias que o definem podem ser tomadas como Γ e Γ com Γ ; u ⊂ Γ u-subconjuntos s˜ao definidos analogamente. Para x (x) como o elemento de u ∈ Λ, seja γ Γ que cont´em x.

  Defini¸c˜ ao 1.3.6. Dados x, y i , n = s (x, y) ´e um tempo de separa¸c˜ao de x e y se as ∈ Λ n n

  • 1 +1

  ´orbitas de x e y est˜ao “juntas” nos n (x) e f (x) est˜ao “separadas”, de −iterados e f forma mais geral s (

  ·, ·) ´e tal que: s i) s ( contendo os dois pontos;

  ·, ·) ≥ 0 e depende apenas do disco est´avel γ ii) O n´ umero m´aximo de ´orbitas a partir de Λ i que s˜ao separados em pares antes do tempo n ´e finito para cada n; R R

  (Λ i ) (Λ i )

  iii) Para x, y i , s (x, y) i ) + s (f (x), f (y)), em particular, s (x, y) ∈ Λ ≥ R(Λ

  ≥ R(Λ i ); iv) Para x i , y j , com i i = R j , temos que s (x, y) < R(Λ i )

  ∈ Λ ∈ Λ 6= j mas R − 1. n u n n u Como antes denotaremos por (f ) a restri¸c˜ao de f em cu-discos e J µ (f ) o n u jacobiano de (f ) .

  Defini¸c˜ ao 1.3.7. Dizemos que um conjunto Λ com estrutura produto que satisfaz as propriedades (P ) ), descritas abaixo, tem uma Estrutura - Torres de Young.

  1

  5

  − (P u (P ) µ γ ;

  1 {γ ∩ Λ} > 0 para todo γ ∈ Γ (P ) Existem s-subconjuntos disjuntos Λ , Λ , . . .

  2

  1

  

2

u u u ⊂ Λ tais que

  1. Para cada γ γ i ) −disco, µ {(Λ − ∪Λ ∩ γ } = 0; R

  • (Λ i )

  2. Para cada i i ) tal que f Λ i ´e um u ∈ N e,.¸cxiste R(Λ ∈ N −subconjunto de R s s R

  (Λ i ) (Λ i )

  Λ, exigimos na verdade que para todo x i , f (γ (x)) (f x) e R u u R ∈ Λ ⊂ γ

  (Λ i ) (Λ i )

  f (γ (x)) (f x); ⊃ γ

  Existem constantes C > 0 e α < 1 tais que para todo x, y s s ∈ Λ: (P ) Contra¸c˜ao uniforme em Γ : Para todo x (x) e todo n

  3 n n n ∈ Λ e cada y ∈ γ ≥ 0 dist(f (x), f (y))

  ≤ Cα u u (P ) Contra¸c˜ao para o passado e distor¸c˜ao limitada em Γ : Para y (x) e 0

  4

  ∈ γ ≤ k ≤ n < s (x, y): n n s

  (x,y)−n

  1. dist(f (x), f (y)) ; ≤ Cα 2. . R u

  (Λ i )

  J (f ) (x) µ R R

  (Λ i ) (Λ i )

  log (x), f (y)) R (Λ i ) u ≤ Cdist(f J µ (f ) (y) i u s

  (P ) Convergˆencia de D(f ) e continuidade absoluta de Γ :

  5 | γ s

  1. Para y (x) e todo n ∈ γ ≥ 0

  ∞ u i

  Y J µ f (f x) n log u i ≤ Cα

  J µ f (f y) u s ′ ′

2. Dados γ, γ , defina a holonomia Θ : γ (x) ∈ Γ ∩ Λ → γ ∩ Λ como Θ(x) = γ ∩ γ.

  Entao Θ ´e absolutamente cont´ınua com

  ∞ −1 u i

  d(Θ µ ) Y ⋆ γ J µ f (f (x)) (x) = u i dµ γ J µ f (f (Θ(x))) i

  =0

1.4 Estrutura Markoviana Induzida

  Nesta sec¸c˜ao incialmente aparesentamos a difini¸c˜ao de uma Parti¸c˜ao de Mar- kov para conjuntos hiperb´olicos e para conjuntos n˜ao uniformemente expansor (NUE), posteriomente adaptamos essa no¸c˜ao para o nosso contexto Parcialmente Hiperb´olico.

1.4.1 Conjuntos Hiperb´ olicos

  Considere Λ um conjunto hiperb´olico, isto ´e, Λ ⊂ M ´e um conjunto invariante para um difeomorfismo f : M s u −→ M, e existe C > 0, λ ∈ (0, 1) e para todo x ∈ Λ existem E (x), E (x) x M tais que: s u ⊂ T

  1. T x M = E (x) (x); n s n s s s ⊕ E 2. v (x) e n k df x k≤ Cλ k v k , ∀v ∈ E ≥ 0; u n u u u

  −n

  3. v (x) e n k df k≤ Cλ k v k , ∀v ∈ E ≥ 0; s s u u 4. df x E (x) = E (f (x)) e df x E (x) = E (f (x)) . s u Denotamos por [x, y] o ponto originado por W (x) (y). Um conjunto R ǫ ǫ

  ∩ W ⊂ Λ ´e chamado de retˆangulo se tem diˆametro pequeno e se [x, y]

  ∈ R para x, y ∈ R. Um retˆangulo R ´e chamado pr´oprio se R ´e fechado e R = intR. Para x

  ∈ R seja s s W (x, R) = W (x) ǫ

  ∩ R e do mesmo modo u u W (x, R) = W (x) ǫ

  ∩ R, onde ǫ ´e pequeno e o diˆametro de R ´e pequeno comparado a ǫ.

  Defini¸c˜ ao 1.4.1. Uma Parti¸c˜ao de Markov de Ω ⊂ Λ ´e uma cobertura finita P = a) intR i j = u u s s ∩ intR ∅ para i 6= j;

  b) f (W (x, R i )) (f (x), R j ) e f (W (x, R i )) (f (x), R j ) para x i e f (x) ⊃ W ⊂ W ∈ intR ∈ intR j .

  A prova do teorema que segue pode ser encontrada em [5]. Teorema 1.4.2. Seja Ω um conjunto b´asico, compacto, f

  −invariante localmente maximal hiperb´olico transitivo para f difeomorfismo Axioma A. Ent˜ao Ω tem uma parti¸c˜ao de Markov P de diˆametro arbitrariamente pequeno.

1.4.2 Conjuntos NUE.

  Nesta subse¸c˜ao apresentamos a no¸c˜ao de Parti¸c˜ao de Markov proposta por Pi- nheiro em [10], que ´e uma estrutura de Markov para transforma¸c˜oes n˜ao uniformemente expansora e captura todas as trajet´orias com alguma expans˜ao.

  Seja f : U → U um mapa mensur´avel definido com um conjunto de Borel U de um espa¸co m´etrico compacto, separ´avel M . Uma cole¸c˜ao cont´avel , P , P , . . .

  1

  2

  3 P = {P }

  de subconjuntos Borel de U ´e chamado Parti¸c˜ao de Markov se: 1. int(P i ) j ) =

  ∩ int(P ∅ se i 6= j ;

  2. Se f (P i ) j ) i ) j ) ; ∩ int(P 6= ∅ ent˜ao f(P ⊃ int(P

  3. ♯ i ); i {f(P ∈ N} < ∞ ;

  4. f P ´e um homeomorfismo e pode ser estendido para um homeomorfismo que envia i |

  ¯ P i para f (P i ) ;

  T S

  −n i

  5. lim n diametro( n (x)) = 0e f ( P i ) onde n (x) = (y)) = P ∀x ∈ n i P {y; P(f i

≥0

  (x)) P(f ∀0 ≤ j ≤ n} e P(x) denota o elemento de P que cont´em x . Defini¸c˜ ao 1.4.3. Uma cole¸c˜ao enumer´avel , P , P , . . .

  1

  2

  3 P = {P } de subconjuntos Borel

  de U ´e chamado Parti¸c˜ao de Markov Induzida se satisfaz todas as condi¸c˜oes da Parti¸c˜ao de Markov exceto o segundo item que deve ser substitu´ıdo por: i i ❼ Para cada P ∈ P existe R ≥ 1 tal que l l l

  1. Se l < R i e int(f (P i )) j ) (P i )) j ) ou int(f (P i )) ∩int(P 6= ∅ ent˜ao int(f ⊂ int(P ⊃ int(P j ) ; R i R i Defini¸c˜ ao 1.4.4. O par (F, P) , onde P ´e uma parti¸c˜ao de Markov de F : U → U , ´e chamada Aplica¸c˜ao de Markov definido em U . Se F (P ) = U

  ∀P ∈ P, (F, P) ´e chamado Aplica¸c˜ao de Markov Completa.

1.4.3 Conjuntos Parcialmente Hiperb´ olicos

  Nesta subse¸c˜ao apresentamos a defini¸c˜ao de uma Parti¸c˜ao Induzida no contexto de hiperbolicidade n˜ao-uniforme. Considere K ⊂ M conjunto parcialmente hiperb´olico como definido na se¸c˜ao 1.1. Defini¸c˜ ao 1.4.5. Dado um cu e δ s > 0, defina o cilindro sobre ∆ por:

  −disco ∆ [ s

  ) = W (x). (1.8) C(∆ δ s x

  

∈∆

Note que ) ´e fechado.

  C(∆ Para algum δ s fixado, e um subdisco ∆ considere a proje¸c˜ao π a partir de

  ⊂ ∆ C(∆) em ∆ ao longo de variedade est´aveis locais

  π : ∆ C(∆) −→ s x (x)

  7−→ W δ s ∩ ∆. u Defini¸c˜ ao 1.4.6. Dado ∆ como antes, definimos a fam´ılia ¯ Γ como o conjunto de todos os discos centro-inst´aveis locais intersectando u

  C(∆) e dizemos que um disco centro-inst´avel γ u

  −atravessa C(∆) se u π(γ

  (1.9) ∩ C(∆)) = ∆. s s Para o que se segue definimos W (x, C i ) = W (x) i . ∩ C

  Defini¸c˜ ao 1.4.7. Dado um disco Centro-Inst´avel ∆, uma Parti¸c˜ao Markoviana para , C , . . .

  1

  2 C(∆) ⊂ K, com respeito a f, ´e uma parti¸c˜ao enumer´avel P = {C } de C(∆) por

  Cilindros abertos com

  a) C i j = ∩ C ∅ para i 6= j; s s

  b) f (W (x, C )) (f (x), C ) para x )) e f (x) ; i j i j u u u ⊂ W ∈ (π(C ∈ C u

  Defini¸c˜ ao 1.4.8. Dado um disco Centro-Inst´avel ∆, uma Parti¸c˜ao Markoviana Induzida para , C , . . . C(∆) ⊂ K com respeito a f ´e uma cole¸c˜ao enumer´avel P = {C

  1 2 } de C(∆)

  por cilindros com

  a) C i j = ∩ C ∅ para i 6= j;

  b) Para cada C i i ∈ P existe R ≥ 1 tal que l l u u u

  1. se l < R i e (f (C i )) j (γ i )) Γ tal que u ∩ C 6= ∅ ent˜ao π(f ∩ C ⊂ ∆ para ∀γ ∈ ¯ γ i

  ∩ C 6= ∅; R R s s R i i i

  2. Se (f (C i )) j (W (x, C i )) (f (x), C j ) para x i )) e ∩ C 6= ∅ ent˜ao f ⊂ W ∈ (π(C R u u u i u f (x) j e f (γ i ) u Γ tal que γ i

  ∈ C ∩ C −atravessa C(∆) para ∀γ ∈ ¯ ∩ C 6= ∅. Defini¸c˜ ao 1.4.9. O par (F,

  P), onde P ´e uma parti¸c˜ao de Markov de F : C(∆) −→ C(∆), ´e chamado Aplica¸c˜ao Markoviana definido em C(∆).

  Defini¸c˜ ao 1.4.10. Uma Aplica¸c˜ao Markoviana (F, P) definido em C(∆) ´e chamado de

  Aplica¸c˜ao Markoviana Induzida para f em C(∆), se existe uma fun¸c˜ao R : C(∆) −→ N,

  S chamada de tempo induzido, tal que C, R C ´e constante, R (x) {R ≥ 1} = C ∈C | ∀C ∈ P e

  F (x) = f (x) ∀x ∈ C(∆).

  Cap´ıtulo 2 Estruturas principais

2.1 Conjuntos Encaixados

  A no¸c˜ao de intervalos “nice”, introduzida por Martens em [6], ´e uma ferramenta util na teoria de sistemas dinˆamicos reais e complexos de uma dimens˜ao. Um intervalo ´

  • nice ´e um intervalo aberto I tal que a ´orbita positiva (∂I)

  O ∩ I = ∅. Sua principal propriedade ´e que pr´e- imagens de intervalos “nice” n˜ao s˜ao ligadas, isto ´e, se I e I n n 1 2

  1

  2

  s˜ao enviados homeomorficamente em I por f f , respectivamente, ent˜ao I

  1 2 =

  ∩ I ∅, I ou I .

  1

  2

  2

  1

  ⊂ I ⊂ I J´a em [10], Pinheiro propˆos uma constru¸c˜ao abstrata de conjuntos “nested” que reformula e generaliza o conceito de “intervalos nice”. Nesta se¸c˜ao n´os propomos uma adapta¸c˜ao desta contru¸c˜ao para o contexto de conjuntos Parcialmente Hiperb´olicos.

  Sejaf : M −→ M um difeomorfismo definido em um espa¸co m´etrico M completo e separ´avel. Um conjunto P n ⊂ M ´e uma pr´e-imagem regular de ordem n ∈ N de um conjunto D envia P difeomorficamente em D. Vamos denotar por ord(P ) a

  ⊂ M se f ordem de P (com respeito a D).

  Para o que se segue considere o seguinte Lema: Lema 2.1.1. Dado um cu

  −disco ∆ e σ < 1 tal que n ´e tempo σ − hiperb´olico para s y (x). ∈ C(∆); ent˜ao n induz um tempo hiperb´olico para x ∈ ∆ onde y ∈ W δ s n n

  −1 cu

  Demonstra¸c˜ao. De fato, como f (x) e f (y) variam continuamente temos que Df E | f n (x)

  −1 cu

  e Df E variam continuamente e consequentemente existe ǫ s dependendo de δ s tal | f n (y) que: cu cu

  −1 −1 f f n n s .

  | log kDf |E (x) k − log kDf |E (y) k |< ǫ kDf −1|Ecu k f n (x) log kDf −1|Ecu k f n (y) ǫ s

  Assim, e < e , ou seja cu ǫ cu

  −1 s −1 f f n n kDf |E (x) k < e kDf |E (y) k.

  Portanto, n n Y Y cu ǫ cu kǫ k ǫ k

  −1 s −1 s s j j ||Df |E (x) || < ||Df |E (y) || ≤ e ∀1 ≤ k ≤ n, f f e σ = (e σ) , j j =n−k+1 =n−k+1 ǫ s

  fazendo ˜ σ = σe , temos que os tempos σ − hiperb´olicos para todo y ∈ C(∆) induzem tempos ˜ σ

  − hiperb´olicos em ∆, com constante ˜σ piorada. Consequentemente, podemos piorar a constante de hiperbolicidade para ˜ σ (assim pontos em C(∆) ser˜ao considerados pela contru¸c˜ao). Denote o conjunto de pontos de K tais que n

  ∈ N ´e um tempo ˜σ − hiperb´ olico por H n (˜ σ). m Considere h = (h(x)) x ∈H onde h(x) = (x); m m (˜ σ, θ)

  {f ∈ N, x ∈ H } ´e conjunto n de imagens hiperb´olicas de x por f . Dizemos que n ´e um h (x) −tempo para x se f ∈ h(x). n

  A pr´e-imagem hiperb´olica V n (x) ´e chamada de h (V n (x)), se n ´e −pr´e-imagem do disco f h

  −tempo para x. n n Fixe a cole¸c˜ao ξ = (V n ) ; x n (σ, θ), n ξ = (V n ) ; x

  {f ∈ H ∈ N} e ˜ {f ∈ H n (˜ σ, θ), n

  ∈ N} de todos os discos hiperb´olicos de M com constantes hiperb´olicas σ e ˜ σ respectivamente. Para cada n considere ξ n (D) as pr´e-imagens regulares ∈ N e D ∈ ξ de ordem n de D, e analogamente, para D ξ temos ˜ ξ n (D). Considere os conjuntos

  ∈ ˜ ξ n = (ξ n (D)) D e ˜ ξ n = ( ˜ ξ n (D)) , denote ξ = (ξ n ) n e ˜ ξ = ( ˜ ξ n ) n .

  ∈ξ D ξ ∈ ˜

  Seja ξ = (ξ n ) n como antes. Um conjunto P ´e chamado uma ξ n −pr´e-imagem de um cu tal que W = f (P ) −disco W se existe n ∈ N e D ∈ ξ ⊂ D. Analogamente, dizemos P ´e ˜ ξ

  −pr´e-imagem de um cu−disco W . Defini¸c˜ ao 2.1.2. Dizemos que dois conjuntos abertos em um cu-disco ∆ , U e U s˜ao

  1

  2 ligados se U , U e U s˜ao n˜ao vazios.

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  \U \U ∩ U S´o na ilustra¸c˜ao (1) temos U e U conjuntos ligados. Note que dois conjuntos U

  1

  2 1 e U s˜ao ligados se e somente se ∂U e U s˜ao conjuntos n˜ao vazios.

  2

  1

  2

  1

  2

  ∩ U ∩ ∂U Defini¸c˜ ao 2.1.3. Um cu

  −disco ∆ ´e chamado ξ-encaixado se n˜ao ´e ligado com nenhuma ξ −pr´e-imagem de cu−discos que u−atravessam o cilindro C(∆).

  Lema 2.1.4. Se um cu ξ e P s˜ao ξ

  1

  2

  −disco ∆ ´e ˜ −encaixado e P −pr´e-imagens contidas em ∆ de dois elementos de ξ que u ) ), ent˜ao P

  1

  2

  1

  −atravessam C(∆) com ord(P 6= ord(P e P n˜ao s˜ao ligados.

2 Demonstra¸c˜ao. Como P e P s˜ao ξ

  1 2 −pr´e-imagens contidas em ∆ de dois elementos de ξ l i

  que u i i i i i tal que f (P ) = A com l = ord(P ) −atravessam C(∆), temos que existem A ∈ ξ para i < l e, por contradi¸c˜ao, que P e P s˜ao ligados; assim

  1

  2

  1

  2

  ∈ {1, 2}. Assuma que l l 1 P = f (P ) ´e uma ξ tal que A e

  2

  2

  1

  1

  1

  2

  −pr´e-imagem de A ∩ P 6= ∅. Para p ∈ P ∩ ∂P l l l l l l 1 1 1 1 1 1 p , como f (p ) (P ) (P )) = f (P ) (p ) (P )

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  ∈ ∂P ∩ P ∈ f ∩ ∂(f ∩ ∂P e f ∈ f ∩ l l l 1 1 1 ∂(f (P

  1 )) = P (P 1 ) temos que P e f (P 1 ) s˜ao ligados; consequentemente, pela

  ∩ ∂f observa¸c˜ao 2.1.1 feita acima, temos que tempos hiperb´olicos de pontos em ) induzem l 1 C(∆ tempos hiperb´olicos em pontos de ∆ . Assim, se π(f (P )) retornar a

  2 l 1 C(∆), temos que l 1

  π(f (P )) ´e uma ˜ ξ (P )) ´e

  2

  2

  −pr´e-imagem de um cu-disco que u-atravessa C(∆), e π(f l l l l 1 1 1 1 ligado com ∆ pois π(f (p )) (P )) (P ))) = ∆ (p )) l l 1 1 1 ∈ π(f 1 ∩ ∂(π(f ∩ ∂(π(P )) e π(f 2 ∈ π(f (P

  2 )) (P 1 ))) = π(P )

  ∩ ∂(π(f ∩ ∂∆ , mas isso ´e imposs´ıvel, pois ∆ ´e um cu−disco ˜

  ξ −encaixado.

  Corol´ ario 2.1.5. Se ∆ ´e um conjunto ε

  1 e P 2 s˜ao ε

  − encaixado e P − pr´e-imagens de um cu-discos que u e P s˜ao n˜ao ligados. Al´em disso, se

  1

  2

  − atravessam C(∆), ent˜ao P P ) ).

  1

  2

  1

  2

  ∩ P 6= ∅, ent˜ao ord(P 6= ord(P Demonstra¸c˜ao. Suponha que P s˜ao ε

  1

  2

  6= P −pr´e imagens de A, um cu−disco que u−atravessa j = ord(P j ) para j = 1, 2 ent˜ao l . C(∆). Como f ´e difeomorfismo temos que se l

  1 6= l

  2 Assim, se assumimos que l 1 < l

2 , pelo Lema 2.1.4, temos que P

1 e P 2 s˜ao n˜ao ligados.

2.1.1 Constru¸c˜ ao de Conjuntos Encaixados

  Nesta subse¸c˜ao n´os descrevemos a constru¸c˜ao de um conjunto encaixado a partir de um cu de raio r < δ .

  −disco ∆ ⊂ ∆ − diam C(∆), onde δ ´e o raio de ∆ Dado δ como na nota 1.2.6, escolha δ s tal que 0 < δ s < δ /2 tal que pontos em

  1

  1 K tenham variedade est´avel local de tamanho uniforme δ s . Em particular, estas folhas locais est˜ao contidas em U .

  Defini¸c˜ ao 2.1.6. Uma sequˆencia finita , V , ..., V n ) de ξ

  1 K = (V −pr´e-imagens de cu−discos

  que u −atravessam C(∆) ´e chamada de cadeia de pr´e-imagens destes discos iniciando em

  ∆ se: 1. ∆ j

  2. 0 < ord(V ) < ord(V

  −atravessam C(∆) come¸cando em ∆, e analogamente para ch

  P j ´e um conjunto aberto conexo ∀0 ≤ n ≤ n

  =n

  S n 1 j

  , ..., P n ) ∈ ch ξ (∆), ent˜ao

  1

  Observa¸c˜ao 2.1.7. Se (P , P

  ˜ ξ (∆).

  Denote ch ξ (∆) como sendo a cole¸c˜ao de todas as cadeias de pr´e-imagens de cu −discos que u

  1

  5. V i 6= V j para qualquer i 6= j.

  e V j s˜ao ligados, ∀1 ≤ j ≤ n;

  −1

  4. V j

  3. V e ∆ s˜ao ligados;

  ) < ord(V n );

  −1

  ) < ... < ord(V n

  1 ≤ n.

  [ [

  ∗

  ∆ = ∆ C j . (2.1) ε \ C j ∈ch (∆) ξ j

  ∗ ∗

  Defini¸c˜ ao 2.1.8. Dado x , defina o disco ξ (x) como ξ ξ ∈ ∆ −encaixado contendo x, ∆

  ∗

  a componente conexa de ∆ que cont´em x . Denote ∆ como a componente conexa de ξ ξ

  ∗ ∆ (x ) em que x ´e o centro de ∆. ξ

  A pr´oxima proposi¸c˜ao garante que esta constru¸c˜ao de fato origina um conjunto encaixado.

  ∗

  Proposi¸c˜ ao 2.1.9. Para um cu (x) ´e um −disco ∆ de centro x tal que ∆ 6= ∅, ent˜ao ∆ ξ ξ ˜ ˜ conjunto ξ −encaixado.

  Demonstra¸c˜ao. Por contradi¸c˜ao, assuma que existe P ξ ′ ′ −pr´e imagem de um cu−disco W que u ) tal que P e ∆ s˜ao ligados. Ent˜ao existem D tal que ord −atravessa C(∆ ξ ξ ∈ ξ

  (P ) −ord(P )

  W = f (P ) . Considere ¯ P = f (D) ⊂ D e p ∈ P ∩ ∂∆ ξ ⊃ P . Afirma¸c˜ao 2.1.10. ¯ P

  ⊂ ∆ ′ ′ Demonstra¸c˜ao. Para prova a afirma¸c˜ao, primeiro note que ¯ P ∩ ∆ ⊃ P ∩ ∆ ξ ⊃ P ∩ ∆ ξ 6= ∅.

  Por outro lado, se ¯ P P ε (∆) acarretando em uma contradi¸c˜ao com ∩ ∂∆ 6= ∅, ent˜ao ¯ ∈ ch

  ∗ ∗

  a defini¸c˜ao de ∆ pois ¯ P P P P e ∆ s˜ao ξ ∩ ∆ ⊃ ¯ ∩ ∆ 6= ∅. Assim, ¯ ∩ ∂∆ = ∅. Como ¯ conjuntos conexos e ¯ P P P P ∩ ∆ ⊃ ¯ 6= ∅, temos que ¯ ⊃ ∆ ou ¯ ⊂ ∆. A primeira op¸c˜ao ord (P ) n˜ao ´e verdade pois diam∆ < 2r < 2δ

  1 e diam ¯ P 1 σ ˜ < 2δ 1 , concluindo assim que

  ≤ 2δ ¯

  P ⊂ ∆. Como p , para um dado ǫ > 0 existe uma cadeia Q , . . . , Q n ξ (∆) tal n ∈ ∂∆

  ∈ ch que dist(p, Q j ) < ǫ. Por outro lado, como P e ¯ P s˜ao conjuntos abertos e p P , j ∪ =0

  ∈ P ⊂ ¯ tomando ǫ suficientemente pequeno P j Q j ) ∩ (∪ 6= ∅ ent˜ao

  Q m P m (2.2) ∩ ¯ ⊃ Q ∩ P 6= ∅ para algum 1 m s˜ao conjuntos conexos pela observa¸c˜ao

  ≤ m ≤ n. Como Q ∪ . . . ∪ Q (2.1.7), e Q P ) e ∆ s˜ao ligados e pela afirma¸c˜ao

  ∩ (M \ ¯ ⊃ Q ∩ (M \ ∆) 6= ∅ (pois Q 2.1.10), existe 0 j P j P ≤ j ≤ m tal que Q ∩ ∂ ¯ 6= ∅. Seja l = min{0 ≤ j ≤ m; Q ∩ ¯ 6= ∅}.

  Temos dois casos: ord(Q l ) P ou ord(Q l ) > ord ¯ P . Suponha primeiro que ≤ ord ¯ ord(Q l ) P . Por minimalidade de l, ¯ P j ,

  ≤ ord ¯ 6= Q ∀ 0 ≤ j ≤ l. Assim, tamb´em

  ∗

  ´e f´acil verificar que , . . . , Q l , ¯ P ) ξ (∆). Como P K = (Q ∈ ch ∩ ∆ ⊃ P ∩ ∆ 6= ∅,

  ∗

  a existˆencia de , neste caso

  K ´e uma contradi¸c˜ao com a defini¸c˜ao (2.1) que define ∆ ξ ord ¯ P ord ¯ P

  (Q l )), . . . , π(f (Q m ))). Como tempos σ ) induzem K = (π(f

  −hiperb´olicos em C(∆ tempos ˜ σ , temos que ˜ (∆), o que contradiz novamente a ξ − hiperb´olicos em ∆ K ∈ ch

  ∗ constru¸c˜ao de ∆ em 2.1 . Concluindo assim a prova. ξ

  C:/Users/katia/Desktop/11872824_941497932573375_1188337215_n.jpg O pr´oximo resultado garante que, se as cadeias tem diˆametro pequeno, ent˜ao o conjunto ∆ ainda cont´em um disco, onde o diˆametro de uma cadeia (P j ) j ´e definido como ε

  ˜ o diˆametro de P . j j

  ∪

1 Proposi¸c˜ ao 2.1.11. Seja ǫ ) e considere ∆ um disco de raio r centrado em p

  ∈ (0, ∈ M n

  2

  tal que f (∆) ∆ ξ ∀n > 0. Se toda cadeia de ˜ −pr´e-imagens de ∆ tem diˆametro menor que 2ǫr, ent˜ao o conjunto ∆ definido acima cont´em um disco de raio r(1

  − 2ǫ) centrado ξ ˜ em p, denotado por D r (1−2ǫ) (p).

  Demonstra¸c˜ao. Seja Γ a cole¸c˜ao de todas as cadeias de ˜ ε j ) j −pr´e-imagens de ∆. Se (P ∈ Γ ent˜ao j P j ´e conjunto aberto conexo intersectando ∂∆ com diˆametro menor que 2ǫr.

  ∪ Assim, j P j j ) j

  ∪ ⊂ D, ∀(P ∈ Γ onde D ´e um disco de raio 2ǫr e centro em ∂∆. Como consequˆencia [ [

  ∗ ∆ = ∆ P j ǫ (∂∆) (p). r (1−2ǫ)

  \ ⊃ ∆ \ D ⊃ D j

  (P j ) j ∈Γ

  ´e um conjunto aberto n˜ao vazio. Tomando ∆ como a componente conexa de ∆ que ξ ξ ˜ ˜ cont´em o ponto p, segue a proposi¸c˜ao.

2.2 Atratores

  Seja X um espa¸co m´etrico compacto e µ uma medida de probabilidade Borel em

  X. Seja f : X → X um aplica¸c˜ao mensur´avel, n˜ao necessariamente preservando a medida

  µ. Dado x ∈ X , o conjunto est´avel de x ´e definido como s j j

  W (x) = (x), f (y)) {y ∈ X : dist(f → 0 quando j −→ +∞}. Nesta se¸c˜ao provaremos a proposi¸c˜ao a seguir, cuja prova se encontra na subse¸c˜ao 2.2.2.

  Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Se µ ´e uma medida parcialmente hiperb´ olica com distor¸c˜ao limitada na dire¸c˜ao centro-inst´avel, ent˜ao existem atratores A

  1 , A 2 , ..., A l tais que para µ cu

  −quase todo ponto x ) temos ω(x) = A para algum 1 j ∈ H (NUE − E ≤ j ≤ l. Al´em disso, f A ´e transitivo e cada A j cont´em um cu-disco. j

  | s s S Para U (U ) = W (x). Introduziremos aqui duas no¸c˜oes

  ⊂ X, seja W x

  

∈U

  fundamentais para o que se segue s Defini¸c˜ ao 2.2.2. Dizemos que S (S) = S.

  ⊂ X ´e s−saturado se W Defini¸c˜ ao 2.2.3. Dizemos que S ´e componente s

  −erg´odica (componente µ s−erg´odica

  ′

  em rela¸c˜ao a f ) se ´e invariante, s −saturado e cada S ⊂ S invariante e s−saturado satisfaz

  ′ ′

  µ(S ) = µ(S) ou µ(S ) = 0. A medida µ ´e chamada de s −erg´odica se X ´e uma componente s

  −erg´odica. Observa¸c˜ao 2.2.4. Ressaltamos que na defini¸c˜ao de medida s

  − erg´odica e componente s− erg´odica n˜ao estamos assumindo a invariˆancia da medida µ em rela¸c˜ao a f .

2.2.1 Resultados t´ ecnicos Os resultados desta subse¸c˜ao s˜ao necess´arios para a prova da Proposi¸c˜ao 2.2.1.

  Seguindo Milnor (ver [8]) um µ atrator (atrator minimal) ´e um conjunto positiva- mente invariante compacto A, tal que sua bacia de atra¸c˜ao f (A) = f (x) B {x ∈ X; ω ⊂ A} tem medida µ positiva e, em contraste, a bacia de todo subconjunto positivamente in- variante A ( A tem µ medida zero. (Onde, ω f (x) denota o conjunto ω

  − limite de x ∈ X).

  Lema 2.2.5. Dado S ⊆ X uma componente s−erg´odica, ent˜ao existe um ´unico atrator

  A (x) = A, para µ f ⊆ X tal que ω −quase todo ponto x ∈ S.

  Demonstra¸c˜ao. Dado um conjunto aberto B f (x) ⊂ X, temos que ω ∩ B 6= ∅ para µ− quase todo ponto x f (x)

  ∈ S ou ω ∩ B = ∅ para µ− quase todo ponto x ∈ S. Com efeito, tomando B ω := f (x)

  {x ∈ S : ω ∩ B 6= ∅} temos que B ω ´e invariante (pois ω f (x) = ω f (f (x)) ∀x), s−saturado e al´em disso, pela hip´otese que S ´e componente s ω ) = 0 ou µ(B ω ) = µ(S). −erg´odica, µ(B

  Note que se ω f (x) ∩ B 6= ∅ para todo conjunto aberto B e µ quase todo ponto x f (x) = X provando assim o lema neste caso particular. Assim, podemos

  ∈ S ent˜ao ω supor a existˆencia de um conjunto n˜ao vazio B f (x) ⊂ X tal que ω ∩ B = ∅ para µ− quase todo ponto x f (x)

  ∈ S . Seja W o conjunto aberto maximal tal que ω ∩ W = ∅ para µ− quase todo ponto x ∈ S . Agora vamos mostrar que ω f (x) = A para µ

  − quase todo ponto x ∈ S , onde A = X f (x) ǫ (p)

  \ W . De fato, dado p ∈ A temos necessariamente que ω ∩ B 6= ∅ para µ

  − quase todo ponto x ∈ S e qualquer ǫ > 0. Caso contr´ario, existe ǫ > 0 tal que ω f (x) ǫ (p) ǫ (p)

  ∩ B 6= ∅ para µ− quase todo ponto x ∈ S, mas ent˜ao B ∪ W contradiz a 1 maximalidade de W . Seja W n = f (x) (p) n ) = µ(S), {x ∈ S; ω ∩ B 6= ∅}. Temos que µ(W n

  T W n ) = µ(S). Temos que dist(p, ω f (x)) = 0 para qualquer

  ∀n ∈ N , e assim, µ( n T x W n e ent˜ao p f (x) = ω f (x). Provando assim que ω f (x) = A para µ

  ∈ n ∈ ω −quase todo ponto x

  ∈ S. Considere para cada ponto x de um conjunto positivamente invariante U

  ⊂ X,

  • um subconjunto (x) da orbita positiva de x.

  U(x) ⊂ O Defini¸c˜ ao 2.2.6. A cole¸c˜ao x ´e chamada assintoticamente invariante se

  

∈U

  U = (U(x)) para todo x ∈ U, j

  1. ♯ (x) {j ∈ N; f ∈ U(x)} = ∞;

  • n n

  2. (f (x)) = ( (f (x)) para todo n U(x) ∩ O Uf(x)) ∩ O ∈ N grande. Defini¸c˜ ao 2.2.7. Dada uma cole¸c˜ao assintoticamente invariante x ∈U definimos

  U = (U(x)) para cada x o conjunto ω f, (x) como o conjunto de pontos

  U U

  − limite de x, denotado por ω de acumula¸c˜ao de j U(x) e, que ´e, o conjunto de pontos p ∈ X tais que a sequˆencia n → +∞ n j satisfazendo (x)

  U(x) ∋ f → p. Dizemos que a cole¸c˜ao assintoticamente invariante x tem frequˆencia

  ∈U

  U = (U(x)) positiva em p se 1 j para toda vizinhan¸ca V de p. Defini¸c˜ ao 2.2.8. Se x ´e uma cole¸c˜ao assintoticamente invariante com

  ∈U

  U = (U(x)) frequˆencia positiva em p, definimos ω (x) como o conjunto

  • ,f,U U−frequentemente visi-

  1

  tado por pontos da orbita de x, isto ´e, o conjunto de pontos p j ∈ X tal que lim sup {1 ≤ n j (x)

  ≤ n; f ∈ U(x) ∩ V } > 0 para toda vizinhan¸ca V de p.

  Lema 2.2.9. Seja x uma cole¸c˜ao assintoticamente invariante definida em

  ∈U

  U = (U(x)) uma componente s-erg´odica S e seja A ⊂ X o atrator associado a S. Ent˜ao existe um conjunto compacto A f, (x) = A para quase todo ponto x

  U ⊂ A tal que ω U U ∈ S. Al´em

  disso, se tal que

  • ,U U

  U tem frequˆencia positiva, ent˜ao existe conjunto compacto A ⊂ A ω (x) = A para quase todo ponto x

  • ,f,U +,U ∈ S.

  Demonstra¸c˜ao. Construimos o conjunto compacto A da mesma forma que construimos

  U

  o conjunto A. Na constru¸c˜ao do conjunto A a ´ unica diferen¸ca ´e que temos que mudar

  

U

  ω f (x) por ω f, U (x) na prova. Note que a propriedade chave usada ´e que ω f (x) = ω f (f (x)) e temos tamb´em a mesma propriedade para ω f, , isto ´e, ω f, (x) = ω f, (f (x)).

  U U U

  Por conveniˆencia na prova de existˆencia do conjunto A usaremos a seguinte

  • ,U

  nota¸c˜ao: Dado um ponto x ∈ S e o conjunto K ⊂ X denote a U−frequˆencia de visita¸c˜ao

  1 j

  de x para K por φ K (x) = lim sup ♯ (x) n {0 ≤ j < n; f ∈ K ∩ U(x)}.

  →∞ n

  Dado um conjunto aberto B := > 0 φ B ⊂ X, seja B {x ∈ U; φ }, note que como usamos lim sup na defini¸c˜ao de φ K temos que φ K > 0 ou φ X > 0.

  \K

  Considere agora Z = X e C qualquer cobertura por bolas abertas B de X de

  1

  1

  raio 1. Para todo B temos φ B > 0 ou φ X > 0, consequentemente µ(B φ ) = 0

  1 \B

  ∈ C ou µ(B φ ) = µ(S). Como X ´e um espa¸co m´etrico compacto, existe subcobertura finita; Assim, existe pelo menos B φ tal que φ B (x) > 0. Seja C = : φ > 0

  1

  1 X \B

  ∈ C

  1 {B ∈ C } e

  S Z := Z

  B. Z ´e conjunto n˜ao vazio, compacto e ω(x) para µ

  2

  1

  2

  2

  \ B ⊆ Z −quase todo

  ∈C 1

  ponto x ∈ S.

  1 Podemos repetir o processo para Z 2 com cobertura finita de bolas de raio e por ′ ′

  2

  indu¸c˜ao construir C , C , . . .; C , C , . . . e Z , Z , . . . com Z

  1

  2

  

1

  2

  1

  2

  1 2 ⊃ Z ⊃ . . . uma sequˆencia

  n˜ao vazia de conjuntos compactos e ω(x) j µ ⊂ Z −quase todo ponto x ∈ S. Defina

  \ A := Z n

  • ,U n ≥1

  Assim, ω(x) +,U para µ

  • ,U

  ⊆ A −quase todo ponto x ∈ S. Falta mostrar que A ⊆ T

  ω(x) para µ = Z ent˜ao y para todo

  • ,U n n

  −quase todo ponto x ∈ S. Dado y ∈ A ∈ Z n n n ≥1

  n B = y, µ(B ) = µ(S) e ω(x) n n n ω

  ∩ ∩ B 6= ∅ para µ−quase todo ponto x ∈ S. Portanto, y ∈ ω(x) para µ−quase todo ponto x ∈ S. n

  Nota 2.2.10. Al´em disso, todo ponto de A +,U ´e acumulado por sequˆencias do tipo (x); n n {f ∈

  N, f (x) ∈ U(x)} para µ−quase todo ponto x ∈ U e

  A +,U U ⊂ A ⊂ A

  2.2.1.1 Existˆ encia de componentes s-erg´ odicas Como na subse¸c˜ao anterior a existˆencia de atratores est´a sob a hip´otese de com- ponentes s-erg´odicas, aqui garantimos a existˆencia das mesmas.

  Lema 2.2.11. Seja Y ⊆ X um conjunto invariante com µ(Y ) > 0 para o qual existe s δ > 0 tal que para todo conjunto invariante U (U )) > δ.

  ⊆ Y temos que µ(U) > 0 ⇒ µ(W Ent˜ao Y est´a contido em uma uni˜ao finita de componentes s −erg´odicas.

  Demonstra¸c˜ao. Tome Y = Y e considere

  1

s −1 s

  F (Y ) = (U ) : f (U ) = U e µ(W (U )) > 0

  1 {W }. s Note que F(Y ) ´e n˜ao vazio pois W (Y ) ).

  1

  1

  1

  ∈ F(Y Afirma¸c˜ao 2.2.12. Para W , W ) e µ(W ) > 0, ent˜ao W ).

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  ∈ F(Y \W \W ∈ F(Y s s Demonstra¸c˜ao. Para mostrar esta afirma¸c˜ao, basta verificar que W

  1 2 = W (U 1 (U 2 )) s s \W \W onde U , U s˜ao invariantes tais que W = W (U ) e W = W (U ). De fato, visto

  1

  2

  1

  

1

  1

  2

  2 s s ⊂ Y que U (U ) e U (U ) ´e invariante; para W , W ) e µ(W ) > 0

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  \W ⊆ Y \W ∈ F(Y \W ent˜ao W ).

  1

  2

  1

  \W ∈ F(Y s s Para provar que W = W (U (U )), procedemos da seguinte maneira:

  1

  2

  1

  2

  \W \W s s s Seja x

  1 2 isto ´e, x (U 1 ) e x / (U 2 ). Assim existe u (u)

  ∈ W \W ∈ W ∈ W ∈ U tal que x ∈ W s s s e x / (U ) para todo u . Ent˜ao, x / (z) para z (U ). Consequentemente,

  2

  2

  2

  2

  ∈ W ∈ U ∈ W ∈ W s s s s s x (U (U )). Tome agora x (U (U )). Ent˜ao x (y) para algum

  1

  2

  1

  2

  ∈ W \W ∈ W \W ∈ W s s y (U ), assim, y e consequentemente x (U ) = W . Falta mostrar que

  1

  2

  1

  1

  1

  ∈ U \W ∈ U ∈ W s x /

  2 , suponha por absurdo que x 2 . Ent˜ao x (U 2 ) e existe u

  2 2 tal que

  ∈ W ∈ W ∈ W ∈ U s s s s x (u ). Como x (y), ent˜ao y (u ), uma contradi¸c˜ao pois y / (U ).

  2

  2

  2

  ∈ W ∈ W ∈ W ∈ W s s Assim, x e provamos que W = W (U (U )).

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∈ W \W \W \W Considere agora uma ordem parcial em F(Y ) definida por W se, e somente

  1

  1

  2

  ≻ W se, W e µ(W ) > 0.

  1

  2

  1

  2

  ⊃ W \W Para essa rela¸c˜ao de ordem, todo subconjunto totalmente ordenado de F(Y

  1 ) ´e

  finito e em particular tem limite inferior. De fato, suponha por contradi¸c˜ao que exista

  X µ(W k k ) = µ(W ) <

  • 1

  1 k \W ∞ ≥1

  e assim µ(W k k ) k k )

  • 1
  • 1

  1

  \W → 0 quando k → ∞. Isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois W \W ∈ F(Y para todo k. s Consequentemente, pelo Lema de Zorn, existe elemento minimal W (U ) ),

  1 ∈ F(Y

  1

  que ´e uma componente s −erg´odica por constru¸c˜ao. s Em seguida, considere Y := Y (U ). Se µ(Y ) = 0, tome Y = Y que est´a

  2

  1

  1

  2

  1 s \W contido em W (U ) componente s ) > 0 repetimos o

  1

  2

  −erg´odica. Caso contr´ario, se µ(Y s argumento obtendo U e outra componente s (U ).

  2

  2

  2

  ⊆ Y −erg´odica W Indutivamente, constr´oi-se s s s

  W (U ), W (U ), . . . W (U n ) s

  1

  

2

este processo p´ara pois µ(W (U )) > δ.

  Como consequˆencia dos Lemas 2.2.5,2.2.9 e 2.2.11, temos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ ao 2.2.13. Suponha que exista um conjunto invariante Y com µ(Y ) > 0 e δ > 0 s tal que para todo conjunto invariante U

  (U )) > δ. ⊆ Y , sempre que µ(U) > 0, temos µ(W

  Ent˜ao existe um n´ umero finito de Atratores A , A , ..., A l de X tais que para µ

  1

  2

  − quase todo ponto x j para algum 1 ∈ Y temos ω(x) = A ≤ j ≤ l.

2.2.2 Existˆ encia de Atrator O objetivo aqui ´e prova a proposi¸c˜ao 2.2.1.

  Seja M uma variedade Riemanianna compacta e limitada e µ uma medida de probabilidade Riemanianna definida em conjuntos Borel de M. Seja f : M → M um

  1+

  difeomorfismo C , n˜ao necessariamente preservando a medida µ, K ⊂ M um conjunto compacto positivamente invariante onde f ´e parcialmente hiperb´olico, e H cu ⊆ K um conjunto com µ(H) > 0, onde f ´e n˜ao-uniformemente expansor ao longo de E .

  Observa¸c˜ao 2.2.14. Note que sob a hip´otese de µ medida parcialmente hiperb´ olica com distor¸c˜ao limitada na dire¸c˜ao centro inst´avel, temos como consequˆencia a Proposi¸c˜ao

  1.2.16. A prova da Proposi¸c˜ao 2.2.1 segue dos seguintes Lemas: Lema 2.2.15. Se µ ´e uma medida parcialmente hiper

  ⊂ b´olica f-n˜ao-singular finita com cu

  M tais que, para µ ), temos ω(x) = A j para algum − quase todo ponto x ∈ H (NUE − E

  1 ≤ j ≤ l .

  S n Demonstra¸c˜ao. Defina ˜ H = f (H). Como H ´e invariante e µ(H) > 0, temos que n

  ∈Z

  e H ´e invariante e µ( e

  H) > 0. Para mostrar que existem uma quantidade l de conjuntos A j devemos mostrar que e H est´a contido em uma uni˜ao finita de componentes s −erg´odicas. Assim pela Proposi¸c˜ao 2.2.13, basta mostrar que existe δ > 0 tal que para todo conjunto s U H com µ(U ) > 0 temos µ(W (U )) > δ. Para tal prova s´o iremos usar que U ´e

  ⊆ e positivamente invariante, assim podemos supor que U s s ⊆ K e, como K ´e positivamente invariante, ´e claro que se µ(W (U (U )) > δ.

  ∩ K)) > δ, ent˜ao µ(W Considere que existe um cu (U ) > 0, onde µ ´e a medida

  ∆ ∆

  −disco ∆ ⊆ V tal que µ induzida em ∆ e V ´e δ

  1

  −vizinhan¸ca de K. De fato, basta que considere um ponto p ∈ U s cu de densidade para a medida µ. Como T p M tem decomposi¸c˜ao igual a E , podemos p ⊕ E p cu considerar uma vizinhan¸ca da origem folheada por discos paralelos ao subespa¸co E , cujas imagens pelo mapa exponencial exp p : B ǫ (0) p M ⊂ T → M s˜ao cu-discos na variedade M. Como o mapa exp p ´e um difeomorfismo local, temos que a pr´e-imagem de U por exp p tem medida positiva em T p M e de densidade total na origem. Por Fubini, temos que pelo menos um disco intersecta este conjunto com medida positiva, e consequentemente sua imagem pelo mapa exp p tamb´em. Considere agora a sequˆencia . . .

  2

  1

  ⊆ W ⊆ W ⊆ ∆ e inteiros n < n < . . . dados pela Proposi¸c˜ao 1.2.16. Pelo item trˆes desta mesma

  1

  2 n k

  Proposi¸c˜ao a medida relativa de f (U k converge para 1. Uma vez que U ´e ∩ ∆) em ∆ positivamente invariante, temos que a medida relativa de U em ∆ k converge para 1 e al´em δ 1 disso µ D (U ) quando k k

  → → ∞. Como U ⊆ K, todos os pontos de U tem variedade

  4

  est´avel local de tamanho uniforme e a folhea¸c˜ao definida por essas variedades est´aveis ´e s absolutamente cont´ınua. Isto mostra que µ(W (U ∩ K)) > δ. Consequentemente pela

  Proposi¸c˜ao 2.2.13, existem conjuntos fechados invariantes A

  1 , A 2 , . . . , A l tais que para

  µ j para algum 1 −quase todo ponto x ∈ H temos ω(x) = A ≤ j ≤ l.

  Lema 2.2.16. Se µ ´e uma medida parcialmente hiperb´ olica f-n˜ao-singular finita com distor¸c˜ao limitada na dire¸c˜ao centro-inst´avel, ent˜ao cada A = A j cont´em um cu-disco ∆ δ 1 cu de raio para o qual f ´e n˜ao uniformemente expansor ao longo de E para µ

  ∆

  − quase

  4 todo ponto em ∆ .

  Demonstra¸c˜ao. Para isto, considere k

  1

  (n)

  A = (x), A) {x ∈ H : dist(f ≤ ∀ k ≥ 0}. n

  Como os pontos x ∈ H tal que ω(x) = A tem µ−medida positiva, temos que

  (n) (n) (n) n

  µ(A ) > 0 para todo n D (A ) > ≥ 1. Sendo assim, existe cu−disco D ⊆ V tal que µ

  (n) (n) (n) (n) n (n) k

  0 e sequˆencia . . . com n < n < . . . tais que D = f (W )

  1

  2

  ⊆ W δ 2 ⊆ W 1 ⊆ D k k (n) (n) 1 com µ (A ) quando k D −→ → ∞. k

  4 (n) (n)

  Seja p o centro de cada disco D . Tomando subsequˆencias, se necess´ario, temos k k

  (n) (n)

  que a sequˆencia {p k } converge para o ponto p ∈ K. Usando Ascoli-Arzel`a e o fato

  (n)

  que os discos D tem dire¸c˜oes tangentes contidas em cu k −cones, podemos assumir que a

  (n) (n)

  sequˆencia k {D } converge uniformemente, quando k → ∞ , para o cu−disco △ de raio δ 1 (n)

  1 . Note que cada ∆ est´a necessariamente contido em uma vizinhan¸ca de A de raio . n

  4 cu

  Em consequˆencia, temos que f ´e n˜ao uniformemente expansor ao longo de E (n) (n) para µ . De fato, a propriedade de ser n˜ao uniformente

  ∆ −quase todo ponto em ∆

  expansor ´e uma propriedade assint´otica e, se ´e satisfeita para x, ent˜ao ´e satisfeita para s (n) todo y (x). Al´em disso, todo ponto de ∆ tem variedade est´avel local de tamanho ∈ W uniforme e a folhea¸c˜ao da variedade est´avel local ´e absolutamente cont´ınua. Uma vez que

  (n) (n) (n)

  , k grande, o disco D intersecta a folhea¸c˜ao {D k } converge uniformemente para ∆ k δ

  (n) (n) (n) 1 (n)

  est´avel de pontos de ∆ e al´em disso, como µ (A ) e A D → ⊆ H, temos que f cu (n) k (n)

  4 ´e n˜ao uniformemente expansor ao longo de E para µ . D k −quase todo ponto em ∆ (n)

  Agora, considere uma subsequˆencia de δ 1 {∆ } convegindo uniformemente para o cu cu tal que f ´e n˜ao uniformemente expansor ao longo de E para −disco ∆ de raio

  4 (n)

  µ est´a contido em uma vizinhan¸ca de A

  ∆

  −quase todo ponto em ∆. Note que, cada ∆

  1

  de raio e Ω ´e fechado, assim ∆ n ⊆ A. Lema 2.2.17. f A ´e transitivo.

  | Demonstra¸c˜ao. Por constru¸c˜ao, temos que existe um ponto em H cujo ω

  −limite coincide com A (na verdade existe um conjunto de medida positiva). A ´orbita de quase ponto deve eventualmente intersectar a variedade est´avel de algum ponto de ∆

  ⊂ A . Como os pontos em variedade est´avel tem o mesmo ω −limite, conclu´ımos que existe um ponto de A cuja ´orbita ´e densa em A .

  E aqui termina a prova da proposi¸c˜ao 2.2.1. Como consequˆencia destes resultados e do Lema 2.2.9, temos as seguintes vers˜oes da Proposi¸c˜ao 2.2.1

  Corol´ ario 2.2.18. Seja µ uma medida parcialmente hiperb´ olica com distor¸c˜ao limitada l

  1

  2

  na dire¸c˜ao centro-inst´avel e H conjunto N U E. Existem conjuntos compactos A , A , ..., A j +,U +,U +,U de M tais que para µ para algum 1

  −quase todo ponto x ∈ H, temos ω(x) = A ≤ j ≤ l

  • ,U

  que cont´em cu −disco. Defini¸c˜ ao 2.2.19. Um conjunto invariante U com µ(U ) > 0 ´e chamado de componente

  U , tem-se µ(V ) = 0 ou µ(V ) = µ(U ). A medida µ ´e chamada erg´odica se M ´e uma componente erg´odica.

  O pr´oximo corol´ario ´e devida a Proposi¸c˜ao 3.5 provada em [10]. Corol´ ario 2.2.20. Se µ ´e uma medida parcialmente hiperb´ olica f-n˜ao-singular finita erg´odica, ent˜ao existe um ´ unico conjunto compacto A de M tal que para µ

  • ,U

  −quase todo ponto x .

  • ,U

  ∈ M temos ω(x) = A Cap´ıtulo 3 Constru¸c˜ ao de uma Aplica¸c˜ ao de Markov Induzido Local

  Neste cap´ıtulo faremos a prova do Teorema A, descrito abaixo. Tal prova est´a dividida em duas partes: existˆencia de (F, P) Aplica¸c˜ao Markoviana induzida definido em um conjunto aberto Y

  ⊂ K, demonstrada na se¸c˜ao 3.1; e existˆencia de uma medida ν F −invariante tal que ´ Rdν < ∞, demonstrada na se¸c˜ao 3.2.

  1+

  Teorema. A. Seja f : M , K → M um difeomorfismo C ⊂ M um conjunto compacto cs cu positivamente invariante em que f ´e parcialmente hiperb´olico, T k M = E onde cs

  ⊕ E E ´e uniformemente contrativo . Assuma que f ´e n˜ao-uniformemente expansor ao longo cu de dire¸c˜ao centro-inst´avel (NUE-E ) para todo x em um conjunto H

  ⊆ K de medida µ positiva. Se µ ´e uma medida f

  −invariante, erg´odica e parcialmente hiperb´olica, ent˜ao existe (F, P) uma aplica¸c˜ao Markoviana induzida definida em Y ⊂ K e uma medida ν

  F ´ Rdν <

  −invariante tal que ν(B) ≤ µ(B) para todo conjunto aberto B ⊂ Y e tal que ∞, onde R ´e tempo induzido de F .

3.1 Aplica¸c˜ ao Markoviana Induzida

  Nesta se¸c˜ao faremos a constru¸c˜ao de uma aplica¸c˜ao markoviana induzida para medidas parcialmente hiperb´olicas invariante e erg´odica. Sejam A +,U como na proposi¸c˜ao 2.2.20, M e f como na subse¸c˜ao 2.2.2 e µ medida P arcialmente Hiperb´ olica f −invariante e erg´odica definida em M . Dado cu como na Defini¸c˜ao 2.1.8. Nesta

  −disco ∆ considere ∆ ˜ ξ sec¸c˜ao constru´ımos uma parti¸c˜ao para ).

  C(∆ ˜ ξ Denote por n (σ, θ)) n o conjunto de todos os pontos de K com frequˆencia

  H = (H positiva de tempos σ − hiperb´olicos , isto ´e

  1 lim sup ♯ j (σ, θ) {1 ≤ j ≤ n; x ∈ H } > 0. n

  Denote por ξ = (ξ ) n como a cole¸c˜ao de todos os pr´e-discos σ

  H H,n

  − hiperb´olicos, onde ξ H,n = n (x); x n (σ, θ) {V ∈ H } ´e a cole¸c˜ao de todos os pr´e discos σ − hiperb´olicos de ordem n.

  Dado x considere Ω(x) a cole¸c˜ao de ξ H -pr´e-discos σ ∈ ∆ ˜ ξ − hiperb´olico V de

  S s discos que u ) = W (x) tal que x δ −atravessam ˆ C(∆ ˜ x ∈∆ s +ǫ s ∈ V . ξ Observa¸c˜ao 3.1.1. ǫ s ´e tomado para evitar que V n (x) n˜ao seja considerada um elemento ′ ′ de Ω(x) quando x tenha um h ) pr´oximo ao bordo e

  ∈ ∆ ˜ −retorno a C(∆ ξ ordV n (x) π f (V n (x)) )

  ˜ ∩ C(∆ ξ n˜ao contenha ∆ . ξ ˜ Afirma¸c˜ao 3.1.2. O conjunto Ω(x) ´e n˜ao vazio. ′ Demonstra¸c˜ao. Isso ´e sempre verdade para cada x que tem um ξ ).

  H ∈ ∆ ˜ −retorno a C(∆ ξ δ 1 Para verificarmos isso, basta tomar ∆ de centro em p e q +,U tal que dist(p, q) < .

  ∈ A ξ ˜

  4 ′ ′

  Defini¸c˜ ao 3.1.3. O tempo induzido em ∆ ´e a fun¸c˜ao R : ∆ ξ ξ ˜ ˜ → N dada por: ( min

  {ord(V ); V ∈ Ω(x)}, Ω(x) 6= ∅ R(x) =

  (3.1)

  ′ s Nota 3.1.4. Dado x , se R(x) = n ent˜ao para todo y x temos que R(y) = n. δ

  ∈ ∆ ˜ ∈ W s ξ n Al´em disso note que R(x) (x) ) ≤ min{n ≥ 1; f ∈ h(x) ∩ C(∆ ˜ }. ′ ′ ′ ξ Defini¸c˜ ao 3.1.5. A aplica¸c˜ao induzida F em ) ´e a aplica¸c˜ao F : ) )

  C(∆ C(∆ → C(∆ ξ ξ ξ ˜ ˜ ˜ dada por:

  (R(x))

  F (x) = f (x), ). (3.2)

  ˜

  ∀x ∈ C(∆ ξ A cole¸c˜ao Ω(x) ´e totalmente ordenada pela inclus˜ao e, pelo Corol´ario 2.1.5, temos que existe um ´ unico ˜ P (x) P (x)) = R(x), quando Ω(x) ∈ Ω(x) tal que ord( ˜ 6= ∅. Assim, para x associamos ˜ P (x) como anteriormente e

  ∈ ∆ ˜ ε R (x) −1 s R (x) P (x) = (f ˜ ) (W (∆ ) ( ˜ P (x))), δ

  | P (x) s ∩ f com x ∈ P .

  C:/Users/katia/Desktop/11868725_941494455907056_175003558_n.jpg Lema 3.1.6. Se Ω(x) 6= ∅ 6= Ω(y) ent˜ao P (x) = P (y) ou P (x) ∩ P (y) = ∅. Demonstra¸c˜ao. Suponha que Ω(x) 6= ∅. Afirma¸c˜ao 3.1.7. P (x) ⊃ V , ∀V ∈ Ω(x). Demonstra¸c˜ao. De fato, para a pova desta afirma¸c˜ao suponha por contradi¸c˜ao que P (x) ( V com V

  P (x)) < ord(V ). Consequen- ∈ Ω(x). Pela defini¸c˜ao de P (x), temos que ord( ¯ temente, como no Corol´ario 2.1.5, temos que ∆ est´a contido em uma ˜ ξ H ε ˜ −pr´e-imagem

  ′

  tempos ˜ σ ξ H tem diˆametro menor −hiperb´olicos, isto ´e, o diˆametro de ˜ −pr´e-imagem de ∆ ˜ ξ que o diˆametro de ∆ . ξ ˜

  Consequentemente, sejam x, y ∈ M com Ω(x) 6= ∅ 6= Ω(y). Como P (x) e P (y) s˜ao ξ H

  ), temos que P (x) e P (y) s˜ao −pr´e-imagens de cu−discos que u−atravessam C(∆ ˜ ξ n˜ao ligados, e temos dois casos: Um ´e P (x)

  ∩ P (y) = ∅, e o segundo P (x) ⊂ P (y) ou P (x)

  ⊃ P (y). Se P (x) ⊂ P (y), pela afirma¸c˜ao, temos que P (x) ∈ Ω(y) e, se P (x) ⊃ P (y) temos P (y) ∈ Ω(x); nos dois casos, por unicidade P (x) = P (y).

  Defini¸c˜ ao 3.1.8. A parti¸c˜ao de Markov associada ao primeiro ξ ) ´e a

  H

  −retorno a C(∆ ˜ ξ cole¸c˜ao de conjuntos abertos P dada por:

  [ ′ s (W (y)); x , Ω(x) (3.3) δ P = { s ∈ ∆ ˜ 6= ∅}. y ξ

  ∈P (x)

  Corol´ ario 3.1.9. Sejam F definido por (3.2), R definido por (3.1) e P definido por (3.3). Se ε ). P 6= ∅, ent˜ao (F, P) ´e uma aplica¸c˜ao Markoviana Induzida para f em Y = C(∆ ˜

  Demonstra¸c˜ao. Por constru¸c˜ao, os elementos de P s˜ao conjuntos abertos. Pelo Lema

  3.1.6, P satisfaz a condi¸c˜ao (a) da Parti¸c˜ao, Markoviana Induzida definida em 1.4.8, para a aplica¸c˜ao induzida F . Considere C i , C j

  ∈ P . Pela contra¸c˜ao forte na dire¸c˜ao est´avel, temos o item (b.1) na defini¸c˜ao, de Parti¸c˜ao Markoviana Induzida. Como F P = R |

  (P )

  f P e P (x) ´e uma ξ | −pr´e-imagem que cont´em x de ordem R(x), existe um cu-pr´e-disco R

  (x)

  hiperb´olico V R (x) com x R (σ, θ) tal que f envia difeomorficamente V R (x)

  (x) (x) (x) R (x) ∈ H no cu-disco f (V R (x)) . Isto conclui a prova do Corol´ario.

  (x) 3.2 Existˆ encia de medida F-invariante. ′ ′

  Primeiramente, reduziremos a aplica¸c˜ao F : ) ) a um a aplica¸c˜ao C(∆ ˜ → C(∆ ˜ ξ ξ ′ ′ expansora. Para isso considere a seguinte aplica¸c˜ao ¯ F : ∆ definida por ¯ F (x) = ξ ξ ˜ → ∆ ˜ π(F (x)). Com isso temos a seguinte parti¸c˜ao de ∆ a partir de (3.3). ˜ ξ

  Defini¸c˜ ao 3.2.1. A Parti¸c˜ao de Markov para ∆ ´e a cole¸c˜ao de conjuntos abertos ξ P dada por:

  ¯ , Ω(x) (3.4)

  P = {P (x); x ∈ ∆ ε ˜ 6= ∅} Observa¸c˜ao 3.2.2. A parti¸c˜ao definida pela equa¸c˜ao (3.4) satisfaz a parti¸c˜ao da defini¸c˜ao Teorema 3.2.3. Seja (F, P) como acima. Se µ ´e uma medida pacialmente hiperb´olica f

  −invariante e erg´odica, ent˜ao existe uma medida finita ν F −invariante erg´odica tal que ν(Y )

  ) e tal que ≤ µ(Y ) para todo conjunto aberto Y ⊂ C(∆ ε ˜ ´ Rdν < ∞.

  Antes de construir uma medida F −invariante erg´odica ν, iremos construir uma medida ¯ ν, ¯ F ´ Rd¯ ν <

  −invariante tal que ∞. Teorema 3.2.4. Seja ( ¯ F , ¯

  P) como acima. Se µ ´e uma medida parcialmente hiperb´olica f F

  −invariante e erg´odica, ent˜ao existe uma medida finita ¯ν ¯ −invariante erg´odica tal que s ν(Y ) ¯ (Y )) para todo conjunto aberto Y .

  ≤ µ(W δ s ⊂ ∆ ε ˜ j S Demonstra¸c˜ao. Seja ; ¯ F (x) P ε

  B = {x ∈ ∆ ˜ ∈ P ∀j ≥ 0}. Com isso temos que B ´e

  ∈ ¯ P um espa¸co m´etrico com a distˆancia definida em ∆ e (µ mod0). ε ∆

  B = ∆ ˜ Seja

  W uma cole¸c˜ao de subconjuntos de B formada pelo conjunto vazio e todos

  −1 −1

  os conjuntos Y F P ) F P ) ( s ⊂ B tal que Y = ( ¯ | 1 ◦ · · · ◦ ( ¯ |

  B) para alguma sequˆencia P , . . . , P s

  F pr´e-

  1

  ∈ ¯ P. Note que os elementos de W s˜ao conjuntos abertos de todos as ¯ imagens difeomorficas de B, juntamente com o conjunto vazio. Dados Y ⊂ B e r > 0, seja i

  W(r, Y ) formado por todas as coberturas enumer´aveis {I } de Y por elementos de W com diˆametro menor ou igual a r, qualquer que seja i.

  Dado um conjunto aberto Y ⊂ B, seja τ(Y ) ∈ [0, 1] tal que

  1 j s

  • τ (Y ) = lim sup (x) (Y ) (x) (3.5) δ ¯ n n

  {0 ≤ j < n; f ∈ W s ∩ O } F

  →∞

  para µ quase todo ponto x

  ∆ ∈ M.

  Afirma¸c˜ao 3.2.5. A fun¸c˜ao τ tem as seguintes propriedades: 1) τ (

  ∅) = 0; 2) τ (

  B) ≥ λ > 0; 3) τ (Y ) ) onde Y s˜ao subconjuntos abertos de

  1

  2

  1

  2

  ≤ τ(Y ⊂ Y B;

  ∞ ∞

  4) τ ( Y i ) τ (Y i ) onde Y i s˜ao subconjuntos abertos de i i ∪ =1 ≤ ∪ =1 s

  B para todo i; 5) τ (Y ) (Y )) para todo conjunto aberto Y

  ≤ µ(W δ s ⊂ B;

  −1

  6) τ ( ¯ F (Y )) = τ (Y ) para todo conjunto aberto Y ⊂ B;

  Demonstra¸c˜ao. Os itens 1, 3 e 4 seguem da defini¸c˜ao de τ (3.5). Para o item 2, temos que, pela Proposi¸c˜ao 1.2.9, existe θ tal que τ ( s

  B) ≥ θ > 0. Quanto ao item (5), pelo Teorema

  1 j s

  de Birkhoff, µ(W (Y )) = lim ♯ (x) (Y ) δ {0 ≤ j < n; f ∈ W δ } para todo conjunto aberto s n s s

  1 Y

  (Y )) = lim ♯ ⊂ B e µ quase todo ponto x. Por outro lado, temos que µ(W δ s {0 ≤ j < n s

  τ (Y ) (Y )) para todo conjunto aberto Y δ ≤ µ(W s ⊂ B. Para verificar ´ultimo item (6), j j −1 −1 considere Y F (x) F (x) F (Y ),

  ⊂ B. Como ¯ ∈ Y ⇔ ¯ ∈ ¯ ∀j ≥ 1 ∀x ∈ B, temos que

  −1

  τ ( ¯ F (Y )) = τ (Y ) para todo conjunto aberto Y ⊂ B.

  Note que τ , restrita a W, ´e uma pr´e-medida segundo Rogers em [11] (Defini¸c˜ao

  5). Dado Y ⊂ B, defina

  ν(Y ) = sup ¯ ν r (Y ), r> P onde ν r (Y ) = inf I∈W(r,Y ) τ (I i ) e I W(r, Y ) ´e o conjunto de todas as coberturas enu- i ∈I mer´aveis i i )

  I = {I } de Y por elementos de W com diam(I ≤ r, ∀i. A fun¸c˜ao ν, definida na classe de todos os subconjuntos de B, ´e chamada em [11] de medida m´etrica obtida da pr´ e

  − medida τ pelo m´etodo II (Teorema 15 de [11]).

  Pela constru¸c˜ao feita para ( ¯ F , ¯ P) temos que

  I ou I ou I = , I (3.6)

  1

  2

  2

  1

  

1

  2

  1

  2 ⊂ I ⊂ I ∩ I ∅, ∀ I ∈ W.

  Assim, podemos tomar f i i j = W(r, Y ) = {{I } ∈ W(r, Y ); I ∩ I ∅ ∀i 6= j} e definir

  X ν r (Y ) = inf τ (I i ).

  

I∈ f W(r,Y )

I i ∈I s

  Afirma¸c˜ao 3.2.6. A medida ¯ ν ´e ¯ F (Y )) para todo conjunto −invariante e ¯ν(Y ) ≤ µ(W δ s aberto Y

  ⊂ B. Demonstra¸c˜ao. Note que, s s

  µ(W (Y ) = inf µ( δ s ∪ δ s I ∈I (W (I))) =

  I∈ f W(r,Y )

  X s

  X = inf µ(W (I)) inf τ (I) = ν r (Y ) δ s ≥

  I∈ f W(r,Y ) I∈ f W(r,Y )

I

I s ∈I ∈I

  para todo r > 0. Assim, ¯ ν(Y ) (Y )) para todo conjunto aberto Y ≤ µ(W δ ⊂ B. Quanto `a s prova de que ¯ ν ´e ¯ F

  −invariante, segue de forma an´aloga `a prova da Afirma¸c˜ao 3 na Prova do Teorema 1 em [10]. Isto conclui a prova da Afirma¸c˜ao 3.2.6. ′ ′ Para finalizar a prova do Teorema 3.2.4 estendemos ¯ ν para ∆ definindo ¯ ν(∆ ε ε

  ˜ ˜ \ B) = 0.

  Vamos agora mostrar que ´ Rd¯ ν < ∞. Lema 3.2.7. O tempo R de indu¸c˜ao ´e ¯ ν integr´avel.

  1 Demonstra¸c˜ao. Suponha, por contradi¸c˜ao, que ´ Rd¯ ν ∈ (γ, +∞] para algum γ > θ ∈ R.

  Como ¯ ν ´e ¯ F − invariante e R ≥ 0, segue pelo Teorema Erg´odico de Birkhoff, que existe

  ˜ x B ⊂ B com ν( ˜

  B) > 0 tal que, para todo x ∈ ˜ n

  B, existe algum n ∈ N tal que

  X k R F (x) > αn, x . k ◦ ¯ ∀n ≥ n

  =0

  

1

Neste caso, para todo n > αn x x e todo n n ≥ n ≤ j < n, temos α

  X k j R F (x) > αj = α n x .

  ◦ ¯ ≥ n, ∀n ≥ n k =0 n Assim, j

  X k

  1 sup R F (x) < n n < θn (3.7) {j ≥ 0; ◦ ¯ } ≤ k α

  =0

  para todo n x e todo x ≥ αn ∈ ˜ B.

  P j

  • k j

  Como R (x) < n (x) (x) {j ≥ 0; k ◦ F } = {0 ≤ j < n; f ∈ O F } e sup{j ≥

  =0

  P j P j k k 0; R (x) < n R (x) < n k ◦ F } = ♯{j ≥ 0; k ◦ F }, temos que

  =0 =0 j

  X j k + ♯ (x) (x) R (x) < n (3.8) {0 ≤ j < n; f ∈ O F } = sup{j ≥ 0; ◦ F }. k

  =0

1 Aplicando lim sup na equa¸c˜ao (3.8) e usando na equa¸c˜ao (3.7) temos que para todo

  n n x ∈ ˜ B

  1

  • j

  lim sup ♯ (x) (x) {0 ≤ j < n; f ∈ O F } < θ. n

  −1 Isto ´e uma contradi¸c˜ao, visto que µ (H) > 0; provando assim que ´ Rd¯ ν < θ . ∆ ξ ˜

  Considere agora um ponto t´ıpico x para a medida ¯ ν. Passando a uma sub- sequˆencia se necess´ario, temos que n

  −1

  X ∗

  1 j W δ ¯ ν. ¯ F

  (x ) −→

  n j w =0 ∗ Onde significa a convergˆencia da topologia fraca .

  −→ s Afirma¸c˜ao 3.2.8. Se p (x ) ´e ponto t´ıpico para µ, ent˜ao existe ν F

  ∈ W δ s n −invariante.

  P −1 W

  1 (R(x)) j

  Demonstra¸c˜ao. De fato, como δ f µ e f (x) = F (x), temos que, n =0 j (p) −→ P n

  −1

  1 j

  tomando se necess´ario uma subsequˆencia, a sequˆencia ν n = δ converge para n =0 j F (p) ν, F −invariante.

  Diante disto, provamos o seguinte: Demonstra¸c˜ao. Considere n −1 X ∗

  1 j W U = δ ¯ ν ¯ F

  {x ∈ B; (x) −→ } n j

  

=0

  . Temos que ¯ ν(U ) > 0 e, pela Afirma¸c˜ao 3.2.6, segue s 0 < ¯ ν(U ) (U )). s ≤ µ(W δ s Assim, para p (U ) como na afirma¸c˜ao anterior, como

  ∈ W δ s n

  −1

  X ∗

  1 j W δ f µ

  (p) −→

  n j =0

  (R(x))

  e f (x) = F (x) temos que, tomando se necess´ario uma subsequˆencia, a sequˆencia P n −1

  1 j

  ν n = δ converge para ν, F n =0 j −invariante. F (p) Afirma¸c˜ao 3.2.10. O tempo R de indu¸c˜ao ´e ν integr´avel. n n P −1 P −1

  1 j

  1 Demonstra¸c˜ao. De fato, pois ´ Rd¯ ν = lim n R F (π(p)) = lim n R j ∞ > j ◦ ¯ j ◦ n =0 n =0

  F (p) = ´ Rdν.

  Cap´ıtulo 4 Existˆ encia de Medida Invariante.

  Neste cap´ıtulo faremos a prova do Teorema B, descrito abaixo. Tal prova est´a dividida em duas partes: Mostrar que (F, P) mapa Markoviano induzido definido em

  Y ⊂ K satisfaz a estrutura Torres de Young definida na subse¸c˜ao 1.3, o que ´e feito na se¸c˜ao 4.1; e existˆencia de uma medida ν F

  −invariante tal que ´ Rdν < ∞, demonstrada na se¸c˜ao 4.2.

  1+

  Teorema. B. Seja f : M , K → M um difeomorfismo C ⊂ M um conjunto compacto cs cu positivamente invariante em que f ´e parcialmente hiperb´olico, T k M = E onde cs cu ⊕ E

  E ´e uniformemente contrativo. Assuma que f ´e NUE-E para todo ponto x em um conjunto H ⊆ K de medida µ positiva. Se µ tem controle de distor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro- inst´avel, ent˜ao existe uma cole¸c˜ao de medidas f s absolutamente

  −invariantes erg´odicas ν cont´ınuas com respeito a µ tais que µ −quase todo ponto x ∈ K pertence `a bacia de uma destas medidas. Inicialmente iremos verificar que a parti¸c˜ao constru´ıda anteriormente ´e uma estrutura do mesmo tipo que a presente em [14] denominada Estrutura Torres de Young.

  Para isto, considere um disco centro-inst´avel ∆ como no Lema 2.2.16, e a parti¸c˜ao ) (µ mod0) ( ver equa¸c˜ao (1.8)) constru´ıda no cap´ıtulo 2; para o que se segue

  ∆

  P de C(∆ ˜ ξ definimos s s Γ = (x) : x {W δ s ∈ ∆}. u

  Al´em disso, definimos a fam´ılia Γ como o conjunto de todas as variedades inst´aveis locais intersectando s u C(∆) que u−atravessam C(∆)(ver equa¸c˜ao(1.9)). Clara- s u mente Γ e Γ s˜ao n˜ao vazios, pois para todo x (x) e ∆ , respec- u ∈ ∆ existe W δ s ∈Γ tivamente. Observe tamb´em que Γ ´e compacto, pois pela propriedade de domina¸c˜ao e u o Teorema de Ascoli-Arzela, qualquer disco limite ∆ de discos em Γ ´e um cu-disco

  ∞

  u-atravessando C(∆), ao mesmo tempo que est´a contido em C(∆) uma vez que C(∆) u u seja fechado. Pela defini¸c˜ao de Γ , podemos ver que ∆ ∞ .

  ∈ Γ

4.1 Parti¸c˜ ao Markoviana Induzida

  Nesta se¸c˜ao iremos mostrar que a Parti¸c˜ao Markoviana Induzida constru´ıda no cap´ıtulo 3 satisfaz a Estrutura - Torre de Young, para isto verificamos que esta estrutura satisfaz as propriedades (P1) - (P5) da estrutura produto definida na subse¸c˜ao 1.3. u

  Definimos os s , Λ , . . . como os cilindros P dados

  1 2 ∈P

  −subconjuntos Λ {C(P )∩Γ } em 3.3, onde [ s C(P ) = W (x). x δ s

  

∈P

  A primeira propriedade (P ) ´e descrita nos seguintes termos:

  1 u Lema 4.1.1. µ γ .

  {γ ∩ Λ} > 0 para todo γ ∈ Γ R

  (P )

  Demonstra¸c˜ao. De fato, por constru¸c˜ao temos que f (P ) ´e um u −subconjunto de C(∆) para todo P R P s ∈ P e ´e constitu´ıdo por cu−discos contidos em C(∆) , e al´em disso temos

  ( ˜ )

  ˜ que f (P ) u (∆ ). δ −atravessa W s

  O pr´oximo Lema d´a precisamente a propriedade (P 2 ). Lema 4.1.2. Os s- subconjuntos Λ , Λ , . . . s˜ao tais que: u u u

  1

  2

  1. Em cada γ γ i ) −disco, µ {(Λ − ∪Λ ∩ γ } = 0;

  • R (Λ i )

  2. Para cada i i ) tal que f (Λ i ) ´e um u-subconjunto de Λ; ∈ N existe R(Λ ∈ N R (Λ i ) s s R (Λ i ) R (Λ i ) u u R (Λ i )

  R (Λ i )

  Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que f (Λ i ) ´e um u-subconjunto. De fato, dado um R (P ) elemento P (P ) ´e um disco

  ∈ P, por constru¸c˜ao temos que existe R(P ) ∈ N tal que f u centro inst´avel u-atravessando C(∆). Uma vez que cada γ ´e uma c´opia difeomorfica u s S R

  (P )

  de ∆, Γ i ) W (x). Uma vez que, por constru¸c˜ao f (P ) intersecta ∩ C(Λ ∈ x δ s s ∈ω

  W (p) ent˜ao de acordo com a escolha de δ e da invariˆancia das folhas est´aveis, temos δ s R u

  (P )

  que cada elemento de f (Γ R (P ) R (P ) R (Λ i ) ∩C(P )) obrigatoriamente u-atravessa C(∆) e est´a contido na α δ s (P ), provando assim que f (Λ i ) ´e um u-subconjunto.

  −vizinhan¸ca f Para a propriedade P temos que seu resultado ´e imediato pois para todo ponto x

  3

  ∈ ∆ existe variedade est´avel local. J´a as propriedades (P (1)) e (P (2)) s˜ao dadas pelo seguinte Lema:

  4

  4

u

  Lema 4.1.3. Para todo x, y i com y (x), e 0 i ) temos que existem ∈ Λ ∈ γ ≤ n < R(Λ

  C > 0, α < 1 e 0 < ς ≤ 1 tais que: n n R (Λ i )−n R (Λ i ) R (Λ i ) dist(f (y), f (x)) dist(f (x), f (y))

  ≤ Cα e R

  (Λ i )

  J µ f (x) R (Λ i ) R (Λ i ) ς R (x), f (y))

  (Λ i )

  log ≤ Cdist(f J µ f (y)

  Demonstra¸c˜ao. De fato, pela constru¸c˜ao dado x em um cu −disco, temos que existe

  V n (x) ⊃ P (x) com n tempo σ−hiperb´olico satisfazendo ord(P (x)) = R(x). Por outro j j lado, como consequˆencia da propriedade (1.4), temos que se y (x), f (y)) 4 3 ∈ K satisfaz dist(f ≤

  δ para 0

  1

  ≤ j ≤ n − 1, ent˜ao n ´e um tempo σ −hiperb´olico para y. Assim, pelo item 2 do Lema 1.2.10, temos a contra¸c˜ao para o passado. Quanto `a distor¸c˜ao limitada, para ≤ i < n e y ∈ D cu-disco temos R R (Λ i )

  (Λ i )

  X J µ f (x) i i (logJ µ f µ f ) T f (D) T f (D) R f i f i | −logJ | ≤

  (Λ i ) (x) (y)

  log = J µ f (y) i R =0 (Λ i )

  X µ f T f µ f T f ) i i ≤ | (D) −logJ | (D) i =0 (logJ f i f i ≤ R R ς (x) (y)

  (Λ i ) (Λ i )

  (x), f (y)) ≤ Cdist(f

  Para a propriedade (P (1)) temos o seguinte Lema:

  5 s

  Lema 4.1.4. Existe C > 0 e 0 < α < 1 tais que para todo y (x) e n ∈ γ ≥ 0

  ∞ i

  Y J µ (f x) n log . i ≤ Cα J µ (f y) Demonstra¸c˜ao. Como assumimos que a medida µ ´e parcialmente hiperb´olica tem controle de distor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro-inst´avel, a conclus˜ao segue imediatamente pela contra¸c˜ao uniforme das folhas est´aveis.

  Para provar a propriedade (P (2)) introduziremos algumas nota¸c˜oes. Dizemos

  5

  que φ : N → P , onde N e P s˜ao subvariedades de M, ´e absolutamente cont´ınua se, sempre que f A ´e uma aplica¸c˜ao injetiva, e existe J : N

  | ˆ → R tal que µ P (φ(A)) = Jdµ N . A J ´e chamada Jacobiano de φ. A propriedade (P (2)) ´e descrita nos seguintes termos: ′ ′ u s

  5 Lema 4.1.5. Dados γ, γ , defina Θ : γ por Θ(x) = γ (x)

  ∈ Γ → γ ∩ γ . Ent˜ao Θ ´e absolutamente cont´ınua e o Jacobiano de Θ ´e dado por:

  ∞ i −1

  Y d(Θ µ γ ) J µ (f (x)) J(x) = (x) = . i dµ γ J µ (f (Θ(x))) i

  =0

  Note que para a medida µ pacialmente hiperb´olica com controle de distor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro-inst´avel temos que Θ ´e absolutamente cont´ınua. Para a prova da se- gunta parte apresentamos algumas nota¸c˜oes e resultados gerais sobre a convergˆencia de Jacobianos. A prova do pr´oximo Lema est´a em [[7],Teorema 3.3].

  Lema 4.1.6. Sejam N e P variedades, P com volume finito, e para cada n n : ≥ 1, seja Θ

  N n n . Assuma que J converge uniformemente → P aplica¸c˜oes cont´ınuas com jacobianos J para uma fun¸c˜ao integr´avel J : N ′ ′ u → R. Ent˜ao Θ tem Jacobiano J.

  Considere agora γ, γ e Θ : γ ∈ Γ → γ como no Lema 4.1.5. A prova do Lema seguinte ´e dado em [[7], Lema 3.4] para difeomorfismos uniformemente hiperb´olicos. No entanto, pode-se facilmente ver que este ´e obtido como consequˆencia do [[7], Lema 3.8] cuja prova usa somente a existˆencia de decomposi¸c˜ao dominada. n Lema 4.1.7. Para cada n n : f (γ) n ≥ 1, existe aplica¸c˜ao absolutamente continua π → f (γ ) com Jacobiano G n satisfazendo: n n n

  1. lim n sup dist f (π n (f (x), f (Θ(x))) = 0;

  →∞ x (γ) ∈γ n

  2. lim n sup n (x)

  →∞ x ∈f (γ) | 1 − G |= 0.

  Ainda para a prova da segunda parte do Lema 4.1.5, considere uma sequˆencia de tempos induzidos consecutivos para pontos em Λ r n r = R e r n = r n + R para n

  1 +1 ◦ f ≥ 1. u

  Note que estas fun¸c˜oes s˜ao definidas em µ e s˜ao

  −quase todos os pontos em cada γ ∈ Γ Observa¸c˜ao 4.1.8. Usando a sequˆencia de tempos de retorno, podemos facilmente construir sequˆencias de Parti¸c˜oes (Q n ) n µ γ mod0 como feito antes tais que as propriedades (P )

  1

  − (P

  5 (1)) continuam se verificando e as constantes C > 0 e 0 < β < 1 podem ser tomadas n˜ao dependendo de n.

  Definimos para cada n n : γ como ≥ 0, o mapa Θ → γ r

  −r n n

  Θ n = f π r n f . (4.1) Isto basta para verificar que Θ n tem Jacobiano dado por µ γ (f ) (x) r n u

  | J | r n J (x) = G (f (x)) (4.2) n r n µ γ (f ) (Θ n (x)) r u n

  | J | Afirma¸c˜ao 4.1.9. (J n ) n converge uniformemente para J .

  Demonstra¸c˜ao. Por (4.2) temos que µ (f ) (x) µ (f ) (Θ(x)) γ γ r u r u n n | J | | J | r n

  J n (x) = . .G r n (f (x)) = µ (f ) (Θ n (x)) µ (f ) (Θ(x)) γ γ r n u r n u | J | | J | µ γ (f ) (x) µ γ (f ) (Θ(x)) r n u r n u | J | | J | r n

  = . .G r (f (x)) µ γ (f ) (Θ(x)) µ γ (f ) (Θ n (x)) r u r u n n n | J | | J |

  Usando a regra da cadeia e o Lema 4.1.4, conclu´ımos que o primeiro termo do produto con- verge uniformemente para J(x). Pelo Lema 4.1.7 temos que o terceiro termo do produto converge uniformemente para 1. Resta ver que o termo do meio converge uniformemente para 1. Por distor¸c˜ao limitada temos µ γ (f ) (Θ(x)) r n u

  | J | r n r n ς rn (f (φ(x)), f (φ (x))) ) n µ γ (f ) (Θ n (x)) r u (γ ) n ≤ exp(Cdist f | J |

  −r n r n

  como Θ n = f π r n f temos que µ (f ) (Θ(x)) γ r u n | J | r r ς f n rn (f (φ(x)), π r (f (x))) ) n n µ (f ) (Θ n (x)) γ r u n ≤ exp(Cdist (γ )

  | J | do mesmo modo µ γ (f ) (Θ(x)) r u n | J | r r ς rn (f (φ(x)), π r (f (x))) ). n n n µ (f ) (Θ n (x)) γ r u n ≥ exp(−Cdist f (γ )

  | J | Concluindo assim a prova do Lema 4.1.5.

4.2 Existˆ encia de medida f-invariante.

  Para a conclus˜ao da prova do Teorema B, nesta se¸c˜ao provaremos a existˆencia de uma medida ν F −invariante tal que R ´ Rdν < ∞. Tal prova segue as seguintes etapas:

  1. Construir uma medida f em K com medidas condicionais absoluta- −invariante ν mente cont´ınuas com respeito a µ em cu-discos ∆ i ; R

  2. Consequentemente ν ´e F R −invariante; P P (P )−1 j

  3. Definir ν := f (ν P ) absolutamente cont´ınua com respeito a µ em P j |

  ∈P =0 ∗ cu-discos.

  Proposi¸c˜ ao 4.2.1. Sob as hip´oteses do Teorema B, se a medida µ tem controle de dis- tor¸c˜ao na dire¸c˜ao centro-inst´avel, ent˜ao existe uma cole¸c˜ao de medidas f −invariantes erg´odicas ν absolutamente cont´ınuas com respeito a µ tais que µ s

  −quase todo ponto x ∈ K pertence `a bacia de uma destas medidas. Demonstra¸c˜ao. Para construir ν , fixe ∆ como anteriomente. Recorde que pela propri- ε u ˜ edade (P ), para toda γ , µ

  5 γ ∈ Γ | (γ ∩ Λ) s˜ao uniformemente equivalentes. Considere R j

  µ := µ as densidades das medidas condicionais de (f ) µ j

  ∆ | (∆ ∩ K) > 0. Sejam ρ ′ R d j ∗ (f )

  ∆ R j ∗µ0

  em cu-discos, isto ´e, ρ = /((f ) µ )(∆ i ) para algum ∆ i . Pelo Lema de distor¸c˜ao j dµ ∗

  ∆i

  temos que

  ∆ i

  ρ (x) j , i

  ≤ C 2 ∀x, y ∈ ∆ ∩ K.

  ∆ i

  ρ (y) j Em particular, existe M > 0, independente de j e ∆ , tal que i

  −1 ∆ i

  M em ∆ i j ≤ ρ ≤ M ∩ K n o

  P n −1

  1 R j ∗

  Seja ν o ponto de acumula¸c˜ao de (f ) µ na topologia-fraca , n =0 j ∗ n =1,2,...

  ∆ i e sejam em cu-discos.

  {ν } as medidas condicionais de ν

  ∆ i R

  Claramente, ν ∆ i . Consequentemente temos que ν ´e F ≪ µ −invariante.

  Seja

  ∞

  X j ν := ˜ F (ν j ∗ | {R > j}), =0 ∆ i e observe que ν ´e uniformemente equivalente a µ i )

  ∆ i ε ´

  | (∆ ∩ K), a finitude de ˜ν(∆ ˜ equivale a Rdµ ∆ i < ∞.

  ∆ i ∩K

  Defina R

  

(P )−1

  X X j ν := f (˜ ν ) P P ∈P j =0 ∗ | uma medida f −invariante e absolutamente cont´ınua com respeito a µ com cu-discos. Cap´ıtulo 5 Exemplo e Aplica¸c˜ oes

  Apresentamos no que segue exemplos de aplica¸c˜oes dos resultados demonstrados nos cap´ıtulos anteriores.

5.1 Entropia de um sistema dinˆ amico

  1+

  Teorema 5.1.1. Seja f : M , K → M um difeomorfismo C ⊂ M um conjunto com- cs cu pacto positivamente invariante em que f ´e parcialmente hiperb´olico, T k M = E cs

  ⊕ E onde E ´e uniformemente contrativo . Assuma que f ´e n˜ao-uniformemente expansor ao cu longo de dire¸c˜ao centro-inst´avel (NUE-E ), isto ´e n

  X

  1

  −1 −1 cu

  lim sup log E > 0 n k Df | k f j (x)

  →∞ n j =1

  para todo x em um conjunto H ⊆ K de medida positiva. Se a medida µ ´e f−invariante e erg´odica, ent˜ao para todo α µ (f )] existe ν medida de probabilidade f

  ∈ [0, h −invariante erg´odica tal que h ν (f ) = α.

  Demonstra¸c˜ao. Sejam ∆ como na Defini¸c˜ao 2.1.8, F , R e ξ ˜ P como no Corol´ario 3.1.9 e ν uma medida F

  −invariante dada pelo Lema 3.2.9. Note inicialmente que, pela f´ormula de Abramov h ν (F ) h ν (F,

  P) h µ (f ) = = . (5.1) j ´ Rdν ´ Rdν Considere ); F (x) P ∈P P

  B = {x ∈ C(∆ ∈ ∪ ∀j ≥ 0} e para uma sequˆencia de n´umeros ξ ˜ P P , defina η(P ) = ν(P ) = a P i P ) P ) defina i i ∈P i −1 −1 s {a } ∀P ∈ P e com Y = (F | 1 ◦ · · · ◦ (F | η(Y ) = ν(P ) . . . ν(P s ) = a P . . . a P . Para P P

  1 s 1 ∈ P fixado tal que a 6= 0, defina

  (

  1 P ) se P = P − t(1 − a a P (t) = . ta P se P

  6= P Portanto, definindo a medida η t (P ) = a P (t) i t (Y ) = a P (t) + . . . + a P (t) temos i 1 s ∀P ∈ P e η uma quantidade n˜ao enumer´avel de medidas η t que variam em t P a η. De

  ∈ [0, 1], de δ fato, ( 1 se P = P

  η (P ) = a P (0) = = δ P ∀P ∈ P, e.

  0 se P 6= P

  ( a P se P = P η (P ) = a P (1) = = η(P )

  1

  ∀P ∈ P a P se P 6= P

  Consequentemente, P n

  1 P

  η t (P ) log

  ∈P η t (P )

  h η t (F ) t t = = ´ Rdη ´ Rdη

  P

  

1

  1

  (1 P )) log ta P log − t (1 − a P 6=P ta P

  • 1−t 1−a

  ( P0 ) =

  , P

  R(P ) (1 P )) + R(P )ta P − t(1 − a P

  6=P

  esta ´ ultima express˜ao varia continuamente em t, de 0 a h µ (f ), pois para t = 0 temos h η0 (F ) = 0 visto que R(P )

  1 = η = ν e temos que, pela equa¸c˜ao

  6= 0 e, para t = 1 vale η

  ´ Rdη h η1 (F ) (5.1) = h µ (f ).

  ´ Rdη 1

5.2 Exemplo

  Seja f : [0, 1] → [0, 1] um mapa definido por:

  (

  1

  h(x) se x <

  2

  f (x) =

  1

  1 − h(1 − x) se x ≥

  2

  2

  1

  onde h(x) = x + 2x . O mapa f pode ser visto como um mapa no c´ırculo S = R/Z,

  1

  identificando S com [0, 1]/ {0, 1}

  C:/Users/katia/Downloads/EXEMPLO1EXPMES-eps-converted-to.pdf

  1

  2

  2

  2 Considere o Toro s´olido M = S , onde D ´e um disco unit´ario em R ,

  × D definimos o mapa g : M → M por

  1

  1

  1

  1 g(x, y, z) = f (x), y + cos x, z + sin x .

  10

  2

  10

  2 Em [15] Young mostrou que para aplica¸c˜oes expansora por peda¸c˜oes como f a n P −1

  1 ∗ j

  m´edia δ f converge fracamente para a medida de Dirac no ponto0 para Lebes- n =0 i (x)

  1

  gue quase todo ponto x . Usando o fato que temos contra¸c˜ao uniforme na dire¸c˜ao ∈ S vertical (segunda e terceira coordenadas de g) e a forma de produto de g, temos que n

  P −1

  1 j

  a m´edia δ g tamb´em converge para a medida de Dirac no 0 para Lebesgue n i =0 (x,y,z)

  1

  2

  quase todo ponto (x, y, z) . Em particular, assim como para f , temos que g n˜ao ∈ S × D admite medida invariante absolutamente cont´ınua com respeito a Lebesgue. Em contraste a isto, assim como os resultados vistos aqui podemos construir uma quantidade n˜ao enu- mer´avel de medidas de probabilidade invariantes, erg´odicas e parcialmente hiperb´olicas para a aplica¸c˜ao g; para isto, temos a seguinte proposi¸c˜ao.

  Proposi¸c˜ ao 5.2.1. Se g : M → M ´e uma aplica¸c˜ao definida como acima ent˜ao g admite uma quantidade n˜ao enumer´avel de medidas de probabilidade invariantes parcialmente

  T j hiperb´olicas cujo suporte ´e igual a g (M ) . j

  ≥0

  Inicialmente, note que o mapa f ´e topologicamente conjugado ao mapa de ex- pans˜ao uniforme h (x) = 2x(modZ). Assim, f ´e fortemente topogicamente transitivo. Como h tem expans˜ao em pontos peri´odicos, f tamb´em a tem; al´em disso f tem ponto

  2

  peri´odico p (x) > 1 ∈ (0, 1) de per´ıodo dois e, como Df ∀x ∈ (0, 1), segue que p ´e ponto per´ı´odico expansor. Assim, pela Proposi¸c˜ao 1.2.9 e Lema 1.2.10 temos que existem θ e δ tais que λ

  1

  − 4

  2 1

  lim sup ♯ (e , g ) j S n {1 ≤ j ≤ n; x ∈ H | } ≥ θ

  →∞ n

  1

  1 para todo x e ∆ centrado em p.

  ∈ S ⊂ S

  ∗ Considere agora ∆ como na subse¸c˜ao 2.1.1 . ξ ˜

  Segue do Teorema 6 de [10] e Lema 3.2.9,que g admite uma quantidade n˜ao enumer´avel de medidas de probabilidade invariantes, erg´odicas e parcialmente hiperb´olicas T j cujo suporte ´e g (M ). De fato, para verificar este fato basta aplicar o Teorema 6 de j 1 ≥0

  [10] para g . Posteriormente considere S | h = (h(x)) x ∈lim sup H n (e ,g | ) − λ 4 S1 a cole¸c˜ao de imagens hiperb´olicas e ξ a cole¸c˜ao de todas as ξ

  −pr´e-bolas hiperb´olicas e R,

  ∗ F e ) .

  P como no Corol´ario 3.1.9 para C(∆ ˜ ξ 1 Consequentemente, para cada ˜ ν S invariante, erg´odica, assim como foi feito −g | em Lema 3.2.9, temos g

  −invariante, erg´odica e parcialmente hiperb´olica cujo suporte ´e T j Cap´ıtulo 6 Perspectivas futuras

  6.1 Hiperbolicidade parcial por peda¸cos 1+

  Assim como foi feito em [10] podemos considerar agora um difeomorfismo C , f : M → M , exceto em um conjunto cr´ıtico C ⊂ M. Para isto, incluir uma hip´otese de recorrˆencia lenta a este conjunto cr´ıtico. Assim:

  Quest˜ ao 6.1.1. Valem os resultados do Teorema A e B para o contexto acima? Feito isto, podemos pensar nestes resultados para fluxos seccionais hiperb´olicos via se¸c˜oes de Poincar´e.

  6.2 Existˆ encia de Medida

  Neste trabalho, no contexto de hiperbolicidade parcial, em que o espa¸co tangente ´e decomposto em dois subfibrados invariantes, um dos quais ´e uniformemente contrativo, enquanto que o seu complementar ´e n˜ao uniformemente expansor; para provar os Teoremas A e B assumimos por hip´otese a existˆencia de uma medida µ invariante, erg´odica e com algum controle de distor¸c˜ao, respectivamente. Ent˜ao uma pergunta natural seria

  2 Quest˜ ao. Para f : M e K

  → M difeomorfismo C ⊂ M parcialmente hiperb´olico, existem medidas µ n f −invariantes, erg´odicas cuja uni˜ao dos suportes cont´em o conjunto n˜ao errante de um conjunto NUE?

  Completanto esta quest˜ao, poder´ıamos pensar na existˆencia de uma quantidade finita de tais medidas.

6.3 Medida Misturadora e Decaimento de Correla¸c˜ ao

  Defini¸c˜ ao 6.3.1. Seja uma medida de probabilidade f −invariante µ. Dizemos que µ ´e uma medida misturadora(mixing) se

  −n

  lim µ(A (B)) = µ(A).µ(B) (6.1) n ∩ f

  →∞ para todos conjuntos A, B mensur´aveis.

  Ou seja, conjuntos de pontos em A, cuja imagem em tempo n pertence a B tendem a ter a mesma propor¸c˜ao em A como B, propor¸c˜oes entendidas em termos da medida µ. Assim, qualquer conjunto mensur´avel tende a distribuir-se ao longo do espa¸co de acordo com µ.

  Agora vamos reescrever (6.1) da seguinte forma: ˆ ˆ ˆ n lim A ( B )dµ dµ. B dµ (6.2)

  A n

  X X ◦ f −

  X X

  →∞

  = 0 onde A ´e a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A, isto ´e, A (x) = 1 se x A (x) = 0 caso

  X X ∈ A e X contr´ario.

  Note que podemos ver (6.2) como a covariˆancia entre vari´aveis aleat´orias A e B . Definimos o Coeficiente de correla¸c˜ao (taxa de mistura ) como a volocidade com n

  X X ◦ f que (6.1) acontece, isto ´e, n (ψ, ϕ) = ψ(ϕ )dµ ψdµ. ϕdµ ˆ ˆ ˆ n C ◦ f −

  −→ 0, para quaisquer dois observ´aveis ψ, ϕ em espa¸cos de fun¸c˜oes adequadas. A imposi¸c˜ao de uma certa regularidade nos observ´aveis nos dir´a algo sobre o comportamento dos coeficientes de correla¸c˜ao para determinados sistemas. Defini¸c˜ ao 6.3.2. Dizemos que o sistema (f, µ) tem decaimento exponencial de correla¸c˜oes se existe β > 0, tal que para todo ψ, ϕ existe constante C(ψ, ϕ) tais que: n (ψ, ϕ) para todo n −βn C ≤ C(ψ, ϕ)e ≥ 1.

  A partir dos resultados obtivos no Teorema B e de [14] e [15] uma aplica¸c˜ao que surge naturalmente ´e o estudo de decaimento de correla¸c˜ao das medidas parcialmente hiperb´olicas, respondendo aos seguintes questionamentos Quest˜ ao 6.3.3. Quando h´a mistura do sistema (f, ν s )? E qual a velocidade com que n (ψ, ϕ) = ψ(ϕ )dµ ψdµ. ϕdµ ˆ ˆ ˆ n

  C ◦ f − −→ 0, para quaisquer dois observ´aveis ψ, ϕ em espa¸cos de fun¸c˜oes adequadas.

  Quest˜ ao 6.3.4. Quando o sistema (f, µ) tem decaimento exponencial de correla¸c˜oes?

  Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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