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Pref´ acio do autor

  L´aaprendi a importˆancia do chamado Space Awareness e compreendi que o espa¸co sideral ´e um recurso natural valioso, limitado e que a humanidade est´a poluindo deforma descontrolada. Por isso, pe¸co que me ajudem a melhoraro texto para a nova vers˜ao que deve sair logo ap´os cada vestibular do ITA para contemplar novas quest˜oes de gravita¸c˜ao.

TEX fazendo pequenas corre¸c˜oes de ortografia e calculo. O conte´ udo deste livro foi integralmente feito pelo Miguel, tanto a teoria

  quanto a resolu¸c˜ao das quest˜oes. Qualquer erro ou inconsistˆencia encontrado, o lei- tor pode nos contatar.

Motiva¸c˜ ao

  H´a casos de alunos que moram emcidades pequenas ou cidades muito distantes dos grandes centros e que tamb´em n˜ao tem acesso a uma educa¸c˜ao de alto n´ıvel que os prepare para o vestibular do ITA. Entendo que independenteda situa¸c˜ao financeira ou regi˜ao de origem, h´a alunos muito bons espalhados peloBrasil, um mar de talentos que muitas vezes n˜ao tˆem oportunidade de ter acesso a uma boa educa¸c˜ao e poder melhorar sua vida e de sua fam´ılia.

Como usar este livro

  Se vocˆe n˜ao tem muita pr´atica em conceitos b´asicos de f´ısica, recomendo fortemente que primeiro se exercite bem com problemas de livrosde ensino m´edio de forma que vocˆe possa ter mais clareza e entendimento dos as- suntos. N˜ao o use se ainda n˜ao estiverseguro o suficiente em t´ecnicas alg´ebricas, como fatora¸c˜ao, radicia¸c˜ao, simplifica¸c˜ao, resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes de primeiro e segundo grau, fun¸c˜oes alg´ebricas, geometriaplana, geometria espacial, opera¸c˜oes com vetores, leis de Newton e princ´ıpios de dinˆamica.

Conte´ udo

  O receptor decodifica esse hor´ario e compara com o hor´ario que ele recebeu, ent˜ao ele conseguefazer as contas de qual a sua distˆancia ao sat´elite visto que o sinal de GPS ´e uma onda eletromagn´etica e por isso se move com velocidade constante, c. Para diminuir os custos das miss˜oes, a NASA criou o conceito de ˆonibus espaciais, no qual a tripula¸c˜ao regressava em pousos similares ao de uma aeronave,evitam o descarte de material e reutilizando o ve´ıculo para novas miss˜oes.130 miss˜oes foram realizadas e alguns acidentes fatais ocorreram durante seus trinta anos de miss˜oes espaciais e hoje em dia, a frota de ˆonibus espaciais da NASA est´ainativa.

A escrita na Babilˆonia come¸cava com o 1, escrito sobre pedra usando o s´ımbolo g, j´a o 10 era feito usando o s´ımbolo ≻. Combina¸c˜oes destas duas marcas eram feitas

  Na It´alia, entre uma massa e outra, um individuo chamado Galileu Galilei tamb´em contribuiu enormemente para astronomia ao desenvolver um telesc´opio rudimentarde 20 vezes aumento com o qual pˆode descobrir as quatro maiores luas de J´ upiter em 1610, observou as crateras da Lua, explicou as machas solares (eu nem sabia queo sol tinha mancha...), notou as fases de Vˆenus tal quais as fases da Lua e defendeu o modelo geocˆentrico. O experimento realizado mostrou que a curvatura do espa¸co-tempofaria um raio de luz, vindo de uma estrela, contornar o Sol (se n˜ao considerarmos a curvatura do espa¸co, a luz seguiria um caminho em linha reta e seria bloqueadapelo Sol) e ser detectada na Terra.

P F a =

  X √ √222 3 Gm 3 Gm √ GmF Ry = F y 2y 1y = −F − F = − · 2 − · 2 = − 3 ·2 2 a2 a a Como temos as duas componentes da for¸ca resultante, podemos achar o m´odulo da for¸ca.222 F = F + F R Rx Ry2222 √ GmF = 0 R − 3 ·2 a22√ Gm F R =− 3 ·2 a2 √ GmF R = 3 ·2 a Qual a dire¸c˜ao dessa for¸ca? ´ E s´o achar o ˆangulo entre suas componentesF Rx cosθ = = = 0 F R F R2 Gm√ − 3 ·2 F Ry asenθ = = 2 = −1 F R √ Gm 3 ·2 a◦, o que mostra que a O ˆangulo para o qual o cosseno ´e zero e o seno ´e −1 ´e 270 30 3.1.

U (r) = − r

  Podemos dizer que a energia se conserva.1213 E mecˆ anica inicial = E mecˆ anica f inal23121323 Gm m Gm m Gm m 112 122 132 Gm m Gm m Gm m= m v 1 m v 2 m v + +3 − − − − − − a a a 2 2 2 a/2 a/2 a/2Se as massas s˜ao iguais a m, ent˜ao:22 3Gm 12 12 12 6Gm= mv + + 1 mv 2 mv3 − − a 2 2 2 a2 1 1 mv2 1 2 mv2 12 3Gm 36 3.2. Para o caso da acelera¸c˜ao da gravidade na superf´ıcie da Terra, o valor ´e obtido ao substituir os dados da equa¸c˜ao:−1124 GM2 6, 67 × 10 · 5, 97 × 10 g P = = = 9, 81m/s262 R )(6, 37 × 10 Se vocˆe subir ao topo do Monte Everest, que tem 8000m de altura, tem que voltar a usarGM g =2 (R + h) Onde h ´e a altura do Everest.

GM = 0 · (R + h)

  Vamos manipular as duas equa¸c˜oes para relaciona-las:2 g A RA = GM A2 g RB B = GM B Ent˜ao igualando, fica legal...22 g A R g B RA B =M A M B 41Mas como queremos a rela¸c˜ao das acelera¸c˜oes da gravidade, vamos arrumar de novo.2 g A R M AB =2 g B R M BATemos ent˜ao uma rela¸c˜ao para a acelera¸c˜ao da gravidade, na superf´ıcie, em dois planetas distintos. Sabemos que a Lua ´e menor que a Terra e tem bem menos massa, j´a no caso de J´ upiter, a massa deste ´e imensamente maior, e seu raiotamb´em.

P J ´ upiter = mg T erra 1950 = m · 10

  X F = mg r cf aparente = P − FSubstituindo a for¸ca centr´ıfuga: cf = mg aparente P − F2 v= mg aparente mg − m2 R v = g aparente g −R Sabemos do movimento circular uniforme que v = ωR2(ωR) = g aparente g −R2 g aparente = g equador R − ωSe quisermos entender como isso se relaciona com o per´ıodo de rota¸c˜ao, podemos substituir a velocidade angular pelo seu correspondente de per´ıodo. Usando a densidade, podemos determinar a massa de uma esfera.1 43 m = ρV = ρ πr11 3 Onde r pode ir de 0 (centro da esfera) a R raio da Terra.1 A gravidade ´e a da casca esf´erica de raio r .

R − h g = g s

  RPara finalizar, vamos mostrar graficamente como se comporta a gravidade desde o centro da terra at´e ao infinito. Foi essa considera¸c˜ao que fizemos para a Terra para chegar a esse resultado.

Cap´ıtulo 4 Movimento Orbital

  Um observador parado do lado de fora do carro vˆe o carro realizar um movimento circular e para ele a for¸ca que atua no carro ´e a for¸ca necess´aria para mudar a dire¸c˜aodo movimento da velocidade do carro. Os dois descreveriam essa for¸ca com a mesmaintensidade F2 v F = ma = mR Como a velocidade tangencial pode ser escrita em fun¸c˜ao da velocidade angular v = ωR, d´a para descrever tamb´em assim:2 22 2π v (ωR)2 F = m = m = mω R = m RR R T Onde v ´e a velocidade tangencial do carro, T ´e o per´ıodo de rota¸c˜ao e R o raio da circunferˆencia descrita.

O produto F · t se chama impulso, ´e isso que faz os sat´elites e outras espa¸conaves se controlar no espa¸co. Existem mini jatos no corpo das naves que soltam gases (n˜ao

  A rela¸c˜aoentre c e a ´e chamada de excentricidade (e) e ´e um numero entre 0 e 1, conforme pode ser visto abaixo.c e =a A rela¸c˜ao entre os semi-eixo ´e:222 a = b + cA circunferˆencia ´e um caso especial da elipse, veja a raz˜ao: a circunferˆencia possui um ´ unico centro e a distˆancia entre um ponto qualquer at´e o centro ´e constante eigual ao raio. Velocidades na elipser p + r a 1 v = 2GMp r a r p2 r a 1 v = 2GMp r r + rp p aUsando r a = a(1 + e) e r p = a(1 − e)2 a(1 + e) 1 v = 2GMp a(1 − e) a(1 − e) + a(1 + e)2 1 + e 1 v = 2GMp2a 1 − e2 GM 1 + e v =p as 1 − e GM 1 + e v p =a 1 − e Ent˜ao aplicando um monte de ´algebra, a outra velocidade fica determinada: sGM 1 − ev a = a 1 + e Note que a velocidade do sat´elite ´e dependente da massa da Terra e da excentrici- dade...

GM r GM r GM 1 − 0

  Podemos concluir o seguinte: quando o sat´elite se aproxima da Terra sua energia potencial diminui e sua energia cin´etica aumenta e por isso a velocidade aumenta,ao se afastar, acontece o contr´ario, a velocidade diminuir visto que a energia cin´etica 67 4.5 Energia na elipse J´a que estamos falando de energia, vamos ver quanto ´e a energia total de uma ´orbita el´ıptica? 1 GM 1 + e GM mE = m − 2 a1 − e a(1 − e) 1 GM m 1 + e GM mE = · − 2 a1 − e a(1 − e) GM m(1 + e) − 2GMmE = 2a(1 − e)GM me − GMm E =2a(1 − e) GM m(e − 1)E = 2a(1 − e)GM m E = −2a A energia mecˆanica depende da massa da Terra, da massa do sat´elite e do semi eixo maior da elipse.

E = −

  O que se pode notar ´e que o tempo de rota¸c˜ao orbital de um sat´elite n˜ao depende da massa do sat´elite, mas sim da massa do astroa qual ele orbita. T2 1 =4π2 GM a31 T2 2 = 4π2 a32 714π T = a33 GM24π Note que h´a algo comum entre todas elas que ´e a constanteGM Malandramente, explicitamos a constante em fun¸c˜ao do per´ıodo e do semi-eixo.22 T 1 4π3 = a GM122 T 2 4π3 = a2 GM22 T 3 4π3 = a3 GM Podemos pegar esse neg´ocio todo e igualar as constantes.

Sat´ elites geoestacion´ arios e de baixa ´ orbita

  Os sat´elites geoestacion´arios ficam em um posi¸c˜ao fixa em rela¸c˜ao a Terra por que seu per´ıodo de ´orbita ´e igual a per´ıodo de rota¸c˜ao da Terra, dessa maneiras eles ficamcomo se fossem parados. Isso ´e f´acil, ´e s´o lembrar que GM g =22 R T2 GM = gR = 9, 8R T TAgora taca-le na equa¸c˜ao para ´orbita geo!22 2π 9, 8R T=3 86400 Rg Vamos aproximar o raio da Terra por 6400 km e assim obtemos aproximadamente 42.354 km, isto ´e, muito alto, em torno de 6.5 vezes o raio da Terra.

Estrelas bin´ arias

  Comparando com o per´ıodo T T desse mesmo pˆendulo medido na Terraele observa que: ∼A ( ) T T = 80T L ∼B ( ) T L T = 80T∼ C ( ) T L = 16T T∼ D ( ) T T = 16T L∼ 81Solu¸c˜ ao:O per´ıodo de oscila¸c˜ao de um pˆendulo para pequenos ˆangulos de oscila¸c˜ao pode ser calculado pela equa¸c˜aos LT = 2π g Onde L ´e o comprimento do pˆendulo e g ´e a acelera¸c˜ao da gravidade. S´o fazer o mesmo, mas lembrando desta vez que d =m = 96 ·R2 L R2 T g Tg L 2R3 L= m Tm L Lembrando que 4R L = R T e substituindo:3(4R L )3 2R3 L= m Tm L 3 · 64R3 L 2R3 L= m Tm L mT m L = 96Agora podemos relacionar as duas gravidades gT g L = mT R2 L m L R2 T g Tg L = 96 ·R2 L R3 T (4R L )2 g Tg L = 96 ·R2 L 16R2 L g Tg L = 96 16= 6 A gravidade na Lua ´e seis vezes menor que a gravidade na Terra, por isso os as- tronautas saltam.

B ( ) 1, 13 × 10

  (ITA 1977) A rela¸c˜ao E = entre o valor da acelera¸c˜ao da gravidade na2 R superf´ıcie da Terra e os valores da constante de gravita¸c˜ao universal, massa e raioda Terra:A ( ) ´ E resultado de uma f´ormula emp´ırica elaborada pelos astrˆonomos e v´alida para qualquer planeta de forma esf´erica. B ( ) D´a o valor correto da acelera¸c˜ao da gravidade em qualquer ponto da Terra 89C ( ) Pode ser obtida teoricamente, tanto no caso da Terra como no caso de um planeta qualquer de forma esf´erica, homogˆeneo e que n˜ao esteja em rota¸c˜aoem torno de um eixo relativamente a um sistema de referˆencia inercial.

D ( ) −2Gm E ( ) Nenhum dos valores acima

  Resumindo temos a seguinte situa¸c˜ao onde aplicando um trabalho ao sistema inicial para que na situa¸c˜ao final a energia mecˆanica seja nula τ = E mec f inal mec inicial mec inicial − Eτ = 0 − E cin1 + E cin2 + E pot ) τ = 0 − (E 1 1 (2m)v2 12 Gm(2m) 2 2 dPor´em n˜ao temos as velocidades, mas isso n˜ao ´e um problema. Da teoria, a velocidade de cada estrela ´e.22 GM v =d(m + M )12 A velocidade das estrelas de massas m e 2m s˜ao v e v , respectivamente.2 G(2m)2 4Gm v1 = = d(m + 2m) 3d22 Gm Gm v = =2 d(2m + m) 3dColocando esses resultados na equa¸c˜ao do trabalho total: 1 4Gm 1 Gm Gm(2m) 2Gm Gm 2Gmτ = − − 3Gm 2Gmτ = − − 3d d22 Gm 2Gmτ = − − d d22 Gm Gm =τ = − − d d 9112.

D ( ) −GM E ( ) Nenhum dos valores acima

  B ( ) Se d L ´e a distˆancia entre os centros de S L e da Lua e d T a distˆancia entre os centros de S T e da Terra, ent˜ao, d L = d T .6 C ( ) D distˆancia de S T m.`a superf´ıcie da Terra ser´a maior do que 1, 1 × 10 D ( ) Os segmentos que unem S L ao centro da Lua e S T ao centro da Terra des- crevem ´areas iguais em tempos iguais. C ( ) Em rela¸c˜ao ao sat´elite, a Terra percorre uma circunferˆencia de raio mR/M .3 D ( ) O per´ıodo de rota¸c˜ao do sat´elite ´e 2π pR /GM E ( ) A Terra ´e atra´ıda pelo sat´elite com uma for¸ca de intensidade m/M vezes menor que a for¸ca com a qual o sat´elite ´e atra´ıdo pela Terra.

E ( ) 3, 0 × 10

  H´a trˆes for¸cas envolvidas nesta situa¸c˜ao acima descrita: For¸ca de atra¸c˜ao entre oSol e a Nave, for¸ca de atra¸c˜ao entre a Lua e a Nave, for¸ca de atra¸c˜ao entre a Terra e a Nave. Quando a massa m est´a a uma distˆancia r da posi¸c˜ao originalmente ocupada pelo corpo A, a intensidade da acelera¸c˜ao de m ´e igual a: GmA ( )2 ′2 r (1 + m/m )′ GmB ( )2 ′2 r (1 + m/m ) GmC ( )2 ′2 r (1 + m /m) GmD ( )2 r′ GmE ( )2 r Solu¸c˜ ao:Quando o treco explodiu as duas partes s˜ao impulsionadas a se separar, por´em a for¸ca gravitacional se opor´a a este movimento.

B ( ) −1/2U

C ( ) U/2mD ( ) mUE ( ) USolu¸c˜ ao: 12 Em uma ´orbita circular, a energia cin´etica ´e T = mv 2 GM m

A energia potencial ´e U = − r

  A alternativa A est´a errada visto que mg ´e a for¸ca com que um corpo ´e atra´ıdo para o centro da Terra, caso g seja acelera¸c˜ao da gravidade na Terra. A ace- 104sem considerar sua rota¸c˜ao ´e: GM g p =2 RS´o que no Equador (n˜ao o pa´ıs de capital Quito), a linha que divide a Terra em hemisf´erio Norte e hemisf´erio Sul, sofre o efeito da rota¸c˜ao conforme j´a visto.

R − 4π

  Agora basta isolar v para encontrar uma rela¸c˜ao com a frequˆencia necess´aria para x anular a gravidade aparente no equador.222 g = (4π R)(v )x− v g22 2 x − v = v 4π R22 g v + = vx2 r 4π R2 g v + x = v24π R 26. ′ ′ mx + m xx cm = ′ m + m 2m · 0 + md x cm =2m + m md dx cm = = 3m 3 Isto mostra que o centro de massa dista um d/3 do astro maior e 2/3d do astro 106Observe que ambas descrevem ´orbita circular de raios diferentes cuja for¸ca centr´ıpeta ´e a for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional entre elas, j´a que est˜ao distante de qualquer outra for¸ca gravitacional significativa.

Gm · 2m

  U inicial = E pot + E cin 2m + E cin mSitua¸c˜ao final: ent˜ao como viver um grande amor que nem dessas estrelas ´e dif´ıcil em tempos de ´odio e estar sob o olhar mal´evolo da inveja, algum lazarento resolverseparar as duas estrelas. Claro que n˜ao, se elas tiverem velocidade, uma hora as estrelas voltam a se aproximar e reencontrar, por isso se faz com quea velocidade de ambas seja nula, fazendo com que a energia cin´etica se anule para ambas.

W = −U

  A energia potencial gravitacional ´e s´o aplicar na f´ormula e fica:2 2GmE pot = − dAs energias cin´eticas ficam: 12 12 cin 2m cin m 2m m + E + E = 2mv mv 22 2 12 2m m + E cin 2m + E cin m = mv mv 2 Sabemos que a velocidade da estrela maior ´e Gm/3d. Mas ´e f´acil, pois seria trocar o raio de d/3 para 2d/3.

W = −U d

  Letra E27. (ITA 1989) Comentando as leis de Kepler para o movimento planet´ario, um estudante escreveu: I Os planetas do sistema solar descrevem elipses em torno do Sol que ocupa o centro dessas elipses.

Sol ´e de 3, 00 × 10 ´e igual a 20 vezes o ano da Terra

  A ( ) N˜ao existem for¸cas atuando sobre o objeto (o pr´oprio astronauta sente-se imponder´avel).2 B ( ) Se a for¸ca de gravidade da Terra F g = GM T m /r est´a atuando sobre o objeto e este fica im´ovel ´e porque existe uma for¸ca centr´ıfuga oposta que aequilibra. E ( ) A for¸ca que age sobre o sat´elite ´e de gravita¸c˜ao, mas a velocidade tangencial22 v do sat´elite deve ser tal que mv /r = GM T m /r .

D ( ) 6, 0517 × 10 E ( ) Nenhum dos valores apresentados ´e adequado

  A ( ) V p /V T = p3/4 e g p /g T = 3/4B ( ) V p /V T = p3/2 e g p /g T = 3/4C ( ) V /V = /g = 3/2 p T p3/2 e g p TD ( ) V p /V T = 3/2 e g p /g T = 3/4 Solu¸c˜ ao:Essa quest˜ao se resolve facilmente ao fazermos a compara¸c˜ao entre o planeta e a Terra. Como visto anteriormente, a gravidade na superf´ıcie do planeta e da Terra, sem considerar a rota¸c˜ao do mesmo ´e, primeiramente para a Terra:GM T g T =2 R T E ”segundamente”para o planeta:GM p G(3M T ) 3GM T 3 GM T 3 g p = = = = = g T2222 R p p p p 4R 4R 4 R 4 g p 3= g T 4 A gravidade na superf´ıcie do planeta ´e 3/4 da gravidade na superf´ıcie da Terra.

E ( ) 42 min e 8, 0 × 10

  Observe que se o deslocamento´e r, que vai de R a 0 e depois de 0 a –R temos uma constante igual a 4 K = πGmd 3 Sendo que caracterizamos o MHS, o tempo para que o corpo chegar ao centro da Terra ´e um quarto do per´ıodo do MHS. S´o que neste caso o per´ıodo de Marte e J´ upiter devem ser dados em fun¸c˜ao de anos na Terra, ou seja, o Vamos come¸car por Marte que tem raio de ´orbita igual a 1,5 vezes o raio da ´orbita da Terra.22 T T M T3 =3 R R2 M T2 T T M T33 =31, 5 R R T T T M = 1, 8T T Para J´ upiter, eis os c´alculos...22 T T J T3 =3 R R2 J T2 T T J T33 =35, 2 R R T T T J = 11, 85T TLetra C 36.

R r GM

  Cha- mando a distancia entre a estrela e centro de massa como x, a posi¸c˜ao de x emrela¸c˜ao ao sistema de coordenadas na estrela ´e mx = a m + M Se o raio aumenta em quatro vezes, o raio de ´orbita da estrela se altera para ′ ′ m x = am + M ′ m x = · 4a m + M′ x = 4xA afirma¸c˜ao I ´e verdadeira. Considere ainda que o momento angular da Terra seja conservado, isto ´e, a quantidade de m´odulom~v|~r|senα permanece constante ao longo da nova trajet´oria el´ıptica da Terra em torno do sol (nessa express˜ao, m ´e a massa da Terra, r ´e o m´odulo do vetor posi¸c˜aoda Terra em rela¸c˜ao ao Sol, v o m´odulo da velocidade da Terra e α o ˆangulo entre ~r e ~v ).

R = 16 = 8, 89 × 10 = 8, 89mm 9 × 10

  Ent˜ao, o valor m´aximo da varia¸c˜ao relativa:121 (G )/G , que se obt´em ao deslocar a posi¸c˜ao da cavidade, ´e:− G 3 aA ( ) (R − a)2R3 aB ( ) R2 aC ( ) R aD ( ) RE ( ) nuloSolu¸c˜ ao: 134Primeiramente, a esfera ´e feita de um material de densidade ρ. Ent˜ao a massa daTerra em fun¸c˜ao da densidade ´e 43 M = ρV = ρ πR 3 A gravidade gerada nessa situa¸c˜ao e sentida por P ´eGM 4 G 1 = = ρGπR2 R 3 A cavidade ´e representada por uma esfera de raio a, cujo centro est´a a uma distˆancia d − r de P .

R[R − (R − a)]

  Nestas condi¸c˜oes, pode-se afirmar que a raz˜ao entre o per´ıodo de Alfa e o de Gama ´e: √A ( ) 2 B ( ) 2C ( ) 4 √D ( ) 4 2√ E ( ) 6 2 Solu¸c˜ ao: Vamos usar a figura j´a vista na teoria para ilustrar este problema dos trˆes planetas. 16a33= =T23 a33 T21 T212(2a3 )3 Como o que me resta ´e a rela¸c˜ao entre o semi-eixos maiores de Beta e Gama, e foi dado que o de Beta ´e o dobro do de Gama.

R d = R − = R − 0, 01R = 0, 99R

  Sendo a constante da gravita¸c˜ao universal G = 6, 7 × 10 considerando que o dia de J´ upiter ´e de aproximadamente 10h, determine a altitudedo sat´elite em rela¸c˜ao `a superf´ıcie desse planeta. Outra forma ´e22 4π3 calcular via Terceira Lei de Kepler (T = a ).2 GM 4π GM2 =3 T (R + h)Note que o raio de rota¸c˜ao ´e o raio de J´ upiter mais a altitude em rela¸c˜ao `a superf´ıcie do planeta, h.

B ( ) 1 −

  Quando o astronauta come¸ca a se mover com velocidade u no mesmo sentido de rota¸c˜ao da nave, temos um aumento da for¸ca centr´ıfuga, pois a velocidade para umobservador fora da aeronave ´e a soma das velocidades da nave com a velocidade do astronauta, isso causa uma aumento de 20% no peso do astronauta. Sabendo que a massa do planeta ´e aproximadamente igual `a da Terra, pode-se dizer que a raz˜ao entre asmassas da Gliese 581 e do nosso Sol ´e de aproximadamente:A ( ) 0,05B ( ) 0,1C ( ) 0,6D ( ) 0,3E ( ) 4,0Solu¸c˜ ao:Gliese e seu planeta podem ser caracterizados de acordo coma Terceira Lei de Keplercomo j´a vimos antes...

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