A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA (Mestrado)

139 

Full text

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DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜

ao da Onda Com

Potencial

(2)

VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜

ao da Onda Com

Potencial

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ma-tem´atica.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti

(3)
(4)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus, por me conceder muita sa´ude, for¸ca e paciˆencia durante o per´ıdo do mestrado.

As dificuldades encontradas nesse per´ıodo serviram como um guia para o caminho do conhecimento e neste caminho pude encontrar diversas pessoas que me auxiliaram nos momentos em que mais precisei. Agrade¸co a minha fam´ılia pelo apoio dado em todos os momentos, desde os primeiros ensinamentos dados pela minha m˜ae e por meu avˆo at´e as calorosas discuss˜oes com meu Tio Wagner, levarei isso para sempre. Em especial, agrade¸co `a minha namorada, Ju, pela confian¸ca depositada em mim, pelos diversos momentos de alegria que passamos juntos. Agrade¸co aos colegas da P´os-Gradua¸c˜ao pelos diversos momentos que pudemos estudar juntos, os quais sempre renderam frut´ıferas discuss˜oes.

´

E dif´ıcil expressar com poucas palavras a gratid˜ao que tenho ao Professor Dr. Mar-celo, pelas diversas horas dedicadas a orienta¸c˜oes e semin´arios, pela sua paciˆencia, dedica¸c˜ao, disposi¸c˜ao e destreza para contribuir com sua experiˆencia ao longo da minha forma¸c˜ao. Agrade¸co pelas diversas discuss˜oes que tivemos durante o caf´ezinho da tarde, sem as quais, hoje eu n˜ao poderia vislumbrar a beleza e o desenvolvimento da An´alise Matem´atica.

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(6)

Resumo

Neste trabalho, estudamos a controlabilidade exata pela fronteira e interna da equa¸c˜ao

utt−∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[,

onde Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira∂Ω = Γ de classeC2 eq L(Ω). Os resultados

s˜ao obtidos utilizando o m´etodo H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), o qual foi introduzido por Jacques Louis Lions.

(7)

In this work, we study the exact controllability by the boundary and internal of the equation

utt−∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[,

where Ω is a bounded domain with boundary∂Ω = Γ of classC2 eqL(Ω). The results are

obtained using the H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), which was introduced by Jacques Louis Lions.

(8)

Sum ´ario

Introduc˜ao 3

1 Resultados Preliminares 5

1.1 Distribui¸c˜oes e Espa¸cos Funcionais . . . 5

1.2 Os Espa¸cos Lp(Ω) . . . . 7

1.3 Espa¸cos de Sobolev . . . 8

1.4 Topologias Fraca e Fraca . . . 12

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais . . . 13

1.6 Tra¸co em L2(0, T;Hm(Ω)) e H−1(0, T;Hm(Ω)) . . . . 16

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares . . . 21

2 Controle Exato da Equa¸c˜ao da Onda Com Potencial 27 2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial . . . 28

2.2 Desigualdades Direta e Inversa . . . 41

(9)

2.5 O M´etodo H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) . . . 88

3 Controlabilidade Exata Interna 100

3.1 O M´etodo H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) . . . 101

Referˆencias Bibliogr´aficas 127

(10)

Introduc¸ ˜ao

Este trabalho aborda de forma rigorosa o controle exato pela fronteira e interno

da equa¸c˜ao

               

∂2u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×]0, T[, u=v em Γ×]0, T[,

u(0) =u0, ∂u

∂t(0) =u

1 em Ω,

onde Ω ´e um dom´ınio limitado do Rn com fronteira de classe C2 e q L(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa.

Seguimos de perto o roteiro sugerido em [8] para obter os ingredientes necess´arios para realizar a controlabilidade exata pela fronteira. A fim de expor de uma forma clara tais resultados, seguimos tamb´em o roteiro dado em [10], o qual ´e um dos trabalhos precursores na Teoria de Controle.

Ao empregar o m´etodo dos multiplicadores para deduzir a identidade fundamental para obten¸c˜ao das chamadas desigualdades direta e inversa, vemos que algumas restri¸c˜oes s˜ao impostas sobre a fun¸c˜aoqL∞(Ω), a saber, ficamos limitados a uma certa ”pequenez”deste termo. Entretanto, pode-se contornar este problema utilizando-se o conceito de Sequˆencias de Riesz, o leitor interessado poder´a consultar [8] para mais detalhes.

(11)

o problema de controlabilidade exata pela fronteira ´e resolvido atrav´es de Estimativas de Carleman, para detalhes, o leitor poder´a consultar [17]. Utilizando um pric´ıpio de continua¸c˜ao ´

unica provado em [18], Zuazua provou em [22], a controlabilidade exata interna quando qL∞(0, T;L(Ω)).

Vejamos como este trabalho est´a organizado. No Cap´ıtulo 1, fixaremos algumas nota¸c˜oes e enunciaremos, sem demonstra¸c˜oes, resultados cl´assicos da Teoria de An´alise Fun-cional e Espa¸cos de Sobolev. Uma aten¸c˜ao especial deve ser dada a Se¸c˜ao 1.6, sob o t´ıtulo ”Tra¸co emL2(0, T;Hm(Ω)) e H−1(0, T;Hm(Ω))”. Nela, s˜ao enunciados diversos resultados,

extra´ıdos pricipalmente de [15], que possibilitam caracterizar de forma genu´ına a derivada normal, ∂u

∂ν, da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao utt − ∆u +qu = 0, sujeita a dados u

0 H1 0(Ω) e

u1 L2(Ω). Tamb´em utilizamos estes resultado para mostrar que a solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao ´e genu´ına. Na se¸c˜ao 1.7, fazemos um breve resumo da teoria de Semigrupos Lineares, os quais s˜ao extra´ıdos, em sua maioria, de [2].

No Cap´ıtulo 2, come¸camos formulando o problema de controlabilidade exata pela fronteira. A se¸c˜ao 2.1, como o pr´oprio t´ıtulo j´a diz, ´e dedicada a demonstrar alguns Teoremas de Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes para a Equa¸c˜ao da Onda com Potencial, sujeito a dados mais e menos regulares. Em seguida, na se¸c˜ao 2.2 provamos a identidade fundamental para obten¸c˜ao das Desigualdades Direta e Inversa, provando tais desigualdades em seguida. As se¸c˜oes 2.3 e 2.4 s˜ao voltadas ao estudo da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial com Condi¸c˜ao de Fronteira N˜ao-Homogˆenea. Nelas, definimos e provamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao, bem como regularidade e genuidade. O Cap´ıtulo 2 finaliza com a se¸c˜ao 2.5, na qual ´e provado a controlabilidade exata do problema, pela fronteira.

(12)

Cap´ıtulo

1

Resultados Preliminares

Neste cap´ıtulo enunciaremos alguns resultados que ser˜ao usados no desenvolvi-mento do nosso trabalho. No entanto, por serem resultados usuais, omitiremos suas demons-tra¸c˜oes, as quais podem ser encontradas em nossas referˆencias.

1.1

Distribui¸c˜

oes e Espa¸cos Funcionais

No estudo de problemas descritos pelas equa¸c˜oes diferenciais parciais cujos dados iniciais n˜ao s˜ao regulares o suficiente para possu´ırem derivada no sentido cl´assico, faz-se necess´aria a introdu¸c˜ao de um novo conceito de derivada.

Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes: 1o) Espa¸co das fun¸c˜oes testes

Dadosα= (α1, α2, . . . , αn)∈Nnex= (x1, x2, . . . , xn)∈Rn, representaremos por

o operador deriva¸c˜ao de ordem α definido por

Dα = ∂

|α|

∂x1α1∂x2α2. . . ∂xnαn

,

onde |α|=

n

X

i=1

αi. Se α= (0,0, . . . ,0), define-se Dαu=u.

Seja Ω um aberto do Rn. Denotaremos por C

0 (Ω) o conjunto das fun¸c˜oes ϕ :

(13)

suporte compacto, onde suporte ϕ ´e o fecho do conjunto {x Ω;ϕ(x) 6= 0} em Ω, ou seja, supp(ϕ) ={xΩ;ϕ(x)6= 0}Ω.

Dizemos que uma sequˆencia {ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para zero, e denotamos

ϕν →0, se, e somente se, existe um subconjunto compactoK de Ω, tal que:

i) supp(ϕν)⊂K para todoν ∈N;

ii) Dαϕ

ν →0 uniformemente sobreK para todo α ∈Nn.

Dizemos que uma sequˆencia {ϕν} ⊂ C0∞(Ω) converge para ϕ ∈C0∞(Ω) quando a

sequˆencia{ϕν−ϕ} converge para zero no sentido acima definido.

O espa¸coC∞

0 (Ω), munido desta no¸c˜ao de convergˆencia, ´e denominado espa¸co das

fun¸c˜oes testes, e denotado por D(Ω).

2o) Distribui¸c˜ao sobre um aberto ΩRn

Definimos como distribui¸c˜ao sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua em D(Ω). O conjunto de todas as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e um espa¸co vetorial, o qual representa-se por D′

(Ω), chamado espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, munido da seguinte no¸c˜ao de convergˆencia: Seja (Tν) uma sucess˜ao emD

(Ω) eT ∈ D′(Ω). Diremos queTν →T emD

(Ω) se a sequˆencia num´erica{hTν, ϕi}converge para hT, ϕi em R, para todo ϕ ∈ D(Ω).

3o) Denotaremos por L1loc(Ω) o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oesu: ΩK tais que |u|´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compactoK de Ω.

De posse destas defini¸c˜oes estamos aptos a entender este novo conceito de derivada. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸c˜ao global de derivada a qual denominou-se derivada fraca, cuja constru¸c˜ao dar-se-´a a seguir:

Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do Rn, cuja fronteira Γ ´e regular.

Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = ΩΓ. Se u ou v se anula sobre Γ, obtemos do Lema de Gauss que

Z

u ∂v ∂xk

dx=

Z

v ∂u ∂xk

(14)

1.2 Os Espa¸cosLp(Ω) 7

Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α Nn. A derivada de ordem α de T, no

sentido das distribui¸c˜oes, ´e definida por:

hDαT, ϕi= (1)|α|hT, Dαϕ

i;ϕ∈ D(Ω).

Verifica-se que DαT ´e ainda uma distribui¸c˜ao e que o operador Dα : D

(Ω) D′

(Ω), tal que a cadaT associa-se DαT, ´e linear e cont´ınuo.

1.2

Os Espa¸cos

L

p

(Ω)

Seja Ω um aberto do Rn. Representaremos por Lp(Ω), 1

≤ p +, o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes definidas em Ω com valores emK tais que |u|p ´e integr´avel

no sentido de Lebesgue em Ω.

O espa¸co Lp(Ω) munido da norma

kukLp(Ω)=

Z

Ω|

u(x)|pdx

1

p

, para 1p <+

e

kukL∞ = sup

x∈Ω

ess|u(x)|, para p= +, ´e um espa¸co de Banach.

No caso p= 2, L2(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

Teorema 1.1 (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue) - Seja (uν)ν∈N

uma sequˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis num aberto Rn, convergente quase sempre para

uma fun¸c˜ao u. Se existir uma fun¸c˜ao u0 ∈ L1(Ω) tal que |uν| ≤ u0 quase sempre, para todo

νN ent˜aou ´e integr´avel e tem-se

Z

u= lim

ν→∞

Z

uν.

(15)

Proposi¸c˜ao 1.2 (Desigualdade de H¨older) - Sejam uLp(Ω)e v

∈Lq(Ω) com 1

≤pe 1

p+ 1

q = 1. Ent˜ao uv ∈L

1(Ω) e temos a desigualdade

Z

Ω|

uv| ≤ kukLp(Ω)kvkLq(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Ver [14].

Observa¸c˜ao : EmL2(Ω) a Desigualdade de H¨older ´e conhecida como Desigual-dade de Cauchy-Schwarz.

Proposi¸c˜ao 1.3 (Desigualdade de Minkowski) - Se u, vLp(Ω) ent˜ao

ku+vkLp(Ω)≤ kukLp(Ω)+kvkLp(Ω),

onde 1p < .

Demonstra¸c˜ao: Ver [14].

Al´em dos resultados acima, temos que:

(i) Lp(Ω) ´e reflexivo para todo 1< p <+;

(ii) Lp(Ω) ´e separ´avel para todo 1

≤p <+;

(iii) D(Ω) tem imers˜ao cont´ınua e densa em Lp(Ω) para todo 1 p < +.

1.3

Espa¸cos de Sobolev

(16)

1.3 Espa¸cos de Sobolev 9

O espa¸co Wm,p(Ω) munido da norma

kukm,p =

 X

|α|≤m

Z

Ω|

Dαu|pdx

 

1

p

, para 1p < , e

kukm,∞ =

X

|α|≤m

sup

x∈Ω

ess|Dαu(x)|, parap=, ´e um espa¸co de Banach.

Representa-se Wm,2(Ω) = Hm(Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja, os

espa¸cosHm(Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert.

Sabemos que C0∞(Ω) ´e denso em Lp(Ω), mas n˜ao ´e verdade que C

0 (Ω) ´e denso

em Wm,p(Ω) para m 1. Motivados por isto definimos o espa¸co Wm,p

0 (Ω) como sendo o

fecho de C0∞(Ω) em Wm,p(Ω), isto ´e,

C∞

0 (Ω)

Wm,p(Ω)

=W0m,p(Ω).

Teorema 1.4 (Desigualdade de Poincar´e): Seja Rn aberto e limitado. Suponha

queuW01,p(Ω) para algum 1p < n. Ent˜ao temos a estimativa

kukLp(Ω) ≤ckDukLq(Ω)

para cada q [1, p∗]. A constante c >0 depende somente de p, q, n e || e p´e o conjugado

de Sobolev de p e ´e dado por p∗ = np n−p

Demonstra¸c˜ao: Ver [7].

Defini¸c˜ao 1.5 Sejaum subconjunto aberto e conexo do Rn e consideremos Γa fronteira

de. Dizemos que Γ ´e de classe Cm se para cada x

∈ Γ existem Ux vizinhan¸ca de x no Rn

e um difeomorfismo de classe Cm

ϕx :Ux →Q, (1.3.1)

onde Q={(x′, x

n)∈Rn×R; 0< xi <1, i= 1,2, . . . , n−1 e −1< xn<1}, tal que

(17)

ϕx(Ux∩∁ Ω) =Q− =Q∩Rn−, (1.3.3)

e

ϕx(Ux∩Γ) = Σ0 ={(x′, xn)∈Q;xn= 0}. (1.3.4)

Estamos considerando Rn

+ = {(x1, . . . , xn);xn > 0} e Rn− = {(x1, . . . , xn);xn < 0}. Se

Ux e Uy s˜ao vizinhan¸cas cuja interse¸c˜ao ´e n˜ao vazia ent˜ao, existe um difeomorfismo, com

determinante positivo,

J :ϕx(Ux∩Uy)→ϕy(Ux∩Uy), (1.3.5)

tal que

J(ϕx(z)) =ϕy(z), para cada z ∈Ux∩Uy. (1.3.6)

Sendo Ω limitado, sua fronteira Γ ´e um subconjunto compacto doRn e portanto, existir´a um n´umero finito de vizinhan¸cas U1, . . . , Uk e difeomorfismos ϕj :Uj →Q, com j = 1,2, . . . , k,

verificando as condi¸c˜oes (1.3.2)-(1.3.6) acima.

Defini¸c˜ao 1.6 Um subconjunton˜ao vazio, aberto, conexo e limitado doRn´e dito bem regular

se Γ =∂Ω for de classe C∞.

Proposi¸c˜ao 1.7 SejaRn um conjunto aberto e limitado de classe C1. Temos:

i) Se uH1(Ω)ev W1,+∞(Ω), ent˜ao uv H1(Ω)e

∂xi

(uv) = ∂u ∂xi

v+u∂v ∂xi

emL2(Ω).

ii) Se uH1(Ω) ent˜ao u2 W1,1(Ω) e

∂xi

u2 = 2u∂u

∂xi

em L1(Ω).

iii) Se uH1

0(Ω) e v ∈W1,+∞(Ω) ent˜ao

Z

v ∂ ∂xi

(u2)dx=

Z

∂v ∂xi

u2dx.

iv) Se´e um aberto gen´erico, uH1

0(Ω) e v ∈W1,+∞(Ω), ent˜ao uv ∈H01(Ω) e

∂ ∂xi

(uv) = ∂u ∂xi

v+u∂v ∂xi

em L2(Ω).

(18)

1.3 Espa¸cos de Sobolev 11

Teorema 1.8 (Teorema de Rellich Kondrachov): Sejaum subconjunto aberto limi-tado do Rn, de classe C1 e 1p≤ ∞. Ent˜ao:

Se p < n ent˜ao W1,p(Ω)֒c Lq(Ω), q[1, p), onde 1

p∗ =

1 p −

1 n,

Se p=n ent˜ao W1,p(Ω)֒c Lq(Ω),

∀q[1,+), Se p > n ent˜ao W1,p(Ω)֒c C(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Nota¸c˜ao: ֒c indica imers˜ao compacta.

Lema 1.9 Sejaum dom´ınio limitado do Rn com fronteira Γ de classe Cm. Ent˜ao, existe

um campo de vetores h= (hk)1≤k≤n∈[Cm−1(Ω)]n que verifica,

h(x) =ν(x), para cada xΓ,

onde ν ´e a normal exterior e m N ´e tal que m1.

Demonstra¸c˜ao: Ver [8].

Teorema 1.10 (Teorema de Aubin-Lions) : Sejam B0, B, B1 trˆes espa¸cos de Banach

tais que B0 ֒→c B ֒→B1, onde B0 e B1 s˜ao reflexivos. Definamos

W =

v;v Lp0(0, T;B

0), v′ =

dv dt ∈L

p1(0, T;B

1)

,

onde 1< p0, p1 <∞, e consideremos W munido da norma

kvkLp0(0,T;B

0)+kv

kLp1(0,T;B

1),

o que o torna um espa¸co de Banach. Ent˜ao, a imers˜ao de W em Lp0(0, T;B)´e compacta.

Demonstra¸c˜ao: Ver [12].

Lema 1.11 Sejam H e V espa¸cos de Banach, tais que H ֒ V. Se u L1(0, T;H) e

u′ L1(0, T;V) ent˜ao uC([0, T];V).

(19)

1.4

Topologias Fraca e Fraca

Nesta se¸c˜ao enunciaremos resultados importantes acerca das topologias fraca e fraca- que ser˜ao utilizados ao longo de todo o trabalho.

Defini¸c˜ao 1.12 Seja E um espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E′) sobre E ´e a

topologia menos fina sobreE que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes f E′.

Seja (xn)n∈Numa sequˆencia de E a qual converge parax emE na topologia fraca

σ(E, E′). Utilizamos, neste caso, a seguinte nota¸c˜ao:

xn⇀ xemE.

Proposi¸c˜ao 1.13 Seja (xn)n∈N uma sequˆencia em E, ent˜ao:

(i) xn⇀ x em E se, e somente se, hf, xni → hf, xi, ∀f ∈E′.

(ii) Se xn →x em E, ent˜ao xn ⇀ xem E.

(iii) Se xn⇀ x em E, ent˜ao kxnkE ´e limitada e kxkE ≤liminfkxnkE.

(iv) Se xn⇀ x em E e fn →f em E′, ent˜ao hfn, xni → hf, xi.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

SejaE um espa¸co de Banach e sejaxE fixo. Definamos Jx :E′ →R por

hJx, fi=hf, xi.

As aplica¸c˜oes Jx s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto Jx ∈E′′, ∀x∈E.

Definamos, agora, J :E E′′ tal que J(x) =Jx.

Defini¸c˜ao 1.14 A topologia fraca , tamb´em designada por σ(E′, E), ´e a topologia menos

fina sobre E′ que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes J

(20)

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais 13

Proposi¸c˜ao 1.15 Seja (fn)n∈N uma sequˆencia em E′, ent˜ao:

(i) fn ⇀∗ f em E′ se, e somente se, hfn, xi → hf, xi, ∀x∈E.

(ii) Se fn→f em E′, ent˜ao fn ⇀ f em E′.

(iii) Se fn ⇀ f em E′, ent˜ao fn ⇀∗ f em E′.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

Lema 1.16 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (xn)n∈N uma sequˆencia limitada em

E, ent˜ao existe uma subsequˆencia (xnk)k∈N de (xn)n∈N e x∈E, tal que

xnk ⇀ xfracamente emE.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

Lema 1.17 Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (fn)n∈N uma sequˆencia limitada em

E′, ent˜ao existe uma subsequˆencia (f

nk)k∈N e f ∈E

, tal que

fnk ⇀

f emE.

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

1.5

Espa¸cos Funcionais `

a Valores Vetoriais

Nesta se¸c˜ao iremos determinar os espa¸cos em que s˜ao levados em conta as vari´aveis temporal e espacial, o qual ´e necess´ario para dar sentido a problemas de evolu¸c˜ao.

Para cada t [0, T] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x7→ u(x, t) como um elemento do espa¸co X. Denotaremos este elemento comou(t)X com valores no espa¸co X.

(21)

O espa¸co Lp(a, b;X), 1

≤ p < +, consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com imagem emX, ou seja, as fun¸c˜oes u: (a, b)X tais que

kukLp(a,b;X):=

Z b

a

ku(t)kpXdt

1

p

<.

O espa¸co L∞(a, b;X) consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com

imagem em X, as fun¸c˜oes u: (a, b) X limitadas quase sempre em (a, b). A norma neste espa¸co ´e dada por

kukL∞(a,b;X):= supessku(t)kX.

O espa¸co Cm(a, b;X), m = 0,1, . . . , consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas u :

[a, b]X que possuem derivadas cont´ınuas at´e a ordemm sobre [a, b]. A norma ´e dada por

kuk:=

m

X

i=0

max

t∈[a,b]|u (i)(t)

|.

Vejamos algumas propriedades desses espa¸cos, as quais podem ser encontradas em [20].

Proposi¸c˜ao 1.18 Sejam m = 0,1, . . . , e 1p < +, X e Y espa¸cos de Banach. (a) Cm(a, b;X) ´e um espa¸co de Banach sobre K.

(b) Lp(a, b;X), 1p <+ e L(a, b;X), s˜ao espa¸cos de Banach sobre K.

(c) O conjunto de todas as fun¸c˜oes escada ´e denso em Lp(a, b;X).

(d) C(a, b;X) ´e denso em Lp(a, b;X) e a imers˜ao C(a, b;X)֒

→Lp(a, b;X) ´e cont´ınua.

(e) Se X ´e um espa¸co de Hilbert com produto escalar(·,·)X, ent˜ao L2(a, b;X)´e tamb´em um

espa¸co de Hilbert com produto escalar

(u, v)L2(a,b;X) :=

Z b

a

(u(t), v(t))Xdt.

(f )Lp(a, b;X)´e separ´avel, se X for separ´avel e 1p < +.

(22)

1.5 Espa¸cos Funcionais `a Valores Vetoriais 15

Lembremos que seU eV s˜ao dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos, temos queL(U, V) denota o espa¸co das fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas de U em V.

Seguindo a nota¸c˜ao de [11], o espa¸co das distribui¸c˜oes sobre (a, b) com imagem em X, ser´a denotado por

D′(a, b;X).

Logo, D(a, b;X) = L(D(a, b);X), ou seja, ´e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes

lineares e limitadas deD(a, b) emX. Temos a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia emD(a, b;X).

Seja S ∈ D′(a, b;X), logo S :D(a, b) 7→ X ´e linear e se θµ → θ em D(a, b) ent˜ao hS, θµi →

hS, θi em X. Diremos queSν → S em D′(a, b;X) se hSν, θi → hS, θi em X, para todo θ ∈

D(a, b). Cada elemento desse conjunto ´e uma distribui¸c˜ao sobre (a, b) com valores no espa¸co de Banach X.

A derivada dS

dt para S ∈ D

(a, b;X), ´e definida com um ´unico elemento deste

espa¸co a qual satisfaz

dS

dt, ϕ

=

S,dϕ dt

∀ϕ∈ D(a, b).

A fun¸c˜ao S7→ dS

dt ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de D

(a, b;X) sobre ele mesmo.

Agora, sef L2(a, b;X), definimos ˜f ∈ D′(a, b;X) por

hf , ϕ˜ i=

Z b a

f(t)ϕ(t)dt ϕ ∈ D(a, b)

a fun¸c˜ao f 7→ f˜de L2(a, b;X) → D(a, b;X) ´e linear e cont´ınua, e ainda ´e injetora e desta

forma identificamos ˜f com f e obtemos

L2(a, b;X)֒→ D′(a, b;X).

O espa¸co L1loc(a, b;X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oesu tal que para todo compacto K (a, b),uχK pertence `a L

1(a, b;X), onde χ

(23)

1.6

Tra¸co em

L

2

(0

, T

;

H

m

(Ω))

e

H

−1

(0

, T

;

H

m

(Ω))

O objetivo desta se¸c˜ao ´e o de apresentar alguns Teoremas de Tra¸co ”n˜ao usuais”e resultados t´ecnicos que ser˜ao de grande utilidade no decorrer da resolu¸c˜ao do problema considerado.

No que segue, X representar´a um espa¸co de Hilbert munido do produto interno (·,·)X. Definimos,

H1(0, T;X) = {u;uL2(0, T, X) e u′ L2(0, T;X)}, (1.6.1) que munido do produto interno

(u, v)H1(0,T;X) =

Z T 0

(u(t), v(t))Xdt+

Z T 0

(u′(t), v′(t))Xdt,∀u, v ∈H1(0, T;X), (1.6.2)

´e um espa¸co de Hilbert.

A derivada u′ ´e entendida como a derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes

vetoriaisD(0, T;X). Observemos que seuH1(0, T;X), existe uma fun¸c˜aouC0(0, T;X)

tal que u=u q.s. em ]0, T[ e

u(t)u(0) =

Z T 0

u′(ξ)dξ. (1.6.3)

Nesse sentido, diremos queuC0(0, T;X).

Sendo D(0, T;X) um e.v.t. localmente convexo, constitu´ıdo das fun¸c˜oes ϕ C0∞(0, T;, X), munido da topologia do limite indutivo, definimos

H01(0, T;X) = D(0, T;X)H

1(0,T;X)

, (1.6.4)

que pode ainda ser caracterizado por

H01(0, T;X) ={uH1(0, T;X);u(0) =u(T) = 0}. (1.6.5) N˜ao ´e dif´ıcil constatar, em virtude de (1.6.3) e da caracteriza¸c˜ao dada em (1.6.4), que em H01(0, T;X) as topologias de kukH1(0,T;X) e ku′kL2(0,T;X) s˜ao equivalentes, o que nos permite

considerar em H01(0, T;X) a seguinte topologia, equivalente `a dada em (1.6.2)

(24)

1.6 Tra¸co emL2(0, T;Hm(Ω)) e H−1(0, T;Hm(Ω)) 17

Identificando-se o espa¸co L2(0, T;X) com o seu dual via Teorema de Repre-senta¸c˜ao de Riesz, temos a seguinte cadeia

D(0, T;X)֒H01(0, T;X)֒L2(0, T;X)֒H−1(0, T;X)֒→ D′(0, T;X), (1.6.7)

onde ”֒”designa a imers˜ao cont´ınua e densa de um espa¸co no seguinte e H−1(0, T;X) designa o dual topol´ogico de H01(0, T;X).

Proposi¸c˜ao 1.19 Seja u L2(0, T;X). Ent˜ao existe um ´unico f H−1(0, T;X) que veri-fica

hf, θξi= (hu′, θi, ξ)X, ∀θ∈ D(0, T), ∀ξ∈X.

Isso nos permite identificar u′ com f. Al´em disso, a aplica¸c˜ao

u7→u′, (1.6.8)

´e linear e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15]. ´

E conhecido a existˆencia de uma aplica¸c˜ao tra¸co

γ :Hm(Ω)

mY−1 j=0

Hm−j−12(Γ), (1.6.9)

linear, cont´ınua, sobrejetora, com n´ucleoHm

0 (Ω) e que admite uma inversa `a direita tamb´em

linear e cont´ınua.

Definamos a aplica¸c˜ao γ : L2(0, T;Hm(Ω))

→ L20, T;Qm−1

j=0 Hm−j−

1 2(Γ)

u 7→ γu, (1.6.10)

dada por (γu)(t) = γ(u(t)), onde γ(u(t)) ´e a aplica¸c˜ao γ dada em (1.6.9) aplicada em u(t) Hm(Ω). Denotamos as aplica¸c˜oes (1.6.9) e (1.6.10) com o mesmo s´ımbolo para n˜ao

(25)

sobrejetora, com n´ucleoL2(0, T;Hm

0 (Ω)), que admite uma inversa `a direitaτlinear e cont´ınua,

isto ´e,

τ :L2 0, T;

mY−1 j=0

Hm−j−12(Γ)

!

7→L2(0, T;Hm(Ω)), γ(τ(η)) = η. (1.6.11)

De forma an´aloga podemos definir

e

γ : H01(0, T;Hm(Ω)) H1 0

0, T;Qmj=0−1Hm−j−12(Γ)

u 7→ eγu, (1.6.12)

dada por (eγu)(t) = γ(u(t)) e que tem as mesmas propriedades da aplica¸c˜ao (1.6.10).

Proposi¸c˜ao 1.20 Seja uL2(0, T;Hm(Ω)) com uL2(0, T;Hm(Ω)), ent˜ao γu= (γu).

Demonstra¸c˜ao: Ver [15].

Seja K = L2(0, T;Hm(Ω)) × L2(0, T;Hm(Ω)) e M o subespa¸co fechado de K

constitu´ıdo dos vetores{α, β} tais que

(α, v)L2(0,T;Hm(Ω))+ (β, v′)L2(0,T;Hm(Ω))= 0,

para todov H01(0, T;Hm(Ω)). Ent˜ao, a aplica¸c˜ao

H−1(0, T;Hm(Ω))

→ M⊥

f 7→ {φ0f, ψf0} (1.6.13)

onde {φ0f, ψ0f} ∈ Ef ´e tal que kfk = k{φ0f, ψf0}k e Ef = {{φf, ψf} ∈ K; (φf, v) + (ψf, v′)

=hf, vi;v H01(Ω)}, isto ´e, o conjunto dos{φf, ψf} ∈ Ktais quef =φf−ψf′. A aplica¸c˜ao

definida em (1.6.13) ´e uma isometria linear sobrejetora.

Paraf H−1(0, T;Hm(Ω)) definimos eγf na forma:

heγf, wi=

Z T 0

(γφ0f, w)Qm−1

j=0 H

m−j−1

2(Γ)dt+

Z T 0

(γψf0, w′)Qm−1

j=0 H

m−j−1

2(Γ)dt, (1.6.14)

para todowH010, T;Qj=0m−1Hm−j−1 2(Γ)

, que ´e linear e cont´ınua. Assim, temos estabelecido uma aplica¸c˜ao

e

γ : H−1(0, T;Hm(Ω)) H−10, T;Qm−1

j=0 Hm−j−

1 2(Γ)

f 7→ eγf, (1.6.15)

(26)

1.6 Tra¸co emL2(0, T;Hm(Ω)) e H−1(0, T;Hm(Ω)) 19

Proposi¸c˜ao 1.21 Se uL2(0, T;Hm(Ω)) ent˜ao,

γu|

H1 0(0,T;

Qm−1

j=0 H

m−j−1

2(Γ)) =eγu.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15].

Proposi¸c˜ao 1.22 Se uL2(0, T;Hm(Ω)) ent˜ao,

e

γu′ = (γu)′.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15].

Teorema 1.23 A aplica¸c˜ao tra¸co (1.6.15) ´e sobrejetora, seu n´ucleo ´e H−1(0, T;Hm 0 (Ω)) e

admite uma inversa `a direita τe: H−1(0, T;Qmj=0−1Hm−j−12(Γ)) H−1(0, T;Hm(Ω)) linear e

cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15].

Teorema 1.24 Sejam 1 p < n e q = npnpp ent˜ao, existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear cont´ınua γe0 :W1,p(Ω)→Lp(Γ) tal que γe0 =u

Γ para cada u∈C

(Ω). Al´em disso, ´e v´alida

a f´ormula de Gauss, a saber,

Z

u∂v ∂xi

dx=

Z

∂u ∂xi

vdx+

Z

Γ

uγ0vνidΓ,∀v ∈W1,p(Ω). (1.6.16)

Demonstra¸c˜ao: Ver [9].

Teorema 1.25 Sejapnent˜ao, para todoq1existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear cont´ınua,

e

γ0 :W1,p(Ω)→Lq(Γ), tal que eγ0u=

Γ para toda u∈C

(Ω).

(27)

Lema 1.26 Seja Rn aberto limitado de classe C2 e consideremos ϕ

∈H2(Ω)H01(Ω). Ent˜ao

γ0

∂ϕ ∂xi

=νiγ1(ϕ),

ondeγ0 :H1(Ω)→H

1

2(Γ)eγ1 :H2(Ω) →H 1

2(Γ)s˜ao as aplica¸c˜oes tra¸co e tra¸co da derivada normal usuais.

Demonstra¸c˜ao: Ver [15].

Seja Ω aberto limitado de classeC1 e consideremos

γ0 :H1(Ω)→H

1

2(Γ) e eγ0 :W1,1(Ω)→L1(Γ)

onde γ0 ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual e eγ0 ´e a aplica¸c˜ao tra¸co aludida no Teorema 1.24. Ora, do

fato que

γ0ϕ=eγ0ϕ, para cada ϕ ∈C1(Ω),

e ainda comoH1(Ω) W1,1(Ω) eC1(Ω) ´e denso emH1(Ω) resulta que as aplica¸c˜oes coincidem em H1(Ω). Al´em disso,

e

γ0(uv) =eγ0uγe0v, para cada u, v ∈H1(Ω).

Em particular,

e

γ0(u2) = (eγ0u)2 = (γ0u)2, para cada u∈H1(Ω). (1.6.17)

Do exposto acima, temos o seguinte resultado

Corol´ario 1.27 Seja Rn aberto limitado de classe C2 e consideremos ϕ H1 0(Ω)∩

H2(Ω). Ent˜ao,

e

γ0(|∇ϕ|2) = (γ1(ϕ))2 em Γ.

(28)

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares 21

1.7

Uma Breve Revis˜

ao Sobre Semigrupos Lineares

Relembraremos alguns conceitos e resultados provenientes da teoria geral de se-migrupos lineares. Iniciaremos com v´arias defini¸c˜oes gerais e, em seguida, enunciaremos os resultados que nos interessam ao longo desta disserta¸c˜ao. Nesta se¸c˜ao, (X,|| · ||X) sempre

mencionar´a um espa¸co de Banach, (H,|| · ||H,(·,·)H) um espa¸co de Hilbert e (L(X, X),|| · ||)

o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos emX.Mais detalhes podem ser encontrados em [6], [13], [16] e [21].

Defini¸c˜ao 1.28 Um operador linear n˜ao limitado em X ´e um par (D, A), onde D ´e um subespa¸co de X e A ´e uma aplica¸c˜ao linear D X. Se sup{kAxk;x D e kxk ≤ 1} < +, dizemos que A ´e limitado. Se sup{kAxk;x D e kxk ≤1}= +, dizemos que A ´e ilimitado.

Defini¸c˜ao 1.29 Seja (D, A) um operador linear n˜ao limitado em X. O dom´ınioD(A)de A

´e o conjunto

D(A) =D,

a imagem R(A) de A ´e o conjunto

R(A) =A(D)

e o gr´afico G(A) de A ´e o conjunto

G(A) ={(x, f)X×X;xD e f =Ax}.

Observa¸c˜ao 1.30 Quando n˜ao houver risco de confus˜ao, um operador linear n˜ao limitado em X ser´a chamado operador linear emX ou somente operador de X.

(29)

kx+λAxk ≥ kxk,

para cada xD(A) e cada λ >0.

Defini¸c˜ao 1.32 Um operador Aem X ´e m-acretivo se as seguintes propriedades s˜ao v´alidas:

i) A ´e acretivo;

ii) para cada λ >0 e cada f X, existe xD(A) tal que x+λAx =f.

Lema 1.33 Se A ´e um operador m-acretivo em X, ent˜ao para cada λ > 0 e cada f X, existe uma ´unica solu¸c˜ao, da equa¸c˜ao

x+λAx=f.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Proposi¸c˜ao 1.34 Se A ´e um operador acretivo em X, ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

i) A ´e m-acretivo;

ii) existe λ0 > 0 tal que, para cada f ∈ X, existe uma solu¸c˜ao x ∈ D(A) da equa¸c˜ao

x+λ0Ax =f.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Observa¸c˜ao 1.35 SejaAum operador acretivo emX. A fim de verificar queA´e m-acretivo temos, em princ´ıpio, que resolver a equa¸c˜ao x+λAx=f, para cada f X e todo λ >0. A Proposi¸c˜ao 1.34 nos diz que devemos resolver a equa¸c˜ao para cadaf X e algum λ >0.

(30)

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares 23

Lema 1.36 Se A ´e um operador linear em H as seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

i) A ´e acretivo;

ii) (Ax, x)0, para cada xD(A).

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Corol´ario 1.37 Se A ´e um operador m-acretivo em H, ent˜ao D(A)´e denso em X.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2]

Antes de prosseguirmos, recordemos a defini¸c˜ao do operador adjunto.

Seja X um espa¸co de Banach e A : D(A) X X um operador linear. Definindo-se

D(A∗) = {u∗ X′; existe v∗ X′ que verifica hu∗, Aui=hv∗, ui para cada uD(A)}.

´

E bem sabido que se D(A) ´e denso em X ent˜ao, cada u∗ corresponde um ´unico v∗, o que nos permite definir o adjunto de A pondo-se

A∗ : D(A)X X

u∗ 7→ v∗

Observe que A∗ ´e claramente linear.

Observa¸c˜ao 1.38 Se A ´e m-acretivo em H ent˜ao, D(A)´e denso em H e portanto, A∗ est´a bem definido.

Defini¸c˜ao 1.39 Um operadorAem X com dom´ınio denso ´e dito sim´etrico (respectivamente, anti-sim´etrico) se G(A) G(A∗) (respectivamente, G(A) G(A)). Um operador A em

(31)

Lema 1.40 Se A ´e um operador m-acretivo em H, as seguintes propriedades s˜ao equivalen-tes:

i) A ´e anti-adjunto;

ii) (Ax, x) = 0, para cada xD(A); iii) A ´e m-acretivo.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Defini¸c˜ao 1.41 Uma fam´ılia {S(t)}t0 de operadores lineares e limitados definida sobre um espa¸co de Banach X ´e chamada de semigrupo de classe C0 quando

(i) S(0) =I :X X (Operador Identidade em X);

(ii) S(t+s) = S(t)S(s), para cada t, s 0;

(iii) a aplica¸c˜ao t7→S(t)x ´e cont´ınua em [0,+)X, para cada xX.

Defini¸c˜ao 1.42 Um operador A ´e chamado de gerador infinitesimal de um semigrupo

{S(t)}t0 quando A ´e definido como

D(A) =

xX lim

t→0+

S(t)xx

t existe

e para cada xD(A) temos

Ax= lim

t→0+

S(t)xx

t .

As vezes, diz-se tamb´em que o semigrupo S(t)´e gerado por A .

Defini¸c˜ao 1.43 Um semigrupo {S(t)}t0 ´e chamado de uniformemente limitado se existe uma constante M 1 tal que

||S(t)|| ≤M, t0.

(32)

1.7 Uma Breve Revis˜ao Sobre Semigrupos Lineares 25

Defini¸c˜ao 1.45 Uma fam´ılia {S(t)}tR de operadores lineares e limitados definida sobre um

espa¸co de Banach X ´e chamada de grupo de operadores lineares limitados ou (grupo de isometrias) quando

(i) S(0) =I :X X (Operador Identidade em X);

(ii) S(t+s) = S(t)S(s), para cada t, s R;

(iii) a aplica¸c˜ao t7→S(t)x ´e cont´ınua em RX, para cada xX; (iv) kS(t)xk=kxk, para cada tR e para cada xX.

Observa¸c˜ao 1.46 De forma an´aloga, define-se o gerador infinitesimal de um grupo de iso-metrias. ´E f´acil ver que se −A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, ent˜ao,

a restri¸c˜ao de −A a R+ ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes.

Teorema 1.47 (Stone) Um operador linear A de um espa¸co de Hilbert H ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias se, e somente se, A=−A.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Como ´e bem conhecido, a teoria geral de semigrupos nos permite estudar proble-mas de valor inicial para equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao abstratas do tipo

( ∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 t≥0, u(0) =x,

(1.7.18)

onde A ´e um operador linear com dom´ınio D(A) X, sendo X um espa¸co de Banach (ou Hilbert).

Teorema 1.48 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)}t≥0 de classe C0.

Ent˜ao, para cada xD(A), u(t) =S(t)x ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema

( ∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 para cada t ∈R

+,

u(0) =x.

(33)

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Teorema 1.49 Seja−Ao gerador infinitesimal de um grupo de isometrias{S(t)}t∈R. Ent˜ao,

para cada xD(A), u(t) = S(t)x ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema

( ∂u

∂t(t) +Au(t) = 0 para cada t∈R, u(0) = x.

Al´em disso, uC(R;D(A))C1(R;X).

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Teorema 1.50 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, T > 0,

xD(A), f L1(0, T;D(A)) e seja u: [0, T]X definida por

u(t) = S(t)x+

Z t 0

S(ts)f(s)ds, (1.7.19)

onde (S(t))t≥0 ´e o semigrupo gerado por A. Ent˜ao, u∈C(0, T;D(A))∩W1,1(0, T;X) e ´e a

´

unica solu¸c˜ao do problema

    

∂u

∂t(t) +Au(t) = f(t), para quase todo t∈[0, T], u(0) = x.

(1.7.20)

Demonstra¸c˜ao: Ver [2]

Teorema 1.51 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, T > 0,

f C(0, T;D(A))e seja udefinido como em (1.7.19). Ent˜ao,uC(0, T;D(A)) e ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema

    

∂u

∂t(t) +Au(t) = f(t), para todo t∈[0, T], u(0) = x.

(1.7.21)

Al´em disso, uC(0, T;D(A))C1(0, T;X).

(34)

Cap´ıtulo

2

Controle Exato da Equac¸ ˜ao da Onda

Com Potencial

No decorrer deste Cap´ıtulo, todos os espa¸cos envolvidos ser˜ao sobre o corpo dos n´umero reais. Seja Ω um subconjunto aberto, limitado e conexo do Rn, com fronteira Γ, T >0 um n´umero arbitr´ario, por´em fixado e Q o cilindro Ω×]0, T[ cuja fronteira lateral Σ ´e dada por Γ×]0, T[. EmQ, consideremos a equa¸c˜ao da onda com potencial com condi¸c˜ao de fronteira n˜ao homogˆenea do tipo Dirichlet

                

∂2y

∂t2 −∆y+q(x)y= 0 em Q, y =v em Σ,

y(x,0) = y0(x),

∂y

∂t(x,0) = y1(x) em Ω,

(2.0.1)

onde {y0, y1} s˜ao dados iniciais, q ∈ L∞(Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e v ´e a vari´avel de

controle, isto ´e, atuamos sobre o sistema (2.0.1) atrav´es da fronteira Σ.

O problema de controlabilidade exata para o sistema (2.0.1) consiste do seguinte ”Encontrar T0 > 0 e um espa¸co de Hilbert H, convenientes, de modo que para

todo{y0, y1} ∈H exista um controlev tal que a solu¸c˜ao y de (2.0.1) satisfa¸ca a condi¸c˜ao

y(x, T) = ∂y

(35)

para algumT > T0”. Se isso ´e poss´ıvel, dizemos que o sistema ´e exatamente controlado a

par-tir do instanteT0.

Do exposto acima formulamos o problema de controlabilidade exata no caso em quev age sobre todo o bordo Σ. Uma quest˜ao essencial ´e a controlabilidade exata do sistema sob a a¸c˜ao de um controle atuando em uma parte do bordo, isto porque ´e interessante a controlabilidade exata de sistema com um m´ınimo de a¸c˜ao sobre sua fronteira. Consideremos, ent˜ao, uma parte aberta e n˜ao vazia Σ0 = Γ0×]0, T[ de Σ e o novo sistema em quest˜ao

                        

∂2y

∂t2 −∆y+q(x)y= 0 em Q,

y =

  

v em Σ0

, 0 em Σ\Σ0

y(x,0) = y0(x),

∂y

∂t(x,0) = y1(x) em Ω.

(2.0.3)

Analogamente, o problema ´e o seguinte

”EncontrarT0 >0 e um espa¸co de HilbertHde modo que para todo par{y0, y1} ∈

H exista um controle v definido sobre Σ0 tal que se y ´e solu¸c˜ao de (2.0.3) ent˜ao as seguintes

condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas,

y(x, T) = ∂y

∂t(x, T) = 0, para algumT > T0”.

Utilizaremos na resolu¸c˜ao do problema acima um m´etodo desenvolvido por J. L. Lions denominado H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) .

2.1

Alguns Resultados Sobre Existˆ

encia e Unicidade da

Equa¸c˜

ao da Onda com Potencial

(36)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 29

por Γ×]0, T[. Nesta se¸c˜ao, estaremos vamos mostrar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do

problema

               

∂2u

∂t2 −∆u+q(x)u=f em Q, u= 0 em Σ,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 em Ω.

(2.1.1)

Defini¸c˜ao 2.1 A energia associada a equa¸c˜ao (2.1.1) ´e definida por

E(t) = 1 2

Z

Ω|∇

u(x, t)|2+q(x)|u(x, t)|2+|ut(x, t)|2dx, t∈R. (2.1.2)

Lema 2.2 Sejaum dom´ınio limitado de classe C2 e qL∞(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. A aplica¸c˜ao

((·,·)) : H01(Ω)×H01(Ω) −→ R

(u, v) 7→ (u,v)L2(Ω)+ (√qu,√qv)L2(Ω) define um produto interno em H01(Ω). Al´em disso, a norma k · kV = ((·,·))

1

2 ´e equivalente `a

usual em H01(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Para cada u, v, w H01(Ω) e α, β R, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao facil-mente verificadas

i) ((αu+βv, w)) =α((u, w)) +β((v, w)), ii) ((u, αv+βw)) =α((u, v)) +β((v, w)), iii) ((u, u))0,

iv) u= 0 ((u, u)) = 0.

Isto prova que ((·,·)) : H1

0(Ω)×H01(Ω) → R define um produto interno sobre H01(Ω). Pela

desigualdade de Poincar´e,

Z

Ω|∇

u(x)|2dx

Z

Ω|∇

u(x)|2+|pq(x)u(x)|2dx(1 +Ckqk∞)

Z

Ω|∇

(37)

o que prova a equivalˆencias das normas

kukH1 0(Ω) =

Z

Ω|∇

u(x)|2dx

1 2

e kukV =

Z

Ω|∇

u(x)|2+|pq(x)u(x)|2dx

1 2

.

Lema 2.3 Sejaum dom´ınio limitado de classe C2. Para cada f H−1(Ω) existe uma ´

unica solu¸c˜ao,uH01(Ω), da equa¸c˜ao

−∆u+q(x)u=f em H−1(Ω), (2.1.3)

onde qL∞(Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. Al´em disso,

kfkH−1(Ω) =kukV. (2.1.4)

Demonstra¸c˜ao: Defina a(·,·) : H1

0(Ω)×H01(Ω) −→ R

(u, v) 7→ (u,v)L2(Ω)+ (√qu,√qv)L2(Ω)

Note que a(·,·) ´e bilinear. Temos tamb´em que a(·,·) ´e cont´ınua, pois

|a(u, v)|=|((u, v))| ≤ kukVkvkV, para cada u, v ∈H01(Ω).

Por fim,

|a(u, u)|=kuk2V para cada uH01(Ω), o que mostra quea(·,·) ´e coerciva.

Pelo Teorema de Lax-Milgram, para cada f H−1(Ω), existe uma ´unica u H01(Ω), tal que

a(u, v) = hf, viH−1(Ω)H1

0(Ω), para cada v ∈H

1 0(Ω).

Donde,

Z

Ω∇

u(x)v(x) +pq(x)u(x)pq(x)v(x)dx=hf, vi, para cada v ∈ D(Ω). (2.1.5) Portanto,

(38)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 31

Comof H−1(Ω) e quL2(Ω), temos que∆uH−1(Ω), o que implica que

−∆u+qu=f em H−1(Ω).

Segue de (2.1.5) que

|hf, vi| ≤ kukVkvkV, para cada v ∈H01(Ω),

o que nos diz que

kfkH−1(Ω) ≤ kukV. (2.1.6)

Tomandov =u em (2.1.5), temos

kuk2V ≤ kfkH−1(Ω)kukV.

Ent˜ao, para u6= 0, tem-se

kukV ≤ kfkH−1(Ω). (2.1.7)

Para o caso u = 0, isto ´e trivial. Combinando (2.1.6) e (2.1.7), obtemos que kukV =

kfkH−1(Ω).

Observa¸c˜ao 2.4 Algumas aplica¸c˜oes simples do Lema 2.3:

i) Segue do Lema 2.3 que o operador ∆ +qI define uma isometria de H01 em H−1(Ω). ii) Segue de (2.1.4) que podemos definir um produto interno em H−1(Ω) dado por

(u, v)H−1(Ω) = (((−∆ +qI)−1u,(−∆ +qI)−1v)).

SejaH=H01(Ω)×L2(Ω). Defina o operador A em H por

D(A) = H01(Ω)H2(Ω)×H01(Ω),

A(u, v) = (v,∆u+qu), para cada (u, v)D(A). (2.1.8)

(39)

Demonstra¸c˜ao: Seja U D(A) e escrevaU = (u, v). Ent˜ao, pelo Teorema de Green (AU, U)H = ((−v,−∆u+qu),(u, v))H1

0(Ω)×L2(Ω)

= ((v, u))H01(Ω)+ (−∆u+qu, v)L2(Ω)

=

Z

Ω∇

v· ∇u+√qv√qudx

+

Z

(∆u+qu)vdx =

Z

(∆uvquv)dx

Z

(∆u+qu)vdx = 0.

Logo, A´e acretivo.

Vamos verificar agora queA ´e m-acretivo. DadoF = (f, g)∈ H, a equa¸c˜ao

U +AU =F, ´e equivalente a

(u, v) + (v,∆u+qu) = (f, g). Ou ainda,

uv =f em H01(Ω),

−∆u+v+qu =g em L2(Ω). (2.1.9) O sistema (2.1.9) ´e equivalente a

−∆u+ (1 +q)u=f+g,

v =uf. (2.1.10)

Pelo Lema 2.3, existe uma ´unicauH01(Ω) resolvendo a primeira equa¸c˜ao de (2.1.10). Como f+g L2(Ω), vem que

−∆u=f+g(1 +q)uL2(Ω)

e, assim,uH2(Ω). Agora, v dada pela segunda equa¸c˜ao de (2.1.10) pertence aH01(Ω). Do Lema 1.40, segue queA ´e anti-adjunto.

SejaX =L2(Ω)×H−1(Ω). Defina o operador B em X por

D(B) = H01(Ω)×L2(Ω),

B(u, v) = (v,∆u+qu), para cada (u, v)D(B). (2.1.11)

(40)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 33

Demonstra¸c˜ao: SejaU = (u, v)D(B). SejawH01(Ω) a ´unica solu¸c˜ao de∆w+qw=v em H−1(Ω) dada pelo Lema 2.3. Ent˜ao,

(BU, U)X = ((−v,−∆u+qu),(u, v))X

= (v, u)L2(Ω)+ (−∆u+qu, v)H−1(Ω)

= (v, u)L2(Ω)+ ((u,(−∆ +Iq)−1v))

= (v, u)L2(Ω)+ ((u, w))

= (v, u)L2(Ω)+

Z

Ω∇

u· ∇w+√qu√qwdx = (v, u)L2(Ω)+h−∆w+qw, uiH−1(Ω),H1

0(Ω)

= (v, u)L2(Ω)+hv, uiH1

(Ω),H1 0(Ω)

= 0.

Vamos verificar agora queB ´e m-acretivo. DadoF = (f, g)X, a equa¸c˜ao

U +BU =F,

´e equivalente a

(u, v) + (v,∆u+qu) = (f, g). Ou ainda,

uv =f,

−∆u+v+qu=g. (2.1.12)

O sistema (2.1.12) ´e equivalente a

−∆u+ (1 +q)u=f+g,

v =uf. (2.1.13)

Pelo Lema 2.3, existe uma ´unica u H1

0(Ω) satisfazendo a primeira equa¸c˜ao de (2.1.13).

Agora,v dada pela segunda equa¸c˜ao de (2.1.13) pertence aL2(Ω). Do Lema 1.40, segue que

B´e anti-adjunto.

Teorema 2.7 Sejam u0 H1

(41)

negativa. Ent˜ao o problema

                

∂2u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×R, u= 0 em Γ×R,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 em Ω,

admite uma ´unica solu¸c˜ao u na classe

C(R;H1

0(Ω)∩H2(Ω))∩C1(R;H01(Ω))∩C2(R;L2(Ω)). (2.1.14)

Al´em disso, para cada tR, a seguinte identidade ´e verificada

E(t) = E(0), para cada t R. (2.1.15)

Demonstra¸c˜ao: Seja H=H1

0(Ω)×L2(Ω). Defina o operador A em H por

D(A) =H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω),

A(u, v) = (v,∆u+qu), para cada (u, v)D(A).

Pela Proposi¸c˜ao 2.5 A ´e anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, −A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias {S(t)}t∈R.

Pelo Teorema 1.49, para cada U0 = (u0, u1) ∈ D(A), existe uma ´unica fun¸c˜ao

U(·) = S(·)U0 :R→ H, solu¸c˜ao do problema

( ∂U

∂t(t) +AU(t) = 0 para cada t∈R, U(0) =U0.

Al´em disso, U C(R;D(A))C1(R;H). Pondo, U(t) = (u(t), v(t)), temos ∂U

∂t (t) +AU(t) =

∂u ∂t(t),

∂v ∂t(t)

+ (v(t),∆u(t) +qu(t)) = 0. (2.1.16)

De (2.1.16), conclu´ımos quev = ∂u ∂t e

∂2u

∂t2(t)−∆u(t) +qu(t) = 0, para cada t∈R.

ComoU C(R;D(A))C1(R;H), vem que

(42)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 35

Donde conclu´ımos que, uC(R;H1

0(Ω)∩H2(Ω))∩C1(R;H01(Ω))∩C2(R;L2(Ω)).

ComouC1(R;H1

0(Ω)) segue queγu(t) = 0, para cadat ∈R, ondeγ :H1(Ω)→

H12(Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual.

Considerando sobre H01(Ω) a norma induzida pelo produto interno ((·,·)) e uti-lizando o fato que −A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, dado t R, temos

kS(t)U0kH01(Ω)×L2(Ω) = kU0kH1

0(Ω)×L2(Ω),

k(u(t), ut(t))kH1

0(Ω)×L2(Ω) = k(u

0, u1)

kH1

0(Ω)×L2(Ω),

k(u(t), ut(t))k2H1

0(Ω)×L2(Ω) = k(u

0, u1)

k2H1

0(Ω)×L2(Ω),

ku(t)k2H1

0 +kut(t)k

2

L2(Ω = ku0k2H1 0 +ku

1

k2L2(Ω,

Z

Ω|∇

u(x, t)|2+q(x)|u(x)|2+|ut(x, t)|2dx =

Z

Ω|∇

u0(x)|2+q(x)|u0(x)|2 +|u1(x)|2dx, 1

2

Z

Ω|∇

u(x, t)|2+q(x)|u(x)|2+|ut(x, t)|2dx =

1 2

Z

Ω|∇

u0(x)|2+q(x)|u0(x)|2+|u1(x)|2dx, E(t) = E(0),

como quer´ıamos demonstrar.

Teorema 2.8 Sejam u0 H1

0(Ω), u1 ∈ L2(Ω) e q ∈ L∞(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O

problema

               

∂2u

∂t2 −∆u+q(x)u= 0 em Ω×R, u= 0 em Γ×R,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 em Ω,

admite uma ´unica solu¸c˜ao u na classe

C(R;H1

0(Ω))∩C1(R;L2(Ω))∩C2(R;H−1(Ω)). (2.1.17)

Al´em disso, para cada tR, a seguinte identidade ´e verificada,

(43)

Demonstra¸c˜ao: Seja X =L2(Ω)×H−1(Ω). Defina o operador B em X por

D(B) =H1

0(Ω)×L2(Ω),

B(u, v) = (v,∆u+qu), para cada (u, v)D(B).

Pela Proposi¸c˜ao 2.5 B ´e anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, −B ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias {S(t)}t∈R.

Pelo Teorema 1.49, para cada U0 = (u0, u1) ∈ D(B), existe uma ´unica fun¸c˜ao

U(·) = S(·)U0 :R→ H, solu¸c˜ao do problema

( ∂U

∂t(t) +BU(t) = 0 para cada t∈R, U(0) =U0.

Al´em disso, U C(R;D(B))C1(R;X). Pondo, U(t) = (u(t), v(t)), temos ∂U

∂t (t) +BU(t) =

∂u ∂t(t),

∂v ∂t(t)

+ (v(t),∆u(t) +qu(t)) = 0. (2.1.19)

De (2.1.19), conclu´ımos quev = ∂u ∂t e

∂2u

∂t2(t)−∆u(t) +qu(t) = 0, para cada t∈R.

ComoU C(R;D(B))C1(R;X), vem que

(u, ut)∈C(R;H01(Ω)×L2(Ω))∩C1(R;L2(Ω)×H−1(Ω)).

Donde conclu´ımos que,

uC(R;H1

0(Ω))∩C1(R;L2(Ω))∩C2(R;H−1(Ω)).

ComouC(R;H1

0(Ω)) segue queγu(t) = 0, para cada t∈R, onde γ :H1(Ω)→

H12(Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual.

Para verificar a identidade (2.1.18), notemos inicialmente que kS(t)U0kH1

0(Ω)×L2(Ω) = kS(t)U0kL2(Ω)×H

−1(Ω)+kBS(t)U0kL2(Ω)×H−1(Ω)

= kS(t)U0kL2(Ω)×H−1(Ω)+kS(t)BU0kL2(Ω)×H−1(Ω)

= kU0kL2(Ω)×H−1(Ω)+kBU0kL2(Ω)×H−1(Ω)

(44)

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆencia e Unicidade da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial 37

onde, nas igualdades acima, utilizamos o fato que−B´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias. Munindo H1

0(Ω) da norma induzida pelo produto interno ((·,·)), segue a

identidade desejada em (2.1.18).

Teorema 2.9 Sejam T > 0, u0 H01(Ω) H2(Ω), u1 H1

0(Ω), f ∈ L1(0, T;H01(Ω)) e

qL∞(Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O problema

                

∂2u

∂t2 −∆u+q(x)u=f em Ω×]0, T[, u= 0 em Γ×]0, T[,

u(0) =u0,∂u

∂t(0) =u

1 em Ω,

(2.1.20)

admite uma ´unica solu¸c˜ao u na classe

C(0, T;H01(Ω)H2(Ω))C1(0, T;H01(Ω)) e utt ∈L1(0, T;L2(Ω)). (2.1.21)

Al´em disso, para cada tR, as seguintes desigualdades s˜ao verificadas

E(t) 2(E(0) +kfk2L1(0,T;L2(Ω))), (2.1.22)

ES(t) 2(ES(0) +

kfk2L1(0,T;H1

0(Ω))), (2.1.23)

onde ES(t) = 1 2

Z

Ω|

∆u(x, t)|2+|∇ut(x, t)|2+|

p

q(x)ut(x, t)|2dx.

Demonstra¸c˜ao: O problema (2.1.20) pode ser reescrito como

( ∂U

∂t(t) +AU(t) =g(t) para quase todo t∈]0, T[, U(0) =U0,

(2.1.24)

onde A:D(A)→ H=H1

0(Ω)×L2(Ω) ´e o operador definido por

D(A) = H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω),

A(u, v) = (v,∆u+qu), para cada (u, v)D(A) e

g : [0, T] −→ H1

0(Ω)∩H2(Ω)×H01(Ω)

Figure

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