UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA (Mestrado)

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

(Mestrado)

ANDRÉ LUIZ MARQUES

ESPAÇOS UNIFORMIZÁVEIS: TEORIA, EQUIVALÊNCIAS E

ATUALIZAÇÃO.

Maringá - PR 2016

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ESPAÇOS UNIFORMIZÁVEIS: TEORIA, EQUIVALÊNCIAS E

ATUALIZAÇÃO.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Uni-versidade Estadual de Maringá, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Área de concentração: Geometria e Topologia. Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza.

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)

Marques, André Luiz

M357e Espaços uniformizáveis : teoria, equivalências e atualização / André Luiz Marques. -- Maringá, 2016. 143 f. : il. figs.

Orientador: Profº. Drº. Josiney Alves de Souza. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de

Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2016.

1. Topologia dos espaços. 2. Espaço uniforme. 2. Espaço uniformizável. 3. Espaço admissível. 4. Espaço pseudometrizável. 5. Grupos topológicos. 6. Espaço admissível. 7. Topological spaces.

Uniformizable space. 8. Admissible space. I. Souza, Josiney Alves de, orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Geometria e Topologia. III. Título.

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Este trabalho apresenta um estudo geral sobre espaços uniformes motivado pela recente comprovação da equivalência entre os espaços admissíveis e os uniformizá-veis. Abordaremos puramente a teoria sobre uniformidades desenvolvendo os aspectos teóricos mais relevantes, discutindo propriedades topológicas envolvidas e apresentando equivalências entre as diferentes formas de defini-las. Também, teremos a oportunidade de tratar desses conceitos juntamente com a teoria de grupos topológicos, a qual assim como o caso pseudometrizável, possui papel fundamental desde o início das discussões. Por fim, faremos esclarecimentos sobre a teoria de espaços admissíveis junto aos espaços uniformizáveis sob uma nova caracterização desses espaços, mostrando mais uma vez o quanto suas estruturas coincidentemente combinam.

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This work presents a general study on uniform spaces motivated by recent confirmation of equivalence between the admissible and the uniformizable spaces. We will approach purely theory about uniformities by developing the theoretical aspects more re-levant, discussing topological properties involved and presenting equivalences between the different ways to set them. Also, we will have the opportunity to deal with these concepts together with the theory of topological groups, which as well as the pseudometrizable case have a fundamental role since the beginning of discussions. Finally, we will do clarifica-tions about the theory of admissible spaces together with uniformizable spaces under a new characterization of these spaces, by showing once again how much their structures coincidentally combine.

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Sumário

Introdução 1

0 Preliminares 6

1 Sistema de Vizinhanças . . . 7

2 Redes . . . 13

3 Filtros . . . 18

1 Motivações 25 4 Grupos Topológicos: fundamentação . . . 26

4.1 Definições e exemplos . . . 26

4.2 Vizinhanças da identidade . . . 32

5 Espaços Pseudometrizáveis . . . 40

5.1 Pseudometrização por Aline Huke Frink . . . 42

2 Espaços Uniformes: teoria e suas equivalências 46 6 Uniformidade Diagonal . . . 46

6.1 Exemplos . . . 53

6.2 Topologia Uniforme . . . 58

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7 Coberturas Uniformes . . . 78

8 Uniformidade de Calibre . . . 91

9 Sistema Uniforme de Vizinhanças . . . 101

3 Espaços Uniformizáveis: admissibilidade e conceitos adicionais 105 10 Espaços Admissíveis . . . 105

11 Grupos Topológicos: Uniformidades e Admissibilidade . . . 113

12 Caracterização Topológica . . . 121

13 Uniformidade fina . . . 124

14 Completude . . . 130

Conclusão 140

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Introdução

A

teoria de espaços uniformes foi criada em 1937 pelo matemático francês André Weil, em seu memorável artigo [23]. Segundo Weil, o fato de que para tratar de um espaço topológico metrizável fosse necessário supor o 2o axioma de enumerabilidade (devido a Alexandroff e Urysohn) parecia ser muito restritivo em um contexto topológico geral. Assim, se propôs a criar um ambiente onde essa exigência não fosse preciso mas que ainda tivesse disponível uma estrutura comportando-se como a métrica, topologicamente falando. Pesquisando sobre como poderia fazer para substituir a referida métrica, Weil voltou sua atenção para osgrupos topológicos, isto porque ali, segundo ele, existiam muitas propriedades parecidas com as existentes em espaços métricos.

Nesse caso, ele visou uma classe de espaços que fosse mais geral do que ambas as classes deespaços metrizáveis egrupos topológicos e ao mesmo tempo menos geral do que a deespaços topológicos, mais que isso, ele gostaria que a noção de continuidade uniforme, do jeito como ocorre em espaços métricos, também fosse possível de ser definida nessa nova classe (este é o motivo pelo qual ficou assim nomeada). Na sua busca, ele percebeu que as propriedades mais importantes nestes espaços podiam ser captadas através dos seus respectivos sistemas de vizinhanças locais, sendo assim precisou criar algum tipo de sistema local que tivesse, de forma mais geral, essas mesmas informações.

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no famoso grupo com pseudônimo Bourbaki no qual Weil fora um dos fundadores). No final de seu artigo, Weil propõe uma maneira de discutir alguns aspectos de uniformidades através decoberturas, mas não chega ao ponto de formalizar uma nova linguagem para seus espaços uniformes. O responsável por entender essa nova linguagem e formalizar toda a teoria por este ponto de vista foi o matemático e estatístico estadu-nidense John Wilder Tukey, o qual em seu trabalho [22] de 1940 cria notações para os chamados refinamentos estrela e refinamentos baricêntricos para que conseguisse desen-volver a teoria através de “cálculo” com estes refinamentos, uma abordagem realmente diferente do que vinha sendo feito.

Assim, ficaram conhecidas as quatro principais formas para tratar de espaços uniformes e como veremos definidos de formas bastante diferentes. Deste modo, é preciso ter a mente aberta quando falamos destes espaços e sempre certificar-se de qual linguagem está sendo empregada. Neste trabalho justificaremos que espaços uniformes definidos por cada uma destas formas estão em uma correspondência biunívoca e, portanto, será equivalente tratar com qualquer uma delas.

Cada uma dessas noções tem suas próprias vantagens. Nesta dissertação po-deremos verificar que o tratamento por uniformidades diagonais vai permitir ver expli-citamente como espaços uniformes generalizam os grupos topológicos. A abordagem via sistema uniforme de vizinhanças possibilita enxergar diretamente a diferença perante os espaços topológicos. Estudar auniformidade de calibre conduz à percepção de quanto mais geral estamos falando perante ao caso métrico. Por fim, a uniformidade por coberturas é a que simplesmente motivou todo esse trabalho, vamos explicar um pouco melhor esta última abordagem.

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tratando. Isso foi pesquisado posteriormente por Souza, o qual percebeu a existência de alguma relação entre a classe de espaços topológicos admissíveis e os espaços uniformizá-veis (via coberturas) uma vez que as definições de ambos possuem, como característica comum, propriedades de refinamentos e coberturas. Neste caso, Souza em seu artigo [20] começou a formalizar estas discussões e posteriormente no Artigo [2] foi comprovada a igualdade dessas classes.

Aqui nesta dissertação, especificamente no último capítulo, também vamos mostrar esta igualdade, mas agora com uma demonstração ainda mais sucinta e indepen-dente da mencionada. Isso foi possível primeiramente pela investigação das equivalências entre uniformidades via diagonal e coberturas, mas também pelo fato de termos conse-guido neste trabalho redefinir os espaços admissíveis com uma axiomatização mais simples do que o proposto até então.

Dito isto, vejamos como este trabalho está organizado. Nas preliminares fi-xaremos algumas notações e exploraremos conceitos fundamentais envolvendo espaços topológicos e convergência. Especificamente trataremos dos conceitos de redes e filtros, os quais são comprovadamente imprescindíveis ao avançar os estudos com topologia pura. Uma primeira percepção disto poderia ser vista no estudo sobre o importante conceito de ultrafiltro. Tal ferramenta permite, por exemplo, dar uma demonstração sucinta, e.g. Kelley, do Teorema Tychonoff sobre produtos de compactos (Ver Willard [24], Teorema 17.8, pg. 120. Para outras aplicações ver a Tese [16]). No contexto de uniformidades a linguagem de filtros mostra-se bastante conveniente e o noção de completude (uniforme) necessita fortemente do tratamento via redes (ou equivalentemente via filtros).

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uni-formes e admissíveis inerentes a qualquer grupo topológico. A outra importante classe propulsora dessa generalização é a dos pseudométricos. Tais espaços também possuem uma vasta lista de propriedades e resultados extremamente importantes, porém não nos aprofundaremos sobre eles visando não nos prolongarmos demais para concluir os obje-tivos desse trabalho. No entanto, sua importância nessa teoria ficará bastante visível, principalmente na seção dedicada ao resultado de Frink e suas aplicações no decorrer do trabalho.

Prosseguindo, entramos na parte mais estrutural desta dissertação. No Capí-tulo 2 será desenvolvido o conceito de cada uma das uniformidades citadas. Por simples preferência do autor deste trabalho o conceito primordial de espaço uniforme será tratado via diagonal, mas depois de comprovadas as equivalências entre essas estruturas ficará claro que poderíamos ter desenvolvido a teoria com qualquer uma dessas linguagens. Isto é a principal motivação ao se propor a demonstrar tais equivalências, além é claro de conseguir agregar mais de uma maneira para abordar problemas envolvendo a pesquisa sobre estes espaços.

O Capítulo 3 encerra o nosso texto apresentando diversos conceitos envolvendo aspectos topológicos e uniformes. Nesta parte, será o momento mais oportuno para tratar sobre os já mencionados espaços admissíveis. Sobre este conceito será apresentado o histórico de seu desenvolvimento culminando na nova, e mais simples, definição para esta classe. Prosseguindo, será extremamente pertinente discutir aspectos de admissibilidade e de uniformidades em grupos topológicos, de forma a deixar claro como funcionam bem os métodos de passar de uma estrutura para outra via os procedimentos construídos no Capítulo 2 (especificamente envolvendo diagonal e coberturas). Aqui, o trabalho de Roelcke e Dierolf [15] fornecerá maneiras interessantes de construir famílias admissíveis em grupos topológicos.

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Cap´ıtulo

0

PRELIMINARES

Neste capítulo vamos explorar conteúdos topológicos que servirão como base por todo o trabalho, tais como sistema de vizinhanças e convergência topológica (redes e filtros). Tais conteúdos são úteis para muitos outros tipos de discussão em topologia, por isso abranger detalhadamente seus aspectos obtendo uma maior familiaridade e prática com esses conceitos é importante para a pesquisa em matemática pura.

Segundo Willard [24], adotaremos as seguintes notações dos axiomas de sepa-ração em um espaço topológico,

• T0: Dados dois pontos distintos, existe uma vizinhança de um desses pontos não

contendo o outro;

• T1: Dados x6=y, existem vizinhanças U de x eV de y tais que y /∈U e x /∈V;

• T2 (Espaço de Hausdorff): separa dois pontos distintos por vizinhanças disjuntas;

• T3: Espaço T1 e também regular (separa ponto fora de fechado por abertos

disjun-tos);

• T31

2 (EspaçoTychonoff): EspaçoT1 e tambémcompletamente regular (separa ponto

fora de fechado por uma função contínua);

• T4: EspaçoT1 e também normal (separa fechados disjuntos por abertos disjuntos);

Entendendo as notações acima como classes de espaços satisfazendo esses axiomas, é possível provar que T0 ⊃T1 ⊃T2 ⊃T3 ⊃T31

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O conjuntoX, quando não mencionado o contrário, será sempre um conjunto

não vazio. Alertamos desde já que muitas demonstrações desse capítulo serão apenas referenciadas, principalmente as mais elementares, assim teremos uma maior fluidez em nossas discussões e poderemos avançar mais rapidamente aos objetivos mais importantes.

1

Sistema de Vizinhanças

De forma geral, existem diversas formas, equivalentes entre si, para descrever um espaço topológico, algumas delas fazendo uso de conceitos como: base (sub-base) de topologia, sistema de vizinhanças em pontos, operador fecho de Kuratowski, interior e fronteira (Para detalhes sobre essas definições e suas equivalências é recomendado a leitura de Willard [24], Cap. 2, Seção 3, pg. 23). Aqui atenção especial daremos ao procedimento por sistema de vizinhanças, pois esse conceito tem uma relação direta com uniformidades; logo um entendimento claro de seus aspectos é de extrema importância.

A nossa definição geral de topologia em um conjunto será, como apresentada em qualquer curso básico de tal disciplina, a coleção contendo o espaço todo e o vazio que é fechada para interseções finitas e uniões arbitrárias. Mas é verdade que a primeira e histórica formalização de espaço topológico, realizado por Felix Hausdorff em 1914, não foi dessa forma. Em vez disso ele seguiu como princípio o uso dos axiomas envolvendo sis-temas de vizinhanças que veremos nesta seção. Isto por si já é motivação para impulsionar o estudo desse objeto.

Nesta seção optamos por definir alguns conceitos de maneira ligeiramente di-ferente do apresentado em Willard [24], porém as demonstrações referenciadas em cada resultado se aplicam inteiramente aos respectivos enunciados.

Definição 1.1. Dizemos que em um conjuntoX está definido umsistema de vizinhan-ças1 U

(.) para significar que todos os pontos x∈ X estão simultaneamente associados a

uma respectiva família Ux de subconjuntos de X de modo que sejam válidas as seguintes

propriedades:

1

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(V1) Para todo U ∈Ux, ocorre que xU;

(V2) Para quaisquer U e V em Ux, ocorre que U V Ux;

(V3) Se V ⊃U e U ∈Ux, então V Ux;

(V4) Para todoU ∈Ux, existe V Ux, tal que para qualqueryV, ocorre que U Uy.

No caso anterior, para todo x ∈ X, vamos chamar a família Ux de sistema

de vizinhanças em x (ou no ponto x). É interessante observar que as três primeiras

propriedades são intrínsecas ao próprio sistema num ponto fixado, enquanto a última exige realmente que tenhamos definido um sistema simultaneamente em todos os pontos do conjunto. Adiantamos, desde já, que a inspiração para filtros será totalmente baseada nessas três primeiras propriedades.

Lembrando que em um espaço topológicoX, vizinhança de um ponto x é um

conjunto2 U X contendo o pontoxem seu interior, ou seja, xU, pode-se mostrar o

teorema seguinte:

Teorema 1.2. Se em um espaço topológico (X, τ)colocamos Ux como a família de todas

as vizinhanças de x, então fica definido um sistema de vizinhanças U(.) para o conjunto

X.

Demonstração. Ver Willard [24], Teorema 4.2, pg. 31.

Neste trabalho adotaremos o seguinte costume: se estamos tratando de um espaço topológico (X, τ) já bem definido, então o sistema de vizinhanças U(.) para o

espaçoXserá reconhecido apenas como aquele definido pelo teorema anterior (poderíamos

chamar ele de sistema (de vizinhanças) da topologia). Deste modo temos a conveniência de ser levada em consideração a topologiaτ do conjunto X para que assim o sistema faça

jus ao nome vizinhança o qual carrega.

Mas se ainda não está definida uma topologia num conjunto o qual está com um sistema de vizinhançasU(.), então a palavra vizinhança não correrá risco de ser vaga

no sentido topológico, uma vez que poderemos adotar uma topologia para este conjunto

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de modo que o sistema U(.) seja exatamente o sistema dessa topologia.

Comprovare-mos isso no próximo teorema (sugerido por Willard [24], Exercício 4E, pg. 36), o qual demonstraremos em vista de sua utilidade em discussões futuras.

Teorema 1.3. Supondo que temos definido no conjunto X um sistema U(.), então

con-seguimos colocar uma topologia τ em X da seguinte forma:

τ ={A ⊂X; (∀ a∈A)(∃ Ua∈Ua)Ua⊂A}.

Mais que isso, esta é a única topologia capaz de fazer com que Ux seja exatamente a

família de vizinhanças do pontox (poderíamos chamá-la de topologia do sistema).

Demonstração. Mostremos que τ é uma topologia para o conjunto X. De fato, temos ∅ ∈ τ por vacuidade e X ∈ τ pois, para qualquer x ∈ X e qualquer (em particular,

algum) Ux ∈ Ux satisfaz Ux ⊂ X. Dados A, B ∈ τ segue por (V2) que A∩ B ∈ τ

e, portanto, um argumento indutivo garante que τ é fechada para interseções finitas.

Prosseguindo, dada qualquer subfamília{Aλ; λ ∈Λ} ⊂ τ, então para cada x∈

S

λ∈ΛAλ

temos quex∈Aλx para algumλx ∈Λ. ComoAλx ∈τ, segue que existeUx∈Uxde forma

que Ux ⊂ Aλx ⊂ S

λ∈ΛAλ, portanto τ também é fechada para a união arbitrária de seus

elementos, como desejado. Continuando, mostremos que a família de vizinhanças coincide com o sistema. Para isso denote para cada x ∈ X a família de todas as vizinhanças de xpelo conjunto Vx. Antes de prosseguirmos vamos precisar caracterizar o interior de um

conjunto nesta topologia.

Afirmamos que dadoU ⊂X e denotandoA ={y∈X; (∃ Uy ∈Uy)Uy ⊂U},

então U◦ = A. Com efeito, mostremos primeiramente que U A. É verdade que se

z∈U◦, entãoUU

z (de fato, pela construção desta topologia, sez ∈U◦ ∈τ, então deve

existirUz ∈Uz com Uz ⊂U◦, assim a propriedade (V3) garanteU◦ ∈Uz). Como sempre

vale U◦ U, teremos U A. Reciprocamente, precisamos de A U. Sabemos que

interior de um conjunto pode ser entendido como o maior (por inclusão) aberto contido no referido conjunto. Com isso em mente, veja que por (V1) e pela construção de A, já

temos A⊂U. Assim, basta mostrarmos que A∈ τ. De fato, ao considerarmos qualquer a∈ A, temos pela construção de A que existe Ua ∈ Ua com Ua ⊂U. Por (V4) podemos

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Ua ⊂ U, temos imediatamente que Va ⊂ A. Assim, mostramos que para todo a ∈ A

existeVa ∈Ua com Va⊂A, por isso A é aberto, como desejávamos.

Agora sim, mostraremos que Ux = Vx seja qual for o x X. Se V Vx,

então x ∈ V◦ e como já mostramos V U

x, segue pela propriedade (V3) que V ∈ Ux.

Reciprocamente, se U ∈Ux, então para mostrar queU Vx é suficiente concluirmos que

x ∈ U◦. Sabemos que U= A e temos também que x A pelo fato de U U

x. Deste

modo x∈U◦, como desejado.

Vejamos que essa é a única topologia com essa propriedade. Suponha que τ′

também tenha a sua família de vizinhanças coincidindo com o sistema. Se U ∈τ, então,

por construção, para cada x ∈ U, existe Ux ∈ Ux, de modo que Ux ⊂ U. Como Ux é

umaτ′vizinhança de x(por hipótese), conseguimos (tomando interior medianteτ) um

aberto Vx ∈ τ′ com x ∈ Vx ⊂ Ux ⊂ U e disto U será igual a união de abertos de τ′.

Portanto, U ∈τ′. Reciprocamente, com V τ, teremos que V será uma τvizinhança

de cada um de seus pontos, ou seja, para cada x ∈ V vale que V ∈ Ux (por hipótese).

Deste modo segue queV ∈τ por construção.

Assim, fica claro que falar em um sistema de vizinhanças equivale a falar em uma topologia e vice versa, além dessa relação ser unívoca.

Considere a seguinte nomenclatura. DadasF1 e F2 famílias de subconjuntos

de um conjunto arbitrárioX, dizemos que F1 recupera F2 para significar que para todo

F2 ∈F2 existe algum F1 ∈F1 onde F1 ⊂F2. Nessa mesma situação, podemos também

dizer queF2 é recuperada porF1.

Prosseguimos com o conceito de base, cuja ideia será usada diversas vezes neste trabalho.

Definição 1.4. Seja um sistema U(.) para o conjunto X. Dizemos que B(.) é uma base

de vizinhanças (ou sistema básico de vizinhanças) para o sistema U(.) para significar que

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que recuperaUx por superconjuntos3, isto é, satisfaz a relação

Ux ={U X; ( V Bx) V U}.

Uma situação um pouco diferente da anterior é dizer, sem partir de um sistema propriamente dito, diretamente o que se entende por uma base, ou seja, dizemos que em

X está definido uma base de vizinhanças B(.) (veja que não partimos de sistema algum)

para significar que todo ponto x ∈ X está associado a uma coleção Bx de subconjuntos

deX tal que a família de superconjuntosUx ={U X; ( V Bx) V U} define um

sistema de vizinhanças U(.) em X.

Nessas condições, deixamos o alerta de que, para todox∈X, vamos designar

a família Bx por base de vizinhanças em x (ou no ponto x) e podemos falar que para

qualquerx∈X,Bx é base deUx. Também, no decorrer do texto podemos eventualmente

ser menos formais e designarmos Ux de sistema de vizinhanças ao invés de U(.), assim

comoBx de base de vizinhanças no lugar de B(.).

Se temos duas famílias contidas emP(X)onde uma recupera e é recuperada

pela outra, então dizemos que elas são equivalentes. Com isso podemos observar quando uma família é base comparando-a com outra conhecida.

Observação 1.5 (Base a partir de base). Se tivermos, para todo ponto x∈X,Bx uma

base de vizinhanças em x e qualquer outra subcoleção Ex P(X) equivalente a Bx,

então a famíliaEx também é uma base de vizinhanças emx. Para ver isso, basta observar

que essa equivalência garante que as famílias de superconjuntos deBx e Ex coincidem.

Para que consideremos o conceito de base sem mencionarmos o sistema asso-ciado, usaremos a seguinte caracterização:

Teorema 1.6. Vale que Bx é uma base de vizinhanças se, e somente se, valem as

se-guintes propriedades:

(B1) Para todo V ∈Bx, ocorre que xV;

(B2) Para quaisquer Vα e Vβ em Bx, existe Vγ ∈Bx, tal que Vγ ⊂Vα∩Vβ; 3

(21)

(B3) Para todo U ∈Bx, existe V Bx tal que para qualquer y V, existe W By tal

que W ⊂U.

Demonstração. Ver [24], Teorema 4.5, pg. 33.

Observação 1.7. Observe que em qualquer espaço topológico o sistema Ux admite uma

base naturalU◦

x ={U◦; U ∈Ux} de todos os abertoscontendo o ponto x.

Pensando da mesma forma que no Teorema1.3, podemos considerar a topolo-gia ideal para essa ocasião:

Teorema 1.8. Sendo que em X está definida uma base de vizinhanças B(.), então

pode-mos construir uma topologia τ para X fazendo

τ ={A⊂X; (∀ a∈A)(∃ Ba∈Ba) Ba ⊂A}.

Ainda mais, esta é a única topologia onde Bx é base para o seu sistema (formada pela

família de vizinhanças).

Demonstração. Basta considerar o sistemaUx associado aBx, notar que vale a igualdade

{A⊂ X; (∀ a ∈ A)(∃ Ba ∈Ba) Ba ⊂ A}={A ⊂X; (∀ a ∈A)(∃ Ua ∈ Ua)Ua ⊂ A} e

usar o Teorema1.3.

Observação 1.9. Caracterizações de conceitos como aberto, fechado, interior, fecho e fronteira em um espaço topológico (X, τ) através da linguagem de bases de vizinhanças podem ser encontradas em Willard [24]. Elas são bem naturais no contexto topológico, veja por exemplo a situação com o fecho: DadoXum espaço com uma base de vizinhanças

B(.), então para cada A X, ao considerar a topologia τ do sistema obtida no teorema

anterior, teremos A ={x∈X; (∀ Bx ∈Bx) Bx∩A6=∅}.

Por fim, temos uma forma de comparar diretamente sistemas (básicos) através de suas respectivas topologias e vice versa.

Proposição 1.10 (Critério de Hausdorff). Sejam (X, τα) e (X, τβ) espaços topológicos

sobre o mesmo conjunto, de modo que em cada x∈ X temos disponíveis B1

x e Bx2 bases

de vizinhanças em x com relação a τα e τβ respectivamente. Temos que τα ⊂ τβ se, e

somente se, B2

x recupera B1x. (Intuitivamente isto diz que bases com elementos

(22)

2

Redes

A primeira ideia de generalizar sequências foi desenvolvida em 1922 no trabalho do ma-temático estadunidense Eliakim Hastings Moore e seu aluno Herman Lyle Smith, mas ainda não exatamente com a notação e nomenclatura de redes usadas aqui neste traba-lho. Na verdade muitos matemáticos fizeram uso desses conceitos com nomes diversos, por exemplo Tukey em [22] com suas ditas phalanxs. A formalização como faremos aqui surge nos trabalhos do matemático Garrett Birkhoff em 1937 e o nome rede (do inglês net) é creditado a John Leroy Kelley em 1950.

Uma motivação para conceber o conceito de rede surgiu pelo fato de que sequências nem sempre conseguem caracterizações (de objetos como interior, fecho e conti-nuidade) em espaços topológicos arbitrários. Mais precisamente, temos garantido apenas que sequências conseguem descrever a topologia de um espaço enquanto este for primeiro enumerável. Deste modo pode acontecer que em algum espaço topológico mais geral nem todos os aspectos topológicos possam ser caracterizados por sequências, um exemplo disto é dado por Willard [24] (Exemplo 10.6, pg. 71), o qual repetimos rapidamente aqui,

Exemplo 2.1. Tome X =RR com a topologia fraca induzida pela família de projeções {πα}α∈R, onde πα(f) = f(α), para todo f ∈ RR e α ∈ R. Nesse caso, considerando um

conjunto finito F ⊂R e um ǫ >0, o conjunto dado por

U(f, F, ǫ) ={g ∈RR; |g(x)f(x)|< ǫ, xF}

será uma vizinhança básica def ∈RR (conforme Willard [24], Teorema 5.4, pg. 39). Vamos verificar que neste espaço nem sempre vale a caracterização sequencial de fecho. Para uma função qualquer f ∈ RR denote o conjunto nulo de f por Z

f := f−1({0}).

Agora considere o subconjunto deRR da forma

Z ={f ∈RR; #(Z

f)<∞ ∧ f(∁Zf) ={1}},

ou seja, o conjunto das funções constantes iguais a 1 exceto para uma quantidade finita de pontos (onde assume valor nulo). Aqui teremos que 0f (função identicamente nula)

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• 0f ∈Z : Pois, para quaisquerF ⊂Rfinito eǫ >0conseguimosg ∈U(0f, F, ǫ)∩Z,

bastando considerar g ∈Z de forma que Zg =F;

• ∄ fn → 0f, com {fn}n∈N ⊂ Z : De fato, suponha fn → fL (função limite), com

{fn}n∈N ⊂ Z. Denote U :=

[

n∈N

Zfn. Nesse caso, U é enumerável. Também vale

ZfL ⊂ U (para ver isso observe que x /∈ U implica fL(x) = 1 6= 0) e, por isso,

teremos ZfL sendo também enumerável. Ou seja, é impossível ocorrer fL≡0f uma

vez que R=Z0f não é enumerável.

No caso de redes esse problema, felizmente, não vai aparecer. Para mais deta-lhes de como redes, assim como filtros, caracterizam alguns dos principais conceitos em topologia basta conferir Willard [24], Capítulo 4, Seções 11 e 12.

Prosseguimos então para tratar do conceito, agora essencial, deredes. O cerne da ideia consiste em substituir o conjunto totalmente ordenadoNpor um mais geral, dito conjunto dirigido. Então começamos por relembrar alguns conceitos envolvendo relações de ordem.

Definições 2.2 (Sobre ordenação). Considere Λ um conjunto com uma relação binária

e λ, λ1, λ2 e λ3 em Λ para descrever as seguintes leis:

O-a) (reflexiva) (∀λ) λλ;

O-b) (transitiva) (∀λ1)(∀λ2)(∀λ3)(λ1 λ2 ∧ λ2 λ3 ⇒λ1 λ3);

O-c) (antissimétrica) (∀λ1)(∀λ2)(λ1 λ2 ∧ λ2 λ1 ⇒λ1 =λ2);

O-d) (comparabilidade) (∀λ1)(∀λ2)(λ1 λ2 ∨ λ2 λ1);

O-e) (orientação positiva) (∀λ1)(∀λ2)(∃λ3)(λ1 λ3 ∧ λ2 λ3) ;

• Quando satisfaz O-a) e O-b), falamos que é uma pré-ordeme, com isso, Λ é

pré-ordenado por ;

• Se é uma pré-ordem com orientação positiva O-e), dizemos que é umadireção

(24)

• Quandosatisfaz de O-a) até O-c), dizemos queé umaordem parcial e, assim,

Λ é parcialmente ordenado por ;

• Quando é uma ordem parcial que satisfaz a comparabilidade O-d), dizemos que

é uma ordem total e, assim, Λ é totalmente ordenado por ;

• Dado Λ dirigido por e M ⊂Λ, dizemos que M é cofinal em Λ significando que, para qualquer λ ∈Λ, conseguimos encontrar algum m∈M de modo que mλ.4

Exemplo 2.3. Perceba que todo conjuntoΛtotalmente ordenado é um conjuntodirigido pois a comparabilidade garante a orientação (note queNcom a ordem usual é um exemplo o qual tem utilização fundamental nas sequências). A recíproca não é verdadeira. Tome por exemplo, o conjunto das partes deR, P(R), ordenado pela inclusão.

Exemplo 2.4. É simples verificar que todo subconjunto cofinal de um conjunto dirigido, é dirigido, pela mesma relação (a menos de restrição).

Exemplo 2.5. Como um fácil exercício, pode-se verificar que quando1 dirige Λ1 e 2

dirigeΛ2, então o produtoΛ1×Λ2 é dirigido pordefinida coordenada-a-coordenada da

seguinte forma:

(λ1, λ2)(λ ′ 1, λ

2) se, e somente se, λ1 1 λ ′

1 e λ2 2 λ ′ 2 .

Definições 2.6. Sendo X um conjunto não vazio5 segue que:

(a) Uma rede em X é uma função,

R : Λ −→ X

λ 7−→ R(λ) := xλ ,

ondeΛ é um conjunto dirigido qualquer6. Podemos denotá-la por(x

λ)λ∈Λ ou

simples-mente (xλ) quando for conveniente;

(b) Dado um subconjunto Y ⊂X, dizemos que (xλ) é residual em Y para significar que

existe λ0 ∈ Λ tal que Cλ0 = {xλ}λλ0 ⊂ Y (podemos nos referir a Cλ0 como sendo

uma cauda de (xλ)); 4Como costume, é claro que

αβ significa apenasβα.

5

Não necessitamos de uma topologia ainda.

6

(25)

(c) Dizemos que (xλ) é cofinal em Y ⊂ X para significar que R−1(Y) é cofinal em Λ,

ou seja, para todo λ∈Λ, conseguimos algum m∈Λ com m λ e xm ∈Y;

Para prosseguir, agora sim, vamos precisar X como espaço topológico.

Definição 2.7. Dada uma rede (xλ) no espaço X, dizer que (xλ) converge para um

ponto x ∈ X equivale a (xλ) ser residual em cada vizinhança de x, ou seja, residual em

cada U ∈Ux. Resumimos isso escrevendo apenas xλ x.

Exemplo 2.8. Sejam X um espaço topológico, x ∈X e Bx uma base de vizinhanças7

emx. Ao considerar a relação em Bx definida comoU1 U2 se, e somente se,U2 U1

(inclusão reversa) vamos ter que se verificam os seguintes itens:

• dirige Bx: De fato, é claro que é uma pré-ordem. Ainda, tem orientação

positiva, pois dados U1, U2 ∈ Bx então existe U3 ∈ Bx tal que U3 ⊂ U1 ∩U2,

logo U1 U3, U2 U3 (pode-se pensar intuitivamente que essa direção significa

que quanto mais “perto” de xas vizinhanças se encontram, mais “adiante” a rede se

dirige). Com isso, ao tomar algum xU ∈ U, para todo U ∈ Bx, então (xU)U∈Bx é

rede em X;

• xU → x: Com efeito, dado U ∈ Ux, já que Bx é uma base para o sistema Ux,

temos que deve existir U0 ∈ Bx com U0 ⊂ U. Disto {xV}VU0 ⊂ U, pois V U0

implica xV ∈V ⊂U0 ⊂U.

Exemplo 2.9. Dado x no espaço topológico X, a rede constante em x, (x)λ∈Λ, satisfaz

claramente (x)λ∈Λ →x.

Enunciaremos alguns resultados úteis para o decorrer do texto.

Proposição 2.10. Seja X um espaço topológico qualquer e A⊂X. Vale que, x∈A se, e somente se, existe (xλ)λ∈Λ tal que {xλ}λ∈Λ ⊂A e xλ →x

Demonstração. Ver Willard [24], Teorema 11.7, pg. 75. 7Observe o caso particular em que temos a base trivialB

(26)

Proposição 2.11. Sendo X e Y espaços topológicos quaisquer, f :X →Y uma função e um ponto x∈X, então f é contínua em x se, e somente se, para toda rede (xλ) em X,

com xλ →x, ocorre que f(xλ)→f(x).

Demonstração. Ver Willard [24], Teorema 11.8, pg 75.

Agora uma definição que salienta a grande diferença e uma das principais vantagens de redes sobre sequências.

Definição 2.12. Uma sub-rede de R é uma composição R◦φ:M −→X

Λ R //X

M

φ

O

O

R◦φ

>

>

onde M é qualquer outro conjunto dirigido e φ : M −→ Λ é uma função que satisfaz as propriedades:

i) (crescente) Para todos µ1, µ2 ∈M com µ1 M µ2, ocorre φ(µ1)Λ φ(µ2);

ii) (cofinal) A imagemφ(M) é cofinal em Λ.

Denotaremos frequentemente o ponto R◦φ(µ) por xλµ e a sub-rede R◦φ por (xλµ)µ∈M

ou (xλµ).

Observação 2.13. Note que a palavra qualquer na definição acima justifica plenamente a afirmação de que sub-redes são de alguma forma muito mais ricas e versáteis do que subsequências. Por exemplo, enquanto subsequências se limitam a possuírem o domínio sempre em N, sub-redes, por sua vez, podem ter domínios com cardinalidade inclusive maior que a do domínio da rede inicial.

Proposição 2.14. Seja (xλ) uma rede no espaço topológico X com x∈X.

(xλ)→x se, e somente se, (xλµ)→x para toda sub-rede (xλµ) de (xλ).

Demonstração. Vejamos a necessidade. Tome qualquer sub-rede(xλµ) :=R◦φ:M −→X

de(xλ)e um arbitrárioU ∈Ux. Por hipótese temos que existe uma cauda{xλ}λλU ⊂U.

(27)

{xλ}λλU ⊂U, ou seja,(xλµ)é residual emU. Quanto a suficiência, basta observar que a

rede(xλ) := R é uma sub-rede dela mesma, por considerarφ:=IdΛ (função identidade),

onde é claroR◦φ=R.

Finalizamos por aqui essa seção. Passamos a tratar de outro conceito de ex-trema relevância quando se trata do estudo de convergência e, como feito até agora, de formas alternativas de descrever a topologia de um espaço topológico.

3

Filtros

A ideia da formalização deste conceito é creditada aos matemáticos Garret Birkhoff e Henri Paul Cartan os quais formalizaram isto na mesma época (1935-1937). Tal conceito, também surge para se discutir convergência em topologia, porém, diferentemente de redes, o ponto de vista fica estritamente ligado a subconjuntos e não a pontos, ou seja, é discutido quando uma família de conjuntos converge. Essa abordagem fornece várias vantagens (por exemplo ultrafiltros), além de às vezes ser mais conveniente em demonstrações topológicas lidar apenas com cálculos sobre conjuntos (como inclusões, interseções e uniões) como veremos nas definições e resultados desta seção.

Observe que a princípio não exigimos topologia para defini-lo.

Definição 3.1.UmfiltroF em um conjunto não vazioX é uma coleção∅ 6=F P(X)

que satisfaz:

i) Para todo F ∈F, ocorre que F 6=;

ii) Para quaisquer F e F′ em F, ocorre queF FF;

iii) Se S ⊃F e F ∈F, então S F.

Observação 3.2.

1) Perceba que a condição ii) da definição acima garante que um filtro F, por um

(28)

que a interseção de qualquer quantidade finita de elementos deF é diferente do vazio.

Isso nos remete a pensar imediatamente qual seria então sua relação com compacidade se estivéssemos num ambiente topológico, o que ficará mais claro depois de desenvol-vermos um pouco mais as ferramentas que os filtros fornecem (uma possível resposta pode ser conferida em Willard [24], Teorema 17.4);

2) Pela condição iii) um filtroF é fechado para uniões arbitrárias;

3) Como um filtro F em um conjunto X não pode ser vazio, a condição iii) também

garante que X∈F.

Como sempre, é conveniente ter uma noção de base aqui também, a qual deve lembrar bastante o caso de sistema de vizinhanças.

Definições 3.3. Seja X um conjunto.

• Uma coleção B com ∅ 6= B P(X) é dita uma base de filtro para o filtro F

para significar que

B F e F ={F X; (B B) F B}

(Com isso, é simples verificar que B satisfaz as condições i) e ii) abaixo).

• Uma coleção B onde ∅ 6= B P(X) é dita base de filtro para algum filtro para

expressar que valem:

i) Para todo B ∈B, ocorre que B 6=;

ii) Para quaisquer B1 e B2 em B, existe B3 ∈B tal que B3 ⊂B1∩B2.

Nesse caso, facilmente se verifica que a coleção F ={F X; (B B) F B}

(superconjuntos de B) é um filtro e contém B.

Observação 3.4. Se um filtro F tem uma base B, então B F e, portanto, \

F∈F

F ⊂ \

B∈B

B. Também, \

B∈B

B ⊂ \

F∈F

F, pois∁( \

F∈F

F) = [

F∈F

∁F ⊂ [

B∈B

∁B =∁(\

B∈B

B) já que para todo F ∈F, existe B B tal que B F. Isto nos permite dizer que

\

F∈F

F = \

B∈B

(29)

Observação 3.5. Dado um filtro F em um conjunto X de modo que para um

sub-conjunto A ⊂ X seja válido que A ∩ F 6= ∅, para todo F ∈ F, então a coleção B = {A F; F F} é uma base de filtro em X, cujo filtro G em X gerado por B é mais fino que F e, ainda, A G, como facilmente se verifica.

No decorrer do texto podemos dizer que F1 é filtro mais fino do que o filtro F2 para significar que F2 F1; nesse caso também poderíamos dizer que F2 é filtro

menos fino do que o filtroF1. Também falamos que F é um filtro livre significando que \

F∈F

F =∅e, no caso contrário, se \

F∈F

F 6=∅, dizemos que F é um filtro fixo.

Exemplo 3.6. Dado um subconjunto A, ∅ 6= A ⊂ X, então a família F(A) = {F

X; F ⊃A} é um filtro. Nos referimos a este como o filtro gerado por A.

Em geral interseção arbitrária de filtros é ainda um filtro8, mas no caso de

filtros gerados por um conjunto temos condições de dizer um pouco mais.

Proposição 3.7. Dados A e B subconjuntos não vazios de X vale que F(A)F(B) = F(AB).

Demonstração. Se F ∈ F(A)F(B) então A F e B F, logo AB F. Disto

F ∈ F(AB). Reciprocamente, de forma mais geral que nosso caso, vale que se U

V ambos não vazios em X então, reversamente, F(V) F(U). Assim, é claro que F(AB)F(A) e F(AB)F(B), portantoF(AB)F(A)F(B).

Definição 3.8. Dados X e Y conjuntos não vazios quaisquer, f :X −→Y uma função e

F um filtro em X, a coleção B ={f(F); F F} é uma base de filtro (como facilmente

se verifica) gerando um filtro f(F) em Y, o qual chamaremos de filtro imagem de F

pela funçãof.

Para prosseguirmos, considere X como um espaço topológico.

8

(30)

Exemplos 3.9.

a) Dado um subconjunto A com ∅ 6=A ⊂X, então a família F◦(A) ={F X; F

A} é um filtro. Referenciamos F◦(A) comofiltro de vizinhanças de A. Observe que

o caso particular onde A ={x} implica que F◦({x}) =U

x. Também note que este

tipo de filtro é um exemplo de filtro fixo;

b) Seja B = {(α,); α R}. Observe que α, β R temos que (α,) 6= e

∃ γ = m´ax{α, β}+ǫ (qualquer ǫ >0) satisfazendo (γ,∞) ⊂ (α,∞)∩(β,∞). Isto

nos diz que B é uma base para um filtro F de R, que é um exemplo de filtro livre

pela Observação3.4.

É indispensável tratar do conceito de convergência mediante filtros.

Definição 3.10. Em um espaço topológico X dizemos que um filtro F converge para

um ponto x ∈ X para significar que o filtro F é mais fino do que Ux. Resumimos isso

escrevendo F x. Nesse caso x pode ser referido como limite de F.

Também, dizemos que uma base de filtro B converge para x para significar

que, para todoU ∈Ux, existe algumB Bx de modo queB U (Isto equivale a afirmar

que o filtro gerado porB converge para x).

A seguir, assim como em redes, enunciaremos alguns resultados úteis para as nossas discussões. As demonstrações indicadas são extremamente simples de serem verificadas.

Proposição 3.11. Seja X um espaço topológico qualquer e A⊂ X. Vale que x∈ A se, e somente se, existe um filtro F em X com AF x.

Demonstração. Ver Willard [24], Teorema 12.6, pg. 79.

Proposição 3.12. Sendo X e Y espaços topológicos com f : X → Y uma função. Vale quef é contínua em x se, e somente se, F x em X implicaf(F)f(x) em Y.

(31)

Proposição 3.13. Sejam {Xλ}λ∈Λ uma família de espaços topológicos e X = Qλ∈ΛXλ

o espaço produto9. Então valem os seguintes itens:

(a) Se F xX, então para todo λΛ ocorre πλ(F)πλ(x);

(b) Se temos que para todo λ ∈ Λ valem as convergências πλ(F) → xλ ∈ Xλ, então ao

definir x de forma que para todo λ∈Λ ocorra πλ(x) =xλ teremos F →x.

Demonstração. O primeiro item é consequência imediata do fato de que todaπλ é contínua

(basta usar a Proposição 3.12). Quanto ao segundo, tome U ∈Ux uma vizinhança de x

definido como x(λ) = xλ. Nesse caso, pela definição desta topologia fraca, existe n ∈ N

tal que para cada i∈ {1,· · · , n}, existem Ui ∈ Uxλi e uma subcoleção {λ1,· · · , λn} ⊂ Λ

tais queU ⊃

n

\

i=1

πλi1(Ui). Precisamos mostrar queU ∈F. Para isso, basta que tenhamos

π−λi1(Ui)∈F, para todo i∈ {1,· · · , n}, pois na Observação 3.2 já observamos que filtros

são fechados para interseções finitas. Assim, é suficiente comprovarmos de forma mais geral que para todo λ ∈ Λ ocorre que se V ∈ Ux

λ, então π

−1

λ (V) ∈ F. Então vamos

verificar essa propriedade. De fato, dado qualquer λ ∈Λ, pelas hipóteses que possuímos

podemos dizer que V ∈Ux

λ ⊂πλ(F); disto segue que existe F ∈F tal que πλ(F)⊂V.

Agora, note queF ⊂πλ−1(πλ(F))⊂π−λ1(V) e por isso π

−1

λ (V)∈F.

É possível caracterizarmos os espaços de Hausdorff com essa ferramenta.

Proposição 3.14. Um espaço topológico X é de Hausdorff se, e somente se, todo filtro convergente possui único limite.

Demonstração. Procedemos sempre por contrapositiva. Suponha que tenhamos um filtro

F convergindo para os pontos x e y com x 6=y. Nesse caso Ux F e Uy F. Já que F é filtro, teremos que para quaisquer abertos U Ux e V Uy sempre deve ocorrer

U ∩V 6=∅, assim X não pode ser de Hausdorff. Reciprocamente, supondo que X não é

um espaço de Hausdorff, podemos dizer que sejam quais foremU ∈Ux e V Uy sempre

ocorrerá U ∩V 6= ∅. Nesse caso a família F = {U V; U Ux e V Uy} será uma

base de filtro. Já queX ∈ Ux Uy, teremos que todo U Ux é da forma U X F, 9

(32)

assim como todo V ∈ Uy é escrito como XV F. Disto segue que UxUy F e,

portanto, F possui limites distintos x ey.

Redes Vs. Filtros

É verdade que desenvolver a teoria usando redes ou filtros resultam nas mesmas con-clusões. Isto pode ser formalizado pelas definições que seguem, as quais dizem como é possível associar uma rede a um filtro e vice versa.

Definições 3.15. Seja X um conjunto não vazio.

(1) Dada (xλ)λ∈Λ uma rede emX, então a “família de caudas” B ={Cλ; λ∈λ} é uma

base de filtro (facilmente se verifica). O filtro F gerado por essa base é dito filtro

gerado pela rede (xλ).

(2) Dado um filtro F em X, então o conjunto ΛF = {(x, F); x ∈ F ∈ F} pode ser

dirigido pela relação (x1, F1) (x2, F2) se, e somente se, F2 ⊂ F1 (também de fácil

verificação). Nesse caso, conseguimos uma rede da forma

RF : ΛF −→ X

(x, F) 7−→ x .

Esta rede é referida como rede baseada em F.

Para comprovar a funcionalidade dessas “translações” temos o seguinte: Teorema 3.16. Seja X um espaço topológico.

(1) Um filtro F converge para x X se, e somente se, a rede baseada em F converge

para x∈X;

(2) Uma rede(xλ)converge parax∈X se, e somente se, o filtro gerado por(xλ)converge

para x∈X.

Demonstração. Vejamos a necessidade do primeiro item. De fato, dada uma vizinhança

(33)

y∈U e terá que para todo (x, F)(y, U)ocorre RF(x, F) =x∈ F ⊂U. Assim a rede

baseada emF é residual emU. Portanto tal rede converge paraxX. Reciprocamente,

dado U ∈ Ux, temos que RF é residual em U, ou seja, existe um índice (x0, F0) ΛF

de forma que para todo (x, F)(x0, F0)ocorre x=RF(x, F)∈ U. Em particular, para

todo x ∈ F0 ocorre (x, F0) (x0, F0) e, assim, x ∈ U, ou seja, F0 ⊂ U e disto U ∈ F.

Portanto, Ux F, como queríamos.

Agora vamos comprovar a necessidade do segundo item. Dado U ∈ Ux, já

que a rede(xλ) converge parax, segue que existe um caudaCλ0 inteiramente contida em

U. Mas as caudas desta rede são os elementos básicos do filtro gerado pela rede, então

tal filtro contém U. Assim temos o desejado. Para a suficiência, veja que por hipótese

temos o sistema Ux contido no filtro gerado por (xλ). Como este filtro possui como base

as caudas de(xλ), devemos ter para cada U ∈Ux alguma cauda CλU contida em U. Isto

diz que (xλ)−→x .

Usando os Teoremas 17.4 e 11.5 realizados em Willard [24] (e tendo em mente esses procedimentos de translação entre redes e filtros) demonstra-se o resultado caracte-rizando (de forma familiar ao caso métrico) a compacidade.

Teorema 3.17. Um espaço topológico X é compacto se, e somente se, toda rede em X

(34)

Cap´ıtulo

1

MOTIVAÇÕES

Neste capítulo vamos propiciar um contato com as duas classes de espaços topológicos as quais Weil se propôs a generalizar. Com relação a seção de grupos topológicos, além da apresentação dessa classe, o objetivo será mostrar como funcionam os fundamentos de sua teoria. Vamos observar que o seu desenvolvimento é realizado com argumentos usando propriedades algébricas (do grupo associado) e topológicas (das continuidades envolvidas) de forma simultânea. Isso servirá como uma preparação para o tratamento de espaços uniformes via diagonal, uma vez que lá a ideia é essencialmente a mesma, ou seja, são listadas propriedades algébricas (envolvendo a composição e a inversão de relações binárias) e propriedades da uniformidade para que a teoria seja desenvolvida sempre com a junção delas.

(35)

4

Grupos Topológicos: fundamentação

Depois do grande avanço na pesquisa sobre os chamados grupos de Lie (os quais são estudados sob o ponto de vista diferenciável), uma grande quantidade de pesquisadores deram atenção ao estudo, mais geral, de grupos abstratos sob o ponto de vista topológico (inclusive David Hilbert no quinto de sua famosa lista de problemas), dando assim impulso ao desenvolvimento da teoria dos chamados grupos topológicos.

Tal conceito carrega a importância de seu estudo no próprio nome, uma vez que este é um dos momentos em que se torna explícito o quanto uma teoria matemática fica bela quando há uma interseção direta de áreas como, neste caso, Álgebra e Topologia. No que segue, apresentaremos apenas exemplos e algumas propriedades topológicas básicas desses tipos de espaços.

4.1 Definições e exemplos

Aqui daremos a definição de grupos topológicos, apresentaremos algumas consequências e vamos expor também exemplos. É importante dizer que todos os exemplos apresentados aqui serão também exemplos de espaços uniformes, assim como de espaços admissíveis, depois que tivermos demonstrado que é possível munir qualquer grupo topológico com tais estruturas.

Se não mencionado o contrário, consideraremos G sendo um conjunto não

vazio, (G, p) um grupo com a operação “produto”

p: G×G −→ G

(g, h) 7−→ p(g, h) = gh

e associada a este produto, a aplicação de inversão

i: G −→ G g 7−→ i(g) =g−1 ,

assim como um elemento identidade e∈G.

(36)

Observação 4.2. Com (G, p) sendo um grupo podemos considerar também a aplicação

q : G×G −→ G

(g, h) 7−→ p(g, i(h)) = gh−1 .

Ou seja,q =p◦r onde

r=Id×i: G×G −→ G×G

(g, h) 7−→ (g, i(h)) .

Nesse caso, dizer que(G, p, τ) é um grupo topológico equivale à aplicação q ser contínua

na topologiaτ. Claro, se peisão contínuas a aplicação qtambém será. Reciprocamente,

com a aplicação q sendo contínua segue que i = q|{e}×G é contínua; disto r = Id×i é

contínua. Note que r=r−1 e assim p=qr−1 =qr também é contínua.

Definição 4.3. Em um grupo (G, p), dado um elementog ∈G podemos definir:

• Translação à esquerda

Eg : G −→ G

h 7−→ gh ;

• Translação à direita

Dg : G −→ G

h 7−→ hg ;

• Conjugação

Cg : G −→ G

h 7−→ ghg−1 .

Observação 4.4. No grupo (G, p) as funções acima são bijeções, pois (Eg)−1 =Eg−1 ;

(Dg)−1 =Dg−1 ;

(Cg)−1 =Cg−1 .

No grupo topológico(G, p, τ)conseguimos estas aplicações sendo homeomorfismos. Basta considerar as aplicações contínuas,

βg : G −→ G×G e αg : G −→ G×G

h 7−→ (h, g) h 7−→ (g, h) e observar que

Eg =p◦αg ;

Dg =p◦βg ;

(37)

Também, no grupo (G, p) a inversão i é uma bijeção, pois i = i−1. Portanto, no grupo

topológico (G, p, τ)segue também que i é um homeomorfismo.

Observação 4.5. Para quaisquerg e h em um grupo (G, p) valem também as fórmulas

Eg◦Dh =Dh◦Eg ;

Dg◦i=i◦Eg−1 ;

Eg◦i=i◦Dg−1 .

Agora daremos uma série de exemplos de modo que se forem consideradas combinações destes itens conseguimos uma classe consideravelmente grande de exemplos.

Exemplos 4.6.

1. Dado qualquer grupo(G, p), então(G, p, τd)é um grupo topológico seτdé a topologia

discreta;

2. (R,+, τ) com a soma e a topologia usuais em Ré um grupo topológico;

3. (R\{0}, ·, τ)com topologia e produto usuais emRtambém é um grupo topológico; 4. Considere o grupo de matrizes Mn×n(R) com a topologia euclideana τe obtida pela

identificação Mn×n(R) :=Rn

2

. Os subgrupos lineares e ortogonais deMn×n(R)com

a topologia induzida serão também espaços topológicos e, assim, com a operação de produto nesses subgrupos (lembre-se que o produto no espaço inteiro de matrizes não resulta em grupo, mas nos lineares e ortogonais sim), conseguimos alguns exemplos fundamentais de grupos topológicos:

Gl(n,R) ={M ∈Mn×n(R); det(M)6= 0},

Sl(n,R) = {M ∈Gl(n,R); det(M) = 1},

O(n) ={M ∈Gl(n,R); M Mt=I

n=MtM} e

SO(n) = Sl(n,R)∩O(n);

5. E de forma análoga, ao considerar a topologia euclideana em Mn×n(C) := Cn

2

(38)

novamente com o produto de matrizes temos os exemplos análogos aos anteriores:

Gl(n,C) ={M ∈Mn×n(C); det(M)6= 0},

Sl(n,C) = {M ∈Gl(n,C); det(M) = 1},

U(n) ={M ∈Gl(n,C); M Mt=I

n=MtM} e

SU(n) = Sl(n,C)∩U(n);

6. Seja (X, τ) um espaço topológico e (G, p, τ′) um grupo topológico. O conjunto

C(X, G) ={f : X −→G; f é contínua} possui estrutura de grupo com o produto

de funções

pC : C(X, G)×C(X, G) −→ C(X, G)

(f, g) 7−→ pC(f, g) : G −→ G

x 7−→ p(f(x), g(x)) e, consequentemente, com a inversão dada por

iC : C(X, G) −→ C(X, G)

f 7−→ iC(f) : G −→ G

x 7−→ i(f(x)) inversão em G.

O conjuntoC(X, G)também possui estrutura de espaço topológico com a topologia

do compacto-aberto τc, a qual possui como sub-base a família de todos os

conjun-tos da forma CK,U onde K ⊂ X é compacto, U ⊂ G é aberto e CK,U = {f ∈

C(X, G); f(K)U}.

Afirmamos que, deste modo, (C(X, G), pC, τc)será um grupo topológico.

De fato, para verificar queiC é contínua, perceba que para todaf ∈C(X, G)temos

iC(f) = i◦f. Agora, iC−1(CK,U) = {f; i◦ f ∈ CK,U} = {f; i(f(K)) ⊂ U} =

{f; f(K) ⊂ i−1(U)} = C

K,i−1(U). Assim, a continuidade de iC segue pela

conti-nuidade da i. Agora, para comprovar que o produto pC é uma função contínua

usaremos o seguinte diagrama:

C(X, G)×C(X, G)

µ

)

)

pC

/

/C(X, G)

C(X, G×G)

λ

7

7

onde

µ: C(X, G)×C(X, G) −→ C(X, G×G)

(f, g) 7−→ h= (f;g) : X −→ G×G

(39)

e

λ: C(X, G×G) −→ C(X, G)

h= (h1;h2) 7−→ p◦h .

Repare que assim o diagrama comuta, ou seja, pC = λ◦µ, o que se verifica

dire-tamente pela definição de pC. Nesse caso, basta mostrarmos que λ e µ são

con-tínuas com respeito à topologia do compacto-aberto nos espaços envolvidos. Ve-jamos que λ é contínua. Sabemos que é suficiente lidarmos apenas com os

ele-mentos da sub-base; deste modo tome qualquer aberto do tipo CK,U ⊂ C(X, G)

e veja que λ−1(C

K,U) = {h; p◦h ∈ CK,U} = {h; p(h(K)) ⊂ U} = {h; h(K) ⊂

p−1(U)}= C

K,p−1(U), o qual é um aberto sub-básico da topologia compacto-aberto

em C(X, G×G) pois p é contínua. Isso prova a continuidade de λ. Agora

veja-mos que µ é contínua. Novamente, dado qualquer CK,U×V ⊂ C(X, G×G) temos

µ−1(C

K,U×V) = {(f, g); µ(f, g) ∈ CK,U×V} = {(f, g); (f;g)(K) ⊂ U × V} =

{(f, g); f(K) ⊂ U e g(K) ⊂ V} = CK,U ×CK,V o qual é um aberto sub-básico

na topologia produto em C(X, G)×C(X, G). Logo µ também é contínua, como

desejado. Podemos então concluir que (C(X, G), pC, τc) é um grupo topológico;

7. Seja uma coleção finita{(G1, p1, τ1),· · · ,(Gn, pn, τn)} de grupos topológicos.

Pode-mos definir

p:

n

Y

i=1

Gi × n

Y

i=1

Gi −→

n

Y

i=1

Gi

((g1,· · · , gn),(h1,· · · , hn)) 7−→ (p1(g1, h1),· · · , pn(gn, hn))

a qual fornece a estrutura de grupo à (

n

Y

i=1

Gi, p). Mais que isso, considerando a

topologia produto, a função pserá contínua pois no diagrama comutativo abaixo,f

é um homeomorfismo e p1× · · · ×pn é contínua, n

Y

i=1

Gi× n Y i=1 Gi f p / / n Y i=1 Gi n Y i=1

(Gi×Gi) .

p1×···×pn

8

(40)

Também, claramente a inversãoi=i1× · · · ×in, associada ao produtop, é contínua.

Isto permite dizer que (

n

Y

i=1

Gi, p, τ) é um grupo topológico.

A partir daqui falaremos apenas “ o grupo topológicoG” ficando subentendido

que um produto e uma topologia estão bem definidos no conjunto G de modo que este

seja de fato um grupo topológico.

Observações 4.7. Em um grupo topológicoG com um elemento g ∈Ge subconjuntos A, B ⊂G,

• Considere as seguintes notações:

gA := Eg(A) ={ga; a∈A};

Ag := Dg(A) = {ag; a∈A};

AB := [

a∈A

aB= [

b∈B

Ab;

A[1] := A;

A[n+1] := AA[n] ( nN);

gAg−1 := C

g(A) = {gag−1; a∈A};

A−1 := i(A) = {a−1; aA}.

Utilizando a última, vamos dizer que A ésimétrico para significar que A=A−1.

O colchete no expoente de A[n], talvez como uma precaução excessiva, serve apenas

para não gerar confusão com o produto cartesiano An=A×(n vezes)· · · ×A.

• Nesse caso, já que translações, conjugação e inversão são homeomorfismos:

A é aberto (fechado) se, e somente se, gA é aberto (fechado); A é aberto (fechado) se, e somente se, Ag é aberto (fechado); A é aberto (fechado) se, e somente se, gAg−1 é aberto (fechado);

A é aberto (fechado) se, e somente se, A−1 é aberto (fechado);

A ouB aberto implica AB aberto.

• Observe que,

(41)

Por exemplo, no grupo topológico (R2,+, τ) com soma e topologia usuais, tome o

subconjunto A = {(x, 1

x); x > 0} e B = {(−x,

1

x); x > 0}. Observe que tanto A

quantoB são fechados emR2. Mas não podemos concluir queA+B é fechado, uma

vez que (0,0)∈ A+B \(A+B). De fato, é claro (0,0)∈/ A+B e fazendo, para

todo n ∈ N, zn = (n,

1

n) + (−n,

1

n) = (0,

2

n) ocorre zn → (0,0) e {zn}n∈N ⊂A+B

que é suficiente para garantir (0,0)∈A+B.

Mas com alguma hipótese a mais temos:

Proposição 4.8. Em um grupo topológico G vale que se K ⊂ G é compacto e F ⊂G é fechado, então o produto KF é fechado.

Demonstração. Vamos usar a Proposição2.10que caracteriza fechados pela linguagem de redes. Nesse caso, tome uma rede(gλ)com{gλ}λ∈Λ ⊂KF egλ →xpara mostrarmos que

x∈KF. Observe que podemos dizer gλ =kλfλ com kλ ∈K e fλ ∈F, para todoλ ∈Λ.

Com isso, (kλ)é uma rede em K. Pelo Teorema 3.17, existe uma sub-rede (kλµ)e algum

k ∈K com kλµ → k. Agora, pelo fato da inversão ser contínua (usando a caracterização

de continuidade via redes vista na Proposição 2.11) teremos, i(kλµ) → i(k). Também,

como o produto é contínuo teremos fλµ = p(i(kλµ), gλµ) → p(i(k), x) = k

−1x. Como

{fλµ} ⊂F e por hipótese F é fechado, temos condições de dizer quek

−1x=f F. Deste

modo x=kf ∈KF, como precisávamos.

4.2 Vizinhanças da identidade

Em um grupo topológico, quaisquer dois pontos distintos podem ser “ligados” por um homeomorfismo. De fato, dadosx6=y em G, se considerar g =yx−1 então o

homeomor-fismo Eg é o procurado, pois Eg(x) = y. Isto pode ser referido como uma propriedade

dehomogeneidade deG. Essa propriedade nos permitirá dizer que algumas informações

topológicas que se queira saber sobre o espaço em questão podem ser adquiridas obser-vando apenas o sistema de vizinhanças no ponto identidade deste grupo, ressaltando a importância deste sistema para esta teoria.

(42)

apresentado abaixo. Dito isto, começamos então a verificar propriedades sobre o sistema

Ue.

Teorema 4.9. Em um grupo topológico Gqualquer base Ve do sistema de vizinhanças na

identidade ( Ue obtido da topologia em questão), além de ser uma base de filtro, satisfaz

as seguintes fundamentais propriedades:

(T1) Para todo U ∈Ve, ocorre que eU;

(GT1) Para todo U ∈Ve, existe V Ve, tal que V[2] U;

(GT2) Para todo U ∈Ve, existe V Ve, tal que V−1 U;

(GT3) Para quaisquer g ∈G e U ∈Ve, existe V Ve, tal que g−1V gU.

Demonstração. A propriedade (T1) é evidente, enquanto as demais são propriedades equi-valentes a continuidade no ponto identidade das aplicações produto, inversão e

conjuga-ção, respectivamente.

Observe também que por um argumento indutivo é possível dizer que (GT1) garante que para quaisquerU ∈Ue en N, existe V Ue, tal que V[n]U.

Com relação ao sistema propriamente dito temos algumas leves diferenças: Observação 4.10. É claro que o sistemaUe é base de si mesmo, assim ele satisfaz todas

as conclusões do teorema anterior. Mas pelo fato dele ser um filtro (lembre que base de filtro não possui a absorção por superconjuntos), temos que:

(GT2) significa que para todo U ∈Ue, ocorreU−1 Ue;

(GT3) significa que para quaisquerg ∈G e U ∈Ue , ocorre gU g−1 Ue.

Nesse sentido, quando estivermos nos referindo ao próprio sistema Ue podemos usar

li-vremente essas caracterizações quando fizermos uso das propriedades (GT2) e (GT3) em

Ue, portanto devemos ter isso em mente para não gerar confusão com bases, onde isso

nem sempre vale.

Exemplo 4.11. Como já sabemos, um exemplo de base para o sistema Ue é dada por Ue◦, a qual lembramos ser dada pela família de todas as vizinhanças abertas dee, ou seja,

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