Experimentos aleatórios; Espaço amostral e evento

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(1)

E x p e rim e n to s a le a tó rio s ;

E s p a ç o a m o s tra l e e v e n to

P ro b a b ilid a d e c o n d ic io n a l

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A probabilidade de ocorrer o evento A nB

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

éigual àprobabilidade de ocorrer o evento A multiplicada pela probabilidade de ocorrer o

evento B na certeza de o evento A ter ocorrido. P(AnB)=P(A)· P(BIA)

• Todo experimento ou fenômeno que, ao ser repetido várias vezes sob as mesmas condições, pode apresentar resultados diferentesédenominado experimento aleatório.

• O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatórioédenominado espaço amostra!

• Todo subconjunto do espaço amostraléchamado deeven to .

Dois eventos sãoin d ep en d en tes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Como consequência, se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrer o evento AnB é o produto da probabilidade deocorrer A e da probabilidade deocorrer B.

PIAnB)=P(A)· P(B)

P ro b a b ilid a d e

QuandoPIAnB)*-P(A)· P(B) , os eventos são dependentes.

Considere um espaço amostral finito e equiprovável, ou seja, que tem um determinado número de elementos e todos eles têm a mesma chance de ocorrência. A p ro b ab ilid ad e de ocorrer o evento A, indicada por PIA),éa razãoentre o número de elementos de A, n(A), e o número de elementos do espaço amostralS,n(S).

P(A)=n(A) n(S)

D is trib u iç ã o b in o m ia l

Considere um experimento aleatório realizado n vezes, nas mesmas condições, e que tenha as seguintes características: • existem apenas dois resultados possíveis: A e B;

• em cada uma das vezes que o experimento for realizado, as probabilidades de ocorrência dos resultados A e B não se alteram;

• um resultado não altera a probabilidade de ocorrência de outro, ou seja, são independentes.

Ainda podemos escrever:

n ú m ero de casos favo ráveis

PIA)

n ú m ero d e caso s p o ssíveis

E v e n to s c o m p le m e n ta re s

Assim:

- se p é a probabilidade de ocorrer o resultado A, então a probabilidade de ocorrer o resultado Bé1 ~ p;

- se o resultado A ocorre k vezes, então o resultado B ocorre n - k vezes;

- a probabilidade de o resultado A ocorrer k vezesédada por: P(kresu ltad o s A)=C~.p k .(1- p)n-k

Para dois eventos complementares A e A" podemos escrever que P(A,)=1- P(A).

P ro b a b ilid a d e d a u n iã o d e e v e n to s

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, de ocorrer o evento AuB,é igual à probabilidade de ocorrer o evento A, mais a probabilidade de ocorrer o evento B, menos a probabilidade de ocorrer o evento AnB .

PIAu B)=PIA)+P(B) - PIA n B)

Quando A e B são disjuntos, ou seja, AnB=0, os eventos A e B são denominadosm u tu am en te exclusivos. Para esses even-tos, vale a igualdade

(2)

E s p a ç o a m o s tra l e e v e n to

1 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Determine o número de elementos do espaço amostral de cada experimento e de cada evento associado a ele.

a ) Lançar uma moeda três vezes e observar a face vol-tada para cima.

Evento A={a face voltada para cima é cara em ape-nas dois dos lançamentos}

Número de elementos do espaço amostra!.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 2· 2 23 8

A = {(cara cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara cara)}. O número de elementos do evento A e 3.

b)

Retirar 2 bilhetes de uma urna que contêm 15 bilhe-tes numerados de 1 a 15,

Evento B= {um dos bilhetes retirados tem número par e o outro tem número ímpar}

Número de eiernentos do espaço amostra!.

C2 15 14 105

1 2 1

Numero de elementos do evento B:

C1 C 8 7 :i6

O número de elementos do evento B e 56.

c ) Um casal pretende ter três filhos,

Evento C={pelo menos dois dos filhos são meninas}

Numero de elementos do espaço amostral 22228

Número de elementos do evento C:

C .- {(menino, menina, menina), (menina menino, menina), (menina rrenina menino), (menina menina, menina)) O numero de elementos do evento Cé4.

AtividA.dES

d ) Formar uma comissão com 4 alunos de uma turma, sendo a turma composta por 7 meninos e 9 meninas.

Evento D

=

{a comissão é formada por dois meninos}

Númen, de elementos do espaço amostral: C . 16 15 14 13 1820

16 4 3 2 1

Numero de elementos do evento O:

C2 C2 _ 7 6 9· 8 756

7 2.1 2 1

O numero de elemertos do evento O e 756,

2 .(FGV - SP) Conta a lenda:

Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa ocasião levou três condenados a um' quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros. Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas não o seu.

Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube responder.

a

mesmo aconteceu com o prisioneiro B.

Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois.

"Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco."

Foi colocado em liberdade assim que todos observa-ram que havia acertado a resposta.

a ) Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das cores dos chapéus colocados nos prisioneiros.

Possibilidade Prisioneiro Prisioneiro Prisioneiro

A B C

1 Branco Branco Branco

2 Branco Branco Negro

3 Branco Negro Branco

4 Negro Branco Branco

5 Branco Negro Negro

6 Negro Branco Negro

7

(3)

b)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Explique por que o condenado C somente poderia estar com o chapéu branco.

o

prisioneiro A viu dois chapéus brancos ou um branco

e um negro, pois não sabia a cor do dele.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O prisioneiro B viu o chapéu do cego; se fosse negro, ele saberia

que o dele era branco, porque A teria visto um chapéu negro e um branco. ComoB não sabia responder, o

chapéu do cego não era negro, era branco.

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

P

ro b a b ilid a d e

3 .Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Sorteando-se uma bolinha, determine a probabilidade de que:Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) =30.

a ) a bolinha tenha um número ímpar.

Como15das bolinhas são ímpares, o número de ele-mentos do evento A = {o número observado é ímpar} én(A)=15.

PIA) =.!§. =.! 30 2

b)

a bolinha tenha um número maior que 18.

Como12 das bolinhas têm números maiores que 18.o número de elementos do evento A = {o número observado é maior que18}é n(A) = 12.

P(A)'

.!.?=.?

30 5

c ) a bolinha tenha um número primo.

Como10 das bolinhas são números primos (2, 3, 5. 7, 11 13,17,19,23,29), o número de elementos do evento A = {o número observado é primo}én(A) =10.

PIA) -.!Q .: 30 3

d)

a bolinha tenha um número múltiplo de 7.

Como 4 das bolinhas são múltiplos de 7, o número de elementos do evento A = {o número observado é um múltiplo de 7} é n(A) = 4.

P(A)=~=~ 30 15

V O I\..1 V \1 1 E 8

4 .Joaquim lançou dois dados, um verde e um amarelo, e verificou os rêsultados mostrados nas faces voltadas para cima.

a ) Elabore uma tabela com os pares de resultados possíveis para representar o espaço amostral do experimento.

. Resultados possíveis:

\

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2.2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1 ) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) ;::36.

b)

Determine a probabilidade de que o par obtido seja formado por dois números ímpares.

Como 9 dos resultados têm os dois

núme-ros ímpares, o número de elementos do evento

A = {o par obtido é formado por dois números ímpares} én(A)

=

9.

P(A)=~=.! 36 4

c ) Elabore uma tabela com a soma dos pontos de cada par obtido e determine a probabilidade de que a soma dos dois números seja maior do que 5.

Somas possíveis:

~ 1 2

3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Como26dos resultados têm soma maior que 5, o número de elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-dos é um número maior do que 5} é n(A) =26.

PIA) 26 13

(4)

d )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Determine a probabilidade de que os dois números sejam primos.

Como 9 dos resultados são formados por dois números primos, o número de elementos do evento A = {os dois

números são primos}

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

én(A)

=

9. P(A)=~=~

36 4

e ) Determine a probabilidade de que a soma dos dois números seja um múltiplo de 3.

Como 12 dos resultados têm como soma um múltiplo de 3, o número de elementos do evento A ={a soma dos resultados obtidos éum múltiplo de 3}én(A)= 12

P(A)-~ 1

36 3

5 .Considere um experimento que consiste em sortear um aluno entre os vinte de uma turma, numerados de 1 a 20. Determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

20.

a ) o aluno sorteado ser de número par.

Como 10 dos alunos têm número par, o número de elementos do evento A

=

{aluno com número par} é n(A)=10.

P(A)

=.!Q

1 20 2

b ) não ser sorteado um aluno cujo número seja um múltiplo de 5.

De 1 a 20, são 4 múltiplos de 5, portanto 16 alunos não têm números múltiplos de 5 Assim, o número de elementos do evento A

=

{número não émúltiplo de 5} én(A)

=

16.

P(A)=~=~ 20 5

c ) O aluno sorteado ter número menor que 12.

Como 11 dos alunos têm número menor do Que 12, o número de elementos do evento A = {número menor do Que 12}én(A)

=

11.

P(A)':~ 20

6 .Considere uma carta retirada de um baralho comum, com 52 cartas. Determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaço amostral én(S)=52.

a ) ela ser vermelha.

Como 26 das cartas são vermelhas (13 de copas e 13 de ouros), o número de elementos do evento A = {a .cartaretirada évermelha} én(A)=26.

P(A)= 26 =~ 52 2

b)

ela ser uma carta de copas.

Como 13 das cartas são de copas, o número de ele-mentos do evento A

=

{a carta retirada éde copas} é n(A)

=

13.

P(A)

21

= 1 52 4

c ) ser uma figura.

Como 12 das cartas são de figuras (4 valetes, 4 damas e 4 reis), o número de elementos do evento A

=

{a carta retirada éuma figura} én(A)

=

12.

P(A) ~ ~

52 13

d)

ser uma dama ou um seis.

Como há4damas e4 seis em Um baralho, o número de elementos do evento A

=

{a carta retirada é uma dama ou um seis} én(A)=8.

P(A)_~_2. 52 13

e } ser um rei ou uma carta de paus.

Nesse caso, temos 4 reis e 13 cartas de paus, o Que totalizaria 17, mas como um dos reiséde paus, o nú-mero de elementos do evento A

=

{a carta retirada é um rei ou uma carta de paus}én(A)

=

4+13 -1

=

16.

P(A) 4 13 1 16 4

(5)

7 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Uma pesquisa foi realizada com 800 habitantes de uma cidade. A pesquisa revelou que 350 são' sócios do clube Sol de Verão, 250 do clube Curta as Férias e 150 são sócios dos dois clubes. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade:

a ) de ela ser sócia somente do clube Curta as Férias?

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

350

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) ; 800. Como 100 das pessoas são sócias somente do clube Curta as Férias, o número de elementos do evento A=

{a pessoa é sócia somente do clube Curta as Férias} é n(A)=100.

P(A) 100 1 800 8

b)

de ela não ser sócia do clube Sol de Verão?

Como 450 das pessoas não são sócias do clube Sol de Verão (100 que são sócias somente do clube Curta as Férias e 350 que não são sócias de nenhum dos dois clubes), o numero de elementos do evento A={a pessoa não é sócia do clube Sol de Verão} é n(A)

=

450.

P(A) 450_~ 800 16

c ) de ela ser sócia do clube Sol de Verão ou do clube Curta as Férias?

Como 450 das pessoas são sócias do clube Sol de Verão ou do clube Curta as Férias (200 somente do clube Sol de Verão, 100 somente do clube Curta as Férias e 150 de ambos os clubes), o número de elementos do evento A

=

{a pessoa é sócia do clube Sol de Verão ou do clube Curta as Férias} é n(A)

=

450.

P(A)= 450 =~ 800 16

V O I\..1 W lE

8

8 .O painel de seleção de um jogo apresenta 15 persona-gens, 8 masculinos e 7 femininos.

Sabe-se que cada time é formado por 2 integrantes, sem a possibilidade de selecionar duas vezes o mesmo personagem.

a ) Determine o total de duplas possíveis.

Existem 15 personagens disponíveis, para serem selecionados dois a dois. Então, o total de duplas possíveis para a formação do time é:

C~5= 15·14 =105 2·1

b ) Carlos USOU Omodo aleatório de escolha das duplas, que define automaticamente o time. Determine a probabilidade de que o time escolhido tenha como integrante o personagem número 5, que é o preferido do garoto.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

105. Como um escolhido é o personagem número 5, o segun-do deve ser escolhisegun-do entre os 14 personagens restantes, assim:

P _ H ~ 4 _1·14 _ 14 _ 2 - C~5 - 105 -105-15

c ) Usando o modo aleatório de escolha, qual a probabilidade de que a dupla seja formada por um personagem do sexo masculino e um do sexo feminino?

Como existem 8 maneiras de escolher um personagem do sexo masculino e 7 maneiras de escolher um perso-nagem do sexo feminino, a probabilidade pedida é:

P_ 8·7- - - -_ 56 _ 8

105 105 15

(6)

assuntos escolares. Qual a probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 meninas e 1 menino?

3

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a )

-56

b) ~

56

c ) ~

56

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x

d ) 27

56

e ) 33

56

o

número de elementos do espaço amostral é dado pela combinação das 16 pessoas tomadas 3 a 3'

C3 16 1~14 560 16 3 2 1 ASSim. n{S)=560.

Como a equipe deve ser formada por 2 meninas e 1 menino temos'

C' C' 10 9 6 45·6 270 10 6 2.1

Onúmero de elementos do evento A ={a equipe éfor mada por 2 meninas e 1 menino} én{A)

=

270.

PIA) 270. 27

56(1 56

Portanto, a probabilidade de ocorrêncía desse evento é 27

56

1 0 .Escolhendo-se por sorteio um estudante de uma clas-se, a probabilidade de que seja um rapaz é o quádruplo da probabilidade de que seja uma moça. Qual é a pro-babilidade de que:

a ) seja escolhido um rapaz?

Como sabemos que a probabilidade de sortear um rapaz mais a probabilidade de sortear uma moça tem que s r Igual a1 e que a probabilidade de sortear um rapaz éo quádruplo da probabilidade de sortear uma moça, temos o seguinte sistema.

{

p{rapaz) tP{moça)

=

1-"'>P{moça)

=

1- P{rapaz) (I) P{rapaz) =4 P{moça)

Assim, substituindo (I)na segunda equação, temos: P{rapaz) 4 (1 P{rapaz))

P{rapaz) 4 4 P{rapaz) 5 . P(rapaz) =4

4 P(rapaz) =

5

Portanto, a probabilidade de sortear um rapaz é 4 5 b )seja escolhida uma moça?

Como a probabilidade de sortear um rapaz é ~, a 5 probabilidade de sortear uma moça é 1- 4= 1.

5 5

1 1 .Na central de

GFEDCBA

te /e m a r k e tín g de um provedor de internei, 55% dos funcionários são do sexo masculino. . Avaliando-se o relatório de rendimento dos funcionários

dessa central, obtiveram-se as seguintes conclusões:

I. 40% dos problemas informados pelos clientes são resolvidos na primeira chamada quando o cliente é atendido por um homem.

11.55% dos problemas informados pelos clientes são resolvidos na primeira chamada quando o cliente é atendido por uma mulher.

Quando um cliente liga para a central, o sistema di-reciona a ligação, aleatoriamente, para um de seus atendentes. Qual a probabilidade de esse atendente resolver o problema do cliente na primeira ligação?

Do enunciado, sabemos que:

I. 55% dos funcionários são do sexo masculino e, por-tanto, 45% são do sexo feminino.

11.40% dos problemas são resolvidos na primeira liga-ção quando o atendente e do sexo masculino e 55% dos problemas são resolvidos na primeira ligação quando o atendente édo sexo feminmo.

Assim, há duas situações:

P 'problema resolvido na primeira ligação por um ho-mem)

=

0,55' 0,40

=

0,22

=

22%

Ol.

P (problema resolvido na primeira ligação por uma mu-lher z ;0,45 0,55

=

O2475 - 24,75% .

Portanto, a probabilidade de o cliente ter seu problema resolvido na primeira ligação éde 22+2475 - 46.75%.

1 2 .A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos alunos.de uma turma do 1~ano do Ensino Médio.

Escolhendo um aluno ao acaso, determine a probabili-dade de que ele: Onúmero de elementos do espaço amos-trai én(S)=7 + 4 + 2 + 5 + 5 + 2 - 25

a ) tenha 14anos.

Como 12 dos alunos têm 14 anos, o numero de ele-mentos do evento A

=

{o aluno escolhido tem 14 anos} én{A)

=

12

(7)

b )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

seja uma menina.

Como 12 dos alunos são meninas, o número de elemen-tos do evento A = {o aluno escolhido é uma menina} é n(A)

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

12.

P(A)=~ 25

c ) seja um menino de 16 anos.

Como 2 dos meninos têm 16 anos, o número de ele-mentos do evento A = {o aluno escolhido éum menino de 16 anos} é n(A) = 2.

P(A)=~ 25

1 3 .Num saquinho, foram colocadas bolas brancas e pre-tas, totalizando 50 bolas. Sabendo que a chance de tirar uma bola branca é de 34%, pode-se concluir que o total de bolas pretas dentro do saquinho é:

x

a ) 33.

b)

16.

c ) 25.

d)17.

e ) 24.

Primeiramente, determinamos o número de bolas bran-cas existentes no saquinho:

P(branca) n(brancas) 50 O 34 = n(brancas)

, 50

n(brancas) = 50 ·0.34 n(brancas) 17

Como o número de bolas brancas é 17, o número de bolas pretas é50 - 17 = 33.

14.Jogando certo dado viciado, a chance de sair um nú-mero par é o quíntuplo da chance de sair um número ímpar. Lançando-se esse dado uma única vez, determi-ne a probabilidade de a face voltada para cima mostrar um número ímpar.

Como sabemos Que a probabilidade de sair um núme-ro par mais a pnúme-robabilidade de sair um número ímpar é igual a 1 e Que a probabilidade de sair um número paré o quíntuplo da probabilidade de sair um· número ímpar, temos o seguinte sistema:

{

p(par)+p(ímpar) '= 1 ~ P(par) = 1-P(ímpar) (I) P(par) = 5 . P(ímpar)

Assim, substituindo (I)na segunda equação. temos: 1- P(lmpar) = 5 P(ímpar)

1= 6 P(ímpar) P(ímpar),=2

6

VOllo1W'iE 8

Portanto, a probabilidade de sair um número impar é 2. 6 É possível resolver esse problema usando raciocínio de proporcionalidade.

Se a probabilidade de sair um número paréo quíntuplo da probabilidade de sair um numero ímpar é como se tivéssemos, por exemplo. 3 números impares e 5 . 3 = 15 números pares. Portanto, a probabilidade de sair um número ímpar é de 3 em 18, ou seja, 2.

6

1 5 .Considere todos os números com quatro algarismos distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4,

6,

7 e 8. Escolhendo um desses números, ao acaso, determine a probabilidade de:

o

número de elementos do espaçoamostrae n(S) P4 4! 24. a ) ele ser um número ímpar;

Os números irnpares formados com esses Quatro algarismos têm COIT'Oalgansmo da unidade o número 7

QM [

[[

rU

3 . 2 1 1 =6.

Assim, o rúmero de elementos do evento A={o número formado da permutação dos Quatro algarismos é impar} en(A) =6.

P(A) 6 =2 24 4

b )ele ser um múltiplo de 2;

Os números múltiplos de 2 formados com esses Quatro algarismos têm como algarismo da unidade um número par.

~[ç

f!i

U

3 2· 1 . 3 - 18.

Assim, o número de elementos do evento A = {o número formado da permutação dos Quatro algarismos é múltiplo de 2}én(A) = 18.

P(A)- 6 _ 1 24 4

c ) de ele ser maior que 7000.

Os números maiores Que 7 000 formados com esses Quatro algarismos têm como algarismo da unidade de milhar o numero 7 ou o número 8.

~

~

~

[ill

2 3· 2 1 =12

Assim. o número de elementos do evento A = {o nu mero formado da permutação dos Quatro algarismos é maior Que 7 OOO} é n(A) = 12.

(8)

16. Complete a tabela abaixo usando as informações que

seguem.GFEDCBA

D o s 2 0 0 fu n c io n á r io s d e u m a e m p r e s a , s a b e - s e q u e - 3 0 % tê m n ív e l u n iv e r s itá r io , 6 0 % s ã o d o s e x o m a s c u lin o

e 55% d a s m u lh e r e s n ã o tê m n ív e l u n iv e r s itá r io .

a) o

número de elementos do espaço amostral

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

én(S) = 200.

Masculino Feminino Total

1

Têm nível

60 - 36 = 24 80 - 44 = 36 30% universitário de 200 = 60

I Não têm nível

120- 24 = 96 55% 70% universitário de 80 = 44 de 200 = 140

-Total 60% 80 200

de 200 = 120

I

b) Determine a probabilidade õe um funcionário

sele-cionado ser do sexo feminino.

Como 80 funcíonános são do sexo feminino, o

núme-ro de elementos do evento A = {o funcionário escolhi-doédo sexo feminino} én(A) = 80.

P(A)=~-~ 200 5

c) Determine a probabilidade de ser selecionado um

funcionário que não tenha nível universitário.

Como 140 funcionários não têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {selecionar um funcionário que não tem nível universitário} én(A) = 140.

P(A)= 140 =~ 200 10

d) Qual

é

a probabilidade de ser selecionado um

fun-cionário do sexo feminino ou um que tenha nível

universitário?

Nesse caso, temos 80 funcionános do sexo feminino e 60 funcionários com nível universitário, o que totalizaria 140. Entretanto, como 36 funcionários do sexo feminino têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {selecionar um funcionário do sexo feminino ou um

funcionário que tenha nível universitário} é n(A) = 80 + 60 - 36 = 104.

P A 80 60 36 104 13 () 200 +200 - 200 200 25

e) Determine a probabilidade de ser selecionado um

funcionário do sexo masculino que não-tenha nível

universitário.

Como 96 funcionários do sexo masculino não têm nível universitário, o número de elementos do evento A = {se-lecionar um funcionário do sexo masculino que não tem . nível universitário} én(A) = 96.

P(A)=~=~ 200 25

17. (FGV - SP) As sels faces do dado A estão marcadas

com 1, 2, 3, 3, 5, 6; e as seis faces do dado B estão

. marcadas com 1, 2, 4, 4, 5 e 6. Considere que os

da-dos A e B são honestos no sentido de que a chance

de ocorrência de cada uma de suas faces

é

a mesma.

Se os dados A e B forem lançados simultaneamente, a

probabilidade de que a soma dos números obtidos seja

ímpar

é

igual a

4

c) -9

d) ~ 3

2

e)

-9

As somas possíveis podem ser representadas por meio de uma tabela:

B

1 2 4 4 5 6

I

A

1 2 3 5 5 6 7

2 3 4 6 6 7 8

3 4 5 7 7 8 9

3 4 5 7 7 8 9

5 6 7 9 9

I

10 11

6 7 8 10 10 11 12

o

número de elementos do espaço amostral én(S) = 36. Como 20 dos resultados têm soma ímpar, o número de elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-doséum número ímpar} én(A)

=

20.

P(A)- 2fl ~ 36 11

18. (ACAFE- SC) Uma indústria de calçados recolheu em

seus revendedores produtos defeituosos e, entre os

pares defeituosos, observou o seguinte:

• 25% haviam descolado a sola.

(9)

• 15% dos calçados recolhidos tinham descolado a sola e possuíam problemas na costura.

• em 18%, o único defeito era a falta de um dos ca-darços.

Nesse sentido, analise as seguintes afirmações:

I. A probabilidade que um dos calçados recolhidos te-nha como defeito as costuras ou a sola descolada é

de 42%.

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F

11. 55% dos calçados recolhidos apresentaram outros

defeitos não listados acima. v

111.A probabilidade do calçado recolhido não ter como defeito a sola ou as costuras descoladas é de 73%. v

Assinale a alternativa correta.

x

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) As afirmações II e III estão corretas.

b)

Apenas a afirmação II está correta.

c ) Apenas a afirmação 111está correta.

d ) Nenhuma das afirmações está correta.

De acordo com a situação descrita, temos:

Costura Sola descolada

Falta cadarço

8

55%

I. 2 + 15 + 10 = 27%

11.100 - 2 - 15 - 10 - 18 = 55%

111.55 + 18 = 73%

1 9 .(ACAFE - SC) Para a realização de uma olimpíada

es-colar, os professores de Educação Física montam as

turmas por meio da distribuição das idades dos alunos. O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por suas idades.

70

(/) 60

o z

50.

I

I

I

I

::;,

;;;!

40

U J

Q 30 o a: LU

20

I

:2

.::;,

10 z

o

16 17 18 19 20 21

ID A D E DOS ALUNOS (em anos)

VOllo1ltV1E 8

Considere as seguintes informações:

(v) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a

proba-bilidade de que tenha idade abaixo da média da turma é de 44%.

Média das idades =

60 ·16+ 50·17 +40 ·18 + 30 ·19 + 50·20+ 20·21

250

960+850+ 720+570+ 1000+420

250

= 4520 == 18 anos 250

O número de elementos do espaço amostral é

n(S) = 250. Como 60 + 50 = 110 alunos têm idade abaixo da média, o número de elementos do evento A = {alunos com idade abaixo da média da turma}

én(A)=110.

P(A)=~=O 44=44% 250 '

( v) O percentual de alunos de uma turma constituída por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 250. Como 40 + 30 + 50 + 20 = 140 alunos têm idade maior ou igual a 18 anos, o número de elementos do evento A = {alunos com idade maior ou

igual a 18 anos} é n(A) = 140.

140

P(A)=-=O 56=56% 250 '

( V ) A média de idade aproximada (em anos) de uma

equipe formada por alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17.

Média das idades = 60·16 + 50·17 + 40·18 150

960 + 850 + 720 2530 = 17 anos 150 150

A sequência correta, de cima para baixo, é:

xa) V -V - V

b)

V - V - F

c ) V - F - F

(10)

20. (IFG - GO) Uma criança ganhou dois saquinhos, um azul e outro vermelho, com 10 bombons de mesmo tamanho em cada um. A tabela a seguir indica as quantidades de bombons recheados de cada sabor em cada saquinho:

Sabor Saquinho Saquinho

Azul Vermelho

Morango

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 1

Coco 2 4

Leite condensado 5 5

A probabilidade de a criança tirar, aleatoriamente, do saquinho azul, um bombom recheado com coco e, do saquinho vermelho, um bombom recheado com leite condensado, éde:

a) 70%

b) 50%

e) 30%

x c)

10%

d) 25%

I.Para o saquinho azul. o número de elementos do es-paço amostral é n(S)

=

10. Como2 bombons são de coco, o número de elementos do evento A

=

{retirar um bombom de coco do saquinho azul}én(A)

=

2.

P(A)=~=~

10 5

11. Para o saquinho vermelho: o número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

10. Como5 bombons são recheados com leite condensado, o número de elementos do evento B={retirar um bombom recheado com leite condensado do saquinho vermelho} é n(B)

=

5.

P(B)=~=~

10 2

Assim, a probabilidade de a criança tirar do saquinho azul um bombom recheado com coco e do saquinho vermelho um bombom recheado com leite condensado

éde P(A)· P(B)=

~.1

=

J.-

=O 1=10%.

5 2 10 '

(ENEM) Texto para as questões 21 e 22.

Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando re-presentada em cada uma delas as letras T, V e [ As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qual-quer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, ten-tando obter a sigla TVE. Ao desvirá-Ias, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00.

21.A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio éigual a:

a) O

x

b)

.l

3

c)

1

4

d)

.l

2

1 e)

-6

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

P3 - 3! 6 que são: TVE,TEV,ETV,EVT,VTE e

VET. Como 2 delas apresentam as três cartas em ordem incorreta (ETVe VET),o número de elementos do evento A

=

{o participante não ganhar qualquer prêmio} én(A)=2.

P(A)- 2 1

6 3

22.A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 400,00 é igual a:

d) ~

x a)

O 3

b)

.l

e)

.l

3 6

c)

.l

2

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)= P3=3!=6 que são: TVE,TEV,ETV,EVT,VTEe VET.

Como nenhuma delas apresenta somente 2 cartas em ordem correta, pois, se duas letras estiverem em ordem correta, automaticamente a terceira tambem estará, o número de elementos do evento A = {o participante ganhar exatamente o valor deR$400,00} én(A)= O

P(A) O O

6

(11)

face que fica voltada para cima, é anotado. Em se-guida, uma bola é retirada aleatoriamente da urna e o seu número n é também anotado. A probabilidade de m

+

n ser um número primo é igual a:

a)

.L

10

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b)

.L

13

7

c)

-30

d) ~ 60

23 xe)

-60

I. Para o dado, os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4,

5ou6.

11.Para a retirada da bola da urna, os possíveis resulta-dos são 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8,9 ou 10.

As somas possíveis podem ser representadas por meio de uma tabela:

~ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

7 8 9 10 11 12 13

8 9 10 11 12 13 14

9 10 11 12 13 14 15

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 0 11 12 13 14 15 16

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)=60. Como 23 das somas são números primos, o número de elementos do evento A={a soma dos resultados obtidos no dado e na bola retirada da urna é um número primo} én(A)

=

23.

P(A)= 23 60

24. (ENEM) A tabela ao lado indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo • signi-fica que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004,

à frente do indicado na coluna. O símbolo

*

significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à

frente do indicado na coluna.

A

B

C

O

A

*

B

e*

e

e*

C

e*

*

*

O

e

e

A probabilidade de que um desses quatro times, esco-lhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a

x a) 0,00.

b) 0,25.

c) 0,50.

d) 0,75.

e) 1,00.

A simples observação da tabela pode nos indicar que esse fato não ocorreu, pois pelo menos um dos times teria que apresentar quantidades iguais dos dois sím-bolos para obter a mesma classificação nos dois anos. Podemos também resolver a questão montando uma tabela que mostre a classificação em 2004 e 2005:

2004 2005

1? B C

2? D B

3? C A

4? A D

Portanto,a pro bilidade de que um dos times tenha obti-do a mesma classificaçã nos anos de 2004 e 2005 é zero.

25. (IFRS) Na composição de um painel de arte, são utili-zadas seis peças iguais, com lados iguais, como a que aparece ilustrada na figura A. As peças são dispostas em duas filas, cada qual com três peças e de forma que cada uma delas pode apontar para um dos qua-tro sentidos possíveis, como aparece ilustrado em um exemplo de montagem na figura B.

.ó.

o

<> <>

V

~

<?

Figura A Figura B

Colocadas ao acaso as seis peças, a probabilidade de que todas as setas estejam apontando no mesmo sen-tido é de

1 a)

-24

b) 1 180

1 e) 4096

c) 1 324

1

x

d) 1024

Cada uma das seis peças pode ser colocada na compo-sição da figura em 4 sentidos diferentes, assim, exis-tem 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4

=

4096 possíveis composições de um painel. E existem 4 formações em que todas as setas apontam para a mesma posição. Portanto, a pro-babilidade de que todas as setas estejam apontando no

id . d 4 1

(12)

,

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 6 .(IFSP) O gráfico representa o número de alunos de uma

escola distribuídos por idade. Sabe-se que os alunos

com exatamente 15 anos correspondem

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à quinta parte do grupo de idade a que pertence. Se um aluno dessa

escola é escolhido ao acaso, a probabilidade de esse aluno ter exatamente 15 anos é:

Número de alunos

_de6a8anos _ de 9 a 11 anos Dde 12 a 14 anos Dde 15 a 17 anos

Idade (anos)

2 a )

-5

b) ~

15

xe) ~

45

c ) ~ 9

d ) ~

50

Como os alunos que tem exatamente15anos corres-pondem a um quinto do total de alunos do grupo a que pertencem, então temos exatamente 40=8 alunos

5 com exatamente15anos de idade.

O número de elementos do espaço amostral é n(S) =30 +60 +50+ 40= 180. Como8dos alunos têm 15 anos, o número de elementos do evento A = {escolher um aluno com exatamente15 anos}é n(A)

=

8.

P(A) 1:0 =425

2 7 .(UFPR) Considere três caixas contendo bolas brancas e pretas, conforme ilustra a figura.

1 ••

0

1

caixa 1

100 ••

1

W

caixa 2 caixa 3

Uma bolaéretirada aleatoriamente da caixa 1 e coloca-da na caixa 2. Então, uma bola éretirada aleatoriamente da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola

éretirada aleatoriamente da caixa 3.Calcule a probabi-lidade de que essa última bola retirada seja branca.

A retirada da bola branca da caixa3 depende das reti-radas das caixas1e2,dessa forma temos as seguintes possibilidades:

I. A = {Retirar uma bola branca da caixa 1, retirar uma bola branca da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

. 1 3 2 6

P(A)=-·_·_=-3 5 P(A)=-·_·_=-3 45

li. B = {Retirar uma bola branca da caixa 1,retirar uma bola preta da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

1 2 1 2 P(B)=3'S'3= 45

111.C = {Retirar uma bola preta da caixa1,retirar uma bola branca da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

2 2 2 8 P(C)=3'5'3= 45

IV.

b

= {Retirar uma bola preta da caixa 1, retirar uma preta da caixa2e retirar uma bola branca da caixa3}

2 3 1 6 P(D)=3'5'3= 45

Assim, a probabilidade da retirada de uma bola branca da caixa3é:

P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=~+2. t~ 6 22 45 45 45 45 45

2 8 .(FUVEST - SP) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livre-mente essas 14 questões.

a ) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?

A prova pode ser elaborada permutando-se as 14

questões, ou seja, P14=14!

(13)

consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?

De acordo com o que fOI exposto, a sequêncía da prova classe A pode ser representada como se segue:

PPPPPPP GM

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

4 l

I. As 7 primeiras questões são de Português, portanto temos a permutação de 7 elementos.

11A última questão é de Matemática, portanto. a penúlti-ma questão é de Geografia, obrigatoriamente, Já que não pode haver duas questões consecutivas de Matemática.

111. Resta, ainda, posicionarmos 5 questões, 2 de Mate-mática e 3 de Geografia, não podendo as de MateMate-mática ocuparem posições consecutivas. Para isso. podemos permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 2 de Matemática ocupam posições consecutivas. Assim 5! - 4! . 2!=72.

Logo, existem 71 72· 4 . 3

=

864 . 71 provas possíveis da versão classe A.

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a pro-babilidade de que ele receba unia versão classe A?

o

número de casos possíveis em que o candidato recebe uma prova que começa com 7 questões de Português e 7! 7!. Assim, a probabilidade P pedida é:

P=864 7!= 864 6 7!·7! 5 040 35

2 9 .(UFMG) Uma pesquisa em- um segmento populacio-nal registrou o número de filhos por mulher. Em uma comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 1 200 mulheres, revelando uma distribuição conforme mostra o gráfico abaixo.

Distribuição de filhos por mulher

Observe que o gráfico informa o número de filhos por mulher e a porcentagem correspondente de mulheres com esse número de filhos, exceto na

V 6ll..lW 1E 8

faixa correspondente a 5 filhos. Com base nessas informações,

a ) determine o número de mulheres entrevistadas com 5 filhos.

Como a uruca Informação que falta éa porcentagem de mulheres com 5 filhos, podemos obter esse valor por meio das informações do gráfico

I. Mulheres com O, 1, 2, 3 ou 4 filhos totalizam 7% + 20% + 30% + 20% + 15%

=

92%. Portanto, c número de mulheres que têm 5 filhos corresponde a 8% do total.

11. Fazendo uma regra de três simples, podemos deter minar esse valor:

mulheres porcentagem

1 200 100

x 8

100 . x

=

1200 . 8 100x - 9600

x=96

Portanto, 96 mulheres têm 5 filhos.

b) calcule a média de filhos por mulher.

Média de filhos por mulher'

7 .O+20 . 1 .• 30 . 2t20· 3+15 . 4t8 5 100

0+20+60+60+60+40240 24

100 100'

Portanto, a média é de 2,4 filhos por mulher.

c ) Calcule a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais.

A probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais é a soma do percentual de mulheres com 3,4 e 5 filhos:

20% + 15% + 8% =43% ou 0,43.

3 0 .Numa sala, há 9 crianças com os números de 1 a 9 estampados nas camisetas que estão usando. Selecio-nando-se conjuntamente duas crianças ao acaso, qual a probabilidade de que ambas tenham estampado um número par na camiseta?

4 3 12 1

P(par,par) -

'9' 8

72

'6

Portanto, a probabilidade de que as duas crianças escolhidas tenham estampado m suas camisetas um número par é

.!.

(14)

31.As orobabüõades de três jogadores acertarem uma cesta numa partida de basquete são, respectivamente

~, ~ e ~. Se cada um lançar a bola uma única vez,

3

6

10

qual a probabilidade de:

a) todos acertarem a cesta?

Considerando que a probaoüdade de um jogador acertar a cesta não se altera pelo fato de outro jogador acertar

ou não e, nomeando a probabilidade de os

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 Jogado-res acertarem a cesta, respectivamente, por P(A), P(B)

e P(C), temos:

P(A" B (C) P(A) P(B)· P(C) p(Ar Bf"'C)",2:'; 7 7~_~

3 6 íO 180 18

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b ) só um acertar a cesta?

As probabilidades de que os jogadores não consigam acertar uma cesta são:

P(A) o

!.

P(B)

..!

e P(C) = ~

3 6 10

- - -

-P P(A) P(B) P(C)+P(A) P(B) P(C)+P(A)· P(B)· P(C) P- ~ .

..!.~+..!.~.~+..!

...!.~

3 6 10 3 6 10 3 6 10 " P ~ ~ 15 ~~

180 180 180 28 7 P

-=-180 45

c) todos errarem

a

cesta?

- - -

-P(Ar BnC)=P(A)·P(B)·P(C) ---i1331

p(Ar

BnC)=-·_·_=-3 6 10 180 60

32. (ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) 1 100

b) ~

100

x c) 20 100

d) ~ 100

e) 80 100

Como20das senhas têm números de1a20,onúmero de elementos do evento A

=

{a senha sorteada é um número de1a20}én(A) =20.

P(A) ~ 1

100 5

33. (ENEM) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é que essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a meteorologia, a probabilidade de chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%. A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de:

a) 5,0%

b)

7,5%

e) 75,0% x c) 22,5%

d ) 30,0%

Com base no enunciado, sabe-se que:

I. há30 Vode chance de chover no sábado e, portanto, 70%de chance de não chover nesse dia;

11.há25%de chance de chover no domingo e, portan-to.75%de chance de não chover nesse dia. Assim, temos a seguinte situação: para a aula de cam-po ocorrer no domingo, é necessário haver sábado com chuva e domingo sem chuva, portanto'

P (aula de campo ocorrer no domingo) -= = ~ ~ 0,3 0,75=0,225 =22 5%

chance de chance de chover no nao chover sacado no domingo

Assim. a chance de a aula acontecer no domingo é de22,5% .

34. (ENEM) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia àorganização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida.

Os organizadores, então, decidiram fazer um exame

GFEDCBA

a n tid o p in g . Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão reallzá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;

Modo 11: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

(15)

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de que o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou 111.Comparando-se essas probabilidades, obtém-se:

a) P(I)

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

< P(III)< P(II)

b) P(II)< P(I)< P(lII)

c) P(I)< P(II)=P(lII)

d) P(I)

=

P(II)< P(lII)

x e) P(I)

=

P(II)

=

P(lII)

De acordo com o enunciado, há 20 equipes com 10 atletas, ou seja, um total de 20 . 10 = 200 atletas, dos quais, segundo a denúncia, .apenas um havia utilizado substância proibida.

Acompanhe a probabilidade de o atleta ser um dos esco-lhidos segundo cada modo.

I. Modo I: P(I)= 3._1_. 199.198 =~, já que o atleta 200 199 198 200

considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.

11.Modo11:

- a probabilidade de ser sorteada a equipe do atleta é

J...

20 - a probabilidade de o atleta ser sorteado dentro de cada

d . '31983 .. tlt

uma as equipes e '10'9'8=10' Ja que o a e a considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.

Assim P(II)=

J...1.

=~.

, 20 10 200

111.Modo 111:

- a probabilidade de sorteio das três equipes é 3·

J... ~. ~

=

1.,

já que a equipe do atleta

conside-20 19 18 20

rado pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada.

- a probabilidade de o atleta ser sorteado na equipe é

1 10 10 1

-'-'-=-. 10 10 10 10 Assim P(lII) =

2. ..L

=~.

r 20 10 200

Portanto, P(I) = P(II) = P(III).

35. (ENEM) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos des-sa escola, que estão em seleção final de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de charná-los um a um, o en-trevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de oernevstador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é:

V O IV lW lE 8

a) 23,7%

b) 30,0%

c) 44,1%

x

d) 65,7%

e) 90,0%.

I. Cada aluno tem chance de 30% de compreender e fa-lar inglês. Portanto, cada um deles tem70% de chance de não compreender nem falar inglês.

11.A única situação que não satisfaz o solicitado no enun-ciado éaquela em que nenhum dos três alunos realiza a tarefa solicitada pelo entrevistador, ou seja, a probabilida-de probabilida-de nenhum dos três alunos responprobabilida-der àpergunta feita pelo entrevistador éP = 70%. 70% . 70% =

= 0,70 .0,70.0,70 = 0,343 = 34,3%.

Assim, a probabilidade de o entrevistador ser enten-dido e de ter sua pergunta respondida em inglês é: 100% - 34,3% = 65,7%.

36. (UERJ - RJ) Os consumidores de uma loja podem concorrer a brindes ao fazerem compras acima de R$ 100,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no qual estão registradas 23 letras do alfabeto em cinco linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dis-põe as seguintes letras, em qualquer ordem:

• linha 1 - {A, B, C, D, E};

• linha 2 - {F, G, H, I, J};

• linha 3 - {L, M, N, O, P};

• linha 4 - {Q, R, S, T, U};

• linha 5 - {V, X, Z}.

Observe um exemplo desses cartões, com as letras ainda visíveis:

®®®@©

©®®CDQ)

@@(D@®

®@®@(f)

®®~

Para que um consumidor ganhasse um secador, teria de raspar o cartão exatamente nas letras dessa pala-vra, como indicado abaixo: '

®®.@©

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

• • • • •

@••••

®.® ••

(16)

Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em

cada linha para formar a palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a:

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1

x a)

15000

1 b) 18000

1 c) 20000

1 d) 25000

I. Raspar as letras E, A e D na linha 1: P(1) = ~ .

.?.~

= ~ =~.

5 4 3 60 10

11.Raspar a letra I na linha 2: P(2) =~.

5

111.Raspar as letras O, N eL na linha 3: P(3) = ~ .

.?. ~

= ~ =~. 5 4 3 60 10

IV. Raspar as letras R e T na linha 4: P(4) =

.?.~

= ~.,-~. 5 4 20 10

V. Raspar a letra V na linha 5: P(5) =~.

3

Assim, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é de P(1).P(2).P(3).P(4).P(5) = ~. ~. ~. ~. ~ = _1 -. 10 5 10 10 3 15000

37. (VUNESP - SP) Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é igual a:

x a)

2

3

b) ~

3

1

c)

-2

d) ~

4

1 e)

-4

Chamando dexo resultado do lançamento da moeda e de y o resultado do lançamento do dado, temos os espaços amostrais x

=

{3, 6}éY

=

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

As médias aritméticas possíveis com os pares (x, y) podem ser representadas por meio de uma tabela:

Y

1 2 3 4 5 6

x

-,

3 ~+1 =2 3+2 =2 5 3+3 =3 3+4=35 3.,,5 =4 3+6=45

2 2 ' 2 2 ' 2 2 '

6 ~=35 6+2 =4 6+3 =4 5 6+4 =5 6+5=55 6+6 =6

2 '- 2 2 ' 2 2 ' 2

Onúmero de elementos do espaço amostral é n(S) = 12. Como 4 dos pares (x, y) obtidos têm média aritmética entre 2 e 4, o númeróde elementos do evento A = {média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda está entre

2e4}é n(A)

=

4.

P(A\.;=~:~

I 12 3

38. (UFRN) Uma prova de Matemática contém trinta questões, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção

em cada uma das questões difíceis, é correto afirmar que: 3 1

Inicialmente temos: P(errar uma questão difícil) = - e P(acertar uma questão difícil)

=-4 4

a) a probabilidade de errar as questões difíceis

é

maior que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil. F

(17)

x

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) a probabilidade de errar as questões difíceis

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil.

d ) a probabilidade de errar as questões difíceis está entre ~ e ~.

5

2

) P( d d'f' 3 3 3 3 81

a errar to asas Ilcels)=, --=0,31-31%. 4 4 4 4 256 P(acertar pelo menos uma difíCil) =1 -0,31

=

0,69 = 69%.

A probabilidade de errar todas as questões difíceis émenor que a de acertar pelo menos uma questão difícil.

... 3 3 3 3 81

b) P(errar todas as drtíceis) -.- -=0.31 31%. 4 4 4 4 256

1 A probabilidade de errar todas as questões difíceis émenor que

'2'

d) A probabilidade de errar todas as questões difíceis e de aproximadamente 31 %, portanto não está entre 2 (0,4) e

2

(0.5) .

5 2

3 9 .(UFPB) Uma escola de línguas estrangeiras sorteou uma bolsa de estudos entre 20 alunos de escola pública que

I

demonstraram ter algum conhecimento de, pelo menos, um dos idiomas: inglês, espanhol e francês. Sobre os alunos sorteados sabe-se que:

• 9 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol;

• 8 demonstraram ter algum conhecimento de francês;

• 14 demonstraram ter algum conhecrnerro de inglês;

• 4 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de francês;

• 5 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de inglês;

• 3 demonstraram ter algum conhecimento de francês e de inglês;

• 1 demonstrou ter algum conhecimento dos três idiomas citados.

Com base nas informações apresentadas, identifique as afirmativas corretas:

a ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de espanhol éde 5%.

b)

(V) A probabilidade de o aluno sorteado ter apenas conhecimento de francês e de inglês é de 10%.

c ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado não ter conhecimento de inglês éde 30%.

d ) (V) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de inglês éde 35%.

e ) (F) A probabilidade de o

aluno

com conhecimento apenas de espanhol ter sido sorteado é maior que a probabili-dade do aluno com conhecimento apenas de francês.

1

a) P(apenas espanhol) - - 0,05 5% 20

b) P(francês e Inglês) _ 2 =0,1 = 1 0% 20

c) P(não ter conhecimento de inglês) - ~ =0,3 - 30% 20

d) P(apenas inglês)

=

7 0,35

=

35% 20

e) A probabilidade de o aluno com conhecimento apenas de espanhol ter Sido sorteado éde 5%. menor que a probabilidade do aluno com conhecimento apenas de francês, que éde 10%

(18)

P ro b a b ilid a d e c o n d ic io n a l

4 0 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Uma pessoa tem nas mãos um chaveiro com 5 chaves idênticas e somente uma delas abre um cofre.Determine a probabilidade de essa pessoa abrir o cofre na segunda tentativa, sabendo que a primeira chave escolhida não foi a correta.

P(Abrir na 2~ tentativa I Falhou na 1

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

atestatíve)

=

_ n(chaves corretas)

n(chaves restantes)

P(Abrir na 2~ tentativa I Falhou na 1atentativa)

=

+

4 1 .Em uma sala, estão reunidos 10 homens e 10 mulhe-res para a discussão da pauta de melhorias de uma empresa. Entre os homens, 2 são engenheiros, 5 são arquitetos e os demais são advogados. Entre as mulhe-res, 3 são engenheiras, 3 arquitetas e as demais são advogadas. Um desses profissionais foi escolhido ao acaso para a apresentação das pautas.

Deterrrme:

a ) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja um profissional da área de advocacia;

o

numero de elementos do espaço amostral én(S) = 20. Como 7 pessoas são da.area de advocacia. o número de elementos do evento A ={a pessoa escolhida éum profissional da área de advocacia} én(A)

=

7.

PIA) 7 20

b )a probabilidade de que a pessoa escolhida seja do sexo masculino;

o

numero de elementos do espaço amostral én(S)

=

20. Como 10 pessoas são do sexo masculino, o número de elementos do evento A= {a pessoa escolhida édo sexo masculino} e n(A)

=

10.

PIA) ~Q ~ 20 2

c ) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja pro-fissional da área de arquitetura, sabendo que éuma mulher;

o

numero de elementos do espaço amostral én(S\

=

10 visto que se sabe que éuma mulher. Como 3 mulheres são da área de arquitetura, o número de elementos do evento A={a pessoa escolhida éda área de arquitetura dado que émulher} én(A)

=

3.

3 P(arqUltetura I mulher) =-10

c ) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja do sexo masculino, sabendo que é um profissional da área de engenharia.

o

número ue elementos do Fspaço amostral én(S)

=

5, uma vez que se sabe que e um profissional da área de engenharia. Como 2 dos engenheiros são do sexo mas-culino. o numere de elementos do evento A

=

{a pessoa .escolhida édo sexo masculino dado que éprofissional da

área de engenharia} e n(A)

=

2. P(homem I engenharia) 2

5

4 2 .Uma urna tem 5 bolas vermelhas, 3 marrons e 4 ama-relas. Retirando-se duas bolas sucessivamente da urna sem reposição, determine a probabilidade de:

a ) ambas serem da mesma cor;

A probabilidade P de que as duas bolas tenham a mesma cor éa soma da probabilidade de as duas bolas serem vermelhas com a probabilidade de ambas serem marrons e com a probabilidade de que as duas sejam amarelas.

P P(V1 Vz) + P(M1 Mz) + P(A1

GFEDCBA

A z )

P - P(V1)·P(Vzl V.) +-P(M1)·P(M2IM1) +P(A,)·P(Azl A,)

5 4 3 2 4 3

P _.- - - t- - .-12 11 12 11 12 11 P 20 t~ t 12

132 132 132

P 38 19

132 66

b ) ambas serem de cores diferentes.

A probabilidade P de que as duas bolas tenham cores diferentes é igual a 1 menos a probabilidade de duas bolas serem da mesma cor'

P 1 (P(V1 V2) P(M1r M2) tP(A1 A z ) )

P 1 19 66 P 66 19

66 P 47

(19)

c )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a segunda bola retirada ser vermelha, sendo a pri-meira marrom.

Sejam os eventos:

M

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1= {a primeira bola é marrom}

V2= {a segunda bola é vermelha}

P=P(V2IM1)

P=~ 11

4 3 .Num baleiro, há 17 balas de café, 5 de morango e 10

de uva. Retiram-se sucessivamente e sem reposição

3 balas do recipiente. Sabendo que as duas primeiras

balas retiradas são de café, assinale a afirmação

correta.

a ) A probabilidade de a terceira ser de morango é ~.

. 32

b)

A probabilidade de a terceira ser de café é ~.

30

c ) A probabilidade de a terceira ser de morango é ~ .

10

xd )A probabilidade de a terceira ser de uva é ~ .

3

5 1

a) P(M3IC1C2)= - =

30 6

15 1 b) P(C3IC1C2)= - =

30 2

c) Ver item a.

10 1

d) P(U31 C1C2) =- =

30 3

4 4 .Numa escola, estudam 300 alunos no Ensino Médio, sendo 200 meninos e 100 meninas, e 500 alunos no Ensino Fundamental, sendo 200 meninos e 300 me-ninas. Ao escolher um aluno dessa escola, calcule a probabilidade de ser:

a ) menino, sabendo que é aluno do Ensino Médio.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

300, já Que se sabe Que é aluno do Ensino Médio. Como 200 dos alunos do Ensino Médio são meninos, a probabilidade pedida é:

P(menmo. IEnSlno. MOd')e 10 = -200=-.2

300 3

b)

aluno do Ensino Médio, sabendo que é menina.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

400, uma vez Que se sabe Que o aluno é uma menina. Como 100 das meninas são do Ensino Médio, a probabilidade pedida é:

P(E .nsmoMOd' Ie 10 menmaína)=-=-,100 1

400 4

c ) menina, sabendo que é do Ensino Fundamental.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

500, visto Que se sabe Que é aluno do Ensino Fundamental. Como 300 dos alunos do Ensino Fundamental são meninas, a probabilidade pedida é:

.. 300 3

P(menma IEnSino Fundamental) = - = -.

500 5

d ) aluno do Ensino Fundamental, sabendo que é menino.

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)=400, uma vez Que se sabe Que o aluno é um menino. Como 200 meninos são do Ensino Fundamental, a probabilidade pedida é:

P(EnSlno Fundamental menino) = -. I' 200=-.1

400 2

4 5 .Dois garotos, Paulo e Victor, lançam um par de dados. Nas apostas, ficou definido que, se a soma for 7, Paulo ganha e, se a soma for 9, quem ganha é Victor.

Deter-mine a probabilidade de Victor ter ganhado a aposta,

sabendo que Paulo não foi o ganhador.

As somas possíveis podem ser representadas por meio de uma tabela:

P

1 2 3 4 5 6

V

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

30, pois sabe-se Que Paulo não ganhou. Como 4 dos resul-tados têm soma 9, o número de elementos do evento A={Victor ganha dado Que Paulo não ganhou}én(A)=4.

P(Victor ganha I Paulo não ganhou)= 4 =~.

(20)

4 6 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

No lançamento de um dado honesto, o resultado ob-servado na face superior foi um número maior do que 3. Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar?

1

a )

-6

b )ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2

2

~

xc)

-3

d) ~

5

2

e )

-3

o

número de elementos do espaço amostral én(S) = 3, pois sabe-se que o resultado observado no dado émaior que 3, o número de elementos do evento A = {o número éímpar, dado que o número observado émaior que 3}é n(A)

=

1.

P(ímpar I maior que 3) =.!. 3

4 7 .(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou

o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma

reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado

e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo

com a quantidade de filhos, é

mosraca

no gráfico

abaixo.

T

10r---~

8

6

4

2

o~~~---~~----~----~

3 filhos sem filhos 1 filho 2 filhos

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

1

a )

-3

b)

2

4

7

c ) -15

d )

L

23

7

xe)

-25

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 7 . 1 + 6 . 2 + 2 . 3 = 25. Como 7 das

crian-ças são filhos únicos, o número de elementos do evento A = {a criança sorteada éfilho único} én(A) = 7.

7

-P(A)- -. 25

4 8 .(UFPR) Para verificar a redução de efeitos colaterais de um novo tratamento, pesquisadores ministraram a dois

grupos distintos de voluntários o tratamento

conven-cional e o novo tratamento. Os resultados obtidos estão descritos na tabela a seguir:

A p resen to u E feito s C o laterais

S IM N Ã O T ratam en to C o n vQ n cio n al 54 41

-N o vo T ratam en to 51 34

a ) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhido

aleatoriamente dentre os participantes dessa

pes-quisa, ter apresentado efeitos colaterais?

o

número de elementos do espaço amostral é n(S)=54+51 +41 +34=180.Com054 +51 =105 voluntários apresentaram efeito colateral, o número de elementos do evento A = {o voluntário escolhido teve efeito colateral} én(A) = 105.

P(A)= 105 =~. 180 12

b ) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido

submetido ao novo tratamento, dado que ele

apresentou efeitos colaterais?

o

número de elementos do espaço amostral é n(S) = 54 + 51 = 105, já que o voluntário escolhido

apresentou efeitos colaterais. Como 51 voluntários

apre-sentarãrn efeito colateral quando submetidos ao novo tratamento, o número de elementos do evento A = {o vo-luntário foi submetido ao novo tratamento, dado que ele

apresentou efeitos colaterais} én(A) = 51.

P(A)=~=]2. 105 35

4 9 .(ENEM) Um protocolo tem como objetivo firmar

acor-dos e discussões internacionais para conjuntamente

estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assinaram o protocolo, organizados de acordo com o continente ao qual pertencem.

P aíses d a A m érica d o N o rte P aíses d a Á sia

(21)

Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, um após o outro, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas.

A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à América do Norte e o segundo pertencer ao continente asiático é:

1 a)

-9

1

b)

-4

3

xc)

-10

d) ~

3

e) 1

P=P(primeiro país é da América do Norte nsegundo pais é da Ásia)

P-=P(primeiro país é da América do Norte)· P(segundo pais é da Ásia I primeiro país é da Aménca do Norte)

p : 3 3 6 5

P=~ 3

30 10

50. (ENEM) Um bairro residencial tem cinco mil moradores, dos quais mil são classificados como vegetarianos, 40% são esportistas, enquanto que, entre os não vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa desse bairro, escolhida ao acaso, é esportista. A probabilidade de ela ser vegetariana é:

2

a)

-25

b)

2

5

1 c)

-4

1 xd)

-3

5

e) -6

Podemos elaborar uma tabela com os dados apresentados.

Esportista Não Esportista Total

Vegetariano 40% de 1 000

=

400 60% de 1000

=

600 1000

Não vegetariano 20% de 4000

=

800 80% de 4 000

=

3200 4000

Total 1200 3800 5000

Já que se sabe que o morador éesportista, o número de elementos do espaço amostral é n(S)

=

1 200.

Como 400 dos esportistas são vegetarianos. o número de elementos do evento A

=

{o morador escolhido é vegetariano dado que

é um esportista} é n(A) = 400.

P(vegetanano. Iesportista). -400 = - .1

1200 3

51. (UFRN) Uma escola do Ensino Médio possui 7 servidores administrativos e 15 professores. Destes, 6 são da área de Ciências Naturais, 2 são de Matemática, 2 são de Língua Portuguesa e 3 são da área de Ciências Humanas. Para organizar a Feira do Conhecimento dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e 1 servidor adminis-trativo.

Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que nela haja exatamente um professor de Matemática é de, aproximadamente:

a) 26,7%. b) 53,3%. c) 38,7%. x d) 41,9%.

I. Existem 15 professores dispomvers e 7 servidores administrativos para serem selecionados dois a dois. Então. o total de comissões

possíveis com 4 professores e 1 servidor administrativo é:

C4 .C' 15.14.13.12.

7

-9555

15 7 4.3.2.1

11.O total de comissões possíveis com 1 professor de Matematica. 3 professores de outras áreas e 1 servidor administrativo é:

C1 .C3 C' 2. 13.1 2 11 7 4004

2 13 7 3.2 1 4004

Portanto, a probabilidade de que, na comissão. haja exatamente um professor de Matemática é de 9555 '" 0,419 =41,9%.

(22)

52. (ACAFE - SC) O Exame de Papanicolaou

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

é um teste usado para o diagrióstico do câncer cervical (câncer de

colo de útero), muitas vezes causado pela infecção do papiloma vírus humano, HPV. Para avaliar a qualidade de diagnóstico do Exame Papanicolaou, 600 mulheres de uma determinada região foram submetidas ao teste, sendo que 500 estavam sadias (sem câncer) e 100 estavam doentes (com câncer). Após o teste, verificou--se que, dos resultados referentes às mulheres sadias, 350 deram negativo e, dos resultados referentes às mulheres doentes, 94 deram positivo. Analise as pro-posições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.

(F) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resul-tado negativo, dentre as pacientes que não têm câncer, éde 58%.

(v ) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resulta-do positivo, dentre as pacientes que realmente têm câncer, é0,94.

(F) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas' com resultado positivo no teste Papanicolaou, éde 40,6%.

(v ) A probabilidade de uma paciente não ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolaou, éaproximadamente 98%.

(v) A probabilidade de uma paciente realmente ter câncer, dentre aquelas com resultado negativo no teste Papanicolaou, é inferior a 2%.

A sequência correta, de cima para baixo, é:

a) V - V - F - F - V

b)

F - F - V - V - V

c) V - F - V - F - F

x

d)

F - V - F - V - V

Das 600 mulheres submetidas ao teste:

- 500 eram sadias, entretanto o teste apontou que ape-nas 350 estavam sadias e que as outras 150 tinham o vírus do HPV.

- 100 eram doentes, entretanto o teste apontou que 94 tinham o vírus do HPV e que as outras 6 estavam sadias. ( F) P(negativo I sadia) 350 0,7 70%

500 ( V) P(p OSltiVOIdoente) - 94 0.94

100 94

( F) P(doente posítivo) 0,385 38.5% 244

(V) P(sadlo negativo). I . 350- - 0.983 98,3% 356

(V) P(doente I negativo) _ 6 0.017 1.7% 356

53. (UFRGS) Um jogo consiste em responder corretamente a perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma roleta numerada de 1 a 10, no sentido horário. O nú-mero no qual o ponteiro parar corresponde à pergunta a ser respondida. A cada número corresponde somente uma pergunta, e cada pergunta só pode ser sorteada uma vez. Caso o põnteiro pare sobre um número que já foi sorteado, o participante deve responder à

próxi-ma pergunta não sorteada, no sentido horário. Em um jogo, já foram sorteadas

?S

perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 10. Assim, a probabilidade de que a pergunta 4 seja a próxima a ser respondida é de:

1 a)

-4

b)

2

3

3

e)

-4 1

x c)

-2

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d ) ~

3

Os números sorteados que possibilitam que a próxima questão seja a 4 são: {1 , 2, 3, 4 ,1 O}.

Portanto. a probabilidade pedida é P ~ 1 10 2

D is trib u iç ã o b in o m ia l

54.Um casal pretende ter 3 filhos. Supondo que a proba-bilidade de nascer menino é igual à probabilidade de nascer menina, determine a probabilidade de:

a) somente 2 serem meninas.

P(menino). 1e (menina)P . 1

2 2

1 l 1 3·2 1 1

P(2 meninas)

C;

2 2 2142

6 3

P(2 meninas) 16 8

b) nascerem pelo menos 2 meninos.

P(pelo menos 2 meninos) P(2 meninos e 1 menina) j

t P(3 meninos)

2 P(pelo menos 2meninos,) C~. 1

2 1 1

t

2 3

C3 1 1

+ 3'

2 2

P(pelo menos 2 meninos) 3:2.1 ~+1.1 1

2 1 4 2 8

6 1 3 1 4 1

t

16 8 8 8 8 2

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