A teoria dos grafos como ferramenta na classificação de álgebras de Leibniz

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1 Preliminares

Este capítulo será dedicado à apresentação dos conceitos básicos utilizados neste trabalho, tais como definições, notações e principais resultados necessários para a com-preensão dos demais tópicos.

1.1 Definições básicas relacionadas a Álgebras

  Em outras palavras, uma base de éA , +, ·, ∗ê é um subconjunto B = {e , ..., e n } ⊆ q n1 A no qual ∀a ∈ A , ∃!{α , ..., α n } ⊆ K para os quais a = α i · e i e não existe C ( B1 i =1 com esta mesma propriedade. j =1 O produto entre estes dois elementos é, por definição, dado por: Ø Ø Ø Ø Ø Ø n n n n n n x ∗ y = ( α i e i ) ∗ ( β j e j ) = ( (α i e i ∗ β j e j )) = ( (α i β j (e i ∗ e j ))) i j i j i j =1 =1 =1 =1 =1 =1 Portanto, definindo-se e i ∗ e j para cada dois elementos na base da álgebra tem-se definida completamente a multiplicação interna.

1.2 Definições básicas relacionadas a Álgebras de Leibniz

  algebra [Definição 1.2.1 Uma álgebra de Leibniz L é uma álgebra sobre um corpo K cuja mul- tiplicação interna [·, ·] : L × L → L , além da bilinearidade, satisfaz a identidade deLeibniz, especificada a seguir: ∀a, b, c ∈ A , tem-se [[a, b], c] = [a, [b, c]] + [[a, c], b]. Para as duas próximas definições, considere L uma álgebra de Leibniz e as duas sequências definidas na seção anterior.n Definição 1.2.3 A álgebra L é dita nilpotente se existe um n ∈ N tal que L = {0}.

1.2.1 Definições básicas relacionadas a Álgebras de Lie

  Apesar do estudo das álgebras de Lie ser historicamente anterior ao das álgebras de Leibniz, optamos por esta ordem na abordagem dos conceitos, pois as definições apon-tadas na seção anterior podem ser diretamente aplicadas às álgebras de Lie como um subconjunto das álgebras de Leibniz. Observação 1.2.8 No caso das àlgebras de Lie, devido à propriedade anticomutativa daálgebra, a identidade de Leibniz resulta na identidade de Jacobi, dada usualmente por: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, ∀ x, y, z ∈ A .

1.3 Definições básicas relacionadas a Grafos

  Definição 1.3.20Em um grafo (respectivamente, digrafo) G = (V, A, Ψ), uma sequência , a , v , a , ..., a n , v n ) de vértices v i ∈ Vfinita e não vazia (v11 2 intercalados por arestas a i ∈ A é chamada passeio quando Ψ(a i ) = {v i − , v i } (respectivamente, Ψ(a i ) = (v i − , v i ))11 ∀i ∈ { 1, ..., n} . Sejam estes (v i , a , w , a , w , ..., a n , v x ) e1122 (v i , b , w , b , w , ..., b m , v x ) com n ímpar e m par1122 Assim, existe um caminho de v i a v i dado por (v i , a 1 , w 1 , a 2 , w 2 , ..., a n , v x , b m , ..., w 2 , b 2 , w 1 , b 1 , v i ), ou seja, um ciclo de comprimento n + m.

2.1 Grafos sem ciclos de comprimento três

  Diretamente deste fato, obtem-se o seguinte Teorema: Teorema 2.1.1 (Carriazo et al. [ 3 ]) Seja G um grafo sem ciclos de comprimento trêsassociado a uma álgebra de Lie de dimensão maior que dois que respeita a lei de formação ( 2.1 ). Observação 2.1.2É importante notar que a definição de ciclos utilizada em [ 3 ] não Corolário 2.1.3 Dado um grafo bipartido, não-dirigido, sem arestas paralelas e ponde-rado cuja função peso não atinge o valor zero; é possível estabelecer uma orientação de forma que ele esteja relacionado a uma Álgebra de Lie.

2.2 Grafos com ciclos de comprimento três

  Nos grafos em que ocorrem ciclos de comprimento três, a análise da derivada pode não ser tão trivial, posto que podem haver, também, arestas paralelas (como pode serobservado nas configurações 16c e 16d ) e, portanto, vértices que não são sumidouros, tampouco, fontes representando produtos que resultam em uma combinação linear dedois elementos da base. Se, por outro lado, verifica-se um ciclo de comprimento três correspondendo à con- figuração 16d , os vértices adjacentes a qualquer vértice do ciclo também são adja-centes aos outros vértices do mesmo ciclo e não são adjacentes entre si, como a configuração a seguir: Figura 18: Segunda configuração com ciclos de comprimento três [ 3 ] 4.

2.1.1 Enfim, são obtidos os mesmos resultados em relação à solubilidade e nilpotência

  Se G não possui a configuração 16d , então G está associado a uma álgebra solúvel com índice de solubilidade 3 e não nilpotente. Então, a álgebra associada a G é solúvel se, e somente se, satisfaz alguma das equações equivalentes (utilizando a notação presentena figura): i k C = −C ;i,j j,k j k C = C ;i,j i,k i j C = C .

3 Generalizações

  Estas representações, além de compreender as características pre- sentes no trabalho de Carriazo et al. Estas generalizações, denominadas grafo tipo 1, grafo tipo 2 à direita e grafo tipo 2 à esquerda, integram um estudo realizado pelo grupo de pesquisa Relações entre a Teoria dos Grafos e a Teoria das álgebras associativas e não-associativas.

3.1 Grafo tipo 1

  J (e i , e j , e k ) = [[e i , e j ], e k ] + [[e j , e k ], e i ] + [[e k , e i ], e j ] = [αe j , e k ] + [βe k , e i ] + [0, e j ]= α[e j , e k ] + β[e k , e i ]= αβe k + β · 0 Ó 20b ; (e i j k ) = [[e i j ], e k ] + [[e j k ], e i ] + [[e k i ], e j ] i j , e k k , e i j= [αe + γe ] + [βe ] + [0, e ]= 0 + γ[e j , e k ] + β[e k , e i ] + 0 = γβe k + 0 Ó= 0. 20d ; •J (e i , e j , e k ) = [[e i , e j ], e k ] + [[e j , e k ], e i ] + [[e k , e i ], e j ] = [αe i + βe j , e k ] + [γe j + δe k , e i ] + [0, e j ]= 0 + β[e j , e k ] + γ[e j , e i ] + 0= β(γe j + δe k ) + γ(−αe i − βe j ) Ó = −γαe i + βδe k = 0.

1. Cada ciclo de tamanho três apresenta arestas com peso duplo e não há arestas com peso duplo externas a estes ciclos

  Se um vértice e j é adjacente a e i , ele necessariamente é, também, adjacente a e k . Os vértices adjacentes extremos de arestas com peso duplo através de arestas de peso simples (respeitando a configuração 21c ) não são adjacentes entre si.

3.1.12 Observação 3.1.16

  Portanto, i j i,j i,p p ,j i,j h hi [C e i + C e j , e p ] = i,j i,j h j [C e i , e p ] + [C e j , e p ] = i i,j h i,j h j C [e i , e p ] + C [e j , e p ] = i h h i,j h i,j h p j p C C e p + C C e p =i,j i,p h h i,j j,p h h i h h p j p C C (C i,p + C i,j j,p )e p h = i h h i,j h h p j p (C C − C C )e p = 0. i,l k,l j,l Portanto, i k l j[C e i + C e j , C e k + C e l ] i i i k k k i i i,j i,j k,l k,l j j j k = C (C )e i + C i,j (C )e j + C (C )e k l l i i i,j k,l i,k i,k k,l j,k j,k k,l i,k i,j i,j C C − C lk,l i,l i,j i,j (C )e = 0e i + 0e j + 0e k + 0e l = 0Logo, em ambos os casos, se as condições equivalentes enunciadas são satisfeitas para cada ciclo de comprimento três formado exclusivamente por arestas de peso duplo,(3) tem-se L = 0.

3.2 Grafo tipo 2

  Defina uma multiplicação interna entre os elementos da base de éA , +, ·ê como se segue: ∗ : V × V → A Ø j(e i , e j ) Ô→ α k e k , onde ω = {α k ∈ A : Ψ(α k ) = (e i , e k )} α ∈ω k Esta multiplicação está bem definida, pois, por hipótese o conjunto de arestas com um determinado par ordenado como extremidades é unitário ou vazio. Portanto, há álgebras de Leibniz cujos grafos do tipo 2 são isomorfos e que não são álgebras de Lie como pode-se observar no exemplo abaixo:Exemplo 3.2.10 Seja L uma álgebra de Leibniz, B = {e , e , e } uma base para L71237 cuja lei está descrita a seguir: [e 1 , e 2 ] = αe 3 : , e [e2 1 ] = βe 3 , com αβ Ó= 0, α Ó= −β.

3.2.1 Principais resultados para os grafos do tipo 2

  A tradução de algumas propriedades inerentes da álgebra no grafo são imediatas a partir da definição, como por exemplo:− + Proposição 3.2.11Sejam A uma álgebra, B uma base de A e G e G seus grafos do22 tipo 2 à direita e 2 à esquerda associados. A decisão acerca da solubilidade das álgebras de Lie é de grande importância, principalmente devido ao teorema de Levi, que estabelece que toda álgebra de Lie sedecompõe em um ideal solúvel e uma subálgebra semissimples.

2 Assim, todo x ∈ L , quando representado na base dada, possui os coeficientes

  (1) [1]1 De fato, para k = 1 há a equivalência, pois L = L = L = L e, com a hipótese de que é verdade para k = i,tem-se que:(i+1) (i) (i) +1 i iL = L ∗ L ⊆ L ∗ L = L e(i+1) (i) (i) [i] [i+1]L ∗ L ⊆ L ∗ L= L = L Portanto, é verdade para k = i + 1.2 + Desta forma, se G ou G não possui ciclos, uma das sequências dadas estabiliza −2 em {0}, portanto, a série derivada também o faz. Exemplo 3.2.18 Seja L uma álgebra de Lie dada pela lei de formação:8 [e , e ] = e + e ;1323[e , e ] = −e − e ;1223 [e , e ] = e + e ;1423[e , e ] = e ;241 [e 3 , e 4 ] = −e 1 .

4 Conclusões e problemas em aberto

  Por outro lado, apresentamos também novos resultados relacionadosà solubilidade e nilpotência de Álgebras de Leibniz, obtidos através de uma generaliza-ção diferente para os grafos em questão, intitulada grafos do tipo 2; além de resultados mais gerais, aplicáveis a qualquer álgebra, tanto através da associação a grafos do tipo 1quanto a grafos do tipo 2. Em uma última reunião do projeto de pesquisa que gerou esta dissertação, constatamos que há álgebras que possuem exatamente os mesmos grafos do tipo 1, 2 àdireita e 2 à esquerda e, a despeito do que se almejava, não são isomorfas.

5 Apêndice

  Com o intuito de facilitar a conversão de álgebras em grafos, elaboramos um soft- ware na linguagem de programação C++ capaz de representar o grafo internamente (emobjetos e listas, facilitando a obtenção de propriedades) e exportar um arquivo xml para a exibição de uma representação visual deste (utilizada nos exemplos neste trabalho) atravésdo software Geogebra. A preferência pelo software Geogebra em detrimento de uma imagem estática se deu por conta da possibilidade de deslocamento dos vértices de acordo com a necessidadedo usuário para melhor visualização do grafo.

5.1 A matriz de adjacência

  Definimos:t 132 { 1, ..., n};t 231 { 1, ..., n};t 312 Proposição 5.1.4Sejam, respectivamente, X, Y e Z as matrizes de adjacência esten- didas dos grafos do tipo 1, 2 à direita e 2 à esquerda associados a uma álgebra L na base B = {e , ..., e n } . Basta observar k =1 i,j k que a cada constante de estrutura não nula C , tem-se, das definições dos grafos tipo 1,i,j 2 à direita e 2 à esquerda, que:k C = (X ijk ); i,j k C = (Y ikj );i,j k C = (Z jki ).

5.2 A construção dos grafos

  Com base nesses resultados, o programa armazena a lei da álgebra na forma da matriz de adjacência estendida de seu grafo associado do tipo 1, concentrando toda ainformação sobre os produtos da álgebra e permitindo a construção dos quatro grafos. [ 3 ] encerra mais deta- lhes, pois, pode haver mais de duas arestas com o mesmo par de extremos dependendo da quantidade de valores distintos ocorridos nas constantes de estrutura.

5.3 A interface

  Por otro lado, o exemplo 5.3.2 representa uma álgebra de Leibniz não anticomu- tativa, portanto, seus grafos do tipo 2 associados não são isomorfos e as arestas de seu grafo do tipo 1 não possuem uma correspondente oposta. Citado 25 vezes nas páginas 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 28 , 30 , 31 , 32 , 33 ,34 , 35 , 36 , 38 , 39 , 46 , 55 , 57 , 58 , 70 , 71 , 76 , 78 , 79 e 81 .

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