A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA (Mestrado)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  

(Mestrado)

  VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜ ao da Onda Com Potencial

  Maring´a 2016 VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ

Controlabilidade Exata da Equa¸c˜ ao da Onda Com Potencial

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ma- tem´atica.

  ´ Area de concentra¸c˜ao: An´alise. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti

  Maring´a 2016 Dedico este trabalho à minha querida Juliana .

Agradecimentos

  Agrade¸co primeiramente a Deus, por me conceder muita sa´ ude, for¸ca e paciˆencia durante o per´ıdo do mestrado.

  As dificuldades encontradas nesse per´ıodo serviram como um guia para o caminho do conhecimento e neste caminho pude encontrar diversas pessoas que me auxiliaram nos momentos em que mais precisei. Agrade¸co a minha fam´ılia pelo apoio dado em todos os momentos, desde os primeiros ensinamentos dados pela minha m˜ae e por meu avˆo at´e as calorosas discuss˜oes com meu Tio Wagner, levarei isso para sempre. Em especial, agrade¸co `a minha namorada, Ju, pela confian¸ca depositada em mim, pelos diversos momentos de alegria que passamos juntos. Agrade¸co aos colegas da P´os-Gradua¸c˜ao pelos diversos momentos que pudemos estudar juntos, os quais sempre renderam frut´ıferas discuss˜oes.

  ´ E dif´ıcil expressar com poucas palavras a gratid˜ao que tenho ao Professor Dr. Mar- celo, pelas diversas horas dedicadas a orienta¸c˜oes e semin´arios, pela sua paciˆencia, dedica¸c˜ao, disposi¸c˜ao e destreza para contribuir com sua experiˆencia ao longo da minha forma¸c˜ao.

  Agrade¸co pelas diversas discuss˜oes que tivemos durante o caf´ezinho da tarde, sem as quais, hoje eu n˜ao poderia vislumbrar a beleza e o desenvolvimento da An´alise Matem´atica.

  A CAPES pelo apoio financeiro.

  ”Go wisely and slowly. Those who rush stumble and fall.” —– William Shakespeare.

Resumo

  Neste trabalho, estudamos a controlabilidade exata pela fronteira e interna da equa¸c˜ao u tt

  − ∆u + q(x)u = 0 em Ω×]0, T [, 2 ∞ onde Ω ´e um dom´ınio limitado com fronteira ∂Ω = Γ de classe C (Ω). Os resultados e q ∈ L s˜ao obtidos utilizando o m´etodo H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), o qual foi introduzido por Jacques Louis Lions. Palavras-chave: Equa¸c˜ao da Onda com Potencial, M´etodo H.U.M., Controlabilidade Exata.

Abstract

  In this work, we study the exact controllability by the boundary and internal of the equation u tt

  − ∆u + q(x)u = 0 em Ω×]0, T [, 2 ∞ where Ω is a bounded domain with boundary ∂Ω = Γ of class C (Ω). The results are e q ∈ L obtained using the H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method), which was introduced by Jacques

  Louis Lions. Keywords: Wave Equation with Potential, H.U.M method, Exact Controllability.

Sum ´ario

  21

  82

  63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  41

  28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27

  

  

  3

   . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13

  12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

   5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 . . . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . . . . .

  88

   100

  . . . . . . . . . . . . . . . . 101

  127

  131

Introduc¸ ˜ao

  Este trabalho aborda de forma rigorosa o controle exato pela fronteira e interno da equa¸c˜ao  2

  ∂ u  

  − ∆u + q(x)u = 0 em Ω×]0, T [,  2

   ∂t

      u

  = v em Γ×]0, T [,       ∂u 1

    u ,

  (0) = u (0) = u em Ω, n ∂t 2 ∞ onde Ω ´e um dom´ınio limitado do R com fronteira de classe C (Ω) uma fun¸c˜ao e q ∈ L n˜ao negativa.

  Seguimos de perto o roteiro sugerido em para obter os ingredientes necess´arios para realizar a controlabilidade exata pela fronteira. A fim de expor de uma forma clara tais resultados, seguimos tamb´em o roteiro dado em , o qual ´e um dos trabalhos precursores na Teoria de Controle.

  Ao empregar o m´etodo dos multiplicadores para deduzir a identidade fundamental para obten¸c˜ao das chamadas desigualdades direta e inversa, vemos que algumas restri¸c˜oes s˜ao (Ω), a saber, ficamos limitados a uma certa ”pequenez”deste impostas sobre a fun¸c˜ao q ∈ L termo. Entretanto, pode-se contornar este problema utilizando-se o conceito de Sequˆencias de Riesz, o leitor interessado poder´a consultar para mais detalhes.

  O m´etodo aqui utilizado para obter a controlabilidade exata s´o se aplica quando o ∞ ∞ (0, T ; L (Ω)), termo q ∈ L (Ω) depende exclusivamente da vari´avel espacial. Quando q ∈ L o problema de controlabilidade exata pela fronteira ´e resolvido atrav´es de Estimativas de Carleman, para detalhes, o leitor poder´a consultar . Utilizando um pric´ıpio de continua¸c˜ao ´ unica provado em , a controlabilidade exata interna quando ∞ ∞ q

  (0, T ; L (Ω)). ∈ L

  Vejamos como este trabalho est´a organizado. No Cap´ıtulo 1, fixaremos algumas nota¸c˜oes e enunciaremos, sem demonstra¸c˜oes, resultados cl´assicos da Teoria de An´alise Fun- cional e Espa¸cos de Sobolev. Uma aten¸c˜ao especial deve ser dada a Se¸c˜ao 1.6, sob o t´ıtulo 2 −1 m m ”Tra¸co em L (0, T ; H (Ω)) e H (0, T ; H (Ω))”. Nela, s˜ao enunciados diversos resultados, extra´ıdos pricipalmente de , que possibilitam caracterizar de forma genu´ına a derivada

  ∂u 1 normal, , da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao u tt (Ω) e

  − ∆u + qu = 0, sujeita a dados u ∈ H 1 2 ∂ν u (Ω). Tamb´em utilizamos estes resultado para mostrar que a solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao ∈ L

  ´e genu´ına. Na se¸c˜ao 1.7, fazemos um breve resumo da teoria de Semigrupos Lineares, os quais s˜ao extra´ıdos, em sua maioria, de .

  No Cap´ıtulo 2, come¸camos formulando o problema de controlabilidade exata pela fronteira. A se¸c˜ao 2.1, como o pr´oprio t´ıtulo j´a diz, ´e dedicada a demonstrar alguns Teoremas de Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes para a Equa¸c˜ao da Onda com Potencial, sujeito a dados mais e menos regulares. Em seguida, na se¸c˜ao 2.2 provamos a identidade fundamental para obten¸c˜ao das Desigualdades Direta e Inversa, provando tais desigualdades em seguida. As se¸c˜oes 2.3 e 2.4 s˜ao voltadas ao estudo da Equa¸c˜ao da Onda com Potencial com Condi¸c˜ao de Fronteira N˜ao-Homogˆenea. Nelas, definimos e provamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao, bem como regularidade e genuidade. O Cap´ıtulo 2 finaliza com a se¸c˜ao 2.5, na qual ´e provado a controlabilidade exata do problema, pela fronteira.

  No Cap´ıtulo 3, come¸camos formulando o problema de controlabilidade exata pelo interior. Seguimos de perto o trabalho , para deduzir as desigualdades direta e inversa, as quais s˜ao fundamentais na prova da controlabilidade exata do problema, pelo interior.

Resultados Preliminares

  Neste cap´ıtulo enunciaremos alguns resultados que ser˜ao usados no desenvolvi- mento do nosso trabalho. No entanto, por serem resultados usuais, omitiremos suas demons- tra¸c˜oes, as quais podem ser encontradas em nossas referˆencias.

  No estudo de problemas descritos pelas equa¸c˜oes diferenciais parciais cujos dados iniciais n˜ao s˜ao regulares o suficiente para possu´ırem derivada no sentido cl´assico, faz-se necess´aria a introdu¸c˜ao de um novo conceito de derivada.

  Para entendermos tal conceito necessitamos de algumas defini¸c˜oes: o 1 ) Espa¸co das fun¸c˜oes testes n n Dados α = (α , α , . . . , α e x = (x , x , . . . , x , representaremos por 1 2 n ) ∈ N ) ∈ R 1 2 n α

  D o operador deriva¸c˜ao de ordem α definido por |α| α ∂ D ,

  = α α α n 1 2 n ∂x ∂x . . . ∂x 1 2 n

  X α α i . Se α = (0, 0, . . . , 0), define-se D u = u. onde |α| = i =1 n

  Seja Ω um aberto do R . Denotaremos por C (Ω) o conjunto das fun¸c˜oes ϕ : Ω → K (onde K = R ou K = C) que s˜ao infinitamente diferenci´aveis em Ω e que tem suporte compacto, onde suporte ϕ ´e o fecho do conjunto {x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0} em Ω, ou seja, supp . (ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0} ν (Ω) converge para zero, e denotamos

  Dizemos que uma sequˆencia {ϕ } ⊂ C ϕ ν

  → 0, se, e somente se, existe um subconjunto compacto K de Ω, tal que: i) supp (ϕ ν α ) ⊂ K para todo ν ∈ N; n ii) D ϕ ν . → 0 uniformemente sobre K para todo α ∈ N ν (Ω) quando a ∞ ∞

  Dizemos que uma sequˆencia {ϕ } ⊂ C (Ω) converge para ϕ ∈ C ν sequˆencia {ϕ − ϕ} converge para zero no sentido acima definido. O espa¸co C (Ω), munido desta no¸c˜ao de convergˆencia, ´e denominado espa¸co das fun¸c˜oes testes, e denotado por D(Ω). o n

  2 ) Distribui¸c˜ao sobre um aberto Ω ⊂ R Definimos como distribui¸c˜ao sobre Ω a toda forma linear e cont´ınua em D(Ω).

  O conjunto de todas as distribui¸c˜oes sobre Ω ´e um espa¸co vetorial, o qual representa-se por (Ω), chamado espa¸co das distribui¸c˜oes sobre Ω, munido da seguinte no¸c˜ao de convergˆencia:

  D ′ ′ ′ Seja (T ν (Ω). Diremos que T ν (Ω) se a sequˆencia

  ) uma sucess˜ao em D (Ω) e T ∈ D → T em D ν , ϕ num´erica {hT i} converge para hT, ϕi em R, para todo ϕ ∈ D(Ω). o 1 3 ) Denotaremos por L loc (Ω) o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes u : Ω → K tais que |u| ´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K de Ω.

  De posse destas defini¸c˜oes estamos aptos a entender este novo conceito de derivada. Sobolev introduziu, em meados de 1936, uma no¸c˜ao global de derivada a qual denominou-se derivada fraca, cuja constru¸c˜ao dar-se-´a a seguir: n Sejam u, v definidas num aberto limitado Ω do R , cuja fronteira Γ ´e regular.

  Suponhamos que u e v possuam derivadas parciais cont´ınuas em Ω = Ω ∪ Γ. Se u ou v se anula sobre Γ, obtemos do Lema de Gauss que

  Z Z ∂v ∂u u dx v dx.

  = − ∂x ∂x k k p n

  . A derivada de ordem α de T , no Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω e α ∈ N sentido das distribui¸c˜oes, ´e definida por: α |α| α

  T, ϕ ϕ hD i = (−1) hT, D i; ∀ϕ ∈ D(Ω). α α T

  Verifica-se que D ´e ainda uma distribui¸c˜ao e que o operador D α : D (Ω) → (Ω), tal que a cada T associa-se D T , ´e linear e cont´ınuo.

  D p

  1.2 Os Espa¸cos L (Ω) n p

  Seja Ω um aberto do R . Representaremos por L (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, o espa¸co p

  ´e integr´avel vetorial das (classes de) fun¸c˜oes definidas em Ω com valores em K tais que |u| no sentido de Lebesgue em Ω. p

  O espa¸co L (Ω) munido da norma 1 p Z p p L = (Ω) dx , kuk |u(x)| para 1 ≤ p < +∞ e L = sup kuk ess|u(x)|, para p = +∞, x ∈Ω ´e um espa¸co de Banach. 2 No caso p = 2, L (Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

  Teorema 1.1 (Teorema da Convergˆ encia Dominada de Lebesgue) - Seja (u ν ) ν n ∈N

  , convergente quase sempre para uma sequˆencia de fun¸c˜oes integr´aveis num aberto Ω ⊂ R

1

uma fun¸c˜ao u. Se existir uma fun¸c˜ao u quase sempre, para todo

ν

  ∈ L (Ω) tal que |u | ≤ u ν

  ∈ N ent˜ao u ´e integr´avel e tem-se Z Z u u . Ω Ω = lim ν ν →∞ Demonstra¸c˜ ao: Ver . p q

  Proposi¸c˜ ao 1.2 (Desigualdade de H¨ older) - Sejam u ∈ L (Ω) e v ∈ L (Ω) com 1 ≤ p ≤

  1

  1 1 (Ω) e temos a desigualdade +

  ∞ e = 1. Ent˜ao uv ∈ L p q Z p q L L (Ω) (Ω) . |uv| ≤ kuk kvk Demonstra¸c˜ ao: Ver . 2 Observa¸c˜ ao : Em L (Ω) a Desigualdade de H¨older ´e conhecida como Desigual- dade de Cauchy-Schwarz. p

  Proposi¸c˜ (Ω) ent˜ao ao 1.3 (Desigualdade de Minkowski) - Se u, v ∈ L p p p L L L (Ω) (Ω) (Ω) , ku + vk ≤ kuk + kvk

  onde 1 ≤ p < ∞.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . p Al´em dos resultados acima, temos que: (i) L p (Ω) ´e reflexivo para todo 1 < p < +∞; (ii) L

  (Ω) ´e separ´avel para todo 1 ≤ p < +∞; p (iii) D(Ω) tem imers˜ao cont´ınua e densa em L (Ω) para todo 1 ≤ p < +∞.

  1.3 Espa¸cos de Sobolev n p

  Sejam Ω um aberto do R (Ω) sabemos que , 1 ≤ p ≤ +∞ e m ∈ N. Se u ∈ L u possui derivadas de todas as ordens no sentido das distribui¸c˜oes, mas n˜ao ´e verdade, em α p α geral, que D u seja uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao de L (Ω). Quando D u ´e p definida por uma fun¸c˜ao de L (Ω) defini-se um novo espa¸co denominado espa¸co de Sobolev. m,p p

  Representa-se por W (Ω), tais que para α p α (Ω) o espa¸co vetorial de todas as fun¸c˜oes u ∈ L u pertence `a L (Ω), sendo D u a derivada no sentido das distribui¸c˜oes. todo |α| ≤ m, D m,p

  O espa¸co W (Ω) munido da norma 1   p

  Z

  X α p m,p =  u dx  , kuk |D | para 1 ≤ p < ∞, |α|≤m e X α m, ∞ = sup u kuk ess|D (x)|, para p = ∞, |α|≤m x ∈Ω ´e um espa¸co de Banach. m, m 2 m Representa-se W (Ω) = H (Ω) devido a sua estrutura hilbertiana, ou seja, os espa¸cos H (Ω) s˜ao espa¸cos de Hilbert. p m,p Sabemos que C (Ω) ´e denso em L (Ω), mas n˜ao ´e verdade que C (Ω) ´e denso m,p em W

  (Ω) como sendo o (Ω) para m ≥ 1. Motivados por isto definimos o espa¸co W ∞ m,p fecho de C (Ω) em W (Ω), isto ´e, W m,p (Ω) m,p C (Ω) = W (Ω). n

  Teorema 1.4 (Desigualdade de Poincar´ aberto e limitado. Suponha 1,p

  e): Seja Ω ⊂ R

  que u ∈ W (Ω) para algum 1 ≤ p < n. Ent˜ao temos a estimativa L (Ω) L (Ω)

p q

kuk ≤ ckDuk ´e o conjugado para cada q ∈ [1, p ]. A constante c > 0 depende somente de p, q, n e |Ω| e p np de Sobolev de p e ´e dado por p = n −p Demonstra¸c˜ ao: Ver . n

  Defini¸c˜ ao 1.5 Seja um subconjunto aberto e conexo do R e consideremos Γa fronteira m n

  

de . Dizemos que Γ ´e de classe C x vizinhan¸ca de x no R

m se para cada x ∈ Γ existem U e um difeomorfismo de classe C

  ϕ x : U x (1.3.1) ′ n → Q,

  , x < < n i n

  onde Q = {(x ) ∈ R × R; 0 < x 1, i = 1, 2, . . . , n − 1 e − 1 < x 1}, tal que + n

  ϕ x (U x , (1.3.2) ∩ Ω) = Q = Q ∩ R +

   n

  ϕ , x (U x (1.3.3)

  ∩ ∁ Ω) = Q = Q ∩ R −

  e

  ϕ , x x (U x n n (1.3.4) n n ∩ Γ) = Σ = {(x ) ∈ Q; x = 0}.

  , . . . , x > , . . . , x <

  Estamos considerando R n ); x n n ); x n 1 1

  = {(x 0} e R − = {(x 0}. Se + U x e U y s˜ao vizinhan¸cas cuja interse¸c˜ao ´e n˜ao vazia ent˜ao, existe um difeomorfismo, com

  determinante positivo,

  J : ϕ x (U x y y (U x y ), (1.3.5)

  ∩ U ) → ϕ ∩ U

  tal que

  J .

  (ϕ x (z)) = ϕ y x y (1.3.6) (z), para cada z ∈ U ∩ U n

  Sendo Ω limitado, sua fronteira Γ ´e um subconjunto compacto do R e portanto, existir´a um , . . . , U n´ umero finito de vizinhan¸cas U k e difeomorfismos ϕ j : U j 1

  → Q, com j = 1, 2, . . . , k, verificando as condi¸c˜oes acima. n Defini¸c˜ ao 1.6 Um subconjunto n˜ao vazio, aberto, conexo e limitado do R ´e dito bem regular se Γ = ∂Ω for de classe C . n 1 Proposi¸c˜ um conjunto aberto e limitado de classe C . Temos: ao 1.7 Seja Ω ⊂ R 1 1,+∞ 1 ∂ ∂u ∂v 2 (Ω) e (uv) = v +u em L (Ω).

  ∂x i ∂x i ∂x i 1 2 1,1 ∂ ∂u 2 1 (Ω) ent˜ao u (Ω) e u = 2u em L (Ω).

  ∂x ∂x i i Z Z 1 1,+∞ ∂ ∂v 2 2 v u dx

  (Ω) ent˜ao (u .

  1 1,+∞ Ω Ω ∂x ∂x i i 1 (Ω) e

  iv) Se ´e um aberto gen´erico, u ∈ H (Ω) e v ∈ W (Ω), ent˜ao uv ∈ H

  ∂ ∂u ∂v 2 v (uv) = + u em L (Ω).

  ∂x i ∂x i ∂x i Demonstra¸c˜ ao: Ver . Teorema 1.8 (Teorema de Rellich Kondrachov): Seja um subconjunto aberto limi- n 1

  tado do R , de classe C e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ao: 1,p ∗ c q

  1

  1

  1 L

  Se p < n ent˜ao W ), onde = ,

  (Ω) ֒→ (Ω), ∀ q ∈ [1, p − 1,p c q p p n

  Se p = n ent˜ao W L 1,p c (Ω) ֒→ (Ω), ∀ q ∈ [1, +∞),

  C Se p > n ent˜ao W (Ω). (Ω) ֒→ Demonstra¸c˜ ao: Ver . c Nota¸c˜ indica imers˜ao compacta. ao: ֒→ n m

  Lema 1.9 Seja um dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C . Ent˜ao, existe m −1 n

  um campo de vetores h = (h k ) 1≤k≤n (Ω)] que verifica,

  ∈ [C h (x) = ν(x), para cada x ∈ Γ, onde ν ´e a normal exterior e m ∈ N ´e tal que m ≥ 1.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . Teorema 1.10 (Teorema de Aubin-Lions) : Sejam B , B, B trˆes espa¸cos de Banach c 1

  ֒ B ֒

  tais que B , onde B e B s˜ao reflexivos. Definamos 1 1

  → → B p p dv 1 W v ,

  = (0, T ; B ), v = (0, T ; B ) 1 ; v ∈ L ∈ L dt

  , p <

  onde 1 < p 1

  ∞, e consideremos W munido da norma p0 p1 L (0,T ;B ) L (0,T ;B ) , kvk + kv k 1 p

o que o torna um espa¸co de Banach. Ent˜ao, a imers˜ao de W em L (0, T ; B) ´e compacta.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . 1 (0, T ; H) e

  Lema 1.11 Sejam H e V espa¸cos de Banach, tais que H ֒→ V . Se u ∈ L 1 u ∈ L (0, T ; V ) ent˜ao u ∈ C([0, T ]; V ).

  Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  1.4 Topologias Fraca e Fraca ∗

  Nesta se¸c˜ao enunciaremos resultados importantes acerca das topologias fraca e fraca-∗ que ser˜ao utilizados ao longo de todo o trabalho. Defini¸c˜ ao 1.12 Seja E um espa¸co de Banach. A topologia fraca σ(E, E ) sobre E ´e a .

  topologia menos fina sobre E que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes f ∈ E Seja (x n ) n uma sequˆencia de E a qual converge para x em E na topologia fraca ∈N

  σ (E, E ). Utilizamos, neste caso, a seguinte nota¸c˜ao: x ⇀ x em E. n

  Proposi¸c˜ ao 1.13 Seja (x n ) n uma sequˆencia em E, ent˜ao: ∈N (i) x n ⇀ x n .

  em E se, e somente se, hf, x i → hf, xi, ∀f ∈ E (ii) Se x ⇀ x em E. n n

  → x em E, ent˜ao x ⇀ x (iii) Se x n n E E n E .

  em E, ent˜ao kx k ´e limitada e kxk ≤ lim infkx k (iv) Se x n ⇀ x em E e f n n , x n

  → f em E , ent˜ao hf i → hf, xi. Demonstra¸c˜ ao: Ver . x : E

  Seja E um espa¸co de Banach e seja x ∈ E fixo. Definamos J → R por x , f hJ i = hf, xi. ′′ ,

  As aplica¸c˜oes J x s˜ao lineares e cont´ınuas, portanto J x ′′ ∈ E ∀x ∈ E. tal que J(x) = J . x

  Definamos, agora, J : E → E , E

  Defini¸c˜ ), ´e a topologia menos ao 1.14 A topologia fraca , tamb´em designada por σ(E fina sobre E que torna cont´ınuas todas as aplica¸c˜oes J . x

  ′

  Proposi¸c˜ ao 1.15 Seja (f n ) n uma sequˆencia em E , ent˜ao: ∗ ′ ∈N

  (i) f ⇀ f em E , x n n se, e somente se, hf i → hf, xi, ∀x ∈ E. ′ ′

  ⇀ f (ii) Se f n , ent˜ao f n em E . → f em E ′ ∗ ′

  ⇀ f ⇀ f (iii) Se f n em E , ent˜ao f n em E . Demonstra¸c˜ ao: Ver . Lema 1.16 Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (x n ) n ∈N uma sequˆencia limitada em E , ent˜ao existe uma subsequˆencia (x n ) k de (x n ) n k ∈N ∈N

  e x ∈ E, tal que

  x ⇀ x n fracamente em E. k Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  Lema 1.17 Sejam E um espa¸co de Banach separ´avel e (f n ) n ∈N uma sequˆencia limitada em E , ent˜ao existe uma subsequˆencia (f n ) k , tal que k ∈N ∗ ′ e f ∈ E f ⇀ f . n em E k Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  Nesta se¸c˜ao iremos determinar os espa¸cos em que s˜ao levados em conta as vari´aveis temporal e espacial, o qual ´e necess´ario para dar sentido a problemas de evolu¸c˜ao.

  Para cada t ∈ [0, T ] fixo, interpretamos a fun¸c˜ao x 7→ u(x, t) como um elemento do espa¸co X. Denotaremos este elemento como u(t) ∈ X com valores no espa¸co X.

  Sejam X um espa¸co de Banach e a, b ∈ R. p

  O espa¸co L (a, b; X), 1 ≤ p < +∞, consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com imagem em X, ou seja, as fun¸c˜oes u : (a, b) → X tais que 1 L := dt < p (a,b;X) Z b p p kuk ku(t)k a X ∞.

  O espa¸co L (a, b; X) consiste das fun¸c˜oes (classes) mensur´aveis sobre [a, b] com imagem em X, as fun¸c˜oes u : (a, b) → X limitadas quase sempre em (a, b). A norma neste espa¸co ´e dada por L (a,b;X) X . m kuk := sup essku(t)k

  O espa¸co C (a, b; X), m = 0, 1, . . . , consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas u : [a, b] → X que possuem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m sobre [a, b]. A norma ´e dada por m

  X (i) max kuk := |u (t)|. i =0 t ∈[a,b]

  Vejamos algumas propriedades desses espa¸cos, as quais podem ser encontradas em .

  Proposi¸c˜ m ao 1.18 Sejam m = 0, 1, . . . , e 1 ≤ p < +∞, X e Y espa¸cos de Banach.

  (a) C (a, b; X) ´e um espa¸co de Banach sobre K. p (b) L (a, b; X), s˜ao espa¸cos de Banach sobre K.

  (a, b; X), 1 ≤ p < +∞ e L p (c) O conjunto de todas as fun¸c˜oes escada ´e denso em L (a, b; X). p p (d) C(a, b; X) ´e denso em L (a, b; X) ´e cont´ınua.

  (a, b; X) e a imers˜ao C(a, b; X) ֒→ L X , ent˜ao L (a, b; X) ´e tamb´em um 2

  (e) Se X ´e um espa¸co de Hilbert com produto escalar (·, ·) espa¸co de Hilbert com produto escalar 2 Z b

  (u, v) := (u(t), v(t)) L (a,b;X) a X dt.

  p (f ) L (a, b; X) ´e separ´avel, se X for separ´avel e 1 ≤ p < +∞. r q (g) Se X ֒→ Y , ent˜ao L (a, b; X) ֒→ L (a, b; Y ), 1 ≤ q ≤ r ≤ +∞.

  Lembremos que se U e V s˜ao dois espa¸cos vetoriais topol´ogicos, temos que L(U, V ) denota o espa¸co das fun¸c˜oes lineares e cont´ınuas de U em V .

  Seguindo a nota¸c˜ao de , o espa¸co das distribui¸c˜oes sobre (a, b) com imagem em X, ser´a denotado por (a, b; X). D Logo, D (a, b; X) = L(D(a, b); X), ou seja, ´e o conjunto de todas as aplica¸c˜oes (a, b; X). lineares e limitadas de D(a, b) em X. Temos a seguinte no¸c˜ao de convergˆencia em D µ µ

  Seja S ∈ D (a, b; X), logo S : D(a, b) 7→ X ´e linear e se θ → θ em D(a, b) ent˜ao hS, θ i → ν ν , θ hS, θi em X. Diremos que S → S em D (a, b; X) se hS i → hS, θi em X, para todo θ ∈ D(a, b). Cada elemento desse conjunto ´e uma distribui¸c˜ao sobre (a, b) com valores no espa¸co de Banach X. dS

  A derivada (a, b; X), ´e definida com um ´ unico elemento deste para S ∈ D dt espa¸co a qual satisfaz dS dϕ

  , ϕ S, = − ∀ϕ ∈ D(a, b). dt dt dS (a, b; X) sobre ele mesmo. A fun¸c˜ao S 7→ ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de D dt 2 ′ f

  (a, b; X), definimos ˜ (a, b; X) por Agora, se f ∈ L ∈ D

  Z b f , ϕ f 2 ′ h ˜ i = (t)ϕ(t)dt ∀ϕ ∈ D(a, b) a f de L (a, b; X) ´e linear e cont´ınua, e ainda ´e injetora e desta a fun¸c˜ao f 7→ ˜ (a, b; X) → D f forma identificamos ˜ com f e obtemos 2 ′ L (a, b; X). 1 (a, b; X) ֒→ D

  O espa¸co L loc (a, b; X) ´e o espa¸co das fun¸c˜oes u tal que para todo compacto K ⊂ 1 (a, b), uχ pertence `a L (a, b; X), onde χ denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica de K. K K

  2 m −1 m

  m m

  2 −1

  O objetivo desta se¸c˜ao ´e o de apresentar alguns Teoremas de Tra¸co ”n˜ao usuais”e resultados t´ecnicos que ser˜ao de grande utilidade no decorrer da resolu¸c˜ao do problema considerado. X . Definimos, No que segue, X representar´a um espa¸co de Hilbert munido do produto interno (·, ·) 1 2 ′ 2 H

  (0, T, X) e u (1.6.1) (0, T ; X) = {u; u ∈ L ∈ L (0, T ; X)}, que munido do produto interno

  Z T Z T ′ ′ 1 (u, v) = (u(t), v(t)) dt (u (t), v (t)) dt, (0, T ; X), (1.6.2) H (0,T ;X) 1 X X

  • ´e um espa¸co de Hilbert.

  ∀u, v ∈ H

  A derivada u ´e entendida como a derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes 1 (0, T ; X), existe uma fun¸c˜ao u (0, T ; X) vetoriais D (0, T ; X). Observemos que se u ∈ H ∈ C tal que u = u q.s. em ]0, T [ e T

  Z u u (ξ)dξ. (1.6.3) (t) − u(0) = (0, T ; X).

  Nesse sentido, diremos que u ∈ C Sendo D(0, T ; X) um e.v.t. localmente convexo, constitu´ıdo das fun¸c˜oes ϕ ∈ C (0, T ; , X), munido da topologia do limite indutivo, definimos 1 H 1 (0,T ;X)

  H (0, T ; X) = , (1.6.4) D(0, T ; X) que pode ainda ser caracterizado por 1 1 H

  (1.6.5) (0, T ; X) = {u ∈ H (0, T ; X); u(0) = u(T ) = 0}. N˜ao ´e dif´ıcil constatar, em virtude de , que em 1 1 2 H H L s˜ao equivalentes, o que nos permite (0,T ;X) (0,T ;X)

  (0, T ; X) as topologias de kuk e ku k 1 considerar em H (0, T ; X) a seguinte topologia, equivalente `a dada em 1 2 H L (0,T ;X) . (1.6.6) kuk (0,T ;X) = ku k

  2 m −1 m 2 Identificando-se o espa¸co L (0, T ; X) com o seu dual via Teorema de Repre-

  senta¸c˜ao de Riesz, temos a seguinte cadeia 1 2 −1 ′ (0, T ; X), (1.6.7)

  D(0, T ; X) ֒→ H (0, T ; X) ֒→ L (0, T ; X) ֒→ H (0, T ; X) ֒→ D −1 (0, T ; X) onde ”֒→”designa a imers˜ao cont´ınua e densa de um espa¸co no seguinte e H 1 designa o dual topol´ogico de H (0, T ; X). 2 −1

  Proposi¸c˜ (0, T ; X). Ent˜ao existe um ´ (0, T ; X) que veri- ao 1.19 Seja u ∈ L unico f ∈ H

  fica

  , θ X , hf, θξi = (hu i, ξ) ∀θ ∈ D(0, T ), ∀ξ ∈ X.

  Isso nos permite identificar u com f . Al´em disso, a aplica¸c˜ao

  u , (1.6.8)

  7→ u ´e linear e cont´ınua.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  ´ E conhecido a existˆencia de uma aplica¸c˜ao tra¸co m −1 1 m m Y −j− 2

  γ H : H (Γ), (1.6.9)

  (Ω) → m j =0 linear, cont´ınua, sobrejetora, com n´ ucleo H (Ω) e que admite uma inversa `a direita tamb´em linear e cont´ınua.

  Definamos a aplica¸c˜ao 2 m Q −1 m 2 −j− m 2 1 γ : L (0, T ; H 0, T ; H (Γ)

  (Ω)) → L j =0 (1.6.10) u γu,

  7→ dada por (γu)(t) = γ(u(t)), onde γ(u(t)) ´e a aplica¸c˜ao γ dada em aplicada em m u (Ω). Denotamos as aplica¸c˜oes com o mesmo s´ımbolo para n˜ao (t) ∈ H sobrecarregar a nota¸c˜ao. A aplica¸c˜ao definida em ´e uma aplica¸c˜ao linear, cont´ınua,

  2 m −1 m 2 m

  sobrejetora, com n´ ucleo L (0, T ; H (Ω)), que admite uma inversa `a direita τ linear e cont´ınua, isto ´e, m −1 ! 2 −j− Y m m 1 2 2 τ H

  : L 0, T ; (Γ) (0, T ; H (Ω)), γ(τ (η)) = η. (1.6.11) j =0 7→ L De forma an´aloga podemos definir 1 1 m m 1 −j− Q m −1 2 H

  (0, T ; H 0, T ; (Γ) eγ : H (Ω)) → H j =0 (1.6.12) u

  7→ eγu, dada por (eγu)(t) = γ(u(t)) e que tem as mesmas propriedades da aplica¸c˜ao . 2 m ′ 2 m ′ ′ Proposi¸c˜ (0, T ; H (Ω)) com u (0, T ; H (Ω)), ent˜ao γu = (γu) . ao 1.20 Seja u ∈ L ∈ L Demonstra¸c˜ ao: Ver . 2 m 2 m

  (0, T ; H (0, T ; H Seja K = L (Ω)) × L (Ω)) e M o subespa¸co fechado de K constitu´ıdo dos vetores {α, β} tais que 2 m m 2 1 m (α, v) + (β, v ) = 0, L (0,T ;H (Ω)) L (0,T ;H (Ω))

  (0, T ; H (Ω)). Ent˜ao, a aplica¸c˜ao para todo v ∈ H −1 ⊥ m H (0, T ; H M

  (Ω)) → (1.6.13) f , ψ f f

  7→ {φ } f f f f , ψ , ψ , ψ , v , v f f f f f ) + (ψ f ) onde {φ } ∈ E ´e tal que kfk = k{φ }k e E = {{φ } ∈ K; (φ 1 f , ψ f f . A aplica¸c˜ao = hf, vi; ∀v ∈ H (Ω)}, isto ´e, o conjunto dos {φ } ∈ K tais que f = φ − ψ f definida em ´e uma isometria linear sobrejetora. −1 m

  (0, T ; H Para f ∈ H (Ω)) definimos eγf na forma:

  Z T Z T

  • (γφ , w ) m− m−j− 1 dt (γψ , w ) m− m−j− 1 dt, (1.6.14)

  Q 1 Q 1

  heγf, wi = f f j =0 j =0 H 1 2 H (Γ) (Γ) 2 1 −j− Q m −1 m 2 0, T ; H (Γ) , que ´e linear e cont´ınua. para todo w ∈ H j =0

  Assim, temos estabelecido uma aplica¸c˜ao 1 −1 −1 −j− m m Q m −1 2 (0, T ; H 0, T ; H (Γ) eγ : H (Ω)) → H j =0

  (1.6.15) f 7→ eγf, onde eγf definido por , ´e linear e cont´ınua. Esta aplica¸c˜ao ´e denominada aplica¸c˜ao −1 m tra¸co para as fun¸c˜oes de H (0, T ; H (Ω)). Assim, s˜ao v´alidos os seguintes resultados:

  2 m −1 m 2 m

  Proposi¸c˜ (0, T ; H (Ω)) ent˜ao, ao 1.21 Se u ∈ L γu 1 Q m− 1 m−j− 1 | = eγu. H (0,T ; H (Γ)) j =0 2 Demonstra¸c˜ ao: Ver . 2 m

  Proposi¸c˜ (0, T ; H (Ω)) ent˜ao, ao 1.22 Se u ∈ L ′ ′ .

  = (γu) eγu Demonstra¸c˜ ao: Ver . −1 m

  Teorema 1.23 A aplica¸c˜ao tra¸co ´e sobrejetora, seu n´ ucleo ´e H (0, T ; H (Ω)) e 1 −1 −j− −1 Q m −1 m m 2 (0, T ; H (0, T ; H (Ω)) linear e

  admite uma inversa `a direita eτ : H j (Γ)) → H =0 cont´ınua.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . np −p

  ent˜ao, existe uma ´ unica aplica¸c˜ao linear

  Teorema 1.24 Sejam 1 ≤ p < n e q = 1,p p n −p γ γ

  : W = u (Ω). Al´em disso, ´e v´alida

  cont´ınua e (Ω) → L (Γ) tal que e para cada u ∈ C

Γ

a f´ormula de Gauss, a saber,

  Z Z Z ∂v ∂u 1,p

  • u dx vdx uγ vν d (Ω). (1.6.16) i

  = − Γ, ∀v ∈ W Ω Ω Γ ∂x ∂x i i Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  Teorema 1.25 Seja p ≥ n ent˜ao, para todo q ≥ 1 existe uma ´unica aplica¸c˜ao linear cont´ınua, 1,p q ∞ u : W = (Ω). eγ (Ω) → L (Γ), tal que para toda u ∈ C Γ Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  2 m −1 m n 2 2 1 aberto limitado de classe C (Ω).

  Lema 1.26 Seja Ω ⊂ R e consideremos ϕ ∈ H (Ω) ∩ H

  Ent˜ao

  ∂ϕ γ = ν γ (ϕ), i 1 1 1 2 2 ∂x i 2 1

  onde γ : H (Γ) e γ 1 : H (Γ) s˜ao as aplica¸c˜oes tra¸co e tra¸co da derivada

  (Ω) → H (Ω) → H normal usuais.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . 1 Seja Ω aberto limitado de classe C e consideremos 1 1,1 2 1 1 γ

  : H : W (Γ) (Ω) → H (Γ) e eγ (Ω) → L onde γ ´e a aplica¸c˜ao tra¸co aludida no Teorema Ora, do

  ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual e eγ fato que 1 γ ϕ ϕ,

  (Ω), 1 1,1 = eγ para cada ϕ ∈ C 1 1 e ainda como H (Ω) e C (Ω) ´e denso em H (Ω) resulta que as aplica¸c˜oes coincidem 1 (Ω) ⊂ W em H (Ω). Al´em disso, 1 u v, (Ω). eγ (uv) = eγ eγ para cada u, v ∈ H

  Em particular, 2 2 2 1 (u u ) = (γ u ) , (Ω). (1.6.17)

  ) = (eγ para cada u ∈ H eγ Do exposto acima, temos o seguinte resultado n 2 1 Corol´ aberto limitado de classe C 2 ario 1.27 Seja Ω ⊂ R e consideremos ϕ ∈ H (Ω) ∩

  H (Ω). Ent˜ao, 2 2 ) = (γ (ϕ)) em Γ. 1 eγ (|∇ϕ|

  Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  Relembraremos alguns conceitos e resultados provenientes da teoria geral de se- migrupos lineares. Iniciaremos com v´arias defini¸c˜oes gerais e, em seguida, enunciaremos os X ) sempre resultados que nos interessam ao longo desta disserta¸c˜ao. Nesta se¸c˜ao, (X, || · || H , H mencionar´a um espa¸co de Banach, (H, || · || (·, ·) ) um espa¸co de Hilbert e (L(X, X), || · ||) o espa¸co dos operadores lineares e cont´ınuos em X. Mais detalhes podem ser encontrados em .

  Defini¸c˜ ao 1.28 Um operador linear n˜ao limitado em X ´e um par (D, A), onde D ´e um

  

subespa¸co de X e A ´e uma aplica¸c˜ao linear D → X. Se sup{kAxk; x ∈ D e kxk ≤ 1} <

  • , dizemos que A ´e limitado. Se sup{kAxk; x ∈ D e kxk ≤ 1} = +∞, dizemos que A ´e ilimitado. Defini¸c˜ ao 1.29 Seja (D, A) um operador linear n˜ao limitado em X. O dom´ınio D(A) de A

  ´e o conjunto

  D (A) = D,

  a imagem R(A) de A ´e o conjunto

  R (A) = A(D)

  e o gr´afico G(A) de A ´e o conjunto

  G (A) = {(x, f) ∈ X × X; x ∈ D e f = Ax}.

  Observa¸c˜ ao 1.30 Quando n˜ao houver risco de confus˜ao, um operador linear n˜ao limitado em X ser´a chamado operador linear em X ou somente operador de X.

  Defini¸c˜ ao 1.31 Um operador A em X ´e acretivo se kx + λAxk ≥ kxk, para cada x ∈ D(A) e cada λ > 0.

  Defini¸c˜ ao 1.32 Um operador A em X ´e m-acretivo se as seguintes propriedades s˜ao v´alidas:

  Lema 1.33 Se A ´e um operador m-acretivo em X, ent˜ao para cada λ > 0 e cada f ∈ X,

  existe uma ´ unica solu¸c˜ao, da equa¸c˜ao x + λAx = f .

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . Proposi¸c˜ ao 1.34 Se A ´e um operador acretivo em X, ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao

  equivalentes: i) A ´e m-acretivo;

  >

  ii) existe λ

  0 tal que, para cada f ∈ X, existe uma solu¸c˜ao x ∈ D(A) da equa¸c˜ao x Ax

  • λ = f . Demonstra¸c˜ ao: Ver . Observa¸c˜ ao 1.35 Seja A um operador acretivo em X. A fim de verificar que A ´e m-acretivo

  

temos, em princ´ıpio, que resolver a equa¸c˜ao x + λAx = f , para cada f ∈ X e todo λ > 0. A

Proposi¸c˜ao nos diz que devemos resolver a equa¸c˜ao para cada f ∈ X e algum λ > 0.

  Considere agora um espa¸co de Hilbert real H munido de um produto interno (·, ·). Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao de operadores acretivos. Lema 1.36 Se A ´e um operador linear em H as seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . Corol´ ario 1.37 Se A ´e um operador m-acretivo em H, ent˜ao D(A) ´e denso em X. Demonstra¸c˜ ao: Ver Antes de prosseguirmos, recordemos a defini¸c˜ao do operador adjunto.

  Seja X um espa¸co de Banach e A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. Definindo-se ∗ ∗ ′ ∗ ′ ∗ ∗ D

  , Au , u (A ; existe v ) = {u ∈ X ∈ X que verifica hu i = hv i para cada u ∈ D(A)}.

  ´ E bem sabido que se D(A) ´e denso em X ent˜ao, cada u corresponde um ´ unico v , o que nos permite definir o adjunto de A pondo-se ∗ ∗ ′ ′

  A : D(A

  ) ⊂ X → X ∗ ∗ u 7→ v Observe que A ´e claramente linear. Observa¸c˜ ao 1.38 Se A ´e m-acretivo em H ent˜ao, D(A) ´e denso em H e portanto, A est´a bem definido.

  Defini¸c˜ ao 1.39 Um operador A em X com dom´ınio denso ´e dito sim´etrico (respectivamente, ∗ ∗ )). Um operador A em

  anti-sim´etrico) se G(A) ⊂ G(A ) (respectivamente, G(A) ⊂ G(−A

  X

  

, com dom´ınio denso, ´e auto-adjunto (respectivamente, anti-adjunto) se A = A (respecti- ). vamente, A = −A Lema 1.40 Se A ´e um operador m-acretivo em H, as seguintes propriedades s˜ao equivalen-

  tes: i) A ´e anti-adjunto; ii) (Ax, x) = 0, para cada x ∈ D(A); iii) −A ´e m-acretivo.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver . Defini¸c˜ de operadores lineares e limitados definida sobre um ao 1.41 Uma fam´ılia {S(t)} t ≥0

  espa¸co de Banach X ´e chamada de semigrupo de classe C quando

  (i) S(0) = I : X → X (Operador Identidade em X); (ii) S(t + s) = S(t)S(s), para cada t, s ≥ 0; (iii) a aplica¸c˜ao t 7→ S(t)x ´e cont´ınua em [0, +∞) → X, para cada x ∈ X.

  Defini¸c˜ ao 1.42 Um operador A ´e chamado de gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)} t ≥0 quando A ´e definido como

  S (t)x − x +

  D x lim existe (A) = ∈ X t →0 t

  e para cada x ∈ D(A) temos

  S (t)x − x + .

  Ax = lim t →0 t As vezes, diz-se tamb´em que o semigrupo S(t) ´e gerado por A .

  Defini¸c˜ ´e chamado de uniformemente limitado se existe ao 1.43 Um semigrupo {S(t)} t ≥0

  uma constante M ≥ 1 tal que ||S(t)|| ≤ M, ∀ t ≥ 0.

  Observa¸c˜ L(X) ao 1.44 Se kS(t)k ≤ 1, para cada t ≥ 0 o semigrupo ´e chamado de contra¸c˜ao.

  Defini¸c˜ de operadores lineares e limitados definida sobre um ao 1.45 Uma fam´ılia {S(t)} t ∈R

  

espa¸co de Banach X ´e chamada de grupo de operadores lineares limitados ou (grupo de

isometrias) quando

  (i) S(0) = I : X → X (Operador Identidade em X); (ii) S(t + s) = S(t)S(s), para cada t, s ∈ R;

  (iii) a aplica¸c˜ao t 7→ S(t)x ´e cont´ınua em R → X, para cada x ∈ X; (iv) kS(t)xk = kxk, para cada t ∈ R e para cada x ∈ X.

  Observa¸c˜ ao 1.46 De forma an´aloga, define-se o gerador infinitesimal de um grupo de iso-

  metrias. ´ E f´acil ver que se −A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, ent˜ao,

  • + ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de contra¸c˜oes.

  a restri¸c˜ao de −A a R

  Teorema 1.47 (Stone) Um operador linear A de um espa¸co de Hilbert H ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias se, e somente se, A = −A.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  Como ´e bem conhecido, a teoria geral de semigrupos nos permite estudar proble- mas de valor inicial para equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao abstratas do tipo ( ∂u

  (t) + Au(t) = 0 t ≥ 0, (1.7.18)

  ∂t u (0) = x, onde A ´e um operador linear com dom´ınio D(A) ⊂ X, sendo X um espa¸co de Banach (ou

  Hilbert). t de classe C . ≥0 Teorema 1.48 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo {S(t)}

  Ent˜ao, para cada x ∈ D(A), u(t) = S(t)x ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema

  • + ( ∂u

  , (t) + Au(t) = 0 para cada t ∈ R

  ∂t u (0) = x. 1 Al´em disso, u ∈ C([0, +∞); D(A)) ∩ C ([0, +∞); X). Demonstra¸c˜ ao: Ver . t ∈R . Ent˜ao, Teorema 1.49 Seja −A o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias {S(t)}

  para cada x ∈ D(A), u(t) = S(t)x ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema

  ( ∂u (t) + Au(t) = 0 para cada t ∈ R,

  ∂t u (0) = x. 1 (R; X).

  Al´em disso, u ∈ C(R; D(A)) ∩ C Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  , T > 0,

  Teorema 1.50 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C 1 x ∈ D(A), f ∈ L (0, T ; D(A)) e seja u : [0, T ] → X definida por

  Z t u S (t) = S(t)x +

  (1.7.19) (t − s)f(s)ds, 1,1

  onde (S(t)) t ≥0

  (0, T ; X) e ´e a

  ´e o semigrupo gerado por A. Ent˜ao, u ∈ C(0, T ; D(A)) ∩ W ´ unica solu¸c˜ao do problema

   ∂u

   

  (t) + Au(t) = f(t), para quase todo t ∈ [0, T ], ∂t

  (1.7.20)   u (0) = x.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver

  , T > 0,

  Teorema 1.51 Seja −A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C f ∈ C(0, T ; D(A)) e seja u definido como em . Ent˜ao, u ∈ C(0, T ; D(A)) e ´e a ´unica

  solu¸c˜ao do problema

   ∂u

   

  (t) + Au(t) = f(t), para todo t ∈ [0, T ], ∂t

  (1.7.21)   u (0) = x. 1 (0, T ; X).

  Al´em disso, u ∈ C(0, T ; D(A)) ∩ C Demonstra¸c˜ ao: Ver .

  

Controle Exato da Equac¸ ˜ao da Onda

Com Potencial

  No decorrer deste Cap´ıtulo, todos os espa¸cos envolvidos ser˜ao sobre o corpo dos n n´ umero reais. Seja Ω um subconjunto aberto, limitado e conexo do R , com fronteira Γ, T > 0 um n´ umero arbitr´ario, por´em fixado e Q o cilindro Ω×]0, T [ cuja fronteira lateral Σ ´e dada por Γ×]0, T [. Em Q, consideremos a equa¸c˜ao da onda com potencial com condi¸c˜ao de fronteira n˜ao homogˆenea do tipo Dirichlet

   2 ∂ y

   

  − ∆y + q(x)y = 0 em Q,  2

   ∂t

      y

  (2.0.1) = v em Σ,

      

  ∂y    y (x, 0) = y (x), (x, 0) = y (x) em Ω, 1 ∂t

  , y (Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e v ´e a vari´avel de 1 onde {y } s˜ao dados iniciais, q ∈ L controle, isto ´e, atuamos sobre o sistema atrav´es da fronteira Σ.

  O problema de controlabilidade exata para o sistema consiste do seguinte >

  ”Encontrar T 0 e um espa¸co de Hilbert H, convenientes, de modo que para , y 1 todo {y } ∈ H exista um controle v tal que a solu¸c˜ao y de satisfa¸ca a condi¸c˜ao

  ∂y y (x, T ) = (x, T ) = 0, (2.0.2) ∂t para algum T > T ”. Se isso ´e poss´ıvel, dizemos que o sistema ´e exatamente controlado a par- tir do instante T .

  Do exposto acima formulamos o problema de controlabilidade exata no caso em que v age sobre todo o bordo Σ. Uma quest˜ao essencial ´e a controlabilidade exata do sistema sob a a¸c˜ao de um controle atuando em uma parte do bordo, isto porque ´e interessante a controlabilidade exata de sistema com um m´ınimo de a¸c˜ao sobre sua fronteira. Consideremos, ent˜ao, uma parte aberta e n˜ao vazia Σ = Γ

  ×]0, T [ de Σ e o novo sistema em quest˜ao  2

  ∂ y   2 − ∆y + q(x)y = 0 em Q,  

  ∂t     

     v em Σ 

   y , (2.0.3) =

   

    0 em Σ \ Σ        ∂y   y (x, 0) = y (x), (x, 0) = y (x) em Ω. 1

  ∂t Analogamente, o problema ´e o seguinte ”Encontrar T >

  , y 1 0 e um espa¸co de Hilbert H de modo que para todo par {y } ∈ H exista um controle v definido sobre Σ tal que se y ´e solu¸c˜ao de ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas,

  ∂y y (x, T ) = (x, T ) = 0, ∂t para algum T > T ”.

  Utilizaremos na resolu¸c˜ao do problema acima um m´etodo desenvolvido por J. L. Lions denominado H.U.M (Hilbert Uniqueness Method) .

  

2.1 Alguns Resultados Sobre Existˆ encia e Unicidade da

Equa¸c˜ ao da Onda com Potencial n 2 No que segue, seja Ω um dom´ınio do R com fronteira Γ de classe C . Seja T > 0

  um n´ umero real arbitr´ario, por´em fixado, Q o cilindro Ω×]0, T [ cuja fronteira lateral Σ ´e dada por Γ×]0, T [. Nesta se¸c˜ao, estaremos vamos mostrar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao do problema  2

  ∂ u   2 − ∆u + q(x)u = f em Q,  

  ∂t    

  (2.1.1) u = 0 em Σ,       ∂u 1

    u (0) = u , (0) = u em Ω.

  ∂t Defini¸c˜ ao 2.1 A energia associada a equa¸c˜ao ´e definida por

  Z

  1 2 2 2 E (t) = t dx, t (2.1.2) |∇u(x, t)| + q(x)|u(x, t)| + |u (x, t)| ∈ R.

  2 2 ∞ Lema 2.2 Seja um dom´ınio limitado de classe C (Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa.

  e q ∈ L A aplica¸c˜ao 1 1 R

  ((·, ·)) : H (Ω) × H (Ω) −→ 2 2 (u, v) L + (√qu, √qv) L (Ω) (Ω) 1 7→ (∇u, ∇v) 2 1

  define um produto interno em H V ´e equivalente `a 1 (Ω). Al´em disso, a norma k · k = ((·, ·)) usual em H (Ω). 1 Demonstra¸c˜ ao:

  Para cada u, v, w ∈ H (Ω) e α, β ∈ R, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao facil- mente verificadas i) ((αu + βv, w)) = α((u, w)) + β((v, w)), ii) ((u, αv + βw)) = α((u, v)) + β((v, w)), iii) ((u, u)) ≥ 0, iv) u = 0 ⇔ ((u, u)) = 0. 1 1 1

  (Ω). Pela Isto prova que ((·, ·)) : H (Ω) × H (Ω) → R define um produto interno sobre H desigualdade de Poincar´e,

  Z Z Z 2 2 p 2 2 dx q dx dx, ∞ )

  |∇u(x)| ≤ |∇u(x)| + | (x)u(x)| ≤ (1 + Ckqk |∇u(x)| o que prova a equivalˆencias das normas 1 1 Z Z 2 2 1 2 2 p 2 H = dx = q dx . V kuk (Ω) |∇u(x)| e kuk |∇u(x)| + | (x)u(x)| Ω Ω

  2 −1

  Lema 2.3 Seja um dom´ınio limitado de classe C (Ω) existe uma 1 . Para cada f ∈ H ´ (Ω), da equa¸c˜ao

  unica solu¸c˜ao, u ∈ H −1

  (Ω), (2.1.3) − ∆u + q(x)u = f em H (Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. Al´em disso,

  onde q ∈ L H 1

(Ω)

V . (2.1.4)

  kfk = kuk Demonstra¸c˜ ao: Defina 1 1 R a

  (·, ·) : H (Ω) × H (Ω) −→ 2 2 (u, v) + (√qu, √qv) L (Ω) L (Ω)

  7→ (∇u, ∇v) Note que a(·, ·) ´e bilinear. Temos tamb´em que a(·, ·) ´e cont´ınua, pois V V , (Ω). 1

  |a(u, v)| = |((u, v))| ≤ kuk kvk para cada u, v ∈ H Por fim, 2 1

  (Ω), |a(u, u)| = kuk V para cada u ∈ H o que mostra que a(·, ·) ´e coerciva. −1

  (Ω), existe uma ´ 1 Pelo Teorema de Lax-Milgram, para cada f ∈ H unica u ∈ H

  (Ω), tal que 1 1 1 a , (Ω). H (u, v) = hf, vi (Ω)H (Ω) para cada v ∈ H

  Donde, Z p p q (x)u(x) q

  (2.1.5) ∇u(x)∇v(x) + (x)v(x)dx = hf, vi, para cada v ∈ D(Ω). Portanto, (Ω). −∆u + qu = f em D

  −1 2 −1

  (Ω), o que implica que Como f ∈ H (Ω) e qu ∈ L (Ω), temos que −∆u ∈ H −1 (Ω).

  −∆u + qu = f em H Segue de que 1 V V (Ω), ,

  |hf, vi| ≤ kuk kvk para cada v ∈ H o que nos diz que 1 H (Ω) V (2.1.6) . kfk ≤ kuk

  Tomando v = u em , temos 2 H (Ω) 1 V . kuk V ≤ kfk kuk

  Ent˜ao, para u 6= 0, tem-se 1 V H (2.1.7) (Ω) . kuk ≤ kfk V =

  Para o caso u = 0, isto ´e trivial. Combinando , obtemos que kuk 1 H (Ω) . kfk Observa¸c˜ ao 2.4 Algumas aplica¸c˜oes simples do Lema 1 −1 em H (Ω).

  i) Segue do Lema que podemos definir um produto interno em H (Ω) dado por 1 −1 −1 (u, v) u, v )). H (Ω) 1 2 = (((−∆ + qI) (−∆ + qI)

  Seja H = H (Ω) × L (Ω). Defina o operador A em H por 1 2 1 D (Ω),

  (A) = H (Ω) ∩ H (Ω) × H (2.1.8) A(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(A).

  Proposi¸c˜ ao 2.5 O operador A definido em ´e anti-adjunto.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja U ∈ D(A) e escreva U = (u, v). Ent˜ao, pelo Teorema de Green H H 1 2 (AU, U) = ((−v, −∆u + qu), (u, v)) (Ω)×L (Ω) H (Ω) 1 L 2

  = ((−v, u)) (Ω) + (−∆u + qu, v) Z Z

  √ √ qv qudx = − ∇v · ∇u + (−∆u + qu)vdx

  • Ω Ω

  Z Z = Ω Ω (∆uv − quv)dx (−∆u + qu)vdx = 0.

  Logo, A ´e acretivo.

  Vamos verificar agora que A ´e m-acretivo. Dado F = (f, g) ∈ H, a equa¸c˜ao U

  • AU = F, ´e equivalente a (u, v) + (−v, −∆u + qu) = (f, g).

  Ou ainda, 1 u (Ω), − v = f em H 2 (2.1.9) (Ω).

  −∆u + v + qu = g em L O sistema ´e equivalente a

  −∆u + (1 + q)u = f + g, (2.1.10) v

  = u − f. 1 Pelo Lema . Como 2 unica u ∈ H f (Ω), vem que

  • g ∈ L
  • 2 (Ω) 2 −∆u = f + g − (1 + q)u ∈ L 1

      (Ω). Agora, v dada pela segunda equa¸c˜ao de pertence a H (Ω). Do

      e, assim, u ∈ H Lema segue que A ´e anti-adjunto. 2 −1 Seja X = L (Ω) × H (Ω). Defina o operador B em X por 1 2 D (Ω),

      (B) = H (Ω) × L (2.1.11) B(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(B).

      Proposi¸c˜ ao 2.6 O operador B definido em ´e anti-adjunto.

    • ((u, w)) = (−v, u) L
    • 2 (Ω)<
    • Z

      Vamos verificar agora que B ´e m-acretivo. Dado F = (f, g) ∈ X, a equa¸c˜ao U

      (Ω), u 1 ∈ H 1 (Ω) e q ∈ L

      Teorema 2.7 Sejam u ∈ H 1 (Ω) ∩ H 2

      (2.1.13) Pelo Lema existe uma ´ unica u ∈ H 1 (Ω) satisfazendo a primeira equa¸c˜ao de . Agora, v dada pela segunda equa¸c˜ao de pertence a L 2 (Ω). Do Lema segue que B ´e anti-adjunto.

      −∆u + (1 + q)u = f + g, v = u − f.

      (2.1.12) O sistema ´e equivalente a

      Ou ainda, u − v = f, −∆u + v + qu = g.

      = (−v, u) L 2 (Ω) + hv, ui H 1 (Ω),H 1 (Ω) = 0.

      √ qwdx = (−v, u) L 2 (Ω) + h−∆w + qw, ui H 1 (Ω),H 1 (Ω)

      ∇u · ∇w + √ qu

      = (−v, u) L 2 (Ω)

      = (−v, u) L 2 (Ω) + ((u, (−∆ + Iq) −1 v ))

      (BU, U) X = ((−v, −∆u + qu), (u, v)) X = (−v, u) L 2 (Ω) + (−∆u + qu, v) H 1 (Ω)

      Demonstra¸c˜ ao: Seja U = (u, v) ∈ D(B). Seja w ∈ H 1 (Ω) a ´ unica solu¸c˜ao de −∆w+qw = v em H −1 (Ω) dada pelo Lema Ent˜ao,

    • BU = F, ´e equivalente a (u, v) + (−v, −∆u + qu) = (f, g).

      (Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao

      negativa. Ent˜ao o problema

       2 ∂ u

       

      − ∆u + q(x)u = 0 em Ω × R,  2

       ∂t

          u

      = 0 em Γ × R,     

      ∂u  1

        u ,

      (0) = u (0) = u em Ω, ∂t

      admite uma ´ unica solu¸c˜ao u na classe 1 2

    1

    1 2 2 C

      (R; H (R; H (R; L (Ω)). (2.1.14) (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C

      Al´em disso, para cada t ∈ R, a seguinte identidade ´e verificada

      E (2.1.15) 1 (t) = E(0), para cada t ∈ R. 2 Demonstra¸c˜ ao: Seja H = H (Ω) × L (Ω). Defina o operador A em H por 1 2 1 D (Ω),

      (A) = H (Ω) ∩ H (Ω) × H A(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(A). Pela Proposi¸c˜ao A ´e anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, −A ´e o gerador t . ∈R infinitesimal de um grupo de isometrias {S(t)} 1 Pelo Teorema para cada U = (u , u

      ) ∈ D(A), existe uma ´unica fun¸c˜ao U

      (·) = S(·)U : R → H, solu¸c˜ao do problema ( ∂U

      (t) + AU(t) = 0 para cada t ∈ R, ∂t U (0) = U . 1 Al´em disso, U ∈ C(R; D(A)) ∩ C (R; H).

      Pondo, U (t) = (u(t), v(t)), temos ∂U ∂u ∂v

      (t), (t) (2.1.16) (t) + AU(t) = + (−v(t), −∆u(t) + qu(t)) = 0.

      ∂t ∂t ∂t 2 ∂u ∂ u

      De , conclu´ımos que v = e 2 (t) − ∆u(t) + qu(t) = 0, para cada t ∈ R.

      ∂t ∂t 1 Como U ∈ C(R; D(A)) ∩ C (R; H), vem que 1 2 1 1 1 2 (u, u t (R; H (Ω)).

      ) ∈ C(R; H (Ω) ∩ H (Ω) × H (Ω)) ∩ C (Ω) × L Donde conclu´ımos que, 1 2 1 1 2 2 u (R; H (R; L (Ω)). ∈ C(R; H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C 1 1 1

      (R; H 2 1 Como u ∈ C (Ω)) segue que γu(t) = 0, para cada t ∈ R, onde γ : H (Ω) → H (Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual. 1 Considerando sobre H

      (Ω) a norma induzida pelo produto interno ((·, ·)) e uti- lizando o fato que −A ´e o gerador infinitesimal de um grupo de isometrias, dado t ∈ R, temos H (Ω)×L (Ω) H (Ω)×L (Ω) 1 2 1 2 , kS(t)U k = kU k 1 2 1 1 2 t H H (Ω)×L (Ω) (Ω)×L (Ω) , u , k(u(t), u (t))k = k(u )k t 2 1 2 , u 1 2 1 2 , k(u(t), u (t))k H = k(u )k H 2 1 t (Ω)×L (Ω) (Ω)×L (Ω) L L 2 2 2 1 1 2 2 , ku(t)k H + ku (t)k (Ω = ku k H + ku k (Ω

      Z 2 2 2 Z 2 2 1 2 t = dx |∇u(x, t)| + q(x)|u(x)| + |u (x, t)| |∇u (x)| + q(x)|u (x)| + |u (x)| dx,

      Z Z

      1 2 2 2

      1 2 2 1 2 t = dx dx,

      |∇u(x, t)| + q(x)|u(x)| + |u (x, t)| |∇u (x)| + q(x)|u (x)| + |u (x)|

      2 2

      E (t) = E(0), como quer´ıamos demonstrar. 1 1 2 ∞ Teorema 2.8 Sejam u (Ω), u (Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O

      ∈ H ∈ L (Ω) e q ∈ L

      problema

       2 ∂ u

       

      − ∆u + q(x)u = 0 em Ω × R,  2

       ∂t

          u

      = 0 em Γ × R,       ∂u 1

        u ,

      (0) = u (0) = u em Ω, ∂t

      admite uma ´ unica solu¸c˜ao u na classe 1 1

    2

    2 −1

      C (R; H (R; L (R; H (Ω)). (2.1.17) (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C

      Al´em disso, para cada t ∈ R, a seguinte identidade ´e verificada,

      E (2.1.18) (t) = E(0), para cada t ∈ R.

      2 −1

      Demonstra¸c˜ ao: Seja X = L (Ω) × H (Ω). Defina o operador B em X por 1 2 D (Ω),

      (B) = H (Ω) × L B(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(B). Pela Proposi¸c˜ao B ´e anti-adjunto. Pelo Teorema de Stone, −B ´e o gerador t ∈R . infinitesimal de um grupo de isometrias {S(t)} 1

      , u Pelo Teorema para cada U = (u

      ) ∈ D(B), existe uma ´unica fun¸c˜ao U

      (·) = S(·)U : R → H, solu¸c˜ao do problema ( ∂U

      (t) + BU(t) = 0 para cada t ∈ R, ∂t U .

      (0) = U 1 (R; X).

      Al´em disso, U ∈ C(R; D(B)) ∩ C Pondo, U (t) = (u(t), v(t)), temos

      ∂U ∂u ∂v (t), (t)

      (2.1.19) (t) + BU(t) = + (−v(t), −∆u(t) + qu(t)) = 0. ∂t ∂t ∂t 2

      ∂u ∂ u De , conclu´ımos que v = e 2 (t) − ∆u(t) + qu(t) = 0, para cada t ∈ R. ∂t ∂t 1

      (R; X), vem que Como U ∈ C(R; D(B)) ∩ C 1 2 1 2 −1 (u, u t (R; L (Ω)).

      ) ∈ C(R; H (Ω) × L (Ω)) ∩ C (Ω) × H Donde conclu´ımos que, 1 1 2 2 −1 u (R; L (R; H (Ω)). ∈ C(R; H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C 1 1 2 1 Como u ∈ C(R; H (Ω)) segue que γu(t) = 0, para cada t ∈ R, onde γ : H (Ω) →

      H (Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual.

      Para verificar a identidade , notemos inicialmente que H L (Ω)×H (Ω) L (Ω)×H (Ω) 1 2 2 − − 1 2 1 kS(t)U k (Ω)×L (Ω) = kS(t)U k + kBS(t)U k L L 2 (Ω)×H (Ω) (Ω)×H (Ω) − − 1 2 1 = kS(t)U k + kS(t)BU k L L 2 (Ω)×H (Ω) (Ω)×H (Ω) − − 1 2 1

      = kU k + kBU k 1 2 H , = kU k (Ω)×L (Ω) onde, nas igualdades acima, utilizamos o fato que −B ´e o gerador infinitesimal de um grupo 1 de isometrias. Munindo H (Ω) da norma induzida pelo produto interno ((·, ·)), segue a identidade desejada em . 1 2 1 1 1 1 Teorema 2.9 Sejam T &gt; 0, u (Ω), u (0, T ; H (Ω)) e ∈ H (Ω) ∩ H ∈ H (Ω), f ∈ L q (Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O problema

      ∈ L  2

      ∂ u  

      − ∆u + q(x)u = f em Ω×]0, T [,  2

       ∂t

         

      (2.1.20) u = 0 em Γ×]0, T [,

            ∂u 1

        u ,

      (0) = u (0) = u em Ω, ∂t

      admite uma ´ unica solu¸c˜ao u na classe 1 2 1

    1

    1 2 C

      (0, T ; H (0, T ; H (Ω)) e u tt (0, T ; L (Ω)). (2.1.21) (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C ∈ L

      Al´em disso, para cada t ∈ R, as seguintes desigualdades s˜ao verificadas 2 E 1 2 L ), (2.1.22) S S (t) ≤ 2(E(0) + kfk (0,T ;L (Ω)) 2 E 1 1 L ), (2.1.23)

      (t) ≤ 2(E (0) + kfk (0,T ;H (Ω)) Z p S

      1 2 2 2 onde E (t) = t q (x)u t dx .

      |∆u(x, t)| + |∇u (x, t)| + | (x, t)|

      2 Demonstra¸c˜ ao: O problema pode ser reescrito como

      ( ∂U (t) + AU(t) = g(t) para quase todo t ∈]0, T [,

      (2.1.24) ∂t

      U (0) = U , 1 2 (Ω) ´e o operador definido por onde A : D(A) → H = H (Ω) × L 1 2 1 D (Ω),

      (A) = H (Ω) ∩ H (Ω) × H A(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(A) e 1 2 1 g (Ω)

      : [0, T ] −→ H (Ω) ∩ H (Ω) × H t (0, f (t))

      7→

      1 Note que g ´e mensur´avel e g(t) ∈ D(A) para quase todo t ∈ [0, T ]. Afirmamos que g ∈ L (0, T ; D(A)). Com efeito, T T T Z Z Z D dt dt dt 1 2 1 2 (A) H H = + kg(t)k kg(t)k (Ω)×L (Ω) kAg(t)k (Ω)×L (Ω) Z T Z T H H

      dt dt = 1 2 1 2 T T k(0, f(t)k k(f(t), 0)k

    • (Ω)×L (Ω) (Ω)×L (Ω)

      Z Z dt dt = L 2 (Ω) H (Ω) 1 kf(t)k kf(t)k

    • ≤ C &lt; ∞.
    • 1 1 2 1 , u

        Segue do Teorema que para cada U = (u (Ω) ) ∈ H (Ω) ∩ H (Ω) × H

        Z t S

      • o problema admite uma ´ unica solu¸c˜ao U (t) = S(t)U 1,1

        (t − s)g(s)ds, na classe C (0, T ; D(A)) ∩ W (0, T ; H). 2

        ∂u ∂ u Pondo U (t) = (u(t), v(t)), vem que v(t) = (t) e 2 (t) − ∆u(t) + q(x)u(t) =

        ∂t ∂t f (t), para quase todo t ∈ [0, T ] e 1,1

        (u, u t ) ∈ C(0, T ; D(A)) ∩ W (0, T ; H), isto ´e, 1 2 1 1 1 2 u

        (0, T ; H (Ω)) e u tt (0, T ; L (Ω)). ∈ C(0, T ; H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C ∈ L 1 1

        (0, T ; H (Ω)) e assim, γu(t) = 0, Quanto a condi¸c˜ao de fronteira, basta observar que u ∈ C 1 2 1 (Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual. para todo t ∈ [0, T ], onde γ : H (Ω) → H

        Vamos verificar a desigualdade . Com efeito, t H H 1 2 1 2 k(u, u )k (Ω)×L (Ω) = kU(t)k (Ω)×L (Ω) t Z

        = + S (t − s)g(s)ds

        S(t)U H 1 (Ω)×L (Ω) 2 1 2 Z t S (Ω)×L (Ω) + H

        ≤ kS(t)U k (t − s)g(s)ds t H (Ω)×L (Ω) 1 2 Z H (Ω)×L (Ω) H (Ω)×L (Ω) 1 2 1 2 ds

      • ≤ kS(t)U k kS(t − s)g(s)k t

        Z H (Ω)×L (Ω) H (Ω)×L (Ω) ds 1 2 1

      • 2

        = kU k kg(s)k 1 Z t , u H H (Ω)×L (Ω) (Ω)×L (Ω) ds 1 2 1 2

        = k(u )k k(0, f(s))k

      t 1 Z

        , u H (Ω) 2 ds L 1 2 = k(u )k (Ω)×L (Ω) kf(s)k

      • 1

        Z T

      • , u ds. H L (Ω)
      • 1 2 2 ≤ k(u )k (Ω)×L (Ω) kf(s)k

          Donde, 2 2 1 Z T t H L (Ω) 1 2 , u ds 1 2 2 k(u(t), u (t))k ≤ k(u )k H (Ω)×L (Ω) kf(s)k

        • (Ω)×L (Ω)
        • 1 2 2 , u 1 2 L 1 2 . ≤ 2 k(u )k H (Ω)×L (Ω) + kfk (0,T ;L (Ω))

            Observando que Z p

            1 2 2 2 E q dx (t) = t

            |∇u(x, t)| + | (x)u(x, t)| + |u (x, t)|

            2

            1 2 = t 1 2 , k(u(t), u (t))k H (Ω)×L (Ω)

            2 temos o desejado. 1 2 1 1 2 1 H H , para cada Observando que kS(t)U k (Ω)∩H (Ω)×H (Ω) = kU k (Ω)∩H (Ω)×H (Ω) 2 1 2 U L define uma topologia em H (Ω), equivalente (Ω)

            ∈ D(A) e que a norma k∆(·)k (Ω) ∩ H 2 a de H (Ω), c´alculos an´alogos aos feitos anteriormente asseguram que a desigualdade ´e v´alida. 1 1 2 1 2 ∞

            Teorema 2.10 Sejam T &gt; 0, u (Ω), u (0, T ; L (Ω) ∈ H ∈ L (Ω), f ∈ L (Ω)) e q ∈ L

            uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. Ent˜ao, o problema

             2 ∂ u

             

            − ∆u + q(x)u = f em Ω×]0, T [,  2

             ∂t

                u

            (2.1.25) = 0 em Γ×]0, T [,

                

            ∂u  1

              u ,

            (0) = u (0) = u em Ω, ∂t

            admite uma ´ unica solu¸c˜ao u na classe 1 1 2 1 −1

            C (0, T ; H (0, T ; L (Ω)) e u tt (0, T ; H (Ω)). (2.1.26) (Ω)) ∩ C ∈ L

            Al´em disso, para cada t ∈ R, a seguinte desigualdade ´e verificada, 2 E 1 2 ). (2.1.27)

            (t) ≤ 2(E(0) + kfk L (0,T ;L (Ω)) Demonstra¸c˜ ao: O problema pode ser reescrito como ( ∂U

            (t) + BU(t) = g(t) para quase todo t ∈]0, T [, (2.1.28)

            ∂t U ,

            (0) = U 2 −1 (Ω) ´e o operador definido por onde B : D(B) → X = L (Ω) × H 1 2 D (Ω),

            (B) = H (Ω) × L B(u, v) = (−v, −∆u + qu), para cada (u, v) ∈ D(B) e 1 2 g

            (Ω) : [0, T ] −→ H (Ω) × L t (0, f (t))

            7→ 1 Note que g ´e mensur´avel e g(t) ∈ D(B) para quase todo t ∈ [0, T ]. Afirmamos que g ∈ L (0, T ; D(B)). Com efeito, Z T Z T Z T D (B) = L L dt dt dt (Ω)×H (Ω) (Ω)×H (Ω) 2 − − 1 2 1

          • kg(t)k kg(t)k kBg(t)k T T Z Z dt dt

            = L L 2 (Ω)×H (Ω) (Ω)×H (Ω) − − 1 2 1

          • k(0, f(t))k k(f(t), 0)k

            Z T Z T = dt dt H (Ω) L (Ω) 1 2 kf(t)k kf(t)k

          • ≤ C &lt; ∞.
          • 1 1 2 Segue do Teorema que para cada U = (u , u (Ω) o pro- ) ∈ H (Ω) × L t

              Z

            • blema admite uma ´ unica solu¸c˜ao U (t) = S(t)U S 1,1

              (t − s)g(s)ds, na classe C (0, T ; D(B)) ∩ W (0, T ; X ). 2

              ∂u ∂ u Pondo U (t) = (u(t), v(t)), vem que v(t) = (t) e 2 (t) − ∆u(t) + q(x)u(t) =

              ∂t ∂t f (t), para quase todo t ∈ [0, T ] e 1,1

              (u, u t ) ∈ C(0, T ; D(B)) ∩ W (0, T ; X ), isto ´e, 1 1 2 1 −1 u (0, T ; L (Ω)) e u tt (0, T ; H (Ω)).

              ∈ C(0, T ; H (Ω)) ∩ C ∈ L 1 (Ω)) e assim, γu(t) = 0,

              Quanto a condi¸c˜ao de fronteira, basta observar que u ∈ C(0, T ; H 1 2 1 (Γ) ´e a aplica¸c˜ao tra¸co usual. para todo t ∈ [0, T ], onde γ : H (Ω) → H Analogamente `a .

              Teorema 2.11 Sejam T &gt; 0, u ∈ H 1 (Ω) ∩ H 2

              E S (t) ≤ 2(E S (0) + kfk 2 L 1 (0,T ;H 1 (Ω))

              h = (h j ) um campo de vetores de classe [C 1 (Ω)] n

              com fronteira Γ de classe C 2 . Seja

              Proposi¸c˜ ao 2.12 Seja um dom´ınio limitado do R n

              (2.2.1) Provaremos, a seguir, uma identidade fundamental para a obten¸c˜ao das desigual- dades desejadas.

              = 0 em Σ, u (0) = u , du dt (0) = u 1 em Ω.

              ∂ 2 u ∂t 2 − ∆u + qu = f em Ω×]0, T [, u

              Consideremos a equa¸c˜ao da onda               

              Demonstra¸c˜ ao: A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga ao Teorema

              (x, t)| 2 dx .

              |∆u(x, t)| 2 + |∇u t (x, t)| 2 + | p q (x)u t

              (t) = Z

              onde E S

              ), (2.1.31)

              Al´em disso, para cada t ∈ R, a seguinte desigualdade ´e verificada

              (Ω), u 1 ∈ H 1 (Ω), f ∈ C(0, T ; H 1

              (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.1.30)

              (Ω) ∩ H 2 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; H 1

              C (0, T ; H 1

              admite uma ´ unica solu¸c˜ao u na classe

              (2.1.29)

              em Ω,

              (0) = u 1

              ∂u ∂t

              (0) = u ,

              − ∆u + q(x)u = f em Ω×]0, T [, u = 0 em Γ×]0, T [, u

              ∂ 2 u ∂t 2

              (Ω) uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. Ent˜ao o problema                 

              (Ω)) e q ∈ L

              . Ent˜ao, para cada solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

              1 2 1 1 1 1

            com dados u (Ω), u (0, T ; H (Ω)) a seguinte identidade ´e

              ∈ H (Ω) ∩ H ∈ H (Ω) e f ∈ L

              verificada 2 T

              Z Z T Z 1 ∂u ∂u ′ ′ 1 ∂h j 2 2

              Σ = (t), h (t) + h j ν j d u j ]dxdt

              [|u | − |∇u| ∂ν ∂x ∂x 2 j Σ n T T 2 j

              Z Z Z Z

              X ∂u ∂h ∂u ∂u j dxdt quh dxdt

            • j i =1 Ω Ω ∂x ∂x ∂x ∂x i i j j Z T Z

                ∂u f h j dxdt, j = 1, . . . , n. − ∂x j

                Demonstra¸c˜ ao: Consideremos, inicialmente, 1 2 1 1 1 1 u (Ω), u (0, T ; H (Ω)), ∈ H (Ω) ∩ H ∈ H (Ω), f ∈ L e u = u(x, t) a solu¸c˜ao de temos 1 2 1 1 1 2 u (0, T ; H (Ω)), u (0, T ; L (Ω)), (2.2.2) tt

                ∈ C(0, T ; H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C ∈ L e ′′ u (2.2.3)

                − ∆u + qu = f ∂u

                , j ´e satisfeita q.s. em Q. Multiplicando-se a equa¸c˜ao por h j = 1, . . . , n e

                ∂x j integrando-se em Ω×]0, T [, obtemos Z T Z Z T Z Z T Z Z T Z ′′ ∂u ∂u ∂u ∂u

                ∆uh + u h j dxdt j dxdt quh j dxdt = f h j dxdt. − Ω Ω Ω Ω ∂x ∂x ∂x ∂x j j j j

                (2.2.4) Designemos

                Z T Z Z T Z ′′ ∂u ∂u I = u h j dxdt e I = ∆uh j dxdt. 1 2 Ω Ω ∂x ∂x j j Temos T T T

                Z Z Z ′′ ′ ′ ∂u d ∂u ∂u I = u (t), h j (t) dt = u (t), h j (t) dt u (t), h j (t) dt 1

                − ∂x j dt ∂x j ∂x j T T

                Z Z ′ ′ ∂u ∂u = u (t), h j (t) h j u dxdt. −

                ∂x ∂x j j Contudo, pelo item ii) da Proposi¸c˜ao podemos escrever 2 ′ ∂ ∂u 2 1,1 ′ [u ]

                , [u ] (Ω) e = 2u

                ∈ W ∂x ∂x j j o que implica que T T

                Z Z ′ 2 ∂u ∂ 1 [u ] I u h dxdt. 1 = (t), h j (t) j

                − ∂x j 2 ∂x j

                Agora, pelo item iii) da Proposi¸c˜ao temos que T T Z Z Z Z 2

                ∂ [u ] ∂h j 2 h j dxdt dxdt.

                = − |u | Ω Ω ∂x ∂x j j Portanto, T

                Z T Z ′ ′ ∂u 1 ∂h j 2

              • I = u (t), h (t) dxdt. (2.2.5) 1 j

                |u | ∂x ∂x j 2 j 1 ∂u ∂u 1 1 Por outro lado, como h j (Ω) e (Ω), ent˜ao h j (Ω) e, pela f´ormula

                ∈ C ∈ H ∈ H ∂x j ∂x j de Green, resulta de que n

                Z T Z Z T Z Z

                X ∂u ∂u ∂ ∂u ∂u

              • I = ∆uh dxdt h dxdt γ uh γ d Σ. 2 j j 1 j

                = − Ω Ω Σ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x j i i j j i =1 Pelo item i) da Proposi¸c˜ao temos n n T T

                Z Z Z Z X ∂u ∂h ∂u j X ∂u ∂ ∂u

                I dxdt h dxdt 2 j = − − i i =1 =1 Ω Ω ∂x i ∂x i ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j

                Z ∂u + γ uh γ d Σ. 1 j Σ ∂x j

                Pelo Lema segue que ∂u

                γ γ = ν j 1 (u),

                ∂x j donde, n n Z T Z Z T Z Z

                X X ∂u ∂h ∂u ∂u ∂ ∂u j 2 I dxdt h dxdt [γ + (u)] h ν d Σ. 2 j 1 j j

                = − − i =1 i =1 Ω Ω Σ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x i i j i j i Novamente, pelo item ii) da Proposi¸c˜ao obtemos

                # " 2

                ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u = 2 . ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x j i i j i O que nos leva a n n T T " 2 # Z Z Z Z Z

                X ∂u ∂h ∂u j X ∂ ∂u

                1 2

              • I dxdt h j dxdt [γ (u)] h j ν j d Σ,
              • 2 1 = − − i i =1 =1 Ω Ω Σ ∂x i ∂x i ∂x j 2 ∂x j ∂x i isto ´e, n T T

                  Z Z Z Z Z X ∂u ∂h ∂u ∂ j

                  1 2 2 I dxdt h h ν d 2 j )dxdt + [γ (u)] j j Σ. 1 = − − (|∇u|

                  ∂x ∂x ∂x ∂x i i j i =1 Ω Ω Σ 2 j Todavia, a F´ormula de Gauss aludida em , nos garante que T T

                  Z Z Z Z Z ∂ ∂h j 2 2 2

                • h j dxdt h j )ν j d Σ, (|∇u| )dxdt = − |∇u| eγ (|∇u| 1,1 Ω Ω Σ

                  ∂x ∂x j j 1 1,1 : W (Γ) ´e o tra¸co para fun¸c˜oes de W (Ω). Logo, onde eγ (Ω) → L n

                  Z T Z Z T Z Z

                  X ∂u ∂h j ∂u 1 ∂h j 2

                  1 2

                • I dxdt dxdt h j )ν j d Σ
                • 2 = −

                    |∇u| − eγ (|∇u| ∂x ∂x ∂x ∂x i i j i =1 Ω Ω Σ 2 j

                    2 Z 2 h ν d Σ [γ (u)] + 1 j j Σ.

                    Al´em disso, pelo Corol´ario sabemos que 2 2 .

                    ) = [γ 1 (u)] eγ (|∇u| Assim, n T T

                    Z Z Z Z Z

                    X ∂u ∂h ∂u ∂h j 1 j 2

                    1 2

                  • I + dxdt dxdt h ν d
                  • 2 j j [γ (u)] Σ. (2.2.6) 1 = −

                      |∇u| ∂x ∂x ∂x ∂x i i j i =1 Ω Ω Σ 2 j

                      2 De obtemos T n T T Z Z Z Z

                      ∂u ∂h X ∂u ∂h ∂u ′ ′ 1 j j 2 2

                    • u (t), h j (t) ]dxdt + dxdt

                      [|u | − |∇u| ∂x j 2 ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j Ω Ω T T i =1

                      Z Z Z Z Z ∂u ∂u

                      1 2 h ν d quh dxdt f h dxdt. j j [γ 1 (u)] Σ + j = j

                      ∂x ∂x 2 j j Σ Ω Ω Equivalentemente, 2 T T Z

                      Z Z ∂u ∂u ∂h

                      1 ′ ′ 1 j 2 2

                      ν d u [|u | − |∇u|

                    • h j j Σ = (t), h j (t) ]dxdt

                      ∂ν ∂x ∂x 2 j Σ n T T 2 j Z Z Z Z

                      X ∂u ∂h j ∂u ∂u

                    • dxdt quh j dxdt i =1 T Ω Ω

                      ∂x ∂x ∂x ∂x i i j j Z Z

                      ∂u f h dxdt, j j = 1, . . . , n., ∂x j o que prova a identidade no caso em que u = u(x, t) ´e solu¸c˜ao de com dados u 1 2 1 1 1 1

                      H (Ω), u (0, T ; H (Ω)).

                      (Ω) ∩ H ∈ H (Ω) e f ∈ L A demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado segue a linha de racioc´ınio dada em . n 2 Teorema 2.13 Seja um dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C . Ent˜ao,

                      existe uma constante C &gt; 0 tal que 2 Z

                      ∂u 2 d L 1 2 Σ ≤ C(T + 1){E(0) + kfk (0,T ;L (Ω)) }, 1 Σ ∂ν 1 2 1 1 1

                      , u , f (0, T ; H (Ω)), onde u ´e a solu¸c˜ao de

                      para todo {u } ∈ H (Ω) ∩ H (Ω) × H (Ω) × L . 1 n

                      Demonstra¸c˜ ao: Seja h = (h j (Ω)] o campo de vetores obtido no Lema Ent˜ao, ) ∈ [C da Proposi¸c˜ao resulta que 2 T T Z

                      Z Z ∂u ∂u ∂h

                      1 2 ′ ′ 1 j 2 2 ν d u

                      Σ = (t), h j (t) ]dxdt [|u | − |∇u| 2 ∂ν ∂x j Σ n 2 ∂x j

                    • j

                      Z T Z Z T Z

                      X ∂u ∂h j ∂u ∂u

                    • dxdt quh j dxdt i =1 T Ω Ω

                      ∂x ∂x ∂x ∂x i i j j Z Z

                      ∂u f h dxdt, j j = 1, . . . , n. ∂x j

                      Somando em j, de 1 a n, obtemos, 2 n n Z

                      1 ′ ′ d u u Σ = (T ), h j (T ) (0), h j (0)

                      ∂u X ∂u X ∂u

                      − ∂ν ∂x ∂x 2 j j Σ j j =1 =1 n !

                      Z T Z

                      X 1 ∂h j 2 2

                    • ]dxdt

                      [|u | − |∇u| ∂x 2 j n n j =1

                      Z T Z

                      X X ∂u ∂h ∂u j

                    • dxdt j =1 i =1 n

                      ∂x ∂x ∂x i i j Z T Z

                      X ∂u

                    • quh dxdt j j =1 n T

                      ∂x j Z Z

                      X ∂u f h dxdt. j

                      − j =1 ∂x j

                      (0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) dt =2T khk(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ).

                      1

                      1

                      2 Z |u (T )| 2 + |∇u(T )| 2 dx

                      ≤ khk

                      1

                      2 Z |∇u(T )| 2 + q(x)|u(T )| 2 + |u (T )| 2 dx

                      ≤ 2khk(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ), onde usamos na ´ ultima desigualdade acima. Analogamente, n

                      X j =1 u (0), h j

                      ∂u ∂x j

                      (0) ≤ 2khk(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ).

                      Usando novamente , temos

                      2 Z T Z n

                      ∂x j (T ) 2 dx

                      X j =1 ∂h j ∂x j

                      ! [|u | 2 − |∇u| 2

                      ]dxdt ≤

                      1

                      2 Z T Z n

                      X j =1 ∂h j ∂x j

                      ! (|u | 2 + |∇u| 2

                      )dxdt ≤ khk

                      2 Z T Z |u | 2 + |∇u| 2 dxdt

                      ≤2khk Z T E

                      = khk

                      X j =1 ∂u

                      Faremos estimativas para cada um dos termos do lado direito da igualdade acima. Pondo-se khk = khk [W 1,+∞ (Ω)] n = n

                      ∂x j (T ) dx

                      X j =1 kh j k W 1,+∞ (Ω) , obtemos, n

                      X j =1 u (T ), h j

                      ∂u ∂x j

                      (T ) ≤ n

                      X j =1 Z u

                      (T )h j ∂u

                      ∂x j (T )dx

                      ≤ n

                      X j =1 Z

                      |u (T )||h j | ∂u

                      = Z

                      2 Z |u (T )| 2

                      |u (T )| n

                      X j =1 |h j |

                      ∂u ∂x j

                      (T ) dx ≤

                      Z |u (T )| n

                      X j =1 |h j | 2

                      ! 1 2 n

                      X j =1 ∂u

                      ∂x j (T ) 2

                      ! 1 2 dx ≤ khk

                      1

                    • n
                    E (t)dt ≤2T (khk + kqk khk)(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ).

                      ≤(khk + kqk khk) Z T

                      2(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) )dt

                      |u| n

                      ≤ Z T Z q

                      ∂u ∂x j dxdt

                      X j =1 Z T Z quh j

                      Veja que, n

                      =4T khk(E(0) + kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) ).

                      ≤2khk Z T

                      ∂u ∂x j dxdt

                      Z T Z |∇u| 2 dxdt

                      ! 1 2 dxdt ≤khk

                      X i =1 ∂u ∂x i 2

                      ! 1 2 n

                      X j,i =1 ∂h j ∂x i 2

                      ! 1 2 n

                      X j =1 |h j |

                      ≤ Z T Z q

                      ≤ Z Q n

                      2 Z q |u| 2 + q|∇u| 2 dxdt

                      2 Z |∇u| 2 dxdt

                      1

                      Z T

                      2 Z q |u| 2 dxdt

                      1

                      ≤khk Z T

                      1

                      |u| n

                      Z T

                      |u||∇u|dxdt ≤khk

                      ≤khk Z T Z q

                      ∂x j 2 ! 1 2 dxdt

                      X j =1 ∂u

                      ! 1 2 n

                      X j =1 |h j | 2

                      X j =1 ∂u ∂x j 2

                      ∂x i 2 ! 1 2 dxdt

                      Al´em disso, n

                      ∂u ∂x i

                      ∂u ∂x j

                      X i =1 Z T Z

                      X j =1 n

                      = n

                      ∂u ∂x j dxdt

                      ∂h j ∂x i

                      X i =1 Z T Z

                      ∂u ∂x i dxdt

                      X j =1 n

                      ≤ n

                      ∂u ∂x j dxdt

                      ∂h j ∂x i

                      ∂u ∂x i

                      X i =1 Z T Z

                      X j =1 n

                      ∂h j ∂x i

                      = n

                      X i =1 ∂u

                      X i =1 ∂u ∂x i 2

                      ! 1 2 n

                      X i =1 ∂h j ∂x i 2

                      ∂x j n

                      X j =1 ∂u

                      Z Q n

                      ! 1 2 dxdt =

                      ! 1 2 n

                      X j =1 Z Q

                      X i =1 ∂h j ∂x i 2

                      ∂u ∂x j n

                      X j =1 Z Q

                      ∂x i dxdt ≤ n

                      ∂x i ∂u

                      X i =1 ∂h j

                      ∂u ∂x j n

                    • khkkqk
                    Por fim, n n Z T Z Z T Z

                      X X ∂u ∂u f h dxdt j j

                      ≤ |f| |h | dxdt j =1 j =1 Ω Ω ∂x ∂x j j 1 1 T n n ! ! 2 2 2 Z Z

                      X 2 X ∂u j dxdt ≤ |f| |h | k =1 =1 j 1 ∂x j n 2 ! 2 Z T Z

                      X ∂u dxdt

                      ≤ khk |f| j =1 ∂x j Z T L 2 dt

                      = khk (|f|, |∇u|) (Ω) T Z 1 Z 2 2 2 L (Ω) dx dt ≤ khk kf(t)k |∇u| 1 Z T Z 2

                      √ 2

                      1 2 = dx dt L (Ω)

                      2khk kf(t)k |∇u|

                      2 Z T 1

                      √ 2 2 L (Ω) (E(t)) dt ≤ 2khk kf(t)k

                      Z T 1L )) 2 (Ω) L 2 1 2 dt 2

                      ≤ 2khk kfk (2(E(0) + kfk (0,T ;L (Ω)) 2 1 2 ) 2 1 L (0,T ;L (Ω)) 1 2 = 2khk(E(0) + kfk L kfk 2 2 1 (0,T ;L (Ω)) 2 2 1 2

                      ≤ khk (E(0) + kfk L (0,T ;L (Ω)) ) + kfk L (0,T ;L (Ω)) 2 2 1 2 L ).

                      ≤ (1 + khk )(E(0) + kfk (0,T ;L (Ω)) Portanto, 2 Z

                      ∂u 2 d 1 2 Σ ≤ C(T + 1){E(0) + kfk L }, (0,T ;L (Ω)) Σ ∂ν 2

                      , onde C = 2 max{1 + 4khk + khk 2khk(3 + kqk )}. n 2 Proposi¸c˜ ao 2.14 Seja um dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C . Seja 1 n h = (h ) um campo de vetores de classe [C (Ω)] . Ent˜ao, para cada solu¸c˜ao da equa¸c˜ao j 1 1 2 1 2 com dados u (Ω), u (0, T ; L (Ω)) a seguinte identidade ´e

                      ∈ H ∈ L (Ω) e f ∈ L

                      verificada 2 T T

                      Z Z Z

                      ∂u ∂u ∂h

                      1 ′ ′ 1 j 2 2

                    • h ν d u j j Σ = (t), h j (t) ]dxdt

                      [|u | − |∇u| ∂ν ∂x ∂x 2 j Σ n 2 j

                      Z T Z Z T Z

                      X ∂u ∂h j ∂u ∂u

                    • dxdt quh j dxdt i =1 Ω Ω

                      ∂x ∂x ∂x ∂x i i j j

                      ∂x j dxdt, j = 1, . . . , n. (2.2.11)

                      1

                      ∈ L 2 (Ω) e f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).

                      Ent˜ao, para cada m ∈ N, ´e v´alida a identidade

                      1

                      2 Z Σ h j ν j [γ 1 (u m )] 2 d

                      Σ = u m (t), h j

                      ∂u m ∂x j

                      (t) T +

                      2 Z T Z ∂h j ∂x j

                      → u em C(0, T ; H 1 (Ω)), u m → u em C(0, T ; L 2 (Ω)), onde u ´e solu¸c˜ao de com dados u

                      [|u m | 2 − |∇u m | 2 ]dxdt

                      X i =1 Z T Z

                      ∂u m ∂x i

                      ∂h j ∂x i

                      ∂u m ∂x j dxdt +

                      Z T Z qu m h j ∂u m

                      ∂x j dxdt −

                      Z T Z f h j ∂u m

                      ∈ H 1 (Ω), u 1

                      Al´em disso, pela f´ormula de Duhamel    u m

                      − Z T Z f h j

                      ) ⊂ C(0, T ; H 1 (Ω)), tais que u m

                      ∂u ∂x j dxdt, j

                      = 1, . . . , n. Demonstra¸c˜ ao: Consideremos agora u

                      ∈ H 1 (Ω), u 1

                      ∈ L 2 (Ω) e f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).

                      Por densidade, existem (u m ) m ∈N

                      ⊂ H 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω), (u 1 m ) m ∈N

                      ⊂ H 1 (Ω) e (f m

                      → u em H 1 (Ω) quando m → ∞,

                      (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.2.10)

                      (2.2.7) u 1 m → u 1 em L 2

                      (Ω) quando m → ∞ (2.2.8) e f m

                      → f em L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) quando m → ∞.

                      (2.2.9) Para cada m ∈ N, consideremos a sucess˜ao de problemas

                                 u ′′ m − ∆u m + qu m = f m em Ω×]0, T [, u m

                      = 0 em Γ×]0, T [, u m (0) = u m , u m (0) = u 1 m em Ω. Sabemos que, para cada m ∈ N, a solu¸c˜ao u m do problema acima, est´a na classe

                      C (0, T ; H 1

                      (Ω) ∩ H 2 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; H 1

                    • n
                    Assim, a diferen¸ca (u m ℓ 1 2 − u ), com m, ℓ ∈ N, ´e solu¸c˜ao de sujeito a dados iniciais 1 1 1 1 1 u m ℓ m ℓ (Ω), u (Ω) e f m ℓ (0, T ; H (Ω)). Aplicando o − u ∈ H (Ω) ∩ H − u ∈ H − f ∈ L

                      Teorema e m ℓ − u

                      , vem que T Z Z 2 d lim (u m (u ℓ Γdt = 0, (2.2.12) 1 Γ 1 m,ℓ →+∞ |γ (t)) − γ (t))| ou ainda, T T Z Z 2 Z Z 2 u u d d lim m ℓ Γdt = lim (u m (u ℓ Γdt 1 Γ 1 m,ℓ →+∞ |(γ 1 )(t) − (γ 1 )(t)| |γ (t)) − γ (t))| m,ℓ →+∞ Γ 2 2 = 0.

                      Sendo L (0, T ; L (Γ)) um espa¸co de Hilbert, resulta da convergˆencia acima, a existˆencia de 2 2 (0, T ; L (Γ)) tal que um elemento χ ∈ L 2 2

                      γ (u (0, T ; L (Γ)). (2.2.13) 1 ) → χ em L m Fazendo-se m → +∞ em , resulta que T T

                      Z Z Z

                      ∂u ∂h

                      1 2 ′ ′ 1 j 2 2 h ν d u j Σ = (t), h + j j (t) ]dxdt |χ|

                      [|u | − |∇u| ∂x ∂x 2 j Σ n 2 j

                      Z T Z Z T Z

                      X ∂u ∂h j ∂u ∂u

                    • dxdt quh j dxdt i =1 T Ω Ω

                      ∂x ∂x ∂x ∂x i i j j Z Z

                      ∂u f h dxdt, j j = 1, . . . , n. ∂x j

                      Resta-nos precisar em que sentido temos a igualdade ∂u χ = . ∂ν

                      ´ E o que faremos a seguir. Consideremos os problemas

                       Z t

                        

                      (t) + q (x)u(s)ds em Q,  −∆p = f(t) em Q,  −∆r = u e

                      (2.2.14)   p = 0 em Σ. 

                       r = 0 em Σ.

                      Ent˜ao, para quase todo t ∈]0, T [, face aos resultados de regularidade dos problemas el´ıpticos, existem ´ unicos 1 2 p (Ω), (t), r(t) ∈ H (Ω) ∩ H solu¸c˜oes de . Al´em disso, como T T Z Z 2 2 L = L (Ω) (Ω) dt dt &lt; k − ∆p(t)k kf(t)k +∞ e 2 Z T Z T Z t 2 ′ 2 dt q dt L = (t) + (x)u(s)ds k − ∆r(t)k (Ω) u L (Ω) 2

                      ( ) 2 Z T Z t 2 2 q (x)u(s)ds dt ≤ 2 ku (t)k L (Ω) L (Ω) 2

                    • &lt; L define uma topologia equivalente `a de H (Ω) em H (Ω),
                    • 2 (Ω) ∞. 2 1 2 e do fato que k − ∆(·)k (Ω) ∩ H conclu´ımos que 1 1 2 2 1 2 p (0, T ; H (0, T ; H (Ω)), (2.2.15)

                        ∈ L (Ω) ∩ H (Ω)) e r ∈ L (Ω) ∩ H uma vez que, 1 1 2 1 −1 u (0, T ; L (Ω)) e u tt (0, T ; H (Ω)). ∈ C(0, T ; H (Ω)) ∩ C ∈ L

                        Afirmamos que 1 1 2 −1 1 2 u em L (0, T ; H (Ω)) + H (0, T ; H (Ω)). (2.2.16)

                        = p − r (Ω) ∩ H (Ω) ∩ H 1 1 2 Com efeito, como u ´e solu¸c˜ao de , com dados u (Ω), u 1 2 ∈ H ∈ L (Ω) e f ∈

                        L (0, T ; L (Ω)), pelo Teorema ′′ 1 −1 u (0, T ; H (Ω)), − ∆u + qu = f em L donde, ′′ ′ −1 (0, T ; H (Ω)). −∆u = f − u − qu em D

                        De , vem que ′ ′ −1 (0, T ; H (Ω)).

                        −∆u = −∆p − (−∆r) em D Tomando-se ϕ ∈ D(0, T ), podemos escrever ′ −1

                        (Ω), h−∆u, ϕi = h−∆p, ϕi + h−∆r, ϕ i em H ou ainda, Z T Z T Z T ′ −1 dt em H (Ω). (−∆u)ϕdt = (−∆p)ϕdt + (−∆r)ϕ 1 −1

                        (Ω), H (Ω)), resulta que Agora, lembrando que −∆ ∈ L(H

                        Z T Z T Z T ′ −1 + uϕdt pϕdt rϕ dt em H (Ω). −∆ = −∆ 1 −1

                        (Ω) ´e um isomorfismo isom´etrico, que Segue-se da´ı e do fato que −∆ : H (Ω) → H T T T

                        Z Z Z 1 uϕdt pϕdt rϕ dt

                      • = em H (Ω).
                      • 1 2 Como o lado direito da igualdade acima pertence `a H (Ω), obtemos 1 (Ω) ∩ H 2 hu, ϕi = hp, ϕi + hr, ϕ i em H (Ω) ∩ H (Ω), ∀ϕ ∈ D(0, T ), portanto, ′ ′ 1 2 u (0, T ; H (Ω)). (2.2.17) 2 1 = p − r em D (Ω) ∩ H 2

                          (0, T ; H (Ω)) ent˜ao, da Proposi¸c˜ao resulta que Como r ∈ L (Ω) ∩ L ′ −1 1 2 r (0, T ; H (Ω)).

                          ∈ H (Ω) ∩ H Logo, de . Analogamente, para cada m ∈ N, pondo

                           Z t

                           m = f m (t) em Ω, = u (t) + q (x)u (s)ds em Ω,m m

                          −∆p −∆r m   e   p  m = 0 em Σ.

                           r m = 0 em Σ.

                          (2.2.18) ent˜ao, as ´ unicas solu¸c˜oes p m e r m dos problemas acima est˜ao nas classes 2 1 2 2 1 2 p m (0, T ; H (Ω)) e r m (0, T ; H (Ω)).

                          ∈ L (Ω) ∩ H ∈ L (Ω) ∩ H Al´em disso, 1 1 2 −1 1 2 u m = p m em L (0, T ; H (Ω)) + H (0, T ; H (Ω)). (2.2.19) m

                          − r (Ω) ∩ H (Ω) ∩ H

                          (0, T ; H 1 2 (Γ))

                          (s) − u(s))ds 2 L 2 (Ω) dt ≤2C

                          γ 1 : L 2 (0, T ; H 2 (Ω)) → L 2

                          (Ω)). (2.2.22) Sendo

                          → r em H −1 (0, T ; H 1 (Ω) ∩ H 2

                          (Ω)). (2.2.21) De vem que r m

                          (0, T ; H 1 (Ω) ∩ H 2

                          Portanto, r m → r em L 2

                          (u m − u)(s)ds 2 L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) →0, quando m → +∞.

                          =2Cku m − u k 2 L 2 (0,T ;L 2 (Ω))

                          Z T Z t q (x)(u m (s) − u(s))ds 2 L 2 (Ω) dt +

                          Z T |u m (t) − u(t)| 2 L 2 (Ω) dt

                          (u m (t) − u(t)) + Z t q (x)(u m

                          Notemos que, de e do fato que em H 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω) as topologias de k · k H 2 (Ω) e |∆(·)| L 2 (Ω) s˜ao equivalentes, temos kp m − pk L 1 (0,T ;H 1 (Ω)∩H 2 (Ω))

                          =C Z T

                          Z T | − ∆r m − (−∆r)| 2 L 2 (Ω) dt

                          |r m − r| 2 H 1 (Ω)∩H 2 (Ω) dt =C

                          Analogamente, kr m − rk 2 L 2 (0,T ;H 1 (Ω)∩H 2 (Ω)) ≤ Z T

                          (Ω) ∩ H 2 (Ω)). (2.2.20)

                          → p em L 1 (0, T ; H 1

                          → m →+∞ 0, ou seja, p m

                          Z T |f m (t) − f(t)| L 2 (Ω) dt

                          | − ∆p m − (−∆p)| L 2 (Ω) dt =

                          ≤ C Z T

                          = Z T kp m − pk H 1 (Ω)∩H 2 (Ω) dt

                        • 2C
                        • 2Ckqk
                        • 2 Z t e 1 : H (0, T ; H (0, T ; H (Γ)), −1 2 −1 2 1 eγ (Ω)) → H 2 2 as aplica¸c˜oes ”tra¸co da derivada normal” contru´ıdas anteriormente. Como L (0, T ; H (Ω)) 1 2 2 2 2 1 2 ´e denso em L (0, T ; H (0, T ; H (0, T ; H (Ω)) e 2 (Ω)), j´a que D(0, T ; H (Ω)) ⊂ L (Ω)) ⊂ L 1 2

                            (Ω)) ´e denso em L (0, T ; H (Ω)), podemos estender γ por continuidade a uma D(0, T ; H 1 fun¸c˜ao 1 2 1 2 11 : L (0, T ; H (0, T ; H (Ω)).

                            (Ω)) → L Das convergˆencias em resulta que 1 2 1 eγ p m p em L (0, T ; H (Γ)) (2.2.23) 1 → eγ 1 e ′ ′ −1 2 1 1 r r m 1 em H (0, T ; H (Γ)). (2.2.24) eγ → eγ

                            Definamos ∗ ′ γ (u) = e γ (r ), (2.2.25) 1 1 (p) − eγ 1 1 1 2 1 2 onde u ´e solu¸c˜ao de com dados u (Ω), u (0, T ; L (Ω)) e p e r

                            ∈ H ∈ L (Ω), f ∈ L s˜ao as ´ unicas solu¸c˜oes de . Logo, ∗ ′ γ γ 1 (u m ) = e (p m (r ) 1 ) − eγ 1 m

                            = γ (p m 1 m 1 (r ) ) − eγ 1 (p m (r ) 1

                            = eγ ) − eγ m 1 m (p m ) = eγ − r 1 (u m ) = eγ = γ (u m ), (2.2.26) 1 2 2 onde as ´ ultimas iguadades resultaram do fato que em L (0, T ; H e γ coincidem. 1

                            (Ω)), eγ 1 Considerando-se 1 −1 2 1 2 1 B 1 = L (0, T ; H (Γ)) e B = H (0, T ; H (Γ)), 2 ent˜ao B + B ´e um espa¸co de Banach com respeito `a norma 1 2 B B B ; u e u e u = u + u +B 1 2 1 1 2 2 1 2 kuk 1 2 = inf{ku k 1 + ku k 2 ∈ B ∈ B }.

                            Notemos que, de , obtemos 1 −1 2 1 2 1 γ 1 (u) ∈ L (0, T ; H (Γ)) + H (0, T ; H (Γ)) e 1 2 1

                            γ 1 ) ∈ L (u m (0, T ; H (Γ)). Afirmamos que ∗ ∗ 1 −1 2 1 2 1

                            γ (u m (u) em L (0, T ; H (Γ)) + H (0, T ; H (Γ)). (2.2.27) 1 ) → γ 1 Com efeito, temos, de , que ∗ ∗ ′ ′ p p , (u m B m B (r (r B 1 +B 2 1 1 m 1 21 ) − γ 1 (u)k ≤ keγ 1 − eγ 1 k + keγ ) − eγ )k o que prova a afirma¸c˜ao em .

                            Desta forma, de , resulta que ∗ ∗ ′ ′ 2 1 2 γ 1 ) → γ (u m (0, T ; H (0, T ; L (Γ)). 1 (u) em D (Γ)) ֒→ D

                            Tamb´em de , vem que 2 2 ′ 2 γ (u (0, T ; L (0, T ; L (Γ)). 1 ) → χ em L (Γ)) ֒→ D m Como de temos γ (u m ) = γ (u m ), ent˜ao, das convergˆencias acima e pela unicidade 2 ∗ 1 1

                            (0, T ; L (Γ)), resulta que χ = γ (u). Por abuso de nota¸c˜ao, escrevemos do limite em D 1 ∂u u,

                            = γ 1 ∂ν o que encerra a prova da Proposi¸c˜ao. n 2 Corol´ ario 2.15 Seja um dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C . Ent˜ao,

                            existe uma constante C &gt; 0 tal que 2 Z

                            ∂u 2 d 1 2 Σ ≤ C(T + 1){E(0) + kfk L (0,T ;L (Ω)) }, 1 Σ 1 ∂ν 2 1 2 , u , f (0, T ; L (Ω)), onde u ´e a solu¸c˜ao de .

                            para todo {u } ∈ H (Ω) × L (Ω) × L

                            (Ω) nas condi¸c˜oes acima, existe uma constante C(T ) &gt; 0, 1 Ver , p´ agina 406.

                            se n = 1, onde λ 1 ´e a maior constante tal que

                                      

                            R kqk

                            λ 1 ,

                            se n ≥ 2,

                            R kqk

                            λ 1

                            λ 1 ,

                            Z |∇u(x)| 2 dx

                            arbitrariamente, defina kqk

                            ≥ λ 1 Z |u(x)| 2 dx,

                            para cada u ∈ H 1 (Ω) Assuma que Q 1

                            &lt; 1 e seja T &gt;

                            2R 1 − Q 1

                            . Ent˜ao, para toda solu¸c˜ao de com dados

                            u ∈ H 1

                            (Ω), u 1 ∈ L 2 (Ω) e q ∈ L

                            = sup x ∈Ω q (x) e Q 1 =

                            x ∈ R n

                            Seja x = (x 1 , . . . , x n

                            Σ = Σ(x ) = Γ ×]0, T [

                            ) ∈ R n um ponto arbitr´ario, por´em fixado. Definimos m : R n

                            −→ R n x

                            7→ x − x Notemos que m ∈ C

                            (R n ). Particionaremos a fronteira Γ de Ω do seguinte modo Γ = Γ(x

                            ) = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) &gt; 0} (2.2.28) e

                            Γ 1 = Γ \ Γ(x ) = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) ≤ 0}.

                            (2.2.29) Denotamos por

                            (2.2.30) e Σ 1

                            com fronteira Γ de calsse C 2 . Fixado

                            = Σ \ Σ = Γ 1 ×]0, T [.

                            (2.2.31) Pondo-se

                            R = R(x ) = max x ∈Ω |m(x)| = max x ∈Ω

                            " n

                            X j =1 (x j

                            − x j ) 2

                            # 1 2 . (2.2.32)

                            Temos o seguinte resultado: Teorema 2.16 Seja um dom´ınio limitado do R n

                          • kqk

                            tal que a seguinte desigualdade ´e verificada 2 Z

                            ∂u CE d Σ,

                            ≤ R Σ ∂ν onde E(0) = E ´e a energia inicial de . Demonstra¸c˜ (Ω) podemos aplicar a Proposi¸c˜ao no caso particular ao: Sendo m ∈ C em que h = m e f = 0. Da´ı, resulta que 2 T Z

                            Z ∂u ∂u

                            1 ′ ′

                            1 2 2 j j + ν j (x j ) d Σ = u (t), (x j ) (t) )dxdt − x − x (|u | − |∇u| 2 ∂ν ∂x j Σ 2

                            2 Q Z Z ∂u ∂u

                            qu , j (x j ) j = 1, . . . , n, +

                          • dxdt

                            − x Q Q ∂x ∂x j j ∂m j posto que = δ ji , onde δ ji ´e o Delta de Kronecker. Somando-se a express˜ao acima em j,

                            ∂x i obtemos 2 n T Z

                            Z ∂u X ∂u n

                            1 ′ ′ 2 2

                          • ν d Σ = u (t), (x j ) (t) )dxdt j

                            · m − x (|u | − |∇u| 2 ∂ν ∂x j Σ j =1

                            2 Q Z Z 2

                          • dxdt qum Q Q
                          • |∇u| · ∇u.

                            Donde, 2 " ! n T #

                            Z

                            X 1 ∂u ∂u ′ (n − 1) ′ ν d Σ = u (t), (x j ) (t) (u (t), u(t)) + j

                            · m − x 2 ∂ν ∂x Σ j =1 T j

                            2 Z n (n − 1) ′ ′ 2 2

                          • (u (t), u(t)) )dxdt − (|u | − |∇u|

                            2

                            2 Q Z Z 2 dxdt qum

                          • Q Q

                            |∇u| · ∇udxdt, ou ainda, 2 " ! n T #

                            Z

                            X 1 ∂u ∂u ′ (n − 1) ′ Σ = (t), j + ν d u (x j ) (t) (u (t), u(t))

                            · m − x 2 ∂ν ∂x Σ j =1 T j

                            2 Z

                            1 (n − 1) ′ ′ 2 2

                          • (u (t), u(t)) n dxdt − |u | + (2 − n)|∇u|

                            2

                            2 Q Z qum (2.2.33) Q · ∇udxdt.

                            )dxdt. (2.2.39)

                            ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2

                            2 (u (t), u(t))

                            # T (2.2.35)

                            − (n − 1)

                            2 (u (t), u(t)) T +

                            1

                            2 Z Q n |u | 2 + (2 − n)|∇u| 2 dxdt (2.2.36)

                            Por outro lado, sendo u solu¸c˜ao de com dados u ∈ H 1

                            , u 1 ∈ L 2

                            (Ω), ent˜ao u ′′ − ∆u + qu = 0 em C(0, T ; H −1

                            (Ω)), (2.2.37) onde, u

                            (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.2.38)

                            ∂u ∂x j

                            De vem ent˜ao que Z T hu ′′ (t), u(t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt +

                            Z T (∇u(t), ∇u(t))dt +

                            Z T k

                            √ qu (t)k 2 L 2 (Ω) dt = 0.

                            Integrando-se por partes, obtemos Z T d dt

                            (u (t), u(t))dt −

                            Z T ku (t)k 2 L 2 (Ω) dt

                            √ qu (t)k 2 L 2 (Ω) dt

                            = 0, ou seja, (u (t), u(t)) T =

                            Z Q (|u | 2 − |∇u| 2 − |

                            √ qu (t)| 2

                            (t) !

                            − x j )

                            Contudo, de , podemos escrever Z Σ

                            ≤ Z Σ

                            ν · m

                            ∂u ∂ν 2 d

                            Σ = Z T Z Γ

                            ν · m

                            | {z } &gt; ∂u ∂ν 2 d

                            Γdt + Z T Z Γ 1

                            ν · m

                            | {z } ≤0 ∂u ∂ν 2 d

                            Γdt ≤

                            Z T Z Γ ν

                            · m ∂u ∂ν 2 d Γdt

                            |ν||m| ∂u ∂ν 2 d

                            X j =1 (x j

                            Σ ≤ R

                            Z Σ ∂u ∂ν 2 d

                            Σ. (2.2.34) Portanto, de , obtemos

                            1

                            2 R Z Σ ∂u ∂ν 2 d

                            Σ ≥

                            1

                            2 Z Σ ν

                            · m ∂u

                            ∂ν 2 d Σ =

                            " u (t), n

                          • (n − 1)
                          • Z Q qum · ∇udxdt.
                          • Z T k∇u(t)k
                          • 2 L 2 (Ω)<
                          • Z T k
                          • (n − 1)

                          • 1
                          • Z Q qum
                          • (n − 1)
                          • 1

                          • (n − 1)
                          • 1
                          • (n − 1)
                          • T E(0) +
                          • (n − 1)
                          • T E(0) +

                            (t) !

                            ∂u ∂x j

                            − x j )

                            X j =1 (x j

                            (t), n

                            Σ ≥ " u

                            2 R Z Σ ∂u ∂ν 2 d

                            1

                            Em resumo,

                            2 Z Q (n − 2)q|u| 2 + qum · ∇udxdt.

                            1

                            # T

                            2 (u (t), u(t))

                            (t) !

                            ∂u ∂x j

                            2 (u (t), u(t))

                            # T

                            1

                            # T .

                            2 u (t)

                            − 1

                            ∂x j (t) + n

                            X j =1 m j ∂u

                            (t), n

                            Temos, |I| = u

                            2 (u (t), u(t))

                            2 Z Q (n − 2)q|u| 2 + qum · ∇udxdt.

                            (t) + n − 1

                            ∂u ∂x j

                            X j =1 u (t), m j

                            " n

                            I =

                            (2.2.40) Definamos

                            − x j )

                            = " u (t), n

                            X j =1 (x j

                            ∂u ∂x j

                            √ qu | 2 dxdt

                            2 Z Q |u | 2 − |∇u| 2 − |

                            (n − 1)

                            # T

                            2 (u (t), u(t))

                            (t) !

                            − x j )

                            · ∇udxdt, donde,

                            X j =1 (x j

                            (t), n

                            Σ ≥ " u

                            2 R Z Σ ∂u ∂ν 2 d

                            1

                            Substituindo-se , resulta que

                            2 Z Q n |u | 2 + (2 − n)|∇u| 2

                            1

                            2 Z Q (|∇u| 2 + q|u| 2 + |u | 2 ) + (n − 2)q|u| 2 + qum · ∇udxdt.

                            = " u (t), n

                            # T

                            2 (u (t), u(t))

                            (t) !

                            ∂u ∂x j

                            − x j )

                            X j =1 (x j

                            2 Z Q |u | 2 + (n − 1)q|u| 2 + |∇u| 2 + qum · ∇udxdt.

                            2 R Z Σ ∂u ∂ν 2 d

                            # T

                            2 (u (t), u(t))

                            (t) !

                            ∂u ∂x j

                            − x j )

                            X j =1 (x j

                            Σ ≥ " u (t), n

                            ! T n

                            ! ′ − 1 X ∂u n u m u (T ), j (T ) + (T )

                            ≤ j =1 n ∂x j

                            2 !

                            X ∂u n − 1

                            (0), + u m (0) + u (0) j ∂x j n j =1

                            2 ! ′ − 1 X ∂u n u , m u j ,

                          • j ∞ =1

                            (2.2.41) ≤2

                            ∂x j

                            2 L (0,T ) onde esta ´ ultima desigualdade decorre em fun¸c˜ao de . Afirmamos que n !

                            X ′ − 1 ∂u n u (t), m (t) + u (t) E (2.2.42) j ≤ R (0), ∀ t ∈ [0, T ].

                            ∂x j j =1

                            2 L (Ω) 2 Com efeito, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos n ! n

                            X X ∂u n ∂u n − 1 2 − 1 u m u m u

                            (t), j (t) + (t) L (Ω) j (t) + (t) ≤ ku (t)k

                            ∂x j ∂x j =1 2 j L 2 (Ω) n j =1

                            2 L 2 (Ω)

                            X p 1 ∂u n 2 − 1

                            R m (t) + u (t) L (Ω) j ≤ ku (t)k √

                            ∂x R j j =1 n

                            2 L 2 2 (Ω) R X ∂u n 2 − 1

                            1 L m

                          • j (t) + (t) 2 u

                            ≤ ku (t)k (Ω)

                            2

                            2R ∂x j j =1

                            2 L 2 (Ω) n n !

                            X X R 2 − 1 − 1 2 m (t) + u (t), m (t) + u (t) 1 ∂u n ∂u n

                          • = j j ku (t)k L (Ω)

                            ∂x ∂x

                            2

                            2R j j =1 j =1 2 j

                            2  n n 2

                             Z 2

                             

                            1 (n − 1) 2 m m u 2 . = j (t) j (t) (t)dx+ L 2 + L ku (t)k (Ω) +(n − 1) ku(t)k (Ω)

                            R X ∂u X ∂u 2

                            2

                            2R ∂x j ∂x j

                            4  Ω  j j =1 L 2 =1 (Ω)

                            (2.2.43) Agora, pelos itens ii) e iii) da Proposi¸c˜ao temos

                            Z Z ∂u 1 ∂ 2 m j u (t) (t)dx = m j dx

                            |u(t)| Ω Ω ∂x j j 2 ∂x Z 1 ∂m j 2 dx

                            = − |u(t)| 2 ∂x j Z

                            1 2 dx.

                            (2.2.44) = − |u(t)|

                            2 Assim, de , resulta que n ! ′ − 1 X ∂u n u (t), m j (t) + u (t) ≤ j =1 ∂x j

                            2 L (Ω) 2n 2

                             Z 2

                             

                            X R 2 (n − 1) 1 ∂u n 2 (n − 1) 2

                          • j
                          • 2 ≤ ku
                          • L (Ω) − |u(t)| ku(t)k L (Ω) 2 m (t) dx

                            ∂x

                            2

                            2R j

                            2

                            4  Ω  j =1 L (Ω) 2 2 R n 2 2

                            1 2 (n − 1) (n − 1) 2 2 2 = L L L + + ku (t)k (Ω) km · ∇u(t)k (Ω) − ku(t)k (Ω)

                            2

                            2R

                            4

                            2 R 2

                            1 2 2 2

                          • ,

                            ≤ ku (t)k L (Ω) km · ∇u(t)k L (Ω)

                            2

                            2R pois 2 2 2 n n

                            (n − 1) (n − 1) (n − 1) (n − 1) (n − 1) ≥ ≥ ⇒ − ≤ 0.

                            2

                            2

                            4

                            4

                            2 Pela defini¸c˜ao da energia, obtemos n !

                            X ′ − 1 ′ ∂u n R 2

                            1 2 2 u (t), m j (t) + + u (t) 2 R 2 ≤ ku (t)k L (Ω) k∇u(t)k L (Ω) j =1 ∂x j

                            2 L (Ω) 2

                            2

                            2R R 2 2 2 2 E = L L (0),

                            {ku (t)k (Ω) + k∇u(t)k (Ω) } ≤ R

                            2 o que prova o desejado em , o seguinte E (0). |I| ≤ 2R

                            Isto implica que,

                            I E (0). (2.2.45) ≥ −2R

                            Portanto, de , obtemos 2 T Z Z Z

                            ∂u

                            1

                            1 2 R d E (0) + T E(0) + Σ ≥ −2R (n − 2)q|u| + qum · ∇udxdt.

                            2 ∂ν Σ

                            2 (2.2.46)

                            Note que, Z Z qum

                            · ∇udx |q||u||m · ∇u|dx Ω Ωn Z

                            X ∂u ∞ j m dx

                            ≤kqk |u| n j =1 ∂x j Z

                            X ∞ j ∂u ≤kqk |u| |m | dx j =1 ∂x j

                            1 1 n n ! ! 2 2 2 Z

                            X 2 X ∂u j dx ≤kqk |u| |m | j j =1 =1 1 ∂x j n 2 ! 2 Z

                            X ∂u R dx

                            ≤kqk |u| 2 j =1 ∂x 2 j ∞ (Ω) (Ω) R , L L ≤kqk kuk k∇uk donde conclu´ımos que

                            Z 2 2 qum R L L . ∞ (Ω) (Ω) · ∇udx ≥ −kqk kuk k∇uk Faremos, agora, algumas estimativas com o prop´osito de relacionar as estimativas acima com o valor de Q 1 do enunciado do Teorema. De fato, se n ≥ 2, ent˜ao 2 L 2 1 L (Ω) 2 2 λ L L 2 p 1 (Ω) 2 k∇uk (Ω) ≥ λ kuk (Ω) ⇔ k∇uk ≥ kuk 2 L (Ω) (Ω) 2 λ p 1 L L 2 2

                            ⇔ k∇uk (Ω) ≥ k∇uk kuk 2 p 2 2 ∞ ∞ R 2 R λ 1 L (Ω) L (Ω) ⇔ −kqk k∇uk L (Ω) ≤ −kqk k∇uk kuk R 2 2 −kqk 2 ∞ (Ω) (Ω) L R L L 2

                            ⇔ −kqk k∇uk kuk ≥ √ k∇uk (Ω) 2 2 λ 1 2 ∞ L L R (Ω) (Ω) L 1 2 . ⇔ −kqk k∇uk kuk ≥ −Q k∇uk (Ω)

                            Analogamente, 2 L L (Ω) (Ω) 2 1 L 2 2 λ 2 p 1 L 2 k∇uk (Ω) ≥ λ kuk (Ω) ⇔ k∇uk ≥ kuk 2

                            1 2 L (Ω) L (Ω) .

                            ⇔ −kuk ≥ − √ k∇uk λ 1 Se q 6= 0 e n ≥ 2 (n − 2 ≥ 0), ent˜ao

                            Z 2 2 2 ∞ L (Ω) L (Ω) R (n − 2)q|u| + qum · ∇udx ≥ −kqk kuk k∇uk 1 L 2 2 ≥ −Q k∇uk (Ω) 1 t )

                            1 L L 2 √ 2 qu 2 2 2 ≥ −2Q (k∇uk (Ω) + k k (Ω) + ku k

                            2 1 E (0). ≥ −2Q

                            Se q 6= 0 e n = 1, ent˜ao Z Z 2 2 Ω Ω (n − 2)q|u| + qum · ∇udx = (n − 1 − 1)q|u| + qum · ∇udx

                            Z 2 2 =

                            (n − 1)q|u| − q|u| + qum · ∇udx Z 2 = −q|u| + qum · ∇udx ∞ L ∞ (Ω) (Ω) 2 2 L L 2 2

                            ≥ − kqk kuk (Ω) − R kqk kuk k∇uk ∞ ∞ R kqk L √ L 2 kqk 2 2 2 ≥ − k∇uk (Ω) − k∇uk (Ω)

                            λ 1 λ 1 ∞ ∞ R kqk kqk 2 2 =

                            − − √ k∇uk L (Ω) 1 L λ λ 1 2 2 1 = − Q k∇uk (Ω) 1 t

                            1 2 √ 2 qu 2 2 ) 2 ≥ − 2Q (k∇uk L + k k L + ku k (Ω) (Ω)

                            2 1 E (0). ≥ − 2Q

                            No caso q ≡ 0, ´e f´acil ver que Z 2 E (n − 2)q|u| + qum · ∇udx ≥ −2Q 1 (0).

                            Logo, Z T Z

                            1 2 1 E (0). (2.2.47) (n − 2)q|u| + qum · ∇udx ≥ −T Q

                            2 De , conclu´ımos que 2 Z

                            ∂u R d E E (0) 1

                            Σ ≥ −4R (0) + 2T E(0) − 2T Q Σ ∂ν E 1 )E(0)

                            = −4R (0) + 2T (1 − Q 1 )E(0), = (2T (1 − Q ) − 4R 1 ) &gt; 0. o que encerra a prova, pondo C(T ) = (2T (1 − Q ) − 4R

                            

                          2.3 Equa¸c˜ ao da Onda Com Condi¸c˜ ao de Fronteira Tipo

                          Dirichlet N˜ ao-Homogˆ enea

                          n

                          2 Seja Ω um dom´ınio limitado de R com fronteira Γ de classe C , T &gt; 0 e Q o

                            cilindro Ω×]0, T [ cuja fronteira lateral Σ ´e dada por Γ×]0, T [. Nesta se¸c˜ao estudaremos o seguinte problema  ′′ z

                            − ∆z + qz = 0 em Q,      z

                            = v em Σ, (2.3.1)

                                 ′ 1 z , z

                            (0) = z (0) = z em Ω,

                            (2.3.7)

                            Σ = 0, (2.3.3) onde ν = (ν 1 , . . . , ν n ) ´e a normal exterior `a Γ. Como n˜ao temos informa¸c˜oes sobre z

                            ϕ (t) = u(T − t),

                            ∂u ∂ν devem estar definidas. Considerando-se a mudan¸ca de vari´aveis

                            (T ) = u (T ) = 0 em Ω, (2.3.6) e tal que u(0), u (0) e

                            − ∆u + qu = f em Q, u = 0 em Σ, u

                                       u ′′

                            Σ. (2.3.5) Como na defini¸c˜ao de Solu¸c˜ao por Transposi¸c˜ao z deve ser um funcional atuando sobre um espa¸co de fun¸c˜oes f , decorre de que u(x, t) deve ser solu¸c˜ao do problema

                            Z Σ ∂u ∂ν zd

                            Z z u (0) −

                            Z z 1 u (0)dx −

                            (u ′′ − ∆u + qu)dxdt =

                            De , obtemos Z Q z

                            ∂z ∂ν impomos que u (T ) = u (T ) = 0 e u = 0 em Σ. (2.3.4)

                            (T ), z (T ),

                            ∂z ∂ν ud

                            sujeito a dados iniciais z ∈ L 2

                            Σ − Z Σ

                            ∂u ∂ν zd

                            (0)u (0)dx + Z Σ

                            Z z (T )u (T )dx

                            Z z (0)u(0)dx −

                            Z z (T )u(T )dx −

                            (u ′′ − ∆u + qu)dxdt +

                            Integrando-se por partes e aplicando-se a f´ormula de Green duas vezes, obtemos Z Q z

                            ∆zudxdt + Z Q qzudxdt = 0.

                            − Z Q

                            Seja u : Q → R uma fun¸c˜ao auxiliar a determinar. No que segue, procederemos formalmente. Multiplicando-se 1 por u e integrando-se em Q, obtemos Z Q z ′′ udxdt

                            (0, T ; L 2 (Γ)), (2.3.2) onde q ∈ L (Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. Definiremos Solu¸c˜ao por Transposi¸c˜ao e mos- traremos que a Solu¸c˜ao por Transposi¸c˜ao ´e uma solu¸c˜ao genu´ına. Iniciaremos mostrando a existˆencia de solu¸c˜ao.

                            (Ω), z 1 ∈ H −1 (Ω) e v ∈ L 2

                          • Z z
                          temos o problema equivalente           

                            ϕ ′′ − ∆ϕ + qϕ = g em Q,

                            ∈ L 2 (Σ) (2.3.12) e existe C = C(T ) &gt; 0 que verifica

                            ∈ L 2 (Σ) (2.3.14) e satisfaz as estimativas kuk 2 L (0,T ;H 1 (Ω)) + ku k 2 L (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ 4kfk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω))

                            ∂u ∂ν

                            ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)),

                            ∈ C(0, T, H 1 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2 (Ω)), u ′′

                            (2.3.13) Decorre de , que a ´ unica solu¸c˜ao u do problema , verifica u

                            ≤ C(T )kgk L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) .

                            ∂ϕ ∂ν L 2 (Σ)

                            ∂ϕ ∂ν

                            ϕ = 0 em Σ, ϕ (0) = 0, ϕ (0) = 0 em Ω,

                            . (2.3.11) Al´em disso, conforme o Corol´ario temos

                            ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)), (2.3.10) e satisfaz a estimativa kϕk 2 L (0,T ;H 1 (Ω)) + kϕ k 2 L (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ 4kgk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω))

                            ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e ϕ ′′

                            Pelo Teorema resulta que ϕ

                            ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).

                            ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), (2.3.9) ent˜ao, igualmente, g

                            (2.3.8) onde g(t) = f (T − t). Supondo-se que f

                            (2.3.15) e ∂u 1 2 L (2.3.16) (0,T ;L (Ω)) . ≤ Ckfk

                            ∂ν L 2 (Σ) Resulta de assume a forma

                            Z Z 1 ′ 1 1 ∂u f zdxdt , u , u vd H Σ, (2.3.17) (Ω),H (Ω)

                            = hz (0)i − (z (0)) − Q Σ ∂ν onde u ´e a ´ unica solu¸c˜ao de . Inspirados na express˜ao dada em , definamos 1 2 R

                            S : L (0, T ; L (Ω)) −→ f

                            7→ hS, fi pondo Z 1 1 1 ∂u

                            , u , u vd Σ, (2.3.18) H ,H hS, fi = −(z (0)) + hz (0)i (Ω) − Σ ∂ν onde u ´e a ´ unica solu¸c˜ao de ∂u

                          • L (Ω) L (Ω)
                          • 2 2 − 1 H (Ω) H L (Σ) 1 1 2 |hS, fi| ≤ kz k ku (0)k + kz k ku(0)k (Ω) kvk 1 ∂ν L 1 2 (Σ)

                              √ 2 1 2 ′ 2 2 ∂u 2 2 ) 2 2 2 ) + 2 L (Σ) 2 ≤ 2(kz k + kz k L (Ω) L (Ω) (ku (0)k L (Ω) + ku(0)k L (Ω) kvk

                              ∂ν L (Σ) 2L L L L 2 (Ω) (Ω) (Σ) (Σ) 1 2 2 2

                              ≤ 2 2(kz k + kz k )kfk + Ckvkkfk √ 2 1 2 1 2 L (Ω) 1 H (Ω) L (Σ) L (0,T ;L (Ω)) ,

                              ≤ max{2 2, C}{kz k + kz k + kvk }kfk isto ´e, 1 2 ′ S

                              (0, T ; L (Ω))) (2.3.19) ∈ (L e 1 2 ′ −1 2 (L (0,T ;L (Ω))) 1 H (Ω) L (Σ) (2.3.20) kSk ≤ max{2 2, C}{|z | + kz k + kvk }.

                              Por outro lado, em virtude do Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz, podemos identificar S `a 2 um ´ (0, T ; L (Ω)) de modo que unico elemento z ∈ L T

                              Z 1 2 ′ ∞ 2 (L (0,T ;L (Ω))) (0,T ;L (Ω)) L (2.3.21) . hS, fi = (z(t), f (t))dt e kSk = kzk

                              Do exposto acima, diremos que z ´e uma Solu¸c˜ao por Transposi¸c˜ao ou Solu¸c˜ao Ultra-Fraca 2 (0, T ; L (Ω)) e verifica a identidade em . do problema se z ∈ L

                              ∞ 2

                              (0, T ; L (Ω)), obtida pelo Teorema de Repre- Ora, de , temos tamb´em que ∞ − 21 2 L (0,T ;L (Ω)) 1 H (Ω) L (Σ) (2.3.22) kzk ≤ max{2 2, C}{|z | + kz k + kvk }.

                              Obtivemos assim, o seguinte resultado: Teorema 2.17 Existe uma ´ unica solu¸c˜ao z, por transposi¸c˜ao, do problema .

                              Corol´ ario 2.18 A aplica¸c˜ao linear 2 −1 2 ∞ 2 L (0, T ; L (Ω))

                              (Ω) × H (Ω) × L (Σ) → L (z , z , v ) z 1

                              7→ onde z ´e solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de , ´e cont´ınua.

                              Antes de analisar a regularidade das solu¸c˜oes por transposi¸c˜ao, consideremos ini- cialmente o seguinte problema  ′′ z

                              − ∆z + qz = 0 em Q,      z

                              = v em Σ, (2.3.23)

                                   z , z

                              (0) = z (0) = z 1 em Ω, com dados mais regulares 1 2 2 2 3 z (Ω), z 1 (0, T ; H (Γ)) (2.3.24)

                              ∈ H ∈ L (Ω) e v ∈ H Temos o seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 2.19 O problema , admite

                              uma ´ unica solu¸c˜ao 1 1 2 ′′ 1 −1

                              z (0, T ; L (Ω)) e z (0, T ; H (Ω)) ∈ C(0, T ; H (Ω)) ∩ C ∈ L

                            que, por sua vez, ´e tamb´em solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao, isto ´e, verifica a identidade . Demonstra¸c˜ ao: Seja γ

                              : H 2 (0, T ; H 2 (Ω)) → H 2

                              (0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1

                              γ z = γ u + γ bv = 0 + v = v.

                              = (−bv ′′ + ∆bv − qbv) + (bv ′′ − ∆bv + qbv) = 0, (2.3.30) onde essa igualdade se d´a no sentido de L 1 (0, T ; H −1 (Ω)). Tamb´em, de 2 ,

                              = (u ′′ − ∆u + qu) + (bv ′′ − ∆bv + qbv)

                              Al´em disso, de , vem que z ′′ − ∆z + qz = (u ′′ + bv ′′ ) − (∆u + ∆bv) + qu + qbv

                              ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.3.29)

                              ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e z ′′

                              = u + bv, (2.3.28) ent˜ao z

                              (0, T ; H −1 (Ω)). (2.3.27) Pondo-se z

                              (0, T ; L 2 (Ω)) e u ′′ ∈ L 1

                              (0, T ; L 2 (Ω)) ent˜ao, pelo Teorema pertence a classe C

                              (0, T ; H 3 2 (Γ)) × H 2

                              (2.3.26) Como −bv ′′ + ∆bv− qbv ∈ L 2

                              (0) = z 1 em Ω.

                              (0) = z , u

                              − ∆u + qu = −bv ′′ + ∆bv − qbv em Q, u = 0 em Σ, u

                                         u ′′

                              (2.3.25) Consideremos o problema

                              (0, T ; H 2 (Ω)) tal que γ bv = v.

                              7→ (γ ϕ, γ 1 ϕ ) a aplica¸c˜ao tra¸co de ordem 2. Pela sobrejetividade da mesma, existe bv ∈ H 2

                              (0, T ; H 1 2 (Γ)) ϕ

                              (2.3.31)

                            • 0 = z

                              − ∆u + qu = f em Q, u = 0 em Σ, u

                              ∈ C(0, T ; H 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; H 1 (Ω)) e u ′′ m

                              (2.3.37) Pelo Teorema temos que u m

                              − ∆u m + qu m = f m em Q, u m = 0 em Σ, u m (T ) = u m (T ) = 0 em Ω.

                              Consideremos a sequˆencia de problemas regulares            u ′′ m

                              → f em L 1 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.3.36)

                              (0, T ; H 1 (Ω)) tal que f m

                              Ora, como L 1 (0, T ; H 1 (Ω)) ´e denso em L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), existe (f m ) m ∈N ⊂ L 1

                              ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.3.35)

                              ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e u ′′

                              (T ) = u (T ) = 0 em Ω, (2.3.34) na classe u

                              Σ, (2.3.33) onde u ´e solu¸c˜ao de            u ′′

                              Finalmente, de 3    z

                              ∂u ∂ν vd

                              (0)i − Z Σ

                              (0)) + hz 1 , u

                              = −(z , u

                              Z Q zf dxdt

                              Provaremos, a seguir, que z ´e solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao. Com efeito, provaremos que se f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), ent˜ao

                              (2.3.32) Assim, de .

                              (0) = z 1 + 0 = z 1 .

                              , z (0) = u (0) + bv

                              (0) = u(0) + bv(0) = z

                              ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.3.38)

                              (2.3.44)

                              (2.3.43) onde h·, ·i representa a dualidade H −1 (Ω), H 1 (Ω). Integrando-se por partes e usando , vem que

                              Z T hz, u ′′ m idt.

                              (0)i + (z , u m (0)) +

                              = − hz 1 , u m

                              (0)i + Z T hz, u ′′ m idt

                              , u m (0)i − ✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘ ✿ hz(T ), u m (T )i

                              (T ), u m (T )i − hz 1

                              Z T hz, u ′′ m idt = ✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘✘ hz

                              − Z T hz, u m i dt +

                              Z T hz , u m i dt

                              , u m idt =

                              Z T hz

                              , u m i dt −

                              (t), u m idt = Z T hz

                              Z T hz ′′

                              Z T hqz, u m i = 0,

                              Al´em disso, temos pelo Teorema que u m − u ´e solu¸c˜ao do problema

                              ∂ν −

                                        

                              (u m − u) ′′ − ∆(u m − u) + q(u m − u) = f m − f em Q,

                              (u m − u) = 0 em Σ,

                              (u m − u)(T ) = (u m − u) (T ) = 0 em Ω.

                              Verificando ku m − uk 2 C (0,T ;H 1 (Ω)) + ku m − u k 2 C (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ 4kf m − fk 2 L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) . (2.3.39)

                              Pelo Corol´ario conclu´ımos que ∂u m

                              ∂u ∂ν L 2 (Σ)

                              , u m idt − Z T h∆z, u m idt +

                              ≤ Ckf m − fk L 1 (0,T ;L 2 (Ω)) .

                              (2.3.40) De , segue que u m

                              → u em C(0, T ; H 1 (Ω)) (2.3.41) e

                              ∂u m ∂ν

                              → ∂u ∂ν em L 2 (Σ). (2.3.42)

                              De , obtemos Z T hz ′′

                            • hz(0), u m
                            Agora, considerando-se − e ∆ : H 1

                              (Ω) → H −1 (Ω) a extens˜ao do −∆ definida por, h− ˜ ∆u, vi = (∇u, ∇v), ∀u ∈ H 1 (Ω) e ∀v ∈ H 1

                              (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; H −1 (Ω)).

                              = −(z(0), u m (0)) + hz 1 , u m

                              (0)i − Z Σ

                              ∂u m ∂ν vd

                              Σ. (2.3.47) Das convergˆencias , o que encerra a demonstra¸c˜ao.

                              Provaremos a seguir que a solu¸c˜ao z, por transposi¸c˜ao, de com dados iniciais z

                              ∈ L 2 (Ω), z 1

                              ∈ H −1 (Ω) e v ∈ L 2 (Σ), dada pelo Teorema pertence `a classe C(0, T, L 2

                              Sejam (z m ) m ∈N ⊂ H 1

                              ∂ν d Σ = 0.

                              (Ω), (z 1 m ) m ∈N ⊂ L 2

                              (Ω) e (v m ) m ∈N ⊂ H 2

                              (0, T ; H 3 2 (Γ)), tais que z m

                              → z em L 2 (Ω), z 1 m → z 1 em H −1 (Ω) e v m

                              → v em L 2 (Σ). (2.3.48)

                              Para cada m ∈ N, consideremos o problema            z ′′ m − ∆z m + qz m = 0 em Q, z m = v m em Σ, z m (0) = z m , z m

                              (0) = z 1 m em Ω.

                              De , ainda podemos escrever Z Q f m zdxdt

                              Z Σ ∂u m

                              (Ω) temos, pelo Teorema de Green, que −

                              Z T hz, u ′′ m idt − Z T

                              Z T h∆z, u m idt = Z T

                              (∇z, ∇u m )dt = − Z T

                              (∆u m , z )dt + Z Σ

                              ∂u m ∂ν vd Σ. (2.3.45)

                              De , chegamos a − hz 1

                              , u m (0)i + (z

                              , u m (0)) +

                              (∆u m , z

                              (u ′′ m − ∆u m + qu m )dxdt +

                              )dt + Z Σ

                              ∂u m ∂ν vd

                              Σ + Z T (z, qu m ) = 0.

                              (2.3.46) Equivalentemente,

                              −hz 1 , u m

                              (0)i + (z , u m

                              (0)) + Z Q z

                              (2.3.49) Pela Proposi¸c˜ao est´a na classe 1 1 2 ′′ 1 −1 C

                              (0, T ; H (0, T ; L (Ω)) e z (0, T ; H (Ω)). (2.3.50) m (Ω)) ∩ C ∈ L

                              Al´em disso, z m ´e solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de . Decorre ent˜ao que (z m 1 1 − z) ´e solu¸c˜ao, por transposi¸c˜ao, de com dados z , z e v m m m − z − z − v. Aplicando-se o Teorema

                              `a (z m m L L H m L (2.3.51) − z), obtemos (0,T ;L (Ω)) m (Ω) m (Ω) (Σ) 2 2 1 1 1 2 kz − zk ≤ C{kz − z k + kz − z k + kv − vk }.

                              Da desigualdade acima e das convergˆencias em , vem que 2 z m (0, T ; L (Ω)). (2.3.52) → z em L

                              Isto implica que 2 (z m ) ´e de Cauchy em L (0, T ; L (Ω)). 2 Agora, como (z m ) m ∈N (Ω)) e neste espa¸co as topologias geradas pelas normas ⊂ C(0, T ; L 2 ∞ 2 C (0,T ;L (Ω)) L (0,T ;L (Ω)) , k · k e k · k s˜ao iguais, resulta que 2 (z m ) ´e de Cauchy em C(0, T ; L (Ω)).

                              Portanto, 2 z m (Ω)). (2.3.53) → w em C(0, T ; L 2 Pela unicidade do limite em L (0, T ; L (Ω)), de , obtemos que z = w, mostrando que 2 z (Ω)). (2.3.54)

                              ∈ C(0, T ; L Resta-nos provar que ′ −1 z

                              (Ω)). (2.3.55) ∈ C(0, T ; H

                              De fato, consideremos o espa¸co 1,1 1 ′ 1 1 W (0, T ; H (0, T ; H (Ω)) = {f; f, f ∈ L (Ω)) e f (0) = f (T ) = 0}.

                              (0, T ; H 1 (Ω)), (2.3.63)

                              − ∆u + qu = f em Q, u = 0 em Σ, u (T ) = u (T ) = 0 em Ω,

                              (0, T ; H 1 (Ω)) s˜ao tais que f m → f em L 1

                              (0, T ; H 1 (Ω)) e (f m ) ⊂ W 1,1

                              (0, T ; H 1 (Ω)). (2.3.62) Se f ∈ L 1

                              T e (f ) = −S(f ), ∀f ∈ W 1,1

                              (f ) (2.3.61) tal que

                              7→ e T

                              (Ω)) → R f

                              T e : L 1 (0, T ; H 1

                              (0, T ; H 1 (Ω)). Em virtude da linearidade da aplica¸c˜ao T dada em , que T ´e cont´ınua quando induzimos em W 1,1 (0, T ; H 1 (Ω)) a topologia de L 1 (0, T ; H 1 (Ω)). Logo, podemos estendˆe-la de maneira ´ unica, em virtude de , `a uma ´ unica aplica¸c˜ao linear e cont´ınua

                              , (2.3.60) para cada f ∈ W 1,1

                              (2.3.59) conforme o Teorema Suponhamos, por um momento, que exista C &gt; 0 tal que |T (f)| = |S(f )| ≤ C{kz k L 2 (Ω) + kz 1 k H 1 (Ω) + kvk L 2 (Σ) }kfk L 1 (0,T ;H 1 (Ω))

                              Σ, (2.3.58) onde u ´e solu¸c˜ao de            u ′′

                              Ora, como D(0, T ; H 1 (Ω)) ֒→ W 1,1

                              ∂u ∂ν vd

                              (0)i H 1 ,H 1 (Ω)

                              (0)) − hz 1 , u

                              (f ) = (z , u

                              (2.3.57) onde S ´e o funcional definido em , isto ´e, T

                              7→ −S(f )

                              (Ω)) → R f

                              T : W 1,1 (0, T ; H 1

                              W 1,1 (0, T ; H 1 (Ω)) ´e denso em L 1 (0, T ; H 1 (Ω)). (2.3.56) Definamos

                              (0, T ; H 1 (Ω)), e D(0, T ; H 1 (Ω)) ´e denso em L 1 (0, T ; H 1 (Ω)), resulta que

                              (0, T ; H 1 (Ω)) ֒→ L 1

                            • Z Σ
                            ent˜ao T f e

                              = lim m →+∞ T

                              (2.3.67) Afirmamos que z = e T em D

                              (z(t), ϕθ (t))dt = −

                              = − Z T

                              Z T (z(t), (ϕθ(t)) )dt

                              (t)i =hT, ϕθ(t)i = −

                              =h e T , ϕθ

                              T (t), ϕθ(t)idt

                              = Z T h e

                              T (t)θ(t), ϕidt

                              Z T h e

                              T e (t)θ(t)dt, ϕ =

                              (Ω) arbitr´arias, ent˜ao Z T

                              (0, T ; H −1 (Ω)). De fato, consideremos θ ∈ D(0, T ) e ϕ ∈ H 1

                              T k L (0,T ;H 1 (Ω)) ≤ C{kz k L 2 (Ω) + kz 1 k H 1 (Ω) + kvk L 2 (Σ) }.

                              (f m ). (2.3.64) Logo, e

                              (0, T ; H 1 (Ω)). (2.3.66) Resulta de , que k e

                              , ∀f ∈ L 1

                              T (f )| ≤ C{kz k L 2 (Ω) +kz 1 k H 1 (Ω) +kvk L 2 (Σ) }kfk L 1 (0,T ;H 1 (Ω))

                              e, de , na situa¸c˜ao limite, obtemos | e

                              (2.3.65)

                              Ora, de , para cada m ∈ N, podemos escrever que |T (f m )| ≤ C{kz k L 2 (Ω) + kz 1 k H 1 (Ω) + kvk L 2 (Σ) }kf m k L 1 (0,T ;H 1 (Ω))

                              T k (L 1 (0,T ;H 1 (Ω))) = k e T k L (0,T ;H 1 (Ω)) .

                              (0, T ; H 1 (Ω)) e k e

                              (t), f (t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt, para cada f ∈ L 1

                              Z T h e T

                              (0, T ; H −1 (Ω)), a qual ser´a identificada com e T , tal que h e T , f i =

                              (0, T ; H 1 (Ω))) = L (0, T ; H −1 (Ω)), donde temos a existˆencia de uma aplica¸c˜ao e T ∈ L

                              T ∈ (L 1

                              Z T hz(t), ϕθ (t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt

                              (2.3.72)

                              Portanto, z m → z em L (0, T ; H −1 (Ω)). (2.3.71) Como (z m ) m ∈N

                              ω (T ) = ω (T ) = 0 em Ω,

                              ω = 0 em Σ,

                              ω ′′ − ∆ω + qω = f em Q,

                              Demonstra¸c˜ ao: Consideremos inicialmente o problema           

                              (0, T ; H 1 (Ω)).

                              , ∀f ∈ W 1,1

                              ∈ C(0, T ; H −1 (Ω)), o que prova . Para isso, consideremos o seguinte resultado: Lema 2.20 A solu¸c˜ao u do problema verifica ku (0)k L 2 (Ω) + ku(0)k H 1 (Ω)

                              ⊂ C(0, T ; L 2 (Ω)) ֒→ C(0, T ; H −1 (Ω)), resulta de , conforme fizemos para z, que z

                              ), (z 1 m ) e (v m ) s˜ao as sucess˜oes introduzidas em que kz m − z k L (0,T ;H 1 (Ω)) ≤ C{|z m − z | + kz 1 m − z 1 k H 1 (Ω) + kv m − vk L 2 (Σ) }.

                              = − Z T hz(t)θ (t), ϕi H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt

                              − z) ´e solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de com dados z m − z , z 1 m − z 1 , v m − v onde (z m

                              (2.3.70) Observando que as propriedades e notando que (z m

                              Agora, de , temos tamb´em kz k L (0,T ;H 1 (Ω)) ≤ C{kz k L 2 (Ω) + kz 1 k H 1 (Ω) + kvk L 2 (Σ) }.

                              ∈ L (0, T ; H −1 (Ω)). (2.3.69)

                              = z em D (0, T ; H −1 (Ω)), (2.3.68) o que implica em z

                              Donde se conclui que T e

                              (t)θ (t), ϕ , para cada ϕ ∈ H 1 (Ω).

                              Z T z

                              = −

                            • ∂u ∂ν L
                            • 2 (Σ) ≤ Ckfk L 1 (0,T ;H 1 (Ω))

                                1,1 1 1

                                (0, T ; H (Ω)). Lembremos do Teorema que a solu¸c˜ao onde f ∈ W (Ω)) ֒→ C(0, T ; H ω de verifica as propriedades 1 2 1 1 2 2

                                ω (0, T ; H (0, T ; L (Ω)) (2.3.73) ∈ C(0, T ; H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C e 1 2 ∞ 1 1 1 . L (0,T ;H (Ω)∩H (Ω)) L (0,T ;H (Ω)) L (0,T ;H (Ω)) (2.3.74) kωk + kω k ≤ 4kfk

                                Provaremos a seguir que u = ω (2.3.75) ´e solu¸c˜ao de . Com efeito, como ′′ 2 −1

                                ω (Ω)),

                                − ∆ω + qω = f em C(0, T ; L (Ω)) ֒→ C(0, T ; H resulta que ′′ ′ ′ ′ −1 [ω = f (0, T ; H (Ω)),

                                − ∆ω + qω] em D isto ´e, ′′ ′ ′ −1 u (0, T ; H (Ω)). 1 ′ − ∆u + qu = f em D 1 1 (Ω)) e f (0, T ; H (Ω)), obtemos

                                Agora, como u ∈ C(0, T ; H ∈ L ′′ ′ 1 −1 u em L (0, T ; H (Ω)). (2.3.76) − ∆u + qu = f

                                Notemos que 1 1 ′ ′′ 2 u = ω (0, T ; H (Ω)) e u = ω (Ω)), ∈ C ∈ C(0, T ; L tendo sentido falarmos em u(T ) e u (T ). Da´ı e de , obtemos ′ ′ ′′ u (T ) = ω (T ) = 0 e u (T ) = ω

                                (2.3.77) 1,1 (T ) = ∆ω(T ) − qω(T ) + f(T ) = 0, 1 (0, T ; H (Ω)). Resulta de e do pois ω(T ) = 0 e f (T ) = 0 j´a que f ∈ W fato que γ (u) = γ (ω ) = 0, que u dada por . Temos ′ ′′ ′ L (Ω) H L (Ω) H 2 1 2 1 ku (0)k + ku(0)k (Ω) = kω (0)k + kω (0)k (Ω) ✯ ✟ 2 1 ✟ L f (Ω) H (Ω)

                                = k∆ω(0) − qω(0) + (0)k + kω (0)k L L H 2 (Ω) (Ω) (Ω) 2 1 ≤ k∆ω(0)k + kqω(0)k + kω (0)k 2 1 C , ∞ L (Ω) H

                                ≤ (1 + e kqk )k∆ω(0)k + kω (0)k (Ω)

                                1 2 2 C

                                onde e ´e a constante de imers˜ao de H (Ω) em L (Ω). Da desigualdade acima e de (Ω) ∩ H

                                , vem ent˜ao que 2 1 1 1 1,1 1 L (Ω) H L , (0, T ; H (Ω)). (2.3.78) ku (0)k + ku(0)k (Ω) ≤ Ckfk (0,T ;H (Ω)) ∀f ∈ W Resta-nos provar que

                                ∂u 1 , 1 1,1 1 L (0,T ;H (Ω)) (0, T ; H (Ω)).

                                ≤ Ckfk ∀f ∈ W ∂ν L 2 (Σ)

                                De fato, aplicando-se a identidade obtida na Proposi¸c˜ao 1 n (Ω)] o campo de vetores tal que h = ν em Γ, obtemos com h ∈ [C 2 Z Z

                                ∂u ∂u ∂h

                                1 2 ′ ′ 1 j 2 2 ν d Σ = u (0), h + j (0) ]dxdt j

                                [|u | − |∇u| 2 ∂ν ∂x j Σ n T T 2 ∂x j Q Z Z Z Z

                                X ∂u ∂h ∂u ∂u j

                              • dxdt quh dxdt j i =1 Ω Ω

                                ∂x i ∂x i ∂x j ∂x j Z T Z ∂u f h dxdt, j j = 1, . . . , n. (2.3.79)

                                − ∂x j 1 1 Pelo item iv) da Proposi¸c˜ao temos que (f h j (0, T ; H (Ω)) e, pela f´ormula de Gauss, ) ∈ L resulta que

                                Z Z ′ ′ ∂u ∂ f h dxdt h j (f j )udxdt = − Q Q ∂x ∂x j j

                                Z ∂ udxdt

                                (f h j ) = − Q ∂x j T #

                                " Z

                                ∂ ∂ dxdt (f h j ), u (f h j )u

                                = − − ∂x j ∂x j Q

                                # " T T

                                Z ∂f ∂h ∂ j

                                (t)h j (t) (t) (f h j )u = −

                              • , u f , u dxdt

                                − ∂x ∂x ∂x j j j Q

                                Z ∂ dxdt

                                = (f h j )u pois f (0) = f (T ) = 0. Q ∂x j Logo,

                                Z Z ′ ′ ∂u ∂ f h dxdt dxdt j = (f h j )u Q Q ∂x ∂x j j Z

                                ∂ ′′ = (f h j )ω dxdt Q j ∂x

                                Z ∂

                                = (f h j )[∆ω − qω + f]dxdt Q ∂x j

                              • Z Q ∂f
                              • Z Q ∂h j
                              • Z Q ∂h j

                              • Z Q ∂h j ∂x j
                              • 1
                              • 1
                              • Z Q ∂h j ∂x j

                                |∆ω| 2 dxdt

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                1

                                |∇ω | 2 dxdt =

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                1

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                |∆ω − qω + f| 2 dxdt −

                                1

                                =

                                (|ω ′′ | 2 − |∇ω | 2 )dxdt

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                1

                                (|u | 2 − |∇u| 2 )dxdt =

                                2 Z Q ∂h j

                                2 Z Q ∂h j ∂x j f 2 dxdt

                                ∂x j |qω| 2 dxdt

                                |∇ω | 2 dxdt.

                                ∂ω ∂x j

                                ω ′′ (0), h j

                                ∂u ∂x j dΣ = −

                                2 Z ν 2 j

                                1

                                (2.3.83) Substituindo-se , resulta que

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                − Z Q

                                1

                                −

                                ∂h j ∂x j qωf dxdt

                                (∆ω)f dxdt − Z Q

                                (∆ω)qωdxdt

                                ∂h j ∂x j

                                2 Z Q ∂h j ∂x j

                                1

                                = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab + 2ac − 2bc, temos

                                Z Q ∂f

                                = Z Q

                                ∂f ∂x j h j + f

                                ∂h j ∂x j

                                [∆ω − qω + f]dxdt =

                                Z Q ∂f

                                ∂x j h j ∆ωdxdt −

                                Z Q ∂f

                                ∂x j h j qωdxdt

                                ∂x j h j f dxdt

                                ∂x j ∆ωf dxdt

                                − Z Q

                                ∂h j ∂x j f qωdxdt

                                ∂x j f 2 dxdt.

                                (2.3.80) Levando em considera¸c˜ao os itens ii) e iii) da Proposi¸c˜ao temos

                                ∂x j h j f dxdt =

                                ∆ωf dxdt. (2.3.82) Por outro lado, como (a − b + c) 2

                                ∂f ∂x j h j ∆ωdxdt +

                                ∂h j ∂x j f qwdxdt

                                − Z Q

                                ∂f ∂x j h j qwdxdt

                                − Z Q

                                2 Z Q f 2 ∂h j ∂x j dxdt

                                1

                                = Z Q

                                1

                                ∂u ∂x j dxdt

                                Substituindo temos Z Q f h j

                                2 Z Q f 2 ∂h j ∂x j dxdt. (2.3.81)

                                1

                                ∂x j h j dxdt = −

                                2 Z Q ∂f 2

                                (0) Z 1 ∂h j 2 2 ′ 2 )dxdt +

                                (|∆ω| + |qω| − 2∆ωqω − |∇ω | ∂x 2 j n Q

                                Z ′ ′

                                X ∂h j ∂ω ∂ω

                              • dxdt i =1 Q i i j

                                ∂x ∂x ∂x Z Z ∂ω ∂f + qω h j dxdt (h j j qω )dxdt, j = 1, . . . , n.

                                − ∆ω − h Q j Q j ∂x ∂x Somando-se em j vem que 2 n

                                Z ∂u X ∂ω

                                1 ′′ d ω (0), h j (0)

                                Σ = − 2 ∂ν ∂x j Σ j =1 n Z

                                X 1 ∂h j 2 2 ′ 2 )dxdt +

                                (|∆ω| + |qω| − 2∆ωqω − |∇ω | 2 ∂x n Q j j =1 Z ′ ′

                                X ∂h j ∂ω ∂ω

                              • dxdt j,i =1 Q i i j

                                ∂x ∂x ∂x Z ′ ′

                              • qω h Q · ∇ω − ∇f · h∆ω + ∇f · hqωdxdt.
                              • 1 2 Passemos `as majora¸c˜oes. Considerando C &gt; 0 a constante de imers˜ao de H (Ω) em 2 (Ω) ∩ H

                                  L (Ω), temos n n ′ ′ Z

                                  X X ′′ ′′ ∂ω ∂ω ω (0), h j (0) = ω (0)h j (0) dx j j =1 =1 ∂x ∂x j j n

                                  Z

                                  X ′′ ∂ω j (0) ≤ |ω (0)||h | dx j =1 n ∂x j

                                  Z

                                  X ′′ ∂ω = j (0)

                                  |ω (0)| |h | dx j =1 ∂x j 1 1 n n ! ! 2 2 2 Z ′′

                                  X 2 X ∂ω j (0) dx ≤ |ω (0)| |h | j j =1 =1 ∂x j

                                  Z ′′ ′ ≤khk |ω (0)||∇ω (0)|dx

                                  Z ✟ f ✟ ′ ✯ ✟ =khk |∆ω(0) − qω(0) − (0)||∇ω (0)|dx

                                  Z khk 2 ′ 2 dx ≤ |∆ω(0) − qω(0)| + |∇ω (0)|

                                  2 Z 2 2 ′ 2 dx

                                  ≤khk |∆ω(0)| + |qω(0)| + |∇ω (0)|

                                • khkkqk
                                • khk

                                  ! 1 2 dxdt =

                                  ∂ω ∂x i dxdt

                                  = n

                                  X j =1 Z Q

                                  ∂ω ∂x j n

                                  X i =1 ∂h j

                                  ∂x i ∂ω

                                  ∂x i dxdt ≤ n

                                  X j =1 Z Q

                                  ∂ω ∂x j n

                                  X i =1 ∂h j ∂x i 2

                                  ! 1 2 n

                                  X i =1 ∂ω ∂x i 2

                                  Z Q n

                                  ∂ω ∂x j

                                  X j =1 ∂ω ∂x j n

                                  X i =1 ∂h j ∂x i 2

                                  ! 1 2 n

                                  X i =1 ∂ω

                                  ∂x i 2 ! 1 2 dxdt

                                  ≤ Z Q n

                                  X j =1 ∂ω ∂x j 2

                                  ! 1 2 n

                                  X j,i =1 ∂h j

                                  ∂x i 2 ! 1 2 n

                                  X i =1 ∂ω ∂x i 2

                                  ! 1 2 dxdt ≤khk

                                  Z Q |∇ω | 2 dxdt

                                  ∂h j ∂x i

                                  X i =1 Z T Z

                                  ≤khk Z

                                  2 Z Q |∆ω| 2 + kqk 2 ∞ |ω| 2 + 2kqk |∆ω||ω| + |∇ω | 2 dxdt

                                  |∆ω(0)| 2 dx

                                  C Z |∆ω(0)| 2 dx

                                  Z |∇ω (0)| 2 dx

                                  ≤(khk + khkkqk C )

                                  Z |∆ω(0)| 2 + |∇ω (0)| 2 dx

                                  ≤16(khk + khkkqk C

                                  )kfk 2 L 1 (0,T ;H 1 (Ω)) .

                                  Tamb´em,

                                  1

                                  2 Z Q n

                                  X j =1 ∂h j ∂x j

                                  (|∆ω| 2 + |qω| 2 − 2∆ωqω − |∇ω | 2 )dxdt

                                  ≤ ≤ khk

                                  ≤ khk

                                  X j =1 n

                                  2 Z Q |∆ω| 2 + kqk 2 ∞ |ω| 2 + kqk (|∆ω| 2 + |ω| 2 ) + |∇ω | 2 dxdt

                                  ≤ khk

                                  2 (1 + kqk + C(kqk 2 ∞ + kqk

                                  )) Z Q

                                  |∆ω| 2 + |∇ω | 2 dxdt ≤ 16T khk

                                  2 (1 + kqk + C(kqk 2 ∞ + kqk ∞ )) kfk 2 L 1 (0,T ;H 1 (Ω)) .

                                  Notemos que, n

                                  X j =1 n

                                  X i =1 Z T Z

                                  ∂ω ∂x i

                                  ∂h j ∂x i

                                  ∂ω ∂x j dxdt

                                  ≤ n

                                  ≤16T khkkfk 2 L 1 (0,T ;H 1 (Ω)) .

                                  −1

                                  Utilizando a desigualdade de Poincar´e, com constante λ , vem que 1 Z Z ′ ′ ′ ′ qω h dxdt · ∇ω |q||ω ||h · ∇ω |dxdt Q Q−1 Z

                                  λ 1 kqk khk + kqk khk ′ ∞ ∞ 2 dxdt ≤ |∇ω | −1

                                  2 Q λ 1 ∞ ∞ kqk khk + kqk khk 2 1 1 . ≤ 16T kfk L (0,T ;H (Ω))

                                  2 Tamb´em, Z Z

                                  ∇f · h∆ωdxdt |∇f||∆ω|dxdt Q Q ≤khk T Z 2 L (Ω) dxdt

                                  =khk (|∇f|, |∆ω|) T Z L L dxdt 2 (Ω) (Ω) 2

                                  ≤khk ||∇f|| |k∆ω|| Z T 2 2 1 L (Ω) L (Ω) H )dxdt

                                  ≤khk ||∇f|| |(k∆ω|| + kω k (Ω) 2 1 . 1 ≤4khkkfk L (0,T ;H (Ω)

                                  Por fim, Z Z

                                  ∇f · hqωdxdt |∇f||ω|dxdt Q Q ≤khkkqk Z T 2 ∞ L (Ω) dxdt

                                  =khkkqk (|∇f|, |ω|) Z T 2 2 ∞ L L (Ω) (Ω) dxdt

                                  ≤khkkqk ||∇f|| ||ω|| T ∞ (Ω) (Ω) H (Ω) Z L L )dxdt 2 2 1 ≤khkkqk ||∇f|| |(k∆ω|| + kω k 2 1 1 .

                                  ≤4khkkqk kfk L (0,T ;H (Ω) Levando em considera¸c˜ao as estimativas anteriores e , conclu´ımos que

                                  ∂u L (0,T ;H (Ω)) 1 . 1 ≤ Ckfk

                                  ∂ν L 2 (Σ) Isto encerra a demonstra¸c˜ao do Lema

                                  Do exposto acima, chegamos ao seguinte resultado Teorema 2.21 Dados, z ∈ L 2

                                  (Ω), z 1 ∈ H −1 (Ω) e v ∈ L 2

                                  η ∈ D(0, T ), a solu¸c˜ao de

                                  ∆ : L 2 (Ω) → H −2 (Ω) de −∆ definida por h− e ∆u, vi = (u, −∆v), ∀v ∈ H 2 (Ω) e ∀u ∈ L 2

                                  Z T (z(t), qϕ)η(t)dt = 0. Usando-se a extens˜ao − e

                                  Z T (z(t), −∆ϕ)η(t)dt +

                                  Z T (z(t), ϕ)η ′′ (t)dt +

                                  − ∆ϕη + qϕη)dxdt = 0, j´a que u ∈ H 2 (0, T ; H 2 (Ω)). Donde,

                                  − ∆u + qu. Substituindo-se esta f na defini¸c˜ao de solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao dada em e levando em considera¸c˜ao a caracteriza¸c˜ao do espa¸co H 2 (Ω), resulta que Z Q z (ϕη ′′

                                  (T ) = u (T ) = 0 em Ω, (2.4.1) com f = u ′′

                                  − ∆u + qu = f em Q, u = 0 em Σ, u

                                             u ′′

                                  Retornemos ao problema e consideremos u = ϕη, onde ϕ ∈ H 2 (Ω) e

                                  (Σ),

                                  } 7→ {z, z } ´e cont´ınua.

                                  {z , z 1 , v

                                  (Ω) × H −1 (Ω) × L 2 (Σ) → C(0, T ; L 2 (Ω)) × C 1 (0, T ; H −1 (Ω))

                                  Corol´ ario 2.22 A aplica¸c˜ao linear L 2

                                  kzk C (0,T ;L 2 (Ω)) + kz k C 1 (0,T ;H 1 (Ω)) ≤ C{kz k L 2 (Ω) + kz 1 k H 1 (Ω) + kvk L 2 (Σ) }.

                                  e verifica a seguinte desigualdade

                                  (0, T ; H −1 (Ω))

                                  z ∈ C(0, T ; L 2 (Ω)) ∩ C 1

                                  a solu¸c˜ao z, por transposi¸c˜ao, do problema pertence `a classe

                                  (Ω), resulta que (omitiremos o s´ımbolo ” ∼ ” da extens˜ao) T T Z Z 2 η 2 − ′′ 2 η 2 H (Ω),H (Ω) H (Ω),H (Ω) (t)dt+ (t)dt hz(t), ϕi h−∆z(t), ϕi T Z

                                • H
                                • 2 2 dt = 0, hz(t), qϕi (Ω),H (Ω) ou ainda, Z T Z T ′′<
                                • z

                                  (t)η (t)dt, ϕ H H 2 (Ω),H (Ω) (Ω),H (Ω) 2 − −∆z(t)η(t)dt, ϕ 2 2 Z T z 2 (t)qη(t), ϕ = 0, + H 2 (Ω),H (Ω) 2 para todo ϕ ∈ H (Ω) e η ∈ D(0, T ). Logo, ′′ ′ −2 z (0, T ; H (Ω)). (2.4.2) 2 − ∆z + qz = 0 em D 2 −2

                                  (Ω)) e, de Agora, como z ∈ C(0, T ; L (Ω)), ent˜ao qz ∈ C(0, T ; L (Ω)) e ∆z ∈ C(0, T ; H , conclu´ımos que ′′ −2 z

                                  (Ω)), (2.4.3) ∈ C(0, T ; H com ′′ −2 z

                                  (Ω)). (2.4.4) − ∆z + qz = 0 em C(0, T ; H

                                  Por outro lado, consideremos 2 ′ 2 u (0, T ) ´e tal que η(T ) = η (Ω).

                                  = ηϕ, onde η ∈ H (T ) = 0 e ϕ ∈ H ′′ De maneira an´aloga, u ´e solu¸c˜ao de com f = u

                                  − ∆u + qu e de vem que Z ′′ ′ 2 − 1 1 z ϕ , η , η 1 . (η (0)ϕ) L (2.4.5) (Ω) H (Ω),H (Ω) Q − η∆ϕ + qηϕ)dxdt = −(z + hz (0)ϕi

                                  Integrando-se por partes a express˜ao `a esquerda da igualdade acima, vem que ✘ ✿ Z ′′ ′ ′ ✘✘ ✘✘ 1 ✘✘ 1 − 1 1 z (η ϕ H H Q

                                  − η∆ϕ + qηϕ)dxdt = hz(T ), η ✘✘ (T )ϕi (Ω),H (Ω) − hz(0), η (0)ϕi (Ω),H (Ω) ✘✘ ✘✘ T T Z Z ′ ′ 1 1 +

                                  , η ϕ dt H − hz i (Ω),H (Ω) (z(t), −∆ϕ)η(t)dt

                                  Z T (z(t), qη(t)ϕ)dt +

                                  ′ ′ 2 − ✘✘ ✘✘ 1 ✘✘ 1 ✘ ✿

                                  (0)ϕ) L (Ω) ✘✘ H = − (z(0), η − hz (T ), η(T )ϕi (Ω),H (Ω) ✘✘ ✘✘ ′ ′′ Z T H (Ω),H (Ω) , ηϕ 1 1

                                • hz (0), η(0)ϕi hz idt T T +

                                  Z Z ′ ′ (z(t), qη(t)ϕ)dt (z(t), −∆ϕ)η(t)dt +

                                • (0)ϕ) L 2 − (Ω) H (Ω),H (Ω)
                                • 1 1 = − (z(0), η + hz (0), η
                                • Z T Z T ′′
                                • 1 1 , ηϕ dt H + + hz i (Ω),H (Ω) h−∆z(t), η(t)ϕidt+

                                    Z T (qz(t), η(t)ϕ)dt + ′ ′ 2 − 1 1

                                    (0)ϕ) L (Ω) H = − (z(0), η + hz (0), η(0)ϕi (Ω),H (Ω) ✘✘ ✘ ✘ ✿

                                    Z T ′′ ✘✘ ✘✘ ✘✘ (2.4.6) − hz − ∆z + qz, ηϕidt. ✘✘ ✘✘

                                    Substituindo , decorre que ′ ′ 2 − 1 1 (0)ϕ) L = (Ω) H (Ω),H (Ω)

                                    − (z(0), η + hz (0), η(0)ϕi 2 1 1 1 , η (0)ϕ) , η . (2.4.7) L (Ω) H

                                    = −(z + hz (0)ϕi (Ω),H (Ω) Escolhendo-se apropriadamente η de forma que η(0) = 0 e η 2

                                    (0) 6= 0 (por exemplo η(t) = t ), resulta que

                                    (T − t) z (0) = z . (2.4.8) 2 ),

                                    Retornando-se `a e considereando η tal que η(0) 6= 0 (por exemplo η(t) = (T − t) resulta que 1 z . (0) = z (2.4.9)

                                    A dificuldade maior nesta se¸c˜ao est´a em mostrar que a solu¸c˜ao, por transposi¸c˜ao, z de tem tra¸co em Σ e que este tra¸co coincide com v. ´ E o que faremos a seguir. Consideremos o espa¸co de Hilbert 2 −1

                                    U = {u ∈ L (Ω); ∆u ∈ H (Ω)} munido da topologia 2 2 2 1

                                    2 2 Teorema 2.23 Seja um dom´ınio de classe C , ent˜ao C (Ω) ´e denso em U . A aplica¸c˜ao 2 − 2 1

                                    γ : C (Γ)

                                    (Ω) → H u u 7→ Γ

                                    prolonga-se por continuidade a uma aplica¸c˜ao 2 1

                                    γ (Γ). (2.4.10)

                                    : U → H Demonstra¸c˜ ao: Ver .

                                    Motivados pela aplica¸c˜ao acima, definimos o espa¸co de Hilbert 2 2 2 −1 V (0, T ; L (0, T ; H

                                    = {v ∈ L (Ω)); ∆v ∈ L (Ω))} munido da norma V 2 2 2 2 2 1 ) 1 2 kvk = (kvk L + k∆vk L (0,T ;L (Ω)) (0,T ;H (Ω)) e consideremos a aplica¸c˜ao tra¸co 2 − 2 1 γ (0, T ; H (Γ)) (2.4.11)

                                    : V → L definida, de maneira natural, pondo-se v

                                    (γ )(t) = γ (v(t)), (2.4.12) onde γ ´e a aplica¸c˜ao tra¸co dada em . Definamos V b = {v ; v ∈ V }. Em b V definamos a seguinte aplica¸c˜ao −1 − 2 1 V

                                    : b (0, T ; H (Γ)) eγ → H ′ ′ (2.4.13) v γ v ˜

                                    7→ onde ′ ′ Z T 1 1 1 2 v , ω (v(t)), ω − 1 dt, (0, T ; H (Γ)). (2.4.14) heγ i = − hγ (t)i ∀ ω ∈ H H 2 (Γ),H (Γ) 2 Observemos que a express˜ao em e do fato que 1 2 1 ω

                                    (0, T ; H (Γ)). Temos pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e do fato que γ dada ∈ H em ´e cont´ınua ′ ′ 1 1 v , ω v − 1 V (2.4.15) 1 . |heγ i| ≤ kγ k L L H 2 kω k (0,T ;H (Γ)) (0,T ;H (Γ)) (0,T ;H (Γ)) ′ −1 − 2 2 ≤ Ckvk kwk 1 2 2 2 v

                                    (0, T ; H (Γ)), o que prova que a aplica¸c˜ao dada em De est´a bem definida. Tal aplica¸c˜ao ´e claramente linear (n˜ao necessariamente cont´ınua).

                                    Ademais, de , temos v − 1 . V (2.4.16) keγ k H (0,T ;H (Γ)) 1 ≤ Ckvk 2 Afirmamos que z V z

                                    = v. (2.4.17) ∈ b e eγ

                                    Com efeito, definamos t Z y z

                                    (t) = (s)dz, (2.4.18) ent˜ao, 1 2 y (0, T ; L (Ω)) (2.4.19)

                                    ∈ C

                                    e, de , obtemos Z t Z t Z t ′′ −2

                                    ∆y(t) = ∆ z (s)ds = ∆z(s)ds = z (s) + qz(s)ds em H ′ −1 (Ω), ∀t ∈ [0, T ]. Mas, da regularidade z (Ω)), temos

                                    ∈ C(0, T ; H Z t ′ ′

                                    ∆y(t) = (z (s)) − qz(s)ds T ′ −1 Z z

                                    = z (t) − z(0) + q (s)ds ∈ H (Ω), ∀t ∈ [0, T ]. Donde, −1

                                    (Ω)). (2.4.20) ∆y ∈ C(0, T ; H donde

                                    Desta forma, de vem que z = y z V . ∈ b

                                    Seja (z m ) sucess˜ao de solu¸c˜oes introduzidas na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao Ent˜ao 2 ′ ′ −1 z (Ω)) e z em C(0, T ; H (Ω)). (2.4.21) m

                                    → z em C(0, T ; L m → z Desta forma, definindo-se t

                                    Z y z m (t) = m (s)ds, (2.4.22) tem-se, como anteriormente, que t ′ ′ Z qz ∆y m (t) = z m (s)ds. (2.4.23) m m

                                    (t) − z (0) − De , resulta que 2 −1 y m (Ω)) e ∆y m (Ω)),

                                    → y em C(0, T ; L → ∆y em C(0, T ; H ou seja, y m

                                    (2.4.24) → y em V. De , obtemos ′ ′ −1 − 2 1 y z y z m m em H (0, T ; H (Γ)). (2.4.25) eγ = eγ → eγ = eγ 1 Por outro lado, como z m (Ω)), ent˜ao

                                    ∈ C(0, T ; H 2 1 γ z m (Γ))

                                    ∈ C(0, T ; H e Z T T Z 2 γ z m (s)ds = γ (z m (s))ds. 2 ′ 2 2 ′

                                    Identificando-se L (Γ) com (L (Γ)) e L (Σ) com (L (Σ)) , obtemos T 1 Z 2 y , ω − 1 (γ (y m (t)), ω (t)) dt L (Γ) heγ m i H 1 (0,T ;H (Γ)),H (0,T ;H (Γ)) 2 1 = − 2 Z T Z t γ z , ω dt m (s)ds (t)

                                    = − T Z t L (Γ) 2 Z γ dt

                                    (z m (s))ds, ω (t) = −

                                    Z T ✟ ✯ γ ω

                                    (z m (s))ds, ✟ (T ) = − L 2 (Γ) ✿ ✘ !

                                    Z ✘✘ γ ✘✘ ✘✘ (z m (s))ds, ω(0) ✘✘ L (Γ) 2

                                    Z T dt T (γ (z m (t)), ω(t)) L 2 (Γ)

                                  • Z
                                  • 2 z dt = ((γ m )(t), ω(t)) L 2 2 2 (Γ) 2 z , w m L (0,T,L (Γ)),L (0,T,L (Γ))

                                      =hγ i 1 z m , ω − 1 , =hγ i H 1 (0,T ;H (Γ)),H (0,T ;H (Γ)) 2 1 2 ou seja, z y z . m = γ m (2.4.26) m eγ = eγ

                                      Conforme a Proposi¸c˜ao 2 γ z m = v m e v m (Σ). (2.4.27)

                                      → v em L −1 − 2 1 Decorre de , da unicidade do limite em H (0, T ; H (Ω)) e em virtude da cadeia de inclus˜oes 1 2 1 2 −1 − 2 1 H (0, T ; H (0, T ; H (Ω)),

                                      (Ω)) ֒→ L (Σ) ֒→ H que z = v, eγ o que prova o desejado em . Observa¸c˜ ao 2.24 De .

                                      2.5 O M´ etodo H.U.M (Hilbert Uniqueness Method)

                                      (Ω) conforme o Teorema Seja Ω um Nesta se¸c˜ao, consideraremos q ∈ L n 2 n dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C e T &gt; 0. Seja x um ponto

                                      ∈ R arbitr´ario, por´em fixado. Definimos n n R m

                                      : R →

                                      (2.5.1) x 7→ x − x

                                       n

                                      (R ). Particionaremos a fronteira Γ de Ω do seguinte modo Notemos que m ∈ C

                                      Γ = Γ(x ) = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) &gt; 0},

                                      Γ 1 = Γ \ Γ(x ) = {x ∈ Γ; m(x) · ν(x) ≤ 0},

                                      Σ = Σ(x ) = Γ ×]0, T [,

                                      Σ = Γ 1 1 = Σ \ Σ ×]0, T [. e

                                      Σ = Σ 1 ∪ Σ = Γ×]0, T [.

                                      (2.5.2) Denotamos 1

                                      " # n 2 X 2 R = R(x ) = max (x ) . (2.5.3) j x x ∈Ω ∈Ω |m(x)| = max − x j j =1 Consideremos o seguinte problema

                                       ′′ y − ∆y + qy = 0 em Q

                                               v em Σ  

                                      , y = (2.5.4)

                                         0 em Σ 1

                                            1

                                       y (0) = y , y (0) = y em Ω, &gt;

                                      (Ω) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa. O nosso intuito ´e determinar T 0 e um onde q ∈ L 1 , y espa¸co de Hilbert H de forma que, se {y } ∈ H, ent˜ao existe um controle v definido em

                                      Σ , tal que, se y ´e solu¸c˜ao de , ent˜ao y verifica 1 y (T ) = y (T ) = 0, (2.5.5) , ϕ para algum T &gt; T

                                      . Seja {ϕ } ∈ D(Ω) × D(Ω) e consideremos o problema  ′′

                                      ϕ − ∆ϕ + qϕ = 0 em Q,

                                          

                                      ϕ = 0 em Σ, (2.5.6)

                                           ′ 1

                                      ϕ , ϕ (0) = ϕ (0) = ϕ em Ω. Como provado no Teorema o problema acima admite uma ´ unica solu¸c˜ao na classe 1 2 1 1 2 2

                                      ϕ (0, T ; H (0, T ; L (Ω)). (2.5.7) ∈ C(0, T ; H (Ω) ∩ H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C Al´em disso, vale a identidade da energia E ϕ (t) = E ϕ (0), (2.5.8) onde E ϕ (t) ´e a energia definida em com respeito a solu¸c˜ao ϕ.

                                      Tamb´em, ∂ϕ 2

                                      (Σ). (2.5.9) ∈ L

                                      ∂ν Consideremos o problema retr´ogrado

                                       ′′ ψ

                                      − ∆ψ + qψ = 0 em Q,         ∂ϕ    em Σ  

                                      ∂ν ψ =

                                      (2.5.10) ,

                                           0 em Σ  1

                                           

                                      ψ (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω, onde ϕ ´e solu¸c˜ao de . Fazendo-se a revers˜ao do tempo, temos, de acordo com os

                                      Teoremas admite um ´ unica solu¸c˜ao ψ, por transposi¸c˜ao, na classe 2 1 −1 ψ

                                      (0, T ; H (Ω)). (2.5.11) ∈ C(0, T ; L (Ω)) ∩ C

                                      Em virtude da regularidade da fun¸c˜ao ψ e da unicidade dos problemas , definimos −1 2 (Ω)

                                      Λ : D(Ω) × D(Ω) −→ H (Ω) × L 1 ′ (2.5.12) , ϕ

                                      {ϕ } 7→ {ψ (0), −ψ(0)} A seguir, desenvolveremos um racioc´ınio que nos permitir´a obter uma rela¸c˜ao entre Λ definida 3

                                      ∂ϕ 2 2 2 2 acima e a derivada normal em . Como H (0, T ; H (Γ)) ´e denso em L (0, T ; L (Γ)) ∂ν

                                      ∂ϕ 2 2 2 2 3 e (0, T ; L (Γ)), existe (v m ) m (0, T ; H (Γ)) tal que ∈N ∈ L ⊂ H

                                      ∂ν ∂ϕ 2 2 v em L (0, T ; L (Γ)). (2.5.13) m

                                      → ∂ν Consideremos a sequˆencia de problemas                   

                                      ψ ′′ m − ∆ψ m + qψ m = 0 em Q,

                                      (ψ m − ψ) ′′ − ∆(ψ m − ψ) + q(ψ m − ψ) = 0 em Q,

                                      − ∂ϕ

                                      (2.5.18) e kψ m − ψ k C (0,T ;H 1 (Ω)) ≤ C v m

                                      − ∂ϕ ∂ν L 2 (Σ )

                                      (2.5.17) De , obtemos kψ m − ψk C (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ C v m

                                      − ψ)(T ) = (ψ m − ψ) (T ) = 0 em Ω.

                                      , 0 em Σ 1 (ψ m

                                      − ∂ϕ ∂ν em Σ

                                           v m

                                      (ψ m − ψ) =

                                      − ψ) (onde ψ ´e a ´unica solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de ) ´e a ´unica solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de                     

                                      ψ m =    v m em Σ

                                      Al´em disso, para cada m ∈ N, a solu¸c˜ao ψ m de ´e tamb´em solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao. Resulta da´ı que (ψ m

                                      − ∆ψ m + qψ m = 0 em L 1 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.5.16)

                                      (0, T ; L 2 (Ω)) e ψ ′′ m ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)), (2.5.15) verificando ψ ′′ m

                                      ψ m ∈ C(0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 1

                                      Fazendo-se novamente a revers˜ao do tempo, ent˜ao, para cada m ∈ N, resulta da Proposi¸c˜ao admite uma ´ unica solu¸c˜ao na classe

                                      ∈ H 2 (0, T ; H 3 2 (Γ)).

                                      E conveniente observar que a fun¸c˜ao    v m em Σ 0 em Σ 1

                                      (2.5.14) ´

                                      , 0 em Σ 1 ψ m (T ) = ψ m (T ) = 0 em Ω.

                                      ∂ν L 2 (Σ ) . (2.5.19) De , resulta que 2 ψ m (Ω)) (2.5.20)

                                      → ψ em C(0, T ; L e ′ ′ −1 ψ em C(0, T ; H (Ω)). (2.5.21) m 1 → ψ

                                      , ζ Por outro lado, dado {ζ } ∈ D(Ω) × D(Ω), existe uma ´unica solu¸c˜ao ζ de na classe 1

                                      , ζ com ζ resulta que T T T

                                      Z Z Z ′′ m H (Ω),H (Ω) H (Ω),H (Ω) 1 dt 1 − m m 1 dt 1 hψ (t), ζ(t)i − h∆ψ (t), ζ(t)i hqψ (t), ζ(t)idt = 0.

                                    • Integrando-se por partes obtemos, em virtude de , ✿ ✘ m ✘✘ (Ω),H (Ω) m (Ω),H (Ω) m ′ ′ ′ ′ ✘✘ H H (t), ζ ✘✘ − −
                                    • 1 ✘✘ 1 1 1 Z T ✘✘ hψ (T ), ζ(T )i − hψ (0), ζ(0)i − hψ (t)idt ✘✘ T Tm m (2.5.22) h−∆ψ (t), ζ(t)idt + hqψ (t), ζ(t)idt = 0. 1 −1

                                      ∆ : H (Ω) do Integrando-se por partes novamente e considerando-se a extens˜ao − e (Ω) → H 2 1 1 L (Ω) (Ω), de

                                      −∆ definida por h− e ∆u, vi = (∇u, ∇v) , para cada u ∈ H (Ω) e v ∈ H obtemos ′ ′ ′ ′′ 1 1 ✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘ ✿ Z T m H (Ω),H (Ω) (ψ m (T ), ζ (T )) + (ψ m (0), ζ (0)) + m (t), ζ −hψ (0), ζ(0)i − ✘✘ T T hψ (t)idt

                                      Z Z + m (ψ m (t), qζ(t))dt = 0.

                                      (∇ψ (t), ∇ζ(t))dt + De e pela f´ormula de Green, vem que 3 ✘✘ ✘✘ ✘ ✿

                                      Z T ✘✘ Z T Z ✘✘ 1 ′′ ✘✘ ∂ζ (0), ζ m (0), ζ ) + m (t), ζ v m d Γdt = 0, ✘✘

                                      −hψ m i + (ψ hψ (t) − ∆ζ(t) + qζ(t)idt + ✘✘ ✘✘ ✘✘ Γ ∂ν ou seja, T Z Z ∂ζ 1 v d m (0), ζ m (0), ζ ). (2.5.23) m

                                      Γdt = hψ i − (ψ Γ ∂ν Das convergˆencias em , resulta, na situa¸c˜ao limite,

                                      Z ∂ζ ∂ϕ 1

                                      (0), ζ ), (2.5.24) = hψ i − (ψ(0), ζ Σ ∂ν ∂ν

                                      1

                                      , ζ onde ζ ´e a ´ unica solu¸c˜ao de com dados {ζ } ∈ D(Ω) × D(Ω) e ϕ ´e a ´unica solu¸c˜ao 1

                                      , ϕ de pode ser reescrita como

                                      Z ∂ζ ∂ϕ 1 2 1 1 d , , ζ H (Ω),L (Ω) H (Ω),L (Ω) 2

                                      Γdt = h{ψ (0), −ψ(0)} {ζ } i, Σ ∂ν ∂ν ou ainda, de Z 1 1 ∂ζ ∂ϕ

                                      , ϕ , ζ 2 2 = d Γdt. (2.5.25) hΛ{ϕ }, {ζ }i (D (Ω)) , (D(Ω)) Σ ∂ν ∂ν Definimos agora, a seguinte aplica¸c˜ao 2 2 R

                                      (·, ·) : (D(Ω)) × (D(Ω)) −→ Z 1 1 ∂ζ ∂ϕ

                                      (2.5.26) , ϕ , ζ d

                                      Γdt {{ϕ }, {ζ }} 7→ Σ ∂ν ∂ν 2

                                      . ´ E evidente que Provaremos que a aplica¸c˜ao acima define um produto interno em (D(Ω)) ∗ ´e uma aplica¸c˜ao bilinear positiva. Resta-nos provar que ´e uma aplica¸c˜ao estritamente (·, ·) positiva. Mais precisamente, provaremos que 1 1 1

                                      , ϕ , ϕ = ϕ = 0. ({ϕ }, {ϕ }) = 0 ⇔ ϕ

                                      Com efeito, a implica¸c˜ao (⇐) ´e trivial. Provemos a outra implica¸c˜ao. Suponhamos que 2 Z 1 1 ∂ϕ , ϕ , ϕ = d Σ = 0. (2.5.27)

                                      ({ϕ }, {ϕ }) Σ ∂ν 2R &lt;

                                      Ora, pelo Teorema temos que para todo T &gt; T = onde Q 1 ´e v´alida a seguinte 1−Q 1 1 desigualdade 2 Z 2 1 1 2 2 ∂ϕ d Σ. (2.5.28) 0 ≤ {kϕ k H + |ϕ | L (Ω) } ≤ C (Ω) 1 Σ ∂ν De conclu´ımos que ϕ = ϕ = 0, o que prova o desejado.

                                      Do exposto, resulta que a aplica¸c˜ao 2 R k·, ·k : (D(Ω)) → 1 2 ! 2 Z (2.5.29) 1 ∂ϕ

                                      , ϕ d Σ {ϕ } 7→ Σ ∂ν

                                      2

                                      . Consideremos F o espa¸co de Hilbert obtido completando-se define uma norma em (D(Ω)) 2 ∗ , isto ´e, (D(Ω)) com a norma k·, ·k k·,·k F .

                                      (2.5.30) = D(Ω) × D(Ω)

                                      , C &gt; Contudo, dos Teorema existem C 0 tais que 1 2 2 Z 2 1 2 ∂ϕ 2 1 2 C 1 L 1 2 d 2 L 1 2

                                      {kϕ k H (Ω) + |ϕ | (Ω) } ≤ Σ ≤ C {kϕ k H (Ω) + |ϕ | (Ω) }, ′ ′ Σ ∂ν , C &gt; isto ´e, existem C 0, tais que 1 2 1 2 ! 2 Z 1 ′ 1 ∂ϕ 1 1 C , ϕ 2 d , ϕ 2 , 1 k{ϕ }k ≤ ≤ C H (Ω)×L (Ω) H (Ω)×L (Ω) Σ (2.5.31) 2 k{ϕ }k 1 Σ ∂ν

                                      , ϕ ´e equivalente onde {ϕ } ∈ D(Ω)×D(Ω). Resulta de que a norma k·, ·k H 1 2 a norma k·, ·k (Ω)×L (Ω) em D(Ω) × D(Ω). Consequentemente, de , obtemos k·,·k ∗ k·,·k H1 × L2 0 (Ω) (Ω) 1 2 F = H (Ω). (2.5.32)

                                      = D(Ω) × D(Ω) = D(Ω) × D(Ω) (Ω) × L 2 , provaremos que o operador Λ Munindo-se (D(Ω)) com a topologia dada pela norma k·, ·k dado em e , resulta que 1 1 1 1

                                      , ϕ , ζ , ϕ , ζ F ,F |hΛ{ϕ }, {ζ }i | = |({ϕ }, {ζ }) | 1 1

                                      , ϕ , ζ , ∗ ∗ 1 1 2 ≤ k{ϕ }k k{ζ }k 2 , ϕ , ζ em F , segue que para cada {ϕ }, {ζ } ∈ (D(Ω)) . Da densidade de (D(Ω)) 1 1 1 1

                                      , ϕ , η , ϕ , η , F ,F ∗ ∗ (2.5.33) 1 |hΛ{ϕ }, {η }i | ≤ k{ϕ }k k{η }k 2 1 , ϕ , η para cada {ϕ } ∈ (D(Ω)) e {η } ∈ F , o que implica em 1 1 1 2

                                      , ϕ , ϕ , , ϕ , F ∗ (2.5.34) kΛ{ϕ }k ≤ k{ϕ }k ∀ {ϕ } ∈ (D(Ω)) 2 em F podemos o que prova a continuidade do operador Λ. Agora, pela densidade de (D(Ω)) estender Λ, de maneira ´ unica, a um operador linear e cont´ınuo e F F

                                      Λ : 11 (2.5.35) , η lim , η m m

                                      {η } 7→ Λ{η } m →+∞ onde ({η m

                                      , η 1 m }) m ∈N ⊂ (D(Ω)) 2 ´e tal que k{η m

                                      , η (0) = η 1 em Ω.

                                      , 0 em Σ 1 ψ m (T ) = 0, ψ m

                                      ∂η m ∂ν em Σ

                                      ψ m =     

                                      ψ ′′ m − ∆ψ m + qψ m = 0 em Q,

                                                          

                                      } = lim m →+∞ m (0), −ψ m (0)}, (2.5.41) onde, para cada m ∈ N, ψ m ´e a ´ unica solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao do problema

                                      } = lim m →+∞ Λ{η m , η 1 m

                                      Λ{η , η 1

                                      (2.5.40) Temos de que e

                                      } → {η , η 1 } em F.

                                      {η m , η 1 m

                                      , η 1 m }) ⊂ (D(Ω)) 2 tal que

                                      , η 1 } ∈ F e consideremos ({η m

                                      (2.5.39) Com efeito, seja {η

                                      η (0) = η

                                      , η 1 m } − {η

                                      (2.5.37) onde ψ ´e solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de                     

                                      , η 1 }k → 0 m →+∞ .

                                      (2.5.36) Notemos que a defini¸c˜ao acima independe da sequˆencia {η m

                                      , η 1 m } que aproxima {η , η 1 }.

                                      Provaremos a seguir que e Λ{η

                                      , η 1 } = {ψ (0), −ψ(0)}, ∀ {η

                                      , η 1 } ∈ F,

                                      ψ ′′ − ∆ψ + qψ = 0 em Q,

                                      η = 0 em Σ,

                                      ψ =     

                                      ∂η ∂ν em Σ

                                      , 0 em Σ 1 ψ

                                      (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω, (2.5.38) e η ´e solu¸c˜ao de

                                                

                                      η ′′ − ∆η + qη = 0 em Q,

                                      (T ) = 0 em Ω, (2.5.42) e η m ´e a ´ unica solu¸c˜ao de  ′′

                                      η m m + qη m = 0 em Q, − ∆η

                                          

                                      η = 0 em Σ, m (2.5.43)

                                          1

                                       η m (0) = η , η (0) = η em Ω. m m m Resulta da´ı que (ψ m

                                      − ψ) ´e a ´unica solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de  ′′

                                      (ψ m m m − ψ) − ∆(ψ − ψ) + q(ψ − ψ) = 0 em Q,

                                              ∂η ∂η m    em Σ  

                                      − ∂ν ∂ν

                                      ψ m (2.5.44)

                                      − ψ = ,

                                           0 em Σ 1

                                            

                                      (ψ (T ) = 0 em Ω, m m − ψ)(T ) = 0, (ψ − ψ) e (η m

                                      − η) ´e a ´unica solu¸c˜ao de  ′′

                                      (η m m m − η) − ∆(η − η) + q(η − η) = 0 em Q,

                                          

                                      η m (2.5.45)

                                      − η = 0 em Σ,     1 1

                                       , (η m (η m (0) = η em Ω. m m

                                      − η)(0) = η − η − η) − η Gra¸cas as desigualdades , temos m C C (0,T ;L (Ω)) m (0,T ;H (Ω)) 2 ′ ′ 1 ∂η ∂η m kψ − ψk + kψ − ψ k ≤ C −

                                      ∂ν ∂ν 1 L (Σ ) 2 1 m m , η , ∗ (2.5.46) ≤ Ck{η − η − η }k onde a ´ ultima desigualdade decorre de resulta que 2

                                      ψ m (Ω)) (2.5.47) → ψ em C(0, T ; L e ′ ′ −1

                                      ψ em C(0, T ; H (Ω)). (2.5.48) m → ψ De .

                                      Definamos 1 1 1 1 1 1 b , ϕ , ζ , ϕ , ζ , ϕ , ζ (2.5.49) ({ϕ }, {ζ }) = he Λ{ϕ }, {ζ }i, ∀ {ϕ }, {ζ } ∈ F. Tal aplica¸c˜ao ´e, claramente, uma forma bilinear. Provaremos, a seguir, que b(·, ·) ´e cont´ınua 1 1 1 1 2 , ϕ , ζ , ϕ , ζ m m m m tais e coerciva. Com efeito, sejam {ϕ }, {ζ } ∈ F e ({ϕ }), ({ζ }) ⊂ (D(Ω)) que 1 1 1 1 m m m m , ϕ , ϕ , ζ , ζ {ϕ } → {ϕ } e {ζ } → {ζ } em F.

                                      Para cada m ∈ N, de , vem que 1 1 1 1 , ϕ , ζ F ,F , ϕ , ζ . ∗ ∗ |hΛ{ϕ m m }, {ζ m m }i | ≤ k{ϕ m m }k k{ζ m m }k

                                      Tomando-se o limite na desigualdade acima, quando m → +∞, decorre que 1 1 1 1 , ϕ , ζ F ,F , ϕ , ζ , (2.5.50) ∗ ∗

                                      |he Λ{ϕ }, {ζ }i | ≤ k{ϕ }k k{ζ }k o que prova a continuidade de b(·, ·). Para provar a coercividade da mesma, notemos que de , para cada m ∈ N podemos escrever 1 1 1 2 m m m m m m , ϕ , ϕ , ϕ hΛ{ϕ }, {ϕ }i = k{ϕ }k ∗ e, na situa¸c˜ao limite, obtemos 1 1 1 2

                                      , ϕ , ϕ , ϕ , he Λ{ϕ }, {ϕ }i = k{ϕ }k ∗ o que prova a coercividade de b(·, ·). 1 ′

                                      , Y , existe um ´ unico 1 Desta forma, pelo Teorema De Lax-Milgram, dado {Y } ∈ F

                                      , ϕ {ϕ } ∈ F tal que 1 1 1 1 1

                                      , Y , ζ , ϕ , ζ , ζ h{Y }, {ζ }i = b({ϕ }, {ζ }), ∀ {ζ } ∈ F, o que implica, em fun¸c˜ao da defini¸c˜ao de b(·, ·) dada em , que

                                       1 ′ 1 , Y , , ϕ existe um ´ dado {Y } ∈ F unico {ϕ } ∈ F tal que

                                       (2.5.51)

                                       1 1 , Y , ϕ

                                      {Y } = e Λ{ϕ }, ou ainda, em virtude de , conclu´ımos que  1 ′ 1

                                      , Y , , ϕ existe um ´ dado {Y } ∈ F unico {ϕ } ∈ F tal que

                                       (2.5.52)

                                       ′ 1 Y = ψ (0) e Y

                                      = −ψ(0), onde ψ ´e a ´ unica solu¸c˜ao, por transposi¸c˜ao de  ′′

                                      ψ − ∆ψ + qψ = 0 em Q,

                                             

                                      ∂ϕ    em Σ  

                                      ∂ν ψ

                                      = (2.5.53)

                                      ,      0 em Σ 1

                                            

                                      ψ (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω, com ϕ sendo a ´ unica solu¸c˜ao de ′′

                                      ϕ  − ∆ϕ + qϕ = 0 em Q,    

                                      ϕ = 0 em Σ, (2.5.54)

                                          1

                                       ϕ (0) = ϕ , ϕ (0) = ϕ em Ω. Lembremos que 1 2 ′ −1 2 F = H (Ω) e F = H (Ω). (Ω) × L (Ω) × L

                                      Assim, elegendo-se

                                      2R 2 −1 T = , onde Q &lt; 1 e H = L (Ω), (2.5.55) 1 1 (Ω) × H 1 − Q ent˜ao dado 1

                                      , y (2.5.56)

                                      {y } ∈ H, tem-se que o par 1 1 ′ , Y ,

                                      {Y } = {y −y } ∈ F 1 , ϕ

                                      e, de , resulta que existe um ´ unico {ϕ } ∈ F tal que 1 ψ (0) = y e ψ (0) = y , (2.5.57) onde ψ ´e a ´ unica solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de com 1 dados ϕ e ϕ . Considerando-se a seguinte condi¸c˜ao de fronteira

                                       ∂ϕ

                                       em Σ 

                                      ∂ν y =

                                      (2.5.58)   0 em Σ \ Σ no problema , resulta que ψ ´e ´ tamb´em solu¸c˜ao por transposi¸c˜ao de problema , conclu´ımos que y(T ) = 3 y

                                      (T ) = 0 desde que T &gt; T . Cap´ıtulo

                                      Seja Ω um dom´ınio limitado do R n com fronteira Γ de classe C 2 . Por ω repre- sentaremos um subconjunto aberto de Ω e por χ ω denotaremos a fun¸c˜ao caracter´ıstica de ω.

                                      As seguintes nota¸c˜oes tamb´em ser˜ao utilizadas no decorrer deste cap´ıtulo, Q = Ω×]0, T [ e Σ = Γ×]0, T [.

                                      Seja q ∈ L (Ω) e consideremos o seguinte problema

                                                 y ′′

                                      − ∆y + q(x)y = hχ ω em Q, y = 0 em Σ, y (0) = y , y (0) = y 1 em Ω.

                                      (3.0.1) O problema de controlabilidade exata para o sistema consiste no seguinte: ”Encontrar T &gt; 0 e um espa¸co de Hilbert H, convenientes, de modo que, para todo {y

                                      , y 1 } ∈ H, exista um controle h tal que a solu¸c˜ao y de satisfa¸ca a condi¸c˜ao y

                                      (x, T ) = y (x, T ) = 0, (3.0.2) para algum T &gt; T ”. Esse tipo de problema ´e chamado Controlabilidade Exata Interna, pois a a¸c˜ao ´e realizada no cilindro ω×]0, T [. Se isso ´e poss´ıvel, dizemos que o sistema ´e exatamente controlado a partir do instante T . No que segue, mostraremos que o m´etodo H.U.M ´e aplic´avel para resolver o pro- blema de controlabilidade exata interna. Vamos descrevˆe-lo por etapas.

                                      Etapa 1: Dados {φ , φ 1

                                      (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2

                                      (φ ′′ , ψ )dt + Z T

                                      (0), ψ(0)) = Z T

                                      (φ (T ), ψ(T )) − (φ

                                      Z T (φ , ψ )dt, segue que,

                                      Z T (φ ′′ , ψ )dt +

                                      Z T (φ , ψ ) dt =

                                      (qφ, ψ)dt = 0. (3.1.5) Como

                                      (−∆φ, ψ)dt + Z T

                                      )dt + Z T

                                      (φ ′′ , ψ

                                      Etapa 3: Compondo-se a equa¸c˜ao , obtemos Z T

                                      (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; H −1 (Ω)). (3.1.4)

                                      C (0, T ; H 1

                                      } ∈ D(Ω) × D(Ω), resolvemos o seguinte problema           

                                      (3.1.3) O problema admite uma ´ unica solu¸c˜ao ψ na classe

                                      (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω.

                                      ψ = 0 em Σ, ψ

                                      ψ ′′ − ∆ψ + qψ = −φχ ω em Q,

                                      Etapa 2: Com a solu¸c˜ao φ do problema resolvemos o problema retr´ogrado           

                                      (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (3.1.2)

                                      (Ω) ∩ H 2 (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; H 1

                                      C (0, T ; H 1

                                      (3.1.1) Este problema admite uma ´ unica solu¸c˜ao φ na classe

                                      (0) = φ 1 em Ω.

                                      (0) = φ , φ

                                      φ = 0 em Σ, φ

                                      φ ′′ − ∆φ + qφ = 0 em Q,

                                      (φ , ψ )dt. Ent˜ao, Z T Z T ′′ 1 ′ ′

                                      , ψ , ψ , ψ (φ (φ )dt. (3.1.6)

                                      )dt = −(φ (0)) − Tamb´em, T T T

                                      Z Z Z ′ ′ ′ ′ ′′ (φ, ψ ) dt = (φ , ψ )dt + hφ, ψ idt, ou seja, ′ ′ ′ ′ ′′ Z T Z T

                                      , ψ (φ(T ), ψ (0)) = (φ )dt + (T )) − (φ(0), ψ hφ, ψ idt.

                                      Logo, T T Z Z ′ ′ ′ ′′

                                      , ψ , ψ (φ )dt = (φ (0)) + (3.1.7) − hφ, ψ idt.

                                      Substituindo , obtemos Z T ′′ 1 ′ ′′ Z T

                                      (φ , ψ , ψ (0)) + (φ , ψ (0)) + )dt = −(φ hφ, ψ idt, ou ainda,

                                      Z T ′′ 1 ′ ′′ Z T , ψ

                                      (φ (0), φ ) + (3.1.8) )dt = −hψ(0), φ i + (ψ hφ, ψ idt. Pelo Teorema de Green, T T T

                                      Z Z Z (3.1.9) (−∆φ, ψ)dt = (∇φ, ∇ψ)dt = hφ, −∆ψidt.

                                      Substituindo , obtemos 1 ′ ′′ Z T (0), φ ) + ′′ −hψ(0), φ i + (ψ hφ, ψ − ∆ψ + qψidt = 0. Como, ψ ω , temos

                                      − ∆ψ + qψ = −φχ 1 ′ Z T (0), φ ) + ω −hψ(0), φ i + (ψ hφ, −φχ idt = 0. Ent˜ao, T

                                      Z Z 2 1 ′ 1 φ dxdt

                                      , φ (0), φ ω = −hψ(0), φ i + (ψ ), para cada {φ } ∈ D(Ω) × D(Ω). (3.1.10)

                                      Definamos 2 −1 (Ω)

                                      Λ : D(Ω) × D(Ω) −→ L (Ω) × H 1 ′ (3.1.11) , φ

                                      {φ } 7→ {ψ (0), −ψ(0)} onde ψ ´e solu¸c˜ao a de .

                                      A seguir, obtemos uma rela¸c˜ao entre a aplica¸c˜ao Λ definida em . Como C(0, T ; H 1 (Ω)) ´e denso em C(0, T ; L 2 (Ω)) e −φ(·)χ ω

                                      − ψ) = 0 em Σ, (ψ m

                                      ζ (0) = ζ

                                      ζ = 0 em Σ,

                                      ζ ′′ − ∆ζ + qζ = 0 em Q,

                                      }. Compondo-se o problema           

                                      com dados iniciais {ζ , ζ 1

                                      , ζ 1 } ∈ D(Ω) × D(Ω) existe uma ´unica solu¸c˜ao ζ de na classe

                                      → ψ em C(0, T ; L 2 (Ω)). (3.1.17) Por outro lado, dado {ζ

                                      (Ω)) (3.1.16) e ψ m

                                      ψ m → ψ em C(0, T ; H 1

                                      (3.1.15) Sabemos tamb´em que

                                      − ψ)(T ) = (ψ m − ψ) (T ) = 0 em Ω.

                                      ) em Q, (ψ m

                                      C (0, T ; L 2 (Ω)), existe (f m ) m ∈N ⊂ C(0, T ; H 1

                                      (ψ m − ψ) ′′ − ∆(ψ m − ψ) + q(ψ m − ψ) = f m − (−φχ ω

                                      − ψ) ´e a ´unica solu¸c˜ao, na classe , de           

                                      (0, T ; L 2 (Ω)). (3.1.14) Resulta da´ı que (ψ m

                                      (0, T ; H 1 (Ω)) ∩ C 2

                                      ψ m ∈ C(0, T ; H 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω)) ∩ C 1

                                      (3.1.13) Fazendo-se uma revers˜ao do tempo, ent˜ao para cada m ∈ N, resulta do Teorema admite uma ´ unica solu¸c˜ao na classe

                                      ψ m (T ) = ψ m (T ) = 0 em Ω.

                                      ψ ′′ m − ∆ψ m + qψ m = f m em Q, ψ m = 0 em Σ,

                                                

                                      (Ω)). (3.1.12) Consideremos a sequˆencia de problemas

                                      (Ω)) tal que f m → −φ(·)χ ω em C(0, T ; L 2

                                      , ζ (0) = ζ 1 em Ω, com a solu¸c˜ao ψ m do problema e integrando de 0 a t, obtemos Z T

                                      (ζ ′′ , ψ m )dt +

                                      , φ 1 }, {ζ

                                      |φ| 2 dxdt ≤ C 1 [kφ k 2 L 2 (Ω) + kφ 1 k 2 H 1 (Ω)

                                      &gt; 0 tal que Z T Z

                                      ∈ H −1 (Ω), ent˜ao existe uma constante C 1

                                      ∈ L 2 (Ω), φ 1

                                      com dados iniciais φ

                                      (3.1.22)

                                      em Ω,

                                      φ = 0 em Σ, φ (0) = φ , φ (0) = φ 1

                                      φ ′′ − ∆φ + qφ = 0 em Q,

                                      Teorema 3.1 Se φ ´e solu¸c˜ao do problema           

                                      (3.1.21) Etapa 3: Desigualdades Direta e Inversa

                                      , ζ 1 }i.

                                      ζ (t)φ(t)dxdt = hΛ{φ

                                      Z T (−∆ζ, ψ m )dt +

                                      }i, ou ainda, de , Z T Z ω

                                      (t)φ(t)dxdt = h{ψ (0), −ψ(0)}, {ζ , ζ 1

                                      Z T Z ω ζ

                                      , φ 1 } ∈ D(Ω) × D(Ω). Notemos que a express˜ao em pode ser reescrita como

                                      , ζ 1 } ∈ D(Ω) × D(Ω) e φ ´e a ´unica solu¸c˜ao de com dados {φ

                                      (t)φ(t)dxdt = −hψ(0), ζ 1 i + (ψ (0), ζ ), (3.1.20) onde ζ ´e a ´ unica solu¸c˜ao de com dados {ζ

                                      Z T Z ω ζ

                                      = −hψ(0), ζ 1 i + (ψ (0), ζ ), ou seja,

                                      Z T Z ζ (t)φ(t)χ ω dxdt

                                      (0), ζ ). (3.1.19) Em virtude das convergˆencias , obtemos

                                      ζ (t)(−f m (t))dxdt = −hψ m (0), ζ 1 i + (ψ m

                                      Integrando-se por partes, obtemos em virtude de Z T Z

                                      Z T (qζ, ψ m )dt = 0. (3.1.18)

                                      ]. (3.1.23) Demonstra¸c˜ ao: Devido ao fato de φ ser solu¸c˜ao ultra-fraca do problema , ent˜ao &gt; pelo Teorema existe C 0 tal que 2 ′ 2 − 2 1 2 2 − 1 2 1

                                      ]. (3.1.24) kφk C (0,T ;L (Ω)) + kφ k C (0,T ;H (Ω)) ≤ C [kφ k L (Ω) + kφ k H (Ω) 2 2 2 De e da imers˜ao C(0, T ; L (0, T ; L (Ω)), obtemos T T (Ω)) ֒→ L Z Z Z Z 2 2 dxdt dxdt ω |φ| ≤ |φ| 2 2 2

                                      = kφk L 2 (0,T ;L (Ω)) 2 ≤ Ckφk C (0,T ;L (Ω)) 2 2 1 2 1 L H ].

                                      ≤ CC [kφ k (Ω) + kφ k (Ω) O resultado segue pondo C = CC . 1 n Defini¸c˜ ao 3.2 Seja x

                                      ) se existe um n ∈ R . Dizemos que ω ⊂ Ω ´e uma vizinhan¸ca de Γ(x

                                      tal que Γ(x conjunto aberto O ⊂ R ) ⊂ O e ω = Ω ∩ O.

                                      O ν x ν ω x

                                      Γ0 Ω Figura 3.1: Ilustra¸c˜ao da Defini¸c˜ao n 2 n

                                      Teorema 3.3 Seja um dom´ınio limitado do R com fronteira Γ de classe C . Seja x 2R ∈ R ). Se T &gt; T , onde T = como no Teorema Ent˜ao

                                      e ω ⊂ Ω uma vizinhan¸ca de Γ(x 1−Q 1 existe uma constante C &gt; 0 tal que 2 2 L H 2 1 2 1 dxdt. 2 (3.1.25) Z T Z 2

                                      [kφ k (Ω) + kφ k (Ω) ] ≤ C |φ| Demonstra¸c˜ ao: Suponhamos que se tenha a seguinte estimativa T 2 1 2 ′ 2 dxdt, Z Z 2 V 2 (3.1.26) kθ k + kθ k L (Ω) ≤ C |θ | ω onde θ ´e solu¸c˜ao de  ′′

                                      θ − ∆θ + qθ = 0 em Q,

                                          

                                      θ = 0 em Σ, (3.1.27)      ′ 1

                                      θ , θ 1 1 (0) = θ (0) = θ em Ω, 2 , θ (Ω). com dados iniciais {θ } ∈ H (Ω) × L 1 2 −1 1 −1

                                      , φ 1 −1 Tomando {φ } ∈ L (Ω)×H (Ω). Como −φ ∈ H (Ω) e o operador −∆+qI : 1 H (Ω) tal que

                                      (Ω) → H (Ω) ´e um isomorfismo isom´etrico, existe η ∈ H 1 .

                                      (3.1.28) − ∆η + qη = −φ

                                      Definamos Z t

                                      ψ φ (t) = (s)ds + η, (3.1.29) onde η cumpre e φ ´e solu¸c˜ao do problema

                                       ′′ φ

                                       − ∆φ + qφ = 0 em Q,    

                                      φ = 0 em Σ, (3.1.30)

                                          1

                                       ′ ′′ ′ φ (0) = φ , φ (0) = φ em Ω. Claramente, ψ (t) = φ(t) e ψ (t) = φ (t).

                                      Ent˜ao, ψ ´e solu¸c˜ao do problema  ′′

                                      ψ − ∆ψ + qψ = 0 em Q,

                                          

                                      ψ = 0 em Σ, (3.1.31)

                                           ′

                                      ψ (0) = η, ψ (0) = φ em Ω. De fato, integrando de 0 a t, obtemos t t t

                                      Z Z Z ′′ φ qφ 0 = (s)ds + (s)ds

                                      −∆φ(s)ds + ′ ′ Z t Z t φ φ

                                      = φ (s)ds + q (s)ds (t) − φ (0) − ∆ t t 1 Z Z

                                      φ φ = φ (s)ds + q (s)ds

                                      (t) − φ − ∆ t t ′′ Z Z φ φ

                                      = ψ (s)ds + q (s)ds (t) − ∆η + qη − ∆ ′′ Z t Z t

                                      ψ φ = ψ (s)ds + η + q (s)ds + η ′′ (t) − ∆ = ψ (t) − ∆ψ(t) + qψ(t).

                                      As demais condi¸c˜oes s˜ao verificadas trivialmente.

                                      Em particular, de , obtemos 2 2 ′ 2 dxdt, 2 Z T Z 2 kηk V + kφ k L (Ω) ≤ C |ψ | ω ou equivalentemente, T 1 2 H L 1 2 2 dxdt, 2 Z Z 2 kφ k (Ω) + kφ k (Ω) ≤ C |φ| ω o que finaliza a prova do Teorema

                                      Mostraremos a desigualdade 2R para T &gt; T , onde T = , com Q &lt; 1, a seguinte desigualdade ´e verificada 1−Q 1 1 T 2 Z Z ∂θ

                                      E d Γdt, (3.1.32)

                                      (0) ≤ C Γ ∂ν onde θ ´e solu¸c˜ao de  ′′

                                      θ − ∆θ + qθ = 0 em Q,

                                          

                                      θ = 0 em Σ, (3.1.33)      ′ 1 1 1 θ (0) = θ , θ (0) = θ em Ω, 2 , θ (Ω). sujeito a dados {θ } ∈ H (Ω) × L

                                      &gt; Suponhamos que T &gt; T 2ε &gt; 0 e portanto

                                      , ent˜ao existe ε &gt; 0 tal que T − T T . − 2ε &gt; T

                                      Lema 3.4 Seja T &gt; T . Ent˜ao, para toda solu¸c˜ao θ de ,

                                      e ε &gt; 0 tal que T − 2ε &gt; T temos 2 Z T −ε Z

                                      ∂θ E d Γdt. (3.1.34) θ

                                      (0) ≤ C ε Γ ∂ν Demonstra¸c˜ ao: Seja θ a solu¸c˜ao de associada aos dados iniciais {θ , θ 1

                                      } ∈ H 1 (Ω)× L 2

                                      (0) = θ(ε), η (0) = θ (ε) em Ω. Igualmente como obtemos em , segue que

                                      ∂θ ∂ν

                                      (0) ≤ C Z T −ε ε Z Γ

                                      Portanto, E θ

                                      (x, s − ε) 2 d Γds.

                                      Z T −ε ε Z Γ ∂η ∂ν

                                      E θ (0) ≤ C

                                      (x, t) 2 d Γdt. (3.1.37) Fa¸camos a seguinte mudan¸ca de vari´avel, s = t + ε, na integral em , ent˜ao

                                      ∂η ∂ν

                                      (0) ≤ C Z T −2ε Z Γ

                                      Como E η (0) = E θ (ε) = E θ (0), obtemos E θ

                                      ∂ν 2 d Γdt.

                                      Z T −2ε Z Γ ∂η

                                      E η (0) ≤ C

                                      = 0 em Γ×]0, T − 2ε[, η

                                      (Ω). Ent˜ao, θ est´a na classe C (0, T ; H 1

                                      (Ω)), η

                                      η ′′ − ∆η + qη = 0 em C([0, T − 2ε]; H −1

                                      Ent˜ao,           

                                      ∂ν 2 d Γdt. (3.1.36) Seja 0 ≤ t ≤ T − 2ε, ent˜ao ε ≤ t + ε ≤ T − ε &lt; T e definamos η(t) = θ(t + ε).

                                      Z T −2ε Z Γ ∂θ

                                      E θ (0) ≤ C

                                      (3.1.35) Neste caso, de vem que,

                                      = 0 em Γ×]0, T − 2ε[, θ (0) = θ , θ (0) = θ 1 em Ω.

                                      (Ω)), θ

                                      θ ′′ − ∆θ + qθ = 0 em C([0, T − 2ε]; H −1

                                      Em particular,           

                                      (Ω)) ∩ C 2 (0, T ; H −1 (Ω)).

                                      (Ω)) ∩ C 1 (0, T ; L 2

                                      (x, s) 2 d Γds, o que encerra a prova.

                                      1 n

                                      Fixe T &gt; T (Ω)] tal que e ε &gt; 0 tais que T − 2ε &gt; T . Consideremos h ∈ [C 1 h

                                      (0, T ) tal que · ν ≥ 0, para cada x ∈ Γ, h = ν em Γ e h = 0 em Ω \ ω. Seja η ∈ C

                                      η (0) = η(T ) = 0, η(t) = 1 em ]ε, T − ε[. Definimos r(x, t) = η(t)h(x), o qual pertence a 1,∞ n

                                      [W (Q)] e satisfaz  r  (x, t) = ν(x), para cada (x, t) ∈ Γ ×]ε, T − ε[,       r 

                                      (x, t) · ν(x) ≥ 0, para cada (x, t) ∈ Γ×]0, T [,  r 

                                      (x, 0) = r(x, T ) = 0, para cada x ∈ Ω,       r

                                      (x, t) = 0, para cada (x, t) ∈ (Ω \ ω)×]0, T [. Lema 3.5 Sejam T &gt; T e seja θ a solu¸c˜ao de com 1 , ε &gt; 0 tais que T − 2ε &gt; T 1 2

                                      , θ (Ω). Ent˜ao existe C &gt; 0 tal que

                                      dados iniciais {θ } ∈ H (Ω) × L

                                      Z T −ε Z 2 2 E dxdt. (3.1.38) (0) ≤ C |θ | + |∇θ| ε ω 1 1 2 1

                                      , θ Demonstra¸c˜ ao:

                                      (Ω), Considerando inicialmente dados {θ } ∈ H (Ω) ∩ H (Ω) × H ent˜ao ′′ 2

                                      θ (Ω)). (3.1.39) − ∆θ + qθ = 0 em C(0, T ; L

                                      Compondo-se a equa¸c˜ao com ∇θ · r e integrando-se por partes, obt´em-se T 2 T T Z Z Z Z Z Z ∂θ

                                      1

                                      1 2 2 ′ ′ d θ dxdt

                                      Γdt = (r · ν) (div r)(|θ | − |∇θ| )dxdt − ∇θ · r 2 ∂ν Γ Ω Ω

                                      2 T T n Z Z Z Z

                                      X ∂θ ∂r ∂θ j dxdt qθ

                                    • 1 Ω Ω i,j =1 2 ∂x ∂x ∂x i i j 1 1 2 Tendo em vista a densidade de H (Ω) em H (Ω), obtemos, para (Ω) ∩ H (Ω) × H (Ω) × L 1 1 2

                                        ∇θ · rdxdt. (3.1.40)

                                        θ , θ (Ω), uma identidade igual a a solu¸c˜ao de com dados iniciais {θ } ∈ H (Ω) × L

                                        .

                                        Utilizando as propriedades da fun¸c˜ao r(x, t) e majora¸c˜oes apropriadas, obtemos de T 2 T Z Z Z Z ∂θ

                                        1 2 2 d dxdt.

                                        (3.1.41) (r · ν) Γdt ≤ C |θ | + |∇θ|

                                        ∂ν

                                        2 Γ ω Observemos agora que T 2 T 2 Z −ε Z Z −ε Z ∂θ ∂θ

                                        1

                                        1 d Γdt = d Γdt (r · ν) 2 ∂ν ε ε Γ Γ 2 ∂ν 2 Z T Z 1 ∂θ d Γdt

                                        ≤ (r · ν) ∂ν

                                        2 T Γ Z Z 2 2 dxdt.

                                        ≤ C |θ | + |∇θ| ω &gt;

                                        Do Lema obtemos a existˆencia de uma constante C 0, tal que T 2 T 1 Z −ε Z Z Z ∂θ 2 2 E θ d dxdt 1 1

                                        (0) ≤ C Γdt ≤ 2CC |θ | + |∇θ| ε ω Γ ∂ν Z T Z 2 2 dxdt,

                                        = C 2 ω |θ | + |∇θ| onde C 2 = 2CC 1 . Como a desigualdade acima ´e v´alida para todo T &gt; T vale, em particular, para T − 2ε e, portanto, procedendo como na demonstra¸c˜ao do Lema segue que existe C &gt; 0 verificando T

                                        Z −ε Z 2 2 E dxdt.

                                        (0) ≤ C |θ | + |∇θ| ε ω ω ω

                                        Observa¸c˜ uma vizinhan¸ca de Γ ao 3.6 Seja b tal que Ω ∩ b ⊂ ω ent˜ao, construindo um ω

                                        , an´alogo ao campo r constru´ıdo para ω obtemos, de maneira an´aloga, que campo br para b T

                                        Z −ε Z 2 2 E dxdt.

                                        (0) ≤ C |θ | + |∇θ| ε ω

                                        

                                      b

                                      1,∞

                                        (Q) satisfazendo as seguinte Consideremos agora uma fun¸c˜ao r = r(x, t) ∈ W condi¸c˜oes

                                         r (x, t) ≥ 0, para cada (x, t) ∈ Ω×]0, T [,

                                              r ω 

                                        (x, t) = 1, para cada (x, t) ∈ b ×]ε, T − ε[,        r

                                        (x, t) = 0, para cada (x, t) ∈ (Ω \ ω)×]0, T [,  

                                        ω ω  0 &lt; r(x, t) &lt; 1, para cada (x, t) ∈ (ω \ b )×]0, T [ e b × (]0, ε] ∪ [T − ε, T [),       r

                                        (x, 0) = r(x, T ) = 0, para cada x ∈ Ω,     2

                                          |∇r| ∞  ∈ L (ω × d]0, T [). A fun¸c˜ao r pode ser escolhida da seguinte forma r (x, t) = ρ 2 (x)η(t), onde η ∈ C 1

                                        (0, T ) e verifica η

                                        Z T Z ω |θ| 2 + |θ | 2 dxdt.

                                        I 1 = Z T Z

                                        Denotemos,

                                        Z T Z qθrθdxdt = 0. (3.1.44)

                                        Z T Z ∆θrθ +

                                        θ ′′ rθdxdt −

                                        Compondo-se a equa¸c˜ao acima com rθ, vem que Z T Z

                                        } ∈ H 1 (Ω) ∩ H 2 (Ω) × H 1 (Ω).

                                        (3.1.43) com dados {θ , θ 1

                                        θ = 0 em Σ, θ (0) = θ , θ (0) = θ 1 ,

                                        θ ′′ − ∆θ + qθ = 0 em Q,

                                                  

                                        (3.1.42) Demonstra¸c˜ ao: Consideremos, inicialmente θ solu¸c˜ao do problema

                                        |∇θ| 2 dxdt ≤ C

                                        (0) = η(T ) = 0, η

                                        ω b

                                        Z T −ε ε Z

                                        Ent˜ao, existe uma constante C &gt; 0, tal que

                                        , θ 1 } ∈ H 1 (Ω) × L 2 (Ω).

                                        as vizinhan¸cas de Γ anteriormente citadas e θ a solu¸c˜ao de sujeita a dados

                                        ω

                                        e ε &gt; 0, tais que T − 2ε &gt; T , ω e b

                                        ω. Proposi¸c˜ ao 3.7 Sejam T &gt; T

                                        ρ (x) = 0, para cada x ∈ Ω \ ω, 0 &lt; ρ(x) &lt; 1, para cada x ∈ ω \ b

                                        (x) = 1, para cada x ∈ b ω,

                                        (Ω) verifica ρ

                                        (t) = 1 em ]ε, T − ε[, 0 &lt; η(t) &lt; 1 em ]0, ε[ ∪ ]T − ε, T [, e ρ ∈ C 1

                                        θ ′′ rθdxdt e I 2 = Z t Z ∆θrθdxdt.

                                        |θ| 2 dxdt. (3.1.49)

                                        = Z T Z ω r 1 2

                                        Z T Z ω qr |θ| 2 dxdt.

                                        (3.1.47) Majorando-se a express˜ao em , obtemos a existˆencia de um C &gt; 0 tal que

                                        Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt

                                        ≤ C Z T Z ω

                                        |θ | 2 + |θ| 2 dxdt

                                        Z ω ∇θ · ∇rθdxdt .

                                        (3.1.48) Por´em,

                                        Z T Z ω ∇θ · ∇rθdxdt

                                        ∇θ · ∇r r 1 2

                                        Z T Z ω r θ θdxdt −

                                        θdxdt ≤

                                        1

                                        2 Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt +

                                        1

                                        2 Z T Z ω |∇r| 2 r

                                        |θ| 2 dxdt ≤

                                        1

                                        2 Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt + C 1 Z T Z ω

                                        Z T Z ω ∇θ · ∇rθdxdt −

                                        Z T Z ω r |θ | 2 dxdt +

                                        Note que, (θ

                                        − Z T Z ω

                                        , rθ ) = (θ ′′

                                        , rθ ) + (θ

                                        , (rθ) )

                                        = (θ ′′ , rθ ) + (θ , r θ ) + (θ , rθ ). Logo,

                                        I 1 = Z T

                                        (θ ′′ , rθ )dt = ✟ ✟ ✯ Z T

                                        (θ , rθ ) dt −

                                        Z T Z ω θ r θdxdt

                                        θ dxdt. (3.1.45) Agora, note ainda que

                                        Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt =

                                        I 2 = Z T Z ω

                                        ∆θrθdxdt = −

                                        Z T Z ω ∇θ · ∇(rθ)dxdt +

                                        Z T Z Γ r ∂θ

                                        ∂ν θd

                                        Γdt = −

                                        Z T Z ω ∇θ · (∇rθ + r∇θ)dxdt

                                        = − Z T Z ω

                                        ∇θ · ∇rθ + r|∇θ| 2 dxdt. (3.1.46) Substituindo , obtemos

                                      • Z T
                                      Combinando , obtemos

                                        1

                                        |θ | 2 dxdt.

                                        para cada solu¸c˜ao θ de com

                                        , θ 1 } ∈ H 1 (Ω) × L 2 (Ω).

                                        Proposi¸c˜ ao 3.9 Sejam T &gt; T

                                        e ε &gt; 0, tais que T − 2ε &gt; T , ω a vizinhan¸ca de Γ anteriormente citada e θ a solu¸c˜ao de com

                                        , θ 1 } ∈ H 1 (Ω) × L 2

                                        (Ω). Ent˜ao, existe

                                        uma constante C &gt; 0, tal que

                                        Z T −ε ε Z ω |θ| 2 dxdt

                                        ≤ C Z T Z ω

                                        (3.1.53) Demonstra¸c˜ ao:

                                        Z T Z ω | 2 + |θ| 2 dxdt,

                                        Suponhamos que n˜ao seja verdadeira, ent˜ao, para cada m ∈ N, asseguramos a existˆencia de um par de dados {θ m , θ 1 m } ∈ H 1

                                        (Ω) × L 2 (Ω) tal que se θ m ´e solu¸c˜ao de

                                                  

                                        θ ′′ m − ∆θ m + qθ m = 0 em Q,

                                        θ m = 0 em Σ, θ m (0) = θ m , θ m

                                        (0) = θ 1 m em Ω.

                                        (3.1.54) Ent˜ao,

                                        Z T Z |θ m | 2 dxdt &gt; m

                                        Z T Z |θ m | 2 dxdt,

                                        (3.1.52)

                                        E (0) ≤ C

                                        2 Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt

                                        ω b

                                        ≤ C Z T Z ω

                                        |θ | 2 + |θ| 2 dxdt.

                                        (3.1.50) Contudo,

                                        1

                                        2 Z T −ε ε Z

                                        ω b

                                        |∇θ| 2 dxdt =

                                        1

                                        2 Z T −ε ε Z

                                        r |∇θ| 2 dxdt

                                        nhan¸ca de Γ , que

                                        ≤

                                        1

                                        2 Z T Z ω r |∇θ| 2 dxdt.

                                        (3.1.51) De , obtemos

                                        1

                                        2 Z T −ε ε Z

                                        ω b

                                        |∇θ| 2 dxdt ≤ C

                                        Z T Z ω | 2 + |θ| 2 dxdt, o que conclui a demonstra¸c˜ao.

                                        Observa¸c˜ ao 3.8 Da Proposi¸c˜ao obtemos, para T &gt; T e ω vizi-

                                        (3.1.55)

                                        2 Z |∇ψ m | 2 + q|ψ m | 2 + |ψ 1 m | 2 dxdt

                                        ψ m = 0 em Σ, ψ m (0) = ψ m , ψ m

                                        1

                                        =

                                        2 Z |∇ψ m | 2 + q|ψ m | 2 + |ψ m | 2 dxdt

                                        1

                                        ψ 1 m ⇀ ψ 1 em L 2 (Ω). (3.1.62) Por outro lado, como

                                        Conclu´ımos, ent˜ao, que existem subsequˆencias de {ψ m } e {ψ 1 m }, que continuaremos denotando da mesma forma, tais que ψ m ⇀ ψ em H 1 (Ω) (3.1.61) e

                                        1 √ m

                                        |ψ m | 2 + |ψ m | 2 dxdt ≤ C

                                        Da Observa¸c˜ao temos kψ m k 2 V + kψ 1 m k 2 L 2 (Ω) = 2E(0) ≤ C Z T Z ω

                                        θ 1 mm k L 2 (0,T ;L 2 (ω)) ∈ H 1 (Ω) × L 2 (Ω).

                                        θ mm k L 2 (0,T ;L 2 (ω)) ,

                                        {ψ m , ψ 1 m } =

                                        (0) = ψ 1 m em Ω, (3.1.60) onde

                                        ψ ′′ m − ∆ψ m + qψ m = 0 em Q,

                                        ou ainda, R T R ω

                                                  

                                        } ∈ H 1 (Ω) × L 2 (Ω), pela lineari- dade do sistema, temos que ψ m ´e solu¸c˜ao de

                                        ´e solu¸c˜ao de , associada aos dados {θ m , θ 1 m

                                        (3.1.59) Como θ m

                                        .

                                        1 √ m

                                        &lt;

                                        = 1 (3.1.58) e kψ m k L 2 (0,T ;L 2 (ω))

                                        , (3.1.57) ent˜ao kψ m k L 2 (0,T ;L 2 (ω))

                                        ψ m = θ m kθ m k L 2 (0,T ;L 2 (ω))

                                        (3.1.56) Definamos

                                        1 m .

                                        | 2 dxdt &lt;

                                        |θ m | 2 dxdt R T R ω |θ m

                                      • C ≤ C
                                      • 1 . e toda sequˆencia fracamente convergente ´e limitada, segue que m (0, T ; H (Ω)) (3.1.63) 1 {ψ } ´e limitada em L e ′ ∞ 2

                                          (0, T ; L (Ω)). (3.1.64) {ψ m } ´e limitada em L

                                          De , conclu´ımos que existem subsequˆencias tais que 1 ψ ⇀ ψ em L (0, T ; H (Ω)) m e ′ ′ ∞ 2

                                          ψ ⇀ ψ ′′ ′′ ∞ −1 m em L (0, T ; L (Ω)). Usando o fato que ψ = ∆ψ m m m m (0, T ; H (Ω))

                                          − qψ , conclu´ımos que {ψ } ´e limitada em L

                                          e, portanto, existe uma subsequˆencia tal que ′′ ′′ ∞ −1 ψ ⇀ ψ m em L (0, T ; H (Ω)). Pondo 1 c 2 2 B ֒

                                          = H (Ω) = L (Ω) 1 → B = L (Ω) ֒→ B e 2 1 ′ 2 2 W (0, T ; H (Ω)); u (0, T ; L

                                          = {u ∈ L ∈ L (Ω))} munido da topologia W , L L (0,T ;L (Ω)) 2 1 2 2 m m kuk = kuk (0,T ;H (Ω)) + ku k resulta que {ψ } e {ψ } s˜ao limitadas em W . Pelo Teorema de Aubin-Lions, 2 2 ψ m (0, T ; L (Ω))

                                          → ψ em L

                                          e, em particular, 2 2 ψ m (0, T ; L (ω)). (3.1.65)

                                          → ψ em L Tamb´em conclu´ımos que existe uma subsequˆencia tal que ′ ′ 2 2

                                          ψ ⇀ ψ em L (0, T ; L (Ω)) m e, particularmente, ψ m ⇀ ψ em L 2 (0, T ; L 2 (ω)).

                                          Da convergˆencia fraca acima, temos kψ k L 2 (0,T ;L 2 (ω)) ≤ lim inf kψ m k L 2 (0,T ;L 2 (ω)) ≤ lim inf

                                          (0, T ; H −1 (Ω)), temos Z Tm (t), w(t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt

                                          θ (t)dt →

                                          Z T (∇ψ m (t), ∇v) L 2 (Ω)

                                          θ (t)dt. Logo,

                                          Z T (∇ψ m (t), ∇v) L 2 (Ω)

                                          (t)dt =

                                          Z T hψ m (t), −∆vi H 1 (Ω),H 1 (Ω) θ

                                          Z T hψ m (t), −∆vθ(t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt =

                                          Tomando w = (−∆v)θ, onde v ∈ H 1 (Ω), θ ∈ D(0, T ) e observando que h−∆u, vi H 1 (Ω),H 1 (Ω) = (∇u, ∇v) L 2 (Ω) , para cada u, v ∈ H 1 (Ω), temos

                                          → Z T hψ, w(t)i H 1 (Ω),H 1 (Ω) dt.

                                          Para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao, as fun¸c˜oes envolvidas na prova dessa afirma¸c˜ao n˜ao ter˜ao rela¸c˜ao com as anteriores. De fato, como ψ m ⇀ ψ em L (0, T ; H 1 (Ω)), ent˜ao para cada w ∈ L 1

                                          1 √ m

                                          , ψ 1 } ∈ H 1 (Ω) × L 2 (Ω).

                                          , ψ (0) = ψ 1 em Ω, com {ψ

                                          ψ (0) = ψ

                                          ψ = 0 em Σ,

                                          ψ ′′ − ∆ψ + qψ = 0 em Q,

                                                    

                                          (3.1.66) Das convergˆencias acima, temos que ψ ´e solu¸c˜ao de

                                          = 0, isto ´e, ψ (x, t) = 0 q.s. em ω×]0, T [.

                                          = 0. Portanto, kψ k L 2 (0,T ;L 2 (ω))

                                          Z T (∇ψ, ∇v) L 2 (Ω) θ (t)dt.

                                          ′ ′ ∞2 1 2

                                          ⇀ ψ Como ψ em L (0, T ; L (0, T ; L (Ω)), temos m

                                          (Ω)) ent˜ao, para cada w ∈ L Z T Z T ′ ′ 2 2 dt dt. (ψ (t), w(t)) L (ψ (t), w(t)) L m (Ω) (Ω) 1 Tomando, em particular, w = vθ

                                          , onde v ∈ H (Ω) e θ ∈ D(0, T ), segue que Z T Z T ′ ′ ′ ′ 2 2

                                          θ θ (ψ (t), v) L (ψ (t), v) L (t)dt. m (Ω) (Ω) (t)dt →

                                          Observe ainda que Z T Z T m m ′′ ′ d hψ (t), viθ(t)dt = hψ (t), viθ(t)dt dt T

                                          Z ′ ′ (ψ (t), v)θ (t)dt. m = −

                                          Logo, T T Z Z ′′ ′ ′ m (ψ (t), v)θ (t)dt. 1 hψ (t), viθ(t)dt →

                                          Por fim, para cada v ∈ H (Ω) e θ ∈ D(0, T ), temos T T Z Z (qψ m (qψ(t), v)θ(t)dt.

                                          (t), v)θ(t)dt → 1 Compondo-se a equa¸c˜ao com v ∈ H (Ω), multiplicando por θ ∈ D(0, T ) e integrando de 0 a T , obtemos Z T Z T Z T ′′ 2 m (Ω) m L (t)dt + (qψ m (t), v)θ(t)dt = 0. (3.1.67) θ hψ (t), viθ(t)dt + (∇ψ (t), ∇v)

                                          Das convergˆencias acima, obtemos de , na situa¸c˜ao limite, Z T Z T Z T ′ ′

                                          (ψ (t), v)θ (t)dt + (qψ(t), v)θ(t)dt = 0, − (∇ψ(t), ∇v)θ(t)dt + uu seja, ′′ ′ −1

                                          ψ (0, T ; H (Ω)). (3.1.68)

                                          − ∆ψ + qψ = 0 em D ′ ′ ∞ 2 1 J´a estabelecemos que ψ ⇀ ψ em L (0, T ; L m 2 (Ω)). Seja θ ∈ C (0, T ) e v ∈

                                          L (Ω). Ent˜ao,

                                          Z T Z T ′ ′ (ψ (ψ (t), v)θ(t)dt. m (t), v)θ(t)dt → Equivalentemente, Z T Z T ′ ′

                                          θ θ (ψ m (t), v) (ψ(t), v) (t)dt,

                                          (t)dt → ou ainda, T T T T Z Z ′ ′ (ψ m (t), v)θ(t) (ψ m (t), v)θ (ψ(t), v)θ (t)dt.

                                          − (t)dt → (ψ(t), v)θ(t) − Escolhendo θ de modo que θ(T ) = 0 e θ(0) = 1 e observando que

                                          Z T Z T ′ ′ (ψ (t), v)θ (ψ(t), v)θ (t)dt, m

                                          (t)dt → obtemos 2 (ψ m (Ω). (0), v) → (ψ(0), v), para cada v ∈ L

                                          Ou seja, 2 ψ ⇀ ψ m (0) = ψ (0) em L (Ω). m

                                          Por outro lado, 1 2 ψ ⇀ ψ m em H (Ω) 2 (Ω) ֒→ L e, pela unicidade do limite em L (Ω), conclu´ımos que ψ(0) = ψ . 1 1 Provemos que ψ (0) = ψ (0, T ) tal que θ(0) = 1 e 1 . Com efeito, seja θ ∈ C

                                          θ (Ω). Temos que

                                          (T ) = 0 e v ∈ H T T T Z Z Z ′′ 2 m (Ω) m L (t)dt + (qψ m (t), v)θ(t)dt = 0. θ hψ (t), viθ(t)dt + (∇ψ (t), ∇v)

                                          Integrando-se por partes a equa¸c˜ao acima, obtemos T ′ ′ ′ Z T Z T 2 (ψ (t), v)θ(t) (ψ (t), v)θ (t)dt + m θ (t)dt m − m (∇ψ (t), ∇v) L (Ω)

                                          Z T (qψ + m (t), v)θ(t)dt = 0.

                                          Ou ainda, T T ′ ′ ′ Z Z 2 m m L (Ω) (ψ (t), v)θ (t)dt + m θ (t)dt −(ψ (0), v) − (∇ψ (t), ∇v)

                                          Z T (qψ + m (t), v)θ(t)dt = 0. (3.1.69) Tomando-se o limite fraco em , obtemos 1 ′ ′ Z T Z T Z T 2 , v

                                          θ (ψ (t), v)θ (t)dt+ L (t)dt+ (qψ(t), v)θ(t)dt = 0. (3.1.70) (Ω)

                                          −(ψ )− (∇ψ(t), ∇v) Integrando-se por partes , obtemos T T T 1 ′ ′ ′ Z Z

                                          , v θ θ (t), v)θ(t) (ψ (t), v) (t)dt + L (t)dt 2 (Ω)

                                          −(ψ ) − (ψ (∇ψ(t), ∇v)

                                        • Z T + (qψ(t), v)θ(t)dt = 0.

                                          Equivalentemente, T 1 ′ ′′ Z T Z T , v

                                          θ (t), v)θ(t) L (t)dt 2 (Ω)

                                        • −(ψ ) − (ψ hψ (t), viθ(t)dt + (∇ψ(t), ∇v) T Z (qψ(t), v)θ(t)dt = 0 +

                                          Portanto, de , vem que 1 ′ 1 , v ) + (ψ (Ω). 1 −(ψ (0), v) = 0, para cada v ∈ H 2 ′ 1 Da densidade de H (Ω) em L (Ω), segue que ψ (0) = ψ . ′′ ′ −1 Em resumo, provamos que ψ (0, T ; H (Ω)), ψ(0) = ψ e 1 − ∆ψ + qψ = 0 em D

                                          ψ (0) = ψ . Em vitude da unicidade de solu¸c˜oes, temos que 1 1 2 2 −1

                                          ψ (0, T ; L (0, T ; H (Ω)),

                                          ∈ C(0, T ; H (Ω)) ∩ C (Ω)) ∩ C o que conclui a prova da afirma¸c˜ao. Assim sendo, u = ψ ´e solu¸c˜ao ultra-fraca do problema

                                           ′′ u − ∆u + qu = 0 em Q,

                                               u

                                          = 0 em Σ,     1

                                           u , u 1 1 ′′ (0) = u (0) = u em Ω, ′′ onde u = ψ e u = ψ (0). Notemos que faz sentido calcularmos a fun¸c˜ao ψ no zero, posto ′′ −1 que ψ (Ω)).

                                          ∈ C(0, T ; H

                                          De fato, seja v ∈ D(Q), ent˜ao ′′ ′′′ ′ ′ , v

                                        • qψ hu − ∆u + qu, vi = hψ − ∆ψ i ′′ ′

                                          = hψ − ∆ψ + qψ, −v i = 0.

                                          As condi¸c˜oes iniciais s˜ao facilmente verificadas. Quando a condi¸c˜ao de fronteira, pela Pro- ′ ′ u ψ ) = (γ ψ ) = 0. posi¸c˜ao temos (eγ ) = (eγ

                                          Assim, de , vem que u (3.1.71)

                                          = 0 q.s. em ω×]0, T [ e u (3.1.72) = 0 q.s. em ω×]0, T [. Antes de terminarmos a demonstra¸c˜ao, precisaremos do seguinte resultado

                                          Lema 3.10 Seja u solu¸c˜ao ultra-fraca de′′ u

                                          − ∆u + qu = 0 em Q,      u

                                          = 0 em Σ,      ′ 1 u , u 1 1 ′′ (0) = u (0) = u em Ω, 1

                                          , u

                                          onde u = ψ e u = ψ (0), satisfazendo . Ent˜ao, {u } = {0, 0}.

                                          Demonstra¸c˜ ao: Definamos a seguinte fun¸c˜ao,  t

                                          ,  −3u(−t) + 4u − se t ∈ [−T, 0], 2

                                           U (t) =

                                            u

                                          (t), se t ∈ [0, T ], e consideremos a sucess˜ao regularizante Z

                                          1 ρ , , ρ m (R), ρ m m m ∈ C ≥ 0, suppρ ⊂ − (t)dt = 1, ∀m ∈ N. 1 m m

                                        • q

                                          Z 1 m [U ′′

                                          − ∆u m + qu m = 0 em C([0, T − ε); H −1 (Ω)), u m

                                                     u ′′ m

                                          (Ω). (3.1.76) Do que foi feito at´e agora e, em virtude da unicidade de solu¸c˜ao, segue que u m ´e solu¸c˜ao de

                                          (Ω) e u m (0) ∈ L 2

                                          De , obtemos u m (0) ∈ H 1

                                          ∈ C([0, T − ε]; H 1 (Ω)). (3.1.75)

                                          Logo, u m (t) ∈ H 1 (Ω), para cada t ∈ [0, T − ε]. Portanto, u m

                                          −∆u m (t) + qu m (t) = −u ′′ m (t) ∈ L 2 (Ω) ֒→ H −1 (Ω).

                                          , , ent˜ao t − s ∈ t, t

                                          (t − s) − ∆U(t − s) + qU(t − s)]ρ m (s)ds =0, pois se s ∈ − 1 m

                                          (t − s)ρ m (s)ds =

                                          Z 1 m U

                                          U (t − s)ρ m (s)ds

                                          (t − s)ρ ′′ m (s)ds − ∆ Z 1 m

                                          Z 1 m U

                                          De fato, u ′′ m − ∆u m + qu m =

                                          − ∆u m + qu m = 0 em C([0, T − ε]; H −2 (Ω)). (3.1.74)

                                          · · · ∈ C([0, T − ε]; L 2 (Ω)), (3.1.73) para cada m ∈ N. Logo, u ′′ m

                                          (Ω)) e u k m (t) = (U ∗ ρ k m )(t) ∈ L 2 (Ω), para cada m, k ∈ N, temos u m , u m , u ′′ m ,

                                          (t − s)ρ m (s)ds, ∀t ∈ [0, T − ε[. Como u ∈ C(0, T ; L 2

                                          Z 1 m U

                                          Dado ε &gt; 0, definamos, para m suficientemente grande, a seguinte sequˆencia u m (t) = (U ∗ ρ m )(t) =

                                        • 1 m , o que implica que U (t − s) = u(t − s). Portanto, para cada t ∈ [0, T − ε], temos

                                          = 0 em Γ×]0, T − ε[, u m (0) = u m , u m (0) = u 1 m em Ω,

                                          1 1 2 m m , u V e com {u } ∈ H (Ω) × L (Ω). Da Observa¸c˜ao e a equivalˆencias das normas k · k 1 H , u m satisfaz a seguinte desigualdade k · k T 2 1 1 2 ′ 2 m dxdt. (3.1.77) Z −ε Z 2 2 ku m k H + ku m k L (Ω) ≤ C |u m | + |u | ω

                                          No entanto, de , vem que u (x, t) = u m m (x, t) = 0 q.s em ω×]0, T − ε[

                                          e, pela desigualdade , conclu´ımos 1 u m m = u = 0. (3.1.78) Por outro lado, da defini¸c˜ao de u , vem que m 2 u m (Ω))

                                          → u em C([0, T − ε]; L e ′ ′ −1 u (Ω)). m → u em C([0, T − ε]; H De e das convergˆencias acima, vem que 1 u = u = 0, (3.1.79) o que conclui a demonstra¸c˜ao do Lema

                                          Do Lema e como E u (t) = E u (0), conclu´ımos que 2 u (Ω)). ≡ 0 em C(0, T ; L

                                          Como u = ψ , temos que ψ

                                          (3.1.80) (x, t) = 0, para cada t ∈ [0, T ] e q.s em Ω. Portanto,

                                          ψ (3.1.81) (x, t) = ψ(x), para cada t ∈ [0, T ] e q.s em Ω. Como ψ ´e solu¸c˜ao de  ′′

                                          ψ  − ∆ψ + qψ = 0 em Q,    

                                          ψ = 0 em Σ,     1

                                           ψ (0) = ψ , ψ (0) = ψ em Ω, vem, de , que 1 ψ (0) = ψ = 0.

                                          De , segue que ψ

                                          = ψ em Ω×]0, T [. Logo, −1

                                        • qψ = 0 em H (Ω). (3.1.82) − ∆ψ

                                          Compondo a equa¸c˜ao com ψ , obtemos 2 √ 1 2 2 qψ = 0 kψ k H + k k L (Ω)

                                          e, portanto, ψ = 0.

                                          Como ψ ´e solu¸c˜ao de  ′′

                                          ψ − ∆ψ + qψ = 0 em Q,

                                              

                                          ψ = 0 em Σ,

                                              1

                                           ψ , ψ 1 (0) = ψ (0) = ψ em Ω,

                                          , ψ e {ψ } = {0, 0}, segue que ψ = 0. (3.1.83)

                                          Por outro lado, de temos que L = 1, 2 (0,T ;L (ω)) 2 kψk o que ´e uma contradi¸c˜ao com . Assim sendo, fica provada a desigualdade

                                          Z T Z Z T Z 2 ′ 2 dxdt. ω ω |θ| ≤ C |θ | Observa¸c˜ ao 3.11 Da Observa¸c˜ao tem-se a desigualdade T Z Z 2 E dxdt, θ

                                          (0) ≤ C |θ | ω o que prova .

                                          Definamos 2 2 R (·, ·) : (D(Ω)) × (D(Ω)) −→ T 1 1 (3.1.84) Z Z

                                          , φ , ζ φζdxdt {{φ }, {ζ }} 7→ ω 1 1

                                          , φ , ζ onde φ e ζ s˜ao solu¸c˜oes de associadas aos dados iniciais {φ },{ζ } ∈ D(Ω) × D(Ω).

                                          Mostraremos que a aplica¸c˜ao definida em define um produto interno. ´ E ∗ ´e uma aplica¸c˜ao bilinear positiva. Resta-nos provar que ´e uma aplica¸c˜ao evidente que (·, ·) estritamente positiva. Mais precisamente, provaremos que 1 1 1 , φ , φ = φ = 0.

                                          ({φ }, {φ }) = 0 ⇔ φ Com efeito, a implica¸c˜ao (⇐) ´e trivial. Provaremos a outra implica¸c˜ao. Suponhamos que T 1 1 Z Z 2

                                          , φ , φ = (3.1.85) ({φ }, {φ }) |φ |dxdt = 0. ω 2R &lt;

                                          Ora, pelo Teorema temos que para T &gt; T , onde T = com Q 1−Q 1 1 1, ´e valida a seguinte desigualdade T 2 2 1 2 1 dxdt. (3.1.86) Z Z 2 0 ≤ {kφ k L (Ω) + |φ | H (Ω) } ≤ C |φ| 1 ω De , conclu´ımos que φ = φ = 0, o que prova o desejado. Do exposto, resulta que a aplica¸c˜ao 2 R k·, ·k : (D(Ω)) → 1 Z T Z 2 1 2 (3.1.87)

                                          , φ dxdt 2 {φ } 7→ |φ| ω . Consideremos F o espa¸co de Hilbert obtido completando-se define uma norma em (D(Ω)) 2 , isto ´e,

                                          (D(Ω)) com a norma k·, ·k k·,·k ∗ F = . (3.1.88)

                                          D(Ω) × D(Ω) Contudo, dos Teorema existem C 1 , C 2 &gt; 0 tais que

                                          C 1 k{φ , φ 1

                                          Desta forma, pelo Teorema De Lax-Milgram, dado {Y , Y 1

                                          , φ 1 }, {ζ

                                          , ζ 1 }) = he Λ{φ

                                          , φ 1 }, {ζ

                                          , ζ 1 }i, ∀{φ

                                          , φ 1 }, {ζ

                                          , ζ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1

                                          (Ω), (3.1.92) segue que a aplica¸c˜ao b(·, ·) ´e bilinear, cont´ınua e coerciva.

                                          } ∈ F = (L 2

                                          , φ (0) = φ 1 em Ω.

                                          (Ω) × H −1 (Ω)) = L 2

                                          (Ω) × H 1 (Ω), existe um ´ unico {φ

                                          , φ 1 } ∈ L 2 (Ω) × H −1

                                          (Ω) tal que h{Y , Y 1

                                          }, {ζ , ζ 1

                                          }i = b({φ , φ 1

                                          }, {ζ , ζ 1

                                          }), ∀{ζ , ζ 1

                                          Analogamente, definindo b ({φ

                                          φ (0) = φ

                                          }k L 2 (Ω)×H 1 (Ω) ≤ Z T Z ω

                                          Tal como se fez anteriormente, mostra-se que a aplica¸c˜ao Λ, definida em , ´e cont´ınua quando induzimos sobre D(Ω) × D(Ω) a topologia dada pela norma k·, ·k

                                          |φ| 2 dxdt 1 2 ≤ C 2 k{φ

                                          , φ 1 }k L 2 (Ω)×H 1 (Ω)

                                          , (3.1.89) onde {φ , φ 1

                                          } ∈ D(Ω) × D(Ω). Resulta de que a norma k·, ·k ´e equivalente a norma k·, ·k L 2 (Ω)×H 1 (Ω) em D(Ω) × D(Ω). Consequentemente, de obtemos

                                          F =

                                          D(Ω) × D(Ω) k·,·k = D(Ω) × D(Ω) k·,·k L2 (Ω)×H 1(Ω) = L 2

                                          (Ω) × H −1 (Ω). (3.1.90)

                                          . Al´em disso, tal aplica¸c˜ao se estende por continuidade a uma aplica¸c˜ao e

                                          φ = 0 em Σ,

                                          Λ : L 2 (Ω) × H −1 (Ω) −→ L 2 (Ω) × H 1

                                          (Ω) {φ

                                          , φ 1 } 7→ {ψ (0), −ψ(0)}

                                          (3.1.91) onde ψ ´e solu¸c˜ao de           

                                          ψ ′′ − ∆ψ + qψ = −φχ ω em Q,

                                          ψ = 0 em Σ, ψ (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω e φ ´e solu¸c˜ao ultra-fraca de

                                                    

                                          φ ′′ − ∆φ + qφ = 0 em Q,

                                          } ∈ F, o que implica, em fun¸c˜ao de defini¸c˜ao de b(·, ·) dada em , que    dado {Y

                                          , Y 1 } ∈ F

                                          φ = 0 em Σ, φ (0) = φ , φ (0) = φ 1 em Ω.

                                          e, de , existe um ´ unico {φ , φ 1

                                          , −y } ∈ F

                                          , Y 1 } = {y 1

                                          (3.1.98) tem-se que o par {Y

                                          , y 1 } ∈ H,

                                          (Ω), (3.1.97) ent˜ao, dado {y

                                          &lt; 1 e H = H 1 (Ω) × L 2

                                          2R 1 − Q 1 , onde Q 1

                                          =

                                          Assim, elegendo-se T

                                          (Ω) e F = L 2 (Ω) × H 1 (Ω).

                                          F = L 2 (Ω) × H −1

                                          (3.1.96) Lembremos que

                                          φ ′′ − ∆φ + qφ = 0 em Q,

                                          , existe um ´ unico {φ

                                          (3.1.95) onde φ ´e a ´ unica solu¸c˜ao, por transposi¸c˜ao, de           

                                          ψ (T ) = ψ (T ) = 0 em Ω,

                                          ψ = 0 em Σ,

                                          ψ ′′ − ∆ψ + qψ = −φχ ω em Q,

                                                    

                                          = −ψ(0), (3.1.94) onde ψ ´e a ´ unica solu¸c˜ao de

                                          } ∈ F tal que Y = ψ (0) e Y 1

                                          , existe um ´ unico {φ , φ 1

                                          , Y 1 } ∈ F

                                             dado {Y

                                          }, (3.1.93) ou ainda, em virtude de conclu´ımos que

                                          } = e Λ{φ , φ 1

                                          {Y , Y 1

                                          , φ 1 } ∈ F tal que

                                          } ∈ F tal que ψ (0) = y e ψ (0) = y 1 , (3.1.99) onde ψ ´e a ´ unica solu¸c˜ao de com 1 dados φ e φ . Considerando-se 2 2 h (0, T ; L (Ω)) (3.1.100) = −φ ∈ L no problema , temos que tal problema possui um ´ unica solu¸c˜ao y. Observemos que, de . Logo, pela unicidade de solu¸c˜ao, vem que y = ψ e, consequentemente, de , conclu´ımos que y(T ) = y (T ) = 0 desde que T &gt; T . 3

                                        Refer ˆencias Bibliogr ´aficas

                                          [1] BR´ EZIS, H.: Analyse Fonctionnelle (Th´ eore et Applications). Paris, Masson, 1983.

                                          [2] BR´ EZIS, H., CAZENAVE, T.: Nonlinear Evolution Equations. Preprint, 1994. [3] CAVALCANTI, M. M.; DOMINGOS CAVALCANTI, V. N; KOMORNIK, V.: In- trodu¸c˜ ao ` a An` alise Funcional.Eduem, Maring´a, 2011.

                                          [4] CAVALCANTI, M. M.; DOMINGOS CAVALCANTI, V. N.: Inicia¸c˜ ao ` a Teoria das distribui¸c˜ oes e aos Espa¸cos de Sobolev. EDUEM, Maring´a, 2009.

                                          [5] CAVALCANTI, V. N. Comportamento Assint´ otico Das Solu¸c˜ oes Do Sistema De Elasticidade. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1995.

                                          [6] CAZENAVE, T.; HARAUX, A.: An Introduction To Semilinear Evolution Equa- tions. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications,v.13, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. [7] EVANS, L.C.: Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics.

                                          American Mathematical Society. [8] KOMORNIK, V.; Exact controllability and stabilization. The multiplier method. John Wiley, Masson (1994).

                                          [9] KUFNER, A.; JOHN, O.; FUC´IK, S.: Function Spaces. Kluwer, Czechoslovakia, 1977. [10] LIONS, J. L. Contrˆ olabilite Exacte Perturbations Et Stabilisation de Syst` emes Distribu´ es. Tome 1. Contrˆolabilit´e Exacte, Masson, Paris, RMA 8. (1988).

                                          [11] LIONS, J. L.; MAGENES, E. Probl` emes aux Limites non Homog` enes. Applicati- ons, Dunod, Paris, 1968 Vol. I.

                                          [12] LIONS, J. L. Quelques M´ ethodes de R´ esolution des Probl` emes Aux Limites Non Lin´ eaires. Dunod, Gauthier-Villars, 1969.

                                          [13] LIU, Z. &amp; ZHENG, S.: Semigroups associated with dissipative systems, Chapman &amp; Haal/CRC Research Notes in Mathematics v. 398, Boca Raton, FL, 1999.

                                          [14] MEDEIROS, L. A., MELLO, E.A.: A Integral de Lebesgue. Textos e M´etodos Ma- tem´aticos 18, Rio de Janeiro, IM-UFRJ. 1989.

                                          [15] MIRANDA, M. M. Tra¸co Para O Dual Dos Espa¸cos De Sobolev, Boletim sa o o Sociedade Paranaense de Matem´atica. 2 S´erie. Vol. 11, n. 2,p.57-176. Curitiba. Outubro de 1990.

                                          [16] PAZY, A.: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffe- rential Equations, Applied Mathematical Sciences v. 44, Springer-Verlag, New York, 1983. [17] PUEL, J. P.: Global Carleman Inequalities for the Wave Equation and Appli- cations to Controllability and Inverse Problems. Lectures notes used in advances school Control of Solids and Structures: Mathematical Modelling and Engineering Ap- plications at the C.I.S.M. in Udine in June 2004 and to a part of D.E.A. course at the University Pierre et Marie Curie in 2003-2004. [18] RUIZ, A.: Unique continuation for weak solutions of the wave equation plus a potential. J. Math. Pure Appl., v. 71, p. 455-467, 1992.

                                          [19] SORIANO, J. A. Exact controllability of the generalized telegraph equation.

                                          (Spanish) Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid 8 (1995), no. 2, 459-493. [20] ZEIDLER, E.: Nonlinear Functional Analysis and its Aplications. Vol 2A: Linear monotone operators, Springer-Verlag, (1990).

                                          [21] ZHENG, S.: Nonlinear evolution equations, Chapman &amp; Haal/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics v. 133, Boca Raton, FL, 2004.

                                          [22] ZUAZUA, E.: Controlabilidad Exacta Y Estabilizacion De La Ecuacion De o Ondas. Textos Matem´aticos da UFRJ, n 23, 1990.

                                          ´Indice

                                          A Aberto Bem Regular, Aberto Com Fronteira De Classe C m , C Controlabilidade Exata

                                          Interna, Pela Fronteira,

                                          D Derivada

                                          Fraca, Distribui¸c˜ao, E Energia, Equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao, Espa¸co

                                          Fun¸c˜oes Teste, G Gerador infinitesimal,

                                          O Operador acretivo, adjunto, Anti-adjunto, Anti-sim´etrico, Auto-adjunto, Dom´ınio de um, Gr´afico de um, Imagem de um, Linear Ilimitado, Linear Limitado, Linear N˜ao Limitado, Sim´etrico,

                                          P Problema de valor inicial, S Semigrupo de classe C , T gerado por um operador A, Teorema uniformemente limitado, de Aubin-Lions,

                                          Solu¸c˜ao de Rellich Kondrachov,

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