Universidade Federal da Bahia

37 

Full text

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos

e Hiperbolicidade Uniforme

Luciana Silva Salgado

Salvador-Bahia

(2)

Salgado, Luciana Silva.

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e Hiperbolici-dade Uniforme / Luciana Silva Salgado - Salvador : IM-UFBA, 2008. viii, 37p.

(3)

Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior que ser´a apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universi-dade Federal da Bahia, como requisito par-cial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador)

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro

(4)

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e

Hiperbolicidade Uniforme

(5)

Agradecimentos

Ao meu amigo e orientador de mestrado Armando Castro por sua sensi-bilidade, aten¸c˜ao, amizade e por me mostrar uma paix˜ao pela matem´atica que ent˜ao desconhecia, vocˆe ´e um grande exemplo para mim.

Aos caros professores do Instituto de Matem´atica da UFBA que sempre me incentivaram a continuar, todos vocˆes s˜ao pessoas fant´asticas. Em par-ticular, Vilton Pinheiro por me mostrar a beleza matem´atica da An´alise pela primeira vez e Enaldo Vergasta por seu carinho com todos, sua paciˆencia e disposi¸c˜ao em ajudar sempre.

A todos funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA que desde minha gradua¸c˜ao fazem parte dessa hist´oria. Em particular, D. Zez´e e Tˆania.

Professor V´ıtor Ara´ujo, por sua presen¸ca nesta banca e por aceitar ser meu orientador de doutorado.

Aos meus colegas e amigos que sempre caminham comigo, longe ou perto, a me apoiar.

D. Neuza, minha m˜ae, por estar presente na vida de seus filhos.

Augusto Salgado, meu pai, de quem herdei o gosto pelo estudo.

Meu querido Moara por ser vocˆe comigo, quem me acalma e acende a chama, for¸ca minha, te adoro.

(6)
(7)

Resumo

(8)

Abstract

(9)

1

Introduc

¸˜

ao

A no¸c˜ao de sistema dinˆamico uniformemente hiperb´olico foi proposta por Smale, e desde ent˜ao, muitos dos resultados obtidos em Sistemas Dinˆamicos descrevem caracter´ısticas de hiperbolicidade tanto sob o aspecto topol´ogico quanto o da teoria da medida.

Em particular, o estudo das taxas de expans˜ao n˜ao-uniforme e condi¸c˜oes sobre um dado conjunto de pontos e suas rela¸c˜oes com o comportamento uniformemente expansor ´e enfatizado em v´arios artigos recentes.

Desde Oseledets [14], sabe-se que se µ ´e medida invariante para uma aplica¸c˜ao f de classeC1, ent˜ao o n´umero

λ(x, v) = lim

n→+∞ 1

nlogkDf

n(x).v

k (1)

´e definido num conjunto de probabilidade total e ´e chamado de expoente de Lyapunov em x na dire¸c˜ao de v.

No nosso estudo, provamos que se f ´e um difeomorfismo local C1 tal que os expoentes de Lyapunov de toda medida de probabilidadef-invariante s˜ao positivos, ent˜ao f ´e uniformemente expansora. E tamb´em uma vers˜ao deste resultado para difeomorfismo com um conjunto n˜ao-uniformemente hiperb´olico.

Abaixo, apresentamos uma descri¸c˜ao sucinta dos artigos usados na dis-serta¸c˜ao.

Ara´ujo, Alves e Saussol [3], provaram que se f ´e um difeomorfismo local C1 n˜ao-uniformemente expansor (NUE) sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜aof ´e uniformemente expansor, usando o conceito de NUE e o teo-rema de Birkhoff para tal fim.

(10)

na se¸c˜ao 5.

(11)

2

Enunciado dos principais resultados

Defini¸c˜ao 2.1. Seja f : M M um difeomorfismo local C1 de uma variedade M dotada da m´etrica Riemanniana que induz uma norma k.k no espa¸co tangente e uma forma de volume dita Medida de Lebesgue.A aplica¸c˜ao f´e dita uniformemente expansora se existem contantesc >0 eσ >1 tais que:

kDfxn(v)k≥c.σnkvk,xM, v TxM, n ≥1.

Proposi¸c˜ao 2.2. Seja f :M M um difeomorfismo local C1 definido em

uma variedade riemanniana compacta. Se

lim inf

n→+∞ 1

n log(k(Df

n(x))−1

k)<0 (2)

sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f ´e uniformemente expan-sora.

Defini¸c˜ao 2.3. Para cada xM ev TxM, o n´umero

λ(x, v) = lim

k→+∞ 1

k logkDf

k x(v)k

´e dito expoente de Lyapunov, sempre que tal limite existir.

Teorema 2.4. Seja f :M M um difeomorfismo localC1 numa variedade

riemanniana compacta. Se os expoentes de Lyapunov para toda medida de probabilidade f-invariante s˜ao positivos, ent˜ao f ´e uniformemente expansora.

Tamb´em temos uma vers˜ao destes resultados para f : M M um difeomorfismo local C1 tendo conjuntos invariantes com alguma estrutura n˜ao-uniformemente hiperb´olica.

Lembramos aqui que se M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n e TxM o espa¸co tangente a M no ponto x, o conjunto

T M ={(x, v), xM e v TxM}

(12)

Defini¸c˜ao 2.5. Seja Λ M um conjunto invariante de f com uma de-composi¸c˜ao cont´ınua Df-invariante do fibrado tangente sobre Λ, TΛM = Ecs Ecu. Λ ´e dito conjunto hiperb´olico se f tem as dire¸c˜oes de expans˜ao

uniforme emEcue de contra¸c˜ao uniforme emEcs, ou seja, existem constantes

c >0 e σ >1 tais que

kDfn

x(vu)k≥c.σnkvuke kDfxn(vs)k≤c.σ−nkvsk

∀xΛ, vsEcs, vu Ecu, n1.

Teorema 2.6. Sejaf :M M um difeomorfismoC1 eΛ um conjunto

pos-itivamente invariante para o qual o espa¸co tangente tem uma decomposi¸c˜ao cont´ınua Df-invariante TΛM = Ecs Ecu.Se f tem todos os expoentes de

Lyapunov na dire¸c˜ao Ecu positivos e todos os negativos na dire¸c˜ao Ecs, sobre

(13)

3

Lemas Preliminares

Nesta se¸c˜ao provamos alguns lemas que ser˜ao usados na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 2.2.

Defini¸c˜ao 3.1. (Convergˆencia fraca-*) SejaX um espa¸co normado eX′

:={l :X → R, l ´e linear e cont´ınua} o seu espa¸co dual. Dizemos que uma sequˆencia (ln)+∞n=1 converge fraca-* se existe lX′

tal que

lim

n→+∞|ln(x)−l(x)|= 0,∀x∈X.

Sejam M um espa¸co m´etrico compacto e f : M M uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

Lema 3.2. Seja Mf o espa¸co das medidas f-invariantes, φ uma fun¸c˜ao

cont´ınua sobre M. Se R φdµ < λ,µ∈ Mf, ent˜ao para todo x∈M, ∃ n(x)

tal que

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fix)< λ.

Prova:

Demonstrando por absurdo, suponhamos que xM tal que

1 n

n−1 X

i=0

φ(fix)λ, n.

Definimos uma sequˆencia de medidas de probabilidade

µn =

1 n

n−1 X

i=0

δfix(·), n≥1

onde cada δfix ´e uma medida de Dirac suportada em fix.

Seja µum ponto de acumula¸c˜ao fraco desta sequˆencia, quando n +.

(14)

Observe que µ ´e f-invariante, isto ´e, µ(f−1(A)) = µ(A): De fato, veja

que δx(f−i(A)) =δfix(A).

Seja δfi(x)(A) = 1 ⇒ fi(x) ∈ A ⇒ x ∈ f−i(A) ⇒ δx(f−i(A)) = 1. Por outro lado, suponha que fi(x) / A δ

fi(x)(A) = 0 ⇒ x /∈ f−i(A) ⇒

δx(f−i(A)) = 0.

Logo,

µ= lim

nk→+∞

µnk = lim

nk→∞

1 nk

nXk−1

i=0

δfi(x)(·) =

= lim

nk→∞

1 nk

nXk−1

i=0

δx(f−i(·)).

Assim,

µnk(f

−1(

·)) = 1 nk

nXk−1

i=0

δ(f−i(f−1(·))) =

= 1 nk

nXk−1

i=0

δ(f−i(·))

| {z }

µnk

+ 1 nk

δ(f−nk(·)) 1

nk

δ(·) |{z}−→

f raca−∗ µ.

Como φ ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos

Z

φdµ= lim

k→+∞ Z

φdµnk = lim

k→+∞ 1 nk

nXk−1

i=o

φ(fix)λ.

(15)

Lema 3.3. Seja Mf o espa¸co das probabilidades f-invariantes, seja φ uma

fun¸c˜ao cont´ınua sobre M. Se R φdµ < λ, µ ∈ Mf, ent˜ao ∃ N tal que

∀n N temos

1 n

n−1 X

i=0

φ(fix)< λ,xM.

Prova:

Pelo Lema 3.2, para cada xM, n(x) N e c(x)< λ,tais que

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fix)< c(x).

Assim , por continuidade, para cada x M, h´a uma vizinhan¸ca Vx de x tal

que para todo yVx, temos

1 n(x)

n(x)−1 X

i=0

φ(fiy)< c(x).

M ´e compacto,logo existe cobertura finitaV(x1), ..., V(xp)de M por

vizin-han¸cas deste tipo. SejaNe =max{n(x1), ..., n(xp)}ec=max{c(x1), ..., c(xp)}.

Da´ı, temos c < λ. Tome

α=maxx∈Mkφ(x)k=kφk.

Defina, a seguinte sequˆencia de aplica¸c˜oes:

N1(x) =min{n(xi);x∈Vxi, i= 1, ..., p}

e

Nk :M →N, k ≥0,

da seguinte forma

N0(x) = 0, Nk+1(x) = Nk(x) +N1(fNk(x)(x)), para x∈M.

(16)

Da´ı,

n−1 X

i=0

φ(fix) =

l−1 X

k=0

NXk+1

j=Nk

φ(fi(x))+

n

X

j=Nk+1

φ(fj(x))cNl+αNe ≤cn+ (|c|+α)N .e

J´a que, temos

para c0 :cNk+αNe ≤cn+αNe ≤cn+ (|c|+α)N;e

e parac <0 :cNk+αNe =cn−c(n−Nk)+αNe ≤cn+|c|Ne+αNe ≤cn+(|c|+α)N .e

Portanto, se tomarmos N = (2(|c|+α)Ne)/(λc), temos

1 n

n−1 X

i=0

(17)

4

Prova da Proposi¸

ao 2.2

Defini¸c˜ao 4.1. Uma aplica¸c˜aoA:N×M Gl(k,R) ´e um cociclo subaditivo mensur´avel sobre f se verifica as seguintes propriedades:

(i)A(n+m, x)A(n, fm(x)) +A(m, x) , para quaisquern, mNexX.

(ii) A(n, .) :M Gl(k,R) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel para cada nN.

(iii) A(0, x) =Id,xX.

Enunciaremos, agora, o teorema erg´odico subaditivo de Kingman que ser´a usado na pr´oxima demonstra¸c˜ao.

Teorema 4.2. (Teorema Erg´odico Subaditivo de Kingman)

SejaA:N×M Rum cociclo subaditivo sobref tal quemax{0,A(1,·)}=: A+(1,·)L1(M, µ). Ent˜ao, para µ-quase todo ponto xM existe o limite

A∗ = lim

n→+∞

A(n, x)

n .

Al´em disso, a fun¸c˜ao A∗ est´a em L1(M, µ), ´e f-invariante e satisfaz

Z

M

A∗= lim

n→+∞ 1 n

Z

M

A(n, x)dµ(x).

Defini¸c˜ao 4.3. Um conjunto boreliano A ´e dito de probabilidade total em M se,µ(A) = 1, para toda medida de probabilidade f-invariante em M.

(18)

Defini¸c˜ao 4.5. Dados µ ∈ M(M), F = {φ1, ..., φn} um conjunto finito de

fun¸c˜oes cont´ınuas φj :M →R eǫ >0 arbitr´ario, definimos

V(µ, F, ǫ) :={η ∈ M(M);| Z

φjdη−

Z

φjdµ|< ǫ,∀φj ∈F}.

A topologia contendo,para cada medida µ, a cole¸c˜ao de todos os conjuntos V(µ, F, ǫ) como base de vizinhan¸ca em µ, com F e ǫ vari´aveis, ´e chamada Topologia fraca-* em M(M). Esta topologia corresponde `a no¸c˜ao de con-vergˆencia vista em 3.1

Observa¸c˜ao 4.6. Na pr´oxima demonstra¸c˜ao usaremos o fato de Mf ser

compacto, isto ´e devido aos teoremas de Riesz-Markov e Banach-Alaoglu e ´e comentado no apˆendice.

Vamos, enfim, `a

Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2:

Seja Mf um espa¸co das medidas f-invariantes, munido da topologia

fraca-*.

Definaφn(x) = logk(Dfxn)−1k, n ∈N.

Como f ´e um difeomorfismo local C1 sobre M temos que a aplica¸c˜ao φn(x) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua sobre M.

Afirma¸c˜ao 1. φn(x) = logk(Dfxn)−1k´e um cociclo subaditivo.

Prova:

(19)

Da´ı, pelo teorema erg´odico subaditivo (teorema 4.2), temos que o limite

lim

n→+∞ 1

nφn(x) =:φ(x)e

existe para µqtp x e toda medida µ f-invariante. Al´em disso, φe´ef-invariante e integr´avel.

Afirma¸c˜ao 2. φn

n ´e dominada.

Prova:

De fato,

k(Dfn)−1k=k[Πnj=0−1(Df(fj(x)))]−1k ≤Πnj=0−1k(Df(fj(x)))−1k.

Como f ´e difeomorfismo local (Df)−1 ´e uniformemente limitada superi-ormente, digamos por uma constante S >0. Assim,

k(Dfn)−1k ≤Sn 1

nlogk(Df

n)−1

k ≤ 1

n logk(Df) −1

k ≤logS.

Por outro lado,Df−1 tamb´em ´e limitada inferiormente j´a que

k(Dfn(x)−1)k−1 = inf

kvk=1k(Df

n)

·vk= inf kvk=1k[(Π

n−1

j=0Df(fj(x)))·v]k ≤

≤ inf

kvk=1{Π

n−1

j=0k(Df(fj(x)))k · kvk} ≤ kDfkn⇒

kDfk−n≤ k(Dfn)−1(x)k ⇒ −logkDfk ≤ logk(Df

n(x))−1k

n .

Portanto, tomandor=max{logkDfk,logS} temos kφn

n k ≤r,∀n.

Provando assim a afirma¸c˜ao 2.

Portanto, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, temos

lim

n→+∞ Z φ

n

n dµ= Z

e

(20)

Por hip´otese,

lim inf

n→+∞ 1

n logk(Df

n

x)−1k<0

num conjunto de medida de probabilidade total. Isto implica que φ <e 0, para µqtp x para qualquer medida invariante µ.

Assim, R eφdµ <0,µ∈ Mf.

Agora provemos que LN eλ <0 tais que

1 L

Z

φLdµ < λ,∀µ∈ Mf :

Ora, para uma dada medidaµ∈ Mf, pelo teorema 4.2, temos

lim

n→+∞ Z

φn

n dµ= Z

e φdµ.

J´a que R eφdµ <0, nµ∈N tal que

R φn

ndµ <

1

2R eφdµ,∀n ≥nµ. Note que fixada µ, a aplica¸c˜ao x7−→ φnµ

nµ ´e cont´ınua.

Para provarmos a uniformidade usaremos argumento padr˜ao de compaci-dade da esfera unit´aria na topologia fraca-* e a consequente compacicompaci-dade do subconjunto Mf das probabilidadesf-invariantes.

(O argumento aqui usado ´e similar ao do Lema 3.3, s´o que refere-se `a compacidade de Mf no lugar da de M)

Assim, tomandoǫµ = 14kR eφdµk, temos que o conjunto

Vµ={µ′;k

Z φ nµ nµ dµ Z φ nµ nµ

(21)

Da´ı,Vµ´e uma cobertura de Mf e j´a que este ´e compacto (teoremas 7.1

e 7.2), podemos achar uma subcobertura finita, digamos V µ1, ..., V µl.

Se denotarmos nj =nµj e λ=max{−ǫµj, j = 1, ..., l}, ent˜ao, λ <0 e

∀ν∈ Mf, existe uma vizinhan¸ca

(V µj)∋ν,para algum j, tal que vale

1 nj

Z

φnjdν < λ.

Observe que

kDfnjk(x)

k ≤ kΠkt=0−1[Dfnjt(fnj)]

k ≤ ≤Πkt=0−1k[Dfnj(fnjt)]

k ⇒logkDfnjk(x)

k ≤log Πkt=0−1k[Dfnj(fnjt)]

k ⇒

⇒φnjk ≤

k−1 X

t=0 φnj(f

tnj(x)),

para algumk N ej ={1, ..., l} fixado.

DadaνbVµj, j´a que bν ´ef-invariante,

1 knj

Z

φnj(f

knj(x))d

b ν 1

k k−1 X t=0 1 nj Z

φnj(ftnj(x))dbν=

= 1 k k−1 X t=0 1 nj Z

φnj(x)dbν < λ⇒

Z φ

knj

knj

< λ.

Assim, se fizermos L=mmc{nl}, ent˜ao L1

R

φLdµ < λ.

J´a que (L1)φL´e fun¸c˜ao cont´ınua sobre M, pelo Lema 3.3, ∃Ne ∈Ntal que

1 n n−1 X i=0 1 LφL(f

i(x))< λ,

∀n N ,e xM. (3)

(Isto ´e quase o que precisamos: SeL= 1, ent˜ao 1

nφn(x)≤

Pn−1

i=1 φ(fi(x))< λ φn(x)< λn,∀n ∈Ne que ´e o resultado desejado)

(Aqui ainda n˜ao vale a subaditividade deφL em rela¸c˜ao af, mas sim em

(22)

Queremos uma express˜ao em que apare¸ca os intermedi´arios e n˜ao apenas os m´ultiplos deL, portanto usando a subaditividade, temos para todok N

φkL(x)≤ k−1 X

i=0

φL(fiL(x)),

e ent˜ao, para algum 0 j < L,

φkL(x)≤φj(x) + k−2 X

i=0

φL(fiL+j(x)) +φL−j(f(k−1)L+j(x)).

(Basta fazer fkL = fL−j f(k−1)L fj e aplicar a regra da cadeia e a

subaditividade em φkL)

Somando emj = 0, ..., L1 e dividindo por L, temos

φkL(x)≤

1 L

L−1 X

j=0

[φj(x) + k−2 X

i=0

φL(fLi+j(x) +φL−j(f(k−1)L+j(x)))] =

= 1 L

L−1 X

j=0

[φj+φL−j(f(k−1)L(fj(x)))] +

1 L k−2 X i=0 L−1 X j=0

φL(fLi+j(x)).

Sejac1 >1 uma cota para

kφL−jk= sup x∈Mk

φL−j(x)k,∀0≤j ≤L,digamos,c1 = max

i=1,...,Lmaxx∈M φi(x).

Da´ı,

φ

L−1 XXk−2

φL

(fiL+j(x))+2c

L(k−1)−1 X φL

(23)

Novamente, usando a subaditividade, obtemos

φn(x)≤φkL(x) +φj(fkL(x))≤L(k−1)λ+ 2c1+c1.

Logo, φn(x)≤L(k−1)λ+ 3c1.

Como (k1)L < n, obtemos

1

nφn(x)≤

L(k1) n λ+

3 nc1 =

=h(L(k−1)) +L+j

n +

Lj n

i

λ+3c1 n ≤

λ 2 ⇒

⇒φn ≤

2 ,∀n > N ,

onde

L(k1)

n −→1 e N >Netal que 3c1

n < ¯ ¯ ¯λ8

¯ ¯ ¯,L

n < 1 8.

Assim, se tomarmos

k= max{Ne+ 2L, 6c1

(λ)}, obtemos 1

nφn(x)≤ λ

2,∀x∈M, n≥k.

Sejac−1 =max{k(Df

x)−1k, . . . ,k(Dfxk−1)−1k,1}.

Da´ı,

k(Dfx)−1k ≤c−1e

λn

2 ,∀n≥1.

Ademais,c >0 e λ <0 tais que

kDfxn(v)k ≥ce−λn2 kvk,∀x∈M, v ∈TxM, n≥1.♦

Esc´olio 1. Seja φn um cociclo subaditivo cont´ınuo em uma variedade M

compacta tal que

lim inf

n→+∞ 1

nφn<0,∀n.

(24)

5

Provas dos Teoremas

Apresentamos agora o enunciado do importante

Teorema 5.1. (Teorema de Oseledets - vers˜ao n˜ao invert´ıvel)

Seja A : N×M Gl(n,R) um cociclo sobre uma transforma¸c˜ao

men-sur´avelf :M M com log+kA(1,·)k, ondelog+ =max{0, log}, integr´avel

em rela¸c˜ao a uma medida f-invariante µ em M. Para µqtp x M ex-iste um inteiro positivo t(x) n, n´umeros λ1(x) < . . . < λt(x)(x) e espa¸cos

lineares {0}=F0(x)F1(x). . .Ft(x)(x) =Rn tais que:

1) Se F Fi(x)´e um subespa¸co linear com F ∩Fi−1(x) = 0 ent˜ao

lim

n→+∞ 1

nlog infkA(n, x)vk= limn→+∞log supk

A(n, x)vk=λi(x),

onde o ´ınfimo e o supremo s˜ao tomados sobre todos os vetores v F

tais que kvk= 1;

2)

lim

n→+∞ 1

n log|detA(n, x)|=

t(x) X

i=1

(dimFi(x) +dimFi−1(x))λi(x).

(25)

Prova do Teorema 2.4

Pelo Teorema 5.1 , existe um conjunto B M tal que µ(B) = 1,µ

Mf, com as propriedades:

(1)Existe uma fun¸c˜ao mensur´avel s:B Z∗ com sf =s. (2)Se xB, existem n´umeros reaisλ1(x)< ... < λs(x)(x).

(3)Se xB, existem subespa¸cos lineares 0 =F0(x)...Fs(x)(x) =TxM.

(4)Se xB e 0 < is(x), ent˜ao

lim

n→∞ 1

nlogkDf

n

x(v)k=λi(x),∀v ∈Fi(x)\Fi−1(x).

Por hip´otese, sexB, ent˜ao λi(x)>0, para i= 1, ..., s(x).

Da´ı, para todo xB,N(x) tal que

kDfxn(v)k ≥e(nλ1(x))/2kvk,

para n N(x) e v TxM.

Assim,

k(Dfxn)−1k< e(−nλ1(x))/2,

para n N(x) e

lim inf

n→∞ 1

nlogk(Df

n

x)−1k ≤ −

λ1(x) 2 <0.

Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.2,f ´e uniformemente expansora.

Vejamos a diferen¸ca entre esta demonstra¸c˜ao e a apresentada em [3].

Defini¸c˜ao 5.2. Um difeomorfismo local C1 f : M M ´e uma aplica¸c˜ao n˜ao-uniformemente expansora (NUE) em xM se

lim inf n→+∞ 1 n n−1 X j=0

logk(Dffj x)

−1

k<0.

(26)

Na hip´otese dos lemas em [3] temos NUE num conjunto de probabili-dade total enquanto em [1] o autor percebeu que podia usar R φdµ < λ. Mesmo de maneira impl´ıcita, Ara´ujo-Alves-Saussol passaram por esta inte-gral, chegando a ela pela condi¸c˜ao de NUE, que ´e mais forte que a de todos os expoentes de Lyapunov positivos.

Observe que esses lemas levam `a tese do teorema principal em ambos os artigos. Entretanto, no caso de [3] os lemas s˜ao utilizados diretamente para obter o teorema e em [1] o autor ainda teve de passar pela proposi¸c˜ao 2.2.

O que Cao fez a mais foi supor que os expoentes de Lyapunov s˜ao todos positivos, chegando `a hip´otese 1

L

R

φLdµ < λ, pela aplica¸c˜ao do teorema

erg´odico de Kingman, depois ajustou as contas para poder aplicar os lemas e chegar ao resultado desejado.

Abaixo o enunciado do teorema apresentado no artigo [3]:

Teorema 5.3. Seja f :M M um difeomorfismo local C1 definido numa

variedade Riemanniana compacta. Se f ´e n˜ao-uniformemente expansora sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f ´e uniformemente expansora.

Os lemas usados na demonstra¸c˜ao deste teorema foram os seguintes:

Lema 5.4. Se

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

φ(fj(x))<0

vale num conjunto de probabilidade total, ent˜ao ´e v´alido para todo xX.

Lema 5.5. Existe c0 > 0 tal que

PmNe−1

(27)

6

Um crit´

erio de hiperbolicidade para sistemas

conjugados a expansores

Neste cap´ıtulo apresentamos como a Proposi¸c˜ao 2.2 pode ser aplicada a outros resultados.

Sejag :M M um difeomorfismo localC2, M variedade riemanniana.

Defini¸c˜ao 6.1. Seja z M um ponto regular. Dizemos que k N ´e um tempo ξ-hiperb´olico para z se, parai= 1, ..., k, temos

Πij=1k[Dg|(gk−j(z))]−1k ≤ξi.

O seguinte lema ser´a muito ´util no que segue:

Lema 6.2. (Lema de Pliss)

Dadosλ >0, ǫ >0e H >0, existem N0 =N0(λ, ǫ, H) eδ =δ(λ, ǫ, H)> 0 tais que, se a1, a2, . . . , an s˜ao n´umeros reais, satisfazendo

N

X

n=1

an≤N λ,

N N0,|an| ≤ H para n = 1, . . . , N, ent˜ao existe l ≥ N δ,1 ≤ n1 ≤

. . .nl ≤N tal que

n

X

i=nj+1

ai ≤(n−nj)(λ+ǫ),

(28)

Uma propriedade interessante de tempos hiperb´olicos para difeomorfis-mos locais ´e que, sob condi¸c˜oes de proximidade entre segmentos de ´orbitas, um tempo ξhiperb´olico para um ponto x M ser´a tamb´em tempo √ ξ-hiperb´olico para os pontos de uma vizinhan¸ca de x:

Lema 6.3. (Vers˜ao simplificada da Proposi¸c˜ao 2.23em [5])

Seja g : M M um difeomorfismo local numa variedade riemanni-ana compacta M. Suponha que k seja um tempo ξhiperb´olico para x M.Ent˜ao, existe bδ > 0 tal que, para todo y M cujo k-segmento de ´orbita dista a menos dedo de x, temos k como tempo √ξhiperb´olico para y.

Prova:

De fato, seja bδ >0 tal que

k[Dg(y)]−1k ≤ 1

ξ · k[Dg(z)] −1

k,y, z M,tais que d(y, z)<bδ.

Considere agoraxj =gj(x) e yj =gj(y) com d(xj, yj)<bδ,e j = 0, . . . , k.

Da´ı, para l < k, temos

Πl

j=1k[Dg(yk−j)]−1k ≤Πlj=1 1

ξk[Dg(xk−j)]

−1k ≤³1 ξ

´l

·(ς)l = (ς)l,

implicando que k ´e tempo ξ-hiperb´olico para y.

Sejag :M M um difeomorfismo local C2 topologicamente conjugado a um endomorfismo C1 expansor.

(29)

con-Lema 6.5. Suponha que g ´e topologicamente conjugada a uma aplica¸c˜ao expansora f. Seja x um ponto regular recorrente de g. Se Per(g) ´e NUE, ent˜ao todos os expoentes de Lyapunov de x s˜ao positivos.

Prova:

Seja δ > 0 tal que dada qualquer bola B(z, δ) os ramos inversos corre-spondentes de g s˜ao difeomorfismos bem definidos. Se ξ=eη, η <0 como na

defini¸c˜ao de NUE, ξ < ξ′ < 1 fixado e seja ǫ > 0 tal que (ξ)−1 ǫ > 1.

Desde que x seja um ponto regular n0 N tal que

(ξ1ǫ)n.kv1k<kDgn(x).v1k<(ξ1+ǫ)n.kv1k,v1 E1;nn0.

Onde os E1 ´e o autoespa¸co de Lyapunov associado a log(ξ1) o menor expoente de Lyapunov.

Agora,pelo lema 6.2, existen1 > n0 tal que para qualquer ponto y en > n1

onde

Πnj=0k[Dg(gj(y))]−1k−1 ≥ξ−n,

temos, ent˜ao que y tem pelo menos n0 tempos hiperb´olicos menores que n.

Fixemos 0< δ′ δ tal que

k[Dg−1(y)]k ≤ 1 ξ′kDg

−1(z)

k,z, y;d(z, y)< δ′,

onde g−1 designa qualquer ramo inverso de g.

Escolhemos 0< δ′′ < δtal que se g−n ´e uma composi¸c˜ao arbitr´aria de n

ramos inversos de g, ent˜ao diam(g−n(B(z, δ′′))) < δ,z M,n N. Isto

ocorre pois ´e v´alido para o sistema expansor f que ´e conjugado a g.

Comox´e um ponto recorrente, escolhemos n2 n1 um tempo de retorno tal que uma vizinhan¸ca Vx ⊂B(x, δ′′) de x ´e dada por gn2 sobre B(x, δ′′).

Portanto, escrevendo G := (gn2|

Vx)

−1, G :B(x, δ′′) V

x ⊂B(x, δ′′) tem

(30)

Por hip´otese, p ´e um ponto peri´odico hiperb´olico para o qual temos

Πn2−1

j=0 k[Dg(gj(p))]−1k−1 ≥ kξ−n2k ⇒ kDG(p)k ≤ kξn2k.

Por nossa escolha den1 e pela equa¸c˜ao acima, existe um tempoξ′-hiperb´olico n0 < n′ < n2 para p. Devido ao lema 6.3, n´e tamb´emξ-hiperb´olico para x. Em particular, isto implica que

kDgn′(x).vk ≥pξ′−n′kvk,v T

pM.

Portanto, ξ1 pξ′−1ǫ >1.

Isto significa que o menor dos expoentes de Lyapunov de x ´e maior que

0, e portanto todos os outros o s˜ao.

Defini¸c˜ao 6.6. (Sombreamento por Pontos Peri´odicos)

Seja f : M M uma aplica¸c˜ao e Λb M um conjunto compacto f-invariante.Dizemos que (f,Λ) tem a propriedade de sombreamento por pon-b tos peri´odicos se dados ǫ > 0, α > 0 tais que para todo segmento de ´orbita

{x, . . . , fn(x)} ⊂ Λ comb d(fn(x), x) < α, existe um ponto peri´odico p M

com per´ıodo n tal que d(fj(p), fj(x))< ǫ,0j n.

Neste caso, dizemos que a ´orbita de p ǫ-sombreia o segmento de ´orbita

{x, . . . , fn(x)}.

(31)

Teorema 6.7. Seja g : M M um difeomorfismo local C2 sobre uma

variedade compacta M. Suponha que existe um conjunto compacto invari-ante Λ M tal que (g,Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos peri´odicos.Se g ´e NUE sobre o conjunto de pontos peri´odicos Per(g), ent˜ao g ´e uma aplica¸c˜ao expansora sobre Λ.

Notamos que o conjunto de pontos recorrentes regulares de Oseledets ´e um conjunto de probabilidade total, devido ao Teorema de Oseledets (teorema 5.1) e ao Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e (teorema 7.3). Isto significa que este conjunto tem medida igual a 1 para qualquer medidag-invariante, e o lema 6.3 implica que todos os expoentes de Lyapunov s˜ao positivos. Portanto, nosso teorema 6.7 ´e obtido pela aplica¸c˜ao do lema 6.3 para a proposi¸c˜ao 2.2.

Como finaliza¸c˜ao, faremos um breve coment´ario sobre o resultado an´alogo ao que provamos aqui, mas no contexto de difeomorfismos, feito tamb´em em [4].

Defini¸c˜ao 6.8. (Conjunto N˜ao-uniformemente Hiperb´olico - NUH)

Seja g : M M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M. Dizemos que um conjunto invariante S M ´e um conjunto N˜ao Uniforme-mente Hiperb´olico (NUH) se

(1) TSM =Ecs⊕Ecu decomposi¸c˜ao Dg-invariante;

(2) Existem η >0 e uma m´etrica Riemanniana adaptada para a qual qual-quer ponto pS satisfaz

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

logkDg(gj(p))|Ecs(gj(p))k ≤η,

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

j=0

(32)

Defini¸c˜ao 6.9. (Decomposi¸c˜ao Dominada)

Sejaf : M M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M e seja X M um subconjunto invariante (isto ´e,f(X) =X). Diz-se que uma decomposi¸c˜ao TxM =E⊕Eb ´e dominada se e somente se

(i) A decomposi¸c˜ao ´eDf-invariante, ou seja,Df(E(x)) =E(f(x)) eDf(Eb(x)) = b

E(f(x));

(ii) 0< λ <1 e algum lN tais que, xX

sup

v∈E,kvk=1{k

Dfl(x)·vk} ·( inf

v∈E,bkvk=1{k

Dfl(x)·vk})−1 λ.

Os autores usaram estas defini¸c˜oes para mostrar que se g ´e topologi-camente conjugada a uma aplica¸c˜ao hiperb´olica f, ent˜ao os expoentes de Lyapunov de todo ponto recorrente regular de g s˜ao n˜ao-nulos no seguinte lema:

Lema 6.10. Suponha que g ´e topologicamente conjugado a uma aplica¸c˜ao hiperb´olica f. Seja x um ponto recorrente regular de g. Suponha que Per(g) ´e NUH e que a decomposi¸c˜ao TP er(g)M =Ecs⊕Ecu´e decomposi¸c˜ao dominada.

Ent˜ao, os expoentes de Lyapunov de x s˜ao n˜ao nulos.

e o aplicaram para demonstrar o teorema abaixo:

Teorema 6.11. Seja f :M M um difeomorfismoC1 sobre uma variedade

Riemanniana compacta, com um conjunto positivamente invariante Λ para o

(33)

7

Apˆ

endice

Teorema 7.1. (Banach-Alaoglu)

Seja X um espa¸co normado.Ent˜ao, a bola fechada unit´aria do dual X∗

de X ´e compacta na topologia fraca-*.

Teorema 7.2. (Riesz-Markov)

Seja M um espa¸co m´etrico compacto e C0(M) o espa¸co das fun¸c˜oes

cont´ınuas de M em R. Ent˜ao, o dual de C0(M) ´e o espa¸co das medidas

borelianas finitas com sinal sobre M.

Teorema 7.3. (Recorrˆencia de Poincar´e - Vers˜ao Probabil´ıstica)

Seja f : X X, X um espa¸co de probabilidade. Ent˜ao, µqtp x X

´e recorrente.

7.1

Compacidade do espa¸

co

M

f

Pelo teorema de Banach-Alaoglu, a bola fechada unit´aria B[0,1] do espa¸co dual de um espa¸co normado ´e compacta na topologia fraca-*. Ora, o teorema de Riesz-Markov d´a-nos que o espa¸co M(M) das medidas de prob-abilidade finitas com sinal de um dado espa¸co M ´e isomorfo (C0(M)).

Veja que Mf na prova da proposi¸c˜ao 2.2 ´e um subconjunto fechado de

B∗

M[0,1]:

Com efeito, sejaµn∈ Mf uma sequˆencia convergindo na topologia

fraca-* para uma certa medida µ. Para vermos que µ ∈ Mf, basta mostrarmos

que para toda φ cont´ınua fixada vale Z

M

φf dµ= Z

M

(34)

De fato, temos R

Mφ◦f dµn |{z}−→ f raca−∗

R

Mφ◦f dµ e

R

M φdµn |{z}−→ f raca−∗

R

Mφdµ.

Como o limite ´e ´unico e R

Mφ◦f dµn |{z}= µn∈Mf

R

Mφdµn ⇒

R

Mφ◦f dµ =

R

Mφdµ

(35)

Referˆ

encias

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[2] Alves J.F., Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyper-bolic systems with mostly expanding central direction, Invent Math 140 (2000), 351-398. MR 2001j:37063b.

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[4] Castro A., Oliveira K., Pinheiro V., 2006, Shadowing by non-uniformly hyperbolic periodic points and uniform hyperbolic, Nonlinearity 20 75-85.

[5] Castro A., 2004 Fast mixing for attractors with mostly contracting cen-tral direction, Ergod. Theory Dyn. Syst. 24 17-44.

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(36)

[13] Ma˜n´e R, 1988, A proof of the C1 stability conjecture, Publ. Math. I.H.E.S. 66 161-210.

(37)

Index

Abstract, viii Agradecimentos, v Apˆendice, 25

Enunciado dos principais resulta-dos, 3

Introdu¸c˜ao, 1

Lemas preliminares, 5

Prova da Proposi¸c˜ao 2.2, 9

Provas dos Teoremas 2.4 e 2.6, 16

Resumo, vii

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