Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Tese de Doutorado

  

Propriedades estat´ısticas da medida de m´ axima

entropia para atratores parcialmente

hiperb´ olicos

  

Antonio Te´ ofilo Ataide do Nascimento

  Salvador-Bahia 24 de Janeiro de 2014 Propriedades estat´ısticas da medida de m´ axima entropia para atratores parcialmente hiperb´ olicos

  Antonio Te´ ofilo Ata´ıde do Nascimento

  Tese apresentada ao Colegiado do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica UFBA/UFAL como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica, aprovada em 24 de janeiro de 2014.

  Orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior.

  Salvador-Bahia 24 de Janeiro de 2014 Nascimento, Antonio Te´ofilo Ata´ıde do.

  Propriedades estat´ısticas da medida de m´axima entropia para atrato-

res parcialmente hiperb´olicos / Antonio Te´ofilo Ata´ıde do Nascimento. –

Salvador: UFBA, 2014.

  Orientador: Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior. Disserta¸c˜ao (doutorado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´ atica, 2014.

  Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2. Formalismo Termodinˆ amico . 3. Sistemas Parcialmente Hiperb´olicos. I. Junior, Augusto Armando Castro . II.

  Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 512.552.7 Propriedades estat´ısticas da medida de m´ axima entropia para atratores parcialmente hiperb´ olicos

  Antonio Te´ ofilo Ata´ıde do Nascimento

  Tese apresentada ao Colegiado do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica UFBA/UFAL como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica, aprovada em 24 de janeiro de 2014.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Paulo Cesar Rodrigues P. Varandas UFBA

  Prof. Dr. Vitor Domingos Martins de Ara´ ujo UFBA

  Prof. Dr. Alexandre Tavares Baraviera UFRGS

  Prof. Dr. Alexander Eduardo Arbieto Mendoza UFRJ

  Ao meu Pai(em mem´oria). O tempo n˜ao esperou para que estivesse aqui neste momento, mas sei que vocˆe sempre acreditou.

  As minhas filhas J´essica e Vanessa. Em especial a vito- riosa Vanessa. N˜ao me fal- tam respostas para a vida, quando penso em vocˆes. Agradecimentos A Ju, J´essica e Vanessa, pelo amor, carinho e paciˆencia.

  A minha m˜ae e irm˜a, pelo amor e por todo alicerce dado ao longo de minha vida. A Jurandir e Creusa, por toda dedica¸c˜ao a minha esposa Ju e minhas filhas. A Vilmar e Jacson, pela integra¸c˜ao familiar. A Andr´e e Lorena, pelo companheirismo e amizade. Ao meu orientador Armando Castro, pela confian¸ca em trabalharmos juntos e por compartilhar seu conhecimento e humor refinados. Sobretudo pela amizade, compreens˜ao e apoio em momentos bastante dif´ıceis.

  A todos os professores do programa de doutorado em Matem´atica da UFBA- UFAL. Em especial ao professor Paulo Varandas, por nortear bastante meus estudos em Sistemas Dinˆamicos.

  A todos os professores e professoras da UFBa de longas datas, que fizeram parte da minha forma¸c˜ao. Em especial a Adelmo Ribeiro, Marco Antˆonio, Jos´e Fernandes, Ednalva Vergasta e Gra¸ca Luzia pelas orienta¸c˜oes nas inicia¸c˜oes cient´ıficas.

  Aos professores amigos da UFBa: Jos´e Nelson , Evandro, Perfilino, Isac e Enaldo. Ao professor Raimundo Nonato da USP-S˜aoCarlos, pela amizade e por me enco- rajar a fazer o doutorado.

  Aos colegas de turma da UFBA e UFAl: Isnaldo, Kenerson, Rodrigo, Darlinton, Greg´orio e ˆ Angela. N˜ao desistam dos seus ideais.

  Aos amigos e colegas do Mestrado da UFBA ao qual convivi na sala 18: Ana Paula, Emanueli, Felipe, Rodrigo, Dimi, Felipe Antonio(char´a), Darlan, Raimundo, J´ ulio, Jaqueline Costa, Jaqueline Azevedo, Felipe Fonseca, Glendson, Heides, Mariana e Sara.

  Desejo sucesso na jornada do doutorado.

  Aos amigos e colegas do doutorado UFBA da nova sala 282: Aubedir, Ronaldo, Luiz, Roberto, Morro, Anderson, Thiago, Wescley, Alejandra, M´arcia, Elaine, K´atia e Carina. Em especial a Andrˆessa e Elen, por toda aten¸c˜ao e amizade. Tenho certeza do sucesso de todos vocˆes.

  Aos amigos e colegas do mestrado e doutorado UFAl: Giovane, Vagner, M´arcio Cavalcante, Nicolas, Carlos, Adina, M´arcio, Rafael, Marlon e Ivan.

  Aos meus colegas e amigos de trabalho da UNEB, pela torcida. Em especial a Roque, Lorival e Erivelton.

  Ao M´arcio das revistas, pela amizade. Aos funcion´arios da PGMAT-UFBa, pelo pronto atendimento e simpatia. Aos meus amigos do Vˆolei e Xadrez, pela v´alvula de escape dos problemas acadˆemicos e extra-acadˆemicos. Em especial ao velho Jau, pela sua luta.

  Aos meus amigos de Castelo Branco, onde nasci e me criei. Seremos sempre uma fam´ılia.

  A UNEB, pelo aux´ılio financeiro a pesquisa e capacita¸c˜ao de seu corpo docente. Aos professores integrantes da banca examinadora pelas corre¸c˜oes e sugest˜oes. E, sobre tudo, pela aten¸c˜ao que deram ao trabalho.

  Desde j´a, pe¸co desculpas pelos nomes que porventura n˜ao citei aqui, mas que fizeram parte desta batalha.

  ”Queira! Basta ser sincero e desejar pro- fundo. Vocˆe ser´a capaz de sacudir o mundo. Vai! Tente outra vez!”

  Raul Seixas Resumo

  Mostramos a existˆencia e unicidade de medida de m´axima entropia, para dife- omorfismos parcialmente hiperb´olicos semi-conjugados a uma classe de aplica¸c˜oes n˜ao uniformemente expansoras. Bem como provamos a estabilidade estat´ıstica do sistema. E principalmente obtemos propriedades estat´ısticas para tal medida. Mais precisamente, usando a teoria de m´etricas projetivas em cones, provamos o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos e o teorema do limite central para a medida de m´axima entropia. Al´em disso, utilizamos tais t´ecnicas para obter resultados an´alogos no contexto de sistemas parcialmente hiperb´olicos derivados de Anosov.

  Palavras-chave: Formalismo Termodinˆamico, Sistemas Parcialmente Hiperb´olicos, Operador Transferˆencia. Abstract

  We show the existence and uniqueness of the maximal entropy measure for par- tially hyperbolic diffeomorphisms which are semi-conjugate to a class of nonuniformly expanding maps. As well as show the statistical stability of the system. And especially, we obtain good statistical properties for such measure. More precisely, using the theory of projective metric on cones we prove exponential decay of correlations for H¨older con- tinuous observables and the central limit theorem for the measure of maximal entropy. Furthermore, we use such techniques to obtain similar results in the context of partially hyperbolic systems derived from Anosov.

  Keywords: Thermodynamic Formalism, Partially Hyperbolic Systems, Transfer Operator. Sum´ ario

  1 Preliminares 1 1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.1 Cones e M´etricas Projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  4.2 Cones Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  4.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  52

  4 Resultados Ulteriores: Derivados de Anosov

  3.6 Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  3.5 Decaimento Exponencial de Correla¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  3.4 Diˆametro Finito do Cone Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  3.3 Invariˆancia do Cone Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  3.2 Operador Ruelle-Perron-Frobenius e Cones Invariantes . . . . . . . . . . . 23

  20

  1 1.2 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 Propriedades Estat´ısticas

  2.3 Estabilidade Estat´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  2.2 Unicidade da Medida de M´axima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  2.1 Constru¸c˜ao da Medida de M´axima Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  11

  2 Medida de M´ axima Entropia

  7

  4 1.4 Defini¸c˜oes e Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4.3 Propriedades Estat´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Cap´ıtulo 1 Preliminares

1.1 Introdu¸c˜ ao

  O formalismo termodinˆamico aplicado a mecˆanica estat´ıstica tem como precur- sores os trabalhos de Sinai, Ruelle e Bowen para sistemas uniformemente hiperb´olicos e potenciais H¨older, no inicio dos anos 70. Tal teoria foi bem aplicada a outros sistemas como Axioma A e difeomorfismos de Anosov. Fora do contexto uniformemente hiperb´olico ainda n˜ao temos dissecada a teoria. Muitas contribui¸c˜oes neste sentido existem, para citar algumas temos [BK98, BF09, Yur03, OV08, SV09, BF09, Sar99, Cas02, VV10, CV13].

  Especificamente, Varandas e Viana provaram em [VV10] que dados um homeo- morfismo local f : M → M, n˜ao uniformemente expansor, com inversa lipschitziana e um potencial cont´ınuo φ : M

  → R satisfazendo certas propriedades, existem um n´umero finito de estados de equil´ıbrio erg´odicos com respeito a f e φ tais que todo estado de equil´ıbrio ´e combina¸c˜ao linear convexa destes. Na hip´otese da dinˆamica ser topologica- mente exata, existe ent˜ao um ´ unico estado de equil´ıbrio. Al´em disso, Varandas e Viana provaram que os estados de equil´ıbrio s˜ao absolutamente cont´ınuos, em rela¸c˜ao a alguma medida conforme.

  Com este ´ ultimo resultado, atrav´es de uma abordagem da an´alise espectral, Cas- tro e Varandas em [CV13], apresentaram uma outra prova de existˆencia e unicidade de estados de equil´ıbrio associados a uma dinˆamica como em [VV10] e a potenciais H¨older cont´ınuos, de baixa varia¸c˜ao e contidos em um cone de fun¸c˜oes apropriado. Mais ainda, aplicando t´ecnicas de cones e m´etricas projetivas ao operador de Ruelle-Perron-Frobenius, Castro e Varandas em [CV13], provaram boas propriedades estat´ısticas destes estados de equil´ıbrio, a saber, o decaimento exponencial para observ´aveis H¨older cont´ınuo e o teo- rema do limite central. Os autores provaram tamb´em outros resultados de estabilidade sobre pertuba¸c˜oes determin´ısticas e aleat´orias.

  Nosso trabalho aqui ´e provar a existˆencia, unicidade, decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos e o teorema do limite central da me- dida maximizante da entropia, relativa a difeomorfismos parcialmente hiperb´olicos semi- conjugados a aplica¸c˜oes como em [CV13]. Tal medida ser´a constru´ıda a partir do ´ unico estado de equil´ıbrio garantido em [VV10, CV13]. E a partir de resultados de estabilidade obtidos em [CV13], provamos a estabilidade estat´ıstica do sistema. Aplicando tamb´em t´ecnicas de cones e m´etricas projetivas ao operador de Ruelle-Perron-Frobenius para ob- ter contra¸c˜ao num cone de fun¸c˜oes adaptado, estendemos tais t´ecnicas a difeomorfismos parcialmente hiperb´olicos derivados de Anosov.

  Neste cap´ıtulo encontra-se a defini¸c˜ao precisa do nosso contexto parcialmente hiperb´olico e uma fam´ılia de exemplos. Al´em disso recapitulamos as principais defini¸c˜oes com des´ıgnio de enunciar os principais teoremas deste trabalho.

  O segundo cap´ıtulo estabelece a existˆencia e unicidade de medida de m´axima entropia, com base no estado de equil´ıbrio garantido em [CV13]. A constru¸c˜ao de tal medida surge naturalmente da id´eia de que nas regi˜oes de contra¸c˜ao o sistema n˜ao gera entropia, assim, a complexidade do sistema do ponto de vista da entropia ´e determinada pela dinˆamica n˜ao uniformemente expansora como em [CV13]. Provamos aqui tamb´em a estabilidade estat´ıstica do sistema.

  No terceiro cap´ıtulo provamos boas propriedades estat´ısticas da medida de m´axima entropia. Mais precisamente, o decaimento exponencial de correla¸c˜oes e o teorema do li- mite central. Aplicamos as t´ecnicas de cones e m´etricas projetivas e para tal fizemos um breve resumo destes conceitos e principais resultados aqui utilizados. O trabalho mais laborioso ´e a prova da invariˆancia de um cone de fun¸c˜oes apropriado, no sentido de que o mesmo seja estritamente invariante pelo operador de Ruelle-Perron-Frobenius. Al´em disso, encontra-se tamb´em a prova, n˜ao menos ´ardua, que a imagem do cone por tal ope- rador possui diˆametro finito na m´etrica projetiva. Estes s˜ao os requisitos b´asicos para obter contra¸c˜ao na m´etrica projetiva. De posse disto, devido a dualidade nos espa¸cos das medidas de probabilidade, podemos atrav´es do operador de Ruelle-Perron-Frobenius herdar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes e como consequˆencia o teorema do limite central.

  Reservamos ao ´ ultimo cap´ıtulo a extens˜ao natural dos resultados a sistemas de- rivados de Anosov onde admitimos uma parti¸c˜ao de Markov com propriedade mixing, por´em com diˆametro n˜ao necessariamente indo a zero. Estabelecemos de forma precisa o contexto e provamos os principais resultados do terceiro cap´ıtulo. Mais ainda, constru´ımos uma medida candidata a medida de m´axima entropia com boas propriedades estat´ısticas.

1.2 Contexto

  O objetivo principal deste trabalho ´e provar propriedades estat´ısticas da medida de m´axima entropia, relativa a difeomorfismos parcialmente hiperb´olicos semi-conjugados a aplica¸c˜oes g : N

  → N como em [CV13]. Tais aplica¸c˜oes s˜ao homeomorfismos locais de uma variedade riemanniana N , compacta e conexa, de grau maior que dois, de modo que dado qualquer y

  ∈ N existe uma pr´e-imagem x ∈ N onde localmente existe expans˜ao global. Al´em disso, nas demais pr´e-imagens eventualmente pode existir contra¸c˜ao em alguma dire¸c˜ao, por´em tal contra¸c˜ao ´e limitada de modo que a dinˆamica n˜ao contraia muito.

  Mais precisamente, seja g : N → N um homeomorfismo local e assuma que existe uma fun¸c˜ao cont´ınua x x de x

  7→ L(x) tal que, para todo x ∈ N existe uma vizinhan¸ca U tal que g : U ) ´e invert´ıvel e x x x → g(U

  −1 −1

  d(g (y), g (z)) x ). (1.1) x x ≤ L(x) d(y, z), ∀y, z ∈ g(U

  Em particular todo ponto possui o mesmo n´ umero finito de pr´e-imagens deg(g) que coin- cide com o grau de g. Existem tamb´em constantes 0 < λ < 1, L u ≥ 1 e uma regi˜ao aberta

  Ω ⊂ N tais que

  (H1) L(x) u para todo x / ≤ L para cada x ∈ Ω e L(x) < λ ∈ Ω, com L pr´oximo de 1. (H2) Existe uma cobertura finita

  U de N por dom´ınios abertos de injetividade para g, tais que Ω pode ser coberto por q < deg(g) elementos de U.

  A condi¸c˜ao (H1) diz que em N \Ω existe expans˜ao global e na regi˜ao Ω pode haver

  1 contra¸c˜ao em alguma dire¸c˜ao pela aplica¸c˜ao g, em uma taxa m´axima de . A condi¸c˜ao L

  (H2) garante que para todo ponto, ao menos uma pr´e-imagem deste, encontra-se na regi˜ao de expans˜ao.

  Seja ent˜ao f : M → M um difeomorfismo sobre sua imagem, onde M ´e uma variedade riemanniana compacta, tal que exista Π : M

  → N cont´ınua, sobrejetiva e de modo que Π

  (P1) ◦ f = g ◦ Π. [

  −1

  Dado y y = Π (y). Podemos ent˜ao escrever M = M y . Observado que ∈ N, seja M y ∈N f (M y ) g , suponha ainda que f seja uma contra¸c˜ao forte restrita a M y , ou seja,

  (y)

  ⊂ M existe 0 < λ s < 1, suficientemente pequeno, tal que para todo y y g ´e

  (y)

  ∈ N, f : M → M uma λ s -contra¸c˜ao, isto ´e, d(f (z), f (w)) s d(z, w) (P2)

  ≤ λ para todo z, w y .

  ∈ M Nosso objeto de estudo ´e uma medida de m´axima entropia que em particular

  ´e uma medida f -invariante, logo pelo teorema de recorrˆencia de Poincar´e tal medida ´e suportada no atrator

  ∞

  \ n Λ := f (M ). n

  

=0

  Observe que Λ ´e compacto e invariante pela aplica¸c˜ao f . Portanto do ponto de vista de medidas f -invariantes, ´e suficiente estudar a dinˆamica de f restrita a Λ.

  Dados x, y ∈ M denotando a proje¸c˜ao Π(x) por ˆx e a proje¸c˜ao Π(y) por ˆy, exigiremos que M x y

  ˆ ˆ

  ∩Λ e M ∩Λ sejam homeomorfos e que a m´etrica de M seja equivalente a uma m´etrica produto. Mais precisamente, existe um homeomorfismo π x, y : M x

  ˆ ˆ ˆ

  ∩ Λ → M y

  ˆ

  ∩ Λ de modo que

  1 [d N (ˆ x, ˆ y) + d M (π x, y (x), y)] M (x, y) N (ˆ x, ˆ y) + d M (π x, y (x), y)] (P3)

  ˆ ˆ ˆ ˆ

  ≤ d ≤ C [d C para alguma constante C > 0. Onde d M e d N representam as m´etricas riemanniana de

  M e N , respectivamente. Por simplicidade representaremos ambas as m´etricas por d.

  Al´em disso teremos como hip´otese que tais homeomorfismos s˜ao invariantes, isto ´e, f (π x, y (z)) = π g x y (f (z)) (P4)

  ˆ ˆ (ˆ ),g(ˆ )

  para todo z x

  ˆ ∈ M ∩ Λ.

  Observa¸c˜ ao 1. Um segundo objetivo deste trabalho ´e utilizar as t´ecnicas aplicadas ao caso das dinˆamicas semi-conjugadas a aplica¸c˜oes como em [CV 13] e construir uma me- dida invariante para derivados de Anosov parcialmente hiperb´olicos. Bem como, provar boas propriedades estat´ısticas para tal medida. O contexto espec´ıfico para este caso ser´a explicitado no cap´ıtulo 4.

1.3 Exemplos

  1. A mais simples fam´ılia de exemplos sob nosso contexto corresponde a sistemas do tipo skew-product. Mais especificamente, tome um skew-product obtido de uma aplica¸c˜ao g : N

  → N como em [CV13] com N uma variedade riemanniana, com- pacta, conexa e um difeomorfismo local Φ : N × K → K , tais que f : N

  × K → N × K (x, y)

  7→ (g(x), Φ(x, y)) seja um difeomorfismo sobre sua image, e para cada x ∈ N, Φ(x, ·) : K → K seja uma λ s -contra¸c˜ao. Em tal caso, Π ´e a proje¸c˜ao canˆonica na primeira coordenada, e

  [ N K x , onde K x = × K = {x} × K para todo x ∈ N. x

  ∈N

  2. Como um subexemplo, podemos considerar o solen´oide gerado em um toro s´olido

1 S

  × D. Definimos f por

  1

  1

  f : S × D → S × D

  (θ, z) 7→ (g(θ), ϕ(θ) + A(z))

  Figura 1.1: Solen´oide em que g ´e a aplica¸c˜ao de Manneville-Pomeau dada por ( α α

  1

  θ(1 + 2 θ ) , se 0 ≤ θ ≤

  2

  g(θ) = α α

  1

  (θ (1 ) + 1 , se < θ − 1)(1 + 2 − θ) ≤ 1

  2

  onde α ∈ (0, 1), ϕ ´e um difeomorfismo local e A ´e uma contra¸c˜ao.

  2

  3. Podemos modificar os exemplos acima de modo a obter classes C -robustas (con- tendo um conjunto aberto) de exemplos. Estes exemplos s˜ao ditos tipo Derivados de Solen´oide (Derived from Solenoid-like). Para fixar ideias, trabalharemos em dimens˜ao trˆes, come¸cando com um exemplo an´alogo ao do item anterior. Nossa constru¸c˜ao ´e facilmente adapt´avel para di- mens˜oes mais altas. Seja ent˜ao um sistema tipo solen´oide no toro s´olido tridimensional, isto ´e, um

  2

  1

  1 C

  : S −skew-product difeomorfismo hiperb´olico f × D → S × D. Figura 1.2: Manneville-Pomeau

  1

1 Identifique S com S a proje¸c˜ao na primeira coordenada.

  1

  × {0}, e considere Π 1

  1

  1 Suponha ent˜ao que Π : S

1 S

  ◦ f | → S × {y} seja uma aplica¸c˜ao expansora (a qual

  1 n˜ao depende de y seja contrativo ao longo das folhas .

  ∈ D), e que f {x}×D, x ∈ S Ademais, suponha f injetiva restrita a cada folha est´avel

  {x} × D, e portanto f seja um difeomorfismo sobre imagem.

  −1

  Suponha que a norma de Df ao longo do subfibrado est´avel e a norma de Df ao longo do fibrado inst´avel sejam limitadas por uma constante λ < 1/3. Seja p um ponto fixo de f e seja δ > 0 pequeno. Denote V = B(p, δ/2). Ent˜ao, como

  −1

  em [Cas02], deformamos f dentro de V por uma isotopia obtendo uma fam´ılia cont´ınua de aplica¸c˜oes f t , 0 < t < 2 de tal forma que i) A continua¸c˜ao p f t do ponto fixo p vai atrav´es de uma bifurca¸c˜ao tipo flip, ou outra gen´erica, ocorrendo por todo o tempo, em V . Para t = 1, com f conjugado a cs

  1 f . Supomos que a derivada Df E n˜ao expanda vetores.

  1

  | ss ii) No processo, sempre h´a um campo-cone est´avel forte C (cf. [Vi97] para de- cu fini¸c˜oes) e um campo-cone centro-inst´avel C , definidos em toda parte, tal que cu C cont´em a dire¸c˜ao inst´avel da aplica¸c˜ao inicial f . ss cu iii) Finalmente, a abertura dos campos de cones C e C ´e acotada por uma pequena constante α > 0. s iv) Existe uma constante σ > 1 e uma vizinhan¸ca V

  1 (p), tal que c

  ⊂ V ∩ W

  −1 cu

  J = ; E

  1

  kdetDf ν | k > σ fora de V

  −1 −1 −1 cu

  v) As aplica¸c˜oes f s˜ao δ -pr´oximas de f fora de V de modo que E ) t −C k(Df

  1 | k < λ < 1/3 fora de V .

  Note que as propriedades expressas nas condi¸c˜oes i) a v), v´alidas para f t , 0 ≤ ν ≤

  1

  2, s˜ao v´alidas tamb´em em uma C -vizinhan¸ca U do conjunto de difeomorfismos t , 0

  {f ≤ t ≤ 2}. Em particular, por [HPS77] as condi¸c˜oes i) a iii) implicam que todo f ∈ U possui uma folhea¸c˜ao central ivariante, j´a o campo de cones central nos permite definir uma transforma¸c˜ao de gr´afico a ele associado, com dom´ınio no cs espa¸co de folhea¸c˜oes tangentes a C , o qual n˜ao ´e vazio, uma vez que a folhea¸c˜ao inst´avel de f ´e tangente a este campo de cones. Por outro lado, toda f

  ∈ U tamb´em exibe uma folhea¸c˜ao est´avel forte variando continuamente com o difeomorfismo.

  1 Como uma consequˆencia do lema 6.1 de [BoV99] existe uma C -vizinhan¸ca

  1 U ⊂ U

  1

  do conjunto t , 1 < t , o maximal invariante de S

  1

  {f ≤ 2} tal que para todo f ∈ U ×D ´e um atrator parcialmente hiperb´olico, que n˜ao ´e hiperb´olico, por ser transitivo e conter pontos com diferentes ´ındices.

2 Considerando condi¸c˜oes C -robustas sobre as derivadas como em [HP70, HPS77],

  temos que as holonomias (proje¸c˜oes ao longo das folhea¸c˜oes invariantes) podem ser

  1 tomadas de classe C .

  1 Desse modo, podemos considerar para cada f 1 o c´ırculo N = N f = S f que

  ∈ U

  1

  passa por p f (paralelo a primeira componente do produto S f : N f f a ×D), e g → N aplica¸c˜ao dada por g(x) = Π f f (x), onde Π f (y) ´e o ´ unico ponto da variedade est´avel ss forte W (y) de y que intersecta N f . Como a folhea¸c˜ao est´avel forte ´e f invariante, f temos que g(Π f (x)) = Π f f (x), dando-nos a semiconjuga¸c˜ao desejada.

  Nesse exemplo, ´e f´acil verificar, que g ´e n˜ao uniformemente expansora no c´ırculo, com todo ponto possuindo um ramo inverso contrativo, sendo o outro n˜ao muito expansor, conforme as hip´oteses em [CV13].

1.4 Defini¸c˜ oes e Principais Resultados

  Considerando que a entropia topol´ogica mede a taxa exponencial de crescimento do n´ umero de ´orbitas distintas da dinˆamica, daremos ˆenfase `a defini¸c˜ao de entropia to- pol´ogica segundo Bowen, usando a defini¸c˜ao de conjuntos (n, ǫ)-separ´aveis. Para este fim relembramos que um conjunto compacto K contido num espa¸co m´etrico (X, d) ´e dito ser (n, ǫ)-separ´avel se j j d(f (x), d(f (y)); j = 0, > ǫ

  ∀x, y ∈ K, x 6= y, max · · · , n − 1 Denotaremos por S(n, ǫ, K) a m´axima cardinalidade de um subconjunto (n, ǫ)-separ´avel de K. Definiremos a entropia topol´ogica de f relativa a um subconjunto compacto K de X, n˜ao necessariamente invariante, por

  1 h(f, K) = lim lim sup log S(n, ǫ, K). ǫ →0 n n

  

→∞

  E assim podemos definir a entropia topol´ogica de uma aplica¸c˜ao uniformemente cont´ınua f : X → X, (X n˜ao necessariamente compacto) como sendo

  {h(f, K); K compacto } Como no nosso contexto Λ ´e compacto, a continuidade de f ´e suficiente para a defini¸c˜ao da entropia. Notemos tamb´em que a defini¸c˜ao acima depende da m´etrica. Mas se X ´e compacto e f ´e cont´ınua por [W93] temos que h(f ) = h(f, X) e n˜ao depende da m´etrica.

  Abrimos m˜ao da defini¸c˜ao puramente topol´ogica da entropia, que pode ser vista tamb´em em [W93], pois a defini¸c˜ao acima ser´a mais adequada para determinarmos a entropia de f . Mas precisamente, provaremos que a entropia de f ´e igual a entropia de g.

  Agora, com o intuito de estabelecer nossos principais resultados daremos a de- fini¸c˜ao de entropia segundo Shannon [S48], em 1948, nos seus estudos em teoria da in- forma¸c˜ao. Tal defini¸c˜ao, quantifica a complexidade da dinˆamica relativa a uma medida, ou seja, estaremos interessados em estudar a taxa de crescimento exponencial de ´orbitas que s˜ao relevantes a uma determinada medida.

  Iniciaremos definindo a entropia de uma parti¸c˜ao relativa a uma medida. Dado

  1

  um espa¸co de medida (X, (X), isto ´e, µ ´e uma medida de probabi-

  B, µ) tal que µ ∈ M f lidade f -invariante, definiremos a entropia de uma parti¸c˜ao finita P de X por:

  X h µ ( µ(P ) log µ(P ). P) = − P ∈P

  Tendo em mente que se P e Q s˜ao parti¸c˜oes de X, ent˜ao P ∨Q := {P ∩ Q; P ∈ P, Q ∈ Q}

  −1

  e f ( P) s˜ao ainda parti¸c˜oes de X, podemos definir

  1 n

  −1 −1

  h µ (f, h µ ( ( ( P) = lim P ∨ f P) ∨ · · · ∨ f P)). n →∞ n A entropia de f relativa a µ ´e dada por h µ (f ) := sup µ (f,

  {h P); P finita }. O princ´ıpio variacional estabelece uma rela¸c˜ao natural entre a entropia topol´ogica e a entropia to- pol´ogica relativa a uma medida. Precisamente ele nos diz que, se f ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua e X ´e um espa¸co m´etrico compacto ent˜ao

  1 h(f ) = sup h µ (f ); µ (X) .

  ∈ M f Dizemos ent˜ao que uma medida de probabilidade f -invariante µ ´e uma medida de m´axima entropia para f se h(f ) = h µ (f )

  Estamos em condi¸c˜oes agora de enunciar os principais resultados deste trabalho:

  Teorema A. (Medida de M´ axima Entropia) Seja f : Λ → Λ um difeomorfismo satisfazendo (P1), (P2) e (P3). Ent˜ao existe uma ´ unica medida µ de m´axima entropia para f .

  Provaremos tamb´em propriedades estat´ısticas de tal medida. Mais precisamente provaremos que tal medida de m´axima entropia possui decaimento exponencial de cor- rela¸c˜ao para observ´aveis H¨older cont´ınuos e satisfaz o teorema do limite central que ´e bastante relevante na mecˆanica estat´ıstica.

  Dizemos que uma medida ν possui decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos, se existe alguma constante 0 < τ < 1 tal que para todo ϕ, ψ α-H¨older existe K(ϕ, ψ) > 0 satisfazendo

  Z Z Z n n (ϕ )ψdν ϕdν ψdν , para todo n

  ◦ f − ≥ 1.

  ≤ K(ϕ, ψ) · τ Utilizando a teoria de cones e m´etricas projetivas provaremos o seguinte teorema: Teorema B. (Decaimento Exponencial de Correla¸ c˜ oes) A medida µ de m´axima entropia para f : Λ

  → Λ, satisfazendo (P1), (P2), (P3) e (P4), possui decaimento expo- nencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos. Vale ainda o teorema do limite central para a medida µ, isto ´e: Teorema C. (Teorema do Limite Central)

  Seja µ de m´axima entropia para f : Λ → Λ, satisfazendo (P1), (P2), (P3) e

  (P4). Dada ϕ uma fun¸c˜ao H¨older cont´ınua e

  ∞

  Z Z Z

  X j

  2

  2 σ := φ dµ + 2 φ ) dµ, onde φ = ϕ ϕ dµ. ϕ j · (φ ◦ f − =1

  1 Ent˜ao σ ϕ < ϕ = 0 se, somente se, ϕ = u (µ). Mais ainda,

  ∞ e σ ◦ f − u para algum u ∈ L se σ ϕ > 0 ent˜ao para todo intervalo A ⊂ R n −1 !

  Z Z t2

  X

  −

  1 j

  1 2σ2 ϕ lim µ x ϕ(f (x)) ϕdµ = e dt. n →∞ ∈ M : √ − ∈ A √ n A j σ ϕ 2π

  =0 Cap´ıtulo 2 Medida de M´ axima Entropia

  Provaremos neste cap´ıtulo a existˆencia de uma ´ unica medida de m´axima entropia para f , que ser´a constru´ıda a partir do ´ unico estado de equil´ıbrio para g, associado aos potenciais constantes, que ´e garantido por Castro e Varandas em [CV13]. Al´em disso provaremos a estabilidade estat´ıstica do sistema.

2.1 Constru¸c˜ ao da Medida de M´ axima Entropia

  A ideia da constru¸c˜ao da medida de m´axima entropia ´e que, devido `a contra¸c˜ao de f : M y g , a dinˆamica das ´orbitas distintas de f : M

  (y)

  → M → M vai ser determinada pelo comportamento da aplica¸c˜ao g : N

  → N. Tal aplica¸c˜ao possui, como visto em [CV 13], uma ´ unica medida de m´axima entropia, a qual denotaremos por ν, que coincide com o unico estado de equil´ıbrio para g associado aos potenciais constantes. Nada mais natural ´

  −1

  ent˜ao definir uma medida em M a partir de conjuntos da forma Π (A) onde A ´e um mensur´avel da σ-´algebra de Borel em N .

  Como Π ´e cont´ınua, sobrejetiva e Π ◦ f = g ◦ Π, pode ser visto em [W93] que, h(f )

  ≥ h(g). Mais ainda, devido a Bowen [Bow71] segue que

  −1

  h(f ) (y)); y ≤ h(g) + sup{h(f, Π ∈ N}

  −1

  Provaremos que h(f, Π (y)) = 0 para todo y y g ´e uma

  (y)

  ∈ N. De fato, como f : M → M λ s -contra¸c˜ao, fixado ǫ > 0, os ´ unicos conjuntos (n, ǫ)-separ´aveis em bolas de diˆametro ǫ

  −1

  restritas a M y s˜ao os conjuntos unit´arios. Assim, como Π (y) pode ser escrito como uni˜ao de m(ǫ) ∈ N bolas de diˆametro ǫ, conclu´ımos que a maior cardinalidade de um conjunto

  −1 −1

  (n, ǫ)-separ´avel em Π (y) ´e m(ǫ). Portanto, para todo n (y)) ∈ N temos S(n, ǫ, Π ≤

  −1

  m(ǫ) e pela defini¸c˜ao da entropia segue que h(f, Π (y)) = 0 para todo y ∈ N. Logo h(f )

  ≤ h(g), garantindo que h(f) = h(g).

  Esta informa¸c˜ao nos permitir´a construir uma medida de m´axima entropia para f a partir de uma medida de m´axima entropia para g. De fato, sabemos por [CV13] que existe uma ´ unica medida de probabilidade g-invariante, a qual denotamos por ν, que realiza a m´axima entropia de g. Pelo princ´ıpio variacional, como h(f ) = h(g), a medida ν possui entropia relativa a g, maior que a entropia relativa a f de qualquer outra medida de probabilidade que seja f -invariante. Assim, ´e suficiente obter uma medida de probabilidade f -invariante, que possua entropia relativa a f maior que a entropia de ν relativa a g.

  Para tal, seja Π a restri¸c˜ao de Π ao conjunto Λ. Seja N a σ-´algebra de Borel

  Λ

  A

  −1

  de N . Claramente, := Π ( N ) ´e uma σ-´algebra em Λ. Os elementos de A em A A

  A

  Λ −1

  s˜ao da forma A = Π (B) onde B N . Como f ´e uma bije¸c˜ao em Λ e Π

  Λ Λ

  ∈ A ◦ f = g ◦ Π

  Λ

  temos que

  −1 −1 −1 −1 −1 A = Π (B) = f (B) = f (B).

Λ ◦ f ◦ Π Λ ◦ Π Λ ◦ g

n −1

  Sabemos que g (B) pertence a N . Segue ent˜ao que ) e assim n := f ( ) A A ⊂ f(A A A

  ´e uma sequˆencia de σ-´algebras tais que n n : n

  1 A ⊂ A ⊂ · · · ⊂ A ⊂ · · · . Seja agora µ A →

  [0, 1] definida por: n µ n (f (A )) = ν(Π Λ (A )) para todo A . Observemos que µ n ´e f -invariante para todo n n −1 ∈ A

  ∈ N. De fato, dado A = f (A ), onde A = Π (B) e B N , segue da g-invariˆancia da ν e sobreje¸c˜ao das

  ∈ A

  Λ

  aplica¸c˜oes g e Π , que:

  Λ −1 −1 n n −1

  µ n (f (A)) = µ n (f (f (A ))) = µ n (f (f (A )))

  −1 −1 −1

  = ν(Π Λ (f (A ))) = ν(Π Λ (f (B))) ◦ Π

  Λ −1 −1 −1

  = ν(Π (Π (B))) = ν(g (B))

  Λ

  ◦ g

  Λ

  = ν(B) = ν(Π (A )) n

Λ = µ n (f (A )) = µ n (A) Figura 2.1: Invariˆancia da Medida µ no solenoide

  ∞

  [ Agora, como n n , temos que n ´e uma ´algebra em Λ.

  • 1

  A ⊂ A A := A n

  =0

  Definiremos ent˜ao µ : n (A) se A n . Claramente µ A → [0, 1] tal que µ(A) = µ ∈ A est´a bem definida e al´em disso ´e finitamente aditiva visto que µ n o s˜ao e n n +1 . Para

  A ⊂ A provar que µ ´e σ-aditiva utilizaremos o seguinte crit´erio, que pode ser visto em [Mane]: Proposi¸c˜ ao 1. Seja

  A uma ´algebra de subconjuntos de X e µ : A → [0, 1] uma fun¸c˜ao tal que n

  X µ(A n ) = µ(A i )

  1 ∪ · · · ∪ A i =1

  para toda fam´ılia (A i ) de subconjuntos disjuntos de X em

  1≤i≤n

  A. Suponha que exista uma fam´ılia C ⊂ A tal que n

  • C ´e uma classe compacta, isto ´e, se C

  1 ⊃ C 2 ⊃ · · · ⊃ C ⊃ · · · s˜ao elementos de C ∞

  \ ent˜ao C n n =1 6= ∅.

  • C satisfaz a propriedade de aproxima¸c˜ao, isto ´e, para todo A ∈ A temos µ(A) = sup

  {µ(C); C ⊂ A, C ∈ C} Ent˜ao µ ´e uma medida.

  ✷ Seja ent˜ao K N a reuni˜ao de todos os compactos de N . Podemos definir uma

  ∞

  [ n

  −1

  subfam´ılia := Π (K N ) de tal que := f ( ) contida em

  

Λ

  K Λ A K K A ´e uma classe n

  =0

  compacta e satisfaz a propriedade de aproxima¸c˜ao. Provemos estes fatos: n . Para cada i

  1

  2 Λ

  • Seja C ⊃ C ⊃ · · · ⊃ C ⊃ · · · subconjuntos de K ∈ N, existe n i −1 −1

  D i N e n i i = f Π (D i ) . Como Π (D i ) ´e compacto, pois ´e ∈ K ∈ N tais que C

  Λ Λ

  fechado e est´a contido no compacto Λ, segue pela continuidade da f , que (C ) ´e i i ∈N

  ∞

  \ uma fam´ılia de compactos encaixantes, em particular C n n 6= ∅.

  =1 Λ

  • Dado agora, A ∈ A queremos provar que µ(A) = sup {µ(C); C ⊂ A, C ∈ K }. Sa- bemos que pela regularidade da medida ν, para todo B N temos ν(B) =

  ∈ A sup N Λ se, somente se, existe {ν(D); D ⊂ B, D ∈ K }. Observemos que C ∈ K n −1

  D N tal que f (Π (D)) = C. Al´em disso ∈ K Λ n

  −1 −1

  µ(C) = µ(f (Π (D))) = ν(Π (D)) = ν(D),

  Λ Λ ◦ Π Λ

  portanto sup N Λ {ν(D); D ⊂ B, D ∈ K } = sup {µ(C); C ⊂ A, C ∈ K }. Como para todo A tal que µ(A) = ν(B) obtemos que N

  ∈ A existe B ∈ A µ(A) = sup

  Λ {µ(C); C ⊂ A, C ∈ K } .

  Logo, pelo crit´erio de aditividade dado acima, segue-se que µ ´e uma medida σ- aditiva. Mais ainda, µ ´e f -invariante, j´a que todas as µ n s˜ao f -invariantes. Resta-nos ent˜ao provar que a extens˜ao de

  A coincide com a σ-´algebra de Borel. Para tal, como A est´a contida na σ-´algebra de Borel de Λ, pois Π ´e cont´ınua, ´e suficiente notar que

  Λ

  A cont´em uma sequˆencia de parti¸c˜oes cujo diˆametro vai a zero, pois f : M y g ´e uma

  (y)

  → M λ s -contra¸c˜ao. n n Com efeito, para todo n

  , dado λ existe ∈ N, pela continuidade(uniforme) de g s n n n

  δ(n) > 0 tal que d(z, w) < δ(n) implica que d(g (z), g (w)) < λ , para todo z, w s ∈ N. Seja ent˜ao uma sequˆencia de parti¸c˜oes em N formada por borelianos e cujo diˆametro n

  P da parti¸c˜ao ´e menor que δ(n). Definiremos agora a sequˆencia de parti¸c˜oes n n := f Π (2.1) −1 P P n

  Λ n −1

  de Λ cujo diˆametro vai a zero. De fato, dados ¯ x, ¯ y n onde P n = f Π (P ) ∈ P n n n Λ para algum elemento P , existem x, y (x) e ¯ y = f (y) com n n

  ∈ P ∈ Λ tais que ¯x = f Π(x), Π(y) . Assim, definindo ˆ x = Π(x), ˆ y = Π(y), ˜ x = Π(¯ x) e ˜ y = Π(¯ y) e observando n

  ∈ P n n n n n n

  que g (ˆ x) = g (Π(x)) = Π(f (x)) = ˜ x e g (ˆ y) = g (Π(y)) = Π(f (y)) = ˜ y obtemos que n n n n d(f (x), f (y)) x, y (x), f (y))]

  ˜ ˜

  ≤ C [d(˜x, ˜y) + d(π ◦ f n n n n = C [d(g (π x, ˆ y ˆ (x)), f (y))]

  ◦ Π(x), g ◦ Π(y)) + d(f s s ˆ ˆ + λ d(π x, y (x), y)] ≤ C [λ n s . ≤ C [1 + diam(M)] λ

  Com abuso de nota¸c˜ao, denotaremos ainda por µ sua extens˜ao `a σ-´algebra de Borel. Sabemos que µ ´e tamb´em f -invariante. Agora provaremos que a entropia de µ relativa a f ´e maior que a entropia de

  ν relativa a g. Para isto observamos que o estado de equil´ıbrio constru´ıdo em [V V 10] ´e n erg´odico. Denotaremos por B (g, y ) a (n, ǫ)-bola dinˆamica de g no ponto y ǫ j j ∈ N, isto ´e, o conjunto de pontos y (y), g (y )) < ǫ,

  ∈ N, tais que d(g ∀j ∈ {0, · · · , n − 1}. Segue ent˜ao, por Brin-Katok, que existe F ⊂ N de medida ν total, onde

  1

  1 h ν (g) = lim lim sup log ǫ →0 n n ν (B (g, y)) n

  →∞ ǫ

  para todo ponto y ∈ F . n Seja agora B (f, x) a (n, ǫ)-bola dinˆamica de f restrita a Λ no ponto x ǫ j j ∈ Λ, ou seja, os pontos z (z), f (x)) < ǫ,

  ∈ Λ tais que d(f ∀j ∈ {0, · · · , n − 1}. Pela continui- dade(uniforme) de Π dado ǫ > 0 existe 0 < δ < ǫ tal que Π(B δ (w)) ǫ (Π(w)) para n −1 n −1 ⊂ B todo w (f, x) (B (g, y)) para todo x (y). ∈ M. Observaremos ent˜ao que B δ ⊂ Π ǫ ∈ Π n n Λ Λ

  De fato, dado z (f, x) devemos provar que Π(z) (g, y). Como Π(x) = y ∈ B δ ∈ B ǫ temos para todo j j j j j j j ∈ {0, · · · , n − 1} d(g (y)) = d(g (z), Π (x)) < ǫ.

  ◦ Π(z), g ◦ Π(z), g ◦ Π(x)) = d(Π ◦ f ◦ f Por esta raz˜ao n n n

  −1

  µ (B (f, x)) (B (g, y)) = ν (B (g, y)) δ ≤ µ Π ǫ ǫ

  Λ

  e portanto como δ → 0 quando ǫ → 0 temos que

  1

  1 h (g) lim sup log ν ≤ lim δ n

  →0 n →∞ n µ (B (f, x)) δ

  −1 −1

  para todo ponto x (F ). Observe que µ(Π (F )) = ν(F ) = 1, assim ∈ Π Λ Λ

  Z

  1

  1 h µ (f ) = lim lim sup log dµ δ n

  →0 n n µ (B (f, x)) →∞ Λ δ

  Z h ν (g)dµ ≥ −1

  Π (F ) Λ

  = h ν (g) e ent˜ao conclu´ımos que, h µ (f ) ν (g) = h(g) = h(f ), ou seja, µ ´e uma medida de ≥ h m´axima entropia para f .

2.2 Unicidade da Medida de M´ axima Entropia

  Provaremos agora a unicidade da medida de m´axima entropia para f constru´ıda na se¸c˜ao anterior. A prova baseia-se na unicidade da medida de m´axima entropia de g. Suponha que µ ´e tamb´em uma medida invariante de m´axima entropia para f diferente de

  1

  µ. Seja ν := (Π ) µ , o push-forward da medida µ . Como µ ´e diferente de µ segue-se

  1 Λ

  1

  1

  1 ∗

  que ν

  1 ´e diferente de ν. De fato, como µ 1 ´e diferente de µ, existe A 1 (A) n ∈ A tal que µ

  ´e diferente de µ(A). Sabemos que ) ( ) n A = A ∪ f(A ∪ · · · ∪ f A ∪ · · · , assim existem A e n (A ) = A. Pela defini¸c˜ao de existe B N tal que

  ∈ A ∈ N tais que f A ∈ A

  −1

  Π (B ) = A . Observemos agora que

  Λ −1 n

  ν (B ) = (Π ) µ (B ) = µ (Π (B )) = µ (A ) = µ (f (A )) = µ (A)

  1 Λ

  1

  1

  1

  1

  1 Λ ∗

  e por outro lado n ν(B ) = ν(Π (A )) = µ(A ) = µ(f (A )) = µ(A)

  Λ

  e como consequˆencia temos que ν ´e diferente de ν. Pela f -invariˆancia de µ segue ime-

  1 1 diatamente que ν ´e g-invariante.

  1 Provaremos ent˜ao que ν 1 ´e tamb´em uma medida de m´axima entropia para g, o

  que ´e uma contradi¸c˜ao. Para isto ´e suficiente provar que h ν (g) µ (f ), j´a que estamos 1 ≥ h 1 supondo µ uma medida de m´axima entropia para f e sabemos que a entropia de f ´e

  1 igual a entropia de g.

  Com efeito, podemos assumir que a sequˆencia de parti¸c˜oes ´e obtida por refi- n P n

  −1

  namento. Ent˜ao n = f Π ( ) , como em 2.1, ´e tal que

  1 n

  P P n P ≤ P ≤ · · · ≤ P ≤ · · ·

  Λ ∞

  [ e como n gera a σ-´algebra de Borel temos n P

  =0

  h µ (f ) = sup µ (f, P n ) 1 {h n 1 } . Assim, para todo ǫ > 0 existe n ∈ N tal que h µ (f, P n ) µ (f ) 1 ≥ h 1 − ǫ.

  Por outro lado, segue da defini¸c˜ao de ν que para todo n

  1

  ∈ N

  −1 h ν (g, P ) = h µ (f, Π P ). 1 n 1 n Λ

  De fato, para qualquer parti¸c˜ao ´e dada por

  1 P a entropia de g relativa a medida ν

  1

  −1 −(m−1)

  h (g, h ( ( ν ν 1 P) = lim m 1 P ∨ g P) ∨ · · · ∨ g P)

  →∞

  m pela defini¸c˜ao de ν e a semi-conjuga¸c˜ao das dinˆamicas f e g obtemos

  1 m −1 m −1 ! !!

  _ _

  

−j −1 −j

  ν g (P i ) = µ Π g (P i )

  1 j 1 j j j Λ =0 =0 m ! −1

  _

  −1 −j

  = µ Π g (P i )

  1 j j Λ =0 m ! −1

  _

  −j −1

  = µ

  1 f Π (P i j ) j =0 Λ m m ! ! −1 −1

  _ _

  −j −j −1

  o que nos garante que h ν g ( = h µ f Π ( e consequentemente 1 P) j j 1 Λ P)

  =0 =0

  obtemos

  −1

  h ν (g, µ (f, Π ( 1 1 P) = h Λ P)) e segue da f -invariˆancia de µ que

  1 −1

  h µ (f, Π ) = h µ (f, n ) 1 P n 1 P

  Λ n −1

  pois P n n se somente se existem P tais que P n = f (Π (P )). Assim j n n j n ∈ P j ∈ P Λ j m m

  W −1 W −1

  

−j −j n −1

  µ

  1 f (P n ) = µ

j j j n

1 f f Π (P )

=0 =0 Λ j

m

  W −1 n −1

  −j

  = µ f f Π (P )

  1 n j =0 Λ j n −1 W m −1 −j

  = µ f f Π (P )

  1 j n j m =0 Λ

  W −1

  −j −1

  = µ 1 f Π (P ) . j n =0 Λ j Obtemos ent˜ao que para todo ǫ > 0 existe n ∈ N tal que h ν (g) ν (g, P ) 1 ≥ h 1 n

  −1

  = h µ 1 n

  f, Π P

  Λ

  = h µ (f, P n ) µ (f ) 1 ≥ h 1 − ǫ provando que h ν (g) µ (f ). Logo µ ´e a uma ´ unica medida de m´axima entropia para 1 1

  ≥ h f .

2.3 Estabilidade Estat´ıstica

  Provaremos agora a estabilidade estat´ıstica para a medida µ. Mais precisamente,

  

1

  provaremos que se f n , e Π n onde Π n semi- → f na topologia C → Π na topologia C conjuga as aplica¸c˜oes f n e g n (como em [CV13]) ent˜ao µ n

  → µ na topologia fraca-∗, onde µ n (respectivamente µ) ´e maximizante da entropia para f n (respectivamente f ). Para tal para f , considere a cole¸c˜ao

  C cujos elementos s˜ao abertos A no ambiente M cuja fronteira tem medida µ nula da forma A = x M x , com B

  ∈B

  ∪ ⊂ N uma bola aberta j de fronteira medida ν nula, e dos abertos iterados de tais abertos por f , j k ≥ 0. Observe que f ( x M x ) ´e uma vizinhan¸ca dos atratores Λ n onde as µ n est˜ao suportadas, para

  ∈N

  ∪ todo n suficientemente grande. Note que a cole¸c˜ao ˆ C formada por C e as imagens por iterados positivos de f de seus elementos forma uma base de vizinhan¸cas de Λ.

  Primeiro mostremos o seguinte lema Lema 1. Seja ˆ A n ( ˆ

  A)

  A) quando n ∈ ˆ C. Ent˜ao µ → µ( ˆ → +∞. k k

  Prova: Dado ˆ A = f (A), com A = x ∈B M x . Como f ( x ∈N M x ) ´e uma vizi- ∪ ∪ nhan¸ca dos atratores Λ n onde as µ n est˜ao suportadas, para todo n suficientemente grande, basta mostrar que µ n (A) → µ(A).

  −1

  Seja ent˜ao A n := Π (B). Temos que µ n (A n ) = ν n (B), onde ν n ´e a medida de n m´axima entropia associada a g n como em [CV13]. E sabemos tamb´em que µ(A) = ν(B), onde ν ´e a medida de m´axima entropia associada a g como em [CV13].

  − +

  Dado ǫ > 0, tome B , com fronteira ν ⊃ B ⊃ B −nula tais que

  − +

  ν(B ) ) + ǫ/3, − ǫ/3 < ν(B) < ν(B

  ± −1 ±

  Suponha ainda A := Π (B ), com fronteira µ onde, para todo n n

  2

  −nula tais que existe n

  − +

  n temos A e

  2 n n

  ≥ n ⊃ A ⊃ A

  − +

  µ(A ) ) + ǫ/3, n − ǫ/3 < µ(A) < µ(A n Tais conjuntos s˜ao poss´ıveis pela convergˆencia C das folhea¸c˜oes de f n a f . Da´ı, por um lado, tal que

  1

  2

  ∃n ≥ n 2ǫ

  − −

  µ(A) n (A) n (A ) = ν(B) n (B ) , − µ ≤ µ(A) − µ n − ν ≤

  3

  − −

  para todo n , uma vez que ν n (B ) ) pela estabilidade estat´ıstica provada

  1

  ≥ n → ν(B em [CV13]. Analogamente, provamos a outra desigualdade, implicando que existe n tal

  1

  ≥ n que n (A) . |µ(A) − µ | < ǫ, ∀n ≥ n Isso finaliza a prova do lema.

  Estamos agora em condi¸c˜oes de provar o seguinte teorema: Z Z Teorema 1. Dada ϕ cont´ınua. Ent˜ao ϕdµ n ϕdµ. M M

  Prova: Este teorema est´a fundamentalmente provado em [Cas08]. Relembramos a prova para a completude do texto. Seja ǫ > 0 dado, e δ > 0 da continuidade uniforme de k ϕ correspondente a ǫ/9. Tome ent˜ao uma cobertura C , C j j

  ∪ j =1 ∈ ˆ C de Λ, com diˆametro menor que δ/3. Existe n tal que tal cobertura tamb´em cobre Λ n , . Em particular, k ∀n ≥ n µ n (M C j ) = 0, . j

  \ ∪ =1 ∀n ≥ n k Tome uma parti¸c˜ao da unidade j , j = 1, . . . , k C j . j {ψ } associada a ∪ =1

  Para cada C j , tome x j j e escreva ∈ C k

  X ϕ = ˆ ϕ(x j )ψ j . j =1 Da´ı, ϕ < ǫ/3.

  ∞

  kϕ − ˆ k Tome ent˜ao n tal que n j ) . ǫ

  |(µ − µ)(C | < 3k kϕk ∞

  Da´ı, Z Z Z Z Z Z Z Z

  ϕdµ n ϕdµ ϕdµ n ϕdµ ˆ n ϕdµ ˆ n ϕdµ ˆ ϕdµ ϕdµ ˆ − − − − M M M M M M M M k + ≤

  X ϕ ∞ ∞ n (C j ) j ) ϕ ∞ < ǫ, . j =1 kϕ − ˆ k kϕk |µ − µ(C | + kϕ − ˆ k ∀n ≥ n

Cap´ıtulo 3 Propriedades Estat´ısticas

  Neste cap´ıtulo, provamos boas propriedades estat´ısticas da medida de m´axima entropia. Utilizamos aqui as t´ecnicas de cones e m´etricas projetivas para obter contra¸c˜ao num cone estritamente invariante pelo operador Ruelle-Perron-Frobenius, onde tal cone possui diˆametro finito em rela¸c˜ao a m´etrica projetiva. Com isto, provamos o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨olderes e como consequˆencia obtemos que tamb´em ´e v´alido o teorema do limite central.

3.1 Cones e M´ etricas Projetivas

  Relembraremos aqui alguns resultados sobre a teoria de cones e m´etricas projetiva associados a operadores lineares. Mais precisamente apresentaremos o teorema de Birkhoff o qual garante a contra¸c˜ao, na m´etrica projetiva, de operadores lineares restritos a cones invariantes. Enunciaremos aqui alguns resultados sobre a teoria, cuja prova pode ser visto em [Li95, Bal00, Vi97].

  Seja E um espa¸co vetorial. Dizemos que C ⊂ E\{0} ´e um cone se t > 0 e v

  ∈ C ⇒ t · v ∈ C. Um cone ´e dito convexo se t , t > 0 e v , v + t

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  ∈ C ⇒ t · v · v ∈ C, tal condi¸c˜ao permite combinar quaisquer dire¸c˜ao do cone.

  Mesmo na ausˆencia de uma topologia, definiremos o fecho C de C, como sendo o conjunto dos pontos w ∈ E tais que existem v ∈ C e uma sequˆencia de elementos positivos

  (t n ) , tendendo a zero, tais que w + t n n · v ∈ C para todo n ∈ N. Segue da defini¸c˜ao de

  ∈N fecho que 0 ∈ C qualquer que seja o cone C ⊂ E. Al´em disso estamos interessados em eliminar cones degenerados, como por exemplo, semi-planos. Para tal exigiremos que

  C = ∩ −C {0}. Denominaremos os cones convexos com a propriedade acima de cones projetivos. Pas- saremos agora a definir a m´etrica projetiva associada ao cone projetivo C. Sejam

  α(v, w) = sup {t > 0; w − t · v ∈ C} e

  Figura 3.1: M´etrica Projetiva - Fun¸c˜ao α β(v, w) = inf {s > 0; s · v − w ∈ C} . Observe que

  {t > 0; w − t · v ∈ C} e {s > 0; s · v − w ∈ C} podem ser vazios. Assim, por Figura 3.2: M´etrica Projetiva- Fun¸c˜ao β se tratar de valores positivos, convencionaremos que sup

  ∅ = 0 e naturalmente inf ∅ = +∞. Definiremos agora

  β(v, w) θ(v, w) = log . α(v, w) Convencionando que θ = + ∞ se α = 0 ou β = +∞ e observando que α(v, w) ≤ β(v, w), segue que θ(v, w) toma valores em [0, +

  ∞]. A pr´oxima proposi¸c˜ao estabelece que θ ´e uma m´etrica no espa¸co quociente C/ ∼, onde v ∼ w se, somente se, existe t > 0 tal que v = t

  · w. Proposi¸c˜ ao 2. Seja C um cone projetivo. Ent˜ao θ(

  ·, ·) : C ×C → [0, +∞] ´e uma m´etrica em C/ ∼, isto ´e, • θ(v, w) = θ(w, v).

  • θ(u, w) ≤ θ(u, v) + θ(v, w).
  • θ(v, w) = 0 se somente se existe t > 0 tal que v = t · w

  A m´etrica θ ´e denominada m´etrica projetiva associada ao cone C. A dependˆencia do cone ´e dada de forma mon´otona, isto ´e, dados dois cones C e C projetivos, tais que

  1

  2

  β β

  1

  2 C

  1 2 , denotando por θ 1 = log e θ 2 = log suas respectivas m´etricas projetivas,

  ⊂ C α α

  1

  2

  temos que θ

  1 2 . Com efeito, como

  1

  2

  ≥ θ {t > 0; w − t · v ∈ C } ⊂ {t > 0; w − t · v ∈ C } e e β . Logo,

  1

  1

  2

  1

  2

  {s > 0; s · v − w ∈ C } ⊂ {s > 0; s · v − w ∈ C} segue-se que α ≤ α ≥ β θ .

  1

  2

  ≥ θ Uma observa¸c˜ao sobre a m´etrica projetiva ´e que vetores na fronteira do cone

  ∂C := C \ C, possuem distˆancia infinita para qualquer outro vetor no cone. Com efeito, se w

  ∈ ∂C ent˜ao w / ∈ C. Dados v ∈ C e t > 0 tais que w − tv ∈ C, obtemos que w = w − tv + tv ∈ C. O que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo α(v, w) = sup ∅ = 0 e assim

  θ(v, w) = + ∞.

  Outro fato interessante associado a m´etricas projetivas, ´e que dados E e E

  1

  2

  espa¸cos vetoriais, L : E

  1 2 operador linear e C 1 , C 2 cones projetivos tais que L(C 1 )

  → E ⊂

  C , temos que L ´e uma contra¸c˜ao fraca restrito a C , mais precisamente,

  2

  1

  θ (L(v), L(w)) (v, w), para todos v, w

  2

  1

  1

  ≤ θ ∈ C Por´em, podemos obter uma contra¸c˜ao forte sobre a hip´otese de que o θ -diˆametro de

  2 L(C ) ´e finito. Este resultado ´e devido a Birkhoff, que pode ser encontrado, por exemplo,

  1 em [Vi97, Proposi¸c˜ao 2.3].

  Teorema 2. Sejam E e E espa¸cos vetoriais e sejam C e C cones projetivos.

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  ⊂ E ⊂ E Se L : E

  1 2 ´e um operador linear tal que L(C 1 ) 2 e

  → E ⊂ C D = sup (L(v), L(w)); v, w

  {θ

  2 ∈ C 1 } < ∞

  ent˜ao

  −D

  θ

  2 (L(v), L(w)) θ 1 (v, w),

  ≤ 1 − e para quaisquer v, w .

  1

  ∈ C Uma boa aplica¸c˜ao do teorema anterior ´e que ele nos permite provar a existˆencia de um ´ unico ponto fixo para L, atrav´es da convergˆencia de sequˆencias no cone projetivo. Em particular, ´e sabido na teoria do formalismo termodinˆamico, que se L ´e o operador transferˆencia, o qual definiremos na pr´oxima se¸c˜ao, obtendo medidas conformes (auto medidas do dual do operador transferˆencia) podemos a partir destas obter bons candidatos a medida de m´axima entropia.

  

3.2 Operador Ruelle-Perron-Frobenius e Cones Inva-

riantes

  Relembramos que o objetivo principal deste trabalho ´e deduzir boas proprie- dades estat´ısticas da medida de m´axima entropia associada a dinˆamica f . A t´ecnica aqui presente ´e utilizar o operador Ruelle-Perron-Frobenius(por simplicidade denominado operador transferˆencia) para obter a partir da dualidade com o operador de Koopman, U (ϕ) = ϕ

  ◦ f, o decaimento exponencial de correla¸c˜oes e em consequˆencia o teorema do limite central. Por´em, tal t´ecnica permite tamb´em provar o decaimento exponencial de cor- rela¸c˜oes e em consequˆencia o teorema do limite central para estados de equil´ıbrio de modo geral, n˜ao s´o particularmente para medidas de m´axima entropia. Lembramos que dada uma dinˆamica f : Λ

  → Λ, fixado um potencial φ : Λ → R, dizemos que uma medida η ´e um estado de equil´ıbrio para f com respeito a φ se

  Z Z h η (f ) + φdη = sup h µ (f ) + φdµ; µ ´e uma medida f -invariante . Ou seja, pelo princ´ıpio variacional, η realiza a press˜ao topol´ogica P (f, φ). O leitor pode observar facilmente que, no caso em que o potencial φ ´e constante, obter um estado de equil´ıbrio ´e equivalente a obter uma medida de m´axima entropia. O que faremos aqui ´e obter alguns resultados, mas n˜ao todos, para potenciais mais gerais que potenciais constantes, a saber, potenciais de baixa varia¸c˜ao, ou seja, existe ε > 0 suficientemente pequeno tal que sup φ

  − inf φ < ε. Al´em disso tais potenciais devem pertencer ao seguinte cone: φ φ e (3.1) φ φ φ α α ≤ ε inf e onde e = inf C > 0; (x) (y) , . Seja ent˜ao E o espa¸co α |e − e | ≤ Cd(x, y) ∀x, y ∈ Λ das fun¸c˜oes cont´ınuas ϕ : Λ

  → R. Definiremos o operador Ruelle-Perron-Frobenius L : E → E dado por −1

  −1 φ (f (y))

  (y))e L(ϕ)(y) = ϕ(f onde φ satisfaz as condi¸c˜oes acima.

  Nossa inspira¸c˜ao encontra-se no trabalho desenvolvido por Castro e Varandas em [CV13], onde os mesmos provaram, entre outros resultados, propriedades estat´ısticas para o ´ unico estado de equil´ıbrio desenvolvido inicialmente por Varandas e Viana em [VV10], com a hip´otese da dinˆamica ser topologicamente exata, relembrado tamb´em que em [CV13] os autores deram outra prova da existˆencia e unicidade de estado de equil´ıbrio eliminando tal hip´otese. No contexto n˜ao uniformemente expansor, Castro e Varandas definiram cones apropriados ao operador Ruelle-Perron-Frobenius

  L, no sentido que foi poss´ıvel provar a sua invariˆancia e diˆametro finito da imagem destes cones por L. Mais precisamente, eles definiram um cone de fun¸c˜oes positivas e H¨older cont´ınuas

  −1

  ϕ tais que (y) s˜ao contra´ıdos expo-

  |ϕ| α ≤ κ inf ϕ. Em nosso contexto os pontos em Π nencialmente. Sabendo que o operador L , no caso da entropia(φ = 0), nada mais ´e do que avaliar o observ´avel ϕ na pr´e-imagem dos pontos(no passado), ou seja, calcular

  −1

  ϕ(f (x)), ent˜ao a constante de H¨older de L(ϕ), mesmo para ϕ como em [CV13], n˜ao teria muitas chances de melhorar sua regularidade, pois para z e w restritos as folhas

  −1 −1

  est´aveis d(z, w) s d(f (z), f (w)), o que compromete a invariˆancia estrita do cone ≤ λ como em [CV13] pelo operador transferˆencia.

  Gostar´ıamos ent˜ao de evitar este efeito indesej´avel nas dire¸c˜oes onde certamente

  −1

  existe contra¸c˜ao, ou seja, em Π (y). Para tal, analisaremos a a¸c˜ao de L em m´edias calculadas em folhas est´aveis, entendendo aqui uma folha est´avel como um subconjunto

  −1

  de Λ da forma Π (y) onde y Λ ´e a restri¸c˜ao de Π : M ∈ N e Π → N ao atrator Λ.

  Λ s s

  Denotaremos tais folhas por γ e a uni˜ao destas folhas por . Observe que particiona F F

  Λ em folhas γ. Salientemos tamb´em que devido ao comportamento intr´ınseco do operador Ruelle-Perron-Frobenius, nada mais natural que tal m´edia nas folhas est´aveis seja dada pela integral das fun¸c˜oes testes nas mesmas, relativa a uma medida de probabilidade adequadamente escolhida em cada folha .

  Fixado y j tais que g(y j ) = y, onde j ∈ N, sejam y ∈ {1, · · · , deg(g)}. Sendo

  −1 −1

  γ = Π (y) e γ j = Π (y j ), segue-se que f (γ j ) j ent˜ao

  

Λ Λ ⊂ γ, pois se z = f(x) onde x ∈ γ

Π(z) = Π j ) = y.

  ◦ f(x) = g ◦ Π(x) = g(y Como desejamos provar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para a medida de m´axima entropia constru´ıda, necessitamos comparar a integral de fun¸c˜oes testes em folhas est´aveis variando as densidades de integra¸c˜ao. Isto induz naturalmente um operador linear definido em cones auxiliares nas folhas γ e γ j . Denotaremos tal cone por

  D(γ, κ) e chamaremos de cone auxiliar de densidades H¨older continuas. Mais precisamente diremos que ρ : γ α < κ inf ρ, onde α =

  → R pertence a D(γ, κ) se somente se ρ > 0 e |ρ| |ρ| α inf , {C > 0; |ρ(x) − ρ(y)| ≤ Cd(x, y) ∀x, y ∈ γ}. As fun¸c˜oes no cone D(γ, κ) possuem uma importante cota para o supremo a partir α do infimo, mais precisamente se ρ

  ). De ∈ D(γ, κ) ent˜ao sup ρ ≤ inf ρ (1 + κ · diamM fato, para todo δ > 0 existem x , y ) e ρ(y ) < inf ρ + δ. Da

  ∈ γ tais que sup ρ − δ < ρ(x α hip´otese α < κ inf ρ obtemos que ) ) , y ) inf ρ, logo |ρ| |ρ(x − ρ(y | < κd(x α sup ρ ) + δ ) + δ < κd(x , y ) inf ρ + 2δ

  − inf ρ < ρ(x − ρ(y α como δ ´e arbitr´ario conclu´ımos que sup ρ ).

  ≤ inf ρ (1 + κ · diamM Seja p o grau da aplica¸c˜ao g. Provaremos agora que existe uma fam´ılia de medidas γ s em Λ, tais que para todo ˆ γ, onde f (ˆ γ) γ (f (ˆ γ)) = , em n n

  1 {µ } γ ∈F

  ⊂ γ, temos µ n p particular µ γ (γ) = 1. Al´em disso, para toda γ j , com f (γ j )

  ⊂ γ obtemos a seguinte rela¸c˜ao Z Z

  1 ψdµ γ = ψ γ . j ◦ fdµ f γ p

  (γ j ) j −1

  Com efeito, fixado γ = Π (y), para todo n

  Λ ∈ N, maior que zero, definindo p n

  [ ˙ n

  −1 −n n

  γ j = Π (y j ), onde y j (y), podemos escrever γ = f (γ j ), pois cada f ´e uma ∈ g

  Λ j n n n p n =1

  bije¸c˜ao em Λ e Π = g (γ j ) ´e uma sequˆencia de parti¸c˜oes de ◦ f ◦ Π. Portanto, {f } j =1

  −1 n n n

  γ. Como γ j = Π (y j ) e f : M y g ´e uma λ -contra¸c˜ao segue-se que o diˆametro j (y j ) → M s n p n Λ de (γ j ) tende a zero. Basta definir ent˜ao µ γ nos elementos desta parti¸c˜ao por

  {f } j

  =1

  distribui¸c˜ao de massa n

  1 µ γ (f (γ j )) = n p e em seguida, por restri¸c˜ao `a folha γ, estendemos naturalmente µ γ a um elemento A da

  σ −´algebra de Borel de Λ.

  −1 −1

  Agora definindo γ j = Π (x j ), onde x j (x) podemos escrever ∈ g

  Λ p p p ! !

  [ [

  X µ γ (A) = µ γ (A γ A f (γ j ) = µ γ (A j )) = µ γ (A j ))

  ∩ γ) = µ ∩ ∩ f(γ ∩ f(γ j j j

  =1 =1 =1

  1

  −1

  Definindo µ γ (A) := p γ (f (A j )) obtemos que µ γ (A j )) = µ γ (f (A)) e assim j j · µ ∩ γ ∩ f(γ p p

  X

  1

  −1 µ γ (A) = µ γ j (f (A)).

  p j =1 Conclu´ımos tamb´em que para todo A mensur´avel, a fun¸c˜ao caracter´ıstica χ satisfaz A

  Z Z

  1 χ A dµ γ = χ A γ j

  ◦ fdµ f γ p

  (γ j ) j Figura 3.3: Distribui¸cao de Massa e pelo teorema da convergˆencia dominada, segue que para toda g : Λ → R cont´ınua que

  Z Z

  1 gdµ γ = g γ . (3.2) j ◦ fdµ f γ p

  (γ j ) j n n

  1 Observe ainda que como para todo ˆ γ, onde f (ˆ γ) γ (f (ˆ γ)) = , segue que ⊂ γ, temos µ n n p j j e f (γ ) para todo eγ, onde f (eγ) ⊂ γ ⊂ γ, obtemos n n

  µ γ (f γ (f (f j )) j (eγ)) = pµ (eγ) ∩ γ n

  • 1

  = pµ γ (f (eγ)) p

  1 = = . n +1 n p p Ou seja, µ γ j ´e tamb´em uma distribui¸c˜ao de massa em γ j .

  Mais ainda, visto que para cada y , tais que g(y ) = y, onde j j ∈ N existem y

  −1 −1

  j (y) e γ j = Π (y j ), onde f (γ j )

  ∈ {1, · · · , p}. Podemos definir, γ = Π Λ Λ ⊂ γ, e assim p S

  γ = ˙ f (γ j ). Portanto para toda ψ : γ j =1 → R segue que p Z Z

  X γ f ψdµ γ = ψdµ γ . j (γ j )

=1

Conclu´ımos ent˜ao, para todo ρ : γ p p p → R, que Z Z Z Z

  X X

  X γ = γ = γ = ϕ γ

  1 j j

  1 φ L(ϕ)ρdµ L(ϕ)ρdµ L(ϕ)◦f ·ρ◦fdµ ·e ·ρ◦fdµ γ f γ γ p p j j j (γ j ) j j =1 =1 =1

  1 φ definindo ρ j := ρ podemos escrever ◦ fe p p

  Z Z γ = ϕρ j dµ γ

  X j γ γ L(ϕ)ρdµ j =1 j Observemos que ρ j est´a definido em γ j . ´ E importante verificar se ρ j pertence a algum cone, desde que ρ perten¸ca ao cone

  D (γ, κ). Mais ainda, determinar a rela¸c˜ao entre estas densidades no que diz respeito a m´etrica projetiva associada a estes cones. O lema abaixo responde a estas quest˜oes. Lema 2. Existem 0 < λ < 1 e κ > 0, suficientemente pequenos, tais que valem os seguintes items:

  1. Se ρ j j , λκ) para todo j ∈ D(γ, κ) ent˜ao ρ ∈ D(γ ∈ {1, . . . , p}. s 1 + λ

  2. Para todo γ se ρ, ˆ ρ .

  ∈ F loc ∈ D(γ, λκ) ent˜ao θ(ρ, ˆρ) ≤ 2 log

  1 − λ

  2 , ,, − λ , ,,

  1 , ,,

  3. Se ρ , ρ = 1 tal que θ j (ρ , ρ ) θ(ρ , ρ )

  1 j j

  1

  ∈ D(γ, κ) ent˜ao existe Λ − ≤ Λ 1 + λ para todo j

  ∈ {1, . . . , p}; onde θ j e θ s˜ao, respectivamente, as m´etricas projetiva associadas aos cones j , κ) e D(γ D(γ, κ).

  Prova: Procederemos agora a prova de (1). Em nosso contexto estamos supondo que

  φ φ

  sup φ e < ε inf e . Portanto − inf φ < ε and α

  1 φ ρ

  ◦ f · e j α p |ρ | α

  =

  1 inf j {ρ } φ inf ρ

  ◦ f · e p α |ρ ◦ f · e |

  = φ inf {ρ ◦ f · e } φ α + sup α sup φ

  |ρ ◦ f| · e {ρ ◦ f} · |e | ≤

  inf φ

  inf ρ · e α sup α sup φ φ

  |ρ ◦ f| · e {ρ ◦ f} · |e |

  inf φ inf φ

  inf ρ inf ρ α α φ · e · e

  sup φ

  λ κ inf ρ (1 + κ ) inf ρ α s · e · diamM · |e |

  • inf φ inf φ

  ≤

  inf ρ inf ρ α ε α · e · e κe + (1 + κ )ε

  ≤ λ s · diamM α ε α = (λ e + diamM ǫ)κ + ε s

  Para garantir a existˆencia de 0 < λ < 1 tal que α ε α (λ e + diamM ε)κ + ε < λκ s

  ´e suficiente obter α ε α (λ e + diamM ε)κ + ε s

  < λ < 1 κ para isto devemos ter α ε α

  (λ e + diamM ε)κ + ε s < 1

  κ ou, equivalentemente, ε

  κ > . (3.3) α ε α 1 e + diamM ε) s − (λ

  Note que λ e κ podem ser escolhidos suficientemente pequenos, visto que ε > 0 pode ser escolhido arbitrariamente pequeno, assim como 0 < λ s < 1. Isto finaliza a prova de (1).

  Para provar (2), observemos que pela desigualdade triangular ´e suficiente encon- trar uma limita¸c˜ao para θ(1, ρ) onde ρ ∈ D(γ, λκ). Sabemos que ρ ∈ D(γ, λκ) significa que ρ ´e positivo e que < λκ inf ρ . Podemos assumir sem perda de generalidade que

  |ρ| α inf ρ = 1. Assim para t = 1 − λ temos

  λκ λκ |ρ − t| α |ρ| α

  = < = = κ inf (ρ inf ρ 1 λ

  − t) − t − t como inf ρ = 1 segue que ρ − t ≥ inf ρ − (1 − λ) = λ > 0 o que nos garante α(1, ρ) ≥ 1 − λ. Por outro lado, tomando s = 1 + λ

  λκ λκ |s − ρ| α |ρ| α = < = = κ. inf (s s s λ

  − ρ) − inf ρ − 1 α α α Como sup ρ ) = 1 + κdiamM escolhendo κ tal que λ > κdiamM ,

  ≤ inf ρ (1 + κdiamM α segue que s ) > 0 portanto

  − ρ = 1 + λ − ρ ≥ 1 + λ − sup ρ ≥ 1 + λ − (1 + κdiamM 1 + λ β(1, ρ) .

  ≤ 1 + λ. Logo θ(ρ, ˆρ) ≤ 2 log

  1 − λ

  Finalmente, para provar (3) ´e suficiente notar que pelo item (1) temos que ρ j j , λκ) para todo j j , λκ) em j , κ) ∈ D(γ ∈ {1, . . . , p} e pelo item (2) o diˆametro de D(γ D(γ 1 + λ

  1 + λ ´e no m´aximo 2 log . Assim, pelo teorema 2, considerando ∆ = 2 log e

  1

  1 − λ

  − λ aplica¸c˜ao linear 1 φ

  ρ ρ 7→ ◦ fe , ,, , ,, p temos θ j (ρ , ρ ) θ(ρ , ρ ) onde j j ≤ Λ

  1

  2

  1

  −∆ − λ

  Λ = 1 = 1

  1

  − e − 1 + λ s ✷ . Para tal,

  Precisaremos agora de uma no¸c˜ao de distˆancia entre duas folhas γ e eγ em F

  −1 −1

  dados x, y (y). Suponha que π = π x,y ∈ N sejam γ = Π (x) e eγ = Π : eγ → γ satisfaz

  Λ Λ

  Z Z ϕdµ γ = ϕ γ γ γ ◦ πdµ e

  e para toda ϕ cont´ınua e defina a distˆancia d(γ, eγ) = sup {d(π(p), p); p ∈ eγ}.

  Estamos agora em condi¸c˜oes de definir nosso cone principal. Denotaremos por Z

  (γ) o conjunto das densidades ρ ρdµ γ = 1. Dados b > 0, c > 0 e D

  1 ∈ D(γ, κ) tais que γ s

  κ como no lema 2, seja C(b, c, α) o cone de fun¸c˜oes ϕ ∈ E satisfazendo para todo γ ∈ F as condi¸c˜oes abaixo:

  (A) Para todo ρ ∈ D(γ, κ):

  Z , ,, γ ϕρdµ γ > 0 (B) Para todo ρ , ρ

  1 (γ):

  ∈ D Z Z , ,, , ,, Z

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ , ρ ) inf ϕρdµ γ −

  < bθ (ρ ρ

γ γ γ

∈D (γ) 1

  (C) Dada qualquer folha est´avel eγ suficientemente pr´oxima de γ: Z Z Z α

  ϕdµ γ ϕdµ γ inf ϕdµ γ −

  e γ γ γ < cd(γ, eγ) γ e

  Nosso primeiro passo ´e mostrar que nosso cone principal possui as condi¸c˜oes necess´arias para obtermos uma m´etrica projetiva associada ao mesmo. Provaremos ent˜ao o seguinte lema: Lema 3. C (b, c, α) ´e um cone projetivo, isto ´e, convexo e C (b, c, α) ∩ −C (b, c, α) = 0.

  Prova: Provemos inicialmente a convexidade de C (b, c, α). Dados ϕ, ψ ∈ C (b, c, α) e s, t > 0 temos

  Z Z Z (A) (sϕ + tψ)dµ γ = s ϕdµ γ + t ψdµ γ > 0. γ γ γ Z Z Z Z , ,, , ,,

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ ψρ dµ γ ψρ dµ γ γ γ γ γ − − (B) Por hip´otese < b e < b. , ,, , ,, Z Z

  θ(ρ , ρ ) inf ϕρdµ γ θ(ρ , ρ ) inf ψρdµ γ ρ ∈D (γ) ρ ∈D (γ) 1 γ γ 1 Por propriedades do ´ınfimo segue que Z Z Z inf (sϕ + tψ) ρdµ γ ϕρdµ γ + t inf ψρdµ γ . ρ ρ ρ ≥ s inf

  ∈D 1 (γ) ∈D γ γ γ 1 (γ) ∈D 1 (γ)

  Z Z , ,, (sϕ + tψ)ρ dµ γ (sϕ + tψ)ρ dµ γ γ γ

  Portanto, < b. , ,, Z θ(ρ , ρ ) inf (sϕ + tψ) ρdµ γ ρ ∈D (γ) 1 γ (C) An´alogo ao item (B).

  Resta ent˜ao provar que C (b, c, α) ∩ −C (b, c, α) = 0. Suponha que ϕ ∈ C (b, c, α) ∩ n ) n

  ∈N

  −C (b, c, α). Se ϕ ∈ C (b, c, α) existe ψ ∈ C (b, c, α) e uma sequˆencia (t ց 0 tais que s ϕ + t n ψ e ρ

  ∈ C (b, c, α) para todo n ∈ N. Em particular, dados γ ∈ F ∈ D(γ, κ), temos Z Z

  Z que ϕρdµ γ > n ψρdµ γ para todo t n > 0. Como t n ψρdµ γ > 0, segue γ γ −t → 0 e γ

  Z que ϕρdµ γ γ ≥ 0. Por outro lado se ϕ ∈ −C (b, c, α) ent˜ao ϕ = −ϕ onde ϕ ∈ C (b, c, α) Z Z Z s e assim ϕρdµ γ = ϕρdµ γ ϕρdµ γ = 0 para todo γ e γ γ γ − ≤ 0. Portanto, ∈ F

  ρ ∈ D(γ, κ). Basta provar ent˜ao que

  Z s ϕρdµ γ = 0, e ρ γ ∀γ ∈ F ∈ D (γ, κ) ⇒ ϕ = 0 em Λ. De fato, fixado γ, dada qualquer ψ : γ → R H¨older cont´ınua podemos escrever ψ =

  • − −

  

± +

  ψ , onde ψ , ψ pertencem ao cone auxiliar = − ψ

  D(γ, κ). Para tal, basta definir ψ Z

  1 (

  ϕψdµ γ = |ψ| ± ψ) + B e escolher B suficientemente grande. Por linearidade temos

  2 γ

  1

  0. Visto que toda fun¸c˜ao limitada pode ser aproximada em L (µ γ ) por fun¸c˜oes H¨older Z cont´ınuas segue-se que ϕψdµ = 0, para toda fun¸c˜ao limitada ψ : γ γ γ

  → R. Tomando ψ = ϕ A , onde A ´e um elemento da σ-´algebra de Borel de Λ restrito a γ, obtemos que

  | Z

  2

  ϕ A dµ γ = 0 e assim ϕ A = 0 para µ γ -quase todo ponto de A. Como A e γ s˜ao γ | | arbitr´arios, conclu´ımos que ϕ = 0 em Λ.

  ✷

3.3 Invariˆ ancia do Cone Principal

  Nesta se¸c˜ao provaremos a invariˆancia do cone C(b, c, α) pelo operador Ruelle- Perron-Frobenius

  L, que ´e uma das hip´oteses do teorema 2. Por´em, devemos ter tamb´em como hip´otese que o diˆametro de L(C(b, c, α)) na m´etrica projetiva referente ao cone

  C(b, c, α) seja finito. Observamos anteriormente, que pela defini¸c˜ao da m´etrica projetiva, vetores na fronteira do cone possuem distˆancia infinita para qualquer outro vetor no cone. Ent˜ao, necessariamente devemos ter uma invariˆancia estrita do cone C(b, c, α) pelo ope- rador Ruelle-Perron-Frobenius

  L. Mais precisamente provaremos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ ao 3. Seja φ um potencial constante. Existe 0 < σ < 1 tal que

  L(C(b, c, α)) ⊂ C(σb, σc, α) para b e c suficientemente grandes. Prova: Invariˆancia da condi¸c˜ao (A): p

  Z Z

  X Seja ϕ γ = ϕρ j dµ γ j e pelo lema 2 ∈ C(b, c, α). Sabemos que L(ϕ)ρdµ γ γ j j =1

  Z ρ j j , κ). Portanto, γ > 0. ∈ D(γ L(ϕ)ρdµ γ

  Invariˆancia da condi¸c˜ao (B): mativa

  1 (γ) obtemos a seguinte esti-

  ϕρ j dµ γ j Z γ j

  − Z γ j

  Z γ j ρ , j dµ γ j

  Z γ j ϕρ j dµ γ j

  =1

  X j

  ρ , j dµ γ j

  − Z γ j

  (3.4) Por hip´otese ϕ est´a no cone e pelo lema 2, temos

  Z γ j ϕρ j dµ γ j

  =1

  X j

  ≤ p

  Z γ L(ϕ)ρ ,, dµ γ

  L(ϕ)ρ , dµ γ −

  ρ ,, j dµ γ j .

  Z γ j ϕρ jγ j

  ρ , j dµ γ j e ρ ,, j / Z γ j

  1

  ∈ D

  (3.5) Vamos observar um pouco mais. Para todo ˆ ρ

  ) .

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  ∈D 1 (γ j )

  θ (ρ , , ρ ,, ) inf ρ

  ) ≤ bΛ

  − Z γ j

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  ∈D 1 (γ j )

  ) = bθ j ρ , j , ρ ,, j inf ρ

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  (γ j )

  ρ j , ρ j inf ρ ∈D 1

  ϕρ jγ j ≤ bθ j

  ρ ,, j dµ γ j por ρ j e ρ j , respectiva- mente, segue-se que Z γ

  (γ) denotando ρ , j / Z γ j

  Denotando ρ j

  (Z γ j ϕρ j dµ γ j

  ) ≥ p

  Z γ j ρ j dµ γ j

  (Z γ j ϕˆ ρ j dµ γ j

  ∈D

1 (γ)

  X j =1 inf ρ

  ) = p

  

(γ)

  =1

  ρ ∈D inf 1

  =1

  X j

  Z γ L(ϕ)ρdµ γp

  (γ)

  ρ ∈D inf 1

  Z γ j ρ j dµ γ j por ˆ ρ j podemos escrever

  X j

  ρ inf

  1

  ∈D 1

(γ j )

  ∈ D

  ) Dados ρ , , ρ ,,

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  ∈D 1 (γ)

  ) inf ρ

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  ρ inf

  ∈D

1 (γ)

  =1

  X j

  ) ≥ p

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  ∈D 1 (γ)

  ) inf ρ

  (Z γ j ϕˆ ρ j dµ γ j

  • p

  2

  ) inf ρ ∈D 1

  θ (ρ , , ρ ,, ) Z γ j

  1

  ≤ bΛ

  ) θ(ρ , , ρ ,, )

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  (γ)

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  (γ)

  (γ j )

  Z γ j ρ , j dµ γ j inf ρ ∈D 1

  Z γ j ϕρ j dµ γ j

  ϕρ j dµ γ j

  Agora, para j fixado, obtemos Z γ j

  2 o que prova a afirma¸c˜ao acima.

  ρ , j dµ γ j inf ρ ∈D 1

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  ρ) j dµ γ j ≤ (1 + δ) (1 + κdiamM α

  (γ), denotando (ˆ ρ) j / Z γ j

  1 − λ

  ) < b log 1 + λ

  (Z γ j ϕρ j dµ γ j

  (γ)

  ϕ¯ˆ ρ j dµ γ j inf ρ ∈D 1

  (ˆ ρ) jγ j por ¯ˆ ρ j , segue-se que Z γ j

  1

  ) θ(ρ , , ρ ,, )

  Analisaremos ent˜ao a segunda parcela de 3.4. Para tal observaremos primeiro que para todo ˆ ρ ∈ D

  b (3.7)

  1

  Λ

  2

  ≤ (1 + κdiamM α )

  )

  Z γ j (e

  Z γ j (ˆ ρ) j dµ γ j inf ρ

  ∈D 1 (γ)

  1 p ˆ ρ

  ρ) j =

  ≥ 1. Logo, (ˆ ρ) j (e

  ≤ 1 e sup e ρ

  ρ e e ρ est˜ao normalizados pela integral, devemos ter necessariamente inf ˆ ρ

  (Z γ j j ) e mais ainda, como ˆ

  (e j ≤ (1+δ) inf ρ

  1 p e ρ

  ∈ D Z γ j

  (3.6) De fato, dado δ > 0 existe e

  2

  ) ≤ (1 + κdiamM α )

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  ∈D 1 (γ)

  ◦ fe φ

  ◦ fe φ ≤ sup ˆ ρ inf e

  (e ρ) j dµ γ j

  

2

Z γ j

  2 Z γ j

  ) ≤ (1 + δ) (1 + κdiamM α )

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  (γ)

  Z γ j (ˆ ρ) j dµ γ j inf ρ ∈D 1

  (e ρ) j dµ γ j , obtendo para todo δ > 0 que

  )

  ρ ≤

  (ˆ ρ) j dµ γ j ≤ (1 + κdiamM α

  Assim Z γ j

  2 .

  = (1 + κdiamM α )

  sup e ρ

  −1

  (1 + κdiamM α ) inf ˆ ρ (1 + κdiamM α )

  • 1
Com efeito, analogamente ao que foi feito em 3.6, ´e suficiente notar que como ϕ est´a no cone temos Z γ j ϕ¯ˆ ρ j dµ γ j Z < bθ(¯ˆ ρ j , ρ ) + 1 = bθ((ˆ ρ) j , ρ j ) + 1 j γ j ϕρ dµ γ j j cess´aria: Z Z , ,, γ j γ j ρ dµ γ j ρ dµ γ j j − j α

  2 ) .

  ) ≤ 2 (1 + κdiamM , ,, (Z θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ ρ j

  ∈D 1 (γ) γ j

  Para mostrar isso observaremos que , , , , ρ , ,, , ,, j sup ρ sup ρ / inf ρ θ ,ρ θ ,ρ

  (ρ ) (ρ ) + ,, = e

  ≤ ≤ ≤ e ,, ,, ,, ρ inf ρ inf ρ / sup ρ j

  Z Z , ,, Assim, assumindo sem perda de generalidade que ρ dµ γ ρ dµ γ temos j j j j γ γ j j

  Z Z , ,, , ,, Z ,, , ρ

  ρ dµ γ ρ dµ γ j j j j − eθ (ρ ρ dµ γ j j γ γ j j ) − 1 γ j

  ) ) ≤ , ,, , ,, (Z (Z

  θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ ρ ρ j j

  ∈D (γ) ∈D (γ) 1 γ γ j j , ,, 1

  , ρ , ,, ) − 1 eθ (ρ para θ (ρ , ρ ) < 2 a assim neste caso obtemos a estimativa ≤ 1 segue que , ,,

  θ (ρ , ρ ) requerida. , ,, Se θ (ρ , ρ )

  ≥ 1 tamb´em temos Z Z Z Z , ,, , ,, γ γ γ γ j j j j ρ dµ γ ρ dµ γ ρ dµ γ ρ dµ γ j − j j − j j j j j α

  2

  ) ) ) ≤

  ≤ 2 (1 + κdiamM , ,, (Z (Z θ (ρ , ρ ) inf ρ dµ inf ρ dµ ρ ∈D (γ) ρ ∈D (γ) 1 γ j γ j j γ j j γ j 1 α

  2

  e novamente para j fixado e denotando (1 + κdiamM ) por M (κ, α)

  Z Z Z , ,, Z ϕρ dµ γ ρ dµ γ ρ dµ γ j j j j j j γ γ γ j j j − ϕρ dµ γ j γ j j

  ) ) )2M(κ, α) ≤

  (Z (Z (Z , ,, ρ ρ ρ inf ϕρ j dµ γ inf ρ j dµ γ θ(ρ , ρ ) inf ϕρ j dµ γ j j j

  ∈D (γ) ∈D (γ) ∈D (γ) 1 γ γ γ j j j 1 1

  !

  2

  1 + λ b log + 1

  2M (κ, α) ≤

  1 − λ

  2

  1 + λ b + 2M (κ, α) ≤ 2M(κ, α) log

  1 − λ

  (3.8) As estimativas 3.7 e 3.8 n˜ao dependem de j, ent˜ao

  Z Z , ,, dµ γ dµ γ L(ϕ)ρ − L(ϕ)ρ

  2 γ γ

  1 + λ

  1 b + 2M (κ, α) log b + 2M (κ, α)

  Z ≤ M(κ, α)Λ , ,, − λ

  1 inf γ θ(ρ , ρ ) ρ ∈D (γ) 1 γ L(ϕ)ρdµ !

  2

  1 + λ = Λ

  1 + 2 log M (κ, α)b + 2M (κ, α)

  1 − λ

  Desejamos que o termo que multiplica b acima seja menor que 1. Relembrando que pelo

  2

  1 − λ lema (2), Λ = 1 devemos ent˜ao garantir que

  1

  − 1 + λ !

  2

  2

  1 1 + λ − λ α

  2

  1 + 2 log (1 + κdiamM ) < 1 − 1 + λ

  1 − λ e ainda pelo lema 2, na prova do segundo item, escolhemos κ, suficientemente pequeno, α de modo que κdiamM < λ. Portanto basta encontrar 0 < λ < 1 de modo que

  !

  2

  2

  1 1 + λ − λ

  2 1 + 2 log (1 + λ) < 1.

  − 1 + λ

  1 − λ Tal escolha ´e poss´ıvel pois no lema 2, 0 < λ < 1 pode ser tomado suficientemente pequeno.

  Assim, existe 0 < ˜ σ < 1 tal que

  1

  !

  

2

  1 + λ Λ + 2 log M (κ, α) < ˜ σ .

  1

  1

  1 − λ

  Como M (κ, α) n˜ao depende de b. Para b suficientemente grande, podemos obter σ < 1

  1 tal que Z Z , ,, dµ γ dµ γ γ γ L(ϕ)ρ − L(ϕ)ρ

  1 b

  Z ≤ σ , ,, inf γ θ(ρ , ρ ) ρ L(ϕ)ρdµ

  ∈D 1 (γ) γ isto prova a invariˆancia estrita da condi¸c˜ao (B).

  Invariˆancia da condi¸c˜ao (C): Provaremos o caso onde φ ´e constante. Isto implica que Z Z φ inf γ inf ϕdµ γ . γ γ γ γ Lϕdµ ≥ e

  Observemos que a aplica¸c˜ao g como em 1.1 satisfaz as condi¸c˜oes (H1) e (H2), logo todo ponto y u . Desta forma para ∈ N possui uma pr´e-imagem na regi˜ao Ω onde L(y) ≤ λ

  −1 −1

  γ = Π (˜ y) suficientemente pr´oximo de γ de modo que ˜ y i pr´e-imagem de (y) e eγ = Π y, pr´oximo de y ˜ i , esteja em U y obtemos que d(γ i i ) u i , eγ ≤ λ d(γ, eγ).

  Com efeito, seja x i que realiza a distˆancia d(γ i i ). Representando ainda por ∈ eγ

  , eγ d a m´etrica produto equivalente a m´etrica original obtemos, d(γ i i ) = d(x, π y ,y (x)) = d(˜ y i , y i ) u d(g(˜ y i ), g(y i ))

  ˜ i i

  , eγ ≤ λ = λ u d(˜ y, y) = λ u [d(˜ y, y) + d(π y,y ˜ (f (x)), π y,y ˜ (f (x)))] = λ u d(f (x), π y,y (f (x))) u

  ˜

  ≤ λ d(eγ, γ) analogamente nos demais casos temos d(γ j j ) , eγ ≤ Ld(γ, eγ). Al´em disso, podemos assumir sem perda de generalidade, que d(γ

  1 1 ) u j j )

  ≤ ˜λ ≤ , eγ d(γ, eγ), e nos outros casos d(γ , eγ

  ˜ Ld(γ, eγ). Segue ent˜ao que p

  Z Z Z Z φ

  X γ γ ϕdµ γ ϕdµ γ e j j Lϕdµ − Lϕdµ e − e γ γ p γ γj j

  e e j =1 p φ Z

  X e C α inf ϕdµ γ d(γ j j ) ≤ , eγ γ p γ j

  =1 α α Z

  ˜ λ + (p L u − 1)˜ α inf γ

  ≤ Lϕdµ Cd(γ, eγ) γ α α p γ

  ˜ λ + (p L u

  − 1)˜ Devemos ter ent˜ao < 1 e isto ´e equivalente a p α α u p

  − ˜λ ˜

  L < p − 1 pelo fato de que ˜ L

  ≥ 1, devemos ter necessariamente α p − ˜λ u

  ≥ 1 p − 1 e isto ´e verdadeiro porque ˜ λ u < 1. Portanto, existe 0 < σ < 1 tal que

  2 Z Z Z γ γ α 2 inf γ

  Lϕdµ − Lϕdµ Lϕdµ

  e Cd(γ, eγ) γ γ γ < σ γ e

  o que prova a invariˆancia estrita da condi¸c˜ao (C). Para finalizar a prova da proposi¸c˜ao basta tomar σ = max

  1 , σ

  2 {σ }.

  ✷

3.4 Diˆ ametro Finito do Cone Principal

  De posse da invariˆancia estrita do cone principal C (b, c, α) pelo operador Ruelle- Perron-Frobenius

  L, provaremos aqui que L(C (b, c, α)) possui diˆametro finito na m´etrica projetiva Θ, relativa ao cone C (b, c, α). Para tal, calcularemos agora a express˜ao para a m´etrica Θ. Relembramos que α(ϕ, ψ) = sup

  {t > 0; ψ − tϕ ∈ C (b, c, α)}. Ent˜ao observe- s Z mos que pela condi¸c˜ao (A), para todo γ e ρ (ψ γ > 0 ∈ F loc ∈ D (γ) temos − tϕ)ρdµ γ da´ı

  Z γ ψρdµ γ t < Z . γ ϕρdµ γ Pela condi¸c˜ao (B),

  Z Z , ,, , ,, Z (ψ dµ γ (ψ dµ γ , ρ ) inf (ψ γ

  − tϕ)ρ − − tϕ)ρ − tϕ)ρdµ < bθ (ρ ρ γ γ γ , ,, ∈D (γ) 1 e assim para todo ρ , ρ , e ˆ ρ em (γ) temos

1 D

  Z Z Z , ,, , ,, ψρ dµ γ ψρ dµ γ + bθ(ρ , ρ ) ψ ˆ ρdµ γ γ γ γ − t < Z Z Z , ,, , ,,

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ + bθ(ρ , ρ ) ϕˆ ρdµ γ γ γ γ − e Z Z Z ,, , , ,,

  ψρ dµ γ ψρ dµ γ + bθ(ρ , ρ ) ψ ˆ ρdµ γ γ γ γ − t < Z Z Z . ,, , , ,, ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ + bθ(ρ , ρ ) ϕˆ ρdµ γ γ γ γ

  Pela condi¸c˜ao (C), Z Z α Z

  (ψ γ (ψ γ inf (ψ γ − tϕ)dµ − − tϕ)dµ e − tϕ) dµ γ γ γ < cd(γ, eγ) γ

  e

  • cd(γ, eγ)
  • cd(γ, eγ)
  • cd(γ, eγ)
  • cd(γ, eγ)
  • cd(γ, eγ) Z γ

  ˆ γ

  Z

  ϕˆ ρdµ γ ξ(γ, ρ , , ρ ,, , ˆ ρ, ϕ, ψ),

  ψ ˆ ρdµ γ Z γ

  , Z γ

  Z γ ϕρdµ γ

  Z γ ψρdµ γ

        

  Podemos escrever α(ϕ, ψ) = inf

  ˆ γ

  ϕdµ

  Z

  ψdµ ˆ γ Z

  γ / e

  ϕdµ

  γ e

  Z

  ϕdµ γ −

  ˆ γ

  ψdµ

  ˆ γ

  Z

  γ / e

  ˆ γ

  ˆ γ

  γ e

  ϕdµ ˆ γ Z

  < ξ(γ, ρ , , ρ ,, , ˆ ρ, ψ, ϕ) < 1 + σ

  1 − σ 1 + σ

  ∈ C(σb, σc, α) observemos que

  ∈ (0, 1] temos ∆ := sup {Θ (Lϕ, Lψ) ; ϕ, ψ ∈ C(b, c, α)} < ∞. Prova: Dados ϕ, ψ

  L (C(b, c, α)) ´e finito. Proposi¸c˜ ao 4. Para b e c suficientemente grandes e α

         com tal express˜ao podemos mostrar que o Θ-diˆametro de

  η(γ, eγ, ˆγ, ˆ ρ, ψ, ϕ)

  ˆ γ

  ψdµ

  ˆ γ

  ˆ γ

  ϕdµ ˆ γ η(γ, eγ, ˆγ, ˆ

  Z

  ψ ˆ ρdµ γ ξ(γ, ρ , , ρ ,, , ˆ ρ, ψ, ϕ),

  ϕˆ ρdµ γ Z γ

  , Z γ

  Z γ ψρdµ γ

  Z γ ϕρdµ γ

        

  temos β(ϕ, ψ) = sup

  −1

  ρ, ϕ, ψ)        como β(ϕ, ψ) = α(ψ, ϕ)

  ψdµ

  − Z

  1 − σ e 1 1 + σ − σ

  Z

  e t < Z γ

  ˆ γ

  ϕdµ

  ˆ γ

  Z

  ϕdµ γ

  − Z γ

  γ e

  ϕdµ

  γ e

  ˆ γ

  Z

  ψdµ

  ˆ γ

  Z

  ψdµ γ

  − Z γ

  γ e

  ψdµ

  γ e

  Z

  portanto, para todo γ, ˆ γ ∈ F s loc e eγ suficientemente pr´oximo de γ temos t <

  ψdµ γ −

  γ e

  Z γ ψdµ γ

  ϕdµ

  η(γ, eγ, ˆγ, ˆ ρ, ϕ, ψ) =

  Z γ ϕˆ ρdµ γ + bθ(ρ , , ρ ,, ) e

  Z γ ϕρ , dµ γ /

  ϕρ ,, dµ γ −

  ψ ˆ ρdµ γ + bθ(ρ , , ρ ,, ) Z γ

  ψρ , dµ γ / Z γ

  − Z γ

  Z γ ψρ ,, dµ γ

  Definindo ξ(γ, ρ , , ρ ,, , ˆ ρ, ϕ, ψ) =

  ˆ γ .

  ˆ γ

  ψdµ

  Z

  γ e

  ϕdµ

  γ e

  − Z

  Z γ ϕdµ γ

  ˆ γ

  ψdµ

  ˆ γ

  Z

  γ e

  • cd(γ, eγ) .

  ρ, ψ, ϕ) < < η(γ, eγ, ˆγ, ˆ 1 + σ

  1 , ,, − σ De fato, dados ρ , ρ , ˆ ρ (γ) podemos garantir que

  1

  ∈ D Z Z Z ,, , , ,,

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ σbθ(ρ , ρ ) inf ϕρdµ γ − ρ γ γ γ ∈D 1 (γ) , ,,

  Z Z , ρ ) ≤ ≤ σbθ(ρ γ γ ϕˆ ρdµ γ ϕˆ ρdµ γ e que

  Z Z ,, , , ,, Z ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ , ρ ) inf ϕρdµ γ

  − −σbθ(ρ ρ γ γ γ ∈D (γ) 1 , ,, Z Z , ρ ).

  ≥ ≥ −σbθ(ρ γ γ ϕˆ ρdµ γ ϕˆ ρdµ γ O mesmo vale para ψ e como σ < 1 conclu´ımos que

  Z Z Z ,, , , ,, ψρ dµ γ ψρ dµ γ / ψ ˆ ρdµ γ + bθ(ρ , ρ )

  − 1 γ γ γ 1 + σ − σ

  < <

  Z Z Z 1 + σ ,, , , ,,

  1 − σ

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ / ϕˆ ρdµ γ + bθ(ρ , ρ ) γ γ γ − ou seja, 1 1 + σ , ,,

  − σ < ξ(γ, ρ , ρ , ˆ ρ, ψ, ϕ) < . 1 + σ

  1 − σ

  Analogamente prova-se que 1 1 + σ − σ

  ρ, ψ, ϕ) < < η(γ, eγ, ˆγ, ˆ 1 + σ

  1 − σ

  Denotando por Θ a m´etrica projetiva associada ao cone definido pela condi¸c˜ao (A)

  • expressa atrav´es de

  Z Z    

  ϕρdµ γ ψ ˆ ρdµ γ  ˆ    γ γ

  ˆ + Θ (ϕ,ψ)

  e = Z γ,ρ γ, ρ γ sup Z

  ∈D(γ),ˆ ˆ ∈D(ˆ )  

    ϕˆ ρdµ γ ψρdµ γ

   ˆ  γ γ

  ˆ

  segue da defini¸c˜ao de Θ e das express˜oes de α e β que

  2

  1 + σ Θ(ϕ, ψ) < Θ (ϕ, ψ) + log .

  • 1

  − σ Ent˜ao resta somente provar que o Θ -diˆametro de

  L (C(b, c, α)) ´e finito. Para tal, obser-

  • varemos que devido a desigualdade triangular ´e suficiente mostrar que (

  {Θ Lϕ, 1); ϕ ∈

  • C(b, c, α) basta encontrar um limite superior para

  } ´e finito. Pela express˜ao de Θ

  • Z γ

  ˆ γ Lϕˆρdµ ˆ

  Z γ γ Lϕρdµ para todo ϕ (γ) e ˆ ρ (ˆ γ). Observemos primeiro que

  1

  

1

  ∈ C(b, c, α), ρ ∈ D ∈ D p Z Z

  X ϕ(ˆ ρ) j dµ γ γ ˆ j ˆ

  Lϕˆρdµ γ γ =1

j

ˆ j ˆ Z = p

  Z γ

  X Lϕρdµ γ j γ j ϕρ j dµ γ j

  =1

  o que reduz nosso problema a limitar a express˜ao Z Z Z Z

  ϕ(ˆ ρ) j dµ γ ϕ(ˆ ρ) j dµ γ ϕdµ γ ϕdµ γ γ γ γ γ ˆ j ˆ j ˆ j j ˆ j ˆ j ˆ j j Z = Z Z Z γ γ γ γ j ˆ j j j ϕρ j dµ γ ϕdµ γ ϕdµ γ ϕρ j dµ γ j ˆ j j j

  ρ j (ˆ ρ) j Denotando Z e Z por ρ e ρ , respectivamente, aplicando a condi¸c˜ao j j γ γ j ˆ j ρ j dµ γ (ˆ ρ) j dµ γ j ˆ j (B) e o lema 2, temos

  Z Z Z γ ˆ j ˆ γ j γ ˆ j ϕ(ˆ ρ) j dµ ˆ γ j ϕρ dµ ˆ γ j (ˆ ρ) j dµ γ ˆ j j =

  Z Z γ ˆ j γ ˆ j ϕdµ ϕdµ γ ˆ j ˆ γ j Z 1 + bθ j ρ , 1 (ˆ ρ) j dµ γ ˆ j

  ≤ j γ ˆ j Z 1 + λ

  1 + b log (ˆ ρ) j dµ γ

  ˆ j

  ≤

  1 γ − λ ˆ j e

  Z Z 1 + λ

  ϕdµ ϕdµ γ j γ j 1 + b log γ j γ j j 1 + bθ j 1, ρ

  1 − λ

  Z = Z Z Z Z ≤ ≤ γ γ γ γ γ j j j j j ϕρ j dµ γ ϕρ dµ γ ρ j dµ γ ρ j dµ γ ρ j dµ γ j j j j j j

  1 φ φ

  1 Sabemos que (ˆ ρ) j = ρ ˆ e ρ j = ρ . Como ρ e ˆ ρ est˜ao normalizados, segue ◦ f · e ◦ f · e p p

  1 α φ α φ

  1

  −1

  que (ˆ ρ) (1 + κdiam(M ) )e e ρ (1 + κdiam(M ) ) e . Portanto j j ≤ ≥ p p

  Z Z φ (ˆ ρ) j dµ γ e dµ γ γ γ ˆ j ˆ j ˆ j ˆ j α

  2 Z < (1 + κdiam(M ) ) Z , φ γ γ j j ρ j dµ γ e dµ γ j j

  

φ φ φ α φ

  por outro lado e < ε inf e e assim sup e < (1 + εdiam(M ) ) inf e . Obtendo que α Z φ e dµ γ ˆ j

  ˆ γ j α

  Z < 1 + εdiam(M ) φ γ j e dµ γ j e por consequˆencia Z

  (ˆ ρ) j dµ γ γ ˆ j ˆ j α 2 α Z < (1 + κdiam(M ) ) (1 + εdiam(M ) ). γ j ρ j dµ γ j mais ainda, sem perda de generalidade podemos assumir que γ e ˆ γ est˜ao pr´oximos o suficiente. Ent˜ao podemos aplicar a condi¸c˜ao (C) da´ı

  Z γ ˆ j α ϕdµ γ ˆ j α Z j , γ j )

  ≤ 1 + cd (ˆγ ≤ 1 + c.diam(M) γ j ϕdµ γ j e temos Z

  ϕ(ˆ ρ) j dµ γ ˆ j

  2 ˆ γ 1 + λ j α

  4 Z < 1 + b log (1 + max ) ,

  {κ, c, ε}diam(M)

  1 − λ γ j ϕρ j dµ γ j finalizando a prova da proposi¸c˜ao.

  ✷

3.5 Decaimento Exponencial de Correla¸c˜ oes

  Estamos agora aptos a provar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para ob- serv´aveis H¨older cont´ınuos. Seja φ constante e ˜ L o operador Ruelle-Perron-Frobenius

  L

  −1

  normalizado pelo potencial, isto ´e, ˜ . Portanto ˜ . Sabemos que est´a L = L(ϕ) = ϕ ◦ f φ e

  ∗

  bem definido o operador dual, ˜ , tal que L Z Z

  ∗

  ˜ ϕd ˜ µ. Lϕdµ = L para toda ϕ cont´ınua e toda medida de probabilidade µ. ´ E verdadeiro o seguinte resultado:

  ∗ Proposi¸c˜ ao 5. Se f ´e invert´ıvel ent˜ao ˜ (µ) = µ se somente se µ ´e f -invariante.

  L Prova: Para toda ϕ cont´ınua, temos que:

  ∗

  Se ˜ (µ) = µ ent˜ao L Z Z Z Z

  −1 ∗

  ˜ ϕ dµ = ϕd ˜ (µ) = ϕdµ. ◦ f L(ϕ)dµ = L

  Agora dado µ f -invariante Z Z Z Z

  ∗ −1

  ˜ ϕd ˜ (µ) = ϕ dµ = ϕdµ

  L L(ϕ)dµ = ◦ f ✷

  Outra rela¸c˜ao importante obtida pela f -invariˆancia da medida µ ´e que Z Z n n

  (ϕ ) ψdµ = ϕ ˜ (ψ)dµ (3.9) ◦ f L

  −1

  De fato, como ˜ obtemos L(ψ) = ψ ◦ f Z Z Z

  −1 −1

  (ϕ (ϕ )(ψ )dµ = ϕ ˜ ◦ f) ψdµ = ◦ f ◦ f ◦ f L(ψ)dµ e por indu¸c˜ao, supondo

  Z Z n n (ϕ ) ψdµ = ϕ ˜ (ψ)dµ.

  ◦ f L obtemos que Z Z n n

  • 1

  ϕ ψdµ = (ϕ ) ψdµ ◦ f ◦ f ◦ f

  Z n = (ϕ (ψ)dµ

  ◦ f) ˜ L Z

  −1 n −1

  = (ϕ )( ˜ (ψ) )dµ ◦ f ◦ f L ◦ f

  Z n

  • 1 = ϕ ˜ (ψ)dµ.

  L O decaimento exponencial de correla¸c˜oes ´e facilmente obtido por contra¸c˜ao do operador Ruelle-Perron-Frobenius restrito ao cone de fun¸c˜oes C(b, c, α). Portanto, preci- samos garantir que toda fun¸c˜ao H¨older cont´ınua pode ser escrita como soma de fun¸c˜oes no cone. A pr´oxima proposi¸c˜ao atende a este requisito: α

  Proposi¸c˜ ao 6. Para toda ϕ (M ) existe K(ϕ) > 0 tal que ϕ + K(ϕ) ∈ C ∈ C(b, c, α).

  Prova: Provaremos primeiro que existe K = K (ϕ) > 0 tal que ϕ + K satisfaz

  3

  3

  3

  a condi¸c˜ao (C) na defini¸c˜ao do cone C(b, c, α). A proje¸c˜ao nas folhas est´aveis garante que Z Z

  ϕdµ γ = ϕ γ γ γ ◦ πdµ e

  e e pela defini¸c˜ao de d(γ, eγ), dado ϕ ∈ C α (M ) temos

  ϕ(π(x)) − ϕ(x) d(γ, eγ)

  − 1 |ϕ| ρ ,, dµ γ

  )

  ≤ e θ (ρ , ,,

  ρ ,, − 1 sup ϕ sup ρ ,,

  = sup ρ ,

  ρ ,, − 1 sup ϕ sup ρ ,,

  ≤ sup ρ ,

  ρ , ρ ,,

  Z γ ϕρ , dµ γ

  ≤ Z γ

  − 1 ϕρ ,, dµ γ

  ρ , ρ ,,

  = Z γ

  Z γ ϕρ ,, dµ γ

  ϕρ , dµ γ −

  a assim para todo ϕ limitado Z γ

  − 1 sup ϕ sup ρ ,, Seja B tal que sup (ϕ + B) = 1. Segue-se que

  − Z γ

  ρ ,, ≤ e θ (ρ , ,,

  − 1 θ (ρ , , ρ ,, )

  θ (ρ , , ρ ,, ) ≤ 2(1 + κdiam(M) α

  Z γ ϕρ ,, dµ γ

  ϕρ , dµ γ −

  (γ) podemos afirmar que Z γ

  1

  < 2 e como ρ ,, ∈ D

  )

  ϕρ ,, dµ γ θ (ρ , , ρ ,, )

  Se θ (ρ , , ρ ,, ) < 1 sabemos que e θ (ρ , ,,

  − 1 sup ρ ,, θ (ρ , , ρ ,, ) .

  (ρ , ,, )

  θ (ρ , , ρ ,, ) ≤ e θ

  Z γ (ϕ + B) ρ ,, dµ γ

  (ϕ + B) ρ , dµ γ −

  = Z γ

  )

  (γ) temos ρ ,

  ≤ ϕ(π(x))

  γ e

  3 = K 3 (ϕ) > 0 tal que

  Z γ ϕdµ γ + K. ´ E suficiente ent˜ao escolher K

  Z γ (ϕ + K) dµ γ = inf γ

  ∞ Por outro lado para todo K > 0, temos inf γ

  ≤ |ϕ| α <

  d(γ, eγ)         

  ϕdµ

  (ϕ + K

  γ e

  − Z

  Z γ ϕdµ γ

          

  γ e

  Assim sup γ,

  − ϕ(x) d(π(x), x) ≤ |ϕ| α

  c inf γ Z γ

  

3

  1

          

  De fato, como ρ , , ρ ,, ∈ D

  < ∞.

          

  ϕρ ,, dµ γ θ (ρ , , ρ ,, )

  − Z γ

  Z γ ϕρ , dµ γ

  ∈D 1 (γ)

  ) dµ γ > |ϕ| α

  satisfaz a condi¸c˜ao (B) basta notar que ρ sup , ,,

  2

  (ϕ) tal que ϕ + K

  2

  = K

  2

  Para provar que existe K

  )

  , ,,

  Agora se θ (ρ , ρ ) ≥ 1 chegamos que

  Z Z , ,, ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ

  − γ γ Z Z , ,, (ϕ + B) ρ dµ γ (ϕ + B) ρ dµ γ , ,, ≤ −

  θ (ρ , ρ ) γ γ Z , ,,

  ) γ ≤ |(ϕ + B) (ρ − ρ | dµ γ , ,,

  • sup ρ ) ≤ sup (ϕ + B) (sup ρ α

  ) ≤ 2(1 + κdiam(M) e isto prova que

    Z Z

   , ,,   

  ϕρ dµ ϕρ dµ  γ γ 

  −   γ γ sup < ρ ,ρ θ (ρ , ρ ) , ,, , ,, ∞.

  ∈D

1 (γ)  

       

  A escolha de K = K (ϕ) ´e an´aloga ao que foi feito na condi¸c˜ao (C). Na condi¸c˜ao (A) ,

  2

  2

  como ϕ ´e em particular cont´ınua sabemos que num dom´ınio compacto existe K = K (ϕ)

  1

  1 Z s tal que ϕ + K > 0 e portanto (ϕ + K ) ρdµ γ > 0 para todo γ e ρ 1 1 loc γ ∈ F ∈ D(γ).

  Completamos a prova definindo K(ϕ) = max , K , K

  1

  2

  3 {K }.

  ✷ Para provar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes observemos que definindo uma medida µ γ

  × ν por Z Z

  µ γ ϕdµ γ dν(γ) × ν(ϕ) := γ obtemos que µ = µ γ γ × ν. Para tal, provaremos inicialmente que µ × ν ´e f-invariante.

  −1 −1

  Com efeito, para todo x (x) e γ j = Π (x j ), onde f (γ j ) ∈ M dados γ = Π Λ Λ ⊂ γ e p

  X

  1

  −1

  g(x j ) = x temos µ γ (A) = µ γ f (A) . Por outro lado, sabemos que a medida j p j

  =1

  de m´axima entropia ν coincide com os estados de equil´ıbrio de g relativo a qualquer potencial constante φ. Por Castro e Varandas em [CV13], tais estados de equil´ıbrio s˜ao

  ∗

  auto-medidas do dual, , do operador transferˆencia L g,φ

  X φ

g,φ (ϕ)(x) := e ϕ(x j ),

(x j ) L g (x j )=x mais precisamente tais auto-medidas est˜ao associadas ao raio espectral de g,φ , denotado

  L

  ∗ aqui por r = r( g,φ ), logo (ν) = rν.

  L L g,φ p

  X r r Em particular, para φ = log temos g,φ (ϕ)(x) = ϕ(x j ) e assim

  L p p j

  =1 p

  Z Z Z Z

  X

  1

  1

  1

  ∗ ϕ(x)dν = ϕ(x)d ν = g,φ (ϕ)(x)dν = ϕ(x j )dν.

  L g,φ L r r p j

  =1

  Portanto, Z Z

  −1 −1 −1

  µ γ (A)) = µ γ f ) = χ f dµ γ dν

  (A) (A)

  × ν(f × ν(χ γ p Z Z

  X

  1

  −1 −1

  = µ γ f (A) dν = µ γ f (A) dν j p j

  =1

  Z Z Z = µ γ (A)dν = χ A dµ γ dν γ = µ γ

  × ν(A)

  −1

  Al´em disso µ γ . De fato, seja A = Π (A N ) × ν(A) = µ(A) para todo A ∈ A

  Λ

  onde A N N . Temos que ∈ A

  Z

  −1 −1

  µ(Π (A N )) = ν Π Π (A N ) = ν (A N ) = χ A dν

  Λ N Λ Λ N

  e por outro lado, Z Z

  −1 −1

  µ γ (A N ) = χ dµ γ dν −1 × ν Π Λ Π (A N ) γ Λ Como χ (x) = χ A (Π Λ (x)) e para todo γ existe x N ∈ N tal que γ =

  Π (A N ) Λ −1

  Π (x ) obtemos

  Λ

  Z Z Z −1 χ (x)dµ γ = χ A (Π (x))dµ γ = χ A (x )dµ γ = χ A (x ) N Λ N N γ γ γ Π (A N ) Λ e assim µ γ . Agora dado qualquer A

  × ν(A) = µ(A) para todo A ∈ A ∈ A =

  ∞

  [ n , como n = f ( ), temos que existem n tais que A = f (A ) e n n n A A A ∈ N e A ∈ A

  =0

  assim n µ γ γ (A )) = µ γ ).

  × ν(A) = µ × ν(f × ν(A n Por outro lado µ ´e tamb´em f -invariante, logo µ(A) = µ(f (A )) = µ(A ), o que nos permite concluir que µ = µ γ

  × ν. Teorema B. A medida µ possui decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos. Prova: Devemos provar que dada ϕ, ψ α-H¨older, existe uma constante 0 < τ < 1 e

  K(ϕ, ψ) > 0 tais que Z Z Z n n

  (ϕ )ψdµ ϕdµ ψdµ , ◦ f −

  ≤ K(ϕ, ψ) · τ para todo n ≥ 1, e isto, por (3.9) ´e equivalente a mostrar que

  Z Z Z n n ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ , para todo n

  L − ≥ 1.

  ≤ K(ϕ, ψ) · τ s Provaremos inicialmente o caso onde ϕ e ψ

  |γ ∈ D (γ) para todo γ ∈ F loc ∈ C(b, c, α),

  R R supondo ainda ϕdµ ψdµ = 1.

  6= 0 e s Sabemos que ˜ temos, pela

  |γ

  L(1) = 1 ◦ f = 1. Como ϕ ∈ D(γ) para todo γ ∈ F loc condi¸c˜ao (A), que Z n

  ϕ ˜ (ψ)dµ γ γ L n ˜

  Z (ψ), 1 ≤ β L

  • γ

  ϕdµ γ Z Z n

  ˜ A normaliza¸c˜ao de ψ nos diz que (ψ)dµ = ψdµ = 1. Agora, como observado antes

  L µ = µ γ

  × ν. Portanto, Z Z Z n n

  ˜ ˜ (ψ)dµ γ dν = (ψ)dµ = 1 γ L L

  Z n ˜ e assim existe ˆ γ tal que (ψ)dµ γ

  ˆ γ L ≤ 1. Podemos ent˜ao concluir que ˆ

  Z n ˜

  (ψ)dµ γ

  ˆ n ˆ n γ L Z

  ˜ ˜ α (ψ), 1 Z = (ψ)dµ γ γ ˆ

  • ˆ

  L ≤ L ≤ 1

  dµ γ γ ˆ s ˆ e que para todo γ

  ∈ F loc Z n n

  ϕ ˜ (ψ)dµ γ ˜

  L β (ψ), 1 n n

  • γ

  L

  ˜ ˜ Θ L (ψ),1 Θ L (ψ),1

  ( ( + Z ).

  ≤ e ≤ ) ≤ e n

  ˜ α (ψ), 1 γ γ

  L ϕdµ

  • Como, pela proposi¸c˜ao 3, o cone C (b, c, α) ´e invariante e, pela proposi¸c˜ao 4, o cone C (σb, σc, α) possui Θ-diˆametro finito menor ou igual a ∆, segue da proposi¸c˜ao 2 que n n n

  −1 existe 0 < τ < 1 tal que para todo ϕ, ψ (ϕ), ˜ (ψ)) .

  ∈ C (b, c, α) temos Θ( ˜ L L ≤ ∆τ Logo, Z Z Z n n

  ϕ ˜ (ψ)dµ γ dν L

  ϕ ˜ (ψ)dµ L n γ ˜ n−1 Θ L (ψ),1

  ∆τ

  ( Z = Z Z . ≤ e ) ≤ e

  ϕdµ ϕdµ γ dν n−1 γ

  ∆τ

  e ∆ n−1 − 1

  ∆τ

  Observemos agora que lim = , portanto existe ˜ ∆ > 0 tal que e n →∞ n − 1 < n τ τ

  ˜ ∆τ , para todo n

  ∈ N. Isto nos permite provar que Z n

  Z ϕ ˜ (ψ)dµ Z Z L n−1 n

  ∆τ

  ˜ ϕdµ Z ϕdµ e ϕdµ ∆τ

  − 1 ≤ − 1 ≤ ϕdµ

  R Se ψdµ

  6= 1 ent˜ao Z Z Z Z Z Z n n ψ

  ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕ ˜ R dµ ϕdµ L − L −

  = ψdµ

  Z Z n ˜

  ψdµ ϕdµ ∆τ ≤ para todo n

  ≥ 1. Para toda ψ α-H¨older, vimos que existe K(ψ) > 0, suficientemente grande, tal que ψ + K(ψ)

  ∈ C(b, c, α). Portanto, escrevendo ψ = ψ + K(ψ) − K(ψ) e observando que Z Z Z n

  ϕ ˜ (K(ψ))dµ = ϕdµ K(ψ)dµ obtemos L Z Z Z Z Z Z n n

  ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ϕ ˜ (ψ + K(ψ)) dµ ϕdµ (ψ + K(ψ))dµ L − L −

  = Z Z n

  ˜ ψdµ ϕdµ ∆τ

  ≤

  • K(ψ) Agora, se ϕ ´e α-H¨older ´e suficiente notar que existe K(ϕ) + K(ϕ) + B

  |γ

  ∈ R tal que ϕ ∈ s Z loc e que ϕ + K(ϕ) + Bdµ > 0, para todo B > 0 . De fato, D (γ) para todo γ ∈ F

  • K(ϕ) < κ inf ϕ + K(ϕ) ϕ |γ |γ α se, somente se,

  ϕ |γ α K(ϕ) > ϕ |γ

  − inf κ

  ) (

  ϕ |γ α |ϕ| α Seja ent˜ao K(ϕ) = sup γ ∈F κ κ loc s − inf ϕ. Observe que K(ϕ) ≤ − inf ϕ < ∞.

  ϕ

  |γ α s

  Como ϕ + K(ϕ) , segue que ϕ + K(ϕ) + B

  |γ |γ

  ≥ ≥ 0 para todo γ ∈ F loc ∈ D (γ) e κ Z que (ϕ + K(ϕ))dµ + B > 0, para todo B > 0. Logo, analogamente ao caso anterior Z Z Z Z Z n n

  ˜ ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕdµ ∆τ

  L − ≤ + K(ψ) + K(ϕ) + B e pela arbitrariedade de B obtemos

  Z Z Z Z Z n n ˜

  ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕdµ ∆τ L −

  ≤ + K(ψ) + K(ϕ) . Z Z

  Observando que ϕdµ ϕdµ −inf ϕ ≥ 0, temos que +K(ϕ) ≥ 0. Portanto, definindo

  Z Z ˜ K(ϕ, ψ) := ψdµ ϕdµ ∆, conclu´ımos a prova do teorema.

  • K(ψ) + K(ϕ)

  ✷

3.6 Teorema do Limite Central

  Nesta se¸c˜ao obteremos o teorema do limite central devido ao decaimento expo- nencial de correla¸c˜oes. Antes relembraremos alguns fatos gerais. Seja G uma σ-´algebra

  −n

  de Borel de M e := f ( n G

  G) uma fam´ılia de σ-´algebras n˜ao crescente. Uma fun¸c˜ao n ξ : M n -mensur´avel se somente se ξ = ξ n para algum ξ n

  → R ´e G ◦ f G- mensur´avel.

  2

  2

  2

  2 Seja L ( n ) = (µ) ; ξ ´e n -mensur´avel ( n ) ( n ) para cada

  • 1

  G {ξ ∈ L G }. Note que L G ⊂ L G

  2

  2

  n (µ), denotaremos por E(ϕ n ) a L -proje¸c˜ao ortogonal de ϕ em ≥ 0. Dado ϕ ∈ L |G

2 L ( n ).

  G A estrat´egia agora ´e aplicar o seguinte resultado devido a Gordin, cuja a prova pode ser vista em [Vi97]:

  2 Teorema 3. [Teorema de Gordin] Sejam (M,

  (µ)

  F, µ) um espa¸co de probabilidade, φ ∈ L R

  −1

  tal que φdµ = 0, f : M sejam mensur´aveis

  → M uma aplica¸c˜ao invert´ıvel tal que f e f

  −n

  e µ f -invariante e f -erg´odica. Seja := f ( ), n n F ⊂ F tal que F F ∈ Z, ´e uma sequˆencia n˜ao crescente de σ-´algebras. Defina

  ∞

  Z

  X j

  2

  2 σ := φ dµ + 2 φ ) dµ. φ · (φ ◦ f j =1

  Se

  ∞ ∞

  X n )

  X

  2 < −n ) 2 < n =0 n =0 kE(φ|F k ∞ e kφ − E(φ|F k ∞

  1

  ent˜ao σ φ < φ = 0 se somente se φ = u (µ). Mais ainda, ∞ e σ ◦ f − u para algum u ∈ L se σ φ > 0 ent˜ao para qualquer intervalo A

  ⊂ R

  n −1 ! Z t2

  −

  X

  1 j

  1 2σ2 φ µ x φ(f (x)) e dt,

  ∈ M : √ ∈ A → √ n A j σ φ 2π

  =0

  com n → ∞.

  Seja ent˜ao os conjuntos da σ-´algebra de Borel de Λ que s˜ao uni˜oes de folhas F est´aveis locais, mais precisamente, B se, somente se, B ´e um subconjunto de Borel

  ∈ F de Λ e dado qualquer folha est´avel local γ, ou γ ∩ B = ∅ ou γ ⊂ B. Observe que, se ϕ ´e F -mensur´avel ent˜ao ϕ ´e constante ao longo de folhas est´aveis locais.

  Provaremos inicialmente o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para fun¸c˜oes em

1 L (F ), isto ´e, fun¸c˜oes F -mensur´aveis que s˜ao tamb´em integr´aveis em rela¸c˜ao a medida

  µ:

1 Proposi¸c˜ ao 7. Sejam ϕ (F ) e ψ α-H¨older. Ent˜ao existem constantes 0 < τ < 1 e

  ∈ L C(ψ) &gt; 0 tais que

  Z Z Z Z n n (ϕ )ψdµ ϕdµ ψdµ

  ◦ f − |ϕ| dµ · τ ≤ C(ψ) para todo n

  ≥ 1. Prova: Basta observar que se ϕ ´e F -mensur´avel ent˜ao ϕ ´e constante ao longo de folhas s est´aveis locais, da´ı, γ = 0 para todo γ . Suponha ϕ loc

  |ϕ| | α ∈ F ≥ 0 e sejam K(ϕ) e K(ψ) como na prova do teorema B. Logo )

  ( ϕ |γ α

  K(ϕ) = sup γ ∈F κ loc s − inf ϕ = − inf ϕ Z Z

  Como ϕdµ |ϕ| dµ, analogamente a prova do teorema B, segue que

  − inf ϕ ≤ Z Z Z Z n

  Z n (ϕ )ψdµ ϕdµ ψdµ ψdµ . ◦ f −

  |ϕ| dµ · τ ≤ + K(ψ)

  − ± ±

  • Agora, podemos escrever ϕ = ϕ onde ϕ = ( ϕ

  1 Z

  −ϕ |ϕ| ± ϕ). Observando que dµ ≤

  2 Z |ϕ| dµ segue da linearidade da integral que

  Z Z Z Z n n (ϕ )ψdµ ϕdµ ψdµ

  ◦ f − |ϕ| dµ · τ ≤ C(ψ)

  Z onde C(ψ) := 2 ψdµ .

  • K(ψ)

  ✷ Em consequˆencia disto provaremos o seguinte lema:

  Z Lema 4. Para toda fun¸c˜ao ϕ H¨older continua com ϕdµ = 0 existe R = R(ϕ) tais que n ) n

  2 para n kE(ϕ|F k ≤ Rτ ≥ 0.

  Prova: Z

  1 Devido a proposi¸c˜ao anterior se ψ (F ) e

  ∈ L |ψ|dµ ≤ 1 ent˜ao Z Z Z n n (ψ )ϕdµ ψdµ ϕdµ .

  ◦ f − ≤ C(ϕ) · τ

  Z Sabemos que como ϕdµ = 0 temos

  1

  2

  kψk ≤ kψk Z n ) = sup ξϕdµ; ξ ( n ), = 1

  2

  2

  2

  kE(ϕ|F k ∈ L F kξk Z n

  2

  = sup (ψ ) ϕdµ; ψ (F ),

  2 = 1 n ◦ f ∈ L kψk

  ≤ R (ϕ) τ ✷

  Estamos agora em condi¸c˜oes de provar o teorema do limite central: Teorema C. (Teorema do Limite Central)

  Seja µ de m´axima entropia para f : Λ → Λ, satisfazendo (P1), (P2), (P3) e

  (P4). Dada ϕ uma fun¸c˜ao H¨older cont´ınua e

  ∞

  Z Z Z

  X j

  2

  2 σ := φ dµ + 2 φ ) dµ, onde φ = ϕ ϕ dµ. ϕ j · (φ ◦ f − =1

  1 Ent˜ao σ ϕ &lt; ϕ = 0 se somente se ϕ = u (µ). Mais ainda,

  ∞ e σ ◦ f − u para algum u ∈ L se σ ϕ &gt; 0 ent˜ao para todo intervalo A ⊂ R n !

  −1

  Z Z t2

  X

  −

  1 j

  1 2σ2 ϕ lim µ x ϕ(f (x)) ϕdµ = e dt. n →∞ ∈ M : √ − ∈ A √ n A j σ ϕ 2π

  =0 ∞

  X Prova: O lema acima prova que n ) &lt;

  2 n kE(φ|F k ∞, o que assegura a primeira

=0

  condi¸c˜ao do teorema de Gordin. A segunda condi¸c˜ao do teorema de Gordin segue da

  H¨older continuidade de ϕ. De fato, E(φ, ) ´e constante em cada n-´esima imagem

  −n n F

  η = f (γ) de uma folha est´avel γ e inf(φ γ ) −n ) γ ).

  | ≤ E(φ, F ≤ sup(φ| n Visto que o diˆametro de η ´e menor que C s λ para alguma constante C s que n˜ao depende s de γ, λ s

  ∈ (0, 1) e φ ´e (A, α)-H¨older para alguma constante A &gt; 0, obtemos que α αn ) ) λ .

  −n 2 −n s s

  kφ − E(φ, F k ≤ kφ − E(φ, F k ≤ AC

  ∞

  X Isto nos garante que ) &lt;

  −n

  2 n kφ − E(φ, F k ∞. O resultado segue como corol´ario do =0 teorema de Gordin.

  ✷ Cap´ıtulo 4 Resultados Ulteriores: Derivados de Anosov

  Este ´ ultimo cap´ıtulo ´e reservado a dinˆamicas parcialmente hiperb´olicas derivadas de sistemas Anosov. De posse das t´ecnicas e resultados provados no cap´ıtulo anterior, provamos a invariˆancia pelo operador transferˆencia e diˆametro finito na m´etrica proje- tiva, de um cone de fun¸c˜oes an´alogo ao contexto de semi-conjuga¸c˜oes com dinˆamicas n˜ao uniformemente expansoras, como em Castro-Varandas. Al´em disso, constru´ımos a partir da convergˆencia nos cones uma medida com decaimento exponencial de correla¸c˜oes, e por consequˆencia, que satisfaz o teorema do limite central.

4.1 Contexto

  Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e provar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes e como consequˆencia o teorema do limite central, para uma medida invariante associada a uma dinˆamica f : M → M derivada de um sistema Anosov.

  Sejam M uma variedade riemanniana compacta e f : M → M um difeomorfismo sobre sua imagem. Seja Λ um subconjunto compacto de M com as seguintes propriedades:

  1. Existe uma vizinhan¸ca aberta Q de Λ, f -invariante, tal que f (Q) ⊂ Q e

  

  \ n Λ = f (Q). n

  =0

  2. Suponha Λ parcialmente hiperb´olico, no sentido que existe uma decomposi¸c˜ao cont´ınua Df -invariante ss uc ss

  T M = E , dim(E ) &gt; 0

  Λ

  ⊕ E do fibrado tangente restrito a Λ, tal que, fixada uma m´etrica riemanniana em M temos: ss (a) E contrai uniformemente: n ss n x s kDf |E k ≤ Cλ uc ss

  (b) E ´e dominado por E : n ss −n uc n x s n kDf |E kkDf |E f (x) k ≤ Cλ para todo n s &lt; 1.

  ≥ 1 e x ∈ Λ, onde 0 &lt; λ uc

  3. Existe uma folia¸c˜ao centro inst´avel de uma vizinhan¸ca de Λ, invariante, tangente uc s F loc ao subfibrado centro inst´avel E em Λ, al´em da folia¸c˜ao est´avel tangente ao loc ss F subfibrado est´avel E em Λ.

  Para seguir com as considera¸c˜oes sobre a dinˆamica f , necessitaremos do conceito de Parti¸c˜ao de Markov no nosso contexto parcialmente hiperb´olico. Iniciaremos definindo um retˆangulo pr´oprio de Markov: Defini¸c˜ ao 1. Dizemos que R angulo pr´ oprio de Markov, se para

  ⊂ Λ ´e um retˆ todos x e y em R existir um ´ unico ponto z := [x, y] em R que ´e a interse¸c˜ao de uma variedade est´avel local passando por x, com uma variedade centro inst´avel local passando por y. Al´em disso, R ´e o fecho do seu interior(na topologia relativa a Λ) e em particular fechado. Podemos observar que a fronteira de retˆangulos pr´oprios de Markov s˜ao uni˜oes de variedades est´aveis e centro inst´aveis locais.

  Defini¸c˜ ao 2. Dizemos que a cole¸c˜ao , p

  1 R = {R · · · , R } de retˆangulos pr´oprios ´e

  uma Parti¸ c˜ ao de Markov para f restrito a Λ, se: p [

  (a) Λ = R i ; i =1 (b) int (R i ) j ) =

  ∩ int (R ∅ para i 6= j; (c) Se γ ´e a interse¸c˜ao de uma variedade est´avel local com R i e f (γ) j

  ∩ R 6= ∅ ent˜ao f (γ) j . Analogamente, se Γ ´e a interse¸c˜ao de uma variedade centro ⊂ R

  −1 −1 inst´avel local com R i e f (Γ) k (Γ) k .

  ∩ R 6= ∅ ent˜ao f ⊂ R

  4. A dinˆamica f restrita `a Λ admite uma parti¸c˜ao de Markov ,

  1 p

  R = {R · · · , R }, p ≥ 2 com a propriedade mixing: dados i, j ∈ {1, · · · , p}, existe n ≥ 1 tal que f n (R i ) ∩ R j 6= ∅ para todo n

  ≥ n . Distinguiremos dois tipos de retˆangulos em

  1

  −1 −1

  = kDg| E cs g−1 (g(y)) k

  −1

  | E cs g (y) k

  −1

  = kDg

  −1

  ∈ ¯ R j e assim kDf| E uc x k

  R j , segue que para todo x ∈ R j = g( ¯ R j ) temos x = g(y) onde y

  6= ∅, da´ı R tamb´em satisfaz a propriedade mixing. Al´em disso um retˆangulo bom de f ´e a imagem de um retˆangulo bom de g, pois se ¯ R j ´e tal que kDg(y)|E cs y k ≤ ζ para todo y ∈ ¯

  ∩g n ( ¯ R j )

  ∩R j 6= ∅ implica que ¯ R i

  , · · · , R p } ´e uma parti¸c˜ao de Markov para f e f n (R i )

  R p a parti¸c˜ao de Markov associada a g com propriedade mixing. Definindo R j = g( ¯ R j ) temos que R := {R

  R de acordo com o seu comportamento na dire¸c˜ao E uc . Fixado 0 &lt; ζ &lt; 1, diremos que R i ∈ R ´e um retˆangulo bom se kDf| E uc x k

  , · · · , ¯

  1

  ¯ R

  Seja ¯ R :=

  , os subfribados inst´avel forte(E uu ) e centro est´avel(E cs ), de g como em [Cas02], s˜ao respectivamente os subfibrados est´avel forte(E ss ) e centro inst´avel(E uc ) de f , como no nosso contexto.

  −1

  Uma classe robusta de aplica¸c˜oes satisfazendo as condi¸c˜oes 1 `a 5, acima, pode ser obtida por A. A. Castro em [Cas02]. De fato, seja g : M → M como em [Cas02]. Considerando f = g

  ≤ L onde L ≥ 1 ´e necessariamente pr´oximo de um. Isto nos diz que nesta dire¸c˜ao a dinˆamica pode contrair, mas n˜ao muito.

  −1

  5. Existe algum retˆangulo bom e para todo x num retˆangulo ruim kDf| E uc x k

  R. Nossa pr´oxima hip´otese sobre o sistema dinˆamico f ´e que

  ≤ ζ para todo x ∈ R i . Ou seja, E uc contrai uniformemente em R i . Chamaremos de retˆ angulo ruim todos os outros retˆangulos de

  −1

  = kDg| E cs y k ≤ ζ.

4.2 Cones Invariantes

  Dado x ∈ Λ denotaremos por γ a interse¸c˜ao de uma variedade est´avel local no ponto x com um retˆangulo da parti¸c˜ao de Markov. Podemos supor que a propriedade mixing ´e dada na primeira intera¸c˜ao, ou seja, dados quaisquer retˆangulos R i e R j de

  R temos f (R i ) j ∩ R 6= ∅. Caso contr´ario, provar´ıamos os resultados para um iterado da f . Sendo assim, se γ ´e a p γ s

  [ interse¸c˜ao da variedade est´avel local W (x) com algum retˆangulo R i , temos γ = f (γ j ), loc j

  =1 −1

  onde γ j ´e a interse¸c˜ao de um retˆangulo R j com a variedade est´avel local no ponto f (y), s para algum ponto y (x) e p γ loc ∈ W ∈ N. s Observemos agora que pelas propriedades da Parti¸c˜ao de Markov, se γ = W (x) s s s loc ∩

  R i , ˆ γ = W (y) i e x, y i ent˜ao W (x) j ) (y) j ) loc ∩R ∈ R loc ∩f(R 6= ∅ se somente se W loc ∩f(R 6= s s [ [ f (γ j ) e ˆ γ = f (ˆ γ j ), onde γ j , ˆ γ j j e p γ = p γ = s.

  ˆ

  ∅. Assim existe s ∈ N tal que γ = ⊂ R j j

  =1 =1

  N˜ao temos garantia disto no caso onde x e y est˜ao no interior de retˆangulos distintos da Parti¸c˜ao de Markov.

  A observa¸c˜ao acima ´e importante para o c´alculo do diˆametro finito e al´em disso modifica ligeiramente a defini¸c˜ao das medidas de probabilidades definidas nas folhas γ s

  , comparado ao caso onde a dinˆamica ´e semi-conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em F loc [CV13] e assim p γ ´e constante igual a p, que por sua vez representa o grau da aplica¸c˜ao g. p γ s [

  Fixada ent˜ao γ temos γ = f (γ j ). Dado n loc ∈ F ∈ N, n ≥ 1, por indu¸c˜ao j

  =1

  podemos escrever p p i0 i1 in−1 p [ [ [ n

  γ = f (γ i ···i n ) i =1 i =1 i n =1 1 p 2 in · · · 1 [ onde f (γ i ) i , γ i = f (γ i ) e p i , k 1 ···i n +1 1 ···i n 1 ···i n 1 ···i n +1 k

  ⊂ γ i n +1 =1 ∈ N. Observe tamb´em que p i = p γ . Como a uni˜ao acima ´e disjunta, para cada n n ∈ N, n ≥ 1, os conjuntos da forma f (γ i ) com i k 1, i , k 1 ···i n

  ∈ · · · , p k−1 ∈ N, k ≥ 1 definem uma parti¸c˜ao para γ. Nada mais natural ent˜ao que definir uma medida de probabilidade em γ da seguinte forma: n

  1 µ γ (f (γ i ···i n )) := 1 n p i p i i 1 · · · p n−1

  Como o diˆametro de f (γ i ) tende a zero, pois γ i est´a contida numa variedade 1

···i n ···i n

1 est´avel local, temos que µ γ est´a bem definida em γ e ´e uma medida de probabilidade em

  Figura 4.1: Distribui¸c˜ao de massa para derivados de Anosov γ pois, p p p p p p i0 i1 in−1 i0 i1 in−1

  X X

  X X

  X X n

  1 µ γ (γ) = µ γ (f (γ i )) = = 1. 1 ···i n · · · · · · i i i i i i p i p i i 1 · · · p n−1 1 =1 =1 n =1 =1 =1 n =1 2 1 2 Naturalmente ´e poss´ıvel estender tal medida ao atrator Λ. Seja ent˜ao A um elemento da

  σ −´algebra de Borel de Λ. Podemos escrever p γ p γ p γ ! !

  [ [

  X µ γ (A) = µ γ (A γ A f (γ j ) = µ γ (A j )) = µ γ (A j ))

  ∩ γ) = µ ∩ ∩ f(γ ∩ f(γ j j j

  =1 =1 =1

  1

  −1

  Definindo µ γ (A) := p γ µ γ (f (A j )) obtemos que µ γ (f (A)) = µ γ (A j )) e assim j j ∩ γ

  ∩ f(γ p γ p γ

  X

  1

  −1

  µ γ (A) = µ γ (f (A)) j p γ j

  

=1

n

  1 Al´em disso µ (f (γ )) = e em particular ´e uma medida de probabi- γ j j ···j n 1 p j p j j 1 · · · p n−1

  1

  −1

  lidade em γ j . Observemos agora que µ γ (A j )) = µ γ (f (A)) implica que para j ∩ f(γ p γ todo A mensur´avel, obtemos que a fun¸c˜ao caracter´ıstica χ A satisfaz

  Z Z

  1 χ A dµ γ = χ A γ j

  ◦ fdµ f γ p γ

  (γ j ) j

  e pelo teorema da convergˆencia dominada, segue que para toda g : Λ → R cont´ınua que

  Z Z

  1 gdµ γ = g γ . (4.1) j ◦ fdµ f γ p γ

  (γ j ) j Nosso operador transferˆencia L definido no espa¸co de Banach E das fun¸c˜oes p γ φ −1 [

  −1 (f (x))

  ϕ : Λ (x))e . Como γ = f (γ j ) e

  → R limitadas , ´e dado por L(ϕ)(x) = ϕ(f j

  =1

  utilizando a mudan¸ca de vari´avel como em 4.1 obtemos que p γ Z Z γ = ϕρ j dµ γ

  X j γ γ L(ϕ)ρdµ j j

  =1

  1 φ onde ρ j := ρ . Ou seja, o operador de Ruelle-Perron-Frobenius atua sobre as ◦ fe p γ fun¸c˜oes testes no caso do derivado de Anosov da mesma forma que no caso onde a dinˆamica

  ´e semi-conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em [CV13]. Isto nos motiva a definir de forma similar nosso cone de fun¸c˜oes apropriado, isto ´e, um cone estritamente invariante para o operador de Ruelle-Perron-Frobenius e diˆametro finito da imagem do cone pelo operador, em rela¸c˜ao a m´etrica projetiva.

  Para isso devemos modificar os crit´erios da defini¸c˜ao do item (C) do caso onde a dinˆamica ´e semi-conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em [CV13]. Pois, mesmo para folhas pr´oximas γ e eγ necessitamos acrescentar a hip´otese que as mesmas estejam no mesmo retˆangulo da Parti¸c˜ao de Markov, j´a que sem tal hip´otese n˜ao garantimos a existˆencia da proje¸c˜ao π : eγ → γ entre as folhas de forma que possamos definir a distˆancia entre γ e eγ, como sendo d(γ, eγ) = sup {d(π(p), p); p ∈ eγ}.

  Igualmente ao contexto onde a dinˆamica ´e semi-conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em [CV 13], definiremos o cone auxiliar D(γ, κ) das densidades ρ : γ → R tais que ρ &gt; 0 e α &lt; κ inf ρ. Como γ est´a contida numa variedade est´avel local e ainda

  |ρ| φ φ assegurando as hip´oteses sobre o potencial φ, ou seja, sup φ e , −inf φ &lt; ε and ≤ ε inf e α temos ainda v´alido o lema auxiliar 2, isto ´e, existe 0 &lt; λ &lt; 1 e κ &gt; 0 tais que s

  1 + λ

  1. Para todo γ se ρ, ˆ ρ loc .

  ∈ F ∈ D(γ, λκ) ent˜ao θ(ρ, ˆρ) ≤ 2 log

  1 − λ

2. Se ρ j j , λκ) para todo j ∈ D(γ, κ) ent˜ao ρ ∈ D(γ ∈ {1, . . . , p}.

  2

  1 , ,, , ,, − λ , ,,

  3. Se ρ , ρ

  1 = 1 tal que θ j (ρ , ρ ) 1 θ(ρ , ρ )

  ∈ D(γ, κ) ent˜ao existe Λ − j j ≤ Λ 1 + λ para todo j

  ∈ {1, . . . , p}; onde θ j e θ s˜ao, respectivamente, a m´etrica projetiva associadas aos cones j , κ) e D(γ D(γ, κ).

  Explicitemos agora nosso cone principal. Para tal, denotaremos mais uma vez Z por (γ) o conjunto das densidades ρ ρdµ γ = 1. Dados b &gt; 0,

  γ c &gt; 0 e κ como no lema auxiliar 2, seja C[b, c, α] o cone de fun¸c˜oes ϕ s ∈ E satisfazendo para todo γ as condi¸c˜oes abaixo:

1 D ∈ D(γ, κ) tais que

  ∈ F

  • (A)Para todo ρ ∈ D(γ, κ):

  Z , ,, γ ϕρdµ γ &gt; 0 , ρ (γ):

  1

  • (B) Para todo ρ ∈ D Z Z Z , ,, , ,,

  ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ , ρ ) inf ϕρdµ γ −

  &lt; bθ (ρ ρ

γ γ γ

∈D 1 (γ) i , da Parti¸c˜ao de Markov:

  • (C) Dadas quaisquer folhas γ e eγ num mesmo retˆangulo R Z Z Z α

  ϕdµ γ ϕdµ γ inf ϕdµ γ − e γ γ γ &lt; cd(γ, eγ) γ

  e

  A prova da invariˆancia estrita do cone C[b, c, α] pelo operador Ruelle-Perron- Frobenius segue os passos da invariˆancia do cone C(b, c, α) no caso onde a dinˆamica ´e semi-conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em [CV13].

  Antes de iniciar a prova da invariˆancia, devemos atentar aos seguintes fatos: s Observa¸c˜

  (x) i s s s ao 2. Dados γ e eγ em um mesmo retˆangulo, ou seja, se γ = W loc ∩ R , eγ = W (y) i e x, y i ) ent˜ao W (x) j ) (y) j ) loc loc loc ∩R ∈ int(R ∩f(R 6= ∅ se somente se W ∩f(R 6= ∅. p p

  [ [ Assim existe p f (γ ), onde γ e p = p = p. j j j j j γ γ ∈ N tal que γ = ) e eγ = f (eγ , eγ ⊂ R e j =1 j =1

  Observa¸c˜ ao 3. Sejam γ e eγ como na observa¸c˜ao anterior. Podemos supor sem perda de generalidade que γ est˜ao em um mesmo retˆangulo bom e assim existe 0 &lt; λ uc &lt; 1

  1

  1

  e eγ tal que d(γ ) uc L

  1

  1

  , eγ ≤ λ d(γ, eγ) e nos demais casos, j 6= 1, existe ˜ ≥ 1 pr´oximo de um tal que d(γ j j ) ≤ ˜ , eγ Ld(γ, eγ).

  Para justificar a observa¸c˜ao 3, provaremos a seguinte proposi¸c˜ao: p p [ [

  Proposi¸c˜ ao 8. Sejam γ = f (γ j j ) contidos em um retˆangulo R j j j ) e eγ = f (eγ ∈ R uc =1 =1 −1 e δ &gt; 0 fixado. Se i e γ i i i ent˜ao d(γ i i ) kDf|E x k ≤ K para todo x ∈ R , eγ ⊂ R , eγ ≤ K(1 + δ)d(γ, eγ). uc

  Prova: Sejam Γ e Γ

  1 , folhas em passando respectivamente por x i e f (x)

  F loc ∈ eγ em Γ tal que d(f (x), π(f (x))) =

  1

  1

  necessariamente em eγ. Podemos escolher uma curva ξ l(ξ )(onde l(.) indica o comprimento da curva). Sabemos que o ˆangulo entre Γ e f (Γ )

  1

  1

  ´e limitado. Por outro lado, dado δ &gt; 0 podemos supor o diˆametro do retˆangulo R j suficientemente pequeno de modo que existe uma curva ξ em f (Γ ) ligando os pontos

  2

  f (x) e f (π i (x)) tal que l(ξ ) )

  2

  1

  ≤ (1 + δ)l(ξ Figura 4.2: Distˆancia entre folhas

  −1

  Defina ent˜ao ξ = f (ξ ). Da´ı

2 Z Z

  1

  1 −1 −1 −1

  l(ξ ) = l(f (ξ )) = (t) (ξ (t)) (t)

  2

  2

  2

  k f ◦ ξ kdt ≤ kDf k · kξ 2 kdt. uc −1 −1 −1 Como ξ = f (ξ ) e ξ temos (f (ξ )) ) ) e

  2

  ⊂ Γ kDf k = kDf(ξ k ≤ kDf(ξ |E k assim l(ξ ) ). Logo

  2

  ≤ K · l(ξ d(x, π i (x)) ) ) ) = K(1 + δ)d(f (x), π(f (x))).

  ≤ l(ξ ≤ K · l(ξ

  2 ≤ K(1 + δ)l(ξ

  1 Portanto, para todo ǫ &gt; 0, existe x tal que i

  ∈ eγ d(γ i i ) i (x)) + ǫ , eγ ≤ d(x, π ≤ K(1 + δ)d(f(x), π(f(x)) + ǫ ≤ K(1 + δ)d(γ, eγ) + ǫ isto nos permite concluir que d(γ i i )

  , eγ ≤ K(1 + δ)d(γ, eγ).

  ✷ Em particular se na proposi¸c˜ao 8, K = ζ &lt; 1 podemos definir λ uc = ζ(1 + δ) e escolher δ suficientemente pequeno para que 0 &lt; λ uc &lt; 1. Por outro lado se K = L, arbitrariamente pr´oximo de um, podemos definir ˜ L = L(1+δ) e escolher δ suficientemente pequeno para que ˜ L seja tamb´em arbitrariamente pr´oximo de um. Isto prova a observa¸c˜ao

  3.

  (4.2) Por hip´otese ϕ est´a no cone e pelo lema 2, temos

  ρ ,, j dµ γ j por ρ j e ρ j , respectivamente, segue-se que Z γ

  X j

  =1

  ρ inf

  ∈D 1

(γ j )

  (Z γ j ϕρdµ γ j

  ) inf ρ

  ∈D 1 (γ)

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  ) Dado ρ , , ρ ,,

  ∈ D

  1

  (γ) denotando ρ , j / Z γ j

  ρ , j dµ γ j e ρ ,, j / Z γ j

  L(ϕ)ρ , dµ γ −

  (Z γ j ρ j dµ γ j

  Z γ L(ϕ)ρ ,, dµ γ

  ≤ p γ

  X j

  =1

  Z γ j ϕρ j dµ γ j

  − Z γ j

  ϕρ j dµ γ j Z γ j

  ρ , j dµ γ j

  X j

  =1

  Z γ j ϕρ j dµ γ j

  Z γ j ρ , j dµ γ j

  − Z γ j

  ρ ,, j dµ γ j .

  ) ≥ p γ

  ∈D 1 (γ)

  Proposi¸c˜ ao 9. Seja φ um potencial constante. Existe 0 &lt; σ &lt; 1 tal que L(C[b, c, α]) ⊂ C[σb, σc, α] para b e c suficientemente grandes.

  X j

  Prova: Invariˆancia da condi¸c˜ao (A): Seja ϕ

  ∈ C[b, c, α]. Sabemos que Z γ

  L(ϕ)ρdµ γ = p γ

  X j

  =1

  Z γ j ϕρ j dµ γ j e pelo lema 2

  ρ j ∈ D(γ j , κ). Portanto,

  Z γ L(ϕ)ρdµ γ &gt; 0.

  Invariˆancia da condi¸c˜ao (B): Denotando

  ρ j Z γ j

  ρ j dµ γ j por ˆ ρ j podemos escrever ρ inf

  ∈D 1 (γ)

  Z γ L(ϕ)ρdµ γp γ

  =1

  ) inf ρ

  ρ inf

  ∈D 1

(γ)

  (Z γ j ϕρ j dµ γ j

  ) = p γ

  X j =1 inf ρ ∈D 1

  

(γ)

  (Z γ j ϕˆ ρ j dµ γ j

  Z γ j ρ j dµ γ j

  ) ≥ p γ

  X j

  =1

  ρ inf

  ∈D

1 (γ)

  (Z γ j ϕˆ ρ j dµ γ j

  • p γ

  ) Z Z

  (Z ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ j ρ , ρ inf ϕρdµ γ j j j j j j j

  − ≤ bθ ρ γ γ γ j j j ∈D 1 (γ j ) ) , ,, (Z

  = bθ j ρ , ρ inf ϕρdµ γ j (4.3) j j ρ

  ∈D 1 (γ j )

  ) , ,, (Z θ (ρ , ρ ) inf ϕρdµ γ .

  1 j

  ≤ bΛ ρ

  ∈D (γ j ) 1 γ j

  Vamos observar um pouco mais. Para todo ˆ ρ (γ) obtemos a seguinte esti-

  1

  ∈ D mativa Z γ j (ˆ ρ) j dµ γ j α

  2

  ) (4.4) ) ≤ (1 + κdiamM

  (Z ρ ∈D (γ) inf ρ j dµ γ 1 γ j j )

  Z (Z

  ρ

  1 (γ) tal que ρ) j dµ γ j ρ j dµ γ j

  ∈ D ≤ (1+δ) inf De fato, dado δ &gt; 0 existe e (e ρ γ j γ j ∈D 1 (γ) e mais ainda, como ˆ ρ est˜ao normalizados pela integral, devemos ter necessariamente

  ρ e e inf ˆ ρ ρ ≤ 1 e sup e ≥ 1. Logo,

  1 φ ρ ˆ

  ◦ fe α (ˆ ρ) j p γ sup ˆ ρ (1 + κdiamM ) inf ˆ ρ α

  2

  = = (1 + κdiamM ) .

  ≤ ≤ α −1

  1 ρ) j φ ρ

  (1 + κdiamM ) ρ (e inf e sup e

  ρ e ◦ fe p γ

  Z Z α

  

2

Assim (ˆ ρ) j dµ γ ) ρ) j dµ γ , obtendo para todo δ &gt; 0 que j j γ γ j j ≤ (1 + κdiamM (e

  Z α Z

  2

  (ˆ ρ) j dµ γ (1 + δ) (1 + κdiamM ) ρ) j dµ γ j j γ j γ j (e α

  2 Z

  ) ) ≤ ≤ (1 + δ) (1 + κdiamM

  (Z ρ) j dµ γ j

  (e ρ inf ρ j dµ γ j γ j

  ∈D 1 (γ) γ j o que prova a afirma¸c˜ao acima.

  Agora, para j fixado, obtemos

  Z Z Z , , ,, Z , ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ ρ dµ γ j j j j j j γ γ γ j j j

  − bΛ

  1 θ (ρ , ρ ) ρ dµ γ j γ j j

  ) ) ) ≤

  (Z (Z (Z , ,, , ,, ρ ρ ρ inf ϕρdµ γ inf ρ j dµ γ θ(ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ θ(ρ , ρ ) j j j

  ∈D (γ j ) ∈D (γ) ∈D (γ) 1 γ γ γ j j j 1 1 α

  2

  ) Λ b

  1

  ≤ (1 + κdiamM (4.5)

  Analisaremos ent˜ao a segunda parcela de 4.2. Para tal observaremos primeiro Z que para todo ˆ ρ (γ), denotando (ˆ ρ) j / (ˆ ρ) j dµ γ por ¯ˆ ρ j , segue-se que

  1 j

  ∈ D γ j Z

  ϕ¯ˆ ρ j dµ γ j

γ j 1 + λ

  2

  • 1 ) &lt; b log

  (Z

  1 − λ ρ inf ϕρ dµ γ j j

  ∈D (γ) 1 γ j

  Com efeito, analogamente ao que foi feito em 4.4, ´e suficiente notar que como ϕ est´a no cone temos Z γ j ϕ¯ˆ ρ j dµ γ j Z &lt; bθ(¯ˆ ρ j , ρ ) + 1 = bθ((ˆ ρ) j , ρ j ) + 1 j γ j ϕρ dµ γ j j pelo lema 2, segue a afirma¸c˜ao anterior. Agora estabeleceremos outra estimativa ne- cess´aria:

  Z Z , ,, γ j γ j ρ dµ γ j ρ dµ γ j j − j α

  2 ) .

  ) ≤ 2 (1 + κdiamM , ,, (Z θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ ρ j

  ∈D 1 (γ) γ j

  Para mostrar isso observaremos que , , φ , , , , ,, , ,, ρ j 1/p γ ρ sup ρ sup ρ / inf ρ

  ◦ fe θ ,ρ θ ,ρ

  • + (ρ ) (ρ )
  • ,, = = e ,, φ ,, ,, ,, ≤ ≤ ≤ e

      ρ 1/p γ ρ inf ρ inf ρ / sup ρ j ◦ fe

      Z Z , ,, Assim, assumindo sem perda de generalidade que ρ dµ γ ρ dµ γ temos j j j j γ γ j j

      Z Z , ,, , ,, Z ,, , ρ

      ρ dµ γ ρ dµ γ j j j j − eθ (ρ ρ dµ γ j j γ γ j j ) − 1 γ j

      ) ) ≤ , ,, , ,, (Z (Z

      θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ θ (ρ , ρ ) inf ρ j dµ γ ρ ρ j j

      ∈D (γ) ∈D (γ) 1 γ γ j j 1

    • 1
    • 2 log 1 + λ
    • 2 log 1 + λ
    e ainda pelo lema (2), na prova do segundo item, escolhemos κ, suficientemente pequeno, α de modo que κdiamM &lt; λ. Portanto basta encontrar 0 &lt; λ &lt; 1 de modo que !

      ρ inf

      1 − λ

      1 + λ

      1 b + 2M (κ, α) log

      , ρ ,, ) ≤ M(κ, α)Λ

      Z γ L(ϕ)ρdµ γ θ(ρ ,

      ∈D 1 (γ)

      Z γ L(ϕ)ρ ,, dµ γ

      b + 2M (κ, α) = Λ

      L(ϕ)ρ , dµ γ −

      As estimativas 4.5 e 4.6 n˜ao dependem de j, ent˜ao Z γ

      b + 2M (κ, α) (4.6)

      2

      1 − λ

      2M (κ, α) ≤ 2M(κ, α) log 1 + λ

      2

      1

      2

      1 −

      2

      ! (1 + κdiamM α )

      2

      1 − λ

      2

      1 − λ 1 + λ

      devemos ent˜ao garantir que

      1 − λ

      2

      1 − λ 1 + λ

      −

      1 = 1

      Desejamos que o termo que multiplica b acima seja menor que 1. Relembrando que pelo lema (2), Λ

      ! M (κ, α)b + 2M (κ, α)

      2

      !

      1 − λ

      para θ (ρ , , ρ ,, ) ≤ 1 segue que eθ (ρ ,

      (Z γ j ρ j dµ γ j

      ) ≤ 2 (1 + κdiamM α

      (Z γ j ρ j dµ γ j

      ∈D 1 (γ)

      Z γ j ρ ,, j dµ γ j inf ρ

      ρ , j dµ γ j

      ) ≤ Z γ j

      ∈D 1 (γ)

      2

      ρ ,, j dµ γ j θ (ρ , , ρ ,, ) inf ρ

      − Z γ j

      Z γ j ρ , j dµ γ j

      Se θ (ρ , , ρ ,, ) ≥ 1 tamb´em temos

      θ (ρ , , ρ ,, ) &lt; 2 a assim neste caso obtemos a estimativa requerida.

      , ρ ,, ) − 1

      )

      e novamente para j fixado e denotando (1 + κdiamM α )

      1 + λ

      (Z γ j ρ j dµ γ j

      )2M(κ, α) ≤ b log

      (Z γ j ϕρ j dµ γ j

      (γ)

      ϕρ j dµ γ j inf ρ ∈D 1

      ≤ Z γ j

      ) θ(ρ , , ρ ,, )

      (γ)

      2

      ) inf ρ ∈D 1

      (Z γ j ϕρ j dµ γ j

      (γ)

      Z γ j ρ ,, j dµ γ j inf ρ ∈D 1

      ρ , j dµ γ j

      ϕρ j dµ γ j Z γ j

      por M (κ, α) Z γ j

      &lt; 1

      2

      2

      1 1 + λ

      2

      − λ 1 + 2 log (1 + λ) &lt; 1. − 1 + λ

      1 − λ

      Tal escolha ´e poss´ıvel pois no lema (2), 0 &lt; λ &lt; 1 pode ser tomado suficientemente pequeno. Assim, existe 0 &lt; ˜ σ &lt; 1 tal que

      1

      !

      2

      1 + λ Λ + 2 log M (κ, α) &lt; ˜ σ .

      1

      1

      1 − λ

      Como M (κ, α) n˜ao depende de b. Para b suficientemente grande, podemos obter σ &lt; 1

      1

      tal que Z Z , ,, dµ γ dµ γ γ γ L(ϕ)ρ − L(ϕ)ρ b

      1 Z ≤ σ , ,, inf γ θ(ρ , ρ ) ρ ∈D (γ) 1 γ L(ϕ)ρdµ isto prova a invariˆancia estrita da condi¸c˜ao (B).

      Invariˆancia da condi¸c˜ao (C): Provaremos o caso onde φ ´e constante. Como p γ Z Z

      Z

      X γ = ϕρ j dµ γ , onde ρ j = ρ . Para ρ = 1 obtemos γ = j

      1 φ L(ϕ)ρdµ ◦ fe L(ϕ)dµ γ γ j j p γ γ p γ =1

      Z

      X φ

      1 e ϕdµ γ . Isto implica que j j p γ γ j

      =1

      Z Z φ inf γ inf ϕdµ γ . γ γ γ γ Lϕdµ ≥ e Pela observa¸c˜ao 3, podemos assumir, sem perda de generalidades, que d(γ ) u

      1

      1

      , eγ ≤ λ d(γ, eγ), e nos outros casos d(γ j j ) ≤ ˜

      , eγ Ld(γ, eγ). E pela observa¸c˜ao 2, temos que se γ e eγ est˜ao em um mesmo retˆangulo da parti¸c˜ao de Markov, ent˜ao p γ = p γ . Segue ent˜ao que p γ e Z Z Z Z φ

      X γ γ ϕdµ γ ϕdµ γ e j j Lϕdµ − Lϕdµ e − e

      ≤ γ γ γ γ p γ j j

      e e j φ Z =1 p γ

      X e c α inf ϕdµ γ d(γ j j ) ≤ , eγ γ p γ γ j

      =1 α α Z

      λ + (p γ u α − 1)L inf γ

      ≤ Cd(γ, eγ) Lϕdµ γ α α p γ γ λ + (p γ L u − 1)˜

      Devemos ter ent˜ao &lt; 1 e isto ´e equivalente a p γ α α − λ u p γ ˜

      L &lt; p γ − 1 s

      Seja p max γ max para todo γ . Como λ u &lt; 1 &lt; p γ max temos loc ∈ N tal que p ≤ p ∈ F ≤ p que α α p max p γ

      − λ u − λ u ≤ p max p γ

      − 1 − 1 Basta escolher ent˜ao ˜ L tal que α α − λ u p max

      ˜ L &lt; p max

      − 1 Relembramos que ˜ L

      ≥ 1, assim devemos ter necessariamente α p max − λ u

      ≥ 1 p max − 1 e isto ´e verdadeiro porque λ u &lt; 1. Portanto, existe σ &lt; 1 tal que

      2 Z Z Z γ γ α 2 inf γ

      Lϕdµ − Lϕdµ Lϕdµ

      e Cd(γ, eγ) γ γ γ &lt; σ γ e

      o que prova a invariˆancia estrita da condi¸c˜ao (C). Para finalizar a prova da proposi¸c˜ao basta tomar σ = max

      1 , σ

      2 {σ }.

      ✷ Prova-se de modo inteiramente an´alogo ao caso caso onde a dinˆamica ´e semi- conjugada a uma aplica¸c˜ao g como em [CV13] que

      Lema 5. C [b, c, α] ´e um cone projetivo, isto ´e, convexo e C [b, c, α] ∩ −C [b, c, α] = 0.

      Passaremos agora a nos preocupar com o diˆametro finito da imagem do cone C[b, c, α]. Mais precisamente, denotando ainda por Θ a m´etrica projetiva associada ao cone C[b, c, α] provaremos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ ao 10. Para b e c suficientemente grandes e α

      ∈ (0, 1] temos ∆ := sup {Θ (Lϕ, Lψ) ; ϕ, ψ ∈ C[b, c, α]} &lt; ∞. Prova: Denotando tamb´em por Θ a m´etrica projetiva associada ao cone definido pela + condi¸c˜ao (A) expressa atrav´es de

      Z Z    

      ϕρdµ γ ψ ˆ ρdµ γ  ˆ    γ γ

      ˆ Θ (ϕ,ψ)

    • + e = sup Z Z γ,ρ γ, ρ γ  

      ∈D(γ),ˆ ˆ ∈D(ˆ )

        ϕˆ ρdµ γ ψρdµ γ

      ˆ

        γ γ

      ˆ

      segue da defini¸c˜ao de Θ e das express˜oes de α e β que

      2

      1 + σ Θ(ϕ, ψ) &lt; Θ (ϕ, ψ) + log .

    • 1

      − σ

    • diˆametro de
    • +

      (

      (ˆ ρ) j dµ

      (ˆ ρ) j dµ

      ˆ γ j

      Z

      ϕdµ ˆ γ j ≤ 1 + bθ j ρ j , 1

      ˆ γ j

      Z

      ˆ γ j

      ˆ γ j

      ≤ 1 + b log 1 + λ

      Z

      ˆ γ j

      ϕρ j

      ˆ γ j

      Z

      ϕdµ ˆ γ j =

      ˆ γ j

      Z

      ˆ γ j

      1 − λ

      ϕ(ˆ ρ) j dµ

      ≤ 1 + bθ j 1, ρ j Z γ j

      ρ ◦ f · e φ

      ◦ f · e φ e ρ j = 1 p γ

      1 p ˆ γ ˆ ρ

      Sabemos que (ˆ ρ) j =

      Z γ j ρ jγ j .

      1 − λ

      1 + λ

      ρ jγ j ≤ 1 + b log

      Z γ j ρ jγ j

      Z

      Z γ j ϕρ jγ j

      Z γ j ϕdµ γ j

      ϕρ jγ j =

      ϕdµ γ j Z γ j

      e Z γ j

      ˆ γ j

      (ˆ ρ) j dµ

      ˆ γ j

      ˆ γ j

      ˆ γ j

      Para mostrar que o Θ

      Z

      (4.7) onde ρ e ˆ ρ s˜ao normalizados, isto ´e, ρ ∈ D

      Z γ j ϕρ j dµ γ j

      =1

      X j

      ˆ γ j

    p

      ϕ(ˆ ρ) j dµ

      ˆ γ j

      

    =1

      (γ) e ˆ ρ ∈ D

      X j

      = p ˆ γ

      Z γ Lϕρdµ γ

      ˆ γ

      Lϕˆρdµ

      ˆ γ

      L(ϕ), 1) variando ϕ no cone C[b, c, α]. Pela defini¸c˜ao da m´etrica Θ + isto se resume a encontrar uma cota superior para Z

      L (C[b, c, α]) ´e finito, j´a observamos que ´e suficiente majorar os poss´ıveis valores de Θ

      

    1

      1

      (ˆ ρ) j dµ ˆ γ j por ρ j e ρ j , respectivamente, aplicando a condi¸c˜ao (B) e o lema 2, temos Z

      Z

      ˆ γ j

      (ˆ ρ) j Z

      Z γ j ρ j dµ γ j e

      ϕρ jγ j para γ j e ˆ γ j em um mesmo retˆangulo da Parti¸c˜ao de Markov. Denotando ρ j

      ϕdµ γ j Z γ j

      ϕdµ γ j Z γ j

      ϕdµ ˆ γ j Z γ j

      ˆ γ j

      ˆ γ j

      (ˆ γ). Limitaremos primeiro a express˜ao Z

      ϕdµ

      ˆ γ j

      ϕ(ˆ ρ) j dµ ˆ γ j Z

      ˆ γ j

      Z

      ϕρ jγ j =

      ϕ(ˆ ρ) j dµ ˆ γ j Z γ j

      ˆ γ j

      . Como ρ e ˆ ρ est˜ao normalizados, segue

      1 α φ α φ

      1

      −1

      que (ˆ ρ) j (1 + κdiam(M ) )e e ρ j (1 + κdiam(M ) ) e . Portanto ≤ ≥ p γ p γ

      ˆ

      Z Z φ (ˆ ρ) j dµ γ e dµ γ γ γ ˆ j ˆ j ˆ j p γ ˆ j α

      2 Z &lt; (1 + κdiam(M ) ) Z ,

      p γ φ

      ˆ φ φ φ α φ γ j γ j ρ j dµ γ j e dµ γ j por outro lado e &lt; ε inf e e assim sup e &lt; (1 + εdiam(M ) ) inf e . Obtendo que α

      Z φ e dµ γ γ ˆ j ˆ j α Z &lt; 1 + εdiam(M ) φ γ j e dµ γ j e por consequˆencia

      Z γ ˆ j p γ (ˆ ρ) dµ j ˆ γ j α

      2 α

      Z &lt; (1 + κdiam(M ) ) (1 + εdiam(M ) ) p γ ˆ γ j ρ j dµ γ j α α max (1 + κdiam(M ) ) (1 + εdiam(M ) ).

      2

      ≤ p Pela condi¸c˜ao (C), a seguinte estimativa tamb´em ´e verdadeira

      Z ϕdµ γ γ ˆ j ˆ j α α

      Z j , γ j ) ≤ 1 + cd (ˆγ ≤ 1 + c.diam(M) γ j ϕdµ γ j logo

      Z ϕ(ˆ ρ) j dµ γ

      ˆ j γ 2 ˆ j 1 + λ α

      4 Z &lt; p max 1 + b log (1 + max ) .

      {κ, c, ε}diam(M)

      1 − λ γ j ϕρ j dµ γ j

      Por´em, dada uma folha γ pode existir mais de uma folha γ j em um retˆangulo da Parti¸c˜ao de Markov , p

      p k (ˆ ) r γ Z Z

    1 R = {R · · · , R }. Assim, podemos reescrever 4.7 da seguinte forma

      X X γ ˆ ϕ(ˆ ρ) k dµ ˆ γ l Lϕˆρdµ kl γ ˆ k l ˆ γ =1 =1 kl

      Z = p r k (γ) Z γ

      X X Lϕρdµ γ ϕρ k dµ γ l k =1 l =1 kl γ kl onde dado R k k k para todo l k (γ) k k para todo l l

      ∈ R temos γ ⊂ R ∈ {1, · · · , r } e ˆγ ⊂ R p p

      X X l k (ˆ γ) r k (γ) = p γ e r k (ˆ γ) = p γ . Como γ k , ˆ γ k k ,

      ˆ l l

      ∈ {1, · · · , r }. Al´em disso k k ⊂ R

      

    =1 =1

      ≤ (q + 1) ˜ C.

      Z

            

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      =1

      X l

      ˆ γ kl(s) r k (γ)

      ϕ(ˆ ρ) k l (s)

      ˆ γ kl(s)

      =1

      X l =qr k

      X l

             r k (γ)

      =1

      X s

      = q

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      =1

      )

      (γ)+1

      ˆ γ kl r k (γ)

      (ˆ γ )

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      =1

      X l

      ˆ γ kl r k (γ)

      ϕ(ˆ ρ) k l

      ˆ γ kl

      X l =1 Z

      C. Como r k (ˆ γ) − qr k (γ) = r &lt; r k (γ) a ´ ultima parcela tamb´em satisfaz o primeiro caso. Isto garante que r k

      Z

      ´e menor que q ˜

      Cada termo da soma em s ∈ {1, · · · , q}, acima, satisfaz o primeiro caso, logo tal parcela

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      =1

      X l

      ˆ γ kl r k (γ)

      ϕ(ˆ ρ) k l

      ˆ γ kl

      X l

      ϕ(ˆ ρ) k l

      definindo ˜

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      =1

      X l

      ˆ γ kl r k (γ)

      ϕ(ˆ ρ) k l

      ˆ γ kl

      X l =1 Z

      ≤ ˜ C. Estamos agora interessados em encontrar uma cota superior para r k (ˆ γ )

      kl

      kl

      kl

      Z γ

      ˆ γ kl

      ϕ(ˆ ρ) k l

      ˆ γ kl

      , sabemos que Z

      4

      )

      (1 + max {κ, c, ǫ}diam(M) α

      

    2

      1 − λ

      C := p max 1 + b log 1 + λ

      ϕρ k l dµ γ

      Suponha r k (ˆ γ) ≤ r k (γ). Como as parcelas

      ˆ γ kl

      =1

      X l =1 Z

      (ˆ γ )

      (ˆ γ) = qr k (γ) + r onde ≤ r &lt; r k (γ) e 1 ≤ q. Assim, denotando (s − 1)r k (γ) + l por l(s), podemos escrever r k

      (γ), existem q = q(γ, ˆ γ), r ∈ N tais que r k

      Agora se r k (ˆ γ) ≥ r k

      ≤ ˜ C

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      kl

      Z γ

      X l

      Z γ

      ˆ γ kl r k (γ)

      ϕ(ˆ ρ) k l

      ˆ γ kl

      Z

      =1

      X l

      )

      s˜ao positivas podemos descartar r k (γ) − r k (ˆ γ) destas e supor r k (ˆ γ) = r k (γ) . Logo, r k (ˆ γ

      kl

      ϕρ k l dµ γ

      

    kl

    • r k (ˆ γ
    Basta observar agora que q = q(γ, ˆ γ) ´e menor ou igual a p max para quaisquer que sejam γ e ˆ γ. Segue ent˜ao que 4.7 ´e limitado por (p max + 1) ˜ C e portanto

      ∆ := sup max + 1) ˜ C.

      {Θ (Lϕ, Lψ) ; ϕ, ψ ∈ C(b, c, α)} ≤ 2(p ✷

    4.3 Propriedades Estat´ısticas

      Nosso objetivo aqui ´e construir uma medida em Λ que possua boas propriedades estat´ısticas. Mais precisamente uma medida que apresente decaimento exponencial de correla¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos e satisfa¸ca o teorema do limite central. O que obtemos at´e agora ´e que o cone C[b, c, α] ´e invariante por

      L e que L(C[b, c, α]) possui diˆametro finito. Isto nos d´a convergˆencia, em um certo sentido, para fun¸c˜oes no cone C[b, c, α]. n

      Para ϕ n = (ϕ). Como Θ (ϕ m , ϕ n ) m , ϕ n ) segue-se ∈ C[b, c, α], seja ϕ L ≤ Θ(ϕ

    • que ϕ n ´e uma sequˆencia de Cauchy na m´etrica Θ . Mais ainda, observamos tamb´em que
    • n

      Θ (ϕ n , 1) = Θ (ϕ n , (1))

    • + +

      , segue que L → 0. Portanto, pela defini¸c˜ao da m´etrica Θ

    • Z γ

      ϕ dµ n γ s Z , uniformemente . (4.8)

      → 1, ∀γ, ˆγ ∈ F loc ϕ n dµ γ γ ˆ ˆ

      Suponha agora que µ ´e uma medida de probabilidade f -invariante na forma produto, ou s seja , existe ˆ µ em F tal que loc Z Z µ(ϕ) = µ γ ϕdµ γ dˆ µ. × ˆµ(ϕ) := γ

      Ent˜ao, para todo n existe γ n , ˆ γ n tais que Z Z Z Z ϕ n dµ γ n ϕ n dµ = ϕdµ ϕ n dµ ˆ γ n . γ n M M γ ˆ n ≥ ≥ s Z

      Segue das desigualdades acima e de 4.8, que para todo γ existe lim ϕ n dµ γ e tal loc ∈ F n

      →∞ γ

      Z limite n˜ao depende de γ. Al´em disso, podemos concluir que µ(ϕ) = lim ϕ dµ . n n γ s →∞ γ Portanto, dada qualquer medida de probabilidade ˆ η em , n˜ao necessariamente loc

      F invariante, segue do teorema da convergˆencia dominada, que Z Z Z Z n n lim ϕ n dµ γ dˆ η = lim ϕ n dµ γ dˆ η.

      →∞ →∞

    γ γ Da´ı, definindo a medida produto η = µ γ × ˆη conclu´ımos que

      Z µ(ϕ) = lim ϕ n dη. (4.9) n

      

    →∞

      Estamos interessados em provar que, caso exista a medida f -invariante µ, na forma produto µ γ × ˆµ, ent˜ao tal medida ´e ´unica. Provaremos inicialmente sua unicidade no espa¸co das fun¸c˜oes H¨older cont´ınuas. Para tal, faremos uso da seguinte proposi¸c˜ao que nos garante que toda fun¸c˜ao H¨older cont´ınua pode ser escrita como soma de fun¸c˜oes no cone C[b, c, α]: α

      Proposi¸c˜ ao 11. Para toda ϕ (M ) existe K(ϕ) &gt; 0 tal que ϕ + K(ϕ) ∈ C ∈ C[b, c, α].

      Prova: Provaremos primeiro que existe K = K (ϕ) &gt; 0 tal que ϕ + K satisfaz

      3

      3

      3

      a condi¸c˜ao (C) na defini¸c˜ao do cone C[b, c, α]. A proje¸c˜ao nas folhas est´aveis garante que Z Z

      ϕdµ γ = ϕ γ γ γ ◦ πdµ e α e (M ) temos e pela defini¸c˜ao de d(γ, eγ), dado ϕ ∈ C

      ϕ(x) ϕ(x) − ϕ(π(x)) − ϕ(π(x))

      ≤ ≤ |ϕ| α d(π(x), x) d(γ, eγ)

      Assim  

      Z Z    

      ϕdµ γ ϕdµ γ  − 

      e

        γ γ

      e

      sup &lt; γ, γ ≤ |ϕ| ∞ α  

      e d(γ, eγ)

           

      Z Z Por outro lado para todo K &gt; 0, temos inf (ϕ + K) dµ γ = inf ϕdµ γ + K. ´ E γ γ γ γ suficiente ent˜ao escolher K = K (ϕ) &gt; 0 tal que

      3

    3 Z

      c inf (ϕ + K ) dµ &gt;

      3 γ γ γ |ϕ| α

      Para provar que existe K

      2 = K 2 (ϕ) tal que ϕ + K 2 satisfaz a condi¸c˜ao (B) basta notar

      que  

      Z Z , ,,    

      ϕρ dµ γ ϕρ dµ γ  

      −   γ γ sup &lt; , ,, , ,, ∞. ρ ,ρ ∈D (γ)   1 θ (ρ , ρ )

           

      3 }.

      ) ≤ 2(1 + κdiam(M) α

              

      ϕρ ,, dµ γ θ (ρ , , ρ ,, )

      − Z γ

      Z γ ϕρ , dµ γ

              

      ∈D 1 (γ)

      ) e isto prova que ρ sup , ,,

      ≤ sup (ϕ + B) (sup ρ ,

      2

      ) | dµ γ

      Z γ |(ϕ + B) (ρ , − ρ ,,

      (ϕ + B) ρ ,, dµ γ ≤

      − Z γ

      Z γ (ϕ + B) ρ , dµ γ

      θ (ρ , , ρ ,, ) ≤

      Z γ ϕρ ,, dµ γ

      &lt; ∞. A escola de K

      = K

      ≥ 1 chegamos que Z γ

      1

      , K

      2

      , K

      1

      {K

      ∈ D(γ). Completamos a prova definindo K(ϕ) = max

      ) ρdµ γ &gt; 0 para todo γ ∈ F s loc e ρ

      (ϕ + K

      2

      &gt; 0 e portanto Z γ

      1

      (ϕ) tal que ϕ + K

      1

      = K

      1

      (ϕ) ´e an´aloga ao que foi feito na condi¸c˜ao (C). Na condi¸c˜ao (A) , como ϕ ´e em particular cont´ınua sabemos que num dom´ınio compacto, existe K

      ϕρ , dµ γ −

      ) Agora se θ (ρ , , ρ ,, )

      De fato, como ρ , , ρ ,, ∈ D

      ρ , ρ ,,

      = sup ρ ,

      ρ ,, − 1 sup ϕ sup ρ ,,

      ≤ sup ρ ,

      − 1 |ϕ| ρ ,, dµ γ

      ρ , ρ ,,

      ≤ Z γ

      − 1 ϕρ ,, dµ γ

      = Z γ

      ≤ e θ

      Z γ ϕρ ,, dµ γ

      ϕρ , dµ γ −

      a assim para todo ϕ limitado Z γ

      )

      ρ ,, ≤ e θ (ρ , ,,

      (γ) temos ρ ,

      1

      ρ ,, − 1 sup ϕ sup ρ ,,

      (ρ , ,, )

      θ (ρ , , ρ ,, ) ≤ 2(1 + κdiam(M) α

      Se θ (ρ , , ρ ,, ) &lt; 1 sabemos que e θ

      Z γ ϕρ ,,γ

      ϕρ ,γ

      (γ) podemos afirmar que Z γ

      1

      &lt; 2 e como ρ ,, ∈ D

      − 1 θ (ρ , , ρ ,, )

      (ρ , ,, )

      − 1 sup ρ ,, θ (ρ , , ρ ,, ) .

      − 1 sup ϕ sup ρ ,, Seja B tal que sup (ϕ + B) = 1. Segue-se que

      (ρ , ,, )

      θ (ρ , , ρ ,, ) ≤ e θ

      Z γ (ϕ + B) ρ ,, dµ γ

      (ϕ + B) ρ , dµ γ −

      = Z γ

      ϕρ ,, dµ γ θ (ρ , , ρ ,, )

      − Z γ

      Z γ ϕρ , dµ γ

    • sup ρ ,,

      ✷ Segue da proposi¸c˜ao anterior e da linearidade do operador α

      L, que 4.9 vale tamb´em para toda ϕ (M ). Pelo teorema de extens˜ao de operadores limitados conclu´ımos que ∈ C a medida, na forma produto, µ = µ γ

      × ˆµ, f-invariante ´e ´unica. Observamos ainda que a medida constru´ıda ´e a prov´avel candidata a medida de m´axima entropia, o que se pode realmente provar, por exemplo no caso em que a dire¸c˜ao centro inst´avel ´e unidimensional, usando-se o estado de equil´ıbrio da dire¸c˜ao unidimensional garantido em [LSV98].

      Provaremos agora, de modo geral, a existˆencia de uma medida ˆ µ tal que µ γ × ˆµ seja f -invariante. Construiremos tal medida por distribui¸c˜ao de massa, isto ´e, de forma que a pr´e-imagem de cada retˆangulo possua a mesma medida, e a soma das medidas destas pr´e-imagens seja igual a um.

      Para tal, considere agora em M a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: x s ∼ y se, somente se, x e y pertencem a uma mesma folha γ . Tomemos a σ-´algebra gerada ∈ F loc

      −1

      pelos retˆangulos da parti¸c˜ao de Markov e seus refinamentos por f . Observemos que tal σ-´algebra pode n˜ao coincidir com a σ-´algebra de Borel de M/ ∼.

      Fixemos um retˆangulo R

      1 1 := 1,1 , . . . R 1,n

      ∈ R. Seja R {R 1 } o conjunto de in-

      −1

      terse¸c˜oes conexas de f (R ) com os v´arios elementos de /

      1 1,j

      R. Ent˜ao, denotando R ∼ ˜ por ˜ R , para todo j R = 1/n .

      1,j

    1 1,j

      1

      ∈ {1, . . . , n } definiremos ˆµ Continuaremos por indu¸c˜ao, tomando as pr´e-imagens dos elementos em , fa-

      1 R

      zendo a distribui¸c˜ao de massa. Note que pela propriedade mixing, existe 0 &lt; c &lt; 1 tal que os cilindros em toda fase da constru¸c˜ao possui ˆ µ-medida multiplicada por uma fra¸c˜ao menor que c, se comparadas com os cilindros da fase anterior. Em particular, se tomarmos o elemento minimal S em M/

      ∼ com diˆametro n˜ao nulo, sua ˆµ-medida pode ser aproximada por um cilindro com ˆ µ-medida arbitrariamente pequena. Isso significa, que a medida ˆ µ se estende como uma medida Boreliana, pois a σ-´algebra gerada pelos retˆangulos e suas imagens seria ent˜ao, coincidente com a de Borel, m´odulo conjuntos de medidas ˆ µ igual a zero. Finalmente saturamos positivamente µ para estender para uma medida em M . Observe ainda que a medida µ = µ γ

      × ˆµ ´e f-invariante por constru¸c˜ao. Nosso objetivo agora ´e provar o decaimento exponencial de correla¸c˜oes para ob- serv´aveis H¨older cont´ınuos e o teorema do limite central para a medida µ. Seja φ constante

      L e ˜ . Por-

      L o operador Ruelle-Perron-Frobenius normalizado pelo potencial, isto ´e, ˜ L = φ e

      −1 ∗

      tanto ˜ . Sabemos que est´a bem definido o operador dual, ˜ , tal que L(ϕ) = ϕ ◦ f

      L Z Z

      ∗

      ˜ ϕd ˜ µ. Lϕdµ = L para toda ϕ cont´ınua e toda medida de probabilidade µ. Vimos que ´e verdadeiro o seguinte resultado:

      ∗ Proposi¸c˜ ao 12. Se f ´e invert´ıvel ent˜ao ˜ (µ) = µ se somente se µ ´e f -invariante.

      L Segue ent˜ao que como µ ´e f -invariante:

      Z Z n n (ϕ ) ψdµ = ϕ ˜ (ψ)dµ. (4.10)

      ◦ f L Estamos agora em condi¸c˜oes de provar o seguinte teorema: Teorema B (Derivados de Anosov). A medida µ possui decaimento exponencial de cor- rela¸c˜oes para observ´aveis H¨older cont´ınuos.

      Prova: Devemos provar que dada ϕ, ψ α-H¨older, existe uma constante 0 &lt; τ &lt; 1 e K(ϕ, ψ) &gt; 0 tais que Z Z Z n n

      (ϕ )ψdµ ϕdµ ψdµ , ◦ f −

      ≤ K(ϕ, ψ) · τ para todo n ≥ 1, e isto, por (4.10) ´e equivalente a mostrar que

      Z Z Z n n ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ , para todo n

      L − ≥ 1.

      ≤ K(ϕ, ψ) · τ s Provaremos inicialmente o caso onde ϕ e ψ

      |γ

      ∈ D (γ) para todo γ ∈ F loc ∈ C[b, c, α], R R supondo ainda ϕdµ ψdµ = 1.

      6= 0 e s Sabemos que ˜ temos, pela

      |γ loc

      L(1) = 1 ◦ f = 1. Como ϕ ∈ D(γ) para todo γ ∈ F condi¸c˜ao (A), que Z n

      ϕ ˜ (ψ)dµ γ γ L n ˜

      Z (ψ), 1 ≤ β L

    • γ

      ϕdµ γ Z Z n

      ˜ A normaliza¸c˜ao de ψ nos diz que (ψ)dµ = ψdµ = 1. Agora, como observado antes

      L µ = η. Portanto,

      Z Z Z n n ˜ ˜

      (ψ)dµ γ dˆ µ = (ψ)dµ = 1 γ L L Z n

      ˜ e assim existe ˆ γ tal que (ψ)dµ γ

      ˆ γ L ≤ 1. Podemos ent˜ao concluir que ˆ

      Z n ˜

      (ψ)dµ γ

      ˆ n ˆ n γ L Z

      ˜ ˜ α (ψ), 1 Z = (ψ)dµ γ γ

    • ˆ

      L ≤ L ≤ 1

      ˆ

      dµ γ γ ˆ s ˆ e que para todo γ

      ∈ F loc Z n n

      ϕ ˜ (ψ)dµ γ L ˜ γ ˜ ˜

      β (ψ), 1 n n L

    • Θ L (ψ),1 Θ L (ψ),1

      ( ( + Z ).

      ≤ n ≤ e ) ≤ e ˜ γ γ

      α (ψ), 1 L

      ϕdµ

    Como, pela proposi¸c˜ao 9, o cone C [b, c, α] ´e invariante e, pela proposi¸c˜ao 10, o cone C (σb, σc, α) possui Θ-diˆametro finito menor ou igual a ∆, segue da proposi¸c˜ao 2 que n n n −1 existe 0 &lt; τ &lt; 1 tal que para todo ϕ, ψ (ϕ), ˜ (ψ)) .

      ∈ C [b, c, α] temos Θ( ˜ L L ≤ ∆τ Logo,

      Z Z Z n n ϕ ˜ (ψ)dµ γ dˆ µ

      ϕ ˜ (ψ)dµ L L γ ˜ n n−1

      Θ L (ψ),1 ∆τ

      ( Z = .

      Z Z ≤ e ) ≤ e

      ϕdµ n−1 γ ϕdµ γ dˆ µ

      ∆τ

      e ∆ n−1 − 1

      ∆τ

      Observemos agora que lim = , portanto existe ˜ ∆ &gt; 0 tal que e n n − 1 &lt;

      →∞ n τ τ

      ˜ ∆τ , para todo n

      ∈ N. Isto nos permite provar que Z n

      Z ϕ ˜ (ψ)dµ Z Z L n−1 n

      ∆τ

      ˜ ϕdµ Z ϕdµ e ϕdµ ∆τ

      − 1 ≤ − 1 ≤ ϕdµ

      R Se ψdµ

      6= 1 ent˜ao Z Z Z Z Z Z n n ψ

      ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕ ˜ R dµ ϕdµ L − L −

      = ψdµ

      Z Z n ˜

      ψdµ ϕdµ ∆τ ≤ para todo n

      ≥ 1. Para toda ψ α-H¨older, vimos que existe K(ψ) &gt; 0, suficientemente grande, tal que ψ + K(ψ)

      ∈ C[b, c, α]. Portanto, escrevendo ψ = ψ + K(ψ) − K(ψ) e observando que R R R n

      ϕ ˜ (K(ψ))dµ = ϕdµ K(ψ)dµ obtemos que L Z Z Z Z Z Z n n

      ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ϕ ˜ (ψ + K(ψ)) dµ ϕdµ (ψ + K(ψ))dµ L − L −

      = Z Z n

      ˜ ψdµ ϕdµ ∆τ

      ≤

    • K(ψ) Agora, se ϕ ´e α-H¨older ´e suficiente notar que existe K(ϕ) + K(ϕ) + B

      |γ

      ∈ R tal que ϕ ∈ s Z loc e que ϕ + K(ϕ) + Bdµ &gt; 0, para todo B &gt; 0 . De fato, D (γ) para todo γ ∈ F

    • K(ϕ) &lt; κ inf ϕ + K(ϕ) ϕ |γ |γ α se, somente se,

      ϕ

      |γ

    α

      K(ϕ) &gt; ϕ

      |γ

      − inf κ

      ) (

      ϕ

      |γ α |ϕ| α

      Seja ent˜ao K(ϕ) = sup γ κ κ s − inf ϕ. Observe que K(ϕ) ≤ − inf ϕ &lt; ∞.

      ∈F loc

      ϕ

      |γ α s

      Como ϕ + K(ϕ) , segue que ϕ + K(ϕ) + B

      |γ |γ

      ≥ ≥ 0 para todo γ ∈ F loc ∈ D (γ) e κ

      Z que (ϕ + K(ϕ))dµ + B &gt; 0, para todo B &gt; 0. Logo, analogamente ao caso anterior Z Z Z Z Z n n

      ˜ ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕdµ ∆τ

      L − ≤ + K(ψ) + K(ϕ) + B e pela arbitrariedade de B obtemos

      Z Z Z Z Z n n ˜

      ϕ ˜ (ψ) dµ ϕdµ ψdµ ψdµ ϕdµ ∆τ L −

      ≤ + K(ψ) + K(ϕ) . Z Z

      Observando que ϕdµ ϕdµ − inf ϕ ≥ 0, temos que + K(ϕ) ≥ 0. Portanto definindo

      Z Z ˜ K(ϕ, ψ) := ψdµ ϕdµ ∆, conclu´ımos a prova do teorema.

    • K(ψ) + K(ϕ)

      ✷ O Teorema do Limite Central segue novamente do decaimento exponencial de correla¸c˜oes e do Teorema de Gordin(3). Referˆ encias Bibliogr´ aficas

      [AM06] A. Arbieto and C. Matheus. Fast decay of correlations of equilibrium sta- tes of open classes of non-uniformly expanding maps and potentials. Preprint www.preprint.impa.br, 2006. [Bal00] V. Baladi. Positive transfer operators and decay of correlations. World Scientific Publishing Co. Inc., 2000.

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