DIMENSIONAMENTO POR TRAÇÃO E COMPRESSÃO
MECÂNICA
Wagner Marques
DIMENSIONAMENTO POR TRAđấO E COMPRESSấO
A tração é um esforço que tende a alongar um corpo, ao passo que a compressão atua de maneira oposta, tendendo a diminuir o tamanho do objeto. Para o dimensionamento baseado nesses tipos de esforços, utilizam-se as fórmulas a seguir:
S Z = ∆ = ∆
ε ℓ = F E = σ σ
S ℓ
S ε F onde, – carga aplicada
S
- – área da seção transversal
- – tensão
σ E
- – módulo de elasticidade do material
- - deformação sofrida ε
∆ – variação de comprimento ℓ
- - comprimento inicial
ℓ Z – estricção
S ∆
- – variação da área
S
- área inicial
Em se tratando de um projeto, faz-se necessária a adoção de um coeficiente de segurança, que é aplicado sobre o valor de uma tensão conhecida do material a ser utilizado, obtendo-se a tensão admissível, ou seja, aquela que realmente será a base para o dimensionamento de uma peça. O coeficiente de segurança pode ser obtido a partir da tabela a seguir ou ser adotado de acordo com a experiência do projetista.
- tensão admissível
adm
σ
adm = rup rup - tensão de rupturaσ σ
σ
N
N – coeficiente de segurança
TABELA PARA CÁCULO DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA
N = A . B . C . D FATOR ESPECIFICAđấO2 Exercícios:
2
4) Qual o limite de resistência à compressão de um material que tem 5cm
de seção transversal, sabendo-se que o material está exposto a uma força de 2300kgf.
2
2) E se o corpo de prova possuísse 50mm de comprimento e ficasse com 50,75mm, após a aplicação de uma carga axial de tração, qual seria o percentual de alongamento? 3) Calcule a tensão que deve ser suportada por um tirante de aço de 2cm
1) Determine qual o alongamento sofrido por um corpo de 50mm de comprimento que, submetido a uma força axial de tração, ficou com 50,25mm de comprimento.
Materiais dúcteis 1,5 Materiais frágeis
VALOR A Ferro fundido e aço carbono
3 Alto impacto 4 a 5 D
2 Pouco impacto
1 Carga gradual
3 C Carga constante
2 Carga alternada
1 Carga dinâmica
2 Forjada, temperada, aço níquel 1,2 B Carga estática
de área de seção
5) Um corpo de prova metálico de 10mm de diâmetro e 50mm de comprimento foi submetido a uma carga axial de tração de 3,5t , tendo seu comprimento aumentado para 54,5mm e seu diâmetro reduzido para 8,2mm. Determine o alongamento e a estricção percentuais, bem como a tensão produzida sobre o referido corpo de prova.
6) Um corpo de prova de aço com diâmetro d = 20mm e comprimento = 60mm será
ℓ
submetido a um ensaio de compressão. Se for aplicada uma força F de 1,57t, determine a tensão absorvida pelo corpo de prova e o seu comprimento final, sabendo-se que o módulo
6
2 de elasticidade do aço é igual a 2,1 x 10 kgf/cm .
7) Uma barra de latão de seção transversal circular, diâmetro de 20mm e comprimento de 0,5m, pode se alongar em 0,08cm, quando submetida a uma carga axial de tração.
5
2 Sabendo-se que o módulo de elasticidade do latão é de 9,5 x 10 kgf/cm , determine a carga máxima que pode ser suportada pela referida barra.
8) Uma barra de aço, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração de
2
25t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione a mesma.
9) Uma barra de aço, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração de
2
50t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione a mesma.
10) Uma barra de aço níquel, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração estática de 60t, aplicada gradualmente. Sabendo-se que a tensão de ruptura do
2
material é de aproximadamente 4000 kgf/cm , dimensione a mesma.11) Uma barra de ferro fundido, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração estática de 48t, aplicada de forma constante. Sabendo-se que a tensão de ruptura do
2
material é de aproximadamente 4200 kgf/cm , dimensione a mesma.12) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal circular, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 40t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a
2
tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione as barras.
A 53º 53º C sen 53º = 0,80 cos 53º = 0,60 B 40t
13) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal quadrada, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 60t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a
2
tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione as barras.
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A 37º 37º C sen 37º = 0,60 cos 37º = 0,80 B
60t
14) Duas barras articuladas, AB de seção circular e BC de seção quadrada, suportam na articulação B uma carga de 41t, conforme a figura. A tensão de ruptura do aço utilizado é
2
de 4200 kgf/cm e são adotados os coeficientes de segurança 2,8 e 4,2, respectivamente, para a barra tracionada e para a comprimida. Determine o diâmetro da seção transversal da barra AB e o lado do quadrado da barra BC.
A sen 25º = 0,57 cos 25º = 0,82 25º 41t C B
DIMENSIONAMENTO POR CISALHAMENTO
O esforço conhecido por cisalhamento ocorre quando duas forças de mesma direção e sentidos opostos atuam praticamente na mesma seção, tendendo a provocar o corte do corpo. Um exemplo bem típico do esforço de cisalhamento pode ser representado pela tesoura, na qual suas lâminas promovem forças de mesma direção e sentidos opostos, ocasionando o corte do material. Ao analisarmos uma peça ou um conjunto, devemos verificar onde ocorre a possibilidade de cisalhamento e visualizarmos a área a ser cisalhada. Desta forma, é possível realizar o dimensionamento, utilizando-se a fórmula a seguir, além do cálculo da área sujeita ao cisalhamento.
F
– carga aplicada
= F τ
S
- – área da seção cisalhada
S
- – tensão de cisalhamento
τ
Exercícios: 1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, conforme a figura abaixo. Sabendo- se que o rebite possui diâmetro igual a 0,8cm e deverá suportar uma carga de 3t, determine a tensão de cisalhamento no mesmo.
REBITE BARRAS
2) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de tração de 9,6 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele utilizará um total de 6 rebites na execução do serviço, e que os mesmos possuem 1,6cm de diâmetro, determine a tensão de cisalhamento a qual estão submetidos os rebites.
REBITE BARRAS
3) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de 2cm de diâmetro, cujo material dos mesmos resiste a uma tensão de cisalhamento da
2
ordem de 400 kgf/cm , determine o número mínimo de rebites que deverá utilizar, a fim de que seja suportado o referido esforço.
REBITE BARRAS
4) O desenho abaixo representa uma união de garfo e braço, através de um pino, muito comum em tratores. Sabendo-se que o conjunto será submetido a uma força de 11 toneladas e que a tensão admissível ao cisalhamento do material do pino é de 3100
2 kgf/cm , determine o diâmetro do pino. pino garfo
11t braço
5) Uma chapa de 25mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 31,4t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de
2 400kgf/cm , determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. PUNđấO CHAPA
6) Uma chapa de 20mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 15,7t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de
2 500kgf/cm , determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. PUNđấO CHAPA
7) Considere o pino de 1,6 cm de diâmetro submetido a uma força axial de tração de 3 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 5mm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida.
pino 3t 5mm
8) O pino metálico de seção transversal circular encontra-se submetido a uma força axial de tração de 4,71 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 6mm e a
2 tensão de cisalhamento do material do mesmo é de 500 kgf/cm , dimensione-o. pino
4,71t 6mm llll M t llll
M t 6,0cm 2cm
2,2c m eixo polia chaveta
9) A figura ao lado mostra uma polia solidarizada a um eixo por intermédio de uma chaveta de dimensões 2,0cm x 2,2cm x 4,0cm. Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 12.000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 6cm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida a chaveta.
5cm ℓ
2,2c m eixo polia chaveta
10) A figura ao lado mostra uma polia solidarizada a um eixo por intermédio de uma chaveta de dimensões
ℓ x 2,2cm x 5,0cm, cujo material suporta uma tensão máxima de cisalhamento de 700 kgf/cm
2
. Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 14000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 5cm, determine a largura “ ℓ ” da chaveta utilizada.
11) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis parafusos de 1,5cm de diâmetro. Sabendo-se que o momento torsor a ser transmitido é de 20400 kgf x cm, determine a tensão de cisalhamento à qual os parafusos se encontram submetidos.
parafuso 12 cm
12) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis
2
parafusos, cujo material apresenta uma tensão de cisalhamento de 616 kgf/cm . Sabendo- se que o momento torsor a ser transmitido é de 18480 kgf x cm, determine o diâmetro dos parafusos.
parafuso
DIMENSIONAMENTO POR TORđấO = 16T x d = 16T e τ τ
4
4
3
x (d e i )
d – dπ π x
eixos maciços eixos vazados
T
- – torque ou momento torsor aplicado
d
- – diâmetro do eixo
d e – diâmetro externo do eixo d i
- – diâmetro interno do
- – tensão de cisalhamento
τ
Exercícios:
2
1) Uma barra de aço, cujo material suporta uma tensão cisalhante de 600 kgf/cm , está submetida a um torque de 2 t.m. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro. 2) A árvore deve executar com segurança o trabalho proposto no esquema abaixo. O
2
material a ser utilizado apresenta tensão de cisalhamento da ordem de 480 kgf/cm , para a qual deverá ser adotado um coeficiente de segurança igual a 1,2. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro.
2 3) Um eixo de aço apresenta tensão de cisalhamento admissível igual a 840 kgf/cm .
Supondo que o diâmetro do eixo seja de 37,5mm, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo
T’ se fosse feito um furo de 25mm de
diâmetro ao longo do eixo? 4) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo.
Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.
Ângulo de torção ângulo de torção
θ – T
- – torque ou momento torsor aplicado
= 32T x θ ℓ
4 d x d x G – diâmetro do eixo
π comprimento do eixo
ℓ - G – módulo de elasticidade de cisalhamento
1) Uma barra cilíndrica maciça de 1m de comprimento e diâmetro igual a 10cm está submetida a um torque de 1 t.m. Sabendo-se que o material da barra apresenta um módulo
5
2
de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10 kgf/cm , determine o ângulo de torção sofrido.
2) Uma barra cilíndrica de diâmetro igual a 9,5cm encontra-se submetida a um torque de 1,3 t.m, sofrendo um ângulo de torção de 0,86º. Sabendo-se que o material da barra
5
2
apresenta um módulo de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10 kgf/cm ,
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
1 – TIPOS DE VIGAS
Denominam-se vigas as estruturas formadas por barras, de eixo plano, submetidas a esforços, contidos no plano da estrutura.
VIGA EM BALANÇO
Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não
F
possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma viga
A engastada ou em balanço
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
Uma viga, articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simplesmente
apoiada. Em geral, temos numa das extremidades um apoio articulado fixo e na outra, um
apoio articulado móvel.F F – carga aplicada A – apoio articulado fixo
A C B B – apoio articulado móvel
VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM BALANÇOS
Quando a viga simplesmente apoiada se prolonga além de um, ou ambos os apoios, diz-se que se trata de uma viga simplesmente apoiada com balanços.
F F – carga aplicada A – apoio articulado fixo
A C B B – apoio articulado móvel
2 –TIPOS DE CARREGAMENTOS
CARGAS CONCENTRADAS: O carregamento é representado por cargas aplicadas em
determinados pontos da viga em questão.Ex.: um pilar apoiado sobre uma viga.
F F – carga concentrada
A B C
CARGAS DISTRIBUÍDAS: O carregamento é contínuo e uniforme sobre toda a extensão da
viga ou parte da mesma.Ex.: uma parede apoiada sobre uma viga.
F/m F
- – carga distribuída por metro linear de viga
A B
3 – ESFORÇOS CORTANTES
Quando se carrega uma viga, aparecem, em geral, esforços internos, constituídos por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. São considerados esforços cortantes as cargas aplicadas à viga e as reações geradas nos apoios da mesma.
Para determiná-los é necessário, de início, calcular a força e o momento que estão solicitando a seção considerada. Pela estática, utilizamos que, quando um corpo encontra- se em equilíbrio, a resultante das forças que agem nesse corpo deve se anular, ou seja, o somatório dessas forças deve ser igual a zero.
4 – MOMENTOS FLETORES
O momento fletor é o momento produzido por todos os esforços que atuam naquela parte da estrutura que se conservou em equilíbrio. Seu valor pode ser obtido com o emprego da equação da estática que estabelece que a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula.
5 Ố DETERMINAđấO DOS ESFORđOS CORTANTES E DOS MOMENTOS FLETORES E ESBOÇO DOS SEUS RESPECTIVOS DIAGRAMAS
F F
- – carga aplicada A – apoio articulado fixo
A C B B - apoio articulado móvel
V A – reação no apoio A
V B – reação no apoio B
V A m,n
- – distâncias da carga às
V B extremidades m n p – distância entre as p extremidades
Precisamos relembrar, da estática, que o momento é calculado através do produto de uma força pela distância da mesma ao ponto de rotação, uma vez que momento é a tendência que uma força possui em produzir um movimento de rotação num determinado corpo. O somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser igual a zero. Em geral, consideramos as forças da esquerda para a direita. Utilizaremos, então, o apoio B para nossos cálculos. M = 0
B
Na resistência dos materiais, utiliza-se a seguinte convenção: o momento que gira no sentido horário será positivo (+) e o momento que gira no sentido anti-horário, negativo (-). (V A x p) A = F x n
- – (F x n) = 0 V p Calculada a reação no apoio A, utilizamos a equação da estática que nos diz que a resultante deve ser igual a zero: forças verticais de sentidos opostos.
- V = F = F
R = 0 V A B V B A
- – V Depois de determinadas as reações nos apoios da viga, é possível construir o diagrama de esforços cortantes: D.Q.
V + A F B A C
- – (F x n) = 0 (o momento fletor nas extremidades é nulo) Desta forma, esboçamos o diagrama de momentos fletores: D.M.
Exemplo: Determine as reações nos apoios da viga a seguir e desenhe o diagrama de
esforços cortantes e o diagrama de momentos fletores.
- – (4 x 2,5) = 0
- – 10 = 0 → 4V
V A
M B = 0 A A A A C C C C B B B B M C
M B = + (2,5 x 4)
M C = + 3,75 t x m
= + (2,5 x 1,5)
C
M
V B = 1,5t M A = 0
V B = 4
V B = 4
= 4
B
V A
A = 2,5t R = 0
4 V
V A = 10
A = 10
4V A
(V A x 4)
B = 0
4t 1,5m 2,5m D.Q.
x m) M B = + (V A x p)
A
= + (V
C
= 0 (não existem forças à esquerda de A) M
A
Para determinarmos o momento fletor em cada seção da viga, consideramos as forças situadas à esquerda da seção em questão: M
V B 2,5t 2,5t 1,5t 1,5t 3,75t x m
- V
- – V A
- – 2,5
- _ D.M.
- – (4 x 2,5) M B = + 10
- – 10
- M
Exercícios: Determine as reações nos apoios das vigas a seguir e desenhe o diagrama de
esforços cortantes e o de momentos fletores.1)
9t A C B
4m 2m 2)
6t A C B
1,5m 2,5m
3) 8t 2t
A B D C 2,0m 2,0m 2,0m
4) 10t 4t
A D C B 1,5m 2,0m 1,5m
5) 12t 2t
D A C B
1,5m 2,5m 1,0m
6) 6t
3t 3t A E C D B
2,0m 1,0m 1,5m 1,5m
7) 8t
2t 3t
1,5m 1,0m 1,5m 1,0m
8)
5,5
t
4t 1,0m 3,0m 2,0m A
A C C B B D
D E
9) 7,5 t
2t 1,5m 2,5m 1,0m
10)
6,5
t
2t 2t 1,5m 1,5m 1,0m 1,0m A
A C C B B
D
D E
11)
8
t
4t 6t 1t
2,0m 2,0m 1,0m 1,5m 1,0m A CB D E F