A dimensão de Gelfand-Kirillov em característica positiva

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Universidade Federal de Alagoas

  

INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA

  TESE DE DOUTORADO

  

A dimens˜ ao de Gelfand-Kirillov em

caracter´ıstica positiva

  por

  

Fernanda Gon¸calves de Paula

Doutorado em Matem´ atica - Macei´ o - AL

  Orientador: Prof. Dr. S´ ergio Mota Alves

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  3 DEDICAT ´ ORIA

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  Ao meu esposo Raul e meu filho Gustavo. Aos meus pais Hilda e Antˆonio.

  ` As minhas irm˜as Fabiana, Patr´ıcia e Aline.

  Aos meus tios Iracy e Carlos.

  ` A minha prima Marina e minha av´o Hamilta.

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  ❢❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣❤ AGRADECIMENTOS

ABSTRACT

  The verbally prime algebras are well understood in characteristic 0 while over a field of cha- racteristic p > 2 little is known about them. In this work we discuss some sharp differences between these two cases for the characteristic. We discuss some properties about the algebras A and M (E) ⊗ E in positive characteristic and we use this properties to compute the a,b a,b Gelfand-Kirillov dimension of the relatively free algebras of rank m in the varietie generated by M a,b (E)⊗E. We exhibit a construction of a generic model to the algebra U m (M n (E)⊗E). By using these models we compute the Gelfand-Kirillov dimension of the relatively free al- gebras of rank m in the varietie generated by M n (E) ⊗ E. As consequence we obtain the PI non equivalence of important algebras for the PI theory in positive characteristic. Fi- nally, we launch a conjecture about the Gelfand-Kirillov dimension of the universal algebras, concerning the tensorial product of verbally prime algebras by Grassmann algebra.

  RESUMO

  As ´algebras verbalmente primas s˜ao bem conhecidas em caracter´ıstica 0, j´a sobre corpos de caracter´ıstica p > 2 pouco sabemos sobre elas. Nesse trabalho vamos discutir algumas di- feren¸cas entre estes dois casos de caracter´ıstica sobre corpos infinitos. Discutiremos algumas propriedades envolvendo as ´algebras A e M (E)⊗E em caracter´ıstica positiva e usaremos a,b a,b estas propriedades para calcular a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da ´algebra relativamente li- vre de posto m na variedade gerada por M a,b (E) ⊗ E. Apresentaremos um modelo gen´erico para U m (M n (E)⊗E). Usando este modelo, calcularemos a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov das ´algebras relativamente livres de posto m na variedade determinada pela ´algebra M n (E) ⊗ E. Como conseq¨ uˆencia, obteremos a prova da n˜ao PI-equivalˆencia entre ´algebras importantes para PI-teoria em caracter´ıstica positiva. Por fim, lan¸caremos uma conjectura acerca da di- mens˜ao de Gelfand-Kirillov de ´algebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de ´algebras verbalmente primas pela ´algebra de Grassmann. CONTE ´ UDO

  

  27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  44 . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  42

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   37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

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   25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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  10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

   7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  46 CONTE ´ UDO 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48

   54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55 INTRODUC ¸ ˜ AO

  A ´area do conhecimento matem´atico na qual este trabalho se insere ´e ´algebra: teoria de an´eis, e mais especificamente, na teoria das ´algebras com identidades polinomiais (PI- ´algebras).

  As ´algebras de matrizes sobre an´eis, bem como as ´algebras comutativas e as de dimens˜ao finita s˜ao objetos de estudo de grande importˆancia devido ao seu amplo aspecto de aplica¸c˜oes. Estas ´algebras s˜ao exemplos de estruturas que compartilham o fato de satisfazerem rela¸c˜oes polinomiais entre seus elementos. Mais precisamente, para cada uma das ´algebras acima, existe um polinˆomio f (x , . . . , x ) com vari´aveis n˜ao comutando que se anula quando avaliado

  1 n

  nos elementos das mesmas. A ´algebra que cumpre esta condi¸c˜ao ´e denominada uma ´algebra com identidade polinomial, ou simplesmente uma PI-´algebra. Seu estudo, a grosso modo, consiste em relacionar o efeito das identidades polinomiais na estrutura das ´algebras que as satisfazem.

  Historicamente, o desenvolvimento da Teoria de Identidades Polinomiais come¸cou na d´ecada de 30, com os trabalhos de D¨ehn e Wagner. Nesses trabalhos aparecem, embora de forma impl´ıcita, algumas identidades polinomiais para as matrizes de ordem 2. Temos de ressaltar que tais conceitos encontram-se ainda em trabalhos de Sylvester, por volta de 1852. Mas a pesquisa das PI-´algebras come¸cou a se intensificar por volta dos anos 1950, ´epoca do celebre Teorema de Amitsur e Levitzki, um resultado cl´assico mostrando que a ´algebra das matrizes de ordem n com entradas num corpo satisfazem o polinˆomio standard de grau 2n (isto ´e, a somat´oria alternada de todos os produtos de 2n matrizes de ordem n ´e CONTE ´ UDO

  2

  sempre igual a matriz nula). Na mesma ´epoca, algebristas reconhecidos deram contribui¸c˜oes importantes para a PI teoria. Podemos relacionar aqui os nomes de Jacobson, Kaplansky, Herstein, Malcev, Cohn, Shirshov, entre outros. V´arios algebristas tˆem trabalhado na ´area; segue uma lista de nomes (sem qualquer pretens˜ao de ser completa): Posner, Procesi, Re- gev, Razmyslov, Braun, Formanek, Swan, Latyshev, Bahturin, Zelmanov, Rowen, Kemer, Drensky, Giambruno, Zaicev, Berele.

  As ´algebras verbalmente primas desempenham um papel proeminente na PI-teoria. Lem- bramos que uma ´algebra ´e verbalmente prima se seu T-ideal ´e primo na classe de todos os T-ideais na ´algebra associativa livre. A maioria dos resultados conhecidos sobre ´algebras verbalmente primas trata do caso de corpos de caracter´ıstica zero. A teoria estrutural de T- ideais desenvolvida por Kemer classificou as ´algebras verbalmente primas sobre tais corpos. Mais ainda, Kemer mostrou que os T-ideais verbalmente semiprimos s˜ao intersec¸c˜oes finitas n

  ⊆ I ⊆ J para de T-ideais verbalmente primos, e finalmente que se I ´e um T-ideal ent˜ao J alguma escolha de n e de um T-ideal J verbalmente semiprimo.

  Denotando por K o corpo de base, char K = 0, de acordo com a teoria de Kemer as ´algebras verbalmente primas s˜ao exatamente as seguintes: Primeiro as triviais; {0} e KhXi a ´algebra associativa livre de posto infinito. Por conseguinte, M n (K), a ´algebra das matrizes n×n com entradas em K. Denotamos por E a ´algebra de Grassmann (ou exterior) do espa¸co vetorial V com base {e , e , . . . }. Ent˜ao, E tem base consistindo dos elementos 1 e e i . . . e i

  1

  2 1 k

  onde i < · · · < i k e k = 1, 2, . . . e a multiplica¸c˜ao em E ´e induzida por e i e j = −e j e i

  1

  para todos i e j. Outra classe de ´algebras verbalmente primas ´e dada pela ´algebra das matrizes n × n com entradas em E, denotada por M n (E). A ´algebra E tem Z

  2 -gradua¸c˜ao

  natural definida como segue: Seja E o centro de E, ent˜ao E ´e gerado como espa¸co vetorial por todos os monˆomios na base de E com comprimento par, denotamos por E o espa¸co

  1 gerado pelos monˆomios de comprimento ´ımpar. Ent˜ao, os elementos de E anti-comutam.

  1 Definimos agora a ´ ultima classe de ´algebras verbalmente primas, denotada por M a,b (E). Esta

  ´e a sub´algebra de M a +b (E) que consiste de todas as matrizes !

  M a (E ) M a×b (E )

  1 .

  M b×a (E ) M b (E )

  1 Duas ´algebras A e B s˜ao ditas PI-equivalentes, escrevemos A ∼ B, se elas satisfazem as

  mesmas identidades polinomiais. Como uma conseq¨ uˆencia de sua teoria estrutural Kemer descreveu a PI-equivalˆencia nos produtos tensoriais de ´algebras verbalmente primas. CONTE ´ UDO

  3 Esta descri¸c˜ao ´e conhecida como

  Teorema do Produto Tensorial(T.P.T.). Seja char K = 0. Ent˜ao, (1) M a,b (E) ⊗ E ∼ M a (E);

  • b

  (2) M a,b (E) ⊗ M c,d (E) ∼ M ac +bd,ad+bc (E); (3) E ⊗ E ∼ M (E).

  1,1 Aqui, e no que segue, todos os produtos tensoriais s˜ao considerados sobre o corpo K.

  Como conseq¨ uˆencia de sua teoria estrutural Kemer (1987) resolveu em afirmativo o fa- moso e antigo problema (1950) dado por Specht: Todo T-ideal ´e finitamente gerado como um T-ideal ? Uma das principais ferramentas utilizadas nesta tarefa foram as identidades graduadas. Recomendamos a leitura de para mais detalhes sobre a teoria estrutural de PI-´algebras e as contribui¸c˜oes de Kemer nesta teoria.

  O Teorema do Produto Tensorial admite provas que independem da teoria estrutural. A primeira tal prova foi dada por Regev , e mais tarde Di Vincenzo; Di Vincenzo e Nar- dozza, provaram casos deste teorema, veja (). Lembramos que todas estas provas foram constru´ıdas sob a hip´otese que o corpo base ´e de caracter´ıstica zero. Outras provas elementares de casos do T.P.T. foram dadas em (), o comportamento dos correspondentes T-ideais em caracter´ıstica positiva foi estudado. Nestes os autores provaram que o T.P.T. continua v´alido sobre corpos infinitos de caracter´ıstica positiva p > 2, restringindo-se somente as identidades polinomiais multilineares. Mais ainda, em , tamb´em provaram que a primeira afirma¸c˜ao falha (quando a = b = 1).

  Em os autores constru´ıram um modelo apropriado para a ´algebra relativamente livre na variedade das ´algebras determinadas por E ⊗ E quando char K = p > 2. Este ′ ′ modelo ´e a ´algebra gen´erica de A = K ⊕ M (E ) onde E denota a ´algebra de Grassmann

  1,1

  sem unidade. Eles provaram que as ´algebras A e E ⊗ E satisfazem as mesmas identidades polinomiais ordin´arias. Usando propriedades da ´algebra A, em , os autores provaram que T (M (E)) T (E ⊗ E) em caracter´ıstica positiva. Mais ainda, em , foram constru´ıdas

  1,1

  sub´algebras A a,b de M a (E)(veja Exemplo e A foi utilizada para estabelecer a

  • b 1,1 inclus˜ao T (M (E)) T (M (E) ⊗ E). Tamb´em em , provaram que M (E) ⊗ E ∼ A .

  2 1,1 1,1 1,1 CONTE ´ UDO

  4 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov foi introduzida originalmente por Gelfand e Kirillov

  (1966) para estudar o crescimento de ´algebras de Lie de dimens˜ao finita, posteriormente tornou-se um importante invariante para ´algebras afins, pois a mesma independe da escolha de seu conjunto de geradores (ao contr´ario das s´eries de Hilbert). Uma referˆencia padr˜ao so- bre GK-dimens˜ao ´e o livro de Krause e Lenagan (veja ), que tamb´em cont´em os principais resultados sobre GK-dimens˜ao para PI-´algebras.

  As ´algebras relativamente livres (tamb´em chamadas de universais) de posto m, U m (M n (E)) e U (M (E)), nas variedades determinadas por M (E) e M (E), respectivamente, foram m a,b n a,b constru´ıdas por Berele em . No que segue vamos assumir que o posto das respectivas ´algebras relativamente livre ´e ≥ 2. Em , Procesi calculou a GK-dimens˜ao da ´algebra gerada por m matrizes gen´ericas de ordem n, ou seja, mostrou que GKdim [U m (M n (K))] =

  2

  2

  (m − 1)n + 1. Em , Berele mostrou que GKdim [U m (M n (E))] = (m − 1)n + 1 e

  2

2 GKdim [U m (M a,b (E))] = (m − 1)(a + b ) + 2.

  Nos resultados obtidos nos artigos , Alves e Koshlukov, usando potˆencias do polinˆomio standard, completaram a demonstra¸c˜ao de que o Teorema do Produto Tensorial de Kemer n˜ao pode ser transportado para corpos infinitos de caracter´ıstica maior que dois. Mais ainda, atrav´es da constru¸c˜ao de modelos gen´ericos apropriados, calcularam a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov das ´algebras universais determinadas pelas ´algebras: E⊗E, M a,a (E)⊗E e A a,b quando o corpo de base ´e infinito com char K = p > 2. Como conseq¨ uˆencia, obtiveram a n˜ao PI-equivalˆencia entre ´algebras relacionadas com as mesmas, que desempenham um papel importante na PI-teoria.

  Neste trabalho, apresentaremos os resultados obtidos nos artigos . A essˆencia deste trabalho est´a na tentativa de generalizar m´etodos e resultados desenvolvidos por Pro- cesi e Berele em caracter´ıstica zero.

  Mais especificamente:

  • Calculamos a GK-dimens˜ao da ´algebra relativamente livre de posto m, U (M (E) ⊗ m a,b E), na variedade gerada por M a,b (E) ⊗ E, em caracter´ıstica positiva p > 2.
  • Obtemos, como consequˆencia do item anterior, a n˜ao PI-equivalˆencia das ´algebras

  M a,b (E) ⊗ E e M a (E) em caracter´ıstica positiva p > 2 e tamb ˜ A c m respondemos `a

  • b

  seguinte quest˜ao deixada em : CONTE ´ UDO

  5 Sabemos que T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M c,d (E) ⊗ E) quando a + b = c + d e char K = 0.

  Isto ´e verdade quando char K = p > 2?

  • Calculamos GKdim [U m (M n (E) ⊗ E)] quando char K = p > 2 e n > 1e obtemos, a partir deste c´alculo, uma nova prova da n˜ao PI-equivalˆencia das ´algebras M n,n (E) e M n (E) ⊗ E.
  • Com base nos itens anteriores, lan¸camos uma conjectura acerca da dimens˜ao de Gelfand-

  Kirillov de ´algebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de ´algebras verbalmente primas pela ´algebra de Grassmann. O texto est´a organizado em quatro cap´ıtulos. Ressaltamos que procuramos torn´a-los o mais independente poss´ıvel. Os cap´ıtulos foram estruturados da seguinte forma:

  • O Cap´ıtulo 1 ´e dedicado `as defini¸c˜oes preliminares e apresenta¸c˜ao de alguns dos nos- sos objetos de estudo, bem como alguns aspectos hist´oricos e resultados cl´assicos que motivaram o desenvolvimento da teoria das Identidades Polinomiais, ou simplesmente PI-teoria. Este cap´ıtulo auxilia o leitor como referˆencia aos resultados b´asicos. Res- saltamos que para um leitor com bom conhecimento b´asico da PI-teoria, este cap´ıtulo pode ser evitado sem comprometimento dos demais. Optamos por n˜ao discutir a di- mens˜ao de Gelfand-Kirillov neste cap´ıtulo e deixar isso para o cap´ıtulo 3.
  • O Cap´ıtulo 2 ´e dedicado ao Teorema do Produto Tensorial de Kemer. Inicialmente, apresentamos um breve resumo sobre a teoria estrutural dos T-ideais desenvolvida por Kemer para ´algebras sobre corpos de caracter´ıstica zero. Em seguida apresentamos o Teorema do Produto Tensorial de Kemer e os resultados conhecidos sobre o mesmo, at´e o in´ıcio de nossos estudos, quando o corpo de base ´e infinito com caracter´ıstica p > 2. Por ´ ultimo estabelecemos a inclus˜ao T (A a,b (E)) ⊆ T (M a,b ⊗ E) para a 6= b em caracter´ıstica p > 2.
  • O Cap´ıtulo 3 ´e dedicado `a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov. Iniciamos apresentando con- ceitos b´asicos e estudando o comportamento da GK-dimens˜ao com respeito a altura. Apresentamos um breve estudo sobre a GK-dimens˜ao das ´algebras universais e alguns resultados importantes obtidos anteriormente aos nossos estudos. Calculamos a GK- dimens˜ao da ´algebra universal de posto m na variedade gerada por M a,b (E) ⊗ E em
CONTE ´ UDO 6 caracter´ıstica positiva e a partir deste c´alculo conclu´ımos que M a,b (E) ⊗ E ≁ M a (E).

  • b

  Apresentamos um modelo gen´erico apropriado para U m (M n (E) ⊗ E) e, a partir deste, calculamos a GK-dimens˜ao do mesmo em caracter´ıstica positiva. A partir deste c´alculo, obtemos uma nova prova de que as ´algebras M n,n (E) e M n (E) ⊗ E n˜ao s˜ao PI- equivalentes.

  • O Cap´ıtulo 4 ´e dedicado `a apresenta¸c˜ao de uma conjectura acerca da dimens˜ao de

  Gelfand-Kirillov de ´algebras universais, no que diz respeito ao produto tensorial de ´algebras verbalmente primas pela ´algebra de Grassmann.

  Acreditamos que os resultados contidos neste trabalho v˜ao em dire¸c˜ao a uma melhor compreens˜ao dos T-ideais em caracter´ıstica positiva. Compreens˜ao esta, ainda al´em dos nossos conhecimentos atuais. CAP´ITULO 1 CONCEITOS PRELIMINARES

  Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e relembrar defini¸c˜oes e resultados importantes para uma melhor compreens˜ao do texto. Em geral, n˜ao apresentaremos demonstra¸c˜oes, e em casos mais importantes, indicaremos as devidas referˆencias bibliogr´aficas.

1.1 Conceitos b´ asicos sobre ´ algebras Iniciamos com a defini¸c˜ao do objeto central de nossos estudos.

  Defini¸c˜ ao 1.1.1. Diremos que um K-espa¸co vetorial A munido de uma opera¸c˜ao bin´aria, ∗ : A × A → A, denominada de multiplica¸c˜ao, tem estrutura de K-´algebra (ou A ´e uma ´algebra sobre K, ou simplesmente que A ´e uma ´algebra) se, para qualquer α ∈ K e quaisquer

  a, b, c ∈ A, valer: (1) (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c; (2) a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c; (3) α(a ∗ b) = (αa) ∗ b = a ∗ (αb) Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos escrever ab ao inv´es de a ∗ b.

  Defini¸c˜ ao 1.1.2. Seja A uma K-´algebra, diremos que: SEC ¸ ˜ AO 1.1 • Conceitos b´ asicos sobre ´ algebras

  8

  (1) A ´e comutativa, se ab = ba para quaisquer a, b ∈ A; (2) A ´e associativa, se (ab)c = a(bc) para quaisquer a, b, c ∈ A; A A A (3) A ´e unit´aria, se existir 1 ∈ A tal que 1 a = a1 = a para qualquer a ∈ A (vamos A escrever 1 ao inv´es de 1 ).

  Em praticamente todo texto vamos trabalhar com ´algebras associativas unit´arias tendo corpo de base infinito. Assim, no que segue, a menos que seja feita men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario, o termo ´algebra dever´a ser entendido como uma K-´algebra associativa unit´aria. Defini¸c˜ ao 1.1.3. Um K-subespa¸co vetorial B de uma ´algebra A ser´a denominado uma K- sub´algebra de A, se tiver estrutura de ´algebra, isto ´e, se B for fechado com respeito a opera¸c˜ao bin´aria de A. O subespa¸co B ser´a denominado um ideal `a esquerda de A, se AB ⊆ B. De modo similar, definimos ideal `a direita de A. Um ideal bilateral ser´a simplesmente denominado de ideal.

  Nos pr´oximos sete exemplos recordamos as defini¸c˜oes de algumas ´algebras e sub´algebras que ser˜ao utilizadas no decorrer do texto. Exemplo 1.1.4. Seja V um K-espa¸co vetorial com base enumer´avel {e i | i ∈ I}. A ´algebra

  | i ∈ I} de Grassmann (ou exterior) E = E(V) ´e a ´algebra associativa gerada por {1, e i satisfazendo as rela¸c˜oes e i e j = −e j e i para todos i, j ∈ I.

  Mais ainda, se char K = 2, impomos:

  2 e = 0 para todo i ∈ I. i

  | 1 ≤ i Observe que D = {1, e i 1 . . . e i r 1 < · · · < i r ; r = 1, 2, . . . } ´e uma base para E.

  Al´em disso, se V n ´e um subespa¸co de V gerado por {e , . . . , e n } denotaremos por E(V n ) sua

  1 correspondente ´algebra de Grassmann.

  Exemplo 1.1.5. O conjunto Z(A) = {a ∈ A | ax = xa, ∀x ∈ A} ´e uma sub´algebra de A denominada o centro de A e seus elementos s˜ao ditos ser centrais. Se A = E (´algebra de Grassmann) ´e f´acil ver que Z(E) = E onde E ´e o subespa¸co de E gerado pelo conjunto

  | 1 ≤ i D = {1, e i . . . e i r < · · · < i r ; r = 2, 4, . . . }. 1

  1 CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  9 Exemplo 1.1.6. O K-espa¸co vetorial das matrizes n×n com entradas no corpo K, denotado por M n (K), munido com a multiplica¸c˜ao usual de matrizes, tem estrutura de ´algebra.

  Exemplo 1.1.7. O K-espa¸co vetorial das matrizes n × n com entradas na ´algebra de Grass- mann E, denotado por M n (E), munido com a multiplica¸c˜ao usual de matrizes, tem estrutura de ´algebra. Sejam a, b ∈ N com a + b = n, ´e f´acil verificar atrav´es de multiplica¸c˜ao de ma- trizes, que o K-subespa¸co de M a (E)

  • b

  ( ! )

  A B M a,b (E) = | A ∈ M a (E ), B ∈ M a×b (E ), C ∈ M b×a (E ), D ∈ M b (E ) ,

  1

  1 C D

  tem estrutura de ´algebra. Aqui, E

  1 ´e o subespa¸co de E gerado por D = {e i . . . e i r | 1 ≤ i < · · · < i r ; r = 1, 3, . . . }.

  1 1

  1 Observamos que os elementos de E anticomutam entre si.

  1 Exemplo 1.1.8. Sejam a, b ∈ N com a + b = n, ´e f´acil verificar atrav´es de multiplica¸c˜ao de

  matrizes, que o K-subespa¸co de M (E) a +b ( !

  ) A B ′ ′

  | A ∈ M A a,b = a (E), B ∈ M a×b (E ), C ∈ M b×a (E ), D ∈ M b (E)

  C D tem estrutura de ´algebra. Aqui, E denota a ´algebra de Grassmann sem unidade. Exemplo 1.1.9. Seja A uma ´algebra sem unidade. Podemos mergulhar A numa ´algebra com unidade. Com efeito, seja A = K⊕A como soma direta de espa¸cos vetoriais. Definimos em A a seguinte multiplica¸c˜ao, para todos a, b ∈ A e para todos α, β ∈ K

  (α, a)(β, b) = (αβ, αb + aβ + ab). Assim, (1, 0) ´e unidade de A e a inclus˜ao A ֒→ A ´e um mergulho. Diremos que A ´e obtida a partir de A por adjun¸c˜ao da unidade.

  Exemplo 1.1.10. Consideramos agora a sub´algebra de M (K) definida por: a +b ( !

  ) A B

  | A ∈ M M a M b = a (K); B ∈ M a×b (K) e C ∈ M b (K) .

  0 C Denotaremos por M M a sub´algebra de M M obtida considerando B = 0. a b a b SEC ¸ ˜ AO 1.2 • ´ Algebras com identidades polinomiais

  10 Defini¸c˜ ao 1.1.11. Uma transforma¸c˜ao linear Φ : A → B de ´algebras ´e um homomorfismo, A B se Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) para quaisquer a, b ∈ A e al´em disso Φ(1 ) = 1 . Analogamente `as

  demais estruturas alg´ebricas, chamamos Φ de isomorfismo quando Φ for um homomorfismo bijetor, mergulho quando Φ for injetor, endomorfismo quando Φ for um homomorfismo de A em A e automorfismo quando Φ for um endomorfismo bijetor.

  ´

1.2 Algebras com identidades polinomiais

  Nesta se¸c˜ao, introduziremos as ´algebras com identidades polinomiais, uma classe muito importante de ´algebras. Pois, al´em de surgirem como uma generaliza¸c˜ao das ´algebras nil- potentes, comutativas e as de dimens˜ao finita, elas mant´em v´arias das boas propriedades destas classes.

  Defini¸c˜ ao 1.2.1. Para o conjunto X = {x , x , . . . , } de vari´aveis n˜ao comutativas, KhXi

  1

  2

  denotar´a a ´algebra associativa livre, isto ´e, KhXi tem como base os elementos da forma ∈ X ; n = 0, 1, 2, . . . x i . . . x i n ; x i j 1 e a multiplica¸c˜ao definida por

  ∈ X. (x i . . . x i )(x j . . . x j ) = x i . . . x i x j . . . x j onde x i t , x j s 1 k 1 l 1 k 1 l Os elementos de KhXi s˜ao denominados de polinˆomios.

  ⊂ KhXi gerado pelos elementos da forma O subespa¸co KhXi ∈ X ; n = 1, 2, . . . x i . . . x i n ; x i 1 j ´e uma sub´algebra denominada de ´algebra associativa livre sem unidade.

  Observe que a ´algebra KhXi definida acima ´e, noutras palavras, a ´algebra dos polinˆomios n˜ao comutativos. Defini¸c˜ ao 1.2.2. Um polinˆomio f (x , . . . , x ) ∈ KhXi (ou a express˜ao f (x , . . . , x ) = 0)

  1 n 1 n

  ´e denominado uma identidade polinomial da ´algebra A, se f (a , . . . , a n ) = 0 para quaisquer

  1

  a , . . . , a n ∈ A. Uma ´algebra com identidade polinomial (PI-´algebra) ´e uma ´algebra que

  1 satisfaz uma identidade polinomial n˜ao trivial. CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  11 Seguem alguns exemplos importantes de ´algebras com identidades polinomiais, ou seja, de PI-´algebras.

  Exemplo 1.2.3. Toda ´algebra comutativa A ´e uma PI-´algebra, pois o polinˆomio comutador f (x , x ) = [x , x ] = x x − x x ´e uma identidade polinomial para A.

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

1 Exemplo 1.2.4. A ´algebra de Grassmann E ´e uma PI-´algebra, pois um c´alculo direto usan-

  do os elementos da base de E mostra que o polinˆomio f (x , x , x ) = [[x , x ], x ] ´e uma

  1

  2

  3

  1

  2

  3 identidade polinomial para E.

  Exemplo 1.2.5. (Regev, Seja E a ´algebra de Grassmann sem unidade sobre um corpo p infinito K com char K = p 6= 0. Ent˜ao, f (x) = x ´e uma identidade polinomial para E .

  2 Exemplo 1.2.6. A ´algebra M 2 (K) satisfaz a identidade f (x 1 , x 2 , x 3 ) = [[x 1 , x 2 ] , x 3 ] conhe-

  cida como a identidade de Hall. A verifica¸c˜ao ´e simples, basta observarmos dois fatos: (1) Se a, b ∈ M

  2 (K) ent˜ao tr([a, b]) = 0;

  2

  (2) Se a ∈ M

  2 (K) e tr(a) = 0 ent˜ao a = λI 2 onde I 2 ´e a matriz identidade de M 2 (K).

  Exemplo 1.2.7. (Teorema de Amitsur-Levitzki, A ´algebra M n (K) satisfaz o polinˆomio standard de grau 2n X σ s (x , . . . , x ) = (−1) x σ . . . x σ

  2n 1 2n (1) (2n) σ∈S

2 n

σ onde S ´e o grupo das permuta¸c˜oes de {1, 2, . . . , 2n} e (−1) ´e o sinal da permuta¸c˜ao σ. 2n k Ademais, n˜ao satisfaz identidades sob a forma, s , para todo k quando m < 2n. m

  Exemplo 1.2.8. Uma K-´algebra A ´e dita ser uma Nil-´algebra se para cada a ∈ A existe n um n´ umero natural n tal que a = 0. O menor inteiro n com tal propriedade ´e denominado n ´ındice de nilpotˆencia do elemento a. Uma ´algebra A ´e uma Nil-´algebra de ´ındice n se a = 0 para todo a ∈ A. Toda Nil-´algebra de ´ındice limitado n ´e uma PI-´algebra, pois satisfaz o n polinˆomio f (x) = x .

  Exemplo 1.2.9. Uma K-´algebra A ´e dita ser nilpotente se existe um natural fixo n tal que o produto de quaisquer n elementos de A ´e igual a zero. O menor natural n com tal propriedade ´e denominado o ´ındice de nilpotˆencia da ´algebra A, e A ´e denominada uma ´algebra nilpotente de classe n − 1. Toda ´algebra associativa nilpotente de classe n − 1 ´e uma PI-´algebra, pois ela satisfaz o polinˆomio f (x , . . . , x n ) = x . . . x n . (Observamos que neste

  1

  1

  exemplo e no anterior, as ´algebras consideradas n˜ao possuem unidade.) SEC ¸ ˜ AO 1.2 • ´ Algebras com identidades polinomiais

  12 Aqui mencionamos brevemente que o cl´assico Teorema de Nagata, Higman, Dubnov e

  Ivanov, afirma que em caracter´ıstica 0, toda nil-´algebra de ´ındice limitado, ´e nilpotente. Ver para mais detalhes Cap´ıtulo 8 de .

  ⊗ A Exemplo 1.2.10. (ReO produto tensorial A = A

  1 2 de duas PI-´algebras ´e uma PI-´algebra.

  Ap´os v´arios exemplos de PI-´algebras, surge uma pergunta inevit´avel: Existem ´algebras que n˜ao s˜ao PI-´algebras ? A resposta ´e sim. A ´algebra KhXi, por exemplo, n˜ao satisfaz nenhuma identidade polinomial n˜ao nula. Isto pode ser compreendido por um argumento simples. Suponhamos, por absurdo, que f (x

  1 , . . . , x n ) seja uma identidade polinomial n˜ao

  nula de KhXi. Assim, f (f (x ), . . . , f (x )) = 0 onde f (x ) = x para i = 1, . . . , n, o que ´e

  1 1 n n i i i um absurdo, pois f (x , . . . , x n ) 6= 0.

1 O pr´oximo teorema mostra que toda ´algebra de dimens˜ao finita ´e tamb´em uma PI-´algebra.

  Teorema 1.2.11. Seja A uma ´algebra de dimens˜ao finita, digamos n. Ent˜ao, ela satisfaz o polinˆomio standard de grau n + 1, isto ´e, o polinˆomio X σ s n (x , . . . , x n ) = (−1) x σ . . . x σ .

  • 1 1 +1 (1) (n+1) σ∈S n+1

  Prova: Da defini¸c˜ao de polinˆomio standard ´e imediato que ele ´e igual a zero, se dois de seus argumentos forem iguais. Por multilinearidade, ´e suficiente verificarmos numa base de A, digamos {e , . . . , e n }. Observe que s n (e i , . . . , e i ) ´e tal que ao menos dois dos e i s˜ao

  1 +1 1 n+1 j iguais. Da´ı, s n ´e identidade polinomial para A.

  • 1

  Defini¸c˜ ao 1.2.12. Um ideal I de uma ´algebra A ´e dito ser um T-ideal, se I for invariante sob todos os endomorfismos Φ de A, isto ´e, se Φ(I) ⊆ I para todo endomorfismo Φ : A → A.

  Teorema 1.2.13. O ideal T (A) das identidades da ´algebra A ´e um T-ideal de KhXi. Prova: Sejam f (x , . . . , x ) ∈ T (A) e Φ : KhXi → KhXi um endomorfismo. Como

  1 n

  Φ(f (x , . . . , x n )) = f (Φ(x ), . . . , Φ(x n )) e f (a , . . . , a n ) = 0 para quaisquer a , . . . , a n ∈ A,

  1

  1

  

1

  1 obtemos que, Φ(f (x , . . . , x n )) ∈ T (A). Portanto, Φ(T (A)) ⊆ T (A).

1 Teorema 1.2.14. Se I ´e um T-ideal de KhXi, ent˜ao, I = T (KhXi/I).

  CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  13 Prova: Sejam f (x , . . . , x n ) ∈ I e f , . . . , f n ∈ KhXi. Como f (f , . . . , f n ) ∈ I, temos que

  1

  1

  1

  f (f

  1 + I, . . . , f n + I) = f (f 1 , . . . , f n ) + I = I.

  Logo, I ⊆ T (KhXi/I). Por outro lado, supondo-se que f (x , . . . , x n ) ∈ T (KhXi/I), obte-

  1

  mos I = f (x

  1 + I, . . . , x n + I) = f (x 1 , . . . , x n ) + I. Donde, f (x 1 , . . . , x n ) ∈ I.

  Defini¸c˜ ao 1.2.15. Seja B um conjunto gerador de T (A) para uma ´algebra A, diremos que B ´e uma base de identidades de A. Se B n˜ao cont´em propriamente nenhuma base de A, B ser´a denominada uma base minimal de T (A). Se S ´e um subconjunto de KhXi, o T-ideal T T gerado por S ´e denotado por hSi . Noutras palavras, hSi ´e o ideal de KhXi gerado pelos polinˆomios {f (g ∈ KhXi}.

  , . . . , g n ) | f (x , . . . , x n ) ∈ S; g i

  1

1 T

  Se um polinˆomio f ∈ KhXi pertence a hSi dizemos que f segue de S, ou que f ´e uma conseq¨ uˆencia de S. Dois subconjuntos de KhXi s˜ao equivalentes se eles geram o mesmo T-ideal.

  Um dos principais problemas da teoria de identidades polinomiais ´e encontrar, para uma dada ´algebra, bases para suas identidades polinomiais. Seguem alguns exemplos de bases de identidades polinomiais. Exemplo 1.2.16. (veja, A ´algebra M (K) quando K ´e um corpo de caracter´ıstica

  2

  zero, tem por base minimal

  2 s (x , x , x , x ) e h(x , x , x ) = [[x , x ] , x ].

  4

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  1

  2

  3 Exemplo 1.2.17. Regev e Krakowski, em mostraram que sobre corpos de base com

  caracter´ıstica zero todas as identidades da ´algebra de Grassmann seguem da identidade poli- nomial [[x , x ], x ] = 0. Este ´ ultimo resultado generaliza-se facilmente para o caso de corpos

  1

  2

  3

  infinitos com caracter´ıstica positiva e diferente de dois (quando char(K) = 2, a ´algebra ´e comutativa, logo n˜ao muito “interessante” do ponto de vista da PI teoria. Pois, neste caso, um racioc´ınio simples mostra que qualquer identidade polinomial que n˜ao seja conseq¨ uˆencia da comutatividade, implica na nilpotˆencia da ´algebra). Ressaltamos ainda que a ´algebra de Grassmann E de um espa¸co vetorial V de dimens˜ao infinita ´e um exemplo de uma PI-´algebra que n˜ao satisfaz nenhuma identidade standard, quando o corpo base ´e de caracter´ıstica zero. SEC ¸ ˜ AO 1.3 • Variedades e ´ algebras relativamente livres

  14 Quando, char K = p > 2, a ´algebra E satisfaz a identidade standard de grau p + 1. Um

  teorema devido a Kemer, veja afirma que neste ´ ultimo caso, toda PI-´algebra satisfaz alguma identidade standard.

  Em 1950, Specht formulou o seguinte problema para ´algebras associativas sobre corpos de caracter´ıstica zero: Toda ´algebra possui uma base finita para suas identidades polinomiais ? Esta pergunta, que ficou conhecida como o problema de Specht, passou a ser uma das quest˜oes centrais da teoria de identidades polinomiais e foi finalmente respondida de modo positivo por Kemer em 1987 (veja, ). Por volta de 1973; Krause e Lvov, se- paradamente, provaram que este problema tem resposta positiva para ´algebras finitas. A resposta para o problema de Specht ´e negativa no caso de ´algebras sobre corpos infinitos e de caracter´ıstica positiva. N˜ao vamos entrar em detalhes sobre o avan¸co na resolu¸c˜ao do problema de Specht, pois o assunto merece aten¸c˜ao especial, envolvendo m´etodos e t´ecnicas sofisticadas, e n˜ao est´a diretamente relacionado com o conte´ udo da presente tese. Mais adiante, faremos uma exposi¸c˜ao resumida sobre alguns pontos da teoria desenvolvida por Kemer, com a finalidade de justificar o nosso interesse no estudo das identidades em ´algebras matriciais e de Grassmann.

1.3 Variedades e ´ algebras relativamente livres

  Nesta se¸c˜ao, apresentaremos as variedades (de ´algebras associativas) que classificam as PI-´algebras de acordo com as identidades que estas satisfazem. Dentro das variedades, encontram-se seus elementos mais importantes, as ´algebras livres. Atrav´es destes conceitos, desenvolve-se o estudo das ´algebras e suas identidades polinomiais.

  Defini¸c˜ ao 1.3.1. Seja I um subconjunto de KhXi. A variedade de ´algebras var(I) definida pelo conjunto I ´e a classe de todas as ´algebras que satisfazem cada identidade de I, o conjunto I ´e o conjunto de identidades que definem a variedade var(I). ´ E f´acil verificar que o conjunto I est´a contido no n´ ucleo de qualquer homomorfismo da ´algebra livre KhXi numa ´algebra da variedade var(I). A variedade trivial ´e a classe de ´algebras que cont´em apenas a ´algebra nula (noutras palavras, ´e a variedade definida pelo conjunto KhXi).

  Defini¸c˜ ao 1.3.2. Se V ´e uma classe de ´algebras, o conjunto T (V) = {f ∈ KhXi | f ∈ T (A) para cada A ∈ V} CAP. 1 • Conceitos Preliminares 15 ´e um ideal de KhXi chamado ideal das identidades que definem a variedade V.

  O pr´oximo teorema mostra que toda variedade tem uma ´algebra livre. Teorema 1.3.3. Sejam V uma variedade n˜ao trivial de ´algebras e Π : KhXi → KhXi/T (V) a proje¸c˜ao canˆonica. Ent˜ao,

  (1) A restri¸c˜ao de Π `a X ´e injetora; (2) A ´algebra KhXi/T (V) ´e livre na variedade V com conjunto gerador livre Π(X).

  Prova: Sejam x

  1 e x 2 dois elementos distintos de X tais que Π(x 1 ) = Π(x 2 ). Consideramos

  uma ´algebra n˜ao nula A de V e um elemento n˜ao nulo a de A. Ent˜ao, existe homomorfismo Ψ : KhXi → A tal que Ψ(x ) = a e Ψ(x ) = 0. Como T (V) est´a contido no n´ ucleo de Ψ,

  1

  2

  existe um homomorfismo Φ : KhXi/T (V) → A para o qual Φ ◦ Π = Ψ. Mas, a = Ψ(x

  1 ) = Φ ◦ Π(x 1 ) = Φ ◦ Π(x 2 ) = Ψ(x 2 ) = 0 o que ´e uma contradi¸c˜ao.

  A ´algebra KhXi/T (V) ´e gerada pelo conjunto Π(X) e pertence a V desde que satisfaz todas identidades de T (V). Vamos mostrar que esta ´algebra ´e livre em V, com conjunto gerador livre Π(X). Sejam A ∈ V e σ uma aplica¸c˜ao de Π(X) em A. Como KhXi ´e ´algebra livre com conjunto gerador X, a aplica¸c˜ao σ ◦ Π : X → A estende-se a um homomorfismo Φ : KhXi → A. Existe homomorfismo Ψ : KhXi/T (V) → A para o qual Ψ ◦ Π = Φ, pois T (V) ⊆ Ker(Φ). Se x ∈ X, temos que

  Ψ(Π(x)) = Ψ ◦ Π(x) = Φ(x) = σ ◦ Π(x) = σ(Π(x)) ou seja, o homomorfismo Ψ estende a aplica¸c˜ao σ. Logo, Ψ ´e o homomorfismo procurado. Portanto, KhXi/T (V) ´e uma ´algebra livre na variedade V, tendo como conjunto gerador livre Π(X).

  Uma variedade de ´algebras ´e claramente fechada sob as opera¸c˜oes de tomar sub´algebras, imagem homom´orfica e produto cartesiano. Uma variedade V de ´algebras ´e gerada por uma classe U de ´algebras se, toda ´algebra de V pode ser obtida das ´algebras de U por uma seq¨ uˆencia finita de aplica¸c˜oes das opera¸c˜oes citadas acima: denotamos este fato por V = var(U) ou, por V = var(A) quando a classe U cont´em apenas uma ´algebra A. O SEC ¸ ˜ AO 1.3 • Variedades e ´ algebras relativamente livres

  16

  cl´assico Teorema de Birkhoff (veja, ) demonstra que uma classe n˜ao vazia de ´algebras ´e variedade se, e somente se, ela ´e fechada com respeito `as trˆes opera¸c˜oes acima descritas.

  No pr´oximo Teorema, listamos algumas das propriedades b´asicas das variedades (omiti- mos a prova, pois a mesma ´e bastante direta). ´ E importante frisar que ele s´o ´e v´alido devido ao conjunto X ser infinito. Teorema 1.3.4. Sejam U e U duas classes de ´algebras e V uma variedade de ´algebras.

  1

2 Ent˜ao,

  A∈U (1) T (U ) = ∩ T (A) = T (var(U ));

  1 1

  1

  (2) Se U ⊆ U ⇒ T (U ) ⊆ T (U );

  1

  2

  2

  1

  (3) U ⊆ V ⇔ T (V) ⊆ T (U );

  1

  1 (4) Se F ´e uma ´algebra livre em V ent˜ao T (V) = T (F).

  Corol´ ario 1.3.5. Se A ´e uma ´algebra ent˜ao T (var(A)) = T (A).

  V´arios resultados e defini¸c˜oes apresentados nesta se¸c˜ao podem ser generalizados para ´algebras n˜ao necessariamente associativas (´algebras de Lie, de Jordan, Alternativas, entre outras), sobre an´eis comutativos com identidade. Por´em, como as ´algebras tratadas neste texto s˜ao principalmente a ´algebra de matrizes e a ´algebra de Grassmann, n´os restringimos as defini¸c˜oes `as ´algebras associativas sobre corpos.

  Defini¸c˜ ao 1.3.6. Para um conjunto fixo Y , a ´algebra U Y (V) ∈ V ´e chamada uma ´algebra relativamente livre de V, se U Y (V) ´e livre na classe V (livremente gerada por Y ). A cardi- nalidade de Y ´e chamada o posto de U (V). Y A proposi¸c˜ao a seguir caracteriza as ´algebras relativamente livre em qualquer variedade.

  Proposi¸c˜ ao 1.3.7. Sejam V a variedade definida por {f i | i ∈ I}, Y um conjunto qualquer e J o ideal de KhY i gerado por {f i (g , . . . , g n ) | g i ∈ KhXi; i ∈ I}.

  1 i

  Ent˜ao, a ´algebra U = KhXi/J ´e a ´algebra relativamente livre em V com conjunto de gera- dores livre Y = {y + J | y ∈ Y }. Duas ´algebras relativamente livres de mesmo posto em V s˜ao isomorfas. CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  17 Prova:

  (1) Vamos mostrar que U ∈ V. Seja f i (x

  1 , . . . , x n ) uma das identidades que definem V e sejam g , . . . , g ∈ F onde g = g + J com g ∈ KhY i. Ent˜ao, f (g , . . . , g ) ∈ J . j j i 1 n 1 n j

  Logo, f i (g , . . . , g ) = 0. Isto mostra que f i (x , . . . , x n ) = 0 ´e identidade polinomial n

  1

  1 para U . Da´ı, U ∈ V.

  (2) Agora vamos provar a propriedade universal de F. Seja A uma ´algebra de V e seja Ψ : Y → A uma fun¸c˜ao arbitr´aria. Definimos a fun¸c˜ao Θ : Y → A pondo Θ(y) = Ψ(y) e estendemos Θ a um homomorfismo (tamb´em denotado por Θ) Θ : KhY i → A. Isto ´e sempre poss´ıvel, porque KhY i ´e ´algebra associativa livre. Para provar que Ψ pode ser estendido a um homomorfismo U → A, ´e suficiente mostrarmos que J ⊆ Ker(Θ).

  Seja f ∈ J , isto ´e,

  X f = u i f i (g , . . . , g )v i onde g i , u i , v i ∈ KhY i i∈I i 1 i n j para r i , . . . , r i ∈ A, o elemento f i (r i , . . . , r i ) ´e igual a zero em A, e isto implica que 1 n 1 n Θ(f ) = 0, isto ´e, J ⊆ Ker(Θ) e U ≃ U (V) ´e a ´algebra relativamente livre em V , Y livremente gerada por Y .

  (3) Se |Y | = |Z| com Y = {y i | i ∈ I} e Z = {Z i | i ∈ I}. Sejam F Y (V) e F Z (V) suas correspondentes ´algebras relativamente livres. Sendo ambas relativamente livres, podemos definir homomorfismos

  Ψ : F Y (V) → F Z (V) e Φ : F Z (V) → F Y (V) pondo Ψ(y i ) = z i e Φ(z i ) = y i . Assim, Ψ e Φ s˜ao isomorfismos.

  A partir de (1), (2) e (3) temos o requerido. Observa¸c˜ ao 1.3.8. A partir da Proposi¸c˜ao temos que o T-ideal de KhXi gerado por {f | i ∈ I} consiste de todas as combina¸c˜oes lineares dos elementos sob a forma i ∈ KhXi. u i f i (g i , . . . , g i n )v i onde g i j , u i , v i 1 SEC ¸ ˜ AO 1.4 • Identidades polinomiais homogˆ eneas, multilineares e pr´ oprias

  18

  1.4 Identidades polinomiais homogˆ eneas, multilineares e pr´ oprias

  Nesta se¸c˜ao, verificamos que sob determinadas condi¸c˜oes podemos simplificar as identida- des que estamos trabalhando. A primeira vista, estes resultados parecem apenas simplificar as t´ecnicas, mas sua importˆancia vai muito al´em disso, como veremos no decorrer do texto. Defini¸c˜ ao 1.4.1. Um monˆomio M tem grau k em x i se, a vari´avel x i ocorre em M exa- tamente k vezes. Um polinˆomio ´e homogˆeneo de grau k em x i , se todos os seus monˆomios tem grau k em x , denotamos este fato por deg f = k. Um polinˆomio linear em x ´e um i x i i polinˆomio de grau 1 em x i .

  Defini¸c˜ ao 1.4.2. Um polinˆomio ´e multihomogˆeneo, se para cada vari´avel x todos os seus i monˆomios tˆem o mesmo grau em x i . Um polinˆomio ´e multilinear se ´e linear em cada vari´avel. O grau de um polinˆomio ´e o grau do seu maior monˆomio. Defini¸c˜ ao 1.4.3. Sejam f um polinˆomio de KhXi de grau n e x k uma vari´avel de f .

  P n Podemos escrever f como uma soma, f = f i , onde cada polinˆomio f i ´e homogˆeneo de i

  =0

  grau i na vari´avel x k . Cada polinˆomio f i ´e a componente homogˆenea de grau i em x k do polinˆomio f .

  Os polinˆomios multilineares e multihomogˆeneos, desempenham um papel importante na busca de bases para as identidades polinomiais sobre determinados tipos de corpos. Este fato j´a observado por Specht em 1950 est´a desenvolvido no pr´oximo lema. n

  P Lema 1.4.4. Seja f (x

  1 , . . . , x m ) = f i (x i =0 1 , . . . , x m ) ∈ KhXi onde f i ´e a componente homogˆenea de f com grau i em x . i

  (i) Se o corpo K cont´em mais que n elementos ent˜ao as identidades f i = 0 onde i = 1, 2, . . . , n seguem de f = 0;

  (ii) Se a caracter´ıstica do corpo ´e zero ou maior que o grau de f ent˜ao f = 0 ´e equivalente a um conjunto de identidades polinomiais multilineares. T Prova: (i) Seja I = hf i o T -ideal de hXi gerado por f . Escolhemos n + 1 elementos distintos α , . . . , α n de K. Como I ´e um T -ideal, obtemos que n

  X i f (α j x , x , . . . , x m ) = α f i (x , x , . . . , x m ) ∈ I ; j = 0, 1, . . . , n.

  1 2 j i

  

1

  2 =0 CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  19 Consideramos estas equa¸c˜oes como um sistema linear com inc´ognitas f i para i = 0, 1, . . . , n.

  Sendo o determinante n 1 α · · · α n 1 α · · · α Y

  1

  1

  − α = (α j i ) ... ... ... ... n i<j 1 α · · · α n n o determinante de Vandermonde que ´e diferente de 0, temos que cada f i (x , x , . . . , x m ) ∈ I,

  1

  2 ou seja, as identidades polinomiais f i = 0 s˜ao conseq¨ uˆencias de f = 0.

  (ii) Pela parte (i), podemos assumir que f i (x

  1 , x 2 , . . . , x m ) ´e multihomogˆeneo. Seja k =

  deg f . Escrevemos f i (y + y , x , . . . , x m ) ∈ I sob a forma x 1

  1

  2

  2

k

  X f (y + y , x , . . . , x m ) = f i (y , y , x , . . . , x m )

  1

  2

  2

i

  1

  2

  2

=0

  onde f i ´e a componente homogˆenea de grau i em y . Logo, f i ∈ I para i = 0, 1, . . . , k. Como

  1

  deg f i < k ; i = 1, 2, . . . , k − 1 ; j = 1, 2, podemos aplicar argumentos indutivos e obtemos y j um conjunto de conseq¨ uˆencias multilineares de f = 0. Para ver que estas identidades multilineares s˜ao equivalentes a f = 0 ´e suficiente observarmos que

  ! k f (y , y , x , . . . , x ) = f (y , x , . . . , x ) i

  1

  1 2 m

  1 2 m

  i e que o coeficiente binomial ´e diferente de 0, pois temos por hip´otese que char(K) = 0 ou char K ≥ deg(f ).

  Observamos que o item (i) do lema acima significa que o polinˆomio f gera o mesmo T -ideal como o gerado pelos polinˆomios f para i = 0, 1, . . . , n. i Corol´ ario 1.4.5. Seja A uma ´algebra. Ent˜ao,

  (i) Se o corpo K ´e infinito todas identidades polinomiais de A seguem de suas identidades multihomogˆeneas; (ii) Se o corpo K tem caracter´ıstica zero todas as identidades polinomiais de A seguem de suas identidades multilineares.

  Quando a ´algebra ´e unit´aria podemos restringir a nossa busca de identidades polinomiais a um determinado tipo de polinˆomios, conforme explicamos a seguir. SEC ¸ ˜ AO 1.5 • Identidades graduadas

  20 Defini¸c˜ ao 1.4.6. O comutador de comprimento n ´e definido indutivamente a partir de

  [x , x ] = x x − x x tomando [x , x , . . . , x n ] = [[x , x , . . . , x n− ], x n ] para n > 2. Um

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1

  polinˆomio f ∈ KhXi ´e chamado polinˆomio pr´oprio (ou comutador), se ele ´e uma combina¸c˜ao linear de produtos de comutadores, isto ´e, X ∈ K. f (x , . . . , x m ) = α i,..,j [x i , . . . , x i p ] . . . [x j , . . . , x j q ] ; α i,..,j

  1 1 1

  (Assumindo que 1 ´e um produto de um conjunto vazio de comutadores.) Denotamos por B(X) o conjunto de todos os polinˆomios pr´oprios de KhXi.

  O pr´oximo lema mostra a importˆancia dos polinˆomios comutadores para encontrar uma base das identidades de uma ´algebra unit´aria. Sua prova n˜ao ´e complicada e pode ser encontrada em (, proposi¸c˜ao 4.3.3, pp 42-44). A demonstra¸c˜ao est´a baseada no fato que KhXi ´e a ´algebra universal envolvente de LhXi conhecido como Teorema de Witt.

  Lema 1.4.7. Se A ´e uma ´algebra unit´aria sobre um corpo infinito ent˜ao todas as identidades polinomiais de A seguem das suas identidades pr´oprias (ou seja, daquelas em T (A) ∩ B(X)). Se A ´e uma ´algebra unit´aria sobre um corpo de caracter´ıstica 0 ent˜ao todas identidades polinomiais de A seguem das suas identidades pr´oprias multilineares.

1.5 Identidades graduadas

  Ao estudarmos identidades polinomiais ordin´arias, em alguns momentos ´e interessante tratarmos de outros tipos de identidades, atrav´es das quais podemos obter informa¸c˜oes sobre as identidades ordin´arias. Desta id´eia surgiram, por exemplo: as identidades polinomiais fracas, as identidades com involu¸c˜ao e as identidades com gradua¸c˜ao (graduadas). O nosso interesse nas ´ ultimas ´e que as mesmas est˜ao relacionadas com as ordin´arias. Nesta se¸c˜ao, vamos trabalhar com tais identidades e fazer um breve resumo da importante teoria estrutural dos T -ideais desenvolvida por Kemer. No que segue, fixamos G como um grupo abeliano aditivo.

  A Defini¸c˜ ao 1.5.1. Uma ´algebra A ´e dita ser G-graduada, se A = ⊕ g∈G g onde A g ´e su- bespa¸co de A para todo g ∈ G e A A ⊆ A para todos g, h ∈ G. Um elemento a ∈ ∪ A g h g +h g∈G g ´e chamado homogˆeneo. Para todo elemento homogˆeneo a, temos a ∈ A g para algum g ∈ G.

  P Dessa forma, o grau homogˆeneo de a ´e igual a g, e denotamos w G (a) = g. Se a = a g , a ∈A g g chamamos a g de componente homogˆenea de grau g em a. CAP. 1 • Conceitos Preliminares

  21 Defini¸c˜ ao 1.5.2. Um subespa¸co B de uma ´algebra G-graduada A ´e dito ser G-graduado, se

  X B = B g onde B g = B ∩ A g , g∈G os quais denominaremos de subespa¸cos homogˆeneos.

  Defini¸c˜ ao 1.5.3. Uma aplica¸c˜ao Φ : A → B entre ´algebras G-graduadas ´e chamada homo- morfismo G-graduado, se Φ ´e um homomorfismo que satisfaz Φ(A ) ⊆ B para todo g ∈ G. g g De modo an´alogo, definimos isomorfismo, endomorfismo e automorfismo G-graduado.

  Os pr´oximos dois lemas s˜ao de demonstra¸c˜oes imediata. Lema 1.5.4. Seja A ´e uma ´algebra G-graduada e B ´e uma sub´algebra de A. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  (1) B ´e sub´algebra G-graduada de A; (2) B ´e ´algebra G-graduada tal que B g ⊆ A g para todo g ∈ G; (3) As componentes homogˆeneas de cada elemento de B pertencem a B; (4) B ´e gerada por elementos homogˆeneos.

  Lema 1.5.5. Se I ´e um ideal G-graduado de uma ´algebra G-graduada A ent˜ao A/I ´e uma }. ´algebra G-graduada considerando (A/I) g = {a + I/a ∈ A g Observa¸c˜ ao 1.5.6. Seja Φ : A → B um homomorfismo G-graduado de ´algebras. Ent˜ao, o Ker(Φ) ´e um ideal G-graduado de A e Φ(A) ´e uma sub´algebra G-graduada de B tal que (Φ(A)) g = Φ(A g ). Noutras palavras, pelo Lema vale a vers˜ao graduada do teorema do Isomorfismo, isto ´e, a ´algebra quociente A/ ker Φ ´e isomorfa (como ´algebra graduada) `a ImΦ = Φ(A).

  Em seguida, apresentaremos alguns exemplos de ´algebras graduadas. Desde que uma mesma ´algebra pode ter diferentes gradua¸c˜oes, estes exemplos ser˜ao importantes para apre- sentarmos as gradua¸c˜oes que usaremos no decorrer do texto, tamb´em denominadas de gra- dua¸c˜oes canˆonicas (ou usuais). SEC ¸ ˜ AO 1.5 • Identidades graduadas

  22 Exemplo 1.5.7. A ´algebra de Grassmann E ´e Z -graduada. De fato, seja E o subespa¸co

  2

  de E gerado por {1, e i . . . e i | 1 ≤ i < · · · < i k ; k = 2, 4, . . . } e seja E o subespa¸co de E 1 k

  1

  1

  gerado por {e i . . . e i | 1 ≤ i < · · · < i k ; k = 1, 3, . . . . Assim, E = E ⊕ E e facilmente 1 k

  1

  1

  ⊆ E podemos verificar que E i E j i +j para todos i, j ∈ Z

  2 Exemplo 1.5.8. A partir da gradua¸c˜ao do Exemplo construiremos uma Z 2 -gradua¸c˜ao

  para o quadrado tensorial da ´algebra de Grassmann E ⊗ E. Para tanto ´e suficiente conside- rarmos (E ⊗ E) = (E ⊗ E ) ⊕ (E ⊗ E ) e (E ⊗ E) = (E ⊗ E ) ⊕ (E ⊗ E ).

  1

  1

  1

  1

  1 Usando o fato que o produto tensorial ´e distributivo em rela¸c˜ao a soma direta, ´e imediato

  verificar que ⊕ (E ⊗ E) E ⊗ E = (E ⊗ E) .

  1 Al´em disso, verifica-se diretamente que

  ⊆ (E ⊗ E) (E ⊗ E) i (E ⊗ E) j i +j para todos i, j ∈ Z 2 .

  Portanto a ´algebra E ⊗ E ´e Z 2 -graduada. Exemplo 1.5.9. A ´algebra M 1,1 (E) ´e Z

  2 -graduada. De fato, consideramos

  ⊕ (M M 1,1 (E) = (M 1,1 (E)) 1,1 (E))

  1

  onde ( ! ) ( ! ) a 0 0 b

  (M (E)) = | a, d ∈ E e (M (E)) = | b, c ∈ E

  1,1 1,1

  1

  1

  0 d c 0 e verificamos diretamente que ⊆ (M

  (M 1,1 (E)) i (M 1,1 (E)) j 1,1 (E)) i +j para todos i, j ∈ Z 2 . | g ∈ G} uma fam´ılia de conjuntos disjuntos e enumer´aveis. Considerando

  Seja {X g X = ∪ g∈G g X , a ´algebra KhXi ´e denominada de ´algebra livre G-graduada. Para uma vari´avel x ∈ X, definimos w G (x) = g se x ∈ X g . Recordamos que o conjunto de monˆomios {1, x i . . . x i | x i ∈ X e n = 1, 2, . . . } ´e uma base de KhXi. Para um tal monˆomio, 1 k j n

  P digamos m = x i . . . x i n , definimos w G (m) = w G (x i ) como sendo o grau homogˆeneo do 1 j =1 j CAP. 1 • Conceitos Preliminares 23 monˆomio, e desta forma podemos estender esta defini¸c˜ao para todos os elementos de KhXi.

  Se g ∈ G, denotamos por KhXi g o subespa¸co gerado pelos monˆomios de grau g. Observando que ⊆ KhXi

  KhXi g KhXi h g +h para todos g, h ∈ G conclu´ımos que KhXi ´e de fato G-graduada.

  Defini¸c˜ ao 1.5.10. Um ideal I numa ´algebra G-graduada A ´e chamado de T G -ideal se I ´e invariante por todos os endomorfismos G-graduados de A, isto ´e, Φ(I) ⊆ I para todo endomorfismo G-graduado Φ de A.

  Defini¸c˜ ao 1.5.11. Um polinˆomio 0 6= f = f (x , . . . , x ) ∈ KhXi, ou mesmo a express˜ao

  1 n

  f (x , . . . , x n ) = 0, ´e uma identidade polinomial G-graduada da ´algebra G-graduada A, se

  1 f (a , . . . , a n ) = 0 para todo a i ∈ A g onde g i = w G (x i ) e i = 1, 2, . . . , n.

  1 i

  O conjunto T (A) de todas as identidades G-graduadas de A ´e um T -ideal de KhXi, de- G G nominado de ideal das identidades G-graduadas da ´algebra A.

  De modo an´alogo ao caso ordin´ario, as ´algebras com identidades polinomiais graduadas possuem as mesmas propriedades no que diz respeito a T -ideais, variedades, polinˆomios lineares, polinˆomios homogˆeneos, etc. Assim, por exemplo, dizemos que h ∈ KhXi ´e T G conseq¨ uˆencia de f (ou h segue de f como identidade graduada) se h pertence ao T G -ideal gerado por f em KhXi. Bem como dado um conjunto de polinˆomios {f i (x i , . . . , x i n ) ∈ 1 KhXi | i ∈ I} a classe V de todas as ´algebras G-graduadas satisfazendo as identidades f i = 0 para todo i ´e chamada uma variedade de ´algebras G-graduadas determinada pelo sistema de identidades {f i | i ∈ I}. Deste modo adaptamos as propriedades das identidades ordin´arias para as identidades graduadas.

  Os resultados a seguir fornecem informa¸c˜oes sobre identidades ordin´arias a partir de identidades graduadas. Lema 1.5.12. Sejam A e B duas ´algebras G-graduadas com respectivos T -ideais de identi- dades G-graduadas T G (A) e T G (B). Se T G (A) ⊆ T G (B) ent˜ao T (A) ⊆ T (B). Prova: Seja f (x , . . . , x m ) uma identidade qualquer de A e sejam

1 X

  X b = b , . . . , b m = b m ∈ B.

  1 g∈G g∈G

1 g g SEC ¸ ˜ AO 1.5 • Identidades graduadas

  24 Como f ∈ T (A), temos que

  X X f ( x , . . . , x m ) ∈ T G (A) ⊆ T G (B) g∈G g∈G 1 g g P P da´ı, vem que, f (b

  1 , . . . , b m ) = f ( b g∈G g∈G 1 g , . . . , b m g ) = 0.

  Portanto, T (A) ⊆ T (B). Corol´ ario 1.5.13. Se T G (A) = T G (B) ent˜ao T (A) = T (B). Observa¸c˜ ao 1.5.14. (Contra-exemplo) Consideramos na ´algebra de Grassmann E duas

  ⊕ E gradua¸c˜oes. A primeira ´e a Z -gradua¸c˜ao E = E , a segunda ´e a gradua¸c˜ao trivial

  2

  1

  onde y

  1 y 2 = y 2 y 1 n˜ao ´e uma identidade graduada. Portanto, uma mesma ´algebra pode ter identidades graduadas diferentes conforme sua gradua¸c˜ao. CAP´ITULO 2 O TEOREMA DO PRODUTO TENSORIAL

  Neste cap´ıtulo apresentaremos a teoria estrutural dos T -ideais desenvolvida por Kemer para ´algebras sobre corpos de caracter´ıstica zero. Estabeleceremos os resultados obtidos at´e ent˜ao que provam que o Teorema do Produto Tensorial de Kemer e n˜ao podem ser transpor- tados para corpos infinitos com caracter´ıstica positiva maior que dois. Tamb´em estudaremos o comportamento das identidades polinomiais satisfeitas pelas ´algebras verbalmente primas ⊗ E) para a 6= b em caracter´ıstica p > 2. e provaremos a inclus˜ao T (A a,b (E)) ⊆ T (M a,b

2.1 A Teoria de Kemer

  Nesta se¸c˜ao faremos um breve resumo sobre a teoria estrutural dos T -ideais desenvolvida por Kemer para ´algebras sobre corpos de caracter´ıstica zero. No que segue, K denotar´a, um corpo de caracter´ıstica zero. O leitor interessado poder´a encontrar mais informa¸c˜ao nas monografias .

  A teoria desenvolvida por Kemer mostrou que as PI ´algebras sobre corpos de carac- ter´ıstica 0, satisfazem muitas propriedades “boas” que as aproximam `as ´algebras comutati- vas. Come¸camos com os conceitos de T -ideais T -primos e T -semiprimos, que tˆem um papel extremamente importante nessa teoria. SEC ¸ ˜ AO 2.1 • A Teoria de Kemer

  26 Defini¸c˜ ao 2.1.1. Diremos que: n

  ⊆ S implicar que (1) Um T -ideal S ´e T -semiprimo se, para qualquer T -ideal J com J

  J ⊆ S; J ⊆ I implicar

  (2) Um T -ideal I ´e T -primo se, para quaisquer T -ideais J , J tais que J

  1

  2

  1

  2 ⊆ I ou J ⊆ I.

  que J

  1

2 Os pr´oximos resultados podem ser encontrados nas se¸c˜oes 2 e 3 do cap´ıtulo I de [22], e recomendamos este livro para mais detalhes e informa¸c˜oes sobre esta teoria.

  Teorema 2.1.2. (Kemer) (1) Seja V 6= ∅ uma variedade. Ent˜ao V = N m W, onde N m ´e a maior variedade de todas as ´algebras nilpotentes de ´ındice menor ou igual a m, W ´e a maior subvariedade semiprima de V e o produto de duas variedades N M consiste das ´algebras A tendo um ideal I contido em N e cujo quociente A/I est´a em M;

  ∩ · · · ∩ I (2) O T -ideal I ´e semiprimo se, e somente se, I = I

  1 q onde os T -ideais I j s˜ao T -primos.

  (3) Os ´ unicos T -ideais T -primos n˜ao triviais s˜ao: T (M n (K)) , T (M n (E)) e T (M a,b (E)).

  Se A = A ⊕ A ´e uma ´algebra Z -graduada ent˜ao

  1

2 E(A) = A ⊗ E ⊕ A ⊗ E

  1

  1 ´e denominada o envelope de Grassmann de A.

  Kemer demonstrou ainda os seguintes resultados, veja . (1) Todo T -ideal n˜ao trivial coincide com o T -ideal do envelope de Grassmann de uma

  ´algebra Z

  2 -graduada e finitamente gerada;

  (2) O T -ideal de qualquer ´algebra Z -graduada e finitamente gerada coincide com o T -ideal

  2

  de alguma ´algebra Z -graduada de dimens˜ao finita;

  2 CAP. 2 • O Teorema do Produto Tensorial

  27

  (3) De (1) e (2), segue que todo T -ideal n˜ao trivial coincide com o T -ideal do envelope de Grassmann de alguma ´algebra Z -graduada de dimens˜ao finita.

2 Dentre as conseq¨ uˆencias mais importantes dos resultados acima, est´a a resposta afirma- tiva para o problema de Specht.

  Ressaltamos que recentemente foi provado por Belov que o problema de Specht resolve-se em negativo sobre corpos de caracter´ıstica positiva.

  ´

2.2 Algebras gen´ ericas

  Podemos observar no resumo sobre a teoria de Kemer, a importˆancia das PI-´algebras M (K), M (E) e M (E). Existem constru¸c˜oes alg´ebricas gen´ericas para as ´algebras relati- n n a,b vamente livre destas ´algebras. Para a ´algebra M n (K) esta ´e a ´algebra das matrizes gen´ericas introduzidas por Procesi . Vamos fazer um breve resumo sobre estas constru¸c˜oes, para mais casos, veja as referˆencias citadas acima.

  Sejam Y = {y , y , . . . } e Z = {z , z , . . . } conjuntos de vari´aveis com Y ∩ Z = ∅.

  1

  2

  1

2 Tomando X = Y ∪ Z denotamos por KhXi a ´algebra livre gerada por X. Freq¨ uentemente,

  denominamos os elementos de Y de pares e os elementos de Z de ´ımpares. Noutras palavras, definimos w = w : X → Z

  2 pondo w(x) = 0 se x ∈ Y e w(x) = 1 se x ∈ Z. Deste Z 2 modo, os elementos de Y tamb´em s˜ao denominados de 0-vari´aveis e os de Z de 1-vari´aveis.

  Se f = x x . . . x k ´e um monˆomio, definimos w(f ) = w(x ) + w(x ) + · · · + w(x k ) (aqui

  1

  2

  1

  2

  consideramos a somat´oria m´odulo 2), e chamamos f de par se w(f ) = 0, e de ´ımpar se w(f ) = 1. Assim, KhXi = KhXi + KhXi ´e Z -graduado onde KhXi ´e o subespa¸co de

  1

  2 KhXi gerado pelos monˆomios pares e KhXi 1 ´e o subespa¸co de KhXi gerado pelos monˆomios ´ımpares.

  Defini¸c˜ ao 2.2.1. Seja A = A ⊕ A uma ´algebra Z -graduada. Os elementos de A ∪ A

  1

  2

  1

  s˜ao denominados de homogˆeneos. Al´em disso, cada elemento homogˆeneo a possui um grau w em Z

  2 , isto ´e, w(a) = 0 ou 1. A ´algebra A ´e dita supercomutativa, se w (a)w(b)

  ab = (−1) ba para todos a, b ∈ A ∪ A .

  1 Exemplo 2.2.2. A ´algebra de Grassmann ´e sem d´ uvida o exemplo mais importante de ´algebra supercomutativa. SEC ¸ ˜ AO 2.2 • ´ Algebras gen´ ericas

  28 Defini¸c˜ ao 2.2.3. Seja KhXi = KhXi + KhXi a ´algebra livre Z -graduada definida como

  1

  2 w (f )w(g)

  acima. Para os monˆomios f, g ∈ KhXi, consideramos as rela¸c˜oes f g = (−1) gf e seja I o ideal Z -graduada gerado por estas rela¸c˜oes. Quando char K = p > 0, adicionamos p

  2

  {y | y ∈ Y } ao conjunto de gerados de I. A ´algebra KhY ; Zi = KhXi/I ´e naturalmente i i Z -graduada (pois herda a gradua¸c˜ao de KhXi) e ´e chamada de ´algebra livre supercomutativa.

2 Lema 2.2.4. Sejam K[Y ] a ´algebra de polinˆomios comutativos gerada por Y e E(Z) a

  ´algebra de Grassmann gerada pelo espa¸co vetorial com base Z. Ent˜ao, as ´algebras KhY ; Zi e K[Y ] ⊗ E(Z) s˜ao isomorfas. Prova: Seja Ψ : K[Y ] ⊗ E(Z) → KhY ; Zi = KhXi/I a aplica¸c˜ao definida por Ψ(a ⊗ b) = ab + I. ´ E imediato que esta aplica¸c˜ao ´e um homomorfismo (de ´algebras) sobrejetor. Sejam

  ∈ K[Y ] e b = z ∈ E(Z), ambos n˜ao nulos. Fazendo as substitui¸c˜oes a = y . . . y n . . . z m

  1

  1

  } ´e subconjunto da base de E, y

  1 = · · · = y n = 1 e z 1 = e 1 , . . . , z m = e m onde {e 1 , . . . , e m

  temos que ab 6∈ T (E). Por outro lado, como KhXi/I ´e a ´algebra livre supercomutativa,

  2

  temos que I = ∩{Q | Q ´e T ideal de alguma ´algebra supercomutativa}. Em particular,

  2 I ⊆ T (E) e disto segue a injetividade de Ψ, como quer´ıamos.

  2 Lema 2.2.5. (a) A ´algebra KhY ; Zi ´e canonicamente Z -graduada e livre na classe de

  2

  todas as ´algebras Z -graduadas supercomutativas. Noutras palavras, para toda ´algebra

2 Z -graduada supercomutativa A = A ⊕ A , toda fun¸c˜ao Φ : Y ∪ Z → A tal que

  2

  1

  Φ(Y ) ⊆ A e Φ(Z) ⊆ A pode ser estendido a um homomorfismo de ´algebras;

  1

  (b) Se Y = {y , y , . . . }, Z = {z , z , . . . } e x i = y i + z i onde i = 1, 2, . . . . Ent˜ao, toda

  1

  2

  1

  2

  → A = A ⊕ A fun¸c˜ao Φ : x i

  1 ; i = 1, 2, . . . pode ser estendido a um homomorfismo homogˆeneo de KhY ; Zi → A de ´algebras Z -graduadas.

  2 Prova: Veja introdu¸c˜ao de .

  Sejam n e m inteiros positivos e consideramos os conjuntos

  (q) (q) | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m} e Z = {z | i, j = 1, . . . , n; q = 1, . . . , m}.

  Y = {y ij ij Combinando a constru¸c˜ao de Procesi com a de Berele, definimos as seguintes matrizes com entradas em KhY ; Zi:

  (1) As n × n matrizes gen´ericas n

  X

  (q)

  A q = y E ij onde q = 1, . . . , m; i,j ij

  =1 CAP. 2 • O Teorema do Produto Tensorial

  29

  (2) As n × n matrizes gen´ericas com entradas supercomutativas n

  X

  (q) (q)

  B q = (y + z )E ij onde q = 1, . . . , m; i,j ij ij

  =1

  (3) As (a, b) matrizes gen´ericas(n = a + b) n

  X

  (q) (q) (q) (q) (q) C q = t E ij onde t = y se (i, j) ∈ ∆ e t = z se (i, j) ∈ ∆ e q = 1, . . . , m. i,j ij ij ij ij ij

  1 =1

  Teorema 2.2.6. (Procesi (i) e Berele ((ii),(iii))) (i) (veja A ´algebra gerada por A

  1 , . . . , A m ´e isomorfa `a ´algebra relativamente livre de

  posto m na variedade definida por M (K), isto ´e, a ´algebra U (M (K)); n m n (ii) (veja ´algebra gerada por B , . . . , B m ´e isomorfa `a ´algebra relativamente livre de

  1

  posto m na variedade definida por M n (K), isto ´e, a ´algebra U m (M n (E)); (iii) (veja ´algebra gerada por C , . . . , C m ´e isomorfa `a ´algebra relativamente livre de

  1 posto m na variedade definida por M n (K), isto ´e, a ´algebra U m (M a,b (E)).

2.3 O que era conhecido

  Nesta se¸c˜ao vamos apresentar os resultados conhecidos sobre o assunto at´e o inicio de nossos estudos, os resultados apresentados vˆem acompanhados das devidas referˆencias bibli- ogr´aficas. Iniciamos com nosso principal objeto de estudo do cap´ıtulo, o Teorema do Produto Tensorial de Kemer (TPT), para detalhes veja .

  Teorema 2.3.1. (TPT) Seja K um corpo com char K = 0. Sejam a, b, c, d ∈ N. Ent˜ao, (1) T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M a (E));

  • b

  (2) T (M a,b (E) ⊗ M c,d (E)) = T (M ac (E));

  • bd,ad+bc (3) T (M 1,1 (E)) = T (E ⊗ E).

  A seguir apresentaremos duas conseq¨ uˆencias imediatas do Teorema SEC ¸ ˜ AO 2.3 • O que era conhecido

  30 Corol´ ario 2.3.2. Seja K um corpo com char K = 0. Sejam a, b, c, d ∈ N com a + b = c + d.

  Ent˜ao, T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M c,d (E) ⊗ E). Prova: Sendo a + b = c + d, do Teorema 1), vem que T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M a +b (E)) = T (M c +d (E)) = T (M c,d (E) ⊗ E).

  Portanto, T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M c,d (E) ⊗ E) como quer´ıamos.

  Corol´ ario 2.3.3. Seja K um corpo com char K = 0. Sejam a, b, c, d, e, f, g, h ∈ N com ac + bd = eg + f h e ad + bc = eh + f g. Ent˜ao, T (M (E) ⊗ M (E)) = T (M (E) ⊗ M (E)). a,b c,d e,f g,h

  Prova: Sendo ac + bd = eg + f h e ad + bc = eh + f g, do Teorema 2), vem que: T (M a,b (E)⊗M c,d (E)) = T (M ac +bd,ad+bc (E)) = T (M eg +f h,eh+f g (E)) = T (M e,f (E)⊗M g,h (E)).

  Portanto, T (M a,b (E) ⊗ M c,d (E)) = T (M e,f (E) ⊗ M g,h (E)) como quer´ıamos.

  No que segue, vamos relembrar o que era conhecido sobre os resultados acima quando o corpo de base ´e infinito de caracter´ıstica positiva p > 2. Para mais detalhes, veja (, ). ′ ′

  Observa¸c˜ ao 2.3.4. Seja A = K ⊕ M (E ) a ´algebra obtida de M (E ) por adjun¸c˜ao da

  1,1 1,1

  unidade. Em os autores provaram que T (M (E)) T (A) = T (E ⊗ E).

  1,1 Da´ı, o T.P.T.(3) ´e falso, neste caso.

  Observa¸c˜ ao 2.3.5. Seja A = A 1,1 . Em os autores provaram que T (M (E)) T (A) = T (M (E) ⊗ E).

  2 1,1 Da´ı, o T.P.T.(1) ´e falso, para a = b = 1. CAP. 2 • O Teorema do Produto Tensorial

  31 Observa¸c˜ ao 2.3.6. Em usando identidades graduadas, os autores provaram que T (M a +b (E)) ⊆ T (M a,b (E) ⊗ E).

  Tamb´em em , os autores deram a seguinte vers˜ao multilinear para o Teorema do Produto Tensorial de Kemer. Seja I um T -ideal em KhXi e denote por P (I) o conjunto de todos polinˆomios multilineares em I.

  Teorema 2.3.7. Seja K um corpo com char K 6= 2. Ent˜ao, (1) P (T (M a,b (E) ⊗ E)) = P (T (M a (E)));

  • b

  (2) P (T (M a,b (E) ⊗ M c,d (E))) = P (T (M ac +bd,ad+bc (E))); (3) P (T (M (E))) = P (T (E ⊗ E)).

  1,1

  Em os autores apresentaram uma identidade polinomial para a ´algebra M (E) ⊗ E a,b que n˜ao ´e uma identidade polinomial para a ´algebra M a (E). Observamos que este fato

  • b

  generaliza um dos resultados de , a saber, que o T.P.T (1) falha para todos os valores k de a e b. Mais precisamente, existe um inteiro k > 1 tal que s ´e identidade para a ´algebra

  2a

  M a,b (E) ⊗ E. Conclu´ıram, assim, que: Teorema 2.3.8. As ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M a (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes.

  • b Prova: Ver .

  Al´em disso, ainda em ficou estabelecido que a inclus˜ao T (M a (E)) ⊂ T (M a,b (E)⊗E)

  • b ´e pr´opria.

  ´ E sabido que as ´algebras M (E)⊗E e M (E)⊗E s˜ao PI-equivalentes em caracter´ıstica a,b c,d zero, como vimos no Corol´ario mostra que esse resultado n˜ao pode ser transportado para corpos infinitos com caracter´ıstica positiva maior que dois.

  Teorema 2.3.9. Sejam a, b, c, d ∈ N tais que a ≥ b, c ≥ d, a 6= c e a + b = c + d. Ent˜ao, as ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M c,d (E) ⊗ E n˜ao s˜ao PI-equivalentes.

  Ainda em os autores exibiram uma identidade polinomial para a ´algebra M (E) ⊗ a,b M c,d (E) que n˜ao ´e identidade polinomial para a ´algebra M ac (E). Esta se¸c˜ao completa

  • bd,ad+bc

  a prova de que o Teorema do Produto Tensorial de Kemer n˜ao pode ser transportado para corpos infinitos de caracter´ıstica positiva maior que dois. SEC ¸ ˜ AO 2.3 • O que era conhecido

  32 As ´algebras A a,b surgiram em () quando os autores estudavam a PI-equivalˆencia

  entre as ´algebras M a (E) e M a,b (E) ⊗ E tendo como base corpos infinitos de caracter´ıstica

  • b positiva maior que dois.

  Seja ∆ o conjunto de todos os (i, j) tais que ou 1 ≤ i, j ≤ a ou a + 1 ≤ i, j ≤ a + b = n, e seja ∆ o conjunto dos (i, j) com ou 1 ≤ i ≤ a, a + 1 ≤ j ≤ a + b, ou 1 ≤ j ≤ a,

  1

  a + 1 ≤ i ≤ a + b. Ent˜ao M a,b (E) consiste das matrizes em M n (E) tais que a (i, j)-th entrada pertence a E β quando (i, j) ∈ ∆ β . Define-se A a,b como a sub´algebra de M a (E) consistindo +b ∈ E se (i, j) ∈ ∆ ∈ E de todas as matrizes (a ij ) tais que a ij e a ij se (i, j) ∈ ∆

  1 .

  Por exemplo, a ´algebra A foi usada em para provar a n˜ao PI-equivalˆencia entre

  1,1

  as ´algebras M (E) e M (E) ⊗ E tendo como base corpos infinitos com caracter´ıstica posi-

  2 1,1

  tiva maior que dois. Apresentaremos os resultados obtidos em envolvendo tais ´algebras. Em particular, foi mostrado que, T (M a +b (E)) T (A a,b ) e M a,a (E) ⊗ E ∼ A a,a , respondendo em positivo duas quest˜oes deixadas em .

  A menos que seja feita men¸c˜ao expl´ıcita em contr´ario, vamos considerar corpos infinitos com caracter´ıstica positiva p > 2. Se char K = 0 as ´algebras A a,b e M a (E) s˜ao PI- ′ ′ +b ⊗ E equivalentes, pois E e E o s˜ao. O mesmo vale para as ´algebras E , veja . Em o autor provou o seguinte:

  Lema 2.3.10. Seja s n o polinˆomio standard de grau n. Se a ≥ b ent˜ao a ´algebra A a,b satisfaz k k a identidade s para algum k > 1, mas n˜ao satisfaz s nem identidades sob a forma s

  2a m 2a

  para todo k quando m < 2a. Teorema 2.3.11. A inclus˜ao T (M a (E)) ⊂ T (A a,b ) ´e pr´opria.

  • b

  ⊆ M Prova: Sendo A a,b a (E), segue imediatamente que

  • b

  T (M a +b (E)) ⊆ T (A a,b ). (2.1) De acordo com o Lema anterior existe inteiro t > 1 tal que t s ∈ T (A a,b ). (2.2)

  2a

  Sabemos que t 6∈ T (M s a (E)). (2.3)

  • b 2a
CAP. 2 • O Teorema do Produto Tensorial

  33 O resultado segue trivialmente usando (2.1), (2.2) e (2.3).

  E assim ficou provado que M a (E) e A a,b n˜ao s˜ao PI-equivalentes quando char K = p > 2.

  • b

  Lembramos que sobre corpos de caracter´ıstica zero as ´algebras M a,b (E)⊗E e M a (E)

  • b

  s˜ao PI-equivalentes. Foi provado, em (,Corol´ario 24), que as ´algebras A e M (E) ⊗ E

  1,1 1,1

  satisfazem as mesmas identidades polinomiais. Em Alves mostrou que as ´algebras A k,k e M (E) ⊗ E satisfazem as mesmas identidades polinomiais para todo k > 1. k,k ⊗ E s˜ao PI-equivalentes. Teorema 2.3.12. As ´algebras A k,k e M k,k Prova: Veja (, Teorema 8).

  Corol´ ario 2.3.13. Seja k ≥ 1. Ent˜ao, as ´algebras M k,k (E) ⊗ E e M (E) n˜ao s˜ao PI-

  2k equivalentes.

  Prova: Sendo M k,k (E) ⊗ E ∼ A k,k e A k,k ≁ M (E), o resultado segue imediatamente.

  

2k

Corol´ ario 2.3.14. Para todo inteiro k ≥ 1 temos que T (M (E)) T (M k,k (E) ⊗ E).

  2k

  Prova: Usando o Teorema obtemos que T (M 2k (E)) T (A k,k ) = T (M k,k (E) ⊗ E) para todo k ≥ 1.

2.4 As ´ algebras A e M (E) ⊗ E

  a,b a,b Nesta se¸c˜ao estabeleceremos a inclus˜ao T (A (E)) ⊆ T (M ⊗ E) para a 6= b em carac- a,b a,b ter´ıstica p > 2. Os resultados obtidos nesta se¸c˜ao est˜ao publicados em .

  J´a mencionamos que em Theorem 1] foi provado que A a,b e M a +b (E) n˜ao s˜ao PI equivalentes, em caracter´ıstica p > 2.

  Inicialmente denotaremos por G o grupo Z n × Z , n = a + b. Lembramos que a ´algebra

  2 A a,b possui uma G-gradua¸c˜ao natural herdada de M a (E).

  • b (d) (d)

  Sejam X = Y ∪ Z ∪ W onde Y = {y | d ∈ Z n , i ≥ 1}, Z = {z | d ∈ Z n , i ≥ 1}, i i

  (d)

  | d ∈ Z W = {w n , i ≥ 1} e considere Ω = Ω(Y, Z, W ) a ´algebra livre supercomutativa. i

  • z r−
  • x

  (α, 1) (−α, 0) (α, 0) x

  x

  2

  x

  3

  − x

  3

  x

  2

  x

  1

  1

  (α, 0) (−α, 1) (α, 0) x

  x

  2

  x

  3

  − x

  3

  x

  2

  x

  1

  1

  1

  3 x 2 x 1 (α, 0) (−α, 0) (α, 0)

  2

  Observa¸c˜ ao 2.4.2. Em os autores provaram que as identidades G-graduadas da ´algebra M a,b (E) ⊗ E seguem de S e M G (M a,b (E) ⊗ E).

  1 x 2 x 3 + x 3 x 2 x 1 (α, 1) (−α, 0) (α, 1)

  (α, 0) (−α, 1) (α, 1) x

  1

  x

  2

  x

  3

  3

  x

  x

  x

  1

  (α, 1) (−α, 1) (α, 1) x

  1

  x

  2

  x

  3

  3

  x

  2

  x

  − x

  Denotemos por I o ideal das identidades G-graduadas gerado pelo conjunto S e por todos os monˆomios em T G (A a,b ). Como A a,b ⊆ M a

  , se (r, s) ∈ ∆

  Sejam M G (A) = {f ∈ T G (A) | f ´e monˆomio } e S o seguinte conjunto de polinˆomios G-graduados: polinˆomio (α(x

  Lema 2.4.1. A ´algebra G-graduada F ´e relativamente livre na variedade das ´algebras G- graduadas geradas por A a,b .

  Denote por F a subalgebra G-graduada de M n (Ω) gerada pelas matrizes A i , i ≥ 1. De modo an´alogo para o caso das matrizes gen´ericas, obtemos o seguinte:

  , se s − r = α 0, caso contr´ario , quando ω(x i ) = (α, 1).

  1 i

  ( w r−

  (i) rs =

  0, caso contr´ario , quando ω(x i ) = (α, 0); e a

  1 e s − r = α

  1 i

  x

  , se (r, s) ∈ ∆ e s − r = α z r−

  1 i

  1 i

  =        y r−

  (i) rs

  a

  (i) rs ) sendo a matriz onde

  G-grau of x i ∈ X. Como em Theorem 4] colocaremos A i = (a

  34 Vamos definir uma G-gradua¸c˜ao em M n (Ω). Denotaremos por ω(x i ) = (α(x i ), β(x i )) o

  SEC ¸ ˜ AO 2.4 • As ´ algebras A a,b e M a,b (E) ⊗ E

  1 ), β(x 1 )) (α(x 2 ), β(x 2 )) (α(x 3 ), β(x 3 ))

  1

  3

  x

  1 x 2 x

  (0,1) (0,1) - x

  1

  x

  2

  2

  x

  1

  (0,0) (0,1) - x

  1

  x

  2

  − x

  2

  x

  1

  (0,0) (0,0) - x

  1

  x

  2

  − x

  2

  • x
  • x

  • +b (E) temos I ⊆ T G (A a,b ).

CAP. 2 • O Teorema do Produto Tensorial

  35 Teorema 2.4.3. Se a + b = n ent˜ao as identidades G-graduadas de A a,b seguem de I.

  Prova: Basta repetir o mesmo racioc´ınio das provas de Proposition 14 and Theorem 15].

  Observa¸c˜ ao 2.4.4. Usando o Teorema precedente, observamos que, para comparar os T - ideais G-graduados das ´algebras M a,b (E)⊗E e A a,b ´e suficiente compararmos seus monˆomios.

  Em tal compara¸c˜ao foi feita para o caso a = b = 1 obtendo que T G (A ) = T G (M (E) ⊗ E).

  1,1 1,1

  Por conseguinte, T (A ) = T (M (E) ⊗ E).

  1,1 1,1

  A ´algebra P = M a,b (E) ⊗ E ´e G-graduada do seguinte modo: P = (M a,b (E)) ⊗

  (α,β) (α,β)

  ⊕ (M ⊗ E E a,b (E)) (α,β+1)

  1 . Agora, fixemos ˜ Ω = Ω(Z, W ), a ´algebra livre supercomutativa

  com Z e W como no in´ıcio desta se¸c˜ao. Como em Section 4] definimos as matrizes

  (i) (i) (i) r−

  1

  ˜ A i = (a rs ), ˜ B i = (b rs ) ∈ M a ( ˜ Ω) como segue: a rs = z quando ω(x i ) = (α, β) = (s − r, 0)

  • b i (i) (i) r−

  1

  e a rs = 0 caso contr´ario; analogamente b rs = w quando ω(x i ) = (α, β) = (s − r, 1), e i

  (i) rs b = 0 caso contr´ario.

  Denotemos por SC outra c´opia da ´algebra livre supercomutativa; SC ´e livremente gerada } e ´ımpares {w }. pelas vari´aveis pares {z i i

  Agora vamos definir C i ∈ M a ( ˜ Ω)⊗SC como segue: C i = ˜ A i ⊗z i + ˜ B i ⊗w i , se β(x i ) = 0,

  • b

  ⊗ z ⊗ w e C i = ˜ B i i + ˜ A i i , se β(x i ) = 1. A subalgebra ˜ F de M a ( ˜ Ω) ⊗ SC gerada por C i , i ≥ 1, ´e G-graduada de modo natural

  • b e, pelo Lemma 11], temos T G (P ) = T G ( ˜ F ).

  Observamos que as matrizes ˜ A i , ˜ B i ∈ M a ( ˜ Ω), i ≥ 1 s˜ao bem similares `as matrizes

  • +b

  ∈ F ⊆ M A i a +b (Ω), i ≥ 1. Este fato ser´a usado na prova do seguinte Lema 2.4.5. Sejam a 6= b. Se f ∈ KhXi ´e um monˆomio tal que f n˜ao est´a em T G (M a,b (E)⊗ E). Ent˜ao f 6∈ T G (A a,b ).

  (k)

  Prova: Seja f (x , . . . , x ) = x

  • m i · · · x i 6∈ T G (P ) = T G ( ˜ F ). Ent˜ao existem d k = C

  1 1 q 1 (k)

  . . . + C n k ∈ ˜ F ⊆ M a ( ˜ Ω) ⊗ SC, k = 1, . . . , m tais que cada d k tem o mesmo G-grau de

  • b (k) (k)

  x k e f (d , . . . , d m ) 6= 0. Se ω(d k ) = (α, 0) ent˜ao ω(C ) = (α, 0) and C tem a forma

  1 j j SEC ¸ ˜ AO 2.4 • As ´ algebras A a,b e M a,b (E) ⊗ E

  36 (k) (k) (k)

  C = ˜ A ⊗ z + ˜ B ⊗ w , para todo j. Neste caso, definimos j j j j j

  X

  (k)

  l k = A , j j

  (k) (k) r−

  1

  ∈ F ⊆ M onde A a (Ω) ´e a matriz obtida de ˜ A adicionando y as entradas que j +b j j est˜ao em ∆ , e preservando as outras entradas. Note que cada l k tem o mesmo G-grau (em M a (Ω)) de d k e por constru¸c˜ao temos f (l , . . . , l m ) 6= 0.

  • b

  1 (k) (k) (k) (k) j j j j + Agora, se ω(d k ) = (α, 1) ent˜ao ω(C ) = (α, 1) e C ´e da forma C = ˜ B ⊗ z j (k)

  ˜ A ⊗ w j , para todo j. Neste caso, definimos j

  X

  (k)

  l k = B , j j

  (k) (k) P (k)

  ˜ onde cada B ´e da forma B = B ∈ F ⊆ M a (Ω) com escolhas convenientes das r− (k) r− r− j j i i +b

  1

  

1

  1

  entradas w das matrizes ˜ B tais que w 6= w sempre que i 6= i . Note que cada l k i j i i 1 2

  1

  2 tem o mesmo G-grau (em M a (Ω)) de d k e por constru¸c˜ao temos f (l , . . . , l m ) 6= 0.

  • b

  1 Ou seja, ambos os casos nos garantem f 6∈ T G (F ) = T G (A a,b ), como desejado.

  Finalmente estamos em condi¸c˜oes de provar o resultado principal desta se¸c˜ao. Teorema 2.4.6. Let char K = p > 2 and a 6= b. Then T (A a,b ) ⊆ T (M a,b (E) ⊗ E). T G Prova: Pelo Teorema T G (A a,b ) ´e gerado, como T G -ideal por I = hS ∪ M G (A a,b )i , onde M G (·) ´e o conjunto dos monˆomios que s˜ao identidades G-graduadas. T G De acordo com temos M G (A a,b ) ⊆ M G (M a,b (E) ⊗ E). Ent˜ao T G

  T G (A a,b ) = hS ∪ M G (A a,b )i ⊆ T G ⊆ hS ∪ M G (M a,b (E) ⊗ E)i = T G (M a,b (E) ⊗ E). Finalmente, o Lema garante que T (A a,b ) ⊆ T (M a,b (E) ⊗ E), como quer´ıamos. CAP´ITULO 3 GK-DIMENS ˜ AO DE ´ ALGEBRAS

  Neste cap´ıtulo vamos construir modelos gen´ericos para algumas ´algebras importantes da PI-teoria. A partir destes modelos, vamos calcular a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov (GK- dimens˜ao) das ´algebras universais por elas determinadas. Como aplica¸c˜ao vamos obter a n˜ao PI-equivalˆencia entre algumas ´algebras.

3.1 Conceitos B´ asicos e Propriedades

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos conceitos b´asicos e propriedades da teoria de GK-dimens˜ao necess´arias para uma boa compreens˜ao do cap´ıtulo (tais conceitos e propriedades n˜ao apare- cem no cap´ıtulo 1, pois s´o neste cap´ıtulo faremos uso dos mesmos). Iniciamos com a defini¸c˜ao do nosso principal objeto de estudos, a dimens˜ao de Gelfand-Kirillov.

  }, consideramos Defini¸c˜ ao 3.1.1. Seja A uma ´algebra gerada pelo conjunto finito {r n

  1 , . . . , r m

  V = span{r i . . . r i /r i = 1, . . . , m} ; n = 1, 2, . . . e V = K. A fun¸c˜ao de argumento 1 n j inteiro e n˜ao-negativo n, definida por V n g (n) = dim K (V + · · · + V ) ; n = 1, 2, . . .

  1 ´e denominada a fun¸c˜ao de crescimento da ´algebra A (com respeito a V = V ). SEC ¸ ˜ AO 3.1 • Conceitos B´ asicos e Propriedades

  38 A dimens˜ao de Gelfand-Kirillov da ´algebra A ´e definida por V V log[g (n)] GKdim (A) = lim sup log [g (n)] = lim sup { }. n→∞ n→∞ log(n) n

  O pr´oximo resultado trata da independˆencia da GK-dimens˜ao de uma ´algebra, no que diz respeito, ao seu conjunto de geradores. Lema 3.1.2. A GK-dimens˜ao de uma ´algebra finitamente gerada A n˜ao depende da escolha do conjunto de geradores. Prova: Sejam V = span{r , . . . , r m } e W = span{s , . . . , s l } espa¸cos gerados por dois

1 V W

  1

  conjuntos de geradores da ´algebra A. Sejam GKdim (A) e GKdim (A) as GK-dimens˜oes de A definidas por V e W, respectivamente. Como r , . . . , r geram a ´algebra A, existe

  1 m pn

  inteiro p tal que para todo j = 1, . . . , l temos que s j ∈ V + · · · + V . Assim, n pn W + · · · + W ⊆ V + · · · + V ; n = 0, 1, . . .

  Da´ı, obtemos que W n pn V g (n) = dim K (W + · · · + W ) ≤ dim K (V + · · · + V ) = g (pn) e aplicando logaritmo, vem que V V W V log (g (pn)) log (g (pn)) pn pn log (g (n)) ≤ log (g (pn)) = = . n n log (n) 1 − log (p) pn pn

  Aplicando limite, vem que V W log [g (pn)] pn V lim sup log [g (n)] ≤ lim sup { } = lim sup log [g (pn)] n→∞ n→∞ pn→∞ n pn 1 − log (p) V pn ≤ lim sup log [g (n)]. n→∞ n Agora, da defini¸c˜ao, obtemos que W V GKdim (A) ≤ GKdim (A).

  De modo similar obtemos a desigualdade contr´aria, e portanto W V GKdim (A) = GKdim (A) como quer´ıamos. CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  39 Exemplo 3.1.3. Seja A = K[x , x , . . . x m ] a ´algebra polinomial. Ent˜ao, GKdim (A) = m.

  1

2 Prova: Observe que o n´ umero de monˆomios de grau menor ou igual que n em m vari´aveis

  ´e igual ao n´ umero de monˆomios de grau n em m + 1 vari´aveis, pois se a + · · · + a m ≤ n,

  1

  temos a seguinte correspondˆencia biun´ıvoca: a a a a a a a 1 2 m 1 2 m ↔ x x x . . . x x x . . . x onde a = n − (a m m 1 + . . . a m )

  1

  2

  1

  2

  entre estes conjuntos. Agora, com respeito ao conjunto usual de geradores de A, temos ! n + m g(n) = ; n = 1, 2, 3, . . . m que ´e um polinˆomio de grau m. A partir da defini¸c˜ao de GK-dimens˜ao, obtemos que V GKdim (A) = lim sup log [g (n)] = m n→∞ n como desejado.

  No pr´oximo resultado apresentaremos algumas propriedades b´asicas da dimens˜ao de Gelfand-Kirillov, para demonstra¸c˜oes e mais detalhes recomendamos uma leitura de (). Proposi¸c˜ ao 3.1.4. Seja A uma ´algebra.

  (1) Sejam I um ideal de A e S uma sub´algebra de A. Ent˜ao GKdim (S), GKdim (A/I) ≤ GKdim (A);

  (2) Seja B uma ´algebra que ´e imagem homom´orfica de A. Ent˜ao GKdim (B) ≤ GKdim (A);

  (3) GKdim (A) = 0 se, e somente se, A ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Nos outros casos, temos que GKdim (A) = 1 ou GKdim (A) ≥ 2;

  (4) Se B = A[x , . . . , x m ] com x , . . . , x m vari´aveis comutando. Ent˜ao

  1

1 GKdim (B) = GKdim (A) + m;

  SEC ¸ ˜ AO 3.1 • Conceitos B´ asicos e Propriedades

  40

  (5) Seja A comutativa. Ent˜ao, a GK-dimens˜ao de A ´e igual ao grau de transcendˆencia de

  A, isto ´e, ao n´ umero m´aximo de elementos algebricamente independentes; (6) GKdim (A) < ∞ se, e somente se, a fun¸c˜ao de crescimento de A com respeito a algum conjunto finito de geradores ´e de crescimento polinomial.

  A seguir apresentaremos dois exemplos de ´algebras que n˜ao possuem GK-dimens˜ao finita. No primeiro a ´algebra ´e finitamente gerada e no segundo a ´algebra n˜ao ´e finitamente gerada.

  Exemplo 3.1.5. Seja m > 1. A ´algebra associativa livre A = Khx , . . . , x m i (polinˆomios

  1 n˜ao comutativos) n˜ao tem GK-dimens˜ao finita.

  Prova: Para o conjunto usual de geradores de A, a fun¸c˜ao de crescimento ´e dada por n

  2 g(n) = 1 + m + m + · · · + m ; n = 0, 1, 2, . . .

  Como esta fun¸c˜ao cresce mais r´apido que qualquer fun¸c˜ao polinomial, da Proposi¸c˜ao 6), obtemos que a GK-dimens˜ao da ´algebra A n˜ao pode ser finita. Exemplo 3.1.6. Seja A = R[[x]] a R-´algebra das s´eries de potˆencias de x com coeficientes em R. Ent˜ao, GK dim(A) = ∞. Prova: Vamos mostrar que para cada n ∈ N, existe uma sub´algebra B de A satisfazendo GK dim(B) ≥ n, da´ı conclu´ımos facilmente que GK dim(A) = ∞.

  Seja {r i | i = 1, 2, . . . } um conjunto enumer´avel infinito de n´ umeros reais que ´e linear- r x i mente independente sobre Q. Ent˜ao, o conjunto das fun¸c˜oes {f i (x) = e | i = 1, 2, . . . } ´e algebricamente independente sobre R. Agora, via s´erie de Maclaurin cada fun¸c˜ao deste con- junto pode ser pensada como um elemento da ´algebra A. Logo, A cont´em uma sub´algebra isomorfa a ´algebra polinomial

  R [y , y , . . . y n ] para cada n ∈ N.

  1

2 Usando a Proposi¸c˜ao 3.1.4(1) e o Exemplo 3.1.3, para cada n, obtemos que: GK dim(A) ≥ n.

  Portanto GK dim(A) = ∞ CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras 41 como quer´ıamos.

  Agora vamos analisar como a GK-dimens˜ao se comporta com respeito a altura de uma ´algebra. Para mais informa¸c˜oes e detalhes, veja (). Defini¸c˜ ao 3.1.7. Seja A uma ´algebra gerada por r , r , . . . , r . Seja H um conjunto finito

  1 2 m H

  de monˆomios nos r s. Diremos que A ´e de altura h = h (A) com respeito a H se, h ´e o i menor inteiro positivo tal que A pode ser gerada, como espa¸co vetorial, pelos produtos j 1 j 2 j t U U . . . U onde U i ∈ H e t ≤ h. i i i k 1 2 t H Exemplo 3.1.8. Sejam A = K[x , x , . . . , x m ] e H = {x , x , . . . , x m }. Ent˜ao, h (A) = m.

  1

  2

  1

  2 k 1 k m

  Prova: Como espa¸co vetorial, A ´e gerada pelos produtos x . . . x e os monˆomios que

  1 m

  possuem todas as vari´aveis n˜ao podem ser escritos como combina¸c˜ao linear de monˆomios com menos que m potˆencias distintas de x i .

  O seguinte teorema, conhecido como Teorema de Shirshov sobre a altura, ´e um dos resultados de grande importˆancia na teoria combinatorial das PI ´algebras. Teorema 3.1.9. (Shirshov) Seja A uma ´algebra gerada por r , r , . . . , r m . Assuma que A

  1

  2

  satisfaz uma identidade polinomial de grau d > 1. Ent˜ao, A tem altura finita com respeito ao seguinte conjunto de monˆomios {r | i i r i . . . r i s j = 1, 2, . . . m e s < d} 1 2 Prova: Veja (, Cap´ıtulo 9). O pr´oximo resultado ´e devido a A. Berele (1982), daremos uma id´eia de sua demonstra¸c˜ao via Teorema de Shirshov (a prova original pode ser encontrada em ). Teorema 3.1.10. (Berele) Toda PI-´algebra finitamente gerada A tem GK-dimens˜ao finita. Prova: (Id´eia) Seja A gerada por V = span{r , r , . . . , r } satisfazendo uma identidade

  1 2 m

  polinomial de grau d > 1. Pelo Teorema de Shirshov, existe h, a altura de A, tal que A ´e gerada pelos monˆomios j j j 1 2 t U U . . . U onde t ≤ h i i i 1 2 t n e os monˆomios U , . . . , U s˜ao de comprimento menor que d. Agora, V ´e gerado pelos i 1 i t n monˆomios com k |U i | + · · · + k t |U i | = n. Da´ı, V + · · · + V ´e subespa¸co do espa¸co gerado

  1 1 t

  pelos monˆomios k k k h 1 2 ≤ n.

  U U . . . U onde k + · · · + k h i i i 1 2 h

  1 SEC ¸ ˜ AO 3.2 • Sobre a GK-dimens˜ ao de U m (A) d−

  42

  1 Seja p o n´ umero de monˆomios com comprimento menor que d (p = 1 + m + · · · + m ). O h V n´ umero de seq¨ uˆencias de ´ındices (i , . . . , i h ) ´e limitado por p . Assim, a dimens˜ao g (n) de n

1 V + · · · + V ´e limitada pelo produto entre o n´ umero de seq¨ uencias (i , . . . , i h ) e o n´ umero

  1

  de monˆomios de grau ≤ n em h vari´aveis ! V h n + m g (n) ≤ p m que ´e um polinˆomio de grau h. Da´ı, obtemos que

  GK dim(A) ≤ h onde h ´e a altura de A.

3.2 Sobre a GK-dimens˜ ao de U (A)

  m Nesta se¸c˜ao discutiremos alguns resultados envolvendo a GK-dimens˜ao da ´algebra uni- versal determinada por uma ´algebra A. Estes resultados s˜ao de importˆancia fundamental para o restante do cap´ıtulo. Defini¸c˜ ao 3.2.1. A ´algebra relativamente livre (tamb´em chamada de universal) de posto m na variedade gerada pela ´algebra A ´e definida por

  U m (A) = Khx , . . . , x m i/(T (A) ∩ Khx , . . . , x m i).

  1

  1 Lema 3.2.2. Se A e B s˜ao duas ´algebras PI-equivalentes ent˜ao U m (A) = U m (B) e GKdim [U m (A)] = GKdim [U m (B)].

  Prova: Sendo A e B ´algebras PI-equivalentes, temos que T (A) = T (B). Da´ı, vem que T m (A) = T m (B) e U m (A) = Khx , . . . , x m i/T m (A) = Khx , . . . , x m i/T m (B) = U m (B).

  1

  1 Portanto, GKdim [U m (A)] = GKdim [U m (B)].

  Observa¸c˜ ao 3.2.3. Por v´arias vezes, no decorrer do texto, vamos usar a contra-positiva do Lema isto ´e, PI-´algebras que possuem ´algebras universais com dimens˜oes de Gelfand- Kirillov diferentes n˜ao s˜ao PI-equivalentes.

  Lema 3.2.4. Se T (A) ⊆ T (B) ent˜ao GKdim [U m (A)] ≥ GKdim [U m (B)]. CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  43 Prova: Sendo T (A) ⊆ T (B) obtemos que T m (A) ⊆ T m (B). A partir disso obtemos o

  seguinte homomorfismo sobrejetor −→

  Ψ : U m (A) U m (B) f + T (A) 7−→ f + T (B). m m Da´ı, U m (B) ´e imagem homom´orfica de U m (A) e da Proposi¸c˜ao 2), obtemos que

  GKdim [U m (A)] ≥ GKdim [U m (B)] como quer´ıamos.

  Lema 3.2.5. Se A ⊆ B ent˜ao GKdim [U m (A)] ≤ GKdim [U m (B)]. Prova: Como A ⊆ B, temos T (A) ⊇ T (B) e em seguida usamos o Lema

  O pr´oximo resultado ´e devido a Procesi e Berele, para mais detalhes e demonstra¸c˜oes sugerimos uma leitura de (). Teorema 3.2.6. (Procesi (i) e Berele ((ii),(iii))) Seja K um corpo infinito de caracter´ıstica arbitr´aria. Ent˜ao:

  2

  (i) GKdim [U m (M n (K))] = (m − 1)n + 1;

  2

  (ii) GKdim [U m (M n (E))] = (m − 1)n + 1;

  2

  2 (iii) GKdim [U m (M a,b (E))] = (m − 1)(a + b ) + 2.

  A prova do Teorema acima em sua parte (ii), dada por Berele em , tamb´em nos fornece uma f´ormula para calcular GKdim [U m (A)] quando T (A) = T (M n (K)) . . . T (M n s (K)). 1 A saber s

  X GKdim [U m (A)] = GKdim U m (M n (K)). i i

  =1

  Corol´ ario 3.2.7. Seja K um corpo com char K = 0. Ent˜ao: (i) GKdim [U m (E ⊗ E)] = 2m;

  2

  (ii) GKdim [U (M (E) ⊗ E)] = (m − 1)(a + b) + 1; m a,b

  2

  2 (iii) GKdim [U (M (E) ⊗ M (E))] = (m − 1)[(ac + bd) + (ad + bc) ] + 2. m a,b c,d SEC ¸ ˜ AO 3.2 • Sobre a GK-dimens˜ ao de U m (A)

  44 Prova: De acordo com o Teorema do Produto Tensorial de Kemer, sabemos que

  T (E ⊗ E) = T (M (E)), T (M a,b (E) ⊗ E) = T (M a (E)) e

  1,1 +b T (M a,b (E) ⊗ M c,d (E)) = T (M ac (E)).

  • bd,ad+bc Agora aplicando, o Lema a prova segue.

  O pr´oximo resultado nos fornece uma cota inferior para a ´algebra universal determinada pela ´algebra A a,b .

  

2

  2 Lema 3.2.8. GKdim [U m (A a,b )] ≥ (m − 1)(a + b ) + 2.

  Prova: Iniciamos observando que, M a,b (E) ⊆ A a,b . Do Lema sabemos que GKdim [U m (M a,b (E))] ≤ GKdim [U m (A a,b )].

  De acordo com o Teorema iii), obtemos que

  2

  2

  (m − 1)(a + b ) + 2 ≤ GKdim [U m (A a,b )] como quer´ıamos.

3.2.1 As ´ algebras E ⊗ E e M (E)

  1,1

  Em () os autores constru´ıram um modelo gen´erico para a ´algebra U m (E ⊗ E), sobre corpos infinitos com char K = p > 2, e usaram este modelo para calcular GK dim[U m (E⊗E)]. Al´em disso, apresentaram uma nova prova da n˜ao PI-equivalˆencia das ´algebras E ⊗ E e M (E).

  1,1

  Para char K = 0, j´a vimos que GKdim [U (E ⊗ E)] = GKdim [U (M (E))] = 2m. m m 1,1 Para char K = p > 2; Azevedo, Fidelis e Koshlukov em (), usando identidades graduadas mostraram os seguintes resultados ′ ′

  (1) Se A = K ⊕ M (E ) ent˜ao T (A) = T (K ⊕ M (E )) = T (E ⊗ E);

  1,1 1,1

  (2) As ´algebras A e M (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes. Mais ainda,

  1,1 T (A) = T (E ⊗ E) ) T (M (E)).

  1,1 CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  45 E finalmente, em (), Alves e Koshlukov provaram o seguinte: Teorema 3.2.9. GKdim [U (E ⊗ E)] = m quando char K = p > 2. m

  E como consequˆencia, obtiveram o seguinte Corol´ ario 3.2.10. As ´algebras E ⊗ E e M 1,1 (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes.

  Prova: Suponha por contradi¸c˜ao que as ´algebras E ⊗E e M (E) s˜ao PI-equivalentes, isto ´e

  1,1 T (E ⊗E) = T (M (E)). Ent˜ao T (E ⊗E) = T (M (E)) e da´ı U (E ⊗E) = U (M (E)). 1,1 m m 1,1 m m 1,1

  Como GKdim [U m (M (E))] = 2m, obtemos que

  1,1

  GKdim [U m (E ⊗ E)] = GKdim [U m (M (E))] = 2m,

  1,1

  contradizendo o Teorema Portanto, as ´algebras E ⊗ E e M (E) n˜ao podem ser

  1,1 PI-equivalentes.

3.2.2 GK-dimens˜ ao de U (A ) e U (M (E) ⊗ E)

  

m a,b m a,a

  No que segue vamos assumir que char K = p > 2. Em (), Alves construiu um modelo gen´erico para a ´algebra U m (A a,b ), e a partir deste modelo calculou GK dim[U m (A a,b )].

  2

  2 Teorema 3.2.11. GKdim [U (A )] = (m − 1)(a + b ) + 2. m a,b Como aplica¸c˜ao, concluiu que as ´algebras A e A n˜ao s˜ao PI-equivalentes. a,b c,d

  2

  2

  2

  2

  6= c Corol´ ario 3.2.12. Sejam a + b + d . Ent˜ao as ´algebras A a,b e A c,d n˜ao s˜ao PI- equivalentes.

  Prova: As ´algebras n˜ao podem ser PI-equivalentes pois suas ´algebras universais tˆem GK- dimens˜oes diferentes.

  Lembramos que sobre corpos com caracter´ıstica zero as ´algebras A a,b e M a +b (E) s˜ao PI- equivalentes (isto segue do fato que E e E s˜ao PI-equivalentes em char K = 0, veja ) e da´ı,

  2 GK dim[U m (A a,b )] = GK dim[U m (M a (E))] = (m − 1)(a + b) + 1.

  • b

  Corol´ ario 3.2.13. Se char K = p > 2, ent˜ao as ´algebras A a,b e M a (E) n˜ao s˜ao PI-

  • b equivalentes.
SEC ¸ ˜ AO 3.3 • GK-dimens˜ ao de U m (M a,b (E) ⊗ E)

  46 Prova: As ´algebras n˜ao podem ser PI-equivalentes pois suas ´algebras universais tˆem GK- dimens˜oes diferentes.

  Ainda em , Alves observou que, se char K = p > 2, ent˜ao de acordo com Teorema as ´algebras A a,a e M a,a (E) ⊗ E satisfazem as mesmas identidades polinomiais. Da´ı U k (A a,a ) = U k (M a,a (E) ⊗ E). Assim, estas duas ´algebras tˆem mesma GK dimens˜ao que, de

  2

  acordo com o Teorema ´e igual a 2(k − 1)a + 2. Deste modo o autor obteve o seguinte

  2 Teorema 3.2.14. GKdim [U (M (E) ⊗ E)] = 2(k − 1)a + 2. k a,a

3.3 GK-dimens˜ ao de U (M (E) ⊗ E)

  m a,b Nesta se¸c˜ao mostraremos como obter GK dim U m (M a,b (E) ⊗ E). Como aplica¸c˜ao con- cluiremos que as ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M a +b (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes quando char K = p > 2. Tais resultados est˜ao publicados em . Al´em disso, fazendo uso destes resultados, responderemos tamb´em a seguinte quest˜ao aberta proposta em :

  Sabemos que T (M (E) ⊗ E) = T (M (E) ⊗ E) quando a + b = c + d e char K = 0. Isto a,b c,d ´e verdade quando char K = p > 2? Acontece que a resposta ´e negativa e publicamos este resultado em .

  ´ E bem sabido que em char K = 0 as ´algebras M a,b (E) ⊗ E e A a,b s˜ao PI equivalentes

  `a ´algebra M a (E) (isto pode ser deduzido do Teorema de Kemer e da PI equivalˆencia de E +b e E quando char K = 0).

  2

  2 Lembremos tamb´em que de t´ınhamos GKdim U m (A a,b ) = (m − 1)(a + b ) + 2,

  2 M b,b (E) ⊗ E ∼ A b,b e GKdim U m (M b,b (E) ⊗ E) = 2(m − 1)b + 2 em caracter´ıstica p > 2.

  Agora, iremos calcular GKdim U m (M a,b (E) ⊗ E) para o caso a 6= b.

  2

  2 Lema 3.3.1. GKdim [U m (M a,b (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)(a + b ) + 2. CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  47 Prova: Como M a,b (E) mergulha em M a,b (E) ⊗ E obtemos que

  T (M a,b (E) ⊗ E) ⊆ T (M a,b (E)) e assim

  2

  2 GKdim [U m (M a,b (E) ⊗ E)] ≥ GKdim [U m (M a,b (E))] = (m − 1)(a + b ) + 2.

  Agora podemos provar o seguinte Teorema 3.3.2. Se char K = p > 2 ent˜ao

  2

  2 GKdim U m (M a,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a + b ) + 2.

  Prova: Se a = b o resultado ´e aquele obtido em . Suponhamos ent˜ao a 6= b. Pelo Teorema obtemos:

  2

  2 GKdim U (M (E) ⊗ E) ≤ GKdim U (A ) = (m − 1)(a + b ) + 2. m a,b m a,b

  Mas pelo Lema ,

  2

  2 GKdim [U m (M a,b (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)(a + b ) + 2 e assim obtemos o resultado desejado.

  Como consequˆencia obtemos a n˜ao PI equivalˆencia das ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M a (E):

  • b Corol´ ario 3.3.3. As ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M a (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes.
  • b

  Prova: As ´algebras n˜ao podem ser PI-equivalentes, pois suas ´algebras universais possuem GK-dimens˜ao diferentes. Basta observarmos que:

  2

  (1) De Berele (, Teorema 7), sabemos que GK dim U m (M a (E)) = (m − 1)(a + b) + 1;

  • b

  2

  2 (2) Do Teorema obtemos que GK dim U m (M a,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a + b ) + 2.

  Usando (1) e (2) obtemos que GK dim U m (M a +b (E)) 6= GK dim U m (M a,b (E) ⊗ E).

  Sabemos que em char K = 0, M a,b (E) ⊗ E e M c,d (E) ⊗ E s˜ao PI-equivalentes, se a + b = c + d. SEC ¸ ˜ AO 3.4 • GK-dimens˜ ao de U m (M n (E) ⊗ E)

  48 Corol´ ario 3.3.4 (, Teorema 3.1). Seja char K = p > 2, a 6= c e a + b = c + d. Ent˜ao: M a,b (E) ⊗ E e M c,d (E) ⊗ E n˜ao s˜ao PI-equivalentes.

  2

  2 Prova: De acordo com o Teorema GKdim U m (M a,b (E) ⊗ E) = (m − 1)(a + b ) + 2 e

  2

  2 GKdim U m (M c,d (E) ⊗ E) = (m − 1)(c + d ) + 2. Como a 6= c e a + b = c + d ent˜ao b 6= d e

  2

  2

  2

  2

  a + b 6= c + d o que implica:

  2

  2

  2

  2

  (m − 1)(a + b ) + 2 6= (m − 1)(c + d ) + 2 ⇒ GKdim U (M (E) ⊗ E) 6= GKdim U (M (E) ⊗ E). m a,b m c,d Agora, pela Observa¸c˜ao temos que as ´algebras M a,b (E) ⊗ E e M c,d (E) ⊗ E n˜ao podem ser PI-equivalentes, como quer´ıamos.

3.4 GK-dimens˜ ao de U (M (E) ⊗ E)

  m n Nesta se¸c˜ao apresentaremos o resultado recentemente obtido (veja ), do c´alculo da

  GK dim U m (M n (E) ⊗ E). Como aplica¸c˜ao, concluiremos que as ´algebras M n (E) ⊗ E e M n,n (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes quando a caracter´ıstica do corpo base ´e positiva. Lembramos que sobre corpos de caracter´ıstica zero, as ´algebras M n (E) ⊗ E e M n,n (E) s˜ao PI-equivalentes, e da´ı obtemos que

  2 GK dim[U m (M n,n (E) ⊗ E)] = GK dim[U m (M (E))] = (m − 1)(2n) + 1. 2n No que segue vamos assumir que char K = p > 2.

  Usando um resultado obtido recentemente por Alves em , inicialmente temos o seguinte:

  2 Lema 3.4.1. GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] ≥ (m − 1)n + 1

  Prova: Como M n (K) mergulha em M n (K) ⊕ M n,n (E ) obtemos que T (M (K) ⊕ M (E )) ⊆ T (M (K)). n n,n n Em [, Corol´ario (3.6)] Alves provou o seguinte:

  T (M (K) ⊕ M (E )) = T (M (E) ⊗ E) n n,n n e ent˜ao T (M n (E) ⊗ E) ⊆ T (M n (K)) CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  49

  por conseguinte, obtemos que

  2 GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] ≥ GK dim[U m (M n (K))] = (m − 1)n + 1.

  A fim de encontrar um limitante superior para GKdim U m (M n (E) ⊗ E), vamos cons- truir um modelo gen´erico apropriado de U m (M n (E) ⊗ E). Como em , denotaremos por H = K ⊕ M (E ) a subalgebra unit´aria of M (E) obtida de M (E ) por adjun¸c˜ao formal

  1,1 1,1 1,1

  da unidade I 2 , a matriz identidade de ordem 2.

  Agora, usando os isomorfismos definidos em ( Lema 4) obtemos M n (H) ∼ = A ⊕

  M n,n (E ), onde ( ! ) a 0

  A = | a ∈ M n (K) ⊂ M (K).

  2n

  0 a Por Proposition 10] temos H ∼ E ⊗ E, e o isomorfismo entre M n (E ⊗ E) e M n (E) ⊗ E nos d´a a PI-equivalˆencia: M n (E) ⊗ E ∼ A ⊕ M n,n (E ).

  Isso prova o seguinte: Lema 3.4.2. GKdim [U m (M n (E) ⊗ E)] = GKdim [U m (A ⊕ M n,n (E ))]. Prova: Pelo exposto acima, as ´algebras M (E) ⊗ E e A ⊕ M (E ) s˜ao PI equivalentes. n n,n Logo, pelo Lema U m (M n (E) ⊗ E) = U m (A ⊕ M n,n (E )) e GKdim [U m (M n (E) ⊗ E)] = GKdim [U m (A ⊕ M n,n (E ))].

  Assim, para nossos prop´ositos, ´e suficiente construirmos um modelo gen´erico para a ´algebra A ⊕ M n,n (E ). Sejam ∆ = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ n, or n + 1 ≤ i, j ≤ 2n} e ∆ = {(i, j) | 1 ≤ i ≤ n,

  1 n + 1 ≤ j ≤ 2n or 1 ≤ j ≤ n, n + 1 ≤ i ≤ 2n}.

  A seguinte constru¸c˜ao repete a de . Sejam

  

  (r)

   y , se (i, j) ∈ ∆ , ij e   e

  Y r = (a ij ) onde a ij =

  2n×2n 0, se (i, j) ∈ ∆ ,

  1

  

  

(r) (r)

    y y , para todo 0 ≤ i, j ≤ n. i i,j e +n,j+n = e SEC ¸ ˜ AO 3.4 • GK-dimens˜ ao de U m (M n (E) ⊗ E)

  50

  (

  

(r)

  z , se (i, j) ∈ ∆ , e ij f

  Z r = (b ij ) onde b ij =

  2n×2n 0, caso contr´ario .

  (

  

(r)

  w , se (i, j) ∈ ∆ , ij

  1

  e f W r = (c ij ) 2n×2n onde c ij = 0, caso contr´ario .

  (r)

  Aqui ˜ y s˜ao as vari´aveis que comutam, correspondentes `a parte escalar das respectivas ij ′ (r) ′ (r) entradas das matrizes em A ⊕ M (E ); ˜ z s˜ao os geradores livres de Ω , e ˜ w s˜ao os n,n ′ ′ ij ij geradores livres de Ω . Lembramos que Ω = Ω ⊕ Ω ´e a ´algebra supercomutativa livre sem

  1

  1 unidade.

  Denotaremos por U a ´algebra gerada por X = ˜ Y + ˜ Z + ˜ W , X = ˜ Y + ˜ Z + ˜ W , . . . , X m =

  

1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  ˜ Y m + ˜ Z m + ˜ W m . Lema 3.4.3. U ∼ = U m (A ⊕ M n,n (E )).

  Prova: A prova ´e an´aloga ao caso das matrizes gen´ericas. Veja tamb´em a prova do Lema 7 de .

  Note que U ⊆ U onde U ´e a ´algebra gerada por e Y r , f Z r e f W r onde r = 1, 2, . . . , mi. Do

  1

  1 mesmo modo como foi feito em [, se¸c˜ao 5], mudamos o modelo de U como segue.

  1 (r)

  | 1 ≤ i, j ≤ 2n) podemos y ij Passando de K para o fecho alg´ebrico do corpo K(f diagonalizar a matriz “gen´erica” e Y sobre K. Isto ´e, existe alguma P ∈ M (K) tal que

  1 2n

1 P ˜ Y P ´e uma matriz diagonal.

  1 − − −

  1

  1

  1 Denotaremos por Y r = P ˜ Y r P , Z r = P ˜ Z r P , W r = P ˜ W r P , r = 1, . . . , m. Como

  ∼ | r = 1, 2, . . . , mi onde Y

  P preserva transforma¸c˜ao linear, temos U = KhY r , Z r , W r =

  1

  1 P 2n i λ i e ii , λ i +n = λ i , ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Para simplificar as nota¸c˜oes, no restante da prova =1 vamos assumir m = 2.

  Para obter um limite superior para a GK-dimens˜ao de U , imergimos U em um anel maior

  1 R. Este anel R ´e gerado pelo conjunto (2) (2) (2)

  {λ e , y e | (i, j) ∈ ∆ and λ = λ , y = y , ∀ 1 ≤ i, j ≤ n} ∪ i ii ij i +n i ij i ij

  • n,j+n (r) (r) {z e ij | (i, j) ∈ ∆ , r = 1, 2} ∪ {w e ij | (i, j) ∈ ∆ , r = 1, 2}. ij ij

  1 (2) (1) (2)

  Para tornar as nota¸c˜oes mais simples escrevemos y ij para y , z ij for z , t ij for z , w ij ij ij ij

  (1) (2) for w and v ij for w . ij ij Para o pr´oximo Lema, vamos omitir as rela¸c˜oes λ i = λ i , y i = y ij , 1 ≤ i, j ≤ n.

  • n +n,j+n
CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  51 Lema 3.4.4. Seja V o espa¸co vetorial com base u , . . . , u , e seja 1 2n

  Y Y Y Y Y Y α ij ij ij ij ij i a b c d f r = λ y z t w v e st , i i,j i,j i,j i,j i,j i ij ij ij ij ij Aqui os ´ındices de λ i , y ij , z ij , t ij percorrem ∆ e os ´ındices de w ij , v ij percorrem ∆ ; α i , a ij

  1

  ∈ {0, . . . , p − 1}, e d ∈ {0, 1}. Se r ∈ R ent˜ao s˜ao inteiros positivos; b ij , c ij ij , f ij X − u − u ∈ V. i,j (a ij + b ij + c ij + d ij + f ij )(u i j ) = u s t Prova: Veja (, Lema 15).

  Definimos g s,t (k) como o n´ umero de sˆextuplas ordenadas (α i , a ij , b ij , c ij , d ij , f ij ) que sa- tisfazem as hip´oteses do Lema anterior e a condi¸c˜ao adicional que a soma das suas entradas P

  ´e ≤ k. Seja g(k) = g s,t (k). A fun¸c˜ao g(k) ´e um limite superior para a fun¸c˜ao de s,t crescimento de R. Nosso objetivo agora passa a ser estimar a fun¸c˜ao g(k).

  Primeiro observamos que as entradas de uma tal sˆextupla satisfazem a equa¸c˜ao

  X (1) (a ij + b ij + c ij + d ij + f ij )(u i − u j ) = u s − u t i,j para cada escolha de s e t. Mais ainda, obtemos que

  X X i i,j + (2) α i (a ij + b ij + c ij + d ij + f ij ) ≤ k. Assim, existe uma quantidade finita de possibilidades de escolhas para s, t, b ij + c ij e d ij + f ij que satisfazem as duas condi¸c˜oes (1) e (2). Suponhamos que uma destas poss´ıveis escolhas tenha sido feita. Ent˜ao a ij deve satisfazer

  X a ij (u i − u j ) = u e

  X a ij = k , onde

  X u = u s − u t − (b ij + c ij + d ij + f ij )(u i − u j ) i,j e

  X k = k − (b ij + c ij + d ij + f ij ). i,j O seguinte Lema ´e devido a [Berele, ]. SEC ¸ ˜ AO 3.4 • GK-dimens˜ ao de U m (M n (E) ⊗ E)

  52 Lema 3.4.5. Sejam V um espa¸co vetorial e H ⊆ V um hiperplano de dimens˜ao d. Seja

  L(n) o conjunto de pontos de V cujas coordenadas est˜ao todas em {0, 1, . . . , n}. Ent˜ao, o d n´ umero de pontos em H ∩ L(n) ´e menor ou igual a (n + 1) . Prova: Vamos usar indu¸c˜ao sobre d. O caso d = 0 ´e trivial. Seja H i o hiperplano de codimens˜ao 1 no qual a primeira coordenada ´e constante igual a 1. Sendo dim H > 1 alguma coordenada n˜ao ´e constante em H, vamos assumir que esta ´e a primeira. Portanto, d−

  1

  ∩H) = d−1 e, por hip´otese de indu¸c˜ao H ∩H∩L(n) tem cardinalidade ≤ (n+1) dim(H i i .

  Agora, H ∩ L(n) ´e a uni˜ao sobre i = 0, 1, . . . , n de H ∩ H ∩ L(n), e da´ı, tem cardinalidade d i ≤ (n + 1) .

  Com o intuito de usar o Lema definimos V o espa¸co vetorial com base {α | (i, j) ∈ ∆ } e seja W o espa¸co vetorial com base {u − u | (i, j) ∈ ∆ }. i , a ij i j P

  Afirmamos que o conjunto J = {(α , a ) | a (u − u ) = u} ´e um hiperplano em V de i ij ij i j codimens˜ao 2n − 2. De fato, temos que dim(W) = 2n − 2 e da´ı os a ij ’s s˜ao determinados P pela combina¸c˜ao linear a ij (u i − u j ) = u ∈ W. Assim, existem 2n − 2 vetores fixos na dupla ordenada (α i , a ij ) ∈ J e isso prova nossa afirma¸c˜ao.

  2

  2

  2 Logo, conclu´ımos que dim(J) = (n + n + 2n) − (2n − 2) = 2(n + 1). Considerando

  agora as rela¸c˜oes λ i = λ i , y i = y ij para 1 ≤ i, j ≤ n, vemos que nossa estimativa ´e,

  • n +n,j+n

  2 na verdade, n + 1. Isto juntamente com o Lema prova o seguinte resultado.

  2 Lema 3.4.6. g(k) ´e limitada superiormente por um polinˆomio de grau n + 1.

  2 Teorema 3.4.7. GKdim [U m (A ⊕ M n,n (E ))] ≤ (m − 1)n + 1.

  Prova: Se m = 2 ent˜ao

  2 GKdim U (A ⊕ M n,n (E )) ≤ lim sup log g(k) ≤ n + 1 2 k

  2 Se m > 2, a prova ´e an´aloga, pois cada nova matriz gen´erica adiciona (n ) novas vari´aveis (r)

  y e o conjunto de rela¸c˜oes permanece o mesmo. A partir disso, g(k) passa a ser limitado ij

  2

  superiormente por um polinˆomio de grau (m − 1)n + 1, donde obtemos

  2 GKdim U m (A ⊕ M n,n (E )) ≤ lim sup log g(k) ≤ (m − 1)n + 1. k CAP. 3 • GK-dimens˜ ao de ´ algebras

  53

  2 Lema 3.4.8. GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] ≤ (m − 1)n + 1

  Prova: Pelo Lema GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] = GKdim [U m (A ⊕ M n,n (E ))]. Por sua

  2

  vez, pelo Teorema anterior, GKdim [U m (A ⊕ M n,n (E ))] ≤ (m − 1)n + 1. Portanto,

  2 GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] ≤ (m − 1)n + 1 como quer´ıamos.

  Usando agora os Lemas obtemos o seguinte resultado:

  2 Teorema 3.4.9. GK dim[U m (M n (E) ⊗ E)] = (m − 1)n + 1.

  Observa¸c˜ ao 3.4.10. Em Alves provou, usando polinˆomios centrais, que as ´algebras M n (E) ⊗ E e M n,n (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes. Como consequˆencia do Teorema conseguimos uma nova prova deste fato, como estabelecido no corol´ario seguinte.

  Corol´ ario 3.4.11. As ´algebras M n (E) ⊗ E e M n,n (E) n˜ao s˜ao PI-equivalentes. Prova: As ´algebras n˜ao podem ser PI-equivalentes, pois suas ´algebras universais possuem GK-dimens˜ao diferentes. Basta observarmos que

  2

  (1) De Berele (, Teorema 7), sabemos que GK dim U m (M n,n (E)) = (m − 1)(2n) + 1;

  2 (2) Do Teorema obtemos que GK dim U m (M n (E) ⊗ E) = (m − 1)n + 1.

  Usando (1) e (2) obtemos que GK dim U m (M n,n (E)) 6= GK dim U m (M n (E) ⊗ E).

  CAP´ITULO 4 CONJECTURA

  Neste cap´ıtulo apresentaremos uma Conjectura, (veja ), acerca da dimens˜ao de Gelfand- Kirillov de ´algebras universais de posto m, no que diz respeito ao produto tensorial de ´algebras T -primas pela ´algebra de Grassmann.

4.1 Justificativa

  As ´algebras verbalmente primas desempenham um papel proeminente na PI-teoria. Lem- bramos que uma ´algebra ´e verbalmente prima se seu T-ideal ´e primo na classe de todos os T-ideais na ´algebra associativa livre. A maioria dos resultados conhecidos sobre ´algebras verbalmente primas trata do caso de corpos de caracter´ıstica zero.

  Vimos no Cap´ıtulo 2 que a teoria estrutural de T-ideais desenvolvida por Kemer classi- ficou as ´algebras verbalmente primas sobre tais corpos. Denotando por K o corpo de base, char K = 0, de acordo com a teoria de Kemer, as ´algebras verbalmente primas s˜ao exata- mente as seguintes:

  Primeiro as triviais; {0} e KhXi a ´algebra associativa livre de posto infinito. Por con- seguinte, M n (K), a ´algebra das matrizes n × n com entradas em K. Denotando por E a ´algebra de Grassmann (ou exterior), a outra classe de ´algebras verbalmente primas ´e dada pela ´algebra das matrizes n × n com entradas em E, denotada por M n (E).

  A hip´otese sobre a caracter´ıstica do corpo ser zero permite-nos trabalhar apenas com identidades multilineares, e assim, podemos fazer uso das boas propriedades da multiline- aridade. No desenvolvimento da teoria de Kemer, estas propriedades foram bastante utili- zadas. Conv´em observar que, em caracter´ıstica positiva, a teoria de Kemer n˜ao se aplica diretamente, um dos obst´aculos ´e o surgimento de novos T -ideais T -primos, chamados de T -ideais irregulares, cuja descri¸c˜ao completa ´e ainda um problema em aberto.

  O que temos at´e agora ´e o seguinte: Em , Berele calculou GKdim [U m (M n (E))] a qual coincide com GKdim [U m (M n (K))]. Observe que M n (E) ≃ M n (K) ⊗ E e da´ı conclu´ımos: GKdim [U (M (K) ⊗ E)] = GKdim [U (M (K))]. m n m n

  Em , Alves e Koshlukov provaram que: GKdim [U m (E ⊗ E)] = GKdim [U m (E)].

  Em , os autores provaram que: GKdim [U m (M a,b (E) ⊗ E)] = GKdim [U m (M a,b (E))].

  E por ´ ultimo, em foi provado que: GKdim [U m (M n (E) ⊗ E)] = GKdim [U m (M n (E))].

  O exposto acima justifica a conjectura a seguir.

4.2 A Conjectura

  Os resultados apresentados na se¸c˜ao anterior nos levam a acreditar na seguinte: Conjectura 4.2.1. Seja A uma ´algebra T -prima sobre um corpo infinito K com carac- ter´ıstica positiva p > 2. Ent˜ao

  GK dim U m (A) = GK dim U m (A ⊗ E). Ressaltamos que a conjectura ´e trivialmente falsa quando o corpo ´e de caracter´ıstica zero. Como mencionamos na se¸c˜ao anterior, a maior dificuldade para trabalharmos com a Con- jectura acima ´e que n˜ao temos uma descri¸c˜ao das ´algebras T -primas para corpos de carac- ter´ıstica positiva. BIBLIOGRAFIA

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