AO MULTI-OBJETIVO EM REDES DE FILAS GERAIS

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  Revista da Estat´ıstica UFOP, Vol III(2), 2014, ISSN 2237-8111 Edi¸c˜ao especial: 59 Aiiii ª Reuni˜ao Anual da Regional Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria - RBRAS

  BUSCA LOCAL PARA P ´ OS-PROCESSAMENTO EM RESULTADOS DE OTIMIZA ¸ C ˜ AO MULTI-OBJETIVO EM REDES DE FILAS GERAIS

  1

  2 Gabriel Lima de Souza , Frederico Rodrigues Borges da Cruz ,

  1 Anderson Ribeiro Duarte

  Resumo: No desafiador problema de otimiza¸c˜ ao de redes de filas finitas, a capacidade total do sistema em ´ areas de espera deve ser a menor poss´ıvel, enquanto o n´ umero de usu´ arios atendi- dos por unidade de tempo deve ser o maior poss´ıvel. Solu¸c˜ oes para estes objetivos conflitantes j´ a existem, por´ em podem ser melhoradas atrav´ es da redistribui¸c˜ ao de ´ areas de circula¸c˜ ao entre as filas, preservando fixa a capacidade total do sistema. Um algoritmo simulated annealing foi desenvolvido, especialmente para redes de filas finitas, produzindo solu¸c˜ oes eficientes para o pro- blema. Um conjunto de experimentos computacionais foi conduzido, para determinar a eficiˆ encia da abordagem proposta. As conclus˜ oes apresentadas podem auxiliar aos profissionais da ´ area no planejamento de redes de filas gerais. Palavras-chave: Redes de Filas; Objetivos Confiltantes; Aloca¸c˜ ao de ´ Areas de Cricula¸c˜ ao; Si- mulated Annealing

  .

  Abstract: In optimization of finite queueing networks, the buffers must be reduced, while the throughput must be maximized. Solutions can be improved by redistributing buffers, preserving the system capacity. A simulated annealing has been developed; a set of experiments was con- ducted. The insights obtained may helpful to practitioners analyzing queueing networks.

  Keywords: Queueing Networks; Conflicting Objectives; Buffer Allocation; Simulated Annea- ling .

1 Introdu¸ c˜ ao

  Sistemas de filas se encontram presentes em situa¸c˜ oes de incerteza sobre o fluxo de produtos, usu´ arios, dentre outras. As configura¸c˜oes de filas em rede, considerando para cada fila uma taxa de chegada λ e uma taxa de servi¸co µ, determinam uma generaliza¸c˜ ao natural para diversos sistemas que se busca modelar. Existem diversas discuss˜ oes sobre o problema 1 2 DEEST - UFOP. e-mail: duarte.andersonr@gmail.com, gabriel.souza65@gmail.com.

  DEST - UFMG. Pesquisa parcialmente financiada pelo CNPq e pela FAPEMIG. de maximiza¸c˜ao do n´ umero de usu´arios atendidos por unidade de tempo (throughput), θ. O conhecimento de uma abordagem multi-objetivo maximizando o n´ umero de usu´arios atendidos, minimizando a soma ´areas de circula¸c˜ao (buffers) alocadas nas filas do sistema e as soma das taxas de servi¸cos leva a uma proposi¸c˜ao de uma estrat´egia de p´ os-processamento para o aumento do throughput, preservando a soma de buffers alocados nas filas do sistema e as taxas de servi¸cos atrav´es da realoca¸c˜ ao de buffers entre as filas do sistema.

  Ser´ a tratado aqui, o problema de maximiza¸c˜ao de θ em redes de filas finitas, cada uma delas com servidor ´ unico e tempos de servi¸co geral. Em outras palavras, tratar-se-´ a de redes de filas M/G/1/K, na nota¸c˜ ao de Kendall [13]. Partindo das solu¸c˜oes propostas pela abordagem multi-objetivo, o foco central estar´ a em redistribuir buffers alocados entre as filas do sistema, preservando a soma para todo o sistema, com o interesse em aumentar o valor de θ.

  Uma abordagem j´a conhecida (veja em [8]) busca maximizar θ, simultaneamente com a mini- ∑ miza¸c˜ao do espa¸co total de espera alocado nas filas do sistema ( K i ), e tamb´em a minimiza¸c˜ao

  ∑ da soma das taxas de servi¸co ( µ i ), para uma topologia pr´e-especificada no sistema de filas. Potenciais usu´arios destes modelos de otimiza¸c˜ao baseados em redes de filas finitas incluem ci- entistas da computa¸c˜ao e engenheiros de produ¸c˜ao. De fato, tais modelos podem auxiliar na compreens˜ao e melhoria de v´arios sistemas reais, incluindo sistemas de manufatura [1], de pro- du¸c˜ao [20] e de sa´ ude [11], sistemas de tr´afego de ve´ıculos e de pedestres [9, 7, 10], sistemas de computa¸c˜ao e de comunica¸c˜ao [6], aplica¸c˜oes baseadas na web, configuradas em camadas [5] e com requisitos de qualidade de servi¸co (QoS) definidos em termos de tempo de resposta, throughput

  , disponibilidade e seguran¸ca [17]. Foi utilizada para este trabalho, uma rede de filas com servidor ´ unico, cujos tempos entre chegadas s˜ao distribu´ıdos exponencialmente e os tempos de servi¸co tem distribui¸c˜ao geral, con- figuradas em uma topologia s´erie-paralelo ac´ıclica arbitr´aria. Um exemplo desse tipo de rede pode ser visto na Figura 1. µ 6 µ 10

  Λ 10 ✲ ❅❅ ✲ ❘ M/G/1/K M/G/1/K M/G/1/K 2 Λ Λ 4 4 6 6 ♥✲ 10 ♥✲ 14

  ✣ ❏ ✡✡ M/G/1/K M/G/1/K 6 10 Λ 2

  ✲ ❅❅ ❘ ✲ ✡ ✲ ❏❏❫ 2 4 14 ♥✲ ♥✲ Λ M/G/1/K M/G/1/K 7 11 14 ♥✲ ❏ ✣ ❇ ✡✡ ✂✂✍ µ µ µ 2 4 14

  ❏❏❫ ✲ ✲ ✡

7

11 ✂ Λ ♥✲ ♥✲ 7 M/G/1/K 1M/G/1/K 16

  ✂ µ µ

7

11 Λ 1

  Λ 11 Θ ✲ ✂ 1

  ✲ ❇❇◆ 16 ♥✲ µ µ

8

12 Λ 16 ♥✲ 1 ❇ Λ 12 µ ✂✂✍ µ 16

  ✲ ❅❅ ✲ ❘

8

12 Λ ♥✲ ♥✲ ✂ 8

  ❇ M/G/1/K 3 M/G/1/K 5 M/G/1/K 15 ✣ ❏ ✡✡ ✂ M/G/1/K M/G/1/K 8 12

  Λ 3

✲ ❇❇◆ ✲ ✡ ✲ ❏❏❫ ✂

3 5 Λ 15 ♥✲ ♥✲ M/G/1/K M/G/1/K 9 13 15 ♥✲ ✒ ❏ ✣ µ 3 µ 5 µ ✡✡ 15 ✲ ❏❏❫ ✲ ✡

9

13

  Λ 5 Λ 9 ♥✲ ♥✲ µ µ

9

13 Λ 13 Figura 1: Um rede complexa (adaptada de Smith & Cruz [19])

  Um caso mais simples de estudo pode ser obtido atrav´es da an´alise de filas M/M/1/K, em que tanto os tempos entre chegadas seguem distribui¸c˜ao exponencial sendo independentes entre si, bem como os tempos de servi¸co. Por outro lado, em muitas situa¸c˜oes de interesse, os tempos entre chegadas preservam a distribui¸c˜ao exponencial, mas os tempos de servi¸co n˜ ao, ou seja, tˆem distribui¸c˜ao geral. Tal situa¸c˜ao pode ser ilustrada atrav´es de sistemas que usualmente s˜ ao denominados hipoexponenciais e hiperexponenciais. Em sistemas hipoexponenciais, o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ao dos tempos de servi¸cos (raz˜ ao entre a variˆ ancia e o quadrado da m´edia)

  ´e menor que a unidade. J´a os sistemas hiperexponenciais apresentam o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ ao dos tempos de servi¸cos maior que a unidade. Vale ressaltar que para os sistemas markovianos (tempos de servi¸co independentes com distribui¸c˜ao exponencial) o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ao ´e igual a 1. Os casos hipoexponencial e hiperexponencial ser˜ ao utilizados neste trabalho para caracterizar filas do tipo M/G/1/K.

  O tipo de problema de interesse ´e o de desenvolvimento de algoritmos para otimiza¸c˜ ao do throughput de uma rede de filas finitas gerais. O m´etodo proposto em Cruz et al. [8] executa

  ∑ ∑ simultaneamente a maximiza¸c˜ao de θ, a minimiza¸c˜ao de K , e de µ . Contudo n˜ao garante

  i i

  vasculhar as diversas combina¸c˜ oes para a distribui¸c˜ao de buffers entre as filas do sistema que ∑ preservem fixo o valor de K i . Em outras palavras, n˜ao se assegura que foi realizada a busca por algumas das poss´ıveis solu¸c˜oes que preservam a mesma capacidade total do sistema e fornecem uma maior taxa de atendimento θ.

  Alguma recombina¸c˜ao na distribui¸c˜ao de buffers entre as filas do sistema pode gerar melhoria no throughput do sistema (θ). Este fato poder´a ser verificado atrav´es de uma tentativa de estra- t´egia de p´os-processamento (busca local) atrav´es do algoritmo simulated annealing. O objetivo central deste trabalho ´e buscar uma adequada distribui¸c˜ao de buffers visando desempenho ´otimo do sistema de filas, mensurado atrav´es do throughput θ.

  Formulado dessa forma, o problema em estudo, se torna uma clara analogia ao cl´assico problema da mochila (em inglˆes, Knapsack problem) de otimiza¸c˜ao combinat´ oria. Trata-se da necessidade de preencher uma mochila com objetos de diferentes pesos e valores. O objetivo ´e preencher a mochila com o maior valor poss´ıvel, n˜ ao ultrapassando a capacidade de peso m´aximo pr´e-fixada pela mochila. A formula¸c˜ao do problema ´e extremamente simples, por´em sua solu¸c˜ ao ´e reconhecidamente mais complexa.

  A organiza¸c˜ao desse trabalho ´e a seguinte. A se¸c˜ao 2 discute a formula¸c˜ao matem´atica do problema, a metodologia multi-objetivo proposta em Cruz et al. [8] e introduz a abordagem de p´ os-processamento atrav´es do algoritmo simulated annealing. A se¸c˜ ao 3 apresenta resultados de simula¸c˜ao para a rede de filas apresentada na Figura 1 usando diferentes valores para o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ao dos tempos de servi¸co, visando abordar sistemas exponenciais, hipo- exponenciais e hiperexponenciais. A se¸c˜ ao 4 discute conclus˜ oes alcan¸cadas e poss´ıveis propostas de continuidade.

2 Material e m´ etodos

  Existem algumas possibilidades de formula¸c˜ao para o problema de otimiza¸c˜ao do th- roughput , j´a tratadas na literatura. Pode-se optar por uma abordagem mono-objetivo, em que a fun¸c˜ao objetivo seria expressa em termos do throughput alcan¸cado pelo sistema de filas e um conjunto de restri¸c˜oes associadas aos buffers alocados nas filas do sistema e `as taxas de servi¸co em cada servidor na rede de filas. Uma outra poss´ıvel op¸c˜ ao remete a uma abordagem multi- objetivo na qual podem ser inclu´ıdos objetivos associados aos buffers, `as taxas de servi¸co ou outras vari´ aveis de decis˜ ao associadas ao problema.

2.1 Otimiza¸ c˜ ao multi-objetivo

  Em Cruz et al. [8] se encontra descrito um m´etodo de otimiza¸c˜ ao multi-objetivo para ∑ determinar um conjunto de solu¸c˜oes eficientes para trˆes objetivos simultˆ aneos, f (K) = K i ,

  1 i∈N

  ∑ f (µ) = µ i e f (K, µ) = θ(K, µ). Com esse m´etodo multi-objetivo proposto, o efeito da

  2

  3 i∈N

  substitui¸c˜ao de solu¸c˜oes pode ser avaliado por quem for tomar uma decis˜ ao. Al´em do mais, o tratamento multi-objetivo tamb´em permite ao usu´ ario promover um aumento em um objetivo (por exemplo, a taxa de atendimento) enquanto reduz simultaneamente outro objetivo (por exemplo, a aloca¸c˜ao das ´areas de espera e das taxas de servi¸co). Os algoritmos usados em Cruz et al. [8] combinam um algoritmo evolucion´ario multi-objetivo (MOEA) associado ao m´etodo de expans˜ ao generalizada (GEM), sendo este um m´etodo bem sucedido para a obten¸c˜ ao de boas aproxima¸c˜ oes de medidas de desempenho em redes de filas finitas [14].

  O algoritmo de an´alise de desempenho produz uma estimativa para a taxa de atendimento da rede de filas finitas gerais, θ(K, µ), conhecida a topologia da rede e dados os vetores de aloca¸c˜ao de ´areas de espera, K, e das taxas de servi¸co, µ. O algoritmo de otimiza¸c˜ao permite a maximiza¸c˜ao simultˆanea da taxa de atendimento, enquanto s˜ao minimizadas a aloca¸c˜ao de ´areas de espera e as taxas de servi¸co.

  Considerando filas simples, para que seja poss´ıvel a maximiza¸c˜ao da taxa de atendimento θ(K, µ) ´e necess´ario algum m´etodo para estim´a-la. Em uma ´ unica fila M/G/1/K, o proce- dimento de estima¸c˜ao pode ser executado atrav´es de uma forma matem´atica fechada, compu- tacionalmente eficiente, para a probabilidade p de ocorrˆencia de bloqueio na fila. O m´etodo

  

K

  para obten¸c˜ao da estimativa desta probabilidade apresentado a seguir, proposto por Smith [18], baseia-se na aproxima¸c˜ao de dois momentos de Kimura [15] e ´e bastante eficaz. ( )

  

2+√ρCV 2− √ρ+2(K −1)

√ρ 2+√ρCV 2−

  ρ (ρ − 1) p = ( ) , (1)

  K √ρ+(K 2+√ρCV 2− −1)

  2 2+√ρCV 2− √ρ

  ρ − 1 em que ρ = λ/µ ´e a intensidade de tr´afego (note que ρ < 1, pois, caso contr´ario, isto ´e, se λ > µ,

  2

  a fila cresce indefinidamente; CV ´e o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria

  2

  2

  tempo de servi¸co, S, ou seja, CV = Var(S)/E(S) . Resultados emp´ıricos em Cruz et al. [7] indicam que esta aproxima¸c˜ ao para p K ´e bastante acurada, para uma vasta gama de valores.

  Para obter a taxa de atendimento para uma ´ unica fila M/G/1/K ´e necess´ ario o ajuste da taxa de chegada. Na verdade uma fra¸c˜ao p K dos rec´em-chegados n˜ ao pode ingressar no sistema, porque eles vˆem quando n˜ ao h´ a espa¸co deixado na ´area de espera. Assim, a taxa real de chegadas para ingressar no sistema deve ser ajustada convenientemente.

  λ = λ(1 − p ). (2)

  

eff K

  Assim, a taxa de atendimento efetiva pode ser dada pela express˜ ao seguinte: θ = λ eff = λ(1 − p K ). (3)

  J´ a para uma rede de filas, a estima¸c˜ao da taxa de atendimento ´e consideravelmente mais complicada. O m´etodo de expans˜ ao generalizada (GEM) ´e um algoritmo que tem sido utilizado com sucesso na estima¸c˜ao do desempenho de redes ac´ıclicas de filas finitas arbitrariamente configuradas. O GEM ´e uma combina¸c˜ ao de decomposi¸c˜ ao n´ o-a-n´ o e tentativas repetidas, na qual cada fila ´e analisada separadamente e corre¸c˜oes s˜ ao feitas para contabilizar os efeitos de inter-relacionamentos entre as filas finitas da rede. O GEM considera que os bloqueios ocorrem se, ap´os o servi¸co ser conclu´ıdo em uma fila, a fila seguinte estiver completamente cheia (isto ´e, um cliente est´ a em servi¸co no ´ unico servidor da fila seguinte e todos os espa¸cos de espera nela est˜ ao ocupados).

  A estrat´egia de otimiza¸c˜ ao usada em Cruz et al. [8] baseia-se no algoritmo NSGA-II [12]. ao

  Na aplica¸c˜ao dos algoritmos gen´eticos, os operadores de sele¸c˜ e de elitismo precisam ser estruturados, para identificar corretamente as condi¸c˜ oes de otimalidade. O elitismo ´e baseado no conceito de dominˆ ancia. Assim, um ponto x i = (x i , x i , . . . , x i ) ´e dito dominar um outro ponto 1 2 n x j = (x j , x j , . . . , x j ) se x i ´e inferior a x j em pelo menos um objetivo (f (x i ) < f (x j ), para 1 2 n

  k k minimiza¸c˜ao e ´e n˜ ao superior nos demais outros objetivos (f ℓ (x i ) ̸> f ℓ (x j ), para minimiza¸c˜ao.

  ao Os operadores de cruzamento e de muta¸c˜ s˜ ao um pouco independentes da natureza multi- objetivo do problema, mas s˜ ao altamente dependentes na aplica¸c˜ao. Para o problema em ques- t˜ao, o mecanismo de cruzamento uniforme ´e selecionado [2]. O cruzamento uniforme ´e bem popular em codifica¸c˜oes de vari´aveis m´ ultiplas. Neste mecanismo, os cruzamentos s˜ao realiza- dos para cada vari´avel com uma probabilidade (rateCro ) que est´a de acordo com o operador de cruzamento. O operador de cruzamento usado no algoritmo ´e o operador cruzamento bin´ ario simulado.

2.2 P´ os-processamento

  A metodologia proposta em Cruz et al. [8] fornece um conjunto Pareto ´otimo, mas n˜ ao garante vasculhar todas as combina¸c˜oes de aloca¸c˜ao de buffers, K = (K , . . . , K N ). Em

  1

  outras palavras, os operadores gen´eticos do algoritmo n˜ ao asseguram a procura por algumas ∑ das poss´ıveis solu¸c˜oes que preservam a mesma capacidade total ( K i ) e fornecem um maior throughput

  (θ). Assim, alguma recombina¸c˜ao na distribui¸c˜ao de buffers entre as filas do sistema pode gerar melhoria no throughput do sistema. Este poss´ıvel fato ser´a avaliado atrav´es de alguma tentativa de estrat´egia de p´os-processamento (busca local).

  Nesse cen´ ario, o atual problema de otimiza¸c˜ao, agora para o p´os-processamento ser´ a descrito por: maximize θ(K, µ), (4) sujeito a

  K = (K , . . . , K N ); K i ∈ {1, 2, . . .}, ∀i ∈ N, (5)

  1

  µ = (µ , . . . , µ N ), ∀i ∈ N, (6)

  1

  em que as vari´ aveis de decis˜ ao, K i , indicam buffers alocados para a i-´esima fila. Os valores µ i para as taxas de servi¸co s˜ao fixos.

  Ser´ a utilizada uma proposta de heur´ıstica otimizadora para obter solu¸c˜oes para o problema de otimiza¸c˜ao (4)–(6), partindo do conjunto inicial de solu¸c˜oes candidatas sendo formado pelas solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico proposto em Cruz et al. [8]. A escolha por uma heur´ıstica se deve ao fato que para valores elevados de N , uma busca exaustiva se tornaria invi´ avel do ponto de vista computacional. Uma heur´ıstica de otimiza¸c˜ao que pode se adaptar bem a natureza do problema em quest˜ao ´e o cl´assico algoritmo simulated annealing.

  O algoritmo simulated annealing descrito inicialmente (veja em [16, 4]) ´e inspirado no pro- cesso de recozimento de sistemas f´ısicos. Os princ´ıpios b´ asicos tˆem origens em termodinˆ amica estat´ıstica, uma analogia com o recozimento de s´olidos poderia fornecer uma estrutura para o desenvolvimento de um algoritmo gen´erico de otimiza¸c˜ ao capaz de escapar de ´otimos locais na busca pelo ´otimo global. Desde a sua introdu¸c˜ ao, como um m´etodo de otimiza¸c˜ao combinatorial, o simulated annealing vem sendo vastamente utilizado em diversas ´areas, tais como projeto de circuitos integrados auxiliado por computador, processamento de imagem, redes neurais, etc. O m´etodo n˜ao utiliza uma “estrat´egia” (uma lei por exemplo para convergˆencia total), assumindo assim na maioria das vezes um m´ınimo ou m´aximo que n˜ao ´e o global, mais se configura como uma boa op¸c˜ao para solu¸c˜ao do problema em quest˜ao, como pode ser visto em Spinellis et al. [21]

  De uma forma simplista, o m´etodo depende de um funcional objetivo de otimiza¸c˜ao, neste caso θ(K), e de um crit´erio de vizinhan¸ca entre as solu¸c˜oes candidatas. Busca-se reproduzir uma cadeia markoviana cujo espa¸co de estados e composto por um conjunto de poss´ıveis solu¸c˜ oes para o problema de otimiza¸c˜ao em estudo. O simulated annealing opera da seguinte forma: se o n−´esimo estado da cadeia de Markov ´e uma poss´ıvel solu¸c˜ao K , ent˜ ao alguma solu¸c˜ao

  1

  vizinha da solu¸c˜ao K ´e selecionada aleatoriamente; se o estado vizinho escolhido for K , ent˜ ao

  1

  2

  o pr´oximo estado da cadeia ser´a K

  2 , se este for superior a K 1 avaliando atrav´es do funcional

  objetivo do problema. Caso contr´ario, o pr´ oximo estado da cadeia ainda poder´a ser K com

  2

  uma probabilidade p, ou ent˜ao a cadeia se manter´a em K com probabilidade 1 − p. A escolha

  1

  do valor p, em geral, ´e dependente do n´ umero de passos j´a executados pela cadeia de Markov e tamb´em pelo acr´escimo ou decr´escimo na fun¸c˜ao objetivo, gerado pelo poss´ıvel troca entre as solu¸c˜oes K e K .

  1

2 C log(1+n)

  Uma escolha computacionalmente usual de p ´e e em que a constante C ´e dada por C = −|θ(K

  1 ) − θ(K 2 )| e n ´e o n´ umero de passos dados pela cadeia de Markov at´e o instante

  corrente. Gerando um conjunto de m passos sucessivos da cadeia, Ω K = {K , . . . , K m }, pode-se

  1 estimar a solu¸c˜ ao ´otima θ por θ(K ), em que K otimiza θ com respeito ao conjunto Ω . i i K

  A proposta em estudo ´e de uma busca dentre as poss´ıveis aloca¸c˜ oes no vetor (K , . . . , K N )

  1

  atrav´es do algoritmo simulated annealing, visando obter a configura¸c˜ao que maximiza o through- ∑ put

  (θ) pensando em um espa¸co alocado total, pr´e-fixado K i , mantendo tamb´em fixo o vetor de taxas de atendimento µ. ´ E importante a defini¸c˜ ao do conceito de vizinhan¸ca entre as pos- s´ıveis aloca¸c˜ oes (K

  1 , . . . , K N ). Dado dois valores aleat´ orios i e j em {1, . . . , N }, um poss´ıvel

  vizinho da aloca¸c˜ao (K , . . . , K N ) pode ser definido considerando a nova aloca¸c˜ao dada por

  1

  (K

  1 , . . . , K i− 1 , K i − 1, K i +1 , . . . , K j− 1 , K j + 1, K j +1 , . . . , K N ). Note que modifica¸c˜oes na aloca-

  ¸c˜ao individual de buffers entre as filas, mantendo fixo o espa¸co total alocado levar´ a a altera¸c˜ oes no valor da fun¸c˜ ao objetivo θ(.).

3 Resultados e discuss˜ oes

  A rede complexa, apresentada na Figura 1, j´a foi analisada em Cruz et al. [8] atrav´es da metodologia que utiliza o algoritmo gen´etico multi-objetivo. Neste trabalho, cada uma das solu¸c˜oes do conjunto Pareto solu¸c˜ ao fornecido pelo algoritmo gen´etico foi utilizado como uma solu¸c˜ao inicial para o algoritmo simulated annealing. O interesse central ´e verificar se a busca local pode gerar melhoria nas solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico atrav´es da realoca¸c˜ ao de buffers entre as filas do sistema, preservando a capacidade total no sistema.

  Foram analisados trˆes diferentes valores para o quadrado dos coeficientes de varia¸c˜ao dos

  2

  tempos de servi¸cos, CV = {0,5; 1,0; 1,5}, visando caracterizar sistemas que fossem exponenciais, hipoexponenciais e hiperexponenciais. Em todos os casos trabalhou-se com uma entrada ´ unica no sistema atrav´es da primeira fila do sistema, sendo λ = 5,0. O algoritmo simulated annealing foi calibrado para tentar 10.000 possibilidades de trocas.

  Em todas as situa¸c˜oes experimentais, o conjunto de solu¸c˜oes iniciais era composto por 400 solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico. A Tabela 1 apresenta uma avalia¸c˜ao dos resultados obtidos para os trˆes valores do quadrado do coeficiente de varia¸c˜ao.

  Tabela 1: Resultados obtidos atrav´es da estrat´egia de p´ os-processamento.

2 CV %(SIM) %(SI3) %(SM3) %(S3I)

  0,5 15,75 20,00 95,25 75,00 1,0 10,25 20,25 100,00 50,62 1,5 4,25 20,25 100,00 21,00

  

%(SIM) Percentual de solu¸c˜ oes iniciais que foram melhoradas;

  −

  %(SI3) Percentual de solu¸c˜ oes iniciais com θ < 3;

  −

  %(SM3) Percentual de solu¸c˜ oes iniciais com θ < 3 entre as

  −

  solu¸c˜ oes que foram melhoradas;

%(S3I) Percentual de solu¸c˜ oes iniciais com θ < 3 que foram

  −

  melhoradas em rela¸c˜ ao ` as solu¸c˜ oes iniciais;

  Os valores apresentados na Tabela 1 mostram uma avalia¸c˜ao para todo o conjunto de solu¸c˜ oes inicialmente fornecidas pelo algoritmo gen´etico. Tamb´em consideram, de forma particular, as solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico cujo throughput era inferior ao valor 3. Inicialmente nota-se um aumento do volume de solu¸c˜oes iniciais que foram melhoradas pela estrat´egia de p´ os-processamento a medida que o quadrado do coeficiente de varia¸c˜ ao diminui.

  Observa-se que em todos os cen´arios avaliados, o volume de solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico com throughput inferior a 3, girava em torno de 20% das solu¸c˜oes. Dentre estas solu¸c˜oes, com θ < 3, todas apresentavam capacidade total do sistema menor que 400, as demais solu¸c˜oes apresentavam valores para a capacidade total do sistema bem mais elevados (entre 400 e 1.400). Este fato leva a concluir que o algoritmo gen´etico tende a utilizar altos valores de capacidade total do sistema para a obten¸c˜ ao de valores θ elevados (superiores a 3).

  A grande maioria das solu¸c˜ oes em que a t´ecnica de p´ os-processamento alcan¸cou melhoria era de casos com θ < 3 e capacidade total baixa (menor que 400). Nota-se que o algoritmo gen´etico ´e eficaz para fornecer solu¸c˜oes para os sistemas com uma alta capacidade de investimento em espa¸co de buffers. Por outro lado, a estrat´egia de p´os-processamento atrav´es do algoritmo simulated annealing tende a fornecer melhorias em solu¸c˜oes para os sistemas com capacidade de investimento em espa¸co de ´areas de circula¸c˜ao mais baixa, privilegiando assim sistemas com menor volume de recursos.

  Inicialmente ser´a feita uma an´alise de resultados considerando o quadrado do coeficiente de

  2

  varia¸c˜ao (CV = 1,0) que servem para ilustrar a situa¸c˜ao de filas M/M/1/K. Considerando a Figura 2, ´e importante salientar que as solu¸c˜oes apresentadas graficamente s˜ ao pontos de um espa¸co tridimensional, mas como os valores µ i est˜ ao fixados de acordo com a solu¸c˜ao inicial

  ∑ do algoritimo gen´etico, os pontos foram projetados no espa¸co bidimensional θ × K i . Esta proje¸c˜ ao deixa uma falsa impress˜ ao de existˆencia de pontos dominados, mas na verdade s˜ao todos pontos n˜ ao-dominados no espa¸co tridimensional. Dessa forma, os pontos que sofreram

  ∑ ∑ altera¸c˜oes atrav´es do algoritmo simulated annealing eram pontos da forma ( K i , µ i , θ) e ∑ ∑ foram substitu´ıdos por pontos da forma ( K , µ , θ + ε) com ε > 0. Nos casos de altera¸c˜ ao

  i i

  da solu¸c˜ ao atrav´es do p´ os-processamento, os pontos originais se tornaram dominados e os novos pontos (modificados pelo simulated annealing) s˜ ao pontos n˜ ao-dominados. Este mesmo racioc´ınio pode ser utilizado nas pr´ oximas an´alises para sistemas hipoexponenciais e hiperexponenciais nas avalia¸c˜ ao das Figuras 3 e 4 que ser˜ ao apresentadas posteriormente.

  Soluções avaliadas Melhorias obtidas

  5

  5 )

  ) θ

  θ (

  (

  4

  4

  3

  3

  2

  2 axa de atendimento axa de atendimento T T

  1

  1 200 400 600 800 150 200 250 1000 1200 1400

  Alocação total de buffers K Alocação total de buffers K Σ i

  Σ i ( )

  ( )

2 Figura 2: Sistema de filas com CV = 1: gr´afico `a esqueda com as solu¸c˜oes inicialmente forneci-

  das atrav´es do algoritmo gen´etico ( ž) e as solu¸c˜oes que foram melhoradas atrav´es do algoritmo

  • simulated annealing ( ); gr´afico `a direita com segmentos mostrando a melhoria alcan¸cada em termos de θ.

  A Figura 2 mostra dois gr´aficos, `a esquerda as 400 solu¸c˜ oes iniciais fornecidas atrav´es do algoritmo gen´etico s˜ao apresentadas e tamb´em as solu¸c˜ oes que foram melhoradas atrav´es da estrat´egia de p´os-processamento atrav´es do algoritmo simulated annealing, `a direita os segmentos ilustram a melhoria obtida para as solu¸c˜oes que foram modificadas.

  Avaliando os gr´aficos que destacam os pontos que sofreram melhorias, verifica-se que a ca- pacidade total era inferior a 300. Nota-se um maior ganho em throghput para as situa¸c˜ oes com menor aloca¸c˜ao total de ´areas de circula¸c˜ ao. Esta observa¸c˜ao confirma a capacidade do p´ os-processamento em fornecer melhorias para sistemas com menor volume de recursos.

  Uma segunda an´alise leva em conta os resultados considerando os casos com quadrado do

  2

  2

  coeficiente de varia¸c˜ ao (CV = 0,5 e CV = 1,5) que servem para ilustrar a situa¸c˜ao de filas

  M/G/1/K para sistemas hipoexponenciais e hiperexponenciais, respectivamente. A Figura 3 apresenta dois gr´aficos an´alogos aos da an´alise anterior, agora ilustrando os resultados para sistemas hipoexponenciais.

  Soluções avaliadas Melhorias obtidas

  5

  5 )

  ) θ

  θ (

  (

  4

  4

  3

  3

  2

  2 axa de atendimento axa de atendimento T T

  1

  1

  50 200 400 600 800 100 150 200 250 300 350 1000 1200

  Alocação total de buffers K Alocação total de buffers K ( Σ i )

  ( Σ i )

2 Figura 3: Sistema de filas com CV = 0,5: gr´afico `a esqueda com as solu¸c˜oes inicialmente forne-

  cidas atrav´es do algoritmo gen´etico ( ž) e as solu¸c˜oes que foram melhoradas atrav´es do algoritmo

  ( ); gr´afico `a direita com segmentos mostrando a melhoria alcan¸cada em termos de θ. Novamente as solu¸c˜oes que foram modificadas pelo p´ os-processamento apresentam valores mais baixos para a capacidade total (inferiores a 400). Considerando o aumento alcan¸cado em termos de throughput, os resultados obtidos s˜ao mais significativos que os vistos na Figura 2. Trata-se de um resultado previs´ıvel. Isto se deve a um menor efeito de variabilidade nos tempos de servi¸co. N˜ao existe uma clara regularidade entre o ganho em throughput e a capacidade total, mas ´e f´acil observar que quanto menor o valor θ da solu¸c˜ao inicialmente fornecida pelo algoritmo gen´etico, maior o ganho obtido atrav´es da estret´agia de p´ os-processamento.

  • simulated annealing

  2 A Figura 4 mostra os gr´aficos para a avalia¸c˜ao de sistemas hiperexponenciais com CV = 1,5.

  Assim como os casos anteriores, as solu¸c˜oes que foram modificadas pelo p´os-processamento apresentam valores baixos para a capacidade total, neste casos todas as solu¸c˜ oes com espa¸co total de ´areas de circula¸c˜ ao inferiores a 320. O volume de solu¸c˜oes que foram melhoradas pelo algoritmo simulated annealing neste caso ´e inferior `as avalia¸c˜oes anteriores, trata-se de um fato decorrente do maior efeito de variabilidade nos tempos de servi¸co para as filas do sistema. Mesmo com um volume inferior no n´ umero de solu¸c˜ oes melhoradas, a t´ecnica de p´os-processamento mant´em a sua capacidade de fornecer melhorias para sistemas com menor volume de recursos.

  Considerando o aumento alcan¸cado em termos de throughput, os valores s˜ ao semelhantes na maioria das situa¸c˜oes de melhoria atrav´es do algoritmo simulated annealing. Analisando o ganho

  2

  alcan¸cado em θ, os resultados parecem inferiores os obtidos para CV = 0,5 vistos na Figura

  2 3, mas s˜ao ainda superiores aos alcan¸cados para CV = 1,0 observados atrav´es da Figura 2.

  Apesar da similaridade entre os ganhos obtidos em throughput para os pontos de melhoria, os

  Soluções avaliadas Melhorias obtidas

  5

  5 )

  ) θ

  θ (

  (

  4

  4

  3

  3

  2

  2 axa de atendimento axa de atendimento T T

  1

  1 200 400 600 800 270 280 290 300 310 320 1000 1200 1400

  Alocação total de buffers K Alocação total de buffers K Σ i

  Σ i ( )

  ( )

2 Figura 4: Sistema de filas com CV = 1,5: gr´afico `a esqueda com as solu¸c˜oes inicialmente forne-

  cidas atrav´es do algoritmo gen´etico ( ž) e as solu¸c˜oes que foram melhoradas atrav´es do algoritmo

  • simulated annealing ( ); gr´afico `a direita com segmentos mostrando a melhoria alcan¸cada em termos de θ.

  casos de maior ganho s˜ ao verificados para as situa¸c˜oes com menores espa¸cos totais de capacidade alocados, o que ´e bastante encorajador.

4 Conclus˜ oes

  Os resultados apresentados confirmam a qualidade do algoritmo gen´etico para produzir solu¸c˜oes eficiˆentes para o problema em estudo em diversos cen´arios. Entretanto, a proposta de p´ os-processamento atrav´es do algoritmo simulated annealing se mostrou capaz de produzir melhorias em algumas das solu¸c˜oes fornecidas pelo algoritmo gen´etico. Em particular, a solu¸c˜ oes melhoradas s˜ao casos com capacidade total baixa, caracterizando assim uma capacidade do algoritmo em fornecer solu¸c˜ oes eficientes para sistemas com um menor volume de recursos para investimentos em aloca¸c˜ ao de espa¸co.

  Por se tratar de um algoritmo de baixo custo computacional, o acr´escimo em tempo de processamento para as tentativas de p´ os-processamento ´e apenas uma fra¸c˜ ao do tempo compu- tacional empregado para a obten¸c˜ ao das solu¸c˜ oes atrav´es do algoritmo gen´etico. Desta forma se torna bastante indicada a utiliza¸c˜ao do procedimento de p´os-processamento aqui sugerido.

  Considerando as solu¸c˜oes que foram melhoradas em sistemas com filas M/M/1/K, se a ava- ∑ lia¸c˜ao for restrita `as solu¸c˜ oes iniciais que possuiam valor θ < 3 e K i < 400 observa-se que

  50,62% das solu¸c˜oes foram melhoradas refor¸cando que a t´ecnica de p´ os-processamento tende a melhorar a solu¸c˜ oes nos sistemas com menos poder de investimento nas ´areas de circula¸c˜ao. Dentre todas as solu¸c˜oes melhoradas, o aumento m´edio na taxa de atendimento (θ) foi da ordem de 49,69%.

  2 J´ a para os sistemas hipoexponenciais, considerando CV = 0,5, o aumento m´edio na taxa de atendimento (θ) foi da ordem de 92,69%, e o percentual de solu¸c˜oes melhoradas considerando apenas as solu¸c˜oes iniciais que possuiam valor θ < 3 e ∑

  K

  i

  < 400 foi de 75,00%. Avaliando os sistemas hiperexponenciais considerando CV

  

2

= 1,5, o aumento m´edio em θ foi de 69,86%.

  Restringindo novamente aos casos com θ < 3 e ∑

  K i < 400 nas solu¸c˜ oes iniciais, verificou-se melhoria em 21,00% das solu¸c˜oes. ´

  E importante ressaltar que as solu¸c˜oes melhoradas atrav´es do algoritmo simulated annealing utilizam o mesma capacidade total para o espa¸co de espera alocado, entretanto redistribuem essa ´ area total ao longo das filas do sistema. Dessa forma, n˜ ao se espera custo adicional ao sistema de filas para a obten¸c˜ao de taxas de atendimento mais elevadas. Apesar dos resultados j´a promissores, novos estudos precisam ser realizados. A adequa¸c˜ao de outras poss´ıveis estruturas de vizinhan¸ca (dependentes da capacidade total alocada na solu¸c˜ao inicial) para o algoritmo simulated annealing s˜ ao, por exemplo, propostas de continuidade que poderiam fornecer solu¸c˜oes ainda mais adequadas para o problema em estudo.

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