Detalhes da tese | Matemática

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Vinícius Oliari Couto Dias

Wavelets e uma Aplicação na Espectrometria

  

Brasil

2017

  Vinícius Oliari Couto Dias Wavelets e uma Aplicação na Espectrometria

  Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal do Es- pírito Santo, como requisito parcial para ob- tenção do Mestrado em Matemática.

  Universidade Federal do Espírito Santo Ű UFES Departamento de Matemática

  Mestrado em Matemática

  Orientador: Etereldes Gonçalves Brasil 2017 Vinícius Oliari Couto Dias Wavelets e uma Aplicação na Espectrometria/ Vinícius Oliari Couto Dias. – Brasil, 2017- p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.

  Orientador: Etereldes Gonçalves Dissertação – Universidade Federal do Espírito Santo – UFES Departamento de Matemática Mestrado em Matemática, 2017.

  1. Wavelets 2. Fuzzy I. Etereldes Gonçalves II. Universidade Federal do

Espírito Santo. III. Departamento de Matemática. IV. Wavelets e uma Aplicação

na Espectrometria

  Vinícius Oliari Couto Dias Wavelets e uma Aplicação na Espectrometria

  Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal do Es- pírito Santo, como requisito parcial para ob- tenção do Mestrado em Matemática.

  Brasil, 03 de fevereiro de 2017:

  Etereldes Gonçalves

  Orientador Convidado 1 Convidado 2

  Brasil 2017

  

Resumo

O uso das Wavelets tem crescido bastante nos últimos anos. Suas aplicações

contemplam diversas áreas, desde a matemática pura até processamento de imagens,

por exemplo. A principal propriedade das Wavelets é a representação de funções num

espaço de escalas, o que permite a observação da função de maneira eficaz em um

intervalo reduzido.

  Nesta dissertação apresentamos um desenvolvimento matemático da cons-

trução de uma família de Wavelets, além de sua aplicação em um problema da

espectrometria para a obtenção de propriedades do petróleo. Para tal, fazemos uso

de outras ferramentas, como teoria Fuzzy, Algoritmo Genético e clusterização, ob-

tendo um método de predição das propriedades. Por fim, apresentamos os resultados

do método desenvolvido por meio dos espectros de amostras de petróleo, fornecidos

pelo LabPetro-UFES.

  

Abstract

Wavelets have played an important role on recent researches. Its applications

go from pure math to image processing and many others. Their main property is

the representation of functions in a scale space, which allows an efficient observation

of the function in an small interval.

  In this thesis, a mathematical development of the construction of a Wavelet

family is presented, as well as an application on spectrometry to obtain petroleum

properties. To do so, many others tools are used, such as Fuzzy theory, Genetic

Algorithm and clusterization, resulting in a method of properties forecasting. Fi-

nally, the method results are presented, using the spectrum of samples provided by

LabPetro-UFES.

  

Lista de ilustrações

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 . . . . . . . . . . 65

   . . . . . . . . . 65 . . . . . . . . . 66

  66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

   . . . . . . . . . 68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

  70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  

. . . . . . . . . . . 73

  

. . . . . . . . . . . . . . 75

  

. . 77

. . . . . . . . . . . . . 78

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

. . . . . . . . . . . . . . . . . 87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

  

   . . . . . . . . . . . . 97

  

. . . . . . . . . . . . 109

   . . . . . . . 112

. . . . . . . . . . 114

  

Lista de tabelas

. . . . . . . . . . . . . . . 68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

. . . 112

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

  

Sumário

   . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  . . . . . . . . . . . . . 58

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

  

. . . . . . . . . . . . . . 67

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

   . . . . . . . . 42

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

   . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

   . . 17

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

   . . . . . . . 24

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

   . . . . . . 33

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.8 DefuzzyĄcação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7 Clusterização via Método da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.8 Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

  15

1 Introdução

  1.1 História e aplicações

  As funções Wavelets são consideradas um objeto de estudo recente e já pos- suem diversas aplicações em vários campos de pesquisa. A primeira Wavelet, a Wavelet Haar, foi mencionada apenas em 1909, por A. Haar e o próprio nome "Wavelet" começou a ser utilizado apenas na década de 80

  Suas aplicações contemplam várias áreas além da matemática pura

  

Por exemplo, na física, há trabalhos sobre estados coerentes e grupo de

  renormalização. Na química, foi introduzida na década de 90 e hoje possui um papel importante na quimiometria e espectrofotometria No campo da en- genharia, encontram-se trabalhos baseados em Wavelets sobre codiĄcação de sub-banda,

  

análise de sinais, compressão de

  dados, remoção de ruído, dentre outros. Computacionalmente, trabalha-se com a trans- formada Wavelet discreta, que pode ser vista como uma representação da Wavelet por apenas um número Ąnito de pontos, sendo que sua teoria também é bastante desenvolvida ultimamente.

  1.2 Propriedades principais

  A principal vantagem da transformada Wavelet é que ela representa um sinal no domínio da frequência e do tempo, enquanto a transformada de Fourier trabalha apenas na frequência. Tal fato permite avaliar variações ocorridas em sinais em um intervalo de tempo especíĄco, o que seria similar ao processo de janelamento utilizado com a trans- formada de Fourier. Isso ocorre porque a transformada Wavelet trabalha com um espaço de escalas, que divide o sinal em grupos de intervalos transladados, nos quais cada grupo possui um comprimento de intervalo especíĄco. Dessa maneira, grupos com um intervalo de comprimento maior darão uma visão global do sinal e os de comprimento menor uma visão mais detalhada.

  No que diz respeito à transformada Wavelet discreta, uma das principais propri- edades é que ela guarda a maior parte da energia do sinal em poucos coeĄcientes, o que permite que o sinal seja recuperado apenas por um reduzido número deles. Esse fato é de grande importância na compressão de dados, na qual se escolhe uma determinada Wavelet

16 Capítulo 1. Introdução que permita com eles a recuperação do sinal sem que sofra grandes deformações.

1.3 Comparação entre Wavelet e Fourier

  [0, 1] (a prova consta na próxima seção). Tal fato facilita na obtenção dos coeĄcientes da expansão em séries: =

  ( ) d

  

∫︁

1

  = =

  ( )å(2 ⊗ ) d

  ∫︁ 1

  ( ) (2Þ ) d =

  ∫︁ 1

  ( ) (2Þ ) d =

  ∫︁ 1

  Uma transformada Wavelet, analiticamente falando, muito se assemelha com a transformada de Fourier. Ambas permitem que um sinal seja representado por uma série de coeĄcientes que multiplicam suas funções base. Como exemplo, uma função deĄnida no intervalo [0, 1] que seja quadrado integrável é representada da seguinte maneira em uma série de Fourier:

  ( ) = +

  ⊗ ) (1.2)

  å (2

  ⊗1

∑︁

=0

  ∞ ∑︁ =0

2

  (1.1) a função em uma série de Haar é dada por: ( ) = +

  1 se 0 ⊘ < 1 2 ⊗1 se 1 2 < 1 caso contrário

  ⎧ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⎩

  ( ) =

  å

  ( (2Þ ) + (2Þ )) Por outro lado, considerando a função Wavelet Haar, deĄnida por:

  ∞ ∑︁ =1

  Em ambas as séries, temos um termo independente e uma soma de funções com determinados pesos: senos e cossenos na série de Fourier e a própria Wavelet Haar na série de Haar. Além disso, ambas as séries são expansões em termos de funções ortogonais em 2

1.4. Ortogonalidade das funções bases das transformadas de Fourier e Haar

  17 A Wavelet Haar possui uma importante propriedade que os senos e cossenos não possuem, um suporte compacto.

  

DeĄnição 1.3.1. Suporte: O suporte de uma função : ↦⊃ é o conjunto dado por:

  ( ) = ¶ ; ( ) ̸= 0♢ onde a barra signiĄca o fecho do conjunto. Um conjunto compacto na reta real signiĄca que o conjunto é limitado e fechado. Dizemos que o suporte de é compacto quando o conjunto ( ) é compacto.

  A vantagem advinda de tal propriedade pode ser resumida no seguinte fato: para descrever a função em um intervalo [ , ], precisamos de todos os coeĄcientes da série de

  ⊗

  Fourier, enquanto que para a Wavelet Haar apenas aqueles = [2 , , 2 ( + 1)] que intersectam [ , ].

  Na equação

  notamos também a propriedade de escala (comentada na seção

  anterior) pois, considerando apenas a soma parcial da expansão em Haar (ou seja, para 0 ⊘ ), temos a representação de considerando detalhes (Wavelets com uma

  ⊗ determinada escala e coeĄciente) de magnitude 2 ou maiores.

  

1.4 Ortogonalidade das funções bases das transformadas de Fou-

rier e Haar 2 O produto interno entre duas funções em [ , ] será deĄnido por: 2 2

  ⟨≤, ≤⟩ : [ , ] × [ , ] ↦⊃ C

  ∫︁

  ( ) ( ) d , ⟩ = onde a barra signiĄca o conjugado complexo. A ortogonalidade entre duas funções , ocorre quando ⟨ , ⟩ = 0. Com base no conceito de produto interno deĄnido, será então provada a ortogonalidade das funções bases das transformadas de Fourier e Haar.

  ∙ Ortogonalidade da Wavelet Haar Sejam å , å dadas por 1 2 1

  

å = å(2 )

1 1 2 å

18 Capítulo 1. Introdução

  onde å é a função Haar deĄnida na equação

  e , , , 1 2 1 2

  ∈ Z. Para provar a 1 , å ou . Para 2 1 2 1 2 ortogonalidade, basta veriĄcar que ⟨å ⟩ = 0 no caso em que ̸= ̸= isso, podemos partir da deĄnição de produto interno:

  ∫︁ ∞ (︁ )︁ 1 2 1

  , å å (2 )å 2 1 2 d 2

  ⟨å ⟩ = ⊗

  ⊗∞

  onde 1 , 2 , 1 , 2 ∈ Z. Temos que: 1+ 2 1 1+1

  ∫︁ ∫︁ 2 1 2 1 (︁ )︁ (︁ )︁ 2 1 2 1 , å å 2 2 å 2 2 d = 2

  ⟨å ⟩ = ⊗ d ⊗ ⊗ 2 1 2 1 1 1+ 2

  ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁

  = 1 d + 1 d (1.3) 1 1 d ⊗ 1 d 2 3 4 onde temos:

  (︃ ⎜ (︃ ⎜ 1

1

1 1 + + 2 2 2 2 1 = , , 1 12 2

  2

  2

  2

  2

  (︃ ⎜ (︃ ⎜ 1 1 2 = , , 1 1 2 2 2 2 + 1

  • 1 12 2

      2

      2

      2

      2

      (︃ ⎜ (︃ ⎜ 1 + 1 1 1

    • 2 1 2 2 2 3 = , , 1 12 2

        2

        2

        2

        2

        (︃ ⎜ (︃ ⎜ 1 1 1 2 1 + 1 + + + 1 2 2 2 4 = , , 1 12 2

        2

        2

        2

        2

        , , , å

        Se 1 = 2 e 1 2 , claramente 1 2 3 e 4 1 2 1 2 , ̸=

        ⟩ = 0. Se ̸= = ∅ e logo ⟨å

        > , ,

        considerando sem perda de generalidade 1 2 , para que 1 2 3 e 4 não sejam todos

        {︁ }︁ 1

        0, , 1 : vazios, precisamos que, para 2 2 1 2 2 1

        (1.4) 2 ⊘ ⊘ 1 2

        2

        2

        2 ou 1

      • 2
      • 2 1 2 + 1<
      • (1.5)
      • 2 ⊘ ⊘ 1 2

          2

          2

          2 As inequações são verdadeiras pois: 1 2 1 2

          ⊗ &lt; 1 &lt;

          2 2 1 2 =⇒

          2

          2 1 2

          ⊗ 1 2 (1.6)

          =⇒ + 1 ⊘ 2 1 + 1 2 =⇒ ⊘

        1.4. Ortogonalidade das funções bases das transformadas de Fourier e Haar

          19

          e 1 + 1 + 1 2 1 ⊗ 2

          &gt; 1 + 1 &gt; 2 ( 2 + 1) 1 2 =⇒

          2

          2 1 ⊗ 2 1 ( + 1) (1.7) 2 =⇒ ⊙ 2 1 2 + 1

          =⇒ ⊙ 1 2 2

          2 1

          2 1

        • + 2 + 1

          As equações

          mostram que para e não satisfeitas 2 ⊘ ⊘ 1 1 2

          2

          2

          2

          2

        • 1 temos , , e
        • 1 2 3 4 = ∅. Basta agora mostrar que, com elas satisfeitas temos ⊘ 1

            2

            (︃ ⎜ 1 1

          • 2
          • 2 2 2 1 2<
          • 1<
          • 2
          • 1 1 + 1 ou . Para tal, basta mostrar que / , . Suponha 2 21 21 1

              2

              2

              2

              2

              2

              2 por absurdo que pertença, então: 1 2 2 1 1 + 1

            • 1

              &lt; &lt; (1.8)

            2

            1

              2

              2

              2 Mas 1 2 (︂ )︂ 1 1 + 2 1 ⊗ 2 +

              &lt; &lt; 1

              2 2 1 2 =⇒

              2

              2

              2

              (︂ )︂

              1 1 2 1 2 =⇒ + 1 ⊘ 2

            • 1

              2 1 + 1 + 2 2 =⇒ ⊘ 1 2

              2

              2 o que é absurdo por

              

              Agora, podemos assumir que ou

              vale. Sendo assim, considere que

              

              é análogo). Desse modo temos que

            2 , 4 (1.9)

              = ∅

              (︃ ⎜ 1 + 1 2 1 1 = , 1 1

              2

              2

              (︃ ⎜ 1 1 2 1 + 1 + 3 = , 1 1

              2

              2 Como e possuem o mesmo comprimento, usando a equação 1 3

              

              que:

              

            ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁

            1 , å 1 d + 1 d = 0 2

              ⟨å ⟩ = 1 d ⊗ 1 d 1 2 3 4

            20 Capítulo 1. Introdução

              2 ⊗

              (︃

              d =

              )︁

              2 ⊗

              (︁

              ∫︁ +1 2 + 1 2 2 å

              d

              

            )︁

              (︁

              ⎜

              ∫︁ + 1 2 2 2 å

              d =

              )︁

              2 ⊗

              

            (︁

              (2 ⊗ )å

              ∫︁ 1 å

              ⟨å, å⟩ =

              ⎜

            • 1
            • 2<
            • 1
            • 1
            • 2<>

              (︃

                2

                = 2 (2Þ 1 ≤), (2Þ 2 ≤)⟩ =

                2

                ∫︁ 1

                ( (2Þ( 1 2 ) ) ⊗ (2Þ( 1

                ) ) d =

                ⎧ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⎩

                0, se 1 ̸= 2 1 2

                , se

              1

                ∫︁ 1

                (2Þ 1 ) (2Þ 2 ) d =

                (2Þ 1 ) (2Þ 2 ) d =

                1

                2

                ∫︁ 1

                ( (2Þ( 1 + 2 ) ) + (2Þ( 1 2 ) ) d

                = 0 ∀ 1

                ,

              2

                ∈ N

                1

                ∫︁ 1

                2 ⊗

                temos que: ⟨ (2Þ 1 ≤), (2Þ 2 ≤)⟩ =

                2

                2 ⊗

                =

                1

                2 Isso mostra que a Wavelet Haar não é normalizada. Para tal, devemos multiplica-la por um fator 2 2 . ∙ Ortogonalidade da Base de Fourier

                A ortogonalidade dos senos e cossenos, que são as bases da série de Fourier, segue diretamente da deĄnição de produto interno. Sejam 1

                , 2 &gt; 0 números inteiros, então

                (2Þ 1 ) (2Þ 2 ) d =

                ⟨ (2Þ 1 ≤), (2Þ 2 ≤)⟩ =

                1

                2

                ∫︁ 1

                ( (2Þ( 1 + 2 ) ) + (2Þ( 1 2 ) ) d

                =

                ⎧ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⎩

                0, se 1 ̸= 2 1 2

                , se 1 = 2

                ∫︁ 1

              • 2

                1.5. Descrição da Aplicação

                21

                1.5 Descrição da Aplicação

                Neste trabalho foi realizada uma aplicação da Teoria de Wavelets no campo da Espectrometria. Ela se baseia na predição de propriedades de amostras de petróleo a partir do espectro reĆetido pela emissão de infravermelho nas amostras, feita pelo espectômetro, um aparelho disponível nos laboratórios do LabPetro - UFES.

                Atualmente são utilizadas técnicas que fazem uso de ferramentas mais estatísticas, como regressões multivariável e outros. Porém, nesse trabalho quisemos gerar um método mais Ćexível (com várias partes que podem ser mudadas e adaptadas) e diferente dos já feitos, de modo a obter uma nova linha de aproximação do problema.

                O uso da Wavelet no método se baseia na extração de variáveis do espectro, as quais serão utilizadas no processo de predição. Tal procedimento foi proposto devido à propriedade de escala das funções Wavelet, que será discutida nesta dissertação.

                Devido à qualidade dos resultados gerados pelo método, um artigo foi desenvolvido para ser submetido à revista Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, explicando as etapas do método e sua aplicação nas amostras de petróleo fornecidas.

                1.6 Organização do Texto

                O segundo capítulo desta dissertação descreve um método de criar Wavelets, bem como as principais propriedades do espaço e comportamento de tais funções. A teoria contida nesse capítulo foi baseada no desenvolvimento feito em A diferença entre os dois está no detalhamento adicional feito nos teoremas e provas contidos em tal referência.

                O terceiro capítulo descreve os principais métodos utilizados para a elaboração do preditor, culminando com a apresentação e resultados de sua utilização com espectros de amostras de petróleo fornecidas pelo LabPetro.

                23

              2 Wavelets

                Neste capítulo serão demostrados os principais teoremas e propriedades das Wave- lets. Além disso, no Ąnal do capítulo, será mostrado como criar Wavelets com as propri- edades especiĄcadas. Para tal, começaremos com um tipo especíĄco de Wavelet, a Haar, para depois generalizar para uma Wavelet qualquer que atenda às propriedades impostas.

              2.1 Wavelet Haar

                Esta seção trata da Wavelet Haar, um dos tipos mais simples de Wavelet. A teoria envolvida em tal função é de extrema importância para compreender como as Wavelets funcionam de maneira geral.

              2.1.1 Função Scaling Haar

                A função Scaling é uma função que está relacionada com uma dada Wavelet, e conhecendo funções Scaling podemos criar funções Wavelet. A função Scaling associada à Wavelet Haar é a função característica do intervalo [0, 1], deĄnida para ∈ R por:

                ⎧ ⨄︁

                1 se 0 ⊘ &lt; 1 ( ) =

                (2.1)

                ⎩

                0 caso contrário Tendo em vista as principais características de uma Wavelet, é necessário citar duas propriedades importantes de :

              1. As translações de por inteiros (¶ ( ⊗ ), ∈ Z♢) formam um conjunto de funções

                2 ortonormais em (R).

                Demonstração.

                De fato temos, para , : 1 2 1 2 ∈ Z, ̸=

                ∫︁

              • 1 2 1 2 ) d

                  ⟨ (∙ ⊗ ), (∙ ⊗ )⟩ = ( ) (

                  ⊗∞ ∫︁ 1 +1

                  = 2 ) d 1 (

                  ∫︁ 1 +1

                  = 0 d 1

                24 Capítulo 2. Wavelets

                  E para = = : 1 2

                  ∫︁

                  ⟨ (∙ ⊗ ), (∙ ⊗ )⟩ = ( ) ( ) d

                  ⊗∞ ∫︁ +1

                  = ( ) d

                  ∫︁ 1 +1

                  = 1 d 1 = 1

                  2. é auto-similar. Isso signiĄca nesse contexto que ela pode ser expressa por uma combinação linear dela mesma em diferentes escalas: (2.2)

                  ( ) = (2 ) + (2 ⊗ 1)

                2.1.2 Espaços gerados a partir da Wavelet Haar e sua Scaling

                  No que diz respeito a séries e transformadas, a questão fundamental é saber quais funções são possíveis de serem representadas/realizadas por elas. Com base nessa questão, 2 o intuito desta subseção é determinar se é possível obter uma base para (R) (o espaço

                  ∫︀ 2

                  das funções quadrado integráveis, ou seja, as funções tais que ♣ ( )♣ d &lt;

                  a partir da Wavelet Haar e a função .

                  Uma vez deĄnida a função Scaling, o espaço natural gerado por ela é:

                  ⎧ ⎫ ∞

                  ⨄︁ ⋀︁ ∑︁ ∑︁ 2

                  = &lt; ♣ ∞

                  ( ),

                  ⎩ ⎭ 2 =⊗∞

                  que é o fecho em (R) das combinações lineares das funções ( ), ∈ Z. representa o conjunto das funções constantes por partes, sendo cada parte um intervalo de comprimento 1 da forma [ , + 1), ∈ Z.

                  Como ¶ ( ), ∈ Z♢ é um conjunto ortonormal, segue que ele é uma base 2 ( ortonormal para . Porém, (R), já que até mesmo a função deĄnida por

                  ⎧ 1 ⨄︁

                  1 se 0 ⊘ &lt; 2 ( ) =

                  ⎩ 2 0 caso contrário não pertence a , mas pertence a (R). Sendo assim, para representar todas as funções 2

                2.1. Wavelet Haar

                  25 Um novo conjunto pode ser gerado apenas reescalonando o conjunto ¶ ( ),

                  Z ♢. Para tal, considere o conjunto (1/2)Z deĄnido por:

                  ∮︁ ⨀︀

                  (1/2)Z = , (2.3) ∈ Z

                  2 1 e a função é o intervalo [0, ]). A ideia é gerar um 2 2 (∙) = (2∙) (note que o suporte de 2 conjunto similar ao , porém agora, ao invés de ser um conjunto de funções constantes em intervalos de comprimento 1, será um conjunto de funções constantes em intervalos 1 de comprimento , o que seria equivalente a mudar a escala de uma função de . 2

                  {︁(︁ )︁ }︁ 2 1 Podemos agora deĄnir o conjunto dado por

                  2 2 2 ), 2 . Tal ∈ (1/2)Z

                  ( conjunto é composto de funções ortonormais (prova análoga à ortogonalidade das funções 1 , e logo será de ¶ ( ), ∈ Z♢) que são constantes em intervalos de comprimento 2 usado como a base do novo espaço 1 . Utilizando

                  e o fato de que 2 ( ) = (2 ),

                  podemos deĄnir por: 1

                  ⎧ ⎫ ∞

                  ⨄︁ ⋀︁ ∑︁ ∑︁ 2 1 ♣ ♣ ∞ = &lt;

                  (2 ),

                  ⎩ ⎭ =⊗∞

                  Das deĄnições acima, é possível dizer que: 1 ⇐⇒ (2∙) ∈

                  (∙) ∈

                  ∑︀ ∑︀ ∞ 2

                  dada por ( ) = &lt; Para justiĄcar essa aĄrmação, seja ( ),

                   =⊗∞ ∑︀

                  ∞ 1 1 então

                  ∞. Então (2 ) = (2 ) =⇒ (2∙) ∈ . Por Ąm, se (2∙) ∈

                   =⊗∞ ∑︀ ∑︀ ∑︀

                  ∞ 2 ∞

                  (2 ) = &lt; (2 ), ♣ ∞. Logo ( ) = ( ) =⇒ (∙) ∈

                   =⊗∞ =⊗∞ .

                  Podemos agora redeĄnir a identidade escala

                  por sua versão transladada, para

                  ∈ Z: (2.4)

                  ( ) = (2 ⊗ 2 ) + (2 ⊗ 2 ⊗ 1) A equação

                  aĄrma que 1 , já que ela representa uma base de como

                  ⊖ uma combinação linear de elementos de 1 .

                  Podemos agora repetir o processo de gerar a partir de e produzir, por indução, 1 os conjuntos , ∈ Z, que serão os conjuntos de funções constantes em intervalos de

                  ⊗

                  comprimento 2 . Por esse procedimento, cada um deles terá as seguintes propriedades:

                  {︁ }︁ /2

                  2 (2 é uma base ortonormal de ∙ ⊗ ), ∈ Z

                  

                26 Capítulo 2. Wavelets

                  

                  ∙ se (obtida a partir de reescalonamento de A sequência ¶ ♢ é um tipo de análise multiresolucional (será detalhada na próxima seção) e possui duas propriedades importantes:

                  ⋂︀ 1.

                  = ¶0♢

                   ∈Z Demonstração.

                  ∀ ∈ Z. Além disso, se for constante, segue Claramente 0 ∈ 2

                  ∀ ∈ Z e que não é que ⊕ 0 pois (R). Suponha por absurdo que

                  ∑︀ ∑︀ 2

                  , temos que: ( ) = &lt; ♣ ∞. constante. Então, como ( ),

                   =⊗∞

                  Claramente não podemos ter iguais para todo ∈ Z, pois se não teríamos

                  ∑︀ 2

                  ♣ ♣ ∈ Z ⊗ ¶⊗1, 0♢ tal que

                  = ∞ ou ⊕ 0 caso = 0 ∀ ∈ Z. Logo, existe +1 . ̸=

                  Seja um inteiro tal que 2 &gt; &gt; 0, não é constante ♣ ♣ + 1. Então, caso no intervalo [0, 2 ) ou, caso &lt;

                  , 0), o que

                  0, não é constante no intervalo [⊗2 signiĄca que / , o que é uma contradição. ∈

                  ⋃︀ 2

                  2. é denso em (R)

                   ∈Z 2 Demonstração.

                  Considere uma função qualquer em (R). Dado &gt; 0, considere

                • composto

                  agora uma função ∈ S(R) (o espaço de Schwarts por funções de derivadas contínuas em qualquer ordem e de decaimento rápido, o 2 qual é denso em (R)) tal que tenhamos

                  ∫︁ 2

                • d &lt;

                  ♣ ( ) ⊗ ( )♣

                  4 2 &lt; Como ♣♣ ♣♣ ∞, existe ∈ R, &gt; 0, tal que

                  

                ⧹︃ ⧹︃

                ∫︁

                ⧹︃ ⧹︃

                2

                2

                ⧹︃ ⧹︃

                  &lt;

                ⧹︃ ♣ ( )♣ ⧹︃

                  d ⊗ ♣♣ ♣♣ 2

                  

                ⧹︃ ⧹︃

                  8

                  ⋃︀ ⊗

                  Considere agora o conjunto = [2 , 2 , 2 ( +

                   ( + 1)] onde = ¶ : [2

                  deĄnida por 1)] ∩ [⊗ , ] ̸= ∅, ∈ Z♢ (note que [⊗ , ] ⊆ ). Seja

                  ⎧ ∑︀ ⊗1 ⊗

                  ⨄︁

                  (2 ) (2 ⊗ ) se

                   =⊗

                  ( ) =

                  ⎩

                  caso contrário

                  ⊗

                  onde é o índice dos conjuntos [2 , 2 ( + 1)] em tal que 2 é mínimo

                  ⊗

                  (analogamente, que 2 ( + 1) é máximo). Como se trata de um somatório Ąnito,

                2.1. Wavelet Haar

                  27 ⊗1

                  ∑︁ 2 &lt;

                  ♣ (2 ∞ )♣

                   =⊗ ⋃︀ e portanto .

                  ∈

                   ∈Z

                  Pela continuidade uniforme de temos que existe &gt; 0 tal que, para todo ∈ [⊗ , ⊗ 1] 2 2

                  ♣ ( ) ⊗ ∈ [2

                  &lt; , , 2 ( + 1)].

                  ( )♣ = ♣ ( ) ⊗ (2 )♣

                  ⊗ +1

                  8(2 ) Logo, temos que

                  ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2 2 ⊗2 2 2

                  d = d + d + ♣ ( ) ⊗ ( )♣ ♣ ( )♣ ♣ ( ) ⊗ ( )♣

                  ⊗∞ ⊗2 ∫︁

                  ∞ 2

                • d
                • 2 ( )♣

                    ∫︁ 2

                  • d +1 8 ⊗2 8(2 )
                  • =

                    8

                    8 =

                    4 Sendo assim, vale que

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2

                  • 2 2

                      d + 2 d ( ) ⊗

                      ( ) ⊗ ( )♣ d ⊘ 2 ( ) ⊗ ( )♣ ( )♣

                      2

                      2 =

                      ⋃︀ ⋃︀ 2 2 Como (R), segue que é denso em (R).

                      ⊆

                       ∈Z ∈Z ⋃︀ 2 O fato de ser denso em (R) não signiĄca que, combinando todas as bases 2 ∈Z 2

                      (2 , obtemos uma única base ortonormal para (R). A explicação ¶2 ⊗ )♢ de 2 se deve ao fato de que, ainda que (2

                    • +1 , a base ortonormal ¶2 ⊗ )♢ de +1
                    • 2 +1

                        (2 e existem elementos de +1 não está contida na base ortonormal ¶2 ⊗ )♢ de 2

                      • +1
                      • 2 +1 (2

                          (2 ¶2 ⊗ )♢ que não são ortogonais com determinados elementos de ¶2 ⊗ )♢ 1 2 1 2 2 2

                          (como 2 (2 ) e 2 (2 ) com &gt; , por exemplo). Portanto, apenas com a função 2 1 2 não é possível obter uma base ortonormal para (R). 2 Como estamos interessados em obter bases para (R), considere que no restante 2 do capítulo o limite de funções ( (R), a não

                          ⊃ ) é tomado considerando a norma

                        28 Capítulo 2. Wavelets

                          2

                          2.1.3 Wavelet Haar e a base para (R)

                          é uma base para e temos que

                           ∈Z 1 . Porém, ao invés de utilizar a base de Como descrito anteriormente, ¶ ( )♢ 1 , será adotado um novo procedimento:

                          ⊖ partindo da base de , completamos a base de 1

                           ∈Z

                          com um conjunto ¶å( )♢ ) para uma certa função å. Isso equivale a determinar uma

                           ∈Z

                          (ortogonal a ¶ ( )♢ base para o complemento ortogonal de em 1 , que aqui será denotado de , de modo

                          ⌉︁ que = . 1 Para tal, a função å será exatamente a função Haar, deĄnida em a qual pode

                          ser expressada em função de :

                          å

                          ( ) = (2 ) ⊗ (2 ⊗ 1) é uma base ortogonal para . AĄrmação: ¶å( )♢ ∈Z Demonstração.

                          é uma base ortogonal já foi provado na Introdução. Que ¶å( )♢ ∈Z

                          e, por Ąm, mostrar que Assim, a prova consiste em mostrar que ¶å( )♢ ∈Z ⊖

                          é uma base de é base 1 ( )♢ ∈Z ∪ ¶å( )♢ ∈Z , o que signiĄca que ¶å( )♢ ∈Z

                          ⌉︁ de , já que = . 1

                          ∙ ¶å( )♢ ∈Z ⊖ Para , 1 2 ∈ Z, temos que:

                          ∫︁

                        • 1 2

                          å ) d

                          1 2

                            ⟨å(∙ ⊗ ), (∙ ⊗ )⟩ = ( ) (

                            ⊗∞

                          ∫︁ ∫︁

                          • ∞ +∞

                            = 1 2 1 2 ) d ⊗ 1) (

                            (2 ) ( ) d ⊗ (2

                            ⊗∞ ⊗∞ 1 ∫︁ ∫︁ 1

                          + +1

                          2 1
                          • + = ) d
                          • 2 2 1 ( ) d ⊗ ( 1 2 1 1 , 2

                              = 0 ∀ ∈ Z 1 2

                            1

                            , . 2 ∈ Z, segue que ¶å( )♢ ⊖ Logo, como ⟨å(∙ ⊗ ), (∙ ⊗ )⟩ = 0 ∀ ∈Z

                              é uma base de 1 ∙ ¶ ( )♢ ∈Z ∪ ¶å( )♢ ∈Z

                              Basta notar que

                              ⎧ (︃ ⟩ ⨆︀⎜ (︃ ⟩ ⨆︀⎜

                              √ √

                              ⋁︁

                              2

                              2

                              ⋁︁ ⋁︁

                            • ⋁︁ å se é ímpar ⊗ ⊗

                              ⋁︁ ⋁︁

                              2

                              2

                              2

                              2

                              ⋁︁ ⨄︁

                              √ 2 (2 ) =

                              ⋁︁

                              √ (︃ ⟩ ⨆︀⎜ √ (︃ ⟩ ⨆︀⎜

                              ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

                              2

                              2

                              ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ å se é ímpar

                              ⊗ ⊗ ⊗

                              ⎩

                              2

                              2

                              2

                              2 onde ⌊ ⌋ representa o maior número inteiro menor ou igual ao número real . Assim, podemos expressar todos os elementos da base de 1 por meio de elementos de

                            2.1. Wavelet Haar

                              29 Reescalonando o espaço , obtemos que: ⨁︁ 2 +1 = * * (2.5) å (2 é uma base ortonormal de . Sendo , temos que +1

                              e que ¶2 ⊗ )♢ * * *

                               ∈Z

                              ⊖ +1 = e * +1

                              ⋃︁

                            • * = . (2.6) +1

                               =⊗∞ ⋂︀

                              Assim, pela propriedade = ¶0♢:

                               ∈Z ⋂︁

                              = lim (2.7) = ¶0♢

                              

                            ⊃⊗∞

                            ∈Z

                              Por

                              temos que:

                            • * *

                              (︂ ⨁︁ ⨁︁ ⨁︁ )︂ ⨁︁ ⨁︁ ⨁︁

                            • * * * * * ′ ′
                              • +1 *

                                = = lim =

                                ⊗1 ⊗1 = ≤ ≤ ≤ = ⊃⊗∞ ′ ′

                                =⊗∞ =⊗∞

                                e que

                                ∞ ∞ ⋃︁ ⨁︁ ⨁︁ = +2 = +1 *

                                = +1 * ′ * (2.8)

                                Juntando

                                temos que: ∞ ∞ 2 ⋃︁ ⨁︁

                                (R) = = (2.9) 2 =⊗∞ =⊗∞ 2 å (2 é uma base ortonormal de (R).

                                ⊗ )♢ , ∈Z Assim, a base ¶2

                              • ⎛ ⎞

                                Existe também uma variação de

                                

                                = ⊗1 em

                                ∞ 2 ⨁︁ ⨁︁ ∐︁ ̂︀ 2 (R) = =0 2 (2.10)

                                A equação

                                mostra que å (2

                                 ∈Z ∪ ¶2 ⊗

                                (R) tem uma base dada por ¶ ( )♢ + , a qual é a mais parecida com a base considerada na expansão em Wavelet

                                 ∈Z,

                                )♢

                              30 Capítulo 2. Wavelets

                              2.2 Análise Multiresolucional

                                2 Na seção anterior, toda a construção da base ortonormal para o (R) foi baseada

                                na função característica (deĄnida em

                                para o intervalo [0, 1]) e na Wavelet Haar. Nesta

                                seção, será apresentada uma teoria generalizada para uma função Scaling qualquer, com o objetivo de construir uma análise multiresolucional. 1

                                ⊗1 ⊖ ⊖ ≤ ≤ ≤ com uma DeĄnição 2.2.1. Uma análise multiresolucional ≤ ≤ ≤ ⊖ 2

                                função Scaling é uma sequência crescente de subespaços do (R) que satisfazem as seguintes condições:

                                ⋃︀ 2

                                1. (Densidade) é denso em (R),

                                ⋂︀

                                2. (Separação) = ¶0♢,

                                

                                , 3. (Escalonamento) ( ) ∈ ⇐⇒ (2 ) ∈ é uma base ortonormal de .

                                4. (Ortonormalidade) ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z A partir da deĄnição, podemos deduzir algumas propriedades da análise multire- solucional e da função :

                                Teorema 2.2.1. Considerando a função deĄnida em 2 temos que o conjunto

                                (2 é uma base ortonormal de ¶2 ⊗ Ò)♢ Ò∈Z Demonstração.

                                Considere a transformação linear dada por: 2 2 : (R)

                                (R) ⊗⊃ 2 (2 )

                                ( ) ⊗⊃ 2 Pelo item

                                 da deĄnição 2 obtemos que ( ) = , e pela deĄnição da transformação,

                                (2 . Note que a transformação é ortogonal, já que (¶ ( Ò)♢ Ò∈Z ) = ¶2 ⊗ Ò)♢ Ò∈Z 2 se, dadas duas funções , (R) tais que ⟨ , ⟩ = 0, então 2 2

                                

                              , (2 ), 2 (2

                                ⟨ ⟩ = ⟨2 )⟩ = 2 ), (2

                                ⟨ (2 )⟩

                                

                              ∫︁

                                = 2 (2 ) (2 ) d

                                ∫︁

                                = ( ) ( ) d = 0

                                Como transformações ortogonais preservam a propriedade de base ortonormal de 2

                              2.2. Análise Multiresolucional

                                31 1 . Portanto, é possível

                                ⊖ Pela deĄnição da análise multiresolucional, temos escrever em função da base de 1 :

                                ∑︁

                                ( ) = (2.11)

                                (Ò) (2 Ò)

                                Ò∈Z

                                A equação

                                e portanto também será chamada de identidade escala.

                                É interessante agora obter condições sobre os coeĄcientes (Ò) da equação Os teoremas

                                 representam algumas delas.

                                Teorema 2.2.2. Seja (Ò) como em então

                              ∑︁ 2

                                = 2. (2.12) ♣ (Ò)♣

                                Ò∈Z Demonstração. Como 2 ∑︁ 2

                                (2.13) ⟨ ( ), ( )⟩ = ♣♣ ( )♣♣ 2 = ♣♣ (Ò) (2 Ò)♣♣ 2

                                Ò∈Z 2

                                (R) temos pela ortogonalidade das funções (2 Ò) em

                                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                = (2.14) (Ò) (2 Ò) ♣ (Ò)♣ ♣♣ (2 Ò)♣♣ 2

                                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Ò∈Z Ò∈Z 2 2 Pela deĄnição de norma em (R) e pelo item 2 ∫︁

                                = ♣♣ (2 Ò)♣♣ 2 (2 ) (2 Ò) d

                                ∫︁

                                1 = ( ) ( ) d (2.15)

                                2

                                1 2

                                1 = = 2

                                ( )♣♣ 2♣♣

                                2 Substituindo

                                 ∑︁ ∑︁ 2

                                1 2 2 = = 2 1 = ♣♣ ( )♣♣ 2 ♣ (Ò)♣ =⇒ ♣ (Ò)♣

                                2

                                Ò∈Z Ò∈Z

                              32 Capítulo 2. Wavelets

                                Teorema 2.2.3. Seja (Ò) como em então

                              ∫︁

                                (Ò) = 2 ( ) (2 Ò) d

                                √ Demonstração. ser uma base

                                Ò∈Z

                                A prova segue diretamente do fato de ¶ 2 (2 Ò)♢ ortonormal:

                                ∑︁

                                √ √ ( ) =

                                ⟨ (∙), 2 (2 ∙ ⊗Ò)⟩ 2 (2 Ò)

                                Ò∈Z ∑︁

                                = [2⟨ (∙), (2 ∙ ⊗Ò)⟩] (2 Ò)

                                Ò∈Z

                                Portanto, pela representação feita em

                                temos que: ∫︁

                                (Ò) = 2⟨ (∙), (2 ∙ ⊗Ò)⟩ = ( ) (2 Ò) d Pela deĄnição, uma função Scaling deĄne uma análise multiresolucional. Porém a aĄrmação inversa não é verdadeira. Portanto, são necessárias condições que permitam determinar se uma dada função gera uma análise multiresolucional. Tais condições serão deĄnidas por meio das propriedades dos coeĄcientes (Ò), que seguem da deĄnição

                                

                                Teorema 2.2.4. Seja (Ò) como em então

                              ∑︁

                                ′ ′ Ò (Ò ) (2Ò + Ò ) = 2Ó(Ò, 0) (2.16) ∈Z onde Ó representa a função delta de Kronecker.

                                Demonstração. Pelo item concluímos que: ∫︁

                                (2.17) ( Ò) ( ) d = Ó(Ò, 0);

                                Substituindo

                                 ∫︁ ∫︁ ∑︁

                                ′ ′

                                (Ò ) ) ( ) d ( Ò) ( ) d = (2 ⊗ 2Ò Ò Ò

                                ∈Z ∫︁ ∑︁ ∑︁

                                ′ ′ ′′ ′′

                                = (Ò ) (Ò ) ) d Ò Ò ′ ′′ (2 ⊗ 2Ò Ò ) (2 Ò

                                ∈Z ∈Z

                              ⊗1

                              2.2. Análise Multiresolucional

                                33 ∫︁ ∑︁ ∑︁

                                ∑︁ ∑︁ ′ ′ ⊗1 ′ ′′ ′′ ′′

                                (Ò ) (Ò ) ) d = 2 (Ò ) (Ò ) Ò Ò ′ ′′ (2 ⊗ 2Ò Ò ) (2 Ò Ò =2Ò+Ò ′′ ′

                                ∈Z ∈Z

                                Substituindo em

                                 ∑︁

                                ′ ′ Ò (Ò ) (2Ò + Ò ) = 2Ó(Ò, 0) ∈Z

                                Perceba que fazendo Ò = 0 em

                                como um caso especial.

                                Uma propriedade advinda da densidade, a qual é o item

                                 (análise ∫︀

                                multiresolucional), é que ( ) d ̸= 0. Caso contrário, isso seria verdade para todas as funções em todos os espaços , e logo cada um deles apenas conteria funções cuja integral

                                ⋃︀ 2

                                é nula. Assim, não seria denso em (R). Tal propriedade será utilizada no seguinte teorema:

                                Teorema 2.2.5. Seja (Ò) como em então

                              ∑︁

                                (Ò) = 2 (2.18)

                                Ò∈Z Demonstração.

                                Integrando a equação

                                obtemos que: ∫︁ ∫︁ ∑︁

                                ( ) d = (Ò) (2 Ò) d

                                Ò∈Z ∫︁ ∑︁

                                ⊗1

                                = (Ò)2 ( ) d

                                Ò∈Z

                              ∑︁

                                (Ò) = 2 =⇒

                                

                              Ò∈Z

                              ∫︀

                                onde a última implicação é devido a ( ) d ̸= 0.

                              2.2.1 Condições necessárias para uma análise multiresolucional

                                Nas próximas seções, o objetivo será produzir uma Scaling que gere uma análise multiresolucional, para que a partir dela seja possível deĄnir uma função Wavelet. Para tal, serão necessários alguns passos:

                              34 Capítulo 2. Wavelets

                                2. DeĄnir uma função Scaling a partir da identidade escala

                                

                                3. Demonstrar que a função deĄnida gera uma análise multiresolucional; 4. Construir uma função Wavelet.

                                No que se refere ao passo

                                a propriedade da análise multiresolucional mais com-

                                plexa de se demonstrar é a Ortonormalidade (item

                                 da deĄnição de Análise Multiresolu- cional) e será tratada em seções posteriores.

                                Devido a tal fato, neste momento será mostrado que, uma vez que atenda à Ortonormalidade e a uma condição de normalização

                                ∫︁

                                ( ) d = 1 (2.19) então a condição de Densidade e de Separação da deĄnição de análise multiresolucional também serão atendidas. 2

                                ∞

                              Teorema 2.2.6. Seja um subespaço qualquer de (R), que está contido em (R)

                                e que tem a propriedade de que 2 (2.20) ♣♣ ♣♣ ∞ ⊘ ♣♣ ♣♣ ∀

                                DeĄna pela condição de Escala da deĄnição de análise multiresolucional (sem a ne- cessidade de que +1 ). Então a propriedade de Separação da deĄnição de análise ⊖ multiresolucional vale.

                                Demonstração.

                                que atenda à equação

                                Então, como pela propriedade

                                Seja , temos

                                ⇐⇒ (2 de Escala da deĄnição de análise multiresolucional ( ) ∈ ) ∈ que:

                                √︃∫︁ √︃∫︁ 2 2 2 2 = d = 2 d = 2 2

                                ♣♣ ♣♣ ♣ ( )♣ ♣ (2 )♣ ♣♣ ♣♣

                                ∞

                                onde (R), obtemos

                                (∙) = (2 ∙). Com relação à norma ♣♣ ♣♣ ∞

                                ♣♣ ∞ = sup¶♣ ( )♣, ∈ R♢ = sup¶♣ (2 )♣, ∈ R♢ = ♣♣

                                Portanto, vale a seguinte desigualdade: 2 = 2 2 2 (2.21) ♣♣ ♣♣ ∞ ∞ ⊘ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ♣♣ ∀ ∈ Z

                                = ♣♣ ♣♣ Sendo assim, levando em conta a equação 2 podemos escrever que

                              2.2. Análise Multiresolucional

                                ⎞ ̂︀ 1 2

                                ⎞ ̂︀ 1 2

                                ♣♣ ♣♣ 2 =

                                ⎛ ∐︁ ∫︁ ∑︁

                                Ò∈Z

                                ♣ ( Ò)♣ 2 ( Ò)♣ 2 d

                                ⎞ ̂︀ 1 2

                                ♣♣ ♣♣ 2 =

                                ⎛ ∐︁ ∑︁

                                Ò∈Z

                                ♣ ( Ò)♣ 2

                                ∫︁

                                ♣ ( Ò)♣ 2 d

                                ♣♣ ♣♣ 2 =

                                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                ⎛ ∐︁ ∑︁

                                Ò∈Z

                                ♣ ( Ò)♣ 2

                                ⎞ ̂︀ 1 2

                                ♣♣ ♣♣ 2 Como possui suporte compacto, segue que

                                ∑︀ Ò∈Z

                                ♣ ( Ò)♣ 2 é uniformemente limitada, logo existe &gt; 0 tal que:

                                ⎛ ∐︁ ∑︁

                                Ò∈Z

                                ♣ ( Ò)♣ 2

                                ⎞ ̂︀ 1 2

                                ⊘

                                d

                                35 Considere agora uma função ∈ ⋂︀

                                Ąxa, então a inequação

                                ( ) =

                                vale para

                                todo ∈ Z. Logo, fazendo ⊃ ⊗∞ temos que ♣♣ ♣♣ ∞ = 0. Logo, = 0, o que implica que

                                ⋂︀ = ¶0♢.

                                A estimativa proposta na equação

                                pode ser atendida considerando limi-

                                tada e com suporte compacto, como é provado no seguinte lema:

                                Lema 2.2.7. Se é limitada, possui suporte compacto e a condição de Ortonormalidade

                                da deĄnição

                                

                                Demonstração.

                                Seja . Pela item

                                 (ortonormalidade):

                                ∑︁ Ò∈Z

                                ⧹︃ ∑︁ Ò∈Z

                                ( Ò)

                                ∫︁

                                ( ) ( Ò) d =

                                ∫︁

                                ( , ) ( ) d onde ( , ) =

                                ∑︀ Ò∈Z ( Ò) ( Ò). Então, pela desigualdade de Hölder:

                                ♣ ( )♣ ⊘

                                (︂∫︁

                                ♣ ( , )♣ 2 d

                                

                              )︂

                              1 2

                                ♣♣ ♣♣ 2 =

                                ⎛ ∐︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

                                ( Ò) ( Ò)

                              36 Capítulo 2. Wavelets

                                Teorema 2.2.8. Suponha que tenha suporte compacto e satisfaça e a

                                condição

                                 de Densidade da

                                deĄnição é satisfeita. 2 Demonstração. Considere (R) em dada por: a projeção ortogonal de

                                ∫︁ ∑︁

                                ( ) = 2 (2 ( ) (2 ⊗ Ò) ⊗ Ò) d

                                Ò∈Z 2 2 A prova se baseia em mostrar que lim (R) na norma (R), ⊃∞ = para toda ⋃︀ 2 o que implica que é denso em (R).

                                Como provado na seção anterior, a função Scaling dada pela função característica no intervalo [0, 1] gera uma análise multiresolucional e portanto satisfaz a condição de densidade da deĄnição

                                Logo, basta provar que, para todo intervalo compacto , 2 ä

                                lim = ä na norma (R), onde ä é a função característica no intervalo . Tal

                                 ⊃∞

                                fato pode ser justiĄcado pela seguinte argumento: considerando que lim ä = ä ,

                                 ⊃∞

                                então

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ 2 ä ä ä ä 2

                              • ♣♣ ♣♣ ⊗ + ⊗ ⊗ ♣♣

                                = ♣♣ =1 =1 =1 =1

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ä ä ä ä 2 2 2

                                ⊘ ♣♣ ♣♣ + ♣♣ ⊗ ♣♣ + ♣♣ ⊗ ♣♣ =1 =1 =1 =1

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                ( ä ä ä ä 2 2 2 = ♣♣ )♣♣ + ♣♣ ⊗ ♣♣ + ♣♣ ⊗ ♣♣ =1 =1 =1 =1

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁ ä 2 ä ä 2

                                ⊘ 2♣♣ ⊗ ♣♣ ⊗ ♣♣ =1 =1 =1 + ♣♣ Logo, como as funções características satisfazem a condição de densidade da deĄnição

                                 e lim ä = ä ⊃∞ , podemos obter &gt; 0 e um conjunto ¶ä : ∈ N♢ tal que

                                ∑︀ ∑︀ ∑︀ 1 1

                              ä &lt; ä ä &lt; &lt; .

                              2 2 2

                                ♣♣ =1 ⊗ ♣♣ e ♣♣ =1 ⊗ =1 ♣♣ . Logo ♣♣ ♣♣ 3 2 3 Para provar que lim ä = ä na norma (R), note que:

                                 ⊃∞ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ 2 2 ∑︁ ⧹︃ ⧹︃

                                ä =

                                2 (2 (2 d

                                ⧹︃ ⧹︃

                                ♣♣ ♣♣ 2 ⊗ Ò) ⊗ Ò) d

                                Ò∈Z ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∑︁ 2 2

                                = 2 ⧹︃ (2 ⧹︃ ⧹︃ (2 ⧹︃ d Ò) ⊗ Ò) d

                                Ò∈Z ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ 2 2 2 ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                = 2 (2 (2 d

                                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                ⊗ Ò) d Ò)

                                Ò∈Z ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ 2 ∑︁

                                ⧹︃ ⧹︃

                                = 2 (2

                                ⧹︃ ⧹︃

                                ⊗ Ò) d

                                Ò∈Z ∫︁

                              ⧹︃ ⧹︃

                              2 ∑︁

                                ⊗ ⧹︃ ⧹︃

                                = 2

                                

                              ⧹︃ ⧹︃

                              2 ( Ò) d

                                2.3. Wavelets

                                37 Considerando a normalização em

                                

                                se todo o suporte de (∙ ⊗ Ò) estiver

                                ⧹︃ ⧹︃ 2 ∫︀ ⧹︃ ⧹︃

                                contido em 2 , então = 1, mas se a interseção desse suporte com 2

                                ⧹︃ ⧹︃ 2 ( Ò) d ⧹︃ ⧹︃ 2 ∫︀ ⧹︃ ⧹︃ for nula, então = 0. ⧹︃ ⧹︃ 2 ( Ò) d

                                Seja 1 o comprimento do intervalo , 2 o comprimento do suporte de e

                                ∫︀ &gt;

                                = 1 10(1 + 2 + ), podemos aĄrmar que: ( )♣ d . Considerando tal que 2

                                ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ 2 ⧹︃ ⧹︃

                                ⊗

                                2 (2 1 2 ⧹︃ ⧹︃ (2 1 + 2 + 2 2 ) ⊗ 2 ⊗ 2 ⊘ 2

                                ) ⊘ 2 ( Ò) d 2

                                Ò∈Z

                                Fazendo ⊃ ∞, temos que: 2 2 lim ä = 1 ♣♣ ♣♣ 2 = ♣♣ä ♣♣

                                 ⊃∞

                                uma base ortonormal, segue do teorema de Pitágoras que: Portanto, sendo ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z

                                

                              ä

                                lim = ä

                                 ⊃∞

                                2.3 Wavelets

                                A partir desta seção, será utilizada uma nova notação. A função será denotada por å e fará parte de um par de elementos å , å , sendo å a função geradora da Wavelet. 1 1 O objetivo é encontrar å , å seja uma base ortonormal 1 tais que ¶å ( Ò)♢ Ò∈Z, ∈¶0,1♢ de é base ortonormal de , å e å devem ser combinações 1 1 1

                                . Como ¶ (2 Ò)♢ Ò∈Z , e logo devem satisfazer a seguinte identidade: lineares das funções em ¶ (2 Ò)♢ Ò∈Z

                                ∑︁ å =

                                (2.23) (Ò) (2 Ò), ∈ ¶0, 1♢

                                Ò∈Z

                                Porém, é necessário atribuir propriedades aos coeĄcientes . Primeiramente, assim como

                                esperamos obter ∑︁

                                ′

                              Ò (Ò ) (2Ò + Ò ) = 2Ó( , )Ó(Ò, 0) (2.24) ∈Z

                                ∫︀

                                A condição obtida na Função Scaling da Haar, em que ( ) d ̸= 0 não pode ser esperada da Wavelet å , então, assim como 1 a outra condição que pode ser atribuída aos coeĄcientes (em particular os ) é:

                                ∑︁

                                (Ò) = 2 (2.25)

                              38 Capítulo 2. Wavelets

                              2.3.1 Propriedades das Wavelets

                                Nesta subseção serão demonstrados alguns lemas e teoremas relacionados às Wa- velets quando se estabelecem algumas condições.

                                é um conjunto ortonormal e se (Ò) satisfaz

                                e Lema 2.3.1. Se ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z

                                 é um conjunto ortonormal.

                                então ¶å ( Ò)♢ Ò∈Z; ∈¶0,1♢ Demonstração.

                                Basta mostrar que

                                ∫︁ å ( )å

                                ( Ò) d = Ó( , )Ó(Ò, 0) De fato, utilizando

                                 ∫︁

                                ∫︁ ∑︁ ∑︁ ′ ′ ′′ ′′

                                å ( )å (Ò ) (Ò ) ) ) d (2.26)

                                ( Ò) d = (2 Ò (2 ⊗ 2Ò ⊗ 2Ò Ò Ò ′ ′′

                                ∈Z ∈Z

                                Porém, devido à ortogonalidade de ( Ò), temos que:

                                ∫︁ ∫︁

                                1

                                

                              2

                              ′ ′ ′′ ′′

                                ) ) d = ) ) d (2 Ò (2 ⊗ 2Ò ⊗ 2Ò ( Ò ( ⊗ 2Ò ⊗ 2Ò

                                2

                                1

                                ′ ′′

                                = Ó (Ò , 2Ò + Ò )

                                2 Portanto, temos que

                                se resume a: ∑︁ ∑︁

                                1

                                ′ ′′ Ò =2Ò+Ò ′ ′′ (Ò ) (Ò )

                                2 Utilizando

                                obtemos: ∑︁ ∑︁

                                1

                                ′ ′′ Ò =2Ò+Ò ′ ′′ (Ò ) (Ò ) = Ó( , )Ó(Ò, 0)

                                2 é um conjunto ortonormal em

                                Ò∈Z; ∈¶0,1♢ 1 , porém ainda não mostra que ele é uma base de Com esse lema, provamos que ¶å ( Ò)♢ 1 . Para tal, devemos mostrar que cada função (2 Ò) é uma combinação linear de tais funções. Os coeĄcientes dessa

                                combinação seriam, utilizando

                                 ∫︁ ∫︁ ∑︁

                                1

                                ′ ′

                                (Ò ) ) d = (2 ⊗ ˜Ò)å ( Ò) d = (2 ⊗ ˜Ò) (2 ⊗ 2Ò ÒÒ ⊗ 2Ò)

                              2.3. Wavelets

                                39 Portanto, é necessário mostrar que ∑︁ ∑︁

                                1 (2.27)

                                (˜Ò ⊗ 2Ò)å ( Ò)

                                2 =0,1

                                Ò∈Z

                                é igual a (2 ⊗ ˜Ò). Substituindo

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                1

                                ′ ′

                                (Ò ) (˜Ò ⊗ 2Ò) ) (2 ⊗ 2Ò Ò 2 ′ =0,1 Ò ′ ′′ Ò∈Z ∈Z 2Ò+Ò =Ò ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                1

                                ′′ ′′

                                = (Ò ) (˜Ò ⊗ 2Ò) ⊗ 2Ò) (2 Ò 2 ′′ =0,1 Ò ′′′ Ò∈Z ∈Z

                                ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                1

                                Ò=⊗Ò ′′ ′′′ ′′

                              ′′′

                                = (˜Ò + 2Ò ) (Ò + 2Ò ) ) (2 Ò 2 ′′′ ′′ =0,1 Ò Ò

                                ∈Z ∈Z ⎛ ⎞ ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                1

                                ′′′ ′′ ′′ ′′′ ∐︁ ̂︀

                                = (˜Ò + 2Ò ) (2Ò + Ò ) ) ′′ (2 Ò Ò =0,1 Ò 2 ′′′

                                ∈Z ∈Z

                                Então, basta mostrar que:

                                ∑︁ ∑︁ ′′′ ′′ ′′ ′′′ =0,1 Ò ′′′Ò + 2Ò ) (2Ò + Ò ) = 2ÓÒ, Ò ) (2.28)

                                ∈Z

                                para ˜Ò = 0 ou 1, por um argumento de translação. Tal desenvolvimento é utilizado para formular o seguinte lema:

                                Lema 2.3.2. A equação

                                

                                é uma base orto- sempre vale, i.e., ¶å ( Ò)♢ Ò∈Z; ∈¶0,1♢ normal para . 1 A prova desse lema

                                será deixada para a próxima seção, pois envolverá a transformada de Fourier. 2 O próximo teorema mostrará que a Wavelet å é uma base para (R) quando são 1 estabelecidas algumas condições sobre os coeĄcientes e a função Scaling .

                                

                              Teorema 2.3.3. Suponha que gere uma análise multiresolucional e (Ò) satisfaça

                              /2

                                

                                e å å (2 1

                                = . Então as funções ¶2 ⊗ Ò)♢ 2 (R) para ∈ Z, Ò ∈ Z, formam uma base ortonormal de

                                ⌉︁ Demonstração.

                                Seja o complemento ortogonal de em 1 é uma base ortonormal de . Tal aĄrmação é obtida 1 , ou seja, 1 = .

                                Ò∈Z

                                Podemos dizer que ¶å ( Ò)♢ pelo lema

                                 , que é uma base de .

                                apenas removendo ¶å ( Ò)♢ Ò∈Z Pela propriedade de escala:

                                ⨁︁

                                40 /2 Capítulo 2. Wavelets

                                å (2 é uma base ortonormal de . Mas 1

                                e ¶2 ⊗ Ò)♢ Ò∈Z 2 ⨁︁ (R) =

                                 ∈Z /2 å (2 formam uma 1

                                pela condição de densidade. Portanto as funções ¶2 ⊗ Ò)♢ ∈Z;Ò∈Z 2 base ortonormal de (R).

                                (︃ ⎜ ∞

                              2

                              ⌉︁ ⌉︁

                                É importante ressaltar que, sendo (R) = , o conjunto de funções /2 =0

                                å 1 (2 formam uma base ortonormal para

                                ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z ⊗ Ò)♢ ⊙0;Ò∈Z 2 junto com ¶2 (R). A vantagem dessa representação da base é que não é mais necessário utilizar as .

                                Ò∈Z

                                escalas de resolução &lt; 0 pela simples adição da base ¶ ( Ò)♢ Resumindo os resultados vistos até agora, temos as condições necessárias para que a função Scaling gere uma análise multiresolucional. Além disso, temos também condições 2 para que as próprias Wavelets sejam uma base ortonormal para (R):

                                Figura 1 Ű Condições sobre as funções Scaling para obtermos uma análise multiresolucional Figura 2 Ű Condições sobre os coeĄcientes e /2 1 para que o conjunto 2

                                å (2 seja base ortonormal de (R) 1

                                ¶2 ⊗ Ò)♢ Ò, ∈Z

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                41 Figura 3 Ű Condições sobre os coeĄcientes e para garantir a ortonormalidade das 1 funções å

                                2.4 Transformada de Fourier e Wavelets

                                Devido à estrutura convolucional das propriedades demostradas até agora, nesta seção será aplicada a Transformada de Fourier a tais equações que, devido ao teorema da Convolução, as transforma em simples multiplicações. O objetivo dessa etapa é construir os coeĄcientes da identidade Scaling, os quais são mais facilmente deduzidos no domínio da transformada de Fourier.

                                Primeiramente, serão enunciados teoremas e deĄnições em S(R) para em seguida

                                ′

                                enunciá-los em S (R), o espaço dual de Schwarts Isso será neces- sário pois consideraremos a transformada de polinômios trigonométricos, que não estão 2 em S(R) e nem em (R). As provas de tais teoremas podem ser encontrados em

                                ′ A deĄnição formal de S(R) e S (R) é dada a seguir:

                              DeĄnição 2.4.1. As funções de decrescimento rápido S(R) é o conjunto das funções

                                inĄnitamente diferenciáveis em R tal que Ð, Ñ Ð Ñ (2.29)

                                ♣♣ ♣♣ ⊕ sup ♣ ( )♣ &lt; Ñ ∈R

                              • + , sendo ( ) a derivada de ordem Ñ de ( ) em relação a .

                                para todo Ð, Ñ ∈ Z

                                ′ DeĄnição 2.4.2. O espaço topológico dual de S(R), denotado por S

                                (R), é chamado de espaço de distribuições temperadas. Em outras palavras, consiste no espaço de funcionais lineares que levam funções em S(R) ao corpo C.

                                Podemos agora deĄnir a transformada de Fourier e sua inversa no espaço S(R):

                                DeĄnição 2.4.3. A Transformada de Fourier ^

                                (ou ℱ¶ ♢) de uma função em S(R) será igual à vista em

                                ∫︁ 2Þ Ý

                                ^ (Ý) = ( ) d

                              42 Capítulo 2. Wavelets

                                ⊗1

                                sendo a Transformada Inversa de Fourier (ℱ ¶ ♢) dada por:

                                ∫︁ ⊗2Þ Ý

                                ( ) = ^ (Ý) dÝ que também pode ser escrita por: ^^ ( ) = (⊗ )

                                Note que a transformada e sua inversa estão bem deĄnidas, pois as funções de S(R) tem decaimento rápido.

                                Um resultado importante da transformada de Fourier é a chamada fórmula de Plancherel, que diz que a norma da transformada de uma função em S(R) é preservada pela transformada de Fourier:

                                Teorema 2.4.1. Suponha que ∈ S(R). Então vale que 2 2 (2.30)

                                ♣♣ ♣♣ = ♣♣ ^ ♣♣

                                Precisaremos utilizar a transformada não apenas em S(R), mas também em po-

                                

                                linômios trigonométricos, que pertencem a S (R). Sendo assim, é necessário deĄnir a trans- formada de Fourier no dual de S(R):

                                ′

                                (R). Então a transformada de Fourier de , denotada por

                                DeĄnição 2.4.4. Seja ∈ S

                                ^ , é a distribuição temperada deĄnida por ^ ( ) = ( ^ ) 2 Desejamos também estender a transformada de Fourier a todo o (R), para que 2 possamos utilizá-la para as funções Scaling e Wavelet, que estão deĄnidas em (R). Para tal, temos o seguinte teorema, demonstrado em

                                

                              Teorema 2.4.2. A transformada de Fourier se estende unicamente a um operador unitá-

                              2 2 rio de (R) em (R). A transformada inversa se estende unicamente para seu adjunto.

                              2.4.1 Propriedades no domínio da Transformada de Fourier

                                Nas seções anteriores foram introduzidos lemas e teoremas sobre as funções å e seus coeĄcientes. Agora, iremos obter resultados relacionados com as transformadas de Fourier das funções å . 2

                                é um conjunto ortonormal em (R) se e somente

                                Lema 2.4.3. O conjunto ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z

                                se

                                ∑︁ 2

                                ♣ ^ (Ý + Ò)♣ = 1 para todo Ý ∈ R

                              2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                43 Demonstração.

                                Considere Ò , Ò 1 2 ∈ Z. Pela propriedade do deslocamento, temos que: 2Þ ÝÒ 1 1 ^ (Ý)

                                ℱ¶ ( Ò )♢(Ý) = 2 ^ (Ý) 2Þ ÝÒ 2 ℱ¶ ( Ò

                                )♢(Ý) = Pela Fórmula de Plancherel

                                a Transformada de Fourier preserva a norma, e

                                é um conjunto ortonormal se e portanto o produto interno. Sendo assim, ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z somente se: 2Þ ÝÒ 2Þ ÝÒ 1 2

                                ^ (Ý), ^ , 0) (2.31) 1 2 (Ý)⟩ = Ó(ÒÒ

                                Denotando Ò 1 2 = Ò, a equação

                                é equivalente a

                                ⊗ Ò

                                ∫︁ 2Þ ÝÒ

                              2

                                dÝ = Ó(Ò, 0) ♣ ^

                                (Ý)♣ Porém, a integral em R pode ser quebrada em uma integral sobre o intervalo [0, 1], com o adicional de uma soma em Z:

                                ∫︁ 1 ∑︁ ′ 2Þ (Ý+Ò )Ò 2

                                (Ý + Ò dÝ = Ó(Ò, 0) ♣ ^ Ò )♣

                                ∈Z

                              2Þ ÝÒ

                                Devido à periodicidade da função , ela pode ser retirada do somatório, resul- tando em

                                ∫︁ 1 2Þ ÝÒ ∑︁ 2

                                (Ý + Ò dÝ = Ó(Ò, 0) ♣ ^ Ò )♣

                                ∈Z ∑︀ 2

                                Isso signiĄca que os coeĄcientes de Fourier da função (Ý + Ò no intervalo [0, 1] Ò ♣ ^

                                ∈Z )♣ ∑︀ 2

                              são Ó(Ò, 0), o que implica que (Ý + Ò deve ser a função constante 1. Ò ♣ ^

                                ∈Z )♣

                                Algumas das expressões obtidas nas seções anteriores terão uma forma diferente

                              44 Capítulo 2. Wavelets

                                aplicar a Transformada de Fourier resulta em

                                ⎧ ⎫ ⨄︁ ⋀︁ ∑︁

                                ^

                                å

                                (Ý) = ℱ (Ò) (2 ≤ ⊗Ò)

                                ⎩ ⎭ Ò∈Z

                                ⎛ ⎞ ∑︁ ∐︁ ̂︀

                                = (Ò) ℱ ¶ (2 ≤ ⊗Ò)♢

                                Ò∈Z

                                (2.32)

                                

                              ⎛ ⎞

                              (︂ )︂ ∑︁

                                1 Þ ÝÒ

                                1

                                

                              ∐︁ ̂︀

                                = (Ò) ^ Ý

                                2

                                2

                                Ò∈Z

                              (︂ )︂ (︂ )︂

                                1

                                1 = Ý ^ Ý

                                2

                                2 onde

                                

                              ∑︁

                                1 2Þ ÝÒ (Ý) = (Ò) (2.33)

                                2

                                

                              Ò∈Z

                                Para a geração de Wavelets (e portanto no restante do capítulo) será considerado que existe apenas um conjunto Ąnito de inteiros Ò para os quais (Ò) é diferente de zero, o que justiĄca a troca entre somatórios e integrais. Além disso, esse número Ąnito de Ò garante que é periódico, condição necessária mais à frente. Logo, pela equação

                                

                                é possível notar que é suave e periódica. Pela equação

                                obtemos que

                                (0) = 1 (2.34) e utilizando a equação

                                também temos que

                                ^ (0) = 1 (2.35) Como å = , a equação

                                pode ser iterada, já que resulta em (︂ )︂ (︂ )︂

                                1

                                1

                                Ý Ý

                                ^ (Ý) = ^ (2.36)

                                2

                                2

                                (︁ )︁ (︁ )︁ (︁ )︁ 1 1 1 Substituindo sucessivamente no lado direito da equação ^ Ý por +1 Ý ^ +1 Ý , 2 2 2 obtemos

                              ⎡ ⎤

                              (︂ )︂ (︂ )︂

                                ∏︁

                                1

                                1

                                

                              ⨄︀ ⋀︀

                                ^ (Ý) = Ý ^ Ý (2.37) =1

                                2

                                2 Com base em

                                é de se esperar que valha a equação (︂ )︂

                                ∞ ∏︁

                                1 ^ (Ý) = Ý

                                (2.38)

                                2

                              2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                45 Essa equação é de extrema importância, pois diz que a função ^ pode ser unicamente

                                determinada a partir do coeĄciente . Uma vez provada

                                podemos

                                aĄrmar também que:

                                (︂ )︂ ∞ (︂ )︂ ∏︁

                                1

                                1 ^

                                

                              å Ý Ý

                                (Ý) = (2.39)

                                2 =2

                                2 2 2 Para provar

                                será necessário introduzir o operador : (R) dado

                                (R) ⊃ por

                                ∑︁

                                ( )( ) = Ò (Ò) (2 Ò) Além disso, considere as funções Ö

                                ( ∈ N) dadas por

                                

                              Ö ( ) = ä ( )

                              [⊗1/2,1/2)

                                

                              Ö ( ) = ( Ö )( )

                              ⊗1

                                e deĄna

                                (︂ )︂

                                

                              ∏︁

                                1 ^Ö (Ý) = Ý (2.40)

                                ∞ =1 2

                                2 A intenção é mostrar que Ö (R), o que será obtido nos dois próximos ⊃ na norma lemas e no teorema subsequente, cujas provas encontram-se em

                                O próximo lema diz que o produtório em

                                converge pontualmente: Lema 2.4.4. Suponha que, para algum &gt; 0,

                                ∑︁ &lt; Ò (Ò)♣♣Ò♣ ∞

                                Então

                                

                                converge pontualmente, para todo Ý ∈ R. A convergência é uniforme em conjuntos compactos.

                                ∑︀ Demonstração. Como (Ò) = 2, temos que Ò

                                (︁ )︁

                              ∑︁

                                1 2Þ Ý (Ý) = 1 + (Ò)

                                ⊗ 1

                                2 Ò logo

                                ∑︁

                                ♣ (Ý) ⊗ 1♣ ⊘ ♣ (Ò)♣♣sen (ÞÝÒ) ♣

                                46 Capítulo 2. Wavelets à à &gt; à ,

                                Como para todo 0 &lt; à ⊘ 1 existe 0 tal que, para todo Ð ∈ R, ♣sen(Ð)♣ ⊘ Ð♣ temos que

                                ⎟ ⟨ 1 ∑︁ min(1, ) min(1, )

                                ♣ (Ò)♣♣Ò♣ ♣Ý ♣ (Ý) ⊗ 1♣ ⊘ Ò

                                Portanto, temos que min(1, )

                                ⊗

                                (2 Ý Ú (2.41) 2 min(1, ) ) ⊗ 1♣ ⊘ Ý ♣ onde Ú = 2 &gt;

                                1. A condição necessária e suĄciente para o produtório convergir é que a série

                                ∞ [︁ ]︁ ∑︁

                                ⊗ =1 log (2 Ý ) (2.42)

                                seja convergente. Escrevendo (2 Ý ) = , com &gt; 0 e

                                ¶♢ ¶♢ ¶♢ ∈ [0, 2Þ), o

                                somatório

                                pode ser reescrito como ∞

                                (︁ )︁ ∑︁ =1 log ♣ ♢ ♣ + ♢ ∑︀

                                ∞ =1 ¶♢ ♣ converge, pois, para ∈ N:

                              • ∞ ∞

                                Claramente, a série log ♣

                                ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ∑︁ ⧹︃ ⊗ ⧹︃

                                log (2 Ý )

                                ⧹︃ ⧹︃ = = * * log ♣ ♢ ♣ = ∞

                                (︁ )︁ ∑︁ min(1, )

                                log 1 + Ú 2 * ⊘ ♣Ý =

                                ∞ ∑︁ ⊗ min(1, ) 2 Ú

                                ♣Ý

                                log * =

                                ∞ ∑︁ min(1, )

                                ⊗

                                = 2 Ú * = min(1, ) +1 *Ý2 ÝÚ

                                =

                                Ú 1 ⊗ 1

                              • ♢ ♣ ⊘
                              • 2 ∞ ∞ ∑︁ ∑︁ min(1, )

                                  Considere agora . Temos que tal que ♣

                                  ⊗

                                  2 Ú 2 = = * *♢ ⊘ ♣Ý min(1, ) +1 *

                                  2 2ÝÚ

                                  =

                                  Ú

                                  ⊗ 1 Portanto, a série

                                  converge pontualmente. Além

                                  disso, devido a

                                  converge uniformemente em conjuntos compac-

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                  47 Uma vez bem deĄnida a função ^Ö , é automático notar que ela satisfaz a equação ∞

                                  

                                  

                                e sendo assim, iremos tomar Ö como a função Scaling . Resta agora mostrar que

                                  a sequência de funções Ö converge para Ö . Antes disso, precisaremos mostrar mais um

                                  ∞

                                  resultado no próximo lema, que irá impor algumas restrições sobre , como a de que ele 2Þ Ý seja divisível por (1 + ) , para algum &gt; 0, o qual é um dos critérios para garantir a continuidade de Ö

                                  ∞ [︁ (︁ )︁]︁ 1 2Þ Ý ∑︀ 2ÞÒÝ

                                  Lema 2.4.5. Se (Ý) = 1 + Ò (Ò) 2 (Ý), onde ∈ N e (Ý) = satisfaz ∑︁

                                  &lt; Ò (Ò)♣♣Ò♣ ∞ para algum &gt; 0, e

                                  sup ♣ (Ý)♣ =

                                  Ý∈R

                                  então existe &gt; 0 tal que, para todo Ý ∈ R,

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︂ )︂ ⧹︃ ∞

                                  ∏︁ ⧹︃

                                  1 ⧹︃

                                  ⊗ +(log )/(log 2) ⧹︃ ⧹︃

                                  Ý

                                  ⊘ (1 + ♣Ý♣)

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ =1 √︂ ∞ ⊗ ⊗1

                                  Demonstração.

                                  Como cos(2 ) = sen( ), temos que =1

                                  (︂ )︂ [︂ ∞ ∞

                                  

                                (︁ )︁]︂

                                ∏︁ ∏︁ ⊗

                                  1

                                  1 2Þ 2 Ý

                                  ⊗

                                Ý = 1 + (2 Ý )

                                =1 =1

                                  2

                                  2

                                  ⎟ ⊗ Þ 2 Ý

                                  (︁ )︁ ∏︁ ⊗ Ý +Þ 2 ÝÞ 2 ⊗

                                  = (2 Ý ) + =1

                                  2

                                  ⎡ ⎤ (2.43) ∞ ∞ ÞÝ ∏︁ ∏︁ ⊗

                                  

                                ⨄︀ ⋀︀

                                  = cos(Þ2 Ý ) (2 Ý ) =1 =1

                                  ⎟ ⟨

                                  ∏︁ ÞÝ sen(ÞÝ) ⊗

                                  = (2 Ý )

                                  ÞÝ =1

                                  Devido ao lema

                                  converge uniformemente em com-

                                  pactos. Sendo assim, existe 1 &gt; 0 tal que, para todo ♣Ý♣ ⊘ 1:

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︂ )︂ ⧹︃ ∞

                                  ∏︁ ⧹︃

                                  1 ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ Ý (2.44) 1

                                  ⊘

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ =1

                                  Agora considere ♣Ý&gt; 1 e determine um ∈ N tal que +1

                                  ⊗

                                48 Capítulo 2. Wavelets

                                  ∑︁ Ò

                                  ⊗

                                  1 +

                                  ∞ ∏︁ =1 (︃

                                  ⊘

                                  ⎜

                                  ♣ (Ò)♣♣Ò

                                  ♣

                                  ∑︁ Ò

                                  ⊗

                                  ♣ min(1, ) ♣2

                                  ⊗ Ý

                                  1 +

                                  ∞ ∏︁ =1 (︃

                                  ⊘

                                  ♣

                                  ♣ (Ò)♣♣Ò

                                  ⊗ Ý )

                                  ♣Ýlog / log 2 de modo que podemos escrever em geral para ♣Ý&gt; 1 e &gt; 0, existe algum &gt; 0 tal que

                                  ⊘ Ýlog / log 2 (1 + ♣Ý♣) log / log 2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗ Ý )

                                  (2

                                  ∞ ∏︁ =1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ′

                                  ⎜

                                  ⊘ log Ýlog / log 2 =

                                  (1+log ♣Ý/ log 2) log

                                  = Ýlog / log 2 e para &gt; 1 temos log

                                  log ♣Ý♣ log / log 2

                                  Agora, para &lt; 1 temos log

                                  ⊘ = log

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  (2

                                  ou seja, tal que log ♣Ý/ log 2 &lt; ⊘ 1 + log ♣Ý/ log 2 Então, reescrevendo o produtório de (Ý) em

                                  ∏︁ =1

                                  (2

                                  ∞ ∏︁ =1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗ Ý )

                                  (2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  =

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗ Ý )

                                  (2

                                  ∞ ∏︁ =1

                                   ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗

                                  ⊗ Ý )

                                  ∞ ∏︁ =1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣Ý&lt; 1, e logo obter que

                                  notando que e 2 ⊗

                                  (Ò) = 1, de modo que podemos realizar o mesmo desenvolvimento feito no lema

                                  ∑︀ Ò

                                  Note que como (0) = (0), então

                                  ⊗ Ý )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⊗

                                  (2

                                  ∞

                                ∏︁

                                =1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊘

                                • ♣2
                                • ♣2

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                  )︁]︂

                                  ⊘ 2Ý

                                  ⊗

                                  (1 + ♣Ý♣) log / log 2 (1 + ♣Ý♣)

                                  ⊗ +log / log 2 Portanto, existe &gt; 0 tal que essa inequação é válida para todo Ý ∈ R.

                                  Agora, é possível mostrar que, de fato, ÖÖ ∞ na norma 2 (R). Isso será impor- tante na próxima seção pois deĄnirá uma situação na qual podemos dizer que uma tem suporte compacto.

                                  Teorema 2.4.6. Seja (Ý) como em sendo ∑︀ Ò

                                  = 2. Suponha ainda que (Ý) =

                                  [︂

                                  1

                                  2

                                  (︁

                                  1 + 2Þ Ý

                                  (Ý) para algum ∈ N e (Ý) =

                                  ⊗ Ý )

                                  ∑︀ Ò

                                  (Ò) 2Þ ÒÝ tal que

                                  ∑︁ Ò

                                  ♣ (Ò)♣♣Ò

                                  &lt;

                                  ∞ para algum &gt; 0 e ainda sup

                                  Ý∈R

                                  ♣ (Ý)♣ = &lt; 2

                                   1 2 Então a função constante por partes Ö , deĄnida recursivamente por Ö ( ) =

                                  ∑︁ Ò

                                  (Ò)Ö

                                   ⊗1 (2 Ò)

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  49 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ∞ ∏︁ =1 (︂

                                  1 + ♣Ý

                                  1

                                  2

                                  Ý )︂ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊘ (1 + ♣Ý♣)

                                  ⊗ +(log )/(log 2)

                                  já que (1 + ♣Ý♣)

                                  ⊗ +(log )/(log 2)

                                  é limitado inferiormente por uma constante positiva não nula quando Ý varia nesse intervalo. Já para ♣Ý&gt; 1, note que ♣Ý

                                  ⊗

                                  ⊘

                                  (︃

                                  2

                                  ∞ ∏︁ =1

                                  ⎜ ⊗

                                  de modo que existe &gt; 0 tal que, para ♣Ý&gt; 1, vale

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ∞ ∏︁ =1 (︂

                                  1

                                  2

                                  Ý )︂ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊘

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(ÞÝ)

                                  

                                ÞÝ

                                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  (2

                                50 Capítulo 2. Wavelets

                                  

                                Ö ( ) = ä ( )

                                [⊗1/2,1/2)

                                  converge pontualmente para a função contínua deĄnida por

                                  

                                ∏︁

                                  ⊗

                                Ö ( ) = (2 Ý )

                                  ∞

                                =1

                                Demonstração.

                                  Tomando a transformada de Fourier de Ö obtemos:

                                  ⎡ ⎤ ⎟ ⟨ ⊗

                                  ∏︁

                                  sen(2 ÞÝ )

                                  

                                ⨄︀ ⋀︀

                                  ^Ö (Ý) = (2 Ý )

                                  ⊗ ÞÝ =1

                                  2 Pelo lema

                                  ^Ö converge uniformemente para ^Ö em conjuntos compactos. Isso signiĄca ∞

                                  que, para todo Ó &gt; 0 e para todo &gt; 0, é possível achar tal que, para

                                  ∫︁ 2

                                  ♣^Ö (Ý) ⊗ ^Ö ∞ (Ý)♣ dÝ Ó 1Ý♣⊘ 2

                                   2 Por outro lado, como &lt; 2 , temos que ^Ö (R), já que utilizando o lema

                                   ∞ ∈

                                  ⧹︃ ⧹︃ 2

                                ⧹︃ ⧹︃

                                2 ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∞

                                ⧹︃ ⧹︃

                                  ∏︁ 2 sen(ÞÝ) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊗ ⧹︃ ⧹︃

                                  (2 Ý ) dÝ

                                  

                                ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣^Ö ∞ ♣ dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                ⧹︃ ⧹︃

                                ÞÝ

                                  ♣Ý&gt;1 ♣Ý&gt;1 ⧹︃ ⧹︃ =1 ∫︁ 2 log / log 2

                                  ⊗2

                                  dÝ ⊘ ♣Ý♣ ♣Ý

                                  (2.45)

                                  ♣Ý&gt;1 ∫︁

                                  ∞

                                  dÝ ⊘ 2 Ý2 1

                                  ⊘ sendo que = ⊗2 + 2 log / log 2 &lt; ⊗1 e portanto a integral converge para uma constante . Portanto, para todo Ó &gt; 0 existe &gt; 0 tal que 2

                                  ∫︁ 2

                                  ♣^Ö ∞ ♣ dÝ Ó

                                  ♣Ý♣⊙

                                  Sendo assim, como

                                  ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2 2 2

                                  dÝ + dÝ (2.46) ♣^Ö (Ý) ⊗ ^Ö ∞ (Ý)♣ dÝ ⊘ ♣^Ö (Ý)♣ ♣^Ö ∞ (Ý)♣

                                  ♣Ý♣⊙ Ý♣⊙ Ý♣⊙

                                  basta agora provar que, para todo Ó &gt; 0, existe &gt; 0 e grandes o bastante tais que, para

                                  ∫︁ 2

                                  ♣^Ö (Ý)♣ dÝ Ó

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ∑︁ ̸=0

                                  dÝ =

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ Þ (Ý + 2 )

                                  2

                                  ⊗ Þ (Ý + 2 )]

                                  sen[2

                                  )♣ 2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ♣ (Ý + 2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ∑︁ ̸=0

                                  dÝ =

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ ÞÝ

                                  2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  sen(2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊙2 ⊗1

                                  sen(2

                                  dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  sen(2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ∫︁

                                  dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗ ÞÝ + Þ

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  )︂]︂ ⊗2

                                  2

                                  1

                                  ⊗

                                  

                                (︂

                                  [︂ Þ

                                  ∑︁ ̸=0

                                  dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  51 DeĄna a função como

                                  (Ý) =

                                  dÝ (2.47) Para tal, iremos separá-la em duas partes: uma para ♣Ý♣ ⊙ 2

                                  ∏︁ =1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣ (Ý)♣ ⊘

                                  obtemos outra propriedade:

                                  Devido ao lema

                                  (Ý)♣ ⊘ 1, pois ♣ (Ý)♣ ⊘ 1 (2.48)

                                  É também importante ressaltar algumas propriedades de : ♣

                                   ⊗1 .

                                  e outra para ⊘ ♣Ý♣ ⊘ 2

                                   ⊗1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ Ý

                                  ⊗ ÞÝ

                                  2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  sen(2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊙

                                  Então precisamos calcular a integral

                                  ⊗ Ý )

                                  (2

                                  

                                ∏︁

                                =1

                                  cos(Þ2

                                  )

                                   ⊗1

                                  )♣ ⊘

                                  Primeiramente, calcularemos a integral para ♣Ý♣ ⊙ 2

                                  segue que é periódica, com período 2 .

                                  (1 + ♣Ý♣) Ñ (2.49) sendo Ñ = log / log 2. Além disso, por

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  )

                                  ⊗ ÞÝ

                                  sen(ÞÝ) sen(2

                                  ⊗

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗ Ý

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ♣ (2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∏︁ =1

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  sen(ÞÝ) sen(2

                                  ⊗

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  )♣ ⊘

                                  ⊗ Ý

                                  ♣ (2

                                  ∏︁ =1

                                  . Utilizando a periodicidade de , temos que:

                                52 Capítulo 2. Wavelets

                                  sen

                                  (1 + 2

                                   ⊗1

                                  ) 2Ñ

                                  2

                                   ⊗1 ∫︁ 1 Ú ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  (︂ Þ

                                  d ⊘ 2

                                  2

                                  )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗2

                                  d ⊘ 2

                                  ⊗2 +1

                                  (1 + 2

                                  ⊗2 +1

                                  ⊗2

                                  ) 2Ñ

                                  2

                                  2 sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗2

                                  dÝ ⊘ 2

                                  ⊗2 +1

                                  

                                ⊗1

                                ∫︁ 1 Ú

                                  )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  (1 + 2

                                   ⊗1

                                  ) 2Ñ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen

                                  (︂ Þ

                                  2

                                   ⊗1

                                  2

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ

                                  ⊗2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  dÝ 3

                                  Ú 2

                                  2

                                   (1+2Ñ⊗2 ) Ú

                                  = 3

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⊗2Ð( ⊗1)

                                  2

                                   (1+2Ñ⊗2 )

                                  2

                                  2Ð ( ⊗1) ⊗2Ð( ⊗1) (1+2Ñ⊗2 +2Ð )

                                  sen(2

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                   ⊗1 ∫︁ 1 Ú ⧹︃

                                   (1+2Ñ⊗2 ) 2 ∫︁ 1 Ú

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  Þ

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗2

                                  d ⊘ 2

                                  ♣

                                  ♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ⊗2

                                  d 2

                                  2

                                   (1+2Ñ⊗2 ) Ú

                                  ⊗2

                                  Substituindo os dois últimos resultados em

                                  obtemos: ∫︁

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ∫︁ 2 ⊗1

                                Ú⊘♣Ý♣⊘2

                                ⊗1

                                  Considere agora Ú = 2

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  dÝ

                                  Þ 2 Ú 2

                                  4

                                  ♣ (Ý)♣ 2 dÝ +

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ∫︁ 2

                                ⊗1

                                Ú⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ♣ (Ý)♣ 2 dÝ (2.50)

                                  Agora, calculando a integral do primeiro termo em

                                  temos, utilizando a propriedade

                                  vista em

                                   ∫︁

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ∫︁ 2 ⊗1 Ú⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ♣ (Ý)♣ 2 dÝ

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⊗Ð( ⊗1)

                                  , sendo que Ð ∈ (0, 1) será Ąxado posteriormente. Então

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  dÝ +

                                  dÝ

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊘1

                                  ♣ (Ý)♣ 2 dÝ

                                  ⊗2 ∫︁

                                  dÝ ⊘ 1 + Þ

                                  ⊗2 ∫︁

                                  1⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  (1 + ♣Ý♣) 2ÑÝ

                                  ⊗2

                                  dÝ ⊘ 1 + Þ

                                  ∞ 1

                                  ♣ÞÝ

                                  (1 + ) 2Ñ

                                  ⊗2

                                  d sendo que

                                  é Ąnito pois 2(Ñ ) &lt; ⊗1. Calculando a integral do segundo termo em

                                  

                                  considerando que ♣sen( )♣ ⊙ 2♣ para ♣ ♣ ⊘ Þ 2 , obtemos

                                  ∫︁ 2 ⊗1 Ú⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ⊗2

                                  ⊗2

                                  ♣ (Ý)♣ 2 dÝ +

                                  ⊗2

                                  

                                ∫︁

                                1⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2 sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  dÝ ⊘ 1 +

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  ∫︁ 1⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1 Ú

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  2

                                  ⊗ ÞÝ

                                • 2
                                • 2

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                  ∫︁ ♣Ý♣⊙

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⊗

                                  sen(ÞÝ) sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ dÝ 2

                                  ∫︁ ⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ♣Ý

                                  ⊗2

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ dÝ ⊘ 2 2

                                  ∫︁ ∞ ⊗2

                                  (1 + ) 2Ñ dÝ Como 2Ñ ⊗ 2 &lt; ⊗1, a integral tende a zero quando ⊃ ∞, uniformemente em . Isso mostra que, para todo Ó &gt; 0, escolhendo e suĄcientemente grandes, vale que

                                  ♣^Ö (Ý)♣ 2 dÝ Ó e portanto, por

                                  dÝ

                                  

                                  ♣♣^Ö ⊗ ^Ö ∞ ♣♣ 2 ⊃ 0 quando ⊃ ∞.

                                  Note que, com uma pequena modiĄcação no teorema, fazendo &lt; 2

                                   ⊗1

                                  , conse- guimos garantir que a função Ö

                                  ∞

                                  seja limitada pois, como Ö

                                  ∞

                                  ( ) =

                                  ∫︀ ⊗2Þ Ý

                                  ^Ö

                                  ∞

                                  (Ý) dÝ e de

                                  ∫︁ ⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  53 Escolhendo Ð como sendo Ð =

                                  2 ⊗ 2Ñ ⊗ 1 2 + 2 implica que

                                  ⊗ ÞÝ

                                  tende a zero quando ⊃ ∞.

                                  Por Ąm, calculando a integral

                                  

                                  para ⊘ ♣Ý♣ ⊘ 2

                                   ⊗1

                                  , considerando novamente que ♣sen( )♣ ⊙ 2♣ para ♣ ♣ ⊘ Þ 2 e utilizando a propriedade vista em

                                  temos ∫︁

                                   ⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ♣ (Ý)♣ 2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  ⊗ ÞÝ

                                  dÝ

                                  ∫︁ ⊘♣Ý♣⊘2 ⊗1

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  2

                                  ⊗

                                  sen(ÞÝ) sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  (1 + ♣Ý♣) 2Ñ

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  sen(2

                                  ⊗ ÞÝ )

                                  2

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                  54 Capítulo 2. Wavelets ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊗2Þ Ý ⧹︃ ⧹︃

                                  ^Ö (Ý) dÝÖ ∞ ( )♣ = ∞

                                  ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊗2Þ Ý ⧹︃

                                  ^Ö (Ý) dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊘ ∞

                                  ∫︁

                                  ⊘ ♣^Ö ∞ (Ý)♣ dÝ

                                  ♣Ý&gt;1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∞

                                  ⧹︃ ⧹︃ ∏︁

                                  sen(ÞÝ) ⧹︃ ⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⊗ ⧹︃ ⧹︃

                                  (2 Ý ) dÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  ⊘

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ♣Ý&gt;1 ÞÝ

                                  ⧹︃ ⧹︃ =1 ∫︁ log / log 2

                                  dÝ ⊘ ♣Ý♣ ♣Ý

                                  ♣Ý&gt;1 ∫︁

                                  ∞

                                2

                                  dÝ ⊘ 2 Ý4 1

                                  ⊘ onde 2 = ⊗ + log / log 2 &lt; ⊗1 e portanto a integral converge.

                                  Uma vez bem deĄnida ^Ö , precisaremos de mais algumas informações sobre os

                                  ∞

                                  coeĄcientes e . Uma delas é a generalização do lema

                                  que será feita com o

                                  intuito de facilitar provas subsequentes:

                                  Lema 2.4.7. Considerando válidas ou seja:

                                  ∑︁ ′

                                Ò (Ò ) (2Ò + Ò ) = 2Ó( , )Ó(Ò, 0) (2.51)

                                  ∈Z ∑︁

                                  (Ò) = 2 (2.52)

                                  Ò∈Z

                                  então pelo lema

                                  

                                  ¶å ( Ò)♢ Ò∈Z; ∈¶0,1♢ é uma base ortonormal e

                                  ∑︁

                                  ^

                                  å (Ý + Ò) ^ å (Ý + Ò) = Ó( , ) (2.53) Ò∈Z Demonstração.

                                  A prova é análoga à do lema

                                  Pela ortonormalidade, pela propriedade

                                  do deslocamento e pela preservação da norma através da Fórmula de Plancherel, vale que 2Þ ÝÒ 2Þ ÝÒ 1 2 ^ ^

                                  å (Ý), å , 0)Ó( , ) 1 2

                                  ⟨ (Ý)⟩ = Ó(ÒÒ Repetindo os passos feitos no lema

                                  sendo Ò 1 2 = Ò, quebrando a equação em R

                                  ⊗ Ò

                                2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                  55 2Þ ÝÒ 2Þ ÝÒ 2Þ ÝÒ 1 2 ∫︁

                                  ^ ^ ^

                                  å (Ý), å å (Ý) ^ å (Ý) dÝ

                                  ⟨ (Ý)⟩ =

                                  ∫︁ 1 2Þ ÝÒ ∑︁ ′

                                  ^ ′

                                  å å

                                  = (Ý + Ò ) ^ (Ý + Ò ) dÝ Ò

                                  ∈Z

                                  = Ó(Ò, 0)Ó( , )

                                  ∑︀ ′ ^ ′

                                  å å

                                  Novamente, os coeĄcientes de Fourier da função (Ý + Ò ) ^ (Ý + Ò ) no Ò

                                  ∈Z ∑︀

                                  ′ ^ ′ intervalo [0, 1] são Ó(Ò, 0)Ó( , ), o que signiĄca que å (Ý + Ò ) ^ å (Ý + Ò ) deve ser a Ò ∈Z função delta de Kronecker Ó( , ).

                                  Agora considere Ö = 0 e Ö = 1/2. Então cada elemento de Z pode ser escrito na 1 2 forma 2(Ò + Ö

                                  

                                  ), com Ò variando em Z e ∈ ¶1, 2♢. Substituindo essa notação em 2

                                  ∑︁ ∑︁ ∑︁

                                  ^ ^

                                  å (Ý + Ò) ^ å (Ý + Ò) = å (Ý + 2(Ò + Ö )) ^ å (Ý + 2(Ò + Ö )) =1 Ò∈Z Ò∈Z

                                  Substituindo

                                  obtemos 2 (︂ )︂ (︂ (︂ 2 ∑︁ ∑︁

                                  1 1 )︂ ⧹︃⧹︃ 1 )︂⧹︃⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ Ý + Ò + Ö Ý + Ò + Ö ^ Ý + Ò + Ö

                                  ⧹︃ ⧹︃ =1

                                  2

                                  2

                                  2

                                  Ò∈Z

                                  Considerando que é periódico, temos 2 (︂ )︂ (︂ (︂ ⧹︃ 2 ∑︁

                                  )︂ ∑︁ ⧹︃

                                  1

                                  1 1 )︂⧹︃⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ Ý Ý Ý

                                • Ö + Ö ^ + Ò + Ö

                                  ⧹︃ ⧹︃ =1

                                  2

                                  2

                                  2

                                  Ò∈Z

                                  Pelo lema

                                   2 temos ∑︁ =1 (Ý + Ö ) (Ý + Ö ) = Ó( , ) (2.54) que representa a Transformada de Fourier da condição

                                  

                                  Além disso, se Ązermos = em

                                  obtemos ⧹︃ (︂ 2 ⧹︃ 2 1 )︂⧹︃⧹︃

                                  ⧹︃

                                ⧹︃

                                Ý

                                  (2.55) ♣

                                  (Ý)♣ = 1 para todo Ý ∈ R

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  2 o que implica em (2.56)

                                  ♣ (Ý)♣ ⊘ 1 para todo Ý ∈ R

                                  å

                                56 Capítulo 2. Wavelets

                                  ′′

                                  Com a teoria desenvolvida até aqui, já é possível provar o lema

                                   Lema

                                  A equação ∑︁ =0,1 ∑︁ Ò ′′′

                                  ′′

                                  (˜Ò + 2Ò

                                  ′′′

                                  ) (2Ò

                                  ′′′

                                • Ò

                                  ) = 2ÓÒ, Ò

                                • =
                                • = , o que resulta na seguinte condição:
                                • 1

                                    ′

                                    1

                                    ⎛ ∐︁

                                    ∑︁ Ò∈Z

                                    =

                                    ÒÒ+Ò

                                    ⊗2Þ (Ý+Ö )Ò 2Þ (Ý+Ö )Ò ⎞ ̂︀

                                    )

                                    (Ò) (Ò

                                    ∑︁ =0 ∑︁ Ò ∈Z

                                    ∑︁ =0 ∑︁ Ò ∈Z

                                    4 1

                                    1

                                    ⎛ ∐︁

                                    ∑︁ Ò∈Z

                                    =

                                    ⊗2Þ (Ý+Ö )Ò ⎞ ̂︀

                                    4 1

                                    (Ò + Ò

                                    ′

                                    ∑︁ =0 ∑︁ Ò ∈Z

                                    (2.59)

                                    ⊗Ö ) ⎞ ̂︀ 2Þ ÒÝ

                                    ) 2Þ ÒÖ 2Þ Ò (Ö

                                    

                                    ) (Ò

                                    ′

                                    (Ò + Ò

                                    4 1

                                    ′

                                    1

                                    ⎛ ∐︁

                                    ∑︁ Ò∈Z

                                    =

                                    ⊗2Þ (Ý+Ö )Ò 2Þ (Ý+Ö )(Ò+Ò ) ⎞ ̂︀

                                    )

                                    ′

                                    ) (Ò

                                    )

                                    

                                  ∑︁

                                  Ò

                                  ∈Z

                                    (Ò

                                    diz que a matriz é unitária, pois:

                                    ⎛ ∐︁ ∑︀ 2 =1 ♣

                                    =

                                    ⎞ ̂︀

                                    (Ý + Ö 1 ) 1 (Ý + Ö 1 ) (Ý + Ö 2 ) 1 (Ý + Ö 2 )

                                    ⎞ ̂︀ ⎛ ∐︁

                                    (Ý + Ö 1 ) (Ý + Ö 2 ) 1 (Ý + Ö 1 ) 1 (Ý + Ö 2 )

                                    ⎛ ∐︁

                                    A equação

                                    ∑︀ 2 =1 1

                                    ⎞ ̂︀

                                    (Ý + Ö 1 ) (Ý + Ö 2 ) 1 (Ý + Ö 1 ) 1 (Ý + Ö 2 )

                                    ⎛ ∐︁

                                    Considere a matriz dada por =

                                    Demonstração.

                                    é uma base ortonormal para 1 .

                                    Ò∈Z; ∈¶0,1♢

                                    ) (2.57) sempre vale, portanto ¶å ( Ò)♢

                                    (Ý + Ö )♣ 2

                                    (Ý + Ö ) (Ý + Ö )

                                    ∈Z

                                    ∑︁ =0

                                    ⎞ ̂︀ ⎛ ∐︁

                                    (Ò) 2Þ (Ý+Ö )Ò

                                    Ò∈Z

                                    ⎛ ∐︁ ∑︁

                                    1

                                     1 ∑︁ =0

                                    (Ý + Ö ) (Ý + Ö ) = Ó( , ) (2.58) Substituindo

                                    Isso também signiĄca que

                                    ∑︀ 2 =1

                                    ⎞ ̂︀

                                    1 0 0 1

                                    ⎛ ∐︁

                                    =

                                    ⎞ ̂︀

                                    (Ý + Ö )♣ 2

                                    ∑︀ 2 =1 ♣ 1

                                    (Ý + Ö ) 1 (Ý + Ö )

                                    4

                                  2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                    57 Considerando a equação como uma expansão em Série de Fourier, signiĄca que a Série de Fourier do termo entre parênteses é constante e igual a 1 quando = .

                                    Mas a função cuja Série de Fourier é uma constante é a Ó(Ò, 0). Portanto: 1

                                    ∑︁ ∑︁ ′

                                    1 2Þ ÒÖ 2Þ Ò (Ö )

                                    

                                  ′ ⊗Ö

                                    (Ò + Ò ) (Ò ) = Ó( , )Ó(Ò, 0) (2.60) 4 ′ =0 Ò

                                    ∈Z

                                    Considerando Ö = 0 e somando em relação a : 2 1 1 2

                                    ∑︁ ∑︁ ∑︁ ′ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ′

                                    1 Ö

                                    1 Ö

                                    ′ ⊗2Þ Ò ′ ⊗2Þ Ò ′ ′

                                    (Ò + Ò ) (Ò ) = (Ò + Ò ) (Ò ) (2.61) =1 =0 Ò =0 Ò =1 4 ′ 4 ′

                                    ∈Z ∈Z

                                    Com isso temos 2

                                    ′ ⨄︁ ∑︁ ′

                                    2 se Ò Ö ∈ 2Z

                                    ⊗2Þ Ò

                                    = (2.62)

                                    ⎩ =1 0 caso contrário

                                    Substituindo 1 2 ′ ′ 1

                                    ∑︁ ∑︁ ∑︁ ′ ∑︁ ∑︁

                                    1 Ò

                                    1

                                  Ö

                                  ⊃2Ò ′ ⊗2Þ Ò

                                    ′ ′

                                    (Ò + Ò ) (Ò ) = (2Ò + Ò) (2Ò ) 4 ′ =0 Ò =1 =0 Ò 2 ′

                                    ∈Z ∈Z

                                    Portanto 1

                                    ∑︁ ∑︁ ′ ′ =0 Ò (2Ò + Ò) (2Ò ) = 2Ó(Ò, 0)

                                    ∈Z

                                    que é a equação para ˜Ò = 0. 2Þ Ö Para ˜Ò = 1, considere Ö = 1/2. Multiplicando os dois lados de

                                    por e

                                    somando em relação a : 2 1 2

                                    ∑︁ ∑︁ ∑︁ ′ ∑︁

                                    1 2Þ ÒÖ 2Þ Ò (Ö ) 2Þ Ö 2Þ Ö

                                    

                                  ′ ⊗Ö

                                    (Ò + Ò ) (Ò ) = Ó ( , )Ó(Ò, 0) =1 =0 Ò 4 ′ =1 2 ∈Z 1

                                    ∑︁ ∑︁ ∑︁ ′ ′

                                    1 Þ (Ò +Ò) 2Þ Ö )

                                    ′ (1⊗Ò

                                    (Ò + Ò ) (Ò ) = ⊗Ó(Ò, 0) =1 4 ′ =0 Ò ′ ′ 1 ∈Z 2 Ò +1 ∑︁ ∑︁ ′ ∑︁ ′ ⊃Ò

                                    1 Þ (Ò +Ò+1) Ò

                                    

                                  ′ ⊗2Þ Ö

                                    (Ò + Ò + 1) (Ò + 1) =⇒

                                    = ⊗Ó(Ò, 0) 4 ′ =0 Ò =1

                                    ∈Z ′ ′

                                    Novamente, utilizando 1 e fazendo a mudança de variáveis de Ò para 2Ò :

                                    ∑︁ ∑︁ ′

                                    1 Þ (2Ò +Ò+1)

                                    ′ ′

                                    (Ò + 2Ò + 1) (2Ò + 1) = ⊗Ó(Ò, 0) 2 ′

                                  58 Capítulo 2. Wavelets

                                    Fazendo a mudança de variáveis de Ò ⊗ 1 para Ò: 1

                                    ∑︁ ∑︁

                                    1 Þ (2Ò +Ò)

                                    ′

                                    (Ò + 2Ò ) (2Ò + 1) = ⊗Ó(Ò, 1) 2 ′ =0 Ò

                                    ∈Z Þ (2Ò +Ò)

                                    Para Ò = 1, a expressão

                                    para

                                    é igual a ⊗1, resultando na equação ˜Ò = 1. Para qualquer valor de ˜Ò diferente de 0 ou 1 basta fazer uma mudança de variáveis

                                    ′′′

                                    em relação a Ò para recair em um desses dois casos. Sendo assim, provamos que a equação sempre vale.

                                    2.4.2 Ortonormalidade do conjunto γ ( Ò)♢ ∈Z Ò∈Z; ∈¶0,1♢

                                    Os lemas que demonstravam a ortonormalidade do conjunto ¶å ( Ò)♢ era ortonormal. No entanto, para provar a partiam da suposição de que ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z diretamente, será necessário estabelecer uma ortonormalidade do conjunto ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z condição sobre os coeĄcientes .

                                    Teorema 2.4.8. Suponha que

                                    1 (2.63)

                                    (Ý) ̸= 0 para ♣Ý♣ ⊘

                                    4 é um conjunto ortonormal. Então ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z Demonstração.

                                    A prova consistirá na construção de funções é

                                    Ò∈Z 2 tais que ¶ ( Ò)♢ ortonormal e

                                    ⊃ na norma quando ⊃ ∞. Isso basta para provar o teorema pois 1 ), lim ), 2 1 2 ⟨ lim ( Ò ( Ò )⟩ = lim ⟨ ( Ò ( Ò )⟩

                                     ⊃∞ ⊃∞ ⊃∞

                                    devido à continuidade do produto interno. Sendo assim, se cada uma das gera uma base ,

                                    Ò∈Z Ò∈Z

                                    ortonormal ¶ ( Ò)♢ , então a também gera uma base ortonormal ¶ ( Ò)♢ já que lim = .

                                     ⊃∞ 1 1 Para a função inicial , considere ^ ,

                                    (Ý) = ä[ 2 2 )(Ý). Então, pelo lema é ortonormal. As funções serão deĄnidas indutivamente por meio de

                                    ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z suas transformadas de Fourier ^ , utilizando o coeĄciente (conforme a equação

                                    

                                    de ^ :

                                    (︂ )︂ (︂ )︂

                                    1

                                    1 ^ (Ý) = Ý ^ Ý (2.64)

                                     ⊗1

                                    2

                                    2 também é ortonormal. De fato, suponha por hipótese

                                    Ò∈Z

                                    O conjunto ¶ ( Ò)♢ seja ortonormal. Considere a equação obtida

                                     ⊗1 Ò∈Z

                                    de indução que o conjunto ¶ ( Ò)♢

                                  2.4. Transformada de Fourier e Wavelets

                                    59 ⧹︃ (︂ 2 ⧹︃ (︂ 2 ∑︁ ∑︁ 2 ⧹︃

                                    1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ 1 )︂⧹︃⧹︃

                                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    = (Ý + Ò) ^ (Ý + Ò) ♣ ^ (Ý + Ò)♣ ⊗1

                                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    2

                                    Ò∈Z Ò∈Z

                                    Desmenbrando o somatório:

                                    ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ 2 2 2 2 ∑︁ ∑︁ ⧹︃

                                    1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ 1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                    1 1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                    1 1 )︂⧹︃⧹︃

                                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Ý + Ò ^ Ý + Ò Ý + Ò ^ Ý + Ò

                                  • ′ ′

                                     ⊗1 ⊗ ⊗1 ⊗ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    2 Ò

                                    2

                                    2

                                    2

                                    2

                                    Ò∈Z ∈Z

                                    Segue de

                                    que: 2 2

                                    ♣ (Ý)♣ = ♣ (Ý + 1)♣

                                    Colocando os termos em evidência:

                                    ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ ⧹︃ (︂ 2 2 2 2 ∑︁ ∑︁ ⧹︃

                                    1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ 1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                    1 1 )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                    1 1 )︂⧹︃⧹︃

                                    ′

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    

                                  Ý Ý Ý ^ Ý + Ò

                                    ^ + Ò +

                                     ⊗1 + ⊗ ⊗1 ⊗

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    2

                                    2 2 ′ Ò

                                    2

                                    2

                                    Ò∈Z ∈Z

                                    vista no lema

                                     e a

                                    Aplicando a condição de ortonormalidade em ¶ ⊗1 ( Ò)♢ Ò∈Z equação

                                    em seguida: ⧹︃ ⧹︃ (︂ 2 (︂ 2 ∑︁ 2 )︂⧹︃⧹︃ )︂⧹︃⧹︃

                                    ⧹︃

                                    1 ⧹︃

                                    1

                                    1

                                    = Ý Ý = 1 ♣ ^ (Ý + Ò)♣ + ⊗

                                  • ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    2

                                    2

                                    Ò∈Z

                                    Portanto, segue que

                                    ∑︁ 2

                                    = 1 ♣ ^ (Ý + Ò)♣

                                    Ò∈Z

                                    Logo, pelo lema é um conjunto ortonormal.

                                    ¶ ( Ò)♢ Ò∈Z A função ^ , devido a

                                    também pode ser escrita como ⎡ ⎤

                                  (︁ )︁

                                    ∏︁

                                    ⨄︀ ⋀︀ ⊗1 ⊗1

                                    ^ (Ý) = 2 Ý ä (Ý) (2.65) ,2 ) =1 [⊗2 forma na qual Ąca explícito que ^ pontualmente, já que pode ser escrita na forma

                                    ⊃ ^ 2 da equação

                                    Agora, basta mostrar que (R). Pela Fórmula

                                    ⊃ na norma 2 de Plancherel

                                    é suĄciente mostrar que ^ na norma (R). Para tal, serão

                                    ⊃ ^ utilizados dois teoremas da literatura:

                                    Teorema 2.4.9. Lema de Fatou:

                                    ♢ uma Seja ¶

                                    ♢ ⊃ sequência de funções não-negativas em um espaço de medida ( , Σ, Û). Se ¶

                                    60 Capítulo 2. Wavelets ∫︁ ∫︁

                                    dÛ dÛ ⊘ lim inf

                                    

                                  ⊃∞

                                  Teorema 2.4.10. Teorema da Convergência Dominada:

                                  Seja ¶ ♢ uma sequência de funções mensuráveis em um espaço de medida ( , Σ, Û).

                                    ♢ em , ou seja, Suponha que exista uma função que é integrável em e domina ¶ &lt; em para todo . Se ¶ ♢ converge a pontualmente Û q.t.p., então é integrável em e

                                    ∫︁

                                    lim ♣ ♣ dÛ = 0

                                     ⊃∞

                                    o que implica em

                                    ∫︁ ∫︁

                                    lim dÛ = dÛ

                                     ⊃∞

                                    2 2 2 Pelo lema de Fatou, considerando o espaço (que

                                    ♣ 2 2 (R) e as funções ♣ ^ e ♣ ^ 2 = 1 para todo .

                                    ⊘ 1 e logo ^ ∈ ♣♣ são não-negativas), segue que ♣♣ ^ ♣♣ (R), já que ♣♣ ^ Agora, para aplicar o teorema da Convergência Dominada, será considerado um multiplo de ^ como função dominante.

                                    Combinando as equações

                                    segue que ⎧

                                    ^ (Ý)

                                    ⋁︁ ⊗1

                                    ⨄︁

                                    se ♣Ý♣ ⊘ 2

                                    ⊗

                                    ^ (2 Ý ) ^ (Ý) =

                                    (2.66)

                                    ⋁︁ ⎩

                                    caso contrário A divisão é possível graças à condição

                                    Porém, ^ é limitada inferiormente (em [︁ ]︁ 1 1

                                    ⊗

                                    módulo) em , , já que é contínua e (2 Ý2 2 ) ̸= 0 para ♣Ý♣ ⊘ 1/2 devido à equação

                                    ⊗1

                                    

                                    

                                    ♣ ^ ♣)

                                    [⊗1/2,1/2]

                                    segue que ♣ ^ (Ý)♣ ⊘ ♣ ^ (Ý)♣ para todo Ý. Logo, aplicando o teorema da Convergência 2 e a função dominante [2( + ⊗ ^ ♣

                                    Dominada (considerando a sequência de funções ♣ ^ 2 2 ), segue que ^ na norma é um conjunto ortonormal.

                                    ⊃ ^ Ò∈Z 1)♣ ^ ♣] (R) e logo ¶ ( Ò)♢

                                    Resumindo os principais resultados obtidos até aqui para a Wavelet e a Scaling no domínio de Fourier, podemos notar que as condições para gerar uma análise multiresolu-

                                    2.5. A construção de uma Wavelet

                                    61 Figura 4 Ű Condições sobre os coeĄcientes e para obtenção de uma análise 1 multiresolucional

                                    2.5 A construção de uma Wavelet

                                    Para construir a função Wavelet, será necessário encontrar coeĄcientes ou que satisfaçam as condições estabelecidas nas seções anteriores, a saber

                                    e

                                    

                                    (0) = 1

                                     ⧹︃ (︂ 2 2

                                    ⧹︃

                                    1 )︂⧹︃⧹︃

                                    ⧹︃ ⧹︃

                                    Ý

                                    

                                    

                                    ♣ (Ý)♣ = 1 para todo Ý ∈ R

                                    ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    1

                                    

                                    (Ý) ̸= 0 para ♣Ý♣ ⊘

                                    4 Além disso, as soluções procuradas aqui são as que têm um número Ąnito de (Ò) diferen- tes de zero, o que signiĄca (pela equação

                                    que (Ý) são polinômios trigonométricos.

                                    Tal fato implica que as funções e å 1 possuem suporte compacto, o que será provado no seguinte teorema:

                                    Teorema 2.5.1. Se

                                    (Ò) é diferente de 0 para um número Ąnito de Ò ∈ Z, então å possui suporte compacto. + Demonstração.

                                    Suponha que (Ò) é não-nulo para . De acordo com a cons-

                                    ⊗ ⊘ Ò

                                    trução feita no teorema

                                    o suporte de cada Ö está contido no intervalo [ , ], ,+ ,

                                    o qual dado por

                                    1

                                    1 = ( ), = ( ) + + + ,+

                                     , ⊗1,⊗ ⊗ ⊗1,+

                                  62 Capítulo 2. Wavelets

                                    Isso signiĄca que, como o suporte de Ö é dado por [⊗1/2, 1/2), para ⊙ 1 temos:

                                    (︂ )︂ (︂ )︂

                                  +2

                                  ∑︁

                                    1

                                    1

                                  • ,⊗ = ⊗ ⊗

                                    2 =1

                                    2

                                    (︂ )︂ (︂ )︂ +2 ∑︁

                                    1

                                    1 ,+ + + =

                                    2 =1

                                    2 + está contido em [ , ], e portanto tem

                                    ∞ ⊗

                                    e portanto, fazendo ⊃ ∞, o suporte de Ö suporte compacto. Além disso, considerando que 1 (Ò) é não-nulo para um número Ąnito de Ò ∈ Z, como

                                    ∑︁ å ( ) = 1

                                  1

                                  Ò (Ò) (2 Ò) então å também possui suporte compacto. 1 Retornando à construção da Wavelet, primeiro será determinado o coeĄciente , que deve satisfazer às seguintes condições:

                                    (0) = 1 (2.67)

                                    ⧹︃

                                  (︂

                                  2 ⧹︃

                                    1 )︂⧹︃⧹︃

                                    ⧹︃ ⧹︃

                                  • 2
                                  • Ý = 1 (2.68)

                                    ♣ (Ý)♣

                                    ⧹︃ ⧹︃

                                    2

                                    1 (2.69)

                                    (Ý) ̸= 0 para ♣Ý♣ ⊘

                                    4 além de ser da forma

                                    ∑︁

                                    1 2Þ ÒÝ (Ý) = (Ò) (soma Ąnita)

                                    2 2 Ò∈Z pode ser escrito como

                                    Note também que ♣ (Ý)♣

                                    ∑︁ 2

                                    1 2 =

                                    ♣ (Ý)♣ (ℜ¶ (Ò)♢ cos(2ÞÒÝ) ⊗ ℑ¶ (Ò)♢sen(2ÞÒÝ))

                                    4

                                    Ò∈Z ∑︁

                                    1 2 (ℜ¶ (Ò)♢sen(2ÞÒÝ) + ℑ¶ (Ò)♢ cos(2ÞÒÝ))

                                  • 4

                                    Ò∈Z onde ℜ¶ ♢ é a parte real de um número complexo e ℑ¶ ♢ a parte imaginária de .

                                  2.5. A construção de uma Wavelet

                                    63

                                    1 2Þ Ý Þ Ý (Ý) = (1 + ) = cos(ÞÝ)

                                    2 que resulta na Wavelets Haar. Porém é interessante também obter Wavelts contínuas, e tal Wavelet é descontínua. Para conseguir atender a continuidade e as condições acima, 2 2 considere a identidade trigonométrica cos ÞÝ +sen ÞÝ = 1. Elevando-a à quinta potência, obtemos 2 2 5 1 = (cos ÞÝ + sen ÞÝ ) 10 8 2 6 4

                                    ÞÝ ÞÝ ÞÝ ÞÝ ÞÝ (2.70)

                                    = cos + 5 cos sen + 10 cos sen 4 6 2 8 10

                                    ÞÝ ÞÝ ÞÝ ÞÝ ÞÝ

                                  • 10 cos sen + 5 cos sen + sen
                                  • 2 :

                                      Considere a primeira metade dos termos como ♣ (Ý)♣ 2 10 8 2 6 4 = cos ÞÝ + 5 cos ÞÝ sen ÞÝ + 10 cos ÞÝ sen ÞÝ (2.71)

                                      ♣ (Ý)♣

                                      (︁ )︁ (︁ )︁

                                      Como cos = sen e sen = cos , segue que 2 2 1

                                    • 2
                                    • 2 2 1 2<
                                    • ÞÝ ÞÝ ÞÝ ÞÝ

                                      ⧹︃ (︂ 2 ⧹︃

                                      1 )︂⧹︃⧹︃ 4 6 2 8 10

                                      Ý = 10 cos ÞÝ sen ÞÝ + 5 cos ÞÝ sen ÞÝ + sen ÞÝ ⧹︃ ⧹︃

                                    • ⧹︃ ⧹︃

                                      2 que é a segunda metade de

                                      Logo, vale que ⧹︃ (︂ 2 ⧹︃

                                      1 )︂⧹︃⧹︃

                                      ⧹︃ ⧹︃

                                    • 2
                                    • Ý = 1

                                      ♣ (Ý)♣

                                      ⧹︃ ⧹︃

                                      2 Além disso, (0) = 1 e sendo a soma de três termos não-negativos, segue que 1 10 1 (Ý) ̸= , pois cos ÞÝ . 0 para ♣Ý&lt; é diferente de 0 para ♣Ý&lt; 4 4 Para obter de fato, é necessário obter uma função cujo módulo ao quadrado seja

                                      Como 2 6 (︁ )︁ 4 2 2 4

                                      = cos ÞÝ cos ÞÝ + 5 cos ÞÝ sen ÞÝ + 10sen ÞÝ (Ý)♣

                                      ]︂ [︂(︁ )︁ (︁ )︁ 2

                                      √ √

                                    • = cos ÞÝ cos ÞÝ 10sen ÞÝ 5 + 2
                                    • 6 2 2 10 cos ÞÝ sen ÞÝ 2 2 ⊗ podemos tomar como

                                        (︂ √︁ )︂ (︁ )︁ 3 Þ Ý √ √

                                        (Ý) = cos ÞÝ cos ÞÝ 10sen ÞÝ 5 + 2 10 cos ÞÝsenÞÝ 2 2 +

                                        ⎟

                                        √ √

                                        (︁ )︁ (︁ )︁ 3

                                        1 2Þ Ý 1 ⊗ 2Þ Ý 10 1 +

                                        10

                                        ⊗2Þ Ý

                                        = + 1 + +

                                        8

                                        2

                                        4

                                        √︁ (︁ )︁]︂

                                        1 √ 2Þ Ý

                                        ⊗2Þ Ý

                                      • 5 + 2

                                        10 ⊗

                                      64 Capítulo 2. Wavelets

                                        1

                                        )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                        Comparando com

                                        notamos que (Ò) é real e (Ò) ̸= 0 somente se ⊗1 ⊘ Ò ⊘ 4.

                                        Agora, basta encontrar 1 tal que: 1 (Ý)♣ 2

                                      • ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃
                                      • 1

                                        (︂

                                        Ý<
                                      • ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃
                                      • 1 (︂ Ý<
                                      • ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2Þ Ý

                                        2

                                      • (Ý + 1)♣
                                      • 2 = 1 e

                                          2

                                          (Ý + 1) = ⊗

                                          )︂ ⊗2Þ Ý

                                          2

                                          Ý

                                          )︂

                                          ⊗2Þ Ý (︂

                                          Ý

                                          ⊗2Þ Ý (︂

                                          = ⊗ (Ý)

                                          )︂

                                          2

                                          1

                                          )︂

                                        1

                                        (︂

                                        Ý +

                                          (Ý)

                                          Ý +

                                          1

                                          ^ å está deĄnida e para obter å basta realizar a Transformada Inversa de Fourier de ^ å .

                                          )︁ 2 4 2 2 4

                                          cos 2 (ÝÞ) + sen 2 (ÝÞ)

                                          (︁

                                          Para se obter outras Wavelets com tal método podemos tomar diferentes potências da identidade trigonométrica. Por exemplo, tomando a segunda potência, obtemos: 1 =

                                          

                                          As å desenvolvidas podem ser vistas na Ągura

                                          Sendo assim, por

                                          1

                                          (Ý) = 0

                                          )︂ ⊗2Þ Ý

                                          2

                                          1

                                          Ý +

                                          )︂

                                          2

                                          2

                                          (︂ Ý +

                                          1

                                          )︂

                                          )︂

                                          2

                                          1

                                          (︂ Ý +

                                          (Ý) = ⊗ 2Þ Ý

                                          = 0 Para tal, basta tomar 1

                                          2

                                          1

                                          1

                                          )︂ 1 (︂ Ý +

                                          2

                                          1

                                          (︂

                                        Ý +

                                          = 1 e (Ý) 1 (Ý) +

                                          (2.72) já que neste caso ♣ 1 (Ý)♣ 2

                                          2

                                          (Ý) 1 (Ý) +

                                          (Ý + 1)

                                          )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                          2

                                          (︂

                                        Ý +

                                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                          =

                                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                          )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                          )︂⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                          2

                                          1

                                          (︂ Ý +

                                          ⊗ 2Þ Ý

                                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                          =

                                        • 1
                                        • (︂
                                        • 1
                                        • (︂

                                        2.5. A construção de uma Wavelet

                                          65 −4 −3 −2 −1 1 −2 2 4 6 8 −3 −2 −1 1 2 −5 5 Figura 5 Ű GráĄco da Scaling (esquerda) e da Wavelet å 1 (direita) quando tomada a quinta potência da identidade trigonométrica

                                          Fazendo ♣ (Ý)♣ 2

                                          = cos 4 (ÝÞ) + cos 2 (ÝÞ)sen 2 (ÝÞ) = cos 2 (Ý)

                                          (︁

                                          cos 2 (ÝÞ) + sen 2 (ÝÞ)

                                          )︁

                                          = cos 2 (Ý) vale

                                          Podemos então deĄnir

                                          (Ý) = Þ Ý cos(ÝÞ) e tomar 1 (Ý) como feito em

                                          Com esse par de coeĄcientes a Wavelet gerada é justamente a Haar, como apresentado anteriormente.

                                          −1 1 2 3 4 −0.5 0.5 1 1.5 −1 1 2 3 −1 4 −2 1 2 Figura 6 Ű GráĄco da Scaling (esquerda) e da Wavelet å 1 (direita) quando tomada a segunda potência da identidade trigonométrica

                                          O gráĄco aparece contínuo devido à impossibilidade computacional de realizar as inĄnitas iterações presentes em

                                          e devido à discretização, já que computacionalmente um ponto é ligado ao seguinte.

                                          Por Ąm, considerando agora a terceira potência da identidade trigonométrica, te-

                                          66 Capítulo 2. Wavelets (︁ )︁ 2 2 3

                                          1 = cos (ÝÞ) + sen (ÝÞ) 6 4 2 2 4 6 = cos (ÝÞ) + 3 cos (ÝÞ)sen (ÝÞ) + 3 cos (ÝÞ)sen (ÝÞ) + sen (ÝÞ) 2 como

                                          Tomando ♣ 2 6 4 2 = cos (ÝÞ) + 3 cos (ÝÞ)sen (ÝÞ)

                                          ♣ (Ý)♣ 4 (︁ )︁ 2 2 = cos (Ý) cos (ÝÞ) + 3sen (ÝÞ) também vale

                                          Então, fazendo (︁ )︁ (︁ )︁ Þ Ý 2 2 2

                                          (Ý) = cos(ÞÝ) cos (ÞÝ) + 3sen (ÞÝ) e tomando (Ý) como o negativo do feito em 1 obtemos a Wavelet Daubechies 2 como visto na Ągura 1 1 0.5 −0.5

                                          0.5 −0.5 −1 −3 −2 −1 1 −2 −1 1 Figura 7 Ű GráĄco da Scaling (esquerda) e da Wavelet å (direita) quando tomada a 1 terceira potência da identidade trigonométrica

                                          As Wavelets utilizadas para o preditor de propriedades do petróleo foram as Dau- bechies 3 e 4. A construção da Daubechies 4 (Ągura

                                          utilizando o método proposto pode

                                          ser complexa algebricamente e portanto não foi realizada neste trabalho. Mais detalhes podem ser vistos em 1.5 1 1.5 1 0.5 −0.5

                                          0.5 −0.5 −1 2 4 6 2 4 6 Figura 8 Ű GráĄco da Scaling (esquerda) e da Wavelet å (direita) Daubechies 4 1

                                          67

                                          3 Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          O método proposto tem como objetivo obter as propriedades de amostras de pe- tróleo a partir do seu espectro, obtido pela emissão de infravermelho. Basicamente, o espectro é um conjunto de pontos que descreve uma curva, como a seguinte: 2.5 2 0.5

                                          1.5 1 −0.5 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

                                          Figura 9 Ű GráĄco do Espectro da Amostra 1 A partir dele, serão obtidas duas propriedades do petróleo: a densidade relativa a

                                          20/4 C (por simplicidade, mencionada apenas como densidade) e a TIAC (Temperatura de Início de Aparecimento de Cristais). Os valores reais dessas propriedades relativos a cada amostra (medidos experimentalmente) foram fornecidos pelo LabPetro.

                                          A amostra 1, por exemplo, possui os seguintes valores relativos a essas proprieda- des: Amostra 1

                                          Densidade TIAC ( ) 0.7586 23.3500

                                          Tabela 1 Ű Densidade e TIAC da Amostra 1 Porém, considere duas outras amostras, cujos espectros são mostrados na Ągura

                                          

                                        Note que o formato de todos os três espectros são bem parecidos, o que vale para todas

                                          as outras amostras. Porém, o valor das propriedades de cada uma é bastante diferente uma da outra, como pode ser visto na tabela

                                          

                                          Sendo assim, inspirado pela Análise Multiresolucional apresentada nesta disserta-

                                        68 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          2.5 2.5 2.5 1.5 1 2

                                          a) 1.5 2 1

                                          b) 1.5 1 2

                                          c)

                                          0.5 2000 4000 2000 4000 2000 4000 0.5 0.5 Figura 10 Ű a) - GráĄco do Espectro da Amostra 1. b) - GráĄco do Espectro da Amostra 47. c) - GráĄco do Espectro da Amostra 57.

                                          Amostra 1 Amostra 47 Amostra 57 Densidade 0.7586 0.8844 0.8744

                                          TIAC ( ) 23.3500

                                          8.32

                                          36.53 Tabela 2 Ű Densidade e TIAC das Amostras 1, 47 e 57 a informação relevante a cada propriedade. Isso será feito obtendo coeĄcientes dados pelo produto interno das Wavelets em uma dada resolução com as duas principais regiões do espectro: 2.5 2 0.5 1.5 1 Regiões

                                          −0.5 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

                                          Figura 11 Ű Regiões do Espectro utilizadas para obtenção das Propriedades Tais regiões podem variar em relação ao seu ponto de origem e término. Esses 4 pontos (origem e término de cada região) são parâmetros que necessitam de otimização, realizada pelo algoritmo genético.

                                          Os coeĄcientes então extraídos dos espectros serão fornecidos como entrada de um sistema Fuzzy modelo Takagi-Sugeno. Tal modelo Fuzzy será gerado a partir da Cluste- rização via Método da Montanha mencionada na seção

                                          sendo as entradas do método

                                          dadas pelos coeĄcientes e a saída uma das duas propriedades. Porém, os parâmetros do método, a saber Raio de InĆuência, Fator de Esmagamento, Taxa de Aceitação e Taxa de Rejeição inĆuenciam enormemente o desempenho do sistema. Sendo assim,

                                          3.1. Ordenação das amostras

                                          69 Os 8 parâmetros mencionados que carecem de otimização constituirão um indiví-

                                          duo de um Algoritmo Genético. Esse terá uma população de 200 indivíduos, que sofrerão mutação, cross-over e possivelmente serão eliminados caso tenham baixo desempenho. Sempre que um indivíduo é gerado, um sistema Fuzzy é construído com base nas entra- das fornecidas quando se tem as regiões cujos pontos estão deĄnidos no indivíduo e nos parâmetros da clusterização também deĄnidos no indivíduo. Esse sistema é então testado com amostras de teste, não utilizadas na clusterização, e com base na proximidade de sua saída com o valor real da propriedade é estabelecido o desempenho do indivíduo.

                                          A Ągura mostra um Ćuxograma do método.

                                          Figura 12 Ű Fluxograma do Método

                                          3.1 Ordenação das amostras

                                          Antes de aplicar o método, é necessário deĄnir quais amostras serão utilizadas para treino (no método em si) e quais serão utilizadas para teste (veriĄcação da validade do sistema). Fazemos essa ordenação porque é importante que no treino haja várias amostras de características distintas, mas que ainda sobre um conjunto diversiĄcado para validação. Isso permite que o modelo contemple um grande número de tipos de espectro, e ainda prove sua validade em boa parte deles. Neste trabalho foram consideradas 70% das amostras para treino e 30% para teste.

                                          O método utilizado para ordenar as amostras foi o Duplex e se baseia em tomar cada ponto dos 3351 pontos do espectro como uma dimensão euclidiana para calcular distâncias entre dois espectros pela norma euclidiana. Os dois espectros que tenham a maior distância entre si serão colocados no grupo de treino. Dos espectros restantes, os dois espectros que tenham a maior distância entre si serão colocados no

                                        70 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          A partir dessa etapa, dentre os espectros não classiĄcados em teste ou treino, relacionamos cada um deles ao espectro de treino mais próximo de cada um, e aquele que tiver a maior distância ao seu respectivo espectro de treino mais próximo será colocado no grupo de treino. O mesmo é feito com o grupo de teste considerando os espectros ainda não classiĄcados. Esse processo se repete até que a porcentagem de espectros de teste com relação ao número total de espectros seja alcançada. Os que sobraram sem classiĄcação são então colocados no grupo de treino.

                                          Figura 13 Ű Exemplo bidimensional do método Duplex (até à quarta etapa apenas)

                                        3.2 Escolha da Wavelet

                                          Como é feito o produto interno da Wavelet com parte do espectro, cada Wavelet

                                          ∫︀

                                          irá produzir coeĄcientes diferentes. As Wavelets em geral satisfazem å 1 ( ) d = 0, o que signiĄca que elas "Ąltram"constantes. Isso é desejado, pois os espectros geralmente possuem um ruído que pode ser considerado constante, o qual deve ser eliminado para

                                          3.3. Escolha da sscala da Wavelet

                                          71 Porém, existem Wavelets que Ąltram componentes lineares, quadráticas, e muitas

                                          outras. Sendo assim, uma Wavelet pode ser melhor para obter uma certa propriedade por esse método do que outra. Não há como dizer previamente qual é a melhor, por isso é necessário testá-las até obter um bom resultado.

                                          A Wavelet que mostrou melhor resultado para a densidade foi a Daubechies 3: 2

                                          1 −2 −1 1 2 3 4 5 Figura 14 Ű Wavelet Daubechies 3

                                          Já para a propriedade TIAC, a Wavelet com melhor resultado foi a Daubechies 4: 1.5 0.5

                                          1 −0.5 −1 0.5

                                        1

                                        1.5 2 Figura 15 Ű Wavelet Daubechies 4

                                          3.3 Escolha da sscala da Wavelet

                                          A escala da Wavelet é basicamente o número de partes de mesmo tamanho em que cada região do espectro será dividida. É então realizado o produto interno de cada uma dessas 2 partes (pois há 2 regiões) com uma Wavelet (em todo o seu suporte), que é ajustada de modo a seu suporte coincidir com o tamanho da região. Mais dessa operação serão discutidos na Seção que trata do produto interno.

                                          Ambas as propriedades apresentaram melhor resultado quando a escala da Wavelet

                                        72 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          3

                                          2

                                          a)

                                          1 −1 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

                                          2.5

                                          3

                                          1

                                          2

                                          4

                                          5

                                          2

                                          1.5

                                          b)

                                          1

                                          0.5 900 1000 1100 1200 1300 1400

                                          Figura 16 Ű a) Região selecionada no espectro. b) Divisão da região selecionada em 5 partes iguais (subregiões), devido à escala 5 escolhida.

                                        3.4 Escolha dos pontos de início e Ąm das regiões

                                          As informações mais visíveis no espectro estão em seus picos. Porém, existe uma região em volta de cada pico que pode conter informações necessárias para a determinação do valor da propriedade. Além disso, mudando o tamanho e centro da região, mudarão também as subregiões criadas pela escala, e portanto o valor dos coeĄcientes obtidos pelo produto interno delas com a Wavelet.

                                          Portanto, como não é possível dizer qual das possíveis subregiões resultará em um coeĄciente que forneça o melhor resultado, foi necessário colocar os pontos de início e término das regiões como parâmetros do indivíduo no Algoritmo Genético.

                                          Ainda assim, os possíveis pontos de início e Ąm de cada região são limitados, de modo a não Ącarem muito distantes dos picos, mas também impedindo que um ponto inicial seja maior que um ponto Ąnal para uma mesma região.

                                          Para a primeira região, o ponto inicial pode variar de 800 a 1100 e o ponto Ąnal

                                        3.5. Produto interno

                                          2

                                          73

                                          1.5 1 Inícial Final

                                          0.5 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

                                          Figura 17 Ű Possíveis pontos iniciais e Ąnais da primeira região Para a segunda região, o ponto inicial pode variar de 2000 a 2651 e o ponto Ąnal de 2652 a 3351. 2

                                          1.5 1 Inícial Final

                                          0.5 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200

                                          Figura 18 Ű Possíveis pontos iniciais e Ąnais da segunda região

                                        3.5 Produto interno

                                          Cada Wavelet terá um certo número Ąxo de pontos 1 , gerados computacional- mente. Cada subregião gerada na escala terá um número de pontos , bem menor que 2 1 . Para fazer o produto interno da Wavelet com a subregião, foi necessário adaptar o produto interno entre vetores, para que tal operação pudesse contemplar dois vetores com tamanhos distintos.

                                          Para tal, simplesmente dividimos o número de pontos da subregião em pontos, 1 de modo que o primeiro ponto, original da subregião, coincida com o primeiro ponto da Wavelet e também o último. Os pontos Ąctícios criados na região (já que 1 &gt; 2 ) são simplesmente a interpolação entre dois pontos existentes na representação original de 1

                                        74 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          2 ( ) = [ ( )]Ð + ( ) 1 1 1 ( + 1) ⊗ onde representa o valor do ponto na nova divisão da região por pontos e o 2 2 1 valor na representação original da região por pontos. Os valores de e Ð são dados 1 por

                                          

                                        ⟩ ⨆︀

                                          ( ⊗ 1) = ( + 1 (3.1) 1 ⊗ 1)

                                          ( 2 ⊗ 1)

                                          (︃ ⎜

                                          ⊗ 1 ⊗ 1

                                          Ð = ( 1

                                          ⊗ 1) ⊗ 2 2 2.5 ⊗ 1 ⊗ 1 1.5 1

                                          2 −0.5

                                          0.5 −1 900 1000 1100 1200 1300 1400

                                          Figura 19 Ű Wavelets ajustadas ao tamanho de cada subregião para uma escala de 5 na primeira região com ponto incial de 900 e Ąnal de 1400 Sendo assim, dada uma escala , obtemos através de tal produto interno das su- bregiões com a Wavelet escolhida os 2 coeĄcientes Wavelets, que serão utilizados como entrada para o sistema Fuzzy.

                                        3.6 Modelagem Fuzzy

                                          A Teoria Fuzzy é um método eĄcaz de lidar com sistemas não lineares de forma prá- tica, utilizando informação heurística Através do Fuzzy, comportamentos de sistemas que envolvem modelagens complexas podem ser traduzidos em simples regras, que podem até mesmo ser adicionadas devido à própria observação de especialistas no processo.

                                          Seu uso é de grande interesse em controladores, e consequentemente em indús- trias, mas também utilizado em eletrônicos através de microcontroladores

                                        3.6. Modelagem Fuzzy

                                          75

                                          exemplo, onde um sistema que utilize Fuzzy é referenciado como moderno e de alta qua- lidade A Figura

                                           representa

                                          basicamente o mecanismo de um sistema Fuzzy: Figura 20 Ű Representação Genérica de um Sistema Fuzzy

                                          Seu funcionamento pode ser descrito da seguinte maneira: ∙ Entradas de um processo são fornecidas ao sistema; ∙ A informação das entradas é então traduzida em termos da lógica Fuzzy, para serem processados através de variáveis Fuzzy; ∙ Um Mecanismo de Inferência associa as variáveis Fuzzy obtidas com as regras que constam na Base de Regras, gerando outras variáveis que estão relacionadas à res- posta do sistema às entradas;

                                          ∙ As variáveis de saída do Mecanismo de Inferência são então "defuzzyĄcadas", tradu- zidas na resposta do sistema àquelas entradas.

                                          Seu comportamento é deĄnido matematicamente, e será descrito nas seguintes seções deste capítulo, de acordo com a teoria encontrada em

                                          

                                        3.6.1 Teoria Fuzzy

                                          Nesta seção, será abordada a teoria Fuzzy, necessária para desenvolver o método de predição de propriedades do petróleo, complementada nas próximas subseções pela deĄnição do funcionamento do sistema Fuzzy.

                                          

                                        DeĄnição 3.6.1. Seja um conjunto qualquer. Considere . Então a função

                                          característica Ü em é dada por

                                          ä

                                          

                                        76 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                        ⎧ ⨄︁

                                          1 se

                                          ä ( ) = ⎩

                                          0 se /

                                          A teoria Fuzzy trabalha com funções denominadas funções de pertinência. Elas, assim como a função característica, determinam se um elemento pertence ou não a um conjunto. A diferença é que as funções de pertinência podem assumir qualquer valor em [0, 1], associando a um elemento o grau de pertinência dele ao conjunto em questão.

                                          

                                        DeĄnição 3.6.2. Seja um conjunto qualquer. Considere . Então a função de

                                          pertinência Û em é uma função qualquer tal que

                                          Û

                                          : ↦⊃ [0, 1] Agora, podemos deĄnir um conjunto Fuzzy como:

                                          

                                        DeĄnição 3.6.3. Um conjunto Fuzzy com respectiva função de pertinência Û deĄnida

                                          em (também chamado de conjunto universo) é dado por = ¶( , Û ( )) :

                                          Um exemplo do gráĄco de uma função de pertinência pode ser visto na Figura 1.2 Gráfico exemplo de uma função de pertinência µ (u) F 0.6 0.8

                                          1 0.2

                                          0.4 2 4 u 6 8 10 Figura 21 Ű Exemplo de uma função de pertinência deĄnida no intervalo [0, 10]

                                        Exemplo 3.6.1. Considere o conjunto = ¶0, 1, 2, ≤ ≤ ≤ , 9, 10♢. Desejamos deĄnir uma

                                          função de pertinência que relacione o quão próximo de 5 um elemento de está. Podemos denotá-la por Û e fazer 5

                                        3.6. Modelagem Fuzzy

                                          77 Û ( ) 5

                                          1

                                          2

                                          0.1

                                          3

                                          0.4

                                          4

                                          0.8

                                          5

                                          1

                                          6

                                          0.8

                                          7

                                          0.4

                                          8

                                          0.1

                                          9

                                          10 Tabela 3 Ű Valores da Função de Pertinência Û 5 5 = ¶(0, 0), (1, 0), (2, 0.1), (3, 0.4), (4, 0.8), (5, 1), (6, 0.8), (7, 0.4), (8, 0.1), (9, 0), (10, 0)♢ 1 0.6

                                          0.8 0.2

                                          0.4

                                          2 4 6 8 10 Figura 22 Ű Pertinência da proximidade com o número 5 dos números de 1 a 10

                                          As próximas deĄnições consideram um conjunto Fuzzy deĄnido num conjunto universo .

                                          DeĄnição 3.6.4. O suporte de um conjunto Fuzzy é dado por

                                          ( ) = ¶ : Û ( ) &gt; 0♢

                                          DeĄnição 3.6.5. O núcleo de um conjunto Fuzzy é dado por

                                          ( ) = ¶ : Û ( ) = 1♢

                                        78 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          alt( ) = sup

                                           Û ( ) e um conjunto Fuzzy é chamado normal se alt( ) = 1 e subnormal se alt( ) &lt; 1.

                                          DeĄnição 3.6.7. Um conjunto Fuzzy é convexo se, e somente se:

                                          ∀ , , Ú ∈ [0, 1] : Û (Ú + (1 ⊗ Ú) ) ⊙ min¶Û ( ), Û

                                          ( )♢ A noção de conjunto Fuzzy convexo é que ele não possui "vales" em sua função de pertinência. Por exemplo, a Ągura

                                           representa a função de pertinência de um con-

                                          junto Fuzzy não convexo, enquanto a Ągura

                                           representa a função de pertinência de um conjunto Fuzzy convexo.

                                          1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 23 Ű Função de pertinência de um conjunto não-convexo

                                          1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 24 Ű Função de pertinência de um conjunto convexo

                                        DeĄnição 3.6.8. Dois conjuntos Fuzzy e (deĄnidos no mesmo conjunto universo )

                                          são iguais se, e somente se

                                          Û

                                        3.6. Modelagem Fuzzy

                                          79 DeĄnição 3.6.9. O conjunto Fuzzy é um subconjunto do conjunto Fuzzy ( )

                                          se, e somente se

                                          Û

                                          ( ) ⊘ Û ( ) ∀ Podemos deĄnir ainda que ( se, e somente se

                                          Û ( ) &lt; Û

                                          ( ) ∀ Pretendemos agora realizar operações entre conjuntos Fuzzy, como interseção, união e complemento. Existem vários modos de deĄnir tais operações, porém elas seguem algumas regras gerais, deĄnidas a seguir.

                                          ⏞ ⏟

                                          

                                        DeĄnição 3.6.10. Uma norma triangular (T-norma) é uma classe de funções binárias

                                          que podem representar a operação interseção. Ela satisfaz as seguintes propriedades, para

                                           ,

                                          ∈ [0, 1]:

                                          ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⋆ ⋆

                                          1. = (comutativa)

                                          ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟

                                          2. ( ) = ( ) (associativa)

                                          ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⋆ ⋆

                                          3. e implica que

                                          ⏞ ⏟

                                          4. 1 =

                                          

                                        DeĄnição 3.6.11. Uma T-norma é dita Arquimediana se satisfaz todas as propriedades

                                          de uma T-norma e

                                          ⏞ ⏟ ⋆ &lt;

                                          ∀ ∈ (0, 1)

                                          

                                        DeĄnição 3.6.12. Uma co-norma triangular, ou S-norma , é uma classe de funções

                                        ⏟ ⏞

                                          binárias que podem representar a operação união. Ela satisfaz os 3 primeiros critérios da T-norma, porém seu quarto critério é

                                          

                                          0 =

                                          ⏟ ⏞

                                        DeĄnição 3.6.13. A operação complemento deve satisfazer pelo menos as seguintes

                                          propriedades: 1. (0) = 1

                                        80 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          3. ( ( )) = Sendo assim, dados dois conjuntos Fuzzy e podemos deĄnir as operações interseção

                                          ) através de suas funções de pertinência, ( ), união ( ) e complemento ( respectivamente:

                                          ⏞ ⏟ Û ( ) = Û ( ) ⋆ Û

                                          

                                          ( ) ∀

                                          Û ( ) = Û ( ) ⋆ Û

                                        ( ) ∀

                                        ⏟ ⏞

                                          Û ( ) = (Û

                                          ( )) ∀ A operação união são também chamadas da operação lógica OU. Já a operação interseção é chamada da operação lógica E. Note que tais operações atuam no valor real da função de pertinência, e logo podem ser utilizadas em quaisquer outros números reais pertencentes a [0, 1] (não precisam necessariamente fazerem parte de uma função de pertinência).

                                          

                                        Exemplo 3.6.2. A função mínimo representa uma T-norma. Considere dois conjuntos

                                          Fuzzy e no conjunto universo [0, 10] deĄnidos pelas suas funções de pertinência como na Ągura

                                          

                                          A B

                                          1

                                          1

                                          0.8

                                          0.8

                                          0.6

                                          0.6 µ µ (x) (x) A B

                                          0.4

                                          0.4

                                          0.2

                                          0.2

                                          5

                                          10

                                          5

                                          10 x x

                                          Figura 25 Ű Funções de pertinência de e Sendo assim, o conjunto Fuzzy , utilizando a T-norma "mínimo", possui a função de pertinência como na Ągura

                                          

                                          Û

                                        3.6. Modelagem Fuzzy

                                        1 A

                                          81 0.4 0.6 0.8 A ∩ B B

                                          0.2 2 4 6 8 10 Figura 26 Ű Função de pertinência de

                                        Exemplo 3.6.3. A função máximo representa uma S-norma. Considere os dois conjuntos

                                          Fuzzy e do exemplo

                                          

                                          O conjunto Fuzzy , utilizando a S-norma "máximo", possui a função de pertinência como na Ągura 0.8 1 B A 0.4 0.6 A ∪ B

                                          0.2 2 4 6 8 10 Figura 27 Ű Função de pertinência de Û ( ), Û

                                          

                                          ( ) = max¶Û ( )♢

                                          

                                        Exemplo 3.6.4. A função ( ) = 1 ⊗ , : [0, 1] ⊃ [0, 1] representa uma função

                                          complemento. Considere o conjunto Fuzzy do exemplo

                                          O conjunto Fuzzy ,

                                          utilizando a função , possui a função de pertinência como na Ągura

                                          

                                        Û ( )

                                          ( ) = 1 ⊗ Û

                                        DeĄnição 3.6.14. (Relação Fuzzy) Considere conjuntos universo , , .

                                        1 2 ≤ ≤ ≤ , Considere uma função Û : 1 2

                                          × × ≤ ≤ ≤ × ⊃ [0, 1], onde × representa o produto cartesiano. Então o conjunto dado por 1 2 = ¶( , Û ( )) : × × ≤ ≤ ≤ ×

                                          

                                        82 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                        1 C 0.6 0.8 A A 0.2

                                          0.4

                                          2 4 6 8 10

                                          Figura 28 Ű Função de pertinência de

                                          Exemplo 3.6.5. Considere o conjunto

                                          = ¶João, Maria, José♢ e o conjunto = ¶Pedro, Paula, Pietra♢

                                          Podemos estabelecer uma relação entre e que represente o quanto uma pessoa conhece a outra, sendo Û = 1 para conhece há muito tempo e Û = 0 para não conhece: Pedro Paula Pietra

                                          João

                                          0.9

                                          0.3

                                          1 Maria

                                          0.2

                                          0.8

                                          0.5 José

                                          1

                                          0.4

                                          0.3 Tabela 4 Ű Pertinência em uma Relação entre Dois Conjuntos de Três Pessoas

                                        3.6.2 Funcionamento de um sistema Fuzzy

                                          Nas próximas subseções será abordado o funcionamento de um sistema que utiliza lógica Fuzzy, desde da etapa da fuzzyĄcação até a desfuzzyĄcação, quando o sistema devolve os valores de saída para um conjunto de entradas.

                                          Para tal, será necessário introduzir o conceito de MIMO e MISO. MIMO (Multiple

                                          

                                        Input Multiple Output ) é um sistema que possui mais de uma entrada e mais de uma

                                          saída. MISO (Multiple Input Single Output) é um sistema com mais de uma entrada e uma única saída. Como sistemas MIMO podem ser decompostos em sistemas MISO neste caso, será considerado nas seguintes subseções um sistema MISO.

                                          Considere agora um Sistema Fuzzy MISO. Ele é basicamente composto por con-

                                        3.6. Modelagem Fuzzy

                                          83

                                          conjuntos Fuzzy de saída ou existir funções de saída, como em um modelo Takagi-Sugeno, que será discutido posteriormente.

                                        3.6.3 Fuzzyficação

                                          Os valores de entrada de um sistema Fuzzy necessitam de ser transformados em conjuntos Fuzzy para aplicá-los no sistema. Tal processo é denominado fuzzyĄcação. Sendo assim, seja um conjunto universo de entrada. Seja F o conjunto de todos os conjuntos Fuzzy. Então o operador fuzzyĄcação F é dado por

                                          F : ⊃ F

                                          F

                                           ,

                                          ( ) = ˙ ∈ , ˙ ∈ F

                                          

                                        Exemplo 3.6.6. Uma fábrica produz resistências de 5 Ohms, porém existem a chance

                                          do valor da resistência produzida ser um pouco diferente da projetada, com densidade de probabilidade dada por ( )2

                                          1

                                          ⊗ 2à2

                                          ( ) = √ 2

                                          Þ

                                          2à 2 onde o centro é em = 5, sua variância dada por à = 0.1 e logo seu valor máximo igual 10

                                          √ a = . 2Þ 4 Densidade de Probabilidade vs. Resistência 2

                                        3 Densidade de Probabilidade

                                          1 4 4.5 Valor da Resistência

                                        5

                                        5.5 6 Figura 29 Ű Densidade de probabilidade dos valores que uma resistência produzida

                                          pode assumir Um indivíduo que comprar uma dessas resistências pode assumir em seu projeto que tal elemento possui uma resistência igual ao conjunto Fuzzy dado por

                                        84 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          onde ( )2

                                          ⊗ 2à2 Û ( ) =

                                          que representa a mesma função de densidade de probabilidade, porém normalizada em relação a seu valor máximo.

                                          Note que ocorreu uma fuzzyĄcação do valor da resistência de 5 Ohms: agora ela é representada por um valor de resistência e a pertinência daquele valor.

                                          

                                        Exemplo 3.6.7. Uma das fuzzyĄcações mais utilizadas é a singleton. Ela se baseia em

                                          transformar um valor dentro do conjunto universo em um conjunto Fuzzy cuja

                                          função de pertinência é o delta de Kronecker em = ¶( , Û ( )) :

                                        • Û ( ) = Ó( , )

                                        • 2 Gráfico da Função µ F

                                            Para um conjunto universo = [3, 5] e um valor de entrada = 4, temos a

                                            função de pertinência de (a fuzzyĄcação de ) representada na Ągura µ (u) F 0.5

                                            1.5 1

                                            3 3.5 4 u 4.5 5 Figura 30 Ű GráĄco da fuzzyĄcação do valor 4 em um singleton

                                          3.6.4 Afirmação Fuzzy

                                            Uma AĄrmação Fuzzy de uma regra é uma aĄrmação na lógica Fuzzy entre uma entrada e um conjunto Fuzzy (chamada de premissa) ou entre uma saída e um conjunto Fuzzy (chamada de consequência). Por exemplo, considere uma entrada , a qual as- sume valores num conjunto universo , e um conjunto Fuzzy , cujo conjunto universo também é e função de pertinência Û . Então podemos estabelecer a premissa entre a entrada e o conjunto Fuzzy da seguinte forma:

                                            é O signiĄcado dessa premissa pode ser descrito da seguinte maneira: considere que

                                          3.6. Modelagem Fuzzy

                                            85

                                            valor , ela pode ser representada pelo conjunto Fuzzy . Porém, é necessário considerar a pertinência dessa aĄrmação, que está em [0, 1] (se fosse apenas uma lógica booleana, ou a aĄrmação seria verdadeira 1 ou seria falsa 0).

                                            Considere que a fuzzyĄcação de seja o conjunto Fuzzy ˙ , cuja função de per- ˙ tinência é Û . Seja M o conjunto de funções de pertinência. Então deĄnimos uma : M

                                            × M ⊃ [0, 1], a qual será utilizada para deĄnir a pertinência da premissa com base nas funções de pertinência de ˙ e .

                                            Logo, a premissa " é "possui pertinência Ð ∈ [0, 1], dada por

                                            

                                          Ð = (Û ˙ , Û )

                                            Quando o valor de pertinência da premissa é 0, assume-se que a premissa é falsa e logo não é considerada.

                                            Cada entrada e cada saída podem ter vários conjuntos Fuzzy possíveis de se es- tabelecer uma premissa. Tais conjuntos são especíĄcos da entrada/saída, o que signiĄca que uma entrada/saída só pode estabelecer premissas com os conjuntos Fuzzy relativos a ela (tal fato será melhor discutido no Exemplo

                                            

                                            

                                          Exemplo 3.6.8. Considere os conjuntos ˙ , descritos acima, bem como o valor de

                                            entrada . Na fuzzyĄcação por singleton temos Û ˙ ( ) = Ó( , ), e a função utilizada é simplesmente o valor da pertinência de na função Û , ou seja: (Û ˙ , Û ) = Û ( ) (3.2)

                                            (note que o valor está associado ao conjunto ˙ ). Porém, como podem existir diferentes tipos de fuzzyĄcação, podemos realizar uma generalização de , dada por:

                                            ∫︀ ⏞ ⏟ Û 1 ( ) ⋆ Û 2 ( ) d

                                            (Û , Û ) = ∫︀ (3.3) 1 2

                                            ′ ′ Û ( ) d 1

                                            ⏞ ⏟

                                            para alguma T-norma . Neste caso, o produto seria uma interessante escolha de T- norma, pois resultaria em uma média ponderada dos valores de Û em relação a Û . 2 1 Note que, considerando para efeito de cálculo um singleton não mais como um delta de Kronecker, mas como um delta de Dirac, ou seja, uma distribuição, a função descrita em

                                            pois, considerando Û ˙ descrita acima e lembrando que ⏞ ⏟

                                            

                                            

                                          86 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                          ∫︀ ⏞ ⏟ Û ˙ ( ) ⋆ Û ( ) d

                                            (Û ˙ , Û ) = ∫︀

                                            ′ ′ Û ˙ ( ) d

                                            ∫︁ ⏞ ⏟

                                            = Û ˙ ( ) ⋆ Û ( ) d = Û ( )

                                            Note que foi realizado um abuso de notação para a distribuição delta de Dirac Ó em ∈ R:

                                            ∫︁ ⏞ ⏟

                                            ( ) = Ó ( ) , Ó ( ) ( ) d

                                            

                                          Exemplo 3.6.9. Considere = ¶⊗3, ⊗2, ⊗1, 0, 1, 2, 3♢, relacionado à entrada , a fuzzy-

                                            Ącação por singleton e o conjunto Fuzzy PZ deĄnido em que representa quando um número é praticamente zero, cuja função de pertinência é dada por

                                          • 3 -2 -1 1 2 3

                                            Û

                                          PZ ( ) 0.5 1 0.5 0 0

                                            Tabela 5 Ű Pertinência do conjunto PZ Considerando a função deĄnida em

                                            temos que quando assume valor de

                                          • entrada

                                            = ⊗1, podemos dizer que E é PZ (com pertinência 0.5)

                                          3.6.5 Regras

                                            Uma Regra na lógica Fuzzy é uma sentença com as seguintes componentes: ∙ Premissas ∙ Conectivos Lógicos entre as premissas (OU/E) ∙ Consequências das premissas (ou uma função no caso Takagi-Sugeno) ∙ Conectivos Lógicos entre as Consequências (se houver mais de uma)

                                            (Obs.: O caso Takagi-Sugeno será explicado nas subseções seguintes) Para aplicar uma regra, primeiro é necessário saber se ela é verdadeira. Por isso, as sentenças das regras são escritas condicionalmente:

                                            

                                          se (Premissa 1) E/OU (Premissa 2) E/OU ≤ ≤ ≤ E/OU (Premissa N) então

                                          3.6. Modelagem Fuzzy

                                            87 Em um sistema MISO apenas é necessária uma consequência, pois o objetivo é saber o efeito das entradas na única saída.

                                            

                                          Exemplo 3.6.10. Deseja-se controlar a temperatura em uma sala através de um ar-

                                            condicionado que utiliza um sistema Fuzzy. Para tal, era possível considerar duas entradas: ∙ : Número de pessoas na sala ∙

                                            : A temperatura no ambiente externo A saída do sistema é a potência fornecida ao ar-condicionado:

                                            ∙ : Potência fornecida ao ar-condicionado (quanto maior, mais refrigeração) A entrada está deĄnida no conjunto universo = [0, 30], está deĄnida em

                                            = [25

                                            ,

                                            45 ] e em [300 W, 3000 W]. A cada entrada e saída foram relacionados três conjuntos Fuzzy deĄnidos nos respectivos conjuntos universo. Com relação à entrada , os conjuntos Fuzzy são ilustrados na Ągura

                                            

                                            ∙ NP: Número Pequeno ∙ NM: Número Médio ∙ NG: Número Grande

                                            5 10

                                          15

                                          20 25 30 0.2 0.4 0.6 0.8 Pertinência 1 Número de pessoas

                                          Conjuntos Fuzzy da entrada n

                                          NP NM NG

                                            Figura 31 Ű Conjuntos Fuzzy respectivos à entrada Com relação à entrada , os conjuntos Fuzzy são ilustrados na Ągura

                                            

                                            ∙ TB: Temperatura Baixa

                                          88 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                            25 30

                                          35

                                          40 45 0.2 0.4 0.6 0.8 Pertinência 1 Temperatura

                                          Conjuntos Fuzzy da entrada T

                                          a TB TM TA

                                            Figura 32 Ű Conjuntos Fuzzy respectivos à entrada TA: Temperatura Alta

                                            Com relação à saída , os conjuntos Fuzzy são ilustrados na Ągura

                                            

                                            ∙ PB: Potência Baixa ∙ PM: Potência Média ∙ PA: Potência Alta

                                            500 1000 1500 2000 2500 3000 0.2 0.4 0.6 0.8 Pertinência 1 Potência

                                          Conjuntos Fuzzy da saída P

                                          PB PM PA

                                            Figura 33 Ű Conjuntos Fuzzy respectivos à saída Note que cada conjunto Fuzzy é exclusivo de sua respectiva entrada/saída.

                                            Podemos agora estabelecer um conjunto de regras para esse sistema Fuzzy com base nos conjuntos Fuzzy. Um exemplo de regra é:

                                            

                                          se é NG E é TA então é PA

                                            Essa regra se traduz na seguinte lógica: se a sala possui um alto número de pessoas e a temperatura externa é muito alta, então deve ser fornecida uma potência alta ao ar-

                                          3.6. Modelagem Fuzzy

                                            89

                                            e 1 saída, podemos montar uma tabela de regras. Na seguinte tabela de regras todas as relações entre as duas entradas são através do conectivo lógico E e o resultado da combinação das duas como a consequência de saída (se é E é então é ). 1 2 3 E NP NM NG TB PB PB PM TM PB PM PA TA PM PA PA

                                            Tabela 6 Ű Consequência de Saída (Potência PX) para as Combinações de Número de Pessoas (NX) e Temperatura (TX)

                                          3.6.6 Operação Fuzzy implicação

                                            Na subseção anterior foi deĄnido o signiĄcado da expressão " é " no sentido da lógica Fuzzy. Nesta subseção será deĄnido o signiĄcado de =⇒ , ou em outras palavras: "se então ", sendo que neste trabalho será abordada a inferência baseada em cada regra individualmente.

                                            Esta "operação" de implicar ( =⇒ ) é utilizada em um conjunto de premissas para implicar uma função de saída (no caso de um modelo Takagi-Sugeno) ou simplesmente uma consequência. Sendo assim, a implicação será dividida em dois casos: o caso Takagi- Sugeno e o caso consequência.

                                            Takagi-Sugeno. Em um modelo Takagi-Sugeno, as premissas implicam em uma

                                            função da saída em relação às entradas. Por exemplo, considere um sistema com entradas , , com respectivos conjuntos universo , , que tenha con- 1 ≤ ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ ≤ , juntos Fuzzy 1 , , onde é relativo a , e suponha que valha a premissa ≤ ≤ ≤ , 1 é E é é 1 2 2 E ≤ ≤ ≤ E

                                            (note que foi introduzida a operação lógica E entre as premissas. Outra condição lógica, como OU, poderia ser utilizada). Considere agora a saída do sistema, cujo conjunto 1 universo é , e uma função :

                                          • × ≤ ≤ ≤ × . Então a implicação em uma regra no modelo Takagi-Sugeno é
                                          • 1 é 1 E 2 é 2 é ENTÃO = * se

                                              E ≤ ≤ ≤ E

                                            • Cada regra no modelo Takagi-Sugeno possui uma função especíĄca. Portanto, se existirem regras, existem funções diferentes, uma para cada regra. Essa função, assim como a pertinência de cada premissa, será utilizada no processo para determinar o valor de saída, que será visto numa subseção posterior. O modelo Takagi-Sugeno originalm

                                            90 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                              Consequência de saída. Considere um sistema MISO com as entradas descritas

                                              acima e que possui uma saída , deĄnida no conjunto universo , e que possua conjuntos Fuzzy relacionados a ela. Então uma implicação em uma regra sobre o conjunto Fuzzy de saída (com função de pertinência Û e deĄnido em ) é do tipo

                                              

                                            se é E é é ENTÃO é

                                            1 1 2 2 E ≤ ≤ ≤ E

                                              Como visto, cada premissa (relativa a ) possui um grau de pertinência Û , e logo podemos determinar a pertinência do conjunto de premissas:

                                              ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ Û ⋆ Û ⋆ ⋆ Û = ⋆ Û = Û (3.4) 1 2

                                              ≤ ≤ ≤ =1 (caso sejam utilizados conectivos OU, devemos realizar a operação ). Portanto, a

                                              ⏟ ⏞

                                              pertinência total de todas as premissas vale Û . Seja a premissa equivalente a tal com a pertinência de sendo conjunto de premissas. Logo, temos que =⇒ é Û .

                                              Agora é necessário deĄnir o signiĄcado da implicação. De maneira geral, a implica- entre o conjunto Fuzzy em função da pertinência ção =⇒ estabelece uma função =⇒ da premissa . Denotando F como o conjunto dos conjuntos Fuzzy, temos

                                              =⇒

                                              : ¶[0, 1], F♢ ⊃ F

                                              ̃︀

                                              (Û , ) =

                                              =⇒ ̃︀

                                              = ¶( , Û ( )),

                                              

                                            ̃︀

                                              Portanto, a implicação altera o conjunto Fuzzy de saída em função da pertinência total das premissas Û . Esse conjunto Fuzzy resultante irá, em conjunto com os resultantes das outras regras, determinar o valor de saída de , como será mostrado na subseção posterior.

                                              

                                            Exemplo 3.6.11. Implicação Mandani. Na implicação Mandani, a função é

                                            =⇒

                                              simplesmente gerar um conjunto Fuzzy cuja função de pertinência é o mínimo entre Û e Û .

                                              

                                            se P então é

                                              Resultado:

                                              ,

                                            3.6. Modelagem Fuzzy

                                              91

                                              sendo

                                              

                                            Û ( ) = min(Û , Û ( ))

                                            ̃︀

                                              Tal implicação equivale a "ceifar" a função de pertinência de no valor Û . Para ilustrar tal implicação, considere Û = 0.5 e com domínio [0, 10] e função de pertinência como na Ągura

                                              Função de Pertinência Resultante Função de Pertinência de B k

                                              1

                                              1

                                              0.8

                                              0.8

                                            (v)

                                              0.6

                                              0.6 µ (v) B k

                                              0.4

                                            µ

                                            Resultante

                                              0.4

                                              0.2

                                              0.2

                                              5

                                              10

                                              5

                                              10 v v

                                              Figura 34 Ű Função de Pertinência Û via implicação Mandani em comparação com Û

                                              ̃︀

                                            Exemplo 3.6.12. Implicação Gödel. Na implicação Gödel, a função aplicada a

                                              =⇒ Û e resulta no seguinte conjunto Fuzzy:

                                              ̃︀

                                              = ¶( , Û ( )),

                                              

                                            ̃︀

                                            ⎧ ⨄︁

                                              1 se Û ( ) ⊘ Û

                                              Û

                                              ( ) =

                                              ̃︀ ⎩ Û ( ) caso contrário

                                              Para ilustrar tal implicação, considere Û = 0.5 e com domínio [0, 10], como no exemplo

                                              

                                            3.6.7 Agregação

                                              Num modelo Fuzzy existem várias regras e o resultado de saída Ąnal deve consi- derar todas as regras ativas. Como há diferenças entre o modelo Consequência de Saída e o modelo Takagi-Sugeno, novamente será feita uma separação entre os dois. Porém, a agregação no modelo Takagi-Sugeno será deixada para a próxima subseção, pois está extremamente ligada ao processo de DefuzzyĄcação.

                                              Consequência de Saída. Considere o seguinte sistema Fuzzy: ,

                                              

                                            92 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                            Função de Pertinência Resultante Função de Pertinência de B k

                                              1

                                              1

                                              0.8

                                              0.8

                                            (v)

                                              0.6

                                              0.6 µ (v) B k

                                              0.4

                                            µ

                                            Resultante

                                              0.4

                                              0.2

                                              0.2

                                              5

                                              10

                                              5

                                              10 v v

                                              Figura 35 Ű Função de Pertinência Û via implicação Gödel em comparação com Û

                                              ̃︀

                                              ∙ 1 saída regras o conjunto

                                              ∙ conjuntos Fuzzy relacionados a cada entrada, denotando por relativo à regra e entrada , com 1 ⊘ e 1 ⊘ . o conjunto Fuzzy de saída

                                              ∙ conjuntos Fuzzy relacionados à saída , denotando relativo à regra , com 1 ⊘ O conjunto de regras pode ser escrito como 1 1 1

                                              

                                            se é é ENTÃO é

                                            1 2 1 E ≤ ≤ ≤ E 2 2

                                            se é é ENTÃO é

                                            1 1 E ≤ ≤ ≤ E ...

                                            se é é ENTÃO é

                                            1 1 E ≤ ≤ ≤ E

                                              Considere agora os conjuntos Fuzzy resultantes das implicações de cada regra,

                                              ̃︀

                                              denotando o conjunto Fuzzy resultante da implicação na regra . A agregação consiste

                                              ̃︀

                                              em utilizar a informação proveniente de todos os resultantes para criar um último conjunto Fuzzy, proveniente da agregação de todos eles. Portanto, é necessário deĄnir uma função para realizar tal operação. Denotando por F o conjunto de conjuntos Fuzzy:

                                              : F ⊃ F onde F é o produto cartesiano de (número de regras) conjuntos F. O conjunto Fuzzy

                                              ̃︀

                                            3.6. Modelagem Fuzzy

                                              93 Exemplo 3.6.13. Agregação Mandani. A agregação Mandani utiliza a união dos con- ̃︀

                                              juntos para agregá-los: 1 ⋃︁

                                            ̃︀ ̃︀ ̃︀ ̃︀ ̃︀

                                            = ( , ) = =

                                              ≤ ≤ ≤ , =1 ⏟ ⏞ =1 Geralmente utiliza-se a S-norma máximo, que é ilustrada na Figura 1 2

                                               para dois conjuntos ̃︀ ̃︀

                                              e :

                                              ~ 1 ~ 2 ~ ~ 1 2 B

                                            B

                                            max(B ,B )

                                              1

                                              1

                                              1

                                              0.8

                                              0.8

                                              0.8

                                              0.6

                                              0.6

                                              0.6 (u) (u) µ µ 1 (u) 2 max

                                              0.4

                                              0.4 µ

                                              0.4

                                              0.2

                                              0.2

                                              0.2

                                              5

                                              10

                                              

                                            5

                                              10

                                              5

                                              10 u u u

                                              Figura 36 Ű Função de agregação pelo máximo

                                              

                                            Exemplo 3.6.14. Agregação Gödel (inferência feita individualmente em cada

                                            ̃︀ regra). Na agregação Gödel, utiliza-se a interseção dos conjuntos para agregá-los:

                                              ⋂︁ 1 ⏞ ⏟

                                            ̃︀ ̃︀ ̃︀ ̃︀ ̃︀

                                            , ⋆

                                              = ( ) = = ≤ ≤ ≤ , =1 =1

                                              Normalmente utiliza-se a T-norma mínimo, que é ilustrada na Figura 1 2

                                               para dois con- ̃︀ ̃︀

                                              juntos e :

                                              ~ ~ 1 2 ~ ~ 1 2 B B min(B ,B )

                                              1

                                              1

                                              1 (u) (u)

                                              (u) 1

                                              0.5 2

                                              0.5 µ

                                            µ max

                                            µ

                                              0.5

                                              5

                                              10

                                              

                                            5

                                              10

                                              5

                                              10

                                            u u u

                                              Figura 37 Ű Função de agregação pelo mínimo

                                            94 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                            3.6.8 Defuzzyficação

                                              Após o estágio de agregação, temos como resultado das entradas um conjunto Fuzzy de saída. Porém, é necessário extrair de tal conjunto o valor de saída desejado no conjunto universo da saída. Para tal, é realizada a defuzzyĄcação do conjunto. Sendo assim, para um modelo Consequência de Saída com uma saída , deĄnida no conjunto universo , podemos deĄnir a defuzzyĄcação como uma função tal que

                                              : F ⊃ Já para um modelo Takagi-Sugeno, a defuzzyĄcação é aplicada nas funções de saída, como pode ser visto no próximo exemplo.

                                              DefuzzyĄcação Takagi-Sugeno. Como visto, no modelo Takagi-Sugeno, a cada

                                            • 1 , deĄnidas em

                                              regra está associada uma função . Considere então o seguinte sistema:

                                              , , 1 respectivamente

                                              ∙ entradas ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤ , ∙ 1 saída regras o conjunto

                                              ∙ conjuntos Fuzzy relacionados a cada entrada, denotando por relativo à regra e entrada , com 1 ⊘ e 1 ⊘ .

                                            • 1

                                              relacionada à regra , e ainda

                                            • :

                                              ∙ funções de saída, sendo × ≤ ≤ ≤ × para todo .

                                              Considere = . A defuzzyĄcação das regras é dada por uma função tal 1 × ≤ ≤ ≤ que

                                              : 1 × ≤ ≤ ≤ ×

                                              ∑︀

                                            • *

                                              =1

                                              ( )Û ( ) = ,

                                              ∑︀

                                              ∈ =1 Û onde Û é a pertinência do conjunto de premissas da regra , como visto na equação

                                              DefuzzyĄcação do modelo Consequência de Saída. Como visto, no modelo ̃︀

                                              Consequência de Saída, é gerado um conjunto Fuzzy de saída . Existem vários métodos de DefuzzyĄcação nesse caso (várias ), e aqui serão apresentados dois deles.

                                            3.6. Modelagem Fuzzy

                                              95 O método de defuzzyĄcação pelo Centro de Área é um dos mais conhecidos na

                                              literatura De fato, ele consiste

                                              ̃︀

                                              como a em tomar a coordenada do centro da área da função de pertinência de saída do sistema:

                                              ∫︀ Û ( ) d

                                              ̃︀

                                              =

                                              ∫︀ ′ ′

                                              

                                            Û

                                              ( ) d

                                              

                                            ̃︀

                                            onde é o valor da saída do sistema e o conjunto universo de .

                                              Centro de Área

                                              1

                                              0.8

                                              0.6 µ (v)

                                              0.4

                                              0.2

                                              2

                                              4

                                              6

                                              8

                                              10 v ̃︀

                                              Figura 38 Ű Obtenção da coordenada do centro de área da função de pertinência de ∙ Primeiro Ponto de Máximo / Último Ponto de Máximo

                                              ̃︀

                                              Considere o conjunto universo ordenado de e então tome o conjunto tal que

                                              ̃︀

                                              ( ) = alt( ) = sup Û = ¶ : Û ( )♢

                                              ̃︀ ̃︀

                                              A DefuzzyĄcação por Primeiro Ponto de Máximo consiste em apenas tomar = inf

                                              Já a DefuzzyĄcação por Último Ponto de Máximo consiste em tomar = sup

                                            96 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                              

                                            Primeiro e Último Ponto de Máximo

                                              1

                                              0.8 Primeiro Ponto 0.6 Último de Máximo

                                              Ponto µ (v) de

                                            0.4 Máximo

                                              0.2

                                              2

                                              4

                                              6

                                              8

                                              10

                                            v

                                              Figura 39 Ű Representação do Primeiro e Último Ponto de Máximo da função de

                                              ̃︀

                                              pertinência de

                                            3.7 Clusterização via Método da Montanha

                                              Na seção anterior foi introduzida a Teoria Fuzzy, mostrando como funciona um sistema Fuzzy e sua lógica. Porém, existem várias possibilidades para se construir uma estrutura Fuzzy, desde a escolha das funções de pertinência até as regras entre elas.

                                              Nesta seção será apresentado um método que consiste em gerar um sistema Fuzzy a partir de um conjunto de dados de entrada relacionados à sua respectiva saída. Tal método é uma extensão do Método da Montanha, proposto por Ronald R. Yager e estendido em sendo esta última a utilizada para compor esta seção.

                                              Basicamente, o método funciona da seguinte maneira: um conjunto de dados de entrada e saída é processado e nele são deĄnidos "clusters centers", aqui chamados de núcleos, os quais representam dados que possuem as características predominantes de tal conjunto. Através deles são gerados conjuntos Fuzzy e regras, que são otimizadas através do método dos mínimos quadrados.

                                            3.7.1 Obtenção dos núcleos

                                              Considere um sistema com entradas , e saídas , . Consi- 1 1 ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤

                                              , chamado de dado de entrada, e a saída dere então a entrada como um vetor ∈ R , chamado de dado de saída, sendo cada dimensão respectiva à en- como um vetor ∈ R 1 , , 2 trada/saída . Considere também um conjunto de dados de entrada = ¶ ≤ ≤ ≤ , 1 , , relativa à entrada . Seja o 2 e dados de saída = ¶ ≤ ≤ ≤ , ♢, sendo a saída + espaço formado pela concatenação de e , dado por

                                              , ) :

                                              ∈ , , ⊆ R = ¶(

                                              Sendo assim, concatenando os dados de entrada com os dados de saída, é gerado um

                                              , ,

                                            3.7. Clusterização via Método da Montanha

                                              97

                                              dados estão normalizados em cada dimensão, ou seja = ( , , 1 2 ≤ ≤ ≤ , ( + ) ♣ ⊘ 1 ∀ ∈ ¶1, ≤ ≤ ≤ , , ∈ ¶1, ≤ ≤ ≤ , +

                                              ) : ♣ Inicialmente, todo é considerado um núcleo em potencial. DeĄnimos então o potencial de cada , dado por

                                              ∑︁ 2Ð♣♣ ♣♣

                                              = =1 onde

                                              4

                                              Ð = 2

                                              sendo &gt; 0. A constante será chamada de Raio de InĆuência.

                                              ∈ R, Tal função consegue quantiĄcar a distância de um ponto a todos os outros. Sendo assim, os que tiverem uma maior aglomeração de pontos em torno deles terão um potencial maior, como ilustrado na Ągura

                                              

                                              Figura 40 Ű Ilustração do potencial gerada pelo histograma de um conjunto de pontos bidimensionais. Quanto maior o valor na barra (referente a uma cor), maior o potencial correspondente do ponto.

                                              O valor da constante é importante para deĄnir o raio da vizinhança de um ponto, no sentido de que quanto maior o valor de , maior a contribuição de pontos distantes ao potencial de um ponto.

                                              Após obter o potencial de todos os pontos, escolhemos aquele com maior potencial 1

                                            • para ser o primeiro núcleo, denotado

                                              . Caso haja mais de um ponto, escolhemos qualquer

                                            98 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                            • 1⊘
                                            • sendo o potencial de .
                                            • 1 1 Agora o objetivo é determinar outro núcleo longe do já escolhido, para conseguir generalizar com maior eĄcácia o conjunto de dados por meio desses núcleos. Porém, é

                                                1 ∈ ¶ : = max

                                                necessário atualizar os potenciais, fazendo com que aqueles pontos que estavam próximos

                                              • a
                                              • 1 percam potencial. Para tal, considere a atualização do potencial de de acordo com a expressão 2 *

                                                  ⊗Ñ♣♣ ♣♣ * 1

                                                  ⇐ 1 onde

                                                  4

                                                  Ñ = 2

                                                  sendo &gt; 0 uma constante. Denominamos a razão por Fator de Esmaga- ∈ R, mento.

                                                • 1

                                                  O valor da constante deĄnirá o raio em volta de que perderá um valor 1 signiĄcativo de potencial: quanto maior o valor de , mais pontos distantes de perderão

                                                • 1 uma quantidade signiĄcativa de potencial. Note que o potencial de passará a ser 0.
                                                • 2 *

                                                  Com o potencial de todos os pontos atualizado, escolhemos o segundo núcleo da mesma forma que foi escolhido o primeiro: 2 ∈ ¶ : = max

                                                • 1⊘
                                                • sendo o potencial de . Novamente, recalculamos os potenciais de todos os pontos.
                                                • 2 2<

                                                  , ,

                                                  Após repetir esse processo vezes, obtemos o conjunto = ¶ 1 2 ≤ ≤ ≤ , ♢. O número será deĄnido de acordo com um critério de parada, descrito a seguir.

                                                3.7.2 Critério de parada

                                                  No critério de parada é preciso deĄnir duas constantes: , a Taxa de Aceitação; e , a Taxa de Rejeição. A única propriedade entre os dois é &lt; . Enquanto

                                                • * *

                                                  &gt; 1

                                                3.7. Clusterização via Método da Montanha

                                                  99

                                                • * *

                                                  &lt; 1

                                                  então rejeitamos como núcleo e encerramos o processo, com = ⊗ 1. Na condição

                                                • 1 &lt; &lt; , o ponto poderá ou não ser aceito como um núcleo.
                                                • 1

                                                    em que

                                                    Para decidir se ele será aceito, considere min = min

                                                    1⊘ ⊗1 ♣♣ ♣♣. Se min *

                                                  • ⊙ 1
                                                  • 1

                                                    então será aceito como um núcleo e o processo continuará. Caso contrário, será rejeitado como um núcleo e seu potencial passará a ser 0 ( = 0). Ainda, ele deixará

                                                    de ser denotado por e o próximo ponto com maior potencial será o novo . Então, testamos novamente o critério de parada.

                                                  3.7.3 Determinação do modelo Fuzzy

                                                    , ,

                                                    Com o conjunto = ¶ 1 2 ≤ ≤ ≤ , ♢ deĄnido, será necessário separá-lo nos dados de entrada e saída:

                                                  • : = (

                                                    ,

                                                    = ¶ ∈ R ), 1 ⊘

                                                    : = (

                                                    ,

                                                    = ¶ ∈ R ), 1 ⊘

                                                  • , ) comporá de uma regra no sistema Fuzzy, no sentido de que

                                                    Cada = (

                                                    a entrada implicará na saída . O modelo utilizado será o Takagi-Sugeno. Portanto, haverá regras ao todo, sendo que as entradas serão consideradas como singletons. Uma regra qualquer será da forma

                                                    se 1 é 1 E 2 é 2 é então 1 é 1 E 2 é 2 é E ≤ ≤ ≤ E E ≤ ≤ ≤ E

                                                    onde é a entrada do sistema (1 ⊘ ), a saída do sistema (1 ⊘ ) e os termos são funções (modelo Takagi-Sugeno). A função de pertinência de é dada por ) 2 *

                                                    ⊗Ð(

                                                    ( ) =

                                                    onde é o termo pertencente a R relativo à entrada em . A função é dada simplesmente por uma constante

                                                  • é o termo pertencente a R relativo à saída em

                                                  • . Além disso, o conectivo E é realizado pela T-norma produto. A saída ∈ R do sistema para uma entrada ∈ R é então dada por
                                                  • ∑︀

                                                    =1

                                                    Û ( ) = Ð♣♣ * ♣♣ 2 Nesta etapa, propôs um método para otimizar os parâmetros do sistema Fuzzy, o qual será descrito a seguir.

                                                    

                                                  100 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    onde

                                                    =

                                                    ∑︀

                                                  =1

                                                  Û

                                                    ( )

                                                    Û ( )

                                                    (3.5) onde

                                                  3.7.4 Otimização do Modelo Fuzzy

                                                    Considere na equação

                                                  • é uma função linear das variáveis ∈ R de entrada, dada por
                                                  • = + (3.6) onde

                                                    em forma matricial, denotando a transposta de uma matriz

                                                    ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                     1 ...

                                                    ⎡ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⨄︀ 1

                                                    ≤ ≤ ≤ ]

                                                    por : = [ 1 1

                                                    ∑︁ =1

                                                    ( + ) (3.8) Escrevendo

                                                    que

                                                    =

                                                    

                                                    (3.7) Substituindo

                                                    Û

                                                    é uma matriz constante × e um vetor constante ×1. Considere também que =

                                                    Û

                                                  ∑︀

                                                  =1

                                                    3.7. Clusterização via Método da Montanha 101

                                                    = min

                                                    

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⨄︀

                                                  1

                                                     1 ...

                                                     ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                    note que a equação

                                                    é da forma

                                                    = passível de aplicar o método dos mínimos quadrados, já que é uma matriz constante e possui os parâmetros da linearização de que desejamos encontrar. Portanto, desejamos encontrar um min tal que min

                                                     ∈R ( +1) {︁

                                                    ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                    ♣♣ ♣♣ 2

                                                    }︁

                                                    que pelo método dos mínimos quadrados resulta em min = ( )

                                                    ⊗1 .

                                                    Computacionalmente, o cálculo de ( )

                                                    ⊗1

                                                    pode ser custoso. Por isso,

                                                    =

                                                    ≤ ≤ ≤ ... 1 1 ≤ ≤ ≤

                                                    Agora, considerando um conjunto o dados de entrada = ¶ 1

                                                    ≤ ≤ ≤ ... 1 1 ≤ ≤ ≤

                                                    ,

                                                    ≤ ≤ ≤ ♢, é possível escrever

                                                    ⎡ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⨄︀ 1 ...

                                                    ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                    =

                                                    ⎡ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⨄︀ 11 11

                                                    ≤ ≤ ≤ 1 1 ...

                                                    ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀ ⎡

                                                    ⎡ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⨄︀ 11 11 ≤ ≤ ≤ 1 1 ...

                                                    ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⋁︀ ⨄︀ 1

                                                     1 ...

                                                     ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                    (3.9) onde representa calculada para a entrada . Denotando =

                                                    

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⋁︀

                                                  ⨄︀

                                                  1 ...

                                                    ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⋀︀

                                                    =

                                                    

                                                  cita um método iterativo de se calcular tal resultado, que pode ser encontrado no

                                                    

                                                  102 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                  3.8 Algoritmo Genético O Algoritmo Genético é um processo que visa otimizar parâmetros de um sistema.

                                                    Ele possui esse nome pois, intuitivamente, se baseia na ideia de uma população de in- divíduos que sofrem mutações e interagem entre si ao longo de gerações para que seu desempenho no sistema possa melhorar.

                                                    Tal algoritmo é de extrema importância no método desenvolvido nessa disserta- ção, pois nele existem vários parâmetros que mudam drasticamente quando outros são alterados. Sendo assim, executar uma otimização manualmente seria algo extremamente demorado, além de não ser intuitivo, pois alguns parâmetros apresentam mudanças brus- cas no desempenho com pequenas variações (na prática, o sistema não é contínuo com relação a eles).

                                                    As próximas seções visam traduzir os conceitos linguísticos, como população e mutações, para os práticos utilizados em um sistema computacional.

                                                  3.8.1 Indivíduo

                                                    Um indivíduo em um algoritmo genético representa um conjunto ordenado de parâmetros Ð do sistema que desejamos otimizar:

                                                    , Ð ,

                                                    = (Ð 1 2 ) : Ð (3.10) ≤ ≤ ≤ , Ð , 1 ⊘

                                                    Em

                                                     é representado de uma maneira mais abstrata, podendo os parâmetros

                                                  Ð terem naturezas diferentes: Ð poderia ser um número real, Ð um conjunto de letras,

                                                  1 2

                                                  Ð um número natural, e assim por diante. O sistema seria então um conjunto de classes

                                                  3

                                                    que representam cada parâmetro, onde Ð é um dos ∈ signiĄca que o parâmetro Ð parâmetros do sistema .

                                                    É importante citar que cada parâmetro Ð deve estar deĄnido em um conjunto Ω que geralmente é limitado, impondo restrições sobre os valores de cada parâmetro. Ainda assim, o número de parâmetros escolhidos de não pode ser exagerado, pois caso contrário, o número de indivíduos possíveis em Ω seria elevado, o 1 2

                                                    × Ω × ≤ ≤ ≤ × Ω que resultaria num tempo alto computacionalmente.

                                                    

                                                  Exemplo 3.8.1. Considere que o sistema é uma empresa em construção que deseja

                                                    minimizar os custos com ar-condicionado em relação à produtividade da unidade. Para isso, desejamos otimizar o tamanho das 5 salas a serem construídas, além do número de pessoas em cada sala. Poucas pessoas e salas menores reduziriam o consumo, porém também diminuiria a produtividade da unidade. Além disso, cada sala deve ter no mínimo 2 2 40 m e no máximo 240 m , com cada sala contendo no mínimo 3 pessoas e no máximo

                                                  3.8. Algoritmo Genético

                                                    103

                                                    Um indivíduo do algoritmo genético proposto para tal problema poderia ser da forma Sala 2

                                                    1

                                                    2

                                                    3

                                                    4

                                                    5 Tamanho (m ) 1 2 3 4 5 Número de Pessoas 1 2 3 4 5 Tabela 7 Ű Notação dos Parâmetros Tamanho e Número de Pessoas referentes a cada Sala

                                                    = ( , , , , , , , , , ) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 satisfazendo 40 ⊘ ⊘ 240

                                                    ⊘ 18 3 ⊘ Portanto, Ω

                                                    = [40, 240] para 1 ⊘ ⊘ 5 e Ω = ¶3, 4, ≤ ≤ ≤ , 17, 18♢ para 6 ⊘ ⊘ 10. Um possível exemplo numérico de indivíduo seria = (60.3, 49.7, 203, 104, 110, 5, 9, 13, 8, 6)

                                                  3.8.2 População

                                                    População é um conjunto ordenado (pela performance) de indivíduos do sis-

                                                    tema . Todos os indivíduos devem ter os mesmos tipos de parâmetros para que possam interagir entre si. Geralmente, o número de indivíduos de uma população é Ąxo durante todo o processo. Sendo assim, podemos deĄnir uma população de indivíduos por

                                                    = ( 1 , 2 , 3 , ) ≤ ≤ ≤ ,

                                                    Exemplo 3.8.2. Utilizando o mesmo sistema descrito no exemplo uma possível

                                                    população seria

                                                    , ,

                                                    = ( 1 2 3 ) 1 = (60.3, 49, 80, 100.9, 110, 5, 7, 4, 8, 6) 2 = (40, 60, 89, 80, 230, 4, 8, 7, 5, 16)

                                                    

                                                  104 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    3.8.3 Geração

                                                    Uma geração está relacionada ao número de vezes que uma população foi subme- tida às operações do Algoritmo Genético. A população inicial é deĄnida como a população da primeira geração. Após submetê-la às operações de mutação, cross-over e eliminação (deĄnidas nas próximas subseções), obtemos uma nova população, que pertence à segunda geração. Indutivamente, a população da geração , após as operações do algoritmo, torna- se a população da geração + 1.

                                                    O intuito é sempre obter populações cujos indivíduos possuam melhor performance em relação à geração anterior. Portanto, o melhor indivíduo é sempre salvo, para que no Ąnal do algoritmo seja fornecido o melhor resultado dos computados.

                                                    3.8.4 Operações em indivíduos

                                                    Nesta subseção serão descritas as operações utilizadas pelo Algoritmo Genético para modiĄcar os indivíduos de uma dada população, com o intuito de obter novos indi- víduos com melhor desempenho que os anteriores e eliminar aqueles que possuem baixo desempenho.

                                                    3.8.5 Mutação

                                                    A mutação é uma operação feita em cada indivíduo separadamente. Ela consiste em mudar um ou mais parâmetros do indivíduo para um elemento aleatório do respectivo conjunto Ω ao qual o parâmetro pertence. Quais parâmetros serão mudados também é uma escolha aleatória, tendo a possibilidade de nenhum ser mudado. É inspirada na mutação genética, estudada no ramo da biologia, na qual um dos nucleotídeos presentes no DNA é substituído por outro, alterando a sequência genética.

                                                    Nesta operação deĄnimos uma probabilidade de mutação . Sempre que a mu- tação é aplicada em um indivíduo, gera-se um número Ó ∈ [0, 1] aleatório para cada parâmetro Ð , e se Ó &gt; então aquele parâmetro será substituído por um novo Ð aleatório, escolhido em algum subconjunto de Ω . Neste trabalho, Ð pode ser qualquer valor em Ω .

                                                    Denotando por a função de mutação e Λ = Ω o conjunto de possíveis 1 ×≤ ≤ ≤×Ω indivíduos, podemos representar a mutação da seguinte maneira:

                                                    : Λ ⊃ Λ de modo que, dado = (Ð 1 , ), temos ≤ ≤ ≤ , Ð

                                                    ,

                                                  3.8. Algoritmo Genético

                                                    105

                                                    onde

                                                    ⎧ ⨄︁ Ð se Ó &gt; Ð =

                                                    ⎩

                                                  Ð se Ó

                                                    ⊘ sendo Ð um elemento aleatório de (Ð , , Ω , onde (Ð , , Ω ) representa uma ) ⊖ Ω vizinhança de Ð . O raio de raio para algum &gt; 0 deĄnido e alguma métrica ♣♣ ≤ ♣♣ pode ser Ąxo ou variante de acordo com o número de gerações.

                                                    Exemplo 3.8.3. Novamente, no sistema do exemplo considere o indivíduo 1 = (60.3, 49.7, 73, 190, 110, 5, 7, 14, 8, 6).

                                                    Considere a probabilidade de mutação = 0.3 e (Ð , , Ω ) = Ω , ou seja, Ð pode assumir qualquer valor em Ω quando ocorre mutação. Considere ainda que foram gerados os seguintes valores de Ó :

                                                    Ó 1 Ó 2 Ó 3 Ó 4 Ó 5 Ó 6 Ó 7 Ó 8 Ó 9 Ó 10

                                                    0.4 0.1 0.2 0.9 0.7 0.33 0.25 0.05 0.45 0.5 Tabela 8 Ű Valores de Ó , relativos à Probabilidade de Mutação de cada Parâmetro

                                                    Ao aplicar a função em 1 , um indivíduo que pode ser gerado é: ( ) = (60.3, 110, 200, 190, 110, 5, 8, 11, 8, 6) 1 . Note que apenas para ∈ ¶2, 3, 7, 8♢ houve alteração no valor de Ð

                                                    Cross-Over

                                                  3.8.6 A operação cross-over é aplicada a um par indivíduos. Também é inspirada em

                                                    sua deĄnição na biologia, na qual dois cromossomos trocam material genético, resultando em dois outros cromossomos constituídos da combinação dos anteriores.

                                                    O cross-over em um Algoritmo Genético consiste em substituir um certo número de parâmetros (não todos) de um indivíduo pelos respectivos parâmetros de um indivíduo 2 2 +1 (devido a isso, o tamanho da população precisa ser par). O indivíduo também 2 +1 substitui os mesmos parâmetros pelos do anteriores à troca. O número de parâmetros a 2 serem trocados também é escolhido aleatoriamente. Além disso, o cross-over só é realizado em um par de indivíduos se um número Ó

                                                    ∈ [0, 1] gerado aleatoriamente no momento da operação for maior que a probabilidade de ocorrer cross-over . É importante ressaltar que, geralmente, deĄne-se que os parâmetros trocados são escolhidos em sequência, começando do parâmetro Ð 1 , sendo sempre os primeiros parâ-

                                                    

                                                  106 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    Denotando por a operação de cross-over entre dois indivíduos para uma troca de parâmetros, temos 1 1 2 : Λ × Λ ⊃ Λ × Λ 2 Dados = (Ð , ) e = (Ð , ), temos 1 1 ≤ ≤ ≤ , Ð 2 1 ≤ ≤ ≤ , Ð

                                                    ⎧ , , ⨄︁

                                                    ( , ) se Ó 1 2

                                                    ( , ) = 1 2

                                                    ⎩

                                                    ( , ) se Ó &gt; 1 2 onde , 2 2 1 1 1 ≤ ≤ ≤ , Ð ≤ ≤ ≤ , Ð , = (Ð , , Ð , ) 1 1 +1 1 2 2

                                                    

                                                  , , Ð ,

                                                  2 = (Ð ) 1 ≤ ≤ ≤ , Ð +1 ≤ ≤ ≤ , Ð Exemplo 3.8.4. Considere dois indivíduos do sistema do exemplo

                                                  1 = (60.3, 49, 80, 100.9, 110, 5, 7, 4, 8, 6)

                                                  2 = (40, 60, 89, 80, 230, 4, 8, 7, 5, 16)

                                                    Foi gerado aleatoriamente no conjunto ¶1, 2, ≤ ≤ ≤ , 10♢ o número = 3, sendo que = 0.4. Também gerado aleatoriamente, obteve-se Ó = 0.2. Portanto ocorrerá o cross-

                                                    over

                                                    entre e , resultando em 1 2 ,3 1 ,3 = (40, 60, 89, 100.9, 110, 5, 7, 4, 8, 6) 2 = (60.3, 49, 80, 80, 230, 4, 8, 7, 5, 16)

                                                  3.8.7 Eliminação

                                                    Em uma dada população, podem existir indivíduos cujo desempenho é extrema- mente baixo. Em tal situação, não é desejável que esses indivíduos continuem na popu- lação, pois além de estarem ocupando o lugar de outros que poderiam ter performance melhor, eles irão interagir com os outros indivíduos de alto desempenho em um cross-over, podendo gerar dois indivíduos de baixo desempenho.

                                                    Para tentar minimizar tal fato, deĄne-se uma porcentagem de eliminação , que deĄne a porcentagem dos indivíduos da população que serão excluídos antes de aplicadas as operações. No lugar deles entrarão repetições de indivíduos presentes da porcentagem

                                                  3.8. Algoritmo Genético

                                                    107

                                                    DeĄnindo por a operação eliminação de porcentagem e Ψ o conjunto de , possíveis populações de tamanho quando deĄnidos os indivíduos do sistema , temos , : Ψ ⊃ Ψ de modo que, dada = ( , ), então 1 ≤ ≤ ≤ , ( ) = ( , , , , , ) 1 2

                                                    ≤ ≤ ≤ , 1 2 ≤ ≤ ≤ , sendo = ⌊ (1 ⊗ )⌋, = e 1 , , 2 ∈ ¶ ≤ ≤ ≤ , , 1 ⊘

                                                    3.8.8 Função fitness

                                                    A função fitness é aquela que deĄnirá o desempenho de um indivíduo. Será utilizada como uma Ągura de mérito, para comparar dois indivíduos quanto ao seu desempenho no sistema. Sendo assim, uma função fitness é basicamente deĄnida por

                                                    : Λ ⊃ R ∪ ¶∞♢ onde ( ) &gt; ( ) signiĄca que o indivíduo tem melhor desempenho no sistema 1 2 1 que 2 . Caso ( ) = ∞, signiĄca que os parâmetros escolhidos para o indivíduo têm desempenho máximo no sistema.

                                                    

                                                  Exemplo 3.8.5. Considere um sistema no qual desejamos aproximar uma dada curva

                                                  , ,

                                                    em um intervalo [ , ] por um polinômio de grau 7. Os 8 coeĄcientes 1 7 do ≤ ≤ ≤ , polinômio representariam os parâmetros do sistema, e a função poderia ser dada pelo inverso do erro quadrático total: 7

                                                    ( ) = 7 6 6 1

                                                  • + ≤ ≤ ≤ +

                                                    1 ∫︀ 2

                                                    ⋁︁ ⨄︁

                                                    se

                                                    ∫︀ 2 [ ( ) ⊗ ( )] ̸= 0

                                                    d ( = ( , , )) = 1 1 7 [ ( ) ⊗ ( )]

                                                    ≤ ≤ ≤ ,

                                                    ⋁︁ ⎩

                                                    caso contrário

                                                    3.8.9 Elitismo Elitismo simplesmente se baseia em manter o indivíduo com maior desempenho

                                                    de uma geração para a geração + 1. Isso permite que tal indivíduo interaja com

                                                    

                                                  108 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    dependendo da aplicação, isso pode gerar populações muito homogêneas, fazendo com que a procura de uma solução ótima Ąque restrita a um mínimo local.

                                                  3.8.10 Critério de parada

                                                    Idealmente, o Algoritmo Genético pode ter qualquer número de gerações. Porém, um número elevado delas acarretaria em um grande tempo computacional. Por isso, é necessário estabelecer um critério de parada para o Algoritmo Genético.

                                                    Um exemplo de critério de parada é Ąnalizar o algoritmo ao atingir um número Ąxo de gerações. Outra possibilidade é parar o algoritmo quando surgir um indivíduo de desempenho maior que um limiar desejável.

                                                  3.9 Sistema Fuzzy utilizado e desempenho

                                                    Uma vez obtidos os coeĄcientes Wavelets dos espectros de treino, esses são forne- cidos como entrada ao método de Clusterização visto na seção

                                                    sendo as saídas o valor

                                                    real da propriedade escolhida. Nesse método serão determinadas regras Fuzzy do modelo Takagi-Sugeno com base nos dados de entrada e saída, cujas funções de saída serão oti- mizadas pelo método dos mínimos quadrados. Haverá um sistema Fuzzy por indivíduo da população do Algoritmo Genético, pois é em seus indivíduos que residem os parâmetros da clusterização.

                                                    Um exemplo de sistema Fuzzy obtido quando se utilizam duas entradas apenas pode ser visto na Ągura

                                                    que mostra a fuzzyĄcação para uma entrada especíĄca, sendo

                                                    cada coluna respectiva às funções Fuzzy da respectiva entrada e a última coluna corres- pondente às funções Fuzzy de saída. Note que as funções de pertinência de entrada são gaussianas, já que o sistema Fuzzy foi gerado pelo método de clusterização aqui apresen- tado. A fuzzyĄcação pode ser notada pela limitação da gaussiana quando esta interage com o valor de entrada, gerando uma nova função de pertinência. Cada linha denota uma regra, composta por duas funções Fuzzy de entrada (uma para cada entrada) e uma de saída, como pode ser visto na Ągura

                                                    é realizada a

                                                    defuzzyĄcação, considerando todas as funções de pertinência Fuzzy geradas pela interação dos valores de entrada com cada regra Fuzzy.

                                                    Após obter o sistema Fuzzy, este é submetido ao método ANFIS que utiliza uma Rede Neural adaptativa para aprimorar os parâmetros das regras um modelo Takagi-Sugeno. No ANFIS existe um conceito chamado número de épocas, que representa quantas vezes os dados fornecidos foram re-treinados pelo ANFIS. Sempre que obtemos um novo sistema na nova época, veriĄcamos se houve melhoras no sistema com a aplicação do método. Caso não haja melhoras, paramos de utilizar o ANFIS naquele

                                                  3.9. Sistema Fuzzy utilizado e desempenho

                                                    109

                                                    Figura 41 Ű Funções de pertinência relativas a cada entrada (para duas regras apenas) Figura 42 Ű Regra Fuzzy para um sistema com duas entradas

                                                    Figura 43 Ű DefuzzyĄcação das funções de pertinência de saída resultantes Nessa etapa, os coeĄcientes Wavelets de teste são fornecidos ao sistema Fuzzy, gerando as saídas , relativas à cada amostra. Tais saídas são comparadas com o valor real das propriedades (obtido experimentalmente) por meio do coeĄciente de correlação de Pearson : cov( , )

                                                    ( , ) =

                                                    

                                                  110 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    onde cov( , ) representa a covariância entre e . As variáveis à e à são o desvio padrão de e , respectivamente.

                                                    A covariância entre dois vetores e de elementos cada é obtida por

                                                    

                                                  ∑︁

                                                    1 cov( , ) = ( =1 )( ) onde

                                                    ∑︁

                                                    1 = =1 (3.11)

                                                    ∑︁

                                                    1 . = =1

                                                    O desvio padrão à de um vetor de elementos é obtido por:

                                                    ⎯ ⎸

                                                  ∑︁

                                                    1 2

                                                    ⎷ à

                                                    = ( =1 ) sendo dado por

                                                    

                                                    O coeĄciente de correlação de Pearson é um número entre ⊗1 e 1. Quanto mais próximo de 1, mais correlacionados estão os dois vetores. Isso signiĄca que a saída fornecida pelo sistema está próxima da real, medida experimentalmente. De fato, suponha que nos vetores e de elemetos tenhamos = para todo = 1, 2, ≤ ≤ ≤ , . Então

                                                    

                                                  ∑︁ ∑︁

                                                    1

                                                    1 2 2 cov( , ) = ( ( = à =1 =1 )( ) = ⊗ ) Logo 2 cov( , ) à

                                                    ( , ) = = = 1 2

                                                    à à à

                                                    Para determinar o desempenho do sistema, a função fitness utilizada foi o inverso do coeĄciente de Pearson entre e :

                                                    1 =

                                                    (3.12) ( , )

                                                    A função

                                                    apenas fornece a informação do desempenho do sistema para as amostras

                                                    de teste. Porém, em algumas situações, quando aplicada às amostras de treino, o desem- penho do sistema foi ruim, mesmo sendo bom para as amostras de teste. Sendo assim, para essas ocasiões, a equação

                                                    precisou ser adaptada. Considerando

                                                    ( , ) = , )]

                                                    5[1 ⊗ (

                                                    3.10. Resultados 111

                                                    a nova é dada por

                                                    ⎧ ⋁︁

                                                    se &lt; 50

                                                    ⨄︁

                                                    =

                                                    1

                                                  • ⋁︁

                                                    caso contrário

                                                    ⎩

                                                  ,

                                                    ( ) onde e são, respectivamente, os valores reais da propriedade referente às amostras de treino e os valores obtidos pelo sistema Fuzzy a partir das amostras de treino.

                                                    3.10 Resultados

                                                    A seguintes tabelas fornecem os parâmetros e características do melhor sistema obtido para a propriedade densidade: Densidade

                                                    Característica Valor/Tipo Número de Amostras 160

                                                    Wavelet Daubechies 3 Escala Wavelet

                                                    5 Épocas ANFIS

                                                    1 Tabela 9 Ű Características utilizadas para Geração do Sistema Fuzzy para a Propriedade Densidade Densidade

                                                    Parâmetro A.G. Valor Início da Região 1 979

                                                    Final da Região 1 1319 Início da Região 2 2514

                                                    Final da Região 2 3033 Raio de InĆuência 0.613

                                                    Fator de Esmagamento

                                                    0.86 Taxa de Aceitação 0.018 Taxa de Rejeição

                                                    0.01 Tabela 10 Ű Parâmetros do Melhor Indivíduo obtido pelo Algoritmo Genético (A.G.) para a Propriedade Densidade Sendo 70% das amostras para treino e 30% para teste, o coeĄciente de correlação de Pearson entre a saída gerada por esse sistema e o valor real da densidade foi:

                                                    ∙ Amostras de Teste: = 0.9823 ∙ Amostras de Treino: = 0.98804

                                                    

                                                  112 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    Figura 45 Ű Erro entre o Valor Estimado e o Medido para a Densidade Densidade

                                                    RMS =

                                                    ≤ ≤ ≤ , , o RMS é dado por:

                                                    , 2 ,

                                                    Tabela 11 Ű Valores de Erro entre Valor Estimado e Medido para a Densidade O valor RMS (Root Mean Square) representa outra Ągura de mérito. Para um conjunto de valores 1

                                                    Médio Absoluto 0.0043 0.0074 0.0052 RMS 0.0062 0.0100 0.0075

                                                    Tipo de Erro Treino Teste Total Máximo Absoluto 0.0261 0.0292 0.0292

                                                    −0.03 50 100 150 −0.02 −0.01 0.01 0.02 0.03 Amostras Treino/Teste Valor (Estimado − Medido) Erro de Predição da Densidade Treino Teste

                                                    0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Densidade Medida Densidade Estimada

                                                     mostra o erro entre o valor estimado e o valor medido com relação ao número da amostra.

                                                    melhor a predição feita pelo sistema Fuzzy, pois signiĄca que a densidade estimada é próxima à medida. A Ągura

                                                    quanto mais próximo da função identidade os valores estiverem,

                                                    Na Figura

                                                    Figura 44 Ű Densidade Medida Vs. Densidade Estimada pelo Sistema Fuzzy para a Densidade

                                                    Densidade Estimada VS Medida : Correlação 0.98561 Melhor aprox. linear Função Identidade Valor Densidade Treino Valor Densidade Teste

                                                    √︃ ∑︀ =1 2

                                                  3.10. Resultados

                                                    113

                                                    O valor RMS do erro entre valores estimados e medidos é importante para comparar resultados, como será visto mais a frente nesta seção.

                                                    Já para a propriedade TIAC, as tabelas

                                                     fornecem os parâmetros e carac- terísticas do melhor sistema obtido.

                                                    TIAC Característica Valor/Tipo

                                                    Número de Amostras 153 Wavelet Daubechies 4

                                                    Escala Wavelet

                                                    5 Épocas ANFIS

                                                    1 Tabela 12 Ű Características utilizadas para geração do sistema Fuzzy para a propriedade TIAC TIAC

                                                    Parâmetro A.G. Valor Início da Região 1 966

                                                    Final da Região 1 1228 Início da Região 2 2606

                                                    Final da Região 2 3316 Raio de InĆuência 0.406

                                                    Fator de Esmagamento 0.854 Taxa de Aceitação 1.282

                                                    Taxa de Rejeição 0.088 Tabela 13 Ű Parâmetros do melhor indivíduo obtido pelo Algoritmo Genético (A.G.) para a propriedade TIAC

                                                    Considerando também 70% das amostras para treino e 30% para teste, o coeĄciente de correlação de Pearson entre a saída gerada por esse sistema e o valor real da TIAC foi: ∙ Amostras de Teste: = 0.93731 ∙ Amostras de Treino: = 0.95092 ∙ Todas as Amostras: = 0.94499

                                                    A Ągura

                                                     mostra o erro entre o valor estimado e o valor medido com relação ao número da amostra.

                                                    

                                                  114 Capítulo 3. Método de Obtenção de Propriedades do Petróleo

                                                    Fuzzy consegue prevê-las com eĄcácia. Tal fato é comprovado também pelo erro médio absoluto (Tabelas

                                                    Já para os valores TIAC, a tabela

                                                    141.5 ⊗ 131.5

                                                    Nesses artigos considera-se o grau API, que é uma reparametrização da densidade : API =

                                                    

                                                    dade dos valores obtidos, a tabela

                                                    entre os valores previstos e os reais. Para exempliĄcar a quali-

                                                    Tabela 14 Ű Valores de Erro entre Valor Estimado e Medido para a TIAC Os valores de correlação referentes a cada propriedade mostram que o sistema

                                                    5 10 15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 40 TIAC Medida (ºC)

                                                  TIAC Estimada VS Medida : Correlação 0.94499

                                                    Médio Absoluto 0.8189 1.4473 1.0078 RMS 1.2528 1.8663 1.4645

                                                    Tipo de Erro Treino Teste Total Máximo Absoluto 4.6006 4.9117 4.9177

                                                    Figura 47 Ű Erro entre o Valor Estimado e o Medido para a TIAC TIAC

                                                    20 40 −5 60 80 100 120 140 160 Valor (Estimado − Medido) 5 Erro de Predição da TIAC

                                                  Amostras Treino/Teste

                                                  Treino Teste

                                                    Figura 46 Ű TIAC Medida Vs. Densidade Estimada pelo Sistema Fuzzy para a TIAC

                                                    TIAC Estimada (ºC) Melhor aprox. linear Função Identidade Valor TIAC Treino Valor TIAC Teste

                                                     faz uma comparação do método proposto

                                                  3.10. Resultados

                                                    115

                                                    Comparação Valores API Figura de Mérito Método Proposto Artigo 1 Artigo 2 2

                                                    0.9665 0.945 0.9751 RMS - Teste 1.9364

                                                    0.8

                                                    0.25 Tabela 15 Ű Comparação de resultados API Comparação Valores TIAC

                                                    Figura de Mérito Método Proposto Artigo 1 2 0.8786 0.857

                                                    RMS - Teste 1.8663

                                                    3.8 Tabela 16 Ű Comparação de resultados TIAC Notamos também que a propriedade Densidade possui uma primeira região com mais pontos que a da TIAC, mas com relação à segunda região, a TIAC possui mais pontos. Isso pode signiĄcar que a informação no espectro necessária para obtenção da Densidade está mais concentrada na região 1 e mais distribuída na região 2, o que é o oposto do que acontece com TIAC.

                                                    Além disso, o sistema Fuzzy da propriedade TIAC demonstrou um menor desem- penho do que o da Densidade. Isso ocorre porque a TIAC é mais difícil de se obter do espectro do petróleo. Porém, ambos os resultados são considerados bons em relação à propriedade.

                                                    Apesar do número de épocas do método ANFIS ter sido apenas 1 (o que signiĄca que não houve uma grande melhora nos sistemas ao utilizá-lo), em grande parte dos sistemas tal método aprimora o resultado consideravelmente, o que reforça a necessidade de utilizá-lo junto com os demais descritos aqui.

                                                    117

                                                  4 Conclusão

                                                    O uso das Wavelets nas mais diversas aplicações tem demonstrado a importância da teoria desenvolvida para tais funções. Sua propriedade de escala permite explorar aspectos locais em funções e a variedade de funções existentes permite uma liberdade de escolha para determinar qual das Wavelets melhor se aplica ao problema proposto.

                                                    O método de criação de Wavelets demonstrado no segundo capítulo desta disser- tação expõe as principais propriedades existentes na família de soluções gerada. Entre 2 elas, uma das mais importantes é o fato das Wavelets serem uma base para (R), o que signiĄca que podemos representar quase todas as funções presentes em problemas práticos por um somatório de Wavelets com seus respectivos coeĄcientes.

                                                    Com relação ao problema prático abordado nesta dissertação, a predição das pro- priedades Densidade e TIAC através do espectro de amostras de petróleo mostrou-se complexa e não intuitiva, o que levou à necessidade de utilizar os métodos aqui apresen- tados. Basicamente, o método completo possui os seguintes passos (em ordem lógica):

                                                    ∙ Determinar as regiões do espectro a serem utilizadas no método; ∙ Determinar uma escala Wavelet para as regiões; ∙ Escolher uma Wavelet; ∙ Obter coeĄcientes a partir do produto interno de cada subregião (gerada pela escala escolhida) com a Wavelet selecionada; ∙ Separar amostras para treino e teste; ∙ Utilizar o método de clusterização, considerando os coeĄcientes obtidos referentes

                                                    às amostras de treino como entrada e como saída os valores da propriedade relativo a cada amostra, e então obter um sistema Fuzzy; ∙ Aprimorar o desempenho do sistema por meio do método ANFIS; ∙ Utilizar um Algoritmo Genético para testar várias combinações de regiões e parâ- metros de clusterização, com o intuito de obter o melhor sistema possível.

                                                    Com relação às regiões, notamos que a variação por alguns pontos apenas já pode comprometer o desempenho do sistema. Isso acontece pois é a combinação dos picos e vales da Wavelet com os do espectro que vão deĄnir o valor dos coeĄcientes. Assim, tais

                                                    118 Capítulo 4. Conclusão

                                                    para a determinação do valor da propriedade. Por essa razão, a escolha de uma boa escala é fundamental. Uma escala muito grande signiĄca muitas variáveis no processo, o que aumenta bastante o tempo de simulação. Além disso, não é garantido que o aumento da escala também aumente o desempenho.

                                                    Para a escolha da Wavelet, é importante citar que o sistema funciona basicamente para um tipo especíĄco de Wavelet. Caso mude-se a Wavelet, é necessário utilizar o Algoritmo Genético novamente, para encontrar os parâmetros especíĄcos para a dada Wavelet. Porém, é possível encontrar bons resultados com tipos variados de Wavelet, e o melhor resultado dependerá de sorte probabilística e tempo de simulação, já que não é possível aĄrmar qual é a melhor Wavelet para cada propriedade.

                                                    O método de clusterização também é bastante sensível aos valores dos parâmetros fornecidos. Quando a combinação de um Raio de InĆuência com um Fator de Esmaga- mento geram muitos núcleos, automaticamente temos muitas regras, o que aumenta o tempo de simulação. Além disso, existem combinações de valores que não conseguem for- necer um sistema Fuzzy. Portanto, é necessário estabelecer o conjunto adequado no qual tais parâmetros podem variar.

                                                    Devido ao elevado número de combinações existentes para os parâmetros do mé- todo como um todo, o uso do algoritmo genético foi de extrema importância para a determinação dos sistemas Fuzzy de alto desempenho. Seria inviável testar todas as com- binações de parâmetro, até mesmo computacionalmente.

                                                    É interessante reforçar que o sistema que prediz uma propriedade é um único sistema Fuzzy, com suas regras e conjuntos otimizados para o problema. Sendo assim, todos os outros métodos descritos são apenas para otimizar tais regras e conjuntos.

                                                    Por Ąm, a teoria Wavelet aqui desenvolvida, juntamente com os métodos compu- tacionais descritos, conseguiram ser utilizados em conjunto para o desenvolvimento de um sistema que prevê propriedades de amostras de petróleo apenas pelo espectro por emis- são infravermelho. A comparação com outros métodos da literatura feita na seção dos resultados comprova que o método consegue predizer as propriedades com desempenho comparável aos da literatura (e até mesmo melhor em alguns casos). Ainda assim, existe a possibilidade de se obter resultados ainda melhores, utilizando outros tipos de Wavelet ou simulando por longos períodos até conseguir um indivíduo melhor no algoritmo genético. Um artigo foi elaborado com a descrição do método e seus resultados e será submetido à revista Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems.

                                                    119

                                                  Referências

                                                    CHAU, F.-T. et al. Chemometrics: From Basics to Wavelet Transform. [S.l.]: John Wiley &amp; Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2004. ISBN 0-471-20242-8. Citado na página

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                                                    on Pure and Applied Mathematics

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                                                    DAUBECHIES, I. Ten Lectures on Wavelets. [S.l.]: SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics). ISBN 9780898712742. Citado na página DRIANKOV, D.; HELLENDOORN, H.; REINFRANK, M. An Introduction to

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                                                    . [S.l.]: Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1996. ISBN 978-3-642-08234-4. Citado 3 vezes nas páginas

                                                    

                                                    DUARTE, L. M. et al. Determination of some physicochemical properties in brazilian crude oil by h nmr spectroscopy associated to chemometric approach. Fuel, n. 181, p. 660Ů-669, 2016. Citado na página FILGUEIRAS, P. R. et al. Determination of api gravity, kinematic viscosity and water content in petroleum by atr-ftir spectroscopy and multivariate calibration. Fuel, n. 116, p. 123ŰŰ130, 2014. Citado na página HAAR, A. Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme. Mathematische Annalen, v. 69, p. 331Ű371, 1910. Citado na página

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                                                    . [S.l.]: Academic Press, Inc, 1980. ISBN 0-12-585050-6. Citado 6 vezes nas páginas

                                                    

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                                                    120 Referências

                                                    STRICHARTZ, R. S. How to make wavelets. The American Mathematical Monthly, v. 100, n. 6, p. 539Ű556, 1993. Citado 2 vezes nas páginas

                                                    

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