Willian Goulart Gomes Velasco

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA BIBLIOTECA UNIVERSIT ´ARIA

Willian Goulart Gomes Velasco

ORBIFOLDS - VIA CARTAS E COMO GRUPOIDES

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Willian Goulart Gomes Velasco

ORBIFOLDS - VIA CARTAS E COMO GRUPOIDES

Dissertac¸˜ao submetida ao Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Pura e Apli-cada para a obtenc¸˜ao do Grau de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Martin Weilandt

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Ficha de identificac¸˜ao da obra elaborada pelo autor atrav´es do Programa de Gerac¸˜ao Autom´atica da Biblioteca Universit´aria da UFSC.

A ficha de identificac¸˜aoo ´e elaborada pelo pr´oprio autor

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Willian Goulart Gomes Velasco

ORBIFOLDS - VIA CARTAS E COMO GRUPOIDES

Esta Dissertac¸˜ao foi julgada aprovada para a obtenc¸˜ao do T´ıtulo de “Mestre em Matem´atica”, e aprovada em sua forma final pelo Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Pura e Aplicada.

Florian´opolis, 10 de Agosto 2015.

Prof. Dr. Daniel Gonc¸alves Coordenador do curso Banca Examinadora:

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Prof. Dr. Cristian Andres Ortiz Gonzalez

Prof. Dr. Abdelmoubine Amar Henni

Prof. Dr. Eliezer Batista

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AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer `a minha fam´ılia e companheira Jenifer por todo apoio, paciˆencia e tempo que me dedicaram ao longo deste projeto.

Ao Professor Martin Weilandt por ter me aceitado como seu primeiro orientando e aos membros da banca por aceitarem o convite e suas sugest˜oes, assim como correc¸˜oes.

Aos professores do departamento pelas disciplinas, conversas de cor-redor e p´os col´oquio (comendo um pedac¸o de bolo ou v´arios). Obrigado por tornarem minha passagem pela UFSC mais significativa e edificante.

Aos meus amigos, muito obrigado pelas conversas, risadas, conselhos e apoio. Vocˆes s˜ao parte fundamental deste trabalho.

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The mind is the limit. As long as the mind can envision the fact that you can do something, you can do it, as long as you really believe 100 percent.

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RESUMO

Orbifolds podem ser vistos como generalizac¸˜oes de variedades. Podemos defini-los por cartas e atlas, quocientes de variedades por ac¸˜oes de grupos ou grupoides de Lie. Nosso objetivo neste trabalho ´e caracteriz´a-los por estas maneiras distintas e ver as relac¸˜oes existentes entre cada definic¸˜ao.

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ABSTRACT

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SUM ´ARIO

INTRODUC¸ ˜AO . . . 19

1 ORBIFOLDS VIA CARTAS . . . 21

1.1 AC¸ ˜OES DE GRUPOS . . . 21

1.2 CARTAS E ATLAS DE ORBIFOLDS . . . 23

1.3 GRUPO LOCAL, ATLAS ORTOGONAL E PROPRIEDADES DAS INJEC¸ ˜OES . . . 28

2 ORBIFOLDS VIA QUOCIENTES . . . 35

2.1 QUOCIENTE E AC¸ ˜OES DE GRUPO . . . 35

2.2 AC¸ ˜OES PR ´OPRIAS E PROPRIAMENTE DESCONT´INUAS . 36 2.3 TEOREMA DO SLICE . . . 41

2.4 ORIBFOLDS EFETIVOS VIA QUOCIENTES . . . 43

2.4.1 Ac¸˜oes propriamente descont´ınuas. . . 43

2.4.2 Ac¸˜oes pr´oprias. . . 45

3 ORBIFOLDS VIA GRUPOIDES . . . 55

3.1 GRUPOIDES DE LIE . . . 55

3.2 GRUPOIDES ORBIFOLD . . . 63

3.3 MORFISMOS E EQUIVAL ˆENCIA DE MORITA . . . 65

3.4 BIJEC¸ ˜AO ENTRE GRUPOIDES ORBIFOLDS EFETIVOS E GRUPOIDES DE ATLAS DE ORBIFOLDS . . . 67

CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 71

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INTRODUC¸ ˜AO

Orbifolds, originalmente chamadosV-manifolds, foram introduzidos em topologia e geometria diferencial na d´ecada de 1950 por Ichirˆo Satake nos artigos ’On a generalization of the notion of manifold’(SATAKE, 1956) e’The Gauss-Bonnet theorem for V-manifolds’(SATAKE, 1957), como uma generalizac¸˜ao de variedades diferenci´aveis. Nestes artigos Satake provou para esta nova estrutura teoremas cl´assicos de geometria diferencial, como por exemplo, o Teorema de de Rham e o Teorema de Gauss-Bonnet. Podemos pensar em um orbifold como um par formado por um espac¸o topol´ogico, e uma estrutura de cartas semelhantes `as das variedades, formando um atlas. Esta foi a abordagem usada por Satake em seus artigos.

Na d´ecada de 1970, William Thurston, de maneira independente, defi-niu orbifolds e fez uso desta nova estrutura para seu programa de estudo sobre geometria de 3-variedades. Orbifolds aparecem no d´ecimo terceiro cap´ıtulo das notas de aula: ’The geometry and topology of three-manifolds’ (THURS-TON, 2002). Em particular ele cunhou o nomeorbifold e descobriu carac-ter´ısticas desta nova estrutura.

Mais recentemente orbifolds vˆem sendo representados porgrupoides. Dentre os que desenvolveram esta abordagem, se destacam Ieke Moerdijk e Dorotea Pronk em ’Orbifolds, sheaves and groupoids’ (MOERDIJK; PRONK, 1997).

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1 ORBIFOLDS VIA CARTAS

Neste cap´ıtulo, estudaremos orbifolds como espac¸os localmente vis-tos como conjunvis-tos abervis-tos de espac¸os euclideanos quocientados por grupos finitos.

Nossa intenc¸˜ao neste cap´ıtulo ´e definir cartas e atlas de orbifolds den-tre outros conceitos. Desta forma, gostar´ıamos de introduzir este novo objeto de estudo de forma an´aloga `a utilizada em variedades.

Todas as variedades neste trabalho s˜ao Hausdorff, segundo cont´aveis e diferenci´aveis (C∞). Para resultados b´asicos de variedades, usaremos como referˆencia (LEE, 2013).

1.1 AC¸ ˜OES DE GRUPOS

Definic¸˜ao 1.1.1 (Ac¸˜oes de grupos): SejaGum grupo de Lie eM uma vari-edade. Umaac¸˜ao suave (ou diferenci´avel)deGemM ´e uma func¸˜ao dife-renci´avelθ∶ G×M →M tal que:

(i) θ(e, p)=ppara todop∈M;

(ii) θ(g⋅h, p)=θ(g, θ(h, p))para todog, h∈Gep∈M.

O elementoerepresenta a unidade do grupoG. Como usual, denota-remosθ(g, p)porg⋅p.

Nossas ac¸˜oes neste trabalho sempre ser˜ao suaves, e desta forma sem-pre diremos apenasac¸˜ao de grupoe queremos dizer ac¸˜ao de grupo suave.

Observac¸˜ao 1.1.2 Dada uma ac¸˜ao de grupo como acima e fixado um ele-mento do grupo, isto ´e,θ∶ G×M →M eg0∈Gfixado, podemos definir a func¸˜aoθg0∶ M →M porθg0(p)=θ(g0, p)=g0⋅p.

Agora se fixarmos um pontop0 ∈M e permitirmos queg ∈Gvarie, podemos definir a func¸˜ao:θp0 GM, porθp0(g)=(g, p

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Pode-se mostrar que seθ∶ G×M →M ´e ac¸˜ao, ent˜ao para todo(g, p) ∈ G×M e(X, Y) ∈T(g,p)(G×M) ≅TgG⊕TpM:

dθ(g,p)(X, Y) =dθp∣g(X)+dθg∣p(Y).

Uma ideia para demonstrar este fato ´e utilizar a caracterizac¸˜ao de vetores nos planos tangenteTgGeTpM por curvas. Desta forma, verifica-se que dθ(g,p)(X,0) =dθp∣g(X)e analogamente quedθ(g,p)(0, Y) =dθg∣p(Y).

Para o que faremos nestes primeiros par´agrafos, dois tipos de ac¸˜oes nos ser˜ao muito importantes. S˜ao elas as ac¸˜oes efetivas e ac¸˜oes livres.

Definic¸˜ao 1.1.3 (Ac¸˜ao efetiva, livre): Uma ac¸˜ao de um grupo de LieGem uma variedadeM ´e chamadaefetivase o ´unico elemento emGque fixa todos osp ∈ M ´e o elemento unidadee. Dizemos que a ac¸˜ao ´elivrese nenhum

p∈M ´e fixado por algumg∈G∖{e}.

SejaGum grupo de Lie agindo em uma variedadeM. Como vimos, denotamos a ac¸˜ao porθ∶ G×M →M e escrevemosg⋅p=θ(g, p). A ´orbita de um pontop∈M consiste do conjunto de imagens deppelos elementos do grupo e ´e denotada porG⋅p∶= {g⋅p;g∈G}. Denotamos o grupo de isotropia dep∈M por{g∈G;gp=p} =∶Gp.

Nos pr´oximos cap´ıtulos, o seguinte tipo de ac¸˜ao ser´a necess´aria.

Definic¸˜ao 1.1.4 (Ac¸˜ao quase livre): Uma ac¸˜ao de um grupo de Lie Gem uma variedadeM ´equase-livrequando cada grupo de isotropia ´e finito.

Definimos uma relac¸˜ao de equivalˆencia emM, cujas classes de equi-valˆencia ser˜ao exatamente as ´orbitas da ac¸˜ao do grupo que age neste espac¸o, da seguinte forma. Sejamp, q∈M,p∼orbqse existeg∈Gtal queq=g⋅p.

Note que a classe de um ponto dep∈M ´e dada por[p]={q∈M;∃g∈ G ∶ q = g⋅p} = {g⋅p;g ∈ G}. Mas este conjunto ´e a ´orbita dep, isto ´e,

[p]=G⋅p. Ent˜ao as classes de equivalˆencia de∼orbs˜ao as ´orbitas de cada

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1.2 CARTAS E ATLAS DE ORBIFOLDS

Feitas estas definic¸˜oes preliminares, vamos definircartas de orbifold. Definic¸˜ao 1.2.1 (Carta de orbifold): SejaXum espac¸o topol´ogico en∈N.

Umacarta de orbifold n-dimensionalemX ´e uma tripla(̃U , GU, φU)onde:

(i) Ũ⊂Rn´e um conjunto aberto e conexo;

(ii) GU ´e um grupo finito que age emŨefetivamente;

(iii) φU∶ ̃U → X ´e uma func¸˜ao cont´ınua e GU-invariante tal que U ∶=

φU(̃U)⊂X ´e aberto e a aplicac¸˜ao induzidaφU∶ ̃U/G→U ´e um

home-omorfismo.

PorGU-invariante, queremos dizer queφU○θg=φUpara todog∈GU.

Vamos nos referir `as cartas de orbifolds apenas porcartas.

Exemplo 1.2.2 (Carta de orbifold):Adaptado de (AMENTA, 2013, Exemplo 1.1.3). SejamB∶=B0(1)a bola aberta unit´aria emR2eZno grupo c´ıclico.

Vamos identificarR2

com o conjunto dos n´umeros complexosCeZncom o

grupo das n-´esimas ra´ızes da unidade, isto ´e,Zn=e2πin ⟩. Tal grupo age em

BCvia multiplicac¸˜ao e esta ac¸˜ao ´e suave. SejamX =B/ZneφBX

a projec¸˜ao canˆonica deX. Comoφinduz um homeomorfismo deB/Znem

X, temos que(B,Zn, φ)´e uma carta 2-dimensional deX.

A imagem seguinte ilustra o cason=3. ◻

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Assim como na teoria de variedades, para definir orbifolds temos de introduzir condic¸˜oes sobre os pontos que ’vivem’ na intersec¸˜ao de duas (ou mais) cartas. Para variedades exigimos que as func¸˜oes de transic¸˜ao entre cartas sejamC∞. Como cartas de orbifolds n˜ao necessariamente s˜ao homeo-morfismos, precisamos duma outra abordagem.

Lembremos que sef∶ M → N uma func¸˜ao diferenci´avel e injetora entre duas variedades diferenci´aveis, se para todo ponto deM sua derivada ´e injetora ef∶ M → f(M) ´e um homeomorfismo, dizemos que f ´e um mergulho.

Definic¸˜ao 1.2.3 (Injec¸˜oes):SejaX espac¸o topol´ogico. Seja(̃U , GU, φU)e

(̃V , GV, φV)cartas emX, da mesma dimens˜ao. Umainjec¸˜aoλ∶ (̃U , GU, φU)→(̃V , GV, φV)´e um mergulhoλ∶ Ũ→Ṽ tal queφV ○λ=φU.

Observe que injec¸˜oes podem ser compostas, isto ´e, se temos duas injec¸˜oes dadas porλ∶ (̃U , GU, φU) → (̃V , GV, φV)eµ∶ (̃V , GV, φV) →

(̃W , GW, φW), ent˜ao a composic¸˜aoµ○λ∶ Ũ→̃W ´e uma injec¸˜ao(̃U , GU, φU) →(̃W , GW, φW). Tamb´em note que se(̃U , GU, φU)´e uma carta, ent˜ao cada g∈GU ´e uma injec¸˜ao(̃U , GU, φU)→(̃U , GU, φU).

Definic¸˜ao 1.2.4 (Compatibilidade e Atlas de orbifold): SejaX um espac¸o topol´ogico.

(A) Seja x ∈ X. Sejam ( ̃Ui, GUi, φUi) e(̃Uj, GUj, φUj)cartas de X da mesma dimens˜aon, tais quex∈Ui∩Uj. Se existem cartan-dimensional

(̃W , GW, φW) de X com x ∈ W e injec¸˜oesλUi∶ (̃W , GW, φW) →

(̃Ui, GUi, φUi)eλUj∶ (̃W , GW, φW) → (̃Uj, GUj, φUj), dizemos que as cartas( ̃Ui, GUi, φUi)e(̃Uj, GUj, φUj)s˜aocompat´ıveisemx. (B) Um atlas de orbifold n-dimensional ´e uma colec¸˜ao de cartas

n-dimensionaisA={(̃Ui, GU i, φU i)}i∈I, tais que:⋃i∈IUi=Xe as

car-tas deAs˜ao compat´ıveis, isto ´e, para todoi, j∈Ias cartas(̃Ui, GU i, φU i)

e(̃Uj, GU j, φU j)s˜ao compat´ıveis em cadax∈Ui∩Uj.

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Observac¸˜ao 1.2.5 :Note que para todo espac¸o topol´ogico, a noc¸˜ao de com-patibilidade entre cartas em um ponto fixo deXdefine uma relac¸˜ao de equi-valˆencia. Este fato pode ser conferido em (WEILANDT, 2007, Proposic¸˜ao 2.9). Exemplo 1.2.6 (Atlas de orbifold):Vimos no Exemplo 1.2.2 uma carta(B,Zn, φ)

em um espac¸oX ≅ B/Zn. Atrav´es desta carta podemos definir um atlas,

muito simples, que ser´a formado apenas por esta carta, isto ´e,A ∶={(B,Zn, φ)}.

Assim como no estudo das variedades diferenci´aveis, temos o seguinte resultado para orbifolds.

Lema 1.2.7 (Atlas maximal): SejaX um espac¸o topol´ogico e A um atlas

n-dimensional paraX. Ent˜ao existe um ´unico atlas maximalBcontendoA paraX.

A demonstrac¸˜ao para este fato pode ser encontrada em (WEILANDT, 2007, Lema 2.11). A ideia ´e mostrar que a colec¸˜ao de todas as cartas n -dimensionais emX compat´ıveis com as cartas de Aformar´a o candidato a atlasB. A compatibilidade das cartas que formamBdecorre da Observac¸˜ao 1.2.5.

At´e o momento sabemos os conceitos de carta e atlas de orbifolds. O pr´oximo passo ´e definir uma estrutura de orbifold. Ela ser´a definida em analogia a uma estrutura em uma variedade. Uma forma de fazer isto ´e atrav´es de uma classe de equivalˆencia de atlas. Antes disso, precisamos saber quando um atlas refina outro e quando dois atlas s˜ao compat´ıveis.

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Definic¸˜ao 1.2.9 (Equivalˆencia): Dados um espac¸o topol´ogico X, conjuntos de ´ındicesIeJ e dois atlasn-dimensionaisA={(̃Ui, GU i, φU i)}i∈I eB=

{(̃Vj, HV j, ψV j)}j∈JemX, dizemos que estes atlas s˜aoequivalentes emx∈ Xse dadas(̃U , GU, φU)carta emAe(̃V , HV, ψV)emBtais quex∈U∩V

existe uma carta(̃W , JW, γW), n˜ao necessariamente emAouB, ao redor

dexe injec¸˜oesλU∶ (̃W , JW, γW)→ (̃U , GU, φU)eλV∶ (̃W , JW, γW)→

(̃V , HV, φV).

Dois atlas emXs˜aoequivalentesse eles s˜ao equivalentes em todos os seus pontos.

Pode-se mostrar que a definic¸˜ao anterior nos fornece uma relac¸˜ao de equivalˆencia, ver (TOMMASINI, 2012, Lema 1.34).

Observac¸˜ao 1.2.10 (Equivalˆencia entre atlas de espac¸os diferentes): Base-ada na definic¸˜ao (TOMMASINI, 2012, Definic¸˜ao 1.41). Suponha que temos um atlasA={(̃Ui, GUi, φUi)}i∈I deX, um espac¸o topol´ogico. SejaX

um espac¸o topol´ogico, diferente deX ef∶ X →X′um homeomorfismo. Ent˜ao a colec¸˜aof∗(A) ∶={(̃Ui, GUi, f○φUi)}i∈I ´e um atlas paraX

. Temos ent˜ao a seguinte definic¸˜ao de equivalˆencia entre atlasAeBde espac¸os topol´ogicos

XeX′(resp.) distintos.

Definic¸˜ao 1.2.11 : SejaA´e um atlas deXeBum atlas paraX′. Dizemos queAeBs˜aoequivalentescaso sejam satisfeitas as seguintes condic¸˜oes:

(i) existe um homeomorfismof∶ X→X′e

(ii) os atlasf∗(A)eBs˜ao equivalentes, no sentido da Definic¸˜ao 1.2.9. Definic¸˜ao 1.2.12 (Estrutura): Umaestrutura de orbifoldem um espac¸o to-pol´ogicoX ´e uma classe de equivalˆencia[A]de atlas emX.

Diremos apenasestruturapara nos referirmos a uma estrutura de or-bifolds.

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Definic¸˜ao 1.2.13 (Orbifold efetivo): Seja X um espac¸o topol´ogico Haus-dorff e segundo cont´avel com estrutura[A]. Umorbifold efetivo ´e um par

(X,[A])=∶ O. ChamamosXoespac¸o suportedeOe o denotamos por∣O∣.

Nossos orbifolds ser˜ao sempre efetivos, por este motivo diremos ape-nasorbifolds.

Exemplo 1.2.14 (Variedade como um orbifold): J´a afirmamos que um orbi-fold ´e uma generalizac¸˜ao de uma variedade. Vamos verificar este fato.

Seja M uma variedade n-dimensional com atlas A = {(φα, Uα)},

lembre-se que por definic¸˜aoM ´e Hausdorff e segundo cont´avel. CadaUα⊂ M ´e um conjunto aberto e cadaφα∶ Uα→Ũα´e um homeomorfismo que tem

como contradom´ınio um conjunto abertoŨα⊂Rn. Desta forma, temos que

para todoαo grupoG={e}age emŨα. Assim podemos definir um atlas

de orbifold paraM pela fam´ılia de triplas{( ̃Uα,{e},(φα)−1}. Tal fam´ılia ´e

de fato um atlas de orbifold. Para verificarmos isto precisamos analisar dois itens: para o primeiro, relativo `a cobertura de M, basta notar queM j´a ´e coberta pelas cartas da variedade e nosso candidato a atlas de orbifold ´e for-mado a partir destas. A compatibilidade das cartas decorre das mudanc¸as de coordenadas entre as cartas da variedade, isto ´e, as injec¸˜oes ser˜ao da-das pelas func¸˜oes λ ∶= φα′○(φα)−1∶ φα( ̃Uα∩Ũα′) → φα′( ̃Uα∩Ũα′), em que (Uα, φα) e (φ′α, Uα′) s˜ao cartas em A. Portanto toda variedade

n-dimensional pode ser vista como um orbifold que sofre ac¸˜oes do grupo

trivial. ◻

Exemplo 1.2.15 (Orbifold): No Exemplo 1.2.2, constru´ımos uma carta cha-mada (B,Zn, φ)para o espac¸o topol´ogicoX B/Zn; no Exemplo 1.2.6

vimos que {(B,Zn, φ)} ´e um atlas para este espac¸o. Como X ´e

Haus-dorff, um espac¸o segundo cont´avel eZnage efetivamente emX, temos que

O=(X,[A])´e um orbifold. ◻

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Definic¸˜ao 1.2.16 (Aplicac¸˜oes entre orbifolds):SejamOeO′dois orbifolds que possuem espac¸os suporte, respectivamente,XeY. Uma aplicac¸˜ao cont´ınua

f∶ O→O′´e ditadiferenci´avelse para todox∈Oexistem cartas(̃U , GU, φU)

ao redor dexe(̃V , GV, φV)ao redor def(x)tal quef(U)⊂V e existe uma

aplicac¸˜ao diferenci´avelf̃∶ ̃U→ṼcomφV ○ ̃f=f○φU.

Pode-se demonstrar que a composic¸˜ao de aplicac¸˜oes diferenci´aveis en-tre orbifolds ´e diferenci´avel.

Definic¸˜ao 1.2.17 (Difeomorfismo entre orbifolds):Dois orbifoldsO=(X,[A])

eO′ = (Y,[B]) s˜ao ditosdifeomorfosse existem aplicac¸˜oes diferenci´aveis entre orbifoldsf∶ X → Y eg∶ Y →X tais quef ○g =idY eg○f =idX.

Nesta situac¸˜aof ´e chamado umdifeomorfismo.

1.3 GRUPO LOCAL, ATLAS ORTOGONAL E PROPRIEDADES DAS INJEC¸ ˜OES

Nas sec¸˜oes seguintes faremos uso de algumas propriedades que as injec¸˜oes possuem, a seguir vamos enunciar e demonstrar algumas destas pro-priedades. Tamb´em definiremos o grupo local de um orbifold, alguns resul-tados envolvendo tal conceito, e atlas ortogonais.

Os pr´oximos resultados exibem algumas propriedades das injec¸˜oes.

Lema 1.3.1 (Homomorfismo induzido por injec¸˜ao): Sejam (̃U , GU, φU)e

(̃V , GV, φV)duas cartas em um espac¸o topol´ogicoX. Ent˜ao cada injec¸˜ao λ∶ (̃U , GU, φU) → (̃V , GV, φV) define uma ´unica aplicac¸˜ao λ∗∶ GU → GV tal que λ(gx) = λ∗(g)λ(x). Al´em disso λ∗ ´e um monomorfismo de grupos.

Demonstrac¸˜ao:Usaremos nesta demonstrac¸˜ao um resultado t´ecnico de (MO-ERDIJK; PRONK, 1997, Proposic¸˜ao A.1), este nos diz que: ’Dadas duas injec¸˜oes

λeµde(̃U , GU, φU)para(̃V , GV, φV), existe um ´unicoh ∈ GV tal que µ=h○λ.’

Sejag∈GU. Definimos uma injec¸˜aog∶ (̃U , GU, φU)→(̃U , GU, φU),

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λ○ge a injec¸˜aoλ, existe um ´unicoh∈GV tal queλ○g=h○λ. Agora,

defi-nimosλ∗(g)∶=he desta forma obtemos a aplicac¸˜ao desejada. Pelo resultado citado e pela definic¸˜ao deλ∗, esta aplicac¸˜ao ´e ´unica.Vamos verificar queλ∗ ´e um morfismo de grupos. Sejamg1, g2 ∈ GU,h12 ∶= λ∗(g1g2). Por outro lado, definah1∶=λ∗(g1)eh2∶=λ∗(g2). Da´ı

h12○λ=λ○g1○g2=h1○λ○g2=h1○h2○λ,

temosh12=h1h2=λ∗(g1)λ∗(g2). Por fim vamos verificar queλ∗ ´e injetiva. Sejag∈GU, suponha queλ∗(g)=e. Logo

λ=e○λ=λ○g Ô⇒ λ(x)=λ(gx) Ô⇒ x=gx

para todox∈Ũ. ComoGU age efetivamente,g=e. Portanto a aplicac¸˜aoλ∗ ´e injetiva. Conclu´ımos assim a demonstrac¸˜ao da proposic¸˜ao. ∎

O pr´oximo resultado carateriza a imagem do homomorfismo anterior.

Lema 1.3.2 (Imagem do homomorfismo λ∗): Sejam λ∶ (̃U , GU, φU) →

(̃V , GV, φV)uma injec¸˜ao eh∈ GV. Ent˜aoh ∈ Im(λ∗)se, e somente se,

λ(̃U)∩h○λ(̃U)≠∅.

Demonstrac¸˜ao:Suponhamos queh∈Im(λ∗), logoh=λ∗(g)e

h○λ∗(̃U)=λ∗(g)○λ(̃U)=λg(̃U)=λ∗(̃U). Agora, seu∈Ũ

h○λ(u)=λ∗(g)λ(u)=λ(g⋅u)∈λ(̃U).

Logo temos um sentido da demonstrac¸˜ao completo. Para o outro sentido, suponhamos queh∉Im(λ∗)e queλ(̃U)∩h○λ(̃U)´e n˜ao vazio. Sejaλ(x)∈

λ(̃U)∩h○λ(̃U), um ponto que n˜ao ´e fixado por nenhum elemento n˜ao trivial deGV (tal ponto existe porqueOreg ´e denso, o que segue do Lema 1.3.6).

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h○λ(y). Comoλ´e injec¸˜ao segue que

φU(x)=φV(λ(x))=φV(h○λ(y))=φV(λ(y))=φU(y).

Ent˜ao existeg∈GU tal quey=gx. Desta forma λ(x)h○λ(gx)=hλ∗(g)λ(x).

Uma vez queλ(x)n˜ao ´e fixado porGV, devemos terhλ∗(g)=idGV. Logo

h=λ∗(g)−1=λ∗(g−1)∈Im(λ∗)o que nos gera um absurdo.

Portanto temos queh∈Im(λ∗)se, e somente se,λ(̃U)∩h○λ(̃U)≠∅, finalizando a demonstrac¸˜ao do teorema. ∎

Corol´ario 1.3.3 :Sejam(̃U , GU, φU)e(̃V , GV, φV)duas cartas no espac¸o

topol´ogicoX,λ∶ (̃U , GU, φU)→(̃V , GV, φV)uma injec¸˜ao ex∈U. Ent˜ao

para qualquer escolha dexU ∈Ũ exV ∈Ṽ tais queφU(xU)=x=φV(xV),

temos que os grupos de isotropia(GU)xU e(GV)xV s˜ao isomorfos.

Demonstrac¸˜ao: Sejam xU ∈ Ũ exv ∈ Ṽ como no enunciado. Dadog ∈

(GV)λ(xU) temos que gλ(xU) = λ(xU). Logo, lema anterior, o conjunto

(GV)λ(xU) ´e contido na imagem deλ∗. Isto significa queλ∗ mapeia iso-morficamente (GU)xU em (GV)λ(xU). Como φV(λ(xU)) = φU(xU) =

φV(xV), existe h ∈ GV tal que λ(xU) = hxV. Portanto (GV)λ(xU)

= h(GV)xVh −1

. Em particular os grupos(GV)xV e(GV)λ(xU) s˜ao iso-morfos. Por fim, comoλ∗mapeia isomorficamente(GU)xU em(GV)λ(xU), temos que(GU)xU e(GV)xV s˜ao grupos isomorfos. ∎

Observe que se O ´e um orbifold e (̃U , GU, φU), (̃V , GV, φV)s˜ao

cartas ao redor de um pontox, ent˜ao(GU)xU ≅(GV)xV em quexU ∈φ −1

U(x)

exV ∈φ−V1(x). Pois as cartas s˜ao compat´ıveis, logo podemos usar o resultado

anterior.

Vamos definir o grupo local de um orbifold.

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tal queφU(xU)=x. Definimos ogrupo local (isotropia)dex, denotado por

Iso(x), como a classe de isomorfismos do grupo(GU)xU.

Definic¸˜ao 1.3.5 (Conjuntos singular e regular):SejaO=(X,[A])um orbi-fold. Um pontox∈X ´esingularse Iso(x)≠{e}eΣ(O)∶={x∈X;Iso(x)≠

{e}}´e denominadoconjunto singulardex. Se Iso(x)´e trivial,x´e chamado regulare o conjunto dos pontos regulares ´e denotado porOreg.

Na sequˆencia, vamos demonstrar um resultado sobre atlas de orbi-folds. Mostraremos a existˆencia de atlas ortogonais.

Antes precisamos introduzir o seguinte conceito: uma ac¸˜ao de grupo

Gnuma vizinhanc¸a abertaU deOemRn ´e ditaortogonalquando o grupo

G´e um subgrupo do grupo ortogonalO(n)e age pela ac¸˜ao canˆonica, isto ´e, multiplicac¸˜ao por matrizes.

Primeiro faremos um lema para existˆencia de cartas ortogonais. Lema 1.3.6 Se( ̃U , GU, φU)´e uma carta num espac¸o topol´ogicoX,W ⊂U

´e aberto e x∈ W, ent˜ao existem uma carta(̃V , GV, φV)tal quex ∈ V ⊂ W, GV ≅ Iso(x) age ortogonalmente e uma injec¸˜ao λ∶ (̃V , GV, φV) →

( ̃U , GU, φU).

Demonstrac¸˜ao: Esta demonstrac¸˜ao ´e adaptada de (CARTAN, 1953-54, Lema 1) e (BORZELLINO; BRUNSDEN, 2008, Proposic¸˜ao 8).

Sejãx∈ φ−U1(x). SubstituindoŨ pela componente conexa dẽxem

g∈(GU)̃x

gφ−1U (W)eGU por(GU)̃x, e usando que a composic¸˜ao de injec¸˜oes

´e uma injec¸˜ao, podemos assumir queGU ≅ Iso(x). Note que esta ac¸˜ao ´e

efetiva, pois seNdenota seu n´ucleo, ent˜ao o Corol´ario 1.3.3 implica

(GU)̃x/N=((GU)x̃/N)̃x≅(GU)̃x,

e portantoN ´e trivial.

Por meio de uma traslac¸˜ao podemos fazer com quẽx=0∈Rn.

DefinamosF∶ Ũ⊂RnT0Ũ≅Rnpor

F(y)= 1

∣GU ∣g∑∈GU

(34)

32

em queT0Ũ representa o espac¸o tangente no ponto 0; ∣ GU ∣ representa a

ordem do grupo (finito)GU eθg ´e a func¸˜ao que associa a caday ∈ Ũ o

elementoθg(y)=g⋅y, como na Observac¸˜ao 1.1.2. Ent˜ao para todox∈T0Ũ temos

F(x)= 1

∣GU ∣g∑∈GU

dθg∣0○θg−1(x).

Segue pela regra da cadeia e pela linearidade dedθg∣0quedF0(x)=x. Pelo Teorema da aplicac¸˜ao inversa, existe uma vizinhanc¸aW̃⊂Ũdo ponto0 ∈Rn tal queF ∶=F∣̃

W∶

̃

W → F(̃W)´e um difeomorfismo. Substi-tuindõW pela componente conexa de0em ⋂

g∈GU

g̃W, podemos assumir que

̃

W ´eGU-invariante.

Temos, por uma verificac¸˜ao direta, que

F(g⋅y) =F∣̃W(g⋅y)

= 1

∣GU∣h∑∈GU

dθh∣0(h−1(g⋅y))

= 1

∣GU∣h∑∈GU

dθh∣0((g− 1

h)−1⋅y)

= 1

∣GU∣h∑∈GU

dθgk∣0(k−1⋅y) k∶=g−1h

= 1

∣GU∣

h∈GU

dθg∣0(dθk∣0(k− 1

⋅y))

=dθg∣0(

1

∣GU ∣h∑∈GU

dθk∣0(k−1⋅y))

=dθg∣0(F∣̃W(g⋅y))=dθg∣0(F(g⋅y))

para todog∈GUe todoy∈W̃. Podemos usarṼ1=F(̃W),φV1 =φU○F −1 eGV1 = {dθg∣0;g ∈ GU}para obtermos carta (̃V1, GV1, φV1), em queGV1 age linearmente. Como a ac¸˜ao ´e efetiva, assumimos queGV1 ⊂ GL(n,R). Observe queλ ∶= i○F−1∶ Ṽ1 → Ũ, define uma injec¸˜ao(̃V1, GV1, φV1) →

( ̃U , GU, φU).

Considere a extens˜ao linear ´unica da ac¸˜ao de GV1 paraR

n e, para x, y∈Rn, defina

B(x, y)= 1

∣GV1∣

g∈GV1

(35)

33

em que⟨,⟩denota o produto interno usual. ComoB ´e um produto interno

A∈GL(n,R)tal queB(x, y) = ⟨Ax, Ay⟩.

DefinamosṼ2∶=AṼ1e parag∈GV1,̃g∶=AgA −1

∈GL(n,R). Como

B ´eGV1-invariante, temos

⟨̃gx,̃gy⟩ = ⟨AgA−1x, AgA−1y⟩

=B(gA−1x, gA−1y)

=B(A−1x, A−1y)

= ⟨x, y⟩.

Logõg∈O(n).

Asim, comṼ2 ∶=AṼ1,φV2∶ Ṽ2→ X comφV2 =φV1○A −1

eGV2 =

AGV1A −1

obtemos a carta(̃V2, GV2, φV2)do espac¸o topol´ogicoXcom uma

ac¸˜ao ortogonal. ∎

Proposic¸˜ao 1.3.7 (Atlas ortogonal):Dado um atlasA= {( ̃Ui, GUi, φUi)}i∈I num espac¸o topol´ogicoX, existe um atlas equivalenteB= {(̃Vj, GVj, φVj)}j∈J tal que cadaGV age ortogonalmente.

Demonstrac¸˜ao:Sejax∈X. Ent˜ao existe uma carta( ̃U , GU, φU) ∈Aao

re-dor dex. Pelo Lema 1.3.6, acima, existe carta(̃Vx, GVx, φVx)tal queGVxage ortogonalmente emṼxeλ∶ (̃Vx, GVx, φVx)→( ̃U , GU, φU)´e uma injec¸˜ao.

DefinamosB ∶= {(̃Vx, GVx, φVx)}x∈X, colec¸˜ao de cartas ortogonais. Vamos mostrar queB´e o atlas procurado, mas para isso temos que verificar que ´e de fato um atlas e que ´e equivalente ao atlasA.

Primeiramente, temos que B cobre o espac¸o topol´ogico X, no sen-tido de estar consen-tido na uni˜ao de todas as cartas. Sejam (̃Vx, GVx, φVx)e (̃Vy, GVy, φVy) duas cartas em B tais que z ∈ Vx∩Vy e ( ̃Ui, GUi, φUi), ( ̃Uj, GUj, φUj)cartas do atlas A. Existem injec¸˜oesλx∶ (̃Vx, GVx, φVx)→

( ̃Ui, GUi, φUi)eλy∶ (̃Vy, GVy, φVy)→ ( ̃Uj, GUj, φUj). Para concluir que

B ´e atlas, precisamos construir injec¸˜oes(̃Vx, GVx, φVx)→(̃Vy, GVy, φVy)e

(36)

34

´e atlas, existeW ⊂Ui∩Uje injec¸˜oes

̃

Vx λx

Ð→Ũi λi

←Ð̃W Ðλ→j Ũj

λy

←ÐṼy.

Compondo λi eλj por elementos de GUi eGUj, respectivamente e dimi-nuindoW se necess´ario, podemos assumir queλi(̃W)⊂λx(̃Vx)eλj(̃W)⊂ λy(̃Vy). Desta forma,(λx)−1○λie(λy)−1○λjs˜ao as injec¸˜oes que desejamos.

Agora vejamos a equivalˆencia dos atlas. Seja (̃U , GU, φU) ∈ Ae

(̃Vx, GVx, φVx)∈Btais queU∩Vx ≠∅e seja z∈ U∩Vx. Para mostrar a equivalˆencias entre os atlas, precisamos exibir uma carta(̃W , G, φ)ao redor deze injec¸˜oes(̃W , G, φ)→(̃U , GU, φU)e(̃W , G, φ) →(̃Vx, GVx, φVx). SejaWvizinhanc¸a aberta em torno dezsuficientemente pequena. Pelo Lema 1.3.6 e um racioc´ınio an´alogo ao do par´agrafo anterior, podemos definir as injec¸˜oes desejadas. PortantoA´e equivalente aB. ∎

Observac¸˜ao 1.3.8 As cartas constru´ıdas no Lema 1.3.6 s˜ao chamadas de car-tas ortogonaise o atlas constru´ıdo a partir destas cartas ´e chamado deatlas ortogonal.

(37)

35

2 ORBIFOLDS VIA QUOCIENTES

Nosso pr´oximo objetivo ser´a nos preparar para uma outra forma de ca-racterizar um orbifold. Para isso precisaremos estudar ac¸˜oes de grupos cha-madas pr´oprias e as propriamente descont´ınuas e tamb´em ser´a necess´ario o Teorema do Slice. Com estes resultados em m˜aos, mostraremos que orbifolds podem ser obtidos atrav´es de variedades quocientadas por grupos de Lie, com certas exigˆencias sobre a ac¸˜ao deste grupo.

At´e o momento vimos alguns exemplos de orbifolds pela definic¸˜ao. Nas pr´oximas sec¸˜oes veremos como obter orbifolds via quocientes de varie-dades por ac¸˜oes de grupos, desta forma poderemos produzir uma vasta gama de exemplos.

2.1 QUOCIENTE E AC¸ ˜OES DE GRUPO

Vamos nos desviar por alguns momentos das cartas e dos atlas. Nesta sec¸˜ao discutiremos um t´opico importante no estudo de orbifolds, ac¸˜oes de grupos de Lie em variedades diferenci´aveis. Alguns resultados sobre esta teoria nos auxiliar˜ao, pois veremos que sob certas hip´oteses o quociente duma tal ac¸˜ao nos fornece um orbifold.

Lema 2.1.1 (Projec¸˜ao canˆonica ´e aberta): Para qualquer ac¸˜ao cont´ınua de um grupo de LieGem uma variedade diferenci´avelM, a projec¸˜ao canˆonica

π∶ M→M/G´e aberta.

Demonstrac¸˜ao:SejaU⊂M um conjunto aberto e consideremosπ(U). Este conjunto ser´a aberto se, e somente se,π−1(π(U))´e aberto. Note que

π−1(π(U)) ={gx;g∈G, x∈U}

(38)

36

ComoU ´e abertog⋅U ´e aberto para todog ∈U, logoπ−1(π(U)) ´e uni˜ao de abertos e portanto aberto. Desta formaπ(U)´e aberto. Portanto a

projec¸˜ao canˆonica ´e aberta. ∎

Estudaremos a seguir asac¸˜oes pr´opriase asac¸˜oes propriamente des-cont´ınuas.

2.2 AC¸ ˜OES PR ´OPRIAS E PROPRIAMENTE DESCONT´INUAS

Esta sec¸˜ao tem como alvo definirmos dois tipos de ac¸˜oes de grupo. Feito isto, estabeleceremos algumas propriedades que nos ser˜ao muito ´uteis na caracterizac¸˜ao de orbifolds via quocientes.

Vamos iniciar pela ac¸˜ao chamada pr´opria. Antes de defini-la precisa-mos do conceito de func¸˜oes pr´oprias.

Definic¸˜ao 2.2.1 (Func¸˜ao pr´opria):DadosXeY dois espac¸os topol´ogicos e uma func¸˜ao cont´ınuaf∶ X →Y, dizemos quef´epr´opriase para cadaK⊂Y

conjunto compacto, temos quef−1(K)⊂X ´e um conjunto compacto.

Observac¸˜ao 2.2.2 (Fato t´ecnico):Pode-se mostrar, (LEE, 2013, Teorema A.57), que seX ´e um espac¸o topol´ogico eY ´e um espac¸o localmente compacto e Hausdorff, ent˜ao toda func¸˜ao pr´opriaf ∶X→Y ´e fechada.

Definic¸˜ao 2.2.3 (Ac¸˜ao pr´opria): Seja Gum grupo de Lie agindo em uma variedadeM por meio da ac¸˜ao θ∶ G×M → M, em que (g, p) ↦ g⋅p. Dizemos queθ ´e umaac¸˜ao pr´opriase a func¸˜aoΘ∶ G×M →M×M dada por(g, p)↦(g⋅p, p)´e pr´opria.

Como dissemos na motivac¸˜ao, queremos saber quando um espac¸o or-bital tem estrutura de variedade diferenci´avel. Se a ac¸˜ao for pr´opria temos alguns resultados auxiliares que nos facilitar˜ao esta tarefa.

(39)

37

Lema 2.2.4 :Se um grupo de Lie age propriamente em uma variedade, ent˜ao o espac¸o orbital ´e Hausdorff.

Demonstrac¸˜ao: SejamGgrupo de Lie agindo propriamente em uma varie-dadeMeπ∶ M →M/Ga projec¸˜ao canˆonica. Pela definic¸˜ao de ac¸˜ao pr´opria, temos queΘ∶ G×M→M ×M com(g, p)↦(g⋅p, p)´e pr´opria.

Definamos agora, o conjunto

O∶=Θ(G×M)={(g⋅p, p)∈M×M;p∈M, g∈G}⊂M×M.

Note que, se(p, q)∈Oent˜ao existe(g, m)∈G×M tal queΘ(g, m)

=(p, q). Logog⋅m=pem=q. Desta forma,g⋅q=p. A rec´ıproca ´e direta. Dai temos que(p, q)∈ Ose, e somente se,peqest˜ao na mesma ´orbita da ac¸˜ao deG.

Por hip´oteseΘ´e pr´opria. ComoΘ´e cont´ınua, pela Observac¸˜ao 2.2.2 acima,Θ´e uma func¸˜ao fechada. ComoG×M ´e um conjunto fechado, temos queO=Θ(G×M)´e um conjunto fechado emM×M.

Agora, dados pontospeqemM, se supusermos queπ(p)≠π(q)em

M/G, ent˜aopeqest˜ao em orbitas distintas. Desta forma(p, q)∉O. Como

O ´e fechado, seu complementar ´e aberto. Logo existe uma vizinhanc¸a aberta

U×V para(p, q)∈(M×M)∖O. Ent˜aoπ(U)∩π(V)=∅. Comoπ´e uma func¸˜ao aberta,π(U)eπ(V)s˜ao vizinhanc¸as abertas e disjuntas deπ(p)e

π(q)emM/G. PortantoM/G´e Hausdorff. ∎

Observac¸˜ao 2.2.5 (Caraterizac¸˜oes de ac¸˜oes pr´oprias): As vezes pode ser` um pouco complicado de verificar se uma ac¸˜ao ´e pr´opria apenas pela definic¸˜ao. Mas pode-se mostrar, (LEE, 2013, Proposic¸˜ao 21.5), que quandoG´e um grupo de Lie agindo em uma variedadeM, s˜ao equivalentes:

(1) A ac¸˜ao ´e pr´opria;

(2) Se(pi)´e uma sequˆencia emM e(gi)´e uma sequˆencia emGtais que

tanto (pi) quanto(gipi)convergem, ent˜ao uma subsequˆencia de (gi)

(40)

38

(3) Para todo subconjunto compactoK⊂M, o conjuntoGK ∶={g∈G;(g⋅ K)∩K≠∅}´e compacto.

Atrav´es destas outras duas formas de caracterizac¸˜ao de uma ac¸˜ao pr´o-pria, podemos demonstrar dois resultados interessantes sobre ac¸˜oes pr´oprias em grupos de Lie com certa facilidade.

Proposic¸˜ao 2.2.6 : Toda ac¸˜ao de um grupo de Lie compacto em uma varie-dade ´e pr´opria.

Demonstrac¸˜ao:SejamGum grupo de Lie compacto agindo em uma varie-dadeM e(pi)e(gi)sequˆencias como no item 2 da observac¸˜ao acima. Como

o grupo ´e compacto ent˜ao ´e sequencialmente compacto. Dai, a sequˆencia(gi)

possui uma subsequˆencia convergente. Portanto a ac¸˜ao ´e pr´opria. ∎

A outra proposic¸˜ao diz respeito aos grupos de isotropia de cada ponto do conjunto.

Proposic¸˜ao 2.2.7 : Se um grupo de LieGage propriamente em uma varie-dadeM, ent˜ao cada grupo de isotropia ´e compacto.

Demonstrac¸˜ao: Vamos usar a caracterizac¸˜ao 3 feita na Observac¸˜ao 2.2.5. Sejap∈M. DefinamosK∶={p}. Note que

GK={g∈G;{g⋅p}∩{p}≠∅}={g∈G;g⋅p=p}=Gp.

Logo o conjunto GK ´e o grupo de isotropia de p. Como a ac¸˜ao ´e

propria eK´e compacto temos queGK ´e compacto. Portanto o grupo de

iso-tropia dep´e compacto. ∎

(41)

39

Proposic¸˜ao 2.2.8 : SejaGum grupo de Lie agindo suave, livre e propria-mente em uma variedadeM. Ent˜ao o espac¸o orbitalM/Gpossui ´unica es-trutura diferenci´avel (de variedade) de dim(M)−dim(G)tal que a projec¸˜ao canˆonicaπ∶ M →M/G´e uma submers˜ao.

De forma resumida, o ponto mais importante da demonstrac¸˜ao ´e de-finir as cartas para o espac¸o orbital. Esta construc¸˜ao ´e feita usando um tipo especial de cartas chamadas cartas adaptadas. A definic¸˜ao precisa destas cartas e a prova com detalhes pode ser conferida em (LEE, 2013, Teorema 21.10).

Agora, veremos uma outra ac¸˜ao definida a partir da ac¸˜ao pr´opria que ser´a uma ferramenta muito ´util para se ’criar’ orbifolds; vamos definir o con-ceito de ac¸˜ao propriamente descont´ınua. Um grupo discreto ´e um grupo de Lie 0-dimensional, isto ´e, um grupo finito ou enumer´avel com a topologia discreta.

Definic¸˜ao 2.2.9 (Ac¸˜ao propriamente descont´ınua):Uma ac¸˜ao pr´opriaθ∶ G× M →M de um grupo de Lie discretoGem uma variedadeM ´e chamada de propriamente descont´ınua.

Observac¸˜ao 2.2.10 : SejaGum grupo discreto que age propriamente des-continuamente em uma variedadeM. Pela Proposic¸˜ao 2.2.7, as isotropias s˜ao finitas.

A seguir, uma condic¸˜ao necess´aria e suficiente para uma ac¸˜ao em um espac¸o Hausdorff ser propriamente descont´ınua.

Proposic¸˜ao 2.2.11 :Uma ac¸˜ao de um grupo discretoGem um espac¸o Haus-dorff X ´e propriamente descont´ınua se, e somente se, para todos x, y ∈ X

(42)

40

A ideia principal da demonstrac¸˜ao deste fato ´e mostrar que dadoGum grupo topol´ogico agindo emX um espac¸o Hausdorff a ac¸˜ao ´e pr´opria se, e somente se, para todox, y∈X, existem vizinhanc¸as abertasVxdexeVydey

tais que o conjunto{g∈G;g⋅Vx∩Vy≠∅}⊂G´e compacto. A demonstrac¸˜ao

deste fato, com todos os detalhes encontra-se em (BRAKKEE, 2013, Teorema 1.1.16).

Lema 2.2.12 :SejaM uma variedade eGum grupo de Lie discreto agindo de maneira descont´ınua emM. Ent˜ao para cada vizinhanc¸a abertaV dex∈

M temos:

(a) Existe uma vizinhanc¸a aberta e conexaU⊂V dextal queU ´e invariante porGxeU∩g⋅U =∅para todog∉Gxe

(b) SeU ´e vizinhanc¸a aberta e conexa dextal queU ´e invariante porGxe U∩g⋅U=∅para todog∉Gxent˜ao a aplicac¸˜ao canˆonicaU/Gx→X/G

´e um mergulho topol´ogico. Demonstrac¸˜ao:

(a) Sejax∈ V. Pela Proposic¸˜ao 2.2.11, existe uma vizinhanc¸aU0dextal que o conjuntoH ={g∈ G;g⋅U0∩U0≠∅}´e finito. SubstituindoU0 porU0∩V, garantimos queU0 ⊂ V. Note queGx ⊆ H. SeH = Gx,

sejaU a componente conexa dexem ⋂

g∈Gx

g⋅U0. LogoU ´e invariante porGxe parag∉Gxpor construc¸˜aoU∩g⋅U =∅. Suponha agora que Gx⊊H. ComoH ´e finito,H∖Gx={g1, . . . , gn}´e finito. Sejayi∶=gix

parai=1, . . . , n. Ent˜ao n´os temos queyi ≠xparai=1, . . . , n. Como M ´e Hausdorff, existem vizinhanc¸as abertasVidexeVi′deyipara cada i, tais queVi∩Vi′=∅. Ent˜aoUi∶=Vi∩gi−1⋅V

i ´e uma vizinhanc¸a aberta

dextal queUi∩gi⋅Ui =∅. Seja agora,Ũ ∶=U1∩. . .∩Un, logoŨ ´e

vizinhanc¸a dexcomŨ∩g⋅Ũ=∅para todog∈G∖Gx. Finalmente, a

(43)

41

(b) SejaU definido com em (a) ef∶ U/Gx→ M/Gdefinida porf([x])=

[x]. Pela construc¸˜ao do conjuntoU acima teremos quef ´e injetiva. De fato, suponhaG⋅p=G⋅qparap, q∈U e sejar∈Gtal queq=rp. Como

U∩g⋅U=∅parag∈G∖Gx, temos quer∈GxlogoGx⋅p=Gx⋅q.

Note que o seguinte diagrama comuta:

U i //

X

U/Gx f //X/G,

ondei´e a inclus˜ao eU → U/GxeM →M/Gs˜ao as projec¸˜oes canˆonicas.

Como estas trˆes aplicac¸˜oes s˜ao cont´ınuas e abertos, teremos quef ´e cont´ınua e aberta. Desta forma, temos quef ´e um homeomorfismo na sua imagem. ∎

2.3 TEOREMA DO SLICE

Veremos nesta sec¸˜ao um resultado que nos permitir´a estudar uma ac¸˜ao de um grupo de uma forma local. Ele nos ensina como podemos interpretar a ac¸˜ao sofrida pelo grupo em uma vizinhanc¸a aberta da ´orbita de um ponto.

Comec¸amos com a definic¸˜ao de um slice de (ALEXANDRINO; BETTIOL, 2010, Definic¸˜ao 3.33).

Lembre-se que dada uma ac¸˜ao de grupoθ∶ G×M → M eg0 ∈ G fixado, podemos definir a func¸˜aoθg0∶ M →M porθg0(p)=θ(g0, p)=g0⋅p. Agora se fixarmos um pontop0∈Me permitirmos queg∈Gvarie, podemos definir a func¸˜ao: θp0 G M, por θp0(g) = (g, p

o) = g⋅p0, como na

Observac¸˜ao 1.1.2.

Definic¸˜ao 2.3.1 (Slice): Sejam M uma variedade, G um grupo de Lie e

(44)

42

(i) Tp0M =dθ

p0

∣e (TeG)⊕Tp0Sp0eTpM =dθ

p

∣e(TeG)+TpSp0, para todo

p∈Sp0;

(ii) sep∈Sp0eg∈Gp0, ent˜aog⋅p∈Sp0;

(iii) sep∈Sp0eg∈Gs˜ao tais queg⋅p∈Sp0, ent˜aog∈Gp0.

A pr´oxima definic¸˜ao ser´a utilizada no teorema a seguir.

Definic¸˜ao 2.3.2 (Produto cruzado): Sejam Gum grupo de Lie agindo em umM uma variedade eH um subgrupo mergulhado deG. SeH age em

G×M porh(g, x)=(g⋅h−1, h⋅x)comh∈H, denotamos o espac¸o orbital

(G×M)/H ∶=G×HM. Este espac¸o ´e denominadoproduto cruzado deG

emM porH. A ´orbita de um par(g, x)∈G×M ´e denotada por[g, x]. Lembremos que se temos ac¸˜oesθ∶ G×M → M eθ′∶ G×N → N, do grupoG em variedadesM eN, uma aplicac¸˜ao f∶ M → N ´e dito G -equivariantese para todox∈M, g∈G:θ′(g, f(x))=f(θ(g, x));

Agora podemos enunciar o Teorema do Slice.

Teorema 2.3.3 :SejamM uma variedade,Gum grupo de Lie,θ∶ G×M →

Muma ac¸˜ao pr´opria (e suave) eUuma vizinhanc¸a aberta dep0emM. Ent˜ao (A) existe um sliceSp0emp0contido emU;

(B) existe um difeomorfismo G-equivariante entre θ(G, Sp0)e o produto cruzadoG×Gp0Sp0.

(45)

43

2.4 ORIBFOLDS EFETIVOS VIA QUOCIENTES

Comec¸aremos mostrando que se um grupo age propriamente descon-tinuamente em uma variedade, o espac¸o orbital possui uma estrutura de or-bifold. Este resultado ´e apresentado no artigo precursor de (SATAKE, 1956) como uma observac¸˜ao. Uma demonstrac¸˜ao ´e feita em (THURSTON, 2002, Proposic¸˜ao 13.2.1) onde o autor apenas constr´oi as cartas. Nosso objetivo ´e fazer uma demonstrac¸˜ao na qual vamos construir as cartas e as injec¸˜oes. Aqui seguiremos as ideias expostas em (BRAKKEE, 2013, Teorema 2.1.9), com algumas adaptac¸˜oes. Na sequˆencia como em (AMENTA, 2013, Proposic¸˜ao 1.2.1), generalizaremos esta construc¸˜ao para certas ac¸˜oes pr´oprias usando o Teorema 2.3.3, do Slice.

2.4.1 Ac¸˜oes propriamente descont´ınuas

Teorema 2.4.1 :SejaM uma variedaden-dimensional na qualGum grupo discreto age suave, efetiva e propriamente descontinuamente. Ent˜aoM/G

possui uma estrutura de orbifold com dimens˜ao dim(M/G)=n.

Demonstrac¸˜ao: SejamM uma variedade eGum grupo discreto agindo em

M suave, efetiva e propriamente descontinuamente. A fim de mostrar que

M/Gtem uma estrutura de orbifold precisamos verificar que este espac¸o ´e Hausdorff e segundo cont´avel; construir cartas e um atlas. De fato, o quoci-ente ser´a Hausdorff pois a ac¸˜ao ´e propriamquoci-ente descont´ınua e logo ´e pr´opria. Como a projec¸˜ao canˆonicaM →M/G´e uma func¸˜ao aberta eM ´e segundo cont´avel, temos que o espac¸o orbital ser´a segundo cont´avel. A construc¸˜ao das cartas e do atlas nos demandam mais esforc¸os.

(46)

44

Sejaφx∶ Vx →Ṽx,Vx ⊂M eṼx ⊂Rnuma carta deM ao redor do

pontõx. Agora definamosUx′como a parte conexa de ⋂

g∈G̃x

g⋅(̃Ux∩Vx). Note

queUx′⊂Vx. ComoGx̃´e finito e a aplicac¸˜aoy↦g⋅y´e um homeomorfismo, ent˜aoUx′ ´e aberto. Observando a construc¸˜ao deUx′, temos que este conjunto ´e invariante porG̃xe queUx′⋂g⋅Ux′ =∅, para todog∉G̃x. A aplicac¸˜aofx

´e um mergulho topol´ogico que levaUx′/G̃xemUx∶=fx(Ux′/G̃x)⊂M/G.

Seja Wx = φx(Ux′) ⊂ Rn. O grupo Gx̃ age emWx por: g⋅w = φx(g⋅φ−x1(w)), note que esta ac¸˜ao ´e efetiva. Comoφ−

1

x ∶ Wx → Ux′ ´eG

-equivariante, induz um homeomorfismoφ−1

x ∶ Wx/Gx̃ → Ux′/G̃x. Temos

ent˜ao o seguinte diagrama comutativo:

Wx φ−1x

//

Ux

Wx/G̃x φ−1

x

//Ux′/G̃x. fx

//Ux

em que setas verticais s˜ao as projec¸˜oes canˆonicas. Sejaψx∶ Wx→M/G

defi-nida porψx(y)∶=fx([φ−x1(y)])=fx(φ

−1

x [y]). Ent˜ao a tripla(Wx, Gx̃, ψx),

ondeψx(Wx)=Ux, ´e por construc¸˜ao uma carta paraM/G.

Vamos agora construir uma atlas a partir destas cartas constru´ıdas an-teriormente. Note que para cada ponto emM/Gpodemos criar uma carta como acima. Ent˜ao a colec¸˜ao de todas essas cartas, digamosA, cobrir´a este espac¸o. Precisamos verificar a compatibilidade entre as cartas do nosso candi-dato a atlasA={(Wx, Gx̃, ψx)}x∈M. Sejam(Wx, G̃x, ψx)e(Wy, G̃y, ψy)

cartas emAe sejaz∈ Ux∩Uy ⊂M/G,φx∶ U′x → Wxeφy∶ U′y → Wy

ondeUx′, Uy′ ⊂ M eφx(Ux′)= Ũx ⊂Rn eφy(Uy′)=Ũy ⊂Rn,

respectiva-mente. Sejam̃zx∈π−1(z)∩Ux′ ⊂M ẽzy∈π−1(z)∩Uy′ ⊂M. Ent˜ao existe g ∈ Gtal quez̃x = g̃zy. Ent˜aoUx′ ∩gUy′ ´e vizinhanc¸a aberta dẽzx. Pelo

Lema 2.2.12 existeŨ ⊂Ux′ ∩gUy′ vizinhanc¸a dẽzxque ´eG̃zx-invariante e a aplicac¸˜ao canˆonicaf̃zz∶ Ũ/G̃zx → M/G´e mergulho topol´ogico. Defini-mosψ∶ φx(̃U)→ M/Gporψ(p)∶= f̃zx([φ

−1

x (p)]). Assim obtemos carta

(47)

45

eλy=φy○g−1○φ−1x .

Conclu´ımos queM/Gtem uma estrutura de orbifold. ∎ Exemplo 2.4.2 :SejaO ∶=R2/Z

3, ondeZ3age emR2

via rotac¸˜ao de2π/3, an´alogo ao feito no Exemplo 1.2.1. Note queZ3 ´e um grupo discreto e que a ac¸˜ao ´e pr´opria, basta usar o item (2) da Observac¸˜ao 2.2.5. Desta forma o teorema anterior nos garante queO´e um orbifold. ◻

2.4.2 Ac¸˜oes pr´oprias

Agora queremos caracterizar orbifolds como quocientes por ac¸˜oes pr´o-prias. Precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 2.4.3 :Dado um grupo de LieGe um subconjunto finitoF⊂G, existe uma vizinhanc¸a abertaCdeetal que seg1, g2∈C, ent˜aog1−1g2∉F∖ {e}. Demonstrac¸˜ao: Sejaf∶ G×G ∋ (g1, g2) ↦ g−11 g2 ∈ Gcont´ınua. Como

G∖ (F ∖ {e}) ´e aberto,U ∶= f−1(G∖ (F ∖ {e}))´e vizinhanc¸a aberta de

(e, e). Logo existe vizinhanc¸a abertaC⊂U dee. Desta forma, seg1, g2∈C

ent˜aog−11g2∉F∖ {e}. ∎

A demonstrac¸˜ao do pr´oximo lema pode ser encontrada em (ALEXAN-DRINO; BETTIOL, 2010, Proposic¸˜ao 3.28).

Lema 2.4.4 : Seja θ∶ G×M uma ac¸˜ao de um grupo de Lie G em uma variedadeM. Sejaθp G/G

p→M definida porθp○π=θp, em queπ∶ G→ G/Gp ´e a projec¸˜ao canˆonica. Ent˜aoθp ´e uma imers˜ao injetiva, cuja imagem

´eG⋅p. Em particular,G⋅p´e uma variedade imersa deM. Tamb´em, se a ac¸˜ao ´e pr´opria, ent˜aoθp ´e um mergulho eGp´e uma subvariedade mergulhada de M.

Observac¸˜ao 2.4.5 : O lema anterior implica se a ac¸˜ao ´e quase livre, isto ´e, cada grupo de isotropia ´e finito, todos os slices tˆem dimens˜aodim(M)−

dim(G) e a condic¸˜ao (i) da Definic¸˜ao 2.3.1 ´e equivalente a

(48)

46

Teorema 2.4.6 : SejaGum grupo de Liek-dimensional agindo suave, efe-tiva, propriamente e quase livremente emM uma variedade diferenci´aveln -dimensional. Ent˜aoM/Gpossui estrutura canˆonica de orbifold de dimens˜ao

n−k.

Demonstrac¸˜ao:SejaM/Gcomo no enunciado. Para verificarmos que existe uma estrutura de orbifold, precisamos mostrar que este espac¸o ´e Hausdorff e segundo cont´avel e exibir um atlas.

ComoG´e um grupo de Lie que age propriamente em M, o espac¸o orbital ´e Hausdorff. Tamb´em, este espac¸o ´e segundo cont´avel pois a projec¸˜ao canˆonica ´e aberta.

Vamos `as cartas. Sejap∈M. Pelo Teorema do Slice existe um slice

Spempcontido no dom´ınio de uma carta adaptada da subvariedadeSp. Em

particular, a vizinhanc¸aNp=GSpda ´orbitaG⋅peN p´e equivariantemente

difeomorfa aG×GpSp. Como a ac¸˜ao ´e quase-livre, o grupoGp ´e finito e edim(Sp) = n−k. Seja Kp ⊂ Gp dado pelo n´ucleo do homomorfismo

̃

θ∶ Gp → Diffeo(Sp)definido por̃θ(g)(q)= θ(g, q). Desta formaGp/Kp

age efetivamente emSp. Para simplificar nossa notac¸˜ao, vamos cometer um

abuso de notac¸˜ao e escrever apenasGp ao inv´es deGp/Kp. Nossa intenc¸˜ao

´e construir uma carta paraM/Gda seguinte forma: (Sp, Gp, φp), em que φp∶ Sp→M/G´e a projec¸˜ao canˆonica. Note queSpn˜ao ´e um subconjunto de

Rn−k, mas localmente ´e homeomorfo a um subconjunto aberto deRn−k, pois

esta contido no dom´ınio de uma carta deM. Falta apenas verificar queφp

induz um homeomorfismo deSp/Gpemφp(Sp). Note queNp ´e difeomorfo,

por um difeomorfismoG-equivariante, a(G×GpSp)pelo Teorema do Slice, logoNp/G≅(G×GpSp)/G. Agora, temos que(G×GpSp)/Gp ≅Sp/Gp viaGp/Sp∋[x]↦[[e, x]]∈(G×GpSp)/Gpe(G×GpSp)/Gp∋[[g, x]]↦

[x]∈Sp/Gp. Note que ambas as func¸˜oes est˜ao bem definidas, s˜ao cont´ınuas

e uma ´e a inversa da outra. Logo, por transitividade,Np/G´e homeomorfo a Sp/Gp.

Desta forma(Sp, Gp, φp)´e uma carta para o espac¸o orbitalM/G;

(49)

compa-47

tibilidade entre tais cartas. De fato, para qualquer [q] ∈ M/G existe um

p ∈ M tal que π(p) = q e existe uma carta (Sp, Gp, φp) ∈ A. Assim M/G=⋃p∈MNp/G.

Precisamos verificar a compatibilidade entre as cartas do nosso can-didato a atlas, este ´e um racioc´ınio bem t´ecnico e envolve algumas etapas. Sejam φ1∶ S1 → S1/Gp1 eφ2∶ S2 → S2/Gp2 duas cartas da colec¸˜ao Ae

p∈M tal que[p]∈U1∩U2, em queU1=φi(S1)eU2=φ2(S2)emM/G. Logo temos quep∈GS1∩GS2. Sem perda de generalidade, podemos assu-mir quep∈S1. Pelo Lema 2.4.3 existe uma vizinhanc¸a aberta invariante por invers˜aoCdee∈Gtal que seg1, g2∈Gent˜aog1−1g2∉(Gp1∪Gp2)∖{e}. Definimos ent˜aofi=θ∣C×Si∶ C×Si→CSicomi=1,2, que ´e uma bijec¸˜ao.

Este fato decorre da definic¸˜ao do conjuntoCe o Lema 2.4.3 e do iten (iii) da Definic¸˜ao 2.3.1 de slice.

Fixe i ∈ {1,2}. Vamos verificar que fi ´e um difeomorfismo. Seja

(g, p) ∈ C ×Si e seja Y ∈ Tgp(CSi). Temos que CSi ´e aberto, logo Tgp(CSi)=TgpM. Vamos definir o seguinte vetor

X∶=dθg−1

∣gpY ∈TpM =dθ p

∣eTeM⊕TpSi,

decorrente da definic¸˜ao de Slice, em Definic¸˜ao 2.3.1 e Observac¸˜ao 2.4.5. Por-tanto, existemZ1 ∈TgC =TgGeZ2∈ TpSitais queX =dθpedLg−1

∣gZ1+ Z2, em queLg−1 denota a translac¸˜ao `a esquerda que a cadah∈ Gassocia

Lg−1(h)=g−1h. Ent˜ao

dθ(g,p)(Z1, Z2)=dθp

g(Z1)+dθg∣p(Z2).

Note que, pela caracterizac¸˜ao deXe pela relac¸˜aoθpL

g−1 =θg−1○θp.

dθg∣p(Z2) =dθg∣p(X−dθ

p

∣edLg−1∣gZ1)

=dθg∣p(X−dθg∣p−1dθ

p

∣gZ1)

=dθg∣p(X)−dθg∣p(dθg−1

∣pdθ

p

∣gZ1)

=dθg∣p(dθg−1∣gpY)−dθ

p

∣g(Z1)

(50)

48

Portantodθ(g,p)(Z1, Z2)=Y. Logofi ´e bijec¸˜ao edθ(g,p) ´e sobreje-tiva e as dimens˜oes deC×SieCSis˜ao iguais, assimfi´e difeomorfismo.

Pelo Teorema 2.3.3, do Slice, existe um slice S3em ptal queS3 ⊂

CS1.

Definaλ1∶ S3

iS3

Ð→CS1

f1−1 Ð→C×S1

πS1

Ð→S1, vamos verificar que esta func¸˜ao ´e injetora e uma imers˜ao:

●λ1´e injetora: sejamq1, q2∈S3tais queλ1(q1)=λ1(q2)=∶s.

πS1(f −1

1 (q1))=πS1(f −1 1 (q2)).

Implicando que existemg1, g2 ∈ C tais quef1−1(q1)= (g1, s)ef1−1(q2)=

(g2, s). Aplicandof1temosg1s=q1eg2s=q2, logog2g1−1q1=q2. Como

S3´e um Slice emp, temos queg2g1−1∈Gp⊂Gp1, decorrente da definic¸˜ao de slice (2.3.1 (iii)). Agora pela definic¸˜ao do conjuntoCtemos queg2g−11 =e. Portantoq1=q2.

●λ1 ´e imers˜ao: sejamq∈S3eX ∈Nucdλ1∣q. Comoq∈S3⊂CS1, existem ´unicosg∈C, y∈S1tais queq=f1(g, y)=gy. Segue pela regra da cadeia que

dπS1∣(g,y)⋅df −1

1 q(X)=0. Ent˜ao

df1−1∣q(X)∈TgC⊕{0} Ô⇒ X∈df1∣(g,y)(TgC⊕{0}). Pela Observac¸˜ao 1.1.2 temos

df1∣(g,y)(TgC⊕{0})=dθy∣g(TgC)=Tgy(G⋅y)=Tq(G⋅y)

eX∈TqS3, implicando assim queX =0.

Vimos acima queλ1´e uma imers˜ao injetora. Como dim(S1)=dim(S3), conclu´ımos queλ1´e um difeomorfismo local. Desta forma,λ1´e um mergu-lho.

(51)

49

Sejah ∈ Gtal quehp ∈ S2. Reduzindo o tamanho de S3 caso ne-cess´ario, podemos assumir quehS3 ⊂ CS2. Definaλ2∶ S3

h

Ð→ CS2

f2−1 Ð→

C×S2

πS2

Ð→S2, vamos verificar que esta func¸˜ao ´e injetora. Para se mostrar queλ2 ´e uma imers˜ao, faz-se um racioc´ınio an´alogo ao usado emλ1.

●λ2´e injetora: sejamq1, q2∈S3tais queλ2(q1)=λ2(q2), logo

πS2(f −1

2 (hq1))=πS2(f −1 2 (hq2)).

ComohS3⊂CS2, existemg1, g2∈Ces∈S2tais queg1s=hq1eg2s=hq2. Segue que

g1−1hq1=g2−1hq2 Ô⇒ h−1g2g−11 hq1=q2.

Logoh−1g2g−11 h∈ Gp = h−1Ghph. Comohp∈ S2, temos queGhp ⊂Gp2 ( da definic¸˜ao de Slice item (iii)). Segue queg2−1g1 ∈ Ghp ⊂(Gp1∪Gp2), implicando queg−12 g1=epelo Lema 2.4.3. Desta formaq1=q2.

Comoh´e difeomorfismo, um argumento an´alogo aλ1mostra queλ2 ´e imers˜ao. Portantoλ2 ´e um mergulho.

Conclu´ımos ent˜ao queλ1∶ S3 → S1 eλ2∶ S3 → S2 s˜ao injec¸˜oes e portanto, as cartasφ1∶ S1→S1/Gp1eφ2∶ S2→S2/Gp2s˜ao compat´ıveis.

PortantoM/G´e um orbifold. ∎

Este resultado pe uma ferramenta muito ´util para construir orbifolds. O Teorema 2.4.11, a seguir, implica que cada orbifold porde ser escrito nesta forma.

Observac¸˜ao 2.4.7 : Note que uma ac¸˜ao propriamente descont´ınua e quase livre ´e em particular uma ac¸˜ao pr´opria, desta forma o Teorema 2.4.6, acima, generaliza o Teorema 2.4.1.

Vamos mostrar agora que dadosM eGcomo no enunciado do Teo-rema 2.4.6 em queπ∶ M → M/G´e a projec¸˜ao canˆonica, existe uma ´unica estrutura de orbifold emM/Gtal queπ´eC∞e uma aplicac¸˜aof∶ M/G→O

(52)

50

Lema 2.4.8 : Sejaf∶ O→O′um difeomorfismo entre orbifolds da mesma dimens˜ao ex∈ O. Ent˜ao existem cartas(̃U , GU, φU)e(̃V , GV, φV)ao redor

dexef(x), respectivamente, e um mergulhof̃∶ Ũ → Ṽ tal queφV ○f̃= f○φU.

Demonstrac¸˜ao:Comof−1´eC∞, existem cartas(̃V , GV, φV)e(̃W , GW, φW)

ao redor def(x)ex, respectivamente, ef̃−1∶ Ṽ →̃W suave tal queφW ○

̃

f−1=f−1○φV. Comof ´eC∞, existem cartas(̃U , GU, φU)e(̃U′, GU′, φU′) em torno dexef(x), respectivamente, ef̃∶ Ũ→̃U′suave tal queφ

U′○f̃=

f○φU. DiminuindoU′eU (e substituindo os dom´ınios das cartas

correspon-dentes por imagens de injec¸˜oes adequadas), podemos assumir queU ⊂ W,

̃

U⊂̃W,U′⊂Ṽ,φU =φW∣ ̃

U eφU ′=φV

∣ ̃U′. Portanto,

φw○f̃−1○f̃=φW∣ ̃

U∶

̃

U →W.

Pelo Lema (MOERDIJK; MRCUN, 2003, Lema 2.11), existeg ∈ GW tal que

̃

f−1○f̃∣̃U =g∣̃U. Portantof̃e tododf̃∣̃y,̃y∈Ũ, s˜ao injetores. ComoŨeṼtˆem a mesma dimens˜ao, o teorema da aplicac¸˜ao inversa implica quef̃∶ Ũ →Ṽ ´e um mergulho. Temos o seguinte diagrama comutativo

̃

U f̃ //

φU

̃

U′Ṽ

φU′

φV

̃

f−1

//̃W

φW

U f //U′⊂V f

−1 //W.

Em particular,

f○φU =φU′○f̃=φV ○f .̃

Conclu´ımos assim a demonstrac¸˜ao. ∎

Vamos agora demonstrar a unicidade.

Teorema 2.4.9 : SejaGum grupo de Liek-dimensional agindo suave, efe-tiva, propriamente e quase livremente emM uma variedade diferenci´aveln -dimensional em queπ∶ M →M/G´e a projec¸˜ao canˆonica. Existe uma ´unica estrutura de orbifold emM/Gtal queπ´eC∞e uma aplicac¸˜aoh∶ M/G→O

(53)

51

Demonstrac¸˜ao:EmM/Gconsidere a estrutura definida na demonstrac¸˜ao do Teorema 2.4.6.

Primeiro, vamos verificar que π∶ M → M/G ´eC∞. Seja p ∈ M. Sejam Sp ⊂ M slice em p contido numa carta da subvariedade Sp e C

vizinhanc¸a aberta deetal que seg1, g2 ∈Cent˜aog1−1g2 ∉Gp∖{e}. Sejam

f−1=θ−1

CSp∶ CSp→C×Sp,π2∶ C×Sp→(C×Sp)/Sp, a projec¸˜ao natural, e

φp∶ (C×Sp)/Sp→Sp/Gp. Comoπ2○f−1´eC∞eφp(π2○f−1)=π, temos queπ´eC∞.

Em seguida verificaremos a existˆencia. Seja h∶ M/G → O dife-renci´avel. Vimos que a composic¸˜ao de duas aplicac¸˜oes diferenci´aveis ´e di-ferenci´avel. Sabemos que seh´e diferenci´avel, ent˜aoh○πtamb´em ´e dife-renci´avel. Por outro lado,h○π´e func¸˜aoC∞. Sejax∈ M/G. Sep∈M ´e tal queπ(p)=x, ent˜ao suponha que existem uma vizinhanc¸aU depemM, uma cartaφ∶ Ṽ→V deOem de torno def(x)e uma aplicac¸˜ao diferenci´avel

̃

h○π∶ U →Ṽ tal queφ○h̃○π=h○πemU. Agora, note que seS⊂U ´e um slice em torno depent˜aoφ○h̃○π=h○πemS. Assim conclu´ımos queh´e diferenci´avel.

Quanto `a unicidade. Sejam(M/G)1e(M/G)2duas estruturas com a propriedade do teorema. Escrevemos πi∶ M ∋ p ↦ π(p) ∈ (M/G)i e

idij∶ (M/G)i ∋ x↦ x∈ (M/G)j, parai ∈ {1,2}. Temos o seguinte

dia-grama M π1 zz π2 $$

(M/G)1

id12 //(M/G)

2. id21

oo

Note que id12○π1 = π2 ´eC∞, logo id12 ´eC∞. Analogamente ve-mos que id21 ´eC∞. Portanto id12e id21s˜ao difeomorfismos. Agora, sejam

(54)

52 ̃ U1 φU1 ̃ W φW λ

oo µ //Ũ2

φU2

U1 W

incl

oo incl //U2.

Desta forma temos as estruturas(M/G)1e(M/G)2s˜ao iguais e temos

as-sim a unicidade. ∎

Exemplo 2.4.10 (Espac¸o projetivo ponderado):Considere a esfera unit´aria:

S2n+1⊂Cn+1. Seja(a0, . . . , an)uma(n+1)-upla de inteiros coprimos entre

si, e o grupoS1

aja emS2n+1viaλ(z

0, . . . , zn)∶=(λa0z0, . . . , λanzn).

Gos-tar´ıamos de concluir queS2n+1

/S1

tem estrutura de orbifold via o Teorema 2.4.6. Vamos checar as hip´oteses do teorema: sabemos queS1 ´e um grupo de Lie compacto;S2n+1

´e uma variedade diferenci´avel; note que pelo fato de serem primos, temos que esta ac¸˜ao ´e efetiva;Se1i ={λ∈S1;λai =1}Z

ai e isotropia nos outros pontos ´e trivial pois existem i ≠ j tais que zi ≠ 0

ezj ≠ 0, desta forma temos que a ac¸˜ao ´e quase livre. Portanto o espac¸o S2n+1

/S1 =∶ WP(a0, . . . , an), chamado espac¸o projetivo ponderado, tem

uma estrutura de orbifold. ◻

Finalizamos o cap´ıtulo com o seguinte resultado.

Teorema 2.4.11 :SejaOum orbifold. Ent˜aoO´e difeomorfo a um quociente

M/Gem queM ´e uma variedade diferenci´avel eG´e um grupo de Lie que age suave, efetiva, pr´opria e quase livremente emM.

A demonstrac¸˜ao deste fato envolve o estudo do chamadofibrado de re-ferenciais ortogonaisde um orbifold. Este fibrado tem propriedades an´alogas aos fibrados de uma variedade diferenci´avel. Uma maneira de fazermos esta construc¸˜ao pode ser encontrada em (MOERDIJK; MRCUN, 2003, Sec¸˜ao 2.4), assim como resultados adicionais e a demonstrac¸˜ao do teorema acima.

(55)

53

ou pr´opria e quase livre, ent˜ao o quocienteM/Gtem uma estrutura canˆonica de orbifold. Esta ´e uma ferramenta importante na ’fabricac¸˜ao’ de exemplos de orbifolds.

(56)
(57)

55

3 ORBIFOLDS VIA GRUPOIDES

Neste cap´ıtulo n´os reformularemos a noc¸˜ao de orbifolds usando a lin-guagem de grupoides e mostraremos que h´a uma correspondˆencia entre or-bifolds e grupoides de Lie pr´orpiios e ´etale como os definidos at´e ent˜ao e esta nova caracterizac¸˜ao, que ser´a apresentada. Assim como em (MOERDIJK; PRONK, 1997). Evitamos a teoria de categorias para deixar este cap´ıtulo mais acess´ıvel. Veja referˆencia (TOMMASINI, 2012) para abordagem utilizando lin-guagem de categorias e outros resultados ao longo deste cap´ıtulo.

3.1 GRUPOIDES DE LIE

Antes de definir grupoides precisamos definir o produto fibrado entre dois espac¸os topol´ogicos.

Definic¸˜ao 3.1.1 Sejam X, Y eZ espac¸os topol´ogicos e func¸˜oes cont´ınuas

f∶ X →Z eg∶ Y →Z. Oproduto fibradodeXporY sobreZ ´e o subcon-junto deZ×Zdefinido porXf×gY ∶={(x, y)∈X×Y;f(x)=g(y)}. Definic¸˜ao 3.1.2 (Grupoide topol´ogico):Umgrupoide topol´ogicoGconsiste de um espac¸o topol´ogicoG0(de objetos) n˜ao vazio e um espac¸o topol´ogico

G1(de setas) em conjunto com cinco aplicac¸˜oes cont´ınuas. S˜ao elas:

(i) sources∶ G1→G0; (ii) targett∶ G1→G0;

(iii) composic¸˜ao(oumultiplicac¸˜ao)m∶ G1s t× G1→G1; (iv) unidadeu∶ G0→G1;

(58)

56

satisfazendo as seguintes condic¸˜oes:

• para todo(h, g)∈G1s t× G1:s(m(h, g))=s(g),t(m(h, g))=t(h); • associatividade dem: seh, f eg emG1s˜ao tais que s(g) = t(f)e

s(h)=t(g), ent˜ao

m(m(h, g), f)=m(h, m(g, f));

• s○u=t○u=idG0e para todog∈G1

m(g, u(s(g)))=g=m(u(t(g)), g);

• s○i=t,t○i=se para todog∈G1:

m(i(g), g)=u(s(g))

m(g, i(g))=u(t(g)).

Introduzimos as seguintes notac¸˜oes: se g ∈ G1 ´e tal ques(g) = x,

t(g) =y, escrevemosg∶ x→ y. Se(h, g) ∈G1s t× G1, escrevemoshg ∶=

m(h, g). Seg∶ x→y, escrevemosg−1∶=i(g)∶ y→x.

Um grupoide topol´ogico pode ser representado por uma7-upla(G0, G1, s, t,

m, u, i)=∶ Gformada por dois espac¸os topol´ogicos e cinco aplicac¸˜oes cont´ınuas satisfazendo as propriedades da Definic¸˜ao 3.1.2.

Observac¸˜ao 3.1.3 :SeG´e um grupoide topol´ogico, ent˜aos, ts˜ao aplicac¸˜oes sobrejetoras ei´e uma involuc¸˜ao.

De fato,s, ts˜ao sobrejetoras poiss○u=t○u=idG0. Agora para a involuc¸˜ao, sejag∶ x→y. Ent˜aom(i2(g), i(g))=u(y). Aplicandom(⋅, y)

e a associatividade demobtemosm(u(y), g)= g, pelo lado direito, e pelo outo lado

m(m(i2

(g), i(g)), g) =m(i2

(g), m(i(g)), g)

=m(i2(g), u(x))

=i2

(59)

57

Portantoi2

(g)=g.

Definimos grupoides topol´ogicos, mas nossa intenc¸˜ao ´e estudar orbi-folds que s˜ao objetos diferenci´aveis. Desta forma introduzimos o conceito de grupoide de Lie.

Definic¸˜ao 3.1.4 (Grupoide de Lie): Umgrupoide de Lie ´e um grupoide to-pol´ogico G tal que G0 e G1 s˜ao variedades diferenci´aveis, se t s˜ao sub-mers˜oes sobrejetoras,m, ueis˜ao aplicac¸˜oes diferenci´aveis.

A observac¸˜ao acima implica que se G ´e grupoide de Lie, ent˜aoi ´e difeomorfismo.

Lema 3.1.5 : SejamGum grupoide de Lie,G1 o conjunto de setas eG0o conjunto de objetos. Ent˜aoG1s t× G1={(h, g)∈G1×G1;s(h)=t(g)} ´e uma variedade mergulhada deG1×G1de dimens˜ao2dim(G1)−dim(G0).

Demonstrac¸˜ao:SejaGum grupoide de Lie es, t∶ G1→G0suas aplicac¸˜oes source e target. Seja(s, t)∶ G1×G1→G0×G0. Logo

G1s t× G1=(s, t)− 1

{(y, y)∈G0×G0;y∈G0} ⊂G1×G1.

Note que o conjunto{(y, y) ∈ G0×G0;y ∈ G0}, a diagonal do conjunto

G0×G0, ´e uma subvariedade deG0×G0 e ´e difeomorfa `a variedadeG0. Observe queG1s t× G1 n˜ao ´e vazio, pois comoG0 ´e n˜ao vazio a aplicac¸˜ao unidade nos garante pelo menos um elemento em G1. Por fim, temos que

(s, t)´e uma submers˜ao, j´a queseto s˜ao, desta forma(s, t)´e transversal `a diagonal deG0×G0. Portanto, pelo teorema da transversalidade (GUILLEMIN; POLLACK, 1974, Cap´ıtulo 1, Sec¸˜ao 5),G1s t× G1 ´e uma subvariedade de di-mens˜ao2dim(G1)−dim(G0). ∎

(60)

58

entre as variedades diferenci´aveisM, M′eN. Sef ´e uma submers˜ao, ent˜ao o produto fibradoMf×gM′´e uma subvariedade mergulhada deM×M, com dimens˜ao igual a dim(M)+dim(M′)−dim(N)’. Veja (TOMMASINI, 2012, Proposic¸˜ao 2.11).

Exemplo 3.1.7 Grupoide ac¸˜ao: SejaMuma variedade diferenci´avel e sejaG

um grupo de Lie agindo suavemente emM (pela esquerda), com ac¸˜ao dada porθ∶ G×M →M, escrevemosgp=θ(g, p). Vamos definir ogrupoide ac¸˜ao denotado porG⋉Mda seguinte forma:(G⋉M)0∶=Me(G⋉M)1∶=G×M. Agora as aplicac¸˜oes: source e targets, t∶ G×M → M s˜ao definidos como

s∶=pr2∶ G×M →M com(g, p)↦pet∶=θ, isto ´e, source ´e a projec¸˜ao na segunda coordenada e target a pr´opria ac¸˜ao; para multiplicac¸˜ao note que se

((g, p1),(h, p2))∈G1s t× G1temosp1=hp2, assimm((g, hp2),(h, p2))=

(g⋅h, p2)em queg⋅h´e a operac¸˜ao do grupoG; a invers˜aoi∶ G×M →G×M ´e dada pori(g, p)=(g−1, gp)e a unidade poru∶ M →G×M comu(p)=

(e, p)(em que e ´e o elemento unidade do grupo). Note que cada um das aplicac¸˜oes ´e diferenci´avel e satisfaz as condic¸˜oes da definic¸˜ao de grupoides e a projec¸˜ao ´e uma submers˜ao, logoG⋉M ´e um grupoide de Lie. ◻

A seguir vamos exibir a construc¸˜ao de um grupoide de Lie a partir um atlas de orbifold. Nesta construc¸˜ao precisamos duma noc¸˜ao mais r´ıgida dum atlas de orbifold que nos cap´ıtulos anteriores.

Definic¸˜ao 3.1.8 (Atlas completo):SejaX um espac¸o topol´ogico Hausdorff, segundo cont´avel. Um atlas completon-dimensional de orbifold emX ´e uma colec¸˜aoA={(̃Ui, Gi, φi)}i∈I de cartas de orbifoldn-dimensionais em Xtais que

(i) ⋃

i∈I Ui=X

(ii) se x ∈ Ui∩Uj, ent˜ao existem (̃Uk, Gk, φk) ∈ Atal que x ∈ Uk ⊂ Ui∩Uje injec¸˜oesλi∶ (̃Uk, Gk, φk)→(̃Ui, Gi, φi),λj∶ (̃Uk, Gk, φk)→

(̃Uj, Gj, φj).

(61)

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Exemplo 3.1.10 Orbifolds como grupoides : Adaptado de (AMENTA, 2013, Exemplo 2.1.8) e (TOMMASINI, 2012, Sec¸˜ao 3). SejaXum espac¸o topol´ogico Hausdorff e segundo cont´avel eA={(̃U , GU, φU)}atlas completo de

orbi-fold emX n-dimensional. N´os podemos construir umgrupoide de atlas de orbifold, denotado porX[A]. Vamos `a construc¸˜ao: definiremos

X[A]0∶=⋃˙ {( ̃U ,G

U,φU)}∈A

̃

U .

Os objetos deste grupoide podem ser escritos na forma(x,Ũ), em que(̃U , GU, φU)∈

Aex∈Ũ. N´os relacionamos dois pontos(x,Ũ)e(y,Ṽ)se existe uma carta

(̃W , GW, φW)emAcom duas injec¸˜oes

λ∶ (̃W , GW, φW)→(̃U , GU, φU)

µ∶ (̃W , GW, φW)→(̃V , GV, φV)

e um pontoz∈ ̃W tal queλ(z)=xeµ(z)=y. Logo um morfismo

(x,Ũ)→(y,Ṽ)´e uma tripla da forma(λ, z, µ), em queλ,µezs˜ao como acima.

Seja

S∶=⋃˙{(̃W ,GW,φW)}∈A ˙

⋃(λ,µ)∈I(W)2̃W ,

em que I(W) ´e colec¸˜ao das injec¸˜oes de(̃W , GW, φW)para as cartas de

A. Um elemento de S ´e dado por um ponto z ∈ ̃W para alguma carta

(̃W , GW, φW) ∈ A com duas injec¸˜oes partindo desta carta. LogoS pode

ser identificado com o conjunto das triplas(λ, z, µ), do par´agrafo anterior. Como cada conjuntõW ´e aberto emRn, temos queS ´e uma uni˜ao disjunta

de variedades diferenci´aveis.

Dizemos que(λ1, z1, µ1)e(λ2, z2, µ2)∈Ss˜ao equivalentes seλ1, λ2 s˜ao injec¸˜oes para mesma cartaφU eµ1, µ2s˜ao injec¸˜oes para mesma cartaφV

(62)

60 ̃ W1 λ1  µ1 ̃

U Ỹ

ν1 OO ν2 ̃ V . ̃ W2 µ2 >> λ2 __

Pode-se verificar que esta relac¸˜ao ´e relac¸˜ao de equivalˆencia, deixamos indicado o Lema 3.4 em (TOMMASINI, 2012). Agora, definimos o conjunto de setas: X[A]1 ∶=S/∼ onde uma tripla(λ, z, µ)∈ Stem sua classe deno-tada por[λ, z, µ]. No seguinte lema, verificaremos que existe uma estrutura diferenci´avel emX[A]1.

Lema 3.1.11 :Existe uma ´unica estrutura diferenci´avel emX[A]1tal queπ ´e um difeomorfismo local.

Demonstrac¸˜ao: Vamos verificar queπ∶ S →S/∼a projec¸˜ao canˆonica ´e um homeomorfismo local sobrejetor. Seja(̃W , λ, µ)com̃W em uma compo-nente conexa deS, vamos mostrar queπ((̃W , λ, µ))´e aberto emS/∼. Para isto, veremos queT ∶=π−1(π(̃W , λ, µ))´e aberto. De fato, seja(λ′, z′, µ′)∈

T. Ent˜ao existez ∈ ̃W tal que(λ′, z′, µ′) ∼ (λ, z, µ). Desta forma existe injec¸˜aoν′tal que o seguinte diagrama comuta

̃ W λ ~~ µ ̃

U Ỹ

ν OO ν′ ̃ V ̃ W′ µ′ >> λ′ ``

e existẽz ∈ Ỹ tal que ν(̃z)= zeν′(̃z)= z′e existeN vizinhanc¸a aberta de z em ̃W tal que N ⊂ ν(̃Y). Ent˜ao A ∶= {(λ′, ν′○ν−1(x), µ′);x ∈ N} ´e vizinhanc¸a aberta de(λ′, z′, µ′)em ̃W′ ⊂ S. Temos que sex ∈ N, ent˜ao (λ′, νν−1

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