Repositório UFAL: Visualização de matrizes de covariância complexas: uma aplicação em dados PolSAR

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Visualização de Matrizes de Covariância

Complexas: uma aplicação em dados PolSAR

Antônio Marcos Larangeiras Lima

amlarangeiras@gmail.com

Orientador e Co-orientador:

Dr. Alejandro César Frery

Dr. Raydonal Ospina Martínez

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Visualização de Matrizes de Covariância

Complexas: uma aplicação em dados PolSAR

Dissertação apresentada como requisito

parcial para obtenção do grau de Mestre

pelo Programa de Pós-Graduação em

Modelagem Computacional de

Conhe-cimento do Instituto de Computação da

Universidade Federal de Alagoas.

Orientador: Dr. Alejandro César Frery

Co-orientador: Dr. Raydonal Ospina

Martínez

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Biblioteca Central

Bibliotecária: Janaina Xisto de Barros Lima L732v Lima, Antônio Marcos Larangeiras.

Visualização de Matrizes de Covariância Complexas: uma aplicação em dados PolSAR/ Antônio Marcos Larangeiras Lima. – 2017

68 f. : il.

Orientador: Alejandro César Frery.

Coorientador: Raydonal Ospina Martínez.

Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional de Conhecimento) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Computação. Pós-Graduação em Modelagem Computacional de Conhecimento. Maceió, 2017.

Bibliografia: f. 66–68.

1. Imagens PolSAR. 2. Estatística Multivariada – 3. Visualização. I. Título.

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O monitoramento do nosso planeta através de sensores imageadores pode ser empregado para inspecionar: desmatamentos e desertificação de florestas; o ciclo da água; crescimento urbano entre outras. Entre as tecnologias de sensoriamento remoto, PolSAR (Polarimetric Synthetic Aperture Radar) vem se destacando. O PolSAR possibilita o sensoriamento remoto em quase todas as condições meteorológicas. Cada célula de resolução na imagem PolSAR está associada a uma matriz de espalhamento complexa. Uma maneira, de caracterizar os dados PolSAR single-look é utilizar a matriz de covariância complexa. A matriz de covariância é de extrema importância em Análise Multivariada pois permite mensurar e avaliar o grau de dependência entre as variáveis que compõem o conjunto de dados.

Este trabalho apresenta uma abordagem de visualização de dados multivariados para visualizar informações contidas em matrizes de covariância complexa. As informações sobre que tipo de região homogênea está contida na imagem PolSAR a ser estudada, pode ser obtida analisando a abordagem de visualização de dados fornecida neste trabalho. Para a validação da abordagem, aplicamos a nossa ferramenta em imagens PolSAR - não simuladas - sobre amostras homogêneas, ou seja, amostras que seguem uma determinada família de distribui-ção de probabilidade. Em seguida, a proposta foi aplicada em três alvos distintos, à saber: região desértica, região urbana e região aquática. Portanto, a abordagem de visualização implementada noRpermite discriminar os alvos.

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The monitoring of our planet through image sensors can be used to inspect: deforestation and desertification of forests; the water cycle; urban growth, among others. Among the technologies of remote sensing, PolSAR (Polarimetric Synthetic Aperture Radar) has been highlighting. The PolSAR enables remote sensing in almost all weather conditions. Each resolution cell in the PolSAR image is associated with a complex scattering matrix. One way to characterize the single-look PolSAR data is to use the complex covariance matrix. The covariance matrix is of extreme importance in Multivariate Analysis because it allows measure and evaluate the degree of dependence between the variables that compose the data set.

This work presents a multivariate data visualization approach to visualize information contained in complex covariance matrices. The information about what type of homogeneous region is contained in the PolSAR image to be studied can be obtained by analyzing the data visualization approach provided in this work. For the validation of the approach, we applied our tool in non-simulated PolSAR images based homogeneous samples, i. e., samples that follow a certain of probability distribution. After that, the proposal was applied in three distinct targets, namely: a desertic region, a urban region and an aquatic region. Therefore, the implemented visualization approach in theRpermits to discriminate the targets.

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Agradeço primeiramente a Deus pela oportunidade de fazer esta Pós-graduação e por ter me dado força para terminar este curso; a Profª Anamelea de Campos Pinto pelo incentivo para fazer um mestrado durante o período que passei na CIED; a Cássia Monalisa pelo estímulo e por acreditar que seria capaz de fazer esse curso; ao Eduardo Santana por dividir a casa e as despesas comigo durante o mestrado, além do encorajamento diário para cursar um doutorado, futuramente.

Também gostaria de agradecer, imensamente, ao meu orientador Prof. Alejandro Frery e co-orientador Prof. Raydonal Ospina por mostrar o verdadeiro pensamento de um pes-quisador e pela paciência durante o mestrado; a CAPES pela bolsa de estudos, pois sem ela seria complicado fazer o curso. Aos professores que contribuíram para minha formação, em especial: Heitor Soares, André Aquino e Rodrigo Paes. Aos momentos descontraídos com os colegas de curso em especial: Pedro Dantas, Vilker Tenório, Carlos Gama, Fábio, Hugo, Vitor Torres e Ana Maria.

Além disso, gostaria de agradecer aos colegas de laboratório pelas dúvidas de programação em C e alegrias proporcionadas no dia-a-dia, principalmente: Ricardo Lopes, Leonildo Melo, Rivo Sarmento e Israel.

Por fim, gostaria de agradecer ao espaço fornecido pelo CPMAT para o desenvolvimento das minhas atividades.

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2.1 Espectro Eletromagnético e bandas da região de micro-ondas.. . . 15

2.2 Diagrama de Sensores. . . 16

2.3 Ilustração da transmissão do pulso eletromagnético e retorno dos sinais após atingir o objeto. . . 17

2.4 Esboço da geometria do imageamento SAR em uma visão tridimensional. . . 19

2.5 Esboço da geometria do imageamento SAR em uma visão frontal. . . 19

2.6 Esboço da geometria da Resolucão. . . 20

2.7 Esboço da geometria da Polarização. . . 21

2.8 Fotos de um sistema aerotransportado.. . . 22

2.9 Sistema espacial SIR-C/X-SAR. . . 23

2.10 Sistemas aerotransportados. . . 24

2.11 Tetraedro elíptico. . . 26

2.12 Matriz de correlações em forma de elipses. . . 28

2.13 Gráficocorrgrampara matrizes de correlação.. . . 29

3.1 Método de visualização em 4 camadas:VisCov. . . 31

3.2 Ilustração de uma imagem PolSAR no formato enxuto. . . 33

3.3 Diagrama de Atividades para obtenção dos elementos visuais da ferramenta. . . . 34

3.4 Resultado do modelo proposto aplicado na Imagem Niigata. . . 36

3.5 Resultado da aplicação da função VisMatCovComplex.selecionada nas imagens de Niigata, Vale da Morte, e Baía de São Francisco. . . 37

4.1 Visualização mais específica através da funçãoVisMatCovComplex.selecionada. 42 4.2 AIRSAR(NASA/JPL), Vale da Morte(CA) US, PolSAR. . . 43

4.3 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Vale da Morte região Amarela. . . 44

4.4 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Vale da Morte região Azul. . . 45

4.5 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Vale da Morte região Vermelha. . . 46

4.6 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Vale da Morte região Verde. . . 47

4.7 PISAR(NICT/JAXA), Niigata JP, PolSAR. . . 48

4.8 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Niigata região Amarela. . . 49

4.9 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Niigata região Azul. . . 50

4.10 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Niigata região Vermelha. . . 51

4.11 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de Niigata região Verde.. . . 52

4.12 AIRSAR(NASA/JPL), Baía de São Francisco(CA) US, PolSAR.. . . 53

4.13 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de São Francisco região Amarela. . . 54

4.14 Visualização de Matrizes de Covariância Complexa da Imagem de São Francisco região Azul. . . 55

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2.1 Correlação entre 11 variáveis de performance automobilística.. . . 27

4.1 Resumos estatístico das amostras retiradas da imagem de Niigata. . . 58

4.2 Resumos estatístico das amostras retiradas da imagem de Vale da Morte. . . 59

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1 INTRODUÇÃO 9

1.1 Definição do Problema . . . 9

1.2 Contribuições . . . 11

1.3 Objetivos . . . 11

1.4 Organização da Dissertação . . . 11

2 FUNDAMENTAÇÃOTEÓRICA 12 2.1 Processamento de Imagens . . . 12

2.2 Radar. . . 14

2.2.1Radar de Abertura Sintética (SAR) . . . 17

2.2.2Radar de Abertura Sintética Polarizado (PolSAR) . . . 21

2.3 Alguns Conceitos de Estatística Multivariada. . . 23

2.4 Visualização de Dados Multivariados . . . 26

3 VISUALIZAÇÃO DEMATRIZES DECOVARIÂNCIACOMPLEXAS EM DADOSPOLSAR 30 3.1 Metodologia . . . 30

3.1.1 A ferramenta desenvolvida para visualizar matrizes de covariância complexa . . . 35

4 RESULTADOS EANÁLISES 39 4.1 Dados PolSAR . . . 39

5 CONCLUSÕES 62 5.1 Considerações Finais . . . 62

A AMBIENTEREPRODUTÍVEL ECOMPUTACIONAL 64 A.1 Ambiente computacional utilizado . . . 64

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1

I

NTRODUÇÃO

1.1 Definição do Problema

N

ASúltimas quatro décadas, foi iniciado o monitoramento do nosso planeta através de

sensores imageadores com o objetivo de obter informações de natureza diferente, em escala global. Este tipo de imageamento pode ser utilizado para diversas aplicações, como por exemplo: em agricultura, auxiliando na previsão de safras, identificação de culturas, mo-nitoramento de umidade do solo; em florestas, monitorando desmatamento e desertificação; em neve e gelo, monitorando o ciclo d’água; em áreas urbanas, monitorando o crescimento das cidades e desastres naturais dentre outras (Meneses & Almeida,2012;Lee & Pottier,2009;

Liu et al.,2013;Jagdhuber et al.,2013;Chen & Sato,2013).

O Sensoriamento Remoto é uma ciência que visa a obtenção de imagens da superfície ter-restre por meio da detecção e medição quantitativa das respostas das interações da radiação eletromagnética com os materiais terrestres. Entre as tecnologias de sensoriamento remoto, PolSAR (Polarimetric Synthetic Aperture Radar) vem se destacando. O PolSAR possibilita o sensoriamento remoto em quase todas as condições meteorológicas, o imageamento em es-cala global e a estimação de importantes parâmetros biológicos e geofísicos sobre a superfície da Terra (Meneses & Almeida,2012;Moreira et al.,2013).

Os sensores imageadores orbitais e aerotransportados são divididos em três classes: sen-sores ópticos que utilizam fonte solar de radiação eletromagnética; sensen-sores termais que usam a Terra como a fonte de radiação; e sensores de radar que usam fontes artificiais de radiação construídas pelo homem. Neste trabalho iremos nos concentrar em sensores de radar. A sua principal vantagem em relação aos ópticos e termais é que o comprimento de onda das micro-ondas não é barrado ou absorvido pelas micrométricas partículas de gases da atmosfera e o imageamento pode ser feito a qualquer hora do dia. A tecnologia empregada nos Radares de Abertura Sintética (SAR) simulam uma antena de centenas de metros em uma

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antena pequena usando modificações nos registros dos dados e técnicas de processamento de sinais (Meneses & Almeida,2012).

O modelo estatístico mais utilizado para descrever o sinal retroespalhado PolSAR é a distribuição Wishart complexa escalonada multivariada, denotada porZ∼W(C,L). Essa

distribuição possui dois parâmetros:C, a matriz de covariância complexa, eL≥1, o número

de looks. O domínio deC é o conjunto de matrizes hermitianas positivas definidas. A matriz de covariânciaC é o parâmetro que caracteriza os dados retornados sob análise e, portanto, diferencia o comportamento de diferentes alvos sobre a mesma imagem. A densidade dessa distribuição é dada por

fZ(Z′,C,L)=L

mL|Z|Lmexp(Ltr(C−1Z))

|C|LΓ

m(L)

,

ondemé a dimensão deC,mL,Γm(L)=πm(m−1)/2Qmk=01Γ(L−k),Γ(·) é a função gamma,

E(Z)=C, tr(·) é o traço de uma matriz e|·|é o determinante de uma matriz. (Frery et al.,2013;

Frery et al.,2014;Nascimento et al.,2014).

Nas imagens PolSAR o valor em cada coordenada é representado por uma matriz de valores complexos, denominada “matriz de covariância” definida da seguinte forma:

C=

     

E(S1S1) E(S1S2) ··· E(S1Sm)

E(S2S∗1) E(S2S∗2) ··· E(S2Sm)

... ... ... ...

E(SmS1) E(SmS2) ··· E(SmSm) 

     

.

ondeSi j representa o sinal de retroespalhamento para ai-ésima transmissão e j-ésima

recepção de uma polarização linear, os elementos da diagonal principal são números reais positivos, e denominam-se “intensidades”, o “∗” denota o conjugado de um número

com-plexo, por fimE(·) denota o operador esperança estatística (Lee & Pottier,2009;Nascimento

et al.,2014).

Análise Estatística Multivariada é a análise estatística simultânea sobre um conjunto de variáveis. A matriz de covariância é de extrema importância em Análise Multivariada pois permite mensurar e avaliar o grau de dependência entre as variáveis que compõem o conjunto de dados. Na análise Multivariada de dados é extremamente relevante a utilização de gráficos e diagramas, pois facilita a organização e extração de informação dos dados (Anderson et al.,

1958;Everitt & Hothorn,2011).

Vários trabalhos de visualização sobre dados multivariados que assumem valores reais foram propostos na literatura. Por exemplo:Murdoch & Chow(1996) propuseram a exibição de correlações através de elipses que apresenta um gráfico intuitivo para matriz de correlação. Um outro método bastante interessante foi a utilização de uma mapa de calor (Friendly,

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Devemos ressaltar que os trabalhos anteriores foram desenvolvidos para a visualização de uma única matriz de correlação.Tokuda et al.(2011) propuseram uma série de gráficos para visualizar matrizes de covariância.

Conforme o exposto anteriormente, neste trabalho propomos a comparação de matrizes de covariância complexa através de técnicas de visualização em imagens PolSAR.

1.2 Contribuições

Neste trabalho desenvolvemos uma abordagem de visualização de dados multivariados implementada emRpara visualizar matrizes de covariância complexa, em particular,

da-dos PolSAR. A abordagem implementada foi aplicada em imagens PolSAR de característica bastante diferentes.

1.3 Objetivos

Este trabalho apresenta uma nova abordagem para visualizar propriedades de matrizes de covariância complexa, em particular, na avaliação da estrutura de covariância em imagens PolSAR.

Objetivos Específicos

• Criar uma função para visualização de informações em matrizes complexas;

• Aplicar essa função em dados PolSAR;

• Avaliar e comparar o conteúdo das informações obtidas em dados PolSAR reais, enten-dendo reais como dados não simulados.

1.4 Organização da Dissertação

Esse trabalho organiza-se da seguinte maneira: No capítulo2resumiremos os principais conceitos e técnicas que dão base para a construção da ferramenta de visualização. No capítulo3detalharemos o processo de criação da ferramenta para visualização de matrizes de covariância complexa. Discussão sobre os resultados obtidos são apresentados no capítulo4. E, finalizamos com a conclusão no capítulo5.

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2

F

UNDAMENTAÇÃO

T

EÓRICA

N

ESTEcapítulo, apresentaremos os conceitos necessários para a construção da nossa

ferramenta de visualização. Aqui discutiremos brevemente sobre: radares e sensores, imagens e análise estatística de dados multivariados.

2.1 Processamento de Imagens

Na literatura, não existe um consenso geral sobre o que é de fato processamento de imagens. Porém é útil levar em conta o seguinte paradigma:processamento de nível baixo, que contém operações primitivas, por exemplo, filtragem para reduzir o ruído e o melhorar o contraste. Processamento de nível médioque inclui a segmentação, isto é, separação de uma imagem em regiões ou objetos, e também a descrição desses objetos para reduzi-los a uma forma adequada para armazenamento no computador e classificação de objetos individuais. Finalmente,processamento de alto nível, que permite “dar significado cognitivo” a um conjunto de objetos reconhecidos (Gonzalez & Woods,2010).

Iremos utilizarVelho et al.(2009),Gonzalez & Woods(2010) eFrery & Perciano(2013) para definir conceitos relevantes para nosso trabalho.

Definição 2.1.1 (Imagem) ConsidereS={1,...,m}×{1,...,n}⊂N2. Dizemos que uma

ima-gem é uma função da forma

f : S −→ k

s 7−→ f(s),

comf Sk.

O par¡s,f(s)¢é denominadopixel. O conjuntoSé chamado de suporte da imagem, que é uma região conexa. Os elementos deSsão chamados desites,coordenadasouposições.

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O conjunto é o conjunto dos valores possíveis em cada posição. Esse conjunto pode ser caracterizado de diversas formas, por exemplo, {0,1},C,Cp etc. Quandoké definido da forma Kp o valorprepresenta a quantidade de bandas existentes na imagem, entendendo banda

comok× ··· ×k

| {z } pvezes

. O armazenamento dekno computador chama-sequantização.

A imagem é um objeto matemático cuja a visualização não foi definida. Definiremos visualização de maneira formal:

Definição 2.1.2 (Visualização) Visualização é uma função

v : Sk −→ (M,C)

f 7−→ v(f),

ondeMé a área física do monitor,Cé o conjunto de cores disponíveis no monitor para o

software que está sendo empregado ev(f) é o conjunto de pontos correspondentes a cada coordenadasS.

Definição 2.1.3 (Vizinhança) A vizinhança de qualquer posiçãosSé qualquer conjunto de posições que não incluams. Denotaremos por∂sS\{s}, onde “\” é a diferença entre dois

conjuntos. A definição mais geral de vizinhança envolve o conceito de distância, isto é,

∂s= n

tS\ {s};d(s,t)≤k

o

,

em qued(s,t) é uma distância entreset eké não negativo.

Definição 2.1.4 (Sub- Imagem) Uma sub-imagem com respeito a janela∂sé uma função da

forma

f

s : ∂s −→

R

t 7−→ f

s(t),

onde∂s=∂s∪{s} é o fecho de∂s.

Iremos exibir três propriedades básicas de imagens com apenas uma banda, isto é, quando

k=R. Note que definindokdessa forma temos um caso particular do espaço de funções,

entendendo espaços de funções como definido em Álgebra Linear.

Adição:Sejamf1(s) e f2(s)∈Skduas imagens, entãog(s)=¡f1+f2¢(s)=f1(s)+f2(s)∈

Skainda é uma imagem, para todosS.

Multiplicação por escalar:Sejam f(s)∈Skeα∈Ruma imagem e um escalar,

respecti-vamente. Entãog(s)=αf(s) é uma imagem, para todosS.

Elemento neutro aditivo : Seja0Sk definida como0(s)=0 para todosS, então

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Baseada nas propriedades acima iremos definir outras operações importantes em imagens, são elas:

Negativo de uma imagem:Sejaf(s)∈Skuma imagem. Se multiplicarmos essa imagem pelo escalar−1 ainda teremos uma imagemg(s)= −f(s), para todosS.

Diferença entre duas imagens: Sejam f1(s) e f2(s)∈Sk duas imagens, então g(s)= ¡

f1−f2¢(s)=f1(s)−f2(s)∈Skainda é uma imagem, para todosS.

Produto entre duas imagens: Sejam f1(s) e f2(s)∈Sk duas imagens, então g(s)= ¡

ff2¢(s)=f1(s)·f2(s)∈Skainda é uma imagem, para todosS.

Quociente entre duas imagens: Sejam f1(s) e f2(s)∈Sk duas imagens, entãog(s)= ¡

f1/f2¢(s)=f1(s)/f2(s)∈Skainda é uma imagem, para todosSe f2(s)6=0.

Somatório de imagens: ComoSé finito é possível assumir a soma de uma imagem f(s)∈Skcomo X

sS

f(s).

Média de uma imagem:Seja f(s)∈Skuma imagem. A média de uma imagem é dada por f =X

sS

f(s)/(mn).

Produto interno entre duas imagens: Sejam f1(s) e f2(s)∈Sk duas imagens, então

g(s)=­f1(s),f2(s)®=f1(s)·f2(s)∈Skainda é uma imagem, para todosS.

Norma de uma imagem:Sejaf(s)∈Skuma imagem. A norma de uma imagem é dada por°°f(s)°°=f(s),f(s)®.

Imagem constante:É a imagem1Skdefinida como1(s)=1 para todosS.

2.2 Radar

SegundoMeneses & Almeida(2012), radar é um sensor que se utiliza de uma fonte de radiação eletromagnética artificial. O termo RADAR significa “Radio Detection and Ran-ging”. Esse sensor é capaz de detectar um objeto (alvo), indicando sua distância (range) e posição (Trevett,1986).

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de sensores são: a necessidade de fonte externa de iluminação (sensor passivo) e a grande dependência das condições climáticas (Freitas et al.,2003).

Por outro lado, existem sensores que operam na faixa de micro-ondas do espectro eletro-magnético, que é dividida em partes. Na década de 40, os militares tentaram manter segredo sobre as faixas espectrais as quais os primeiros sistemas de radar operavam. Nessa tentativa, letras maiúsculas foram utilizadas para identificar os comprimentos de onda das imagens de radar, essas regiões representadas por letras maiúsculas receberam o nome de bandas. A Figura2.1mostra valores de frequência bem como os de comprimento de onda.

Figura 2.1: Espectro Eletromagnético e bandas da região de micro-ondas.

Fonte: Imagem adaptada de Freitas et al., 2003.

Há autores que preferem usar a frequência, porque quando a radiação eletromagnética ul-trapassa materiais com diferentes densidades, a frequência não é alterada, já o comprimento de onda e a velocidade se alteram (Bruder et al.,2003;Meneses & Almeida,2012).

Os sensores que trabalham na faixa de micro-ondas tem as vantagens de não depender da iluminação solar e sofrerem pouca influência das condições climáticas. Os sensores de micro-ondas são divididos em dois grupos:

radiômetros sensores passivos que detectam a energia emitida pelo alvo analisado;

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Os sistemas de radar podem ser agrupados em imageadores e não imageadores. Os imageadores compreendem os sistemas de:

Antena rotatória ;

Visada lateral (SLAR) Side Looking Airborne Radar.

A definição de SLAR engloba dois tipos de radar, o de abertura:

Real (RAR) Real Aperture Radar;

Sintética (SAR) Synthetic Aperture Radar.

Para ilustrar a classificação de sensores descrita acima, construímos o diagrama exibido na Figura2.2

Figura 2.2: Diagrama de Sensores.

Fonte: Imagem adaptada de Nascimento, 2012.

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2.2.1 Radar de Abertura Sintética (SAR)

Em 1978, com o lançamento bem sucedido do satélite SEASAT que transportava a tecnolo-gia SAR, os radares imageadores mostraram ser um instrumento capaz e indispensável para o sensoriamento remoto da superfície terrestre, permitindo de forma geral a discriminação do terreno e a detecção de alvos (Lee & Pottier,2009).

A formação de uma imagem SAR requer o processamento coerente do sinal de retorno recebido após a emissão dos pulsos. As imagens SAR obtidas por esse processo podem ser representadas em intensidade ou amplitude (Freitas et al.,2003).

O radar opera enviando pulsos descontínuos de fótons que ao chegar ao terreno se espalham. Nesse processo da propagação no espaço o feixe se alarga na forma de um cone até atingir o alvo. Em seguida a energia se retroespalha e retorna para mesma antena, ou seja, esse tipo de antena utilizada é transmissora de pulsos eletromagnéticos de alta potência e receptora de sinais. Isso é feito ligando uma chave para emitir o pulso de alta potência. Quando essa chave é ligada marca-se o tempo de transmissão do pulso e depois o desliga. Quando o sinal de retorno volta ao sensor é computado o tempo de chegada do sinal, o exposto acima é ilustrado pela Figura2.3.

Figura 2.3: Ilustração da transmissão do pulso eletromagnético e retorno dos sinais após atingir o objeto.

Fonte: Imagem adaptada de Meneses & Almeida, 2012.

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retangular pequena fixada na lateral da aeronave ou satélite. Além disso, o radar é apontado lateralmente em relação à direção da trajetória percorrida pela aeronave (Meneses & Almeida,

2012).

Na Figura2.3, observamos a ilustração da transmissão do pulso eletromagnético e retorno dos sinais após atingir o objeto. A emissão de um pulso, no tempo, é representado pelos arcos de cor preta, os pulsos retroespalhados são representados por arcos menores nas cores azul e verde que retrata o sinal de retorno de uma casa e uma árvore, respectivamente. Os números representam o tempo que um pulso leva até chegar ao alvo e retornar ao sensor. Finalmente o gráfico ilustra a intensidade do pulso de cada objeto quando retornado para o sensor.

Imageamento Básico SAR

A mudança de tecnologia de radares imageadores de abertura real (RAR) para os de aber-tura sintética (SAR), foi devido a necessidade de se obter melhores resoluções azimutais. Para isso era necessário utilizar antenas longas (dezenas ou centenas de metros), ou seja, inviáveis de serem armazenadas em uma avião ou satélite. Outro problema do uso dessa tecnologia seria usar pulsos eletromagnéticos com pequenos comprimentos de onda for-çando voos de baixa altura. A solução foi simular o comportamento de antenas grandes em antenas de pequeno porte. Essa modificação de tecnologia foi possível devido ao desen-volvimento de técnicas de processamento de sinais e modificações na forma de registrar os dados. Por esse motivo, atualmente SAR é uma das tecnologias mais utilizadas em sistemas de radares (Meneses & Almeida,2012;Van Zyl & Kim,2011).

Imagens da superfície geradas por radares aparentam ser idênticas às imagens produzidas por instrumentos que operam na faixa do visível ou infravermelho do espectro eletromag-nético. Habitualmente, as imagens de radar são obtidas, conforme o avião ou satélite que transporta o sistema de radar move-se ao longo de sua trajetória. Imagens SAR tem resoluções que são independentes da distância entre o radar e o alvo. Por isso, um SAR transportado em um satélite tem vantagem sobre um RAR no que se refere a alta resolução. Os radares imageadores utilizam uma antena que ilumina a superfície por apenas um lado da pista de voo, ver Figura2.4. Normalmente, a antena tem um feixe e ilumina uma área muito alongada, formando uma elipse na superfície (Van Zyl & Kim,2011).

Podemos analisar na Figura2.4o esboço da geometria do imageamento SAR, que possui dimensões físicasLX eLY, com uma altitudeHe uma velocidade~v. Uma direção azimutaly

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Figura 2.4: Esboço da geometria do imageamento SAR em uma visão tridimensional.

Fonte: Imagem adaptada de Lee & Pottier, 2009 e Van Zyl & Kim, 2011.

Para definir características da imagem parâmetros importantes são levados em consi-deração. São eles: polarização da onda, direção de azimute, direção de visada, ângulo de depressão, ângulo de visada e ângulo de incidência local. Iremos definir esses parâmetros com o auxílio da Figura2.5.

Figura 2.5: Esboço da geometria do imageamento SAR em uma visão frontal.

Fonte: Imagem adaptada de Meneses & Almeida, 2012 e Van Zyl & Kim, 2011.

Direção de azimute:É a direção de voo da plataforma.

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Ângulo de depressão:É o ângulo formado entre a linha de horizonte de voo e a linha que define a direção de visada.

Ângulo de visada:É o complemento do ângulo de depressão.

Ângulo de incidência local:É o ângulo formado entre o pulso de radar e a vertical ao plano da superfície no ponto onde o pulso toca o terreno.

Resolução Espacial

Os parâmetros que controlam a célula de resolução espacial de um radar de visada lateral são independentes: comprimento do pulso e largura angular do feixe do pulso. Se essas medidas são independentes, então há duas medidas de resolução espacial:

Resolução em alcance ou longitudinal:É a medida ao longo da direção de iluminação do pulso de onda.

Resolução azimutal ou transversal:É a medida na direção paralela à direção da linha de voo.

As imagens dos objetos mais próximos da antena acabam sendo deformadas, pois a imagem é construída pelo registro de sinais medidos no plano inclinado. Dois tipos de distorções, de natureza mais complexas são:Layovere oForeshortening.

Figura 2.6: Esboço da geometria da Resolucão.

Fonte: Imagem adaptada de Meneses & Almeida, 2012 e Van Zyl & Kim, 2011.

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da Figura2.6. Que faz com que a face da encosta de frente para a antena apresente-se na imagem em tons mais claros. Mesmo com essas distorções a visada lateral é a razão principal para a eficiência de imagens de radar no que se refere a analisar texturas, pois criam uma percepção visual tridimensional do relevo (Meneses & Almeida,2012;Van Zyl & Kim,2011).

2.2.2 Radar de Abertura Sintética Polarizado (PolSAR)

Iniciaremos essa seção com o objetivo de definir polarização. Três autores foram fun-damentais para termos a compreensão sobre esse termo, são eles: Erasmus Bartolinus que publicou o primeiro trabalho quantitativo em observação em 1669; C. Huygens que propôs a natureza ondulatória da luz e descobriu a luz polarizada em 1677; e finalmente E.L. Malus provou a conjectura de Newton que dizia que “a polarização é uma propriedade intrínseca da luz” em 1808 (Lee & Pottier,2009).

“Quando um pulso de energia é emitido pela antena de um radar e o vetor do seu campo elétrico é controlado por um cristal polarizador com eixo de transmissão situado na horizontal ou na vertical, para fazer vibrar a onda em uma direção horizontal (H) ou vertical (V) dizemos que a onda eletromagnética está polarizada (Meneses & Almeida,2012).” Ver ilustração na Figura2.7. Iremos definir de maneira formal conformeFreitas et al.(2003).

Figura 2.7: Esboço da geometria da Polarização.

Fonte: Imagem adaptada de Meneses & Almeida, 2012.

Definição 2.2.1 (Polarização) é a orientação segundo a qual oscila, no tempo, o vetor campo elétrico de onda eletromagnética.

(25)

mesma direção que foi emitida ou não. Por exemplo, se o sensor emite um pulso na direção V o sinal do retorno pode ser V ou H, ver Figura2.7.

Assim, temos as possíveis polarizações: HH, HV, VH e VV. As polarizações HV e VH são chamadas depolarizações cruzadas. Já as polarizações HH é conhecida comopolarização plano-polarizada, e por fim a polarização VV recebe o nome depolarização plano-paralela. Uma observação interessante sobre o imageamento em vegetações é a tendência que ela possui para mostrar diferentes retornos nas polarizações, devido a despolarização nos vários retroespalhamentos das folhas e galhos (Meneses & Almeida,2012;Van Zyl & Kim,2011).

O início da pesquisa em imagens de radar polarimétrico foi entre as décadas de 40 e 60, com o foco para utilização de radar polarimétrico para caracterizar alvos de aeronaves. Em 1985, com a implementação bem sucedida de AIRSAR as imagens de radar polarimétrico obtiveram um avanço, ver Figura2.8.

Figura 2.8: Fotos de um sistema aerotransportado.

(a) AIRSAR (b) Sensor SAR inplantado no AIRSAR

Fonte: Disponível em <http://airsar.jpl.nasa.gov/index_detail.html> Acesso em jan. 2016.

Além disso, um outro avanço considerável para imagens PolSAR foi o lançamento com sucesso do SIR-C/X-SAR em 1994 adquirindo imagens SAR digitais da terra, ver figura2.9. Em seguida, com o lançamento do RADARSAT-2 em 2007. Com estes satélites lançados nesse período foi possível obter informações, por exemplo, para monitoramento remoto de risco de inundações e terremotos, cobertura de neve, corrente de oceano etc (Lee & Pottier,2009).

(26)

Figura 2.9: Sistema espacial SIR-C/X-SAR.

Fonte: Disponível em <http://trmm.jpl.nasa.gov/SIRCdesc.html> Acesso em jan. 2016.

Em suma, uma imagem SAR é um arranjo bidimensional cujos pixels estão associados com pequenas áreas da superfície da terra. Cada uma desses pixels fornece um número complexo associado a refletividade de todos espalhamentos contidos na célula de resolução de SAR (Lee & Pottier,2009).

As Figuras2.8,2.10(a),2.10(b) mostram alguns sensores de radar polarimétricos aero-transportados, para maiores detalhes consultar (Lee & Pottier,2009).

2.3 Alguns Conceitos de Estatística Multivariada

Para definir os conceitos relevantes para nosso trabalho iremos nos basear em:Johnson & Wichern(2007),James(2013),Magalhães(2011) eGoodman(1963).

Definição 2.3.1 (Variável aleatória multivariada) Dizemos que uma variável aleatória mul-tivariada é uma função da forma

X : Ω −→ Rn

ω 7−→ X(ω)=(X1(ω),...,Xn(ω)),

em que,Ωé o espaço amostral,ωé um evento naσ-álgebra definida sobreΩe cadaXi(ω),

em quei=1,...,n, é uma variável aleatória.

(27)

Figura 2.10: Sistemas aerotransportados.

(a) Convair-580 C/X SAR (b) E-SAR

Fonte: Disponível em <

http://www.nrcan.gc.ca/earth-sciences/geomatics/satellite-imagery-air-photo

s/satellite-imagery-products/educational-resources/9335> e

<http://brandenburg.geoecology.uni-potsdam.de/projekte/opaque/air_radar.php>. Acesso em fev. 2016.

sua função distribuição acumulada é definida por

F : Rn −→ R

X 7−→ F(X)=P(X1≤x1,...,Xnxn)

Definição 2.3.3 (Vetor média) O valor esperado de um vetor aleatórioXé dado por

E(X)=(E(X1),...,E(Xn)).

A matriz de covariância de um vetor aleatório é a matriz de dimensãon×n dada por

P

=E(XiXj)−E(Xi)E(Xj), com 1≤i,jn. Os elementos da diagonal principal são as

variânciasσi i =Var(Xi) e os elementos fora da diagonal principal são as covariânciasσi j=

E(XiXj)−E(Xi)E(Xj). A matriz de correlaçãoR é a matriz de dimensãon×n dada pelos

coeficientes de correlação

ρi j=

Cov(Xi,Xj) p

Var(Xi)Var(Xj)

.

É fácil ver que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, isto é,ρi i =1 . Ainda

sobre correlação é bastante conhecido que: sePé positiva definida (isto é,

vtR v>0∀vetor

coluna v 6=0) temos as seguintes conclusões−1<ρi j <1 e ρi j =0 quando Xi e Xj são

variáveis aleatórias independentes.

(28)

(X,Y) seguem uma distribuição Gaussiana bivariada a variável aleatória segue uma distri-buição Gaussiana complexa univariada.

Definição 2.3.5 (Variável aleatória Gaussiana complexa multivariada) Sejam X = (X1,...,

Xn) e Y=(Y1,...,Yn) vetores aleatórios tal que o vetor (X1,Y1,...,Xn,Yn) de partes real e

imaginária segue uma distribuição Gaussiana 2n-variada. Dizemos que um vetor aleatório da formaZ=(Z1,...,Zn), em queZ1,...,Znsão variáveis aleatórias complexas, é chamado de

vetor aleatório Gaussiano complexo.

Definição 2.3.6 (Variância complexa) A variância complexa de uma variável aleatória com-plexaZ éE(|Z|2), em que| · |é o módulo de um número complexo.

Definição 2.3.7 (Covariância complexa) A covariância complexa entre duas variáveis alea-tórias complexasZi eZj é dada porE(ZiZj∗), ondeE(·) é o operador esperança estatística e∗

é o conjugado de um número complexo.

Definição 2.3.8 (Vetor média complexo) O vetor média de uma variável aleatória complexa multivariadaZé dado por

E(Z)=(E(Z1),...,E(Zn)),

em queE(Z)=E(X)+i E(Y)=µX+µY.

Definição 2.3.9 (Matriz de covariância complexa) A Matriz de covariância complexaCn×n

é dada por

Cn×n=E(ZZ∗)= 

  

E(Z1Z1∗) ··· E(Z1Zn∗)

... ... ... E(ZnZ1∗) ··· E(ZnZn∗)

  .

Definição 2.3.10 (Matriz de correlação complexa) A Matriz de correlação complexaRn×né

definida por

Rn×n= 

    

E(Z1Z1∗)

p

E(|Z1|2)E(|Z1|2) ···

E(Z1Zn∗)

p

E(|Z1|2)E(|Zn|2)

... ... ...

E(ZnZ1∗)

p

E(|Zn|2)E(|Z1|2) ···

E(ZnZn∗)

p

E(|Zn|2)E(|Zn|2)

    

.

Teorema 2.3.1 O det(R)= |det(C)|2, em que det(·) é o determinante de uma matriz.

Demostração.Para maiores detalhes sobre a demostração verGoodman(1963).

Avariância efetiva e a dependência efetivapara vetores aleatórios reais são medidas descritivas para dados multivariados. SejaXum vetor aleatório com variáveis aleatórias reais, a variância efetiva é dada por

Ve(X)= |Σ|

1

p =(λ

1···λp)

1

(29)

em queΣé a matriz de covariância,| · |é o determinante,pé a dimensão deΣe osλi(com

i=1,...,p) são os autovalores da matriz de covariância. A dependência efetiva é definida por

De(X)=1− |R|

1

p,

em queRé a matriz de correlação deΣ. Essas medidas tem a capacidade de permitir comparar variáveis aleatórias multivariadas de diferente dimensão (Peña & Rodríguez,2003).

2.4 Visualização de Dados Multivariados

Nessa seção iremos fazer um breve resumo sobre algumas técnicas de visualização de dados multivariados. Normalmente, essas técnicas são desenvolvidas para visualizar uma única matriz de correlação, porém todas elas com entradas de números reais.

Rousseeuw & Molenberghs(1994) construíram um gráfico tridimensional de todas as combinações possíveis (ρX Y,ρX Z,ρY Z), ondeX,Y eZ são variáveis aleatórias. Este gráfico

recebeu o nome detetraedro elípticoo qual é um conjunto convexo, entendendo um conjunto convexo como um conjunto que: dados dois pontos pertencentes a ele e traçarmos um segmento de reta ligando esses dois pontos o segmento continua pertencendo ao conjunto, ver Figura2.11.

Figura 2.11: Tetraedro elíptico.

(a) Conjunto de todas as correlações possíveis entreXeY.

(b) Seccionando o conjunto mostrado ao lado com planos perpendiculares ao planorY Z.

Fonte: Rousseeuw & Molenberghs, 1994.

(30)

tetraedro. Todas as suas seções transversais perpendiculares aos eixos são elipses. Esses gráficos podem ajudar a desenvolver intuição para as restrições que existem entre correlações calculada a partir de três ou mais variáveis.

A exibição gráfica proposta porMurdoch & Chow(1996) apresenta correlações como elipses para expor a matriz de correlação de forma simples. Esse gráfico é bastante intuitivo para matrizes de correlações grandes. As elipses são contornos de uma distribuição normal bivariada, onde cada ponto é dado porP=³cos³θ+d2´,cos³θ+d2´´, comθ[0,2π] e cos(d)=

ρ. Como exemplo utilizamos o conjunto de dadosmtcars(Motor Trend Car Road Tests), um conjunto de dados disponível na linguagemR. Esses dados foram retirados da revistaMotor Trend 1974e estão formados por 32 observações em 11 variáveis. As 11 variáveis são: mpg (Milhas / (US) galão), cyl (Número de cilindros), disp (Deslocamento), hp (potência bruta), drat (relação do eixo traseiro), wt (Peso (1000 libras)), qsec (tempo de 1/4 de milha), vs (v/s), am (Transmissão (0 = automática, 1 = manual)), gear (Número de velocidades para a frente) e carb (Número de carburadores). A Tabela2.1mostra a matriz de correlação dos dadosmtcars.

Tabela 2.1: Correlação entre 11 variáveis de performance automobilística.

mpg cyl disp hp drat wt qsec vs am gear carb

mpg 1.00 -0.85 -0.85 -0.78 0.68 -0.87 0.42 0.66 0.60 0.48 -0.55 cyl -0.85 1.00 0.90 0.83 -0.70 0.78 -0.59 -0.81 -0.52 -0.49 0.53 disp -0.85 0.90 1.00 0.79 -0.71 0.89 -0.43 -0.71 -0.59 -0.56 0.39 hp -0.78 0.83 0.79 1.00 -0.45 0.66 -0.71 -0.72 -0.24 -0.13 0.75 drat 0.68 -0.70 -0.71 -0.45 1.00 -0.71 0.09 0.44 0.71 0.70 -0.09 wt -0.87 0.78 0.89 0.66 -0.71 1.00 -0.17 -0.55 -0.69 -0.58 0.43 qsec 0.42 -0.59 -0.43 -0.71 0.09 -0.17 1.00 0.74 -0.23 -0.21 -0.66 vs 0.66 -0.81 -0.71 -0.72 0.44 -0.55 0.74 1.00 0.17 0.21 -0.57 am 0.60 -0.52 -0.59 -0.24 0.71 -0.69 -0.23 0.17 1.00 0.79 0.06 gear 0.48 -0.49 -0.56 -0.13 0.70 -0.58 -0.21 0.21 0.79 1.00 0.27 carb -0.55 0.53 0.39 0.75 -0.09 0.43 -0.66 -0.57 0.06 0.27 1.00

A simplicidade na exibição gráfica proposta porMurdoch & Chow(1996) é mostrada na Figura2.12. A inclinação da elipse para direita indica correlação positiva e para esquerda negativa, quando a elipse fica mais fina sinaliza que a correlação é alta entre as variáveis.

(31)

Figura 2.12: Matriz de correlações em forma de elipses.

mpg

cyl

disp

hp

drat

wt

qsec

vs

am

gear

carb

mpg cyl disp hp drat wt qsec vs am gear carb

Fonte: processada pelo autor, 2016.

ilustra a Figura2.13.

Diferentemente da Figura2.13(a) é possível perceber na Figura2.13(b) um agrupamento relativamente homogêneo com correlações negativas intermediárias - entendendo interme-diárias como correlações não muito altas e nem muito baixas - entre o conjunto de variáveis wt, disp e cyl e o conjunto de variáveis gear, am e drat. Também é possível observar que a variável qsec tem correlação negativa mais baixa com o conjunto de variáveis wt, disp, cyl, hp e cab.

(32)

Figura 2.13: Gráficocorrgrampara matrizes de correlação.

mpg

cyl

disp

hp

drat

wt

qsec

vs

am

gear

carb

(a) Ordenamento em ordem alfabética das va-riáveis.

gear

am

drat

mpg

vs

qsec

wt

disp

cyl

hp

carb

(b) Ordenamento com base nos ângulos dos auto vetores.

(33)

3

V

ISUALIZAÇÃO DE

M

ATRIZES DE

C

OVARIÂNCIA

C

OMPLEXAS EM DADOS

P

OL

SAR

E

STEcapítulo tem o objetivo de apresentar uma abordagem para a visualização de dados

multivariados complexos, em particular, dados PolSAR com a finalidade de extrair novas informações sobre as imagens.

3.1 Metodologia

Existem várias ferramentas estatísticas para a análise de uma estrutura multivariada de dados, dentre elas podemos citar: análise de componentes principais, análise fatorial, análise de correlação canônica etc. Essas técnicas têm a finalidade de reduzir a estrutura multivariada de alta dimensão para uma dimensão menor, de modo que as relações entre as variáveis que compõem o dado possam ser melhor compreendidas (Friendly,2002).

Tokuda et al.(2011) propuseram uma ferramenta de visualização em camadas. Esse método normalmente utiliza 1000 matrizes de covariância por amostragem. A exibição desse método é em quatro camadas: a primeira camada é composta por histogramas univariados: um do logaritmo dos desvios padrão logσ1e o outro das correlaçõesρ12. A segunda camada

é um conjunto de gráficos de dispersão bivariados de desvios padrões ou correlações. Na terceira é construído um gráfico composto por várias elipses e um gráfico tridimensional de correlações. Por fim, a quarta camada tem o objetivo de reduzir cada matriz de covariância nas medidas escalares: variância efetiva e dependência efetiva, ver Figura3.1.

Figure

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