Repositório UFAL: O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov

83 

Full text

(1)

Universidade Federal de Alagoas

Instituto de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado

O Grupo de Schrödinger

em Espaços de Zhidkov

Fábio Henrique de Carvalho

(2)

Fábio Henrique de Carvalho

O Grupo de Schrödinger

em Espaços de Zhidkov

Dissertação de Mestrado submetida em 16 de março de 2010 à Banca Examina-dora, designada pelo Colegiado do Pro-grama de Pos-Graduação em Matemá-tica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemá-tica.

Orientador: Prof. Dr. Adán J. Corcho Fernández

(3)

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

C331g Carvalho, Fábio Henrique de.

O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov / Fábio Henrique de Carvalho, 2010.

68 f. : il.

Orientador: Adán José Corcho Fernández.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2010.

Bibliografia: f. 66-67. Índices: f. 68.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Schrödinger, Equação de. 3. Equações de evolução. 4. Zhidkov, Espaços de. I. Título.

CDU: 517.958

(4)

o

Grupo de

Schrodingcr

ern

Espacos

de Zhidkoy

Fabio Henrique de Carvalho

Dissertacao de Mestrado subrnetida ern

16 de marco de 2010 ZI B:'1I1ca

Examina-dora. designada pelo Co1egiado do

Pro-grarna de Pos-Graduacao ern

Materna-rica da Universidade Federal de Alagoas,

como pane dos requisitos necess.iriox Zl

Ohlclli\ao do grau de mestrl' l'J11

Matcm,i-rica.

Banca Examinadora:

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Prof. Dr. Adan J. Corcho Fernandez (UFAL/Orientador)

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Prof. Dr. Maheii7i'ra Prasad Panthec rUniversidade do Minho - UM, Portugal)

(5)

"O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso (...)"

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(7)

Agradecimentos

Para que concluísse esse estágio de minha vida acadêmica, muitas pessoas merecem ser mencionadas. Para começar, é lógico, minha mãe Maria Anunciada de Carvalho, que conseguiu transformar um recém nascido, desenganado pelos médicos, em um homem; mas também a seu obstetra, Lício Henrique, a quem devo meu segundo nome mas, por sorte minha e por um momento de lucidez dela, não devo o primeiro.

Já durante minha vida escolar anterior ao ingresso no Mestrado, ainda no es-tado do Espírito Santo, gostaria de ressaltar o papel fundamental de três pessoas. A primeira, professor Sandro Daré Lorenzoni na escola estadual "Hunney Everest Piovesan"(ou, como é mais conhecida, "Polivalente de Campo Grande"), locali-zada em Cariacica - ES, que, após suas minuciosas aulas de matemática, tornou um adolescente pouco estudioso, que apenas tinha boas notas, num voraz leitor dos livros de Matemática - a culpa de ter primeiramente me inclinado a prestar vestibular e depois decidir pela Matemática, ao invés de Psicologia, Física ou Filosofia, é exclusivamente dele! A segunda, professora Luzia Maria Casatti, du-rante o seu curso de Álgebra, viu num aluno de graduação que estudava em um turno e lecionava nos demais, alguém que podia dar um pouco mais de si, e o fez se entusiasmar pela profissão tanto quanto ela. A terceira e última (mas não menos importante), professor Florêncio Ferreira Guimarães Filho, transformou o entusiasta num leitor curioso e crítico de demonstrações; o que teve como causa um feliz desempenho durante seu agradável e enriquecedor curso de Análise Real. Também a Florêncio, devo a informação sobre o Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas.

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passaram um dia inteiro aguardando para que a reunião que decidiu meu afas-tamento tivesse coro. A reunião que deveria começar pela manhã só pôde se concretizar a noite, após o fim das inúmeras atividades que o professor Mário Mi-randa tinha à frente da Pró Reitoria de Pesquisa, a ele também fica minha eterna gratidão. Por outro lado, fico feliz por não ter que prestar agradecimentos aos sete prefessores que faltaram à reunião (embora o Estatuto da instituição, em seu artigo 80, esclareça, pelo menos aos que sabem ler, a obrigatoriedade de presença nas sessões das instâncias deliberativas da universidade); assim fico à vontade para prestar meus agradecimentos apenas àqueles pelos quais tenho estima e admiro o caráter e hombridade, e compareceram para votar, a favor ou até mesmo contra (se fosse o caso) a solicitação.

Aos integrantes do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL, sejam eles docentes, discentes ou pessoal de apoio e limpeza, agradeço pelo fato de ter sido muito bem recebido; a Ufal e Maceió se tornaram mais um lar para mim, e já sinto as saudades da partida. Todos os amigos que fiz durante esses dois anos, tenho certeza que serão amigos para o resto de minha vida.

Alguns merecem menção especial: Darliton e Everson - “irmãos” por parte de orientador, que abriram caminho para a elaboração deste trabalho, sendo que o primeiro fez algumas sugestões prontamente acatadas; Kennerson, Isnaldo, Ro-bério e Rodrigo, sempre dispostos a ajudar; Rafael, Alex Néo e Michel, pelos auxílios técnicos com as figuras e comandos até então desconhecidos por mim.

Aos professores do Programa de Pós Graduação em Matemática da UFAL, Adelailson, Dimas, Feliciano, Júlio (meu conterrâneo) e Krerley, pela cordiali-dade e pelas palavras que ajudaram a me acalmar nos últimos momentos pré-defesa. Adelailson, por exemplo, me tirou de um grande desespero ao me empres-tar um projetor durante o “rufar dos tambores”.

Agradeço também ao professor Clément Gallo, do Departamento de matemá-tica e Estatísmatemá-tica da Universidade McMaster, no Canadá, tanto por ter elaborado o artigo em que se basea este trabalho, quanto por atender prontamente e responder por e-mail uma dúvida que lhe remeti. A ele queria dizer que, assim como foi seu desejo, finalmente recuperei meu sono, mas perdê-lo lendo seu artigo foi muito enriquecedor para a minha vida acadêmica. Sempre que o motivo for parecido, ficarei contente em manter-me insone.

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Ao meu orientador, Prof. Dr. Adán Corcho, pela escolha do tema e pelo pronto atendimento de urgência nos momentos mais penosos. Por muitas vezes, debruçado sobre folhas e mais folhas de rascunho, julguei que ele tivesse superes-timado minha capacidade. Mas, como sempre acreditei: “amamos algo, na direta proporção a que nos custa” e, sem dúvida, este trabalho custou muito. O Prof. Adán, além de um brilhante pesquisador é um sujeito que em pouco tempo con-quistou minha admiração e simpatia, seu papel foi muito além da orientação. Já desde o primeiro dia em que cheguei a Maceió, sem saber que rumo iria tomar, recebeu-me como se fosse um conhecido de longa data, e isso não será esquecido. A execução deste trabalho foi financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL, durante os cinco primeiros meses, e pelo Con-selho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, durante os dezenove meses restantes. A estas instituições devo meu reconhecimento e aplausos por fomentarem e ajudarem a divulgar a pesquisa científica e auxiliar na formação de recursos humanos para a pesquisa no Brasil.

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Resumo

Este trabalho é dedicado ao estudo da boa colocação local e global do Problema de Cauchy associado à equação não linear de Schrödinger, com dado inicial não nulo no infinito.

Palavras-chave: equações diferenciais parciais, equações de evolução,

(11)

Abstract

This work is dedicated to the local and global well-possednes study of Cauchy’s Problem associated to the nonlinear Schrödinger equation, to the initial data non-zero at infinity.

Palavras-chave:partial differential equations, evolution equations,

(12)

Sumário

1 Preliminares 9

1.1 Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de Fourier . . . 9

1.2 O Espaço de Schwartz e as Distribuições Temperadas . . . 12

1.3 Os Espaços de Sobolev . . . 15

1.4 Os Espaços de Zhidkov . . . 18

2 O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov 26 2.1 Família Contínua de Operadores de Schrödinger sobreXk . . . 26

2.2 A continuidade da família de operadores{S(t)} . . . 32

2.3 Gerador Infinitesimal do grupo{S(t)}tR . . . 37

3 Existência de soluções 43 3.1 Existência Local . . . 43

3.2 Regularidade da Solução . . . 50

4 Leis de Conservação e Boa Colocação Global 54 4.1 Leis de Conservação . . . 54

4.2 Boa Colocação Global . . . 67

4.3 Algumas Aplicações . . . 68

A Mudança de Coordenadas 70

B Teorema do Traço 71

C Alguns Resultados Adicionais 73

(13)

Introdução

O objetivo central deste trabalho é fazer um estudo detalhado do problema de valor inicial

iut+∆xu+f⑨|u|2❾u =0, xRn, tR,

u(x, 0) =ϕ, (1)

associado à equação não linear de Schrödinger, onde a aplicaçãof:R+→C, é,

pelo menos, diferenciável. A informação relevante, por ora, é a respeito do dado inicial; pretendemos estudar o problema quandoϕnão está no espaço das funções

quadrado integráveisL2,mas mantem algumas propriedades de regularidade, a

sa-ber: ϕé limitada, uniformemente contínua,kvezes diferenciável e seu gradiente

pertence ao espaço de Sobolev clássico de ordem k−1.Os conjuntos de

aplica-çõesϕcom tais propriedades são denominados espaços de Zhidkov e denotados

por Xk. Nos baseamos no trabalho desenvolvido primeiramente por Peter

Zhid-kov em [Zh], para dimensão 1 e, na sua posterior generalização, feita por Clément Gallo em [Ga], para o cason-dimensional.

No capítulo 1, serão apresentadas algumas definições, como dos espaços de Lebesgue e de Schwartz, bem como da transformada de Fourier emL1e no espaço

de Schwartz, além de alguns dos resultados utilizados no decorrer desta monogra-fia. As propriedades e proposições listadas, na maior parte das vezes, tem sua validade confirmada por uma simples manipulação da definição e teoremas ante-riores; quando não for descrita uma demonstração cabal de algum dos teoremas listados, deixaremos a indicação de uma demonstração completa na bibliografia.

Ainda no capítulo 1, introduziremos os espaços de Zhidkov,Xk,e

apresentare-mos alguns exemplos de funções que pertencem aXk.Demonstraremos algumas

propriedades importantes, tais como o fato deXkser uma álgebra e, como espaço,

ser denso sobreXk−1.

No capítulo 2, definiremos o grupo de Schrödinger sobre os espaços de Zhid-kov,{S(t)}t∈R,e mostraremos que este é uniformemente contínuo sobreXk.Para

(14)

que serão detalhadas no apêndice. A continuidade uniforme do grupo {S(t)}será

exaustivamente explorada na obtenção de estimativas de boa colocação para o problema. Além disso, concluíremos que o gerador infinitesimal do grupo é o operadori∆.

O capítulo 3 é destinado ao estudo da boa colocação local do problema (1). Como ponto de partida, damos as definições de boa colocação local e de boa colo-cação global para equações de evolução e mostramos alguns resultados a respeito da existência e unicidade de soluções de (1) em um intervalo[−T, T].Em síntese,

mostramos que, se a norma em Xk do dado inicial é limitada, então existe um

intervalo maximal e uma única solução clássica de (1) neste intervalo.

No quarto e último capítulo encontram-se alguns resultados a respeito das leis de conservação de energia para o problema (1), quando n=1 ou n=2. Para

ilustrar, destacamos como exemplos a Equação de Gross-Pitaevskii - caso em que

(15)

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de

Fourier

Muitos dos avanços na generalização do conceito de integral são devidos ao matemático francês Henry Léon Lebesgue (1875-1941). Aqui e no decorrer do texto, a não ser que haja menção explícita em contrário, a integração é sempre no sentido dado por Lebesgue .

Definição 1.1.1. SejamΩum subconjunto aberto deRne1p <.O conjunto

Lp(Ω) =

ϕ:Ω−R;

Z

|ϕ(x)|pdx <

(1.1) é um espaço vetorial cuja normak.kLp()é definida pondo, para cada função

ϕLp(Ω),

kLp()=

❶Z

|ϕ(x)|pdx

➀1 p

. (1.2)

Munido da normak·kLp() o espaçoLp(Ω) é um espaço de Banach;L1(Ω)

é o espaço das funções módulo integráveis eL2(Ω)é o espaço das funções qua-drado integráveis.

Também é um espaço vetorial o conjunto

L∞(Ω) =ϕ:Ω−R;kϕ(x)kL()<∞

, (1.3)

onde a normak·kL()é dada por

kL()=sup

x∈Ω

(16)

O espaçoL∞(Ω)é, simplesmente, o espaço das funções limitadas em Ω;e, assim como os anteriores, também é um espaço de Banach ([Fe], p. 78).

A transformada de Fourier surge a partir das considerações do matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a respeito da decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas, nos seus estudos sobre a condução do calor. Suas propriedades são importantíssimas no estudo de equações diferen-ciais, e faremos aqui um breve resumo de algumas delas.

Definição 1.1.2(Transformada de Fourier). SejaϕL1(Rn),a transformada de

Fourier deϕé a funçãoϕÒ(ouF(ϕ)) definida por

F(ϕ)(ξ) =ϕÒ(ξ) = ()−n2

Z

Rnϕ

(x)e−i(ξ·x)dx, (1.5)

ondex= (x1,···, xn), ξ= (ξ1,···, ξn)e(ξ·x) = n

X

j=1 xjξj.

Valem algumas observações a respeito da transformada de Fourier, ver [Io]:

Propriedade 1.1.1. A aplicaçãoϕ−ϕÒé linear. Além disso,ϕÒL∞(Rn)com

kL∞≤(2π) −n

2kϕkL1.

Propriedade 1.1.2. ϕÒ:Rn−Cé contínua.

Propriedade 1.1.3(Lema de Riemann-Lebesgue). SejaϕL1(Rn),então

lim

kξk→0ϕÒ(ξ) =0.

Propriedade 1.1.4. SeThf(x) =f(x−h),parahRn,então

Ô

Thf(ξ) =e−i(h·ξ)f❜(ξ)eeÛ−i(x·ξ)f(x)(ξ) = (T−hf❜)(ξ).

Propriedade 1.1.5. Sejamf, gL1(Rn),então

Z

Rn

f(y)g(y)dy=

Z

Rnf

(y)g❜(y)dy. (1.6)

Propriedade 1.1.6. Sefé o conjugado def,então

f(ξ) =f❜(−ξ).

(17)

Definição 1.1.3(convolução). Sejamf, gL1(Rn), a convolução defegé defi-nida por

(fg)(x) =

Z

Rn

f(x−y)g(y)dy, (1.7)

para quase todoxRn.

Agrupamos abaixo algumas das principais propriedades das convoluções, que podem ser utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes vale a pena consultar [Io].

Proposição 1.1.1. São válidas as seguintes propriedades:

1. SejamfLp(Rn), gLq(Rn), ondep, q[1,]com p1+1q=1+1r para algumr[1,], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções,

fgLr(Rn)e kfgkLr≤ kfkLpkgkLq.

2. fg=gf.

3. λ(fg) = (λf)g=f(λg)para todoλC.

4. (fg)h=f(gh).

5. f(g+h) = (fg) + (fh).

6. Sejamf, gL1(Rn),então

×

(fg)(ξ) = (2π)n2f❜(ξ)g❜(ξ).

Para finalizar esta seção, introduzimos a noção de diferenciabilidade emLp.

Definição 1.1.4. Uma funçãofLp(Rn)é diferenciável com relação àk-ésima

variável se existegLp(Rn)tal que, para

h=hkek tem-se lim

hk→0

Z

Rn

☞☞ ☞☞ ☞

f(x+h) −f(x) hk

−g(x)☞☞☞☞ p

dx=0;

(18)

1.2 O Espaço de Schwartz e as Distribuições

Tem-peradas

Laurent Schwartz(1915-2002), matemático e pensador dos mais influentes, é o inventor da Teoria das Distribuições e, por conta do seu desenvolvimento, foi o primeiro matemático francês a ser agraciado com a medalha Fields. É considerado um dos ícones da história recente da França.

Para definir o espaço de Schwartz, necessitamos de algumas noções prelimi-nares. Uma notação importantíssima (e que será usada em todo o texto) é a noção de multi-índice que apresentamos a seguir. Aqui denotaremos porN o conjunto dos inteiros positivos e porN0o conjunto dos números inteiros não negativos.

Definição 1.2.1. Uma n-upla α= (α1, α2,···, αn)∈Nn0 é chamada um

multi-índice.

Sejamαeβsão multi-índices, e sejax= (x1, x2,···, xn)∈Rn.Escrevemos:

(i) |α|=α1+α2+···+αn;

(ii) xα=xα1xα2···xαn;

(iii) ∂α

∂xα =

∂α1

∂xα11

✓ ✒

∂α2

∂xα22

···✏∂x∂αnαn n

ou∂αx =∂α1

x1∂

α2

x2···∂

αn

xn;

(iv) α > β(respectivamente,αβ) quandoαi> βi(respectivamente,αi≥βi),

para todoi{1,···, n};

(v) Seα > β, α−β= (α1−β1, α2−β2,···, αn−βn);

(vi) α! =α1!α2!···αn!;

(vii) Seα > β,⑨αβ❾= β!(αα!β)!.

Definição 1.2.2. O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente

decrescen-tes) emRn, que denotaremos porS(Rn), é formado pelas funções

f:Rn−Ctais que fC∞(Rn)ekfkα,β = sup

x∈Rn

☞☞

☞xα∂βf(x)☞☞☞<,quaisquer

que sejam os multi-índicesαeβ.

(19)

Propriedade 1.2.1. S(Rn)é um espaço vetorial sobreC,e, quando munido da

métrica

d(f, g) = X

α,β∈Nn

2−(|α|+|β|) kf−gkα,β

1+kf−gkα,β

é um espaço métrico completo.

Propriedade 1.2.2. C∞0 S(Rn), mas f(x) =e−|x|

2

2 é um exemplo de função

que está no complementar deC∞0 emS(Rn).

Propriedade 1.2.3. S(Rn) é subconjunto próprio de Lp(Rn) e denso sobre

Lp(Rn),para todop[1,)(Observe queC∞0 também é denso sobreLp(Rn)). Porém,S(Rn)não é denso sobreL(Rn).

Temos ainda, aplicando a definição, as seguintes regras de derivação no espaço de Schwartz:

Teorema 1.2.1. Seja f S(Rn). Então, xαf, ∂αfS(Rn) para todo

multi-índiceα.Valem ainda:

(i) ⑨∂αf❜❾(ξ) = (−i)|α|(Öxαf)(ξ);

(ii) (Ö∂αf)(ξ) = (i)|α||ξα|f(ξ).

Além disso, a transformada de Fourier no espaço de Schwartz é um isomor-fismo e, por isso, temos a seguinte definição:

Definição 1.2.3. SejafS(Rn),a transformada de Fourier inversa é definida

pela fórmula

F−1(ϕ)(x) =fˇ(x) = ()−n2

Z

Rn

ei(x·ξ)f(ξ)dξ. (1.8)

Nossa noção de convergência emS é definida do modo usual.

Definição 1.2.4. Uma sequência (ϕ)∞m=1 em S(Rn) converge para uma certa

funçãoϕS(Rn)se, e somente se,

lim

m→∞kϕm−ϕkα,β =0,

(20)

Neste caso, denotamosϕm

S

→ϕ.

Agora, para introduzir os espaços de Sobolev, necessitamos definir as distri-buições temperadas (ou funções-teste), que nada mais são que funcionais lineares contínuos.

Definição 1.2.5. Uma aplicação linearT:S(Rn)Cé uma distribuição

tempe-rada quandoT é contínua; isto é, quandoT(ϕm)→C T(ϕ)sempre queϕm

S

→ϕ.

Denotamos porS′(Rn)o conjunto de todas as distribuições temperadas.

Usamos a notação hT, ϕi, para representar a imagem em C de ϕS(Rn)

pela distribuição temperadaT.

Definição 1.2.6. Dizemos que uma sequência (Tm)∞m=1 em S′(Rn) converge

paraT S(Rn)quando,

lim

m→∞hTm, ϕi=hT, ϕi,∀ϕ∈S(R

n). (1.9)

Neste caso, denotamosϕm

S′

→ϕ.

Dada uma função em Lp, com p1, é possível construir uma distribuição

temperada como segue:

Proposição 1.2.1. SejamfLp(Rn)ep[1,).A aplicaçãoTf,definida por

hTf, ϕi=Tf(ϕ) =

Z

Rn

f(x)ϕ(x)dx,

para todaϕS(Rn),é uma distribuição temperada.

Esse resultado, que também pode ser consultado em [Io], nos remete à seguinte definição.

Definição 1.2.7. Dizemos que uma distribuição temperada provém de uma função

emLp(Rn),quando existe uma funçãofLp(Rn)tal queT =Tf.

Observação 1.2.1. Nem toda distribuição temperada provém de uma função em

Lp, o exemplo clássico é dado pela função delta de Dirac, definida por

δx(ϕ) =ϕ(x),∀ϕ∈S(Rn).

(21)

Definição 1.2.8. Sejam T S′(Rn) eα um multi-índice, definimos a derivada

de ordemαda distribuiçãoT pondo

h∂αT, ϕi= (−1)|α|hT, ∂αϕi,ϕS(Rn). (1.10)

Definição 1.2.9. SejaT S′(Rn)podemos definir a transformadada de Fourier

da distribuiçãoT,bem como sua inversa, pondo, para toda funçãoϕS(Rn),

hF(T), ϕi=hT,F(ϕ)i e

F−1(T), ϕ=T,F−1(ϕ). (1.11)

Observação 1.2.2. A transformada de Fourier F :S′(Rn) −S′(Rn) é um

isomorfismo topológico.

1.3 Os Espaços de Sobolev

Sergei Lvovich Sobolev(1908-1989) foi um dos fundadores do Instituto de Matemática da Akademgorodok (que surgiu como resultado da criação da Divisão Siberiana da Academia de Ciências Russa, da qual foi um dos idealizadores), atualmente, Instituto de Matemática Sobolev. Também atuou como vice-diretor do Instituto de Energia Atômica soviético, entre 1943 e 1957, onde participou do projeto da bomba atômica da extinta URSS.

Definição 1.3.1. Seja s R. O espaço de Sobolev de ordem s, classicamente

denotado porHs(Rn),é o subespaço deS′(Rn)definido por

Hs(Rn) =fS′(Rn);1+|ξ|2❾ s 2f(ξ)

∈L2(Rn). (1.12)

Denotaremos porΛÔsf(ξ) =1+|ξ|2❾2sf(ξ)a transformada de Fourier no

es-paço de Sobolev. A normak·kHs,ouk·ks,2,é definida por

kfkHs=kΛsfkL2. (1.13)

Observação 1.3.1. Ho(Rn) =fS′(Rn) ;f❜(ξ)L2(Rn)=L2(Rn).

A seguir, além de destacarmos um exemplo clássico de uma classe de funções no espaço de SobolevHs,paras <12,introduzimos a notação usada para denotar a

função característica de um conjunto, que nos acompanhará no decorrer do texto.

Exemplo 1.3.1. Para n=1, consideremos a função característica do intervalo

[a, b],isto é,

χ[a,b]=

1, sex[a, b];

(22)

Temos

Ö

χ[a,b](ξ) =

sen(2πξ)

πξ , seξ6=0;

2 seξ=0.

Logo, ✌✌

✌χ[a,b]✌✌✌Hs=

✌✌

✌Λsχ[a,b]✌✌✌L2

= ✥Z+∞

−∞

✔✏

1+|ξ|2✑

s

2Ö

χ[a,b](ξ)

✕2 dξ

✦1 2

=

= ✥Z+∞

−∞

1+|ξ|2✑ssen

2(2πξ)

π2ξ2 dξ

✦1 2

<

(1.14)

se, e somente se,s < 12.

A seguir, agrupamos algumas propriedades dos espaços de Sobolev. Outras podem ser encontradas em [Io].

Proposição 1.3.1. Sejams, s1, s2∈R,então

(i) Ses1s0,entãoHs1(Rn)(Hs(Rn) ;

(ii) Se o produto interno emHs(Rn)está definido por

hf, gis=

Z

Rn

Λsf(ξ)Λsg(ξ)dξ,

para todosf, gHs(Rn),entãoHs(Rn)é um espaço de Hilbert;

(iii) S(Rn)é denso emHs(Rn);

(iv) Ses1ss2,coms=θs1+ (1−θ)s2, θ[0, 1],então

kfkHs≤ kfkθHs1kfk1Hs2θ.

Demonstração. (i) Sejamss1,então(1+|ξ|2)s≤(1+|ξ|2)s1 o que implica

❶Z

Rn

(1+|ξ|2)s|f❜(ξ)|2dξ

➀1 2

❶Z

Rn

(1+|ξ|2)s1|f(ξ)|2

➀1 2

. (1.15)

Logo, sefHs1(Rn),a integral no segundo membro de (1.15) é finita e, portanto,

a integral no primeiro membro também converge; assim, f também pertence a Hs(Rn).Além disso, a inclusão é contínua.

(23)

Observação 1.3.2. Em particular, ses0entãoHs(Rn)(H0(Rn).

Uma caracterização importante dos espaços de Sobolev, que relaciona os es-paçosHk eL2,e que será útil à introdução dos espaços de Zhidkov, é dada pelo

seguinte resultado.

Teorema 1.3.1. SejamkN0eαum multi-índice. Então,Hk(Rn)coincide com

o espaço

fL2(Rn);∂αxfL2(Rn)sempre que|α|k .

Demonstração. SejafHk(Rn).Para todo multi-índiceαtemos:

|ξα| = |ξα1

1 ξ

α2

2 ···ξαnn|

≤ (1+|ξ1|)α2(1+|ξ|)α22 ···(1+|ξ|)αn2

≤ (1+|ξ|)|α2|.

Combinando este fato ao Teorema 1.2.1, juntamente com o conhecido Teorema de Plancherel, temos:

k∂αfk2L2 = ✌✌✌Ô∂αf✌✌✌

2

2=

Z

Rn

☞☞

☞Ô∂αf(ξ)☞☞2

=

Z

Rn

☞☞

☞i|α||ξα|f❜(ξ)☞☞☞2dξ

= c

Z

Rn

|ξ2α|☞☞☞❜f(ξ)☞☞☞2dξ

≤ c

Z

Rn

1+|ξ|2❾α☞❜☞☞f(ξ)☞☞☞2dξ.

Logo, sempre que|α|k,temos

k∂αfk2L2≤c

Z

Rn

1+|ξ|2❾k☞☞☞❜f(ξ)☞☞☞2dξckfkk,2<.

Então,∂αfL2(Rn).

Reciprocamente, seja fL2(Rn) e suponha que ∂αfL2(Rn) sempre que

|α|k.Daí,

1+|ξ|2❾k☞❜☞☞f(ξ)☞☞☞2= k

X

j=0

cj|ξ|2j☞☞☞❜f(ξ)☞☞☞ 2

que, por sua vez, é combinação linear de termos da forma☞☞☞ξαf❜(ξ)☞☞☞2,com|α|k.

Então,kfkHk=

Z

Rn

1+|ξ|2❾k☞❜☞☞f(ξ)☞☞☞2dξ= k

X

j=0 cj

Z

Rn

(24)

Para finalizar esta seção, introduzimos dois resultados relevantes para o an-damento desta dissertação, ambos conhecidos como Mergulho de Sobolev, que relacionam as funções emHseCk,eHseLp,respectivamente. Maiores detalhes

podem ser encontrados em [LP].

Teorema 1.3.2. SejamkN0 es∈R, tais ques > n2 +k.Então, Hs(Rn)está

continuamente imerso no espaço Ck(Rn), das funções com k derivadas contí-nuas e que se anulam no infinito. Isto é, se fHs(Rn), com s > n2 +k, en-tão (após uma possível modificação de f sobre um conjunto de medida nula)

fCk(Rn)ekfkCk=cskfkHs.

Demonstração. Consideremos no primeiro caso,k=0.

SejasR, s > n2.Da desigualdade de Hölder (ver, por exemplo, [Io]) segue:

✌✌ ✌❜f✌✌✌

L1 =

Z

Rn

☞☞

☞❜f(ξ)☞☞☞dξ

=

Z

Rn

1+|ξ|2❾−

s

2☞☞☞❜f(ξ)☞☞1+|ξ|2❾s2

➊Z

Rn

1+|ξ|2❾−sdξ

➍1 2

kΛsfkL2=cskfkHs.

Além disso,kfkLp=✌✌✌F−1(F(f))✌✌✌

Lp≤

✌✌ ✌❜f✌✌✌

L1≤cskfkHs.

Para o caso geral, k1, seja fHs(Rn) coms > n2 +k. Então, para todo

multi-índice α, satisfazendo |α|k < s−n2, temos ∂αfHs−k(Rn). Do caso k=0segue∂αfC∞(Rn)e, portanto, f éCk.

Teorema 1.3.3. Seja nN, e sejam s, pR tais que 0 < s < n2 e p= n2n2s.

Então,Hs(Rn)está continuamente imerso emLp(Rn).Além disso,

kfkLp≤ckfkHs.

Uma demonstração deste resultado pode ser consultada na página 51 de [LP].

1.4 Os Espaços de Zhidkov

Assim como introduzidos por P. E. Zhidkov em [Zh] para o caso unidimen-sional (ver também [Fe]) e, posteriormente, batizados e estendidos para o caso

n-dimensional por Clemént Gallo em [Ga], trataremos aqui do espaço das

fun-ções limitadas, uniformemente contínuas, kvezes diferenciáveis com a seguinte

(25)

Definição 1.4.1. Sejamkennúmeros naturais. O espaço de ZhidkovXk(Rn)é é o completamento do espaço

ϕL∞(Rn)Ck(Rn);ϕé uma função uniformemente contínua e∇ϕHk−1(Rn)

na norma

kXk :=kϕkL∞+

X

|α|k

k∂αϕkL2. (1.16)

Exemplo 1.4.1. Para cadat > 0, a funçãoφt:Rn−Rdefinida por

φt(x) = (4πt)−n2e−

|x|2

4t (núcleo do calor) pertence a Xk(Rn), para todok∈N.

Evidentementeφt∈L∞(Rn)❚C∞(Rn)e é uniformemente contínua. Além disso, ∂xiφt= −

2xi

4t(4πt)n2φte, portanto,

∇φ(x) = − 2x

πn2(4t)n+22

φ(x).

Daí,∂αφt(x) =C(t)xαφt(x), para todo multi-índiceα.

Logo,

k∂αφtkL2 =

❶Z

Rn

|C(t)xαφt(x)|2dx

➀1 2

= |C(t)|

❶Z

Rn

x2α(4πt)−ne−|x|

4 16tdx

➀1 2

<.

Então,φXk.

Exemplo 1.4.2. Fixadok >n2,sejamϕHk(Rn)ezCuma constante. Então,

φ:=ϕ+zXk(Rn).Em particular,Hk(Rn)Xk(Rn),sempre quek >n2.

Exemplo 1.4.3. Paran=1as funções tangente hiperbólica e arco tangente estão

emXk(Rn),qualquer que sejakN.

Naturalmente, somos levados a algumas comparações com as propriedades conhecidas dos espaços métricos mais usuais. Por exemplo, se duas funções estão em Ck, o produto de ambas ainda está em Ck. Para os espaços de Zhidkov, a

resposta à mesma pergunta é também positiva e é obtida como consequência da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (Teorema C.0.6) e da fórmula de Leibniz:

Proposição 1.4.1. O espaço Xk(Rn) é uma álgebra, o que significa que, para

todasf, gXk(Rn)existe uma constanteCtal que

(26)

Demonstração. Evidentemente, kfgkL∞ ≤ kfkL∞kgkL∞. Por outro lado, dado

um multi-índiceαtemos, da fórmula de Leibniz,

∂α(fg) =X

β≤α

α β

∂βf∂α−βg.

A desigualdade triangular nos permite escrever

k∂α(fg)kL2≤

X

β≤α

α β

✦ ✌

✌✌∂βf∂α−βg✌✌✌

L2

≤✌✌✌f∂βg✌✌✌

L2+

✌✌

✌⑨∂βf❾g✌✌✌

L2+

+ X

06=β<α

α β

✦ ✌

✌✌∂βf∂α−βg✌✌✌

L2.

(1.18)

Mas,

✌✌ ✌f∂βg✌✌✌

L2=

❶Z

Rn

f(x)∂βg(x)➋2dx

➀1 2

≤☞☞☞☞sup

x∈Rnf

(x)☞☞☞☞ ❶Z

Rn

∂βg(x)➋2dx

➀1 2

≤ kfkL

✌✌ ✌∂βg✌✌✌

L2

≤ kfkXkkgkXk.

(1.19)

Analogamente,

✌✌

✌⑨∂βf❾g✌✌✌

L2≤

✌✌ ✌∂βf✌✌✌

L2kgkL∞ ≤ kfkXkkgkXk. (1.20)

Nos resta, portanto, mostrar que X

06=β<α

α β

✦ ✌

✌✌∂βf∂α−βg✌✌✌

L2≤CkfkXkkgkXk.

Da Desigualdade de Young, temos

✌✌

✌∂βf∂α−βg✌✌✌

L2≤

✌✌ ✌∂βf✌✌✌

Lp

✌✌

✌∂α−βg✌✌✌

L❡p

desde que 1

p+❡p1=

1

2(ou seja,p❡= 2p

p−2parap6=2).Aqui aparece uma dificuldade,

(27)

Sobolev adequado nos levaria a formular uma hipótese ainda mais restritiva a respeito dek(a saber,k > 2nao invés dek > n2).

Por outro lado, a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg nos força a encontrar

θmj , 1✐de modo a obter

k∂αfkLp≤C

X

|γ|m<|α|<k

k∂γfkθLqkfk1L−rθ, (1.21)

ondej=|β|, |γ|=mα, C=C(j, m, p, q, r)e

1

p−

j

n =θ

1

q−

m n

+ (1−θ)1

r. (1.22)

Tomando q=2e r=temos θ= p2((nn2mjp)). Assumindo que mj θ1 e

quen > 2msegue

2n−2jp p(n−2m),

n(2m−jp) mp(n−2m),

fazendom=|γ|=|β|+1=j+1,

n(2P)

≤2jp−2(j+1)p = −2p,

p 2j+j2 =2+2j,

e, portanto,

n 2

1−2p,

2 p 2+2j.

Uma conclusão semelhante é obtida ao considerarn < 2m;portanto, é

pos-sível obter θ satisfazendo a desigualdade (1.22). Substituindo (1.22) em (1.18),

com o auxílio de (1.19) e (1.20) e procedendo da mesma forma a fim de obter uma estimativa semelhante para✌✌✌∂α−βg✌✌✌

(28)

Proposição 1.4.2. Xk+1(Rn)é denso sobreXk(Rn),para todokN.

Demonstração. SejamϕXk(Rn)eφt(x) = (4πt)−

n 2e−

|x|2

4t .

Definimos

ϕt(x) =ϕ∗φt(x) =

Z

Rn

ϕ(x−y)φt(y)dy.

Logo,|ϕt(x)|≤ kϕkL∞

Z

Rn

φt(y)dy=kϕkL∞.

Portanto,ϕt∈L∞(Rn).

Para todoαNn,temos

∂αxφt(x)) =

Z

Rn∂

α

xϕ(x−y)φt(y)dy= [(∂αxϕ)∗φt](x). (1.23)

Assim, se1|α|k,

k∂αxφt)kL2=k(∂αxϕ)∗φtkL2≤ k∂αxϕkL2kφtkL1=k∂αxϕkL2.

No caso|α|=k+1temos

∂α= ∂

∂xi

∂α1

∂x1

◦ ··· ◦∂ αi−1

∂xi−1

◦∂ αi−1

∂xi

◦ ··· ◦∂

αn

∂xn

= ∂

∂xi

◦∂β.

Logo,

k∂α(ϕφt)kL2=

✌✌ ✌✌ ✌

∂ ∂xi

∂β(ϕφt)

❾✌✌ ✌✌ ✌ L2 =✌✌✌✌ ✌ ∂ ∂xi

∂βϕφt

❾✌✌ ✌✌ ✌

L2

=✌✌✌✌ ∂ ∂xi

φt∗∂βϕ

❾✌✌ ✌✌ ✌ L2 =✌✌✌✌ ✌ ∂ ∂xi

φt∗∂βϕ

✌✌ ✌✌ ✌ L2 ≤✌✌✌✌∂ xi φt ✌✌ ✌✌ ✌ L1 ✌✌ ✌∂βϕ✌✌✌

L2

≤✌✌✌∂βϕ✌✌✌

L2.

(1.24)

Então,ϕt, ∂αϕt∈L2(Rn),para todo multi-índiceαcom|α|≤k+1,o que

(29)

Agora avaliemos lim

t→∞kϕt−ϕkXk.Usando o Teorema da Convergência

Do-minada de Lebesgue e a Desigualdade de Minkowski mostra-se quekϕt−ϕkLp→

0, para todo 1p (uma demonstração para o cason=1 pode ser

encon-trada na página 20 de [Fe]). Com o auxílio da desigualdade (1.23) mostra-se que vale k∂α(ϕt−ϕ)kL2 →0. Portanto, dado qualquer ǫ > 0, é possível

en-contrar T suficientemente grande tal que, para todo t > T, kϕt−ϕkL∞ <

ǫ

2 e

X

|α|k

k∂α(ϕt−ϕ)kL2<

ǫ

2.Isto garante o nosso resultado.

Proposição 1.4.3. SejamnN, k=➎n2➑+1,e sejapRtal que

p > n, se n é par,

p = 2n, se n é ímpar.

Então, uLp(Rn)para todouXk(Rn)e, além disso, existe uma constante

C > 0tal que:

|u(x) −u(y)|C|x−y|1−npkukLp, (1.25)

para todosx, yRn.

Demonstração. Suponhanpar. Temos quep > nek−1=➎n2➑=n2 >n2−np=s,

portantoHk−1Hse ainda, do Teorema 1.3.3 segue, parauXk(Rn),

k∇ukLp(Rn)≤ck∇ukHk−1(Rn)≤ckukXk(Rn). (1.26)

Analogamente, é possível mostrar a mesma desigualdade quandoné ímpar.

Seja KRn um compacto e sejam r > 0 tal que Q= [−r, r]n é um cubo

contendoK.Pelo Teorema de Morrey (ver página 166 de [B]), é possível encontrar

uma constanteC > 0,que depende somente denep,tal que, quaisquer que sejam x, yK, uHkloc(Rn)

|u(x) −u(y)|C|x−y|1−npkukLp

(Q). (1.27)

De (1.26) e (1.27) juntamente com o fatoXk(Rn)Hkloc(Rn)fica

(30)

Proposição 1.4.4. Fixadosn, kN, ϕXk(Rn), β > 0, xRn et > 0, defi-namosg: (β,) −Cdo seguinte modo:

g(r) :=

Z

Sn−1

ϕ(x+2√2trv)dv.

Então,gXk((β,))e, para todoj{1, ..., k},

g(j)L2((β,), rn−1dr) (1.28)

com

kg(j)kL2((β,∞),rn−1dr)≤(2

2t)j−n2|Sn−1|12kϕkXk.

Demonstração. Sejar(β,),temos

|g(r)| Z

Sn−1

|ϕ(x+2√2trv|dv (1.29)

≤ kϕkXk

Z

Sn−1

dv (1.30)

≤ |Sn−1|kϕkXk, (1.31)

portanto,gL∞(β,).

Seja agora ǫ > 0. Como ϕ é uniformemente contínua, podemos encontrar δ > 0tal que|y−z|< δimplica

|ϕ(y) −ϕ(z)|< ǫ

|Sn−1|. (1.32)

Tomandor1, r2∈(β,∞)tais que|r1−r2|< 2√δt,como

|(x+2√tr1v) − (x+2

tr2v)|=2 √

t|r1−r2|< δ,

segue que

|ϕ(x+2√tr1v) −ϕ(x+2 √

tr2v)|< ǫ

|Sn−1|.

Daí,

|g(r1) −g(r2)|< ǫ

|Sn−1|

Z

Sn−1dv

(31)

Seja agoraj{1, ..., k}.Temos

Z∞

β

|g(j)(r)|2rn−1dr=

=

Z∞

β

☞☞ ☞☞ ☞∂jr

Z

Sn−1

ϕ(x+2√trv)dv☞☞☞☞ 2

rn−1dr

Z∞

β

Z

Sn−1

|Dj(ϕ(x+2√trv))(v, v, ..., v)|2(2√t)2jrn−1dvdr

≤(2√t)2j

Z∞

2√tβ

Z

Sn−1

|Dj(ϕ(x+2Rv))(v, v, ..., v)|2R

n−1dvdr

(2√t)n

≤(2√2t)2j−n|Sn−1|kϕkXk(Rn).

(1.33)

(32)

Capítulo 2

O Grupo de Schrödinger em

Espaços de Zhidkov

2.1 Família Contínua de Operadores de

Schrödin-ger sobre

X

k

Consideremos o problema de Cauchy associado à equação linear de

Schrödin-ger

iut+∆xu =0,

u(·, 0) =ϕ(·). (2.1)

Quando o dado inicialϕpertence ao espaço de SobolevHs(Rn)sabe-se que

S(t)ϕ,definido por

S(t)ϕ(x) =F−1✏e−it|ξ|2F(ϕ)(ξ), (2.2)

é um grupo uniformemente contínuo de operadores emHs,especificamente:

(i) S(0)ϕ=ϕ,ou seja,S(0) =I;

(ii) S(t1+t2) =S(t1)◦S(t2);

(iii) S(−t) = [S(t)]−1;

(iv) lim

t→0kS(t) −Ik=0.

Nosso objetivo fundamental nesta seção é descrever propriedades de S(t)

(33)

Trabalhando sem muita formalidade,

S(t)ϕ(x) = (2π)−n

Z

Rn

ei(x·ξ)e−it|ξ|2

Z

Rn

e−i(y·ξ)ϕ(y)dydξ

= (2π)−n

Z

Rn

e−it|ξ|2e−i2√t(z·ξ)ϕ(x+2√tz)(4t)n2dzdξ

= π−ntn2

Z

Rn

Z

Rn

e−i[|

tξ|2+2t(z·ξ)+|z|2]

ei|z|2ϕ(x+2√tz)dzdξ

= π−n

Z

Rn

➊Z

Rne

−i|√tξ+z|2

tn2

ei|z|2ϕ(x+2√tz)dz

= π−n

Z

Rn

➊Z

Rn

e−i|w|2dw

ei|z|2ϕ(x+2√tz)dz.

Como as integrais acima não estão definidas em todo oRn,é necessário

intro-duzir uma pequena perturbação na exponencial complexa; como lim

ǫ→0

Z

Rn

e(−i+ǫ)|w|2dw=πn2e−inπ4,

adotaremos a seguinte definição:

Definição 2.1.1. Sejam nN, k > n2 e ϕXk(Rn). Sejam tR e xRn,

definimos a família de operadores{S(t)},pondo

S(t)ϕ(x) =

    

e−inπ4π−n2 lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ϕ(x+2√tz)dz, t0

einπ4π−n2 lim

ǫ→0

Z

Rn

e(−i−ǫ)|z|2ϕ(x+2√−tz)dz, t < 0.

(2.3)

A primeira pergunta a respeito da família de operadores{S(t)}, obviamente, é se ela está bem definida. A resposta para isto é sim, e é obtida como consequên-cia do Teorema da Convergênconsequên-cia Dominada de Lebesgue. Seguiremos os passos dados em [Ga] apenas para o casot0;o casot < 0é análogo.

Lema 2.1.1. SeϕXk então,S(t)ϕXk.

Demonstração. Considere a função radialψC∞(Rn),não decrescente ao longo

de toda semi-reta à partir da origem, tal que

ψ(x) =

0, sexB1(0),

1, sexRn\B1(0).

Para todoβ > 0,usaremos a notação adicionalψβ(·)para representarψ

·

β

.

(34)

Figura 2.1: Gráfico da funçãoψpara n=2

A funçãoψé chamada função “bump”.

Assumamos quek=n2+1.O limite dado em (2.3) está bem definido. De

fato, sejam fixados t, β, ǫ > 0, podemos decompor a integral em (2.3) em duas

partes:

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ϕ(x+2√2tz)dz =I1+I2,

onde:

I1=

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2(1−ψβ(z))ϕ(x+2 √

2tz)dz

e

I2=

Z

Rn

(35)

Figura 2.2: Gráfico da função 1-ψpara n=2

Consideremos primeiramente a integralI1.Como,

☞☞

☞e(i−ǫ)|z|2⑨1−ψβ(z)❾ϕ(x+√tz)☞☞☞ ☞☞☞1−ψβ(z)☞☞☞kϕkL

=

kL∞, se|z|< 2β,

0, se|z|2β.

(2.4)

Então, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, o limite deI1

quandoǫtende a zero existe e,

☞☞ ☞☞ ☞ǫlim→0

Z

Rne

(i−ǫ)|z|2⑨

1−ψβ(z)

ϕ(x+√tz)dz

☞☞ ☞☞

☞ ≤☞☞☞B2β(0)☞☞☞kϕkL∞

= (2β)|B1(0)|kϕkL∞.

(2.5)

Para a integralI2,usamos a mudança para coordenadas polaresz=rυ,onde rReυSn−1,e a notação da Proposição 1.4.4 obtendo

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ψβ(z)ϕ(x+√tz)dz=

Z∞

0

Z

Sn−1

e(i−ǫ)|rυ|2ψβ(r)ϕ(x+√trυ)dυdr

=

Z∞

0

e(i−ǫ)|r|2ψβ(r)rn−1

❶Z

Sn−1

ϕ(x+√trυ)dυ

dr

=

Z∞

β

e(i−ǫ)r2ψβ(r)rn−1g(r)dr

=

Z∞

β

✧❶

1 2(i−ǫ)r

d dr

k

e(i−ǫ)r2✑★ψβ(r)rn−1g(r)dr

= ✏2(i1ǫ)✑k

Z∞

β

e(i−ǫ)r2

1 r

d dr

k

(36)

= ✏2(i1ǫ)✑k

Z∞

β

e(i−ǫ)r2 k

X

j=0 ak,j

1 r2k−n+1−j

dj dr

ψβ(r)g(r)

dr

= ✏2(i1ǫ)✑k k

X

j=0 ak,j

Z∞

β

e(i−ǫ)r2 1 r2k−j

✷ ✹

j

X

ℓ=0

j ℓ

g(ℓ)(r)ψβ(j−ℓ)(r) ✸

rn−1dr

= ✏2(i1ǫ)✑k

k

X

j=0 ak,j

j

X

ℓ=0

j ℓ

Z

β

e(i−ǫ)r2 1 r2k−jg

(ℓ)(r)ψ(j−ℓ)

β (r)rn

−1dr. (2.6)

Novamente usamos o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, agora em cada uma das parcelas de (2.6).

Paraℓ=0ej{0, ..., k},temos da Proposição 1.4.4:

☞☞ ☞☞ ☞e(i−ǫ)r

2 1

r2k−jg(r)ψ

(j)

β (r)rn−1

☞☞ ☞☞ ☞≤

kL

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

r2k−n+1 ,

quando j=0.

Já no caso em quej{1, ..., k}er2β,

☞☞ ☞☞ ☞e(i−ǫ)r

2 1

r2k−jg(r)ψ

(j)

β (r)rn−1

☞☞ ☞☞ ☞≤

kL

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

r2k−n+1

r β

j ✌✌ ✌ψ(j)✌✌✌

L∞.

Finalmente, quandoj{1, ..., k}er > 2βtemos:

☞☞ ☞☞ ☞e(i−ǫ)r

2 1

r2k−jg(r)ψ

(j)

β (r)rn

−1☞☞☞☞

☞=0.

Portanto, podemos escrever,

☞☞ ☞☞ ☞e(i−ǫ)r

2 1

r2k−jg(r)ψ

(j)

β (r)rn−1

☞☞ ☞☞ ☞≤

kL

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

r2k−n+1 2

j✌✌ψ(j)✌✌

L∞.

Comok >n2, 2k−n+1 > 1e

Z∞

β dr r2k−n+1 =

βn−2k

2k−n <∞,segue

☞☞ ☞☞ ☞ǫlim→0

Z

Rne

(i−ǫ)r2 1

r2k−jg(r)ψ

(j)

β (r)rn−1dr

☞☞ ☞☞ ☞≤

kL

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

(2k−n)β2k−n2

j✌✌ψ(j)✌✌

L∞. (2.7)

Já no casoℓ1, jℓ, ..., k,observemos que

☞☞

☞☞ψ(βj−ℓ)(r)☞☞☞☞=☞☞☞☞ψ(j−ℓ)(r

β)

☞☞ ☞☞ ☞≤

1

(37)

e, portanto,

☞☞ ☞☞ ☞e(i−ǫ)r

2 1

r2k−jg

(ℓ)(r)ψ(j−ℓ)

β (r)rn−1

☞☞ ☞☞ ☞≤

1 β2k−j

✌✌

✌✌ψ(βj−ℓ)✌✌✌✌

L∞

1 r2k−j

☞☞

☞g(ℓ)(r)☞☞☞rn−1.

Como2k > nek > jtemos2k−j > n2.Logo,

Z∞

β

1 r2k−j

2

rn−1dr = lim

B→∞

ZB

β

1 r2(2k−j)−(n−1)

dr

= lim

B→∞

B2j−4k+n

2j−4k+n−

β2j−4k+n

2j−4k+n

= −β2j2j4k4k++nn <.

Então, a aplicaçãor7 r2k1−j está emL2((β,∞), rn−1dr).

Lançando mão mais uma vez da Proposição 1.4.4 e da desigualdade de Cauchy-Schwarz segue:

Z∞

β 1 r2k−j

☞☞

☞g(ℓ)(r)☞☞☞rn−1dr

Z

β 1 r2(2k−j)r

n−1dr

✦1 2✥Z∞

β

☞☞

☞g(ℓ)(r)☞☞☞rn−1dr

✦1 2

≤ √ 1

4k−2j−nβ2k−j−n2(2

t)ℓ−n2☞☞☞Sn−1☞☞☞ 1 2

kXk.

O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue garante:

☞☞ ☞☞ ☞ǫlim→0

Z∞

β

e(i−ǫ)r2 1 r2k−jg

(ℓ)(r)ψ(j−ℓ)(r)rn−1dr☞☞☞☞

≤ 2

√ t √

4k−2j−nβ2k−j−n2

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

1

2✌✌ψ(j−ℓ)✌✌

L∞kϕkXk.

(2.8)

Observemos que, para todoj{1, ..., k},é possível encontrar uma constante Ctal que

2√t❾j−

n 2

≤C

t

1−n

2 2 +t

k−n

2 2

. (2.9)

Isto é evidentemente verdadeiro para t =0. Para todos t > 0, e j {1, ..., k},

2√t❾j =2j⑨√t❾j.Assim, set1é possível encontrarC1∈Rtal que

2√t❾j C1⑨√t❾k,e se0 < t < 1é possível encontrarC2Rtal que

2√t❾j C2√t. De qualquer maneira, ⑨2√t❾j C

t+⑨√t❾k

.

Multipli-cando ambos os membros desta desigualdade por⑨√t❾−

n

(38)

Fixando agora β=1 em (2.8), com o auxílio de (2.9), obtemos para todo t > 0,

kS(t)ϕkL∞≤C

1+t

1−n

2 2 +t

k−n

2 2

kXk. (2.10)

Isto é,S(t)ϕL∞.

Mostremos agora que, para todo multi-índice α tal que |α|k, a derivada

multi-índice ∂αS(t)ϕL2. De ϕXk(Rn)e |α|k, segue∂αϕL2(Rn) e,

portanto,S(t)∂αϕL2(Rn).Como os operadoresS(t)e∂αcomutam, temos k∂αS(t)ϕkL2=kS(t)∂αϕkL2.

2.2 A continuidade da família de operadores

{

S

(

t

)

}

Nosso objetivo agora é mostrar que set0então S(t)ϕϕem Xk.

Pri-meiramente, verifiquemos a convergência em L∞. Para tanto, damos a seguinte

definição:

Definição 2.2.1. Sejamℓ{0, ..., k}ehL2((β,), rn−1dr),definimos

Thℓ :=

Z∞

β

e(i−ǫ)r2h(r)g(ℓ)(r)rn−1dr (2.11)

e diremos que tal integral é “do tipoT(ℓ)”. No caso em quehpode ser escrita sob a forma

h(r) =ψ

(p)

β (r)

rq com2q−n > 0, (2.12)

diremos que a ordem de Thℓ emβ ép+q−n2.Se h= n

X

i=1

cihi,onde cada hi é

da forma descrita em (2.12), definimos a ordem deh em βcomo a ordem mais baixa dentre as ordens dos monômios não nulos do somatório acima (observe que a ordem dehdepende de sua decomposição).

Voltemos nossa atenção novamente à integralI2.Através das igualdades (2.6)

obtivemos

I2=

−1

2(i−ǫ) ➀k kX

j=0 ak,j

j

X

ℓ=0

j ℓ

Z

β

e(i−ǫ)r2 1 r2k−jg

(ℓ)(r)ψ(j−ℓ)

(39)

Isto é,I2,de certo modo, representa uma combinação linear de termos do tipoTℓ.

A fim de estimar uma ordem para a combinação dos termos em (2.6) podemos fazer uma nova decomposição para I2 em termos do tipo Tℓ de acordo com o

seguinte resultado, que nos será útil no objetivo desta seção.

Lema 2.2.1. Sejamα⑨0,2n1+1❾em > 0tais quemn−2,então a integralI2

pode ser reescrita como combinação linear de termos do tipoTℓcomℓ{0, ..., k},

de modo que para ℓ6=0 eℓ6=k, a ordem dos termos do tipoTℓ na combinação linear é maior do que ou igual am.

Demonstração. Sejam p, qN tais que 2q−p > 0.Consideremos a aplicação hdada porh(r) = ψ

(p)

β (r)

rq .Fixadoℓ∈{1, ..., k},usamos integração por partes em

(2.11) obtendo:

Thℓ =

Z∞

β

e(i−ǫ)r2h(r)g(ℓ)(r)rn−1dr

=

Z∞

β

✧❶

1 2(i−ǫ)r

d dr

k−ℓ

e(i−ǫ)r2

h(r)g(ℓ)(r)rn−1dr

= ❶

−1

2(i−ǫ) ➀kZ∞

β

e(i−ǫ)r2

✧❶ 1 r d dr ➀k

h(r)g(ℓ)(r) ★

rn−1dr

= ❶

−1

2(i−ǫ) ➀kZ∞

β

e(i−ǫ)r2 k

X

j=0

ak,j 1

r2k−n+1−j dj dr

ψ(βp)(r)

rq g

(ℓ)(r)

dr.

(2.13) Portanto,

Thℓ = ✏2(i1ǫ)✑k k

X

j=0

ak,j×

×

Z∞

β

e(i−ǫ)r2 1 r2k−j

j

X

c=0

j c

✦ ❸

ψ(βp)(r) rq

➂(j−c)

g(ℓ+c)(r) ➃

rn−1dr,

o que nos fornece após a troca de ordem do sinal de integração com o somatório e aplicações sucessivas da regra de derivação de quociente de funções,

Thℓ =✏2(i1ǫ)✑k−ℓ k−ℓ

X

j=0 ak−ℓ,j

j

X

c=0

j c

Xj−c

b=0

j−c

b

(−q)(−q−1)(−q−2)×···×

[−q− (j−c−b−1)]

Z∞

β

e(i−ǫ)r2ψ

(p+b)

β (r)g(ℓ+c)(r)

r2(k−ℓ)+q−c−b r

(40)

Comok1, 2q−n > 0e2[2(k−ℓ) +q−c−b] −n > 2(k−ℓ) +2q−n,

po-demos escreverThℓcomo combinação linear de termos do tipoT(ℓ), T(ℓ+1),···, T(k),

cada um deles correspondendo a um valor dec.Em particular, os termos do tipo T(ℓ)correspondem ac=0e sua ordem na soma acima é dada por

p+2(k−ℓ) +q−n

2 =p+q−

n 2

| {z }

ordem deTℓ h

+2(k−ℓ)

| {z }

≥1

.

Concluí-se daí que, após uma modificação como acima, a ordem dos termos do tipoT(ℓ) recebe um incremento igual ou superior a 2.

Considere agora, para ℓ{0,···, k−1}, a afirmação: a integral I2 pode ser

reescrita como soma de termos do tipoT(γ),onde0γk;de modo que para 1γℓ,os termos do tipoT(γ)na soma tem ordemm.Representaremos esta

afirmação porHℓ.

ComoI2= k

X

ℓ=0

Th()(.),comh(ℓ)(r) = k

X

j=ℓ

j ℓ

ψ(βj−ℓ)(r) r2k−j ,de

2(2k−j) −n2k−n > 0,e da expressão já obtida anteriomente paraI2 segue

que H0 é válida. Seja ℓ∈ {1,···, k−1} e suponha agora que a afirmação seja

válida paraH−1,queremos mostrar que ela também é válida paraHℓ.

De fato, temos pela hipótese de indução queI2pode ser reescrita sob a forma

I2=

k

X

γ=0

λγThγγ, ondehγ é uma combinação linear de termos do tipo

ψ(βp)(r)

rq ,de

modo que para γ{1,···, ℓ−1},a ordem de Thγ

γ é no mínimo m. Procedendo

novamente como em (2.13) obtemos uma nova expressão paraI2 onde os termos

do tipo T(γ), comγℓ−1,permanecem os mesmos, e a ordem dos termos do

tipoT(ℓ)recebe um incremento de2(k−ℓ)2.Repetindo o processo um número

finito de vezes, observa-se que os termos do tipo T(ℓ) tem ordem maior ou igual

queme, portanto a afirmaçãoHℓ é verdadeira.

Em tempo, observermos que seh(r) =ψ

(p)

β (r)

rq , ℓ∈{1, ..., k}e2q−n > 0,então

☞☞

☞Thℓ☞☞☞ Z∞

β

☞☞ ☞☞ ☞☞

ψ(βp)(r) rq

☞☞ ☞☞

☞☞☞☞☞g(ℓ)(r)☞☞☞rn−1dr (2.14)

✌✌ ✌ψ(p)✌✌✌

L∞ βq Z∞ β 1 rq ☞☞

☞g(ℓ)(r)☞☞☞rn−1dr (2.15)

✌✌ ✌ψ(p)✌✌✌

L∞

2q−n kϕkXk

☞☞ ☞Sn−1☞☞☞

1 2(2

√ t)ℓ−n2

βp+q−n2

(41)

aqui usamos mais uma vez a desigualdade de Cauchy-Schwartz e a Proposição 1.4.4. Quandoβ > 1e a ordem deThℓ é maior ou igual quem,então

☞☞

☞Thℓ☞☞☞C(2 √

t)ℓ−n2

βm . (2.17)

Comoℓ1em n−2temosℓ−n2+αmℓ−n2+n2−2=ℓ−10.Fazendo

β= β❡

(2√t)α,ondet≤1,podemos escolherÜβ > 2αsuficientemente grande tal que

para todot1

(2√t)ℓ−n2+αm

Ü

βm < δ, ℓ∈{1, ..., k}

e ☞☞

☞Sn−1☞☞☞kϕkL∞2j

✌✌ ✌ψ(j)✌✌✌

L∞

(2k−n)Üβ2k−n (2

t)α(2k−n)δ, j{0, ..., k}.

O Lema 2.2.1 juntamente com as desigualdades (2.7) e (2.16) implicam na existência de uma constanteC > 0(independente deδ) tal que, para todoǫ > 0,

☞☞ ☞☞ ☞ Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ψβ/(2

t)α(z)ϕ(x+2

tz)dz☞☞☞☞Cδ. (2.18)

Aplicando a Proposição 1.4.3, na página 23, comp=2nsegue

☞☞ ☞☞ ☞ǫlim→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2(1−ψβ(z))ϕ(x+2 √

tz)dz−lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2(1−ψβ(z))ϕ(x)dz

☞☞ ☞☞ ☞

Z

Rn

(1−ψβ(z))☞☞☞ϕ(x+2√tz) −ϕ(x)☞☞☞dz

Z

|z|<2β

C(2√t2β)12||∇ϕ| |Lpdz

≤ C(2√t)12βn+12 =C(2√t)12−α(n+12)Üβ.

Pela nossa escolha deα, 12−α⑨n−12❾> 0.Assim, podemos tomart0< 1tal

que para todott0,

(42)

Portanto, paratt0,

☞☞ ☞☞ ☞ǫlim→0

Z

Rne

(i−ǫ)|z|2

ϕ(x+2√tz)dz−lim

ǫ→0

Z

Rne

(i−ǫ)|z|2

ϕ(x)dz

☞☞ ☞☞ ☞

≤☞☞☞☞ǫlim

→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ψβ(z)ϕ(x+2√tz)dz☞☞☞☞+☞☞☞☞lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ψβ(z)ϕ(x)dz☞☞☞☞+

+☞☞☞☞lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2(1−ψβ(z))[ϕ(x+2√tz) −ϕ(x)]dz☞☞☞☞

≤Cδ+Cδ+δ.

(2.20) Como

lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2dz=πn2einπ4,

das desigualdades (2.18) a (2.20) decorre que u(·, t)ϕ(·) em L∞ quando t

tende a 0 por valores positivos. Analogamente, é possível mostrar o mesmo para

t < 0,e portanto, S(t)ϕé contínua emt=0.Como veremos na próxima seção,

{S(t)} é um grupo, e a propriedade terá sua validade confirmada para para todo

tR.

Para finalizar, algumas considerações sobre o caso geral: k > n2 (até o

mo-mento, só consideramos o casok=➎n2➑+1). Sejaαum multi-índice,1|α|k.

Dadot > 0,como a integral na expressão deu(x, t)converge, podemos escrever

∂αu(x, t) =π−n2e−inπ4 lim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2∂αϕ(x+2√tz)dz (2.21)

e ∂αϕL2(Rn), usando mais uma vez o fato de ser {S(t)} um grupo, temos

imediatamente que∂αu(·, t)L2(Rn)e, além disso k∂αu(·, t)kL2(Rn)=k∂αϕ(·)kL2(Rn).

De maneira análoga, é possível mostrar o mesmo parat < 0.

Portanto, seϕXk(Rn)entãou(·, t)Xk(Rn), para todotR;ou seja, a

aplicaçãot7S(t)ϕC(R, Xk(Rn)).

Além disso, comoS(·)ϕé limitada em[−1, 1],temos quekS(t)kL(Xk)é

limi-tado em [-1,1]; o que, em conjunto com (2.10), nos fornece a seguinte consequên-cia:

Corolário 2.2.1. SeϕXk(Rn)etRentão existe uma constanteC > 0,

de-pendente apenas denek,tal que

kS(t)ϕkXk≤C(1+|t|ρ)kϕkXk, (2.22)

onde

ρ=

1

2, se n é par, 1

(43)

2.3 Gerador Infinitesimal do grupo

{

S

(

t

)

}

tR

Nesta seção seguiremos de perto a notação e os resultados expostos no capítulo 1 de [P] e no capítulo 3 de [CH]. Assim, se X é um espaço de Banach, uma

família de operadores lineares {T(t)}, a um parâmetro tR, definidos em X é

um grupo de operadores lineares quando T(0) =I, T(t1+t2) = T(t1)◦T(t2) e T(−t) =T−1(t), onde I é o operador identidade et1, t2, t∈R. Caso tenhamos

as propriedades apenas para t1, t2, tR+,diremos que{T(t)}é um semi-grupo.

Em geral, representaremos por D(T)o domínio de {T(t)}e diremos que {T(t)}é

fortemente contínuo quando lim

t→0kT(t) −Ik=0. (2.23)

O operador linear Acujo domínio é D(A) =

ϕX;lim

t→0

T(t)ϕ−ϕ t existe

é definido porAϕ:= lim

t→0

T(t)ϕ−ϕ

t =T

(0)ϕ,para todoϕD(A),é o gerador

infinitesimal de{T(t)}.

De volta ao nosso caso particular, primeiramente observemos que a família

{S(t)}é um grupo, chamado o grupo de Schrödinger .

Lema 2.3.1. A família de operadores{S(t)}t∈Rdefinida em(2.3)é um grupo.

Demonstração. Obviamente, se escrevemosc=e−inπ4π−n2,então

S(0)ϕ(x) =clim

ǫ→0

Z

Rn

e(i−ǫ)|z|2ϕ(x)dz=ϕ(x).

Consideremos agora t1, t2 > 0. Faremos, por simplicidade, a demonstração no

cason=1.No caso, geral a demonstração segue os mesmos passos.

Temos

φ(x) =S(t1)ϕ(x) =c lim

ǫ1→0

Z

R

e(i−ǫ1)|z1|2ϕ(x+2t

1z1)dz1,

e

S(t2)◦S(t1)ϕ(x) =S(t2)φ(x)

=c lim

ǫ2→0

Z

R

e(i−ǫ2)|z2|2φ(x+2t

2z2)dz2

=c2 lim

(ǫ1,ǫ2)→(0,0)

Z

R

Z

R

e(i−ǫ1)|z1|2+(i−ǫ2)|z2|2ϕ(x+2t

Figure

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