Estudo dirigido SistLineares escalonamento IFBA

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  • – IFBA

  I NSTITUTO F EDERAL DE E DUCAđấO , C IÊNCIA E T ECNOLOGIA

  • – C OORDENAđấO DE M ATEMÁTICA Á LGEBRA L

  INEAR ROF USTAVO OSTA

  P .: G C A LUNO : ______________________________________________________

  ESTUDO DIRIGIDO Sistema de equações lineares

  EFINIđấO

  D

  1. Uma equação linear com “n” incógnitas x , x , ... , x é toda equação de 1º grau, do tipo

  

1

2 n a x + a x + a x + ... + a x + a x = b , onde cada a , com j = 1,2,...,n, é

  11

  1

  12

  2

  13 3 1(n – 1) (n – 1) 1n n 1 1j

  um escalar, chamado coeficiente da equação e b, também um escalar, chamado termo independente da equação.

  XEMPLOS E .

  São equações lineares Não são equações lineares 2 (1) 2x

  1 – 3x 2 + 4x 3 = 5 (1) 2 x + 4x 1 2 + 3x 3 = 0

  (2) x

  1 – x 2 – 5x 3 + 7x 4 = 6 (2) 2x 1 x 2 + 3x 3 – 4x 4 = – 3 1 + 0x 2 + 0x 3 = 0 (3) x 1 x – 2x

  • (3) 0x
  • 2 1 3 = 8 − (4) 0x + 0x

      1 – x 2 x = 1

    • 0x + 0x = – 4 (4) x

      1

      2

      3

      4 3 EFINIđấO

      D

      2. Uma solução da equação linear a

      11 x 1 a

      

    12

    + x +

    2 + ... + a 1(n – 1) x (n – 1) a 1n x n = b é a n-úpla

      ordenada de escalares ( s , s ,..., s ), que satisfaz a equação dada, isto é, quando a

      1 2 n sentença a + + s a s + ... + a s a s = b é verdadeira.

      11

      1

      12 2 1(n – 1) (n – 1) 1n n

      XEMPLOS E .

      (1) 2 x

      1 – 3 x 2 + 4 x 3 = 5

      3

      3  

        A tripla ordenada 1 , , é solução da equação, pois 2(1) – 3(0) + 4 = 2 + 3 = 5.

         

      4

      4  

        (2) 0x + 0x + 0x = 0

      1

      2

      3 Qualquer tripla ordenada (s 1 , s 2 , s 3 ) é solução da equação.

      (3) 0x

      1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 =

      4 Qualquer quádrupla ordenada (s

      1 , s 2 , s 3 , s 4 ) NÃO satisfaz equação, pois 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 ≠

      4. Então, 0x

      1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 4 é uma sentença FALSA, ∀s 1, s 2, s 3, s

      4 ∈R (ou C). EFINIđấO

      D

      3. Um sistema de equações lineares de “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de equações de 1º grau o tipo

    • a x a x a x a x = b
    • 11 1 12 2 " 1 ( n 1 ) ( n 1 ) 1 n n 121 1 22 2 2 n 1 n 1 + + + + a x a x a x a x = b 2 n n 2

        " ( − ) ( − ) 

        S .

         # # # # #

         

        

      a x a x a x a x b

      m 1 1 m 2 2 " m ( n 1 ) ( n 1 ) mn n m + + + + = − −

        

        EFINIđấO

        D

        4. Uma solução do sistema de equações lineares S é a n-úpla ordenada de escalares (s , s , ..., s ), que satisfaz simultaneamente todas as “m” equações do sistema S.

        1 2 n

        S ( ) ( ) ( ) ( )

        5

        4

        (4) S

        3 z y x z y x z y x

        2

        12

        2

        3

        = + − = − +

        = − = +

        3      = + −

        (3) S

        2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x

        1

        2

        3

        4

        = + +

          

        2

        (2) S

        S ( ) ( ) ( ) ( )

        " "

        " # # # # #

        1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

      2

      2 22 1 21 1 1 1 1

      1

      2 12 1 11

        − − − − − − m n mn n n m m m n n n n n n n n

      b x a x a x a x a

      b x a x a x a x a

      b x a x a x a x a

        = + + + +

        = + + + + = + + + +

              

        ( ) ( )

        Pode-se escrever o sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas

        2

        ISTEMAS E M ATRIZES

        S

        chamada solução nula, trivial ou imprópria. Portanto, um sistema homogêneo é sempre possível. Se for determinado, admitirá a solução trivial, e se for indeterminado, admitirá além da solução trivial, outras soluções não nulas, chamadas soluções próprias .

        1 , s 2 , ..., s n ) = (0, 0, ... , 0),

        . Todo sistema homogêneo admite sempre a solução (s

        BSERVAđấO

        O

        y x y x

        2    = + −

        2 2 1 2 1 x x x x

        ( ) ( )

        5. Quando um sistema de equações lineares tem todos os seus termos independentes iguais a zero, é chamado de sistema de equações lineares homogêneo. E

        (2) S

        2 2 1 2 1 x x x x

        2

        = +

        1    = −

        (1) S

        XEMPLOS .

        EFINIđấO

              

        D

        " "

        " # # # # #

        1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 1 1 1 1 2 12 1 11

        − − − − − − m n mn n n m m m n n n n n n n n b s a s a s a s a b s a s a s a s a b s a s a s a s a

        = + + + +

        = + + + + = + + + +

              

        2

        = + − = + −

        3

        Dado um sistema com “m” equações e “n” incógnitas, este sistema pode ser: (1) Possível ou compatível: é o sistema que admite solução, podendo ser:

        2

        1

        = +

        1    = −

        (1) S

        . Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua solução.

        XEMPLOS

        (1.1) Possível determinado: só admite uma única solução; (1.2) Possível indeterminado: admite mais de uma solução (infinitas soluções). (2) Impossível ou incompatível: é o sistema que não admite solução. E

        ISTEMA S EGUNDO A SUA S OLUđấO .

        = − + = + −

        C LASSIFICAđấO DE UM S

        z y x z y x z y x z y x

        2

        2

        3

        4

        5

        6

        , como uma igualdade de matrizes, onde o primeiro membro é um produto entre matrizes. Assim;

        a a a x b11 12 1 n   1   1 

      "

              a a a x b 21 22 2 n 2 2

        

      "

            × = .       # # % # # #       a a a x b m 1 m 2 " mn n n

             

        Isto é, na forma matricial

        

      A m × X n = B m ,

      ×n ×1 ×1

        onde A é a matriz dos coeficientes de ordem m ×n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes .

        EFINIđấO

        D

        6. Associa-se ao sistema S uma outra matriz formada pela matriz dos coeficientes acrescida da coluna da matriz dos termos independentes. Chama-se esta matriz de

        matriz ampliada do sistema S, dada por a a a b

         11 12 1 n 1  "   a a a b 21 22 2 n 2

        "   M = .

          # # % # #   a a a b m

      1 m

      2 mn m

        "  

        XEMPLOS

        E . Dados os sistemas abaixo, determine as matrizes dos coeficientes, das incógnitas, dos termos independentes e a ampliada.

      • 2 x x

        5 x = −

        4  1 2 3

        (1) S

        1 

        2 x x

        1 1 − = 2 4

      • 3 x

        Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas

        x1   

        2 1 − 5 x   2

          A =

        X =

          3 − 2 1  x3

         

          x 4

         

        Matriz dos termos independentes Matriz ampliada

        4 2 1 − 5 −

        4 −   

        B = M =

           

        1 3 −

        2

        1

        1    

      • 2 x

        6 x − 4 x =

        5  1 2 3  2 x 2 + + (2) S 9 x 3 7 x = 4

        9   x x 8 x

        3 − − = + 3 4 5  EGRA

        ISTEMA DE RAMER S C (R )

        O cálculo da inversa de uma matriz fornece um método de resolução de sistemas lineares de equações. Porém, este só é aplicado em sistemas lineares de equações quadrados, isto é, o sistema que tem a quantidade de equações é igual à quantidade de incógnitas.

        Suponha resolver o sistema linear de “n” equações e “n” incógnitas,

      • a x a x = b
      • 11 1 " 1 n n 1S

          

        # # #

          a x a x b n 1 1 " nn n n

        + +

        = 

          que na forma matricial é dado por

          a a x b11 1 n   1   1  "

                ⋅ = ⇔ AX = B, # % # # #      

           a a   x   bn 1 nn n n "      

          onde A é a matriz dos coeficientes de ordem n, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes .

        • –1

          Para esta equação suponha que det A . Então

          ≠ 0 e portanto, que a matriz A tem inversa A

        • –1 –1

          A ⋅ (AX) = AB

        • –1 –1

          (AA) ⋅ X = AB

        • –1

          I nX = AB

        • –1

          

        X = AB

          1 X = ⋅(adj A) ⋅ B det A Na forma matricial

          

        x a a b

        1  

        11 "

        1 n   1 

             

          

        = ⋅

        # # % # #

             

        x   a a   b

        n n 1 " nn n

             

        x ∆ ∆ b

           1   11 n 1   1  " 1

             

          = ⋅ ⋅

        # # % # #

             

        det A

        x   ∆ ∆   b

        n 1 n nn n "

             

        b b

        1 ∆ ∆ 11 " n n + + 1 x

          = det A

          Observe que o numerador destas frações é igual ao determinante da matriz que é obtida da matriz A, substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes.

          EGRA

          R . Considere um sistema quadrado S, isto é, com “n” equações e “n” incógnitas. Se det A ≠ 0, onde A é a matriz dos coeficientes deste sistema S, então S será um sistema possível determinado e terá a única solução (s

          1 , s 2 ,..., s n ). Cada solução s j é determinada pela seguinte relação det A j

          

        s = ,

        j

          det A onde A é a matriz obtida de A, substituindo a j-ésima coluna pela coluna dos termos independentes

          j do sistema S.

          XEMPLOS E . Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pela regra de Cramer, se houver. x x x

        • 1 2 3

            6  =

          • 2 x

            3 x =

            4  1 2

            (1) S

            1 xxx = − 1 2 3 4 (2) S

            2 

             x1 4 x = 2

            5  

          • 2 xx x =
          • 1 2 3

              1  ATRIZ SCADA M E .

              EFINIđấO

              D

              7. Uma matriz que satisfaz as 4 seguintes condições é chamada matriz na forma escada ou matriz escada.

              (1) O primeiro elemento não-nulo de uma linha é sempre igual a um. (2) Todas as linhas nulas (se houver) devem ficar abaixo das linhas não-nulas. (3) Cada coluna que tem o primeiro elemento não-nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero.

              (4) A quantidade de zeros que precede o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver.

              XEMPLOS E . Determine se as matrizes abaixo são matriz escada ou não. Justifique as respostas.

              1

              2

              1        

              (1) A =

              1 − 1 (2) B = 1 −

              3        

              2    

              1

              2  

              1 −

              3

               

              1  

              1

              2

               

                (3) C = (4) D =

               

               

              1

              3

              

               

               

              1 2  −

               

              EOREMA

              T 1. Toda matriz é linha-equivalente a uma única matriz escada.

              BSERVAđấO.

              O (Operações elementares) Para reduzir uma matriz à sua matriz linha-equivalente na forma escada usamos as chamadas operações elementares sobre suas linhas, que são: Permutação de duas linhas; [L i j ]

              ↔L (i)

              Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um número real (diferente de zero); [L i i ] (k → kL ≠ 0)

              Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos (iii) correspondentes de outra linha previamente multiplicados por um número real diferente de zero. [L i i + kL j ] (k

              → L ≠ 0)

              XEMPLOS E . Determine a matriz linha-equivalente na forma escada das matrizes abaixo.

              2

              4

              3  

              1

              2

              3  

               

              (1) A =

              1

              5 2 (2) B =

               

               

              4 −

              5

              6  

               2 −

              1

              1 4   

              ISTEMA DE QUAđỏES

              INEARES QUIVALENTES S E L E .

              EFINIđấO

              D 8. Dois ou mais sistemas são equivalentes quando têm a mesma solução.

              XEMPLO E .

              1 3 x 2 y

              8 = − =

            • x y

               

              S 1 e S

              2

               

              3 y

              7 2 x 3 y

              7 − = − = −

            • 2 x

                Os sistemas S

              1 e S

            2 são equivalentes, pois têm como solução o par ordenado (2, –1).

            EOREMA

              T

              2. Dois ou mais sistemas são equivalentes se, e somente se, suas matrizes ampliadas são equivalentes .

              XEMPLO E .

            • x y =

              3

              1

              1

              3 

               

              S 1 , onde a matriz ampliada é M 1 =

                

            • 2 x

              4 y =

              5

              2

              4

              5 

               

              2

              6 2 x 2 y = 6  

            • 2

              

              S , onde a matriz ampliada é M =

              2

              2

                

              5

              8 3 x 5 y =

            • 3

              8  

               − 3 − 5 −

              8 3 x 5 y 8  

              − − = − 

              S 3 , onde a matriz ampliada é M

            3 =

                

              2

              6 2 x 2 y

              6 =

            • 2

                

              ÉTODO DE AUSS M G .

              Consiste em reduzir a matriz ampliada associada de um sistema à uma matriz que difere da matriz linha-equivalente à forma escada na condição 3 da sua definição, que dizia: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os outros elementos iguais a zero” e passa a ser: “cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de uma linha tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero”. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição.

              XEMPLOS E . Dados os sistemas abaixo, determine sua solução pelo método de Gauss, se houver.

              1

              1

              4

              3

              4 y 3 z = + + x

              1      

              2

              5

              4

              4     x − 3 y − 2 z = 5  1 − 3 −

              1 2 x + + (1) S 5 y 4 z = 4 Æ Matriz ampliada associada a S 1 :

              2 5    

            • 2 y

                

              3 z = xy z = + x − 1 

              2

              (3) S

              

            3

            2 x + + 5 y 6 z = 2 xy z =

            • (2) S

              4    

            • 4 x y

              12 z x 2 y 2 z = − =

               EFINIđấO

              D

              9. Seja A uma matriz de ordem m ×n e B a sua matriz linha-equivalente à forma escada, também de ordem m ×n. Chama-se posto da matriz A, a quantidade de linhas não nulas da matriz B.

              OTAđấO

              N . Posto da matriz A: P A

              BSERVAđấO

              O . Dada uma matriz A qualquer, para determinar seu posto P A deve-se primeiro determinar sua matriz linha-equivalente à forma escada e depois contar suas linhas não-nulas

              EFINIđấO

              D

              10. Seja A uma matriz de ordem m ×n. Chama-se nulidade da matriz A, a diferença entre a quantidade de colunas de A e seu posto.

              OTAđấO

              N . Nulidade da matriz A: N = nP

              A A

              XEMPLO E . Dadas as matrizes abaixo, determine o posto e a nulidade de cada matriz.

              1

              2

              1

              2    

              (1) A = L

              2 → L 2 – 2L 1 = B. Então, P A = 1 e N A = 2 – 1 = 1.

                 

              2

              4    

              1

              2

              1

              2

              1

              2   1 2      

                     

              (2) A =

              2

              4

            1 L – 2L L – L

              1 L

              1

              3 2 → L

              2

              1 3 → L

              3

              1 2 ↔ L 3 −

              1        

              

              1

              1 3  

              1

              1 3   1  − 

              1 3         

              1

              2

              

            1

              1            

              L –3L

            1 L + 2L

              1 L 1 = B.

              2 → L

              2 3 − 1 → L

              1

            2 −

            2 → – L

              2       

              1   1   1       

              Então, P = 3 e N = 3 – 3 = 0.

              A A LASSIFICAđấO DE UM

              ISTEMA EGUNDO A ELAđấO ENTRE O OSTO DA ATRIZ DOS OEFICIENTES E C S S R P M C C [P C ] O OSTO DA SUA ATRIZ MPLIADA P M A A [P A ].

              Dado um sistema com “m” equações e n” incógnitas, este sistema será: (1) Possível (terá solução), quando P C = P A , podendo ser:

              C = P A = n;

              (1.1) Possível determinado (única solução), quando P C = P A < n. (1.2) Possível indeterminado (infinitas soluções), quando P (2) Impossível (não terá solução), quando P < P .

              C A

              XEMPLOS

              E . Determine a solução dos sistemas abaixo, quando houver, e classifique-os segundo a sua solução.

              (1) S

              2

              2

              4

              3

              6

              5

              − = + = +

                

              3

              (3) S

              z y x z y x

              2

              1

              3

              1

              4

              = + − = + +

                

              2

              (2) S

              y x y x

              2

              3

              2

              1

              = − = +

                

              y x y x

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