DIMENSIONAMENTO POR TRAÇÃO E COMPRESSÃO

  MECÂNICA

  Wagner Marques

  DIMENSIONAMENTO POR TRAđấO E COMPRESSấO

  A tração é um esforço que tende a alongar um corpo, ao passo que a compressão atua de maneira oposta, tendendo a diminuir o tamanho do objeto. Para o dimensionamento baseado nesses tipos de esforços, utilizam-se as fórmulas a seguir:

  S Z = ∆ = ∆

  ε ℓ = F E = σ σ

  S ℓ

  S ε F onde, – carga aplicada

  S

• – área da seção transversal
• – tensão

  σ E

• – módulo de elasticidade do material
• - deformação sofrida ε

  ∆ – variação de comprimento ℓ

• - comprimento inicial

  ℓ Z – estricção

  S ∆

• – variação da área

  S

• área inicial

  Em se tratando de um projeto, faz-se necessária a adoção de um coeficiente de segurança, que é aplicado sobre o valor de uma tensão conhecida do material a ser utilizado, obtendo-se a tensão admissível, ou seja, aquela que realmente será a base para o dimensionamento de uma peça. O coeficiente de segurança pode ser obtido a partir da tabela a seguir ou ser adotado de acordo com a experiência do projetista.

• tensão admissível

   adm

σ

adm = rup rup - tensão de ruptura

  σ σ

σ

N

  

N – coeficiente de segurança

  

TABELA PARA CÁCULO DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA

N = A . B . C . D FATOR ESPECIFICAđấO

  2 Exercícios:

  2

  4) Qual o limite de resistência à compressão de um material que tem 5cm

  de seção transversal, sabendo-se que o material está exposto a uma força de 2300kgf.

  2

  2) E se o corpo de prova possuísse 50mm de comprimento e ficasse com 50,75mm, após a aplicação de uma carga axial de tração, qual seria o percentual de alongamento? 3) Calcule a tensão que deve ser suportada por um tirante de aço de 2cm

  1) Determine qual o alongamento sofrido por um corpo de 50mm de comprimento que, submetido a uma força axial de tração, ficou com 50,25mm de comprimento.

  Materiais dúcteis 1,5 Materiais frágeis

  VALOR A Ferro fundido e aço carbono

  3 Alto impacto 4 a 5 D

  2 Pouco impacto

  1 Carga gradual

  3 C Carga constante

  2 Carga alternada

  1 Carga dinâmica

  2 Forjada, temperada, aço níquel 1,2 B Carga estática

  de área de seção

  5) Um corpo de prova metálico de 10mm de diâmetro e 50mm de comprimento foi submetido a uma carga axial de tração de 3,5t , tendo seu comprimento aumentado para 54,5mm e seu diâmetro reduzido para 8,2mm. Determine o alongamento e a estricção percentuais, bem como a tensão produzida sobre o referido corpo de prova.

  6) Um corpo de prova de aço com diâmetro d = 20mm e comprimento = 60mm será

  ℓ

  submetido a um ensaio de compressão. Se for aplicada uma força F de 1,57t, determine a tensão absorvida pelo corpo de prova e o seu comprimento final, sabendo-se que o módulo

  6

  2 de elasticidade do aço é igual a 2,1 x 10 kgf/cm .

  7) Uma barra de latão de seção transversal circular, diâmetro de 20mm e comprimento de 0,5m, pode se alongar em 0,08cm, quando submetida a uma carga axial de tração.

  5

  2 Sabendo-se que o módulo de elasticidade do latão é de 9,5 x 10 kgf/cm , determine a carga máxima que pode ser suportada pela referida barra.

  8) Uma barra de aço, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração de

  2

  25t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione a mesma.

  9) Uma barra de aço, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração de

  2

  50t. Sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione a mesma.

  10) Uma barra de aço níquel, de seção transversal circular, suporta uma carga axial de tração estática de 60t, aplicada gradualmente. Sabendo-se que a tensão de ruptura do

  

2

material é de aproximadamente 4000 kgf/cm , dimensione a mesma.

  11) Uma barra de ferro fundido, de seção transversal quadrada, suporta uma carga axial de tração estática de 48t, aplicada de forma constante. Sabendo-se que a tensão de ruptura do

  

2

material é de aproximadamente 4200 kgf/cm , dimensione a mesma.

  12) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal circular, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 40t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a

  2

  tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3981 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 2, dimensione as barras.

  A 53º 53º C sen 53º = 0,80 cos 53º = 0,60 B 40t

  13) Duas barras de aço, iguais e de seção transversal quadrada, são articuladas nas extremidades e suportam uma carga de 60t, conforme a figura abaixo. Sabendo-se que a

  2

  tensão de ruptura do material é de aproximadamente 3000 kgf/cm e adotando-se um coeficiente de segurança igual a 1,5, dimensione as barras.

  / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A 37º 37º C sen 37º = 0,60 cos 37º = 0,80 B

  60t

  14) Duas barras articuladas, AB de seção circular e BC de seção quadrada, suportam na articulação B uma carga de 41t, conforme a figura. A tensão de ruptura do aço utilizado é

  2

  de 4200 kgf/cm e são adotados os coeficientes de segurança 2,8 e 4,2, respectivamente, para a barra tracionada e para a comprimida. Determine o diâmetro da seção transversal da barra AB e o lado do quadrado da barra BC.

  A sen 25º = 0,57 cos 25º = 0,82 25º 41t C B

DIMENSIONAMENTO POR CISALHAMENTO

  O esforço conhecido por cisalhamento ocorre quando duas forças de mesma direção e sentidos opostos atuam praticamente na mesma seção, tendendo a provocar o corte do corpo. Um exemplo bem típico do esforço de cisalhamento pode ser representado pela tesoura, na qual suas lâminas promovem forças de mesma direção e sentidos opostos, ocasionando o corte do material. Ao analisarmos uma peça ou um conjunto, devemos verificar onde ocorre a possibilidade de cisalhamento e visualizarmos a área a ser cisalhada. Desta forma, é possível realizar o dimensionamento, utilizando-se a fórmula a seguir, além do cálculo da área sujeita ao cisalhamento.

  F

• – carga aplicada

   = F τ

  S

• – área da seção cisalhada

   S

• – tensão de cisalhamento

  τ

  Exercícios: 1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço, conforme a figura abaixo. Sabendo- se que o rebite possui diâmetro igual a 0,8cm e deverá suportar uma carga de 3t, determine a tensão de cisalhamento no mesmo.

REBITE BARRAS

  2) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de tração de 9,6 toneladas, por intermédio de rebites. Sabendo-se que ele utilizará um total de 6 rebites na execução do serviço, e que os mesmos possuem 1,6cm de diâmetro, determine a tensão de cisalhamento a qual estão submetidos os rebites.

  REBITE BARRAS

  3) Um operário necessita unir duas barras de aço, que serão submetidas a uma força axial de 2cm de diâmetro, cujo material dos mesmos resiste a uma tensão de cisalhamento da

  2

  ordem de 400 kgf/cm , determine o número mínimo de rebites que deverá utilizar, a fim de que seja suportado o referido esforço.

  REBITE BARRAS

  4) O desenho abaixo representa uma união de garfo e braço, através de um pino, muito comum em tratores. Sabendo-se que o conjunto será submetido a uma força de 11 toneladas e que a tensão admissível ao cisalhamento do material do pino é de 3100

  2 kgf/cm , determine o diâmetro do pino. pino garfo

  11t braço

  5) Uma chapa de 25mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 31,4t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de

  2 400kgf/cm , determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. PUNđấO CHAPA

  6) Uma chapa de 20mm de espessura deverá ser perfurada por um punção, aplicando-se uma carga de 15,7t. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento do material da chapa é de

  2 500kgf/cm , determine o diâmetro máximo do punção a ser utilizado. PUNđấO CHAPA

  7) Considere o pino de 1,6 cm de diâmetro submetido a uma força axial de tração de 3 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 5mm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida.

  pino 3t 5mm

  8) O pino metálico de seção transversal circular encontra-se submetido a uma força axial de tração de 4,71 toneladas. Sabendo-se que a altura da cabeça do pino é de 6mm e a

  2 tensão de cisalhamento do material do mesmo é de 500 kgf/cm , dimensione-o. pino

  4,71t 6mm llll M t llll

  M t 6,0cm 2cm

  2,2c m eixo polia chaveta

  9) A figura ao lado mostra uma polia solidarizada a um eixo por intermédio de uma chaveta de dimensões 2,0cm x 2,2cm x 4,0cm. Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 12.000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 6cm, determine a tensão de cisalhamento a qual se encontra submetida a chaveta.

  5cm ℓ

  2,2c m eixo polia chaveta

  10) A figura ao lado mostra uma polia solidarizada a um eixo por intermédio de uma chaveta de dimensões

  ℓ x 2,2cm x 5,0cm, cujo material suporta uma tensão máxima de cisalhamento de 700 kgf/cm

  2

  . Sabendo-se que o momento de torção aplicado à polia é de 14000kgf x cm e que o diâmetro do eixo é de 5cm, determine a largura “ ℓ ” da chaveta utilizada.

  11) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis parafusos de 1,5cm de diâmetro. Sabendo-se que o momento torsor a ser transmitido é de 20400 kgf x cm, determine a tensão de cisalhamento à qual os parafusos se encontram submetidos.

  parafuso 12 cm

  12) A junta representada na figura a seguir é utilizada frequentemente para unir extremidades de dois eixos. As duas partes são solidarizadas por intermédio de seis

  2

  parafusos, cujo material apresenta uma tensão de cisalhamento de 616 kgf/cm . Sabendo- se que o momento torsor a ser transmitido é de 18480 kgf x cm, determine o diâmetro dos parafusos.

  parafuso

  DIMENSIONAMENTO POR TORđấO = 16T x d = 16T e τ τ

  

4

  4

  3

x (d e i )

d – d

  π π x

  eixos maciços eixos vazados

  T

• – torque ou momento torsor aplicado

  d

• – diâmetro do eixo

  d e – diâmetro externo do eixo d i

• – diâmetro interno do
• – tensão de cisalhamento

  τ

  Exercícios:

  2

  1) Uma barra de aço, cujo material suporta uma tensão cisalhante de 600 kgf/cm , está submetida a um torque de 2 t.m. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro. 2) A árvore deve executar com segurança o trabalho proposto no esquema abaixo. O

  2

  material a ser utilizado apresenta tensão de cisalhamento da ordem de 480 kgf/cm , para a qual deverá ser adotado um coeficiente de segurança igual a 1,2. Sabendo-se que a mesma é maciça, determine o seu diâmetro.

  2 3) Um eixo de aço apresenta tensão de cisalhamento admissível igual a 840 kgf/cm .

  Supondo que o diâmetro do eixo seja de 37,5mm, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo

  T’ se fosse feito um furo de 25mm de

  diâmetro ao longo do eixo? 4) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo.

  Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

  Ângulo de torção ângulo de torção

  θ – T

• – torque ou momento torsor aplicado

   = 32T x θ ℓ

  4 d x d x G – diâmetro do eixo

  π comprimento do eixo

  ℓ - G – módulo de elasticidade de cisalhamento

  1) Uma barra cilíndrica maciça de 1m de comprimento e diâmetro igual a 10cm está submetida a um torque de 1 t.m. Sabendo-se que o material da barra apresenta um módulo

  5

  2

  de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10 kgf/cm , determine o ângulo de torção sofrido.

  2) Uma barra cilíndrica de diâmetro igual a 9,5cm encontra-se submetida a um torque de 1,3 t.m, sofrendo um ângulo de torção de 0,86º. Sabendo-se que o material da barra

  5

  2

  apresenta um módulo de elasticidade de cisalhamento da ordem de 8 x 10 kgf/cm ,

DIMENSIONAMENTO DE VIGAS

  1 – TIPOS DE VIGAS

  Denominam-se vigas as estruturas formadas por barras, de eixo plano, submetidas a esforços, contidos no plano da estrutura.

   VIGA EM BALANÇO

  Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não

  F

  possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma viga

  A engastada ou em balanço

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

  Uma viga, articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simplesmente

  

apoiada. Em geral, temos numa das extremidades um apoio articulado fixo e na outra, um

apoio articulado móvel.

  F F – carga aplicada A – apoio articulado fixo

  A C B B – apoio articulado móvel

  VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM BALANÇOS

  Quando a viga simplesmente apoiada se prolonga além de um, ou ambos os apoios, diz-se que se trata de uma viga simplesmente apoiada com balanços.

  F F – carga aplicada A – apoio articulado fixo

  A C B B – apoio articulado móvel

  2 –TIPOS DE CARREGAMENTOS

CARGAS CONCENTRADAS: O carregamento é representado por cargas aplicadas em

determinados pontos da viga em questão.

  Ex.: um pilar apoiado sobre uma viga.

  F F – carga concentrada

  A B C

CARGAS DISTRIBUÍDAS: O carregamento é contínuo e uniforme sobre toda a extensão da

viga ou parte da mesma.

  Ex.: uma parede apoiada sobre uma viga.

  F/m F

• – carga distribuída por metro linear de viga

  A B

  3 – ESFORÇOS CORTANTES

  Quando se carrega uma viga, aparecem, em geral, esforços internos, constituídos por tensões normais e de cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. São considerados esforços cortantes as cargas aplicadas à viga e as reações geradas nos apoios da mesma.

  Para determiná-los é necessário, de início, calcular a força e o momento que estão solicitando a seção considerada. Pela estática, utilizamos que, quando um corpo encontra- se em equilíbrio, a resultante das forças que agem nesse corpo deve se anular, ou seja, o somatório dessas forças deve ser igual a zero.

  4 – MOMENTOS FLETORES

  O momento fletor é o momento produzido por todos os esforços que atuam naquela parte da estrutura que se conservou em equilíbrio. Seu valor pode ser obtido com o emprego da equação da estática que estabelece que a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula.

5 Ố DETERMINAđấO DOS ESFORđOS CORTANTES E DOS MOMENTOS FLETORES E ESBOÇO DOS SEUS RESPECTIVOS DIAGRAMAS

  F F

• – carga aplicada A – apoio articulado fixo

  A C B B - apoio articulado móvel

  V A – reação no apoio A

  V B – reação no apoio B

  V A m,n

• – distâncias da carga às

  V B extremidades m n p – distância entre as p extremidades

   Precisamos relembrar, da estática, que o momento é calculado através do produto de uma força pela distância da mesma ao ponto de rotação, uma vez que momento é a tendência que uma força possui em produzir um movimento de rotação num determinado corpo.  O somatório dos momentos em relação a qualquer ponto deve ser igual a zero. Em geral, consideramos as forças da esquerda para a direita. Utilizaremos, então, o apoio B para nossos cálculos. M = 0

  B

   Na resistência dos materiais, utiliza-se a seguinte convenção: o momento que gira no sentido horário será positivo (+) e o momento que gira no sentido anti-horário, negativo (-). (V A x p) A = F x n

• – (F x n) = 0  V p  Calculada a reação no apoio A, utilizamos a equação da estática que nos diz que a resultante deve ser igual a zero: forças verticais de sentidos opostos.
• V = F = F

  R = 0  V A B  V B A

• – V  Depois de determinadas as reações nos apoios da viga, é possível construir o diagrama de esforços cortantes: D.Q.

  V + A F B A C

• – (F x n) = 0 (o momento fletor nas extremidades é nulo)  Desta forma, esboçamos o diagrama de momentos fletores: D.M.

• Exemplo: Determine as reações nos apoios da viga a seguir e desenhe o diagrama de

  esforços cortantes e o diagrama de momentos fletores.

• – (4 x 2,5) = 0
• – 10 = 0 → 4V

  V ^A

  M B = 0 A A A A C C C C B B B B M C

  M B = + (2,5 x 4)

  M C = + 3,75 t x m

  = + (2,5 x 1,5)

  C

  M

  V B = 1,5t M A = 0

  V B = 4

  V B = 4

  = 4

  B

  V A

  A = 2,5t R = 0

  4 V

  V A = 10

  A = 10

  4V A

  (V A x 4)

  B = 0

  4t 1,5m 2,5m D.Q.

  x m) M B = + (V A x p)

  A

  = + (V

  C

  = 0 (não existem forças à esquerda de A) M

  A

   Para determinarmos o momento fletor em cada seção da viga, consideramos as forças situadas à esquerda da seção em questão: M

  V ^B 2,5t 2,5t 1,5t 1,5t 3,75t x m

• V
• – V A
• – 2,5
• _ D.M.
• – (4 x 2,5) M B = + 10
• – 10
• M

  

Exercícios: Determine as reações nos apoios das vigas a seguir e desenhe o diagrama de

esforços cortantes e o de momentos fletores.

  1)

  9t A C B

  4m 2m 2)

  6t A C B

  1,5m 2,5m

  3) 8t 2t

  A B D C 2,0m 2,0m 2,0m

  4) 10t 4t

  A D C B 1,5m 2,0m 1,5m

  5) 12t 2t

  D A C B

1,5m 2,5m 1,0m

  6) 6t

  3t 3t A E C D B

  2,0m 1,0m 1,5m 1,5m

  7) 8t

  2t 3t

1,5m 1,0m 1,5m 1,0m

  8)

  5,5

  t

  4t 1,0m 3,0m 2,0m A

  A C C B B D

  D E

  9) 7,5 t

  2t 1,5m 2,5m 1,0m

  10)

  6,5

  t

  2t 2t 1,5m 1,5m 1,0m 1,0m A

  A C C B B

D

  D E

  11)

  8

  t

  

4t 6t 1t

2,0m 2,0m 1,0m 1,5m 1,0m A C

  B D E F