A Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para Produtos Orlados de um Grupo Abeliano por um Nilpotente

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica

Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado A Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para Produtos Orlados de um Grupo

  Abeliano por um Nilpotente Elisˆangela Silva Farias

  Salvador-Bahia Abril de 2006 A Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para Produtos Orlados de um Grupo Abeliano por um Nilpotente

  Elisˆangela Silva Farias

  Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr. Thi- erry Corrˆea Petit Lob˜ao que ser´a apresen- tada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao (Orientador) Prof. Dr. Antonio Paques Prof. Dr. David Arneson Hill

  FARIAS, Elisˆangela Silva. A Propriedade do Normaliza-

  

dor e o Problema do Isomorfismo para Produtos Orlados

de um Grupo Abeliano por um Nilpotente. Salvador-Ba,

  UFBA, 2006 (Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de p´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica), 61 p´aginas.

  PALAVRAS-CHAVE: Grupos, An´eis, An´eis de Grupo Integrais, Propriedade do Normalizador, Problema do Isomorfismo, Produto Orlado.

  `

A m˜aezinha.

  “Que a arte nos aponte uma resposta, Mesmo que ela n˜ao saiba. E que ningu´em a tente complicar Porque ´e preciso simplicidade para fazˆe-la florescer. E que a minha loucura seja perdoada, Porque metade de mim ´e amor, E a outra metade... tamb´em.” (Oswaldo Montenegro) Resumo

  Neste trabalho, nosso principal objetivo ´e discutir a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo, duas quest˜oes de destaque na teoria dos An´eis de Grupo Integrais.

  Faremos a investiga¸c˜ao destas quest˜oes para grupos dados por produtos orlados; primei- ramente, demonstraremos a Propriedade do Normalizador para produtos orlados de um grupo abeliano por um nilpotente. Em seguida, trataremos do Problema do Isomorfismo tamb´em para produtos orlados de um grupo abeliano por um nilpotente.

  Apresentamos estes resultados com o intuito de que sejam um passo inicial para uma futura investiga¸c˜ao das duas quest˜oes para produtos orlados entre grupos nilpotentes. Abstract

  In this work, our main objective is to discuss the Normalizer Property and the Iso- morphism Problem, two questions of prominence importance in the theory of integrais group rings.

  We investigated these questions for groups given by wreath products; first, we demons- trate the Normalizer Property for wreath product of an abelian group with a nilpotent group. After, we demonstrate the Isomorphism Problem for wreath product of an abelian group with a nilpotent group too.

  We present these results with the aim to present an initial step for future investigation on the two questions for wreath products between nilpotents groups. Sum´ ario

  Resumo vi

  Abstract vii

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  4

  2 A Propriedade do Normalizador 12 2.1 Os Resultados de Coleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13 2.2 Os Resultados de Jackowisk e Marciniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.3 Os Grupos de Blackburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 2.4 Os Grupos de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23 2.5 Os Grupos Monomiais Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24

  3 O Problema do Isomorfismo 31 3.1 Grupos Abelianos e Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33 3.2 Outras solu¸c˜oes e algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  34 3.3 Os Contra-exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37

  4 Resultados Propostos 40 4.1 Uma solu¸c˜ao para a Propriedade do Normalizador . . . . . . . . . . . . . . . . .

  40 4.2 Uma solu¸c˜ao para o Problema do Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 Conclus˜ ao

  48 Bibliografia

  50 Introdu¸ c˜ ao

  A disserta¸c˜ao ora apresentada investiga dois temas de grande importˆancia na teoria dos an´eis de grupo, a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo.

  Um anel de grupo RG ´e um m´odulo livre tendo os elementos do grupo G como base e coeficientes no anel com unidade R com a adicional opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao entre seus elementos, definida por distributividade. Em nosso trabalho, utilizaremos an´eis de grupo em que o anel considerado ´e o dos inteiros,

  Z, e o grupo G ´e finito, neste caso, teremos o chamado anel de grupo integral.

  A teoria dos an´eis de grupo possui v´arias quest˜oes interessantes; entre estas, o Problema do Isomorfismo destaca-se como central e consiste em verificar se dois grupos ser˜ao isomorfos sempre que seus an´eis de grupo o forem. Esta quest˜ao vem sendo discutida desde 1940, a partir dos trabalhos de G. Higman utilizando-se diversos an´eis de coeficientes, mas foi ao assumir o anel de grupo

  ZG, ou seja, sendo os inteiros o anel de coeficientes, que chegou-se a diversos resultados relevantes, estabelecendo-se ent˜ao a conjectura: os grupos finitos s˜ao determinados via isomorfismo pelos seus an´eis de grupo integrais.

  Outra quest˜ao de destaque na teoria dos an´eis de grupo integrais sobre grupos finitos ´e a Propriedade do Normalizador que tamb´em foi apresentada como conjectura: o normalizador de G no grupo das unidades de

  ZG ´e exatamente o produto do grupo G pelo centro do grupo de unidades. Em 1995, M. Mazur revelou a existˆencia de uma rela¸c˜ao entre esta e o Problema do Isomorfismo no caso de alguns grupos infinitos, o que deu-lhe ainda mais destaque.

  E desta forma, tanto o Problema do Isomorfismo quanto a Propriedade do Normaliza- dor vem sendo investigados e muitas respostas positivas foram encontradas, at´e que, em 2001, M. Hertweck apresentou contra-exemplos para as duas quest˜oes, o que tirou-lhes o status de conjectura, por´em n˜ao as tornaram menos importantes, apenas mudaram os rumos desta linha de pesquisa; agora, busca-se caracterizar as classes de grupos que s˜ao determinados pelos seus an´eis de grupo integrais ou ainda as classes de grupos em que permanece v´alida a propriedade do normalizador.

  As a¸c˜oes presentes nas diversas classes de grupos orlados tˆem se revelado de extrema importˆancia nas investiga¸c˜oes tanto no caso do normalizador quanto do isomorfismo, primeira- mente devido ao fato de muitas outras a¸c˜oes poderem ser “inseridas”nestas, o que fica claro se relembrarmos que todo grupo finito ´e isomorfo a um subgrupo de um grupo de permuta¸c˜oes e o produto orlado ´e uma forma de decompormos os subgrupos de Sylow dos grupos de permuta¸c˜ao. Depois, temos o fato dos contra-exemplos encontrados at´e agora, para ambas as quest˜oes terem sido constru´ıdos tendo por base uma extens˜ao de fatores iguais por´em com a¸c˜oes diferentes, e isto nos leva a concluir que existe algo fundamental na forma como um anel de grupo integral determina estas a¸c˜oes, em particular os produtos semi-diretos.

  Recentemente, Petit Lob˜ao e Sehgal publicaram um resultado provando a Propriedade do Normalizador para grupos monomiais completos. Neste trabalho, ´e desenvolvida a demons- tra¸c˜ao da validade da propriedade do normalizador para a classe de grupos chamados monomiais completos, ou seja, dados pelo produto orlado de um grupo nilpotente na base e um sim´etrico no topo. Ele foi a principal inspira¸c˜ao para propormos o presente trabalho e ´e a principal fonte de referˆencia para o desenvolvimento dos nossos resultados principais, pois utilizamos caminhos e argumentos semelhantes aos daquele.

  Almej´avamos inicialmente investigar a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para produtos orlados de grupos nilpotentes, com esse intuito, seguimos por um caminho que baseava-se em propor e investigar outros resultados que se tornassem bases ou nos fornecessem ferramentas para chegar `a nossa finalidade; ao tra¸car esse caminho, percebemos a importˆancia desses resultados em si mesmos e ent˜ao decidimos apresent´a-los como principais, transferindo os resultados que almej´avamos inicialmente para um trabalho futuro.

  Em nossa disserta¸c˜ao, objetivamos investigar grupos dados por produtos orlados. Ire- mos apresentar resultados in´editos, nos quais propomos que a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo sejam v´alidos para produtos orlados de um grupo abeliano na base e um nilpotente no topo, com hip´oteses adicionais sobre as ordens dos grupos. Destaca- mos que os resultados desenvolvidos possibilitam que sejam investigados atrav´es das mesmas t´ecnicas os dois problemas, para o produto orlado entre grupos nilpotentes. Observamos por´em que Roggenkamp e Scott j´a propuseram um resultado no qual demonstraram o Problema do Isomorfismo para uma extens˜ao de um abeliano por um nilpotente sem nenhuma restri¸c˜ao das ordens, todavia a demonstra¸c˜ao apresentada por eles utiliza teoria de rigidez, enquanto nossa demonstra¸c˜ao foi realizada de maneira a ser utilizada numa sequente investiga¸c˜ao do problema para o produto orlado entre grupos nilpotentes.

  No primeiro cap´ıtulo, faremos uma exposi¸c˜ao preliminar de defini¸c˜oes e resultados acerca da teoria dos an´eis de grupo, do isomorfismo entre an´eis de grupo e do produto orlado. Destacaremos os resultados que julgamos essenciais para o desenvolvimento e entendimento dos resultados pretendidos em nosso trabalho.

  No segundo cap´ıtulo, apresentaremos a Propriedade do Normalizador e todo o seu desenvolvimento, discutindo os resultados mais relevantes para nossa disserta¸c˜ao.

  No terceiro cap´ıtulo, apresentaremos o Problema do Isomorfismo e da mesma forma, discutiremos os resultados mais relevantes para nossa disserta¸c˜ao.

  Os resultados investigados e desenvolvidos neste trabalho, ser˜ao apresentados, por fim, no quarto cap´ıtulo, onde demonstraremos os dois teoremas que estamos propondo e que j´a foram citados. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, introduziremos defini¸c˜oes e resultados importantes acerca da Teoria de An´eis de Grupos enfatizando a defini¸c˜ao do normalizador do grupo base no grupo de unidades, do produto orlado e do isomorfismo entre an´eis de grupos. Apresentaremos tamb´em as nota¸c˜oes e s´ımbolos que ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho.

  Ressaltamos que os resultados apresentados aqui poder˜ao ser consultados pelo leitor em “An introduction to group rings”, de Polcino Milies e Sehgal, ou ainda em “Units in integral Group Rings”de Sehgal; conforme [13] e [15] .

1.1 Definic ¸˜ ao. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Um anel de grupo, denotado

  por RG, ´e o conjunto de todas as combina¸c˜ oes lineares da forma

  X α = a g g g

  

∈G

  ∈ R, g ∈ G e a

  

onde a g g = 0 para quase todos os g, isto ´e, apenas um n´ umero finito de

coeficientes ´e diferente de 0 em cada uma dessas somas, com as seguintes opera¸c˜oes: (i) A soma de dois elementos em RG:

  X X

  X ( a g g ∈G g ∈G g ∈G

  g) + ( b g g) = (a g + b g )g.

  (ii) O produto de dois elementos em RG :

  X α · β = a g b h gh g,h ∈G

  ou, reordenando os termos na f´ormula, podemos escrever o produto αβ como

  X X α · β = c v v onde c v = a g b h . v gh

  ∈G =v (iii) produto de elementos em RG por elementos λ ∈ R:

  X X λ( a g g g g) = (λa g )g.

  ∈G ∈G

  Nesta disserta¸c˜ao, trabalharemos sempre com o chamado anel de grupo integral, isto ´e, em que o anel considerado ´e sempre o anel dos inteiros, Z. Em seguida definiremos uma aplica¸c˜ao muito importante e de grande utilidade no estudo dos an´eis de grupo.

  1.2 Definic ¸˜ ao. O homomorfismo de an´eis ε :

  ZG → Z dado por

  X X ε( a g g g

  g) = a g

  

∈G ∈G

´e chamado aplica¸c˜ao aumento de

  ZG e seu n´ucleo, denotado por ∆(G), ´e chamado ideal au- mento de ZG.

  X X

  X Note que se um elemento α = a g g pertence a ∆(G) ent˜ao ε( a g g g g

  g) = a g = 0;

  ∈G ∈G ∈G

  ent˜ao podemos escrever α na forma

  X X

  X α = a g − a = a (g − 1). g ∈G g ∈G g ∈G g g g Como claramente todos os elementos da forma g − 1, g ∈ G, pertencem a ∆(G), a observa¸c˜ao acima mostra que {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} ´e uma base de ∆(G) sobre Z, e da´ı obtemos a seguinte caracteriza¸c˜ao para o ideal aumento:

  1.3 Proposic ¸˜ ao. O conjunto {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} ´e uma base de ∆(G) sobre

  Z, ent˜ao

  podemos escrever

  X ∈

  ∆(G) = { a g (g − 1) : g ∈ G, g 6= 1, a g Z} g

  ∈G

onde, como normalmente, assumimos que apenas um n´ umero finito de coeficientes a g ´e diferente Dados um grupo G e o anel Z, denotaremos por S(G) o conjunto de todos os subgrupos de G e por I( ZG) o conjunto de todos os ideais `a esquerda de ZG.

  1.4 Definic ¸˜ ao.

  Seja H um subgrupo de G e seja S um conjunto de geradores de H, ent˜ao,

  ∆(G, H) ´e um ideal `a esquerda de ZG gerado pelo conjunto {s − 1 : s ∈ S}.

  Agora, daremos uma interpreta¸c˜ao para ∆(G, H) quando H ´e um subgrupo normal de

  G. Se H ✁ G ent˜ao o homomorfismo canˆonico ω : G → G/H pode ser estendido ao epimorfismo ω : ¯ ZG → Z(G/H) tal que

  X X ω( ¯ a g g ∈G g ∈G g) = a g ω(g).

  1.5 Proposic ¸˜ ao.

  Com a nota¸c˜ao anterior, Ker(¯ ω) = ∆(G, H).

  1.6 Corol´ ario.

  Seja H um subgrupo normal de um grupo G, ent˜ao, ∆(G, H) ´e um ideal bilateral de ZG e

  ´ ZG ³ G ≃ .

  Z ∆(G, H) H

  Muitas informa¸c˜oes obtemos a respeito de um anel analisando o conjunto dos seus elementos que possuem inverso multiplicativo, chamados unidades. Destacamos:

  

1.7 Definic ¸˜ ao. Seja A um anel. O grupo multiplicativo das unidades de A, denotado por

  U(A), ´e o conjunto U(A) = {x ∈ A : ∃ y ∈ A e xy = yx = 1}.

  Em particular, dados um grupo G e o anel Z , U(ZG) denota o grupo das unidades do anel de grupo ZG. Como a aplica¸c˜ao aumento ε : ZG → Z , ´e um homomorfismo de an´eis, segue que ε(u) ∈ U ( Z) , para todo u ∈ U(ZG).

  Denotamos por U (

  1 ZG) o subgrupo das unidades de aumento 1 em U(ZG), isto ´e, U ( ZG) = {u ∈ U(ZG) : ε(u) = 1}, chamado tamb´em de subgrupo das unidades normalizadas.

  1 Para uma unidade u do anel de grupo integral

  ZG temos que ε(u) = ±1, ent˜ao vemos que U( ZG) = ± U ( ZG).

1 Uma unidade trivial de ZG ´e um elemento da forma ±g, g ∈ G.

1.8 Proposic ¸˜ ao.

  Seja G um grupo finito. Toda unidade central de ZG ´e trivial se e s´o se j j −1

para qualquer x ∈ G e todo n´ umero natural j relativamente primo a |G|, x ∼ x ou x ∼ x .

  As unidades de tor¸c˜ao em ZG, ou seja, as unidades com ordem finita, determinam um conjunto denotado por T U( ZG); para as unidades de tor¸c˜ao normalizadas, ou seja, tal que seu aumento seja 1, valem os resultados:

  X

  

1.9 Proposic ¸˜ ao (Berman e Higman). Seja γ = γ g g uma unidade de tor¸c˜ao, isto ´e, γ

g ∈G tem ordem finita em

  6= 0, ent˜ao ZG, e assumindo que o coeficiente de 1 ´e n˜ao-nulo, isto ´e, γ

  1 γ = γ = ±1.

1 X 1.10 Corol´ ario.

  Suponha que γ = γ g g ´e uma unidade central no anel de grupo integral g ∈G

  ZG de um grupo finito G, com ordem finita, ent˜ao γ ´e da forma γ = ±g, com g ∈ ζ(G), o centro de G.

  Uma simples consequˆencia ´e o famoso teorema de G. Higman que destacamos a seguir 1.11 Teorema.

  Seja A um grupo abeliano finito. O grupo das unidades de tor¸c˜ao do anel de grupo integral

  ZA ´e igual a ±A. Pelo ´ ultimo teorema, j´a temos que, se G ´e um grupo abeliano, ent˜ao toda unidade de tor¸c˜ao de ZG ´e trivial. Observemos agora grupos G em que todas as unidades de ZG s˜ao triviais, ou seja tais que U(

  ZG) = ±G. Podemos desenvolver tamb´em esta condi¸c˜ao em termos das unidades normalizadas, U ( ZG) = G.

1 Lema.

  

1.12 Seja G um grupo de tor¸c˜ao tal que U ( ZG) = G, ent˜ao todo subgrupo de G ´e

  1 normal.

  A teoria dos an´eis de grupo apresenta um resultado an´alogo ao teorema de Lagrange:

  1.13 Proposic ¸˜ ao. Se u ´e uma tor¸c˜ao normalizada em

  ZG cuja ordem ´e n, ent˜ao n ´e um divisor da ordem de G.

  Quando estudamos o anel de grupo integral ZG, a aplica¸c˜ao

  X X

  ∗ ∗ −1

  : def inida por ( a g

  g) = a g g ZG → ZG, desempenha um papel essencial, ela ´e uma anti-involu¸c˜ao que satisfaz as seguintes propriedades:

  ∗ ∗ ∗

  (i) (α + β) = α + β ,

  ∗ ∗ ∗

  (ii) (αβ) = β α ,

  ∗∗ (iii) α = α.

  ∗

  Temos tamb´em o seguinte resultado bastante usual em rela¸c˜ao `a :

  

1.14 Proposic ¸˜ ao. Seja u ∈ U( u = 1, ent˜ao, u = ±g, g ∈ G.

  ZG) tal que u Vejamos agora algumas rela¸c˜oes existentes entre os an´eis de grupo integrais.

  1.15 Definic ¸˜ ao. Um isomorfismo ψ :

  ZG → ZH ´e chamado de Isomorfismo Normalizado

  

se para todo elemento α ∈ ZG, temos que ε(α) = ε(ψ(α)), ou equivalentemente, se para todo

elemento g ∈ G temos ε(ψ(g)) = 1.

  Observamos que, se existe um isomorfismo ψ : ZG → ZH, ent˜ao existe tamb´em um isomorfismo normalizado entre estes an´eis de grupo. De fato, ´e suficiente considerar uma n

  X nova aplica¸c˜ao ξ : ZG → ZH dada da seguinte forma: para cada elemento α = r i g i ∈ i n

  =1

  X

  −1

  ZG definimos ξ(α) = ε(ψ(g i )) r i ψ(g i ). (Note que, como g ∈ G ´e invers´ıvel e ε ´e um i

  =1

  epimorfismo, temos ε(ψ(g)) invers´ıvel em Z.) Podemos ver que ξ ´e, de fato, um isomorfismo normalizado.

  X X Seja C g a classe de conjuga¸c˜ao de g em G, para um g ∈ G. Seja ˆ C g = x = x, x x

  ∈C g ∼g −1

  ˆ C C C ent˜ao y g y = ˆ g para todo y ∈ G, o que implica que ˆ g ´e central em ZG.

  Alguns resultados de D.Glauberman e D.Passman nos revelam a existˆencia de uma correspondˆencia bijetora entre as classes de conjuga¸c˜ao de G e H que preserva algumas carac- ter´ısticas destas classes, vejamos:

  

1.16 Proposic ¸˜ ao. Se ψ : C g uma soma de classe em G, ent˜ao

  ZG → ZH ´e um isomorfismo e ˆ ψ( ˆ C g ) ´e uma soma de classe em H, isto ´e, existe x em H tal que ψ( ˆ C g ) = ˆ C x ; valem ainda : n n

  C C (i) ψ( ˆ g ) = ˆ x para todo inteiro n;

  C C C C (iii) se ψ( ˆ g ) = ˆ x e ψ( ˆ h ) = ˆ y ent˜ao existem ν e ω em H tais que ν ω ν ω −1 −1 ψ( ˆ C gh ) = ˆ C xy = ˆ C x y . (Onde y = ν yν e x = ω xω).

  Observamos que esta correspondˆencia determina uma correspondˆencia entre subgrupos normais de G e H.

  Destacaremos agora, alguns resultados da Teoria de Grupos que consideramos relevan- tes para um bom desenvolvimento de nosso trabalho:

  

1.17 Definic ¸˜ ao. Um grupo G ´e chamado de Grupo Metabeliano se cont´em um subgrupo normal

A tal que ambos, A e G/A s˜ao abelianos.

  ′ −1 −1

  

1.18 Definic ¸˜ ao. Seja G um grupo. O subgrupo G =< x y xy; x, y ∈ G > ´e o subgrupo

derivado de G.

  ′ 1.19 Lema.

  ⊂ H.

  Seja H um subgrupo normal do grupo G . G/H ´e abeliano se e somente se G ′ 1.20 Proposic ¸˜ ao. Se G ´e metabeliano, G ´e abeliano.

  Definic ¸˜ ao.

  

1.21 K ´e um subgrupo de Hall de um grupo G se sua ordem e ´ındice em G s˜ao

relativamente primos.

  

1.22 Definic ¸˜ ao. Se G ´e um grupo abeliano, ent˜ao todos os seus subgrupos s˜ao normais. Um

grupo G de tor¸c˜ao n˜ao-abeliano tal que todos os seus subgrupos s˜ao normais ´e chamado Grupo

  × E × A, onde E ´e um 2-grupo elementar, A ´e um

  Hamiltoniano. Ele ´e da forma, G = K

  8

grupo abeliano com todos os elementos de ordem ´ımpar e K ´e um grupo quat´ernio de ordem

  8

  4

  2 2 −1 −1 8: K = ha, b : a = 1, a = b , bab = a i.

  8 1.23 Definic ¸˜ ao.

  Seja H um subgrupo de um grupo G , definimos o normalizador de H em

  G, N H (G), por

  −1 N H (G) = {g ∈ G; g Hg = H}.

  1.24 Definic ¸˜ ao.

  Um grupo G ´e chamado Nilpotente se cont´em uma s´erie de subgrupos:

  {1} = G ⊂ G ⊂ ... ⊂ G n = G

  

1 G i

tal que cada subgrupo G i ´e normal em G e cada quociente est´a contido no centro de G −1 G i−1 G i−1 , 1 6 i 6 n. Uma s´erie de subgrupos de G com esta propriedade ´e chamada de S´erie Central de G. A caracteriza¸c˜ao usual para grupos nilpotentes finitos ´e dada pelo seguinte teorema.

  1.25 Teorema.

  Seja G um grupo finito. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes: (i) G ´e nilpotente.

  (ii) Todo subgrupo de Sylow de G ´e normal em G. (iii) G ´e o produto direto de seus subgrupos de Sylow.

  Destacamos alguns resultados interessantes a respeito dos grupos nilpotentes: 1.26 Lema. Subgrupos e grupos quocientes de grupos nilpotentes s˜ao nilpotentes.

  1.27 Proposic ¸˜ ao.

  Um p-grupo finito ´e nilpotente.

  1.28 Proposic ¸˜ ao. Produtos diretos finitos de grupos nilpotentes s˜ao nilpotentes.

  J´a descrevemos a importˆancia do produto orlado na teoria dos an´eis de grupo e a raz˜ao de sua escolha neste trabalho, vejamos suas defini¸c˜oes:

  Definic ¸˜ ao.

  

1.29 Seja Sym n o grupo sim´etrico de n elementos, L = G wr Sym n ´e o produto

orlado completo de um grupo finito G e Sym n . Ent˜ao, L ´e dado pelo produto semi-direto

n n L = G n em que Sym n age sobre G permutando os fatores.

  ⋊ Sym Definic ¸˜ ao.

  

1.30 Sejam G e H grupos finitos. L = G wr H ´e o produto orlado de G por H

|H| |H|

dado por L = G ⋊ H em que H age sobre G com a permuta¸c˜ao dada pela a¸c˜ao de H sobre

o conjunto H.

  Vejamos alguns resultados tamb´em fundamentais no desenvolvimento dos teoremas que iremos propor: m Definic ¸˜ ao.

  

1.31 Dizemos que um subgrupo do produto direto A ´e extenso se ele intersecta

n˜ao trivialmente todas as c´opias de A, (1, 1, . . . , A, . . . , 1).

  

1.32 Proposic ¸˜ ao (Dietzman). Seja G um grupo e X ⊆ G um subconjunto normal em G

−1 (∀y ∈ G, y Xy = X), ent˜ao < X > ✂G.

  1.33 Proposic ¸˜ ao (Petit Lob˜ao e Sehgal). Seja o isomorfismo ψ : ZG → ZH, se θ denota a

correspondˆencia entre os subgrupos normais de G e H , e C α ´e uma classe de conjuga¸c˜ao em

  G `a qual corresponde a classe de conjuga¸c˜ao C β em H , ent˜ao θ associa ao subgrupo normal < C α > em G , o subgrupo normal < C β > em H.

  

1.34 Proposic ¸˜ ao (Schur-Zassenhaus). Sejam G um grupo finito e H subgrupo normal de G

G tal que ≃ N para H e N grupos com ordens relativamente primas, ent˜ao G ≃ H ⋊ N. H

1.35 Proposic ¸˜ ao (Whitcomb). Suponha que um elemento γ de

  ZG ´e tal que γ ≡ g mod ∆(G, A) onde g ∈ G e A ⊳ G, ent˜ao γ ≡ ga o mod ∆(G)∆(A) para um adequado a o ∈ A.

  P P

  Sendo α = α g g um elemento do anel de grupo RG , ˜ α g = α(h) e [RG, RG] = h

  ∼g

  < [x, y] >=< xy − yx >, apresentamos: 1.36 Proposic ¸˜ ao.

  Se α ∈ [RG, RG] ent˜ao, ˜ α(x) = 0 para todo x ∈ G. Cap´ıtulo 2 A Propriedade do Normalizador

  Neste cap´ıtulo, apresentaremos formalmente a Propriedade do Normalizador, desta- cando seu surgimento e importˆancia na teoria dos an´eis de grupo.

  A Propriedade do Normalizador tem sido tema de estudo entre alguns matem´aticos e muitas descobertas tem sido feitas sobre ela. Apresentaremos aqui os resultados que conside- ramos mais relevantes para o desenvolvimento do trabalho proposto ou ainda, que apresentem semelhan¸cas com o mesmo.

  Considerando um anel de grupo ZG, sabemos que podemos sempre tomar o grupo

  G como subgrupo do grupo das unidades de ZG e este fato nos leva implicitamente a um questionamento: Quem ´e o normalizador, N (G), de G em U( ZG) ?

  U

  A propriedade do normalizador surge ent˜ao como uma resposta a esta quest˜ao. For- malmente, ela afirma: Sejam G um grupo finito,

  ZG o seu anel de grupo integral, U = U(ZG) o grupo das unidades de ZG e N (G) o normalizador de G em U. Sendo G um subgrupo de U, a propriedade

  U

  do normalizador diz: (Nor) N (G) = G · ζ

  U

  onde ζ ´e o centro de U

  A propriedade ´e apresentada tamb´em por S. K. Seghal no livro Units in Integral Group Rings como a quest˜ao:

  Se G ´e um grupo finito, vale N U (G) = G · ζ ? Essa quest˜ao foi tamb´em proposta por S. Jackowski e Z. Marciniak de forma distinta por´em equivalente. Vejamos:

  −1

  Dado um elemento u de N (G) , temos a aplica¸c˜ao ϕ u em G definida por ϕ u (g) = u gu

  U para todo g ∈ G.

  Se denotarmos por Aut (G) o conjunto dos automorfismos de G definidos acima, ´e

  U

  imediato que Aut (G) ´e um grupo que cont´em como subgrupo o grupo dos automorfismos

  U

  internos de G, Inn(G) . Temos a propriedade do normalizador verdadeira se, e somente se, para todo u em N (G), u = g c , com g em G e c em ζ ; sendo assim, segue que ϕ (g) =

  U o o o o u −1 −1

  u gu = g o gg o , pois c o ´e central; o que equivale a afirmar que ϕ u ´e um automorfismo interno de G. Em vista deste fato, os autores citados apresentam a quest˜ao do normalizador como: Se G ´e um grupo finito, vale Aut (G) = Inn(G) ?

  U

  A primeira resposta afirmativa `a quest˜ao do normalizador foi obtida por D. B. Coleman em 1964 num artigo em que ele trabalhava com ´algebras de grupos modulares.

  Desde ent˜ao, muitos estudiosos tˆem se preocupado com esta quest˜ao para distintos grupos finitos. Analisaremos brevemente os mais relevantes para a nossa pesquisa, desta forma nos situaremos historicamente, perceberemos o desenvolvimento e o estado em que se encontra a pesquisa a respeito e nos apropriaremos ainda mais da importˆancia e validade do nosso trabalho.

  2.1 Os Resultados de Coleman

  Em 1964, D.B.Coleman apresentou em um artigo o seguinte resultado:

  

2.1 Teorema (Coleman, 1964). Seja G um p-grupo finito e K um corpo de caracter´ıstica p,

ent˜ao vale N (G) = G · ζ na ´algebra de grupo KG.

  U uma extens˜ao do resultado anterior para an´eis de grupos integrais, o que representa um grande desenvolvimento para a pesquisa pois revela que a propriedade ´e verdadeira, em uma vers˜ao local, para todos os p-subgrupos de um grupo finito. Este resultado foi desenvolvido em Sehgal [15] como segue:

2.2 Teorema (Coleman, 1987). Sejam P um p-subgrupo do grupo finito G e u ∈ N (G), existe

  U −1 ent˜ao y em G tal que ϕ u (g) = y gy, para todo g em P .

  −1

  Demonstra¸ c˜ ao. Para todo elemento g ∈ G , ϕ u (g) = u gu ´e um elemento de G, pois u est´a em N (G), logo

  U

−1

  u = g uϕ u (g).

  X X

  X

  −1 Escrevendo u = u(x)x, temos u(x)x = g xϕ u (g). g g g ∈G ∈G ∈G

  Define-se ent˜ao uma a¸c˜ao σ do subgrupo P sobre o conjunto G conforme : se g ∈ P e x ∈ G, tem-se

  

−1

  σ g (x) = g xϕ u (g), ent˜ao a fun¸c˜ao u : G → Z dada por x 7→ u(x) ´e constante nas ´orbitas da a¸c˜ao σ; uma vez que o comprimento destas ´orbitas ´e um divisor da ordem do p-subgrupo P , segue que este comprimento ´e uma potˆencia de p. Sendo u uma unidade em

  ZG, seu aumento, ǫ, obedece a:

  X t i t i ±1 = ǫ(u) = c i p , i em que c i = u(g i ) e p ´e o comprimento da ´orbita de g i , sendo g i um elemento em G. Segue, portanto, que existe uma ´orbita de comprimento um, pois do contr´ario o n´ umero primo p seria

  ∈ G tal que σ um divisor de ±1, e isto ´e o mesmo que dizer que existe um elemento x g (x ) = x , para todo g em P.

  Isto implica que

  −1

  σ (x ) = g x ϕ (g) = x , g u para todo g em P, ou ainda

  −1

  ϕ u (g) = x gx , para todo g em P.

  ¥

  −1

  Vale notar que o resultado, de fato, afirma que N U (G) ≤ G · ζ, uma vez que u gu =

  −1

  x gx , com x ∈ G. Lembrando agora que o centralizador de G em U ´e precisamente o centro de U, segue a nossa afirma¸c˜ao de que o mesmo aponta para uma solu¸c˜ao local da propriedade para os p-subgrupos de G.

  Aplicando o teorema anterior, ´e poss´ıvel obter a validade da propriedade para a im- portante classe dos grupos nilpotentes finitos, como segue:

  2.3 Corol´ ario.

  

Seja G um grupo nilpotente finito, ent˜ao N U (G) = G · ζ

  Demonstra¸ c˜ ao. Sendo G um grupo nilpotente finito, podemos escrevˆe-lo como um produto de seus p-subgrupos de Sylow. Aplicamos ent˜ao o teorema anterior a cada um destes Q

  −1 −1

  subgrupos de Sylow, P . Segue que u gu = x gx para todo g ∈ G com x = x , x ∈ P e i i i i u ∈ N (G).

  U

  ¥

  2.2 Os Resultados de Jackowisk e Marciniak

  O artigo de Jackowski e Marciniak, de 1987, talvez tenha sido a primeira vez em que apareceu explicitamente na literatura o interesse por uma solu¸c˜ao geral da quest˜ao do normalizador para grupos finitos.

  Seus resultados favoreceram a propriedade do normalizador, mostrando que era v´alida seu estabelecimento como conjectura assim como debru¸car-se na busca de uma prova de sua veracidade.

  Destacamos que seus resultados s˜ao tamb´em de fundamental importˆancia para o de- senvolvimento do resultado principal desta disserta¸c˜ao, o que justifica uma an´alise detalhada.

  Seja u uma unidade no normalizador de G em U e seja ϕ u : G → G o automorfismo

  −1 dado por ϕ u (g) = u gu.

  2.4 Lema. A ordem de ϕ u ´e divis´ıvel apenas pelos primos que dividem a ordem de G. p

  prima `a ordem de G. Podemos assumir que ϕ = id, para um adequado primo p que n˜ao u divide a ordem de G. Consideremos o subgrupo dos elementos de G fixados por ϕ u , H = {g ∈ G; ϕ u (g) = g}.

  Seja C uma classe de conjuga¸c˜ao em G, como as somas de classe s˜ao elementos centrais

  X X

  −1

  dos an´eis de grupo, temos u ( g)u = g g g.

  ∈C ∈C

  Portanto, ϕ u age em C. Como a ordem de C divide a ordem de G que ´e relativa- mente prima `a ordem de ϕ u , segue que existe em C um ponto fixado por ϕ u , isto diz que [

  −1

  H ∩ C ´e n˜ao vazia, ent˜ao, G = y Hy, o que ´e uma contradi¸c˜ao pois H tem [G : N G (H)] y [

  −1

  conjugados e como H ⊆ N G (H), [G : N G (H)] 6 [G : H] e assim G = y Hy, pos- y sui no m´aximo 1 + (|H| − 1)[G : H] elementos. Isto induz G = H, ou seja, ϕ u = id.

  ¥

  ∗

  No pr´oximo lema, denota a involu¸c˜ao em ZG, mencionada no primeiro cap´ıtulo e que

  X X

  ∗ −1

  opera como ( a g g g g) = a g g .

2.5 Lema.

  Se u ´e uma unidade de ZG, ent˜ao u pertencer´a ao normalizador N U (G) se e somentese, u u for central em ZG.

  −1

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja u ∈ N (G), para g ∈ G temos ϕ u (g) = u gu, aplicando *

  U ∗ ∗ −1 −1 ∗ −1

  em ambos os membros da igualdade, obtemos [ϕ u (g)] = u g (u ) e substituindo g por g

  ∗ ∗ −1 ∗ −1 ∗

  obtemos ϕ u (g) = (u )g(u ) ou g = (u ) ϕ u (g)u ; consequentemente

  

∗ −1 ∗ ∗ −1 −1 ∗ ∗ −1 ∗

  (uu ) g(uu ) = (u ) u guu = (u ) ϕ u (g)u = g,

  ∗

  ou seja, uu ´e central. Mas,

  

∗ −1 ∗ ∗

u u = u uu u = uu . ∗

  −1 Reciprocamente, suponha uu central. Para todo g ∈ G devemos verificar que u gu ∈ G. ∗ ∗

  Como u u = uu , obtemos, para todo g em G ,

  −1 −1 ∗ −1 ∗ −1 −1 ∗ −1 ∗ −1 ∗ ∗ ∗ −1

  (u gu)(u gu) = u guu g (u ) = u uu (u ) = u (u ) = 1;

  

−1

  pela proposi¸c˜ao 1.14 na p´agina 8 temos que u gu = ±g o , mas ao aplicarmos ǫ em ambos os

  −1 −1

  membros da igualdade acima, obteremos 1 = ǫ(u )ǫ(g)ǫ(u) = ǫ(g) = ǫ(±g o ) segue que u gu

  Os lemas anteriores permitem-nos chegar aos resultados que seguem.

  2 2.6 Proposic ¸˜ ao (Krempa). Se u pertence a N (G), ent˜ao u estar´a em G · ζ. U ∗ −1

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Consideremos a unidade v = u u . Temos, pelo ´ ultimo lema,

  ∗ ∗ −1 −1 ∗ ∗ ∗ −1 ∗ ∗ −1 vv = u u (u ) u = u (u u) u = u u(u u) = 1.

  Novamente pela proposi¸c˜ao 1.14 na p´agina 8 , temos que v ´e uma unidade trivial; e como ǫ(v) = 1, conclu´ımos que v = g , para g em G. Consequentemente,

  ∗ 2 ∗ u = g u e g u = u u ∈ ζ. 2 ∗

  ¥ Portanto, u pertence a G · ζ , pois u u ´e central.

  Teorema

2.7 (Jackowski e Marciniak, 1987). Se G ´e um grupo de ordem ´ımpar, vale a pro-

priedade do normalizador para G.

  2 Demonstra¸ c˜ ao. Se u est´a em N (G), pela proposi¸c˜ao anterior, ϕ ´e um automor- U u

  fismo interno de G. Sendo a ordem de G ´ımpar, a ordem , t, de ϕ u tamb´em o ser´a pelo lema

  2.4. Deste modo, t e 2 ser˜ao primos relativos; ent˜ao existem r e s, n´ umeros inteiros, tais que 2 · r + t · s = 1, e portanto ts

  2r+ts 2r 2r

  ϕ u = ϕ u = ϕ · ϕ = ϕ ; u u u

  2

  j´a que ϕ ´e um automorfismo interno, ϕ u ser´a tamb´em um automorfismo interno de G. Segue u ¥ ent˜ao o resultado, pela reformula¸c˜ao equivalente da propriedade.

  Devido a este ´ ultimo resultado, temos que, ao investigarmos a propriedade do norma- lizador, ´e necess´ario analisar apenas os grupos finitos de ordem par. Os autores Jackowski e Marciniak, investigando grupos com tal ordem, obtiveram uma solu¸c˜ao para a propriedade com uma dada restri¸c˜ao para os grupos. Discutiremos aqui o processo que foi utilizado e veremos o resultado que ´e de fundamental importˆancia para o presente trabalho.

  Primeiramente, observamos que verificar a propriedade do normalizador reduz-se `a an´alise de um determinado conjunto de unidades u de N (G); ou, equivalentemente, de auto-

  U morfismos ϕ u em Aut U (G). Para um 2-subgrupo de Sylow, S , fixado em G , define-se o subconjunto I S de Aut U (G) como segue

  2 I S = {ϕ u ∈ Aut (G) : ϕ = i, ϕ u | S = i};

U u

  isto ´e, o subconjunto de automorfismos de G, determinados por unidades normalizadoras, tal que estes automorfismos sejam involu¸c˜oes e a restri¸c˜ao dos mesmos a um 2-subgrupo de Sylow fixado, a identidade. Vale para este conjunto o resultado a seguir: Teorema.

2.8 Se I S est´a contido em Inn(G) - o subgrupo dos automorfismos internos de G

  • - para um 2-subgrupo de Sylow S de G, ent˜ao vale a propriedade do normalizador para o grupo

    G.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Supondo que I S esteja contido em Inn(G) e que ϕ u , pertencente a Aut (G), seja um automorfismo determinado por u em N (G), a estrat´egia da prova consistir´a

  U U em demonstrar-se a existˆencia de ψ, em Inn(G), tal que ψ · ϕ u esteja em I S .

  O resultado seguir´a do fato de que ϕ u ser´a, deste modo, um automorfismo interno de G; uma vez que, como j´a mencionado, a propriedade do normalizador decorre de Aut (G) ser

  U um subgrupo de Inn(G). −1

  Do teorema 2.2 na p´agina 14, segue que existe g em G tal que ϕ u (h) = g hg , para

  1

  1

  1 −1

  todo h em S; definindo um automorfismo interno de G como γ(g) = g gg , para todo g em

  1

  1 −1

  G, conclui-se que a composi¸c˜ao γ · ϕ u ´e a identidade quando restrita a S. Denotando ug por

  1 ν, ´e imediato que ν pertence a N (G) e γ · ϕ u = ϕ ν pertencer´a a Aut (G). U U

  A proposi¸c˜ao 2.6 na p´agina 17 afirma, em sua demonstra¸c˜ao, que existe f em G tal

  ∗ ∗

  que v = f v; ademais, como ν ν ´e central,pelo lema 2.5 na p´agina 16 para todo g em G, vale

  

2 −1

ϕ (g) = f gf . ν

  Tomemos o grupo c´ıclico < f >; se notarmos por S (f ) e S (f ) os 2 − subgrupo de Sylow e

  2

  2 ′

  2 − subgrupo de Hall, respectivamente, de < f >, teremos: < f >= S (f ) × S (f );

  2

  2

  2

  2

  ·f como ambos s˜ao c´ıclicos, S

  2 (f ) =< f 1 > e S 2 (f ) =< f 2 >=< f >; da´ı a conclus˜ao: f = f 1 ,

  2

  2 em que f ´e um 2 − elemento e 2 n˜ao divide a ordem de f .

  1

  2 Definimos ent˜ao δ em Inn(G) como:

  −1

  δ(g) = f gf ,

  2

  2 ∗ , ∗ −1 −1

  para todo g em G; lembrando que ν = f ν, e aplicando ∗ ν = ν f = f νf , ou seja, f comuta com ν e, j´a que f ∈< f >, decorre que

  2 δϕ ν = ϕ ν δ.

  Mais ainda, uma vez que f est´a em C G (S), o centralizador de S em G - pois sendo ϕ ν a

  2 identidade quando restrita a S, ϕ tamb´em o ser´a - segue ent˜ao que δ fixa S pontualmente. ν

  Consequentemente, o automorfismo θ = δ · ϕ ν satisfaz, como se pode facilmente verificar: (I) θ(h) = h, para todo h em S;

  −1

  2 (II) θ (g) = f gf , para todo g em G , sendo f um 2 − elemento.

  1

  1

  1 Analogamente, fazendo ω = νf , segue que θ = ϕ est´a em Aut (G). Como f cen- 2 ω U

  1

  traliza S e sendo f um 2 − elemento, obtemos que f pertence a ζ(S), o centro de S - basta

  1

  1 observar que < S, f > ´e um 2 − subgrupo de G.

1 J´a que para todo h em S, ϕ ω (h) = h, tem-se

  X X

  −1

  ω = a g g = a g h gh; g g

  ∈G ∈G

  Observamos portanto que, em rela¸c˜ao a a¸c˜ao de S sobre G determinada por conjuga¸c˜ao, a fun¸c˜ao a : G → Z, em que a(g) = a g , ´e constante nas ´orbitas da mesma; como 2 n˜ao divide ǫ(ω) = ±1, existe necessariamente um ponto, g o , fixado pela a¸c˜ao, no suporte de ω; evidentemente g o pertence a C G (S).

  Seja ω o a proje¸c˜ao linear de ω no subanel G (S) de o est´a em supp(w), ZC ZG; como g segue que ω o n˜ao ´e 0. Denotamos ainda por ¯ ω o a redu¸c˜ao m´odulo 2 de ω a Z C G (S).

  2 Do fato de ¯ ω o pertencer a Z

2 C G (S), conclu´ımos que o cardinal do suporte de ¯ ω ´e igual

  a ǫ(¯ ω); por outro lado, ´e ´obvio que ǫ(¯ ω o ) ≡ ǫ(ω o ) (mod 2). Para g em supp(ω), teremos que g pertencer´a ou n˜ao a C G (S); no primeiro caso, g ´e um ponto fixo para a a¸c˜ao em tela; no segundo, a ´orbita de g tem comprimento potˆencia de 2 - pois S ´e um 2 − grupo e, como j´a mencionado, os coeficientes dos elementos em uma mesma ´orbita s˜ao iguais - consequentemente

  ǫ(ω o ) ≡ ǫ(ω) (mod 2). Por fim, como ǫ(ω) = ±1, resumimos estes dados como: card(supp(¯ ω o )) = ǫ(¯ ω o ) ≡ ǫ(ω o ) ≡ ǫ(ω) ≡ 1 (mod 2); ou seja, o suporte de ¯ ω o ´e constitu´ıdo por um n´ umero ´ımpar de elementos em C G (S).

  ∗

2 De ω = νf , ν = f ν e f = f f , segue que

  2

  1

  2 ∗ −1 ∗ −1

  2

  ω = f ν = f f f ν = f ω;

  1

  1

  2

  

2

  2 ∗

  pois f comuta com ν e f pertence a < f > . Vale para a proje¸c˜ao ω o de ω : ω = f ω o ; donde

  1 o

  1

  decorre que

  ∗

  ω ¯ = f o 1 ω ¯ o . (2.1) −1 Tomemos um elemento h no suporte de ¯ ω o ; segue de 2.1 que f h = h para algum h tamb´em

  1

  1

  1

  2

  2 −1 −1 −1

  no suporte de ¯ ω o ; sendo assim, f

  1 h 2 = f 1 (h f ) = h . Conclu´ımos ent˜ao que o suporte de

  1

  

1

  1 −1

  ω ¯ o ´e a uni˜ao disjunta de conjuntos da forma {h , h }, com f h = h . Ora, j´a foi visto que

  1

  2

  1

  1

  2

  o cardinal do suporte de ¯ ω o ´e ´ımpar, logo, para ao menos um destes conjuntos, deve valer

  −1 −2

  f

  1 h 1 = h , ou seja, f 1 = h ; por´em f 1 ´e um 2 − elemento , isto implica que h 1 tamb´em o ´e,

  1

  1 e, j´a que h est´a em C G (S), segue que h pertence a ζ(S).

  1

  1 Definimos por fim, um automorfismo interno de G como −1

  ψ(g) = h gh , para todo g em G.

  1

1 Observamos agora que a composi¸c˜ao ψ · ϕ ω ´e tal que:

  (I) Para todo h em S :

  −1 −1

  ψ · ϕ ω (h) = h ω hωh = h,

  

1

  1

  pois j´a foi visto que ω comuta com os elementos de S; ademais h 1 pertence a ζ(S). (II) Para todo g em G :

  2 −1 −1 −1 −1

  (ψ · ϕ ω ) (g) = h ω h ω gωh ωh ;

  1

  1

  1

  1

  lembrando agora que h

  1 pertence a ζ(S), ω comuta com os elementos de S, al´em de que ω = νf

  2 −2 2 −1

  2

  e que, para todo g em G, vale ν gν = f gf , em que f = f f e f comuta com ν, segue:

  1

  2

  2 2 −2 2 −2

  −1 −2

  2

  = f (νf

  2 ) g(νf 2 ) f

  1

  1 −1 −2 −2

  2

  2

  = f f ν gν f f

  1

  1

  2

  2 −1 −2 −1 2 = f f f gf f f = g.

  1

  1

  2

  2 Logo a composi¸c˜ao ψ · ϕ ω ´e um elemento de I S ; uma vez que I S est´a contido em Inn(G)

  por hip´otese, ´e for¸coso que ϕ seja automorfismo interno, pois ψ assim o ´e. Retrocedendo na ω demonstra¸c˜ao, vemos que ϕ ω = δ · ϕ ν , com δ em Inn(G); como tamb´em ϕ ν = γ · ϕ u , em que γ ´e tamb´em um automorfismo interno, a conclus˜ao ´e, pois, que ϕ u pertence a Inn(G).

  ¥ O resultado anterior ´e a ferramenta principal que possibilitou aos autores, via a aplica¸c˜ao da teoria de cohomologia de grupos, estabelecer o teorema a seguir, cuja demonstra¸c˜ao n˜ao ser´a apresentada aqui por utilizar teorias n˜ao abordadas em nosso trabalho e poder´a ser consultada em [4].

  2.9 Teorema.

  (Jackowski e Marciniak, 1987) Se o grupo finito G possui um 2-subgrupo de Sylow normal, ent˜ao vale a propriedade do normalizador para G.

  2.3 Os Grupos de Blackburn

  Em 1998, Y. Li, M. M. Parmenter e S. Seghal demonstraram a propriedade para mais uma classe de grupos, a qual ´e chamada de classe dos grupos de Blackburn. Analisaremos brevemente os resultados desenvolvidos por estes autores em [6], que representam um avan¸co no trabalho com a quest˜ao do normalizador.

  Um grupo ´e chamado de grupo Dedekind se todos os seus subgrupos s˜ao normais. Para grupos desta forma, sabemos que a propriedade do normalizador ´e v´alida, pois sendo a ordem destes grupos ´ımpar, ele ser´a necessariamente abeliano para o qual j´a temos o resultado e se a ordem for par, ele ter´a um 2-subgrupo de Sylow normal e tamb´em neste caso j´a temos uma resposta afirmativa. Vemos assim que os resultados de Jackowski e Marciniak garantem que a classe dos grupos cujos subgrupos s˜ao normais representa uma solu¸c˜ao `a quest˜ao do normalizador. Por esta raz˜ao, Li, Parmenter e Sehgal assumiram trabalhar com uma classe de grupos bastante diversa da classe de Dedekind e denotaram por R(G) a intersec¸c˜ao de todos os subgrupos n˜ao-normais de um dado grupo G.

  A classe dos grupos finitos para os quais a intersec¸c˜ao dos seus subgrupos n˜ao-normais ´e n˜ao trivial, foi completamente descrita por Blackburn em [1]; sendo assim, referiremos estes grupos como grupos de Blackburn.

  ´ E interessante notar o fato elementar a seguir.

  

2.10 Teorema. Se G ´e um grupo de Blackburn, ent˜ao R(G) ´e um subgrupo c´ıclico e carac-

ter´ıstico em G.

  Objetivando atacar os grupos de Blackburn, os autores citados desenvolveram dois resultados preliminares que s˜ao de grande importˆancia em si mesmos.

  

2.11 Teorema. Seja G =< H, g >, em que H ´e um subgrupo abeliano de ´ındice 2, ent˜ao vale

a propriedade do normalizador para G.

  Vale observar que este resultado inclui os grupos diedrais.

  Teorema.

  

2.12 Seja G o produto direto dos grupos G e G , G = G × G , ent˜ao vale a

  1

  2

  1

  2 propriedade do normalizador para G se, e somente se, a mesma vale para G e para G .

  1

  2 Blackburn descreve os grupos que levam seu nome segundo os cinco exaustivos casos

  abaixo: n

  a) G possui um subgrupo abeliano A de expoente kp , sendo n ≥ 1; p ´e primo e r p r (k, p) = 1. G/A ´e c´ıclico de ordem p n n u ξ

  e, se Au gera G/A, u pode ser escolhido de modo que u tenha ordem p . Existe um inteiro ξ ≡ 1(p ) tal que x = x para todo x ∈ A.

  b) G ´e o produto direto de um grupo abeliano de ordem ´ımpar por um grupo de uma das formas a seguir: b1) o produto direto de um grupo quat´ernio de ordem 8, um grupo c´ıclico de ordem 4 e um grupo abeliano elementar; b2) o produto direto de dois quat´ernios de ordem 8 e um grupo abeliano elemen- c) G possui um subgrupo H do tipo descrito em a), com p = 2 e r = 1. H tem ´ındice t n

  −1

  2

  2

  2 em G, e se G for gerado por H e t, t pode ser escolhido de modo que u = u , t = u e t η n x = x , para algum η ≡ −1(2 ).

  2

  d) G possui um subgrupo abeliano de ´ındice 2. G ´e gerado por A e t em que t ´e um t ζ n elemento de A de ordem 2. Se x ´e um elemento de A, x = x para algum ζ ≡ −1(2 ).

  e) G ´e o produto direto de H por um grupo quat´ernio de ordem 8 e um 2-grupo abeliano elementar, em que H ´e de ordem ´ımpar e do tipo descrito em a).

  De posse desta classifica¸c˜ao, analisando caso a caso os grupos descritos, Li, Parmenter e Sehgal obtiveram o resultado central de seu artigo:

  2.13 Teorema.

  Seja G um grupo finito, se R(G) ´e n˜ao trivial, ent˜ao a propriedade do nor- malizador ´e v´alida para G.

  Estes resultados ampliam consideravelmente a classe dos grupos finitos para os quais ´e v´alida a propriedade do normalizador; al´em disso, ´e uma consequˆencia do mesmo que, se G ´e um contra-exemplo para a propriedade, ´e necess´ario que G possua ao menos dois subgrupos c´ıclicos n˜ao normais, sendo que ao menos um deles ´e um 2-grupo.

  2.4 Os Grupos de Frobenius

  Em 1999, Petit Lob˜ao e Polcino Milies publicaram um trabalho em que provaram a propriedade do normalizador para uma classe de grupos conhecida como de Frobenius, ver [10].

  Um grupo G ´e chamado grupo de Frobenius se ele cont´em um subgrupo pr´oprio H tal x x −1 que H ∩ H = 1 para todo x ∈ G \ H, sendo H = x Hx. Notando que os grupos de Blackburn n˜ao s˜ao de Frobenius, podemos afirmar que o resultado obtido engrandeceu a classe de grupos nos quais vale a propriedade do normalizador. Analisemos brevemente.

  Alguns fatos b´asicos nos grupos de Frobenius, apresentados no pr´oximo teorema foram observados preliminarmente como fator essencial para um bom desenvolvimento e entendimento do resultado principal, sendo-nos igualmente ´ util. g 2.14 Teorema.

  Seja G um grupo de Frobenius e seja H um subgrupo tal que H ∩ H = 1, ∗ para todo g ∈ G \ H. Escreva H = H \ {1}. Ent˜ao:

  [ x

  ∗ (i) K = G\( (H ) ) ´e um subgrupo caracter´ıstico de G, (|K|, |H|) = 1 e G = K ⋊H. x ∈G (ii) K ´e nilpotente (iii) Se |H| ´e par, ent˜ao existe um ´ unico elemento z de ordem 2 em H, este elemento

  −1 −1 ´e central e z kz = k para todo k em K. Ademais, K ´e abeliano.

  −1 ∗ (iv) Se h kh = k para h ∈ H e k ∈ K, ent˜ao k = 1.

  Pode ser mostrado que o subgrupo K no teorema acima ´e unicamente determinado, ele ´e chamado n´ ucleo de Frobenius de G. Um subgrupo H tal que G = K ⋊ H ´e chamado complemento de Frobenius de G.

  O principal resultado obtido ´e: 2.15 Teorema.

  Vale a propriedade do normalizador para os grupos de Frobenius.

  2.5 Os Grupos Monomiais Completos

  Em 2002, Petit Lob˜ao e S. Sehgal apresentaram um resultado que demonstrava a vali- dade da Propriedade do Normalizador para Grupos Monomiais Completos com base Nilpotente, ou seja, o produto orlado de um grupo nilpotente finito pelo sim´etrico de m letras, ver [12].

  Este resultado, como j´a citado anteriormente, inspirou o presente trabalho; utilizamos na investiga¸c˜ao de nossos resultados principais, argumentos e procedimentos semelhantes aos utilizados em seu desenvolvimento, por esta raz˜ao, o apresentamos:

  

2.16 Teorema. Seja G = N wr Sym m , onde N ´e um grupo nilpotente finito e Sym m ´e o

grupo de todas as permuta¸c˜oes de m letras, ent˜ao a Propriedade do Normalizador vale para G.

  Para provar este teorema, os autores utilizaram a reformula¸c˜ao de Jackowski e Mar- ciniak para a Propriedade, e o teorema 2.8 na p´agina 18, provando , em vista disso, apenas o teorema abaixo. Eles provaram de forma preliminar o teorema para o caso especial do grupo base ser abeliano. m

2.17 Teorema. Seja G o produto orlado N wr Sym m = N m com N nilpotente. Seja

  ⋊ Sym S o fixado 2 − subgrupo de Sylow S = S ⋊ S(1 2), o ent˜ao o conjunto I S = {ϕ u ∈ Aut (G) :

2 U

  2

  | ϕ = i, ϕ u S = i} consiste de automorfismos internos de G. Al´em disso, para todo ϕ u em I S , u m

  −1 −1

existe σ em Sym m , b ∈ N de maneira que ϕ u (g) = b σ gσb, para todo g em G, com

b(1) = b(2) = 1. m

  Observa¸c˜ao: S ´e o 2-subgrupo de Sylow de N e S(1 2) ´e o 2-subgrupo de Sylow de

2 Sym m que cont´em a transposi¸c˜ao (1 i).

  Demonstra¸ c˜ ao. Usaremos indu¸c˜ao sobre |G| e assumiremos N n˜ao abeliano.

  ∈ I Seja ϕ u S , primeiramente, vamos analisar como ϕ u age em Sym m . Para qualquer

  −1 −1

  δ ∈ Sym m , temos que ϕ u (δ) ∼ δ em G pois como ϕ u (g) − g = u gu = [u , gu] ∈ [ ZG, ZG], m usamos a proposi¸c˜ao 1.36 na p´agina 11 e chegamos `a afirma¸c˜ao. Ent˜ao, temos a δ ∈ N e

  ∈ Sym τ δ m , ambos dependendo de δ, tal que

  −1 −1 ϕ u (δ) = a τ δτ δ a δ , ∀ δ ∈ Sym m . δ δ

  ³ ´ G

  ZG

  Pelo corol´ario 1.6 na p´agina 6, podemos tomar m ≃ Z m = ZG , temos que ¯u normaliza N

  ∆(G,N )

  G e podemos observar que ¯ ϕ u ´e interno pois a propriedade vale para os grupos sim´etricos. Assim, existe λ ∈ Sym m tal que

  −1 −1

  ϕ ¯ u (δ) = ¯ u δ¯ u = λ δλ, ∀ δ ∈ Sym m , (2.2)

  2 2 −1 −1 m

  ∀δ ∈ com λ fixo em Sym m e λ = 1 pois ¯ ϕ = id, e da´ı, u δu ≡ λ δλ mod ∆(G, N )

  −1 −1

  Sym m . Ent˜ao τ δτ δ = λ δλ e conclu´ımos que δ

  −1 −1 −1 m u δu = a λ δλa δ ∀δ ∈ Sym m , (2.3) δ

  ∈ N com a δ , dependendo de δ. m Vamos agora analisar como ϕ u age em N : m m

  × ... × P Como N ´e nilpotente, iremos escrevˆe-lo como um produto N = P

  1 r de seus

  subgrupos de Sylow e observar o que ocorre com os elementos em cada um deles. Seja x ∈ P i , m −1 −1

  −1 Sejam x no centro do grupo nilpotente P i e y no centro de P j , i 6= j. Assumindo que a i ∈ P i , temos

  −1 −1 −1 −1 u xu = τ xτ i e u yu = τ yτ j . i j

  Mas, ϕ u (xy) ∼ xy em G, ent˜ao existe τ ∈ Sym m e n ∈ N tal que

  

−1 −1 −1 −1 −1 −1

  u xyu = τ n xynτ = τ xyτ = τ xτ i · τ yτ j i j e portanto

  

−1 −1 −1 −1

τ i τ xτ τ = x e τ j τ yτ τ = y. i j m

  Mas os centros de P i e P j s˜ao extensos em N e apenas a identidade fixa elementos de subgrupos extensos, ent˜ao τ = τ = τ . i j Conclu´ımos que

  −1 −1 −1 m

  u nu = a τ nτ a, ∀n ∈ N com a = a ...a r . (2.4) N N

  1

  6= 1 e | | < |N | e por indu¸c˜ao, para Seja ζ o centro de N . Ent˜ao ζ ζ G N N ³ ´ ³ ´ m m

  2 G = m ≃ m m , temos que existe ¯b em m e σ em Sym m tal que σ = 1 e ζ ζ ζ ⋊Sym

  G

  −1 −1

  u ¯ g¯ ¯ u = ¯b σ¯ gσ¯b ∀ ¯ g ∈ m ζ com ¯b(1) = 1 = ¯b(2).

  Tomamos ¯ g = δ em Sym m e chegaremos por 2.2 em

  −1 −1

  ∀δ ∈ Sym u δu = a σδσa δ m . δ Agora, de 2.2, deduzimos que ¯ u = σ · z, onde z ´e uma unidade central de Z(Sym m ). Como m > 2, segue da proposi¸c˜ao 1.8 na p´agina 7 que z = ±1, ent˜ao ¯ u = ±σ e m u = ±σ + ξ, com ξ ∈ ∆(G, N ).

  Pelo argumento de Whitcomb , ver 1.35 na p´agina 11, obtemos m m u ≡ σ · a o mod ∆(G)∆(G, N ) com a o fixado em N . Segue que

  −1 −1 G m

  Portanto, em , para todo δ ∈ Sym m , temos ζ

  −1 −1 ¯ a σδσ¯ a o = ¯b σδσ¯b. o N m −1

  Segue que ¯b¯ a pertence ao subgrupo diagonal do quociente m . Ent˜ao , conclu´ımos que a o = o m m ζ dbc o com d no subgrupo diagonal de N e c o no centro de N . Portanto para todo δ ∈ Sym m , temos

  −1 −1 −1 m −1 −1 −1 −1 u δu = c b σδσbc o . (2.5) o

  Agora, seja ¯ g = ¯ n, n ∈ N , por 2.4 , ¯ u n¯ ¯ u = ¯b σ¯ nσ¯b = ¯ a τ nτ ¯ ¯

  a, o que implica

  −1 −1 −1

  em σ¯ a¯b σ¯ nσ¯b¯ a σ = στ nτ σ. ¯ m

2 Sendo N n˜ao abeliano e σ = 1, se σ 6= τ, τ σ “moveria”algumas coordenadas de ¯ n, e

  m ter´ıamos uma contradi¸c˜ao `a igualdade acima. Portanto σ = τ e temos, para todo n em N ,

  −1 −1 u nu = a σnσa. N m −1 −1 −1 −1

  Mas, ¯ u n¯ ¯ u = ¯ a σ¯ nσ¯ a = ¯b σ¯ nσ¯b , o que significa que ¯ a¯b pertence ao centro de m e ζ

  −1 m m m

  ∈ ζ ab , o segundo centro de N . Ent˜ao, para todo n ∈ N , temos

  2 m −1 −1 −1

  u nu = c b σnσbc com c ∈ ζ (2.6)

  2 Lembremos que ¯b(1) = 1 = ¯b(2) e que a permuta¸c˜ao ´e uma involu¸c˜ao tal que σ(1) = 1 e σ(2) = 2

  ou σ(1) = 2 e σ(2) = 1; al´em disso, σ¯b fixa S(1 2). Portanto σ¯bσ(1) = 1, da´ı σ¯bσ¯b(1) = 1. Como

  2 u ¯ ´e central, σ¯bσ¯b tamb´em o ´e. Portanto ele pertence ao subgrupo diagonal e por isso σ¯bσ¯b = 1. m

  2 m Como N ´e um subgrupo caracter´ıstico e u ´e central, segue, de 2.6 que, para todo n ∈ N , temos −1 −1 −1 −1 n = c b σc b σnσbcσbc.

  E usando novamente 2.6, substituindo n por σnσ e usando tamb´em 2.5 e a centralidade de m m

  −1 −1 −1

  c o em N , chegaremos a σbcb σbc b ∈ ζ(N ), que multiplicando pelo elemento central G

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 m m

  c b σc b σ, obtemos c b σb σbc b no centro de N . No quociente , temos ζ

  −1 −1 −1 −1 −1 m ¯ c ¯b σ¯b σ¯b¯ c ¯b = ¯1.

  Como c est´a em ζ , ¯ c ´e central e assim

  2 −2 m

  2

  2

  ∈ ζ Como σ¯bσ¯b = ¯1, segue que ¯ c = ¯1, isto ´e, c . m Como N ´e nilpotente, podemos decompor c em fatores pertencentes aos seus subgru- pos de Sylow. Ent˜ao conclu´ımos que os fatores “´ımpares”de c s˜ao centrais. m

  a) Vamos primeiro supor que o 2-subgrupo de Sylow de N , S , ´e abeliano. Ent˜ao c ´e m m

  2

  central em N . Portanto, para todo n ∈ N :

  −1 −1 −1 −1 u nu = c b σnσbc = b σnσb.

  −1 −1 −1 m Mas podemos reescrever esta igualdade como u nu = c b σnσbc o , pois c o ´e central em N . o

  Da´ı, e de 2.5, podemos escrever para todo g ∈ G :

  −1 −1 −1

  u gu = c b σgσbc o , o de maneira que ϕ u ´e um automorfismo interno de G. Vamos agora verificar a trivialidade dos dois primeiros elementos. Vamos escrever h = bc o . Como ¯b(1) = ¯b(2) = 1 e c o ´e central, temos m que h(1) e h(2) s˜ao centrais em N . Como ϕ u fixa elemento-a-elemento o 2-subgrupo de Sylow S = S

  2 ⋊ S(1 2) de G, temos −1 −1 −1

  u (1 2)u = h σ(1 2)σh = h (1 2)h = (1 2). E assim, vemos que h(1) = h(2) est´a no centro de N. m

  Vamos agora definir um elemento f de N da seguinte forma: f (1) = 1, f (i) =

  −1

  h h(i) para 2 6 i 6 m. Considerando o elemento diagonal h o = (h(1), ..., h(1)) , central em

  −1

  G, temos f = h o

  h. Portanto, para todo g ∈ G,

  −1 −1

  u gu = f σgσf, com f (1) = f (2) = 1, provando o teorema neste caso.

  ′

  b) Supomos agora que S ´e n˜ao abeliano, em particular, S 6= 1. Seja N o subgrupo

  2

  2

  comutador de N. O grupo quociente m ´

  G ³ N N ≃ ≃ wr Sym m ⋊ Sym m

  ′ m ′ ′ m

  (N ) N (N ) ´e um produto orlado. m Para n ∈ N , temos m

  −1 −1 −1 ′ Se n ∈ S

  2 , teremos ′ m G σnσ ≡ n mod ∆(G, (N ) ). N m

  Ent˜ao, no grupo quociente m , σnσ = n, logo σ = 1 pois o 2-subgrupo de Sylow de m ´e

  (N ) (N )

  extenso. Assim, temos neste caso:

  −1 −1 −1

  ∀ δ ∈ Sym u δu = c b δbc o m e o

  

−1 −1 −1 m

m m G u nu = c b nbc ∀ n ∈ N ,

  2

  com c o ∈ ζ e c ∈ ζ . Em m , temos σbσb ≡ 1. Como σ = 1, temos b ≡ 1., o que significa que m m

  2 ζ

  2

  2

  b pertence a ζ . Ademais, c ∈ ζ . Assim, os fatores ´ımpares de b e c s˜ao centrais. Lembrando tamb´em que ϕ u fixa o 2-subgrupo de Sylow S . Isto significa que

  2

−1 m

  u nu = n ∀ n ∈ N . Escrevendo h = bc o , temos para todo δ ∈ Sym m :

  

−1 −1

  u δu = h δh Vamos verificar como u age na transposi¸c˜ao (1 i). Como S

  2 ⋊ S(1 i) ´e um 2-subgrupo de Sylow m

  de G, sabemos pelo teorema 2.2 na p´agina 14, que existem elementos e i ∈ N e τ i ∈ Sym m tais que, para todo x ∈ S

  2 ⋊ S(1 i, ) temos: −1 −1 −1 G u xu = e τ xτ i e i . i i

  Para todo x ∈ S , no quociente ′ m , temos

  2 (N )

−1 ′

τ xτ ≡ x mod N . i i

  Como a proje¸c˜ao de S ´e extensa neste quociente, conclu´ımos que τ i = 1. Al´em disso, como

  2

  ϕ u fixa elemento-a-elemento do subgrupo S , temos que e i centraliza S . Ent˜ao, para todo

  2

  2

  x ∈ S

  2 ⋊ S(1 i), −1 −1 m u xu = e xe i , i com e i no centralizador C N (S ). Observamos que os fatores ´ımpares de e i n˜ao s˜ao percebidos

  2

  na a¸c˜ao de e i no grupo base S ; no grupo de cima, temos

  2 −1 −1

  e xe i = h xh, i m

  ∈ ζ com h = bc o , c o . Tamb´em percebemos que os fatores ´ımpares de b s˜ao centrais. Como m e i centraliza S , podemos escolher e i sendo central em N . Como ϕ u fixa S(1 2) elemento-a-

  2

  elemento, podemos tomar e = 1. Mais ainda,

  2 −1 −1

  u (1 2)u = h (1 2)h = (1 2)

  −1 −1

  e assim, h(1) = h(2). E, para 2 0 i 0 m, temos h (1 i)h = e (1 i)e i , desta forma obtemos i

  −1 −1 m h (1) · h(i) = e (1) · e i (1). i −1

  Definimos um elemento f ∈ N por f = h h onde h o = (h(1), ..., h(1)), ent˜ao f (1) = f (2) = 1 m o e f ´e central em N . Para todo δ ∈ Sym m temos:

  

−1 −1 −1

u δu = h δh = f δf.

  Da´ı, temos para todo g ∈ G,

  

−1 −1

m u gu = f gf

  ¥ com f um elemento fixo de N . Como f (1) = 1 = f (2), conclu´ımos a prova. Cap´ıtulo 3 O Problema do Isomorfismo

  Dentre as v´arias quest˜oes da teoria dos an´eis de grupo, o Problema do Isomorfismo destaca-se como uma quest˜ao importante e central na teoria. Ele aparece primeiramente con- siderando an´eis de grupo integrais, na tese de doutorado de Higman , em 1940 onde ele diz:

  “Se ´e poss´ıvel que dois grupos n˜ao-isomorfos tenham an´eis de grupo integrais isomorfos, eu n˜ao sei; mas “certos”resultados sugerem que isso ´e improv´avel.” Isto foi apresentado como um problema na Conferˆencia de ´ Algebra em Michigan em 1947 por M. Thrall, que o formulou nos seguintes termos: “Dados um grupo G e um corpo K , determinar todos os grupos H tais que KG ≃

  KH.” As quest˜oes sobre quais propriedades de um grupo finito G se refletem sobre o anel de grupo RG , no entanto, j´a eram investigadas por W. Burnside, G. Frobenius e I. Chur. Com respeito a grupos finitos, ´e imediato que se dois grupos s˜ao isomorfos, os seus an´eis de grupo, determinados a partir de um mesmo anel de coeficientes, tamb´em o ser˜ao.

  Em 1950, S. Perlis e G. Walker provaram que os grupos abelianos finitos s˜ao determi- nados pelos seus an´eis de grupo sobre o corpo dos n´ umeros racionais e logo em seguida, em 1956, W. E. Deskins mostrou que p-grupos abelianos finitos s˜ao determinados pelos seus an´eis sobre algum corpo de caracter´ıstica p. Nesta dire¸c˜ao, alguns resultados parciais considerando grupos finitos n˜ao-abelianos foram obtidos por D. B. Coleman e D. S. Passman.

  Estes resultados parecem sugerir que, para uma dada fam´ılia de grupos, poderia ser poss´ıvel obter um corpo adequado para o qual ter´ıamos uma resposta positiva para o Problema do Isomorfismo. Entretanto, em 1972, E. C. Dade deu um exemplo de dois grupos metabelianos finitos n˜ao isomorfos cujas ´algebras de grupo, definidas sobre qualquer corpo, s˜ao isomorfas. Tamb´em outro fato mostrava que nem sempre um grupo ´e determinado pelo seu anel de grupo sobre um corpo, este ´e, se G e H s˜ao dois grupos abelianos finitos de mesma ordem, ent˜ao CG ≃ CH , sendo C o corpo dos complexos. A partir de ent˜ao, pensou-se que melhores resultados seriam obtidos a partir de outros an´eis de coeficientes.

  Deste modo, a quest˜ao a ser examinada poderia ser formulada como: Se G ´e um grupo finito, H um outro grupo qualquer e R um anel com unidade tais que RG ≃ RH , ser´a ent˜ao que G ≃ H ? Os trabalhos de G. Higman e S. D. Berman acerca das unidades de an´eis de grupo, levam `a conclus˜ao que se G ´e um grupo abeliano finito e ZG ≃ ZH , ent˜ao G ≃ H . Em

  1968, A. Whitcomb obteve resultados que implicavam: se G ´e um grupo metabeliano finito e ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H. Os grupos nilpotentes finitos tamb´em representam uma solu¸c˜ao positiva sobre o anel dos inteiros, conforme demonstraram A. Weiss, K. Roggenkamp e L. L.

  Scott. A classe dos grupos circulares oferece outra solu¸c˜ao ao problema do isomorfismo para Z , segundo R.Sandling, outras solu¸c˜oes do problema foram igualmente obtidas com diversos grupos, como os sim´etricos, diedrais, todos para o anel Z .

  ´ E importante tamb´em observarmos que a existˆencia do isomorfismo

  ZG ≃ ZH , mesmo n˜ao implicando a princ´ıpio numa solu¸c˜ao do problema do isomorfismo para grupos finitos, acar- reta uma s´erie de semelhan¸cas entre os grupos G e H. Para citar as semelhan¸cas mais inte- ressantes temos, por exemplo, que a ordem, os centros e os segundos centros dos dois grupos ser˜ao isomorfos; caracter´ısticas como abelianidade, nilpotˆencia e solubilidade s˜ao compartilha- das pelos dois grupos, isto porque a isomorfia dos an´eis de grupo integrais determina uma correspondˆencia entre as s´eries centrais e derivadas dos dois grupos, tamb´em ´e preservado entre os grupos, o reticulado de subgrupos normais.

  As in´ umeras semelhan¸cas entre os dois grupos finitos impostos pelo isomorfismo de seus an´eis de grupos integrais sugeriram que se conjecturasse que o Problema do Isomorfismo para estes an´eis de grupos integrais tem resposta positiva para todos os grupos finitos. E esta quest˜ao se tornou conhecida como o Problema do Isomorfismo (Iso), ou seja: (Iso)

  ZG ≃ ZH ⇒ G ≃ H O seguinte resultado nos apresenta ainda uma outra raz˜ao para nos concentrarmos na quest˜ao usando

  Z como o anel de coeficientes.

  3.1 Proposic ¸˜ ao.

  Sejam G e H dois grupos. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao RG ≃ RH para um anel comutativo R (como R-´algebra).

  Analisaremos agora algumas classes de grupos nas quais o problema do isomorfismo j´a foi provado.

  3.1 Grupos Abelianos e Hamiltonianos

  Usando um fato j´a descrito no cap´ıtulo 1, que afirma: Se G ´e um grupo abeliano finito, ent˜ao toda unidade de ordem finita em ZG ´e trivial, Higman apresentou uma prova simples para an´eis de grupo integrais isomorfos de grupos abelianos.

  3.2 Teorema.

  Sejam G um grupo abeliano finito e H um outro grupo. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Se ZG ≃ ZH, podemos assumir que existe um isomorfismo norma- lizado, ψ. Se G ´e um grupo abeliano, ent˜ao o anel de grupo ZG ´e comutativo, e segue que H ´e tamb´em abeliano. Como o posto de um m´odulo livre sobre Z ´e invariante, segue imediatamente que H ´e tamb´em finito e que |H| = |G|. Para cada elemento g ∈ G temos que ψ(g) ´e uma unidade normalizada de ordem finita em

  ZH. Segue do teorema 1.11 na p´agina 7 que ψ(g) ∈ ±H e como ψ ´e normalizada, vemos que ψ(g) ∈ H. Isto mostra que ψ(G) ⊂ H e, como |G| = |H|, temos que ψ(G) = H. Em outras palavras, a restri¸c˜ao de ψ a G concede um isomorfismo de grupo entre G e

  ¥ H.

  Teorema.

  3.3 Sejam G um 2-grupo Hamiltoniano e H um outro grupo. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Se G ´e um grupo 2-Hamiltoniano, ent˜ao todas as unidades do anel de grupo integral ZG s˜ao triviais. Ent˜ao, o n´umero das unidades em ZG ´e 2|G|. Da´ı tamb´em o n´ umero das unidades em ZH ´e 2|G| = 2|H|, ent˜ao tamb´em todas as unidades de ZH s˜ao triviais e segue que H ´e um grupo 2-Hamiltoniano. Como no teorema anterior, segue que se ψ :

  ZG → ZH ´e um isomorfismo normalizado, ent˜ao ψ(G) = H, e a restri¸c˜ao de ψ a G nos d´a ¥ o isomorfismo de grupo desejado.

3.2 Outras solu¸ c˜ oes e algumas propriedades

  Outra classe de grupos tamb´em muito importante ´e a dos grupos metabelianos. Estes tamb´em s˜ao determinados pelos seus an´eis de grupo integral, e isso foi mostrado por Whitcomb. Para isso, s˜ao necess´arios alguns resultados t´ecnicos. Primeiro, notemos que se g, h ∈ G, ent˜ao temos a seguinte identidade: gh − 1 = (g − 1) + (h − 1) + (g − 1)(h − 1).

2 Como (g − 1)(h − 1) ∈ ∆ (G), esta identidade implica

  2 gh − 1 ≡ (g − 1) + (h − 1) (mod ∆ (G)). −1 −1

  2

  − 1 ≡ −(g − 1) (mod ∆ Tomando h = g , vemos que g (G)), ent˜ao, para algum inteiro a, a

  2 g − 1 ≡ a(g − 1) (mod ∆ (G)). ∆(G)

  2 Da´ı, a aplica¸c˜ao φ : G → dado por G ∋ g 7→ (g − 1) + (∆ (G)) ´e realmente um 2 ∆ (G) ∆(G)

  homomorfismo de G no grupo aditivo . Devemos usar esta observa¸c˜ao para mostrar que o 2 G

  ∆ (G) G ´e invariante sob o isomorfismo de anel de grupo.

  ′ 3.4 Lema.

  Sejam G um grupo e G o subgrupo comutador, ent˜ao:

  G ∆(G) ≃ .

  ′

  2 G ∆ (G) ′

  3.5 Proposic ¸˜ ao. Sejam G um grupo e G seu subgrupo comutador, ent˜ao 2 ′ G ∩ (1 + ∆ (G)) = G .

  Proposic ¸˜ ao.

  3.6 Sejam G e H tais que ZG ≃ ZH, ent˜ao

  G H ≃

  

′ ′ Demonstra¸ c˜ ao.

  Seja ψ : ZG → ZH um isomorfismo normalizado. Como ∆(G) e

  2

  2

  ∆(H) s˜ao n´ ucleos das respectivas aplica¸c˜oes aumento e ψ ´e normalizado, ψ(∆ (G)) = ∆ (H), portanto, G ∆(G) ∆(H) H

  ≃ ≃ ≃ .

  ′

  2 2 ′

  G ∆ (G) ∆ (H) H ¥

  

3.7 Lema. Seja N um subgrupo normal de um grupo G. Se um elemento g ∈ G ´e tal que

′ g − 1 ∈ ∆(G)∆(G, N ), ent˜ao g ∈ N .

  3.8 Proposic ¸˜ ao.

  Seja N um subgrupo normal de um grupo G, ent˜ao

  N ∆(N ) ≃ .

  ′

  N ∆(G)∆(G, N ) Pelo teorema 1.16 na p´agina 8 demonstra-se a existˆencia de uma correspondˆencia entre os subgrupos normais de G e H, que de fato ´e um isomorfismo entre estes reticulados, sempre que

  ZG ≃ ZH. Al´em disso, grupos normais correspondentes apresentam uma s´erie de semelhan¸cas.

  X Escreveremos aqui b N = x para um subgrupo (ou subconjunto) N de G. x

  ∈N

  3.9 Proposic ¸˜ ao. Sejam G e H grupos finitos tais que

  ZG ≃ ZH. Seja N um subgrupo normal

  de G e seja M o subgrupo correspondente de H, ent˜ao G H (i) ) ≃ );

  Z( Z( N M N M

  (ii) ′ ≃ ′ ; N M (iii) se N ´e abeliano, ent˜ao M tamb´em ´e abeliano; (iv) ψ( b N ) = c M ; (v) |N | = |M |; (vi) ψ(∆(G, N )) = ∆(H, M ).

  3.10 Teorema. (Whitcomb,1968) Sejam G um grupo finito e H outro grupo tal que

ZG ≃ ZH,

  ent˜ao ′′ ′′

  ≃ H/H G/G ,

  ′′ ′′ ′ ′ onde G e H s˜ao os subgrupos comutadores de G e H respectivamente.

3.11 Corol´ ario.

  Sejam G um grupo metabeliano finito e H um outro grupo. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H.

  ′ Demonstra¸ c˜ ao.

  Como G ´e metabeliano, G ´e abeliano. Por causa do isomorfismo G H

  ′ ′

  dado na hip´otese, temos |G| = |H|, ≃ , ent˜ao |G | = |H |. Al´em disso, pelo corol´ario 3.8, G H ′ ′ conclu´ımos que

  

′ ′

  ∆(G, G ) ∆(H, H )

  ′ ′ ′′

  ≃ ≃ ≃ H G /H .

  ′ ′

  ∆(G)∆(G, G ) ∆(H)∆(H, H )

  ′′

  ¥ Segue que H = 1. Da´ı, o resultado ´e imediato. Note que os argumentos acima permitem-nos mostrar que o centro de um grupo finito, ζ(G) e o segundo centro ζ (G) s˜ao invariantes sob o isomorfismo de an´eis de grupo.

  2 3.12 Teorema.

  Sejam G um grupo finito e H outro grupo. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao ζ(G) ≃ ζ(H) e ζ (G) ≃ ζ (H).

  2

2 Demonstra¸ c˜ ao.

  Seja ψ : ZG → ZH o isomorfismo normalizado. Pelo teorema 1.11 na p´agina 7, as unidades centrais de tor¸c˜ao de ZG s˜ao triviais, temos ent˜ao ψ(ζ(G)) = ζ(H).

  Segue que ζ(G) ≃ ζ(H). Al´em disso, tomando os quocientes de G e H pelos seus respectivos centros, ¯ G = G/ζ(G) e ¯ H = H/ζ(H), ψ induz um isomorfismo, ¯ ψ G H

  ¯ ψ : Z( ¯

  G) = Z( ) → Z( ) = Z( ¯ H).

  ζ(G) ζ(H) Pela mesma raz˜ao acima, ¯ ψ(ζ( ¯

  G)) = ζ( ¯

  H). Da´ı, se g ∈ ζ (G), temos ¯ ψ(¯

  g) = ¯h para

  2

  algum ¯h ∈ ζ( ¯

  H). Segue que ψ(g) = h + δ, δ ∈ ∆(H, ζ(H)). Agora, podemos concluir que se g ∈ ζ

  2 (G), ent˜ao

  ψ(g) ≡ h g mod∆(H)∆(H, ζ(H)) para um ´ unico h ∈ ζ (H). Finalmente, segue da mesma forma que g → h ´e um isomorfismo g

  2 g

  2

  ¥ e ζ (G) ≃ ζ (H).

  2 3.13 Teorema.

  Seja G um grupo nilpotente finito, ent˜ao ZG ≃ ZH implica que H ´e tamb´em nilpotente e p ≃ p para todo p-subgrupo de Sylow G p e H p de G e H respectivamente.

ZG ZH

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Seja ψ : ZG → ZH o isomorfismo dado. Suponha que P ´e ✁ um p-subgrupo de Sylow de G. Ent˜ao pela proposi¸c˜ao 3.9, ψ( b P ) = (c P ) para algum P H

  1

  1

  com |P | = |P |. Assim, temos que os p-subgrupos de Sylow de H s˜ao normais para todo

  1

  × Q p e H ´e nilpotente. Al´em disso, se escrevermos G = P × Q, H = P G H

  1 1 ent˜ao, nova- mente pela proposi¸c˜ao 3.9, ψ( b Q) = c Q e ) ≃ ) ≃ . Isto prova o teorema.

  1 ZP ≃ Z( Z( ZP Q Q 1

  1

  ¥ O ´ ultimo teorema reduz o problema do isomorfismo para grupos nilpotentes finitos para p-grupos. Roggenkamp e Scott provaram que ZP ≃ ZP ⇒ P ≃ P se P ´e um p-grupo.

  1

  1

  3.14 Teorema (Sehgal-Sehgal-Zassenhaus). : Suponha que G ´e um grupo finito que ´e uma

extens˜ao de um grupo abeliano A por um grupo nilpotente B. Suponha que mdc (|A|, |B|) = 1.

Ent˜ao ZG ≃ ZH ⇒ G ≃ H.

  ´ E conhecido da classifica¸c˜ao dos grupos simples finitos que, exceto para poucas exce¸c˜oes, diferentes grupos simples tem diferentes ordens. Esse ´e o principal argumento para o seguinte resultado:

  3.15 Teorema. Seja G um grupo finito simples, ent˜ao ZG ≃ ZH ⇒ G ≃ H.

  Destacamos os resultados que consideramos mais relevantes at´e hoje desenvolvidos tanto para a Propriedade do Normalizador quanto para o Problema do Isomorfismo, j´a que existem muitos outros. Apesar de haver in´ umeras classes de grupo para os quais temos resposta afirmativa de ambos os problemas, recentemente, Martin Hertweck apresentou dois resultados que constituem-se em contra-exemplos para ambas as quest˜oes. Faremos uma breve descri¸c˜ao:

  3.3 Os Contra-exemplos 3.16 Teorema.

  (M. Hertweck, 2001): Existe um grupo finito G com um automorfismo de −1 grupo n˜ao-interno τ, tal que τ (g) = u gu com u ∈ U (

  1 ZG), para todo g ∈ G. O grupo G tem

  25

  2 ordem 2 · 97 , um 97-subgrupo de Sylow normal, e ´e metabeliano.

  Obtemos assim um grupo G tal que Aut U (G) * Inn(G).

3.17 Teorema.

  (M. Hertweck, 2001): Existe um grupo sol´ uvel X, que ´e o produto semi-direto de um subgrupo normal G e um subgrupo c´ıclico hci, tal que (i) Existe um automorfismo n˜ao interno τ em G e uma unidade t ∈ U t 1 ( ZG) tal que

  τ (g) = g para todo g ∈ G;

  (ii) Em ZX, o elemento c inverte o elemento t; (iii) O subgrupo Y = hG, tci de U (

1 ZX) tem a mesma ordem de X mas n˜ao ´e isomorfo

  a X;

  21

  28 (iv) A ordem de X ´e 2 · 97 . O grupo X tem um 97-subgrupo de Sylow normal e o comprimento da s´eria derivada de X ´e 4.

  E, ZX ≃ ZY mas X n˜ao ´e isomorfo a Y. Observamos que o grupo G dado no teorema 3.16 ´e diferente do grupo G dado no teorema 3.17. O primeiro grupo ´e, de estrutura mais simples e propicia uma boa introdu¸c˜ao para o grupo G usado no teorema 3.17. Est´a claro que o teorema 3.16 nos fornece um contra-exemplo para a propriedade do normalizador e o teorema 3.17 nos fornece um contra-exemplo para o problema do isomorfismo e devemos destacar que os principais elementos para o teorema 3.17, j´a aparecem na prova do teorema 3.16, com detalhes inteiramente semelhantes. Na verdade, este foi o processo utilizado por Hertweck para o resultado que realmente era objetivado, o contra-exemplo para o Problema do Isomorfismo.

  Al´em do fato do Problema do Isomorfismo ser uma quest˜ao central na teoria dos an´eis de grupos, como j´a citado, e da imensa importˆancia que ele tem no desenvolvimento e norteamento das pesquisas na teoria dos an´eis de grupos, h´a ainda uma outra caracter´ıstica fundamental e esta ´e a descoberta de Mazur em 1995 da existˆencia de uma rela¸c˜ao entre este problema e a quest˜ao do normalizador no que diz respeito a algumas extens˜oes infinitas de grupos finitos; de fato, ele obteve o seguinte teorema.

3.18 Teorema. Se G ´e um grupo finito e C representa um grupo c´ıclico infinito, ent˜ao o

  

problema do isomorfismo para Z(G×C ) tem resposta afirmativa se, e somente se, tem resposta

  ∞ afirmativa para G e vale a conjectura do normalizador em G. resultado substituindo C ∞ por um grupo abeliano finitamente gerado e posteriomente por Hertweck, que obteve um caso de extens˜ao por um grupo finito, argumento fundamental para os contra-exemplos citados.

  Cap´ıtulo 4 Resultados Propostos

  Com o objetivo principal de investigar a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo para extens˜oes orladas de um grupo abeliano por um nilpotente, n´os propomos e investigamos alguns resultados, que agora apresentaremos e desenvolveremos.

  4.1 Uma solu¸ c˜ ao para a Propriedade do Normalizador

  Nosso primeiro resultado ´e a investiga¸c˜ao da Propriedade do Normalizador, para grupos dados pelo produto orlado de um grupo abeliano na base e um nilpotente no topo. Na sua demonstra¸c˜ao, utilizaremos a formula¸c˜ao dado por Jackowski e Marciniak para a Propriedade.

  

4.1 Teorema (A). Seja G um grupo finito dado pelo produto orlado de um grupo abeliano A

|N |

e um nilpotente N, G = A wr N = A ⋊ N, com mdc(|A|, |N|) = 1, ent˜ao a propriedade do

normalizador vale para G.

  Demonstra¸ c˜ ao. Provaremos este teorema mostrando que o conjunto

  2

  ∈ Aut |

  I S = {ϕ u U (G) : ϕ = i, ϕ u S = i} u de automorfismos de G est´a contido em Inn(G), utilizando o teorema 2.8 na p´agina 18.

  Estamos supondo |G| par, pois o resultado ´e v´alido para todo grupo com ordem ´ımpar, ver teorema 2.7 na p´agina 17.

  Devido `a hip´otese mdc(|A|, |N |) = 1, obtemos duas possibilidades para as ordens dos m grupos A e N, sendo m a ordem de N. Analisemos o resultado em cada um dos casos: m | ´e par e |N | ´e ´ımpar: trivial pois neste caso G possui um 2 − subgrupo de

  Caso 1) |A Sylow normal, ver teorema 2.9 na p´agina 21. m Caso 2) |A | ´e ´ımpar e |N | ´e par: m Seja ϕ u ∈ I S . Primeiramente, verifiquemos a a¸c˜ao de ϕ u em A . Seja α = (a , ..., a m ) m m

  1

  um elemento de A , tomamos g = α em A , lembrando que ϕ u (g) ∼ g em G, como visto na m ∈ A ∈ N, ambos demonstra¸c˜ao do teorema 2.17 na p´agina 25, temos que existem x α e y α dependendo de α, tais que

  −1 −1 −1 −1 −1

  u αu = ϕ (α) = (x y ) α(x y ) = y x αx y = y αy u α α α α α α α α α α

  −1 m

  ∈ A pois x αx α , que ´e abeliano. Logo, α

  −1 −1 ∈ N dependendo de α.

  u αu = y αy α com y α α Como A ´e abeliano, podemos escrevˆe-lo como produto direto de seus p-subgrupos de Sylow.

  Analisemos o que ocorre em cada subgrupo: m Seja P um p-subgrupo de Sylow de A , ent˜ao, pelo teorema 2.2 na p´agina 14, para m todo x ∈ P, existe g P = a P n P ∈ G, com a P ∈ A e n P ∈ N tal que

  −1 −1 −1 −1

  u xu = n a xa P n P = n xn P , P P P m sendo a ´ ultima igualdade devido `a abelianidade de A . m Seja Q um q-subgrupo de Sylow de A , com q 6= p, ent˜ao para todo y ∈ Q, existe m g Q = a Q n Q ∈ G, com a Q ∈ A e n Q ∈ N tal que

  −1 −1 −1 −1

  u yu = n a ya Q n Q = n yn Q , Q Q Q m sendo a ´ ultima igualdade devido `a abelianidade de A . m Considerando A ∋ a = xy ∈ P × Q, e sendo ϕ u (a) ∼ a em G, temos que existe m a o n o ∈ G com a o ∈ A e n o ∈ N, ambos dependendo de xy tal que

  −1 −1 −1 −1

  

m

a ´ ultima igualdade devido `a abelianidade de A .

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  Mas, n xn o n yn o = n xyn o = u xyu = u xuu yu = n xn P n yn Q , ent˜ao o o o P Q

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  n x n o n xn P = n yn o n y n Q , sendo o primeiro membro da igualdade um elemento de o P o Q P e o segundo, um elemento de Q, que s˜ao p i -subgrupos de Sylow distintos, ent˜ao

  

−1 −1 −1 −1 −1 −1

  n x n o n xn P = 1 = n yn o n y n Q , o P o Q o que implica em

  

−1 −1 −1 −1

  n P n xn o n = x e n Q n yn o n = y o P o Q

  −1 −1

  com x ∈ P, y ∈ Q e n o n , n o n ∈ N. Mas os p i -subgrupos de Sylow s˜ao extensos, logo, pelas Q P

  −1 −1

  propriedades do produto orlado, as igualdades acima s´o ocorrem se n o n = 1 e n o n = 1 o m P Q que implica em n P = n o = n Q . Ent˜ao, para qualquer α ∈ A :

  −1 ∈ N. m m ϕ u (α) = n αn o com n o o −1

  ✁ Sendo A

  G, temos n αn o ∈ A e assim, ao conjugar por u a ´ ultima igualdade obtemos o

  −2 2 −1 −2

  2 u αu = un αn o u = n αn . o o o m 2 −2

  2

  2 Como u = id em I S , temos α = n αn ⇒ n = 1 pois n o centraliza A . o o o −1 −1 2 m

  u αu = n αn o com n = 1, ∀α ∈ A . (4.1) o o Verifiquemos agora a a¸c˜ao de ϕ u em N.

  Como N ´e nilpotente, podemos escrevˆe-lo como produto direto dos seus p-subgrupos de Sylow.

  Escolhamos P o 2-subgrupo de Sylow de G, fixado em I S que est´a inteiramente em N

  1

  pois A tem ordem ´ımpar, ent˜ao pelo teorema 2.2 na p´agina 14 temos que para todo x ∈ P , m

  1

  existe g P = a P n P ∈ G, com a P ∈ A e n P ∈ N tal que 1 1 1 1

  −1 −1 −1

  u xu = n a xa P n P = x, P P 1 1 1 1 esta ´ ultima igualdade devido ao fato de u| P = id em I S . 1 Seja Q um q-subgrupo com q 6= 2, ent˜ao para todo y ∈ Q , existe g Q = a Q n Q ∈ G, m

  1

  1 1 1 1 u

  −1

  1

  1

  t

  2 n 1 = t 1 t 2 = t,

  a pen´ ultima igualdade devido ao fato de P

  1

  ser fixado por ¯ u e n

  comutar com t

  t

  2 .

  Obtemos assim, para qualquer y ∈ Q

  1 , ¯ u −1

  y¯ u = y em G , isso implica que, em G, u

  −1

  yu = α

  −1 Q 1

  1 n 1 n −1

  1

  Conjugando 4.2 por u, temos y = u

  , t

  

1

  t

  2

  , t

  1

  ∈ P

  1

  2

  2 n ∗ = n −1

  ∈ Q : ¯ u

  −1

  t¯ u = n

  −1 ∗

  t

  1 n ∗ n −1 ∗

  t

  yα Q 1 com α Q 1 ∈ A m .

  −2

  1

  −1 Q 1

  n o α

  −1 Q 1

  yα Q 1 n

  −1 o

  α Q 1 n o n

  

−1

o

  = α

  n o α

  α

  −1 Q 1

  yα Q 1 n

  −1 o

  α Q 1 o que implica em y comutar com α Q 1 n

  −1 o

  α Q 1 .

  

−1

−1

  −1 Q 1

  −1 o

  yu

  yα Q 1 n

  2

  = n

  −1 o

  α

  −1 Q 1

  n o α

  

−1

Q

1

  −1 o

  = n o n

  α Q 1 n o ∀y ∈ Q

  1 Sendo n

  2 o

  = 1, n o ∈ P

  1

  e assim y comuta com n o , e da´ı y = n o yn

  −1 o

  tn

  −1

  yu = n

  s˜ao da forma n ∗ = n

  −2 ∗

  tn

  2 ∗

  ⇒ n

  2 ∗

  ∈ ζ(N ). Os elementos n ∗ e n

  2 ∗

  1 n 2 e n

  2

  2 ∗

  = n

  2

  1

  n

  2

  2

  = n

  t¯ u

  N, n

  ¯ u

  

−1

Q

1

  a

  −1 Q 1

  ya Q 1 n Q 1 . (4.2) Sendo A m

  ✁

  G, podemos tomar o quociente G = G/A m = (A m ⋊ N)/A m ≃ N.

  A propriedade ´e v´alida para grupos nilpotentes, ent˜ao, em G, temos que existe n ∗ ∈ N tal que:

  −1

  −2

  t¯ u = n

  −1 ∗

  tn

  ∗

  , ∀ t ∈ N com ¯ u ∈ N

  U

  ( ¯ G). Conjugando novamente por u, obtemos: t = ¯ u

  com n ∗ ∈

  1

  = n

  −1

  tamb´em comuta com os elementos de P

  1

  por causa do produto direto. Da´ı, n

  −1 ∗

  tn

  ∗

  = n

  2

  outro lado n

  n

  −1

  1

  tn

  1

  n

  2

  2

  2 comuta com os elementos de Q, por

  ∈ P

  1

  1

  , n

  2

  ∈ Q, sendo Q o produto de subgrupos de Sylow n˜ao par, n

  2 ∗

  ∈ ζ(N ), n

  2

  ∈ ζ(P

  ∈ ζ(Q) e Q tem ordem ´ımpar, n

  1

  ) e n

  2

  2 ∈ ζ(Q).

  Como n

  2

  2

1 Temos, ent˜ao para qualquer N ∋ t = t

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  α yα Q n α Q n o n n o α Q n o = n α Q n o n n α Q n o α Q n o α yα Q Q 1 1 o 1 o 1 o 1 o o 1 1 Q 1 1

  −1 −1 −1 −1 −1

  α yα Q n α Q n o α Q n o = n α Q n α Q n o α yα Q Q 1 1 o o o 1 1 1 1 Q 1 1

  −1 −1 −1 −1 −1 −1

  α α n α yn α n = n α yn α n = n α n α n α yα Q 1 Q Q o Q o Q o Q o Q Q o Q 1 o 1 1 o 1 1 o 1 o 1 Q 1 1

  −1 −1 −1

  n o yα Q n o α = n α Q n o α y 1 Q o Q 1 1 1

  −1 −1 yα Q n o α = α Q n o α y. 1 Q 1 1 Q 1

−1

  −1

  Logo, y tamb´em comuta com α Q n o α , da´ı, y comuta com o produto de α Q n o α 1 Q 1 1 Q 1

  −1

  2 por α Q n α Q que ´e igual a α . 1 o 1 Q 1 −2

  2

  2 2 −2

  2

  2 Sejam α Q = (a , ...a m ), α = (a , ...a ) e u yu = α yα = y. 1

  1 Q m Q 1

  1 Q 1 1

  2 m O fato de y comutar com α implica em α Q pertencer ao 2-subgrupo de Sylow de Q 1 1 −1 −1

  A que neste caso ´e a identidade, logo u yu = α yα Q = y. E assim : Q 1 1

  −1

  u nu = n, ∀n ∈ N. (4.3) Podemos ver que neste caso, n o ∈ ζ(N ) : m Para qualquer m ∈ N e qualquer α ∈ A , temos

  −1 m

  g = mα = βm logo α = m βm, com β ∈ A ,

  −1 −1 −1 −1 −1

  seu inverso ´e g = α m = m β , conjugando por u, obtemos

  −1 −1

  u mαu = mn αn o o e

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 u m β u = m n β n o o que implica em mn αn o m n β n o = 1. o o o −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

  Da´ı, n αn o = m n βn o m = m n mm βmm n o m , o que implica o o o

  −1 −1 −1 −1

  α = n o m n mαm n o mn , logo, pelas propriedades do produto orlado, o o

  −1 −1

  m n o mn = 1 logo mn o = n o m e assim, n o ∈ ζ(N ), o

  −1 −1 como afirmamos; logo a express˜ao 4.3 pode ser escrita como u nu = n nn o . o Assim, temos por 4.1 e 4.3, que

  −1

  ∀g ∈ G u gu = n o gn o , ¥ Conclu´ımos ent˜ao que ϕ u ´e um automorfismo interno de G, como quer´ıamos.

4.2 Uma solu¸ c˜ ao para o Problema do Isomorfismo

  ` A seguir, apresentaremos nosso segundo resultado principal, neste, investigamos o Pro- blema do Isomorfismo para produtos orlados de um grupo abeliano na base por um nilpotente no topo.

  4.2 Teorema (B). Seja G um grupo finito dado pelo produto orlado de um grupo abeliano A |N | e um nilpotente N, G = A wr N = A

  ⋊ N, com mdc (|A|, |N|) = 1 e seja H um grupo. Se ZG ≃ ZH, ent˜ao G ≃ H.

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja m a ordem de N, temos pela proposi¸c˜ao 3.9 na p´agina 35, que, m m m ✁ para ZG = Z(A ⋊ N) ≃ ZH e A m

  G, existe um subgrupo B normal em H com |B| = |A | e B abeliano, tal que Z(G/A ) ≃ ZN ≃ Z(H/B).

  Como N ´e nilpotente e temos a validade de (Iso) para a classe destes grupos, ent˜ao N ≃ H/B.

  Sendo mdc(|B|, |N |) = 1 e N ≃ H/B, ent˜ao podemos utilizar o resultado de Schur- Zassenhaus,( ver proposi¸c˜ao 1.34 na p´agina 11) e concluir que H = B ⋊ N . m m Devemos agora verificar se A ≃ B e se as a¸c˜oes de N sobre B e de N sobre A s˜ao as mesmas. m

  C Tomaremos as somas de classes de conjuga¸c˜ao em G, b g com g ∈ A , pela proposi¸c˜ao m

  1.16 na p´agina 8 temos que, para cada g ∈ A existe h ∈ H tal que ψ( ˆ C g ) = ˆ C h com o(g) = o(h), para ψ : ZG → ZH, a isomorfia entre os an´eis de grupo integral.

  Afirmamos que o elemento h obtido acima pertence inteiramente ao grupo B, vejamos:

  ⊆ G implica Pelo resultado de Dietzman,( ver proposi¸c˜ao 1.32 na p´agina 10 ) C g em < C g > ✁ G. Pelas proposi¸c˜oes 1.16 e 3.9, nas p´aginas 8 e 35 respectivamente, temos o correspondente C h ⊆ H e um subgrupo normal em H, mas pelo resultado de Petit Lob˜ao e Sehgal, ( ver proposi¸c˜ao 1.33 na p´agina 11) temos que este subgrupo ´e < C h > ✁ H. Sendo m m m m g ∈ A , temos C g ⊆ A e < C g > ✁ A pois A ´e abeliano e como B ´e o subgrupo normal de m H correspondente a A , pelo reticulado de subgrupos normais temos < C h > ✁ B, logo h ∈ B.

  Como A ´e abeliano, podemos escrevˆe-lo como produto direto de seus subgrupos c´ıclicos: A = C × ... × C r com C i =< a i >, i = 1, ..., r, m

  1

  e ent˜ao, podemos escrever A da seguinte forma: m m m A = A × ... × A = C × ... × C r m

  1

  com C =< (a i , 1, ..., 1), (1, a i , 1, ..., 1), ..., (1, ..., 1, a i ) > i Chamando α = (a , 1, ..., 1), α = (1, a , 1, ..., 1), ..., α = (1, ..., 1, a ) podemos per- i

  1 i i 2 i im i

  ceber que cada uma das m-uplas α ij , 1 6 i, j 6 r, m pertence `a classe de conjugados de α i em m

  1 G, que s˜ao obtidos pela a¸c˜ao dada pelo produto orlado, os quais geram C i , isto ´e, m m m < C >=< α , α , ..., α >= C , com |C | = |a |. α i i 1 1 i 2 im i i i m Sendo C α ⊂ G, novamente pela proposi¸c˜ao 1.33, existe < C β > ✁ H, mas < C α > i 1 m i i 1 1

  ✁ ∈ B associado a α ∈ A

  A , ent˜ao < C β > ✁ B com β i i 1 1 i 1 pela correspondˆencia de classes de conjuga¸c˜ao. Determinamos ent˜ao os β ij a partir de β i pela a¸c˜ao do mesmo elemento de N

  1

  que conjuga α i determinando α ij . Ademais, temos β ij independentes, devido `a independˆencia

  1 dos α ij e `a proposi¸c˜ao 1.16 na p´agina 8 , item (iii). m m

  Temos ent˜ao para cada C i =< C α > em A um subgrupo correspondente < C β > i 1 i 1 em B, com o(α i ) = o(β i ) para cada i = 1, ..., r. m

  1

  1 C i =< α i , α i , ..., α im > e < C β >=< β i , β i , ..., β im >.

  1 2 i 1

  1

  2

  × ... × C Sendo A ≃ C

  1 r escrevemos, m

  A = A × A × ... × A ≃ A × A × ... × A m

  1

  2

  Desta forma, temos A ≃ C × ... × C r =< α , α , ..., α r > onde α i = (a i , 1, ..., 1), i = 1, ..., r

  1

  1

  11

  21

  1

  1 ...

  A m ≃ C × ... × C r =< α , α , ..., α rm > onde α im = (1, 1, ..., 1, a i ), i = 1, ..., r.

  1 1m 2m

  Tomando ent˜ao os elementos β , β , ..., β r , podemos gerar, devido `as suas ordens e `a inde-

  11

  21

  1

  pendˆencia dos β i um grupo isomorfo a A :

  1

  1 < β , β , ..., β r >≃ B ≃ A .

  11

  21

  

1

  1

  1 Tomando agora os conjugados dos β i , por um determinado elemento de N, iremos gerar um

  1

  outro subgrupo isomorfo a B

  1 : < β , β , ..., β r >≃ B ≃ A .

  12

  22

  

2

  2

  2 E sucessivamente, tomando os conjugados dos β i , por todos os elementos de N, obteremos m

  1

  subgrupos isomorfos a B

  1 , da seguinte forma:

  < β , β , ..., β r >≃ B ≃ A

  13

  23

  3

  3

  3 ...

  < β , β , ..., β rm >≃ B m ≃ A m .

  1m 2m

  Como os B j , j = 1, ..., m s˜ao gerados por elementos β ij independentes e B ´e abeliano, teremos m B × ... × B m ≃ B Logo, A ≃ A × ... × A ≃ B × ... × B m ≃ B.

  1 m

  1 E assim, conclu´ımos que A ´e isomorfo a B.

  Percebemos ainda que a a¸c˜ao da conjuga¸c˜ao dos elementos de B j ´e a realizada pelo mesmo elemento de N que conjuga os respectivos elementos de A j , dada pelo produto orlado, m sendo assim a a¸c˜ao de N sobre B a mesma de N sobre A , ou seja, a a¸c˜ao orlada, G = A wr N ≃ B wr N = H.

  ¥

  Conclus˜ ao

  Neste trabalho, fizemos uma investiga¸c˜ao de duas quest˜oes de destaque na teoria dos an´eis de grupo integral, a Propriedade do Normalizador e o Problema do Isomorfismo.

  Primeiramente, apresentamos ambas as quest˜oes e analisamos os resultados mais rele- vantes desenvolvidos sobre tais.

  Nosso intuito inicial era investigar a Propriedade do Normalizador para produtos or- lados de grupos Nilpotentes, mas, no percurso para tal, percebemos a importˆancia e validade dos outros resultados que est´avamos desenvolvendo como preliminares e imagin´avamos ´obvios. Tra¸camos ent˜ao um novo roteiro e este, que cumprimos integralmente, foi: propusemos e de- monstramos a Propriedade do Normalizador para o produto orlado de um grupo abeliano na base por um nilpotente no topo. Devemos observar que acreditamos ser este processo, com os mesmos argumentos, que nos levar˜ao `a verifica¸c˜ao da quest˜ao para o produto orlado entre nipotentes, depois de uma devida investiga¸c˜ao pormenorizada em seus elementos.

  Devido `a rela¸c˜ao existente entre a quest˜ao do Normalizador e o Problema do Iso- morfismo, objetivamos fazer um estudo paralelo. Desta forma, propusemos e demonstramos o Problema do Isomorfismo para produtos orlados de um grupo abeliano por um nilpotente. Tamb´em no caso do Isomorfismo, observamos que o resultado que desenvolvemos poder´a ser estendido para o produto orlado entre grupos nilpotentes, justificando assim sua apresenta¸c˜ao mesmo j´a se tendo o resultado desenvolvido por RoggenKamp e Scott verificando esta quest˜ao para a mesma classe de grupos e sem a hip´otese adicional sobre as ordens.

  Desta forma, vemos ent˜ao neste trabalho o desenvolvimento de uma pesquisa em rela¸c˜ao `a Propriedade do Normalizador e do Problema do Isomorfismo, que nos apresenta um caminho tra¸cado para a verifica¸c˜ao das duas quest˜oes para produtos orlados de grupos nilpotentes, que certamente engrandece a lista da classe de grupos que s˜ao determinados por seus an´eis de grupo e nos quais a Propriedade do Normalizador ´e v´alida.

  Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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[8] Passman, D. S., The Algebriac Structure of Group Rings; R.E.Krieger Publ., Malabar

(1985).

  

[9] Petit Lob˜ao, T., Frobenius groups and the isomorphism problem;Mat. Cont. 21,147-

156(2001).

  

[10] Petit Lob˜ao, T. e Polcino Milies, F.C., The normalizer property for integral group rings of

Frobenius group; J. Alg. 256,1-6(2002).

  

[11] Petit Lob˜ao e Sehgal, S.K.,The isomorphism problem for some complete monomial groups

  (preprint)

  

[12] Petit Lob˜ao e Sehgal, S.K., The normalizer property for integral group rings of complete

monomial groups; Comm. Alg. 31, 2971-2983(2003).

  

[13] Polcino Milies, F.C. e Sehgal, S.K., An introduction to group rings; Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht(2002).

  

[14] Roggenkamp, K. W. e Scoot, L. L., Isomorphisms for p-adic group rings, Ann. Math.

  126(1987), 593-647

  

[15] Sehgal, S. K., Units in integral Group Rings; Longman Scientific and Technical, Essex,

1993.

  ´ Indice Remissivo

  Anel de grupo, 4 p-subgrupo, 14 Aplica¸c˜ao aumento, 5 para subgrupo I S contido em Inn(G), 18 Contra-exemplos, 37 Rela¸c˜ao entre a Propriedade e o Problema, 38 Grupo das unidades, 6 Subgrupo de Hall, 9 Grupo de Frobenius, 23 Subgrupo dos comutadores, 9 Grupo hamiltoniano, 9 Grupo metabeliano, 9 Grupo nilpotente, 10 Grupos de Blackburn, 22 Isomorfismo normalizado, 8 Normalizador, 9 Problema do Isomorfismo, 33

  2-grupo hamiltoniano, 33 grupo abeliano, 33 grupo metabeliano, 36 grupo nilpotente, 36 grupo simples, 37

  Produto orlado, 10 Propriedade do Normalizador, 12 grupo de ordem ´ımpar, 17 grupos de Blackburn, 23 grupos de Frobenius, 24 grupos nilpotentes, 15 grupos possuindo um 2-subgrupo de Sylow normal, 21

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