Universidade Federal de Santa Catarina Curso de P´

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e

Computa¸c˜ ao Cient´ıfica

  ´

Algebras de Hopf associadas a grafos

tipo ´ arvore

  

Giovani Goraiebe Pollachini

Orientador: Prof. Dr. Eliezer Batista

Florian´ opolis

Mar¸co de 2015

  

Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica e

Computa¸c˜ ao Cient´ıfica

´

  

Algebras de Hopf associadas a grafos tipo

´ arvore

  Disserta¸ c˜ ao apresentada ao Curso de P´ os- Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Pura e Aplicada, do Centro de Ciˆ encias F´ısicas e Matem´ aticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obten¸ c˜ ao do grau de Mestre em Mate- m´ atica, com ´ Area de Concentra¸ c˜ ao em ´ Alge- bra.

  Giovani Goraiebe Pollachini Florian´ opolis

  Mar¸ co de 2015

  ´

Algebras de Hopf associadas a grafos tipo

´ arvore

  por Giovani Goraiebe Pollachini

  Esta disserta¸c˜ ao foi julgada para a obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica, ´ Area de Concentra¸c˜ ao em ´ Algebra, e aprovada em sua forma final pelo Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´atica Pura e Aplicada.

  Dr. Daniel Gon¸calves Coordenador da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´atica

  Comiss˜ ao Examinadora Prof. Dr. Eliezer Batista (UFSC-Orientador)

  Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves (UFPR) Profa. Dra. Alda Dayana Mattos Mortari (UFSC)

  Prof. Dr. Gilles Gon¸ calves de Castro (UFSC)

Florian´ opolis, 04 de mar¸co de 2015.

  ` A minha familia (que tamb´em s˜ ao meus amigos!) e amigos (que tamb´em s˜ ao minha fam´ılia!).

  Agradecimentos

  Quero agradecer aos meus pais, Alexandre e Gra¸ca, por todos os cuida- dos, amor e carinho, por acreditarem nos sonhos meus e dos meus irm˜aos, e por permitirem que eu more em casa mesmo depois dos 18 anos ;-) .

  Agrade¸co aos meus irm˜ aos Maur´ıcio e Daniel pela companhia, pelas jogatinas, brincadeiras e aventuras de infˆ ancia (que continuam at´e hoje!). Aos meus irm˜aos David e Herbert, que conheci um pouco mais tarde, e aos meus primos todos, agrade¸co pela amizade e companheirismo. Estendo esses agradecimentos ` a toda fam´ılia (vai ser dif´ıcil citar todos!), vocˆes todos s˜ao muito importantes para mim!

  Tamb´em agrade¸co aos amigos pela amizade incondicional, pela diver- s˜ao, caf´e, trabalho, esporte, bar... Por compartilharem momentos alegres e dif´ıceis. Pela companhia de sempre, que parece fazer efeito mesmo quando passamos muito tempo distantes. N˜ ao v˜ ao faltar momentos de reencontro e anima¸c˜ ao, podem ter certeza! N˜ ao vou poder citar os nomes de todos, como gostaria, pois vai faltar tempo e espa¸co. S´erio, tenho que mandar imprimir e entregar o mais r´ apido poss´ıvel para continuar no prazo!

  Agrade¸co ao meu orientador, prof. Eliezer Batista, pelo incentivo e amizade. Estendo a todos os membros da banca, que gentilmente oferece- ram corre¸c˜ oes e sugest˜oes importantes. Espero ter atendido a todas essas corre¸c˜ oes com o rigor necess´ario. Tamb´em estendo o agradecimento aos professores que acompanharam minha trajet´oria, pelos ensinamentos cri- teriosos durante todo esse tempo, tanto do ponto de vista t´ecnico como pessoal.

  Agrade¸co ` a UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina - pela mi- nha forma¸c˜ ao e pela infraestrutura necess´aria. E ` a CAPES - Coordena¸c˜ ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior - pelo apoio financeiro, essencial aos estudantes.

  Resumo

  O presente trabalho tem como objetivo explorar algumas ´algebras de Hopf constru´ıdas a partir de grafos do tipo ´ arvore (com raiz). Estudam- se as ´ algebras de Connes-Kreimer e a de Grossman-Larson, e busca-se uma rela¸c˜ ao entre essas duas ´ algebras de Hopf. A rela¸c˜ ao encontrada ´e a dualidade separante.

  Tamb´em explora-se uma vers˜ ao para ´ arvores ordenadas das ´algebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson. Prova-se a dualidade dessas duas ´ algebras seguindo a ideia do caso anterior, mas n˜ ao se consegue obter que a dualidade ´e separante. Um contraexemplo para isso ´e mostrado.

  Os cap´ıtulos iniciais apresentam a teoria b´ asica de ´algebras de Hopf e de Lie necess´ aria para a leitura deste trabalho. Alguns resultados sobre bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao e com gradua¸c˜ ao s˜ao vistos no cap´ıtulo 4, incluindo a demonstra¸c˜ ao do teorema de Milnor-Moore. O cap´ıtulo 5 apresenta as ´ arvores (n˜ ao-ordenadas e ordenadas) e as ´algebras de Connes- Kreimer e de Grossman-Larson obtidas a partir das mesmas. Termina-se apresentando o teorema de Panaite e a dualidade entre essas duas ´algebras de Hopf. Palavras-chave:

  ´ ´ ´ Arvores com raiz. Arvores com raiz ordenadas. Algebra de Connes- Kreimer. ´ Algebra de Grossman-Larson. Teorema de Panaite.

  Abstract The present work explores some Hopf algebras built over rooted trees.

  The Hopf algebras of Connes-Kreimer and Grossman-Larson are studied, and a relationship between these algebras is investigated. The relationship between these algebras turns out to be a separating duality.

  A version of the Connes-Kreimer and Grossman-Larson algebras using ordered rooted trees is also investigated. A duality between these algebras is obtained, in the same way as the non-ordered case. However, it is not a separating duality, and a counterexample is shown.

  The first three chapters present the basic theory of Hopf algebras and Lie algebras required for the remainder of the work. Some results con- cerning gradded and filtered connected bialgebras are shown in chapter 4, including the proof of the Milnor-Moore theorem. The chapter 5 pre- sents (non-ordered and ordered) rooted trees and the Connes-Kreimer and Grossman-Larson algebras built over them. A duality between these two algebras is, then, shown, by means of Panaite’s theorem.

  Key-words: Rooted trees. Ordered rooted trees. The Connes-Kreimer algebra. The Grossman-Larson algebra. Panaite’s theorem.

  Sum´ a rio

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  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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   129

  

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  . . . . . . . . . . . . 259

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  Introdu¸c˜ a o Breve hist´ orico

  As ´ algebras de Hopf s˜ ao ´ algebras com uma s´erie de estruturas adi- cionais. Elas tˆem estrutura de ´ algebra e de co´ algebra (uma esp´ecie de dualiza¸c˜ ao da estrutura de ´ algebra), que s˜ ao compat´ıveis de uma certa maneira. Al´em disso, h´ a uma esp´ecie de “invers˜ao”, a chamada ant´ıpoda. Apesar da quantidade de requisitos, essas estruturas aparecem em muitas areas da matem´atica. ´

  O in´ıcio desse assunto remonta a 1941, quando o matem´atico alem˜ao Heinz Hopf (1894-1991) estuda essa ´ algebra no contexto de topologia al- g´ebrica. Mais tarde, o assunto ganha independˆencia, e por volta de 1969 come¸ca a surgir uma teoria geral para ´ algebras de Hopf. Ao mesmo tempo, aplica¸c˜ oes em v´ arias ´ areas da matem´ atica s˜ao descobertas.

  Para exemplificar as aplica¸c˜ oes, citamos , que menciona em seu pre- f´ acio a presen¸ca das ´ algebras de Hopf em teoria de n´ umeros, geometria alg´ebrica, teoria de Lie, teoria de Galois, teoria de aneis graduados, teoria de operadores, grupos localmente compactos, distribui¸c˜oes, combinat´oria, teoria de representa¸c˜ oes, entre outros. Tamb´em aparecem na f´ısica, com os chamados grupos quˆ anticos, e em ciˆencia da computa¸c˜ ao.

  Passamos aos grafos tipo ´ arvore. Um dos primeiros estudos foi feito em 1857 por Arthur Cayley (1821-1895). As ´ arvores tamb´em foram estudadas por James Joseph Sylvester (1806-1897), Georg P´ olya (1887-1985), entre outros. Nessa ´epoca, o interesse era usar grafos para contar is´ otopos de certas mol´eculas, conforme consta em .

  2 Introdu¸c˜ao

  Runge-Kutta, em an´ alise num´erica, usando ´ arvores com raiz. Descobriu, ent˜ ao, uma conex˜ ao entre grafos tipo ´ arvore com raiz e derivadas de v´arias ordens da expans˜ao da solu¸c˜ ao da EDO de primeira ordem ˙x = F (x); essa expans˜ ao, inclusive, ficou conhecida na literatura como s´erie de Butcher, ou B-series. ´ E poss´ıvel encontrar esse assunto desenvolvido em detalhes no livro , entre outros.

  Por outro lado, em alguns trabalhos de geometria n˜ao comutativa, surge uma ´ algebra (de Hopf) gerada pelas ´ arvores com raiz. Os matem´aticos A. Connes e D. Kreimer encontram uma conex˜ao entre essa ´algebra e a ´ algebra de difeomorfismos. A ´ algebra de ´ arvores tamb´em foi proposta para organizar a dif´ıcil combinat´ oria da renormaliza¸c˜ao em teoria quˆantica de campos, conforme aponta . Essa ´ algebra ´e estudada no presente trabalho, e aqui ´e denotada por H CK .

  No fim da d´ecada de 80, R. Grossman e R. G. Larson introduziram uma outra ´ algebra de Hopf com base nas ´ arvores, motivados por algumas ideias em operadores diferenciais e equa¸c˜ oes diferenciais, como mencionado em . Estudamos tamb´em essa ´ algebra, aqui sendo denotada por H .

  GL

  Ainda, F. Panaite aponta, no artigo , uma conex˜ao entre as duas ´ algebras H e H via dualidade. A demonstra¸c˜ ao cont´em um equivoco

CK GL

  numa passagem, mas com uma corre¸c˜ ao devida a M. E. Hoffman, em , o resultado continua v´ alido.

  Motiva¸c˜ ao e estrutura da disserta¸c˜ ao

  A presente disserta¸c˜ ao foi motivada, inicialmente, pela leitura do artigo . O intuito era estudar, se poss´ıvel, alguma conex˜ao entre ´algebras de Hopf e a renormaliza¸c˜ ao em Teoria Quˆ antica de Campos. O assunto esbarrou em uma s´erie de pr´e-requisitos, e conforme busc´ avamos suprir esses pr´e-requisitos, o trabalho gradualmente se direcionou para o estudo das ´ algebras sobre ´ arvores com raiz.

  Para o estudo das ´ arvores com raiz, h´ a bastante literatura a respeito direcionada ` a teoria de grafos e an´ alise num´erica, como por exemplo , . Com rela¸c˜ ao a estruturas de ´ algebra de Hopf sobre as ´arvores com raiz, no entanto, s˜ao poucas as referˆencias que contˆem um material introdut´ orio e mais acess´ıvel a quem est´ a come¸cando. Destacamos o artigo , que cont´em uma ´ otima introdu¸c˜ ao ao assunto.

  Esta disserta¸c˜ ao cont´em 5 cap´ıtulos, descritos abaixo. Os pr´e-requisitos

  Introdu¸c˜ ao

  3 com espa¸cos vetoriais, soma direta, transforma¸c˜ oes lineares, teoremas do isomorfismo, e um conhecimento b´ asico sobre produto tensorial de espa¸cos vetoriais.

  O cap´ıtulo 1 traz os pr´e-requisitos para se estudar ´algebras de Hopf. Abordamos o conceito de ´ algebra do ponto de vista categ´ orico, que motiva a defini¸c˜ ao de uma estrutura dual, a co´ algebra. Estudamos, tamb´em, as bi´ algebras, que s˜ao o pano de fundo para as ´ algebras de Hopf.

  No cap´ıtulo 2, abordamos alguns elementos da teoria cl´assica de ´al- gebras de Hopf, com ˆenfase nos resultados e constru¸c˜oes necess´arias nos pr´ oximos cap´ıtulos. Seguimos os textos cl´ assicos .

  O cap´ıtulo 3 trata de ´ algebras de Lie. Fazemos uma exposi¸c˜ao b´

  a- sica, com foco na ´ algebra envolvente universal, que ´e uma ´algebra de Hopf. Abordamos um conhecido teorema da ´ area: o teorema de Poincar´e- Birkhoff-Witt. As referˆencias utilizadas s˜ao os livros .

  Come¸camos com um material mais espec´ıfico no cap´ıtulo 4, em que tra- tamos de bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao e com gradua¸c˜ ao. Apresentamos que toda bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´e uma ´algebra de Hopf. Com rela¸c˜ ao ` as bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao, apresentamos o teorema de Milnor-Moore, que em certas condi¸c˜ oes, garante que conseguimos recupe- rar uma bi´ algebra a partir dos seus elementos primitivos via o recobrimento universal. Para esse cap´ıtulo, consultamos o livro .

  Por fim, no cap´ıtulo 5, fazemos uma introdu¸c˜ao `as ´arvores com raiz, e definimos as ´ algebras de Hopf de Connes-Kreimer H CK e de Grossman- Larson H . Mostramos que s˜ ao ´ algebras de Hopf e exibimos suas estru-

  GL

  turas, com v´ arios exemplos. Abordamos a rela¸c˜ ao entre essas ´algebras, e para tanto, utilizamos o teorema de Panaite em , com a corre¸c˜ao suge- rida em . Obtemos que as duas ´ algebras est˜ao em dualidade separante. Tamb´em apresentamos as ´ arvores (com raiz) ordenadas, e tentamos repetir os passos do caso das ´ arvores (n˜ ao-ordenadas). Mostramos as estruturas de ´ algebra de Hopf para as vers˜ oes com ´ arvores ordenadas das ´algebras de Connes-Kreimer H e de Grossman-Larson H , e mostramos um teo-

CK GL

  rema an´ alogo ao de Panaite para esse caso. Obtemos que as duas ´algebras, na vers˜ ao ordenada, tamb´em est˜ao em dualidade, mas o par dual an´alogo ao do outro caso n˜ ao ´e separante. Para as defini¸c˜ oes de H e H , nos

  CK GL contextos n˜ ao-ordenado e ordenado, usamos o artigo .

  4 Introdu¸c˜ao

1 Cap´ıtulo

  ´ A lgebras, co´ a lgebras e bi´ a lgebras

  Neste cap´ıtulo apresentamos alguns pr´e-requisitos para a leitura do tra- balho. Precisamos dos conceitos de ´ algebra, co´ algebra e bi´ algebra para o estudo das ´ Algebras de Hopf. Apresentamos as defini¸c˜ oes e alguns ele- mentos da teoria de ´ algebras com uma linguagem categorial, que evidencia a possibilidade de se dualizar essa estrutura. Fazemos um pequeno es- tudo dessa estrutura dual, a co´ algebra. Encerramos o cap´ıtulo estudando as bi´ algebras, que s˜ao ´ algebras e co´ algebras ao mesmo tempo e tˆem uma compatibilidade entre essas estruturas.

  ´

1.1 Algebras Nesta se¸c˜ ao iremos estudar ´ algebras de um ponto de vista categ´ orico.

  As diversas propriedades, como associatividade, comutatividade, unidade ser˜ ao traduzidas em termos de diagramas comutativos. Essa abordagem possibilitar´ a posteriormente a defini¸c˜ ao de uma estrutura dual, a estrutura de co´ algebra.

1.1.1 Defini¸c˜ ao e exemplos

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1. Uma K-´ algebra (associativa e com unidade) ´e uma tripla

  6 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  1. A ´e um K-espa¸co vetorial; 2. µ : A ⊗ A → A e η : K → A s˜ao transforma¸c˜ oes lineares; 3. os diagramas a seguir comutam:

  Id⊗µ

  // A ⊗ A ⊗ A A ⊗ A A ⊗ A η :: dd µ

µ

⊗Id Id⊗η ⊗Id µ

  K ⊗ A A ⊗ K ee ϕ ϕ l r

  99

  ∼ ∼ = =

  A ⊗ A // A µ A

  µ ◦ (η ⊗ Id) ◦ ϕ l = Id µ ◦ (Id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ Id)

  µ ◦ (Id ⊗ η) ◦ ϕ r = Id Nos diagramas acima, temos as ϕ l e ϕ r transforma¸c˜ oes lineares e bije- toras, dadas por

  ϕ l : A → K ⊗ A ϕ r : A → A ⊗ K com ϕ l (a) = 1 ⊗ a e ϕ r (a) = a ⊗ 1 , para todo a ∈ A.

  K K

  Al´em disso, diz-se que a K-´algebra ´e comutativa se o seguinte diagrama comutar: τ //

  A ⊗ A A ⊗ A µ µ '' ww

  A µ ◦ τ = µ onde τ : A ⊗ A → A ⊗ A ´e o operador de transposi¸c˜ao, dado nos monˆomios de A ⊗ A por τ (a ⊗ b) = b ⊗ a. Observa¸c˜ ao 1.1.2. Para encurtar a nota¸c˜ ao, quando n˜ ao h´ a confus˜ao, se costuma omitir o corpo em que se est´ a trabalhando. Tamb´em se costuma omitir a tripla que define a ´ algebra, apenas mencionando o espa¸co vetorial. Os morfismos ficam impl´ıcitos no contexto. Dessa forma, costuma-se dizer “considere uma ´ algebra A” em vez de “considere uma K-´algebra (A, µ, η)”.

  1.1. ´ Algebras

  7 Observa¸c˜ ao 1.1.3. ´ E poss´ıvel verificar que essa defini¸c˜ ao ´e coerente com a

  

  defini¸c˜ ao usual de ´ algebra associativa com unidadDe fato, as corres- pondˆencias µ(a ⊗ b) = a · b η(1) = 1 A

  

  A associatividade corresponde ` a comutatividade do diagrama da es- querda: µ ◦ (Id ⊗ µ)(a ⊗ b ⊗ c) = (ab)c µ ◦ (µ ⊗ Id)(a ⊗ b ⊗ c) = a(bc) ∀a, b, c ∈ A .

  A propriedade do elemento neutro do produto corresponde ao diagrama da direita da defini¸c˜ ao apresentada acima: µ ◦ (η ⊗ Id) ◦ ϕ l (a) = 1 A · a r A µ ◦ (Id ⊗ η) ◦ ϕ (a) = a · 1 ∀a ∈ A .

  Al´em disso, as propriedades de compatibilidade das estruturas de anel e espa¸co vetorial a · (b + c) = ab + ac (a + b) · c = ac + bc

  λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb) ∀a, b, c ∈ A, ∀λ ∈ K se traduzem na linearidade dos morfismos µ e η. Observa¸c˜ ao 1.1.4. A comutatividade da ´ algebra, quando ocorre, ´e tradu- zida no terceiro diagrama da defini¸c˜ ao

  µ ◦ τ (a ⊗ b) = b · a µ(a ⊗ b) = a · b ∀a, b ∈ A . 1 Vamos a alguns exemplos.

  · Defini¸c˜ ao em termos de uma opera¸c˜ ao bilinear : A × A → A, o produto, e

de uma unidade 1 A . Ou ainda, A tem estrutura de espa¸co vetorial sobre K e de anel

associativo com unidade. 2 Usa-se a propriedade universal do produto tensorial para obter µ linear a partir da ·

  8 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Exemplo 1.1.5 (K ´e uma ´ algebra). O corpo K ´e uma ´algebra (comuta- tiva), com o produto dado pela multiplica¸c˜ ao do corpo e a unidade, pela unidade do corpo. Em termos de morfismos, temos:

  µ (α ⊗ β) = α · β

  K η (1 ) = 1 .

  

K K K

  Exemplo 1.1.6 ( ´ Algebra de polinˆ omios a uma vari´ avel). Seja K[x] o con- junto dos polinˆ omios p(x) com coeficientes em K corpo. K[x] ´e uma ´alge- bra (comutativa), com soma e multiplica¸c˜ ao por escalar usuais, e produto n m n

  • m

  dado por a n x · b m x = a n b m x (e estendido distributivamente para quaisquer dois polinˆ omios, j´ a que estes s˜ ao somas finitas de monˆomios). Exemplo 1.1.7 ( ´ Algebra das matrizes n × n). Seja M n o conjunto das matrizes n × n, munido da soma e produto por escalar usuais. O produto matricial e a unidade Id tornam M n uma ´ algebra (n˜ao comutativa). Exemplo 1.1.8 ( ´ Algebra das s´eries de potˆencia formais). Seja K[[x]] o conjunto das s´eries de pontˆencias formais. Isto ´e, o conjunto cujos elemen- tos s˜ ao somas formais

  ∞

  X n

  ∞

  a n x = (a n ) , n n =0 =0 que podem ser pensadas tamb´em como sequˆencias de elementos a n ∈ K.

  Na verdade, a igualdade acima serve como defini¸c˜ ao para uma soma formal. Esse conjunto ´e uma ´ algebra, com produto e unidade dados por

    !

  ∞ ∞ ∞

  X i j n

  X X

  X   i j n i a i x · b j x = a i · b j x

  =0 =0 =0 +j=n i,j ≥0

  1 = 1 .

  

K[[x]] K

  Em outras se¸c˜ oes deste cap´ıtulo veremos mais exemplos e constru¸c˜ oes envolvendo ´ algebras, como a ´ algebra tensorial de um espa¸co vetorial, ´alge- bra livre gerada por um conjunto e a ´ algebra quociente.

1.1.2 Sub´ algebras, ideais e morfismos

  Revisamos abaixo os conceitos de sub´ algebra, ideal, e morfismos de algebras. Procuramos, como antes, dar ˆenfase ` ´ a vers˜ao categ´ orica desses

  1.1. ´ Algebras

  9 Defini¸ c˜ ao 1.1.9. Seja A uma ´ algebra. Uma sub´ algebra B ´e um subespa¸co vetorial de A tal que µ(B ⊗ B) ⊆ B.

  Observa¸c˜ ao 1.1.10. Nessa defini¸c˜ ao, observa-se que a sub´ algebra B ´e, por si s´o, uma ´ algebra (associativa), mas n˜ ao necessariamente com unidade. Ainda, caso a sub´ algebra B seja, por si s´ o, uma ´algebra associativa com unidade, a unidade pode ou n˜ ao ser a mesma da ´algebra A que a cont´em. De fato, considere como A a ´ algebra das matrizes 2 × 2 com coeficientes

  1 0 a

  reais, com o produto matricial e unidade [ ]. Sejam B = {[ ] : a ∈ R} e

  0 1 a ′ a 1 0

  B = {[ ] : a, b ∈ R}, que s˜ao sub´ algebras de A. B tem unidade [ ] 6= b

  1 0 ′ ′ 1 0

  [ ] e B n˜ ao tem unidade, como vemos a seguir. Se B tivesse uma

  0 1 c c c c c 1 0 1 0

  unidade [ ], ent˜ ao por causa de [ ]·[ ] = [ ] e de [ ]·[ ] = [ ], d d c d d c 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 dever´ıamos ter [ ] = [ ]. Mas [ ] · [ ] = [ ] 6= [ ] = [ ] · [ ], d

  1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 uma contradi¸c˜ ao.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.11. Seja A uma ´ algebra. Um subespa¸co vetorial I de A ´e: 1. um ideal ` a esquerda de A se µ(A ⊗ I) ⊆ I; 2. um ideal ` a direita de A se µ(I ⊗ A) ⊆ I; 3. um ideal bilateral de A, ou apenas ideal de A, se µ(A⊗I +I ⊗A) ⊆ I, ou equivalentemente, se µ(A ⊗ I) ⊆ I e µ(I ⊗ A) ⊆ I.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.12. Sejam (A, µ A , η A ) e (B, µ B , η B ) duas ´algebras. Uma fun¸c˜ ao K-linear f : A → B ´e um morfismo de K-´ algebras se os seguintes diagramas comutarem: f ⊗f f

  // A ⊗ A B ⊗ B A // B µ µ A B ff η η A B

  88 K A // B f µ B ◦ (f ⊗ f ) = f ◦ µ A f ◦ η A = η B

  Observa¸c˜ ao 1.1.13. Essa defini¸c˜ ao tamb´em ´e a tradu¸c˜ ao em linguagem

   3 f : A → B ´ e morfismo de ´ algebras se ´ e morfismo de an´ eis com unidade e de espa¸cos

  10 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras O diagrama da esquerda representa o fato de f ser morfismo de an´eis:

  µ B ◦ (f ⊗ f )(a ⊗ a ) = f (a ) · f (a )

  1

  2

  1

  2

  f ◦ µ A (a

  1 ⊗ a 2 ) = f (a 1 · a 2 )

  J´ a o diagrama da direita corresponde ao fato de f preservar a unidade: f ◦ η A (1) = f (1 A ) η B (1) = 1 B . Finalizamos essa se¸c˜ ao com uma proposi¸c˜ ao que liga os conceitos de morfismo, ideais e sub´ algebras. Proposi¸ c˜ ao 1.1.14. Sejam A e B ´ algebras e f : A → B morfismo de algebras. Ent˜ ´ ao:

  1. Im(f ) ´e sub´ algebra de B; 2. ker(f ) ´e ideal de A .

  Demonstra¸c˜ ao.

  1. Im(f ) ´e um subespa¸co vetorial de B. Como f ◦µ A = µ B ◦(f ⊗f ), ent˜ao para todos a, b ∈ A, temos µ b (f (a) ⊗ f (b)) = f (µ A (a ⊗ b)) ∈ Im(f ).

  Portanto µ B (Im(f ) ⊗ Im(f )) ⊆ Im(f ). 2. ker(f ) ´e subespa¸co vetorial de A. Sabemos que ker(f ⊗ f ) = ker(f ) ⊗ A + A ⊗ ker(f ) .

  Temos, ent˜ ao, que µ B ◦ (f ⊗ f )(ker(f ⊗ f )) = 0

  =⇒ f ◦ µ A (ker(f ⊗ f )) = 0 =⇒ µ A (ker(f ⊗ f )) ⊆ ker(f ) =⇒ µ A (ker(f ) ⊗ A + A ⊗ Im(f )) ⊆ ker(f ) .

  Portanto ker(f ) ´e ideal de A.

  1.1. ´ Algebras

  11

  ´

1.1.3 Algebra oposta

  Seja A uma ´ algebra. Vamos definir um produto “invertido”, fazendo

  op

  µ = µ ◦ τ , em que τ : A ⊗ A → A ⊗ A, como visto na defini¸c˜ao ´e o operador de transposi¸c˜ ao, dado por τ (a ⊗ b) = b ⊗ a. De forma equivalente, traduzindo para a nota¸c˜ ao usual de ´ algebras, estamos definindo o produto oposto a · b = b · a .

  op op

  Podemos mostrar que (A, µ , η) ´e uma ´ algebra. Quando se considera o

  op

  produto oposto na ´ algebra, a ´ algebra ´e denotada por A e ´e chamada de algebra oposta. ´ Checaremos que a ´ algebra oposta ´e uma ´ algebra. Faremos as contas apenas usando morfismos, mas ´e igualmente poss´ıvel (e na verdade, mais f´ acil) fazer as contas aplicando em elementos, para checar as propriedades de ´ algebra. Para facilitar, vamos estabelecer uma nota¸c˜ao conveniente para trabalhar com os operadores de transposi¸c˜ao. Vamos escrever τ A,A a transposi¸c˜ ao definida por ′ ′

  τ A,A : A ⊗ A → A ⊗ A

  ′ ′

  a ⊗ a 7→ a ⊗ a , e quando n˜ ao ouver risco de confus˜ao, omitiremos o subscrito.

  ′ ′

  Vale destacar que para transforma¸c˜ oes lineares f : A → B e g : A → B , tem-se ′ ′ τ B,B ◦ (f ⊗ g) = (g ⊗ f ) ◦ τ A,A .

  Escreveremos tamb´em τ p , com p uma permuta¸c˜ ao, para referir-nos a, por exemplo, 1 2 3 τ( ) : A ⊗ A ⊗ A → A ⊗ A ⊗ A 3 2 1 a ⊗ a ⊗ a 7→ a ⊗ a ⊗ a .

  1

  2

  

3

  3

  2

  1 Vamos verificar a comutatividade dos diagramas: op op

  µ ◦ (µ ⊗ Id) = µ ◦ τ ◦ ((µ ◦ τ ) ⊗ Id) = µ ◦ (Id ⊗ (µ ◦ τ )) ◦ τ A

  ⊗A,A

  = µ ◦ (Id ⊗ µ) ◦ (Id ⊗ τ ) ◦ τ A ⊗A,A 1 2 3

  12 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras op

  op

  µ ◦ (Id ⊗ µ ) = µ ◦ τ ◦ (Id ⊗ (µ ◦ τ )) = µ ◦ ((µ ◦ τ ) ⊗ Id) ◦ τ A,A ⊗A = µ ◦ (µ ⊗ Id) ◦ (τ ⊗ Id) ◦ τ A,A ⊗A 1 2 3 op op op op = µ ◦ (µ ⊗ Id) ◦ τ( 3 2 1 ) , portanto µ ◦ (µ ⊗ Id) = µ ◦ (Id ⊗ µ ), e

  op

  µ ◦ (η ⊗ Id) ◦ ϕ l = µ ◦ τ ◦ (η ⊗ Id) ◦ ϕ l = µ ◦ (Id ⊗ η) ◦ τ ◦ ϕ l

K,A

  = µ ◦ (Id ⊗ η) ◦ ϕ r = Id . O outro diagrama ´e an´ alogo. Note que τ ◦ ϕ l = ϕ r e τ ◦ ϕ r = ϕ l .

K,A A,K

  ´

1.1.4 Algebra quociente

  O resultado a seguir fornece uma estrutura de ´algebra conveniente para A o quociente de uma ´ algebra por um ideal. I A Proposi¸ c˜ ao 1.1.15. Sejam A ´ algebra, I ⊆ A um ideal e π : A → a I proje¸c˜ ao canˆ onica, que ´e morfismo de espa¸cos vetoriais. Ent˜ ao existe uma A

  ´ unica estrutura de ´ algebra em tal que a proje¸c˜ ao canˆ onica π seja um I morfismo de ´ algebras. Essa estrutura de ´ algebra ´e dada por: a · b = a · b A A 1 = 1 A . I Demonstra¸c˜ ao. ´e um K-espa¸co vetorial. O produto a · b = a · b est´a bem I definido, pois:

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  ab − a b = ab − ab + ab − a b

  ′

  a = a

  ′ ′ ′ ′ ′

  =⇒ b .

  = a(b − b ) + (a − a )b ∈ I =⇒ ab = a

  ′

  b = b | {z } | {z }

  ∈I ∈I

  A bilinearidade do produto, e a propriedade da unidade decorrem das A mesmas propriedades em A. Portanto ´e uma ´ algebra. I Com esse produto e essa unidade, n˜ ao ´e dif´ıcil verificar que a proje¸c˜ ao π ´e um homomorfismo de ´ algebras. A Agora, vejamos a unicidade. Se • ´e um outro produto em que faz I

  π ser um morfismo de ´ algebras, ent˜ao

  1.1. ´ Algebras

  13

  ′

  E se 1 A ´e outra unidade, em rela¸c˜ ao ao produto • = · , ent˜ao I

  ′ ′ ′ 1 A = 1 A · 1 A = 1 A • 1 A = 1 A . I I I A

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.16. Sejam A, B ´ algebras, I ⊆ A ideal e π : A → o I a proje¸c˜ ao canˆ onica. Se f : A → B ´e um morfismo de ´ algebras tal que A I ⊆ ker(f ), ent˜ ao existe um ´ unico morfismo de ´ algebras f : → B tal que I o diagrama abaixo comuta: f

  // A B π OO f

  && A I f ◦ π = f .

  Demonstra¸c˜ ao. Considere A f : → B I a 7→ f (a) .

  Como I ⊆ ker(f ), f est´ a bem definida: a = b =⇒ a − b ∈ I ⊆ ker(f ) =⇒ f (a − b) = 0 =⇒ f (a) = f (b) =⇒ f (a) = f (b) . Al´em disso, n˜ ao ´e dif´ıcil checar que f ´e morfismo de ´algebras. Isso decorre de f ser morfismo, e da estrutura de ´ algebra vista no teorema anterior. O A produto, por exemplo, fica, para quaisquer a, b ∈ , I f (ab) = f (ab) = f (ab) = f (a)f (b) = f (a)f (b) .

  Por constru¸c˜ ao, temos f ◦ π = f . A Resta apenas verificar a unicidade da f . Se g : → B for outro mor- I fismo de ´ algebras com g ◦ π = f , ent˜ ao A g(a) = g ◦ π(a) = f (a) = f (a) para todo a ∈ . Portanto g = f e a unicidade fica provada. I

  14 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Corol´ ario 1.1.17. Sejam A, B ´ algebras e f : A → B morfismo de ´ alge- bras. Ent˜ ao

  A f : → Im(f ) ker(f ) a 7→ f (a)

  ´e isomorfismo de ´ algebras, e portanto A

  ∼ = Im(f ) . ker(f )

  Demonstra¸c˜ ao. Basta considerar I = ker(f ) na proposi¸c˜ ao anterior, para obter que f ´e morfismo de ´ algebras. Para mostrar que ´e bije¸c˜ ao, basta notar que a sobrejetividade ´e imediata, e que a injetividade vem de f (a) = 0 =⇒ f (a) = 0 =⇒ a ∈ ker(f ) =⇒ a = 0 =⇒ a ∈ ker(f ) .

  ´

1.1.5 Algebra do produto tensorial

  Sejam A e B duas ´ algebras. Temos que A ⊗ B ´e um espa¸co vetorial, o qual pode-se dar uma estrutura de ´ algebra a partir das estruturas de A e B. Defina

  µ A = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B )

  ⊗B

  η A = (η A ⊗ η B ) ◦ ∆ ,

  ⊗B K B,A

  em que as transforma¸c˜ oes lineares ∆ e τ s˜ao dadas por:

  

K

  ∆ : K → K ⊗ K

  K

  ∆ (λ) = λ(1 ⊗ 1 )

  

K K K

  τ B,A : B ⊗ A → A ⊗ B τ B,A (b ⊗ a) = a ⊗ b . Em termos de elementos, temos

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  (a ⊗ b) · (a ⊗ b ) = (a · a ) ⊗ (b · b ) ∀a, a ∈ A, ∀b, b ∈ B

  1.1. ´ Algebras

  ) = µ A

  = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ µ A ⊗ Id B ⊗ µ B ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 5 2 4 6 ) .

  Portanto µ A

  ⊗B

  ◦ (µ A

  ⊗B

  ⊗ Id A

  ⊗B

  ⊗B

  ◦ (Id A ⊗A ⊗ τ B ⊗B,A ⊗ Id B ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 6 )

  ◦ (Id A

  ⊗B

  ⊗ µ A

  ⊗B

  ). Quanto aos diagramas da counidades, temos: µ A ⊗B ◦ (η A ⊗B ⊗ Id A ⊗B ) ◦ ϕ l A ⊗B

  = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ) ◦ ◦ (η A ⊗ η B ) ◦ ∆

  K

  = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (µ A ⊗ Id A ⊗ µ B ⊗ Id B ) ◦ ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 2 5 3 4 6 ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 6 )

  ◦ (µ A ⊗ µ B ⊗ Id A ⊗ Id B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ⊗ Id A ⊗ Id B ) = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (µ A ⊗ Id A ⊗ µ B ⊗ Id B ) ◦

  15 Vamos mostrar a comutatividade dos diagramas da associatividade e da unidade:

  ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 4 2 5 6 ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 2 3 5 4 6 ) = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ µ A ⊗ Id B ⊗ µ B

  µ A ⊗B ◦ (Id A ⊗B ⊗ µ A ⊗B ) = µ A ⊗B ◦ Id A ⊗ Id B ⊗ (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ ⊗ Id B ) = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ) ◦

  ◦ (Id A ⊗ Id B ⊗ µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ Id B ⊗ Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ) = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ µ A ⊗ Id B ⊗ µ B ) ◦

  ◦ (Id A ⊗ τ B,A

  ⊗A

  ⊗ Id B

  

⊗B

  ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 2 3 5 4 6 ) = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ µ A ⊗ Id B ⊗ µ B ) ◦

  ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 5 2 4 6 ) µ A

  ◦ (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ ⊗ Id B ) ⊗ Id A ⊗ Id B = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ) ◦

  ⊗B

  ◦ (µ A

  ⊗B

  ⊗ Id A

  ⊗B

  ) = µ A

  ⊗B

  ⊗ Id A ⊗ Id B ◦ ϕ l A ⊗B = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (Id A ⊗ τ B,A ⊗ Id B ) ◦

  16 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (η A ⊗ Id A ⊗ η B ⊗ Id B ) ◦

  ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id B ) ◦ (∆ ⊗ Id A ⊗ Id B ) ◦ ϕ l A ⊗B

  K K,A K

  = (µ A ⊗ µ B ) ◦ (η A ⊗ Id A ⊗ η B ⊗ Id B ) ◦ (ϕ l A ⊗ ϕ l B ) = Id A ⊗ Id B = Id A .

  ⊗B

  O outro diagrama ´e an´ alogo. Note que (Id ⊗ τ ⊗ Id B ) ◦ (∆ ⊗ Id A ⊗ Id B ) ◦ ϕ l A = ϕ l A ⊗ ϕ l B

  K K,A K ⊗B

  (Id A ⊗ τ ⊗ Id ) ◦ (Id A ⊗ Id B ⊗ ∆ ) ◦ ϕ r A = ϕ r A ⊗ ϕ r B ,

  B,K K K ⊗B o que se observa aplicando em um elemento de A ⊗ B.

  ´

1.1.6 Algebra livre

  No contexto de espa¸cos vetoriais ´e poss´ıvel definir o espa¸co vetorial livre gerado por um conjunto de elementos, digamos S, que ´e, ent˜ao, base do espa¸co. Esse espa¸co vetorial livre ´e constitu´ıdo de combina¸c˜ oes lineares finitas (formais) de elementos de S com coeficientes em K, que podemos

  P escrever como a s s ou (a s ) s , com os a s ’s escalares em K. s ∈S

  ∈S

  ´ E poss´ıvel fazer o mesmo no contexto das ´ algebras e definir a ´ algebra livre gerada por um conjunto S. Como al´em da estrutura de espa¸co ve- torial devemos ter tamb´em uma multiplica¸c˜ ao, n˜ ao ´e suficiente considerar

  P s s´o somas formais da forma a s. A ideia ´e considerar as palavras s

  ∈S

  formadas de finitos s´ımbolos de S, como s

  1 . . . s n , e considerar o produto

  como sendo a concatena¸c˜ ao de palavras s . . . s n · r . . . r m = s . . . s n r . . . r m ,

  1

  1

  1

  1

  com s , . . . , s n , r , . . . , r m ∈ S. Temos, assim, a seguinte defini¸c˜ao:

  1

1 Defini¸ c˜ ao 1.1.18. A ´ algebra das palavras gerada pelo conjunto S, deno-

  tada por K{S}, ´e o espa¸co vetorial livre gerado pelas palavras finitas em S

  ( n )

  X K {S} = a i w i | n ∈ N, a , . . . , a n ∈ K, w i = s . . . s n , i =1

  

1

  1 i

  com o produto dado pela concatena¸c˜ ao de palavras (e estendido por dis- tributividade) e unidade dada pela palavra vazia, denotada por 1.

  N˜ ao ´e dif´ıcil ver que a ´ algebra das palavras ´e, de fato, uma ´ algebra. Agora damos uma defini¸c˜ ao em termos de uma propriedade universal:

  1.1. ´ Algebras

  17 Defini¸ c˜ ao 1.1.19. A ´ algebra livre gerada por S ´e o par (L S , i S ) em que:

  1. L S ´e uma ´ algebra; 2. i S : S → L ´e uma fun¸c˜ ao; 3. vale a propriedade universal: dadas uma ´algebra A e uma fun¸c˜ ao f : S → A, existe ´ unico morfismo de ´ algebras f : L S → A tal que o diagrama a seguir comuta: f

  // S A i S OO f

  && L S f ◦ i S = f .

  Veremos que a ´ algebra de palavras definida acima ´e uma ´algebra livre. Proposi¸ c˜ ao 1.1.20. K{S} com a inclus˜ ao canˆ onica i S : S → K{S} ´e uma algebra livre. Al´em disso, a ´ ´ algebra livre ´e ´ unica a menos de isomorfismo.

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar a propriedade universal. Sejam A uma ´ algebra e f : S → A uma fun¸c˜ ao. Defina f : K{S} → A por f (1) = 1 A f (s

  1 . . . s n ) = f (s 1 ) . . . f (s n ) ,

  para toda palavra s

  1 . . . s n , e estendida por linearidade. Em consequˆencia

  da defini¸c˜ ao de f , o mesmo ´e um morfismo de ´algebras. Como f (s) = f (s) para todo s ∈ S (` a esquerda da igualdade, s ´e visto como palavra de uma letra s´o), temos que f ◦ i S = f . Al´em disso, f ´e ´ unico. Seja outro morfismo de ´ algebras g : K{S} → A tal que g ◦ i S = f . Ent˜ao, para todos s , . . . , s n ∈ K{S}, temos

  1 g(s . . . s n ) = g(s ) . . . g(s n ) = f (s ) . . . f (s n ) = f (s . . . s n ) .

  1

  1

  1

  1 Resulta que g = f , j´a que s˜ao iguais nos elementos da base.

  18 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras outra ´ algebra livre gerada por S. Usando a propriedade universal, temos: h i S

  // // S M S K {S}

  OO i S h h i S OO ''

  '' K {S} M ∃h : h ◦ i S = h ∃i S : i S ◦ h = i S .

  Dessa forma, temos que h = h ◦ i S ◦ h i S = i S ◦ h ◦ i S ,

  Portanto i S h // //

  S K {S} S M OO OO

  Id, h◦i S i h S Id, i ◦h S

  '' && M K

  {S}

  e, pela unicidade, temos que Id = i S ◦ h e Id = h ◦ i S . Assim, h e i S s˜ao isomorfismos entre M e K{S}. Proposi¸ c˜ ao 1.1.21. Seja A uma ´ algebra. Ent˜ ao A ´e o quociente de uma

K{S}

  algebra livre por um ideal. Mais especificamente, A ∼ ´ , em que S ⊆

  = I A ´e um conjunto gerador e I ´e o n´ ucleo do ´ unico morfismo de ´ algebras i : K{S} → A tal que i(s) = s, para todo s ∈ S.

K{A}

  Em particular, fazendo S = A, temos A ∼ para um ideal I ⊆ = I K {A}.

  Demonstra¸c˜ ao. Seja S um conjunto gerador de A como espa¸co vetorial, e i : S → A inclus˜ ao canˆ onica. Pela propriedade universal da ´algebra livre K {S}, existe ´ unico morfismo de ´ algebras i : K{S} → A tal que i ◦ i S = i, isto ´e, i(s) = i(s) = s para todo s ∈ S. Temos que i ´e sobrejetora, pois todo a ∈ A pode ser escrito como

  X X

  X X a = λ s s = λ s i(s) = λ s i(s) = i λ s s . s s s s

  ∈S ∈S ∈S ∈S

  | {z }

  1.1. ´ Algebras

  19 Portanto temos o isomorfismo de ´ algebras

  K {S}

  A = Im(f ) ∼ =

  I com I = ker(¯i).

  ´

1.1.7 Algebra tensorial

  Na ´ algebra livre se constr´ oi uma ´ algebra partindo de um conjunto, e essa ´ algebra satisfaz uma propriedade universal. ´ E poss´ıvel fazer algo pa- recido a partir de um espa¸co vetorial; obtemos a ´algebra tensorial. Vamos come¸car por uma defini¸c˜ ao baseada numa propriedade universal.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.22. Seja V um espa¸co vetorial. Uma ´ algebra tensorial ´e um par (T V , i V ), em que:

  1. T V ´e uma ´ algebra; 2. i V : V → T V ´e uma transforma¸c˜ ao linear; 3. vale a propriedade universal: dadas A ´ algebra e f : V → A transfor- ma¸c˜ ao linear, existe ´ unico morfismo de ´ algebras f : T V → A tal que o diagrama comuta: f

  //

  V A i V f OO &&

  T V f ◦ i V = f .

  Tentaremos, ent˜ ao, construir uma ´ algebra que satisfa¸ca essa proprie- dade universal. A constru¸c˜ ao ´e parecida com a da ´algebra de palavras. Vamos precisar de um produto que funcione como uma concatena¸c˜ ao; um candidato que funciona ´e o produto tensorial.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.23. Seja V um espa¸co vetorial. Defina:

  ⊗0

  V := K ,

  ⊗1

  V := V ,

  ⊗n

  20 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Agora defina T (V ) e i V por:

  ( n )

  ∞

  X M

  ⊗n

  T (V ) := λ i w i | n ∈ N, λ i ∈ K, w i = v i, ⊗ . . . ⊗ v i,n =

  V i 1 i n =1

  =0

  i V : V → T (V )

  ∞ v 7→ v = (vδ n, ) . 1 n n =0

  P A nota¸c˜ ao λ i w i representa uma soma formal de tensores elementares i

  =1

  w i ; podemos pensar como uma sequˆencia em n ∈ N de (somas de) tensores

  ⊗n

  de grau n em V , tal que apenas uma quantidade finita de entradas ´e n˜ ao-nula.

  L ∞

  ⊗n ⊗n

  Frequentemente consideramos K, V, V ⊆ n =0 V via inclus˜oes canˆ onicas. Ent˜ ao escrevemos, por exemplo, v ∈ V para denotar um ele- L

  ∞ ∞ ⊗n

  mento da forma (vδ ) ∈ V .

  1,n n =0 n =0

  Agora defina um produto em T (V ) dado pelo produto tensorial (u ⊗ . . . ⊗ u m ) ⊗ (v ⊗ . . . ⊗ v n ) = u ⊗ . . . ⊗ u m ⊗ v ⊗ . . . ⊗ v n

  1

  1

  1

  1 e estendido linearmente.

  N˜ ao ´e dif´ıcil checar que T (V ) ´e uma ´ algebra. Al´em disso, esta ser´a a ´ algebra tensorial no sentido da defini¸c˜ ao Proposi¸ c˜ ao 1.1.24. (T (V ), i V ) definidos acima formam uma ´ algebra ten- sorial. Demonstra¸c˜ ao. Sejam A uma ´ algebra e f : V → A uma transforma¸c˜ ao linear. Seja {e λ } λ base de V .

  ∈Λ

  Defina, para n ∈ N, ˜ f n : V × . . . × V → A por | {z } n vezes

  ˜ f n (e λ , . . . , e λ ) = f (e λ ) . . . f (e λ ) 1 n 1 n e estenda linearmente em cada entrada. Como ˜ f ´e n-linear, pela propri- edade universal do produto tensorial, existe ´ unica transforma¸c˜ao linear

  ⊗n

  f n : V → A dada por f n (e λ ⊗ . . . ⊗ e λ ) = f (e λ ) . . . f (e λ ) 1 n 1 n

  ⊗0

  1.1. ´ Algebras

  X n ≥1

  Por fim, ¯ f ´e ´ unico com essa propriedade. Se existisse outro morfismo 4

  ! = f (v) .

  X λ α λ e λ

  X λ α λ f (e λ ) = f

  ! =

  X λ α λ e λ

  α λ e λ como combina¸c˜ ao linear dos vetores da base acima. Temos: ¯ f (v) = ¯ f

  Al´em disso, temos que ¯ f ◦ i V = f . De fato, para todo v ∈ V , escreva v = P λ

  ¯ f X n X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n !

X n X λ 1 ...λ n′ β λ 1 ...λ n′ e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n ! = ¯ f X n,n X λ1...λn λ′ 1 ...λ′ n′ α λ 1 ...λ n β λ 1 ...λ n′ e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n ⊗ e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n′ = X n,n X λ1...λn λ′ 1 ...λ′ n′ α λ 1 ...λ n β λ 1 ...λ n′ f (e λ 1

) . . . f (e λ

n )f (e λ 1 ) . . . f (e λ n′ ) = X n X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n f (e λ 1 ) . . . f (e λ n )

!

X n X λ 1 ...λ n′ β λ 1 ...λ n′ f (e λ 1 ) . . . f (e λ n′ ) ! = ¯ f X n X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n

!

¯

f

X n X λ 1 ...λ n′ β λ 1 ...λ n′ e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n′ ! .

  ¯ f ´e morfismo de ´ algebras, pois:

  X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n f (e λ 1 ) . . . f (e λ n ) .

  = α1 A +

  21 Por propriedade da soma direta, existe ´ unica transforma¸c˜ ao linear

  X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n f n (e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n )

  X n

  ! =

  X λ 1 ...λ n α λ 1 ...λ n e λ 1 ⊗ · · · ⊗ e λ n

  X n

   ¯ f

  

  → A dada p

  ⊗n

  V

  ¯ f : L ∞ n =0

  ⊗ · · · ⊗ e

  22 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras L ∞

  ⊗n

  de ´ algebras ¯ g : n V → A com ¯ g ◦ i V = f , ter´ıamos

  =0

  !

  X X g ¯ α λ ...λ e λ ⊗ · · · ⊗ e λ n λ ...λ 1 n 1 n 1 n

  X X = α λ ...λ g(e ¯ λ ) . . . ¯ g(e λ ) n λ ...λ 1 n 1 n 1 n

  X X = α λ ...λ f (e λ ) . . . f (e λ ) n λ ...λ 1 n 1 n n 1

  !

  X X = ¯ f α λ ...λ e λ ⊗ · · · ⊗ e λ . n λ ...λ 1 n 1 n 1 n Ent˜ ao ¯ g = ¯ f .

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.25. Seja A uma ´ algebra. Ent˜ ao A ´e o quociente de uma algebra tensorial por um ideal. ´

  T (A)

  Mais especificamente, A ∼ , em que A visto como espa¸co vetorial e = I I ´e o n´ ucleo do ´ unico morfismo de ´ algebras i : T (A) → A tal que i(a) = a, para todo a ∈ A

  Demonstra¸c˜ ao. Considere A ´ algebra e i = Id : A → A linear. Pela propri- edade universal da ´ algebra tensorial, existe ´ unico morfismo de ´algebras ¯i tal que ¯i(a) = a, para todo a ∈ A. ´ E imediato que ¯i ´e sobrejetora. Ent˜ao temos o isomorfismo de ´ algebras

  T (A) ∼ = Im(¯i) = A ,

  I com I = ker(¯i).

  1.2 Co´ algebras

  Nesta se¸c˜ ao dualizaremos o conceito de ´ algebra. Obteremos as co´ alge- bras, com toda a estrutura que a acompanha an´aloga `a das ´algebras. A dualiza¸c˜ ao corresponde ao seguinte: ao escrevemos uma propriedade em termos de diagramas comutativos, a propriedade dual ´e obtida invertendo- se as flechas nos diagramas.

  1.2.1 Defini¸c˜ ao e exemplos

  1.2. Co´ algebras

  23

  1. C ´e um K-espa¸co vetorial; 2. ∆ : C → C ⊗ C e ε : C → K s˜ao transforma¸c˜ oes lineares; 3. e os diagramas a seguir comutam:

  ∆

  // C C ⊗ C C ϕ r l 1 99 ee ϕ 1

  ∼ ∼ = = ∆ Id⊗∆

  C ⊗ K ∆ K ⊗ C ee ε

  99 Id⊗ε ⊗Id // C ⊗ C ⊗ C

  C ⊗ C

  ∆⊗Id

  C ⊗ C

  −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆ = Id l (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ = (∆ ⊗ Id) ◦ ∆

  −1

  ϕ r ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆ = Id , em quem ϕ l , ϕ r s˜ao as mesmas da defini¸c˜ ao e suas inversas s˜ao dadas por

  −1

  ϕ : K ⊗ C → C l

  −1

  ϕ : C ⊗ K → C , r

  −1 −1

  com ϕ (1 ⊗ c) = c e ϕ (c ⊗ 1 ) = c para todo c ∈ C. l K r K Al´em disso, diz-se que a K-co´ algebra ´e cocomutativa se o seguinte dia- grama comutar:

  C

  

∆ ∆

  ww '' C ⊗ C // C ⊗ C τ τ ◦ ∆ = ∆ .

  Para simplificar a nota¸c˜ ao, muitas vezes enunciamos que C ´e uma co´ al- gebra e fica impl´ıcito o corpo K. E os morfismos do coproduto e da couni- dade ser˜ ao usualmente denotados por ∆ e ε, ou ∆ C e ε C se houver risco de confus˜ ao. Frequentemente definimos ∆ e ε apenas nos elementos da base; fica impl´ıcito, ent˜ ao, que s˜ao estendidas a transforma¸c˜ oes lineares em todo

  24 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  ′

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.2. A counidade ´e ´ unica. Isto ´e, se (C, ∆, ε) e (C, ∆, ε )

  ′ s˜ ao co´ algebras, ent˜ ao ε = ε .

  Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, note que para todo f : C → K, temos:

  −1

  f ◦ ϕ = µ ◦ (Id ⊗ f ) l K K

  −1 f ◦ ϕ = µ ◦ (f ⊗ Id ) . r K K

  De fato, mostra-se que s˜ ao iguais aplicando em elementos c ⊗ 1 e 1 ⊗ c

  K K

  respectivamente, com c ∈ C. Obt´em-se f (c) nos dois lados, nas duas equa¸c˜ oes.

  Assim, temos:

  ′ ′

  ε = ε ◦ Id C

  ′ −1

  = ε ◦ ϕ ◦ (ε ⊗ Id C ) ◦ ∆ l

  

  = µ ◦ (Id ⊗ ε ) ◦ (ε ⊗ Id C ) ◦ ∆

  K K ′

  = µ ◦ (ε ⊗ ε ) ◦ ∆

  K

  ε = ε ◦ Id C

  −1 ′

C

  = ε ◦ ϕ r ◦ (Id ⊗ ε ) ◦ ∆

  ′

  = µ ◦ (ε ⊗ Id ) ◦ (Id C ⊗ ε ) ◦ ∆

  K K ′

  = µ ◦ (ε ⊗ ε ) ◦ ∆

  K ′

  Logo ε = ε .

  Veremos alguns exemplos de co´ algebras a seguir. Neste mesmo cap´ı- tulo, em outra se¸c˜ ao, ser˜ ao apresentadas outras constru¸c˜ oes envolvendo co´ algebras. Exemplo 1.2.3 (K ´e uma co´ algebra). O corpo K ´e uma co´ algebra com coproduto e counidade dados por

  ∆ (α) = α(1 ⊗ 1 )

  

K K K

ε (α) = α . K

  Exemplo 1.2.4 (Uma estrutura de co´ algebra para qualquer espa¸co veto- rial). Seja V um espa¸co vetorial. Defina as transforma¸c˜ oes lineares ∆ : V → V ⊗ V ε : V → K c i ⊗ c k ⊗ c l

  X i

  X i

  −1

  X i

  Vamos conferir a comutatividade dos diagramas de co´ algebra. Basta fazer isso para os elementos da base: (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c m ) =

  X j +l=m (∆ ⊗ Id)(c j ⊗ c l )

  =

  X j

  c i ⊗ c k ⊗ c l =

  1

  X i

  c i ⊗ c k ⊗ c l (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c m ) =

  X i

  (Id ⊗ ∆)(c i ⊗ c j ) =

  X i

  X k

  c i ⊗ c k ⊗ c l =

  ⊗ c m

  c i ⊗ c m −i = c ⊗ c m + c

  1.2. Co´ algebras

  −1 r

  25 Checamos abaixo a comutatividade dos diagramas de co´ algebra:

  (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(v) = v ⊗ v ⊗ v = (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(v) ϕ

  −1 l

  ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(v) = ε(v)v = 1

  K

  v = v ϕ

  ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(v) = vε(v) = v1

  =0

  K = v .

  Dessa forma, V ´e uma co´ algebra com a estrutura acima. Exemplo 1.2.5 (Co´ algebra da potˆencia dividida). Seja V um espa¸co veto- rial com base {c m }

  ∞ m =0

  . Defina as transforma¸c˜oes lineares ∆ : V → V ⊗ V e ε : V → K por: ε(c m ) = δ

  0,m

  ∆(c m ) = m

  X i

  • . . . + c m ⊗ c =
  • j = m i, j ≥ 0 c i ⊗ c j .
  • l=m
  • k=j
  • k+l=m
  • j=m
  • j=m
  • l=j
  • k+l=m

  26 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras m !

  X

  −1 −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(c m ) = ϕ ◦ (ε ⊗ Id) c i ⊗ c m l l

m

i =0 −i

  X = ε(c i ) · c m −i i

  

=0

m

  X = δ · c m i 0,i −i

=0

  = c m m !

  X

  −1 −1

  ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(c m ) = ϕ ◦ (Id ⊗ ε) c i ⊗ c m r

l

i −i

m

=0

  X = c i · ε(c m ) i −i

=0

m

  X = c i · δ

i =0

0,m−i = c m .

  Portanto V ´e uma co´ algebra. Com essa estrutura, V ´e chamada co´ algebra da potˆencia dividida. c Exemplo 1.2.6 (Co´ algebra das matrizes). Denote por M um espa¸co n

  2 ij

  vetorial de dimens˜ ao n e base {e : 1 ≤ i, j ≤ n}. Defina o coproduto e a counidade nos elementos da base por: c c c c ∆ : M → M ⊗ M ε : M → K n n n n

  P n ∆(e ij ) = e ip ⊗ e pj ε(e ij ) = δ i,j . p

  =1

  Vamos verificar a comutatividade dos diagramas. Novamente, como se tratam de transforma¸c˜ oes lineares, basta conferir para os elementos da base. n

  X (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(e ij ) = (∆ ⊗ Id)(e ip ⊗ e pj ) p

  

=1

n n

  X X = e iq ⊗ e qp ⊗ e pj

  1.2. Co´ algebras n

  27 ij iq qj

  X (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(e ) = (Id ⊗ ∆)(e ⊗ e ) q =1 n n

  X X = e iq ⊗ e qp ⊗ e pj q p

  =1 =1 =⇒ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ .

  Al´em disso, temos: n !

  X

  −1 −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(e ij ) = ϕ ◦ (ε ⊗ Id) e ip ⊗ e pj l l p

n

=1

  X = ε(e ip ) · e pj p

=1

n

  X = δ i,p · e pj p =1 = e ij , n !

  X

  −1 −1

  ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(e ij ) = ϕ ◦ (Id ⊗ ε) e ip ⊗ e pj r l p

n

=1

  X = e ip · ε(e pj ) p

=1

n

  X = e ip · δ p,j p

  

=1

= e ij .

1.2.2 Nota¸c˜ ao de Sweedler

  A nota¸c˜ ao de Sweedler ´e uma maneira abreviada de se escrever o copro- n P duto. Nessa nota¸c˜ ao, escreve-se o elemento ∆(c) = c ⊗c ∈ C ⊗C i 1,i 2,i

  =1

  como

  X ∆(c) = c ⊗ c

c

(1) (2)

  ´ As vezes escreve-se tamb´em ∆(c) = c ⊗ c ou mesmo ∆(c) = c ⊗ c

  (1) (2)

  1

  2

  28 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Devido ` a coassociatividade, os elementos de C ⊗ C ⊗ C

  X X (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(c) = c ⊗ c ⊗ c c c

(1)

(1)(1) (1)(2) (2)

  X X (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(c) = c ⊗ c ⊗ c c c

(2)

(1) (2)(1) (2)(2) s˜ao iguais, e na nota¸c˜ ao de Sweedler, s˜ ao ambos escritos como

  X ∆ (c) = c ⊗ c ⊗ c

  

2 (1) (2) (3)

c em que ∆ = (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆.

2 Da mesma forma, usamos a coassociatividade diversas vezes e obtemos

  ∆ : = (∆ ⊗ Id ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆

  3

  = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (∆ ⊗ Id ⊗ Id) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ = (Id ⊗ Id ⊗ ∆) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ = (Id ⊗ Id ⊗ ∆) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ , ent˜ ao todos esses 6 morfismos, em que o ∆ aparece 3 vezes, s˜ao iguais. E o elemento ∆ (c) ´e denotado por

3 X ∆ (c) = c ⊗ c ⊗ c ⊗ c .

  

3 (1) (2) (3) (4)

c

  Defina ∆ : = ∆

  1 n

  ∆ n : = (∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n n +1 para n ≥ 1 e Id = Id ⊗ . . . ⊗ Id (n vezes, e se n = 0, entende-se que o n termo Id desaparece da express˜ ao). Pode-se mostrar por indu¸c˜ao que ´e poss´ıvel reescrever ∆ n trocando a posi¸c˜ ao em que os ∆’s aparecem, como fizemos com ∆ .

3 Proposi¸ c˜ ao 1.2.7. Vale a coassociatividade generalizada:

  p n

  −p

  1. ∆ n = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n , ∀p = 0, 1, . . . , n, ∀n ≥ 1

  • 1

  1.2. Co´ algebras m n

  29

  −i−m

  3. ∆ n = (Id ⊗ ∆ i ⊗ Id ) ◦ ∆ n ,

  −i ∀n ≥ 2, ∀i = 1 . . . n − 1, ∀m = 0, . . . n − i .

  Demonstra¸c˜ ao.

  1. O caso p = 0 ´e a defini¸c˜ ao de ∆ n . O caso n = 1 segue da coas-

  • 1

  sociatividade ∆ = (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆. Assumimos que a

  2

  f´ ormula vale para n − 1, com n ≥ 2. Isto ´e, p n −1−p (HI) ∆ n = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n , ∀p = 0, 1, . . . , n − 1 . Seja p entre 1 e n. Provaremos a f´ ormula para n. Temos p − 1 entre 0 e n − 1, e vale: p n −p n

  (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ p n −p p −1 n −p = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n −1 p n p n

  −1 −p −1 −p

  = Id ⊗ (Id ⊗ ∆) ⊗ Id ◦ (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n p n −1 −1 −p = Id ⊗ ((Id ⊗ ∆) ◦ ∆) ⊗ Id ◦ ∆ n p n −1 −1 −p

  = Id ⊗ ((∆ ⊗ Id) ◦ ∆) ⊗ Id ◦ ∆ n

p n p n

−1 −1 −(p−1) −1 −p = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n p −1 n −(p−1) −1 = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n .

  ′

  Repetimos essa conta para qualquer p entre 1 e p. Aplicando o

  ′ ′ ′

  resultado acima para p = p, p = p − 1, . . ., p = 1, conseguimos trazemos o ∆ ` a esquerda da composi¸c˜ ao para a esquerda das Id’s at´e obtermos: p n p n

  −p −1 −(p−1)

  (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n p −2 n −(p−2) = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n ..

  . n

  1 −1

  = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n n = (∆ ⊗ Id ) ◦ ∆ n = ∆ n +1 .

  Portanto, o item 1. fica provado.

  2. Vamos provar por indu¸c˜ ao em n. O caso n = 1 recai na coassociati- vidade. Suponha v´ alido para n − 1, com n ≥ 2, isto ´e,

  • 1

  (n)

  ) ◦ ∆ n

  −i−(m−1)

  ⊗ Id n

  −1

  ⊗ ∆ i

  −1

  = ∆ n (c) = (Id m

  ⊗ . . . ⊗ c

  (c) = (Id m

  (1)

  X c c

  Essa proposi¸c˜ ao (item 3. aplicado a m − 1) nos permite escrever:

  , e isso conclui a indu¸c˜ ao.

  −i

  ) ◦ ∆ n

  −i−m

  −i

  −1

  −i 2.

  (n−i)

  ⊗ c

  (m−1)

  ⊗ . . . ⊗ c

  (1)

  X c (m) c

  X c

  ! =

  ⊗ . . . ⊗ c

  ⊗ ∆ i

  (m)

  ⊗ . . . ⊗ c

  (1)

  X c c

  )

  −i−m+1

  ⊗ Id n

  −1

  = (Id m ⊗ ∆ i ⊗ Id n

  ◦ ∆ n

  30 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras O caso n fica:

  3. Seja n ≥ 2 fixo. Vamos provar, por indu¸c˜ ao em i, que a igualdade vale para qualquer m = 0, . . . , n − 1. De fato, para i = 1, reca´ımos no item 1. desta proposi¸c˜ ao. Assumimos que a igualdade seja v´alida para i − 1, com i ≥ 2:

  −i−m+1

  ⊗ Id n

  −1

  = (Id m ⊗ ∆ i

  (HI)

  Provamos agora que vale para i. Seja m entre 0 e n − i. Temos ∆ n

  (HI) ∆ n = Id m ⊗ ∆ i −1 ⊗ Id n −i−m+1 ◦ ∆ n −i+1 .

  ) ◦ ∆ n −1 ) ⊗ Id ◦ ∆ def. = (∆ n ⊗ Id) ◦ ∆ .

  −i+1 1.

  −1

  ⊗ Id) ◦ ∆ = (∆ ⊗ Id n −1 ⊗ Id) ◦ (∆ n −1 ⊗ Id) ◦ ∆ = ((∆ ⊗ Id n

  −1

  = (∆ ⊗ Id n ) ◦ (∆ n

  (HI)

  = (∆ ⊗ Id n ) ◦ ∆ n

  ∆ n

  ) ◦ ∆ n

  = (Id m ⊗ ∆ i

  −i−m

  −i−m

  ⊗ Id) ◦ ∆) ⊗ Id n

  −1

  = Id m ⊗ ((∆ i

  −i

  ) ◦ ∆ n

  −i−m

  ) ◦ (Id m ⊗ ∆ ⊗ Id n

  ⊗ Id ⊗ Id n

  −1

  −1

  = (Id m ⊗ ∆ i

  −i

  ) ◦ ∆ n

  −i−m

  ) ◦ (Id m ⊗ ∆ ⊗ Id n

  −i−m+1

  ⊗ Id n

  (m)(1) ⊗ . . .

  1.2. Co´ algebras

  31 com 1 ≤ i − 1 ≤ n e 0 ≤ m − 1 ≤ n − i.

  Assim, se temos uma express˜ao envolvendo c , . . . , c (resultante

  (1) (n)

  da composi¸c˜ ao de uma transforma¸c˜ ao linear com ∆ n ), podemos rees-

  −1

  crever os s´ımbolos c ’s mantendo c , . . . , c como est˜ao, trocando

  (i) (1) (m−1)

  c , . . . , c por c , . . . , c e trocando c , . . . , c por

  (m) (m+i) (m)(1) (m)(i) (m+i+1) (n) c , . . . , c . (m+1) (n−i)

  Com isso, podemos reescrever express˜oes envolvendo

  X ∆ n −1 (c) = c ⊗ . . . ⊗ c , c (1) (n) como por exemplo:

  X ε(c )c ε(c ) c (1) (2) (3)

  !

  X

  −1 −1

  = ϕ ◦ (Id ⊗ ϕ ) ◦ (ε ⊗ Id ⊗ ε) c ⊗ c ⊗ c l r (1) (2) (3) c  

  X

  −1 −1

    = ϕ ◦ (Id ⊗ ϕ r ) ◦ (ε ⊗ Id ⊗ ε) c ⊗ c ⊗ c l (1) (2)(1) (2)(2) c,c (2)

  X = ε(c )c ε(c ) c,c (2) (1) (2)(1) (2)(2)

   

  X X  

  = ε(c ) c ε(c ) c c (1) (2)(1) (2)(2) (2)

  X = ε(c )c c (1) (2) = c .

  As ´ ultimas igualdades seguem do axioma da counidade.

1.2.3 Subco´ algebras, coideais e morfismos

  Dualizaremos os conceitos de sub´ algebra, ideal e morfismos, que foram escritos de maneira categ´ orica. Obteremos desta forma as subco´ algebras, coideais e morfismos de co´ algebras. Defini¸ c˜ ao 1.2.8. Seja C uma co´ algebra. Uma subco´ algebra D de C ´e um subespa¸co vetorial tal que ∆(D) ⊆ D ⊗ D.

  32 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Observa¸c˜ ao 1.2.9. (C, ∆| , ε| ) ´e uma co´ algebra. Note que no caso das D D ´ algebras, nem sempre a sub´ algebra ´e, por si s´ o, uma ´algebra (com unidade), como visto na observa¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao 1.2.10. Seja C uma co´ algebra. Um subespa¸co vetorial I de C

  ´e: 1. um coideal ` a esquerda de C se ∆(I) ⊆ C ⊗ I; 2. um coideal ` a direita de C se ∆(I) ⊆ I ⊗ C; 3. um coideal de C, se ∆(I) ⊆ C ⊗ I + I ⊗ C e ε(I) = 0.

  Observa¸c˜ ao 1.2.11. A condi¸c˜ ao ε(I) = 0 em 3. ´e imposta para que seja C poss´ıvel definir uma estrutura de co´ algebra no quociente . Essa estrutura I ´e vista na se¸c˜ ao

  Defini¸ c˜ ao 1.2.12. Sejam (C, ∆ C , ε C ) e (D, ∆ D , ε D ) duas co´ algebras. Uma fun¸c˜ ao K-linear f : C → D ´e um morfismo de K-co´ algebras se os diagramas abaixo comutarem: f f

  // C // D C D ε ε C D

  ∆ ∆ C D && xx

  K C ⊗ C // D ⊗ D f

  ⊗f ∆ D ◦ f = (f ⊗ f ) ◦ ∆ C ε D ◦ f = ε C .

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.13. Seja (C, ∆ C , ε C ) uma co´ algebra. Seja I ⊆ C um subespa¸co de C. Ent˜ ao: I ´e coideal ` a direita e ` a esquerda de C sse I ´e subco´ algebra . Demonstra¸c˜ ao. Basta observar que (C ⊗ I) ∩ (I ⊗ C) = I ⊗ I. Assim:

  ∆(I) ⊆ C ⊗ I sse ∆(I) ⊆ I ⊗ I . ∆(I) ⊆ I ⊗ C

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.14. Sejam C e D co´ algebras e f : C → D morfismo de

  1.2. Co´ algebras

  33

  1. Im(f ) ´e subco´ algebra de D; 2. ker(f ) ´e coideal de C . Demonstra¸c˜ ao.

  1. Im(f ) ´e um subespa¸co vetorial de B. Seja c ∈ C. Como f ´e morfismo de co´ algebras, ∆ D ◦ f = (f ⊗ f ) ◦ ∆ C , e portanto ∆ D (f (c)) = f ⊗ f (∆ C (c)) = f (c ) ⊗ f (c ) ∈ Im(f ) ⊗ Im(f ) .

  (1) (2)

  Dessa forma ∆ D Im(f ) ⊆ Im(f ) ⊗ Im(f ), e portanto Im(f ) ´e sub- co´ algebra de D. 2. ker(f ) ´e subespa¸co vetorial de C.

  Vamos mostrar que ε(ker(f )) = 0. Seja c ∈ ker(f ). Temos que ε(c) = ε D ◦ f (c) = ε C (0) = 0 .

  Agora vamos verificar que ∆ C (ker(f )) ⊆ ker(f ) ⊗ C + C ⊗ ker(f ). Seja c ∈ ker(f ). Temos

  ∆ D (f (c)) = ∆ D (0) = 0 , portanto, como f ´e morfismo de co´ algebras, (f ⊗ f )(∆ C (c)) = ∆ D (f (c)) = 0 . Assim, ∆ C (c) ∈ ker(f ⊗ f ). Como ker(f ⊗ f ) = ker(f ) ⊗ C + C ⊗ ker(f ), temos ent˜ ao ∆ C (c) ∈ ker(f )⊗C+C⊗ker(f ). Segue, portanto, que ∆ C (ker(f )) ⊆ ker(f ) ⊗ C + C ⊗ ker(f ). Portanto, ker(f ) ´e um coideal de C.

1.2.4 Teorema fundamental das co´ algebras

  As co´ algebras tˆem uma finitude intr´ınseca, expressa pelo teorema fun- damental das co´ algebras. Esse teorema diz que todo elemento de uma co´ algebra est´a contido numa subco´ algebra de dimens˜ao finita. Para mos-

  34 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Lema 1.2.15. Seja V um espa¸co vetorial. Seja t ∈ V ⊗ V ⊗ V . Podemos escrever t como uma soma finita

  X t = c i ⊗ x ij ⊗ d j , i,j com {c i } e {d j } LI’s.

  P Demonstra¸c˜ ao. Seja t = y k ⊗ z k ⊗ w k . Tome uma base {v α } de V . k k k Escrevendo os vetores y e w como combina¸c˜ ao linear dos vetores da base, temos

  X X

  X t = a i (y k )v i ⊗ z k ⊗ a j (w k )v j . k i j Passando as constantes para a entrada tensorial do meio, temos a soma finita

  !

  X X t = v i ⊗ a i (y k )a j (w k )z k ⊗ v j . i,j k Escolhemos como c i ’s os termos v i da soma finita em i, como d j ’s os finitos termos v j e como x ij ’s os termos da entrada do meio do tensor. Temos

  P ent˜ ao t = c i ⊗ x ij ⊗ d j , com os c i ’s LI e os d j ’s LI. i,j Lema 1.2.16. Sejam U e V espa¸cos vetoriais, e sejam X ⊆ U e Y ⊆ V subespa¸cos. Considere um elemento t ∈ U ⊗ V , que pode ser escrito como n

  X t = u k ⊗ v k ∈ U ⊗ V , k

  =1

  com os u k ∈ U e v k ∈ V . Ent˜ ao: n

  X 1. t = u k ⊗ v k ∈ U ⊗ Y e u k ’s LI =⇒ v k ∈ Y, ∀k; k =1 n

  X 2. t = u k ⊗ v k ∈ X ⊗ V e v k ’s LI =⇒ u k ∈ X, ∀k. k

  =1 Demonstra¸c˜ ao.

  1. Estenda os u k ’s a uma base {u α : α ∈ Λ} de U . Ent˜ao U ⊗ Y ∼ = L

  P

  (Λ)

  Y = Y (soma direta externa), com isomorfismo Φ ( u α ⊗ x α ) = α α

  ∈Λ n n

  P P (x α ) α . Logo, se u k ⊗v k ∈ U ⊗Y , ent˜ ao temos Φ ( u k ⊗ v k ) =

  ∈Λ k k =1 =1 (Λ) (v α ) α ∈ Y , em que v α = v k se u α = u k e v α = 0 caso contr´ ario. ∈Λ

  1.2. Co´ algebras

  35 2. ´ E an´ alogo ao anterior, estendendo os v k ’s a uma base {u α : α ∈ Λ}

  L

  (Λ)

  de V e considerando o isomorfismo X ⊗ V ∼ = X (soma = X α ∈Λ

  P direta externa) dado por Φ ( x α ⊗ v α ) = (x α ) α . α ∈Λ Teorema 1.2.17 (Teorema fundamental das co´ algebras). Todo elemento c ∈ C de uma co´ algebra est´ a contido em uma subco´ algebra de dimens˜ ao finita.

  P Demonstra¸c˜ ao. Escreva, pelo lema ∆ (c) = c i ⊗ x ij ⊗ d j , to-

  2 i,j

  mando os c i ’s e d j ’s LI. Denote por X o espa¸co vetorial de dimens˜ao finita gerado pelos x ij ’s. Como temos c = (ε ⊗ Id ⊗ ε) ∆ (c) (veja a se¸c˜ao

  2 P sobre nota¸c˜ ao de Sweedler), ent˜ ao c = ε(c i )x ij ε(d j ) ∈ X. i,j

  Resta mostrar que X ´e uma subco´ algebra. Precisamos mostrar que para todo x ij , tem-se ∆(x ij ) ∈ X ⊗ X. Note que (∆ ⊗ Id ⊗ Id)(∆ (c)) = (Id ⊗ ∆ ⊗ Id)(∆ (c)) = (Id ⊗ Id ⊗ ∆)(∆ (c))

  2

  2

  2 Vamos aplicar o lema considerando C ⊗ C ⊗ X ⊆ C ⊗ C ⊗ C e

  C ⊗ X ⊆ C ⊗ C subespa¸cos. Temos: X X

  ⊗ ⊗ i,j i,j c i ∆(x ij ) ⊗ d j = ∆(c i ) ⊗ x ij d j X X

! !

X X

⊗ ⊗ ⊗ ∈

c i ij d j i ij d j C ⊗ C ⊗ X lema

=⇒ ∆(x ) = ∆(c ) ⊗ x ⊗ C

j i j i X X ⊗ ∈

  =⇒ c i ∆(x ij ) = ∆(c i ) ⊗ x ij C ⊗ C ⊗ X , ∀j X i ilema =⇒ c i ∆(x ij ) ∈ C ⊗ (C ⊗ X) , ∀j i ij =⇒ ∆(x ) ∈ C ⊗ X , ∀i, j .

  Tamb´em usamos o lema considerando os subespa¸cos X ⊗ C ⊗ C ⊆ C ⊗ C ⊗ C e X ⊗ C ⊆ C ⊗ C. Temos: X X

  ⊗ ⊗ ⊗ c i ij j c i x ij j i,j i,j X ∆(x ) ⊗ d = ∆(d ) X ! ! X X ⊗ ⊗ ⊗ ∈ lema

=⇒ c i ∆(x ij ) ⊗ d j = c i x ij ∆(d j ) C ⊗ X ⊗ C ⊗ C

i j i j X X ij j x ij j ⊗ =⇒ ∆(x ) ⊗ d = ∆(d ) ∈ X ⊗ C ⊗ C , ∀i X j j ij jlema =⇒ ∆(x ) ⊗ d (X ⊗ C) ⊗ C , ∀i j

  36 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Note que X ⊗ C e C ⊗ X s˜ao subespa¸cos de C ⊗ C, por isso aplicamos o lema acima. Logo ∆(x ij ) ∈ X ⊗ X, e X ´e uma subco´ algebra de C. Observa¸c˜ ao 1.2.18. Para ´ algebras, n˜ ao vale que todo elemento est´a contido numa sub´ algebra de dimens˜ ao finita. Basta considerar A = K[x], a ´algebra dos polinˆ omios na vari´ avel x com coeficientes em K. Temos que x ∈ K[x], mas x n˜ ao est´ a em nenhuma sub´ algebra de dimens˜ao finita de K[x]. De fato, se estivesse em uma sub´ algebra X de dimens˜ao finita, os polinˆomios

  2

  3

  x , x , . . . deveriam estar tamb´em em X, e ter´ıamos um subconjunto LI infinito em X. Obtemos, ent˜ ao, uma contradi¸c˜ ao com o fato de X ter dimens˜ao finita.

1.2.5 Co´ algebra co-oposta

  Seja C uma co´ algebra. De forma dual ao caso da ´algebra oposta, defi- nimos o coproduto co-oposto

  cop

  ∆ = τ ◦ ∆ com τ : C ⊗ C → C ⊗ C o operador de transposi¸c˜ ao, dado por τ (c ⊗ c ) =

  1

  2

cop

  c ⊗c . Vamos ver a seguir que (C, ∆ , ε) ´e uma co´ algebra. Chamaremos,

  2

  1 cop

  ent˜ ao, C quando estivermos tratando C munido do coproduto co-oposto ∆ cop .

  Vejamos a comutatividade dos diagramas:

  cop cop

  (Id ⊗ ∆ ) ◦ ∆ = (Id ⊗ (τ ◦ ∆)) ◦ (τ ◦ ∆) = (Id ⊗ τ ) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ τ ◦ ∆ = (Id ⊗ τ ) ◦ τ C ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ 1 2 3 ⊗C,C

  = τ( 3 2 1 ) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ ,

  cop cop

  (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = ((τ ◦ ∆) ⊗ Id) ◦ (τ ◦ ∆) = (τ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ τ ◦ ∆ = (τ ⊗ Id) ◦ τ C,C ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ 1 2 3 ⊗C = τ( 3 2 1 ) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ .

  cop cop cop cop

  Assim (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆ ) ◦ ∆ . O diagrama da counidade

  1.2. Co´ algebras

  37

  −1 cop −1

  ϕ ◦ (Id ◦ ε) ◦ ∆ = ϕ ◦ (Id ◦ ε) ◦ τ ◦ ∆ r r

  −1

  = ϕ ◦ τ ◦ (ε ◦ Id) ◦ ∆ r C,K

  −1

  = ϕ ◦ (ε ◦ Id) ◦ ∆ l = Id , e a comutatividade do outro diagrama da counidade ´e obtida de forma an´ aloga. Repare que:

  

−1 −1 −1 −1 −1

  ϕ ◦ τ = (τ ◦ ϕ l ) = (τ ◦ ϕ l ) = ϕ l C,K K,C r

  C,K

−1 −1 −1 −1 −1

  ϕ ◦ τ = (τ ◦ ϕ r ) = (τ ◦ ϕ r ) = ϕ . r K,C C,K l

K,C

1.2.6 Co´ algebra do produto tensorial

  Sejam C e D co´ algebras. Definiremos uma estrutura de co´ algebra para C ⊗ D a partir das estruturas de C e de D. Defina o coproduto por

  ∆ C = (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  ⊗D

  e a counidade por ε C = µ ◦ (ε C ⊗ ε D ) .

  ⊗D K

  Aplicando em elementos, com c ∈ C e d ∈ D, ficamos com: ∆ C (c ⊗ d) = c ⊗ d ⊗ c ⊗ d

  ⊗D (1) (1) (2) (2) ε C ⊗D (c ⊗ d) = ε C (c) · ε D (d) .

  Vamos checar a coassociatividade: (Id C ⊗D ⊗ ∆ C ⊗D ) ◦ ∆ C ⊗D

  = (Id C ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ (Id C ⊗ Id D ⊗ ∆ C ⊗ ∆ D ) ◦ ◦ (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  = (Id C ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ ◦ Id C ⊗ (Id D ⊗ ∆ C ) ◦ τ C,D ⊗ ∆ D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  = (Id C ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ ◦ Id C ⊗ τ C ◦ (∆ C ⊗ Id D ) ⊗ ∆ D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) 1 2 3 4 5 6 C ⊗ τ C ⊗ Id D ) ◦ ⊗C,D ⊗C,D ⊗D

  = τ( 1 2 3 5 4 6 ) ◦ (Id 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ◦ (Id C ⊗ ∆ C ⊗ Id D ⊗ ∆ D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) C ⊗ ∆ C ⊗ Id D ⊗ ∆ D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) = τ( 1 2 3 5 4 6 ) ◦ τ( 1 4 2 3 5 6 ) ◦ (Id 1 2 3 4 5 6 C ⊗ ∆ C ⊗ Id D ⊗ ∆ D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) ,

  38 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras (∆ C

  −1 l C ⊗D

  = (ϕ

  ⊗ Id D ) ◦ ◦ (ε C ⊗ Id C ⊗ ε D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  ⊗ τ

  K

  ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ (Id

  K

  ◦ (µ

  ◦ (Id C ⊗ ε D ) ⊗ Id D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) = ϕ

  ⊗ ϕ

  ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ ε C ⊗ τ

  K

  ◦ (µ

  −1 l C ⊗D

  = ϕ

  ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ ε C ⊗ (ε D ⊗ Id C ) ◦ τ C,D ⊗ Id D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  K

  ◦ (µ

  −1 l C

  −1 l D

  ⊗D

  = ϕ l A ⊗ ϕ l B (Id A ⊗ τ

  = ϕ r A ⊗ ϕ r B ,

  ⊗B

  ) ◦ ϕ r A

  

K

  ) ◦ (Id A ⊗ Id B ⊗ ∆

  K

  ⊗ Id

  ⊗B

  ) ◦ (ε C ⊗ Id C ⊗ ε D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) = Id C ⊗ Id D = Id C

  ⊗ Id A ⊗ Id B ) ◦ ϕ l A

  K

  ⊗ Id B ) ◦ (∆

  ⊗ τ

  K

  (Id

  O outro diagrama da counidade ´e an´ alogo. Note que no final da se¸c˜ao obtivemos

  ⊗D .

  −1 l C ⊗D

  = ϕ

  ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ (ε C ⊗ ε D ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  ⊗D

  ⊗ ∆ C

  

⊗D

  = (Id C

  ⊗D

  ) ◦ ∆ C

  ⊗D

  ⊗ Id C

  Assim (∆ C

  K

  = τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 6 ) ◦ (Id C ⊗C ⊗ τ C,D ⊗D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ Id C ⊗ ∆ D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) = τ( 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 5 6 ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 1 2 4 5 3 6 ) ◦ (∆ C ⊗ Id C ⊗ ∆ D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) = τ( 1 2 3 4 5 6 1 4 2 5 3 6 ) ◦ (∆ C ⊗ Id C ⊗ ∆ D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ) .

  = (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ ∆ C ⊗ τ C,D ⊗D ◦ (Id C ⊗ ∆ D ) ⊗ Id D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  = (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ ∆ C ⊗ (∆ D ⊗ Id C ) ◦ τ C,D ⊗ Id D ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  = (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ ◦ (Id C ⊗ τ C,D ⊗ Id D ) ◦ (∆ C ⊗ ∆ D )

  ⊗D

  ) ◦ ∆ C

  ⊗D

  ⊗ Id C

  ⊗D

  ) ◦ ∆ C

  ⊗D .

  ◦ µ

  ◦ (µ

  −1 l C ⊗D

  = ϕ

  ⊗D

  ◦ ∆ C

  

⊗D

  ◦ (ε C ⊗ ε D ) ⊗ Id C

  Para a counidade temos: ϕ

  K

  −1 l C ⊗D

  = ϕ

  ⊗D

  ) ◦ ∆ C

  ⊗D

  ⊗ Id C

  ⊗D

  ◦ (ε C

  −1 l C ⊗D

C,K

C,K

K,A

B,K

  1.2. Co´ algebras

  39 rela¸c˜ oes (e trocando A por C e B por D), obtemos:

  −1 −1 −1

  ϕ ◦ (µ ⊗ Id C ⊗ Id D ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id D ) = ϕ ⊗ ϕ l C K K C,K l C l D

  ⊗D −1 −1 −1

  ϕ ◦ (Id C ⊗ Id D ⊗ µ ) ◦ (Id C ⊗ τ ⊗ Id ) = ϕ ⊗ ϕ , r C K K,D K r C r D

  ⊗D −1 −1 −1

  em que µ = ∆ , τ = τ e τ = τ .

  K C,K K,D K K,C D,K

1.2.7 Co´ algebra quociente

  Dada uma co´ algebra C e um ideal I, construiremos uma estrutura C de co´ algebra para o quociente . Essa estrutura respeitar´a a proje¸c˜ao I canˆ onica, no sentido que a proje¸c˜ ao ser´ a um morfismo de co´ algebras. C Proposi¸ c˜ ao 1.2.19. Sejam C co´ algebra, I ⊆ C coideal e π : C → o a I proje¸c˜ ao canˆ onica, que ´e morfismo de espa¸cos vetoriais. Ent˜ ao existe uma C

  ´ unica estrutura de co´ algebra em tal que a proje¸c˜ ao canˆ onica π seja um I morfismo de co´ algebras. Essa estrutura ´e dada por: C ∆ (c) = c ⊗ c C I (1) (2) ε (c) = ε(c) . I C C

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos come¸car verificando que ∆ e de ε est˜ao bem I I definidos. Considere as transforma¸c˜ oes lineares C C π ⊗ π ◦ ∆ C : C → ⊗ I I ε C : C → K .

  Temos que I = ker(π). Como I ´e coideal de C, temos que ε C (I) = 0 =⇒ I ⊆ ker(ε C ) e tamb´em

  (π ⊗ π) ◦ ∆ C (I) ⊆ (π ⊗ π)(I ⊗ C + C ⊗ I) = 0 =⇒ I ⊆ ker (π ⊗ π) ◦ ∆ C . Como o coideal I ´e anulado por ε C e por (π ⊗ π) ◦ ∆ C , podemos definir C essas transforma¸c˜ oes lineares no espa¸co vetorial quociente e concluir que I existem transforma¸c˜ oes lineares C C C C

  ∆ : → ⊗ C I C I I I

  40 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras tais que:

  (2)

  ⊗ c

  (2)(2)

  = Id C I ⊗ ∆ C I (c

  (1)

  ⊗ c

  (2)

  ) = (Id C I ⊗ ∆ C I ) ◦ ∆ C I (c) . Para a counidade,

  ϕ

  −1 l

  ◦ (ε C I ⊗ Id C I ) ◦ ∆ C I (c) = ϕ

  −1 l

  ◦ (ε C I ⊗ Id C I )(c

  (1)

  ⊗ c

  ) = ε C I (c

  ⊗ c

  (1)

  Por fim, verifiquemos a unicidade. Se ˜ ∆ e ˜ ǫ s˜ao coproduto e counidade em C I tais que π ´e morfismo de co´ algebras, ent˜ ao temos: ˜

  ◦ (ε C I ⊗ Id C I ) ◦ ∆ C I (c) = c .

  −1 l

  = c , e de forma an´ aloga ϕ

  (2)

  ) · c

  = ε C (c

  (1)

  (2)

  ) · c

  (1)

  = ε C (c

  (2)

  ) · c

  (2)(1)

  (1)

  ∆ C I ◦ π = (π ⊗ π) ◦ ∆ C ∆ C I (c) = (π ⊗ π)(c

  e ε C I ◦ π = ε C

  (2)

  ⊗ c

  (1)

  Vamos verificar que satisfazem a coassociatividade e a counidade. Para a coassociatividade, basta ver que: (∆ C I ⊗ Id C I ) ◦ ∆ C I (c) = (∆ C I ⊗ Id C I )(c

  Assim, os morfismos ∆ C I e ε C I est˜ ao bem definidos, e π satisfaz os diagramas comutativos da defini¸c˜ ao de morfismo de co´ algebras.

  ε C I (c) = ε C (c) .

  (2)

  (1)(1)

  ⊗ c

  (1)

  ) = c

  (2)

  ⊗ c

  

(1)

  ) = c

  ⊗ c

  ) = c

  (2)

  (2)(2)

  ⊗ c

  (2)(1)

  ⊗ c

  (1)

  ) = (π ⊗ π ⊗ π)(c

  ⊗ c

  (1)(2)

  (1)(2)

  ⊗ c

  (1)(1)

  = (π ⊗ π ⊗ π)(c

  (2)

  ⊗ c

  ∆(c) = ˜ ∆ ◦ π(c) = (π ⊗ π) ∆ C (c) = ∆ C I ◦ π(c) C

  1.2. Co´ algebras

  41 ε(c) = ˜ ˜ ε ◦ π(c)

  = ε C (c) C = ε ◦ π(c) C I = ε (c) . I Suponha que temos uma transforma¸c˜ ao linear f : U → V entre espa¸cos vetoriais, e um subespa¸co I ⊆ U . Se f anular I, ent˜ao ´e poss´ıvel passar f ao U quociente, ficando com f : → V tal que f (u) = f (u) para todo u ∈ U . I A pr´ oxima proposi¸c˜ ao ´e uma vers˜ao desse resultado para morfismos de co´ algebras.

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.20. Sejam C, D co´ algebras, I ⊆ C um coideal e π : C → C I o a proje¸c˜ ao canˆ onica. Se f : C → D ´e um morfismo de co´ algebras tal C que I ⊆ ker(f ), ent˜ ao existe um ´ unico morfismo de co´ algebras f : → D I tal que f //

  C D π OO f && C I f ◦ π = f .

  Demonstra¸c˜ ao. Como f : C → D ´e uma transforma¸c˜ ao linear com I ⊆ ker(f ), ent˜ao existe uma ´ unica transforma¸c˜ ao linear f tal que f ◦ π = f , isto ´e, f (c) = f (c) para todo c ∈ C. f ´e morfismo de co´ algebras, pois:

  ∆ D ◦ f (c) = ∆ D ◦ f (c) = (f ⊗ f ) ◦ ∆ C (c) = f (c ) ⊗ f (c )

  (1) (2)

  = f (c ) ⊗ f (c )

  (1) (2)

  = (f ⊗ f )(c ⊗ c )

  (1) (2) C

  = (f ⊗ f ) ◦ ∆ (c) I ε D ◦ f (c) = ε D ◦ f (c)

  = ε C (c) C

  42 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras C Falta apenas verificar a unicidade da f . Se g : → D for outro mor- I fismo de co´ algebras com g ◦ π = f , ent˜ ao C g(c) = g ◦ π(c) = f (c) = f (c) para todo c ∈ . Portanto g = f e a unicidade fica provada. I Corol´ ario 1.2.21. Sejam C, D co´ algebras e f : C → D morfismo de co´ algebras. Ent˜ ao

  C f : → Im(f ) ker(f ) a 7→ f (a)

  ´e isomorfismo de co´ algebras, e portanto C

  ∼ = Im(f ) . ker(f )

  Demonstra¸c˜ ao. Basta considerar I = ker(f ) na proposi¸c˜ ao anterior, e f ´e morfismo de co´ algebras. Para mostrar que ´e bije¸c˜ ao, a sobrejetividade ´e imediata e a injetividade vem de f (c) = 0 =⇒ f (c) = 0 =⇒ c ∈ ker(f ) =⇒ c = 0 .

1.3 Duais de ´ algebras e co´ algebras

  ´ Algebras e co´ algebras s˜ao espa¸cos vetoriais com estruturas adicionais. ´ E poss´ıvel tomar o dual, considerando-os do ponto de vista dos espa¸cos vetoriais. Relembrando, o dual de um espa¸co vetorial V ´e o espa¸co vetorial

  ∗

  das transforma¸c˜ oes lineares de V em K, denotado por V , e a transposta

  ∗ ∗

  de uma transforma¸c˜ ao linear f : U → V ´e a transforma¸c˜ao linear f : V →

  ∗ ∗

  U tal que f (φ) = φ ◦ f . O conjunto das transforma¸c˜ oes lineares de U em V ´e denotado por Hom (U, V ).

  K

  Acontece que o espa¸co dual tamb´em herda estruturas de ´algebra ou co´ algebra do seu espa¸co original, da seguinte forma:

  • O dual de uma co´ algebra ´e uma ´ algebra;

   5 • O dual de uma ´ algebra ´e uma co´ algebra (com certas ressalv.

  A ´ algebra deve ter dimens˜ ao finita, ou ent˜ ao, o dual considerado ´ e o dual finito, a

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  43 A ideia para obter uma estrutura para o dual ´e transpor os morfismos das estruturas do espa¸co original. Por exemplo, dadas A ´algebra e C co´ algebra, temos

  ∗ ∗ ∗

  µ : A ⊗ A → A µ : A → (A ⊗ A)

  ∗ ∗ ∗

  η : K → A η : A → K

  ∗ ∗ ∗

  ∆ : C → C ⊗ C ∆ : (C ⊗ C) → C

  ∗ ∗ ∗ ε : C → K ε : K → C .

  Ao transpor esses morfismos, as flechas s˜ao invertidas. Isso explica essa mudan¸ca de ´ algebra para co´ algebra no dual e vice-versa, j´ a que os morfismos que definem a co´ algebra, por exemplo, s˜ao semelhantes aos da ´ algebra, mas apontam em sentido contr´ ario. ´ E necess´ario, no entanto,

  ∗ ∗ ∗ ∗

  identificar K com K e (A ⊗ A) com A ⊗ A . A primeira identifica¸c˜ao ´e natural, via o isomorfismo

  ∗

  ξ : K → K λ 7→ mult λ , em que mult λ (α) = λ · α.

  ∗ ∗ ∗

  ∼ No entanto, a outra identifica¸c˜ ao A ⊗ A trar´ a algumas

  = (A ⊗ A)

  ∗

  dificuldades e n˜ ao ser´ a v´ alida sempre. Veremos que h´a uma inje¸c˜ao A ⊗

  ∗ ∗

  A ֒→ (A ⊗ A) , que nem sempre ´e sobreje¸c˜ ao. E no caso particular de dim(A) finita, essa inje¸c˜ ao ´e um isomorfismo. Lema 1.3.1. Sejam M , N e V espa¸cos vetoriais sobre K. Considere as transforma¸c˜ oes lineares:

  ∗

  φ : M ⊗ V → Hom (M, V )

  K

  φ(f ⊗ v)(m) = f (m) · v

  

′ ∗ ∗

  φ : Hom (M, N ) → (M ⊗ N )

  K ′

  φ (g)(m ⊗ n) = (g(m))(n)

  

∗ ∗ ∗

  θ : M ⊗ N → (M ⊗ N ) θ(f ⊗ g)(m ⊗ n) = f (m) · g(n) . Ent˜ ao: 1. φ ´e injetora. Se V tem dimens˜ ao finita, ent˜ ao φ ´e bijetora.

  ′ 2. φ ´e bije¸c˜ ao.

  3. θ ´e injetora. Se N tem dimens˜ ao finita, ent˜ ao θ ´e bijetora.

  44 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Demonstra¸c˜ ao.

  1. (φ ´e injetiva:) P

  ∗

  Seja x ∈ ker(φ). Temos x = f k ⊗ v k ∈ M ⊗ v k , e podemos k escolher os v k ’s LI. Da´ı

  X φ(x) = 0 =⇒ 0 = φ(x)(m) = f k (m)v k ∀m ∈ M v k k ’s LI

  =⇒ f k (m) = 0 ∀k, ∀m ∈ M =⇒ f k = 0 ∀k =⇒ x = 0 .

  Logo φ ´e injetiva. (Se dim(V ) < ∞, ent˜ ao φ ´e bijetora:) Seja {v , . . . , v n } base de V . Seja h ∈ Hom (M, V ). Ent˜ao te-

1 K

  P n mos h(m) ∈ V e h(m) = a i (m)v i , com ´ unicos coeficientes i

  =1

  a i (m) ∈ K. Esses coeficientes definem, na verdade, funcionais linea- res a i : M → K. A linearidade vem da linearidade de h: h(m

  1 + λm 2 ) = h(m

1 ) + λh(m

2 )

  X X =⇒ a i (m i i 1 + λm 2 )v i = (a i (m 1 ) + λa i (m 2 ))v i =⇒ a i (m + λm ) = a i (m ) + λa i (m ), ∀i .

  1

  2

  1

  2 Ent˜ ao, temos: n n n !

  X X

  X h(m) = a i (m)v i = φ(a i ⊗ v i )(m) = φ a i ⊗ v i (m) . i i i

  

=1 =1 =1

  P n Logo h = φ ( a i ⊗ v i ) ∈ Im(φ) . i

  =1 ′

  2. (φ ´e injetiva:)

  ′ Seja g ∈ ker(φ ). ′ ′

  φ (g) = 0 =⇒ 0 = φ (g)(m ⊗ n) = g(m)(n), ∀m ∈ M, ∀n ∈ N =⇒ g(m) = 0, ∀m ∈ M =⇒ g = 0 .

  ′

  φ ´e sobrejetiva:

  

∗ ∗

  Seja h ∈ (M ⊗ N ) . Defina g : M → N por g(m)(n) := h(m ⊗

  ∗

  n), para m ∈ M e n ∈ N . Temos que g(m) ∈ M e que g ∈

  ∗ ′ ′

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  45

  ∗ ′ 3. Segue de 1. e 2., com V = N e θ = φ ◦ φ .

  Corol´ ario 1.3.2. Sejam M , . . . M n espa¸cos vetoriais sobre K. Seja:

  1 ∗ ∗ ∗

  θ n : M ⊗ . . . ⊗ M → (M ⊗ . . . ⊗ M n ) n

  

1

  1 θ n (f ⊗ . . . ⊗ f n )(m ⊗ . . . ⊗ m n ) = f (m ) · · · f n (m n ) .

  1

  1

  1

  1 Ent˜ ao φ ´e injetora, e se todos os M , . . . M n tˆem dimens˜ ao finita, φ ´e

  1 bijetora.

  Demonstra¸c˜ ao. Por indu¸c˜ ao em n. O caso n = 2 foi visto no item 3. da proposi¸c˜ ao anterior e o passo de indu¸c˜ ao segue de θ n +1 = θ θ

n ⊗Id

2 ◦ (θ n ⊗ Id):

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

//

  M ⊗ . . . ⊗ M ⊗ M (M ⊗ . . . ⊗ M n ) ⊗ M n n

  1 n

1 +1 +1

θ n

+1

θ 2

  ))

  ∗ (M ⊗ . . . ⊗ M n ⊗ M n ) . 1 +1

1.3.1 Estrutura de ´ algebra para Hom K (C, A)

  Sejam A uma ´ algebra e C uma co´ algebra. O conjunto Hom (C, A) das

  K

  transforma¸c˜ oes lineares de C em A ´e um espa¸co vetorial, e podemos equip´a- lo com uma estrutura de ´ algebra. Defina um produto ∗ em Hom (C, A),

  K

  chamado de produto de convolu¸c˜ ao, por f ∗ g = µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C f ∗ g(c) = µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C (c)

  X = f (c )g(c ) , c (1) (2) com f, g ∈ Hom (C, A), e a unidade por

  K 1 = η A ◦ ε C .

  Hom K (C,A) Proposi¸ c˜ ao 1.3.3. Com as defini¸c˜ oes acima, Hom (C, A) ´e uma ´ algebra.

  K

  46 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Demonstra¸c˜ ao. Para todos f, g, h ∈ Hom (C, A) e λ ∈ K, temos:

  K

  (Bilinearidade do produto:) f ∗ (g + λh) = µ A ◦ (f ⊗ (g + λh)) ◦ ∆ C = µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C + λ µ A ◦ (f ⊗ h) ◦ ∆ C = f ∗ g + λ f ∗ h

  (f + λg) ∗ h = µ A ◦ ((f + λ g) ⊗ h) ◦ ∆ C = µ A ◦ (f ⊗ h) ◦ ∆ C + λ µ A ◦ (g ⊗ h) ◦ ∆ C = f ∗ h + λ g ∗ h .

  (Associatividade do produto:) (f ∗ g) ∗ h = µ A ◦ (f ∗ g) ⊗ h ◦ ∆ C

  = µ A ◦ (µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C ⊗ h ◦ ∆ C = µ A ◦ (µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C ⊗ (Id A ◦ h ◦ Id C ) ◦ ∆ C = µ A ◦ (µ A ⊗ Id A ) ◦ (f ⊗ g ⊗ h) ◦ (∆ C ⊗ Id C ) ◦ ∆ C f ∗ (g ∗ h) = µ A ◦ f ⊗ (g ∗ h) ◦ ∆ C

  = µ A ◦ f ⊗ µ A ◦ (g ⊗ h) ◦ ∆ C ◦ ∆ C = µ A ◦ (Id A ◦ f ◦ Id C ) ⊗ µ A ◦ (g ⊗ h) ◦ ∆ C ◦ ∆ C = µ A ◦ (Id A ⊗ µ A ) ◦ (f ⊗ g ⊗ h) ◦ (Id C ⊗ ∆ C ) ◦ ∆ C .

  Como valem µ A ◦ (µ A ⊗ Id A ) = u A ◦ (Id A ⊗ µ A )

  (∆ C ⊗ Id C ) ◦ ∆ C = (Id C ⊗ ∆ C ) ◦ ∆ C , obtemos (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). (Propriedade da unidade:)

  Note que pela propriedade da unidade para A e da counidade para C, temos:

  −1

  µ A ◦ (η A ⊗ Id A ) ◦ ϕ l A = Id A µ A ◦ (η A ⊗ Id A ) = ϕ l A

  −1

  µ A ◦ (Id A ⊗ η A ) ◦ ϕ r A = Id A µ A ◦ (Id A ⊗ η A ) = ϕ r A =⇒

  −1

  ϕ ◦ (ε C ⊗ Id C ) ◦ ∆ C = Id C l C (ε C ⊗ Id C ) ◦ ∆ C = ϕ l C

  −1

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  47 Portanto: 1 ∗ f = µ A ◦ (η A ◦ ε C ) ⊗ f ◦ ∆ C

  Hom (C,A) K

  = µ A ◦ (η A ◦ Id ◦ ε C ) ⊗ (Id A ◦ f ◦ Id C ) ◦ ∆ C

  

K

  = µ A ◦ (η A ⊗ Id A ) ◦ (Id ⊗ f ) ◦ (ε C ⊗ Id) ◦ ∆ C

  K −1

  = ϕ ◦ (Id ⊗ f ) ◦ ϕ l C l A K = f f ∗ 1 = µ A ◦ f ⊗ (η A ◦ ε C ) ◦ ∆ C

  Hom K (C,A)

  = µ A ◦ (Id A ◦ f ◦ Id C ) ⊗ (η A ◦ Id ◦ ε C ) ◦ ∆ C

  K

  = µ A ◦ (Id A ⊗ η A ) ◦ (f ⊗ Id ) ◦ (Id C ⊗ ε C ) ◦ ∆ C

  K −1

  = ϕ ◦ (f ⊗ Id ) ◦ ϕ r C r A K = f .

  

1.3.2 Estrutura de ´ algebra para o dual de uma co´ al-

gebra

  Dada uma co´ algebra C, podemos fornecer uma estrutura para o dual

  ∗

  C = Hom (C, K) do mesmo modo que na se¸c˜ao anterior, usando a estru-

  K

  tura de ´ algebra padr˜ ao de K. O produto (de convolu¸c˜ao) ∗ fica definido,

  ∗

  para quaisquer f, g ∈ C , por: f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C

  K

  X f ∗ g(c) = f (c ) · g(c ) c (1) (2)

µ C = ∆ ◦ θ , C

  A unidade ´e dada por:

  1 C = η ◦ ε C = Id ◦ ε C = ε C

  K ∗ η C = ε ◦ ξ . C

  Em cima, temos:

  ∗ ∗ ∗

  θ : C ⊗ C → (C ⊗ C)

  ∗

  ξ : K → K

  ∗

  dadas por θ(f ⊗ g)(c ⊗ d) = f (c) · g(d) e ξ(λ) = mult λ , em que mult l ∈ K ´e a multiplica¸c˜ ao por λ.

  Al´em disso, h´ a um resultado sobre a transposta de morfismos de ´ alge-

  48 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  ∗ ∗

  Proposi¸ c˜ ao 1.3.4. Se f : C → D ´e morfismo de co´ algebras, ent˜ ao f : D →

  ∗ C ´e morfismo de ´ algebras.

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Dados p, q ∈ D , temos

  ∗

  f (p ∗ q) = (p ∗ q) ◦ f

  ∗ ∗ f (p) ∗ f (q) = (p ◦ f ) ∗ (q ◦ f ) .

  Mas temos (p ∗ q) ◦ f = (p ◦ f ) ∗ (q ◦ f ). De fato, para todo c ∈ C,

  X (p ◦ f ) ∗ (q ◦ f ) (c) = (p ◦ f )(c )(q ◦ f )(c ) c (1) (2)

  X = p(f (c) )q(f (c) ) f (1) (2) (c)

  = (p ∗ q)(f (c)) = (p ∗ q) ◦ f (c) . Al´em disso,

  ∗

∗ ∗ ∗

f (1 D ) = 1 D ◦ f = ε D ◦ f = ε C = 1 C .

  Vamos a alguns exemplos. c c Exemplo 1.3.5 (O dual da co´ algebra das matrizes M ´e M n ). M e M n n n foram vistos nos exemplos respectivamente. c c

  ∗ Vamos calcular a ´ algebra dual da co´ algebra M . Sejam f, g ∈ (M ) . n n

  O produto (de convolu¸c˜ ao) e a unidade s˜ ao: f ∗ g(e ij ) = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆(e ij )

  K n !

  X = µ ◦ (f ⊗ g) e ik ⊗ e kj

  K k n =1

  X = f (e ik )g(e kj ) k

  =1 η ◦ ε(e ij ) = η (δ ij ) = δ ij . K K

  O produto lembra um produto de matrizes e a unidade lembra a matriz identidade. Tentaremos exibir um isomorfismo entre essa ´algebra dual c

  ∗

  e a ´ algebra das matrizes. Vamos definir, ent˜ao, Φ : (M ) → M n por n Φ(h) = [h(e ij )] ij . Temos

  Φ(f ∗ g) = Φ(f )Φ(g)

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  49 portanto Φ ´e morfismo de ´ algebras. Al´em disso, Φ ´e um isomorfismo. De fato, ´e injetiva pois seu n´ ucleo ´e nulo: h ∈ ker(Φ) =⇒ [h(e ij )] ij = [0] ij =⇒ h(e ij ) = 0, ∀i, j =⇒ h = 0 . c

  ∗

  E ´e sobrejetiva, pois qualquer matriz [a ij ] ij define um funcional f ∈ (M ) n por f (e ij ) = a ij , e temos [a ij ] ij = Φ(f ) ∈ M n . c

  ∗

  ∼ Desse modo, (M ) n como ´ algebras. n = M Exemplo 1.3.6 (O dual da co´ algebra de potˆencias ´e K[[x]]). Seja C a

  ∞

  co´ algebra da potˆencia dividida, vista no exemplo Seja {c m } m =0 base de C. Temos n

  X ∆(c m ) = c i ⊗ c m

i =0

−i ε(c m ) = δ .

  

0,m

∗ ∗

  Vamos explicitar a ´ algebra dual C . Dados f, g ∈ C , temos f ∗ g(c m ) = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆(c m ) n K

  X = f (c i ) · g(c n ) i −i =0 1 C (c m ) = ε(c m ) = δ .

  0,m

  Esse produto lembra o termo m-´esimo de um produto de s´eries de potˆen-

  ∗

  cia. Tentaremos encontrar um isomorfismo de C na ´algebra das s´eries de potˆencia formais K[[x]]. Defina

  ∗

  Φ : C → K[[x]]

  

  X n f 7→ f (c n ) x . n

  

=0

  Mostraremos que Φ ´e um isomorfismo de ´ algebras. A injetividade ´e con- sequˆencia de

  ∞

  X n Φ(f ) = 0 =⇒ f (c n ) x = 0 =⇒ f (c n ) = 0 , ∀n ∈ N =⇒ f = 0 . n =0 P ∞ n

  Para a sobrejetividade, seja a n x ∈ K[[x]]. Definindo a transforma- n =0

  50 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras P ∞ n temos que a n x = Φ(f ) est´a na imagem de Φ. Resta, ent˜ao, mostrar n

  =0 ∗

  que ´e morfismo de ´ algebras. Isso ocorre porque dados f, g ∈ C , temos:

  ∞

  X n Φ(f ∗ g) = f ∗ g(c n ) x n =0

  ∞

  X X n = f (c i )g(c j ) x n =0 i

  • j=n

    !

  ∞ ∞

  X i j

  X  

  = f (c i )x · g(c j )x i j

  =0 =0

  = Φ(f ) · Φ(g) ,

  

  X n Φ(1 C ) = Φ(ε) = ε(c n ) x n

  =0 ∞

  X n = δ x = 1 = 1 . n 0,n K K[[x]] =0 Com isso, o dual da co´ algebra da potˆencia dividida ´e isomorfo `a ´algebra das s´eries de potˆencias formais.

  

1.3.3 Estrutura de co´ algebra para o dual de uma ´ al-

gebra

  1.3.3.1 Dimens˜ ao finita Seja A uma ´ algebra de dimens˜ ao finita. Daremos uma estrutura de

  ∗ ∗ ∗ ∗

  co´ algebra para o dual A . Nesse caso, θ : A ⊗ A → (A ⊗ A) ´e bije- ¸c˜ ao linear, como visto no lema ´ E poss´ıvel definir o coproduto e a

  ∗

  counidade para A por −1 ∗ ∆ A = θ ◦ µ A −1 ∗

  ε A = ξ ◦ η , A onde

  ∗ ∗ ∗

  θ : C ⊗ C → (C ⊗ C)

  ∗

  ξ : K → K

  ∗

  s˜ao dadas por θ(f ⊗ g)(c ⊗ d) = f (c) · g(d) e ξ(λ) = mult λ (mult λ ∈ K ´e a multiplica¸c˜ ao por λ).

  Verificaremos posteriormente que satisfazem a coassociatividade e a

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  51

  ∗

  Lema 1.3.7. Seja f ∈ A . Temos

  X ∆ A (f ) = g i ⊗ h i i

  ∗

  para alguns g i , h i ∈ A . Ent˜ ao:

  X 1. f (a · b) = g i (a) · h i (b), ∀a, b ∈ A . i P

  ′ ′ ′ ′

  2. Se tivermos f (a · b) = g (a) · h (b), ∀a, b ∈ A para outros g , h ∈ j j j j j

  ∗

  A , ent˜ ao

  X X

  ′ ′ i j g i ⊗ h i = g ⊗ h . j j Demonstra¸c˜ ao.

  1. Para todos a, b ∈ A, temos: f (a · b) = f ◦ µ A (a ⊗ b)

  ∗

  = µ (f ) (a ⊗ b) A

  −1 ∗

  = θ ◦ θ ◦ µ (f ) (a ⊗ b) A = θ(∆ A (f ))(a ⊗ b)

  !

  X = θ g i ⊗ h i (a ⊗ b) i

  X = g i (a) · h i (b) . i

  X X

  ′ ′

  2. Se f (a · b) = g i (a) · h i (b) = g (a) · h (b), ∀a, b ∈ A, ent˜ao: i j j j  

  !

  X X

  ′ ′

    f (a · b) = θ g i ⊗ h i (a ⊗ b) = θ g j ⊗ h j (a ⊗ b), ∀a, b ∈ A i j  

  !

  X X

  ′ ′

    =⇒ θ g i ⊗ h i = θ g ⊗ h i j j j

  X X

  ′ ′

  =⇒ g i ⊗ h i = g ⊗ h , i j j j pois θ ´e uma bije¸c˜ ao.

  52 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Agora checaremos a coassociatividade e a propriedade da counidade, e

  ∗ com isso obteremos que A ´e uma co´ algebra.

  ∗

  Proposi¸ c˜ ao 1.3.8. Se A ´e uma ´ algebra de dimens˜ ao finita, ent˜ ao A ´e uma co´ algebra, com coproduto e counidade definidos por −1 ∗ ∆ A = θ ◦ µ A −1 ∗

  ε A = ξ ◦ η , A como no come¸co desta se¸c˜ ao. Demonstra¸c˜ ao.

  ∗

  (Coassiciatividade:) Seja f ∈ A . Vamos denotar:

  X (1) (2) ∆ A (f ) = f ⊗ f i i i

  X (1) (1)(1) (1)(2) ∆ A (f ) = f ⊗ f i ij ij j

  X (2) (2)(1) (2)(2) ∆ A (f ) = f ⊗ f . i ij ij j Ent˜ ao:

  X ∗ ∗ (1)(1) (1)(2) (2) (∆ A ⊗ Id) ◦ ∆ A (f ) = f ⊗ f ⊗ f i,j ij ij i

  X ∗ ∗ (1) (2)(1) (2)(2) (Id ⊗ ∆ A ) ◦ ∆ A (f ) = f ⊗ f ⊗ f . i,j i ij ij Considere a bije¸c˜ ao linear (pelo corol´ ario do lema

  ∗ ∗ ∗ ∗

  θ : A ⊗ A ⊗ A → (A ⊗ A ⊗ A)

  3

  θ (g ⊗ g ⊗ g )(a ⊗ a ⊗ a ) = g (a )g (a )g (a ) ,

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  2

  3

  3 ∗

  para todos g

  1 , g 2 , g 3 ∈ A e a 1 , a

2 , a

3 ∈ A. Com isso, pelo lema

  obtemos: ∗ ∗ θ (∆ A ⊗ Id) ◦ ∆ A (f ) (a ⊗ b ⊗ c)

  3

   

  X X

  (1)(1) (1)(2) (2)

    = f (a)f (b) f (c) i j ij ij i

  X

   (1) (2)

  = f (a · b)f (c) i i i

  

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  ϕ

  (2) i

  ⊗ ε A (f

  (1) i

  X i f

  −1 r

  ◦ (Id ⊗ ε A ) ◦ ∆ A (f ) = ϕ

  −1 r

  (2) i

  = ϕ

  (1 A ) · f

  (1) i

  X i f

  ! =

  (2) i

  (1 A ) ⊗ f

  (1) i

  X i f

  ) !

  −1 r

  ! = ϕ

  Logo, aplicando em a ∈ A, temos: ϕ

  

  (a)

  (2) i

  (1 A ) · f

  (1) i

  X i f

  ◦ (ε A ⊗ Id) ◦ ∆ A (f ) (a) =

  −1 l

  (2) i (1 A ) .

  X i f

  · f

  (1) i

  X i f

  =

  (1 A ) !

  (2) i

  ⊗ f

  (1) i

  −1 l

  (2) i

  53 θ

  (c)

  (b · c)

  

(2)

i

  (a)f

  (1) i

  X i f

  =

  

  (2)(2) ij

  Portanto θ

  (b)   f

  (2)(1) ij

  (a)f

  (1) i

  X j f

  X i  

  ) ◦ ∆ A (f ) (a ⊗ b ⊗ c) =

  3 (Id ⊗ ∆ A

   = f (a · (b · c)) .

  3

  ) ⊗ f

  ∗ .

  (1) i

  X i ε A (f

  −1 l

  ◦ (ε A ⊗ Id) ◦ ∆ A (f ) = ϕ

  −1 l

  . Usando a mesma nota¸c˜ ao de antes para ∆ A (f ), temos: ϕ

  ∗

  Seja f ∈ A

  (η A ◦ g) = g ◦ η A (1) = g(1 A ), ∀g ∈ A

  (∆ A ⊗ Id) ◦ ∆ A (f ) = θ

  −1

  (g) = ξ

  ∗ A

  ◦ η

  −1

  ε A (g) = ξ

  (Id ⊗ ∆ A ) ◦ ∆ A (f ) e logo, (∆ A ⊗ Id) ◦ ∆ A = (Id ⊗ ∆ A ) ◦ ∆ A . (Counidade:) Temos:

  3

  = f (1 A · a)

  54 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  X

  (1) (2) −1 A A A ∗ ∗

  ϕ r ◦ (Id ⊗ ε ) ◦ ∆ (f ) (a) = f (a) · f (1 ) i i i

  

  = f (a · 1 A ) = f (a) . Assim, obtemos

  −1 ∗ ∗

  ϕ ◦ (ε A ⊗ Id) ◦ ∆ A = Id l

  −1 ∗ ∗ ϕ ◦ (Id ⊗ ε A ) ◦ ∆ A = Id . r

  Observa¸c˜ ao 1.3.9. Se A tem dimens˜ao finita, pode-se expressar a comul-

  ∗

  tiplica¸c˜ ao da co´ algebra A em termos da base dual. Seja {e i } base de A

  ∗ ∗ ∗ ∗

  e {e } a respectiva base dual em A . Temos que {e ⊗ e } ´e base para i i j P

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  A ⊗ A . Segue que para dado f ∈ A , ∆(f ) = a kl e ⊗ e . Por outro k,l k l lado, temos

  ∗

  f (e i e j ) = f ◦ µ(e i ⊗ e j ) = µ (f )(e i ⊗ e j ) = θ(∆(f ))(e i ⊗ e j )

  X X

  ∗ ∗ = a kl e (e i )e (e j ) = a kl δ k,i δ l,j = a ij . k,l k,l k l

  Portanto, obtemos ∆(f ) expresso em termos da base dual:

  X

  ∗ ∗ ∆(f ) = f (e k e l )e ⊗ e . k,l k l Vamos a um exemplo. n c

  Exemplo 1.3.10 (O dual de M ´e a co´ algebra das matrizes M ). Sejam c n M n e M n como nos exemplos respectivamente.

  Seja {E ij } base canˆ onica de M n , com E ij a matriz com entrada ij igual

  ∗ ∗

  a 1 e outras entradas nulas. Seja {E } a base dual em M . Temos, que ij n

  ∗

  para todo f ∈ M , pela observa¸c˜ ao anterior: n

  X ∗ ∗ ∆ M (f ) = f (E ij E kl )E ⊗ E n i,j,k,l ij kl

  X

  ∗ ∗

  = f (δ kj E il )E ⊗ E i,j,k,l ij kl

  X

  ∗ ∗ = f (E il )E ⊗ E . ij jl

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  55

  ∗

  Portanto, para E , temos: ij

  X ∗ ∗ ∗ ∗ ∆ M (E ) = E (E kp )E ⊗ E n ij ij kl lp k,l,p

  X

  ∗ ∗

  = δ ik δ jp E ⊗ E k,l,p kl lp

  X

  ∗ ∗ = E ⊗ E . l il lj

  A counidade ´e dada por ε M (f ) = f (1) = f (Id) , n

  ∗

  para f ∈ M , e n

  X X ∗ ∗ ∗ ε M (E ) = E (Id) = E (E ll ) = δ il δ jl = δ ij , n ij ij ij l l

  ∗ para E . ij c

  Considerando o isomorfismo de espa¸cos vetoriai Φ : M → M dado n n

  ∗

  por Φ(E ) = E ij , temos ij

  X c c ∗ ∆ M ◦ Φ(E ) = ∆ M (E ij ) = E ik ⊗ E kj n n ij k

  !

  X X ∗ ∗ ∗ (Φ ⊗ Φ) ◦ ∆ M (E ) = (Φ ⊗ Φ) E ⊗ E = E ik ⊗ E kj . c ∗ n ij ik kj k k Portanto ∆ M ◦ Φ = (Φ ⊗ Φ) ◦ ∆ M . Al´em disso, n n c c ∗ ∗ ε M ◦ Φ(E ) = ε M (E ij ) = δ ij = ε M (E ) . n n n ij ij c

  ∗

  ∼ Dessa forma, Φ ´e um isomorfismo de co´ algebras, e M = M como co´ al- n n gebras.

  Como no caso do dual de uma co´ algebra, temos uma proposi¸c˜ao sobre a transposta de um morfismo de ´ algebras. Proposi¸ c˜ ao 1.3.11. Sejam A, B duas ´ algebras de dimens˜ ao finita. Se

  ∗ ∗ ∗

  f : A → B ´e um morfismo de ´ algebras, ent˜ ao f : B → A ´e um morfismo de co´ algebras. 6

  56 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Seja p ∈ B . Ent˜ ao ∗ ∗ ∗ ∆ A ◦ f (p) = ∆ A (p ◦ f )

  X = (p ◦ f ) ⊗ (p ◦ f ) p (1) (2) ◦f

  !

  X

  ∗ ∗ ∗ ∗

  (f ⊗ f ) ◦ ∆ B (p) = f ⊗ f p ⊗ p p (1) (2)

  X

  ∗ ∗

  = f (p ) ⊗ f (p )

p

(1) (2)

  X = (p ◦ f ) ⊗ (p ◦ f )

p

(1) (2)

  Mas temos

  X X (p ◦ f ) ⊗ (p ◦ f ) = (p ◦ f ) ⊗ (p ◦ f ) . p ◦f (1) (2) (1) (2) p De fato, para todos a, b ∈ A, podemos usar o item 1. do lema e obter:

  X

  

  (p ◦ f ) (a) · (p ◦ f ) (b) = p ◦ f (a · b) p (1) (2) ◦f = p(f (a) · f (b))

  X

  

  = p (f (a)) · p (f (b)) p (1) (2)

  X = (p ◦ f )(a) · (p ◦ f )(b) , p (1) (2)

  Novamente, pelo lema item 2., temos:

  X X (p ◦ f ) ⊗ (P ◦ f ) = p ◦ f ⊗ p ◦ f . p p (1) (2) (1) (2) ◦f

∗ ∗

∗ ∗ ∗ Dessa forma, temos ∆ A ◦ f = (f ⊗ f ) ◦ ∆ B .

  Resta, ent˜ ao, calcular:

∗ ∗ ∗

∗ ε A ◦ f (p) = ε A (p ◦ f ) = p ◦ f (1 A ) = p(1 B ) = ε B (p) . ∗ ∗ ∗ Obtemos ε A ◦ f = ε B .

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  57

  1.3.3.2 Dual finito Agora consideramos o caso mais geral em que A ´e uma ´algebra que n˜ ao necessariamente tem dimens˜ao finita. Como a transforma¸c˜ ao linear

  ∗ ∗ ∗

  θ : A ⊗ A → (A ⊗ A) vista antes nem sempre ´e bijetora, nem sempre ´e poss´ıvel definir uma estrutura de co´ algebra no dual como feito na se¸c˜ao

  ∗

  anterior. Entretanto, podemos considerar um subespa¸co de A no qual o coproduto esteja bem definido. ´ E isso que faremos nessa se¸c˜ao.

  Primeiramente, ser´ a necess´ ario um lema sobre espa¸cos vetoriais. Lem- bramos que dado um espa¸co vetorial V e um subespa¸co X ⊆ V , a codi- V mens˜ ao de X ´e definida por codimX = dim . X Lema 1.3.12. Seja V um espa¸co vetorial. Sejam X, Y ⊆ V subespa¸cos.

  Ent˜ ao: codim(X ∩ Y ) ≤ codimX + codimY . V V Demonstra¸c˜ ao. Seja γ : V → × transforma¸c˜ ao linear dada por γ(v) = X Y

  (v + X, v + Y ). Temos que ker(γ) = X ∩ Y e que V V V VX = = Im(γ) ⊆ × . X Y

  ∩Y ker(γ)

  Obtemos ent˜ ao V V V codim(X ∩ Y ) = dim ≤ dim( ) + dim( ) X Y

  ker(γ) = codim(X) + codim(Y ) .

  Veremos abaixo um teorema que nos permitir´a definir o dual finito por meio de v´ arias propriedades equivalentes.

  ∗

  Teorema 1.3.13. Sejam A uma ´ algebra e f ∈ A . Seja

  

∗ ∗ ∗

  θ : A ⊗ A → (A ⊗ A) θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a) · g(b) a transforma¸c˜ ao linear injetiva vista no lema S˜ ao equivalentes:

  P

  ∗ 1. ∃f i , g i ∈ A (i = 1, . . . , n) : ∀a, b ∈ A, f (a · b) = f i (a)g i (b). i ∗ ∗ ∗ 2. µ (f ) ∈ θ(A ⊗ A ) . A 3. ∃I ⊆ ker(f ) ideal ` a esquerda de A com codimens˜ ao finita.

  4. ∃J ⊆ ker(f ) ideal ` a direita de A com codimens˜ ao finita.

  58 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Demonstra¸c˜ ao. Mostraremos 1. ⇔ 2., 3. ⇔ 4. ⇔ 5. e 2. ⇔ 5. (1. =⇒ 2.) Sejam a, b ∈ A. Temos:

  !

  X X

  ∗ µ (f )(a ⊗ b) = f (a · b) = f i (a)g i (b) = θ f i ⊗ g i (a ⊗ b) . A i i

  P

  ∗ ∗ ∗ Da´ı µ (f ) = θ ( f i ⊗ g i ) ∈ θ (A ⊗ A ). A i

  (1. ⇐= 2.)

  ∗ ∗ ∗ ∗

  Se µ (f ) ∈ θ (A ⊗ A ), ent˜ao existem f i , g i ∈ A , com i = 1, . . . , n, tais A P

  ∗

  que µ (f ) = θ ( f i ⊗ g i ). Assim, para todos a, b ∈ A, A i !

  X

  ∗

  µ (f )(a ⊗ b) = θ f i ⊗ g i (a ⊗ b) A i

  X =⇒ f (a · b) = f i (a)g i (b) . i Para fazer 3. =⇒ 5. e 4. =⇒ 5., usaremos a seguinte nota¸c˜ ao. Para l uma ´ algebra A, End (A) refere-se ` a algebra de endomorfismos em A. Isto l

  ´e, End (A) ´e o conjunto de transforma¸c˜ oes lineares A → A, que ´e um espa¸co vetorial, e ´e uma ´ algebra com o produto dado pela composi¸c˜ao de fun¸c˜ oes. Quando usamos o sobrescrito l, consideramos que a fun¸c˜ao atua pela esquerda do elemento, e a composi¸c˜ ao obedece a ordem a seguir. Se l temos φ, ψ ∈ End (A) e a ∈ A, ent˜ ao denotamos φ aplicado em a por φ(a), e se quisermos aplicar ψ, teremos ψ φ(a) . Consideramos o produto ψ · φ como sendo a composi¸c˜ ao ψ ◦ φ. r

  A nota¸c˜ ao End (A) tamb´em refere-se ` a ´ algebra de endomorfismos em A. Mas desta vez, o produto ´e dado pelo produto oposto da composi¸c˜ao. r r

  op

  Isto ´e, End (A) = End (A) como ´ algebras. Se considerarmos que as fun¸c˜ oes atuam pela direita dos elementos de A, ficamos com uma nota¸c˜ ao l mais natural para essa ´ algebra de endomorfismos. Se temos φ, ψ ∈ End (A) e a ∈ A, ent˜ ao denotamos φ aplicado em a por (a)φ, e se quisermos aplicar ψ, teremos (a)φ ψ. O produto φ · ψ ´e igual a ψ ◦ φ, mas fica mais natural de se pensar com a nota¸c˜ ao ` a direita. Por isso acrescenta-se o sobrescrito

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  59 Essa distin¸c˜ ao ser´ a importante pois usaremos os morfismos multiplica-

  ¸c˜ ao ` a direita e multiplica¸c˜ ao ` a esquerda l A λ : A → End I

  λ(a) (b + I) = ab + I r A ρ : A → End I

  (b + I) (a)ρ = ba + I , que s˜ ao morfismos de ´ algebras quando tomamos a ´algebra de endomorfis- mos adequada em cada caso. (3. =⇒ 5.) Seja I E E

  A, I ⊆ ker(f ) e com codim(I) < ∞. Considere a multiplica¸c˜ ao ` a esquerda l A

  λ : A → End I λ(a) (b + I) = ab + I , que ´e um morfismo de ´ algebras. Seja K = ker(λ). Temos que K ´e um ideal de A. Mostraremos que possui codimens˜ao finita. De fato, temos o isomorfismo A l A

  ∼ K = Im(λ) ⊆ End . I Ent˜ ao, A l A A

  2

  dim = dim Im(λ) ≤ dim End = dim K I I

  

2

=⇒ codim(K) ≤ codim(I) < ∞ .

  (4. =⇒ 5.) Seja J E D

  A, J ⊆ ker(f ) e codim(J) < ∞. Considere a multiplica¸c˜ ao `a direita r A ρ : A → End I

  (b + I) (a)ρ = ba + I , vista como uma fun¸c˜ ao que atua ` a direita do elemento. Considerando a ´ algebra de morfismos atuando ` a direita, temos que ρ ´e um morfismo de algebras. Fa¸ca K = ker(ρ), que ´e um ideal de A. Mostraremos que possui ´ codimens˜ ao finita. De fato, temos o isomorfismo A A r

  ∼

  60 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Portanto, A r A A

  2

  dim = dim Im(ρ) ≤ dim End = dim K J J

  2 =⇒ codim(K) ≤ codim(J) < ∞ .

  (3. ⇐= 5. e 4. ⇐= 5.) S˜ ao imediatos, visto que um ideal (bilateral) ´e um ideal `a esquerda e um ideal ` a direita simultaneamente.

  (2. =⇒ 5.) ´ E suficiente mostrar que 2. =⇒ 3., j´ a que 3 ⇐⇒ 5. j´a foi provado. Como

  P

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ µ (f ) ∈ θ(A ⊗ A ), existem g i , h i ∈ A tais que µ (f ) = θ ( g i ⊗ h i ). A A i

  Podemos assumir que os g i ’s s˜ao LI e os h i ’s s˜ao n˜ ao nulos. Seja I := ∩ i ker(h i ).

  (I E E

  A:) De fato, basta mostrar que A · I ⊆ I. Sejam b ∈ A, c ∈ I. Temos, para todo a ∈ A,

  X X 0 = g i (ab) h i (c) = f (abc) = g i (a)h i (bc) . i i | {z }

  =0

7 Como os g i ’s s˜ao LI, existem v i ’s tais que g i (v j ) = δ ij . Fazendo

  a = v j acima, temos

  X X 0 = g i (v j )h i (bc) = δ ij h i (bc) = h j (bc) . i i Portanto bc ∈ ker(h j ) para todo j, logo e bc ∈ ∩ j ker(h j ) = I.

  (I tem codimens˜ao finita:) Temos, pelo lema que

  X codim(I) = codim (∩ i ker(h i )) ≤ codim ker(h i ) < ∞ , i j´ a que a quantidade de ´ındices i’s ´e finita e A codim ker(h i ) = dim = dim Im(h i ) = dim K = 1 . 7

ker(h )

i

  Esse ´ e um resultado cl´ assico da teoria de espa¸cos vetoriais duais. ´ E uma vers˜ ao

um pouco mais forte do que o resultado sobre existˆ encia de base dual de um espa¸co de

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  61 2. ⇐= 5. A

  Seja K E A com K ⊆ ker(f ) e codimK < ∞. Seja π : A → proje¸c˜ ao K

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ canˆ onica. Vamos mostrar que µ (f ) ∈ Im(θ ◦ (π ⊗ π )) ⊆ θ(A ⊗ A ). A

  Temos

  ∗ µ (f ) : A ⊗ A → K . A

  Como

  ∗ A

  µ A (f )(A ⊗ K + K ⊗ A) = f (µ (A ⊗ K + K ⊗ A)) ⊆ f (K) = 0 , A

  ∗ pela proje¸c˜ ao canˆonica p : A⊗A → . A A ⊗K+K⊗A

  Isto ´e, existe uma transforma¸c˜ ao linear A

  

⊗A

  ν(f ) : → K A

  

⊗K+K⊗A

  tal que ν(f ) ◦ p = µ (f ). A ⊗A A A A

  Al´em disso, = ⊗ via o isomorfismo de espa¸cos vetoriais A K K

  ⊗K+K⊗A

  A ⊗ A A A φ : → ⊗

  A ⊗ K + K ⊗ A K K φ(a ⊗ b + A ⊗ K + K ⊗ A) = (a + K) ⊗ (b + K) . A A A A ∗ ∗ ∗ ′ ∼

  Tamb´em ⊗ ⊗ via o isomorfismo θ , do lema K K K K A A =

  ′

  aplicado a . Garantimos que θ ´e isomorfismo pois dim = codim(A) < K K ∞. Assim, temos

  ∗ ∼ ∼ A A = A A = A ∗ ∗ ∗ ⊗A

  // // K K K K A ⊗K+K⊗A ⊗ ⊗ θ ′ ∗ φ

  ∗ ∗ ∗ ∗ ′

  Afirma¸ c˜ ao: Temos θ ◦ (π ⊗ π ) = p ◦ φ ◦ θ . Ou seja, o diagrama abaixo comuta: ∗ ′ φ ∗ ◦θ A A A ∗ ∗ ⊗A // K K ∼ A ⊗K+K⊗Aπ ⊗π ∗ ∗ = p ∗ ∗ ∗ 8 A ⊗ A // (A ⊗ A) θ

  62 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras A ∗ Prova da afirma¸c˜ ao. De fato, dados g, h ∈ , e a, b ∈ A, temos K

  ∗ ∗ ′ ′

  p ◦ φ ◦ θ (g ⊗ h) (a ⊗ b) = θ (g ⊗ h) ◦ φ ◦ p (a ⊗ b)

  ′

  = θ (g ⊗ h) φ ◦ p(a ⊗ b)

  ′

  = θ (g ⊗ h) φ(a ⊗ b + A ⊗ K + K ⊗ A)

  ′

  = θ (g ⊗ h) (a + K) ⊗ (b + K) = g(a + K)h(b + K)

  ∗ ∗

  θ ◦ (π ⊗ π )(g ⊗ h) (a ⊗ b) = θ((g ◦ π) ⊗ (h ◦ π))(a ⊗ b) = (g ◦ π)(a)(h ◦ π)(b) = g(a + K)h(b + K) .

  ∗ ∗ ∗ ∗ ′

  y Portanto θ ◦ (π ⊗ π ) = p ◦ φ ◦ θ .

  ∗ ∗ ∗ ∗ ′ −1

  Voltando ` a prova do teorema, temos p = θ ◦ (π ⊗ π ) ◦ (φ ◦ θ ) e

  ∗

  µ (f ) = ν(f ) ◦ p A

  ∗

  = p (ν(f ))

  ∗ ∗ ∗ ′ −1

  = θ ◦ (π ⊗ π ) (φ ◦ θ ) (ν(f ))

  

∗ ∗

∈ Im(θ ◦ (π ⊗ π )) .

  Defini¸ c˜ ao 1.3.14. Seja A uma ´ algebra. O dual finito de A ´e o subconjunto

  

◦ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  A = {f ∈ A | µ (f ) ∈ θ(A ⊗ A )} ⊆ A A

  ∗

  dos funcionais f ∈ A que satisfazem as condi¸c˜ oes equivalentes do teorema

  ◦

  Veremos a seguir que o dual finito A ´e tem a estrutura de co´ algebra dual an´ aloga ` a do caso do dual de uma ´ algebra de dimens˜ao finita.

  ◦ ∗ Lema 1.3.15. A ´e subespa¸co vetorial de A .

  ◦

  Demonstra¸c˜ ao. 0 ∈ A , porque 0(ab) = 0 = 0(a) · 0(b) para todos a, b ∈ A,

  ∗ e logo 0 satisfaz a condi¸c˜ ao 1. do teorema, j´ a que 0 ∈ A . ◦

  Dados f, g ∈ A e λ ∈ K, temos que f e g satisfazem a condi¸c˜ao 1. do

  (1) (2) (1) (2) ∗

  teorema portanto existem f , f , g , g ∈ A tais que i i j j

  X

  (1) (2)

  f (ab) = f (a)f (b) i i i

  X

  (1) (2)

  g(ab) = g (a)g (b) j j

  1.3. Duais de ´ algebras e co´ algebras

  63 para todos a, b ∈ A. Portanto

  X X

  (1) (2) (1) (2)

  (f + λg)(ab) = f (a)f (b) + (λg )(a)g (b), ∀a, b ∈ A i j i i j j

  ◦ e f + λg satisfaz a condi¸c˜ ao 1. do teorema. Logo f + λg ∈ A . ◦ ◦

  Proposi¸ c˜ ao 1.3.16. Seja A uma ´ algebra, e A seu dual finito. Ent˜ ao A ´e uma co´ algebra, com coproduto e counidade ◦ ◦ ◦

  ∆ A : A → A ⊗ A ◦ ε A : A → K dados por −1 ∗

  ∆ A = θ ◦ µ A −1 ∗ ε A = ξ ◦ η A

  ◦ −1

  restritos a A . Observe que podemos escrever θ acima, pois estamos nos

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ referindo a θ : A ⊗ A → θ(A ⊗ A ) ⊆ (A ⊗ A) , que ´e bije¸c˜ ao. ◦ ◦ ◦

  Demonstra¸c˜ ao. Primeiro mostraremos que ∆ A : A → A ⊗A ´e um mor- fismo bem definido. Isto ´e, mostraremos que a imagem de ∆ A est´a contida

  ◦ ◦ ∗ ∗ em A ⊗ A (a princ´ıpio, temos apenas que est´a contida em A ⊗ A ).

  ◦ ∗ ∗ ∗ ∗

  Seja f ∈ A . Como µ (f ) ∈ θ(A ⊗ A ), ent˜ao existem g i , h i ∈ A tais A P

  ∗

  que µ (f ) = θ ( g i ⊗ h i ). Logo A i n

  X ∆ A (f ) = g i ⊗ h i i

  =1

  X

  ∗

  f (ab) = µ (f )(a ⊗ b) = g i (a)h i (b) , A i em que a, b ∈ A. ∗ ◦ Afirma¸ c˜ ao: ∆ A (f ) ∈ A ⊗ A .

  P

  ∗ ′ ′ ′

  64 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  ′

  LI. Sejam v i ’s tais que g (v j ) = δ ij . Assim, dado i, i n

  X

  ′

  h i (ab) = δ ij h (ab) j =1 n j

  X

  ′ ′

  = g (v i )h (ab) j j j

  =1

  = f (v i ab) n

  X

  ′ ′

  = g (v i a)h (b) j =1 n j j

  X

  ′ ′

  = (g ◦ λ v )(a)h (b) i j i j

  =1 n

  P

  ′ ◦ ′ ′ ∗ ◦

  y Portanto h ∈ A e ∆ A (f ) = g ⊗ h ∈ A ⊗ A . i i i i

  =1 ◦ ∗ Afirma¸ c˜ ao: ∆ A (f ) ∈ A ⊗ A .

  P

  ∗ ′′ ′′

  Prova da afirma¸c˜ ao. Tamb´em podemos escrever µ (f ) = θ ( g ⊗ h ) A i i i

  ′′ ′′

  com os h ’s LI. Sejam w i ’s tais que h (w j ) = δ ij . Assim, dado i, i i n

  X

  ′′ ′′

  g (ab) = g (ab)δ ij i j j

  =1 n

  X

  ′′ ′′

  = g (ab)h (w i ) j j j

  =1

  = f (abw i ) n

  X

  ′′ ′′

  = g (a)h (bw i ) j j j

  =1 n

  X

  ′′ ′′

  = g (a)(h ◦ ρ w )(b) i j j i

  =1

  P n

  ′′ ◦ ′′ ′′ ◦ ∗

  y Portanto g ∈ A e ∆ A (f ) = g ⊗ h ∈ A ⊗ A . i i i i

  =1

  Dessa forma, temos ◦ ∗ ∗ ◦ ∗ ◦ ◦ ∗ ◦ ◦ ∆ A (f ) ∈ (A ⊗ A ) ∩ (A ⊗ A ) = (A ∩ A ) ⊗ (A ∩ A ) = A ⊗ A .

  Resta apenas mostrar a comutatividade dos diagramas da coassociativi- dade e counidade, mas as contas s˜ao an´ alogas ` as do caso de dimens˜ ao

  1.4. Bi´ algebras

  65 Com respeito aos morfismos, temos a seguinte proposi¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 1.3.17. Seja f : A → B um morfismo de ´ algebras. Ent˜ ao

  

◦ ◦ ◦

  f : B → A ,

  ◦ ∗ definido por f (p) = f (p) ´e um morfismo de co´ algebras.

  ◦ ∗ ◦

  Demonstra¸c˜ ao. Mostraremos que f est´ a bem definido, isto ´e, f (p) ∈ A

  ◦

  para todo p ∈ B . Temos, para todos a, b ∈ B,

  ∗

  f (p)(a · b) = p ◦ f (a · b) = p(f (a) · f (b))

  X = p (f (a))p (f (b)) p (1) (2)

  X = (p ◦ f )(a)(p ◦ f )(b) . p (1) (2) ∗ ◦ Assim, temos f (p) ∈ B , pois satisfaz a condi¸c˜ ao 1. do teorema

  ◦

  Estando bem definido, as contas para mostrar que f ´e morfismo de co´ algebras s˜ao idˆenticas ` as do caso de dimens˜ ao finita, na proposi¸c˜ ao

1.4 Bi´ algebras

  Vamos considerar um conjunto que tenha tanto estrutura de ´algebra quanto de co´ algebra. Ent˜ ao tudo que estudamos at´e ent˜ao sobre ´algebras e co´ algebras valeria para um tal conjunto. Para obter outros resultados, que “misturem” os conceitos de ´ algebra e co´ algebra, seria bom que essas estruturas tivessem alguma rela¸c˜ ao de compatibilidade.

  Nesta se¸c˜ ao estudaremos o que acontece quando ∆ e ε s˜ao morfismos de ´ algebras, o que n˜ ao ´e consequˆencia das estruturas de ´algebra e de co´ algebra apenas. Isso ser´ a a compatibilidade entre as duas estruturas.

1.4.1 Defini¸c˜ ao e exemplos

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.1. Seja (B, µ, η, ∆, ε) uma qu´ıntupla em que (B, µ, η) ´e uma ´ algebra e (B, ∆, ε) ´e uma co´ algebra. S˜ ao equivalentes: 1. ∆, ε s˜ ao morfismos de ´ algebras. 2. µ, η s˜ ao morfismos de co´ algebras.

  66 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Demonstra¸c˜ ao. Temos que µ e η s˜ao morfismos de co´ algebras se e somente se os diagramas abaixo comutam:

  (1) (2) µ µ B B //

  B ⊗ B // B B ⊗ B B ε B B⊗B ε 

  ##

  ∆ ∆ B⊗B B

  K B ⊗ B ⊗ B ⊗ B // B ⊗ B µ B B ⊗µ

  ∆ B ◦ µ B = (µ B ⊗ µ B ) ◦ ∆ B ⊗B ε B ◦ µ B = ε B ⊗B η η (3) (4) B B K K //

  // B B ε ε K B 

  ∆ ∆ K B

  K K ⊗ K // B ⊗ B η B ⊗η B ∆ B ◦ η B = (η B ⊗ η B ) ◦ ∆ ε B ◦ η B = ε .

  K K

  Tamb´em temos que ∆ e ǫ s˜ao morfismos de ´ algebras se, e somente se, os diagramas abaixo comutam:

  ′ ′

  (1 ) (2 )

  ∆ ⊗∆ ∆

B B B

  // // B ⊗ B

  B ⊗ B B ⊗ B ⊗ B ⊗ B B __ µ B B⊗B µ η B η B⊗B ;;

  K B // B ⊗ B

  ∆ B

  1.4. Bi´ algebras

  67

  ′ ′ ε ε B ⊗ε B B (3 ) (4 )

  // K B ⊗ B ⊗ K B // K µ µ B K __ ?? η η B K

  K B // K ε B µ B ◦ (ε B ⊗ ε B ) = ε B ◦ (µ B ⊗ µ B ) ε B ◦ η B = η .

  K

  Nota-se que:

  ′

  (1) comuta sse (1 ) comuta, porque (µ B ⊗ µ B ) ◦ ∆ B = (µ B ⊗ µ B ) ◦ (Id B ◦ τ ◦ Id B ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ B )

  ⊗B = µ B ◦ (∆ B ⊗ ∆ B ) .

  ⊗B ′

  (3) comuta sse (2 ) comuta, pois η B = (η B ⊗ η B ) ◦ ∆ .

  ⊗B K ′

  (2) comuta sse (3 ) comuta, j´ a que ε B = µ ◦ (ε B ⊗ ε B ) .

  ⊗B K ′

  (4) comuta sse (4 ) comuta, pois η = Id = ε .

  K K K

  Portanto a comutatividade dos diagramas (1), (2), (3), (4) equivale `a co-

  ′ ′ ′ ′ mutatividade dos diagramas (1 ), (2 ), (3 ), (4 ).

  Defini¸ c˜ ao 1.4.2. Uma bi´ algebra ´e uma qu´ıntupla (B, µ, η, ∆, ε) em que (B, µ, η) ´e uma ´ algebra e (B, ∆, ε) ´e uma co´ algebra e uma das condi¸c˜oes equivalentes ´e satisfeita

  1. ∆, ε s˜ao morfismos de ´ algebra; 2. µ, η s˜ao morfismos de co´ algebra.

  68 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Exemplo 1.4.3 (K ´e uma bi´ algebra). Para o corpo K, consideramos, como antes,

  µ (α ⊗ β) = α · β

  K

  η (1 ) = 1

  K K K

  ∆ (α) = α(1 ⊗ 1 )

  K K K

  ε (α) = α ,

  K −1

  em que α, β ∈ K. Note que temos µ = ∆ .

  

K

K

  Com essa estrutura, K ´e uma ´ algebra e uma co´ algebra. Se valer a compatibilidade, ser´ a uma bi´ algebra tamb´em. Vamos checar que ∆ e ε s˜ao morfismos de ´ algebras. Sejam α, β ∈ K. Temos

  ∆(α · β) = αβ(1 ⊗ 1 ) = α(1 ⊗ 1 ) · β(1 ⊗ 1 ) = ∆(α) · ∆(β)

  

K K K K K K

  ∆(1 ) = 1 ⊗ 1

  K K K

  ε(α · β) = αβ = ε(α) · ε(β) ε(1 ) = 1 .

  K K Portanto K ´e uma bi´ algebra.

  Exemplo 1.4.4 (F(G), T (V ), KG e U (g) s˜ ao bi´ algebras). Esses exemplos ser˜ ao vistos com mais detalhes nas se¸c˜ oes onde veremos que tamb´em s˜ ao ´ algebras de Hopf.

1.4.2 Sub-bi´ algebras, bi-ideais e morfismos

  Como no caso das ´ algebras e co´ algebras, definiremos sub-bi´algebras, bi-ideais e morfismos de bi´ algebras. Defini¸ c˜ ao 1.4.5. Seja B uma bi´ algebra. Uma sub-bi´ algebra ´e um subes- pa¸co C de B que ´e uma sub´ algebra e uma subco´ algebra. Ou seja:

  1. µ(C ⊗ C) ⊆ C; 2. ∆(C) ⊆ C ⊗ C. Observa¸c˜ ao 1.4.6. Seja C ⊆ B uma sub-bi´ algebra. Ent˜ao C ´e uma co´ al- gebra por si s´ o. E se 1 B ∈ C, ent˜ ao C ´e uma ´ algebra por si s´o. Como vale a compatibi- lidade entre ´ algebra e co´ algebra, pois vale em B, temos que se 1 B ∈ C, ent˜ ao C ´e uma bi´ algebra por si s´o. Defini¸ c˜ ao 1.4.7. Seja B uma bi´ algebra. Um subespa¸co I de B ´e um

  1.4. Bi´ algebras

  69 1. µ(B ⊗ I + I ⊗ B) ⊆ B 2. ∆(B) ⊆ (B ⊗ I + I ⊗ B) e ε(I) = 0 .

  Defini¸ c˜ ao 1.4.8. Sejam B e H bi´ algebras. Uma transforma¸c˜ao linear f : B → H ´e um morfismo de bi´ algebras se for um morfismo de ´algebras e tamb´em for um morfismo de co´ algebras. Isto ´e, se os seguintes diagramas comutam: f ⊗f f

  // B ⊗ B H ⊗ H B // H µ µ B H ff η η B H

  88 K B // H f

  µ H ◦ (f ⊗ f ) = f ◦ µ B f ◦ η B = η H f f //

  B // H B H ε ε B H

  ∆ ∆ B H && xx

  K B ⊗ B // H ⊗ H f

  ⊗f

  ∆ H ◦ f = (f ⊗ f ) ◦ ∆ B ε H ◦ f = ε B Proposi¸ c˜ ao 1.4.9. Seja f : B → H morfismo de bi´ algebras. Ent˜ ao

  1. ker(f ) ´e um bi-ideal de B

  2. Im(f ) ´e uma sub-bi´ algebra de H Demonstra¸c˜ ao. Segue dos resultados j´ a vistos para ´ algebra e co´ algebra (proposi¸c˜ oes .

  70 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

1.4.3 Bi´ algebras oposta, co-oposta, e oposta-co-oposta

  op

  Seja B uma bi´ algebra. Considere o produto oposto µ e o coproduto

  cop op cop co-oposto ∆ . Sabemos que B ´e uma ´ algebra e B ´e uma co´ algebra. op cop Vamos provar nessa se¸c˜ ao que B e B s˜ao, na verdade, bi´algebras.

  Tamb´em consideraremos as duas estruturas opostas ao mesmo tempo, ob-

  op,cop

  tendo a bi´ algebra oposta-co-oposta B . O detalhe a se observar ´e a compatibilidade entre ´ algebra e co´ algebra.

  op

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.10. (B, µ , η, ∆, ε) ´e uma bi´ algebra, e ´e denotada por

  op B . op op op

  Demonstra¸c˜ ao. ∆ : B → B ⊗ B ´e morfismo de ´algebras, pois: op op ∆ ◦ η = η B = µ ◦ (η ⊗ η) = η B

  ⊗B K ⊗B op

  ∆ ◦ µ = ∆ ◦ µ ◦ τ = µ B ◦ (∆ ⊗ ∆) ◦ τ

  ⊗B

  = µ B ⊗B ◦ τ B ⊗B,B⊗B ◦ (∆ ⊗ ∆) 1 2 3 4 = (µ ⊗ µ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ τ( 3 4 1 2 ) ◦ (∆ ⊗ ∆) 1 2 3 4 = (µ ⊗ µ) ◦ τ( 3 1 4 2 ) ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ (τ ⊗ τ ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ ∆) = ((µ ◦ τ ) ⊗ (µ ◦ τ )) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ ∆) op op = µ B ◦ (∆ ⊗ ∆) .

  ⊗B op

  ε : B → K ´e morfismo de ´ algebras: ε ◦ η = η

  K op

  ε ◦ µ = ε ◦ µ ◦ τ = µ ◦ (ε ⊗ ε) ⊗ τ

  

K

  = µ ◦ τ ◦ (ε ⊗ ε)

  

K

= µ ◦ (ε ⊗ ε) .

K

cop cop

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.11. (B, µ, η, ∆ , ε) ´e uma bi´ algebra, denotada por B .

  1.4. Bi´ algebras

  → B

  ◦ η = (η ⊗ η) ◦ ∆

  cop

  ´e morfismo de ´algebras, pois: ∆

  op,cop

  ⊗ B

  

op,cop

  op,cop

  = (η B op,cop ⊗ η B cop ) ◦ ∆

  : B

  cop

  Demonstra¸c˜ ao. ∆

  op,cop .

  , ε) ´e uma bi´ algebra, denotada por B

  

cop

  K

  K

  op

  ◦ (∆ ⊗ ∆) ◦ τ = τ ◦ (µ ⊗ µ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ τ B

  ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ τ( 1 2 3 4 4 2 3 1 ) ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ (τ ⊗ τ ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (τ ⊗ τ ) ◦ (∆ ⊗ ∆) = ((µ ◦ τ ) ⊗ (µ ◦ τ )) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ ((τ ◦ ∆) ⊗ (τ ◦ ∆))

  ⊗B,B⊗B

  ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ τ B

  ⊗B,B⊗B

  ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ τ B

  ⊗B,B⊗B

  ⊗B

  = η B op,cop

  = τ ◦ ∆ ◦ µ ◦ τ = τ ◦ µ B

  op

  ◦ µ

  cop

  , da mesma forma que na proposi¸c˜ ao anterior, e ∆

  ⊗B op,cop

  , η, ∆

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.12. (B, µ

  71 Demonstra¸c˜ ao. ∆

  ´e morfismo de ´algebras, pois: ∆

  = (η ⊗ η) ◦ ∆

  K

  = (η ⊗ η) ◦ τ ◦ ∆

  K

  ◦ η = τ ◦ ∆ ◦ η = τ ◦ η B ⊗B = τ ◦ (η ⊗ η) ◦ ∆

  cop

  cop

  = η B cop

  ⊗ B

  cop

  → B

  cop

  : B

  cop

  K

  ⊗B cop

  

cop

→ K ´e morfismo de ´algebras.

  ⊗ ∆

  ◦ (ε ⊗ ε), e portanto ε : B

  K

  e ε ◦ µ = µ

  K

  J´ a que a multiplica¸c˜ ao n˜ ao foi alterada, continuamos tendo ε ◦ η = η

  cop ) .

  

cop

  ∆

  ◦ (∆

  ⊗B cop

  ◦ (∆ ⊗ ∆) = τ ◦ (µ ⊗ µ) ⊗ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ τ B ⊗B,B⊗B ⊗ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ τ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ) ◦ (∆ ⊗ ∆) = (µ ⊗ µ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (τ ⊗ τ ) ◦ (∆ ⊗ ∆) = µ B cop

  ⊗B

  ◦ µ = τ ◦ ∆ ◦ µ = τ ◦ µ B

  cop

  

cop

cop

  72 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

  op

  Obtemos que ε : B → K ´e morfismo de ´ algebras fazendo as mesmas

  op contas que na proposi¸c˜ ao sobre B .

1.4.4 Bi´ algebra do produto tensorial

  Sejam B e H duas bi´ algebras. J´ a definimos estrutura de ´algebra e de co´ algebra para o produto tensorial B ⊗H. Vamos checar a compatibilidade dessas estruturas e ver que, de fato, B ⊗ H ´e uma bi´algebra. Relembrando, as estruturas de ´ algebra e de co´ algebra de B ⊗ H s˜ao dadas por

  µ B = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id)

  ⊗H

  η B = (η B ⊗ η H ) ◦ ∆

  ⊗H K

  ∆ B = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H )

  ⊗H

  ε B = µ ◦ (ε B ⊗ ε H ) ,

  ⊗H K

  em que µ : K ⊗ K → K

  K

  µ (α ⊗ β) = α · β

  K

  ∆ : K → K ⊗ K

  K

  ∆ (α) = α(1 ⊗ 1 )

  

K K K

−1

  e µ = ∆ .

  K K

  Vamos checar que ∆ B ⊗H ´e morfismo de ´ algebras: ∆ B ◦ µ B

  ⊗H ⊗H

  = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ) ◦ (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (µ B ⊗B ⊗ µ H ⊗H ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ B ) ⊗ (∆ H ⊗ ∆ H ) ◦

  ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (µ B ⊗ µ B ⊗ µ H ⊗ µ H ) ◦

  ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id ⊗ Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ ◦ (∆ B ⊗ ∆ B ⊗ ∆ H ⊗ ∆ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id)

  = (µ B ⊗ µ H ⊗ µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id B ⊗ τ B ⊗ Id H )

  ⊗B ⊗B,H⊗H ⊗H

  ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id ⊗ Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (Id B ⊗B ⊗ τ H ⊗H,B⊗B ⊗ Id H ⊗H ) ◦

  1.4. Bi´ algebras

  ⊗ µ

  ⊗ ε B

  ⊗H

  ◦ (ε B

  K

  ) ◦ (ε B ⊗ ε H ⊗ ε B ⊗ ε H ) = µ

  K

  ⊗ µ

  K

  ◦ (µ

  K

  ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (ε B ⊗ ε H ⊗ ε B ⊗ ε H ) = µ

  K

  K

  ) = ε B

  ◦ (µ

  K

  ) ◦ (ε B ⊗ ε B ⊗ ε H ⊗ ε H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) = µ

  K

  ⊗ µ

  K

  ◦ (µ

  K

  ◦ (ε B ⊗ ε H ) ◦ (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) = µ

  K

  , ε B ⊗H ◦ µ B ⊗H = µ

  ⊗H

  

⊗H

  ⊗H⊗B⊗H

  ⊗H⊗B⊗H .

  ◦ (Id

  Da mesma forma que com ´ algebras e bi´ algebras, ´e poss´ıvel definir uma estrutura de bi´ algebra para o quociente. E essa estrutura se comporta bem

  K .

  = Id = η

  

K

  ◦ ∆

  K

  = µ

  K

  ) ◦ ∆

  K

  ⊗ Id

  

K

  K

  ε B ⊗H ◦ η B ⊗H = µ

  = µ

  K

  ) ◦ ∆

  K

  ⊗ η

  

K

  ◦ (η

  K

  = µ

  K

  ◦ (ε B ⊗ ε H ) ◦ (η B ⊗ η H ) ◦ ∆

  K

  Com rela¸c˜ ao a ε B

  = η B

  73 = (µ B ⊗ µ H ⊗ µ B ⊗ µ H

  ⊗ Id B

  ⊗H

  ◦ η B

  ⊗H

  ) ∆ B

  ⊗H

  ⊗ ∆ B

  ⊗H

  ◦ (∆ B

  ⊗H⊗B⊗H

  = µ B

  ) ◦ ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id ⊗ Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ⊗ ∆ B ⊗ ∆ H )

  ⊗H

  ⊗H,B⊗H

  K

  ⊗ τ B

  ⊗H

  ) ◦ (Id B

  ⊗H

  ⊗ µ B

  ⊗H

  ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 2 4 6 8 ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ⊗ ∆ B ⊗ ∆ H ) = (µ B

  ⊗H

  ⊗ µ B

  ⊗H

  ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 2 4 6 8 ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ⊗ ∆ B ⊗ ∆ H ) = (µ B

  ) ◦ τ( 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 3 7 2 6 4 8 ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ⊗ ∆ B ⊗ ∆ H ) = (µ B ⊗ µ H ⊗ µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id ⊗ Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦

  = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ) ◦ (η B ⊗ η H ) ◦ ∆

  = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (η B

  K

  ) ◦ ∆

  ) ◦ ∆

  ⊗H

  ⊗ η B

  ⊗H

  = (η B

  K

  ) ◦ ∆

  K

  ⊗ ∆

  K

  = (η B ⊗ η H ⊗ η B ⊗ η H ) ◦ (∆

  K

  K

  

⊗B

  ⊗ ∆

  K

  = (η B ⊗ η H ⊗ η B ⊗ η H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆

  K

  ) ◦ ∆

  K

  ⊗ ∆

  K

  = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (η B ⊗ η B ⊗ η H ⊗ η H ) ◦ (∆

  K

  ) ◦ ∆

  ⊗H

  ⊗ η H

1.4.5 Bi´ algebra quociente

  74 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras Proposi¸ c˜ ao 1.4.13. Sejam B bi´ algebra, I ⊂ B bi-ideal. Considere π : B → B I a proje¸c˜ ao canˆ onica, que ´e morfismo de espa¸cos vetoriais. Ent˜ ao existe uma ´ unica estrutura de bi´ algebra em B I que faz com que π seja um mor- fismo de bi´ algebras. Essa estrutura ´e dada por: a · b = a · b ∆ B I (b) = b

  (1)

  ⊗ b

  (2)

  1 B I = 1 B ε B I (b) = ε B (b) .

  Demonstra¸c˜ ao. Das proposi¸c˜ oes temos que: B I tem uma ´ unica estrutura de ´ algebra, a enunciada na proposi¸c˜ao, tal que π ´e morfismo de ´ algebras; B I tem uma ´ unica estrutura de co´ algebra, a enunciada na proposi¸c˜ ao, com π morfismo de co´ algebras.

  Resta checar a compatibilidade entre essas estruturas de ´algebra e de co´ al- gebra. Precisamos ent˜ ao verificar que ∆ B I e ε B I s˜ao morfismos de ´algebras.

  ∆ B I (1 B I ) = ∆ B I (1 B ) = ∆ B I ◦ π(1 B )

  = (π ⊗ π) ◦ ∆ B (1 B ) = (π ⊗ π)(1 B ⊗ 1 B ) = 1 B I ⊗ 1 B I ,

  ∆ B I (a · b) = ∆ B I (ab) = ∆ B I ◦ π(ab)

  = (π ⊗ π) ◦ ∆ B (ab) = (π ⊗ π) ∆ B (a)∆ B (b) = (π ⊗ π) ◦ ∆ b (a) · (π ⊗ π) ◦ ∆ B (b) = ∆ B I ◦ π(a) · ∆ B I ◦ π(b)

  = ∆ B I (a) · ∆ B I (b) , ε B I (1 B I ) = ε B (1 B )

  1.4. Bi´ algebras

  75

  B B

  ε (a · b) = ε (ab) I I = ε B (ab) = ε B (a) · ε B (b) B B = ε (a) · ε (b) . I I

  Em diversas passagens nessas contas usamos que π ´e morfismo de ´alge- bras e de co´ algebras, e que ∆ B e ε B s˜ao morfismos de ´algebras (pois B ´e bi´ algebra). B

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.14. Sejam B, H bi´ algebras, I ⊆ B bi-ideal e π : B → I o a proje¸c˜ ao canˆ onica. Se f : B → H ´e um morfismo de bi´ algebras tal que B I ⊆ ker(f ), ent˜ ao existe um ´ unico morfismo de bi´ algebras f : → H tal I que f

  // B H π OO f

  && B I f ◦ π = f .

  Demonstra¸c˜ ao. ´ E consequˆencia das proposi¸c˜ oes Corol´ ario 1.4.15. Seja f : B → H morfismo de bi´ algebras. Ent˜ ao

  B f : → Im(f ) ker(f ) a 7→ f (a)

  ´e isomorfismo de bi´ algebras, e portanto B

  ∼ = Im(f ) . ker(f )

  Demonstra¸c˜ ao. Usar I = ker(f ) na proposi¸c˜ ao anterior, e f ´e morfismo de bi´ algebras. Da mesma maneira que para ´ algebra e co´ algebra, a injetividade segue de f (b) = 0 =⇒ f (b) = 0 =⇒ b ∈ ker(f ) =⇒ b = 0 e a sobrejetividade ´e evidente.

  76 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

1.4.6 Bi´ algebra dual

  1.4.6.1 Dimens˜ ao finita

  ∗

  Seja B uma bi´ algebra com dimens˜ao finita. O dual B tem estrutura de co´ algebra e de ´ algebra, pelo fato de B ser ´ algebra e co´ algebra. Entre- tanto, n˜ ao ´e claro a princ´ıpio se a compatibilidade entre as duas estruturas continua v´ alida no dual. ´ E isso que veremos nessa se¸c˜ao.

  Aqui precisaremos dos morfismos θ e ξ definidos na se¸c˜ ao de Re- lembrando, temos

  ∗

  ξ : K → K ξ(λ) = mult λ , em que mult λ ´e a multiplica¸c˜ ao por λ ∈ K, e

  

∗ ∗ ∗

  θ : B ⊗ B → (B ⊗ B) θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) .

  ∗

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.16. B tem estrutura de bi´ algebra, com as opera¸c˜ oes definidas nas se¸c˜ oes Isto ´e, ∗ ∗ ∗ −1 ∗ µ B = ∆ ◦ θ ∆ B = θ ◦ µ B B B f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆

  K

  P f ∗ g(c) = f (c )g(c ) c (1) (2) ∗ ∗ ∗ −1 ∗ η B = ε ◦ ξ ε B = ξ ◦ η . B B

  1 B = ε B ∗ ∗ Demonstra¸c˜ ao. S´ o resta mostrar que ∆ B e ε B s˜ao morfismos de ´algebras. (∆ B ´e morfismo de ´ algebras:) Primeiramente, temos:

  θ ∆ B (f ∗ g) (a ⊗ b) = µ (f ∗ g) (a ⊗ b) B = (f ∗ g)(a · b) = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ B (a · b)

  K

  = µ ◦ (f ⊗ g)(∆ B (a) · ∆ B (b))

  K

  X = f (a · b ) · g(a · b ) .

  (1) (1) (2) (2)

  1.4. Bi´ algebras

  (b

  (2)

  )f

  (1)

  (a

  (1)

  X f f

  X a,b

  ) =

  (2)

  (2)

  

(1)

  )g

  (1)

  (b

  (2)

  )f

  (2)

  (a

  (1)

  )g

  (1)

  (b

  ) !

  (1)

  · b

  (1 B )(a ⊗ b) = 1 B ◦ µ B (a ⊗ b) = ε B (a · b) = ε B (a)ε B (b)

  ∗ B

  θ ∆ B (1 B ) (a ⊗ b) = µ

  Portanto θ ∆ B (f ∗ g) = θ ∆ B (f ) ∗ ∆ B (g) , e temos ∆ B (f ∗ g) = ∆ B (f ) ∗ ∆ B (g) . Com rela¸c˜ ao ` a unidade, temos:

  

(2)

) .

  · b

  (2)

  )g(a

  (1)

  (1)

  X g g

  X a,b f (a

  =

  ) !

  (2)

  (b

  (2)

  )g

  (2)

  (a

  (1)

  (a

  X a,b f

  77 Por outro lado, note que

  (a) · f

  X g g

  ∗

  (2)

  ⊗ f

  (1)

  X f f

  = θ  

  (b) , e o mesmo vale para g. Dessa forma, temos: θ ∆ B (f ) ∗ ∆ B (g) (a ⊗ b)

  (2)

  (1)

  ⊗ g

  X f f

  =⇒ f (a · b) =

   

  (2)

  ⊗ f

  (1)

  X f f

  (f ) = f ◦ µ B = θ ◦ ∆ B (f ) = θ  

  ∗ B

  µ

  (1)

  (2)

  X f,g

  (a ⊗ b) =

  )(b) =

  (2)

  ∗ g

  (2)

  )(a) · (f

  (1)

  ∗ g

  (1)

  X f,g (f

  )  

   

  (2)

  ∗ g

  (2)

  ) ⊗ (f

  (1)

  ∗ g

  (1)

  X f,g (f

   

  (a ⊗ b) = θ

  θ 1 B ⊗ 1 B (a ⊗ b) = θ ε B ⊗ ε B (a ⊗ b)

  78 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras ∗ ∗ ∗ ∗ Assim, θ(∆ B (1 B )) = θ(1 B ⊗ 1 B ) e ent˜ ao ∗ ∗ ∗ ∗ ∆ B (1 B ) = 1 B ⊗ 1 B .

  (ε B ´e morfismo de ´ algebras:) Temos que: −1 ∗ ε B (f ∗ g) = ξ ◦ η (f ∗ g) B

  −1

  = ξ ((f ∗ g) ◦ η B ) = (f ∗ g)(η B (1)) = f ∗ g(1 B ) = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ B (1 B )

  K

  = µ ◦ (f ⊗ g)(1 B ⊗ 1 B )

  K

  = f (1 B )g(1 B ) = f ◦ η B (1) g ◦ η B (1)

  ∗ ∗

  = η (f ) (1) · η (f ) (1) B B

  −1 ∗ −1 ∗

  = ξ η B (f ) · ξ η B (g) ∗ ∗ = ε B (a)ε B (b)

B B B

∗ ∗ −1 ∗

  ε (1 ) = ξ η B (ε )

  −1

  = ξ (ε B ◦ η B ) = ε B ◦ η B (1 )

  K

  = ε(1 B ) = 1 .

  

K

Quanto ` as transpostas de morfismos, temos a proposi¸c˜ao abaixo.

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.17. Sejam B e H bi´ algebras de dimens˜ ao finita e f : B → H um morfismo de bi´ algebras. Ent˜ ao a transposta

  

∗ ∗ ∗

  f : H → B

  ∗ ∗

  ´e um morfismo de bi´ algebras, em que B e H est˜ ao equipados com a estrutura de bi´ algebra dual definida acima.

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao. ´ E consequˆencia das proposi¸c˜ oes que f ´e morfismo de ´ algebras e de co´ algebras. Portanto ´e morfismo de bi´ algebras.

  1.4. Bi´ algebras

  79

  1.4.6.2 Dual finito Seja B ´e bi´ algebra, n˜ ao necessariamente de dimens˜ao finita. Enxer-

  ◦

  gando B apenas como ´ algebra, podemos construir seu dual finito B , con-

  ◦

  forme se¸c˜ ao Sabemos ent˜ ao que B ´e uma co´ algebra e ´e subcon-

  ∗

  junto da ´ algebra de convolu¸c˜ ao B . A partir dessas informa¸c˜ oes, consegue-

  ◦ se verificar que B ´e uma bi´ algebra, como segue.

  ◦

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.18. Seja B uma bi´ algebra. O dual finito B ´e uma bi´ al- gebra, com estrutura dada por: ◦ ◦ ∗ −1 ∗ µ B = ∆ ◦ θ ∆ B = θ ◦ µ B B f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ B

  K

  P f ∗ g(c) = f (c )g(c ) c (1) (2) ◦ ◦ ∗ −1 ∗ η B = ε ◦ ξ ε B = ξ ◦ η . B B

  1 B = ε B Acima, temos:

  ∗

  ξ : K → K ξ(λ) = mult λ ,

  

∗ ∗ ∗

  θ : B ⊗ B → (B ⊗ B) θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) . Al´em disso, θ ´e injetiva, e considerando a restri¸c˜ ao do contradom´ınio

  ∗ ∗ ∗ ∗

  θ : B ⊗ B → θ(B ⊗ B ), temos θ bijetora, de modo que faz sentido

  −1 a f´ ormula em que aparece θ .

  ◦

  Demonstra¸c˜ ao. Como argumentamos acima, B ´e uma co´ algebra e ´e um

  ∗ ◦

  subconjunto da ´ algebra de convolu¸c˜ ao B . Se mostrarmos que µ B (B ⊗

  ◦ ◦ ◦ ◦

  B ) ⊆ B e que 1 B ∈ B , ent˜ ao teremos que B ´e uma ´algebra, com

  ∗ ◦ ◦ ◦

  estrutura herdada de B . Ent˜ ao, poderemos definir µ B : B ⊗ B → B pela restri¸c˜ ao de µ B , como no enunciado acima. ◦ Temos 1 B ∈ B porque dados a, b ∈ B,

  1 B (a ⊗ b) = ε B (a · b) = ε B (a)ε B (b) , e logo, 1 B satisfaz a condi¸c˜ ao 1. das condi¸c˜ oes equivalentes em

  80 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras ◦ ◦ ◦ Ao mesmo tempo, temos µ B (B ⊗ B ) ⊆ B . De fato, para todos

  ◦

  f, g ∈ B e a, b ∈ B, temos pelo lema que:

  X f (a · b) = f (a)f (b) f (1) (2) X g(a · b) = g (a)g (b). g (1) (2) ◦

  Ent˜ ao, dados f, g ∈ B e a, b ∈ B, temos f ∗ g(a · b) = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ B (a · b)

  K

  = µ ◦ (f ⊗ g)(∆ B (a) · ∆ B (b))

  K

   

  X  

  = µ ◦ (f ⊗ g) a b ⊗ a b

  K (1) (1) (2) (2) a,b

  X = f (a b )g(a b ) a,b (1) (1) (2) (2)

    !

  X X

  X  

  = f (a )f (b ) · g (a )g (b ) a,b f (1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (2) g ! !

  X X

  X = f (a )g (a ) · f (b )g (b ) f,g b a (1) (1) (1) (2) (2) (1) (2) (2)

  X = f ∗ g (a) · f ∗ g (b) . f,g (1) (1) (2) (2) Portanto f ∗ g satisfaz a condi¸c˜ ao 1. das condi¸c˜ oes equivalentes no teorema

  ◦ e dessa forma, f ∗ g ∈ B . ◦

  Assim, B ´e uma ´ algebra e uma co´ algebra. As contas para se mostrar

  ◦ ◦ ∗

  que B ´e bi´ algebra s˜ ao idˆenticas ao caso B = B com B de dimens˜ao

  ◦ finita, na proposi¸c˜ ao Assim, temos que B ´e uma bi´algebra.

  Tamb´em h´ a um resultado para a “transposta finita” de um morfismo. Proposi¸ c˜ ao 1.4.19. Sejam B e H bi´ algebras e f : B → H um morfismo de bi´ algebras. Ent˜ ao a transposta finita

  

◦ ◦ ◦

  f : H → B ,

  

◦ ∗ ◦ ◦

  com f (p) = f (p), ´e um morfismo de bi´ algebras, em que B e H s˜ ao os duais finitos de B e H, respectivamente.

  1.4. Bi´ algebras

  81

  ◦

  Demonstra¸c˜ ao. ´ E consequˆencia da proposi¸c˜ ao que f est´a bem de-

  ∗

  finida e ´e morfismo de co´ algebras. Da proposi¸c˜ao temos que f ´e

  ◦ ∗ ◦ ◦

  morfismo de ´ algebras. Como f = f em H , temos que f ´e morfismo de

  ◦ algebras. Portanto f ´ ´e morfismo de bi´ algebras.

  82 Cap´ıtulo 1. ´ Algebras, co´ algebras e bi´algebras

2 Cap´ıtulo

  ´ A lgebras de Hopf

  De posse dos conceitos de ´ algebra, co´ algebra e bi´algebra, podemos de- finir as ´ algebras de Hopf. Estas ´ algebras s˜ao bi´algebras com uma propri- edade adicional: admitem um morfismo que funciona como uma “inver- s˜ao” da identidade (num sentido que veremos com mais precis˜ao posteri- ormente).

2.1 Defini¸c˜ ao

  Anteriormente vimos que para dadas A ´ algebra e C co´ algebra, h´a uma estrutura de ´ algebra para Hom(C, A), o conjunto das transforma¸c˜ oes line- ares de C para A, dada por: produto de convolu¸c˜ ao: f ∗ g = µ A ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ C , ∀f, g ∈ Hom(C, A)

  X f ∗ g(c) = f (c )g(c ), ∀f, g ∈ Hom(C, A), ∀c ∈ C c (1) (2) ∗ µ = µ A ◦ ∆ .

  Hom(C,A) C

  unidade: 1 = η A ◦ ε C .

  Hom(C,A)

  Se H ´e uma bi´ algebra, podemos dar uma estrutura de ´ algebra de con- volu¸c˜ ao para Hom(H, H) dessa mesma maneira. Nessa ´ algebra, temos Id ∈ Hom(H, H), mas pode acontecer ou n˜ ao que Id tenha inverso multi-

  84 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Defini¸ c˜ ao 2.1.1. Seja H uma bi´ algebra. Uma transforma¸c˜ ao linear S : H → H ´e chamada ant´ıpoda de H se ´e a inversa de Id com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao. Temos S ∗ Id = Id ∗ S = η ◦ ε. Observa¸c˜ ao 2.1.2. A ant´ıpoda, se existir, ´e ´ unica, pois ´e um elemento inverso numa ´ algebra.

  Assim, se a bi´ algebra H admitir uma ant´ıpoda S ∈ Hom(H, H), isto ´e, se Id ∈ Hom(H, H) for invers´ıvel em rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ao, dizemos que H ´e uma ´ algebra de Hopf.

  Defini¸ c˜ ao 2.1.3. Uma ´ algebra de Hopf ´e uma sextupla (H, µ, η, ∆, ε, S) em que: 1. (H, µ, η, ∆, ε) ´e uma bi´ algebra; 2. S ´e uma ant´ıpoda em H.

  A propriedade da ant´ıpoda S ∗ Id = Id ∗ S = 1 ,

  Hom(H,H)

  ou seja, µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ = η ◦ ε µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ = η ◦ ε pode ser escrita como a comutatividade do seguinte diagrama: S

  

⊗Id

  H ⊗ H // H ⊗ H ;; µ

  ∆ ε ## η

  H // K // H µ ;;

  ∆

  ## H ⊗ H // H ⊗ H

  

Id⊗S

  Em termos de elementos, e usando a nota¸c˜ ao de Sweedler, tamb´em pode- mos escrever essa propriedade como:

  X S(h ) · h = ε(h) 1 H h (1) (2) X h · S(h ) = ε(h) 1 H h (1) (2)

  2.2. Exemplos de ´ algebras de Hopf

  85 Defini¸ c˜ ao 2.1.4. Como no caso das ´ algebras, co´ algebras e bi´algebras, diz-se que a ´ algebra de Hopf ´e

  1. comutativa, se µ ◦ τ = µ; 2. cocomutativa, se τ ◦ ∆ = ∆.

  Veremos alguns exemplos de ´ algebras de Hopf na pr´oxima se¸c˜ ao.

2.2 Exemplos de ´ algebras de Hopf

  ´

2.2.1 Algebra das fun¸c˜ oes F(G) de um grupo finito

  Seja G um grupo finito, com opera¸c˜ ao denotada pela justaposi¸c˜ao ou por ·, ou ainda, por m : G × G → G, quando for conveniente. Considere o K -espa¸co vetorial das fun¸c˜ oes do grupo G no corpo K

  F(G) = {f : G → K} , com a estrutura de ´ algebra dada por f · h : G → K 1 : G → K

  F (G) g 7→ f (g) · h(g) g 7→ 1 .

  K

  Daremos uma estrutura de co´ algebra a esse conjunto. Para definir um coproduto, usaremos a estrutura de multiplica¸c˜ao do grupo.

  Repare que uma fun¸c˜ ao f : G → K define uma outra fun¸c˜ ao ˜ f : G×G → K por ˜ f (g, h) = f (gh), para todo g, h ∈ G. Isto ´e, ˜ f = f ◦ m. Temos ent˜ao uma fun¸c˜ ao

  ∗

  m : F(G) → F(G × G) f 7→ ˜ f = f ◦ m .

  ∗

  Para se conseguir definir um coproduto a partir de m , devemos observar qual seria a rela¸c˜ ao entre F(G × G) e F(G) ⊗ F(G). Acontece que quando G ´e um grupo finito, temos um isomorfismo de ´algebras F(G × G) ∼ = F(G) ⊗ F(G), como veremos no lema abaixo.

  Lema 2.2.1. Seja G um grupo finito. Ent˜ ao θ : F(G) ⊗ F(G) → F(G × G)

  ′ ′ ′ ′

  θ(f ⊗ f )(g, g ) = f (g)f (g )

  86 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Demonstra¸c˜ ao. (θ ´e bem definida e ´e linear:) Observamos, primeiramente, que θ est´a bem definida e ´e linear. De fato, temos que a transforma¸c˜ ao

  θ : F(G) × F(G) → F(G × G)

  ′ ′ ′ ′

  dada por θ(f, f )(g, g ) = f (g)f (g ) ´e bilinear, e pela propriedade univer- sal do produto tensorial, se fatora por uma transforma¸c˜ ao linear θ tal que

  ′ ′ ′ θ(f, f ) = θ(f ⊗ f ), para todos f, f ∈ F(G).

  (θ ´e bije¸c˜ ao:) Mostraremos que θ ´e bije¸c˜ ao. O espa¸co vetorial F(G) tem

  

  2

  dimens˜ |G|. Ent˜ ao F(G) ⊗ F(G) tem dimens˜ao |G| . Al´em disso,

  2 F(G × G) tem dimens˜ ao |G × G| = |G| . Dessa forma, para mostrar que

  θ ´e bijetora, basta mostrar que ´e injetora, isto ´e, que seu n´ ucleo cont´em apenas o vetor nulo.

  P P

  ′ ′ ′

  Seja f i ⊗ f ∈ ker θ, e escolha os f ’s LI. Ent˜ao θ ( f i ⊗ f ) = 0, i i i i i

  ′

  e dados g, g ∈ G quaisquer, !

  X X

  ′ ′ ′ ′ θ f i ⊗ f (g ⊗ g ) = f i (g)f (g ) = 0 . i i i i

  P

  ′ ′

  Fixado g ∈ G qualquer, temos f i (g)f = 0, e como os f ’s s˜ao LI, i i i temos f i (g) = 0. Como isso vale para todo g ∈ G, temos f i = 0 para todo P

  ′ i. Portanto f i ⊗ f = 0, o que prova a injetividade de θ. i i

  (θ ´e morfismo de ´ algebras:) Por ´ ultimo, mostramos que θ ´e morfismo de algebras. Temos: ´

  ′ ′ ′ θ(1 ⊗ 1)(g, g ) = 1(g) · 1(g ) = 1 · 1 = 1 = 1(g, g ) .

  K K K

  P P

  ′ ′

  Al´em disso, dados f i ⊗ f , t j ⊗ t ∈ F(G) ⊗ F(G), temos: 1 i i j j

  ´ g g

  2.2. Exemplos de ´ algebras de Hopf

  87 !

  X X

  ′ ′ ′

  θ f i ⊗ f · t j ⊗ t (g, g ) i j i j !

  X X

  ′ ′ ′

  = θ f i t j ⊗ f t (g, g ) i j i j

  X X

  ′ ′ ′ ′

  = f i (g)t j (g) · f (g )t (g ) i j i j

  X X

  ′ ′ ′ ′

  = f i (g)f (g ) · t j (g)t (g ) i j i j ! !

  X X

  ′ ′ ′ ′

  = θ f i ⊗ f (g, g ) · θ t j ⊗ t (g, g ) , i j i j

  ′

  para todos g, g ∈ G. Portanto    

  !

  X X

  X X

  ′ ′ ′ ′

      θ f i ⊗ f · t j ⊗ t = θ f i ⊗ f · θ t j ⊗ t . i j i j i j i j Desse modo, θ ´e morfismo de ´ algebras, e terminamos a prova do lema.

  Com a ajuda do lema acima, podemos definir o coproduto por: ∆ : F(G) → F(G) ⊗ F(G)

  −1 ∗ ∆ = θ ◦ m .

  ′

  Note que para quaisquer f ∈ F(G) e g, g ∈ G, temos:

  X

  ′ ∗ ′ ′ ′ θ ◦ ∆(f ) (g, g ) = m (f )(g, g ) =⇒ f (g)f (g ) = f (gg ) . f (1) (2)

  A counidade ´e dada pela avalia¸c˜ ao na identidade do grupo: ε : F(G) → K ε(f ) = f (1 G ) .

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.2. F(G) ´e uma co´ algebra com o coproduto e a counidade dados acima. Demonstra¸c˜ ao.

  88 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  

  como veremos a seguir. Considere o isomorfism θ : F(G) ⊗ F(G) ⊗ F(G) → F(G × G × G)

  3 ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′′

  θ(f ⊗ f ⊗ f )(g, g , g ) = f (g)f (g )f (g ) .

  ′ ′′

  Dados g, g , g ∈ G, temos:

  X X

  ′ ′′ ′ ′′

  θ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(f ) (g, g , g ) = f (g)f (g )f (g )

  3 (1) (2)(1) (2)(2) f f (2)

  X

  ′ ′′

  = f (g)f (g g )

f

(1) (2) ′ ′′ = f (g(g g )) .

  Do mesmo modo, temos que:

  X X

  ′ ′′ ′ ′′

  θ

  

3 (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(f ) (g, g , g ) = f (g)f (g )f (g )

f f (1) (1)(1) (1)(2) (2)

  X

  ′ ′′

  = f (gg )f (g )

f

(1) (2) ′ ′′ = f ((gg )g ) .

  Da associatividade da opera¸c˜ ao de grupo, temos θ

  3 (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(f ) = θ 3 (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(f ) ,

  e como θ

  3 ´e bije¸c˜ ao, temos (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(f ) = (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(f ) .

  (Propriedade da counidade:) Seja f ∈ F(G). Temos  

  X

  −1 −1

    ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(f ) = ϕ ◦ (ε ⊗ Id) f ⊗ f l l (1) (2) f

  X = ε f f f (1) (2)

  X = f (1 G ) f 2 f (1) (2)

  Para se mostrar que θ ´ e isomorfismo de ´ algebras, procede-se por indu¸c˜ ao no caso 3

  2.2. Exemplos de ´ algebras de Hopf

  89  

  X

  −1 −1

  ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(f ) = ϕ ◦ (Id ⊗ ε)  f ⊗ f  r r f (1) (2)

  X = f ε f f (1) (2)

  X = f f (1 G ) f (1) (2)

  Aplicando em g ∈ G, temos:

  X

  −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(f ) (g) = f (1 G )f (g) = f (1 G l (1) (2) f

  g) = f (g)

  X

  −1 ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(f ) (g) = f f (1 G ) = f (g1 G ) = f (g) . r (1) (2) f

  Dessa forma, conseguimos

  −1 −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(f ) = f = ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(f ) , l r e a propriedade da counidade fica demonstrada. Proposi¸ c˜ ao 2.2.3. F(G) ´e uma bi´ algebra. Demonstra¸c˜ ao. Devemos apenas mostrar que ∆ e ε s˜ao morfismos de ´al- gebras. (∆ ´e um morfismo de ´ algebras:) De fato, temos:

  

′ ′

  θ ◦ ∆(1 ) (g, g ) = 1 (gg )

  F (G) F (G)

  = 1

  

K

  = 1 (g) · 1 (g )

  F (G) F (G) ′

  = θ(1 ⊗ 1 ) (g, g ) .

  F (G) F (G)

  Portanto θ ◦ ∆(1 ) = θ(1 ⊗ 1 ), e pela injetividade da θ, segue

  F (G) F (G) F (G) que ∆(1 ) = 1 ⊗ 1 . F (G) F (G) F (G)

  Al´em disso, dadas f, t ∈ F(G), temos:

  ′ ′

  θ ∆(f · t) (g, g ) = f · t(gg )

  ′ ′

  = f (gg )t(gg )

  ′ ′

  = θ(∆(f )) (g, g ) · θ(∆(t)) (g, g )

  ′

  = θ(∆(f )) · θ(∆(t)) (g, g )

  ′

  90 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Obtemos θ ∆(f · t) = θ ∆(f ) · ∆(t) e usando a injetividade de θ, temos ∆(f · t) = ∆(f ) · ∆(t).

  (ε ´e um morfismo de ´ algebras:) Vale: ε(1 ) = 1 (1 G ) = 1 .

  

F (G) F (G) K

  Com rela¸c˜ ao ao produto, temos o seguinte. Dados f, t ∈ F(G): ε(f · t) = f · t(1 G ) = f (1 G ) · t(1 G ) = ε(f ) · ε(t) .

  Com isso, ε ´e morfismo de ´ algebras.

  Para conseguirmos uma estrutura de ´ algebra de Hopf, resta apenas definir uma ant´ıpoda para F(G). Fa¸ca: S : F(G) → F(G)

  −1 S(f )(g) = f (g ) .

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.4. S ´e uma ant´ıpoda para F(G). Portanto, o espa¸co das fun¸c˜ oes de um grupo finito G no corpo K, F(G), ´e uma ´ algebra de Hopf. Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar que S satisfaz a propriedade da ant´ıpoda, isto ´e, que ´e a inversa da Id com respeito ao produto de convolu¸c˜ ao.

   

  X  

  S ∗ Id(f ) (g) = S(f )f (g) f (1) (2)

  X = S(f )(g)f (g)

f

(1) (2)

  X

  −1

  = f (g )f (g)

f

(1) (2) −1 = f (g

  g) = f (1 G ) = ε(f )1

  K

  2.2. Exemplos de ´ algebras de Hopf

  91  

  X Id ∗ S(f ) (g) =  f S(f )  (g) f (1) (2)

  X = f (g)S(f )(g)

f

(1) (2)

  X

  −1

  = f (g)f (g )

f

(1) (2) −1 = f (gg ) = f (1 G ) = ε(f )1

  K = η ◦ ε(f ) (g) .

  ´

2.2.2 Algebra de grupo KG

  Seja G um grupo, escrito na nota¸c˜ ao de produto, e com unidade e. A ´ algebra de grupo KG ´e definida por

     

  X M K G = a g g : a g ∈ K e a g ’s quase todos nulos = K .   g g

  ∈G ∈G

  P A soma formal a g g pode ser identificada como uma sequˆencia de g

  ∈G

  elementos (a g ) g ∈G , com a g ∈ K. Tem-se que KG ´e um espa¸co vetorial sobre K. Geralmente consideramos G ⊆ KG via a inclus˜ao canˆ onica i G : G → KG

  X g 7→ δ g,h h = g . h

  

∈G

Com essa nota¸c˜ ao, temos que G ´e base do espa¸co vetorial KG.

  A estrutura de ´ algebra de KG ´e dada por:  

  !

  X X

  X X   g h g,h g a g g · b h h = a g b h gh 1 = δ g,e g = e .

  ∈G ∈G ∈G ∈G

  E a estrutura de co´ algebra ´e dada pelas transforma¸c˜ oes lineares definidas por: ∆(g) = g ⊗ g ε(g) = 1

  K

     

  X X

  X X     ∆ a g g = a g g ⊗ g ε a g g = a g . g g g g

  

∈G ∈G ∈G ∈G

  92 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Proposi¸ c˜ ao 2.2.5. KG ´e uma ´ algebra e uma co´ algebra. Demonstra¸c˜ ao. Para mostrar que ´e uma ´ algebra, verificamos a associativi- dade e a unidade. Basta mostrar que os morfismos que definem o produto e a unidade satisfazem suas respectivas propriedades nos elementos da base. A associatividade segue da associatividade do grupo: g · (h · k) = g(hk) = (gh)k = (g · h) · k ∀g, h, k ∈ G .

KG KG KG KG

  A unidade tamb´em segue da unidade do grupo: 1 · g = eg = g , g · 1 = ge = g , ∀g ∈ G .

KG KG KG

  Quanto ao fato de ser co´ algebra, verificamos abaixo a coassociatividade e a counidade: (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(g) = g ⊗ g ⊗ g = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(g)

  −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(g) = ε(g)g = 1 g = g l K

  −1 ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(g) = gε(g) = g1 = g , ∀g ∈ G . r K Proposi¸ c˜ ao 2.2.6. KG ´e uma bi´ algebra.

  Demonstra¸c˜ ao. O coproduto e a counidade s˜ao morfismos de ´algebras, e portanto KG ´e uma bi´ algebra. De fato, temos: ∆(1 ) = ∆(e) = e ⊗ e = 1 ⊗ 1

KG KG KG

  ε(1 ) = ε(e) = 1 ,

  KG K

    ! !!

  X X

  X  

  ∆ a g g · b h h = ∆ a g b h gh g h g,h

  X = a g b h ∆(gh) g,h

  X = a g b h gh ⊗ gh g,h

  X = a g b h (g ⊗ g)(h ⊗ h) g,h

  ! !

  X X = a g g ⊗ g b h h ⊗ h g h

  ! !

  X X = ∆ a g g ∆ b h h

  2.2. Exemplos de ´ algebras de Hopf

  93  

  ! !!

  X X

  X ε a g g · b h h = ε  a g b h gh  g h g,h

  X = a g b h g,h

  ! !

  X X = a g b h g h

  ! !

  X X = ε a g g · ε b h h . g h A ant´ıpoda de KG ´e obtida pela opera¸c˜ ao de invers˜ao no grupo. Defina

  S : KG → KG ,

  −1 pondo S(g) = g e estendendo linearmente.

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.7. S ´e uma ant´ıpoda para KG. Portanto a ´ algebra de grupo KG ´e uma ´ algebra de Hopf. Demonstra¸c˜ ao. Vejamos que S ´e uma ant´ıpoda. Temos, para todo g ∈ G ⊆ KG, que

  −1

  S ∗ Id(g) = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆(g) = S(g)g = g g = e = ε(g)e = η ◦ ε(g)

  −1 Id ∗ S(g) = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆(g) = gS(g) = gg = e = ε(g)e = η ◦ ε(g) .

  Dessa maneira, KG tem estrutura de ´ algebra de Hopf.

  ´

2.2.3 Algebra tensorial T (V )

  Na se¸c˜ ao vimos a estrutura de ´ algebra da ´algebra tensorial T (V ) de um espa¸co vetorial V . Relembrando, temos ( n )

  ∞

  X M

  ⊗n

  T (V ) := λ i w i | n ∈ N, λ i ∈ K, w i = v i, ⊗ . . . ⊗ v i,n = V , i 1 i n =1

  =0 ⊗0 ⊗1 ⊗n

  em que V := K, V := V e V = V ⊗ . . . ⊗ V (n vezes).

  O produto e a unidade s˜ ao dados por: (u

  1 ⊗ . . . ⊗ u m ) ⊗ (v 1 ⊗ . . . ⊗ v n ) = u 1 ⊗ . . . ⊗ u m ⊗ v 1 ⊗ . . . ⊗ v n

  94 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf `

  As vezes denotaremos o produto como · ou mesmo como a justaposi¸c˜ ao, ao inv´es de ⊗, quando n˜ ao houver confus˜ ao.

  Quando trabalhamos com morfismos de ´ algebras partindo de T (V ), podemos concluir que s˜ao iguais fazendo as contas para V apenas e usando a unicidade na propriedade universal da ´ algebra tensorial. Isso ser´a usado com frequˆencia a seguir.

  Defina o coproduto e a counidade da seguinte forma, para v ∈ V : ∆(1 ) = 1 ⊗ 1 ε(1 ) = 1

  K K K K K

  ∆(v) = v ⊗ 1 + 1 ⊗ v ε(v) = 0 ,

  K K

  e estenda a morfismos de ´ algebras usando a propriedade universal da ´alge- bra tensorial, dada em A coassociatividade e o axioma da counidade s˜ao verificados a seguir. Basta fazermos as contas para v ∈ V ; o caso geral

  ´e consequˆencia da propriedade universal da ´ algebra tensorial. Temos: (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(v) = (∆ ⊗ Id)(v ⊗ 1 + 1 ⊗ v)

  K K

  = v ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ v ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ v

  K K K K K K

  (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(v) = (Id ⊗ ∆)(v ⊗ 1 + 1 ⊗ v)

  K K

  = v ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ v ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ v

  K K K K K K −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆(v) = ε(v)1 + ε(1 )v = v = Id(v) l K K

  −1 ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆(v) = vε(1 ) + 1 ε(v) = v = Id(v) . r K K

  Pela unicidade na propriedade universal da ´ algebra tensorial, temos (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆

  −1

  ϕ ◦ (ε ⊗ Id) ◦ ∆ = Id l

  −1 ϕ ◦ (Id ⊗ ε) ◦ ∆ = Id . r

  Como ∆ e ε s˜ao morfismos de ´ algebras (por defini¸c˜ ao), a ´algebra tensorial T (V ) ´e uma bi´ algebra. Veremos a seguir que a ´algebra tensorial T (V )

  op

  admite uma ant´ıpoda, e portanto ´e uma ´ algebra de Hopf. Defina S : V →

  op op

  T (V ) por S (v) = −v em v ∈ V e estenda a um morfismo de ´algebras

  op

  pela propriedade universal da ´ algebra tensorial. Ent˜ao temos S : T (V ) →

  op

  T (V ) morfismo de ´ algebras dado por n

  op

  S (v . . . v n ) = (−1) v · . . . · v n

  1 1 op op op

  S (1 ) = 1 .

  K K op

  Fazendo S : T (V ) → T (V ) com S = S , tem-se que S ´e antimorfismo de ´ algebras, e n

  S(v

  1 . . . v n ) = (−1) v n · . . . · v

  1

  2.3. Hopf-sub´ algebras, Hopf-ideais e morfismos

  95 Para conferir a propriedade da ant´ıpoda, seja v ∈ V . Temos que os seguintes morfismos de ´ algebras coincidem em V :

  op

  µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆(v) = S(v)1 + S(1 )v = −v + v = 0 = η ◦ ε(v)

  

K K

op

  µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆(v) = vS(1 ) + 1 S(v) = +v − v = 0 = η ◦ ε(v) .

  

K K

  Usamos novamente a propriedade universal da ´algebra tensorial para obter que

  op

  µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ = η ◦ ε

  op µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆ = η ◦ ε . op Como S = S , o mesmo vale para S, e portanto S ´e ant´ıpoda para T (V ).

  ´

2.2.4 Algebra envolvente universal U (g)

  O recobrimento universal U (g) de uma ´ algebra de Lie g ´e uma ´algebra de Hopf. A defini¸c˜ ao de uma ´ algebra de Lie g ser´a vista em e a defini¸c˜ ao do recobrimento U (g), na se¸c˜ ao Por hora, adiantamos que uma ´ algebra de Lie g ´e um espa¸co vetorial munido de uma opera¸c˜ao bilinear

  T (g)

  [, ] : g × g → g com certas propriedades. E seu recobrimento ´e U (g) = , I em que I ⊆ T (g) ´e o ideal gerado pelos elementos ab − ba − [a, b] ∈ T (g).

  Ent˜ ao, em U (g), identificamos os elementos ab − ba e [a, b] da ´algebra tensorial.

  Por completeza, exibiremos aqui, tamb´em, a estrutura de ´algebra de Hopf de U (g). As demonstra¸c˜ oes de todas as propriedades s˜ao feitas na se¸c˜ ao A proje¸c˜ ao g . . . g n = g . . . g n de g . . . g n ∈ T (g) ´e denotada

  1

  

1

  1

  apenas por g

  1 . . . g n . Temos:

  g · h = g · h = gh 1 = 1

  

U (g) T (g) U (g) K

  ∆(g) = g ⊗ 1 + 1 ⊗ g ε(g) = 0

  K K

  ∆(1 ) = 1 ⊗ 1 ε(1 ) = 1

  K K K K K

  S(1 ) = 1

  K K n

  S(g . . . g n ) = (−1) g n . . . g ,

  1

  1 com g, h, g , . . . , g n ∈ g ⊆ U(g).

  1

  

2.3 Hopf-sub´ algebras, Hopf-ideais e morfis-

mos

  Nesta se¸c˜ ao, veremos os conceitos de ideal, sub´ algebra e morfismo para

  96 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Defini¸ c˜ ao 2.3.1. Seja H uma ´ algebra de Hopf. Um subespa¸co B de H ´e uma Hopf-sub´ algebra se:

  ◦ f 2. f preserva a ant´ıpoda:

  

1

  = ∆

  2

  ◦ f ε

  

1

  = ε

  2

  H

  2

  1 f

  // S 1 H

  2 S 2 H

  1 f

  // H

  2

  f ◦ S

  (f ⊗ f ) ◦ ∆

  = η

  1. B ´e sub´ algebra de H, isto ´e, µ(B ⊗ B) ⊆ B;

  duas ´ algebras de Hopf. Uma transfor- ma¸c˜ ao linear f : H

  2. B ´e subco´ algebra de H, isto ´e, ∆(B) ⊆ B ⊗ B; 3. S(B) ⊆ B. Observa¸c˜ ao 2.3.2. Se 1 H ∈ B, ent˜ ao temos η : K → B. Assim, obtemos que (B, µ| B ⊗B , η, ∆| B , ε| B , S B ) ´e uma ´ algebra de Hopf por si s´o. Defini¸ c˜ ao 2.3.3. Seja H uma ´ algebra de Hopf. Um subespa¸co I ⊆ H ´e um Hopf-ideal se:

  1. I ´e um ideal da ´ algebra H, isto ´e, µ(H ⊗ I + I ⊗ H) ⊆ H;

  2. I ´e um coideal da co´ algebra H, isto ´e, ∆(H) ⊆ H ⊗ I + I ⊗ H e ε(I) = 0; 3. S(I) ⊆ I.

  Defini¸ c˜ ao 2.3.4. Sejam H

  1

  e H

  2

  1

  

1

  → H

  2

  ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf se: 1. f ´e um morfismo de bi´ algebras, isto ´e: f ◦ µ

  

1

  = µ

  2

  ◦ (f ⊗ f ) f ◦ η

  1 = S 2 ◦ f

  2.3. Hopf-sub´ algebras, Hopf-ideais e morfismos

  97 Veremos que o item ´e, na verdade, automaticamente satisfeito para morfismos de bi´ algebras entre duas ´ algebras de Hopf.

  Proposi¸ c˜ ao 2.3.5. Sejam H

  1 e H 2 duas ´ algebras de Hopf. Seja f : H 1 →

  H

  2 um morfismo de bi´ algebras. Ent˜ ao f ◦ S 1 = S 2 ◦ f , e f ´e automatica- mente um morfismo de ´ algebras de Hopf.

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar que tanto f ◦ S quanto S ◦ f s˜ao inversas

  1

  2

  de f em rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao em Hom(H , H ), que ´e uma

  1

  2

  algebra. Portanto, pela unicidade do inverso multiplicativo, ter´ıamos f ◦ ´ S

  1 = f ◦ S 2 . Vejamos que f ◦ S 1 ´e o inverso multiplicativo de f :

  (f ◦ S ) ∗ f = µ ◦ ((f ◦ S ) ⊗ f ) ◦ ∆

  1

  2

  1

  1

  = µ ◦ (f ⊗ f ) ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  2

  1

  1

  = f ◦ µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  1

  1

  1

  = f ◦ (S

  1 ∗ Id)

  = f ◦ η

  

1 ◦ ε

  1

  = η ◦ ε

  2

  

1

  f ∗ (f ◦ S ) = µ ◦ (f ⊗ (f ◦ S )) ◦ ∆

  1

  2

  1

  1

  = µ ◦ (f ⊗ f ) ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆

  2

  1

  1

  = f ◦ µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆

  1

  1

  1

  = f ◦ (Id ∗ S

  1 )

  = f ◦ η

  

1 ◦ ε

  1 = η ◦ ε .

  2

  

1

Vejamos agora que S 2 ◦ f ´e o inverso multiplicativo de f :

  (S ◦ f ) ∗ f = µ ◦ ((S ◦ f ) ⊗ f ) ◦ ∆

  2

  2

  

2

  1

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ (f ⊗ f ) ◦ ∆

  2

  

2

  1

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ ◦ f

  2

  

2

  2

  = (S ∗ Id) ◦ f

  2

  = η

  2 ◦ ε

2 ◦ f

  98 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf f ∗ (S ◦ f ) = µ ◦ (f ⊗ (S ◦ f )) ◦ ∆

  2

  2

  2

  1

  = µ

  

2 ◦ (Id ⊗ S

2 ) ◦ (f ⊗ f ) ◦ ∆

  1

  = µ

  

2 ◦ (Id ⊗ S

2 ) ◦ ∆ 2 ◦ f

  = (Id ∗ S ) ◦ f

  

2

  = η ◦ ε ◦ f

  2

  

2

= η ◦ ε .

  2

1 Em v´ arias passagens, usamos que f ´e morfismo de bi´algebras. Assim o resultado fica provado.

2.4 Algumas propriedades da ant´ıpoda

  J´ a obtivemos na observa¸c˜ ao que a ant´ıpoda de uma ´algebra de Hopf ´e ´ unica. Veremos tamb´em que a ant´ıpoda ´e um antimorfismo de ´ algebras e de co´ algebras, e algumas outras propriedades relacionadas com a ant´ıpoda.

  Proposi¸ c˜ ao 2.4.1. Seja H uma ´ algebra de Hopf com ant´ıpoda S. Ent˜ ao:

  op

  1. S ´e um antimorfismo de ´ algebras. Isto ´e, S : H → H ´e morfismo de

  op ´ algebras, ou, equivalentemente, S : H → H ´e morfismo de ´ algebras.

  

op op

  S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S) S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S) S ◦ η = η S ◦ η = η .

  cop

  2. S ´e um antimorfismo de co´ algebras,. Isto ´e, S : H → H ´e mor-

  cop

  fismo de co´ algebras, ou, equivalentemente, S : H → H ´e morfismo

  

  de co´ algebras. Em outras palavra

  cop cop

  ∆ ◦ S = (S ⊗ S) ◦ ∆ ∆ ◦ S = (S ⊗ S) ◦ ∆ ε ◦ S = ε ε ◦ S = ε . Demonstra¸c˜ ao.

  op

  1. (S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S):) Considere Hom(H ⊗ H, H) com o produto de convolu¸c˜ ao ∗ e unidade 1 = η ◦ ε H . Vamos mostrar 3 op op Hom(H⊗H,H) ⊗H

  Passamos de S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S) a S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S), e vice-versa, aplicando τ ` a direita dos dois lados, e usando que (S ⊗ S) ◦ τ = τ ◦ (S ⊗ S). 4 cop cop Passamos de ∆ ◦ S = (S ⊗ S) ◦ ∆ a ∆ ◦ S = (S ⊗ S) ◦ ∆, e vice-versa, aplicando

  τ

  2.4. Algumas propriedades da ant´ıpoda op

  99 que tanto S◦µ quanto µ ◦(S⊗S) s˜ao inversas de µ ∈ Hom(H⊗H, H) com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao.

  Vejamos que S ◦ µ ´e inversa de µ: µ ∗ (S ◦ µ) = µ ◦ (µ ⊗ (S ◦ µ)) ◦ ∆ H

  ⊗H

  = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ (µ ⊗ µ) ◦ ∆ H ⊗H = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ ◦ µ = (Id ∗ S) ◦ µ = η ◦ ε ◦ µ = η ◦ ε H

  ⊗H

  (S ◦ µ) ∗ µ = µ ◦ ((S ◦ µ) ⊗ µ) ◦ ∆ H

  ⊗H

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ (µ ⊗ µ) ◦ ∆ H

  ⊗H

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ ◦ µ = (S ∗ Id) ◦ µ = η ◦ ε ◦ µ = η ◦ ε H . op ⊗H Agora, verifiquemos que µ ◦(S ⊗S) ´e inversa de µ. Sejam h, g ∈ H.

  Temos:

  op

  µ ∗ (µ ◦ (S ⊗ S)) (h ⊗ g)

  X op = µ(h ⊗ g ) · µ ◦ (S ⊗ S) (h ⊗ g ) h,g (1) (1) (2) (2)

  X = h · g · S(g ) · S(h ) g,h

(1) (1) (2) (2)

  !

  X X = h · g · S(g ) · S(h ) h g (1) (1) (2) (2)

  X = h · (Id ∗ S)(g) · S(h ) h

(1) (2)

  X = h · (η ◦ ε)(g) · S(h ) h (1) (2)

  X = h · (ε(g)1 H ) · S(h ) h (1) (2)

  X = ε(g) h · S(h ) = ε(g)(Id ∗ S)(h) h (1) (2)

  = ε(g)(η ◦ ε)(h) = ε(g)ε(h)1 H

  100 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  op

  (µ ◦ (S ⊗ S)) ∗ µ (h ⊗ g)

  X op = µ ◦ (S ⊗ S) (h ⊗ g ) · µ(h ⊗ g ) h,g (1) (1) (2) (2)

  X = S(g ) · S(h ) · h · g g,h (1) (1) (2) (2)

  !

  X X = S(g ) · S(h ) · h · g g (1) (1) (2) (2)

h

  X = S(g ) · (S ∗ Id)(h) · g g (1) (2)

  X = S(g ) · (η ◦ ε)(h) · g g (1) (2)

  X = S(g ) · (ε(h)1 H ) · g g (1) (2)

  X = ε(h) S(g ) · g = ε(h)(S ∗ Id)(g) g

(1) (2)

  = ε(h)(η ◦ ε)(g) = ε(g)ε(h)1 H = η ε(g)ε(h) = η ◦ ε H (h ⊗ g) .

  ⊗H op

  Portanto µ ◦ (S ⊗ S) e S ◦ µ s˜ao inversas de µ ∈ Hom(H ⊗ H, H) com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao na ´ algebra Hom(H ⊗ H, H). Como o elemento inverso ´e ´ unico numa ´ algebra, temos que

  op µ ◦ (S ⊗ S) = S ◦ µ .

  (S(1 H ) = 1 H :) De fato, temos: S ∗ Id(1 H ) = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆(1 H ) = η ◦ ε(1 H )

  =⇒ S(1 H ) · 1 H = ε(1 H )1 H = 1

  1 H

  K =⇒ S(1 H ) = 1 H . cop

  2. (∆ ◦ S = (S ⊗ S) ◦ ∆ :) Considere Hom(H, H ⊗ H) com o produto de convolu¸c˜ ao ∗ e unidade η H ◦ ε. Vamos mostrar que ∆ ◦ S e

  

⊗H

cop

  (S ⊗ S) ◦ ∆ s˜ao inversas de ∆ ∈ Hom(H, H ⊗ H) com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao.

  2.4. Algumas propriedades da ant´ıpoda 101 Verificando que ∆ ◦ S ´e inversa de ∆:

  ∆ ∗ (∆ ◦ S) = µ H ◦ (∆ ⊗ (∆ ◦ S)) ◦ ∆

  ⊗H

  = µ H ⊗H ◦ (∆ ⊗ ∆) ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ = ∆ ◦ µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ = ∆ ◦ (Id ∗ S) = ∆ ◦ η ◦ ε = η H

  ⊗H

  (∆ ◦ S) ∗ ∆ = µ H ◦ ((∆ ◦ S) ⊗ ∆) ◦ ∆

  ⊗H

  = µ H ◦ (∆ ⊗ ∆) ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  ⊗H

  = ∆ ◦ µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ = ∆ ◦ (S ∗ Id) = ∆ ◦ η ◦ ε = η H ⊗H ◦ ε .

  cop

  Verificando que (S ⊗ S) ◦ ∆ ´e inversa de ∆:

  cop

  ∆ ∗ (S ⊗ S) ◦ ∆ (h)

  X

  cop

  = ∆(h ) · (S ⊗ S) ◦ ∆ (h ) h (1) (2)    

  X X

  X    

  = h ⊗ h · S(h ) ⊗ S(h ) h h h (1) (2) (1)(1) (1)(2) (2)(2) (2)(1)

  X = h S(h ) ⊗ h S(h ) h,h ,h (1) (2)

(1)(1) (2)(2) (1)(2) (2)(1)

  X = h S(h ) ⊗ h S(h ) h (1) (4) (2) (3)

  X = h S(h ) ⊗ h S(h ) h,h (2) (1) (3) (2)(1) (2)(2)

  X = h S(h ) ⊗ (Id ∗ S)(h )

  (1) (3) (2) h | {z } (η◦ε)(h )

(2)

  !

  X = ε(h )h S(h ) ⊗ 1 H h (2) (1) (3)

  !

  X = h S(h ) ⊗ 1 H = (Id ∗ S)(h) ⊗1 H

  (1) (2) h | {z } (η◦ε)(h)

  102 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  cop

  (S ⊗ S) ◦ ∆ ∗ ∆ (h)

  X

  cop

  = (S ⊗ S) ◦ ∆ (h ) · ∆(h ) h (1) (2)    

  X X

  X    

  = S(h ) ⊗ S(h ) · h ⊗ h h h h (1) (2) (1)(2) (1)(1) (2)(1) (2)(2)

  X = S(h )h ⊗ S(h )h h,h ,h (1) (2) (1)(2) (2)(1) (1)(1) (2)(2)

  X = S(h )h ⊗ S(h )h h (2) (3) (1) (4)

  X = S(h )h ⊗ S(h )h h,h (2) (2)(1) (2)(2) (1) (3)

  X = (S ∗ Id)(h ) ⊗S(h )h

  (2) (1) (4) h | {z } (η◦ε)(h ) (2)

  !

  X = 1 H ⊗ S(h )ε(h )h h (1) (2) (3)

  !

  X = 1 H ⊗ S(h )h = 1 H ⊗ (S ∗ Id)(h)

  (1) (2) h | {z } (η◦ε)(h) = ε(h)1 H ⊗ 1 H = η H ◦ ε(h) .

  ⊗H cop

  Dessa forma, (S ⊗ S) ◦ ∆ e ∆ ◦ S s˜ao inversas de ∆ ∈ Hom(H, H ⊗ H) com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao da ´algebra Hom(H, H⊗H). Pela unicidade do elemento inverso numa ´ algebra, temos:

  

cop

(S ⊗ S) ◦ ∆ = ∆ ◦ S .

  (ε ◦ S = ε:) Seja h ∈ H. Ent˜ ao temos:

  X (Id ∗ S)(h) = η ◦ ε(h) =⇒ h S(h ) = ε(h)1 H . h (1) (2)

  2.4. Algumas propriedades da ant´ıpoda 103

  X ε(h )ε(S(h )) = ε(h) ε(1 H )

  (1) (2) h | {z }

  1 K

  X =⇒ ε S ε(h )h = ε(h) h (1) (2)

  !

  X =⇒ (ε ◦ S) ε(h )h = ε(h) h (1) (2) =⇒ (ε ◦ S)(h) = ε(h) .

  Portanto ε ◦ S = ε. Proposi¸ c˜ ao 2.4.2. Seja H uma ´ algebra de Hopf com ant´ıpoda S. S˜ ao equivalentes:

  X

  1. S(h )h = ε(h)1 H para todo h ∈ H ; h (2) (1)

  X 2. h S(h ) = ε(h)1 H para todo h ∈ H; h (2) (1)

  2 3. S = Id .

  Demonstra¸c˜ ao. (1. =⇒ 3.) : Como Id ´e a inversa de S com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ao, basta

  2

  mostrar que S tamb´em ´e a inversa de S com rela¸c˜ao ao produto de con- volu¸c˜ ao. De fato, temos:

  X

  2

  2

  (S ∗ S )(h) = S(h ) · S (h ) h (1) (2) !

  X = S S(h ) · h h (2) (1)

  = S(ε(h)1 H ) = ε(h)S(1 H ) = ε(h)1 H = η ◦ ε(h) .

  2 Assim, como sabemos que S ´e invers´ıvel e temos que S ´e inversa ` a direita

  2 de S, temos que S deve ser a inversa de S, que ´e Id.

  104 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf (3. =⇒ 1.) : Pela defini¸c˜ ao da ant´ıpoda, temos, para todo h ∈ H, que

  X S(h )h = ε(h)1 H . h (1) (2) Aplicando S dos dois lados, e usando que S ´e antimorfismo de ´algebras, obtemos

  X X

  2 S(h )S (h ) = ε(h)1 H =⇒ S(h )h = ε(h)1 H . h h (2) (1) (2) (1)

  (2. =⇒ 3.) :

  2 Da mesma forma que em 1. =⇒ 3., vamos mostrar que S ´e a inversa de

  S com rela¸c˜ ao ao produto de convolu¸c˜ ao. De fato:

  X

  2

  2

  (S ∗ S)(h) = S (h )S(h ) h (1) (2) !

  X = S h S(h ) h (2) (1)

  = S(ε(h)1 H ) = ε(h)1 H = η ◦ ε(h) .

  2 Portanto, como sabemos que S ´e invers´ıvel e temos que S ´e inversa `a

  2 esquerda de S, devemos ter Id = S .

  (3. =⇒ 2.) : Considere h ∈ H. Pela defini¸c˜ ao de ant´ıpoda, temos:

  X h S(h ) = ε(h)1 H . h (1) (2) Aplique S dos dois lados da equa¸c˜ ao, e como S ´e antimorfismo de ´algebras, temos:

  X X

  2 S (h )S(h ) = ε(h)1 H =⇒ h S(h ) = ε(h)1 H . h h (2) (1) (2) (1)

  2.5. ´ Algebras de Hopf oposta, co-oposta e oposta-co-oposta 105 Corol´ ario 2.4.3. Se H ´e uma ´ algebra de Hopf comutativa ou cocomuta- tiva, ent˜ ao

2 S = Id .

  Demonstra¸c˜ ao. Se H ´e comutativa, ent˜ ao

  X X h S(h ) = ε(h)1 H =⇒ S(h )h = ε(h)1 H , h h (1) (2) (2) (1)

  2 e pela proposi¸c˜ ao temos que S = Id.

  Se H ´e cocomutativa, ent˜ ao

  X X h ⊗ h = h ⊗ h h h (1) (2) (2) (1)

  X X =⇒ ε(h)1 H = h S(h ) = h S(h ) , h h (1) (2) (2) (1)

  2 e pela proposi¸c˜ ao temos que S = Id.

  ´

  

2.5 Algebras de Hopf oposta, co-oposta e oposta-

co-oposta op

  Seja H uma ´ algebra de Hopf, e considere o produto oposto µ e o co-

  cop op cop op,cop

  produto cooposto ∆ . Na se¸c˜ ao foi visto que H , H e H s˜ao bi´ algebras tamb´em. Veremos nessa se¸c˜ ao que a ant´ıpoda de H tam-

  op,cop

  b´em fornece uma ant´ıpoda para S e que em determinadas situa¸c˜ oes

  op cop tamb´em temos uma ant´ıpoda para H e H . op,cop

  Proposi¸ c˜ ao 2.5.1. Seja H uma ´ algebra de Hopf. A bi´ algebra H ´e uma ´ algebra de Hopf, com ant´ıpoda S.

  op,cop op,cop

  Demonstra¸c˜ ao. Dados f, g : H → H, o produto em Hom(H , H ), chamado de produto de convolu¸c˜ ao, ´e dado por:

  op cop f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ . op,cop op,cop

  Sabemos que H ´e uma bi´ algebra, pela proposi¸c˜ao Resta veri- ficar a propriedade da ant´ıpoda. Temos que:

  op cop

  S ∗ Id = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  op,cop

  = µ ◦ τ ◦ (S ⊗ Id) ◦ τ ◦ ∆ = µ ◦ τ ◦ τ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆

  106 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  op,cop

  Da mesma forma, mostra-se que Id ∗ S = η ◦ ε. Portanto H ´e

  op,cop uma ´ algebra de Hopf, com ant´ıpoda S.

  Proposi¸ c˜ ao 2.5.2. Seja H uma ´ algebra de Hopf. Ent˜ ao s˜ ao equivalentes:

  1. S ´e invers´ıvel com rela¸c˜ ao ` a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes;

  op 2. a bi´ algebra H ´e uma ´ algebra de Hopf. op ′ −1 Caso sejam verdadeiras, a ant´ıpoda de H ´e S = S .

  Demonstra¸c˜ ao. (1. =⇒ 2.) : Como S ´e antimorfismo de co´ algebras, pela proposi¸c˜ ao temos

  op

  µ ◦ (S ⊗ S) = S ◦ µ S ◦ η = η .

  −1 −1 −1 −1

  O mesmo vale para S , pois podemos aplicar (S ⊗ S ) `a direita e S

  

−1

  ` a esquerda na primeira equa¸c˜ ao, e S a esquerda na segunda. Obtemos `

  

−1 op −1 −1

  S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S ) e

  −1 (∗) η = S ◦ η .

  Aplicando a transposi¸c˜ ao τ ` a direita na equa¸c˜ ao de cima, temos

  −1 op −1 −1

  (∗∗) S ◦ µ = µ ◦ (S ⊗ S ) ,

  −1 −1 −1 −1 j´ a que (S ⊗ S ) ◦ τ = τ ◦ (S ⊗ S ). op op

  Considere Hom(H , H ), com o produto de convolu¸c˜ ao dado por

  op

  f ∗ op g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ ,

  op op para f, g ∈ Hom(H , H ).

  −1

  Vamos mostrar a propriedade da ant´ıpoda para S :

  −1 op −1

  S ∗ Id = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  op

op −1 −1

  = µ ◦ (S ⊗ S ) ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆

  (∗∗) −1

  = S ◦ µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆

  −1

  = S ◦ η ◦ ε

  (∗)

  2.5. ´ Algebras de Hopf oposta, co-oposta e oposta-co-oposta 107 Id ∗ op S

  ◦ S = µ

  ′

  Como S ´e invers´ıvel com respeito ao produto de convolu¸c˜ao, com inversa Id, temos S ◦ S

  ⊗ Id) ◦ ∆ ◦ S = η ◦ ε ◦ S = η ◦ ε .

  ′

  ◦ (S

  op

  cop

  ′

  ) ◦ ∆

  ′

  ) ◦ (S ⊗ S) ◦ ∆ = µ ◦ (Id ⊗ S

  ′

  ◦ S) ◦ ∆ = µ ◦ (Id ⊗ S

  ′

  = Id = S

  ◦ S. Portanto S ´e invers´ıvel com rela¸c˜ao `a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes, com inversa S

  ′

  ´e S

  cop

  (S ⊗ S) ◦ ∆

  Demonstra¸c˜ ao. (1. =⇒ 2.) : Sabemos da proposi¸c˜ ao que S ´e antimorfismo de co´ algebras. Ent˜ ao:

  −1 .

  = S

  ′

  cop

  ′

  Caso sejam ambas verdadeiras, a ant´ıpoda de H

  cop ´e uma ´ algebra de Hopf.

  1. S ´e invers´ıvel com rela¸c˜ ao ` a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes; 2. a bi´ algebra H

  Proposi¸ c˜ ao 2.5.3. Seja H uma ´ algebra de Hopf. Ent˜ ao s˜ ao equivalentes:

  −1 .

  = S

  ◦ S) = µ ◦ S ⊗ (S

  S ∗ (S

  −1

  

−1

  −1

  = S

  (∗∗)

  ) ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  −1

  ⊗ S

  ◦ (S

  −1

  op

  ) ◦ ∆ = µ

  −1

  ◦ (Id ⊗ S

  op

  = µ

  ◦ µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ = S

  ◦ η ◦ ε

  ⊗ Id) ◦ ∆ = S ◦ η ◦ ε = η ◦ ε ,

  ′

  ′

  ◦ (S

  

op

  ⊗ Id) ◦ ∆ = S ◦ µ

  ′

  ) ⊗ S ◦ ∆ = µ ◦ (S ⊗ S) ◦ (S

  ) ∗ S = µ ◦ (S ◦ S

  (∗) = η ◦ ε .

  ′

  (S ◦ S

  (2. =⇒ 1.) : Temos que:

  op .

  ´e ant´ıpoda para H

  −1

  Portanto S

  = ∆ ◦ S

  108 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  −1 −1

  Da mesma forma que antes, podemos aplicar (S ⊗ S ) `a esquerda e

  −1 −1

  S a direita na primeira equa¸c˜ ` ao e S a direita na segunda. Ficamos `

  −1

  com S antimorfismo de co´ algebras:

  cop −1 −1 −1

  ∆ ◦ S = (S ⊗ S ) ◦ ∆ e

  −1 (∗) ε = ε ◦ S .

  Aplicamos a transposi¸c˜ ao τ ` a esquerda na equa¸c˜ ao de cima, e ficamos com

  −1 −1 −1 cop

  (∗∗) ∆ ◦ S = (S ⊗ S ) ◦ ∆ ,

  −1 −1 −1 −1 posto que τ ◦ (S ⊗ S ) = (S ⊗ S ) ◦ τ . cop cop

  Agora considamos Hom(H , H ), com o produto de convolu¸c˜ao dado por

  cop

  f ∗ cop g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ ,

  cop cop

  para f, g ∈ Hom(H , H ). Passamos, ent˜ ao, ` a propriedade da ant´ıpoda

  −1

  para S :

  −1 −1 cop

  S ∗ Id = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆

  cop −1 −1 cop

  = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ (S ⊗ S ) ◦ ∆

  (∗∗) −1

  = µ ◦ (Id ⊗ S) ◦ ∆ ◦ S

  

−1

  = η ◦ ε ◦ S

  (∗)

  = η ◦ ε ,

  −1 −1 cop

  Id ∗ S = µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆

  cop −1 −1 cop

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ (S ⊗ S ) ◦ ∆

  (∗∗) −1

  = µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ ◦ S

  

−1

  = η ◦ ε ◦ S

  (∗) = η ◦ ε . −1 cop Portanto, temos que S ´e ant´ıpoda de H .

  2.6. ´ Algebra de Hopf do produto tensorial 109 (2. =⇒ 1.) : Temos que:

  K

  ′

  = S

  −1 .

  2.6 ´ Algebra de Hopf do produto tensorial

  Sejam B e H duas ´ algebras de Hopf. Na se¸c˜ ao vimos que B ⊗ H ´e uma bi´ algebra, com as opera¸c˜ oes

  µ B

  ⊗H

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) η B

  ⊗H

  = (η B ⊗ η H ) ◦ ∆

  K

  ∆ B ⊗H = (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ) ε B ⊗H = µ

  ◦ (ε B ⊗ ε H ) , em que µ

  ′

  K

  : K ⊗ K → K µ

  K

  (α ⊗ β) = α · β ∆

  K

  : K → K ⊗ K ∆

  K

  (α) = α(1

  K

  ⊗ 1

  K

  )

  ◦ S. Portanto S ´e invers´ıvel com rela¸c˜ao `a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes, com inversa S

  = Id = S

  (S ◦ S

  cop

  ′

  ) ∗ S = µ ◦ (S ◦ S

  ′

  ) ⊗ S ◦ ∆ = µ ◦ (S ⊗ S) ◦ (S

  ′

  ⊗ Id) ◦ ∆ = S ◦ µ

  

op

  ◦ (S

  ′

  ⊗ Id) ◦ ∆ = S ◦ µ ◦ (Id ⊗ S

  ′

  ) ◦ ∆

  = S ◦ η ◦ ε = η ◦ ε

  ′

  S ∗ (S

  ′

  ◦ S) = µ ◦ S ⊗ (S

  ′

  ◦ S) ◦ ∆ = µ ◦ (Id ⊗ S

  ′

  ) ◦ (S ⊗ S) ◦ ∆ = µ ◦ (Id ⊗ S

  ′

  ) ◦ ∆

  cop

  ◦ S = η ◦ ε ◦ S = η ◦ ε

  Como S ´e invers´ıvel com respeito ao produto de convolu¸c˜ao, com inversa Id, temos S ◦ S

  −1

  110 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Resta tentar obter uma ant´ıpoda para B ⊗ H. Defina S B = S B ⊗ S H .

  ⊗H

  Conferindo a propriedade da ant´ıpoda: µ B ⊗H ◦ (S B ⊗H ⊗ Id B ⊗H ) ◦ ∆ B ⊗H

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (S B ⊗ S H ⊗ Id ⊗ Id) ◦ (Id ◦ τ ◦ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H )

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (Id ◦ τ ◦ Id) ◦ (S B ⊗ Id ⊗ S H ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H )

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (S B ⊗ Id ⊗ S H ⊗ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ) = µ B ◦ (S B ⊗ Id) ◦ ∆ B ⊗ µ H ◦ (S H ⊗ Id) ◦ ∆ H = (η B ◦ ε B ) ⊗ (η H ◦ ε H ) = (η B ⊗ η H ) ◦ (ε B ⊗ ε H ) = (η B ⊗ η H ) ◦ ∆ ◦ µ ◦ (ε B ⊗ ε H )

  K K

  = η B ◦ ε B

  ⊗H ⊗H

  µ B ◦ (Id B ⊗ S B ) ◦ ∆ B

  ⊗H ⊗H ⊗H ⊗H

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (Id ⊗ Id ⊗ S B ⊗ S H ) ◦ (Id ◦ τ ◦ Id) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H )

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ τ ⊗ Id) ◦ (Id ◦ τ ◦ Id) ◦ (Id ⊗ S B ⊗ Id ⊗ S H ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H )

  = (µ B ⊗ µ H ) ◦ (Id ⊗ S B ⊗ Id ⊗ S H ) ◦ (∆ B ⊗ ∆ H ) = µ B ◦ (Id ⊗ S B ) ◦ ∆ B ⊗ µ H ◦ (Id ⊗ S H ) ◦ ∆ H = (η B ◦ ε B ) ⊗ (η H ◦ ε H ) = (η B ⊗ η H ) ◦ (ε B ⊗ ε H ) = (η B ⊗ η H ) ◦ ∆ ◦ µ ◦ (ε B ⊗ ε H )

  K K

  = η B ◦ ε B

  ⊗H ⊗H Com isso, B ⊗ H ´e uma ´ algebra de Hopf.

  ´

  2.7 Algebra de Hopf quociente H

  Daremos uma estrutura de ´ algebra de Hopf para o quociente de uma I

  2.7. ´ Algebra de Hopf quociente 111 H ideal ´e tal que possibilita transportar a estrutura de H para , da mesma I forma que ocorre com as ´ algebras, co´ algebras e bi´algebras.

  Proposi¸ c˜ ao 2.7.1. Sejam H ´ algebra de Hopf, I ⊂ H Hopf-ideal. Consi- B dere π : B → a proje¸c˜ ao canˆ onica. Ent˜ ao existe uma ´ unica estrutura de I H ´ algebra de Hopf em que faz com que π seja um morfismo de ´ algebras de I Hopf. Essa estrutura ´e dada por: H a · b = a · b ∆ (b) = b ⊗ b H H

I

(1) (2)

  1 = 1 H ε (b) = ε H (b) I H I S (a) = S H (a) . I Demonstra¸c˜ ao. Um Hopf-ideal ´e um bi-ideal com a propriedade adicional de ser invariante pela ant´ıpoda, isto ´e, S(I) ⊆ I. Sendo assim, a estru- tura de bi´ algebra j´ a est´ a garantida pela proposi¸c˜ao Resta obter a ant´ıpoda. H H H

  Defina S : → por I I I H S (a) = S H (a) . I A fun¸c˜ ao est´ a bem definida e ´e um antimorfismo de ´algebras e de co´ algebras (pois S H o ´e). Dados a, b ∈ H, a boa defini¸c˜ ao segue de: a = b =⇒ a − b ∈ I =⇒ S H (a − b) ∈ I =⇒ S H (a) − S H (b) ∈ I H H =⇒ S H (a) = S H (b) =⇒ S (a) = S (b) . I I

  Falta apenas mostrar a propriedade da ant´ıpoda. Seja a ∈ H. Temos: H H H H H H S ∗ Id (a) = µ ◦ (S ⊗ Id ) ◦ ∆ (a) I I I I I I

  ! H H

  X = µ ◦ (S ⊗ Id) a ⊗ a I I a (1) (2)

  X = S H (a ) · a a (1) (2)

  X = S H (a )a a (1) (2)

  = ε H (a)1 H H = ε (a)1 H H H I

  112 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf H H H H H H H H Portanto S ∗ Id = η ◦ ε . A outra rela¸c˜ ao Id ∗ S = η ◦ ε se I I I I H I I I I mostra de forma an´ aloga. Portanto ´e uma ´ algebra de Hopf. I Por fim, π ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf, pois ´e um morfismo de bi´ algebras, em decorrˆencia da proposi¸c˜ ao e um morfismo de bi´ algebras ´e automaticamente um morfismo de ´ algebras de Hopf, por causa da proposi¸c˜ ao

  A unicidade da estrutura de ´ algebra de Hopf do enunciado ´e con- sequˆencia da unicidade da estrutura de bi´ algebra, decorrente da proposi¸c˜ ao

   Proposi¸ c˜ ao 2.7.2. Sejam B e H duas ´ algebras de Hopf, I ⊆ B um Hopf- B ideal e π : B → a proje¸c˜ ao canˆ onica. Se f : B → H ´e um morfismo de I ´ algebras de Hopf tal que I ⊆ ker(f ), ent˜ ao existe um ´ unico morfismo de B ´ algebras de Hopf f : → H tal que I f

  // B H π OO f

  && B I f ◦ π = f .

  Demonstra¸c˜ ao. Seja f : B → H ´e um morfismo de ´algebras de Hopf com I ⊆ ker(f ). Da proposi¸c˜ ao o I morfismo de bi´ algebras preserva a ant´ıpoda, temos que f ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf.

  ´

2.8 Algebra de Hopf dual

2.8.1 Dimens˜ ao finita

  Considere uma ´ algebra de Hopf de dimens˜ ao finita H. J´a vimos antes,

  ∗

  na se¸c˜ ao que H ´e uma bi´ algebra, com estrutura dada por: ∗ ∗ ∗ −1 ∗ µ H = ∆ ◦ θ ∆ H = θ ◦ µ H H f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ H

  K

  P f ∗ g(c) = f (c )g(c ) c (1) (2) ∗ ∗ ∗ −1 ∗ η H = ε ◦ ξ ε H = ξ ◦ η , H H

  2.8. ´ Algebra de Hopf dual 113 em que temos

  ∗

  ξ : K → K ξ(λ) = mult λ

  

∗ ∗ ∗

  θ : B ⊗ B → (B ⊗ B) θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) .

  ∗

  Como H admite ant´ıpoda S H , ´e poss´ıvel mostrar que H tamb´em admite ant´ıpoda, e esta ´e dada pela transposta de S H : ∗ ∗ ∗ S H = S : H → H . H Antes, precisaremos de um lema para reescrever a transposta do produto tensorial de duas transforma¸c˜ oes lineares. Lema 2.8.1. Dados f : V → W e f : V → W transforma¸c˜ oes lineares

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita, temos

  ∗ ∗ ∗ −1

  (f

  1 ⊗ f 2 ) = θ V ◦ (f ⊗ f ) ◦ θ ,

  1

  2 W

  em que

  ∗ ∗ ∗

  θ V : V ⊗ V → (V ⊗ V )

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗

  θ W : W ⊗ W → (W

  1 ⊗ W 2 )

  1

  2

  s˜ ao dados, para a ∈ V e b ∈ V por

  1

  2

  θ V (f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) θ W (f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) .

  

∗ ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Sejam w ∈ W e w ∈ W . Ent˜ao

  1

  1

  

2

  2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  (f

  1 ⊗ f 2 ) ◦ θ W (w ⊗ w ) = f 1 ⊗ f 2 θ W (w ⊗ w )

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗

  = θ W (w ⊗ w ) ◦ (f

  1 ⊗ f 2 ) .

  1

  2 Aplicando em v ∈ V e v ∈ V , temos:

  1

  1

  2

  2 ∗ ∗ ∗

  (f ⊗ f ) ◦ θ W (w ⊗ w )(v ⊗ v )

  1

  2

  1

  2

  1

  

2

∗ ∗

  = θ W (w ⊗ w ) ◦ (f ⊗ f )(v ⊗ v )

  1

  2

  1

  2

  1

  2

∗ ∗

  = θ W (w ⊗ w ) (f (v ) ⊗ f (v ))

  1

  1

  2

  2

  1

  2 ∗ ∗

  = w (f (v )) · w (f (v ))

  1

  1

  2

  2

  1

  2 ∗ ∗

  = w ◦ f

  1 (v 1 ) · w ◦ f 2 (v 2 )

  1

  2 ∗ ∗

  114 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Dessa forma, obtemos que

  ∗ ∗ ∗

  (f

  1 ⊗ f 2 ) ◦θ W (w ⊗ w )

  1

  2 ∗ ∗

  = θ V (w ◦ f ⊗ w ◦ f )

  1

  2

  

1

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  = θ V (f (w ) ⊗ f (w ))

  1

  1

  2

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  = θ V ◦ (f ⊗ f )(w ⊗ w ) .

  

1

  2

  1

  2 Segue que ∗ ∗ ∗

  (f ⊗ f ) ◦ θ W = θ V ◦ (f ⊗ f ) ,

  1

  2

  1

  2

  

  isto ´e, como θ W ´e bijetor

  ∗ ∗ ∗ −1

  (f ⊗ f ) = θ V ◦ (f ⊗ f ) ◦ θ .

  1

  2

  1

  2 W

  Proposi¸ c˜ ao 2.8.2. Seja H uma ´ algebra de Hopf de dimens˜ ao finita. A H

  ∗ ∗

  bi´ algebra H admite a ant´ıpoda S = S e portanto ´e uma ´ algebra de H Hopf. Demonstra¸c˜ ao. De fato, transpondo a propriedade da ant´ıpoda para S H , temos:

  µ H ◦ (S H ⊗ Id H ) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  =⇒ ∆ ◦ (S H ⊗ Id) ◦ µ = ε ◦ η H H H H

   ∗ ∗ ∗ −1 ∗ ∗ −1 ∗

  =⇒ ∆ ◦ θ ◦ (S ⊗ Id ) ◦ θ ◦ µ = ε ◦ ξ ◦ ξ ◦ η H H H H H ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =⇒ µ H ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H H

  ∗ ∗ ∗ =⇒ S ∗ Id = η H ◦ ε H . H

  Acima usamos o lema com V = V = W = W = H, para dizer

  

1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗ −1 que (S H ⊗ Id) = θ ◦ (S ⊗ Id ) ◦ θ . H

  De forma an´ aloga, temos: µ H ◦ (Id ⊗ S H ) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  =⇒ ∆ ◦ (Id ⊗ S H ) ◦ µ = ε ◦ η H H H H

   ∗ ∗ ∗ −1 ∗ ∗ −1 ∗

  =⇒ ∆ ◦ θ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ θ ◦ µ = ε ◦ ξ ◦ ξ ◦ η H H H H H ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =⇒ µ H ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H H

  ∗ ∗ ∗ =⇒ Id ∗ S = η H ◦ ε H . H ∗ ∗ ∗

  Usamos, novamente, o lema para obter (Id ⊗ S H ) = θ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ H

  −1 ∗ ∗ θ . Portanto S ´e uma ant´ıpoda para H . 5 H Temos que W e W s˜ ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita, e usamos o item 3. 1 2

  2.8. ´ Algebra de Hopf dual 115 Al´em disso, temos a proposi¸c˜ ao sobre a transposta de um morfismo de algebras de Hopf. ´

  Proposi¸ c˜ ao 2.8.3. Sejam H e B duas ´ algebras de Hopf e f : H → B um

  ∗ ∗ ∗

  morfismo de ´ algebras de Hopf. Ent˜ ao a transposta f : B → H ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf.

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Pela proposi¸c˜ ao temos que f ´e morfismo de bi´al- gebras. Como todo morfismo de bi´ algebras entre ´algebras de Hopf ´e auto- maticamente um morfismo de ´ algebras de Hopf (proposi¸c˜ ao , temos o resultado.

2.8.2 Dual finito

  Nesta se¸c˜ ao estenderemos o resultado da se¸c˜ao anterior para o dual

  ◦

  finito H de uma ´ algebra de Hopf H. J´ a vimos que o dual finito de uma bi´ algebra tem estrutura de bi´ algebra. Repetimos os morfismos aqui, por conveniˆencia: ◦ ◦ ∗ −1 ∗

  µ H = ∆ ◦ θ ∆ H = θ ◦ µ H H f ∗ g = µ ◦ (f ⊗ g) ◦ ∆ H

  K

  P f ∗ g(c) = f (c )g(c ) c (1) (2) ◦ ◦ ∗ −1 ∗ η H = ε ◦ ξ ε H = ξ ◦ η . H H

  1 H = ε H Acima, temos:

  ∗

  ξ : K → K ξ(λ) = mult λ

  

∗ ∗ ∗

  θ : H ⊗ H → (H ⊗ H) θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) .

  ∗ ∗ ∗ ∗

  Al´em disso, θ ´e injetiva, e restringimos a θ : H ⊗ H → θ(H ⊗ H ) para

  ∗ ◦ ∗ ∗

  obter uma bije¸c˜ ao. Tamb´em j´ a mostramos que µ (H ) ⊆ θ(H ⊗ H ) (´e H

  ◦

  consequˆencia imediata da defini¸c˜ ao de H ), de modo que a f´ ormula para ∆ H faz sentido.

  Ent˜ ao resta ver se essa bi´ algebra admite uma ant´ıpoda. Tentaremos

  ◦

  usar a transposta finita S de S H e repetir as contas do caso de dimens˜ao H

  ◦

  finita para mostrar que ´e a ant´ıpoda de H . Precisaremos de um lema

  −1

  116 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Lema 2.8.4. Dados f : V → W e f : V → W transforma¸c˜ oes lineares

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  entre espa¸cos vetoriais, temos

  ∗ ∗ ∗

  (f ⊗ f ) ◦ θ W = θ V ◦ (f ⊗ f ) ,

  1

  2

  1

  2

  em que

  ∗ ∗ ∗

  θ V : V ⊗ V → (V ⊗ V )

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗

  θ W : W ⊗ W → (W ⊗ W )

  1

  2

  1

  2

  s˜ ao dados, para todos a ∈ V

  1 e b ∈ V 2 , por

  θ V (f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) θ W (f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b) . Demonstra¸c˜ ao. Similar ` a do lema (exceto pela ´ ultima linha, onde invertemos θ W ).

  ◦

  Proposi¸ c˜ ao 2.8.5. Seja H uma ´ algebra de Hopf. O dual finito H , como visto nas se¸c˜ oes ´e uma ´ algebra de Hopf, com ant´ıpoda ◦ ◦ ◦ ◦ ∗ ◦ S H = S : H → H dada por S = S restrito a H . H H H

  ◦ ◦ ◦

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar que S : H → H est´a bem definida, H

  ◦ ◦ ◦ ◦

  isto ´e, que S (H ) ⊆ H . De fato, dado f ∈ H , por f pertencer ao dual H P

  ∗

  finito, temos que existem f i ’s e g i ’s em H tais que f (a·b) = f i (a)·g i (b) i para todos a, b ∈ H. Ent˜ ao, como S H ´e antimorfismo de ´algebras (pela proposi¸c˜ ao , temos:

  ◦

  S (f )(a · b) = (f ◦ S H )(a · b) H = f (S H (b) · S H (a))

  X = f i (S H (b)) · g i (S H (a)) i

  X = (g i ◦ S H )(a) · (f i ◦ S H )(b) . i

  ◦ ◦ ◦ ◦

  Portanto S (H ) ⊆ H . Para mostrar que S ´e a ant´ıpoda, fazemos: H H µ H ◦ (S H ⊗ Id) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =⇒ ∆ ◦ (S H ⊗ Id) ◦ µ = ε ◦ η . H H H H

  Seja p ∈ H . Ent˜ ao, pela condi¸c˜ ao 2. da defini¸c˜ ao do dual finito,

  ∗ ∗ ∗

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 117 P P

  ∗

  µ (p) = θ( f i ⊗ g i ), e tamb´em temos ∆ H (p) = f i ⊗ g i . Aplicando H i i a equa¸c˜ ao acima em p, temos:

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  ∆ ◦ (S H ⊗ Id) ◦ µ (p) = ε ◦ η (p) H H H H !

  X

  

∗ ∗ ∗ ∗

  =⇒ ∆ ◦ (S H ⊗ Id) ◦ θ f i ⊗ g i = ε ◦ η (p) H H H i !

  X

   ∗ ∗ ∗ ∗ −1 ∗

  =⇒ ∆ ◦ θ ◦ (S ⊗ Id ) f i ⊗ g i = ε ◦ ξ ◦ ξ ◦ η (p) H H H H i ◦ ◦ ◦ ◦ ∗ =⇒ µ H ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ H (p) = η H ◦ ε H (p) . H ◦ ◦ ◦ ∗ ◦ Note que ∆ H (p) ∈ H ⊗ H , pois p ∈ H . E, como visto, S = S em H H

  ◦ ◦ ◦ ◦ ∗

  H e S (H ) ⊆ H . Ent˜ ao ∆ ◦ θ est´ a sendo aplicado a um elemento de H H

  ◦ ◦ ∗ H ⊗ H , como deveria ser. E foi poss´ıvel escrever, ent˜ao, ∆ ◦ θ = µ H . H ◦ ◦ ◦ ◦

  Portanto, temos µ H ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H . De forma an´aloga, H ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ mostra-se que µ H ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆ H = η H ◦ ε H . Consequentemente, S H H

  ◦ ´e ant´ıpoda para H .

  Por fim, a “transposta finita” de um morfismo de ´algebras de Hopf tamb´em ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf, como diz a proposi¸c˜ ao abaixo. Proposi¸ c˜ ao 2.8.6. Sejam H e B duas ´ algebras de Hopf e f : H → B morfismo de ´ algebras de Hopf. Ent˜ ao a “transposta finita”

  

◦ ◦ ◦

  f : B → H ,

  ◦ ∗ ◦ dada por f = f restrito a B ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf.

  Demonstra¸c˜ ao. Sabemos da proposi¸c˜ ao que a “transposta finita”

  ◦

  f est´ a bem definida e ´e morfismo de bi´ algebras. Automaticamente ´e morfismo de ´ algebras de Hopf, em virtude da proposi¸c˜ ao

2.9 Dualidade em ´ algebras de Hopf

  Existe um conceito de dualidade entre bi´ algebras que ´e um pouco mais fraco do que o do dual finito. Dados B e C bi´ algebras, podemos considerar

  ◦ ◦

  que B ´e o dual de C quando B ∼ = C . Nesse caso, o isomorfismo φ : B → C define uma forma bilinear por hb, ci := φ(b)(c), para todos b ∈ B e c ∈ C. Pelo fato de φ ser morfismo de bi´ algebras, essa forma bilinear guarda certa compatibilidade com a estrutura de bi´ algebra de B e de C (as dadas por

  118 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Podemos generalizar essa no¸c˜ ao considerando um cen´ ario em que B e

  ◦

  C n˜ ao s˜ao necessariamente isomorfos, mas s˜ao tais que existe uma forma bilinear definida em B ⊗ C satisfazendo algumas propriedades de compa- tibilidade. Escreveremos essa defini¸c˜ ao de dualidade entre duas bi´algebras ou ´ algebras de Hopf, e logo em seguida, provaremos que no caso de se ter

  ◦

  um isomorfismo φ : B → C , tamb´em reca´ımos nessa defini¸c˜ao por meio da forma bilinear hb, ci := φ(b)(c). Defini¸ c˜ ao 2.9.1. Duas bi´ algebras B e C est˜ ao em dualidade se existe uma

  ′ ′

  forma bilinear h·, ·i : B × C → K tal que dados b, b ∈ B e c, c ∈ C, temos que:

  ′ ′

  1. hb · b , ci = hb ⊗ b , ∆ C (c)i ;

  ′ ′

  2. hb, c · c i = h∆ B (b), c ⊗ c i ; 3. h1 B , ci = ε C (c) ; 4. hb, 1 C i = ε B (b) .

  Em 1. e 2., a fun¸c˜ ao bilinear h·, ·i : (B ⊗ B) × (C ⊗ C) → K ´e dada por

  ′ ′ ′ ′ hb ⊗ b , c ⊗ c i = hb, ci · hb , c i .

  Veremos na observa¸c˜ ao que essa fun¸c˜ ao bilinear est´a bem definida. Observa¸c˜ ao 2.9.2. A fun¸c˜ ao h·, ·i : (B ⊗ B) × (C ⊗ C) → K dada por

  ′ ′ ′ ′

  hb ⊗ b , c ⊗ c i = hb · ci · hb , c i ′ est´ a bem definida. De fato, considere φ c,c : B ×B → K, para fixados c, c ∈ ′ ′ ′ ′

  C, dada por φ c,c = hb · ci · hb , c i. Temos que φ c,c ´e bilinear, portanto pela propriedade universal do produto tensorial, existe ´ unica φ c,c : B ⊗ B → K ′ ′ ∗ ′ tal que φ c,c ◦ π = φ c,c . Defina φ : C × C → (B ⊗ B) por φ(c, c ) = φ c,c .

  Temos que φ ´e bilinear, e aplicamos a propriedade universal do produto

  ∗ ′ ′

  tensorial para obter φ : C ⊗ C → (B ⊗ B) dada por φ(c ⊗ c )(b ⊗ b ) =

  ′ ′

  hb · ci · hb , c i. Por fim, definimos h·, ·i : (B ⊗ B) × (C ⊗ C) → K por

  ′ ′ ′ ′ hb ⊗ b , c ⊗ c i = φ(c ⊗ c )(b ⊗ b ).

  Defini¸ c˜ ao 2.9.3. Dizemos que a dualidade ´e separante se (a) ∀c ∈ C, hb, ci = 0 =⇒ b = 0 ; (b) ∀b ∈ B, hb, ci = 0 =⇒ c = 0 .

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 119 No caso em que B e C s˜ao ´ algebras de Hopf, requeremos tamb´em uma compatibilidade entre as ant´ıpodas.

  Defini¸ c˜ ao 2.9.4. Sejam B e C duas ´ algebras de Hopf. Se B e C est˜ao em dualidade como bi´ algebras, e se valer: 5. hS B (b), ci = hb, S C (c)i , ent˜ ao dizemos que B e C est˜ ao em dualidade como ´ algebras de Hopf.

  Veremos que a condi¸c˜ ao 5. ´e automaticamente satisfeita. Proposi¸ c˜ ao 2.9.5. Dadas duas ´ algebras de Hopf B e C, se B e C est˜ ao em dualidade como bi´ algebras, ent˜ ao est˜ ao em dualidade como ´ algebras de Hopf. Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, note que as formas bilineares h·, ·i : B × C → K hS B (·), ·i : B × C → K h·, S C (·)i : B × C → K podem ser fatoradas a transforma¸c˜ oes lineares definidas no produto tenso- rial, pela propriedade universal. Sejam, respectivamente, f : B ⊗ C → K f (b ⊗ c) = hb, ci f l : B ⊗ C → K f l (b ⊗ c) = hS B (b), ci f r : B ⊗ C → K f r (b ⊗ c) = hb, S C (c)i essas transforma¸c˜ oes lineares obtidas pela aplica¸c˜ ao da propriedade uni- versal.

  ∗

  Considere a ´ algebra de convolu¸c˜ ao Hom(B ⊗ C, K) = (B ⊗ C) . Mos- traremos que tanto f l como f r s˜ao inversas de f nessa ´ algebra, e portanto, devem ser iguais.

  120 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  ∗

  (f l ´e a inversa de f em (B ⊗ C) :) De fato, para b ∈ B e c ∈ C, temos: f l ∗ f (b ⊗ c) = µ ◦ (f l ⊗ f ) ◦ ∆ B (b ⊗ c)

  ⊗C K

   

  X = µ ◦ (f l ⊗ f )  b ⊗ c ⊗ b ⊗ c 

  (1) (1) (2) (2) K b,c

  X = f l (b ⊗ c ) · f (b ⊗ c ) b,c (1) (1) (2) (2)

  X = hS B (b ), c i · hb ⊗ c i b,c (1) (1) (2) (2)

  X = S B (b ) ⊗ b , c ⊗ c b,c (1) (2) (1) (2)

  X = S B (b ) ⊗ b , ∆ C (c) b

(1) (2)

  E D X 1. = S B (b ) · b , c b

(1) (2)

  = hε B (b)1 B , ci = ε B (b) · h1 B , ci 3. = ε B (b) · ε C (c) = µ ◦ (ε B ⊗ ε C )(b ⊗ c)

  K

  = ε B (b ⊗ c) = 1 (b ⊗ c) ,

  ⊗C (B⊗C)

  f ∗ f l (b ⊗ c) = µ ◦ (f ⊗ f l ) ◦ ∆ B (b ⊗ c)

  K ⊗C

   

  X  

  = µ ◦ (f ⊗ f l ) b ⊗ c ⊗ b ⊗ c

  K (1) (1) (2) (2) b,c

  X = f (b ⊗ c ) · f l (b ⊗ c ) b,c (1) (1) (2) (2)

  X B = hb ⊗ c i · hS (b ), c i b,c (1) (1) (2) (2)

  X = b ⊗ S B (b ), c ⊗ c b,c (1) (2) (1) (2)

  X = b ⊗ S B (b ), ∆ C (c) b (1) (2)

  E D X 1. = b · S B (b ), c b (1) (2)

  = hε B (b)1 B , ci = ε B (b) · h1 B , ci 3. = ε B (b) · ε C (c) = µ ◦ (ε B ⊗ ε C )(b ⊗ c)

  K

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 121 ∗ Assim vale f l ∗ f = 1 = f ∗ f l . Logo f l ´e a inversa de f em (B ⊗ C) .

  (B⊗C) ∗

  (f r ´e a inversa de f em (B ⊗ C) :) Para b ∈ B e c ∈ C, temos: f r ∗ f (b ⊗ c) = µ ◦ (f r ⊗ f ) ◦ ∆ B (b ⊗ c)

  K ⊗C

  X = µ ◦ (f r ⊗ f ) b ⊗ c ⊗ b ⊗ c

  K (1) (1) (2) (2) b,c

  X = f r (b ⊗ c ) · f (b ⊗ c ) b,c (1) (1) (2) (2)

  X = hb , S C (c )i · hb ⊗ c i b,c (1) (1) (2) (2)

  X = b ⊗ b , S C (c ) ⊗ c b,c (1) (2) (1) (2)

  X = ∆ B (b), S C (c ) ⊗ c c (1) (2)

  D E

  X 2. =

  b, S C (c ) · c c (1) (2) = hb, ε C (c)1 C i = hb, 1 C i · ε C (c) 4.

  = ε B (b) · ε C (c) = µ ◦ (ε B ⊗ ε C )(b ⊗ c)

  K

  = ε B (b ⊗ c) = 1 (b ⊗ c) ,

  ⊗C (B⊗C)

  f ∗ f r (b ⊗ c) = µ ◦ (f ⊗ f r ) ◦ ∆ B (b ⊗ c)

  K ⊗C

  X = µ ◦ (f ⊗ f r ) b ⊗ c ⊗ b ⊗ c

  K (1) (1) (2) (2) b,c

  X = f (b ⊗ c ) · f r (b ⊗ c ) b,c (1) (1) (2) (2)

  X = hb , c i · hb ⊗ S C (c )i b,c (1) (1) (2) (2)

  X = b ⊗ b , c ⊗ S C (c ) b,c (1) (2) (1) (2)

  X = ∆ B (b), c ⊗ S C (c ) c (1) (2)

  D E

  X 2. =

  b, c · S C (c ) c

(1) (2)

= hb, ε C (c)1 C i = hb, 1 C i · ε C (c) 4.

  = ε B (b) · ε C (c) = µ ◦ (ε B ⊗ ε C )(b ⊗ c)

  K

  122 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Logo f r ∗ f = 1 = f ∗ f r e f r ´e a inversa de f com rela¸c˜ ao ao

  (B⊗C)

  produto de convolu¸c˜ ao em (B ⊗ C) .

  Dessa forma, f r e f l s˜ao inversas de f na ´ algebra de convolu¸c˜ ao (B ⊗

  ∗

  C) . Portanto f l = f r , e temos: hS B (b), ci = f l (b ⊗ c) = f r (b ⊗ c) = hb, S C (c)i , ∀b ∈ B, ∀c ∈ C .

  Veremos que o conceito de dualidade desse cap´ıtulo engloba a dualidade usual, conforme comentamos no in´ıcio desta se¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 2.9.6. Sejam B e C bi´ algebras. Suponha que exista φ : B →

  ◦

  C morfismo de bi´ algebras. ent˜ ao B e C est˜ ao em dualidade, no sentido da defini¸c˜ ao acima (satisfazem 1. a 4.), com hb, ci = φ(b)(c) . Isso tamb´em ocorre se B e C s˜ ao ´ algebras de Hopf (tamb´em satisfazem 5.). Demonstra¸c˜ ao. Por φ ser morfismo de bi´ algebras, as propriedades 1. a 4.

  ′

  valem, como veremos a seguir. No restante da demonstra¸c˜ao, b, b ∈ B e

  ′ c, c ∈ C s˜ao arbitr´ arios.

  Antes de prosseguir, vamos escrever como o par dual em (B ⊗ B) × (C ⊗ C) fica escrito em termos de φ:

  ′ ′ ′ ′ ′ ′ hb ⊗ b , c ⊗ c i = hb, ci · hb , c i = φ(b)(c) · φ(b )(c ) .

  1. Considere a igualdade φ ◦ µ B = µ C ◦ (φ ⊗ φ). Temos que:

  ′ ′ ′

  φ ◦ µ B (b ⊗ b ) (c) = φ(b · b )(c) = hb · b , ci e ′ ∗ ′ µ C ◦ (φ ⊗ φ)(b ⊗ b ) (c) = ∆ ◦ θ ◦ (φ ⊗ φ)(b ⊗ b ) (c) C

  ∗ ′

  = ∆ θ(φ(b) ⊗ φ(b )) (c) C

  ′

  = θ(φ(b) ⊗ φ(b )) ◦ ∆ C (c) !

  X

  ′

  = θ(φ(b) ⊗ φ(b )) c ⊗ c c (1) (2)

  X

  ′

  = φ(b)(c ) · φ(b )(c ) c (1) (2)

  X

  ′

  = hb, c i · hb , c i c (1) (2) ′

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 123

  ′ ′ Portanto, temos hb · b , ci = hb ⊗ b , ∆ c (c)i.

  2. Sabemos que vale ∆ c ◦ φ = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ B . Ent˜ao θ ◦ ∆ C ◦ φ = θ ◦ (φ ⊗ φ) ◦ ∆ B , e portanto: ′ ∗ ′

  θ ◦ ∆ C ◦ φ(b) (c ⊗ c ) = µ ◦ φ(b) (c ⊗ c ) C

  ′

  = φ(b) ◦ µ C (c ⊗ c )

  ′

  = φ(b)(c · c )

  ′

  = hb, c · c i e !

  X

  ′ ′

  θ ◦ (φ ⊗ φ) ◦ ∆ B (b) (c ⊗ c ) = θ φ(b ) ⊗ φ(b ) (c ⊗ c ) b (1) (2)

  X

  ′

  = φ(b )(c) · φ(b )(c ) b (1) (2)

  X

  ′

  = hb , ci · hb , c i b (1) (2) ′ = h∆ B (b), c ⊗ c i .

  ′ ′ Logo hb, c · c i = h∆ B (b), c ⊗ c i.

  3. Como φ ◦ η B = η c , temos φ ◦ η B (1 ) (c) = φ(1 B )(c) = h1 B , ci

  K

  e ∗ η C (1 ) (c) = ε ◦ ξ(1 ) (c)

  

K C K

  = ξ(1 ) ◦ ε C (c)

  K = 1 · ε C (c) = ε C (c) . K Logo h1 B , ci = ε C (c).

  4. Usamos a igualdade ε C ◦ φ = ε B e obtemos

  124 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf Calculamos:

  ξ ◦ ε C ◦ φ(b) (1 ) = η ◦ φ(b) (1 )

  K C K

  = φ(b) ◦ η C (1 )

  1

  = φ(b)(1 C ) = hb, 1 C i e

  ξ ◦ ε B (b) (1 ) = 1 · ε B (b) = ε B (b) .

  

K K

Ent˜ ao, temos hb, 1 C i = ε B (b).

  Se B e C s˜ao ´ algebras de Hopf, pela proposi¸c˜ ao temos que a pro- priedade 5. ´e automaticamente satisfeita. Tamb´em podemos mostr´a-la diretamente. Sabemos da proposi¸c˜ ao que φ ´e morfismo de ´algebras de Hopf. Ent˜ ao, a propriedade 5. fica: ◦ ◦

  5. Sabemos que S C ◦ φ = φ ◦ S B e que S C = S . Ent˜ao: C ∗ S C ◦ φ(b) (c) = S ◦ φ(b) (c) C

  = φ(b) ◦ S C (c) = φ(b)(S C (c)) = hb, S C (c)i e

  φ ◦ S B (b) (c) = φ(S B (b))(c) = hS B (b), ci . Logo hb, S C (c)i = hS B (b), ci.

  No caso de uma forma bilinear qualquer fornecer uma dualidade entre as bi´ algebras B e C, temos o seguinte: Proposi¸ c˜ ao 2.9.7. Sejam B, C bi´ algebras. Assumimos que B e C est˜ ao em dualidade, com par dual h, i. Considere as aplica¸c˜ oes:

  ∗

  φ l : B → C

  ∗

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 125 dadas, para b ∈ B e c ∈ C, por

  , c

  (1)

  i · hb

  ′

  , c

  (2)

  i =

  X c hb ⊗ b

  ′

  (1)

  ) =

  ⊗ c

  (2)

  i = hb ⊗ b

  ′

  , ∆ C (c)i = hb · b

  ′

  , ci = φ l (b · b

  ′

  )(c) , 6 Isto ´

  X c hb, c

  (2)

  φ l (b) = hb, ·i φ r (c) = h·, ci . Ent˜ ao: 1. φ l e φ r s˜ ao morfismos de ´ algebras.

  Sejam b, b

  2. Se a dualidade for separante, ent˜ ao os morfismos φ l e φ r s˜ ao injeti- vos.

  3. Se B

  ∗

  e C

  ∗

  s˜ ao bi´ algebra

  

  , ent˜ ao φ l e φ r tamb´em s˜ ao morfismos de co´ algebras. Demonstra¸c˜ ao.

  1. Em consequˆencia da bilinearidade de h·, ·i, temos que φ l e φ r s˜ao transforma¸c˜ oes lineares.

  ′

  )(c

  ∈ B e c, c

  ′

  ∈ C. Ent˜ ao: φ l (b) ∗ φ l (b

  ′

  )(c) =

  X c φ l (b)(c

  (1)

  ) · φ l (b

  ′

  e, quando os morfismos canˆ onicos θ B : B ⊗ B → (B ⊗ B) e θ C : C ⊗ C → (C ⊗ C)

s˜ ao isomorfismos, e podemos definir as estruturas de bi´ algebra por

µ B = ∆ B

◦ θ B ∆ B

= θ 1 B ◦ µ B η B = ε B ◦ ξ ε B = ξ 1 ◦ η B µ C = ∆ C ◦ θ

C ∆ C

= θ 1 C ◦ µ C η C = ε C ◦ ξ ε C = ξ 1 ◦ η C

  126 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  X r r r r ′ ′ φ (c) ∗ φ (c )(b) = φ (c)(b ) · φ (c )(b )

b

(1) (2)

  X

  ′

  = hb , ci · hb , c i

b

(1) (2)

  X

  ′

  = hb ⊗ b , c ⊗ c i

b

(1) (2) ′ = h∆ B (b), c ⊗ c i

  ′

  = hb, c · c i

  ′ = φ l (c · c )(b) . ′ ′ ′ ′

  Portanto φ l (b · b ) = φ l (b) ∗ φ l (b ) e φ r (c · c ) = φ r (c) ∗ φ r (c ). Al´em disso, φ l (1 B )(c) = h1 B , ci = ε C (c)

  φ r (1 C )(b) = hb, 1 C i = ε B (b) , ∗ ∗ e desse modo, φ l (1 B ) = ε C = 1 C e φ r (1 C ) = ε B = 1 B .

  2. Sejam b ∈ ker(φ l ) e c ∈ ker(φ r ). Ent˜ ao

  ′ ′

  φ l (b) = 0 =⇒ hb, c i = 0 ∀c ∈ C =⇒ b = 0

  ′ ′

  φ r (c) = 0 =⇒ hb , ci = 0 ∀b ∈ B =⇒ c = 0 , logo φ l e φ r s˜ao injetivas se a dualidade ´e separante.

  ∗ ∗

  3. Suponha que B e C s˜ao bi´ algebras, com a estrutura usual. Os mor-

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  fismos canˆ onicos θ B : B ⊗B → (B ⊗B) e θ C : C ⊗C → (C ⊗C)

  ∗

  s˜ao isomorfismos. Tamb´em usaremos o isomorfismo ξ : K → K dado

  −1 por ξ(λ) = mult λ e ξ (f ) = f (1 ).

  

K

  (φ l ´e morfismo de co´ algebras:) Mostramos que φ l preserva o copro-

  ′

  duto. Seja b ∈ B. Temos que, para todos c, c ∈ C:

  

∗ ′

  µ (φ l (b)) (c ⊗ c ) C

  ′

  = φ l (b) ◦ µ C (c ⊗ c )

  ′

  = φ l (b)(c · c )

  ′

  2.9. Dualidade em ´ algebras de Hopf 127

  ′

  θ C ((φ l ⊗ φ l ) ◦ ∆ B (b)) (c ⊗ c ) !

  X

  ′

  = θ C φ l (b ) ⊗ φ l (b ) (c ⊗ c ) b (1) (2)

  X

  ′

  = φ l (b )(c) · φ l (b )(c ) b (1) (2)

  X

  ′

  = hb , ci · hb , c i b (1) (2)

= h∆ B (b), c ⊗ c i 2.

  ′ = hb, c · c i .

  −1 ∗

  Logo µ (φ l (b)) = θ C ((φ l ⊗ φ l ) ◦ ∆ B (b) , e aplicando θ , temos C C

  −1

  ∆ C ◦ φ l (b) = θ (µ (φ l (b)) = (φ l ⊗ φ l ) ◦ ∆ B (b) C C para todo b ∈ B. Portanto ∆ C ◦ φ l = (φ l ⊗ φ l ) ◦ ∆ B . Mostramos que φ l preserva a counidade: Seja b ∈ B. Vale que:

  ∗

  η (φ l (b)) (λ) = φ l (b) η C (λ) C = φ l (b)(λ1 C ) = λ hb, 1 C i

4.

  = λ ε B (b) = ξ(ε B (b)) (λ)

  ∗ −1

  para todo λ ∈ K. Portanto η (φ l (b)) = ξ(ε B (b)), e passando ξ C −1 ∗ dos dois lados, ficamos com ε C ◦ φ l (b) = ξ ◦ η (φ l (b)) = ε B (b) e C ent˜ ao, ε C ◦ φ l = ε B . Desse modo, φ l ´e um morfismo de co´ algebras.

  (φ r ´e morfismo de co´ algebras:) Mostramos que φ r preserva o copro-

  ′

  duto: Seja c ∈ C. Temos que, para todos b, b ∈ B:

  ∗ ′

  µ (φ r (c)) (b ⊗ b ) B

  ′

  = φ r (c) ◦ µ C (b ⊗ b )

  ′

  = φ r (c)(b · b )

  ′

  128 Cap´ıtulo 2. ´ Algebras de Hopf

  ′

  θ B ((φ r ⊗ φ r ) ◦ ∆ C (c)) (b ⊗ b ) !

  X

  ′

  = θ B φ r (c ) ⊗ φ r (c ) (b ⊗ b ) b (1) (2)

  X

  ′

  = φ r (c )(b) · φ r (c )(b ) c (1) (2)

  X

  

  = hb, c i · hb , c i c

(1) (2)

′ = hb ⊗ b , ∆ C (c)i 1.

  ′ = hb · b , ci . ∗

  Obtemos, ent˜ ao, que µ ◦ φ r (c) = θ B ((φ r ⊗ φ r ) ◦ ∆ C (c) , e aplicando B

  −1

  θ , temos B −1 ∗ ∆ B ◦ φ r (c) = θ ◦ µ (φ l (b)) = (φ r ⊗ φ r ) ◦ ∆ C (c) B C para todo c ∈ C. Logo ∆ B ◦ φ r = (φ r ⊗ φ r ) ◦ ∆ C .

  Mostrando que φ r preserva a counidade: Seja c ∈ C. Temos que:

  ∗

  η (φ r (c)) (λ) = φ r (c) η B (λ) B = φ r (c)(λ1 B ) = λ h1 B , ci

3.

= λ ε C (c) = ξ(ε C (c)) (λ)

  ∗ −1

  para todo λ ∈ K. Portanto η (φ r (c)) = ξ(ε C (c)), e passando ξ B −1 ∗ dos dois lados, obtemos ε B ◦ φ r (c) = ξ ◦ η (φ r (c)) = ε C (c) e B ε B ◦ φ r = ε C .

  Assim, obtemos que φ r ´e um morfismo de co´ algebras.

3 Cap´ıtulo

  ´ A lgebras de Lie e envolt´ o rio universal

  Nesta se¸c˜ ao veremos alguns elementos da teoria de ´algebras de Lie, com ˆenfase no que ser´ a necess´ ario nos pr´ oximos cap´ıtulos deste traba- lho. Abordaremos principalmente a rela¸c˜ ao entre as ´algebras de Lie e as ´ algebras associativas e bi´ algebras. Por exemplo, na se¸c˜ ao veremos que um certo subconjunto de elementos (chamados primitivos) de uma bi´ algebra s˜ao uma ´ algebra de Lie. Adicionalmente, na veremos que uma ´ algebra de Lie pode ser imersa numa ´algebra associativa e, na verdade, Hopf, conforme

  Com os objetivos deste trabalho em vista, omitimos o estudo de ´al- gebras de Lie semissimples, split semissimples, sol´ uveis, nilpotentes, ou o crit´erio de Cartan. Tamb´em n˜ ao fora abordado o estudo de grupos de Lie e sua rela¸c˜ ao com as ´ algebras de Lie. Estes podem ser encontrados em v´ arios livros cl´ assicos de ´ algebras de Lie, dentre os quais citamos .

  ´

3.1 Algebras de Lie

3.1.1 Defini¸c˜ ao e exemplos

  A defini¸c˜ ao de ´ algebra de Lie ´e motivada, principalmente, pelos chama- dos grupos de Lie, que s˜ ao grupos com estrutura adicional de variedade, e

  130 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal t´ınuas. As ´ algebras de Lie surgem nessa situa¸c˜ ao como o espa¸co tangente ao elemento e do grupo.

  Defini¸ c˜ ao 3.1.1. Uma ´ Algebra de Lie ´e um par (g, [, ]) em que: 1. g ´e um K-espa¸co vetorial; 2. [, ] : g × g → g ´e uma opera¸c˜ ao bilinear, o colchete de Lie, ou comu- tador, que satisfaz:

  2. (a) “Antissimetria fraca”: [x, x] = 0 , ∀x ∈ g . 2. (b) Identidade de Jacobi: + + x, [y, z] y, [z, x] z, [x, y] = 0 , ∀x, y, z ∈ g .

  A identidade de Jacobi, a primeira vista, n˜ ao parece ter um papel bem claro. Entretanto, ser´ a muito importante da demonstra¸c˜ ao do teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt (teorema referente a recobrimentos de ´ algebras de Lie, que ser˜ ao estudados depois.

  Observa¸c˜ ao 3.1.2. A condi¸c˜ ao de “antissimetria fraca” [x, x] = 0 garante a condi¸c˜ ao abaixo: 2. (c) Antissimetria: [x, y] = −[y, x] , ∀x ∈ g . De fato, dados x, y ∈ g, 0 = [x + y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x] , portanto vale a condi¸c˜ ao de antissimetria. Observa¸c˜ ao 3.1.3. Quando o corpo K tem caracter´ıstica diferente de 2, a condi¸c˜ ao [x, x] = 0 ´e equivalente ` a antissimetria. De fato, se vale a antissimetria, ent˜ ao 0 = [x, x] + [x, x] = 2[x, x], e se a a caracter´ıstica de K ´e diferente de 2, temos [x, x] = 0. Observa¸c˜ ao 3.1.4. A ´ algebra de Lie ´e uma ´ algebra n˜ ao associativa em geral.

  Veremos alguns exemplos a seguir. Exemplo 3.1.5 ( ´ Algebras de Lie abelianas). Qualquer espa¸co vetorial V munido de um colchete de Lie nulo [u, v] := 0 para todos u, v ∈ V ´e uma algebra de Lie. Nesse caso, essas ´ ´ algebras s˜ao chamadas de abelianas. Essa algebra de Lie ´e associativa. ´

  3.1. ´ Algebras de Lie 131

  Exemplo 3.1.6 ( ´ Algebra das matrizes M n = gl ). A ´algebra das matrizes n M n ´e uma ´ algebra de Lie, com colchete dado pelo comutador [A, B] := AB − BA, para todos A, B ∈ M n . Na se¸c˜ ao a seguir, veremos que qualquer ´ algebra associativa tem estrutura de ´algebra de Lie de maneira an´ aloga a esse exemplo. A ´ algebra de matrizes, vista como ´algebra de Lie, ´e denotada por gl(n, K) ou mais simplesmente por gl . n Exemplo 3.1.7 ( ´ Algebra geral linear gl(V )). Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. A ´ algebra dos endomorfismos End(V ) tem estrutura de ´ algebra de Lie dada pelo comutador

  [f, g] = f ◦ g − g ◦ f , ∀f, g ∈ End(V ) , como no caso da ´ algebra das matrizes. Munido desse colchete, denotamos End(V ) por gl(V ), e a chamamos de ´ algebra geral linear.

3.1.2 Sub´ algebra de Lie, ideal de Lie e morfismos

  Nesta se¸c˜ ao definimos sub´ algebras, ideais e morfismos de Lie. Expomos tamb´em algumas propriedades b´ asicas dessas estruturas. Defini¸ c˜ ao 3.1.8. Uma sub´ algebra de Lie de g ´e um subespa¸co h ⊆ g que ´e fechado pelo colchete. Ou seja, [h, h] ⊆ h.

  Uma sub´ algebra de Lie h ⊆ g ´e uma ´ algebra de Lie por si s´o, com o comutador herdado da ´ algebra de Lie g. Exemplo 3.1.9. {0} e g s˜ao sub´ algebras de Lie de g. S˜ao chamadas sub´ algebras triviais. Qualquer outra sub´ algebra de Lie que n˜ao for trivial

  ´e chamada de pr´ opria.

  Exemplo 3.1.10. O subespa¸co ( )

  X [g, g] = [x i , y i ] : x i , y i ∈ g i ´e uma sub´ algebra de Lie de g, chamada ´ algebra derivada de g.

  De fato, devemos checar se [g, g], [g, g] est´ a contido em [g, g]. Mas

  132 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal Defini¸ c˜ ao 3.1.11. Um ideal de Lie de uma ´ algebra de Lie g ´e um subes- pa¸co I ⊆ g tal que

  1. [I, g] ⊆ I ; 2. [g, I] ⊆ I . Os dois itens s˜ao equivalentes devido ` a antissimetria 2.(c), que vale em toda ´ algebra de Lie. Exemplo 3.1.12. O subespa¸co

  Z(g) = {x ∈ g : [x, y] = 0 ∀y ∈ g} ´e um ideal de g, chamado de centro de g. A prova ´e a seguinte. Dados finitos x i ∈ Z(g) e y i ∈ g, temos

  X X i i [x i , y i ] = 0 = 0 ∈ Z(g) . Portanto Z(g), g ⊆ Z(g) e Z(g) ´e um ideal de Lie de g. Proposi¸ c˜ ao 3.1.13. Se I e J s˜ ao dois ideais de g, ent˜ ao

  I + J = {x + y : x ∈ I, y ∈ J} ( )

  X [I, J] = [x i , y i ] : x i ∈ I, y i ∈ J i s˜ ao ideais de g.

  Demonstra¸c˜ ao. Sabemos que I + J e [I, J] s˜ao subespa¸cos de g. Devemos mostrar, ent˜ ao, que [I + J, g] ⊆ g e que [I, J], g ⊆ g.

  Temos que I + J ´e fechado em rela¸c˜ ao ao colchete de Lie pois dados x ∈ I, y ∈ J e z ∈ g, temos [x + y, z] = [x, z] + [y, z] ∈ I + J .

  | {z } | {z }

  

∈I ∈J

  Tamb´em [I, J] ´e fechado em rela¸c˜ ao ao colchete pois dados x ∈ I, y ∈ J e z ∈ g, temos, pela propriedade de Jacobi, que

  3.1. ´ Algebras de Lie 133 portanto

  [x, y], z = − [z, x], y − [y, z], x = [x, z] + , y x , [y, z]

  |{z} |{z}

  | {z } | {z }

  ∈I ∈I ∈J ∈J

  ∈ [I, J] .

  ′

  Defini¸ c˜ ao 3.1.14. Sejam g e g duas ´ algebras de Lie. Uma transforma¸c˜ao

  ′

  linear ϕ : g → g ´e um morfismo de ´ algebras de Lie se for compat´ıvel com o comutador, isto ´e, dados x, y ∈ g, ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] .

  ′

  ´ E costumeiro denotar os dois colchetes, os de g e g , pelo mesmo s´ımbolo [, ], quando n˜ ao h´ a confus˜ao.

  A proposi¸c˜ ao abaixo relaciona morfismos de ´algebras de Lie com ideais e sub´ algebras de Lie. Proposi¸ c˜ ao 3.1.15. Seja ϕ : g → h um morfismo de ´ algebras de Lie. Ent˜ ao: 1. ker(ϕ) ´e um ideal de Lie de g.

  2. Im(ϕ) ´e uma sub´ algebra de Lie de h. Demonstra¸c˜ ao.

  1. Sabemos que ker(ϕ) ´e subespa¸co de g. Al´em disso, dados x ∈ ker(ϕ) e y ∈ g, temos ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] = [0, ϕ(y)] = 0,e portanto [x, y] ∈ ker(ϕ). Assim, ker(ϕ) ´e um ideal de Lie de g.

  2. Resta mostrar que ´e fechado em rela¸c˜ ao ao comutador. Sejam os elementos ϕ(x), ϕ(y) ∈ Imϕ. Temos [ϕ(x), ϕ(y)] = ϕ([x, y]) ∈ Im(ϕ).

  Portanto Im(ϕ) ´e uma sub´ algebra de Lie de h.

3.1.3 Exemplos cl´ assicos de ´ algebras de Lie

  Vamos a alguns exemplos de ´ algebras de Lie cl´assicas, que s˜ao certas sub´ algebras de gl(V ) (= End(V )) com V espa¸co vetorial de dimens˜ao fi- nita. A denomina¸c˜ ao “cl´ assica” se d´ a pelo v´ınculo que estas tˆem com os chamados grupos de Lie cl´ assicos. Neste trabalho, no entanto, nos restrin- gimos apenas ` as ´ algebras de Lie, sem abordar sua rela¸c˜ ao com grupos de

  134 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal Exemplo 3.1.16 ( ´ Algebra especial linear sl(V )). Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita. Considere o conjunto de endomorfismos de gl(V ) com

  

  tra¸co nulo. Estes formam uma sub´ algebra de Lie de gl(V ), denotada por sl(V ), e chamada de ´ algebra especial linear. Vejamos que sl(V ) ´e sub´ algebra de Lie de gl(V ). Dados a, b ∈ sl(V ), temos Tr(a) = Tr(b) = 0. Ent˜ ao

  Tr([a, b]) = Tr(a ◦ b − b ◦ a) = Tr(a ◦ b) − Tr(b ◦ a) = 0 ,

  

  onde usamos as propriedades do tra¸c Tr(x ◦ y) = Tr(y ◦ x) Tr(x + λy) = Tr(x) + λTr(y) , ∀x, y ∈ End(V ) , ∀λ ∈ K .

  Portanto sl(V ) ´e uma sub´ algebra de Lie de gl(V ). Exemplo 3.1.17 (Sub´ algebras de gl(V ) geradas por uma forma bilinear). Seja V espa¸co de dimens˜ ao finita, e seja f : V × V → K uma forma bilinear em V . Seja X f o subespa¸co de End(V ) definido por

  X f = {x ∈ End(V ) : f (x(u), v) + f (u, x(v)) = 0} . Vamos mostrar que X f ´e uma sub´ algebra de Lie de gl(V ) = End(V ). De fato, dados x, y ∈ X f , temos: f [x, y](u), v = f x(y(u)) − y(x(u)), v

  = f x(y(u)), v − f y(x(u)), v = −f y(u), x(v) + f x(u), y(v) = f u, y(x(v)) − f u, x(y(v)) = −f u, x(y(v)) − y(x(v)) = −f (u, [x, y](v) .

  Portanto [x, y] ∈ X f , e X f ´e uma sub´ algebra de Lie de gl(V ). 1 Lembramos que o tra¸co de um endomorfismo x ´ e o tra¸co da matriz da transforma¸c˜ ao

  

linear em uma certa base. Mostra-se que o tra¸co independe da base. As propriedades

Tr(x ◦ y) = Tr(y ◦ x)

Tr(x + λy) = Tr(x) + λTr(y) , ∀x, y ∈ End(V ) , ∀λ ∈ K

  3.1. ´ Algebras de Lie 135

  Exemplo 3.1.18 ( ´ Algebra ortogonal o(V )). A ´algebra ortogonal ´e de- finida de maneira diferente para espa¸cos V de dimens˜ao par ou ´ımpar. Mas nos dois casos, a definimos por meio de uma forma bilinear, como no exemplo anterior

  O nome “ortogonal” aparece porque essa ´e a ´algebra de Lie associada ao grupo de Lie ortogonal O(V ), o grupo das transforma¸c˜ oes lineares de V em V com determinante igual a ±1.

  ∗

  (dim(V ) ´ımpar:) Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao 2l + 1, l ∈ N , e base {e . . . e }. A ´ algebra ortogonal o(V ) ´e a sub´ algebra de Lie X f de

  1 2l+1

  gl (V ) obtida pela forma bilinear e sim´etrica f , que ´e definida pela matriz

  2l + 1 × 2l + 1 dada por

  1 0

0 0 Id l

  .

  0 Id

l

  Explicitando a forma f , sejam u, v ∈ V escritos na base como h u i h v i u v ′ ′ 1 1 u = v = , l u v ′′ ′′

  ′ ′′ ′ ′′

  em que u , u , v , v ∈ K (o produto cartesiano de l c´ opias de K). Escre- l vendo com uma nota¸c˜ ao an´ aloga a do R , temos t 1 0 ′ ′′ ′′ ′

  0 0 Id l f (u, v) = u v = u v + u · v + u · v .

  1

  1

  0 Id l l

  A nota¸c˜ ao acima imita a do produto interno em R , ou seja: t

  ′ ′′ ′ ′′

  u · v = (u ) v t

  

′′ ′ ′′ ′

u · v = (u ) v .

  ∗

  (dim(V ) par:) Seja V espa¸co vetorial de dimens˜ao 2l, l ∈ N , e base {e . . . e }. A ´ algebra ortogonal o(V ) ´e a sub´algebra de Lie X f de gl(V )

  1 2l

  obtida pela forma bilinear e sim´etrica f , definida por

0 Id l .

  Id l

  Explicitando a forma f , sejam u, v ∈ V , escritos na base como u v ′ ′ u = ′′ v = ′′ , l u v

  ′ ′′ ′ ′′

  em que u , u , v , v ∈ K (o produto cartesiano de l c´ opias de K). Escre- l vendo com uma nota¸c˜ ao an´ aloga a do R , temos t

0 Id l ′ ′′ ′′ ′ f (u, v) = u v = u · v + u · v .

  136 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal l A nota¸c˜ ao acima imita a do produto interno em R : t

  ′ ′′ ′ ′′

  u · v = (u ) v

  

′′ ′ ′′ t ′

u · v = (u ) v .

  Exemplo 3.1.19 ( ´ Algebra simpl´etica sp(V )). Considere um espa¸co veto-

  ∗

  rial V de dimens˜ ao par 2l, l ∈ N , e base {e

  1 . . . e 2l }. A ´ algebra simpl´etica

  sp (V ) ´e a sub´ algebra de Lie X f de gl(V ) obtida pela forma bilinear e sim´etrica f , que ´e definida por

  

Id

l . −Id

l

  Ou seja, dados u, v ∈ V , escritos na base como u v ′′ ′′ ′ ′ l u = v = , u v

  ′ ′′ ′ ′′

  com u , u , v , v ∈ K , temos t

  Id ′ ′′ ′′ ′ l f (u, v) = u v = u · v − u · v . −Id l

  ´

3.1.4 Algebra de Lie oposta

  Seja g uma ´ algebra de Lie, com produto [, ]. Se tentarmos definir um outro produto [, ] invertendo a ordem dos operandos, obtemos a ´ algebra

  op op op

  de Lie oposta, denotada por g . Temos, ent˜ ao, para todos a, b ∈ g , [a, b] = [b, a] = −[a, b] ,

  op

  e, na verdade, [, ] = −[, ] (note que numa ´ algebra de Lie sempre vale a

  op

  condi¸c˜ ao de antissimetria, como visto na observa¸c˜ao . ´ E f´ acil ver que o comutador oposto satisfaz as rela¸c˜ oes requeridas numa ´algebra de Lie.

  op

  As ´ algebras de Lie g e g s˜ao isomorfas, via o isomorfismo de Lie

  op

  ω : g → g dado por ω(a) = −a. De fato, ω ´e bije¸c˜ao linear e ´e morfismo de ´ algebras de Lie, pois [ω(a), ω(b)] = [−a, −b] = −[a, b] = ω([a, b]) ,

  op op

  3.1. ´ Algebras de Lie 137

  ´

  3.1.5 Algebra de Lie da soma direta Sejam g e h duas ´ algebras de Lie. Consideremos a soma direta g ⊕ h.

  Podemos dar uma estrutura de ´ algebra de Lie a essa soma direta definindo o comutador entrada a entrada: [(a, u), (b, v)] g ⊕g = [a, b] g , [u, v] h para todos a, b ∈ g, u, v ∈ h. As condi¸c˜ oes de antissimetria e identidade de Jacobi s˜ao satisfeitas para [, ] g , pois s˜ao satisfeitas pelas duas entra-

  ⊕g

  das, como veremos. Omitiremos os ´ındices nos comutadores abaixo para simplificar a nota¸c˜ ao. Temos, para todos a, b ∈ g e u, v, w ∈ h, que [(a, u), (a, u)] = [a, a], [u, u] = (0, 0) = 0 e

  • (a, u), [(b, v), (c, w)] (b, v), [(c, w), (a, u)] (c, w), [(a, u), (b, v)]
  • = (a, u), [b, c], [v, w] (b, v), [c, a], [w, u] (c, w), [a, b], [u, v] =

  a, [b, c] , u, [v, w]

  b, [c, a] , v, [w, u] + +

  c, [a, b] , w, [u, v]

  a, [b, c] + =

  b, [c, a]

  c, [a, b] , u, [v, w] v, [w, u] w, [u, v] + + + = (0, 0) = 0 .

  ´

  3.1.6 Algebra de Lie quociente

  A partir de uma ´ algebra de Lie g e de um ideal I ⊆ g podemos dar g uma estrutura de ´ algebra de Lie para o quociente . I g Proposi¸ c˜ ao 3.1.20. Sejam g ´ algebra de Lie, I ⊆ g ideal de Lie e π : g → I a proje¸c˜ ao canˆ onica. Ent˜ ao existe uma ´ unica estrutura de ´ algebra de Lie g para tal que a proje¸c˜ ao canˆ onica ´e um morfismo de ´ algebras de Lie. Essa I estrutura ´e dada por

  [¯

  a, ¯b] = [a, b] , ∀a, b ∈ g Demonstra¸c˜ ao. g (Defini¸c˜ ao do colchete de Lie em :) g I

  138 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal

  ′

  O colchete est´ a bem definido, pois dados a, b ∈ g tais que ¯ a = ¯ a e

  ′

  , temos ¯b = ¯b

  ′

  a − a =: u ∈ I

  ′

  b − b =: v ∈ I , portanto, como I ´e ideal de Lie,

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  [a, b] − [a , b ] = [a + u, b + v] − [a , b ]

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  = [a , b ] + [a , v] + [u, b ] + u, v] − [a , b ]

  ′ ′ g = [a , v] + [u, b ] + [u, v] ∈ I .

  O colchete em ´e, claramente, bilinear, e satisfaz a antissimetria e a I g identidade de Jacobi, j´ a que o colchete em g satisfaz tudo isso. Assim ´e I uma ´ algebra de Lie. Al´em disso, a proje¸c˜ ao π ´e homomorfismo de ´algebras de Lie, pois π([a, b]) = [a, b] = [¯ a, ¯b] = [π(a), π(b)] para todos a, b ∈ g.

  (π ´e um morfismo de ´ algebras de Lie:) g De fato, por defini¸c˜ ao do comutador em , temos para todos a, b ∈ g, I que

  π [a, b] = [a, b] = [a, b] = π(a), π(b) . g (Unicidade da estrutura de ´ algebra de Lie em :) g I

  ′

  Seja [, ] outro colchete de Lie em tal que para todos a, b ∈ g, I

  ′ [a, b] = [a, b] .

  Ent˜ ao temos

  ′

  [a, b] = [a, b] = [a, b] ,

  ′ portanto [, ] = [, ].

  Proposi¸ c˜ ao 3.1.21. Sejam g, h duas ´ algebras de Lie, I ⊆ g ideal e π : g → g I a proje¸c˜ ao canˆ onica. Se f : g → h ´e um morfismo de ´ algebras de Lie com g I ⊆ ker(f ), ent˜ ao existe um ´ unico morfismo de ´ algebras de Lie f : → h I tal que f

  // g h π OO f %% g I f ◦ π = f .

  3.1. ´ Algebras de Lie 139

  Demonstra¸c˜ ao. Fa¸ca g f : → h I a 7→ f (a) .

  Como I ⊆ ker(f ), f est´ a bem definida: a = b =⇒ a − b ∈ I ⊆ ker(f ) =⇒ f (a − b) = 0 =⇒ f (a) = f (b) =⇒ f (a) = f (b) . Al´em disso, f ´e morfismo de ´algebras de Lie (decorre de f ser morfismo, e da estrutura de ´ algebra de Lie no quociente). E por constru¸c˜ao, temos f ◦ π = f . g

  Resta apenas verificar a unicidade da f . Se g : → h for outro mor- I fismo de ´ algebras de Lie com g ◦ π = f , ent˜ ao g g(a) = g ◦ π(a) = f (a) = f (a) para todo a ∈ . Portanto g = f e a unicidade fica provada. I Corol´ ario 3.1.22. Seja f : g → h morfismo de ´ algebras de Lie. Ent˜ ao g f : → Im(f ) ker(f ) a 7→ f (a)

  ´e isomorfismo de ´ algebras de Lie, assim g ∼ = Im(f ) . ker(f )

  Demonstra¸c˜ ao. Usar I = ker(f ) na proposi¸c˜ ao anterior. Obtemos que f ´e morfismo. A sobrejetividade de f ´e imediata e a injetividade vem de f (a) = 0 =⇒ f (a) = 0 =⇒ a ∈ ker(f ) =⇒ a = 0 .

  

3.1.7 Estrutura de ´ algebra de Lie para uma ´ algebra

associativa

  Nesta se¸c˜ ao veremos como equipar uma ´ algebra associativa A com uma estrutura de ´ algebra de Lie. Denotamos por A L o conjunto A equipado

  140 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal Definimos A L = A como espa¸cos vetoriais. Definimos o colchete de Lie

  [, ] : A L × A L → A L por [a, b] = a · b − b · a , para todos a, b ∈ A L . Essa opera¸c˜ ao ´e bilinear e satisfaz as identidades requeridas para a ´ algebra de Lie. De fato, dados a, b, c ∈ A L , temos

  [a, a] = a · a − a · a = 0 , [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [a, bc − cb] + [b, ca − ac] + [c, ab − ba]

  = a(bc − cb) − (bc − cb)a + b(ca − ac)+ − (ca − ac)b + c(ab − ba) − (ab − ba)c = 0 .

  

3.1.8 Estrutura de ´ algebra de Lie para os elementos

primitivos de uma bi´ algebra

  Come¸caremos definindo o conjunto de elementos primitivos de uma bi´ algebra B, e mostraremos que estes formam uma ´algebra de lie, com o colchete [a, b] = a · b − b · a, o mesmo colchete de B, visto apenas como algebra associativa. ´ Defini¸ c˜ ao 3.1.23. Seja B uma bi´ algebra. Dizemos que b ∈ B ´e um elemento primitivo se

  ∆(b) = b ⊗ 1 B + 1 B ⊗ b O conjunto de todos os elementos primitivos de B ´e denotado por P(B).

  Proposi¸ c˜ ao 3.1.24. P(B) ´e uma ´ algebra de Lie, com comutador [a, b] = a · b − b · a .

  Isto ´e, P(B) ´e uma sub´ algebra de Lie de B L .

  3.1. ´ Algebras de Lie 141

  Demonstra¸c˜ ao. Precisamos mostrar que P(B) ´e fechado pelo comutador. De fato, dados a, b ∈ P(B), temos

  ∆([a, b]) = ∆(ab − ba) = ∆(a)∆(b) − ∆(b)∆(a) = (a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a)(b ⊗ 1 B + 1 B ⊗ b)+

  − (b ⊗ 1 B + 1 B ⊗ b)(a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a) = ab ⊗ 1 B + 1 B ⊗ ab − ba ⊗ 1 B − 1 B ⊗ ba = [a, b] ⊗ 1 B + 1 B ⊗ [a, b] , e portanto [a, b] ∈ P(B).

  

3.1.9 Estrutura de ´ algebra de Lie para as deriva¸c˜ oes

em uma ´ algebra de Hopf

  Definimos abaixo o espa¸co das deriva¸c˜ oes em uma ´algebra de Hopf H.

  ◦ ◦

  Mostraremos que esse espa¸co ´e uma sub´ algebra de Lie de P(H ) Aqui, H denota o dual finito de H, que ´e uma ´ algebra (de Hopf), e portanto ´e uma ´ algebra de Lie com o colchete dado pelo comutador

  ◦ [f, g] = f ∗ g − g ∗ f , ∀f, g ∈ H . ◦ ◦ Observe que, da se¸c˜ ao anterior, P(H ) ´e uma sub´algebra de Lie de H .

  Defini¸ c˜ ao 3.1.25. Seja H uma ´ algebra de Hopf. Uma deriva¸c˜ ao em H ´e um funcional linear δ : H → K tal que δ(ab) = δ(a)ε(b) + ε(a)δ(b) . O conjunto de todas as deriva¸c˜ oes ´e denotado por Der ε (H).

  ∗

  Observa¸c˜ ao 3.1.26. Der ε (H) ´e um subespa¸co vetorial de H . De fato, dados δ, γ ∈ Der ε (H) e λ ∈ K, temos (δ + λγ)(ab) = δ(a)ε(b) + ε(a)δ(b) + λ(γ(a)ε(b) + ε(a)γ(b))

  = (δ(a) + λγ(a))ε(b) + ε(a)(δ(b) + λγ(b)) = (δ + λγ)(a)ε(b) + ε(a)(δ + λγ)(b) . Portanto δ + λγ ∈ Der ε (H). Observa¸c˜ ao 3.1.27. δ(1 H ) = 0 para toda deriva¸c˜ ao δ.

  142 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal

  ◦

  Proposi¸ c˜ ao 3.1.28. Der ε (H) ´e uma sub´ algebra de Lie de P(H ), em que

  ◦

  H ´e o dual finito de H. O comutador em Der ε (H) ´e dado por [δ, γ] = δ ∗ γ − γ ∗ δ = µ ◦ (δ ⊗ γ − γ ⊗ δ) ◦ ∆ H

  

K

  em que ∗ ´e o produto de convolu¸c˜ ao em H .

  ◦

  Demonstra¸c˜ ao. Primeiro, vamos mostrar que Der ε (H) ⊆ P(H ). De fato, temos, para todo δ ∈ Der ε (H) e para todos a, b ∈ A, δ ◦ µ(a ⊗ b) =δ(a)ε(b) + ε(a)δ(b)

  =θ(δ ⊗ ε)(a ⊗ b) + θ(ε ⊗ δ)(a ⊗ b) =θ(δ ⊗ ε + ε ⊗ δ)(a ⊗ b)

  ∗ ∗ ∗

  em que θ : H ⊗ H → (H ⊗ H) ´e um morfismo injetivo dado por θ(f ⊗ g)(a ⊗ b) = f (a)g(b), que aparece na se¸c˜ ao sobre dual finito de ´algebras (se¸c˜ ao .

  ∗ ∗ ∗

  Portanto µ (δ) = θ(δ ⊗ ε + ε ⊗ δ) ∈ θ(H ⊗ H ). Dessa forma, δ satisfaz o item 2. do teorema e ent˜ ao, por defini¸c˜ ao, pertence ao dual finito

  ◦ H . ◦ ◦ −1 ∗

  Al´em disso, lembrando que ε = 1 H e que ∆ H = θ ◦ µ :

−1 ∗

∆ H (δ) = θ ◦ µ (δ)

  −1

  = θ ◦ θ(δ ⊗ ε + ε ⊗ δ) = δ ⊗ ε + ε ⊗ δ ◦ ◦ = δ ⊗ 1 H + 1 H ⊗ δ

  ◦ e temos que toda deriva¸c˜ ao δ em H ´e um elemento primitivo de H .

  3.2. ´ Algebra envolvente universal 143 Sejam δ, γ ∈ Der ε (H) e a, b ∈ H. Temos que:

  ◦ [δ, γ](ab) = µ (δ ⊗ γ − γ ⊗ δ) ◦ ∆(ab) K ◦ = µ (δ ⊗ γ − γ ⊗ δ)(∆(a)∆(b)) K ◦ b ⊗ a b = µ (δ ⊗ γ − γ ⊗ δ)(a ) K (1) (1) (2) (2) b b b b = δ(a ) · γ(a ) − γ(a ) · δ(a )) (1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) = δ(a )ε(b ) + ε(a )δ(b ) · γ(a + )ε(b ) + ε(a )γ(b ) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2)

  γ (a )ε(b ) + ε(a )γ(b ) · δ(a )ε(b ) + ε(a )δ(b ) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) = δ(a )γ(a ) − γ(a )δ(a ) ε(b )ε(b )+ (1) (2) (1) (2) (1) (2)

  • ε(a (1) )ε(a (2) ) δ(b (1) )γ(b (2) ) − γ(b (1) )δ(b (2) )
  • ε(a (1) )ε(b (2) ) δ(b (1) )γ(a (2) ) − γ(b (1) )δ(a (
  • ε(b (1) )ε(a (2) ) δ(a (1) )γ(b (2) ) − γ(a (1) )δ(b (2) ) = [δ, γ](a)ε(b) + ε(a)[δ, γ](b)+
  • δ(b)γ(a) − γ(b)δ(a) + δ(a)γ(b) − γ(a)δ(b) = [δ, γ](a)ε(b) + ε(a)[δ, γ](b) .

  Dessa forma, [δ, γ] ∈ Der ε (H), e ent˜ ao [Der ε (H), Der ε (H)] ⊂ Der ε (H).

  ´

3.2 Algebra envolvente universal

  Come¸camos definindo a ´ algebra envolvente universal de uma ´algebra de Lie g por meio de uma propriedade universal. No decorrer, exibire- mos constru¸c˜ ao de uma ´ algebra que satisfaz essa propriedade. Tamb´em ´e costume denotar a ´ algebra envolvente por recobrimento universal.

3.2.1 Propriedade universal

  Defini¸ c˜ ao 3.2.1. Seja g uma ´ algebra de Lie. A ´ algebra envolvente uni- versal, ou o recobrimento universal de g ´e um par (U, i), em que:

  1. U ´e uma ´ algebra associativa e com unidade; 2. i : g → U L ´e um morfismo de ´ algebras de Lie; 3. vale a seguinte propriedade universal: dados A ´ algebra (associativa

  144 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal unico morfismo de ´ ´ algebras f : U → A tal que o diagrama comuta: f g //

  A L = A i OO f ((

  U L = U f ◦ i = f .

  Construiremos a seguir uma ´ algebra que satisfaz essa propriedade uni- versal. Considere a ´ algebra tensorial T(g) gerada pelo espa¸co vetorial g. Essa ´ algebra pode ser vista como uma ´ algebra de Lie da maneira padr˜ao, fazendo o comutador ser [a, b] = a · b − b · a. Mas queremos que esse

  T(g)

  comutador coincida com o comutador em g quando nos restringimos a a, b ∈ g. Assim, fazemos a identifica¸c˜ ao [a, b] g = a · b − b · a, com a, b ∈ g. Temos a seguinte defini¸c˜ ao: Defini¸ c˜ ao 3.2.2. Escrevemos

  T(g) U (g) := ,

  I em que I ´e o ideal em T(g) gerado por elementos da forma a·b−b·a−[a, b] g , com a, b ∈ g ⊆ T(g). Al´em disso, fazemos i : g → U(g) x 7→ x , que ´e um morfismo de ´ algebras de Lie, j´ a que i([x, y] g ) = [x, y] g = x · y − y · x = [x, y] .

  U (g) Aqui consideramos U (g) = U (g) L .

  A princ´ıpio n˜ ao sabemos se o morfismo i ´e injetor. Um corol´ario do teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt nos garante que isso realmente ocorre (´e o corol´ ario a seguir). Como consequˆencia da propriedade universal do recobrimento, que veremos na proposi¸c˜ao abaixo que (U (g), i) U U satisfaz, o morfismo natural i de qualquer recobrimento (U, i ) tamb´em

  ´e injetor.

  Proposi¸ c˜ ao 3.2.3. O par (U (g), i) definido acima satisfaz a propriedade

  3.2. ´ Algebra envolvente universal 145 Demonstra¸c˜ ao. Mostrando a propriedade universal. Seja A uma ´algebra (associativa com unidade) e f : g → A L um morfismo de ´algebras de Lie. Considerando g apenas como espa¸co vetorial, aplicamos a propriedade uni- versal da ´ algebra tensorial para f , e conclu´ımos que existe um ´ unico mor-

  ′ ′ fismo de ´ agebras f : T(g) → A tal que f (x) = f (x) para todo x ∈ g.

  ′

  Aplicamos a propriedade universal do quociente para f (isto ´e, a pro-

  T(g)

  posi¸c˜ ao , para obter um ´ unico morfismo de ´algebras f : → A I

  ′ ′

  tal que f ◦ π = f . Podemos fazer isso pois temos I ⊆ ker(f ):

  X x = c i (a i ⊗ b i − b i ⊗ a i − [a i , b i ])d i ∈ I , i implica que !

  X

  ′ ′

  f (x) = f c i ⊗ (a i ⊗ b i − b i ⊗ a i − [a i , b i ]) ⊗ d i i

  X

  ′ ′

  = f (c i )(f (a i )f (b i ) − f (b i )f (a i ) − f ([a i , b i ]))f (d i ) i

  X

  ′ ′

  = f (c i )(f ([a i , b i ]) − f ([a i , b i ]))f (d i ) i = 0 .

  ′ Logo x ∈ ker(f ) e f est´a bem definido. Temos tamb´em f ◦ i = f .

  Al´em disso, ´e ´ unico tal que f ◦ i = f . De fato, seja g outro morfismo

  T(g)

  com g ◦ i = f . Ent˜ ao, para dado x ∈ , temos: I g(x) = g ◦ π(x) = f (x) = f (x) .

3.2.2 U (g) ´ e uma ´ algebra de Hopf Nesta se¸c˜ ao equiparemos U (g) com uma estrutura de ´algebra de Hopf.

  A ´ algebra envolvente universal U (g) ´e o quociente da ´algebra tensorial T (g) pelo ideal I ⊆ T (g) gerado pelos elementos ab − ba − [a, b]. Se mostrarmos

  T (g)

  que o ideal I ´e um Hopf-ideal, teremos que o quociente U (g) = tem I estrutura de ´ algebra de Hopf quociente herdada da ´ algebra tensorial.

  Lema 3.2.4. O ideal I = g{ab − ba − [a, b] : a, b ∈ g}g de T (g) ´e, na

  146 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal Demonstra¸c˜ ao. J´ a temos que I ´e um ideal. Vamos mostrar que ´e um coideal. De fato, para os geradores ab − ba − [a, b], com a, b ∈ g, temos

  ∆(ab − ba − [a, b]) = ∆(a)∆(b) − ∆(b)∆(a) − ∆([a, b]) = (a ⊗ 1 + 1 ⊗ a)(b ⊗ 1 + 1 ⊗ b)+

  K K K K

  − (b ⊗ 1 + 1 ⊗ b)(a ⊗ 1 + 1 ⊗ a)+

  K K K K

  − ([a, b] ⊗ 1 + 1 ⊗ [a, b])

  K K

  = (ab − ba − [a, b]) ⊗ 1 − 1 ⊗ (ab − ba − [a, b])

  K K

  ∈ I ⊗ T (g) + T (g) ⊗ I ε(ab − ba − [a, b]) = ε(a)ε(b) − ε(b)ε(a) − ε([a, b]) = 0 . ´

  E f´ acil ver que o mesmo ocorre se esse elemento gerador for multiplicado por um elemento de g ` a esquerda e ` a direita, e se houver uma soma finita de termos dessa forma. Portanto, ∆(I) ⊆ I ⊗ T (g) + T (g) ⊗ I e ε(I) = 0. Isso significa que I ´e coideal.

  Portanto I ´e um bi-ideal. Resta mostrar que S(I) ⊆ I, em que S ´e a ant´ıpoda de T (g). De fato, S(ab − ba − [a, b]) = S(ab) − S(ba) − S([a, b])

  = ba − ab + [a, b] ∈ I , e o mesmo ocorre se multiplicarmos o elemento gerador `a direita e `a es- querda por elementos de g e tomarmos somas finitas. Decorre, ent˜ao, que S(I) ⊆ I, e que I ´e um Hopf-ideal.

  Portanto, pela se¸c˜ ao temos que U (g) ´e uma ´algebra de Hopf, com

  T (g)

  estrutura tal que a proje¸c˜ ao π : T (g) → = U (g) ´e um morfismo de I algebras de Hopf. Costuma-se considerar g ⊆ U(g) via a inclus˜ao ´ i g : g → U (g) g 7→ g , em que j´ a estamos considerando g ⊆ T (g). Essa inclus˜ao ´e injetora em con- sequˆencia do teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt (teorema a seguir); a injetividade est´ a mostrada no corol´ ario

  A estrutura de ´ algebra de Hopf ´e dada, ent˜ ao, por: g · h = g · h = gh 1 = 1

  

U (g) T (g) U (g) K

  ∆(g) = g ⊗ 1 + 1 ⊗ g ε(g) = 0

  K K

  3.2. ´ Algebra envolvente universal 147 e a ant´ıpoda ´e dada por

  S(1 ) = 1

  K K n

  S(g

  

1 . . . g n ) = (−1) g n . . . g

1 , com g, h, g , . . . , g n ∈ g ⊆ U(g).

  1

  

3.2.3 Extens˜ ao de morfismos de Lie para o recobri-

mento universal

  Dadas g e h ´ algebras de Lie, e um morfismo de Lie f : g → h, ´e poss´ıvel definir um ´ unico morfismo de ´ algebras U (f ) que estende f aos recobrimen- tos universais. Considere o seguinte diagrama: f

  // i g i g h h U (g) // U(h)

  

U (f )

  Aplicando a propriedade universal da ´ algebra envolvente para o morfismo de ´ algebras de Lie i h ◦ f : g → U(h), existe um ´ unico morfismo de ´algebras U (f ) : U (g) → U(h) que faz comutar o diagrama acima, isto ´e, tal que

  U (f ) ◦ i g = i h ◦ f U (f )(g) = f (g), ∀g ∈ g . Veremos a seguir que al´em de morfismo de ´algebras, U (f ) ´e um Hopf- morfismo. Lema 3.2.5. Sejam B uma bi´ algebra e g uma ´ algebra de Lie. Considere um morfismo de ´ algebras de Lie h : g → B L , em que B L ´e B equipado com o colchete dado pelo comutador. Pela propriedade universal da ´ algebra envolvente universal, existe ´ unico morfismo de ´ algebras h : U (g) → B L que

  148 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal

  1. Se h(g) ⊆ P(B), ent˜ ao a extens˜ ao h ´e um morfismo de bi´ algebras.

  2. Se B ´e uma ´ algebra de Hopf e h(g) ⊆ P(B), ent˜ ao a extens˜ ao h ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf. Demonstra¸c˜ ao.

  1. Sabemos que h ´e um morfismo de ´algebras. Ent˜ao resta mostrar que ´e um morfismo de co´ algebras. Seja g ∈ g. Temos h(g) = h(g) primitivo em B, portanto

  ∆ B ◦ h(g) = h(g) ⊗ 1 B + 1 B ⊗ h(g) = (h ⊗ h)(g ⊗ 1 + 1 ⊗ g)

  U (g) U (g)

  = (h ⊗ h) ◦ ∆ (g) B U (g) e os morfismos de ´ algebras ∆ ◦ h e (h ⊗ h) ◦ ∆ coincidem em g.

  U (g)

  Pela propriedade universal da ´ algebra envolvente, temos que os dois morfismos coincidem em todo U (g). Al´em disso, os elementos primitivos de uma bi´ algebra s˜ao anulados pela counidade. De fato, dado a ∈ B, temos ∆ B (a) = a⊗1 B +1 B ⊗a, e portanto, expandindo a pelo axioma da counidade,

  ε B (a) = ε B ε B (a)1 B + ε B (1 B )a = ε B (a) + ε B (a) , logo ε B (a) = 0. Ent˜ ao ε B ◦ h(g) = 0 = ε (g), e os morfismos ε B ◦ h e ε coin-

  U (g) U (g)

  cidem em g. Tamb´em pela propriedade universal, temos que esses morfismos s˜ao iguais em todo U (g). Dessa forma h ´e um morfismo de bi´ algebras

  2. Segue do item 1. e da proposi¸c˜ ao que diz que todo morfismo de bi´ algebras entre duas ´ algebras de Hopf preserva ant´ıpoda.

  Proposi¸ c˜ ao 3.2.6. Seja f : g → h um morfismo de ´ algebras de Lie. A extens˜ ao U (f ) : U (g) → U(h) ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf. Al´em disso, se f ´e isomorfismo de ´ algebras de Lie, ent˜ ao U (f ) ´e um isomorfismo de ´ algebras de Hopf.

  3.3. Teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt 149 Demonstra¸c˜ ao. Para a primeira parte, basta aplicar o lema item 2. ao morfismo i h ◦ f , j´ a que i h ◦ f (g) ⊆ h = P U (h) .

  Para a segunda parte, precisaremos do teorema de Poincar`e-Birkhoff- Witt. Essa parte n˜ ao ´e usada para mostrar o teorema de Poincar`e-Birkhoff- Witt, ent˜ ao n˜ ao haver´ a problema em usar esse teorema aqui. Seja

  {u i , i ∈ I} base ordenada de g. Ent˜ ao {f (u i ), i ∈ I}

  ´e base de h. Pelo teorema Poincar`e-Birkhoff-Witt (teorema , temos que os seguintes conjuntos s˜ao bases: r r 1 n {u . . . u | n ∈ N, r k ∈ N, i k ∈ I, i < . . . < i n } ⊆ U(g) i i 1 n r r 1 n

  1 {f (u i ) . . . f (u i ) | n ∈ N, r k ∈ N, i k ∈ I, i < . . . < i n } ⊆ U(h) . 1 n

  1 Note que, pondo F := U (f ), temos r r r r 1 n 1 n f (u i ) . . . f (u i ) = F u . . . u 1 n i i 1 n logo F leva um elemento da base em U (g) em exatamente um elemento da

  base em U (h). Portanto, definindo a transforma¸c˜ao linear ˜ F : U (h) → U(g) i i r r r r 1 n 1 n na base por ˜ F f (u ) . . . f (u ) = u . . . u , temos que ˜ F ´e a inversa 1 n i i 1 n de F . Portanto F ´e bije¸c˜ ao se f o ´e.

3.3 Teorema de Poincar` e-Birkhoff-Witt

  O teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt, a ser enunciado abaixo, nos for- nece uma base para o recobrimento universal U (g) a partir de uma base de g. Teorema 3.3.1 (PBW). Seja g uma ´ algebra de Lie e {u i } i uma base

  ∈I

  ordenada para g (I ´e um conjunto ordenado). Ent˜ ao os elementos de U (g) da forma r r 1 n u . . . u i i 1 n s˜ ao uma base para U (g). Acima, temos n ∈ N, r , . . . , r n ∈ N, i , . . . , i n ∈

  1

  1

  150 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal Vamos utilizar uma nota¸c˜ ao conveniente para denotar esses elementos

  (I)

  da base. Considere os multi-´ındices r ∈ N com r = (r i ) i , r i ’s inteiros

  ∈I

  n˜ ao negativos, e tal que apenas uma quantidade finita de termos n˜ao s˜ao nulos. Se i = i < . . . < i n s˜ao os ´ındices tais que r i 6= 0, ent˜ao denote:

  1

r r r

1 n u := u . . . u . i i 1 n

  Uma combina¸c˜ ao de elementos da base de U (g) pode ser escrito da seguinte forma: X r r λ(r)u , em que subentende-se que a soma ´e apenas sobre finitos multi-´ındices, ou seja, que λ(r) = 0 para quase todo r.

  Antes de prosseguir com a demonstra¸c˜ ao do teorema, vejamos um co- rol´ ario interessante. Corol´ ario 3.3.2. O morfismo natural i : g → U (g), da propriedade uni- versal da ´ algebra envolvente, ´e injetor.

  P Demonstra¸c˜ ao. Dado g ∈ ker(i), escreva g = α i u i . Temos i(g) = i P

   i α i u i = 0 e como os elementos u i fazem parte da base de U (g), temos que os coeficientes α i devem ser nulos. Portanto g = 0 e ker(i) = 0.

  Para a demonstra¸c˜ ao, precisaremos de alguns lemas. No decorrer, va- mos denominar os monˆ omios u i . . . u i ∈ T (g), com i ≤ . . . ≤ i n 1 n

  1 como monˆ omios padr˜ ao.

  Em toda a se¸c˜ ao, {u i } i ´e uma base ordenada para g.

  ∈I

  Lema 3.3.3. Todo elemento de T (g) ´e congruente mod I a uma com- bina¸c˜ ao linear de monˆ omios padr˜ ao. Isto ´e, os monˆ omios padr˜ ao geram

  T (g) U (g) = como espa¸co vetorial. I i i

  Demonstra¸c˜ ao. Basta mostrar que todo monˆ omio u . . . u em T (g), cu- 1 n jos ´ındices n˜ ao necessariamente est˜ ao ordenados, pode ser escrito como combina¸c˜ ao linear de monˆ omios padr˜ ao m´odulo I. Procedemos por indu- ¸c˜ ao em n, o grau do monˆ omio. 2 Nessa equa¸c˜ ao, os u i ’s denotam elementos de U (g). Na verdade, seriam i(u i ), mas

  3.3. Teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt 151 (caso n = 0): u i . . . u i := 1 j´ a ´e um monˆ omio padr˜ao. 1 n (caso n = 1): u i j´ a ´e um monˆ omio padr˜ ao. 1

  (HI): Todo monˆ omio em T (g) de grau < n pode ser escrito como combi- na¸c˜ ao de monˆ omios padr˜ ao mod I. (caso n): Seja u i . . . u i um monˆ omio em T (g). Se os ´ındices j´a estive- 1 n rem ordenados, est´ a feito. Se n˜ ao, considerando i , . . . , i n n˜ao ordenado, i i ... i 1

2 n

  1

  existe uma permuta¸c˜ ao σ = ′ ′ ′ que ordena esses ´ındices, isto ´e, i i ... i 1 2 n

  ′ ′ ′

  que resulta em i ≤ i ≤ . . . ≤ i . Escreva essa permuta¸c˜ao como uma

  1 2 n ′ ′

  composi¸c˜ ao de permuta¸c˜ oes de dois ´ındices vizinhos: σ = σ ◦ . . . σ . De- l

  1 notaremos com linha as permuta¸c˜ oes que trocam dois elementos vizinhos.

  Com um ligeiro abuso de nota¸c˜ ao, escreveremos: σ(u i . . . u i ) := u σ . . . u σ . 1 n (i 1 ) (i n ) Afirma¸ c˜ ao: Seja v i . . . v i um monˆ omio em T (g). Para uma permuta¸c˜ ao 1 n

  ′

  de elementos vizinhos σ , temos:

  ′ u i . . . u i = σ (u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆomios padr˜ao mod I . 1 n 1 n

  Prova da afirma¸c˜ ao. De fato, se σ ´e uma permuta¸c˜ao que troca dois ele- mentos vizinhos, digamos i j e i j +1 , temos: u i . . . u i = u i . . . u i u i − u i u i − [u i , u i ] . . . u i 1 n j j j j j j n 1 +1 +1 +1

  • u i . . . u i u i . . . u i + u i . . . [u i , u i ] . . . u i 1 j +1 j n 1 j j +1 n

  ′

  = 0 + σ (u i . . . u i ) + u i . . . [u i , u i ] . . . u i mod I 1 n 1 j j +1 n | {z }

  grau < n (HI) ′ = σ (u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆomios padr˜ao mod I . 1 n y

  ′ ′

  Voltemos a aten¸c˜ ao ao monˆ omio u i . . . u i e ` a permuta¸c˜ ao σ = σ . . . σ 1 l n

  1

  152 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal

  ′ ′

  ¸c˜ oes σ , . . . , σ de elementos vizinhos, temos que: l

  1 ′

  u i . . . u i = σ (u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆ omios padr˜ao mod I 1 n

  1 1 n ′ ′

  = σ σ (u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆomios padr˜ao mod I

  2

  1 1 n

  · · ·

  ′ ′

  = σ . . . σ (u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆomios padr˜ao mod I l 1 n

  1

  = σ(u i . . . u i ) + combina¸c˜ ao de monˆ omios padr˜ao mod I 1 n = combina¸c˜ ao de monˆ omios padr˜ ao mod I . i i Note que ap´ os a ordena¸c˜ ao dos ´ındices, o monˆ omio σ(u . . . u ) ´e um 1 n monˆ omio padr˜ ao. Isso encerra a demonstra¸c˜ ao do lema. Lema 3.3.4. Existe uma transforma¸c˜ ao linear L : T (g) → T (g) tal que

  1. L(1 ) = 1 ;

  K K

  2. Se i ≤ . . . ≤ i n , isto ´e, se u i . . . u i ´e um monˆ omio padr˜ ao, temos

  1

1 n

  L(u i . . . u i ) = u i . . . u i ; 1 n 1 n

  3. Se i k > i k +1 , temos L(u i . . . u i u i . . . u i ) = L(u i . . . u i u i . . . u i ) 1 k k +1 n 1 k +1 k n + L(u i . . . [u i , u i ] . . . u i ) . 1 k k +1 n

  L ∞

  ⊗n

  Demonstra¸c˜ ao. Escreva T (V ) = n V em termos da sua gradua-

  

=0

   ⊗n

  ¸c˜ Vamos definir uma fam´ılia de transforma¸c˜ oes lineares {L n : V →

  ∞

  T (g)} indutivamente. Definimos L , L e L transforma¸c˜ oes lineares n

  1

  2 =0

  na base por L (1 ) = i

  

K K

  L (u i ) = u i

  1

  ( u i u i , se i ≤ i 1 2

  1

  2 L (u i u i ) =

  2 1 2 u i u i + [u i , u i ], se i > i . 2 1 1 2

  1

  2 n

  Agora supomos L bem definido para todo n < n, e satisfazendo as condi¸c˜ oes: 3 ⊗ n ⊗ n

  

Aqui os subespa¸cos considerados deveriam ser i (V ) para serem subconjuntos

V L ∞ n n ⊗ ⊗ da soma direta externa T (V ) = n =0 V , mas s˜ ao denotados simplesmente por V

  3.3. Teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt 153 (∗) L n (u i . . . u i ) = u i . . . u i , para um monˆ omio padr˜ao ′ ′ 1 n 1 n

  L n (u i . . . u i ) = L n (u i . . . u i u i . . . u i ) 1 n′ n′ 1 k +1 k (∗∗)

  • L n −1 ((u i . . . [u i , u i ] . . . u i ), para i k > i k +1 1 k k +1 n′ .

  Vamos definir L n da maneira abaixo. Antes, precisamos estabelecer uma nota¸c˜ ao. Dado um monˆ omio u i . . . u i chamamos de defeitos todos 1 n os pares (i k , i l ) com k < l e i k > i l . Isto ´e, todos os pares que n˜ao est˜ao na ordem padr˜ ao dentro do monˆ omio. Note que se temos d defeitos, o monˆ omio comporta algum par (i k , i k ) com defeito; e trocando esses dois

  • +1

    elementos, temos u i . . . u i u i . . . u i com d − 1 defeitos.
  • 1 k +1 k n

      Seja u i . . . u i um monˆ omio. Vamos definir L n indutivamente sobre 1 n o n´ umero de defeitos d no monˆ omio. Se o n´ umero de defeitos ´e d = 0 (monˆ omio ´e padr˜ ao), definimos L n (u i . . . u i ) = u i . . . u i . 1 n 1 n Se d = 1, temos um ´ unico defeito do tipo (i k , i k ), e escrevemos

    • 1

      L n (u i . . . u i ) = L n (u i . . . u i u i . . . u i ) + L n (u i . . . [u i , u i ] . . . u i ) 1 n k +1 k n k k +1 n 1 −1 1 = u i . . . u i u i . . . u i + L n (u i . . . [u i , u i ] . . . u i ) . 1 k +1 k n −1 1 k k +1 n Supomos, ent˜ ao, que L n est´ a bem definido para qualquer monˆ omio com menos de d defeitos (d ≥ 2) e que vale

      L n (u i . . . u i u i . . . u i ) = L n (u i . . . u i u i . . . u i ) 1 k k +1 n 1 k +1 k n (#)

    • L n (u i . . . [u i , u i ] . . . u i )

      −1 1 k k +1 n

      para qualquer par (i k , i k ) com defeito. Definimos L n aplicado a um

    • 1

      monˆ omio de d defeitos u i . . . u i assim: consideramos um par (i k , i k +1 ) 1 n com defeito, e escrevemos 1 n 1 k +1 k n + L n (u i . . . u i ) = L n (u i . . . u i u i . . . u i ) | {z }

      

    tem d − 1 defeitos

    + L n −1 (u i . . . [u i , u i ] . . . u i ) . 1 k k +1 n

      | {z }

      est´ a bem definido

      Resta mostrar que essa defini¸c˜ ao independe do par de defeitos (i k , i k )

    • 1

      considerado. Considere dois pares com defeito (i k , i k ) e (i l , i l ), com

    • 1 +1

      k + 1 ≤ l. Precisamos mostrar que considerando qualquer desses pares,

    • 1
    • 1
    • 1
    • L n

    • L n
    • L n
    • L n
    • 1
    • L n
    • L n
    • L n
    • L n −2 u i
    • 1 . . . [u i k , u i k +1 ] . . . [u i l , u i l +1 ] . . . u i n .

        Usando o par (i l , i l

        ) para definir L n (u i 1 . . . u i n ): L n (u i 1 . . . u i n ) = L n u i 1 . . . u i k u i k +1 . . . u i l +1 u i l . . . u i n

        | {z } d

        − 1 defeitos, use (#) para o par (i k , i k +1 )

        −1

        u i 1 . . . u i k , u i k +1 . . . [u i l , u i l +1 ] . . . u i n | {z }

        = L n u i 1 . . . u i k +1 u i k . . . u i l +1 u i l . . . u i n +

        use (∗∗) para o par (i k , i k +1 )

        −1

        u i 1 . . . [u i k +1 , u i k ] . . . u i l +1 u i l . . . u i n +

        −1

        u i 1 . . . u i k +1 u i k . . . [u i l , u i l +1 ] . . . u i n +

        Obtemos que as duas express˜oes s˜ao iguais. (caso k + 1 = l:) Temos i l = i k

        e i l

        u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ] . . . [u i l , u i l +1 ] . . . u i n .

        −2

        u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ] . . . u i l +1 u i l . . . u i n +

        −1

        u i 1 . . . u i k +1 u i k . . . [u i l , u i l +1 ] . . . u i n +

        −1

        = L n u i 1 . . . u i k +1 u i k . . . u i l +1 u i l . . . u i n +

        use (∗∗) para o par (i l , i l +1 )

        u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ] . . . u i l u i l +1 . . . u i n | {z }

        −1

        

      − 1 defeitos, use (#) para o par (i

      l , i l +1 )

        | {z } d

        ) para definir L n (u i 1 . . . u i n ): L n (u i 1 . . . u i n ) = L n u i 1 . . . u i k +1 u i k . . . u i l u i l +1 . . . u i n

        ) n˜ ao “intera- gem”) e k + 1 = l (quando essas permuta¸c˜ oes “interagem”). (caso k + 1 < l:) Usando o par (i k , i k

        ) e de (i l , i l

        154 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal dois pares, nas duas ordens poss´ıveis. Teremos de considerar dois casos: k + 1 < l (quando as permuta¸c˜ oes de (i k , i k

        = i k

      • 1
      • 1
      • 2 .
      • L n

      • L n −1 u i
      • 1 . . . u i k +1 [u i k , u i k +2 ] . . . u i nL n −1 u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ]u i k +2 . . . u i n = L n u i 1 . . . u i k +2 u i k +1 u i k . . . u i nL n
      • L n

      • L n
      • 1
      • 2
      • L n
      • L n
      • L n
      • L n −1 u i
      • 1 . . . u i k +2 [u i k , u i k +1 ] . . . u i nL n
      • L n

        u i 1 . . . u i k [u i k +1 , u i k +2 ] . . . u i n .

        −1

        u i 1 . . . [u i k , u i k +2 ]u i k +1 . . . u i n +

        −1

        u i 1 . . . u i k [u i k +1 , u i k +2 ] . . . u i n = L n u i 1 . . . u i k +2 u i k +1 u i k . . . u i n +

        −1

        u i 1 . . . [u i k , u i k +2 ]u i k +1 . . . u i n +

        −1

        − 2 defeitos, use (#) para o par (i k , i k +1 )

        | {z } d

        u i 1 . . . u i k [u i k +1 , u i k +2 ] . . . u i n = L n u i 1 . . . u i k +2 u i k u i k +1 . . . u i n

        −1

        − 1 defeitos, use (#) para o par (i k , i k +2 )

        | {z } d

        , i k

        ) para definir L n (u i 1 . . . u i n ): L n (u i 1 . . . u i n ) = L n u i 1 . . . u i k u i k +2 u i k +1 . . . u i n

        Usando o par (i k

        u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ]u i k +2 . . . u i n .

        −1

        u i 1 . . . u i k +1 [u i k , u i k +2 ] . . . u i n +

        −1

        u i 1 . . . [u i k +1 , u i k +2 ]u i k . . . u i n +

        −1

        )

        | {z } d − 2 defeitos, use (#) para o par (i k +1 , i k +2

        u i 1 . . . [u i k , u i k +1 ]u i k +2 . . . u i n = L n u i 1 . . . u i k +1 u i k +2 u i k . . . u i n

        −1

        )

        | {z } d − 1 defeitos, use (#) para o par (i k , i k +2

        3.3. Teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt 155 L n (u i 1 . . . u i n ) = L n u i 1 . . . u i k +1 u i k u i k +2 . . . u i n

        Subtra´ımos as duas express˜ oes para L n (u i 1 . . . u i n ), e esperamos que o

        156 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal com: L n u i . . . u i [u i , u + i ] . . . u i

        −1 1 k +2 k k +1 n

      • L + n −1 u i . . . [u i , u i ]u i . . . u i 1 k k +2 k +1 n 1 k k +1 k +2 n
      • L n −1 u i . . . u i [u i , u i ] . . . u i − L n u + i . . . [u i , u i ]u i . . . u i

        −1 1 k +1 k +2 k n

      • − L n u i . . . u i [u i , u i ] . . . u i

        −1 1 k +1 k k +2 n

        − L n u i . . . [u i , u i ]u i . . . u i

        −1 1 +1 +2 k k k n

        = L + n u i . . . u i , [u i , u i ] . . . u i

        −1 1 +1 +2 k k k n

      • L n u i . . . u i , [u i , u i ] . . . u i

        −1 1 +2 +1 k k k n

        L n u i . . . u i , [u i , u i ] . . . u i

        −1 1 k +1 k +2 k n = L n u i . . . −1 1

        u i , [u i , u i ] u i , [u + i , u i ] u + i , [u i , u i ] k k +1 k +2 k +1 k +2 k k +1 k +2 k . . . u i n = 0 .

        Nessa etapa, usamos a identidade de Jacobi.

        ⊗n ∞

        Com isso, a fam´ılia de transforma¸c˜ oes lineares {L n : V → T (g)} n

        =0

        fica bem definida, e satisfaz (∗) e (∗∗) para todo n ≥ 0. Extra´ımos, usando a propriedade universal da soma direta, uma transforma¸c˜ ao linear L : T (g) → T (g) . As condi¸c˜ oes (∗) e (∗∗), ent˜ao, implicam os requisitos do enunciado do lema.

        Vamos ` a prova do teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt. Demonstra¸c˜ ao do teorema (PBW) Precisamos mostrar que as clas-

        

        ses dos monˆ omios padr˜ u i . . . u i ∈ U(g) formam uma base para U (g) 1 n . 4 A classe u i . . . u i + I ´ e denotada, aqui, como u i . . . u i ∈ U (g) por simplicidade 1 n 1 n

        3.3. Teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt 157 (Geram o espa¸co:) Pelo lema os monˆ omios padr˜ao geram U (g). (S˜ ao LI:) Para mostrar a independˆencia linear, usaremos o lema Esse lema nos garante a existˆencia de uma transforma¸c˜ ao linear L : T (g) → T (g) que ´e a identidade quando atua nos monˆomios padr˜ao e ´e tal que:

        3. se i k > i k +1 , tem-se L(u i . . . u i u i . . . u i ) = L(u i . . . u i u i . . . u i ) 1 +1 n k k k k 1 +1 n + L(u i . . . [u i , u i ] . . . u i ) . 1 +1 k k n

        Iremos mostrar que: Afirma¸ c˜ ao: L se anula no ideal I ⊆ T (g). Prova da afirma¸c˜ ao. Para qualquer elemento da forma u = u i . . . u i u i − u i u i − [u i , u i ] . . . u i , 1 k k +1 k +1 k k k +1 n temos

        L(u) = 0 . De fato se i k = i k , temos u = u i . . . (0) . . . u i e L(u) = 0.

      • 1 1 n

        Se i k > i k , usamos o item 3. do lema no termo u i . . . u i u i . . . u i

      • 1 1 k k +1 n

        e temos: 1 k k +1 n + L(u) = L u i . . . u i u i . . . u i − L u + i . . . u i u i . . . u i 1 k +1 k n

        − L u i . . . [u i , u i ] . . . u i 1 k k +1 n = 0 . De forma an´ aloga, se i k < i k , usamos item 3. do lema no termo

      • 1

        u i . . . u i u i . . . u i e temos: 1 k +1 k n L(u) = L u i . . . u i u i . . . u + i 1 k k +1 n

        − L u + i . . . u i u i . . . u i 1 +1 k k n

      • L u i . . . [u i , u i ] . . . u i
      • 1 k +1 k n = 0 .

          Portanto, em qualquer caso, L(u) = 0. Por fim, qualquer elemento de I

          158 Cap´ıtulo 3. ´ Algebras de Lie e envolt´orio universal x e y na base de T (g) formada pelos monˆ omios da forma u i . . . u i (n˜ ao 1 n necessariamente com ´ındices ordenados) e fazendo o mesmo para a, b na base de g formada pelos u i ’s, temos uma combina¸c˜ao linear de elementos da forma u mencionada acima. Portanto, obtemos L x(ab − ba − [a, b])y = 0 y e L(I) = 0.

          T (g)

          Dessa forma, podemos usar a propriedade universal do quociente = I

          Como L ´e a iden-

          tidade se aplicada a monˆ omios padr˜ ao, o mesmo vale para L. Portanto uma combina¸c˜ ao linear nula de monˆ omios padr˜ ao em U (g) resulta numa combina¸c˜ ao linear nula de monˆ omios padr˜ ao em T (g), e como os monˆ omios padr˜ ao s˜ao LI nesse espa¸co (s˜ao parte da base do espa¸co), temos que todos os coeficientes da combina¸c˜ ao s˜ao nulos. Portanto os monˆomios padr˜ao s˜ao LI em U (g).

          5

        4 Cap´ıtulo

          

        Bi´ a lgebras conexas e o teorema

        de Milnor-Moore

          Neste cap´ıtulo estudaremos alguns tipos especiais de bi´algebras: as bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao e as conexas com gradua¸c˜ ao. Estas bi´al- gebras tˆem a caracter´ıstica de admitirem uma “decomposi¸c˜ao” em subes- pa¸cos componentes; no caso da bi´ algebra com filtra¸c˜ ao, essa decomposi¸c˜ ao

          ´e uma uni˜ ao enumer´ avel e no caso da gradua¸c˜ ao, ´e uma soma direta de subespa¸cos. Essas decomosi¸c˜ oes devem ser compat´ıveis com a estrutura de bi´ algebra.

          A estrutura de filtra¸c˜ ao e de gradua¸c˜ ao trazem algumas propriedades novas ` a bi´ algebra. Veremos na se¸c˜ ao que uma bi´algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´e automaticamente uma ´ algebra de Hopf. E com rela¸c˜ ao `a filtra¸c˜ ao, na se¸c˜ ao veremos que uma bi´ algebra conexa com filtra¸c˜ ao, sob certas hip´ oteses (cocomutatividade e corpo de caracter´ıstica nula) tamb´em

          ´e uma ´ algebra de Hopf; e ´e, na verdade, isomorfo `a ´algebra de Lie dos seus elementos primitivos. Este ´e o resultado do teorema de Milnor-Moore.

          Pelo fato de a filtra¸c˜ ao e a gradua¸c˜ ao serem uma esp´ecie de decom- posi¸c˜ ao da bi´ algebra em uni˜ ao ou soma enumer´ avel de subespa¸cos, temos

          160 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore

        4.1 Bi´ algebras conexas com gradua¸c˜ ao

          Uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´e uma bi´algebra com uma estru- tura extra: ela admite uma certa decomposi¸c˜ ao em soma direta enumer´avel de subespa¸cos. Nesta se¸c˜ ao, veremos a defini¸c˜ ao, alguns exemplos e pro- priedades que ser˜ ao necess´ arias nas pr´ oximas se¸c˜ oes.

          Defini¸ c˜ ao 4.1.1. Seja B uma bi´ algebra. Dizemos que B ´e uma bi´ alge- bra conexa com gradua¸c˜ ao se admitir uma decomposi¸c˜ao em uma fam´ılia i ∞ {B } de subespa¸cos n˜ ao nulos de B, chamada gradua¸c˜ ao, tal que: i =0

          1. B = K · 1 B ;

          ∞

          M

          2. B = B i ; i

          =0

          3. B n B m ⊆ B m , ∀m, n ≥ 0 ; n +n X 4. ∆(B n ) ⊆ B n ⊗ B l , ∀n ≥ 0 . l =0 −l

          Exemplo 4.1.2 ( ´ Algebra tensorial T (V )). A ´ algebra tensorial T (V ) ´e

          

          ´ uma ´ algebra de Hopf. E tamb´em conexa, com gradua¸c˜ ao dada p

          ⊗n ∞

          {V } . De fato, as propriedades da gradua¸c˜ ao s˜ao vistas abaixo: n

          =0 ⊗0

          1. V = K1 ;

          T (V ) ∞

          M

          ⊗n

          2. T (V ) = n V ;

          =0 ⊗n ⊗m ⊗(m+n)

          3. V ⊗ V ⊆ V , ∀m, n ≥ 0, j´ a que (v ⊗ . . . v n ) ⊗ (w ⊗ w m ) = v ⊗ . . . v n ⊗ w ⊗ w m ; 1

          1

          1

          1 ⊗ n n

          1 Aqui os subespa¸cos considerados s˜ ao as inclus˜ oes i (V ), mas s˜ ao denotados ⊗ n V

        • 1
        • 1

          

          ) ⊗ (v σ

          (k+1)

          . . . v σ

          (n)

          ) ∈ n

          X k

          =0

          V

          ⊗k

          ⊗ V

          ⊗n−k

          , em que S n,k ´e o conjunto de permuta¸c˜ oes σ do conjunto {1, . . . , n} tais que σ(1) < · · · < σ(k) e σ(k + 1) < · · · < σ(n) (σ ´e uma permuta¸c˜ ao do tipo “shuffle”

          Exemplo 4.1.3 ( ´ Algebra sim´etrica S(V )). Munimos o espa¸co vetorial V com a ´ algebra de Lie trivial, dada pelo colchete nulo. A ´algebra sim´etrica S(V ) ´e a ´ algebra envolvente universal dessa ´ algebra de Lie, e portanto ´e uma ´ algebra de Hopf. Essa ´ algebra ´e comutativa. Veremos que tamb´em admite uma gradua¸c˜ ao, dada pelo grau dos monˆomios de S(V ).

          . . . v σ

          Defina S n (V ) como o subespa¸co gerado pelos monˆ omios de grau n. Mostraremos as propriedades da gradua¸c˜ ao:

          1. S (V ) = K1

          S(V )

          ;

          2. S n (V ) =

          ∞

          M n =0 S n (V ).

          De fato, seja {v i } i ∈I uma base ordenada para V . Pelo teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt, a base PWB de S(V ) ´e formada por elemen- tos do tipo v i 1 . . . v i n , i

          1 ≤ . . . ≤ i n .

          Afirmamos que para n ∈ N, o conjunto β n = {v i 1 . . . v i n , i

          1

          ≤ . . . ≤ i n } ´e base para S n (V ). De fato, sabemos que β n ´e LI, e resta apenas mostrar que gera o subespa¸co. Seja s

          (k)

          (1)

          4.1. Bi´ algebras conexas com gradua¸c˜ ao 161 4. ∆(V

          ) . . . ∆(v n ) = (v

          ⊗n

          ) ⊆ n

          X l

          =0

          V

          ⊗(n−l)

          ⊗ V

          ⊗l

          , ∀n ≥ 0 , pois ∆(v

          1

          ⊗ . . . ⊗ v n ) = ∆(v

          1

          1

          (v σ

          ⊗ 1

          K

          K

          ⊗ v

          1

          ) . . . (v n ⊗ 1

          K

          K

          ⊗ v n ) = n

          X k

          =0

          X σ

          ∈S n,k

          1 . . . s n um monˆ omio de grau n 2 Se k = 0 ou k = n, o conjunto de permuta¸c˜ oes S n,k s´ o tem uma permuta¸c˜ ao, a identidade. O termo (v σ (1) . . . v σ (k) ) ⊗ (v

        σ

        (k+1) . . . v σ (n) ) fica igual a 1 K ⊗ (v 1 . . . v n ) . . . v n

          162 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore n em S (V ). Escrevendo cada s j na base de V , temos

          X s . . . s n = a i ...i v i . . . v i ,

          1

        i ,...,i

        1 n

        1 n 1 n em que a i ...i ∈ K s˜ao escalares. 1 n

          Podemos comutar os elementos de v i . . . v i at´e obter uma ordena¸c˜ ao 1 n em que v i . . . v i = v i . . . v i com i σ ≤ . . . ≤ i σ . Com isso, 1 n σ (1) σ (n) (1) (n) n v i . . . v i est˜ ao no conjunto β n , e portanto β n gera S (V ) como 1 n espa¸co vetorial. Em consequˆencia disso, e dos β n ’s serem dois a dois

          ∞

          M n disjuntos, temos S(V ) = S (V ). n

          =0 n m

          3. Como no exemplo anterior, da ´ algebra tensorial, S (V ) · S (V ) = n +m S (V ). n n k n

          X

          −k

          4. Verificamos que ∆ S (V ) ⊆ ⊗S (V )⊗S (V ), por uma conta k

          

        =0

        parecida com a do exemplo da ´ algebra tensorial. ∞

          M Proposi¸ c˜ ao 4.1.4. Seja B = n V n uma bi´ algebra conexa que admite

          =0

          gradua¸c˜ ao. Ent˜ ao 1. ε anula V n para todo n ≥ 1 ;

          2. Para x ∈ V n , temos n

          −1

          X X

          ′ ′′

          ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x + x ⊗ x , j i j,i j,i j j

          =1 j ′ ′′

          em que x ∈ V j e x ∈ V n . j,i j,i −j j j Demonstra¸c˜ ao. n

          1. Se fosse falso, ter´ıamos um n ≥ 1 minimal tal que ε(V ) 6= 0. Seja x ∈ V n com ε(x) 6= 0. Pela compatibilidade da gradua¸c˜ao em rela¸c˜ ao P n ao coproduto (∆(B n ) ⊆ B n ⊗ B l ), temos l −l

          =0

          X

          ′ ′′ ′ ′′

        • ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x x ⊗ x , j j j

          P P n −1

          ′ ′′ ′ ′′

          com x , x ∈ B n e x ⊗ x ∈ B i ⊗ B n . Note que B i ⊆ j i =1 j j −i

          4.2. Uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´e Hopf 163 Aplicando Id ⊗ ε, (omitindo isomorfismo B ⊗ K ∼

          = B) temos:

          ′ ′′ x = (Id ⊗ ε) ◦ ∆(x) = x + 1 B ε(x ) .

          ′

          Ent˜ ao, como a soma dos subespa¸cos B k ’s ´e direta, temos x = x e

          ′′ ε(x ) = 0.

          ′′ ′

          Fazendo a mesma coisa para ε ⊗ Id, temos x = x e ε(x ) = 0. Dessa

          ′ ′′

          forma, temos x = x = x e ε(x) = 0, uma contradi¸c˜ao. Portanto ε(V n ) = 0 para todo n ≥ 1. n P 2. Dado x ∈ B n com n ≥ 1, temos ∆(x) ∈ ∆(B n ) ⊆ B n ⊗ B l . l −l

          =0

          Portanto n

          −1

          X X

          ′ ′′ ′ ′′

        • ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x x ⊗ x , j i j,i j,i j j

          =1 j ′ ′′ ′ ′′

          em que x ∈ B j e x ∈ B n e x , x ∈ B n . Aplicando Id ⊗ ε e j,i j,i −j j j ε ⊗ Id dos dois lados, obtemos

          

          x = x ε(1 B ) + 0

          ′′ x = ε(1 B )x + 0 . ′ ′′ Logo x = x = x .

          

        4.2 Uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´ e

        Hopf

          Nesta se¸c˜ ao, mostraremos que uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ao admite, automaticamente, uma ant´ıpoda. Portanto ´e uma ´algebra de Hopf. ´

          E dada uma f´ ormula recursiva para o c´ alculo da ant´ıpoda. Tamb´em temos, como corol´ ario, que essa ant´ıpoda ´e invers´ıvel com rela¸c˜ ao `a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes. Teorema 4.2.1. Seja B uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao. Ent˜ ao B tem uma ant´ıpoda e portanto ´e uma ´ algebra de Hopf. A ant´ıpoda S : B → B

          ´e dada recursivamente por: S(1 B ) = 1 B n

          −1

          X X

          ′ ′′

          S(x) = −x − S(x )x j i j,i j,i j j n −1 =1 j

          X X

          ′ ′′

          = −x − x j,i S(x j,i ) , ∀x ∈ B n , j j

          164 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore em que temos n ≥ 1, n

          −1

          X X

          ′ ′′

          ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x + x ⊗ x , j i j,i j,i j j

          =1 j ′ ′′

          e, ainda, x ∈ B j , x ∈ B n −j . j,i j,i j j

          ∞

          Demonstra¸c˜ ao. Seja {B n } uma gradua¸c˜ ao para B. Defina as transfor- n

          =1 (l) (r)

          ma¸c˜ oes lineares S n , S n : B n → B indutivamente por:

          (l)

          S (1 B ) = 1 B n −1

          X X

          (l) (l) ′ ′′

          S n (x) = −x − S (x j,i )x j,i , ∀x ∈ B n j i j j j

          =1 j (r)

          S (1 B ) = 1 B n

          −1

          X X

          (r) (r) ′ ′′

          S (x) = −x − x S (x ) , ∀x ∈ B n , n j,i n j,i j i j −j j

          =1 j

          sendo que n

          −1

          X X

          ′ ′′

          ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x + x ⊗ x j i j,i j,i j j

          =1 j ′ ′′

          com x ∈ B j e x ∈ B n −j . j,i j,i j j Afirma¸ c˜ ao: Temos, para n ≥ 1: n

          −1

          X

          

        (l)

        (l)

          S = − µ ◦ (S ◦ p k ) ⊗ Id ◦ ∆ n k =0 n k

          −1

          X

          (r) (r)

          S = − µ ◦ Id ⊗ (S ◦ p k ) ◦ ∆ , n k =0 k n n (l) (r) com p k : B → B k proje¸c˜ ao canˆ onica. Portanto, S e S est˜ ao bem definidas.

          4.2. Uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao ´e Hopf 165 temos:

          S (l) n (x) = −x − n− 1 X j =1 X i j S (l) j (x j,i j )x ′′ j,i j = −1 B x − n− =1 1 X j X i j S (l) j p j (x j,i j

        ) x

        ′′ j,i j = −S (l) p (1 B ) x − n− =1 1 X j X i j S (l) j

        p

        j (x j,i j ) x ′′ j,i j = −S (l) p

          (1 B ) x − n− 1 X j =1 X i j n−

        =1

        1

        X k S (l) k p k (x j,i j ) ! x ′′ j,i j = − S (l) ◦ p (1 B ) x − n− =1 1 X k n− =1 1 X j

        X

        i

        j

        S (l) k ◦ p k (x j,i j ) x ′′ j,i j = −µ  S (l) ◦ p (1 B ) ⊗ x + n−

        =1

        1

        X k n− =1 1 X

        j

        X i j S (l) k ◦ p k (x j,i j ) ⊗ x ′′ j,i j = −µ ◦ n− 1 X k =0 (S (l) k ◦ p k ) ⊗ Id !

          

        1

        B ⊗ x

        • n−
        • 1 X j =1 X i j x j,i j ⊗ x ′′ j,i j x∈B n =

            − µ ◦ n− =0 1 X k (S (l) k ◦ p k ) ⊗ Id !

           x ⊗

            1 B + 1 B ⊗ x

          • n−
          • =1 1 X j X i j x j,i j ⊗ x ′′ j,i j = − n− =0 1 X k µ ◦

              (S (l) k ◦ p k ) ⊗ Id

              ◦ ∆(x) , S (r) n (x) = −x − n− =1 1 X j X i j x j,i j S (r) n−j (x ′′ j,i j )

              = −x1 B − n− =1 1 X j X i j x j,i j S (r) n−j

            p n−j (x

            ′′ j,i j ) = −xS (r) p (1 B ) − n− =1 1 X j X i j x j,i

            j

            S

            (r) n−j p n−j (x ′′ j,i j ) = −xS (r) p

              (1 B ) − n− 1 X j =1 X i j x j,i

            j

            n− =1 1 X

            k

            S (r) k p k (x ′′ j,i j ) = −x S (r) ◦ p (1 B ) − n− 1 X n− 1 X X x j,i j S (r) k ◦ p k (x ′′ j,i j )

            • n−
            • 1 X j =1 X i j x j,i j ⊗ x ′′ j,i j = − n− =0 1 X k µ ◦

                (x) + x +

                ′′ j,i j

                 

                = S

                (l)

                (x) + x +

                X j

                X i j S

                (l)

                (x

                

              j,i

              j

                )x

                ′′ j,i j

                = S

                (l) n

                X j

                ′ j,i j

                ⊗ Id) ◦ ∆(1 B ) = µ ◦ (S

                ´e a ant´ıpoda ` a esquerda de B. y

                

              (l)

                ⊗ Id) ◦ ∆ = η ◦ ε, e S

                (l)

                Assim, µ ◦ (S

                (l) ⊗ Id)(1 B ⊗ 1 B ) = 1 B = ε(1 B )1 B .

                (l)

                X i j S

                = 0 = ε(x)1 B , µ ◦ (S

                ′′ j,i j

                )x

                

              j,i

              j

                (x

                (l) j

                ⊗ x

                X i j x

                166 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore

                Dessa forma, as S

                , S

                (l)

                y Defina os mapas S

                (r) n ’s est˜ ao bem definidas.

                ’s e as S

                (l) n

                ◦

              ∆(x) .

                : B → B pela propriedade universal da soma direta: S

                Id ⊗ (S (r) k ◦ p k )

                1 B + 1 B ⊗ x

                − µ ◦ n− =0 1 X k Id ⊗ (S (r) k ◦ p k ) !

               x ⊗

                1 B + n− =1 1 X j X i j x j,i j ⊗ x ′′ j,i j x∈B n =

                S (r) k ◦ p k (x ′′ j,i j ) = −µ ◦ n− =0 1 X k Id ⊗ (S (r) k ◦ p k ) !

               x ⊗

                = −µ  x ⊗ S (r) ◦ p (1 B ) + n− =1 1 X k

              n−

              =1 1 X

              j

              X i j x j,i j

                (r)

                (l)

                X j

                Afirma¸ c˜ ao: S

                ⊗ Id)   x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x +

                (l)

                ⊗ Id) ◦ ∆(x) = µ ◦ (S

                (l)

                Prova da afirma¸c˜ ao. Seja x ∈ B n com n ≥ 1. Temos: µ ◦ (S

                (l) ´e a ant´ıpoda ` a esquerda.

                (r) k (x k ) .

                ( P k x k ) =

                P k S

                ( P k x k ) =

                (r)

                (x k ) S

                (l) k

                P k S

                (r)

                4.3. Bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao 167 Prova da afirma¸c˜ ao. Seja x ∈ B n com n ≥ 1. Temos que:

                (r)

                µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆(x)  

                X X

                (r) ′ ′′

                  = µ ◦ (Id ⊗ S ) x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x + x ⊗ x j i j j,i j,i j j

                X X

                (r) ′ (r) ′′

                = x + S (x) + x S (x ) j i j j,i j,i j j

                X X

                (r) (r) ′ ′′

                = x + S (x) + x S (x ) n j,i j,i j i j j j n −j = 0 = ε(x)1 B ,

                (r) (r) µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆(1 B ) = µ ◦ (Id ⊗ S )(1 B ⊗ 1 B ) = 1 B = ε(1 B )1 B .

                (r) (r)

                y Portanto, µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆ = η ◦ ε, e S ´e a ant´ıpoda `a direita de B.

                

              (r) (l)

                Ent˜ ao B admite ant´ıpodas S e S a direita e `a esquerda, respecti- ` vamente. Como a ´ algebra de convolu¸c˜ ao de B ´e associativa, as ant´ıpodas ` a direita e ` a esquerda s˜ao iguais:

                

              (l) (l) (l) (r) (r) (r)

              S = S ∗ 1 = S ∗ Id ∗ S = 1 ∗ S = S .

                

              Hom(B,B) Hom(B,B)

              (r) (l)

                Portanto S = S = S ´e ant´ıpoda para B. Corol´ ario 4.2.2. Seja B uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao e que,

                −1

                portanto, ´e uma ´ algebra de Hopf. A ant´ıpoda S de B ´e invers´ıvel, e S ´e

                op cop a ant´ıpoda de B e de B .

                Demonstra¸c˜ ao. Aplicamos o teorema para a bi´algebra conexa com gradu-

                op ′ op

                a¸c˜ ao B , obtendo uma ant´ıpoda S para B . Pelas proposi¸c˜oes e

                ′ −1 ′

                temos S invers´ıvel com S = S . Tamb´em temos S ant´ıpoda para

                cop B .

              4.3 Bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao

                Para o restante do trabalho tamb´em precisaremos do conceito de co- nexidade por filtra¸c˜ ao de uma bi´ algebra. Diz-se que a bi´ algebra ´e conexa com filtra¸c˜ ao quando admite uma esp´ecie de decomposi¸c˜ ao da bi´ algebra,

                168 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Defini¸ c˜ ao 4.3.1. Seja B uma bi´ algebra. Dizemos que B ´e conexa com

                

                filtra¸c˜ ao se existir uma fam´ılia {B i } de subespa¸cos vetoriais de B, com i

                

              =0

                B n ( B n , chamada filtra¸c˜ ao, tal que:

              • 1

                1. B = K · 1 B ;

                ∞

                [

                2. B = B i ; i =0

                3. B n B m ⊆ B m , ∀m, n ≥ 0; n +n X 4. ∆(B n ) ⊆ B n ⊗ B l , ∀n ≥ 0. l =0 −l

                L

                ∞ ′

                Observa¸c˜ ao 4.3.2. Uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ ao B = B n n

                =0

                L n

                ′

                tamb´em ´e conexa com filtra¸c˜ ao. A mesma ´e dada por B n = B , e k k n =0 S ∞ L

                ′ temos B = B . n k k =0 =0

                Exemplo 4.3.3 ( ´ Algebra envolvente universal). Seja g uma ´algebra de Lie. A ´ algebra envolvente universal de g, denotada por U (g) ´e uma ´algebra de Hopf. Tamb´em ´e conexa com filtra¸c˜ ao:

                U n = span({g . . . g m | m ≤ n, g , . . . , g m ∈ g} ∪ {1 }) .

                1

                1 K ∞

                De fato, U = K1 e U (g) = ∪ U n . Al´em disso, o produto ´e compa-

                U (g) n

              =0

                t´ıvel com a filtra¸c˜ ao, pois U n U m ⊆ U m . Resta checar que o coproduto ´e

              • n

                compat´ıvel com a filtra¸c˜ ao, o que ocorre pois ∆(g . . . g n ) =(g ⊗ 1 + 1 ⊗ g ) · · · (g n ⊗ 1 + 1 ⊗ g n )

                1 n

              1 K K

                1 K K

                X X = (g σ . . . g σ ) ⊗ (g σ . . . g σ ) k σ (1) (k) (k+1) (n) =0 ∈S n n,k

                X ∈ U k ⊗ U n k

              −k

              =0 em que S n,k ´e o conjunto de permuta¸c˜ oes σ do conjunto {1, . . . , n} tais que σ(1) < · · · < σ(k) e σ(k + 1) < · · · < σ(n) (σ ´e uma permuta¸c˜ ao do

                 3 Se k = 0 ou k = n, o conjunto de permuta¸c˜ oes S n,k s´ o tem uma permuta¸c˜ ao, a

              identidade. O termo (g . . . g ) ⊗ (g . . . g ) fica igual a 1 ⊗ (g . . . g n )

              σ σ σ σ (1) (k) (k+1) (n) K 1 . . . g n

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 169 Exemplo 4.3.4 ( ´ Algebra sim´etrica). Seja V um espa¸co vetorial. S(V ) ´e a ´ algebra sim´etrica (´ algebra livre comutativa, associativa e com unidade, ou ainda, ´ algebra polinomial) gerada por V . Tamb´em podemos olhar para S(V ) como sendo a ´ algebra envolvente universal U (V ), com V sendo con- siderado como ´ algebra de Lie com colchete trivial ([v, w] := 0, ∀v, w ∈ V ).

                Sendo uma ´ algebra envolvente universal de uma ´algebra de Lie, ´e co- nexa com filtra¸c˜ ao, conforme o exemplo anterior.

              4.4 Teorema de Milnor-Moore

                O teorema de Milnor-Moore nos diz que uma bi´algebra conexa com filtra¸c˜ ao B, sob certas hip´ oteses, pode ser recuperada a partir da ´algebra de Lie dos seus elementos primitivos por meio do recobrimento universal. Em s´ımbolos, B ∼ = U P(V ) como bi´ algebras. Como consequˆencia disso, B ´e uma ´ algebra de Hopf, com ant´ıpoda herdada da ´algebra de Hopf U P(V ) .

                Come¸caremos enunciando alguns lemas e proposi¸c˜ oes que nos ajudar˜ao a provar o teorema de Milnor-Moore. O primeiro lema ´e consequˆencia da compatibilidade da filtra¸c˜ ao com o coproduto da bi´algebra.

                ∞

                [ Lema 4.4.1. Seja B = B n uma bi´ algebra conexa com filtra¸c˜ ao. Seja n

                =0

                a ∈ B n . Ent˜ ao: ∆(a) = a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a + x em que x ∈ B n −1 ⊗ B n −1 . Em particular, B

                1 ⊆ K1 B ⊕ P(B), em que P(B) ´e a ´ algebra de Lie dos elementos primitivos de B.

                Demonstra¸c˜ ao. A filtra¸c˜ ao de B ´e compat´ıvel com a estrutura de bi´algebra, P n ent˜ ao ∆(a) ∈ B k ⊗ B n ⊆ B n ⊗ B + B ⊗ B n + B n ⊗ B n . k =0 −k −1 −1 Portanto ∆(a) = b ⊗ 1 B + 1 B ⊗ c + y, com b, c ∈ B n e y ∈ B n ⊗ B n .

                −1 −1

                Agora note que, usando a propriedade da counidade, temos a = (Id ⊗ ε)(∆(a)) = bε(1 B ) + 1 B ε(c) + (Id ⊗ ε)(y) = b + ε(c)1 B + (Id ⊗ ε)(y) ,

                | {z }

                ∈B n− 1

                a = (ε ⊗ Id)(∆(a)) = ε(b)1 B + ε(1 B )c + (ε ⊗ Id)(y) = c + ε(b)1 B + (ε ⊗ Id)(y) .

                | {z }

                170 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Assim, b − a, c − a ∈ B n . Ent˜ ao:

                −1

                ∆(a) = b ⊗ 1 B + 1 B ⊗ c + y = a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a + (b − a) ⊗ 1 B + 1 B ⊗ (c − a) + y = a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a + x , com x = (b − a) ⊗ 1 B + 1 B ⊗ (c − a) + y ∈ B n −1 ⊗ B n −1 .

              • Para a outra parte do lema, temos que a ∈ B implica ∆(a) = a ⊗ 1 B

                1

                1 B ⊗ a + λ(1 B ⊗ 1 B ), para algum λ ∈ K. Portanto ∆(a + λ1 B ) = ∆(a) + λ∆(1 B )

                = a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a + λ(1 B ⊗ 1 B ) + λ(1 B ⊗ 1 B ) = (a + λ1 B ) ⊗ 1 B + 1 B ⊗ (a + λ1 B ) , e a + λ1 B ´e um elemento primitivo. Assim, a = −λ1 B + a + λ1 B ∈

                K

                1 B ⊕ P(B). A soma ´e direta porque K1 B ∩ P(B) = 0. De fato, se λ1 B ∈ P(B), ent˜ao ∆(λ1 B ) = (λ1 B ) ⊗ 1 B + 1 B ⊗ (λ1 B ) e ∆(λ1 B ) = λ(1 B ⊗ 1 B ). Subtraindo, 0 = λ(1 B ⊗ 1 B ), e λ = 0, e obtemos o desejado.

                Iremos introduzir uma nota¸c˜ ao auxiliar. Removeremos o termo a ⊗

                ′

                1 B + 1 B ⊗ a do ∆ original, obtendo uma fun¸c˜ ao coassociativa ∆ , mas que n˜ ao respeita o axioma da counidade, nem ´e morfismo de ´algebras. Defini¸ c˜ ao 4.4.2. Dado a ∈ B, com B bi´ algebra conexa com filtra¸c˜ ao, pomos:

                ′ ∆ (a) := ∆(a) − a ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a .

                Definimos tamb´em:

                ′

                B := ker(ε)

                ′ B := B n ∩ ker(ε) . n

              ′ ′

                Observa¸c˜ ao 4.4.3. ∆ (1 B ) = −1 B ⊗ 1 B , portanto ∆ n˜ao ´e morfismo de algebras. ´ Observa¸c˜ ao 4.4.4. Se tentarmos verificar o axioma da counidade, teremos

                ′

                (ε ⊗ Id)(∆ (a)) = (ε ⊗ Id)(∆(a) − a ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a) = a − ε(a)1 B − a1 = −ε(a)1 B ,

                K ′

                e de forma an´ aloga, (ε ⊗ Id)(∆ (a)) = −ε(a)1 B , de modo que n˜ ao vale a propriedade da counidade.

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 171 Observa¸c˜ ao 4.4.5. Um elemento a ∈ B ´e primitivo se e somente se pertence

                ′ ao n´ ucleo de ∆ .

                Proposi¸ c˜ ao 4.4.6.

                ′

                1. ∆ ´e coassociativo;

                ′ 2. ∆ ´e cocomutativo se ∆ o for.

                Demonstra¸c˜ ao.

                1. Seja a ∈ B. Temos:

                ′ ′

                (∆ ⊗ Id)(∆ (a))

                ′

                =(∆ ⊗ Id)(a ⊗ a − a ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a)

                (1) (2)

                =a ⊗ a ⊗ a − a ⊗ 1 B ⊗ a − 1 B ⊗ a ⊗ a

                (1)(1) (1)(2) (2) (1) (2) (1) (2)

                − a ⊗ a ⊗ 1 B + a ⊗ 1 B ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ 1 B ⊗ a ,

                (1) (2) ′ ′

                (Id ⊗ ∆ )(∆ (a))

                ′

                =(Id ⊗ ∆ )(a ⊗ a − a ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a)

                (1) (2)

                =a ⊗ a ⊗ a − a ⊗ a ⊗ 1 B − a ⊗ 1 B ⊗ a

                (1) (2)(1) (2)(2) (1) (2) (1) (2) + a ⊗ 1 B ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a ⊗ a + 1 B ⊗ a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ 1 B ⊗ a .

                

              (1) (2)

              ′ ′ ′ ′

                Portanto (Id ⊗ ∆ )(∆ (a)) = (∆ ⊗ Id)(∆ (a)).

                2. Seja a ∈ B. Como ∆ ´e cocomutativo,

                ′

                τ ◦ ∆ (a) = τ (∆(a) − a ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a) = ∆(a) − 1 B ⊗ a − a ⊗ 1 B

                ′ = ∆ (a) .

                ′ A proposi¸c˜ ao a seguir refere-se ` a uma esp´ecie de proje¸c˜ ao de B em B . ′

                Uma consequˆencia que ser´ a usada se refere ao fato de o ∆ aplicado nos

                ′ ′ ′ B “baixar o grau”, recaindo em B ⊗ B . n n n −1 −1

                Proposi¸ c˜ ao 4.4.7. Seja π : B → B a proje¸c˜ ao π(a) = a−ε(a)1 B . Ent˜ ao:

                ′ (π ⊗ π) ◦ ∆ = ∆ ◦ π .

                Em particular, temos:

                ′ ′ ′ ′ ∆ (B ) ⊆ B ⊗ B . n n n −1 −1

                172 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore

                ′

                Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, note que a imagem de π cai em B = ker(ε). De fato, dado a ∈ B, temos ε(π(a)) = ε(a−ε(a)1 B ) = ε(a)−ε(a) =

                0.

                ′ ′ ′

                Tamb´em note que π ´e sobrejetiva, pois dado a ∈ B , temos ε(a ) = 0

                ′ ′ ′ ′ e a = a − ε(a )1 B = π(a ) ∈ Im(π).

                Seja a ∈ B. Ent˜ ao: (π ⊗ π)(∆(a)) = (π ⊗ π)(a ⊗ a )

                (1) (2)

                = (a − ε(a )1 B ) ⊗ (a − ε(a )1 B )

                (1) (1) (2) (2)

                = a ⊗ a + ε(a )ε(a )(1 B ⊗ 1 B )+

                (1) (2) (1) (2)

                − ε(a )1 B ⊗ a − ε(a )a ⊗ 1 B

                (1) (2) (2) (1)

                = ∆(a) + ε(ε(a )a )(1 B ⊗ 1 B )+

                (1) (2)

                − 1 B ⊗ ε(a )a − ε(a )a ⊗ 1 B

                (1) (2) (2) (1)

                = ∆(a) + ε(a)1 B ⊗ 1 B − 1 B ⊗ a − a ⊗ 1 B

                ′ ′

                = ∆ (a) − ε(a)∆ (1 B )

                ′

                = ∆ a − ε(a)1 B

                ′ = ∆ (π(a)) . ′

                Portanto (π ⊗ π) ◦ ∆ = ∆ ◦ π. Al´em disso,

                ′ ′ ′

                ∆ (B ) = ∆ ◦ π(B n ) = (π ⊗ π)(∆(B n )) n n !

                X

                ′ ′

                ⊆ (π ⊗ π) B n −l ⊗ B l = B ⊗ B , l n −1 n −1

                =0 pois π(B ) = π(K1 B ) = 0 e B k ⊆ B n −1 para k = 1, . . . , n − 1.

                A proposi¸c˜ ao a seguir fornece que a counidade ε anula os elementos primitivos. Isso ocorre em qualquer bi´ algebra, conforme o argumento a seguir. Proposi¸ c˜ ao 4.4.8. Para toda bi´ algebra B vale que P(B) ⊆ ker(ε). Demonstra¸c˜ ao. Para todo elemento primitivo a ∈ P(B) de uma bi´algebra

                B, temos ε(a) = 0, ou seja, a ∈ ker(ε). Isso porque ∆(a) = a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a e ε(a) = ε(aε(1 B ) + 1 B ε(a)) = ε(a) + ε(a), onde na primeira igualdade expandimos a pelo axioma da counidade. Ent˜ ao P(B) ⊆ ker(ε).

                Aqui voltamos a uma bi´ algebra conexa. Obtemos outra informa¸c˜ ao decorrente da existˆencia de uma filtra¸c˜ ao: que a counidade anula um certo

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 173

                ∞

                [ Lema 4.4.9. Seja B = B n uma bi´ algebra conexa. Ent˜ ao: n =0 B = B ⊕ ker(ε) = K1 B ⊕ ker(ε) .

                Em consequˆencia disso,

                ∞

                [

                ′ B = K1 + B B . n n =1

                Demonstra¸c˜ ao. De fato, provemos por indu¸c˜ ao em n que B n ⊆ K1 B ⊕ ker(ε). O caso n = 1 resulta do lema e de P(B) ⊆ ker(ε). Supomos como hip´ otese de indu¸c˜ ao que B n −1 ⊆ K ⊕ ker(ε). Para B n , temos que todo a ∈ B n pode ser escrito da forma a = (Id ⊗ ε)(∆(a))

                = (Id ⊗ ε)(a ⊗ 1 B + 1 B ⊗ a + x) = a + 1 B ε(a) + (Id ⊗ ε)(x) usando o axioma da counidade e o lema com x ∈ B n −1 ⊗ B n −1 .

                ′

                Temos que x := (Id ⊗ ε)(x) ⊆ B n ⊆ K1 B ⊕ ker(ε). Ent˜ao, aplicando ε

                −1

                em a, temos

                ′ ′

                ε(a) = ε(a) + ε(a) + ε(x ) =⇒ ε(a + x ) = 0

                ′ ′ e portanto a = (a + x ) − x ∈ K1 B ⊕ ker(ε).

                A soma ´e direta porque K1 B ∩ ker(ε) = 0, tendo em vista que λ1 B ∈ ker(ε) =⇒ ε(λ1 B ) = 0 =⇒ λ1 = 0 =⇒ λ = 0 =⇒ λ1 B = 0.

                K

                O pr´ oximo lema faz uso da ´ algebra sim´etrica S(V ). Mostra-se uma condi¸c˜ ao de injetividade para que um morfismo qualquer de co´ algebras com dom´ınio nas ´ algebras sim´etricas. A informa¸c˜ ao da injetividade de ℓ : S(V ) → B est´ a contida na injetividade em K ⊕ V apenas! Lema 4.4.10. Seja C uma co´ algebra. Se ℓ : S(V ) → C ´e um morfismo de co´ algebras cuja restri¸c˜ ao a K ⊕ V ´e injetiva, ent˜ ao ℓ ´e injetivo.

                L n k Demonstra¸c˜ ao. Considere a filtra¸c˜ ao de S(V ) dada por S n = S (V ), k

                =0 1 k

                em que S (V ) = K, S (V ) = V e S (V ) ´e o subespa¸co gerado pelos monˆ omios de grau k. Com essa filtra¸c˜ ao, S(V ) ´e uma bi´ algebra conexa. Vamos provar por indu¸c˜ ao em n que ℓ ´e injetiva em S n .

                1 O caso n = 1 vale por hip´ otese, j´ a que S = S (V ) ⊕ S (V ) = K ⊕ V .

                1

                174 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore ℓ ´e injetiva em S n mostrando que o n´ ucleo da restri¸c˜ ao a esse espa¸co ´e

              • 1 nulo.

                Seja x ∈ S n pertencente ao n´ ucleo de ℓ, ou seja, ℓ(x) = 0. Se fosse

              • 1

                x = λ1 B , ent˜ ao temos ℓ(x) = 0 =⇒ x = 0 automaticamente. Ent˜ao assumimos tamb´em que x 6= K1 B . Pelo lema temos que x ∈ ker(ℓ). Al´em disso:

                ′

                (ℓ ⊗ ℓ)(∆ (x)) =(ℓ ⊗ ℓ) ∆ (x) − x ⊗ 1 − 1 ⊗ x

                S(V ) S(V ) S(V ) S(V )

                =(ℓ ⊗ ℓ) ∆ (x) − ℓ(x) ⊗ ℓ(1 ) − ℓ(1 ) ⊗ ℓ(x)

                S(V ) S(V ) S(V )

                =(ℓ ⊗ ℓ) ∆ (x)

                S(V )

                =∆ C (ℓ(x)) =∆ C (0) = 0 .

                ′ ′ ′ ′

                Mas, pela proposi¸c˜ ao temos ∆ (S ) ⊆ S ⊗ S ⊆ S n ⊗ S n , n n n

              • 1 S(V ) ′ ′ ′

                portanto ∆ (x) ∈ S n ⊗ S n . Pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, ℓ ´e injetiva em

                S(V )

                S n , e isso implica que ℓ ⊗ ℓ ´e injetiva em S n ⊗ S n . De fato, ker(ℓ ⊗ ℓ) = S n ⊗ ker(ℓ) + ker(ℓ) ⊗ S n = 0, considerando ℓ restrita em S n .

                Ent˜ ao, temos:

                ′ ′

                (ℓ ⊗ ℓ)(∆ (x)) = 0 =⇒ ∆ (x) = 0 ,

                

              S(V ) S(V )

                e isso implica que x ´e primitivo, conforme a observa¸c˜ ao J´a que S(V ) = U (V ) (com o colchete de Lie nulo em V ), e como os elementos primitivos de uma ´ algebra envolvente universal s˜ao os pr´oprios elementos da ´ algebra de Lie, temos que x ∈ V . Portanto, lembrando que ℓ(x) = 0 e que ℓ ´e injetiva em S n , temos que x = 0. Dessa forma, ℓ ´e injetiva em S n +1 .

                A seguir temos um lema bastante interessante sobre a chamada aplica- ¸c˜ ao de simetriza¸c˜ ao, definida abaixo. Surpreendentemente, essa aplica¸c˜ ao ´e um isomorfismo de co´ algebras (apesar de n˜ ao ser morfismo de ´algebras).

                Lema 4.4.11. Seja g uma ´ algebra de Lie e K corpo de caracter´ıstica

                0. A aplica¸c˜ ao de simetriza¸c˜ ao ρ : S(g) → U(g), definida nos monˆ omios g

                1 . . . g n S(g) por

                X

                1 ρ(g

                

              1 . . . g n ) := g σ . . . g σ

              (1) (n)

                n! σ

                ∈S n

                ρ(1 ) := 1 ,

                K K

                ´e um isomorfismo de co´ algebras. S(g) ´e a ´ algebra sim´etrica de g, que aqui

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 175 Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, checamos que ρ est´a bem definida. Afirma¸ c˜ ao: ρ est´ a bem definida.

                

              T (g)

                Prova da afirma¸c˜ ao. Temos S(g) = , com I o ideal gerado pelos ele- I mentos ab − ba − [a, b] = ab − ba ∈ T (g). Usaremos a propriedade

                S(g) universal do quociente para mostrar a boa defini¸c˜ao. ′

                Seja ρ : T (g) → U(g) dada nos monˆ omios v := v . . . v n ∈ T (g) por

                1 X

                X

                1

                1

                ′ ρ (v . . . v n ) = v σ . . . v σ = σ(v) .

                1 (1) (n)

                n! n! σ σ

                ∈S ∈S n n Fazemos aqui um pequeno abuso de nota¸c˜ ao, escrevendo σ(v) = v . . . v . σ (1) σ (n) ′ ′

                Precisamos mostrar que I ⊆ ker(ρ ), isto ´e, que ρ anula I. De fato,

                ′

                basta mostrarmos que ρ anula elementos da forma v := v . . . v k (ab − ba)v k . . . v n , com n ≥ 2 e k ≤ n − 2 .

                1 +3

                Entendemos aqui que: k = 0 =⇒ v

                1 . . . v k (ab − ba)v k +3 . . . v n := (ab − ba)v 3 . . . v n

                k = n − 2 =⇒ v . . . v k (ab − ba)v k . . . v n := v . . . v n (ab − ba)

                1 +3 1 −2 n = 2 =⇒ v . . . v k (ab − ba)v k . . . v n := ab − ba . 1 +3

                Escreva v = x − y, com: x = x . . . x n := v . . . v k a b v k . . . v n

                1 1 +3 y = y . . . y n := v . . . v k b a v k . . . v n .

                1 1 +3

                Seja γ = (k + 1 k + 2) ∈ S n a permuta¸c˜ ao que troca k + 1 e k + 2. Temos, em todos os casos, que y = γ(x) . Portanto, temos

                ′ ′ ′

                ρ (v) = ρ (x) − ρ (y)

                X X

                1

                1 = σ(x) − σ(y) n! n! σ σ

                

              ∈S ∈S

              n n

                X X

                1

                1 = σ(x) − σ(γ(x)) n! n! σ σ

                

              ∈S ∈S

              n n

                X X

                1

                1 = σ(x) − σ(x) n! n! σ σ

                

              ∈S ∈S

              n n = 0 . ′

                y

                176 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Afirma¸ c˜ ao: ρ ´e morfismo de co´ algebras. Prova da afirma¸c˜ ao. Mostraremos que ρ preserva o coproduto e a couni- dade. (ρ preserva coproduto:)

                Note que para 1 ∈ S(g) vale:

                K (ρ ⊗ ρ) ◦ ∆ (1 ) = 1 ⊗ 1 = ∆ ◦ ρ(1 ) .

                S(g) K K K U (g) K

                Seja g . . . g n ∈ S(g) um monˆ omio. Calculamos:

                1

                (ρ ⊗ ρ) ◦ ∆ (g

                1 . . . g n ) S(g)

                = (ρ ⊗ ρ) (g

                1 ⊗ 1 + 1 ⊗ g 1 ) · · · (g n ⊗ 1 + 1 ⊗ g n ) K K K K

                  n

                X X  

                = (ρ ⊗ ρ) g σ . . . g σ ⊗ g σ . . . g σ k σ

              (1) (k) (k+1) (n)

              n =0 ∈S n,k

                X X = ρ(g σ . . . g σ ) ⊗ ρ(g σ . . . g σ ) k σ (1) (k) (k+1) (n) =0 ∈S n,k n

                X X

                X X

                1

                1 = g γ . . . g γ ⊗ g δ . . . g δ .

                (σ(1)) (σ(k)) (σ(k+1)) (σ(n)) k σ γ δ k! (n − k)! =0 ∈S ∈S ∈S n,k k n−k

                Tamb´em calculamos: ∆ ◦ ρ(g . . . g n )

                U (g)

                1

                !

                X

                1 = ∆ g ν . . . g ν

                U (g) (1) (n)

                n! ν

                ∈S n

                X

                1 = ∆ g ν . . . ∆ g ν

                U (g) (1) U (g) (n)

                n! ν

                ∈S n

                X

                1 = g ν ⊗ 1 + 1 ⊗ g ν · · · g ν ⊗ 1 + 1 ⊗ g ν

                (1) K K (1) (n) K K (n) ν n! ∈S n n

                X X

                X

                1 = g . . . g ⊗ g . . . g . ν (ς(1)) ν (ς(k)) ν (ς(k+1)) ν (ς(n)) n!

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 177 Seja k ∈ {0, . . . , n} fixo. Se k = 0 ou k = n, os termos

                X X

                X

                1

                1 g γ . . . g γ ⊗ g δ . . . g δ

                (σ(1)) (σ(k)) (σ(k+1)) (σ(n)) σ ∈S γ ∈S δ ∈S n,k k n−k k! (n − k)!

                X X

                1 g ν . . . g ν ⊗ g ν . . . g ν

                

              (ς(1)) (ς(k)) (ς(k+1)) (ς(n))

              ν ∈S ς ∈S n n,k n! correspondem, ambos, a

                X

                1 1 ⊗ g γ . . . g γ (k = 0)

                

              K (1) (n)

              γ ∈S n n!

                X

                1 g γ . . . g γ ⊗ 1 (k = n) .

                

              (1) (n) K

              γ n! ∈S n

                Consideramos, ent˜ ao, k ∈ {1, . . . , n − 1}. Vamos comparar os termos: g . . . g ⊗ g . . . g , σ ∈ S n,k , γ ∈ S k , δ ∈ S n γ (σ(1)) γ (σ(k)) δ (σ(k+1)) δ (σ(n)) −k com g ν . . . g ν ⊗ g ν . . . g ν , ν ∈ S n , ς ∈ S n,k .

                (ς(1)) (ς(k)) (ς(k+1)) (ς(n))

                Precisamos saber que rela¸c˜ ao existe entre estas permuta¸c˜ oes: Tipo 1: (γ × δ) ◦ σ, com σ ∈ S n,k , γ ∈ S k , δ ∈ S n ;

                −k Tipo 2: ν ◦ ς, com ν ∈ S n , ς ∈ S n,k .

                Escrevemos abaixo o n´ umero de permuta¸c˜ oes de cada tipo (contando re- peti¸c˜ oes, isto ´e, maneiras diferentes de se obter a mesma permuta¸c˜ao): n # Tipo 1: |S n,k | · |S k | · |S n −k | = · k! · (n − k)! = n! ; n k # Tipo 2: |S n | · |S n,k | = n! · . k

                Mostramos que cada permuta¸c˜ ao do tipo 1 pode ser obtida por exatamente n k permuta¸c˜ oes do tipo 2. De fato, seja (γ × δ) ◦ σ uma permuta¸c˜ ao do n tipo 1. Para qualquer uma das permuta¸c˜ oes ς ∈ S n,k , existe uma ´ unica k permuta¸c˜ ao ν ∈ S n tal que ν ◦ ς = (γ × δ) ◦ σ; ´e a permuta¸c˜ao dada por

                −1

                ν = (γ × δ) ◦ σ ◦ ς . Portanto, alcan¸camos uma dada permuta¸c˜ ao do tipo n 1 de exatamente maneiras diferentes usando permuta¸c˜ oes do tipo 2. E, k portanto, cada termo g γ . . . g γ ⊗g δ . . . g δ ´e alcan¸cado n (σ(1)) (σ(k)) (σ(k+1)) (σ(n))

                178 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Assim, podemos identificar:

                X X

                1 g ν . . . g ν ⊗ g ν . . . g ν

                (ς(1)) (ς(k)) (ς(k+1)) (ς(n)) ν ς n! ∈S n ∈S n,k

                X X

                X 1 n = g γ . . . g γ ⊗ g δ . . . g δ

                (σ(1)) (σ(k)) (σ(k+1)) (σ(n)) σ γ δ n! k ∈S ∈S ∈S n,k k n−k

                X X

                X

                1

                1 = g γ . . . g γ ⊗ g δ . . . g δ .

                (σ(1)) (σ(k)) (σ(k+1)) (σ(n)) σ γ δ k! (n − k)! ∈S ∈S ∈S n,k k n−k

                Isso implica na igualdade (ρ ⊗ ρ) ◦ ∆ (g

                1 . . . g n ) = ∆ ◦ ρ(g 1 . . . g n ) . S(g) U (g) Portanto (ρ ⊗ ρ) ◦ ∆ = ∆ ◦ ρ.

                S(g) U (g)

                (ρ preserva counidade:) Para 1 ∈ S(g), temos:

                K ε ◦ ρ(1 ) = ε (1 ) = 1 = ε (1 ) .

                

              S(g) K S(g) K K U (g) K

                Agora seja g . . . g n ∈ S(g) um monˆ omio. Temos:

                1

                !

                X

                1 ε ◦ ρ(g

                1 . . . g n ) = ε g σ . . . g σ

              S(g) S(g) (1) (n)

                n! σ

                ∈S n

                X

                1 = n! σ

                

              ∈S

              n

                = 0 = ε (g . . . g n ) .

                U (g)

                1

                y Portanto, temos ε ◦ ρ = ε .

                S(g) U (g) Afirma¸ c˜ ao: ρ ´e injetiva.

                Prova da afirma¸c˜ ao. Usaremos o lema O morfismo de co´ algebras ρ tem dom´ınio na ´ algebra sim´etrica S(g). Note que ρ restrita a K ⊕ g ⊆ S(g) se reduz ` a identidade K ⊕ g ⊆ S(g) → K ⊕ g ⊆ U(g):

                1 ρ(λ + g) = ρ(λ) + ρ(g) = λ + g = λ + g ∈ U(g) .

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 179 Mostraremos, ent˜ao, que ker(ρ) = 0. Seja dado λ + g ∈ ker(ρ), em que λ ∈ K ⊆ U (g) e g ∈ g ⊆ U (g). Pelo corol´ario do teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt, temos que as inclus˜ oes naturais i u : g ֒→ U (g) e i s : g ֒→ S(g) s˜ao injetoras. Portanto

                a soma ´ e direta

                λ + g = λ + i u (g) = 0 em U (g) =⇒ λ = 0, i u (g) = 0 em U (g) i u e injetiva ´ =⇒ λ = 0 em K e g = 0 em g =⇒ λ = 0, i s (g) = 0 em S(g) =⇒ λ + g = λ + i s (g) = 0 em S(g), e ker(ρ) = 0. y Afirma¸ c˜ ao: ρ ´e sobrejetiva.

                S

                ∞

                Prova da afirma¸c˜ ao. Considere as filtra¸c˜ oes S(g) = S n e U (g) = n

                =0

                S ∞ n U n vistas nos exemplos Faremos indu¸c˜ao em n para

                =0

                mostrar que ρ n : S n → U n ´e sobrejetiva para todo n ∈ N. Em consequˆencia disso, ρ ´e sobrejetiva.

                (n = 1:) Temos que ρ

                1 : S 1 → U 1 ´e, como vimos antes, a identidade K ⊕ g ⊆ S(g) → K ⊕ g ⊆ U(g), que ´e sobrejetiva.

                Seja n ≥ 1. Supomos que ρ n : S n → U n ´e sobrejetiva (HI). Mostraremos o caso n + 1: (n + 1:) De fato, seja {u i } i base ordenada de g e

                ∈I

                {u i . . . u i | i ≤ . . . ≤ i k em I} 1 k

                1

                base de U (g) pelo teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt (teorema . Te- mos que {u i . . . u i | i ≤ . . . ≤ i k em I, k ≤ n + 1} 1 k

                1

                ´e base do espa¸co U n gerado pelos monˆ omios de grau ≤ n + 1 . J´ a temos,

              • 1

                pela (HI), que os monˆ omios de grau ≤ n de U n s˜ao alcan¸cados por ρ n

                e,

              • 1

                portanto, por ρ. Basta, ent˜ ao, mostrar que todos os monˆ omios com grau

                180 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Considere um monˆ omio da base u i . . . u i u i . Podemos, com o au- 1 n n +1 x´ılio do comutador [, ], permutar quaisquer dois termos do monˆomio. Por exemplo, podemos escrever u i u i . . . u i u i = u i u i . . . u i u i + [u i , u i ] . . . u i u i . 1 2 n n +1 2 1 n n +1 1 2 n n +1

                Como qualquer permuta¸c˜ ao σ ∈ S n ´e pode ser formada por combina¸c˜ ao

              • +1

                de permuta¸c˜ oes de elementos cont´ıguos, podemos escrever u i . . . u i u i = u i . . . u i u i + termos com [,] (grau ≤ n) . 1 n n +1 σ (1) σ (n) σ (n+1) Portanto:

                1 u i . . . u i u i = (n + 1)!u i . . . u i u i 1 n n +1 1 n n +1 (n + 1)!

                X

                1 = u i . . . u i u i + termos com [,] σ (1) σ (n) σ (n+1)

                (n + 1)! σ

                ∈S n +1 1 n n +1 + = ρ(u i . . . u i u i ) termos com [,] ∈ Im(ρ)

                | {z } | {z }

                ∈Im(ρ) (grau ≤ n e (HI)) ∈Im(ρ)

                y Logo ρ ´e sobrejetora. Com isso, fica provado o lema. Vamos ` a prova do teorema central desta se¸c˜ ao. Teorema 4.4.12 (Milnor-Moore). Seja B uma bi´ algebra conexa e coco- mutativa, sobre um corpo K de caracter´ıstica 0. Ent˜ ao

                B ∼ = U (P(B)) , e o isomorfismo ´e J : U (P(B)) → B, a extens˜ ao da inclus˜ ao canˆ onica j : P(B) → B via propriedade universal da ´ algebra envolvente (ver defini- ¸c˜ ao .

                Demonstra¸c˜ ao. Come¸caremos vendo que J ´e um morfismo de bi´algebra. Em seguida, mostramos a injetividade e sobrejetividade de J.

                (J ´e um morfismo de bi´ algebras:) Usaremos o lema para obter que a extens˜ ao J da inclus˜ao canˆ o- nica j ´e um morfismo de bi´ algebras. De fato, temos que j : P(B) → B ´e

                4.4. Teorema de Milnor-Moore 181 obtemos que J : U (P(B)) → B ´e um morfismo de bi´algebras.

                A injetividade ´e mais f´ acil de ser demonstrada lan¸cando-se m˜ao de um truque. Faremos essa demonstra¸c˜ ao primeiro. (J ´e injetora:)

                Considere o morfismo de co´ algebras J ◦ρ : S P(B) → B. Sua restri¸c˜ao a K ⊕ P(B) ´e injetiva, pois ´e igual ` a identidade. De fato, dados λ ∈ K e b ∈ P(B), temos:

                J ◦ ρ(λ + b) = J ρ(λ) + J ρ(b)

                1

                = J(λ) + J b

                1!

                = λ + J(b) = λ + b . Portanto, pelo lema temos que J ◦ ρ ´e injetiva em todo S P(B) . Como ρ ´e isomorfismo, segundo o lema conclui-se que J ´e injetiva.

                Vamos ` a sobrejetividade. Esta ´e a parte mais trabalhosa da demons- tra¸c˜ ao, e para mostr´ a-la, ser´ a usado o teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt. (J ´e sobrejetora:)

                Seja {a i } i uma base ordenada para a ´ algebra de Lie P(B). Pelo

                ∈I

                teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt, n o r

                (I)

                a | r ∈ N r r r 1 k ´e base para U (P(B)), em que denotamos a := a . . . a , com i i < . . . < i k i i 1 k

                (I)

                e r

                1 , . . . , r k as entradas n˜ ao nulas do multi-´ındice r ∈ N . Se r = 0, de- r

                notamos a = 1 . Tamb´em definimos r! := r 1 ! · · · r k ! .

                K

                Afirma¸ c˜ ao: Os elementos n o r r

                1 (I)

                A := J(a ) | r ∈ N r

                !

                182 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Prova da afirma¸c˜ ao. De fato, temos:

                !

                X r r

                X

                1

                α r A = 0 em B =⇒ J α r a = 0 r r r ! J

                X

                ´ e injetiva r

                1

                1

                =⇒ α r a = 0 =⇒ α r , ∀r =⇒ α r = 0 , ∀r , r r ! r ! portanto s˜ao LI. Geram Im(J) pois dado J(u) ∈ Im(J), com u ∈ U P(B) , P r temos u = α r a , e aplicando J, temos r

                !

                X r

                X X

                1 r r J(u) = J α r a = (α r r!)J a = (α r r!)A . r

              r r r

              !

                y Como B ´e uma bi´ algebra conexa, pelo lema temos B = K1 + B

                S ∞

                ′ n n B . Sabemos que K1 B ⊆ Im(J), j´ a que J ´e morfismo de bi´ alge- =1

                bras (e em particular, 1 B = J(1 )). ´ E suficiente, ent˜ao, provar que

                P(B) ′

                B ⊆ Im(J) para todo n ≥ 1. Iremos provar por indu¸c˜ ao em n. n

                ′ Afirma¸ c˜ ao: B ⊆ Im(J) para todo n ≥ 1. n

                Prova da afirma¸c˜ ao. Faremos indu¸c˜ ao em n. O caso n = 1 ´e consequˆencia do lema temos

                ′ B = B ∩ ker(ε) ⊆ (K1 B ⊕ P(B)) ∩ ker(ε) ⊆ Im(J) .

                1

                1

                | {z }

                

              ⊆Im(J)

                Supomos que para n ≥ 1 vale B ⊆ Im(J) (HI). Mostramos agora que vale n

                ′ B ⊆ Im(J). n

              • 1 ′ Seja a ∈ B fixo. Dividiremos a prova de que a ∈ Im(J) em 5 etapas.
              • n<
              • 1 ′ Etapa 1: c´ alculo de ∆ (a).
              • B ′ ′ ′

                  Tem-se ∆ (a) ∈ B ⊗ B , segundo a proposi¸c˜ ao Pela hip´otese B n n

                  ′

                  de indu¸c˜ ao (HI), temos ∆ (a) ∈ Im(J) ⊗ Im(J), e usando a base de B Im(J) escrita acima, podemos escrever

                  X r s

                  ′

                  ∆ (a) = λ(r, s)A ⊗ A B r,s

                  X r s = λ(r, s)A ⊗ A + r,s 6=0

                  X s r

                  X λ(0, s)1 + B ⊗ A λ(r, 0)A ⊗ 1 B + λ(0, 0)1 B ⊗ 1 B , +

                  4.4. Teorema de Milnor-Moore 183

                  (I)

                  com λ(r, s) ∈ K e a soma ´e sobre multi-´ındices r, s ∈ N com apenas

                  

                  finitas entradas n˜ ao nulas. Como B = B n ∩ ker(ε), e 1 B ∈ ker(ε), / n

                  ′

                  temos que 1 B ∈ B / . Tem-se: n

                  X s r

                  X s r + λ(0, s)1 B ⊗ A λ(r, 0)A ⊗ 1 B + λ(0, 0)1 B ⊗ 1 B = 0 .

                  6=0 6=0 r

                  De fato, considerando que os A ’s e 1 B s˜ao LI em Im(J), e usando o lema temos

                  X P s r

                  ′ ′ s λ(0, s)1 ⊗ A λ(r, 0)A ⊗ 1 + λ(0, 0)1 ⊗ 1 ∈ B n ⊗ B n B B B B + 6=0 r s 6=0 A

                  X

                  ’s e 1 LI B r

                  =⇒ λ(0, s)1 B , λ(r, 0)A + λ(0, 0)1 B ∈ B , e r n r

                6=0

                A ’s e 1 LI B s

                  X

                  ′ =⇒ λ(0, s)A + λ(0, 0)1 B , λ(r, 0)1 B ∈ B . s n 6=0

                  Se algum dos λ(0, s), λ(r, 0), λ(0, 0) fosse diferente de zero, ter´ıamos

                  ′ 1 B ∈ B , o que n˜ ao pode ocorrer. Logo, λ(0, s), λ(r, 0), λ(0, 0) = 0. n

                  Portanto, podemos escrever:

                  X r s

                  ′ (#) ∆ (a) = λ(r, s)A ⊗ A . B r,s 6=0 r

                  Etapa 2: c´ alculo de ∆ (A ). B Tem-se: n n

                  ∆ (a ) = ∆ (a i )

                  U (P(B)) i U (P(B)) n

                  = (a i ⊗ 1 + 1 ⊗ a

                  1 ) n K K

                  −k

                  X n k n

                  = (a i ⊗ 1 ) · (1 ⊗ a i )

                  K K k k =0 n

                  −k

                  X n k n

                  = a ⊗ a , i i k k n k n n =0 −k X a i i i a a

                  ∆ = ⊗

                  U (P(B))

                  n! k! (n − k)! k

                  =0 k l

                  X a a i i = ⊗ . k! l!

                  184 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Ent˜ ao: r r 1 k a a i i 1 k ∆ . . .

                  U (P(B))

                  r ! r k !

                  1 p q p q 1 1 k k ! !

                  X a a i i 1 1 k k X a a i i = ⊗ . . . ⊗ p p 1 +q 1 =r 1 k +q k =r k p

                  1 ! q 1 ! p k ! q k ! p p q q 1 k 1 k

                  X X a a i i i i 1 k a a 1 k = · · · · · · ⊗ · · · . p ! p k ! q ! q k ! p p 1 +q 1 =r 1 +q =r k k k

                  1

                  1 (I)

                  Logo, considerando p, q, r ∈ N multi-´ındices, temos: r p q

                  X a a a ∆ = ⊗ .

                  U (P(B))

                  r! p! q! p

                • q=r

                  Usando que J ´e morfismo de bi´ algebras, temos: r r

                  1 ∆ B (A ) = ∆ B J(a ) r! r a

                  = ∆ B ◦ J r! r a = (J ⊗ J) ◦ ∆

                  U (P(B))

                  r! p q !

                  X a a = (J ⊗ J) ⊗ p p! q!

                • q=r p q

                  X a a = J ⊗ J p +q=r p! q!

                  X p q = A ⊗ A , p r r r r +q=r ′

                  ∆ (A ) = ∆ B (A ) − A ⊗ 1 B − 1 B ⊗ A B !

                  X p q r r = A ⊗ A − A ⊗ 1 B − 1 B ⊗ A p

                  (##) +q=r

                  X p q = A ⊗ A p p,q +q=r 6=0

                • s=p r,s 6=0

                  (##)

                  =

                  A s ⊗ A t    

                  X s

                     

                  X r,q 6=0 λ(r, q) A r

                  =

                  (A q )

                  Tamb´em temos: ∆

                  ′ B

                  λ(r, q) A r ⊗ ∆

                  6=0

                  X r,q

                  =

                  λ(r, q) A r ⊗ A q  

                  6=0

                  X r,s,t 6=0 λ(r, s + t) A r ⊗ A s ⊗ A t .

                  ′ B

                  )  

                   

                  A coassociatividade nos d´ a λ(r + s, t) = λ(r, s + t) , ∀r, s, t 6= 0 e a cocomutatividade,

                  ´e coassociativo e cocomutativo, pela proposi¸c˜ ao

                  ′ B

                  Lembramos que ∆

                  X r,s 6=0 λ(s, r) A r ⊗ A s .

                  =

                  X s,r 6=0 λ(s, r) A s ⊗ A r

                  (a)

                  (a) = τ  

                  ′ B

                  λ(r, s) A r ⊗ A s τ ◦ ∆

                  6=0

                  X r,s

                  =

                  (#)

                  X r,q

                  ′ B

                  λ(r, s) = λ(s, r) , ∀r, s 6= 0 .

                  ′ B

                  X p,t

                  =

                  λ(p, t) A p ⊗ A t  

                  6=0

                  X p,t

                  ⊗ Id)  

                  = (∆

                  λ(p, t) ∆

                  (#)

                  (a))

                  ′ B

                  ⊗ Id)(∆

                  ′ B

                  (∆

                  4.4. Teorema de Milnor-Moore 185 Usando os resultados anteriores, conseguimos calcular:

                  6=0

                  ′ B

                  = (Id ⊗ ∆

                  X r,s,t

                  (#)

                  (a))

                  ′ B

                  )(∆

                  ′ B

                  λ(r + s, t) A r ⊗ A s ⊗ A t , (Id ⊗ ∆

                  

                6=0

                  ⊗ A t =

                  (A p ) ⊗ A t

                  A r ⊗ A s    

                  X r

                  λ(p, t)    

                  6=0

                  X p,t

                  =

                  (##)

                • t=q s,t 6=0

                  186 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore Etapa 4: os coeficientes λ(r, s) s´o dependem de r + s. Sejam r, s, t, u 6= 0 multi-´ındices tais que r + s = t + u. Vamos decompor esses multi-´ındices de tal forma que r = k + l s = m + n t = k + m u = l + n . Para tanto, fixamos i ∈ I e tentamos resolver o seguinte sistema linear para k i , l i , m i , n i ∈ N.

                   k i +l i = r i    k i +m i = t i

                  .

                • l i +m i = u i   
                • m i +n i = s i Escalonando, obtemos um sistema poss´ıvel e indeterminado:

                    1 1 0 0 | r i   0 −1 1 0 | t i − r i     0 1 1 | s i .     0 0 0 | t i − r i + u i − s i

                  | {z }

                  =0

                  Temos, ent˜ ao: k i = α i − s i + t i = α i − u i + r i l i = −α i + u i m i = −α i + s i n i = α i , para qualquer α i ∈ R. Resta observar que podemos escolher um

                  α i ∈ N tal que k i , l i , m i , n i ≥ 0 e k i , l i , m i , n i ∈ N. De fato, as condi¸c˜ oes para que isso aconte¸ca s˜ao 0 ≤ α i ≤ s i u i − r i ≤ α i ≤ u i .

                  Basta escolher α i = 0 para os ´ındices i em que r i , s i , t i , u i = 0, e para os finitos ´ındices em que algum desses n˜ ao ´e nulo, defina α i = u i − r i = s i − t i ∈ N se u i − r i ≥ 0 e α i = min(s i , u i ) se I u i − r i &lt; 0. Dessa forma, conseguimos multi-´ındices k, l, m, n ∈ N como requeridos acima. Tendo a decomposi¸c˜ ao acima, consideramos os seguintes casos. Note

                  4.4. Teorema de Milnor-Moore 187

                • – Se k 6= 0, fazemos:

                  λ(r, s) = λ(k + l, m + n) = λ(k, m + n + l) λ(t, u) = λ(k + m, l + n) = λ(k, m + n + l) ;

                • – Se k = 0, ent˜ ao como r = k + l 6= 0, temos l 6= 0, e fazemos:

                  λ(r, s) = λ(l, m + n) λ(t, u) = λ(m, l + n) = λ(m + n, l) = λ(l, m + n) . Assim λ(r, s) = λ(t, u) para r + s = t + u. Portanto λ(r, s) depende apenas de r + s. Escreveremos ent˜ ao λ(r, s) = λ(r + s). Etapa 5: a ∈ Im(J) . Assim, tem-se

                  X

                  (#) r s

                  ∆ (a) = λ(r, s) A ⊗ A B r,s

                  6=0

                  X r s = λ(r + s) A ⊗ A r,s

                  6=0

                  X X r s = λ(r + s)A ⊗ A r

                • +s=t

                  |t|≥2 r,s

                  6=0

                  X X r s = λ(t) A ⊗ A r

                • s=t |t|≥2 r,s 6=0

                  X

                  (##) ′ t

                  = λ(t)∆ (A ) B

                  |t|≥2

                  em que denotamos |t| = |t | + · · · + |t k |, com t , . . . , t k as entradas

                  1

                  1 (I)

                  n˜ ao-nulas do multi-´ındice t ∈ N . Assim  

                  X t t

                  X

                  ′ ′ ′

                    ∆ a − λ(t)A = ∆ (a) − λ(t)∆ (A ) = 0 , B B B

                  |t|≥2 |t|≥2

                  P t e obtem-se que b := a − λ(t)A ´e primitivo. Por fim, b =

                  |t|≥2 t

                  j(b) = J(b) ∈ Im(J), e como todos os A est˜ ao em Im(J), temos

                  X t a = b + λ(t)A ∈ Im(J) .

                  |t|≥2

                  188 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore

                  ′

                  Terminamos a indu¸c˜ ao. Obtemos, ent˜ ao, que B ⊆ Im(J) para todo n ≥ 1 n y e encerramos a prova da afirma¸c˜ ao.

                  Da afirma¸c˜ ao, conclu´ımos que

                  

                  [

                  ′

                • B = K1 B B ⊆ Im(J) , n n

                  

                =1

                  e, por conseguinte, que J ´e sobrejetiva. Aqui termina a demonstra¸c˜ao do teorema.

                  Observa¸c˜ ao 4.4.13 (Uso das hip´ oteses no teorema). Requerimos que o corpo tenha caracter´ıstica nula para mostrar a injetividade e sobrejeti- vidade de J. Foi necess´aria para termos acesso ` a aplica¸c˜ ao de simetriza- ¸c˜ ao, na prova da injetividade. Na sobrejetividade, em diversas passagens, tamb´em foi necess´ ario dividir por um elemento do corpo pertencente aos naturais, que deve-se garantir ser 6= 0.

                  A conexidade com filtra¸c˜ ao de B foi a base da prova da sobrejetividade.

                  S

                  ∞ ′

                  Usamos pela primeira vez para decompor B = K1 B n . B n

                • =0

                  A cocomutatividade foi usada na prova da sobrejetividade de J. Usamo- na apenas para obter λ(r, s) = λ(s, r). E o ´ unico momento em que usamos essa rela¸c˜ ao foi na prova de que λ(r, s) s´o depende de r + s, e foi apenas no subcaso em que mostramos λ(r, s) = λ(t, u) para k = 0 !

                  Uma consequˆencia desse teorema ´e que a bi´ algebra em quest˜ao ´e uma ´ algebra de Hopf, j´ a que ´e isomorfa ` a algebra de Hopf U (P(B)) como bi´al- gebras.

                  Corol´ ario 4.4.14. Seja B uma bi´ algebra conexa com filtra¸c˜ ao. Se B ´e cocomutativa sobre um corpo K de caracter´ıstica 0, ent˜ ao B ´e uma ´ algebra de Hopf.

                  Demonstra¸c˜ ao. De fato, pelo teorema de Milnor-Moore, B ∼ = U (P(B)) como bi´ algebras. Mas como U (P(B)) tem ant´ıpoda, ent˜ ao transportando para B por meio do isomorfismo, B admite uma ant´ıpoda, e ´e uma ´ algebra

                  4.4. Teorema de Milnor-Moore 189

                  −1

                  fismo mencionado; temos que S B := J ◦ S ◦ J ´e uma ant´ıpoda:

                  U (P(B))

                  S B ∗ Id = µ B ◦ (S B ⊗ Id) ◦ ∆ B

                  −1 −1

                  = µ B ◦ J ◦ S ◦ J ⊗ J ◦ Id ◦ J ◦ ∆ B

                  U (P(B)) −1 −1

                  = µ B ◦ (J ⊗ J) ◦ (S ⊗ Id) ◦ (J ⊗ J ) ◦ ∆ B

                  

                U (P(B))

                −1

                  = J ◦ µ ◦ (S ⊗ Id) ◦ ∆ ◦ J

                  U (P(B)) U (P(B)) U (P(B)) −1

                  = J ◦ (S ∗ Id) ◦ J

                  U (P(B)) −1

                  = J ◦ η ◦ ε ◦ J

                  U (P(B)) U (P(B))

                  = η B ◦ ε B , Id ∗ S B = µ B ◦ (Id ⊗ S B ) ◦ ∆ B

                  −1 −1

                  = µ B ◦ J ◦ Id ◦ J ⊗ J ◦ S ◦ J ◦ ∆ B

                  U (P(B)) −1 −1

                  = µ B ◦ (J ⊗ J) ◦ (Id ⊗ S ) ◦ (J ⊗ J ) ◦ ∆ B

                  U (P(B)) −1

                  = J ◦ µ ◦ (Id ⊗ S ) ◦ ∆ ◦ J

                  U (P(B)) U (P(B)) U (P(B)) −1

                  = J ◦ (Id ∗ S ) ◦ J

                  U (P(B)) −1

                  = J ◦ η ◦ ε ◦ J

                  U (P(B)) U (P(B)) = η B ◦ ε B .

                  Observa¸c˜ ao 4.4.15. Tendo em vista que B e U (P(B)) s˜ao ´algebras de Hopf, o morfismo do teorema de Milnor-Moore ´e isomorfismo de ´algebras de Hopf tamb´em.

                  Vimos no teorema que uma bi´ algebra conexa com gradua¸c˜ao ´e uma ´ algebra de Hopf. O corol´ ario apresentado acima s´o n˜ao ´e um caso particular do teorema porque uma bi´ algebra que admite filtra¸c˜ ao n˜ ao necessariamente admite uma gradua¸c˜ ao. Apenas o contr´ario ´e v´a- lido garantidamente: uma gradua¸c˜ ao numa bi´ algebra define uma filtra¸c˜ao conforme a observa¸c˜ ao

                  190 Cap´ıtulo 4. Bi´ algebras conexas e o teorema de Milnor-Moore

                5 Cap´ıtulo

                  Rooted trees, ´ a lgebras de Hopf e o teorema de Panaite

                  No presente cap´ıtulo estudaremos algumas ´algebras sobre grafos do tipo ´ arvore com raiz. As ´ algebras estudadas surgem em contextos dis- tintos. Uma delas, a ´ algebra de Connes-Kreimer, aparece no contexto de renormaliza¸c˜ ao em teoria quˆ antica de campos. A outra ´algebra, de Grossman-Larson, surgiu na investiga¸c˜ ao de certas estruturas de dados baseadas em ´ arvores, com o intuito de se computar operadores diferenciais de uma maneira eficiente.

                  Primeiramente abordaremos as defini¸c˜ oes iniciais, de grafos tipo ´ar- vore com raiz, ´ arvores ordenadas, e algumas opera¸c˜ oes definidas nesses grafos. Passamos ao estudo da estrutura de ´ algebra de Hopf das ´algebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson. Em seguida, dedicaremos uma se¸c˜ ao ao teorema de Panaite, que ajudar´ a a encontrar uma rela¸c˜ao entre essas duas ´ algebras. Na ´ ultima se¸c˜ ao, mostraremos que a rela¸c˜ ao entre essas ´ algebras ´e a dualidade. No decorrer, procuramos abordar tanto o caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas como o das ordenadas.

                5.1 Rooted trees

                  Come¸caremos com as defini¸c˜ oes iniciais a respeito dos grafos tipo ´ arvore com ra´ız. Definiremos ´ arvores n˜ ao-ordenadas e ordenadas, e estabelecere-

                  192 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                  ´

                5.1.1 Arvores (n˜ ao-ordenadas)

                  Defini¸ c˜ ao 5.1.1. Uma ´ arvore com raiz, ou rooted tree, ´e um grafo 1. finito; 2. conexo (sempre existe um caminho ligando dois v´ertices); 3. sem ciclos (existe apenas um caminho ligando dois v´ertices); 4. com um ´ unico v´ertice “especial”, chamado raiz, do qual apenas par- tem arestas.

                  Nas ilustra¸c˜ oes das ´ arvores, convencionamos desenhar a raiz sempre no topo da figura, e o sentido das arestas ´e o de cima para baixo, de modo que n˜ ao precisamos desenhar flexas nas arestas.

                  Dado um v´ertice V , os v´ertices descendentes, ou v´ertices filhos, s˜ao os v´ertices que est˜ao ligados a V por uma aresta partindo de V . As folhas s˜ao os v´ertices que n˜ ao tem descendentes. O conjunto de todas as ´ arvores n˜ ao-vazias ´e denotado por RT e o conjunto de todas as

                  ´ arvores de n v´ertices ´e denotado por RT n .

                  Uma floresta, ou rooted forest, ´e um grafo finito em que cada compo- nente ´e uma ´ arvore; ou seja, ´e uma palavra em RT. Inclu´ımos o grafo vazio nessa defini¸c˜ ao, considerando-o como a palavra nula, e denotamos por 1 . O conjunto de todas as florestas ´e denotado por RF e o conjunto de todas as florestas de n v´ertices ´e denotado por RF n .

                  K [RT] denota a ´ algebra associativa e com unidade gerada pelas ´arvores. Exemplo 5.1.2. As ´ arvores de 1 at´e 4 v´ertices s˜ao explicitadas abaixo: , , , , , , , .

                  ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                  ✁ ✁

                  Exemplo 5.1.3. f = = ´e uma floresta com 5 v´ertices.

                  ✁✁ ✁ ✁ Vamos estabelecer algumas opera¸c˜ oes envolvendo ´arvores.

                  Defini¸ c˜ ao 5.1.4.

                  1. O n´ umero de v´ertices de uma floresta f ´e denotado por #f ou |f |.

                • 2. B : K[RT] → K[RT] leva uma floresta f = t t . . . t n em uma ´ arvore

                  1

                  2

                  5.1. Rooted trees 193

                • da B (f ), e ligue-o ` a todas as ra´ızes das ´arvores t · · · t n da floresta

                  1

                  f ; estenda essa defini¸c˜ ao por linearidade para todas as somas finitas

                • de florestas com coeficientes em K. Tamb´em define-se B (1) = •. A figura abaixo ilustra a opera¸c˜ ao em uma ´arvore:
                • B (t

                  1 t 2 t 3 ) = .

                  t t t

                  1

                  2

                  3 ✁

                • Temos que B ´e uma transforma¸c˜ ao linear, mas n˜ao ´e morfismo de ´ algebras, j´ a
                • B = 6= = B B ( ) .

                  ✁ ✁✁ ✁

                ✁✁

                • O n´ umero de v´ertices de B (f ) ´e |f | + 1, para f floresta.
                • Toda ´ arvore n˜ ao-nula pode ser decomposta de maneira ´ unica em B de uma floresta, com n´ umero de v´ertices menor que a ´arvore original. Basta deletar a raiz e considerar a floresta formada pelas sub´arvores que aparecem.

                  −

                  3. B : K[RT] → K[RT] leva uma ´ arvore t numa floresta f = t . . . t n

                  1

                  desta forma: delete a raiz de t, e forme uma floresta com as sub´ arvo- res t

                  1 . . . t n que aparecerem; estenda para um morfismo de ´algebras.

                   

                  −

                  B   = t t t

                  1

                  2

                  3

                  t t t

                  1

                  2

                  3 ✁

                   

                  −

                  1

                  2

                  3

                  1

                  2

                    B · = t t t u u .

                  u u

                  1

                  2

                  t

                  1 t 2 t

                  3 ✁ ✁

                  − O n´ umero de v´ertices de B (t) ´e |t| − 1, para uma ´arvore t.

                  Perceba que se considerarmos os dom´ınios restritos

                • B : RF → RT

                  −

                  194 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite temos o seguinte: B B + − t · · · t n −→ −→ t · · · t n

                  1

                  1 +

                  t · · · t n

                  1 B B ✁ − +

                  1 −→ −→

                  1 B B

                −→ t · · · t n −→

                  1 +

                  t n t n

                  1 · · · t 1 · · · t

                ✁ − ✁

                B B

                  −→ 1 −→ .

                  

                ✁ ✁

                  Portanto, com essa restri¸c˜ ao, vale

                  − + + −

                  B ◦ B = Id e B ◦ B = Id , e h´ a uma bije¸c˜ ao RF ∼ = RT.

                  ´

                5.1.2 Arvores ordenadas

                  Defini¸ c˜ ao 5.1.5. Uma ´ arvore ordenada, ou ´ arvore planar, ´e uma ´arvore t em que para cada v´ertice V de t, os v´ertices filhos de V s˜ao totalmente ordenados. Para representar as ´ arvores planares nas figuras, costuma-se desenhar os v´ertices filhos ordenados da esquerda para a direita:

                  &lt; &lt; .

                  &lt;

                  

                  Uma floresta ordenada , ou floresta planar , ´e um grafo finito em que cada componente ´e uma ´ arvore planar, e as ra´ızes dessas ´arvores tamb´em s˜ ao ordenadas. K {PRT} ´e a ´ algebra n˜ ao-comutativa gerada pelas ´arvores planares. Quando n˜ ao houver confus˜ ao, omitiremos o termo “planar” ou “ordenado” por simplicidade.

                  Observa¸c˜ ao 5.1.6. As ´ arvores planares de 1 at´e 4 v´ertices s˜ao representadas abaixo , , , , , , , , .

                  ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                  5.1. Rooted trees 195

                  Observa¸c˜ ao 5.1.7. N˜ ao podemos mais comutar os ramos das ´arvores, nem as componentes de uma floresta. Por exemplo, 6=

                  

                ✁ ✁

                6= .

                ✁✁ ✁✁

                  Observa¸c˜ ao 5.1.8. Repare que as folhas da ´ arvore tamb´em s˜ao ordenadas, com uma ordem induzida pelos seus v´ertices “ancestrais”, como na figura repetida abaixo por conveniˆencia: &lt; &lt; .

                  &lt;

                  

                Podemos definir opera¸c˜ oes an´ alogas ` as das ´arvores n˜ ao-ordenadas.

                  Defini¸ c˜ ao 5.1.9.

                  1. O n´ umero de v´ertices de uma floresta f ´e denotado por #f ou |f |, da mesma forma que antes.

                • 2. B : K{PRT} → K{PRT} leva uma floresta ordenada f = t t . . . t n

                  1

                  2

                • em uma ´ arvore ordenada B (f ) de forma an´ aloga ao caso da K[RT]:
                • escreva um novo v´ertice, que ser´ a a raiz da B (f ), e ligue-o `a todas as ra´ızes das ´ arvores t

                  1 · · · t n da floresta f , mantendo a ordem em

                  que as ra´ızes aparecem na floresta; estenda essa defini¸c˜ao por linea- ridade para todas as somas finitas de florestas com coeficientes em K . Ilustrando, novamente (repare como a ordem ´e mantida):

                • B (t t t ) = .

                  1

                  2

                  

                3

                  t t t

                  1

                  2

                  3 ✁

                • Nesse contexto B continua sendo uma transforma¸c˜ao linear, sem ser morfismo de ´ algebras, j´ a que, repetindo a observa¸c˜ao para o caso comutat
                • + + +

                  B = 6= = B B ( ) .

                  ✁

                  196 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                • O n´ umero de v´ertices de B (f ) continua sendo |f |+1, para f floresta ordenada.
                • Toda ´ arvore pode ser decomposta de maneira ´ unica em B de uma floresta, com n´ umero de v´ertices menor que a ´arvore original. Basta deletar a raiz e considerar a floresta formada pelas sub´ arvores que aparecem, mantendo a ordem.

                  −

                  3. B : K{PRT} → K{PRT} leva uma ´ arvore t numa floresta f = t . . . t n desta forma: delete a raiz de t, e forme uma floresta com

                  1

                  as sub´ arvores t . . . t n que aparecerem, mantendo a ordem em que os

                  1

                  v´ertices filhos da ra´ız apareciam na ´ arvore; estenda para um morfismo de ´ algebras. Exemplificando:  

                  −

                    B = t

                  1 t 2 t

                  3

                  t t t

                  1

                  

                2

                  3

                   

                  −

                  1

                  2

                  3

                  1

                  2

                    B · = t t t u u .

                  u u

                  1

                  2

                  t t t

                  1

                  2

                  3 ✁ ✁

                  Da mesma forma que no caso n˜ ao-ordenado, o n´ umero de v´ertices de

                  − B (t) ´e |t| − 1, para t ´ arvore ordenada.

                  Da mesma forma que com o caso das ´ arvores n˜ao-ordenadas, se consi- derarmos os dom´ınios restritos

                • B : PRF → PRT

                  −

                  B : PRT → PRF , + temos B B t · · · t n −→ −→ t · · · t n

                  1

                  1 +

                  t · · · t n

                  1 B B

                +

                  1 −→ −→

                  1 B B

                −→ t · · · t n −→

                  1 +

                  t n t n

                  1 · · · t 1 · · · t

                ✁ − ✁

                B B

                  −→ 1 −→ .

                  

                ✁ ✁

                  Portanto, com essa restri¸c˜ ao, ainda vale

                • − − +

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 197 e h´ a uma bije¸c˜ ao PRF ∼ = PRT.

                  ´

                5.2 Algebra de Connes-Kreimer

                  Nesta se¸c˜ ao, apresentaremos a ´ algebra de Connes-Kreimer sobre ´arvo- res com raiz e mostraremos sua estrutura de ´algebra de Hopf. Conside- raremos tamb´em uma vers˜ ao da ´ algebra de Connes-Kreimer para ´arvores ordenadas. Tamb´em abordaremos uma propriedade universal associada a essas ´ algebras.

                5.2.1 Vers˜ ao n˜ ao-ordenada

                  5.2.1.1 Estrutura de ´ algebra de Hopf Defini¸ c˜ ao 5.2.1. A ´ algebra de ´ arvores de Connes-Kreimer ´e a ´algebra li- vre associativa, comutativa e com unidade gerada por RT, e ´e denotada por H CK . Em outras palavras, H CK ´e igual, como ´algebra, a K[RT], que por sua vez ´e igual ao espa¸co span(RF). A unidade ´e o grafo vazio, denotado por 1, e o produto ´e a “concatena¸c˜ ao” de grafos, como por exemplo: · = .

                  ✁ ✁ ✁ ✁

                  Veremos a seguir que ´e poss´ıvel definir uma estrutura de ´algebra de Hopf em H .

                  CK

                  Para obtermos uma estrutura de bi´ algebra, precisamos de um copro- duto e uma counidade. O coproduto ser´ a obtido com o conceito de cortes admiss´ıveis, definido abaixo. Defini¸ c˜ ao 5.2.2. Definimos corte e corte admiss´ıvel abaixo:

                  1. Um corte c em uma ´ arvore t ´e uma escolha de arestas de t;

                  2. Um corte admiss´ıvel c em uma ´ arvore t ´e uma escolha de arestas de t em que qualquer caminho partindo da raiz encontra no m´aximo uma aresta cortada. Vamos excluir o corte nulo (escolha de arestas vazia) desta defini¸c˜ ao, por conveniˆencia.

                  Denote por Adm(t) o conjunto de todos os cortes admiss´ıveis de t.

                  198 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Exemplo 5.2.3. Vejamos um exemplo de corte admiss´ıvel e de corte n˜ ao admiss´ıvel: corte admiss´ıvel corte n˜ ao admiss´ıvel

                  ✁

                  − − − − − −

                  − − −

                  ✁

                  − − − − − −− − −

                  − − − Um corte c de uma ´ arvore t define uma floresta W c (t) obtida deletando de t as arestas escolhidas em c. Se o corte ´e admiss´ıvel, a floresta W c (t) vai ter uma ´ unica ´ arvore que carrega a raiz de t. Vamos denotar essa ´arvore por R c (t), e o restante da floresta, por P c (t). t P c (t) R c (t)

                  ✁

                  − − − − − −

                  →

                  ✁ ✁ ✁

                  Para facilitar mais adiante, defina: o corte nulo cn como sendo a escolha de arestas vazia, R cn (t) = t e P cn (t) = 1; o corte total ct, tal que R ct (t) = 1 e P ct (t) = t;

                  Adm(t) = Adm(t) ∪ {cn, ct} o conjunto de cortes admiss´ıveis esten-

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 199 Uma maneira ´ util de pensar nesses cortes ´e a seguinte: ct corte total ct corte nulo cn

                  R (t)

                  1 ct cn − − − P (t) R (t)

                  ✁ ✁ cn − − − P (t) 1 .

                  Agora estamos preparados para definir o coproduto em H .

                  CK

                  Defini¸ c˜ ao 5.2.4. Dada uma ´ arvore t, defina o coproduto por

                  X c c ∆(t) = t ⊗ 1 + 1 ⊗ t + P (t) ⊗ R (t) c ∈Adm(t)

                  X c c = P (t) ⊗ R (t) c

                  ∈Adm(t) e estenda a um morfismo de ´ algebras.

                  A counidade ser´ a dada, para uma ´ arvore t, por ε(t) = δ

                  1,t e estendemos esta fun¸c˜ ao para um morfismo de ´algebras tamb´em.

                  Mais adiante mostraremos que de fato este morfismo de ´algebras satis- faz a coassociatividade. Exemplo 5.2.5. C´ alculo do coproduto para algumas ´arvores:

                  ∆(1) = 1 ⊗ 1 ∆ ( ) = ⊗ 1 + 1 ⊗

                  ✁ ✁ ✁

                  ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗

                  ✁ ✁ ✁ ✁

                  ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ ⊗

                  ✁ ✁

                • ✁ ✁
                • ✁ ✁ ✁ ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ + + 2 ⊗ .

                  ✁✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                  Para mostrar a coassociatividade, usaremos um lema que diz como ∆

                  200 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Lema 5.2.6. Para todo x ∈ H ,

                  CK

                • ∆ ◦ B (x) = B (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B ) ◦ ∆(x) .

                  Demonstra¸c˜ ao. ´ E suficiente mostrar a igualdade para x = t . . . t n ∈ RF.

                  1

                • Seja t = B (x). Vamos olhar para os cortes de t em termos de cortes nas sub´ arvores t i . Observe a seguinte figura: t t t t

                  − − −

                  1

                  2

                  3

                  − − − −

                  ↔

                  ✁ ✁ ✁

                  c = cn c = ct c ∈ Adm(t )

                  

                1

                  2

                  3

                  3 ✁

                  t t t

                  1

                  2

                  3

                  c ∈ Adm(t) Seja i = 1, 2, . . . , n. Note que todo corte admiss´ıvel estendido c de t que n˜ ao ´e ct induz um corte admiss´ıvel estendido c i em t i dado pela cole¸c˜ ao das arestas de c que est˜ ao em t i , no caso em que essa cole¸c˜ ao ´e n˜ao vazia. Ou ent˜ ao, se h´ a um corte de c na aresta que liga a raiz `a sub´arvore t i , correspondemos c i ao corte total de t i e se n˜ ao h´ a corte nessa aresta nem em t i , correspondemos c i ao corte nulo. Reciprocamente toda cole¸c˜ ao de cortes admiss´ıveis estendidos c i de t i , i = 1, 2, . . . , n, fornece um corte admiss´ıvel c de t. Se algum c i for um corte total, correspondemos a um corte na aresta que liga a raiz `a sub´arvore t i . O corte total de t seria o ´ unico corte admiss´ıvel estendido que n˜ ao ´e induzido por nenhuma cole¸c˜ ao de c i ’s.

                  Al´em disso, temos: c c c 1 n P (t) = P (t ) . . . P (t n ) c c c

                  1 1 n

                • R (t) = B R (t ) . . . R (t n ) .

                1 Continuando o exemplo da figura acima:

                  c c c c 1 2 3 P (t) = P (t ) = 1 P (t ) = P (t ) =

                  1

                  2

                  3 ✁ ✁✁ ✁ c c c c1 2 3 R (t) = R (t

                  

                1 ) = R (t

                2 ) = 1 R (t 3 ) =

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 201

                  X

                  X

                  X Assim, podemos escrever = e portanto: c i =1,··· ,n

                  ∈Adm(t)∪cn c i ∈Adm(t i )

                  X c c ∆(t) = t ⊗ 1 + P (t) ⊗ R (t) c

                  ∈Adm(t)∪cn n

                  X X c c c

                1 n

                1 n

                • c

                  = t ⊗ 1 + P (t ) . . . P (t n ) ⊗ B R (t ) . . . R (t n ) i =1 c i ∈Adm(t i )

                  1

                  1

                    n Y

                  X c c i i

                •  

                  = t ⊗ 1 + (Id ⊗ B ) P (t i ) ⊗ R (t i ) i

                  =1 c

                i ∈Adm(t i )

                  = B (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B ) ∆(t

                  1 ) . . . ∆(t n )

                • = B (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B ) ∆(x) .

                  Teorema 5.2.7. A ´ algebra H com o produto, unidade, coproduto e

                  CK counidade definidos acima ´e uma bi´ algebra comutativa.

                  Demonstra¸c˜ ao. Por defini¸c˜ ao, H ´e uma ´ algebra comutativa. Tamb´em

                  CK

                  temos que ∆ e ε s˜ao morfismos de ´ algebras. Resta mostrar a coassociati- vidade e a counidade. (Propriedade da counidade:)

                  Vamos come¸car pela counidade. Para simplificar a nota¸c˜ ao, os isomor- fismos A⊗K ∼ ao omitidos. Basta mostrar a propriedade = A e K⊗A ∼ = A ser˜ para t ∈ RT e para t = 1. Se t = 1, temos:

                  (ε ⊗ Id) ◦ ∆(1) = (ε ⊗ Id)(1 ⊗ 1) = ε(1)1 = δ 1 = 1 ,

                  1,1 (Id ⊗ ε) ◦ ∆(1) = (Id ⊗ ε)(1 ⊗ 1) = 1ε(1) = 1δ = 1 .

                  1,1

                  Por fim, se t ∈ RT, temos:  

                  X c c  

                  (ε ⊗ Id) ◦ ∆(t) = (ε ⊗ Id) t ⊗ 1 + 1 ⊗ t + P (t) ⊗ R (t) c

                  ∈Adm(t)

                  X c c = ε(t) 1 + ε(1) t + ε(P (t)) R (t)

                  |{z} |{z} | {z } c

                  ∈Adm(t)

                =0 =1 =0

                • 1 ε(t)
                • X c

                • (A) ⊆ A.
                • (x))
                • (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆(x)
                • (x)) ⊗ 1 + (∆ ⊗ Id) ◦ (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆(x)
                • (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆(x) ⊗ 1 +
                • (∆ ⊗ Id) ◦ (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆(x)
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 + (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆ (x) ⊗ 1 +
                • (Id ⊗ Id ⊗ B
                • ) ◦ (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(x) ,
                • (x))
                • (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B
                • ) ◦ ∆(x)
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 + (Id ⊗ (∆ ◦ B
                • ))(x
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 + x
                • (x
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 +
                • x
                • (x
                • ) ◦ ∆(x
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 + x
                • (x
                • ) ◦ ∆(x
                • x
                • (x) ⊗ 1 ⊗ 1 + Id ⊗ B
                • (∆(x)) ⊗ 1 +
                • (Id ⊗ Id ⊗ B
                • ) ◦ (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(x) .

                  (1)

                  ⊗ x

                  (2)

                  ) = B

                  (1)

                  ⊗ ∆(B

                  (2)

                  ))

                  

                  = B

                  (1)

                  (2)

                  ⊗ B

                  ) ⊗ 1 + (Id ⊗ B

                  (2)

                  ) = B

                  (1)

                  ⊗ B

                  (2)

                  ) ⊗ 1 +

                  (1)

                  ⊗ (Id ⊗ B

                  (2)

                  ) = B

                  = B

                  

                  = (Id ⊗ ∆) B

                  P c (t) ε(R c (t)) | {z }

                  202 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite (Id ⊗ ε) ◦ ∆(t) = (Id ⊗ ε)

                    t ⊗ 1 + 1 ⊗ t +

                  X c

                  ∈Adm(t)

                  P c (t) ⊗ R c (t)  

                  = t ε(1) |{z}

                  =1

                  |{z}

                  =0

                  ∈Adm(t)

                  =0 = t .

                  (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(B

                  (Coassociatividade:) Para mostrar a coassociatividade, considere o ideal:

                  A = {x ∈ H

                  CK

                  |(∆ ⊗ Id) ◦ ∆(x) = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(x)} = ker (∆ ⊗ Id) ◦ ∆ − (Id ⊗ ∆) ◦ ∆ . Afirma¸ c˜ ao: Temos que B

                  Prova da afirma¸c˜ ao. De fato, seja x ∈ A. Usando o Lema (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(B

                  

                  = (∆ ⊗ Id) B

                  = ∆(B

                  

                  = B

                  = B

                  Como x ∈ A, temos (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(x) = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(x). Assim

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 203

                • y ent˜ ao B (x) ∈ A. Afirma¸ c˜ ao: Temos RF ⊆ A. Portanto H = A.

                  CK

                  Prova da afirma¸c˜ ao. Provemos que todo f ∈ RF pertence a A por indu¸c˜ ao em n = |f |; isso implica H = A e ent˜ ao vale a coassociatividade em

                  CK

                  H . Se n = 0, temos:

                  CK (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(1) = 1 ⊗ 1 ⊗ 1 = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(1) .

                  Seja n ∈ N, n 6= 0, e suponha que (HI) g ∈ RF, |g| &lt; n =⇒ g ∈ A . Seja f ∈ RF com |f | = n. Se f for apenas uma ´arvore, ent˜ao escreva

                • f = B (g) para alguma floresta g ∈ RF com |g| = n − 1. Pela (HI),
                • +

                  g ∈ A. Como visto acima, f ∈ B (A) ⊆ A. Agora se f tiver mais de uma componente, ent˜ ao f = t · · · t k , com t , . . . , t k ∈ RT e k &gt; 1. Ent˜ao

                  1

                  1

                  1 , . . . , t k ∈ A e como A ´e um ideal, f = t 1 · · · t k ∈ A.

                  y t

                  Fica provado, ent˜ao, que H = A.

                  CK

                  Agora temos uma estrutura de bi´ algebra para H . Mostraremos que

                  CK essa bi´ algebra ´e conexa por gradua¸c˜ ao.

                  Proposi¸ c˜ ao 5.2.8. A bi´ algebra

                  

                  M H = H (q)

                  

                CK CK

                q

                =0

                  ´e conexa com gradua¸c˜ ao, em que H CK (q) ´e o subespa¸co vetorial gerado pelas florestas de q v´ertices. Portanto admite ant´ıpoda e ´e uma ´ algebra de Hopf.

                  ∞

                  Demonstra¸c˜ ao. Vamos verificar que {H (q)} ´e uma gradua¸c˜ ao para

                  CK q =0

                  H , conforme

                  CK 1. Temos que H (0) = K · 1 ´e o subespa¸co gerado pela ´arvore vazia.

                  CK

                  L

                  ∞

                  2. Por constru¸c˜ ao, temos H CK = H CK (q); a soma ´e direta, pois, q

                  =0 claramente, H (p) ∩ H (q).

                CK CK

                  3. Como o produto ´e dado pela concatena¸c˜ ao de florestas, ´e v´ alido que

                  204 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                  4. Dada t ´ arvore com q v´ertices, temos

                  X c c ∆(t) = t ⊗ 1 + 1 ⊗ t + P (t) ⊗ R (t) . c c c ∈Adm(t) Repare que, como P (t) e R (t) s˜ ao obtidos cortando a ´arvore t, c c temos |P (t)| + |R (t)| = q, e logo

                  X ∆(t) ∈ H (m) ⊗ H (n) m CK CK

                • n=q

                  O mesmo vale para florestas, j´ a que aplicamos ∆ em cada ´arvore com- P ponente. Com isso, ficamos com ∆(H (q)) ∈ H (m) ⊗

                  CK m CK

                • n=q H (n).

                  CK Em seguida exibiremos a ant´ıpoda explicitamente, em termos de cortes.

                  Teorema 5.2.9. Seja t ´ arvore. A ant´ıpoda ´e dada, recursivamente, por S(1) = 1

                  X c c S(t) = −t − S(P (t))R (t) . c

                  

                ∈Adm(t)

                  Tamb´em podemos escrevˆe-la usando o conceito de cortes apresentado antes, e obtemos X n c c

                  S(t) = − (−1) W (t) , c

                  ∈Cut(t)

                  em que Cut(t) ´e o conjunto de cortes (n˜ ao totais, mas incluindo o corte nulo e os cortes n˜ ao-admiss´ıveis) de t; Adm(t) ´e o conjunto de cortes admiss´ıveis (excluindo corte nulo e corte total); n c ´e o n´ umero de arestas cortadas por c; c W (t) ´e a floresta obtida deletando-se as arestas de c em t; c c P (t) e R (t) est˜ ao especificados logo acima da defini¸c˜ ao

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 205 Demonstra¸c˜ ao. A vers˜ ao recursiva vem do teorema em que se obt´em,

                  L ∞ para uma bi´ algebra conexa com filtra¸c˜ ao B = B n , a ant´ıpoda q −1 n =0

                  X X

                  ′ ′′

                  S(x) = −x − S(x )x , j i j,i j,i j j

                  =1 j

                  P P

                  ′ ′′ ′

                  onde ∆(x) = x ⊗ 1 B + 1 B ⊗ x + x ⊗ x com x ∈ B j , j i j,i j,i j,i j j j j

                  ′′ x ∈ B n e x ∈ B n . j,i −j j

                  Para o caso em que x = t ´e uma ´ arvore, temos ∆(t) = t ⊗ 1 + 1 ⊗ t + P c c c P (t) ⊗ R (t), e portanto temos

                  ∈Adm(t)

                  X c c S(t) = −t − S(P (t)) · R (t) . c

                  ∈Adm(t) Para mostrar a segunda f´ ormula, faremos indu¸c˜ao em q = |t|.

                  Para q = 1, temos t = , ∆( ) = ⊗ 1 + 1 ⊗ e pela f´ormula recursiva,

                  ✁ ✁ ✁ ✁

                  S( ) = − , que corresponde ` a soma sobre todos os cortes de (s´o tem

                  ✁ ✁ ✁ o corte nulo) do enunciado, com o sinal correto.

                  Seja q ≥ 2 e t uma ´ arvore com |t| = q. Vamos supor que vale o enunciado

                  ′ ′

                  para toda ´ arvore t com |t | &lt; q (HI). Por enquanto temos apenas X ′ ′ c c S(t) = −t − S P (t) R (t) . c

                  ∈Adm(t) c

                  Tome um corte c de t n˜ ao nulo e n˜ ao total. Considere a ´arvore de W (t)

                  ′

                  que cont´em a raiz original de t. Considere o corte admiss´ıvel c constru´ıdo a partir de c considerando-se apenas as arestas de c “mais pr´ oximas” da raiz, ou seja, tais que o caminho que liga cada aresta dessas ` a raiz n˜ ao intercepta c

                  206 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite que ´e um corte n˜ ao total de t i (pode ser, talvez, o corte nulo). t

                  − − − c W (t)

                  − − − − − −

                  ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁

                  − − − − − −

                  ✁ ′

                  c → marcado com === t c P (t) = t t t

                  1

                  2

                  3

                  1 == −

                  −

                  ✁ ✁ ✁

                  2 == 3 == c c c 1 2 3 W (t ) W (t ) W (t )

                  1

                  2

                  3

                  − − −

                  ✁ ✁ ✁ ✁✁

                  − − − c R (t) =

                  ✁ ✁

                  Perceba que c c c c 1 k W (t) = W (t ) . . . W (t k ) · R (t) , c c

                  1

                  j´ a que um dos peda¸cos de W (t) cont´em a ra´ız de t e corresponde a R (t), c e os demais s˜ao formados pelos cortes de cada um dos k peda¸cos de P (t). Al´em disso, note que o n´ umero de arestas em c pode ser escrito como: n c = n c + n c + . . . + n c = k + n c + . . . + n c . 1 k 1 k Pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, c S P (t) = S(t ) . . . S(t k )

                  1

                     

                  X n +1 c n +1 c c1 ck 1 k

                  X    

                  = (−1) W (t ) . . . (−1) W (t k ) c c 1 ∈Cut(t

                1 ) ∈Cut(t )

                  

                1

                k k

                  X X n +...+n +k c c c1 ck 1 k = · · · (−1) W (t ) · · · W (t k )

                  1

                • ...+n ck
                • k
                • ✁✁
                • 2

                  ✁✁

                  ✁

                  ! = −

                  ✁

                  S

                  ✁✁✁

                  − 3

                  ✁

                  − 3

                  = −

                   

                  ✁

                  S  

                  ✁✁✁

                  −

                  ✁✁

                  ✁✁✁

                  ✁

                  = −

                  Defini¸ c˜ ao 5.2.11. (H, b) ´e a ´ algebra de Connes-Kreimer se

                  5.2.1.2 Propriedade universal Podemos definir a ´ algebra de ´ arvores de Connes-Kreimer por meio de uma propriedade universal associada ` a f´ ormula para ∆ ◦ B

                  ✁✁✁

                  − 3

                  ✁✁

                  ✁

                  ✁

                  S

                  S

                  ✁✁✁

                  − 3

                  ✁

                  ! = −

                  ✁

                  ✁✁

                  = −

                  1. H ´e uma ´ algebra associativa, comutativa e com unidade;

                  ∈Cut(t i ) 0≤i≤k

                  ∈Cut(t)

                  X c

                  ) · · · W c k (t k )R c (t) = −

                  1

                  W c 1 (t

                  (−1) n c1

                  X c i

                  As primeiras ant´ıpodas s˜ ao calculadas no exemplo abaixo: Exemplo 5.2.10. C´ alculo da ant´ıpoda para algumas ´arvores, de 1 a 4 v´ertices, e da floresta nula:

                  ∈Adm(t)

                  X c

                  S P c (t) R c (t) = −t −

                  ∈Adm(t)

                  X c

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 207 Aplicando esse resultado em S(t), temos S(t) = −t −

                  (−1) n c W c (t) . Fica provada, ent˜ao, a segunda f´ ormula.

                  S(1) =

                  ✁

                  ✁

                  S

                  

                ✁✁✁

                  −

                  ✁✁

                  ✁

                  = −

                  S

                  1 S(

                  ✁

                  = −

                  ✁

                  S

                  ✁

                  ) = −

                  ✁

                • 2
                • 2
                • ✁✁

                • ✁✁✁✁
                • 2
                • ✁✁✁✁
                • ✁✁
                • ✁✁
                • ✁✁✁✁
                • ✁✁
                • ✁✁
                • 3
                • ✁✁✁✁ .
                • no lema

                • ) satisfaz a propriedade universal.
                • ) satisfaz a propriedade universal:
                • (1) = L ◦ φ (1)

                  1

                  1

                  ) . . . φ q n (t n ), para |t

                  1

                  | = q

                  1

                  , · · · , |t n | = q n e q

                  1

                  1

                  . . . t n ) = L φ q 1 (t

                  ) . . . φ q n (t n ) , para |t

                  1

                  1

                  | = q

                  1

                  , · · · , |t n | = q n e q

                  1 + . . . + q n + 1 = q .

                  Pela propriedade universal da soma direta, tome φ : H CK =

                  ∞

                  M q

                  =0

                  . . . t n ) = φ q 1 (t

                  · · · φ q (t

                  H CK (q) → A transforma¸c˜ ao linear tal que φ(f ) = φ q (f ), com f uma floresta de

                  = L ∞ q =0

                  208 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite e se vale a seguinte propriedade universal:

                  3.(a) Dadas A ´ algebra associativa, comutativa com unidade e L : A → A operador linear, existe um ´ unico morfismo de ´algebras φ : H → A tal que φ ◦ b = L ◦ φ. Isto ´e, o diagrama abaixo comuta:

                  H φ // b

                  A L H φ // A 3.(b) Se H e A s˜ao ´ algebras de Hopf, e L satisfaz

                  ∆ ◦ L(x) = (Id ⊗ L) ◦ ∆(x) + L(x) ⊗ 1 A ent˜ ao φ ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf. Proposi¸ c˜ ao 5.2.12. (H

                  CK

                  , B

                  Demonstra¸c˜ ao. Considere H

                  CK

                  H

                  ◦ B

                  CK (q) com a gradua¸c˜ ao usual.

                  Sejam A ´ algebra comutativa e L : A → A transforma¸c˜ ao linear. Vamos mostrar que (H CK , B

                  3.(a) (Existˆencia:) Defina as transforma¸c˜ oes lineares φ q : H

                  CK

                  (q) → A indutivamente por φ (1) = 1 A φ

                  1

                  (

                  ✁

                  ) = φ

                  1

                • . . . + q n = q φ q B
                • (t

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 209

                • que φ ◦ B = L ◦ φ.

                  ′

                  (Unicidade:) Se φ : H → A ´e outro morfismo de ´algebras com

                  CK

                • ′ ′

                  φ ◦ B = L ◦ φ , ent˜ ao mostraremos por indu¸c˜ ao no n´ umero de

                  ′

                  v´ertices q = |f | que φ (f ) = φ(f ). Os casos n = 0 e n = 1 s˜ao v´ alidos porque

                  ′

                  φ (1) = 1 = φ(1)

                  ′ ′ ′ + + φ ( ) = φ ◦ B (1) = L ◦ φ (1) = L ◦ φ(1) = φ ◦ B (1) = φ( ) .

                  ✁ ✁

                  ′

                  Supomos que φ (f ) = φ(f ) para florestas f com |f | &lt; q. Agora seja f uma floresta com q v´ertices. Se f = t . . . t n tem n &gt; 1 ´arvores

                  1

                  componentes, ent˜ ao

                  (HI) ′ ′ ′

                  φ (f ) = φ (t

                  

                1 ) . . . φ (t n ) = φ(t

                1 ) . . . φ(t n ) = φ(f ) .

                  Se, no entanto, f ´e composto de uma ´ unica ´arvore, podemos escrever

                • f = B (t

                  1 . . . t n ), e temos

                • + ′ ′ ′

                  φ (f ) = φ ◦ B (t . . . t n ) = L ◦ φ (t . . . t n )

                  1

                  1 (HI)

                • = L ◦ φ(t

                  1 . . . t n ) = φ ◦ B (t 1 . . . t n ) = φ(f ) . ′ Portanto φ = φ.

                  3.(b) J´ a sabemos que φ ´e morfismo de ´ algebras. Precisamos mostrar que φ tamb´em ´e morfismo de co´ algebras.

                  (φ preserva a counidade:) Primeiramente, note que para todo x ∈ A, temos:

                  −1

                  L(x) = ϕ ◦ (ε A ⊗ Id) ◦ ∆ A ◦ L(x) l

                  −1

                  = ϕ ◦ (ε A ⊗ Id) (Id ⊗ L) ◦ ∆ A (x) + L(x) ⊗ 1 A l

                  −1 −1

                  = ϕ ◦ (ε A ⊗ L) ∆ A (x) + ϕ ε A (L(x)) ⊗ 1 A l l

                  −1 −1

                  = ϕ ◦ (Id ⊗ L) ◦ ϕ l ◦ ϕ ◦ (ε A ⊗ Id) ∆ A (x) + ε A (L(x))1 A l l

                  −1

                  = ϕ ◦ (Id ⊗ L) ◦ ϕ l (x) + ε A (L(x))1 A l = L(x) + ε A (L(x))1 A . Dessa forma, temos:

                  ε A ◦ L(x) = ε A ◦ L(x) + ε A (L(x))ε A (1 A ) = ε A ◦ L(x) + ε A ◦ L(x)

                  210 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Sabemos que ε A ◦ φ e ε s˜ao morfismos de ´algebras de H → K.

                  H CK CK

                  Para mostrar que os morfismos s˜ao iguais, basta mostrar que s˜ao

                • iguais aplicados nas ´ arvores. Seja t = B (t . . . t n ) uma ´arvore com

                  1

                  |t| &gt; 0. Temos:

                • ε A ◦φ(t) = ε A ◦φ◦B (t . . . t n ) = ε A ◦L◦φ(t . . . t n ) = 0 = ε (t) .

                  1

                  1 H CK

                  Al´em disso, ε A ◦ φ(1) = ε A (1 A ) = 1 = ε (1) .

                  H K CK

                  (φ preserva o coproduto:) Da mesma forma, sabemos que ∆ A ◦ φ e (φ ⊗ φ) ◦ ∆ s˜ao morfismos de ´ algebras, e basta mostrar que

                  H CK

                  coincidem nas ´ arvores para concluir que s˜ao iguais. Vamos mostrar por indu¸c˜ ao em q = |t| n´ umero de v´ertices da ´arvore t. Os casos q = 0 e q = 1 vˆem de

                  ∆ A ◦ φ(1) = ∆ A (1 A ) = 1 A ⊗ 1 A = (φ ⊗ φ)(1 ⊗ 1) = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ (1) ,

                  H CK

                • ∆ A ◦ φ( ) = ∆ A ◦ φ ◦ B (1) = ∆ A ◦ L ◦ φ(1) = ∆ A (L(1 A ))

                  ✁

                  = (Id ⊗ L) ◦ ∆(1 A ) + L(1 A ) ⊗ 1 A = 1 A ⊗ L(1 A ) + L(1 A ) ⊗ 1 A ,

                  (φ ⊗ φ) ◦ ∆ ( ) = (φ ⊗ φ)( ⊗ 1 + 1 ⊗ )

                  H CK ✁ ✁ ✁

                  = φ( ) ⊗ 1 A + 1 A ⊗ φ( )

                  ✁ ✁

                  = φ(B (1)) ⊗ 1 A + 1 A ⊗ φ(B (1)) = L(φ(1)) ⊗ 1 A + 1 A ⊗ L(φ(1)) = L(1 A ) ⊗ 1 A + 1 A ⊗ L(1 A ) , donde conclu´ımos que

                  ∆ A ◦ φ(1) = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ H (1) CK ∆ A ◦ φ( ) = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ H ( ) . CK

                  ✁ ✁

                  Supomos que para toda ´ arvore u com |u| &lt; q v´ertices, temos

                  5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 211

                • Seja t = B (t . . . t n ) uma ´ arvore de q v´ertices. Temos |t |, . . . , |t n | &lt;

                  1

                  1

                  q, e

                • ∆ A ◦ φ(t) = ∆ A ◦ φ ◦ B (t . . . t n )

                  1

                  = ∆ A ◦ L φ(t . . . t n )

                  1 2.

                  = (Id ⊗ L) ◦ ∆ A φ(t

                  1 . . . t n ) + L φ(t 1 . . . t n ) ⊗ 1 A (HI)

                  = (Id ⊗ L) ◦ (φ ⊗ φ) ◦ ∆ (t . . . t n ) + L φ(t . . . t n ) ⊗ 1 A

                  H CK

                  1

                  1

                  = φ ⊗ (φ ◦ B ) ◦ ∆ (t . . . t n ) + φ B (t . . . t n ) ⊗ φ(1)

                  

                H CK

                  1

                  1

                  = (φ ⊗ φ) (Id ⊗ B ) ◦ ∆ (t . . . t n ) + B (t . . . t n ) ⊗ 1

                  H CK

                  1

                  1

                  

                • +

                  = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ H B (t
                • CK 1 . . . t n ) = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ (t) .

                    H CK

                    Portanto ∆ A ◦ φ = (φ ⊗ φ) ◦ ∆ . Temos que φ ´e morfismo de

                    H CK

                    bi´ algebras, e portanto, de ´ algebras de Hopf (conforme a proposi¸c˜ ao .

                  5.2.2 Vers˜ ao ordenada

                    5.2.2.1 Estrutura de ´ algebra de Hopf Existe uma vers˜ ao n˜ ao comutativa da ´ algebra de Connes-Kreimer estu- dada anteriormente. Com frequˆencia, faremos referˆencia ao caso anterior, das ´ arvores (n˜ ao-ordenadas), como “caso comutativo”, em contraste ao “caso n˜ ao comutativo”, que ser´ a visto a seguir.

                    Defini¸ c˜ ao 5.2.13. A ´ algebra de ´ arvores planares de Connes-Kreimer ´e a ´ algebra livre associativa e com unidade gerada por PRT, e ´e denotada por H CK . A unidade ´e o grafo vazio, denotado por 1, e o produto ´e a

                    “concatena¸c˜ ao” de grafos, respeitando a ordem das ra´ızes que aparecem no produto. Por exemplo · =

                    ✁ ✁ ✁ ✁ 6= .

                    

                  ✁ ✁ ✁ ✁

                    O contexto vai especificar se estamos falando da vers˜ ao comutativa ou n˜ ao

                    212 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite As defini¸c˜ oes do coproduto e da counidade s˜ ao an´ alogas ao caso comu- tativo. As no¸c˜ oes de cortes, cortes admiss´ıveis, entre outros, se estendem naturalmente para o caso das ´ arvores planares, j´ a que a escolha de arestas n˜ ao interfere na ordem dos v´ertices filhos de todos os v´ertices da ´arvore planar. Como surgir˜ ao alguns detalhes em rela¸c˜ ao `a ordem dos v´ertices, repetiremos as defini¸c˜ oes, destacando os ajustes para o caso n˜ao comuta- tivo.

                    Defini¸ c˜ ao 5.2.14. Definimos corte e corte admiss´ıvel abaixo, para o caso ordenado:

                    1. Um corte c numa ´ arvore planar ´e uma escolha de arestas.

                    2. Um corte admiss´ıvel c numa ´ arvore t continua sendo um corte (n˜ao vazio) em que qualquer caminho partindo da raiz encontra no m´a- ximo uma aresta cortada. Pela observa¸c˜ ao as folhas da ´arvore planar s˜ao ordenadas. Al´em disso, cada folha ´e ligada de maneira

                    ´ unica ` a raiz (considerando liga¸c˜ oes de v´ertice para v´ertice filho, ape- nas). Cada caminho desses pode interceptar no m´aximo um corte. Ent˜ ao, podemos ordenar o corte admiss´ıvel pela ordem das folhas associadas a cada aresta do corte. Por exemplo:

                    ✁

                    1 − −− 2 − −− O conjunto de cortes admiss´ıveis de t ´ arvore planar continua sendo denotado por Adm(t).

                    Vamos usar a mesma nota¸c˜ ao para corte nulo cn, corte total ct, e

                    5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 213 Como antes, ´e ´ util pensar nos cortes nulo e total como: ct corte total ct corte nulo cn

                    R (t)

                    1 ct cn − − − P (t) R (t)

                    ✁ ✁ cn − − −

                    P (t)

                    1 Um corte admiss´ıvel c em uma ´ arvore ordenada t continua a separ´ a-la, c como no caso anterior, em dois peda¸cos: o R (t), composto de uma ´ unica c ´ arvore e que cont´em a raiz, e P (t), uma floresta ordenada contendo o restante dos peda¸cos. Agora devemos tomar cuidado com a ordem dos c v´ertices filhos. Para R (t), a ordem ´e a mesma mantida pela ´arvore or- c denada t. Para P (t), a ideia ´e que cada sub´arvore obtida com o corte mant´em a ordena¸c˜ ao induzida por t, e podemos ordenar as ra´ızes dessas sub´ arvores de acordo com a ordem do corte admiss´ıvel que as gerou (cada sub´ arvore est´ a associada a uma ´ unica aresta do corte). c c t P (t) R (t)

                    1 − −− →

                    ✁ ✁

                    2 − −−

                    ✁ ✁

                    Feitas as observa¸c˜ oes com rela¸c˜ ao ` a ordem das ´arvores num corte ad- miss´ıvel, passamos ` a defini¸c˜ ao do coproduto. Defini¸ c˜ ao 5.2.15. Seja uma ´ arvore ordenada t. Defina o coproduto em t por

                    X c c ∆(t) = t ⊗ 1 + 1 ⊗ t + P (t) ⊗ R (t) c

                    ∈Adm(t)

                    X c c = P (t) ⊗ R (t)

                    214 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite e estenda a um morfismo de ´ algebras. A counidade ser´a dada, para a ´ arvore t, por

                    ε(t) = δ

                    1,t e estendemos esta fun¸c˜ ao para um morfismo de ´ algebras tamb´em.

                    Exemplo 5.2.16.

                    !

                  • ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗

                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                    ⊗ ⊗ + + ⊗ ⊗

                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁✁

                    ✁ ✁

                    !

                    ✁

                    ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗

                    ✁ ✁

                    ✁ ✁ ✁

                  • ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁

                    Os resultados da se¸c˜ ao anterior possuem an´ alogos para o caso n˜ao co- mutativo. Apenas ´e necess´ario respeitar a ordem das ´arvores que aparecem numa floresta, e a ordem dos v´ertices filhos em todas as ´arvores. Por essa raz˜ ao, suas provas s˜ao omitidas.

                    Lema 5.2.17. Para todo x ∈ H , tem-se

                    CK

                  • ∆ ◦ B (x) = B (x) ⊗ 1 + (Id ⊗ B ) ◦ ∆(x) .

                    Teorema 5.2.18. H com o produto, unidade, coproduto e counidade

                    CK definidos acima ´e uma bi´ algebra (n˜ ao comutativa).

                    Proposi¸ c˜ ao 5.2.19. A bi´ algebra

                    

                    M H = H (q)

                    

                  CK CK

                  q

                  =0

                    ´e conexa com gradua¸c˜ ao, em que H (q) ´e o subespa¸co vetorial gerado

                    CK

                    pelas florestas ordenadas de q v´ertices. Portanto admite ant´ıpoda e ´e uma algebra de Hopf. ´ O teorema a seguir, sobre a f´ ormula para a ant´ıpoda, tamb´em possui demonstra¸c˜ ao an´ aloga ao do caso comutativo. Mas para isso, precisamos c definir adequadamente W (t) para uma ´ arvore, determinando em que or- dem os peda¸cos de t devem aparecer no produto. Precisamos que seja obedecida a rela¸c˜ ao c c c c 1 k

                    5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 215 Aqui, t ´e uma ´ arvore ordenada e c ∈ Cut(t) ´e um corte qualquer de t. O

                    ′

                    corte c ∈ Adm(t) ´e o corte admiss´ıvel obtido a partir de c considerando-se apenas as arestas que se ligam ` a raiz de t sem interceptar outras arestas do c corte. Por fim, tamb´em denotamos P (t) = t . . . t k , com t , . . . , t k ramos

                    1

                    1

                    de t, e os cortes c i s˜ao os cortes em t i induzidos por c. A figura abaixo ilustra essas defini¸c˜ oes: t

                    − − − c W (t)

                    − − − − − −

                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁

                    − − − − − −

                    ✁

                    c → marcado com === t c P (t) = t t t

                    1

                    2

                    3

                    1 == −

                    −

                    ✁ ✁ ✁

                    2 == 3 == c c c 1 2 3 W (t ) W (t ) W (t )

                    1

                    2

                    3

                    − − −

                    ✁ ✁ ✁ ✁✁

                    − − − c R (t) =

                    ✁ ✁ c

                    Repare que podemos ordenar os termos em W (t) de maneira ´ unica para obtermos a rela¸c˜ ao desejada. Ordenamos os peda¸cos de forma indutiva.

                    ′ ′ Primeiro, constru´ımos c a partir de c, e c tem uma ordem intr´ınseca. c

                    Usamos c para obter P (t) = t . . . t k como acima. Obtemos os cortes c i

                    1

                    de t i , com n c &lt; n c . Colocamos os peda¸cos obtidos na seguinte ordem: i os peda¸cos oriundos da primeira componente t primeiro, depois os da

                    1

                    componente t , e assim por diante, at´e t k ; por ´ ultimo, o peda¸co que cont´em

                    2

                    a raiz de t. Obtemos c c c c 1 k W (t) = W (t ) . . . W (t k ) · R (t) ,

                    1 c i

                    216 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                    

                    ´e ordenado pelo mesmo procedimentat´e esgotarmos a quantidade de peda¸cos. c A figura abaixo ilustra a ordena¸c˜ ao dos peda¸cos de W (t): t c 1 − −

                    W (t) 2 − − 3 − − ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ′ c c c c 1 2 3 W (t ) W (t ) W (t ) R (t) .

                    2.1 − − −3.2

                    1

                    2

                    3

                    2.1.1− 3.1−

                    ✁ c

                    Com essa defini¸c˜ ao de W (t) para o caso ordenado, a f´ ormula para a an- t´ıpoda no teorema abaixo ´e v´ alida. Teorema 5.2.20. Seja t ´ arvore ordenada. A ant´ıpoda ´e dada, recursiva- mente, por

                    S(1) = 1

                    X c c S(t) = −t − S P (t) R (t) . c

                    

                  ∈Adm(t)

                    Tamb´em podemos escrevˆe-la em termos de cortes. Temos:

                    X n c c S(t) = − (−1) W (t) , c

                    ∈Cut(t)

                    em que Cut(t) ´e o conjunto de cortes (n˜ ao totais, mas incluindo o corte nulo e os cortes n˜ ao-admiss´ıveis) de t; Adm(t) ´e o conjunto de cortes admiss´ıveis (excluindo corte nulo e corte total); 1 n c ´e o n´ umero de arestas cortadas por c; ′ c i

                    Consideramos o corte admiss´ıvel c constru´ıdo a partir de c i . Obtemos P (t i ) = i t i, . . . t i,j i,j i

                  1 i,k e obtemos cortes c nas componentes t induzidos por c . Escrevemos

                  c c c c

                  i i, i 1 i,ki i,j c i

                  cada W (t i ) como W (t i, ) . . . W (t i,k ) · R (t i ), e ordenamos cada W (t i,j )

                  1 i

                    5.2. ´ Algebra de Connes-Kreimer 217 c W (t) ´e a floresta obtida deletando-se as arestas de c em t, com os peda¸cos na ordem definida acima; c c P (t) e R (t) est˜ ao especificados logo acima da defini¸c˜ ao

                    Com isso, H tamb´em ´e uma ´ algebra de Hopf no caso n˜ ao comutativo.

                    CK

                    5.2.2.2 Propriedade universal A ´ algebra de ´ arvores ordenadas de Connes-Kreimer tamb´em admite uma defini¸c˜ ao por propriedade universal. Tamb´em se usa o comportamento

                  • de ∆ ◦ B dado no lema Novamente, a demonstra¸c˜ ao ´e an´ aloga ` a do caso comutativo, apenas cuidando-se a ordem das ´ arvores e sub´ arvores. Defini¸ c˜ ao 5.2.21. (H, b) ´e a ´ algebra de Connes-Kreimer (vers˜ao n˜ ao- comutativa) se temos

                    1. H ´e uma ´ algebra associativa e com unidade 2. b : H → H ´e um operador linear e se a seguinte propriedade universal ´e satisfeita:

                    3.(a) Dadas A ´ algebra associativa com unidade e L : A → A operador linear, existe um ´ unico morfismo de ´ algebras φ : H → A tal que φ ◦ b = L ◦ φ. Isto ´e: φ

                    // b L H A H // A φ

                    3.(b) Se H e A s˜ao ´ algebras de Hopf, e L satisfaz ∆ ◦ L(x) = (Id ⊗ L) ◦ ∆(x) + L(x) ⊗ 1 A ent˜ ao φ ´e um morfismo de ´ algebras de Hopf.

                  • Proposi¸ c˜ ao 5.2.22. (H , B ) satisfaz a propriedade universal.

                    CK

                    218 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                    ´

                  5.3 Algebra de Grossman-Larson

                    Definiremos outra ´ algebra de Hopf utilizando os grafos tipo ´arvore como geradores, obtendo a ´ algebra de Grossman-Larson. Consideraremos sua vers˜ao para ´ arvores ordenadas tamb´em.

                  5.3.1 Vers˜ ao n˜ ao-ordenada

                    Considere o espa¸co vetorial livre gerado pelas ´arvores n˜ao vazias RT, denotado por H . Vamos definir uma estrutura de ´algebra de Hopf nesse

                    GL espa¸co.

                    Defini¸ c˜ ao 5.3.1. Definiremos uma multiplica¸c˜ ao da seguinte forma. Da- das duas ´ arvores u 6= e v, tomamos a primeira, u, deletamos a raiz e

                    ✁

                    as arestas ligadas ` a raiz, ficando com u , . . . , u k sub´arvores. Penduramos

                    1

                    essas sub´ arvores em alguns v´ertices de v (ligando por uma aresta o v´ertice de v com a ra´ız de uma das sub´ arvores). Somamos sobre todas as pos- s´ıveis maneiras de pendurar as sub´ arvores nos v´ertices de v (´e permitido pendurar mais de uma sub´ arvore num v´ertice, e deve-se conectar todas as sub´ arvores exatamente uma vez). Essa soma ´e definida como u · v, e tem k |v| termos (ou, maneiras diferentes de se pendurar). Estendemos essa defini¸c˜ ao para H por distributividade.

                    GL Tamb´em definimos que · v = v. A unidade para esse produto ´e .

                    ✁ ✁

                    Definiremos tamb´em uma nota¸c˜ ao auxiliar para esse produto. Seja σ : Edge(u) → Vert(v) uma fun¸c˜ ao, em que Edge(u) ´e o conjunto de arestas que ligam as sub´ar- vores de u ` a raiz e Vert(v) ´e o conjunto de v´ertices de v. Essa fun¸c˜ ao determina uma maneira de se pendurar as sub´ arvores u , . . . , u k de u nos

                    1

                    v´ertices de v, da maneira indicada acima (a cada aresta x i ∈ Edge(u) se corresponde uma ´ unica sub´ arvore u i , aquela que ´e ligada `a raiz de u por x i ). Denotamos a ´ arvore resultante dessa maneira σ de se pendurar por σ σ v . Temos v ⊇ v, u σ 1 , . . . , u k , isto ´e, h´ a uma c´ opia de cada uma destas

                    ´ arvores em v . Se chamarmos de F (u, v) o conjunto de todas as fun¸c˜oes Edge(u) → Vert(v), ent˜ ao podemos denotar o produto por

                    X σ u · v = v . σ

                    ∈F (u,v) |Edge(u)|

                    Repare que o n´ umero de termos da soma ´e |F (u, v)| = |Vert(v)| = k

                    5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 219 Exemplo 5.3.2. Um esquema de como calcular o produto:

                  • · = + t

                    ✁

                    2 ✁

                    t t

                    1

                    2

                    t

                    1 t

                    2

                    t t t

                    1 ✁

                    1 2 ✁ ✁

                  • t t

                    1

                    1 ✁

                    t

                    1 t

                    2

                    t t

                    ✁ 2 ✁

                    2

                  • t

                    2

                    t t

                    2

                  1 t

                  1 t t ✁ ✁ ✁

                    1

                    2

                    2 + 2 + 2 + = t

                    2

                    t t

                    1

                    2

                    t t t

                    1 ✁

                    1 2 ✁ ✁ + 2 + .

                    t

                    1 ✁

                    t

                    1 t

                    2

                    t

                    ✁

                  2 Dependendo do formato das ´ arvores t e t , ´e poss´ıvel simplificar mais a ex-

                    

                  1

                    2

                    press˜ ao. Note que como estamos trabalhando com ´arvores n˜ao-ordenadas, podemos comutar os ramos das ´ arvores e permanecer com o mesmo ele-

                    2

                    mento. O n´ umero de termos (antes de juntar) ´e 3 = 9, pois podemos pendurar a ´ arvore t

                    1 de 3 maneiras diferentes, e a ´arvore t 2 tamb´em de 3 maneiras diferentes; e as maneiras de pendurar s˜ao independentes.

                    Exemplo 5.3.3. Mais alguns exemplos

                  • · =

                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                  • · =

                    ✁ ✁ ✁ ✁

                    · + =

                    2

                    ✁

                  ✁ ✁

                    · + + =

                    2

                    ✁ ✁ ✁

                    220 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Observa¸c˜ ao 5.3.4. Pelo exemplo anterior, podemos ver que o produto n˜ao ´e comutativo.

                    N˜ ao ´e imediato que o produto seja associativo. Veremos na proposi¸c˜ao a seguir. Proposi¸ c˜ ao 5.3.5. O produto definido acima ´e associativo. Demonstra¸c˜ ao. Pela bilinearidade do produto, basta mostrar a rela¸c˜ ao (r · s) · t = r · (s · t) para r, s, t ∈ RT \ {1}. Faremos uma correspondˆencia dos termos da soma (r · s) · t com os termos da soma r · (s · t), em que r, s e t s˜ao ´ arvores n˜ ao-nulas.

                    Come¸caremos fixando uma nota¸c˜ ao para esta demonstra¸c˜ao. Usare- mos a nota¸c˜ ao da defini¸c˜ ao (do produto em H ), repetida aqui por

                    GL

                    conveniˆencia. Para dadas u, v ∈ RT \ {1}, considere o conjunto F (u, v) das fun¸c˜ oes Edge(u) → Vert(v), em que Edge(u) ´e o conjunto de v´ertices ligados ` a raiz em u e Vert(v) ´e o conjunto dos v´ertices de v. Cada fun¸c˜ ao

                    ̺ ∈ F (u, v) representa uma maneira distinta de se pendurar as sub´arvores de u em v, ̺ e define uma ´ arvore v dada por essa maneira de pendurar. O produto ´e dado, ent˜ ao, por

                    X ̺ u · v = v . ̺ ∈F (u,v) Passamos, ent˜ ao, ` a correspondˆencia entre os termos de (r · s) · t e de r · (s · t). Cada termo da soma em (r · s) · t ´e resultado de:

                    o

                    1 pendurar as sub´ arvores r , r , . . . de r em s de uma maneira dada

                    1

                    2 σ

                    por σ ∈ F (r, s), obtendo-se s ; σ σ σ

                    o

                    2 pendurar as sub´ arvores s , s , . . . de s em t de uma maneira ρ ∈ σ ρ

                    1

                  2 F (s , t), obtendo-se t .

                    σ ρ s t s t

                    σ

                    r

                    1

                    s σ

                    1

                    r

                    2

                    s

                    2

                    · · · · · ·

                    

                  ✁ ✁

                    5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 221

                    o

                    1 pendurar as sub´ arvores s , s , . . . de s em t da maneira dada por uma µ

                    1

                    2

                    µ ∈ F (s, t), obtendo-se t ;

                    o µ

                    2 pendurar as sub´ arvores r µ ν 1 , r 2 , . . . de r em t da maneira definida por uma ν ∈ F (r, t ), obtendo-se t . µ ν t t µ t t s r

                    1

                    1

                    s

                    2 r

                    2

                    · · · · · ·

                    

                  ✁ ✁

                  σ

                    Note que as sub´ arvores de s podem ser de 3 tipos diferentes, depen- dendo da maneira de pendurar σ e das sub´ arvores penduradas. Apresen- σ tamos um esquema de cada um desses tipos abaixo. Cada s l , s e r p σ k representa alguma sub´ arvore de s, s e r, respectivamente.

                    Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: σ s σ σ s l k s l s r p s k k r p

                    

                  ✁ ✁

                    · · ·

                    

                    (Cada termo da soma (r · s) · t corresponde a um termo de r · (s · t) :) σ ρ Sejam σ ∈ F (r, s) e ρ ∈ F (s , t) correspondentes a um termo t da soma (r · s) · t. Exibiremos um termo correspondente em r · (s · t). Isto ´e, µ µ ν ν ρ definiremos µ ∈ F (s, t), t , ν ∈ F (r, t ) e t tais que t = t . µ

                    Primeiramente, definimos µ ∈ F (s, t) e t da seguinte forma. Seja s l sub´ arvore de s. Precisamos determinar onde essa sub´ arvore ´e pendurada, σ σ em t. Seja s a sub´ arvore de s ⊇ s que cont´em s l . Temos dois casos: k σ Caso 1: s ´e do tipo 1: k σ ρ Temos que s est´ a pendurada em um v´ertice x de t ⊆ t . Nesse σ k

                    222 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Veja a seguinte figura: ρ µ t t t t x x σ → s k s l s l σ ✁ ✁

                    Caso 2: s ´e do tipo 2: k σ ρ A sub´ arvore s est´ a pendurada em um v´ertice x de t ⊆ t . Como σ k s l ⊆ s engloba a raiz dessa sub´ arvore, podemos pendurar s l em x , k µ para formar t . ρ µ t t t t x x σ s → k s l s l r p · · ·

                    ✁ ✁ µ ν

                    Agora definimos ν ∈ F (r, t ) e t . Seja r p sub´ arvore de r. Precisamos µ ν ρ determinar onde essa sub´ arvore ´e pendurada em t para formar t = t . σ σ σ Temos que r p ⊆ s para alguma sub´ arvore s de s . Temos dois casos a k k se considerar: σ

                    Caso 1: s ´e do tipo 3: k σ σ Seja x o v´ertice no qual s est´ a pendurado, em t. Como s = r p k k para alguma sub´ arvore r p de r, definimos a maneira de pendurar ν ν

                    5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 223 t ⊆ t µ . Veja a figura abaixo:

                    ✁

                    Sejam µ ∈ F (s, t) e ν ∈ F (r, t µ ) correspondentes a um termo t ν da soma em r · (s · t). Exibiremos um termo correspondente em (r · s) · t, isto ´e, definiremos σ ∈ F (r, s), s σ , ρ ∈ F (s σ , t) e t ρ tais que t ρ = t ν .

                    t µ r p Assim, para cada termo t ρ da soma em (r · s) · t, obtivemos um termo t ν = t ρ da soma em r · (s · t). (Cada termo da soma r · (s · t) corresponde a um termo de (r · s) · t :)

                    1

                    t ν t s l x

                    ✁

                    →

                    r p · · ·

                    1

                    t ρ t s σ k s l x

                    1 , conforme a figura abaixo.

                    ✁

                    ´e um v´ertice de t µ ⊇ s l tamb´em. Definimos, ent˜ao, a maneira ν de pendurar para formar t ν fazendo r p pendurado em x

                    1

                    em que r p est´ a pendurado. Temos que x

                    1 o v´ertice de s l

                    Caso 2: s σ k ´e do tipo 2: Nesse caso, temos que r p est´ a pendurado em alguma sub´arvore s l de s, dentro de alguma sub´ arvore s σ k de s σ . Seja x

                    t ν t x t µ r p

                    ✁

                    →

                    t ρ t x s σ k r p

                    Come¸camos obtendo σ ∈ F (r, s) e s σ . Seja r p uma sub´ arvore de r. Precisamos determinar em que v´ertice de s devemos pendurar r p . Seja x o v´ertice de t µ ⊆ t ν no qual r p est´ a pendurado (em t ν ). Temos dois casos

                    224 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Caso 1: x ´e um v´ertice de t: Definimos a maneira de pendurar r p em s pondo a sub´ arvore r p na raiz de s. µ ν t t σ t s s x

                    → r p r p

                    ✁ ✁

                    Caso 2: x n˜ ao ´e um v´ertice de t, e portanto, est´a em alguma sub´ ar- µ vore s l de s (que est´a pendurada em t formando t ): σ Aqui, definimos a maneira de pendurar r p em s (para obter s ao final) pondo r p no v´ertice x, que ´e v´ertice de s. µ ν t t t σ s s x s l

                    → x p r p r

                    ✁ ✁ σ ρ

                    Por fim, definimos a maneira ρ ∈ F (s , t) de pendurar e o termo t a σ σ seguir. Seja s uma sub´ arvore de s . Precisamos determinar onde, em k t, essa sub´ arvore deve ser pendurada. Consideramos os seguintes casos, σ conforme os diferentes formatos da sub´ arvore s . σ k Caso 1: s ´e do tipo 1: σ ν k Se s = s l , ent˜ ao quer dizer que em t n˜ ao h´ a nenhuma sub´ arvore k de r pendurada em s l , que ´e pendurada em t. Seja x o v´ertice de ν t ⊆ t em que s l est´ a pendurado. Definimos a maneira de pendurar σ σ

                    5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 225 σ pendurar s em t. k

                    µ ρ

                    t t t t x x

                    → σ s k s l s l σ

                  ✁ ✁

                  Caso 2: s ´e do tipo 2: σ k Se s ´e desse formato, ent˜ ao existe uma sub´arvore s l de s contida em σ µ µ k s . Considerando s l em t , seja x o v´ertice de t ⊆ t em que s l est´a k σ pendurado. Definimos a maneira de pendurar s em t pendurando-se σ k s em x . k µ ν ρ t t t t t x x σ s k s l s l

                    → · · · r p r p σ

                  ✁ ✁

                    Caso 3: s ´e do tipo 3: k σ Pela defini¸c˜ ao de s , esse formato de sub´ arvore s´ o ocorre se r p tiver sido pendurado diretamente em t (em t ν ). (Ver caso 1 da defini¸c˜ ao σ ν

                    226 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite µ ν ρ t t t t t x x

                    → σ s k r p r p

                    ✁ ✁

                    Por fim, conclu´ımos que h´ a uma bije¸c˜ ao entre as maneiras de pendurar em r · (s · t) e em (r · s) · f . Essas maneiras de pendurar produzem os mesmos ρ ν elementos t = t . Portanto, temos (r · s) · t = r · (s · t).

                    Vamos ` a defini¸c˜ ao do coproduto e da counidade. Defini¸ c˜ ao 5.3.6. ∆ ser´ a definido desta forma. Seja t uma ´arvore. Re- mova a raiz, ficando com t , . . . , t n arvores, e em seguida selecione algumas ´

                    1

                    dessas sub´ arvores. Digamos que foram selecionadas t i , . . . , t i e sobraram 1 k t j , . . . , t j , com k + l = n. Adicione uma raiz e pendure todas as sub´ar- 1 l vores selecionadas nela. Tamb´em adicione uma nova raiz e pendure as sub´ arvores que sobraram. Ficamos com duas ´ arvores, uma para as sub´ ar- vores selecionadas e outra para o resto. Colocamos as duas nas entradas de um tensor, sendo a primeira a selecionada e a segunda a das sobras. Agora some sobre todas as maneiras de selecionar sub´arvores. Essa soma ser´ a o resultado de ∆(t). Por fim, estenda linearmente para combina¸c˜ oes de ´ arvores. Escrevendo de outra forma, temos:

                    ∆(•) = • ⊗ • n

                    X X

                  • + +

                    ∆(t) = B t σ . . . t σ ⊗ B t σ . . . t σ k =0 σ ∈S n,k (1) (k) (k+1) (n) = t ⊗ ⊗ t + n

                  • −1

                    ✁ ✁

                    X X

                    B t σ . . . t σ ⊗ B t σ . . . t σ k σ (1) (k) (k+1) (n) n =1 ∈S n,k

                    X X σ σ = t ⊗ t ,

                    (1) (2)

                    5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 227 em que S n,k ´e o conjunto das permuta¸c˜ oes σ do tipo“shuffle”de {1, 2, . . . , n}, isto ´e, s˜ ao permuta¸c˜ oes tais que:

                    σ(1) &lt; σ(2) &lt; . . . &lt; σ(l) σ(l + 1) &lt; σ(l + 2) &lt; . . . &lt; σ(k) , e definimos a nota¸c˜ ao auxiliar: σ

                  • t := B t σ . . . t σ

                    (1) (k) (1)

                  • σ t := B t . . . t .
                  • σ (k+1) σ (n) (2)

                      Se a ´ arvore t tem n sub´ arvores t , . . . , t n , o n´ umero de termos da soma ´e n n

                    1 X

                      X n n |S n,k | = = 2 . k =0 k =0 k A counidade ´e a transforma¸c˜ ao linear definida na base por ε(t) = δ t, .

                    • Exemplo 5.3.7. Um exemplo do processo de c´alculo do coproduto: selecionado resto t t t

                      1

                      2

                      3

                      t t t

                      1

                      2

                      3 −

                      t B (t) t t t

                      1

                      2

                      3

                      t t t

                      2

                      3

                      1

                      → t t t →

                      1

                      2

                      3

                      t t t

                      2

                      1

                      3

                      t t t

                      1

                      2

                      3 ✁

                      t t t

                      1

                      3

                      2

                      t t t

                      3

                      1

                      2

                      t t t

                      1

                      2

                      3

                         

                      ∆ = ⊗ ⊗ + +

                      ✁ ✁

                      t t t t t t t t t

                      1

                      2

                      3

                      1

                      

                    2

                      3

                      1

                      2

                      3

                    ✁ ✁ ✁

                    • ⊗ ⊗ + + t t t t

                      

                      1 2 ✁

                      1

                      2

                      t t

                      3

                      3 ✁ ✁

                    • ⊗ ⊗ + t t t t

                      

                      

                    1

                    3 ✁

                      1

                      3

                      t t

                      2

                      2 ✁ ✁

                    • ⊗ ⊗ + t t t t

                      ✁

                      

                    2

                    3 ✁

                      2

                      3

                      t t

                      1

                      1

                      228 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Exemplo 5.3.8. C´ alculo do coproduto das ´ arvores com tamanho de 1 at´e 4:

                      ∆ ( ) = ⊗

                      ✁ ✁ ✁

                    • ∆ = ⊗ ⊗

                      ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                      ∆ = ⊗ ⊗

                      ✁ ✁

                    • ✁ ✁ ✁

                      ∆ ⊗ ⊗ + = + 2 ⊗

                      ✁ ✁ ✁ ✁

                       ✁  ✁ ✁  

                      ∆ = ⊗ ⊗

                      ✁ ✁

                    • ✁ ! ✁ ✁

                      ∆ = ⊗ ⊗

                      ✁ ✁

                    • ✁ ! ✁ ✁

                      = ⊗ + + ∆ ⊗ ⊗ ⊗

                      ✁ ✁ ✁ ✁

                    • ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                      ∆ = ⊗ + ⊗ + 3 ⊗ + 3 ⊗

                      ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                      Observa¸c˜ ao 5.3.9. Verificando que ε(t) = δ t, ´e counidade para ∆. Seja

                    • t ´ arvore. Em (ε ⊗ Id)(∆(t)) , aplicamos ε na primeira entrada de ∆(t). O ´ unico termo de ∆(t) que n˜ ao vai se anular ´e o que tem na primeira

                      ✁

                      ∼ entrada, que ´e ⊗ t. Assim, a menos do isomorfismo canˆonico K ⊗ H

                      GL = ✁

                      H GL , (ε ⊗ Id)(∆(t)) = 1 · t . A equa¸c˜ ao (Id ⊗ ε)(∆(t)) = t se mostra de forma an´ aloga.

                    • Observa¸c˜ ao 5.3.10. Os elementos da forma B (t) s˜ao primitivos em H .

                      GL

                    • De fato, seja t ´ arvore. Temos B (t) primitivo pois pela defini¸c˜ ao do co-
                    • >produto (as ´ unicas sele¸c˜ oes de sub´ arvores poss´ıveis em B (t) s˜ao a sele¸c&tild
                    • nula e a total), ∆ B (t) = B (t) ⊗ • + • ⊗ B (t).

                      Por outro lado, se u ´ arvore ´e um elemento primitivo em H , ent˜ao

                      GL

                    • u = B (t) para alguma ´ arvore t. De fato, se n˜ ao fosse, u conteria pelo menos duas sub´ arvores, e ao calcularmos ∆(u), al´em de parcelas referentes ` a sele¸c˜ ao nula e ` a sele¸c˜ ao total, que forneceriam os termos u ⊗ ⊗ u,
                    • ter´ıamos mais parcelas com outras sele¸c˜ oes de sub´ arvores (e que n˜ ao podem se cancelar). Assim, u n˜ ao poderia ser primitivo, e temos uma contradi¸c˜ ao.

                      ✁ ✁

                      Dessa forma,

                    • P(H GL ) = span{B (t) : t ∈ RT} .

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 229 Demonstra¸c˜ ao. Basta verificar essas propriedades para uma ´arvore t qual- quer. (Cocomutatividade do coproduto:)

                      A cocomutatividade vem do fato de que para qualquer escolha de su- b´ arvores, podemos fazer a “escolha contr´ aria” de sub´arvores (escolhendo as do resto). Ent˜ ao na soma que define ∆(t), teremos um termo do tipo t escolha ⊗ t resto e outro termo do tipo t escolha contr´ aria ⊗ t resto contr´ ario = t resto ⊗ t escolha .

                      Por exemplo: .

                      → ⊗ t ✁

                      2 t

                      3

                      t t t t

                      1

                      2

                      3

                      1 ✁ ✁

                      sel. resto .

                      → ⊗ t t

                      ✁

                      2

                      3

                      t t t t

                      1

                      2

                      3

                      1 ✁ ✁ resto sel.

                      Portanto, o coproduto ´e cocomutativo. (Coassociatividade do coproduto:) Para a coassociatividade, procuraremos uma correspondˆencia entre as par- celas de (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(t) e de (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(t). Essas parcelas s˜ao analisadas mais detalhadamente abaixo:

                      Caso 1: Um termo da soma em (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(t) corresponde a sele- cionar sub´ arvores de t e, dentre as selecionadas, selecionar de novo, e montar o termo t ⊗ t ⊗ t .

                      selecionada2× selecionada resto . .

                      → ⊗ → ⊗ ⊗ t t t t

                      1 2 t t t

                      1 2 t t t

                      t t t t t

                      3

                      

                    4

                      5

                      3

                      4

                      5

                      1

                      2

                      3

                      4

                      5

                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                      sel. resto sel. resto sel.2× sel. resto

                      230 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Caso 2: Um termo da soma em (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(t) corresponde a sele- cionar sub´ arvores de t e selecionar dentre as sub´ arvores do resto, e montar o termo t selecionada primeiro ⊗ t selecionada depois ⊗ t resto .

                      . .

                      → ⊗ → ⊗ ⊗ t t t

                      1 t t t t

                      1 2 t t t

                      2

                      3

                      4

                      5

                      3

                      4

                      5

                      t

                      1 t 2 t 3 t 4 t

                      5

                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                    o o o o o

                      sel.1 resto sel.1 sel.2 resto sel.1 sel.2 resto ´ E poss´ıvel ver que as sele¸c˜ oes em um caso tˆem rela¸c˜ao um para um com as sele¸c˜ oes no outro, e os termos correspondentes s˜ao iguais. Assim, como fazemos a soma sobre todas as sele¸c˜ oes poss´ıveis, temos (∆ ⊗ Id) ◦ ∆(t) = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆(t) e segue a coassociatividade.

                      Mostramos agora que H GL ´e uma bi´ algebra com a estrutura acima. Proposi¸ c˜ ao 5.3.12. Com o produto, unidade, coproduto e counidade de- finidos acima, H GL ´e uma bi´ algebra cocomutativa.

                      Demonstra¸c˜ ao. Falta verificar que ∆ e ε s˜ao morfismos de ´algebras. J´a temos que ∆(•) = • ⊗ • ε(•) = 1 .

                      Basta, ent˜ ao, mostrar as rela¸c˜ oes ∆(t · u) = ∆(t) · ∆(u)

                      ε(t · u) = ε(t) · ε(u) para ´ arvores t, u ∈ RT \ {1}.

                      (∆ ´e morfismo de ´ algebras:) Mostraremos uma correspondˆencia entre os termos das somas de ∆(t·u) e ∆(t) · ∆(u). Come¸caremos fixando a nota¸c˜ ao.

                      Cada termo da soma em ∆(t · u) ´e resultado de:

                      o

                      1 pendurar as sub´ arvores t , t , . . . de t em u de uma determinada

                      1

                      2 ρ

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 231 ρ

                      o

                      2 cortar e selecionar as sub´ arvores de u por meio da permuta¸c˜ ao σ ∈ ρ ρ ρ σ ρ σ ρ S n , obtendo-se o elemento (u ) ⊗ (u ) (em que n(u ) ´e o

                      (u ),k(u )

                    ρ ρ

                      1

                      2

                      n´ umero de sub´ arvores de u e k(u ) ´e o n´ umero de sub´ arvores que foram selecionadas). ρ σ ρ σ (u ) (u ) ρ ρ (1) (2) u u u u t i t i 1 1 t i t i 2 2

                      · · · · · ·

                      · · ·

                      

                    ✁ ✁

                      Cada termo da soma em ∆(t) · ∆(u) ´e resultado de:

                      o

                      1 cortar e selecionar as sub´ arvores de t e de u, por meio das permuta- γ γ ¸c˜ oes γ ∈ S e δ ∈ S , e os termos obtidos s˜ao t ⊗ t n (t),k(t) n (u),k(u) δ δ

                      (1) (2)

                      e u ⊗ u ;

                      (1) (2) γ γ o δ δ

                      2 pendurar t em u e t em u , dos modos dados por µ ∈ γ γ δ δ δ µ δ ν (1) (1) (2) (2) F (t , u ) e ν ∈ F (t , u ), obtendo-se (u ) ⊗ (u ) .

                      

                    (1) (1) (1) (1) (1) (2)

                    γ γ δ δ

                      t t u u

                      (1) (2) (1) (2)

                      u t u j 2 t i 2 u j t i 1 1

                      · · · · · · · · · · · ·

                      

                    ✁ ✁

                    δ µ δ ν

                      (u ) (u ) δ δ (1) (2) u u

                      (1) (2)

                      t i t i 1 2 · · · · · ·

                      232 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite ρ Ilustramos tamb´em o formato das sub´ arvores de u . Estas podem ser de 3 tipos diferentes, conforme a figura abaixo:

                      Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: ρ ρ ρ u u u ρ u l ρ u j ρ u l u l u j i t t i

                      · · · · · · · · · · · ·

                      

                    ✁ ✁ ✁

                    Passamos, ent˜ ao, ` a correspondˆencia entre os termos da soma.

                      (Cada termo da soma em ∆(t · u) corresponde a um termo de ∆(t) · ∆(u):) Sejam dados ρ

                      ρ ∈ F (t, u), que resulta na ´ arvore u , e ρ ρ ρ σ ρ σ σ ∈ S n , que resulta nas ´ arvores (u ) e (u ) .

                      (u ),k(u ) ρ σ ρ σ (1) (2)

                      O termo (u ) ⊗ (u ) ´e o termo da soma ∆(t · u) considerado. Exibi-

                      (1) (2)

                      remos γ γ δ γ ∈ S n , δ ∈ S n , que fornecem as ´arvores t , t , u e

                      (t),k(t) (u),k(u) δ (1) (2) (1)

                      u ,

                      (2) γ γ δ δ δ µ

                      µ ∈ F (t , u ) e ν ∈ F (t , u ), que fornecem as ´arvores (u )

                      (1) (2) (1) δ ν (1) (2)

                      e (u )

                      (2) δ µ δ ν ρ σ ρ σ tais que (u ) ⊗ (u ) = (u ) ⊗ (u ) .

                      (1) (2) (1) (2)

                      Para definir γ, devemos determinar as condi¸c˜ oes para uma certa su- γ b´ arvore de t ser selecionada (tornando-se, ent˜ ao, sub´ arvore de t ) ou n˜ao γ (1) (tornando-se sub´ arvore de t ). Seja t i uma sub´arvore de t. Temos t i ρ (2) ρ ρ contido em u , e portanto est´ a contido em uma ´ unica sub´ arvore u de u . ρ σ ρ σ l

                      Essa sub´ arvore est´ a ou em (u ) ou em (u ) . No primeiro caso, defi-

                      (1) (2) γ

                      nimos que t i ´e selecionada para compor t , e no segundo caso, definimos

                      (1) γ

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 233

                      u u δ

                      , definimos que u i n˜ ao ´e selecionada, compondo o termo u δ

                      (2) .

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      u δ

                      (1)

                      (2)

                      , e se u ρ l ⊆ (u ρ ) σ

                      u j · · · · · ·

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      u δ

                      (1)

                      u u δ

                      (2)

                      2

                      (1)

                      ✁

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      t γ

                      (1)

                      t t γ

                      (2)

                      t i · · · · · ·

                      (u ρ ) σ

                      , ent˜ao definimos que u i ´e selecionada, compondo u δ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      t γ

                      (1)

                      t t γ

                      (2)

                      t i · · · · · ·

                      Definimos δ de modo parecido. Seja u j uma sub´ arvore de u ⊂ u ρ . En- t˜ ao u j est´ a contido numa ´ unica sub´ arvore u ρ l de u ρ . Se u ρ l ⊆ (u ρ ) σ

                      1

                      u j · · · · · ·

                      234 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite precisamos considerar uma sub´ arvore de t γ

                      ✁

                      , e podemos definir a maneira de pendurar t i em u δ

                      (1) pondo t i em x .

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u x t i

                      · · · · · ·

                      →

                      (u δ

                      Portanto x ∈ u δ

                      (1)

                      ) µ u δ

                      (1)

                      x t i · · ·

                      Para definir ν, consideramos uma sub´ arvore de t γ

                      (2)

                      e definimos em que v´ertice de u δ

                      (2)

                      esta deve ser pendurada. Seja t i uma sub´ arvore de t γ

                      (2)

                      (1)

                      (1) .

                      (1)

                      (u ρ ) σ

                      e definir em que v´ertice de u δ

                      (1)

                      deve ser pendurado. Seja t i um uma sub´ arvore de t γ

                      (1)

                      , e automaticamente, uma sub´ arvore de t. Seja u ρ l a sub´ arvore de u ρ na qual t i est´a contido. A sub´ arvore u ρ l pode ser ou do tipo 2 ou do tipo 3. Temos os dois casos abaixo.

                      Caso 1: u ρ l ´e do tipo 3: t i est´ a pendurado na raiz de u ρ . Definimos a maneira de pendurar t i em u δ

                      (1)

                      pondo t i na raiz de u δ

                      (1) .

                      ✁

                      (1)

                      . Em consequˆencia, pela defini¸c˜ ao de δ, temos u j ⊆ u δ

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      t i · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      (u δ

                      (1)

                      ) µ t i · · ·

                      Caso 2: u ρ l ´e do tipo 2: t i est´ a pendurado em um v´ertice x de u, numa sub´arvore u j ⊆ u ρ l . Por defini¸c˜ ao de γ, temos que a sub´ arvore u ρ l est´a na parte selecio- nada (u ρ ) σ

                      (1)

                      ,

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 235 ρ ρ ρ numa ´ unica u sub´ arvore de u . A sub´ arvore u pode ser ou do tipo 2 ou l l do tipo 3, e como antes, consideramos os dois casos. ρ

                      Caso 1: u ´e do tipo 3: l ρ t i est´ a pendurado na raiz de u . Definimos a maneira de pendurar δ δ t i em u pondo t i na raiz de u .

                      (2) (2) ρ σ ρ σ

                      (u ) (u )

                      (1) (2) ρ δ ν

                      u (u )

                      (2)

                      t i t i →

                      · · · · · · · · ·

                      ✁ ✁ ρ

                      Caso 2: u ´e do tipo 2: i l j ρ t est´ a pendurado em um v´ertice x de u, numa sub´arvore u ⊆ u . ρ l Por defini¸c˜ ao de γ, temos que a sub´ arvore u est´a na parte restante ρ σ l δ (u ) . Em consequˆencia, pela defini¸c˜ ao de δ, temos u j ⊆ u .

                      (2) δ (2)

                      Dessa forma, x ∈ u , e podemos definir a maneira de pendurar t i δ (2) em u fazendo t i pendurado em x .

                      (2) ρ σ ρ σ

                      (u ) (u )

                      (1) (2) ρ δ ν

                      u (u ) u (2) δ x u

                      (2)

                      x → t i t i

                      · · · · · ·

                      · · ·

                      ✁ ✁

                      (Cada termo da soma em ∆(t) · ∆(u) corresponde a um termo de ∆(t · u):) Agora, sejam dados γ γ δ

                      γ ∈ S n , δ ∈ S n , que fornecem as ´arvores t , t , u e

                      (t),k(t) (u),k(u) δ (1) (2) (1)

                      u e

                      (2) γ γ δ δ δ µ

                      µ ∈ F (t , u ) e ν ∈ F (t , u ), que fornecem as ´ arvores (u ) δ ν (1) (1) (2) (2) (1)

                      236 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite O termo (u δ

                      (2)

                      como sendo pendurar t i no v´ertice x 2 .

                      1 em u e defina o modo de pendurar t i em u

                      no qual t i est´a pen- durado. Considere x

                      (2)

                      de u δ

                      2

                      ) ν . Existe um v´ertice x

                      : Considere (u δ

                      (u δ

                      (2)

                      · · · Caso 2: t i ´e sub´ arvore de t γ

                      t i · · ·

                      1

                      u x

                      (2)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (1)

                      ✁

                      (2)

                      ✁

                      (2)

                      (2)

                      ) ou n˜ ao (tornando- se sub´ arvore de (t ρ ) σ

                      (1)

                      · · · Definimos, agora, σ. Precisamos tomar uma sub´ arvore de u ρ e decidir se esta ´e selecionada (tornando-se sub´ arvore de (t ρ ) σ

                      t i · · ·

                      2

                      u x

                      u ρ (u ρ ) σ

                      ) ν u δ

                      (1)

                      (u ρ ) σ

                      ✁

                      →

                      t i · · ·

                      2

                      x

                      (2)

                      (u ρ ) σ

                      →

                      (1)

                      tais que (u ρ ) σ

                      (2)

                      ) µ ⊗ (u δ

                      (1)

                      = (u δ

                      (2)

                      ⊗ (u ρ ) σ

                      (1)

                      (2)

                      Ent˜ ao ´e uma sub´ arvore ou de t γ

                      e (u ρ ) σ

                      (1)

                      , que resulta nas ´ arvores (u ρ ) σ

                      (u ρ ),k(u ρ )

                      ρ ∈ F (t, u), que resulta na ´ arvore u ρ e σ ∈ S n

                      ) ν ´e o termo da soma em ∆(t) · ∆(u) considerado. Exibiremos

                      (2)

                      ) µ ⊗ (u δ

                      ) ν . Come¸camos exibindo ρ. Para defin´ı-lo, precisamos tomar uma sub´ar- vore de t e mostrar como pendur´ a-la em u. Seja t i uma sub´ arvore de t.

                      (1)

                      t i · · ·

                      em u e defina a maneira de pendurar t i em u como sendo pendurar t i no v´ertice x

                      1

                      x

                      (1)

                      ) µ u δ

                      (1)

                      (u δ

                      ✁

                      1 .

                      1

                      ou de t γ

                      no qual t i est´a pendurado. Considere x

                      1 de u δ (1)

                      ) µ . Ent˜ ao existe um v´ertice x

                      (1)

                      : Considere (u δ

                      (1)

                      Caso 1: t i ´e sub´ arvore de t γ

                      (2) .

                      ). Seja u ρ l uma sub´ arvore de u ρ . Esta pode ser de

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 237 Caso 1: u ρ l dos tipos 1 e 2: Temos u j ⊆ u ρ l para alguma sub´ arvore de u. Definimos u ρ l ⊆ (u ρ l ) σ

                      ✁

                      se u j ⊆ t γ

                      (1)

                      e u ρ l ⊆ (u ρ l ) σ

                      (2)

                      se u j ⊆ t γ

                      (2) .

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      →

                      t γ

                      Caso 2: u ρ l do tipo 3: Temos u ρ l = t i para alguma sub´ arvore de t. Definimos u ρ l ⊆ (u ρ l ) σ

                      (1)

                      t t γ

                      (2)

                      t i · · · · · ·

                      ✁

                      t γ

                      (1)

                      t t γ

                      (2)

                      t i · · · · · ·

                      → (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      (1)

                      u ρ l · · · · · ·

                      (1)

                      (u ρ ) σ

                      se u j ⊆ u δ

                      (1)

                      e u ρ l ⊆ (u ρ l ) σ

                      (2)

                      se u j ⊆ u δ

                      (2) .

                      ✁

                      u δ

                      (1)

                      u u δ

                      (2)

                      u j · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      (1)

                      (2)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      (2)

                      u ρ l · · · · · ·

                      ✁

                      u δ

                      (1)

                      u u δ

                      (2)

                      u j · · · · · ·

                      →

                      ✁

                      (u ρ ) σ

                      (1)

                      u ρ (u ρ ) σ

                      u ρ l · · · · · ·

                      238 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Terminamos, pois, obtendo a equivalˆencia entre os termos de ∆(t · u) e ∆(t) · ∆(u). Com isso conclu´ımos que ∆ ´e um morfismo de ´algebras.

                      Passamos, ent˜ ao, ` a verifica¸c˜ ao de que ε ´e morfismo de ´algebras. (ε ´e morfismo de ´ algebras:) Basta ver que dadas t e u ´ arvores, t·u ter´ a sempre termos com mais v´ertices que , a n˜ ao ser que t = u = . Portanto

                      ✁ ✁

                      ε(t · u) = 0 = ε(t)ε(u) se t 6= • ou u 6= • ε(t · u) = ε(•) = 1 = ε(t)ε(u) se t = u = • e temos que ε ´e morfismo de ´ algebras.

                      A bi´ algebra H admite uma gradua¸c˜ ao natural dada pelo n´ umero de

                      GL

                      v´ertices das ´ arvores, e portanto ´e uma bi´ algebra conexa. Pelo teorema ´e uma ´ algebra de Hopf. Proposi¸ c˜ ao 5.3.13. A bi´ algebra

                      

                      M H GL = H GL (q) q

                      

                    =0

                      ´e conexa com gradua¸c˜ ao. Acima, os subespa¸cos H GL (q) s˜ ao os espa¸cos gerados pelas ´ arvores com n´ umero de v´ertices igual a q + 1.

                      L

                      ∞

                      Demonstra¸c˜ ao. Mostraremos que H GL = H GL (q) ´e uma gradua¸c˜ ao q

                      =0

                      e torna H GL conexa. Temos que:

                      1. H (0) = K ;

                      GL ✁

                      ∞

                      M

                      2. Por constru¸c˜ ao, H = H (q) ;

                      GL GL q =0

                      3. O produto u·v de ´ arvores com tamanho |u| = p+1 e |v| = q+1 produz uma soma de ´ arvores com tamanho |u · v| = |u| + |v| − 1 = p + q + 1, portanto H GL (p) · H GL (q) ⊆ H GL (p + q) ;

                      4. Seja t uma ´ arvore com |t| = q + 1. As parcelas de ∆(t) consistem

                    • na concatena¸c˜ ao via B de algumas sub´ arvores de t na primeira entrada do tensor e do restante das sub´ arvores concatenadas

                      B na segunda entrada. Lembramos que |B (x)| = |x| + 1 para

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 239 entrada, ent˜ ao q − l + 1 ´e a ordem da ´arvore na segunda entrada q

                      X do produto tensorial. Portanto ∆(t) ∈ H (l) ⊗ H (q − l), e l GL GL q =0 X ∆(H GL (q)) ⊆ H GL (l) ⊗ H GL (q − l). l

                      =0

                      Proposi¸ c˜ ao 5.3.14. H ´e uma ´ algebra de Hopf, com ant´ıpoda dada

                      GL

                      recursivamente por: S(•) = • k

                      −1

                      X X

                      S(t) = −t − S B t σ . . . t σ · B t σ . . . t σ l σ (1) (l) (l+1) (k) k =1 ∈S n,k −1

                      X X σ σ = −t − S t · t , l =1 σ ∈S n,k (1) (2) em que:

                    • t = B (t . . . t n ) ´e uma ´ arvore com n sub´ arvores;

                    1 S n,k ´e o conjunto das permuta¸c˜ oes do tipo “shuffle” de {1, 2, . . . , n},

                      isto ´e, permuta¸c˜ oes σ tais que σ(1) &lt; σ(2) &lt; . . . &lt; σ(k) σ(k + 1) &lt; σ(k + 2) &lt; . . . &lt; σ(n) ;

                    • σ σ t = B t σ . . . t σ e t = B t σ . . . t σ .

                      

                    (1) (l) (l+1) (k)

                    (1) (2)

                      Demonstra¸c˜ ao. Segue do teorema e da defini¸c˜ ao do coproduto.

                      240 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Exemplo 5.3.15. C´ alculo da ant´ıpoda para ´ arvores de 1 a 4 v´ertices:

                      S( ) =

                      ✁ ✁

                      S = −

                      ✁ ✁

                      S = −

                      ✁ ✁

                      S = + 2

                      ✁ ✁

                       

                      

                        S = −

                      ✁ ! ✁

                      S = −

                      ✁ ✁

                      ! S = + 2 +

                      ✁ ✁ ✁ ✁

                      S = − − 3 − 6 − 6

                      ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                    5.3.2 Vers˜ ao ordenada

                      Nesta se¸c˜ ao construiremos uma vers˜ao da ´ algebra de Grossman-Larson usando ´ arvores ordenadas. Denote por H o espa¸co vetorial gerado pelas

                      GL

                      ´ arvores ordenadas n˜ ao vazias PRT \ {1}. Usaremos, por simplicidade, a mesma nota¸c˜ ao do caso das ´ arvores (n˜ ao-ordenadas), e ficar´a especificado pelo contexto a que caso estamos nos referindo.

                      Repetiremos as defini¸c˜ oes e proposi¸c˜ oes, an´ alogas `as da se¸c˜ ao ante- rior, chamando a aten¸c˜ ao para as diferen¸cas, que consistem em preservar a ordena¸c˜ ao nas ´ arvores. As demonstra¸c˜ oes das proposi¸c˜ oes, por serem essencialmente as mesmas, ser˜ ao omitidas.

                      Defini¸ c˜ ao 5.3.16. Definimos o produto entre duas ´arvores n˜ ao-ordenadas e estendemos por bilinearidade.

                      Dadas duas ´ arvores u 6= e v, tomamos a primeira, u, deletamos a

                      ✁

                      ra´ız e seus v´ertices, ficando com u

                      1 , . . . , u k sub´ arvores. Penduramos essas

                      sub´ arvores em alguns v´ertices de v (ligando por uma aresta o v´ertice de v com a ra´ız de uma das sub´ arvores). Somamos sobre todas as poss´ıveis maneiras de pendurar as sub´ arvores nos v´ertices de v, e a soma ´e definida

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 241 deve-se conectar todas as sub´ arvores exatamente uma vez, como no caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas.

                      A diferen¸ca, nesse caso, ´e que devemos manter a ordem das sub´ arvores quando estas s˜ ao penduradas no mesmo v´ertice. Tamb´em quando pen- duramos uma sub´ arvore num v´ertice que tenha outros galhos (da ´arvore original) ´e importante observar a maneira como a sub´arvore e os galhos est˜ ao intercalados. Desse modo, se temos u v e ,

                      ✁

                      u ✁ u

                      1

                      2

                      ent˜ ao ´e uma maneira permitida de pendurar, u u

                      1

                      2 ✁

                      n˜ ao ´e uma maneira permitida de pendurar, u u

                      2

                      1 ✁

                      e temos que , e u u u

                      1

                      

                    1

                      1

                      u u u

                      2

                      2

                      2

                    ✁ ✁ ✁

                    s˜ao maneiras diferentes de pendurar.

                      Tamb´em definimos que · v = v, e portanto, a unidade para esse

                      ✁ produto ´e . ✁

                      Exemplo 5.3.17. Segue abaixo um esquema de c´ alculo do produto. Com-

                    • ✁ t
                    • 2
                    • >✁✁
                    • ✁ ✁
                    • 3
                    • ✁ ✁
                    • 3
                    • 2
                    • ✁ .

                      t

                      ✁

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      

                    1

                      t

                      2

                      1

                      t

                      ✁

                      1

                      2 t

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      1

                      1

                      t

                      2

                      ✁

                      ✁

                      ✁

                      ✁

                      2

                      =

                      ✁

                      ·

                      

                      ✁

                      =

                      ✁

                      ·

                      =

                      t

                      ✁

                      ·

                      ✁ ✁

                      ✁

                      =

                      ✁

                      ·

                      ✁

                      Exemplo 5.3.18. Seguem mais alguns exemplos. Compare com o exem- plo do caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas.

                      1 e t 2 .

                      das ´ arvores ordenadas t

                      2 N˜ ao ´e poss´ıvel juntar alguns desses termos se n˜ ao soubermos o formato

                      1 t

                      t

                      1

                      2 t

                      t

                      ✁ t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      

                    1

                      2

                      t

                      t

                      1

                      t

                      ✁

                      =

                      ✁

                      ·

                      2

                      t

                      1

                      t

                      ✁

                      242 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                      2

                      1

                      t

                      1

                      ✁

                      1

                      2 t

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2 t

                      t

                      t

                      ✁

                      1

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      t

                      1

                      t

                      2

                      Observa¸c˜ ao 5.3.19. Pelo exemplo anterior, podemos ver que o produto do

                      5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 243 Da mesma forma que no caso das ´ arvores (n˜ ao-ordenadas), esse produto

                      ´e associativo. A demonstra¸c˜ ao segue a mesma ideia da do caso das ´arvores n˜ ao ordenadas, com uma complica¸c˜ ao adicional devido ao fato de poder- mos pendurar de maneiras diferentes num mesmo v´ertice (intercalando as sub´ arvores nos ramos j´ a existentes).

                      Proposi¸ c˜ ao 5.3.20. O produto definido acima ´e associativo.

                      O coproduto ´e an´ alogo ao caso das ´ arvores n˜ao-ordenadas.

                    • Defini¸ c˜ ao 5.3.21. ∆ ´e definido, para t = B (t . . . t n ) ´arvore ordenada,

                      1

                      por ∆(•) = • ⊗ • n

                      X X

                    • + +

                      ∆(t) = B t . . . t ⊗ B t . . . t k σ σ (1) σ (k) σ (k+1) σ (n)

                      =0 ∈S n,k

                    • = t ⊗ ⊗ t +
                    • n ✁ ✁

                        −1

                        X X

                      • n k =1 σ ∈S n,k B t . . . t ⊗ B t . . . t σ (1) σ (k) σ (k+1) σ (n)

                          X X σ σ = t ⊗ t , k σ (1) (2) =0 ∈S n,k em que S n,k ´e o conjunto das permuta¸c˜ oes σ do tipo“shuffle”de {1, 2, . . . , n}, isto ´e, s˜ ao permuta¸c˜ oes tais que

                          σ(1) &lt; σ(2) &lt; . . . &lt; σ(l) σ(l + 1) &lt; σ(l + 2) &lt; . . . &lt; σ(k) . Tamb´em definimos a seguinte nota¸c˜ ao auxiliar, como antes: σ

                        • t := B t σ . . . t σ

                          (1) (k) σ (1)

                        • t := B t σ . . . t σ .

                          (k+1) (n) (2)

                        • A diferen¸ca desse caso, das ´ arvores ordenadas, ´e que a opera¸c˜ ao B pre- serva a ordem das ´ arvores componentes da floresta ordenada. Note que a permuta¸c˜ ao do tipo “shuffle” tamb´em mant´em a ordem das sub´arvores da arvore t nas duas componentes tensoriais do coproduto. ´ Se a ´ arvore t tem n sub´ arvores t

                          1 , . . . , t n , o n´ umero de termos da soma

                          continua sendo n n

                          X X n n |S n,k | = = 2 . k

                        • .
                          • (t) s˜ao primitivos em H
                          • (t) : t ∈ PRT} .
                          • 2

                        • 3
                        • 3

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ! =

                          ✁

                          ∆

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ! =

                          ✁

                          ∆

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          GL

                          H

                          

                        =0

                          M q

                          

                          =

                          GL

                          H

                          Proposi¸ c˜ ao 5.3.25. H GL ´e uma bi´ algebra cocomutativa. Proposi¸ c˜ ao 5.3.26. A bi´ algebra

                          ✁ Proposi¸ c˜ ao 5.3.24. O coproduto ´e coassociativo e cocomutativo.

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          =

                          ✁

                          ∆

                          ⊗

                          ✁

                          ! =

                          ✁

                          ✁

                          ∆

                          

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          =

                          ✁

                          ∆

                          ⊗

                          ✁

                          ✁

                          ) =

                          ✁

                          Exemplo 5.3.23. C´ alculo do coproduto das ´ arvores de tamanho at´e 4: ∆ (

                          ) = span{B

                          GL

                          , e P(H

                          GL

                          Observa¸c˜ ao 5.3.22. Os elementos da forma B

                          244 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite A counidade ´e a transforma¸c˜ ao linear definida na base por ε(t) = δ t,

                          =

                          ⊗

                          ✁

                          ✁

                          ∆

                          

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          =

                           

                          ✁

                          ∆  

                          ⊗

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          ⊗

                          ✁

                          =

                          ✁

                          ∆

                          

                          ⊗

                          (q) ´e conexa com gradua¸c˜ ao. Acima, os subespa¸cos H GL (q) s˜ ao os espa¸cos gerados pelas ´ arvores ordenadas com n´ umero de v´ertices igual a q + 1.

                        • (t
                        • t σ
                        • t σ
                        • t σ
                        • t σ

                          3

                          ✁

                          = −

                           

                          ✁

                          S  

                          ✁

                          ✁

                          =

                          ✁

                          ✁

                          S

                          ✁

                          = −

                          ✁

                          S

                          ✁

                          = −

                          S

                          ! = −

                          S

                          ! =

                          ✁

                          = −19

                          ✁

                          S

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          S

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ✁

                          ! =

                          ✁

                          S

                          ✁

                          ✁

                          − 9 − 21 − 21 − 6 .

                          

                        (1)

                          = −t − k

                          (k)

                          . . . t σ

                          (l+1)

                          · B

                          (l)

                          . . . t σ

                          S B

                          X l

                          ∈S n,k

                          X σ

                          X l =1

                          −1

                          S(t) = −t − k

                          . . . t n ), por: S(•) = •

                          

                        1

                          5.3. ´ Algebra de Grossman-Larson 245 dada recursivamente, para t = B

                          −1

                          =1

                          ) =

                          (l)

                          ✁

                          Exemplo 5.3.28. C´ alculo da ant´ıpoda aplicada nas ´arvores ordenadas com tamanho de 1 at´e 4: S(

                          (k) .

                          . . . t σ

                          

                        (l+1)

                          = B

                          (2)

                          t σ

                          . . . t σ

                          X σ ∈S n,k S t σ

                          

                        (1)

                          = B

                          (1)

                          σ(1) &lt; σ(2) &lt; . . . &lt; σ(k) σ(k + 1) &lt; σ(k + 2) &lt; . . . &lt; σ(n) . Usamos tamb´em a nota¸c˜ ao auxiliar do coproduto: t σ

                          , em que S n,k ´e o conjunto das permuta¸c˜ oes do tipo “shuffle” de {1, 2, . . . , n}, isto ´e, permuta¸c˜ oes σ tais que

                          

                        (2)

                          · t σ

                          (1)

                        • 2
                        • 2
                        • 2
                        • 2
                        • 2
                        • 2
                        • 2

                          246 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                        5.4 Teorema de Panaite

                          As ´ algebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson s˜ao ´algebras de Hopf conexas que admitem gradua¸c˜ ao. Exploraremos a rela¸c˜ ao entre essas duas ´ algebras no restante do trabalho.

                          Para mostrar a rela¸c˜ ao entre essas duas ´ algebras, ser´a necess´ario mos- trar o teorema de Panaite. Inicialmente, prepararemos a nota¸c˜ao para abordar esse teorema. No decorrer, faremos uso do teorema de Milnor- Moore (teorema , e portanto ser´ a necess´ario assumir que o corpo K tenha caracter´ıstica nula.

                          O teorema de Panaite caracteriza a ´ algebra de Grossman-Larson H

                          GL

                          como a ´ algebra envolvente universal de uma certa ´algebra de Lie ̥. Essa ´ algebra de Lie est´ a no dual da ´ algebra de Connes-Kreimer, e ser´a definida adequadamente no decorrer da se¸c˜ ao.

                          Primeiramente, estabelecemos uma nota¸c˜ ao para os cortes admiss´ıveis que selecionam apenas uma aresta. Ser´ a ´ util distingu´ı-los dos demais. Defini¸ c˜ ao 5.4.1. Seja t ∈ RT ou t ∈ PRT. Chamamos de cortes elemen- tares de t os cortes c ∈ Cut(t) que pegam apenas uma aresta de t. Os cortes elementares s˜ao cortes admiss´ıveis, e denotamos o conjunto de cor- tes elementares por Adm (t). O conjunto de cortes admiss´ıveis que pegam

                          1 mais de uma aresta ´e denotado por Adm &gt; (t).

                          1 Observa¸c˜ ao 5.4.2. Seja t ∈ RT ou t ∈ PRT, e seja c ∈ Adm(t). Observe

                          que s˜ao equivalentes: 1. c ∈ Adm c 1 (t) ´e corte elementar;

                          2. P (t) ´e uma ´ arvore (ordenada ou n˜ ao-ordenada, dependendo do con- texto); c c 3. P (t) e R (t) s˜ao ´ arvores (ordenadas ou n˜ ao-ordenadas). c De fato, 2. ⇔ 3. ´e imediato pois R (t) sempre ´e uma ´arvore. E 1. ⇔ 2. c porque o n´ umero de ´ arvores em P (t) ´e igual ao n´ umero de arestas cortadas por c ∈ Adm(t).

                          No restante da se¸c˜ ao adotaremos a nota¸c˜ ao abaixo para os coeficientes dos termos do produto em H e do coproduto em H .

                        GL CK

                          Defini¸ c˜ ao 5.4.3. Sejam u, v, r ∈ RT. Denote por:

                        • n(u, v; r) o coeficiente em r do produto B (u) · v, ou seja, o

                          H GL

                          5.4. Teorema de Panaite 247 m(u, v; r) o coeficiente em u ⊗ v de ∆ (r), ou seja, o n´ umero de c c H CK cortes (elementares) c de r tais que P (r) = u e R (r) = v.

                          Nessa nota¸c˜ ao, temos

                          X

                        • B (u) · v = n(u, v; r)r

                          H GL r

                          X X c c ∆ H (r) = r ⊗ 1 + 1 ⊗ r + m(u, v; r)u ⊗ v + P (r) ⊗ R (r) . CK u,v c ∈Adm (r) &gt; 1 As somas s˜ ao sobre todas as ´ arvores (ordenadas ou n˜ao-ordenadas, depen- dendo do contexto em que estivermos), e apenas uma quantidade finita de coeficientes ´e n˜ ao-nula em cada soma. Usaremos essa nota¸c˜ao tanto no contexto das ´ arvores n˜ ao-ordenadas como no das ´arvores ordenadas.

                          H´ a rela¸c˜ ao entre esses dois coeficientes, nos dois contextos. No caso das ´ arvores ordenadas, esses coeficientes s˜ ao iguais, e no caso n˜ao-ordenado, a rela¸c˜ ao ´e simples, mas exige alguns coeficientes multiplicativos para dar conta da comutatividade dos ramos das ´ arvores. Veremos essas rela¸c˜oes no come¸co das pr´ oximas se¸c˜ oes.

                        5.4.1 Vers˜ ao para ´ arvores n˜ ao-ordenadas

                          No caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas, podemos comutar os ramos de uma ´ arvore e n˜ ao alteramos a ´ arvore considerada. Em particular, vamos voltar nossa aten¸c˜ ao para as permuta¸c˜ oes entre ramos idˆenticos.

                          Defini¸ c˜ ao 5.4.4. Seja t ∈ RT uma ´ arvore n˜ ao-ordenada. Dado um v´ertice V V de t, podemos definir uma ´ arvore t com V como raiz e formada apenas pelos v´ertices descendentes de V , com as mesmas arestas que tinham em t. Definimos tamb´em t \ t V como sendo a ´ arvore t excluindo-se o ramo t V .

                          A figura abaixo ilustra essa defini¸c˜ ao. t t V t \ t V

                          →

                          V

                          ✁ ✁ ✁

                          248 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Defini¸ c˜ ao 5.4.5. Definimos:

                          1. Dado um v´ertice W de t, seja SG(t, W ) o grupo de permuta¸c˜oes de ramos idˆenticos de t saindo de W sem permutar os “sub-ramos”desses ramos, isto ´e, trocando apenas a ordem dos v´ertices filhos de W , sem trocar a ordem de outros v´ertices descendentes.

                          Se W tem n v´ertices filhos e n ramos idˆenticos pendurados, o grupo SG(t, W ) ´e isomorfo a S n . Numa situa¸c˜ ao mais geral, seja W com n = α +. . . α k v´ertices filhos,

                          1

                          em que para cada i = 1, . . . , k, temos α i ramos idˆenticos (a um ramo t i ). Aqui consideramos todos os t i ’s distintos. A figura abaixo ilustra o formato dos ramos pendurados a W considerados:

                          W . . . . . . . . . . . . t

                          1 t 1 t 2 t 2 t k t k ✁

                          | {z } | {z } | {z } α α α 1 vezes vezes vezes 2 k Temos que o grupo SG(t, W ) ´e isomorfo a S α × . . . × S α . 1 k

                          2. SG(t) como o grupo de todas as permuta¸c˜ oes de ramos idˆenticos de t, saindo de um mesmo v´ertice (e todas as composi¸c˜ oes dessas permuta¸c˜ oes). Temos o produto direto de grupos

                          Y SG(t) = SG(t, W ) ; W ∈Vert(t)

                          3. Fix(V, t) como o subgrupo de SG(t) que mant´em fixo o v´ertice V ;

                          4. Fix(c, t) como o subgrupo de SG(t) que mant´em fixa a aresta c, isto ´e, mant´em fixos os v´ertices c i e c f , origem e t´ermino da aresta c;

                          5. Fix(t V , t) o subgrupo de SG(t) que mant´em todos os v´ertices de t V fixos, em que V ´e um v´ertice de t e t V ´e a ´ arvore formada por todos os v´ertices descendentes de V em t, com as mesmas arestas de t; 6. s t := |SG(t)| o n´ umero de permuta¸c˜ oes poss´ıveis entre ramos idˆenti-

                          5.4. Teorema de Panaite 249 Exemplo 5.4.6. Seja

                          (1) (1.1) (1.2) t =

                          . (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3)

                          ✁

                          Considere as permuta¸c˜ oes de ramos idˆenticos p , p e p dadas abaixo:

                          1

                          2

                          3

                          (1) (1.1) (1.2)

                          ←→ p

                          1 :

                          (1.1.1) (1.1.1) (1.1.1) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3)

                          ✁

                          (trocar t ↔ t )

                          (1.1) (1.2)

                          (1) (1.1) (1.2) p :

                          2

                          ←− → →

                          (1.1.1) (1.1.1) (1.1.1) (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3)

                          ✁

                          (trocar t → t → t → t )

                          (1.2.1) (1.2.2) (1.2.3) (1.2.1)

                          p : (trocar t ↔ t )

                          3 (1.1.1) (1.2.2)

                          Temos que

                          250 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Para a permuta¸c˜ ao de ramos idˆenticos estar em SG(t), podemos permutar ramos que estejam ligados a um mesmo v´ertice (como no caso de p e p ),

                          1

                          2

                          mas n˜ ao podemos permutar ramos idˆenticos presos a v´ertices diferentes (como em p ).

                        3 Al´em disso, sejam c a aresta que liga (1) a (1.2) e V o v´ertice (1.1).

                          Temos que p

                          2 n˜ ao muda c, V nem t V de lugar, portanto

                          p ∈ Fix(c, t) , p ∈ Fix(V, t) e p ∈ Fix(t V , t) .

                          2

                          2

                          2 Por fim, o fator de simetria de t ´e s t = 2! · 3! · 3! = 72 .

                          Proposi¸ c˜ ao 5.4.7. Podemos escrever o fator de simetria s t por meio de uma f´ ormula recursiva. Para a ´ arvore vazia e a ´ arvore de um v´ertice, temos: s = 1

                          1 α α s = 1 . •

                        • 1 k

                          Para t = B (t · · · t ), com ´ arvores distintas t , . . . , t k , o fator de sime-

                          1 1 k

                          tria ´e dado por: α1 αk α α 1 k s t = s = s α ! · · · s α k ! . B t

                          1 t + (t ···t ) 1 k 1 k

                          Demonstra¸c˜ ao. De fato, considere a seguinte figura: t . . . . . . . . . . . . t

                          1 t 1 t 2 t 2 t k t k

                          | {z } | {z } | {z } α α α 1 vezes vezes vezes

                        2 k

                        Uma permuta¸c˜ ao de ramos idˆenticos de t corresponde exatamente a uma permuta¸c˜ ao de ramos idˆenticos SG(t, raiz) (quantidade: α ! . . . α k !)

                          1

                          combinada (de maneira independente) com α 1 α permuta¸c˜ oes de ramos idˆenticos de t (quantidade: s ) ,

                          1 1 t 1 ..

                          . α k

                        • +

                          (t c f

                        • (t c f
                        • (t c f
                        • (t c f
                        • (t c f
                        • (t c f ).
                        • (t c f

                          Com isso, temos Fix(c, r) = Fix B

                          e, independentemente, permutando os ramos de t c f dentro de B

                          )) ,

                          ) (e permutando os ramos iguais fora de B

                          · · · Como desejamos fixar apenas c i e c f , podemos fazer isso fixando os v´ertices de B

                          · · · · · ·

                          ) c i c t c f c f

                          t B

                          1. Veja a seguinte figura.

                          ✁

                          ), t , em que t \ t c f ´e a ´ arvore obtida deletando-se o ramo t c f de t. Demonstra¸c˜ ao.

                          2. Vale a seguinte igualdade de permuta¸c˜ oes: Fix c i , t \ t c f = Fix B

                          ), t × SG(t c f ) .

                          1. O conjunto das permuta¸c˜ oes que fixam a aresta c pode ser escrito por: Fix(c, t) = Fix B

                          Proposi¸ c˜ ao 5.4.8. Seja t uma ´ arvore e c uma aresta de t, partindo do v´ertice c i ao v´ertice c f .

                          · s α k t k .

                          1 ! . . . α k ! · s α 1 t 1

                          5.4. Teorema de Panaite 251 O n´ umero de permuta¸c˜ oes de ramos idˆenticos de t ´e, ent˜ao, s t = α

                          ), r × SG(t c f ) .

                          252 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                        • 2. Note que t \ t c ´e idˆentico a t quando se colapsa o ramo B (t c ) de f
                        • f t num v´ertice • (nomeado por c i ).

                            · · · t · · · t c i c i

                          • B (t c ) f c

                            · · · · · · t c c f f · · · · · ·

                            ✁ ✁

                          • Fixar B (t c ) em t, e permutar os outros ramos, ´e equivalente, ent˜ao, f a fixar o v´ertice c i em t \ t c e permutar os outros ramos. f

                            Com essa nota¸c˜ ao, veremos a rela¸c˜ ao entre os coeficientes n(u, v; r) e m(u, v; r). Lema 5.4.9. Sejam u, v, r ∈ RT. Temos n(u, v; r)s r = m(u, v; r)s u s v , em que, relembrando,

                          • n(u, v; r) ´e o coeficiente em r do produto B (u) · v, ou seja, ´e o

                            H GL

                            n´ umero de maneiras de se pendurar u em v e obter r m(u, v; r) ´e o coeficiente em u ⊗ v de ∆ H (r), ou seja, ´e o n´ umero c c CK de cortes (elementares) c de r tais que P (r) = u e R (r) = v s t ´e o fator de simetria de t ∈ RT. Demonstra¸c˜ ao. Mostramos, primeiramente, que ambos os coeficientes se anulam simultaneamente. Ou, de modo equivalente, ambos s˜ao n˜ ao nulos simultaneamente.

                            Afirma¸ c˜ ao: n(u, v; r) 6= 0 sse m(u, v; r) 6= 0. Prova da afirma¸c˜ ao. De fato, se n(u, v; r) 6= 0, ent˜ ao ´e poss´ıvel obter r pendurando u em algum v´ertice V de v. Tomando como corte elemen- tar c exatamente a aresta que ´e formada ao pendurar u em V , obtemos c c

                            5.4. Teorema de Panaite 253 se m(u, v; r) 6= 0, ent˜ao ´e poss´ıvel cortar com c uma aresta de forma que c c P (r) = u e R (r) = v. Denotando por V o v´ertice origem da aresta cortada, temos que V tamb´em ´e v´ertice de v; e se pendurarmos u em V , recobramos r. Portanto n(u, v; r) 6= 0. y

                            Suponha agora que ambos m(u, v; r), n(u, v; r) s˜ao n˜ ao nulos. Fixe c c c um corte elementar tal que P (r) = u e R (r) = v. Denote por c i e c f os v´ertices inicial e final da aresta c. Temos que c i ´e um v´ertice de r e tamb´em de v, e c f ´e um v´ertice de r mas tamb´em corresponde `a raiz de c u. Ainda, temos r c = P (r) = u. f r v c i c − −− u c f

                            

                            Note que pelo item 1. proposi¸c˜ ao anterior,

                          • Fix B (r c ), r × SG(r c ) f f

                            ´e o grupo de permuta¸c˜ oes que fixam a aresta c de r. Portanto, a quantidade de classes de permuta¸c˜ oes (de ramos idˆenticos) em r que mudam c de lugar para um mesmo lugar ´e:

                            |SG(r)| |SG(r)| = . c ), r × SG(r c )| |Fix B (r c ), r × SG(u)| f f f

                          • |Fix B (r
                          • Todas as permuta¸c˜ oes que trocam c de lugar produzem os mesmos ele- c c mentos P (t) = u e R (t) = v. E temos que m(u, v; r) ´e a quantidade de classes de permuta¸c˜ oes que mudam c para um mesmo lugar. Ent˜ao

                            SG(r) m(u, v; r) = f

                          • +

                            Fix B (r c ), r × SG(u)

                            |SG(r)| =

                          • +

                            |Fix B (r c ), r | · |SG(u)| f s r
                          • +

                            254 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Por outro lado, observe que

                            Fix(c i , v) i ´e o grupo das permuta¸c˜ oes que fixam o v´ertice c , e portanto a quantidade de classes de permuta¸c˜ oes (de ramos idˆenticos) em v que mudam o v´ertice c i de lugar, para um mesmo lugar, ´e:

                            |SG(v)| . |Fix(c i , v)|

                            Temos que n(u, v; r) ´e essa quantidade de classes, portanto: SG(v) n(u, v; r) =

                            Fix(c i , v) |SG(v)|

                            = |Fix(c i , v)| s v

                            = .

                            |Fix(c i , v)|

                          • Agora, note que h´ a uma correspondˆencia Fix B (r c ), r = Fix(c i , v), pelo f item 2. da proposi¸c˜ ao (em que v = r \ r c ). Portanto: f
                          • |Fix B (r c ), r | = |Fix(c i , v)| f s r s v

                            =⇒ = m(u, v; r) · s u n(u, v; r) =⇒ n(u, v; r)s r = m(u, v; r)s u s v .

                            Definimos abaixo um conjunto de funcionais em H CK . Descobriremos que esses funcionais tˆem uma rela¸c˜ ao interessante com a ´algebra H GL .

                            ′ ◦

                            Defini¸ c˜ ao 5.4.10. Seja t ∈ RT \ {1}. Defina os funcionais Z t , Z ∈ H t

                            CK

                            pondo Z t (f ) = δ t,f

                            ′

                            Z (f ) = s t δ t,f t para todo f ∈ RF. Denote o espa¸co vetorial gerado por esses funcionais por

                            ′

                            z := span Z t | t ∈ RT \ {1} = span Z | t ∈ RT \ {1} . t

                            5.4. Teorema de Panaite 255

                            ′

                            Observa¸c˜ ao 5.4.11. Z t e Z s˜ao deriva¸c˜ oes. De fato, dados f , f ∈ RF ⊆ t

                            1

                            2 H , temos: CK

                            ( 1, f = 1, f = t ou f = t, f = 1

                            1

                            2

                            1

                            2 Z t (f · f ) =

                            1

                            2

                            0, caso contr´ ario = Z t (f

                            1 )ε(f

                          2 ) + ε(f

                          1 )Z t (f 2 )

                            ( s t , f = 1, f = t ou f = t, f = 1

                            1

                            2

                            1

                            2 ′

                            Z (f · f ) = t

                            1

                            2

                            0, caso contr´ ario

                            ′ ′

                            = Z (f t t 1 )ε(f

                          2 ) + ε(f

                          1 )Z (f 2 ) .

                            O produto f · f e a counidade ε(f ) = δ f, , aqui, s˜ao em H . Dessa

                            1

                            2

                            1 CK ′

                            forma, Z t , Z ∈ Der ε (H ), como afirmado. t CK

                            

                          ′ ◦

                          Isso tamb´em implica que Z t , Z ∈ H , pois satisfazem a condi¸c˜ao 1. t CK do teorema

                            ′

                            Observa¸c˜ ao 5.4.12. Por Z t e Z serem deriva¸c˜ oes, temos Z t (1) = 0 e t

                            ′ Z (1) = 0. t

                            Veremos como esses funcionais se comportam com rela¸c˜ ao ao produto

                            ◦ de convolu¸c˜ ao em H . CK

                            Proposi¸ c˜ ao 5.4.13. Para ´ arvores u, v ∈ RT \ {1}, temos

                            X

                            1. Z u ∗ Z v (t) = m(u, v; r)Z r (t) , ∀t ∈ RT \ {1}; r

                            ∈RT

                            X 2. [Z u , Z v ] = m(u, v; r) − m(v, u; r) Z r ; r

                            ∈RT

                            X

                            ′ ′ ′

                            3. Z ∗ Z (t) = n(u, v; r)Z (t) , ∀t ∈ RT \ {1}; u v r r ∈RT

                            X

                            ′ ′ ′ 4. [Z , Z ] = n(u, v; r) − n(v, u; r) Z . u v r r ∈RT De 2. ou 4. segue que z ´e uma sub´ algebra de Lie de Der ε (H CK ).

                            Demonstra¸c˜ ao. Sabemos que o colchete de duas deriva¸c˜oes ´e uma deriva- ¸c˜ ao. Portanto, em 2. e em 4., precisamos apenas mostrar a igualdade para arvores. Mas estas seguem de 1. e 3., respectivamente, lembrando que o ´ colchete em Der ε (H ) ´e dado pelo comutador

                            CK [g, h] = g ∗ h − h ∗ g, ∀g, h ∈ Der ε (H ) .

                            CK

                            256 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                            1. Temos Z u ∗Z v = µ ◦(Z u ⊗Z v )◦∆ . Seja t ∈ RT\{1}. Escrevemos

                            K H CK

                            X c c c c

                            X ∆ H (t) = t⊗1+1⊗t+ P (t)⊗R (t)+ P (t)⊗R (t) . CK c c

                            ∈Adm (t) ∈Adm (t) 1 &gt; 1 Aplicando Z u ⊗ Z v , sobra apenas a soma sobre cortes elementares

                            c ∈ Adm (t), j´ a que Z u e Z v se anulam em 1 e em florestas com mais

                            1

                            

                            de uma componentPortanto

                            X c c Z u ∗ Z v (t) = Z u P (t) · Z v P (t) . c

                            ∈Adm c c 1 (t)

                            Al´em disso, os termos Z u P (t) · Z v P (t) se anulam, a n˜ ao ser c c que P (t) = u e R (t) = v, quando valem 1. Assim, a soma fica igual c ao n´ umero m(u, v; t) de cortes elementares que fornecem P (t) = u c e R (t) = v. Decorre que: Z u ∗ Z v (t) = m(u, v; t)

                            X = m(u, v; r)δ r,t r

                            

                          ∈RT

                            X = m(u, v; r)Z r (t) . r

                            

                          ∈RT

                          ′ ′

                            3. De forma an´ aloga ao item acima, consideramos o produto Z ∗ Z = u v

                            ′ ′

                            µ ◦ (Z u ⊗ Z v ) ◦ ∆ H , tomamos t ∈ RT \ {1} e escrevemos

                            K CK

                            X c c c c

                            X ∆ (t) = t⊗1+1⊗t+ P (t)⊗R (t)+ P (t)⊗R (t)

                            H CK c c ∈Adm 1 (t) ∈Adm &gt; 1 (t) ′ ′

                            Aplicamos Z ⊗ Z , e como antes, sobra apenas a soma sobre cortes u v

                            ′ ′

                            elementares c ∈ Adm (t) porque Z e Z se anulam em 1 e em

                            

                          1 u v

                            

                            florestas com mais de uma componente . Obtemos

                            X c c

                            ′ ′ ′ ′ Z ∗ Z (t) = Z P (t) · Z P (t) . u v u v c ∈Adm 1 (t) c c ′ ′

                            Aqui temos uma pequena modifica¸c˜ ao: os termos Z P (t) ·Z P (t) c c u v 2 c se anulam a n˜ ao ser que P (t) = u e R (t) = v, quando valem s u s v .

                            5.4. Teorema de Panaite 257 Nesse caso, a soma vale m(u, v; t) · s u s v . Portanto

                            ′ ′

                            Z ∗ Z (t) = m(u, v; t) · s u s v u v

                            X = m(u, v; r)s u s v δ r,t r ∈RT

                            X

                            

                            = n(u, v; r)s r δ r,t r

                            ∈RT

                            X

                            ′

                            = n(u, v; r)Z (t) , r r

                            

                          ∈RT

                          onde usamos o lema

                            Vamos ao teorema que identifica U (z) com a ´algebra de Grossman- Larson H .

                            GL

                            Teorema 5.4.14 (Panaite, vers˜ao para ´ arvores n˜ao-ordenadas). A ´ algebra de Hopf de Grossman-Larson ´e isomorfa ao recobrimento da ´ algebra de Lie z

                            . Em outras palavras, ∼

                            H GL = U (z) como ´ algebras de Hopf. Lembramos que o corpo K considerado tem carac- ter´ıstica nula. Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, observamos que H ´e uma bi´algebra co-

                            GL

                            nexa e cocomutativa sobre um corpo de caracter´ıstica nula. Podemos, en- ∼ t˜ ao, usar o teorema de Milnor-Moore, e escrever que H GL = U P(H GL ) como ´ algebras de Hopf. Se mostrarmos que z ∼ = P(H ), obtemos via pro-

                            GL

                            ∼ posi¸c˜ ao que U (z) ∼ = U P(H ) , e portanto, que H = U (z), como

                            GL GL queremos demonstrar.

                            Basta mostrar a seguinte afirma¸c˜ ao: Afirma¸ c˜ ao: z e P(H ) s˜ao ´ algebras de Lie isomorfas via

                            GL

                            ψ : z → P(H )

                            GL

                          • + ′

                            Z t → B (t) .

                            Prova da afirma¸c˜ ao. Come¸caremos mostrando que ψ ´e bije¸c˜ ao.

                            ′ +

                            (Sobrejetividade:) Os elementos de H da forma B (t) = ψ(Z ) s˜ao

                            GL t

                            258 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite (Injetividade:) Temos ker(ψ) = 0 pois

                            !

                            X X

                            X

                            ′

                          • i i i a i Z ∈ ker(ψ) =⇒ ψ a i Z = 0 =⇒ a i B (t i ) = 0 t t i i

                              X

                              ′ =⇒ a i = 0, ∀i =⇒ a i Z = 0 . i t i

                              Veremos agora que ψ ´e morfismo de ´ algebras de Lie. ´ E suficiente mos-

                              

                            ′ ′ ′ ′ ′ ′

                              trar que [ψ(Z ), ψ(Z )] = ψ [Z , Z ] para geradores Z , Z ∈ z. Temos u v u v u v

                            • ′ ′ + [ψ(Z ), ψ(Z )] = [B (u), B (v)] = B (u)· H B (v)−B (v)· H B (u) .
                            • u v GL GL

                                Podemos escrever:

                                X

                                B (u) · B (v) = n(u, B (v); t)t

                                H GL t ∈RT

                                X

                              • = B (uv) + n(u, v; r)B (r) .
                              • r &is>A primeira igualdade segue da defini¸c˜ ao dos coeficientes n(u, B (v); t) (s&tild

                                os coeficientes de t do produto B (u) · H B (v)). A segunda vem por GL

                              • identifica¸c˜ ao dos termos da soma em t. O termo t = B (uv) corresponde
                              • a pendurar u na raiz de B (v), e s´o h´ a uma maneira de obtˆe-lo. A soma em r corresponde aos outros termos, em que u ´e pendurado em outros
                              • >v´ertices de B (v) que n˜ ao sejam a raiz; isso ´e o mesmo que pendura
                              • v, obtendo r, e depois aplicar B , obtendo t = B (r).

                                O mesmo argumento vale para mostrar que:

                                X

                                B (v) · B (u) = n(v, B (u); t)t

                                H GL t ∈RT

                                X

                              • = B (vu) + n(v, u; r)B (r) .
                              • r ∈RT

                                  Portanto, temos:

                                  ′ + + + + ′

                                  [ψ(Z ), ψ(Z )] = B (u) · B (v) − B (v) · B (u) u v H GL H GL

                                  X

                                • = n(u, v; r) − n(v, u; r) B (r) r ∈RT

                                  X

                                  ′

                                  = n(u, v; r) − n(v, u; r) ψ(Z ) r r

                                  ∈RT

                                  !

                                  X

                                  ′

                                  = ψ n(u, v; r) − n(v, u; r) Z r r

                                  ∈RT ′ ′

                                  5.4. Teorema de Panaite 259 y e terminamos a afirma¸c˜ ao. Feita a afirma¸c˜ ao, terminamos a prova do teorema.

                                5.4.2 Vers˜ ao para ´ arvores ordenadas

                                  A rela¸c˜ ao entre os coeficientes n(u, v; r) e m(u, v; r), no caso das ´arvores ordenadas, ´e a igualdade. Lema 5.4.15. Dados u, v, r ∈ PRT, temos n(u, v; r) = m(u, v; r) .

                                  Assim, para ´ arvores ordenadas, o n´ umero n(u, v; r) de maneiras de se pendurar u em v e ganhar r ´e o mesmo n´ umero m(u, v; r) de cortes ele- c c mentares c que resultam em P (r) = u e R (r) = v.

                                  Demonstra¸c˜ ao. Da mesma forma que no caso das ´arvores ordenadas (lema , temos n(u, v; r) 6= 0 sse m(u, v; r) 6= 0 .

                                  Para o caso em que ambos n(u, v; r), m(u, v; r) 6= 0, faremos uma corres- pondˆencia 1-1 entre as maneiras de se obter r pendurando u em v e os c c cortes c ∈ Adm

                                  

                                1 (r) que fornecem P (r) = u e R (r) = v.

                                  Dados r, u, v ∈ PRT, o v´ertice V de v tal que u pendurado em V resulta em r ´e ´ unico. De fato, tomando r e considerando todos os seus ramos com mesmo formato u, para obter v devemos deletar de r um desses ramos u. Ramos do tipo u pendurados em v´ertices diferentes, ao serem deletados,

                                  

                                  produzem ´ arvores diferentee s´o uma delas pode ser v. Para ramos u pendurados no mesmo v´ertice de r, h´ a mais de uma maneira de deletar um ramo u para ficar com v.

                                  Por exemplo, considerando r = u 6= ,

                                  ✁

                                  u u u u

                                  ✁

                                  obtemos ´ arvores diferentes se deletarmos u destas duas maneiras diferentes − − u u u u u u u u 3

                                ✁ ✁

                                  260 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite e obtemos ´ arvores iguais se deletarmos u destas duas maneiras diferentes .

                                  − − u u u u u u u u

                                  

                                ✁ ✁

                                  Enumeramos dois casos: Caso 1: Se temos ramos u repetidos em V , ent˜ao o n´ umero de cortes m(u, v; r) ser´ a igual ao n´ umero de sub´ arvores com formato u repe- tidas em r. Mas o n´ umero n(u, v; r) de maneiras de se pendurar u em v para se obter r tamb´em ser´ a igual a esse n´ umero m(u, v; r), pois temos exatamente m(u, v; r) maneiras de intercalar o u entre os ramos de v com mesmo formato.

                                  Por exemplo, se temos V igual ` a raiz de v e r = v = u 6= u u u u u

                                  ✁

                                ✁ ✁

                                  ent˜ ao temos 3 maneiras de pendurar u em v para obter r e temos 3 c c maneiras de cortar r em u = P (r) e v = R (r). Caso 2: Se h´ a apenas um ramo igual a u pendurado em V , ent˜ao s´o h´ a uma maneira de se obter r pendurando u em v: ´e identificando a unica posi¸c˜ ´ ao da sub´ arvore de r que ´e igual a u e identificando essa posi¸c˜ ao em v para se inserir u e obter r. E a ´ unica forma de cortar c c r em u = P (r) e v = R (r) ´e identificar que sub´arvore pendurada `a raiz de r ´e igual a u, e fazer o corte logo acima da mesma. Por exemplo, se V ´e igual ` a raiz de v e r = v = u 6= , u

                                  ✁ ✁ ✁ ✁

                                  ent˜ ao a ´ unica maneira de se obter r pendurando u em v ´e pendurando u entre o primeiro e o segundo v´ertice-filho de V em v. Assim, o n´ umero n(u, v; r) de maneiras de se pendurar u em v para obter c r ´e o mesmo que o n´ umero m(u, v; r) de cortes em r tais que P (r) = u e c

                                  5.4. Teorema de Panaite 261 Como no caso de ´ arvores n˜ ao-ordenadas da se¸c˜ ao anterior, definimos um conjunto de funcionais em H , e encontraremos uma rela¸c˜ ao entre os

                                  CK mesmos e a ´ algebra de Grossman-Larson H sobre ´arvores ordenadas.

                                  GL

                                  Defini¸ c˜ ao 5.4.16. Seja t ∈ PRT ´ arvore ordenada n˜ ao vazia. Definimos

                                  gr ∗

                                  Z t ∈ H ⊆ H funcionais lineares por

                                CK CK

                                  Z t (f ) = δ t,f para toda floresta f ∈ PRF. Denote o espa¸co vetorial gerado por esses funcionais por z

                                  := span{Z t | t ∈ PRT n˜ ao vazia} . Observa¸c˜ ao 5.4.17. Z t ´e uma deriva¸c˜ ao. A prova ´e idˆentica `a do caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas. Dadas duas florestas f , f ∈ PRT ⊆ H , temos:

                                  1

                                  2 CK

                                  ( 1, f = 1, f = t ou f = t, f = 1

                                  1

                                  

                                2

                                  1

                                  2 Z t (f · f ) =

                                  1

                                  2

                                  0, caso contr´ ario = Z t (f

                                  1 )ε(f 2 ) + ε(f 1 )Z t (f 2 ) .

                                  Portanto Z t (f · f ) = Z t (f )ε(f ) + ε(f )Z t (f ) e z ⊆ Der ε (H ).

                                  1

                                  2

                                  1

                                  2

                                  1

                                  2 CK Mostraremos que z ⊆ Der ε (H ) ´e uma sub´algebra de Lie de Der ε (H ). CK CK Para tanto, vamos calcular o comutador de dois elementos de z.

                                  Proposi¸ c˜ ao 5.4.18. Para ´ arvores ordenadas u, v ∈ PRT, temos que:

                                  X X

                                  1. Z u ∗ Z v (t) = m(u, v; r)Z r (t) = n(u, v; r)Z r (t) , r r

                                  ∈PRT ∈PRT

                                  ∀t ∈ PRT \ {1};

                                  X 2. [Z u , Z v ] = m(u, v; r) − m(v, u; r) Z r r

                                  ∈PRT

                                  X = n(u, v; r) − n(v, u; r) Z r . r

                                  ∈PRT Em consequˆencia disso, z ⊆ Der ε (H CK ) ´e uma sub´ algebra de Lie de Der ε (H CK ).

                                  Demonstra¸c˜ ao. O item 2. segue de 1., sabendo-se que os dois lados da igualdade s˜ao deriva¸c˜ oes. A prova de 1. segue a mesma sequˆencia da prova

                                  262 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                                  GL

                                  ∈PRT

                                  m(u, v; r)Z r (t) , e terminamos a demonstra¸c˜ ao.

                                  Vamos ao teorema que relaciona as ´ algebras de Hopf U (z) e H

                                  GL

                                  no caso n˜ ao-comutativo. Teorema 5.4.19 (Panaite, vers˜ao para ´ arvores ordenadas). A ´ algebra de Hopf de Grossman-Larson ´e isomorfa ` a ´ algebra envolvente universal de z. Isto ´e,

                                  H

                                  ∼ = U (z) como ´ algebras de Hopf.

                                  m(u, v; r)δ t,r =

                                  Assumimos que o corpo K tenha caracter´ıstica nula. Demonstra¸c˜ ao. H GL ´e uma bi´ algebra conexa e cocomutativa. Pelo teo- rema de Milnor-Moore (teorema , H

                                  GL

                                  ∼ = U (P(H

                                  GL

                                  )) como ´ alge- bras de Hopf. Para mostrar o isomorfismo do teorema, mostraremos uma bije¸c˜ ao entre as ´ algebras de Lie z e P(H

                                  GL

                                  X r

                                  ∈PRT

                                  1. Temos Z u ∗Z v = µ

                                  (t)

                                  K

                                  ◦(Z u ⊗Z v )◦∆. Seja t ∈ PRT\{1}. O coproduto de t fica ∆(t) = t⊗1+1⊗t+

                                  X c ∈Adm 1

                                  (t)

                                  P c (t)⊗R c (t)+

                                  X c ∈Adm &gt; 1

                                  P c (t)⊗R c (t) . Ao aplicar Z u ⊗ Z v , resta apenas a soma em c ∈ Adm

                                  X r

                                  1

                                  (t) j´a que Z u e Z v se anulam em 1 e em florestas com mais de uma componente. Ficamos com

                                  Z u ∗ Z v (t) =

                                  X c ∈Adm 1

                                  (t)

                                  Z u P c (t) Z v R c (t) . Al´em disso, os termos Z u P c (t) Z v R c (t) se anulam a n˜ao ser que P c (t) = u e R c (t) = v, e nesse caso, valem 1. Ent˜ao a soma fica igual ao n´ umero m(u, v; t) ∈ K de cortes com uma aresta tais que P c (t) = u e R c (t) = v. Assim,

                                  Z u ∗ Z v (t) = m(u, v; t) =

                                  ). A extens˜ao canˆ onica ` a algebra

                                  5.4. Teorema de Panaite 263 U (z) e U (P(H )), conforme a proposi¸c˜ ao

                                  GL

                                  Afirma¸ c˜ ao: Defina ψ : z → P(H ) transforma¸c˜ ao linear por

                                  GL

                                • ψ(Z t ) := B (t) .

                                  Afirmamos que ψ ´e um isomorfismo de ´ algebras de Lie. Prova da afirma¸c˜ ao. Primeiramente mostraremos que ψ ´e bije¸c˜ao. (Sobrejetividade:) Conforme a observa¸c˜ ao os elementos da forma

                                • ψ Z t = B (t) s˜ao primitivos e geram o espa¸co vetorial P(H ). Obte-

                                  GL mos, ent˜ao, que ψ ´e sobrejetiva.

                                  (Injetividade:) Temos ker(ψ) = 0 pois valem as implica¸c˜oes !

                                  X X i i a i Z t ∈ ker(ψ) =⇒ ψ a i Z t = 0 i i

                                  X

                                • =⇒ a i B (t i ) = 0 i

                                  X =⇒ a i = 0, ∀i =⇒ a i Z t = 0 . i i Al´em disso, ψ ´e um morfismo de ´ algebras de Lie. ´ E suficiente mostrar que para u, v ∈ PRT, vale

                                  [ψ(Z u ), ψ(Z v )] = ψ([Z u , Z v ]) . Come¸caremos calculando

                                  [ψ(Z u ), ψ(Z v )] = [B (u), B (v)]

                                • = B (u) · B (v) − B (v) · B (u) .

                                  H H GL GL

                                  Mas podemos reescrever os produtos da seguinte forma:

                                  X

                                  B (u) · H B (v) = n(u, B (v); r)r GL r

                                  ∈PRT

                                  X

                                • = B (uv) + B (vu) + n(u, v; r)B (r) .
                                • r &isi
                                • Os dois primeiros termos correspondem a pendurar u na raiz de B (v); po-

                                  264 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                                  

                                  u depois de v A soma no terceiro termo corresponde `as outras formas

                                  de pendurar u em B (v) (nos v´ertices que n˜ ao s˜ ao a raiz de B (v)). Do mesmo modo, temos

                                  X

                                  B (v) · B (u) = n(v, B (u); r)r

                                  H GL r ∈PRT

                                  X

                                • = B (vu) + B (uv) + n(v, u; r)B (r) .
                                • r ∈PRT

                                    Com isso, temos

                                    [ψ(Z u ), ψ(Z v )] = [B (u), B (v)]

                                    = B (u) · B (v) − B (v) · B (u)

                                    X

                                  • = n(u, v; r) − n(v, u; r) B (r) r

                                    !

                                    X = ψ n(u, v; r) − n(v, u; r) Z r r = ψ [Z u , Z v ] . y

                                    Portanto ψ ´e um isomorfismo de ´ algebras de Lie, e sua extens˜ao canˆ o- nica Ψ : U (z) → U (P (H )) ´e um isomorfismo de ´algebras de Hopf pela

                                    GL proposi¸c˜ ao

                                  5.5 Dualidade entre H e H

                                    CK GL No que segue, veremos que as ´ algebras de Hopf H e U (z) encontram-

                                    CK

                                    se em dualidade de maneira natural. Isso acontece nos dois contextos con- ∼ siderados. Do teorema de Panaite, temos que H GL = U (z). Concluiremos, posteriormente, que as ´ algebras de Connes-Kreimer H e de Grossman-

                                    CK

                                    Larson H est˜ ao em dualidade. Por fim, verificaremos se a dualidade

                                    GL obtida ´e separante. No caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas isso ´e verdade.

                                    Entretanto, no caso das ´ arvores ordenadas, foi poss´ıvel exibir um contrae- xemplo para uma das propriedades da dualidade separante. 4 Para a multiplica¸c˜ ao em H , no caso n˜ ao-comutativo, a ordem em que penduramos GL num mesmo v´ ertice importa, e produz termos distintos. Isto ´

                                    e, preservando a ordem

                                  das duas ´ arvores do produto, deve-se intercalar a maneira de pendurar as sub´ arvores

                                  da primeira entrada com os ramos que j´ a estavam na ´ arvore. Consulte a defini¸c˜ ao

                                  e o exemplos que seguem, para ver com mais detalhes como funciona essa alternˆ ancia

                                    5.5. Dualidade entre H e H 265

                                  CK GL

                                  5.5.1 Vers˜ ao n˜ ao-ordenada

                                    ◦

                                    Come¸camos considerando a inclus˜ ao canˆ onica i : z → H , que ´e um

                                    CK

                                    morfismo de ´ algebras de Lie. Note que i(z) = z ⊆ Der ε (H ), e como as

                                    CK

                                    deriva¸c˜ oes s˜ao elementos primitivos no dual, temos i(z) ⊆ Der ε (H ) ⊆

                                    CK ◦

                                    P(H ). Podemos, ent˜ao, usar o lema item 2., para estender i a

                                    CK ◦

                                    i : U (z) → H morfismo de ´ algebras de Hopf. Ent˜ao, pela proposi¸c˜ ao

                                    CK

                                    temos U (z) e H CK em dualidade via hu, f i = i(u)(f ), ∀u ∈ U(z), ∀f ∈ H .

                                    CK

                                    Essa dualidade ´e separante. Para mostrar essa afirma¸c˜ao, escreveremos alguns lemas. Lema 5.5.1. Sejam n ≥ 2 e t

                                    1 , . . . , t n ∈ RT e u 1 , . . . , u n ∈ RT ´ arvores

                                    n˜ ao vazias. Temos P 1. Z t ∗ . . . ∗ Z t (u . . . u n ) = Z t (u σ ) . . . Z t (u σ ) . 1 n

                                    1 σ ∈S n 1 (1) n (n)

                                    Al´em disso, para g ∈ RF floresta com pelo menos uma ´ arvore componente, temos

                                    2. Z t ∗ . . . ∗ Z t (u 1 n

                                    1 . . . u n

                                    g) = 0 , isto ´e, Z t ∗ . . . ∗ Z t aplicado a florestas com mais de n componentes ´e 1 n nulo.

                                    Demonstra¸c˜ ao.

                                    

                                    (1.): Primeiramente, temos a igualdad t t t t n Z ∗ . . . ∗ Z = (Z ⊗ . . . ⊗ Z ) ◦ ∆ −1 , 1 n 1 n em que ´e a expans˜ao do coproduto em H feita n − 1 vezes (em qualquer

                                    CK uma das entradas tensoriais).

                                    Precisamos calcular ∆ n (u . . . u n ) = ∆ n (u ) . . . ∆ n (u n ) . 5 −1 1 −1 1 −1

                                    266 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Seja i = 1, . . . , n. Temos:

                                    X c c i i

                                    1 (u + i ) = u i ⊗ 1 + 1 ⊗ u i P (u i ) ⊗ R (u i ) c i i

                                  ∈Adm(u )

                                    ∆ (u + i ) = u i ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ u i ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ u i

                                  2 X

                                    c c c c i i i i

                                    X ∆ P (u i ) ⊗ R (u i P (u i ) ⊗ R (u i ) ⊗ 1 ) + + c c i ∈Adm(u i ) i ∈Adm(u i )

                                    1 ..

                                    . ∆ n (u i ) = u i ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + . . . + 1 ⊗ . . . ⊗ 1 ⊗ u i + F ,

                                    −1 1,i

                                    em que F ´e uma soma de tensores com pelo menos duas ´arvores distri-

                                    1,i

                                    bu´ıdas nas n entradas tensoriais; pode ser que as duas estejam na mesma entrada ou n˜ ao.

                                    Fazemos o produto sobre todos os i’s, obtendo n n Y Y ∆ n (u i ) = u i ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + . . . + 1 ⊗ . . . ⊗ 1 ⊗ u i + F . i i −1

                                    1 =1 =1

                                    O termo restante F ´e o resultado do produto de parcelas dos ∆ n (u i )’s

                                    1 −1

                                    em que pelo menos uma delas ´e uma parcela de F 1,i . Essa parcela, de F 1,i , ´e um tensor com pelo menos duas ´ arvores, e os outros termos que vˆem multiplicando tˆem pelo menos uma ´ arvore cada. Ent˜ao os termos de F tˆem n + 1 ´ arvores distribu´ıdas nas n entradas tensoriais. Assim, para

                                    1

                                    cada termo da soma F , pelo menos uma das entradas tem mais de uma

                                    1

                                     n Ainda, reescrevemos o produto da seguinte forma:

                                    Y

                                    X u i ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 + . . . + 1 ⊗ . . . ⊗ 1 ⊗ u i = u σ ⊗ . . . u σ + F , i σ (1) (n)

                                    2 =1 ∈S n

                                    em que F ´e uma soma de tensores em que pelo menos uma das entradas

                                    2 tem mais de uma ´ arvore.

                                    Por fim, aplicamos Z t ⊗. . .⊗Z t e fazendo o produto. Os termos das somas 1 n F e F se anulam porque cada tensor dessas somas tem uma entrada,

                                    1

                                    2

                                    digamos j, com mais de uma ´ arvore, e Z t anula essa entrada. Assim, j sobra apenas a soma em σ ∈ S n , e temos: Z t ∗ . . . ∗ Z t (u . . . u n ) = Z t ⊗ . . . ⊗ Z t ∆ n (u . . . u n ) 1 n n

                                    1 1 −1

                                    1 X 6 = Z t u . . . Z t u . σ ∈S n 1 n σ (1) σ (n)

                                    5.5. Dualidade entre H e H 267

                                  CK GL

                                    Com isso, provamos o item 1. (2.): Precisamos calcular ∆ n (u . . . u n

                                    g). Podemos reaproveitar algumas

                                    −1

                                    1

                                    contas da prova do item 1.: n ! Y

                                    ∆ n ((u . . . u n

                                    g) = ∆ n (u i ) · ∆ n (g)

                                    −1 1 −1 −1 i =1

                                    !

                                    X = u σ ⊗ . . . u σ + F + F · ∆ n (g) . σ (1) (n)

                                    2 1 −1 ∈S n

                                    O resultado desse produto ser´ a uma soma de tensores em que pelo menos uma componente tensorial cont´em mais de uma ´arvore. E as entradas com mais de uma ´ arvore s˜ao anuladas pelos Z t ’s. Portanto Z t ⊗ . . . ⊗ Z t i 1 n anula ∆ n (u . . . u n g) e temos

                                    −1

                                  1 Z t ∗ . . . ∗ Z t (u . . . u n

                                    g) = Z t ⊗ . . . ⊗ Z t ∆ n (u . . . u n g) = 0 . 1 n

                                  1 −1

                                  1 n

                                    1 Vemos, agora, que a dualidade ´e separante.

                                    Proposi¸ c˜ ao 5.5.2. A dualidade entre U (z) e H CK dada por hu, f i = i(u)(f ), ∀u ∈ U(z), ∀f ∈ H

                                    CK

                                    ´e separante. Isto ´e, valem as seguintes propriedades: (a) ∀f ∈ H , hu, f i = 0 =⇒ u = 0 ;

                                    CK (b) ∀u ∈ U(z) , hu, f i = 0 =⇒ f = 0 .

                                    Demonstra¸c˜ ao. Provamos as duas propriedades da dualidade separante abaixo. (a) ∀f ∈ H CK , hu, f i = 0 =⇒ u = 0 : Seja u ∈ U(z) tal que hu, f i = 0 para todo f ∈ H . Temos, ent˜ao:

                                    CK

                                    hu, f i = 0 , ∀f ∈ H =⇒ i(u)(f ) = 0 , ∀f ∈ H

                                  CK CK

                                    =⇒ i(u) = 0 Para mostrar que u = 0, basta mostrar que i ´e injetiva. Mostraremos

                                    268 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite sabemos ser um isomorfismo de co´ algebras (pelo lema do cap´ıtulo anterior). Considere o seguinte morfismo de co´ algebras:

                                    ◦ i ◦ ρ : S(z) → H . CK

                                    Mostramos que esse morfismo ´e injetivo em K ⊕ z. De fato, note que dados λ ∈ K e z ∈ z, temos que:

                                    (i ◦ ρ)(λ) = λ · (i ◦ ρ)(1 ) = λ 1 = λ ε

                                    H H K CK CK

                                    1 (i ◦ ρ)(z) = i z = i(z) = z . 1!

                                    Portanto, se λ + z ∈ K ⊕ z pertence ao kernel da restri¸c˜ao de i ◦ ρ, ent˜ao

                                    ◦

                                    (i ◦ ρ)(λ + z) = 0 =⇒ λ ε + z = 0 em H

                                    H CK CK

                                    =⇒ λ ε H (1) + z(1) = 0 CK =⇒ λ = 0 . Na pen´ ultima passagem, aplicamos em 1 ∈ H . E na ´ ultima, temos que

                                    CK

                                    ε (1) = δ = 1 e que, como z ∈ z ⊆ Der ε (H ) ´e deriva¸c˜ao, vale

                                    H 1,1 CK CK

                                    z(1) = 0. Como λ = 0, ent˜ ao temos

                                    ◦ λ ε + z = 0 =⇒ z = 0 em H ⊇ z . H CK CK

                                    Portanto λ + z = 0 em S(z), e i ◦ ρ ´e um morfismo de co´ algebras injetivo em K ⊕ z. Pelo lema obtemos que i ◦ ρ ´e injetivo em todo o seu dom´ınio. Por fim, como ρ ´e uma bije¸c˜ ao, temos que i ´e injetiva. (b) ∀u ∈ U(z) , hu, f i = 0 =⇒ f = 0 :

                                    P Seja f ∈ H , e escreva f na base RF como f = a g

                                    g. Suponha

                                    CK g ∈RF

                                    que para todo u ∈ U(z) tenhamos

                                    X (∗) a g i(u)(g) = i(u)(f ) = hu, f i = 0 . g

                                    ∈RF

                                    Mostraremos por indu¸c˜ ao no n´ umero de ´ arvores das florestas g componen- tes de f que os coeficientes a g s˜ao todos nulos. (Caso n = 0): O coeficiente a g ´e nulo para g = 1. De fato, tome u = 1

                                  K em (∗). Com isso temos i(1 ) = 1 = ε e portanto

                                    H H

                                  K CK

                                  CK

                                    X X

                                    X 0 = a g i(u)(g) = a g ε (g) = a g δ = a .

                                    H CK 1,g

                                    1

                                    5.5. Dualidade entre H e H 269

                                    CK GL

                                    (Caso n = 1): Tomamos t ´ arvore qualquer e u = Z t ∈ U(z) em (∗). Temos i(Z t ) = i(Z t ) = Z t , portanto

                                    X X

                                    X 0 = a g i(u)(g) = a g Z t (g) = a g δ t,g = a t . g ∈RF g ∈RF g ∈RF Vamos ao passo de indu¸c˜ ao. Seja n ≥ 2. Supomos que os coeficientes a g se anulam para todas as florestas g com menos de n componentes (HI). Mostraremos, ent˜ ao, que a g = 0 para florestas g com n ´arvores componen- tes. Considere u = Z t . . . Z t , para dadas t , . . . , t n ∈ RT \ {1} quaisquer. 1 n

                                    1 Temos:

                                    i(u) = i Z t . . . Z t 1 n = i Z t ∗ . . . ∗ i Z t 1 n = i Z t ∗ . . . ∗ i Z t 1 n = Z t ∗ . . . ∗ Z t . 1 n

                                    Aplicamos esse u na equa¸c˜ ao (∗). J´ a temos, pela (HI), que a soma ´e apenas sobre as florestas no m´ınimo n componentes. Pelo lema item 2., a soma sobre as florestas com mais de n componentes ´e nula, j´ a que estamos aplicando Z t ∗ . . . ∗ Z t . A soma ´e, ent˜ao, apenas sobre as 1 n

                                    P florestas com exatamente n componentes. Podemos escrever = g

                                    ∈RF

                                    P u ,...,u , em que fixamos uma ordem (arbitr´aria) para RT \ {1} 1 n ∈RT\{1} u 1 ≤...≤u n apenas para n˜ ao repetir termos na soma, j´ a que termos da forma u u . . . u n

                                    1

                                    2 e u u . . . u n s˜ao iguais, por exemplo.

                                    2

                                    1 A soma em (∗) fica:

                                    X 0 = a u ...u Z t ∗ . . . ∗ Z t (u . . . u n ) 1 n 1 n u ,...,u 1 n ∈RT\{1} u 1 ≤...≤u n

                                    1 X

                                    X 1. = a u ...u Z t (u ) . . . Z t (u ) u ,...,u σ ∈S 1 ∈RT\{1} n u 1 ≤...≤u n n 1 n 1 n σ (1) σ (n)

                                    X X = a u ...u δ t ,u . . . δ t ,u u ,...,u σ 1 n 1 σ (1) n σ (n) 1 n u ∈RT\{1} ∈S n 1 n ≤...≤u

                                    X = a t ...t σ σ (1) σ (n)

                                    ∈S n = n! a t ...t . 1 n

                                    270 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite indu¸c˜ ao. Dessa forma, temos a g = 0 para todo g ∈ RF, e

                                    X f = a g g = 0 , g

                                    ∈RF como quer´ıamos mostrar.

                                    As ´ algebras de Hopf U (z) e H CK est˜ ao em dualidade separante. Usa- mos a vers˜ao para ´ arvores n˜ ao-ordenadas do teorema de Panaite (teorema para obter que U (z) ´e isomorfo a H como ´algebras de Hopf. Ob-

                                    GL temos, assim, que as ´ algebras H e H est˜ ao em dualidade separante.

                                  CK GL

                                  5.5.2 Vers˜ ao ordenada

                                    Obtemos uma dualidade entre U (z) e H da mesma forma que para

                                    CK ◦

                                    o caso n˜ ao-ordenado. Consideramos a inclus˜ao i : z → H , que ´e um

                                    CK

                                    morfismo de ´ algebras de Lie. Checamos que i(z) = z ⊆ Der ε (H CK ) ⊆

                                    ◦

                                    P(H ). Podemos, assim, usar o lema item 2., para estender i ao

                                    CK ◦

                                    morfismo de ´ algebras de Hopf i : U (z) → H . Pela proposi¸c˜ ao U (z)

                                    CK

                                    e H est˜ ao em dualidade via o par dual

                                    CK hu, f i = i(u)(f ), ∀u ∈ U(z), ∀f ∈ H .

                                    CK

                                    Investigamos, ent˜ ao, se essa dualidade ´e separante. Apesar da semelhan¸ca com o caso n˜ ao-ordenado, a resposta ´e n˜ ao! Veremos que apenas uma das condi¸c˜ oes para ser separante ´e satisfeita.

                                    Precisaremos de uma vers˜ao ordenada do lema Lema 5.5.3. Sejam n ≥ 2 e t , . . . , t n ∈ PRT e u , . . . , u n ∈ PRT ´ arvores

                                    1

                                    1

                                    ordenadas n˜ ao vazias. Temos P

                                    1. Z t ∗ . . . ∗ Z t (u 1 n σ 1 . . . u n ) = Z t (u σ ) . . . Z t (u σ ) . 1 (1) n (n) ∈S n Al´em disso, para g ∈ PRF floresta ordenada com pelo menos uma ´ arvore componente, temos

                                    2. Z t ∗ . . . ∗ Z t (u . . . u n 1 n

                                    g) = 0 ,

                                    1

                                    isto ´e, Z t ∗ . . . ∗ Z t aplicado a florestas com mais de n componentes ´e 1 n nulo. Demonstra¸c˜ ao. ´ E idˆentica ` a do caso ordenado, no lema trocando RT por PRT. Note que n˜ ao utilizamos comutatividade das ´ arvores na floresta

                                    5.5. Dualidade entre H e H 271

                                  CK GL

                                    O resultado principal ´e a seguinte proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 5.5.4. A dualidade entre U (z) e H dada por

                                    CK

                                    hu, f i = i(u)(f ), ∀u ∈ U(z), ∀f ∈ H

                                    CK

                                    satisfaz a seguinte propriedade: (a) ∀f ∈ H CK , hu, f i = 0 =⇒ u = 0 . H´ a um contraexemplo para a propriedade

                                    (b) ∀u ∈ U(z) , hu, f i = 0 =⇒ f = 0 , / portanto essa dualidade n˜ ao ´e separante.

                                    Demonstra¸c˜ ao. (a) ∀f ∈ H , hu, f i = 0 =⇒ u = 0 :

                                    CK

                                    A demonstra¸c˜ ao ´e igual ` a da proposi¸c˜ ao item (a), trocando H CK e z n˜ ao-ordenados por suas vers˜oes ordenadas. (b) / ∀u ∈ U(z) , hu, f i = 0 =⇒ f = 0 :

                                    / N˜ ao podemos repetir a prova da proposi¸c˜ ao item (b), pois n˜ ao vale em geral que

                                    X σ a t ...t = 0 =⇒ n! a t ...t = 0 . σ (1) σ (n) 1 n

                                    ∈S n

                                    ´ E justamente esse o ponto que motiva o contraexemplo. Exibiremos f ∈

                                    ′ H tal que f 6= 0 e hu, f i = 0 para todo u ∈ U(z). CK

                                    Seja f = − 6= 0 .

                                    ✁ ✁ ✁ ✁

                                    Mostraremos que hu, f i = 0 para todo u ∈ U(z). Tomamos a base Z t | t ∈ PRT\{1} de z, com uma ordem qualquer fixada, e aplicando o teorema de Poincar`e-Birkhoff-Witt (teorema , para obter a base PBW de U (z), formada pelos elementos

                                    Z t . . . Z t , t ≤ . . . ≤ t n . 1 n

                                    

                                  1

                                  Basta mostrar que hu, f i = 0 para u elemento da base PBW. Para u = 1 , K

                                    temos: hu, f i = i(1 )(f )

                                    K

                                    = ε −

                                    H CK ✁ ✁

                                  ✁ ✁

                                    = ε ( ) ε − ε ε ( )

                                    H CK H CK H CK H CK ✁ ✁ ✁ ✁

                                    272 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite Para u = Z t , com t ∈ PRT \ {1}, temos: hu, f i = i(Z t )(f )

                                    = Z t −

                                    

                                  ✁ ✁

                                  ✁ ✁

                                    = Z t − Z t

                                    

                                  ✁ ✁

                                  ✁ ✁

                                    = 0 − 0 = 0 . Calculamos, agora, para u = Z t Z t , em que t 1 2 1 , t 2 ∈ PRT \ {1}. Temos: hu, f i = i(Z t Z t )(f ) 1 2

                                    = Z t ∗ Z t − 1 2

                                    ✁ ✁ ✁ ✁

                                    = Z t ∗ Z t − Z t ∗ Z t 1 2 1 2

                                    ✁ ✁ ✁ ✁ 1.

                                    = Z t ( ) Z 1 2 2 1 + t + Z t ( ) Z t

                                    ✁ ✁ t t t t ✁ ✁

                                    − Z Z ( ) − Z Z ( ) 1 2 2 1

                                    ✁ ✁ ✁ ✁

                                    = 0 . Para u = Z t Z t Z t , com t , t , t ∈ PRT \ {1}, temos que calcular 1 2 3

                                    1

                                    2

                                    3

                                    i(Z t Z t Z t ) = Z t ∗ Z t ∗ Z t = (Z t ⊗ Z t ⊗ Z t ) ◦ ∆ , 1 2 3 1 2

                                  3

                                  1 2 3

                                    2

                                    com ∆ o coproduto em H aplicado duas vezes em qualquer posi¸c˜ao

                                  2 CK

                                    tensorial. Calculamos ent˜ ao: ∆ ( ) = ⊗ 1 + 1 ⊗

                                    ✁ ✁ ✁

                                    ∆

                                    2 ( ) = ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ ✁ ✁ ✁ ✁

                                  • ∆ = ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗

                                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ 2 = ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗

                                    

                                  ✁ ✁ ✁ ✁

                                  • ⊗ ⊗ 1 + ⊗ 1 ⊗ + 1 ⊗ ⊗

                                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

                                    ∆ = ⊗ 1 ⊗ 1 + ⊗ ⊗ 1 + ⊗ 1 ⊗

                                    2 ✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁

                                  • ✁ ✁

                                    ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ + ⊗

                                  • ⊗ 1 ⊗ + 1 ⊗ ⊗ + 1 ⊗ 1 ⊗

                                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁

                                    ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁

                                    ⊗ ⊗ 1 + ⊗ ⊗ 1 + ⊗ ⊗ + +

                                    ✁✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁

                                    | {z } ⊗ 1 ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 1 ⊗ + + + +

                                    ✁✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁

                                    | {z }

                                  • ⊗ ⊗ +1 ⊗ ⊗ + 1 ⊗ ⊗

                                    5.5. Dualidade entre H e H 273

                                  CK GL

                                    ∆

                                    2 = ⊗ 1 ⊗ 1 + ⊗ ⊗ 1 + ⊗ 1 ⊗ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁

                                  • ⊗ + ⊗ 1 ⊗ + 1 ⊗ 1 ⊗
                                  • 1 ⊗

                                    ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗ 1 + 1 ⊗ ⊗

                                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁

                                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁

                                    ⊗ ⊗ 1 + ⊗ ⊗ 1 + ⊗ ⊗ + +

                                    ✁✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁

                                    | {z } ⊗ 1 ⊗ + ⊗ ⊗ ⊗ 1 ⊗ + + +

                                    ✁✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁

                                    | {z } + ⊗ ⊗ +1 ⊗ ⊗ + 1 ⊗ ⊗ .

                                    ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁✁

                                    | {z } Ao aplicarmos Z t ⊗ Z t ⊗ Z t em ∆ − , sobram apenas os 1 2 3

                                    2 ✁✁ ✁✁

                                    termos destacados. Temos ent˜ ao: Z t ∗ Z t ∗ Z t (f ) = Z t ⊗ Z t ⊗ Z t ∆ 1 2 3 1 2

                                  3

                                  2 −

                                    ✁✁ ✁✁

                                    = 3 Z t ( )Z t ( )Z t ( ) − 3 Z t ( )Z t ( )Z t ( ) 1 2 3 1 2 3

                                    ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ = 0 .

                                    Portanto, para u = Z t Z t Z t , temos hu, f i = 0. 1 2 3 Por fim, para u = Z t Z t Z t Z t , u = Z t Z t Z t Z t Z t , etc, devemos 1 2 3 4 1 2 3 4 5 calcular ∆ (f ), ∆ (f ), etc, aplicar Z t cada entrada tensorial j e multipli-

                                    3 4 j car todas as entradas para obter hu, f i.

                                    Mas o c´ alculo de ∆ (f ), ∆ (f ), etc vai sempre gerar termos com pelo

                                    3

                                    4

                                    menos uma entrada tensorial sendo 1. De fato, temos pelo menos 4 entra- das tensoriais, e as florestas e tˆem apenas 3 v´ertices cada. Ainda,

                                    ✁✁ ✁✁

                                    cada parcela do coproduto conserva o mesmo n´ umero de v´ertices que a floresta que est´ a sendo operada. Ent˜ao as parcelas de ∆

                                    3 (f ), ∆ 4 (f ), etc,

                                    devem ter, todas, 3 v´ertices distribu´ıdos por entre as 4, 5, etc entradas tensoriais. Pelo menos uma delas fica sem v´ertices, como afirmado.

                                    Portanto, ao aplicar os Z t ’s e multiplicar sobre todas as entradas de j cada tensor da soma, temos que pelo menos um dos Z t ’s vai atuar em 1 j e resultar em 0, anulando cada parcela da soma. Ent˜ao temos hu, f i = 0.

                                    Dessa forma, obtivemos f ∈ H CK n˜ ao nulo tal que hu, f i = 0 para todo u ∈ U(z), e a propriedade (b) n˜ ao ´e v´ alida.

                                    274 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite

                                    Considera¸c˜ o es finais Revis˜ ao dos pontos principais

                                    Reservamos este cap´ıtulo para revisar os principais pontos estudados no presente trabalho. Para estudar as ´ algebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson constru´ıdas sobre grafos do tipo ´arvore, foi necess´ario estudar alguns elementos da teoria de ´ algebras de Hopf e de Lie. Esses pr´e-requisitos foram estudados nos trˆes primeiros cap´ıtulos. Tamb´em foi necess´ ario estudar bi´ algebras conexas com filtra¸c˜ ao e com gradua¸c˜ ao, re- sultando no cap´ıtulo 4 deste material.

                                    A parte principal do trabalho encontra-se no cap´ıtulo 5, em que fazemos um estudo das ´ algebras de Connes-Kreimer e de Grossman-Larson. No de- correr desse cap´ıtulo, abordamos uma vers˜ ao para ´arvores n˜ao-ordenadas dessas duas ´ algebras. Terminamos o trabalho mostrando que h´ a uma du- alidade entre essas duas ´ algebras. O par dual obtido ´e separante no caso das ´ arvores n˜ ao-ordenadas, por´em no caso das ´arvores ordenadas, o par dual an´ alogo n˜ ao possui uma das propriedades de par separante. Um con- traexemplo para essa propriedade foi dado no final do cap´ıtulo 5.

                                    Estudos posteriores

                                    A dualidade entre as ´ algebras de Connes-Kreimer e de Grossman- Larson foi obtida, no presente trabalho, por meio de um par dual. Os artigos apresentam a ideia de se considerar o dual graduado da algebra de Connes-Kreimer. Seguindo essa linha, o artigo mostra que ´

                                    gr

                                    ∼

                                    276 Cap´ıtulo 5. Rooted trees, ´ algebras de Hopf e o teorema de Panaite e o artigo , que

                                    gr

                                    ∼ H , no caso das ´ arvores ordenadas . = H CK

                                    CK

                                    Uma outra possibilidade de estudo seria a abordagem de outras ´al- gebras sobre ´ arvores presentes na literatura. Mencionamos a ´algebra de Calaque, Ebrahimi-Fard &amp; Manchon, que ´e estudada nos artigos .

                                    Ainda, pode-se tentar estender essas ´ algebras para outros grafos tipo ´ arvore, como as ´ arvores com r´ otulos (ou decoradas), ´arvores bin´arias ou arvores m-´arias. Ou ainda, procurar as aplica¸c˜ ´ oes na teoria quˆ antica de campos, como a renormaliza¸c˜ ao de divergˆencias em expans˜oes perturbati- vas.

                                    Bibliografia Livros

                                    [1] Butcher, J. C.; Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Second Edition, Wiley, 2008. [2] Dascalescu, S.; Nastasescu, C.; Raianu, S.; Hopf Algebras: an intro- duction, Marcel Dekker 2001. [3] Gracia-Bond´ıa, J. M.; V´ arilly, J. C.; Figueroa, H.; Elements of Non- commutative Geometry Birkh¨auser, 2001. [4] Gross, J. L.; Yellen, J.; Zhang, P.; Handbook of Graph Theory, Second Edition, CRC, 2014. [5] Hairer, E.; Nørsett, S. P.; Wanner, G.; Solving Ordinary Differential

                                    Equations I - Nonstiff Problems, Second Revised Edition, Springer, 2008. [6] Jacobson, N.; Lie Algebras, Dover, 1979. [7] Kirillov, A.; An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cam- bridge, 2008.

                                    278 Bibliografia

                                    Disserta¸c˜ oes e teses

                                    [9] Schutzer, W.; ´ Algebras de Lie, ´ algebras de Hopf e grupos quˆ anticos, Disserta¸c˜ ao de mestrado, USP, 1996. Dispon´ıvel em: http://www.dm.ufscar.br/profs/waldeck/tese.pdf .

                                    [10] Teixeira, M. M.; Extens˜ oes de ´ algebras obtidas a partir de ´ algebras de Hopf, Disserta¸c˜ ao de mestrado, UFSC, 2011. Dispon´ıvel em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/95887

                                    .

                                    Artigos [11] Brouder, C.; Runge-Kutta methods and renormalization, Eur. Phys.

                                    J. C (2000), 521-534. Dispon´ıvel em: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs100529900235#page- 2 ou em http://arxiv.org/pdf/hep-th/9904014.pdf. [12] Calaque, D.; Ebrahimi-Fard, K.; Manchon, D.; Two interacting Hopf algebras of trees, Advances in Applied Mathematics 47 (2011) 282-308.

                                    Dispon´ıvel em http://arxiv.org/abs/0806.2238. [13] Chartier, P.; Hairer, E.; Vilmart, G.; Algebraic structures of B-series,

                                    Found. Comput. Math. 10(7) (2010) 407-427. Dispon´ıvel em: http://www.unige.ch/ vilmart/publications.html .

                                    [14] Connes, A.; Kreimer, D.; Hopf Algebras, Renormalization and Non- commutative Geometry, Comm. Math. Phys (1998), 203-242. Dispon´ı- vel em: http://arxiv.org/abs/hep-th/9808042

                                    . [15] Foissy, L.; An introduction to Hopf algebras of trees, Preprint, 2013.

                                    Dispon´ıvel em: http://loic.foissy.free.fr/pageperso/preprint3.pdf . [16] Garrett, P.; Poincar´e-Birkhoff-Witt theorem, 2011. Dispon´ıvel em: http://www.math.umn.edu/~ garrett/m/algebra/pbw.pdf

                                    . [17] Grossman, R.; Larson, R. G.; Hopf-algebraic structures of families of trees, J. Algebra, 126 (1989), 184-210. Dispon´ıvel em: Bibliografia 279

                                    [18] Hoffman, M. E.; Combinatorics of Rooted Trees and Hopf Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3795-3811. Dispon´ıvel em: http://www.ams.org/journals/tran/2003-355-09/S0002-9947- 03-03317-8/ .

                                    [19] Panaite, F.; Relating the Connes-Kreimer and Grossman-Larson Hopf algebras built on rooted trees Letters in Mathematical Physics 51 (2000), 211-219. Dispon´ıvel em: http://arxiv.org/abs/math/0003074 .

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