Conexidade dos esquemas de Hilbert e Quot de pontos sobre os espa¸ cos afins C

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Douglas Manoel Guimar˜ aes

Conexidade dos esquemas de

Hilbert e Quot de pontos sobre os

espa¸ cos afins C

  2 e C

  3 Florian´opolis

  2016

  

Douglas Manoel Guimar˜ aes

Conexidade dos esquemas de

Hilbert e Quot de pontos sobre os

  2

  3

espa¸ cos afins C e C

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Pura e Aplicada do Departa- mento de Matem´ atica do Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´ aticas da Universidade Federal de Santa Ca- tarina para obten¸c˜ ao de grau de Mestre em Matem´ atica

  Orientador:

  

Abdelmoubine Amar Henni

  Universidade Federal de Santa Catarina Florian´opolis

  2016

  

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

pontos sobre os espaços afins C² e C³ / Douglas

Conexidade dos esquema de Hilbert e Quot de Guimarães, Douglas Manoel

- Universidade Federal de Santa Catarina, Centro

131 p. Henni - Florianópolis, SC, 2017.

Manoel Guimarães ; orientador, Abdelmoubine Amar

de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós

Algébrica. 3. Esquema de Hilbert. 4. Esquema Quot.

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Geometria Inclui referências. Florianópolis, 2017. Graduação em Matemática Pura e Aplicada, em Matemática Pura e Aplicada. III. Título. Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação

I. Henni, Abdelmoubine Amar . II. Universidade

  Esta Disserta¸c˜ ao foi julgada para a obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre, ´

  Area de Concentra¸c˜ ao em Geometria Alg´ebrica, e aprovada em sua forma final pelo Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica Pura e Aplicada.

  Prof. Dr. Ruy Coimbra Char˜ ao Coordenador do Curso

  Prof. Dr. Abdelmoubine Amar Henni UFSC-Orientador

  Prof. Dr. Eliezer Batista UFSC

  Prof. Dr. Luca Scala UFSC Prof. Dr. S´ergio Tadao Martins UFSC

  Prof. Dr. Valeriano Lanza UNICAMP

  

Agradecimentos

  Primeiramente, agrade¸co minha fam´ılia por toda a confian¸ca e o suporte que me deram durante toda minha vida. Meus pais que fazem de tudo por mim, minha irm˜a Let´ıcia que sempre me apoiou e que me inspiro todos os dias, meu irm˜ao Darlan que tamb´em sempre me apoiou e fez tudo que pode por mim, meus irm˜aos Kevin e Mariana que viveram grande parte da minha vida comigo e tenho grande admira¸c˜ ao por eles.

  Agrade¸co a todos professores que tive a oportunidade de conhe- cer durante meus quatro anos de gradua¸c˜ ao e estes dois anos de mes- trado. Em especial ao professor Amar, orientador deste trabalho, que tenho grande admira¸c˜ ao e sem ele este trabalho n˜ ao seria poss´ıvel, mas n˜ ao apenas por este trabalho, mas tamb´em por todas as conversas, se- min´arios e aulas que me fizeram crescer muito. Agrade¸co tamb´em ao professor Eliezer, que apesar de nunca ter feito uma disciplina “oficial- mente”com ele, sempre me acompanhou e no qual me motivou muito com toda sua vontade pela matem´ atica. Agrade¸co tamb´em a todos os professores no qual tive a oportunidade de ter aulas durante estes dois anos em especial para os professores Martin e Gilles que s˜ao excelentes profissionais.

  Agrade¸co aos meus amigos que fizeram este processo muito mais f´ acil e sempre estavam ali em todas as dificuldades em especial para a Sabrina que sempre estava do meu lado e me apoiou em todas as minhas decis˜ oes. Por fim, agrade¸co a CAPES pelo suporte financeiro.

  

Resumo

  Exibiremos uma bije¸c˜ ao entre o esquema Quot de n pontos sobre d o espa¸co afim C e um espa¸co de d matrizes n por n que s˜ao nilpoten- tes e comutam entre si e que satisfazem uma condi¸c˜ ao de estabilidade m´odulo uma a¸c˜ ao de GL n (C) que ´e dada pela conjuga¸c˜ ao; tal resultado ´e uma generaliza¸c˜ ao do caso feito por Baranovsky em [3]. Feito isso, mostraremos a irredutibilidade do esquema Quot sobre o espa¸co afim

2 C

  . Esse resultado tamb´em foi provado em [3]. Finalmente, estudare- mos a conexidade do esquema Quot nos casos particulares de d = 2, 3 e n = 2, 3, 4. Palavras chaves: geometria alg´ebrica, esquema de Hilbert, esquema Quot.

  

Abstract

  We exhibit a bijection between the Quot scheme of n points over d the affine space C and some space of d nilpotent matrices n by n commuting with each other and satisfying a stability condition modulo some GL n (C)-action given by conjugation; this result was proved by Baranovsky [3]. With that done, we show the irreducibility of the Quot

  2

  scheme over the affine space C . Also this result has been proved in [3]. Finally, we study the connectedness of the Quot scheme in the particular cases of d = 2, 3 and n = 2, 3, 4.

  Key-words: algebraic geometry, Hilbert scheme, Quot scheme.

  

Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao p. 15

  1 Esquema de Hilbert e Esquema Quot p. 19

  1.1 Funtor Hilb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

  1.2 Funtor Quot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

  1.3 Funtor Quot em geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

  1.4 Esquema Quot pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

  2 Irredutibilidade do esquema Quot de pontos sobre

2 C

  p. 25

  2.1 Parametriza¸c˜ ao de Quot d (r, n) . . . . . . . . . . . . . p. 25

  2.2 Irredutibilidade de Quot (r, n) . . . . . . . . . . . . . p. 32

  2

  3 Conexidade em Quot p. 41

  3.1 Resultados em ´ Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . p. 42

  3.2 Conexidade em Quot (2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

  2

  3.3 Conexidade em Quot (2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

  3

  3.5 Considera¸c˜ oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70 A Feixes e Esquemas p. 73

  A.1 Feixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73 A.2 Motivando Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90 A.3 Feixe Estrutural e Espectro . . . . . . . . . . . . . . . p. 92 A.4 Espa¸co Anelado e Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . p. 95 A.5 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 101 A.6 X -m´ odulos e Feixes Coerentes . . . . . . . . . . . . . p. 107

  O B Polinˆ omio de Hilbert e Espa¸ cos de Moduli p. 113

  B.1 Polinˆ omio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113 B.2 Espa¸cos de Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 115

  C Xcas p. 121

  C.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 121 C.2 Matrizes e Opera¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 123 C.3 O Nosso Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 124 C.4 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 126

  Conclus˜ ao p. 129

  Referˆ encias p. 131

  Introdu¸ c˜ ao

  O esquema de Hilbert e o esquema Quot s˜ao conhecidos desde anos 1960 quando A. Grothendieck desenvolveu a teoria. Nesta disserta¸c˜ ao vamos tratar de casos particulares destes, o esquema de Hilbert e es- quema Quot pontuais. O esquema de Hilbert em geral ´e um objeto chave em muitas constru¸c˜ oes geom´etricas, como por exemplo, no caso do esquema de Hilbert pontual que classifica subesquemas fechados de dimens˜ ao 0 de um dado esquema. Ambos tˆem recebido aten¸c˜ ao por matem´ aticos e f´ısicos, principalmente nos casos de dimens˜ ao baixa.

  Nakajima [21] mostrou que existe uma bije¸c˜ ao entre o espa¸co quo- st n

  V (n) 2 GL

  ciente (n) = / (C ) e o esquema de Hilbert de n pontos sobre

  2 H

  2 A , em que st

  (i)[B

  1 , B

2 ] = 0

n

  (n) := (B , B , v) ,

  2

  1 2 (ii)N˜ao existe subespa¸co pr´oprio S ( C

  V tal que B i (S) n n n st ⊆ S e v ∈ S em que B i ), e v e a a¸c˜ ao de GL(C ) sobre

  2 (n) ´e

  ∈ End(C ∈ C

  V

  −1 −1 n

  dada por g

  1 , B 2 , v) = (gB 1 g , gB 2 g , gv) para todo g ).

  · (B ∈ GL(C Baranovsky [3] generalizou a constru¸c˜ ao de Nakajima mostrando st n

  V 2 (r, n) GL (C )

  que existe uma bije¸c˜ ao entre o espa¸co quociente (r, n) = /

  2 H e o esquema Quot de n pontos sobre C

  

2

  , . . . , B d , v

  . Para isso, generalizamos o resultado de Baranovsky exibindo uma bije¸c˜ ao entre o espa¸co quociente

  H d (r, n) =

  V d (r, n) st

  / GL

  (C n )

  e o esquema Quot de n pontos sobre C d em que

  V d (r, n) st := (B

  1

  1

  Nosso objetivo foi estudar a conexidade do esquema Quot pon- tual para o caso sobre C

  , . . . , v r ) (i)[B i , B j ] = 0,

  ∀i, j ∈ {1, . . . , d} (ii)N˜ao existe subespa¸co pr´oprio S ( C n tal que B i (S)

  ⊆ S e v j ∈ S

  , e B i ∈ End(C n

  ) ´e um operador nilpotente e v j ∈ C n .

  O pr´ oximo passo para estudar a conexidade foi analisar poss´ıveis configura¸c˜ oes de (B

  1 , . . . , B d , v 1 , . . . , v r ) nos casos de n = 2, n = 3 e

  n = 4. Nesses casos particulares, usando a a¸c˜ ao de GL(C n ), consegui- mos encontrar abertos que cobrem V st d

  3

  dos esquemas de Hilbert e Quot ´e muito estudado, por exemplo [5], [17] e [7], j´ a os casos de dimens˜ oes maiores pouco ´e conhecido, [15].

  suportados na origem, em que

  , . . . , v r ) (i)[B

  V

  2

  (r, n) st := (B

  1

  , B

  2

  , v

  1

  1

  2

  , B

  2

  ] = 0 (ii)N˜ao existe subespa¸co pr´oprio S ( C n tal que B i (S)

  ⊆ S e v j ∈ S

  , e B i ∈ End(C n

  ) ´e um operador nilpotente e v j ∈ C n .

  Al´em disso, usando esta bije¸c˜ ao, Baranovsky mostrou que o es- quema Quot de n pontos sobre C

  2

  ´e irredut´ıvel. Vamos apresentar a demonstra¸c˜ ao de Baranovsky [3], no entanto, existem outras demons- tra¸c˜ oes de outros modos, como por exemplo a de Ellinsgrud em [6]. O caso sobre C

  (r, n) m´odulo a¸c˜ ao de GL(C n ) e em seguida tentamos conectar todas as configura¸c˜ oes encontradas para mostrar a conexidade.

  No primeiro cap´ıtulo, faremos a constru¸c˜ ao do esquema de Hilbert e do esquema Quot baseada em [23] e [21]. No segundo cap´ıtulo, mo- tivados por [21] e [3], mostraremos a bije¸c˜ ao citada anteriormente bem

  2

  como a irredutibilidade do esquema Quot de pontos sobre C feito em [3]. No terceiro cap´ıtulo, usaremos a bije¸c˜ ao para mostrar a conexidade

  2

  3

  do esquema Quot de pontos sobre C e C . Finalmente, no Apˆendice

  A, temos uma breve introdu¸c˜ ao aos principais conceitos e resultados que usamos no decorrer do trabalho. No Apˆendice C, temos uma in- trodu¸c˜ ao do software usado para a realiza¸c˜ ao dos c´ alculos do ´ ultimo cap´ıtulo e uma explica¸c˜ ao de como usamos ele nos c´ alculos.

  1 Esquema de Hilbert e Esquema Quot

  O esquema de Hilbert e o Esquema Quot tm recebido bastante aten¸c˜ ao tanto no meio matem´ atico quanto no meio f´ısico. Em 1960, A. Grothendieck em [8] desenvolveu a teoria sobre ambos os esquemas. Em [21], pode-se encontrar uma introdu¸c˜ ao ao esquema de Hilbert e em [3] temos o esquema Quot. Tamb´em em [23], encontra-se a constru¸c˜ ao de tais esquemas. O objetivo deste cap´ıtulo ´e descrever o esquema Hilb e o esquema Quot seguindo as referˆencias citadas. No decorrer deste capitulo, usaremos resultados do Apˆendice A bem como ideias do Apˆendice B.

1.1 Funtor Hilb

  Recorde que, para A um anel, o n-espa¸co projetivo sobre A ´e dado n pelo esquema P = Proj A[x , . . . , x n ] definido em A.43. Agora, consi- A dere o seguinte funtor da categoria dos esquemas para a categoria dos P n conjuntos : Sch Hilb → Set definido por n n n n

  e para um morfismo ˜ f : T f ) : P e T S → S, considere f = (Id × ˜ → P n

  −1

  ent˜ao f (Y ) ´e fechado em P pelo Lema A.59 e ´e flat sobre T pela T Proposi¸c˜ ao A.74.

  Feito isso, temos um funtor associa a cada S um conjunto de n fam´ılias de subesquemas fechados em P parametrizadas por S. Agora, considere a proje¸c˜ ao π : Z x . Seja

  → S e, para cada x ∈ S, a fibra Z

1 P x o polinˆ omio de Hilbert em x. Assim, como Z ´e flat sobre S, temos

  que P x n˜ ao depende da escolhe x ∈ S ([14, p. 261]). P de que associa S com o conjunto de fam´ılias de subes- P Portanto, para cada polinˆ omio P , podemos considerar o subfuntor n P n Hilb Hilb n quemas fechados em P parametrizadas por S que tem polinˆ omio de Hilbert P .

  1.2 Funtor Quot

n

  Note que, para todo Z podemos identificar Z como um ⊆ P S n quociente de feixes (coerentes) via o morfismo de inclus˜ ao i : Z ,

  → P S

  # P n

  isto ´e, i : Z (Proposi¸c˜ ao A.72). Essa identifica¸c˜ ao nos O → O S permite a seguinte generaliza¸c˜ ao.

  ⊕r

  Uma fam´ılia de quocientes de n parametrizada por um esquema P O n

  S consiste de um par ( flat S n ⊕r

  F, q) em que F ´e um feixe coerente em P sobre S via π : P n S → S e q : O → F ´e um morfismo de feixes P S sobrejetor.

  ′ ′

  Dizemos que duas fam´ılias ( , q ) s˜ao equivalentes se 1 F, q) e (F

  

Teoria sobre o polinˆ omio de Hilbert pode ser encontrada em [25, Cap. VI,

➜4.2]

  ′

  existe um isomorfismo ϕ : tal que o seguinte diagrama comuta: F → F q P ⊕r n

  O // F S ϕ

  Id ⊕r P n ,

  O ′ // F S q

  ′ ′

  ou, de maneira equivalente, ker(q) ∼ ). De fato, se ϕ : = ker(q n F → F

  ´e um isomorfismo, ent˜ao para cada aberto U e para cada x ⊆ P S ∈ ker q(U ) temos

  ′ q U (x) = f U U (x) = ϕ U (0) = 0.

  ◦ q

  ′ −1

  Logo x (U ). Analogamente, usando ϕ , temos que, se x ∈ ker q

  ∈

  ′ ′

  ker q (U ), ent˜ao x . Por outro lado, ∈ ker q(U). Portanto ker q = ker q

  ′

  se ker q = ker q , temos as sequˆencias exatas: q

  ⊕r

  // ker q n // 0 P // O // F S

  ′ ⊕r ′ // ker q n // 0. P

  // O // F S q Logo, ⊕r ⊕r ′

  = Pn Pn = F ∼ F S S

  

O O ∼

/ ker q = / ker q .

  Agora, seja ˜ f : T → S ´e um morfismo de esquemas e vejamos

  

⊕r

n

  que o pullback do quociente q : P n n ∗ O → F sobre o morfismo induzido S f : P S T define uma fam´ılia sobre T , isto ´e, f (q) ´e sobrejetor S S × → P

  ∗

  e f F ´e flat sobre T . n n n n Primeiro observe que P S T = (P S T ∼ . S Z = P Z T × × S) × × T = P

  Agora, note que

  ∗ −1 −1 n

  f ( P f O

  F) = f F ⊗ O Pn T S e

  ∗ ⊕r −1 ⊕r −1 P ∼ P n n

  f ( n ) = f n P P f O = O O ⊗ O O S S S Pn T T

  −1

  . Pela Proposi¸c˜ ao A.21, temos que o funtor f ´e adjunto `a esquerda

  −1

  do funtor f ∗ sempre que f ´e um morfismo. Assim, f ´e exato a −1 n P direita. Sabemos que o funtor ( f ) tamb´em ´e exato a direita.

  ·⊗ O O Pn S T

  ∗ −1 ∗ −1 n P

  Por fim, observe que f (q) = f (q) f . Ou seja, f (q) ´e

  O

  ⊗ Pn O S T sobrejetora. n

  ∗

  Para ver que f S F ´e flat sobre T , temos π : P → S em que F

  ∗

  ´e flat sobre S. Assim, pela Proposi¸c˜ ao A.74, f n F ´e flat sobre T via

  P S × → T . S T Precisamos ver que a opera¸c˜ ao de pullback respeita a equivalˆencia

  ′ ′

  de fam´ılias. De fato, dados ( , q ) tal que existe um isomorfismo

  F, q), (F

  ′ ϕ : que torna o seguinte diagrama comutativo.

  F → F q P ⊕r n O // F S ϕ

P ,

⊕r ′

n

  O ′ // F S q ent˜ao o diagrama obtido pelo pullback, f

  

(q)

⊕r P n

  // F O T f (ϕ)

  ⊕r

P ,

n

  O // F T f ∗ ′

  

(q )

  tamb´em comuta e f (ϕ) ´e um isomorfismo.

  Feito isso, se denotarmos a classe de equivalˆencia de (

  F, q) por hF, qi, ent˜ao podemos definir o funtor contravariante da categoria dos

  ⊕r

  esquemas para a categoria dos conjuntos por ⊕r Quot O Pn (S) = Quot {hF, qi parametrizado por S}.

  O Pn

  Assim como fizemos no caso do funtor P Hilb, podemos considerar o funtor ⊕r em que Quot P O Pn ⊕r

  (S) = Quot {hF, qi | F tem polinˆomio de Hilbert P }.

  O Pn

1.3 Funtor Quot em geral

  Podemos generalizar a constru¸c˜ ao anterior com o seguinte: seja S um esquema noetheriano, X sobre S de tipo finito, E um feixe coerente sobre X e P um polinˆ omio. Para cada esquema T sobre S, uma fam´ılia de quociente de

  E parametrizadas por T ´e um par (F, q) em que T = X S T tal que o suporte de ❼ F ´e um feixe coerente sobre X ×

  F ´e pr´oprio sobre T e F ´e flat sobre T ; T T , em que ❼ q : E → F ´e um morfismo sobrejetor de feixes sobre X T ´e o pullback de T E E via a proje¸c˜ao X → X.

  ′ ′

  Dizemos que duas fam´ılias ( , q ) s˜ao equivalentes se ker(q) =

  F, q) e (F

  ′

  ker(q ) e denotaremos por hF, qi sua classe de equivalˆencia.

  ′

  De maneira an´ aloga ao caso anterior, se f : T → T ´e um morfismo de esquemas, ent˜ao o pullback de f nos d´ a uma fam´ılia de quocientes

  ′

  em T pois as propriedades de ser flat e pr´ oprio s˜ao preservadas via mu- dan¸ca de base (Proposi¸c˜ ao A.74 e Proposi¸c˜ ao A.64). Portanto, temos um funtor contravariante da categoria dos esquemas para a categoria dos conjuntos : Sch

E,X,S

  Quot → Set definido por Como nos casos anteriores, podemos considerar tamb´em o funtor P : Sch

  Quot E,X,S → Set definido por P (T ) Quot E,X,S {hF, qi | F tem polinˆomio de HilbertP }.

  Quando X , denotamos o funtor O ,X,S : Sch S E = O Quot X → Set por X,S .

  Hilb Em particular temos P n P n

  = ,

  Spec Z

  Hilb Hilb Z e ⊕r ⊕r = n . Quot Quot ,P ,

  O O Spec Z

Pn Pn Z

Z

1.4 Esquema Quot pontual

  A. Grothendieck, em [8], mostrou que, quando X ´e projetivo, o P P funtor ´e represent´avel, isto ´e, existe um esquema Quot Quot E,X,S

  E,X,S tal que o funtor ´e isomorfo naturalmente ao funtor Hom( ).

  −, Quot E,X,S Outras demonstra¸c˜ oes podem ser encontradas em [23] e em [1]. Estamos interessados no caso em que P = n ´e um polinˆ omio cons- d tante para algum n = Spec C[x , . . . , x d ]. Al´em disso,

  1

  ∈ N e X = C queremos que os feixes estejam suportados em apenas um ponto. Neste P caso, chamamos esquema Quot de esquema Quot pontual e o de-

  E,X,S notaremos por Quot (r, n). d

  2 Irredutibilidade do esquema Quot de pontos

  2 sobre C

  Seguindo a ideia de Baranovsky em [3] e generalizando o que foi feito em [21], vamos exibir uma parametriza¸c˜ ao do esquema Quot de pontos em termos d-uplas de matrizes n

  × n nilpotentes que comutam entre si junto com uma condi¸c˜ ao de estabilidade dada por uma r-upla de vetores. Esta parametriza¸c˜ ao insere no contexto de esquema Quot pontual a variedade das matrizes comutantes cujas propriedades s˜ao mais conhecidas, por exemplo, em [15],[11] e [10]. Em seguida, usando essa bije¸c˜ ao, vamos mostrar que Quot (r, n) ´e irredut´ıvel

  2

2.1 Parametriza¸c˜ ao de Quot (r, n)

  d Vale lembrar que o nosso caso de interesse ´e quando todos os feixes d est˜ao suportados em um ponto que, sem perda, podemos supor 0 .

  ∈ C Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ ao n. Defini¸ c˜ ao 2.1.

  A variedade das d-matrizes comutantes em V ´e defi-

  ⊕d

  nida pelas d-uplas de matrizes n por n, (B , . . . , B d ) tais

  1

  ∈ End(V ) que [B i , B j ] = 0 para todo i, j d (n) ∈ {1, . . . , d}. Denotaremos por C comutantes nilpotentes n d (n).

  × n por N

  ⊕r

  Considere a soma direta de r c´ opias de V , V , e defina por

d (r, n) := d (n) .

  ⊕r

  V N × V d Vamos introduzir uma no¸c˜ ao de estabilidade em (r, n).

  V Defini¸ c˜ ao 2.2. Dizemos que um ponto P = (B

  1 , . . . , B d , v 1 , . . . , v r ) d (r, n) ´e est´ avel se n˜ ao existe subespa¸co pr´ oprio S ( V tal que B i (S)

  V st ⊆ S para todo i , . . . , v r (r, n)

  1 d

  ∈ {1, . . . , d}, e v ∈ S. Denotaremos por V o conjunto de pontos est´aveis de d (r, n).

  V Agora, considere o grupo GL(V ) das transforma¸c˜ oes lineares in- vert´ıveis de V em V , e observe que GL(V ) age de maneira natural em d (r, n) da seguinte maneira

  V

  −1 −1

  g , . . . , B d , v , . . . , v r ) = (gB g , . . . , gB d g , gv , . . . , gv r ),

  1

  1

  

1

  1

  · (B st para todo g (r, n),

  ∈ GL(V ). Mais ainda, a a¸c˜ao de GL(V ) preserva V d st st isto ´e, para todo P (r, n), g (r, n). De fato, suponha ∈ V d · P ∈ V d

  P = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) ´e est´avel e que g

  1

  1

  · P n˜ao ´e est´avel. Assim,

  −1

  existe S i g (S) j ⊂ V pr´oprio tal que gB ⊆ S e gv ∈ S para todo

  −1 −1

  i i g (S) (S) ∈ {1, . . . , d} e para todo j ∈ {1, . . . , r}. Logo, B ⊆ g

  −1 −1

  e v j (S). Como S ´e pr´ oprio e g bijetora, g (S) ´e pr´ oprio, ∈ g contradizendo o fato que (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) ´e est´avel.

  1

  1 st

  Assim, podemos restringir a a¸c˜ ao de GL(V ) ` a (r, n). O pr´ oximo st V d lema mostrar´ a que essa a¸c˜ ao em (r, n) ´e livre.

  V d st Lema 2.3. GL(V ) age livremente em (r, n). d

  V Demonstra¸c˜ ao. Seja g , . . . , B d , v , . . . , v r ) =

  1

  1

  ∈ GL(V ) tal que g(B

  −1 −1

  (B , . . . , B d , v , . . . , v r ). Assim, temos as seguintes equa¸c˜ oes:

  1

  1 −1

  gB i g = B i i = B i g (2.1) ⇔ gB e gv i = v i . (2.2)

  De (2.2) temos gv i = v i i i = 0 i = 0 i ⇔ gv − v ⇔ (1 − g)v ⇔ v ∈ ker(1 i (ker(1

  − g). Agora note que B − g)) ⊂ ker(1 − g) pois dado v i (ker(1 i w com w ∈ B − g)), v = B ∈ ker(1 − g). Temos

  (1 = (1 i w − g)v − g)B

  = B i w i w − gB

  (2.1)

  = B i w i gw − B

  = B i ((1 − g)w)

  = B i (0) = 0.

  Logo, v i (ker(1 ∈ ker(1 − g) e B − g)) ⊂ ker(1 − g). Como ker(1 − g) ´e

  B i -invariante e cont´em v , . . . , v r , pela condi¸c˜ ao de estabilidade, temos

  1

  ker(1 − g) = V , isto ´e, 1 − g = 0 ⇔ g = 1. st Al´em disso, ´e poss´ıvel mostrar que essa a¸c˜ ao de GL(V ) em (r, n) d

  V ´e est´avel no sentido da teoria geom´etrica dos invariantes [20] e [15]. Lema 2.4. Seja P = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) d (r, n). Considere a

  1

  1

  ∈ V aplica¸c˜ ao

  ⊕r

  C φ : [x , . . . , x d ]

  1

  → V P r (p , . . . , p r ) p i (B , . . . , B d )v i .

  1 i

  1

  7→ =1 Se P ´e est´avel, ent˜ao φ ´e sobrejetora.

  Demonstra¸c˜ ao. Vejamos que Im φ ´e B i -invariante e que v j ∈ Im φ para Observe que φ(e j ) = v j para todo j j ∈ {1, . . . , r}. Portanto v ∈

  Im φ para todo j ∈ {1, . . . , r}. P r Agora, seja v = p i (B i ∈ Im φ. Assim, para todo 1 , . . . , B d )v i =1 j

  ∈ {1, . . . , d}, temos P r B j v = B j ( p i (B , . . . , B d )v i ) i

  1 P r =1

  = B j p i (B i 1 , . . . , B d )v i P r =1 = (x j p i )(B i ∈ Im φ.

  1 , . . . , B d )v i =1

  Portanto, como P ´e est´avel, segue que Im φ = V . Ou seja, φ ´e sobreje- tora. st Vejamos agora podemos associar cada configura¸c˜ ao em (r, n) d st

  V ` a um quociente em Quot (r, n), isto ´e, uma aplica¸c˜ ao π : (r, n) d d

  V → Quot (r, n). d Seja st (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) (r, n).

  1 1 d

  ∈ V Considere uma estrutura de C[x

  1 , . . . , x d ]-m´ odulo em V , cuja a¸c˜ ao ´e

  dada por x i i v · v = B e

  λ · v = λv para v , . . . , x d ]-m´ odulo livre gerado por

  1

  ∈ V . Agora considere o C[x v , . . . , v r , denotado por F , com a mesma a¸c˜ ao descrita acima. Assim,

  1

  temos uma aplica¸c˜ ao φ : F

  → V P p P p i i i (B , . . . , B d )v i .

  1

  · v 7→ Observe que φ ´e homomorfismo de C[x , . . . , x d ]-m´ odulos. Al´em disso,

  1 F n

  Considere o feixe (coerente) = Spec(C[x , . . . , x d ]) dado

  1 F em C

  por V, x

  ∈ U F(U) =

  0, x / ∈ U. Que ´e o feixe arranha-c´eus em x. Observe que como B i ´e nilpotente

  √ para todo i Ann V = (x , . . . , x d ). Logo Supp

  1

  ∈ {1, . . . , d}, F = {0}

  ⊕r

  ([14, p. 124]). Neste caso, a aplica¸c˜ ao q : C[x , . . . , x d ]

  1

  → F dada por (p , . . . , p r ) P p i i ´e um quociente de feixes coerentes suportados

  1

  → · v d em 0. Al´em disso, Γ(C , = V como C-espa¸co vetorial pelo que foi

  F) ∼ feito anteriormente. st Assim, temos uma aplica¸c˜ ao π : (r, n) (r, n) que asso- d d st V → Quot cia com cada ponto em (r, n) o quociente acima. d

  V O pr´ oximo lema vai mostrar como a aplica¸c˜ ao π se comporta com a a¸c˜ ao de GL(V ).

  Lema 2.5.

  Sejam

  ′ ′ ′ ′ ′

  P = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) e P = (B , . . . , B , v , . . . , v )

  1 1 d r st

  1

  1

  dois pontos em (r, n). Ent˜ao existe g d V ∈ GL(V ) tal que P = g · Q se,

  ′ e somente se, os quocientes associados π(P ) e π(P ) s˜ao isomorfos.

  Demonstra¸c˜ ao. ( ⇒) Sejam

  ′ ′ ′ ′ ′

  P = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) e P = (B , . . . , B , v , . . . , v )

  1 1 d r st

  1

  1

  pontos em (r, n) tais que V d

  ′ ′ ′ ′

  (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) = g(B , . . . , B , v , . . . , v )

  1

1 r

1 d 1 ′ −1 ′ −1 ′ ′

  = (gB g , . . . , gB g , gv , . . . , gv ) n r

  1

  1 ⊕r ′ ⊕r

  e sejam tamb´em q : C[x , . . . , x d ] : C[x , . . . , x d ]

  1

  1

  → V e q → V

  ′ ⊕r

  ker q . Observe que, para (p , . . . , p r ) , . . . , x d ] , temos

  1

  1

  ∈ C[x P p q(p , . . . , p r ) = i (B , . . . , B d )v i

  1

  

1

′ −1 ′ −1 ′

  = P p i (gB g , . . . , gB g )(gv ) d i

  1 ′ ′ −1

  = P gp i (B , . . . , B )g (gv i )

  1 d ′ ′ ′

  = P gp i (B , . . . , B )v i

  1 d ′ ′ ′

  = g( P p i (B , . . . , B )v )

  1 d i ′

  = gq (p

  1 , . . . , p r ) ′

  Como g , . . . , p r ) = 0 (p , . . . , p r ) = 0.

  

1

  1

  ∈ GL(V ), segue que q(p ⇔ q

  ′ Portanto, ker q ∼ .

  = ker q (

  ⇐) Escreva

  ′ ′ ′ ′

  u = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ), u = (B , . . . , B , v , . . . , v )

  1

  1

  1 2 d r

  1

  1 ⊕r ′ ⊕r

  e sejam q : C[x , . . . , x d ] : C[x , . . . , x d ]

  1

  1

  → V e q → V os quocien- tes associados a u

  1 e u 2 respectivamente. Precisamos exibir g

  ∈ GL(V ) tal que g = u . J´a sabemos que

  1

  2

  · u ⊕r d d ⊕r C ′ ′ C [x , . . . , x ] [x , . . . , x ] 1 d ker q ∼ 1 d ker q / = Γ(C , , ) ∼ = /

  F) = V = Γ(C F como espa¸cos vetoriais. Desse modo, existem isomorfismos (de espa¸cos C , . . . , x C , . . . , x ⊕r ⊕r

  [x ] [x ] 1 d ker q 1 d ker q

  vetoriais) g : V / e g : V /

  1

  2

  → →

  ′ ′ ′

  tais que, para P = (p , . . . , p r ) e P = (p , . . . , p ), g (v) = [P ] tal que

  

1 r

  1

  1 ′ ′ ′

  q(P ) = v e g (v) = [P ] em que q (P ) = v. Como os quocientes q e

  2 ′ ′

  q s˜ao equivalentes, temos ker q ∼ = ker q . Assim, podemos considerar o seguinte diagrama: g g 1 F F 2 −1 // //

  

ker q ∼ ker q

B x B i i V / = / F F

  V i // ker q ∼ ker q // V. V / = / g −1 1 g 2

  ′ mos que o diagrama acima comuta. Para v i (v) =

  1

  ∈ V , temos x ◦ g x i [P ] = [x i P ] em que q(P ) = v e g i (v) = g (B i v) = [Q] em

  1

  1

  ◦ B que q(Q) = B i v com Q = (q , . . . , q r ). Agora note que q(Q) = B i v =

1 B i q(P ) = q(x i P ), logo [Q] = [x i P ] e ent˜ao o quadrado esquerdo do dia-

  ⊕r C , . . . , x ′ −1 [x 1 ] d ker q grama comuta. Agora se [P ] / , ent˜ao B ([P ]) =

  ∈ i ◦g

  2 ′ ′ ′ ′ −1 −1 ′

  B (q (P )) = B q (P ) e g i ([P ]) = g ([x i P ]) = q (x i P ). Assim, i i

  2 ◦ x

  2 ′ ′ ′

  como B q (P ) = q (x i P ), o quadrado da direita do diagrama comuta e i segue que o diagrama comuta.

  −1 −1 ′

  Escreva g = g e, pelo diagrama, obtemos gB i g = B .

  1 i 2 ◦ g −1 −1 ′

  Al´em disso, observe que gv i = g

  1 (v i ) = g ([P ]) = q (P ) em que

2 ◦ g

2 ′ ′

  q(P ) = v i . Mas q(e i ) = v i , e dai gv i = q (e i ) = v i st

  V (r, n) GL (V )

  A pr´ oxima proposi¸c˜ ao d´ a uma bije¸c˜ ao entre d / e M = o esquema pontual Quot (r, n). d st

  Proposi¸ c˜ ao 2.6. Considere a aplica¸c˜ ao π : (r, n) (r, n) d d V → Quot descrita acima. Ent˜ao

  (i) As fibras de π s˜ao precisamente as orbitas da a¸c˜ ao de GL(V ) em st (r, n);

  V d (ii) π ´e sobrejetora;

  Demonstra¸c˜ ao. O item (i) segue imediatamente do Lema 2.5, resta mostrar o item (ii), isto ´e, π ´e sobrejetora.

  ⊕r

  Seja q : C[x

  1 , . . . , x d ] d → A um quociente de posto n supor- tado em 0. Temos que Γ(C , A) ´e um C[x 1 , . . . , x d ]-m´ odulo e, em

  particular, um C-espa¸co vetorial. Neste caso, a multiplica¸c˜ao por x i d nos d´ a um operador em Γ(C , A) que ´e nilpotente e [x i , x j ] = 0 para d todo i, j , A) ∼

  = V . De- ∈ {1, . . . , d}. Al´em disso, temos que Γ(C d d ⊕r

  mos por q S : C[x , . . . , x d ] , A) a aplica¸c˜ ao nas se¸c˜ oes glo-

  1

  → Γ(C

  ⊕r

  bais e por e i = (0, . . . , 1, . . . , 0) , . . . , x d ] com 1 na coorde-

  1

  ∈ C[x d nada i, ent˜ao q S (e i ) = y i geram Γ(C , A) ∼ , . . . , x d ]- d = V como C[x

  1

  m´odulo. De fato, dado y , A), como q S ´e sobrejetora, existem ∈ Γ(C p

  1 , . . . , p r 1 , . . . , x d ] tal que q S (p 1 , . . . , p r ) = y. Observe que

  ∈ C[x P r (p , . . . , p r ) = p i e i . Assim,

  1 i =1

  y = q S (p , . . . , p r ) P r

  1

  = q S ( p i e i ) i P r =1 = p i q S (e i ) i P r

=1

= p i y i . i

  

=1

  Portanto, P = (x , . . . , x d , y , . . . , y r ) ´e um ponto est´avel. Resta veri-

  1

  1 ′

  ficar que π(P ) = ) e note hA, qi. Para isso, denote por π(P ) = (F, q que

  ′

  q (p , . . . , p r ) = P p i y i

  1

  = P p i q(e i ) P p

  = q( i e i ) = q(p 1 , . . . , p r ).

  ′ ′

  ∼ Assim, q (p , . . . , p r ) = 0 , . . . , p r ) = 0, ou seja, ker q

  1 1 = ker q o

  ⇔ q(p que implica π(P ) = hA, qi.

2.2 Irredutibilidade de Quot (r, n)

  2 O objetivo desta se¸c˜ ao ´e mostrar que Quot (r, n) ´e irredut´ıvel.

  2 Para isso, usaremos os resultados da se¸c˜ ao anterior no caso particular de d = 2.

  Como foi feito em [3], a ideia da demonstra¸c˜ ao ´e encontrar um

  1). Tal conjunto ser´ a um fibrado vetorial sobre o esquema pontual de Hilbert Hilb (n) = Quot (1, n).

  2

  2 ⊕r φ

  Definimos W como o conjunto de todos os quocientes O → A,

  φ = (φ

  1 , . . . , φ r ) tal que φ 1 : O → A ´e sobrejetora (condi¸c˜ao aberta).

  Desse modo, note que φ : (n). Assim, uma

  1

  2 O → A ´e um ponto de Hilb

  vez que φ ´e escolhida, os outros componentes (φ , . . . , φ r ) s˜ao dados

  1

  2 ⊕(r−1) (r−1)n

  por um elemento arbitr´ ario de Hom( , A) = C . Assim, O W

  ´e o espa¸co total sobre Hilb (n) de dimens˜ ao (r

  2

  − 1)n. Como em [3], W ´e irredut´ıvel de dimens˜ ao rn − 1 por resultados em [18] e [5].

  Resta-nos mostrar que (r, n). Para isso, dado W ´e denso em Quot

  2

  um ponto x (r, n), vamos encontrar uma curva C (r, n)

  2

  2

  ∈ Quot ⊂ Quot conectando x ` a um ponto de W e combinar com os resultados anteriores. Usaremos o seguinte lema tamb´em feito em [3]: Lema 2.7.

  Sejam B

  1 , B 2 operadores nilpotentes em um espa¸co vetorial ′

  V . Ent˜ao existe um terceiro operador nilpotente B e vetor w

  2

  ∈ V tal que

  ′

  (i) B comuta com B

  1 ;

  2 ′

  (ii) Toda combina¸c˜ ao linear αB

  2 + βB ´e nilpotente;

  2 ′

  (iii) (B 1 , B , w) ´e um ponto est´avel.

2 Demonstra¸c˜ ao. Passo 1: Encontrar uma base e i,j de V , em que

  1 i tal que: ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ µ j −1

  B (e i,

  1 ) = e i,j , j i

  ≤ µ

  1

  a) (isto ´e, B tem forma canˆ onica de Jor- µ i

  1 B (e i, ) = 0

  1

  1

  dan);

  d −i d Para isso, seja d = 0 e V i = ker(B ).

  ∈ N tal que B

  1

  1 Afirma¸ c˜ ao. V = V d .

  1

2 −1

  ⊃ V ⊃ V ⊃ · · · V Demonstra¸c˜ ao da Afirma¸c˜ ao. Seja d −(i+1) d −i−1 v i = ker(B ) = ker(B )

  • 1 d −i−1 d −i d −i−1

  ∈ V

  1

  1

  , ou seja, B (v) = 0. Assim, B (v) = B

  1 B (v) = B 1 (0) = 0.

  1 d

  1

  1 −i

  Logo, v ) = V i e, portanto, V i +1 i .

  ∈ ker(B ⊂ V

1 Afirma¸ c˜ ao.

  B (V i ) i .

  1 +1

  ⊂ V Demonstra¸c˜ ao da Afirma¸c˜ ao. Seja x (V i ), isto ´e, x = B (y) para

  1

  1 d −i ∈ B d −(i+1) algum y i (y) = 0. Agora, note que B (x) = d −i−1 d −i−1 d −i d

  ∈ V ⇔ B

  1

  1 −(i+1)

  B (x) = B (B (y)) = B (y) = 0. Logo, x ) =

  1

  1

  1 1 ∈ ker(B

  V i +1

  e, portanto, B 1 (V i ) i +1 .

  ⊂ V Agora, vamos construir nossa base usando quocientes. Seja

  , . . . , w a

  1 1 V V ker(B ) V d −1 {w } V V base de W := / 1 = / . Denote por π : V / 1 .

  1 1

  1

  → Levante a base de W para vetores e , . . . , e a , em V (isto ´e, para

  1 1,1 1

  1

  cada i i, tal que π (e ) = w i ) e tome

  1

  1 1 1,i

  ∈ {1, . . . , a }, existe e ∈ V µ 1 , . . . , µ a = d. 1 V 1 (B 1 (V ) + V 2 )

  Seja a +1 , . . . , w a

  2 := / . Levante essa

  {w 1 2 } base de W base para vetores e a , . . . , e a , em V e tome µ a , . . . , µ a = d 1 +1,1 2

  1

  1 1 +1 2 V i B (V ) + V −1.

  Procedendo dessa forma: escolhendo base de W i := / 1 i −1 i +1

  • 1

  e levantando para vetores e a , , . . . , e a , em V i , conseguimos vetores i i 1 +1

  1 j −1

  e , e , . . . , e k, . Por fim, defina e i,j = B (e i, ) para j

  1,1 2,1

  1

  1 1 ≥ 2. Procedendo dessa forma, obtemos que c i,j = 0 para todo i, j. Ou seja, {e i,j } ´e LI.

  2 .

  −2

  1

  ) = B d −2

  1

  (e i,

  1

  2 B d −2

  c i,

  ) = P a 2 i =a 1

  1

  (e i,

  1

  1 B j −1

  (e i,j ) = P i P j c i,j B d

  

=a

1 +1

  1

  −2

  ( P i P j c i,j e i,j ) = P i P j c i,j B d

  1

  −2

  0 = B d

  1 , obtemos

  = 0 para i = 1, . . . , a

  1

  na equa¸c˜ ao inicial sabendo que c i,

  1

  Agora, aplicando B d −2

  1 .

  ( P a 2 i

  c i,

  1

  2 e i, 1 ) = P a 2 i =a 1 +1

  1

  = 0 para i = a

  2

  , obtemos c i,

  2

  ´e base de W

  =a 1 +1

  w i e como {w i } a 2 i

  2

  c i,

  P a 2 π 2 (e i, 1 ) = 2 i =a 1 +1

  c i,

  c i,

  2

  2 . Nesse caso, 0 = π 2 ( P a 2 i =a

1 +1

  em W

  2 e i, 1 ) = 0

  c i,

  2 ( P a 2 i =a 1 +1

  ∈ ker(B d −2 ). Assim, π

  1

  2 e i,

  c i,

  =a 1 +1

  Logo, P a 2 i

  1 ).

  e i,

  = 0 para i = 1, . . . , a

  , obtemos c i,

  Demonstra¸c˜ ao da Afirma¸c˜ ao. Vejamos que {e i,j } ´e LI: Considere X i X j c ij e i,j = 0

  ) = B d

  ∈ ker(B d −1 ) = V

  1

  e i,

  1

  c i,

  =1

  Logo, P a 1 i

  1 e i, 1 ).

  c i,

  

=1

  ( P a 1 i

  −1

  1

  , ou seja, π

  (e i,

  

1

B d −1

  c i,

  =1

  ) = P a 1 i

  1

  (e i,

  −1

  B j

  −1

  (e i,j ) = P i P j c i,j B d

  −1

  . Aplicando B d −1 , obtemos 0 = B d −1 ( P i P j c i,j e i,j ) = P i P j c i,j B d

  1

  1

  1

  1

  ´e base de W

  =1

  w i e como {w i } a 1 i

  1

  ) = P a 1 i =1 c i,

  1

  (e i,

  1

  π

  1

  c i,

  =1

  ) = P a 1 i

  e i,

  ( P a 1 i

  1

  c i,

  =1

  ( P a 1 i

  1

  . Nesse caso, 0 = π

  1

  ) = 0 em W

  1

  e i,

  1

  c i,

  =1

  • 1
  • 1, . . . , a
d = 1, ent˜ao B = 0 e n˜ ao h´ a mais nada o que fazer. Agora suponha

  1

  v´ alida a afirma¸c˜ ao para d V V 1 − 1 e seja v ∈ V . Temos P a 1 π

  1 (v) 1 = /

1 (v) = b i,

1 w i

  ∈ W ⇒ π i P a

1

=1 d −1 b i,

  1 e i, 1 + z 1 , z

  1 1 = ker(B ).

  ⇒ v = i ∈ V V 1 B

=1

(V ) + V 2 z

  1

  1 2 (z 1 ) 2 = /

  ∈ V ⇒ π ∈ W P a 2 (z ) = b i, w i

  2 1 i

  

1

  ⇒ π =a +1 P a 2 1 = b i, e i, + B (x ) + z , x , z .

  1

  1

  

1

  1

  2

  2

  2

  ⇒ z i =a +1 ∈ V ∈ V 1 Assim, X a a 1 X 2 + v = b i, e i, b i, e i, + B (x ) + z . i i

  1

  1

  1

  1

  1

  2 =1 =a +1 1 Note que podemos escrever B (x ) como combina¸c˜ ao linear de i,j

  1

  {e } pela hip´ otese de indu¸c˜ ao. Observe que P a 3 z

  2

  2 2 (z 2 ) = b i,

1 w i

  ∈ V ⇒ π a P a 3 2 +1 = b i, e i, + B (x ) + z , x , z .

  2 i

  1

  

1

  1

  1

  3

  1

  1

  3

  3

  ⇒ z =a +1 ∈ V ∈ V 2 Novamente, B (x ) est´a resolvido pela hip´ otese de indu¸c˜ ao e podemos

  1

  1

  abrir z usando π . Dessa forma, abrindo os z i at´e z d , obtemos

  3 4 −1

  v = (termos resolvidos) + z d . Por fim, note que

  −1 V d −1 d −1 B (V ) + V B (V ) V

  z d d d (z d ) d = / d −2 d = / d −2

  −1 −1 −1

  ∈ V ⇒ π ∈ W d = b i, e i, + B (x d ) P a d

  −1

  1

  1 1 −2

  ⇒ z i =a +1 d −1 e terminamos com a hip´ otese de indu¸c˜ ao mais uma vez em B

  1 (x d −2 ).

  Portanto i,j {e } ´e base de V . At´e agora temos a propriedade (a). Para obter a propriedade (b) devemos ter mais cuidado ao escolher os w i ’s. Note que todos os su- bespa¸cos V i ’s e B (V i )’s s˜ao B -invariantes. De fato, se x (V i ),

  1

  2

  2 d d ∈ B −i −i

  ent˜ao x = B (y) para algum y i = ker(B ). Assim, B (x) =

  2 d −i d −i d −i

  ∈ V

  1

  1 gue que B (V i ) i . Logo, obtemos B B (V i ) = B B (V i ) (V i ).

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  ⊂ V ⊂ B Como os subespa¸cos V i ’s e B(V i )’s s˜ao B -invariantes, B induz

  2

  2

  uma aplica¸c˜ ao nos W i ’s. Assim, basta tomar a base a , . . . , w a a i {w i −1 i } de C forma que B

  2 (w i ) j . Basicamente o que estamos fazendo

  ∈ ⊕ j · w

  =i+1

  ´e tomar uma base para que a aplica¸c˜ ao B induzida nos W i ’s seja

  2 C triangular inferior. Da´ı, segue que B (e i, ) k k, ) (V ).

  2 1 ≥i+1

  1

  1

  ∈ (⊕ · e ⊕ B

  ′ ′

  Passo 2: Defina B por B (e i,j ) = e i , se j i e 0 caso

  • 1,j +1

  2 2 ≤ µ ′ ′k

  contr´ario. Note que B ´e nilpotente pois B (e i,j ) = 0 para todo i, j, e

  2

  2 ′

  que [B , B ] = 0 pois dado e i,j elemento da base,

  1

  2 ′ ′ ′

  B

1 B (e i,j ) = B 1 (e i +1,j ) = e i +1,j+1 = B (e i,j +1 ) = B B 1 (e i,j ).

  2

  2

  2 ′

  Agora, tome w = e . Vejamos que (B , B , w) , isto ´e, n˜ ao

  1,1

  1

  2

  1

  ∈ U

  ′

  existe subespa¸co pr´ oprio de V , invariante por B , B e cont´em w. Seja

  1

  2 ′

  U e B com w

  1

  ⊆ V subespa¸co de V invariante por B

  2 ∈ U, vamos

  mostrar que U = V . Como B , B s˜ao invariantes em U e w

  1 2 ∈ U, j −1 ′i−1

  temos B i (w) i,j = B B (w) ∈ U. Por fim, note que e

  1 2 ∈ U, para ′

  todo i, j. Logo U = V e segue que (B , B , w) .

  1

  1 2 ∈ U

  C Passo 3: Como B

  2 (e i,

1 ) k ≥1 k,

1 ) 1 (V ) e pela defini¸c˜ ao

  ∈ (⊕ · e ⊕ B

  ′ ′

  de B , temos que B e B s˜ao matrizes triangulares inferiores com zeros

  2

  2

  2

  na diagonal na base e , e , . . . , e k, , e , e , . . . , e k, , . . . .

  1,1 2,1

1 1,2 2,2

  2 ′

  Assim, qualquer combina¸c˜ ao linear de B e B ´e triangular inferior com

  2

  2

  zeros na diagonal. Logo, αB + βB ´e nilpotente

  2 2 ∀α, β ∈ C.

  O pr´ oximo lema tamb´em foi feito em [3]. st

  2.6. Ent˜ao

  

−1 st ⊕(r−1)

π ( (1, n) .

  W) = V

  2 × V st −1 ⊕(r−1)

  Demonstra¸c˜ ao. Primeiro vamos ver que π ( (1, n) .

  W) ⊇ V

  2 ×V

  Seja P = (B

  1 , B

2 , v

1 , . . . , v r )

  tal que (B

  1 , B 2 , v 1 ) ´e est´avel. Assim, pela constru¸c˜ ao de π, temos que

⊕r

  π(P ) nos da o quociente q : C[x, y] , . . . , p r ) =

  → F definido por q(p p i (B , B )v i , em que F era o C[x, y]-m´ odulo livre gerado por i =1

  1 P r

  1

  2

  v , . . . , v r cuja a¸c˜ ao de x ´e dada por B e a a¸c˜ ao de y ´e dada por

  1

  1 B . Neste caso, observe que q : C[x, y] (p) =

  2

  1

  1

  → F ´e dada por q p(B , B )v . Logo, pelo Lema 2.4, temos que q ´e sobrejetora.

  1

  2

  1

  1 ′ ′ ′ ′ st

  Por outro lado, seja Q = (B , B , v , . . . , v ) (r, n) tal que

  

1

  2 1 r ∈ V

  2

  π(Q) ∈ W. Portanto o quociente associado a Q por π ´e da forma

  ′ ⊕r

  q : C[x, y] ´e sobrejetora. Mas a condi¸c˜ ao de q ser

  1

  1

  → F tal que q

  ′ ′ ′

  sobrejetora nos d´ a que para todo v , B )v para algum ∈ F , v = p(B

  1

  2

  1

  polinˆ omio p(x, y) ∈ C[x, y]. Logo, se algum subespa¸co pr´oprio S ( V

  ′ ′

  ´e B -invariante e cont´em v , temos que S = V . Que ´e exatamente a i

  1 ′ ′ ′

  condi¸c˜ ao de (B , B , v ) ser est´avel.

  1

  2

1 Agora, seguindo a demonstra¸c˜ ao em [3], podemos demonstrar que (r, n).

  W ´e denso em Quot

2 Teorema 2.9.

  (r, n). W ´e denso em Quot

2 Demonstra¸c˜ ao. Seja x um ponto de Quot (r, n) e, pelo Lema 2.6, seja

  2

  u = (B , B , v , . . . , v r )

  1

  1 st

  

2

  1

−1 ′

  qualquer ponto de π (x) (r, n). Tome B como no Lema 2.7.

  ⊂ V

  2

  2

  φ(t), t e φ(1) = u , ou seja,

  1

  2

  ∈ C tal que φ(0) = u

  ′ φ(t) = (B , tB + (1 , tw + (1 , v , . . . , v r ).

  1

  

2

  1

  2

2 − t)B − t)v

  Podemos pensar esse caminho como uma deforma¸c˜ ao do ponto u para

  1

  o ponto u 2 .

  ′

  Pelo lema 2.7, B

  2 (t) = tB + (1 2 ´e nilpotente e comuta com

  2

  − t)B

  ⊕r B . Assim, a imagem de φ ´e um subconjunto de (n) .

  1

  2 st N × V ⊕r

  Como (r, n) ´e aberto em (n) , existe um subconjunto

  2 N × V st

  

2

V

  aberto denso C (r, n). Analogamente, existe ⊆ C tal que φ(C) ⊆ V

  2 ⊕(r−1)

  um subconjunto aberto denso C ) .

  1

  1

  1

  ⊆ C tal que φ(C ⊆ U × V Assim, π(φ(C)) (r, n) ´e uma curva ligando x = π(u

  1 ) `a π(u 2 )

  ⊂ Quot

  2 ∈ 1 ))

  W. Note que π(φ(C ⊂ W, logo x est´a no fecho de W (lembre que ser sobrejetora ´e aberta). Portanto,

  1 W ´e aberto pois a condi¸c˜ao de φ (r, n).

  W ´e denso em Quot

2 A aplica¸c˜ ao π do Proposi¸c˜ ao 2.6 nos permitiu demonstrar a den-

  sidade do conjunto W. Assim, podemos concluir a irredutibilidade de

  Quot (r, n) pelo que foi visto no in´ıcio da se¸c˜ ao. Al´em disso, π ter´a

  2

  grande importˆancia no pr´ oximo cap´ıtulo, permitindo analisar a cone- xidade.

  3 Conexidade em Quot

  Neste cap´ıtulo vamos explorar um pouco mais alguns casos parti- culares de Quot (r, n) e mostrar a conexidade nestes casos. Todos os d c´ alculos foram feitos usando o software Xcas dispon´ıvel em [24]. Para mais informa¸c˜ oes sobre o software, bem como como ele foi usado nas contas, consulte o Apˆendice C. Al´em disso, todas as matrizes no de- correr do cap´ıtulo s˜ao sobre C.

  Vamos exemplificar a ideia para mostrar a conexidade em Quot (2, 3)

  2 sem as contas. De maneira an´ aloga, faremos os outros casos.

  Primeiro precisamos estudar todas as configura¸c˜ oes poss´ıveis de

  3

  pontos em (2, 3) m´odulo a¸c˜ ao de GL(C ), isto ´e, pontos est´aveis da

2 V

  forma (B , B , v, w) em que B , B s˜ao matrizes 3

  1

  2

  1

  2

  ×3 e v, w s˜ao vetores

  3

  em C . Para encontrar as configura¸c˜ oes usamos a forma de Jordan de uma matriz (via a a¸c˜ ao) para supor que B

  1 est´a na forma de Jordan.

  Neste caso, temos 3 possibilidades para a forma de Jordan de B

  1 . A

  seguir, em cada uma dessas trˆes possibilidades, analisamos como tem que ser B usando as rela¸c˜ oes da comutatividade [B , B ] = 0.

  2

  1

  2 Feito isso, para cada uma das poss´ıveis configura¸c˜ oes de B e B ,

  1

  2

  fizemos uma an´ alise para encontrar como devem ser os vetores v e w. Assim, cada uma dessas configura¸c˜ oes define um aberto dentro de

  2 (2, 3). Por fim, conectamos todas as configura¸c˜ oes encontradas

  V fazendo caminhos entre as matrizes de modo que todos os caminhos sempre estivessem dentro de (2, 3).

2 V

3.1 Resultados em ´ Algebra Linear

  Neste se¸c˜ ao, encontram-se alguns resultados da ´algebra linear que usaremos no decorrer do cap´ıtulo. Teorema 3.1

  (de Jordan). Seja A uma matriz n k k 1 m × n com polinˆomio caracter´ıstico p(x) = (x ) m ) e polinˆ omio minimal

  1 j j 1 m − λ · · · (x − λ p(x) = (x ) m ) . Ent˜ao A ´e semelhante a matriz J na

  1

  − λ · · · (x − λ forma canˆ onica de Jordan, em que cada J i ´e um bloco de Jordan,   J

 

 

  1 .   . ..

  J p Al´em disso, para cada i:

  1. a soma dos tamanhos dos blocos de Jordan com entradas λ i na diagonal ´e igual a k i = multiplicidade alg´ebrica de λ i ; 2. o maior bloco de Jordan com entradas na diagonal λ i ´e j i por j i ; 3. o n´ umero de blocos de Jordan com entradas λ i na diagonal ´e igual a multiplicidade geom´etrica de λ i .

  Demonstra¸c˜ ao. [28, p. 39]. Defini¸ c˜ ao 3.2.

  Dizemos que uma matriz quadrada ´e ‘nonderogatory’ se cada um de seus autovalores tem multiplicidade geom´etrica igual a Teorema 3.3. Suponha que A ´e uma matriz n × n sobre C ‘nonde- rogatory’. Se B comuta com A, ent˜ao existe um polinˆ omio p(x) com grau no m´aximo n − 1 tal que B = p(A).

  Demonstra¸c˜ ao. [16, p. 178] Corol´ ario 3.4. Seja A uma matriz n

  × n que comuta com um bloco de Jordan J n . Ent˜ao A = p(J n ) para algum polinˆ omio p(x) de grau no m´aximo n − 1. Teorema 3.5. Seja A uma matriz n

  × n complexa. Ent˜ao A ´e nilpo- tente se, e somente se, todos os seus autovalores s˜ao iguais a 0.

  Demonstra¸c˜ ao. [30, p. 94]

3.2 Conexidade em Quot (2, 2)

  2 Vamos usar a ideia da introdu¸c˜ ao do cap´ıtulo, ou seja, primeiro vamos encontrar as poss´ıveis configura¸c˜ oes e, em seguida, conectar to- das elas. Seja (B , B , v, w) (2, 2). Se B

  1

  2

  2

  1

  ∈ V 6= 0, podemos colocar B na forma de Jordan, isto ´e, existe R n (C) tal que

  1 " # ∈ GL 0 1 −1 RB R = J = .

  1

  

2

  0 0 Assim, m´odulo a a¸c˜ ao de GL (C), podemos considerar (J , B , v, w).

  2

  2

  2 Como [B , B ] = 0, temos B = f (B ), para algum polinˆ omio f

  1

  2

  2

  1 " # ∈ C [x] a b

  com grau menor ou igual a 1. Neste caso, B

  2 = aI 2 + bB 1 = .

  a Queremos B nilpotente, logo

  2

" #

  2

  a 2ab

  2

  0 = B = 2 ⇒ a = 0.

  2

  " # b Portanto, B = . Agora, vamos analisar a condi¸c˜ ao de estabi-

  2 " # " # " # 0 0 v v bv

  1

  2

  2

  lidade. Dado v = , temos B v = e B v = . As-

  

1

  2

  v

  2

  sim, para a condi¸c˜ ao ser satisfeita, devemos ter v

  2 " # " # 6= 0. Al´em disso, pela

  1 v 1

  1 a¸c˜ ao de GL (C), isto ´e, fazer v, podemos supor v =

  2

  1 " # v 2

  1 ou v = . Neste caso, V =

  1 v

  hv, B i. Assim, teremos pontos da

  1 forma: ( " # " # " # " #! ) 0 1 0 a w

  1

  , , ,

  a, w

  1 , w 2 .

  ∈ C 0 0 1 w

  2

  2 Agora se B = 0, ent˜ao B = 0 ou B = 0. Se B = 0, precisamos

  1

  2

  2 " # " #

  2

  w

  1

  2

  de v = e w = com w

  1 = 0, ent˜ao B 2 ´e

  6= 0. Se B

  2

  1 w " #

  2

  0 1 similar a . E analogamente ao caso anterior, podemos supor " # 0 0 v = . Portanto teremos pontos da forma ( " # " # " # " #! )

  1 0 0 0 0 w

  1

  , , , w , w

  1

  2

  1

  ∈ C, w 6= 0 0 0 0 0 1 w

  2

  ou ( " # " # " # " #! ) 0 0 0 1 w

  1

  , , , a, w , w .

  1

  2

  ∈ C 0 0 0 0 1 w

  2 Portanto, precisamos conectar as seguintes configura¸c˜ oes: " # " # " # " #

  1

  0 1 a

  1 w

  1 P , , , ,

  1

  1

  0 0 1 w

  2

  " # " # " # " #

  2

  0 0 0 1 w

  1 P , , , ,

  2

  2

  0 0 0 0 1 w

" # " # " # " #

  2

  3

  0 0 0 0 w

  1

  6= 0 P , , , .

  3

  3

  0 0 0 0 1 w

  2 Perceba que cada uma das configura¸c˜ oes define um aberto em

  (2, 2). Al´em disso, no ´ ultimo caso, teremos um aberto que ´e des-

2 V

  conexo pois est´ a definido por uma equa¸c˜ ao w

  2

  6= 0. O que poderia gerar um problema, mas conectando ela com as outras configura¸c˜ oes, que s˜ao conexas, resolver´ıamos isso.

  Vale observar tamb´em que temos mais outros pontos que est˜ ao na mesma fam´ılia, por exemplo, temos " # " # " # " #!

  1

  0 1 a w

  1

  1 P = , , , ,

  1

  1

  0 0 1 w

  2

  mas " # " # " # " #!

  1

  0 1 a 1 w

  1

  1 ′

  P = , , , ,

  1

  1

  0 0 1 w

  2

  tamb´em ´e um ponto. Por´em, este ser´ a conectado por linha reta, isto ´e,

  ′ ′

  conectamos P via (1 + tv. Por isso, basta considerar os

  1 1 → P − t)v

  casos acima.

  Vamos conectar as trˆes configura¸c˜ oes fazendo P

  1

  2 3 .

  → P → P Cada transforma¸c˜ ao a seguir, e tamb´em no restante do cap´ıtulo, quer dizer que os elementos que foram alterados est˜ao conectados por uma " # " # a a

  

1

  2

  linha reta. Por exemplo: na realidade quer → b c b c

  1

  1

  2

  1

  dizer f : [0, 1]

  2 (C) definida por

  → M " # a t a (1

  2

  1

  − t) f (t) = b

  1 (1 2 t c

  1

  − t) + b P

  1 "

  Seja (B

  3 "

  0 0 0 0 # " 0 0 0 0 # "

  1 # " w

  3 1 6= 0

  w

  3

  2 #

  3

  (2, 3)

  Vamos come¸car estudando as configura¸c˜ oes poss´ıveis das matrizes B

  1

  e B

  2 da mesma maneira que fizemos na se¸c˜ ao anterior.

  1

  2 #

  , B

  2

  , v, w) um ponto em Quot(3, 2). Vamos separar em casos:

  1. B

  3

  1

  = 0: Neste caso, colocando B

  1

  na forma de Jordan, obtemos B

  1

  ∼ 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  . Como [B

  1 , B 2 ] = 0, devemos ter B 2 = f (B 1 )

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  3

  0 1 0 0 # " a

  1

  

1

# "

  1 # " w

  1

  1

  w

  1

  2 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 0 1 0 0 # " 0 1

  0 0 # "

  1 # " w

  1

  1

  w

  2 #

  w

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  2 "

  0 0 0 0 # " 0 1 0 0 # "

  1 # " w

  2

  1

  w

  2

  2 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 0 0 0 0 # " 0 1

  0 0 # "

  1 # " w

  3 1 6= 0

3.3 Conexidade em Quot

  B

  2×1

  2

  1

  v i.

  2. B

  2

  1

  = 0: Neste caso, a forma de Jordan de B

  1 ´e

  0 1 0 0 0 0 0 0 0 . Agora, escreva B

  2

  = " A

  2×2

  B

  C

  1

  1×2

  D

  1×1 #

  e note que, para J

  2

  = " 0 1 0 0 #

  , B

  1 B 2 = "

  J

  2 # "

  A B # = "

  J

  2 A J

  v, B

  V = hv, B

  2

  3

  = a b c a b a .

  Devemos ter B

  2

  nilpotente, para isso, note que B

  2

  tem um ´ unico autovalor igual a a e, neste caso, precisamos de a = 0. Portanto B

  2

  = b c 0 0 b 0 0 0 .

  Analisando a condi¸c˜ ao de estabilidade: Dado v = v

  1

  v

  2

  v

  , temos B

  1 , obtendo

  1

  v = v

  2

  v

  3

  e B

  2

  1

  v = v

  3

  . Assim, precisamos de v

  3

  6= 0 e que, pela a¸c˜ ao de GL

  3 (C), podemos supor v =

  2 B # e " # " # " # A B J AJ

  2

  2 B B = = .

  2

1 C D CJ

  2 Queremos que B B = B B , ou seja, AJ = J

  A, J B = 0 e

  1

  2

 

  2

  1

  2

  2

  2     a b c

  CJ = 0. Logo, B = . Agora precisamos que B

  2 2 a

 

  2

  d e seja nilpotente, para isso, calculando os autovalores de B   2 temos     b c a e e. Logo, devemos ter a = 0 = e. Dai B = .

  2  

  d Para a condi¸c˜ ao de estabilidade ser satisfeita devemos ter, se d      

  6= 0, v = e dai V = v, B v

  1

  

1

  2       hv, B i e, se d = 0, precisamos de w        

  1

  v = e de w = com w v, w 1 w

  2

  3

  1     6= 0 e ent˜ao V = hv, B i.

  w

  3

  3. B = 0: Neste caso, podemos colocar B na forma de Jordan:

  1    

  2         0 1 0

  (a) Se B , ent˜ao com v = temos V =

  2 0 0 1

  ∼     0 0 0

  1

  2 2 v, B v

  hv, B       2 i.

  0 1 0 w            

  1

  (b) Se B , ent˜ao com v = e w =

  2 0 0 0

  1 w

  2

  ∼       0 0 0 w

  3

  com w v, w

  3

  2 6= 0, temos V = hv, B i.

  (c) Se B = 0, ent˜ao precisamos que os trˆes vetores formem um

  2 base para V . se¸c˜ ao anterior, precisamos conectar os seguintes pontos:          

  1

  0 1 0 a b w

  

1

  1          

  1          

  1 P = , , , , 1 0 0 0

  1 w          

  2

  1

  0 0 0 c

  1 w          

  6= 0

  3

  2

  0 1 0 0 a

  

2 b

2 w          

  1          

  2 P = , , , , 2 0 0 0

  1 w          

  2

  2

  0 0 0 w           3 6= 0

  3

  0 1 0 0 a b w

  

3

  3          

  1          

  3 P

3 = 0 0 1 , a , , w ,

  3          

  2

  3

  0 0 0 1 w          

  3

  4

  0 0 0 0 1 0 w          

  1          

  4 P = , , , , 4 0 0 0 0 0 1 w          

  2

  4

  0 0 0 0 0 0 1 w          

  3

  5

  0 0 0 0 1 0 w          

  1          

  5 P = , , , . 5 0 0 0 0 0 0

  1 w          

  2

  3

  0 0 0 0 0 0 w

  5 6= 0

  Vamos conectar os pontos P de modo

  1

  2

  3

  4

  5

  → P → P → P → P que todos os caminhos continuem comutando, nilpotentes e est´aveis. Vamos come¸car: P 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 a

  

1

  3

  w

  2

  3

  w

  1

  3

  1 w

  3

  a

  

3 b

  3

  0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 a

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  2 3 6= 0

  w

  2

  2

  w

  1

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

  1 w

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

  4

  w

  2

  4

  w

  1

  4

  1 w

  0 0 1 0 0 0

  4

  0 0 1 0 0 0

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  3

  3

  w

  2

  3

  w

  1

  3

  1 w

  2

  2

  b

  w

  6= 0

  1

  0 c

  1

  b

  

1

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 a

  3

  1

  2

  2

  1

  w

  1

  1

  1 w

  6= 0

  1

  0 c

  1

  1 w

  1

  a

  1

  2

  b

  2

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a

  2 3 6= 0

  w

  2

  2

  w

  2

  w

  1 w

  2

  

2 b

  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 a

  2

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  2 3 6= 0

  w

  2

  2

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

  

2 e B

3 continuem comutando. Assim,

  5 3 6= 0

  Agora vamos adicionar uma nova matriz. Ainda com o mesmo estudo feito, temos uma forma para as matrizes B

  2

  e B

  3

  . Neste caso, precisamos apenas garantir que B

  chegamos nas seguintes configura¸c˜ oes ` a serem conectadas: P

  2

  1 1

  , a (1) 1 b (1) (1) 1 c 1 6= 0 , a (1) 2 b (1) 1 c (1) (1) 2 c (1) 1 c 2 , 1 , " w (1) 1 w (1) 2 w (1) 3 # ; P

  2 1

  , a (2) 1 b (2) 1 , a (2) 2 b (2) 2 , 1 , " w (2) (2) 1 w (2) 2 w 3 6= 0 # ; P

  3 1

  , a (3) 1 c (3) 1 b (3) (3) 2 c (3) 2 c 1 , a (3) 2 b (3) (3) 2 c 2 6= 0 , 1 , " w (3) 1 w (3) 2 w (3) 3 # ; P

  4 1 1

  w

  5

  0 0 1 0 0 0

  w

  1 w

  5

  1

  w

  5

  2

  5 3 6= 0

  w

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  5

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

  0 0 0 0 0 0

  1 w

  5

  1

  , a (4) 1 b (4) 1 a (4) 1 , a (4) 2 b (4) (4) 2 a 2 , 1 , " w (4) (4) 1 w (4) 2 w 3 # ;

  1 w a b 2 (5) (5) (5) 2 1 " # w 1 (5) P

  5 , , , , c 6= 0 w 2 (5) (5) 3 2 .

  Na realidade, quando B = 0 temos mais pontos poss´ıveis, mas

  1

  todos ser˜ ao conectados pois P ´e igual a P do exemplo anterior a

  5

  1

  menos da matriz B = 0. Al´em dos pontos que est˜ao numa mesma

  1

  fam´ılia como citado na se¸c˜ ao anterior. Vamos conectar P

  1

  2

  → P → P

  3

  4 5 .

  → P → P 1 a b w 1 (1) (1) (1) 1   a 2 (1) (1) b c (1) (1) 1 c 2 " # (1) 1 c (1) 1 6= 0   w c 2 (1)

  1 1 w 3 2 (1)

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a b (1) (1) 1 1     a w c (1) (2) 2 (1) 2 b c (1) (1) 1 c (2) 1 (1) 2 1 w " # w 3 (2)6=0 1 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a b a b (2) (2) (2) (2) 1 1 2 2 1 " # w 6= 0 (2) 3 w w (2) 2 (2) 1

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a   w   1 (3) (3) c b (2) 1 (3) (3) c (2) 2 2 a b 2 (3) (3) 2 1 " # w 6= 0 3 (2) w 2 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a b w   w   c a (3) 1 (3) 1 (3) c b 1 (3) (3) c 2 2 (2) (2) c 6= 0 (3) 2 2 2 1 " # w 6= 0 3 (2) (2) 1 (2) 2

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

  1 a (3) 1 c (3) 1 b (3) (3) 2 c (3) 2 c 1 a (2) 2 b (2) (3) 2 c 2 6= 0 1 1

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a (4) 1 b (4) 1 a (4) 2 b (4) 2 1 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 a (4) 1 b (4) (4) 1 a 1 a (4) 2 b (4) 2 a (4) 2 1 " w (4) (4) 1 w (4) 2 w 3 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 1 a (4) 2 b (4) 2 a (4) 2 1 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a (4) 2 b (4) 2 1 1

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a (5) 2 b (5) (5) 2 c 2 6= 0 1 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 a (5) 2 b (5) (5) 2 c 2 6= 0 1 " w (5) (5) 1 w (5) 2 w 3 # .

3.4 Conexidade em Quot

  (2, 4)

  Novamente, vamos primeiro analisar as configura¸c˜ oes: Seja (B

  1

  , B

  3

  , v, w, u), Vamos separar em casos:

  1. Se B

  4

  1

  = 0, ent˜ao a forma de Jordan de B

  1

  ´e 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e

  2 para [B

  1

  , com J

  = " J

  3 #

  e B

  2

  = " A

  3×3

  B

  3×1

  C

  1×3

  D

  1×1 #

  3

  ] = 0, escrevemos B

  = 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  . Assim, [B

  1

  , B

  2

  ] = 0 ⇔ J

  3 , JB = 0, CJ = 0.

  Segue que B

  2 =

  a b c d a b a e f

  . Para ter B

  2 nilpotente, calcu-

  1

  2

  , B

  2

  2

  ] = 0, devemos ter B

  2

  = a b c d a b c a b a

  . Quere- mos B

  2 nilpotente, para isso, note que o ´ unico autovalor de B 2 ´e

  a. Neste caso devemos ter a = 0 e ent˜ao B

  2

  = b c d 0 0 b c 0 0 0 b 0 0 0 .

  Para a condi¸c˜ ao de estabilidade ser satisfeita devemos ter v =

  1 dai V = hv, B

  1 v, B

  1

  , B

  v, B

  

3

  

1

  v i.

  2. Se B

  3

  1

  = 0, ent˜ao a forma de Jordan de B

  1

  ´e 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .

  Para ter [B

  1

3 A = AJ

       0 0 b    b c d a = 0 = f . Logo B = .

  2

 

  0 0 0 0 0 e        

  Para a estabilidade, se e e dai 6= 0, precisamos de v =    

  1      

  2  

  V = v, B v, B v e

  1

  2

  hv, B

  1 i. Se e = 0, precisamos de v =      

  1 w  w   

  1

  2  

  2

  w = com w

  4 1 v, B v, w  

  6= 0 dai V = hv, B 1 i. w  

  3

  w

  4

  2

  3. Se B = 0, temos duas op¸c˜ oes para a forma de Jordan de B ,

  1

  1

  vamos analisar separadamente:      0 0 0 0    0 1 0 0 (a) Caso B . Com o mesma ideia dos ca-

  1

  ∼     0 0 0 1 0 0 0 0 sos anteriores, a condi¸c˜ ao de comutatividade implica que B

  2

  deve ser da forma    a c      a b c d B 2 = .     e f g h e g mos

  2

  2

  2

  2

  a + g + pa + g a + g pa + g − ag + 4ce − − ag + 4ce e .

  2

  2 √

  Igualando os autovalores a 0, obtemos a = ± −ce e h =

  √ ∓ −ce. Neste caso,  

  √ b c d  c   √  ± −ce   ± −ce B = .

  2   ∓ −ce  e f h

  √ e ∓ −ce

  Para a condi¸c˜ ao de estabilidade, se e       6= 0, devemos ter v =        

  1   e dai V = v, B v, B B v

  1

  2

  1

  2     hv, B i. Se c 6= 0, v =    

  1 e ent˜ao V = v, B v, B B v

  1

  2

  1

  2

  hv, B i. Se ambos e = 0 = c,       w u      

  1

  1

  1   w   u       

  2

  2

  ent˜ao precisamos de v = , w = e u =       w u      

  3

  3

  w u

  4        

  4

  com w , w =

  3

  4

  6= 0 e u 6= 0 (ou vice-versa), ou v =        

  1 w u      w   u 

  1

  1    

  2

  2

  e u = com w

  

1

  2     6= 0 e u 6= 0 (ou vice-versa).

  w u    

  3

  3

  • j
  • j

  2

  i −f

  2

  h −2ef

  √ hi = (e √ i

  −f √

  −h)

  2

  6= 0, devemos ter v =

  1 , dai V = hv, B

  1

  v, B

  v, B

  −hi . Para a estabilidade, se e

  2

  2

  v i. Se

  (e √ i

  − f √

  −h)

  2 = 0, precisamos de mais vetores.

  4. Se B

  1 = 0, podemos colocar B 2 na forma de Jordan:

  (a) Caso B

  2

  ∼ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

  2

  ∓ √

  (b) Caso B

  − 2gj + 4hi

  1

  ∼ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  . Ent˜ao, da comutatividade, B

  2 tem que ser da forma

  a b c d a e g h f i j

  . Para B

  2 ser

  nilpotente, calculando os autovalores de B

  2

  temos g + j + pg

  2

  2

  2 e g + j

  −hi h 0 f i

  − pg

  2

  2

  − gj + 4hi

  2 . Igualando os autovalores a 0, obtemos g =

  ± √

  −hi e j = ∓

  √ −hi. Neste caso,

  B

  2

  = b c d e

  ± √

  , devemos ter v = .

           0 0 1 0        0 1 0 0 (b) Caso B , precisamos de v = e

  2

  ∼         0 0 0 0

  1   0 0 0 0 w  w   

  1  

  2

  w = com w

  4   6= 0.

  w  

  3

  w

  4      0 0 0 0       0 1 0 0     1 

  (c) Caso B , teremos v = , w =

  2

  ∼         0 0 0 1     0 0 0 0 w u        

  1

  1    

  w

  2 u

  2

  , u = com w

  3

  4     6= 0 e u 6= 0 (ou vice-versa).    

  w

  3 u

  3

  w u

  4

     

  4

  w u

   w   u 

     

  

1

  1

     

  

2

  2 Ou v = , w = , u = com w

  1       6= 0 e w u

     

  

3

  3

  1 w u

  

4

  4

  u

  2 6= 0 (ou vice-versa).          0 0 0 0   0 1 0 0     1 

  (d) Caso B , precisamos v = , w =

  2

  ∼         0 0 0 0     0 0 0 0 w u  w   u     

  1

  1    

  2

  2

  , u = com w

  3

  4     6= 0 e u 6= 0 (ou vice-versa).    

  w

  3 u

  3

  w

  4 u

  4 um base para V .

  Agora, com o estudo das configura¸c˜ oes feito, precisamos conectar os seguintes pontos: P

  7

  , " 1 # , " w10 1 w10 2 w10 3 w10 4 #!

  p−f10g10 #

  = " 1 # , " a10 b10 c10 d10 p−f10g10 f10 e10 g10

  10

  , " a9 c9 6= 0 e9 f9 # , " 1 # , " w9 1 w9 2 6= 0 w9 3 w9 4 #! P

  9 = " 1 1 #

  = " 1 1 # , " a8 c8 e8 6= 0 f8 # , " 1 # , " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 6= 0 #! P

  8

  , " 1 # , " w7 1 w7 2 w7 3 w7 4 #! P

  p−b7d7 a7 b7 c7 p−b7d7 b7 d7 6= 0 e7 p−b7d7 f7 d7 6= 0 p−b7d7 #

  = " 1 1 # , "

  , " 1 # , " w6 1 w6 2 w6 3 w6 4 #! P

  1 = " #

  p−b6d6 a6 b6 6= 0 c6 p−b6d6 b6 6= 0 d6 e6 p−b6d6 f6 d6 p−b6d6 #

  = " 1 1 # , "

  6

  , " a5 b5 c5 a5 d5 6= 0 # , " 1 # , " w5 1 w5 2 w5 3 w5 4 #! P

  5 = " 1 1 #

  = " 1 1 # , " a4 b4 c4 a4 # , " 1 # , " w4 1 w4 2 w4 3 w4 4 6= 0 #! P

  4

  = " 1 1 1 # , " a3 b3 c3 a3 b3 a3 # , " 1 # , " w3 1 w3 2 w3 3 w3 4 #! P

  3

  = " # , " 1 1 1 # , " 1 # , " w2 1 w2 2 w2 3 w2 4 #! P

  2

  , " 1 1 # , " 1 # , " w1 1 w1 2 w1 3 w1 4 6= 0 #! P

  2 P

  11

  = 0 d

  = 0 A ideia para conectar todos os pontos vai ser a seguinte:

  4

  13

  = 0 ou w

  13

  13 4 6= 0, d

  w

  13

  2

  1

  )

  13

  √ −f

  13

  − e

  13

  √ g

  13

  P

  // P

  p−f13g13 #

  11 P

  oo // P

  8

  OO P

  12 ∗

  11 P

  // P

  13 ∗

  7 P

  9 P

  2

  // P

  6

  5 P

  // P

  4

  // P

  3

  // P

  , " 1 # , " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 #! (d

  = " 1 # , " a13 b13 c13 d13 p−f13g13 f13 e13 g13

  = " 1 # , " a11 b11 c11 d11 p−f11g11 f11 e11 g11

  )

  

11

3 6= 0

  w

  11

  11 4 − e

  w

  11

  = 0 d

  2

  11

  12

  √ −f

  11

  − e

  11

  √ g

  11

  , " 1 # , " w11 1 w11 2 w11 3 w11 4 #! (d

  p−f11g11 #

  P

  = " 1 # , " a12 b12 c12 d12 p−f12g12 f12 e12 g12

  13

  = 0 d

  = 0 P

  3

  12

  = 0 ou w

  12

  12 4 6= 0, e

  w

  12

  2

  p−f12g12 #

  )

  12

  √ −f

  12

  − e

  12

  √ g

  12

  , " 1 # , " w12 1 w12 2 w12 3 w12 4 #! (d

  10 OO Vamos come¸car com P

  1

  2

  w

  2

  2

  w

  1

  2

  1 w

  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

  4

  3 w

  3

  2

  2 w

  2

  1 w

  2

  w

  1

  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

  2

  2

  w

  1 4 6= 0

  1 w

  3

  w

  3

  3

  w

  2

  3

  w

  1

  3

  3

  2

  a

  3

  3 b

  a

  3

  

3 b

3 c

  0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 a

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  4

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  w

  → P

  1 w

  1 4 6= 0

  w

  3

  1

  w

  2

  1

  w

  1

  1

  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  0 0 1 0 0 0 0

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

  1

  : P

  5

  → P

  4

  → P

  

3

  → P

  2

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

  1

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

  1

  w

  2

  1

  w

  1

  1

  w

  1

  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

  1 4 6= 0

  0 0 0 0

  w

  3

  1

  w

  2

  1

  w

  1

  1

  1 w

  4

   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  4 4 6= 0

  5 d

  5 a

  a

5 b

5 c

  0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  5

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  w

  1

  3

  4

  w

  2

  4

  w

  5

  w

  4

  Continuamos com P

  → P

  7

  → P

  6

  → P

  3

  4 .

  5

  5

  3 w

  5

  2 w

  5

  1 w

  1

  1 w

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  4

  1 w

  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  4 4 6= 0

  w

  3

  w

  1

  2

  4

  w

  1

  4

  1 w

  4

  w

  4

  0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a

  a

  4

  c

  4

  b

  4

  4

  4

  ↓ ↓ ↓ ↓ P

  4 4 6= 0

  w

  3

  4

  w

  2

  8 :

   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 a

  1

  6

  3

  w

  6

  4

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b

  6

  c

  6

  0 0 b

  6

  0 0 0 0

  1 w

  6

  w

  2

  6

  2

  w

  6

  3

  w

  6

  4

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # "

  

p−b6d6 a6 b6 c6

p−b6d6 b6 d6 e6

p−b6d6 f6 d6 pb6d6 # " 1 # " w6 1 w6 2 w6 3 w6 4 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # "

  p−b6d7 b6 p−b6d7

b6 d7 p−b6d7 d7 p−b6d7 # " 1 # " 1 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # "

  p−b6d7 b6 p−b6d7 b6 d7

p−b6d7 d7 p−b6d7 # " 1 # " 1 #

  w

  6

  3

  2

  b

  3

  c

  3

  a

  3 b

  3

  a

  3

  1 w

  3

  1

  w

  3

  w

  w

  6

  1

  6

  1 w

  0 0 0 0

  6

  0 0 b

  c

  3

  6

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b

  4

  3

  w

  3

  ↓ ↓ ↓ ↓

  " 1 1 # "

  p−b7d7 a7 b7 c7

p−b7d7 b7

d7 e7 p−b7d7 f7 d7 p−b7d7 # " 1 # " w7 1 w7 2 w7 3 w7 4 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " d7 d7 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 6= 0 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " a8 c8 d7 e8 6= 0 f8 d7 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 6= 0 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " a8 c8 e8 f8 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 6= 0 # .

  Agora vamos fazer P

  6

  → P

  " 9 : 1

  1 # " p−b6d6 a6 b6 6= 0 c6

p−b6d6 b6 6= 0

d6 e6 p−b6d6 f6 d6 pb6d6 # " 1 # " w6 1 w6 2 w6 3 w6 4 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " a9 b6 c9 6= 0 b6 e9 f9 # " 1 # " w9 1 w9 2 6= 0 w9 3 w9 4 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " a9 c9 e9 f9 # " 1 # " w9 1 w9 2 w9 3 w9 4 # .

  Seguimos com P

  8

  → P

  10

  : " 1

  1 # " a8 c8 e8 6= 0 f8 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 6= 0 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 # " e8 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " e8 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 #

  p−f10g10 # " 1 # " w10 1 w10 2 w10 3 w10 4 # .

  → P

  8

  P

  1 B 2 = 0, dai n˜ ao importa como transformamos os elementos. Agora,

  que nunca ´e 0. Precisamos desse passo para preservar a estabilidade. Note que essa opera¸c˜ ao ´e v´ alida pois B

  10

  Perceba que no pen´ ultimo passo usamos uma ϕ. Essa ϕ ´e um caminho que liga 1 at´e e

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " a10 b10 c10 d10 p−f10g10 f10 e10 g10

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " e8 p−f10g10 f10 1 g10

  p−f10g10 # " 1 # " 1 #

  ↓ ↓ ϕ ↓ ↓ " 1 # " d10 p−f10g10 f10 e10 g10

  p−f10g10 # " 1 # " 1 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " d10 p−f10g10 f10 1 g10

  p−f10g10 f10 1 g10 p−f10g10 # " 1 # " 1 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " e8

  p−f10g10 # " 1 # " w8 1 w8 2 w8 3 w8 4 #

  12 :

   0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  12

  12

  d

  12 √ −f

  12 g

  

12

f

  12

  e

  12 g

  12 − √

  −f

  12 g

  12

  1 w

  1

  12 b

  w

  12

  2

  w

  12

  3

  w

  12

  4

  Seguimos com P

  10

  → P

  13

  12 c

  a

  0 0 e

  ↓ ↓ ↓ ↓ ψ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  8

  6= 0 0 0 0 0

  1 w

  8

  1

  w

  8

  2

  w

  8

  3

  w

  8 4 6= 0

  0 0 d

  ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  12

  0 0 0 0

  1 w

  12

  1

  w

  12

  2

  w

  12

  3

  w

  12

  4

  :

  " 1 # " f10 e10 # " 1 # " w10 1 w10 2 w10 3 w10 4 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " f10 e13 # " 1 # " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 #

  4

  11 w 4 = λe 11 w 3 com 0 < λ < 1, podemos fazer P

  Se d

  p−f11g11 # " 1 # " w11 1 w11 2 w11 3 w11 4 # .

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " d11 e11 # " 1 # " w11 1 w11 2 w11 3 w11 4 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " a11 b11 c11 d11 p−f11g11 f11 e11 g11

  d12 # " 1 # " w12 1 w12 2 w12 3 w12 4 6= 0 #

  da seguinte forma: " 1 # "

  11

  → P

  12

  com λ > 1 ou λ < 0, podemos fazer P

  3

  w

  11

  = λe

  1w

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " e13 # " 1 # " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " e13 # " 1 # " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 #

  1

  com λ ∈ R ou d

  3

  w

  11

  6= λe

  

4

  w

  11

  . Se d

  11

  Falta s´o conectar P

  p−f13g13 # " 1 # " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 #

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " a13 b13 c13 d13 p−f13g13 f13 e13 g13

  13 11 :

  " 1 # " d13 # " 1 # " w13 1 w13 2 w13 3 w13 4 6= 0 # ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " d11 e11 # " 1 # " w11 1 w11 2 w11 3 w11 4 #

  2

  ′

  2

  , 0, v

  ′

  , w

  ′

  ) ↓

  (B

  ′

  1

  , B

  ′

  , B

  1

  ′

  3

  , v

  ′

  , w

  ′

  ) Analogamente se s´o depende de B

  1

  e B

  3

  . Tamb´em, ambas essas fam´ılias que conectamos s˜ao conectados pelo ponto que s´o depende de B

  1

  , B

  ′

  ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 # " a11 b11 c11 d11 p−f11g11 f11 e11 g11

  , B

  p−f11g11 # " 1 # " w11 1 w11 2 w11 3 w11 4 # .

  Precisamos disso pois, caso contr´ario, perder´ıamos a estabilidade no caminho. Por´em, em ambos os casos, conseguimos conectar P

  1 1.

  Portanto, conclu´ımos a conexidade.

  Agora vamos adicionar uma nova matriz B

  3 . Usando [B 1 , B 2 ] = 0

  e [B

  1

  , B

  3

  ] = 0, ca´ımos nos casos anteriores. Ent˜ao a tripla de matrizes ´e da mesma forma que o exemplo anterior m´odulo a comutatividade de [B

  2

  3

  ↓ (B

  ]. Assim, note que se a estabilidade depende s´o de B

  1

  e B

  2

  , ent˜ao conseguimos conectar todos eles da seguinte forma: (B

  1

  , B

  2

  , B

  3

  , v, w) ↓

  (B

  1 , B 2 , 0, v, w)

  que ´e um ponto em ambos os casos. Resta conectar os pontos em

  B

  1

  2 e 1 e B 1 na forma de Jordan. Denote esse ponto por P e

  seja Q o ponto B

  1

  , " r1 s1 t1 d1

  p−v1w1 v1 e1 w1 p−v1w1 #

  , " r2 s2 t2 u2

  p−v2w2 v2 x2 w2 p−v2w2 #

  , " 1 # , " y1 y2 y3 y4 # com d

  y

  2

  4

  6= e

  1

  y

  3

  . Note que Q ´e um ponto no qual a estabilidade depende apenas de B

  1

  e B

  2

  6= d

  1 e

  2

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ " 1 1 1 # " 1 1 1 #

  e B

  3

  . Conectamos o ponto de B

  1

  = 0 da seguinte maneira: " 1 1

  1 # " a1 b1 c1 a1 b1 a1 #

  1 " a1 b1 c1 a1 b1 a1 #

  2 " 1 # " w1 w2 w3 w4 #

  1 " # 2 " 1 # " w1 w2 w3 w4 #

  , " 1 # , " h1 h2 h3 h4 # com d

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ " # " 1 1 1 #

  1 " a1 b1 c1 a1 b1 a1 #

  2 " 1 # " w1 w2 w3 w4 # .

  O outro ponto ´e dado por B

  1

  , " a1 b1 c1 d1 p−f1g1 f1 e1 g1

  p−f1g1 #

  , " a2 b2 c2 d2 p−f2g2 f2 e2 g2

  p−f2g2 #

  . Assim, para conectar Q → P basta conectar as seguintes matrizes, pois B permanece a mesma.

" # " # " # " #

e1 w1 p−v1w1 x2 w2 p−v2w2 y4 d1 p−v1w1 v1 u2 p−v2w2 v2 y3 r1 s1 t1 r2 s2 t2 y1 − −

  

1

1 y2 " # " # " # " # r1 s1 t1 a2 b2 c2 y1 d1 v1 d2 f2 y3 ↓ ↓ ↓ ↓ 1 y2 e1 w1 e2 g2 y4 p−v1w1 p−f2g2 − −

p−v1w1 p−f2g2

" # " # " # " # d1 p−f1g1 f1 d2 p−f2g2 f2 h3 a1 b1 c1 a2 b2 c2 h1 e1 g1 p−f1g1 e2 g2 p−f2g2 h4 ↓ ↓ ↓ ↓ − − 1 h2

3.5 Considera¸c˜ oes Gerais

  Observe que em muitos dos passos acima, quando estamos conec- tando as configura¸c˜ oes, usamos um vetor extra, que possivelmente n˜ ao fazia parte da configura¸c˜ ao, mas foi necess´ ario para garantir a estabi- lidade. Percebemos, assim, que se tivermos um certo “grau de liber- dade”com os vetores, por exemplo, com r = 5, mas o ponto s´o precisa de 2 vetores para garantir a estabilidade, ent˜ao podemos sempre conec- tar esses pontos usando os vetores “extras”. Isso ´e o que diz o Teorema 3.7.

  Lema 3.6.

  Seja P = (B , . . . , B d , v , . . . , v r ) um ponto est´avel, ent˜ao

  1

  1 j j 1 d

  V = . . . , v r , B . . . B v l

  1

  hv

  1 d i,

  com l ∈ {1, . . . , r}. j j 1 d Demonstra¸c˜ ao. Denote por S = . . . , v r , B . . . B v l

  1 d

  hv

  1 i e observe que

  v i i (S) ∈ S para todo i ∈ {1, . . . , r}. Al´em disso, temos que B ⊆ S para todo i

  ∈ {1, . . . , d}. Assim, como P ´e est´avel, S = V como Teorema 3.7. Quot (n, n) ´e conexo por caminhos para todo n d ∈ N e para todo d

  ∈ N. st Demonstra¸c˜ ao. Seja P = (B , . . . , B d , v , . . . , v n ) (n, n). Note

  1 1 d n ∈ V que para a base canˆ onica i , temos Q = (0, . . . , 0, e , . . . , e n ) i

  1 st {e } =1 ∈

  V (n, n). Agora, dentre os vetores v , . . . , v n , considere apenas aqueles d

  1

  que s˜ ao LI que, sem perda de generalidade, escreveremos v , . . . , v k com

  1

  k ≤ n.

  Complete a lista v

  1 , . . . , v k para uma base de V , digamos

  v

  1 , . . . , v k , w 1 , . . . , w n −k

  . Assim, a matriz g que tem os vetores v , . . . , v k , w , . . . , w n −k nas

  1

  1

  colunas ´e uma matriz invert´ıvel. Agindo com g em Q obtemos g , . . . , e n ) = (0, . . . , 0, v , . . . , v k , w , . . . , w n ).

  1

  1 1 −k

  · (0, . . . , 0, e st Desse modo, considere ϕ : [0, 1] (n, n), definida por

  → V d ϕ(t) = (B t, . . . , B d t, v . . . , v k , w (1 k t, . . . , w n (1 n t).

  1

  1 1 +1 −k st −t)+v −t)+v

  Pelo Lema 3.6, ϕ(t) (n, n) para todo t ∈ V d ∈ [0, 1]. Al´em disso, note que [B i t, B j t] = 0 para todo i, j pois [B i , B j ] = 0 para todo i, j e

  B i t ´e nilpotente para todo i pois B i tamb´em ´e nilpotente para todo i. Tamb´em temos que ϕ(0) = Q e ϕ(1) = P como quer´ıamos finalizando a demonstra¸c˜ ao.

  Usando a mesma ideia da demonstra¸c˜ ao conseguimos mostrar o seguinte teorema: Teorema 3.8. Sejam n, d (r, n) ´e conexo d

  ∈ N e r ≥ n. Ent˜ao Quot Com o Teorema 3.7 e o Teorema 3.8, conclu´ımos a conexidade dos casos que n˜ ao foram feitos anteriormente, isto ´e, os casos em que r = n. Assim, obtemos a conexidade nos casos de n = 2, n = 3 e n = 4 para quaisquer r.

  Vale ressaltar que em nosso trabalho tratamos de casos particula- res com valores de n pequenos e, uma vez que n aumenta, o problema de natureza combinatorial fica praticamente intrat´ avel. Apesar de es- tarmos longe de resolver o problema em geral, buscamos resolver casos particulares a fim de identificar padr˜ oes e desenvolver a teoria.

  A Feixes e Esquemas

  Neste cap´ıtulo faremos uma breve exposi¸c˜ ao dos conceitos b´ asicos da teoria de feixes e da teoria de esquemas, bem como alguns resulta- dos que ser˜ ao usados no decorrer do texto. Como principal referˆencia usaremos o livro de R. Hartshorne [14] em adi¸c˜ ao de [12] e [25].

  A.1 Feixes

  O conceito de feixes nos condiciona manter localmente o controle dos dados alg´ebricos de um espa¸co topol´ ogico. Vamos iniciar com um exemplo que vai motivar a nossa defini¸c˜ ao de pr´e-feixes e feixes. Seja X uma variedade topol´ ogica e denote por C(X) o conjunto das fun¸c˜ oes cont´ınuas sobre X. Vamos analisar algumas propriedades:

  Sobre cada aberto U ⊆ X temos um anel de fun¸c˜oes cont´ınuas

  (soma e multiplica¸c˜ ao pontuais) que vamos denotar por C(U ). Dada uma fun¸c˜ ao f em C(U ) e um aberto V ⊆ U podemos restringir f ao aberto V obtendo uma fun¸c˜ ao em C(V ). Em outras palavras: para restri¸c˜ ao ρ U,V : C(U )

  → C(V ) f f V . 7→ |

  Agora, tome uma fun¸c˜ ao cont´ınua f em um aberto U , depois res- trinja ela ` a um aberto V ⊆ U e depois restrinja `a um outro aberto

  W ⊆ V . Observe que ao fazer as duas restri¸c˜oes ou restringir de U para W direto obtemos a mesma fun¸c˜ ao. Ou seja, se

  W ⊆ V ⊆ U

  ´e uma cadeia de inclus˜ oes de abertos e f uma fun¸c˜ ao cont´ınua em U , podemos restringir f a V e depois a W ou restringir f a W . O resultado ´e o mesmo. Podemos representar este fato em forma de um diagrama comutativo: ρ U V

  // C(U ) C(V ) ρ ρ U W V W

  ## {{ C(W ) isto ´e, ρ V W U V = ρ U W .

  ◦ ρ Considere agora f , f

  1

  2

  ∈ C(U) para um aberto U de X e tome uma cobertura aberta de U , digamos i i . Se as restri¸c˜ oes de f e

  ∈I

  1

  {U } f s˜ao iguais sobre cada aberto U i , temos que se x i

  2

  ∈ U, ent˜ao x ∈ U para algum i e assim f (x) = f U (x) = f U (x) = f (x) ,

  1

  1

  2

  2 | i | i ∀x ∈ U.

  Logo, f = f como fun¸c˜ oes sobre U . Em outras palavras: Se i i

  1

  2 ∈I

  {U } ´e uma cobertura de U e f

  1 , f

  2 U U (f 1 ) = ρ U U (f 2 ),

  ∈ C(U) tais que ρ i i

  1 = f 2 . Assim, podemos “identificar”fun¸c˜ oes sobre um

  ∀i ∈ I, ent˜ao f aberto olhando como se comportam sobre abertos menores.

  Ainda com nosso aberto U e uma cobertura aberta i i , supo-

  ∈I

  {U } nhamos agora uma fam´ılia de fun¸c˜ oes cont´ınuas, uma em cada aberto U i , isto ´e, f em U , f em U , . . ., f i em U i . Suponha tamb´em que elas

  1

  1

  2

  2

  coincidem sobre suas interse¸c˜ oes. Assim, dado x i ∈ U, temos x ∈ U para algum i e podemos definir uma fun¸c˜ ao f em U por f (x) = f i (x).

  Note que f est´a bem definida pois as fun¸c˜ oes f i coincidem nas in- terse¸c˜ oes e que f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua pois cada f i ´e cont´ınua. Isto ´e, podemos “colar”todas estas fun¸c˜ oes de modo a obter uma fun¸c˜ ao cont´ınua em todo U . Em outras palavras: dadas f i i ) tais

  ∈ C(U que para todos i, j temos ρ U ,U (f i ) = ρ U ,U (f j ), ent˜ao existe i i j j i j ∩U ∩U f U U (f ) = f i para todo i.

  ∈ C(U) tal que ρ i Todas essas propriedades que vimos, podem funcionar trocando k ∞ fun¸c˜ oes cont´ınuas por fun¸c˜ oes de classe C , para k finito, C , fun¸c˜ oes holomorfas, etc.

  Vamos formalizar essas propriedades que acabamos de ver: Defini¸ c˜ ao A.1.

  Seja X um espa¸co topol´ ogico. Um pr´e-feixe F de conjuntos em X consiste em:

  1. Para todo subconjunto aberto U ⊆ X, um conjunto F(U);

  2. Para qualquer inclus˜ ao de subconjuntos abertos de X, V ⊆ U, existe ρ U V : U V ´e fun¸c˜ ao, satisfazendo:

  F(U) → F(V ) em que ρ (i)

  F(∅) ´e um conjunto com ´unico elemento; (ii) ρ U U :

  F(U) → F(U) ´e a fun¸c˜ao identidade; (iii) Se W

  ⊆ V ⊆ U em que U, V e W s˜ao subconjuntos abertos de X, ent˜ao

  ρ U W = ρ V W U V .

  ◦ ρ teg´orico como segue: dado um espa¸co topol´ ogico X definimos a cate- goria Open(X) como ❼ Objetos de Open(X) s˜ao subconjuntos abertos de X; ❼ Morfismos de Open(X) s˜ao apenas as fun¸c˜oes inclus˜oes.

  Assim, um pr´e-feixe de conjuntos em X ´e um funtor contravariante da categoria Open(X) para a categoria dos conjuntos Set. Se

  F ´e um pr´e-feixe em X, diremos que um elemento f ∈ F(U) ´e uma se¸c˜ ao do pr´e-feixe F sobre o aberto U. Denotaremos por Γ(U, F) o conjunto U V s˜ao chamadas aplica¸c˜ oes restri¸c˜ oes

  F(U). As aplica¸c˜oes ρ e escreveremos f V ao inv´es ρ U V (f ) para f | ∈ F(U).

  Observa¸ c˜ ao A.2.

  1. Na defini¸c˜ ao acima vimos pr´e-feixes de conjuntos mas, de ma- neira an´ aloga, podemos definir pr´e-feixes em outras categorias, por exemplo: feixes de grupos abelianos, an´eis, m´odulos, ideais, etc. Por exemplo, no caso de um feixe de grupos abelianos tere- mos U V como

  F(U) um grupo abeliano e cada fun¸c˜ao restri¸c˜ao ρ sendo um homomorfismo de grupos abelianos.

  2. Quando estamos trabalhando com feixes em categorias que pos- suem objeto final, por exemplo grupos abelianos, na primeira condi¸c˜ ao da defini¸c˜ ao de pr´e-feixe, temos

  F(∅) ´e o objeto final da categoria. De fato, como F(∅) ´e um conjunto com um ´unico elemento e

  ∅ ⊆ U para todo aberto U, segue que existe ´unica aplica¸c˜ ao restri¸c˜ ao F(U) → F(∅).

  3. Quando se tornar necess´ ario, para n˜ ao causar confus˜ao, dado um

  F Defini¸ c˜ ao A.3. Um pr´e-feixe F em um espa¸co topol´ogico X ´e dito feixe se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes adicionais:

  (iv) Se U ´e um subconjunto aberto, i i ∈I ´e uma cobertura aberta {V } de U e f, g V = g i i V para todo i

  ∈ F(U) elementos tais que f| | ∈ I, ent˜ao f = g. (v) Se U ´e um subconjunto aberto, i i ∈I ´e uma cobertura aberta

  {V } de U e f i i ) para todo i i V ∩V = f j V ∩V ∈ F(V ∈ I s˜ao tais que f | i j | i j sempre que i V = f i para i

  6= j, ent˜ao existe f ∈ F(U) tal que f| todo i ∈ I.

  A condi¸c˜ ao (iv) ´e chamada axioma da identidade e a condi¸c˜ ao (v) ´e chamada axioma da colagem. Exemplo A.4.

  Como vimos no exemplo que motivou a defini¸c˜ ao de pr´e-feixes e feixes dado X uma variedade topol´ ogica, definimos F(U) como o anel das fun¸c˜ oes cont´ınuas em U e para cada inclus˜ ao de abertos

  V U V : ⊆ U, ρ F(U) → F(V ) como a restri¸c˜ao usual de fun¸c˜oes. Assim, F ´e um feixe em X.

2 Exemplo A.5.

  Considere C com a topologia da m´etrica (usual). Para

  2

  cada aberto U de C defina C[x, y](U ) como as fun¸c˜ oes polinomiais em x e y com dom´ınio em U . Assim, com a restri¸c˜ ao usual de fun¸c˜ oes, C [x, y] ´e um pr´e-feixe. De fato,

  (i) C[x, y]( ∅) = {f : ∅ → C | f ´e polinomial} e neste caso s´o temos a fun¸c˜ ao vazia.

  2

  (ii) Dado um aberto U de C , ρ U U : C[x, y](U ) → C[x, y](U) leva

  2

  (iii) Dados U, V, W abertos de C tais que W ⊆ V ⊆ U, temos

  C [x, y](U )

  → C[x, y](V ) → C[x, y](W ) f f V V ) W = f W . 7→ | 7→ (f| | |

  Vejamos que C[x, y] ´e um feixe:

  2

  (iv) Sejam U aberto de C , i i cobertura aberta de U e f, g

  

∈I

  {V } ∈ C [x, y](U ) tais que f V = g V para todo i

  | i | i ∈ I. Mas como f e g s˜ao fun¸c˜ oes polinomiais que coincidem em um conjunto aberto

  2

  de C , temos f = g. Tal resultado ´e conhecido como teorema da identidade e pode ser encontrado em [9, p.6].

  2

  (v) Sejam U aberto de C , i i cobertura aberta de U e f i

  

∈I

  {V } ∈ C[x, y](V i ) para todo i i V ∩V = f j V ∩V . Defina

  ∈ I tais que f | i j | i j f : U i (x) para algum i. Note que f ´e uma → C por f(x) = f fun¸c˜ ao polinomial para cada componente conexa de U , pois se

  V i j i = f j .

  ∩ V 6= ∅, ent˜ao f Exemplo A.6. Analogamente ao Exemplo A.5, podemos definir o feixe U =

  (0,0) 7→ I {f ∈ C[x, y](U) | f(0, 0) = 0} com a restri¸c˜ao usual.

  Vejamos: (i) I (

  (0,0) ∅) ´e um conjunto com apenas um elemento.

  2

  (ii) Dado um aberto U de C , ρ U U : I (U ) (U ) leva f

  (0,0) → I (0,0) 7→ f U = f , logo ρ U U = id.

  |

  2

  (iii) Dados U, V, W abertos de C tais que W ⊆ V ⊆ U, temos

  I (U ) (V ) (W )

  (0,0) (0,0) (0,0)

  → I → I f f V V ) W = f W . 7→ | 7→ (f| | |

  2

  (iv) Sejam U aberto de C , i i cobertura aberta de U e f, g

  

∈I

  {V } ∈ s˜ao fun¸c˜ oes polinomiais que coincidem em um conjunto aberto de

2 C , temos f = g.

  2

  (v) Sejam U aberto de C , i i ∈I cobertura aberta de U e f i {V } ∈

  C [x, y](V i ) para todo i i V = f j i ∩V j i ∩V j V . Defina

  ∈ I tais que f | | f : U i (x) para algum i. Note que f ´e uma → C por f(x) = f fun¸c˜ ao polinomial para cada componente conexa de U , pois se

  V i j i = f j . Note tamb´em que (0, 0) k para ∩ V 6= ∅, ent˜ao f ∈ V algum k, logo f (0, 0) = f k (0, 0) = 0.

  Exemplo A.7.

  Considere C com a topologia da m´etrica (usual). De- fina o pr´e-feixe F em C do seguinte modo: para cada aberto U ⊆ C,

  F(U) ´e o conjunto das fun¸c˜oes limitadas em U e se V ⊆ U ´e uma inclus˜ ao de subconjuntos abertos, defina ρ U V como a restri¸c˜ ao usual de fun¸c˜ oes. Note que, analogamente ao que fizemos no exemplo das fun¸c˜ oes cont´ınuas,

  F ´e um pr´e-feixe que satisfaz o axioma da identi- dade. Vejamos que F n˜ao satisfaz o axioma da colagem.

  Denote por B r a bola aberta centrada na origem de raio r, com r > 0. Agora, para cada n ∈ N defina f n : B n

  → C z 7→ z.

  Note que cada f n ´e limitada. Considere agora a cobertura aberta de C dada por n n . Observe que f n B = f m B para todo

  ∈N ∩B ∩B

  {B } | n m | n m n 6= m. Mas ao tentar fazer a colagem das fun¸c˜oes, isto ´e, definir f : C B = f n temos que f n˜ ao ´e uma fun¸c˜ ao limitada.

  → C tal que f| n Portanto, F n˜ao ´e um feixe.

  Exemplo A.8.

  Sejam X um espa¸co topol´ ogico e A um conjunto. De- finimos o feixe constante A em X como segue: considere a topologia discreta em A (isto ´e, todo subconjunto de A ´e aberto) e para todo

A. Ent˜ao, com a restri¸c˜ ao usual de fun¸c˜ oes, A ´e um feixe.

  De fato, vamos verificar todas as condi¸c˜ oes da defini¸c˜ ao: (i)

  A(∅) = {f : ∅ → A | f cont´ınua}, neste caso A(∅) ´e conjunto apenas a fun¸c˜ ao vazia. (ii) Temos ρ U U : U = f , logo ρ U U = id.

  A(U) → A(U), f 7→ f| (iii) Se W

  ⊆ V ⊆ U, temos A(U) → A(V ) → A(W ) f f V V ) W = f W . 7→ | 7→ (f| | |

  Logo, ρ U W = ρ U W U V e ◦ ρ A ´e um pr´e-feixe. (iv) Sejam U aberto de X, i

  {V } cobertura aberta de U e f, g ∈ A(U) tais que f V = g V para todo i. Assim, se x i | i | i ∈ U ent˜ao x ∈ V para algum i e f (x) = f V (x) = g V (x) = g(x) , | i | i ∀x ∈ U.

  Logo, f = g. (v) Sejam U aberto de X, i i i )

  {V } cobertura aberta de U e f ∈ A(V para todo i tais que f i V = f j V . Defina f : U

  ∩V ∩V

  | i j | i j → A por f (x) = f i (x) para algum i. Note que f ´e uma fun¸c˜ ao cont´ınua

  −1 −1

  pois, se V ´e um aberto de A, ent˜ao f (V ) = (V ) que ´e ∪f i aberto pois f i s˜ao continuas.

  Agora, vamos ver que se U ´e um conjunto aberto conexo = A, A(U) ∼ da´ı o nome de feixe constante. De fato, note para todo f

  ∈ A(U) e para todo x ∈ A, como f ´e cont´ınua, a imagem inversa de {x} por f,

  −1

  f ( {x}), ´e aberto e fechado. Mas visto que U ´e conexo, devemos ter

  −1 −1

  Assim, podemos definir o isomorfismo por ϕ : A(U) → A por ϕ(f) = a quando f (x) = a, para todo x

  ∈ U. Defini¸ c˜ ao A.9.

  Sejam F um pr´e-feixe de grupos abelianos em X e

  P um ponto de X, definimos a haste P de F F de P como o limite direto dos grupos

  F(U) para todos conjuntos abertos U contendo P , via aplica¸c˜ oes restri¸c˜ oes ρ, isto ´e, P = lim F F(U). U

  

∋P

  Neste caso, pela propriedade universal do limite direto, sempre que

  V ⊆ U, temos um diagrama comutativo:

  // F(U) F(V )

  "" || P F

  Elementos de P s˜ao classes de pares (s, U ), em que U ´e uma F vizinhan¸ca aberta de P e s um elemento de

  F(U) dados pela rela¸c˜ao de equivalˆencia: (s, U ) ∼ (t, V ) se, e somente se, existe vizinhan¸ca aberta W de P com W W = t W . Assim elementos

  ⊆ U ∩ V tal que s| | de P podem ser visto como germes de se¸c˜ oes de F F em P .

  Defini¸ c˜ ao A.10.

  Sejam

  F, G pr´e-feixes de conjuntos em X. Dizemos que ϕ : F → G ´e um morfismo de pr´e-feixes se para cada U ⊆ X aberto, ϕ U :

  F(U) → G(U) ´e uma fun¸c˜ao tal que se V ⊆ U ´e uma inclus˜ ao, ϕ U // ρ U V ρ F(U) G(U) U V

  F(V ) ϕ // G(V ) V

  ′ mente.

  Dizemos que ϕ ´e um isomorfismo se possui inversa `a esquerda e `a direita. Defini¸ c˜ ao A.11.

  Sejam

F, G feixes de conjuntos em X, dizemos que

  ϕ : F → G ´e um morfismo de feixes se ´e um morfismo de pr´e-feixes. Proposi¸ c˜ ao A.12. Se ϕ ´e um morfismo de pr´e-feixes ent˜ao ϕ induz um morfismo nas hastes ϕ P : P P , para todo P

  F → G ∈ X. Demonstra¸c˜ ao. Defina

  ϕ P : P P F → G

  (s, U ) U (s), U ) 7→ (ϕ

  ′ ′

  Vejamos que ϕ P est´a bem definida, isto ´e, se (s, U ) , U ) ∼ (s ⇒

  ′ ′ ′ ′ ′

  ϕ P (s, U ) = ϕ P (s , U ). De fato, se (s, U ) , U ), existe V ∼ (s ⊆ U ∩ U

  ′

  tal que s V = s V . Assim, note que | |

  

(1) (2)

  ϕ U (s) V = ϕ V (s V ) = ϕ V (s V ) = ϕ U (s) V | | | | em que as igualdades (1) e (2) seguem do fato que ϕ ´e um morfismo de

  ′ ′ pr´e-feixes. Portanto ϕ P (s, U ) = ϕ P (s , U ) e ϕ P est´a bem definida.

  Defini¸ c˜ ao A.13.

  Seja ϕ : F → G um morfismo de pr´e-feixes de grupos abelianos. Definimos U );

  ❼ o pr´e-feixe n´ucleo de ϕ como U 7→ ker(ϕ U ); ❼ o pr´e-feixe con´ucleo de ϕ como U 7→ coker(ϕ U ). ❼ o pr´e-feixe imagem de ϕ como U 7→ Im(ϕ

  A proposi¸c˜ ao seguinte mostra que, de fato, todos acima s˜ao pr´e-

  Proposi¸ c˜ ao A.14. Sejam

F, G feixes de grupos abelianos em X e

  ϕ : F → G um morfismo de pr´e-feixes. Ent˜ao s˜ao pr´e-feixes:

  (i) U U ); 7→ ker(ϕ

  (ii) U U ); 7→ coker(ϕ (iii) U U ).

  7→ Im(ϕ Demonstra¸c˜ ao. (i) Temos U U ). Note que ker ϕ U 7→ ker(ϕ ⊆ F(U).

  ker F

  Assim, para V := ρ : ker ϕ U

  ker ϕ ⊆ U, defina ρ U V U V | U → F(V ).

  Vejamos que, para f U , f V V . ∈ ker ϕ | ∈ ker ϕ

  Como ϕ ´e morfismo de pr´e-feixes, para s U , temos o seguinte ∈ ker ϕ diagrama comutativo:

  // s ✤ ϕ

U

G(U ) // ρ ρ U V U V F G F(U) G(U) F(V ) // G(V ) ϕ V s V // 0 .

  G(V )

  |

  ker Logo, ρ est´a bem definida. U V ker

  Agora, note que os axiomas de pr´e-feixe s˜ao satisfeitos pois ρ =

  F ρ . Portanto U U ) ´e um pr´e-feixe. ker

  | 7→ ker(ϕ (ii) Temos U U ). Para V

  7→ coker(ϕ ⊆ U defina

  coker

  ρ : coker ϕ U U V → coker ϕ V Vejamos que ρ U V est´a bem definida. Temos o seguinte diagrama: ϕ U

  G(U )

  // // // coker ϕ U =

F(U) G(U)

  ρ ρ ρ F G coker U V U V U V Im ϕ U G(V )

  // // coker ϕ V = . F(V ) ϕ // G(V ) V Im ϕ V

  ′ ′ ′

  Se t = t , ent˜ao t = 0, isto ´e, t U . Assim, existe s − t −t ∈ Im ϕ ∈ F(U)

  ′

  tal que ϕ U (s) = t . Como o lado esquerdo do diagrama comuta, − t

  ′ ′ ′

  ϕ U (s) V = (t ) V = ϕ V (s V ). Logo, (t ) V = t V V V | − t | | − t | | − t | ∈ Im ϕ

  ′ ′

  e t V V = 0. Portanto, t V = t V . | − t | | |

  coker G

  Novamente, visto que ρ est´a definida a partir de ρ , temos que U U ) ´e um pr´e-feixe. 7→ coker(ϕ

  (iii) Temos U U ). Note que Im ϕ U 7→ Im(ϕ ⊆ G(U). Assim, defina

  Im G

  ρ = ρ Im ϕ . Vejamos que para t U , temos t V V . | U ∈ Im ϕ | ∈ Im ϕ

  De fato, como t U , existe s U (s) = t. Mas ∈ Im ϕ ∈ F(U) tal que ϕ como ϕ ´e morfismo de pr´e-feixes, temos t V = ϕ U (s) = ϕ V (s V ).

  | | Portanto, t V V . | ∈ Im ϕ

  Im G

  Por fim, como definimos ρ a partir de ρ , temos que U U ) 7→ Im(ϕ ´e um pr´e-feixe.

  Defini¸ c˜ ao A.15.

  Se F ´e um pr´e-feixe em X, ent˜ao um morfismo de sh sh pr´e-feixes sh : em X ´e uma feixifica¸c˜ ao de ´e um

  F → F F se F sh

  morfismo de feixes ϕ : F → G tal que o seguinte diagrama comuta: sh sh

  // F F ψ ϕ

  ~~ . G

  Proposi¸ c˜ ao A.16. A feixifica¸c˜ ao existe e ´e ´ unica a menos de isomor- fismo. Al´em disso, se F ´e um feixe, ent˜ao sh = id : F → F. sh

  Demonstra¸c˜ ao. Defina (U ) como sendo o conjuntos das aplica¸c˜ oes F f : U x x tais que

  ∈U

  → ∪ F x para todo x ❼ f(x) ∈ F

  ∈ U; ❼ Para todo x ∈ U existe uma vizinhan¸ca V ⊆ U de x e uma se¸c˜ao

  σ y para todo y y ´e a ∈ F(V ) tal que f(y) = σ ∈ V , em que σ imagem de σ na haste y .

  F A aplica¸c˜ ao restri¸c˜ ao ´e a usual. Seja i i uma cobertura de U ,

  ∈I

  {V } mostremos as condi¸c˜ oes de feixes. sh (iv) Sejam f, g (U ) tais que f V = g V para todo i. Assim,

  ∈ F | i | i para todo x j tal que x j . Tamb´em existe uma ∈ U, existe V ∈ V

  1

  1

  vizinhan¸ca aberta W ) tal que f (y) = σ ,

  1 1 y

  ⊆ U de x e σ ∈ F(W para todo y . Analogamente, existe uma vizinhan¸ca aberta

  1

  ∈ W

  2

  2 W ) tal que g(z) = σ , para todo z .

  2 2 z

  2

  ⊆ U de x e σ ∈ F(W ∈ W

  1

  2 Note que para todo y j , temos σ = σ pois

  1 2 y y

  ∈ V ∩ W ∩ W

  1

  2

  f V = g V , logo σ = σ em V j

  1 2 . Portanto f (x) =

  | j | j ∩ W ∩ W

  1

  2 σ = σ = g(x) e segue que f = g. x x sh

  (v) Sejam f i (U i ) tais que f i V = f j i ∩V j i ∩V j V para i ∈ F | | 6= j.

  Defina f : U x por f (y) = f i (y) se y i . Vejamos que sh → ∪F ∈ U algum i. Assim, f (x) x e existem V i e σ ∈ F ⊆ U ∈ F(V ) tal que f i (y) = σ y para todo y i (y) = σ y para todo

  ∈ V . Assim, f(y) = f sh y i . Portanto, f (U ). ∈ V ⊆ U ∈ F

  Agora, defina sh α : (U )

  F(U) → F s x ).

  7→ (x 7→ s Para todo x U (s)(x) = f x x , logo α U (s)(x) ´e uma sh ∈ X, temos e α ∈ F se¸c˜ ao de . E se V V ) x = s x , portanto, α ´e morfismo. F ⊆ U, temos (s|

  Vamos ver que α tem a propriedade desejada da feixifica¸c˜ ao. Sejam sh ψ : (U ). Assim, para todo

  F → G um morfismo de pr´e-feixes e f ∈ F x x x x para todo y x . y ∈ U, existe V ⊆ U e σ ∈ F(U) tais que f(y) = σ ∈ V x x

  Note que x V x cobre U e que f V = σ , em particular σ V =

  ∈U ∩V y x ∪ | x | x y

  σ V . Logo, como ψ ´e morfismo, temos ψ(σ ) V = ψ(σ y ) V

  ∩V ∩V ∩V

  | x y | x y | x y x

  e, visto que V = ψ(σ ).

  G ´e um feixe, existe ´unico t ∈ G(U) tal que t| x sh Defina ϕ :

  F → G por ϕ(f) = t. Desde que ψ ´e morfismo, temos ϕ morfismo. Agora mostremos a unicidade a menos de isomorfismos. Suponha que exista um feixe

  H e um morfismo β : F → H tal que para todo

  ′ ′ ′ ′

  feixe e todo morfismo ψ : : G F → G existe um ´unico ϕ H → G sh

  ′ ′ ′ ′

  tal que ϕ . Neste caso, tomando = e ψ = sh, temos ◦ β = ψ G F sh

  ′ ′

  que existe ´ unica ϕ : tal que ϕ H → F ◦ β = sh. Por outro lado, sh tomando G =

  H e ψ = β, temos que existe ´unica ϕ : F → H tal que

  ′ ′

  ϕ ◦ sh = β. Juntando, temos sh = ϕ ◦ β = ϕ ◦ ϕ ◦ sh. Portanto, da sh comutatividade dos diagramas, segue que = .

  H ∼ F Note que se

  F ´e um feixe, ent˜ao para todo feixe G e todo morfismo ψ : F → G temos ψ = ψ ◦ id. Portanto, id = sh. Defini¸ c˜ ao A.17. Considere todos os feixes abaixo como feixes de gru- pos abelianos sobre um espa¸co topol´ ogico X.

  ′

  1. Um subfeixe de um feixe tal que para todo aberto F ´e um feixe F

  ′

  U (U ) ´e um subgrupo de ⊆ X, F F(U) e as aplica¸c˜oes restri¸c˜oes s˜ao induzidas por

  F.

  2. Se ϕ : F → G ´e um morfismo de feixes, definimos o n´ucleo de ϕ como o pr´e-feixe n´ ucleo de ϕ (que ´e um feixe).

  3. Dizemos que ϕ : F → G ´e injetivo se ker ϕ = 0.

  4. Se ϕ : F → G ´e um morfismo de feixes, definimos a imagem de ϕ como a feixifica¸c˜ ao do pr´e-feixe imagem.

  5. Dizemos que um morfismo ϕ : F → G ´e sobrejetor se Im ϕ = G.

  6. Dizemos que uma sequˆencia de feixes i i i i −1 i ϕ

  −1 ϕ +1

  · · · → F −→ F −→ F → · · · i i

  −1 ´e exata se ker ϕ = Im ϕ para todo i. ′ F

  F

  7. Seja um subfeixe de / como F

  F, definimos o feixe quociente

  F(U ) F (U )

  a feixifica¸c˜ ao do pr´e-feixe U / .

  7→

  8. Se ϕ : F → G ´e um morfismo de feixes, definimos o con´ucleo de ϕ como a feixifica¸c˜ ao do pr´e-feixe coker ϕ.

  Seja agora f : X → Y uma fun¸c˜ao cont´ınua entre espa¸cos to- pol´ ogicos. Vamos definir opera¸c˜ oes com rela¸c˜ ao a esta fun¸c˜ ao.

  Defini¸ c˜ ao A.18.

  1. Dado um feixe

  ∗

  F sobre X, definimos o feixe imagem direta f F

  

−1

  2. Dado um feixe de grupos abelianos G em Y , definimos o feixe imagem inversa f

  −1

  F f −1 (U )f −1 (W )

  = ρ

  F f −1

(U )f

−1 (V ) ◦ρ F f −1 (V )f −1 (W )

  = ρ f

  F U V

  ◦ρ f

  F V W .

  (iv) Sejam U um aberto de Y , {V i } uma cobertura aberta de U e s, t

  ∈ f

  ∗

  F(U) tais que s| V i = t

  | V i para todo i. Note que se {V i } ´e cobertura aberta para U , ent˜ao

  {f

  (V i ) } ´e uma cobertura aberta para f

  F U W

  −1

  (U ). Assim, como s | V i

  = t | V i ⇒ s| f −1

  (V i )

  = t | f −1

  (V i )

  e F ´e um feixe, temos s = t.

  (v) Sejam U um aberto de Y , {V i } uma cobertura aberta de U e s i ∈ f

  ∗

  F(V i ) tais que se i 6= j temos s i | V i

  ∩V j

  = s j | V i

  ∩V j

  . Novamente,

  = ρ

  (U ) e ρ f

  −1

  F f −1

(U )f

−1 (V )

  G em X como a feixifica¸c˜ao do pr´e-feixe U 7→ lim V ⊇f (U ) G(V ), em que U ´e um aberto de X e o limite ´e tomado sobre todos os abertos V de Y contendo f (U ).

  Proposi¸ c˜ ao A.19. f

  ∗

  F e f

  −1 G definidos em A.18 s˜ao feixes.

  Demonstra¸c˜ ao. 1. Para V ⊆ U, defina a aplica¸c˜ao restri¸c˜ao em f

  ∗

  F por ρ f

  F U V

  : f ∗ F(U) → f

  ∗

  F(V ) s 7→ s| V := s | f −1

  (V ) .

  Em outras palavras, ρ f ∗ F U V = ρ

  . Note que ρ f ∗ F U V est´a bem definida pois se V ⊆ U, ent˜ao f

  −1

  −1

  (V ) ⊆ f

  −1

  (U ). Agora vamos verificar as condi¸c˜ oes de feixe: (i) f ∗

  F(∅) = F(f

  −1

  ( ∅)) = F(∅) que ´e um conjunto com ´unico ele- mento pois

  F ´e feixe. (ii) Se U ´e um aberto de Y , ent˜ao ρ f ∗ F U U = ρ

  F f −1 (U )f −1 (U ) = id.

  (iii) Se W ⊆ V ⊆ U, ent˜ao f

  −1

  (W ) ⊆ f

  −1

  (V ) ⊆ f

  −1

  −1

  aberta para f (U ). Agora, observe que −1 −1 s i V = s j i ∩V j i ∩V j (V ∩V ) (V ∩V ) V i f = s j f | | ⇒ s | i j | i j i f = s j f , −1 −1 −1 −1

  (V )∩f (V ) (V )∩f (V )

  ⇒ s | i j | i j

  −1

  e como (U )) = f

  ∗

  F ´e um feixe, segue que existe s ∈ F(f F(U) −1 tal que s i = s = s f (V ) V para todo i. | i | i

  Portanto f

  ∗ F ´e um feixe.

  2. Vejamos que U 7→ lim G(V ) ´e um pr´e-feixe. Para V ⊆ U, V

  ⊇f (U )

  note que lim T lim T . Assim, defina ρ U V : lim T T T ⊆ G(T ) →

  

⊇f (V ) ⊇f (U ) ⊇f (U )

  lim lim T T T ⊇f (V ) T G(T ) por f 7→ f| ∈ lim G(T ) pois G ´e feixe.

  ⊇f (V ) ⊇f (V )

  (i) lim V G(V ) = lim G(V ) = G(∅) = 0, pois G ´e feixe de grupos V

  ⊇f (∅) ⊇∅ abelianos.

  (ii) Para U U U : lim lim ⊆ X aberto, temos ρ G(V ) → G(V ). V V

  ⊇f (U ) ⊇f (U )

  Logo, ρ U U = id pois G ´e feixe. (iii) Note que se W T T T .

  ⊆ V ⊆ U, ent˜ao lim ⊆ lim ⊆ lim T ⊇f (W ) T ⊇f (V ) T ⊇f (U ) Assim, como U W = ρ U V V W .

  G ´e feixe, temos que ρ ◦ ρ Portanto U

  7→ lim G(V ) ´e um pr´e-feixe. Agora, como estamos defi- V

  ⊇f (U ) −1 −1

  nindo f G como a feixifica¸c˜ao deste pr´e-feixe, temos que f G ´e um feixe.

  Defini¸ c˜ ao A.20.

  Sejam F um feixe em X e Z ⊆ X um subespa¸co topol´ ogico de X. Considere i : Z

  → X a fun¸c˜ao inclus˜ao de Z em X.

  −1

  Definimos a restri¸c˜ ao de F para Z por i F.

  −1 A proposi¸c˜ ao abaixo nos diz que os funtores f e f s˜ao adjuntos.

  ∗ ∗

  Na Se¸c˜ ao A.6 definiremos o pullback, denotado por f , que em outro Proposi¸ c˜ ao A.21. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos e f : X → Y uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ao, para todo feixe

  F sobre X, existe uma

  −1

  aplica¸c˜ ao natural f f

  ∗

  F → F e, para todo feixe G em Y , existe uma

  −1

  aplica¸c˜ ao natural ∗ f G → f

  G. Al´em disso, essas aplica¸c˜oes induzem uma bije¸c˜ ao entre

  −1

  Hom X (f Y ( ∗

G, F) → Hom

  G, f

  F) para todo feixe F em X e para todo feixe G em Y .

  Demonstra¸c˜ ao. [19, p. 91].

  A.2 Motivando Esquemas

  Vamos construir as variedades afins e tentar ver como elas se rela- cionam com objetos alg´ebricos. Os esquemas, de certa forma, generali- zam as variedades afins com uma constru¸c˜ ao muito similar. Resultados e defini¸c˜ oes desta se¸c˜ ao podem ser encontrados em [14, Cap. I,

  ➜1] e [26, Cap. I,

  ➜2]. Al´em disso, como referˆencia auxiliar, os livros [2] e [29] de ´ algebra comutativa. Seja k um corpo algebricamente fechado. Definimos o n-espa¸co n n afim sobre k, denotado por A ou A como o conjunto das n-uplas de k elementos em k. Agora, considere k[x

  1 , . . . , x n ] o anel de polinˆ omios

  com coeficientes em k e indeterminadas x , . . . , x n , em que interpreta-

  1 n remos elementos de k[x , . . . , x n ] como fun¸c˜ oes de A para k.

1 Dado T , . . . , x n ], definimos o conjunto dos zeros de T por

  1

  ⊆ k[x n n

  Defini¸ c˜ ao A.22. Seja Y , dizemos que Y ´e um conjunto alg´ebrico ⊆ A se existe um subconjunto T , . . . , x n ] tal que Y = Z(T ).

  

1

  ⊆ k[x Proposi¸ c˜ ao A.23. A uni˜ ao de dois conjuntos alg´ebricos ´e um con- junto alg´ebrico, uma interse¸c˜ ao qualquer de conjuntos alg´ebricos ´e um n conjunto alg´ebrico e tamb´em s˜ao conjuntos alg´ebricos. ∅, A Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 2].

  Uma imediata consequˆencia da proposi¸c˜ao acima ´e que podemos n definir uma topologia em A tomando os conjuntos fechados como con- n juntos alg´ebricos. Essa topologia em A ´e chamada Topologia de Za- riski. n Defini¸ c˜ ao A.24. Um subconjunto Y ´e dito irredut´ıvel se ele n˜ ao

  ⊆ A pode ser escrito como uni˜ ao Y = Y

  

1

2 , em que Y 1 , Y 2 s˜ao subconjuntos

  ∪Y pr´ oprios fechados. Defini¸ c˜ ao A.25.

  Uma variedade alg´ebrica afim (ou variedade afim) ´e n um subconjunto de A irredut´ıvel. n Agora, dado Y , definimos o ideal de Y por

  ⊆ A I(Y ) = , . . . , x n ]

  1 {f ∈ k[x | f(x) = 0, ∀x ∈ Y }.

  Teorema A.26 (Teorema dos Zeros de Hilbert). Seja k um corpo alge- bricamente fechado, a um ideal de k[x , . . . , x n ] e seja f , . . . , x n ]

  1

  1 r ∈ k[x um polinˆ omio que se anula em Z(a). Ent˜ao f

  ∈ a para algum inteiro r > 0. Usando o Teorema A.26, ´e poss´ıvel mostrar que existe uma corres- pondˆencia biun´ıvoca que reverte a ordem de inclus˜ ao n , . . . , x n ]

  1

  {subconjuntos fechados de A } oo // {ideais radicais de k[x } n , . . . , x n ]

  1

  {variedades afins de A } oo // {ideais primos de k[x } n , . . . , x n ]

  1

  {pontos de A } oo // {ideais maximais de k[x }

  A.3 Feixe Estrutural e Espectro

  Nesta se¸c˜ ao faremos a constru¸c˜ ao do feixe estrutural e do espectro associados ` a um anel que ser˜ ao importantes para definir esquemas. Para esta se¸c˜ ao usamos como principal referˆencia [14, Cap II,

  ➜2] al´em de [12] e [25] como referˆencias auxiliares. Seja A um anel (comutativo e com unidade). Definimos

  Spec A = {p ⊂ A | p ´e ideal primo}. n Assim como definimos uma topologia em A , a pr´ oxima proposi¸c˜ ao condicionar´ a a definir uma topologia muito semelhante ao que fizemos na se¸c˜ ao anterior em Spec A.

  Sejam A um anel a ⊆ A um ideal de A, definimos V (a) ⊆ Spec A como sendo o conjunto de todos os ideais primos p tal que a

  ⊆ p. Proposi¸ c˜ ao A.27.

  (i) Se a, b ⊆ A ideais, ent˜ao V (ab) = V (a) ∪ V (b);

  (ii) Se i P a i ) =

  {a } ´e qualquer fam´ılia de ideais em A, ent˜ao V (

  (iii) V (A) = ∅ e V (h0i) = Spec A. Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 70]

  Assim, pela proposi¸c˜ ao acima, definimos uma topologia em Spec A tomando os conjuntos fechados como os conjuntos da forma V (a) para algum ideal a em A. Temos ent˜ao que Spec A ´e um espa¸co topol´ ogico. Logo, podemos definir feixes em Spec A. O feixe que vamos definir ´e chamado feixe estrutural (denotado por

  O) e ser´a de fundamental importˆancia para a defini¸c˜ ao de esquemas. Para cada ideal primo p p a localiza¸c˜ ao de A

  ⊆ Spec A, considere A em p (caso o leitor n˜ ao esteja familiarizado com a teoria de localiza¸c˜ ao, recomenda-se [2, cap III]). Para todo aberto U em Spec A, defina

  O(U) como sendo o conjunto de todas as fun¸c˜ oes f : U p A p

  ∈U

  → ∐ tais que f (p) p , para todo p ∈ A ∈ U e para cada p ∈ U, f ´e localmente um quociente de elementos em A, isto ´e, para todo p

  ∈ U, existe uma vizinhan¸ca V de p em U e existem elementos a, s a ∈ A tais que para todo q em A q . ∈ V , s / ∈ q e f(q) = s

  A pr´ oxima proposi¸c˜ ao mostra que, de fato, O ´e um feixe de an´eis em Spec A:

  Proposi¸ c˜ ao A.28.

  Seja A um anel. Ent˜ao o feixe estrutural O definido acima ´e um feixe de an´eis em Spec A.

  Demonstra¸c˜ ao. Dado um aberto U ⊆ Spec A, vejamos que O(U) ´e um anel com as opera¸c˜ oes pontuais. De fato, sejam f, g

  ∈ O(U) e p p . Al´em disso, existe ∈ Spec A, ent˜ao (f + g)(p) = f(p) + g(p) ∈ A a 1

  • a
  • a

  1 , /

  , s

  2

  tal que g(q) = a 2 s 2 (a

  2

  ⊂ U com p ∈ W

  2

  existe W

  1 . Analogamente,

  ∈ q) para todo q ∈ W

  ∈ A, s

  ∈ A, s

  1

  1 , s

  f (q) = a 1 s 1 (a

  1 tal que

  ⊂ U com p ∈ W

  1

  ∈ V j para algum j. Assim, existe W

  | V i para todo i ∈ I. Note que dado p ∈ U, temos p

  | V i = g

  2

  2

  ∈I

  = a

  A p por: dado p ∈ U, p ∈ V j para algum j, ent˜ao f (p) = f j (p). Vejamos que f

  ∈U

  para todo i 6= j. Defina f : U → ` p

  ∩V

j

  {V i } i ∈I cobertura aberta de U ⊆ Spec A e sejam f i ∈ O(V i ) tais que f i |V i ∩ V j = f j | V i

  Logo, f = g. (v) Seja

  2 = g(q).

  s

  2

  

1

  / ∈ q) para todo q

  s

  

1

  , temos f (q) = a

  2

  ∩ W

  1

  . Segue que, para todo q ∈ V j ∩ W

  2

  ∈ W

  cobertura aberta de U ⊆ Spec A e sejam f, g ∈ O(U) tais que f

  {V i } i

  com a

  , g(q) = a 2 s 2 com a

  ∩ V

  1

  ∈ V

  / ∈ q. Assim, para todo q

  2

  ∈ A e s

  2

  , s

  2

  2

  , temos f (q) + g(q) = a

  ∈ V

  vizinhan¸ca de p em Spec A tal que para todo q

  2

  / ∈ q. Analogamente, existe V

  1

  ∈ A e s

  1

  , s

  1

  2

  1

  O ´e feixe. Note que as trˆes primeiras condi¸c˜ oes da defini¸c˜ ao s˜ao imediatas pois a restri¸c˜ ao ´e a usual. (iv) Seja

  s

  | V = f | V +g | V = ρ U V (f )+ρ U V (g) e analogamente mostramos que ρ U V (f g) = ρ U V (f )ρ U V (g). Seguimos mostrando que

  | V que ´e um homomorfismo de an´eis pois, se f, g ∈ O(U), ent˜ao ρ U V (f +g) = (f +g)

  V ⊆ U s˜ao abertos, ent˜ao ρ U V : O(U) → O(V ) ´e dada por ρ U V (f ) = f

  O ´e um feixe com a restri¸c˜ao usual, isto ´e, se

  O(U) ´e um anel. Agora vejamos que

  Da mesma maneira, mostramos que (f · g) ∈ O(U). Agora, como a opera¸c˜ ao ´e pontual, segue que

  2 .

  s

  1

  1

  s

  s

  2

  2

  s

  1

  = a

  2

  s

  2

  1

  ∈ O(U). De fato, dado p ∈ U, ent˜ao a

  W j tal que f j (q) = para todo q ⊂ V s ∈ W . Assim, para todo a q j (q) = . Portanto, f

  ∈ W ⊂ U, f(q) = f s ∈ O(U). Com isso, conclu´ımos que O ´e um feixe de an´eis em Spec A. Defini¸ c˜ ao A.29. Seja A um anel. O espectro de A ´e o par (Spec A,

  O) em que O ´e o feixe estrutural acima.

  Proposi¸ c˜ ao A.30.

  Seja A um anel e (Spec A, O) seu espectro. (i) Para cada p p ´e isomorfo ao anel local A p ;

  ∈ Spec A, a haste O (ii) Para cada elemento f

  ∈ A, o anel O(D(f)) ´e isomorfo ao anel localizado A f , em que D(f ) ´e o complemento de V ((f )); (iii) Em particular, Γ(Spec A, = A.

  O) ∼ Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 71]

  A.4 Espa¸co Anelado e Esquemas Defini¸ c˜ ao A.31.

  Um espa¸co anelado ´e um par (X, X ) em que X ´e O um espa¸co topol´ ogico e X ´e um feixe de an´eis em X. Um morfismo

  O

  #

  de espa¸cos anelados de (X, X ) para (Y, Y ) ´e um par (f, f ) em que O O

  #

  f : X : Y X ´e um morfismo

  ∗

  → Y ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e f O → f O de feixe de an´eis em Y . Defini¸ c˜ ao A.32. Um espa¸co anelado (X, X ) ´e dito um espa¸co local-

  O mente anelado se para cada ponto P X,P ´e um anel ∈ X, a haste O local. Um morfismo de espa¸cos localmente anelados ´e um morfismo de

  #

  espa¸cos anelados (f, f ) tal que para cada ponto P ∈ X, a aplica¸c˜ao

  #

  induzida nas hastes f : Y,f X,P ´e um homomorfismo local, P (P ) O → O

  # −1

  isto ´e, (f ) (m P ) = m f , em que m P ´e o ideal maximal de X,P e P (P ) O Proposi¸ c˜ ao A.33.

  (i) Se A um anel, ent˜ao (Spec A, O) ´e um anel localmente anelado;

  (ii) Se ϕ : A → B ´e um homomorfismo de an´eis, ent˜ao ϕ induz um morfismo natural de espa¸cos localmente anelados

  #

  (f, f ) : (Spec B, Spec B Spec A )); O → (Spec A, O

  (iii) Se A e B s˜ao an´eis, ent˜ao todo morfismo de espa¸cos localmente anelados de Spec B para Spec A ´e induzido por um homomorfismo de an´eis ϕ : A → B como em (ii). Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 73] Defini¸ c˜ ao A.34.

  Um esquema afim ´e um espa¸co localmente anelado que ´e isomorfo (como espa¸co localmente anelado) ao espectro de algum anel. Um esquema ´e um espa¸co localmente anelado tal que para todo ponto existe uma vizinhan¸ca aberta U tal que (U, X U ) ´e um esquema

  O | afim. Um morfismo de esquemas ´e um morfismo de espa¸cos localmente anelados. Observa¸ c˜ ao A.35.

  Em geral, se (X, X ) e (Y, Y ) s˜ao esquemas, O O

  #

  denotamos um morfismo (f, f ) : (X, X ) Y ) apenas por f : O → (Y, O

  X → Y quando n˜ao houver confus˜ao.

  Vejamos alguns exemplos: Exemplo A.36.

  Se k ´e um corpo, ent˜ao o espectro de k, (Spec k, O),

  ´e um esquema afim constitu´ıdo por apenas um ponto (pois um corpo tem apenas o ideal h0i). Vejamos que o feixe estrutural ´e isomorfo ao pr´ oprio k: como k tem apenas um ponto, por defini¸c˜ ao, temos

  Agora, considere ϕ : O(h0i) → k definida por ϕ(f) = f(0). Da´ı, ´e f´acil ver que ϕ ´e o isomorfismo que procuramos.

  Exemplo A.37.

  Seja k um corpo algebricamente fechado, definimos a

  

1

  reta afim sobre k, denotada por A como o espectro de k[x]. Spec(k[x]) k ´e constitu´ıdo de:

  ❼ Um ponto ξ que corresponde ao ideal h0i em que seu fecho ´e o espa¸co inteiro chamado de um ponto gen´erico. De fato, note que \ ξ = V (a). h0i = a ∈Spec(k[x]) V

  (a)⊃h0i

  Mas h0i ⊂ V (a) ⇔ a ⊂ h0i ⇔ a = 0. Logo, ξ = V (0) = Spec(k[x]).

  ❼ E os outros pontos correspondem aos ideais maximais que s˜ao chamados de pontos fechados. De fato, note que um ideal primo de k[x] ´e da forma (x − λ) com λ ∈ k, logo um ideal maximal. Note tamb´em que os pontos fechados de Spec(k[x]) est˜ao em corres-

  1

  pondˆencia com pontos de A . O que vai de acordo com a constru¸c˜ ao das variedades afins da se¸c˜ ao A.2.

  Al´em disso, o feixe estrutural de Spec(k[x]) localmente ´e dado por quociente de polinˆ omios cujo denominador n˜ao se anula na vizinhan¸ca. Exemplo A.38.

  Seja k um corpo algebricamente fechado, definimos o

  2

  plano afim sobre k, A , pelo espectro de k[x, y]. Vejamos alguns fatos k interessantes de Spec(k[x, y]): o fecho de {p} ´e \

  V (a) = V (p) {p} = a ∈Spec(k[x,y]) V

  

(a)⊃{p}

  pois {p} ⊂ V (a) ⇔ a ⊂ {p} ⇔ a = p. Assim, {p} ´e fechado se, e somente se,

  {p} = V (p). Logo, {p} = V (p) = {q ∈ Spec A|p ⊂ q} se, e somente se, p ´e maximal.

  2

  est˜ao em ❼ Pelo item anterior, temos que os pontos fechados de A k

  2 correspondˆencia com os pontos de A .

  ❼ Al´em dos pontos fechados, temos o ponto correspondente ao ideal h0i e os pontos dados por ideais primos n˜ao maximais, por exem-

  2

  plo p = hy − x i. O feixe estrutural de Spec(k[x, y]), assim como no exemplo anterior, ´e localmente dado por quociente de polinˆ omios cujo denominador n˜ ao se anula na vizinhan¸ca. Exemplo A.39.

  Sejam X

  1 , X 2 esquemas, U

  1 1 , U

  2 2 abertos

  ⊂ X ⊂ X e ϕ : (U

  1 , X U ) 2 , X U ) um isomorfismo de espa¸cos anela-

  O 1 | 1 → (U O 2 | 2

  #

  dos, isto ´e, f : U homeomorfismo e f : X U ∗ X U

  1

  2 2 2 1 1

  → U O | → f O | isomorfismo de feixes de an´eis. Vamos definir um novo esquema X “colando”X e X via U e U .

1 X ∪ X

  2 1 2

  1

  2 ∼

  Defina X = / em que

  1

  ∼ ´e a rela¸c˜ao de equivalˆencia x ∼ ϕ(x

  1 ). Considere as aplica¸c˜ oes i

1 : X

  1 2 : X

  2

  → X e i → X. Assim, um

  −1 −1

  subconjunto V (V ) e i s˜ao abertos ⊂ X ´e aberto se, e somente se, i

  1

  2 em X , X respectivamente.

  1

2 Definimos o feixe estruturante

  X como: dado V O ⊂ X aberto

  #

  ❼ Para V ⊂ U, ρ U V : X (U ) X (V )

  O → O −1 −1 (f

  1 , f 2 )

1 , f

2 ) V := (f 1 , f 2 )

  7→ (f | | i | i 1 (V ) (V ) 2 Assim, (X, X ) ´e um esquema que n˜ ao ´e afim.

  O Agora, vamos definir uma importante classe de esquemas, cons- tru´ıdos a partir de an´eis graduados, que s˜ao an´ alogos `as variedades projetivas. Tais constru¸c˜ oes a seguir ser˜ ao muito parecidas com as constru¸c˜ oes que fizemos com Spec.

  Seja S um anel Z-graduado, denotaremos por S o ideal + d> S d .

  ⊕ Definimos o conjunto Proj S pelo conjunto de todos os ideais primos homogˆeneos p que n˜ ao cont´em todo S . Se a ´e um ideal homogˆeneo de

  • S, definimos V (a) = {p ∈ Proj S|p ⊇ a}.

  O lema a seguir nos permitir´a definir uma topologia em Proj S tomando os subconjuntos fechados como os subconjuntos da forma V (a) da mesma maneira que fizemos com Spec. Lema A.40.

  (i) Se a e b s˜ao ideais homogˆeneos em S, ent˜ao V (ab) = V (a) ∪ V (b);

  (ii) Se i {a } ´e uma fam´ılia qualquer de ideais homogˆeneos de S, ent˜ao V ( P a i ) = i ).

  ∩V (a Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 76]

  Agora, vamos definir um feixe de aneis O em Proj S. Para cada p dos elementos de grau zero no anel

  

(p)

  ∈ Proj S, consideramos o anel S

  −1

  localizado T S, em que T ´e o conjunto multiplicativo constitu´ıdo de Para todo subconjunto aberto U ⊆ Proj S, definimos O(U) como o conjunto de todas as fun¸c˜ oes s : U ` S tal que para cada p

  (p)

  → ∈ U, s(p) e tal que s ´e localmente um quociente de elementos de S, ∈ S (p) isto ´e, para cada p

  ∈ U, existe uma vizinhan¸ca V de p em U e elementos homogˆeneos a, f a ∈ S de mesmo grau, tal que para todo q ∈ V , f / ∈ q e s(q) = em S . f (q) Defini¸ c˜ ao A.41. Seja S um anel graduado, definimos (Proj S,

  O) como o espa¸co topol´ ogico Proj S junto com o feixe de an´eis constru´ıdo acima. Proposi¸ c˜ ao A.42.

  Seja S um anel graduado. (i) Para todo p p ´e isomorfo ao anel local S ;

  (p)

  ∈ Proj S, a haste O (ii) Para todo elemento homogˆeneo f , seja D (f ) =

  ∈ S {p ∈ Proj S (f ) ´e aberto em Proj S. Al´em disso,

  | f / ∈ p}. Ent˜ao D

  • esses abertos cobrem Proj S e s˜ao tais que (D (f ), D ) ´e iso-

  (f )

  O|

  • + +

  morfo como espa¸co localmente anelado a Spec S , em que S

  (f ) (f )

  ´e o subanel de elementos de grau 0 no anel localizado S f ; (iii) Proj S ´e um esquema.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 76]. Exemplo A.43.

  Seja A um anel. Definimos o n-espa¸co projetivo sobre n A pelo esquema P = Proj A[x , . . . , x n ]. A Defini¸ c˜ ao A.44.

  Seja S um esquema. Um esquema sobre S ´e um esquema X, junto com um morfismo X → S. Se X e Y s˜ao esquemas sobre S, um morfismo de X para Y sobre S ´e um morfismo f : X

  → Y compat´ıvel com os morfismos para S, isto ´e, um diagrama comutativo f //

  X Y  A.5 Propriedades

  Defini¸ c˜ ao A.45. Um esquema ´e conexo se seu espa¸co topol´ ogico ´e conexo. Um esquema ´e irredut´ıvel se seu espa¸co topol´ ogico ´e irredut´ıvel. Defini¸ c˜ ao A.46.

  Um esquema X ´e reduzido se para todo aberto U , o anel X (U ) n˜ ao tem elementos nilpotentes. O

  Defini¸ c˜ ao A.47. Um esquema X ´e integral se para todo aberto U ⊆

  X, o anel X (U ) ´e um dom´ınio de integridade.

  O Defini¸ c˜ ao A.48.

  Um esquema X ´e localmente noetheriano se X pode ser coberto por abertos afins Spec A i em que cada A i ´e um anel no- etheriano. X ´e noetheriano se X pode ser coberto por uma quantidade finita de abertos afins Spec A i com cada A i anel noetheriano.

  Proposi¸ c˜ ao A.49.

  Um esquema X ´e localmente noetheriano se, e somente se, para cada aberto afim U = Spec A, A ´e um anel noetheri- ano. Em particular, um esquema afim X = Spec A ´e noetheriano se, e somente se, A ´e anel noetheriano.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 83]. Defini¸ c˜ ao A.50.

  Um morfismo de esquemas f : X → Y ´e localmente de tipo finito se existe uma cobertura de Y por abertos afins V i =

  

−1

  Spec B i tal que, para cada i, f (V i ) pode ser coberto por abertos afins U ij = Spec A ij , em que cada A ij ´e uma B i -´algebra finitamente

  −1

  gerada. O morfismo f ´e de tipo finito se, al´em disso, cada f (V i ) pode ser coberto por uma quantidade finita dos U ij . Defini¸ c˜ ao A.51.

  Um morfismo de esquemas f : X → Y ´e um mor- fismo finito se existe uma cobertura de Y por abertos afins V i = Spec B i

  −1

  tal que, para cada i, f (V i ) ´e afim, igual a Spec A i , em que A i ´e uma Defini¸ c˜ ao A.52. Seja X um esquema. Um subesquema aberto de X ´e um esquema U cujo espa¸co topol´ ogico ´e um subconjunto aberto de X e o feixe estruturante U ´e isomorfo ` a restri¸c˜ ao X U . Uma imers˜ ao

  O O | aberta ´e um morfismo f : X → Y que induz um isomorfismo de X para um subesquema aberto de Y .

  Defini¸ c˜ ao A.53.

  Seja X um esquema. Um subesquema fechado de X ´e um esquema Y , junto com um morfismo i : Y

  → X, tal que o espa¸co topol´ ogico de Y ´e um subconjunto fechado de X, i ´e a aplica¸c˜ ao

  #

  inclus˜ ao e a aplica¸c˜ ao induzida de feixes em X, i : x y , ´e

  ∗

  O → i O sobrejetora. Uma imers˜ ao fechada ´e um morfismo f : Y → X que induz um isomorfismo de Y em um subesquema fechado de X.

  Defini¸ c˜ ao A.54.

  A dimens˜ ao de um esquema X, denotada por dim X, ´e a sua dimens˜ ao como espa¸co topol´ ogico. Em [14], [12] e [25], pode-se encontrar mais a respeito da teoria de dimens˜ ao e resultados. Queremos definir o que seria o produto de dois esquemas. Para isso vamos precisar do seguinte observa¸c˜ ao:

  Observa¸ c˜ ao A.55.

  Seja A um anel e seja (X, X ) um esquema. Dado O um morfismo f : X

  → Spec A, temos um morfismo associado nos feixes

  #

  f : X . Tomando se¸c˜ oes globais, obtemos um morfismo

  Spec A ∗

  O → f O de an´eis A X ). Ou seja, existe uma aplica¸c˜ ao natural → Γ(X, O

  α : Hom Sch (X, Spec A) Ring (A, Γ(X, X )).

  → Hom O Al´em disso, ´e poss´ıvel mostrar que essa aplica¸c˜ ao ´e uma bije¸c˜ao.

  Agora, note que para todo anel A, existe um ´ unico morfismo de an´eis Z A ). Assim, dado um esquema X, pela observa¸c˜ ao, → A (1 7→ 1 existe um ´ unico morfismo de esquemas X

  → Spec Z. Esse morfismo Defini¸ c˜ ao A.56. Seja S um esquema e sejam X, Y esquemas sobre S. Definimos o produto fibrado de X e Y sobre S, denotado por X S Y ,

  × como um esquema junto com morfismos p : X S Y : X S

  1

  2

  × → X e p × Y

  → Y que faz um diagrama comutativo com os morfismos X → S, Y

  → S tal que dado qualquer esquema Z sobre S com morfismos f : Z

  → X, g : Z → Y que fazem diagrama comutativo com os morfismos

  X S Y tal → S, Y → S, ent˜ao existe um ´unico morfismo θ : Z → X × que f = p

  1

  2

  ◦ θ e g = p ◦ θ, ou seja, f g Z θ

  X S Y p p 1 × 2 {{

  ##

  X Y $$ zz S.

  Se X e Y s˜ao esquemas sem referˆencia a nenhum esquema base S, tomaremos S = Spec Z e definimos o produto de X por Y , denotado

  X Y .

  Spec Z

  × Y , como X × Teorema A.57. Sejam X e Y dois esquemas sobre um esquema S. Ent˜ao o produto fibrado X S Y existe e ´e ´ unico a menos de isomor-

  × fismo.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 87].

  Apesar da demonstra¸c˜ ao do Teorema acima ser longa e um pouca t´ecnica, a ideia n˜ ao ´e t˜ao dif´ıcil. A ideia ´e construir o produto fibrado de esquemas afins e depois colar. E para os esquemas afins o produto Spec R, ent˜ ao Spec(A R B) ´e um produto para X S Y .

  ⊗ × Uma importante aplica¸c˜ ao do produto fibrado ´e a no¸c˜ ao de mu- dan¸ca de base, ou extens˜ao de base. Seja S um esquema no qual pen-

  ′ ′

  saremos como esquema base. Se S ´e outro esquema base e se S → S ´e um morfismo de esquemas, ent˜ao, para todo esquema X sobre S, pode-

  ′ ′ ′

  mos considerar X = X S S , que ´e um esquema sobre S . Neste caso, ×

  ′ ′

  dizemos que X ´e obtido por X fazendo extens˜ ao da base S → S. Por

  ′ ′ ′

  exemplo, se S = Spec k e S = Spec k , em que k ´e uma extens˜ao de

  ′

  k, ent˜ao temos um morfismo S → S que ´e obtido atrav´es da extens˜ao

  ′

  k . A pr´ oxima proposi¸c˜ ao mostra que a opera¸c˜ao de mudan¸ca de → k base ´e transitiva.

  Proposi¸ c˜ ao A.58. α β Seja S um esquema e X um esquema sobre S. Se

  ′′ ′ ′ ′′

  // S ∼

  S S S ) S S = // S s˜ao dois morfismos, ent˜ao (X × ×

  ′′ X S S .

  ×

  ′ ′ ′ ′

  Demonstra¸c˜ ao. Seja X S S junto com p : X S S : ×

  1 × → X e p

  2 ′ ′ ′ ′ ′′

  X S S o produto fibrado de X e S sobre S e seja (X S S ) S S × → S × ×

  ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′

  com p : (X S S ) S S S S e p : (X S S ) S S

  1

  2

  × × → X × × × → S

  ′ ′′ ′

  o produto fibrado de X S S por S sobre S . Vamos verificar que ×

  ′ ′′

  (X S S ) S S satisfaz a condi¸c˜ ao de ser o produto fibrado de X e × ×

  ′′ ′ S sobre S .

  ′′

  Seja Z um esquema junto com f : Z comutando → X e g : Z → S

  ′

  o diagrama da defini¸c˜ ao. Assim, α e f : Z ◦ g : Z → S → X comutam

  ′ ′

  com S. Logo, existe ´ unica θ : Z S S tal que f = p → X ×

  1 ◦ θ e ′

  α ◦ g = p

  2 ◦ θ. Agora note que θ e g comutam o diagrama da defini¸c˜ao ′ ′′ ′

  do produto fibrado de X S S por S sobre S

  e, neste caso, existe ×

  ′ ′′

  uma ´ unica ϕ : Z S S ) S S como quer´ıamos. Portanto, pelo → (X × ×

  ′ ′′ ′′ a demonstra¸c˜ ao. g Z ϕ θ ++

  ′ ′′

  (X S S ) S S f p 1 × × vv p 2

  ′

  X S S p 1 × p 2 {{ α

  (( ′ ′′ oo

  X S S β β

  ◦α

  ww

  • S.

  Lema A.59. Seja f : X → S e g : Y → S esquemas sobre S. Se f : X S S

  → S ´e uma imers˜ao fechada, ent˜ao X × → Y ´e uma imers˜ao fechada. Demonstra¸c˜ ao. [14] Defini¸ c˜ ao A.60. Seja f : X

  → Y um morfismo de esquemas e seja Z

  ⊆ Y um subesquema fechado de Y . Definimos a imagem inversa

  −1

  f (Z) do subesquema fechado Z como o subesquema fechado Z Y

  X × de X.

  Note que, de fato, Z Y X ´e um subesquema fechado de X pelo × Lema A.59.

  Defini¸ c˜ ao A.61.

  Seja f : X → Y um morfismo de esquemas. O morfismo diagonal ´e o ´ unico morfismo ∆ : X Y X no qual a

  → X × identidade X → X. Dizemos que o morfismo f ´e separ´avel se o mor- fismo diagonal ∆ ´e uma imers˜ao fechada. Neste caso dizemos que X ´e separ´ avel sobre Y . Um esquema X ´e separ´ avel se ele ´e separ´ avel sobre Spec Z.

  Proposi¸ c˜ ao A.62.

  Suponha que todos os esquemas s˜ao noetherianos. (i) Imers˜ oes fechadas e abertas s˜ao separ´ aveis;

  (ii) Composi¸c˜ ao de morfismos separ´ aveis ´e separ´ avel; (iii) Morfismos separ´ aveis s˜ao est´aveis por extens˜ao de base;

  ′ ′ ′

  (iv) Se f : X : X s˜ao morfismos de esquemas se- → Y e f → Y par´ aveis sobre um esquema base S, ent˜ao o morfismo produto

  ′ ′ ′

  f : X S

  X S Y ´e separ´ avel; × f × → Y ×

  (v) Se f : X → Y e g : Y → Z s˜ao dois morfismos e g ◦ f ´e separ´avel, ent˜ao f ´e separ´ avel;

  (vi) Um morfismo f : X → Y ´e separ´avel se, e somente se, Y pode

  −1

  ser cobertos por subconjuntos abertos V i tal que f (V i ) i ´e → V separ´ avel para cada i.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 99] Defini¸ c˜ ao A.63. Seja f : X

  → Y um morfismo de esquemas. Dizemos que f ´e fechado se a imagem de todo subconjunto fechado ´e fechado. f ´e

  ′

  universalmente fechado se ele ´e fechado e para todo morfismo Y → Y ,

  

′ ′ ′

  o morfismo correspondente f : X obtido por extens˜ao da base ´e → Y fechado tamb´em. Dizemos que f ´e pr´ oprio se ´e separ´ avel, de tipo finito e universalmente fechado.

  Proposi¸ c˜ ao A.64. Suponha que todos os esquemas abaixo s˜ao no-

  (i) Imers˜ oes fechadas s˜ao pr´ oprias; (ii) Composi¸c˜ ao de morfismos pr´ oprios ´e pr´ oprio;

  (iii) Morfismos pr´ oprios s˜ao est´aveis por extens˜ao da base; (iv) Produto de morfismos pr´ oprios ´e pr´ oprio;

  (v) Se f : X → Y e g : Y → Z s˜ao dois morfismos tal que g ◦ f ´e pr´ oprio e g ´e separ´ avel, ent˜ao f ´e pr´ oprio;

  (vi) Ser pr´ oprio ´e local na base. Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 102] Defini¸ c˜ ao A.65.

  Seja Y um esquema. Definimos o n-espa¸co projetivo n n sobre Y , denotado P , como P Z Y . Um morfismo de esquemas Y Spec Z × f : X

  → Y ´e projetivo se ele se fatora como uma imers˜ao fechada i : n n X para algum n, seguido pela proje¸c˜ ao P

  → P Y Y → Y . Um morfismo f : X → Y ´e quasi-projetivo se ele se fatora como uma imers˜ao aberta

  ′ ′

  j : X seguido de um morfismo projetivo g : X → X → Y .

  O A.6 -m´ odulos e Feixes Coerentes

  X Defini¸ c˜ ao A.66.

  (i) Seja (X, X ) um espa¸co anelado. Um feixe de X -m´ odulos (ou O O um X -m´ odulo), ´e um feixe de grupos abelianos

  O F em X tal que para cada aberto U X (U )-m´odulo, e ⊆ X, o grupo F(U) ´e um O para cada inclus˜ ao V

  ⊆ U, o morfismo restri¸c˜ao F(U) → F(V ) O X (U ) → O X (V ), isto ´e, o diagrama abaixo comuta O X (U ) × F(U)

  //

F(U)

  F → G de feixes de O X -m´ odulos ´e um morfismo de feixes tal que, para todo U ⊆ X, a aplica¸c˜ao F(U) → G(U) ´e um morfismo de

  O X de feixes de an´eis em X e, neste caso, uma estrutura natural de f

  Agora se G um feixe de O Y -m´ odulos, ent˜ao f

  −1

  G ´e um f

  −1

  O Y - m´odulo. Assim, pela Proposi¸c˜ ao A.21, temos um morfismo f

  −1

  O Y

  −1

  ∗

  O Y -m´ odulo em O X . Definimos o pullback de G por f , denotado por f

  ∗

  G, pelo produto tensorial f

  

−1

  G ⊗ f −1

  O Y O X . Logo, f

  G ´e um

  F. Neste caso, chamamos da imagem direta de F pelo morfismo f.

  O X d´ a uma estrutura natural de O Y -m´ odulo em f

  O X (U )-m´odulos. (iii) Definimos o produto tensorial de dois

  ) : (X, O X ) → (Y, O Y ) um morfismo de espa¸cos ane- lados. Se

  O X -m´ odulos como o feixe associado ao pr´e-feixe U 7→ F(U) ⊗

  O X (U )

  G(U), denotado por F ⊗ G quando O X estiver subentendido.

  (iv) Dizemos que um O X -m´ odulo ´e localmente livre se X pode ser coberto por conjuntos abertos U tal que

  F| U ´e um O X | U -m´ odulo livre. Neste caso, a dimens˜ ao de F em um aberto ´e o n´umero de c´ opias do feixe estrutural necess´ario (finito ou infinito). Um feixe localmente livre de dimens˜ ao 1 tamb´em ´e chamado de feixe invert´ıvel.

  Seja (f, f

  #

  F ´e um O X -m´ odulo, ent˜ao f

  O X (V ) × F(V ) // F(V ). (ii) Um morfismo

  ∗

  F ´e um f

  ∗

  O X -m´ odulo. Al´em disso, o morfismo de feixes de an´eis em Y f

  #

  : O Y

  → f

  ∗ Defini¸ c˜ ao A.67. Seja A um anel e seja M um A-m´ odulo. Definimos o feixe associado a M em Spec A, denotado ˜ M , como: para cada ideal primo p p . Para cada

  ⊆ A, considere a localiza¸c˜ao de M em p, M conjunto aberto U M (U ) como o conjunto ⊆ Spec A, defina o grupo ˜ ` das fun¸c˜ oes s : U M p tal que, para cada p p e

  → p ∈ U, s(p) ∈ M

  ∈U

m

  tal que s ´e localmente uma fra¸c˜ ao com m f ∈ M e f ∈ A. Isto ´e, para cada p ∈ U, existe uma vizinhan¸ca V de p em U e existem elementos m m em M p . ∈ M, f ∈ A tais que para cada q ∈ V , f / ∈ q e s(q) = f Proposi¸ c˜ ao A.68.

  Sejam A um anel, M um A-m´ odulo e ˜ M o feixe em X = Spec A associado ` a M . Ent˜ao (i) ˜ M ´e um X -m´ odulo;

  O (ii) Para cada p M ) p do feixe ˜ M em p ´e isomorfo ao

  ∈ X, a haste ( ˜ m´odulo localizado M p ; (iii) Para cada f f -m´ odulo ˜ M (D(f )) ´e isomorfo ao m´odulo

  ∈ A, o A localizado M f ; (iv) Γ(X, ˜ M ) = M . Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 110] Proposi¸ c˜ ao A.69. Seja A um anel e seja X = Spec A. Para A

  → B um morfismo de an´eis, seja f : Spec B → Spec A o morfismo corres- ponde nos espectros. Ent˜ao

  (i) A aplica¸c˜ ao M M ´e um funtor exato, pleno [OI], da categoria → ˜ dos A-m´ odulos para a categoria dos X -m´ odulos;

  O

  ∼

  ˜ ∼

  (ii) Se M e N s˜ao dois A-m´ odulos, ent˜ao (M A N ) M N ; = ˜ O

  ⊗ ⊗ X

  ∼

  ∼ (iii) Se i i )

  = {M } ´e uma fam´ılia qualquer de A-m´odulos, ent˜ao (⊕M

  ∼

  (iv) Para qualquer B-m´ odulo N , temos f ( ˜ N ) ∼ A N ) ;

  ∗ = ( ∗ ∼

  (v) Para qualquer A-m´ odulo M , temos f ( ˜ M ) ∼ A B) .

  = (M ⊗

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 111] Defini¸ c˜ ao A.70. Seja (X, X ) um esquema. Um feixe de X -m´ odulos

  O O F ´e quasi-coerente se X pode ser coberto por subconjuntos abertos afins U i = Spec A i , tal que para cada i existe um A i -m´ odulo M i tal que U ∼ M i . Dizemos que i pode

  = ˜ F| i F ´e coerente se al´em disso, cada M ser escolhido como um A i -m´ odulo finitamente gerado.

  Defini¸ c˜ ao A.71. Sejam X um esquema, Y um subesquema fechado de X e i : X → Y o morfismo inclus˜ao. Definimos o feixe de ideais de

  #

  Y , denotado Y , como o n´ ucleo do morfismo i : X Y .

  ∗

  I O → i O Proposi¸ c˜ ao A.72. Seja X um esquema. Para qualquer subesquema fechado Y de X, o feixe de ideais correspondente Y ´e um feixe quasi-

  I coerente em X. Se X ´e noetheriano, ent˜ao ele ´e coerente. Reciproca- mente, qualquer feixe de ideais quasi-coerente em X ´e o feixe de ideais de um subesquema fechado de X unicamente determinado.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 116] Defini¸ c˜ ao A.73.

  Seja f : X → Y um morfismo de esquemas e seja F um X -m´ odulo. Dizemos que

  O F ´e flat sobre Y em um ponto x ∈ X se o stalk x ´e um y,Y -m´ odulo flat, em que y = f (x) e consideremos x F O

  F

  #

  como y,Y -m´ odulo via o morfismo f : y,Y x,X . Dizemos que O O → O

  F ´e flat sobre Y se ´e flat em todo ponto de X. Dizemos que X ´e flat sobre Y se X ´e. O

  Tomando fibras de um morfismo flat, temos a no¸c˜ ao de uma fam´ılia de esquemas flat, o que nos d´ a uma ideia intuitiva de uma “fam´ılia de

  A pr´ oxima proposi¸c˜ ao nos diz que a propriedade de se flat ´e est´avel sobre mudan¸ca de base, o que ser´ a de grande importˆancia. Proposi¸ c˜ ao A.74. Sejam f : X

  → Y um morfismo de esquemas e F

  ′

  um X -m´ odulo que ´e flat sobre Y . Seja g : Y O → Y qualquer morfismo

  ′ ′ ′ ′ ′

  de esquemas. Considere X = X Y Y , seja f : X a segunda × → Y

  ′ ∗ ′ ′ proje¸c˜ ao e = p ( ´e flat sobre Y .

  F

1 F). Ent˜ao F

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 254] Defini¸ c˜ ao A.75. Seja S um anel graduado e X = Proj S. Para todo

  ∼

  n X (n) como S(n) . Quando n = 1, dizemos ∈ Z, definimos o feixe O que X (1) ´e o feixe torcido de Serre. Para qualquer feixe de X -

  O O m´odulos O X (n).

  F, denotamos F(n) o feixe torcido F ⊗ X O Defini¸ c˜ ao A.76.

  Para todo esquema Y , definimos o feixe torcido r ∗ r r O(1) em P como g ( Z ´e a aplica¸c˜ao natural (note Y Y r r O(1)), em que g : P → P que P = P Z Y × Y )

  Defini¸ c˜ ao A.77. Seja X um esquema sobre Y . Um feixe invert´ıvel L em X ´e dito muito amplo em rela¸c˜ao a Y , se existe uma imers˜ao r

  ∗

  i : X para algum r tal que i ( =

  → P Y O(1)) ∼ L. Dizemos que um morfismo i : X → Z ´e uma imers˜ao se ele d´a um isomorfismo de X com um subesquema aberto de um subesquema fechado de Z.

  B Polinˆ omio de Hilbert e Espa¸ cos de Moduli B.1 Polinˆ omio de Hilbert

  O objetivo desta se¸c˜ ao ´e definir o polinˆomio de Hilbert de um feixe coerente. Para isso, vamos precisar desenvolver a teoria de cohomologia de feixes. Como principal referˆencia usamos [14]. Defini¸ c˜ ao B.1.

  Seja A uma categoria abeliana. Dizemos que um ob- jeto I de A ´e injetivo se o funtor Hom( ·, I) ´e exato. Dizemos que A tem injetivos suficientes se todo objeto ´e isomorfo `a um subobjeto de um objeto injetivo de A.

  Defini¸ c˜ ao B.2.

  Sejam A e B categorias abelianas tal que A tem injeti- vos suficientes e seja F : A → B um funtor covariante exato `a esquerda. i

  Dizemos que um objeto J em A ´e ac´ıclico para F se R F (J) = 0 para todo i > 0. Teorema B.3. Seja A um anel. Ent˜ao todo A-m´ odulo ´e isomorfo `a um subm´odulo de um A-m´ odulo injetivo.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 206]. Proposi¸ c˜ ao B.4. Seja (X, X ) um espa¸co anelado. Ent˜ao a categoria

  O Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 207]. Corol´ ario B.5. Seja X um espa¸co topol´ ogico, ent˜ao a categoria Ab(X) dos feixes de grupos abelianos em X tem injetivos suficientes.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 207]. Defini¸ c˜ ao B.6. Seja X um espa¸co topol´ ogico e seja Γ(X,

  ·) o funtor das se¸c˜ oes globais de Ab(X) to Ab. Definimos os funtores de cohomologia i H (X,

  ·) como o funtor derivado `a direita de Γ(X, ·). Para todo feixe i (X,

  F, os grupos H F) s˜ao os grupos de cohomologia de F. Observa¸ c˜ ao B.7. Mesmo que X e

  F tenham estruturas adicionais, por exemplo, X um esquema e F coerente, tomamos a cohomologia da mesma maneira, considerando

  F como um feixe de grupos abelianos sobre o espa¸co topol´ ogico X. Defini¸ c˜ ao B.8.

  Um feixe F em um espa¸co topol´ogico X ´e dito ser flasque se para toda inclus˜ ao V

  ⊆ U, a aplica¸c˜ao restri¸c˜ao F(U) → F(V ) ´e sobrejetora. Lema B.9.

  Se (X, X ) ´e um espa¸co anelado, ent˜ao todo X -m´ odulo O O injetivo ´e flasque.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 207]. Proposi¸ c˜ ao B.10.

  Se i F ´e um feixe flasque em um espa¸co topol´ogico X, ent˜ao H (X, F) = 0 para todo i > 0.

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 208].

  A proposi¸c˜ ao anterior nos diz que feixes flasque s˜ao ac´ıclicos para o funtor Γ(X, ·). Assim, podemos calcular cohomologias usando re-

  Proposi¸ c˜ ao B.11. Seja (X, X ) um espa¸co anelado. Ent˜ao os fun- O tores derivados do funtor Γ(X,

  ·) da categoria Mod(X) to Ab coincide i com os funtores de cohomologia H (X, ·).

  Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 208]. Observa¸ c˜ ao B.12.

  Seja (X, X ) um espa¸co anelado e seja A = Γ(X, X ).

  O O Ent˜ao para todo feixe de X -m´ odulos

  O

  F, Γ(X, F) tem estrutura natu- ral de A-m´ odulo. Em particular, como podemos calcular os grupos de cohomologia usando resolu¸c˜ oes na categoria Mod(X), todos os grupos de cohomologia de

  F tem estrutura natural de A-m´odulo. Tamb´em, as sequˆencias exatas associadas s˜ao sequˆencias de A-m´ odulo. Defini¸ c˜ ao B.13.

  Seja X um esquema projetivo sobre um corpo k e F um feixo coerente sobre X. Definimos a caracter´ıstica de Euler de F por X i i

  χ( ( dim k H (X,

  F) = −1) F). Proposi¸ c˜ ao B.14. Seja X um esquema projetivo sobre um corpo k, seja X (1) um feixe invert´ıvel muito amplo em X sobre k e seja

  O F um feixe coerente sobre X. Ent˜ao existe um polinˆ omio P (z)

  ∈ Q[z] tal que χ(

  F(n)) = P (n) para todo n ∈ Z. Dizemos que P ´e o polinˆomio de Hilbert de X (1).

  F com respeito ao feixe O Demonstra¸c˜ ao. [14, p. 230].

  B.2 Espa¸cos de Moduli

  O conceito de moduli vem da conex˜ao de problemas de classifica¸c˜ ao em geometria alg´ebrica. Os ingredientes b´ asicos de um problema de classifica¸c˜ ao s˜ao uma cole¸c˜ ao de objetos A e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia A ∼

  / . Quase sempre existe uma “fam´ılia cont´ınua”de objetos de A, e A

  ∼

  gostar´ıamos de dar em / alguma estrutura relacionada a geometria alg´ebrica para refletir esse fato. Este ´e o objeto da teoria de moduli. O objetivo deste apˆendice ´e dar uma ideia do que consiste um problema de moduli e descrever como uma solu¸c˜ ao deve parecer, usamos [22].

  Seja A uma cole¸c˜ ao de objetos em geometria alg´ebrica, por simpli- cidade, vamos usar variedades alg´ebricas mas todas as ideias funcionam com esquemas, e

  ∼ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A. Queremos dar significado ao conceito de uma fam´ılia de objetos de A parametriza- dos por uma variedade S. Muitas vezes a defini¸c˜ ao precisa de fam´ılia dependa do problema em quest˜ao mas, em todos os casos, elas devem satisfazer algumas condi¸c˜ oes.

  Uma cole¸c˜ ao de objetos X s , uma para cada s ∈ S, que s˜ao encai- xadas de certa maneira de acordo com a estrutura de S, dependendo do problema e satisfazem:

  (i) Uma fam´ılia parametrizada por um ´ unico ponto {∗} ´e um ´unico objeto de A.

  (ii) Existe uma no¸c˜ ao de equivalˆencia de fam´ılias parametrizadas por qualquer variedade S, que se reduz a rela¸c˜ ao de equivalˆencia em A quando S = {∗}. Novamente denotamos essa rela¸c˜ao por ∼.

  ′

  (iii) Para todo morfismo φ : S → S e qualquer fam´ılia X parametri-

  ∗

  zada por S, existe uma fam´ılia induzida φ X parametrizada por

  ′

  S . Al´em disso essa opera¸c˜ ao satisfaz as propriedades funtoriais, isto ´e,

  ′ ∗ ′∗ ∗

  (φ ) = φ , ◦ φ ◦ φ

  ∗ e ´e compat´ıvel com ∼, ou seja,

  ′ ∗ ∗ ′

  X X X .

  ∼ X ⇒ φ ∼ φ Com essa no¸c˜ ao de fam´ılia, os ingredientes b´ asicos para um pro- blema de moduli s˜ ao uma cole¸c˜ ao A, a rela¸c˜ ao de equivalˆencia

  ∼ e o conceito de uma fam´ılia. Vejamos um exemplo. Exemplo B.15.

  Sejam X uma variedade. Considere A como todos os fibrados vetoriais sobre X e seja ∼ dada pelo isomorfismo de fibrados vetoriais. Uma fam´ılia de objetos de A parametrizadas por S ´e um fibrado vetorial E sobre S s correspondente a um

  × X. O objeto E ponto s ∈ S ´e o fibrado vetorial sobre X obtido pela restri¸c˜ao de E `a

  ′

  {s}×X.Al´em disso, para cada morfismo φ : S → S, temos uma fam´ılia

  ∗

  induzida (φ E.

  × Id) A Agora, dado um problema de moduli, queremos impor no conjunto / ∼ uma estrutura de variedade que reflete a estrutura da fam´ılia de objetos de A. Vamos sugerir algumas maneira de tornar isso preciso. A

  ∼

  Suponha que M ´e uma variedade que como conjunto ´e / . Para qualquer fam´ılia X parametrizada por S, temos uma aplica¸c˜ ao ν X : S

  M dada por ν X (s) = [X s ]. Parece razo´ avel pedir que essa aplica¸c˜ ao seja um morfismo; e o melhor que podemos esperar ´e que ν defina uma correspondˆencia bijetora entre classes de equivalˆencia de fam´ılias parametrizadas por S e morfismos S

  → M. Essa ideia pode ser expressada em termos categ´ oricos. Para isso, escrevemos

  F(S) como o conjunto de classes de equivalˆencia de fam´ılias parametrizadas por S. Neste caso F ´e um funtor contravariante da categoria das variedades alg´ebricas para a categoria dos conjuntos, aplica¸c˜ oes naturais φ(S) :

  F(S) → Hom(S, M) dadas por φ(S)([X]) = ν X ; essas aplica¸c˜ oes determinam uma transforma¸c˜ ao natural

  φ : F → Hom(−, M). O que estamos pedindo ´e que φ seja um isomorfismo de funtores, ou na linguagem de categorias, que

  F seja representado por (M, φ). Incorporamos essa ideia para a seguinte defini¸c˜ ao.

  Defini¸ c˜ ao B.16.

  Um espa¸co de moduli fino para um dado problema de moduli ´e um par (M, φ) que representa o funtor F. A

  ∼

  Note que na defini¸c˜ ao acima, n˜ ao pedimos que M = / ; mas se (M, φ) representa

  F, temos uma bije¸c˜ao natural A

  ∼

  φ( / = ∗): : F(∗) → Hom(∗, M) = M. Al´em disso, para toda variedade S e todo s

  ∈ S, a inclus˜ao de {s} em S induz um diagrama comutativo φ

  (S)

  // Hom(S, M )

F(S)

  

[X]7→[X ] φ 7→φ(s)

S // M.

  F(∗) φ

  (∗)

  Assim,

  ′

  φ(S)(X) = φ( X =: ν . X ∗) ◦ ν uma fam´ılia U parametrizada por M ; e, para toda fam´ılia X parame-

  

  trizada por S, as fam´ılias X e ν U ambas correspondem ao mesmo X

  ′

  morfismo ν : S X → M. Assim,

  ′∗ X U.

  ∼ ν X Isso nos leva a uma defini¸c˜ ao alternativa.

  Defini¸ c˜ ao B.17. Um espa¸co de moduli fino consiste em uma variedade M e uma fam´ılia U parametrizada por M tal que para toda fam´ılia X parametrizada por uma variedade S, existe um ´ unico morfismo φ : S

  →

  ∗ M com X U .

  ∼ φ A fam´ılia U ´e chamada fam´ılia universal para o problema dado.

  Infelizmente existem poucos problemas que se tem esperan¸ca de encontrar um espa¸co de moduli fino. Assim, ´e necess´ ario encontrar condi¸c˜ oes mais fracas que determinem uma ´ unico estrutura de varie- dade em M . A solu¸c˜ ao ´e esquecer a necessidade que M satisfa¸ca a propriedade universal para fam´ılias, e pedir inv´es disso que φ tenha a propriedade universal para transforma¸c˜ oes naturais

  F → Hom(−, N). Defini¸ c˜ ao B.18. Um espa¸co de moduli grosso para um dado problema de moduli ´e uma variedade M junto com uma transforma¸c˜ ao natural

  φ : F → Hom(−, M) tal que

  (i) φ( ∗) ´e bijetora;

  (ii) para toda variedade N e toda transforma¸c˜ ao natural ψ : F →

  Hom( −, N), existe uma ´unica transforma¸c˜ao natural tal que ψ = Ω ◦ φ.

  C Xcas

  Neste apˆendice vamos dar uma introdu¸c˜ ao para o uso do software Xcas [24] e de como usamos eles para nosso trabalho.

  C.1 Introdu¸c˜ ao

  Ap´ os devidamente instalado no computador, abrimos o software e temos a interface da Figura 1: No centro da interface temos as linhas Figura 1: Interface Xcas de comando e ´e onde fazemos tudo basicamente. Como qualquer outro a tecla ’Enter’ para que o software rode o comando. O software inclui dezenas de comandos j´ a prontos. Para poder acessa-los basta pressionar a tecla ’F1’ que uma janela com os comandos abrir´ a como na Figura 2: Neste janela ´e poss´ıvel fazer uma busca nos comandos poss´ıveis.

  Figura 2: Comandos Tamb´em ´e poss´ıvel realizar programa¸c˜ ao. Para isso basta clicar na aba ’Prg’ e depois clicar em ’New program’, abrindo a janela da Figura

  3: Figura 3: Programa¸c˜ ao

  C.2 Matrizes e Opera¸c˜ oes Para descrever matrizes usando o Xcas usamos colchetes e virgulas.

  Um exemplo de c´ odigo de uma matriz 3 × 3 ´e

  [ [ 1 , 2 , 3 ] , [ 4 , 5 , 6 ] , [ 7 , 8 , 9 ] ] Que nos d´ a o resultado da Figura 4 Tamb´em ´e poss´ıvel designar valores

  Figura 4: Matriz para letras, por exemplo se quisermos chamar de A a matriz do exemplo, fazemos

  A: = [ [ 1 , 2 , 3 ] , [ 4 , 5 , 6 ] , [ 7 , 8 , 9 ] ] Desse modo, designamos para a vari´ avel A o valor da nossa matriz, de acordo com a Figura 5. Se quisermos somar ou multiplicar nossa matriz A por uma outra matriz B, usamos os comandos

  B : = [ [ 9 , 8 , 7 ] , [ 6 , 5 , 4 ] , [ 3 , 2 , 1 ] ] A+B

  Figura 5: Vari´ aveis Que nos d´ a a resposta da Figura 6.

  Figura 6: Opera¸c˜ oes

  C.3 O Nosso Problema

  Para verificar a comutatividade: com ( x , y ):= { l o c a l a , b , c , d , f , g , h , j , k , l ,m, n ; r e t u r n x

  ✯y , y✯x ; } : ; Este basicamente calcula AB e BA para duas matrizes A e B.

  Para verificar a nilpotˆencia: n i l p ( x , y ):= { l o c a l a , b , c , d , f , g , h , j , k , l ,m, n ; r e t u r n x ˆ 2 , x ˆ 3 , x ˆ 4 , y ˆ 2 , y ˆ 3 , y ˆ 4 ;

  } : ; Neste, calculamos as quatro primeiras potˆencias de duas matrizes A e B. e s t a b ( x , y , z ) : = { r e t u r n d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ3✯ z ) ) , Para verificar a estabilidade: d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ x✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ3✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ3✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( x ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y ˆ2✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y✯ z ) ) , d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ z ) ) ,

  d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x ˆ2✯ z ) , m a t 2 l i s t ( x✯y ˆ2✯ z ) ) d e t ( m a t 2 l i s t ( z ) , m a t 2 l i s t ( y ✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y✯ z ) , m a t 2 l i s t ( y ˆ2✯ x✯ z ) ) , ; } : ;

  Neste caso, temos 3 dados de entrada 2 matrizes e 1 vetor e a ideia ´e pegar todas as combina¸c˜ oes de multiplica¸c˜ ao das matrizes e potˆencias das matrizes com o vetor e encontrar uma configura¸c˜ ao dessa que nos d´ a 4 vetores LI. Para isso o programa coloca esses vetores em uma matriz e depois calcula seu determinante.

  C.4 Um Exemplo

  Para exemplificar os comandos acima, vejamos como foram feitas as contas em uma das transforma¸c˜ oes feitas no Cap´ıtulo REF. Na Figura 7 temos o nosso exemplo. A primeira linha de comando apenas roda os programas citados anteriormente e na segunda linha de comando inserimos nossos dados de entrada.

  Figura 7: Exemplo configura¸c˜ ao que partimos para a configura¸c˜ ao que queremos e a linha de n´ umero 4 verifica a condi¸c˜ ao de comutatividade.

  Figura 8: Exemplo Seguindo na Figura 9, na linha 5 checamos a nilpotˆencia. Na linha 6 temos o vetor de todos os determinantes e na linha 7 temos os 4 vetores que resultaram do calculo feito na linha 6. Figura 9: Exemplo

  Conclus˜ ao

  No artigo [3], mostrou-se uma bije¸c˜ ao entre Quot (r, n) e o espa¸co st

  2

  (r, n). No Cap´ıtulo 2 mostramos uma generaliza¸c˜ ao natural do re-

  V

  2 st sultado, isto ´e, uma bije¸c˜ ao entre Quot (r, n) e o espa¸co (r, n). d

  V d Tamb´em no artigo [3], mostrou-se que Quot (r, n) ´e irredut´ıvel. A

  2

  ideia da demonstra¸c˜ ao foi encontrar um caminho entre qualquer ponto de Quot (r, n) e um outro ponto de um espa¸co que j´ a se sabia que

  2

  era irredut´ıvel. Motivados por essa ideia, mostramos a conexidade de Quot (r, n) para alguns casos particulares. A ideia foi tentar encontrar

  3

  todas as configura¸c˜ oes poss´ıveis dentro do espa¸co das matrizes e depois encontrar um caminho entre todas essas configura¸c˜ oes, ou seja a ideia foi basicamente usar a for¸ca bruta.

  Uma das maiores dificuldades para encontrar as configura¸c˜ oes poss´ıveis e o caminho entre elas foram as contas. At´e matrizes 3 × 3, estava usando sites que fazem as contas simb´ olicas. Quando passamos para matrizes 4

  × 4 os sites n˜ao faziam certas opera¸c˜oes, como por exem- plo, elevar uma matriz gen´erica 4 × 4 `a quarta potˆencia para checar a propriedade de ser nilpotente, ou verificar a comutatividade entre elas.

  Ent˜ao precisamos de uma solu¸c˜ ao, visto que fazer as contas na m˜ao era invi´ avel. Depois de uma pesquisa em busca de softwares que rea- lizam contas simb´ olicas, encontramos o Xcas ([24]), um software livre que mostrou-se eficiente na realiza¸c˜ ao das opera¸c˜ oes necess´arias. De- pois de um certo tempo para se familiarizar com o software, montamos um programa que verificava todas as propriedades que precisamos de maneira quase autom´atica, isto ´e, verificamos que todos os caminhos st feitos no Cap´ıtulo 3 est˜ao de fato dentro de (r, n), ou seja, para todo V d t

  ∈ [0, 1], a configura¸c˜ao tinha a propriedade da nilpotˆencia, comutati- vidade e estabilidade.

  Depois de fazer os casos particulares, vimos que se tiv´essemos um certo “grau de liberdade”com os vetores, isto ´e, um valor de r alto de acordo com n, sempre poder´ıamos encontrar um caminho entre os pontos. Que foi o que fizemos no Teorema 3.7.

  Um problema natural que podemos pensar futuramente ´e estudar a irredutibilidade de Quot (r, n), para os casos de d = 3, n = 2, n = 3 d e n = 4 em que fizemos neste trabalho. Coisa que parece ser um passo razo´ avel usando a ideia em [3].

  

Referˆ encias

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