A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

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Full text

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

(Mestrado)

ADEMIR BENTEUS PAMPU

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ao Global

para uma Classe de Equac

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Lineares de Sexta Ordem

(2)

CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM MATEM ´ATICA

Existˆ

encia e n˜

ao existˆ

encia de

soluc

¸˜

ao global para uma classe de

equac

¸˜

oes de ondas n˜

ao lineares de

sexta ordem

Ademir Benteus Pampu

Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Ma-tem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palo-mino.

(3)

RESUMO

Neste trabalho estudaremos o problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy para uma classe de equa¸c˜oes de onda n˜ao lineares de sexta ordem

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) =u1

onde consideramos os dados iniciais em espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria. De-terminamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local aplicando o m´etodo do ponto fixo. Al´em disso, estudamos o problema de existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao global fazendo uso do m´etodo do po¸co potencial.

(4)

In this work we study the problem of existence and uniqueness of local and global solution of the following Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations of sixth order

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) =u1

where we take the initial data in Sobolev spaces of fractional order. We stipulate the existence and uniqueness of local solution by applying the contraction mapping principle. Moreover, we study the problem of existence and nonexistence of global solutions making use of the pottential well method.

(5)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 6

1 RESULTADOS PRELIMINARES 9

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis . . . 9

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional . . . 12

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz . . . 15

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas . . . 18

1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . 20

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria . . . 21

1.7 Os Espa¸cos Lp(0, T;X) . . . 27

1.8 O problema de Cauchy abstrato . . . 29

2 EXISTˆENCIA DE SOLUC¸ ˜AO LOCAL 33 2.1 O problema linear associado . . . 34

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear . . . 39

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local . . . 43

3 EXISTˆENCIA E N ˜AO EXISTˆENCIA DE SOLUC¸ ˜AO GLOBAL 51 3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial . . . 52

3.2 O caso E(0)≤d . . . 59

(6)

A APˆENDICE 81

(7)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Neste trabalho apresentaremos os resultados de [30] e [27] acerca do problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy:

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px (∗)

u(0) =u0, ut(0) =u1 (∗∗)

cujo os dados iniciais em (**) tomamos nos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria

Hs(R).

A equa¸c˜ao (*) foi introduzida por P. Rosenau em [22] e possui muitas propriedades semelhantes a equa¸c˜ao de Boussinesq que pode ser apresentadas, em duas formas b´asicas, como

utt+γuxxxx−uxx =β(u2)xx e

utt−γuxxtt−uxx =β(u2)xx.

Como refˆerencias ao estudo das equa¸c˜oes de Boussinesq podemos citar, por exemplo, [31], [21], [16] e [24]. Os trabalhos [28] e [32] estudaram a seguinte varia¸c˜ao da equa¸c˜ao (*)

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt = (f(u))xx

sendo, em [28], f(u) = γ|u|p, para γ > 0. Em [32] prova-se a existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao global para f(u) = −γ|u|pu, γ >0.

(8)

[26]. Este problema foi estudado em [30] no caso em que a energia inicial E(0) associado ao problema ´e suficientemente pequeno. No caso em que garante-se que n˜ao existe solu¸c˜ao global u do problema (*) e (**) prova-se, ainda, que existeT1 >0, tal que,

lim t→T−

1

ku(t)kHs =∞

dizemos assim que a solu¸c˜ao do problema de Cauchy (*) e (**) explode (tem blows-up) em tempo finito. A contribui¸c˜ao ao estudo do problema (*) e (**), dada em [27], consiste em introduzir um novo conjunto est´avel (um novo po¸co potencial) o que possibilita estipular um resultado que garante, sob as hip´oteses adequadas, a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao global para este problema de Cauchy quando E(0)>0.

Esta disserta¸c˜ao esta organizada da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1 apresentamos os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizados no estudo de nosso problema. No cap´ıtulo 2 estudamos o problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o pro-blema de Cauchy (*) e (**), provando neste cap´ıtulo as estimativas necess´arias para a aplica¸c˜ao do m´etodo do ponto fixo e que tamb´em apresentam grande utilidade no es-tudo do problema de existˆencia de solu¸c˜ao global. No cap´ıtulo 3 introduzimos o po¸co potencial e fazemos o estudo do problema de existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao glo-bal. Por fim, no apˆendice, apresentamos a demonstra¸c˜ao de que Hs(R)L(R), s > 0

´e uma ´algebra, provando ainda uma ´util estimativa para a norma do produto uv, para

(9)

Cap´ıtulo 1

RESULTADOS PRELIMINARES

Com o intuito de tornar o texto o mais autossuficiente poss´ıvel apresentaremos neste cap´ıtulo os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizadas ao longo deste trabalho.

1.1

Espa¸

cos de fun¸

oes Lebesgue integr´

aveis

Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, denotamos por Lp(Ω), 1 p < , o conjunto das fun¸c˜oes mensur´aveis de Ω emK(ondeKdenota o corpo dos n´umeros reais ou complexos) tais que,

kfkp :=

Z

|f(x)|pdx

1

p

<∞

sendo, a integral acima, entendida no sentido de Lebesgue.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 (Desigualdade de H¨older). Sejam 1 < p, q < ∞, 1p + 1q = 1, tais que

f ∈ Lp(Ω) e g ∈ Lq(Ω), ent˜ao f.g ∈ L1(Ω) e

kf gk1 ≤ kfkpkgkq

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Proposi¸c˜ao 1.1.2 (Desigualdade de Minkowski). Suponha que 1 ≤ p < ∞, se

f, g ∈ Lp(Ω), ent˜ao f +g ∈ Lp(Ω) e

kf+gkp ≤ kfkp +kgkp

(10)

Em geral,k.kp n˜ao define uma norma em Lp(Ω) pois pode-se terkfkp = 0 com f 6= 0. Introduzimos, assim, uma rela¸c˜ao de equivalˆencia dizendo que duas fun¸c˜oes f, g: Ω→K s˜ao equivalentes se f = g quase sempre, denotando por [f] tal classe de equivalˆencia obtemos o espa¸co quociente

Lp(Ω) ={[f];f ∈ L p(Ω)}.

Al´em disso, definindo

k[f]kLp :=kfkp

temos que (Lp(Ω),k.k

Lp) ´e um espa¸co normado. Do mesmo modo, definimosL∞(Ω) como

o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes limitadas quase sempre e munimos tal espa¸co com a norma

k[f]kL∞ = supess{|f(x)|;x∈Ω}.

Note que, neste caso, a desigualdade de H¨older 1.1.1 pode ser reescrita dizendo que, dados

f ∈L∞(Ω) e g L1(Ω), f g L1(Ω) e

kf gkL1 = Z

|f(x)g(x)|dx

≤ kfkL∞

Z

|g(x)|dx=kfkL∞kgk L1.

Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotaremos as classes de fun¸c˜oes [f] dos espa¸cosLp(Ω), 1≤p≤ ∞, simplesmente porf.

Teorema 1.1.3. Dados1≤p≤ ∞eΩ⊂Rnum conjunto aberto, os espa¸cos(Lp(Ω),k.kLp)

s˜ao espa¸cos de Banach, em particular, L2(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert, onde, dados u, v ∈L2(Ω),

(u, v)L2 = Z

u(x)v(x)dx.

Al´em disso,

(i) Se 1< p < ∞ os espa¸cos Lp(Ω) s˜ao reflexivos e separ´aveis com (Lp(Ω))=Lq(Ω), onde 1

p +

1

q = 1 e, dado ϕ∈(L

(11)

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis 11

g ∈Lp(Ω),

ϕ(g) =

Z

f(x)g(x)dx

e kϕk(Lp(Ω))′ =kfkLq.

(ii) O espa¸co L1(Ω) ´e separ´avel, no entanto n˜ao ´e reflexivo e L(Ω) n˜ao ´e reflexivo

nem separ´avel. Temos ainda que (L1(Ω))= L(Ω) e, dado ψ (L1(Ω)), existe

um ´unico f ∈L∞(Ω) tal que, para todo g L1(Ω),

ψ(g) =

Z

f(x)g(x)dx.

e kψk(L1(Ω))′ =kfk L∞.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2], cap´ıtulo 4.

Sejam f ∈L1(Rn) e g Lp(Rn) com 1 p ≤ ∞, definimos a convolu¸c˜ao de f por g como f ∗g :Rn R onde

(f ∗g)(x) =

Z

Rn

f(x−y)g(y)dy.

Proposi¸c˜ao 1.1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f ∈ L1(Rn) e g Lp(Rn) com 1≤p≤ ∞, ent˜ao f ∗g ∈Lp(Rn) e

kf ∗gkLp ≤ kfkL1kgkLp.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2].

Proposi¸c˜ao 1.1.5 (Lema de Lions). Seja (um) uma sequˆencia em Lq(Ω), Rn um conjunto aberto, com 1< q <∞. Se,

(i) um →u quase sempre em Ω; (ii) kumkLq ≤C, para todo m∈N;

ent˜ao, um converge fraco `a u em Lq(Ω).

(12)

Proposi¸c˜ao 1.1.6 (Desigualdade de Gronwall). Sejam z ∈L∞(0, T) e f ∈L1(0, T) tais que z(t)≥0, f(t)≥0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se

f(t)≤c+

Z t

0

z(s)f(s)ds,

para todo t ∈[0, T], ent˜ao,

f(t)≤ceR0tz(s)ds

para todo t ∈[0, T].

Demonstra¸c˜ao: Ver [3].

Denotaremos por Lploc(Ω), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes f : Ω → K tais que |f|p´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compactoK Ω. Dado uma sequˆencia (fn)n∈N em Lploc(Ω) e f ∈Lploc(Ω) diremos que

fn→f em Lploc(Ω)

se, e somente se, para cada compacto K ⊂Ω, tem-se

pK(fn−f) =

Z

K

|fn(x)−f(x)|pdx

1

p →0.

1.2

Distribui¸

oes e derivada distribucional

A Teoria das Distribui¸c˜oes, formulada rigorosamente por L. Schwartz por volta de 1945, nos fornece uma teoria geral e simples para tratarmos de problemas que envolvem equa¸c˜oes diferenciais parciais. Apresentaremos, a seguir, uma breve introdu¸c˜ao a tal teoria, com ˆenfase no conceito de derivada distribucional.

Dado α = (α1, ..., αn) ∈ N vamos denotar por |α| = α1+...+αn, assim a derivada parcial de ordem |α| ser´a denotada por

Dα = ∂

|α|

∂xα1

1 ...∂xαnn

.

(13)

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional 13

Considerando Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, denotamos por C0(Ω) o conjunto das fun¸c˜oes u: Ω→K infinitamente diferenci´aveis, tais que o suporte deu, definido por

supp(u) = {x∈Ω; u(x)6= 0}Ω

´e um conjunto compacto de Rn. Diremos que, dado uma sequˆencia (φm)mN tem-se

φm →0 em C0∞(Ω) (1.2.1)

se, e somente se,

• Existe um conjunto compacto K ⊂Ω tal que, para todo m ∈N, supp(φm)K.

• Para todo α = (α1, ..., αn)∈Nn,Dαφm 0 uniformemente sobre K.

Definimos o espa¸co de fun¸c˜oes teste D(Ω) como o conjunto C∞

0 (Ω) munido da no¸c˜ao

de convergˆencia dada em (1.2.1).

Proposi¸c˜ao 1.2.1. C∞

0 (Ω) ´e denso em Lp(Ω), para 1≤p <∞.

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Defini¸c˜ao 1.2.2. Dado Ω⊂Rn um conjunto aberto, definimos uma distribui¸c˜ao sobre como toda forma linear sequencialmente cont´ınua sobre D(Ω). Denotaremos por D′(Ω) o

espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes sobre Ω. ´

E importante observar que dizemos que uma aplica¸c˜ao T : D(Ω) → K ´e sequencial-mente cont´ınua quando, dado (ϕm) uma sequˆencia emD(Ω),

T(ϕm)→0 em K sempre que ϕm 0 em D(Ω).

Dados uma sequˆencia (Tm) em D′(Ω) e T ∈ D(Ω), diremos que (Tm)m

∈N converge `a

T, em D′(Ω), se, e somente se, para toda ϕ∈ D(Ω)

(14)

Considere a distribui¸c˜ao T sobre Ω ⊂Rn e α Nn. A derivada de ordem |α| de T ´e definida por:

hDαT, ϕi= (−1)|α|hT, Dαϕi.

Temos que DαT ∈ D

(Ω), al´em disso a aplica¸c˜ao

Dα :D′(Ω) → D′(Ω)

T 7→ DαT

´e linear e sequencialmente cont´ınua.

Exemplo 1.2.3. (i) Vamos considerar Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e u L1 loc(Ω). Definindo Tu :D(Ω) →K tal que, para cada ϕ∈ D(Ω),

hTu, ϕi=

Z

u(x)ϕ(x)dx

temos que Tu ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω. Mais precisamente, prova-se que

L1

loc(Ω) ֒→ D′(Ω), onde ֒→ denota que L1loc(Ω) tem imers˜ao cont´ınua em D′(Ω). (ii) Defina, para cada x0 ∈Ω, δx0 :D(Ω) →K tal que, para cada ϕ∈ D(Ω),

hδx0, ϕi=ϕ(x0).

Prova-se que δx0 ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω e, al´em disso, n˜ao existe u ∈ L

1

loc(Ω) tal que δx0 =Tu.

(iii) Dado u ∈ Ck(Rn) temos que as derivadas distribucionais e derivadas no sentido cl´assico coincidem, isto ´e, DαT

u = TDαu, para todo |α| ≤ k. Por outro lado,

considerando a fun¸c˜ao de Heaviside u:RR tal que,

u(x) =

  

1 , se x≥0.

0 , se x <0.

apesar de u n˜ao ser deriv´avel, no sentido cl´assico, em x= 0 prova-se que u admite derivada distribucional e dxdTu = δ0. Observe que n˜ao existe v ∈ L1loc(R) tal que

d

(15)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 15

1.3

Transformada de Fourier e Espa¸

co de Schwartz

Dado f ∈L1(Rn) definimos a transformada de Fourier de f como

F[f](ξ) = (2π)−n2 Z

Rn

e−i<ξ,y>f(y)dy

onde, dados ξ= (ξ1, ..., ξn), y = (y1, ..., yn)∈Rn,< ξ, y >= n

X

i=1 yiξi.

Teorema 1.3.1. A transformada de Fourier de f ∈ L1(Rn) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, limitada e satisfaz a desigualdade

kF[f]kL∞ ≤(2π)−

n

2kfk

L1. (1.3.2)

Em particular, a aplica¸c˜ao f 7→ F[f] ´e um operador linear e cont´ınuo de L1(Rn) em

L∞(Rn). Mais ainda,

lim

kξk→∞F[f](ξ) = 0. (1.3.3)

Demonstra¸c˜ao: Ver [13].

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Sejam f, g∈L1(Rn), ent˜ao F[fg]L1(Rn) e, para todo ξRn,

F[f ∗g](ξ) = (2π)n2F[f](ξ)F[g](ξ) (1.3.4)

Prova: Ver [13].

O Espa¸co de Schwartz, ou espa¸co das fun¸c˜oes rapidamente decrescentes, que denota-mos por S(Rn) ´e o subespa¸co vetorial deC(Rn) formado pelas fun¸c˜oesϕ C(Rn) tais que

lim

kxk→∞kxk

kDαϕ(x) = 0 quaisquer que sejam k ∈N0 e αN0n, onde N0 =N∪ {0}.

Note queC∞

0 (Rn)⊂ S(Rn), isto ´e, toda fun¸c˜ao teste ´e uma fun¸c˜ao de decrescimento

r´apido.

(16)

´e limitado em Rn, quaisquer que sejam k N0 e αNn0.

Prova: Ver [5].

Proposi¸c˜ao 1.3.4. Seja ϕ ∈ S(Rn) e q = (q1, ..., qn) Nn, ent˜ao xqϕ ∈ S(Rn), onde dado x= (x1, ..., xn)∈Rn denotamos xq=xq11x

q2

2 ...xqnn.

Prova: Ver [5].

Uma seminorma em um espa¸co vetorialX ´e uma aplica¸c˜aop:X →Rque satisfaz as propriedades:

(i) p(x)≥0, para todo x∈X;

(ii) p(αx) = |α|p(x), para todo α ∈Ke todo xX; (iii) p(x+y)≤p(x) +p(y) para quaisquer x, y ∈X.

Note que uma seminorma difere de uma norma por p(x) = 0 n˜ao necessariamente ser equivalente a x= 0.

Vamos considerarP uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorialX. Dadosx0 ∈X,

n ∈N,ǫ >0 e p1, p2, ..., pn ∈ P defina

V(x0, p1, ..., pn;ǫ) = {x∈X;pi(x−x0)< ǫ, i= 1,2..., n.}.

Para cada x ∈ X chamamos de Vx a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X da forma

V(x, p1, ..., pn;ǫ), comn ∈N,p1, ..., pn ∈ P eǫ >0.

Teorema 1.3.5. Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Ent˜ao:

(i) Existe uma topologiaτP que, cada x∈X, admiteVx como base de vizinhan¸cas, isto

´e,

τP ={G⊂X;para cada x∈G existe U ∈ Vx tal que U ⊂G}.

(ii) (E, τP)´e um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo, ou seja, toda vizinhan¸ca

(17)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 17

(iii) (E, τP) ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x ∈ X existir

uma seminorma p∈ P tal que p(x)6= 0.

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Introduzimos, em S(Rn), a topologia τP dando a seguinte fam´ılia enumer´avel de se-minormas

P ={pm,k :S(Rn)→R;pm,k(ϕ) = sup

|α|≤m sup x∈Rn

(1 +kxk2)k|Dαϕ(x)|}.

Proposi¸c˜ao 1.3.6. (i) S(Rn) tem imers˜ao cont´ınua emLp(Rn), 1p≤ ∞, sendo tal imers˜ao densa se 1≤p < ∞.

(ii) C∞

0 (Rn)´e denso em S(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Veja [5].

Uma das principais vantagens de trabalharmos com o espa¸co de Schwartz ´e que, res-trito a este espa¸co, a transformada de Fourier ´e rica em propriedades, o que nos fornece muitas ferramentas para estudarmos equa¸c˜oes diferenciais. Listamos abaixo algumas des-tas propriedades.

Proposi¸c˜ao 1.3.7. Se ϕ ∈ S(Rn), ent˜ao F[ϕ]∈ S(Rn) e, al´em disso,

(i) (−i)|α|F[Dαf] =ξαF[f]. (ii) (−i)|α|F[xαf] =DαF[f].

Prova: Ver [13].

Teorema 1.3.8 (Identidade de Parseval). Sejam f, g∈ S(Rn). Ent˜ao,

(f, g)L2 = (F[f],F[g])L2

equivalentemente,

kfkL2 =kF[f]kL2,

(18)

Demonstra¸c˜ao: Ver [13].

Teorema 1.3.9. Seja f ∈ S(Rn). Ent˜ao,

f(x) = (2π)−n2 Z

Rn

eihξ,xiF[f](ξ)dξ.

Demonstra¸c˜ao: Ver [13].

Pelo Teorema 1.3.9, podemos introduzir a Transformada de Fourier Inversa pela f´ormula,

F−1[f](x) = (2π)−n2 Z

Rn

f(ξ)eihξ,xidξ

para toda f ∈ S(Rn).

Proposi¸c˜ao 1.3.10. Para ϕ, ψ∈ S(Rn), tem-se

(2π)n2F[ϕψ] =F[ϕ]∗ F[ψ].

Prova: Ver [17].

Teorema 1.3.11. A transformada de Fourier

F :L2(Rn)L2(Rn)

definida como a ´unica extens˜ao da transformada de Fourier F de S(Rn) a L2(Rn) ´e um operador unit´ario.

Demonstra¸c˜ao: Ver [13].

1.4

Distribui¸

oes temperadas

Defini¸c˜ao 1.4.1. Definimos como uma distribui¸c˜ao temperada todo funcional linear cont´ınuo

T ∈ S′(Rn), onde S(Rn)´e o dual topol´ogico de S(Rn).

(19)

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas 19

DadaT ∈ S′(Rn), podemos definir a transformada de Fourier F[T] como

hF[T], ϕi=hT,F[ϕ]i para todaϕ ∈ S(Rn).

Do mesmo modo, a transformada de Fourier inversa de uma distribui¸c˜ao temperada

T ∈ S′(Rn) ´e dada por

F−1[T], ϕ =T,F−1[ϕ] para todaϕ ∈ S(Rn).

Tanto a transformada de Fourier, quanto a transformada de Fourier inversa, de uma distribui¸c˜ao temperada T s˜ao distribui¸c˜oes temperadas e

F[F−1[T]] =F−1[F[T]] =T.

Dizemos que uma fun¸c˜ao Φ ∈ C∞(Rn) ´e de crescimento lento se, para todo α Nn, existirem ǫ >0,C(α)>0 e um inteiroN(α)>0 tais que

|DαΦ(x)| ≤C(α)(1 +kxk2)N(α)

para todo x ∈Rn com kxk> ǫ. Denotamos o conjunto das fun¸c˜oes de crescimento lento como Q(Rn).

Proposi¸c˜ao 1.4.2. Seja T ∈ S′(Rn), ΦQ(Rn) e α Nn, (i) O funcional linear ΦT definido por

hΦT, ϕi=hT,Φϕi

´e um elemento de S′(Rn), chamado produto da distribui¸c˜ao temperada T com a fun¸c˜ao Φ.

(ii) (−i)|α|F[DαT] =ξαF[T], onde o produto ξαF[T] ´e definido como no item(i). (iii) DαF[T] = (i)|α|F[xαT].

(20)

1.5

Espa¸

cos de Sobolev

Assim como vimos no exemplo (1.2.3)−(iii) nem sempre a derivada distribucional de uma fun¸c˜ao u ∈ L1

loc(Ω), Ω ⊂ Rn aberto, ´e ainda uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao localmente integr´avel, tal fato nos motiva introduzir o conceito de Espa¸co de Sobolev.

Defini¸c˜ao 1.5.1. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, 1 p ≤ ∞ e m N defini-mos o Espa¸co de Sobolev Wm,p(Ω) como o espa¸co vetorial de toda u Lp(Ω), tal que

uLp(Ω), para todo |α| ≤m, e munimos tal espa¸co com a norma

kukWm,p =

 X

|α|≤m

kDαukpLp

  1

p

, se 1≤p <∞;

kukWm,∞ =

X

|α|≤m

kDαukL∞.

Proposi¸c˜ao 1.5.2. O espa¸co de Sobolev Wm,p(Ω) ´e um espa¸co de Banach, para m N e 1≤p≤ ∞. Se 1< p <∞, Wm,p(Ω) ´e um espa¸co reflexivo.

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Observa¸c˜ao 1.5.3. No caso em que p = 2, representamos Wm,2(Ω) por Hm(Ω), devido ao fato de sua norma provir do produto interno

(u, v)Hm =

X

|α|≤m

(Dαu, Dαv)L2, u, v∈Hm(Ω)

sendo assim, Hm(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

Definimos o espa¸co W0m,p(Ω) =C0∞(Ω)

Wm,p(Ω)

.

Teorema 1.5.4. D(Rn) ´e denso em Wm,p(Rn), para m N e 1 p < , em outras palavras, W0m,p(Rn) = Wm,p(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Suponha 1≤p <∞ e q > 1 tais que 1

p +

1

q = 1. Representa-se por W

−m,q(Ω) o dual topol´ogico de W0m,p(Ω). Deste modo, (Hm

(21)

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria 21

Teorema 1.5.5. Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω, ent˜ao T ∈ W−m,p(Ω) se, e somente se, existem fun¸c˜oes gα ∈Lq(Ω), |α| ≤m, tais que

T = X

|α|≤m

Dαu.

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

1.6

Espa¸

cos de Sobolev de ordem fracion´

aria

Proposi¸c˜ao 1.6.1. Para todo m∈N temos

Hm(Rn) = {u∈ S(Rn); (1 +kξk2)m2 F[u]∈L2(Rn)}.

Al´em disso,

kuk=

Z

Rn

(1 +kξk2)m|F[u](ξ)|2

1 2

define uma norma em Hm(Rn), que ´e equivalente a k.k Hm.

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Motivados pela proposi¸c˜ao acima definiremos os espa¸cos de Sobolev de ordem fra-cion´aria Hs(Rn).

Defini¸c˜ao 1.6.2. Seja s ∈ R, definimos os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria

Hs(Rn) como o espa¸co vetorial

Hs(Rn) = {u∈ S(Rn); (1 +kξk2)s2F[u]∈L2(Rn)}

e consideramos este espa¸co munido do produto interno

(f, g)Hs =

Z

Rn

(1 +kξk2)sF[f](ξ)F[g](ξ)dξ

para todo f, g ∈Hs(Rn).

(22)

de Hilbert.

Proposi¸c˜ao 1.6.3. Dados s, s′ R,

(i) Hs(Rn)Hs′

(Rn) se ss. Al´em disso, esta inclus˜ao ´e cont´ınua e densa. (ii) O dual topol´ogio de Hs(Rn) ´e isometricamente isomorfo a H−s(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Ver [13], p´agina 304.

Observa¸c˜ao 1.6.4. Segue da proposi¸c˜ao (1.6.3) que, se s ≥ 0, Hs(Rn) est´a imerso continuamente em L2(Rn), note que isto ´e falso, em geral, se s < 0. Por exemplo,

δ0 ∈H−s(Rn) para todo s > n

2.

Proposi¸c˜ao 1.6.5. Dado s ∈R, s0, segue que, (i) S(Rn) tem imers˜ao cont´ınua e densa em Hs(Rn). (ii) D(Rn) tem imers˜ao cont´ınua e densa em Hs(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Teorema 1.6.6. Sejam k ∈N e sR. Se s > n

2 +k, ent˜ao Hs(Rn) est´a continuamente

imerso em Ck(Rn)L(Rn), assim,

X

|α|≤k

kDαukL∞ ≤Ckuk

Hs. (1.6.5)

Demonstra¸c˜ao: Ver [14].

Corol´ario 1.6.7. Para todo s > 1

2 e p > 1, H

s(R) est´a continuamente imerso em

Lp+1(R).

Prova: Veja que, por p >1, podemos escrever p+ 1 =q+ 2, comq > 0, e como s > 1 2

temos pelo teorema 1.6.6 que Hs(R)֒ L(R) al´em disso Hs(R)֒ L2(R), pois s > 0,

sendo assim, para todo u∈Hs(R),

Z

R

|u(x)|p+1dx =

Z

R

|u(x)|q+2dx

≤ kukqL

Z

R

|u(x)|2dx

≤ CkukqH2kuk2Hs =Ckuk

p+1

(23)

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria 23

Provando que Hs(R) est´a continuamente imerso emLp+1(R).

Proposi¸c˜ao 1.6.8. Considere s > n

2 e f ∈H

s(Rn), ent˜ao F[f]L1(Rn) com

kF[f]kL1 ≤CkfkHs.

Prova: Observe que,

Z

Rn

|F[f](ξ)|dξ =

Z

Rn

(1 +kξk2)−2s(1 +kξk2)

s

2|F[f](ξ)|dξ

Z

Rn

(1 +kξk2)−sdξ

1 2 Z

Rn

(1 +kξk2)s|F[f](ξ)|2dξ

1 2

onde, nesta ´ultima desigualdade, usamos a desigualdade de H¨older pois, sendo s > n

2, c=

Z

Rn

(1 +kξk2)−sdξ <∞.

Do exposto acima podemos concluir que F[f]∈L1(Rn) e

kF[f]kL1 ≤ckfkHs.

Antes de enunciarmos a pr´oxima proposi¸c˜ao vamos relembrar um resultado cl´assico de An´alise Funcional.

Lema 1.6.9 (Teorema de Aplica¸c˜ao Aberta). Sejam X, Y espa¸cos de Banach e

T : X → Y linear, cont´ınuo e sobrejetor. Ent˜ao T ´e uma aplica¸c˜ao aberta, isto ´e,

T(A) ´e aberto em Y, sempre que A ´e aberto em X. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach ´e um isomorfismo.

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Proposi¸c˜ao 1.6.10. Temos que,

H2(Rn) =

u∈L2(Rn); ∆u=

∂2u ∂x2 1

, ...,∂ 2u

∂x2

n

∈(L2(Rn))n

(24)

Al´em disso, existe C > 0 tal que

kukH2 ≤C kuk2L2 +

n X i=1

∂2u ∂x2 i 2 L2 !1 2 . (1.6.6)

Prova: Denotando por

X =

u∈L2(Rn); ∆u=

∂2u ∂x2 1 , ..., ∂ 2u ∂x2 n

∈(L2(Rn))n

da defini¸c˜ao dos Espa¸cos de Sobolev, H2(Rn) X, devemos ent˜ao provar que

X ⊂H2(Rn). Como L2(Rn)֒→ S(Rn), dado uX, pela proposi¸c˜ao 1.4.2,

−F

∂2u ∂x2

i

i2F[u]

assim, do Teorema 1.3.11 segue que,

∂2u ∂x2 i L2 = F

∂2u ∂x2 i L2

=kξi2F[u]kL2.

Dado α ∈ Nn, caso |α| = 1 temos que α = (0, ...,1,0, ...,0), neste caso, pelo Teorema 1.3.11, se provarmos que −iξiF[u] = F[Dαu] ∈ L2(Rn) teremos que Dαu ∈ L2(Rn). Temos que,

Z

Rn

|ξiF[u](ξ)|2dξ ≤

Z

Rn

(1 +ξi2)

| {z }

≤(1+ξ2

i)2

|F[u](ξ)|2dξ

Z

Rn

(|F[u](ξ)|+ξi2|F[u](ξ)|)2

| {z }

(a+b)22a2+2b2,a,bR

≤ 2

Z

Rn

|F[u](ξ)|2dξ+ 2

Z

Rn

(ξi2|F[u](ξ)|)2dξ <∞

(25)

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria 25

Observando que, por hip´otese, ∆u∈(L2(Rn))n temos que,

Z

Rn

|ξiξjF[u](ξ)|2dξ ≤

Z

Rn

((ξ2ij2)|F[u](ξ)|)2dξ

≤ 2

Z

Rn |ξ2

iF[u](ξ)|2dξ+ 2

Z

Rn |ξ2

jF[u](ξ)|2dξ <∞

Donde segue que Dαu L2(Rn). Nos demais casos onde |α| ≤ 2, por hip´otese,

uL2(Rn), sendo assim, uH2(Rn), isto ´e, X H2(Rn). Donde X =H2(R).

Vamos provar agora a desigualdade (1.6.6). Observe, em primeiro lugar que,

kuk= kuk2L2 +

n X i=1

∂2u ∂x2 i 2 L2 !1 2

define uma norma em X e a aplica¸c˜ao identidade

I : (H2(Rn),k.kH2)→(X,k.k)

´e linear, cont´ınua e bijetora. Em face do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, caso (X,k.k) seja um Espa¸co de Banach, I−1 : (X,k.k)(H2(Rn),k.k

H2) ´e linear e cont´ınua, ou seja,

(1.6.6) ´e verificado para todo u ∈ H2(Rn). Vamos mostrar, ent˜ao, que (X,k.k) ´e um espa¸co de Banach, para isto considere (um)m∈N uma sequˆencia de Cauchy em X, assim,

(um),∂2um

∂x2

i

, i= 1, ..., n, s˜ao sequˆencias de Cauchy no espa¸co de Banach L2(Rn), donde existem u, uα1, ..., uαn ∈L

2(Rn) tais que

um →u em L2(Rn)

∂2u

m

∂x2

i

→uαi em L

2(Rn)

como L2(Rn)֒→ D(Rn),

um →u em D′(Rn)

∂2u

m

∂x2

i

→uαi em D

(26)

por´em, sendo o operador deriva¸c˜ao cont´ınuo em D′(Rn),

∂2u

m ∂x2 i → ∂ 2u ∂x2 i

em D′(Rn)

pela unicidade do limite em D′(Rn), ∂2u

∂x2

i =uαi para todo i= 1, ..., n. Portanto u∈X e

un →u em X

logo X ´e um Espa¸co de Banach. Assim, como j´a observamos, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta existe C > 0 tal que, para todo u∈H2(Rn),

kukH2 ≤C kuk2L2 +

n X i=1

∂2u ∂x2 i 2 L2 !1 2 .

De modo alternativo a defini¸c˜ao 1.6.2, podemos definir, para s∈ (0,1) e 1 ≤p < ∞, os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Ws,p(Rn) como

Ws,p(Rn) =

u∈Lp(Rn);

Z

Rn

Z

Rn

|u(x)−u(y)|p

|x−y|n+sp dxdy <∞

(1.6.7)

tais espa¸cos s˜ao tamb´em conhecidos como espa¸cos de Aronszajn, Gagliardo ou Slobodeckij. Os espa¸cos de SobolevWs,p(Rn) s˜ao espa¸cos de Banach quando munidos da norma

kukWs,p =

Z

Rn

|u(x)|pdx+

Z

Rn

Z

Rn

|u(x)−u(y)|p

|x−y|n+sp dxdy

1

p

. (1.6.8)

Proposi¸c˜ao 1.6.11. Para s∈(0,1), C∞

0 (Rn) ´e denso em Ws,p(Rn).

Demonstra¸c˜ao: Ver [1].

Teorema 1.6.12. Seja s ∈ (0,1). O espa¸co de Sobolev de ordem fracion´aria Hs(Rn), dado na Defini¸c˜ao 1.6.2 coincide com o espa¸co de Sobolev Ws,2(Rn) definido em (1.6.7). Al´em disso tais espa¸cos tem normas equivalentes.

(27)

1.7 Os Espa¸cos Lp(0, T;X) 27

1.7

Os Espa¸

cos

L

p

(0

, T

;

X

)

Definiremos, nesta se¸c˜ao, os espa¸cos Lp(0, T;X), a constru¸c˜ao de tais espa¸cos est´a ba-seada na teoria de integra¸c˜ao vetorial, a qual ´e tratada, de forma resumida em [4]. Um tratamento mais detalhado das propriedades dos espa¸cos Lp(0, T;X) pode ser encontrado em [29].

Teorema 1.7.1. Seja X um espa¸co de Banach. Uma fun¸c˜ao f : [0, T] →X fortemente mensur´avel ´e integr´avel (`a Bochner) se, e somente se, t → kf(t)kX ´e Lebesgue-integr´avel. Neste caso, Z T 0

f(t)dt

X ≤ Z T 0

kf(t)kXdt

e,

ψ,

Z T

0

f(t)dt

X′,X =

Z T

0

hψ, f(t)iX′ ,Xdt

para cada ψ ∈X′.

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Defini¸c˜ao 1.7.2. Seja X um espa¸co de Banach e 0≤T < ∞.

(i) O espa¸co Cm([0, T];X), com m = 0,1, ..., consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas

u : [0, T] → X que tem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m. Munimos tal espa¸co com a norma

kukCm([0,T];X) =

m

X

i=1

max

0≤t≤Tku i(t)k

X. (1.7.9)

(ii) O espa¸co Lp(0, T;X), com 1 p < consiste de todas as (classes de) fun¸c˜oes fortemente mensur´aveis u:]0, T[→X com

kukLp(0,T;X) :=

Z T

0

ku(t)kpXdt

1p

<∞ (1.7.10)

(28)

(iii) O espa¸co L∞(0, T;X) consiste de todas as (classes de) fun¸c˜oes fortemente men-sur´aveis u :]0, T[→ X essencialmente limitadas em ]0, T[, isto ´e, fun¸c˜oes tais que existe um n´umero real B >0 e tem-se

ku(t)kX ≤B quase sempre em ]0, T[.

Munimos este espa¸co com a norma

kukL∞(0,T;X) = inf{B;ku(t)kX ≤B, quase sempre em ]0, T[} = sup

0≤t≤T

essku(t)kX. (1.7.11)

Proposi¸c˜ao 1.7.3. Dado X um espa¸co de Banach, m ∈N e 1p≤ ∞ temos que,

(i) Os espa¸cosCm([0, T];X)eLp(0, T;X)munidos das normask.kCm([0,T];X)ek.kLp(0,T;X),

respectivamente, s˜ao espa¸cos de Banach.

(ii) Se 1≤p < ∞, C([0, T];X)´e denso em Lp(0, T;X) e a imers˜ao

C([0, T];X)⊂Lp(0, T;X).

´e cont´ınua.

(iii) Se 1≤p < ∞ e X ´e separ´avel ent˜ao Lp(0, T;X) ´e separ´avel.

Demonstra¸c˜ao: Ver [29].

Prova-se (veja [29]) que, dado um espa¸co de Banach reflexivo e separ´avel e 1< p <∞, ent˜ao Lp(0, T;X) ´e reflexivo e separ´avel, al´em disso ´e v´alida a seguinte identifica¸c˜ao

(Lp(0, T;X))′ =Lq(0, T;X′)

onde 1

p +

1

q = 1. No caso em que p= 1 temos a seguinte identifica¸c˜ao (L1(0, T;X))′ =L∞(0, T;X′)

(29)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 29

um ´unicov ∈L∞(0, T;X′) tal que

hv, ui=

Z T

0

hv(t), u(t)iX′ ,Xdt,

para todo u∈L1(0, T;X) e kvk

(L1(0,T;X))′ =kvk L∞

(0,T;X′

).

Veja que, da discuss˜ao acima, dada uma sequˆencia limitada (un) em

L∞(0, T;X) = (L1(0, T;X)), por L1(0, T;X) ser separ´avel, temos que existe uma

sub-sequˆencia (uni) que converge fraco-*, isto ´e, para todo u∈L

1(0, T;X),

Z T

0

hvni(t), u(t)idt →

Z T

0

hv(t), u(t)idt, quando ni → ∞.

1.8

O problema de Cauchy abstrato

Nesta se¸c˜ao abordaremos o problema de determinar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao

u: [0, T]→X, X um espa¸co de Banach, para o problema de Cauchy

u′(t) = Au(t) +f(t) (1.8.12)

u(0) = u0 (1.8.13)

u0 ∈ X, A : D(A) ⊂ X → X, onde D(A) ´e o dom´ınio do operador linear A, e f : [0, T[→X. Note que, quando X =Rn e A :Rn Rn o problema (1.8.12)-(1.8.13) ´e um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e o teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao ´e bem conhecido.

Defini¸c˜ao 1.8.1. Seja X um espa¸co de Banach e L(X) a ´algebra dos operadores line-ares cont´ınuos de X. Dizemos que uma aplica¸c˜ao S : R+ → L(X) ´e um semigrupo de operadores lineares cont´ınuos de X se:

(i) S(0) =I, onde I ´e o operador identidade de L(X); (ii) S(t+s) = S(t)S(s), para todo t, s∈R+.

Dizemos que o semigrupo S ´e de classe C0 se

(iii) lim

(30)

Denominamos o gerador infinitesimal do semigrupo S como o operador

A:D(A)⊂X →X, onde

D(A) =

x∈X; lim h→0+

S(h)−I

h x existe

Ax = lim

h→0+

S(h)−I

h x, para todox∈D(A).

Pode-se provar (veja [8]) que, D(A) ´e um subespa¸co vetorial deX e A´e um operador linear.

Proposi¸c˜ao 1.8.2. (i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 ´e um

operador linear fechado e seu dom´ınio ´e denso em X.

(ii) Um operador linearA, fechado e com dom´ınio denso emX, ´e o gerador infinitesimal

de, no m´aximo, um semigrupo de classe C0.

Demonstra¸c˜ao: Ver [8].

Dado um semigrupo de operadores lineares S : R+ → L(X), dizemos que S ´e uni-formemente cont´ınuo se, al´em de serem v´alidos os itens (i) e (ii) da defini¸c˜ao (1.8.1) for v´alido que

lim

t→0+kS(t)−IkL(x)= 0. (1.8.14)

Note que como a condi¸c˜ao (1.8.14) implica que a condi¸c˜ao (iii) da defini¸c˜ao 1.8.1 seja v´alida, todo semigrupo uniformemente cont´ınuo ´e de classe C0.

Teorema 1.8.3. Dado X um espa¸co de Banach, um operador A : X → X ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A´e um operador

linear cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao: Ver [20].

(31)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 31

solu¸c˜ao do problema de Cauchy abstrato homogˆeneo

du

dt(t) = Au(t), t >0 (1.8.15)

u(0) = x (1.8.16)

toda fun¸c˜ao u : R+ X, cont´ınua para t 0, continuamente diferenci´avel para t > 0, tal que, para todo t≥0 satisfaz a equa¸c˜ao (1.8.15) e verifica a condi¸c˜ao inicial (1.8.16).

Teorema 1.8.4. Se A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 ent˜ao,

para cada x ∈ D(A), o problema de Cauchy (1.8.15), (1.8.16) tem uma ´unica solu¸c˜ao, continuamente diferenci´avel em todo t≥0.

Demonstra¸c˜ao: Ver [8].

Vamos considerar o problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo

du

dt(t) = Au(t) +f(t) (1.8.17)

u(0) = x (1.8.18)

onde f : [0, T[→X eA ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0,S.

Defini¸c˜ao 1.8.5. Uma fun¸c˜ao u : [0, T[→ X ´e dita solu¸c˜ao (cl´assica) do problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) sobre [0, T[ se u ´e cont´ınua sobre [0, T[, continuamente dife-renci´avel sobre ]0, T[, u(t) ∈D(A) para 0 < t < T e (1.8.17), (1.8.18) ´e satisfeito sobre [0, T[.

Defini¸c˜ao 1.8.6. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classeC0, S. Dado

x∈X e f ∈L1(0, T;X). A fun¸c˜ao uC([0, T];X) dada por

u(t) =S(t)x+

Z t

0

S(t−s)f(s)ds, 0≤t ≤T (1.8.19)

´e denominada solu¸c˜ao generalizada (solu¸c˜ao mild) do problema (1.8.17) e (1.8.18).

Proposi¸c˜ao 1.8.7. Dado X um espa¸co de Banach se f ∈ L1(0, T;X) ent˜ao, para todo x∈X, o problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) tem, no m´aximo, uma solu¸c˜ao (cl´assica).

(32)

Demonstra¸c˜ao: Ver [20].

Em oposi¸c˜ao a proposi¸c˜ao 1.8.7 nem toda solu¸c˜ao mild ´e uma solu¸c˜ao no sentido cl´assico do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18), no entanto, temos o seguinte Teorema.

Teorema 1.8.8. Seja f ∈ L1(0, T;X), X um espa¸co de Banach. Se u ´e a solu¸c˜ao mild

do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18) sobre [0, T], ent˜ao, para todo T′ < T, u ´e o

limite uniforme, sobre [0, T′], de solu¸c˜oes (cl´assicas) de (1.8.17) e (1.8.18).

(33)

Cap´ıtulo 2

EXISTˆ

ENCIA DE SOLUC

¸ ˜

AO

LOCAL

Neste cap´ıtulo vamos investigar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o seguinte problema de Cauchy,

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =ϕ(ux)x (2.0.1)

u(0) =u0, ut(0) =u1 (2.0.2)

onde consideramos a > 0, ϕ(x) = α|x|p com α 6= 0 e p > 1 inteiro. Al´em disso conside-ramos os dados iniciais pertencentes aos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Hs(R). Procederemos da seguinte maneira, associado ao problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) consideraremos o seguinte problema linear

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =f

u(0) =u0, ut(0) =u1

(34)

2.1

O problema linear associado

Lema 2.1.1. Os operadores L= (I+∂4

x)−1 :Hs−2(R)→Hs(R)e A1 = (I+∂4x)−1(a∂x2−

∂4

x) :Hs(R)→Hs(R), onde

L(u) = F−1(1 +ξ4)−1F[u], u∈Hs−2(R)

A1(v) = F−1

−aξ2ξ4

1 +ξ4

F[v]

, v ∈Hs(R)

s˜ao lineares e cont´ınuos.

Demonstra¸c˜ao: Defina g :RR tal que,

g(x) = (1 +x

2)2

(1 +x4)2 =

1 + 2x2+x4

1 + 2x4+x8

temos que g ´e cont´ınua e

lim

x→∞g(x) = limx→−∞g(x) = 0

sendo assim g ´e limitada. Deste modo, para todou∈Hs−2(R),

Z

R

(1 +|ξ|2)s|F[Lu](ξ)|2dξ =

Z

R

(1 +ξ2)s−2(1 +ξ

2)2

(1 +ξ4)2|F[u](ξ)| 2

≤ sup

ξ∈R

g(ξ)kuk2Hs−2 (2.1.3)

ou seja, Lest´a bem definido, ´e linear, pelo fato dos operadoresF eF−1 serem lineares, e

por (2.1.3) existe C >0 tal que,

kL(u)kHs ≤CkukHs−2. Do mesmo modo, considerando h:RR tal que,

h(x) = (ax

2+x4)2

(1 +x4)2 =

a2x4+ 2ax6+x8

1 + 2x4+x8

temos que h´e cont´ınua, limitada, pois

lim

(35)

2.1 O problema linear associado 35

e assim, para todo u∈Hs(R),

Z

R

(1 +|ξ|2)s|F[A1(u)](ξ)|2dξ =

Z

R

(1 +|ξ|2)s

aξ2+ξ4

1 +ξ4

2

|F[u](ξ)|2dξ

≤ sup

ξ∈R

h(ξ)kuk2Hs (2.1.4)

ou seja, A1 est´a bem definido, por F e F−1 serem lineares, A1 ´e linear e por (2.1.4) A1 ´e

cont´ınuo.

Lema 2.1.2. Seja s ∈ R. Para qualquer T > 0, suponha u0, u1 Hs(R) e

f ∈L1([0, T];Hs−2(R)). Ent˜ao o problema de Cauchy

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt=f em L1(0, T;Hs−4(R)) (2.1.5)

u(0) =u0, ut(0) =u1, (2.1.6)

possui uma ´unica solu¸c˜ao mild u∈C1([0, T];Hs(R)). Al´em disso, a solu¸c˜ao u satisfaz a estimativa:

ku(t)kHs +kut(t)kHs ≤C2(1 +T)

ku0kHs +ku1kHs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

. (2.1.7)

Demonstra¸c˜ao: Provaremos que existe uma ´unica solu¸c˜ao mild u∈ C1([0, T];Hs(R)) do problema de Cauchy:

utt =A1u+Lf em L1(0, T;Hs(R))

u(0) =u0, ut(0) =u1

(2.1.8)

onde A1 e L s˜ao definidos como no lema 2.1.1. Assim aplicando o operador linear

I+∂4

x :Hs(R)→Hs−4(R), onde, dado u∈Hs(R),

(36)

teremos que

(I+∂x4)utt = (I+∂x4)A1u+ (I+∂x4)Lf em L1(0, T;Hs−4(R))

entretanto,

(I+∂x4)(A1u) = F−1[(1 +ξ4)F[A1u]]

= F−1[(−aξ2−ξ4)F[u]] =auxx−uxxxx

e

(I +∂x4)(Lf) = F−1[(1 +ξ4)F[Lf]] = f

obtemos assim que existe u∈C1([0, T];Hs(R)) tal que

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt=f em L1(0, T;Hs−4(R))

e u satisfazendo as condi¸c˜oes iniciais (2.1.6) resolvendo assim o problema de Cauchy (2.1.5), (2.1.6). Vamos ent˜ao resolver o problema (2.1.8), para isso denotando por v =ut temos,

vt=A1u+Lf

assim fazendo U =

  u

v

 podemos reescrever o problema (2.1.8) como,

d

dtU = AU +F

U(0) = U0

(2.1.9)

onde A:Hs(R)×Hs(R)Hs(R)×Hs(R) ´e dado por

AU =

  0 I

A1 0

 

  u

v

(37)

2.1 O problema linear associado 37

e considerando sobre Hs(R)×Hs(R) a norma

k(u, v)kHs×Hs = kuk2Hs +kvk2Hs

1 2

temos que

kAUkHs×Hs = kvk2Hs +kA1uk2Hs

1 2

≤ kvk2Hs +K12kuk2Hs

1

2 K2kUk

Hs×Hs

K2 =pmax{1, K2

1}, isto ´e,A´e um operador linear e cont´ınuo definido emHs(R)×Hs(R).

Temos, portanto, que A´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S, sobre

Hs(R)×Hs(R). Al´em disso,

F(x, t) =

  0

Lf(x, t)

 

e, pelo Lema 2.1.1, temos queF ∈L1([0, T];Hs(R)×Hs(R)), posto quef L1([0, T];Hs−2(R)).

Do exposto acima segue que, existe uma ´unica solu¸c˜ao mild U ∈ C([0, T];Hs(R)×

Hs(R)) do problema (2.1.9) na forma

U(t) =

  u(t)

ut(t)

=S(t)U0+ Z t

0

S(t−s)F(s)ds

donde segue que o problema de Cauchy (2.1.8) tem uma ´unica solu¸c˜aou∈C1([0, T], Hs(R)). Vamos provar agora a seguinte estimativa:

ku(t)kHs +kut(t)kHs ≤C2(1 +T)

ku0kHs +ku1kHs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

.

Considerando, ent˜ao, u ∈ C1([0, T];Hs(R)) e tomando a transformada de Fourier em (2.1.5) e (2.1.6) temos,

F[u]tt+aξ2F[u] +ξ4F[u]tt+ξ4F[u] =F[f](t)

(38)

resolvendo a equa¸c˜ao acima, em rela¸c˜ao a t, obtemos

F[u](ξ, t) = cos(ρ(ξ)t)F[u0](ξ) + sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ) F[u1](ξ) +

Z t

0

sen(ρ(ξ)(t−τ))

ρ(ξ)

F[f](ξ, τ) 1 +ξ4 dτ

ondeρ(ξ) = qaξ1+2+ξξ44. Assim, aplicando a desigualdade de Minkowski e a express˜ao acima,

ku(t)kHs ≤

Z

R

(1 +ξ2)s|cos(ρ(ξ)t)|2|F[u

0](ξ)|2dξ

1 2

+

Z

R

(1 +ξ2)s

sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ)

|F[u1](ξ)|2dξ

1 2 + Z t 0

sen(ρ(.)(t−τ))

ρ(.) (1 +.

2)s/2F[f](., τ)

1 +.4 dτ

L2

Note que, para todo ξ∈R e todo t[0, T], sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ) ≤

ρ(ξ)t

ρ(ξ) =t e |cos(ρ(ξ)t)| ≤1 assim, para todo t∈[0, T],

ku(t)kHs ≤ ku0kHs+tku1kHs+

Z t

0

(t−τ)kLf(τ)kHsdτ ≤ ku0kHs+Tku1kHs +T

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ.

Uma vez que,

F[u]t(ξ, t) = −ρ(ξ)sen(ρ(ξ)t)F[u0](ξ) + cos(ρ(ξ)t)F[u1](ξ) + +

Z t

0

cos(ρ(ξ)(t−τ))F[f](ξ, t) 1 +ξ4 dτ

obtemos, de modo analogo ao que fizemos acima, que

kut(t)kHs ≤Cku0kHs +ku1kHs +C

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

(39)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 39

ku(t)kHs +kut(t)kHs ≤ C2(1 +T)

ku0kHs +ku1kHs +

Z t

0

kL(f)(τ)kHsdτ

.

2.2

Estimativas para o termo n˜

ao linear

Lema 2.2.1. Dado s >0 temos que

• Se 0< s <1 , Hs(R)L(R)´e uma ´algebra com

kuvkHs ≤C(kukL∞kvkHs +kukHskvkL∞).

• Se 12 < s <∞, Hs(R)´e uma ´algebra de Banach generalizada, isto ´e,

kuvkHs ≤CkukHskvkHs.

Demonstra¸c˜ao: Ver apˆendice A.1.

Lema 2.2.2. Assuma que p > 1, 0 < s < p e u ∈ Hs(R)L(R), ent˜ao existe uma

constante C > 0 tal que

k|u|pk

Hs ≤Ckukp−1

L∞kukHs. (2.2.10)

Demonstra¸c˜ao: Ver [23], p´agina 363.

Lema 2.2.3. Sejam p∈N, p >1 e s R onde 3

2 < s < p+ 1. Dados u, v ∈ Hs(R) tais

que kukHs ≤R e kvkHs ≤R, para algum R >0 fixo, ent˜ao temos

k|ux|p− |vx|pkHs−2 ≤CpRp−1ku−vkHs. (2.2.11)

Demonstra¸c˜ao: Denotando por f(z) =|z|p, temos

|ux|p− |vx|p =

Z 1 0

(40)

onde,

f′(z) =

  

pzp−1 , z 0

−p(−z)p−1 , z < 0 =

  

p|z|p−1 , z 0

−p|z|p−1 , z <0

ou seja,

k|ux|p − |vx|pkHs−2 ≤ Z 1

0

pk|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−2dλ. (2.2.12)

Como 32 < s < p+ 1, temos −12 < s−2< p−1.

• Caso −1

2 < s−2≤0.

Da imers˜ao L2(R)֒Hs−2(R),

k|(1−λ)ux+λvx|p−1(ux−vx)k2Hs−2 ≤ Ck|(1−λ)ux+λvx|p−1(ux−vx)k2 L2

= C

Z

R

||(1−λ)ux(x)−λvx(x)|p−1(ux(x)−vx(x))|2dx

como u, v ∈ Hs(R) segue que u

x, vx ∈ Hs−1(R) e por s − 1 > 12, do Lema 1.6.6,

Hs−1(R)֒L(R), assim,

|λvx(x) + (1−λ)ux(x)|2(p−1) ≤ |(1−λ)kuxkL∞+λkvxkL∞|2(p−1)

≤ C|(1−λ)kuxkHs−1 +λkvxkHs−1|2(p−1) ≤CR2(p−1)

observe que, esta ´ultima desigualdade segue pois kuxkHs−1 ≤ kukHs ≤ R, por hip´otese.

Do mesmo modo, kvxkHs−1 ≤R. Do exposto acima,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−2 ≤ CRp−1ku

x−vxkL2

≤ CRp−1ku−vkHs.

(41)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 41

Suponha p= 2, assim 0< s−2<1 =p−1 e

Z

R

Z

R

||(1−λ)ux−λvx|(x)− |(1−λ)ux−λvx|(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy ≤

Z

R

Z

R

|(1−λ)ux(x)−λvx(x)−(1−λ)ux(y) +λvx(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

=

Z

R

Z

R

|(1−λ)(ux(x)−ux(y))−λ(vx(y)−vx(x))|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

≤ 2

Z

R

Z

R

(1−λ)2|ux(x)ux(y)|2 +λ2|vx(x)vx(y))|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy <∞

onde, nesta ´ultima desigualdade, fizemos uso do Teorema 1.6.12 e do fato de

ux, vx ∈ Hs−1(R) ֒→ Hs−2(R). Concluimos assim que |(1 −λ)ux − λvx| ∈ Hs−2(R) e

k|(1−λ)ux−λvx|kHs−2 ≤ C k|(1−λ)ux−λvx|k2L2

+

Z

R

Z

R

||(1−λ)ux−λvx|(x)− |(1−λ)ux−λvx|(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

≤ C

kuxk2L2 + Z

R

Z

R

|ux(x)−ux(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

+ C

kvxk2L2 + Z

R

Z

R

|vx(x)−vx(y)|2

|x−y|1+2(s−2) dxdy

1 2

= C(kuxkHs−2 +kvxkHs−2)≤C(kuxkHs−1 +kvxkHs−1)

deste modo,

k|(1−λ)ux−λvx|kHs−2 ≤ C(kukHs +kvxkHs)

≤ 2CR. (2.2.13)

Agora se p > 2 ent˜ao p − 1 > 1 e s − 2 < p − 1, pelo Lema 2.2.2 temos que

|(1−λ)ux−λvx|p−1 ∈Hs−2 e

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−2 ≤ Ck(1−λ)ux−λvxkp−2

(42)

observe que,

kuxkHs−2 ≤ kuxkHs−1 ≤ kukHs ≤R

do mesmo modo kvxkHs−2 ≤R, al´em disso, aplicando (1.6.5) obtemos que,

k(1−λ)ux−λvxkLp−∞2 ≤ Ck(1−λ)ux−λvxk p−2

Hs−1

≤ ((1−λ)kuxkHs−1+λkvxkHs−1)p−2

≤ CRp−2

donde segue que,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−2 ≤CRp−1 (2.2.14)

em qualquer caso, |(1−λ)ux −λvx|p−1 ∈ Hs−2(R), para qualquer p > 1 inteiro e vale (2.2.14). Aplicando, ent˜ao, o Lema 2.2.1,

k|(1−λ)ux−λvx|p−1(ux−vx)kHs−2 ≤ C k|(1−λ)ux−λvx|p−1kL∞kux−vxkHs−2

+ k|(1−λ)ux−λvx|p−1kHs−2kux−vxkL

.

Note que, sendo s−1> 1 2,

kux−vxkL∞ ≤ Cku

x−vxkHs−1

≤ Cku−vkHs (2.2.15)

e

k|(1−λ)ux−λvx|p−1kL∞ku

x−vxkHs−2 ≤ CRp−1ku−vk

Hs (2.2.16)

sendo assim, por (2.2.14), (2.2.15) e (2.2.16) obtemos que,

(43)

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local 43

• Caso s−2≥1.

Note que, por 1≤s−2< p−1 eux, vx ∈Hs−2(R)֒→L∞(R) temos, pelo Lema 2.2.2,

|(1−λ)ux+λvx|p−1 ∈Hs−2(R) e

k|(1−λ)ux+λvx|p−1kHs−2 ≤ Ck(1−λ)ux+λvxkpL−∞2k(1−λ)ux+λvxkHs−2

≤ CRp−2k(1−λ)ux+λvxkHs−1 ≤CRp−1

assim, aplicando o Lema 2.2.1,

k|(1−λ)ux+λvx|p−1(ux−vx)kHs−2 ≤ Ck|(1−λ)ux+λvx|p−1kHs−2kux−vxkHs−2

≤ CRp−1ku−vkHs.

Em qualquer caso, obtemos de (2.2.12),

k|ux|p− |vx|pkHs−2 ≤CpRp−1ku−vk Hs.

2.3

Existˆ

encia de solu¸

ao local

Uma vez provada a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o problema linear associado, passamos agora ao problema de provar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o problema (2.0.1), (2.0.2) para isto faremos uso do seguinte Teorema de Ponto Fixo.

Lema 2.3.1(Teorema de ponto fixo de Banach). Seja(M, d)um espa¸co m´etrico completo e Φ :M →M uma contra¸c˜ao, isto ´e, existe 0≤c <1 tal que, para todo x, y ∈M tem-se

d(Φ(x),Φ(y))≤cd(x, y).

Ent˜ao existe um ´unico ponto x0 ∈M tal que Φ(x0) = x0.

(44)

Teorema 2.3.2. Suponha que 32 < s < p+ 1, u0, u1 ∈ Hs(R). Ent˜ao o problema de Cauchy

utt−auxx+uxxxx+uxxxxtt =α|ux|px em L1(0, T;Hs−4(R))

u(0) =u0, ut(0) =u1 (2.3.17)

onde α6= 0, a >0 e p >1 ´e inteiro, admite uma ´unica solu¸c˜ao local u=u(x, t) definida sobre um intervalo de tempo maximal [0, T0) com u∈C1([0, T0);Hs(R)).

Demonstra¸c˜ao: Considere

B(R, T∗) =

u∈C1([0, T∗];Hs(R));kukC1([0,T∗];Hs(R)) ≤R

onde R, T∗ ser˜ao convenientemente definidos, munido da m´etrica d induzida quando

con-siderado como subconjunto do espa¸co de Banach C1([0, T∗];Hs(R)), sendo assim, como

B(R, T∗) ´e fechado em C1([0, T∗];Hs(R)), (B(R, T∗), d) ´e um espa¸co m´etrico completo.

Dado u ∈ B(R, T∗) temos que |ux|px ∈ L1(0, T∗;Hs−2(R)). Com efeito,

ux ∈ Hs−1(R) ֒→ L∞(R), pois, por hip´otese, 12 < s −1 < p e assim, do lema 2.2.2,

|ux|p(t)∈Hs−1(R), donde segue que |ux|px(t)∈Hs−2(R). Al´em disso,

k|ux|px(t)k2Hs−2 = Z

R

(1 +|ξ|2)s−2|F[|u

x|px](ξ, t)|2dξ

Z

R

(1 +|ξ|2)s−1 ξ

2

1 +ξ2|F[|ux|

p](ξ, t)|2

≤ C

Z

R

(1 +|ξ|2)s−1|F[|ux|p](ξ, t)|2dξ =Ck|ux|p(t)k2Hs−1

≤ C1kux(t)kL2(∞p−1)kux(t)k

2

Hs−1

onde na ´ultima desigualdade fizemos uso do lema 2.2.2. Note que, do lema 1.6.6,

kuxkL∞ ≤Ckuk Hs, e

kux(t)k2Hs−1 = Z

R

(1 +|ξ|2)s−1|F[ux](ξ, t)|2dξ

=

Z

R

(1 +|ξ|2)s ξ

2

1 +ξ2|F[u](ξ, t)|

2 Cku(t)k2

(45)

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local 45

obtemos assim que,

k|ux|px(t)kHs ≤Cku(t)kpHs ≤CRp (2.3.18)

portanto |ux|px ∈L1(0, T∗;Hs−2(R)), para todo T∗ <∞ fixo.

Considere agora,

R >(ku0kHs +ku1kHs)C2+ 1, (2.3.19)

onde C2 ´e a constante dada no lema 2.1.2. Assim vamos definir o operador

S :B(R, T∗)→B(R, T∗)

tal que, para cada u∈B(R, T∗), associamos S(u) =v solu¸c˜ao do problema linear

vtt−avxx+vxxxx+vxxxxtt =α|ux|px em L1(0, T∗;Hs−4(R))

v(0) =u0, vt(0) =u1.

Por α|ux|px ∈L1(0, T∗;Hs−2(R)) do lema 2.1.2, para todo u∈B(R, T∗), existe uma ´unica

v = S(u) solu¸c˜ao do problema linear acima. Al´em disso, para todo t ∈ [0, T∗], do lema

2.1.2 e por (2.1.7), (2.3.18),

kv(t)kHs +kvt(t)kHs ≤ C2(1 +T)

ku0kHs+ku1kHs +|α|

Z t

0

kL(|ux|px)(τ)kHsdτ

≤ C2(1 +T∗)

ku0kHs+ku1kHs +|α|C

Z t

0

k|ux|px(τ)kHs−2

≤ C2(1 +T∗) (ku0kHs +ku1kHs +|α|CRpT).

Definindo f : [0,∞) → R tal que, f(t) = C2(1 +t)(ku0kHs +ku1kHs +C|α|Rpt) temos

f(0) =C2(ku0kHs +ku1kHs) e

f′(t) = C

2(1 +t)(C|α|Rp) +C2(ku0kHs+ku1kHs +C|α|Rpt)

(46)

logo f ´e estritamente crescente. Como R > f(0), existe T1∗ ∈[0,∞) tal que

f(T1∗) = C2(1 +T1∗)(ku0kHs +ku1kHs +C|α|RpT1) =R (2.3.20)

al´em disso, como f ´e estritamente crescente, para todo T′

1∗ ≤T1∗ temos que

kvkC1([0,T

1∗];Hs) = sup t∈[0,T′

1∗]

{kv(t)kHs +kvt(t)kHs} ≤R.

Vamos provar agora que, escolhendo R, T∗ adequadamente S´e uma contra¸c˜ao. Para isto,

considere u,u˜ ∈ B(R, T∗) e v1 = S(u), ˜v = S(˜u) assim, denotando por v = v1 −˜v, v ´e

solu¸c˜ao do problema de Cauchy,

vtt−avxx+vxxxx+vxxxxtt=α|ux|px−α|u˜x|px

v(0) = 0 vt(0) = 0.

por (2.1.7),

kv(t)kHs +kvt(t)kHs ≤ |α|C

Z t

0

kL(|ux|px− |u˜x|px)(τ)kHsdτ. (2.3.21)

como,

kL(|ux|px− |u˜x|px)(τ)k2Hs =

Z

R

(1 +ξ2)s|F[L(|ux|xp− |u˜x|px)](ξ, τ)|2dξ =

Z

R

(1 +ξ2)s−2(1 +ξ

2)2ξ4

(1 +ξ4)2 |F[|ux|

p− |u˜

x|p](ξ, τ)|2dξ

≤ Ck|ux|p(τ)− |u˜x|p(τ)k2Hs−2

assim por (2.2.11),

Figure

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