Universidade Federal da Bahia

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos

e Hiperbolicidade Uniforme

  

Luciana Silva Salgado

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2008 Salgado, Luciana Silva. Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e Hiperbolici- dade Uniforme / Luciana Silva Salgado - Salvador : IM-UFBA, 2008. viii, 37p. Orientador: Augusto Armando de Castro J´ unior. Disserta¸c˜ao de Mestrado - IM-UFBA. Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2008.

  Bibliografia: p.27. Palavras-chave: 1. Sistemas Dinˆamicos; 2. Ex- poentes de Lyapunov; 3. Hiperbolicidade.

  Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior que ser´a apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universi- dade Federal da Bahia, como requisito par- cial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Junior (Orientador) Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro

  Prof. Dr. Vitor Domingos Martins de Araujo

  Expoentes de Lyapunov n˜ao nulos e Hiperbolicidade Uniforme Luciana Silva Salgado Agradecimentos

  Ao meu amigo e orientador de mestrado Armando Castro por sua sensi- bilidade, aten¸c˜ao, amizade e por me mostrar uma paix˜ao pela matem´atica que ent˜ao desconhecia, vocˆe ´e um grande exemplo para mim.

  Aos caros professores do Instituto de Matem´atica da UFBA que sempre me incentivaram a continuar, todos vocˆes s˜ao pessoas fant´asticas. Em par- ticular, Vilton Pinheiro por me mostrar a beleza matem´atica da An´alise pela primeira vez e Enaldo Vergasta por seu carinho com todos, sua paciˆencia e disposi¸c˜ao em ajudar sempre.

  A todos funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA que desde minha gradua¸c˜ao fazem parte dessa hist´oria. Em particular, D. Zez´e e Tˆania. Professor V´ıtor Ara´ ujo, por sua presen¸ca nesta banca e por aceitar ser meu orientador de doutorado. Aos meus colegas e amigos que sempre caminham comigo, longe ou perto, a me apoiar.

  D. Neuza, minha m˜ae, por estar presente na vida de seus filhos. Augusto Salgado, meu pai, de quem herdei o gosto pelo estudo. Meu querido Moara por ser vocˆe comigo, quem me acalma e acende a chama, for¸ca minha, te adoro.

  ´Icaro Sol, meu filho amado, sua compreens˜ao e apoio com os sonhos de sua m˜ae s˜ao indiscut´ıveis. Obrigada por sua confian¸ca. Seu amor me faz uma pessoa melhor.

  A Deus, por tanto amor. Resumo

  1 Provamos que se f ´e um difeomorfismo local C tal que os expoentes de

  Lyapunov de toda medida de probalbilidade f -invariante s˜ao positivos, ent˜ao f ´e uniformemente expansora. Apresentamos tamb´em uma vers˜ao deste re- sultado para difeomorfismo com um conjunto n˜ao-uniformemente hiperb´olico. Por fim, fizemos uma exposi¸c˜ao parcial sobre como os resultados de Cao e de Ara´ ujo-Alves-Saussol foram utilizados em Castro-Pinheiro-Oliveira para obter um crit´erio de hiperbolicidade partindo de condi¸c˜oes sobre os pontos peri´odicos de sistemas conjugados a hiperb´olicos.

  Abstract

1 We prove that if a C local diffeomorphism f is such that the Lyapunov

  exponents of every f -invariant probability measure are positive, then f is uniformly expanding. We also present a version of this result for diffeomor- phism with a non-uniformly hyperbolic set. Finally, we present an overview of how the results in Cao and Ara´ ujo-Alves-Saussol were used by Castro- Oliveira-Pinheiro to get a criterion of hyperbolicity from conditions about periodic points of the conjugated hyperbolic systems.

1 Introduc ¸˜ ao

  A no¸c˜ao de sistema dinˆamico uniformemente hiperb´olico foi proposta por Smale, e desde ent˜ao, muitos dos resultados obtidos em Sistemas Dinˆamicos descrevem caracter´ısticas de hiperbolicidade tanto sob o aspecto topol´ogico quanto o da teoria da medida.

  Em particular, o estudo das taxas de expans˜ao n˜ao-uniforme e condi¸c˜oes sobre um dado conjunto de pontos e suas rela¸c˜oes com o comportamento uniformemente expansor ´e enfatizado em v´arios artigos recentes.

  Desde Oseledets [14], sabe-se que se µ ´e medida invariante para uma

  1

  aplica¸c˜ao f de classe C , ent˜ao o n´ umero

  1

  n

  λ(x, v) = lim (1) log kDf (x).vk

  n→+∞

  n ´e definido num conjunto de probabilidade total e ´e chamado de expoente de Lyapunov em x na dire¸c˜ao de v.

  1 No nosso estudo, provamos que se f ´e um difeomorfismo local C tal

  que os expoentes de Lyapunov de toda medida de probabilidade f -invariante s˜ao positivos, ent˜ao f ´e uniformemente expansora. E tamb´em uma vers˜ao deste resultado para difeomorfismo com um conjunto n˜ao-uniformemente hiperb´olico.

  Abaixo, apresentamos uma descri¸c˜ao sucinta dos artigos usados na dis- serta¸c˜ao. Ara´ ujo, Alves e Saussol [3], provaram que se f ´e um difeomorfismo local

1 C n˜ao-uniformemente expansor (NUE) sobre um conjunto de probabilidade

  total, ent˜ao f ´e uniformemente expansor, usando o conceito de NUE e o teo- rema de Birkhoff para tal fim.

  No artigo que ´e a principal referˆencia de nosso trabalho, Cao [1] apresen- tou uma vers˜ao deste resultado, na qual a hip´otese de expans˜ao n˜ao-uniforme ´e substitu´ıda por expoentes de Lyapunov positivos em todas as dire¸c˜oes e o Teorema Erg´odico Subaditivo (Kingman) para obter sua tese, a qual ´e a mesma de [3]. As diferen¸cas entre as provas vistas em [1] e [3] s˜ao abordadas na se¸c˜ao 5.

  A ´ ultima se¸c˜ao da disserta¸c˜ao faz uma exposi¸c˜ao parcial sobre como [1] e [3] foram utilizados por Castro, Pinheiro e Oliveira [4], usando o ferra- mental de tempos hiperb´olicos e o Lema de Pliss, para obter um crit´erio de hiperbolicidade partindo de condi¸c˜oes sobre os pontos peri´odicos de sistemas conjugados a hiperb´olicos.

2 Enunciado dos principais resultados

  1 Defini¸ c˜ ao 2.1.

  de uma Seja f : M → M um difeomorfismo local C variedade M dotada da m´etrica Riemanniana que induz uma norma k.k no espa¸co tangente e uma forma de volume dita Medida de Lebesgue.A aplica¸c˜ao f ´e dita uniformemente expansora se existem contantes c > 0 e σ > 1 tais que:

  n n x

  kDf x (v)k≥ c.σ kvk, ∀x ∈ M, v ∈ T M, n ≥ 1.

  1 Proposi¸ c˜ ao 2.2. definido em Seja f : M → M um difeomorfismo local C uma variedade riemanniana compacta.

  Se

  1

  n −1

  lim inf (x)) (2) log(k(Df k) < 0

  n→+∞

  n

  

sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f ´e uniformemente expan-

sora.

  Defini¸ c˜ ao 2.3. x M , o n´ umero

  Para cada x ∈ M e v ∈ T

  1

  k

  λ(x, v) = lim log kDf x (v)k

  k→+∞

  k ´e dito expoente de Lyapunov, sempre que tal limite existir.

  1 Teorema 2.4. numa variedade Seja f : M → M um difeomorfismo local C

riemanniana compacta. Se os expoentes de Lyapunov para toda medida de

probabilidade f -invariante s˜ao positivos, ent˜ao f ´e uniformemente expansora.

  Tamb´em temos uma vers˜ao destes resultados para f : M → M um

  1

  difeomorfismo local C tendo conjuntos invariantes com alguma estrutura n˜ao-uniformemente hiperb´olica.

  Lembramos aqui que se M uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n e T x M o espa¸co tangente a M no ponto x, o conjunto

  x

  T M = {(x, v), x ∈ M e v ∈ T M } ´e uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao 2n e ´e chamado de Espa¸co Fibrado Tangente a M . Defini¸ c˜ ao 2.5.

  Seja Λ ⊂ M um conjunto invariante de f com uma de- composi¸c˜ao cont´ınua Df -invariante do fibrado tangente sobre Λ, T M =

  Λ cs cu

  E . Λ ´e dito conjunto hiperb´olico se f tem as dire¸c˜oes de expans˜ao ⊕ E

  cu cs

  uniforme em E e de contra¸c˜ao uniforme em E , ou seja, existem constantes c > 0 e σ > 1 tais que

  n u n u n s −n s

  (v (v kDf x )k≥ c.σ kv k e kDf x )k≤ c.σ kv k

  

s cs u cu

  , v ∀x ∈ Λ, v ∈ E ∈ E , n ≥ 1.

  1 Teorema 2.6. e Λ um conjunto pos- Seja f : M → M um difeomorfismo C

itivamente invariante para o qual o espa¸co tangente tem uma decomposi¸c˜ao

cs cu

cont´ınua Df -invariante T M = E .Se f tem todos os expoentes de

  Λ

  ⊕ E

  cu cs

  

Lyapunov na dire¸c˜ao E positivos e todos os negativos na dire¸c˜ao E , sobre

um conjunto de probabilidade total, ent˜ao Λ ´e um conjunto hiperb´olico.

3 Lemas Preliminares

  Nesta se¸c˜ao provamos alguns lemas que ser˜ao usados na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 2.2.

  Defini¸ c˜ ao 3.1.

  (Convergˆencia fraca-*) Seja X um espa¸co normado e X

  := {l : X → R, l ´e linear e cont´ınua}

  o seu espa¸co dual. Dizemos que uma sequˆencia (l ) converge fraca-* se

  n n=1

  tal que existe l ∈ X lim

  n |l (x) − l(x)| = 0, ∀x ∈ X. n→+∞

  Sejam M um espa¸co m´etrico compacto e f : M → M uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

  Lema 3.2. f o espa¸co das medidas f -invariantes, φ uma fun¸c˜ao

  Seja M

  R

  cont´ınua sobre M. Se f

  φdµ < λ, ∀µ ∈ M , ent˜ao para todo x ∈ M, ∃ n(x)

  tal que n(x)−1

  X

  1

  i φ(f x) < λ.

  n(x)

  i=0

  Prova:

  Demonstrando por absurdo, suponhamos que ∃ x ∈ M tal que n−1

  X

  1

  i

  φ(f x) ≥ λ, ∀ n. n

  i=0 Definimos uma sequˆencia de medidas de probabilidade n−1

  X

  1 i µ = δ

  n f x

  (·), n ≥ 1 n

  i=0 i i onde cada δ ´e uma medida de Dirac suportada em f x. f x Seja µ um ponto de acumula¸c˜ao fraco desta sequˆencia, quando n → +∞.

  Tome uma subsequˆencia µ que convirja para µ. n k

  −1 Observe que µ ´e f -invariante, isto ´e, µ(f (A)) = µ(A): De fato, veja

  −i i que δ (f (A)) = δ (A). x f x i i −i −i

  Seja δ x (f (A)) = 1. f (x)

  (A) = 1 ⇒ f (x) ∈ A ⇒ x ∈ f (A) ⇒ δ

  i −i i Por outro lado, suponha que f (x) / f (x)

  ∈ A ⇒ δ (A) = 0 ⇒ x / ∈ f (A) ⇒

  −i δ (f (A)) = 0. x

  Logo, n −1 k

  X

  1 i µ = lim µ = lim δ

  n k f (x)

  (·) =

  n k →+∞ n k →∞

  n

  k i=0 n k −1

  X

  1

  −i

  = lim δ (f

  x (·)). n k →∞

  n k

  i=0 Assim, n k −1

  X

  1

  −1 −i −1

  µ (f δ(f (f

  n k

  (·)) = (·))) = n k

  i=0 n k −1

  X

  1

  1

  1

  −i −n k

  = δ(f δ(f µ. + (·)) (·)) − δ(·) −→

  |{z} n n n

  k k k i=0 f raca−∗

  | {z }

  µ nk

  Como φ ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos n k −1

  Z Z

  X

  1

  i

  φdµ = lim φdµ = lim φ(f

  n k x) ≥ λ. k→+∞ k→+∞

  n

  k i=o

  R

  o que contradiz a hip´otese de

  φdµ < λ, provando o lema.

  

Lema 3.3. o espa¸co das probabilidades f-invariantes, seja φ uma

f

  Seja M

  R

  fun¸c˜ao cont´ınua sobre M. Se f

  φdµ < λ, ∀ µ ∈ M , ent˜ao ∃ N tal que ∀n ≥ N temos

  n−1

  X

  1

  i

  φ(f x) < λ, ∀x ∈ M. n

  i=0

  Prova:

  Pelo Lema 3.2, para cada x ∈ M, ∃ n(x) ∈ N e c(x) < λ,tais que n(x)−1

  X

  1

  i φ(f x) < c(x).

  n(x)

  i=0 de x tal x

  Assim , por continuidade, para cada x ∈ M, h´a uma vizinhan¸ca V , temos x que para todo y ∈ V n(x)−1

  X

  1

  i φ(f y) < c(x).

  n(x)

  i=0

M ´e compacto,logo existe cobertura finita V (x ), ..., V (x ) de M por vizin-

  1 p han¸cas deste tipo. Seja e ), ..., n(x ), ..., c(x

  1 p 1 p N = max{n(x )} e c = max{c(x )}.

  Da´ı, temos c < λ. Tome

  α = max x∈M kφ(x)k = kφk.

  Defina, a seguinte sequˆencia de aplica¸c˜oes:

  N

  1 i x i

  (x) = min{n(x ); x ∈ V , i = 1, ..., p}

  e

  N k : M → N, k ≥ 0,

  da seguinte forma

N k (x)

  N (x) = 0, N k+1 (x) = N k (x) + N

  1 (f (x)), para x ∈ M.

  .

  k k+1 Logo, para todo x ∈ M e n ∈ N, existe k tal que N ≤ n ≤ N

  Da´ı, N k +1 n−1 l−1 n

  X X

  X X

  i i j φ(f x) = φ(f (x))+ φ(f l + α e N .

  (x)) ≤ cN N ≤ cn + (|c| + α) e

  i=0 k=0 j=N k j=N k +1 J´a que, temos

  • α e N ;

  k para c ≥ 0 : cN N ≤ cn + α e N ≤ cn + (|c| + α) e

e para c < 0 : cN +α e )+α e N +α e N .

k k

  N = cn−c(n−N N ≤ cn+|c| e N ≤ cn+(|c|+α) e

  Portanto, se tomarmos N = (2(|c| + α) e N )/(λ − c), temos n−1

  X

  1

  i

  φ(f x) < λ, ∀x ∈ M, n ≥ N.♦ n

  i=0

4 Prova da Proposi¸ c˜ ao 2.2 Defini¸ c˜ ao 4.1.

  Uma aplica¸c˜ao A : N×M → Gl(k, R) ´e um cociclo subaditivo mensur´avel sobre f se verifica as seguintes propriedades:

  m (i) A(n + m, x) ≤ A(n, f (x)) + A(m, x) , para quaisquer n, m ∈ N e x ∈ X.

  (ii) A(n, .) : M → Gl(k, R) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel para cada n ∈ N. (iii) A(0, x) = Id, ∀x ∈ X.

  Enunciaremos, agora, o teorema erg´odico subaditivo de Kingman que ser´a usado na pr´oxima demonstra¸c˜ao.

  Teorema 4.2. (Teorema Erg´odico Subaditivo de Kingman) Seja A : N×M → R um cociclo subaditivo sobre f tal que max{0, A(1, ·)} =:

  1 +

  A (1, ·) ∈ L (M, µ). Ent˜ao, para µ-quase todo ponto x ∈ M existe o limite

  A (n, x)

  ∗

  A = lim .

  n→+∞

  n

  ∗

  

1

Al´em disso, a fun¸c˜ao A est´a em L (M, µ), ´e f -invariante e satisfaz

  Z Z

  1

  ∗

  A A dµ = lim (n, x)dµ(x).

  n→+∞

  n

  M M

Defini¸ c˜ ao 4.3. Um conjunto boreliano A ´e dito de probabilidade total em

M se, µ(A) = 1, para toda medida de probabilidade f -invariante em M .

  Defini¸ c˜ ao 4.4.

  Uma medida de probabilidade f -invariante µ ´e dita erg´odica

  −1

  (A) = A) temos se para qualquer conjunto f -invariante A ∈ A (ou seja, f µ(A) ∈ {0, 1}. Defini¸ c˜ ao 4.5. , ..., φ 1 n

  Dados µ ∈ M(M), F = {φ } um conjunto finito de fun¸c˜oes cont´ınuas φ

  j

  : M → R e ǫ > 0 arbitr´ario, definimos Z Z

  φ φ

  j j j V (µ, F, ǫ) := {η ∈ M(M); | dη − dµ |< ǫ, ∀φ ∈ F }.

  A topologia contendo,para cada medida µ, a cole¸c˜ao de todos os conjuntos V (µ, F, ǫ) como base de vizinhan¸ca em µ, com F e ǫ vari´aveis, ´e chamada Topologia fraca-* em M(M). Esta topologia corresponde `a no¸c˜ao de con- vergˆencia vista em 3.1

  Observa¸ c˜ ao 4.6.

  ser

  f

  Na pr´oxima demonstra¸c˜ao usaremos o fato de M compacto, isto ´e devido aos teoremas de Riesz-Markov e Banach-Alaoglu e ´e comentado no apˆendice.

  Vamos, enfim, `a :

  Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2

  um espa¸co das medidas f -invariantes, munido da topologia

  f

  Seja M fraca-*.

  n −1

  Defina φ )

  n (x) = log k(Df x k, n ∈ N.

  1 Como f ´e um difeomorfismo local C sobre M temos que a aplica¸c˜ao φ (x) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua sobre M . n n −1

  Afirma¸ c˜ ao 1.

  φ )

  n (x) = log k(Df x k ´e um cociclo subaditivo.

  Prova: Como φ ´e cont´ınua, ´e mensur´avel. Ademais,

  n m+n −1 m n −1

  φ ) (Df ))

  m+n

  (x) = log k(Df x k = log k(Df k =

  m n n −1 m n −1 n −1

  (f (x)) (f (x))) (x)) = log k(Df (x)) · Df k ≤ log(k(Df k · k(Df k) =

  m n −1 n −1 n (f )) (x)) m (f (x)) + φ n (x).

  = log k(Df k + log k(Df k = φ Isto prova a afirma¸c˜ao 1. Da´ı, pelo teorema erg´odico subaditivo (teorema 4.2), temos que o limite

  1 lim φ n (x) =: e φ(x)

  n→+∞

  n existe para µ − qtp x e toda medida µ f-invariante. Al´em disso, e φ ´e f -invariante e integr´avel.

  φ n Afirma¸ c˜ ao 2. ´e dominada. n

  Prova: De fato,

  n −1 n−1 j −1 n−1 j −1

  ) (Df (f (x)))] (x))) k(Df k = k[Π j=0 k ≤ Π j=0 k(Df(f k.

  −1

  Como f ´e difeomorfismo local (Df ) ´e uniformemente limitada superi- ormente, digamos por uma constante S > 0. Assim,

  1

  1

  n −1 n n −1 −1

  ) ) k(Df k ≤ S ⇒ log k(Df k ≤ log k(Df) k ≤ log S. n n

  −1

  Por outro lado, Df tamb´em ´e limitada inferiormente j´a que

  n −1 −1 n n−1 j

  (x) = inf Df (f k(Df )k k(Df ) · vk = inf k[(Π j=0 (x))) · v]k ≤

  kvk=1 kvk=1 n−1 j n

  ≤ inf {Π k(Df(f (x)))k · kvk} ≤ kDfk ⇒

  j=0 kvk=1 n −1

  (x))

  −n n −1 log k(Df k

  ) . kDfk ≤ k(Df (x)k ⇒ − log kDfk ≤ n

  φ n Portanto, tomando r = max{log kDfk, log S} temos k k ≤ r, ∀n. n Provando assim a afirma¸c˜ao 2.

  Portanto, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue, temos Z Z

  φ

  n

  e lim dµ = φdµ, para toda medida invariante µ.

  n→+∞

  n Por hip´otese,

  1

  n −1

  lim inf ) log k(Df x k < 0

  n→+∞

  n num conjunto de medida de probabilidade total. Isto implica que e φ < 0, para µ − qtp x para qualquer medida invariante µ.

  Assim, .

  f

  R eφdµ < 0,∀µ ∈ M Agora provemos que ∃ L ∈ N e λ < 0 tais que

  Z

  1 φ L f : dµ < λ, ∀µ ∈ M

  L

  f , pelo teorema 4.2, temos

  Ora, para uma dada medida µ ∈ M Z Z

  φ

  n

  e lim dµ = φdµ.

  n→+∞

  n R n

  φ

  1 J´a que dµ < . µ µ

  R eφdµ < 0,∃ n ∈ N tal que R eφdµ,∀n ≥ n

  n

  2 φ nµ

  ´e cont´ınua. Note que fixada µ, a aplica¸c˜ao x 7−→ µ

  n

  Para provarmos a uniformidade usaremos argumento padr˜ao de compaci- dade da esfera unit´aria na topologia fraca-* e a consequente compacidade do das probabilidades f -invariantes.

  f

  subconjunto M (O argumento aqui usado ´e similar ao do Lema 3.3, s´o que refere-se `a no lugar da de M )

  f

  compacidade de M

  1 Assim, tomando ǫ µ =

  R eφdµk, temos que o conjunto k

  4 Z Z

  φ φ

  n µ n µ

′ ′

  V dµ

  

µ µ

  = {µ ; k dµ − k < ǫ } n n

  µ µ ´e aberto na topologia fraca-*, vizinhan¸ca de µ.

  Veja que Z Z Z Z

  φ µ φ µ φ µ φ µ

  n n n n ′ ′

  dµ = dµ dµ + − dµ ≤ n µ n µ n µ n µ

  Z Z

  1

  1

  ′

  e e φdµ + ǫ = .

  µ µ

  ≤ φdµ, ∀µ ∈ V

  2

  4 e j´a que este ´e compacto (teoremas 7.1

  µ f

  Da´ı, ∪V ´e uma cobertura de M e 7.2), podemos achar uma subcobertura finita, digamos V µ , ..., V µ .

  1 l

  Se denotarmos n = n

  j µ j µ j

  e λ = max{−ǫ , j = 1, ..., l}, ent˜ao, λ < 0 e

  f , existe uma vizinhan¸ca

  ∀ν ∈ M Z

  1 (V µ j φ n j dν < λ. ) ∋ ν, para algum j, tal que vale n

  j

  Observe que

  n j k k−1 n j t n j

  [Df (f kDf (x)k ≤ kΠ t=0 )]k ≤

  k−1 n j n j t n j k k−1 n j n j t

  (f (f

  ≤ Π t=0 k[Df )]k ⇒ log kDf (x)k ≤ log Π t=0 k[Df )]k ⇒

  k−1

  X

  tn j

  φ (f (x)),

  n j k n j

  ⇒ φ ≤

  t=0 para algum k ∈ N e j = {1, ..., l} fixado.

  ν ´e f -invariante,

  µ j

  Dada b ν ∈ V , j´a que b

  

k−1

  Z Z

  X

  1

  1

  1

  kn j tn j

  φ (f φ (f ν =

  n j nj

  (x))db ν ≤ (x))db kn k n

  j j

t=0

k−1

  Z Z

  X

  1 1 φ j

  kn = φ nj < λ.

  (x)db ν < λ ⇒ k n kn

  j j t=0

  R

  1 φ dµ < λ. l L

  Assim, se fizermos L = mmc{n }, ent˜ao

  L

  1 J´a que ( )φ L

  ´e fun¸c˜ao cont´ınua sobre M, pelo Lema 3.3, ∃ e N ∈ N tal que

  L n−1

  X

  1

  1

  i

  φ L (f (3) (x)) < λ, ∀n ≥ e N , ∀x ∈ M. n L

  i=0

  P n−1

  1 i

  (Isto ´e quase o que precisamos: Se L = 1, ent˜ao φ φ(f (x)) <

  n

  (x) ≤

  n i=1

  N que ´e o resultado desejado)

  n

  λ ⇒ φ (x) < λn, ∀n ∈ e (Aqui ainda n˜ao vale a subaditividade de φ L em rela¸c˜ao a f , mas sim em

  L L

  rela¸c˜ao a f . Trocar f por f neste momento n˜ao garante que todas as µ

  L

  f -invariantes tˆem sua integral menor que λ)

  • φ

  1

  φ

  x∈M

  max

  i=1,...,L

  = max

  1

  (x)k, ∀0 ≤ j ≤ L, digamos,c

  L−j

  kφ

  x∈M

  k = sup

  L−j

  > 1 uma cota para kφ

  Seja c

  Da´ı, φ

  Li+j (x)).

  (f

  L

  φ

  j=0

  X

  i=0 L−1

  X

  k−2

  1 L

  (x)))] +

  j

  (f

  (k−1)L

  i (x).

  kL

  L−j

  φ

  , ∀ k tal que L(k − 1) ≥ e N . Assim, para algum n ≥ e

  1

  (x) ≤ L(k − 1)λ + 2c

  kL

  , se L(k − 1) − 1 > e N . Logo, temos φ

  1

  L(k−1)λ+2c

  (3)

  < |{z}

  1

  (x))+2c

  t

  L (f

  L

  

t=0

  ≤

  X

  

L(k−1)−1

  ≤

  1

  (x))+2c

  iL+j

  L (f

  L

  φ

  i=0

  X

  j=0 k−2

  X

  L−1

  (f

  j

  Queremos uma express˜ao em que apare¸ca os intermedi´arios e n˜ao apenas os m´ ultiplos de L, portanto usando a subaditividade, temos para todo k ∈ N

  k−2

  = f

  kL

  (Basta fazer f

  (k−1)L+j (x)).

  (f

  L−j

  (x)) + φ

  

iL+j

  (f

  L

  φ

  i=0

  X

  (x) +

  ◦ f

  j

  (x) ≤ φ

  kL

  (x)), e ent˜ao, para algum 0 ≤ j < L, φ

  iL

  (f

  L

  φ

  i=0

  X

  k−1

  (x) ≤

  kL

  φ

  L−j

  (k−1)L

  [φ

  X

  j=0

  X

  L−1

  1 L

  (x)))] = =

  (k−1)L+j

  (f

  L−j

  (x) + φ

  

Li+j

  (f

  L

  φ

  i=0

  k−2

  ◦ f

  (x) +

  j

  [φ

  j=0

  X

  L−1

  1 L

  (x) ≤

  kL

  φ

  ) Somando em j = 0, ..., L − 1 e dividindo por L, temos

  kL

  e aplicar a regra da cadeia e a subaditividade em φ

  j

  N + 2L, podemos decompor n = kL + j, onde 0 ≤ j < L. Ent˜ao,(k − 1)L = n − (L + j) > e N . Novamente, usando a subaditividade, obtemos

  kL φ (x) + φ (f + c . n kL j

  1

  1

  (x) ≤ φ (x)) ≤ L(k − 1)λ + 2c Logo, φ .

  n

  1

  (x) ≤ L(k − 1)λ + 3c Como (k − 1)L < n, obtemos

  1

  3 L(k − 1) φ λ + c =

  n

  1

  (x) ≤ n n n i

  3c λ

  1

  h(L(k − 1)) + L + j L − j λ + + =

  ≤ ⇒ n n n 2 nλ

  n

  ⇒ φ ≤ , ∀n > N,

  2 onde ¯ ¯

  3c λ L

  1

  ¯ ¯ N tal que < < . −→ 1 e N > e ¯ ¯, n n

  1 L(k − 1)

  8 n

  8 Assim, se tomarmos 6c 1 λ

  1 N + 2L, φ n

  k = max{ e }, obtemos (x) ≤ , ∀x ∈ M, n ≥ k. n

  2 (−λ)

  −1 −1 k−1 −1

  Seja c ) )

  x = max{k(Df k, . . . , k(Df x k, 1}.

  Da´ı, λn

  −1 −1 2

  ) e

  x k(Df k ≤ c , ∀n ≥ 1.

  Ademais, ∃c > 0 e λ < 0 tais que λn

  n − 2 x

  kDf x (v)k ≥ ce kvk, ∀x ∈ M, v ∈ T M, n ≥ 1.♦ Esc´ olio 1.

  Seja φ um cociclo subaditivo cont´ınuo em uma variedade M

  n

  compacta tal que

  1 lim inf φ

  

n

< 0, ∀ n. n→+∞

  n > 0 tais que φ .

  

n

  Ent˜ao,∃ λ < 0 e N < nλ, ∀ n > N

5 Provas dos Teoremas

  Apresentamos agora o enunciado do importante

  Teorema 5.1. (Teorema de Oseledets - vers˜ao n˜ao invert´ıvel) Seja A : N × M → Gl(n, R) um cociclo sobre uma transforma¸c˜ao men-

  

sur´avel f : M → M com log kA(1, ·)k, onde log = max{0, log}, integr´avel

em rela¸c˜ao a uma medida f -invariante µ em M . Para µ − qtp x ∈ M ex-

  (x) < . . . < λ (x) e espa¸cos

  1 t(x) iste um inteiro positivo t(x) ≤ n, n´umeros λ n

  (x) = R tais que:

  1 t(x) lineares {0} = F (x) ⊂ F (x) ⊂ . . . ⊂ F

  (x) = 0 ent˜ao

  i i−1

1) Se F ⊂ F (x) ´e um subespa¸co linear com F ∩ F

  1 lim

  i (x),

  log inf kA(n, x)vk = lim log sup kA(n, x)vk = λ

  n→+∞ n→+∞

  n

  onde o ´ınfimo e o supremo s˜ao tomados sobre todos os vetores v ∈ F tais que kvk = 1; 2)

t(x)

  X

  1 lim (dimF (x) + dimF (x))λ (x).

  i i−1 i

  log | det A(n, x)| =

  n→+∞

  n

  

i=1

  Este teorema ´e de suma importˆancia na teoria de sistemas dinˆamicos e ser´a usado de maneira bem direta juntamente `a proposi¸c˜ao 2.2 na demons- tra¸c˜ao do pr´oximo teorema.

  Prova do Teorema 2.4

  Pelo Teorema 5.1 , existe um conjunto B ⊂ M tal que µ(B) = 1, ∀µ ∈ , com as propriedades:

  f

  M

  ∗ (1)Existe uma fun¸c˜ao mensur´avel s : B → Z com s ◦ f = s.

  (x) < ... < λ (x).

  1 s(x)

  (2)Se x ∈ B, existem n´umeros reais λ (x) = T M .

  s(x) x

  (3)Se x ∈ B, existem subespa¸cos lineares 0 = F (x) ⊂ ... ⊂ F (4)Se x ∈ B e 0 < i ≤ s(x), ent˜ao

  1

  n lim i i i−1 (x).

  log kDf x (v)k = λ (x), ∀v ∈ F (x)\F

  n→∞

  n (x) > 0, para i = 1, ..., s(x).

  i

  Por hip´otese, se x ∈ B, ent˜ao λ Da´ı, para todo x ∈ B, ∃N(x) tal que

  

n (nλ (x))/2

1

  kDf x (v)k ≥ e kvk, M .

  x

  para n ≥ N(x) e v ∈ T Assim,

  n −1 (−nλ (x))/2 1

  ) , k(Df x k < e para n ≥ N(x) e

  1

  1 (x) n −1 −λ

  lim inf ) < 0. log k(Df x k ≤

  n→∞

  n

  2 Portanto, pela Proposi¸c˜ao 2.2, f ´e uniformemente expansora.♦ Vejamos a diferen¸ca entre esta demonstra¸c˜ao e a apresentada em [3].

  1 Defini¸ c˜ ao 5.2.

  Um difeomorfismo local C f : M → M ´e uma aplica¸c˜ao n˜ao-uniformemente expansora (NUE) em x ∈ M se

  n−1

  X

  1 j −1 lim inf ) log k(Df f x k < 0.

  n→+∞

  n

  j=0

  Em [3], os autores investigaram se uma condi¸c˜ao NUE pode ainda implicar comportamento de expans˜ao uniforme forte.

  Na hip´otese dos lemas em [3] temos NUE num conjunto de probabili- R dade total enquanto em [1] o autor percebeu que podia usar φdµ < λ.

  Mesmo de maneira impl´ıcita, Ara´ ujo-Alves-Saussol passaram por esta inte- gral, chegando a ela pela condi¸c˜ao de NUE, que ´e mais forte que a de todos os expoentes de Lyapunov positivos.

  Observe que esses lemas levam `a tese do teorema principal em ambos os artigos. Entretanto, no caso de [3] os lemas s˜ao utilizados diretamente para obter o teorema e em [1] o autor ainda teve de passar pela proposi¸c˜ao 2.2.

  O que Cao fez a mais foi supor que os expoentes de Lyapunov s˜ao todos R

  1

  positivos, chegando `a hip´otese φ dµ < λ, pela aplica¸c˜ao do teorema

  

L

L

  erg´odico de Kingman, depois ajustou as contas para poder aplicar os lemas e chegar ao resultado desejado.

  Abaixo o enunciado do teorema apresentado no artigo [3]:

  1 Teorema 5.3. definido numa

Seja f : M → M um difeomorfismo local C

variedade Riemanniana compacta. Se f ´e n˜ao-uniformemente expansora sobre

um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f ´e uniformemente expansora.

  Os lemas usados na demonstra¸c˜ao deste teorema foram os seguintes: Lema 5.4.

  Se n−1

  X

  1

  j

  lim inf φ(f (x)) < 0

  n→∞

  n

  j=0 vale num conjunto de probabilidade total, ent˜ao ´e v´alido para todo x ∈ X.

  P

  m e N −1 j c Lema 5.5.

  

Existe c > 0 tal que φ(f m + c

j=0 x) ≤ − , ∀x ∈ X e

  2 m ≥ 1.

  Prova do Teorema 2.6

  Devido `a continuidade dos fibrados, basta tomar

  −n cu

  φ n E x (x) = log kDf | k ou

  n cs

  φ

  

n E x

  (x) = log kDf | k, e aplicar o esc´olio 1, obtendo a prova do mesmo modo que no teorema 2.4.

  

6 Um crit´ erio de hiperbolicidade para sistemas

conjugados a expansores

  Neste cap´ıtulo apresentamos como a Proposi¸c˜ao 2.2 pode ser aplicada a outros resultados.

  2 , M variedade riemanniana.

  Seja g : M → M um difeomorfismo local C Defini¸ c˜ ao 6.1.

  Seja z ∈ M um ponto regular. Dizemos que k ∈ N ´e um tempo ξ-hiperb´olico para z se, para i = 1, ..., k, temos

  

i −1 i

k−j Π ] .

  

(g (z))

j=1 k[Dg| k ≤ ξ

  O seguinte lema ser´a muito ´ util no que segue:

  Lema 6.2. (Lema de Pliss)

Dados λ > 0, ǫ > 0 e H > 0, existem N = N (λ, ǫ, H) e δ = δ(λ, ǫ, H) >

  0 tais que, se a , a , . . . , a s˜ao n´ umeros reais, satisfazendo

  1 2 n N

  X a n ≤ Nλ,

  n=1 n

  1 N ≥ N , |a | ≤ H para n = 1, . . . , N, ent˜ao existe l ≥ Nδ, 1 ≤ n ≤ l

  . . . ≤ n ≤ N tal que

  n

  X a )(λ + ǫ),

  i j

  ≤ (n − n

  i=n j +1 para todo j = 1, . . . , l e n j < n ≤ N. Uma propriedade interessante de tempos hiperb´olicos para difeomorfis- mos locais ´e que, sob condi¸c˜oes de proximidade entre segmentos de ´orbitas, √

  ξ- um tempo ξ−hiperb´olico para um ponto x ∈ M ser´a tamb´em tempo hiperb´olico para os pontos de uma vizinhan¸ca de x: Lema 6.3.

  (Vers˜ao simplificada da Proposi¸c˜ao 2.23 em [5]) Seja g : M → M um difeomorfismo local numa variedade riemanni-

ana compacta M . Suponha que k seja um tempo ξ−hiperb´olico para x ∈

  M .Ent˜ao, existe b δ > 0 tal que, para todo y ∈ M cujo k-segmento de ´orbita

  √

  dista a menos de b δ do de x, temos k como tempo ξ−hiperb´olico para y.

  Prova:

  De fato, seja b δ > 0 tal que

  1

  −1 −1 k[Dg(y)] k ≤ √ · k[Dg(z)] k, ∀y, z ∈ M, tais que d(y, z) < bδ.

  ξ

  j j Considere agora x = g (x) e y = g (y) com d(x , y ) < b δ,e j = 0, . . . , k.

j j j j

  Da´ı, para l < k, temos

  ´ l 1 ³ 1 √

  l −1 l −1 l l

  Π k−j )] k−j )] = ( ς) , √ √

  j=1 k[Dg(y k ≤ Π j=1 k[Dg(x k ≤ · (ς)

  ξ ξ

  implicando que k ´e tempo ξ-hiperb´olico para y.

  2

  topologicamente conjugado Seja g : M → M um difeomorfismo local C

  1 a um endomorfismo C expansor.

  

Defini¸ c˜ ao 6.4. (Aplica¸c˜ao N˜ao-Uniformemente Expansora sobre um con-

  junto) Dizemos que um difeomorfismo local f ´e NUE sobre um conjunto X, se existe η < 0 tal que

  n−1

  X

  1

  j −1

  lim inf (x))] log k[Df(f k ≤ η < 0, ∀x ∈ X.

  n→∞

  n

  j=0

  

Lema 6.5. Suponha que g ´e topologicamente conjugada a uma aplica¸c˜ao

expansora f. Seja x um ponto regular recorrente de g. Se Per(g) ´e NUE,

ent˜ao todos os expoentes de Lyapunov de x s˜ao positivos.

  Prova:

  Seja δ > 0 tal que dada qualquer bola B(z, δ) os ramos inversos corre- η

spondentes de g s˜ao difeomorfismos bem definidos. Se ξ = e , η < 0 como na

  √

  ′ −1 ′ defini¸c˜ao de NUE, ξ < ξ < 1 fixado e seja ǫ > 0 tal que ( ξ ) − ǫ > 1.

  Desde que x seja um ponto regular ∃ n ∈ N tal que n n n (ξ (x).v + ǫ) .

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  − ǫ) .kv k < kDg k < (ξ .kv k, ∀v ∈ E ; ∀n ≥ n

  Onde os E ´e o autoespa¸co de Lyapunov associado a log(ξ ) o menor

  1 1 expoente de Lyapunov.

  Agora,pelo lema 6.2, existe n > n tal que para qualquer ponto y e n > n

  1

  1 onde

n j −1 −1 −n

  Π (y))] ,

  

j=0 k[Dg(g k ≥ ξ

temos, ent˜ao que y tem pelo menos n tempos hiperb´olicos menores que n.

  Fixemos 0 < δ

  ≤ δ tal que

  1

  −1 −1 ′

  , √ k[Dg (y)]k ≤ kDg (z)k, ∀z, y; d(z, y) < δ

  ′

  ξ

  −1 onde g designa qualquer ramo inverso de g.

  ′′ ′ −n Escolhemos 0 < δ < δ tal que se g ´e uma composi¸c˜ao arbitr´aria de n

  −n ′′ ′ ramos inversos de g, ent˜ao diam(g (B(z, δ ))) < δ

  , ∀z ∈ M, ∀n ∈ N. Isto ocorre pois ´e v´alido para o sistema expansor f que ´e conjugado a g.

  Como x ´e um ponto recorrente, escolhemos n um tempo de retorno

  2

  1

  ≥ n

  ′′ n ′′ 2 tal que uma vizinhan¸ca V x ) de x ´e dada por g sobre B(x, δ ).

  ⊂ B(x, δ

  n −1 ′′ ′′ 2 Portanto, escrevendo G := (g V x ) , G : B(x, δ x ) tem

  | ) → V ⊂ B(x, δ , que ´e peri´odico de per´ıodo n por g.

  x

  2 um ponto fixo p ∈ V

  Por hip´otese, p ´e um ponto peri´odico hiperb´olico para o qual temos n −1 2 j −1 −1 −n n 2 2

  Π (p))]

j=0 k[Dg(g k ≥ kξ k ⇒ kDG(p)k ≤ kξ k.

  ′ Por nossa escolha de n e pela equa¸c˜ao acima, existe um tempo ξ -hiperb´olico

  1

  √

  ′ ′ ′

  n < n < n para p. Devido ao lema 6.3, n ´e tamb´em ξ -hiperb´olico para

  2

  x. Em particular, isto implica que p −n

  n

  ξ M.

  p

  kDg (x).vk ≥ kvk, ∀v ∈ T p

  ′−1 Portanto, ξ ξ

  1 ≥ − ǫ > 1.

  

Isto significa que o menor dos expoentes de Lyapunov de x ´e maior que

  0, e portanto todos os outros o s˜ao.♦ Defini¸ c˜ ao 6.6.

  (Sombreamento por Pontos Peri´odicos) Seja f : M → M uma aplica¸c˜ao e b Λ ⊂ M um conjunto compacto f- invariante.Dizemos que (f, b Λ) tem a propriedade de sombreamento por pon- tos peri´odicos se dados ǫ > 0, α > 0 tais que para todo segmento de ´orbita

  n n

  Λ com d(f {x, . . . , f (x)} ⊂ b (x), x) < α, existe um ponto peri´odico p ∈ M

  j j

  com per´ıodo n tal que d(f (p), f (x)) < ǫ, ∀0 ≤ j ≤ n.

  Neste caso, dizemos que a ´orbita de p ǫ-sombreia o segmento de ´orbita

  n {x, . . . , f (x)}.

  Se b Λ ⊂ M ´e um conjunto compacto, hiperb´olico, invariante por um difeomorfismo f , ent˜ao a teoria cl´assica de sistemas hiperb´olicos implica que

  (f, b Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos peri´odicos. O mesmo tamb´em ´e v´alido para qualquer sistema que ´e topologicamente conjugado a f .

  2 Teorema 6.7. sobre uma Seja g : M → M um difeomorfismo local C

variedade compacta M . Suponha que existe um conjunto compacto invari-

ante Λ ⊂ M tal que (g, Λ) tem a propriedade de sombreamento por pontos

peri´odicos.Se g ´e NUE sobre o conjunto de pontos peri´odicos Per(g), ent˜ao g

´e uma aplica¸c˜ao expansora sobre Λ.

  Notamos que o conjunto de pontos recorrentes regulares de Oseledets ´e um conjunto de probabilidade total, devido ao Teorema de Oseledets (teorema 5.1) e ao Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e (teorema 7.3). Isto significa que este conjunto tem medida igual a 1 para qualquer medida g-invariante, e o lema 6.3 implica que todos os expoentes de Lyapunov s˜ao positivos. Portanto, nosso teorema 6.7 ´e obtido pela aplica¸c˜ao do lema 6.3 para a proposi¸c˜ao 2.2.♦

  Como finaliza¸c˜ao, faremos um breve coment´ario sobre o resultado an´alogo ao que provamos aqui, mas no contexto de difeomorfismos, feito tamb´em em [4].

  Defini¸ c˜ ao 6.8. (Conjunto N˜ao-uniformemente Hiperb´olico - NUH) Seja g : M → M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M.

  Dizemos que um conjunto invariante S ⊂ M ´e um conjunto N˜ao Uniforme- mente Hiperb´olico (NUH) se

  cs cu

  M = E decomposi¸c˜ao Dg-invariante;

  S

  (1) ∃T ⊕ E (2) Existem η > 0 e uma m´etrica Riemanniana adaptada para a qual qual- quer ponto p ∈ S satisfaz

  n−1

  X

  1

  j cs j

  lim inf

  E (g (p))

  log kDg(g (p))| k ≤ η,

  n→∞

  n

  j=0 n−1

  X

  1

  j −1 cu j

  lim inf ]

  E (g (p)) log k[Dg(g (p))| k ≤ η. n→∞

  n

  j=0 Defini¸ c˜ ao 6.9. (Decomposi¸c˜ao Dominada)

  Seja f : M → M um difeomorfismo sobre uma variedade compacta M e seja X ⊂ M um subconjunto invariante (isto ´e, f(X) = X). Diz-se que uma decomposi¸c˜ao T E ´e dominada se e somente se

  x

  M = E ⊕ b (i) A decomposi¸c˜ao ´e Df -invariante, ou seja, Df (E(x)) = E(f (x)) e Df ( b E(x)) = b

  E(f (x)); (ii) ∃0 < λ < 1 e algum l ∈ N tais que, ∀x ∈ X

  l l −1

  sup inf {kDf (x) · vk} · ( {kDf (x) · vk}) ≤ λ.

  v∈E,kvk=1 v∈ b E,kvk=1

  Os autores usaram estas defini¸c˜oes para mostrar que se g ´e topologi- camente conjugada a uma aplica¸c˜ao hiperb´olica f , ent˜ao os expoentes de Lyapunov de todo ponto recorrente regular de g s˜ao n˜ao-nulos no seguinte lema:

  Lema 6.10.

  Suponha que g ´e topologicamente conjugado a uma aplica¸c˜ao hiperb´olica f. Seja x um ponto recorrente regular de g. Suponha que Per(g) ´e cs cu NUH e que a decomposi¸c˜ao T M = E ´e decomposi¸c˜ao dominada. P er(g)

  ⊕ E Ent˜ao, os expoentes de Lyapunov de x s˜ao n˜ao nulos. e o aplicaram para demonstrar o teorema abaixo:

  1 Teorema 6.11. sobre uma variedade Seja f : M → M um difeomorfismo C

  Riemanniana compacta, com um conjunto positivamente invariante Λ para o cs cu qual o fibrado tangente tem uma decomposi¸c˜ao cont´ınua T M = E . Se

  Λ

  ⊕E

  cu

  f tem expoentes de Lyapunov positivos na dire¸c˜ao E e negativos na dire¸c˜ao

  cs

  E

  Λ ´e uniformemente sobre um conjunto de probabilidade total, ent˜ao f | hiperb´olica.

7 Apˆ endice Teorema 7.1.

  (Banach-Alaoglu)

  

Seja X um espa¸co normado.Ent˜ao, a bola fechada unit´aria do dual X

de X ´e compacta na topologia fraca-*.

  Teorema 7.2. (Riesz-Markov) Seja M um espa¸co m´etrico compacto e C (M ) o espa¸co das fun¸c˜oes

  (M ) ´e o espa¸co das medidas

  cont´ınuas de M em R. Ent˜ao, o dual de C borelianas finitas com sinal sobre M .

  Teorema 7.3. (Recorrˆencia de Poincar´e - Vers˜ao Probabil´ıstica) Seja f : X → X, X um espa¸co de probabilidade. Ent˜ao, µ − qtp x ∈ X ´e recorrente.

7.1 Compacidade do espa¸ co

  f M

  ∗

  [0, 1] do Pelo teorema de Banach-Alaoglu, a bola fechada unit´aria B espa¸co dual de um espa¸co normado ´e compacta na topologia fraca-*. Ora, o teorema de Riesz-Markov d´a-nos que o espa¸co M(M) das medidas de prob-

  ∗ abilidade finitas com sinal de um dado espa¸co M ´e isomorfo (C (M )) .

  na prova da proposi¸c˜ao 2.2 ´e um subconjunto fechado de

  f

  Veja que M

  ∗

  [0, 1]: B

  M

  Com efeito, seja µ uma sequˆencia convergindo na topologia fraca-

  n f

  ∈ M

  f , basta mostrarmos

  • para uma certa medida µ. Para vermos que µ ∈ M que para toda φ cont´ınua fixada vale

  Z Z φdµ.

  φ ◦ fdµ =

  M M De fato, temos R R R R n φdµ n φdµ.

  φ ◦ fdµ −→ φ ◦ fdµ e −→

  M M M M

  |{z} |{z}

  f raca−∗ f raca−∗

  Como o limite ´e ´ unico e R R R R

  = φdµ φdµ

  n n

  φ ◦ fdµ ⇒ φ ◦ fdµ =

  M M M M

  |{z}

  µ n ∈M f (M ) ´e qualquer, obtemos µ f -invariante.

  e j´a que φ ∈ C Referˆ encias

[1] Cao Y., 2003, Non-zero Lyapunov exponents and uniform hyperbolicity,

Nonlinearity 16 1473-1479.

  

[2] Alves J.F., Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyper-

  bolic systems with mostly expanding central direction, Invent Math 140 (2000), 351-398. MR 2001j:37063b.

  

[3] Alves J, Araujo V and Saussol B, 2003, On the uniform hyperbolicity

  of some nonuniformly hyperbolic systems, Proc. Am. Math. Soc. 131 1303-9.

  

[4] Castro A., Oliveira K., Pinheiro V., 2006, Shadowing by non-uniformly

  hyperbolic periodic points and uniform hyperbolic, Nonlinearity 20 75- 85.

  

[5] Castro A., 2004 Fast mixing for attractors with mostly contracting cen-

tral direction, Ergod. Theory Dyn. Syst. 24 17-44.

[6] Bonatti C., Viana M., SRB measures for partially hyperbolic systems

  with mostly contracting central direction, Israel J. Math. 115 (2000), 157-193. MR 2001j:37063a.

  

[7] Katok A., Hasselblat B., Modern Theory of Dynamical Systems 2006,

8th Ed.

[8] Ma˜ n´e R., Hyperbolicity, sinks and measure in one-dimensional dynam-

  ics, Comm. in Math. Phys. 100 (1985) 495-524. Erratum, Comm. in Math. Phys. 112 (1987) 721-724. MR 87f:58131; MR 88i:58139. 2001.

  

[9] Ma˜ n´e R., Ergodic Theory and Differentiable Dynamics, Springer-Verlag,

1987.

[10] Pliss V., On a conjecture due to Smale, Diff. Uravnenija 8 (1972), 262-

  268. MR 45:8957

  

[11] Ruelle D., 1989, the thermodynamical formalism for expanding maps,

Comm. Math. Phys. 125 239-62.

[12] Shub M., Global Stability of Dynamical Systems, Springer-Verlag, New

  York (1987). MR 87m:58086

  1

[13] Ma˜ n´e R, 1988, A proof of the C stability conjecture, Publ. Math.

  I.H.E.S. 66 161-210.

  

[14] Oseledets V, 1968, a multiplicative ergodic theorem: Lyapunov charac-

  teristic numbers for dynamical systems, Trans. Moscow Math Soc. 19 197-231. Index

  Abstract, viii Agradecimentos, v Apˆendice, 25 Enunciado dos principais resulta- dos, 3 Introdu¸c˜ao, 1 Lemas preliminares, 5 Prova da Proposi¸c˜ao 2.2, 9 Provas dos Teoremas 2.4 e 2.6, 16 Resumo, vii Um crit´erio de hiperbolicidade para sistemas conjugados a ex- pansores, 19

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