Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem ´atica

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem ´atica Programa de P ´os-Gradua¸c ˜ao em Matem ´atica Disserta¸c ˜ao de Mestrado

  

Sobre Decomposição Dominada Para Fluxos Singulares.

  

Felipe Fonseca dos Santos

Salvador-BA

  Fevereiro/2014

  Sobre Decomposição Dominada Para Fluxos Singulares. Felipe Fonseca dos Santos

  Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Vítor D. Martins

  de Araújo Salvador-BA

  Fevereiro/2014

  

Sobre Decomposi¸c ˜ao Dominada Para Fluxos

Singulares.

  Felipe Fonseca dos Santos Orientador: V´itor D. Martins de Ara´ujo

  Dissertação de Mestrado submetida ao Colegiado de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal da Bahia - UFBA, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática.

  Aprovada por:

  

Profa. Dr. Luciana Silva Salgado-IM/UFBA

Profa. Dr. Maria José Pacífico - IM/UFRJ

Prof. Dr. Vítor D. Martins de Araújo - IM/UFBA

  Salvador-BA Fevereiro/2014 Santos, Felipe Fonseca dos.

  Sobre decomposição denominada para fluxos singulares / Felipe Fonseca dos Santos. - 2014. 71 f.: il. Orientador: Prof. Dr. Vitor D. Martins de Araújo. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Salvador, 2014.

  1. Método de decomposição. 2. Análise de sistemas. 3. Teoria dos sistemas. 4. Hiperbolicidade. I. Araújo, Vitor D. Martins de.

  II. Universidade Federal da Bahia. Instituto de Matemática. III.

  v

  Dedico este trabalho aos meus pais, meus irmãos e à Milena, por tudo que fizeram por mim para a realização deste sonho.

  

Agradecimentos

  Agradeço primeiramente a Deus pela sua fidelidade comigo em todos os momentos de minha vida e por estar sempre me protegendo e me dando força.

  Ao meu pai Joel e minha mãe Rosely, aos meus irmãos Willian e Liz e minha avó Terezinha. Cujo amor e carinho transmitido durante todo esse tempo não podem ser medidos.

  À minha amada Milena, companheira de todas as horas, pelo seu amor, compreensão, confiança e por sempre me fazer acreditar que posso ir mais longe.

  Aos amigos de Amargosa e da UFRB que mesmo longe sempre es- tiveram presentes e aos que tive a felicidade de conhecer durante esse tempo na UFBA.

  A todos os meus familiares e aqueles que ao longo do tempo tornaram- se parte da minha família como, Seu João, D. Noêmia, Loi e tia Roque que sempre torceram por mim, transmitindo confiança e alegria.

  Não posso aqui deixar de citar minhas tias Dinah, Sarah, Conceição, Sueli e Margarida, meu primo Rafael aos grandes amigos Juracy e tia Lene, cujo apoio foi tão importante nesse período em Salvador.

  Ao exemplo de professor e pesquisador a quem tive a honra e a satisfa- ção de ter sido orientado, Vítor Araújo meu muito obrigado pelo incentivo, paciência, dedicação, compromisso, por ter acreditado em mim e pelas grandes oportunidades de aprendizagem a que me proporcionou. A todos os professores da pós-graduação do Instituto de Matemática (IM) da UFBA que tive a oportunidade de ser aluno e aprender algo importante para minha formação.

  A todos os funcionários da pós-graduação do IM da UFBA que de alguma forma contribuíram para a conclusão desta dissertação. Aos professores membros da banca examinadora pela disponibilidade e atenção dispensada ao trabalho, bem como por suas valiosas sugestões. Agradeço também aos meus professores da UFRB que sempre me in- centivaram mesmo quando tudo não passava de um sonho, em especial ao professor Antonio Andrade do Espirito Santo, a quem devo muito por estar aqui e cujo apoio e amizade foram fundamentais nessa trajetória.

  Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

  vii

  “Tudo parece impossível até que seja feito.”

  

Resumo

  Apresentamos resultados que dão condições suficientes para que uma dada decomposição invariante do fibrado tangente de um conjunto com-

  1

  pacto invariante Λ de um fluxo C com singularidades (ou não) seja do- minada. Em particular, esses resultados reduzem os requisitos para obter hiperbolicidade seccional e hiperbolicidade. Além disso, usamos exem- plos para ilustrar que alguns enfraquecimentos desses resultados não são possíveis. Por fim, fazemos uma aplicação dos resultados à situação de fluxos tridimensionais fracamente dissipativos.

  

Palavras-chave: Decomposição dominada, conjunto parcialmente hiperbólico,

hiperbolicidade e hiperbolicidade seccional.

  

Abstract

  We obtain sufficient conditions for an invariant splitting over a compact

  1

  invariant subset of a C flow X to be dominated. In particular, we reduce

  t

  the requirements to obtain sectional hyperbolicity and hyperbolicity. We also present examples showing that the assumptions are minimal in a certain sense. Finally, we apply the results to weakly dissipative three- dimensional flows.

  

Keywords: Dominated splitting, partial hyperbolic set, hyperbolicity and

sectional-hyperbolicity.

  x

  

Sumário

xiii

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  . . . . . . . . . . . . 35

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  . . . . . . . . . . 32

  . . . . . . . . . 31

  31

  

  27

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  15

  . . . . . . . . . 14

  

   1 . . . .

  

  . . . . . 12

  9

   9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . .

  3 . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 . . . . . . . . .

  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  . . . . . . . . . . . . 38

  xii Sumário

  43

  . . . . . . . . . . 43

  4.2 Prova do Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  . . . . . 45

4.2.2 Completude de (L, ||| · |||) . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  59

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . 60

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  

  69

  Lista de Figuras .

  7 . . . . . . . 10

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  3.3 Curvas de nível da solução do sistema . . . . . . . . . . . 34

  

  . . . . . . . 36

  

  

  . . . 37

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . 40

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  xiv

Lista de Figuras

  

Capítulo 1

Introdução

  A teoria dos sistemas dinâmicos tem uma longa história que remonta às leis da mecânica clássica expressa em termos de equações diferencias. Um exemplo relevante, nessa teoria, é o problema dos n-corpos: num campo gravitacional, este problema modela, por exemplo, o nosso sistema solar. É na busca da solução de problemas como esse que muitas ferramen- tas matemáticas foram desenvolvidas, aprofundando a teoria de sistemas dinâmicos.

  Desde Poincaré, no final do século XIX, a ênfase ao desenvolvimento da teoria tem sido o estudo do comportamento assintotico das soluções das equações diferenciais, em vez de buscar explicitamente expressões para as soluções.

  

1.1 Hiperbolicidade, hiperbolicidade parcial e do-

minação

  Seja M uma variedade compacta Riemanniana n-dimensional C sem bordo. Um campo de vetores X sobre M é uma correspondência associando a cada ponto x de M um vetor X(x) em T x M , o espaço de vetores tangentes a M no ponto x.

1.1.1 Hiperbolicidade

  Destacaremos, dentre as possíveis linhas de pesquisa da teoria dos sistemas dinâmicos, a teoria de sistemas dinâmicos hiperbólicos, desen- volvida nos anos 60 e 70, após o trabalho de Smale, Sinai, Ruelle, Bowen

2 Capítulo 1. Introdução

  de conjuntos compactos invariantes Λ para fluxos e difeomorfismos em variedades compactas de dimensão finita tendo uma decomposição hiper- bólica do espaço tangente. Isto é, se X é um campo de vetores e X t é o fluxo gerado por X, então dizemos que um conjunto compacto invariante Λ (isto é, X t

  t se existe uma

  (Λ) = Λ, para todo t ∈ R) é hiperbólico para um fluxo X

  s X u

  decomposição contínua invariante do fibrado tangente T Λ M = EEE e existem constantes C, λ > 0 tais que s u −λt −λt k DX t | E k≤ Ce | E k≤ Ce x x , k DXt , x ∈ Λ e t ∈ R,

  s u

  ou seja, E é uniformemente contraído e E é uniformemente expandido por DX .

  t

  X Na expressão acima E denota o subfibrado unidimensional gerado

  pela direção do campo e os subfibrados são DX

  t

  − invariante, ou seja, são invariantes pela derivada DX t do fluxo X t , no seguinte sentido

  i i DX t (E ) = E x X , x ∈ Λ, t ∈ R, i = s, X, u. t (x)

  As normas usadas são decorrentes de uma estrutura Rimaniana fixa- da na variedade M. Como esta tem dimensão finita são equivalentes, a definição de hiperbolicidade não depende da métrica Riemanniana esco- lhida.

1.1.2 Hiperbolicidade parcial e dominação

  Na tentativa de ampliar o alcance da teoria hiperbólica, motivado, por exemplo, em entender as propriedades do atrator de Lorenz (que é um exemplo de dinâmica não-hiperbólica com singularidade) que surgem várias noções mais fracas de hiperbolicidade. Este é o caso do conceito de decomposição dominada, que será objetivo central deste trabalho. Ela foi introduzida inicialmente nos trabalhos de Mañé ,

  .

  

Definição 1.1.1. A decomposição dominada por um conjunto compacto invariante

  Λ

  de X é uma decomposição contínua do fibrado tangente sobre Λ, T Λ M = E F

  , ,

  invariante por DX com E , F não triviais (E 0 e F t x x x x

  0) para todo x ∈ Λ, de

  tal forma que existem constantes positivas C, λ satisfazendo −λt

  (1.1) k DX t | E k · k DX | F k≤ Ce xt , ∀ x ∈ Λ e t > 0. 1 Xt(x)

  Tal conjectura foi provada para difeomorfismos por Mañé em .

1.1. Hiperbolicidade, hiperbolicidade parcial e dominação

  3 Isto significa que a contração/expansão ao longo da direção E é mais forte que qualquer expansão/contração na direção F.

  Note que para um operador linear contínuo invertível L, a norma mí-

  −1 −1

  = || nima ou conorma é definida como m(L) := ||L inf{||L(v)||; ||v|| = 1}.

  Daí a condição é equivalente a

  −λt t E m(DX t F (1.2)

  k DX | x k≤ Ce | x ), ∀ x ∈ Λ e ∀ t > 0. Temos ainda a noção de Hiperbolicidade Parcial que surgiu a partir do estudo dos sistemas que robustamente não são hiperbólicos. Veja por exemplo, o livro de Hirsch, Pugh e Shub por Metzger e Morales. Pode-se encontrar maiores detalhes em Bonatti-Díaz-Viana .

  

Definição 1.1.2. Um conjunto compacto invariante Λ diz-se parcialmente hiper-

bólico se existe uma decomposição dominada T Λ M = E F tal que E é subfibrado uniformemente contraído, ou seja, existe constantes positivas C, λ tal que

  

−λt

t E , (1.3)

  k DX | x k≤ Cet ≥ 0 Neste caso F é o subfibrado central de Λ. Novamente, estas noções mais fracas de hiperbolicidade não dependem da norma Riemanniana fixada em M.

1.1.3 Expansão seccional

  Seja M uma variedade compacta n-dimensional, n ≥ 3, sem bordo e X

  1 um campo de vetores de classe pelo menos C .

  Motivado pelo Atrator de Lorenz temos a seguinte noção mais fraca que a de expansão uniforme.

  

Definição 1.1.3. Um subfibrado DX Λ M é dito “ seccio-

tinvariante, F T

  nalmente expansor” se dim F

  x

  ≥ 2 é constante para todo x ∈ Λ e existem

  

constantes positivas C, λ tais que para todo x ∈ Λ e todo subespaço bidimensional

L x x tem-se

  ⊂ F

  λt

  (1.4) | det(DX t | L x )| > Ce , ∀ t > 0.

  Noutras palavras, a expansão seccional é a expansão de área ao longo

4 Capítulo 1. Introdução

  subespaço invariante expansor com dimensão maior ou igual a 2 é sempre seccionalmente expansor, pois expansão de comprimento de vetores em todas as direções implica em particular expansão de área ao longo de todo plano bidimensional. Mas expansão de área não garante expansão de comprimento de qualquer vetor: tome por exemplo, a transformação

  2

  2

  linear A : R definida por A(x, y) = (2x, y) que tem det A = 2 e −→ R autovetor e = (0, 1) com autovalor λ = 1.

  2

1.1.4 Hiperbolicidade seccional

  Uma singularidade do campo vetorial X é um ponto σ ∈ M tal que

  

X (σ) = 0. O conjunto formado pelas singularidades é denotado por

  Sing(X). Dizemos que uma singularidade é hiperbólica se os autovalo- res da derivada do campo vetorial na singularidade σ, DX(σ), têm parte real diferente de zero.

  A definição a seguir é uma extensão da noção de hiperbolicidade para fluxos abarcando conjuntos que podem ter singularidades acumuladas por órbitas regulares, que se fez necessária pelo estudo do atrator de Lorenz; ver Tucker para fluxos em dimensão três e Metzger-Morales em dimensões maiores.

  

Definição 1.1.4. Um conjunto compacto invariante Λ é dito seccionalmente

hiperbólico, se Λ é um conjunto parcialmente hiperbólico cujas singularidades são

hiperbólicas e o subfibrado central é seccionalmente expansor.

  Mais precisamente, temos que Λ é seccionalmente hiperbólico se existe Λ decomposição contínua e DX t −invariante T

  M = E F que satisfaz para algumas constantes positivas C, λ.

  A noção de hiperbolicidade seccional é uma extensão natural da noção de hiperbolicidade para conjuntos invariantes com singularidades, como mostra o teorema seguinte.

  

Teorema 1.1.5. (Lema Hiperbólico). Todo subconjunto compacto invariante sem

singularidade de um conjunto seccionalmente hiperbólico é um conjunto hiper-

bólico.

  

1.2 Dominação via contração e expansão seccional

e consequências

  De posse dessas informações, podemos enunciar o principal resultado

1.2. Dominação via contração e expansão seccional

  5 Teorema 1.2.1. Teorema A] Seja Λ um conjunto compacto invariante de X

tal que cada singularidade neste conjunto seja hiperbólica. Suponha que existe

uma decomposição contínua DX t Λ M =

  − invariante do fibrado tangente de Λ, T

  

E F, em que E é uniformemente contraído, F é seccionalmente expansor e temos

dominação sobre as singularidades de Λ, isto é, para algumas constantes C, λ > 0

temos

  −λt

  (1.5) k DX t | E σ k · k DX | F σ k≤ Ce Λt , ∀σ ∈ Λ ∩ Sing(X) e t ≥ 0.

  Então T M = E F é uma decomposição dominada.

  O Teorema permite simplificar a verificação da dominação de uma dada decomposição invariante do fibrado tangente de um conjunto compacto invariante de um fluxo com singularidades; a verificação de hiperbolicidade de uma tal decomposição sobre um compacto invariante sem singularidades é o resultado do corolário que segue, usando o Teorema

  Corolário 1.2.2. Seja Λ um conjunto compacto invariante sem singularidades para um campo de vetores X. Suponha que exista decomposição contínua DX

Λ

tinvariante do fibrado tangente de Λ, T

  M = E F, onde E é uniformemente contraído e F é seccionalmente expansor. Então Λ é um conjunto hiperbólico.

  De posse desses resultados, podemos observar que na Definição a suposição de dominação só é necessária para as singularidades, de modo que é possível obter a seguinte definição equivalente de hiperbolicidade seccional.

  

Definição 1.2.3. Um conjunto Λ ⊂ M compacto invariante é seccionalmente

hiperbólico para o conjunto X se todas as singularidades de Λ são hiperbólicas, e

existe uma decomposição contínua DX t Λ M =

  − invariante do fibrado tangente T

  E F, com constantes C, λ > 0 tal que, para todo x ∈ Λ e todo t > 0, temos: −λt t E ;

  | x || ≤ Ce

  1. ||DX λt t L ; para todo subespaço linear bidimensional L x x ;

  | xF

  2. | det(DX )| > Ce −λt t | E σ k · k DX | F σ k≤ Ce 3. k DXt , ∀σ ∈ Λ ∩ Sing(X) .

1.2.1 Hiperbolicidade e expansão seccional

  Apresentamos aqui algumas motivações para o estudo do Teorema

  Sabemos por exemplo, que para um conjunto hiperbólico, ambas

  s X u s X u

6 Capítulo 1. Introdução

  disso, um conjunto hiperbólico Λ não tem singularidades acumuladas por órbitas regulares, salvo se Λ é composto por um número finito de singu- laridades hiperbólicas. Na verdade, qualquer singularidade σ acumulada por órbitas regulares sobre um conjunto hiperbólico Λ seria um ponto de descontinuidade para a decomposição hiperbólica, devido à ausência da direção do fluxo no espaço tangente a σ.

  O próximo resultado mostra que não podemos ter uma decomposição hiperbólica sem a direção do fluxo, a menos que o conjunto invariante se reduza a um número finito de singularidades isoladas.

  

Teorema 1.2.4. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Suponha que

existe uma decomposição contínua DX t

  − invariante do fibrado tangente de Λ,

  T Λ M = E F e existem constantes C, λ > 0, tal que para todo x ∈ Λ e todo t > 0 −λt −λt ||DX t | E || ≤ Ce | F || ≤ Ce . x e ||DXt

  Xt(x) Então, Λ é formado por um número finito de singularidades hiperbólicas.

  Enfraquecendo as hipóteses e tentando obter apenas a condição mais fraca de dominação da decomposição E F, observamos que não podemos substituir as hipóteses do Teorema por expansão seccional, nem contração seccional, como mostra o exemplo a seguir.

  1 Exemplo 1.2.5. Considere uma singularidade tipo-Lorenz σ para um fluxo C , t , sobre uma 3-variedade M, isto é, σ singularidade hiperbólica de tipo sela

  {X } t∈R

  tal que os autovalores de DX (σ) são reais e satisfazem

  λ

  2 < λ

  3 3 < λ 1 .

  < 0 < −λ

  • 1 λ

    2 > 0.

  Imponha ainda uma condição extra: λ

  Seja E o autoespaço associado ao autovalor λ , i = 1, 2, 3, e faça E = E e i i

  3 F = E

  1

  2

  ⊕ E

  . Então, a decomposição é trivialmente contínua (pois Λ = {σ} é

apenas um ponto), não dominada (F admite vetores mais fortemente contraídos do

que aqueles de E, bastando para isso tomar vetores sobre o eixo E 2 ) mas E contrai

uniformemente comprimento de vetores e F expande área uniformemente, ou seja,

F é seccionalmente expandido.

  No exemplo acima, temos expansão seccional e contração uniforme ao longo dos subfibrados de uma decomposição contínua, mas a decom- posição não é dominada, ver Capítulo

  Este exemplo envolve um conjunto invariante trivial: um ponto de equilíbrio. Mas há exemplos com conjuntos invariantes compactos com singularidades acumulados por órbitas regulares, como o exemplo que se

1.2. Dominação via contração e expansão seccional

  7

  2 Exemplo 1.2.6. Considere um campo de vetores sobre o plano R com uma conexão

de dupla sela homoclínica que expande volume e multiplique este campo de vetores

por uma contração ao longo da direção vertical, veja a Figura

  Figura 1.1: Uma conexão de dupla sela homoclínica expandindo área O conjunto compacto invariante W, para o campo de vetores X, formado pelas conexões homoclínicas juntamente com a singularidade s, admite uma decomposição E F, onde E é a direção vertical e F é a direção do plano. Esta decomposição será contínua, com E uniformemente contraído e F expandindo uniformemente área.

  No entanto, poderemos obter uma decomposição não-dominada, bas- tando para isso escolher a taxa de contração ao longo de E mais fraca do que a taxa de contração na direção estável da singularidade s. Desta maneira a decomposição de T s M não é dominada, ver maiores detalhes no Capítulo

  pode ser generalizado se assumirmos dominação nas singularidades de Λ juntamente com expansão seccional ao longo de F e contração uniforme ao longo de E sobre órbitas regulares. Este é precisamente o conteúdo do Teorema

  Como aplicação do Teorema temos os seguintes resultados para fluxos tridimensionais fracamente dissipativos.

  

Definição 1.2.7. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Suponha que

existe uma decomposição contínua DX tinvariante do fibrado tangente de Λ.

Dizemos que F é um campo contínuo unidimensional com propriedade de contração

x

assintótica para o passado se, e só se, x ∈ Λ 7→ F é contínua e para cada x ∈ Λ,

F é um subespaço unidimensional de T M e também x x

  1 lim inf | F || < 0, ∀x ∈ Λ. log ||DXt x

  t−→+∞

8 Capítulo 1. Introdução

  1 Teorema 1.2.8. Seja X um campo vetorial C em uma variedade tridimensional

M admitindo uma região armadilha U cujas singularidades (se houver) são hiper-

  1 bólicas e C

  −linearizável. Vamos supor que o subconjunto compacto invariante Λ = Λ

  (U) seja fracamente dissipativo e dotado de um campo contínuo unidimen- sional F com propriedade de contração assintótica para o passado.

  complementar DX σ tin-

  Se em cada singularidade σ ∈ U existe uma direção E

  =

  

variante tal que E T M é uma decomposição dominada, então Λ é um

σ ⊕ F σ σ conjunto hiperbólico (em particular, Λ não tem singularidades).

  Uma vez que a suposição de contração e decomposição dominada é apenas usada para provar a não existência de singularidades em Λ, como consequência da prova temos o seguinte.

  1 Corolário 1.2.9. Seja X um campo vetorial C em uma variedade tridimensional

M admitindo subconjunto compacto invariante Λ, sem singularidades, que é fra-

camente dissipativo e dotado de um campo contínuo unidimensional F de direções

contrativas assintoticamente para o passado. Então Λ é um conjunto hiperbólico.

1.3 Organização do trabalho

  A dissertação está dividida em cinco capítulos, sendo o primeiro de- les denominado Introdução, onde foram introduzidas grande parte das definições básicas e notações que necessitaremos ao longo do texto.

  No capítulo intitulado “Resultados Auxiliares” como o título sugere, apresentamos (e provamos na sua maioria) diversos resultados que auxili- arão as demonstrações dos principais resultados desse trabalho, como por exemplo os Teoremas

  No Capítulo “Exemplos” além de justificar de maneira detalhada o fato de ser exigido a dominação nas singularidades nas hipóteses do Teorema que possui uma conexão de dupla sela homoclínica que expande volume.

  No Capítulo “Resultados Principais” será apresentado a noção de Fluxo Linear de Poincaré além das demonstrações dos Teoremas

  No Capítulo para a situação de fluxos tridimensionais fracamente dissipativos, provando o Teorema

  

Capítulo 2

Resultado Auxiliares

  Colocamos aqui alguns resultados técnicos que serão usados como ferramentas nos capítulos seguintes.

  2.1 Ângulo entre subespaços

  Essa seção será iniciada com a definição de ângulo entre os subespaços, essa definição é inspirada na noção de ângulo entre os subespaços unidi- mensionais.

  Definição 2.1.1. Dada uma decomposição do fibrado tangente T Λ M = EF sobre x , F x ) entre os fibrados em x é um conjunto compacto invariante Λ, o ângulo ∡(E definido por

  1

  

x , F x ) = ,

  sin ∡(E

  x ∈ Λ x

  kπ(E )k onde π(E x ) : T x x é a projeção sobre E x paralela a F x .

  M −→ E Faremos um breve comentário acerca desta definição.

  Considere os subespaços unidimensionais E e F de um espaço normado (V, ||·||) onde V = EF e π : V −→ E a projeção sobre E paralela a F. Dizemos que kπ(E/F)k = max{kπ(E/F)vk; kvk = 1, v E F}.

  Quando não houver dúvida sobre o subespaço que está projetando-se sobre E denotaremos π(E/F) = π(E). Note que podemos considerar o máximo na definição de kπ(E/F)k,

10 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  =

  1

  )k : E

  1

  /F

  1

  1 kπ(E

  1 ) = inf inf (

  1

  1

  dimF

  =

  1

  ⊂ F e dim E

  1

  ⊂ E, F

  

1

  ⊂ E, dimE

  =

  1

  ⊂ F, dimF

  Lema 2.1.2. Dada uma decomposição do fibrado tangente T Λ M = E F sobre

  Usando a definição acima podemos provar o seguinte lema:

  1 kπ(E)k .

  1 kπ(E/F)k =

  1 ) =

  =

  1

  1

  | {z } 1 ) = 1 kπ(E/F1)k ; F

  )k ; F

  1

  1 kπ(E/F

  1 = inf (

  =

  1

  ⊂ F, dimF

  1

  )k ; com E

  está definida num compacto (S

  1

  /F

  1

  ⊂ F no espaço V

  1

  ⊂ E sobre F

  1

  ), a projeção de E

  1

  1

  E

  ) = π(E

  1

  . Se considerarmos E e F em dimensões maiores podemos sempre reduzir ao caso semelhante ao descrito acima. Considere então dimE = n e dimF = m, ( n, m ≥ 1) e denote π(E

  1 kπ(E)k

  Figura 2.1: Ângulo α formado entre a projeção de F sobre E Daí temos que sin α =

  onde o máximo de {kπ(E)vk; kvk = 1} é atingido conforme ilustrado na figura ou seja, o ângulo α é o ângulo formado entre vetores não nulos de E e F.

  

1

  ). Considere o ângulo α formado entre a projeção de F sobre E no ponto v ∈ S

  =

  1

  1

  ⊂ F e dimE

  1 kπ(E

  1 o = inf (

  =

  1

  dimF

  =

  1

  1

  ⊕ F

  ⊂ E, F

  

1

  ); com E

  1

  , F

  1

  . Desta forma, diremos então que, sin ∡(E, F) = inf n sin ∡(E

  1

  /F

  2.1. Ângulo entre subespaços

  11

  2 x x

  inf{||u v|| : u E , v F com ||u|| = ||v|| = 1}. Ou seja, para cada x ∈ Λ

  2 temos que

  √

  2 (2.1) sin ∡(E x , F x x x

  ) ≥ inf{||u v|| : u E , v F com ||u|| = ||v|| = 1}.

  2 Demonstração. Seja x ∈ Λ, usando a definição podemos reescrever

  1 ) = sin ∡(E x , F x

  x

  kπ(E )k

  1 = ( )

  x

  ||π(E )(u v)|| sup

  x x

  ; u E , v F com ||u v|| , 0 ( ||u v|| ) ||u v||

  = inf x x , v F

  ; u E com ||u v|| , 0, ||u|| , 0

  x

  ||π(E ( )(u v)|| ) ||u v||

  x x

  = inf

  ; u E , v F com ||u v|| , 0, ||u|| , 0 ||π(E x

  )(u)|| ||u v||

  = inf x x , v F

  ; u E com ||u v|| , 0, ||u|| , 0 ||u||

  u v

  = inf x x − , v F

  ; u E com ||u v|| , 0, ||u|| , 0 ||u|| ||u||

  v

  = inf

  x x

  ; w, u E , v F com ||w|| = 1, ||u|| , 0

  w

  ||u|| =

  

x x

  inf {kw vk ; w E , v F com ||w|| = 1} n o

  1

  1

  = = inf x x d(E x , F x ) = d. kw vk ; w E ∩ S , v F ∩ S

  Note que n o

  1

  1

  1

  1

  = x x d(E x , F x ) = ˜d. ||w v||; w E ∩ S , v F ∩ S ∩ S ∩ S d ≤ inf

  x , F x ) e ˜d.

  Assim podemos comparar os valores de d = sin ∡(E

  

1

Sabemos que existem w e v , vetores de E tais

  ∈ E x ∩ S ∈ F x xF x

  1

  ). Considere agora v tal que

  x , F x 1 x

  que ||wv || = d = sin ∡(EF ∩ S n o

  1

  1

  inf seja atingido (isso é possível pois F é com- ||wv||; v F x ∩ S

  x ∩ S

  e seja β o menor ângulo formado

  1 d

  pacto). Denotemos ˆd = ||wv || ≥ ˜ entre o vetor (w

  1 ) e F x , conforme a figura

  − v Note que quando 0 < α ≤ π/2 temos que π/4 ≤ β ≤ π/2, pois quando α se aproxima de zero temos que β se aproxima de π/2, por outro lado quando

12 Capítulo 2. Resultados Auxiliares Figura 2.2: Cota inferior para o sin(E ).

  x , F x

  logo β medirá π/4. Para α ∈ (π/2, π) teremos a mesma configuração que a anterior.

  d d

  Observe também que sin(β) = donde temos que ˆd = e como

  

ˆ

d sin(β)

  √

  2

  ≤ sin(β) ≤ 1, já que π/4 ≤ β ≤ π/2, concluímos que ˆd ≥ ˜d d e

  2 √

  

2

d

  2 √

d ˜d o que garante que,

  ≤ ˜d ≤ ˆd = . Ou ainda, d

  2

  2 sin(β)

  √

  2 sin ∡(E x , F x x x ) ≥ inf{||u v|| : u E , v F com ||u|| = ||v|| = 1}.

  2

  

2.2 Decomposição dominada e ângulo afastado

do zero

  Mostraremos agora que se temos decomposição dominada de um dado fibrado tangente isso implica que o ângulo entre os subfibrados da decom- posição é afastado do zero. Esse resultado será útil para a demonstração do Teorema

  Lema 2.2.1. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Se T Λ M = E F

é uma decomposição dominada do fibrado tangente então o ângulo entre E e F

  

é afastado de zero uniformemente ao longo de Λ, isto é existe θ > 0 tal que

  sin(E

  x , F x ) ≥ θ para todo x em Λ.

  

Demonstração. Para provar esse Lema vamos mostrar que sob suas hipóte-

x x sempre temos

  ses, dados x ∈ Λ e vetores unitários u E e v F ||u v|| ≥ θ > 0, daí usando o Lema que

  √

  2

  ∗

  2.3. Topologia Fraca

  13

  e portanto concluímos que o ângulo entre E x e F x é afastado do zero para todo x ∈ Λ.

  Sejam x n

  x M =

  ∈ Λ, n ∈ N e considere a decomposição dominada T n

  E xF x

n n para cada n ∈ N. Suponha por absurdo que existam sequências

  de vetores unitários u n x e v n x n n

  0. Assim, ∈ E nF nv || −−−−−→ tais que ||u

  n−→+∞ t (x n )(u n n 0, mas

  − v temos que ||DX )|| −−−−−→

  n−→+∞ t (x n )(u n n t (x n )v n t (x n )u n

  ||DXv || − ||DX || )|| ≥ ||DX

  (x )u ||DX t n n ||

  (x )v

  t n n

  = ||DX || · 1 −

  t (x n )v n

  ||DX ||

  t (x n )u n

  ||DX || ≥ m(DX t | F n || · −−−−−→ xn ) · ||v 1 −

  n−→+∞

  (x )v ||DX t n n || para todo t > 0 fixo. t n n (x )u ||DX ||

  Como 0 < m(DX t F

  0. Logo | −−−−→ xn ) < +∞ temos que 1 − (x )v

  ||DX t n n || n−→+∞

  

(x )u

||DX t n n ||

  1

  para n suficientemente grande ≥ seja qual for t ≥ 0 fixado.

  

(x )v

  2 ||DX t n n ||

  Usando agora que a decomposição é dominada temos (como vimos em que k DX t | E k xn

  −λt Ce n , ∀ x ∈ Λ e t > 0.

  m(DX t F ) ≤ | xn

  n n x e v n x

  ∈ Λ e vetores unitários uE nF n Assim, para todo t ≥ 0 existem x tais que k DX t | E k xn ||DX ||

  t (x n )u n

  1

  −λt Ce .

  ≥ ≥ m(DX t F ) ≥ t (x n )v n

  2 | ||DX || xn

  ln(2C)

  1 −λt

  Absurdo, basta tomar t > , já que assim Ce < . Portanto, mostramos

  2 λ

  que existe θ > 0 independente da escolha do ponto x ∈ Λ e das escolhas

  

x x

  dos vetores unitários em u E e v F tal que ||u v|| ≥ θ > 0, o que

  √

  2

  pelo Lema nos permite concluir que sin(E

  x , F x θ > 0 e assim

  ) ≥

  2 provamos o Lema.

  ∗

  2.3 Topologia Fraca

  Nessa seção será preparado o terreno para a demonstração da proposição Nela será introduzida a noção de convergência fraca, convergência

  ∗ ∗

14 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  resultados clássicos da Análise Funcional, como os Teoremas de Riesz- Markov e Banach-Alaoglu, cujas demonstrações podem ser encontradas em Capítulo 15, seção 2, p.108] respectivamente.

2.3.1 O dual e o Teorema de Riesz-Markov

  

Definição 2.3.1. Uma aplicação T : F , entre espaços de Banach, é dita

1 −→ F

  2

  1

linear se para todo x, y F e α ∈ F, (F = R, C) temos T(x + αy) = T(x) + αT(y).

  1 , FC||x|| F

  E T será contínua se existe C > 0 tal que ||T(x)|| 2 1 para todo x F i é a norma do espaço i = F 1 , F

2 .

onde || · ||

  Denotamos o espaço vetorial dos funcionais lineares contínuos de F

  1

  em F

  2 por B(F 1 , F 2 ).

  

Definição 2.3.2. Se F é um espaço normado, então o espaço de Banach B (F, F)

será denotado por F e chamado de espaço dual de F, cujos elementos são funcionais

lineares contínuos definidos em F e tomando valores em F = R, C.

  

Definição 2.3.3. Uma medida µ definida em A, σ-álgebra de X, é dita de proba-

bilidade se µ(X) = 1.

  Seja X um espaço métrico compacto e considerem N o conjunto de medidas de probabilidade de X e C (X) = C (X, R) o espaço vetorial das funções contínuas definidas em X e tomando valores em R, dotado com a

  = sup | f (x)|. norma || f ||

  xX, ||x||≤1 R

  : C (ϕ) = ϕ dµ, que é

  µ µ

  Defina para cada µ ∈ N, G (X) −→ R, onde G

  X

  := sup ||ϕ(x)||. um funcional linear contínuo na norma ||ϕ||

  xX, ||x||≤1

  De fato, dados ϕ, ψ ∈ C (X) e α ∈ R temos, via linearidade da integral, que Z Z Z

  G (ϕ + αψ) = (ϕ + αψ) dµ = ϕ dµ + αψ dµ µ Z Z

  X X

  X

  = ϕ dµ + α ψ dµ = G (ϕ) + αG (ψ).

  µ µ

  X X

  Por outro lado, Z Z Z Z ϕ dµ dµ.

  |G µ ≤ |ϕ| dµ ≤ ||ϕ|| (ϕ)| = dµ = ||ϕ||

  ∗

2.3. Topologia Fraca

  R

  15 Como µ é medida de probabilidade de X, temos que 1 = µ(X) = dµ.

  X , o que concluí o afirmado.

  Assim |G µ (ϕ)| ≤ ||ϕ|| Podemos ainda observar que G

  µ µ

  é normalizado, pois |G (ϕ)| ≤ ||ϕ|| R (I) =

  µ ||| ≤ 1 e como vimos, G µ µ ||| = 1, onde

  então |||G dµ = 1 então |||G

  X I : X −→ R é dado por I(x) = 1 e ||| · ||| é a norma do operador.

  Note também que G

  µ é positivo, já que dado ϕ ∈ C (X), ϕ ≥ 0 (isto é, R

  (ϕ) = ϕ(x) ≥ 0 para todo x X) temos que G µ ϕ dµ ≥ 0.

  X Com essas observações, temos que dada uma medida de probabilidade

  em um espaço métrico compacto, obtemos um funcional linear contínuo positivo e normalizado. Na verdade esse resultado é apenas uma das consequências do Teorema de Riesz-Markov, que entre outras coisas, carac- teriza o dual do espaço dos funcionais lineares contínuos, como podemos ver a seguir.

  

Teorema 2.3.4. Riesz-Markov ] Sejam X um espaço topológico compacto

de Hausdorff e N(X) o conjunto de medidas complexas borelianas (finitas) so-

  ∗

  (X) = N(X); mais

  bre X com a norma ||µ|| = |µ|(X), µ ∈ N(X). Então, C

  (X)

  com µ especificamente, a aplicação N(X) −→ C , µ −→ G Z

G (ϕ) := (X),

  µ ϕ dµ, ∀ϕ ∈ C

  X

é uma isometria linear sobrejetiva. Destaca-se que qualquer elemento positivo

  ∗

  (X)

  

f C (se ϕ ≥ 0 então f (ϕ) ≥ 0) está associado uma única medida positiva

boreliana finita µ sobre X. Demonstração. Veja , Capítulo 10, seção 2, p.150.

2.3.2 Convergências fracas e o Teorema de Banach-Alaoglu

  ∗

  Serão definidas agora a convergência fraca, convergência fraca , topolo-

  ∗ gia fraca e topologia fraca . n } ⊂ F converge fracamente a x F se

  Definição 2.3.5. Uma sequência {x ∗ lim f (x n .

  ) = f (x) para todo f F

  n−→+∞ n

Definição 2.3.6. Sejam {T } uma sequência de operadores lineares contínuos em

B (F 1 , F 2 ) e T : F

  1 2 linear. Diz-se que T n converge fracamente para T se

  −→ F

  | f (T n

  1

  ∗ .

  (x)) − f (T(x))| −→ 0 para todo x F e f F

  2 Como vimos a convergência fraca num espaço vetorial F é definida ∗ ∗

16 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  ∗ ∗∗

  em F via o bidual de F, F , onde identificamos os elementos de F com os

  ∗∗ ∗∗

  elementos de F através da seguinte aplicação ˆ: F −→ F que a cada ξ ∈ F

  ∗∗

  por associa-se ˆξ ∈ F

  ∗ ˆξ( f) := f(ξ), f F .

  ∗ n } ⊂ F

  Definição 2.3.7. Dado um espaço normado F, diz-se que uma sequência { f ∗ ∗ converge fracamente se a f F

  ∗∗

  lim ˆξ( f n ) = ˆξ( f ), ∀ ˆξ ∈ ˆF :=ˆ(F) ⊂ F

  n−→+∞ wonde denota-se f a f .

n −→ f para indicar que { f n } converge fracamente

  ∗

Definição 2.3.8. A topologia fraca em F é a topologia τ(F, F ) gerada pelos fun-

  ∗ cionais lineares em F .

  ∗ ∗ ∗ Definição 2.3.9. A topologia fraca em F é a topologia τ(F

  , ˆF), gerada pelos funcionais lineares em ˆF.

  ∗

  Um dos motivos para se introduzir a topologia fraca é o Teorema de Banach-Alaoglu. É bem conhecido que se dimF não é finita então a bola unitária fechada não é compacta na topologia usual induzida com a norma de F. No entanto,

  

Teorema 2.3.10. Capítulo 15, seção 2, p.108, Banach-Alaoglu] Se F é um

espaço normado, então a bola fechada B (0; 1) é um espaço topológico Hausdorff

  

F

compacto na topologia fraca .

  Usando os resultados até aqui obtidos, podemos observar que N =

  ∗ ∗

  

C (X) (via Teorema tal que B ∗ (0; 1) é compacta na topologia fraca

C (X)

(0; 1).

  C (X)

  pelo Teorema Como vimos no inicío desta subseção N ⊂ B

  ∗

  , pois dados µ

  n ∈ N tal que

  Além disso, N é fechada na topologia fraca

  w

  µ n −→ µ, temos que

  (I), mas

  • Se I : X −→ R dada por I(x) = 1, temos que G µ n µ

  (I) −→ G G (I) = 1.

  µ n (I) = 1, para todo n ∈ N, então G µ

  (ϕ) temos que G

  • Se ϕ ∈ C (X), ϕ ≥ 0 com G µ n (ϕ) −→ G µ µ n (ϕ) ≥ 0,

  ∀n ∈ N, logo G µ (ϕ) ≥ 0. Assim, µ ∈ N e portanto N é compacto na

  ∗ topologia fraca .

  2.4. Medidas invariantes

  17

  2.4 Medidas invariantes

  Seja novamente M uma variedade Riemanniana n−dimensional e X um t o fluxo gerado por X.

  } t∈R campo de vetores em M e {X

  

Definição 2.4.1. Dizemos que uma medida de probabilidade µ é invariante com

  (A)) = µ(A), para todo conjunto

  t } t respeito a {X t∈R ou X invariante se µ(X mensurável A e todo t ∈ R.

  

Observação 2.4.2. É possível mostrar que na definição a condição µ(X (A)) =

R R t

  ) ds = µ(A) é equivalente a s

  (g X g dµ, para todo s ∈ R e toda g

  X M (X) C (M(X), R). Para maiores detalhes ver Capítulo 9]. X o conjunto de medidas de probabilidades X-invariantes.

  Considere N

  X , podemos definir a medida, η t (A) =

  Note que para qualquer µ ∈ N µ(X t (A)) = µ(A), para todo A µ-mensurável e todo t ∈ R.

  = Assim η

  t X ⊂ N é fechado na topologia

  µ e temos também que N

  ∗

  fraca

  X é

  (conjunto de pontos fixos de um operador contínuo) portanto N

  ∗ compacto na topologia fraca .

  Dado um conjunto compacto Λ, X-invariante, dizemos que um subcon- Λ , é um subconjunto de probabilidade total de Λ se µ(Y) = 1 junto Y M para toda medida X-invariante µ no suporte de Λ.

  O resultado mais importante dessa subseção para este trabalho é a proposição que vem a seguir, ela será utilizada para demonstrar o Teorema

  Antes necessitamos da seguinte definição.

  é um cociclo sub- t

  Definição 2.4.3. Uma família de funções { f : M −→ R} t∈R aditivo sobre o fluxo X t em M se, para todo x M e todo t, s ∈ R temos f (x) + f (X (x)). t+s s t s

  (x) ≤ f

  , com t

  Lema 2.4.4. Seja φ : R × Γ → R uma função contínua subaditiva sobre X

  > 0 tal que Γ ⊂ M um conjunto compacto invariante pelo fluxo. Se existe T φ(T

  , x) < − log 2 para todo x ∈ Γ, então existem constantes c ∈ R e 0 < λ < 1 tal que φ(t, x) < c + t log λ para todo x ∈ Γ e t > 0.

  Demonstração.

  Demonstração Seja K = sup{exp(φ(t, x)); 0 ≤ t T , x ∈ Γ}. Sabemos que K é finito, pois exp(φ(t, x)) é uma função contínua (com- posição de funções contínuas) definida num compacto ([0, T

  ] × Γ) logo

  T −1

  > λ atinge máximo. Escolha λ ∈ (0, 1) tal que 2 e c ∈ R tal que

18 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  h i

  • T T

  r com

  Então, para todo x ∈ Λ e t > 0, podemos escrever t = nT

  =

  n = r < T .

  } = max{k ∈ Z : k T T . Daí temos que t nT Consequentemente,

  nT

  (x)) + φ(nT φ(t, x) = φ(nT , x)

  • e como

  r, x) ≤ φ(r, X

  φ(nT , x) = φ(T , x) | {z } ◦ ... ◦ T

  n fatores (n−1)T (n−2)T

  , X (x)) + φ(T , X (x)) + . . . + φ(T , x) ≤ φ(T

  iT n−1

  = Σ φ(T , X

  (x)) < −n log 2

  i=

  podemos escrever

  nT

  φ(t, x) ≤ φ(r, X (x)) − n log 2. Como K = exp φ(t , x ) para algum t ] e x

  ∈ [0, T ∈ Γ, temos log K =

  nT (x) nT

  ) pois 0 < r < T e X φ(t , x

  ) ≥ φ(r, X (x) ∈ Γ. Dessa forma obtemos, φ(t, x) ≤ log K n log 2 < c + r log λ − n log 2

  T T −1 −1

  e sendo 2 < λ , temos que log 2 < log λ log λ. Logo, ⇐⇒ − log 2 < T

  φ(t, x) < c + r log λ + nT log λ = c + (r + nT ) log λ = c + t log λ

  t uma família de funções contínuas t∈R Proposição 2.4.5. Seja { f : Λ −→ R}

f (x)

t

  =

  

subaditivas sobre X tais que lim inf f (x) < 0 em um subconjunto de

t

t

t−→∞

probabilidade total de Λ. Então existem constantes c > 0 e λ < 0 tais que, para

cada x ∈ Λ e todo t > 0 λt f (x)

t −1

2

e e

  ≤ c Para provar essa proposição necessitamos dos seguintes resultados au- xiliares.

  

Lema 2.4.6. Seja f R f dµ < λ para toda

  : Λ −→ R uma função contínua tal que

  

medida µ de probabilidade invariante, então para todo x ∈ Λ existe t(x) > 1 tal

que Z t (x)

  1

  f (X (x)) ds < λ

s

  (x)

  t

2.4. Medidas invariantes

  é a medida de Dirac em x. Note que µ

  i ⊂ A temos que

  ∞ S i=

  , ... ⊂ A disjuntos dois a dois, tal que

  1 , ..., A n

  (∅) ds = 0 e dados A

  X s (x )

  δ

  t Z t

  1

  (∅) =

  t

  é medida σ- aditiva, pois µ

  t

  19 Demonstração. Suponha que o lema seja falso, então existe x

  ∈ Λ tal que

  X s (x )

  δ

  t Z t

  1

  (A) =

  

t

  : A −→ R dada por µ

  t

  (x )) ds ≥ λ, para todo t > 0. Defina µ

  s

  (X

  t (x ) Z t (x ) f

  1

  (A) ds, onde A é a σ-álgebra Boreliana e δ x

1 A

  1 A i

  Temos que µ é invariante, já que, dado g C (Λ, R) (logo, g X

  (g X

  k−→∞ Z

  ) dµ = lim

  s

  contínua) e usando a definição de µ temos Z (g X

  s é

  

k −→ ∞.

  ) dµ

  µ, um ponto de acumulação da sequência, com t

  k−→∞

  −−−−→

  t k w

  1. Tome agora µ

  t Z t ds =

  s

  k

  (Λ) ds =

  = lim

  µ t

  ) du (2.3)

  s+u

  (X

  g

  1 Z t k

  u du (2.2)

  = lim

  ) ◦ X

  s

  (g X

  t k Z t k

  1

  k−→∞

  1

  X s (x )

  =

  t Z ∞ t X i=

  X s (x )

  i ) ds, (já que, δ

  (A

  X s (x )

  δ

  1

  1

  ∞ X i=

  =

  1 A i

ds

  X s (x ) [ i=

  δ

  t Z t

  1

  é medida σ-aditiva) =

  1

  δ

  Além disso, temos que µ

  t Z t

  1

  (Λ) =

  t

  é medida de probabilidade já que, µ

  t

  1 µ t (A i ).

  1

  ∞ X i=

  ) ds =

  i

  (A

  X s (x )

  δ

  ∞ [ i=

  t Z t

20 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  Note que a igualdade em vem do fato de que Z Z t Z t k k

  1

  1 =

  χ A dµ t µ t (A) = δ k k X (x) (A) ds = χ A (X s (x)) ds, s

  t k t k

  ( 1, se x A pois δ

  X (x) (A) = χ A (X s (x)) onde χ A (x) = s

  0, caso contrário é chamada de função característica de A. Assim, sendo ϕ uma função mensurável, usaremos

  1 , ..., A n

  , ... ∈

  Proposição 2.4.7. Se ϕ : X −→ [0, +∞] é mensurável, então existem A P ∞ 1 , ..., α n α i χ A .

  A (não disjuntos em geral) e α , ... ≥ 0 números reais tais que ϕ = i

  1 i= Demonstração da Proposição Proposição 3.1.6] páginas 48 e 49. Z Z ∞ ∞ Z ∞ Z t Desse modo verificamos a validade da igualdade em , pois X X X k

  1 = = =

  ϕ dµ t α i χ A dµ t α i χ A dµ t α i χ A (X s (x)) ds k i k i k i

  t k Z Z i= 1 i= 1 i=

  1 tt k k X

  1

  1 =

  α i χ A (X s (x)) ds = ϕ(X s (x)) ds. (2.4) i

  t t k k i=

  1 +

  , onde − ϕ

  Para ϕ : X −→ R mensurável, usamos o fato de ϕ = ϕ +

  ±

  ϕ : X −→ [0, +∞] são mansuráveis e definidas como ϕ (x) = max{ϕ(x), 0}

  −

  e ϕ (x) = max{−ϕ(x), 0}. Assim, usando a linearidade da integral e obtemos que Z Z Z Z t Z t k k +

  1

  1

  • +

  −

  = = ϕ dµ t ϕ dµ t ϕ dµ t ϕ (X s ϕ (X s (x)) ds k k k (x)) ds Z Z t k t k

  t t k k

  • + 1

  1

  −

  = (ϕ (X s (X s (x))) ds = ϕ(X s (x)) ds. (2.5)

  (x)) − ϕ

  t t k k

  Voltando para a equação , podemos escrever Z Z

  t t k k

  1

  1 lim g (X ) du = lim [g(X ) + g(X )] du

  s+u u u s+u

  ) − g(X

  k−→∞ t k−→∞ t k k Z t Z t k k

  1

  1 = lim (X ) du + lim ) + g(X )) du.

  g u u s+u

  (−g(X

2.4. Medidas invariantes

  R R

  21 t t k k

  Como g (X ) du = g (X ) du, podemos escrever

  s+u u

Z t Z t Z t

k k k s !

  1

  1 = lim ) + g(X )) du = lim g (X ) du + g (X ) du

  u s+uu u

  (−g(X

  k−→∞ k−→∞ t k t k

Z s Z t Z t Z t s

k k k + s !

  1 =

  ) du

  = lim g (X g (X ) du + g (X ) du + g (X ) duu u u u

  k−→∞ t k Z Z ! s s t k + s t s k

  1 = lim g (X ) du + g (X ) du

  − u u .

  k−→∞ t k t k

  := sup , lembrando que g é

  u || |g X u

  Usando a norma ||g X ∞ (x)| ≤ ||g|| ∞

  xM(X)

  é finito), s é constante e t k −−−−→ ∞, contínua e M(X) é compacto, (logo ||g|| ∞

  k−→∞

  ficamos com Z t Z s Z t s k k + !

  1

  1 = lim u ) + g(X s+u )] du lim g (X u ) du + g (X u ) du

  − [−g(X

  k−→∞ k−→∞ t k t k Z s Z t s + t k k !

  1

  • k−→∞

    k

  g (X u ) du g (X u ) du

  ≤ lim

  |t | t k ! Z s Z t s + k

  1 g(X u ) du + g(X u ) du ≤ lim

  

k−→∞

k

  |t | t Z s Z s k !

  1

  du

  ≤ lim ||g||

  ∞ du + ||g|| ∞

k−→∞

k

  |t | 2||g|| ∞ · s

  = lim = 0.

  

k−→∞

k

  |t | E assim, concluímos que µ é invariante, pois Z Z t Z Z k

  1 = = ) dµ = lim g (X ) du lim g dµ g dµ.

  s u k

  (g X

  k−→∞ |{z} k−→∞ t k por

   Como f é contínua, Z Z Z t (x ) k

  1 =

  f dµ = lim f dµ t lim f (X s (x k )) ds ≥ λ. k−→+∞ k−→+∞ t (x )

k

  Essa contradição com a suposição R f dµ < λ finaliza a demostração do

22 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  Note que durante a demonstração do Lema e do Teorema

  Corolário 2.4.8. Seja f

  : Λ −→ Λ uma transformação contínua num espaço

  

métrico compacto. Então existe pelo menos uma medida de probabilidade em Λ

que é f -invariante.

  Preparando ainda as ferramentas para a demonstração da Proposição temos o seguinte resultado:

  

Corolário 2.4.9. Seja f R f dµ < λ para

  : Λ −→ R uma função contínua tal que

  

toda medida µ de probabilidade invariante. Então existe T > 0 tal que, para todo

t T, temos Z t

  1

  f (X s (x)) ds < λ, ∀x ∈ Λ. t Demonstração.

  Pelo lema temos que para cada x ∈ Λ existe t(x) > 1 e Z t (x) (X

  ε(x) > 0 tal que f s (x)) ds < t(x)(λ − ε(x)).

  s (y)

  Como f é contínua e ψ : [0, t(x)] × Λ −→ Λ definida por ψ(s, y) = X )(y) varia continuamente com y.

  s

  é uniformemente contínua então ( f X Assim existe U x

  x temos

  vizinhança de x tal que para todo y U

  (x) Z t f (X s (y)) ds < t(x)(λ − ε(x)).

  Pela compacidade de M, podemos obter uma cobertura finita, digamos e defina T = ), ..., t(x ), ..., ε(x

  U x x M

1 ∪ ... ∪ U n max{t(x )} e ε = min{ε(x )}.

1 n 1 n

  Considere agora T k : M(X) −→ [0, ∞) definida por indução do seguinte modo

  T (x) = 0 T 1 i x

  (x) = min{t(x ); x U i , i = 1, ..., n}

  T k+ 1 (x) = T k (x) + T 1 (X T (x) (x)). k

  (x), pois

  k k+

  1 Assim para cada x M e t ≥ 0 existe k tal que T (x) ≤ t T

2.4. Medidas invariantes

  (x)) ds. Sabe-se que

  Observe agora o que ocorre com

  R t f (X s (x)) ds onde T k

  (x) < t T

  k+ 1 (x): t Z f (X s (x)) ds =

  T k (x) Z

f (X s (x)) ds +

  Z t T k (x) f (X s (x)) ds.

  Como vimos que

  T k (x) R f (X s

  (x)) ds T

  k

  (x)(λ − ε), resta observar o que ocorre com

  R t T k (x) f (X s

  Z t T k (x) f (X s

  )(λ − ε(x)) ≤ T

  (x)) ds ≤ sup

  T k (x)≤st

  | f (X s (x))|(t T

  k

  (x)) ≤ || f || (T

  k+

  1

  (x) − T

  k

  (x) | {z } = T

  (X (x))

  ) ≤ || f ||

  T M

  k (x)(λ − ε).

  23 Vamos analisar inicialmente o que ocorre com R T k (x) f (X s (x)) ds. Pela

  definição de T

  1 (X T k−1 (x) (x)), assim T k (x) Z f (X s (x)) ds = k−1 X i=

  k

  (x) podemos escrever T

  k

  (x) = T

  1

  (X

  T 1 (x)

  (x)) + T

  1

  (X

  T 2 (x)

  (x)) + ... + T

  T i+ Z 1 (x) T i (x)

f (X s (x)) ds =

k−1 X i=

  )) du

  T i (x)+T 1 (X Ti(x)

  (x)) Z T i (x) f (X s (x)) ds

  =

  k−1 X i= T 1 (X

  Ti(x) (x)) Z f

  (XT i (x) + u | {z } = s (x)) du.

  Denotando x

  i

  =

  X T i (x)

  (x) ficamos com

  T k (x) Z f (X s (x)) ds = k−1 X i=

  T Z 1 (x i ) f (X u (x i

  k−1 X i= T 1 (x i

24 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  Deste modo temos que Z t

  

f (X s k T M

  (x)) ds T (x)(λ − ε) + || f || ! T (x) T M

  k || f ||

  =

  t

  (λ − ε) +

  t t ! T

  || f || Mt . λ − ε +

  t T T M M

  || f || || f ||

  Daí para t > (ou seja, < ε) temos,

  t ε Z t f (X s (x)) ds tλ, ∀x M(X).

  Um resultado forte de que vamos precisar é o seguinte.

  Teorema 2.4.10. Teorema Ergódico Subaditivo] Seja

  (M, A, µ) um espaço

  ∞ n

  }

  

de probabilidade e seja µ uma medida invariante por T : M −→ M. Seja { f i=

  1 uma sequência de funções mensuráveis f n

  : X −→ R ∪ {−∞} que satisfazem as

  condições: R

  1

  1

  • + (µ) := LfL

  | f | dµ < (X, A, µ) = { f : X −→ C; f é mensurável e

  • + 1

  = ∞}, onde f max{0, f };

  1 n f (subaditividade com respeito a T) .

  • Para cada k, n ≥ 1, f k+nf n kT

  Então existe uma função mensurável f

  : X −→ R ∪ {−∞} tal que

  1

  • + 1

  =

  f f n f e

  ∈ L (µ), f T = f, lim

  n−→∞

Z Z Z

n

  1

  1 lim f n dµ = inf f n dµ = f dµ.

  n n−→∞ n n

2.4. Medidas invariantes

  25 t é família de funções mensurável subaditiva sobre o fluxo X t

  } t∈R Se { f

  • + 1

  e µ é medida de probabilidade X-invariante que satisfaz sup f (µ), ∈ L

  t 0≤t≤1

  então na versão acima do Teorema Ergódico Subaditivo podemos substituir

  1

  1 t para obter f t R f t R f dµ =

  −→ f e

  n ∈ N por t ∈ [0, +∞) e T por X dµ −→ t t

1 R f t inf{ dµ, t > 0}.

  t Agora estamos prontos para provar a proposição

  Demonstração da Proposição

  Temos por hipótese que f (x) < 0 em µ −

  

q.t.p (isto é, µ({x M(x); f (x) ≥ 0}) = 0) para qualquer medida µ-invariante

  em um conjunto de probabilidade total, pelo Teorema Ergódico Subaditivo

  f (x) f (x) t t

  = sabemos que lim inf f (x) = lim em um conjunto de proba-

  t−→+∞ t−→+∞ t t R f t bilidade total e dµ < 0 para toda medida invariante µ.

  R f dµ = lim

  t−→+∞ t

  • + Portanto existe t(µ) ∈ R tal que para t t(µ) Z Z

  f t

  1 dµ < f dµ < 0.

  t

  2

  f t

  Como para a função contínua : M(X) −→ R temos que a função G : Z t f t

  ∗ dη é também contínua na topologia fraca ,

  A −→ R dada por G(η) :=

  t como foi mostrado na seção

  Desse modo, existe U

  X ⊂ N tal que µ vizinhança aberta de µ ∈ N

Z Z

! f t

  1

  1 (η) =

  

G dη < f dµ

  • + t

  2

  2 X e U tais que

  µ

  Assim, para cada µ ∈ N , existem t(µ) ∈ R Z Z

  f t

  1

  dη < f dµ, ∀η ∈ U µ , e t t(µ).

  4

  t

  X X

  Deste modo temos que {U µ } µ∈N X é uma cobertura aberta de N

  e, como N

  ∗

  é compacto na topologia fraca

  X admite subcobertura finita, digamos

  , N U . , ..., U

  µ 1 µ n

  Seja t(i) = ti ) para t = 1, ..., n (podemos assumir sem perda de genera- lidade que t(i) > 1) e defina Z ) ( 1 λ = max f dµ i < 0.

26 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  s

  Ls

  s (x) + k−2 X j= f L (X jL+s (x))

  (x))) ≤ f

  s

  (X

  (k−1)L

  (X

  

Ls

  (x)) + f

  (X

  (k−1)L+s

  (k−1)L

  (x) + f

  (X s (x)) ≤ f s

  (k−1)L+Ls

  (X s (x)) = f s (x) + f

  s (x) + f kLs

  (x) ≤ f

  f kL (x) = f s+kLs

  (x)), então para todo 0 ≤ s L temos

  jL

  (X

  (x)). (2.6) Integrando ficamos com

  L

  

xM(X)

  s (x)) ds + 2B.

  (X

  f L

  1

  (k−1)L

  (x) ≤ Z

  f kL

  (x)| < ∞. Assim,

  t

  | f

  sup

  L f kL (x) = Z L f kL

  t∈[0,L]

  é uma família de funções contínuas sobre uma varie- dade compacta, temos que B = sup

  t } t∈R

  Sabendo que { f

  (k−1)L+s (x)) + f s (x)) ds.

  (X

  Ls

  ( f

  j=

f L (X jL+s (x)) ds +

Z L

  (x) ds Z L k−2 X

  (X

  k−1 P j= f

  Em particular, para toda medida invariante µ, existe algum i tal que µ ∈ U

  1

  1

  (x)) dµ =

  jt (i)

  (X

  f t (i)

  (i) Z

  t

  1

  k k−1 X j=

  f kt (i) dµ ≤

  1

  (i) Z

  kt

  1

  dade e o fato de que µ é invariante, obtemos para qualquer k inteiro positivo

  f dµ i < λ). Usando a subaditivi-

  4 Z

  1

  f t (i) t (i) dµ <

  e R f t (i) dµ < λt(i), (pois Z

  µ i

  k k−1 X j=

  t

  (x) ≤

  (x) dµ <

  kL

  Como f

  1 L f L (X s (x)) ds < λ.

  t Z t

  1

  , temos que existe algum T tal que para todo t > T e qualquer x M(X), temos:

  f L L

  Assim, se L = t(1)t(2) · · · t(n) então R f L dµ < λL e pelo Corolário aplicado as funções contínuas

  t (i) · λt(i) = λ.

  1

  t (i) Z f t (i)

  (i) Z

  1

  =

  k · k t (i) Z f t (i) (x) dµ

  1

  t (i) Z f t (i) (x) dµ =

  1

  k k−1 X j=

  1

  (x) dµ ≤

  f t (i)

  • f

  2.5. Expoentes de Lyapunov e Teorema Ergódico Multiplicativo

  27 Em particular, f kL (x) ≤ L(k − 1)λ + 2B se (k − 1)L > T.

  Considere agora t T + 2L. Escrevendo t = kL + s, onde s ∈ [0, L), temos f (x) + f (X (x)). Assim, f

  t kL s kL t

  (x) ≤ f (x) ≤ L(k − 1)λ + 3B, Uma vez que t = kL + s > T + L + L, então kL > T + L, ou seja (k − 1)L > T (e

  t = kL + s > (k − 1)L), assim

  (x)

  f t L

  3B

  3B (k − 1)λ λ + .

  • t t t t

  3B λ

  6B

  6B Note que . Portanto, tomando K = max T

  • t ≤ −

  2L, se, e só se, t

  2 −λ

  −λ obtemos para todo x M(X) e t K, λt

  f t (x)

  3B λ λ

  f (x) t 2

  = λ + , o que garante que e . λ − ≤ e

  t t

  2 n o

  2 λt λt

  f (x)− f (x)− −1 s s −1

2

2

  = Por fim, defina c sup e . Daí obtemos e , ou

  , 1 ≤ c λt s∈[0,K], xM(x) f (x) t

  −1 2 −1

  seja, e ec

  ≥ 1 então λt para todo s ∈ [0, K] e todo x M(X). Como c

  f (x) t −1 2 e e

  ≤ c para todo t > 0 e todo x M(X), o que concluí a prova da proposição.

  2.5 Expoentes de Lyapunov e Teorema Ergódico Multiplicativo

  O seguinte Teorema é uma vasta generalização da idéia de diagonaliza- ção de um operador linear. Ele garante que o produto de uma sequência infinita de operadores lineares é assintoticamente próximo de um opera- dor diagonalizável, se os operadores lineares forem escolhidos de maneira aleatória. Para formalizar esta idéia, consideremos uma função A : M −→

  k

GL (R

  ), que associa a cada ponto x no espaço de probabilidade (M, A, µ) o operador linear A(x), e a transformação T : M −→ M que preserva µ (isto

  −1

  é, µ é medida de probabilidade T-invariante; µ(T (E)) = µ(E) para todo E ∈ A).

  Teorema 2.5.1. Capítulo 4, Teorema Ergódico Multiplicativo] Seja T uma transformação invertível mensurável invariante de um espaço de probabilidade + k

  ) uma função mensurável com log ||A(x)|| ∈

  (X, A, µ). Seja A : X −→ GL(R

  • +

    +

  1

  1

  1 −1

  =

  L (µ) e log (µ), onde log (µ) o conjunto das

  ||(A(x) || ∈ L max{0, log} e L

28 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  k em subespaços para cada x R existe uma decomposição em soma direta de R k (1) (2) (s(x))

  R =

  W (x) com

  (x) ⊕ W (x) ⊕ ... ⊕ W

  (i) n−1

  lim x (x) log ||A(T ) ◦ ... ◦ A(Tx) ◦ A(x)(v)|| = λ

  n−→∞ (i) (i) −1 −n −1 e lim x x )) (x).

  log ||(A(T ) ◦ ... ◦ A(T (v)|| = −λ (x) se 0 , v W

  n−→∞ (1) (i) (i)

  (x) = W

  A função λ (x) , −∞ e A(x)W (Tx) se i s(x). Demonstração. Consultar .

  Vamos necessitar de uma versão deste resultado para fluxos. Para isso consideramos um “cociclo multiplicativo linear” como segue. Seja A : E ×R −→ E uma função mensurável de Borel dada pela coleção de bijeções linear.

  A t (x) : E x

X (x)

  −→ E t , x M, t ∈ R, onde M é o espaço base (nós assumimos que é uma variedade) de E fibrado vetorial de dimensão finita. Supomos que A t (x) satisfaz as propriedades de cociclo sobre X

  t A (x) = Id, A (x) = A (X t+s t s s

  (x)) ◦ A (x), x M, t, s ∈ R,

  t o fluxo suave sobre M. Notamos que para cada t > 0 fixo a

  } t∈R com {X função A (x) é um isomorfismo.

  t x x t x

  X

  : E −→ E, vE 7−→ A (x) · vE t Assumamos que em cada fibrado E está definido um produto interno

  x

  que depende suavemente da fibra (análogo a uma métrica Riemanni- <, > x ana do fibrado tangente de uma variedade).

  O exemplo natural de cociclo multiplicativo linear ao longo de um fluxo X t em uma variedade é a derivada do fluxo, A t (x) = DX t (x) sobre o fibrado tangente TM de uma variedade compacta de dimensão finita

  

M , pois A (x) = DX (x) = x = Id e A t+s (x) = DX t+s (x) = D(X t (X s (x))) =

DX (X (x) = A (X t s s t s s (x)) ◦ DX (x)) ◦ A (x), x M, t, s ∈ R.

  Vamos utilizar um exemplo concreto dessa estrutura, o cociclo derivado

  A (x) = DX restrito a subfibrado contínuo e DX

t t |E x t −invariante do fibrado

tangente TM dado por E.

  Teorema 2.5.2. Capítulo 3, Teorema Ergódico Multiplicativo] Sejam (X ) t t∈R

um fluxo sobre M com probabilidade µ, Xinvariante e A cociclo linear multi-

plicativo sobre X t definido num fibrado vetorial E sobre M que satisfazem
  • + 1

  sup log (M, µ).

  ||A t || ∈ L

2.5. Expoentes de Lyapunov e Teorema Ergódico Multiplicativo

  29 s (x)

  1

  =

  Então existe decomposição E x E definidas para µ-quase todo

  ⊕ · · · ⊕ E x

  x ponto x tal que s (x) e os expoentes de Lyapunov

  1

  i X (x) = lim

i t \ {~0}, i = 1, · · · , s(x)

  log ||A (x) · v||, v E x

  t−→±∞

  |t|

  

são funções mensuráveis, limitadas e Xinvariantes. Além disto, dado subcon-

juntos disjuntos e não vazios I, J ⊂ {1, · · · , s(x)} temos

  1 j

  i lim E E )) = 0. iI jJ x

  log sin ∡((⊕ x ), (⊕

  t−→±∞

  |t| De acordo com o Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets , no caso particular de A t (x) = DX t E temos sup t

  | x log ||A (x)|| função limitada

  −1≤t≤1

  de x ∈ Λ, logo existe um subconjunto R de Λ com probabilidade total de tal forma que para todo x R, existe uma decomposição =

  E x E 1 s (x) (x) (2.7)

  (x) ⊕ · · · ⊕ E que é DX

  tinvariante e os seguintes limites existem, e são conhecidos como

  os expoentes de Lyapunov em x ao longo de E

  1 (x) = lim (2.8)

  λ i t log ||DX (x) · v||,

  t−→±∞ t i

  para todo v E (x) \ {0}, i = 1, ..., s(x). Ordenamos esses números de modo crescente, ou seja, λ

  1 s (x) (x). Um destes subfibrados é dado pela

  (x) < · · · < λ direção do fluxo (em pontos não singulares do fluxo) e o correspondente

  t t

  expoente de Lyapunov é zero, já que ||DX (X(x))|| = ||X(X (x))|| e portanto

  1

  1 t t

  log ||DX (X(x))|| = log ||X(X (x))|| −−−−−→ 0, para x R não singular, pois

  t t t−→±∞

  ||X(X t (x))|| é limitado (função contínua definida num compacto).

  As funções s e λ são mensuráveis e invariantes pelo fluxo, ou seja,

  i s (X t (x)) = s(x) e λ i (X t (x)) = λ i

  (x) para todos os x R e t ∈ R. A decom- posição também depende mensuravelmente do ponto base x R. Se F é um subfibrado invariante mensurável de TM então, por “ex- poentes de Lyapunov de F” entenderemos os expoente de Lyapunov dos vetores não nulos em F.

  Observemos que o Teorema Ergódico Multiplicativo Oseledets garante a existência de expoentes de Lyapunov em um subconjunto R ⊂ Λ de probabilidade total e prevê a seguinte propriedade para os expoentes

30 Capítulo 2. Resultados Auxiliares

  Para qualquer par de subconjuntos disjuntos I, J ⊂ {1, ..., s(x)}, o ângulo L L entre os espaços E (x) = E (x) e E (x) = E (x) cresce subexponen-

  I i J j iI jJ

  cialmente ao longo da órbita de todo ponto regular x, isto é

  1 lim (X (x)), E (X log sin ∠(E

  I t J t

  (x))) = 0, x R

  t−→±∞ t

  o que implica, em particular, que para qualquer par i, j ∈ {1, ..., s(x)} com

  i , j e v i i j j

  ∈ EE (x)\~0, v (x)\~0

  1 lim (x) + λ (x)

  t | i j

  log | det(DX ger{v i ,v j } )| = λ

  t−→±∞ t

  e v . De fato, como

  i , v j } é o espaço gerado entre os vetores v i j

  onde ger{v

  t t i t j i , v j ) temos que

  | det(DX | ger{v i ,v j } · v || · ||DX · v || sin ∠(v )| = ||DX

  )

  t | ger{v ,v t · v i || + log ||DX t · v j || + log sin ∠(v i , v j

  log | det(DX i j } )| = log ||DX e esta expressão quando dividida por t, converge para λ (x) + λ (x) quando

  i j t tende para +∞ ou −∞.

  

Capítulo 3

Exemplos

  Apresentamos aqui a construção detalhada dos exemplos mencionados na Introdução.

3.1 O exemplo com conjunto invariante pontual

  1 Exemplo 3.1.1. Considere uma singularidade tipo-Lorenz σ para um fluxo C , t , sobre uma 3-variedade M, isto é, σ singularidade hiperbólica de tipo sela

  {X } t∈R

  tal que os autovalores de DX (σ) são reais e satisfazem

  λ

  2 < λ

  3 3 < λ 1 .

  < 0 < −λ

  • 1 λ

    2 > 0.

  Imponha ainda uma condição extra: λ

  Seja E o autoespaço associado ao autovalor λ , i = 1, 2, 3, e faça E = E e i i

  3 F = E

  1 2 .

  ⊕ E

  Então, a decomposição é trivialmente contínua, pois Λ = {σ} é apenas um

32 Capítulo 3. Exemplos

  

1 concluímos que E é uniformemente contraído e F expande área uniformemente,

ou seja, F é seccionalmente expandido, mas a decomposição não é dominada, pois

podemos considerar sem perda          

  λ

  

1

DX (σ) = 0 λ      

  2

  0 λ

  3

  3 At daí temos que X (u) = e u onde A = DX (σ) e u = (u , logo t 1 , u 2 , u

  3     ) ∈ R

t

  

λ

1

       

  λ

  1 e u

  1 At t     λ 2    e u DX t u = λ

  2 2 .

  (σ) · u = Ae   ·   t       

  λ 3

  λ

  3 e u

  3

  (0, 0, v

  Tomando v =

  3 2 , 0) em E 2 , ou seja, w =

  ) ∈ E e w = (0, w 0 + w ∈ =

  E

  1

2 F temos que

  ⊕ E

  t t )t λ 3 −λ 2 (λ 3 −λ 2

  ||DX t

  3 |·||v||e 2 |·||w||e 3 |·|λ 2 |·||v||·||w||e

  (σ)·v||·||DXt (σ)·w|| = (|λ )·(|λ ) = |λ

  como λ

  3 2 > 0 temos que a decomposição é não dominada e isso ocorre porque

  − λ F admite vetores mais fortemente contraídos do que aqueles de E. No exemplo acima, temos expansão seccional e contração uniforme ao longo dos subfibrados de uma decomposição contínua, mas a decom- posição não é dominada.

  Este exemplo envolve um conjunto invariante trivial: um ponto de equilíbrio. Mas como mencionamos na introdução, há situação de con- junto compacto invariante com singularidades acumuladas por órbitas regulares. Um exemplo disso é o campo de vetores que será construído abaixo.

3.2 O exemplo com dupla conexão homoclínica

  Como passo inicial para a construção do campo de vetores sobre o plano

2 R

  com uma conexão de dupla sela homoclínica que expande volume, considere inicialmente o seguinte sistema

  ′

  = ( x y

  (3.1)

  3 ′

  =

  y

x x

  3

  ) temos que Sendo o campo f (x, y) = (y, x x

  ( y = 0

  f

  3

  (x, y) = 0 ⇐⇒

3.2. O exemplo com dupla conexão homoclínica

  33 Logo as únicas singularidades do campo são (−1, 0), (0, 0) e (1, 0), e sabendo

  que ! ! 1 0 1 (x, y) =

  D f 2 =⇒ D f (0, 0) =

  1 0 1 − 3x

  2

  portanto det(D f (0, 0) − λId) = 0 ⇐⇒ λ − 1 = 0, ou seja, λ = ±1 o que mostra que a origem é uma singularidade hiperbólica. Note também que 4

  1

  2 2 xHH

f (x, y) = ( ) se H(x, y) = (y ). Assim se s(t) = (x(t), y(t)) é

  • 2

  − x , −

  2 ∂yx

  solução de então

  dHH

  3

  3 ′ ′

  )y = 0. · x · y = −(x x

  (H s)(t) = )y + (x x

  • dtxy

  Portanto, H é constante nas soluções de Logo as soluções do sistema estão contidas nas curvas de nível de H. Tome então a curva de nível zero 4

  2

  2 2 x

  • 2 0}. Tomando y = 0 obtemos

  = de H, ou seja, W : y = {(x, y) ∈ R − x

  √ 2, 0) e os pontos de interseção dessa órbita com o eixo dos xx: (0, 0), (−

  √ ( 2, 0).

  Figura 3.1: Gráfico da função H Figura 3.2: Curvas de nível zero (H=0)

  Considere um ponto P , (0, 0) à direita da origem, pertencente à curva

  W

  . Como as únicas singularidades do campo são (−1, 0), (0, 0) e (1, 0), temos que a velocidade da solução s(t) do sistema, que passa por P, não se anula. Sendo esta solução uma curva contida em W

  \ {(0, 0)}, vemos que para o passado ou para o futuro a trajetória de s(t) converge para a origem que é uma sela. Desse modo temos pelo Teorema da Variedade Estável

  s u que W (0, 0) = W (0, 0).

  Observe que o campo f é simétrico pois, f (−(x, y)) = f (−x, −y) =

  3

  3

  (−y, −x + x ) = −(y, x x ) = − f (x, y). Logo os resultados obtidos à di-

34 Capítulo 3. Exemplos

  simetricamente. Assim, a órbita que passa na origem, W , é uma dupla conexão homoclínica, o “oito” que podemos ver na Figura 1.5 1

  • -0.5

  0.5 -1.5 -1 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Figura 3.3: Curvas de nível da solução do sistema

3.2.1 Perturbação do campo

  De posse dessas informações vamos perturbar o sistema de modo a obter o campo desejado. Considere µ ∈ R e tome

  ′

  = ( x y

  (3.2)

  3

  2 ′

  =

  • 3

  y

  µy yx

  x x

  • µ µy yx

  2 Deste modo temos agora f ), mas as únicas

  (x, y) = (y, x x

  singularidades do campo ainda são (−1, 0), (0, 0) e (1, 0) pois, ( y = 0

  f µ

  3

  (x, y) = 0 ⇐⇒ =

  x x

  e mais, a origem continua sendo singularidade hiperbólica, já que ! ! 1 0 1 (x, y) = (0, 0) =

  D f µ

  2 2 =⇒ D f µ

  1 µ − 2xy µ − x 1 − 3x portanto, det(D f

  µ (0, 0) − λId) = 0 se, e só se, −λ(µ − λ) − 1 = 0, ou seja, p

  2

  4

  • µ

  µ ±

  2

  não intersecta o −λ(µ − λ) − 1 = λ − µλ − 1 = 0 logo, λ =

  2

3.2. O exemplo com dupla conexão homoclínica

  p p

  35

  

2

  2 p

  4 µ

  4 µ −

  • µ + µ

  2

  µ

  1

  2

  • = = 4 > µ portanto, λ e λ têm sinais

  2

  2 contrários. Observe também que se s(t) é solução de temos que

  d

  (H s)

  

′ ′

  =

  • x y

  H H

  · x · y

  dt

  3

  3

  2

  = )

  • 2

  (−x + x )y + y(x x µy yx

  

2

  = y ).

  (µ − x

2 Caso y , 0 e µ − x > 0, (H ◦ s)(t) é crescente, e decresce caso y , 0 e

  2 u

  < 0. Logo sobre as órbitas de que pertencem a W (0, 0) vamos ter µ − x

  dH s

  > 0 e H(0, 0) = 0; e sobre as órbitas que pertencem (H s) > 0, pois

  dt s dH s

  a W < 0 e H(0, 0) = 0.

  (0, 0) vamos ter (H s) < 0, pois

  dt

  

3.2.2 Obter dupla conexão homiclínica para singularidade

na origem

  Vamos agora assumir que µ ≥ 0. Considere inicialmente µ = 0. Como

  d

  (H s)

  2

  2

  2

  2

  =

  y x < 0 para todo x e todo y, tal que xy , 0, então

  (µ − x ) = −y

  dt

  a órbita da variedade instável deve estar no interior de W onde o valor de

  

H é menor que zero. Além disso, as órbitas devem cruzar o eixo dos xx,

  3

  2 ′ ′

  = = pois quando y > 0 temos x y > 0 e yyx < 0 para y > 0 e

  x x

x > 1. Entretanto, sobre o eixo dos xx no intervalo (0, 1) o campo é vertical

3 ′

  = apontando para a direção positiva do eixo dos yy, pois y > 0,

  x x

  para 0 < x < 1 e no intervalo de (1, +∞) o campo é vertical apontando para

  3 ′

  = parte negativa do eixo dos yy, pois o y

  x x < 0 para 1 < x < +∞.

  Mais precisamente, considere t

  1 o primeiro tempo que a órbita que

  passa por P intersecta o reta x = 1, assim s(t

  1 ) = (1, y(t 1 )) com y(t

  1

  ) ≥ 0; veja a Figura Se y(t ) = 0 então s(t ) atinge o eixo dos xx. Se y(t ) > 0, então

  1

  1

  1 ′ x (t

  • 1 ) = y(t

  1 ) > 0 e para t > t 1 ǫ, ǫ > 0 pequeno, temos que x(t) > 1 + a

  para algum a > 0 pequeno. Portanto,

  3

  2

  3

  3 ′ y

  = −b < 0 (t) = x(t) − x (t) − y(t)x (t) ≤ x(t) − x (t) ≤ (1 + a) − (1 + a)

  • 1

  1 1 ǫ)) para t > t 1 ǫ e

  ǫ e y(t) > 0. Logo y(t) − y(t ǫ) ≤ −b(t − (t

  • para t > t

  y (t) > 0, assim existe t 2 > t 1 tal que y(t 2 ) = 0 e s(t 2 ) = u(0) atinge o eixo dos

  √

  d

  (H s)

  xx . Observe que em qualquer um dos casos x(t 2 ) < 2, pois < 0 o dt

36 Capítulo 3. Exemplos

  Por outro lado as órbitas da variedade estável devem estar em curvas de nível de H com valor positivo. E fazendo uma análise similar ao que foi feito acima, só que agora considerando o tempo para o passado, isto é,

  

t negativo e decrescente, teremos de forma análoga que a órbita intersecta

  o eixo dos xx (no ponto que chamaremos v(0)), onde v(0) é um ponto com √ abscissa maior que 2, como na Figura

  

s u

  Figura 3.4: Órbita da W (0, 0) e da W (0, 0) do campo f (x, y)

  d (Hs)

  2

  2

  = Considere agora o caso µ = 2. Daí temos que y ) > 0

  (µ − x

  dt

  2

  sempre que 2 > x . Logo, a órbita da variedade instável deve estar na região onde H > 0 (parte exterior de W ). Além disso, está órbita cruza o eixo dos xx, pois ela é crescente quando y > 0 e 0 < x ≤ 1, já que temos

  √

  3

  2 ′ ′ ′

  = =

x y > 0 e y > 0 e decresce para x > 2, pois y < 0.

  x x 2y yx

  Dessa forma, considere t o primeiro tempo que a órbita que passa por P

  1

  √ √

  ∗ ∗ ∗ ∗

  intersecta o reta x =

  2. Assim s(t ) = ( 2, y(t )) com y(t ) = 0 ) ≥ 0. Se y(t

  1

  1

  1

  1

∗ ∗ ′ ∗ ∗

  então s(t ) = u(2) atinge o eixo dos xx. Se y(t ) > 0, então x (t ) = y(t ) > 0 e

  1

  1

  1

  1

  √

  ∗

  para t > t 2+a para algum a > 0 pequeno. Portanto, ǫ temos que x(t) >

  • 1

  3

  2 ′

  (t)

  y

  (t) = x(t) − x (t) + 2y(t) − y(t)x

  3

  2

  =

  x (t)) y (t)

  (t) − x (t) + (2 − x | {z }

  <0

  3

  (t) ≤ x(t) − x

  √ √

  3

  2 + a) ≤ ( = −c < 0 2 + a) − (

  ∗ ∗ ∗ ∗

  • 1

  ǫ)) para t > t ǫ ǫ e y(t) > 0. Logo, y(t) − y(t ǫ) ≤ −c(t − (t

  • para t > t

  1

  1

  1 ∗ ∗ ∗ ∗

  e y(t) > 0, e assim existe t tal que y(t ) = 0 e s(t ) = u(2) atinge o eixo > t

  2

  1

  2

  2

3.2. O exemplo com dupla conexão homoclínica

  37 Para este mesmo valor de µ, as órbitas da variedade estável devem estar

  no interior de W e pelo mesmo raciocínio, considerando o tempo para o passado, concluímos que essas órbitas também intersectam o eixo dos xx (no ponto v(2)), como na Figura

  s u

  Figura 3.5: Órbita de W (0, 0) e da W (0, 0) do campo f

  µ (x, y), µ ≥ 2

  Assim entre µ = 0 e µ = 2 existe algum valor µ , onde as órbitas das variedades estável e instável se intersectam sobre o eixo dos xx, pois sabemos que as variedades estável e instável variam continuamente com a equação diferencial; neste caso, variam continuamente com o parâmetro µ como consequência do Teorema da Variedade Estável para singularidades hiperbólicas de campos de vetores.

  Para µ = 0, temos que u(0) − v(0) < 0 e, para µ = 2, temos que u(2) −

  

v (2) > 0. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe µ tal que

  (µ ) = v(µ ) e, pelo Teorema de Existência e Unicidade de Soluções, as

  u

  órbitas coincidem e temos que a variedade estável é igual à instável: uma órbita homoclínica W , que denotaremos por simplicidade de W.

  µ

  3

  2

  3

  • µ

  2 Uma vez que f

  ) = −µy+yx µyyx

  (−(x, y)) = (−y, −x+x ) = −(y, xx

  (x, y), temos que o campo é simétrico, logo as mesmas considerações − f

  µ

  que

  µ

  podem ser feitas para x ≤ 0, dessa forma obtemos o campo X = f tem um par de conexões homoclínicas.

  4

  = Na verdade, já se sabe que o valor do parâmetro é µ como pode

  5

  ser visto com maiores detalhes no Capítulo 4, Seção 9, Exemplo 3, páginas

38 Capítulo 3. Exemplos

3.2.3 Expansão de área ao longo de W Vamos agora verificar que X expande área sobre W.

  Lembrando que o divergente do campo f é o traço da matriz jacobiana

  µ

  de f , ou seja , div(f (x, y)) = tr(Df (x, y)). Daí temos que o campo X

  µ µ µ

  expande área numa vizinhança de (0, 0), pois

  2

  divX(x, y) = µ , (3.3) − x ≥ c

  √ µ µ

  = (basta tomar c ). Escrevemos agora X para o fluxo de X

  t

  se |x| ≤

  2

  2

  no tempo t ∈ R. Para a origem, que é a única singularidade em W, temos pela Fórmula de Liouville,           Z t t  divX(X s (0, 0)) ds  | det DX ≥ exp(tc (0, 0)| = exp ), t ≥ 0.      

  √ µ

  Considere agora um ponto P = (x , e s(t) = X (P) a , y t

  ) ∈ W com |x | >

  2

  solução que passa por P . Sabemos que a velocidade de P é uniformemente afastada do zero, pois não há singularidades. Esse resultado junto com o fato de que o comprimento do arco entre P e P

  1 é finito, onde P e P 1 são √µ

  os pontos de intersecção entre W e a reta x = , garante que, tanto para

  2

  o passado quanto para o futuro, a trajetória de s(t) leva um tempo finito, τ entre P e P

  1

  , que não depende do ponto P escolhido. Logo, para |t| > τ, , já que a abscissa de s(t) em módulo é menor ou igual temos (div)(s(t)) ≥ c

  √ µ

  a .

2 Figura 3.6: O campo de vetores X

3.2. O exemplo com dupla conexão homoclínica

  39 Assim, como ! !

  Z t Z t =

  t trDX(s(u)) du exp divX(s(u)) du

  | det DX (P)| = exp

  √ µ

  temos, para um ponto P = (x , y , que | >

  ) ∈ W com |x Z !

  2 Z t τ t divX(s(u)) du + divX(s(u)) du (3.4)

  | det DX (P)| = exp

  τ

  = Por um lado, uma vez que L max{divX(x, y); (x, y) ∈ W} existe e é R

  τ

  2 finito, pois W é fechado e limitado em R . R , temos | divX(s(u)) du| ≤ τ · L t

  Por outo lado,

  o > 0 para

  divX(s(u)) du ≥ c (t − τ), pois divX(s(u))du ≥ c

  τ

u no intervalo entre τ e t, porque o módulo da abscissa de s(u) é menor ou

  √ µ

  igual a . Vem então

2 Z !

  Z t

  τ

  divX(s(u)) du + divX(s(u)) du | det DX t

  (P)| = exp

  τ

  ) ≥ exp (c

  (t − τ) − τ · L =

  • tc

  L )

  exp (−τ(c )) · exp (tc

  =

  Ke L )) > 0.

  • √µ

  onde K = exp(−τ(c

  Considere agora um ponto P = (x, y) ∈ W, P(x, y) , (0, 0), com |x| ≤

  2

  e a solução s(t) que passa por P. Neste caso temos para o tempo futuro (para o passado a órbita de P converge para a origem) expansão de área, do tempo t = 0 até o tempo t , onde t é o primeiro tempo onde s(t) intersecta

  √ µ

  • 2

  a reta vertical x = . Entre os tempos t e t τ temos que |divX(s(u))|

  é limitado e voltemos a ter expansão de área entre t τ até t. Logo, o

  • módulo do det(DX (P)) é igual à:

  t !

  Z t Z t Z t

  • + τ

  exp divX(s(u)) du + divX(s(u)) du + divX(s(u)) du ≥

  t t + τ

  • tc
  •   exp (c c ≥ · t − τ · L − τ))

      (t t

    • =

      L ) = Ke

      exp (−τ(c )) · exp (tc

      tc

      independente da escolha da

      t

      Dessa forma temos que | det DX (P)| ≥ Ke condição inicial P em W. Isto mostra que o fluxo de X em W expande área uniformemente. Isso completa a construção do campo de vetores planar

    40 Capítulo 3. Exemplos

    3.2.4 A não dominação

      Recapitularemos a construção do exemplo e verificaremos que podemos construí-lo de forma a não ter decomposição dominada.

      2 Considere um campo de vetores X sobre o plano R como o que

      acabamos de construir, isto é, com uma conexão de dupla sela homo- clínica que expande volume, e multiplique este campo de vetores por uma contração ao longo da direção vertical E; veja a Figura

      Figura 3.7: Conexão de dupla sela homoclínica multiplicado por E. O conjunto compacto invariante W, para o campo de vetores X, formado pelas conexões homoclínicas juntamente com a singularidade s, admite uma decomposição E F, onde E é a direção vertical e F é a direção do plano. Esta decomposição é contínua, com E uniformemente contraído e a área em F uniformemente expandida por DX , como provado na subseção

      t

      Como vimos na construção do campo X acima, os autovalores de √ √ 2 + + 2

    • +

      4

      4 µ µ µ − µ

      = =

      DX (0, 0) são dados por λ 1 > 0 e λ 2 < 0, o que nos

      2

      2 1 , λ 2 }.

      garante que a matriz [DX(0, 0)] é conjugada à matriz diagonal D = {λ Como estamos multiplicando o campo pela direção vertical E temos, numa base de autovetores, que a matriz do novo sistema será conjugada à matriz

      A dada por          

      λ

      1

      0 λ

      2 A = ,      

      0 λ

      3

      onde λ

      3 é a taxa de contração na direção vertical E. Observe que, neste

      caso, a singularidade s ilustrada da figura do campo construído acima,

      3

    3.2. O exemplo com dupla conexão homoclínica

      41

      da singularidade s em F corresponde ao autoespaço gerado pelo autovetor associado ao autovalor λ .

    2 At

      3 Assim, temos DX t u

      (0, 0, 0) · u = e , com u ∈ R e t ∈ R. Tomando e λ respectivamente,

      3

      2 w E e v F autovetores unitários associados a λ

      obtemos

      t t λ 3 −λ 2

      ||DX t (0, 0, 0)w|| · ||DXt (0, 0, 0)v|| = ||e w|| · ||e v||

      )t3 2 −λ

      = e . No entanto, poderemos obter uma decomposição não-dominada, bas- tando para isso escolher a taxa de contração ao longo de E mais fraca do que a taxa de contração na direção estável da singularidade s, ou seja, 0 > λ

      M não é dominada, 3 > λ

      2 s

      . Desta maneira, a decomposição E F de T já que λ

      3 2 > 0.

      − λ

    42 Capítulo 3. Exemplos

      

    Capítulo 4

    Resultados Principais

      Esse capítulo é dividido em três subseções, na primeira subseção será provado o resultado técnico que garante que, sob determinadas condições, a direção de um fluxo está contido no subfibrado não contrator. A segunda subseção será dedicada a apresentação do fluxo linear de Poincaré e a prova do Teorema esses constituem os principais resultados dessa dissertação.

    4.1 Direção do fluxo na direção não contrativa

      Iniciamos a subseção com a definição de ângulo uniformemente afas- tado de zero. Em seguida será apresentado um lema que será de grande utilidades na prova do Teorema mais adiante. Λ

      Definição 4.1.1. A decomposição T M = E F do fibrado tangente sobre um

    subconjunto compacto invariante Λ tem ângulo uniformemente afastado do zero

    se:

      1. As dimensões dos fibrados E x e F x são constantes e não nula para todo x ∈ Λ e

    2. Existe θ x , F x

      > 0 tal que sin ∡(E ) ≥ θ para todo x ∈ Λ.

      

    Lema 4.1.2. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Dada uma decom-

    Λ

    posição invariante do fibrado tangente T M = E F com ângulo afastado do zero

    ao longo de Λ, onde E é uniformemente contraído então a direção do fluxo está

    contido no subfibrado F, para todo x ∈ Λ.

    44 Capítulo 4. Resultados Principais

      

    Demonstração. Denote π(E x ) : T x x a projeção de E x paralelo a F x em

    M −→ E

    T M e π(F ) : T a projeção de F paralelo a E em T M . Note que

    x x x x x x x

      M −→ F

      para x ∈ Λ

      X (x) = π(E x x

      ) · X(x) + π(F ) · X(x)

      t e a invariância da decom-

      e para t ∈ R, temos pela linearidade de DX posição T Λ t que

      M = E F por DX DX t · X(x) = DX t · (π(E x x

      ) · X(x) + π(F ) · X(x)) =

      DX t x t (π(F x

      · (π(E ) · X(x)) + DX ) · X(x))

      = π(E

      X (x) t t · X(x) + π(F t · X(x) X (x) t

      ) · DX ) · DX Considere agora z um ponto limite da órbita negativa de x. Isto é, estamos supondo sem perda de generalidade que Λ é compacto, e que

      X (x)

      −→ +∞ tal que x n

      = há uma sequência estritamente crescente t n n

      −t

      

    X (x) = z e lim DX

    X (x ) = n n

      = satisfaz, lim x lim

      −t nt n · X(x) = lim

    n−→+∞ n−→+∞ n−→+∞ n−→+∞

      X

      (z) para algum z ∈ Λ. Por outro lado temos que

      x t (DX x

      k π(E nt n · π(E ) · X(x) k = k DX ) · X(x) ) k | {z }

      ∈E Xtn(x)

      −λt n

      ≤ ce k DX · π(E x

      −t n ) · X(x) k −1 λt n e

      · (π(E x k π(E x Daí temos que k DXt n ) · X(x)) k≥ c ) · X(x) k. Supondo que π(E x

      ) · X(x) não é o vetor nulo, obtemos

      −1 λt n x e x (4.1)

      k DX n · (π(E k π(E +∞

      −t ) · X(x)) k≥ c ) · X(x) k−−−−−→ n−→+∞

      Mas isso só pode ocorrer se o ângulo entre E e F tende a zero quando

      x x n n n −→ +∞.

      De fato, usando a metrica Riemanniana em T M e as observações feitas

      y y , F y ) está relacionado com a norma de

      na subseção o ângulo α(y) = ∠(E ) como se segue:

      π(E y

      1 k π(E y +∞ =⇒ sin(α(y)) −→ 0 ) k= sin(α(y)) −→

      Portanto,

      x x

      k DX n · (π(E n n · X(x) k

      −t ) · X(x)) k = k π(E ) · DXt x

      ≤ k π(E n ) k · k DXt n · X(x) k

      1 =

      X (x n

      ) k

      4.2. Prova do Teorema

      45

      para todo n ≥ 1. Assim se a sequência é ilimitada concluímos que lim sin(α(X

      −t n (x))) = 0. No entanto, temos que E F tem ângulo afastado n−→+∞ do zero em Λ.

      Esta contradição mostra que π(E

      

    x

      ) · X(x) é sempre o vetor nulo e assim

      X x (x) ∈ F , ∀x ∈ Λ.

      4.2 Prova do Teorema

      Essa seção como o título sugere, será dedicada a demostração do Teo- rema ela será iniciada com a apresentação do fluxo linear de Poincaré, que além de auxiliar na prova do Teorema e do Corolário

      

    4.2.1 O Fluxo linear de Poincaré e hiperbolicidade

      A seguinte noção pode ser definida para um fluxo em qualquer varie- dade de Riemann de dimensão finita. Se x é um ponto regular de X (isto é,

      X (x) , 0), denotemos por N M x = {v T x

      : v · X(x) = 0} o complemento ortogonal de X(x) em T x M . Denote por O x : T x x a

      M −→ N

      projeção ortogonal de T M em N

      x x

      e defina para cada t ∈ R

      t t

      x

      X XDX t x M −→ N t x t t

      =

    P : T (x) onde P O (x) (x).

      Note que P satisfaz a relação de cociclo, já que DX (x) preserva a direção

      t x x M x (u) + λX(x),

      do fluxo e dados u T , x ∈ Λ podemos decompor u = O , temos também que DX (x) M , pode ser

      x x s

      X

      onde λ ∈ R e O (u) ∈ N (x)u T s decomposto como

      

    DX (x)u = O (DX (x)u) + κX(X (x)),

    s X (x) s s s X (x) (DX s s s X (x) . Do mesmo modo temos que

      onde κ ∈ R e O (x)u) ∈ N

      DX (X (x))(DX (x)u) = DX (x)(DX M , logo t s s t+s s X (x)

      (x)u) ∈ T t+s

      

    DX (x)(DX (x)u) = O (x) (DX (x)(DX (x)u)) + γX(X (x)),

    t+s s X t+s s t+s t+s

    46 Capítulo 4. Resultados Principais

      O X (x) (DX t+s (x)(DX s (x)u)) = O t+s t+s s X (x) (DX t+s (x)(O X (x) (DX s (x)u) + κX(X s (x))))

      = (DX (x)(O (DX (x)u)))

      O

    X (x) t+s

    t+s s X (x) s

      = (O

      X (x) t+s t+sDX sDX X (x) s (x))u

      (x) ◦ O =

      (O (X (x))u

      X (X (x)) ◦ DX t s t s (x)) ◦ O s X (x) ◦ DX s t+s t s

      e portanto P u = (P M

      x

    xP x )u para todo u T e todo t, s ∈ R.

    X (x) s t x

      A família P = {P : t ∈ R, X(x) , 0} é chamada de “Fluxo Linear de Poincaré para X” . Seja Λ um subconjunto compacto invariante não trivial sob o fluxo de

      1

      1

      (M), (isto é, Λ contém uma órbita regular) onde X (M) é o espaço

      X ∈ X

      1

      dos campos de vetores de classe C e M é uma variedade Riemanniana de dimensão finita. Suponha que Λ não tenha singularidades, então o espaço normal N

      x

      é definido para todo x ∈ Λ. Assim, o fluxo linear de Poincaré está definido em todo ponto x ∈ Λ. A compacidade e a ausência de singularidades permitem obter a seguinte caracterização de subconjuntos hiperbólicos de fluxos. Antes definimos decomposição hiperbólica para o Fluxo Linear de Poincaré.

      s u t s

      =

      

    Definição 4.2.1. Uma decomposição N Λ N é hiperbólica para P se N é

      ⊕ N

      u t

    uniformemente contraído e N é uniformemente expandido por P , ou seja, existem

    constantes C, λ > 0 tais que t s u −λtt −λt N N

      k P | k≤ Ce | k≤ Ce x , k P x , x ∈ Λ e t > 0.

      1 (M).

      Teorema 4.2.2. Seja Λ um subconjunto compacto invariante para X ∈ X

    Então Λ é hiperbólico se, e só se, o fluxo linear de Poincaré está definido em todo

      Λ (P ) = Λ Λ e x P admite uma decomposição hiperbólica de N .

      x∈Λ

      Se Λ é um conjunto compacto invariante hiperbólico para X, então a

      s X u

      decomposição T Λ M = E , DX t -invariante do fibrado tangente ⊕ EE

      s u

      = projeta em uma decomposição do fibrado normal N Λ N através da ⊕ N projeção ortogonal

      s s u u

      = =

      N O x (E ) e N O x (E x x x x ) para todo x ∈ Λ.

      Como Λ não contém singularidades, o fluxo linear de Poincaré está definido para todo x ∈ Λ e a decomposição do fibrado normal está bem definida e

    4.2. Prova do Teorema 1.1.5

      47 s s

      , podemos escrever v = O x (v) + βX(x), com O x e

    • Para v E

      x

      (v) ∈ N x β ∈ R. Daí temos por um lado que,

      DX t (x)v = DX t (x)(O x (v) + βX(x)) = DX t (x)O x (v) + βX(X t (x))

      =

      O (DX (x)O (v)) + αX(X (x)) + βX(X (x)) X (x) t x t t t

      =

      O X (x) (DX t (x)O x (v)) + (α + β)X(X t (x)) t s

      onde O (DX (x)O (x)v =

      X (x) t x t (v)) ∈ N e α, β ∈ R. Por outro lado, DX t X (x) t O X (x) (DX t (x)v) + (DX t t t t X (x) (DX t (x)v)) com O X (x) (DX t

      (x)v O (x)v) ∈

      s

      X N e (DX (DX . Como a decomposição t X (x) t

      (x)v O t (x)v)) ∈ E

      X (x) t t X (x)

      é única e a direção do fluxo é DX t −invariante temos que (α + β)X(X (x)) = DX (DX )DX (x)v.

      t t X (x) t X (x) t

      (x)v O t (x)v) = (Id O t Assim,

      t

      )DX

      t O x X (x) t

      ||DX (x)v|| = ||P x (v) + (Id O t (x)v||

      t O x X (x) )DX t

      ≥ ||P t

      x (v)|| − ||(Id O (x)v|| t O

      ≥ ||P x

      X (x) || · ||DX t x (v)|| − ||Id O t (x)v|| t

      O x t

      ≥ ||P x (v)|| − ||DX (x)v||

      ) ser uma

      X (x)

      onde a ultima desigualdade decorre do fato de (Id O t

      t X (x) O x t t || ≤ 1. Assim, temos que ||P x

      projeção e ||IdO (v)|| ≤ 2||DX (x)v||,

      t −λt

      O x ||v||, para algumas constantes positivas C e λ,

      logo ||P x (v)|| ≤ Ce

      s já que E é uniformemente contrator para t > 0. x u u

      temos como antes, w = O (w) + κX(x), com O

    • Para w E x x

      x

      (w) ∈ N x (x)w = e κ ∈ R, assim podemos escrever, como fizemos acima, DXt

      −t P O (x) )DX (x)w, daí x

      X x (w) + (Id Ot tt

      O x X (x) )DX

      ||DXt xt (x)w|| = ||P (w) + (Id Ot (x)w||

      −t O )DX

      ≥ ||P x

      X (x) x (w)|| − ||(Id Ot (x)w|| tt

      O x X (x)

      ≥ ||P x || · ||DXt (w)|| − ||Id Ot (x)w||

      −t O x

      ≥ ||P x (w)|| − ||DXt (x)w||.

      −t O x

      −t

      Logo ||P (w)|| ≤ 2||DX (x)w|| que também é uniformemente con- trator para t > 0. Assim, para algumas constantes positivas C e λ

      −t −λt O x temos ||P (w)|| ≤ Ce ||w||. t Portanto concluímos a hiperbolicidade de P . s u

      = Suponhamos que exista uma decomposição hiperbólica N Λ N

      ⊕ N

      t

      do fibrado normal sobre Λ P -invariante. Daí temos, em particular, que Λ

    48 Capítulo 4. Resultados Principais

      cu X u cu

      = Considere o subfibrado E E pode

      ⊕ N em Λ. Cada vetor v E x

      u cu

      é ser escrito como v = αX(x) + w para w N x e α ∈ R. Note que E subfibrado vetorial DX t -invariante, pois DX t (x)v = αX(X t (x)) + DX t (x)w e

      u DX (x)w = O DX (x)w + βX(X (x)), onde O DX t X (x) t t t t (x)w N e β ∈ R, X (x) t X (x) t X u

      X (x) DX t tN

      (x)w E

      = assim o vetor DX t (x)v = (α + β)X(X t (x)) + O

      X (x) t t X (x) cu E X (x) , para todo x ∈ Λ e t ∈ R. t u t

      A expansão uniforme de vetores ao longo da direção N sob P garante que existem k, λ > 0 não dependendo de x ∈ Λ e t > 0 tal que

      

    t u λt

      m(P . (4.2) |N

      ) ≥ ke Por outro lado,

      X (x) t t

      kDX ||X(X (x)X(x)k (x))||

      = =

      DX t (x)

      ||X(x)|| ||X(x)|| ||X(x)|| ( )

      t

      ||X(X (x))||

      = ≤ sup

      , t ∈ R L < +∞ ||X(x)|| X x∈Λ t

      | E || ≤ L logo Assim, temos que ||DX x

      t u λt X m (P |N ||DX t | ||, x ∈ Λ. x x )L ke E x k t u

      λt X

    m (P t .

    x |N x ||DX | E ||, onde C =

      ) ≥ Ce x

      L

      Deste modo, para todo s ∈ R suficientemente grande temos X

      s

      ||DX | E || x

      1

      −λs

      < e < 1. (4.3)

      s u m (P ) C x |N x Λ ) dado pela família de cu

      , E Considere agora o espaço vetorial L = L([x] Λ funções ( )

      u

      X (ℓ x ) ; ℓ x : N x x . x∈Λ x −→ E x ||| := sup ||ℓ || < +∞

      é linear para x ∈ Λ e |||ℓ

      x∈Λ

      A norma de cada função linear esta bem definida, pois os espaços têm dimensão finita e são dotados com a norma induzida pela estrutura da variedade de Riemann.

      Vamos agora mostrar que a ação do DX s em L dado pela transformada do gráfico é uma contração para s como em . Para isto considere o

      u

      X u

    4.2. Prova do Teorema 1.1.5

      49 Figura 4.1: Ação do DX s (x) em L.

      a figura Desejamos saber qual é a aplicação linear ˜ℓ

      X (x) , cujo gráfico s u

      

    X

      coincida com DX s x : N −→ E })).

      (graf({ℓ x x Para isso calculemos DX s (x)(v+ℓ x (v)). Pela linearidade de DX s (x) temos

      (x)(v + ℓ (v)) = DX (x)(v) + DX (x)(ℓ (v)),

      DX s x s s x

      decompondo DX (x)(v) = O (DX (x)(v)) + λX(X

      s X (x) s s s (x)), para algum λ ∈ R,

      obtemos

      DX s (x)(v + ℓ x (v)) = O X (x) (DX s (x)(v)) + λX(X s (x)) + DX s (x)(ℓ x (v)). s

      Podemos ainda escrever λX(X s

      X (x) s (x)](v) e portanto s

      (x)) = [(IdO )◦DX

      DX s (x)(v+ℓ x (v)) = O X (x) (DX s s s X (x) s (x)](v)+DX s (x)(ℓ x (v)).

      (x)(v))+[(IdO )◦DX Sabendo que DX s (x)(v+ℓ x (v)) deve ser igual ao gráfico de uma aplicação

      u

      X

      linear ˜ℓ

      

    X (x) : N , temos que DX s (x)(v + ℓ x (v)) = w + ˜ℓ

    s −→ E X (x) (w), s X (x) s s X (x) u

      X e ˜ℓ . X (x)

      onde w N s (w) ∈ E

      X (x) s s X (x)

      Usando o fato que DX (x) preserva a direção do fluxo e que ˜ℓ (x)

      s X s (w) ∈

      X s

      , temos então que w = O (DX (x)(v)) = P (v) e que

      E X (x) s s x X (x) s ˜ℓ (x)](v) + DX (x)(ℓ (v)).

      X (x) s (w) = [(Id O s ) ◦ DX X (x) s s x s s −1 −s

      Como P é invertível temos que v = (P ) (w) = P (w) e então

      x x x s s −1 −1

      ˜ℓ (x)](P ) (w) + DX (x)(ℓ (P ) (w))

      X (x) s (w) = [(Id O s ) ◦ DX x x X (x) s s x −1

      =

    50 Capítulo 4. Resultados Principais

      s

      = ˜ ℓ

      X (x) temos que a imagem de um elemento (ℓ x s

      Denotando D ) ∈ L é

      s X −1

      ((ℓ x

      X (x) s (x)+DX s x X (x) s (x))

      D s E ◦ℓ sDX )) = {((IdO )◦DX (x)| )◦(O : x ∈ Λ}. x

      s

      Para verificar que D é contração em L, estimamos para dois elementos (ℓ x ) e ( ¯ℓ)

      x∈Λ x∈Λ

      de L

      

    s s s

    −1

      ((ℓ (( ¯ℓ (x)(ℓ ) |||D x x s x − ¯ℓ x ||

      )) − D ))||| = ||DX ) ◦ (P x

      s −1 s (x)(ℓ x x )

      ≤ ||DX − ¯ℓ x || )|| · ||(P

      s X −1

      ) ≤ ||DX s || · ||(P ||

      (x)| E x x !

      X s

      ||DX |E x || < 1,

      ≤ sup

      s u m (P ) x |N x x∈Λ

      onde a última desigualdade decorre de .

      s

      Temos então um elemento fixo ℓ para D se mostrarmos que (L, ||| · |||) é espaço de Banach, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach. Isto corresponde

      u u

      X

      a um subfibrado E de N , dado pelo gráfico de ℓ x . Por construção,

      x xE x

      X

      (E ) é DX s xX −invariante para este valor particular de s.

      x t

    • invariante De fato, ℓ não só não depende de s, mas ele é também D para todo t. De fato, é fácil ver que as ações comutam

      s r s+r r s

      (4.4) D D = D = D D

      r, s ∈ R, s

      corresponde a aplicar DX a uma família de subespaços, e

      s

      pois cada D

      s r

      = corresponde a aplicar DX s r DX s+r aos mesmos subespaços. D D ⊕ DX

      Notemos que vale mesmo para s, r negativo, uma vez que o fluxo

      r s

      são é completo, e para s, r > 0 suficientemente grande, temos que D e D

      s r r s r (ℓ).

      D D contrações. Assim, o ponto fixo é o mesmo: D (ℓ) = D (ℓ) = D

      r

      Então D (ℓ) = ℓ, portanto dado qualquer t ∈ R podemos encontrar s, r > 0 grandes, com s r = t e obtemos

      t s s srr

      (ℓ) = ℓ D D

      (ℓ) = D (ℓ) = D (ℓ) = D

      u

      Finalmente, note que o subfibrado E é expandido uniformemente por

      u

    DX podemos escrever v = O (v) + ℓ(O (v)) onde

    t x x

      , já que, dado v E x

      u

      

    X

    4.2. Prova do Teorema 1.1.5

      51 x x

      |||ℓ||| · ||O (v)|| ≤ K||O (v)|| onde 0 < K = |||ℓ||| < +∞ portanto,

      (x)(O (v) + ℓ(O ||DX t t x x

      (x)v|| = ||DX (v)))||

      t (x)O x t (x)(ℓ(O x

      ≥ ||DX (v)|| − ||DX (v)))||

      (x)O = ||DX t x t

      (v)|| − ||α · X(X (x))|| ||X(x)||

      X (x) DX t (x)(O x t

      ≥ ||O t (v))|| − |α| · ||X(X (x))|| ·

      ||X(x)||

      t

      ||X(X (x))||

      DX (x)(O

      = ||O

      

    X (x) t x x

    t (v))|| − K||O (v)|| ·

      ||X(x)||

      t

      (O ≥ ||P x x

      x (v))|| − ˜K||O (v)|| λt x x

      ≥ Ce ||O (v)|| − ˜K||O (v)||

      −λt λt λt

      = )e

      ||O x ||O x n o (C − ˜Ke (v)|| ≥ ¯Ce (v)||,

      (x))|| ||X(X t −λt

      ). Note que , t ∈ R < +∞ e ¯C = sup onde ˜K = K · sup (C − ˜Ke

      ||X(x)|| t>0 x∈Λ

      ¯C > 0, já que ˜Ke −−−−−→

      −λt 0.

      t−→+∞ s

      Analogamente, obtemos contração na direção de E raciocinando com

      cs s

      Xs

      =

    E N para valores suficientemente grandes de s > 0.

      ⊕ E e a ação D Resta então verificar que (L, ||| · |||) é espaço de Banach.

    4.2.2 Completude de (L, ||| · |||)

      n

      Seja (ℓ )

      x n∈N uma sequência de Cauchy em L, temos que para todo ǫ > 0

      existe n > 0 tal que

      n m

      ∀m, n > n =⇒ |||ℓ − ℓ ||| < ǫ,

      x x

    n m n m u

      . Assim temos

      

    x x x − ℓ x ||| · |v| para todo v N x

      em particular ||ℓ (v)−ℓ (v)|| ≤ |||ℓ

      n

      X que (ℓ (v)) é de Cauchy em E . n∈N x x

    u

      X Note que como a decomposição N é contínua, tomando para cada

      ⊕ E ) ( X(x)

      u

      X

      e base de E , onde k =

      1 k x ∈ Λ {v (x), · · · , v (x)} uma base de N x x

      ||X(x)||

      u

      dim N , conseguimos (α

      1 k ) matriz [ℓ x ] de ℓ x na base (v 1 k (x)), x , · · · , α

      (x), · · · , v = onde α (v (x)).

      ix i

      Assim, podemos obter uma família de bases que dependem continu- amente de x, desta forma é possível identificar a família (ℓ ) com a

      x x∈Λ k k x . Usando a completude do R temos que

      aplicação x ∈ Λ −→ [ℓ ] ∈ R

      n u .

      ℓ x

      x (v) −→ ˆℓ (v) para cada x ∈ Λ e cada v N x n

      Resta agora mostrar que ( ˆℓ ) é

      x x∈Λ ∈ L. Para tanto observe que como ℓ x

      linear temos

      n n n

      ˆℓ (v + λw) = ℓ (v) + λℓ ˆℓ (v) + λ ˆℓ (w)

      xx x

      (v + λw) ←−−−−− x x x (w) −−−−−→

    52 Capítulo 4. Resultados Principais

      u x é linear.

      para cada x ∈ Λ, v, w N x e λ ∈ R, o que mostra que ˆℓ temos, Sabendo ainda que para todo m, n n

      n m n m

      |||ℓ − ℓ ||| = sup ||ℓ − ℓ || < ǫ,

      x x x x

    x∈Λ

    n n u x x x

      assim ||ℓ (v) − ℓ (v)|| ≤ ǫ · |v| para todo v N e todo x ∈ Λ. Fazendo

      n u x x

    n −→ +∞ obtemos, || ˆℓ (v) − ℓ (v)|| ≤ ǫ · |v| para todo v N x e todo x ∈ Λ.

      Mas

      

    n n

    n

    x

      || ˆℓ (v)|| − ||ℓ x (v)|| ≤ || ˆℓ x (v) − ℓ x (v)|| ≤ ǫ · |v|,

      n n x x

      ou seja, || ˆℓ || ≤ ǫ + ||ℓ x || < +∞, pois ||ℓ x || < +∞, portanto ||| ˆℓ ||| < +∞. Desta forma temos que ( ˆℓ x )

      x∈Λ ∈ L, donde concluímos que (L, ||| · |||) é espaço de Banach. Isto conclui a prova do Teorema

      

    4.2.3 O Lema Hiperbólico para conjuntos seccionalmente

    hiperbólicos

      Usamos agora os resultados já provados para demonstrar o Teorema

      Demonstração do Teorema Seja Λ o subconjunto compacto invariante

      de um conjunto seccionalmente hiperbólico sem singularidades. Então existem constantes C, λ > 0 e decomposição T Λ

      M = E F tal que −λt

    • ||DX t | E || · ||DX | F || ≤ Ce xt ; para todo t > 0 e para todo x ∈ Λ;

      −λt

      ; para todo t > 0;

    • ||DX t | E || ≤ Ce x

      λt t L ; para todo subespaço bidimensional L x x e

    • | det(DX | x

      ⊂ F )| > Ce todo t > 0;

      t

      Como Λ não possui singularidade, então P está definido em Λ e mais,

      E F

    N := O x E x e N := O x F x

    x x t

      é uma decomposição hiperbólica para (P ) , pois a projeção ortogonal não

      x x∈Λ x podemos escrever v = O x (v) + αX(x)

      aumenta norma. De fato, dado v E

      E

      onde O

      x

      (v) ∈ N x e α ∈ R portanto,

      

    DX t (x)v = DX t (x)(O x (v) + αX(x)) = DX t (x)O x (v) + αX(X t (x))

      =

      O (DX (x)O (v)) + βX(X (x)) + αX(X (x)) X (x) t x t t t

      =

    4.2. Prova do Teorema 1.1.5

      53 E

      onde O

      X (x) (DX t (x)O x t t (x)v =

      (v)) ∈ N e α, β ∈ R. Por outro lado, DX

      X (x) t E O X (x) (DX t (x)v) + (DX t t t t X (x) (DX t (x)v)) com O X (x) (DX t e

      (x)v O (x)v) ∈ N

      X (x) t

      X

      (DX (DX . Como a decomposição é única e a

      t X (x) t

      (x)v O t (x)v)) ∈ E

      X (x) t

      direção do fluxo é DX t −invariante temos que

      (α + β)X(X t (x)) = DX t

      X (x) (DX t t t X (x) )DX t (x)v.

      (x)v O (x)v) = (Id O Assim,

      t O )DX

      ||DX t x

      X (x) t

      (x)v|| = ||P x (v) + (Id O t (x)v||

      t O x X (x) )DX t

      ≥ ||P x t (v)|| − ||(Id O (x)v||

      t O

      ≥ ||P x

      X (x) || · ||DX t x (v)|| − ||Id O t (x)v|| t

      

    O x t

      ≥ ||P x (v)|| − ||DX (x)v||.

      ) ser uma projeção e

      X (x)

      Novamente estamos usando o fato de (Id O t

      X (x) t || ≤ 1.

      portanto ||Id O

      t t −λt

      O x t O x x x ||v||,

      Assim, temos que ||P (v)|| ≤ 2||DX (x)v||, logo ||P (v)|| ≤ Ce

      E

      para algumas constantes positivas C e λ, ou seja, N é uniformemente

      x contrator.

      X F F

      X Por outro lado, sabemos que F = , pois N x E xN x xE x = {~0} e pelo Lema

      que a direção do fluxo esta na direção não contrativa.

      F x \{~o} e X(x) ∈

      Considere os vetores linearmente independentes v N

      X X F E

      , com base ⊕ N

      x . Tomando o espaço gerado por eles, ger{X(x), v} ⊂ E x x n o n o t X (x) X (X (x)) v t P v

      ortonormal , , temos que a base , t de DX t (ger{X(x), v})

      ||X(x)|| ||v|| ||X(X t (x))|| ||P v|| t

      é ortonormal, pela definição P . Daí obtêm-se que a matriz de DX em

      t

      relação a estas bases é t (x))|| !

      

    ||X(X

      ∗

      ||X(x)||

      [DX ] =

      t !t

      X(x)

      X (X (x)) X (X (x)) t P v v t

    • t

      = pois, DX t e DX

      t t

      = ∗ · + ∆ · 0 ·

      ||X(x)|| ||X(x)|| ||P ||v|| ||X(X

      v|| (x))|| t

      P v . t

      ||P

      v||

      Como F é seccionalmente expansor temos que

      x t

      ||X(X (x))||

      λt t ,

      | det[DX · |∆| ≥ Ce ]| =

    54 Capítulo 4. Resultados Principais

      e como

      v t X (x) (DX t O

      X (x) DX t (x)

      ||P t t · ||v||

      v|| = ||O (x)v)|| =

      ||v|| ||X(x)||

      λt λt

      = |∆| · ||v|| ≥ Ce · ||v|| ≥ KCe ||v||

      t

      ||X(X (x))||

      t F λt

      para todo t > 0. Logo o fluxo linear de Poincaré obtemos, ||P | N || ≥ KCe x está definido para todo Λ e P Λ admite uma decomposição hiperbólica de

      E F

      ⊕ N

      = N Λ N , pelo Teorema concluímos que Λ é hiperbólico.

    4.3 Os Teoremas Principais

      De posse de todos os resultados obtidos até aqui, concluímos essa subseção apresentando as demonstrações dos Teoremas

      

    Teorema 4.3.1. Seja Λ um conjunto compacto invariante de X. Suponha que

    exista uma decomposição contínua DX t

      −invariante não trivial do fibrado tangente

      de Λ, T Λ M = E F (isto é, dim E , 0 e dim F , 0) e existem constantes C, λ > 0, tal que para todo t > 0 e todo x ∈ Λ, tem-se

      −λt −λt

    t E F .

      ||DX | x || ≤ Cet | || ≤ Ce

      

    e ||DX

    Xt(x) Então, Λ é formado por um número finito de singularidades hiperbólicas.

      Demonstração.

      Assuma, argumentando por contradição, que existe x ∈ Λ\Sing(X), isto é, x é um ponto regular, X(x) , ~0. Como a decomposição T Λ

      M = E F possui ângulo afastado de zero ao

      ),

      x , F x

      longo de Λ, pois definindo ψ : Λ −→ [−1, 1] dada por ψ(x) = sin ∠(E obtemos, usando o fato da decomposição T Λ

      M = E F ser contínua e não

      trivial, que ψ(x) = sin ∠(E x , F x ) > 0 e ψ é contínua para todo x ∈ Λ. Sendo

      Λ compacto, existe θ x , F x > 0 para todo > 0 tal que ψ(x) = sin ∠(E

      ) ≥ θ .

      x x ∈ Λ. Assim pelo Lema temos que X(x) ∈ F

      Aplicando novamente o Lema só que agora ao fluxo reverso X ,

      −t

      gerado pelo campo −X sobre o conjunto compacto invariante Λ, temos

      x x x

      ∩ F = {~0}. Esta contradição mostra que que X(x) ∈ E . Assim, X(x) ∈ E Λ ⊂Sing(X).

      Porém, nas hipóteses sobre a decomposição, temos que cada σ ∈ Λ é

      E são negativos e os σ

      uma singularidade hiperbólica: os autovalores de DX| são positivos. Como as singularidades hiperbólicas

      F σ

      autovalores de DX| são isoladas em uma variedade M (veja ) e usando o fato de Λ ser um conjunto compacto, concluí-se que Λ é formado por um número finito de

    4.3. Os Teoremas Principais

      55 Agora provemos o resultado principal.

      

    Teorema 4.3.2. Teorema A] Seja Λ um conjunto compacto invariante de X tal

    que cada singularidade neste conjunto seja hiperbólica. Suponha que existe uma

    Λ decomposição contínua DX t

      − invariante do fibrado tangente de Λ, T

      M = E F,

    em que E é uniformemente contraído, F é seccionalmente expandido e temos

    dominação sobre as singularidades de Λ, isto é, para algumas constantes C, λ > 0

    temos s −λt t E • k DX | k≤ Ce , ∀x ∈ Λ, e todo t ≥ 0. x

      λt

    • | det(DX t | L xF x x )| > Ce , ∀ L subespaço bidimensional, todo x

      Λ e t > 0.

      −λt t E F • k DX | σ k · k DX | σ k≤ Ce , ∀σ ∈ Λ ∩ Sing(X) e todo t ≥ 0. Λt

      Então T M = E F é uma decomposição dominada. Demonstração.

      Seja x R ⊂ Λ um ponto regular do fluxo de X. Do

      x . Uma vez que F é um subespaço

      Lema sabemos que X(x) ∈ F

      DX -invariante, considerando o cociclo linear multiplicativo A (z) = DX t t t | F z

      para z ∈ Λ e t ∈ R, pelo Teorema Ergódico Multiplicativo (Teorema L (x)

      s

      = , existe uma decomposição F F (x), em soma direta de subes-

      x j j=

      1 X

      paços de Lyapunov. Um destes subespaços é E gerado por X(x) , ~0, que

      X

      renomeamos F (x) = E no que se segue. Temos também os correspon-

      1 x F

      dentes expoentes de Lyapunov λ (x), j = 1, ..., s(x) que estão associados aos

      j subespaços de Lyapunov. i

      Fixando i = 2, ..., s(x) e v F (x) \ {~0}, consideramos o espaço gerado por

      X

      (x) e v, que denotamos ger{X(x), v}. Pela expansão seccional temos que

      λt

      t |

      log | det(DX ger{X(x),v} )| > log Ce desse modo,

      = log C + λ t,

      1

      1 lim inf t (log C + λ t) = λ. (4.5) | ger{X(x),v} log | det(DX )| > lim inf

      t−→+∞ t−→+∞ t t

      De

      1 F F F t (x) + λ (x) = λ (x).

      1 i i t−→+∞ t

      | ger{X(x),v} 0 < λ ≤ lim inf log | det(DX )| = λ

      F

    56 Capítulo 4. Resultados Principais

      Usando agora que E é uniformemente contrator temos

      −λt

      =

      t E

      | k≤ log Ce log k DX log C − λ t, Deste modo,

      1

      1

      1

      −λt

      t | E k≤ lim

      log k DX x (log C − λ t) = −λ < 0

      = lim log Ce lim

      t−→±∞ t−→±∞ t−→±∞ t t t para todo x ∈ Λ.

      ||DX t | || Ex

      Defina φ t (x) = log . Note que φ t (x) é uma família de funções

      m (DX ) t | Fx

      contínuas subaditivas: a continuidade vêm do fato de φ t (x) ser composta ), e a subaditividade vem do fato

      t E t F

      das funções contínuas ||DX | x || e m(DX | x de que ||DX t | EDX s | E ||

      

    t+s E x

      ||DX | x || Xs(x) (x) = log = log

      φ t+s

      m (DX t+s F ) m (DX t F s F )

      | x | ◦ DX | x Xs(x) =

      t E s E t F s F )

      | · DX | x || − log m(DX | · DX | x log ||DX Xs(x) Xs(x) ))

      ≤ log(||DX t | E || · ||DX s | E ||) − log(m(DX t | F s | F Xs(x) Xs(x) x ) · m(DX x =

      t E s E t F s F )

      | || + log ||DX | x || − log m(DX | | x log ||DX Xs(x) Xs(x) ) − log m(DX

      t E

      ||DX | || Xs(x) ||DX | x || s E = = log log (X (x)) + φ (x).

    • t s s

      φ

      m (DX ) m (DX ) t | F s | F Xs(x) x

      Além disso φ t (x) satisfaz para x R pelo Teorema Ergódico Subaditivo

      (Teorema φ t (x) 1 ||DX t | E || x

      = ¯φ(x) = lim inf lim log

      t−→+∞ t−→+∞ t t m (DX t F )

      | x

      1

      1 = lim t E log m(DX t F )

      | x || − lim | x log ||DX

      t−→+∞ t−→+∞

    t t

      F

      ≤ −λ − min{λ (x), 1 ≤ i s(x)} ≤ −λ − 0 = −λ

      i

      para todo x R tal que X(x) , ~0, onde a desigualdade vem do fato da definição de norma e conorma e dos expoentes de Lyapunov ao longo de

      F .

      Para σ ∈ Sing(X) ⊂ Λ, temos ¯φ(σ) ≤ −λ pois, pela hipótese de domi- nação nas singularidades, temos que existe C, λ > 0 tal que,

      t E

      k DX | σ k

      −λt Ce ≥k DX t | E σ k · k DX | F σ k= .

      −t

      (DX )

      m t F t | σ 1 kDX | Eσ k

      

    1

      1 −λt

      Assim lim inf log log Ce ≤ lim inf = −λ + lim inf log C = −λ.

    4.3. Os Teoremas Principais

      57 Temos assim que ¯φ(x) < 0 para todo x R. Aplicando a Proposição −τt (x) φ t 2

      temos que existem K, τ > 0 tal que eKe t −τt para todo x ∈ Λ e t > 0, −τt

      ||DX | || Ex 2 2

      o que equivale a ,

      ≤ Ke t | E k · k DX | F k≤ Ke , ou seja, k DX xt x

      m (DX ) t | Fx

      ∀x ∈ Λ e t ≥ 0. O que mostra que a decomposição é dominada e com isso conclui-se a prova do Teorema.

      Agora que temos provado os Teoremas

      

    Corolário 4.3.3. Seja Λ um conjunto compacto invariante sem singularidades

    para um campo de vetores X. Suponha que exista decomposição contínua DX tinvariante do fibrado tangente de Λ, T Λ M = E F, onde E é uniformemente contraído e F é seccionalmente expansor. Então Λ é um conjunto hiperbólico. Λ Demonstração. Temos pelo Teorema que T

      M = E F é uma decom-

      posição dominada, logo Λ que é compacto invariante sem singularidades é parcialmente hiperbólico. Além disso, F é seccionalmente expansor o que implica Λ ser seccionalmente hiperbólico, e pelo Teorema concluímos que Λ é um conjunto hiperbólico.

    58 Capítulo 4. Resultados Principais

      

    Capítulo 5

    Fluxos fracamente dissipativos e

    hiperbolicidade

      Vamos agora mencionar uma aplicação do principal resultado para a situação de fluxos tridimensionais fracamente dissipativos.

    5.1 Atrator fracamente dissipativo

      Lembramos que um subconjunto aberto U é uma região armadilha (ou

      

    sumidouro) se X t A denota o fecho ou aderência do

      (U) ⊂ U, t > 0, onde ¯ conjunto A num espaço métrico ou topológico. O subconjunto compacto invariante Λ é um atrator se é o subconjunto maximal invariante Λ(U) = T

      X t (U) dentro da região armadilha U, neste caso U também é chamada de t≥0

      região isoladora de Λ. Dizemos que um subconjunto compacto invariante Λ para o fluxo gerado pelo campo de vetores X é fracamente dissipativo se div(X)(x) ≤ 0 para todo x ∈ Λ, isto é, o fluxo próximo de Λ não expande volume.

      Além disso, dizemos que uma singularidade hiperbólica σ de X é

      1

    1 C

      −linearizável se existe um C −difeomorfismo h : V σ −→ B de uma vizinhança aberta de σ ∈ M para uma vizinhança aberta B da origem de

      3 tA

      R tal que h(X t (x)) = e s · h(x), X σ

      (x) ∈ V , para |s| ≤ t e A = DX(σ). Para isso, é suficiente que o espectro de DX(σ) satisfaça um número finito de condições de não ressonância, ver por exemplo, . Assim, esta é uma condição que é satisfeita por singularidades hiperbólicas a menos de pe-

    60 Capítulo 5. Fluxos fracamente dissipativos e hiperbolicidade

    5.2 Hiperbolicidade via dissipação fraca e con- tração assintótica para o passado.

      1 Teorema 5.2.1. Seja X um campo vetorial C em uma variedade tridimensional M admitindo uma região armadilha U cujas singularidades (se houver) são hiper-

      1 bólicas e C

      −linearizáveis. Vamos supor que o subconjunto compacto invariante Λ = Λ

      (U) seja fracamente dissipativo e dotado de um campo contínuo unidi-

      mensional F com propriedade de contração assintótica para o passado, isto é, x x é um subespaço unidimensional de x ∈ Λ 7→ F é contínua e para cada x ∈ Λ, F T M, e também x

      1 lim inf | F || < 0, ∀x ∈ Λ. log ||DXt x

      t−→+∞ t complementar DX t

      σ −invariante Se em cada singularidade σ ∈ U existe uma direção E

      =

      tal que E T M é uma decomposição dominada, então Λ é um conjunto σ ⊕ F σ σ hiperbólico (em particular, Λ não tem singularidades).

      Uma vez que o conjunto é atrator e decomposição dominada nas singu- laridades é apenas usada para provar a não existência de singularidades em Λ, como consequência da prova obtemos o seguinte.

      1 Corolário 5.2.2. Seja X um campo vetorial C em uma variedade tridimensional M admitindo subconjunto compacto invariante Λ, sem singularidades, que é fra- camente dissipativo e dotado de um campo contínuo unidimensional F de direções contrativas assintoticamente para o passado. Então Λ é um conjunto hiperbólico.

      Estes resultados são versões extremamente fracas da seguinte conjec- tura de Viana, apresentada em .

      Conjectura 5.2.3. Se um atrator Λ (U) tem um expoente de Lyapunov positivo, em Lebesgue quase todos os pontos de sua vizinhança isoladora U, isto é, tal que

      1 lim inf t (5.1)

      || > 0, para Lebesgue quase todo x U, log ||DX

      t−→+∞ t então Λ (U) tem uma medida física: existe uma medida de probabilidade invariante

      µ suportada em Λ(U) tal que, para todas as funções contínuas ϕ : U −→ R Z t Z

      1 lim ϕ(X s (x))ds = ϕdµ para Lebesgue quase todo x U.

      t−→+∞ t

      Com efeito, se U é uma região armadilha e Λ = Λ(U) satisfaz as hipóte-

    5.2. Hiperbolicidade via dissipação fraca e contração

      61

      conhecido que .

      Começamos mostrando que o subfibrado F unidimensional que contrai assintoticamente para o passado é, na verdade, um subfibrado uniforme- mente expansor. De fato, nota-se que f

      t | F || é uma família

      (x) = log ||DXt x subaditiva de funções contínuas com respeito a (X ) , pois

      −t t∈R f t+s F F F

      | x || = log ||DX | · (DX | x (x) = log ||DXtsts )||

      Xs(x)

      = log F F ||DX | || · ||DX | x ||

      −ts Xs(x)

      = (X (x)) + f (x)

      F F t s

      log ||DXt | || + log ||DXs | x || = fs

      Xs(x)

      onde a terceira igualdade ocorre devido ao fato de que F é unidimensional (logo DX : F (x) é apenas a multiplicação por um número real).

      | F x −→ F

      Xs x s

    1 Além disso, ¯f(x) = lim inf F

      · log ||DXt | x || < 0 para todo x ∈ Λ por

      t t−→+∞

      hipótese. Em particular, ¯f(x) < 0 em um conjunto de probabilidade total. −λt

      f (x) t −1 2 Assim, pela Proposição obtemos e e , ou ainda que, −λtC −1 2 F e

      (5.2) ||DX | x || ≤ C , ∀t > 0 e algumas constantes λ, C > 0.

      −t

      Isso implica que, λt 2 −1 = (DX

      Ce F m t F t F

      ≤ ||DXt | x || | ) ≤ ||DX | ||

      Xt(x) Xt(x) −t

      para todo x ∈ Λ, t ≥ 0. Assim, considerando y = X (x) ∈ Λ temos que λt 2

      t F t F t F

      Xt(y) Xt(Xt(x))

      ||DX | || = ||DX | || = ||DX | x || ≥ Ce para todo x ∈ Λ, t ≥ 0.

      Como F é fibrado unidimensional, isto mostra que F é uma direção uniformemente expansora. Agora vamos usar a suposição de que Λ é um conjunto atrator cuja

      1

      possíveis singularidades σ são hiperbólicas e C −linearizáveis, admitindo

      = uma direção E complementar DX t T M é

      σ −invariante tal que E σ ⊕ F σ σ uma decomposição dominada.

      Lema 5.2.4. O conjunto atrator Λ não contém singularidades.

      

    Demonstração. Suponha por absurdo que Λ contém uma singularidade

    t .

      σ ∈ Λ de X, isto é, σ é ponto fixo hiperbólico para o fluxo X

      t é um difeomorfismo e F é um subespaço σ

      Como para cada t ∈ R, X unidimensional instável (F é uniformemente expansor) de DX t (σ) temos,

      σ

      pelo Teorema da Variedade Instável, que existe uma subvariedade mer-

      u u u

      σ σ X σ

      = gulhada W (σ) = W unidimensional (uma curva) tal que F T W e

      σ u X .

      −t (z) −−−−−→ σ para todo z W

    62 Capítulo 5. Fluxos fracamente dissipativos e hiperbolicidade

      u u

      Além disso, W temos

      ⊂ Λ porque Λ é atrator. De fato, para z W

      σ σ

      

    X (já que, X (z) está tão próximo de σ quanto se queira

    t (z) ∈ U t Tt

      para todo t maior ou igual a certo T > 0 e como U é aberto que contém Λ

      , portanto

      t

      e σ ∈ Λ, então Xt (z) ∈ U t T ). Assim, z X (U), ∀t T T

      X t z ∈ (U) ⊂ Λ. tT u temos X z .

      Afirmação 5.2.5. Para todo z W σ (z) ∈ F

      (pois F é Prova da Afirmação. Note que para z = σ temos X(σ) = 0 ∈ F σ σ subespaço vetorial). Vamos supor, por absurdo, que X(z) < F z para algum

      u

      \ {σ}. Por hipótese, existe um difeomorfismo h : V −→ B de uma

      z W σ σ

      vizinhança aberta de σ ∈ M para uma vizinhança aberta B da origem de

      3 tA

      t · h(x), sempre que X s

      (x) ∈ V σ para |s| ≤ t onde A = DX (σ).

      R tal que h(X (x)) = e

      u u

      Denotemos por W (σ) a componente conexa de W que contém ∩ V

      σ loc σ σ, chamada de variedade instável local de σ em V .

      σ

      Através de uma mudança linear de coordenadas, podemos assumir,

      2

      2 = .

      sem perda de generalidade, que Dh(σ) · F σ = R × 0 e Dh(σ) · E σ 0 × R

      3 Seja v : V o campo vetorial contínuo unitário tal que ger(v x ) = σ ∩ Λ −→ R Dh x (x) · F , x V σ ∩ Λ. u

      2

      = Notemos que h(W

      (σ)) ⊂ F (R×0 )∩B, pois a imagem da variedade

      loc

      instável de σ por uma conjugação está contida na variedade instável de

      3

    h , que é um subespaço, pois X é enviado por Dh num campo

      (σ) = 0 ∈ R

      1

      linear: Dh

      x · X(x) = A · h(x). De fato, como o campo é C

      ∂ ∂ =

      Dh X h (X x · X(x) = Dh x · t t= t t=

      (x)| (x))| ∂tt

      ∂

      

    At At

      = = =

      e Ae h t= t=

      · h(x)| (x)| A · h(x) ∂t

      u

      2 Portanto, Dh x x W (σ) = T h (x) F ,

      ·T = R × 0

      loc u

      (σ). Segue que ∀x W

      loc

      2

      =

      Dh T (z) F z · X(z) = A · h(z) ∈ R × 0 h , u

      ou seja, Dh (σ) e assim

      z z z W

      · X(z) ∈ Dh · T

      loc u

      2

      < R

      X z W (σ). Logo, v z pois X(z) <

      ×0 (z) ∈ T

      loc

      , por suposição (lembre-se que v é gerado

      F z z por Dh z z ) .

      · F =

      Pela invariância de F, vem que DX F

      zt

      F X (z) F . Usando agora a invariân- t −−−−−→ σ t−→+∞ u u

      cia de W (σ), temos que DX (T z W (σ)) =

      −t loc loc u u

      T W T W (σ) = F .

      X (z)

      (σ) −−−−−→ σ σ

    5.2. Hiperbolicidade via dissipação fraca e contração

      63 Assim, aplicando Dh X (z) às expressões acima e usando que h é de classe t

      1 C (Dh é contínua), temos por um lado que −tA

      =

      Dh X (z) (DX F z ) = Dh

    X (z) (F

    X (z) ) = v X (z) Ae v z ttttt

      e, por outro lado,

      

    u u

      2 R Dh (z) (DX (T W (σ))) = Dh (z) (T (z) W

      X z

      

    X

    X × 0 . tttt loc loc (σ)) −−−−−→ t−→+∞ 2

    tA

      = = Daí concluímos que v

      X (z) Ae v z F t deve se aproximar de R × 0 quando t −→ +∞.

      2

      2

      2

      < R Mas v

      ) é dominada,

      z

      × 0 e a decomposição (0 × R ) ⊕ (R × 0

      −tA

      pois E é dominada; portanto e z vai ter uma componente em

      σ ⊕ F σ · v

      2 2 , quando t cresce.

      0 ×R cada vez maior em relação à componente em R×0

      2 Então v X (z) . Esta contradição garante t não pode se aproximar de R × 0 e terminamos a prova da afirmação. z

      que X(z) ∈ F Usando agora a Afirmação junto com a expansão ao longo de F, a continuidade do campo X e a compacidade de Λ temos que λ 2 t

      ∞ > sup ||X(x)|| ≥ ||X(X t t · X(z)|| ≥ ce ||X(z)||, t ≥ 0 (z)|| = ||DX

      x∈Λ que é uma contradição e completa a prova do lema.

      A partir de agora vamos usar apenas as hipóteses do Corolário isto é, que assumimos Λ é um subconjunto compacto invariante fracamente dissipativo, sem singularidades, com um campo contínuo unidimensional F de direções contrativas assintoticamente para o passado.

      Como já vimos na subseção o fluxo linear de Poincaré está bem definido sobre Λ (já que Λ não possui singularidades). Denotemos como antes O x : T x x a projeção ortogonal de T x M em N x (complemento

      M −→ N x x M

      ortogonal da direção do campo em x ∈ Λ, ou seja, N = {v T ; v · X(x) =

      t

      =

      O X (x) t : T x x tDX

      0} ), com o fluxo linear de Poincaré dado por P M −→

      N X (x) t , x ∈ Λ, t ∈ R.

      =

      O (F x x x

      Denote ˜F a projeção de F no subfibrado normal dada por { ˜F )} x∈Λ e considere o subfibrado unidimensional G x de N x ortogonal a ˜F x (note que = ˜ N é bidimensional). Podemos então escrever N F .

      x x xG x t

      Note que o subfibrado ˜F é P podemos −invariante. De fato, dado w F x

      X

    64 Capítulo 5. Fluxos fracamente dissipativos e hiperbolicidade

      t (x)w = DX t (x)(v + αX(x)) = DX t (x)v + αX(X t

      α ∈ R. Daí temos que DX (x)) ∈

      X N e também DX pois F é DX X (x) t

    tE (x)w F t −invariante. Portanto

    X (x) t X (x) t O X (x) (DX t (x)w) = O t t t X (x) (DX t (x)v + αX(X t (x))) = O X (x) (DX t (x)v) t

      =

      O X (x) t (x)(O x (w)) = P (O x tDX x (w)), t ≥ 0.

      é qualquer e O e O (x) (DX (x) , concluímos

      x x x X t

      X Como w F (w) ∈ ˜F t (x)w) ∈ ˜F t t t

      que ˜F é P ( ˜F x ) = ˜F X (x) ).

      −invariante (P x t

      ⊥

      e v ,

      xG x

      Desta forma, tomando vetores unitários não-nulos v ∈ ˜F n o tt

      P (v) P (v ) x xt

      podemos escrever a matriz [P ] em relação à base (similar ,

      xtt ⊥ (v (v)|| )||

      ||P x ||P x

      ao que fizemos na subseção h i ! a t (x) b t (x)

      −t

      =

      P x c (x) t

      onde a t (x) : ˜F x

      X (x) , b t (x) : G x X (x) e c t (x) : G x X (x) .

      −→ ˜F −→ ˜F −→ G ttt Lembre que a direção do fluxo é DX

      −invariante. Daí, tomando a base n o n o

    t

    tt

      X (x) X (X (x)) P (v) P (v ) Xt x x

      ⊥

      ortonormal , v, v de T x M = E x x temos que , ,

      x ⊕ ˜FGtt (v ||X(x)||

      ||X(X (x))|| ||P (v)|| ||P )|| t x x

      Xt

      é base normalizada de DX (E ), pela definição de P . Desta

      

    x x

    t x ⊕ ˜FG

      forma, podemos escrever a matriz de DX em relação às bases considera-

      −t

      das acima,  

      (x))|| ||X(X t

      ⋆        ||X(x)|| [DX ] =  

      −t a t (x) b t (x)       c (x) t X (x)

      X (X (x)) X (X (x)) ttt ||X(X (x))|| −t

      −t x

      = = já que DX e ˜F é P · x −invariante.

      ||X(x)|| ||X(x)|| ||X(x)|| ||X(X (x))|| t

      Usando o fato de que o campo é fracamente dissipativo (divX(x) ≤ 0, ∀x ∈ Λ) temos, pela fórmula de Liouville, que  

     

     divX(X (x))ds 

     

     

     

    Z t

      | det[DX t s ≤ 1, t ≥ 0, ]| = exp      

      −1 t

      logo | det[DXt ]| = | det[DX ]| ≥ 1 e como ||X(X ||X(X

      −t (x))|| −t (x))|| −t

      (x)c | det[DX · |a t t · | det[P

      

    t ]| = (x)| = x ]| ≥ 1,

      ||X(x)|| ||X(x)|| ! ||X(x)||

      −t

      = min > 0, uma vez que Λ concluímos que | det[P x ]| ≥ m

      x∈Λ

      ||X(Xt (x))||

    5.2. Hiperbolicidade via dissipação fraca e contração

      65t

      

    Afirmação 5.2.6. O subfibrado ˜F é uniformemente contraído por P para o

    passado.

      Prova da Afirmação. x , X(x))

      Pela continuidade do subfibrado F, temos que ∠(F é afastado de zero, assim existe k > 0 tal que F

      x = {u = βX(x) + v : v

      ˜F x e |β| ≤ k||v||}. Daí, ficamos com

      −t X (x)

      ||P xDXt (v)|| = ||(Ot )(x)(v)||

      X (x)

      = ||(ODX tt (x))(u − βX(x))|| (DX

      X (x)

      = ||Ot (x)u − βX(Xt (x)))|| t

      X (x)

      = ||(ODX tt (x))(u)|| ≤ ||DXt (x)(u)|| ≤ (por λt λt λt

      −1 − −1 − −1 − 2 2 2 e e e

      ≤ C ||u|| = C ||βX(x) + v|| ≤ C λt λt (β||X(x)|| + ||v||)

      −1 − −1 − 2 2 e e

      ≤ C ||v||(1 + k sup ||X(x)||) (k||v|| · ||X(x)|| + ||v||) ≤ C λt λt x∈Λ

      −1 − − 2 2 e

      (5.3) ≤ ˜kC ||v|| = ke ||v|| onde λ > 0, ˜k = (1 + k sup

      ||X(x)||) < ∞ (já que o campo é contínuo e Λ é

      x∈Λ −1 compacto) e k = ˜kC > 0, o que prova a afirmação

      Agora já temos o necessário para garantir a existência de um subfi-

      −t

      brado complementar P −invariante e expansor através da transformada do gráfico.

      −t

      Pela afirmação e pelo fato de que ˜F é P

      x −invariante, temos |a t λt x (x)| ≤

      − −t 2 ke e sabendo que 0 < m

      ≤ | det[P t t t λt 2 x ]| = |a (x)| · |c (x)|, obtemos |c (x)| ≥ λT 2 λt

      m e m e

      − 2 t

      ≥ 2 e ke ≤ 1 , x ∈ Λ, t > 0. Fixemos T > 0 tal que |c (x)| ≥

      k k para todo t T.

      Vamos agora considerar a família de subespaços unidimensionais com- plementares para ˜F em N dados pelo gráfico da função linear ℓ : G

      x x x x −→ Λ

      ˜F x , ˜F x ) dado pela

      , isto é, consideraremos o espaço vetorial L = L([x] família de funções ( ) (ℓ x ) ; ℓ x : G x x x x .

      

    x∈Λ −→ ˜F ||| := sup ||ℓ || < +∞

      é linear para x ∈ Λ e |||ℓ

      x∈Λ

      Já vimos nas subseções que a norma de cada função linear está bem definida e que (L, ||| · |||) é espaço de Banach.

      −t

      em Vamos agora mostrar que a ação do Fluxo Linear de Poincaré−P

      L, dado pela transformada do gráfico, é uma contração para −T. Para isto

    66 Capítulo 5. Fluxos fracamente dissipativos e hiperbolicidade

      x , conforme fizemos na subseção Desejamos saber qual é a

      todo v G

      −t

      aplicação linear ˜ℓ , cujo gráfico coincida com P : G

      X (x) x x x t x (graf({ℓ −→ ˜F })).

      −tt

      Para isso calculemos P (v + ℓ x (v)). Pela linearidade de P temos

      x xttt

      P (v + ℓ (v)) = P (v) + P (ℓ x x x .

    x x x (v)), v G

      −t

      Usando a projeção ortogonal π x : N x x decompomos P (v) = −→ ˜F x

      −t

      λg + π

      X (x) (P t x (v)), para algum λ ∈ R e algum g Gt X (x) e obtemos −ttt

    P (v + ℓ (v)) = λg + π (P (v)) + P (ℓ (v)).

    x X (x) x x x x

    t

      Podemos ainda escrever

      −ttt (x) (P (x) ](v)

      λg = P

      X X x (v) − π x (v)) = [(Id − π ) ◦ P x tt

      e portanto

      −tttt P (v + ℓ x X (x) ](v) + (π X (x) )(v) + (P x )(v).

      ◦ P ◦ ℓ

      x (v)) = [(Id − π −t ) ◦ P xt x xtt

      ](v) = c

      X (x) t X (x)

      Notemos que [(Id − π ) ◦ P x (x) · v por [P x ], já que Id − π t t = ˜

      é a projeção ortogonal em N

      X (x) sobre G X (x) , pois v = (0, v 1 x F x x tt ) ∈ NG T

      −tt

      e [P (x)v

      1 c (x)v 1 ) (x) ](v) = c (x)v 1 . t t X t x ] · v = (b , logo [(Id − π ) ◦ P x t

      −t

      Sabendo que P (v + ℓ x (v)) deve ser igual ao gráfico de uma aplicação

      xt

      linear ˜ℓ

      X (x) : G s −→ ˜F X (x) tt xt X (x) , temos que P (v + ℓ x (v)) = w + ˜ℓ X (x) (w), onde e ˜ℓ . X (x) X (x) X (x)

      (w) ∈ ˜F

      w Gtttt

      Usando o fato de que ˜F x é P

      X (x) X (x) , temos x −invariante e que ˜ℓ t (w) ∈ ˜Fttt −1

      ] (w) e

      X (x) X (x)

      então que w = [(Id − π ) ◦ P x ](v), logo v = [(Id − π ) ◦ P x tt portanto

    • (x)

      X · ℓ x π X · P

      X ttt x x ] ◦ [(Id − π ) ◦ P xt

      −ttt −1 ˜ℓ (x) (w) = [P (x) ] (w).

      = ˜ ℓ

      X (x) , vem que a imagem de um elemento (ℓ x

      Denotando D −t ) ∈ L é dada por

      −tttt −1

      ((ℓ ]

    • D x · ℓ x π

      X (x) · P X (x) )) = {[P x x ] ◦ [(Id − π ) ◦ P x : x ∈ Λ}. ttT

    5.2. Hiperbolicidade via dissipação fraca e contração

      67

      tos (ℓ x ) e ( ¯ℓ x )

      x∈Λ x∈Λ

      de L

      

    TTTT −1

      ((ℓ x (( ¯ℓ x x x

      X (x) ]

      |||D {||P x · (ℓ − ¯ℓ x ||} )) − D ))||| = sup ) ◦ [(Id − π −T ) ◦ P

      x∈Λ −TT −1

      ]

      x x X (x)

      ≤ sup {||P x | ˜F || · ||(ℓ − ¯ℓ )[(Id − π ) ◦ P x ||} xT

      x∈Λ

      ≤ (Por λT

      − −T −1 2

      sup (x) ] ≤ ke {||(ℓ x − ¯ℓ x

      X ||} |{z} )[(Id − π ) ◦ P x T

    x∈Λ

      ≤1

      1

      −1

      sup ≤ sup {||ℓ x − ¯ℓ x || · |c T } ≤ {||ℓ x − ¯ℓ x ||}

      (x)|

      2

      x∈Λ x∈Λ

      1 =

      (ℓ x ) x )

      x∈Λ − ( ¯ℓ x∈Λ |||

      2|||

      −T

      Temos então um elemento fixo ℓ pelo Teorema do Ponto Fixo

      x para D x

      = {(u, ℓ x de Banach. Isto corresponde a um subfibrado ˜E = { ˜E (u)) : u

      −TT

      G

      comuta

      x } } P −invariante para o fibrado normal. Sabendo que P x∈Λ s s

      com cada P −invariante para todo s ∈ R. para todo s ∈ R, temos que ˜E é P

      X é DXinvariante.

      Afirmação 5.2.7. O subfibrado E = ˜E Et x

      De fato, para qualquer v = u + βX(x) ∈ E onde u ∈ ˜E e β ∈ R, obtemos

      t

      que DX t (x)v = DX t (x)uX(X t (x)) e DX t (x)u = P (u)+γX(X t (x)) para algum

      x t t

      (x)v = P (u)+γX(X (x))+βX(X (x)) = P (u)+(γ+β)X(X (x)),

      t t t t

      γ ∈ R, assim DX x x

      t

      com P

      X (x) e portanto DX t X (x) o que prova a afirmação x t t

      (u) ∈ ˜E (x)v E Neste ponto, temos uma decomposição contínua DX

      −t − invariante, T M = E x xF x

      , x ∈ Λ. Usando essa decomposição invariante podemos escrever ! A (x)

      

    t

      [DX ] =

      −t B t (x)

      onde A (x) é a matriz de ordem 2 da aplicação DX e B (x) é a matriz de

      t

      | E t

      −t x ordem 1 da aplicação DX F .

      | x

      −t

      ) é uniforme- A continuidade da decomposição garante que ∠(E x , F x

      t

      | = | det A mente afastado do zero, isto assegura que 1 ≤ | det DXt (x)| · (x) = DX temos

      |B t x , F x t t t | F (x)| · sin ∠(E ) ≤ | det A (x)| · |B (x)| e como Bt x

      −1 −λt/2 λt/2

    t e t (cresce expo-

      |B (x)| ≤ C (por e portanto | det A (x)| ≥ Ce nencialmente rápido).

      Isso mostra que Λ possui uma decomposição contínua invariante E F com F uniformemente contrator e E expandindo área para o fluxo no

    68 Capítulo 5. Fluxos fracamente dissipativos e hiperbolicidade

      implica que E é seccionalmente expansor para −X. Pelo Corolário temos que Λ é um conjunto hiperbólico para −X, portanto Λ é um conjunto hiperbólico, o que prova o Teorema

    5.3 Considerações Finais

      Neste ponto já vimos através do Teorema condições suficientes para dominação de uma decomposição invariante sobre um subconjunto compacto invariante de um fluxo diferenciável, X .

      t

      O Teorema diz que se pode obter uma decomposição dominada, a partir de uma decomposição contínua em dois subfibrados invariantes

      

    EF do fibrado tangente de um subconjunto compacto invariante Λ, como

      consequência de

    • dominação nas singularidades de X sobre Λ, se existirem;
    • invariância da decomposição;
    • contração uniforme ao longo de E e expansão seccional ao longo de F .

      Como vimos, o Teorema Seguindo esse caminho de enfraquecer hipóteses para obter condições mais gerais, surgem questões a serem res- pondidas, tais como:

      1. Sob quais hipóteses pode-se retirar a condição de dominação nas sin- gularidades no Teorema

      2. Existe alguma hipótese tal que a continuidade na decomposição do Teorema é desnecessária?

      3. Quais são as condições necessárias e/ou suficientes para um conjunto compacto invariante ser seccional hiperbólico para um fluxo? Concluo assim a dissertação, destacando perspectivas positivas para um futuro trabalho, onde quem sabe essas perguntas sejam respondidas.

      

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      Universidade Federal da Bahia-UFBA Instituto de Matemática / Colegiado da Pós-Graduação em Matemática

      Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus de Ondina, Salvador-BA CEP: 40170 -110 www.pgmat.ufba.br

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