Dist. probablidade Prof. Alexandre

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1 Introdução à Distribuição de Probabilidades

  Contudo, os procedimentos param se determinar qual a distribuição de probabilidade mais adequada para certo conjunto de informações é relativamente simples e, uma única distribuição podeter um vasto espectro de aplicação. Neste material abordaremos os conceitos de variável aleatória, distribuição de probabilidades e processos para cálculo da esperança e variância de uma distribuição de probabilidades.

2 Definições

2.1 Variável Aleatória

  A variável aleatória é uma variável que tem um valor único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento. Exemplos de variáveis aleatórias: a.número de alunos que não compareceram a aula de estatística num determinado dia; b.altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente.

2.2 Distribuição de Probabilidades

2.2.1 Noções Iniciais

  A distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. A probabilidade de ocorrência de um evento deve ser maior do que zero e menor do que 1P (x)  1 para todo x No exemplo do lançamento de um dado, como todas as faces têm a mesma probabilidade de ocorrência que é 1/6 ao somá-las obtemos o valor 1, que corresponde a primeira regra citada acima.

2 P(x)] -

  Extrapolação: estimar a probabilidade de eventos extremos a variação de um conjunto de dados particular exige a suposição de eventos ainda não observados. Isso pode ser realizado com a imposição de um modelo de probabilidade (isto é, uma distribuição teórica) ajustado a série de dados.

2.2.4 Distribuição Discreta e Contínua

  Há dois tipos de distribuições teóricas que correspondem a diferentes tipos de dados ou variáveis aleatórias: a distribuição discreta e a distribuição contínua. A distribuição discreta descreve quantidades aleatórias (dados de interesse) que podem assumir valores particulares e os valores são finitos.

3 Distribuições Contínuas

  Existem duas funções associadas a cada variável contínua X: a função densidade de probabilidade, simbolizada por f(X), e a função cumulativa de probabilidade, ou função de distribuição de probabilidade representada por F(X). A função f(X) é aquela cuja integral de X = a até X = b (b a) dá a probabilidade de que X assuma valores compreendidos no intervalo (a, b), ou seja, b     P  a X b  f X dX (2) a A função cumulativa de probabilidade F(b) é tal que: b  Pr    (3) F   b ob  X b  f X dX    X   (4) fX  e dX com x  0.

3.1 Distribuição Normal

  A distribuição de probabilidade contínua mais importante e mais utilizada é a distribuição normal, geralmente citada como curva normal ou curva de Gauss. Sua importância em análisematemática resulta do fato de que muitas técnicas estatísticas, como análise de variância, de regressão e alguns testes de hipótese, assumem e exigem a normalidade dos dados.

3.1.1 Teorema do Limite Central

  1 1 1 3,00 3 7 7 4 5,00 9 5 1 1,75 1 3 4 1,75 2 5 2,75 3 1 2 8 3,50 4 2 6 2,25 1 5 7 4,25 1 4 5 6 5,75 7 5 9 1 3 3,50 7 2 5 6 8 9 5,50 5 9 7 4,50 2 8 6 4,00 2 9 6 6,25 8 8 7 3 4,00 6 9 5 6,50 3 9 4 1 4,00 6 5 5 9 7,00 6 4 7 4,50 3 4 3,75 Tabela 3. 8 8 8,25 6 2 3,50 2 4 3 5 5,00 3 9 2 5 3,25 1 5 8 7 9 3 6 4,25 3 5 6 4 4,75 8 1 IV Média III Amostra Amostra I Amostra IIAmostra 7 1 6 5,25 2 8 6 6 9 7,25 9 5 1 3 3,00 8 5 7 4,75 1 6 2 2 5,25 9 9 6 1 3,00 5 4 1 5,00 8 7 3 9 5,00 3 5 5 4 4,75 1 4 9 6,00 7 8 6 5,25 4 3 7 4,75 4 3 8 3,75 2 5 7 7 5 4,50 1 3 4 3,75 8 3 7 4,50 5 6 5 4 1 2 2,50 7 2 9 5 4,00 8 3 2 2 3,75 2 1 6 4,00 2 6 7 7 1 5,25 2 3 3 9 4,25 6 7 6,00 Figura 3.

3.1.2 Parâmetros da Distribuição Normal

  A distribuição normal é uma distribuição de dois parâmetros (média) e  (desvio-padrão). A densidade de probabilidade desta distribuição tem a seguinte forma:2  X   2 1 2  (10)      f   X e para x  2 onde  e  são a média e o desvio-padrão da população, respectivamente.

2 X 

  X  i  (12) 2  i 1 s  N 1 Uma notação bastante empregada para designar que uma variável tem distribuição normal com 2 2 média e variância s (s é a representação de  e de  de uma amostra) é . 2 A probabilidade de que X assuma valores menores ou iguais a um dado x quando X é N( ,s ) éx estimada por:2  X    X 2 12     (13) F X e dX   2   Mas essa equação não pode ser resolvida analiticamente sem o uso de métodos de integração X X   aproximada.

25 P(0,04

  176/ f fX fX 2 2 2 2  11 2 1942 1049 1237 1967 1271 1992 1435 1918 1510 1943 680 1968 1993 1 1390 1919 1138 1944 1153 1969 982 1994 1265Consideramos os dados de chuva anual da tabela acima, cuja distribuição de freqüência é reproduzida na tabela 6, na qual se tem: 100 1694 1778 Ano Prec. As freqüências esperadas (fe) em cada classe, (a última coluna da tabela 6) são obtidas, multiplicando-se o valor de F(X) pela soma de todas as freqüências, ou seja:fe 1 = 0,0823 x 100 = 8,2 fe 2 = 0,1660 x 100 = 16,6 fe 3 ) = 0,7673Z = (1511 4 AssimZ s = 294,83 Tabela 6.

8 A soma das freqüências esperadas (fe) deve ser igual a soma das freqüências observadas (f)

  A representação gráfica do ajuste acima é indicada na figura 5. Totais anuais de chuva de Pelotas (RS), no período de 1895 a 1994, ajustada à distribuição normal (Assis et al., 1996, pg.

3.2 Distribuição Gamma

  Exemplos comuns desta situação são as quantias de precipitação e a velocidade do vento que são fisicamente não negativas. A freqüência ou função densidade de probabilidade da distribuição gamma é: X  1   1  (15) f   X X e       onde é um parâmetro de escala,  é o parâmetro de forma e () é a função gamma ordinária de .

1 X

  para X  1 , 2 , 3 , ...  X  1   X    X para X    1 / 5     1 , 77245 O valor de (X) pode ser obtido, com boa aproximação, através da seguinte relação: 2 X  ln     X  f X  (17)   X  e X onde: 1 1 1    f   X 1 (18) 2 4 6 12 X 360 X 1260 X A tabela 7 fornece os valores de (X), com base nestas relações. A média, a variância e o coeficiente de assimetria (A) da distribuição gamma podem ser obtidos por:(19)   X 2 2 (20)   sA  2 (21)  A distribuição gamma tem assimetria positiva com o parâmetro  diminuindo e o parâmetro  aumentando.

4 A

3    X (23)  sendoA  ln X  X(24) g onde N 1 X X(25) i N i  1 é a média aritmética e N

1 X  ln  

  A função cumulativa de probabilidade é: X X  1   1  (30)F   X  X e dX      Esta equação não tem solução imediata, exigindo tabelas ou técnicas de integração numérica como expansão em série e a fórmula de Simpson, por exemplo. Considerando-se a tabela 9, tem-se:         f 18 28 20 13 9 4 2 1 95                  fX 18 31 , 1 28 73 , 1 20 115 , 1 13 157 , 1 9 199 , 1 4 241 , 1 2 283 , 1 1 325 , 1 10 .

1 Y f

       , 4 7206 , 7 7296 7206 ,, 6 7206 , 5 7306                    52 t   , 6 7206 , 5 7206, 4 7206 1 0066 ,41 1 , 2705 ,  A solução dessa equação exige o emprego de técnicas de integração numérica ou uso de tabelas específicas. Mas, considerando apenas a primeira classe, a título de exemplo, tem-se:  5  1 3 2705 ,1 7206 , 3 2705 ,1 7206 , 41 X  4583 ,  1 X F   1838 ,        , 1 12602 003859 , 020413 , 091909 , 341484 ,, 1 12602 5432 2705 ,1 7206 ,2 , 5 7206 , 4 72063 2705 , 2 2705 , 1 , 5704 e, 1 7206 1 3 2705 , 3 2705 ,1 7206 , 1 7206 ,, 4 7206 X 706 , 0066 , 7206 , , 7206 98879 , .

1 F t

  Distribuição de freqüências dos totais mensais de chuva de janeiro em Pelotas Ponto Médio Classes f FX fe(X) 10,1 31,1 18 0,1838 17 28 0,4734 28 20 0,7052 22 13 0,8489 14 9 0,9272 7 4 0,9663 4 2 0,9849 2304,1 325,1 1 0,9934 1 95 95 O histograma de freqüências deste exemplo é mostrado na figura 6. Totais de chuva mensal de janeiro em Pelotas, RS, ajustados a distribuição gamma (Assis et al., 1996, pg. 59).

3.3 Distribuição de Valores Extremos

  A distribuição de probabilidade que trata dessa questão: valores máximos oumínimos de eventos climatológicos que servem de subsídios para projetos de engenharia é a distribuição de valores extremos, ou distribuição tipo I de Fisher-Tippet ou, ainda, distribuição deGumbel. Sua função densidade de probabilidade tem a forma: X  X     1   e (32) f  X  e e   X     e (33) F   X eO duplo sinal no segundo expoente da equação (33) refere-se aos valores extremos máximo (sinal negativo) e mínimo (sinal positivo).

3.3.2 Método da Regressão

        X 1 N nln ln (39)Assim, se na equação (39) tomarmos Y 1 N nln ln       ,  a  eb 1  , ela toma a forma Y = a + bX, que é a equação da reta. Valores anuais de chuva máxima de 24 horas de Piracicaba, SP, ordenados para estimativa dos parâmetros da distribuição de valores etremos.

2 X 

   111 , 2  114 ,  38255 , 29  Y  1 , 4564  1 , 2802  ...   3 , 5835   4 , 2836   39 , 97  XY  39 , 9  1 , 4564  46 , 4  1 , 2802  ...

3.3.3 Método da Máxima Verossimilhança

  É um método iterativo no qual as estimativas de  e  são obtidas pela solução das seguintes equações: X  X e i   X (42) X  e  e X i      e       log(43)  N    O valor inicial de para iniciar a iteração é dado pela equação (34). Com as estimativas pelo método da máxima verossimilhança, a função cumulativa de probabilidade é então: F   X  exp   exp    X  63 , 1869  / 13 , 7932   a qual permite estimar as probabilidades de que X seja menor ou igual a determinado valor.

3.4 Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial é geralmente aplicada a dados com forte assimetria como aqueles cujo histograma tem a forma da figura 1B, ou seja de J invertido. Sua densidade de probabilidade tem aforma:   X (44) f   X   e e sua função de distribuição de probabilidade é do tipo:  X   X     F   X e 1 e (45)  O único parâmetro,, é estimado por 1   (46) X Com isso, a função cumulativa de probabilidade assume a forma geralmente encontrada na

1 X F

  Considere os dados diários de chuva de Pelotas   X Xe   (47)A esperança e a variância da distribuição exponencial são obtidas através das expressões: X = 1/ e s 2 = 1/ 2 , respectivamente. Distribuição de freqüências dos totais diários de chuva de janeiro de Pelotas, RS, no período de 1893 a 1994.

4 Distribuições Discretas

  De maneira semelhante às distribuições de variáveis contínuas, existem duas funções associadas P(X = x) = p(X)(48) A distribuição binomial com parâmetros n e q, por exemplo, tem a seguinte função de probabilidade:n    n X X   p  X q  1 q  (49)  X  com X assumindo os valores 0, 1, 2, 3, ... O símbolo P(X) é utilizado para indicar a função cumulativa de probabilidade, a qual representa a probabilidade de que a variável aleatória discreta X assuma um valor particular x, naforma: X (50) P   X p   X com X = 0, 1, 2, 3, ...

4.1 Distribuição Binomial

  Por exemplo, a probabilidade de se obter 45 respostas a 400 questionários distribuídos comoparte de um estudo sociológico, a probabilidade de 5 em 12 ratos sobreviverem por determinado prazo após serem injetados com substâncias cancerígenas, entre outros.       )X ( P q 1 qt n    X n q 1 qX n       4 2 6 4 p 4 70 , 30 ,     060 ,  X p  6 70 , 30 ,6 p       118 ,      Histograma Figura 9.da distribuiçãobinomial com n = 6 e q= 030.

4.2 Distribuição de Poisson

    , e X = 0, 1, 2, 3, ...onde X representa a média da distribuição binomial que é X n q A função cumulativa de probabilidade é:  X X e t (53)P   X  X  t ! Assim, o cálculo das probabilidades se segue com base na equação (53), ou seja:P(X = 0)  (2,0105 e (2,0105 e 1 e )/1 = 0,2692P(X = 2) (2,0105 2 e )/2 = 0,2707P(X = 3)  (2,0105 3 = 3,5Para X = 6  fe = 0,0123 x 95 = 1,2Para X = 7  fe = 0,0035 x 95 = 0,4 A figura abaixo representa o histograma dos dados da tabela 17.

4.3 Distribuição Geométrica

  Para esta distribuição há uma infinidade enumerável de possibilidades; oseventos são independentes e com probabilidade de sucesso p. A função de probabilidade da distribuição geométrica é:  X 1    (54) p    X 1  com , sendo:    1 1  1  (55) X   1 2 A variância da distribuição geométrica é obtida pelas expressão: .

5 Referências

  Aplicações de Estatística à Climatologia. E., and SIMONS, G., 1995: .

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