ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL

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  ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL

  7 de noviembre de 2017

  1 Objetivo

  El alumno aprenderá sobre los distintos controladores, sus características y sus efectos en un sistema cuando se aplican de manera individual o correlacionada. Conocerá la metodología para seleccionar de manera adecuada el o los controladores necesarios para obtener la mejor respuesta posible del sistema. Adicionalmente, el alumno aprenderá a determinar si un sistema es estable o inestable a través del criterio de estabilidad de Routh.

  2 Introducción

  La mayoría de los sistemas de lazo abierto son estables con entradas de referencia limitadas. De lo que normalmente carecen los sistemas de lazo abierto es de velocidad y precisión suficientes para seguir la entrada de referencia aplicada al sistema. Si bien, la retroalimentación puede reconfigurar el comportamiento de un sistema, también tiene el potencial de desestabilizarlo. La retroalimentación también tiene beneficios potenciales, como mejorar la capacidad de un sistema al rechazar perturbaciones que puedan presentarse junto con la entrada de referencia. La retroalimentación también puede cambiar el ancho de banda y la ganancia total de un sistema. Una forma de retroalimentación es la de salida. La salida del sistema se mide y retroalimenta, posiblemente mediante una función de transferencia, y luego se resta a la señal de entrada de referencia. La señal de error resultante se alimenta entonces hacia adelante, generalmente mediante un compensador, para proporcionar una señal de control al sistema.

  Idealmente, el error entre la entrada de referencia y la salida del sistema deben tender a cero con el tiempo, de modo que la salida del sistema rastree la entrada de referencia.

  En el mejor de los casos, el error tiende a cero con rapidez sin grandes demoras en la respuesta del sistema. Para cuantificar la relación entre retroalimentación y estabilidad se utiliza el criterio de Routh, que es un procedimiento algebraico que identifica polos inestables. uestra la estructura básica de un sistema de control de lazo cerrado:

  w x e y

  

Controlador Planta

  • + - Figura 1: Sistema de control de lazo cerrado

  2.1 Controlador Proporcional (P)

  La salida del controlador ( ) (variable de control) es directamente proporcional a la variable de error

  ( ): ( 1 )

  ( ) = ⋅ ( ) Donde es la ganancia del controlador. Muchas veces el control proporcional no es suficiente para hacer que la salida vaya a la referencia y habrá desviación en estado estable.

  2.2 Controlador Proporcional-Integral (PI)

  En el controlador PI hay otro término en la ecuación del controlador:

  1 ( 2 )

  ( ) = [ ( ) + ∫ ( ) ] donde es la constante de tiempo de integración. Si el controlador está ajustado para ser lento y es grande, entonces el controlador actúa primero como un controlador proporcional, pero después cuando la integración comienza a tener efecto, la desviación de estado estable va lentamente a cero. Si el controlador se ajusta para ser rápido y es pequeño, entonces ambos términos (proporcional e integral) afectan la señal de control desde el principio. El sistema se vuelve más rápido, pero la señal de salida oscilará.

  2.3 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

  La ecuación del controlador PID posee los tres términos P, I y D: 1 ( ) ( 3 )

  ( ) = [ ( ) + ∫ ( ) + ] Donde es la constante de tiempo derivativa. El término derivativo actúa como un predictor. Esto es, al conocer la pendiente, el controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar mejor el proceso. El término derivativo tiene un gran efecto en sistemas donde existen perturbaciones, porque las perturbaciones son usualmente rápidas. Esto significa que un cambio rápido en la señal de error (perturbación) podrá inclusive hacer que el proceso caiga en un estado inestable. Por otra parte, el término derivativo puede acelerar el sistema controlado.

  2.4 Características de los controladores P, I & D

  Un controlador proporcional ( ) tendrá el efecto de reducir el tiempo de crecimiento y reducirá, pero nunca eliminara, el error en estado estable. Un controlador integral ( ) tendrá el efecto de eliminar el error en estado estable, pero puede empeorar la respuesta transitoria. Un controlador derivativo ( ) tendrá el efecto de incrementar la estabilidad del sistema, reduciendo el sobreimpulso, y mejorara la respuesta transitoria. Los efectos de cada controlador en un sistema de lazo cerrado se resumen en laostrada a continuación.

  Estas correlaciones pueden no ser exactas, debido a que , y dependen una de otra. De hecho, el cambio en una de esas variables puede cambiar el efecto de las otras dos. Por esta razón, la tabla solo debe ser utilizada como referencia cuando se determinen los valores de , y .

  Tabla 1: Características de los controladores Error en

Tiempo de Tiempo de

Controlador Sobreimpulso Estado

  

Crecimiento estabilización

Estable

  Cambio Decrece Incrementa Decrece pequeño Decrece Incrementa Incrementa Se elimina

  Cambio Cambio pequeño Decrece Decrece pequeño

  Tenga en mente que no siempre es necesario utilizar los tres controladores en un solo sistema. Lo mejor es mantener el controlador tan sencillo como sea posible.

2.5 Selección de un controlador

  Cuando diseñe un controlador para un sistema dado, puede seguir los siguientes pasos: 1.

  Obtenga la respuesta de lazo abierto y determine que parámetros necesitan ser mejorados.

  2. Añada un controlador proporcional para mejorar el tiempo de crecimiento.

  3. Añada un controlador derivativo para mejorar el sobreimpulso.

  4. Añada un controlador integral para eliminar el error en estado estable. 5. , , hasta que obtenga la respuesta deseada.

  Ajuste cada uno Tenga en mente que no siempre es necesario utilizar los tres controladores en un solo sistema. Lo mejor es mantener el controlador tan sencillo como sea posible.

3 Algoritmo de Routh

  !

  Las raíces del denominador definen la estabilidad del sistema: ( ) = +

  ( ) = ( ) ( )

  • ⋯ +
  • =

  1

  −1

  )[

  1

  = (

  3

  ]

  3

  −

  −

  

1 −3

  )[

  1

  = (

  1

  ]

  

1 −5

  −1

  −

  1

  ¡Si uno de los elementos en la primera columna es cero o tiene diferente signo que los demás, el sistema es inestable!

  ] ⋮ ⋮

  1 +2

  −

  

1 +2

  )[

  ] = (

  5

  −1 +2

  −

  1 −( +2)

  )[

  1

  ] = (

  −( +2)

  

−1 −( +1)

  ¡Si uno de los coeficientes es cero o tiene diferente signo que los demás, el sistema es inestable! Esquema de Routh:

  3

  3

  ⋯

  5

  3

  ⋯

  5

  ⋯

  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

  5

  3

  ⋯

  − −3 −5

  ⋯

  −2 −4

  5

  1

  )[

  −1

  −1

  −1 −1

  −5

  −

  

−1 −4

  )[

  = (

  = (

  3

  ]

  −3

  −

  

−1 −2

  )[

  −1

  ] = (

4 Desarrollo 1.

  Sea el siguiente sistema mostrado en la figura: x bx

  Mkg

  1 F

  N b

  10 k

  m s

  /

  M kN m

  20 /

  F

  1 N

  a) Ingrese la función de transferencia en Matlab y obtenga la respuesta a escalón en lazo abierto. Compruebe la función de transferencia manualmente.

  1 ( ) =

  2

  • 10 + 20

  b) Ingrese ahora un controlador proporcional para lazo cerrado, con valor = 300. Obtenga la respuesta a escalón en lazo cerrado y compruebe la función de transferencia manualmente.

  ( ) =

  2

  • 10 + (20 + )

c) Utilice un controlador proporcional de valor = 30 y uno integral de valor = 70.

  Obtenga la respuesta escalón en lazo cerrado y compruebe la función de transferencia manualmente.

  • ( ) =

  3

  2

  • 10 + (20 + ) +

d) Añada un controlador proporcional de valor = 300 y derivativo de valor = 10.

  Obtenga la respuesta escalón en lazo cerrado. Compruebe manualmente la función de transferencia.

    <
  • (10 + ) + (20 + )

  ( ) =

  • (10 + )
  • (20 + ) + ¿Cuáles son las diferencias principales que observa con cada controlador? ¿Qué método resulta más conveniente para mejorar el sobreimpulso? ¿Con qué controlador se mejora el tiempo de crecimiento? 2.
  • 2
  • 5 + 6
  • 7
  • 24
  • 58 + 40
  • 5
  • 6
  • 10
  • >24 + 1
  • 2
  • >34
  • 3 + 1

  2

  2

  4

  5

  d) ( ) = 12

  3

  4

  5

  6

  c) ( ) =

  4

  3

  e) Utilice un controlador proporcional de valor

  2

  3

  a) ( ) =

  Para los siguientes polinomios, indique si es un sistema estable o inestable de acuerdo al criterio de estabilidad de Routh. Utilice MATLAB para comprobar sus resultados.

  2

  3

  2

  ( ) =

  =350, integral de valor =300 y un controlador derivativo =50. Obtenga la respuesta escalón en lazo cerrado .Compruebe manualmente la función de transferencia.

  b) ( ) =

3. Para las siguientes funciones de transferencias, indique si es un sistema estable o inestable de acuerdo al criterio de estabilidad de Routh. Utilice MATLAB para comprobar sus resultados.

  a) 2 + 2

  2

  − − 2

  b)

  2

  3

  

2

  • 24 + 75 − 100

  c) 2 + 2

  2

  − 3 + 2

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