Universidade Federal de Santa Catarina Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao

Cient´ıfica

  

M´ etodo Pseudo Espectral de Chebyshev para

Problemas de Propaga¸ c˜ ao de Ondas com Condi¸ c˜ oes

de Fronteira Absorventes

  

Priscila Cardoso Calegari

Orientador: Prof. Dr. Fermin S. V. Baz´ an

Florian´ opolis

Fevereiro de 2007

  

Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

  

M´ etodo Pseudo Espectral de Chebyshev para Problemas de

Propaga¸ c˜ ao de Ondas com Condi¸ c˜ oes de Fronteira Absorventes

  Disserta¸ c˜ ao apresentada ao Curso de P´ os- Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸ c˜ ao Cien- t´ıfica, do Centro de Ciˆ encias F´ısicas e Matem´ ati- cas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obten¸ c˜ ao do grau de Mestre em Matem´ a- tica, com ´ Area de Concentra¸ c˜ ao em Matem´ atica

  Aplicada.

  Priscila Cardoso Calegari Florian´ opolis

  Fevereiro de 2007

  

M´ etodo Pseudo Espectral de Chebyshev para Problemas de

Propaga¸ c˜ ao de Ondas com Condi¸ c˜ oes de Fronteira Absorventes

  por Priscila Cardoso Calegari

  Esta Disserta¸c˜ ao foi julgada para a obten¸c˜ ao do T´ıtulo de “Mestre”, ´

  Area de Concentra¸c˜ ao em Matem´ atica Aplicada, e aprovada em sua forma final pelo Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e Computa¸c˜ ao Cient´ıfica.

  Cl´ ovis Caesar Gonzaga Coordenador

  Comiss˜ ao Examinadora Prof. Dr. Fermin S. V. Baz´ an (UFSC-Orientador) Prof. Dra. Sandra Malta (LNCC) Prof. Dr. Jauber Cavalcante de Oliveira (UFSC) Prof. Dr. Milton dos Santos Braitt (UFSC)

Florian´ opolis, Fevereiro de 2007.

  Dedico esta disserta¸c˜ ao a meus pais, Antˆ onio e Helena cujo exemplo de honestidade e trabalho tˆem direcionado minha vida e para Marciano, pelo

apoio, carinho e paciˆencia nos momentos mais dif´ıceis. Agradecimentos

  Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao professor Dr. Fermin V. S. Baz´ an, pela sua orienta¸c˜ ao. Toda a sua dedica¸c˜ ao, paciˆencia, confian¸ca, dicas e conselhos foram essenciais para a realiza¸c˜ ao deste trabalho e para o meu crescimento profissional e pessoal.

  Tamb´em agrade¸co aos professores membros da banca pelas corre¸c˜ oes e sugest˜ oes que apri- moraram a vers˜ ao final deste trabalho. Aos colegas do Mestrado em Matem´ atica e Computa¸c˜ ao Cient´ıfica da UFSC, em especial

  Ana Maria, Diane, Fabiana, Jo˜ ao e Luciane, pelas alegrias e pelo companheirismo nos momentos de maior dificuldade.

  ` A Elisa B. Amaral pelo aux´ılio e assistˆencia ao longo destes dois anos. `

  A Coordena¸c˜ ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior - CAPES - por ter finan- ciado este projeto pelo per´ıodo de um ano. Resumo

  Apresentamos uma investiga¸c˜ ao sobre simula¸c˜ oes num´ericas para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais e bidimensionais, proposto recentemente por Jackiewicz e Renaut [19], baseado no m´etodo Pseudo espectral de Chebyshev. O modelo considerado ´e a equa¸c˜ ao da onda linear cl´ assica, na qual incorporamos condi¸c˜ oes de fronteira apropriadas (ditas absorventes), introduzidas com a finalidade de atenuar reflex˜ oes indesejadas [9, 17, 19, 28, 29, 30, 40].

  O m´etodo pseudo espectral de Chebyshev [13, 19, 28, 30] investigado est´ a baseado no m´etodo

  

das linhas [27, 38], o qual transforma o problema original em um sistema semi discreto de EDO’s,

  que aproxima o problema de evolu¸c˜ ao u

  t

  = Au, associado ao modelo original. Uma caracter´ıstica do problema ´e que o operador diferencial A ´e n˜ao normal. Neste caso, a an´alise espectral torna- se insuficiente para descrever o comportamento do sistema com a evolu¸c˜ ao do tempo [9], o que motiva o estudo do pseudo espectro do operador.

  Dentre os principais resultados deste trabalho destacamos, uma f´ ormula fechada para o autosistema do operador diferencial associado ao problema de evolu¸c˜ ao, que generaliza resultados pr´evios de Driscoll e Trefethen [9], resultados te´ oricos que corrigem conclus˜ oes erradas em [19] (para o problema 1D), e a proposta de M´etodos Pseudo Espectrais de Chebyshev para determinar as solu¸c˜ oes aproximadas para os problemas 1D e 2D.

  Alguns resultados originais do trabalho podem ser vistos em [5, 6]. Os resultados te´ oricos s˜ ao ilustrados atrav´es de experimentos num´ericos onde apresentamos as vantagens dos m´etodos propostos. Abstract

  We present an investigation on numerical simulation of 1D and 2D waves propagation pro- blems recently proposed by Jackiewicz and Renaut [19] based on the Chebyshev pseudospectral

  

method. The considered model is the classical linear wave equation in which we incorporate

absorbing boundary conditions to mitigate undesired reflections [9, 17, 19, 28, 29, 30, 40].

  The investigated Chebyshev pseudospectral method [13, 19, 28, 30] relies on the Method of

  

lines [27, 38], in which the original problem is first transformed to a semidiscrete system of

  ODE’s that approximates the evolution problem u

  t = Au associated with the original model.

  A characteristic of the problem is that A is a differential operator which in general is far from normal. In this case, spectral analysis alone of A can be insufficient to describe the behavior of the system with evolution in time [9], a fact that motivates the study of the pseudospectrum of A.

  Among the most important results of the work we include, a closed formula for the eigens- tructure of the associated differential operator that generalizes earlier results by Driscol and Trefethen [9], theoretical results that correct wrong conclusions in [19] (for the 1D problem ) and the proposal of Chebyshev Pseudospectral Methods to determine approximate solutions for the 1D and 2D wave propagation problems. Some original results of the work can be found in [5, 6].

  The theoretical results are illustrated through numerical experiments that illustrate the ad- vantages of the proposed methods. Lista de Figuras 1.1 Fenˆ omeno de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2 Quatro primeiros polinˆ omios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 = 0.99 . . . . . . .

  3.8 Espectro e pseudo espectro das matrizes A

  56

  2 = c = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  = c

  1

  3.7 Pseudo espectro de A para c

  56

  = c

  58

  1

  = 0.2 e c

  2

  = c

  

1

  3.6 Espectro e pseudo espectro de A para c

  53

  N (M´etodo pseudo espectral de Chebyshev) . . .

  1 e A 2 c = c 1 = c 2 = 0.2 . . . . . . . .

  3.9 Autovalores das matrizes A

  51

  3.13 Autovalores da matriz A

  76 4.4 Solu¸c˜ oes exata e aproximada para o problema unidimensional (exe. 2) . . . . . .

  76 4.3 Compara¸c˜ ao entre os erros dos m´etodos MP, MJ e MJM . . . . . . . . . . . .

  75 4.2 Solu¸c˜ oes exata e aproximada para o problema unidimensional (exe. 1) . . . . . .

  e A 1 e Regi˜ ao de estabilidade (RK4) . . . . .

  N

  4.1 Espectro e pseudo espectro de L

  70

  1 (` a esquerda) e da matriz A 2 , (` a direita), com N = 15.

  66

  1

  3.12 Coeficientes de reflex˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de ordens 1, 2 e 3 em x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  64

  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.11 O problema de aproxima¸c˜ ao: r(s) ≈ √ 1 − s

  63

  59 3.10 θ, (ξ/ω) e (η/ω) para a equa¸c˜ ao da onda unidirecional. . . . . . . . . . . . . . .

  2 com N + 1 = 32 e N + 1 = 64 . . . . . . . . .

  e A

  3.5 Espectro e pseudo espectro de B

  N (difere¸cas finitas) . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  (∆t L

  . . . . . . . . . . . . . . .

  2.2 Fun¸c˜ ao φ aplicando a regi˜ ao de estabilidade S em D.

  28

  23 2.1 Regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos de Runge Kutta de ordem 1, 2, 3 e 4. . . .

  (∆t e D) . . . . . . . . . . . . .

  3

  ) e P

  N

  3

  2.3 kA

  1.8 Norma das potˆencias das matrizes P

  22

  20 1.7 Equa¸c˜ ao da onda unidirecional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  20 1.6 Solu¸c˜ ao aproximada do problema (1.30), para f (x, y) = 90.72sen(3πx)sen(2πy). .

  18 1.5 Localiza¸c˜ ao dos elementos na matriz L N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 1.4 Solu¸c˜ ao aproximada e erro de aproxima¸c˜ ao do problema (1.23). . . . . . . . . . .

  ′ (x) . . . . .

  1.3 Aproxima¸c˜ ao da derivada da fun¸c˜ ao u(x) e erro na aproxima¸c˜ ao de u

  29

  k

  3.4 Espectro e pseudo espectro de b L

  42

  49

  ǫ (A) com δ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.3 Pseudo espectro de A, ∧

  49

  ǫ (A) com δ = 0.2 e δ = 0.99 . . . . . . . . . .

  3.2 Espectro ∧(A) e pseudo espectro ∧

  46

  3.1 Propaga¸c˜ ao da onda 1D: solu¸c˜ ao exata e solu¸c˜ ao aproximada com condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 2.7 Solu¸c˜ oes Num´ericas do problema (2.36) com ∆t = 0.6∆x e ∆t = 1.2∆x. . . . . .

  k e k e A

  37 2.6 Espectro e Pseudo espectro da matriz ∆t A e regi˜ ao de estabilidade (RK1) . . .

  35 2.5 Pseudo espectro de um operador n˜ ao normal e de um operador quase normal . .

  2 , e seus respectivos pseudo espectros. . . . .

  e ǫ

  1

  2.4 Operador A com perturba¸c˜ao ǫ

  32

  k k, linhas cont´ınua e tracejada, respectivamente . . . . . . . . . . . . .

  77

  4.5 Espectro e pseudo espectro das matrizes M

  1

  e M

  2 , com N + 1 = 16 . . . . . . . .

  82 4.6 Solu¸c˜ ao aproximada para o problema bidimensional (4.8) atrav´es do m´etodo 1. .

  83 4.7 Solu¸c˜ ao aproximada para o problema bidimensional (4.8), atrav´es do m´etodo 2. .

  84 4.8 Erro das solu¸c˜ oes obtidas pelos m´etodos 1 e 2, fixando y . . . . . . . . . . . . . .

  84 4.9 Erro das solu¸c˜ oes obtidas atrav´es dos m´etodos 1 e 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

  85 Lista de Tabelas

  3.1 Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao, para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais, na fronteira x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  46

  3.2 N´ umero de Jordan na norma 2 das matrizes A e A com N + 1 = 32 e N + 1 = 64. 59

  1

  2

  3.3 Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficiente de reflex˜ ao, para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas bidimensionais ne fronteira x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  66

  4.1 Tamanho de passo ∆t m´ aximo que garante a estabilidade segundo autovalores, para diferentes dimens˜ oes N + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  74

  4.2 Tamanho de passo ∆t m´ aximo que garante a estabilidade segundo autovalores, para diferentes dimens˜ oes N + 1, para as matrizes M e M . . . . . . . . . . . . .

  82

  1

  2 Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  2

  1 M´ etodos Pseudo Espectrais 5 1.1 Polinˆ omios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2 Matriz de Diferencia¸c˜ ao de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11 1.3 M´etodo pseudo espectral de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 1.4 O M´etodo das Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 1.4.1 M´etodo das Linhas: Discretiza¸c˜ ao espacial upwind+RK3 . . . . . . . . .

  22 1.4.2 M´etodo das Linhas: Discretiza¸c˜ ao espacial pseudo espectral+RK3 . . . .

  24

  2 Estabilidade do M´ etodo das Linhas Pseudo Espectral

  25 2.1 Regi˜ oes de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  25 2.1.1 Regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . .

  26 2.1.2 Regi˜ ao de estabilidade para o m´etodo das linhas . . . . . . . . . . . . . .

  29 2.2 Estabilidade e Convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30 2.3 Espectro e Pseudo Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33

  −

  1

  2.3.1 Algumas considera¸c˜ 37 oes sobre k(z − A) k e k exp(tA)k. . . . . . . . . . .

  2.4 Estabilidade do m´etodo das linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  40

  3 Propaga¸ c˜ ao de Ondas 43 3.1 Modelo cont´ınuo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  44 3.1.1 Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao . . . . . . . . . . . . . . .

  44 3.2 Equa¸c˜ ao da onda com uma condi¸c˜ ao de fronteira absorvente . . . . . . . . . . . .

  46 3.3 Sistemas semi discretos associados ao modelo de Driscol e Trefethen . . . . . . .

  49 3.3.1 Sistema semi discreto baseado em diferen¸cas finitas . . . . . . . . . . . . .

  50

  3.3.2 Sistema semi discreto baseado no m´etodo pseudo espectral de Chebyshev

  52 3.4 Equa¸c˜ ao da onda com condi¸c˜ oes de fronteira transparentes . . . . . . . . . . . . .

  54 3.4.1 Problema semi discreto unidimensional de Jackiewicz e Renaut . . . . . .

  57 3.5 Modelo bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  61 3.5.1 Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao . . . . . . . . . . . . . . .

  62 3.5.2 Problema semi discreto de Jackiewicz e Renaut . . . . . . . . . . . . . . .

  67

  4 M´ etodos Pseudo Espectrais de Chebyshev Propostos

  71 4.1 M´etodo proposto 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  72 4.1.1 Estabilidade do m´etodo proposto e dos m´etodos de Jackiewicz e Renaut .

  73 4.1.2 Exemplos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  74

  4.2 M´etodo proposto 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  77 4.2.1 M´etodo 1: Condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de primeira ordem . . . . .

  77 4.2.2 M´etodo 2: Condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de segunda ordem . . . . .

  79 4.2.3 Considera¸c˜ oes sobre estabilidade num´erica dos m´etodos 2D . . . . . . . .

  81 4.2.4 Exemplo num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  83 Conclus˜ oes Finais

  86 A Produto Kronecker

  88 B Semigrupos de Operadores: Conceitos e resultados b´ asicos

  91 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  93 Introdu¸ c˜ ao

  A simula¸c˜ ao num´erica de problemas de propaga¸c˜ ao de ondas em dom´ınios n˜ ao limitados, na pr´ atica ´e abordada restringindo o dom´ınio para uma regi˜ ao limitada “artificialmente”. En- tretanto, apesar da conveniˆencia computacional, a abordagem requer t´ecnicas que atenuem ou eliminem reflex˜ oes esp´ urias nas fronteiras artificiais, sendo um aspecto crucial do processo a esco- lha de condi¸c˜ oes que absorvam ondas incidentes a fronteira, atenuando as reflex˜ oes indesejadas. Condi¸c˜ oes de fronteira desse tipo s˜ ao ditas absorventes. Aplica¸c˜ oes do t´ opico s˜ ao encontradas frequentemente em geof´ısica, oceanografia, ac´ ustica, etc [7, 10, 17, 29, 30, 31].

  A an´ alise do efeito das reflex˜ oes obtidas atrav´es de condi¸c˜ oes de fronteira absorventes nas solu¸c˜ oes num´ericas foi investigada primeiro por Engquist e Madja [10] e Clayton e Engquist [7], influenciando Halpern e Rahmouni [17] e Trefethen e Halpern [39] em trabalhos posteriores.

  Motivados pelo trabalho de Veseli´c [40], Driscol e Trefethen em [9], usam um sistema hi- perb´ olico de primeira ordem e analisam os efeitos da n˜ ao normalidade do operador diferencial associado a equa¸c˜ ao da onda unidimensional com uma condi¸c˜ ao de fronteira Dirichlet nula, na fronteira esquerda, e uma condi¸c˜ ao de fronteira absorvente na direita. Os autores concluem que a an´ alise espectral, nesse caso, torna-se insuficiente para a an´ alise do comportamento do sistema no decorrer do tempo. Para contornar essas dificuldades, o pseudo espectro desse operador, bem como o pseudo espectro das matrizes envolvidas nos sistemas semi discretos associados ao modelo original, s˜ ao analisados. A partir desse trabalho, Renaut [28] analisa a estabilidade num´erica de um m´etodo pseudo espectral de Chebyshev, para o problema de propaga¸c˜ ao de ondas bidimensional. Outros trabalhos nessa dire¸c˜ ao s˜ ao encontrados em [29, 30]. J´ a Jackiewicz e Renaut em [19] apresentam diferentes abordagens para o esquema num´erico, que dependem da maneira que as condi¸c˜ oes de fronteira absorventes s˜ ao incorporadas no modelo.

  Os m´etodos pseudo espectrais descritos nestes trabalhos s˜ ao baseados no esquema do M´e-

  

todo das Linhas, o qual converte a equa¸c˜ ao diferencial parcial, atrav´es de uma reformula¸c˜ ao

  apropriada, em um sistema semi discreto de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias, ou seja, um pro- blema de valor inicial da forma v = Av. A vantagem do M´etodo das Linhas Pseudo Espectral

  t

  [13, 19, 28, 38] est´ a na simplicidade de seu esquema, bem como na alta precis˜ ao da aproxima- ¸c˜ ao pseudo espectral das derivadas nas vari´ aveis espaciais atrav´es da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev [23, 37].

  Neste trabalho continuamos uma investiga¸c˜ ao de Jackiewicz e Renaut [19], sobre a esta- bilidade num´erica de um M´etodo das Linhas Pseudo Espectral de Chebyshev para o problema de propaga¸c˜ ao de ondas, restrita a dom´ınios limitados, com condi¸c˜ oes de fronteira absorventes [9, 13, 17, 19, 28, 40]. A maior parte do trabalho est´ a baseado nos resultados de Jackiewicz e Renaut [19], Driscol e Trefethen [9] Trefethen [36], Reddy e Trefethen [26, 27] e Trefethen e Embree [38].

  Dentre os resultados desta investiga¸c˜ ao destacamos: a descri¸c˜ ao do autosistema do opera- dor diferencial obtido pela proposta de Jackiewicz e Renaut, o qual generaliza um resultado pr´evio de Driscol e Trefethen [9]; e a proposta de um M´etodo das Linhas Pseudo Espectral de Chebyshev que determina diretamente o deslocamento u a cada passo do tempo, contr´ ario as propostas encontradas em [9, 13, 19] as quais determinam aproxima¸c˜ oes para o deslocamento a partir de estimativas das derivadas em rela¸c˜ ao ao tempo e as vari´ aveis espaciais, isto ´e u t , u x e u . O m´etodo proposto possui basicamente as mesmas caracter´ısticas de estabilidade num´erica

  y daqueles propostos por Jackiewicz e Renaut, mas com a vantagem de ser mais preciso.

  O trabalho est´ a organizado em quatro cap´ıtulos, dos quais os dois primeiros cont´em resul- tados te´ oricos necess´ arios para o trabalho que envolvem: teoria de aproxima¸c˜ ao de fun¸c˜ oes, resultados de an´ alise funcional, no¸c˜ oes de estabilidade num´erica de m´etodos para equa¸c˜ oes dife- renciais parciais (EDP’s), e t´ecnicas de ´ algebra linear computacional, entre outros. O material desses cap´ıtulos ´e em geral auto suficiente mas o leitor precisa estar familiarizado com no¸c˜ oes elementares dos t´ opicos listados acima. Uma descri¸c˜ ao do conte´ udo do trabalho ´e como segue:

  No cap´ıtulo 1 apresentamos defini¸c˜ oes e conceitos necess´ arios para a descri¸c˜ ao do M´etodo das Linhas Pseudo Espectral de Chebyshev. O cap´ıtulo inclui uma s´ıntese da teoria de aproxima¸c˜ ao de fun¸c˜ oes atrav´es de polinˆ omios de Chebyshev, a qual serve como base para a defini¸c˜ ao da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev, ferramenta b´ asica para a aproxima¸c˜ ao das derivadas em rela¸c˜ ao as vari´ aveis espaciais; e uma descri¸c˜ ao detalhada do m´etodo das linhas, incluindo o m´etodo pseudo espectral, o qual ´e ilustrado atrav´es de exemplos num´ericos.

  No cap´ıtulo 2 destacamos os resultados te´ oricos sobre a estabilidade do m´etodo das linhas, enfatizando os esquemas de Runge-Kutta para a solu¸c˜ ao do sistema de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias (EDO’s) semi discreto obtido pela aplica¸c˜ ao do m´etodo das linhas, bem como a defi- ni¸c˜ ao de regi˜ oes de estabilidade. Resultados sobre a estabilidade e a convergˆencia de m´etodos de aproxima¸c˜ ao para problemas de valor inicial s˜ ao tamb´em apresentados, focando em particular conceitos sobre estabilidade segundo Lax e segundo autovalores. No¸c˜ oes sobre espectro, conjunto resolvente e pseudo espectro de operadores s˜ ao tamb´em inclu´ıdos. O cap´ıtulo encerra apresen- tando resultados que garantem a estabilidade segundo autovalores e a estabilidade segundo Lax do m´etodo das linhas usando o pseudo espectro como ferramenta.

  No cap´ıtulo 3 surgem as primeiras contribui¸c˜ oes do trabalho. Nele descrevemos as investiga- ¸c˜ oes de Driscol e Trefethen [9] e Jackiewicz e Renaut [19], as quais s˜ ao essenciais para a descri¸c˜ ao dos m´etodos pseudo espectrais propostos. Os efeitos das reflex˜ oes originadas pela condi¸c˜ oes de fronteira artificiais tamb´em s˜ ao inclu´ıdos. A primeira contribui¸c˜ ao apresenta f´ ormulas fechadas para o auto sistema do operador associado ao modelo descrito em [19], generalizando o resultado pr´evio de Driscol e Trefethen descrito em [9]. Al´em disso, a an´ alise do pseudo espectro do ope- rador ´e apresentada. A segunda contribui¸c˜ ao mostra te´ orica e numericamente que um resultado de Jackiewicz e Renaut [19] ´e incorreto. Encerramos o cap´ıtulo descrevendo os modelos semi discretos, descrito em [19], associados ao problema bidimensional.

  No cap´ıtulo 4 surgem as ´ ultimas contribui¸c˜ oes. Incluimos novas abordagens num´ericas para os modelos de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensional e bidimensional, que apresentam vantagens em rela¸c˜ ao as propostas em [19]. Para o problema bidimensional acrescentamos um m´etodo no qual incorporamos condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de segunda ordem, baseado no esquema num´erico descrito em [13]. Al´em disso, discutimos as caracter´ısticas de estabilidade dos m´etodos propostos e exemplos num´ericos que ilustram as vantagens dos m´etodos propostos em rela¸c˜ ao aos m´etodos de Jackiewicz e Renaut [19], usando problemas testes da literatura especializada [13, 19, 28, 29, 30, 31]. Todo o material deste cap´ıtulo ´e original.

  No final do trabalho apresentamos algumas considera¸c˜ oes finais e um apˆendice contendo alguns resultados auxiliares que envolvem: a defini¸c˜ ao e as principais propriedades do produto Kronecker; e resultados b´ asicos da teoria de semigrupos de operadores. Os leitores interessados em aprofundar o estudo desses assuntos, podem dirigir-se a [21, 25].

  Cap´ıtulo 1 M´ etodos Pseudo Espectrais

  Os m´etodos pseudo espectrais surgem do problema fundamental de aproximar fun¸c˜ oes atra- v´es de um polinˆ omio interpolador em um intervalo [a, b], envolvendo um conjunto de pontos relacionado a uma fam´ılia de polinˆ omios ortogonais. O cap´ıtulo est´ a organizado da seguinte forma. Na se¸c˜ ao 1.1, apresentamos uma dessas fam´ılias: os polinˆ omios de Chebyshev. Os po- linˆ omios de Chebyshev s˜ ao utilizados para mitigar erros de aproxima¸c˜ ao, comuns na interpola¸c˜ ao de Lagrange usando pontos igualmente espa¸cados, atrav´es da coloca¸c˜ ao otimizada dos pontos de interpola¸c˜ ao. Neste cap´ıtulo, vamos considerar o intervalo [−1, 1] para apresentar alguns re- sultados sobre teoria de aproxima¸c˜ ao, ressaltando que os resultados s˜ ao v´ alidos em um intervalo [a, b] atrav´es da transforma¸c˜ ao y(x) = (1/2)[(b − a)x + (b + a)].

  O objetivo ´e descrever, de forma geral, os m´etodos das linhas pseudo espectrais para resolver equa¸c˜ oes diferenciais parciais. Esses m´etodos s˜ ao baseados na aproxima¸c˜ ao pseudo espectral das vari´ aveis espaciais, via matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev, cuja dedu¸c˜ ao ´e apresentada na se¸c˜ ao 1.2. Para equa¸c˜ oes diferenciais parciais com evolu¸c˜ ao no tempo, a aproxima¸c˜ ao pseudo es- pectral das vari´ aveis espaciais, associa o problema original a um sistema de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias no tempo e ´e denominada m´etodo das linhas.

1.1 Polinˆ omios de Chebyshev

  A primeira id´eia para se aproximar fun¸c˜ oes em dom´ınios limitados ´e utilizar polinˆ omios interpoladores em pontos igualmente espa¸cados. Entretanto, apesar do fato da aproxima¸c˜ ao ser eficiente e simples em uma variedade de problemas, em geral aproxima¸c˜ oes de fun¸c˜ oes suaves por polinˆ omios em N + 1 pontos igualmente espa¸cados, n˜ ao convergem e resultam no conhecido

  

fenˆ omeno de Runge [23, 37]. Uma maneira de se evitar o fenˆ omeno de Runge ´e atrav´es da

  interpola¸c˜ ao polinomial em pontos n˜ ao igualmente espa¸cados, associados, em geral, a uma fam´ılia de polinˆ omios ortogonais. Para ilustra¸c˜ ao, a figura 1.1 apresenta o polinˆ omio que interpola a p

  2

  fun¸c˜ ao u(x) = 1/ (1 + 16x ), com N + 1 = 16, usando pontos igualmente espa¸cados e pontos

  1

  de Chebyshev definidos por µ ¶ jπ x = cos , j = 0, 1, . . . , N. (1.1)

  j 1 N Os pontos x j s˜ ao tamb´em conhecidos como pontos de Chebyshev-Gauss-Lobatto ou pontos de Chebyshev-

Lobatto, em referˆencia a certas f´ ormulas de quadratura. Estes pontos podem ser visualizados como as proje¸c˜ oes, no

intervalo [−1, 1] de pontos igualmente espa¸cados sobre o semic´ırculo unit´ ario. Isso implica na maior concentra¸c˜ ao de pontos pr´ oximos as fronteiras [37]. Pontos Igualmente espaçados Pontos de Chebyshev

  1.5

  1.5

  1

  1

  0.5

  0.5 max erro = 1.9867 max erro = 0.0062538

  −0.5 −0.5 −1 −0.5

  0.5 1 −1 −0.5

  0.5

  1 Figura 1.1: Polinˆ omio interpolador usando pontos igualmente espa¸cados (esquerda) e pontos de Chebyshev (direita). Fenˆ omeno de Runge (esquerda).

  O fenˆ omeno de Runge ´e caracterizado por grandes oscila¸c˜ oes nos extremos do intervalo (fi- gura 1.1, esquerda). Com pontos igualmente espa¸cados, quando N cresce, o erro de aproxima¸c˜ ao cresce exponencialmente. Enquanto que com pontos de Chebyshev, o erro de aproxima¸c˜ ao de- cresce exponencialmente.

  O objetivo desta se¸c˜ ao ´e apresentar alguns resultados da teoria de aproxima¸c˜ ao de fun¸c˜ oes envolvendo polinˆ omios de Chebyshev que constituem um dos suportes deste trabalho. Para tanto, vamos introduzir duas categorias de polinˆ omios de Chebyshev, os de primeira esp´ecie T (x) e os de segunda esp´ecie U (x). A vantagem de se utilizar esses polinˆ omios est´ a na

  N N rela¸c˜ ao entre as fun¸c˜ oes seno e cosseno, que surgem na descri¸c˜ ao de v´ arios fenˆ omenos naturais.

  Defini¸ c˜ ao 1.1 O polinˆ omio de Chebyshev de primeira esp´ecie T (x) ´e um polinˆ omio na vari´ avel

  N

  x de grau N , definido pela rela¸c˜ ao T (x) = cos(N θ), com x = cos(θ). (1.2)

  N

  Se x varia no intervalo [−1, 1], θ varia no intervalo [0, π] e essas varia¸c˜oes seguem em dire¸c˜oes opostas, j´ a que x = 1 corresponde a θ = 0. Da defini¸c˜ ao

  N

  = −1, corresponde a θ = π e x 1.1, usando rela¸c˜ oes trigonom´etricas para somar T (x) e T (x), obtemos a rela¸c˜ ao de

  N +1 N −1

  recorrˆencia, T (x) = 2xT (x), com T (x) = 1 e T

  1 (x) = x. (1.3) N +1 N N −1

  (x) − T Da equa¸c˜ ao (1.3) segue que os 3 seguintes polinˆ omios de Chebyshev de primeira esp´ecie s˜ ao:

  2 T (x) = 2x

  2

  − 1,

  3 T (x) = 4x

  3

  − 3x,

  

4

  2 T (x) = 8x + 1,

  4

  − 8x sendo o primeiro coeficiente de um polinˆ omio de Chebyshev de primeira esp´ecie T N (x) igual a

  N −1

  2 , T , T e T .

  1

  2

  3

  4

  para todo N ≥ 1. A figura 1.2 apresenta os polinˆomios de Chebyshev T

  Polinomios de Chebyshev

  1 T1(x) T2(x)

  0.8 T3(x) T4(x)

  0.6

  0.4

  0.2 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

  −1 −0.5

  0.5

  1 Figura 1.2: Quatro primeiros polinˆ omios de Chebyshev, T 1 (x), T 2 (x), T 3 (x) e T 4 (x).

  Defini¸ c˜ ao 1.2 O polinˆ omio de Chebyshev de segunda esp´ecie U (x) ´e um polinˆ omio de grau N

  N em x, definido por sen(N + 1)θ

  U (x) = , com x = cos(θ). (1.4)

  N sen(θ)

  Utilizando rela¸c˜ oes trigonom´etricas, tamb´em obtemos uma rela¸c˜ ao de recorrˆencia para os po- linˆ omios de Chebyshev de segunda esp´ecie ao somarmos U (x) e U (x):

  N +1 N −1

  U (x) = 2xU (x), com U (x) = 1 e U (x) = 2x. (1.5)

  N +1 N N −1

  1

  − U A partir da equa¸c˜ ao (1.5) podem ser obtidos os pr´ oximos polinˆ omios de Chebyshev de segunda esp´ecie :

  2

  3 U 2 (x) = 4x 3 (x) = 8x

  − 1, U − 4x, etc,

  

N N

  sendo o coeficiente do termo x do polinˆ omio U (x) igual a 2

  N , para N ≥ 0.

  Corol´ ario 1.1 Dados os polinˆ omios de Chebyshev T (x) e U (x), as seguintes rela¸c˜ oes s˜ ao

  N N satisfeitas: 1. U N N −2 (x) = 2T N (x).

  (x) − U

  1

  2

  )U (x) = [T (x)]

  N N +2 N 2. (1 − x (x) − T

2 Demonstra¸ c˜ ao: O primeiro resultado segue da identidade trigonom´etrica: sen(N + 1)θ − sen(N − 1)θ = 2sen(θ) cos(θ).

  O segundo resultado segue de maneira imediata:

  2

  sen (θ)sen(N + 1)θ

  2 )U (x) = = sen(θ)sen(N + 1)θ.

  N

  (1 − x sen(θ) Por outro lado, 2sen(θ)sen(N + 1)θ = cos(N + 2)θ − cos(N)θ. O que conclui a demonstra¸c˜ ao.

  ¤ Proposi¸ c˜ ao 1.1 Os polinˆ omios de Chebyshev T

  N

  (x) de grau N ≥ 1 tˆem N ra´ızes simples no

  intervalo [−1, 1] dadas por

  µ ¶ 2k − 1 x = cos π, com k = 1, 2, . . . , N. (1.6)

  k

  2N

  Al´em disso, T (x) assume seu extremo absoluto em N

  µ ¶ kπ

  k

  x ¯ = cos , com T ( ¯ x para cada k = 0, 1, . . . , N. (1.7)

  k N k

  ) = (−1) N

  Demonstra¸ c˜ ao: Basta determinar as raizes da fun¸c˜ ao cos(N θ). Para a segunda parte deve-se derivar cos(N θ) em rela¸c˜ ao a x e determinar suas raizes.

  ¤ Em vista de que os polinˆ omios de Chebyshev T (x) tˆem N + 1 pontos extremos, conclui-se

  N

  que T (x) atinge sua magnitude m´ axima 1 com sinal alternante em N + 1 pontos dados em

  N (1.7).

  Proposi¸ c˜ ao 1.2 Os polinˆ omios de Chebyshev U

  N

  (x) de grau N ≥ 1, tˆem N ra´ızes simples no

  intervalo [−1, 1] dadas por

  µ ¶ kπ x = cos , para cada k = 1, 2, . . . , N. (1.8)

  k

  N + 1 Demonstra¸ c˜ ao: Determinar as raizes de U (x) ´e equivalente a determinar as raizes da fun¸c˜ ao

  N sen(N + 1)θ. Que s˜ ao θ = (kπ)/(N + 1) com k = 1, 2, . . . , N . k

  ¤ ´

  E natural extender o conjunto de pontos dados em (1.8), incluindo os pontos extremos do

  2

  intervalo, x = 1 e x )U (x).

  N +1 N

  = −1. Obtendo os zeros do polinˆomio (1 − x

  2 Observa¸ c˜ ao 1.1 Os pontos extremos de T (x) s˜ ao os zeros do polinˆ )U (x). N N −1 omio (1 − x A principal aplica¸c˜ ao dos polinˆ omios de Chebyshev ´e na teoria de aproxima¸c˜ ao de fun¸c˜ oes.

  No que segue vamos apresentar alguns resultados e a propriedade m´ınima dos polinˆ omios de Chebyshev, omitindo algumas demostra¸c˜ oes que podem ser encontradas em [11, 23]. O Teorema de Weierstrass 1.1, garante a existˆencia de uma aproxima¸c˜ ao polinomial.

  Teorema 1.1 (Teorema de Weierstrass) Seja f ∈ C[a, b] Dado ǫ > 0 existe um polinˆomio p de grau N com N suficientemente grande tal que

  N ∞ = max N N kf − p k |f(x) − p (x)| < ǫ. a≤x≤b o espa¸co vetorial dos polinˆ omios de grau menor ou

  N

  Daqui em diante vamos representar por P

  ∗

  2

  o espa¸co vetorial dos polinˆ omios mˆ onicos de grau N . A seguinte proposi¸c˜ ao igual N , e por P

  N

  expressa uma propriedade de minimiza¸c˜ ao que distingue os polinˆ omios de Chebyshev mˆ onicos dos demais polinˆ omios mˆ onicos de grau N .

  1

  1

  ∗ ∗

  2 T (x) := T (x), U (x) := )U (x). (1.9) N N −1 N N (1 − x N −1 N −1

  2

  2

  

  Proposi¸ c˜ ao 1.3 Os polinˆ omios de Chebyshev T (x) quando N ≥ 1 tˆem a seguinte propriedade:

  

N

  1

  ∗ ∗

  = max . (1.10)

  N N

  |T N (x)| ≤ max |p (x)| ∀ p ∈ P N

  N −1 − 1≤x≤1 − 1≤x≤1

  2

  

  Demonstra¸ c˜ ao: Vamos supor que p e que p satisfa¸ca,

  N N

  (x) ∈ P N

  1

  ∗

  max = max (1.11)

  

N −1

x∈[−1,1] x∈[−1,1]

  N |p (x)| ≤ |T N (x)|.

  2

  ∗ ∗ ∗

  Seja q(x) = T (x). Como T (x) e p , ent˜ ao q(x) ´e um polinˆ omio de grau

  N N

  (x) − p (x) ∈ P

  N N N ∗ ∗

  (x), vale q(¯ x k ) = T (¯ x k N (¯ x k ). Usando (N − 1). Al´em disso, nos pontos extremos de T N N ) − p (1.11) segue que

  1

  1

  1 (¯ x (¯ x , para cada k = 0, 1, . . . , N.

  N k N k

  |p )| ≤ =⇒ − ≤ p ) ≤

  N −1 N −1 N −1

  2

  2

  2 Portanto, se k ´e par temos

  1

  1

  1 q(¯ x ) = (¯ x = 0.

  k N k

  − p ) ≥ −

  N −1 N −1 N −1

  2

  2

  2 Se k ´e ´ımpar, temos

  1

  1

  1 q(¯ x ) =

  • (¯ x = 0.

  k N k

  − p ) ≤ −

  N −1 N −1 N −1

  2

  2

  2

  k k+1

  Assim, para cada k = 0, . . . , N − 1, se k ´e ´ımpar ent˜ao q(¯x ) ≤ 0 e q(¯x ) ≥ 0. Caso contr´ario, se k ´e par ent˜ ao q(¯ x

  k k+1

  ) ≥ 0 e q(¯x ) ≤ 0. Como q(x) ´e cont´ınuo, pelo teorema do valor intermedi´ ario, q(x) tem pelo menos uma raiz entre ¯ x e ¯ x

  k k+1 para cada k = 0, 1, . . . , N − 1.

  Assim q(x) tem N ra´ızes no intervalo [−1, 1], que ´e uma contradi¸c˜ao pois o grau de q(x) ´e

  N (N − 1), e portanto q(x) ter´a no m´aximo N − 1 ra´ızes. Ent˜ao p (x) satisfaz (1.10) e q(x) ≡ 0. ∗ O que implica que, p (x). N

  (x) ≡ T

  N

  ¤ Observa¸ c˜ ao 1.2 Um resultado semelhante ´e obtido quando utilizamos os polinˆ omios mˆ onicos

  ∗ ∗ U (x) no lugar dos polinˆ omios T (x). N N

  O conjunto dos pontos de coloca¸c˜ ao dos m´etodos pseudo espectrais ser´ a associado as ra´ızes de um conjunto de polinˆ omios ortogonais, conforme apresenta o teorema 1.2. O produto interno utilizado ´e dado por:

  Z b = w(x)p(x)q(x) dx (1.12) hp, qi w

  a e w(x) uma fun¸c˜ ao peso [4, 23]. N

  com p, q ∈ P A seguinte proposi¸c˜ ao mostra que os polinˆ omios de Chebyshev T (x) s˜ ao ortogonais com 1 N −

  2 2

  rela¸c˜ ao a fun¸c˜ ) . J´ a a proposi¸c˜ ao 1.5, mostra que os polinˆ omios U N (x) ao peso w(x) = (1 − x 1

  2 2 s˜ ao ortogonais com rela¸c˜ ao a fun¸c˜ ) . 2 N ao peso w(x) = (1 − x N −1 Um polinˆ omio p N (x) = a N x + a x + · · · + a N −1 1 x + a ´e mˆ onico quando a N = 1. Proposi¸ c˜ ao 1.4 Os polinˆ omios de Chebyshev T (x)

  N 1 ao ortogonais no intervalo [−1, 1] com

  2 2 rela¸c˜ ao a fun¸c˜ ) . ao peso w(x) = (1 − x

  Demonstra¸ c˜ ao: Usando o fato de que x = cos(θ), T (x) = cos(N θ) e

  N

  √

  2

  dθ, temos que dx = −sen(θ)dθ = − 1 − x Z

  1 Z π 1

  2 2 , T = )) T (x)T (x)dx = cos(N θ) cos(M θ)dθ.

  M N M N

  hT i w (1 − x

  −

  1 Ent˜

  ao para N 6= M, a identidade

  1 cos(N θ) cos(M θ) = [cos(N + M )θ + cos(N − M)θ].

  2 implica que, · ¸ π

  Z π

  1 1 sen(N + M )θ sen(N − M)θ , T = = 0.

  • N M

  hT w [cos(N + M )θ + cos(N − M)θ]dθ = i

  2

  2 N + M N − M

  Agora se N = M 6= 0, Z · ¸ π

  π

  1 1 sen(2N )θ π

  2 , T [cos(2N )θ + 1]dθ = + θ = . N N N

  kT k w = hT i =

  2

  2

  2N

  2

2 Para N = 0, kT k w = h1, 1i = π. O que mostra o resultado.

  ¤ Proposi¸ c˜ ao 1.5 Os polinˆ omios de Chebyshev U (x)

  N 1 ao ortogonais no intervalo [−1, 1] com

  2 2 rela¸c˜ ao a fun¸c˜ ) . ao peso w(x) = (1 − x

  Demonstra¸ c˜ ao: De maneira an´ aloga a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 1.4 quando N 6= M temos que,

  Z

1 Z

  1

  

1

1 1 1

  2 2

  2 2

  2 2

  2 2 , U = ) U (x)U (x)dx = ) ) U ) U (x)dx.

  N M N M N M

  hU i w (1 − x (1 − x (1 − x (x)(1 − x

  − −

  1 1

  1

  2 2

  ) U (x) = sen(θ)U (x) = sen(N + 1)θ, segue que

  N N

  Como (1 − x Z π Z π

  1 , U = sen(N + 1)θsen(M + 1)θdθ =

  N M

  hU i w [cos(M + N + 2)θ − cos(N − M)θ]dθ = 0.

  2 O que mostra o resultado.

  ¤ Os pr´ oximos resultados, referentes a coloca¸c˜ ao otimizada dos pontos de interpola¸c˜ ao, s˜ ao o ponto de partida para a defini¸c˜ ao de matrizes de diferencia¸c˜ ao. O polinˆ omio p , que

  N N

  (x) ∈ P interpola a fun¸c˜ ao cont´ınua f (x) nos N + 1 pontos distintos x , . . . , x pode ser representado

  N

  pela f´ ormula de Lagrange

  N N

  µ ¶

  X Y

  k

  x − x p (x) = l (x)f (x ) com l (x) = . (1.13)

  N i i i

  x

  i k

  − x

  i=0 k=0, k6=i i

  Vamos considerar {Φ (x), i = 0, 1, . . .} um sistema de polinˆomios ortogonais com rela¸c˜ao a fun¸c˜ ao peso w(x) no intervalo [a, b]. O pr´ oximo teorema garante que o erro de interpola¸c˜ ao, e

  ´e a norma induzida pelo produto

  N N w w

  (x) = kf(x) − p (x)k −→ 0 quando N −→ ∞, onde k · k interno definido em (1.12). Teorema 1.2 (Erd¨ os & Dur´ (x) interpola

  i N

  an) Sejam f ∈ C[a, b] e {Φ (x); i = 0, 1, . . .}. Se p f (x) nas raizes de Φ (x) ent˜ ao

  N +1 N w

  kp − fk −→ 0 quando N −→ ∞. Detalhes da demonstra¸c˜ ao podem ser encontrados em Mason [23].

  A conclus˜ ao mais importante do teorema acima ´e que polinˆ omios interpoladores com zeros de polinˆ omios ortogonais como pontos de interpola¸c˜ ao evitam o fenˆ omeno de Runge, independente do n´ umero de pontos de interpola¸c˜ ao utilizados.

  Resultados mais informativos podem ser obtidos assumindo mais regularidade da fun¸c˜ ao f .

  (N +1)

  , x , . . . , x pontos distintos no inter-

  1 N

  De fato, vamos assumir que f ∈ C [−1, 1] e sejam x valo [−1, 1]. Um resultado cl´assico sobre o erro de interpola¸c˜ao garante que para cada x ∈ [−1, 1] existe ξ(x) ∈ (−1, 1) tal que,

  N

  Y

  1

  

(N +1)

  e (x) = f (ξ(x)) ),

  

N N k

  (x) = f (x) − p (x − x (N + 1)!

  k=0

  onde p (x) ´e dado por (1.13). Gostar´ıamos de determinar os pontos x , x , . . . , x , de modo que

  N

  1 N

  o erro e (x) seja t˜ ao pequeno quanto poss´ıvel. Mas, como n˜ ao temos controle sobre ξ(x), vamos

  N

  1 N

  nos concentrar em uma escolha dos pontos de modo que o termo |(x − x )(x − x ) · · · (x − x )| ) ´e um polinˆ omio

  N

  seja minimizado no intervalo [−1, 1]. Para tanto, j´a que (x − x ) · · · (x − x mˆ onico de grau N + 1, da proposi¸c˜ ao 1.3 segue que o m´ınimo ´e atingido quando,

  ∗ ) = T (x). N

  (x − x ) . . . (x − x N +1 Assim, o valor m´

  ´e escolhido como

1 N k

  aximo de |(x − x )(x − x ) . . . (x − x )| ´e menor quando x

  ∗

  sendo a k-´esima raiz de T (x), para cada k = 0, 1, . . . , N , isto ´e, quando

  N +1

  cos(2k + 1)

  ∗ x := x = π. k k

  2(N + 1) Desta forma, temos que

  1

  1

  ∗ ∗ ∗

  max = max

  N

  |T N +1 (x)| = =⇒ |(x−x

  1 ) . . . (x−x N +1 )| ≤ max |(x−x ) . . . (x−x )|, N N x∈[−1,1]

  2 2 x∈[−1,1] x∈[−1,1] para qualquer escolha de x , x

  1 , . . . , x N

  no intervalo [−1, 1]. Como uma conseq¨uˆencia desta an´ alise obtemos o seguinte resultado. Corol´ ario 1.2 Se p ´e o polinˆ omio que interpola f (x) nas ra´ızes de T (x), e

  N N N +1

  (x) ∈ P

  (N +1)

  f ∈ C [−1, 1], ent˜ao

  1

  (N +1)

  max max

  N x∈[−1,1] x∈[−1,1]

  N |f(x) − p (x)| ≤ |f (ξ(x))|.

  2 (N + 1)!

  ∗

  Observa¸ c˜ ao 1.3 Considerando o polinˆ omio interpolador p (x) nas raizes do polinˆ omio U (x)

  N N +1 dados por x = (cos(kπ)/N ), obtemos um resultado semelhante ao corol´ ario 1.2. k

1.2 Matriz de Diferencia¸ c˜ ao de Chebyshev

  Nos m´etodos espectrais, aproximamos u(x) pela s´erie de Chebyshev truncada,

  N

  X

  i

  hu, Φ i w u c Φ (x) com Φ (x) = T (x) ou U (x) e c =

  N i i i i i i

  (x) ≈ , Φ

  i i

  hΦ i w

  i=0 em que c

  i

  )]

  ) = e

  

T

j

  D

  p

  ¯ u, p ≥ 1, (1.15) onde e

  j

  ´e o (j + 1)−´esimo vetor canˆonico de ordem N + 1 e ¯u = [u(x ), . . . , u(x

  N

  T .

  (x

  Agora suponha que os pontos de coloca¸c˜ ao x

  j

  sejam os zeros de algum polinˆ omio Φ

  N +1

  (x) de grau N + 1. Para cada k = 0, 1, . . . , N defina p

  k

  (x) = Φ

  N +1

  (x)/(x − x

  j

  (p)

  ). Ent˜ ao p

  ′

  )     

  = D      p

  ′

  (x ) p

  ′

  (x

  1

  ) .. . p

  (x

  Portanto a derivada de ordem p, p ≥ 0 de u(x) nos pontos de coloca¸c˜ao ´e dada por u

  N

  )     

  = D

  2

       p(x ) p(x

  1

  ) .. . p(x

  N

  )     

  k

  k

  (x

  (x

  ) =

  1

  2 Φ

  ′′ N +1

  (x

  k

  ), p

  ′ k

  j

  (x

  ) = Φ

  ′ N +1

  (x

  

j

  ) (x

  j

  − x

  

k

  ) , para j 6= k.

  k

  ′ k

  (x), polinˆ omio que vale 1 no ponto x

  k

  k

  e 0 nos demais pontos x

  j

  , com k 6= j tem grau N, pois x

  k

  ´e uma raiz do polinˆ omio Φ

  N +1

  (x). Al´em disso temos que                p

  (x

  ) = 0, para j 6= k, p

  k

  ) = Φ

  ′ N +1

  (x

  

k

  ), p

  k

  (x

  j

  N

  ′′

  s˜ ao N + 1 coeficientes a serem determinados. A representa¸c˜ ao espectral ´e feita atrav´es dos coeficientes c

  ′

  ′

  (x

  j

  ) ≈ p

  ′

  (x

  j ).

  Como esta opera¸c˜ ao ´e linear, podemos represent´ a-la na forma matriz - vetor conforme segue,      u

  (x ) u

  j

  ′

  (x

  1

  ) .. . u

  ′

  (x

  N

  )     

  ≈      p

  ), isto ´e, u

  (x

  (x ) p

  j

  i

  da s´erie de Chebyshev. Outra alternativa ´e a representa¸c˜ ao pseudo espectral, que utiliza o polinˆ omio interpolador de grau N para aproximar a fun¸c˜ ao f , em seus valores nos pontos de coloca¸c˜ ao. Os N + 1 pontos de coloca¸c˜ ao, s˜ ao suficientes para determinar um polinˆ omio unicamente. Nos m´etodos pseudo espectrais construimos f´ ormulas de diferencia¸c˜ ao, expressando a derivada de qualquer ordem em um dado ponto de coloca¸c˜ ao em termos dos valores da fun¸c˜ ao em todos os pontos de coloca¸c˜ ao. Mais precisamente, dado um conjunto de valores u(x

  j

  ), j = 0, 1, . . . , N de uma fun¸c˜ ao u, a derivada discreta em rela¸c˜ ao a x no ponto x

  j

  , u

  ′

  (x

  ), via m´etodos pseudo espectrais ´e determinada atrav´es do esquema a seguir: Diferencia¸ c˜ ao de Chebyshev

  ′

  1. Calcule o polinˆ omio interpolador p(x) de grau menor ou igual a N , com p(x

  j

  ) = u(x

  j ) e 0 ≤ j ≤ N.

  2. Tome p

  ′

  (x

  j

  ) como aproxima¸c˜ ao para u

  ′

  ′

  ) .. . p

  N

  d

  N 1

  · · · d

  N N

      

       p(x ) p(x

  1

  ) .. . p(x

  )     

  .. . d

  (1.14) A matriz D = [d

  ij

  ], com 0 ≤ i, j ≤ N, ´e chamada matriz de diferencia¸c˜ao. A ordem da matriz D ´e N + 1. Repetindo o processo descrito acima, obtemos uma rela¸c˜ ao entre a segunda derivada e os valores de u nos pontos de coloca¸c˜ ao.

       p

  ′′

  (x ) p

  ′′

  (x

  1

  

N 0

  . ..

  (x

  d

  1

  ) .. . p

  ′

  (x

  N

  )     

  =      d

  

00

  01

  .. .

  · · · d

  0N

  d

  

10

  d

  11

  · · · d

  1N ..

  .

  (1.16) A primeira e a terceira equa¸c˜ oes em (1.16) s˜ . Dessa

  k

  ao obtidas aplicando limite quando x −→ x forma, fazendo p(x) = p

  k

  (x) em (1.14), obtemos a k−´esima coluna da matriz de diferencia¸c˜ao D, que cont´em a derivada do polinˆ omio interpolador p (x) de grau N .

  k ′′

   Φ (x )

  k N +1

    d = ,

  kk ′

   2Φ (x )

  k N +1 ′

  (1.17) Φ (x )

  

j

N +1

    d =  jk ′ , para j 6= k.

  (x j )Φ (x )

  k k

  − x N +1 O seguinte resultado afirma que a matriz D ´e singular, o que n˜ ao ´e visto diretamente atrav´es de seus elementos.

  Lema 1.1 A matriz D ´e singular.

  ′

  Demonstra¸ c˜ ao: Se p(x ) = p(x ) = 1 ent˜ ao p(x) = 1 e p (x) = 0 para todo

1 N

  ) = · · · = p(x

  T

  x. Portanto a matriz D aplica o vetor [1, 1, . . . , 1] no vetor nulo. O que demonstra o resultado desejado.

  ¤ ´

  E de interesse considerar os N + 1 pontos x = cos((kπ)/N ), k = 0, 1, . . . , N, que s˜ ao as

  k

  2

  raizes do polinˆ omio Φ N +1 )U N −1 (x) = (1 − x (x) no intervalo [−1, 1]. Da defini¸c˜ao 1.2, equa¸c˜ao

  (1.4) temos que Φ (x) = sen(θ)sen(N θ). Derivando em rela¸c˜ ao a x, com x = cos(θ) temos

  N +1

  que:  cos(θ)sen(N θ) + N sen(θ) cos(N θ)

  ′

   

  Φ ,

   N +1 (x) = − sen(θ)

  2

  2

  2

  cos )sen(N θ)sen (θ)

  ′′ (θ)sen(N θ) − Nsen(θ) cos(θ) cos(Nθ) + (1 + N

   

  Φ .  (x) = −

  N +1

  3

  sen (θ) (1.18)

  k

  Como θ = (kπ)/N ent˜ ao sen(N θ ) = 0 e cos(N θ , as equa¸c˜ oes (1.18) resultam em,

  k k k

  ) = (−1) 

  ′ k

   Φ (x N, para 0 < k < N,

  k

   N +1 ) = −(−1) 

  ′

  (1.19) Φ (x

  N +1 ) = −2N,

    ′

  

N

   Φ (x N.

  N N +1 ) = −2(−1)

  As equa¸c˜ oes em (1.19) s˜ ao obtidas ao aplicarmos limite quando θ −→ (kπ)/N. De maneira an´ aloga, obtemos

  

  

k

  x

  ′′ k

   (−1) 

  Φ (x ) = N , para 0 < k < N,  k

  N +1

    k 1 − x      

  2N

  ′′

  2

  (1.20) Φ (x (1 + 2N ),

  N +1 ) = −

  

  3        

  2N

  ′′ N

  2

    Φ (x ) = (1 + 2N ).

  N

  (−1)

  N +1

  3 Substituindo as equa¸c˜ oes (1.19) e (1.20) em (1.17) obtemos os seguintes elementos da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev d

  00

  = −1 e assim, D =

  A matriz D ´e densa, n˜ ao ´e sim´etrica, nem anti-sim´etrica. A matriz D satisfaz a propriedade [37]: d

  ij

  = −d

  (N −i)(N −j)

  . Como exemplo, se N = 1 os pontos s˜ ao x = 1 e x

  1

  ·

  N −1 − 1 + 2N 2

  1

  2

  −

  1

  2

  1

  2

  6                           (1.21)

  1 + x

2

· · · 2 1 + x

  1

  N −3 x

  .. .

  .. .

  − (−1) N −1

  2(1 − x N −1

  ) (−1) N −2 x

  N −1 − x 1 (−1)

  N −1 − x

2

· · · − x

  2(−1)

N −2

  N −1 2(1 − x 2 N −1 )

  −

  1 2(1 + x N −1

  ) − (−1)

  N

  2 − 2(−1)

  N −1 1 + x 1

  −

  2

  .. .

  2

  2

  −

  1

  2

  2 −

  3

    , D

  −

  2

  =   1 −2 1

  1 −2 1 1 −2 1   , e assim por diante. Note que as matrizes D e D

  

2

  s˜ ao singulares conforme esperado. Al´em disso, as matrizes s˜ ao n˜ ao normais

  3

  a medida que N aumenta, o que dificulta a an´ alise de estabilidade dos m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev, assunto que ser´ a discutido no cap´ıtulo 2. 3 Uma matriz (ou operador) A ´e normal quando possui um sistema completo de autovetores (autofun¸c˜ oes)

  1

  2

  ¸ , D

  = −1 e as matrizes D e D

  2

  = · 0 0

  0 0 ¸

  , Para N = 2, os pontos s˜ ao x = 1, x

  1

  = 0 e x

  N

  2

  1

  s˜ ao: D =

   

  3

  2

  −2

  1

  2

  . ..

  .. .

  = 1 + 2N

  kN

  N k

  = − 2(1)

  N −k

  1 + x

  k

  , d

  =

  k

  1

  2 (−1)

  k−N

  1 + x

  k

  , d

  0N

  , d

  1 − x

  N

  = 2(−1)

  2

  6 , d

  N N

  = − 1 + 2N

  2

  6 , d

  0k

  k

  k

  1 − x

  k

  , d

  k0

  = −

  1

  2 (−1)

  = (−1)

  2 , d

  N −2 2(1 + x 2 ) .. .

  2

  1 + 2N 2

  6 − 2 1 − x 1

  2 1 − x 2 · · · 2(−1)

  N −1 1 − x

  N −1 (−1)

  N

  1 2(1 − x 1 ) − x 1 2(1 − x 2 1 )

  , para 0 < j 6= k < N. E assim a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev D de ordem N + 1 ´e dada por,

  1 x 1 − x

2

· · · (−1)

  N −2 x 1 − x

  N −1 (−1)

  N −1 2(1 + x 1 ) −

  1 2(1 − x 2 ) − 1 x 2 − x 1 − x 2 2(1 − x

2

2 )

· · ·

  (−1) N −3 x 2 − x

  N −1 (−1)

  D =                          

  k

  N 0

  k

  = − (−1)

  N

  2 , d

  kk

  =

  1

  2 x

  1 − x

  − x

  2 k

  , para 0 < k < N, d

  jk

  = (−1)

  j−k

  x

  j

  ortogonal. Equivalentemente, A ´e normal se e somente se A A = AA . Matrizes sim´etricas, anti-sim´etricas e ortogonais pertencem a essa categoria. O s´ımbolo representa a conjuga¸c˜ ao complexa para vetores e a transposi¸c˜ ao conjugada para matrizes, que ´e denotada tamb´em por

H

.

  Para efeitos de computa¸c˜ ao, a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev pode ser calculada atrav´es da seguinte fun¸c˜ ao MATLAB, a qual ´e uma adapta¸c˜ ao da fun¸c˜ ao cheb.m, definida em [37, p´ ag. 54] no intervalo [-1, 1], e com pontos de coloca¸c˜ ao ordenados da direita para a esquerda. Uma implementa¸c˜ ao eficiente da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev tamb´em pode ser feita usando um algoritmo publicado em Fornberg [12].

  % A fun¸ cao cheby calcula a matriz de diferencia¸ cao % D e os pontos de coloca¸ cao y_j, em um intervalo [a,b]. % Os pontos y_j s~ ao ordenados da esquerda para a direita. function [D,y] = cheby(N,b,a) if N==0, D=0; x=1; return, end x = cos(pi*(0:N)/N)’; y=0.5*((b-a)*x+(b+a)); c = [2; ones(N-1,1); 2].*(-1).^(0:N)’; X = repmat(y,1,N+1); dX = X-X’;

  D1 = (c*(1./c)’)./(dX+(eye(N+1))); % elementos fora da diagonal D1 = D1 - diag(sum(D1’)); % elementos da diagonal y = flipud(y); % ordenando pontos crescentemente D = flipud(fliplr(D1)); % reordenando linhas e colunas

  No Teorema de Erd¨os & Dur´an 1.2 vimos que quando interpolamos fun¸c˜oes cont´ınuas usando polinˆ omios com os zeros de polinˆ omios ortogonais como pontos de interpola¸c˜ ao, o erro de inter- pola¸c˜ ao pode ser feito arbitrariamente pequeno tomando N suficientemente grande. Portanto, a pergunta natural que aparece ´e se existe um resultado an´ alogo para o erro na diferencia¸c˜ ao espectral de Chebyshev. A resposta ´e afirmativa e depende da regularidade da fun¸c˜ ao a ser diferenciada. Na pr´ atica, quanto mais regular for a fun¸c˜ ao melhor a qualidade da aproxima-

  

¸c˜ ao da derivada via diferencia¸c˜ ao espectral. A seguinte proposi¸c˜ ao, cuja demosntra¸c˜ ao pode ser

encontrada em Tadmor [33], descreve o assunto mais precisamente.

  Proposi¸ c˜ ao 1.6 Seja f anal´ıtica no intervalo [-1,1] e sobre a elipse com focos em (-1,0) e (1,0).

  Seja w j j a derivada pseudo espectral de ordem p, p ≥ 1, de f no ponto x , 0 ≤ j ≤ N. Ent˜ao

  − (p) N

  ) ), (1.22)

  j j

  |w − f(x | = O(K onde K > 1 ´e uma constante que depende de f .

  η

  Observa¸ c˜ ao 1.4 Como a constante K na proposi¸c˜ ao 1.6 ´e da forma e com η sendo uma

constante apropriada, diz-se que a diferencia¸c˜ ao espectral de Chebyshev tem precis˜ ao exponencial.

  A precis˜ ao da diferencia¸c˜ ao espectral de Chebyshev ´e ilustrada na figura 1.3, a qual apresenta a aproxima¸c˜ ao da primeira derivada da fun¸c˜ ao suave u(x) = exp(x)sen(5x), com N = 20 ` a esquerda e o erro cometido na aproxima¸c˜ ao ` a direita.

1.3 M´ etodo pseudo espectral de Chebyshev

  O esquema de aproxima¸c˜ ao pseudo espectral para resolver EDO’s ou EDP’s (equa¸c˜ oes di- ferenciais parciais) consiste basicamente em aproximar as derivadas em rela¸c˜ ao as vari´ aveis espaciais atrav´es da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev, transformando o problema original em um sistema alg´ebrico de equa¸c˜ oes lineares ou em um sistema de EDO’s dependente do tempo.

  2 4 6 6 8 x 10 −10 erro em u’(x) −2 −4

  4 2 −10 −8 −6 −2 −12 −1 −0.5 0.5 1 −4 −1 −0.5 0.5 1

  Figura 1.3: Aproxima¸c˜ ao da derivada da fun¸c˜ ao u(x) e erro na aproxima¸c˜ ao de u (x) com N = 20.

  Por considerarmos importante para o entendimento dos problemas apresentados nos pr´ oximos cap´ıtulos, vamos ilustrar a id´eia do m´etodo abordando a solu¸c˜ ao num´erica de dois problemas de valor na fronteira envolvendo condi¸c˜ oes do tipo Dirichlet nulas.

  Exemplo 1: Um problema de valor na fronteira unidimensional

  Vamos considerar o problema de valor de fronteira em uma dimens˜ ao, ( u

  xx

  = exp(4x), −1 < x < 1 (1.23) u(−1) = u(1) = 0

  A solu¸c˜ ao exata do problema ´e dada por:

  1 u(x) = (1.24) exp(4x) − xsenh(4) − cosh(4).

  16 Como o problema envolve apenas uma vari´ avel espacial, o m´etodo pseudo espectral procede aproximando a derivada de segunda ordem nos ponto de coloca¸c˜ ao de Chebyshev, µ ¶ jπ

  1 = x > x

1 N j = cos , j = 0, 1, . . . , N

  > · · · > x = −1, com x N transformando o problema cont´ınuo em um problema discreto descrito atrav´es de um sistema alg´ebrico de equa¸c˜ oes lineares, o qual pode ser deduzido como segue.

  Avaliando (1.23) nos pontos de coloca¸c˜ ao temos u (x ) = exp(4x )

  xx

  u (x ) = exp(4x )

  xx

  1

  1 ..

  . u (x ) = exp(4x )

  

xx N −1 N −1

  u (x ) = exp(4x )

  

xx N N

  . .

  T T

  Se ¯ u = [u(x ), . . . , u(x )] e ¯ u = [u (x ), . . . , u (x )] , usando a matriz diferencia¸c˜ ao de

  N xx xx xx N

  Chebyshev obtemos um conjunto de rela¸c˜ oes   exp(4x )

  

2 .

    .. D ¯ = = ¯ e (1.25)

    exp(4x )

  xx u ≈ ¯u .

  N que ´e quase um sistema alg´ebrico com N + 1 inc´ ognitas.

  Se assumimos que as aproxima¸c˜ oes para u(x j ) satisfazem (1.25) como igualdade, isto ´e, se desprezamos o erro de aproxima¸c˜ ao em (1.25), obtemos um sistema de equa¸c˜ oes lineares do tipo

  2 D u = ¯ ¯

  e, (1.26) com as aproxima¸c˜ oes para u(x ) como inc´ ognitas, onde por simplicidade, tamb´em usamos ¯ u para

  j

  denotar o vetor de solu¸c˜ oes aproximadas. Para finalizar o processo de discretiza¸c˜ ao do problema cont´ınuo, as condi¸c˜ oes de fronteira u(x ) = u(x ) = 0 devem ser incorporadas em (1.26). Para

  

N

T

  tanto, vamos representar a matrix de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev atrav´es de suas linhas l e

  j

  colunas d , respectivamente, como

  j

   

  T

  l   .. D = N ]. (1.27)

   .  = [d · · · d

  T

  l

  N

  Usando (1.27) e as condi¸c˜ oes de fronteira segue que    

  T

  l u(x )

  1

  2

      .. .. D u = ¯ ]

1 N −1

  · · · d  .  [d  .  .

  T

  l u(x )

  N −1 N

  Substituindo este resultado em (1.26), ap´ os a elimina¸c˜ ao da primeira e da ´ ultima equa¸c˜ ao para se obter um sistema quadrado, obtem-se o sistema linear D

  1 D 2 u = ˘ ˘ e (1.28)

  com

  T

  D

  1 = [l 1 , . . . , l ] , D 2 = [d 1 , . . . , d ], N −1 N −1

  (1.29)

  T T ˘ e = [exp(4x ), . . . , exp(4x )] , e u = [u(x ˘ ), . . . , u(x )] .

1 N −1

  1 N −1 O sistema (1.28) ´e o problema discreto correspondente ao problema cont´ınuo (1.23).

  Resumindo, a solu¸c˜ ao aproximada do problema (1.23) via m´etodo pseudospectral de Chebyshev requer a solu¸c˜ ao do sistema alg´ebrico de equa¸c˜ oes lineares (1.28). Para resolver (1.28) ´e neces- s´ ario mostrar que a matriz D D ´e invers´ıvel. A seguinte proposi¸c˜ ao mostra esse fato.

  1

  2 Proposi¸ c˜ ao 1.7 A matriz D

  1 D 2 ´e n˜ ao singular.

  Demonstra¸ c˜ ao: Basta observar que a matriz D D

  1

  2

  tˆem N −1 autovalores n˜ao nulos que apro-

  ′′

  ximam os autovalores do problema de autovalores cont´ınuo u = λu, com u(−1) = u(1) = 0, veja por exemplo [37].

  ¤ A figura 1.4 apresenta a solu¸c˜ ao aproximada do problema (1.23) (esquerda) nos pontos da malha e o erro na aproxima¸c˜ ao (direita), j´ a que a solu¸c˜ ao exata ´e dada por (1.24).

  −4 max err = 0.00066019 x 10

  0.5

  8

  7

  6 −0.5 5 −1

  4

  3 −1.5 2 −2 1 −2.5 −1 −0.5

  0.5 1 −1 −0.5

  0.5

  1 Figura 1.4: Solu¸c˜ ao aproximada e erro de aproxima¸c˜ ao do problema (1.23).

  Exemplo 2: Um problema de valor na fronteira bidimensional

  Vamos considerar o problema de valor na fronteira em duas dimens˜ oes, ( u + u

  xx yy

  = f (x, y), Ω = [0, 1] × [0, 1] (1.30)

  = 0

  ∂Ω

  u| Para esse problema vamos considerar uma malha discreta para o dom´ınio Ω, baseada nos pontos de Chebyshev definidos anteriormente. A aproxima¸c˜ ao para a derivada espacial ´e feita de maneira an´ aloga ao caso unidimensional (veja exemplo 1) em cada uma das dire¸c˜ oes x e y, nos N + 1 pontos de Chebyshev, e como no exemplo 1 os pontos da malha discreta se concentram perto da fronteira do dom´ınio Ω.

  Para exemplificar, vamos considerar uma malha com N + 1 = 5 pontos em cada uma das

  2

  dire¸c˜ oes x e y, e vamos aproximar o operador Laplaciano (∆u = u + u ) nos (N + 1) pontos

  xx yy

  da malha. A matriz L que aproxima ∆u ´e obtida atrav´es da aproxima¸c˜ ao da derivada espacial

  N

  fixando cada um dos pontos y

  j

  (com 0 ≤ j ≤ N) para aproximar a derivada na vari´avel x, e fixando cada um dos pontos x para aproximar a derivada na vari´ avel y. Como as condi¸c˜ oes de

  j

  fronteira s˜ ao do tipo Dirichlet nulas, o problema se restringe ao interior do dom´ınio num´erico onde as inc´ ognitas s˜ ao organizadas no vetor  

  ¯ u

  1

  . T   , com ¯u u = ˘ u ¯ = [u(x , y ) u(x , y ) u(x , y )]

  2 i 1 i 2 i 3 i , 1 ≤ i ≤ 3.

  ¯ u

  3 Fixando y e usando a nota¸c˜ ao acima segue ent˜ ao que i

      u ¯ D D u ¯

  1,xx

  1

  2

  1 .

     u ˘ = u ¯ D D u ¯

  xx 2,xx  ≈

  1

  2

  2

  u ¯ D D u ¯

  3,xx

  1

  2

  3 . T

  com u = [u (x , y ), u (x , y ), u (x , y )] e as matrizes D e D definidas como em

  i,xx xx 1 i xx 2 i xx 3 i

  1

  2

1 D

  , y

  24 −56

  −8

  24 −56

                

                 u(x

  1

  , y

  1

  ) u(x

  2

  1

  24 −56

  ) u(x

  3

  , y

  1

  ) u(x

  1

  , y

  2

  ) u(x

  2 , y 2 )

  −8

  16 −8

  3

  ˘ u

  . (1.31) Observe que a matriz acima pode ser escrita usando o produto de Kronecker

  4

  como I

  3

  ⊗ D

  1 D

  2

  , em que I

  3 representa a matriz identidade de ordem 3.

  Utilizando o mesmo procedimento e considerando as condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet nulas, uma aproxima¸c˜ ao da segunda derivada em rela¸c˜ ao a y nos pontos da malha pode ser escrita como

  yy

  16 −24

  ≈               

  −56

  24 −8

  −56

  24 −8

  −56

  24 −8

  16 −24

  16

  16 −24

  16

  u(x

  , y

  3

  1

  = I ⊗ D

  1 D

  2

  1 D

  2 ⊗ I.

  A solu¸c˜ ao num´erica do m´etodo pseudo espectral de Chebyshev resulta de resolver o sistema de equa¸c˜ oes lineares L

  N

  ˘ u = ˘ f , em que ˘ f = [u(x

  

1

  , y

  ), u(x

  ˘ u, com L

  2

  , y

  1

  ), . . . , u(x

  N

  , y

  N

  )]

  T

  . (1.33)

  N

  N

  2

  , y

  ) u(x

  1

  , y

  3

  ) u(x

  2

  , y

  3

  ) u(x

  3

  3

  ≈ L

  )               

  . (1.32) Aqui, a matriz acima pode ser escrita usando o produto de Kronecker como D

  1 D

  2

  ⊗ I

  3

  . Usando (1.31) e (1.32) segue ent˜ ao que uma aproxima¸c˜ ao do operador Laplaciano (com condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet nulas incorporadas na discretiza¸c˜ ao) ´e dada por:

  ∆˘ u .

  = ˘ u

  xx

  yy

  )               

  , y

  (1.29). Neste caso, a matriz D

  xx

  1

  , y

  2

  ), . . . , u

  xx

  (x

  3

  , y

  2

  ), u

  (x

  xx

  1

  , y

  3

  ), . . . , u

  xx

  (x

  3

  , y

  3

  )]

  (x

  ), u

  , usando a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev pode ser escrita como ˘ u

  Portanto, a aproxima¸c˜ ao da derivada de segunda ordem: ˘ u

  2

  ´e dada explicitamente por D

  1 D 2 =

   

  −56

  24 −8

  16 −24

  16 −8

  24 −56

    .

  xx .

  1

  = [u

  xx

  (x

  1

  , y

  1

  ), . . . , u

  xx

  (x

  3

  , y

  T

  xx

  3

  3

  1

  ) u(x

  1

  , y

  2

  ) u(x

  2

  , y

  2

  ) u(x

  , y

  3

  2

  ) u(x

  1

  , y

  3

  ) u(x

  2

  , y

  3

  ) u(x

  , y

  ) u(x

  ≈               

  −56

  −56

  24 −8

  16 −24

  16 −8

  24 −56

  −56

  24 −8

  16 −24

  16 −8

  24 −56

  24 −8

  1

  16 −24

  16 −8

  24 −56

                

                 u(x

  1

  , y

  1

  ) u(x

  2

  , y

  • ˘ u
  • D
Esparsidade da Matriz L Figura 1.5: Localiza¸c˜ ao dos elementos na matriz L .

  N 0.5

  1 u −0.5

  −1 1 0.5 0.4 0.6 0.8 1

  0.2 y x Figura 1.6: Solu¸c˜ ao aproximada do problema (1.30), para f (x, y) = 90.72sen(3πx)sen(2πy).

  2 A matriz L n˜ . N

  ao ´e muito esparsa (figura 1.5, com N + 1 = 25) e de ordem (N − 1) O aumento da dimens˜ ao do sistema a medida que N cresce poderia resultar em dificuldades computacionais. Na pr´ atica isso n˜ ao ocorre gra¸cas a precis˜ ao do m´etodo pseudo espectral que garante resultados satisfat´ orios para dimens˜ oes moderadas. Por outro lado, da mesma forma 4 Tamb´em conhecido, produto tensorial, ´e definido no apˆendica A onde s˜ ao inclu´ıdas a defini¸c˜ ao e algumas propriedades. que mostramos, para o exemplo 1, que a matriz D D ´e n˜ ao singular, precisamos mostrar que

  1

  2 L ´e n˜ ao singular. A afirma¸c˜ ao segue da proposi¸c˜ ao 1.7 e do corol´ ario A.1, no apˆendice A. N

  Para o exemplo num´erico bidimensional, usamos N + 1 = 25 e consideramos a fun¸c˜ ao f definida por f (x, y) = 90.72sen(3πx)sen(2πy). A solu¸c˜ ao exata para o problema (1.30) ´e dada √

  2)sen(3πx)sen(2πy). A solu¸c˜ ao aproximada ´e apresentada na figura 1.6 e por: u(x, y) = −(1/

  −

  5 erro m´ aximo em rela¸c˜ ao a solu¸c˜ .

  ao exata ´e 4.0798 · 10 Os dois esquemas descritos nestes exemplos ser˜ ao a base para os problemas de propaga¸c˜ ao de ondas apresentados no cap´ıtulo 3 e para os m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev apresentados no cap´ıtulo 4.

1.4 O M´ etodo das Linhas

  Para equa¸c˜ oes diferenciais que dependem do tempo, a aplica¸c˜ ao do m´etodo pseudo espectral, descrito na se¸c˜ ao anterior, resulta em um sistema de EDO’s dependente do tempo. Esse sistema pode ser resolvido por algum esquema de aproxima¸c˜ ao para sistemas de EDO’s [9, 19, 28], por exemplo: m´etodos de Runge-Kutta (RK), multi passos, etc. Essa associa¸c˜ ao entre as vari´ aveis espaciais e a vari´ avel temporal ´e conhecido como m´etodo das linhas [26, 27, 37, 38]. A principal vantagem do m´etodo das linhas est´ a na simplicidade do seu esquema de resolu¸c˜ ao. Para descrever o m´etodo mais precisamente, considere a equa¸c˜ ao evolu¸c˜ ao,

  U (1.34)

  t

  = LU, U(x, 0) = f(x), t ∈ [0, T ] com L um operador diferencial que independe do tempo t (que pode envolver as condi¸c˜oes de fronteira), e U um escalar ou um vetor que depende de t e de uma ou mais vari´ aveis espaciais.

  M´ etodo das Linhas i. A aproxima¸c˜ ao das derivadas em rela¸c˜ ao as vari´ aveis espaciais de (1.34) via diferen¸cas finitas, elementos finitos, m´etodos pseudo espectrais, em uma malha discreta, transforma a EDP em um sistema de EDO’s (modelo semi discreto). e e

  U = L U , e U (0) = f (1.35)

  t h N

  em que e U (t) ´e um vetor de dimens˜

  h

  ao N ≤ ∞ e L uma matriz N × N. Aqui, h ´e um parˆ ametro relacionado com o tamanho da malha. ii. O sistema (1.35) ´e resolvido com algum m´etodo para a resolu¸c˜ ao de sistemas de

  EDO’s (Runge-Kutta, etc.), produzindo solu¸c˜ oes e U (x , t) “ao longo das

  i i

  , t) ≈ U(x linhas (x

  i , t)” com 0 ≤ i ≤ N.

  Um aspecto fundamental do esquema ´e a escolha do tamanho de passo ∆t, que garanta a estabilidade do m´etodo que resolve o sistema de EDO’s semidiscreto (1.35). Por exemplo, se o sistema (1.35) ´e resolvido atrav´es dos m´etodos de Runge-Kutta, veja a se¸c˜ ao 2.1.1, as solu¸c˜ oes num´ericas ao longo das linhas x s˜ ao da forma

  i . k

  e e

  U (t , x ) = P (∆t L ) e U (t , x ) = e U (t ) = [P (∆t L )] U (t )

  k i s N k−1 i k s N

  • · · · +

  x

  ∆x , i = 0, 1, . . . , N − 1.

  i , t)

  , t) = u(x i+1 , t) − u(x

  i

  = −1 + i∆x, com ∆x := 2/N. Assim temos, d dt u(x

  i

  Neste caso, vamos considerar a malha espacial com pontos igualmente espa¸cados: x

  Para mostrar a dificuldade de se determinar ∆t vamos apresentar dois esquemas para a aproxima¸c˜ ao da derivada espacial: o m´etodo upwind e o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev.

  −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2

0.2

0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 −1 1 2 t u Figura 1.7: Equa¸c˜ ao da onda unidirecional: solu¸c˜ ao do problema (1.37).

  (1.37) A solu¸c˜ ao exata do problema (1.37), ´e dada por: u(x, t) = f (x + t), com x ∈ IR e t > 0, ou seja, a fun¸c˜ ao f (x) ´e deslocada para a esquerda ao longo do tempo, veja a figura 1.7.

  (π(x − 0.25)), se |x − 0.25| ≤ 0.5, 0, caso contr´ ario. u(1, t) = 0, ∀ t.

  2

  (x, t), x ∈ (−1, 1), t > 0 u(x, 0) = f (x) = ( cos

  (x, t) = u

  com P

  t

           u

  )k ≤ 1, para alguma norma matricial. Detalhes sobre estabilidade dos m´etodos Runge-Kutta ser˜ ao descritos no pr´ oximo cap´ıtulo. Aqui, o objetivo ´e ilustrar o esquema do m´etodo das linhas. Para isto, vamos considerar o problema,

  s (∆t L N

  (1.36) e s a ordem do m´etodo de Runge-Kutta. Dessa forma, para garantir que as solu¸c˜ oes num´ericas n˜ ao propaguem erros iniciais ou erros de arredondamento, ´e necess´ ario que a escolha do tamanho do passo ∆t seja feita de modo que kP

  s

  )

  N

  1 s! (∆t L

  N

  ) := I + ∆t L

  N

  (∆t L

  s

1.4.1 M´ etodo das Linhas: Discretiza¸ c˜ ao espacial upwind+RK3

  .

  T

  Ent˜ ao, se ¯ u = [u(x , t) u(x , t)] , o m´etodo das linhas associa ao problema

1 N −1

  , t) · · · u(x cont´ınuo o sistema semi discreto  

  1 −1

    −1

    ½

  d

  u = L ¯ u, ¯ 1  

  N dt

   . ..  L = . (1.38)

  N

    u(0) = ¯ ¯ f , ∆x    

  . .. 1 −1

  Para resolver (1.38), vamos considerar o m´etodo de Runge-Kutta de terceira ordem, · ¸

  2

  3

  (∆tL ) (∆tL )

  N N

  ¯ + u(t ¯ ) = I + ∆t L u(t ). (1.39)

  

k+1 N k

  2

  6 O sistema (1.39) ´e um bom exemplo para mostrar que a estabilidade baseada somente na an´ alise dos autovalores de matrizes n˜ ao normais, como L , pode levar a conclus˜ oes erradas a respeito da

  N

  escolha do tamanho de passo ∆t. Na verdade, verificando apenas que os autovalores da matriz ∆t L satisfa¸cam a condi¸c˜

  N

  3

  ao |P (−∆t/∆x)| ≤ 1, resulta na condi¸c˜ao (∆t/∆x) ≤ 2.5. Essa condi¸c˜ ao n˜ ao garante a estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas, j´ a que as potˆencias da matriz L

  N

  n˜ ao s˜ ao limitadas, conforme ilustra a figura 1.8 (esquerda). Portanto n˜ ao podemos esperar bons resultados com essa escolha para ∆t [33]. 9 8 x 10 10 16 18

  7 14 C 5 6 4 12 10 8 = 16 1 2

  3 2 4 6 C 2 4 6 8 10 2 = 8 4 6 8 10 12 14 16 18 20 k k

  (∆t L )]

3 N

  Figura 1.8: Norma das potˆencias de k[P k com ∆t = 2.5 ∆x (para o esquema upwind

  −

  2

  • + RK3 ` 3 (∆t e (para o m´etodo pseudo espectral ` a direita),

  a esquerda) e kP D)k, com ∆t ≤ CN N = 80. No pr´ oximo cap´ıtulo, os conceitos envolvidos neste exemplo ser˜ ao apresentados com mais detalhes, junto com a condi¸c˜ ao que ´e necess´ aria e suficiente para a estabilidade das solu¸c˜ oes do sistema (1.35).

1.4.2 M´ etodo das Linhas: Discretiza¸ c˜ ao espacial pseudo espectral+RK3

  Aproximando as derivadas das vari´ aveis espaciais atrav´es do m´etodo pseudo espectral descrito na se¸c˜ ao anterior, obtemos o sistema semi discreto: ½

  d

  u = e D u, e e

  dt

  (1.40) u(0) = ¯ f , e .

  T

  em que u = [u(x , t), . . . , u(x , t)] , x s˜ ao os pontos de Chebyshev, e e D ´e a matriz formada

  N −1 j

  e tomando as N primeiras linhas e N primeiras colunas da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev descrita em (1.21). A (N + 1)-´esima coluna da matriz D ´e desconsiderada por causa da fronteira u(x , t) = 0.

  N

  Tadmor em [34] e Gottlieb, Shu e Tadmor em [16], analisam a solu¸c˜ ao num´erica atrav´es do

  −

  2

  , com C sendo uma constante adequada, m´etodo RK3 e mostram que a escolha ∆t ≤ CN garante a estabilidade do m´etodo das linhas. A figura 1.8 (direita), apresenta a norma das

  −

  2

  potˆencias das matrizes P (∆t e D), como uma fun¸c˜ ao de k para ∆t = CN , para C = 8 e C = 16.

  3 k

  (∆t e D)]

3 Para as duas constantes C, k[P k s˜ao limitadas. Na figura 1.7 apresentamos a solu¸c˜ao do problema (1.37), com N = 80 e C = 8 atrav´es do m´etodo pseudo espectral de Chebyshev.

  No cap´ıtulo 4 utilizaremos o m´etodo das linhas para resolver problemas de propaga¸c˜ ao de onda, atrav´es dos m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev. A quest˜ ao da estabilidade dos m´etodos ´e discutida no pr´ oximo cap´ıtulo.

  Cap´ıtulo 2 Estabilidade do M´ etodo das Linhas Pseudo Espectral

  Na se¸c˜ ao anterior vimos que a solu¸c˜ ao num´erica de uma EDP do tipo evolu¸c˜ ao atrav´es do m´etodo das linhas ´e constru´ıda resolvendo um problema de valor inicial (PVI) proveniente da discretiza¸c˜ ao espacial do problema original, atrav´es de um m´etodo para um sistema de EDO’s semi discreto. Um aspecto crucial na solu¸c˜ ao desse PVI ´e escolher o tamanho de passo ∆t, de modo que a propaga¸c˜ ao de erros de entrada (na condi¸c˜ ao inicial, por exemplo) seja evitada, isto ´e, de modo que a solu¸c˜ ao num´erica do problema completamente discreto seja est´ avel. A an´ alise de estabilidade do m´etodo das linhas pseudo espectral ´e o ponto central deste cap´ıtulo.

  O capitulo ´e organizado da seguinte maneira. Na se¸c˜ ao 2.1 apresentamos a an´ alise de esta- bilidade dos esquemas de aproxima¸c˜ ao para sistemas de EDO’s atrav´es do conceito de regi˜ ao de

  

estabilidade, focando em particular, as regi˜ oes de estabilidade para os esquemas Runge-Kutta

  (RK), j´ a que o m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) ser´ a utilizado nos m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev propostos no cap´ıtulo 4. Conforme ser˜ ao vistos, esses conceitos tornam-se essenciais para a an´ alise de estabilidade dos m´etodos das linhas pseudo espectrais.

  A se¸c˜ ao 2.2 cont´em uma revis˜ ao de conceitos que servem como suporte para uma discus- s˜ ao sobre duas no¸c˜ oes de estabilidade frequentemente exploradas em conex˜ ao com o m´etodo das linhas: estabilidade segundo Lax, e estabilidade segundo autovalores. Aqui o teorema da

  

Equivalˆencia de Lax ´e usado como ferramenta para assegurar a convergˆencia de esquemas de

aproxima¸c˜ ao Lax-est´ aveis [26, 27].

  Al´em disso, mostra-se que a estabilidade segundo autovalores pode implicar em conclus˜ oes erradas a respeito da escolha do tamanho de passo ∆t, motivando com isso o estudo de pseudo espectro, o qual ´e apresentado na se¸c˜ ao 2.3. Em particular, mostra-se que o pseudo espectro ilustra o grau de n˜ ao normalidade do operador e contorna as limita¸c˜ oes da an´ alise espectral. Al- guns resultados que relacionam a norma do operador evolu¸c˜ ao k exp(tA)k e a norma do conjunto

  −

  1 resolvente k(z − A) k s˜ao tamb´em apresentados nessa se¸c˜ao.

  O cap´ıtulo encerra com a se¸c˜ ao 2.4 destacando os resultados que garantem a estabilidade segundo autovalores e segundo Lax do m´etodo das linhas pseudo espectral.

2.1 Regi˜ oes de estabilidade

  Nesta se¸c˜ ao, vamos considerar um PVI da forma,

  ( u

  t

  = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ] (2.1) u(t ) = u , focando um dos aspectos cruciais da constru¸c˜ ao de solu¸c˜ oes num´ericas, a escolha do tamanho de passo ∆t que evite a propaga¸c˜ ao de erros dos dados iniciais, isto ´e, a escolha de ∆t que garanta a estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas.

  Uma maneira de analisar a estabilidade de um m´etodo num´erico para o problema de valor inicial (2.1) ´e atrav´es de certas regi˜ oes do plano complexo ditas regi˜ oes de estabilidade do m´etodo. Essas regi˜ oes podem ser definidas como segue. Defini¸ c˜ ao 2.1 Considere um m´etodo num´erico de aproxima¸c˜ ao para problemas de valor inicial com tamanho de passo ∆t.

i. Um m´etodo de aproxima¸c˜ ao ´e absolutamente est´ avel num ponto λ∆t do plano complexo

  k se a sequˆencia {u } gerada pelo m´etodo aplicado `a EDO de referˆencia

  u = λu (2.2)

  

t

com tamanho de passo ∆t for limitada, isto ´e, u k k −→ 0 quando t −→ ∞.

ii. A regi˜

  ao de estabilidade absoluta ´e o conjunto de pontos λ∆t ∈ IC para os quais o m´etodo ´e absolutamente est´ avel.

iii. Um m´etodo ´e A-est´ avel se a sua regi˜ ao de estabilidade incluir todo o semi plano complexo negativo.

  O uso de regi˜ oes de estabilidade para an´ alise de estabilidade de solu¸c˜ oes num´ericas para o problema 2.1 pode ser justificado da seguinte maneira. Expandindo u = f (t, u(t)) em s´erie de

  t

  Taylor em torno de (t , u ) segue que u , u ) + f (t , u ) + f (x , u ))

  t t u

  ≈ f(t )(t − t )(u(t) − u(t ) + g(t),

  = λ(u(t) − u em que λ = f u (t , u ) e g(t) = f (t , u )+f t (t , u ), o que ´e v´ ´e suficientemente )(t−t alido se t−t pequeno. Introduzindo a nova vari´ , a approxima¸c˜ ao acima pode ser reescrita avel v(t) = u(t)−u v t

  ≈ λv + g(t) Quando se analisa a quest˜ ao da estabilidade, efetua-se a diferen¸ca entre a solu¸c˜ ao do problema original e do problema perturbado. Assim, o termo g(t) ´e eliminado sem afetar o resultado sobre a estabilidade. Isto leva ` a equa¸c˜ ao de referˆencia descrita em (2.2).

2.1.1 Regi˜ oes de estabilidade dos m´ etodos de Runge-Kutta

  Os m´etodos de Runge-Kutta (RK) produzem resultados equivalentes aos obtidos com s´eries de Taylor com termos de ordem superiores e tˆem a vantagem de n˜ ao precisarem do uso das de- rivadas da fun¸c˜ ao f (t, u(t)) [1]. Nesta se¸c˜ ao, apresentamos uma breve discuss˜ ao sobre as regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos de Runge-Kutta. Esses conceitos ser˜ ao usados posteriormente no cap´ıtulo 4. Os m´etodos RK s˜ ao da forma, u = u + ∆t Φ(t , u , ∆t) (2.3)

  k+1 k k k

  • ∆t(f (t
  • (∆t/2)[f (t
  • ∆t, u
  • ∆t f (t
  • ∆t/2, u
  • (∆t/2)K
  • ∆t, u
  • 2∆t K
  • (∆t/6)[K
  • 4K
  • K

  • ∆t/2, u
  • (∆t/2)K
  • ∆t/2, u
  • (∆t/2)K
  • ∆t, u
  • ∆tK
  • (∆t/6)[K
  • 2K
  • 2K
  • K
  • (∆t/2)K
  • (∆t/2)K
  • ∆tK
  • (∆t/6)[K
  • 2K
  • 2K
  • K

  3

  

4

], para cada k = 0, 1, . . .

  (2.7) Para o problema (2.1) linear com coeficientes constantes, f (t, u) = L u, em que L ∈ IR

  N ×N

  e independe de t, as aproxima¸c˜ oes RK podem ser descritas como em (2.4, 2.5, 2.6, 2.7), respec- tivamente. Por exemplo, o m´etodo RK4 segue o esquema (2.7) da seguinte maneira:   

  K

  = Lu

  1

  k

  , K

  2

  = L(u

  k

  1

  2

  k

  1

  ), K

  ), K

  3

  = f (t

  k

  k

  2

  4

  = u

  = f (t

  k

  k

  3

  ) u

  k+1

  ), K

  3

  = L(u

  = (1 + λ∆t)u

  ≈ exp(λ∆t)u

  k

  2 ¸ u

  2

  (λ∆t)

  = · 1 + λ∆t +

  k+1

  A regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK2 (2.5), ´e obtida de forma an´ aloga. ´ E imediato que u

  ´e limitada quando |1 + λ∆t| ≤ 1. O que implica, para λ real, −2 ≤ λ∆t ≤ 0. A partir da desigualdade (2.9) obtemos a regi˜ao de estabilidade do m´etodo, apresentada na figura 2.1, (c´ırculo).

  k

  . (2.9) Dessa forma a sequˆencia u

  k

  ≈ exp(λ∆t)u

  k

  k+1

  k

  ), u

  2

  ), K

  4

  = L(u

  k

  3

  k+1

  (2.8) A seguir apresentamos as regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos de Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira e quarta ordens, determinadas atrav´es da defini¸c˜ ao 2.1. Como motiva¸c˜ ao, iniciamos com o m´etodo de Euler (RK1). A regi˜ ao de estabilidade do m´etodo de Euler ´e obtida quando resolvemos a equa¸c˜ ao de referˆencia (2.2), atrav´es do esquema (2.4). u

  = u

  k

  1

  2

  3

  4 ], para cada k = 0, 1, . . .

  1

  k

  k

  k

  1

  K

            

  (2.5) Runge-Kutta de terceira ordem (RK3):

  ))], para cada k = 0, 1, . . .

  k

  , u

  k

  k

  k

  ) + f (t

  k

  , u

  k

  = u

  k

  k+1

  com Φ representando uma aproxima¸c˜ ao para f (t, u(t)) no intervalo [t

  k

  , t

  k+1

  ]. Os esquemas de aproxima¸c˜ ao de Runge-Kutta de primeira ordem (Euler), segunda, terceira e quarta ordens s˜ ao respectivamente, (2.4), (2.5), (2.6) e (2.7):

  Runge-Kutta de primeira ordem (RK1): u

  = u

  k+1

  k

  k

  , u

  k

  )), para cada k = 0, 1, . . . . (2.4) Runge-Kutta de segunda ordem (RK2):

  ( u

  = f (t

  , u

  = f (t

  = u

  2

  ), K

  k

  , u

  k

  = f (t

  1

  K

    

  (2.6) Runge-Kutta de quarta ordem (RK4):

  3 ], para cada k = 0, 1, . . .

  2

  1

  k

  k+1

  k

  ), K

  ), K

  2

  = f (t

  k

  k

  1

  3

  ), u

  = f (t

  k

  k

  2

  − ∆t K

  1

  k . E da mesma forma, a sequˆencia u ´e limitada se

  k

  ¯ ¯

  2

  ¯ (λ∆t) ¯ ¯ ¯

  (2.10) ¯1 + λ∆t + ¯ ≤ 1.

  2 O conjunto dos λ∆t, que satisfazem (2.10) ´e apresentado na figura 2.1. Para os m´etodos de RK de terceira e quarta ordens as regi˜ oes de estabilidade s˜ ao expressas respectivamente pelas equa¸c˜ oes (2.11) e (2.12).

  ¯ ¯

  

2

  3

  ¯ (λ∆t) (λ∆t) ¯ ¯ ¯

  • (2.11) ¯1 + λ∆t + ¯ ≤ 1.

  2

  6 ¯ ¯

  2

  3

  4

  ¯ (λ∆t) (λ∆t) (λ∆t) ¯ ¯ ¯

  (2.12) + + ¯1 + λ∆t + ¯ ≤ 1.

  2

  6

  24 As regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos RK3 e RK4 tamb´em s˜ao apresentadas na figura 2.1 pelas duas regi˜ oes maiores. No m´etodo RK de terceira ordem os pontos de intersec¸c˜ ao s˜ ao, no √ √ 3 e

  3. No m´etodo RK de quarta ordem os pontos de intersec¸c˜ ao eixo x, −2.51 e no eixo iy, − √ √ s˜ 2 e 2

  2. ao, no eixo x, −2.78 e no eixo iy, −2 3 RK4 RK3 RK2 RK1 1

  2 −2 −1 −3 −4 −3 −2 −1 1 2 Figura 2.1: Regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos de Runge Kutta de ordem 1, 2, 3 e 4.

  As regi˜ oes de estabilidade dos m´etodos RK para problemas da forma (2.1) lineares com coe- ficientes constantes, ou seja, f (t, u(t)) = L u, tamb´em podem ser obtidas atrav´es da defini¸c˜ ao

  N 2.2.

  Reescrevendo o problema (2.1) na forma completamente discreta, pode ser visto facilmente que as solu¸c˜ oes no n´ıvel de tempo k podem ser escritas de modo que

  k

  u = P (∆tL )u = P (∆tL ) u (2.13)

  k s N k−1 k s N

  =⇒ u ∀ k ≥ 0, com P (∆tL ) representando o polinˆ omio de grau s associado ao m´etodo RK de ordem s (veja,

  s N

  se¸c˜ ao 1.4, equa¸c˜ ao (1.36)). Assim, a solu¸c˜ ao no n´ıvel de tempo k pode ser escrita em fun¸c˜ ao da condi¸c˜ ao inicial e de um operador evolu¸c˜ ao, da forma:

  k

  u = [P (∆tL )] u (2.14)

  k s N ∀ k ≥ 0. J´ a que estamos interessados na estabilidade das aproxima¸c˜ oes num´ericas dos m´etodos RK, de- vemos impor a restri¸c˜ ao

  k

  (∆tL )]

  s N k[P k ≤ 1, ∀k ≥ 0.

  Dessa forma, a regi˜ ao de estabilidade dos m´etodos RK de ordem s ´e dada por,

  s

  S = {z ∈ IC tal que |P (z)| ≤ 1}, conforme visto na se¸c˜ ao 1.4.1.

2.1.2 Regi˜ ao de estabilidade para o m´ etodo das linhas

  Agora vamos introduzir a regi˜ ao de estabilidade para o m´etodo ds linhas (se¸c˜ ao 1.4) . Assuma que o problema (1.34) foi completamente discretizado, produzindo um esquema de aproxima¸c˜ ao do tipo u = φ(∆tL )u = S u , (2.15)

  

k N k−1 ∆t,N k−1

  com S um esquema de aproxima¸c˜ ao num´erico nos (N + 1) pontos da malha e tamanho de

  ∆t,N

  passo ∆t, de modo que no instante de tempo k, vale

  k u = (S ) u . k ∆t,N

  Aqui, dependendo da discretiza¸c˜ ao temporal utilizada, φ(w) = p(w)/q(w) ´e uma fun¸c˜ ao racional ou um polinˆ omio, e u ´e a solu¸c˜ ao num´erica que aproxima u no tempo k ao longo da malha

  k

  espacial x

  i , 0 ≤ i ≤ N [27] .

  Assumindo φ anal´ıtica em um conjunto que cont´em o espectro de ∆tL , pelo teorema

  N

  1

  da aplica¸c˜ ao espectral , temos que o espectro de S e o espectro de ∆tL , denotados,

  ∆t,N N ∆t,N N ∆t,N N )). Ent˜ ao a regi˜ ao

  respectivamente por ∧(S ) e ∧(∆tL ), satisfazem: ∧(S ) = φ(∧(∆tL de estabilidade, ilustrada pela figura 2.2, de um esquema de aproxima¸c˜ ao num´erico S ´e

  ∆t,N definida da seguinte maneira.

  Φ(w) S −→ D

  Figura 2.2: Fun¸c˜ ao φ aplicando a regi˜ ao de estabilidade S em D. Defini¸ c˜ ao 2.2 A regi˜ ao de estabilidade de um esquema de aproxima¸c˜ ao num´erico S ´e o

  ∆t,N

conjunto S no plano complexo, S = {z ∈ IC tal que φ(z) ∈ D}, sendo D o c´ırculo unit´ario

fechado [27]. 1 O teorema da aplica¸c˜ ao espectral para matrizes ´e a afirma¸c˜ ao que se f ´e uma fun¸c˜ ao anal´ıtica definida em

um conjunto contendo ∧(A) ent˜ ao f (∧(A)) = ∧(f (A)). Este resultado ´e uma conseq¨ uˆencia da observa¸c˜ ao que se

λ

  

´e um autovalor da matriz A ent˜ ao f (λ) ´e um autovalor de f (A) [32]. Em [20] encontra-se a vers˜ ao do teorema

da aplica¸c˜ ao espectral para polinˆ omios.

2.2 Estabilidade e Convergˆ encia

  Vamos considerar H um espa¸co de Hilbert, com uma norma k · k, convenientemente definida, e o problema de valor inicial, ( u

  t

  = Au, 0 ≤ t ≤ T, (2.16) u(0) = u com A : D(A) −→ H, um operador diferencial linear que n˜ao depende de t e que pode incorporar condi¸c˜ oes de fronteira, e D(A) um subespa¸co denso em H. Observe que u tamb´em depende das vari´ aveis espaciais. O problema de valor inicial (2.16) ´e bem posto se para cada t ≥ 0, existe uma constante C t que n˜ ao depende do dado inicial u t

  , tal que ku(t)k ≤ C ku k para cada dado inicial u . Isto significa que uma ´ unica solu¸c˜ ao existe para cada dado inicial u e a solu¸c˜ ao u(t) depende continuamente de u [32].

  A no¸c˜ ao de estabilidade traz para os esquemas de aproxima¸c˜ ao num´ericos a id´eia usada na defini¸c˜ ao de problemas bem postos em equa¸c˜ oes diferenciais: a continuidade com rela¸c˜ ao aos dados iniciais do problema. Na defini¸c˜ ao 2.3, apresentamos os conceitos de consistˆencia e convergˆencia. Na defini¸c˜ ao 2.4 s˜ ao apresentados os conceitos de estabilidade segundo autovalores e estabilidade segundo Lax. A estabilidade e a consistˆencia de um esquema linear s˜ ao as no¸c˜ oes chave para a convergˆencia, j´ a que pelo teorema de Lax:

  Estabilidade + Consistˆencia ⇐⇒ Convergˆencia. Defini¸ c˜ ao 2.3 Considere S ∆t,N um esquema de aproxima¸c˜ ao num´erico (como descrito na se¸c˜ ao

  2.1.2) para o problema (2.16): i. S ´e consistente se para qualquer u suficientemente suave ∆t,N ∆t,N

  k(S − A)uk −→ 0, quando ∆t −→ 0, N → ∞, para cada (x, t).

ii. S ´e convergente se

  ∆t,N k

  lim ) u

  ∆t,N

  k(S − u(t)k = 0

  ∆t−→0, k∆t=t para qualquer t ∈ [0, T ], onde u(t) ´e a solu¸c˜ao exata do problema de valor inicial (2.16) no instante de tempo t para algum dado inicial u .

  Al´em das defini¸c˜ oes acima, v´ arias no¸c˜ oes te´ oricas de estabilidade tais como estabilidade

  

segundo Lax, estabilidade segundo autovalores, s-estabilidade, etc, tˆem sido investigadas na lite-

  ratura sobre m´etodos num´ericos para EDP’s. Uma discuss˜ ao sobre v´ arias dessas no¸c˜ oes podem ser encontradas em Gottlieb e Orzag [15]. Aqui, vamos discutir duas dessas no¸c˜ oes que apa- recem vinculadas frequentemente ao uso do m´etodo das linhas: estabilidade segundo Lax (ou Lax-estabilidade), e estabilidade segundo autovalores. A pr´ oxima defini¸c˜ ao destaca a diferen¸ca entre essas duas no¸c˜ oes de estabilidade.

  Defini¸ c˜ ao 2.4 Seja S um esquema de aproxima¸c˜ ao num´erico para o problema (2.16):

  ∆t,N

  S ´e est´ avel segundo autovalores se para alguma constante C > 0, N e ∆t fixos,

  ∆t,N k

  )

  ∆t,N k(S k ≤ C para todo k. k

ii. S i. ´e Lax-est´

  )

  ∆t,N ∆t,N avel se para alguma constante C > 0, k(S k ≤ C para todo N e k tal que k∆t ≤ T e ∆t suficientemente pequeno.

  Observe que na estabilidade segundo Lax a estabilidade num´erica da solu¸c˜ ao depende de um limite uniforme para uma fam´ılia de matrizes. No entanto, na estabilidade segundo autovalores obt´em-se um limite para a potˆencia de uma ´ unica matriz respectiva a uma malha espacial fixa. Courant, Friedrichs e Lewy em 1928, determinaram rela¸c˜ oes entre ∆t e ∆x, afim de garan- tir solu¸c˜ oes num´ericas est´ aveis para equa¸c˜ oes diferenciais atrav´es de esquemas de aproxima¸c˜ ao de diferen¸cas finitas. Essas rela¸c˜ oes, conhecidas como condi¸c˜ ao CFL implicam em condi¸c˜ oes necess´ arias para a estabilidade das solu¸c˜ oes.

  Teorema 2.1 Para um esquema aproxima¸c˜ ao de diferen¸cas finitas para o problema (2.16) da

  

forma (2.15), com (∆t)/(∆x) = constante, uma condi¸c˜ ao necess´ aria para a estabilidade ´e a

condi¸c˜ ao Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),

  ¯ ¯ ¯ ∆t ¯ ¯ ¯

  (2.17)

  i

  ¯λ ¯ ≤ 1, ∆x

  

com λ representando os autovalores da matriz de aproxima¸c˜ ao via diferen¸cas finitas na vari´ avel

i espacial.

  Detalhes da demonstra¸c˜ ao s˜ ao encontrados em [32]. No exemplo, apresentado na se¸c˜ ao 1.4.1 mostramos que a condi¸c˜ ao (2.17) n˜ ao ´e suficiente para garantir a estabilidade. Portanto a escolha de ∆t ´e um ponto crucial para garantir a estabilidade de esquemas de aproxima¸c˜ ao num´ericos. A condi¸c˜ ao CFL (2.17) torna-se inv´ alida para m´etodos espectrais ou pseudo espectrais, pois o processo de diferencia¸c˜ ao ´e global. Trefethen em [36] generaliza a condi¸c˜ ao CFL usual para a

  “pseudo condi¸c˜ ao CFL”:

  −

  2

  ∆t = O(N ), (2.18) para m´etodos pseudo espectrais. O autor utiliza o seguinte argumento, para garantir que (2.18) seja necess´ aria para estabilidade segundo Lax: a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev D cont´em

  2

  elementos de ordem O(N ) [veja (1.21) na se¸c˜ ao 1.2], o que implica que S cont´em elementos

  ∆t,N 2 k

  de ordem O(∆tN ). Se (2.18) n˜ )

  ∆t,N

  ao ´e satisfeita, k(S k n˜ao pode ser uniformemente limitada em N [36]. Para que a norma das potˆencias das matrizes S seja limitadas ´e necess´ ario que exista

  ∆t,N

  uma constante C > 0 tal que para algum τ > 0 ( 0 ≤ ∆t < τ

  k

  [r(S ∆t,N )] para , (2.19) ≤ C 0 ≤ k∆t < T com r(S ), raio espectral de S

  ∆t,N ∆t,N ∆t,N

  ) := max{|λ| tal que λ ∈ ∧(S }. Ent˜ao temos,

  k k k

  r(S ) ) (2.20)

  

∆t,N ∆t,N ∆t,N

  ≤ k(S k ≤ kS k Sem perda de generalidade, podemos assumir que C

  1 1 ∆t ≥ 1 em (2.19). Portanto, k T T r(S

  .

  ∆t,N ∆t,N )

  ) ≤ C , 0 ≤ k ≤ =⇒ r(S ≤ C ∆t

  3.5 3

  2.5

  2 k

  A 1.5 1 k e k

  k 0.5 kA k 5 10 15 20 25 30 k k k

  A Figura 2.3: kA k e k e k, linhas cont´ınua e tracejada, respectivamente .

  (∆t/T )

  Para ∆t no intervalo 0 < ∆t < τ , a express˜ ao C ´e limitada por uma express˜ ao linear da forma 1 + C

  2 ∆t. Da defini¸c˜ ao de raio espectral temos a condi¸c˜ ao,

  ( 0 < ∆t < τ para (2.21)

  i

  |λ | ≤ 1 + O(∆t) i = 1, . . . , p com λ

  1 , . . . λ p autovalores da matriz S ∆t,N . A equa¸c˜ ao (2.21) ´e a condi¸c˜ ao de Von Neumann, necess´ aria para a estabilidade [24].

  Observa¸ c˜ ao 2.1 Se S ´e uma matriz normal a igualdade ´e v´ alida em (2.20) e ent˜ ao a

  ∆t,N

condi¸c˜ ao de Von Neumann ´e necess´ aria e suficiente para a estabilidade. Caso contr´ ario, a

condi¸c˜ ao de Von Neumann d´ a a condi¸c˜ ao necess´ aria, mas n˜ ao suficiente para a estabilidade

segundo Lax. Assim, a condi¸c˜ ao de Von Neumann ´e equivalente a r(S

  ∆t,N ) ≤ 1.

  Frequentemente, a an´ alise da estabilidade segundo autovalores ´e feita checando a condi¸c˜ ao de Von Neumann. Se ela ´e satisfeita o m´etodo ´e “teoricamente” est´ avel, o que n˜ ao garante a estabilidade num´erica (veja exemplo na se¸c˜ ao 1.4.1). Da mesma forma que a condi¸c˜ ao CFL, a condi¸c˜ ao de Von Neumann ´e inaplic´ avel em aproxima¸c˜ oes que n˜ ao s˜ ao invariantes por transla¸c˜ ao, como os m´etodos pseudo espectrais, que implicam em matrizes e operadores altamente n˜ ao normais.

  Em geral, matrizes com autovalores sens´ıveis a pequenas perturba¸c˜ oes, tendem a n˜ ao terem potˆencias limitadas. Por exemplo, considere as matrizes, · ¸ · ¸

  0.9

  0.9

  1 e A = A =

  0.8

  0.8 A figura 2.3 ilustra esse fenˆ omeno. Apesar das matrizes A e e A terem o mesmo espectro e consequentemente r(A) = r( e A) = 0.9, ambas as matrizes decrescem em norma, a medida que

  k k

  A k −→ ∞. Mas o comportamento da k e k difere muito do comportamento de kA k, visto que cresce at´e o ponto k = 6 e depois decresce. O operador solu¸c˜

  ∆t,N

  ao {S } envolve matrizes com dimens˜ao crescente quando ∆t −→ 0 e N aumenta. Portanto o ponto principal na an´ alise de estabilidade ´e que a estabilidade das aproxima¸c˜ oes de EDP’s que dependem do tempo, depende da limita¸c˜ ao uniforme, em norma, de uma fam´ılia de matrizes. Se as potˆencias s˜ ao limitadas uniformemente, a aproxima¸c˜ ao ´e Lax-est´ avel. O problema de limitar uma fam´ılia de potˆencia de matrizes nos leva ao teorema da matriz de Kreiss, no qual basicamente, mostra-se que a limita¸c˜ ao de sequˆencia de potˆencias de matrizes ´e equivalente a limitar a norma do resolvente da matriz em certa regi˜ ao do plano complexo.

  Teorema 2.2 Para uma fam´ılia M de matrizes A, N × N, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equi-

  valentes:

A. Existe uma constante positiva C

  a tal que para toda matriz A ∈ M e cada k = 0, 1, . . .,

k

. a

  kA k ≤ C

  R. Existe uma constante positiva C r tal que para toda matriz A ∈ M e todo n´umero complexo

  z com |z| > 1, C

  − r

  1 .

  k(zI − A) k ≤ |z| − 1

  Na verdade o teorema 2.2 ´e uma parte do teorema da matriz de Kreiss, o teorema completo, bem como sua demonstra¸c˜ ao podem ser encontrados em [32]. Uma varia¸c˜ ao do teorema da matriz de Kreiss ´e apresentada na se¸c˜ ao 2.4, atrav´es do teorema 2.8, o qual descreve sob quais condi¸c˜ oes a estabilidade segundo Lax ´e garantida [26, 27, 28].

  A conclus˜ ao mais importante da se¸c˜ ao ´e portanto que para garantirmos Lax-estabilidade

  k

  )

  ∆t,N

  a familia de matrizes {(S } deve ser limitada uniformemente, o que nem sempre ocorre

  ∆t,N

  quando escolhemos ∆t de modo que kS k ≤ 1. Ou seja, an´alises baseadas somente em auto-

  k

  valores nem sempre capturam o comportamento das potˆencias (S ) , especialmente quando

  ∆t,N

  a matriz L do modelo semi discreto ´e altamente n˜ ao normal [27]. Isto motivou o estudo de

  N estabilidade atrav´es da no¸c˜ ao de pseudo espectro, conforme veremos na pr´ oxima se¸c˜ ao.

2.3 Espectro e Pseudo Espectro

  As defini¸c˜ oes e resultados apresentados nesta se¸c˜ ao se fazem necess´ arias para a an´ alise da estabilidade de problemas de valor inicial. Para tanto, vamos considerar X e H espa¸cos de Banach e Hilbert, respectivamente, com a norma k · k convenientemente definida. Denotaremos C(X ) o conjunto dos operadores fechados em X e B(X ) o conjunto dos operadores limitados em X . O pr´oximo teorema ´e a base da teoria pseudo espectral. As demonstra¸c˜oes omitidas nesta se¸c˜ ao podem ser encontradas em Trefethen e Embree [38].

  −

  1 seu operador inverso. Ent˜

  Teorema 2.3 Suponha A ∈ C(X ) e A ao para algum E ∈ B(X )

  −

  1 −

  1 satisfazendo, com kEk < 1/kA k, A + E tem um operador inverso limitado (A + E)

  −

  1 − 1 kA k .

  k(A + E) k ≤

  −

  1

  1 − kEkkA k

  −

1 Reciprocamente, para algum ǫ > 1/kA k, existe E ∈ B(X ) com kEk < ǫ tal que (A + E)u = 0 para algum u ∈ X n˜ao nulo.

  As defini¸c˜ oes de operador e conjunto resolvente, espectro e pseudo espectro tˆem origem ao aplicarmos o teorema 2.3 aos operadores (zI − A), onde z pertence ao conjunto dos n´umeros complexos, I

  C e I ´e o operador identidade. Daqui em diante (zI −A) ser´a denotado simplesmente por (z − A). Defini¸ c˜ ao 2.5

  −

  1

i. Dado A ∈ C(X ) e z ∈ IC o resolvente de A em z ´e o operador (z − A) ∈ B(X ), se este existe.

  −

  1 existe.

ii. O conjunto resolvente ρ(A) ´e o conjunto de n´umeros z ∈ IC para os quais (z − A)

  −

  1

  2 ´e limitado e densamente definido (z − A) em X .

  Defini¸ c˜ ao 2.6 O complemento de ρ(A) no plano complexo ´e o espectro de A, denotado por ∧(A). O espectro de A, ∧(A) ´e dividido em trˆes conjuntos disjuntos, como segue:

  −

  1 E o conjunto dos n´ p

i. ∧ (A) ´e o espectro pontual de A. ´ umeros z ∈ C para os quais (z − A)

p ao existe. Um λ ∈ ∧ (A) ´e chamado autovalor de A.

  −

  1 E o conjunto dos n´ c

ii. ∧ (A) ´e o espectro cont´ınuo de A. ´ umeros z ∈ IC para os quais (z −A)

  −

  1 n˜ ao ´e limitado. existe e ´e densamente definido em X ,mas (z − A)

  −

  1 E o conjunto dos n´ r

iii. ∧ (A) ´e o espectro residual de A. ´ umeros z ∈ IC para os quais (z − A)

  −

  1 existe, podendo ser limitado ou n˜ n˜ ao, mas (z − A) ao ´e densamente definido em X .

  Observa¸ c˜ ao 2.2 Em dimens˜ ao finita o espectro consiste do conjunto dos autovalores. Ou seja, o espectro ´e o espectro pontual.

  −

1 Por conven¸c˜

  ao: Se z ∈ ∧(A), k(z − A) k = ∞. Do teorema 2.3, para algum A ∈ C(X ) e z ∈ ρ(A) temos que

  1

  −

  1

  (2.22) k(z − A) k ≥ dist(z, ∧(A)) O pr´ oximo resultado ´e uma conseq¨ uˆencia do teorema 2.3.

  Teorema 2.4 Dado A ∈ C(X ) a norma do resolvente ´e uma fun¸c˜ao de z ∈ IC em (0, ∞) com

  as seguintes propriedades: i. ´ E cont´ınua, n˜ ao limitada e toma o valor exatamente em ∧(A). ii. Para z / ∈ ∧(A) ent˜ao (2.22) ´e v´alida.

  −

  1 iii. Se z / ∈ ∧(A) ent˜ao z / ∈ ∧(A + E) para algum E ∈ B(X ) que satisfaz kEk ≤ 1/k(z − A) k.

  − −

  1

  1 Reciprocamente, para algum ǫ &gt; k(z − A) k existe E ∈ B(X ) com kEk &lt; ǫ tal que (A + E)u = zu para algum u ∈ X n˜ao nulo.

  Com o aux´ılio das defini¸c˜ oes e resultados apresentados acima podemos agora interpretar bem o conceito de pseudo espectro de um operador. Resumidamente, o pseudo espectro de um operador A ∈ C(X ) ´e o conjunto de todos os autovalores do operador e A = A + E, com kEk ≤ ǫ, (veja a figura 2.4). A defini¸c˜ ao 2.7 caracteriza formalmente o pseudo espectro de operadores. 2 Um operador A ´e densamente definido em X se D(A) = X , ou seja D(A) ´e um subespa¸co denso em X , onde D (A) ´e o dom´ınio de defini¸c˜ ao do operador A.

  ǫ ǫ

  B (A) ∧ (A)

  ǫ 2 A e 1 1 = A + ǫ ǫ 1 ∧ A A e 1 2 2 ( e ) = A + ǫ

  −→

  • A =⇒

  ր

  ∧ A 2 ( e )

  տ →

  A e A e 1 2 e ǫ , e seus respectivos pseudo espectros.

  

1

  2 Figura 2.4: Operador A com perturba¸c˜ao ǫ

  Defini¸ c˜

  ǫ

  ao 2.7 Seja A ∈ C(X ) e ǫ &gt; 0 arbitr´ario. O ǫ−pseudo espectro de A, ∧ (A), ´e o

  conjunto dos n´ umeros z ∈ C, definido equivalentemente por uma das seguintes condi¸c˜oes: − 1 −

  1 . i. k(z − A) k ≥ ǫ ii. z ∈ ∧(A + E) para algum E ∈ B(X ) com kEk &lt; ǫ. iii. z ∈ ∧(A) ou k(z − A)uk &lt; ǫ para algum u ∈ D(A) com kuk = 1.

  

Se k(z − A)uk &lt; ǫ como em (iii.), ent˜ao z ´e um ǫ−pseudo autovalor de A e u o ǫ−pseudo

autovetor (ou ǫ−pseudo autofun¸c˜ao) correspondente.

  Da defini¸c˜ ao 2.7 obtemos a seguinte a propriedade: Dado A ∈ C(X ) os ǫ−pseudo espectros satisfazem

  ǫ ǫ&gt;0

  do operador A, ∧ (A) \

  ǫ ∧ (A) = ∧(A). ǫ&gt;0

  A defini¸c˜ ao de pseudo espectro para matrizes ´e similar a defini¸c˜ ao 2.7. Suponha que A ´e uma matriz quadrada e k · k uma norma matricial convenientemente definida. Para cada ǫ &gt; 0, o ǫ−pseudo espectro de A ´e o subconjunto do plano complexo,

  − −

  1

  1 ǫ

  ∧ (A) = {z ∈ IC : k(zI − A) k ≥ ǫ }, (A), quando A

  ǫ

  com I representando a matriz identidade. Uma maneira equivalente de definir ∧ ´e uma matriz, ´e:

  ǫ min (2.23)

  ∧ (A) = {z ∈ IC : σ (zI − A) ≤ ǫ} com σ

  min

  representando o menor valor singular da matriz zI − A. Uma forma de determinar o pseudo espectro de uma matriz ´e atrav´es de (2.23). Discretizamos o operador A espectralmente, avaliando σ min ij e ent˜ ao determinamos a curva de n´ıvel da

  (zI − A) nos pontos da malha z (A) pelos autovalores

  ǫ

  superf´ıcie obtida no plano complexo. Tamb´em podemos caracterizar ∧ das matrizes perturbadas, veja a figura 2.4. Em muitas aplica¸c˜ oes encontramos operadores ou matrizes que est˜ ao longe de serem normais. Essa caracter´ıstica pode ser informada atrav´es do pseudo espectro do operador ou da matriz.

  Observa¸ c˜ ao 2.3

  ǫ (A) ´e i. Se A ´e uma matriz ou operador normal, o ǫ-pseudo espectro formado pela uni˜ ao de bolas de raio ǫ centradas nos pontos do espectro de A, o que implica que os autovalores de A s˜ ao insens´ıveis a pequenas perturba¸c˜ oes.

ii. Se A est´ (A) pode ser muito grande e ter um contorno muito

  ǫ a longe da normalidade, diferente: quanto maior o pseudo espectro, maior a n˜ ao normalidade do operador [38].

  O pr´ oximo exemplo ilustra a observa¸c˜ ao 2.3 atrav´es da figura 2.5. No exemplo 1 apresentamos dois operadores diferenciais: um longe de ser normal e outro quase normal.

  3 Exemplo 1 Pseudo espectros de dois operadores diferenciais .

  O primeiro operador diferencial altamente n˜ ao normal ´e o operador de Shor¨odinger agindo

  2

  em L (IR). O operador L ´e definido por,

  2

  • c x (2.24)

  xx

  L = −u u, x ∈ IR Os autovalores e autofun¸c˜ oes do operador L em (2.24) s˜ao determinados analiticamente e dados por: 1

  √ √

  2 4 λ = c(2k + 1) u cx /2)H (c x), para k = 0, 1, . . . k k k

  = exp(− em que H

  k

  ´e o k−´esimo polinˆomio de Hermite [20]. A figura 2.5 (esquerda), apresenta o pseudo espectro de L com c = i. O que mostra que L est´a longe de ser normal, conforme a observa¸c˜ao 2.3, item ii. De fato, a norma do resolvente cresce exponenciamente a medida que ǫ aumenta. Mais detalhes sobre as caracter´ısticas do operador de Schr¨odinger podem ser encontradas em [37, 38]

  O segundo operador diferencial associado ao problema de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensi- onal, vem da equa¸c˜ ao,   u tt xx  − u = 0 x ∈ [0, π], t ≤ 0  u(0, t) = 0    u x (π, t) + δu t (π, t) = 0,

  ´e definido por, · ¸ · ¸

  

  u

  x ∂x

  . Av =

  ∂

  u t

  ∂x

  A figura 2.5 (direita), apresenta o pseudo espectro de A com δ = 0.2. E conforme a observa¸c˜ao 2.3 item i. os autovalores de A s˜ao pouco sens´ıveis a pequenas perturba¸c˜oes, ilustrando com isso que A ´e quase normal. Mais detalhes sobre as caracter´ısticas pseudo espectrais do operador A s˜ao apresentadas na se¸c˜ao 3.2. Neste exemplo nosso objetivo ´e apenas ilustrar o pseudo espectro de um operador quase normal. Os pseudo espectros apresentados na figura 2.5 foram construidos discretizando os operadores diferenciais conforme descrito anteriormente. Detalhes adicionais ser˜ ao vistos mais adiante.

  Uma medida para a sensibilidade de um autovalor λ i de uma matriz A ´e dada pelo n´ umero de condi¸c˜ ao de λ . O n´ umero de condi¸c˜ ao [3, 9, 28] associado ao autovalor λ ´e definido por,

  i i ∗

  y x

  i i

  k(λ ) = , (2.25)

  i i i

  ky kkx k sendo x e y autovetores associados ao autovalor λ de A ` a direita e ` a esquerda, respectivamente. 3 i i i

  Todos os gr´ aficos sobre pseudo espectro apresentados nesse trabalho foram constru´ıdos usando o pacote EigTool [41].

  16 18 20 −1.5 −1 −0.5 2 3

  4 −0.2

  14 12 10 −2 −3 −2.5 1 −0.6 −0.4 4 6

  8 −4 −3.5 −4.5 −3 −2 −1 −0.8

  2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 −1

  Figura 2.5: Pseudo espectro de um operador n˜ ao normal (esquerda), com ǫ =

  − − − − −

  5

  5.5

  0.5

  1

  0.8 10 , 10 , . . . , 10 . E de um operador quase normal (direita), com ǫ = 10 , 10 , . . . , 10 .

  • O s´ımbolo : representa os autovalores dos operadores.

  −

  1 2.3.1 Algumas considera¸ c˜ oes sobre k(z − A) k e k exp(tA)k.

  Uma maneira equivalente de se analisar o problema (2.16): u , (se¸c˜ ao 2.2),

  t

  = Au, u(0) = u ´e atrav´es de sua solu¸c˜ ao formal: u = exp(tA) u , onde exp(tA) ´e um operador evolu¸c˜ao conveni- entemente definido. Assim, a evolu¸c˜ ao do sistema pode ser prevista a partir do comportamento de k exp(tA)k como uma fun¸c˜ao do tempo. Uma maneira de realizar essa an´alise ´e atrav´es do espectro do operador. Em particular, se todos os autovalores de A tˆem parte real negativa, em geral k exp(tA)k −→ 0 quando t −→ ∞ [32] (exceto alguns casos em que H tem dimens˜ao infi- nita). As dificuldades surgem quando as autofun¸c˜ oes do operador A n˜ao s˜ao ortogonais, isto ´e, o operador A ´e n˜ao normal. Devido a n˜ao normalidade do operador A, a an´alise espectral tende a perder informa¸c˜ oes sobre o comportamento com a evolu¸c˜ao do sistema em instantes de tempo intermedi´ arios [9]. Nestes casos, a an´ alise pseudo espectral ´e muito significativa, contornando as limita¸c˜ oes da an´ alise espectral. Mas em certos casos, estamos interessados no comportamento assint´ otico do sistema, isto ´e, quando t −→ ∞ e ent˜ao faz-se necess´aria a an´alise espectral.

  O objetivo desta se¸c˜ ao ´e apresentar uma rela¸c˜ ao entre a norma do operador evolu¸c˜ ao k exp(tA)k

  −

  1 e a norma do operador resolvente k(z−A) k, previamente determinada por Trefethen em [9, 38].

  Para tanto, vamos especificar o significado de exp(tA). Se A ´e uma matriz ou operador linear limitado, podemos definir exp(tA) atrav´es de uma s´erie de potˆencias convergente,

  

n

  X (tA) . exp(tA) = n!

  

n=0

  Mas, para um operador A ∈ C(X ) n˜ao limitado, o significado de exp(tA) vem da teoria

  4

  de semigrupos . ´ E conhecido que se A ´e um operador fechado, densamente definido em X que gera um semigrupo de classe C , ent˜ ao existem constantes w ∈ R e M ≥ 1 tais que k exp(tA)k ≤ M exp(wt) para todo t ≥ 0. Um resultado mais informativo ´e como segue 4 Algumas defini¸c˜ oes encontram-se no apˆendice B [25].

  Teorema 2.5 Seja A um operador linear fechado gerando um C semigrupo, existem w ∈ IR e M ≥ 1 tal que

  (2.26) k exp(tA)k ≤ M exp(wt) ∀t ≥ 0.

  

Al´em disso, qualquer z ∈ IC com Re(z) &gt; w, pertence ao conjunto resolvente de A, ρ(A), valendo

  Z

  −

  1

  = (z − A) exp(−zt) exp(tA)dt. Mais detalhes sobre o teorema podem ser encontrados em [38, teor.15.1].

  Para ilustrar o teorema 2.5, vamos considerar o operador diferencial, d u (2.27)

  Du = dx

  2

  no espa¸co L (0, d), satisfazendo a condi¸c˜ ao de fronteira u(d) = 0. Ent˜ ao conforme veremos mais adiante (teorema 2.6), o espectro de D, ∧(D), ´e vazio.

  Isto pode ser visto intuitivamente do fato de que, se existissem autofun¸c˜ oes associadas ao operador D, elas seriam u(x) = exp(zx), para algum z ∈ IC. Mas, como u(x) n˜ao satisfaz a condi¸c˜ ao de fronteira, n˜ ao existem autofun¸c˜ oes. A prova formal dessa afirma¸c˜ ao ´e obtida

  −

  1

  existe e ´e um operador limitado para todo mostrando-se que o operador resolvente (z − D) z ∈ IC, tal que:

  Z d

  −

  1

  v(x) = (2.28)

  (z − D) exp(z(x − s))v(s)ds

  x ′

  De fato, a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ = v, atrav´es do m´etodo da varia¸c˜ ao de ao diferencial zu − u parˆ ametros, ´e dada por u(x) = A(x) exp(zx). Derivando a solu¸c˜ ao e substituindo na equa¸c˜ ao

  ′

  (x) exp(zx). A fun¸c˜ ao A(x) ´e determinada ao integrarmos diferencial, obtemos que v(x) = −A

  ′

  A (x), Z d

  ′

  A (x) = −v(x) exp(−zx) =⇒ A(x) = exp(−zs)v(s)

  x −

  1

  j´ a que A(d) = 0, da condi¸c˜ v(x) = u(x) implica na equa¸c˜ ao ao de fronteira. Portanto, (z − D) (2.28), j´ a que u(x) = A(x) exp(zx).

  J´ a o pseudo espectro de D ´e muito significativo. Informa¸c˜oes sobre seu comportamento podem ser obtidas atrav´es da norma do resolvente dado em (2.28), que cresce como uma fun¸c˜ ao de exp(−dRe(z)) quando Re(z) −→ −∞. O pr´oximo teorema reune essas ´ultimas observa¸c˜oes.

  Teorema 2.6 O espectro do operador diferencial D ´e o conjunto vazio. A norma do resolvente

  −

  1

  k(z − D) k depende de Re(z), mas n˜ao de Im(z) e satisfaz

  1

  −

  1 para Re(z) &gt; 0, e (2.29)

  k(z − D) k ≤ Re(z)

  µ ¶

  1

  − 1 exp(d|Re(z)|)

  • O para Re(z) &lt; 0. (2.30) k(z − D) k =

  2|Re(z)| |Re(z)|

  O pseudo espectro de D s˜ao os semi planos da forma,

  ½ log(ǫ)/d

  quando ǫ −→ 0, ǫ ǫ ǫ (2.31)

  ∧ (D) = {z ∈ C tal que Re(z) &lt; c }, com c ≈ ǫ

  quando ǫ −→ ∞

  −

1 Demonstra¸ c˜ ao: v dado por (2.28), ent˜ ao u ´e uma resti¸c˜ ao no intervalo (0, d)

  Se u = (z −D)

  ∗

  5

  

2

  da convolu¸c˜ ao v g com v e g fun¸c˜ oes em L (IR) e g(x) = exp(zx) para x ∈ [−d, 0], 0 caso contr´ ario. Pela transformada de Fourier, temos que

  ∗ ∗

  v kuk ≤ kv gk = kd gk = kbvbgk ≤ kbvk sup |bg(w)|.

  w∈

  IR Da defini¸c˜ ao de transformada de Fourier segue que, exp(d(iw − z)) − 1

  . bg(w) = iw − z

  E esta ´ ultima express˜ ao assume seu valor m´ aximo quando w = Im(z) : exp(−dRe(z)) − 1 sup .

  |bg(w)| = |Re(z)|

  w∈

  IR Assim temos que,

  − 1 1 − exp(−dRe(z))

  para Re(z) &gt; 0. (2.32) k(z − D) k ≤ Re(z)

  O que mostra (2.29) para Re(z) &gt; 0. Por outro lado, para Re(z) &lt; 0 vamos dividir (2.28) em duas partes: Z d Z x

  −

  1

  v(x) = R

  1

  2 (z − D) v(x) − R v(x) ≡ exp(z(x − s))v(s)ds − exp(z(x − s))v(s)ds.

  Ent˜ ao temos,

  −

  1

  1

  2

  1

  2 kR k − kR k ≤ k(z − D) k ≤ kR k + kR k.

  Com os mesmos argumentos usados para mostrar (2.32), obtemos

  1 para Re(z) &lt; 0. (2.33)

  2

  kR k ≤ − Re(z)

  Z d A norma de R ´e determinada exatamente, j´ a que R v(x) = exp(zx)

  1

  1

  exp(−zs)v(s)ds. A depedˆencia de x de R v(x) independe da escolha de v. Desta forma escolhendo uma fun¸c˜ ao

  1

  1

  1

  v(x) que maximiza |R v(0)|/kvk, esta fun¸c˜ao, tamb´em vai maximizar kR vk/kvk. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, Uma escolha apropriada ´e v(s) = exp(−zs), que implica em Z d exp(−2sRe(z))ds

  1

  1

  kR k |R v(0)| exp(−2dRe(z)) − 1 = = = . (2.34)

  1

  kR k = kvk |v(d)| exp(−dRe(z)) −2Re(z) exp(−dRe(z)) Combinando os resultados (2.33) e (2.34), obtemos (2.30).

  ¤ Pelo teorema de Hille - Yosida B.2, um operador linear fechado definido densamente que satisfaz ρ(A) ⊂ (0, ∞) gera um semigrupo de contra¸c˜oes: k exp(tD)k ≤ 1 para t ≥ 0.

  O pr´ oximo teorema mostra que o pseudo espectro de operadores nilpotentes fornece informa- ¸c˜ oes importantes para a an´ alise do operador evolu¸c˜ ao no tempo. A demonstra¸c˜ ao do teorema ´e omitida, j´ a que utiliza resultados que fogem do escopo desse trabalho. Ela pode ser encontrada em [9, 38]. 5

  Se f e g s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas por partes em [0, t] para todo t &gt; 0, a convolu¸c˜ ao f ´e dada por: g Z t f (t − s)g(s)ds. Teorema 2.7 Seja A ∈ C(X ) gerando um C semigrupo exp(tA) em um espa¸co de Hilbert H.

  Ent˜ ao k exp(τA)k = 0 para todo τ ≥ t se e somente se o espectro de A ´e vazio e

  1 k(z − A) k = O(exp(−τRe(z))), quando Re(z) −→ −∞.

2.4 Estabilidade do m´ etodo das linhas

  Na se¸c˜ ao 1.4 apresentamos um exemplo que ilustra as dificuldades envolvidas na an´ alise da estabilidade do m´etodo das linhas, quando esse envolve matrizes n˜ ao normais. A estabilidade do m´etodo das linhas relaciona dois elementos dos esquemas de aproxima¸c˜ ao: uma fam´ılia de

  N

  matrizes {L } associada a aproxima¸c˜ao das derivadas das vari´aveis espaciais e a regi˜ao de estabilidade do esquema de aproxima¸c˜ ao do sistema de EDO’s semi discreto. No nosso caso as matrizes associadas a aproxima¸c˜ ao das derivadas espaciais s˜ ao obtidas atrav´es do m´etodo pseudo espectral de Chebyshev descrito em 1.3. Enquanto o sistema de EDO’s semi discreto ´e resolvido atrav´es do m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem, descrito em 2.1.1.

  Um crit´erio pr´ atico para estabilidade do m´etodo das linhas usando autovalores e regi˜ oes de estabilidade ´e como segue [26, 27, 36, 37] : Crit´ erio de Estabilidade para o M´ etodo das Linhas Segundo Autovalores

  Uma condi¸c˜ ao suficiente para a estabilidade num´erica do m´etodo das linhas ´e que o espectro de ∆t L ) esteja contido na regi˜ ao de estabilidade

  N

  do esquema de aproxima¸c˜ ao no tempo para ∆t ≈ 0.

  N

  Este crit´erio pode ser justificado da seguinte maneira: Se ∧(∆tL ) ⊂ S ent˜ao |φ(∆tλ)| ≤ 1 ) com φ descrita na se¸c˜ ao 2.1.2. Por outro lado, S = φ(∆tL ) e

  N ∆t,N N

  para todo λ ∈ ∧(∆tL pelo teorema da aplica¸c˜ )). Da´ı segue que,

  N N

  ao espectral temos que, ∧(φ(∆tL )) = φ(∧(∆tL ), a qual ´e suficiente para garantir a condi¸c˜ ao de estabilidade:

  ∆t,N

  |µ| ≤ 1 para todo µ ∈ ∧(S

  k

  kS ∆t,N k ≤ C para alguma constante C &gt; 0 (veja, se¸c˜ao 2.2, eq. (2.19)-(2.21) ), desde que n˜ao existam autovalores m´ ultiplos satisfazendo |µ| = 1, [27]. Entretanto, a menos que a matriz L seja normal, ´e conhecido que esta condi¸c˜ ao n˜ ao ´e

  N

  suficiente para garantir estabilidade num´erica no sentido pr´ atico, e nem para garantirestabilidade segundo Lax (veja o exemplo descrito na se¸c˜ ao 1.4). Reddy e Trefethen em [27] apresentam um resultado que fornece condi¸c˜ oes necess´ arias e suficientes para a estabilidade segundo Lax em N . termos dos ǫ−pseudo espectros de ∆t L Teorema 2.8 Seja S o esquema de aproxima¸c˜ ao via m´etodo das linhas do problema (2.16)

  ∆t,N

e S a regi˜ao de estabilidade do esquema de aproxima¸c˜ao de passo simples para o sistema de

EDO’s, satisfazendo:

  ′

  • S ´e limitada e φ (w) = 0 para w ∈ ∂S (Para as defini¸c˜oes de S e φ(w) veja se¸c˜ao 2.1.2.)

  −

  1

  )

  N

  • Existe um dom´ınio n˜ao-vazio V ⊆ C e uma constante M &lt; ∞ tal que k(µI − ∆tL k ≤ M para todo µ ∈ V e para todo ∆t.

  k

  )

  ∆t,N 1 ǫ N

Se k(S k ≤ C ∀k ≥ 0 ent˜ao os ǫ−autovalores {µ } do operador {∆t L } satisfazem

  dist(µ (2.35)

  ǫ

  2 , S) ≤ C ǫ ∀ǫ. k

  E se (2.35) ´e v´ alida, ent˜ ∆t,N

  3 ao kS k ≤ C min{N, k} ∀k &gt; 0 [36, 38].

  ,

  Na forma matriz - vetor, a equa¸c˜ ao (2.38) torna-se, v

  , com v =      u u

  k

  v

  ∆t,N

  = S

  k+1

  j e no instante de tempo k.

  . u

  a aproxima¸c˜ ao num´erica de u(x, t) no ponto x

  k j

  ), (2.38) com u

  k j+1 − u k j

  ∆x (u

  k j

  1 ..

  N −1

  k+1 j

  satisfazem |1 − σ| &lt; 1 para σ &lt; 2. Mas a norma das potˆencias de S

  N

  e est´ a na regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK1. J´ a o pseudo espectro da matriz ∆tL

  N

  A figura 2.6 ilustra a aplica¸c˜ ao do teorema 2.8 para o problema (2.36) com σ = 0.6 e σ = 1.2. Estabilidade segundo autovalores ´e garantida para os dois valores de σ, j´ a que σ ´e autovalor de ∆tL

  , crescem exponencialmente para σ satisfazendo 1 &lt; σ &lt; 2. O que resulta em instabilidades para as solu¸c˜ oes aproximadas.

  ∆,N

  ∆t,N

      

  ∆x . Os autovalores de S

  , e σ = ∆t

  σ 1 − σ     

  σ 1 − σ σ . ..

  =      1 − σ

  ∆t,N

  , S

  = u

  Para o sistema de EDO’s (2.37), utilizamos o m´etodo de Euler (veja a se¸c˜ ao 2.1.1), para a aproxima¸c˜ ao no tempo. Obtendo assim o problema completamente discreto, u

  A rela¸c˜ ao entre as constantes C

  t

  (2.36) O m´etodo das linhas ´e aplicado a EDP (2.36) com o esquema upwind para a aproxima¸c˜ ao na vari´ avel espacial x, o qual resulta no sistema de EDO’s semi discreto, d dt u

  (π(x − 0.25)), se |x − 0.25| ≤ 0.5 0, caso contr´ ario u(1, t) = 0.

  2

  (x, t), x ∈ (−1, 1), t ≥ 0 u(x, 0) = ( cos

  x

  (x, t) = u

  Para ilustrar a regra acima, vamos considerar o problema,            u

  (t) = u j+1 (t) − u

  ) esteja contido na regi˜ ao de estabilidade do esquema de aproxima¸c˜ ao no tempo para ǫ, ∆t → 0.

  N

  Estabilidade Num´ erica do M´ etodo das Linhas Uma condi¸c˜ ao para a estabilidade num´erica do m´etodo das linhas ´e que os ǫ-pseudo espectros de ∆t × (L

  cujas provas s˜ ao extensas e por isso s˜ ao omitidas. Para detalhes, veja [36, 38, 27]. Na pr´ atica, a estabilidade segundo Lax ´e verificada atrav´es da seguinte regra,

  N

  dependem do esquema de aproxima¸c˜ ao, da constante M e do conjunto V . A prova do teorema requer de v´ arios resultados preliminares envolvendo a norma do resolvente do operador ∆tL

  i

  j

  j (t)

  −1      .

  N

  1 . .. 1

  1 −1

  −1

      

  1 ∆x

  =

  (t)      e L

  ∆x =⇒ ¯u

  N −1

  (t) .. . u

  1

  ¯ u, (2.37) com ¯ u =      u (t) u

  N

  = L

  t

  • ∆t

  −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 −7 −6 −5 −4 −3 −2 ∆t = 0.6∆x ∆t = 1.2∆x

  Figura 2.6: Espectro (•) e Pseudo Espectro da matriz ∆tL

  N

  , para ǫ = 10

  −

  2

  , 10

  −

  3

  , . . . , 10

  −

  7

  e Regi˜ ao de Estabilidade do M´etodo RK1 (c´ırculo com centro no ponto (−1, 0)).

  −1 −0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 −2 −1 1 2 3 4 5 ∆t = 0.6∆x ∆t = 1.2∆x Figura 2.7: Solu¸c˜ oes Num´ericas do problema (2.36) com ∆t = 0.6∆x e ∆t = 1.2∆x.

  se extende para fora da regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK1, no caso em que σ = 1.2. Dessa forma as solu¸c˜ oes aproximadas apresentam instabilidades, veja a figura 2.7 (direita).

  No cap´ıtulo 4 ser˜ ao discutidas as caracter´ısticas de estabilidade dos m´etodo pseudo espectrais para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas. Nessa an´ alise ser˜ ao utilizados os dois crit´erios que garantem a estabilidade segundo autovalores e a estabilidade segundo Lax. Cap´ıtulo 3 Propaga¸ c˜ ao de Ondas

  A simula¸c˜ ao num´erica de propaga¸c˜ ao de ondas em dom´ınios extensos ou provavelmente ili- mitados ´e abordada na pr´ atica restringindo o dom´ınio para uma regi˜ ao delimitada por fronteiras artificiais. Embora conveniente do ponto de vista computacional, a abordagem requer t´ecnicas que eliminem reflex˜ oes indesejadas nas fronteiras artificiais, e um aspecto crucial do processo ´e a escolha de condi¸c˜ oes de fronteira que atenuem essas reflex˜ oes. Condi¸c˜ oes desse tipo s˜ ao chamadas condi¸c˜ oes de fronteira absorventes [7, 9, 10, 13, 17, 39]. As condi¸c˜ oes de fronteira que evitam completamente as reflex˜ oes, s˜ ao ditas transparentes [17, 19].

  Neste cap´ıtulo apresentamos brevemente alguns resultados obtidos por Driscol e Trefethen [9] e Jackiewicz e Renaut [19], que motivaram a realiza¸c˜ ao desse trabalho. Esses autores investiga- ram a estabilidade de um m´etodo pseudo espectral de Chebyshev para a propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais e bidimensionais obtido a partir de um modelo descrito por um sistema hiperb´ o- lico de EDO’s de primeira ordem. Motivados pelo trabalho de Veseli´c [40], Driscol e Trefethen [9] colocam o problema na forma de um sistema autˆ onomo envolvendo um operador n˜ ao normal, mostrando que a an´ alise espectral ´e insuficiente para o estudo de estabilidade do modelo. Nesse estudo, o problema ´e modelado usando a equa¸c˜ ao da onda linear unidimensional com uma con-

  1 di¸c˜ ao Dirichlet nula em uma fronteira e uma condi¸c˜ ao absorvente (linear decrescente ) na outra.

  J´ a Jackiewicz e Renaut estudam o problema de propaga¸c˜ ao da onda com condi¸c˜ oes de fron- teira transparentes em ambas as fronteiras, focando a estabilidade num´erica de alguns m´etodos baseados no m´etodo das linhas em conjun¸c˜ ao com o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev. O m´etodo pseudo espectral, primeiro aproxima o operador diferencial, produzindo um sistema de EDO’s da forma ¯ v = A ¯ v (modelo semidiscreto), em que A ´e uma matriz associada a apro-

  t N N

  xima¸c˜ ao das derivadas nas vari´ aveis espaciais atrav´es da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev [37], veja se¸c˜ ao 1.2. Em seguida, o m´etodo constr´ oi solu¸c˜ oes num´ericas resolvendo o sistema de EDO’s atrav´es do m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem.

  A partir dos trabalhos [9, 19], continuamos a investiga¸c˜ ao sobre a estabilidade num´erica dos m´etodos propostos nesses trabalhos para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais, restritas ao intervalo [0, 1], e bidimensionais restritas ao dom´ınio Ω = [0, 1]×[0, 1], com condi¸c˜oes de fronteira transparentes e absorventes. Para tanto, usamos uma reformula¸c˜ ao da equa¸c˜ ao da onda na forma v

  t

  = A v, [9, 19, 27, 40], em que A ´e um operador diferencial que n˜ao depende de t e ´e definido em um espa¸co de Hilbert apropriado. A partir dessa reformula¸c˜ ao duas contribui¸c˜ oes s˜ ao apresentadas. Na primeira, os resultados de Driscol e Trefethen [9] sobre o autosistema do operador A envolvendo uma condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet nula e outra 1 no sentido de que a fronteira “absorve” energia do sistema. absorvente s˜ ao generalizados para o caso em que ambas as condi¸c˜ oes de fronteira s˜ ao absorventes. J´ a na segunda, mostramos que algumas conclus˜ oes de Jackiewicz e Renaut [19] sobre o espectro de algumas matrizes envolvidas nos modelos semidiscretos e assuntos correlatos s˜ ao incorretas.

  Adicionalmente, enfatizamos que a estabilidade do sistema semi discreto depende fortemente da n˜ ao normalidade do operador A e que an´alises baseadas somente no espectro de A podem levar a conclus˜ oes errˆ oneas sobre a estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas, tornando-se com isso necess´ ario o uso dos ǫ−pseudo espectros na an´alise de estabilidade num´erica do m´etodo das linhas [26, 27].

3.1 Modelo cont´ınuo unidimensional

  Nesta se¸c˜ ao, apresentamos algumas caracter´ısticas f´ısicas do problema e uma reformula¸c˜ ao do problema na forma de um sistema autˆ onomo (m´etodo das linhas, se¸c˜ ao 1.4) que usaremos ao longo do trabalho. Vamos considerar a equa¸c˜ ao da onda, com velocidade constante c:

  2

  u u

  tt xx

  − c = 0, x ∈ IR, t &gt; 0 (3.1) u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = 0

  2

  com u(x, 0) e u (x, 0) condi¸c˜ (IR). A solu¸c˜ ao de (3.1) ´e

  t

  oes iniciais do problema, com f (x) ∈ C dada pela f´ ormula de D’Alembert: 1 u(x, t) =

  (3.2) (f (x + ct) + f (x − ct)) .

  2

  1

  f (x + ct), se propaga para a esquerda e Verifica-se que enquanto o primeiro termo (x, t) →

  2

  satisfaz, µ ¶

  ∂ ∂

  1 f (x + ct) = 0, (3.3) − c

  ∂t ∂x

  2

  1

  o segundo termo (x, t) −→ f (x − ct), se propaga para a direita satisfazendo,

  2

  µ ¶ ∂ ∂

  1

  • c

  (3.4) f (x − ct) = 0. ∂t ∂x

  2 O comportamento da solu¸c˜ ao segundo (3.3) e (3.4) sugere que a solu¸c˜ ao num´erica de (3.1) restrita ao intervalo [a, b] pode ser encontrada adicionando-se a (3.1) as condi¸c˜ oes de fronteira: u (a, t) = 0,

  t x

  (a, t) − cu (3.5) u t (b, t) + cu x (b, t) = 0.

  2 Observe que se a condi¸c˜ ao inicial f (x) ´e de suporte compacto em [a, b] , ent˜ ao as condi¸c˜ oes

  (3.5) s˜ ao satisfeitas automaticamente. Veremos mais adiante que as condi¸c˜ oes de fronteira (3.5) evitam reflex˜ oes da solu¸c˜ ao para o interior do dom´ınio.

3.1.1 Condi¸ c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao

  Conforme comentado anteriormente, um aspecto crucial no processo de simula¸c˜ ao num´erica de propaga¸c˜ ao de ondas ´e a escolha de condi¸c˜ oes de fronteira que atenuem reflex˜ oes indesejadas da 2 f (x) ∈ C([a, b]) tem suporte compacto se: [i.] suppf = {x ∈ [a, b] | f (x) 6= 0}, e [ii.] suppf ⊂ (a, b). solu¸c˜ ao num´erica. O aspecto ´e crucial porque reflex˜ oes das fronteiras para o interior do dom´ınio num´erico podem distorcer a solu¸c˜ ao do problema e at´e mesmo resultar em instabilidades. O objetivo desta se¸c˜ ao ´e apresentar conceitos que esclarecem o fenˆ omeno de reflex˜ ao para o caso unidimensional. Para tanto, primeiro vamos considerar solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao da onda

  2

  u = c u , (3.6)

  

tt xx

  da forma u(x, t) = exp(i(ωt + ξx)) (3.7) com ω, ξ ∈ IR satisfazendo a rela¸c˜ao de dispers˜ao

  ω

  2

  2

  2

  ω = c ξ , (3.8) ⇐⇒ ξ = ± c que ´e obtida quando substituimos a solu¸c˜ ao (3.7) em (3.6). Para as ondas que viajam para a esquerda, temos ξ = (ω/c) e para ondas que viajam para a direita ξ = −(ω/c). Suponhamos que associados

  j

  o dom´ınio seja limitado no intervalo [0, 1], no qual vamos considerar os operadores L ao problema (3.1) como condi¸c˜ oes de fronteira em x = 0 descritos como segue : u(0, t) = 0,

1 L

  : u (0, t) = 0, (3.9)

  2 x

  L : c u (0, t) = 0.

  3 x t

  L (0, t) − δu Sejam u (x, t) = exp(i(ωt + ξx)), e u (3.10)

  I R

  (x, t) = R exp(i(ωt − ξx)), a onda incidente e a onda refletida na fronteira artificial x = 0, respectivamente, onde R ´e o coeficiente de reflex˜ ao da onda. O objetivo ´e determinar os coeficientes de reflex˜ ao referente a cada uma das condi¸c˜ oes de fronteira dadas em (3.9). Observe que u e u dadas em (3.10) s˜ ao

  I R

  solu¸c˜ oes para a equa¸c˜ ao (3.6), satisfazendo a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao (3.8). Como o problema ´e linear u + u tamb´em ´e uma solu¸c˜ ao, ent˜ ao na fronteira [7, 10, 17] temos:

  I R

  (u + u ) = 0. (3.11)

  j

  

I R

  L Assim, para as condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet, Neumann e absorventes na fronteira x = 0, respectivamente, temos que

  (u + u exp(iωt) = 0

  1 I R

  1

  1 L ) = 0 =⇒ exp(iωt) + R =⇒ R = −1,

  (u + u exp(iωt) = 0 = 1,

  2 I R

  2

  2 L ) = 0 =⇒ ξ exp(iωt) − ξR =⇒ R 1−δ

  (u + u = .

  3 I R

  3

  3

  3 L ) = 0 =⇒ cξ(1 − R ) exp(iωt) − δω(1 + R ) exp(iωt) = 0 =⇒ R 1+δ

  (3.12) Da primeira equa¸c˜ ao de (3.12) segue que a condi¸c˜ ao de fronteira Dirichlet ´e totalmente reflexiva, sendo que a onda refletida ´e invertida. Um exemplo deste fenˆ omeno ´e ilustrado na

figura 3.1. Observe que no caso de propaga¸c˜ ao “ideal” a onda atravessa a fronteira artificial viajando em ambas as dire¸c˜ oes, enquanto que no caso de considerarmos condi¸c˜ oes de fronteira

  do tipo Dirichlet nula, o fenˆ omeno de reflex˜ ao tende a aparecer ap´ os certo tempo.

  Da segunda equa¸c˜ ao de (3.12) segue que na condi¸c˜ ao de fronteira de Neumann, a onda ´e perfeitamente refletida. A terceira equa¸c˜ ao em (3.12) define uma fam´ılia de condi¸c˜ oes de fronteira absorventes [17]. Se δ = 1 o coeficiente de reflex˜ ao torna-se nulo, indicando com isso que as condi¸c˜ oes de fronteira (3.5) s˜ ao completamente transparentes, isto ´e, permitem que as ondas atravessem as fronteiras artificiais eliminando completamente o fenˆ omeno de reflex˜ ao. A

tabela 3.1 apresenta as diferentes condi¸c˜ oes de fronteira (em x = 0) usadas frequentemente em conex˜ ao com a equa¸c˜ ao da onda e seus respectivos coeficientes de reflex˜ ao.

  1

  1

  t t

  ← ←

  0.8

  0.8

  t t t t

  2

  3

  2

  3

  t t

  1

  1

  0.6

  0.6

  ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

  ↓

  0.4

  0.4

  0.2

  0.2

  ↑ t

  4

  t

  −0.2 −0.2

  4

  →

  −0.4 −0.4

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8

  1

  0.2

  0.4

  0.6

  0.8

  1 Figura 3.1: Propaga¸c˜ ao da onda unidimensional segundo (3.2) (esquerda) e propaga¸c˜ ao da onda num´erica usando condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet nulas (direita).

  Condic˜ oes de fronteira Coeficiente de reflex˜ ao Dirichlet u = 0

  R = −1 Neumann u = 0 R = 1

  x 1−δ

  Absorventes δu t x = 0 R = − c u

  1+δ

  Transparentes u t x = 0 R = 0 − c u

  Tabela 3.1: Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao, para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais, na fronteira x = 0.

3.2 Equa¸ c˜ ao da onda com uma condi¸ c˜ ao de fronteira absorvente

  Esta se¸c˜ ao ´e dedicada ao estudo de um modelo analisado por Trefethen e Driscol em [9]. O modelo considera uma equa¸c˜ ao da onda linear unidimensional (3.1) no dom´ınio [0, π], com uma condi¸c˜ ao de fronteira Dirichlet nula em x = 0 e uma condi¸c˜ ao de fronteira absorvente em x = π:

    u

  tt xx

  − u = 0, t ≥ 0, x ∈ [0, π]   u(0, t) = 0

  (3.13)    u (π, t) + δu

  x t (π, t) = 0, com δ ∈ (0, 1].

  O estudo come¸ca com uma reformula¸c˜ ao do problema (3.13). Utilizando as vari´ aveis auxi- liares v = u e v = u obtemos

  1 x 2 t

  ∂v

  1 ∂v

2 ∂v

2 ∂v

  1

  = e = , ∂t ∂x ∂t ∂x o que nos leva ao sistema da forma

  ½ · ¸ · ¸

  ∂

  v v

  t

  1

  = A v, 0 ≤ t ≤ T

  ∂x

  , com v = , (3.14) , e A = ∂ v(0) = v v

  2 ∂x

  2

  2

  [0, π] sendo A um operador diferencial linear definido em A : D 7→ H, com H = L [0, π] × L

  T

  , v ] ,

  1

  2

  e D ´e um subespa¸co denso em H formado por fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas v = [v satisfazendo as condi¸c˜ oes, v (0, t) = 0,

  2

  (3.15) v (π, t) + δv (π, t) = 0, com δ &gt; 0.

  1

2 Conforme descrito na se¸c˜ ao 2.3.1, a an´ alise de estabilidade da solu¸c˜ ao de (3.14) pode ser feita

  atrav´es do operador exp(tA), tendo presente que podem ocorrer dificuldades quando A ´e n˜ao normal. Para tal, uma an´ alise espectral ´e necess´ aria, tanto para δ ∈ (0, 1) constante arbitr´aria, como para δ −→ 1, e sobretudo, sem ignorar que o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao nem sempre informa sobre a estabilidade num´erica da mesma, conforme ocorre com alguns operadores que tˆem todos os autovalores no semiplano complexo negativo. Driscol e Trefethen em [9], citam um exemplo na ´ area de estabilidade hidrodinˆ amica que ´e assintoticamente est´ avel de acordo com a an´ alise linear, mas que na pr´ atica apresenta instabilidades.

  Pelas considera¸c˜ oes colocadas acima, faz-se necess´ aria uma an´ alise espectral e pseudo espec- tral do operador A. A an´alise espectral do operador come¸ca com a seguinte proposi¸c˜ao a qual descreve o auto sistema de A. Uma outra forma de determinar o autosistema do operador A ´e descrita por Veseli´c em [40].

  Proposi¸ c˜ , v

  n n

  ao 3.1 Se 0 &lt; δ &lt; 1, o autosistema do operador A, {λ } ´e descrito por: µ ¶ µ ¶

  1

  1 1 − δ λ = ln n + (3.16) +

  n

  i ∀ n ∈ Z, 2π 1 + δ

  2 T

  e v = [v v ] com n 1 n 2 n

  ( v

  

1 n (x) = cosh(λ n x)

  . (3.17) v

  

2 n (x) = senh(λ n x)

T

  Demonstra¸ c˜ ao: v ] a autofun¸c˜ ao correspondente. Da

  1

  2 Seja λ um autovalor de A e v = [v

  equa¸c˜ ao Av = λv vemos que as as autofun¸c˜oes devem satisfazer

  2

  2

  ∂ v ∂v ∂ v ∂v

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  = λ = λ v , e = λ = λ v (3.18)

  2

  1

  2

  2

  ∂x ∂x ∂x ∂x Dessas equa¸c˜ oes segue que v = A senh(λx) + B cosh(λx), e v = A senh(λx) + B cosh(λx).

  1

  1

  1

  2

  2

  2 Da primeira condi¸c˜ ao de fronteira: v (0, t) = v (0) = 0, segue que B = 0 e que A ´e qualquer

  2

  

2

  2

  2

  constante n˜ ao nula. Tomando A = 1 e considerando que de (3.18) temos que

  2

  ∂v

  2 = λ cosh(λx) = λv (x) = cosh(λx).

  1

  1

  (x) =⇒ v ∂x

  T

  Portanto, as autofun¸c˜ v ] , tˆem componentes da forma

  1

  2

  oes de A, v = [v v (x) = cosh(λx), v (x) = senh(λx),

  1

  2 com λ a ser determinado.

  Agora vamos determinar os autovalores do operador A. Impondo a segunda condi¸c˜ao de fronteira, temos que (3.19)

  (1 + δ) exp(λπ) + (1 − δ) exp(−λπ) = 0 De (3.19) obtemos, 1 − δ 1 − δ = exp(iθ) exp(2λπ) = −

  1 + δ 1 + δ com exp(iθ) = cos θ + isenθ = −1. O que implica que θ = (2n + 1)π, ∀n ∈ Z, e da´ı obtemos (3.16).

  ¤ Driscol e Trefethen organizam essas informa¸c˜ oes atrav´es do seguinte teorema, cuja demons- tra¸c˜ ao pode ser encontrada em [9].

  3 Teorema 3.1 Para 0 &lt; δ ≤ 1, a imagem num´erica de A ´e o semi plano fechado esquerdo, e para δ = 0, ela ´e o eixo imagin´ ario. Consequentemente,

  1

  −

  1

  , Re(λ) &gt; 0 (3.20) k(λI − A) k ≤ Re(λ)

  

Para 0 &lt; δ &lt; 1, o espectro de A ´e dado por (3.16). A norma do resolvente ´e invariante sob

transla¸c˜ oes pelo eixo iZ e satisfaz,

  −

  1 − 1 π

  k(λI − A) k ≥ |1 − (1/2R )| · |Re(λ)| + O(exp(2πRe(λ))), Re(λ) −→ −∞ (3.21)

  − −

  1

  1 π

  k(λI − A) k ≤ (1 − (1/2R )) · |Re(λ)| + O(exp(2πRe(λ))), Re(λ) −→ −∞,

  com R π = (1−δ)/(1+δ), determinando o coeficiente de reflex˜ao da condi¸c˜ao na fronteira x = π.

  

Para δ = 1 o espectro de A ´e vazio. A norma do resolvente e invariante sob todas as transla¸c˜oes

imagin´ arias e satisfaz,

  µ ¶

  1

  − 1 exp(2π|Re(λ)|)

  • O (3.22) k(λI − A) k = , com Re(λ) −→ −∞.

  2 |Re(λ)| |Re(λ)| Observe que, como δ ∈ (0, 1), todos os autovalores de A tˆem parte real negativa. Al´em disso, pode-se provar que o espectro do operador A ´e formado apenas pelo conjunto dos seus autovalores, o fato segue da segunda equa¸c˜ ao de (3.21), que mostra que o operador (λI − A) ´e limitado (veja a defini¸c˜ ao 2.5, se¸c˜ ao 2.3). E que o espectro do operador ´e vazio quando δ = 1 [9].

  A an´ alise pseudo espectral do operador A foi feita numericamente: os pseudo espectros foram determinados atrav´es de um modelo semi discreto com dimens˜ ao suficientemente grande, que ser´ a apresentado na se¸c˜ ao 3.3.2. As seguintes conclus˜ oes podem ser feitas.

  • Para δ distante de 1, as desigualdades (3.21) confirmam um grau de n˜ao normalidade moderado, conforme j´ a ilustrado na se¸c˜ ao 2.3, veja figura 3.2 (esquerda).
  • Se δ ≈ 1, a primeira desigualdade em (3.21) indica que as fronteira esquerda de cada

  ǫ−pseudo espectro cresce a medida que ǫ aumenta (veja figura 3.2 `a direita). Entretanto cada pseudo espectro continua sendo limitado ` a esquerda e ` a direita.

  • J´a para δ = 1, a estimativa (3.22) no semi plano esquerdo mostra que os ǫ−pseudo espectros n˜ ao s˜ ao limitados ` a esquerda, quando Re(λ) −→ −∞, fato ilustrado pela figura 3.3. Al´em disso, o operador A ´e nilpotente, no sentido que exp(tA) = 0 para t ≥ 2π, (veja se¸c˜ao 2.3.1). O teorema 2.7 relaciona a nilpotˆencia do operador evolu¸c˜ ao exp(tA) com a norma

  −

  1 do resolvente k(λ − A) k, que cresce como uma fun¸c˜ao de exp((−2πRe(z)).

  Encerramos a se¸c˜ ao enfatizando que o operador A ´e altamente n˜ao normal quando δ = 1, fato que pode acarretar em dificuldades no que diz respeito a estabilidade de esquemas semi discretos para resolver o problema de evolu¸c˜ ao associado. 3 A imagem num´erica (numerical range) de A ´e definida por, W (A) := {hAu, ui : kuk = 1}.

  4 −0.2 4 2 3 −0.4 −0.2 1 −0.4 1 −0.6 −1 −0.8 −3 −2 −1 −0.8 −0.6 −2 −1 −3 −1.6 −1.2 −1.4 −4 −3 −2 −1 1 2

3 −3 −2 −1

−1 −4 1 2 3 −2 −1.8 − −

  2 3

  1

  0.8

  , 10 , . . . , 10 Figura 3.2: Espectro e pseudo espectro do operador A para δ = 0.2 e ǫ = 10

  − −

  2

  

1.8

  (esquerda) e para δ = 0.99 e ǫ = 10 , 10 , . . . , 10 (direita). Os autovalores de A s˜ao marcados pelos pontos. 3 4 1 2 −4 −2 −2 −1 −8 −6

  −3 −4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 −10 − 10 −

  8 , 10 , . . . , 10 . ǫ

  Figura 3.3: ∧ do operador A com δ = 1, com ǫ = 10

  

3.3 Sistemas semi discretos associados ao modelo de Driscol e

Trefethen

  Nesta se¸c˜ ao apresentamos uma an´ alise comparativa de dois modelos semi discretos associados ao modelo (3.13) de Driscol e Trefethen [9], obtidos aproximando a segunda derivada em rela¸c˜ ao a vari´ avel espacial x atrav´es do m´etodo de diferen¸cas finitas e atrav´es do m´etodo pseudo espectral de Chebyshev.

3.3.1 Sistema semi discreto baseado em diferen¸ cas finitas

  Para o problema (3.13), vamos considerar uma parti¸c˜ ao do intervalo [0, π] com N subinter- valos, igualmente espa¸cados onde h = π/N , 0 = x &lt; x &lt; . . . &lt; x = π

1 N com x = x + ih e i = 0, 1, . . . , N .

  i

  Aproximando u via diferen¸cas finitas centradas, obtemos

  xx

  u(x i−1 i , t) + u(x i+1 , t) , t) − 2u(x u (x

  xx i

  , t) ≈ ∀i = 1, . . . N − 1,

  2

  h j´ a que a condi¸c˜ ao de fronteira u(x xx (x , t). Ou seja, , t) = 0 =⇒ u

  

  1   u tt (x

  1 , t) , t) + 2u(x

  1 2 , t)

  ≈ − (−u(x , t) − u(x

  2

    h  

  1   u (x , t) , t) + 2u(x , t)

  tt

  2

  1

  2

  3

  ≈ − (−u(x , t) − u(x

  2

  h (3.23)  ..

   .    

  1   u tt (x N −1 N −2 , t) + 2u(x N −1 N , t).

  , t) ≈ − (−u(x , t) − u(x

  2

  h Usando s´erie de Taylor para aproximar u (x , t) obtemos,

  xx N

  2

  2 u (x (u(x , t)) + u (x , t).

  xx N N −1 N x N

  , t) ≈ , t) − u(x

  2

  h h Portanto, se usamos as condi¸c˜ ao de fronteira (3.13) em x = π, obtemos

  N

  1 2δ u (x , t) + 2u(x u (x , t). (3.24)

  tt N N −1 N t N

  , t) ≈ − (−2u(x , t)) −

  2

  h h Se eliminamos o erro de aproxima¸c˜ ao em (3.23) e (3.24), obtemos o sistema N × N de EDO’s da forma:

  δ

  1 ¯ v + + tt C ¯ v t K ¯ v = 0 (3.25)

  2

  h h com, C e K sendo matrizes N × N definidas por  

  2 −1

   

  2 −1 −1

     

       

  C = diag(0, . . . , 0, 2), K = , . .. ... ...

  2 −1 −1

  2 −2 e

  .

  T

  ¯ v = [v

  1 (t) v 2 (t) . . . v (t)] , N

  com v (t) sendo a aproxima¸c˜ ao para u(x

  i i

  , t), para 1 ≤ i ≤ N . O sistema (3.25) pode ser reescrito na forma, U t = L N U (3.26) com

    · ¸

  I v ¯ U = , L =   . (3.27)

  N

  1 δ ¯ v

  t C

  − K −

  2

  h h

  10 5 −0.2

2

3

  

4

−0.2 −0.6 −0.4

−1

  

1

−0.6 −0.4 −10 −5 −0.8 −1 −4

−2

−3

−1 −0.8 −10 −5 5 10 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 Figura 3.4: Espectro e pseudo espectro da matriz b L (diferen¸cas finitas), com ǫ = N − −

  1

  0.8

  10 , 10 , . . . , 10 , N + 1 = 16 e δ = 0.99 (esquerda). Zoom da aproxima¸c˜ ao, ` a direita. Os

  ⋆

  • s´ımbolos representam os autovalores de L e os s´ımbolos

  N , os autovalores de A.

  Como o sistema semidiscreto (3.26) envolve a matriz L que n˜ ao ´e sim´etrica (por causa da

  N

  n˜ ao simetria da matriz K), um modelo alternativo com melhores propriedades pode ser obtido facilmente. De fato, introduzindo a transforma¸c˜ ao  

  2 −1

   

  2 −1 −1

    √

  −

  1

    e K = DKD = , com D = diag(1, . . . , 1, 2/2),

   . .. ... . ..   

  √   2 2/2

  −1 − √

  2/2

  2 − segue que e K ´e sim´etrica e definida positiva e com uma fatora¸c˜ ao Cholesky obtemos,

  T

  e K = P P . A mudan¸ca de vari´ aveis,

  1 T

  1 T V = P

  V

  

1,t

  2 V 1 = P v ¯

  h , , h

  δ

  1 V = ¯ v

  2 t

  V CV

  V

  

2,t

  2

  1

  = − − h h resulta no sistema semi discreto

  · ¸ · ¸ · ¸ · ¸

  

T

  1 V P V .

  V

  1,t

  1

  1 = = b L . N

  V h

  V V

  2,t

  2

  2

  −P −δC A quest˜ ao que aparece ´e se o espectro e o pseudo espectro do operador discreto b L aproxima

  N

  de fato o espectro e o pseudo espectro do operador A. A resposta ´e afirmativa, mas a convergˆencia

  ⋆

  ´e muito lenta, conforme pode ser verificado atrav´es da figura 3.4 em que representam os

  • , os autovalores da matriz b L .

  N

  autovalores do operador A e

  

3.3.2 Sistema semi discreto baseado no m´ etodo pseudo espectral de Che-

byshev

  Nesta se¸c˜ ao analisamos a segunda vers˜ ao semi discreta do problema (3.13), de Driscol e Trefethen [9]. O modelo prov´em de aplicar o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev com pontos de coloca¸c˜ ao da forma:

  µ µ ¶ ¶ 1 jπ a = x &lt; x = b, com x = + (b + a)

1 N j < · · · < x (b − a) cos , 0 ≤ j ≤ N.

  2 N Um aspecto fundamental do m´etodo apresentado ´e o uso da matriz de diferencia¸c˜ ao de

  Chebyshev D para discretizar o modelo (3.13). O procedimento para deduzir D ´e descrito na se¸c˜ ao 1.2. Para aproximar a derivada espacial de segunda ordem usando a matriz D, vamos considerar, . .

  T T u ¯ = [u (x , t), . . . , u (x , t)] , u ¯ = [u (x , t), . . . , u (x , t)] . tt tt tt N xx xx xx N

T

  T

  Da representa¸c˜ ao da matriz D usando linhas l e colunas d , com ¯ u = [u(x , t), . . . , u(x , t)] ,

  j N

j

  segue que

  2

  u ¯ u ¯

  xx

  ≈ D

  T T T

  l + . . . + d l )¯ u + d l u ¯

  N −1 N

  ≈ (d

  N −1 N T T

  l + . . . + d l )¯ u + d u (x , t),

  N −1 N x N

  ≈ (d

  N −1 T

  pois u (x u. Das condi¸c˜ ¯ oes de fronteira,

  x N

  , t) ≈ l

  N

  ( u(x , t) = 0 . u (x (x , t)

  x N t N

  , t) = −δu segue que b u ¯ u (x , t) + e D D u ˘

  xx N x N

  1

  2

  ≈ d (3.28) b

  N u t (x N , t) + e D

  1 D 2 u. ˘

  ≈ −δd em que .

  T

  e ˘ u = [u(x , t), . . . , u(x , t)] , D = [d . . . d ],

1 N

  1 N −1

  com b D sendo formada pelas N ´ ultimas colunas da matriz e D definida por

  2

  2

   

  T

  l   e .. D =

  2  .  .

  T

  l

  N −1

  Tomando as N ´ ultimas equa¸c˜ oes do sistema (3.28) obtemos o a seguinte aproxima¸c˜ ao para ˘ u :

  xx

  b u ˘ d u (x , t) + b D D u, ˘ (3.29)

  xx N t N

  1

  2

  ≈ −δ b em que b d ´e composto pelas N ´ ultimas componentes de d e b D ´e formado pelas N ´ ultimas

  N N

  1

  linhas de e D . Da´ı segue que

  1

  b u ˘ C ˘ u + b D D ˘ u

  tt t

  1

  2

  ≈ b com b d ,

  N

  C sendo a matriz de ordem N com as N −1 pimeiras colunas nulas e a ´ultima igual a −δ b isto ´e,

  T

  b d e ,

  N

  C = −δ b N

  25 4 2 3 −1.4 −1 −5 5 −1.2 −0.8 −1

  15 −0.4 10 20

  1 −1.8 −2.2 −25 −15 −20 −10 −2 −1.6 −4 −3 −2 −3 −2.6 −30 −20 −10 10 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 − −

  2

  1.6 Figura 3.5: Espectro e pseudo espectro da matriz e B com ǫ = 10 , 10 , . . . , 10 , N +1 = 16 N − −

  3

  2.6

  e δ = 0.99 (esquerda). Zoom da aproxima¸c˜ ao ` a direita, com ǫ = 10 , 10 , . . . , 10 . Os autovalores de e B s˜

  N ao marcados pelo s´ımbolo • e os autovalores do operador A pelos s´ımbolo ⋆.

  com e sendo o N -´esimo vetor canˆ onico. Desprezando o erro de aproxima¸c˜ ao em (3.29) obtemos

  N

  o sistema de EDO’s b ¯ v = b C ¯ v + b D D v, ¯ (3.30)

  tt t

  1

  2

  com .

  T

  v ¯ = [v (t), . . . , v (t)]

1 N e v (t) sendo a aproxima¸c˜ ao para u(x , t).

  i i

  O sistema de EDO’s de segunda ordem (3.30) pode ser transformado no seguinte sistema de EDO’s de primeira ordem

  · ¸ · ¸ I ¯ v

  V = B V, com B = , e V = . (3.31)

  t N N

  b b b D D C v ¯

  1 2 t

  A formula¸c˜ ao apresentada em [9] ´e obtida a partir do sistema (3.30) atrav´es da mudan¸ca de vari´ aveis, ( w = b D ¯ v

  1 2 w = b D v ¯ = b D w 1,t 2 t

  2

  2

  , =⇒ w = b C w + b D w w = ¯ v 2,t

  2

  1

  1 2 t

  o que resulta no sistema de EDO’s, " #

  · ¸ b D w

  2

  1 W = e B W, com e B = , e W = . (3.32) t N N

  b b D C w

  2

  1 O caso de m´ axima n˜ ao normalidade ocorre quando δ = 1, que ´e o caso em que o espectro

  de A ´e vazio, (figura 3.3). J´a o pseudo-espectro do operador ´e muito significativo e pode ser usado para prever o comportamento do operador evolu¸c˜ ao k exp(tA)k. A aproxima¸c˜ao usando o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev mostra-se mais eficiente que a aproxima¸c˜ ao via diferen¸cas finitas, compare as figuras 3.4 e 3.5. A figura 3.5, apresenta o espectro e pseudo espectro da matriz e B

  B

  N N

  , juntamente com o espectro do operador A. Observe que os autovalores de e (representados por •), coincidem com os autovalores de A (representados por ⋆).

3.4 Equa¸ c˜ ao da onda com condi¸ c˜ oes de fronteira transparentes

  = c 2 ln

  1 n

  = [w

  e pelas autofun¸c˜ oes w n

  ) ¶

  2

  )(c + c

  1

  (c + c

  2 )

  )(c − c

  1

  µ (c − c

  n

  2 n

  λ

  ao o autosistema do operador A ´e formado pelos autovalores:

  &lt; c. Ent˜

  2

  , c

  1

  Come¸camos com a seguinte proposi¸c˜ ao que descreve o auto sistema de A. Proposi¸ c˜ ao 3.2 Se 0 &lt; c

  Conforme visto nas se¸c˜ oes 2.2 e 3.2, a solu¸c˜ ao formal do problema valor inicial (3.35) ´e da forma w(t) = exp(tA)w(0) e pelas mesmas condi¸c˜oes as limita¸c˜oes da an´alise espectral s˜ao contornadas pela an´ alise pseudo espectral do operador A.

  2 = c.

  = c

  1

  constantes positivas. Note que as condi¸c˜ oes de fronteira absorventes (3.36) tornam-se as condi¸c˜ oes de fronteiras transparentes em (3.5) quando c

  2

  , w

  ]

  1

  2 n

  (3.38)

  x c ¶¸ .

  n

  µ λ

  1 senh

  x c ¶

  n

  λ

  · c cosh µ

  1

  1 c + c

  (x) =

  , w

  T com

  x c ¶¸

  n

  λ

  cosh µ

  1

  x c ¶

  n

  λ

  · csenh µ

  1

  c c + c

  1 n (x) =

  w

  e c

  (1, t) = 0 (3.36) com c

  Nesta se¸c˜ ao apresentamos uma an´ alise espectral de um m´etodo num´erico pseudo espectral de Chebyshev para a simula¸c˜ ao num´erica de propaga¸c˜ ao de ondas 1D e 2D, proposto recentemente por Jackiewicz e Renaut em [19]. O modelo unidimesional ´e a equa¸c˜ ao da onda (3.1), restrita ao intervalo [0, 1] com condi¸c˜ oes de fronteira que generalizam (3.5), descrita como um sistema hiperb´ olico de EDO’s de primeira ordem obtido atrav´es da transforma¸c˜ ao w

               w

  (1, t) + cw

  1

  (0, t) = 0, t &gt; 0 w

  2

  (0, t) − cw

  1

  (x), 0 ≤ x ≤ 1, w

  x

  (x, 0) = f

  2

  (x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, w

  1

  , 0 &lt; x &lt; 1, t &gt; 0 w 2,t = w 1,x , 0 &lt; x &lt; 1, t &gt; 0, (3.33) com condi¸c˜ oes iniciais e de fronteira

  (0, t) = 0, t &gt; 0 (3.34)

  2,x

  w

  2

  = c

  1,t

  : ½ w

  x

  = u

  2

  e w

  t

  = u

  1

  2

  A segunda equa¸c˜ ao em (3.33) ´e a chamada condi¸c˜ ao de consistˆencia: w

  

2

  (0, 1) × L

  w

  2

  (1, t) + c

  1

  (0, t) = 0 w

  

2

  w

  1

  (0, t) − c

  1

  (0, 1) e D ´e um subespa¸co denso em H formado por fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas satisfazendo as condi¸c˜oes de fronteira absorventes w

  2

  2

  xt

  ¸ (3.35) em que A ´e um operador linear definido em A : D 7→ H, com H = L

  2 ∂ ∂x ∂ ∂x

  · c

  ¸ , e A =

  2

  w

  1

  · w

  = Aw, 0 ≤ t ≤ T w(0) = w , com w =

  t

  Para a an´ alise espectral do modelo, vamos reescrever o problema original na forma ½ w

  tx .

  = w

  • cnπi ∀ n ∈ Z (3.37)
  • c
  • c

  T

  Demonstra¸ c˜ ao: , w ] a autofun¸c˜ ao correspondente. A

  1

  2 Seja λ um autovalor de A e w = [w

  equa¸c˜ ao Aw = λw exige que

  2

  2

  2

  2

  ∂ λ ∂ λ w w = 0, e w w = 0,

  2

  2

  1

  1

  − −

  2

  2

  2

  2

  ∂x c ∂x c e dessas equa¸c˜ oes segue que as componentes da autofun¸c˜ ao w devem ser da forma: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶

  λx λx λx λx w (x) = A exp + A exp , e w (x) = B exp + B exp (3.39)

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  − − c c c c com A e B , constantes a serem determinadas. Agora note que da primeira condi¸c˜ ao de fronteira

  i i

  em (3.36) e da rela¸c˜ ao: ∂ w

  1 = λw 2 ,

  ∂x temos que µ ¶

  1

  c − c B = cA , B , e A = A .

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  = −cA c + c

  1

1 A escolha B = verifica (3.38). A segunda condi¸c˜ ao de fronteira em (3.36) mostra que,

  1

  2

  µ ¶ λ )

  1

  2

  (c − c )(c − c exp 2 = , (3.40) c (c + c )(c + c )

  1

  2 o qual verifica (3.37).

  ¤ Observa¸ c˜ ao 3.1 Podemos tamb´em transformar o problema (3.1) em um sistema de equa¸c˜ oes

  diferenciais ordin´ arias, definido da seguinte forma,

  ( " # · ¸ w ˘ w

  I

  t

  u = L ˘ 2

  , ˘ w = . (3.41)

  com L = 2 ∂ 2 u

  c t w(0) = ˘ ˘ w

  ∂x

  A partir da formula¸c˜ ao (3.41), os autovalores de L s˜ao dados pela proposi¸c˜ao 3.3. Proposi¸ c˜ ao 3.3 Se 0 &lt; c , c &lt; c. Ent˜

  1

  2 ao o autosistema do operador L ´e formado pelos auto- valores:

  µ ¶ c

  1 2 )

  (c − c )(c − c λ = ln

  (3.42)

  n

  • cnπi ∀ n ∈ Z 2 (c + c

  1 )(c + c 2 ) T e pelas autofun¸c˜ oes w = [u , λ u ] com n n n n

  µ ¶ µ ¶ λ x λ x

  n n

  u n (x) = csenh + c

  1 cosh . (3.43)

  c c A demonstra¸c˜ ao ´e feita de maneira an´ aloga a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 3.2. Observa¸ c˜

  = c = c. Isto pode

  1

  2

  ao 3.2 O espectro do operador A, ∧(A), ´e vazio quando c

  

ser explicado intuitivamente notando que, como as autofun¸c˜ oes devem ser da forma (3.38) e

j´ a que elas dependem de λ satisfazendo (3.40), conclui-se que n˜ ao existem autofun¸c˜ oes no caso

  c = c = c. Uma demonstra¸c˜ ao rigorosa deste resultado envolve a an´ alise do operador resolvente

  1

  2 − 1 (zI − A) , z ∈ IC, conforme os teoremas 2.6 e 3.1. Mais detalhes veja [9, 38].

  −20 −10 −20 10 −30 −10 10 20 30 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 −20 −10 −20 10 −30 −10 10 20 30 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 Figura 3.6: Fronteiras do ǫ-pseudo espectro de A para c

  2 .

  2

  = c = 1, com ǫ = 10

  −

  8

  , . . . , 10

  −

  O pseudo espectro de A ´e apresentado nas figuras 3.6 e 3.7 para o caso em que a velocidade de propaga¸c˜ ao da onda ´e c = 1 e algumas escolhas de c

  1

  1

  , c

  2

  . As conclus˜ oes feitas sobre o pseudo espectro do operador descrito em (3.14), com uma condi¸c˜ ao de fronteira absorvente, podem ser extendidas para o operador (3.35), com condi¸c˜ oes de fronteira absorventes nas duas fronteiras. Observe na figura 3.6 que a medida que c

  1 , c

  

2

  = c

  Figura 3.7: Fronteiras do ǫ-pseudo espectro de A para c

  1

  = 0.99, esquerda e direita respectivamente, com ǫ = 10

  = c

  2

  = 0.2 e c

  1

  = c

  2

  −

  −20 −10 −20 10 −30 −10 10 20 30 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2

  1

  , 10

  −

  

0.8

  , . . . , 10

  0.6

  . Os autovalores do operador s˜ ao representados pelo s´ımbolo •.

  → c, o pseudo espectro torna-se mais amplo e a n˜ ao normalidade do operador A aumenta, isto ´e, os autovalores do operador tornam-se mal condicionados. J´ a a figura 3.7, apresenta o pseudo espectro do operador para c = c = c . Nesse

  1

  2 caso, os ǫ-pseudo espectros s˜ ao os semi planos ` a esquerda das fronteiras.

3.4.1 Problema semi discreto unidimensional de Jackiewicz e Renaut

  Aqui apresentamos dois modelos semi discretos associados ao problema (3.35) propostos por Jackiewicz e Renaut [19], que resultam de incorporar as condi¸c˜ oes de fronteira de duas maneiras diferentes.

  A primeira formula¸c˜ ao surge quando incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira (3.5) eliminando as vari´ aveis w

  2 (x , t) e w 2 (x N , t) fazendo:

  w (x , t) w (x , t)

  1

  1 N

  w (x , t) = e w (x . (3.44)

  2

  2 N

  , t) = − c c Para ver como isto ´e feito, observe que usando as defini¸c˜ oes . .

  T T

  w ¯

  1 = [w 1 (x , t), . . . , w 1 (x , t)] , ¯ w 2 = [w 2 (x , t), . . . , w 2 (x , t)] , N N

  e do sistema (3.33), segue que,

  

2

  w ¯ 1,t D ¯ w

  2

  ≈ c . (3.45) w ¯ w

  2,t

  1

  ≈ D ¯ Agora, incorporando as condi¸c˜ oes de fronteira e substituindo (3.44) em (3.45), obtemos

  2

  w w + c D w

  1,t

  

1

  1

  2

  b ≈ cC ¯ b , (3.46) w w ¯

  2,t

  2

  

1

  b ≈ D .

  

T

  com w = ¯ w , w = [w (x , t), . . . , w (x , t)] , e

  1

  1

  2

  2

  1

  2 N −1

  b b

  T T

  D = [d ], D = [l ],

  1

  1 N −1

  2

  · · · d

  1 · · · , l N −1

  (3.47)

  T C = [d ] . N

  , 0, . . . , 0 − d A segunda equa¸c˜ ao em (3.46) foi obtida a partir de (3.45) omitindo a primeira e ´ ultima rela¸c˜ ao, devido as condi¸c˜ oes de fronteira. Desprezando os erros de aproxima¸c˜ ao, o primeiro modelo semi discreto associado ao modelo cont´ınuo (3.35), ´e dado por

  ½ V = A V , t &gt; 0,

  1,t

  1

  1

  (3.48)

  T

  V (0) = [0, . . . , 0, f (x ), . . . , f (x )]

  1 x 1 x N −1

  com · ¸ · ¸

  2

  c C c D w

  1

  1

  b A = e V = .

  1

  1 D O w

  2

  2

  b A segunda formula¸c˜ ao ´e obtida quando incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira eliminando w (x , t) e w (x , t) fazendo

  1

1 N

  w (x , t) = c w (x , t) e w (x (x , t). (3.49)

  1

  2

  1 N

  2 N

  , t) = −c w Procedendo como no caso anterior obtemos,

  2

  w D w

  1,t

  

2

  2

  b ≈ c b , (3.50) w w + c C w

  2,t

  1

  

1

  2

  b ≈ D b b

  .

  T

  as matrizes D , D e C, como na primeira formula¸c˜ ao, w = [w (x , t), . . . , w (x , t)] , e

  1

  2

  1

  1

  1

  1 N −1

  b w = ¯ w .

  2

  2

  b Portanto, o segundo modelo semi discreto obtido em [19] ´e dado por,

  ½ V = A V , t &gt; 0,

  2,t

  2

  2

  (3.51)

  T

  V (0) = [0, . . . , 0, f (x ), . . . , f (x )]

  

2 x x N

  com · ¸ · ¸

2 O c D w

  2

  1

  b A = e V = .

  2

  2 D c C w

  1

  2

  b Baseados em resultados num´ericos, Jackiewicz e Renaut [19] concluem que as caracter´ısticas de estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas de ambas as formula¸c˜ oes s˜ ao muito semelhantes, apesar das matrizes A e A terem espectros diferentes (com A tendo autovalores no semi plano

  1

  2

  1

  direito). Uma an´ alise da estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas dessas formula¸c˜ oes ´e apresentada no pr´ oximo cap´ıtulo. Aqui, mostraremos que a afirma¸c˜ ao sobre os espectros das matrizes A e

  1 A 2 ´e incorreta, veja tamb´em a figura 3.8.

  Proposi¸ c˜ ao 3.4 As matrizes A e A s˜ ao semelhantes.

  1

2 Demonstra¸ c˜ ao: Defina

  · ¸ · ¸

2 O c

  I −

  I

  1 S = = .

  =⇒ S

  1 2 I O

  I O

  c −

  

1

Utilizando essas matrizes, vemos que A = S A S, conforme desejado.

  1

  2 40 60 40 60 −1 ¤ 20 20 −3 −4 −2 −40 −40 −20 −20 −7 −6 −5 −60 −60 −80 −60 −40 −20 −80 −60 −40 −20 −8

  Figura 3.8: Espectro e pseudo espectro de A (esquerda) e A (direita), com c = c = c = 0.2

  1

  2

  1

  2 e N + 1 = 32.

  Os autovalores das matrizes A e A vˆem em pares complexos conjugados e muitos destes s˜ ao

  1

  2

  muito sens´ıveis a pequenas perturba¸c˜ oes, tal como erros de arredondamento. O fato ´e ilustrado na figura 3.9. Note que com N + 1 = 32 os autovalores de A

  1 s˜ ao iguais aos autovalores de A 2 .

  200 100 150 600 800 400 −50

  50 −200 200 −200 −150 −100 −45 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 −800 −600 −400

  Figura 3.9: Autovalores das matrizes A (c´ırculos pequenos) e A (asteriscos), com N + 1 = 32

  1

  2 (esquerda) e N + 1 = 64 (direita).

  Isto n˜ ao ocorre com N + 1 = 64. Este fato n˜ ao contradiz a proposi¸c˜ ao 3.4, simplesmente mostra que as matrizes A e A tˆem autovalores muito sens´ıveis a “pequenas perturba¸c˜ oes”, a medida

  1

  2 que N cresce. Portanto as matrizes A e A est˜ ao longe de serem normais.

  1

  2 n×n

  ´e o n´ umero de condi¸c˜ ao de Jordan, associado ao Uma medida de normalidade de A ∈ IR autoproblema.

  −

1 Defini¸ c˜ uma decomposi¸c˜ ao de Jordan da matriz A. O n´ umero de

  ao 3.1 Seja A = V ∧ V

  4 condi¸c˜ ao de Jordan ´e definido por

  −

  1 .

  2

  2

  k(A) = kV k kV k Com c = 1, N + 1 = 32 e N + 1 = 64 o n´ umero de condi¸c˜ ao de Jordan das matrizes A e

  1 A , respectivamente, ´e apresentado na tabela 3.2.

  2 o

  N de Condi¸c˜ ao N + 1 = 32 N + 1 = 64

  11

  14

  k(A )

  1

  6.5194 · 10 8.5034 · 10

  11

  14

  k(A )

  2

  6.5193 · 10 9.3704 · 10 Tabela 3.2: N´ umero de Jordan na norma 2 das matrizes A

  1 e A 2 com N + 1 = 32 e N + 1 = 64.

  Uma consequˆencia da proposi¸c˜ ao 3.4 ´e que o n´ umero de condi¸c˜ ao dos problemas de auto- valor associados as matrizes A e A ´e dado por uma constante que depende da velocidade de

  1

  2 propaga¸c˜ ao de onda, c, do problema original (3.1). A proposi¸c˜ ao 3.5 apresenta esse resultado.

  Proposi¸ c˜ ao 3.5 Sejam k(A ) e k(A ) os n´ umeros de condi¸c˜ ao de Jordan dos problemas de

  1

  2 autovalor associados as matrizes A 1 e A 2 , respectivamente. Estes n´ umeros se relacionam por um fator constante, µ ≥ 1 definido por,

  

  2

  c se c &gt; 1   1 se c = 1

  µ =

  1   se c &lt; 1

  2 4 c Se A ´e normal k(A) = 1.

  −

1 Demonstra¸ c˜ ao: Seja A = V a decomposi¸c˜ ao de Jordan da matriz A . Pela proposi¸c˜ ao

  1

  1

  1

  ∧V

  1

  3.4 o n´ umero de condi¸c˜ ao k(V ), da matriz A satisfaz:

  2

  2

− −

1 − 1 −

  1

  1

  k(A

  2

  1

2 S

  2

  

2

  2

  1

  2 2 = k(S)k(A 1 ). (3.52)

  ) = kSV k kV

  

1 k ≤ kSk kS k kV k kV

1 k 2 −

  1

  = c = 1, pois as colunas de S s˜ ao

  2

  2 Agora observe que se c &gt; 1 temos kSk e kS k

  2

  2

  ortogonais. Assim k(S) = c . Um racioc´ınio similar implica que k(S) = (1/c ) se c &lt; 1 e k(S) = 1 se c = 1. Portanto de (3.52) temos que k(A ). Se invertermos a rela¸c˜ ao

  2

  1

  ) ≤ µk(A entre k(A

  1 ) e k(A 2 ) no procedimento acima, obtemos k(A

  1 2 ).O que mostra o resultado.

  ) ≤ µk(A ¤

  O resultado ilustrado na figura 3.8 mostra que os problemas de autovalores associados as matrizes A e A s˜ ao quase igualmente condicionados. Sendo que o n´ umero de condi¸c˜ ao cor-

  1

  2

  respondente pode ser extremamente grande a medida que N cresce. Consequentemente, as propriedades de estabilidade dos m´etodos de integra¸c˜ ao no tempo, descritas no cap´ıtulo 2, para os modelos semi discretos (3.48) e (3.51) n˜ ao devem diferir significativamente.

  Na abordagem de Jackiewicz e Renaut, os sistemas (3.48) e (3.51) s˜ ao resolvidos atrav´es do m´etodo RK4. Uma dificuldade encontrada ´e que as solu¸c˜ oes num´ericas obtidas s˜ ao aproxima¸c˜ oes para as derivadas u e u e n˜ ao para o deslocamento u. Para determinar aproxima¸c˜ oes para u,

  t x

  os autores utilizam o seguinte procedimento: M´ etodo de Jackiewicz e Renaut Passo 1: Calcule as N + 1 aproxima¸c˜ oes de u t atrav´es do m´etodo RK4.

  Passo 2: Para 0 ≤ i ≤ N e k ≥ 0, determine as aproxima¸c˜oes de u atrav´es da f´ormula: u(x , t ) = u(x , t ) + ∆t[ β u (x , t ) + β u (x , t )

  i k+3 i k t i k 1 t i k+1

  (3.53)

  • β u (x , t ) + β u (x , t ) ]

  2 t i k+2 3 t i k+3 com β = 171/8, β = 57/8.

  1

  2

  3

  = −(51/8), β = −(153/8), β Observa¸ c˜ ao 3.3 Para o esquema (3.53) s˜ ao necess´ arios trˆes dados iniciais: u(x , t ) (que ´e

  i

uma condi¸c˜ ao inicial do problema original (3.13)), e mais u(x , t ) e u(x , t ) que s˜ ao introduzidas

i 1 i

  2 no esquema exatamente, visto que a solu¸c˜ ao exata do problema ´e conhecida e dada por (3.2).

  Os autores n˜ ao comentam como as constantes s˜ ao obtidas, fazendo apenas a observa¸c˜ ao que elas aparecem como um resultado de usar um interpolador das solu¸c˜ oes u (x , t) de grau 3. Ap´ os

  t i

  v´ arias tentativas frustradas de se obter as constantes citadas, seguindo o procedimento indicado pelos autores, determinamos novas constantes descritas na pr´ oxima proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 3.6 Seja p (x , t) o polinˆ omio de grau trˆes que interpola 4 pontos sucessivos no

  3 i

tempo u (x , t ), . . . , u (x , t ). Ent˜ ao u(x , t) pode ser aproximado atrav´es do esquema (3.53)

t i j t i j+3 i com as constantes β’s, iguais a β = 3/8, β = 9/8, β = 9/8, β = 3/8.

  1

  2

  3 Demonstra¸ c˜ ao: j+3 j+3

  X Y )

  l

  (t − t Se u (x u (x , t )l (t) e l (t) = .

  t i t i k k k

  , t) ≈ p(t) com p(t) = (t )

  k l

  − t

  k=j l=j, l6=k Ent˜ ao integrando de t a t obtemos,

  j j+3

  Z

  t j+3 u(x i , t j+3 i , t j p(t)dt.

  ) − u(x ) ≈

  t j

  Com cada constante β dada por Z t j+3

  1 ∆tβ = l (t)dt, para k = 0, . . . , 3. (3.54)

  k k

  ∆t

  t j

  Como t j+1 j = ∆t vamos fazer a mudan¸ca de vari´ aveis apresentada na figura. Assim obtemos, −t t j = 0 t j+1 = ∆t t j+2 = 2∆t t j+3 = 3∆t

   Z

  3∆t

  1

  1

  3   β

  = = − (t − ∆t)(t − 2∆t)(t − 3∆t)dt =⇒ β

  

  3

   ∆t 6(∆t)

  8  

  Z 3∆t  

  1

  1

  9  

  β = =

  1

  1

   t(t − 2∆t)(t − 3∆t)dt =⇒ β

  3

  ∆t 2(∆t)

  8 Z

  3∆t

  1

  1

  9  

  β =

  

  2

  2

  = − t(t − ∆t)(t − 3∆t)dt =⇒ β 

  3

   ∆t 2(∆t)

  8   Z

  3∆t

  

  1

  1

  3    β =

  =

  3

  3

  t(t − ∆t)(t − 2∆t)dt =⇒ β

  3

  ∆t 6(∆t)

  8 conforme desejado.

  ¤ Observa¸ c˜ ao 3.4 Exemplos num´ericos apresentados no pr´ oximo cap´ıtulo mostram que o uso das

  

constantes descritas na proposi¸c˜ ao 3.6, produzem resultados mais precisos do que aqueles obtidos

na proposta de Jackiewicz e Renaut em (3.53).

3.5 Modelo bidimensional

  Nesta se¸c˜ ao, apresentamos o problema de propaga¸c˜ ao da onda linear bidimensional, apre- sentado em [19] por Jackiewicz e Renaut, descrito pelo modelo 

  2

   u = c (u + u

  tt xx yy

   ), −∞ &lt; x, y &lt; ∞, t &gt; 0 

  (3.55) u(x, y, t) = f (x, y), −∞ &lt; x, y &lt; ∞    u

  t

  (x, y, t) = 0, −∞ &lt; x, y &lt; ∞ Como no problema unidimensional, para resolvermos o problema numericamente restringi- mos o dom´ınio para Ω = [0, 1] × [0, 1], supondo que a condi¸c˜ao inicial f(x, y) seja uma fun¸c˜ao de suporte compacto em Ω e condi¸c˜ oes de fronteira artificiais dadas por,

   u  t x

  (0, y, t) − c u (0, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ 1     u (1, y, t) + c u

  t x

  (1, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ 1 (3.56)

   u

  t y

  (x, 0, t) − c u (x, 0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ 1     u (x, 1, t) + c u

  t y

  (x, 1, t) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 Posteriormente veremos que estas condi¸c˜ oes de fronteira s˜ ao absorventes.

  O procedimento ´e an´ alogo ao caso unidimensional. Isto ´e, trabalharemos com um sistema hiperb´ olico de EDO’s de primeira ordem, obtido como segue. Utilizando as vari´ aveis auxiliares u = u , u = u , e u = u ,

  1 t 2 x 3 y

  o sistema associado ao problema (3.55) ´e 

  2

  2

  u = c (u + u , t &gt; 0

  1,t 2,x 3,y

  ), x, y ∈ Ω = [0, 1]  u = u

  (3.57)

  2,t 1,x

   u = u

  3,t 1,y

  ∂ em que u i,s ´e usado para denotar u i . As duas ´ ultimas equa¸c˜ oes em (3.57) s˜ ao nada mais do ∂s que as condi¸c˜ oes de consistˆencia: u xt = u tx e u yt = u ty .

  De maneira compacta, o sistema acima pode ser descrito como: ½

  U

  t

  = MU (3.58)

  U (0) = U onde M ´e um operador diferencial linear definido como  

   

  2 ∂ 2 ∂

  c c u

  1 ∂x ∂y ∂

      .

  O O u

    , e U =

  ∂x ∂

  2 M =

  O O u

  3 ∂y

  As condi¸c˜ oes iniciais e de fronteira, respectivamente, associadas ao problema (3.58) usando as vari´ aveis auxiliares s˜ ao  u (x, y, 0) = 0,

  1

  0 ≤ x, y ≤ 1,     u (x, y, 0) = f (x, y),

  2 x

   0 ≤ x, y ≤ 1,     u

  3 (x, y, 0) = f y (x, y),

  0 ≤ x, y ≤ 1,   

  (3.59) u

  1

  2

   − c u = 0, x = 0, 0 ≤ y ≤ 1,    u + c u 

  1

  2

  = 0, x = 1, 0 ≤ y ≤ 1,     u

  1

  3

  − c u = 0, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1,    u + c u

  1

  3 = 0, y = 1, 0 ≤ x ≤ 1.

  Na se¸c˜ ao 3.5.2 apresentamos as formula¸c˜ oes semi discretas associadas ao modelo cont´ınuo (3.58) que foram descritas em [19].

3.5.1 Condi¸ c˜ oes de fronteira e coeficientes de reflex˜ ao

  2 A equa¸c˜ ao da onda u = c (u + u tt xx yy

  ) com x, y ∈ IR, t &gt; 0, admite como solu¸c˜ao a onda, u(x, y, t) = exp i(ωt + ξx + ηy) (3.60) em que ω ´e a freq¨ uˆencia de onda e ξ, η s˜ ao os n´ umeros de onda. Substituindo (3.60) em (3.55) obtemos a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao,

  2

  2

  2

  2

  ω = c (ξ + η ) (3.61) Como no caso unidimensional, precisamos restringir o dom´ınio impondo condi¸c˜ oes de fron- teira artificiais. Se restringimos o dom´ınio com uma condi¸c˜ ao de fronteira artificial em x = 0, por exemplo, queremos que essas ondas que viajam para a esquerda, ultrapassem a fronteira com a menor reflex˜ ao poss´ıvel. J´ a que na pr´ atica, no caso bidimensional, n˜ ao ´e poss´ıvel de- terminarmos condi¸c˜ oes de fronteira que evitem completamente as reflex˜ oes. Engquist e Madja [10] apresentam um m´etodo para construir condi¸c˜ oes de fronteira absorventes que minimizem as reflex˜ oes de ondas que viajam em dire¸c˜ oes perpendiculares pr´ oximas as fronteiras. Mais detalhes podem ser encontrados em [7, 17, 35, 39, 29, 31].

  O objetivo desta se¸c˜ ao ´e apresentar conceitos que esclare¸cam o fenˆ omeno de reflex˜ ao de ondas, para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas bidimensionais. Para exemplificar, vamos construir as condi¸c˜ oes de fronteira absorventes na fronteira x = 0 com 0 ≤ y ≤ 1, e determinar seus respectivos coeficientes de reflex˜ ao. A metodologia proposta por Enguiqst e Madja em [10], envolve a aproxima¸c˜ ao da raiz quadrada, originada da rela¸c˜ ao de dispers˜ ao (3.61), 1

  · ¸ 2 ´

  2

  ω ³cη

  , (3.62) ξ = ± 1 − c ω em potˆencias de (cη)/ω. Esta aproxima¸c˜ ao corresponde a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao de uma equa¸c˜ ao

  

pseudo diferencial, que aproxima a equa¸c˜ ao diferencial parcial, cuja rela¸c˜ ao de dispers˜ ao ´e dada

por (3.61).

  Claramente, problemas surgem em (3.62), quando |(cη)/ω| &gt; 1. Assim as ondas da forma (3.60) satisfazem c(−(ξ/ω), −(η/ω)) = c(cos θ, senθ) com senθ ∈ [−1, 1], θ ∈ [−π/2, π/2] (veja figura 3.10). Ou seja, para cada freq¨ uˆencia ω, a equa¸c˜ ao (3.60) admite ondas planas que viajam em todas as dire¸c˜ oes, com velocidade c, [31, 35, 39].

  η

  u

  y ω ξ

  θ u

  x ω

  θ Figura 3.10: θ, (ξ/ω) e (η/ω) para a equa¸c˜ ao da onda unidirecional.

  Para estudar as propriedades de reflex˜ ao de uma fronteira sobre a solu¸c˜ ao num´erica do problema de propaga¸c˜ ao de ondas (3.55), consideramos u (x, y, t) e u (x, y, t), as ondas incidente

  I R

  e refletida, em rela¸c˜ ao a fronteira x = 0. A onda incidente viaja para a esquerda, enquanto a onda refletida, viaja para a direita. Al´em disso, vamos supor que as ondas incidente, u e

  I

  refletida, u , tˆem a mesma freq¨ uˆencia ω,

  R

  u (x, y, t) = exp i(ωt + ξx + ηy) e u

  I R

  (x, y, t) = R exp i(ωt − ξx + ηy) , onde R representa o coeficiente de reflex˜ ao na onda refletida, que depende do ˆ angulo θ.

  O sinal positivo na raiz (3.62), indica que a onda viaja para a esquerda, enquanto o sinal negativo, indica que a onda viaja para a direita. Como queremos analisar a fronteira x = 0 tomamos a parte positiva de (3.62), p cξ cη

  2

  = , com s = . (3.63) 1 − s ω ω

  A raiz quadrada (3.63) ´e aproximada pela fun¸c˜ ao racional, p (s)

  m

  r(s) = q (s)

  n

  com p (s) e q (s), polinˆ omios de graus m e n, respectivamente, que indicam o grau de aproxi-

  m n ma¸c˜ ao: (m, n).

  ξ 0.8 1 ω

  0.6 0.4 r(s) 0.2 ց

  √

  2

  1 − s →

  η

  s = −0.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ω √

  2 Figura 3.11: O problema de aproxima¸c˜ .

  ao: r(s) ≈ 1 − s Dessa forma, eliminando os erros de aproxima¸c˜ ao, a equa¸c˜ ao (3.63) torna-se:

  ωr(s) ξ = , c ou equivalentemente,

  n m

  ´ j ´ j

  X X ³cη ³cη q j ξc = ω p j . (3.64)

  ω ω

  j=0 j=0 N

  Multiplicando pelo termo ω , com N = max{n, m − 1}, obtemos

  n m

  X X

  j N −j j N −j+1

  q (cη) ω ξc = p (cη) ω , (3.65)

  j j j=0 j=0

  que ´e uma rela¸c˜ ao de dispers˜ ao para a equa¸c˜ ao diferencial,

  n m

  µ ¶ µ ¶

  j N −j j N −j+1

  X X ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  j+1 j

  q c u = p c u. (3.66)

  j j j N −j j N −j+1

  ∂y ∂t ∂x ∂y ∂t

  j=0 j=0

5 Por exemplo, usando s´eries de Pad´e para aproximar de (3.63) atrav´es da equa¸c˜ ao (3.64)

  [7, 10] temos que: Para m = n = 0, a equa¸c˜ ao (3.66) torna-se, : c q u u = 0 com p = q = 1.

  1 x t

  L − p na solu¸c˜ ao (3.60), obtemos a rela¸c˜ ao de dispers˜ ao A

  1

  : cξ − ω = 0. Resultando em (3.65) para m = n = 0. Usando o mesmo procedimento para m = 2, n = 0 e m = n = 2, obtemos respectivamente: c

  1 Aplicando L

  1

  • : u u = 0, com q = p = 1, p = 0, p ,

  2 tt xt yy

  1

  = −

  2 L − c u

  2

  2

  2

  1 3c c

  3

  1 : + u u u = 0 com p = q = 1, p = q = 0, p q .

  3 ttt tyy ttx xyy

  1

  1

  2

  = − = − c

  2 L − − u

  4

  4

  4

  4 Resultando nas rela¸c˜ oes de dispers˜ ao dadas em (3.65), c

  2

  2 A

2 := ω η = 0, m = 2, n = 0

  − cωξ +

  2

  1

  3

  2

  2

  3

  2

  2 A c ξη c η ω = 0, m = n = 2.

  3

  := cωξ − − ω −

  4

  4 Portanto, a condi¸c˜ ao absorvente na fronteira x = 0 ´e modelada pela equa¸c˜ ao diferencial (3.66). A equa¸c˜ ao diferencial parcial (3.66) na fronteira ´e apenas uma aproxima¸c˜ ao para a equa¸c˜ ao da onda unidirecional. Desta forma, parte da onda ´e refletida pela fronteira. Trefethen e Halpern em [39] mostram que as aproxima¸c˜ oes r(s) com m = n ou m = n + 2 levam a solu¸c˜ oes est´ aveis.

  Clayton e Enguiqst [7] determinam a aproxima¸c˜ ao A atrav´es da rela¸c˜ ao de recorrˆencia para

  j

  aproxima¸c˜ oes de (3.62) via s´eries de Pad´e:

  2

  s

  2j

  A j ), com j = 2, . . . . (3.67) = 1 − + O(|s| 1 + A

  j−1 O grau de absor¸c˜ ao da condi¸c˜ ao de fronteira depende da ordem de aproxima¸c˜ ao em (3.65).

  Como no caso unidimensional, as condi¸c˜ oes de fronteira Dirichlet e Neumann nulas, s˜ ao total- mente reflexivas. Com coeficientes de reflex˜ ao R = −1 e R = 1, respectivamente. A qualidade das solu¸c˜ oes aproximadas pode ser medida pelos coeficientes de reflex˜ ao. A pr´ oxima proposi¸c˜ ao apresenta o coeficiente de reflex˜ ao de ondas refletidas para a condi¸c˜ ao de fronteira A , associada a aproxima¸c˜ ao (3.67), na fronteira x = 0.

  j

  Proposi¸ c˜ ao 3.7 Seja A como em (3.67) uma aproxima¸c˜ ao para a raiz quadradada (3.62). O

  j

coeficiente de reflex˜ ao R , associado a condi¸c˜ obtida da aproxima¸c˜ ao (3.66),

j j ao de fronteira L na fronteira x = 0 ´e dado por:

  µ ¶ j 1 − cos(θ) R j , (3.68)

  = − 1 + cos(θ) Demonstra¸ c˜ ao: Como as ondas u e u s˜ ao solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao da onda linear u =

  I R tt

  2

  c (u xx + u yy ), a onda u 5 I + u R tamb´em ´e solu¸c˜ ao. Os coeficientes de reflex˜ ao (3.68) s˜ ao obtidos

  Neste trabalho vamos analisar somente as aproxima¸c˜ oes baseadas em s´eries de Pad´e, outras t´ecnicas de

aproxima¸c˜ ao para a equa¸c˜ ao (3.64) s˜ ao apresentadas em [39, 29, 31], as quais obtˆem outros valores para as

j j contantes q com 0 ≤ j ≤ n e p com 0 ≤ j ≤ m.

  0.2 −0.4 −0.2

  R −0.6 R 1

  −0.8 −1 R R 3 2

  π θ

  2 Figura 3.12: Coeficientes de reflex˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de ordens 1, 2 e 3 em x = 0. ao impormos que na fronteira x = 0, a condi¸c˜ (u + u ) = 0 ´e satisfeita [7, 17].

  j

  I R

  ao L ¤

  Observe que a condi¸c˜

  1 , no caso unidimensional ´e transparente, mas no

  ao de fronteira L caso bidimensional depende do ˆ angulo de incidˆencia da onda sobre a fronteira. A figura 3.12 ilustra o coeficiente de reflex˜ ao obtido pelas condi¸c˜

  1

  2

  3

  oes de fronteira absorventes L , L e L com θ ∈ [0, π/2]. A tabela 3.3 apresenta algumas condi¸c˜oes de fronteira com seus respectivos coeficientes de reflex˜ ao. Vale ressaltar que condi¸c˜ oes de fronteira com ordem de aproxima¸c˜ ao maiores se tornam mais dif´ıceis de implementar [7, 10, 17, 39].

  Condic˜ oes de fronteira Coeficiente de reflex˜ ao Dirichlet u = 0

  R = −1 Neumann u = 0 R = 1

  x

  1 − cos θ Absorventes: O(1), m = n = 0 u = 0

  t x

  − c u R = − 1 + cos θ µ ¶

  2

  2

  c 1 − cos θ Absorventes: O(2), m = 2, n = 0 + c u + tt tx u yy = 0

  −u R = − 2 1 + cos θ µ ¶

  3

  2

  3

  3c c 1 − cos θ

  • Absorventes: O(3), m = n = 2 u u u = 0 R

  ttt tyy ttx xyy

  3

  − − c u = −

  4 4 1 + cos θ Tabela 3.3: Condi¸c˜ oes de fronteira e coeficiente de reflex˜ ao, para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas bidimensionais ne fronteira x = 0.

3.5.2 Problema semi discreto de Jackiewicz e Renaut

  A aproxima¸c˜ ao da segunda derivada em rela¸c˜ ao as vari´ aveis espaciais ´e feita de maneira an´ aloga ao problema unidimensional, aproximando as derivadas nas vari´ aveis espaciais em cada uma das dire¸c˜ oes x e y, conforme o exemplo 2 da se¸c˜ ao 1.3. Vamos considerar: .

  T

  u ¯ = [u(x , y , t), . . . , u(x , y , t), . . . , u(x , y , t), . . . , u(x , y , t)] ,

  

N o N N N

.

  T u ¯ i = [u i (x , y , t), . . . , u i (x N , y , t), . . . , u i (x , y N , t), . . . , u i (x N , y N , t)] , com i = 1, 2, 3.

  Ao fixarmos cada um dos pontos y , desprezando erros de aproxima¸c˜ ao, a derivada discreta

  j

  na vari´ avel x ´e dada por, u ¯

  2

  = (I ⊗ D)¯u, com I representando a matriz identidade de ordem N + 1 e D a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev, descrita na se¸c˜ ao 1.2. E fixando cada x , a derivada discreta na vari´ avel y,

  j

  u ¯

  3 = (D ⊗ I)¯u.

  Aqui, ⊗ representa o produto kronecker de duas matrizes, veja o apˆendice A, [21]. Dessa forma, um sistema sistema semi discreto geral associado ao sistema (3.58) ´e dado por, ( b

  U t = M b U (3.69) b

  U (0) = b U em que    

  2

  

2

  c u ¯

  1

  (I ⊗ D) c (D ⊗ I)   , e b   ,

  M = O O U = u ¯

  2

  (I ⊗ D) O O u ¯

  3

  (D ⊗ I) com b U contendo as aproxima¸c˜ oes para as condi¸c˜ oes iniciais ¯ f x e ¯ f y . Aqui estamos considerando, .

  T

  ¯ f = [f (x , y , t), . . . , f (x , y , t), . . . , f (x , y , t), . . . , f (x , y , t)]

  x x x N x N x N N .

  T

  ¯ f = [f (x , y , t), . . . , f (x , y , t), . . . , f (x , y , t), . . . , f (x , y , t)] .

  y y y N y N y N N

  Observa¸ c˜ ao 3.5 Os modelos semi discretos associados ao modelo (3.69), como no caso uni-

  

dimensional, obt´em aproxima¸c˜ oes para u , u e u . Para obter aproxima¸c˜ ao da solu¸c˜ ao u, os

t x y

autores necessitam de esquemas de aproxima¸c˜ ao adicionais. Mais informa¸c˜ oes s˜ ao encontradas

em [19].

  Do sistema de EDO’s semi discreto (3.69), temos que 

  2

   u ¯ = c ],

  1,t

  2

  3

   [(I ⊗ D)¯u + (D ⊗ I)¯u 

  (3.70) u ¯ ,

  2,t

  

1

  = (I ⊗ D)¯u    u ¯ ,

  3,t

  

1

  = (D ⊗ I)¯u que ´e a origem de v´ arios sistemas semi discretos associados ao sistema (3.69) obtidos por Jackie- wicz e Renaut. Esses sistemas semi discretos dependem da maneira de incorporar as condi¸c˜ oes de fronteira (3.59) no modelo. A primeira formula¸c˜ ao ´e obtida quando incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira (3.59) elimi- nando as vari´ aveis u (x , y , t) e u (x , y , t) fazendo

  2 j

2 N j

  u (x , y, t) = (1/c)u (x , y, t) u (x, y , t) = (1/c)u (x, y , t)

  2

  1

  

3

  1

  , . (3.71) u (x (x , y, t) u (x, y (x, y , t)

  2 N

  1 N

  3 N

  1 N

  , y, t) = −(1/c)u , t) = −(1/c)u Fixando cada y

  j

  , com 0 ≤ j ≤ N usando a nota¸c˜ao .

  T

  u ˘ = [u (x , y , t) . . . , u (x , y , t)] , i = 1, 2, 3,

  i i j i N j

  e as condi¸c˜ oes de fronteira (3.71) segue que,

  1 u ˘ = C ˘ u + D u , para cada j = 0, 1, . . . , N,

  2,x

  1

  1

  2

  b c

  T com C e D , como em (3.47) e u = [u (x , y , t), . . . , u (x , y , t)] .

  1

  2

  2 1 j

  2 N −1 j

  b Usando a nota¸c˜ ao matricial, a aproxima¸c˜ ao completa da derivada discreta de u em rela¸c˜ ao

  2

  a vari´ avel x ´e dada por,

  1 u = u ) u , (3.72)

  2,x

  

1

  1

  2

  e (I ⊗ C)e + (I ⊗ D e c (

  T

  u = [u (x , y , t), . . . , u (x , y , t), . . . , u (x , y , t), . . . , u (x , y , t)] ,

  2

  2

  1

2 N −1

  2

  1 N

  2 N −1 N

  e com u = ¯ u e u = ¯ u .

  2,x 2,x

  1

  1

  e e Daqui em diante, para simplicidade, usamos a mesma nota¸c˜ ao para as inc´ ognitas e as apro- xima¸c˜ oes correspondentes. Para aproximar a derivada de u em rela¸c˜ ao a y, vamos fixar cada

  3

  x . Incorporando as condi¸c˜ oes de fronteira dadas pela equa¸c˜ ao (3.71), os termos u (x , y , t)

  j 3 j

  e u

  

3 (x j , y N , t) podem ser eliminados. Procedendo analogamente ao caso anterior, na nota¸c˜ ao

  matricial a aproxima¸c˜ ao completa da derivada discreta de u em rela¸c˜ ao a y ´e dada por,

  3

  1 u = u + (D u , (3.73)

  3,y

  

1

  1

  3

  e (C ⊗ I)e ⊗ I)e c (

  T

  u

  3 = [u 3 (x , y 1 , t), . . . , u 3 (x N , y

1 , t), . . . , u

3 (x , y N −1 , t), . . . , u 3 (x N , y N −1 , t)] ,

  e com u = ¯ u e u = ¯ u .

  3,y 3,y

  1

  1

  e e Assim a partir de (3.72) e (3.73) a primeira equa¸c˜ ao do sistema (3.70) torna-se,

  2

  u ¯ + c ) u + (D u ]. (3.74)

  1,t

  1

  1

  2

  1

  3

  = c[(I ⊗ C) + (C ⊗ I)]¯u [(I ⊗ D e ⊗ I)e O mesmo procedimento ´e utilizado para aproximar ¯ u e ¯ u no qual obtemos, fixando y e

  1,x 1,y j

  x j , respectivamente, ˘ u 2,t = D

  2 u ¯

  1

  para cada j = 0, 1, . . . , N, ˘ u = D u ¯ ,

  3,t

  2

  1

  pois pelas condi¸c˜ oes de fronteira os termos u (x , y , t) u (x , y , t), u (x , y , t) e u (x , y , t)

  2,t j 2,t N j 3,t j 3,t j N

  j´ a foram determinados. A matriz D , ´e dada como em (3.47). Portanto as duas ´ ultimas equa¸c˜ oes

  2

  de (3.70) tornam-se, u 2,t

  2 )¯ u

  1

  e = (I ⊗ D

  (3.75) u = (D .

  3,t

  

2

  1

  e ⊗ I)¯u Das equa¸c˜ oes (3.74) e (3.75), segue que a primeira formula¸c˜ ao de Jackiewicz e Reanut [19] ´e dada pelo sistema, ( b b

  U = A U ,

  1,t

  1

  1

  (3.76) b U (0) = b U

  1

  1

  onde 

    

  2

  2

  ) c (D u ¯

  1

  1

  1

  c(I ⊗ C + C ⊗ I) c (I ⊗ D ⊗ I) 

   , b   A = O O U = u ,

  1

  2

  1

  e D O O u

  2 I ⊗ D

  2

  3

  ⊗ I e e b U contendo as aproxima¸c˜ oes de ¯ f x e ¯ f y , nos mesmos pontos de coloca¸c˜ ao utilizados para as

  1 aproxima¸c˜ oes de u e u .

  e

  2 e

3 A segunda formula¸c˜ ao em [19] ´e obtida quando as condi¸c˜ oes de fronteira (3.59) s˜ ao incorpo-

  radas fazendo u (x , y, t) = c u (x , y, t), u (x (x , y, t),

  1

  2

  1 N

  2 N

  , y, t) = −c u (3.77) u (x, y , t) = c u (x, y , t), u (x, y (x, y , t).

  1

  3

  1 N

  3 N

  , t) = −c u Novamente, fixando cada y e eliminando os termos u (x , y , t) e u (x , y , t), devido as

  j 1 j

  1 N j

  condi¸c˜ oes de fronteira (3.77), obtemos: ˘ u = c C ˘ u + D u , para cada j = 0, 1, . . . , N,

  2,t

  2 1 b

  1 .

  T

  com u = [u (x , y , t), . . . , u (x , y , t)] . Da mesma maneira, fixando cada x e eliminando

  1

  1 1 j

1 N −1 j j

  b os termos u (x , y , t) e u (x , y , t), obtemos:

  1 j 1 j N

  ˘ u = c C ˘ u + D u , para cada j = 0, 1, . . . , N,

  3,t

  3

  1

  1

  b .

  T

  com u = [u (x , y , t), . . . , u (x , y , t)] . Assim, na forma matricial, as duas ´ ultimas

  1 1 j

  1 1 j N −1

  b equa¸c˜ oes de (3.70), tornam-se: ¯ u ) u ,

  2,t

  2

  1

  1

  = c (I ⊗ C)¯u + (I ⊗ D e (3.78)

  ¯ u + (D u ,

  3,t

  3

  1

  1

  = c (C ⊗ I)¯u ⊗ I)e .

  T

  1

  1

  1

  1

1 N −1

  1

  1

  1 N −1

  1 N −1 N −1

  com u = [u (x , y , t), . . . , u (x , y , t), . . . , u (x , y , t), . . . , u (x , y , t)] . Pe- e

  las condi¸c˜ oes de fronteira (3.77), os termos u (x , y , t), u (x , y , t), u (x , y , t) e u (x , y , t)

  

2 j

  2 N j 3 j 3 j N

  j´ a foram determinados. Ent˜ ao as aproxima¸c˜ oes para u e u s˜ ao dadas por:

  2,x 3,y

  b b

  2

  u = c D u

  2,x

  2

  2

  b b para cada j = 0, 1, . . . , N.

  2

  u = c D u ,

  3,y

  2

  3

  b b Logo, na forma matricial, a primeira equa¸c˜ ao de (3.70), torna-se,

  2

  2

  2

  2

  3

  u = c )¯ u + (D ]. (3.79) e 1,t

  [(I ⊗ D ⊗ I)¯u Portanto pelas equa¸c˜ oes (3.78) e (3.79), a segunda formula¸c˜ ao ´e dada pelo sistema,

  ( b b U = A U ,

  2,t

  2

  2

  (3.80) b U (0) = b U

  2

  2

  80 150 100 −20 20 50 −60 −40 −100 −50 −80 −250 −200 −150 −100 −50 50 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 −150 20 Figura 3.13: Autovalores da matriz A (` a esquerda) e da matriz A , (` a direita), com N = 15.

  40 60

  1

  2

  com    

  2

  2 O c ) c (D u

  2

  2

  1

  (I ⊗ D ⊗ I) e   , b  

  A = O U = u ¯

  2

  1

  2

  2 I ⊗ D c(I ⊗ C)

  D O u ¯

  1

  3

  ⊗ I c(C ⊗ I) e b U contendo as aproxima¸c˜ oes de ¯ f x e ¯ f y nos mesmos pontos de coloca¸c˜ ao de ¯ u

  2 e ¯ u 3 .

2 Nos sistemas (3.76) e (3.80), os vetores U e U cont´em informa¸c˜ oes sobre as derivadas da

  1

  2

  solu¸c˜ ao, o que ´e uma desvantagem do m´etodo j´ a que ele n˜ ao produz imediatemente aproxima¸c˜ oes para u(x, y, t). Al´em disso, observe que as dimens˜ oes dos sistemas s˜ ao muito distintas: enquanto

  2

  2

  a dimens˜ ao de A , a dimens˜ ao de A ´e 2(N + 1)

  1 2 ´e 2(N + 1)(N − 1) + (N + 1) + (N + 1)(N − 1).

  Observe tamb´em que, diferente do caso unidimensional, os autovalores das matrizes A e A ,

  1

  2 s˜ ao distintos como apresentado na figura 3.13.

  No pr´ oximo cap´ıtulo, apresentamos propostas de m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev para problemas de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensionais e bidimensionais. Uma das vantagens dos m´etodos propostos ´e a determina¸c˜ ao de aproxima¸c˜ oes para u a cada passo do tempo. Cap´ıtulo 4 M´ etodos Pseudo Espectrais de Chebyshev Propostos

  No cap´ıtulo anterior foi visto que a principal caracter´ıstica dos m´etodos de Jackiewicz e Re- naut [19] para propaga¸c˜ ao de ondas, ´e que o c´ alculo do deslocamento das ondas ´e feito a partir de estimativas de velocidades calculadas pelo m´etodo de Runge-Kutta de quarta ordem. V´ arios exemplos num´ericos apresentados em [19] mostram que o m´etodo produz resultados promisso- res. O problema com o m´etodo ´e que al´em do erro de truncamento ocorrido na estimativa de velocidades, erros adicionais s˜ ao introduzidos no c´ alculo do deslocamento a partir das velocida- des estimadas, permitindo assim que a potencialidade do m´etodo RK4 n˜ ao seja completamente aproveitada. Por esse motivo, m´etodos que estimam diretamente o deslocamento das ondas s˜ ao prefer´ıveis, e o principal objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar uma proposta de m´etodo pseudo espectral de Chebyshev com essas caracter´ısticas. Portanto, uma das vantagens do m´etodo ´e o c´ alculo direto da solu¸c˜ ao u, ou seja, o deslocamento ´e obtido a cada passo do tempo, contr´ ario ` a abordagem de Jackiewicz e Renaut [19] que calcula aproxima¸c˜ oes para as derivadas u , u e

  t x u (que torna-se importante quando procura-se a energia do sistema). y

  O sistema semi discreto unidimensional ´e associado ao modelo cont´ınuo (3.41), enquanto o sistema semi discreto bidimensional ´e associado ao modelo cont´ınuo: ( " #

  · ¸

  I V t u

  = M V 2 2 , e V = . (4.1)

  , com M = ∂ ∂

  

2

  c ( ) 0 u 2 2

  • t

  V (0) = V

  ∂x ∂y

  Resumindo, o m´etodo proposto est´ a baseado na conjun¸c˜ ao do m´etodo das linhas com o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev, e consiste de dois passos conforme descrito a seguir, M´ etodo proposto i. Construir a partir de (3.41) ou (4.1) um modelo semi discreto da forma

  T

  ¯ ¯ ¯ V t = L N V , com V = [¯ u, ¯ u t ] , aproximando as derivadas espaciais atrav´es do m´etodo pseudo espectral de

  Chebyshev (incorporando as condi¸c˜ oes de fronteira). ii. Resolver o sistema de EDO’s semi discreto, atrav´es do m´etodo de Runge-Kutta de ordem 4. O cap´ıtulo ´e organizado como segue. Na se¸c˜ ao 4.1 descrevemos o m´etodo proposto para o pro- blema unidimensional (3.41), discutimos as caracter´ısticas de estabilidade do m´etodo proposto e dos m´etodos de Jackiewicz e Renaut [19] descritos no cap´ıtulo anterior, e ilustramos os resultados atrav´es de exemplos num´ericos, usando problemas testes da literatura especializada [13, 19, 28, 29, 30, 31]. Em particular, atrav´es de resultados num´ericos, mostra-se que o m´etodo proposto ´e mais preciso que os m´etodos de Jackiewicz e Renaut.

  Na se¸c˜ ao 4.2 ´e descrito o m´etodo pseudo espectral proposto para o problema bidimensional. Al´em disso, mostramos que o m´etodo proposto com condi¸c˜ oes de fronteira de primeira ordem est´ a intimamente ligado a um dos m´etodos de Jackiewicz e Renaut [19] e inclu´ımos uma breve discuss˜ ao sobre a estabilidade do m´etodo. Um segundo m´etodo ´e considerado, no qual incor- poramos as condi¸c˜ oes de fronteira de segunda ordem e comparamos os resultados obtidos pelos dois esquemas. Os resultados tamb´em s˜ ao ilustrados atrav´es de exemplos num´ericos.

4.1 M´ etodo proposto 1D

  Ao longo desta se¸c˜ ao assumimos que o dom´ınio num´erico ´e o intervalo [0, 1], sendo o modelo cont´ınuo: 

  2

  u u = 0, 0 &lt; x &lt; 1, t &gt; 0  tt xx

  − c     u(x, 0) = f (x), u (x, 0) = 0, Condi¸c˜ oes Iniciais

  t

  (4.2)  u (0, t) = 0,

  t x

  (0, t) − c u  

  Condi¸c˜ ao de Fronteira   u (1, t) + c u (1, t) = 0,

  t x

  An´ alogo aos exemplos discutidos anteriormente, a aproxima¸c˜ ao da segunda derivada da vari´ avel

  T

  espacial ´e feita via matriz diferencia¸c˜ ao de Chebyshev D, atrav´es de suas colunas d j e linhas l ,

  j

  com 0 ≤ j ≤ N, usando como pontos de coloca¸c˜ao, · µ ¶¸ 1 jπ x =

  j 1 − cos , 0 ≤ j ≤ N.

  2 N .

  T

  2 T T

  Assim, se ¯ u = [u(x , t), . . . , u(x , t)] , e usando o fato de que D = d l + . . . + d l , temos

  N N N

  que

  2

  2 T T T T

  u ¯ = c u ¯ (d l + d l l + c d )¯ u. (4.3)

  tt xx

  1 N −1 N

  ≈ c

  1 + · · · + d N −1 N

  Agora, usando o fato de que

  T T

  l ¯ (0, t), e l ¯ (1, t),

  x x

  u ≈ u N u ≈ u das condi¸c˜ oes de fronteira (4.2) segue que (4.3) pode ser reescrito como um sistema de EDO’s de segunda ordem da forma:

  

2

  u ¯ D D u = 0 ¯ (4.4)

  tt t

  1

  2

  − C ¯u − c onde as matrizes C, D e D s˜ ao como na equa¸c˜ ao (3.47). Aqui temos desprezado o erro de

  1

  2

  aproxima¸c˜ ao e para simplicidade, usamos a mesma nota¸c˜ ao para solu¸c˜ oes aproximadas e solu¸c˜ oes exatas.

  Agora vemos que o sistema de EDO‘s de segunda ordem (4.4) pode ser transformado em um sistema de equa¸c˜ oes diferenciais de primeira ordem da forma: ½ v = L v

  t N

  , (4.5)

  T

  v(0) = [f (x ), . . . , f (x ), 0, . . . , 0]

  N em que · ¸ · ¸

  O I u ¯ e L = , D = D D , v = .

  N

  1

  2

  2

  e u ¯ c D C t Observe que agora, resolvendo (4.5) o deslocamento da onda ´e estimado diretamente. Uma das diferen¸cas entre o sistema (4.5) e os sistemas (3.48) e (3.51) dos modelos de Jackiewicz e Renaut [19] apresentados na se¸c˜ ao 3.4.1, est´ a na dimens˜ ao. Enquanto a dimens˜ ao de L N ´e

  2N + 2, a dimens˜ ao de A (ou A ) ´e 2N . Apesar disso, o pr´ oximo resultado mostra que o

  1

  2 espectro de L cont´em basicamente a mesma informa¸c˜ ao que o espectro de A com i = 1, 2. N i

  Proposi¸ c˜ ao 4.1 Exceto por um autovalor nulo de multiplicidade dois, o espectro da matriz L

  N definida em (4.5) satisfaz:

  1 N ∧(L ) = ∧(A ) ∪ {0}.

  Demonstra¸ c˜ ao: J´ a que e D = D D , a matriz L pode ser reescrita como

  1

2 N

  · ¸ · ¸ · ¸

  2 O

  I I c D

  2 L = = . N

  2

  c D D C D C

  I

  1

  2

  1 m×q q×m

  Agora vamos lembrar um resultado da ´ , e

  Algebra Linear Num´erica: Seja F ∈ IR , G ∈ IR m ≥ q. Ent˜ao ´e bem conhecido que exceto por (m−q) autovalores nulos, o espectro das matrizes F G e GF satisfaz (veja, por exemplo, Golub [14, Se¸c˜ ao 7.1.6])

  (4.6) ∧(F G) = ∧(GF ) ∪ {0}. Usando a propriedade 4.6 a afirma¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 4.1 segue imediatemente, pois, trocando a ordem dos fatores em L N temos

  µ· ¸ · ¸¶

  2

  c D O O

  I

  2 ).

  1

  ∧ = ∧(A O

  I D

  1 C

  ¤ Na pr´ oxima se¸c˜ ao ser˜ ao discutidas as caracter´ısticas de estabilidade desses modelos. Em particular, mostaremos que apesar do espectro n˜ ao nulo das matrizes A , i = 1, 2 e L se-

  i N

  rem iguais, o pseudo espectro difere. Mas isso n˜ ao afetar´ a a estabilidade do m´etodo proposto, conforme segue.

4.1.1 Estabilidade do m´ etodo proposto e dos m´ etodos de Jackiewicz e Renaut

  Nesta se¸c˜ ao discutimos a escolha do tamanho de passo ∆t, que assegura a estabilidade dos m´etodos proposto por Jackiewicz e Renaut [19] atrav´es dos modelos (3.48) e (3.51), e do m´etodo proposto nesta se¸c˜ ao. Os autores determinam numericamente os tamanhos de passo ∆t para o esquema RK4, a partir do espectro e pseudo espectro das matrizes A e A . Usando os

  1

  2

  resultados da se¸c˜ ao 2.4, eles concluem que a escolha de ∆t, que assegura a estabilidade do m´etodos baseados no m´etodo RK4, pode ser feita pelo crit´erio de autovalores, o qual requer que o espectro das matrizes A

  ),

  i i

  (i = 1, 2) multiplicados pelo tamanho do passo ∆t, isto ´e, ∧(∆tA esteja contido na regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK4. Baseados em resultados num´ericos eles obtem diferentes ∆t‘s para os sistemas A . Essas conclus˜ oes s˜ ao parcialmente corretas j´ a

  

i

que os autores ignoram o fato de que as matrizes A e A s˜ ao semelhantes, proposi¸c˜ ao 3.4.

  1

  2 Para nossa an´ alise usamos o fato de que o m´etodo proposto e os m´etodos de Jackiewicz e Renaut [19] integram no tempo usando o m´etodo RK4, e de que a matriz L tem o mesmo

  N

  raio espectral das matrizes A (veja, proposi¸c˜ oes 3.4, e 4.1). Por isso, uma ´ unica an´ alise de

  i

  estabilidade, segundo o crit´erio de autovalores, pode ser feita para todos os m´etodos. Para tanto, j´ a que o maior autovalor em m´ odulo de A i n˜ ao ´e real, o tamanho de passo ∆t max pode ser estimado impondo a restri¸c˜ ao

  |z| ∆t

  (4.7)

  max

  ≤ r(A )

  i

  em que z ´e o ponto na curva da regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK4 (veja cap´ıtulo 2), na dire¸c˜ ao do maior autovalor em valor absoluto e r(A ) ´e o raio espectral da matriz A .

  i i

  Usando a f´ ormula (4.7), encontramos que os tamanhos de passo ∆t que garantem estabilidade do m´etodo RK4, segundo autovalores, descritos na tabela 4.1, para alguns valores de N e para o caso em que a velocidade da onda ´e c = 1. Em [2] ´e mostrado que para determinar ∆t no

  max caso em que c ´e arbitr´ ario, basta dividir os valores apresentados na tabela 4.1 por c.

  N + 1 ∆t para A e L .

  max i N

  4 0.61413 8 0.23643 16 0.06906 32 0.01680 64 0.00410 128 0.00101

  Tabela 4.1: Tamanho de passo ∆t m´ aximo que garante a estabilidade segundo autovalores, para diferentes dimens˜ oes N + 1.

  Um aspecto importante relacionado com a escolha do tamanho do passo ∆t ´e que os ∆t de-

  max

  terminados tamb´em asseguram estabilidade segundo Lax para os trˆes m´etodos, pois os ǫ−pseudo espectros das matrizes A e de L

i N

  , quando ǫ −→ 0, est˜ao na regi˜ao de estabilidade do m´etodo RK4 (veja teorema 2.8), conforme ilustrado na figura 4.1. Observe nesta figura que o pseudo espectro da matriz L ´e semelhante ao pseudo espectro de A . Note tamb´em que os mesmos

  N

  1

  n´ıveis de perturba¸c˜ ao mostram que o pseudo espectro da matriz L ´e maior que o pseudo es-

  N

  pectro de A , indicando assim que os autovalores da matriz L s˜ ao um pouco mais sens´ıveis

1 N

  a pequenas perturba¸c˜ oes. Mas isso n˜ ao afeta a estabilidade do m´etodo visto que a partir da

  −

  3

  perturba¸c˜ ao ǫ = 10 pertencem a regi˜ ao de estabilidade

  N

  , os ǫ−pseudo espectros da matriz L do m´etodo RK4. A conclus˜ ao mais importante que resulta das observa¸c˜ oes acima ´e que as caracter´ısticas de estabilidade das solu¸c˜ oes num´ericas obtidas a partir de nossa proposta n˜ ao se deterioram quando comparadas com aquelas dos m´etodos de Jackiewicz e Renaut [19]. Na pr´ oxima se¸c˜ ao, exemplos num´ericos confirmam essa afirma¸c˜ ao.

4.1.2 Exemplos num´ ericos

  Para testar o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev proposto v´ arios problemas da forma (4.2) foram resolvidos usando MATLAB.

  150 150 200 200 250 250 −3 −2 100 100 50 50 −5 −4 −150 −150 −100 −100 −50 −50 −6 −7 −200 −200 −250 −250 −250 −200 −150 −100 −50 50 −250 −200 −150 −100 −50 50 −8 −9

  Figura 4.1: Fronteiras do ǫ-pseudo espectro de L e A , esquerda e direita respectivamente,

  N

  1 − − −

  9

  7

  2 com c = 1, N = 31 e ǫ = 10 , 10 , . . . , 10 e regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK4.

  No primeiro exemplo, consideramos c = 1 e condi¸c˜ ao iniciais

  2

  ), 0 &lt; x &lt; 1, u t u(x, 0) = f (x) ≡ exp(−100(x − 0.5) (x, 0) ≡ 0. O n´ umero de pontos utilizados foi N + 1 = 64 e conforme a tabela 4.1, ∆t = 0.004. O problema foi resolvido no intervalo de tempo [0, 0.6].

  Al´em disso, tamb´em implementamos o m´etodo pseudo espectral descrito na se¸c˜ ao 3.4.1 atra- v´es da equa¸c˜ ao (3.53) proposto em [19], com as constantes determinadas por esses autores e com as constantes descritas pela proposi¸c˜ ao 3.6. Os resultados obtidos pelo m´etodo pseudo espectral proposto s˜ ao apresentados na figura 4.2. Note que neste caso, conforme esperado, as reflex˜ oes da solu¸c˜ ao s˜ ao completamente eliminadas.

  A compara¸c˜ ao entre a precis˜ ao dos m´etodos pode ser feita j´ a que a solu¸c˜ ao exata para o problema unidimensional (4.2) ´e dada pela equa¸c˜ ao (3.2). A figura 4.3 ilustra o erro em valor absoluto das solu¸c˜ oes num´ericas determinadas pelo m´etodo pseudo espectral proposto e pelos m´etodos descritos na se¸c˜ ao 3.4.1. Conforme esperado o m´etodo proposto ´e mais preciso j´ a que a solu¸c˜ ao u ´e determinada diretamente pelo m´etodo RK4, enquanto no m´etodo de Jackiewicz e Renaut, as estimativas para u s˜ ao determinadas a partir de aproxima¸c˜ oes para u t e u x atrav´es do esquema (3.53), fazendo com que o m´etodo perca precis˜ ao.

  O segundo exemplo num´erico, foi resolvido sob as mesmas condi¸c˜ oes do primeiro exemplo,

  2

  mas com condi¸c˜ ao inicial u(x, 0) = f (x) ≡ exp(−100(x − 0.5) )sen(40(x − 0.5)). A figura 4.4 apresenta os resultados num´ericos obtido com o m´etodo pseudo espectral proposto. Nesse caso, as reflex˜ oes nas fronteiras tamb´em s˜ ao eliminadas e o erro m´ aximo obtido, entre a solu¸c˜ ao

  −

  5 .

  aproximada e a exata ´e 6.8821 · 10

  0.5

  0.5

  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 −12 10 −10 10 −8 10 −6 10 −4 10 −2 MP MJM MJ

  2 ).

  1 t = 0.6 Figura 4.2: Solu¸c˜ oes exata (linha cont´ınua) e aproximada (⋆, atrav´es do m´etodo proposto) para a equa¸c˜ ao da onda unidimensional (4.2) com condi¸c˜ ao inicial f (x) = exp(−100(x − 0.5)

  0.5

  1

  0.5

  1 t = 0.48

  0.5

  1

  0.5

  1 t = 0.36

  1

  1

  0.5

  1 t = 0.24

  0.5

  1

  0.5

  1 t = 0.12

  0.5

  1

  0.5

  1 t = 0

  0.5

  Figura 4.3: Erro em valor absoluto das solu¸c˜ oes aproximadas no instante de tempo t = 0.6. Com MP: O m´etodo proposto; MJM: O M´etodo de Jackiewicz e Renaut Modificado (proposi¸c˜ ao 3.6) ; e MJ: O M´etodo de Jackiewicz e Renaut (3.53).

  0.5

  0.5

  1 t = 0.6 Figura 4.4: Solu¸c˜ oes exata (linha cont´ınua) e aproximada (pequenos c´ırculos) para a equa¸c˜ ao da onda unidimensional (4.2) com condi¸c˜ ao inicial f (x) = exp(−100(x − 0.5)

  −0.5

  1 −1

  0.5

  1 t = 0.48

  0.5

  −0.5

  1 −1

  0.5

  1 t = 0.36

  0.5

  −0.5

  1 −1

  1 t = 0.24

  Nesta se¸c˜ ao propomos para a simula¸c˜ ao num´erica de propaga¸c˜ ao de ondas bidimensionais baseados no m´etodo das linhas em conjun¸c˜ ao com o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev. A diferen¸ca entre os dois m´etodos, est´ a no tipo de condi¸c˜ oes de fronteira utilizado. Enquanto no primeiro m´etodo, incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de primeira ordem no segundo m´etodo, incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira de segunda ordem, conforme visto na se¸c˜ ao 3.5.1.

  0.5

  0.5

  1 −1

  −0.5

  0.5

  1 t = 0

  1 −1

  0.5

  −0.5

  0.5

  1 t = 0.12

  0.5

  1 −1

  −0.5

  2 )sen(40(x − 0.5)).

4.2 M´ etodo proposto 2D

4.2.1 M´ etodo 1: Condi¸ c˜ oes de fronteira absorventes de primeira ordem

  Consideramos o problema ( u

  (u

  = c

  2

  • u

  xx

  • c u
  • c u
O m´etodo ´e uma extens˜ ao daquele proposto na se¸c˜ ao anterior para o problema unidimen- sional. Conforme descrito na se¸c˜ ao 3.5.2, a aproxima¸c˜ ao do sistema (4.1) ´e obtida de maneira an´ aloga a aproxima¸c˜ ao do sistema (3.58). Vamos fixar cada y e considerar

  t

  (4.9)

  = 0, y = 1, 0 ≤ x ≤ 1.

  y

  t

  = 0, y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, u

  y

  − c u

  = 0, x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, u

  yy

  x

  t

  tt

  x

  − c u

  t

  (4.8) com as condi¸c˜ oes de fronteira            u

  t (x, y, 0) = 0, Condi¸c˜ oes Iniciais.

  ), 0 &lt; x, y &lt; 1, t &gt; 0 u(x, y, 0) = f (x, y), u

  = 0, x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, u

  j . T

  u ¯ = [u(x , y , t), . . . , u(x , y , t)]

  j j N j

  , para cada 0 ≤ j ≤ N, e representar a matriz D atrav´es de suas colunas e linhas, respectivamente. Desprezando os erros de aproxima¸c˜ ao, temos que

  T T

  u ¯ = [d l l ]¯ u

  j,xx N j

  • · · · + d

  

N

  1

  1 = d u (x , y , t) + D D u ¯ d u (x , y , t)

  t j

  1 2 j N t N j

  − c c

  1 = C ¯ u + D D u ¯ ,

  j,t

  1 2 j

  c

  T T

  pois, l u ¯ j = u x (x , y j , t) e l u ¯ j = u x (x N , y j , t), e pelas condi¸c˜ oes de fronteira (4.9)

  N

  1

  1 u (x , y , t) = u (x , y , t) e u (x , y u (x , y , t) .

  x j t j x N j t N j

  , t) = − c c Aqui, D , D e C s˜ ao como na equa¸c˜ ao (3.47). Dessa forma, a aproxima¸c˜ ao completa da segunda

  1

  2

  derivada em rela¸c˜ ao a x ´e dada por,

  1 u = u D ) u (4.10)

  xx t

  1

  2

  b (I ⊗ C)b + (I ⊗ D b c .

  T T T T com u = [¯ u , ¯ u , . . . , ¯ u ] .

  b

  1

2 N

  Utilizando o mesmo procedimento para a aproxima¸c˜ ao da segunda derivada em rela¸c˜ ao a y,

  T

  fixando cada x e introduzindo a nota¸c˜ ao ˘ u = [u(x , y , t), . . . , u(x , y , t)]

  j j j j N

  , para 0 ≤ j ≤ N, temos que 1 ˘ u = C ˘ u + D D u ˘ .

  j,yy j,t

  1 2 j

  c Portanto temos que,

  

T T T

  ˘ u = [˘ u , . . . , ˘ u ]

  yy

0,yy N,yy

  1 (4.11) = D )˘ u.

  

t

  1

  2

  (I ⊗ C)˘u + (I ⊗ D c Aplicando uma matriz permuta¸c˜ ao apropriada (veja proposi¸c˜ ao A.3), para reorganizar as vari´

  a- veis ˘ u obtemos:

  yy

  1 u = u + (D D u (4.12)

  yy t

  1

  2

  b (C ⊗ I)b ⊗ I)b c De (4.10) e (4.12) obtemos o seguinte sistema de EDO’s de segunda ordem:

  2

  u u + c (D D D ) u (4.13)

  tt t

  1

  2

  1

  2

  b = c(C ⊗ I + I ⊗ C)b ⊗ I + I ⊗ D b Transformando (4.13) em um sistema de EDO’s de primeira ordem, obtemos o seguinte modelo semi discreto para o problema de propaga¸c˜ ao de ondas 2D:

  ( · ¸ · ¸

  V = M V, O

  I

  t

  1

  u b , com M

  1 = , V = , (4.14) T

  2

  b V (0) = [ b f , O] c D c b C u

  t

  b em que .

  T

  b f = [f (x , y ), . . . , f (x , y ), . . . , f (x , y ), . . . , f (x , y )] ,

  N N N N

  b b D + D D

  1

  2

  1

2 D = (I ⊗ D ⊗ I), C = (I ⊗ C + C ⊗ I).

  Observa¸ c˜ ao 4.1 Diferente do m´etodo pseudo espectral proposto, que determina o deslocamento u a cada passo do tempo, os modelos bidimensionais de Jackiewicz e Renaut [19], como no caso

  

unidimensional, tamb´em determinam aproxima¸c˜ oes para as derivadas u , u e u , conforme

t x y descrito pelos sistemas (3.48) e (3.51).

  A pr´ oxima proposi¸c˜ ao, apresenta uma rela¸c˜ ao entre os autovalores das matrizes M , descrita

  1

  pelo sistema semi discreto (4.14) e A , descrita pelo sistema semi discreto (3.76). Observe que a

  1

  dimens˜ ao da matriz M ´e muito menor que a dimens˜ ao da matriz A . Enquanto a dimens˜ ao da

  1

  1

  2

  2

  matriz M ´e 2(N + 1) , a dimens˜ ao de A . A figura 4.5 (esquerda)

  1

  1

  ´e 2(N + 1)(N − 1) + (N + 1) .

  1

  apresenta o espectro e os ǫ−pseudo espectros da matriz M Proposi¸ c˜ ao 4.2 O espectro da matriz M

  1 definida pelo sistema 4.14 satisfaz:

  1

  1 ∧(A ) = ∧(M ) ∪ {0}.

  Demonstra¸ c˜ ao: Usando a propriedade do produto kronecker: AC ⊗ BD = (A ⊗ B)(C ⊗ D), veja a proposi¸c˜ ao A.2 no apˆendice A, podemos escrever M da seguinte forma:

  1

    O

  I · ¸

  I O O M =

    (4.15)

  2

  2 2 ⊗ I O

1 D

  (D

  1 1 )

  C ⊗ I + I ⊗ C c ⊗ I) c (I ⊗ D O

  2 I ⊗ D

  Por outro lado,  

  O I · ¸

  I O O  

  A = D (4.16)

  1

  2

  ⊗ I O

  2

  2

  (D )

  1

  1 C ⊗ I + I ⊗ C c ⊗ I) c (I ⊗ D

  O

2 I ⊗ D

  Portanto, utilizando a propriedade 4.6 utilizada na prova da proposi¸c˜ ao 4.1: o espectro n˜ ao nulo de duas matrizes A, B satisfaz ∧(AB) = ∧(BA), segue o resultado.

  ¤

4.2.2 M´ etodo 2: Condi¸ c˜ oes de fronteira absorventes de segunda ordem

  Neste caso o problema ´e modelado por (

  2

  u = c (u + u ), 0 &lt; x, y &lt; 1, t &gt; 0

  tt xx yy

  (4.17) u(x, y, 0) = f (x, y), u (x, y, 0) = 0, Condi¸c˜ oes Iniciais.

  t

  com as condi¸c˜ oes de fronteira 

  2

  c  u = c u u , 

  • tt xt yy

  x = 0, 0 ≤ y ≤ 1,  

  2 

  2

    c   u + u

  tt xt yy

  = −c u , x = 1, 0 ≤ y ≤ 1,

  2 (4.18)

  2

  c   u = c u + u ,

  tt yt xx

   y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 

  2  

  2

   c   u u +

  tt yt xx = −c u , y = 1, 0 ≤ x ≤ 1.

  2 Neste m´etodo, resolvemos o problema (4.8) sujeito as condi¸c˜ oes de fronteira (4.18). E como em cada um dos cantos (x , y ), (x , y ), (x , y ) e (x , y ), as condi¸c˜ oes de fronteira (4.18)

  

N N N N

  s˜ ao aplicadas duas vezes, para incluir estas equa¸c˜ oes no esquema num´erico, vamos utilizar a m´edia: 

  2

  c c   u = (u + u ) + (u + u ) x = 0, y = 0,

  tt xt yt xx yy

   

  2

  4 

  2

   c c    u = (u ) + (u + u ) x = 1, y = 0,

  tt yt xt xx yy

  − u

  2

  4 (4.19)

  2

  c c   u = (u ) + (u + u ) x = 0, y = 1,  tt xt yt xx yy

  − u 

  2

  4  

  

2

   c c   u (u + u ) + (u + u ) x = 1, y = 1,

  tt xt yt xx yy

  = −

  2

  4 A incorpora¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de fronteira de segunda ordem, no modelo bidimensional ´e mais complicada. Por esta raz˜ ao, vamos apresentar a aproxima¸c˜ ao das derivadas parciais das inc´ ognitas nos pontos da malha (x , y

  j ), 0 ≤ j ≤ N (que incluem os v´ertices (0,0) e (1,0) ).

  Antes disso, lembramos que o vetor de inc´ ognitas ´e

  T T T T

  u = [¯ u , . . . , ¯ u ] , com u ¯ = [u(x , y , t), . . . , u(x , y , t)]

  j j N j

  b N , 0 ≤ j ≤ N, e que as derivadas de primeira e segunda ordem da fun¸c˜ ao u, usando a matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev D, nos pontos da malha satisfaz aproximadamente u u, u u,

  x y

  b = (I ⊗ D)b e = (D ⊗ I)b (4.20)

  2

  2 u ) u, u = (D u. xx yy

  b = (I ⊗ D b b ⊗ I)b Agora observamos que para incorporar as condi¸c˜ oes de fronteira que incluem ao mesmo tempo os v´ertices (0,0) e (1,0), devemos discretizar as derivadas parciais do conjunto de equa¸c˜ oes

   

  2

  c c [u (x , y , t) + u (x , y , t)] + [u (x , y , t) + u (x , y , t)]

  xt yt xx yy

  

  2 4 

  2

    c

    c u yt (x

  

1 , y , t) + u xx (x

1 , y , t)

   

  2 

   

   .. u ¯ 0,tt =

  (4.21)  .  

  

  2

    c

    c u (x , y , t) + u (x , y , t)

  

yt N −1 xx N −1

   

  2 

  2 

  c c [u (x , y (x , y , t)] + [u (x , y , t) + u (x , y , t)]

  

yt N xt N xx N yy N

  , t) − u

  2

  4 em que .

  T

  ¯ u 0,tt = [u tt (x , y , t), u tt (x 1 , y , t), . . . , u tt (x N , y , t)] . Para facilitar a nota¸c˜ ao tomamos M = N + 1. Usando os resultados (4.20), o conjunto de equa¸c˜ oes (4.21) torna-se:

   

  1 T

  2

  2

    e (D )

  1 ⊗ I + I ⊗ D

  1 T

  4   e

  1 (D ⊗ I + I ⊗ D)

  1  

  T

  2

   

  2  e ) 

  2 (I ⊗ D

   T   2  e

  

  2 (D ⊗ I) 

   

  2

    ..

    u ¯ 0,tt = c u t + c u. (4.22) b . b

   ..    .  

   

  1   T

  2 T

    e e )  (D ⊗ I)  M −1 (I ⊗ D

  M −1

   

  2

1 T

  

  2 

  e

  2 M (D ⊗ I − I ⊗ D) c T

  2

  2

  e (D )

  M ⊗ I + I ⊗ D

  4

  • D
  • c
  • D
  • c

  . F

  − c b F U

  t

  − c

  2

  b G U = 0. (4.25) com b

  F =   

  F ..

  N

  U

     , b

  G =   

  G ..

  . G

  N

     em que F

  j

  tt

  e usando as equa¸c˜ oes (4.22), (4.23) e (4.24), o m´etodo pseudo espectral de Chebyshev leva ao sistema de EDO’s semi discreto de segunda ordem:

  j

  2

  )

  1

  4 e

  T M 2

  (D

  2

  ⊗ I + I ⊗ D

  )             b u (4.24)

  T

  Denotando U (t) como uma aproxima¸c˜ ao para o vetor [¯ u

  0,tt

  , ¯ u

  1,tt

  , . . . , ¯ u

  N,tt

  ]

  , G

  ∈ IR

  (I ⊗ D

  e M

  N

  , y

  N

  )]

  T .

  Analogamente ao caso 1D, vamos analisar a escolha do tamanho de passo ∆t que assegura a estabilidade num´erica dos m´etodos 2D propostos. Para tanto, foram estimados o raio espectral das matrizes M

  1

  2

  N

  e verificado que os autovalores de maior valor absoluto dessas matrizes s˜ ao reais. Neste caso, as estimativas para o tamanho de passo s˜ ao mais precisas que no caso unidimensional e obtidas atrav´es da f´ ormula:

  ∆t

  max

  =

  2.78 r(M

  i

  ) , i = 1, 2. (4.27)

  ), . . . , f (x

  , y ), . . . , f (x , y

  M ×M 2 s˜ ao descritas implicitamente nas equa¸c˜ oes (4.22), (4.23) e (4.24).

  1×M 2

  Introduzindo V (t) = [U (t), U t (t)]

  T

  , o sistema de segunda ordem (4.25) pode ser reescrito como um sistema de primeira ordem da forma: (

  V

  t

  = M

  V (0) = [ b f , 0

  ]

  N

  T

  , com M

  2

  = ·

  I c b F c

  2

  b G

  ¸ , (4.26) com b f = [f (x , y ), . . . , f (x

  2

  1

  Aqui, e

  (I ⊗ D

  1

  2 e

  T M j+1

  (D

  2

  ⊗ I) e

  T M j+2

  2

  2

  2

  ⊗ I) .. . e

  M (j+1)−1 (I ⊗ D

  2

  2

  ⊗ I)

  1

           

  t

  T M 2

  com j = 1, . . . , N − 1, obtemos: ¯ u

  k

  , 1 ≤ k ≤ M

  2

  , denota o k-´esimo vetor coluna da matriz identidade de ordem M

  2 .

  Utilizando o mesmo procedimento para u

  j,tt

  j,tt

  (I ⊗ D)        b u

  = c        e

  T M j+1

  (I ⊗ D)

  1×M 2 ..

  .

  1×M 2

  −e

  M (j+1)

  2 e

  M (j+1)

  (D

  )

  1

  4 e

  T M 2 − M +1

  (D

  2

  ⊗ I + I ⊗ D

  2

  1

  2

  2 e

  T M 2 − M +2

  (I ⊗ D

  2

  ) .. .

  1

  2 e

             

  

t

  2

  T M 2 − M +1

  ⊗ I)           b u, (4.23) e para j = N ,

  ¯ u

  N,tt

  = c          

  −

  1

  2 e

  (D ⊗ I − I ⊗ D) −e

  (D ⊗ I + I ⊗ D)           b u

  T M 2 − M +2

  (D ⊗ I) .. . −e

  T M 2

  1

  (D ⊗ I) −

  1

  2 e

  T M 2

2 V

4.2.3 Considera¸ c˜ oes sobre estabilidade num´ erica dos m´ etodos 2D

  em que 2.78 ´e o ponto de intersec¸c˜ ao da regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK4 com o semi- eixo negativo x (veja se¸c˜ ao 2.1.1). Os valores ∆t apresentados na tabela 4.2 garantem a

  max

  estabilidade segundo autovalores para os m´etodos 1 e 2. Observe que pela proposi¸c˜ ao 4.2, os tamanhos de passo ∆t obtidos para M , atrav´es de (4.27), s˜ ao tamb´em v´ alidos para A do

  1

  1

  m´etodo de Jackiewicz e Renaut [19]. Outra observa¸c˜ ao que deve ser feita ´e que o m´etodo 2 apresenta a vantagem de exigir um tamanho de passo menos restritivo do que aquele do m´etodo

  1. N + 1 ∆t : M´etodo 1 ∆t : M´etodo 2

  

max max

  8 0.05175 0.11527 16 0.01154 0.02546 32 0.00271 0.00598 64 0.0004 0.0015

  Tabela 4.2: Tamanho de passo ∆t m´ aximo que garante a estabilidade segundo autovalores, para diferentes dimens˜ oes N + 1, para as matrizes M e M .

  

1

  2 O espectro e os ǫ-pseudo espectros das matrizes M e M s˜ ao apresentados na figura 4.5,

  1

  2

  esquerda e direita, respectivamente. Uma an´ alise de estabilidade segundo Lax tamb´em foi desen- volvida atrav´es da localiza¸c˜ ao do ǫ-pseudo espectro das matrizes no plano complexo para v´ arios valores de ǫ. A conclus˜ ao foi que com ∆t descrito na tabela e ǫ suficientemente pequeno,

  max

  o ǫ-pseudo espectro localiza-se dentro da regi˜ ao de estabilidade do m´etodo RK4, verificando com isso que os m´etodos 2D propostos s˜ ao tamb´em Lax est´ aveis. As ilustra¸c˜ oes gr´ aficas s˜ ao desconsideradas por n˜ ao serem t˜ ao informativas quanto aquelas do caso 1D (veja fig. 4.1) devido a presen¸ca de outliers reais (autovalores muito grandes que fogem do padr˜ ao). 100 80 −1 100 150 −1 20 40 60 −3 −3 −2 50 −2 −40 −80 −20 −60 −4 −5 −100 −50 −4 −5 −100 −250 −200 −150 −100 −50 −150 −6 −150 −100 −50 50 −6

  1

  − 6 − 5 −

  e M com ǫ = 10 , 10 . . . , 10

  1

  2 Figura 4.5: Espectro e ǫ− pseudo espectros da matriz M e N + 1 = 16 . Figura 4.6: Solu¸c˜ ao aproximada para o problema bidimensional (4.8) atrav´es do m´etodo 1.

4.2.4 Exemplo num´ erico

  Para testar os m´etodos propostos para o problema bidimensional (4.8), escolhemos c = 1, N + 1 = 32, ∆t = 0.002 (para o m´etodo 1) e ∆t = 0.005 (para o m´etodo 2), no intervalo de tempo [0, 0.8] e a condi¸c˜ oes inicial

  2

  2 ), 0 &lt; x, y &lt; 1.

  u(x, y, 0) = f (x, y) ≡ exp(−100(x − 0.5) + (y − 0.5) Os resultados num´ericos obtidos pelo m´etodo 1, s˜ ao apresentados na figura 4.6. Observe que nesse caso, diferente do caso unidimensional, as condi¸c˜ oes de fronteira (4.9) n˜ ao eliminam completamente as reflex˜ oes, conforme apresentado pela tabela 3.3, na se¸c˜ ao 3.5.1. J´ a para o m´etodo 2, os resultados s˜ ao apresentados na figura 4.7, e pelo fato de serem usadas condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de segunda ordem, espera-se que o m´etodo 2 obtenha resultados mais precisos.

  Entretanto, ´e importante enfatizar que n˜ ao podemos comparar de maneira precisa os erros entre os m´etodos 1 e 2, j´ a que a solu¸c˜ ao exata para o problema (4.8) sujeito as condi¸c˜ oes de fronteira de primeira ordem (4.9) e segunda ordem (4.18) n˜ ao ´e conhecida. Para contornar esta dificuldade, assumiremos que o m´etodo pseudo espectral proposto baseado em condi¸c˜ oes de segunda ordem ´e capaz de calcular a solu¸c˜ ao exata do problema desde que N seja suficientemente grande. Enfatizamos que esta ´e uma hip´ otese plaus´ıvel por causa da alta precis˜ ao atingida atrav´es da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev (veja prop. 1.6). Baseados neste argumento, daqui em diante consideraremos como a solu¸ca˜ o “exata” do problema, aquela obtida pelo m´etodo 2 com N + 1 = 80.

  Figura 4.7: Solu¸c˜ ao aproximada para o problema bidimensional (4.8), atrav´es do m´etodo 2.

  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 Met.1 Met.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 −5 10 −4 10 −3 10 −2 10 −1 Met.1 Met.2

  Figura 4.8: Compara¸c˜ ao entre o erro das solu¸c˜ oes obtidas pelos m´etodos 1 e 2, com y = 0.5 (esquerda) e y = 1 (direita).

  A precis˜ ao dos m´etodos pseudo espectrais para o problema de propaga¸c˜ ao de ondas bidimen- sional ´e ilustrada atrav´es das figuras 4.8 e 4.9. Para ilustrar a precis˜ ao dos m´etodos usaremos u (x, y, t) para denotar a solu¸c˜ ao “exata” e u(x, y, t) para denotar a solu¸c˜ ao obtida pelos m´etodos

  ex

  b 1 e 2 respectivamente, com N = 31, e definimos o erro atrav´es de

  ex

  E(x, y, t) = |u (x, y, t) − b u(x, y, t)| com x e y variando em uma malha de 100 pontos igualmente espa¸cados em ambas as dire¸c˜ oes, no instante de tempo t = 0.8. Os valores das fun¸c˜ oes nessa malha foram calculados atrav´es de um processo de interpola¸c˜ ao bidimensional usando a fun¸c˜ ao MATLAB [37] interp2.m. Na figura 4.8 ` a esquerda fixamos y = 0.5 e apresentamos o erro na vari´ avel x. Enquanto, ` a direita fixamos y = 1.

  Na figura 4.9 apresentamos o erro E(x, y, t) em todo o dom´ınio Ω. A superioridade do m´etodo 2 em rela¸c˜ ao ao m´etodo 1 ´e evidente nesta figura. 0.1 0.1 0.04 0.06

  0.08 0.04 0.06 0.08

  0.02 1 0.8 0.6 0.4 0.6 0.8 1 0.02 1 0.8 0.6 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.2

  0.4 0.2 0.2 0.4 Figura 4.9: Erro entre a solu¸c˜ ao aproximada e a solu¸c˜ ao “exata”, atrav´es do m´etodo 1 (esquerda) e atrav´es do m´etodo 2 (direita).

  Para obter solu¸c˜ oes aproximadas mais precisas, ou seja, diminuir reflex˜ oes indesejadas, faz- se necess´ ario incorporar condi¸c˜ oes de fronteira mais sofisticadas. Mas vale ressaltar que as condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de ordens maiores tornam-se cada vez mais dif´ıceis de serem incorporadas. Conclus˜ oes Finais

  Temos apresentado uma an´ alise espectral de m´etodos pseudo espectrais de Chebyshev para a simula¸c˜ ao num´erica de fenˆ omenos de propaga¸c˜ ao de ondas. A principal vantagem dos m´etodos pseudo espectrais est´ a na simplicidade de seu esquema, bem como na alta precis˜ ao da aproxi- ma¸c˜ ao das derivadas espaciais atrav´es da matriz de diferencia¸c˜ ao de Chebyshev. A estabilidade do m´etodo das linhas ´e garantida atrav´es da an´ alise pseudo espectral do operador ou da matriz envolvida.

  A an´ alise pseudo espectral faz-se necess´ aria para prever o comportamento do operador evo- lu¸c˜ ao exp(tA), j´a que os operadores A associados ao problema de propaga¸c˜ao de ondas s˜ao fortemente n˜ ao normais. Nesse caso, a an´ alise espectral pode ser insuficiente pois o espectro torna-se muito sens´ıvel a pequenas perturba¸c˜ oes.

  A an´ alise espectral resultou na descri¸c˜ ao de f´ ormulas fechadas para o auto sistema do ope- rador associado ao problema de propaga¸c˜ ao de ondas unidimensional, que generaliza resultados de Driscol e Trefethen [9]. E em uma revis˜ ao de um m´etodo pseudo espectral descrito em [19] que permitiu: a. Mostrar a falsidade de uma conclus˜ ao nesse trabalho a respeito das matrizes associadas a dois modelos semidiscretos.

  b. Apresentar um m´etodo pseudo espectral de Chebyshev para o problema com praticamente as mesmas caracter´ısticas de estabilidade dos m´etodos propostos em [19]. Al´em disso, o m´etodo proposto tem a vantagem de determinar a solu¸c˜ ao a cada passo de tempo, o que evita a perda de precis˜ ao.

  Outra contribui¸c˜ ao, surge nas se¸c˜ oes 3.1.1 e 3.5.1, nas quais apresentamos a importˆ ancia da escolha das condi¸c˜ oes de fronteira, que diminuam ou at´e mesmo evitem reflex˜ oes indesejadas. Para o modelo unidimensional incorporamos as condi¸c˜ oes de fronteira transparentes e ent˜ ao as reflex˜ oes indesejadas foram completamente eliminadas. Entretanto, para o modelo bidimensional as mesmas condi¸c˜ oes de fronteira s˜ ao absorventes. Resultados preliminares do trabalho podem ser encontrados em [5, 6].

  Na teoria apresentada nos cap´ıtulos 1 e 2 foram introduzidas as ferramentas e resultados necess´ arios para garantir a eficiˆencia dos m´etodos descritos no cap´ıtulo 3 e dos m´etodos propostos no cap´ıtulo 4. A revis˜ ao dos m´etodos descritos em [9, 19] foram essenciais para o desenvolvimento do m´etodo pseudo espectral de Chebyshev proposto, no cap´ıtulo 4. A qualidade dos resultados do m´etodo foram convenientemente ilustrados atrav´es de simula¸c˜ oes num´ericas. Al´em disso, apresentamos resultados num´ericos para o modelo bidimensional, com condi¸c˜ oes de fronteira absorventes de primeira e de segunda ordem. Os dois esquemas foram comparados e conforme o esperado, solu¸c˜ oes num´ericas mais precisas foram obtidas com a imposi¸c˜ ao de condi¸c˜ oes de fronteira de segunda ordem.

  Como indica¸c˜ ao para trabalhos futuros propomos: i. A an´ alise espectral do operador associado ao problema bidimensional, visto que esse re- sultado n˜ ao aparece na literatura. ii. A an´ alise de estabilidade do m´etodo das linhas dos sistemas semi discretos, j´ a que a estabilidade num´erica foi descrita no cap´ıtulo 4. iii. O desenvolvimento de m´etodos pseudo espectrais para o modelo bidimensional com outras metodologias para eliminar as reflex˜ oes indesejadas. Apˆ endice A Produto Kronecker

  Nesta se¸c˜ ao apresentaremos de maneira sucinta a defini¸c˜ao e algumas propriedades do pro- duto Kronecker entre duas matrizes. O leitor que queira aprofundar seu estudo, bem como detalhes das demonstra¸c˜ oes omitidas, pode dirigir-se a [21]. A no¸c˜ ao de produto Kronecker e suas propriedades s˜ ao pr´e-requisitos para as se¸c˜ oes 1.3, 3.5.2 e 4.2.

  O produto Kronecker ´e uma opera¸c˜ ao entre matrizes,

  m×l n×k mn×lk

  ⊗ : C × C −→ C

  m×m n×n

  Defini¸ c˜ ent˜ ao o produto Kronecker de A e B, denotado por ao A.1 Se A ∈ C , B ∈ C A ⊗ B ´e definido pela matriz,

    a

  11 B a

  12 B a 1m B

  · · ·   a B a B a B

  21 22 2m

  · · ·

  m mn×mn

    = [a B]

  ij

  A ⊗ B = i,j=1 ∈ C   .. .. ..

  . ..

   . . .  a B a B

  m1 m2 mm

  B · · · a Por exemplo,

  · ¸ · ¸ 1 2 a b A = e B = 3 4 c d ent˜ ao

    1a 1b 2a 2b

   1c 1d 2c 2d   

  A ⊗ B =  

  3a 3b 4a 4b 3c 3d 4c 4d As seguintes propriedades s˜ ao conseq¨ uˆencias imediatas da defini¸c˜ ao A.1.

  m×m . Ent˜ ao,

  Propriedades A.1 Seja A ∈ C

i. I

  n ⊗ A = diag(A, A . . . , A). ii.

    a I a I a

  I

  11 n 12 n 1m n

  · · ·   a

  I a I a

  I

  21 n 22 n 2m n

  · · ·  

  =

  n

  A ⊗ I   .. .. ..

   . ... . . a I a

  I I

  m1 n m2 n mm n

  · · · a

  iii. I = I . m n mn

  ⊗ I

  

Com I representando a matriz identidade de ordem n e diag denota uma matriz diagonal por

n blocos.

  Proposi¸ c˜ ao A.1 Se as ordens das matrizes envolvidas s˜ ao tais que todas as opera¸c˜ oes s˜ ao

  definidas. Ent˜ ao, i. Se µ ∈ IR ou IC, (µA) ⊗ B = A ⊗ (µB) = µ(A ⊗ B). ii. ((A + B) ⊗ C) = (A ⊗ C) + (B ⊗ C). iii. A ⊗ (B + C) = (A ⊗ B) + (A ⊗ C). iv. A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C.

  T T T = A . v. (A ⊗ B) ⊗ B m×m n×n

  Proposi¸ c˜ ent˜ ao A.2 Se A, C ∈ C e B, D ∈ C ao (A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD.

  m m

  Demonstra¸ c˜ ao: B] D] ent˜

  ij ij

  Como A ⊗ B = [a i,j=1 , C ⊗ D = [c i,j=1 ao o ij−´esimo bloco de (A ⊗ B)(C ⊗ D) ´e

  m m

  X X F = (a B)(c

  D) = (a c

  ij ik kj ik kj )BD para 0 ≤ i, j ≤ m. k=1 k=1 m

  Por outro lado, pela defini¸c˜ BD] onde δ

  ij ij

  ao A.1 AC ⊗ BD = [δ i,j=1 ´e o ij−´esimo elemento de AC, dado por

  

m

  X δ ij = a c .

  ik kj

k=1

  Assim, F ij = δ ij BD para cada par i, j. E portanto, (A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD.

  ¤

  m×m n×n

  Corol´ ent˜ ao, ario A.1 Se A ∈ C , B ∈ C )(I ).

  n m m n

i. A ⊗ B = (A ⊗ I ⊗ B) = (I ⊗ B)(A ⊗ I

  − − − − −

  1

  1

  1

  1

  1 = A desde que A e B existam. ii. (A ⊗ B) ⊗ B m×m n×n mn×mn

  Proposi¸ c˜ ent˜ ao existe uma matriz permuta¸c˜ ao A.3 Se A ∈ C e B ∈ C ao P ∈ R

  T tal que P (A ⊗ B)P = B ⊗ A.

  Demonstra¸ c˜ ao: Observe que com uma mudan¸ca simultˆ anea de linhas e colunas, a matriz pode ser reduzida a matriz I

  n n

  A ⊗ I ⊗ A. Por exemplo, · ¸ a b

  A = , c d ent˜ ao

        a 0 b 0 a 0 b 0 a b 0 0       0 a 0 b c 0 d 0 c d 0 0      

  =

  2

    ∼   ∼   = I c 0 d 0 0 a 0 b 0 0 a b 0 c 0 d 0 c 0 d 0 0 c d

  2 A ⊗ I ⊗ A. T

  Assim, existe uma matriz permuta¸c˜ ao P tal que P )P = I

  n n

  (A ⊗ I ⊗ A. Da mesma forma, a

  

T T

  mesma matriz P transforma P (I . Como P P = I, usando o corol´ ario A.1

  m m

  ⊗ B)P = B ⊗ I temos que

  T T T T

  P )(I )P P (I

  N m n m n m (A⊗B)P = P (A⊗I ⊗B)P = P (A⊗I ⊗B)P = (I ⊗A)(B ⊗I ) = B ⊗A.

  ¤

  m×m n×n n m ent˜ [det(B)] .

  Lema A.1 Se A ∈ C e B ∈ C ao det(A ⊗ B) = [det(A)] Demonstra¸ c˜ ao: Do corol´ )(I

  n m m

  ario A.1 temos que A ⊗ B = (A ⊗ I ⊗ B). Com I ⊗ B =

  T

  diag(B, B . . . , B) e P )P = I

  n n

  (A ⊗ I ⊗ A) = diag(A, A . . . , A). Como det(P ) = 1 temos que

  m

  det(I m ⊗ B) = det(diag(B, B, . . . , B)) = [det(B)] .

  n

  ) = det(diag(A, A, . . . , A)) = [det(A)]

  n

  det(A ⊗ I

  n m [det(B)] .

  Portanto, det(A ⊗ B) = [det(A)] ¤

  Apˆ endice B Semigrupos de Operadores: Conceitos e resultados b´ asicos

  O objetivo desta se¸c˜ ao ´e apresentar de maneira sucinta a defini¸c˜ ao e algumas propriedades da teoria de semigrupos de operdaores. O leitor que queira aprofundar seu estudo, bem como detalhes das demonstra¸c˜ oes omitidas, pode dirigir-se a [25]. A teoria de semigrupos a um parˆ ametro aparece em muitas ´ areas da matem´ atica aplicada. Em geral, os semigrupos s˜ ao assoiciados a problemas de Cauchy:

  ( u (t) = Au(t) t &gt; 0

  t

  (B.1) u(0) = u onde A ´e um operador linear em B um espa¸co de Banach complexo. A solu¸c˜ao formal de (B.1) ´e: u(t) = T (t)u uma condi¸c˜ onde T (t) = exp(tA) e u ao inicial. Se A ´e um operador linear limitado, exp(tA) pode ser definido atrav´es da s´erie:

  ∞ n

  X (tA) . exp(tA) = n!

  n=0

  A dificuldade surge quando A ´e n˜ao limitado. Nesse caso o operador exp(tA) ´e definido atrav´es da teoria de semigrupos. Defini¸ c˜ ao B.1 Um semigrupo a um parˆ

  ametro em B ´e uma fam´ılia de operadores lineares

  T (t) : B 7→ B, onde t ´e um parˆametro real, n˜ao-negativo que satisfaz: i. T (0) = I, onde I ´e o operador identidade em B.

  ii. Se 0 ≤ s, t &lt; ∞ ent˜ao T (s)T (t) = T (s + t). iii. A aplica¸c˜ ao (t, f ) 7→ T (t)f de [0, ∞) × B em B ´e cont´ınua.

  O uso de semigrupos ´e apropriado se o operador A independente do tempo. Muitos estudos envolvem a an´ alise do comportamento assint´ otico de T (t)f quando t −→ ∞. Por outro lado, se a lei de evolu¸c˜ ao ´e uma aproxima¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao evolu¸c˜ ao n˜ ao linear a an´ alise de curtos per´ıodos do comportamento, pode ser mais importante.

  Observa¸ c˜ ao B.1 O parˆ ametro t, geralmente ´e interpretado como o tempo, no caso em que o semigrupo descreve a evolu¸c˜ ao de um sistema.

  Dizemos que T (t) ´e um semigrupo de classe C , ou C semigrupo, quando lim

  • + k(T (t) − I)uk = 0 ∀ u ∈ B.

  t−→0

  Defini¸ c˜ ao B.2 O gerador infinitesimal A de um semigrupo T (t) ´e definido por T (t)f − f

  Af = lim (B.2)

  t−→0

  t onde A ´e um operador, A : D(A) 7→ B, com D(A) = {u ∈ B : o limite (B.2) exista}. Da defini¸c˜ ao B.2 segue que A ´e um operador linear e que D(A) ´e um subespa¸co vetorial de

B. Al´em disso, obtemos dois resultados:

  Lema B.1 O subespa¸co D(A) ´e denso em B e ´e invariante sobre T (t), no sentido que T (D(A)) ⊆ D(A) ∀ t ≥ 0. Demonstra¸ c˜ ao:

  Se u ∈ B e Z t u t = T (x)udx ent˜ ao t R t R t n o

  (T (h)−I)u −

  

1

  lim = lim h T (h) T (x)udx

  h−→0 h−→0

  T (x)udx −

  h

  o nR R

  t+h t −

1

.

  = lim h T (x)udx

  h−→0

  T (x)udx − = T (t)u − u

  −

  1 Portanto u

  u

  t t t

  ∈ D(A) e Au = (T (t) − I)u. Como t −→ u em norma quando t −→ 0, segue que D(A) = B.

  ¤ Lema B.2 O gerador infinitesimal A de um semigrupo a um parˆ ametro T (t) ´e um operador fechado.

  Demonstra¸ c˜ ao: Sejam u u = u e lim Au = v.

  n n n

  ∈ D(A), lim

  n−→∞ n−→∞

1 Vamos precisar do resultado auxiliar

  : Se u ∈ D(A) ent˜ao Z

  t T (x)Audx.

  (T (t) − I)u = Ent˜ ao,

  n−→∞ n

  (T (t) − I)u = lim (T (t) − I)u R t = lim T (x)Au dx .

  n−→∞ n

  R t = T (x)vdx

  Portanto, Z

  t −

  (T (t) − I)u

  1 lim = lim t T (x)vdx = v. t−→0 t−→0

  t Ent˜ = v.

  n

  ao u ∈ D(A) e Au 1 ¤ A demonstra¸c˜ ao deste fato encontra-se em [8] e aqui ser´ a omitida. Teorema B.1 Seja T (t) um C semigrupo. Ent˜

  ao existem constantes w ≥ 0 e M ≥ 1 tais que

  (B.3) kT (t)k ≤ M exp(wt) para 0 ≤ t &lt; ∞. Seja T (t) um C semigrupo. Do teorema B.1 segue que existem constantes w ≥ 0 e M ≥ 1 tais que (B.3) ´e v´ alida. Se w = 0, T (t) ´e limitado uniformemente. Al´em disso, se M = 1, T (t) ´e um C semigrupo de contra¸c˜ oes.

  Teorema B.2 (Hille Yosida) Um operador linear A n˜ao limitado ´e o gerador infinitesimal de

  um C semigrupo de contra¸c˜ oes T (t), t ≥ 0 se e somente se,

i. A ´e fechado e D(A) = B.

  • e para todo z &gt; 0, ii. O conjunto resolvente ρ(A) cont´em R

  1

  −

  1

  . (B.4) k(z − A) k ≤ z

  Corol´ semigrupo de contra¸c˜ oes T (t). O conjunto resol- ario B.1 Seja A um gerador de um C

  vente de A cont´em o semi plano direito, isto ´e, ρ(A) ⊇ {z : Re(z) &gt; 0} e para tais z,

  1

  −

  

1

  (B.5) k(z − A) k ≤ Re(z)

  Corol´

  semigrupo satisfa-

  ario B.2 Um operador linear A ´e o gerador infinitesimal de um C

  zendo kT (t)k ≤ exp(wt) se e somente se, i. A ´e fechado e D(A) = B.

ii. O conjunto resolvente de A, ρ(A), cont´em o raio {λ : Im(z) = 0; z > w} e para tais z,

  1

  −

  1

  (B.6) k(z − A) k ≤ z − w

  Se A ´e um gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C ,T (t) o problema de Cauchy para A tem uma solu¸c˜ ao u(t) = T (t)u , para todo u ∈ D(A), conforme os pr´oximo resultados.

  Proposi¸ c˜ ao B.1 Seja A um operador linear densamente definido. Se (λI − A) existe para todo

  real e

  λ ≥ λ

  −

  1

  lim λ log k(λI − A)k ≤ 0.

  λ−→∞ Ent˜ ao o problema de valor inicial (B.1) tem uma solu¸c˜ ao para todo u ∈ D(A).

  Proposi¸ c˜ ao B.2 Seja A um operador linear densamente definido em B tal que ρ(A) 6= φ. O

  

problema de valor inicial (B.1) tem ´ unica solu¸c˜ ao u(t) que ´e continuamente diferenci´ avel em

semigrupo

  [0, ∞) para todo u ∈ D(A) se e somente se A ´e o gerador infinitesimal de um C T (t).

  Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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  [4] R. L. Burden e J. D. Faires, “An´ alise Num´erica”; Tradutor: Ricardo Lenzy Tombi, Revisor t´ecnico: Leonardo Frein Melo. Pioneira Thomson Learning, S˜ ao Paulo, 2003. [5] P. C. Calegari e F. S. V. Baz´ an, An´ alise espectral de um m´etodo pseudo espectral para propaga¸c˜ ao de ondas com condi¸c˜ oes de fronteira transparentes, submetido a TEMA, 2006.

  ◦

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