Geometria das Conexões

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado Geometria das Conex˜ oes

  Carla Lopes Dias

  Salvador-Bahia Dezembro 2004 Geometria das Conex˜ oes Carla Lopes Dias

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Colegiado do Curso de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (Orientador) Prof. Dr. Luiz Antonio Barrera San Martin

  a

  Prof. Dr Rita de C´assia de Jesus Silva Dias, C.

  OES “A GEOMETRIA DAS CONEX ˜ ” / Carla Lopes Dias. Salvador-Ba, 2004.

  Orientador : Dr. Marco Antˆonio Nogueira Fernandes (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Matem´atica da UFBA, 30 p´aginas.

  Palavras-Chave : Conex˜ao afim, conex˜ao Riemanniana, fibrado, levanta- mento de caminhos.

  A meus pais, irm˜aos e Oscar.

  “Nunca pense em desistir, n˜ao/ te aconselho a prosseguir/ o tempo voa, rapaz/ pegue seu sonho, rapaz/ a melhor hora e o momento ´e vocˆe quem faz/ recito poesias/ palavras de um rei: fa¸ca por onde que eu te ajudarei ”.

  Cidade Negra. Agradecimentos

  A minha m˜ae, que sempre me apoiou e incentivou os meus estudos. Aos meus irm˜aos, que me incentivaram carinhosamente encorajando-me a prosseguir e dando-me for¸cas para vencer cada etapa e a meu pai, que infelizmente n˜ao pode estar presente neste momento t˜ao importante da minha vida.

  ` A professora Rita de C´assia, pela sua paciˆencia e amizade, al´em de uma singular habil- idade de dizer as palavras certas, nos momentos certos, promovendo sempre for¸ca e motiva¸c˜ao.

  Ao professor Marco Antˆonio Nogueira Fernandes pela orienta¸c˜ao e apoio, n˜ao s´o du- rante esta fase, mas em todo percurso.

  ` A todos os professores respons´aveis por esta jornada e em especial, aos professores:

  Enaldo Vergasta, ´ Ezio, Isaac L´azaro, Jos´e Fernandes, Jos´e Nelson, Armando, Vilton Pinheiro, Carlos Bahiano, todos da Universidade Federal da Bahia, os quais estiveram sempre dispostos a ajudar.

  Aos grandes amigos: Fabiana Laranjeiras, Gabriela G´oes, Jos´e Alves e Mariana Pin- heiro. As amigas de sempre: Ana Carolina, Ana Em´ılia, Ana Maria e Carina Lima. Aos amigos de curso, pelos esclarecimentos e contribui¸c˜oes de informa¸c˜oes durante o curso de p´os-gradua¸c˜ao. Ao LEMA, em especial as professoras: Elinalva, Ednalva, Gra¸ca Passos, Silvia Velloso,

  Verlane, Cristiana e Eliana Prates, pelos seus conhecimentos e aux´ılio que me fez crescer tanto na vida acadˆemica quanto na pessoal.

  Gostaria tamb´em de agradecer a todos os colegas e funcion´arios do Instituto de Matem´atica e aos professores: Luiz Antonio Barrera San Martin que compˆos minha banca examinadora e que verificou com tanto zelo esta disserta¸c˜ao. Um agradecimento especial ao Professor Paulo Ruffino pela ajuda na corre¸c˜ao final. E a CAPES pelo apoio financeiro. Introdu¸ c˜ ao

  A Geometria Riemanniana surgiu a partir de uma desenvolvimento natural da geome-

  3

  tria das superf´ıcies do R . Muitos dos resultados sobre superf´ıcies foram obtidos por Gauss no trabalho intitulado: Disquisitiones Investigations of Curved Surfaces. Nele, Gauss definiu uma forma quadr´atica chamada primeira forma fundamental a qual nos permite calcular os comprimentos de linhas sobre a superf´ıcie, achar as geod´esicas e calcular a curvatura gaussiana

  • tudo isso sem considerar o espa¸co onde a superf´ıcie se encontra. Em suma, Gauss mostrou como estudar a geometria da superf´ıcie operando exclusivamente sobre a pr´opria superf´ıcie.

  Em 1854, Riemann em sua conferˆencia On the Hypotheses which lie at the Foundatios of Geometry, generalizou as id´eias de Gauss. Usando uma linguagem intuitiva, sem defini¸c˜oes precisas nem demonstra¸c˜oes cuidadosas, Riemann introduziu o que hoje chamamos uma var- iedade de dimens˜ao n (um objeto que generaliza a no¸c˜ao de superf´ıcie para qualquer dimens˜ao e sem men¸c˜ao a um espa¸co ambiente) e postulou que uma geometria era um modo de medir comprimentos em uma tal variedade. Para cada ponto desta, ele impˆos uma distˆancia (m´etrica) e examinou a no¸c˜ao de curvatura. A audaciosa concep¸c˜ao de Riemann n˜ao foi bem entendida em sua ´epoca, e s´o lentamente se desenvolveu o que hoje chamamos Geometria Riemanniana. O conceito formal de variedade s´o apareceu em 1913 devido a H. Weyl.

  Dois pontos importantes no desenvolvimento da Geometria Riemanniana foi a Teoria da Relatividade (1916) que ´e completamente baseada nas id´eias de Riemann e o teorema de Whitney (1935) que prova o seguinte: Toda variedade diferenci´avel de dimens˜ao n pode ser im-

  2n−1 2n

  ersa no R e mergulhada no R . Este resultado mostra que variedades podem ser tratadas do ponto de vista intr´ınseco ou extr´ınseco, conforme desejarmos.

  2 Outro extraordin´ario avan¸co para a Geometria aconteceu quando Levi-Civita (1917)

  interpretou o c´alculo do tensor de Ricci como uma descri¸c˜ao anal´ıtica de um conceito que ele

  n

  chamou de transporte paralelo. No R , isto corresponde a mover um vetor para um ponto qual- quer ao longo de uma curva, mantendo sua dire¸c˜ao e seu m´odulo. Neste trabalho estudaremos a rela¸c˜ao entre o transporte paralelo e trˆes estruturas geom´etricas: a conex˜ao afim, a conex˜ao Riemanniana e a conex˜ao em um fibrado principal.

  A conex˜ao afim foi definida primeiro por Christoffel (1869) sendo um conjunto de

  k k

  s´ımbolos { } ou Γ associados a um sistema de coordenadas sobre a variedade. O ponto de

  ij ij

  3

  vista moderno ´e devido a Koszul. No caso de superf´ıcies em R existe um conceito equivalente, chamado derivada covariante, que pode ser descrito como segue.

  3

  3 Consideremos S ⊂ R uma superf´ıcie regular, c : I → S e V : I → R um campo de dV

  vetores tangentes a S ao longo de c. Em geral, o vetor (t) n˜ao pertence ao plano tangente

  dt

  T S, por isso considera-se o vetor obtido ao projetar ortogonalmente sobre T S, que se de-

  c(t) c(t) DV

  nota por (t). Este vetor se denomina a derivada covariante de V em c(t), e sua importˆancia

  dt

  est´a no fato que a derivada covariante ´e um conceito intr´ınseco da superf´ıcie, pois s´o depende a da 1 forma fundamental. Seguindo esta linha, dizemos que um campo de vetores V ´e paralelo

  dV se ≡ 0. dt

  ´ E interessante mencionar que apesar de usarmos o conceito de derivada covariante para definir o paralelismo, historicamente n˜ao foi isso que aconteceu. Em termos de superf´ıcie podemos construir geometricamente o transporte paralelo como segue. Considere a fam´ılia de planos tangentes a S ao longo de c. Esta fam´ılia determina uma superf´ıcie chamada a envol- vente da fam´ılia de planos tangentes a S ao longo de c. Em uma vizinhan¸ca de c, a envolvente

  ´e uma superf´ıcie regular Σ a qual ´e tangente a S ao longo de c e tem curvatura gaussiana iden- ticamente nula. O teorema de Minding diz que uma superf´ıcie com curvatura gaussiana igual a zero ´e isom´etrica a um plano. E uma vez que o paralelismo ´e uma isometria, para obtermos o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma vizinhan¸ca de c, tomamos o transporte paralelo usual no plano e o trazemos para Σ.

  3 Em seu trabalho, Riemann deixou claro que o conceito fundamental em geometria ´e o

  que hoje em dia denominamos m´etrica Riemanniana. Esta possibilita definir o comprimento de uma curva e a ´area de uma regi˜ao contidas em uma variedade. Podemos adicionar uma m´etrica a qualquer variedade usando a parti¸c˜ao da unidade. Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel provida de uma m´etrica. Por volta de 1956 o matem´atico americano John Nash

  n provou que: Toda variedade Riemanniana pode ser mergulhada isometricamente em algum R .

  Isto significa que toda variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do espa¸co euclidiano. O Lema Fundamental da Geometria Riemanniana (Levi-Civita) afirma que a escolha de uma m´etrica determina unicamente uma conex˜ao afim associada a ela chamada a conex˜ao Riemanniana. E neste caso, como mostraremos, o transporte paralelo ´e uma isometria.

  A importˆancia do transporte paralelo foi percebida por Cartan (1928) que elaborou uma teoria completamente diferente: o m´etodo do referencial m´ovel. Por´em esta teoria s´o ´e facilmente entendida quando usamos o operador ∇ que historicamente apareceu muito depois, por volta de 1954. A id´eia b´asica da teoria de Cartan ´e expressar os resultados em termos de campos de vetores arbitr´arios e n˜ao apenas dos “naturais”X i = ∂/∂x i . O livro “The Theory of Groups of Lie”(1946) de Chevalley ajudou no entendimento dos conceitos e nota¸c˜oes dando um efeito not´avel a situa¸c˜ao corrente. Mas a compreens˜ao total do trabalho s´o foi obtida quando surgiu a no¸c˜ao de conex˜ao em fibrados formulada por volta de 1950 por Ehresmann. Um fibrado principal pode ser visto localmente como o produto de duas variedades diferenci´aveis sendo uma delas um grupo de Lie que age sobre uma outra. Esta estrutura de “produto local”legitima o uso da propriedade de levantamento de caminhos da Topologia. E sob o ponto de vista geom´etrico determinar uma conex˜ao em um fibrado equivale a determinar uma ´ unica dire¸c˜ao para o levantamento. Temos, ent˜ao que, em um fibrado, a estrutura de transporte paralelo ´e “substitu´ıda”pela propriedade de levantamento ´ unico de caminhos.

  A seguir descreveremos o conte´ udo de cada cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao. No Cap´ıtulo 1 citaremos algumas defini¸c˜oes, nota¸c˜oes e resultados da Geometria Rie- manniana. Definiremos um fibrado principal a partir de um exemplo: o fibrado do referenciais. Pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente e assim desenvolver nossa intui¸c˜ao geom´etrica.

  4 No Cap´ıtulo 2 apresentaremos a conex˜ao afim e o transporte paralelo e mostraremos que esses dois conceitos s˜ao equivalentes.

  No Cap´ıtulo 3 definiremos uma m´etrica Riemanniana sobre uma variedade diferenci´avel. Veremos que toda m´etrica Riemanniana d´a origem a uma conex˜ao afim chamada conex˜ao Rie- manniana e neste caso o transporte paralelo ´e uma isometria.

  No Cap´ıtulo 4 retornaremos ao m´etodo usado no in´ıcio e mostraremos que a no¸c˜ao de transporte paralelo em uma variedade ´e equivalente a propriedade de levantamento ´ unico de caminhos equivariante no fibrado dos referenciais. Definiremos uma conex˜ao em um fibrado principal e provaremos que ela tamb´em ´e equivalente a propriedade de levantamento ´ unico de caminhos. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo apresentaremos as principais defini¸c˜oes e as nota¸c˜oes que ser˜ao usadas ao longo do texto, as variedades consideradas ser˜ao sempre diferenci´aveis, de Hausdorff e com base enumer´avel. A palavra diferenci´avel significar´a de classe C .

  Primeiro algumas nota¸c˜oes: M : variedade diferenci´avel de dimens˜ao n; T M : espa¸co tangente a M no ponto p ∈ M ;

  p

  X (M ): o espa¸co vetorial de todos os campos de vetores diferenci´aveis em M ; C (M ): conjunto das fun¸c˜oes reais diferenci´aveis em M .

  Listaremos agora algumas defini¸c˜oes e resultados b´asicos da Geometria Riemanniana. Sejam M e N variedades diferenci´aveis, possivelmente de dimens˜oes diferentes e f uma aplica¸c˜ao (de um conjunto aberto) de M em N . Sejam (U, φ) e (V, ψ) parametriza¸c˜oes para M

  1

  e N em p e f (p) respectivamente. Ent˜ao f ´e dita diferenci´avel em p, se ψ ◦f ◦φ ´e diferenci´avel em φ(p).

  Uma curva em M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α : I → M , onde I ⊂ R ´e um intevalo aberto. O vetor tangente a α em t = t ser´a indicado por ˙α(t ). Com frequˆencia consideraremos curvas com dom´ınio compacto. Neste caso um vetor tangente a α em um extremo ´e o vetor

  6 tangente a qualquer extens˜ao diferenci´avel de α em um aberto contendo o compacto.

  Uma curva integral de um campo de vetores X ´e uma curva α para qual ˙α(t) = X

  α(t)

  para todo t. O teorema de existˆencia e unicidade das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias garante que para todo p ∈ M , um campo de vetores X tem uma curva integral α definida em algum intervalo (−ǫ, ǫ) com α(0) = p. E ´e ´ unica no sentido que se β : (−δ, δ) → M tamb´em ´e uma curva integral de X com β(0) = p, ent˜ao α(t) = β(t) para todo t ∈ (−ǫ, ǫ) ∩ (−δ, δ).

  Para X e Y em X (M ), o campo de vetores chamado de colchete de Lie de X e Y , ´e definido por [X, Y ] f = X (Y f ) − Y (Xf ) , ∀f ∈ C (M ).

  p p p

  Um campo de vetores ao longo de uma curva α : I → M ´e uma aplica¸c˜ao Y que associa a cada t ∈ I um vetor Y em T M tal que para toda f ∈ C (M ), t → Y f ´e uma fun¸c˜ao

  α(t) α(t) α(t) real diferenci´avel em I.

  Uma m´etrica Riemanniana h, i para M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h, i (isto ´e, uma forma bilinear sim´etrica, positiva definida)

  p

  no espa¸co tangente T p M , que ´e diferenci´avel no seguinte sentido: para quaisquer campos de vetores diferenci´aveis X e Y em M , a fun¸c˜ao p → hX , Y i de M em R ´e diferenci´avel .

  p p p

  Destacamos as pr´oximas defini¸c˜oes por elas serem fundamentais para o ´ ultimo cap´ıtulo.

1.1 Defini¸ c˜ ao .

  Um grupo de Lie ´e uma variedade G com uma estrutura de grupo de tal modo que as aplica¸c˜oes: G × G −→ G e G −→ G

  1

  (x, y) 7−→ x · y x 7−→ x s˜ao diferenci´aveis .

  7 Decorre imediatamente da defini¸c˜ao que, num grupo de Lie G, as aplica¸c˜oes

  L : G −→ G e R : G −→ G

  g g

  h 7−→ gh h 7−→ hg, s˜ao difeomorfismos, para cada g ∈ G. Estas aplica¸c˜oes s˜ao chamadas respectivamente transla¸c˜ao `a esquerda por g e transla¸c˜ao `a direita por g. Indicaremos por e o elemento identi- dade de G.

  Existem muitos exemplos de grupos de Lie, mas um, pelo seu papel de destaque para a compreens˜ao do conceito de fibrado, nos interessa em particular. Passaremos a decrevˆe-lo.

  1.1 Exemplo (Grupo linear geral). Seja G = Gl(n, R) o grupo das matrizes reais n × n n˜ao 2 n

  singulares. Podemos identificar G com um aberto em R via a aplica¸c˜ao determinante por: R; det(A) 6= 0}

  G = {A ∈ M

  n

2 Portanto, G ´e uma n -variedade.

  Al´em disso, a estrutura de grupo ´e consistente com a estrutura diferenci´avel: as fun¸c˜oes

  1

  (A, B) 7→ AB de G × G em G e B 7→ B de G em G s˜ao aplica¸c˜oes diferenci´aveis entre 2 2

  n n

  variedades. Considerando G como um subconjunto de R , as fun¸c˜oes coordenadas de R fornecem coordenadas locais para G em uma vizinhan¸ca para qualquer A ∈ G. As coordenadas

  1

  de AB (ou B ) s˜ao somas de produtos das coordenadas de A e B (ou fun¸c˜oes racionais apenas das coordenadas de B), portanto todas as derivadas parciais destas aplica¸c˜oes existem e s˜ao cont´ınuas. Assim G ´e um grupo de Lie.

  Passaremos a tratar agora das a¸c˜oes livres de um grupo de Lie sobre uma variedade.

  8 1.2 Defini¸ c˜ ao .

  Considere G um grupo de Lie, P uma variedade e uma aplica¸c˜ao de P × G em

  g

  P (denotada por (p, g) 7→ p ). Dizemos que G age em P pela direita (via esta aplica¸c˜ao) se:

  g

(i) a aplica¸c˜ao R : P → P definida por R (b) = b ´e um difeomorfismo para todo g ∈ G.

g g g h gh

  (ii) (b ) = b , para todos b ∈ P e g, h ∈ G. g

  Dizemos que G age livremente se b = b,para algum b ∈ P , ent˜ao g = e. Dois pontos

  g a e b em P s˜ao ditos equivalentes sob (a a¸c˜ao de) G se a = b , para algum g ∈ G.

  Um exemplo importante de uma a¸c˜ao livre de um grupo de Lie sobre uma variedade ´e a a¸c˜ao de G = Gl(n, R) sobre a variedade L(M ) chamada fibrado dos referenciais, as quais passaremos a descrever.

  1.2 Exemplo (Fibrado dos referenciais). Um referencial em M ´e um ponto p ∈ M (chamado

  a origem do referencial) juntamente com uma base para T M . Seja L(M ) a cole¸c˜ao de todos

  p

  os referenciais em M : L(M ) = {(p, X , . . . , X ); p ∈ M e {X } ´e uma base para T M }

  1 n i p

  L(M ) ´e chamado de fibrado dos referenciais de M . Vamos munir L(M ) de uma es- trutura diferenci´avel. Seja π : L(M ) → M dada por π[(p, X , . . . , X )] = p

  

1 n

  1 Sejam (U , φ ) uma parametriza¸c˜ao para M e V = π (U ), isto ´e, γ γ γ γ

  V = {(p, X , . . . , X ) ∈ L(M ) / p ∈ U }

  γ 1 n γ ∂ ∂

  | | } ´e uma base para T Para qualquer ponto p em U γ , { p , . . . , p p M . Uma vez 1

  ∂x ∂x n

  que dadas duas bases de um espa¸co vetorial (no nosso caso T M ) diferem por uma matriz n˜ao

  p

  singular, dado qualquer referencial (p, X , . . . , X ), existe uma matriz A = [a ] em Gl(n, R) tal

  1 n ij ∂

  que A leva { | } em X , ou seja,

  p i ∂x i

  9

  ¯

  X ¯

  ∂ ¯

  X i = a ij ¯

  ∂x

  j p j

  → 2 Definiremos uma parametriza¸c˜ao para L(M ) sendo o par (V γ , e φ γ ), onde e φ γ : V γ

  n+n

  R dada por e φ[(p, X , . . . , X )] = (x (p), . . . , x (p), a , . . . , a ).

  1 n 1 n 11 nn

  Se V ∩ V 6= ∅, temos

  γ δ

  1

  e ◦ e

  φ δ φ (x

  1 , . . . , x n , a 11 , a 12 , . . . , a nn ) = γ

  ¡ − − − ¢

  1

  1

  1

  = e φ φ (x , . . . , x ), dφ (a , a , . . . , a ), . . . , dφ (a , a , . . . , a ) =

  δ 1 n

  11 12 1n n1 n2 nn γ γ γ

  ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ − − −

  1

  1

  1

  = φ ◦ φ (x , . . . , x ), dφ ◦ dφ (a , a , . . . , a ), . . . , dφ ◦ dφ (a , a , . . . , a ) =

  δ 1 n δ

  11 12 1n δ n1 n2 nn γ γ γ

  ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ − − −

  1

  1

  1

  = φ ◦ φ (x , . . . , x ), d φ ◦ φ (a , a , . . . , a ), . . . , d φ ◦ φ (a , a , . . . , a )

  δ 1 n δ

  11 12 1n δ n1 n2 nn γ γ γ

  1 e ent˜ao e φ ◦ e φ ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel de e φ (V ∩ V ) em e φ (V ∩ V ). δ

  γ γ δ δ γ δ γ

  2 Com as cartas dadas, L(M ) ´e uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n + n .

  Agora uma a¸c˜ao livre de G sobre L(M ) ´e dada pela aplica¸c˜ao Φ : L(M ) × G −→ L(M )

  Ã !

  X X Φ((p, X , . . . , X ), A) = p, a X , . . . , a

  X

  1 n j1 j jn j j j

  onde A = [a ] ∈ G

  ij A

  Para b ∈ L(M ) escreveremos b no lugar de Φ(b, A). ´ E f´acil ver que para todo b ∈ L(M ),

  A B AB

  (b ) = b , ∀ A, B em G e

  A b = b se, e s´o se, A ´e a matriz identidade de G.

  10 L(M ) ´e um tipo especial de fibrado, chamado fibrado principal, o qual definiremos a seguir.

1.3 Defini¸ c˜ ao . Um fibrado principal (P, M, G) consiste de duas variedades P (o espa¸co total ou

  (i) G age livremente em P .

(ii) M ´e o espa¸co quociente de P sob a a¸c˜ao de G, de forma que π(b) = π(a) se e s´o se a e b

s˜ao equivalentes sob a a¸c˜ao de G.

  ) = F

  b. Observe que P ´e local- mente o produto de M e G, mas em geral, P n˜ao precisa ser difeomorfa a M × G (Em geral, L(M ) 6= M × Gl(n, R)).

  g

  (π(b)) ⊂ P definida por b(g) = R

  1

  (p) ´e chamada a fibra sobre p. As fibras s˜ao difeomorfas a G, via a aplica¸c˜ao: b : G → π

  1

  Para p ∈ M , π

  U (b)g.

  g

  

(iii) P ´e localmente trivial, isto ´e: Para cada p ∈ M existe uma vizinhan¸ca U de p e um

  espa¸co fibrado ) e M (o espa¸co base), um grupo de Lie G (o grupo estrutural), e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel π : P → M tal que:

  U

  satisfaz F

  U

  (b)) onde F

  U

  (U ) → U × G da forma : ψ(b) = (π(b), F

  1

  difeomorfismo ψπ

  (b

  11

  1.3 Exemplo (Fibrado Principal Trivial). Sejam P = M × G , π : M × G → M a proje¸c˜ao da b

  primeira coordenada, e uma a¸c˜ao de G em P dada por (p, a) = (p, ab). Neste caso a aplica¸c˜ao t ´e a identidade e (M × G, M, G) ´e um fibrado principal.

  n n+1

  1.4 Exemplo (Fibrado canˆonico C sobre CP ). Sejam P = C − {0} (o (n+1)-espa¸co com- n

  plexo menos a origem) e G = C . O n-espa¸co projetivo complexo CP ´e definido da seguinte forma: dizemos que para z e z em P , z ∼ z se existe λ ∈ G tal que z = λz . Ent˜ao o con-

  1

  2

  1

  

2

  1

  2 n n+1 n

  junto CP das ∼- classes de equivalˆencia de P ´e uma 2n- variedades e (C − {0}, CP , C ) ´e um fibrado principal.

1.5 Exemplo (Espa¸cos de Recobrimento). Sejam P o espa¸co de recobrimento universal para

  M , π : P → M a aplica¸c˜ao de recobrimento, e G o grupo da transforma¸c˜oes de recobrimento (com a toplogia discreta).

  O que fizemos acima foi a partir de um exemplo (fibrado dos referenciais) chegar a um conceito (fibrado principal), pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente. E assim esperamos desenvolver suficientemente a intui¸c˜ao geom´etrica para que, mais tarde (no cap´ıtulo 4), as generaliza¸c˜oes e defini¸c˜oes pare¸cam naturais. Cap´ıtulo 2 Geometria de uma conex˜ ao afim

  Neste cap´ıtulo apresentaremos a primeira estrutura geom´etrica: a conex˜ao afim. Esta nos permite derivar um campo de vetores sobre uma variedade em rela¸c˜ao a um outro. Veremos que os conceitos de conex˜ao afim e de transporte paralelo ao longo de curvas podem ser obtidos um do outro via equa¸c˜oes diferenciais.

2.1 Defini¸ c˜ ao. Uma conex˜ao afim ´e uma aplica¸c˜ao:

  ∇ : X (M ) × X (M ) −→ X (M ) (X, Y ) 7−→ ∇ Y

  X

  que satisfaz as seguintes propriedades:

  (i) ∇ Z = ∇ Z + ∇ Z;

X+Y

  X Y (ii) ∇ Y = f ∇ Y ; f X

  X (iii) ∇ (Y + Z) = ∇ Y + ∇ Z;

  X X

  X (iv) ∇ (f Y ) = f ∇ Y + (Xf )Y .

  X X

  ´ E importante notar que dada uma variedade existem muitas conex˜oes afins, do ponto de vista geom´etrico isso quer dizer que um espa¸co pode ter diferentes geometrias sobre ele.

  Diremos que um campo de vetores Y ´e um campo de vetores paralelo ao longo de α se ∇ Y = 0 para todo t ∈ I.

  α(t) ˙

  13 P 2.2 Lema.

  Um campo de vetores Y = f j (∂/∂x j ) ao longo de uma curva α ´e paralelo se, e

  j

  somente se, Y satisfaz o sistema de n equa¸c˜oes diferenciais

  X d(f ◦ α) dα

  k i

k

  (f ◦ α) Γ + ◦ α = 0, k = 1, . . . , n

  j ij

  dt dt

  i,j

  P Prova. Se Y = f (∂/∂x ), ent˜ao ∇ Y = 0 se, e somente se,

  j j α(t) ˙ j

  X P ∇ f X = 0 i α ˙ i X i j j j

  X X α ˙ ∇ f X = 0

  i X i j j i j

  X α ˙ ∇ f X = 0

  i X i j j i,j

  X α ˙ (f ∇ X + X (f )X ) = 0

  i j X i j i j j i,j

  X ∇

  ( ˙ α i f j

  X i

  X j + ˙ α i X i (f j )X j ) = 0

  i,j

  " #

  X X

  k

  α ˙ X (f )X α ˙ f Γ + X = 0

  

i i j j i j k

ij i,j k

  " #

  X X

  X

  k

  X (f )X α ˙ f Γ + α ˙ X = 0.

  i i j j i j k ij i,j i,j

k

  Trocando j por k na primeira soma " #

  X X

  X

  k

  α ˙ + i X i (f j )X j α ˙ i f j Γ X k = 0

  ij i,j i,k k

  " #

  X X

  X

  k

  α ˙ X (f )X α ˙ f X + Γ X = 0.

  i i j j i j k k ij k i i,j

  Avaliando o lado esquerdo em x

  k

  " #

  X X

  k

  α ˙ X (f ) + α ˙ f Γ = 0.

  i i k i j ij i j

  Portanto

  X d(f ◦ α)

  k

k

  • f α ˙ = 0, Γ k = 1, . . . , n

  j i

ij

  dt

  i,j

  X d(f ◦ α) dα

  k i

k

  • (f ◦ α) Γ ◦ α = 0, k = 1, . . . , n

  j ij

  dt dt

  i,j

  14

  ⊓ ⊔ Os pr´oximos dois teoremas s˜ao essenciais para o ´ ultimo cap´ıtulo. O primeiro ´e um teorema de existˆencia.

2.3 Teorema.

  Sejam α uma curva em M e p = α(0). Para cada X ∈ T M , existe um ´ unico

  p p campo de vetores Y definido ao longo de α tal que Y ´e paralelo ao longo de α e X = Y . p p Prova. Inicialmente suponha que α(I) esteja contida numa vizinhan¸ca coordenada U de α(0).

  Podemos escrever x(α(t)) = (α (t), . . . , α (t)) e

  1 n

  X ˙α(t) = (dα /dt)(∂/∂x ).

  i i i

  Podemos tamb´em escrever

  X

  k

  ∇

  

∂/∂x ∂/∂x j = Γ (∂/∂x k )

i ij k P

  3 k

  para as n fun¸c˜oes Γ ∈ C (U ). Temos ent˜ao que Y = f (∂/∂x ) ser´a paralelo se,

  j j

ij j

  e s´o se,

  X ◦ α) d(f k dα i

  k

  (f ◦ α) ◦ α = 0, + Γ k = 1, . . . , n (⋆)

  j ij

  dt dt

  i,j

  for v´alida. Mas (⋆) ´e um sistema linear de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e sujeito a condi¸c˜ao que os f ◦ α(0) s˜ao dados pelas componentes de X , teremos (f ◦ α)(t) para todo t ∈ I.

  k p k Portanto existe um ´ unico campo de vetores Y com as propriedades desejadas.

  Para provar o caso geral observe que, por compacidade, α(I) ⊂ M pode ser coberto

  o

  por um n finito de vizinhan¸cas coordenadas, em cada uma das quais Y pode ser definido, pelo que foi provado acima. Pela unicidade, as defini¸c˜oes coincidem nas interse¸c˜oes n˜ao vazias, o que permite definir Y para I.

  ⊓ ⊔

  k Os Γ usados nesta prova s˜ao os cl´assicos s´ımbolos de Christofell. ij

  15 2.4 Defini¸ c˜ ao.

  ∈ T Um isomorfismo τ α(t) : T α(0) M −→ T α(t) M , tal que para todo X α(0) α(0) M , temos

  (i) a aplica¸c˜ao t → τ

  X ´e diferenci´avel e

  α(t) α(0) (ii) para toda A ∈ Gl(n, R),

  τ (AX ) = A(τ X )

  α(t) α(0) α(t) α(0) ´e chamado transporte paralelo ao longo de α.

  Nota: Se x , . . . , x formam um sistema de coordenadas em uma vizinhan¸ca de

  1 n

  α(t ), podemos escrever

  X ∂

  τ (X ) = a (t) |

  

α(t) α(0) i α(t)

  ∂x i

  

i

  para t em uma vizinhan¸ca de t , onde os a i ’s s˜ao fun¸c˜oes reais. Dizer que t → τ X ´e diferenci´avel significa que os a ’s s˜ao diferenci´aveis nesta vizinhan¸ca.

  α(t) α(0) i

  Retornando a campo de vetores paralelos ao longo de α e a nota¸c˜ao do teorema anterior, considere a seguinte aplica¸c˜ao τ : T M −→ T M

  

α(t) α(0) α(t)

  τ (X ) = Y

  α(t) p α(t) Veremos a seguir que esta aplica¸c˜ao ´e de fato um transporte paralelo ao longo de α.

2.5 Teorema.

  τ α(t) ´e um isomorfismo de T α(0) M em T α(t) M . Prova. Sejam Y e W em T M tais que

  α(t) α(t) α(t) Y α(t) = τ α(t) (Y p ) e W α(t) = τ α(t) (W p ).

  Podemos escrever

  X Y = (f ◦ α)(t)∂/∂x ,

  

α(t) k j

k

  onde f ◦ α ´e solu¸c˜ao da EDO

  k

  X d(f ◦ α) dα

  k i k

  (f ◦ α) Γ + ◦ α = 0

  

j

ij

  dt dt

  i,j

  16

  ◦ α(0). Analogamente temos que com a condi¸c˜ao inicial de f k

  X W = (g ◦ α)(t)∂/∂x ,

  

α(t) k j

k

  onde g ◦ α ´e solu¸c˜ao da EDO:

  k

  X d(g ◦ α) dα

  k i k

  • (g ◦ α) Γ ◦ α = 0

  j ij

  dt dt

  i,j

  com a condi¸c˜ao inicial de g ◦ α(0). Ent˜ao o sistema

  k

   P

  d(h k α) dα k

   (h ◦ α) Γ ◦ α = 0

  • i

  

j

ij dt i,j dt

   h ◦ α(0) = f ◦ α(0) + g ◦ α(0)

  

k k k

  tem como ´ unica solu¸c˜ao h ◦ α(t) = (f + g )(α(t)) = f ◦ α(t) + g ◦ α(t). E uma vez

  j j j j j

  que f ◦ α(0) + g ◦ α(0) ´e dada pelas coordenadas de Y + W , conclu´ımos que

  k k p p

  X τ (Y + W ) = (f + g )(α(t))∂/∂x

  α(t) p p k k j k

  X X ◦ α(t))∂/∂x ◦ α(t))∂/∂x

  = (f + k j (g k j

  k k

  = Y + W

  α(t) α(t)

  Analogamente podemos provar que τ (λY ) = λY

  α(t) p α(t)

  Pelo teorema 2.3 τ ´e injetiva e sua inversa ´e o transporte paralelo ao longo da por¸c˜ao

  α

  ⊓ ⊔ de α de t a 0. Portanto τ α ´e um isomorfismo. Usando transporte paralelo podemos comparar os espa¸cos tangentes em dois pontos quaisquer de M que possam ser ligados por uma curva α. Explicitamente, podemos definir 1

  α(t ) −

  1

  Π = τ 1 ◦ τ : T M → T 1 M que ´e claramente um isomorfismo e, em geral, de-

  α(t ) α(t ) α(t ) α(t ) α(t )

  pende de α. Esta possibilidade de “compara¸c˜ao”entre espa¸cos tangentes em pontos diferentes ´e que deu origem ao termo conex˜ao.

  O transporte paralelo τ ´e definido em termos de ∇, mas podemos fazer o contr´ario.

  α

  De fato, o teorema a seguir diz que o transporte paralelo ´e apenas uma vers˜ao global de conex˜ao afim.

  17 2.6 Teorema.

  Determinar uma conex˜ao afim em uma variedade M ´e equivalente a determinar para cada curva α um transporte paralelo.

  Prova. Vimos no teorema anterior que toda conex˜ao afim d´a origem a um transporte paralelo. Se temos um transporte paralelo, ent˜ao dados X e Y ∈ X (M ), seja α uma curva integral de X p com α(0) = p e ˙α(0) = X p . Ent˜ao definimos

  1

  1

  (∇ Y )(p) = lim (τ Y − Y )

  

X α(t) p

α(t) t→0

  t Sejam V , . . . , V campos de vetores paralelos ao longo de α os quais s˜ao L.I. em α(0),

  1 n

  e assim em todos os pontos de α. Seja

  X Y = γ (t)V (t)

  

α(t) i i

i

  Ent˜ao " #

  ³ ´

  X 1 − 1 −

  1

  1

  lim τ Y − Y = lim γ (t)τ V (t) − γ (0)V (0)

  α(t) p i i i i α(t) α(t) t→0 t→0

  t t

  i=1

  " #

  X

  1 = lim γ (t)V (0) − γ (0)V (0)

  i i i i t→0

  t

  i=1

  · ¸

  X γ (t) − γ (0)

  i i

  = lim V (0)

  i

t→0

  t

  i=1

  X dγ (0)

  i

  = V i (0) dt

  i=1

  = ∇

X Y (p).

  ⊓ ⊔ Devido ao teorema anterior, podemos dizer que o transporte paralelo ´e uma estrutura geom´etrica. Vamos usar esta interpreta¸c˜ao de estrutura geom´etrica para motivar a defini¸c˜ao de uma conex˜ao em um fibrado principal no ´ ultimo cap´ıtulo. Cap´ıtulo 3 Geometria de uma conex˜ ao Riemanniana

  Neste cap´ıtulo adicionaremos a uma variedade M uma estrutura, a m´etrica Rieman- niana, que torna M um espa¸co m´etrico. A especifica¸c˜ao de uma m´etrica n˜ao ´e unicamente determinada, contudo uma tal m´etrica tem automaticamente uma ´ unica conex˜ao associada a ela.

  Uma variedade diferenci´avel M provida de uma m´etrica Riemanniana ´e chamada var iedade Riemanniana. Podemos adicionar uma m´etrica Riemanniana a qualquer variedade diferenci´avel usando a parti¸c˜ao da unidade.

  A seguir definiremos uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana determinando o produto interno de ∇ Y e Z para todos campos de vetores X, Y e Z em todos os pontos

  X p p p ∈ M .

3.1 Defini¸ c˜ ao .

  Uma conex˜ao ∇ Riemanniana ou Levi-Civita em uma variedade Riemanniana M ´e definida pela express˜ao abaixo

  ­ ® 2 ∇ p Y, Z = X hY, Zi + Y hX, Zi − Z hX, Y i

  X p p p p p p p p

  • h [X, Y ] , Z i + h [Z, X] , Y i + h [Z, Y ] , X i

  p p p p p p p p p

  para todos X, Y, Z ∈ X (M ) e p ∈ M

  19 Em uma vizinhan¸ca U de p ∈ M denote por X i o campo de vetores ∂/∂x i . Ent˜ao

  [X i , X j ] = 0 e a express˜ao anterior torna-se 2 h∇ X , X i = X hX , X i + X hX , X i + X hX , X i

  X i j k i j k j k i k i j em U . Pode-se mostrar que ∇ satisfaz a condi¸c˜ao para ser uma conex˜ao afim.

  Esta escolha de ∇ ´e parcialmente justificada pelo seguinte teorema.

3.2 Teorema

  Lema Fundamental da Geometria Riemanniana .

  A conex˜ao ∇ definida acima ´e a ´ unica conex˜ao em M satisfazendo (i) X hY, Zi = h∇ Y, Zi + hY, ∇ Zi.

  X X (ii) [X, Y ] = ∇ Y − ∇

  X X Y para todos X, Y , Z ∈ X (M ).

  Prova. Considere as equa¸c˜oes (1) 2 h∇ Y, Zi = X hY, Zi + Y hX, Zi − Z hX, Y i

  X

  • h [X, Y ], Z i + h [Z, X], Y i + h [Z, Y ], X i (2) 2 h∇

  

X Z, Y i = X hY, Zi + Z hX, Y i − Y hX, Zi

  • h [X, Z], Y i + h [Y, X], Z i + h [Y, Z], X i Somando (1) e (2), obtemos 2 h∇ Y, Zi + 2 h∇ Z, Y i = 2X hY, Zi

  X X

  Portanto (i) ´e satisfeita. E para mostrar (ii) considere (3) 2 h∇ X, Zi = Y hX, Zi + X hY, Zi − Z hY, Xi

  Y

  • h [Y, X], Z i + h [Z, Y ], X i + h [Z, X], Y i De (1) e (3), temos 2 h∇ Y, Zi − 2 h∇ X, Zi = h [X, Y ], Z i − h [Y, X], Z i

  X Y

  = 2 h [X, Y ], Z i

  20 Portanto

  h∇ Y, Zi − h∇ X, Zi = h [X, Y ], Z i

  X Y

  E assim ∇ Y, Z − ∇ X = [X, Y ]

  X Y

  ⊓ ⊔ Uma conex˜ao afim satisfazendo (i) ´e chamada uma conex˜ao compat´ıvel com a m´etrica.

  Ela expressa a derivada direcional da m´etrica em termos da conex˜ao afim, mas isto tem mais significado. Vimos no cap´ıtulo anterior que o operador transporte paralelo ´e uma parte cr´ıtica da geometria de uma conex˜ao. Sendo uma m´etrica Riemanniana nada mais que um produto interno, temos que o operador mais compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana ´e uma isometria, isto ´e, a aplica¸c˜ao τ : T M → T M tal que hτ (X ) , τ (Y )i = hX , Y i . Portanto uma conex˜ao

  p q p p p p q p

  afim natural em uma variedade Riemanniana deve ter a propriedade que o transporte paralelo ´e uma isometria.

  A pr´oxima proposi¸c˜ao nos diz que este ´e de fato o caso para uma conex˜ao Riemanniana.

3.3 Teorema . O transporte paralelo ´e uma isometria se, e somente se, ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica.

  Prova. Suponha que ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica e seja α uma curva em M . Para Y e Z em T M , denote por Y e Z seus transportes paralelos, τ Y e τ Z respectivamente, em α(t).

  α(0) t t α(t) α(t)

  Temos ­ ® ­ ®

  • ˙α(t) hY, Zi = ∇ Y, Z ∇ Z = 0

  α(t) ˙ Y, ˙ α(t)

  pois Y e Z s˜ao paralelos ao longo de α. Da´ı d 0 = ˙α(t) hY, Zi = hY , Z i

  t t α(t)

  dt e ent˜ao hY , Z i ´e constante. Em outras palavras

  t t α(t)

  hY i

  

t , Z t = hY, Zi

α(t) α(0)

  Portanto τ ´e uma isometria.

  α(t)

  21 Suponha que τ α(t) ´e uma isometria para uma curva α qualquer e seja X p em T p M . Para

  verificar (i) em p, seja α uma curva qualquer com α(0) = p e ˙α(0) = X . Ambos os lados de

  p (i) dependem de Y e Z ao longo de α.

  Primeiro consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores paralelos ao longo de α. Ent˜ao ¯ ¯ d ­ ® ¯

  X hY, Zi = ˙α(0) hY, Zi = Y , Z = 0

  p α(t) α(t) α(t)

  ¯ dt uma vez que hY, Zi ´e constante ao longo de α. Temos ent˜ao que o lado esquerdo de

  (i) ´e zero. E o lado direito (i) tamb´em ´e igual a zero pois ∇

  X p Y = 0 e ∇ X p Z = 0. Logo, neste caso, ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica.

  } Agora consideraremos o caso que Y e Z s˜ao campos de vetores arbitr´arios. Seja {X i uma base ortonormal para T M e denote por {X (t)} seu transporte paralelo ao longo de α(t).

  p i Uma vez que transporte paralelo ´e uma isometria, {X (t)} ´e uma base ortonormal para T M . i α(t)

  Os campos de vetores diferenci´aveis Y e Z ao longo de α podem ser expressos

  X X Y = a (t)X (t) e Z = b (t)X (t)

  

α(t) i i α(t) i i

i i

  onde os a ’s e b ’s s˜ao diferenci´aveis. Ent˜ao

  i i

  X hY, Zi = ˙α(0) hY, Zi

  p

  ¯ ¯ d ­ ® ¯

  = Y , Z

  

α(t) α(t)

α(t)

  ¯ dt

  t=0

  • ¯

  X X ¯ d ¯

  = a (t)X (t), b (t)X (t)

  i i j j

  ¯ dt

  t=0 i j α(t)

  ¯

  X ¯ d ¯

  = a (t)b (t)

  

i i

  ¯ dt

  t=0 i

  e

  · ¯ ¸

  X X ­ ® ­ ® da ¯

  i

  ¯ ∇

  X p Y, Z p Y p , ∇ X p Z = a i (0)∇ X p

  X i + + X i , b j (0)X j

  p p

  ¯ dt

  t=0 i j p

  • ¯

  · ¸+

  X X ¯ db

  j

  ¯

  • a (0)X , b (0)∇ X +

  X

  i i j X p j j

  ¯ dt

  t=0 i j p

  • X
    • p

  • ­
  • p
Cap´ıtulo 4 Geometria de uma conex˜ ao em um fibrado principal

  j

  (0)X

  j

  X

  i

  a i (0)X i ,

  X

  j

  db j dt ¯ ¯ ¯ ¯

  X j

  X p

  porque ∇

  X

  i

  = 0. Desde que {X

  i

  } ´e base ortonormal, isto ´e igual a:

  X

  i

  dα i dt ¯ ¯ ¯ ¯ b i (0) + a i (0) db i dt

  ¯ ¯ ¯ ¯ que ´e X

  p

  b

  j

  X

  , ∇

  22

  ­ ∇

  X p

  Y, Z

  p

  ®

  p

  Y

  p

  X p

  ,

  Z ®

  p

  =

  

i

  da

  i

  dt ¯ ¯ ¯ ¯

  t=0

  X

  i

  hY, Zi ⊔ ⊓

  Neste cap´ıtulo apresentamos nossa ´ ultima estrutura geom´etrica: a conex˜ao em um fi- brado principal. Vimos no cap´ıtulo 2 que o conceito de conex˜ao afim leva naturalmente ao conceito de transporte paralelo de vetores ao longo de uma curva. Veremos agora que em um fibrado principal a no¸c˜ao de transporte paralelo ´e equivalente a propriedade de levantamento unico de caminhos. ´

  Come¸caremos descrevendo as no¸c˜oes b´asicas de um levantamento de caminhos no fi- brado dos referenciais.

4.1 Defini¸ c˜ ao. α : I → L(M ) ´e um levantamento de α (α : I → M )

  Dizemos que uma curva e

  1

  α = α. Para cada b ∈ π α ´e chamada um levantamento em b se juntamente

  b

  se π ◦ e (α(0)), e α(0) = b. e 4.2 Defini¸ c˜ ao.

  α em b ´e equivariante se satisfaz: Dizemos que uma fam´ılia de levantamentos e g g

  α α (t)] , ∀ t ∈ I

  b b

  e (t) = [ e

  g

  A condi¸c˜ao acima significa que o levantamento de α em b ´e o levantamento de α em b sofrendo a a¸c˜ao de g em cada ponto.

  24 O pr´oximo teorema diz que a estrutura geom´etrica em M de transporte paralelo ´e

  precisamente a mesma que a de levantamento ´ unico de caminhos equivariante de curvas em M para curvas em L(M ) com pontos iniciais espec´ıficos.

  4.3 Teorema.

  Determinar um transporte paralelo τ α ao longo de cada curva α ´e equivalente a

  1

  determinar para cada curva α e cada b ∈ π (α(0)) um ´ unico levantamento equivariante ˜ α de

  b α em b.

  

1

Prova. Escrevendo b = (α(0), X , . . . , X ) ∈ π (α(0)), a correspondˆencia ´e dada por 1 n

  Ã !

  X X τ c i X i = c i Y i (α(t)) ⇔ ˜ α b (t) = (α(t), Y

  1 (α(t)), . . . , Y n (α(t))) α(t) i i

  Supondo que cada curva α tem um ´ unico levantamento horizontal ˜ α em b, ˜ α (t) tem a

  b b

  forma da direita, onde {Y (α(t))} ´e uma base para T M . Ent˜ao definimos τ pela express˜ao

  i α(t) α da esquerda. ´ E f´acil checar que τ ´e independente da escolha de b e que τ ´e um isomorfismo.

  α α

  Reciprocamente, dada τ para cada curva α, ˜ α ´e definida pelo lado direito. Cer-

  α(t)

  tamente ˜ α ´e um levantamento de α em b uma vez que τ ´e a identidade em T M . A

  b α(0) α(0)

  equivariˆancia segue da defini¸c˜ao de transporte paralelo. ⊓ ⊔

  

4.4 Defini¸ c˜ ao. Se b ´e um ponto no espa¸co fibrado P , o conjunto V = {X ∈ T P |π (X) = 0}

b b ´e chamado subespa¸co vertical em b.

  −

1 Veja que a fibra π (p) ´e uma subvariedade cujo espa¸co tangente em cada ponto b ´e o subespa¸co vertical V .

  b

  

  25

1 O fato de π (U ) ser difeomorfo (via t) a U × G permite que qualquer caminho na base

  de um fibrado seja levantado para o espa¸co total. De fato, se α ´e uma curva em U e h uma

  1

  α(t) = t (α(t), h ◦ α(t)) ´e um levantamento de α. A quest˜ao ´e que fun¸c˜ao de U em G ent˜ao e o levantamento poderia se mover ao longo da fibra ou mudar de fibra. Fixaremos, ent˜ao, uma unica dire¸c˜ao para o levantamento, definindo uma conex˜ao em um fibrado principal. ´

  A partir de agora denotaremos por ξ um fibrado principal (P, M, G) e por n a dimens˜ao de M .

  4.5 Defini¸ c˜ ao.

  Uma conex˜ao H em ξ ´e uma aplica¸c˜ao que associa a cada b ∈ P um subespa¸co n-dimensional H ⊂ T P , chamado o subespa¸co horizontal em b, tal que para cada b,

  b b (i) T P = V ⊕ H b b b g

  (ii) (R ) H = H , ∀g ∈ G g b b

  

(iii) Se h : T P → H ´e a proje¸c˜ao e X ´e um campo de vetores em P , ent˜ao hX ´e tamb´em um

b b campo de vetores em P (Esta ´e a condi¸c˜ao de diferenciabilidade em H).

  Um vetor X ∈ T P ´e chamado de vertical (resp. horizontal ) se est´a em V (resp. H ). b

  b b

  Uma vez que π (X) = 0 se, e s´o se, X ´e vertical, temos que a restri¸c˜ao de π a qualquer subespa¸co horizontal H ´e injetiva, portanto um isomorfismo (por dimens˜ao) de H sobre T M .

  b b p

  

4.6 Teorema. Determinar uma conex˜ao em ξ ´e equivalente a determinar para cada curva α

  em M um ´ unico levantamento equivariante de caminhos em P satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: Se α e β s˜ao curvas em M tais que α(0) = β(0) = p e ˙α(0) = ˙ α(0) = ˙eβ(0)

  β(0) ent˜ao ˙e Prova. Suponha que uma conex˜ao H ´e dada em ξ e seja α uma curva simples em M (para uma prova sem essa suposi¸c˜ao sobre α, ver [1] ).

  1 Para cada b ∈ π (α(t)), seja X o ´ unico vetor horizontal em b, o qual se projeta sobre b

  ˙α(t). Estes vetores podem ser estendidos a um campo X em P que em cada ponto est´a no

  26 subespa¸co horizontal.

  1 Agora para b ∈ π α a (´ α(0) = b. Ob- b

  (α(0)), seja e unica) curva integral de X tal que e α b est´a definida em [0, t ) para algum t α b pode ser definida em todo I = [0, 1]. serve que e . Mas e Para isto, tome um levantamento e β definido em uma vizinhan¸ca de t (basta considerarmos e β a curva integral de X com uma condi¸c˜ao inicial qualquer). Escolha t < t de modo que e β esteja

  1

  h i g e definida em todo t

  1 α(t 1 ) = β(t 1 ) α al´em de t

  e ent˜ao tome g ∈ G tal que e . Estendemos e α(t) = R ◦ e

  α que se projeta sobre α e

  g b

  fazendo e β(t). Obtemos, assim, uma curva diferenci´avel e cujos vetores tangentes s˜ao horizontais.

  Temos g g g (R ) α α (t) ⇒ α (t)] = R α α (t)

  

g b b b g b b

  ( ˙e (t)) = ˙e [e (e (t)) = e pela nossa constru¸c˜ao e da segunda condi¸c˜ao para H.

  Agora suponha que temos um ´ unico levantamento de caminhos. Para definir H para

  b

  b ∈ P , sejam α , . . . , α curvas em M tais que α α (0)} formam uma base

  1 n i i

  (0) = p = π(b) e {e para T M . (Os α ’s podem ser tomados sendo curvas integrais em uma base para T M ). Seja

  p i p α o levantamento de α em b. Defina H sendo o espa¸co gerado por { ˙ α (0)}.

  e i i b e i Mostraremos que H ´e a imagem de uma aplica¸c˜ao linear de T M em T P , e portanto

  b p b

  um espa¸co vetorial. Para isso considere k : T M −→ T P

  p b

  X X v 7→ kv = a (0), v = a ˙α (0)

  i ˙eα i i i i i

  Em virtude da condi¸c˜ao inicial temos que k est´a bem definida.

  27 Para λ ∈ R, temos

  Ã ! Ã !

  X X

  X X k(λv) = k λ a ˙α (0) = k λa ˙α (0) = λa (0) = λ a (0) = λk(v)

  i i i i i i i i

  ˙eα ˙eα

  i i i i

  E para v, w ∈ T M , segue

  p

  P P P P P k(v+w) = k( a ˙α (0)+ b ˙α (0)) = k ( (a + b ) ˙α (0)) = a e˙α (0)+ b e˙α (0) =

  i i i i i i i i i i i i i i i i

  k(v) + k(w) Portanto k ´e linear e k(T M ) = H , logo H ´e um subespa¸co linear de dimens˜ao

  p b b ≤ dim(M ) = n.

  Veja que ˙

  \ ∗ ∗ ˙ π k ˙α (0) = π α (0) = α (0) = ˙α (0)

  

i e i i i

  π ◦ e ∗ ¯ ¯ Assim π ´e a inversa de k, e ent˜ao k ´e um isomorfismo (sobre sua imagem). Por-

  H b tanto, dim(H ) = n. ∗ ∗ b

  Se π (H ) = T M ent˜ao π (T P ) = T M e j´a vimos que dim(H ) = n, logo

  b p b p b ∗ ∗

  dim(T P ) = dim(ker(π )) + dim(im(π ))

  b

  = dim(V ) + dim(T M )

  b p

  = dim(V ) + dim(H )

  b b

  ⊕ H Veja que V e H s˜ao disjuntos, logo dim(V ) = dim(V ) + dim(H ), segue ent˜ao

  b b b b b b

  que T P e V ⊕ H s˜ao isomorfos, da´ı

  b b b

  T P = V ⊕ H

  

b b b

   g

  28 Temos que (R g ) (H b ) = H b , pois

  ˙ ∗ ∗ \ g (R ) ( ˙ α (0)) = R α (0) ⇒ (R ) (H ) ⊂ H

  

g e i g i g b b

  ◦ e g E uma vez que (R ) ´e injetiva e dim(H ) = dim(H ), temos

  g ∗ b b g

  (R g ) (H b ) = H b H ´e independente da escolha dos α ’s.

  b i

  Suponha que β , . . . , β sejam tamb´em curvas em M tais que { ˙ β (0)} forma uma base

  1 n i

  para T p M . Logo existe A = [a ij ] ∈ Gl(n, R) tal que

  X ˙

  β (0) = a ˙α (0)

  

i ij j

j

  Da´ı Ã !

  ³ ´

  X X

  X ˙

  ˙eβ (0) = k β i (0) = k a ij ˙α j (0) = a ij k ( ˙α j (0)) = a ij j (0) ˙eα

  i j j j

  α (0)} gera H temos que { ˙eβ (0)} tamb´em gera H .

  j b b

  e uma vez que { ˙e i ⊓ ⊔ Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] Bishop, R. L., Crittenden, R. J. – ‘Geometry of Manifolds’ (1964), Academic Press, New

York. a.

  

[2] Carmo, M. do – ‘ Geometria Riemanniana’ (1979), IMPA (Projeto Euclides), 2 edi¸c˜ao,

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  [3] Hicks, N. – ‘Notes on Differential Geometry’ (1965), Van Nostrand, Princeton.

[4] Kobayashi , S. and Nomizu, K. – ‘Foundations of Differential Geometry’ vol I e II (1963 e

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[5] Lima, E. L. – ‘Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento’ (1999), IMPA (Projeto

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  Euclides), 2 edi¸c˜ao, Rio de Janeiro.

  

[6] Millman, R. S. , Stehney, A. K.– ‘The Geometry of Connections (1973), American Math-

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[8] Spivak, M. – ‘A Comprehensive Introduction to Differential Geometry’ vol I e II (1979),

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  Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

  Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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