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DCC008 - C´alculo Num´erico

Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

  Iury Igreja

  

Departamento de Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao

Universidade Federal de Juiz de Fora

iuryigreja@ice.ufjf.br

  ◮

  ◮

  ◮

M´etodos diretos ◮

  

M´etodos iterativos ◮

   Iremos estudar agora m´etodos computacionais para resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares da forma: a x + a x + . . . + a x = b

  11

  1

  12 2 1n n

  1

  a x + a x + . . . + a x = b

  21

  1

  22 2 2n n

  2 .. ..

  . . a x + a x + . . . + a x = b

  m1 1 m2 2 mn n m

  onde a b x i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n

  ij ∈ R, i ∈ R, j ∈ R,

  Chamamos a de coeficientes, b s˜ao constantes dadas e x s˜ao as

  

ij i j vari´aveis ou inc´ognitas do problema. Exemplos de aplica¸c˜ oes

  Em uma vasta gama de problemas de ciˆencias e engenharias a solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares ´e necess´aria. Podemos enumerar diversas ´areas e problemas t´ıpicos, tais como:

  ◮

  Solu¸c˜ao de equa¸c˜oes diferenciais

  Solu¸c˜ao de EDPs atrav´es do m´etodo dos elementos finitos, diferen¸cas finitas ou volumes finitos. Solu¸c˜ao de EDOs ◮

  Programa¸c˜ao linear

  ◮

  An´alise de estruturas

  ◮

  Sistemas de equa¸c˜oes n˜ao-lineares

  ◮

  Outros m´etodos num´ericos Interpola¸c˜ao, m´ınimos quadrados, etc.

  ◮

  Circuitos el´etricos Tens˜ oes em circuito el´ etrico

  Calcular as tens˜oes dos n´ os do circuito el´etrico da figura abaixo: Tens˜ oes em circuito el´ etrico

  Calcular as tens˜oes dos n´ os do circuito el´etrico da figura abaixo: Modelagem do problema:

  ◮

  Lei de Kirchhoff: a soma das correntes que passam em cada n´ o do circuito ´e nula.

  ◮

  Lei de Ohm: a corrente do n´ o j para o n´ o k ´e dada pela equa¸c˜ao

  V j −V k

  I =

  jk R jk Tens˜ oes em circuito el´ etrico

  I + I + I + I = 0

  A1

  21

  31

  41

  N´o 1:

  Tens˜ oes em circuito el´ etrico

  • I
  • I
  • I

  N´o 1:

  I

  A1

  21

  31

  41

  = 0

  0−V 1

  • V
  • 2 −V 1<
  • V
  • 3 −V 1<
  • V
  • 4 −V 1

      1

      1

      2

      2

      = 0

    • I
    • I
    • I
    • V
    • 2 −V 1<
    • V
    • 3 −V 1<
    • V
    • 4 −V 1

        = 0 − 2V

        2

        V 1

        −

        2

        2

        V 1

        −

        2

        1

        − V

        2

        

      1

        2

        2

        1

        1

        0−V 1

        = 0

        41

        31

        21

        A1

        I

        N´o 1:

        Tens˜ oes em circuito el´ etrico

      • V
      • V
      • 3<
      • V
      • 4

          = 0 Tens˜ oes em circuito el´ etrico

          I + I + I + I = 0

          A1

          21

          31

          41

          N´o 1: 1 2 1 3 1 4 1

          0−V V −V V −V V −V

        • = 0

          1

          1

          2

          2 V

          V V

          V

          − 2V + V − V + − − = 0 3

        • 1
        • 4 1

            

          1

            2

            1

            2

            2

            2

            2

            − 4V + 2V + V − 2V + 2V = 0

            1

            2

            3

            1

            4

            −6V + 2V + V + V = 0

            1

            2

            3

            4 Tens˜ oes em circuito el´ etrico

            I + I + I + I = 0

            A1

            21

            31

            41

            N´o 1: 1 2 1 3 1 4 1

            0−V V −V V −V V −V

            = 0 + + +

            1

            1 3

            2 1 4

            2 1 V

            V V

            V

            − 2V + V − V − − = 0 + +

            

          1

            2

            1

            2

            2

            2

            2

            − 4V + 2V + V − 2V + 2V = 0

            1

            2

            3

            1

            4

            −6V + 2V + V + V = 0

            1

            2

            3

            4 N´o 2:

            3V − 4V + V = 0

            1

            2

            3 N´o 3:

            3V + 2V − 13V + 6V = −254

            

          1

            2

            2

            4 N´o 4:

          V + 2V − 3V = 0

            1

            3

            4

          • I
          • I
          • I
          • V
          • 2 −V 1<
          • V
          • 3 −V 1<
          • V
          • 4 −V 1<
          • V
          • V
          • 3<
          • V
          • 4

              1

              = 0 − 4V

              1

              2

              3

              − 2V

              1

              4

              = 0 −6V

              1

              2

              3

              4

              = 0 N´o 2:

              3V

              − 4V

              V 1

              4

              4

              − 3V

              3

              1

              V

              = −254 N´o 4:

              2

              2

              − 13V

              2

              

            1

              3V

              = 0 N´o 3:

              3

              2

              −

              = 0 Tens˜ oes em circuito el´ etrico

              2

              Tens˜ oes em circuito el´ etrico  −6

              2

              1

              1 3 −4

              1

              3 2 −13

              6

              1 2 −3

              V 1 V 2 V 3 V 4

              N´o 1:

              I

              A1

              21

              31

              41

              = 0

              0−V 1

              2

              V 1

              −

              2

              1

              − V

              2

              

            1

              = 0 − 2V

              2

              2

              1

              1

            • 2V
            • V
            • 2V
            • 2V
            • V
            • V
            • V

            • 2V
            • 6V

            • 2V

                 

              4

              41.6     ou seja V

              49.6

              31.75

              25.7

              =    

              ∗

              V

              Usando algum m´etodo que iremos estudar, encontramos a solu¸c˜ao deste sistema

              −254    

              =    

                 

              3 V

              −6

              2 V

              1 V

              V

                 

              1 2 −3    

              6

              3 2 −13

              1

              1 3 −4

              1

              2

              1 = 25.7V , V 2 = 31.75V , V 3 = 49.6V e V 4 = 41.6V . Estruturas

              Exemplo 1, Cap´ıtulo 3, P´agina, 105, Livro da Ruggiero. Determinar as for¸cas que atuam nesta treli¸ca.

              Jun¸c˜ao 2:

              X F = −αf + f + αf = 0

              x

              1

              4

              5 X

              F = −αf − f − αf = 0

              y

              1

              3

              5 Procedendo de forma an´aloga para todas as jun¸c˜ oes obtem-se um sistema linear de 17 equa¸c˜oes e 17 vari´aveis (f , . . . , f ).

              1

              17 Antes de estudar os m´etodos para solu¸c˜ao deste tipo de problema, vamos rever alguns conceitos fundamentais de ´ Algebra Linear necess´arios para o desenvolvimento e an´alise dos m´etodos.

              Antes de estudar os m´etodos para solu¸c˜ao deste tipo de problema, vamos rever alguns conceitos fundamentais de ´ Algebra Linear necess´arios para o desenvolvimento e an´alise dos m´etodos.

              Matrizes

              Uma matriz ´e um conjunto de elementos (n´ umeros reais ou complexos) dispostos de forma retangular. O tamanho ou dimens˜ao ´e definido pelo seu n´ umero de linhas e colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas ´e dita ser m × n (m por n) e se m = n, ent˜ao dizemos que a matriz ´e quadrada.

                Um elemento a da matriz ´e a

              11 a 12 . . . a 1n ij

              21 22 2n

                a a . . . a referenciado por 2 ´ındices: o

                A

              =   primeiro indica a linha e o

              .. ..

              . ..  . .  segundo a coluna. a m1 a m2 . . . a mn Matrizes especiais ◮

              Matriz coluna e matriz linha Matriz linha: 1 × n a

              ◮

              ij

              = 1, ∀i = j e

              ij

              Matriz identidade: e

              ◮

              = 0, ∀i 6= j

              ij

              Matriz diagonal: d

              ◮

              Matriz nula: a ij = 0, ∀i, j

                  

              11

              n1

              . a

              21 ..

              a

              11

              Matriz coluna: n × 1      a

              1n

              . . . a

              12

              a

              = 0, ∀i 6= j Matrizes especiais ◮

              Matriz triangular inferior: acima da diagonal principal ´e nula b

              ij

              = 0, ∀ i &lt; j, Exemplo: B =   b

              11

              b

              21

              b

              22

              b

              31

              b

              32

              b

              33

                Matrizes especiais ◮

              Matriz triangular inferior: acima da diagonal principal ´e nula b

              ◮

              33

              c

              23

              c

              22

              c

              13

              11 c 12 c

              = 0, ∀ i &gt; j, Exemplo: C =   c

              ij

              Matriz triangular superior: abaixo da diagonal principal ´e nula c

               

              ij

              33

              b

              32

              b

              31

              b

              22

              b

              21

              b

              11

              = 0, ∀ i &lt; j, Exemplo: B =   b

                Matrizes especiais ◮

              Matriz triangular inferior: acima da diagonal principal ´e nula b

              = 0, ∀ i &gt; j, Exemplo: C =   c

              ji

              = m

              ij

              Matriz sim´etrica: m

              ◮

               

              33

              c

              23

              c

              22

              c

              13

              11 c 12 c

              ij

              ij

              b

              = 0, ∀ i &lt; j, Exemplo: B =   b

              11

              b

              21

              b

              22

              31

              Matriz triangular superior: abaixo da diagonal principal ´e nula c

              b

              32

              b

              33

               

              ◮

              , ∀ i, j Opera¸c˜ oes matriciais Transposi¸c˜ao

              A transposta de uma matriz A, denotada por A

              6

              =   1 4 7 10

              T

              , A

              9 10 11 12    

              8

              7

              5

              T

              4

              3

              2

              1

                 

              A =

              , ´e uma matriz obtida trocando-se as suas linhas pelas colunas. Exemplo:

              2 5 8 11 3 6 9 12   Opera¸c˜ oes matriciais Transposi¸c˜ao

              T

              A transposta de uma matriz A, denotada por A , ´e uma matriz obtida trocando-se as suas linhas pelas colunas. Exemplo:

               

              1

              2 3   1 4 7 10  

              4

              5

              A   A   = , = 2 5 8 11

               

              7

              8

              9 3 6 9 12 10 11 12

              Adi¸c˜ao e Subtra¸c˜ao

              Sejam A e B matrizes m × n. Ent˜ao a matriz C ´e m × n e seus elementos s˜ao dados por Opera¸c˜ oes matriciais Multiplica¸c˜ao por escalar Seja A uma matriz m × n e seja k ∈ R um escalar qualquer.

              Ent˜ao B = kA ´e tal que b = k a , ∀ i, j

              ij ij Opera¸c˜ oes matriciais Multiplica¸c˜ao por escalar Seja A uma matriz m × n e seja k ∈ R um escalar qualquer.

              Ent˜ao B = kA ´e tal que b = k a , ∀ i, j

              ij ij Multiplica¸c˜ao matriz-vetor

              Seja A uma matriz m × n e x um vetor n × 1, ent˜ao a multiplica¸c˜ao de A por x ´e

              n

              X v = Ax ⇒ v = a x , i = 1, 2, . . . , m

              

            i ij j j=1 Opera¸c˜ oes matriciais Multiplica¸c˜ao por escalar Seja A uma matriz m × n e seja k ∈ R um escalar qualquer.

              Ent˜ao B = kA ´e tal que b = k a , ∀ i, j

              ij ij Multiplica¸c˜ao matriz-vetor

              Seja A uma matriz m × n e x um vetor n × 1, ent˜ao a multiplica¸c˜ao de A por x ´e

              n

              X v = Ax ⇒ v = a x , i = 1, 2, . . . , m

              

            i ij j

               

            j=1

            Exemplo

              1

              2

              5

              

            1

              3

            4  = 

            11 

              

            2

              5

              6

              17 Opera¸c˜ oes matriciais Multiplica¸c˜ao matriz-matriz

              Seja A uma matriz m × p e B uma matriz p × n. O resultado da multiplica¸c˜ao AB ´e uma matriz C de tamanho m × n.

              p

              X c = a b , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n

              ij ik kj k=1

              Exemplo:  

              −3

              2 3 1 0

            A B  

              = , =

              4

              9 −1 6 4 8 −1

              −5 15

            C

              = AB =

              59

              48 Opera¸c˜ oes matriciais Produto Interno e Produto Externo

              O produto interno ou escalar entre dois vetores x e y, ambos de tamanho n resulta em um valor escalar k dado por

              n

              X T y k = x = x y + x y + . . . + x y = x y

              1

              1

              2 2 n n i i i=1 Opera¸c˜ oes matriciais Produto Interno e Produto Externo

              O produto interno ou escalar entre dois vetores x e y, ambos de tamanho n resulta em um valor escalar k dado por

              n

              X T y k = x = x y + x y + . . . + x y = x y

              1

              1

              2 2 n n i i i=1

              O produto externo entre x(m × 1) e y(n × 1) resulta em uma matriz M de tamanho m × n dada por m = x y , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n

              ij i j Opera¸c˜ oes matriciais Produto Interno e Produto Externo

              O produto interno ou escalar entre dois vetores x e y, ambos de tamanho n resulta em um valor escalar k dado por

              n

              X T y k = x = x y + x y + . . . + x y = x y

              1

              1

              2 2 n n i i i=1

              O produto externo entre x(m × 1) e y(n × 1) resulta em uma matriz M de tamanho m × n dada por m = x y , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n

              ij i j Exemplo:      

              5

              1

              5

              15

              20 T T       x = −1 , y = 3 , x y = 10, xy = M = −1 −3 −4

              2

              4

              2

              6

              8 Opera¸c˜ oes matriciais Determinante

              Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao A possui um n´ umero associado chamado de determinante, o qual pode ser calculado pela seguinte f´ormula:

              n+1

              det(A) = a det(M

              11 )−a det(M 12 )+. . .+(−1) a det(M 1n )

              11 12 1n

              onde M ij ´e a matriz resultante da remo¸c˜ao da linha i e da coluna j da matriz A. Opera¸c˜ oes matriciais Determinante

              Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao A possui um n´ umero associado chamado de determinante, o qual pode ser calculado pela seguinte f´ormula:

              n+1

              det(A) = a det(M

              11 )−a det(M 12 )+. . .+(−1) a det(M 1n )

              11 12 1n

              onde M ij ´e a matriz resultante da remo¸c˜ao da linha i e da coluna j da matriz A. Em particular 11 12

              a a A 11 11 A 11 22 12 21

            = [a ] ⇒ det(A) = a , = ⇒ det(A) = a a − a a

            21

            22   a a 11 22 33 32 23 11 12 13 det(A) = a (a a − a a ) a a a 21 22 23 A =  a a a  12 21 33 31 23 31 32 33 − a (a a − a a ) a a a 13 21 32 31 22

            • a (a a − a a )
            Opera¸c˜ oes matriciais Defini¸c˜ao (Matriz singular) Uma matriz com det(A) = 0 ´e dita singular. Por outro lado quando det(A) 6= 0 dizemos que a matriz ´e n˜ ao-singular.

              Opera¸c˜ oes matriciais Defini¸c˜ao (Matriz singular) Uma matriz com det(A) = 0 ´e dita singular. Por outro lado quando det(A) 6= 0 dizemos que a matriz ´e n˜ ao-singular.

              Defini¸c˜ao (Vetores Linearmente Independentes) Um conjunto de vetores x , x , . . . , x ´e dito ser linearmente

              1

            2 k

            independente (LI) se

              1 1 + c

              x x x c

              2 2 + . . . + c k = 0 k

            somente se c = c = . . . = c = 0. Caso contr´ario, isto ´e, quando

              1 2 k

              c

              1 , c

            2 , . . . , c n˜ao s˜ao todos nulos, dizemos que o conjunto de k vetores ´e linearmente dependente (LD). Opera¸c˜ oes matriciais

            Defini¸c˜ao (Posto)

              

            O posto (ou rank) de uma matriz A de tamanho m × n ´e definido

            como o n´ umero m´aximo de vetores linhas (ou de vetores colunas) linearmente independentes de A. Escrevemos posto(A) = r e temos que r ≤ min (m, n). Opera¸c˜ oes matriciais Defini¸c˜ao (Posto)

            O posto (ou rank) de uma matriz A de tamanho m × n ´e definido

            como o n´ umero m´aximo de vetores linhas (ou de vetores colunas)

            linearmente independentes de A. Escrevemos posto(A) = r e temos que r ≤ min (m, n).

              Defini¸c˜ao (Inversa) A inversa de uma matriz A quadrada n × n ´e representada por

              −1

              A e definida de tal forma que

              −1 −1

              AA A = A = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n.

              3

              1

              2 1 −

              −1

              2

              2 A = , A =

              4 3 −2

              1 Um sistema de equa¸c˜oes lineares consiste em um conjunto de m equa¸c˜oes polinomiais com n vari´aveis x de grau um, isto ´e

              i

              a

              11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b

              1

              a x + a x + . . . + a x = b

              21

              1

              22 2 2n n

              2 .. ..

              . . a m1 x

              1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m

              o qual pode ser escrito da seguinte forma matricial Ax = b onde       a a . . . a x b

              11 12 1n

              1

              1

              21 a 22 . . . a 2n x 2 b

              2

                    a

                    A = , x = , b =

                    .. .. .. ..  . . .. .   .   .  a a . . . a x b

              

            m1 m2 mn n m

              onde A ´e a matriz dos coeficientes, b ´e o vetor dos termos independentes e x ´e o vetor solu¸c˜ao procurado. N´ umero de Solu¸c˜ oes

              Vamos considerar apenas sistemas cujas matrizes dos coeficientes

              n×n .

              s˜ao quadradas, isto ´e, onde A ∈ R Iremos tratar do caso onde A n˜ao ´e uma matriz quadrada e m &gt; n mais adiante, quando estudarmos m´ınimos quadrados.

              Para o sistema Ax = b, temos as seguintes possibilidades quanto ao n´ umero de solu¸c˜oes:

              (a) uma ´ unica solu¸c˜ao (b) infinitas solu¸c˜oes (c) sem solu¸c˜ao

              Vamos analisar cada caso em mais detalhes atrav´es de alguns exemplos de sistemas de equa¸c˜oes lineares 2 × 2.

              Caso (a) ´ Unica solu¸c˜ao

              x + x = 3

              1 1 x

              3

              1

              1

              2

              1

              x = ⇒ = 1 −1 x

              2 −1

              2 x

              1 − x 2 = −1 Caso (a) ´ Unica solu¸c˜ao

              x + x = 3

              1 1 x

              3

              1

              1

              2

              1

              x = ⇒ = 1 −1 x

              2 −1

              2 x

              1 − x 2 = −1

              8

              6

              4

              2

              2

              4

              4

              3

              2

              1

              1

              2

              3

              4 Caso (b) Infinitas Solu¸c˜oes

              x + x = 1 1 1 x

              1

              1

              2

              1

              = 2 2 x

              2

              2 2x

              1 + 2x 2 = 2 Caso (b) Infinitas Solu¸c˜oes

              x + x = 1 1 1 x 1 1 − θ

              1

              2

              1

              x = ⇒ = 2 2 x

              2

              2 θ 2x

              1 + 2x 2 = 2 Caso (b) Infinitas Solu¸c˜oes

              x + x = 1 1 1 x 1 1 − θ

              1

              2

              1

              x = ⇒ = 2 2 x

              2

              2 θ 2x

              1 + 2x 2 = 2

              5 x + y = 1

              4 2x + 2y = 2

              3

              2

              1

              1

              2

              3

              4

              3

              2

              1

              1

              2

              3

              4 Caso (c) Sem Solu¸c˜ao

              x + x = 1

              1

              2

              ⇒ 6 ∃x tal que Ax = b x

              1 + x 2 = 4 Caso (c) Sem Solu¸c˜ao

              x + x = 1

              1

              2

              ⇒ 6 ∃x tal que Ax = b x

              1 + x 2 = 4

              8 x + y = 1 x + y = 4

              6

              4

              2

              2

              4

              4

              3

              2

              1

              1

              2

              3

              4 A equa¸c˜ao Ax = b possui uma ´ unica solu¸c˜ao se e somente se a matriz A for n˜ao-singular. O Teorema a seguir, caracteriza a n˜ao-singularidade da matriz A.

              Teorema Seja A uma matriz quadrada n × n. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: a)

              A

              −1 existe

              c) posto(A) = n

              d) det(A) 6= 0

              Ax = b (ou x = A

              −1 b ).

              Prova

              Iremos estudar agora diversos m´etodos num´ericos para a solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares. Vamos considerar que A ´e quadrada e n˜ao-singular.

              Iremos estudar agora diversos m´etodos num´ericos para a solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares. Vamos considerar que A ´e quadrada e n˜ao-singular.

              Os m´etodos de solu¸c˜ao de sistemas lineares geralmente envolvem a convers˜ao de um sistema quadrado em um sistema triangular que possui a mesma solu¸c˜ao que o original. Inicialmente, vamos estudar como resolver sistemas lineares triangulares inferiores e superiores.

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

                   x

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

              1

                  

              11 . . .

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

                   Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              11 . . .

              1

              l 11 x 1 = b 1

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              l

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2 ⇒ x

            2

            =

            b 2 − l 21 x 1 l 22

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              . .

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2 ⇒ x

            2

            =

            b 2 − l 21 x 1 l 22 .

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              . . l n1 x 1 + l n2 x 2 + . . . + l nn x n = b n

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2 ⇒ x

            2

            =

            b 2 − l 21 x 1 l 22 .

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              Considere um sistema triangular inferior de ordem n dado por      l

              1

              . . l n1 x 1 + l n2 x 2 + . . . + l nn x n = b n ⇒ x n = b n − l n1 x 1 − l n2 x 2 − . . . − l nn−1 x n−1 l nn

              l 11 x 1 = b 1 ⇒ x

            1 =

            b 1 l 11 l 21 x 1 + l 22 x 2 = b 2 ⇒ x

            2

            =

            b 2 − l 21 x 1 l 22 .

                  

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

                   x

              11 . . .

                  

              

            nn

              . . . l

              n3

              l

              n2

              l

              n1

              . .. l

              .. .

              22 . . .

              l

              21

              l

            A solu¸c˜ao deste sistema ´e feita atrav´es de um procedimento chamado de substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes sucessivas):

              De forma geral para Lx = b temos x

              i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              ij

              x

              j

               

              , l

              ii

              i = 1, . . . , n De forma geral para Lx = b temos x

              i

              x

              8 −1 4 −3 9

                 

                  x

              1

              x

              2

              3

              3

              x

              4

                 

              =    

              4

              1

              5 1 −6

              2

              =   b

              ij

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              x

                 

              j

               

              , l

              ii

              i = 1, . . . , n

              Exemplo

              48     De forma geral para Lx = b temos x

              i

                 

              1

              x

              2

              x

              3

              x

              4

              =    

                 

              4

              1

              48    

              Solu¸c˜ao

              2x

              1

              = 4 ⇒ x

              1

                  x

              8 −1 4 −3 9

              =   b

              x

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              ij

              j

              5 1 −6

               

              , l

              ii

              i = 1, . . . , n

              Exemplo

                 

              2

              3

              = 2

              = −1

              2x

              x

              3

              x

              4

                 

              =    

              4

              1

              48    

              Solu¸c˜ao

              1

              x

              = 4 ⇒ x

              1

              = 2 3x

              1

              2

              = 1 ⇒ x

              2

              =

              1−6

              5

              2

              1

              De forma geral para Lx = b temos x

              j

              i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              ij

              x

               

                  x

              , l

              ii

              i = 1, . . . , n

              Exemplo

                 

              2

              3

              5 1 −6

              8 −1 4 −3 9

                 

            • 5x

              = 5

              = 1 ⇒ x

              =    

              4

              1

              48    

              Solu¸c˜ao

              2x

              1

              = 4 ⇒ x

              1

              = 2 3x

              1

              2

              2

              4

              =

              1−6

              5

              = −1 x

              1

              − 6x

              2

              3

              = 48 ⇒ x

              3

              =

              48−2−6

              8

                 

              x

              De forma geral para Lx = b temos x

              , l

              i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              ij

              x

              j

               

              ii

              3

              i = 1, . . . , n

              Exemplo

                 

              2

              3

              5 1 −6

              8 −1 4 −3 9

                 

                  x

              1

              x

              2

              x

            • 5x
            • 8x

              21

              =

              4

              1

              48    

              Solu¸c˜ao

              2x

              1

              = 4 ⇒ x

              1

              = 2 3x

              1

              2

              = 1 ⇒ x

              2

              1−6

                 

              5

              = −1 x

              1

              − 6x

              2

              3

              = 48 ⇒ x

              3

              =

              48−2−6

              8

              = 5

              2+4+15

              =    

              4

              De forma geral para Lx = b temos x

              ii

              i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              j=1

              l

              ij

              x

              j

               

              , l

              i = 1, . . . , n

              x

              Exemplo

                 

              2

              3

              5 1 −6

              8 −1 4 −3 9

                 

                  x

              1

              x

              2

              x

              3

            • 5x
            • 8x
            Algoritmo n×n n

              entrada: L ∈ R , b ∈ R

              n

              sa´ıda: x ∈ R x(1) = b(1) / L(1,1); para i=2, ..., n fa¸ca s = b(i); para j=1, ..., i-1 fa¸ca s = s - L(i,j) * x(j); fim-para x(i) = s/L(i,i); fim-para

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              nn

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

              1

                   x

                  

              . .. . . . u

                   u

              .

              2n ..

              . . . u

              23

              u

              22

              u

              1n

              . . . u

              13

              u

              12

              u

              11

                   e assim temos O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

                   u

                  

                   e assim temos

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

              1

                   x

              nn

              11

              . .. . . . u

              .

              2n ..

              . . . u

              23

              u

              22

              u

              1n

              . . . u

              13

              u

              12

              u

              u nn x n = b n

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

                  

                   e assim temos

              n

              . b

              2 ..

              b

              1

              =      b

                  

              n

              . x

              2 ..

              x

              1

                   x

              nn

                   u

              1n

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              u

              . .. . . . u

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

              .

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn n−1n x n = b n−1

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn u n−1n−1 x n−1

                  

                   x

              1

              x

              2 ..

              . x

              n

              =      b

              nn

              1

              b

              2 ..

              . b

              n

                   e assim temos

                  

              . .. . . . u

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              . . . u

                   u

              11

              u

              12

              u

              13

              1n

              .

              u

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

            • u

              − u n−1n x n u n−1n−1

              b

              x

              2 ..

              . x

              n

                  

              =      b

              1

              2 ..

                   x

              . b

              n

                   e assim temos

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn u n−1n−1 x n−1

              n−1n x n = b n−1

              ⇒ x n−1

              = b n−1

              1

                  

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              1n

                   u

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              u

              nn

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

              .

              . .. . . . u

            • u

              .

              2 ..

              2 ..

              . x

              n

                  

              =      b

              1

              b

              . b

              1

              n

                   e assim temos

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn u n−1n−1 x n−1

              n−1n x n = b n−1

              ⇒ x n−1

              = b n−1

              − u n−1n x n u n−1n−1 ..

              x

                   x

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              1n

                   u

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              u

                  

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

              .

              . .. . . . u

              nn

            • u

              . u 11 x 1 + u 12 x 2 + . . . + u 1 n x n = b 1

              2 ..

              2 ..

              . x

              n

                  

              =      b

              1

              b

              . b

              1

              n

                   e assim temos

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn u n−1n−1 x n−1

              n−1n x n = b n−1

              ⇒ x n−1

              = b n−1

              − u n−1n x n u n−1n−1 ..

              x

                   x

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              1n

                   u

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              u

                  

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

              .

              . .. . . . u

              nn

            • u

              . u 11 x 1 + u 12 x 2 + . . . + u 1 n x n = b 1 ⇒ x

            1

            = b n − u 12 x 1 − u 13 x 3 − . . . − u 1 n x n u 11

              2 ..

              2 ..

              . x

              n

                  

              =      b

              1

              b

              . b

              1

              n

                   e assim temos

              u nn x n = b n ⇒ x n = b n u nn u n−1n−1 x n−1

              n−1n x n = b n−1

              ⇒ x n−1

              = b n−1

              − u n−1n x n u n−1n−1 ..

              x

                   x

              O algoritmo an´alogo para o caso de um sistema triangular superior Ux = b ´e chamado de retro-substitui¸c˜ ao (ou substitui¸c˜oes retroativas).

              1n

                   u

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              u

                  

              22

              u

              23

              . . . u

              2n ..

              .

              . .. . . . u

              nn

            • u
            De forma geral para Ux = b temos x

              i

              =   b

              i

              −

              n

              X

              j=i+1

              u

              ij

              x

              j

               

              , u

              ii

              i = n, . . . , 1 De forma geral para Ux = b temos  

              ,

              n

              X   x = b − u x u i = n, . . . , 1

              i i ij j ii j=i+1 Exemplo

                    2 4 −2 x

              2

              

            1

              4

              

            2

                    0 1 1 x =

              0 0 4 x

              

            3

              8 De forma geral para Ux = b temos  

              ,

              n

              X   x = b − u x u i = n, . . . , 1

              i i ij j ii j=i+1 Exemplo

                    2 4 −2 x

              2

              

            1

              4

              

            2

                    0 1 1 x =

              0 0 4 x

              

            3

              8 Solu¸c˜ao 4x = 8 ⇒ x = 2

              3

              3 De forma geral para Ux = b temos  

              ,

              n

              X   x = b − u x u i = n, . . . , 1

              i i ij j ii j=i+1 Exemplo

                    2 4 −2 x

              2

              

            1

              4

              

            2

                    0 1 1 x =

              0 0 4 x

              

            3

              8 Solu¸c˜ao 4x = 8 ⇒ x = 2

              3

              3

              x + x = 4 ⇒ x = 2

              2

              3

              2 De forma geral para Ux = b temos  

              ,

              n

              X   x = b − u x u i = n, . . . , 1

              i i ij j ii j=i+1 Exemplo

                    2 4 −2 x

              2

              

            1

              4

              

            2

                    0 1 1 x =

              0 0 4 x

              

            3

              8 Solu¸c˜ao 4x = 8 ⇒ x = 2

              3

              3

              x + x = 4 ⇒ x = 2

              2

              3

              2 2−8+4

              2

              2x + 4x − 2x = 2 ⇒ x = = − = −1

              1

              2

              3

              1

              2

              2 Algoritmo n×n n

              entrada: U ∈ R , b ∈ R

              n

              sa´ıda: x ∈ R x(n) = b(n)/U(n,n); para i=n-1, ..., 1 fa¸ca s = b(i); para j=i+1, ..., n fa¸ca s = s - U(i,j) * x(j); fim-para x(i) = s/U(i,i); fim-para

              Muitas vezes precisamos medir o custo de execu¸c˜ao de um algoritmo. Para isso usualmente definimos uma fun¸c˜ao de complexidade que pode ser uma medida do tempo para o algoritmo resolver um problema cuja instˆancia de entrada tem tamanho n (ou medir por exemplo o quanto de mem´oria seria necess´ario para execu¸c˜ao).

              A complexidade de um algoritmo para solu¸c˜ao de um sistema linear de ordem n ´e medida atrav´es do n´ umero de opera¸c˜oes aritm´eticas como adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e divis˜ao. Lembrando que

              n

              X n(n + 1) i =

              2

              i=1

              2 opera¸c˜oes de ponto flutuante.

              i=2

              − n = n

              2

              2 = n + n

              2

              2 No total o algoritmo de substitui¸c˜ao para sistemas triangulares inferiores realiza n + n(n − 1)

              i = n(n − 1)

              i=1

              X

              n−1

              (i − 1) =

              X

              Substitui¸c˜ao: Divis˜ao: n Adi¸c˜ao:

              n

              2 Multiplica¸c˜ao:

              i = n(n − 1)

              i=1

              X

              n−1

              (i − 1) =

              i=2

              X

              n

            • n(n − 1)
            Retro-substitui¸c˜ao: Divis˜ao: n

              n−1

              X n(n − 1) n(n − 1) Adi¸c˜ao: (n − i) = n(n − 1) − =

              2

              2

              i=1 n−1

              X n(n − 1) n(n − 1) Multiplica¸c˜ao: (n − i) = n(n − 1) − =

              2

              2

              i=1

              No total o algoritmo de retro-substitui¸c˜ao para sistemas triangulares superiores realiza n(n − 1) n(n − 1)

              2

              2

            • n + = n + n − n = n

              2

              2 opera¸c˜oes de ponto flutuante. Existem dois tipos de m´etodos para a solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares:

              Existem dois tipos de m´etodos para a solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares:

              ◮

            M´etodos diretos ◮

              

            Os m´etodos diretos s˜ao aqueles que conduzem `a solu¸c˜ ao exata ap´ os um n´ umero finito de passos a menos de erros de arredondamento introduzidos pela m´aquina. Existem dois tipos de m´etodos para a solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares:

              ◮

              M´etodos diretos

              

            Os m´etodos diretos s˜ao aqueles que conduzem `a solu¸c˜ ao

            exata ap´ os um n´ umero finito de passos a menos de erros de arredondamento introduzidos pela m´aquina.

              ◮

            M´etodos iterativos ◮

              S˜ao aqueles que se baseiam na constru¸c˜ao de sequˆ encias de

            aproxima¸c˜ oes. Em um m´etodo iterativo, a cada passo, os valores calculados anteriormente s˜ao usados para melhorar a aproxima¸c˜ao. ´ E claro que o m´etodo s´o ser´a ´ util se a sequˆencia

            de aproxima¸c˜ oes constru´ıdas convergir para uma solu¸c˜ao aproximada do sistema. O primeiro m´etodo direto que iremos estudar ´e o m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss. A id´eia fundamental do m´etodo ´e transformar a matriz A em uma matriz triangular superior introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.

              O primeiro m´etodo direto que iremos estudar ´e o m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss. A id´eia fundamental do m´etodo ´e transformar a matriz A em uma matriz triangular superior introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.

                      x x x x x x x x x x x x x x x x  x x x x   0 x x x   0 x x x   0 x x x         

              → → →         x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x O primeiro m´etodo direto que iremos estudar ´e o m´etodo da elimina¸c˜ao de Gauss. A id´eia fundamental do m´etodo ´e transformar a matriz A em uma matriz triangular superior introduzindo zeros abaixo da diagonal principal, primeiro na coluna 1, depois na coluna 2 e assim por diante.

                      x x x x x x x x x x x x x x x x  x x x x   0 x x x   0 x x x   0 x x x         

              → → →         x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 x x x x x x 0 x x x 0 0 x x 0 0 0 x

              Por fim, usa-se a retro-substitui¸c˜ ao para obter a solu¸c˜ao do sistema triangular superior obtido ao final dessa etapa de elimina¸c˜ao.

              Na elimina¸c˜ao de Gauss, as opera¸c˜oes efetuadas para se obter a matriz triangular superior s˜ao tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸c˜ao que o sistema original.

              Na elimina¸c˜ao de Gauss, as opera¸c˜oes efetuadas para se obter a matriz triangular superior s˜ao tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸c˜ao que o sistema original.

              Defini¸c˜ao (Sistema equivalente) Dois sistemas de equa¸c˜oes lineares s˜ao equivalentes quando possuem o mesmo vetor solu¸c˜ao.

              Na elimina¸c˜ao de Gauss, as opera¸c˜oes efetuadas para se obter a matriz triangular superior s˜ao tais que a matriz triangular obtida possui a mesma solu¸c˜ao que o sistema original.

              Defini¸c˜ao (Sistema equivalente) Dois sistemas de equa¸c˜oes lineares s˜ao equivalentes quando possuem o mesmo vetor solu¸c˜ao.

              Um sistema pode ser transformado em um outro sistema equivalente utilizando as seguintes opera¸c˜oes elementares:

              ◮

              trocar a ordem de duas equa¸c˜oes

              ◮

              multiplicar uma equa¸c˜ao por uma constante n˜ao-nula

              ◮

              somar um m´ ultiplo de uma equa¸c˜ao `a outra Exemplo

              3x + 5x = 9

              1

              2

              6x + 7x = 4

              1

              m´ ultiplo da linha 1, isto ´e

              ′

              L = L − 2L

              2

              1

              obtemos o sistema equivalente 3x

              1 + 5x 2 = 9

              −3x = −14

              2

              7 Exemplo 6

              3x + 5x = 9

              1

              2 4 5

              6x + 7x = 4

              1

              2 2 3 Podemos subtrair da linha 2 um 1 m´ ultiplo da linha 1, isto ´e 1 7 6 5 4 3 2 1 1

              L = L − 2L

              2

              1

              obtemos o sistema equivalente 3x

              1 + 5x 2 = 9

              −3x = −14

              2

              7 Exemplo 6

              3x + 5x = 9

              1

              2 4 5

              6x + 7x = 4

              1

              2 3 2 Podemos subtrair da linha 2 um 1 m´ ultiplo da linha 1, isto ´e 1 7 6 5 4 3 2 1 1

              L = L − 2L

              2

              1

              2 5 6 Efetuando esta opera¸c˜ao 4 obtemos o sistema equivalente 3

              3x

              1 + 5x 2 = 9 2

              −3x = −14

              2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a id´eia.

              Exemplo

              Seja o sistema x

              1 + x 3 = 0

              x + x = 1

              1

              2

              2x + 3x + x = 1

              1

              2 Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a id´eia.

              Exemplo

              Seja o sistema       1 0 1 x

              1

              x

              1 + x 3 = 0

              1

              2

                    1 1 0 x =

              x + x = 1

              1

              2

              2 3 1 x

              1

              3

              2x + 3x + x = 1

              1

              2 Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a id´eia.

              Exemplo

              Seja o sistema       1 0 1 x

              1

              x

              1 + x 3 = 0

              1

              2

                    1 1 0 x =

              x + x = 1

              1

              2

              2 3 1 x

              1

              3

              2x + 3x + x = 1

              1

              2

              Como podemos eliminar os coeficientes abaixo da diagonal principal na primeira coluna?

              Vamos primeiro estudar um exemplo simples para posteriormente generalizar a id´eia.

              Exemplo

              Seja o sistema       1 0 1 x

              1

              x

              1 + x 3 = 0

              1

              2

                    1 1 0 x =

              x + x = 1

              1

              2

              2 3 1 x

              1

              3

              2x + 3x + x = 1

              1

              2

              Como podemos eliminar os coeficientes abaixo da diagonal principal na primeira coluna?   1 0

              1

              ′

              L = L − L

              2

              1

              2

                1 −1 1

              ′

              L = L − 2L

              3

              1

              3

              3 Exemplo - (cont.)

              Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a ). Como?

              32 Exemplo - (cont.)

              Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a

              32

              ). Como? L

              ′′

              3

              = L

              ′

              3

              − 3L

              ′

              2

                1 0

              1 0 1 −1 1 0 0

              2 −2   Exemplo - (cont.)

              Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a ). Como?

              32

                1 0

              1

              ′′ ′ ′

              1 L = L − 3L

                0 1 −1

              3

              3

              2

              0 0 2 −2 Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema: Exemplo - (cont.)

              Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a ). Como?

              32

                1 0

              1

              ′′ ′ ′

              1 L = L − 3L

                0 1 −1

              3

              3

              2

              0 0 2 −2 Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema:

              2x

              3 = −2 ⇒ x

            3 = −1

              x − x = 1 ⇒ x = 1 + x = 1 − 1 = 0

              2

              3

              2

              3

              x + x = 0 ⇒ x = −x = 1

              1

              3

              1

              3 Exemplo - (cont.)

              Precisamos agora de eliminar os coeficientes abaixo da diagonal na segunda coluna (a ). Como?

              32

                1 0

              1

              ′′ ′ ′

              1 L = L − 3L

                0 1 −1

              3

              3

              2

              0 0 2 −2 Agora podemos usar a retro-substitui¸c˜ao para encontrar facilmente a solu¸c˜ao deste sistema:

              2x

              3 = −2 ⇒ x

            3 = −1

              x − x = 1 ⇒ x = 1 + x = 1 − 1 = 0

              2

              3

              2

              3

              x + x = 0 ⇒ x = −x = 1

              1

              3

              1

              3 T

              Encontramos assim a solu¸c˜ao: x = 1 0 −1 Resolver o seguinte sistema  

              2

              1

              1 4 −6 0 −2

              7

              2  

                x

              

            1

              x

              

            2

              x

              

            3

               

              =  

              5 −2

              9   Resolver o seguinte sistema  

              2

              =  

              2 − 2L

              = L

              2

              ′

              = 4/2 = 2 ⇒ L

              21 = a 21 a 11

              Passo 1 m

              9  

              5 −2

               

              1

              

            3

              x

              

            2

              x

              

            1

                x

              2  

              7

              1 4 −6 0 −2

              1

              1

              31

              ′

              2

              = L

              2 − 2L

              1

              m

              =

              21 = a 21 a 11

              a 31 a 11

              = −2/2 = −1 ⇒ L

              ′

              3

              = L

              3

              = 4/2 = 2 ⇒ L

              Passo 1 m

              Resolver o seguinte sistema  

              

            1

              2

              1

              1 4 −6 0 −2

              7

              2  

                x

              x

              9  

              

            2

              x

              

            3

               

              =  

              5 −2

            • L

              14  

              = L

              1

              m

              31

              =

              a 31 a 11

              = −2/2 = −1 ⇒ L

              ′

              3

              3

              = L

              1

               

              2

              1

              1

              5 0 −8 −2 −12

              8

              3

              2 − 2L

              2

              Resolver o seguinte sistema  

              

            2

              2

              1

              1 4 −6 0 −2

              7

              2  

                x

              

            1

              x

              x

              ′

              

            3

               

              =  

              5 −2

              9  

              Passo 1 m

              21 = a 21 a 11

              = 4/2 = 2 ⇒ L

            • L

              2

              a 32 a 22

              ′

              3

              ′

              = L

              3

              ′′

              = 8/ − 8 = −1 ⇒ L

              =

              Passo 2  

              32

              14   m

              3

              8

              5 0 −8 −2 −12

              1

              1

              2

            • L

              = L

            • L

              2  

              1

              5 0 −8 −2 −12

              1

              1

              2

               

              2

              ′

              3

              ′

              3

              Passo 2  

              ′′

              = 8/ − 8 = −1 ⇒ L

              a 32 a 22

              =

              32

              14   m

              3

              8

              5 0 −8 −2 −12

              1

              1

              2

              Pr´oxima etapa: resolver o sistema triangular superior obtido usando o algoritmo de retro-substitui¸c˜ ao.

              De forma geral

              2n b

              .. . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn b n 

              .. .

              

            . ..

              .. .

              .. .

              .

              2 ..

              23 . . . a

                   a

              22 a

              21 a

              1 a

              1n b

              13 . . . a

              12 a

              11 a

                  De forma geral

                   a

              .

              Passo 1 (k=1): eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Suponha que a

                 

              .. . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn b n 

              .. .

              

            . ..

              .. .

              .. .

              2 ..

              11 a

              2n b

              23 . . . a

              22 a

              21 a

              1 a

              1n b

              13 . . . a

              12 a

              11 6= 0. De forma geral

                   a

              n1

              11

              m

              31

              = a

              

            31

              /a

              11 ..

              . m

              = a

              

            21

              

            n1

              /a

              11

              ou seja m

              i1

              = a

              

            i1

              /a

              11

              /a

              = a

              11 a

              2 ..

              12 a

              13 . . . a

              1n b

              1 a

              21 a

              22 a

              23 . . . a

              2n b

              .

              21

              .. .

              .. .

              

            . ..

              .. .

              .. . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn b n 

                 

              Passo 1 (k=1): eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Suponha que a

              11

              6= 0. Ent˜ao: m

              , i = 2 : n De forma geral

                   a

              n1

              11

              m

              31

              = a

              

            31

              /a

              11 ..

              . m

              = a

              

            21

              

            n1

              /a

              11

              ou seja m

              i1

              = a

              

            i1

              /a

              11

              /a

              = a

              11 a

              2 ..

              12 a

              13 . . . a

              1n b

              1 a

              21 a

              22 a

              23 . . . a

              2n b

              .

              21

              .. .

              .. .

              

            . ..

              .. .

              .. . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn b n 

                 

              Passo 1 (k=1): eliminamos os elementos abaixo da diagonal principal na primeira coluna. Suponha que a

              11

              6= 0. Ent˜ao: m

              , i = 2 : n a

              Agora, multiplicamos a 1 equa¸c˜ao por m e subtraimos da

              i1

              i-´esima equa¸c˜ao, isto ´e

              (1) (0) (0)

              Para i = 2 : n a = a − m i1 a

              ij ij 1j (1) (0) (0)

              b = b − m b , j = 1 : n

              i1 i i

              1 a

              Agora, multiplicamos a 1 equa¸c˜ao por m e subtraimos da

              i1

              i-´esima equa¸c˜ao, isto ´e

              (1) (0) (0)

              Para i = 2 : n a = a − m i1 a

              ij ij 1j (1) (0) (0)

              b = b − m b , j = 1 : n

              i1 i i

              1 Observe que n˜ao alteramos a primeira linha, pois i = 2 : n, logo

              esta permanece inalterada:

              (1) (0) (1) (0)

              a = a = a 1j , b = b = b

              1 1j 1j

              1

              1 Agora, multiplicamos a 1

              a

              32 a

              a coluna.

                     a

              11 a 12 a 13 . . . a 1n b

              1 a

              1

              22 a

              1 23 . . . a

              1 2n b

              1

              2 a

              1

              1 33 . . . a

              1 Ap´ os essa etapa zeramos todos os elementos abaixo da diagonal

              1 3n b

              1

              3 ..

              .

              .. .

              .. .

              

            . ..

              .. .

              .. . a

              1 n2 a

              1 n3 . . . a

              1 nn b

              principal na 1

              = b

              equa¸c˜ao por m

              − m

              i1

              e subtraimos da i-´esima equa¸c˜ao, isto ´e

              Para i = 2 : n a

              (1) ij

              = a

              

            (0)

            ij

              − m i1 a

              (0) 1j

              b

              (1) i

              = b

              

            (0)

            i

              i1

              1

              b

              (0)

              1

              , j = 1 : n Observe que n˜ao alteramos a primeira linha, pois i = 2 : n, logo esta permanece inalterada: a

              (1) 1j

              = a

              (0) 1j

              = a 1j , b

              (1)

              1

              = b

              (0)

              1 n        Passo 2 (k=2): consiste em introduzir zeros abaixo da diagonal

              a

              principal na 2 coluna. Suponha a 6= 0. Definimos

              

            22

              m = a /a , i = 3 : n

              i2 i2

              22 Passo 2 (k=2): consiste em introduzir zeros abaixo da diagonal

              a

              principal na 2 coluna. Suponha a 6= 0. Definimos

              

            22

              m = a /a , i = 3 : n

              i2 i2

              22

              e assim

              (2) (1) (1)

              para i = 3 : n a = a − m a

              i2 ij ij 2j (2) (1) (2)

              b = b − m b , j = 2 : n

              i2 i i

              1 Passo 2 (k=2): consiste em introduzir zeros abaixo da diagonal principal na 2

              a

              b

              1

              23

              . . . a

              1 2n

              b

              1

              2

              a

              2

              33

              . . . a

              2 3n

              2

              22

              3 ..

              .

              .. .

              .. .

              . ..

              .. .

              .. . a

              2 n3

              . . . a

              2 nn

              b

              2 n

              a

              1

              coluna. Suponha a

              i2

              

            22

              6= 0. Definimos m

              i2

              = a

              i2

              /a

              22

              , i = 3 : n e assim para i = 3 : n a

              (2) ij

              = a

              

            (1)

            ij

              − m

              a

              a

              (1) 2j

              b

              (2) i

              = b

              

            (1)

            i

              − m

              i2

              b

              (2)

              1

              , j = 2 : n o que resulta em        a

              11 a 12 a 13 . . . a 1n b

              1

                     Passo 3, Passo 4, ... Passo k: Considerando a

              kk

              6= 0, temos m

              ik

              = a

              ik

              /a

              kk

              , i = k + 1 : n Passo 3, Passo 4, ... Passo k: Considerando a 6= 0, temos

              kk

              m = a /a , i = k + 1 : n

              ik ik kk

              e assim fazemos

              (k) (k−1) (k−1)

              para i = k + 1 : n a = a − m a

              ik ij ij kj (k) (k−1) (k−1)

              b = b − m b , j = k : n

              ik i i k

              Observe novamente que n˜ao alteramos as linhas de 1 a k.

              No processo de elimina¸c˜ao os elementos a

              2 3n

              

            1

            2n−1

              a

              1 2n

              b

              1

              2

              a

              2

              33

              . . . a

              

            2

            3n−1

              a

              b

              23

              2

              3 ..

              .

              .. .

              .. .

              . ..

              .. .

              .. .

              . . . a

              n −1 nn

              b

              n −1 n

              . . . a

              1

              11

              11

              , a

              (1)

              22

              , a

              (2)

              33

              , . . ., a

              (k−1) kk

              que aparecem na diagonal da matriz A s˜ao chamados de pivˆ os. Se os pivˆ os n˜ao se anulam, isto ´e, se a

              kk

              6= 0, k = 1 : n, durante o processo, ent˜ao a elimina¸c˜ao procede com sucesso e por fim chegamos ao seguinte sistema triangular superior

                     a

              a

              a

              12

              a

              13

              . . . a

              1n−1

              a

              1n

              b

              1

              a

              1

              22

                     Em seguida resolvemos esse sistema usando retro substitui¸c˜ ao. Algoritmo

            n×n n

              entrada: matriz A ∈ R , vetor b ∈ R

              n

              sa´ıda: vetor solu¸c˜ao x ∈ R para k = 1 : n − 1 fa¸ca para i = k + 1 : n fa¸ca m = A(i,k) / A(k,k); para j = k + 1 : n fa¸ca

              A(i,j) = A(i,j) - m * A(k,j); fim-para b(i) = b(i) - m * b(k); fim-para fim-para x = retroSubstituicao(A,b); retorna x; Complexidade Computacional

              Novamente vamos contabilizar o n´ umero de opera¸c˜oes aritm´eticas de ponto flutuante que s˜ao realizadas pelo algoritmo. Para contar o n´ umero de opera¸c˜oes realizadas na elimina¸c˜ao de Gauss, vamos dividir o processo nas seguintes etapas:

              (1)

              A → U: o processo de transformar a matriz A em uma matriz triangular superior U

              (2)

              b → g: modifica¸c˜oes no vetor b

              (3) Resolver Ux = g usando retro-substitui¸c˜ao J´a vimos que o n´ umero de opera¸c˜ oes deste algoritmo ´e n

              2 Complexidade Computacional

              Novamente vamos contabilizar o n´ umero de opera¸c˜oes aritm´eticas de ponto flutuante que s˜ao realizadas pelo algoritmo. Para contar o n´ umero de opera¸c˜oes realizadas na elimina¸c˜ao de Gauss, vamos dividir o processo nas seguintes etapas:

              A

              (1) → U: o processo de transformar a matriz A em uma

              matriz triangular superior U b

              (2) → g: modifica¸c˜oes no vetor b (3) Resolver Ux = g usando retro-substitui¸c˜ao

              2 J´a vimos que o n´ umero de opera¸c˜ oes deste algoritmo ´e n

              No que segue iremos usar

              n n

              X X n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)

              2

              i = i =

              2

              6

              i=1 i=1 Complexidade Computacional (1) A → U

              ◮

              Divis˜oes !

              n−1 n n−1

              X X

              X 1 = (n − k)

              k=1 i=k+1 k=1 n−1

              X = n(n − 1) − k

              k=1

              n(n − 1) = n(n − 1) −

              2 n(n − 1) =

              2 Complexidade Computacional (1) A → U

              ◮

              Adi¸c˜oes

                ! n n n n−1 n−1

              X X

              X X

              X  

            1 = (n − k)

            k =1 i =k+1 j =k+1 k =1 i =k+1 n−1

              X

            = (n − k)(n − k)

            k =1 n−1

              X

              

            2

              2 = (n − 2kn + k ) k =1 n 2 (n−1) (n−1)(n−1+1)(2n−2+1)

              

            = n + (n − 1) − 2n

              2

              6 n(n − 1)(2n − 1) =

              6 ◮

              Multiplica¸c˜ oes n(n − 1)(2n − 1) Complexidade Computacional (2) b → g

              ◮

              Adi¸c˜oes

              ! n n−1 n−1

              X X

              X 1 = (n − k) k i k =1 =k+1 =1 n−1

              X = n(n − 1) − k k =1 n(n − 1) = n(n − 1) −

              2 n(n − 1)

            =

              2 ◮

              Multiplica¸c˜ oes n(n − 1)

              2 Complexidade Computacional (Total)

              Em cada etapa temos 2

              2 3 n n (1) n − −

              3

              2

              6

              2 (2) n − n 2

              2 3 n

              7 + Assim nas etapas (1) e (2) temos um total de n − n.

              3

              2

              6

              2 Considerando que na etapa de retro-substitui¸c˜ao (3) temos n

              opera¸c˜oes, no total o algoritmo de elimina¸c˜ao de Gauss realiza um total de

              3

              2

              3

              2

              2n n 7n 2n 3n 7n

              

            2

              − + n + = − + |{z}

              3

              2

              6

              3

              2

              6 | {z }

              

            retro-substitui¸c˜ ao elimina¸c˜ ao Para um valor de n muito grande, o algoritmo realiza

              2

              3 aproximadamente n opera¸c˜oes de ponto flutuante.

              Se um sistema linear tem tamanho n = 100, ent˜ao:

              2 ◮

              resolver o sistema triangular: 100 = 10 000 opera¸c˜oes

              ◮

              elimina¸c˜ao de gauss: 681 550 opera¸c˜oes Ou seja, nesse exemplo, a elimina¸c˜ao de Gauss ´e 68× mais lenta que a solu¸c˜ao de um sistema triangular !!! Mas, e se na etapa k da elimina¸c˜ao de Gauss, o pivˆ o for zero? Isso significa que a = 0, e assim, ter´ıamos

              kk

              a

              ik

              m = ⇒ divis˜ao por zero!

              ik

              a

              kk

              Nesse caso, se um pivˆ o for zero, o processo de elimina¸c˜ao tem que parar, ou temporariamente ou permanentemente. O sistema pode ou n˜ ao ser singular. Se o sistema for singular, i.e, det(A) = 0, e portanto como vimos o sistema n˜ao possui uma ´ unica solu¸c˜ao. Veremos agora um caso que a matriz n˜ao ´e singular e podemos resolver esse problema.

              Vamos ilustrar a id´eia do pivoteamento atrav´es de um exemplo. Considere a seguinte matriz.

              A =   1 1 1

              2 2 5 4 6 8   Vamos proceder com a elimina¸c˜ao de Gauss. Vamos ilustrar a id´eia do pivoteamento atrav´es de um exemplo. Considere a seguinte matriz.

                1 1 1 A =  2 2 5  4 6 8

              Vamos proceder com a elimina¸c˜ao de Gauss.

              1

              m

              21 = 2, a = a − 2 a 2j 2j 1j

              1

              m = 4, a = a − 4 a , j = 1 : 3

              31 3j 3j 1j Vamos ilustrar a id´eia do pivoteamento atrav´es de um exemplo. Considere a seguinte matriz.

                1 1 1 A =  2 2 5  4 6 8

              Vamos proceder com a elimina¸c˜ao de Gauss.

              1

              m

              21 = 2, a = a − 2 a 2j 2j 1j

              1

              m = 4, a = a − 4 a , j = 1 : 3

              31 3j 3j 1j

              Ent˜ao obtemos   1 1 1   0 0 3

              0 2 4 No pr´oximo passo, o pivˆ o ´e a e usamos ele para calcular m .

              22

              32

              Entretanto a

              2

              

            32

              m

              32 = =

              a

              

            22 Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer? No pr´oximo passo, o pivˆ o ´e a e usamos ele para calcular m .

              22

              32

              Entretanto a

              2

              

            32

              m

              32 = =

              a

              

            22

            Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer? Podemos realizar uma opera¸c˜ao elementar de troca de linhas.

              Como vimos este tipo de opera¸c˜ao quando realizado em um sistema, n˜ao altera a solu¸c˜ao. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.

              No pr´oximo passo, o pivˆ o ´e a e usamos ele para calcular m .

              22

              32

              Entretanto a

              2

              

            32

              m

              32 = =

              a

              

            22

            Divis˜ao por zero! E agora, o que podemos fazer? Podemos realizar uma opera¸c˜ao elementar de troca de linhas.

              Como vimos este tipo de opera¸c˜ao quando realizado em um sistema, n˜ao altera a solu¸c˜ao. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.

                  1 1 1 1 1 1  0 0 3  ⇒  0 2 4  0 2 4 0 0 3

              E assim chegamos a um sistema triangular superior, cuja solu¸c˜ao pode ser obtida usando a retro-substitui¸c˜ao.

              A estrat´egia de pivoteamento ´e importante pois:

              ik

              ◮

              pivoteamento parcial

              ◮

              Assim, atrav´es da troca de linhas, podemos encontrar uma linha de tal forma que o novo pivˆ o ´e n˜ao-zero, permitindo que a elimina¸c˜ao de Gauss continue at´e obter uma matriz triangular superior. Temos duas possibilidades:

              kk

              a

              = a

              ◮

              ik

              no passo k ´e igual a zero e precisamos calcular o multiplicador m

              kk

              nos fornece meios de evitar problemas durante a elimina¸c˜ao de Gauss quando o pivˆ o a

              ◮

              evita a propaga¸c˜ ao de erros num´ ericos

              pivoteamento total No pivoteamento parcial, em cada passo k, o pivˆ o ´ e escolhido como o maior elemento em m´ odulo abaixo de a (inclusive),

              kk

              isto ´e Encontrar r tal que: |a | = max |a |, k ≤ i ≤ n

              rk ik No pivoteamento parcial, em cada passo k, o pivˆ o ´ e escolhido como o maior elemento em m´ odulo abaixo de a

              kk

              ◮

              ◮

              podemos ampliar erros de arredondamento envolvidos no processo.

              ik

              ser´a muito grande. Dessa forma, ap´os a multiplica¸c˜ao por m

              ik

              for muito pequeno, consequentemente m

              kk

              Se a

              | ≤ 1

              (inclusive), isto ´e Encontrar r tal que: |a

              ik

              O pivoteamento parcial garante que |m

              ◮

              Isso evita a propaga¸c˜ao de erros num´ericos, pois:

              |, k ≤ i ≤ n Feita a escolha do pivˆ o, trocamos as linhas r e k e o algoritmo procede.

              ik

              | = max |a

              rk

              Tamb´em evitamos o erro que pode ser causado quando somamos um n´ umero pequeno com um n´ umero grande. Exemplo

              Aplique a elimina¸c˜ao de Gauss com pivoteamento parcial no seguinte sistema:  

              ◮

              a

              

            ik

              − m

              (k−1) ij

              = a

              (k) ij

              para i = k + 1 : n, calcular a

              ik ◮

              calcular multiplicador m

              se necess´ario, trocar as linhas

              2 4 −2

              ◮

              encontrar o pivˆ o do passo k

              ◮

              A cada passo k:

              10  

              7

              8 −2 −3

              4 9 −3

              2

              (k−1) kj (k) (k−1) (k−1) Exemplo - (cont.)

              Passo 1 Escolha do pivˆ o: max {2, 4, 2} = 4. Trocar as linhas 1 e 2.

                 

              4

              2 4 −2

              2 9 −3

              8 

              4 9 −3 8  ⇒ 

              2 4 −2 2  −2 −3

              7 10 −2 −3

              7

              10

              , j = 1 : 3

              m

              2j

              −

              1

              2

              a

              1j

              31

              

            1

            2j

              = −2/4 = −1/2 ⇒ a

              

            1

            3j

              = a

              3j

              2

              a

              1j

              = a

              = 2/4 = 1/2 ⇒ a

              Exemplo - (cont.)

              7

              Passo 1 Escolha do pivˆ o: max {2, 4, 2} = 4. Trocar as linhas 1 e 2.

               

              2 4 −2

              2

              4 9 −3

              8 −2 −3

              10   ⇒

              21

               

              4 9 −3

              8

              2 4 −2

              2 −2 −3

              7

              10   m

            • 1
            Exemplo - (cont.)

              Passo 1 Escolha do pivˆ o: max {2, 4, 2} = 4. Trocar as linhas 1 e 2.

                 

              4

              2 4 −2

              2 9 −3

              8 

              4 9 −3 8  ⇒ 

              2 4 −2 2  −2 −3

              7 10 −2 −3

              7

              10

              

            1

              1

              m = 2/4 = 1/2 ⇒ a = a − a

              21 2j 2j 1j

              2

              

            1

              1

            • m = −2/4 = −1/2 ⇒ a = a a , j = 1 : 3

              31 3j 3j 1j

              2

               

              4 9 −3

              8

              1

              

            1

               0 − − −2 

              2

              

            2

              3

              

            11

              14

              2

              

            2 Exemplo - (cont.)

              Passo 2 Escolha do pivˆ o: max {

              2

              2

              14   ⇒

               

              4 9 −3

              8

              3

              11

              2

              2

              14 0 −

              1

              2

              −

              1

              2

              11

              3

              1

              2 . Trocar as linhas 2 e 3.

              2

              ,

              3

              2

              } =

              3

               

              −2

              4 9 −3

              8 0 −

              1

              2

              −

              1

              2

              −2  

              , j = 2 : 3

              2

              11

              2

              14 0 −

              1

              2

              −

              1

              2

              −2   m

              32 = −

              1

              2

              3

              3

              = −

              1

              3

              ⇒ a

              2 3j

              = a

              1 3j

              3

              a

              1 2j

              2

              8

              Exemplo - (cont.)

              8 0 −

              Passo 2 Escolha do pivˆ o: max {

              1

              2

              ,

              3

              2

              } =

              3

              2 . Trocar as linhas 2 e 3.

               

              4 9 −3

              1

              4 9 −3

              2

              −

              1

              2

              −2

              3

              2

              11

              2

              14   ⇒

               

            • 1
            Exemplo - (cont.)

              Passo 2

              1

              3

              2

              2

              2

                 

              4 9 −3

              8

              4 9 −3

              8

              1

              1

              3

              11

               0 − − −2  ⇒  14 

              2

              2

              2

              2

              3

              11

              1

              1

              14 0 − − −2

              2

              2

              2

              2

              1

              2

              1

              2

              1

              1

              1

              m

              32 = − = − ⇒ a = a a j = 2 : 3 + , 3j 3j 2j

              2

              3

              3

              3

                4 9 −3

              8

              3

              

            11

               

              14

              2

              

            2

              

            4

              8

              0 0

              

            3

              3 Exemplo - (cont.)

              Retro-substitui¸c˜ ao   4 9 −3

              8

              3

              2

              

            11

              

            2

              14 0 0

              

            4

              

            3

              8

              3

                Exemplo - (cont.)

              Retro-substitui¸c˜ ao   4 9 −3

               

              ⇒ x

              3

              8

              3 =

              x

              3

              4

              3

              8

              8

              

            3

              

            4

              14 0 0

              

            2

              

            11

              2

              3

              

            3 = 2 Exemplo - (cont.)

              Retro-substitui¸c˜ ao   4 9 −3

              8

              3

              

            11

               

              14

              2

              

            2

              

            4

              8

              0 0

              

            3

              3

              4

              8

              x

              3 = ⇒ x

            3 = 2

              3

              3

              3

              11

              x + 2 = 14 ⇒ x = 2

              2

              2

              2

              2 Exemplo - (cont.)

              Retro-substitui¸c˜ ao   4 9 −3

              8

              3

              

            11

               

              14

              2

              

            2

              

            4

              8

              0 0

              

            3

              3

              4

              8

              x

              3 = ⇒ x

            3 = 2

              3

              3

              3

              11

              x + 2 = 14 ⇒ x = 2

              2

              2

              2

              2

              4x + 9(2) − 3(2) = 8 ⇒ x = −1

              1

              1 Exemplo - (cont.)

              Retro-substitui¸c˜ ao   4 9 −3

              8

              3

              

            11

               

              14

              2

              

            2

              

            4

              8

              0 0

              

            3

              3

              4

              8

              x

              3 = ⇒ x

            3 = 2

              3

              3

              3

              11

              x + 2 = 14 ⇒ x = 2

              2

              2

              2

              2

              4x + 9(2) − 3(2) = 8 ⇒ x = −1

              1

              1 T Portanto a solu¸c˜ao ´e x = [−1, 2, 2]. Exemplo (efeitos num´ericos)

              Considere o seguinte sistema: 0.0001 1 x

              1

              1

              =

              1 1 x

              2

              2 Usando um sistema de ponto flutuante F (10, 3, −10, 10) (sistema

              decimal com 3 d´ıgitos na mantissa), com arredondamento, encontre a solu¸c˜ao do sistema usando elimina¸c˜ao de Gauss sem pivoteamento.

              Solu¸c˜ao (sem pivoteamento)

              Temos que

              ′

              1 m = = 10000 ⇒ L = L − 10000L

              21

              2

              1

              2

              0.0001 Solu¸c˜ao (sem pivoteamento) - Cont.

              0.0001

              = (arredondando) = 0.100 × 10

              = (arredondando) = 0.100 × 10

              5

              = 0.09998 × 10

              5

              − 0.10000 × 10

              5

              e de forma an´aloga para (∗∗), temos 2 − 10000 × 1 = 0.00001 × 10

              5

              5

              1

              = 0.09999 × 10

              5

              − 0.10000 × 10

              5

              Note que (∗) foi obtido como 1 − 10000 × 1 = 0.00001 × 10

              ∗∗

              −10000

              

              1 −10000

              5 Solu¸c˜ao (sem pivoteamento) - Cont.

              Por fim, aplicando a retrosubstitui¸c˜ao obtemos uma solu¸c˜ao errada, devido aos erros de aritm´etica em ponto flutuante cometidos em (∗) e (∗∗) durante a soma/subtra¸c˜ao de n´ umeros muito pequenos com n´ umeros muito grandes.

              T

              Solu¸c˜ao obtida → x = 0 1 Solu¸c˜ao (sem pivoteamento) - Cont.

              Por fim, aplicando a retrosubstitui¸c˜ao obtemos uma solu¸c˜ao errada, devido aos erros de aritm´etica em ponto flutuante cometidos em (∗) e (∗∗) durante a soma/subtra¸c˜ao de n´ umeros muito pequenos com n´ umeros muito grandes.

              T

              Solu¸c˜ao obtida → x = 0 1 A solu¸c˜ao exata ´e dada por

              T

              Solu¸c˜ao exata → x = 1.00010001 0.99989999 Solu¸c˜ao (com pivoteamento)

              0.0001 1 1 1 1 2 ⇒ 1 1 2 0.0001 1 1

              Neste caso, temos:

              −3

              0.1 × 10 − 0.1 × 10 = 0.1 × 10 − 0.00001 × 10 = (arredondando) 0.100 × 10

              −3

              0.1 × 10 − 0.2 × 10 = 0.1 × 10 − 0.00002 × 10 = (arredondando) 0.100 × 10

              Logo 1 1 2

              T

              ⇒ x = 1 1 0 1 1 Se durante o processo de elimina¸c˜ao com pivoteamento parcial no passo k n˜ao houver nenhuma entrada n˜ ao-zero abaixo de a

              kk

              na coluna k, como no exemplo abaixo (depois do passo 1):       x x x x x x x x x x x x x x x x x

                    ent˜ao:

              ◮

              podemos seguir para o pr´oximo passo e completar a elimina¸c˜ao

              ◮

              entretanto a matriz triangular superior U resultante do processo possui um zero na diagonal principal, o que implica que det U = 0 ⇒ U ´e singular ⇒ A ´e singular Algoritmo

              para k = 1 : n − 1 fa¸ca w = |A(k,k)|; para j = k : n fa¸ca se |A(j,k)| &gt; w ent˜ ao w = |A(j,k)|; r = j; fim-se fim-para trocaLinhas(k,r); para i = k + 1 : n fa¸ca m = A(i,k) / A(k,k); para j = k + 1 : n fa¸ca

              A(i,j) = A(i,j) - m*A(k,j) ; fim-para b(i) = b(i) - m*b(k) ; fim-para Na estrat´egia de pivoteamento total, o elemento escolhido como pivˆ o ´e o maior elemento em m´ odulo que ainda atua no processo de elimina¸c˜ao, isto ´e:

              Encontrar r e s tais que: |a | = max |a |, k ≤ i, j ≤ n

              rs ij

              Feita a escolha do pivˆ o ´e preciso trocar as linhas k e r e as colunas k e s.

              Na estrat´egia de pivoteamento total, o elemento escolhido como pivˆ o ´e o maior elemento em m´ odulo que ainda atua no processo de elimina¸c˜ao, isto ´e:

              Encontrar r e s tais que: |a | = max |a |, k ≤ i, j ≤ n

              rs ij

              Feita a escolha do pivˆ o ´e preciso trocar as linhas k e r e as colunas k e s. Observe que a troca de colunas afeta a ordem das inc´ognitas do vetor x.

              Na estrat´egia de pivoteamento total, o elemento escolhido como pivˆ o ´e o maior elemento em m´ odulo que ainda atua no processo de elimina¸c˜ao, isto ´e:

              Encontrar r e s tais que: |a | = max |a |, k ≤ i, j ≤ n

              rs ij

              Feita a escolha do pivˆ o ´e preciso trocar as linhas k e r e as colunas k e s. Observe que a troca de colunas afeta a ordem das inc´ognitas do vetor x. Em geral o pivoteamento parcial ´e satisfat´ orio, e o pivoteamento total n˜ao ´e muito usado devido ao alto esfor¸co computacional requerido na busca pelo maior elemento em m´ odulo no resto da matriz. maior elemento em valor absoluto maior elemento em valor absoluto

              Pivoteamento Parcial Pivoteamento Total Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes L e U, onde

              ◮

              L ´e uma matriz triangular inferior unit´aria (com elementos da diagonal principal igual a 1)

              ◮

              U ´e uma matriz triangular superior Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes L e U, onde

              ◮

              L ´e uma matriz triangular inferior unit´aria (com elementos da diagonal principal igual a 1)

              ◮

              U ´e uma matriz triangular superior Ou seja, a matriz pode ser escrita como

              A = LU Uma matriz quadrada pode ser escrita como o produto de duas matrizes L e U, onde

              ◮

              L ´e uma matriz triangular inferior unit´aria (com elementos da diagonal principal igual a 1)

              ◮

              U ´e uma matriz triangular superior Ou seja, a matriz pode ser escrita como

              A = LU

              Dessa forma para resolver o sistema linear Ax = b usamos A em sua forma decomposta, isto ´e Ax LUx

              = b ⇒ = b Ent˜ao definimos

              Ux = y Assim para resolver L Ux = b

              |{z}

              y

              fazemos Ly = b ⇒ Ux = y isto ´e, temos os seguintes passos:

              1. Como L ´e triangular inferior podemos resolver Ly = b

              facilmente usando o algoritmo de substitui¸c˜ ao. Assim encontramos o vetor y.

              2. Em seguida substituimos y no sistema Ux = y. Como U ´e

              uma matriz triangular superior, podemos resolver este sistema usando o algoritmo da retro-substitui¸c˜ ao para encontrar a solu¸c˜ao x. Vamos ver agora em que condi¸c˜oes podemos decompor uma matriz A na forma LU. Teorema (LU) Sejam A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n e A k o menor ij principal, constitu´ıdo das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A.

              Se det(A k ) 6= 0 para k = 1, 2, . . . , n − 1. Ent˜ao existe:

              ◮ uma ´ unica matriz triangular inferior L = (l ) com ij

              l = 1, i = 1 : n

              ii ◮ uma ´ unica matriz triangular superior U = (u ij ) tal que A = LU.

              Al´em disso, det(A) = u u . . . u .

              11 22 nn Prova (Neide, P´agina 123) Usa indu¸c˜ao matem´atica. Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              Podemos obter as matrizes L e U aplicando a defini¸c˜ao de produto e igualdade de matrizes, ou seja, impondo que A seja igual a LU, onde L ´e triangular inferior unit´aria e U triangular superior. Ent˜ao

              linha de U

              3n ..

              .

              .. .

              .. .

              . ..

              .. . u

              nn

                    

              Vamos obter os elementos de L e U da seguinte forma:

              ◮

              1

              a

              ◮

              33

              1

              a

              coluna de L

              ◮

              2

              a

              linha de U

              ◮

              2

              a

              coluna de L

              ◮ ...

              . . . u

              u

                     1 . . . 0 l

              . . . 1        Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              21

              1 . . . 0 l

              31

              l

              32

              1 . . . 0 .. .

              .. . . .. 1 0 l

              n1

              l

              n2

              l

              n3

                     u

              2n

              11

              u

              12

              u

              13

              . . . u

              1n

              u

              22

              u

              23

              . . . u

            LU =

              1

              ⇒ u

              = a

              1n

              ⇒ u

              1n

              = 1 u

              1n

              a

              12 . . .

              = a

              12

              12

              a

              = 1 u

              12

              a

              11

              = a

              11

              ⇒ u

              11

              = 1 u

              11

              linha de U a

              1n Obten¸c˜ ao das matrizes L e U a

              1 linha de U a = 1 u ⇒ u = a

              11

              11

              11

              11

              a = 1 u ⇒ u = a

              12

              12

              12

              12 . . .

              a = 1 u ⇒ u = a

              

            1n 1n 1n 1n

            a

              1 coluna de L 21

              a

              a = l u ⇒ l =

              21

              21

              11

              21 11 u 31 a

              a = l u ⇒ l =

              31

              31

              11

              31 11 u

              . . .

              a n1

              a = l u ⇒ l =

              n1 n1 11 n1 11 u

            • 1 u

              = l

              ⇒ u

              23

              = a

              23

              − l

              21

              u

              13 . . .

              a

              2n

              21

              13

              u

              1n

              2n

              ⇒ u

              2n

              = a

              2n

              − l

              21

              u

              23

              u

              1n

              22

              Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              2

              a

              linha de U a

              22

              = l

              21

              u

              12

              ⇒ u

              21

              22

              = a

              22

              − l

              21

              u

              12

              a

            • 1 u

              23

              = l

            • 1 u
            • 1 u

            • 1 u
            • 1 u

              u

              22

              u

              42

              12

              u

              41

              = l

              42

              a

              22

              12

              42

              u

              31

              − l

              32

              = a

              32

              ⇒ l

              22

              u

              32

              12

              ⇒ l

              = a

              31

              n2

              u

              12

              u

              n1

              − l

              n2

              = a

              n2

              ⇒ l

              22

              u

              12

              42

              u

              n1

              = l

              n2

              a

              22 . . .

              u

              1

              u

              41

              − l

              u

              = l

              22 Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              = a

              u

              21

              = l

              23

              a

              12

              u

              21

              − l

              22

              22

              23

              ⇒ u

              22

              12

              u

              21

              = l

              22

              linha de U a

              a

              2

              Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              13

              ⇒ u

              32

              23

              coluna de L a

              a

              2

              1n

              u

              21

              − l

              2n

              = a

              2n

              ⇒ u

              2n

              1n

              u

              21

              = l

              2n

              a

              13 . . .

              u

              21

              − l

              23

              = a

            • l

            • l
            • l

              De forma geral temos

              i−1

              X u = a − l u , i ≤ j

              ij ij ik kj k=1

              ! ,

              j−1

              X l = a − l u u , i &gt; j

              ij ij ik kj jj k=1 Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              para i = 1 : n fa¸ca para j = i : n fa¸ca

              i−1

              X u = a − l u ;

              ij ij ik kj k=1

              fim-para para j = i + 1 : n fa¸ca ! ,

              j−1

              X l = a − l u u ;

              ij ij ik kj jj k=1

              fim-para fim-para Obten¸c˜ ao das matrizes L e U

              para i = 1 : n fa¸ca para j = i : n fa¸ca

              i−1

              X u = a − l u ;

              ij ij ik kj k=1

              fim-para para j = i + 1 : n fa¸ca ! ,

              j−1

              X l = a − l u u ;

              ij ij ik kj jj k=1

              fim-para fim-para

              Observa¸c˜ao : na pr´atica as matrizes L e U nunca s˜ao criadas e

              alocadas explicitamente. O que fazemos ´e sobrescrever as entradas da matriz original A com as entradas de L e U.

              3  

              = L

              31

              =

              a 31 a 11

              = −2/2 = −1 ⇒ L

              ′

              3

              3

              1

              1 A ′

              =  

              2

              1

              1 0 −8 −2

              8

              m

              − 2L

              Exemplo 1

              2  

              Seja a matriz A dada por A =

               

              2

              1

              1 4 −6 0 −2

              7

              Passo 1 m

              2

              21

              =

              a 21 a 11

              = 4/2 = 2 ⇒ L

              ′

              2

              = L

            • L
            • L

              A

              1 m

              2

              1

              1 −8 −2 1 

               = U L =

                1 m

              21

              31 m

              A ′′

              32

              1

            =

               

              1

              2

              1 −1 −1 1  

              ◮ Matriz U resulta diretamente do m´etodo de Elimina¸c˜ao Gaussiana

              =  

              As matrizes L e U s˜ao dadas por

              ′

              =

              =  

              2

              1

              1 0 −8 −2

              8

              3   m

              32

              a 32 a 22

              2 ◮

              = 8/ − 8 = −1 ⇒ L

              ′′

              3

              = L

              ′

              3

              ′

              ◮ Matriz L ´e formada pelos multiplicadores m ij calculados ao longo do processo de Elimina¸c˜ao Gaussiana. Exemplo 2

              Resolva o seguinte sistema linear:  

              1 2 −1

              2 3 −2 1 −2

              1  

                x

              1

              x

              2

              x

              3

               

              =  

              2

              3   Exemplo 2

              Resolva o seguinte sistema linear:      

              1 2 −1 x

              2

              1

                   

              2 3 −2 x

              2 =

              3 1 −2 1 x

              3 Solu¸c˜ao do Exemplo 2

                  1 0 0 1 2 −1

              A = LU =  2 1 0   0 −1  1 4 1

              2 Exemplo 2

              Resolva o seguinte sistema linear:      

              1 2 −1 x

              2

              1

                   

              2 3 −2 x

              2 =

              3 1 −2 1 x

              3 Solu¸c˜ao do Exemplo 2

                    1 0 0 1 2 −1

              1

              ∗

              A = LU =  2 1 0   0 −1  , x =  1  1 4 1

              2

              1 C´ alculo do Determinante

              Veremos como utilizar a decomposi¸c˜ao A = LU para calcular o determinante da matriz. det(A) = det(L)det(U)

              O determinante de uma matriz triangular ´e dado pelo produto dos elementos da diagonal principal, isto ´e det(L) = 1 det(U) = u u u . . . u

              11

              22 33 nn

              Portanto det(A) = det(L) det(U) = 1 det(U) = u u u . . . u

              11

              22 33 nn C´ alculo do Determinante Exemplo 2

              Para o exemplo anterior, temos     1 0 0

              1 2 −1

            A    

              = 2 1 0 0 −1 1 4 1

              2 C´ alculo do Determinante Exemplo 2

              Para o exemplo anterior, temos A

              =   1 0 0

              2 1 0 1 4 1  

               

              1 2 −1 0 −1

              2  

              Portanto o determinante ´e det(A) = 1 (−1) 2 = −2

              ◮

              Seja P uma matriz de permuta¸c˜ ao que corresponde a matriz identidade, ent˜ao temos PA

              = A

              ◮

              Logo, determinando a decomposi¸c˜ao LU de A, temos PA

              = LU

              ◮

              Utilizando o m´etodo de Elimina¸c˜ao Gaussiana para determinar as matrizes L e U, pode ser que a matriz P resultante n˜ao seja mais a matriz identidade.

              ◮

              Pois, o pivoteamento (troca de linhas durante o processo de Elimina¸c˜ao Gaussiana) afeta tamb´em a troca de linhas das matrizes L e P.

                  1 1 1 1 0 0

                  A = 2 2 5 P = 0 1 0 4 6 8 0 0 1 ou seja, PA = A. Vamos proceder com a Elimina¸c˜ao Gaussiana aplicado na matriz A.

              ′

              m = 2, L = L − m L

              21

              2

              21

              1

              2 ′

              m = 4, L = L − m L

              31

              3

              31

              1

                1 1 1 A  

              = 0 0 3 0 2 4 m . Entretanto

              32

              a

              2

              32

              m = = =?

              32

              a

              22 ◮ Podemos realizar uma opera¸c˜ao elementar de troca de linhas.

              Como vimos este tipo de opera¸c˜ao quando realizado em um sistema, n˜ao altera a solu¸c˜ao. Sendo assim, vamos trocar as linhas 2 e 3.

                  1 1 1 1 1 1  0 0 3  ⇒  0 2 4  0 2 4 0 0 3

              ◮

              A troca das linhas 2 e 3 realizada acima implica tamb´em a troca das mesmas linhas na matriz P

              ◮

              No final do processo, temos PA = LU, tais que       1 1 1 1 0 0 1 0 0

              U   L   P   = 0 2 4 = 4 1 0 = 0 0 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 Exemplo 3

              Resolver o sistema linear abaixo usando a decomposi¸c˜ao LU com pivoteamento parcial.

              

            2

              3 −2

              9

              =  

               

              

            3

              x

              x

                3 −4

              

            1

                x

              2 4 −3  

              2

              1

              1

                Exemplo 3

              Resolver o sistema linear abaixo usando a decomposi¸c˜ao LU com pivoteamento parcial.

              =   4 −3

              1

              4

              −

              1

              2

              1  

              , U

              0 −4

              4

              13

              4

              35

              8

               

              , P

              =   0 0 1

              1 0 0 0 1 0  

              1

              3

                3 −4

              x

              1

              1

              2

              2 4 −3  

                x

              

            1

              x

              

            2

              

            3

              1

               

              =  

              9

              3 −2

               

              Solu¸c˜ao do Exemplo 3

              L =

               

              T Na pr´atica (implementa¸c˜ao) uma matriz de permuta¸c˜ao P de dimens˜ao n × n nunca ´e armazenada explicitamente. ´ E muito mais eficiente representar P por um vetor p de valores inteiros de tamanho n.

              Uma forma de implementar isso ´e fazer com que p[k] seja o ´ındice da coluna que tem apenas um ”1”na k-´esima linha de P. Para o exemplo anterior p = [3

              1 2] Defini¸c˜ao (Matriz Sim´etrica) n×n

              ´e sim´etrica se possui as mesmas Uma matriz real A ∈ R entradas acima e abaixo da diagonal principal, isto ´e, se

              a = a , ∀ i, j

              ij ji T Portanto A = A . Defini¸c˜ao (Matriz Sim´etrica) n×n

              ´e sim´etrica se possui as mesmas Uma matriz real A ∈ R entradas acima e abaixo da diagonal principal, isto ´e, se

              a = a , ∀ i, j

              ij ji T Portanto A = A .

              Tais matrizes satisfazem a seguinte rela¸c˜ao

              T T n

              x Ay Ax = y ,

              ∀ x, y ∈ R

              Defini¸c˜ao (Matriz Positiva Definida) Se a matriz A ´e sim´etrica, ent˜ao ´e dita ser positiva definida se

              T

              x Ax &gt; 0, ∀x 6= 0 n×n

              1.

              ´e positiva Crit´erio de Sylvester: uma matriz A ∈ R definida, se e somente se det(A k ) &gt; 0, k = 1, 2, . . . , n onde A ´e a matriz menor principal de ordem k (a matriz

              k

              k × k formada pelas k primeiras linhas e pelas k primeiras colunas). n×n

              1.

              ´e positiva Crit´erio de Sylvester: uma matriz A ∈ R definida, se e somente se det(A k ) &gt; 0, k = 1, 2, . . . , n onde A ´e a matriz menor principal de ordem k (a matriz

              k

              k × k formada pelas k primeiras linhas e pelas k primeiras colunas).

              

            coluna na matriz A, podemos dizer que A ´e positiva definida, se e somente se, todos os pivˆ os forem positivos. n×n

              1.

              ´e positiva Crit´erio de Sylvester: uma matriz A ∈ R definida, se e somente se det(A k ) &gt; 0, k = 1, 2, . . . , n onde A ´e a matriz menor principal de ordem k (a matriz

              k

              k × k formada pelas k primeiras linhas e pelas k primeiras colunas).

              

            coluna na matriz A, podemos dizer que A ´e positiva definida,

            se e somente se, todos os pivˆ os forem positivos.

              Exemplo

              Verifique se as seguintes matrizes s˜ao positivas definidas:       4 1 2 4 4 2

              2 −1      

              A = 1 3 0 , B = 4 3 0 , K = −1 2 −1 2 0 5 2 0 5 −1

              2

              ◮

              . . .

              . . .

              .

              . .

              . . .

              . .

              .

            g n1 g n2 . . . g nn

            g 11 g 21 . . . g n1 g 22 . . . g 2 n .

              . .

              

            .

            .

            .

              . . . a n1 a n2 . . . a nn = g 11 . . . g 21 g

            22

            . . .

              A decomposi¸c˜ao de Cholesky ´e um caso especial da fatora¸c˜ao LU aplicada para matrizes sim´etricas e positiva definida (SPD)

              .

              . .

              . . .

              . .

              A = a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n .

              onde G ´e uma matriz triangular inferior tal que

              T

              Esta decomposi¸c˜ao pode ser obtida a partir de A = GG

              ◮

              . . . g nn Pelo produto e igualdade de matrizes podemos obter os elementos de G. Elementos da diagonal principal:

              2

              a = g

              11

              11

              2

              2

              a

              22 = g + g

              21

              22 ..

              .

              2

              2

              2

              a = g + g + . . . + g

              nn n1 n2 nn

              de forma geral v u

              i−1

              u

              X

              

            2

              t g ii = a ii − g , i = 1 : n (1)

              

            ik

            k=1

            • g

            • g
            • g
            Algoritmo

              41

              g

              21

              42

              g

              22 ..

              . a

              n2

              = g

              n1

              g

              21

              n2

              g

              22

              de forma geral g

              ij

              = a

              ij

              −

              j−1

              X

              k=1

              g

              ik

              g

              jk

              = g

              42

              a

              . a

              Para os elementos fora da diagonal principal, temos a

              21

              = g

              21

              g

              11

              a

              31

              = g

              31

              g

              11 ..

              n1

              22

              = g

              n1

              g

              11

              a

              32

              = g

              31

              g

              21

              32

              g

              , i = j + 1 : n, j = 1 : n (2)

              Observando as equa¸c˜oes

              , vemos que podemos calcular os

              elementos de G da seguinte forma:

              ◮

              a cada passo j: calcula-se termo da diagonal principal g jj calcula-se termos da coluna j abaixo da diagonal principal isto

              ´e g ij com i = j + 1 : n Algoritmo

              Observando as equa¸c˜oes

              , vemos que podemos calcular os

              elementos de G da seguinte forma:

              ◮

              a cada passo j: calcula-se termo da diagonal principal g jj calcula-se termos da coluna j abaixo da diagonal principal isto

              ´e g ij com i = j + 1 : n

              para j = 1 : n fa¸ca v u j−1

              X u

              2

              jj jj jk k=1

              t g = a − g ;

              para i = j + 1 : n fa¸ca ! ,

              j−1

              X g = a − g g g ;

              ij ij ik jk jj k=1

              fim-para fim-para Observa¸c˜oes:

              ◮

              Se A ´e SPD, ent˜ao a aplica¸c˜ao do m´etodo de Cholesky requer menos opera¸c˜oes de ponto flutuante do que a decomposi¸c˜ao LU.

              ◮

              Como A ´e positiva definida, isto garante que s´o teremos ra´ızes quadradas de n´ umeros positivos, isto ´e, os termos P

              j−1

              2 a − g s˜ao sempre maiores do que zero. jj jk k=1

              Exemplo do caso 2 × 2 ◮

              Caso o algoritmo falhe, podemos concluir que A n˜ao ´e sim´etrica e positiva definida.

              ◮

              Determinante

              T

              2

              2

              det(A) = det(G)det(G ) = det(G) = (g g . . . g )

              11 22 nn ◮

              Cholesky requer a metade das opera¸c˜oes da elimina¸c˜ao

              3

              n Gaussiana e da fatoriza¸c˜ao LU, ou seja, .

              3 Podemos usar a decomposi¸c˜ao de Cholesky para encontrar a solu¸c˜ao de Ax = b da seguinte forma:

              1. Determinar a decomposi¸c˜ao T

              A = GG ent˜ao

              

            T

              G G x = b | {z }

              

            y

              2. Resolver Gy = b, usando substitui¸c˜ao T

              3. Resolver G x = y, retro-substitui¸c˜ao Exemplo

              Considere a matriz   4 −2

              2 A =  −2 10 −7  2 −7

              30

              a) Verificar se A satisfaz as condi¸c˜oes da decomposi¸c˜ao de

              Cholesky

              T

              b) Decompor A em GG

              c) Calcular o determinante

               

              8  

              11 −31 Solu¸c˜ao do Exemplo a) A ´e sim´etrica e positiva definida

              det(A

              1 ) = 4, det(A 2 ) = 36, det(A 3 ) = 900

              b) A decomposi¸c˜ao ´e

                  2 2 −1

              1    

              A = −1

              3 3 −2 1 −2 5

              5 | {z } | {z }

              T G G

              2

              2

              c) det(A) = (2 · 3 · 5) = 30 = 900

               

              3  

              d) x =

              1 −1 Podemos usar as f´ormulas

               para calcular os elementos da

              matriz G da decomposi¸c˜ao, mas tamb´em podemos proceder de outra forma. Id´eia:

              ◮

              Decompor A = LU via elimina¸c˜ao de Gauss

              T ◮

              Como U = DL , calcular D

              1/2 ◮

              E assim calcular G = LD

              Exemplo

              A partir da decomposi¸c˜ao LU da matriz A do exemplo anterior, obtenha G.

                    4 −2 2 1 4 −2

              2

              

            1

            A =  −2

              10 −7  =  − 1   9 −6 

              

            2

              1

              2

              2 −7 30 −

              1

              25

              2

              3

              | {z } | {z }

              L U Exerc´ıcio

              Mostrar que, se o sistema linear Ax = b, onde A ´e n˜ao singular, ´e transformado no sistema linear equivalente

              T T

              A Ax = A b ent˜ao esse ´ ultimo sistema linear pode sempre ser resolvido pelo

              

            T

              m´etodo de Cholesky (isto ´e B = A A satisfaz as condi¸c˜oes para a aplica¸c˜ao do m´etodo). Aplicar a t´ecnica anterior para encontrar a solu¸c˜ao do seguinte sistema linear:

                   

              1 1 x

              4

              

            1

              

              1 1   x  =  2 

              

            2

              1 −1 0 x

              2

              

            3 Iremos descrever como calcular a matriz inversa atrav´es da decomposi¸c˜ao LU. Sejam A uma matriz de dimens˜ao n, n˜ao

              −1

              singular (det(A 6= 0) e A a matriz inversa de A. Vamos escrever a matriz inversa como:  

              −1

              A  v v . . . v  =

              1 2 n Iremos descrever como calcular a matriz inversa atrav´es da decomposi¸c˜ao LU. Sejam A uma matriz de dimens˜ao n, n˜ao

              −1

              singular (det(A 6= 0) e A a matriz inversa de A. Vamos escrever a matriz inversa como:  

              −1

              A  v v . . . v  =

              1 2 n

              Seja ainda e j a coluna j da matriz identidade. Por exemplo, e

              2 = 0 1 0 . . . 0 , e n = 0 0 0 . . . 1 . Resolvendo o

              seguinte sistema linear Av = e

              1

              1 encontramos a primeira coluna v da matriz inversa de A.

              1 Iremos descrever como calcular a matriz inversa atrav´es da decomposi¸c˜ao LU. Sejam A uma matriz de dimens˜ao n, n˜ao

              −1

              singular (det(A 6= 0) e A a matriz inversa de A. Vamos escrever a matriz inversa como:  

              −1

              A  v v . . . v  =

              1 2 n

              Seja ainda e j a coluna j da matriz identidade. Por exemplo, e

              2 = 0 1 0 . . . 0 , e n = 0 0 0 . . . 1 . Resolvendo o

              seguinte sistema linear Av = e

              1

              1 encontramos a primeira coluna v da matriz inversa de A.

              Av = e , j = 1 : n (3)

              j j Agora basta usar algum dos m´etodos que vimos para resolver os sistemas lineares da equa¸c˜ao .

              1. Decomposi¸c˜ao LU

              LUv = e , j = 1 : n

              j j

              Basta fatorar a matriz na forma LU uma ´ unica vez, e com os fatores resolver os seguintes sistemas Ly j = e j

              Uv

              j = y j

              2. Se a matriz for SPD, podemos usar decomposi¸c˜ao de Cholesky T T

              GG v v

              j = e j ⇒ (1) Gy j = e j , (2) G j = y j Montar A

              I e efetuar a elimina¸c˜ao de Gauss de uma vez s´o. Assim obtemos

              U T onde T ´e uma matriz triangular inferior. Em seguida dado que temos U triangular superior, basta resolver a seguinte sequˆencia de sistemas

              Uv

              

            j = t j onde t j ´e a coluna j da matriz T. Exemplo

              Calcular a inversa da seguinte matriz   4 1 −6

            A  

              = 3 2 −6 3 1 −5 Assim temos

                4 1 −6 1 0 0   3 2 −6 0 1 0

              3 1 −5 0 0 1 Efetuando a elimina¸c˜ao de Gauss obtemos

               

              4 1 −6

              1   0 5/4 −3/2 −3/4

              1 −1/5 −3/4 −1/5 1 Exemplo

              Agora basta resolver  

               

               

              3 =

                v

              4 1 −6 0 5/4 −3/2 −1/5

               

               

              1 −1/5

              2 =

              4 1 −6 0 5/4 −3/2 −1/5

                v

              4 1 −6 0 5/4 −3/2 −1/5

               

               

              1 −3/4 −3/4

               

              1 =

                v

              1   O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              (0) (1) (2) ◮

              Como construir a sequˆencia {x , x , x , . . .}? O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              (0) (1) (2) ◮

              Como construir a sequˆencia {x , x , x , . . .}?

              (k) ∗ ∗ ◮

              x → x (x ´e o vetor solu¸c˜ao do sistema)? O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              (0) (1) (2) ◮

              Como construir a sequˆencia {x , x , x , . . .}?

              (k) ∗ ∗ ◮

              x → x (x ´e o vetor solu¸c˜ao do sistema)?

              ◮

              Quais s˜ao as condi¸c˜ oes para convergˆencia? O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              (0) (1) (2) ◮

              Como construir a sequˆencia {x , x , x , . . .}?

              (k) ∗ ∗ ◮

              x → x (x ´e o vetor solu¸c˜ao do sistema)?

              ◮

              Quais s˜ao as condi¸c˜ oes para convergˆencia?

              (k) ∗ ◮

              Como saber se x est´a pr´oximo de x ? O sistema de equa¸c˜oes lineares Ax = b pode ser resolvido por um

              (0)

              processo que gera a partir de um vetor inicial x uma sequˆencia

              (1) (2) (3) de vetores x , x , x , . . . que deve convergir para a solu¸c˜ao.

              Existem muitos m´etodos iterativos para a solu¸c˜ao de sistemas lineares, entretanto s´o iremos estudar os chamados m´ etodos iterativos estacion´ arios. Algumas perguntas importantes s˜ao:

              (0) (1) (2) ◮

              Como construir a sequˆencia {x , x , x , . . .}?

              (k) ∗ ∗ ◮

              x → x (x ´e o vetor solu¸c˜ao do sistema)?

              ◮

              Quais s˜ao as condi¸c˜ oes para convergˆencia?

              (k) ∗ ◮

              Como saber se x est´a pr´oximo de x ?

              ◮

              Crit´erio de parada? Um m´etodo iterativo escrito na forma

              (k+1) (k)

              x = Bx + c (4) ´e dito estacion´ario quando a matriz B for fixa durante o processo iterativo. Um m´etodo iterativo escrito na forma

              (k+1) (k)

              x = Bx + c (4) ´e dito estacion´ario quando a matriz B for fixa durante o processo iterativo.

              Veremos como construir a matriz B para cada um dos m´etodos que iremos estudar: Jacobi, Gauss-Seidel e Sobre-relaxa¸c˜ ao (SOR).

              Um m´etodo iterativo escrito na forma

              (k+1) (k)

              x = Bx + c (4) ´e dito estacion´ario quando a matriz B for fixa durante o processo iterativo.

              Veremos como construir a matriz B para cada um dos m´etodos que iremos estudar: Jacobi, Gauss-Seidel e Sobre-relaxa¸c˜ ao (SOR). Antes, ´e preciso rever alguns conceitos como norma de vetores e matrizes, os quais ser˜ao importantes no desenvolvimento do crit´erio de parada e na an´alise de convergˆencia dos m´etodos.

              Para discutir o erro envolvido nas aproxima¸c˜oes ´e preciso associar a cada vetor e matriz um valor escalar n˜ao negativo que de alguma forma mede sua magnitude. As normas para vetores mais comuns s˜ao:

              ◮

              Norma euclideana (ou norma L )

              

            2

              2

              

            2

            2 1/2

              ||x||

              

            2 = (x + x + . . . + x )

              1 2 n ◮

              Norma infinito (ou norma do m´aximo) ||x|| ∞ = max |x i |

              1≤i≤n Para discutir o erro envolvido nas aproxima¸c˜oes ´e preciso associar a cada vetor e matriz um valor escalar n˜ao negativo que de alguma forma mede sua magnitude. As normas para vetores mais comuns s˜ao:

              ◮

              Norma euclideana (ou norma L )

              

            2

              2

              

            2

            2 1/2

              ||x||

              

            2 = (x + x + . . . + x )

              1 2 n ◮

              Norma infinito (ou norma do m´aximo) ||x|| ∞ = max |x i |

              1≤i≤n

              Normas vetoriais devem satisfazer `as seguintes propriedades:

              1. ||x|| &gt; 0 se x 6= 0, ||x|| = 0 se x = 0 Para discutir o erro envolvido nas aproxima¸c˜oes ´e preciso associar a cada vetor e matriz um valor escalar n˜ao negativo que de alguma forma mede sua magnitude. As normas para vetores mais comuns s˜ao:

              ◮

              Norma euclideana (ou norma L )

              

            2

              2

              

            2

            2 1/2

              ||x||

              

            2 = (x + x + . . . + x )

              1 2 n ◮

              Norma infinito (ou norma do m´aximo) ||x|| ∞ = max |x i |

              1≤i≤n

              Normas vetoriais devem satisfazer `as seguintes propriedades:

              1. ||x|| &gt; 0 se x 6= 0, ||x|| = 0 se x = 0 2. ||αx|| = α||x||, onde α ´e um escalar

              

            2

              2 n

              ◮

              Norma euclideana (ou norma L

              

            2

              ) ||x||

              2 = (x

              2

              1/2 ◮

              Para discutir o erro envolvido nas aproxima¸c˜oes ´e preciso associar a cada vetor e matriz um valor escalar n˜ao negativo que de alguma forma mede sua magnitude. As normas para vetores mais comuns s˜ao:

            • x
            • . . . + x

              

            2

              )

              1

              Norma infinito (ou norma do m´aximo) ||x|| ∞ = max

              1≤i≤n

              |x i |

            Normas vetoriais devem satisfazer `as seguintes propriedades:

              1. ||x|| &gt; 0 se x 6= 0, ||x|| = 0 se x = 0 2. ||αx|| = α||x||, onde α ´e um escalar 3. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

            Normas de matrizes tem que satisfazer a propridades similares:

              1. ||A|| &gt; 0 se A 6= 0, ||A|| = 0 se A = 0 2. ||αA|| = α||A||, onde α ´e um escalar 3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| 4. ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| 5. ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| Normas de matrizes tem que satisfazer a propridades similares:

              1. ||A|| &gt; 0 se A 6= 0, ||A|| = 0 se A = 0 2. ||αA|| = α||A||, onde α ´e um escalar 3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| 4. ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| 5. ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

              Iremos fazer uso em diversos momentos da seguinte norma matricial ||A||

              ∞

              = max

              1≤i≤n n

              X

              j=1

              |a

              ij

              | Normas de matrizes tem que satisfazer a propridades similares:

              1. ||A|| &gt; 0 se A 6= 0, ||A|| = 0 se A = 0 2. ||αA|| = α||A||, onde α ´e um escalar 3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| 4. ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| 5. ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||

              |

              

              ⇒ ||A||

              6 −2 4

              4

              A =

              Exemplo

              ij

              Iremos fazer uso em diversos momentos da seguinte norma matricial ||A||

              |a

              j=1

              X

              1≤i≤n n

              = max

              ∞

              = max{10, 6} = 10 A distˆancia entre dois vetores x e y pode ser calculada como ||x − y||

              2

              ou ||x − y||

              ∞ A distˆancia entre dois vetores x e y pode ser calculada como ||x − y|| ou ||x − y||

              2 ∞ Iremos usar a norma infinito nos algoritmos que iremos descrever. (k+1) (k) ∗

              Seja x e x duas aproxima¸c˜oes para o vetor solu¸c˜ao x de um sistema de equa¸c˜oes lineares. Crit´erio de parada

              (k+1) (k) (k+1) (k)

              ||x − x || max |x − x |

              ∞ i i

              = &lt; ε

              (k+1) (k+1)

              ||x ||

              ∞

              max |x |

              i −3

              onde ε ´e a precis˜ao desejada (Ex: 10 ).

              A distˆancia entre dois vetores x e y pode ser calculada como ||x − y|| ou ||x − y||

              2 ∞ Iremos usar a norma infinito nos algoritmos que iremos descrever. (k+1) (k) ∗

              Seja x e x duas aproxima¸c˜oes para o vetor solu¸c˜ao x de um sistema de equa¸c˜oes lineares. Crit´erio de parada

              (k+1) (k) (k+1) (k)

              ||x − x || max |x − x |

              ∞ i i

              = &lt; ε

              (k+1) (k+1)

              ||x ||

              ∞

              max |x |

              i −3

              onde ε ´e a precis˜ao desejada (Ex: 10 ). Na pr´atica tamb´em adotamos um n´ umero m´aximo de itera¸c˜oes para evitar que o programa execute indefinidamente, caso o m´etodo n˜ao convirja para um determinado problema. k &lt; k

              

            max

            • a
            • a
            • a
            • a

              x

              x

              3

              = b

              2

              a

              31

              1

              2

              32

              x

              2

              33

              x

              3

              = b

              23

              x

              3

              13

              Vamos ilustrar a id´eia do m´etodo de Jacobi atrav´es de um exemplo. Seja o seguinte sistema: a

              11

              x

              1

              12

              x

              2

              x

              22

              3

              = b

              1

              a

              21

              x

              1

            • a
            • a

            • a
            • a
            • a
            • a
            • a
            • a

              x

              o qual pode ser escrito como x

              1

              = (b

              1

              − a

              12

              x

              2

              − a

              13

              x

              3

              )/a

              11

              2

              = b

              = (b

              2

              − a

              21

              x

              1

              − a

              23

              x

              3

              )/a

              22

              x

              3 = (b 3 − a 31 x

            1 − a

            32 x 2 )/a

              3

              3

              Vamos ilustrar a id´eia do m´etodo de Jacobi atrav´es de um exemplo. Seja o seguinte sistema: a

              1

              11

              x

              1

              12

              x

              2

              13

              x

              3

              = b

              1

              a

              21

              x

              22

              x

              31

              33

              2

              x

              32

              1

              x

              a

              x

              2

              = b

              3

              x

              23

              2

              33

            • a
            • a
            • a
            • a
            • a
            • a

              x

              1

              x

              21

              − a

              2

              = (b

              2

              11

              23

              )/a

              3

              x

              13

              − a

              2

              x

              − a

              x

              − a

              (0)

              

            3

              (0)

              x

              

            2

              (0)

              x

              

            1

              =    x

              3

              (0)

              x

              33 A partir de uma aproxima¸c˜ao inicial

              3 = (b 3 − a 31 x

            1 − a

            32 x 2 )/a

              x

              22

              )/a

              12

              1

              Vamos ilustrar a id´eia do m´etodo de Jacobi atrav´es de um exemplo. Seja o seguinte sistema: a

              3

              22

              1

              x

              21

              a

              1

              = b

              x

              2

              13

              2

              x

              12

              1

              x

              11

              x

              23

              = (b

              2

              1

              o qual pode ser escrito como x

              3

              = b

              3

              x

              33

              x

              x

              32

              1

              x

              31

              a

              2

              = b

              3

                 Calculamos uma nova aproxima¸c˜ao x

              (1)

              1

              3

              /a

              22

              x

              (1)

              3

              = b

              3

              − a

              31

              x

              (0)

              − a

              x

              32

              x

              (0)

              2

              /a

              33 Ap´ os obter x (1)

              , calculamos x

              (2)

              substituindo x

              (1)

              no lugar de x

              (0)

              (0)

              23

              atrav´es de x

              (0)

              (1)

              1

              = b

              1

              − a

              12

              x

              (0)

              2

              − a

              13

              x

              3

              − a

              /a

              11

              x

              (1)

              2

              = b

              2

              − a

              21

              x

              (0)

              1

              na express˜ao anterior e assim procedemos at´e que o crit´erio de parada seja satisfeito.

              (1)

              Calculamos uma nova aproxima¸c˜ao x atrav´es de

              (1) (0) (0)

              x = b − a x − a x /a

              1

              12

              13

              11

              1

              2

              3 (1) (0) (0)

              x = b − a x − a x /a

              2

              21

              23

              22

              2

              1

              3 (1) (0) (0)

              x = b − a x − a x /a

              3

              31

              32

              33

              3

              1

              2 (1) (2) (1) (0)

              Ap´ os obter x , calculamos x substituindo x no lugar de x na express˜ao anterior e assim procedemos at´e que o crit´erio de parada seja satisfeito. Para um sistema de n equa¸c˜oes e n inc´ognitas, a cada passo k, temos: para i = 1 : n fa¸ca

                ,

              i−1 n

              X X

              (k+1) (k) (k)

              x =  b − a x − a x  a ;

              

            i ij ij ii i j j j=1 j=i+1 Algoritmo

              entrada: A, b, x

              j=i+1

              (k+1)

              | &lt; ε ent˜ ao retorna x

              (k) i

              − x

              (k+1) i

              ; fim-para se max |x

              ii

              , a

               

              (k) j

              x

              ij

              a

              X

              (0)

              n

              −

              

            (k)

            j

              x

              ij

              a

              j=1

              X

              i−1

              −

              i

              =   b

              (k+1) i

              , max, ε sa´ıda: x para k = 1 : max fa¸ca para i = 1 : n fa¸ca x

              ; fim-se fim-para

            • 0.24x

              1 + 3x

            2 − 0.15x

            3 = 9

              = 20 usando o m´etodo de Jacobi com vetor inicial x

              3

              

            2

              − 0.08x

              1

              0.04x

              = 8 0.09x

              3

              − 0.08x

              2

              1

              Resolver o seguinte sistema: 4x

              Exemplo

            • 4x

              (0) = 0.

            • 0.24x
            • 4x

              = 20 usando o m´etodo de Jacobi com vetor inicial x

              3

              3 3.19 3.1944 x

              2

              2 1.92 1.9094 x

              1

              3 x

              2

              1

              k

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              (0) = 0.

              3

              Exemplo

              

            2

              − 0.08x

              1

              0.04x

              1 + 3x

            2 − 0.15x

            3 = 9

              = 8 0.09x

              3

              − 0.08x

              2

              1

              Resolver o seguinte sistema: 4x

              5 5.04 5.0446

            • 0.02x
            • 0.05x

              (k)

              2 Passo 1 → x (0)

              (k)

              

            1

              (k)

              = 5 − 0.01x

              3

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              

            1

              = 3 − 0.03x

              2

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              

            2

              (k)

              = 2 − 0.06x

              1

              (k+1)

              F´ormula de itera¸c˜ao x

              Solu¸c˜ao do Exemplo

            • 0.02x

              = 0

            • 0.02x

            • 0.05x
            • 0.02x
            • 0.02x
            • 0.02x

              (k+1)

              3

              = 5 − 0.01x

              (k)

              

            1

              (k)

              2 Passo 1 → x (0)

              = 0 x

              (1)

              1

              = 2 − 0.06x

              (0)

              2

              (0)

              3

              x

              3

              (k)

              

            2

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao x

              (k+1)

              1

              = 2 − 0.06x

              (k)

              (k)

              

            1

              3

              x

              (k+1)

              2

              = 3 − 0.03x

              (k)

              = 2

            • 0.05x

            • 0.02x

              

            1

              (k)

              2 Passo 1 → x (0)

              = 0 x

              (1)

              1

              = 2 − 0.06x

              (0)

              2

              (0)

              3

              = 2 x

              (1)

              2

              = 3 − 0.03x

              (0)

              1

              (0)

              3

              (k)

              3

              = 5 − 0.01x

              (k+1)

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao x

              (k+1)

              1

              = 2 − 0.06x

              (k)

              

            2

              (k)

              3

              x

              (k+1)

              2

              = 3 − 0.03x

              (k)

              

            1

              (k)

              3

              x

            • 0.02x
            • 0.05x

              = 3

            • 0.02x
            • 0.05x
            • 0.02x

              (0)

              1

              = 2 − 0.06x

              (0)

              2

              (0)

              3

              = 2 x

              (1)

              2

              = 3 − 0.03x

              1

              = 0 x

              (0)

              3

              = 3 x

              (1)

              3

              = 5 − 0.01x

              (0)

              1

              (0)

              2

              (1)

              2 Passo 1 → x (0)

              = 5 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              (k+1)

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao x

              (k+1)

              1

              = 2 − 0.06x

              (k)

              

            2

              (k)

              3

              x

              2

              (k)

              = 3 − 0.03x

              (k)

              

            1

              (k)

              3

              x

              (k+1)

              3

              = 5 − 0.01x

              (k)

              

            1

            • 0.02x
            • 0.05x
            • 0.02x

              Passo 2 → (x ) = 2 3 5

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              Passo 2 → (x

              (1)

              )

              T

              = 2 3 5 x

              (2)

              1

              = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 3 5

              (2)

              x = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92

              1 (2)

              x = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19

              2 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 3 5

              (2)

              x = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92

              1 (2)

              x = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19

              2 (2)

              x = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04

              3 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 3 5

              (2)

              x = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92

              1 (2)

              x = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19

              2 (2)

              x = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04

              3 (2) T

              Passo 3 → (x ) = 1.92 3.19 5.04

              (3)

              x = 2 − 0.06(

              3.19 ) + 0.02( 5.04 ) = 1.91

              1 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 3 5

              (2)

              x = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92

              1 (2)

              x = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19

              2 (2)

              x = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04

              3 (2) T

              Passo 3 → (x ) = 1.92 3.19 5.04

              (3)

              x = 2 − 0.06(

              3.19 ) + 0.02( 5.04 ) = 1.91

              1 (3)

              x = 3 − 0.03(

              1.92 ) + 0.05( 5.04 ) = 3.1944

              2 Solu¸c˜ao do Exemplo

              Passo 2 → (x

              = 1.92 3.19 5.04 x

              = 5 − 0.01(

              3

              (3)

              x

              1.92 ) + 0.05( 5.04 ) = 3.1944

              = 3 − 0.03(

              2

              (3)

              x

              3.19 ) + 0.02( 5.04 ) = 1.91

              = 2 − 0.06(

              1

              (3)

              T

              (1)

              )

              (2)

              = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04 Passo 3 → (x

              3

              (2)

              = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19 x

              2

              (2)

              = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92 x

              1

              (2)

              = 2 3 5 x

              T

              )

              1.92 ) + 0.02( 3.19 ) = 5.0446 Solu¸c˜ao do Exemplo

              Passo 2 → (x

              x

              3.19 ) + 0.02( 5.04 ) = 1.91

              x

              (3)

              2

              = 3 − 0.03(

              1.92 ) + 0.05( 5.04 ) = 3.1944

              (3)

              1

              3

              = 5 − 0.01(

              1.92 ) + 0.02( 3.19 ) = 5.0446

              Erro: ||x

              (3)

              − x

              (2)

              = 2 − 0.06(

              (3)

              (1)

              (2)

              )

              T

              = 2 3 5 x

              (2)

              1

              = 2 − 0.06(3) + 0.02(5) = 2 − 0.08 = 1.92 x

              2

              = 1.92 3.19 5.04 x

              = 3 − 0.03(2) + 0.05(5) = 3 + 0.19 = 3.19 x

              (2)

              3

              = 5 − 0.01(2) + 0.02(3) = 5 + 0.04 = 5.04 Passo 3 → (x

              (2)

              )

              T

              || ∞ = max{0.01, 0.0044, 0.0046} = 0.01 Observe no exemplo anterior, que o m´etodo de Jacobi, n˜ao usa os

              (k)

              valores atualizados de x at´e completar por inteiro a itera¸c˜ao do passo k.

              Observe no exemplo anterior, que o m´etodo de Jacobi, n˜ao usa os

              (k)

              valores atualizados de x at´e completar por inteiro a itera¸c˜ao do passo k. O m´etodo de Gauss-Seidel pode ser visto como uma modifica¸c˜ao do m´etodo de Jacobi. Nele usaremos a mesma forma de iterar que o m´etodo de Jacobi, entretanto vamos aproveitar os c´alculos j´a atualizados, de outras componentes, para atualizar a componente que est´a sendo calculada.

              (k+1) (k+1)

              Dessa forma o valor de x ser´a usado para calcular x , os

              1

              2

            (k+1) (k+1) (k+1)

              valores de x e x ser˜ao usados para calcular x , e

              1

              2

              3 assim por diante. Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x

              (k+1)

              1

              = b

              1

              − a

              12

              x

              (k)

              2

              − a

              13

              x

              (k)

              3

              /a

              11 Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x

              (k+1)

              (k+1)

              /a

              3

              (k)

              x

              23

              − a

              1

              (k+1)

              x

              21

              − a

              2

              = b

              2

              x

              1

              11

              /a

              3

              (k)

              x

              13

              − a

              2

              (k)

              x

              12

              − a

              1

              = b

              22 Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x

              (k+1)

              3

              x

              (k)

              3

              /a

              22

              x

              (k+1)

              3

              = b

              − a

              − a

              31

              x

              (k+1)

              1

              − a

              32

              x

              (k+1)

              2

              /a

              23

              1

              1

              (k)

              = b

              1

              − a

              12

              x

              (k)

              2

              − a

              13

              x

              3

              (k+1)

              /a

              11

              x

              (k+1)

              2

              = b

              2

              − a

              21

              x

              33 Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x

              (k+1)

              2

              i

              =   b

              (k+1) i

              para i = 1 : n fa¸ca x

              33 No caso geral temos

              /a

              (k+1)

              i−1

              x

              32

              − a

              1

              (k+1)

              x

              −

              X

              − a

              a

              ii

              , a

               

              (k) j

              x

              ij

              j=i+1

              j=1

              X

              n

              −

              (k+1) j

              x

              ij

              a

              31

              3

              1

              13

              x

              11

              /a

              3

              (k)

              x

              − a

              2

              2

              (k)

              x

              12

              − a

              1

              = b

              (k+1)

              = b

              = b

              (k)

              3

              (k+1)

              x

              22

              /a

              3

              x

              2

              23

              − a

              1

              (k+1)

              x

              21

              − a

              ; fim-para Para um sistema 3 × 3 temos o seguinte esquema: x

              (k+1)

              para i = 1 : n fa¸ca x

              j=1

              X

              i−1

              −

              i

              =   b

              (k+1) i

              33 No caso geral temos

              ij

              /a

              2

              (k+1)

              x

              32

              − a

              1

              a

              x

              x

               

              e outro para x

              (k+1)

              precisa ser armazenada. No m´etodo de Jacobi ´e preciso manter 2 vetores em mem´oria, um para x

              i

              ; fim-para Obs: Note que no m´etodo de GS apenas 1 aproxima¸c˜ao para x

              ii

              , a

              (k) j

              (k+1) j

              x

              ij

              a

              j=i+1

              X

              n

              −

              (k+1)

              31

              1

              13

              (k+1)

              x

              11

              /a

              3

              (k)

              x

              − a

              = b

              2

              (k)

              x

              12

              − a

              1

              = b

              2

              2

              − a

              3

              3

              = b

              3

              (k+1)

              x

              22

              /a

              (k)

              − a

              x

              23

              − a

              1

              (k+1)

              x

              21

              (k) . Exemplo

              Resolva o sistema de equa¸c˜oes do exemplo anterior usando o m´etodo de Gauss-Seidel.

            • 0.02x

              2

              (k+1)

              1

              

            (k+1)

              = 5 − 0.01x

              3

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              1

              

            (k+1)

              = 3 − 0.03x

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              2

              

            (k)

              = 2 − 0.06x

              1

              (k+1)

              F´ormula de itera¸c˜ao (*) x

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              Resolva o sistema de equa¸c˜oes do exemplo anterior usando o m´etodo de Gauss-Seidel.

              Exemplo

            • 0.05x
            • 0.02x

              2

            • 0.02x

              

            (k+1)

              1

              (1)

              = 0 x

              2 Passo 1 → x (0)

              (k+1)

              1

              

            (k+1)

              = 5 − 0.01x

              3

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              1

              = 3 − 0.03x

            • 0.05x
            • 0.02x
            • 0.02x

              2

              (k+1)

              x

              3

              (k)

              2

              

            (k)

              = 2 − 0.06x

              1

              (k+1)

              F´ormula de itera¸c˜ao (*) x

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              Resolva o sistema de equa¸c˜oes do exemplo anterior usando o m´etodo de Gauss-Seidel.

              Exemplo

              = 2 − 0.06(0) + 0.02(0) = 2

            • 0.05x

              (k+1)

              x

              (k+1)

              3

              = 5 − 0.01x

              

            (k+1)

              1

              2 Passo 1 → x (0)

              (k)

              = 0 x

              (1)

              1

              = 2 − 0.06(0) + 0.02(0) = 2 x

              (1)

              2

              = 3 − 0.03(

              3

              1

              2 ) + 0.05(0) = 3 − 0.06 = 2.94

              = 2 − 0.06x

              Exemplo

              Resolva o sistema de equa¸c˜oes do exemplo anterior usando o m´etodo de Gauss-Seidel.

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao (*) x

              (k+1)

              1

              

            (k)

              

            (k+1)

              2

              (k)

              3

              x

              (k+1)

              2

              = 3 − 0.03x

            • 0.02x

            • 0.02x
            • 0.05x

              (k+1)

              x

              (k+1)

              3

              = 5 − 0.01x

              

            (k+1)

              1

              2 Passo 1 → x (0)

              (k)

              = 0 x

              (1)

              1

              = 2 − 0.06(0) + 0.02(0) = 2 x

              (1)

              2

              = 3 − 0.03(

              3

              1

              2 ) + 0.05(0) = 3 − 0.06 = 2.94 (1) Solu¸c˜ao do Exemplo

              = 2 − 0.06x

              Exemplo

              Resolva o sistema de equa¸c˜oes do exemplo anterior usando o m´etodo de Gauss-Seidel.

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao (*) x

              (k+1)

              1

              

            (k)

              

            (k+1)

              2

              (k)

              3

              x

              (k+1)

              2

              = 3 − 0.03x

            • 0.02x

              Passo 2 → (x

              (1)

              )

              T

              = 2 2.94 5.0388 x

              (2)

              1

              = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 2.94 5.0388

              (2)

              x = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.924376 ) + 0.05(5.0388) = 3.194209

              2 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 2.94 5.0388

              (2)

              x = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.924376 ) + 0.05(5.0388) = 3.194209

              2 (2)

              x = 5 − 0.01( 1.924376 ) + 0.02( 3.194209 ) = 5.044640

              3 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 2.94 5.0388

              (2)

              x = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.924376 ) + 0.05(5.0388) = 3.194209

              2 (2)

              x = 5 − 0.01( 1.924376 ) + 0.02( 3.194209 ) = 5.044640

              3 (2) T

              Passo 3 → (x ) = 1.924376 3.194209 5.044640

              (2)

              x = 2 − 0.06(1.924376) + 0.02(5.04464) = 1.909240

              1 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 2.94 5.0388

              (2)

              x = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.924376 ) + 0.05(5.0388) = 3.194209

              2 (2)

              x = 5 − 0.01( 1.924376 ) + 0.02( 3.194209 ) = 5.044640

              3 (2) T

              Passo 3 → (x ) = 1.924376 3.194209 5.044640

              (2)

              x = 2 − 0.06(1.924376) + 0.02(5.04464) = 1.909240

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.909240 ) + 0.05(5.04464) = 3.194955

              2 Solu¸c˜ao do Exemplo (1) T

              Passo 2 → (x ) = 2 2.94 5.0388

              (2)

              x = 2 − 0.06(2.94) + 0.02(5.0388) = 1.924376

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.924376 ) + 0.05(5.0388) = 3.194209

              2 (2)

              x = 5 − 0.01( 1.924376 ) + 0.02( 3.194209 ) = 5.044640

              3 (2) T

              Passo 3 → (x ) = 1.924376 3.194209 5.044640

              (2)

              x = 2 − 0.06(1.924376) + 0.02(5.04464) = 1.909240

              1 (2)

              x = 3 − 0.03( 1.909240 ) + 0.05(5.04464) = 3.194955

              2 (2)

              x = 5 − 0.01( 1.909240 ) + 0.02( 3.194955 ) = 5.044807

              3 Para estudar a convergˆencia dos m´etodos, vamos primeiros escrevˆe-los na seguinte forma:

              (k+1) (k)

              x = Bx + c

              Para isso, vamos dividir a matriz A como A L D U

            • = +

              |{z} |{z} |{z}

              

            triangular inferior diagonal triangular superior Para estudar a convergˆencia dos m´etodos, vamos primeiros escrevˆe-los na seguinte forma:

              (k+1) (k)

              x = Bx + c

              Para isso, vamos dividir a matriz A como A L D U

              = + + |{z} |{z} |{z}

              

            triangular inferior diagonal triangular superior

              isto ´e, para uma matriz 3 × 3 temos

              

                   

            a a a a 0 a a

              11

              12

              13

              11

              12

              13

                   

            a a a = a a a

              21

              22

              23

              21

              22

              23 a a a a a a

              31

              32

              33

              31

              32

              33 Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              ⇒ Dx

              = b − (L + U)x Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              ⇒ Dx

              = b − (L + U)x e assim Dx

              (k+1)

              = b − (L + U)x

              (k) Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              ⇒ Dx

              = b − (L + U)x e assim Dx

              (k+1)

              = b − (L + U)x

              (k)

              x

              (k+1)

              = −D

              −1

              (L + U)x

              (k)

              −1

            • D

              b

              (k)

              (L + U)x

              x

              J

              = B

              (k+1)

              b x

              −1

              (k)

              −1

              Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              = −D

              (k+1)

              x

              (k)

              = b − (L + U)x

              (k+1)

              = b − (L + U)x e assim Dx

              ⇒ Dx

            • D
            • c
            Sendo assim o m´etodo de Jacobi pode ser escrito como: Ax = b ⇒ (L + D + U)x = b

              Dx ⇒ = b − (L + U)x e assim

              (k+1) (k)

              Dx = b − (L + U)x

              (k+1) −1 (k) −1

              x = −D (L + U)x + D b

              (k+1) (k)

              x x = B + c

              J

              onde para o m´etodo de Jacobi

              −1

              B = −D (L + U)

              J −1

              c b = D

              (k+1)

              Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos (L + D)x

              = −Ux

              (k)

            • b
            Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos (L + D)x

              (k+1)

              = −Ux

              (k)

            • b x

              (k+1)

              = −(L + D)

              −1

              Ux

              (k)

              −1

              b

            • (L + D)
            • b x

              (k)

              (k)

              x

              GS

              = B

              (k+1)

              b x

              −1

              Ux

              Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos (L + D)x

              −1

              = −(L + D)

              (k+1)

              (k)

              = −Ux

              (k+1)

            • (L + D)
            • c
            • b x

            • (L + D)
            • c onde para o m´etodo de Gauss-Seidel

              = B

              −1

              U c = (L + D)

              −1

              = −(L + D)

              GS

              B

              (k)

              x

              GS

              (k+1)

              Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos (L + D)x

              b x

              −1

              (k)

              Ux

              −1

              = −(L + D)

              (k+1)

              (k)

              = −Ux

              (k+1)

              b Para o m´etodo de Gauss-Seidel temos

              (k+1) (k)

              (L + D)x = −Ux + b

              (k+1) −1 (k) −1

              x Ux b = −(L + D) + (L + D)

              (k+1) (k)

              x = B x + c

              GS

              onde para o m´etodo de Gauss-Seidel

              −1

              B = −(L + D) U

              GS −1

              c = (L + D) b Ou seja, ambos os m´etodos podem ser escritos como

              (k+1) (k)

              x = Bx + c (5) onde B ´e chamada de matriz de itera¸c˜ao

              

            −1

              B = −D (L + U)

              J −1

              B = −(L + D) U

              GS Se o m´etodo de Jacobi ou Gauss-Seidel converge ou n˜ao, depende dos autovalores da matriz de itera¸c˜ao B.

              Se o m´etodo de Jacobi ou Gauss-Seidel converge ou n˜ao, depende dos autovalores da matriz de itera¸c˜ao B.

              Dizemos que λ , i = 1 : n ´e um autovalor da matriz B se

              i

              Bu = λ u

              

            i

              para algum vetor u 6= 0. O seguinte teorema caracteriza a condi¸c˜ao para convergˆencia desses m´etodos.

              Teorema A condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que o m´etodo iterativo

              (k+1) (k) descrito por x = Bx + c convirja usando um vetor inicial

              (0)

              x qualquer ´e ρ(B) = max |λ (B)| &lt; 1

              i 1≤i≤n Na pr´atica encontrar os autovalores de B ´e t˜ao custoso quanto resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares e portanto o Teorema 1 ´e dif´ıcil de usar. Vamos estudar outra forma de analisar a convergˆencia para esses m´etodos.

              Na pr´atica encontrar os autovalores de B ´e t˜ao custoso quanto resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares e portanto o Teorema 1 ´e dif´ıcil de usar. Vamos estudar outra forma de analisar a convergˆencia para esses m´etodos.

              ∗ ∗ ∗

              Seja x a solu¸c˜ao exata. Ent˜ao x = Bx + c. Subtraindo de

              

              temos

              (k+1) ∗ (k) ∗

              x − x = Bx − Bx + c − c

              (k) ∗

              = B(x − x ) Na pr´atica encontrar os autovalores de B ´e t˜ao custoso quanto resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares e portanto o Teorema 1 ´e dif´ıcil de usar. Vamos estudar outra forma de analisar a convergˆencia para esses m´etodos.

              ∗ ∗ ∗

              Seja x a solu¸c˜ao exata. Ent˜ao x = Bx + c. Subtraindo de

              

              temos

              (k+1) ∗ (k) ∗

              x − x = Bx − Bx + c − c

              (k) ∗

              = B(x − x ) de forma an´aloga

              (k) ∗ (k−1) ∗

              x − x = B(x − x ) Na pr´atica encontrar os autovalores de B ´e t˜ao custoso quanto resolver um sistema de equa¸c˜oes lineares e portanto o Teorema 1 ´e dif´ıcil de usar. Vamos estudar outra forma de analisar a convergˆencia para esses m´etodos.

              ∗ ∗ ∗

              Seja x a solu¸c˜ao exata. Ent˜ao x = Bx + c. Subtraindo de

              

              temos

              (k+1) ∗ (k) ∗

              x − x = Bx − Bx + c − c

              (k) ∗

              = B(x − x ) de forma an´aloga

              (k) ∗ (k−1) ∗

              x − x = B(x − x ) e assim

              (k+1) ∗ 2 (k−1) ∗ k+1 (0) ∗

              x − x = B (x − x ) = . . . = B (x − x ) x

              (k+1)

              ∗

              ∞

              )||

              ∗

              − x

              (0)

              (x

              

            k+1

              = ||B

              ∞

              ||

              − x

              − x

              (k+1)

              ||x

              , obtemos

              ) (6) Aplicando a norma infinito em

              ∗

              − x

              (0)

              (x

              

            k+1

              = B

              ∗

              (7)

              (k+1) ∗ k+1 (0) ∗

              x − x = B (x − x ) (6) Aplicando a norma infinito em

              , obtemos (k+1) ∗ k+1 (0) ∗

              ||x − x || = ||B (x − x )||

              ∞ ∞ k+1 (0) ∗

              ≤ ||B || ||(x − x )||

              ∞ ∞

              (7) x

              (k+1)

              )||

              ≤ ||B

              

            k+1

              ||

              ∞

              ||(x

              (0)

              − x

              ∗

              ∞

              )||

              ≤ ||B||

              

            k+1

              ||(x

              (0)

              − x

              ∗

              )||

              ∞

              ∞

              ∗

              − x

              , obtemos

              ∗

              = B

              

            k+1

              (x

              (0)

              − x

              ∗

              ) (6) Aplicando a norma infinito em

              ||x

              − x

              (k+1)

              − x

              ∗

              ||

              ∞

              = ||B

              

            k+1

              (x

              (0)

              (7) x

              (k+1)

              

            k+1

              ||

              ∞

              ||(x

              (0)

              − x

              ∗

              )||

              ∞

              ≤ ||B||

              ||(x

              ≤ ||B

              (0)

              − x

              ∗

              )||

              ∞

              (7) Assim de

              fica claro que s´o haver´a convergˆencia se

              ||B||

              ∞

              

            k+1

              ∞

              − x

              ||x

              ∗

              = B

              

            k+1

              (x

              (0)

              − x

              ∗

              ) (6) Aplicando a norma infinito em

              , obtemos

              (k+1)

              )||

              − x

              ∗

              ||

              ∞

              = ||B

              

            k+1

              (x

              (0)

              − x

              ∗

              &lt; 1 (8) x

              (k+1)

              

            k+1

              ||

              ∞

              ||(x

              (0)

              − x

              ∗

              )||

              ∞

              ≤ ||B||

              ||(x

              ≤ ||B

              (0)

              − x

              ∗

              )||

              ∞

              (7) Assim de

              fica claro que s´o haver´a convergˆencia se

              ||B||

              ∞

              &lt; 1 (8) Vamos analisar agora crit´erios espec´ıficos para atender ao crit´erio geral dado por

              

            k+1

              ∞

              − x

              ||x

              ∗

              = B

              

            k+1

              (x

              (0)

              − x

              ∗

              ) (6) Aplicando a norma infinito em

              , obtemos

              (k+1)

              )||

              − x

              ∗

              ||

              ∞

              = ||B

              

            k+1

              (x

              (0)

              − x

              ∗

              para o m´etodo de Jacobi e Gauss-Seidel. Para o m´etodo de Jacobi, a matriz de itera¸c˜ao B

              J

                  

              1 a nn

              1 a 22 . ..

              1 a 11

              =     

              −1

              ⇒ D

              nn

              = −D

              a

              22 . ..

              a

              11

                   a

              (L + U) ´e da forma D =

              −1

                   Para o m´etodo de Jacobi, a matriz de itera¸c˜ao B

              J

              1 a 22 . ..

              a nn−1 a nn

              . . .

              a n1 a nn a n2 a nn

              .. .

              . ..

              .

              a 12 a 11

            a

            12

            a

            11 . . . a 1 n a 11 a 21 a 22

            a

            23

            a

            22 . . . a 2 n a 22 ..

                  

              J = −

              B

                   portanto

              1 a nn

              1 a 11

              = −D

              =     

              −1

              ⇒ D

                  

              nn

              a

              22 . ..

              a

              11

                   a

              (L + U) ´e da forma D =

              −1

                   Para o m´etodo de Jacobi, a matriz de itera¸c˜ao B

              J

                   portanto

              = −

              ij

                   ou seja, seus elementos s˜ao b

              a nn−1 a nn

              . . .

              a n1 a nn a n2 a nn

              .. .

              . ..

              .

              a 12 a 11

            a

            12

            a

            11 . . . a 1 n a 11 a 21 a 22

            a

            23

            a

            22 . . . a 2 n a 22 ..

                  

              J = −

              B

              1 a nn

              = −D

              1 a 22 . ..

              1 a 11

              =     

              −1

              ⇒ D

                  

              nn

              a

              22 . ..

              a

              11

                   a

              (L + U) ´e da forma D =

              −1

              a ij a ii Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B

              J

              ||

              ∞

              &lt; 1 Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B

              J

              ||

              ∞

              &lt; 1 ||B

              J

              || ∞ = max

              1≤i≤n n

              X

              j=1

              |b ij | Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B || &lt; 1

              J ∞

            n n

              ij

              X X a

              ||B || ∞ = max |b ij | = max

              J 1≤i≤n 1≤i≤n

              a

              ii j=1 j=1,i6=j Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B || &lt; 1

              J ∞

            n n

              ij

              X X a

              ||B || ∞ = max |b ij | = max &lt; 1

              J 1≤i≤n 1≤i≤n

              a

              ii j=1 j=1,i6=j Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B || &lt; 1

              J ∞

            n n

              ij

              X X a

              ||B || ∞ = max |b ij | = max &lt; 1

              J 1≤i≤n 1≤i≤n

              a

              ii j=1 j=1,i6=j Teorema (Crit´erio das Linhas) n

              X a ij

              Seja Ax = b e seja α = k

              , para k = 1 : n. Se a ii

              j=1,i6=j

              α = max{α } &lt; 1, ent˜ao o m´etodo de Jacobi converge

              k (0) independentemente da aproxima¸c˜ao inicial x . Para termos convergˆencia, ent˜ao precisamos que ||B || &lt; 1

              J ∞

            n n

              ij

              X X a

              ||B || ∞ = max |b ij | = max &lt; 1

              J 1≤i≤n 1≤i≤n

              a

              ii j=1 j=1,i6=j Teorema (Crit´erio das Linhas) n

              X a ij

              Seja Ax = b e seja α = k

              , para k = 1 : n. Se a ii

              j=1,i6=j

              α = max{α } &lt; 1, ent˜ao o m´etodo de Jacobi converge

              k (0) independentemente da aproxima¸c˜ao inicial x .

              Exemplo Verificar se as seguintes matrizes satisfazem o crit´erio das linhas.

                 

              4 0.24 −0.08 1 3 1    

              0.09 3 −0.15 , 5 2 2 0.04 −0.08 4 0 6 8 Defini¸c˜ao Uma matriz A ´e estritamente diagonal dominante se n

              X |a | &lt; |a |, i = 1 : n

              ij ii j=1, j6=i Defini¸c˜ao Uma matriz A ´e estritamente diagonal dominante se n

              X |a | &lt; |a |, i = 1 : n

              ij ii j=1, j6=i

              Fica claro ent˜ao que para matrizes estritamente diagonal dominante o crit´erio das linhas ´e sempre satisfeito. Portanto, uma outra forma de verificar se o m´etodo de Jacobi converge para uma certa matriz ´e verificar se esta ´e estritamente diagonal dominante.

              Defini¸c˜ao Uma matriz A ´e estritamente diagonal dominante se n

              X |a | &lt; |a |, i = 1 : n

              ij ii j=1, j6=i

              Fica claro ent˜ao que para matrizes estritamente diagonal dominante o crit´erio das linhas ´e sempre satisfeito. Portanto, uma outra forma de verificar se o m´etodo de Jacobi converge para uma certa matriz ´e verificar se esta ´e estritamente diagonal dominante.

              Exemplo

                10 2

              1  

              1

              5

              1 2 3 10 Defini¸c˜ao Uma matriz A ´e estritamente diagonal dominante se n

              X |a | &lt; |a |, i = 1 : n

              ij ii j=1, j6=i

              Fica claro ent˜ao que para matrizes estritamente diagonal dominante o crit´erio das linhas ´e sempre satisfeito. Portanto, uma outra forma de verificar se o m´etodo de Jacobi converge para uma certa matriz ´e verificar se esta ´e estritamente diagonal dominante.

              Exemplo

              |a | + |a | = |2| + |1| &lt; |10| = |a |

              12

              13

              11

                10 2

              1 |a | + |a | = |1| + |1| &lt; |5| = |a |

              21

              23

              22

               

              1

              5

              1 |a | + |a | = |2| + |3| &lt; |10| = |a |

              31

              32

              33

              2 3 10 Gauss-Seidel

              Para ter convergˆencia ´e necess´ario satisfazer pelo menos um dos crit´erios:

              ◮

              crit´erio das linhas, isto ´e

              

            n

              X

              |a ij |

              max &lt; 1

              |a ii | 1≤i≤n

            j=1, j6=i

              ◮

              crit´erio de Sassenfeld max β &lt; 1 (9)

              i 1≤i≤n

              onde β i s˜ao calculados como  

              ,

              i−1 n

              X X  

              β |a | |a | = |a |β +

              i ij j ij ii j=1 j=i+1 Gauss-Seidel

              ´ E poss´ıvel mostrar que para B dado por

              GS −1

              B = −(L + D) U

              GS

              temos que ||B || ≤ max β

              GS ∞ i 1≤i≤n

              Sendo assim, para mostrar que o m´etodo converge, basta mostrar que o crit´erio de Sassenfeld

              ´e satisfeito. Gauss-Seidel

              ´ E poss´ıvel mostrar que para B dado por

              GS −1

              B = −(L + D) U

              GS

              temos que ||B || ≤ max β

              GS ∞ i 1≤i≤n

              Sendo assim, para mostrar que o m´etodo converge, basta mostrar que o crit´erio de Sassenfeld

              ´e satisfeito.

            • Para ver que o crit´erio das linhas tamb´em ´e v´alido para o m´etodo de Gauss-Seidel, basta verificar que

              n

              X

              |a ij |

              max &lt; 1 ⇒ β &lt; 1, i = 1 : n

              i |a | ii

              1≤i≤n j=1, j6=i Algumas observa¸c˜oes:

              ◮

              Para um certo sistema de equa¸c˜oes lineares pode acontecer do m´etodo de Jacobi convergir, enquanto o Gauss-Seidel n˜ao, ou vice-versa.

              ◮

              Quanto menor o valor de ||B|| , mais r´apida ser´a a

              

            convergˆencia do m´etodo.

              ◮

              Permuta¸c˜ao de linhas ou colunas pode reduzir ||B||

              ∞ ◮

              A convergˆencia dos m´etodos de Jacobi e Gauss-Seidel n˜ao

              (0) depende do vetor inicial x . Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Jacobi com ε = 0.01.

                10 2

              1

              1

              5

              1 2 3 10  

                x

              

            1

              x

              

            2

              x

              

            3

                =

               

              7 −8

              6   Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Jacobi com ε = 0.01.

                    10 2 1 x

              7

              

            1

              

              1

              5 1   x  =  −8 

              

            2

              2 3 10 x

              6

              

            3

            Solu¸c˜ao do Exemplo

              Crit´erio das linhas: α = (|a | + |a |)/|10| = 0.2 + 0.1 = 0.3 &lt; 1

              1

              12

              13

              α = (|a | + |a |)/|5| = 0.2 + 0.2 = 0.4 &lt; 1

              2

              21

              23

              α = (|a | + |a |)/|10| = 0.2 + 0.3 = 0.5 &lt; 1

              3

              31

              3 para essa matriz. Solu¸c˜ao do Exemplo

              Ou ent˜ao basta verificar que a matriz A ´e estritamente diagonal dominante. F´ormula de itera¸c˜ao: x

              2

              (k)

              

            1

              − 0.3x

              (k)

              2 Assim temos as seguintes itera¸c˜oes para o vetor inicial x (0)

              = 0 k

              1

              3

              3

              4

              5 x

              1

              0.7 0.96 0.978 0.9994 0.9979 x

              2 -1.6 -1.86 -1.98 -1.9888 -1.9996

              x

              3

              = 0.6 − 0.2x

              (k+1)

              (k+1)

              x

              1

              = 0.7 − 0.2x

              (k)

              

            2

              − 0.1x

              (k)

              3

              (k+1)

              x

              2

              = −1.6 − 0.2x

              (k)

              1

              − 0.2x

              (k)

              3

              0.6 0.94 0.966 0.966 0.9968 Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Gauss-Seidel.

                5 1 1

              3 4 1 3 3 6  

                x

              

            1

              x

              

            2

              x

              

            3

                =

               

              5

              6   Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Gauss-Seidel.

                    5 1 1 x

              5

              

            1

              

            2

               3 4 1   x  =  6 

              3 3 6 x

              

            3 Solu¸c˜ao do Exemplo Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Gauss-Seidel.

                    5 1 1 x

              5

              

            1

              

            2

               3 4 1   x  =  6 

              3 3 6 x

              

            3

            Solu¸c˜ao do Exemplo

              1) A matriz n˜ao ´e estritamente diagonal dominante. Nada podemos afirmar sobre a convergˆencia. 2) Crit´erio das linhas:

              α = (|a | + |a |)/|5| = 0.2 + 0.2 = 0.4 &lt; 1

              1

              12

              13

              α = (|a | + |a |)/|4| = 0.75 + 0.25 = 1

              2

              21

              23

              α = (|a | + |a |)/|6| = 0.5 + 0.5 = 1

              3

              31

              32 Exemplo

              Resolva o sistema utilizando o m´etodo de Gauss-Seidel.

                    5 1 1 x

              5

              

            1

              

            2

               3 4 1   x  =  6 

              3 3 6 x

              

            3

            Solu¸c˜ao do Exemplo

              1) A matriz n˜ao ´e estritamente diagonal dominante. Nada podemos afirmar sobre a convergˆencia. 2) Crit´erio das linhas:

              α = (|a | + |a |)/|5| = 0.2 + 0.2 = 0.4 &lt; 1

              1

              12

              13

              α = (|a | + |a |)/|4| = 0.75 + 0.25 = 1

              2

              21

              23

              α = (|a | + |a |)/|6| = 0.5 + 0.5 = 1

              3

              31

              32 Solu¸c˜ao do Exemplo

              β

              1

              = |0.2| + |0.2| = 0.4 β

              2 = |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55

              β

              3

              = |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475 Solu¸c˜ao do Exemplo

              β

              1

              = |0.2| + |0.2| = 0.4 β

              2 = |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55

              β

              3

              = |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475 Assim max

              1≤i≤n

              β

              i

              = max{0.4, 0.55, 0.475} = 0.55 &lt; 1 Solu¸c˜ao do Exemplo

              β = |0.2| + |0.2| = 0.4

              1

              β

              2 = |0.75|(0.4) + |0.25| = 0.3 + 0.25 = 0.55

              β = |0.5|(0.4) + |0.5|(0.55) = 0.2 + 0.275 = 0.475

              max β = max{0.4, 0.55, 0.475} = 0.55 &lt; 1

              i 1≤i≤n

              Portanto, como o crit´erio de Sassenfeld ´e satisfeito, podemos garantir que o processo de Gauss-Seidel converge para essa matriz.

              Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao:

              (k+1) (k) (k)

              x = 1 − 0.2x − 0.2x

              1

              2

              3 (k+1) (k+1) (k)

              x = 1.5 − 0.75x − 0.25x

              2

              

            1

              3 (k+1) (k+1) (k+1)

              x = 0 − 0.5x − 0.5x

              3

              1

              2 Solu¸c˜ao do Exemplo

              F´ormula de itera¸c˜ao: x

              = 0 como aproxima¸c˜ao inicial, temos x

              = 0 − 0.5x

              

            (k+1)

              1

              − 0.5x

              (k+1)

              2 Usando x (0)

              (1)

              (k+1)

              1

              = 1 − 0.2(0) − 0.2(0) = 1 x

              (1)

              2

              = 1.5 − 0.75(1) − 0.25(0) = 0.75 x

              (1)

              3

              3

              x

              (k+1)

              3

              1

              = 1 − 0.2x

              (k)

              2

              − 0.2x

              (k)

              x

              3

              (k+1)

              2

              = 1.5 − 0.75x

              (k+1)

              

            1

              − 0.25x

              (k)

              = 0 − 0.5(1) − 0.5(0.75)

            Solu¸c˜ao do Exemplo

              Iterando para k = 1, 2, . . . temos k

              1

              2

              3

              4 x

              1

              1.0 1.025 1.0075 1.0016 x

              2

              0.75 0.95 0.9913 0.9987 x

            • 0.875 -0.9875 -0.9994 -1.0002

              3

            Solu¸c˜ao do Exemplo

              Iterando para k = 1, 2, . . . temos k

              1

              2

              3

              4 x

              1

              1.0 1.025 1.0075 1.0016 x

              2

              0.75 0.95 0.9913 0.9987 x

            • 0.875 -0.9875 -0.9994 -1.0002 Podemos verificar o erro

              ||x

              (4)

              3

              (3)

              ||

              ∞

              ||x

              (4)

              ||

              ∞

              =

              max{|1.0016−1.0075|,|0.9987−0.9913|,|−1.0002+0.9994|} max{|1.0016|,|0.9987|,|−1.0002|}

              = 0.0074 1.0016

              = 0.0074 &lt; 10

              −2

              − x

              ´ E poss´ıvel acelerar a convergˆencia dos m´etodos iterativos visto at´e ent˜ao atrav´es do m´etodo da sobre-relaxa¸c˜ao sucessiva, ou do inglˆes SOR (sucessive over relaxation).

              Nesse m´etodo definimos a aproxima¸c˜ao na itera¸c˜ao (k + 1) como

              (k)

              uma m´edia entre o valor de x obtido na itera¸c˜ao (k) e o valor de

              (k+1) x , que seria obtido pelo m´etodo de Gauss-Seidel.

              ´ E poss´ıvel acelerar a convergˆencia dos m´etodos iterativos visto at´e ent˜ao atrav´es do m´etodo da sobre-relaxa¸c˜ao sucessiva, ou do inglˆes SOR (sucessive over relaxation).

              Nesse m´etodo definimos a aproxima¸c˜ao na itera¸c˜ao (k + 1) como

              (k)

              uma m´edia entre o valor de x obtido na itera¸c˜ao (k) e o valor de

              (k+1) x , que seria obtido pelo m´etodo de Gauss-Seidel.

              As itera¸c˜oes associadas ao parˆametro ω do m´etodo SOR s˜ao definidas por:

              

            (k+1) (k) (k+1)

              x SOR = (1 − ω)x SOR + ωx GS (10)

              (k)

              onde x SOR ´e a aproxima¸c˜ao do passo anterior obtida pelo

              (k+1)

              m´etodo SOR e x ´e a aproxima¸c˜ao atual obtida pelo

              GS m´etodo de Gauss-Seidel. Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              (k+1) i

              n

              , a

               

              (k) j

              x

              ij

              a

              j=i+1

              X

              −

              =   b

              (k+1) j

              x

              ij

              a

              j=1

              X

              i−1

              −

              i

              ii

              (k) j  

              ij

              X j=i+1 a ij x

              (k+1) j − n

              

            X

            j=1 a ij x

              −

            i−1

                b i

              (k) i

              = (1 − ω)x

              (k+1) i

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR: x

              ii

              , a

               

              (k) j

              x

              a

              Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              j=1

              (k+1) i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              a

              j=i+1

              ij

              x

              (k+1) j

              −

              n

              X

            • ω a ii

              ◮ Quando ω = 1 temos o m´etodo de Gauss-Seidel.

              = (1 − ω)x

              (k) j

               

              , a

              ii

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR: x

              (k+1) i

              (k) i

              ij

                b i

              −

            i−1

              

            X

            j=1 a ij x

              (k+1) j − n

              X j=i+1 a ij x

              (k) j  

              x

              a

              Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              j=1

              (k+1) i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              a

              j=i+1

              ij

              x

              (k+1) j

              −

              n

              X

            • ω a ii

              ◮ Quando ω = 1 temos o m´etodo de Gauss-Seidel. ◮ O m´etodo s´ o converge se 0 &lt; ω &lt; 2.

              = (1 − ω)x

              (k) j

               

              , a

              ii

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR: x

              (k+1) i

              (k) i

              ij

                b i

              −

            i−1

              

            X

            j=1 a ij x

              (k+1) j − n

              X j=i+1 a ij x

              (k) j  

              x

              a

              Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              j=1

              (k+1) i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              a

              j=i+1

              ij

              x

              (k+1) j

              −

              n

              X

            • ω a ii

              ◮ Quando ω = 1 temos o m´etodo de Gauss-Seidel. ◮ O m´etodo s´ o converge se 0 &lt; ω &lt; 2. ◮ 1 &lt; ω &lt; 2: sobre-relaxa¸c˜ao.

              = (1 − ω)x

              (k) j

               

              , a

              ii

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR: x

              (k+1) i

              (k) i

              ij

                b i

              −

            i−1

              

            X

            j=1 a ij x

              (k+1) j − n

              X j=i+1 a ij x

              (k) j  

              x

              a

              Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              j=1

              (k+1) i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              a

              j=i+1

              ij

              x

              (k+1) j

              −

              n

              X

            • ω a ii

              ◮ Quando ω = 1 temos o m´etodo de Gauss-Seidel. ◮ O m´etodo s´ o converge se 0 &lt; ω &lt; 2. ◮ 1 &lt; ω &lt; 2: sobre-relaxa¸c˜ao. ◮ 0 &lt; ω &lt; 1: sub-relaxa¸c˜ao.

              = (1 − ω)x

              (k) j

               

              , a

              ii

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR: x

              (k+1) i

              (k) i

              ij

                b i

              −

            i−1

              

            X

            j=1 a ij x

              (k+1) j − n

              X j=i+1 a ij x

              (k) j  

              x

              a

              Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos x

              j=1

              (k+1) i

              =   b

              i

              −

              i−1

              X

              a

              j=i+1

              ij

              x

              (k+1) j

              −

              n

              X

            • ω a ii
            Lembrando que para o m´etodo de Gauss-Seidel temos  

              ,

              i−1 n

              X X

              (k+1) (k+1) (k)

              i ij ij ii i j j j=1 j=i+1

                x = b − a x − a x a

              chegamos ao seguinte esquema para o m´etodo SOR:

                i−1 n

              

            X

            X (k+1) (k) (k+1) (k)

              ω

              x = (1 − ω)x b − a x − a x

            •  

              i ij ij i i j j a ii j=1 j=i+1

              ◮ Quando ω = 1 temos o m´etodo de Gauss-Seidel. ◮ O m´etodo s´ o converge se 0 &lt; ω &lt; 2. ◮ 1 &lt; ω &lt; 2: sobre-relaxa¸c˜ao. ◮ 0 &lt; ω &lt; 1: sub-relaxa¸c˜ao. ◮

              Em alguns casos particulares ´e poss´ıvel encontrar um valor ´ otimo para ω, de forma que o m´etodo apresenta uma boa convergˆencia com rela¸c˜ao a outras escolhas de ω

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