A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

Livre

0
0
89
1 year ago
Preview
Full text

  

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  (Mestrado)

ADEMIR BENTEUS PAMPU

  

Existˆ encia e n˜ ao Existˆ encia de Soluc ¸˜ ao Global

para uma Classe de Equac ¸˜ oes de Ondas n˜ ao

Lineares de Sexta Ordem

  UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  

Existˆ encia e n˜ ao existˆ encia de

soluc ¸˜ ao global para uma classe de

equac ¸˜ oes de ondas n˜ ao lineares de

sexta ordem

  

Ademir Benteus Pampu

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Ma- tem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  ´ Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

  Orientador: Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palo- mino.

  

RESUMO

  Neste trabalho estudaremos o problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy para uma classe de equa¸c˜oes de onda n˜ao lineares de sexta ordem p u − au + u + u = α|u | tt xx xxxx xxxxtt x x u(0) = u , u (0) = u t

  1 onde consideramos os dados iniciais em espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria. De- terminamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local aplicando o m´etodo do ponto fixo.

  Al´em disso, estudamos o problema de existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao global fazendo uso do m´etodo do po¸co potencial. PALAVRAS-CHAVE

  : Equa¸c˜ao da onda n˜ao linear de sexta ordem, Existˆencia de solu¸c˜ao global, Po¸co potencial.

  

ABSTRACT

  In this work we study the problem of existence and uniqueness of local and global solution of the following Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations of sixth order p u tt − au xx + u xxxx + u xxxxtt = α|u x | x u(0) = u , u (0) = u t

  1 where we take the initial data in Sobolev spaces of fractional order. We stipulate the existence and uniqueness of local solution by applying the contraction mapping principle.

  Moreover, we study the problem of existence and nonexistence of global solutions making use of the pottential well method. KEYWORDS

  : Nonlinear wave equation of sixth order, Existence of global solution, Pottential well.

  

Sum´ ario

1 RESULTADOS PRELIMINARES

  1.8 O problema de Cauchy abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  3.2 O caso E(0) ≤ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  51

  2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  2.1 O problema linear associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  33

  (0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  Introdu¸ c˜ ao

  1.7 Os Espa¸cos L p

  1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  1.4 Distribui¸c˜oes temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  9

  9 1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6

2 EXISTˆ ENCIA DE SOLUC ¸ ˜ AO LOCAL

3 EXISTˆ ENCIA E N ˜ AO EXISTˆ ENCIA DE SOLUC ¸ ˜ AO GLOBAL

  A APˆ ENDICE

  81 A.1 Espa¸cos de Sobolev e ´ Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  

INTRODUC ¸ ˜ AO

  Neste trabalho apresentaremos os resultados de [30] e [27] acerca do problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy: p u − au + u + u = α|u | (∗) tt xx xxxx xxxxtt x x u(0) = u , u (0) = u (∗∗) t

  1 cujo os dados iniciais em (**) tomamos nos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria s H (R).

  A equa¸c˜ao (*) foi introduzida por P. Rosenau em [22] e possui muitas propriedades semelhantes a equa¸c˜ao de Boussinesq que pode ser apresentadas, em duas formas b´asicas, como

  2 u + γu − u = β(u ) tt xxxx xx xx e

  2 u − γu − u = β(u ) . tt xxtt xx xx

  Como refˆerencias ao estudo das equa¸c˜oes de Boussinesq podemos citar, por exemplo, [31], [21], [16] e [24]. Os trabalhos [28] e [32] estudaram a seguinte varia¸c˜ao da equa¸c˜ao (*) u tt − au xx + u xxxx + u xxxxtt = (f (u)) xx p sendo, em [28], f (u) = γ|u| , para γ > 0. Em [32] prova-se a existˆencia e n˜ao existˆencia p de solu¸c˜ao global para f (u) = −γ|u| u, γ > 0.

  A existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao global ´e abordada por meio do m´etodo do po¸co potencial (potential wells), que foi introduzido por Sattinger em [25] e Payne-Sattinger em [26]. Este problema foi estudado em [30] no caso em que a energia inicial E(0) associado ao problema ´e suficientemente pequeno. No caso em que garante-se que n˜ao existe solu¸c˜ao global u do problema (*) e (**) prova-se, ainda, que existe T 1 > 0, tal que,

  s

  lim ku(t)k = ∞ H t→T

  1

  dizemos assim que a solu¸c˜ao do problema de Cauchy (*) e (**) explode (tem blows-up) em tempo finito. A contribui¸c˜ao ao estudo do problema (*) e (**), dada em [27], consiste em introduzir um novo conjunto est´avel (um novo po¸co potencial) o que possibilita estipular um resultado que garante, sob as hip´oteses adequadas, a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao global para este problema de Cauchy quando E(0) > 0.

  Esta disserta¸c˜ao esta organizada da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1 apresentamos os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizados no estudo de nosso problema. No cap´ıtulo 2 estudamos o problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o pro- blema de Cauchy (*) e (**), provando neste cap´ıtulo as estimativas necess´arias para a aplica¸c˜ao do m´etodo do ponto fixo e que tamb´em apresentam grande utilidade no es- tudo do problema de existˆencia de solu¸c˜ao global. No cap´ıtulo 3 introduzimos o po¸co potencial e fazemos o estudo do problema de existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao glo- s ∞ bal. Por fim, no apˆendice, apresentamos a demonstra¸c˜ao de que H (R) ∩ L (R), s > 0 ´e uma ´algebra, provando ainda uma ´ util estimativa para a norma do produto uv, para s ∞ u, v ∈ H (R) ∩ L (R).

  Cap´ıtulo 1

RESULTADOS PRELIMINARES

  Com o intuito de tornar o texto o mais autossuficiente poss´ıvel apresentaremos neste cap´ıtulo os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizadas ao longo deste trabalho.

1.1 Espa¸ cos de fun¸ c˜ oes Lebesgue integr´ aveis

  n Seja Ω ⊂ R um conjunto aberto, denotamos por L (Ω), 1 ≤ p < ∞, o conjunto das p fun¸c˜oes mensur´aveis de Ω em K (onde K denota o corpo dos n´ umeros reais ou complexos) tais que,

  1 Z p

  p kf k := |f (x)| dx < ∞ p

  Ω sendo, a integral acima, entendida no sentido de Lebesgue.

  1

  1

  • Proposi¸ c˜ ao 1.1.1 (Desigualdade de H¨older). Sejam 1 < p, q < ∞, = 1, tais que

  p q f ∈ L (Ω) e g ∈ L (Ω), ent˜ao f.g ∈ L (Ω) e p q

  1 kf gk ≤ kf k kgk

  1 p q Demonstra¸ c˜ ao: Ver [4].

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.2 (Desigualdade de Minkowski). Suponha que 1 ≤ p < ∞, se

  f, g ∈ L p (Ω), ent˜ao f + g ∈ L p (Ω) e kf + gk ≤ kf k + kgk p p p

  Em geral, k.k n˜ao define uma norma em L (Ω) pois pode-se ter kf k = 0 com f 6= 0. p p p

  Introduzimos, assim, uma rela¸c˜ao de equivalˆencia dizendo que duas fun¸c˜oes f, g : Ω → K s˜ao equivalentes se f = g quase sempre, denotando por [f ] tal classe de equivalˆencia obtemos o espa¸co quociente p L (Ω) = {[f ]; f ∈ L p (Ω)} .

  Al´em disso, definindo

  p

  k[f ]k := kf k L p p

  ∞

  p

  temos que (L (Ω), k.k ) ´e um espa¸co normado. Do mesmo modo, definimos L (Ω) como L o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes limitadas quase sempre e munimos tal espa¸co com a norma k[f ]k = supess{|f (x)|; x ∈ Ω}.

  L Note que, neste caso, a desigualdade de H¨older 1.1.1 pode ser reescrita dizendo que, dados

  ∞

  1

  1 f ∈ L (Ω) e g ∈ L (Ω), f g ∈ L (Ω) e

  Z

  1

  kf gk = |f (x)g(x)|dx L

  Ω ∞ ∞ Z

  L L L Ω p

  1 ≤ kf k |g(x)|dx = kf k kgk .

  Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotaremos as classes de fun¸c˜oes [f ] dos espa¸cos L (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, simplesmente por f . n p

  p

  Teorema 1.1.3. Dados 1 ≤ p ≤ ∞ e Ω ⊂ R um conjunto aberto, os espa¸cos (L (Ω), k.k ) L

  2 s˜ao espa¸cos de Banach, em particular, L (Ω) ´e um espa¸co de Hilbert, onde, dados

  2 u, v ∈ L (Ω),

  Z

  L Ω

  2 (u, v) = u(x)v(x)dx.

  Al´em disso, p p ′ q

  (i) Se 1 < p < ∞ os espa¸cos L (Ω) s˜ao reflexivos e separ´aveis com (L (Ω)) = L (Ω),

  1 1 p ′ q p g ∈ L (Ω),

  Z ϕ(g) = f (x)g(x)dx

  (L (Ω)) L

  p q e kϕk = kf k .

  1 ∞

  (ii) O espa¸co L (Ω) ´e separ´avel, no entanto n˜ao ´e reflexivo e L (Ω) n˜ao ´e reflexivo 1 ′ ∞ 1 ′ nem separ´avel. Temos ainda que (L (Ω)) = L (Ω) e, dado ψ ∈ (L (Ω)) , existe

  ∞

  1 um ´ unico f ∈ L (Ω) tal que, para todo g ∈ L (Ω),

  Z ψ(g) = f (x)g(x)dx.

  (L (Ω)) L Demonstra¸ c˜ ao: Ver [2], cap´ıtulo 4.

  1 e kψk = kf k .

  1 n p n Sejam f ∈ L (R ) e g ∈ L (R ) com 1 ≤ p ≤ ∞, definimos a convolu¸c˜ao de f por g n como f ∗ g : R → R onde

  Z (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy.

  

n

  R 1 n p n Proposi¸ c˜ ao 1.1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f ∈ L (R ) e g ∈ L (R ) com p n

  1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao f ∗ g ∈ L (R ) e

  p p

  L L L Demonstra¸ c˜ ao: Ver [2]. q n

  1 kf ∗ gk ≤ kf k kgk .

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.5 (Lema de Lions). Seja (u ) uma sequˆencia em L (Ω), Ω ⊂ R um m conjunto aberto, com 1 < q < ∞. Se,

  (i) u m → u quase sempre em Ω;

  q

  (ii) ku k ≤ C, para todo m ∈ N; m L q ent˜ao, u converge fraco `a u em L (Ω). m

  ∞

  1 Proposi¸ c˜ ao 1.1.6 (Desigualdade de Gronwall). Sejam z ∈ L (0, T ) e f ∈ L (0, T ) tais que z(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se

  Z t f (t) ≤ c + z(s)f (s)ds, para todo t ∈ [0, T ], ent˜ao,

  R t z(s)ds f (t) ≤ ce para todo t ∈ [0, T ].

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [3]. p

  Denotaremos por L (Ω), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das (classes de) fun¸c˜oes f : Ω → K loc p tais que |f | ´e integr´avel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K ⊂ Ω. Dado uma p p sequˆencia (f ) em L (Ω) e f ∈ L (Ω) diremos que n n∈N loc loc p f → f em L (Ω) n loc se, e somente se, para cada compacto K ⊂ Ω, tem-se

  1 Z p

  p p (f − f ) = |f (x) − f (x)| dx → 0. K n n

  K

1.2 Distribui¸ c˜ oes e derivada distribucional

  A Teoria das Distribui¸c˜oes, formulada rigorosamente por L. Schwartz por volta de 1945, nos fornece uma teoria geral e simples para tratarmos de problemas que envolvem equa¸c˜oes diferenciais parciais. Apresentaremos, a seguir, uma breve introdu¸c˜ao a tal teoria, com ˆenfase no conceito de derivada distribucional.

  Dado α = (α , ..., α ) ∈ N vamos denotar por |α| = α + ... + α , assim a derivada 1 n 1 n parcial de ordem |α| ser´a denotada por

  |α| ∂

  α D = .

  α

  1

  α n n ∞

  Considerando Ω ⊂ R um conjunto aberto, denotamos por C (Ω) o conjunto das fun¸c˜oes u : Ω → K infinitamente diferenci´aveis, tais que o suporte de u, definido por Ω supp(u) = {x ∈ Ω; u(x) 6= 0} n

  ´e um conjunto compacto de R . Diremos que, dado uma sequˆencia (φ ) tem-se m m∈N

  ∞ φ → 0 em C (Ω) (1.2.1) m se, e somente se, • Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que, para todo m ∈ N, supp(φ ) ⊂ K. m n α

  • Para todo α = (α , ..., α ) ∈ N , D φ → 0 uniformemente sobre K.

  1 n m ∞

  Definimos o espa¸co de fun¸c˜oes teste D(Ω) como o conjunto C (Ω) munido da no¸c˜ao de convergˆencia dada em (1.2.1).

  ∞ p Proposi¸ c˜ ao 1.2.1. C (Ω) ´e denso em L (Ω), para 1 ≤ p < ∞.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5]. n Defini¸ c˜ ao 1.2.2.

  Dado Ω ⊂ R um conjunto aberto, definimos uma distribui¸c˜ao sobre Ω ′ como toda forma linear sequencialmente cont´ınua sobre D(Ω). Denotaremos por D (Ω) o espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes sobre Ω.

  ´ E importante observar que dizemos que uma aplica¸c˜ao T : D(Ω) → K ´e sequencial- mente cont´ınua quando, dado (ϕ ) uma sequˆencia em D(Ω), m T (ϕ ) → 0 em K sempre que ϕ → 0 em D(Ω). m m

  ′ ′ Dados uma sequˆencia (T ) em D (Ω) e T ∈ D (Ω), diremos que (T ) converge `a m m m∈N

  ′ T , em D (Ω), se, e somente se, para toda ϕ ∈ D(Ω) n n Considere a distribui¸c˜ao T sobre Ω ⊂ R e α ∈ N . A derivada de ordem |α| de T ´e definida por:

  α |α| α hD T, ϕi = (−1) hT, D ϕi . α

  Temos que D T ∈ D (Ω), al´em disso a aplica¸c˜ao ′ ′ α

  D : D (Ω) → D (Ω) α

  T 7→ D T ´e linear e sequencialmente cont´ınua. n

  1 Exemplo 1.2.3. (i) Vamos considerar Ω ⊂ R um conjunto aberto e u ∈ L (Ω). loc

  Definindo T u : D(Ω) → K tal que, para cada ϕ ∈ D(Ω), Z hT , ϕi = u(x)ϕ(x)dx u

  Ω temos que T ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω. Mais precisamente, prova-se que u 1 ′

  1 ′ L (Ω) ֒→ D (Ω), onde ֒→ denota que L (Ω) tem imers˜ao cont´ınua em D (Ω). loc loc

  (ii) Defina, para cada x ∈ Ω, δ : D(Ω) → K tal que, para cada ϕ ∈ D(Ω), x hδ , ϕi = ϕ(x ). x

  1 Prova-se que δ ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω e, al´em disso, n˜ao existe u ∈ L (Ω) x loc tal que δ x = T u . k n

  (iii) Dado u ∈ C (R ) temos que as derivadas distribucionais e derivadas no sentido α

  α

  cl´assico coincidem, isto ´e, D T u = T D u , para todo |α| ≤ k. Por outro lado, considerando a fun¸c˜ao de Heaviside u : R → R tal que,   1 , se x ≥ 0. u(x) =

   0 , se x < 0. apesar de u n˜ao ser deriv´avel, no sentido cl´assico, em x = 0 prova-se que u admite

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸ co de Schwartz

  1 n Dado f ∈ L (R ) definimos a transformada de Fourier de f como

  Z

  n

  − −i<ξ,y>

  2 F[f ](ξ) = (2π) e f (y)dy n

  R n

  X n onde, dados ξ = (ξ , ..., ξ ), y = (y , ..., y ) ∈ R , < ξ, y >= y ξ . 1 n 1 n i i i=1

  1 n Teorema 1.3.1.

  A transformada de Fourier de f ∈ L (R ) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, limitada e satisfaz a desigualdade

  n

  2

  1

  kF[f ]k ≤ (2π) kf k . (1.3.2) L L 1 n

  Em particular, a aplica¸c˜ao f 7→ F[f ] ´e um operador linear e cont´ınuo de L (R ) em ∞ n

  L (R ). Mais ainda, lim F[f ](ξ) = 0. (1.3.3) kξk→∞

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [13].

  1 n 1 n n Proposi¸ c˜ ao 1.3.2.

  Sejam f, g ∈ L (R ), ent˜ao F[f ∗ g] ∈ L (R ) e, para todo ξ ∈ R ,

  

n

2 F[f ∗ g](ξ) = (2π) F[f ](ξ)F[g](ξ) (1.3.4) Prova: Ver [13].

  O Espa¸co de Schwartz, ou espa¸co das fun¸c˜oes rapidamente decrescentes, que denota- n ∞ n ∞ n mos por S(R ) ´e o subespa¸co vetorial de C (R ) formado pelas fun¸c˜oes ϕ ∈ C (R ) tais que k α lim kxk D ϕ(x) = 0 kxk→∞ n quaisquer que sejam k ∈ N e α ∈ N , onde N = N ∪ {0}.

  ∞ n n Note que C (R ) ⊂ S(R ), isto ´e, toda fun¸c˜ao teste ´e uma fun¸c˜ao de decrescimento

  n n ´e limitado em R , quaisquer que sejam k ∈ N e α ∈ N .

  Prova: Ver [5]. n n q n Proposi¸ c˜ ao 1.3.4.

  Seja ϕ ∈ S(R ) e q = (q 1 , ..., q n ) ∈ N , ent˜ao x ϕ ∈ S(R ), onde q

  1 q

  2

  n q q n dado x = (x , ..., x ) ∈ R denotamos x = x x ...x . 1 n

  1 2 n Prova: Ver [5].

  Uma seminorma em um espa¸co vetorial X ´e uma aplica¸c˜ao p : X → R que satisfaz as propriedades: (i) p(x) ≥ 0, para todo x ∈ X;

  (ii) p(αx) = |α|p(x), para todo α ∈ K e todo x ∈ X; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ X.

  Note que uma seminorma difere de uma norma por p(x) = 0 n˜ao necessariamente ser equivalente a x = 0. Vamos considerar P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Dados x ∈ X, n ∈ N, ǫ > 0 e p , p , ..., p ∈ P defina

  1 2 n V (x , p , ..., p ; ǫ) = {x ∈ X; p (x − x ) < ǫ, i = 1, 2..., n.}.

  1 n i Para cada x ∈ X chamamos de V x a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X da forma V (x, p , ..., p ; ǫ), com n ∈ N, p , ..., p ∈ P e ǫ > 0.

  1 n 1 n Teorema 1.3.5.

  Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Ent˜ao: (i) Existe uma topologia τ que, cada x ∈ X, admite V como base de vizinhan¸cas, isto

  P x ´e, τ = {G ⊂ X; para cada x ∈ G existe U ∈ V tal que U ⊂ G}.

  P x

  (ii) (E, τ P ) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo, ou seja, toda vizinhan¸ca

  (iii) (E, τ ) ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x ∈ X existir P uma seminorma p ∈ P tal que p(x) 6= 0.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [4]. n

  Introduzimos, em S(R ), a topologia τ P dando a seguinte fam´ılia enumer´avel de se- minormas n 2 k α P = {p : S(R ) → R; p (ϕ) = sup sup (1 + kxk ) |D ϕ(x)|}. m,k m,k

  n

  |α|≤m x∈R n p n Proposi¸ c˜ ao 1.3.6. (i) S(R ) tem imers˜ao cont´ınua em L (R ), 1 ≤ p ≤ ∞, sendo tal imers˜ao densa se 1 ≤ p < ∞.

  ∞ n n (ii) C (R ) ´e denso em S(R ).

  Demonstra¸ c˜ ao: Veja [5].

  Uma das principais vantagens de trabalharmos com o espa¸co de Schwartz ´e que, res- trito a este espa¸co, a transformada de Fourier ´e rica em propriedades, o que nos fornece muitas ferramentas para estudarmos equa¸c˜oes diferenciais. Listamos abaixo algumas des- tas propriedades. n n

  Proposi¸ c˜ ao 1.3.7. Se ϕ ∈ S(R ), ent˜ao F[ϕ] ∈ S(R ) e, al´em disso, |α| α α (i) (−i) F[D f ] = ξ F[f ]. |α| α α (ii) (−i) F[x f ] = D F[f ].

  Prova: Ver [13]. n

  Teorema 1.3.8 (Identidade de Parseval). Sejam f, g ∈ S(R ). Ent˜ao,

  2

  2

  (f, g) = (F[f ], F[g]) L L equivalentemente,

  2

  2

  kf k = kF[f ]k , Demonstra¸ c˜ ao: Ver [13]. n Teorema 1.3.9.

  Seja f ∈ S(R ). Ent˜ao, Z

  n

  − ihξ,xi

  2 f (x) = (2π) e F[f ](ξ)dξ. n

  R Demonstra¸ c˜ ao: Ver [13].

  Pelo Teorema 1.3.9, podemos introduzir a Transformada de Fourier Inversa pela f´ormula, Z

  n

  −1 − ihξ,xi

  2 F [f ](x) = (2π) f (ξ)e dξ n

  R n para toda f ∈ S(R ). n

  Proposi¸ c˜ ao 1.3.10. Para ϕ, ψ ∈ S(R ), tem-se

  n

  2 (2π) F[ϕψ] = F[ϕ] ∗ F[ψ].

  Prova: Ver [17]. Teorema 1.3.11. A transformada de Fourier

  2 n 2 n F : L (R ) → L (R ) n 2 n definida como a ´ unica extens˜ao da transformada de Fourier F de S(R ) a L (R ) ´e um operador unit´ario.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [13].

1.4 Distribui¸ c˜ oes temperadas

  Defini¸ c˜ ao 1.4.1. Definimos como uma distribui¸c˜ao temperada todo funcional linear cont´ınuo ′ n ′ n n T ∈ S (R ), onde S (R ) ´e o dual topol´ogico de S(R ).

  ′ n Dada T ∈ S (R ), podemos definir a transformada de Fourier F[T ] como n hF[T ], ϕi = hT, F[ϕ]i para toda ϕ ∈ S(R ).

  Do mesmo modo, a transformada de Fourier inversa de uma distribui¸c˜ao temperada ′ n

  T ∈ S (R ) ´e dada por −1 −1 n F [T ], ϕ = T, F [ϕ] para toda ϕ ∈ S(R ).

  Tanto a transformada de Fourier, quanto a transformada de Fourier inversa, de uma distribui¸c˜ao temperada T s˜ao distribui¸c˜oes temperadas e −1 −1 F[F [T ]] = F [F[T ]] = T.

  ∞ n n

  Dizemos que uma fun¸c˜ao Φ ∈ C (R ) ´e de crescimento lento se, para todo α ∈ N , existirem ǫ > 0, C(α) > 0 e um inteiro N (α) > 0 tais que α

  2 N (α) |D Φ(x)| ≤ C(α)(1 + kxk ) n para todo x ∈ R com kxk > ǫ. Denotamos o conjunto das fun¸c˜oes de crescimento lento n como Q(R ).

  ′ n n n Proposi¸ c˜ ao 1.4.2.

  Seja T ∈ S (R ), Φ ∈ Q(R ) e α ∈ N , (i) O funcional linear ΦT definido por hΦT, ϕi = hT, Φϕi

  ′ n ´e um elemento de S (R ), chamado produto da distribui¸c˜ao temperada T com a fun¸c˜ao Φ.

  |α| α α α (ii) (−i) F[D T ] = ξ F[T ], onde o produto ξ F[T ] ´e definido como no item (i). α |α| α

1.5 Espa¸ cos de Sobolev

  Assim como vimos no exemplo (1.2.3)−(iii) nem sempre a derivada distribucional de uma 1 n fun¸c˜ao u ∈ L (Ω), Ω ⊂ R aberto, ´e ainda uma distribui¸c˜ao definida por uma fun¸c˜ao loc localmente integr´avel, tal fato nos motiva introduzir o conceito de Espa¸co de Sobolev. n Defini¸ c˜ ao 1.5.1.

  Seja Ω ⊂ R um conjunto aberto, 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N defini- m,p p mos o Espa¸co de Sobolev W (Ω) como o espa¸co vetorial de toda u ∈ L (Ω), tal que

  α p D u ∈ L (Ω), para todo |α| ≤ m, e munimos tal espa¸co com a norma

  1

   

  p

  X p

  α

  m,p

   p  kuk W = kD uk , se 1 ≤ p < ∞; L

  |α|≤m

  X α

  m,∞ kuk W = kD uk L .

  |α|≤m m,p Proposi¸ c˜ ao 1.5.2. O espa¸co de Sobolev W (Ω) ´e um espa¸co de Banach, para m ∈ N m,p e 1 ≤ p ≤ ∞. Se 1 < p < ∞, W (Ω) ´e um espa¸co reflexivo.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5]. m,2 m Observa¸ c˜ ao 1.5.3.

  No caso em que p = 2, representamos W (Ω) por H (Ω), devido ao fato de sua norma provir do produto interno

  X α α m

  m

  2

  (u, v) = (D u, D v) , u, v ∈ H (Ω) H L

  |α|≤m m sendo assim, H (Ω) ´e um espa¸co de Hilbert.

  

m,p

  W (Ω) m,p ∞ Definimos o espa¸co W (Ω) = C (Ω) . n m,p n

  Teorema 1.5.4. D(R ) ´e denso em W (R ), para m ∈ N e 1 ≤ p < ∞, em outras m,p n m,p n palavras, W (R ) = W (R ).

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5].

  1 1 −m,q

  −m,p Teorema 1.5.5. Seja T uma distribui¸c˜ao sobre Ω, ent˜ao T ∈ W (Ω) se, e somente q se, existem fun¸c˜oes g α ∈ L (Ω), |α| ≤ m, tais que

  X α T = D u.

  |α|≤m Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5].

1.6 Espa¸ cos de Sobolev de ordem fracion´ aria

  Proposi¸ c˜ ao 1.6.1. Para todo m ∈ N temos

  m

  m n ′ n

  2 2 n

  2 H (R ) = {u ∈ S (R ); (1 + kξk ) F[u] ∈ L (R )}.

  Al´em disso,

  1 Z

  2

  2 m

  2 kuk = (1 + kξk ) |F[u](ξ)| dξ

  n

  R m n

  H Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5].

  m define uma norma em H (R ), que ´e equivalente a k.k .

  Motivados pela proposi¸c˜ao acima definiremos os espa¸cos de Sobolev de ordem fra- s n cion´aria H (R ).

  Defini¸ c˜ ao 1.6.2. Seja s ∈ R, definimos os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria s n

  H (R ) como o espa¸co vetorial

  s

  s n ′ n

  2 2 n

  2 H (R ) = {u ∈ S (R ); (1 + kξk ) F[u] ∈ L (R )}

  e consideramos este espa¸co munido do produto interno Z

  2 s

  s

  (f, g) H = (1 + kξk ) F[f ](ξ)F[g](ξ)dξ

  n

  R s n para todo f, g ∈ H (R ). de Hilbert.

  ′ Proposi¸ c˜ ao 1.6.3. Dados s, s ∈ R, s n s n ′ (i) H (R ) ⊂ H (R ) se s ≥ s . Al´em disso, esta inclus˜ao ´e cont´ınua e densa. s n −s n (ii) O dual topol´ogio de H (R ) ´e isometricamente isomorfo a H (R ).

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [13], p´agina 304. s n

  Observa¸ c˜ ao 1.6.4. Segue da proposi¸c˜ao (1.6.3) que, se s ≥ 0, H (R ) est´a imerso 2 n continuamente em L (R ), note que isto ´e falso, em geral, se s < 0. Por exemplo,

  −s n n δ ∈ H (R ) para todo s > .

2 Proposi¸ c˜ ao 1.6.5.

  Dado s ∈ R, s ≥ 0, segue que, n s n (i) S(R ) tem imers˜ao cont´ınua e densa em H (R ). n s n (ii) D(R ) tem imers˜ao cont´ınua e densa em H (R ).

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [5]. n s n

  Teorema 1.6.6. Sejam k ∈ N e s ∈ R. Se s > + k, ent˜ao H (R ) est´a continuamente

  2 k n ∞ n imerso em C (R ) ∩ L (R ), assim,

  X α

  s

  kD uk ≤ Ckuk . (1.6.5) L H

  |α|≤k Demonstra¸ c˜ ao: Ver [14].

  1 s Corol´ ario 1.6.7.

  Para todo s > e p > 1, H (R) est´a continuamente imerso em

  2 p+1 L (R).

  1 Prova: Veja que, por p > 1, podemos escrever p + 1 = q + 2, com q > 0, e como s >

  2 s ∞ s

  2 temos pelo teorema 1.6.6 que H (R) ֒→ L (R) al´em disso H (R) ֒→ L (R), pois s > 0, s sendo assim, para todo u ∈ H (R),

  Z Z p+1 q+2

  |u(x)| dx = |u(x)| dx R R Z s p+1 Provando que H (R) est´a continuamente imerso em L (R). n s n 1 n Proposi¸ c˜ ao 1.6.8.

  Considere s > e f ∈ H (R ), ent˜ao F[f ] ∈ L (R ) com

  2

  s

  L H Prova: Observe que,

  1 kF[f ]k ≤ Ckf k .

  Z Z

  s s

  2 −

  2

  2

  2

  |F[f ](ξ)|dξ = (1 + kξk ) (1 + kξk ) |F[f ](ξ)|dξ

  n n

  R R

  1

  1 Z Z

  2

  2

  2 −s 2 s

  2 ≤ (1 + kξk ) dξ (1 + kξk ) |F[f ](ξ)| dξ

  

n n

  R R n onde, nesta ´ ultima desigualdade, usamos a desigualdade de H¨older pois, sendo s > ,

  2 Z 2 −s c = (1 + kξk ) dξ < ∞.

  n

  R 1 n Do exposto acima podemos concluir que F[f ] ∈ L (R ) e

  s

  L H Antes de enunciarmos a pr´oxima proposi¸c˜ao vamos relembrar um resultado cl´assico de An´alise Funcional.

  1 kF[f ]k ≤ ckf k .

  Lema 1.6.9 (Teorema de Aplica¸c˜ao Aberta). Sejam X, Y espa¸cos de Banach e

  T : X → Y linear, cont´ınuo e sobrejetor. Ent˜ao T ´e uma aplica¸c˜ao aberta, isto ´e, T (A) ´e aberto em Y , sempre que A ´e aberto em X. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach ´e um isomorfismo.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [4]. Proposi¸ c˜ ao 1.6.10. Temos que,

  Al´em disso, existe C > 0 tal que

  1

  ! n

  2

  2

  2 X ∂ u

  2

  2

  kuk ≤ C kuk . (1.6.6) H L

  • 2

  2 ∂x

  2

  i L i=1

  Prova: Denotando por

  2

  2 ∂ u ∂ u

  2 n 2 n n X = u ∈ L (R ); ∆u = , ..., ∈ (L (R ))

  2

  2 ∂x ∂x

  1 n 2 n da defini¸c˜ao dos Espa¸cos de Sobolev, H (R ) ⊂ X, devemos ent˜ao provar que

  2 n 2 n ′ n X ⊂ H (R ). Como L (R ) ֒→ S (R ), dado u ∈ X, pela proposi¸c˜ao 1.4.2,

  2 ∂ u

  2 −F = ξ F[u] i

  2 ∂x i assim, do Teorema 1.3.11 segue que,

  2

  2 ∂ u u

  ∂

  2

  L i

  2

  2

  2 = F = kξ F[u]k .

  2

  2

  ∂x ∂x i L i L n

  Dado α ∈ N , caso |α| = 1 temos que α = (0, ..., 1, 0, ..., 0), neste caso, pelo Teorema α 2 n α 2 n 1.3.11, se provarmos que −iξ i F[u] = F[D u] ∈ L (R ) teremos que D u ∈ L (R ).

  Temos que, Z Z

  2

  2

  2 |ξ F[u](ξ)| dξ ≤ (1 + ξ ) |F[u](ξ)| dξ i i

  n n

  R R | {z }

  2

  

2

  ≤(1+ξ )

  i

  Z

  2

  2 ≤ (|F[u](ξ)| + ξ |F[u](ξ)|) dξ i

  n

  R | {z }

  

2

  2

  2

  (a+b) ≤2a +2b ,∀a,b∈R Z Z

  2

  2

  2 ≤ 2 |F[u](ξ)| dξ + 2 (ξ |F[u](ξ)|) dξ < ∞ i

  n n

  R R α 2 n deste modo D u ∈ L (R ), se |α| = 1. Caso |α| = 2 e α = (0, ..., 1, 0, ..., 1, 0, ...0),

  α 2 n α 2 n novamente pelo Teorema 1.3.11, se −ξ ξ F[u] = F[D u] ∈ L (R ) ent˜ao D u ∈ L (R ). i j

  2 n n Observando que, por hip´otese, ∆u ∈ (L (R )) temos que,

  Z Z

  2

  2

  2

  2 |ξ i ξ j F[u](ξ)| dξ ≤ ((ξ + ξ )|F[u](ξ)|) dξ i j

  n n

  R R Z Z

  2

  2

  2

  2 ≤ 2 |ξ F[u](ξ)| dξ + 2 |ξ F[u](ξ)| dξ < ∞ i j

  n n

  R R α 2 n

  Donde segue que D u ∈ L (R ). Nos demais casos onde |α| ≤ 2, por hip´otese, α 2 n 2 n 2 n

  2 D u ∈ L (R ), sendo assim, u ∈ H (R ), isto ´e, X ⊂ H (R ). Donde X = H (R).

  Vamos provar agora a desigualdade (1.6.6). Observe, em primeiro lugar que,

  1

  ! n

  2

  2

  2 X ∂ u

  2

  kuk = kuk L

  • 2

  2 ∂x

  2

  i L i=1 define uma norma em X e a aplica¸c˜ao identidade

  2 n

  H ´e linear, cont´ınua e bijetora. Em face do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, caso (X, k.k)

  2 I : (H (R ), k.k ) → (X, k.k)

  −1 2 n

  2

  seja um Espa¸co de Banach, I : (X, k.k) → (H (R ), k.k ) ´e linear e cont´ınua, ou seja, H 2 n

  (1.6.6) ´e verificado para todo u ∈ H (R ). Vamos mostrar, ent˜ao, que (X, k.k) ´e um espa¸co de Banach, para isto considere (u ) uma sequˆencia de Cauchy em X, assim, m m∈N

  2

  ∂ u m 2 n

  (u ),

  2 , i = 1, ..., n, s˜ao sequˆencias de Cauchy no espa¸co de Banach L (R ), donde

  m ∂x

  i

  2 n existem u, u α , ..., u α n ∈ L (R ) tais que

  1

  2 n u → u em L (R ) m

  2 ∂ u m

  2 n → u em L (R )

  α i

  2 ∂x i 2 n ′ n como L (R ) ֒→ D (R ),

  ′ n u → u em D (R ) m

  2 ∂ u m

  ′ n → u α em D (R )

  i

  2 ∂x i

  ′ n por´em, sendo o operador deriva¸c˜ao cont´ınuo em D (R ),

  2

  2 ∂ u m ∂ u

  ′ n → em D (R )

  2

  2 ∂x ∂x i i

  2

  ∂ u ′ n pela unicidade do limite em D (R ),

  2 = u para todo i = 1, ..., n. Portanto u ∈ X e

  α i ∂x

  i

  u → u em

  X n logo X ´e um Espa¸co de Banach. Assim, como j´a observamos, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao

  2 n Aberta existe C > 0 tal que, para todo u ∈ H (R ),

  1

  ! n

  2

  2

  2 X ∂ u

  2

  • 2

  H L

  2 ∂x

  

2

kuk ≤ C kuk .

  2

  i L i=1

  De modo alternativo a defini¸c˜ao 1.6.2, podemos definir, para s ∈ (0, 1) e 1 ≤ p < ∞, s,p n os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria W (R ) como

  Z Z p

  |u(x) − u(y)| s,p n p n

  W (R ) = u ∈ L (R ); dxdy < ∞ (1.6.7) n+sp

  n n

  R R |x − y| tais espa¸cos s˜ao tamb´em conhecidos como espa¸cos de Aronszajn, Gagliardo ou Slobodeckij. s,p n

  Os espa¸cos de Sobolev W (R ) s˜ao espa¸cos de Banach quando munidos da norma

  1 Z

  Z Z p

  p

  |u(x) − u(y)| p

  s,p

  kuk = |u(x)| dx + dxdy . (1.6.8) W n+sp

  n n n

  R R R |x − y| ∞ n s,p n Proposi¸ c˜ ao 1.6.11.

  Para s ∈ (0, 1), C (R ) ´e denso em W (R ). Demonstra¸ c˜ ao: Ver [1]. s n

  Teorema 1.6.12. Seja s ∈ (0, 1). O espa¸co de Sobolev de ordem fracion´aria H (R ), s,2 n dado na Defini¸c˜ao 1.6.2 coincide com o espa¸co de Sobolev W (R ) definido em (1.6.7).

  Al´em disso tais espa¸cos tem normas equivalentes. p

1.7 Os Espa¸ cos L (0, T ; X)

  p Definiremos, nesta se¸c˜ao, os espa¸cos L (0, T ; X), a constru¸c˜ao de tais espa¸cos est´a ba- seada na teoria de integra¸c˜ao vetorial, a qual ´e tratada, de forma resumida em [4]. Um p tratamento mais detalhado das propriedades dos espa¸cos L (0, T ; X) pode ser encontrado em [29].

  Teorema 1.7.1.

  Seja X um espa¸co de Banach. Uma fun¸c˜ao f : [0, T ] → X fortemente mensur´avel ´e integr´avel (`a Bochner) se, e somente se, t → kf (t)k X ´e Lebesgue-integr´avel.

  Neste caso, Z T Z T f (t)dt ≤ kf (t)k dt

  X X

  e, Z T Z T

  ψ, f (t)dt = hψ, f (t)i dt X ,X X ,X

  ′ para cada ψ ∈ X .

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [4]. Defini¸ c˜ ao 1.7.2.

  Seja X um espa¸co de Banach e 0 ≤ T < ∞. m

  (i) O espa¸co C ([0, T ]; X), com m = 0, 1, ..., consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas u : [0, T ] → X que tem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m. Munimos tal espa¸co com a norma m

  X i

  m

  kuk = max ku (t)k . (1.7.9) C ([0,T ];X)

  X 0≤t≤T i=1 p

  (ii) O espa¸co L (0, T ; X), com 1 ≤ p < ∞ consiste de todas as (classes de) fun¸c˜oes fortemente mensur´aveis u :]0, T [→ X com

  1 Z p

  T p

  p

  kuk := ku(t)k dt < ∞ (1.7.10) L (0,T ;X)

  X

  ′ )

  (ii) Se 1 ≤ p < ∞, C([0, T ]; X) ´e denso em L p

  ∞ (0, T ; X

  ′ = L

  1 (0, T ; X))

  = 1. No caso em que p = 1 temos a seguinte identifica¸c˜ao (L

  ) onde 1 p

  (0, T ; X ′

  = L q

  (0, T ; X)) ′

  (0, T ; X) ´e reflexivo e separ´avel, al´em disso ´e v´alida a seguinte identifica¸c˜ao (L p

  Prova-se (veja [29]) que, dado um espa¸co de Banach reflexivo e separ´avel e 1 < p < ∞, ent˜ao L p

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [29].

  ´e cont´ınua. (iii) Se 1 ≤ p < ∞ e X ´e separ´avel ent˜ao L p (0, T ; X) ´e separ´avel.

  (0, T ; X) e a imers˜ao C([0, T ]; X) ⊂ L p (0, T ; X).

  (0,T ;X) , respectivamente, s˜ao espa¸cos de Banach.

  (iii) O espa¸co L ∞

  p

  L

  ([0,T ];X) e k.k

  m

  (0, T ; X) munidos das normas k.k C

  ([0, T ]; X) e L p

  Proposi¸ c˜ ao 1.7.3. Dado X um espa¸co de Banach, m ∈ N e 1 ≤ p ≤ ∞ temos que, (i) Os espa¸cos C m

  X . (1.7.11)

  = sup 0≤t≤T essku(t)k

  X ≤ B, quase sempre em ]0, T [}

  = inf{B; ku(t)k

  Munimos este espa¸co com a norma kuk L (0,T ;X)

  X ≤ B quase sempre em ]0, T [.

  (0, T ; X) consiste de todas as (classes de) fun¸c˜oes fortemente men- sur´aveis u :]0, T [→ X essencialmente limitadas em ]0, T [, isto ´e, fun¸c˜oes tais que existe um n´ umero real B > 0 e tem-se ku(t)k

  • 1 q

  ∞ ′ um ´ unico v ∈ L (0, T ; X ) tal que

  Z T hv, ui = hv(t), u(t)i dt, X ,X

  1 ∞ ′

  (L (0,T ;X)) L (0,T ;X ) Veja que, da discuss˜ao acima, dada uma sequˆencia limitada (u ) em n

  1 para todo u ∈ L (0, T ; X) e kvk = kvk .

  ∞ ′ 1 ′

1 L (0, T ; X ) = (L (0, T ; X)) , por L (0, T ; X) ser separ´avel, temos que existe uma sub-

  1 sequˆencia (u n ) que converge fraco-*, isto ´e, para todo u ∈ L (0, T ; X),

  i

  Z T Z T hv (t), u(t)idt → hv(t), u(t)idt, quando n → ∞. n i i

1.8 O problema de Cauchy abstrato

  Nesta se¸c˜ao abordaremos o problema de determinar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao u : [0, T ] → X, X um espa¸co de Banach, para o problema de Cauchy ′ u (t) = Au(t) + f (t) (1.8.12) u(0) = u (1.8.13) u ∈ X, A : D(A) ⊂ X → X, onde D(A) ´e o dom´ınio do operador linear A, e n n n f : [0, T [→ X. Note que, quando X = R e A : R → R o problema (1.8.12)-(1.8.13) ´e um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e o teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao ´e bem conhecido. Defini¸ c˜ ao 1.8.1.

  Seja X um espa¸co de Banach e L(X) a ´algebra dos operadores line- ares cont´ınuos de X. Dizemos que uma aplica¸c˜ao S : R → L(X) ´e um semigrupo de + operadores lineares cont´ınuos de X se:

  (i) S(0) = I, onde I ´e o operador identidade de L(X);

  • (ii) S(t + s) = S(t)S(s), para todo t, s ∈ R .

  Dizemos que o semigrupo S ´e de classe C se

  Denominamos o gerador infinitesimal do semigrupo S como o operador A : D(A) ⊂ X → X, onde

  S(h) − I D(A) = x ∈ X; lim x existe

  • +

    h→0

  h S(h) − I Ax = lim x, para todo x ∈ D(A). h

  • h→0

  Pode-se provar (veja [8]) que, D(A) ´e um subespa¸co vetorial de X e A ´e um operador linear.

  Proposi¸ c˜ ao 1.8.2.

  (i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C ´e um operador linear fechado e seu dom´ınio ´e denso em X.

  (ii) Um operador linear A, fechado e com dom´ınio denso em X, ´e o gerador infinitesimal de, no m´aximo, um semigrupo de classe C .

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [8].

  Dado um semigrupo de operadores lineares S : R → L(X), dizemos que S ´e uni-

  • formemente cont´ınuo se, al´em de serem v´alidos os itens (i) e (ii) da defini¸c˜ao (1.8.1) for v´alido que lim kS(t) − Ik = 0. (1.8.14)

  L(x)

  • t→0

  Note que como a condi¸c˜ao (1.8.14) implica que a condi¸c˜ao (iii) da defini¸c˜ao 1.8.1 seja v´alida, todo semigrupo uniformemente cont´ınuo ´e de classe C .

  Teorema 1.8.3.

  Dado X um espa¸co de Banach, um operador A : X → X ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A ´e um operador linear cont´ınuo. Demonstra¸ c˜ ao: Ver [20].

  Dado um espa¸co de Banach X, x ∈ X e A um operador linear de X entendemos por solu¸c˜ao do problema de Cauchy abstrato homogˆeneo du (t) = Au(t), t > 0 (1.8.15) dt u(0) = x (1.8.16) toda fun¸c˜ao u : R → X, cont´ınua para t ≥ 0, continuamente diferenci´avel para t > 0,

  • tal que, para todo t ≥ 0 satisfaz a equa¸c˜ao (1.8.15) e verifica a condi¸c˜ao inicial (1.8.16). Teorema 1.8.4.

  Se A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C ent˜ao, para cada x ∈ D(A), o problema de Cauchy (1.8.15), (1.8.16) tem uma ´ unica solu¸c˜ao, continuamente diferenci´avel em todo t ≥ 0. Demonstra¸ c˜ ao: Ver [8].

  Vamos considerar o problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo du (t) = Au(t) + f (t) (1.8.17) dt u(0) = x (1.8.18) onde f : [0, T [→ X e A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , S.

  Defini¸ c˜ ao 1.8.5.

  Uma fun¸c˜ao u : [0, T [→ X ´e dita solu¸c˜ao (cl´assica) do problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) sobre [0, T [ se u ´e cont´ınua sobre [0, T [, continuamente dife- renci´avel sobre ]0, T [, u(t) ∈ D(A) para 0 < t < T e (1.8.17), (1.8.18) ´e satisfeito sobre [0, T [.

  Defini¸ c˜ ao 1.8.6.

  Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , S. Dado

  1 x ∈ X e f ∈ L (0, T ; X). A fun¸c˜ao u ∈ C([0, T ]; X) dada por

  Z t u(t) = S(t)x + S(t − s)f (s)ds, 0 ≤ t ≤ T (1.8.19) ´e denominada solu¸c˜ao generalizada (solu¸c˜ao mild) do problema (1.8.17) e (1.8.18).

  1 Proposi¸ c˜ ao 1.8.7. Dado X um espa¸co de Banach se f ∈ L (0, T ; X) ent˜ao, para todo Demonstra¸ c˜ ao: Ver [20].

  Em oposi¸c˜ao a proposi¸c˜ao 1.8.7 nem toda solu¸c˜ao mild ´e uma solu¸c˜ao no sentido cl´assico do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18), no entanto, temos o seguinte Teorema.

1 Teorema 1.8.8. Seja f ∈ L (0, T ; X), X um espa¸co de Banach. Se u ´e a solu¸c˜ao mild

  ′ do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18) sobre [0, T ], ent˜ao, para todo T < T , u ´e o

  ′ limite uniforme, sobre [0, T ], de solu¸c˜oes (cl´assicas) de (1.8.17) e (1.8.18).

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [20].

  Cap´ıtulo 2

  

EXISTˆ ENCIA DE SOLUC ¸ ˜ AO

LOCAL

  Neste cap´ıtulo vamos investigar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o seguinte problema de Cauchy, u tt − au xx + u xxxx + u xxxxtt = ϕ(u x ) x (2.0.1) u(0) = u , u (0) = u (2.0.2) t

  1 p onde consideramos a > 0, ϕ(x) = α|x| com α 6= 0 e p > 1 inteiro. Al´em disso conside- s ramos os dados iniciais pertencentes aos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria H (R).

  Procederemos da seguinte maneira, associado ao problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) consideraremos o seguinte problema linear u tt − au xx + u xxxx + u xxxxtt = f u(0) = u , u (0) = u t

  1 ao qual provaremos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao aplicando resultados da teoria de semigrupos. Uma vez obtida a solu¸c˜ao do problema linear associado, aplicaremos o m´etodo do ponto fixo para obtermos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) sobre um intervalo de tempo maximal.

2.1 O problema linear associado

  4 −1 s−2 s 4 −1

  2 Lema 2.1.1.

  Os operadores L = (I + ∂ ) : H (R) → H (R) e A = (I + ∂ ) (a∂ −

  1 x x x 4 s s

  ∂ ) : H (R) → H (R), onde x

  −1 4 −1 s−2 L(u) = F (1 + ξ ) F[u] , u ∈ H (R)

  2

  4 −aξ − ξ

  −1 s A (v) = F F[v] , v ∈ H (R)

  1

  4 1 + ξ s˜ao lineares e cont´ınuos.

  Demonstra¸ c˜ ao: Defina g : R → R tal que,

  2

  2

  2

  4 (1 + x ) 1 + 2x + x g(x) = =

  4

  2

  4

  8 (1 + x ) 1 + 2x + x temos que g ´e cont´ınua e lim g(x) = lim g(x) = 0 x→∞ x→−∞ s−2 sendo assim g ´e limitada. Deste modo, para todo u ∈ H (R),

  Z Z

  2

  2 (1 + ξ )

  2 s

  2 2 s−2

  2 (1 + |ξ| ) |F[Lu](ξ)| dξ = (1 + ξ ) |F[u](ξ)| dξ

  4

  2 (1 + ξ )

  R R

  2

  s−

  2

  ≤ sup g(ξ)kuk (2.1.3) H

  ξ∈R −1 ou seja, L est´a bem definido, ´e linear, pelo fato dos operadores F e F serem lineares, e por (2.1.3) existe C > 0 tal que,

  s s−

  H H Do mesmo modo, considerando h : R → R tal que,

  2 kL(u)k ≤ Ckuk .

  2

  4

  2

  2

  4

  6

  8 (ax + x ) a x + 2ax + x h(x) = =

  4

  2

  4

  8 (1 + x ) 1 + 2x + x temos que h ´e cont´ınua, limitada, pois s e assim, para todo u ∈ H (R),

  2 Z Z

  2

  4

  2 s

  2 2 s

  2 (1 + |ξ| ) |F[A (u)](ξ)| dξ = (1 + |ξ| ) |F[u](ξ)| dξ

  • ξ aξ

  1

  4 R R 1 + ξ

  2

  s

  ≤ sup h(ξ)kuk (2.1.4) H

  ξ∈R −1 ou seja, A est´a bem definido, por F e F serem lineares, A ´e linear e por (2.1.4) A ´e

  1

  1

  1 cont´ınuo. s Lema 2.1.2.

  Seja s ∈ R. Para qualquer T > 0, suponha u , u ∈ H (R) e

  1 1 s−2 f ∈ L ([0, T ]; H (R)). Ent˜ao o problema de Cauchy

  1 s−4 u − au + u + u = f em L (0, T ; H (R)) (2.1.5) tt xx xxxx xxxxtt u(0) = u , u t (0) = u 1 , (2.1.6)

  1 s possui uma ´ unica solu¸c˜ao mild u ∈ C ([0, T ]; H (R)). Al´em disso, a solu¸c˜ao u satisfaz a estimativa:

  Z t

  

s s s s s

  ku(t)k H + ku t (t)k H ≤ C 2 (1 + T ) ku k + H + ku 1 k H kL(f )(τ )k H dτ . (2.1.7) 1 s

  Demonstra¸ c˜ ao: Provaremos que existe uma ´ unica solu¸c˜ao mild u ∈ C ([0, T ]; H (R)) do problema de Cauchy: 1 s u tt = A 1 u + Lf em L (0, T ; H (R))

  (2.1.8) u(0) = u , u (0) = u t

  1 onde A e L s˜ao definidos como no lema 2.1.1. Assim aplicando o operador linear

  1 4 s s−4 s I + ∂ : H (R) → H (R), onde, dado u ∈ H (R), x

  4 4 −1

  4 (I + ∂ )(u) = u + ∂ u = F [(1 + ξ )F[u]], x x teremos que

  4

  4

  4 1 s−4 (I + ∂ )u tt = (I + ∂ )A 1 u + (I + ∂ )Lf em L (0, T ; H (R)) x x x entretanto,

  4 −1

  4 (I + ∂ )(A u) = F [(1 + ξ )F[A u]]

  1

  1 x −1

  2

  4 = F [(−aξ − ξ )F[u]] = au − u xx xxxx e

  4 −1

  4 (I + ∂ )(Lf ) = F [(1 + ξ )F[Lf ]] = f x 1 s obtemos assim que existe u ∈ C ([0, T ]; H (R)) tal que

  1 s−4 u − au + u + u = f em L (0, T ; H (R)) tt xx xxxx xxxxtt e u satisfazendo as condi¸c˜oes iniciais (2.1.6) resolvendo assim o problema de Cauchy (2.1.5), (2.1.6). Vamos ent˜ao resolver o problema (2.1.8), para isso denotando por v = u t temos, v = A u + Lf t

  1   u assim fazendo U =   podemos reescrever o problema (2.1.8) como, v d

  U = AU + F dt

  (2.1.9) U (0) = U s s s s onde A : H (R) × H (R) → H (R) × H (R) ´e dado por

      I u

      AU = = (v, A 1 u)

  A v

  1 s s e considerando sobre H (R) × H (R) a norma

  1

  2

  2

  2 s s s s

  k(u, v)k H ×H = kuk + kvk H H temos que

  1

  2

  2

  2 s s

s s

  kAU k = kvk + kA uk H ×H

  1 H H

  1

  2

  2

  2

  2 s s

s s

  ≤ kvk + K kuk ≤ K kU k

  2 H ×H H

  1 H p

  2 s s K = max{1, K }, isto ´e, A ´e um operador linear e cont´ınuo definido em H (R)×H (R).

  2

  1 Temos, portanto, que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C , S, sobre s s H (R) × H (R). Al´em disso,

     

  F (x, t) = Lf (x, t)

  1 s s 1 s−2 e, pelo Lema 2.1.1, temos que F ∈ L ([0, T ]; H (R)×H (R)), posto que f ∈ L ([0, T ]; H (R)). s

  Do exposto acima segue que, existe uma ´ unica solu¸c˜ao mild U ∈ C([0, T ]; H (R) × s

  H (R)) do problema (2.1.9) na forma  

  Z t u(t) U (t) = +   = S(t)U S(t − s)F (s)ds u (t) t

  1 s donde segue que o problema de Cauchy (2.1.8) tem uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ], H (R)).

  Vamos provar agora a seguinte estimativa: Z t

  H t H

  2 H

  1 H H 1 s Considerando, ent˜ao, u ∈ C ([0, T ]; H (R)) e tomando a transformada de Fourier em (2.1.5) e (2.1.6) temos,

  s s s s s ku(t)k + ku (t)k ≤ C (1 + T ) ku + k + ku k kL(f )(τ )k dτ .

  2

  4

  4 F[u] + aξ F[u] + ξ F[u] + ξ F[u] = F[f ](t) tt tt resolvendo a equa¸c˜ao acima, em rela¸c˜ao a t, obtemos Z t sen(ρ(ξ)t) sen(ρ(ξ)(t − τ )) F[f ](ξ, τ )

  F[u](ξ, t) = cos(ρ(ξ)t)F[u ](ξ) + F[u 1 ](ξ) + dτ

  4 ρ(ξ) ρ(ξ) 1 + ξ q

  2

  4

  aξ +ξ onde ρ(ξ) = . Assim, aplicando a desigualdade de Minkowski e a express˜ao acima,

  4

  1+ξ

  1 Z

  2

  2 s

  2

  2

  s

  ku(t)k ≤ (1 + ξ ) |cos(ρ(ξ)t)| |F[u + ](ξ)| dξ H R

  1 Z

  2

  sen(ρ(ξ)t) 2 s

  2 1 ](ξ)| dξ

  • (1 + ξ ) |F[u

  R ρ(ξ) Z t sen(ρ(.)(t − τ )) F[f ](., τ )

  2 s/2 (1 + . ) dτ

  4 ρ(.) 1 + .

  2 L

  Note que, para todo ξ ∈ R e todo t ∈ [0, T ], sen(ρ(ξ)t) ρ(ξ)t ≤ = t e | cos(ρ(ξ)t)| ≤ 1

  ρ(ξ) ρ(ξ) assim, para todo t ∈ [0, T ], Z t

  ku(t)k ≤ ku k + tku k (t − τ )kLf (τ )k dτ H H

  • s s s s

  1 H H Z t

  H

  1 H H Uma vez que,

  s s s ≤ ku k + T ku k + T kL(f )(τ )k dτ.

  F[u] (ξ, t) = −ρ(ξ)sen(ρ(ξ)t)F[u ](ξ) + cos(ρ(ξ)t)F[u ](ξ) + t

  1 Z t F[f ](ξ, t)

  • cos(ρ(ξ)(t − τ )) dτ

  4 1 + ξ obtemos, de modo analogo ao que fizemos acima, que

  Z t

  

s s s s

  ku (t)k ≤ Cku k + ku k + C kL(f )(τ )k dτ t H H

  1 H H assim, tomando C suficientemente grande,

  2

  Z t

  s s s s s

  ku(t)k + ku (t)k + ≤ C (1 + T ) ku k + ku k kL(f )(τ )k dτ .

  H t H

  2 H

  1 H H

2.2 Estimativas para o termo n˜ ao linear Lema 2.2.1.

  Dado s > 0 temos que s ∞

  • Se 0 < s < 1 , H (R) ∩ L (R) ´e uma ´algebra com ∞ ∞

  H L H H L

  s s s kuvk ≤ C(kuk kvk + kuk kvk ).

  1 s

  • Se < s < ∞, H (R) ´e uma ´algebra de Banach generalizada, isto ´e,

  2

  H H H Demonstra¸ c˜ ao: Ver apˆendice A.1. s ∞ Lema 2.2.2.

  s s s kuvk ≤ Ckuk kvk .

  Assuma que p > 1, 0 < s < p e u ∈ H (R) ∩ L (R), ent˜ao existe uma constante C > 0 tal que p−1 p

  s ∞ s

  k|u| k ≤ Ckuk kuk . (2.2.10) H H L

  Demonstra¸ c˜ ao: Ver [23], p´agina 363.

  3 s Lema 2.2.3.

  Sejam p ∈ N, p > 1 e s ∈ R onde < s < p + 1. Dados u, v ∈ H (R) tais

  2

  s s

  que kuk ≤ R e kvk ≤ R, para algum R > 0 fixo, ent˜ao temos H H p p p−1

  s s−

  2

  k|u | − |v | k ≤ CpR ku − vk . (2.2.11) x x H H p

  Demonstra¸ c˜ ao: Denotando por f (z) = |z| , temos onde,   p−1 p−1

    pz , z ≥ 0 p|z| , z ≥ 0 ′ f (z) = = p−1 p−1

    −p(−z) , z < 0 −p|z| , z < 0 ou seja,

  Z

  1 p p p−1

  s−

  2 s−

  2

  k|u | − |v | k ≤ pk|(1 − λ)u − λv | (u − v )k dλ. (2.2.12) x x H x x x x H

  3

1 Como < s < p + 1, temos − < s − 2 < p − 1.

  2

  2

  1 • Caso − &lt; s − 2 ≤ 0.

  2 2 s−2 Da imers˜ao L (R) ֒→ H (R), p−1 2 p−1

  2

  s−

  k|(1 − λ)u + λv | (u − v )k

  2 ≤ Ck|(1 − λ)u + λv | (u − v )k

  2

  x x x x x x x x H

  L Z p−1

  2 = C ||(1 − λ)u (x) − λv (x)| (u (x) − v (x))| dx x x x x

  R s s−1

  1 como u, v ∈ H (R) segue que u , v ∈ H (R) e por s − 1 &gt; , do Lema 1.6.6, x x

  2 s−1 ∞ H (R) ֒→ L (R), assim,

  2(p−1) 2(p−1) ∞ ∞ |λv (x) + (1 − λ)u (x)| ≤ |(1 − λ)ku k + λkv k | x x x L x L

  2(p−1) 2(p−1)

  s− s−

  1

  1

  ≤ C|(1 − λ)ku k + λkv k | ≤ CR x H x H

  x H H

  s− 1 s observe que, esta ´ ultima desigualdade segue pois ku k ≤ kuk ≤ R, por hip´otese.

  s−

  H p−1 p−1

1 Do mesmo modo, kv x k ≤ R. Do exposto acima,

  s−

  2

  2

  k|(1 − λ)u − λv | (u − v )k ≤ CR ku − v k x x x x H x x L p−1

  s ≤ CR ku − vk .

  H • Caso 0 &lt; s − 2 &lt; 1. Suponha p = 2, assim 0 &lt; s − 2 &lt; 1 = p − 1 e Z Z

  2 ||(1 − λ)u x − λv x |(x) − |(1 − λ)u x − λv x |(y)| dxdy ≤

  1+2(s−2) R R |x − y|

  Z Z

  2 |(1 − λ)u (x) − λv (x) − (1 − λ)u (y) + λv (y)| x x x x

  ≤ dxdy

  1+2(s−2) R R |x − y|

  Z Z

  2 |(1 − λ)(u (x) − u (y)) − λ(v (y) − v (x))| x x x x

  = dxdy

  1+2(s−2) R R |x − y|

  Z Z

  2

  2

  2

  2 (1 − λ) |u (x) − u (y)| + λ |v (x) − v (y))| x x x x

  ≤ 2 dxdy &lt; ∞

  1+2(s−2) R R |x − y| onde, nesta ´ ultima desigualdade, fizemos uso do Teorema 1.6.12 e do fato de s−1 s−2 s−2 u , v ∈ H (R) ֒→ H (R). Concluimos assim que |(1 − λ)u − λv | ∈ H (R) x x x x e

  2

  s−

  2

  k|(1 − λ)u − λv |k ≤ C k|(1 − λ)u − λv |k

  2

  x x H x x L

  1 Z Z

  2

  2

  ||(1 − λ)u − λv |(x) − |(1 − λ)u − λv |(y)| x x x x

  • dxdy

  1+2(s−2) R R |x − y|

  1 Z Z

  2

  2

  |u (x) − u (y)| x x

  2

  2

  ≤ C + ku k dxdy x

  L 1+2(s−2)

  R R |x − y|

  1 Z Z

  2

  2

  |v x (x) − v x (y)|

  2

  • C kv k dxdy
  • >2

      x L

      1+2(s−2) R R |x − y|

      s− s− s− s−

      2

      2

      1

      1

      = C(ku k + kv k ) ≤ C(ku k + kv k ) x H x H x H x H deste modo,

      s− s s

      2

      k|(1 − λ)u x − λv x |k ≤ C(kuk H + kv x k H ) H

      ≤ 2CR. (2.2.13) Agora se p &gt; 2 ent˜ao p − 1 &gt; 1 e s − 2 &lt; p − 1, pelo Lema 2.2.2 temos que p−1 s−2

      |(1 − λ)u x − λv x | ∈ H e p−2 p−1

      2

      s− 2 ∞ s−

      k|(1 − λ)u − λv | k ≤ Ck(1 − λ)u − λv k k(1 − λ)u − λv k x x H x x x x H

      L observe que,

      s− s− s

      2

      

    1

      ku x k ≤ ku x k ≤ kuk H ≤ R H H

      s−

      2

      do mesmo modo kv k ≤ R, al´em disso, aplicando (1.6.5) obtemos que, x H p−2 p−2

      s−

      k(1 − λ)u − λv k ≤ Ck(1 − λ)u − λv k

      1

      x x x x L H p−2

      s− s−

      1

      1

      ≤ ((1 − λ)ku k + λkv k ) x H x H p−2

      ≤ CR donde segue que, p−1 p−1

      s−

      2

      k|(1 − λ)u − λv | k ≤ CR (2.2.14) x x H p−1 s−2 em qualquer caso, |(1 − λ)u − λv | ∈ H (R), para qualquer p &gt; 1 inteiro e vale x x

      (2.2.14). Aplicando, ent˜ao, o Lema 2.2.1, p−1 p−1

      s−

      2 s−

      2

      k|(1 − λ)u − λv | (u − v )k ≤ C k|(1 − λ)u − λv | k ku − v k x x x x H x x L x x H p−1

      s−

      x x H x x L

      2 + k|(1 − λ)u − λv | k ku − v k .

    1 Note que, sendo s − 1 > ,

      2

      s−

      1

      ku − v k ≤ Cku − v k x x L x x H

      s

      ≤ Cku − vk (2.2.15) H e p−1 p−1

      s s−

      2

      k|(1 − λ)u − λv | k ku − v k ≤ CR ku − vk (2.2.16) x x L x x H H sendo assim, por (2.2.14), (2.2.15) e (2.2.16) obtemos que, p−1 p−1

      s− 2 s

    • Caso s − 2 ≥ 1.

      s−2 ∞ Note que, por 1 ≤ s − 2 &lt; p − 1 e u , v ∈ H (R) ֒→ L (R) temos, pelo Lema 2.2.2, x x p−1 s−2

      |(1 − λ)u x + λv x | ∈ H (R) e p−1 p−2

      2

      s− 2 ∞ s−

      k|(1 − λ)u + λv | k ≤ Ck(1 − λ)u + λv k k(1 − λ)u + λv k x x H x x x x H

      L p−2 p−1

      s−

      1

      ≤ CR k(1 − λ)u + λv k ≤ CR x x H assim, aplicando o Lema 2.2.1, p−1 p−1

      2

      s− 2 s− 2 s−

      k|(1 − λ)u + λv | (u − v )k ≤ Ck|(1 − λ)u + λv | k ku − v k x x x x H x x H x x H p−1

      H Em qualquer caso, obtemos de (2.2.12), p p p−1

      s ≤ CR ku − vk .

      s s− 2 k|u | − |v | k ≤ CpR ku − vk .

      x x H H

    2.3 Existˆ encia de solu¸ c˜ ao local

      Uma vez provada a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o problema linear associado, passamos agora ao problema de provar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o problema (2.0.1), (2.0.2) para isto faremos uso do seguinte Teorema de Ponto Fixo. Lema 2.3.1

      (Teorema de ponto fixo de Banach). Seja (M, d) um espa¸co m´etrico completo e Φ : M → M uma contra¸c˜ao, isto ´e, existe 0 ≤ c &lt; 1 tal que, para todo x, y ∈ M tem-se d(Φ(x), Φ(y)) ≤ cd(x, y). Ent˜ao existe um ´ unico ponto x ∈ M tal que Φ(x ) = x .

      3 s Teorema 2.3.2. Suponha que &lt; s &lt; p + 1, u , u ∈ H (R). Ent˜ao o problema de

      1

    2 Cauchy

      p 1 s−4 u − au + u + u = α|u | em L (0, T ; H (R)) tt xx xxxx xxxxtt x x

      (2.3.17) u(0) = u , u (0) = u t

      1 onde α 6= 0, a &gt; 0 e p &gt; 1 ´e inteiro, admite uma ´ unica solu¸c˜ao local u = u(x, t) definida

      1 s sobre um intervalo de tempo maximal [0, T ) com u ∈ C ([0, T ); H (R)).

      Demonstra¸ c˜ ao: Considere

      1 s

      s

      ∗ ∗ C ([0,T ];H (R)) onde R, T ser˜ao convenientemente definidos, munido da m´etrica d induzida quando con-

      1 B(R, T ) = u ∈ C ([0, T ]; H (R)); kuk ∗ ≤ R

      ∗ 1 s siderado como subconjunto do espa¸co de Banach C ([0, T ∗ ]; H (R)), sendo assim, como

      1 s B(R, T ) ´e fechado em C ([0, T ]; H (R)), (B(R, T ), d) ´e um espa¸co m´etrico completo. ∗ ∗ ∗ p

      1 s−2 Dado u ∈ B(R, T ) temos que |u | ∈ L (0, T ; H (R)). Com efeito,

      ∗ x ∗ x 1 s−1 ∞ u ∈ H (R) ֒→ L (R), pois, por hip´otese, &lt; s − 1 &lt; p e assim, do lema 2.2.2, x

      2 p s−1 p s−2 |u x | (t) ∈ H (R), donde segue que |u x | (t) ∈ H (R). Al´em disso, x

      Z p

      2 2 s−2 p

      2

      s−

      k|u | (t)k

      2 = (1 + |ξ| ) |F[|u | ](ξ, t)| dξ

      x x x H x R Z

      2 ξ

      2 s−1 p

      2 ≤ (1 + |ξ| ) |F[|u x | ](ξ, t)| dξ

      2 R 1 + ξ Z

      2 s−1 p 2 p

      2

      s−

      1

      ≤ C (1 + |ξ| ) |F[|u x | ](ξ, t)| dξ = Ck|u x | (t)k H R

      2(p−1)

      2

      s−

      1

      ≤ C 1 ku x (t)k ku x (t)k L H onde na ´ ultima desigualdade fizemos uso do lema 2.2.2. Note que, do lema 1.6.6,

      s

      ku k ≤ Ckuk , e x L H

      Z

      2 2 s−1

      2

      s−

      ku (t)k

      1 = (1 + |ξ| ) |F[u ](ξ, t)| dξ

      x x H R Z

      2 ξ

      2 s

      2

      2

      2

      s

      = (1 + |ξ| ) |F[u](ξ, t)| dξ ≤ Cku(t)k ≤ CR H

      2 obtemos assim que, p p p

      s s

      k|u x | (t)k H ≤ Cku(t)k ≤ CR (2.3.18) x H p

      1 s−2 portanto |u | ∈ L (0, T ; H (R)), para todo T &lt; ∞ fixo. x ∗ ∗ x

      Considere agora,

      

    s s

      R &gt; (ku k + ku k )C + 1, (2.3.19) H

      1 H

      2 onde C ´e a constante dada no lema 2.1.2. Assim vamos definir o operador

    2 S : B(R, T ) → B(R, T )

      ∗ ∗ tal que, para cada u ∈ B(R, T ∗ ), associamos S(u) = v solu¸c˜ao do problema linear p 1 s−4 v − av + v + v = α|u | em L (0, T ; H (R)) tt xx xxxx xxxxtt x ∗ x v(0) = u , v (0) = u . t

      1 p 1 s−2

      Por α|u | ∈ L (0, T ; H (R)) do lema 2.1.2, para todo u ∈ B(R, T ), existe uma ´ unica x ∗

      ∗ x v = S(u) solu¸c˜ao do problema linear acima. Al´em disso, para todo t ∈ [0, T ], do lema

      ∗ 2.1.2 e por (2.1.7), (2.3.18),

      Z t p

      s s s s s

      kv(t)k + kv (t)k ≤ C (1 + T ) ku k + ku k + |α| kL(|u | )(τ )k dτ H t H 2 ∗ H

      1 H x H x Z t p

      s s s−

      2

      ≤ C (1 + T ) ku k + ku k + |α|C k|u | (τ )k dτ 2 ∗ H

      1 H x H x p

      2 ∗ H

      1 H ∗ p

      s s ≤ C (1 + T ) (ku k + ku k + |α|CR T ) .

      s s

      Definindo f : [0, ∞) → R tal que, f (t) = C (1 + t)(ku k + ku k + C|α|R t) temos

      2 H

      1 H

      s s

      f (0) = C 2 (ku k H + ku 1 k H ) e ′ p p

      s s

      f (t) = C (1 + t)(C|α|R ) + C (ku k + ku k + C|α|R t)

      2

      2 H

      1 H &gt; 0 logo f ´e estritamente crescente. Como R &gt; f (0), existe T ∈ [0, ∞) tal que 1∗ p

      s s

      f (T 1∗ ) = C 2 (1 + T 1∗ )(ku k H + ku 1 k H + C|α|R T 1∗ ) = R (2.3.20) ′ al´em disso, como f ´e estritamente crescente, para todo T ≤ T temos que

      1∗ 1∗

      s s 1 s

      kvk = sup {kv(t)k + kv (t)k } ≤ R.

      C ([0,T ];H ) H t H

      1∗

      t∈[0,T ]

      1∗

      Vamos provar agora que, escolhendo R, T adequadamente S ´e uma contra¸c˜ao. Para isto, ∗ considere u, ˜ u ∈ B(R, T ) e v = S(u), ˜ v = S(˜ u) assim, denotando por v = v − ˜ v, v ´e

      ∗

      1

      1 solu¸c˜ao do problema de Cauchy, p p v − av + v + v = α|u | − α|˜ u | tt xx xxxx xxxxtt x x x x v(0) = 0 v (0) = 0. t por (2.1.7),

      Z t p p

      

    s s s

      kv(t)k + kv (t)k ≤ |α|C kL(|u | − |˜ u | )(τ )k dτ. (2.3.21) H t H x x H x x como,

      Z p p

      2 2 s p p

      2

      s

      kL(|u | − |˜ u | )(τ )k = (1 + ξ ) |F[L(|u | − |˜ u | )](ξ, τ )| dξ x x x x x x H x x

      R Z

      2

      2

      4 (1 + ξ ) ξ

      2 s−2 p p

      2 = (1 + ξ ) |F[|u x | − |˜ u x | ](ξ, τ )| dξ

      4

      2 R (1 + ξ ) p p

      2

      s−

      2

      ≤ Ck|u | (τ ) − |˜ u | (τ )k x x

      H assim por (2.2.11), p p 2 p−1

      s

    s

      kL(|u | − |˜ u | )(τ )k ≤ CR ku − ˜ uk x x H x x H deste modo, podemos reescrever (2.3.21) como

      s s s s

      kS(u)(t) − S(˜ u)(t)k H + kS(u) t (t) − S(˜ u) t (t)k H = kv(t)k H + kv t (t)k H ≤ Z t p−1

      s

      ≤ |α|C(1 + T )T R ku(τ ) − ˜ u(τ )k dτ ∗ ∗ H p−1

      ≤ |α|C(1 + T )T R d(u, ˜ u) ∗ ∗ donde segue que, p−1 d(S(u), S(˜ u)) ≤ |α|C(1 + T )T R d(u, ˜ u)

      ∗ ∗ p−1 definindo g : [0, ∞) → R tal que g(t) = C(1 + t)tR temos que g ´e crescente e g(0) = 0, como lim g(t) = ∞, existe T tal que,

      ∗2 t→∞ p−1 g(T ) = C(1 + T )T R = k (2.3.22)

      ∗2 ∗2 ∗2

      s s

      onde 0 &lt; k &lt; 1. Assim, tomando T ∗ = min{T ∗1 , T ∗2 } &gt; 0 e R &gt; (ku k H + ku 1 k H )C 2 + 1 temos que S est´a bem definido e ´e uma contra¸c˜ao. Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, S admite um ´ unico ponto fixo em B(R, T ), ou seja, existe um ´ unico

      ∗ 1 s u ∈ B(R, T ∗ ) ⊂ C ([0, T ∗ ]; H (R)) tal que p 1 s−4 u − au + u + u = α|u | em L (0, T ; H (R)) tt xx xxxx xxxxtt x ∗ x u(0) = u , u (0) = u . t

      1 O Teorema do Ponto Fixo de Banach nos garante a unicidade de solu¸c˜ao em B(R, T ), ∗ 1 s no entanto almejamos provar a existˆencia de uma ´ unica solu¸c˜ao em C ([0, T ]; H (R)).

      ∗ 1 s Para isto considere u, v ∈ C ([0, T ]; H (R)) solu¸c˜oes do problema de Cauchy (2.3.17),

      1 ∗ assim v = u − v satisfaz

      1 p p v − av + v + v = α|u | − α|v | tt xx xxxx xxxxtt x 1x x x v(0) = 0, v (0) = 0 t logo, por (2.1.7), Z t p p

      s s s

      ku(t) − v 1 (t)k H + ku t (t) − v 1t (t)k H ≤ C 2 (1 + T ∗ ) kL(α|u x | − α|v 1x | )(τ )k H dτ x x

      Z t p p

      s−

      2

      ≤ C(1 + T )|α| k|u | (τ ) − |v | (τ )k dτ ∗ x 1x H

      Z t

      s

      ≤ C(1 + T )|α| ku(τ ) − v (τ )k dτ ∗

      1 H sendo assim, pela Desigualdade de Gronwall, u = v , provando assim a unicidade de

      1 solu¸c˜ao.

      1 s Obtemos at´e aqui que existe uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ]; H (R)) para o problema

      ∗ de Cauchy (2.3.17), agora nosso objetivo ser´a estender a solu¸c˜ao a um intervalo de tempo

      1 s s maximal [0, T ). Uma vez que u ∈ C ([0, T ]; H (R)) temos u(T ), u (T ) ∈ H (R), assim

      ∗ ∗ t ∗ ao considerarmos o problema de Cauchy p v tt − av xx + v xxxx + v xxxxtt = α|v x | (2.3.23) x v(0) = u(T ) v (0) = u (T ) (2.3.24)

      ∗ t t ∗ 1 s provamos, via m´etodo do ponto fixo, que existe T &gt; 0 e v ∈ C ([0, T ]; H (R)) solu¸c˜ao

      1

      1 do problema (2.3.23) e (2.3.24), assim definindo

        u(x, t); 0 ≤ t ≤ T ∗ u(x, t) = ˜

       v(x, t − T ); T ≤ t ≤ T + T ∗ ∗ ∗

      1 1 s obtemos ˜ u ∈ C ([0, T + T ]; H (R)) e ˜ u ´e solu¸c˜ao do problema (2.3.17) sobre o intervalo

      ∗

      1 [0, T + T ]. Aplicando o mesmo racioc´ınio usado para provar a unicidade de solu¸c˜ao em

      ∗

      1 1 s 1 s

      C ([0, T ∗ ]; H (R)) provamos a unicidade de solu¸c˜ao em C ([0, T ∗ + T 1 ]; H (R)). Podemos assim encontrar uma fam´ılia de intervalos [0, T ], i ∈ I, I um conjunto de ´ındices arbitr´ario, i 1 s e solu¸c˜oes u ∈ C ([0, T ]; H (R)) que estendem a solu¸c˜ao u do problema de Cauchy i i

      (2.3.17), donde segue que, existe T &gt; 0 m´aximo tal que [

      [0, T ) = [0, T ] i

      1 s e u ∈ C ([0, T ); H (R)) ´e solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.3.17).

      Corol´ ario 2.3.3.

      Sob as hip´oteses do Teorema 2.3.2 temos que se

      s s

      sup (ku(t)k + ku (t)k ) &lt; ∞ H t H t∈[0,T ) ent˜ao T = ∞.

      Demonstra¸ c˜ ao: Temos, pelo Teorema 2.3.2, que o problema (2.3.17) admite uma ´ unica

      1 s solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)), onde [0, T ) ´e o intervalo maximal de existˆencia da solu¸c˜ao.

      Suponha que

      s s

      sup (ku(t)k H + ku t (t)k H ) &lt; ∞ (2.3.25) t∈[0,T )

      ′ e T &lt; ∞. Dado 0 ≤ T &lt; T considere o problema de Cauchy p v − av + v + v = α|v | tt xx xxxx xxxxtt x x

      (2.3.26) ′ ′ v(0) = u(T ) v (0) = u (T ) t t de maneira an´aloga ao que fizemos no Teorema 2.3.2 podemos encontrar, via m´etodo do

      ′ 1 ′ s ponto fixo, uma ´ unica solu¸c˜ao, v, para (2.3.27) tal que v ∈ B(R, T ) ⊂ C ([0, T ]; H (R)), onde

      ′ 1 ′ s

      s

      C ([0,T ];H ) ′

      1 B(R, T ) = v ∈ C ([0, T ]; H (R); kvk ≤ R)

      e, de acordo com (2.3.19), (2.3.20) e (2.3.22), devemos ter que R, T sejam tais que, ′ ′

      s s

      R &gt; (ku(T )k H + ku t (T )k H )C 2 + 1 ′ ′ ′ p ′

      s s

      R = C (1 + T )(ku(T )k + ku (T )k + C|α|R T )

      2 H t H ′ ′ p−1 k = C(1 + T )T R

      ′ para algum 0 &lt; k &lt; 1. Deste modo, por (2.3.25) podemos tomar R, T que verifiquem,

      1

      

    s s

      R &gt; ( sup (ku(t)k H + ku t (t)k H ))C 2 + 1 t∈[0,T )

      ′ p ′

      s s

      R = C (1 + T )( sup (ku(t)k + ku (t)k ) + C|α|R T )

      2 H t H

      1 1 t∈[0,T )

      ′ ′ p−1 k = C(1 + T )T R

      1

      1 ′ assim, considerando este T , para qualquer T ∈ [0, T ) o problema de Cauchy (2.3.27)

      1 T

      ′ 1 ′ s ′

      1

      tem solu¸c˜ao v ∈ B(R, T ) ⊂ C ([0, T ]; H (R)). Em particular, para T = T − vamos

      1

      1

      2

      2 considerar v a solu¸c˜ao do problema de Cauchy p v − av + v + v = α|v | tt xx xxxx xxxxtt x x

      ′ ′ v(0) = u(T ) v (0) = u (T ) t t

      2

      2 h i

      T

      1

      definindo, ent˜ao, u : → R por 0, T +

      2 

      ′  u(x, t); 0 ≤ t ≤ T

      2 u(x, t) =

      T ′ ′

      1

       v(x, t − T ); T ≤ t ≤ T +

      2

      2

      2 h i

      T

      1

      1 s

      teremos que u ´e solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.3.17) e u ∈ C ; H (R) , + 0, T

      2 contrariando a maximalidade de T . Portanto T = ∞. Cap´ıtulo 3

      

    EXISTˆ ENCIA E N ˜ AO

    EXISTˆ ENCIA DE SOLUC ¸ ˜ AO

    GLOBAL

      Assim como vimos no Teorema 2.3.2, o problema de Cauchy u − au + u + u = ϕ(u ) (2.0.1) tt xx xxxx xxxxtt x x u(0) = u , u (0) = u (2.0.2) t

      1 p 1 s onde ϕ(z) = α|z| , α 6= 0 e p &gt; 1 inteiro, admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)) s

      3 quando consideramos u , u ∈ H (R) e &lt; s &lt; p + 1. Neste cap´ıtulo abordaremos

      1

      2 o problema de existˆencia e n˜ao existˆencia de solu¸c˜ao global, ou seja, estudaremos os

      1 s casos onde se pode garantir que existe solu¸c˜ao u ∈ C ([0, ∞); H (R)) ou n˜ao. Para tal prop´osito faremos uso do m´etodo do po¸co potencial, seguindo as ideias de [30] na se¸c˜ao 3.2. ´ E interessante observar que, na se¸c˜ao 3.2, obtemos, sob as hip´oteses adequadas, que

      1 s a solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)) explode (tem blows-up) em tempo finito, isto ´e, existe T 1 &lt; ∞ tal que

      s lim ku(t)k = ∞. H t→T

    1 Na se¸c˜ao 3.3 expomos os resultados de [27], introduzindo um novo conjunto est´avel (ou,

      dito de outra forma, um novo po¸co potencial ), o que nos permite abordar o problema no

    3.1 Funcional de energia e o po¸ co potencial

      s Teorema 3.1.1.

      Suponha que 2 ≤ s &lt; p + 1, u , u ∈ H (R) e [0, T ) o intervalo maximal

      1 1 s de existˆencia da solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)) do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2).

      Defina Z

      1 α

      2

      2

      2 2 p

      2

      2

      2

      t x xx xxt x x L L L L

      2 E(t) = ku (t)k + aku (t)k + ku (t)k + ku (t)k |u (t)| + u (t)dx

      2 p + 1 R ent˜ao, vale que E(t) = E(0), para todo t ∈ (0, T ), onde,

      Z

      1 α

      2

      2

      2 2 p

      2

      2

    • 2

      1 0x 0xx 1xx 0x 0x L L L L

      2 E(0) = ku k + aku k + ku k + ku k |u | u dx.

      2 p + 1 R s 2 s

      2 Demonstra¸ c˜ ao: Temos que, dado u ∈ H (R), s ≥ 2, u ∈ H , pois H (R) ֒→ H (R).

      Al´em disso, d

      2

      2

      t tt L x xt L xx xxt L dt

      2 E(t) = (u (t), u (t)) + a(u (t), u (t)) + (u (t), u + (t))

      Z p

      2

    • (u xxt (t), u xxtt (t)) + α |u x (t)| u xt (t)dx

      L R

      2

      2

      2

      = (u (t), u (t)) + (au (t), u (t)) + (u + (t), u (t)) t tt L x xt L xx xxt L

      2

      2

    • (u (t), u (t)) + (ϕ(u (t)), u (t))

      xxt xxtt L x xt L p onde ϕ(u x (t)) = α|u x (t)| observe que,

      2

      2

      2

      2 d d d d u = u e u xxxx tt

      2

      2

      2

      2 dx dx dx dx

      2

      2 onde u , u ∈ L (R), pois u ∈ H (R) e xx xxtt

      2 u = A u + Lf ∈ H (R) tt

      1

      2 sendo assim, por u ∈ H (R), t

      Z

      2

      2 d u d u t

      2

      2

      2

      hu xxxx , u t i = dx = (u xx , u xxt ) L

      H ,H

      2

      2 R dx dx

      2 do mesmo modo, como u , u , ϕ(u ) ∈ L (R), tt x x

      2

      2

      2

      hu tt , u t i = (u tt , u t ) L

      H ,H

      2

      hϕ(u ) , u i

      2 2 = −(ϕ(u ), u )

      x x t x xt L H ,H

      2

      hau , u i

      2 2 = −a(u , u )

      xx t x xt L H ,H logo, d

      E(t) = h(u − au + u + u − ϕ(u ) )(t), u (t)i

      2

      2

      tt xx xxxx xxxxtt x x t H ,H dt

      e, por (2.0.1), d E(t) = 0 dt portanto, integrando a express˜ao acima de 0 a t, t ∈ (0, T ), E(t) = E(0).

      No que segue, vamos considerar o funcional J (energia potencial) definido por, Z 1 α

      2 2 p

      2

      L L 2 p + 1 R

      2 J(u(t)) = aku x (t)k + ku + xx (t)k |u x (t)| u x (t)dx.

      Deste modo, para todo t ∈ [0, T ), J(u(t)) ≤ E(t) = E(0),

      2 al´em disso, como p &gt; 1, o corol´ario 1.6.7 garante que, para todo u ∈ H (R),

      1

      2

      2

      2 p +1

      2

      2

      ku (t)k ≤ K ku (t)k + ku (t)k x L x xx

      L L

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      ≤ K 1 aku x (t)k + ku xx (t)k L L vamos, ent˜ao, denotar por

      p

    • 1

      ku x (t)k L

      C = sup

      1

      2

      2

      2

      2

      06=u∈H (R) aku (t)k + ku (t)k x

      2 xx

      2 L L onde C ´e uma constante que independe de t.

      Afirmamos que,

      p +1

      1 |α|

      2 2 p+1

      2

      2

      2

      aku (t)k

      2 + ku (t)k 2 − C aku (t)k 2 + ku (t)k 2 ≤ J(u(t)).

      x xx x xx L L L L

      2 p + 1 Com efeito,

      Z Z −α |α| p p+1

      |u x (t)| u x (t)dx ≤ |u x (t)| dx p + 1 R p + 1 R

      p +1

      |α| p+1

      2

      2

      2

      ≤ C aku (t)k

      2 + ku (t)k

      2

      x xx L L p + 1 assim,

      Z

      p +1

      |α| α p+1

      2

      2

      2 p

      2

      2

      − C aku x (t)k + ku xx (t)k ≤ |u x (t)| u x (t)dx L L p + 1 p + 1 R logo,

      p

    • 1

      1 |α| p+1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      aku (t)k + ku (t)k − C aku (t)k + ku (t)k ≤ x xx x xx

      L L L L 2 p + 1

      Z 1 α 2 2 p

    • 2

      L L 2 p + 1 R

      2 ≤ aku x (t)k + ku xx (t)k |u x (t)| u x (t)dx = J(u(t)).

      Defina a fun¸c˜ao g : [0, ∞) → R

      p +1

      1 |α| p+1

      2

      g(y) = y − C y 2 p + 1 e note que p+1

      p−

      1

      1 |α|C ′

      2

      g (y) = − y

      2

      2 ′ assim g (y) = 0 se, e s´o se,

      2(p+1)

      ′ ′ al´em disso, g (y) &gt; 0 se y ∈ [0, y ) e g (y) &lt; 0 se y ∈ (y , ∞) , donde segue que g ´e estritamente crescente em [0, y ) e g ´e estritamente decrescente em (y , ∞). Portanto, d = max g(y) = g(y ) y∈[0,∞) onde,

      2(p+1)

      2

      − p − 1

      p−

      −

      1 p−

      1

      g(y ) = |α| C 2(p + 1) observe tamb´em que,

      2(p + 1) y = d. p − 1

      Para uma melhor compreens˜ao do comportamento da fun¸c˜ao g, apresentamos abaixo o

      35 seu gr´afico quando p = 4 e α = 5 .

      C Figura 3.1: Gr´afico da fun¸c˜ao g

      Definimos os conjuntos est´avel (po¸co potencial) e inst´avel como 2(p + 1)

      2

      2

      2 W = u(t) ∈ H (R); aku (t)k

      2 + ku (t)k 2 &lt; d

      x xx L L p − 1

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      x xx L L p − 1

      2 V = u(t) ∈ H (R); aku (t)k + ku (t)k &gt; d .

      2

      1

      2 Lema 3.1.2.

      Suponha que u , u 1 ∈ H (R) e u ∈ C ([0, T ); H (R)) ´e a ´ unica solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2), onde T ´e o tempo m´aximo de existˆencia da solu¸c˜ao. Assuma que E(0) &lt; d. Ent˜ao, para todo t ∈ [0, T ), (i) u(t) ∈ W , se u = u(0) ∈ W .

      (ii) u(t) ∈ V , se u = u(0) ∈ V .

      Prova: Em primeiro lugar observe que, para todo t ∈ [0, T ), J(u(t)) ≤ E(t) = E(0) &lt; d isto ´e, J(u(t)) &lt; d. Suponha ent˜ao que u = u(0) ∈ W , deste modo,

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      aku (0)k + ku (0)k &lt;

      d, x xx

      L L p − 1 e que exista t ∈ (0, T ) tal que u(t) / ∈ W , assim,

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      aku (t)k + ku (t)k ≥

      d, x xx

      L L p − 1

      2

      2 logo, pela continuidade da aplica¸c˜ao t 7→ aku x (t)k

      2 + ku xx (t)k 2 , existe t ∈ (0, T )

      L L tal que,

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      aku (t )k + ku (t )k = d x xx

      L L p − 1 p−1 uma vez que d = y , temos,

      2(p+1)

      2

      2

      2

      2

      aku (t )k + ku (t )k = y x xx

      L L sendo assim,

      Z 1 α 2 2 p

      2

      x xx x x L L

    2 J(u(t )) = aku (t )k + ku + (t )k |u (t )| u (t )dx

      2 p + 1 R

      p

    • 1

      1 |α| p+1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ≥ aku (t )k + ku (t )k − C aku (t )k + ku (t )k x xx x xx

      L L L L 2 p + 1

      p +1

      1 |α| p+1

      2

      = y − C y = g(y ) = d 2 p + 1 ou seja, d ≤ J(u(t )), no entanto, assim como observamos acima, por hip´otese J(u(t )) &lt; d, temos assim um absurdo!

      Por outro lado, suponha que u(0) ∈ V e que exista t ∈ [0, T ) tal que u(t) / ∈ V , assim, 2(p + 1)

      2

      2 aku (t)k

      2 + ku (t)k 2 ≤

      d, x xx

      L L p − 1 deste modo, existe t ∈ [0, T ) tal que, 2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      aku x (t )k + ku xx (t )k = d = y L L p − 1 pelos mesmos argumentos expostos acima,

      J(u(t )) ≥ d absurdo, pois J(u(t )) &lt; d.

      2

      1

      2 Lema 3.1.3. Assuma que u , u ∈ H (R) e u ∈ C ([0, T ); H (R)) ´e a ´ unica solu¸c˜ao

      1 do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2), onde T ´e o tempo m´aximo de existˆencia da

      2

      2

      solu¸c˜ao. Suponha que E(0) = d e (u , u ) + (u , u ) ≥ 0. Ent˜ao, para todo

    1 L 0xx 1xx L t ∈ [0, T ), u(t) ∈ V se u(0) ∈ V .

      Prova: Suponha que u(0) ∈ V e que exista t ∈ [0, T ) tal que u(t) / ∈ V . Assim, existe t ∈ (0, T ) tal que, 2(p + 1)

      2

      2 aku(t )k

      xx L L p − 1

      2 + ku (t )k 2 = d.

      Assim como provamos no lema anterior, J(u(t )) ≥ d, donde por J(u(t )) ≤ E(t ) = E(0) = d conclu´ımos que J(u(t )) = d e

      1

      2

      2

      2

      

    2

      ku t (t )k + ku xxt (t )k = E(t ) − J(u(t )) = 0 L L

      2 temos, portanto, que u (t ) = u (t ) = 0. Defina φ : [0, T ) → R tal que t xxt

      2

      2

      

    2

      2

      φ(t) = ku(t)k + ku xx (t)k L L

      ′ e φ (t ) = 0. Por outro lado,

      ′′

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      φ (t) = 2(u(t), u tt (t)) + 2(u xx (t), u xxtt (t)) + 2ku t (t)k + 2ku xxt (t)k L L L L

      2

      2 = 2 h(u + u )(t), u(t)i

      

    2

    2 + 2ku (t)k 2 + 2ku (t)k

      2

      tt xxxxtt t xxt L L

      H ,H por (2.0.1),

      ′′

      2

      2 φ (t) = 2 h(au − u + ϕ(u ) )(t), u(t)i

      2 2 + 2ku (t)k 2 + 2ku (t)k

      2

      xx xxxx x x t xxt H ,H L L

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = −2aku (t)k − 2ku (t)k + 2ku (t)k + 2ku (t)k x xx t xxt

      L L L L Z p

      −2α |u | (t)u (t)dx x x

      R observando que,

      2(p + 1)E(0) = 2(p + 1)E(t)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = (p + 1) ku t (t)k + aku x (t)k + ku xx (t)k + ku xxt (t)k L L L L Z p

    • 2α |u | (t)u (t)dx

      x x R temos,

      ′′

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      φ (t) = −2 aku x (t)k + ku xx (t)k + 2 ku t (t)k + ku xxt (t)k L L L L Z p

      −2α |u | (t)u (t)dx x x

      R

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = (p − 1) aku (t)k + ku (t)k + (p + 3) ku (t)k + ku (t)k x xx t xxt

      L L L L −2(p + 1)E(0).

      Al´em disso, considerando t ∈ [0, T ) o primeiro ponto onde 2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      aku x (t )k + ku xx (t )k = d L L p − 1 n o

      2(p+1)

      2

      2 isto ´e, t = min t ∈ [0, T ); aku (t )k

      

    2 + ku (t )k

    2 = d , teremos que, para todo

      x xx L L p−1 t ∈ [0, t ),

      2(p + 1)

      2

      2 segue ent˜ao que, 2(p + 1)

      ′′

      2

      2

      2

      2

      φ (t) &gt; (p − 1) d + (p + 3) ku t (t)k + ku xxt (t)k − 2(p + 1)d L L p − 1

      2

      2 = (p + 3) ku (t)k

      2 + ku (t)k 2 ≥ 0

      t xxt L L

      ′′ ′ portanto, φ (t) &gt; 0, para todo t ∈ [0, t ). Assim, φ ´e estritamente crescente em [0, t ) e, uma vez que,

      ′

      2

      2

      φ (0) = 2(u , u ) + (u , u ) ≥ 0

      1 L 0xx 1xx L ′ temos que φ (t ) &gt; 0, absurdo!

    3.2 O caso E(0) ≤ d

      3 s Teorema 3.2.1.

      Suponha que &lt; s &lt; p + 1 e u , u 1 ∈ H (R). Considere [0, T ) o

      2 intervalo de existˆencia maximal correspondente a solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2). Se, sup ku x (t)k L ≤ M

      1 (3.2.1) t∈[0.T ) onde M &gt; 0 ´e uma constante, ent˜ao T = ∞.

    1 Demonstra¸ c˜ ao: Vamos supor T < ∞. Podemos reescrever (2.0.1) como

      4

      2 F[(I + ∂ )(u + u)] = F[u + a∂ u + ∂ ϕ(u )] tt x x x x assim,

      1

      2 F[u + u] = F[u] − aξ F[u] + F[∂ ϕ(u )] . (3.2.2) tt x x

      4 1 + ξ

    • d dt ku t (t)k
    • 2((I − ∂

      1

      1

      2 dξ

      ](ξ, t)|

      | p

      |F[|u x

      2 ) s−1

      2 (1 + ξ

      4 )

      (1 + ξ

      2 )

      2 (1 + ξ

      R ξ

      2

      2 dξ

      ≤ K (ku(t)k H

      |F[u](ξ, t)|

      2 ) s

      2 (1 + ξ

      4 )

      4 (1 + ξ

      2 ξ

      R a

      2

      1

      2 dξ

      |F[u](ξ, t)|

      2 ) s

      2 (1 + ξ

      4 )

      2

      s

      ≤ Z R

      K

      1 ´e finito pois, definindo k

      2 &lt; ∞ onde K

      4 )

      (1 + ξ

      2 )

      2 (1 + ξ

      ξ

      K 3 = sup ξ∈R

      2 &lt; ∞

      4 )

      4 (1 + ξ

      ξ∈R ξ

      2 = sup

      2 &lt; ∞

      H

      4 )

      1 (1 + ξ

      ξ∈R

      1 = sup

      K

      3 }, onde

      2 , K

      1 , K

      ) (3.2.4) para algum K &gt; max{K

      1

      s−

      (t)k H

      x | p

      s

      1 (1 + ξ

      s

      1 : R → R tal que, k ´e cont´ınua com lim k (ξ) = lim k (ξ) = 0, logo k ´e uma fun¸c˜ao limitada e

      2 x )

      s

      (t)k H

      ≤ 2ku(t) + u tt

      2

      (t)) L

      u t

      2

      s

      2 x )

      (t), (I − ∂

      u tt

      2

      s

      2

      (t)k H

      u t (t)) L

      2

      s

      2 x )

      u(t), (I − ∂

      2

      s

      2 x )

      = 2((I − ∂

      s

      2 H

      s

      2 H

      Por outro lado, observe que, d dt ku(t)k

      ku t

      s

      (t)k H

      2 F[u](ξ, t)| + |F[ϕ(u x ) x

      2 (R), ku(t) + u t

      2 dξ assim, pela desigualdade triangular em L

      )](ξ, t)|

      2 F[u](ξ, t)| + |F[∂ x ϕ(u x

      4 |F[u](ξ, t)| + |aξ

      1 + ξ

      2

      s

      2 )

      (1 + ξ

      = Z R

      2 dξ

      ](ξ, t)|

      2 |F[u](ξ, t)| + |aξ

      (3.2.3) onde, por (3.2.2) ku(t) + u tt

      4 )

      (1 + ξ

      2 ) s

      (1 + ξ

      ≤ Z R

      2 dξ

      ](ξ, t)|

      |F[u + u tt

      2 ) s

      (1 + ξ

      = Z R

      s

      2 H

      (t)k

    • Z
    • Z
    • aku(t)k
    • |α|k|u

      1

      1

      1

      1 ξ→∞ ξ→−∞

      K 1 = sup k 1 (ξ). Por argumento an´alogo justifica-se que K 2 , K 3 &lt; ∞. Aplicando o ξ∈R

      Lema 2.2.2 em (3.2.4), p−1

      s s s ∞ s−

      1

      ku(t) + u (t)k ≤ K ku(t)k + aku(t)k + C|α|ku (t)k ku (t)k t H H H x x H

      L p−1

      s

      ≤ K 1 + a + |α|M C ku(t)k H

      1 p−1 substituindo esta ´ ultima desigualdade em (3.2.3) e denotando K = K 1 + a + |α|M C

      ∗

      1 obtemos, d d

      2

      2

      ku(t)k ku (t)k ≤ K 2ku(t)k ku (t)k t ∗ H t H

    • s s s s

      H H dt dt

      | {z }

      2

      2

      2ab≤a +b ,∀a,b∈R

      2

      2

      s s

      ≤ K ku(t)k + ku (t)k ∗ t

      H H assim, pela desigualdade de Gronwall, temos ∗ ∗

      2

      2

      2

      2 K t

      2

      2 K T

      s s s s s s

      ku(t)k + ku (t)k ≤ (ku k + ku k )e ≤ (ku k + ku k )e &lt; ∞ t

      1

      1 H H H H H H para todo t ∈ [0, T ), logo

      s s

      sup (ku(t)k + ku (t)k ) &lt; ∞ H t H t∈[0,T ) mas, deste modo, o Corol´ario 2.3.3 asseguraria que T = ∞, o que ´e um absurdo, pois supomos T &lt; ∞. Portanto T = ∞. s

      Teorema 3.2.2. Assuma que 2 ≤ s &lt; p + 1 e u , u ∈ H (R). Se E(0) &lt; d e

      1 2(p+1)d

      2

      2 aku k

      2 + ku k 2 &lt; , ent˜ao o problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) admite

      0x 0xx L L p−1 1 s uma ´ unica solu¸c˜ao global u ∈ C ([0, ∞); H (R)) e u(t) ∈ W para todo t ∈ [0, ∞).

      Demonstra¸ c˜ ao: Sabemos do Teorema 2.3.2 que o problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2)

      1 s admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)), onde T ´e o tempo m´aximo de existˆencia da solu¸c˜ao. Segue do Lema 3.1.2 que, para todo t ∈ (0, T ), u(t) ∈ W , isto ´e, 2(p + 1)d

      2

      2

      2

      2

      aku x (t)k + ku xx (t)k &lt; L L p − 1 temos, pelo Teorema 1.6.6,

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      ku (t)k ≤ C ku (t)k + ku (t)k x L x xx

      L L s

      1

      2(p + 1)d

      2

      2

      2

      2

      x xx L L p − 1

      2 ≤ C aku (t)k + ku (t)k ≤ C .

      Deste modo, s 2(p + 1)d sup ku x (t)k L ≤ C &lt; ∞. p − 1 t∈[0,T )

      Assim do Teorema 3.2.1, T = ∞. Portanto o problema de Cauchy admite uma ´ unica 1 s solu¸c˜ao global u ∈ C ([0, ∞); H (R)). s

      2 Teorema 3.2.3.

      Suponha que 2 ≤ s &lt; p + 1 e u , u 1 ∈ H (R). Se E(0) ≤ d e aku 0x k L

    • 2

      2(p+1)d

      2 ku k

      2 ≤ , ent˜ao o problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) admite uma ´ unica

      0xx L p−1 1 s solu¸c˜ao global u ∈ C ([0, ∞); H (R)) e u(t) ∈ W ∪ ∂W para todo t ∈ [0, ∞).

      Demonstra¸ c˜ ao: Segue, do Teorema 2.3.2, que o problema de Cauchy (2.0.1),(2.0.2)

      1 s admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)), onde [0, T ) ´e o intervalo de tempo maximal de existˆencia da solu¸c˜ao u. No que segue, provaremos que T = ∞, suponha ent˜ao que T &lt; ∞. Note que, para qualquer λ &gt; 0,

      Z 2 p+1

      λ αλ

      2 2 p

      2 + ku (t)k 2 |u | u (t)dx

    • J(λu) = aku (t)k

      x xx x x L L

      2 p + 1 R

    • 1 =
    • 1
    • ku
    • ku 0xx k
    • ku 0xx k

      | p u

      0x k p+1 L

      − |α|λ p ku

      

    2

      2 L

      0xx k

      2

      2 L

      ≥ λ aku 0x k

      0x dx

      |u 0x

      ≥ λ(1 − λ p−1

      p Z R

      

    2

      2 L

      0xx k

      2

      2 L

      J(λu ) = λ aku 0x k

      Donde segue que, d dλ

      2 .

      2 L

      p

      ) aku 0x k

      2

      = λ m u , u m

      (0) = u m

      (0) = u m u m t

      (3.2.7) u m

      | p x

      m xxxxtt = α|u m x

      m xxxx

      − au m xx

      1 e considere o problema de Cauchy, u m tt

      1 = λ m u

      ≥ 0 sempre que λ ∈ [0, 1]. (3.2.6) Tome a sequˆencia (λ m ) m∈N tal que 0 &lt; λ m &lt; 1, para todo m ∈ N, e λ m → 1, quando m → ∞. Seja u m

      2 L

      2

      2 L

      0xx k

      2

      2 L

      ≥ λ(1 − λ) aku 0x k

      2

      2 L

      0xx k

      2 + ku

      0xx k

      2 L

      1 (3.2.8) Temos assim que, m 2 m

      2 p

      aku 0x k

      2

      1

      2 p−

      2 L

      2

      2 L

      = C p+1 aku 0x k

      2

      2 L

      2

      0xx k

      2

      2 L

      0x k

      (x)dx ≤ C p+1 aku

      Z R |u 0x | p+1

      p

      (R), ku 0x k p+1 L

      1 (R) ֒→ L p+1

      e, por H

      2 L

      2 L

      0x k

      observando que, d = p − 1

      −1 aku

      p +1 ≤ |α|

      podemos concluir que, ku 0x k p+1 L

      1

      2(p+1) p−

      −

      1 C

      2 p−

      −

      2(p + 1) |α|

      2 (3.2.5)

      2

      2 L

      0xx k

      2 + ku

      2 L

      aku 0x k

      

    2

      1

      

    p−

      2(p + 1) p − 1 d

      ≤ C p+1

    • ku
    • ku
    • αλ
    • ku
    • 1
    • ku
    • u
    • u

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      aku k + ku k = λ (aku k + ku 0xx k ) 0x L 0xx L m L L

      2(p + 1)d

      2 ≤ λ m p − 1

      2(p + 1)d &lt; p − 1 e

      Z

      1 α m m 2 m 2 m 2 m 2 m p m

      2

      2

      2

      1 L 0x L 0xx L 1xx L 0x 0x

      2 E (0) = ku k + aku k + ku k + ku + k |u | u dx

      2 p + 1 R

      1 m 2 m

      2 = ku k

      2 + ku k

    2 + J(λ u )

      m 1 1xx L L

      2 m

      Se u = 0 e u = 0, ent˜ao E (0) = 0 &lt; d. Se u 6= 0 ou u 6= 0, ent˜ao, por (3.2.6) e por

      1

      1 0 &lt; λ m &lt; 1 temos

      J(λ u ) ≤ J(u ) m assim,

      2 λ m m

      2

      2 E (0) = ku k

      2 + ku k 2 + J(λ u )

      1 1xx m L L

      2

      1

      2

      2 &lt; ku k

      2 + ku k 2 + J(u )

      1 1xx L L

      2 = E(0) ≤ d m isto ´e, E (0) &lt; d. Segue do Teorema 3.2.2 que, para cada m ∈ N, o problema de Cauchy m 1 s

      (3.2.7) e (3.2.8) possui uma ´ unica solu¸c˜ao global u ∈ C ([0, ∞); H (R)) satisfazendo m m m m m h(u − au + u + u − ϕ(u ) )(t), vi

      2 2 = 0 (3.2.9)

      x tt xx xxxx xxxxtt x H ,H 2 m m para todo v ∈ H (R) e todo t ∈ (0, ∞), al´em disso, E (t) = E (0), para todo t ∈ [0, ∞) m m

      e, por u ∈ W , temos que u (t) ∈ W para todo t ∈ [0, ∞), ou seja,

      1 m m m 2 m 2 m

      2

      t L xxt L

      2 E (0) = E (t) = ku (t)k + ku (t)k + J(u (t)) &lt; d (3.2.10)

      2

    • 1 ≤ C
    • ku
    • ku
    • α p + 1
    • ku

      &lt; 2(d − J(u m

      2 L

      (t)k

      (3.2.13) ku m t

      &lt; 2(p + 1)d p − 1

      

    2

      2 L

      m xx (t)k

      2

      2 L

      (t)k

      (t))) ≤ 2d obtemos, da discuss˜ao acima, que aku m x

      

    2

      m xxt (t)k

      2 L

      m xxt (t)k

      2

      2 L

      (t)k

      ≥ 0 donde segue que, ku m t

      2

      2 L

      m xx (t)k

      2

      2 L

      2

      2 L

      = p − 1 2(p + 1) aku m x

      − u n xxxx

      ,H

      2

      (t)i H

      (t) − u n t

      ))(t), u m t

      ) x

      − ϕ(u n x

      ) x

      ) − (ϕ(u m x

      m xxxxtt − u n xxxxtt

      )

      ) + (u m xxxx

      

    2

      − u n xx

      ) − a(u m xx

      − u n tt

      2 (R)), podemos escrever, para todo t ∈ [0, ∞), h((u m tt

      1 ([0, ∞); H

      ∈ C

      . (3.2.15) Veja que, de (3.2.9) e por u m

      −1 2(p + 1)d p − 1

      p +1 ≤ |α|

      (t)k p+1 L

      ≤ 2d (3.2.14) ku m x

      (t)k

      2

      2 = 0 deste modo, 1 d m n 2 m n

      (t)k

      2 aku m x

      1

      (t)) =

      J(u m

      2(p + 1)d p − 1 sendo assim, por (3.2.12),

      &lt; |α| −1

      2 (3.2.12)

      2 L

      m xx (t)k

      2 + ku

      2 L

      ≤ |α| −1 aku m x

      2 L

      2

      2 p +1

      2 L

      m xx (t)k

      2

      2 L

      (t)k

      p+1 aku m x

      p

      (t)k p+1 L

      Deste modo, por (3.2.11) e por racioc´ınio an´alogo a (3.2.5), ku m x

      (t)k

      2

      2 L

      2

      m xx (t)k

      2

      2 L

      (t)k

      1 p + 1 aku m x

      2 −

      1

      ≥

      p +1

      (t)k p+1 L

      − |α| p + 1 ku m x

      2 L

      m xx (t)k

      m xx (t)k

      2

      2 L

      (t)k

      2 aku m x

      1

      (t)dx ≥

      | p u m x

      Z R |u m x

      2

      2 L

    • ku
    • ku
    • ku
    • ku
    • ku
    • (u

      2

      2

      2

      ku (t) − u (t)k + aku (t) − u (t)k t t L x x L

      2 dt m n 2 m n

      2

    • ku (t) − u (t)k

      2 + ku (t) − u (t)k

      2

      xx xx L xxt xxt L n p m p m n

      2

      = (α(|u | − |u | )(t), u (t) − u (t)) L x x xt xt m p n p m n

      2

      2

      ≤ |α|k|u | (t) − |u | (t)k ku (t) − u (t)k (3.2.16) L L x x xt xt no entanto temos que, por (1.6.6) m n 2 m n

      2

      2

      2

      ku − u k ≤ ku − u k xt xt L t t H m n

      2 m n

      2 ≤ C(ku − u k

      2 + ku − u k 2 ) (3.2.17)

      t t xxt xxt L L 1 ∞

      Al´em disso, por H (R) ֒→ L (R) e por (3.2.13),

      1

      m m 2 m

      2

      2

      2

      2

      ku (t)k L ≤ C(aku (t)k + ku (t)k ) x x L xx L

      1

      2

      2(p + 1)d ≤ C para todo t ∈ [0, ∞) (3.2.18) p − 1 sendo assim, por uma aplica¸c˜ao do Teorema do Valor M´edio, para todo x ∈ R e t ∈ [0, ∞),

      2(p−1) m p n p 2 m m n

      2 ||u (x, t)| − |u (x, t)| | ≤ C sup (ku (t)k )|u (x, t) − u (x, t)| x x x L x x t∈[0,∞) p−1

      2(p + 1)d m n

      2 ≤ C |u (x, t) − u (x, t)| x x p − 1 p−1

      2(p+1)d deste modo, fazendo ˜ C = C , p−1

      Z m p n p 2 m p n p

      2

      2

      k|u (t)| − |u (t)| k = ||u (x, t)| − |u (x, t)| | dx x x L x x

      R m n

      2 ˜

      2

      ≤ Cku (t) − u (t)k (3.2.19) x x L substituindo (3.2.17) e (3.2.19) em (3.2.16) obtemos, para algum C &gt; 0 suficientemente grande, m p n p m n

      2

      2

      |α|k|u | (t) − |u | (t)k ku (t) − u (t)k ≤ L L x x xt xt m p n p 2 m n

      2 ≤ C|α|(ak|u | (t) − |u | (t)k

      2 + ku (t) − u (t)k 2 )

      x x L xt xt L m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      2

      ≤ C|α|(aku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k L x x L xx xx L t t m n

      L xxt xxt Agora observe que, 1 d m n 2 m n m n

      2 + ku (t) − u (t)k ).

      2

      2

      ku (t) − u (t)k = (u (t) − u (t), u (t) − u (t)) L

      L t t 2 dt m n m n

      2

      2

      ≤ ku (t) − u (t)k ku (t) − u (t)k L L t t m n 2 m n

      2

      2

      2

      ≤ ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k L t t L do exposto acima, 1 d m n 2 m n 2 m n

      2 ku (t) − u (t)k

      2 + ku (t) − u (t)k 2 + aku (t) − u (t)k

      2 L t t L x x L

      2 dt m n 2 m n

      2

      2

      

    2

    • ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k

      xx xx L xxt xxt L m n 2 m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      2

      2

      2

      ≤ ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k + C|α|(aku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k L t t L x x L xx xx L m n m n

      2

      

    2

    • ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k )

      L L t t xxt xxt m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      

    2

      2

      ≤ C ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k + aku (t) − u (t)k L t t L x x L m n

      2 m n

      2

      2

      

    2

    • ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k

      xx xx L xxt xxt L onde a desigualdade acima ´e v´alida para todo t ∈ [0, ∞) e para todo m, n ∈ N, m

      1

      2 u ∈ C ([0, ∞); H (R) podemos assim integrar a express˜ao acima de 0 a t, 0 ≤ t ≤ T , obtendo, m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      2

      2

      γ (t) = ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k + aku (t) − u (t)k m−n

      L t t L x x L m n 2 m n

      2

      2

      2

    • ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k

      xx xx L xxt xxt L Z t

      ≤ 2γ (0) +

      2Cγ (τ )dτ m−n m−n onde, m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      2

      2

      γ m−n (0) = ku − u k + ku − u k + aku − u k L

      1

      1 L 0x 0x L m n 2 m n

      2

    • ku − u k

      2 + ku − u k

      2

      0xx 0xx L 1xx 1xx L aplicando a desigualdade de Gronwall, m n 2 m n 2 m n

      2 ku (t) − u (t)k

      2 + ku (t) − u (t)k 2 + aku (t) − u (t)k

      2

      t t x x L L L m n

      2 m n

      2

      2

      2

    • ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k ≤

      xx xx L xxt xxt L R t

      Cds ≤ γ (0)e m−n

      CT ≤ γ (0)e m−n assim, m n 2 m n 2 m n

      2

      2

      2

      2

      ku (t) − u (t)k ≤ C(ku (t) − u (t)k + ku (t) − u (t)k ) H L xx xx L

      CT ≤ γ (0)e m−n para todo t ∈ [0, T ), logo, m n

      2 CT

      2

      ku − u k ≤ γ m−n (0)e L (0,T ;H (R)) m m lembrando que u = λ u e u = λ u , com λ → 1, assim, m m 1 m

      1 m

      2 u → u forte em H (R) (3.2.20) m

      2 u → u forte em H (R) (3.2.21)

      1

      1 sendo assim, m n

      2 CT

      2

      ku − u k ≤ Cγ m−n (0)e L (0,T ;H (R))

      → 0

      ∞

      2 existe ˜ u ∈ L (0, T ; H (R)) tal que m ∞

      2 u → ˜ u forte em L (0, T ; H (R)) (3.2.22) segue assim que, m ∞

      2 u ⇀ ˜ u fraco-* em L (0, T ; H (R)) (3.2.23) m ∞

      1 u ⇀ ˜ u fraco-* em L (0, T ; H (R)) (3.2.24) x x m m segue de (3.2.14) que existe uma subsequˆencia de (u ), ainda denotada por (u ), tal que, m ∞

      2 u ⇀ χ fraco-* em L (0, T ; H (R)). t

      ∞

      2

      2 2 ′ Agora observe que L (0, T ; H (R)) ֒→ L (0, T ; L (R)) ֒→ D ((0, T ) × R) deste modo (3.2.23) m ′ u ⇀ ˜ u fraco-* em D ((0, T ) × R)

      ′ sendo o operador deriva¸c˜ao cont´ınuo em D ((0, T ) × R), m ′ u ⇀ ˜ u fraco-* em D ((0, T ) × R) t t do mesmo modo, m ′ u ⇀ χ fraco-* em D ((0, T ) × R)

      ′ donde, pela unicidade do limite em D ((0, T ) × R), χ = ˜ u t . Logo, m ∞

      2 u ⇀ ˜ u fraco-* em L (0, T ; H (R)). (3.2.25) t t

      Observe agora que, em decorrˆencia de (3.2.22) m ∞

      1 m m podemos assim tomar uma subsequencia de (u ), ainda denotada por (u ), tal que, m u → ˜ u x quase sempre em [0, T ] × R x logo, m p p |u | → |˜ u | quase sempre em [0, T ] × R. x x

      Al´em disso, por (3.2.15),

      p +1 Z T

    p p+1

      p m k|u | (t)k p +1 = ku (t)k p +1 dt x x

      L (R)

      p

      L ([0,T ]×R) p+1 m

      ≤ T sup ku (t)k p +1 ≤ C (3.2.26) x

      L t∈[0,T ) para alguma constante C suficientemente grande. Logo, do Lema de Lions,

      p p

    • 1 +1

      m p p

      p p

      |u | ⇀ |˜ u | fraco em L (0, T ; L (R)) x x o que implica que,

      p p +1 +1

      m p p

      p p

      |u | ⇀ |˜ u x | fraco-* em L (0, T ; L (R)) x por (3.2.26) p +1 m p ∞

      p

      |u | ⇀ χ fraco-* em L (0, T ; L (R))

      1 x

      p p p

    • 1 +1 +1

      ∞

      p p p

      como L (0, T ; L (R)) ֒→ L (0, T ; L (R)) temos, p +1 p +1 m p

      p p

      |u | ⇀ χ fraco-* em L (0, T ; L (R))

      1 x

      p p

    • 1 +1

      p

      p p

      logo, pela unicidade do limite fraco-* em L (0, T ; L (R)), χ 1 = |˜ u x | , assim, p +1 m p p ∞

      p

      |u | ⇀ |˜ u | fraco-* em L (0, T ; L (R)) (3.2.27) x x Em suma, obtemos at´e aqui em (3.2.24), (3.2.25) e (3.2.27) as seguintes convergencias, m ∞

      1 u ⇀ ˜ u x fraco-* em L (0, T ; H (R)) (3.2.24) x m ∞

      2 u ⇀ ˜ u fraco-* em L (0, T ; H (R)) (3.2.25) t t

      p +1

      m p p ∞

      p

      |u | ⇀ |˜ u x | fraco-* em L (0, T ; L (R)) (3.2.27) x

      2

      e, de (3.2.9), temos, para todo t ∈ (0, T ) e todo v ∈ H (R), m m m m

      2

      2

      2

      2

      (u , v) + (u , v xx ) = (u (t), v) + (u (t), v xx ) L L L L 1 1xx t xxt

      Z t m m m p

      2

      2

    • 2

      (a(u (τ ), v ) + (u (τ ), v ) + (α|u | (τ ), v ) )dτ x L xx L x L x xx t ent˜ao, fazendo m → ∞,

      2

      2

      2

      2

      (u , v) + (u , v) = (˜ u (t), v) + (˜ u (t), v )

      1 L 1xx L t L xxt xx L Z t p

      2

      2

    • 2

      (a(˜ u (τ ), v ) + (˜ u (τ ), v ) + (α|˜ u | (τ ), v ) )dτ (3.2.28) x x L xx xx L t x L ou seja, ˜ u verifica a equa¸c˜ao (2.0.1) e, pelas convergˆencias (3.2.20) e (3.2.21), u(0) = u ˜ u ˜ (0) = u t

      1 logo ˜ u ´e uma solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.0.1), (2.0.2) e, pela unicidade de solu¸c˜ao, u = ˜ u em R × [0, T ), deste modo, ∞ ∞ ku (t)k = k˜ u (t)k x L x L

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      ≤ C(ak˜ u (t)k + k˜ u (t)k ) x xx

      L L

      1

      m 2 m

      2

      2

      ≤ C lim (aku (t)k

      2 + ku (t)k 2 )

      x xx L L m→∞

      1

      2

      2(p + 1)d ≤ C

      (3.2.29) p − 1 para todo t ∈ [0, T ), assim, pelo Teorema 3.2.1, deveriamos ter que T = ∞, uma contradi¸c˜ao, pois supomos T &lt; ∞. Logo, 1 s u ∈ C ([0, ∞); H (R)) e u(t) ∈ W ∪ ∂W , para todo t ∈ [0, ∞). Com efeito, dado t ∈ [0, ∞), basta notar

      1 m que podemos repetir a constru¸c˜ao acima aproximando u por uma sequˆencia (u ) de m∈N solu¸c˜oes do problema (3.2.7), (3.2.8), de modo que, para qualquer m ∈ N, m 1 s u ∈ C ([0, T ]; H (R)), onde T &gt; t . Assim, analogamente a (3.2.29), obtemos

      1

      1

      1

      2 2 m 2 m

      2

      2

      2

      2

      2

      aku (t )k + ku (t )k ≤ lim (aku (t )k + ku (t )k ) x 1 xx

      1

      1

      1 L L x L xx L m→∞ 2(p + 1)d

      ≤ p − 1 portanto u(t ) ∈ W ∪ ∂W e pela arbitrariedade de t ∈ [0, ∞) temos o desejado.

      1

      1 s Teorema 3.2.4. Assuma que 2 ≤ s &lt; p + 1 e u , u ∈ H (R). Se E(0) ≤ d,

      1 2(p+1)d

      2

      2

      2

      2

      aku k

      2 + ku k 2 &gt; e (u , u ) + (u , u ) ≥ 0, quando E(0) = d, ent˜ao

      0x 0xx

      1 L 0xx 1xx L L L p−1 a solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) deixa de existir em tempo finito, mais precisamente, existe T &lt; ∞ tal que

      1

      s lim ku(t)k = ∞. H t→T

    1 Demonstra¸ c˜ ao: Sabemos do Teorema 2.3.2 que o problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2)

      1 s admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)), onde [0, T ) ´e o intervalo maximal de existˆencia de solu¸c˜ao. Vamos provar que T &lt; ∞. Suponhamos, ent˜ao, que T = ∞. Seja φ : [0, ∞) → R tal que,

      2

      2

      2

      2

      φ(t) = ku(t)k + ku (t)k (3.2.30) xx

      L L e Deste modo, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que, ′

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      (φ (t)) = 4 (u(t), u t (t)) + 2(u(t), u t (t)) (u xx (t), u xxt (t)) + (u xx (t), u xxt (t)) L L L

      L

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ≤ 4 ku(t)k

      2 ku (t)k 2 + 2ku(t)k ku (t)k ku (t)k ku (t)k

      2

      t L xxt L xx L t L L

      L | {z }

      2

      2

      2ab≤a +b , ∀a,b∈R

      2

      2

      2

      2

    • ku (t)k ku (t)k

      xx xxt L L

      2

      2

      2

      2

      2

      2 ≤ 4 ku(t)k

      2 ku (t)k 2 + ku (t)k 2 ku (t)k 2 + ku(t)k 2 ku (t)k

      2

      t xx t xxt L L L L L L

      2

      2

      2

      2

    • ku (t)k ku (t)k

      xx xxt L L

      2

      2

      2

      

    2

      ≤ 4φ(t) ku (t)k + ku (t)k xxt t

      L L em suma,

      ′

      2

      2

      2

      2

      2

      (φ (t)) ≤ 4φ(t) ku (t)k + ku (t)k . (3.2.31) t xxt

      L L Temos ainda que, por u(0) ∈ V , dos lemas 3.1.2 e 3.1.3, u(t) ∈ V para todo t ∈ [0, T ), assim,

      ′′

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      φ (t) = (p − 1) aku (t)k + ku (t)k + (p + 3) ku (t)k + ku (t)k x xx t xxt

      L L L L − 2(p + 1)E(0)

      2

      2

      

    2

      2

      &gt; 2(p + 1)d + (p + 3) ku (t)k + ku (t)k − 2(p + 1)E(0) (3.2.32) t xxt

      L L ≥ 2(p + 1)(d − E(0)) ≥ 0, para todo t ∈ [0, ∞) (3.2.33) integrando (3.2.33) sobre (0, t),

      Z t ′ ′

      2(p + 1)(d − E(0))ds = 2(p + 1)(d − E(0))t &lt; φ (t) − φ (0) sendo assim, ′ ′

      φ (t) &gt; φ (0) + 2(p + 1)(d − E(0))t ′ da desigualdade acima e do fato de que φ (0) ≥ 0 quando E(0) = d, temos que existe t &gt; 0

      1

      ′ caso E(0) &lt; d, temos que, para t suficientemente grande, φ (0) + 2(p + 1)(d − E(0))t &gt; 0,

      1 para t ∈ [t 1 , ∞), pois d − E(0) &gt; 0. Por outro lado, de (3.2.30) e (3.2.32) temos p − 1

      2 ′′ ′

      2

      2 φ(t)φ (t) − 1 + (φ (t)) &gt; φ(t) 2(p + 1)d + (p + 3)(ku (t)k

      2 + ku (t)k 2 )

      t xxt L L

      4

      2

      2

      2

      2

      − 2(p + 1)E(0) − (p + 3)(ku (t)k + ku (t)k ) t xxt

      L L = φ(t)2(p + 1)(d − E(0)) ≥ 0 ou seja, para todo t ∈ [t , ∞),

      1 p − 1

      ′′ ′

      2 φ(t)φ (t) − 1 + (φ (t)) &gt; 0. (3.2.34)

      4

      p−

      1

      −

      4 Considere ψ(t) = (φ(t)) . Ent˜ao, p +3

      p − 1 ′ − ′

      4

      ψ (t) = − (φ(t)) φ (t)

      4

      p +7

      p − 1 p − 1 ′′ − ′′ ′

      2

      4

      ψ (t) = − (φ(t)) φ(t)φ (t) − 1 + (φ (t)) &lt; 0

      4

      4 ′ para todo t ∈ [t , ∞), al´em disso ψ(t ) &gt; 0 e ψ (t ) &lt; 0. Assim, definindo,

      1

      1

      1 ′

      θ(t) = ψ(t) − ψ(t 1 ) − (t − t 1 )ψ (t 1 ) ′ ′ ′ ′′ ′′ temos θ (t) = ψ (t) − ψ (t ) e θ (t) = ψ (t) &lt; 0, para todo t ∈ [t , ∞). Uma vez que

      1

      1 ′ ′

      θ (t ) = 0, θ (t) ≤ 0 para todo t ∈ [t , ∞), do mesmo modo, por θ(t ) = 0, θ(t) ≤ 0 para

      1

      1

      1 todo t ∈ [t , ∞) deste modo, para todo t ∈ [t , ∞)

      1

      1 ′

      ψ(t) ≤ ψ(t ) + (t − t )ψ (t )

      1

      1

      1 geometricamente a desigualdade acima nos diz que o tra¸co do gr´afico da fun¸c˜ao ψ est´a sempre abaixo de uma reta com inclina¸c˜ao (coeficiente angular) negativo, uma vez que,

      4φ(t )

      1

      para t = t ∈ [t , ∞), +

      1

      1 (p−1)φ (t )

      1

      4φ(t )

      1 ′

    • ψ(t ) + (t − t )ψ (t ) = 0

      1

      1

      1

      1

      4φ(t )

      1

      segue que existe T ∈ t , t tal que +

      1

      1

      1 (p−1)φ (t )

      1

      lim ψ(t) = 0 t→T

      1

      assim, pela defini¸c˜ao de ψ, lim φ(t) = ∞ (3.2.35) t→T

      1

      o que contradiz T = ∞. Observe que, pelo Teorema 1.6.10, podemos reescrever (3.2.35) como

      2 lim ku(t)k = ∞. H t→T

    1 Por esta raz˜ao, dizemos que u explode (tem blows up) em tempo finito.

    3.3 O caso E(0) > 0

      Assuma que 2 ≤ s &lt; p + 1 e vamos introduzir o seguinte funcional (de Nehari)

    2 I : H (R) → R tal que,

      Z

      2 2 p

      2

      x xx x x L L R

      2 I(t) = I(u(t)) = aku (t)k + ku (t)k + α |u | u (t)dx.

      Sendo assim podemos definir um novo conjunto est´avel,

      2

      2

      2 W = u(t) ∈ H (R); I(u(t)) &gt; ku (t)k

      2 + ku (t)k 2 . (3.3.36)

      t xxt L L

      2 1 s Lema 3.3.1.

      Sejam u , u ∈ H (R) e u ∈ C ([0, T ); H (R)) a solu¸c˜ao do problema de

    1 Cauchy (2.0.1) e (2.0.2). Assuma que E(0) > 0 e

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ku k + 2(u , u (3.3.37) + + ku k ) + 2(u , u ) E(0) &lt; 0.

      0xx

      1 L 0xx 1xx L L L p + 3 Demonstra¸ c˜ ao: Em primeiro lugar observe que, o conjunto A dos pontos t ∈ [0, T ) tais que u(t) ∈ W ´e aberto em [0, T ), isto ´e, A ´e um intervalo, ou a uni˜ao de intervalos

      2 na reta. Com efeito, definindo I : H (R) → R tal que

      1

      2

      2

      2

      1 t xxt L L pela continuidade da aplica¸c˜ao norma, I 1 ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua e como

      2 I (u(t)) = I(u(t)) − ku (t)k − ku (t)k

      −1 W = I ((0, ∞))

      1

      2

      1

      2 W ´e aberto em H (R) e, por u ∈ C ([0, T ); H (R)), a aplica¸c˜ao

      2 I : [0, T ) → H (R)

      2 t 7→ u(t)

      −1 ´e cont´ınua, logo A = I (W) ´e aberto em [0, T ), ou seja, A ∩ [0, T ) ´e aberto em R.

    2 Definindo φ : A → R por

      2

      2

      2

      2

      φ(t) = ku(t)k + ku (t)k xx

      L L teremos,

      ′

      2

      2

      φ (t) = 2(u(t), u (t)) + 2(u (t), u (t)) t L xx xxt L e

      ′′

      2

      2

      2

      2

      φ (t) = 2(u(t), u (t)) + 2(u (t), u (t)) + 2ku (t)k

      2 + 2ku (t)k 2 (3.3.38)

      tt L xx xxtt L t xxt L L

      Compondo a equa¸c˜ao (2.0.1) com u obtemos que,

      2 2 p

      2

      2

      (u (t), u(t)) + hu (t), u(t)i

      2

    2 + aku (t)k

    2 + ku (t)k 2 = −α(|u | (t), u (t))

      tt L xxxxtt x xx x x L H ,H L L para todo t ∈ A, isto ´e, Z

      2 2 p

      2

      2

      2

      2

      (u tt (t), u(t)) + (u xx (t), u xxtt (t)) = −aku x (t)k − ku xx (t)k − α |u x | (t)u x (t)dx L L L L R

      = −I(t) ent˜ao, (3.3.38) pode ser reescrito como ′′

      2

      2 φ (t) = 2ku (t)k

      2 + 2ku (t)k 2 − 2I(t)

      t xxt L L

      &lt; 0 sempre que u(t) ∈ W ′ assim φ ´e decrescente em A, por (3.3.37) e sendo E(0) &gt; 0, por hip´otese,

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      2(u , u ) + 2(u , u ) &lt; −ku k

      2 − ku k 2 − E(0)

      1 L 0xx 1xx L 0xx L L p + 3

      &lt; 0 isto ´e, ′

      2

      2

      φ (0) = 2(u , u ) + 2(u , u ) &lt; 0

    1 L 0xx 1xx L logo φ ´e estritamente decrescente quando u(t) ∈ W.

      2 1 s Lema 3.3.2.

      Seja u , u ∈ H (R) e u ∈ C ([0, T ); H (R)) a solu¸c˜ao do problema

      1 de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) com intervalo de existˆencia maximal [0, T ). Suponha que E(0) &gt; 0 e

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ku k + ku k + 2(u , u ) + 2(u + , u ) E(0) &lt; 0. (3.3.37) 0xx

      1 L 0xx 1xx L L L p + 3 Ent˜ao, se u(0) = u ∈ W temos que u(t) ∈ W para todo t ∈ [0, T ).

      Demonstra¸ c˜ ao: Supondo o resultado falso, existiria t ∈ (0, T ) tal que u(t ) / ∈ W, isto

      1

      1 ´e,

    • ku xxt (t )k
    • ku
    • ku

      2

      xx (t )k

      2

      2 L

      (t )k

      1 p + 1 aku x

      (t )dx +

      (t )u x

      | p

      Z R |u x

      2 L

      2

      xx (t )k

      2 + ku

      2 L

      (t )k

      2 aku x

      1

      2 +

      2 L

      xxt (t )k

      2 L

      −

      2 L

      2 L

      2 L

      xx (t )k

      2 + ku

      2 L

      (t )k

      1 p + 1 aku x

      2 −

      I(t )

      2

      2

      1 p + 1 aku x

      2 L

      2 ku t (t )k

      1

      =

      2

      2 L

      xx (t )k

      2 + ku

      2 L

      (t )k

      2 + ku

      (t )k

      2

      2 L

      φ(t ) = lim t→t

      pelo lema 3.3.1 φ e φ ′ s˜ao fun¸c˜oes estritamente decrescente em [0, t ), assim,

      2

      2 L

      xx (t)k

      2

      2 L

      Vamos considerar φ : [0, t ) → R, definida por, φ(t) = ku(t)k

      2 .

      xxt (t)k

      2 ku t

      2

      2 L

      (t)k

      (3.3.39) mais especificadamente, para todo t ∈ [0, t ) I(t) &gt; ku t

      2

      2 L

      

    2

      2 L

      ent˜ao, considere o primeiro t ∈ (0, T ) tal que, I(t ) = ku t (t )k

      φ(t) &lt; φ(0) = ku k

      2 L

      2 + ku

      0xx k

      1

      E(0) = E(t ) =

      E(0). (3.3.40) Por outro lado,

      − 2(p + 1) p + 3

      2

      ) L

      , u 1xx

      − 2(u 0xx

      2

      L

      1 )

      &lt; −2(u , u

      

    2

      2 L

      0xx k

      2 + ku

      2 L

      e, por (3.3.37), φ(t ) &lt; ku k

      2

      2 L

    • α p + 1
    • ku
    • ku xxt (t )k
    • 1 p + 1

    • 1
    no entanto, por (3.3.39),

      1 1 p − 1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      L L L L 2 p + 1 2(p + 1) p + 3

      2 E(0) &gt; ku t (t )k + ku xxt (t )k aku x (t )k + ku xx (t )k

      2

      2

      2

      

    2

      ≥ ku (t )k + ku (t )k . (3.3.41) t xxt

      L L 2(p + 1)

      Note que,

      2

      2

      2

      ku (t )k = (u (t ) + u(t ) − u(t ), u (t ) + u(t ) − u(t )) t t t L

      L

      2

      2

      2

      

    2

      2

      = ku t (t ) + u(t )k − ku(t )k − 2(u(t ), u t (t )) L L L do mesmo modo,

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      ku (t )k = ku (t ) + u (t )k − ku (t )k − 2(u (t ), u (t )) xxt xxt xx xx xx xxt L

      L L L assim, podemos escrever (3.3.41) como, p + 3

      2

      2

      2

      t L L

      2 E(0) ≥ ku (t ) + u(t )k − ku(t )k

      2(p + 1)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      − 2(u(t ), u t (t )) + ku xxt (t ) + u xx (t )k − ku xx (t )k − 2(u xx (t ), u xxt (t )) L

      L L L p + 3

      2

      2 ≥ − ku(t )k

      2 − ku (t )k

      

    2

      xx L L

      2(p + 1) | {z }

      =φ(t ) p + 3

      2

      t L xx xxt L p + 1

      2 − ((u(t ), u (t )) + 2(u (t ), u (t )) ) .

      Sendo assim,

      2

      2

      2

      2

      φ(t ) = ku(t )k + ku (t )k xx

      L L 2(p + 1)

      2

      2

      ≥ − E(0) − 2(u(t ), u (t )) − 2(u (t ), u (t )) t L xx xxt L p + 3 uma contradi¸c˜ao com (3.3.40).

      2 Teorema 3.3.3. Seja 2 ≤ s &lt; p + 1, u , u ∈ H (R) tais que

      1

      1 s Ent˜ao o intervalo de tempo maximal de existˆencia da solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)) do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) ´e infinito.

      Demonstra¸ c˜ ao: J´a sabemos, pelo Teorema 2.3.2, que o problema de Cauchy (2.0.1)

      1 s e (2.0.2) admite uma ´ unica solu¸c˜ao u ∈ C ([0, T ); H (R)). Pelo Lema 3.3.2, u(t) ∈ W para todo t ∈ [0, T ), isto ´e, para todo t ∈ [0, T )

      2

      2

      2

      L L portanto,

      2 I(t) &gt; ku t (t)k + ku xxt (t)k

      1

      2

      2

      2

      t xxt L L

    2 E(0) = E(t) = ku (t)k + ku (t)k

      2 p − 1

      1

      2

      2

      2

      2

    • aku (t)k + ku (t)k I(t)

      x xx L L

      2(p + 1) p + 1 1 p − 1

      2

      2

      2

      2

      2

      &gt; ku (t)k + ku (t)k aku (t)k t xxt x

    • 2

      L L L 2 2(p + 1)

      1

      2

      2

      2

      2

      2

    • ku xx (t)k ku t (t)k + ku xxt (t)k
    • 2

      L L L p + 1 p + 3 p − 1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      t xxt x xx L L L L

      2 = ku (t)k + ku aku + (t)k (t)k + ku (t)k .

      2(p + 1) 2(p + 1) 1 ∞

      Desta forma, como H (R) ֒→ L (R),

      1

      2

      2

      2

      1

      ku (t)k ≤ Cku (t)k ≤ C ku (t)k

      2 + ku (t)k

      2

      x L x H x xx L L

      1

      2

      2

      2

      

    2

      2

      ≤ C aku (t)k + ku (t)k x xx

      L L

      1

      2

      2(p + 1) &lt; C E(0) p − 1 logo,

      1

      2 2(p + 1) sup ku x (t)k L ≤ C E(0)

      p − 1 t∈[0,T ) e, do Teorema 3.2.1, temos que T = ∞. Apˆ endice A

      

    APˆ ENDICE

    A.1 Espa¸ cos de Sobolev e ´ Algebras de Banach

      Uma ´algebra A sobre um corpo K ´e um espa¸co vetorial, sobre K, tal que para cada par ordenado x, y ∈ A podemos definir um ´ unico produto xy ∈ A com as seguintes propriedades:

      (i) (xy)z = x(yz), (ii) x(y + z) = xy + xz,

      (iii) (x + y)z = xz + yz, (iv) κ (xy) = (κx)y = x(κy). para todo x, y, z ∈ A e para todo escalar κ ∈ K.

      Uma ´algebra normada ´e um espa¸co normado A que ´e uma ´algebra tal que para todo x, y ∈ A, kxyk ≤ kxkkyk. (1.1.1)

      Uma ´algebra de Banach ´e uma ´algebra normada que ´e completa, quando considerada como espa¸co normado. Uma ´algebra que ´e completa, quando considerada como espa¸co normado e que verifica kxyk ≤ Ckxkkyk

      Lema A.1.1. Dado s &gt; 0 temos que s ∞

    • Se 0 &lt; s &lt; 1 , H (R) ∩ L (R) ´e uma ´algebra com ∞ ∞

      

    s s s

      kuvk H ≤ C(kuk L kvk H + kuk H kvk L ) (1.1.2) s ∞ para todo u, v ∈ H (R) ∩ L (R). 1 s

    • Se &lt; s &lt; ∞, H (R) ´e uma ´algebra de Banach generalizada, isto ´e,

      2

      s s s

      kuvk ≤ Ckuk kvk . (1.1.3) H H H s para todo u, v ∈ H (R). s

      2 Demonstra¸ c˜ ao: Em primeiro lugar observe que, sendo s &gt; 0, temos H (R) ֒→ L (R), s assim dados u, v ∈ H (R), definiremos u.v como o produto correspondente ao produto

      2 s em L (R). Provemos que uv ∈ H (R), deste modo, uma vez que os itens (i), (ii), (iii) e s ∞

      (iv) decorrem das propriedades do produto entre duas fun¸c˜oes, H (R) ∩ L (R) ser´a uma

      1 ´algebra, para qualquer s &gt; 0, e, em particular para s &gt; , ser´a uma ´algebra de Banach

      2 generalizada. s

      Supondo que 0 &lt; s &lt; 1, pelo Teorema 1.6.12, temos, para qualquer w ∈ H (R),

      1 Z Z

      2

      2

      |w(x) − w(y)|

      2

      2

      kwk ≤ C kwk dxdy H L

    • s

      1+2s R R |x − y| s ∞ e, como para quaisquer u, v ∈ H (R) ∩ L (R)

      Z

      2

      2

      2

      kuvk = |u(x)v(x)| dx L R

      1

      2 ∞ ∞

      2

      2

      2

      2

      2

      ≤ kuk kvk + kuk kvk (1.1.4) L L L L

      2

      e, para quaisquer x, y ∈ R,

      2

      2 |u(x)v(x) − u(y)v(y)| = |u(x)v(x) − u(x)v(y) + u(x)v(y) − u(y)v(y)| logo, Z Z Z Z

      2

      2

      2 |uv(x) − uv(y)| |v(y)| |u(x) − u(y)| dxdy ≤ 2 dxdy

      1+2s 1+2s R R |x − y| R R |x − y|

      Z Z

      2

      2 |u(x)| |v(x) − v(y)|

    • 2 dxdy

      1+2s R R |x − y|

      Z Z

      2 |u(x) − u(y)|

      2 ≤ 2 kvk dxdy

      L 1+2s

      R R |x − y| Z Z

      2 |v(x) − v(y)|

      2

    • kuk dxdy &lt; ∞ (1.1.5)

      L 1+2s

      R R |x − y| s assim uv ∈ H (R) e, por (1.1.4), (1.1.5)

      1 Z Z

      2

      2

      |uv(x) − uv(y)|

      2

      2

      kuvk ≤ C kuvk dxdy H L

    • s

      1+2s ∞ ∞ R R |x − y|

      s s ≤ C (kuk H kvk L + kuk L kvk H ) .

      1 ∞

      No caso de s &gt; , temos, pela Proposi¸c˜ao (1.6.5)-(ii), que C (R) tem imers˜ao cont´ınua

      2 s s ∞ e densa em H (R), assim dados u, v ∈ H (R) existem (ϕ ), (ψ ) sequˆencias em C (R) n n tais que s

      ϕ n → u em H (R) (1.1.6) s

      ψ → v em H (R). (1.1.7) n s

      Para cada n ∈ N segue que ϕ ψ ∈ H (R) e n n

      n n H n H n H ∞

      s s s kϕ ψ k ≤ Ckϕ k kψ k .

      Com efeito, dados ϕ , ψ ∈ C (R) ⊂ S(R) temos, pela Proposi¸c˜ao 1.3.10, que n n

      Z

      s s

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      |(1 + x ) F[ϕ n ψ n ](x)| ≤ (2π) (1 + x ) |F[ϕ n ](x − y)F[ψ n ](y)|dy R Z

      s s

      2

      2

      2

      2

      ≤ C (1 + |x − y| ) + (1 + y ) |F[ϕ n ](x − y)F[ψ](y)|dy R

      s

      2

      2

      = C (1 + |.| ) F[ϕ ]) ∗ |F[ψ ] (x) n n

      s

      2

      2 donde segue que, Z

      s

      2 s

      2

      2

      2

      2

      (1 + x ) |F[ϕ n ψ n ]| (x)dx ≤ C k(1 + |.| ) |F[ϕ n ]| ∗ |F[ψ n ]|k L R

      2

      2

    • k|F[ϕ ]| ∗ (1 + |.| )|F[ψ ]|k

      n n L

      s

      2

      2

      2

      2

      2

      1

      ≤ C k(1 + |.| ) F[ϕ ]k kF[ψ ]k n n

      L L

      s

      2

      2

      2

      2

      1

      2

    • kF[ϕ n ]k k(1 + |.| ) |F[ψ n ]k

      L L onde, nesta ´ ultima desigualdade, aplicamos a Proposi¸c˜ao 1.1.4. Pela proposi¸c˜ao 1.6.8 segue que,

      s s

      1

      1

      kF[ϕ ]k ≤ Ckϕ k e kF[ψ ]k ≤ Ckψ k n L n H n L n H donde,

      s s s

      kϕ ψ k ≤ Ckϕ k kψ k n n H n H n H para todo n ∈ N. s

      Resta ent˜ao provar que ϕ ψ → uv em H (R). Para isto, observe primeiro que n n

      s s s

      kϕ n ψ n − ϕ m ψ m k H ≤ kϕ n (ψ n − ψ m )k H + kψ m (ϕ n − ϕ m )k H

      s s s s

      ≤ C(kϕ k kψ − ψ k + kψ k kϕ − ϕ k ) n H n m H m H n m H

      s s

      e o lado direito da desigualdade acima tende a zero, posto que (kϕ k ), (kψ k ) s˜ao n H n H s limitadas em R. Assim (ϕ n ψ n ) ´e uma sequˆencia de Cauchy no espa¸co de Banach H (R), s portanto existe w ∈ H (R) tal que s

      ϕ ψ → w em H (R). (1.1.8) n n s

      2 Afirmamos que w = u.v. De fato, como H (R) ֒→ L (R),

      2 ϕ ψ → w em L (R). n n Al´em disso, note que, dado n ∈ N, Z Z

      2

      2 |ϕ n (x)ψ n (x) − u(x)v(x)| dx ≤ |ϕ n (x)ψ n (x) − ϕ n (x)v(x) + ϕ n (x)v(x) − uv(x)| dx

      R R Z

      2

      2

      2

      2 ≤ 2 |ϕ n (x)| |ψ n (x) − v(x)| + |v(x)| |ϕ n (x) − u(x)| dx

      R 1 s ∞ ∞ Uma vez que s &gt; , H (R) ֒→ L (R), deste modo, v ∈ L (R) e

      2

      2

      2

      s

      kϕ k ≤ Ckϕ k ≤ C n n ∗

      L H para todo n ∈ N. Assim,

      Z

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      |ϕ (x)ψ (x) − u(x)v(x)| dx ≤ 2C kψ − vk + 2kvk kϕ − uk &lt; ∞ n n ∗ n n

      L L L R

      2 provamos assim que uv ∈ L (R), e

      2 ϕ ψ → uv em L (R). n n 2 s

      Segue da unicidade do limite em L (R) que w = uv ∈ H (R). Por fim, para todo n ∈ N,

      s s s

      kϕ ψ k ≤ Ckϕ k kψ k n n H n H n H e das convergˆencias (1.1.6), (1.1.7) e (1.1.8), segue que,

      

    s s s

      kuvk H ≤ kuk H kvk H s para todo u, v ∈ H (R).

    1 O Teorema 2.2.1 nos diz que, no caso < s < 1 s˜ao v´alidas as seguintes desigualdades,

      2 ∞ ∞

      s s s

      kuvk ≤ C(kuk kvk + kuk kvk ) H L H H L No entanto, note que uv verificando a primeira destas duas desigualdades, pela imers˜ao s ∞

      H (R) ֒→ L (R) temos que a segunda desigualdade ´e verificada. De fato, dados s u, v ∈ H (R) temos, ∞ ∞

      s s

      kuk &lt; Ckuk e kvk &lt; Ckvk L H L H deste modo, ∞ ∞

      s s s

      kuvk ≤ C(kuk kvk + kuk kvk ) H L H H L

      H H H H H H No caso onde n &gt; 1 podemos facilmente adaptar as demonstra¸c˜oes acima para provar s n ∞ n n que H (R )∩L (R ) ´e uma ´algebra se s ∈ (0, 1) ou se s &gt; , nos demais casos o resultado

      s s s s s s ≤ C(kuk kvk + kuk kvk ) ≤ Ckuk kvk .

      2 continua v´alido, assim como mostra o pr´oximo teorema. s n ∞ n s n ∞ n Teorema A.1.2.

      Seja u, v ∈ H (R ) ∩ L (R ), onde s &gt; 0, ent˜ao H (R ) ∩ L (R ) ´e uma ´algebra, com ∞ ∞

      H L H L H Demonstra¸ c˜ ao: Ver [11], p´agina 906.

      s s s kuvk ≤ C(kuk kvk + kvk kuk ).

      

    Referˆ encias Bibliogr´ aficas

    [1] ADAMS, R. - Sobolev Spaces - Academic Press, 1975.

      [2] BREZIS, H. - Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer, 2011.

      [3] BR´ EZIS, H. - Operateurs Maximaux Monotones et Semigroups de Contractions dans les Spaces de Hilbert - Amsterdam: North Holland Publishing Co., 1973.

      [4] BOTELHO, G., PELLEGRINO, D., TEIXEIRA, E. - Fundamentos de An´alise Fun- cional - Rio de Janeiro: SBM 2012.

      [5] CAVALCANTI, M.M., CAVALCANTI, V.N.D. - Introdu¸c˜ao `a Teoria das Distri- bui¸c˜oes e aos Espa¸cos de Sobolev.Eduem, 2009.

      [6] DUISTERMAAT, J. J., KOLK, J.A.C - Distributions - Theory and Applications, Birkh¨auser, 2010.

      [7] GAGLIARDO, E. - Propriet`a di alcune classi di funzioni in pi` u variabili. Ricerche Mat. (1958), 102-137.

      [8] GOMES, A.M. - Semigrupos de Operadores Lineares e Aplica¸c˜ao `as Equa¸c˜oes de Evolu¸c˜ao - 2Ed Rio de Janeiro Instituto de Matem´atica Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2000.

      [9] HORV ´ ATH, J., - Topological vector spaces ans distribuitions, Addison Wesley pu- blishing company, 1966.

      [10] HOUNIE, J. G., - Teoria Elementar das Distribui¸c˜oes, IMPA, 1979.

      [11] KATO, T., PONCE,G. - Commutator estimates and the Euler and Navier-Stokes equations. Communications on Pure and Applied Mathematics 41 (1988) 891-907.

      [12] KESAVAN, S. - Functional Analysis, Hindustan Book Agency, 2009. [13] I ´ ORIO JR., R. , I ´ ORIO, V.M. - Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais: Uma Introdu¸c˜ao - Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA 2010.

      [14] LINARES, F. , PONCE, G. - Introduction to nonlinear Dispersive Equations - NY: Springer, 2008.

      [15] LIONS, J.L. - Quelques M´ethodes de R´esolution des Probl`emes Aux Limites Non Lin´eaires. Dunod, Gauthier-Villars, 1969.

      [16] LIU, Y. - Instability an Blow-up of Solutions to a Generalized Boussinesq Equation - SIAM J. Math Anal., vol.26, no 6, (1995) pp. 1527- 1546.

      [17] MEDEIROS, L.A., MIRANDA, M.M. - Introdu¸c˜ao aos Espa¸cos de Sobolev e `as Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais; Rio de Janeiro, 1993. Textos de M´etodos Matem´aticos N. 25. Instituto de Matem´atica Universidade Federal do Rio de Janeiro.

      [18] Milla Miranda, M., San Gil Jutuca, L. P. - Existence and boundary stabilization of solutions for the kirchhoff equation - Communications in Partial Differential Equations, (1999)24:9-10, 1759-1800

      [19] DI NEZZA, E., PALATUCCI, G., VALDINOCI, E. - Hitchhiker’s guide to the frac- tional Sobolev spaces - Boulletin des Sciences Matematiques 136 (2012) 521 - 573.

      [20] PAZY, A. - Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations - Vol. 44 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, NY,1983.

      [21] POLAT, N., ERTAS, A. - Existence and Blow-up of Solution of Cauchy Problem for the Generalized Damped Multidimensional Boussinesq Equation - J. Math. Anal.

      Appl., 349 (2009) 10-20. [22] ROSENAU, P. - Dynamics of dense lattices, Phys. Rev. B 36 (11), (1987) 5868-5876.

      [24] RUNZHANG, X. - Cauchy Problem of Generalized Boussinesq Equation with Com- bined Power-Type Nonlinearities - Math. Meth. Appl. Sci. 2011, 34 2318–2328.

      [25] SATTINGER, D.H. - On global solution of nonlinear hyperbolic equations, Arch.

      Ration. Mech. Anal. 30 (1968) 148-172. [26] PAYNE, L.E., SATTINGER, D.H. - Saddle points and instability of nonlinear hy- perbolic equations - Israel J. Math. 22 (1975) 273-303.

      [27] SHEN, J., WANG, Y. XU, R. - Global existence of Solutions for 1-D Nonlinear Wave Equation of Sixth Order at High Initial Energy Level - Boundary Value Problems (2014), 2014:31.

      [28] TASKESEN, H., POLAT, N, ERTAS, A. - On Global Solutions for the Cauchy Pro- blem of a Boussinesq-Type Equation - Abstract and Applied Analysis, Volume 2012, Article ID 535031, 10 pages. [29] ZEIDLER, E. - Nonlinear Functional Analysis and its Aplications - V. 2A: Linear Monotone Operators. Springer-Verlag, 1990.

      [30] WANG, Y.Z., WANG, Y.X - Existence and Nonexistence of Global Solutions for a Class of Nonlinear Wave Equations of Higher Order - Nonlinear Analysis 72, (2010) 4500-4507.

      [31] WANG, S., XUE, H. - Global Solution for a Generalized Boussinesq Equation - Ap- plied Mathematics an Computation, 204 (2008) 130-136.

      [32] WANG, S., XU, G. - The Cauchy problem for the Rosenau equation - Nonlinear Analysis 71 (2009) 456 - 466.

      [33] WANG, Y., Mu, C. - Blow-up and scattering of solution for a generalized Boussinesq equation - Applied Mathematics and Computation 188 (2007) 1131–1141.

Novo documento

Tags

Documento similar

A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA
0
0
74
A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA
0
0
42
A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA ESKO ANTERO HEINONEN
0
1
166
AO CARLOS CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
2
96
AO CARLOS CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
91
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
122
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
60
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
57
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
1
122
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
1
223
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
101
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
85
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
72
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
20
AO CARLOS CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA
0
0
83
Show more