Repositório UFAL: O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov

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Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática

  Seja ϕ ∈ L ϕ é a função ϕ (ou F (ϕ)) definida por ÒFourier de Z n− −i(ξ ·x) F 2 ϕ(ξ) = (2π) Ò ϕ(x)e dx, (1.5)(ϕ)(ξ) = nR n X x = (x , , x ξonde ), ξ = (ξ ) e (ξ . São válidas as seguintes propriedades: p n q n 1 1 1 ∈ L ∈ L ∈ [1,∞] com p q r r algum∈ [1,∞], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções, r n ) f (R r p q .∗ g ∈ L e kf ∗ gk ≤ kfk kgk L L L f 2.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Schrödinger, Equação de. 3. Equações de evolução. 4. Zhidkov, Espaços de. I. Título

  Seja ϕ ∈ L ϕ é a função ϕ (ou F (ϕ)) definida por ÒFourier de Z n− −i(ξ ·x) F 2 ϕ(ξ) = (2π) Ò ϕ(x)e dx, (1.5)(ϕ)(ξ) = nR n X x = (x , , x ξonde ), ξ = (ξ ) e (ξ . São válidas as seguintes propriedades: p n q n 1 1 1 ∈ L ∈ L ∈ [1,∞] com p q r r algum∈ [1,∞], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções, r n ) f (R r p q .∗ g ∈ L e kf ∗ gk ≤ kfk kgk L L L f 2.

6. Sejam

  Uma função f ∈ L p n variável se existe g ) tal que, para(R ∈ L p Z ☞☞ ☞☞ f(x + h) − f(x) limh = h e tem-se − g(x) dx = 0; ☞☞ ☞☞k k →0 n ☞ ☞h hk R k quando existe (e, neste caso, é única) uma tal função g é chamada derivada par- p cial de f com relação à k-ésima coordenada na norma L . O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescen- n n R R ), é formado pelas funções tes) em , que denotaremos por S ( ☞☞ α β ☞☞n ∞ n f : R − ) e = sup x ∂ f(x) <(R ☞ ☞ → C tais que f ∈ C kfk ∞, quaisquer α,βnx ∈R α e β.que sejam os multi-índices O espaço de Schwartz goza das seguintes propriedades, que podem ser con- sultadas em [Io].

1.3 Os Espaços de Sobolev

  O espaço de Sobolev de ordem s, classicamente s n n ′ ) definido por denotado por H (R ), é o subespaço de S (R s⑨ ❾s n n 2 2 2 n′ ❜ H ) = f ); 1 + |ξ| f(ξ) ) . ∈ S ∈ LA seguir, além de destacarmos um exemplo clássico de uma classe de funções s 1 no espaço de Sobolev H , para s < , introduzimos a notação usada para denotar a 2 função característica de um conjunto, que nos acompanhará no decorrer do texto.

2 H L

1✥ ✦ Z ✕ + ∞ s 2 2✔✏ ✑ 2 2 = = 1 + |ξ| χ Ö (ξ) dξ [a,b] (1.14) − ∞ 1✥ ✦ Z + ∞ 2 2✏ ✑s sen (2πξ) 2 = 1 + |ξ| dξ <∞ 2 2 π ξ − ∞1 s < . se, e somente se,

2 A seguir, agrupamos algumas propriedades dos espaços de Sobolev. Outras podem ser encontradas em [Io]

  ≤ (1 + |ξ|)Combinando este fato ao Teorema 1.2.1, juntamente com o conhecido Teorema de Plancherel, temos: Z 2 2 2 α ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞α α = = f 2 ∂ f ∂ f(ξ) dξ✌Ô ✌ ☞Ô ☞ k∂ k L 2n R Z 2☞☞ |α| α ☞☞ ❜ = | i |ξ f(ξ) dξ ☞ ☞n R Z 2 2α ☞☞ ☞☞ |= c |ξ f(ξ) dξ ☞❜ ☞n R Z ⑨ ❾ 2 α2 ☞☞ ☞☞ 1 + |ξ| f(ξ) dξ. Da desigualdade de Hölder (ver, por exemplo, [Io]) segue:Seja s ∈ R,s > ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞ f = f(ξ) dξ ✌❜ ✌ ☞❜ ☞ 1 L nR Z s s⑨ ❾ ⑨ ❾ − 2 2 ☞☞ ☞☞ 2 2 = 1 + |ξ| f(ξ) 1 + |ξ| dξ ☞❜ ☞n R 1➊ ➍ Z 2⑨ ❾ −s 2 s 1 + |ξ| dξ f 2 = c s .

1.4 Os Espaços de Zhidkov

  Assumindo queTomando q = 2 e r = ∞ temos θ = ≤ θ ≤ 1 e p(n−2m) m que n > 2m segue2n − 2jp ≤ p(n − 2m), n(2m − jp)≤ mp(n − 2m), fazendo m = |γ| = |β| + 1 = j + 1,n(2 − P) ≤ 2jp − 2(j + 1)p = −2p, 2j+2 2 p = 2 + ,≤ j j e, portanto, 2 n ,≥ 21−p 2 2 . ✌ ✌ ≤ 2 Lα 2 n Então, ϕ , ∂ ϕ(R ), para todo multi-índice α com |α| t t ∈ L ≤ k + 1, o que k+1 n significa que ϕ (R ), qualquer que seja t > 0.t ∈ X t kϕ k X →∞t − ϕ p minada de Lebesgue e a Desigualdade de Minkowski mostra-se que kϕ tk → L 0, para todo 1≤ p ≤ ∞ (uma demonstração para o caso n = 1 pode ser encon- trada na página 20 de [Fe]).

2.1 Família Contínua de Operadores de Schrödin-

  = π n nR R n Como as integrais acima não estão definidas em todo o R , é necessário intro- duzir uma pequena perturbação na exponencial complexa; comoZ n π 2(−i+ǫ)|w| −in 2 4 lim e dw = π e , ǫ →0 n R adotaremos a seguinte definição: n k n n ϕ e (R ). Sejam n ∈ N, k > ∈ X ∈ R e x ∈ R 2 definimos a família de operadores { S(t)}, pondoZ  2 π n √− −in (i−ǫ)|z| 4 2  e π lim e ϕ(x + 2 tz)dz, t ≥ 0 ǫ →0 n R ZS(t)ϕ(x) = (2.3) 2 π n √ − (−i−ǫ)|z|in  4 2  e π lim e ϕ(x + 2 −tz)dz, t < 0.

2 X ➈ ➋

= e a ψ dr(r)g(r) k,j β 2(i−ǫ)2k−n+1−j r dr β j=0✷ ✸ ✥ ✦j k Z ∞✏ ✑k X 2 (j−ℓ) −1 (i−ǫ)r (ℓ) n−1✹ ✺

1 X j

  = a e g (r)ψ (r) r dr k,j β2(i−ǫ) 2k−j r ℓ β j=0 ℓ=0✥ ✦j k Z ∞✏ ✑ X X k j 2 1 (j−ℓ) (i−ǫ)r (ℓ) n−1−1 = a e g dr. ☞☞ ☞☞ ✌ ✌ ≤ β 2k−j 2k−n+1L ∞ ☞ ☞ r rZ ∞ n−2k dr β n Como k > , 2k − n + 1 > 1 e = <∞, segue 2 2k−n+1 r 2k − n β☞☞ ☞☞ Z∞ n−1 ☞☞ ☞☞ S ☞ ☞ 2 1 kϕk L (j)(i−ǫ)r n−1 j ✌✌ (j) ✌✌ lim e g(r)ψ dr 2 ψ .

2 B

  ☞ ☞ ✌ ✌ kn ∞ ≤kϕk √ X 2k−j−L 2 4k − 2j − nβObservemos que, para todo j ∈ {1,...,k}, é possível encontrar uma constante C tal que ❶ ➀1− n k− n n ⑨ ❾ 2 2 √ j− 2 2 2 2 t t . Assim, se t≥ 1 é possível encontrar C 1 ∈ R tal que⑨ ❾ ⑨ ❾ √ j √ k 2 t t , e se 0 < t < 1 é possível encontrar C≤ C 12 ∈ R tal que ⑩ ❿ ⑨ ❾ ⑨ ❾ ⑨ ❾ √ j √ √ j √ √ k 2 t t.

2.2 A continuidade da família de operadores {S(t)}

  No caso em quea forma (p) ψ(r) β h(r) = com 2q − n > 0, (2.12) q r n X ℓ n T β é p + q − . Sejam α ∈ ≥ 2 2n+1 2αℓ pode ser reescrita como combinação linear de termos do tipo T com ℓ∈ {0,...,k}, ℓ ℓ de modo que parana combinação 6= 0 e ℓ 6= k, a ordem dos termos do tipo T linear é maior do que ou igual a m.

2 X (r)

  ℓ✥ ✦ (j−ℓ)k k ψ X X j (r) β ℓ (ℓ) =Como I T (.), com h (r) = , de 2 h(ℓ)2k−j ℓ r ℓ=0 j=ℓ 2(2k − j) − nsegue ≤ 2k − n > 0, e da expressão já obtida anteriomente para I 2 que Hé válida. Procedendo modo que para γ ∈ {1,··· ,ℓ − 1}, a ordem de T hγ novamente como em (2.13) obtemos uma nova expressão para I onde os termos 2 (γ) do tipo T, com γ ≤ ℓ − 1, permanecem os mesmos, e a ordem dos termos do (ℓ) tipo T recebe um incremento de 2(k − ℓ) ≥ 2.

1.4.4. Quando β > 1 e a ordem de T é maior ou igual que m, então

  Fazendo 2α 2 2 2❡β α Ü√ β = , onde t β > 2 suficientemente grande tal que α ≤ 1, podemos escolher(2 t) para todo t ≤ 1 n √ ℓ− +αm 2 t)(2 < δ, ℓ∈ {1,...,k} Ü m β e ☞☞ n−1 ☞☞ j ✌✌ (j) ✌✌ ∞ 2 ψ ☞ S ☞ ✌ ✌ ∞ kϕk √ L α(2k−n)L t)(2 ≤ δ,j ∈ {0,...,k}. Ü 2k−n β(2k − n) O Lema 2.2.1 juntamente com as desigualdades (2.7) e (2.16) implicam na existência de uma constante C > 0 (independente de δ) tal que, para todo ǫ > 0,Z ☞☞☞☞ 2 √ (i−ǫ)|z| √ e ψ tz)dz (2.18)(z)ϕ(x + 2 ☞☞☞☞ α ≤ Cδ.

1 Pela nossa escolha de α, n − > 0. Assim, podemos tomar t < tal

  − α 2 2 , que para todo t ≤ t 1 1 1 √ −α n− n+ ( ) Ü 2 2 2 C(2 t) β (2.19) ≤ δ. (2.20)Como Z n π 2(i−ǫ)|z| in 2 4 lim e dz = π e , ǫ →0 n R∞ quando t das desigualdades (2.18) a (2.20) decorre que u(·,t) → ϕ(·) em Ltende a 0 por valores positivos.

2 Dado t > 0, como a integral na expressão de u(x,t) converge, podemos escrever

  1 2 R R 1 2 das variáveis z e z para as variáveis z e w, de acordo com as seguintes equações: 1 2  1 2 = Az + Bz z, 1 2 Bz − Az = w, 1 2 √ √t t 1 2√ √ onde A = e B = .t +t t +t 1 2 1 21/2 1/2 2 2 2 2 1/2 Deste modo, |z | | e t dz dz ) dw, 1 2 1 2 1 2 2 1 portanto: 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 t t dz + t t dw t t dz − t t dw 1 2 2 1 dz = e dz = . 1 2 t t 1 2 1 2 Logo, t= dz dz dwdz = dwdz, 1 2 t + t 1 2 e daí:S(t ) )ϕ(x) = 2 1 ◦ S(tZ Z 2 2 √ ) 2 (i−ǫ)(|z| +|w| lim= c e ϕ(x + 2 t + t z)dwdz 1 2 →0ǫ R R ➊ ➍ Z Z 2 2 √ 2 (i−ǫ)|w| (i−ǫ)|z| = c lim e dw e ϕ(x + 2 t + t z)dz 1 2 →0ǫ R R Z 2 √ (i−ǫ)|z| = c lim e ϕ(x + 2 t + t z)dz 1 2 →0ǫ R = S(t + t )ϕ(x).

2 Para finalizar, basta observar que S(t) ◦ S(−t)ϕ(x) = S(0)ϕ(x)

  Se ϕ ∈ X π Z −in 4 2 1 e √ √ (i−ǫ)|z| 2 i∆ϕ(x) = lim e D ϕ(x) tz, 2 tz)dz, (2.24) n · (2 →0 2t ǫ 2 n π R . Observe que como j 6= ℓ, j z ℓ dz = 0, poisZ Rn e (i−ǫ)|z|2 ∂ϕ ∂x ∂x (x)z ℓ (x)z j z ℓ dz = n j ℓ p=1 z 1 ≤j<ℓ≤n ∂ϕ∂x j ∂x ℓ (x)z j ℓ✸ ✺ ∂x ondeD Rn e (i−ǫ)|z| 2 ∂ϕ∂x j Y Z (x) + 2 dz j ∂x ℓ (x)z j z ℓ p 2 p = 0, pois a aplicação z p 7→ e (i−ǫ)z 2 p é par.

2 D

  k+4 n ) então, quando Demonstração.(R Primeiramente, afirmamos que para ϕ ∈ X t→ 0, k S(t)ϕ − ϕ X −(2.27) → i∆ϕ, t ⑨ ❾k+4 n ′ o que implica X (R ), i∆ (0). Observamos que, ZS(t)ϕ − ϕ 1 π n 2 √ − −in (i−ǫ)|z| 4 2 e π lim e tz) − ϕ(x)]dz.

2 Y

  × nR (2.31)Agora, Z 2 √ √ √ (i−ǫ)|z| 2 2 e ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D ϕ(x)](z, z)dz[D nR Z ✏ ✑ 2 2 √ √ (i−ǫ)|z| 2 2 1 = − e ∆ ϕ(x + 2s tz)(2s tz) dz (2.32) 2(i−ǫ)n R Z 2 √ (i−ǫ)|z| 1 − e tz) − ∆ϕ(x)]dz,[∆ϕ(x + 2s 2(i−ǫ)n R portanto, ❶ ➀ S(t)ϕ − ϕ− i∆ϕ (x) = t Z 1 2 2 2 t S(ts ϕ(x)ds += −4 (1 − s)s )∆ Z 1➈ ➋ 1 2 . (2.33) + S(ts(1 − s) )∆ϕ − ∆ϕ (x)ds 2i n 2 k n k n Como ∆ ϕ ) , temos que o operador(R (R ), já que k > ∈ H ⊂ X 2 2 2 k {S(ts )∆ ϕ} é limitado em X e, logo t,s ∈[0,1] Z 1k X 2 2 2 −4t (1 − s)s S(ts )∆ ϕ(x)ds → 0, quando t → 0.

2 S(ts

  k+4 n k+2 n Já temos que X ) ) e, como consequência imediata da Pro-(R (R ⊂ X k+4 n k+2 n ) posição 1.4.2 na página 22, X (R é denso sobre X (R ). Como o gerador infinitesimal de(φ, i∆φ); φ (R ∈ X × X um semi-grupo fortemente contínuo é um operador fechado (ver [P]), temos que ⑨ ❾k+2 n ϕ X(R ), i∆ ∈ D(A) e Aϕ = i∆ϕ o que significa que ⊂ (D(A),A).

3.1 Existência Local

  [0, T ], X (R k∈ C ku(·,t)k ≤ K, ∀t ∈ [0,T] X Consideremos para todos os elementos u e v de E a métrica proveniente da norma k n de C([0,T],X(R )), ou seja, d(u, v) = max k ,ku(·,t) − v(·,t)k X t ∈[0,T] de modo que E torna-se também um espaço métrico completo.pondo, Dada u ∈ E, definimos Φ uZ t Φ S(t − τ)F(u((t) := S(t)ϕ + i u ·,τ))dτ, ∀t ∈ [0,T]. Aplicando a desigualdade triangular e a propriedade 2.22, vista no Corolário 1 1 , ,2.2.1 da página 36, segue, para ρ ∈ 2 4 Z t✌✌ ✌✌ S(t − τ)F(u((t) k n k ✌✌ ✌✌ kΦ k ) ≤ kS(t)ϕk ·,τ))dτ X (R X✌ ✌k X Z tρ ρ X X Z t dτ, k ≤ 2CM + 2C kF(u(·,τ))k X (3.8) já que t,τ,t − τ ∈ [0,T], e T ≤ 1.

1 Xk

  Fa-Evidentemente, quando t → T 1 zendo T(M) = , segue de K = 4CM + 2C k k , kF(0)k e M = ku(t)k X X 4CL(K)⑨ ❾ 1 1 4CL 4C = (3.13) k + 2C k ku(t)k kF(0)k ≥ X X ∗ T (M) T (ϕ) − t e, portanto, lim k n = +ku(t)k ) ∞. Dada ϕ ∈ X ∗ ∈ [−∞,0) e T ∈ (0,+∞] tais que: k n ∗ u )) e, para a) existe uma única solução maximal (ϕ), T (ϕ)], X (R∈ C([T ∗ ∗ todos T , T + − (ϕ) < T − < 0 < T < T (ϕ), u é a única∈ R satisfazendo T ∗ Z 1 u(t) = S(t)ϕ(x) + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t − , T ].

c) T k = +

(ϕ) = + ∞ ou lim ku(·,t)k ∞. X∗t րT (ϕ)

3.2 Regularidade da Solução

  (3.15) = k max k , então Se denotamos kuk ku(t)k L X X T t∈[0,T] Z Tk k k dτ kφu(t) − φv(t)k ≤ ki∆k ku(τ) − v(τ)k X X X∞ (3.16) .k ≤ αT ku − vk L X T Logo, se supomos n n α t n n ∞ u(t) − φ v(t) k k , (3.17) kφ k ≤ ku − vk X L X T n! Sejam ϕ ∈ X → X ∗ k n u )) da equação(ϕ), T (ϕ)], X (R ∈ C([T ∗Z t u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t , T ] (3.19) ∈ [T(3.1) em descrita nos Teoremas 3.1.2 e 3.1.4 é uma solução clássica do problema k n X (R ), ou seja, ∗ k+2 n 1 ∗ k n )) u (ϕ), T (ϕ)], X (R ([T (ϕ), T (ϕ)], X (R )).∈ C([T ∗ ∩ C ∗ k+2 n ∗ Demonstração.

2 Por outro lado, como |u| = uu, temos, para cada j

  ∈ X n k n k+1 ➎ ➑n ℓ n ∗ ℓ)) a solução da equa- cada + 1, (ℓ), T (ℓ)], X (R ∈ { ··· ,k}, seja u ∈ C([T ∗ 2 ção integralZ t u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t , T − ], ∈ [T F(u) = f(|u| com )u, onde (T (ℓ), T (ℓ)) é o intervalo maximal de existência de ∗ ℓ n u em X (R ). ✌ )u(τ) ✌ ≤ ku(τ)k ℓ X X Logo, ✧ ★ Z tÝ M + ds , ℓ ℓ ℓ ku(t)k ≤ C kϕk ku(s)k X X X ∗ℓ (ℓ), o que contra- e, portanto, ku(t)k não pode tender a infinito quanto t ր T X ∗ diz a hipótese de ser (T(ℓ), T (ℓ)) o intervalo (aberto) maximal de definição da ∗ ℓ n∗ ∗ ∗ aplicação u : (T (ℓ), T (ℓ)) (R ).

4.1 Leis de Conservação

  Consideremos Sejam ϕ ∈ X e f ∈ C 1 ∗ k n )) )) u , T ], X (R ([T , T ], X (R∈ C([T ∗ ∩ C ∗ a solução do problema de Cauchy 2 n iu u + f(|u| t x ∈ R × R,(4.1) u(x, 0) = ϕ(x). (R) tal queθ(r) = t t ❶ u= −u t 2 | t )u,−i|u 2 f(|u| t x x ∆ t 2 | t , respectivamente, obtemosi|u t e u t ∆ u= −u ) t 2 )(|u| 2 = −f(|u| t )(uu) 2 u)= −f(|u| t )(uu t 2 u) = −f(|u| x ∆ t 2Re(u (4.3)Daí, somando membro a membro, 2 )u.

2 L

  )θ 2 V(|ϕ(x)| Rn (x)dx −Z R 2 (x, τ)dτ V(|u(x, τ)| Rn =Z ★ (x)dx R θ ✦ R n ) = ☞☞ ☞ ➍ dy 2 R n −1 ☞☞☞ (|y|) R ′ θ Rn 2 Z ➊ = R k (R dx n 1 = R (R 2 ∞ c (|· |) ∈ C ′ (4.6)Como θ 2 . Como ∇θ R n Ω = {x; |x| ∈ R ≥ R}, a desigualdade de Cauchy-Schwartz implicaZ Z t☞☞ ☞☞ ☞☞ ∇u(x, τ)∇θ (x)u (x, τ)dxdτ ☞☞ R t☞ ☞n R✥ ✦ Z∞ tdτ , (τ) n 2 2 nt R ≤ sup ku k ) k∇u(τ)k k∇θ k ) L (R L (Ω) L (R τ∈[0,t] e esta última quantidade converge para 0 quando R → ∞.

2 V(|u(x, t)| V(|ϕ(x)|

  )dx − )dx = n nR R ✧ ★ Z Z t = 2Re ∆u(x, τ)u(x, τ)dτdx tn R✧ ✥ ✦ ★ Z Z t = lim 2Re ∆u(x, τ)u θ(x, τ)dτ (x)dx t R R →∞ nR ➊➍ Z Z 2 2 = lim V(|u(x, τ)| )θ (x)dx − V(|ϕ(x)| )θ (x)dx . R R →∞ n nR R R Z Z 2 2 Portanto, V(|u(x, t)| )dx = lim V(|u(x, τ)| )θ (x)dx, e a energia é Rn →∞ n R R R conservada. ☞☞ ∇υ ☞☞ ≤ |y − x| ℓ ☞ ☞ |y − x| y−x Portanto, escrevendo Ω = x + t , t , existe uma constante C > 0∈ R |y−x| satisfazendo 1✥ ✦ Z 1 2 1′ 2 2 ds ||f (s)| 2ℓ ≤ |y − x| k∇υ ℓ Ω k L (Ω) 1 2 k−1 n ≤ C|y − x| k∇υ ℓ k ) H (R 1 2 sup (4.9) k n , ≤ C|y − x| kυ ℓ k ) X (R ℓ Proposição 4.1.3.

2 Como Re[ϕ(y)ϕ(x)] = |ϕ(x)|

  1 2 ℓ ℓ 1 2 ∗ ku k ≤ Kkρ ∗ ϕ − ϕkX ∈ [ X k n2 n Em particular, como ρ) (R (t) (R ℓ ), vale ∇u ℓ → ∇u(t) em L ∗ϕ → ϕ em X ⑨ ❾ ⑨ ❾2 n 2 2 ℓ ∗ ϕ = ρ ℓ → ∇ϕ em L ℓ ∗ ϕ| → V 1 n (R ). Nestas con- dições, para ℓ ≥ ℓ 4 , |x|≥ D, temos V (|u ℓ (x, t)|) não negativa pois:||u ℓ (x, t)| 2 − ρ| ℓ ℓ (x, t)| 2 − |u(x, t)| 2 | 2 − |u ℓ 4 (x, t)| 2 4 Seja D > 0 e suponha ||u L ∞ ❸ ≤ ku ℓ (t) − u(t) k L ∞ ( ku ℓ(t) − u(t) k L ∞ L ∞ )≤ Kkρ ℓ ∗ ϕ − ϕk Xk K kρ 2 .

4.2 Boa Colocação Global

  Do O Teorema 4.1.2 garante que a energia é conservada para t ∈ (T ∗ ∗ Teorema 3.1.3 e da Observação 3.1.3 temos que, se T é finito, então ∗ 1 ou t → T Como V ≥ 0, da conservação de energia ku(t)k → ∞ quando t → T ∗ X segue que, para todo t,Z ➈ ➋ 2 2 E = u(x, t)| ) dx, |∂ + V(|u(x, t)| x R Z 2 e, portanto, u(x, t)| dx . 1 ∞ Do teorema do mergulho de Sobolev temos H(R) (R), e, portanto, ⊂ L 2 ✌✌ 2 ✌✌∞✌ |u(t)| − ρ ✌ ∞ ku(t)k ≤ ρ ✌✌ 2 ✌✌ ✌ ✌ ≤ ρ 1 (4.30)Hr✌ ⑨ 2 2❾✌✌ ✌✌ ✌✌ 2 2 ∂ .

4.3 Algumas Aplicações

  Seja n = 1 ou n = 2 e tomemos 2 2 f(|u| ) = 1 − |u| em (1), isto é, consideremos ⑨ ❾ 2 iu 1 − |u| u = 0. (4.32) t 2 ′ r = |u| , temos f(1) = 0, fEntão, fazendo (1) = −1 e Z r 2 (r − 1)V(r) = − f(s)ds = ≥ 0.

1 Portanto, estão garantidas as hipóteses do Teorema 4..2, e a energia é con- servada

  (4.33) t 2 r = |u| n = 1, aFazendo, como no Exemplo 4.32, observamos que, para ⑨ ❾p p função f(r) = α ρ − r só é diferenciável na origem quando p = 1 ou p≥ 2; e para n = 2, f só é diferenciável se p = 1, p = 2 ou p ≥ 3. No caso n = 1 e p≥ 1, temos ✏ ✑ 1 p p+1 p+1 V(r) = αρ r(ρ − r) + − ρ p + 1 (4.34) p−1 ρ − r αρ p−1 2 =(ρ − r) (ρ − r) , ≥ αρ 2 2 satisfazendo assim a hipótese do Teorema 4.2.1.

2 H e H (obseve que H

  Integrando em relação à variável η segue: kvk Hs− k 2(Rn−k ) ≤ Ckuk Hs (Rn ) , (B.1) o que significa que R é um operador linear limitado sobre H s−k 2 (R (1 + |η| ComoZ Rk ≤ (2π) Multiplicando o integrando por (1+|η| 2 2 ) s 2 (1 + |η| 2 2 ) −s 2 e aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos:| ❜ v(η)| 2 −k −s dζ. Se {f n } n ∈N é uma sequência de funções mensuráveis satis- fazendo, para quase todox ∈ Ω, a condição≤ f 1 2 lim (x)≤ ··· ≤ f n−1 (x)≤ f n (x)≤ ··· , entãolim n →∞ Z Ω f n (x)dx =Z Ω✏ (C.2) 3.

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