Repositório UFAL: O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov

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  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado

  O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov Fábio Henrique de Carvalho

  Maceió, Brasil 16 de Março de 2010 Fábio Henrique de Carvalho O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov

  Dissertação de Mestrado submetida em 16 de março de 2010 à Banca Examina- dora, designada pelo Colegiado do Pro- grama de Pos-Graduação em Matemá- tica da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemá- tica.

  Orientador: Prof. Dr. Adán J. Corcho Fernández Maceió Março 2010

  

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

Divisão de Tratamento Técnico

  

Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

C331g Carvalho, Fábio Henrique de.

  

O grupo de Schrödinger em espaços de Zhidkov / Fábio Henrique de Carvalho,

2010. 68 f. : il. Orientador: Adán José Corcho Fernández. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2010. Bibliografia: f. 66-67. Índices: f. 68.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Schrödinger, Equação de. 3. Equações de evolução. 4. Zhidkov, Espaços de. I. Título.

  

CDU: 517.958

.

  "O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.

  O que há é pouca gente para dar por isso (...)" (Álvaro de Campos)

  À minha mãe Maria.

  À meus irmãos.

  À Fabrisa. Agradecimentos

  Para que concluísse esse estágio de minha vida acadêmica, muitas pessoas merecem ser mencionadas. Para começar, é lógico, minha mãe Maria Anunciada de Carvalho, que conseguiu transformar um recém nascido, desenganado pelos médicos, em um homem; mas também a seu obstetra, Lício Henrique, a quem devo meu segundo nome mas, por sorte minha e por um momento de lucidez dela, não devo o primeiro.

  Já durante minha vida escolar anterior ao ingresso no Mestrado, ainda no es- tado do Espírito Santo, gostaria de ressaltar o papel fundamental de três pessoas. A primeira, professor Sandro Daré Lorenzoni na escola estadual "Hunney Everest Piovesan"(ou, como é mais conhecida, "Polivalente de Campo Grande"), locali- zada em Cariacica - ES, que, após suas minuciosas aulas de matemática, tornou um adolescente pouco estudioso, que apenas tinha boas notas, num voraz leitor dos livros de Matemática - a culpa de ter primeiramente me inclinado a prestar vestibular e depois decidir pela Matemática, ao invés de Psicologia, Física ou Filosofia, é exclusivamente dele! A segunda, professora Luzia Maria Casatti, du- rante o seu curso de Álgebra, viu num aluno de graduação que estudava em um turno e lecionava nos demais, alguém que podia dar um pouco mais de si, e o fez se entusiasmar pela profissão tanto quanto ela. A terceira e última (mas não menos importante), professor Florêncio Ferreira Guimarães Filho, transformou o entusiasta num leitor curioso e crítico de demonstrações; o que teve como causa um feliz desempenho durante seu agradável e enriquecedor curso de Análise Real. Também a Florêncio, devo a informação sobre o Programa de Pós Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas.

  Aos colegas professores de matemática da Universidade Federal do Vale do São Francisco - UNIVASF, por terem propiciado a oportunidade de meu afasta- mento para cursar este mestrado, vão meus sinceros agradecimentos. Certamente, eles tiveram que trabalhar também por mim durante estes dois anos. Também agradeço aos professores e professoras, Adriana Moreno, José Aliçandro(com o cedilha mesmo), Carmem Sueze, Leonardo Cavalcanti, Maria Zucci e Vanessa Donzeli, do Colegiado de Engenharia Agrícola e Ambiental da UNIVASF, que passaram um dia inteiro aguardando para que a reunião que decidiu meu afas- tamento tivesse coro. A reunião que deveria começar pela manhã só pôde se concretizar a noite, após o fim das inúmeras atividades que o professor Mário Mi- randa tinha à frente da Pró Reitoria de Pesquisa, a ele também fica minha eterna gratidão. Por outro lado, fico feliz por não ter que prestar agradecimentos aos sete prefessores que faltaram à reunião (embora o Estatuto da instituição, em seu artigo 80, esclareça, pelo menos aos que sabem ler, a obrigatoriedade de presença nas sessões das instâncias deliberativas da universidade); assim fico à vontade para prestar meus agradecimentos apenas àqueles pelos quais tenho estima e admiro o caráter e hombridade, e compareceram para votar, a favor ou até mesmo contra (se fosse o caso) a solicitação.

  Aos integrantes do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFAL, sejam eles docentes, discentes ou pessoal de apoio e limpeza, agradeço pelo fato de ter sido muito bem recebido; a Ufal e Maceió se tornaram mais um lar para mim, e já sinto as saudades da partida. Todos os amigos que fiz durante esses dois anos, tenho certeza que serão amigos para o resto de minha vida.

  Alguns merecem menção especial: Darliton e Everson - “irmãos” por parte de orientador, que abriram caminho para a elaboração deste trabalho, sendo que o primeiro fez algumas sugestões prontamente acatadas; Kennerson, Isnaldo, Ro- bério e Rodrigo, sempre dispostos a ajudar; Rafael, Alex Néo e Michel, pelos auxílios técnicos com as figuras e comandos até então desconhecidos por mim.

  Aos professores do Programa de Pós Graduação em Matemática da UFAL, Adelailson, Dimas, Feliciano, Júlio (meu conterrâneo) e Krerley, pela cordiali- dade e pelas palavras que ajudaram a me acalmar nos últimos momentos pré- defesa. Adelailson, por exemplo, me tirou de um grande desespero ao me empres- tar um projetor durante o “rufar dos tambores”.

  Agradeço também ao professor Clément Gallo, do Departamento de matemá- tica e Estatística da Universidade McMaster, no Canadá, tanto por ter elaborado o artigo em que se basea este trabalho, quanto por atender prontamente e responder por e-mail uma dúvida que lhe remeti. A ele queria dizer que, assim como foi seu desejo, finalmente recuperei meu sono, mas perdê-lo lendo seu artigo foi muito enriquecedor para a minha vida acadêmica. Sempre que o motivo for parecido, ficarei contente em manter-me insone.

  Aos membros da banca Prof. Dr. Amauri Barros, da UFAL, e Prof. Dr. Mahendra Prasad Panthee, da Universidade do Minho - Portugal, agradeço as inúmeras sugestões e aconselhamentos para melhorar este trabalho.

  Ao meu orientador, Prof. Dr. Adán Corcho, pela escolha do tema e pelo pronto atendimento de urgência nos momentos mais penosos. Por muitas vezes, debruçado sobre folhas e mais folhas de rascunho, julguei que ele tivesse superes- timado minha capacidade. Mas, como sempre acreditei: “amamos algo, na direta proporção a que nos custa” e, sem dúvida, este trabalho custou muito. O Prof. Adán, além de um brilhante pesquisador é um sujeito que em pouco tempo con- quistou minha admiração e simpatia, seu papel foi muito além da orientação. Já desde o primeiro dia em que cheguei a Maceió, sem saber que rumo iria tomar, recebeu-me como se fosse um conhecido de longa data, e isso não será esquecido.

  A execução deste trabalho foi financiada pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL, durante os cinco primeiros meses, e pelo Con- selho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, durante os dezenove meses restantes. A estas instituições devo meu reconhecimento e aplausos por fomentarem e ajudarem a divulgar a pesquisa científica e auxiliar na formação de recursos humanos para a pesquisa no Brasil.

  “Não há país desenvolvido com universidade subdesenvolvida.” (Larent Schwartz) Resumo

  Este trabalho é dedicado ao estudo da boa colocação local e global do Problema de Cauchy associado à equação não linear de Schrödinger, com dado inicial não nulo no infinito.

  Palavras-chave: equações diferenciais parciais, equações de evolução, equa- ção de Schrödinger, espaços de Zhidkov. Abstract

  This work is dedicated to the local and global well-possednes study of Cauchy’s Problem associated to the nonlinear Schrödinger equation, to the initial data non- zero at infinity.

  Palavras-chave: partial differential equations, evolution equations, Schrödin- ger equation, Zhidkov spaces. Sumário

  9 . . . . . . .

  9

  . . . . . . . 12

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  26

  

   . . . . . 26

  . . . . . . . . . . 32

   . . . . . . . . . . . . . 37

  

  43

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  54

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  70

  71

  73

  75 Introdução

  O objetivo central deste trabalho é fazer um estudo detalhado do problema de valor inicial

  ⑨ ❾ 2 n

  iu u + f u , t

  • ∆ |u| = 0, x

  t x

  ∈ R ∈ R, (1) u(x, 0) = ϕ, associado à equação não linear de Schrödinger, onde a aplicação f : R

  → C, é,

  • pelo menos, diferenciável. A informação relevante, por ora, é a respeito do dado inicial; pretendemos estudar o problema quando ϕ não está no espaço das funções

  2

  quadrado integráveis L , mas mantem algumas propriedades de regularidade, a sa- ber: ϕ é limitada, uniformemente contínua, k vezes diferenciável e seu gradiente pertence ao espaço de Sobolev clássico de ordem k − 1. Os conjuntos de aplica- ções ϕ com tais propriedades são denominados espaços de Zhidkov e denotados

  k

  por X . Nos baseamos no trabalho desenvolvido primeiramente por Peter Zhid- kov em para dimensão 1 e, na sua posterior generalização, feita por Clément Gallo em para o caso n-dimensional.

  No capítulo 1, serão apresentadas algumas definições, como dos espaços de

  1 Lebesgue e de Schwartz, bem como da transformada de Fourier em L e no espaço

  de Schwartz, além de alguns dos resultados utilizados no decorrer desta monogra- fia. As propriedades e proposições listadas, na maior parte das vezes, tem sua validade confirmada por uma simples manipulação da definição e teoremas ante- riores; quando não for descrita uma demonstração cabal de algum dos teoremas listados, deixaremos a indicação de uma demonstração completa na bibliografia.

  k

  Ainda no capítulo 1, introduziremos os espaços de Zhidkov, X , e apresentare-

  k

  mos alguns exemplos de funções que pertencem a X . Demonstraremos algumas

  k

  propriedades importantes, tais como o fato de X ser uma álgebra e, como espaço,

  k−1 ser denso sobre X .

  No capítulo 2, definiremos o grupo de Schrödinger sobre os espaços de Zhid-

  k

  kov, {S(t)} , e mostraremos que este é uniformemente contínuo sobre X . Para

  t ∈R n

  tanto, nos valeremos de propriedades importantes a respeito da integração em R , que serão detalhadas no apêndice. A continuidade uniforme do grupo {S(t)} será exaustivamente explorada na obtenção de estimativas de boa colocação para o problema. Além disso, concluíremos que o gerador infinitesimal do grupo é o operador i∆.

  O capítulo 3 é destinado ao estudo da boa colocação local do problema Como ponto de partida, damos as definições de boa colocação local e de boa colo- cação global para equações de evolução e mostramos alguns resultados a respeito da existência e unicidade de soluções de em um intervalo [−T,T]. Em síntese,

  k

  mostramos que, se a norma em X do dado inicial é limitada, então existe um intervalo maximal e uma única solução clássica de neste intervalo.

  No quarto e último capítulo encontram-se alguns resultados a respeito das leis de conservação de energia para o problema quando n = 1 ou n = 2. Para ilustrar, destacamos como exemplos a Equação de Gross-Pitaevskii - caso em que

  ⑨ ❾

  2

  2 f em bem como suas generalizações.

  |u| = 1 − |u| Capítulo 1 Preliminares

  

1.1 Os Espaços de Lebesgue e a Transformada de

Fourier

  Muitos dos avanços na generalização do conceito de integral são devidos ao matemático francês Henry Léon Lebesgue (1875-1941). Aqui e no decorrer do texto, a não ser que haja menção explícita em contrário, a integração é sempre no sentido dado por Lebesgue .

  n

  1 Definição 1.1.1. Sejam Ω um subconjunto aberto de R e ≤ p < ∞. O conjunto

  Z

  p p

  L ϕ : Ω − dx < (1.1) (Ω) = |ϕ(x)|

  → R; ∞

  Ω

  é um espaço vetorial cuja norma p é definida pondo, para cada função k.k

  L (Ω) p

  ϕ (Ω),

  ∈ L

  1 ❶ ➀

  Z

  p p p = dx . (1.2)

  L (Ω)

p

  |ϕ (x)| kϕk

  1 L

  Munido da norma p o espaço (Ω) é um espaço de Banach; L (Ω) k·k

  L (Ω)

  2

  é o espaço das funções módulo integráveis e L (Ω) é o espaço das funções qua- drado integráveis.

  Também é um espaço vetorial o conjunto

  ∞

  L (Ω) = ϕ : Ω − < , (1.3) → R;kϕ(x)k ∞ L (Ω) onde a norma é dada por k·k

  L (Ω)

  = sup (1.4) |ϕ(x)|. kϕk

  L (Ω) x ∈Ω

  ∞

  L O espaço (Ω) é, simplesmente, o espaço das funções limitadas em Ω; e, assim como os anteriores, também é um espaço de Banach ([Fe], p. 78).

  A transformada de Fourier surge a partir das considerações do matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a respeito da decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas, nos seus estudos sobre a condução do calor. Suas propriedades são importantíssimas no estudo de equações diferen- ciais, e faremos aqui um breve resumo de algumas delas.

  1 n

  (R ), a transformada de Definição 1.1.2 (Transformada de Fourier). Seja ϕ ∈ L

  ϕ é a função ϕ (ou F (ϕ)) definida por Ò Fourier de

  Z

  n − −i(ξ

  ·x)

  F

  2

  ϕ(ξ) = (2π) Ò ϕ(x)e dx, (1.5) (ϕ)(ξ) =

  n R n

  X x = (x , , x ξ onde ), ξ = (ξ ) e (ξ .

  n n 1 ··· ,x 1 ··· ,ξ · x) = j j j=1

  Valem algumas observações a respeito da transformada de Fourier, ver

  ∞ n

  ϕ é linear. Além disso, Ò ϕ Ò ) com (R

  Propriedade 1.1.1. A aplicação ϕ −→ ∈ L

  n

  1

  2 .

  kϕk ≤ (2π) kϕk

  L L n

  ϕ : R Ò − Propriedade 1.1.2.

  → C é contínua.

  1 n

  (R ), então Propriedade 1.1.3 (Lema de Riemann-Lebesgue). Seja ϕ ∈ L lim ϕ(ξ) = 0. Ò

  kξk→0 n

  Propriedade 1.1.4. Se T f(x) = f(x − h), para h , então

  

h ∈ R

−i(h ·ξ) Û

−i(x

  Ô ❜ ·ξ) ❜ T f(ξ) = e f(ξ) e e f(x)(ξ) = (T f)(ξ). h

  −h 1 n

  (R ), então Propriedade 1.1.5. Sejam f,g ∈ L

  Z Z

  ❜

  f(y)g(y)dy = f(y) ❜ g(y)dy. (1.6)

  n n R R

  Propriedade 1.1.6. Se f é o conjugado de f, então

  ❜

  f(ξ) = f(−ξ). Uma ferramenta fundamental no estudo das equações diferenciais é dada pela convolução entre duas funções que destacamos a seguir.

  1 n

  (R ), a convolução de f e g é defi- Definição 1.1.3 (convolução). Sejam f,g ∈ L nida por

  Z f(x − y)g(y)dy, (1.7) (f

  ∗ g)(x) =

  n R n

  para quase todo x .

  ∈ R Agrupamos abaixo algumas das principais propriedades das convoluções, que podem ser utilizadas no decorrer do texto. Para maiores detalhes vale a pena consultar Proposição 1.1.1. São válidas as seguintes propriedades:

  p n q n

  1

  1

  1

  • 1. Sejam f (R ), g (R ), onde p, q = 1 + para

  ∈ L ∈ L ∈ [1,∞] com

  p q r

  r algum ∈ [1,∞], então, vale a Desigualdade de Young para convoluções,

  r n

  ) f (R r p q . ∗ g ∈ L e kf ∗ gk ≤ kfk kgk

  L L L

  f 2.

  ∗ g = g ∗ f. λ(f 3.

  ∗ g) = (λf) ∗ g = f ∗ (λg) para todo λ ∈ C. 4. ( f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). f 5.

  ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h).

  1 n

6. Sejam

  f, g (R ), então ∈ L

  n × ❜

  2

  (f f(ξ) g(ξ). ❜ ∗ g)(ξ) = (2π)

  p Para finalizar esta seção, introduzimos a noção de diferenciabilidade em L . p n

  (R ) é diferenciável com relação à k-ésima Definição 1.1.4. Uma função f ∈ L

  p n

  variável se existe g ) tal que, para (R

  ∈ L

  p

  Z

  ☞☞ ☞☞

  f(x + h) − f(x) lim h = h e tem-se − g(x) dx = 0;

  ☞☞ ☞☞ k k →0 n ☞ ☞ h h k

  

R k

  quando existe (e, neste caso, é única) uma tal função g é chamada derivada par-

  p cial de f com relação à k-ésima coordenada na norma L .

  

1.2 O Espaço de Schwartz e as Distribuições Tem-

peradas

  Laurent Schwartz(1915-2002), matemático e pensador dos mais influentes, é o inventor da Teoria das Distribuições e, por conta do seu desenvolvimento, foi o primeiro matemático francês a ser agraciado com a medalha Fields. É considerado um dos ícones da história recente da França.

  Para definir o espaço de Schwartz, necessitamos de algumas noções prelimi- nares. Uma notação importantíssima (e que será usada em todo o texto) é a noção de multi-índice que apresentamos a seguir. Aqui denotaremos por N o conjunto dos inteiros positivos e por N o conjunto dos números inteiros não negativos.

  n

  , α , ) Definição 1.2.1. Uma n-upla α = (α é chamada um multi-

  n

  1 2 ··· ,α ∈ N índice. n

  Sejam α e β são multi-índices, e seja x = (x , x , ) . Escrevemos:

  1 2 n

  ··· ,x ∈ R ;

  (i) |α| = α

  • α

  1 2 ··· + α n α α α α 1 2 n

  (ii) x x ; = x

  ···x

  ✒ ✓ ✒ ✓ ✏ ✑ α αn

  α1 α2 ∂ ∂ ∂ ∂

  (iii) =

  α αn α1 α2 ···

  ∂x ∂x n

  ∂x ∂x

  1

  2 α α α

  1 2 α n

  ou ∂ ∂ ; = ∂

  x x x 1 2 ···∂ x n

  > β (respectivamente, α ), (iv) α > β (respectivamente, α ≥ β) quando α

  i i i ≥ β i

  para todo i ∈ {1,··· ,n}; (v) Se α > β,α − β = (α , α , );

  − β − β − β

  1

  1

  2 2 n n

  ··· ,α ! !;

  (vi) α! = α !α

  1 2 ···α n ⑨ ❾

  α α!

  (vii) Se α > β, = .

  β β!(α−β)!

  Definição 1.2.2. O espaço de Schwartz (ou das funções rapidamente decrescen-

  n n

  R R ), é formado pelas funções tes) em , que denotaremos por S (

  ☞☞ α β ☞☞ n ∞ n

  f : R − ) e = sup x ∂ f(x) < (R ☞ ☞

  → C tais que f ∈ C kfk ∞, quaisquer

  α,β n x ∈R

  α e β. que sejam os multi-índices

  O espaço de Schwartz goza das seguintes propriedades, que podem ser con- sultadas em n

  Propriedade 1.2.1. S (R ) é um espaço vetorial sobre C, e, quando munido da métrica X kf − gk

  α,β −(|α|+|β|)

  d(f, g) =

  2 1 + kf − gk

  n α,β α,β ∈N é um espaço métrico completo.

  |x|2 − ∞ n

  ⊂ S (R

  2 Propriedade 1.2.2. C ), mas f(x) = e é um exemplo de função

  ∞ n que está no complementar de C em S ( R ). n p n

  ) e denso sobre Propriedade 1.2.3. S (R ) é subconjunto próprio de L (R

  

p n ∞ p n

  L L )).

  (R ), para todo p também é denso sobre (R ∈ [1,∞) (Observe que C

  ∞ n n

  Porém, S ( R ) não é denso sobre L (R ).

  Temos ainda, aplicando a definição, as seguintes regras de derivação no espaço de Schwartz:

  n α α n

  f, ∂ f ) para todo multi- ). Então, x

  Teorema 1.2.1. Seja f ∈ S (R ∈ S (R índice α. Valem ainda:

  ⑨ ❾ α |α|

  ❜ Ö α

  ∂ f f)(ξ); (i) (ξ) = (−i) (x

  |α| α Ö α ❜

  | (ii) (∂ f)(ξ) = (i) |ξ f(ξ). Além disso, a transformada de Fourier no espaço de Schwartz é um isomor- fismo e, por isso, temos a seguinte definição:

  n

  ), a transformada de Fourier inversa é definida Definição 1.2.3. Seja f ∈ S (R pela fórmula

  Z

  n − −1 i(x

  ·ξ)

  F

  2

  e f(ξ)dξ. (1.8) (ϕ)(x) = ˇf(x) = (2π)

  n R Nossa noção de convergência em S é definida do modo usual.

  ∞ n

  ) converge para uma certa Definição 1.2.4. Uma sequência (ϕ) em S ( R

  

m=1

n

  função ϕ ) se, e somente se, ∈ S (R lim

  − ϕ = 0,

  m

  kϕ k

  α,β m →∞

  α e β. quaisquer que sejam os multi-índices S

  Neste caso, denotamos ϕ m → ϕ. Agora, para introduzir os espaços de Sobolev, necessitamos definir as distri- buições temperadas (ou funções-teste), que nada mais são que funcionais lineares contínuos.

  n

  ) Definição 1.2.5. Uma aplicação linear T : S (R

  → C é uma distribuição tempe-

  S C

  T é contínua; isto é, quando T (ϕ ) rada quando

  m m → T(ϕ) sempre que ϕ → ϕ. n ′

  ) o conjunto de todas as distribuições temperadas. Denotamos por S (R

  n

  ) Usamos a notação hT,ϕi, para representar a imagem em C de ϕ ∈ S (R pela distribuição temperada T.

  ∞ ′ n

  Definição 1.2.6. Dizemos que uma sequência (T ) em S ) converge (R

  m m=1 n

  T ) quando, para ∈ S (R

  n

  lim , ϕ ). (1.9) hT m i = hT,ϕi,∀ϕ ∈ S (R

  →∞ m ′

  S

  Neste caso, denotamos ϕ

  m → ϕ. p

  Dada uma função em L , com p

  ≥ 1, é possível construir uma distribuição temperada como segue:

  p n

  , definida por (R ) e p

  Proposição 1.2.1. Sejam f ∈ L ∈ [1,∞). A aplicação T f Z

  , ϕ (ϕ) = f(x)ϕ(x)dx, hT f i = T f

  n R n

  ϕ para toda ), é uma distribuição temperada.

  ∈ S (R Esse resultado, que também pode ser consultado em nos remete à seguinte definição.

  Definição 1.2.7. Dizemos que uma distribuição temperada provém de uma função

  p n p n

  em L .

  (R ), quando existe uma função f (R ) tal que T = T

  f

  ∈ L Observação 1.2.1. Nem toda distribuição temperada provém de uma função em

  p

  L , o exemplo clássico é dado pela função delta de Dirac, definida por

  n

  δ (ϕ) = ϕ(x), ).

  x

  ∀ϕ ∈ S (R Para finalizar esta seção, destacamos as seguintes regras, que relacionam as distribuições temperadas com a derivação e com a transformada de Fourier, res- pectivamente. n ′

  (R ) e α um multi-índice, definimos a derivada Definição 1.2.8. Sejam T ∈ S de ordem α da distribuição T pondo

  

α |α| α n

  T, ϕ ϕ (1.10) ). h∂ i = (−1) hT,∂ i,∀ϕ ∈ S (R

  n ′

  ) podemos definir a transformadada de Fourier (R

  Definição 1.2.9. Seja T ∈ S

  n

  da distribuição T, bem como sua inversa, pondo, para toda função ϕ ), ∈ S (R hF (T),ϕi = hT,F (ϕ)i e

  (1.11)

  

➡ ➯ ➡ ➯

−1 −1

  F = T, F .

  (T ), ϕ (ϕ)

  n n ′ ′

  ) − ) é um Observação 1.2.2. A transformada de Fourier F : S (R (R

  → S isomorfismo topológico.

1.3 Os Espaços de Sobolev

  Sergei Lvovich Sobolev(1908-1989) foi um dos fundadores do Instituto de Matemática da Akademgorodok (que surgiu como resultado da criação da Divisão Siberiana da Academia de Ciências Russa, da qual foi um dos idealizadores), atualmente, Instituto de Matemática Sobolev. Também atuou como vice-diretor do Instituto de Energia Atômica soviético, entre 1943 e 1957, onde participou do projeto da bomba atômica da extinta URSS.

  Definição 1.3.1. Seja s ∈ R. O espaço de Sobolev de ordem s, classicamente

  s n n ′

  ) definido por denotado por H (R ), é o subespaço de S (R

  s ⑨ ❾ s n n

  2

  2 2 n ′

  ❜

  H ) = f ); 1 + |ξ| f(ξ) ) . (1.12) (R (R (R

  ∈ S ∈ L

  s ⑨ ❾

  

2

  2 Ô s ❜

  Λ f(ξ) = 1 + |ξ| f(ξ) a transformada de Fourier no es- Denotaremos por paço de Sobolev. A norma s , ou , é definida por k·k k·k

  H s,2 s

s = f

2 . (1.13)

  kfk H kΛ k L

  o n ′ n 2 n 2 n ❜

  Observação 1.3.1. H ) = f ) ; f (ξ) ) (R (R (R = L (R ) .

  ∈ S ∈ L A seguir, além de destacarmos um exemplo clássico de uma classe de funções

  s

  1

  no espaço de Sobolev H , para s < , introduzimos a notação usada para denotar a

  2 função característica de um conjunto, que nos acompanhará no decorrer do texto.

  Exemplo 1.3.1. Para n = 1, consideremos a função característica do intervalo [a, b] , isto é,

  1, se x ∈ [a,b];

  χ =

  [a,b]

  0, x / se ∈ [a,b]. Temos

  

sen(2πξ)

  

πξ

  , se ξ 6= 0;

  χ Ö (ξ) =

  [a,b] 2 se ξ = 0.

  Logo,

  ✌✌ ✌✌ ✌✌ s ✌✌

  χ = Λ χ

  ✌ ✌ ✌ ✌ [a,b] [a,b] s

2 H L

  1 ✥ ✦

  Z ✕ +

  ∞ s

  2

  2 ✔✏ ✑

  2

  2

  = = 1 + |ξ| χ Ö (ξ) dξ

  [a,b]

  (1.14)

  − ∞

  1 ✥ ✦

  Z +

  ∞

  2

  2 ✏ ✑ s sen

  (2πξ)

  

2

  = 1 + |ξ| dξ < ∞

  2

  2

  π ξ

  − ∞ 1 s < .

  se, e somente se,

2 A seguir, agrupamos algumas propriedades dos espaços de Sobolev. Outras podem ser encontradas em [Io].

  Proposição 1.3.1. Sejam s,s , s

  1 2 ∈ R, então s n s n

  1

  s ) ; (i) Se (R ) ( H (R

  1 ≥ s ≥ 0, então H s n

  ) está definido por (ii) Se o produto interno em H (R

  Z

  s s

  s

n

  = Λ f(ξ)Λ g(ξ)dξ, hf,gi

  R s n s n

  ) é um espaço de Hilbert; para todos f, g (R ), então H (R

  ∈ H

  n s n

  (iii) S(R ); ) é denso em H (R

  (iv) Se s , com s = θs , θ

  • (1 − θ)s

  1

  2

  1

  2

  ≤ s ≤ s ∈ [0,1], então

  θ 1−θ s . s1 s2

  kfk ≤ kfk kfk

  H H H 2 s 2 s

  1 Demonstração. , então (1 + |ξ| ) ) o que implica

  (i) Sejam s ≤ s

  1

  ≤ (1 + |ξ|

  1

  1 ❶ ➀ ❶ ➀

  Z Z

  2

  2 2 s

  2 2 s

  2 ❜ 1 ❜

  ) | f(ξ)| dξ ) | f(ξ)| dξ . (1.15) (1 + |ξ| (1 + |ξ|

  ≤

  n n R R s n

  1

  (R ), a integral no segundo membro de é finita e, portanto, Logo, se f ∈ H a integral no primeiro membro também converge; assim, f também pertence a

  s n

  H (R ). Além disso, a inclusão é contínua.

  As demonstrações dos demais itens podem ser encontradas em s n n (R ) ( H (R ).

  Observação 1.3.2. Em particular, se s ≥ 0 então H Uma caracterização importante dos espaços de Sobolev, que relaciona os es-

  k

  2

  paços H e L , e que será útil à introdução dos espaços de Zhidkov, é dada pelo seguinte resultado.

  k n

  ) coincide com e α um multi-índice. Então, H (R Teorema 1.3.1. Sejam k ∈ N o espaço

  2 n α

2 n

f f ) .

  (R ); ∂ (R sempre que |α| ≤ k ∈ L ∈ L

  x k n

  Demonstração.

  (R ). Para todo multi-índice α temos: Seja f ∈ H

  α α α 1 2 α

n

  | ξ | |ξ = |ξ

  ···ξ n

  1

  2 α α2 αn

  2

  2

  2

  | ) (1 + |ξ|)

  ≤ (1 + |ξ

  1 ···(1 + |ξ|) |α|

  2 .

  ≤ (1 + |ξ|) Combinando este fato ao Teorema juntamente com o conhecido Teorema de Plancherel, temos:

  Z

  

2

  2

  2 α ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞ α α

  = = f

  2 ∂ f ∂ f(ξ) dξ ✌Ô ✌ ☞Ô ☞

  k∂ k

  L

  

2

n

  R

  Z

  2 ☞☞ |α| α ☞☞ ❜

  = | i |ξ f(ξ) dξ

  ☞ ☞ n

  R

  Z

  2 2α ☞☞ ☞☞

  | = c |ξ f(ξ) dξ

  ☞❜ ☞ n

  R

  Z

  ⑨ ❾

  2 α 2 ☞☞ ☞☞ 1 + |ξ| f(ξ) dξ.

  ☞❜ ☞

  ≤ c

  n R

  Logo, sempre que |α| ≤ k, temos Z

  ⑨ ❾

  2

k

2 α

  2 ☞☞ ☞☞

  f

  2 1 + |ξ| f(ξ) dξ < ☞❜ ☞ k∂ k ≤ c ≤ ckfk ∞.

  

L k,2

n

  R α 2 n

  Então, ∂ f (R ).

  ∈ L

  2 n α 2 n

  ) ) (R e suponha que ∂ f (R sempre que

  Reciprocamente, seja f ∈ L ∈ L |α|

  ≤ k. Daí,

  k ⑨ ❾

  X

  k

  2

  2 2 ☞☞ ☞☞ 2j ☞☞ ☞☞

  1 + |ξ| f(ξ) = c f(ξ)

  ☞❜ ☞ |ξ| ☞❜ ☞ j j=0

  2 ☞☞ ☞☞

  α ❜

  que, por sua vez, é combinação linear de termos da forma ξ f(ξ) , com |α|

  ☞ ☞ ≤ k. k

  Z Z

  ⑨ ❾

  2 k 2 ☞☞ ☞☞ 2j ☞☞ ☞☞ k = 1 + |ξ| f(ξ) dξ = c f(ξ) dξ <

2 X

  H n n

  ☞❜ ☞ |ξ| ☞❜ ☞ Então, kfk j ∞.

  R R j=0 Para finalizar esta seção, introduzimos dois resultados relevantes para o an- damento desta dissertação, ambos conhecidos como Mergulho de Sobolev, que

  s k s p

  relacionam as funções em H e C , e H e L , respectivamente. Maiores detalhes podem ser encontrados em

  n s n

  s ) está e + k. Então, H (R Teorema 1.3.2. Sejam k ∈ N ∈ R, tais que s >

  2 k n

  C continuamente imerso no espaço (R ), das funções com k derivadas contí-

  ∞ s n n

  nuas e que se anulam no infinito. Isto é, se f (R ), com s > + k, en- ∈ H

  2

  tão (após uma possível modificação de f sobre um conjunto de medida nula)

  k n f ) e .

  (R k = c s

  s

  ∈ C ∞ kfk kfk

  C H Consideremos no primeiro caso, k = 0.

  Demonstração.

  n

  . Da desigualdade de Hölder (ver, por exemplo, segue: Seja s ∈ R,s >

2 Z

  ✌✌ ✌✌ ☞☞ ☞☞

  f = f(ξ) dξ

  ✌❜ ✌ ☞❜ ☞

  1 L n R

  Z

  s s ⑨ ❾ ⑨ ❾

  −

  2 2 ☞☞ ☞☞

  2

  2

  = 1 + |ξ| f(ξ) 1 + |ξ| dξ

  ☞❜ ☞ n

  R

  1 ➊ ➍

  Z

  2 ⑨ ❾

  

−s

2 s

  1 + |ξ| dξ f 2 = c s .

  s

  ≤ kΛ k kfk

  L H n

  R ✌✌ −1 ✌✌ ✌✌ ✌✌

  F = f .

  

p (F (f)) s

  Além disso, kfk ✌ ✌ ✌❜ ✌ s ≤ ≤ c kfk

  L p

  1 H L L s n n

  ) com s > (R + k. Então, para todo

  Para o caso geral, k ≥ 1, seja f ∈ H

  2 n α s−k n

  , temos ∂ f (R ). Do caso multi-índice α, satisfazendo |α| ≤ k < s −

  ∈ H

  2 α ∞ n k

  ) k = 0 segue ∂ f (R e, portanto, f é C . ∈ C

  n 2n e p = .

  Teorema 1.3.3. Seja n ∈ N, e sejam s,p ∈ R tais que 0 < s <

  2 n−2s s n p n

  Então, H (R ) está continuamente imerso em L (R ). Além disso, p s . kfk ≤ ckfk

  

L H

Uma demonstração deste resultado pode ser consultada na página 51 de

1.4 Os Espaços de Zhidkov

  Assim como introduzidos por P. E. Zhidkov em e, posteriormente, batizados e estendidos para o caso n-dimensional por Clemént Gallo em trataremos aqui do espaço das fun- ções limitadas, uniformemente contínuas, k vezes diferenciáveis com a seguinte condição adicional: para cada uma delas, o gradiente está no espaço de Sobolev clássico de ordem k − 1. Mais especificamente, temos a seguinte definição: k n

  ) é Definição 1.4.1. Sejam k e n números naturais. O espaço de Zhidkov X (R é o completamento do espaço

  ∞ n k n k−1 n

  ϕ ) )

  (R (R (R

  ); ϕ é uma função uniformemente contínua e ∇ϕ ∈ L ∩C

  ∈ H na norma

  X

  α

  := ϕ . (1.16) +

  k

  2

  kϕk kϕk k∂ k

  

X L L

|α| ≤k n

  − Exemplo 1.4.1. Para cada t > 0, a função φ : R

  t

  → R definida por

  |x|2 n − − k n

  2 4t

  φ e

  X (x) = (4πt) (núcleo do calor) pertence a (R ), para todo k

  t ∈ N.

  ❚ ∞ ∞ n n

  Evidentemente φ ) C ) e é uniformemente contínua. Além disso, (R (R

  t ∈ L 2x i

  ∂ φ = − φ

  n

  e, portanto,

  x t t i

  2 4t(4πt)

2x

  φ(x). ∇φ(x) = −

  

n n+2

  2

  2 π (4t) α α

  Daí, ∂ φ (x) = C(t)x φ (x), para todo multi-índice α.

  t t

  Logo,

  1 ❶ ➀

  Z

  2 α α

  2

  φ = φ dx

  2 |C(t)x (x)| t t

  k∂ k

  L n

  R

  1 ❶ ➀

  Z

  2 |x|4 − 2α −n

  16t

  = |C(t)| x (4πt) e dx < ∞.

  n R k

  φ Então, .

  ∈ X

  n k n

  , sejam ϕ Exemplo 1.4.2. Fixado k > (R ) e z

  ∈ H ∈ C uma constante. Então,

  2 k n k n k n n

  ) φ := ϕ + z (R ). Em particular, H (R (R ), sempre que k > . ∈ X ⊂ X

  2 Exemplo 1.4.3. Para n = 1 as funções tangente hiperbólica e arco tangente estão k n

  em

  X (R ), qualquer que seja k ∈ N.

  Naturalmente, somos levados a algumas comparações com as propriedades conhecidas dos espaços métricos mais usuais. Por exemplo, se duas funções estão

  k k

  em C , o produto de ambas ainda está em C . Para os espaços de Zhidkov, a resposta à mesma pergunta é também positiva e é obtida como consequência da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (Teorema e da fórmula de Leibniz:

  k n

  ) é uma álgebra, o que significa que, para Proposição 1.4.1. O espaço X (R

  k n

  todas

  f, g (R ) existe uma constante C tal que

  ∈ X

  X X

  X

  k k k , (1.17) kfgk ≤ Ckfk kgk ∀k ∈ N.

  • ✌✌ ✌ ⑨

  f

  ❾

  g

  ✌✌ ✌ L

  2

  ≤

  ✌✌ ✌

  ∂

  β

  ✌✌ ✌ L

  β

  

2

  kgk

  L

  ≤ kfk

  X k

  kgk

  X k

  . (1.20) Nos resta, portanto, mostrar que

  f

  ∂

  6=β<α ✥

  L ✌✌ ✌

  g(x)

  ➋

  2

  dx

  ➀

  1

  2

  ≤ kfk

  ∂

  ✌✌ ✌ ⑨

  

β

  g

  ✌✌ ✌ L

  2

  ≤ kfk

  X k

  kgk

  

X

k .

  (1.19) Analogamente,

  X

  α β

  ∂

  1 p

  ✌✌ ✌ L p

  ✌✌ ✌

  ∂

  α−β

  g

  ✌✌ ✌ L

  ❡ p

  desde que

  ❡ p

  β

  =

  1

  2

  (ou seja, ❡ p =

  2p p−2

  para p 6= 2). Aqui aparece uma dificuldade, não temos nenhuma hipótese a respeito da regularidade das funções do espaço de Zhidkov X

  k

  quando vistas em L

  ∞

  f

  ∂

  ✦ ✌ ✌✌

  X k

  ∂

  β

  f∂

  α−β

  g

  ✌✌ ✌ L

  2

  ≤ Ckfk

  kgk

  2 ≤

✌✌

  X k .

  Da Desigualdade de Young, temos

  ✌✌ ✌

  ∂

  β

  f∂

  α−β

  g

  ✌✌ ✌ L

  β

  ➈

  . Além disso, uma imersão em um espaço de Sobolev adequado nos levaria a formular uma hipótese ainda mais restritiva a

  α−β

  ≤

  X

  β ≤α ✥

  α β

  

✦ ✌

✌✌

  ∂

  β

  f∂

  g

  L

  ✌✌ ✌ L

  2

  ≤

  ✌✌ ✌

  f∂

  β

  g

  ✌✌ ✌ L

  

2

  2

  (fg) k

  β

  α

  Demonstração.

  Evidentemente, kfgk

  L

  ≤ kfk

  L

  kgk

  L

  . Por outro lado, dado um multi-índice α temos, da fórmula de Leibniz, ∂

  (fg) =

  α

  X

  β ≤α

  α β

  ✦

  ∂

  β

  f∂

  α−β g.

  A desigualdade triangular nos permite escrever k∂

  ∂

  f

  R n

  dx

  Z

  R n

  ➈

  f(x)∂

  β

  g(x)

  ➋

  2

  ➀

  =

  1

  2

  ≤

  ☞☞ ☞☞ ☞

  sup

  x ∈R n

  f(x)

  

☞☞

☞☞

  Z

  ❶

  2

  ❾

  β

  g

  ✌✌ ✌ L

  2

  X

  

6=β<α

  α β

  ✦ ✌ ✌✌

  ∂

  f∂

  ✌✌ ✌ L

  α−β

  g

  ✌✌ ✌ L

  2 .

  (1.18) Mas,

  ✌✌ ✌

  f∂

  β

  g

  • 1

  n respeito de k (a saber, k > 2n ao invés de k > ).

  2 Por outro lado, a desigualdade de Gagliardo-Nirenberg nos força a encontrar ❤ ✐ j

  θ , 1 de modo a obter ∈

  m

  X

  

α γ θ 1−θ

  f f , (1.21)

  p q r

  k∂ k ≤ C k∂ k kfk

  L L L |γ|

≤m<|α|<k

  onde j = |β|, |γ| = m ≤ α, C = C(j,m,p,q,r) e

  

❶ ➀

  1 j 1 m

  1 − −

  = θ + (1 − θ) . (1.22) p n q n r

  2(n−jp) j

  . Assumindo que Tomando q = 2 e r = ∞ temos θ = ≤ θ ≤ 1 e

  p(n−2m) m

  que n > 2m segue 2n − 2jp

  ≤ p(n − 2m), n(2m − jp) ≤ mp(n − 2m), fazendo m = |γ| = |β| + 1 = j + 1, n(2 − P)

  ≤ 2jp − 2(j + 1)p = −2p,

  2j+2

  2

  p = 2 + , ≤

  j j

  e, portanto,

  2

  n , ≥

  2 1− p

  2 2 .

  ≤ p ≤ 2 +

  j

  Uma conclusão semelhante é obtida ao considerar n < 2m; portanto, é pos- sível obter θ satisfazendo a desigualdade com o auxílio de e procedendo da mesma forma a fim de obter uma

  ✌ ✌✌ α−β estimativa semelhante para ∂ g , concluímos a demonstração.

  ✌ ✌ p ❡

  L k+1 n k n

  Proposição 1.4.2. X (R ) é denso sobre X (R ), para todo k ∈ N.

  |x|2 n − − k n

  Demonstração. (R (x) = (4πt) Sejam ϕ ∈ X t

  2 4t ) e φ e .

  Definimos Z

  ϕ ϕ(x − y)φ (x) = ϕ (x) = (y)dy.

  t t t

  ∗ φ

  n

R

∞ ∞ Z Logo, |ϕ φ .

  (x)| (y)dy =

  t t

  ≤ kϕk kϕk

  L L n

  R ∞ n

  Portanto, ϕ (R ).

  t

  ∈ L

  n

  , temos Para todo α ∈ N

  Z

  α α α

  ∂ ∂ ϕ(x − y)φ ϕ) (1.23) (ϕ (x)) = (y)dy = [(∂ ](x).

  

t t t

x ∗ φ x x ∗ φ n

  R

  Assim, se 1 ≤ |α| ≤ k,

  α α α α ) = ϕ) ϕ = ϕ .

  (ϕ

  2

  

2

  2

  1

  2 t t t

  k∂ x ∗ φ k k(∂ x ∗ φ k ≤ k∂ x k kφ k k∂ x k

  L L L L L

  No caso |α| = k + 1 temos

  

✥ ✦

α α α −1 α

  

1 i−1 i n

  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  α β

  ∂ = = .

  ◦ ◦ ··· ◦ ◦ ◦ ··· ◦ ◦ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  

x x x x x x

n i

  1 i−1 i i

  Logo,

  ✌✌ ✌✌

  ∂ ⑨ ❾

  α β

  ) = ) (ϕ

  2 ∂ (ϕ ✌✌ ✌✌

  k∂ ∗ φ t k ∗ φ t

  L ✌ ✌

  ∂

  2 x i

  L ✌✌ ✌✌ ⑨ ❾

  ∂

  β

  = ∂ ϕ

  ✌✌ ✌✌ t

  ∗ φ

  ✌ ✌

  ∂

  2 x i

  L ✌✌ ✌✌ ⑨ ❾

  ∂

  β

  = φ ϕ

  ✌✌ ✌✌ t

  ∗ ∂

  ✌ ✌

  ∂

  x

  2 i (1.24) L

  ✌✌ ✌✌

  ∂

  β

  = φ ϕ

  ✌✌ t ✌✌

  ∗ ∂

  ✌ ✌

  ∂

  2 x i

  L ✌✌ ✌✌

  ∂

  ✌✌ β ✌✌

  φ ∂ ϕ

  ✌✌ ✌✌ ✌ ✌ t

  ≤

  2 L ✌ ✌

  ∂

  1 x i

  L ✌✌ β ✌✌ ∂ ϕ .

  ✌ ✌

  ≤

  2 L α 2 n

  Então, ϕ , ∂ ϕ (R ), para todo multi-índice α com |α|

  t t

  ∈ L ≤ k + 1, o que

  k+1 n significa que ϕ (R ), qualquer que seja t > 0. t ∈ X Agora avaliemos lim . Usando o Teorema da Convergência Do- − ϕ k

  t

  kϕ k

  X →∞ t

  − ϕ p minada de Lebesgue e a Desigualdade de Minkowski mostra-se que kϕ t k →

  L

  0, para todo 1 ≤ p ≤ ∞ (uma demonstração para o caso n = 1 pode ser encon- trada na página 20 de mostra-se

  α

  (ϕ − ϕ)

  2

  que vale k∂ t k → 0. Portanto, dado qualquer ǫ > 0, é possível en-

  L ǫ

  < e − ϕ contrar T suficientemente grande tal que, para todo t > T, kϕ t k

  L

  2 X

  ǫ

  α 2 < . Isto garante o nosso resultado.

  (ϕ − ϕ) k∂ t k

  L

  2

  |α| ≤k

➎ ➑

n

  

2

  • 1, e seja p Proposição 1.4.3. Sejam n ∈ N, k = ∈ R tal que

  p > n, , se n é par p = 2n, se n é ímpar .

  p n k n

  ) e, além disso, existe uma constante Então, (R ) para todo u (R

  ∇u ∈ L ∈ X

  C > 0 tal que:

  n 1− p p , (1.25)

  |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| k∇uk

  L n

  para todos x, y .

  ∈ R

  ➎ ➑ n n n n

  Suponha n par. Temos que p > n e k−1 = = > − Demonstração.

  = s,

  2

  2 2 p k−1 s k n

  portanto H (R ), e ainda, do Teorema segue, para u ∈ X

  ⊂ H

  p n k−1 n k n . (1.26)

  k∇uk ) ) )

  

L (R ≤ ck∇uk H (R ≤ ck uk

X (R Analogamente, é possível mostrar a mesma desigualdade quando n é ímpar. n n

  um compacto e sejam r > 0 tal que Q = [−r,r] é um cubo Seja K ⊂ R contendo K. Pelo Teorema de Morrey (ver página 166 de é possível encontrar uma constante C > 0, que depende somente de n e p, tal que, quaisquer que sejam

  k n

  x, y ) (R

  ∈ K,u ∈ H

  loc n

  1− p p . (1.27)

  |u(x) − u(y)| k∇uk ≤ C|x − y| L (Q)

  k n k n

  De juntamente com o fato X ) ) fica estabele- (R (R

  ⊂ H

  loc cido o resultado desejado. k n n

  t > 0, defi- (R ), β > 0, x e

  Proposição 1.4.4. Fixados n,k ∈ N, ϕ ∈ X ∈ R namos g : (β, ∞) −→ C do seguinte modo:

  Z √ g(r) := ϕ(x + 2 2trv)dv.

  n−1 S k

  Então, g ((β,

  ∞)) e, para todo j ∈ {1,...,k}, ∈ X

  (j) 2 n−1

  g ((β, dr) (1.28) ∈ L ∞),r com

  √ n

  1 (j) j− n−1

  2

  2 2t) | . 2 n−1 |S k

  kg k ≤ (2 kϕk

  L ((β, ∞),r dr)

  X Demonstração.

  Seja r ∈ (β,∞), temos Z

  √ 2trv|dv (1.29)

  |g(r)| |ϕ(x + 2 ≤

  n−1 S

  Z dv (1.30)

  

k

  ≤ kϕk

  X n−1

  S n−1

  | k , (1.31) ≤ |S kϕk

  X ∞

  (β, portanto, g ∈ L ∞).

  Seja agora ǫ > 0. Como ϕ é uniformemente contínua, podemos encontrar δ > 0 tal que |y − z| < δ implica

  ǫ . (1.32)

  |ϕ(y) − ϕ(z)| <

  n−1

  | |S

  δ √

  Tomando r , r , como − r | <

  1

  2

  

1

  2

  ∈ (β,∞) tais que |r

  2 t

  √ √ √ | tr v) − (x + 2 tr v)| = 2 t|r

  (x + 2 − r | < δ,

  1

  2

  1

  2

  segue que √ √ ǫ |ϕ(x + 2 tr v) − ϕ(x + 2 tr v)| < .

  1

  2 n−1

  | |S

  Daí, Z

  ǫ dv = ǫ |g(r ) − g(r )| <

  1

  2 n−1

  | n−1 |S

  S e, portanto, g é uniformemente contínua. Seja agora j ∈ {1,...,k}. Temos Z

  ∞ (j) 2 n−1

  (r)| r dr = |g

  β

  Z Z

  2 ∞ ☞☞ ☞☞

  √

  j n−1

  = ∂ ϕ(x + 2 trv)dv r dr

  ☞☞ ☞☞ r

  ☞ ☞ n−1

  S β

  Z Z

  ∞

  √ √ (1.33)

  j 2 2j n−1

  trv))(v, v, ..., v)| t) r dvdr |D (ϕ(x + 2 (2

  ≤

  n−1 S β

  Z Z

  ∞ n−1

  R dvdr √

  j

  2 2j

  t) |D (ϕ(x + 2Rv))(v, v, ..., v)|

  √ ≤ (2

  √ n n−1

  t)

  S (2 2 tβ

  √

  2j−n n−1 n

  | 2t) |S k (R ). ≤ (2 kϕk

  X k−1

  (β, Portanto, |∇g| ∈ H ∞). Capítulo 2 O Grupo de Schrödinger em Espaços de Zhidkov

2.1 Família Contínua de Operadores de Schrödin-

  k

  ger sobre X

  Consideremos o problema de Cauchy associado à equação linear de Schrödin- ger iu u

  • ∆ = 0,

  t x

  (2.1) u( = ϕ( ·,0) ·).

  s n

  Quando o dado inicial ϕ pertence ao espaço de Sobolev H ) sabe-se que (R

  S(t)ϕ, definido por

  ✏ ✑

  2

−1 −it|ξ|

  F S(t)ϕ(x) = F e , (2.2)

  (ϕ)(ξ)

  s

  é um grupo uniformemente contínuo de operadores em H , especificamente: (i) S(0)ϕ = ϕ, ou seja, S(0) = I;

  (ii) S(t ) );

  • t ) = S(t

  1

  2

  1

  2

  ◦ S(t

  −1

  (iii) S(−t) = [S(t)] ; (iv) lim kS(t) − Ik = 0.

  t →0

  Nosso objetivo fundamental nesta seção é descrever propriedades de S(t)

  k 2 n

  quando o dado inicial pertence a X , e não necessariamente a L (R ).

  Trabalhando sem muita formalidade, Z Z

  

2

−n i(x −it|ξ| −i(y ·ξ) ·ξ)

  S(t)ϕ(x) = (2π) e e e ϕ(y)dydξ

  n n R R

  Z

  

2 n

  √

  −n −it|ξ| −i2 t(z ·ξ)

  2

  e e ϕ(x + 2 tz)(4t) dzdξ = (2π)

  n R

  Z Z

  

√ √

n

  

2

  2

  2

  √

  ] −n −i[| tξ| +2 t(z i|z| ·ξ)+|z|

  2

  t e e ϕ(x + 2 tz)dzdξ = π

  n n R R

  ➊ ➍

  Z Z

  √ n

  

2

2 √ −n −i| tξ+z| i|z|

  2

  e t dξ e ϕ(x + 2 tz)dz = π

  n n R R

  ➊ ➍

  Z Z

  2

  2

  √

  −n −i|w| i|z| e dw e ϕ(x + 2 tz)dz.

  = π

  n n R R n

  Como as integrais acima não estão definidas em todo o R , é necessário intro- duzir uma pequena perturbação na exponencial complexa; como Z

  n π

  

2

(−i+ǫ)|w| −in

  2

  4

  lim e dw = π e ,

  ǫ →0 n R

  adotaremos a seguinte definição:

  n k n n

  ϕ e (R ). Sejam t , Definição 2.1.1. Sejam n ∈ N, k > ∈ X ∈ R e x ∈ R

  2

  definimos a família de operadores { S(t)}, pondo Z

  

  2

π n √

− −in (i−ǫ)|z|

  4

  2

   e π lim e ϕ(x + 2 tz)dz, t 

  ≥ 0

  ǫ →0 n R

  Z S(t)ϕ(x) =

  (2.3)

  2 π n

  √

  −

(−i−ǫ)|z|

in

  

  4

  2

   e π lim e ϕ(x + 2 −tz)dz, t < 0.

  ǫ →0 n R

  A primeira pergunta a respeito da família de operadores {S(t)}, obviamente, é se ela está bem definida. A resposta para isto é sim, e é obtida como consequên- cia do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Seguiremos os passos dados em apenas para o caso t ≥ 0; o caso t < 0 é análogo.

  k k S(t)ϕ .

  então, Lema 2.1.1. Se ϕ ∈ X ∈ X

  ∞ n

  Demonstração.

  (R ), não decrescente ao longo Considere a função radial ψ ∈ C de toda semi-reta à partir da origem, tal que

  1

  0, (0), se x ∈ B

  ψ(x) =

  n

  1, \B (0). se x ∈ R

  1 ✏ ✑

  · Para todo β > 0, usaremos a notação adicional ψ ( . β

  ·) para representar ψ

  β

  Por vezes abusaremos da notação representando ψ (| (

  β β · |) por ψ ·). Figura 2.1: Gráfico da função ψ para n=2 A função ψ é chamada função “bump”.

  n

  Assumamos que k = ⌊ ⌋ + 1. O limite dado em está bem definido. De

  2

  fato, sejam fixados t,β,ǫ > 0, podemos decompor a integral em em duas partes: Z

  2 √ (i−ǫ)|z|

  e ϕ(x + 2 2tz)dz = I + I ,

  1

  2 n

  R

  onde: Z

  2 √ (i−ǫ)|z|

  I = e 2tz)dz (1 − ψ (z))ϕ(x + 2

  1 β n

  R

  e Z

  2 √ (i−ǫ)|z| I = e ψ 2tz)dz.

  (z)ϕ(x + 2

  2 β n

  R Figura 2.2: Gráfico da função 1-ψ para n=2 Consideremos primeiramente a integral I . Como,

  1 ⑨ ❾

  2

  √

  ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ (i−ǫ)|z|

  e 1 − ψ ϕ(x + tz) 1 − ψ

  ☞ (z) ☞ ☞ (z) ☞ β β

  ≤ kϕk

  L (2.4)

  , se |z| < 2β, kϕk

  L

  = 0, se |z| ≥ 2β.

  Então, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, o limite de I

  1

  quando ǫ tende a zero existe e, Z

  ☞☞ ☞☞

  2 ⑨ ❾

  √

  (i−ǫ)|z| ☞☞ ☞☞

  lim e 1 − ψ ϕ(x + tz)dz B

  ☞☞ (z) ☞☞ ☞ (0) ☞ β 2β

  ≤ kϕk

  L ☞

  ☞ (2.5) ǫ →0 n R .

  = (2β) |B (0)|

  1

  kϕk

  L

  Para a integral I , usamos a mudança para coordenadas polares z = rυ, onde

  2 n−1

  r , e a notação da Proposição obtendo ∈ R e υ ∈ S

  Z Z Z

  ∞ 2 √ 2 √

  (i−ǫ)|z| (i−ǫ)|rυ|

  e ψ tz)dz = e ψ trυ)dυdr (z)ϕ(x + (r)ϕ(x +

  β β n n−1

  R S ❶ ➀

  Z Z

  ∞

  2

  √

  (i−ǫ)|r| n−1

  = e ψ ϕ(x + trυ)dυ dr (r)r

  β n−1

  S

  Z

  ∞

  2 (i−ǫ)r n−1

  = e ψ g(r)dr (r)r

  β β ✧❶ ➀

  Z

  ∞ k ✏ ✑★

  2

  1 d

  (i−ǫ)r n−1

  = e ψ g(r)dr (r)r

  β

  2(i − ǫ)r dr

  β ❶ ➀

  Z ∞

  k ✏ ✑ ➈ ➋ k

  2

  1 d

  −1 (i−ǫ)r n−1

  = e ψ (r)r g(r) dr

  β 2(i−ǫ)

  r dr

  β Z k

  ∞ j ✏ ✑ k

  1 d

  −1 (i−ǫ)r

2 X ➈ ➋

  = e a ψ dr (r)g(r)

  k,j β 2(i−ǫ) 2k−n+1−j

  r dr

  β j=0 ✷ ✸ ✥ ✦ j k

  Z

  ∞ ✏ ✑ k

  X

  2

  (j−ℓ) −1 (i−ǫ)r (ℓ) n−1 ✹ ✺

1 X j

  = a e g (r)ψ (r) r dr

  k,j β 2(i−ǫ) 2k−j

  r ℓ

  β j=0 ℓ=0 ✥ ✦ j k Z

  ∞ ✏ ✑

  X X

  k j

  2

  1

  (j−ℓ) (i−ǫ)r (ℓ) n−1 −1

  = a e g dr. (2.6) (r)ψ (r)r

  k,j β 2(i−ǫ) 2k−j

  ℓ r

  β j=0 ℓ=0

  Novamente usamos o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, agora em cada uma das parcelas de Para ℓ = 0 e j ∈ {0,...,k}, temos da Proposição ☞☞ n−1 ☞☞ ☞☞ ☞☞

  S

  2 ☞ ☞

  1 kϕk

  (j) L (i−ǫ)r n−1

  e g(r)ψ ,

  ☞☞ (r)r ☞☞

  ≤

  β 2k−j 2k−n+1 ☞ ☞

  r r quando j=0. Já no caso em que j ∈ {1,...,k} e r ≤ 2β,

  ☞☞ n−1 ☞☞ ❶ ➀ j ☞☞ ☞☞ ☞ S ☞

  2

  1 kϕk r

  (j) L

(i−ǫ)r n−1 ✌✌ (j) ✌✌

  e g(r)ψ (r)r ψ .

  ☞☞ ☞☞ ✌ ✌

  ≤

  β 2k−j 2k−n+1 L ∞

  ☞ ☞

  r r β Finalmente, quando j ∈ {1,...,k} e r > 2β temos:

  ☞☞ ☞☞

  2

  1

  (j) (i−ǫ)r n−1

  e g(r)ψ (r)r = 0.

  ☞☞ ☞☞ β 2k−j

  ☞ ☞

  r Portanto, podemos escrever, ☞☞ n−1 ☞☞ ☞☞ ☞☞

  ☞ S ☞

  2

  1 kϕk

  

(j) L

(i−ǫ)r n−1 j ✌✌ (j) ✌✌

  e g(r)ψ (r)r 2 ψ .

  ☞☞ ☞☞ ✌ ✌

  ≤

  β 2k−j 2k−n+1 L ∞

  ☞ ☞

  r r Z ∞

  n−2k

  dr β

  n

  Como k > , 2k − n + 1 > 1 e = < ∞, segue

  2 2k−n+1

  r 2k − n

  β ☞☞ ☞☞

  Z n−1

  ☞☞ ☞☞

  S

  ☞ ☞

  2

  1 kϕk

  L (j)

(i−ǫ)r n−1 j ✌✌ (j) ✌✌

  lim e g(r)ψ dr 2 ψ . (2.7)

  ☞☞ (r)r ☞☞ ✌ ✌

  ≤

  β

2k−j 2k−n

  ☞ ☞ L ǫ →0 n r

  (2k − n)β

  R

  Já no caso ℓ ≥ 1,j ∈ ℓ,...,k, observemos que

  ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞ r

  1

  (j−ℓ) (j−ℓ)

  ψ = ψ ( ) , (r) ☞☞ ☞☞

  ≤ kψk

  ☞☞ β ☞☞ L j−ℓ

  ☞ ☞

  β β e, portanto,

  ☞☞ ☞☞

  2

  1 1 ✌✌ ✌✌

  1

  (j−ℓ) (j−ℓ)

(i−ǫ)r (ℓ) n−1 ☞☞ (ℓ) ☞☞ n−1

  e g (r)ψ (r)r ψ g (r) r .

  ☞☞ ☞☞ ☞ ☞

  ≤

  β β ✌✌ ✌✌ ∞

  2k−j 2k−j 2k−j ☞ ☞

  r β r

  L n

  Como 2k > n e k > j temos 2k − j > . Logo,

  2 ❶ ➀ ❶ ➀

  Z Z

  ∞

2 B

  1

  1

  n−1

  r dr = lim dr

  2k−j 2(2k−j)−(n−1) →∞

  r B r

  β β ✧ ★

  2j−4k+n 2j−4k+n

  B β = − lim

  →∞ B 2j − 4k + n 2j − 4k + n 2j−4k+n

  β

  = −

  2j−4k+n

  < ∞.

  1 2 n−1 está em L dr).

  ((β, Então, a aplicação r 7−→ 2k−j

  ∞),r

  r

  Lançando mão mais uma vez da Proposição e da desigualdade de Cauchy- Schwarz segue:

  1

  1 ✥ ✦ ✥ ✦

  Z ∞ Z ∞ Z ∞

  2

  2

  1

  1

  (ℓ) (ℓ)

  ☞☞ ☞☞ n−1 n−1 ☞☞ ☞☞ n−1

  g r dr r dr g r dr (r)

  (r)

  ☞ ☞ ☞ ☞

  ≤

  2k−j

2(2k−j)

  r r

  β β β

  1 n

  √

  2 1 ℓ− ☞☞ n−1 ☞☞

  ☞ ☞

  ≤ √ kϕk

  2k−j− n

  2 (2 t) S k .

  X

  2 4k−2j−nβ

  O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue garante: Z

  ∞ ☞☞

  ☞☞

  2

  1

  (i−ǫ)r (ℓ) (j−ℓ) n−1

  lim e g dr

  ☞☞ (r)ψ (r)r ☞☞ 2k−j

  ☞ ☞

  ǫ →0 r β

  (2.8) √

  1

  2 t

  ☞☞ ☞☞ 2 ✌✌ (j−ℓ) ✌✌ n−1 S ψ .

  ☞ ☞ ✌ ✌ k n ∞

  ≤ kϕk

  √

  X 2k−j− L

  2

  4k − 2j − nβ Observemos que, para todo j ∈ {1,...,k}, é possível encontrar uma constante

  C tal que

  ❶ ➀ 1− n k− n n

  ⑨ ❾

  2

  2

  √ j−

  2

  2

  2

  2 t t . (2.9)

  • t ≤ C Isto é evidentemente verdadeiro para t = 0. Para todos t > 0, e j ∈ {1,...,k},

  ⑨ ❾ ⑨ ❾

  √ j √ j

  j

  2 t = 2 t . Assim, se t ≥ 1 é possível encontrar C

  1 ∈ R tal que ⑨ ❾ ⑨ ❾

  √ j √ k 2 t t , e se 0 < t < 1 é possível encontrar C ≤ C

  1 2 ∈ R tal que

  ⑩ ❿ ⑨ ❾ ⑨ ❾ ⑨ ❾

  √ j √ √ j √ √ k 2 t t. De qualquer maneira, 2 t t + t . Multipli-

  2

  ≤ C ≤ C

  n ⑨ ❾

  −

  √

  2 cando ambos os membros desta desigualdade por t obtém-se Fixando agora β = 1 em obtemos para todo t > 0,

  ❶ ➀ 1− n k− n

  2

  2

  2

  2

  1 + t . (2.10)

  • t k kS(t)ϕk ≤ C kϕk

  L

  X ∞

  . Isto é, S(t)ϕ ∈ L

  Mostremos agora que, para todo multi-índice α tal que |α| ≤ k, a derivada

  α 2 k n α 2 n

  multi-índice ∂ ) )

  e, S(t)ϕ . De ϕ (R ϕ (R e |α| ≤ k, segue ∂

  ∈ L ∈ X ∈ L

  α 2 n α

  portanto, S(t)∂ ϕ comutam, temos

  (R ). Como os operadores S(t) e ∂ ∈ L

  α α S(t)ϕ = ϕ .

  2

  2

  k∂ k kS(t)∂ k

  L L

2.2 A continuidade da família de operadores {S(t)}

  k

  . Pri- Nosso objetivo agora é mostrar que se t → 0 então S(t)ϕ → ϕ em X

  ∞

  meiramente, verifiquemos a convergência em L . Para tanto, damos a seguinte definição:

  2 n−1

  dr), definimos ((β,

  ∞),r Definição 2.2.1. Sejam ℓ ∈ {0,...,k} e h ∈ L

  Z

  ∞

  2

ℓ (i−ǫ)r (ℓ) n−1

  := T e h(r)g (r)r dr (2.11)

  h β (ℓ)

  T h pode ser escrita sob e diremos que tal integral é “do tipo ”. No caso em que a forma

  (p)

  ψ (r)

  β

  h(r) = com 2q − n > 0, (2.12)

  q

  r

  n

  X

  ℓ n

  T β é p + q − . Se h = c h , onde cada h diremos que a ordem de em é

  i i i h 2 i=1

  da forma descrita em , definimos a ordem de h em β como a ordem mais baixa dentre as ordens dos monômios não nulos do somatório acima (observe que a ordem de h depende de sua decomposição).

  Voltemos nossa atenção novamente à integral I . Através das igualdades

  2

  obtivemos

  ✥ ✦ ❶ ➀ j

  Z

  k k ∞

  X X j

  2

  1 −1

  (j−ℓ) (i−ǫ)r (ℓ) n−1

  I = a e g dr.

  (r)ψ (r)r

  2 k,j β 2k−j

  2(i − ǫ) ℓ r

  β j=0 ℓ=0

  ℓ Isto é, I , de certo modo, representa uma combinação linear de termos do tipo T .

  2 A fim de estimar uma ordem para a combinação dos termos em podemos ℓ

  fazer uma nova decomposição para I em termos do tipo T de acordo com o

  2 seguinte resultado, que nos será útil no objetivo desta seção.

  ⑨ ❾ 1 n−2

  0, m > 0 tais que m , então a integral I e Lema 2.2.1. Sejam α ∈ ≥

  2 2n+1 2α ℓ

  pode ser reescrita como combinação linear de termos do tipo T com ℓ ∈ {0,...,k},

  ℓ

  ℓ de modo que para na combinação

  6= 0 e ℓ 6= k, a ordem dos termos do tipo T linear é maior do que ou igual a m. Demonstração.

  Sejam p,q ∈ N tais que 2q − p > 0. Consideremos a aplicação

  (p) ψ (r)

  β

  h dada por h(r) = . Fixado ℓ

  q

  ∈ {1,...,k}, usamos integração por partes em

  r

  obtendo: Z

  ∞

  2 ℓ (i−ǫ)r (ℓ) n−1

  T = e h(r)g dr (r)r

  h β

✧❶

  ➀

  Z

  ∞ k−ℓ

  

2

  1 d

  (i−ǫ)r (ℓ) n−1

  = e h(r)g (r)r dr 2(i − ǫ)r dr

  β ★ ❶ ➀ ✧❶ ➀

  Z

  k ∞ k

  2

  1 d −1

  (i−ǫ)r (ℓ) n−1

  = e h(r)g r dr (r)

  2(i − ǫ) r dr

  β ❸ ➂

  (p) ❶ ➀ k

  Z ∞

  k j

  ψ (r)

  1 d −1

  β (i−ǫ)r (ℓ)

2 X

  = e a g (r) dr.

  

k,j

2k−n+1−j q

  2(i − ǫ) r dr r

  β j=0

  (2.13) Portanto,

  k ✏ ✑ k

  X

  ℓ −1

  = T a

  k,j × h 2(i−ǫ) j=0

  ❹ ➃ ➂ (j−c) ✥ ✦ ❸

  (p) j

  Z

  ∞

  ψ

  1 j

  β (i−ǫ)r (ℓ+c) n−1

2 X (r)

  e g r dr, (r)

  ×

  2k−j q

  r c r

  β c=0

  o que nos fornece após a troca de ordem do sinal de integração com o somatório e aplicações sucessivas da regra de derivação de quociente de funções,

  ✥ ✦ ✥ ✦ j j−c k−ℓ

  ✏ ✑ k−ℓ

  X X j X j − c

  ℓ −1

  = T a (−q)(−q−1)(−q−2)

  k−ℓ,j

  ×···×

  h 2(i−ǫ)

  c b

  j=0 c=0 b=0 (p+b) (ℓ+c)

  Z ∞ ψ (r)g (r)

  2 β (i−ǫ)r n−1

  [−q − (j − c − b − 1)] e r dr.

  2(k−ℓ)+q−c−b

  r

  β Como k ≥ 1, 2q−n > 0 e 2[2(k−ℓ)+q−c−b]−n > 2(k−ℓ)+2q−n, po-

  ℓ (ℓ) (ℓ+1) (k)

  demos escrever T como combinação linear de termos do tipo T , T , , ··· ,T

  h

  cada um deles correspondendo a um valor de c. Em particular, os termos do tipo

  (ℓ)

  T correspondem a c = 0 e sua ordem na soma acima é dada por n n p + 2(k − ℓ) + q − = p + q − +2 (k − ℓ) .

  2

  2 | {z }

  | {z }

  ≥1 ℓ ordem de T h

  Concluí-se daí que, após uma modificação como acima, a ordem dos termos

  (ℓ) do tipo T recebe um incremento igual ou superior a 2.

  pode ser Considere agora, para ℓ ∈ {0,··· ,k − 1}, a afirmação: a integral I

  2 (γ)

  reescrita como soma de termos do tipo T , onde 0 ≤ γ ≤ k; de modo que para

  (γ)

  1 ≤ γ ≤ ℓ, os termos do tipo T na soma tem ordem ≥ m. Representaremos esta afirmação por H .

  ℓ ✥ ✦ (j−ℓ) k k

  ψ

  X X j (r)

  β ℓ (ℓ)

  = Como I T (.), com h (r) = , de

  2 h(ℓ) 2k−j

  ℓ r

  ℓ=0 j=ℓ

  2(2k − j) − n segue

  ≤ 2k − n > 0, e da expressão já obtida anteriomente para I

  2

  que H é válida. Seja ℓ ∈ {1,··· ,k − 1} e suponha agora que a afirmação seja válida para H

  , queremos mostrar que ela também é válida para H .

  ℓ−1 ℓ

  De fato, temos pela hipótese de indução que I pode ser reescrita sob a forma

  2 k (p)

  X

  ψ (r) γ β

  I = λ T , onde h é uma combinação linear de termos do tipo , de

  q γ γ

  2 h γ r γ=0

  γ

  é no mínimo m. Procedendo modo que para γ ∈ {1,··· ,ℓ − 1}, a ordem de T

  h γ

  novamente como em obtemos uma nova expressão para I onde os termos

  2 (γ)

  do tipo T , com γ ≤ ℓ − 1, permanecem os mesmos, e a ordem dos termos do

  (ℓ)

  tipo T recebe um incremento de 2(k − ℓ) ≥ 2. Repetindo o processo um número

  (ℓ)

  finito de vezes, observa-se que os termos do tipo T tem ordem maior ou igual que m e, portanto a afirmação H é verdadeira.

  ℓ (p)

  (r) ψ β

  Em tempo, observermos que se h(r) = , ℓ

  q

  ∈ {1,...,k} e 2q−n > 0, então

  r (p)

  Z ∞ ☞☞ ☞☞ ψ

  (r)

  β ☞☞ ℓ ☞☞ ☞☞ (ℓ) ☞☞ n−1 ☞☞ ☞☞

  (2.14) T g (r) r dr

  ☞ ☞ ☞ ☞

  ≤

  h q

  r

  β ☞☞ ☞☞ ✌✌ (p) ✌✌

  Z

  

  ψ

  ✌ ✌ ∞

  1

  ☞☞ (ℓ) ☞☞ n−1 L

  g r dr (2.15)

  ☞ (r) ☞

  ≤

  q q

  β r

  β n

  ✌✌ (p) ✌✌ √ 1 ℓ−

  ψ

  ✌ ✌ ∞

  2

  t) (2

  2 L ☞☞ n−1 ☞☞

  , (2.16)

  k S

  √ ☞ ☞ n ≤ kϕk

  X p+q−

  2

  2q − n β aqui usamos mais uma vez a desigualdade de Cauchy-Schwartz e a Proposição

  ℓ

1.4.4. Quando β > 1 e a ordem de T é maior ou igual que m, então

  h n

  √

  ℓ−

  2

  t) (2

  ☞☞ ℓ ☞☞

  T . (2.17)

  ☞ ☞ h ≤ C m

  β

  n−2 n n n−2

  temos ℓ− + αm = ℓ − 1 Como ℓ ≥ 1 e m ≥

  • ≥ ℓ−

  ≥ 0. Fazendo

  2α

  2

  2

  2 ❡ β α

  

Ü

  β = , onde t β > 2 suficientemente grande tal que

  α ≤ 1, podemos escolher (2 t)

  para todo t ≤ 1

  n

  √

  ℓ− +αm

  2

  t) (2

  < δ, ℓ ∈ {1,...,k}

  Ü m

  β e

  ☞☞ n−1 ☞☞ j ✌✌ (j) ✌✌

  2 ψ

  ☞ S ☞ ✌ ✌

  kϕk √

  L α(2k−n) L

  t) (2 ≤ δ,j ∈ {0,...,k}.

  Ü 2k−n

  β (2k − n)

  O Lema implicam na existência de uma constante C > 0 (independente de δ) tal que, para todo ǫ > 0, Z

  ☞☞ ☞☞

  2

  √

  (i−ǫ)|z| √

  e ψ tz)dz (2.18) (z)ϕ(x + 2

  ☞☞ ☞☞ α ≤ Cδ.

  ❡ β/(2 t)

  ☞ n ☞ R

  Aplicando a Proposição com p = 2n segue Z

  Z

  ☞☞ ☞☞

  2

  2

  √

  (i−ǫ)|z| (i−ǫ)|z|

  lim e tz)dz − lim e

  

☞☞ (1 − ψ (z))ϕ(x + 2 (1 − ψ (z))ϕ(x)dz ☞☞

β

  β ☞

  ☞ ǫ →0 n ǫ →0 n R

  R

  Z √

  ☞☞ ☞☞

  (1 − ψ (z)) ϕ(x + 2 tz) − ϕ(x) dz

  ☞ ☞

  ≤ β

  n R

  Z

  1

  √

  2 p

  C(2 t2β) dz ||∇ϕ| |

  ≤ L

  |z|<2β

  1

  1

  1

  1

  √ √

  ) n+ −α(n+ Ü

  2

  2

  2

  = C(2 ≤

  2 C(2 t) β t) β.

  ⑨ ❾

  1

1 Pela nossa escolha de α, n − > 0. Assim, podemos tomar t < 1 tal

  − α

  2

  2

  , que para todo t ≤ t

  1

  

1

  1

  √

  

−α n− n+

  ( )

  Ü

  2

  

2

  2 C(2 t) β (2.19) ≤ δ.

  , Portanto, para t ≤ t

  Z Z

  ☞☞ ☞☞

  2 √

  2 (i−ǫ)|z| (i−ǫ)|z|

  lim e ϕ(x + 2 tz)dz − lim e ϕ(x)dz

  ☞☞ ☞☞ ☞ ☞

  ǫ →0 n ǫ →0 n R R

  Z Z

  

☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞

  2

  2

  √

  (i−ǫ)|z| (i−ǫ)|z|

  lim e ψ tz)dz lim + e ψ

  • β

  

☞☞ (z)ϕ(x + 2 ☞☞ ☞☞ (z)ϕ(x)dz ☞☞

  β

  ≤

  

☞ ☞ ☞ ☞

ǫ →0 n ǫ →0 n R

  R

  Z

  ☞☞ ☞☞

  2

  √

  (i−ǫ)|z|

  lim e tz) − ϕ(x)]dz

  • (1 − ψ (z))[ϕ(x + 2 ☞☞

  ☞☞

  β ☞ →0

  ☞ ǫ n R

  ≤ Cδ + Cδ + δ.

  (2.20) Como

  Z

  n π

  

2

(i−ǫ)|z| in

  2

  4

  lim e dz = π e ,

  ǫ →0 n R ∞

  quando t das desigualdades decorre que u(·,t) → ϕ(·) em L tende a 0 por valores positivos. Analogamente, é possível mostrar o mesmo para t &lt; 0, e portanto, S(t)ϕ é contínua em t = 0. Como veremos na próxima seção, {S(t)} é um grupo, e a propriedade terá sua validade confirmada para para todo t

  ∈ R.

  n

  Para finalizar, algumas considerações sobre o caso geral: k &gt; (até o mo-

  2 ➎ ➑ n

  mento, só consideramos o caso k =

  • 1). Seja α um multi-índice, 1 ≤ |α| ≤ k.

2 Dado t > 0, como a integral na expressão de u(x,t) converge, podemos escrever

  Z

  n π

  2

  √

  − α −in (i−ǫ)|z| α

  2

  4

  ∂ u(x, t) = π e lim e ∂ ϕ(x + 2 tz)dz (2.21)

  →0 n ǫ R α

  2 n

  e ∂ ϕ (R ), usando mais uma vez o fato de ser {S(t)} um grupo, temos

  ∈ L

  α 2 n

  imediatamente que ∂ u( )

  e, além disso (R

  ·,t) ∈ L

  α α

  = u(

  

2 n ϕ(

2 n .

  k∂ ·,t)k ) k∂ ·)k )

  L (R L (R De maneira análoga, é possível mostrar o mesmo para t &lt; 0. k n k n

  ) (R (R ), para todo t

  Portanto, se ϕ ∈ X então u(·,t) ∈ X ∈ R; ou seja, a

  k n (R )).

  aplicação t 7−→ S(t)ϕ ∈ C(R,X é limi-

  k

  Além disso, como S(·)ϕ é limitada em [−1,1], temos que kS(t)k L )

  (X

  tado em [-1,1]; o que, em conjunto com nos fornece a seguinte consequên- cia:

  k n

  (R ) e t Corolário 2.2.1. Se ϕ ∈ X ∈ R então existe uma constante C &gt; 0, de- n e k, tal que pendente apenas de

  ρ

  ) , (2.22)

  k k

  kS(t)ϕk ≤ C(1 + |t| kϕk

  X X

  onde

  1

  , se n é par,

  2

  ρ =

  1 , se n é ímpar.

  4

  2.3 Gerador Infinitesimal do grupo {S(t)}

  t ∈R

  Nesta seção seguiremos de perto a notação e os resultados expostos no capítulo 1 de Assim, se X é um espaço de Banach, uma família de operadores lineares {T(t)}, a um parâmetro t ∈ R, definidos em X é um grupo de operadores lineares quando T(0) = I,T(t ) ) e

  • t ) = T (t

  1

  2

  1

  2

  ◦ T(t

  −1

  T (−t) = T (t), onde I é o operador identidade e t , t , t

  1 2 ∈ R. Caso tenhamos as propriedades apenas para t , t , t , diremos que {T (t)} é um semi-grupo.

  1

  2

  ∈ R

  • +

    Em geral, representaremos por D(T) o domínio de {T(t)} e diremos que {T(t)} é fortemente contínuo quando lim (2.23) kT(t) − Ik = 0.

  t →0

  T (t)ϕ − ϕ O operador linear A cujo domínio é D(A) = ϕ existe é

  ∈ X; lim

  →0 t t

  T (t)ϕ − ϕ

  ′

  definido por Aϕ := lim = T (0)ϕ, para todo ϕ

  ∈ D(A), é o gerador

  t →0 t infinitesimal de {T(t)}.

  De volta ao nosso caso particular, primeiramente observemos que a família {S(t)} é um grupo, chamado o grupo de Schrödinger .

  é um grupo. Lema 2.3.1. A família de operadores {S(t)} definida em

  t ∈R π n

  − −in

  4

  2 Obviamente, se escrevemos c = e π , então Demonstração.

  Z

  2 (i−ǫ)|z| S(0)ϕ(x) = c lim e ϕ(x)dz = ϕ(x).

  ǫ →0 n R

  Consideremos agora t , t &gt; 0. Faremos, por simplicidade, a demonstração no

  1

  2 caso n = 1. No caso, geral a demonstração segue os mesmos passos.

  Temos Z

  2

  √

  | (i−ǫ )|z

  1

  1

  φ(x) = S(t )ϕ(x) = c lim e ϕ(x + 2 t z )dz ,

  1

  1

  1

  1 →0 ǫ

  1 R

  e S(t )

  )ϕ(x) = S(t )φ(x)

  2 ◦ S(t

  1

  2 Z

  2

  √

  | (i−ǫ )|z

  2

  2

  e φ(x + 2 t z = c lim )dz

  2

  

2

  2 ǫ →0

  2 R

  Z Z

  2

  2

  √ √

  | | (i−ǫ )|z +(i−ǫ )|z

  2

  1

  1

  2

  = c

  • 2 )dz

  1

  1

  2

  2

  1

  2 ) (ǫ →(0,0) ,ǫ

  2 lim e ϕ(x + 2 t z t z dz .

  1

  2 R R Sem perda de generalidades, podemos tomar ǫ = ǫ . Façamos a mudança = ǫ

  1

  2

  das variáveis z e z para as variáveis z e w, de acordo com as seguintes equações:

  1

  2

  

  • t t = t,

  1

  2

   =

  Az + Bz z,

  1

  2

   Bz

  − Az = w,

  1

  2 √ √ t t

  1

  2 √ √ onde A = e B = . t +t t +t

  1

  2

  1

  2 1/2 1/2

  2

  2

  2 2 1/2

  Deste modo, |z | | e t dz dz ) dw,

  • |z = |z| + |w| + t = (t − t

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  portanto:

  

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

  t t dz + t t dw t t dz − t t dw

  1

  2

  2

  1 dz = e dz = .

  1

  2

  t t

  • t + t

  1

  2

  1

  2 Logo,

  t = dz dz dwdz = dwdz,

  1

  2

  t + t

  1

  

2

  e daí: S(t )

  )ϕ(x) =

  2

  1

  ◦ S(t Z Z

  2

  

2

  √

  

)

2 (i−ǫ)(|z| +|w|

  lim = c e ϕ(x + 2 t + t z)dwdz

  1

  2 →0 ǫ R R

  ➊ ➍

  Z Z

  2

  2

  √

  2 (i−ǫ)|w| (i−ǫ)|z|

  = c lim e dw e ϕ(x + 2 t + t z)dz

  1

  2 →0 ǫ R R

  Z

  2

  √

  (i−ǫ)|z|

  = c lim e ϕ(x + 2 t + t z)dz

  1

  2 →0 ǫ R

  = S(t + t )ϕ(x).

  1

2 Para finalizar, basta observar que S(t) ◦ S(−t)ϕ(x) = S(0)ϕ(x).

  O operador i∆ está definido para funções ao menos duas vezes diferenciáveis

  k+2 n

  e, portanto, podemos defini-lo no espaço de Zhidkov X (R ). Mais especifica- mente, aplicaremos este operador do seguinte modo:

  k+2 n

  ) temos (R

  Lema 2.3.2. Se ϕ ∈ X

  π

  Z

  −in

  4

  2

  1 e √ √

  (i−ǫ)|z|

  2

  i∆ϕ(x) = lim e D ϕ(x) tz, 2 tz)dz, (2.24)

  n

  · (2

  →0

  2t ǫ

  2 n

  π

  R Z

  . Observe que como j 6= ℓ,

  j

  z

  ℓ

  dz = 0, pois Z

  R n

  e

  (i−ǫ)|z| 2 ∂ϕ

  ∂x

  ∂x

  (x)z

  ℓ

  (x)z

  j

  z

  ℓ

  dz =

  n

  j

  ℓ

  p=1

  z

  1 ≤j&lt;ℓ≤n

  ∂ϕ ∂x

  j

  ∂x

  ℓ

  (x)z

  j

  ℓ ✸ ✺

  ∂x

  onde D

  R n

  e

  (i−ǫ)|z|

  2

  ∂ϕ ∂x

  j

  Y

  Z

  (x) + 2

  dz

  j

  ∂x

  ℓ

  (x)z

  

j

  z

  ℓ

  p

  2 p

  = 0, pois a aplicação z

  p

  7→ e

  (i−ǫ)z

  2 p

  é par. Caso tenhamos p = j ou p = ℓ, podemos integrar diretamente obtendo também

  1 2(i−ǫ)

  ∂ϕ ∂x

  (i−ǫ)z

  ∞ − ∞

  (x)z

  e

  (i−ǫ)z

  2 p

  ∂ϕ ∂x

  j

  ∂x

  ℓ

  j

  e

  z

  ℓ

  dz

  p = 0.

  (2.25) Se p 6= j e p 6= ℓ,

  Z

  ∞ − ∞

  X

  k

  (i−ǫ)z

  2 ϕ ∂x

  2

  (x) ···

  ∂

  2 ϕ ∂x

  1 ∂x n

  (x)

  ∂

  2 ∂x

  2 ϕ

∂x

  1

  (x)

  

  2 ϕ ∂x

  2

  2

  (x) ···

  1 ∂x

  

  2 ϕ ∂x

  z

  2

  ϕ é a matriz hessiana de ϕ e D

  

2

  ϕ(x) · (2

  √ tz, 2 √ tz) é a representação da forma quadrática

  2 √ t

  ➈

  1

  (x)

  z

  2 ··· z n ➋ ✷

  ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✹

  ∂

  2 ϕ ∂x

  2

  1

  ∂

  2 ∂x n

  ϕ ∂x

  ϕ(x) · (2

  z

  2 ..

  . z

  n ✸ ✼ ✼ ✼ ✼ ✺

  .

  Demonstração. De fato, temos D

  2

  √ tz, 2 √ tz) = 4t

  z

  ✷ ✹ n

  X

  k=1

  z

  2 k

  ∂

  2

  1

  ✷ ✻ ✻ ✻ ✻ ✹

  (x) .. .

  (x)

  .. .

  . ..

  .. .

  ∂

  2 ϕ ∂x n

  ∂x

  1

  

  2 √ t

  2 ϕ

∂x

n

  ∂x

  2

  (x) ···

  ∂

  2 ϕ ∂x 2 n

  (x)

  ✸ ✼ ✼ ✼ ✼ ✼ ✼ ✼ ✺

  2 p

  • ∞ − ∞ = 0.

  e

  ]

  Logo, Z

  ϕ ∂x

  2

  (i−ǫ)|z|

  ∂

  X

  √ tz, 2 √ tz)dz = 4t

  Z

  2 n

2 D

  e

  R n

  ϕ(x) · (2

  k=1

  z

  2 k

  2

  e

  R n

  k (x)dz.

  Assim,

  (i−ǫ)|z|

  π

  Z

  −in

  4

  1 e

  2

  √ √

  (i−ǫ)|z|

  2

  lim e D ϕ(x) tz, 2 tz)dz

  n

  · (2

  ǫ →0 2 n

  2t π R

  π n

  Z

  −in

  2

  4

  1 e ∂ ϕ

  (i−ǫ)|z|

  2

2 X

  = lim e 4t z

  n (x)dz k →0

  2t ǫ

  2 n ∂x

  π

  R k k=1 π n

  Z Z

  −in ∞ ∞

  2

  2

  1 e ∂ ϕ

  (i−ǫ)|z|

  2

  4 X

  = lim e 2z dz

  n (x) k

  ··· k

  →0 ǫ i − ǫ 2 ∂x

  π k − ∞ − ∞ (2.26)

  k=1 π

  ❶ ➀ n Z −in

  2

  2

  1 e ∂ ϕ

  (i−ǫ)|z|

  4 X

  = lim − e dz

  n (x) ǫ →0 i − ǫ 2 ∂x n

  π k R

  k=1 n

  ∂ ϕ −1

2 X

  = lim (x)

  ǫ →0 i − ǫ ∂x k k=1

  = i∆ϕ(x), onde, na terceira igualdade em usamos integração por partes. Nosso objetivo agora é mostrar que i∆ é o gerador infinitesimal do grupo de Schrödinger.

  n

  . O gerador infinitesimal do grupo S(t) é i∆, com Teorema 2.3.1. Seja k &gt;

  2 t ∈R k+2 n

  D(i∆) = X (R ).

  k+4 n

  ) então, quando Demonstração. (R

  Primeiramente, afirmamos que para ϕ ∈ X t → 0,

  k

  S(t)ϕ − ϕ

  X

  − (2.27)

  → i∆ϕ, t

  ⑨ ❾ k+4 n ′

  o que implica

  X (R ), i∆ (0).

  ⊂ (D(A),A), onde A = S Seja t &gt; 0. Observamos que,

  Z S(t)ϕ − ϕ 1 π n

  2

  √

  − −in (i−ǫ)|z|

  4

  2

  e π lim e tz) − ϕ(x)]dz. (2.28) (x) = [ϕ(x+ 2

  ǫ →0 n

  t t

  R

  Como

  n n

  Z Z

  ∞

  2

2 Y

  X √ √ ∂

  (i−ǫ)z (i−ǫ)|z| j

  e tzdz = e 2 tz ϕ(x) = 0, (2.29) ∇ϕ(x).2

  n

  ∂x

  − R ∞ k j=1 k=1

  da fórmula de Taylor com resto integral (ver página 262 de temos Z

  

1

  √ √ √ √ √

  2

  ϕ(x+2 tz+ ϕ(x+2s tz)(2 tz, 2 tz)ds (1−s)D tz)−ϕ(x) = ∇ϕ(x).2

  (2.30) e, portanto,

  ❶ ➀

  S(t)ϕ − ϕ − i∆ϕ (x) t

  π

  Z

  −in

  4

  2

  e

  (i−ǫ)|z|

  lim e = 4 n

  ×

  →0 2 ǫ n

  π

  

R

  Z

  1 ➈

  ➋

  √ √ √

  2

  2

  (1 − s) D ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D ϕ(x) (z, z)dsdz ×

  π

  Z

  −in

  1

  4

  e = 4 lim (1 − s)

  n

  ×

  →0 2 ǫ

  π Z

  2

  √ √ √

  (i−ǫ)|z|

  2

  2 e [D ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D ϕ(x)](z, z)dzds.

  ×

  n R

  (2.31) Agora,

  Z

  2

  √ √ √

  (i−ǫ)|z|

  2

  2

  e ϕ(x + 2s tz)(2 tz, 2 tz) − D ϕ(x)](z, z)dz [D

  n R

  Z

  ✏ ✑

  2

  2

  √ √

  (i−ǫ)|z|

  2

  2

  1

  = − e ∆ ϕ(x + 2s tz)(2s tz) dz (2.32)

  2(i−ǫ) n

  R

  Z

  2

  √

  (i−ǫ)|z|

  1

  − e tz) − ∆ϕ(x)]dz, [∆ϕ(x + 2s

  2(i−ǫ) n

  R

  portanto,

  ❶ ➀

  S(t)ϕ − ϕ − i∆ϕ (x) = t

  Z

  

1

  2

  2

  2

  t S(ts ϕ(x)ds + = −4 (1 − s)s )∆

  Z

  1 ➈ ➋

  1

  2

  . (2.33) + S(ts (1 − s) )∆ϕ − ∆ϕ (x)ds

  2i

  n 2 k n k n

  Como ∆ ϕ ) , temos que o operador (R (R ), já que k &gt;

  ∈ H ⊂ X

  2

  2 2 k

  {S(ts )∆ ϕ} é limitado em X

  e, logo

  t,s ∈[0,1]

  Z

  1 k

  X

  2

  2

  2

  −4t (1 − s)s S(ts )∆ ϕ(x)ds → 0, quando t → 0.

  k+2 n k+2 n k n

  ) ) (R (R (R ), temos

  Por outro lado, de ∆ϕ ∈ H ⊂ X ⊂ X

  k ⑨ ❾

  

X

2 S(ts

  )∆ϕ − ∆ϕ → 0, quando t → 0, uniformemente para s ∈ [0,1]. Isto conclui a prova de nossa primeira afirmação,

  k+4 n

  ) (R isto é ϕ ∈ X ⇒ ϕ ∈ D(A) e Aϕ = i∆ϕ.

  k+2

  . Queremos mostrar que ainda vale a inclusão Consideremos agora ϕ ∈ X

  ⑨ ❾ k+2 n

  X (R ), i∆ ⊂ (D(A),A).

  k+4 n k+2 n

  Já temos que X ) )

  e, como consequência imediata da Pro- (R (R

  ⊂ X

  k+4 n k+2 n

  ) posição X (R é denso sobre X (R ). Logo existe uma

  l k+4 n k+2 n k n

  sequência (φ ) ) convergindo para ϕ em X ) (R (R (R ),

  l ∈N ⊂ X

  ⊂ X

  l

  converge para i∆ϕ em quando l → ∞. Como o operador i∆ é contínuo, i∆φ

  k k

  H quando l → ∞. Isto significa que (ϕ,i∆ϕ) pertence ao fecho do con- ⊂ X

  k+4 n k k

  junto ) em X . Como o gerador infinitesimal de (φ, i∆φ); φ (R

  ∈ X × X um semi-grupo fortemente contínuo é um operador fechado (ver temos que

  ⑨ ❾ k+2 n

  ϕ

  X (R ), i∆ ∈ D(A) e Aϕ = i∆ϕ o que significa que ⊂ (D(A),A). Capítulo 3 Existência de soluções

3.1 Existência Local

  Esta seção será dedicada ao estudo da boa colocação local do problema de valor inicial iu

  • ∆u + F(u) = 0,

  t

  (3.1) u( = ϕ(

  ·,0) ·),

  n k n k n k n

  ) ) − com k &gt; , ϕ (R e F : X (R (R ). Aqui, e em todo o restante do ∈ X → X

  2

  texto, nossa noção de boa colocação local e de boa colocação global é a que se dá naturalmente para equações de evolução (ver, por exemplo, Definição 3.1.1 (Boa Colocação). Sejam X e Y espaços de Banach e seja T um 0 &lt; T &lt; ] número real tal que ] e F : [0, T

  ∞. Considere t ∈ [0,T × Y −→ X contínua com respeito às topologias correspondentes. Dizemos que o problema de valor inicial u

  = F(t, u)

  t

  ∈ X, (3.2) u(

  ·,0) = ϕ ∈ Y, tem boa colocação local (ou é bem posto localmente) quando ocorrem, simulta- neamente: (i) Existem T ] e u ]; Y) tais que é satisfeito.

  ∈ (0,T ∈ C([0,T (ii) Existe no máximo uma solução de em qualquer vizinhança da origem

  0, T contida em ( ). (iii) A aplicação ϕ

  7−→ u é contínua em relação às topologias dos espaços de Y e C([0, T Banach ], Y), respectivamente.

  Notemos que, nossa existência local de solução pressupõe que esta solução permaneça no espaço de Banach Y ao qual pertence nossa condição inicial ϕ; tal propriedade é chamada persistência da solução. Quando ao menos uma das três condições acima deixa de ser satisfeita o problema é dito mal posto (podemos também dizer que o problema tem má colocação).

  T = No caso em que

  ∞ e são válidas as três condições acima dizemos que tem boa colocação global (ou é bem posto globalmente). Observemos que equivale a u

  = i∆u + iF(u),

  t

  (3.3) u( ·,0) = ϕ(·);

  k n

  (R ), onde I é um intervalo

  e, além disso, podemos considerar iF = f : I −→ X da reta. Suporemos f diferenciável o que, juntamente com o Teorema do Valor Médio implica f e F localmente Lipschitzianas. Aproveitaremos, neste momento, alguns resultados que, em sua maior parte, podem ser encontrados em

  k n k n (R ) e f (R )).

  Lema 3.1.1. Sejam T &gt; 0,ϕ ∈ X ∈ C([0,T],X

  1 k n

  u )) é solução de então Se ([0, T ], X (R

  ∈ C Z

  

t

  u(t) = S(t)ϕ( S(t − τ)F(u( (3.4) ·) + i ·,τ))dτ, t para todo ∈ [0,T].

  Demonstração.

  Consideremos 0 ≤ t ≤ T e defina para todo τ ∈ [0,T] w(τ) = S(t − τ)u(τ). (3.5) Se h ∈ (0,t − τ) temos

  w(τ+h)−w(τ) S(t−τ−h)u(τ+h)−S(t−τ)u(τ)

  =

  h h u(τ+h)−u(τ) S(t−τ−h+h)−S(t−τ−h)

  − u(τ) = S(t − τ − h)

  h h u(τ+h)−u(τ) S(h)−I

  − u(τ) . = S(t − τ − h)

  h h

  S(h) − I Pelo Teorema lim

  = i∆. Logo,

  h →0 h

  w(τ + h) − w(τ) lim = S(t − τ) {u (τ) − i∆u} = S(t − τ)f(τ).

  t →0 h h k n

  (R )). Portanto, para todo τ Mas, S(t − ·)f(·) ∈ C([0,T],X

  ∈ [0,t), temos que

  1 k n ′

  )) w ([0, t), X (R e w (τ) = S(t − τ)f(τ). ∈ C Z Z

  s s ′

  Para s &lt; t temos w S(t − τ)f(τ)dτ, isto é, (τ)dτ = w(s) − w(0) =

  Z

  s w(s) = S(s)u(0) + S(s − τ)f(τ)dτ.

  Finalmelnte, fazendo u(0) = ϕ (ou, mais precisamente, u(·,0) = ϕ(·)) e f(τ) = iF(u( ·,τ)) garantimos o resultado.

  Mostremos agora que uma tal solução está bem definida, pois é univocamente determinada.

  k n k n

  )) são duas so- (R ). Se u, v (R

  Lema 3.1.2. Sejam T &gt; 0,ϕ ∈ X ∈ C([0,T],X luções do problema , então u = v.

  Considere M = sup , Demonstração. k k }. Como F é lo- max{ku(t)k kv(t)k

  X X t ∈[0,T]

  calmente lipschitziana temos, ,

  k k

  kF(u(·,τ)) − F(v(·,τ))k ≤ L(M)ku(·,τ) − v(·,τ)k

  X X

  e, portanto, Z

  t ⑨ ❾✌✌

  ✌✌

  S(t − τ) F(u( dτ

  k ✌ ✌

  ku(t) − v(t)k ≤ ·,τ)) − F(v(·,τ))

  X k

  X Z t ⑨ ❾⑨ ✌✌ ρ ❾✌✌

  (3.6) C 1 + (t − τ) F(u( dτ

  ✌ ✌

  ≤ ·,τ)) − F(v(·,τ))

  k

  X Z

t

⑨ ❾

  ρ 1 + T k dτ.

  ku(·,τ) − v(·,τ)k ≤ CL(M)

  X Z t

  λ(τ)dτ

  1

  2 ✧ ★

  • C Do Lema de Gronwall (ver página 21 de se φ(t) ≤ C

  Z

  t

  1

  exp C λ(τ)dτ , para quase todo t então, φ(t) ≤ C

  2

  ∈ (0,T). Temos, em

  ρ

  C )) e C = CL(M) ((1 + T = 0 logo, k = 0, para quase todo

  2

  1

  ku(t) − v(t)k

  X

  t ∈ (0,T), o que implica u = v. Observação 3.1.1. Da demosntração acima, podemos garantir ainda

  Z

  t

⑨ ❾

  ρ k 1 + (T − τ) k dτ. (3.7)

  ku(t) − v(t)k ≤ CL(M) ku(·,τ) − v(·,τ)k

  X X

  

k n

  ) tais que (R k

  Teorema 3.1.1. Sejam M &gt; 0 e ϕ ∈ X kϕk ≤ M. Então, existe

  X k n

  )) do um tempo positivo T = T (M) e uma única solução u (R ∈ C([0,T(M)],X problema .

  Basta mostrar que existe tal solução já que a unicidade resulta Demonstração. imediatamente do Lema Para tanto, tomemos M e ϕ como nas condições acima e assumamos T ≤ 1.

  ⑨ ❾ k n

  Fixado K &gt; 0, definamos o subconjunto de C ) , [0, T ], X (R

  ⑨ ❾ k n E := u ) ; .

  [0, T ], X (R k ∈ C ku(·,t)k ≤ K, ∀t ∈ [0,T]

  X Consideremos para todos os elementos u e v de E a métrica proveniente da norma k n

  de C([0,T],X (R )), ou seja, d(u, v) = max k , ku(·,t) − v(·,t)k

  X t ∈[0,T]

  de modo que E torna-se também um espaço métrico completo. pondo,

  Dada u ∈ E, definimos Φ u Z

  t

  Φ S(t − τ)F(u( (t) := S(t)ϕ + i

  u ·,τ))dτ, ∀t ∈ [0,T].

  Aplicando a desigualdade triangular e a propriedade vista no Corolário

  1

  

1

  , , segue, para ρ ∈

  2

  

4

Z t ✌✌ ✌✌

  • u

  S(t − τ)F(u( (t) k n k ✌✌ ✌✌

  kΦ k ) ≤ kS(t)ϕk ·,τ))dτ

  X (R

  X ✌ ✌ k

  X Z t ρ ρ

  • ) k C (1 + (t − τ) ) k dτ ≤ C(1 + t kϕk kF(u(·,τ))k

  X X

  Z

  t

  dτ,

  k

  ≤ 2CM + 2C kF(u(·,τ))k

  X

  (3.8) já que t,τ,t − τ ∈ [0,T], e T ≤ 1. Temos

  k = k

  kF(u(τ))k kF(0) + F(u(τ)) − F(0)k

  X X

  • k k

  ≤ kF(0)k kF(u(τ)) − F(0)k

  

X

X

  (3.9)

  k + L(K) k

  ≤ kF(0)k ku(τ)k

  

X

X k + KL(K).

  ≤ kF(0)k

  

X e supor

  k

  Podemos escolher K = 4CM + 2CkF(0)k

  X

  1

  1 T = min , . (3.10)

  4

  4CL(K)

  M+ kF(0)k

1 Xk

  Observemos que , pois 2CL(K) ≤ ≥ 1. Portanto,

  4CL(K) kF(0)k +KL(K) Xk

  M +

  k

  kF(0)k

  X k + KL(K)

  kF(0)k ≤

  X T

  e, de segue M +

  k

  kF(0)k

  X

  (t) k n

  u

  kΦ k ) ≤ 2CM + 2Ct ≤ K,

  X (R

  T o que significa que Φ está bem definida e leva elementos de E em elementos de E. Para todos u,v ∈ E, tem-se d(Φ (t), Φ (t)) = max (t) − Φ (t) k

  u v kΦ v u k

  X t ∈[0,T]

  Z

  T

  max dτ

  k

  ≤ L(K) kS(T − τ)[v(τ) − u(τ)]k

  X t ∈[0,T]

  (3.11) Z

  T ρ

  C (1 + (T − τ) ) max dτ

  k

  ≤ L(K) kv(τ) − u(τ)k

  X t ∈[0,T]

  ≤ 2CT(M)L(K)d(u,v).

  1 Para que Φ seja uma contração basta, por exemplo, que T(M)L(K) = , ou seja,

  2

  1 é suficiente escolher T(M) = .

  4CL(K)

  1

  , segue que Φ é uma contração em E e, Mas, de como T(M) ≤

  4CL(K)

  portanto, possui um único ponto fixo u ∈ E que, pela construção do subespaço E, satisfaz a condição do enunciado. Observação 3.1.2. Observe que a unicidade obtida à partir da contração na de- monstração do Teorema se reduz ao espaço E, ali definido. Por outro lado, a unicidade obtida no Lema à partir do Lema de Gronwall, é mais geral,

  k

  valendo em todo o espaço X .

  Analogamente, podemos também fazer os procedimentos descritos nas de- monstrações anteriores para intervalos de números reais negativos. Para tanto, basta tomar −T ao invés de T nos Lemas com t,T &gt; 0. Como consequência, podemos agrupar os resultados anteriores no seguinte resultado: Teorema 3.1.2. Seja M &gt; 0. Então, existem T (M) &gt; 0 e T − (M) &lt; 0 tais que, +

  k n

  ) com para toda ϕ (R k ∈ X kϕk ≤ M, existe uma única solução de

  X k n

  u − (M), T (M)], X (R )).

  ∈ C([T

  • +

    Nosso interesse agora será um pouco mais focado nas extremidades de um tal intervalo [T − (M), T (M)]. Para iniciar, temos o seguinte resultado: +

  k n ∗

  ) − Teorema 3.1.3. Existe uma função T : X (R

  → (0,+∞] tal que para toda

  k n k n ∗

  ϕ )) de maneira que,

  (R ) é possível encontrar u (ϕ)], X (R ∈ X ∈ C([0,T

  k n ∗

  para todo T (ϕ)), u é a única solução de em C([0, T ], X (R )).

  ∈ (0,T Além disso, vale apenas uma das condições abaixo:

  ∗

  (i) T (ϕ) =

  ∞, ou;

  ∗

  = (ii) T (ϕ) &lt; k ∞ e lim ku(t)k ∞.

  X ∗

  րT (ϕ) t k n

  Demonstração. ) e (R

  Sejam ϕ ∈ X

  k n ∗

  )) T (ϕ) = sup T &gt; 0; (R solução de . ∃u ∈ C([0,T],X

  ∗

  Pela proposiçao temos T (ϕ) &gt; 0. Por outro lado, o Lema nos per-

  ∗ k n

  )) da equação (ϕ)), X (R mite construir uma única solução maximal u ∈ C([0,T

  

  ∗ ∗

  Suponhamos T (ϕ) &lt; (ϕ)], sejam ∞. Fixado t ∈ [0,T

  Z

  t

  u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u( ·,τ))dτ

  = e M k n . Consideremos a equação integral

  t ku(t)k ) X (R

  Z

  τ

  v(τ) = S(τ)u(t) + i S(τ − σ)F(v( ·,σ))dσ. ∀τ ∈ [0,T(M)].

  K n

  (R )), dada por Definamos agora w ∈ C([0,t + T(M)],X u(τ), se τ ∈ [0,t]; w(τ) = v(τ − t), se τ ∈ (t,t + T(M)].

  É fácil verificar que w é solução de

  ∗ ∗

  e da definição de T (ϕ) segue T (ϕ)

  ≥ t + T(M). Daí,

  1

  1 . (3.12)

  ≤

  ∗

  T T (M) (ϕ) − t

  ∗

  (ϕ), não pode ser T (M) finito em Fa- Evidentemente, quando t → T

  1

  zendo T(M) = , segue de K = 4CM + 2C k k , kF(0)k e M = ku(t)k

  X X

  4CL(K) ⑨ ❾

  1

  1

  4CL

  4C = (3.13)

  k + 2C k

  ku(t)k kF(0)k ≥

  X X ∗

  T (M) T (ϕ) − t

  e, portanto, lim k n = + ku(t)k ) ∞.

  X (R ∗ t րT (ϕ)

  Observação 3.1.3. Nas mesmas condições do Teorema é possível obter uma

  k n

  única solução u de em C([−T,0],X (R )), sempre que T (ϕ) &lt; −T &lt; 0,

  ∗

  onde

  k n

  )) T (ϕ) = inf − T &gt; 0; (R solução de .

  ∗ ∃u ∈ C([−T,0],X

  Além disso, vale uma e só uma das propriedades: (i) T (ϕ) = −

  ∗ ∞, ou;

  (ii) |T k = (ϕ)| &lt; ∞ e lim ku(t)k ∞.

  ∗

  X t ցT (ϕ) ∗

  Como aplicação direta dos resultados anteriores, temos o seguinte resultado em

  k n ∗

  (R ), existem T (ϕ) (ϕ) Teorema 3.1.4. Dada ϕ ∈ X ∗ ∈ [−∞,0) e T ∈ (0,+∞] tais que:

  k n ∗

  u )) e, para

  a) existe uma única solução maximal (ϕ), T (ϕ)], X (R ∈ C([T ∗

  ∗

  todos T , T + − (ϕ) &lt; T − &lt; 0 &lt; T &lt; T (ϕ), u é a única ∈ R satisfazendo T ∗

  • solução da equação integral

  Z

  1 u(t) = S(t)ϕ(x) + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t − , T ].

  ∈ [T

  • T = +

  b) (ϕ) = − k ∗ ∞ ou lim ku(·,t)k ∞.

  

X

ցT t (ϕ)

  ∗ ∗

c) T k = +

  (ϕ) = + ∞ ou lim ku(·,t)k ∞.

  

X

∗ t րT (ϕ)

3.2 Regularidade da Solução

  Voltemos nossa atenção ao tipo de regularidade da solução u encontrada através dos resultados acima. Sejam T &gt; 0,t ∈ [0,T] e

  k+2 n k n k+2 n

  i∆ : X ) ) ) o gerador do grupo {S(t)}. O problema (R (R (R

  ⊂ X → X u = i∆u(t) + F(u), t

  t

  ∈ [0,T], (3.14) u(0) = ϕ,

  é chamado problema de evolução. O problema homogêneo associado a é obtido fazendo F(u) ≡ 0. Uma função u : [0,T] → X é uma solução clássica do problema de evolução acima quando u é contínua em [0,T], satisfaz

  k+2 n

  u(t) (R ), ∈ X ∀t ∈ (0,T], e u é continuamente diferenciável em (0,T].

  Nessas condições, temos o seguinte resultado:

  k n

  (R ), o problema homogêneo associado a Teorema 3.2.1. Para todo ϕ ∈ X possui uma única solução clássica u.

  Usaremos o método de iterações de Picard. Já sabemos que o Demonstração. operador i∆ é limitado. Consideremos α = .

  k

  ki∆k

  X k n k n

  Definimos φ : C([0,T],X )) )) por (R (R

  → C([0,T],X Z

  t (φu)(t) = ϕ + i∆u(τ)dτ. (3.15)

  =

  k max k , então

  Se denotamos kuk ku(t)k

  L

  X X T t ∈[0,T]

  Z

  T k k k dτ

  kφu(t) − φv(t)k ≤ ki∆k ku(τ) − v(τ)k

  X X

  X (3.16) . k

  ≤ αT ku − vk

  L

  X T

  Logo, se supomos

  n n

  α t

  n n

  u(t) − φ v(t) k k , (3.17) kφ k ≤ ku − vk

  X L

  X T

  n! para algum n ≥ 1 e para todo t ∈ [0,T], segue Z

  

t

✌✌ n+1 n+1 ✌✌ n n

  φ u(t) − φ v(t) k u(τ) − φ v(τ) k dτ

  ✌ ✌

  ≤ ki∆k kφ k

  k

  X X

  X Z 1 n n

  α τ

  k

  ≤ α ku − vk

  L

  X T

  n!

  n+1 n+1

  α t = k . ku − vk

  L

  X T

  (n + 1)! Portanto, vale para todo natural n.

  n n α t

  Para n suficientemente grande, &lt; 1 e φ possui um único ponto fixo em

  n! k n k n

  C([0, T ], X )) tal que (R )), isto é, existe u (R

  ∈ C([0,T],X Z

  

t

  u(t) = ϕ + i∆u(τ)dτ. (3.18)

  d

  Como u é contínua temos de u(t) = i∆u(t). Então, u é solução

  dt

  do problema homogêneo associado a a solução do problema homogêneo é única.

  Como aplicação direta do resultado acima temos o seguinte Teorema em

  k+2 n k n k n

  ) − (R ) e F : X (R (R ). Então, a solução

  Teorema 3.2.2. Sejam ϕ ∈ X → X

  ∗ k n

  u )) da equação (ϕ), T (ϕ)], X (R

  ∈ C([T ∗ Z

  t

  u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t , T ] (3.19)

  ∈ [T é uma solução clássica do problema

  k n

  X (R ), ou seja,

  ∗ k+2 n 1 ∗ k n

  )) u (ϕ), T (ϕ)], X (R ([T (ϕ), T (ϕ)], X (R )). ∈ C([T ∗ ∩ C ∗

  k+2 n ∗

  Demonstração. (ϕ), T (ϕ)], X (R )). Para mostrar que É claro que u ∈ C([T

  ∗ 1 ∗ k n

  u ([T (ϕ), T (ϕ)], X (R )), basta derivar em relação a t. Como S(t)ϕ

  ∈ C ∗ é a solução do problema

  = + iu ∆ u 0,

  t x

  u( ·,0) = ϕ(·),

  d k n k+2 n k n

  temos S(t)ϕ(x) = i∆ ϕ ) (R ), já que i∆ : X (R (R ). Logo, de

  x ∈ X → X dt k n k n

  F : X ) (R (R ), segue

  → X d

  k n ∗

  u(t) = i∆ ϕ + iF(u(t)) (ϕ), T (ϕ)], X (R )).

  x

  ∈ C([T ∗ dt Logo, u é solução clássica de

  k+1 k n k n

  ) ) Proposição 3.2.1. Seja f : R . Então, F : X (R (R

  • 2

  → R de classe C → X

  1 definida por F(u) = f(|u| .

  )u é de classe C k n k n

  ) e que Demonstração. (R ). Queremos mostrar que F(u) (R

  Seja u ∈ X ∈ X

  k n k n ′

  ) F (u) é uma aplicação continua de X (R em X (R ).

  ∞ k+1

  e, do fato de f ser de classe C , de- Observemos inicialmente que u ∈ L

  2 ∞ n

  corre que f(|u| ) (R ).

  é limitado e, portanto, F(u) ∈ L Utilizando mais uma vez a fórmula de Leibniz e a desigualdade de Gagliardo-

  Nirenberg, a exemplo do que foi feito na demonstração da Proposição

  α 2 n

  F(u) (R ), mostra-se que, para todo multi-índice α com 1 ≤ |α| ≤ k, tem-se ∂ ∈ L

  α k n

  e, portanto, ∂ F(u) (R ).

  ∈ X

2 Por outro lado, como |u| = uu, temos, para cada j

  ∈ {1,··· ,n},

  ∂

  2 2 ∂ 2 ∂ ′ ′

  F(u) = [f )] u + (u) u contínua. Daí, F (|u| )u + f(|u| (u) é contínua

  ∂x ∂x ∂x j j j k n

  ) (R

  e, repetindo o argumento feito para F(u) acima verifica-se que, se u ∈ X

  k n ′

  então, F (u) (R ).

  ∈ X

  n k n k+1

  • 2
  • 1, ϕ (R ) e f (R ). Para Proposição 3.2.2. Sejam n ∈ N,k &gt; ∈ X ∈ C

  ➎ ➑ n ℓ n ∗

  ℓ )) a solução da equa- cada + 1, (ℓ), T (ℓ)], X (R

  ∈ { ··· ,k}, seja u ∈ C([T ∗

  2

  ção integral Z

  t

  u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)F(u(τ))dτ, t , T

  − ],

  ∈ [T

  • 2 ∗

  F(u) = f(|u| com )u, onde (T (ℓ), T (ℓ)) é o intervalo maximal de existência de

  ∗ ℓ n

  u em X (R ). Então,

  ➏ ➒

  n

  ∗ ∗ ∗

  T ( := T + 1) = (k)

  ··· = T

  2

  e, analogamente,

  ➏ ➒

  n T ( := T + 1) = (k).

  ∗ ∗ ··· = T ∗

  2

  ➎ ➑ k+1 n k n n ∗ ∗

  ) ) Demonstração. X (R (R + 1, T (ℓ).

  ⊂ X logo, para todo ℓ ≥ ≥ T

  2 ∗ ∗ ∗

  Suponhamos que T &gt; T , T (ℓ) e seja t ). Temos

  ∈ (T ∗ Z

  t

  2

  u(t) = S(t)ϕ + i S(t − τ)f(|u(τ)| )u(τ)dτ

  e, portanto, Z

  t ✌✌ 2 ✌✌ + ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ f(|u(τ)| dτ.

  L L ✌ )u(τ) ✌

  ku(t)k ) kϕk kS(t)k )

  X ≤ kS(t)k (X ,X X (X ,X ℓ

  X n

  • 1 ∗ ∗ n

  2 ⌋

  )

  ℓ ℓ (ℓ)], e u : [0, T (ℓ)] (R L

  Como kS(t)k ) é limitada para t ∈ [0,T → X⌊

  (X ,X ∗

  (ℓ)], temos é uma aplicação contínua, existe M &gt; 0 tal que, para todo t ∈ [0,T

   k+1

  )

  n

  • L

  (R ku(t)k +1 ≤ M. Assim, vale também ku(t)k ≤ M e, como f ∈ C

  2

  ⌊ ⌋

  X ∗ Ý

  existe M &gt; 0 tal que: (ℓ)], e ℓ

  é limitada para t ∈ [0,T ku(τ)k ≤ ku(t)k

  X L ✌✌ 2 ✌✌ Ý

  f(|u(τ)| M ℓ .

  ✌ )u(τ) ✌

  ≤ ku(τ)k

  

  X X

  Logo,

  ✧ ★

  Z

  t Ý

  M + ds ,

  ℓ ℓ ℓ

  ku(t)k ≤ C kϕk ku(s)k

  X X

  X ∗ ℓ

  (ℓ), o que contra-

  e, portanto, ku(t)k não pode tender a infinito quanto t ր T

  X ∗

  diz a hipótese de ser (T (ℓ), T (ℓ)) o intervalo (aberto) maximal de definição da

  ∗ ℓ n ∗ ∗ ∗

  aplicação u : (T (ℓ), T (ℓ)) (R ). Então, T = T (ℓ).

  ∗ → X

  Analogamente, temos também T = T (ℓ).

  ∗ ∗ Capítulo 4 Leis de Conservação e Boa Colocação Global

4.1 Leis de Conservação

  k+2 n k+1

  ) (R (R ). Consideremos

  Sejam ϕ ∈ X e f ∈ C

  • +

    ∗ k+2 n

  1 ∗ k n

  )) )) u , T ], X (R ([T , T ], X (R ∈ C([T ∗ ∩ C ∗ a solução do problema de Cauchy

  2 n

  iu u + f(|u|

  • ∆ )u = 0, (x, t)

  t x

  ∈ R × R, (4.1) u(x, 0) = ϕ(x).

  Nosso objetivo agora é mostrar a conservação da energia para nos casos n = 1 ou n = 2. Temos, inicialmente, o seguinte resultado.

  Z

  r

  R

  2

  f(τ)dτ. Suponhamos que V(|ϕ(x)| Teorema 4.1.1. Seja V(r) := − n )dx

  R

  Z

  2 ∗

  t , T dx também converge, e a converge. Então, para todo ), |u(x, t)| ∈ (T ∗

  n R

  energia é conservada; isto é, Z Z

  ➈ ➋ ➈ ➋

  2

  2

  2

  2

  ) dx = ) dx. (4.2)

  • V(|u(x, t)| + V(|ϕ(x)| |∇u(x, t)| |∇ϕ(x)|

  n n R R

  

2

Z |u|

  2 Temos V(|u| ) = − f(τ)dτ e, Demonstração.

  2

  2

  ∂ V(|u| u + uu ) = −2f(|u| )(u ).

  

t t t

  • u
  • u
  • u

  ✥

  2

  = V(|u(x, t)|

  

  (x, τ)dτ

  t

  ∆u(x, τ)u

  t

  Z

  2Re

  2 ).

  , integrando no intervalo [0, t], tem-se

  n

  ), x ∈ R

  ∗

  , T

  ∗

  ). (4.4) Para todos t ∈ (T

  2

  V(|u|

  ) − V(|ϕ(x)|

  (4.5) Consideremos agora uma função θ ∈ C

  = ∂

  2

  

☞☞

☞☞

  Multiplicando a primeira equação em e sua equação conjugada por u

  Z

  ✷ ✹

  ➀☞☞ ☞☞ ☞

  2

  ✸ ✺

  1

  . Temos então, k∇θ

  ∞ c

  n

  , x ∈ R

  ✑

  ✏ |x| R

  (x) := θ

  R

  Para R &gt; 0, definimos θ

  1, se r ≤ 1 0, se r ≥ 2.

  (R) tal que θ(r) =

  

t

  t

  ❶

  u = −u

  t

  2

  |

  t

  )u, −i|u

  2

  f(|u|

  t

  x

  x

  ∆

  t

  2

  |

  t

  , respectivamente, obtemos i|u

  t

  e u

  t

  ∆

  u = −u

  )

  t

  2

  )(|u|

  2

  = −f(|u|

  t

  )(uu)

  2

  u) = −f(|u|

  t

  )(uu

  t

  2

  u) = −f(|u|

  x

  ∆

  t

  2Re(u

  (4.3) Daí, somando membro a membro,

  2 )u.

  f(|u|

  |x| R

2 L

  ∇θ

  n

  Z

  ✥

  R n

  Z

  ✧

  2Re

  obtemos:

  (x) e integrando sobre R

  ∆u(x, τ)u

  R

  ). Multiplicando agora por θ

  n

  (R

  2

  é limitada em L

  R ≥1

  }

  t

  t

  ), a última integral é finita, em particular, {∇θ

  )θ

  (4.7)

  R (x)dx.

  )θ

  2

  V(|ϕ(x)|

  R n

  (x)dx − Z

  R

  2

  (x, τ)dτ

  V(|u(x, τ)|

  R n

  = Z

  ★

  (x)dx

  R

  θ

  ✦

  R

  n

  ) =

  

☞☞

  ➍

  dy

  2 R n

  −1 ☞☞ ☞

  (|y|) R

  ′

  θ

  R n

  2

  Z

  ➊

  =

  R

  k

  (R

  dx

  n

  1

  = R

  (R

  2

  ∞ c

  (| · |) ∈ C

  ′

  (4.6) Como θ

  2 .

  1

  ➍

  dy

  ☞☞ ☞

  n

  (|y|)

  ′

  θ

  ☞☞ ☞

  R n

  Z

  

  2 −1

  R n

  Usando o Teorema de Fubini e integrando por partes no lado esquerdo de temos:

  ✧ ✥ ✦ ★

  Z Z

  t

  2Re ∆u(x, τ)u θ (x, τ)dτ (x)dx

  t R n

  R ✧ ★

  Z Z Z

  t ⑨ ❾

  2

  2

  = − θ .

  (x)dx−2Re ∇u(x, τ)∇θ (x)u (x, τ)dxdτ |∇u(x, t)| − |∇ϕ(x)| R R t

  n n

  R R

  tem suporte compacto em Por conveniência, assumamos t &gt; 0. Como ∇θ R

  n

  Ω = {x ; |x|

  ∈ R ≥ R}, a desigualdade de Cauchy-Schwartz implica Z Z

  t ☞☞ ☞☞ ☞☞ ∇u(x, τ)∇θ (x)u (x, τ)dxdτ ☞☞

  R t ☞ ☞ n

  R

✥ ✦

  Z t dτ ,

  (τ) n

  2 2 n t R

  ≤ sup ku k ) k∇u(τ)k k∇θ k )

  L (R L (Ω) L (R τ ∈[0,t]

  e esta última quantidade converge para 0 quando R → ∞. Por outro lado, quando Z

  ⑨ ❾

  2

  2 R

  θ (x)dx convergindo para

  → ∞, temos |∇u(x, t)| − |∇ϕ(x)| R

  n R

  2

  2 − .

  2

  2

  k∇u(x,t)k k∇ϕ(x)k

  L L

  Então, se assumimos que existe o limite Z Z

  2

  2 V(|ϕ(x)| )dx := lim V(|ϕ(x)| )θ (x)dx, R n →∞ n

  R R R

  o que depende da nossa escolha da função θ, e tomamos o limite em Z Z

  2

2 V(|u(x, t)| V(|ϕ(x)|

  )dx − )dx =

  n n R R

  ✧ ★

  Z Z

  t

  =

  2Re ∆u(x, τ)u (x, τ)dτdx

  t n

  R

✧ ✥ ✦ ★

  Z Z

  t

  = lim

  2Re ∆u(x, τ)u θ (x, τ)dτ (x)dx

  t R R →∞ n R

  ➊ ➍

  Z Z

  2

  2

  = lim V(|u(x, τ)| )θ (x)dx − V(|ϕ(x)| )θ (x)dx .

  R R →∞ n n R R R

  Z Z

  2

  2 Portanto,

  V(|u(x, t)| )dx = lim V(|u(x, τ)| )θ (x)dx, e a energia é

  R n →∞ n

  R R R conservada. Observação 4.1.1. Vale aqui mencionar que uma demonstração para n ≥ 3 não

  ∞ n

  poderia ser obtida do mesmo modo. De fato, uma função θ (R ), com

  R ⊂ C c 2 n

  θ seja limitada em L ) não existe

  (x) = 1 sempre que |x| (R

  R R

  ≤ R, e tal que ∇θ n/geq3. para

  ∞

  Sejam agora θ,θ , tais que,

  : R − → R funções não crescentes, de classe C em R − (0,1)

  1, se x ≤ 0 θ(x) = θ .

  (x) ≡

  0, se x ≥ 1

  • − − Para R &gt; 0, defina θ (x) = θ(x − R)θ (−x) e θ (x) = θ (x).

  R R R

  Z

  2 ±

  Proposição 4.1.1. Se lim V(|ϕ(x)| )θ (x)dx existe, então

  

R

R →∞ R

  Z

  2 ±

  lim V(|u(x, t)| )θ (x)dx

  R R →∞ R também existe.

  ±

  Basta trocar θ por θ na demonstração da Proposição ob- Demonstração.

  R R

  tendo: Z

  ➈ ➋

  2

  2

  2

  2 ±

  V(|u(x, t)| ) − V(|ϕ(x)| θ (x)dx = ) + |∇u(x, t)| − |∇ϕ(x)|

  R R ✧

  ★

  Z Z

  t = ( ( .

  ∇u(x, τ) [∇θ( (x, τ)dxdτ

  t

  ∓2Re ±x − R)θ ∓x) − θ(±x − R)∇θ ∓x)]u

  R

  2

  é limitado em L Avaliando o limite quando R → ∞, como {∇θ(±x − R)} R

  ≥0

  temos Z Z

  2

  2 ± ±

  lim V(|u(x, τ)| )θ (x)dx − lim V(|ϕ(x)| )θ (x)dx =

  R →∞ R R →∞ R

  R R

  Z

  ➈ ➋

  2

  2

  = − θ ( |∇u(x, τ)| − |∇ϕ(x)| ±x)dx

  R ❤ ✐

  R R

  t

  ( (x, τ)dxdτ . ∇u(x, τ)∇θ

  ±2Re ±x)u t

  R

  Z

  2 ±

  Observe que o limite lim V(|u(x, τ)| mas )θ (x)dx depende apenas de θ

  R R →∞ R

  Z

  

2

±

  não de φ no caso em que lim V(|ϕ(x)| )θ (x)dx não existe.

  R R →∞ R n k n

  e ϕ (R ). Então, para quaisquer Proposição 4.1.2. Sejam n ∈ N, k &gt; ∈ X

  2 n

  x, y , a aplicação f : [0, 1] − → C, definida por

  ∈ R f(t) = ϕ(x + t(y − x)), é absolutamente contínua. n

  e considere uma sequência {υ } de fun- Demonstração. Sejam x 6= y em R ℓ ℓ

  ∈N k n k

  ) ções em C (R convergindo para ϕ (onde o limite é considerado em X ). Como toda função contínua definida em um intervalo fechado é absolutamente contínua, para cada ℓ f

  : [0, 1] − (t) = υ (x + t(y − x)),

  ℓ → C, definida por f ℓ ℓ

  é absolutamente contínua. Afirmamos que os módulos das aplicações f são uni-

  ℓ formemente limitados. k De fato, para cada ℓ, como υ , temos que υ é limitada. ℓ converge para ϕ ∈ X ℓ

  } , {β } , com 0 &lt; β &lt; α &lt; &lt; β Escolhidos m ∈ N,{α

  m m j j ∈N j j ∈N ≤ α

  1

  1 2 ··· &lt; α ≤ 1 m

  X e tais que (β − α ) &lt; δ, então, para todo ℓ, temos

  j j j=1 m m

  ☞☞ Z ☞☞ β j

  X X

  ′ ☞☞ ☞☞

  )| = f |f (β ) − f (α (s)ds

  ℓ j ℓ j ℓ ☞☞ ☞☞

  α j j=1 j=1

  Z

  ′

  |f (s)|ds ≤ ℓ

  m

  , β ) (α

  j j

  ∪ j=1

  1

  1 ❸ ➂ ❸ ➂

  2

  2 Z Z ′

  2

  ds ds |f (s)|

  ≤

  ℓ m m

  , β ) , β ) (α (α

  j j j j

  ∪ j=1 ∪ j=1

  1 ❹ ➃

  1

  2 ✥ ✦ m

  Z

  1

  2 X

  2 ′

  ) (β − α |f (s)| ds . (4.8)

  ≤ j j

  ℓ j=1

  Além disso, Z Z

  1

  1

  2

  2 ′

  ds = | ds |f (s)| (y − x) (x + s(y − x))|

  ℓ ℓ · ∇υ ❶

  2 Z

|y−x|

☞☞ ➀☞☞

  y − x x + s ds.

  ☞☞ ∇υ ☞☞

  ≤ |y − x| ℓ

  ☞ ☞

  |y − x|

  

y−x

  Portanto, escrevendo Ω = x + t , t , existe uma constante C &gt; 0 ∈ R

  

|y−x|

  satisfazendo

  1 ✥ ✦

  Z

  1

  2

  1 ′

  2

  2

  ds | |f (s)|

  2 ℓ ≤ |y − x| k∇υ ℓ Ω k L (Ω)

  1

  2 k−1 n

  ≤ C|y − x| k∇υ ℓ k )

  H (R

  1

  2

  sup (4.9)

  k n ,

  ≤ C|y − x| kυ ℓ k )

  X (R ℓ onde, na segunda passagem, foi utilizada a desigualdade (5.6) proveniente da de- monstração do Teorema do Traço (ver Apêndice).

  Proposição 4.1.3. Seja f : R −→ R uma função uniformemente contínua. Se Z

  ∞ ±

  lim f(x)θ dx existe, então lim f(x) = 0.

  R →∞ x →±∞ R −

  ∞

  Suponhamos que lim f(x) Demonstração.

  6= 0. Logo, existiria ǫ &gt; 0 tal que

  x →±∞

  para todo A &gt; 0, seria possível encontrar x &gt; A com |f(x)| &gt; ǫ. Mas, f é unifor- memente contínua e, portanto, existe δ &gt; 0,δ &lt; 2, tal que |x − y| &lt; δ implica

  ǫ

  } |f(x) − f(y)| &lt; . Assim, é possível construir uma sequência {x tal que

  n n ∈N 2 ǫ

  x quando |y − x |

  n → ∞ com |f(y)| ≥ n

  ≤ δ. Os termos da sequência podem

  2

  ser escolhidos de tal modo que cada intervalo (x − δ, x + δ) contenha apenas

  n n

  um deles. Sem perda de generalidade, podemos assumir f(x ) &gt; 0. Seja

  n

  1, se x ≤ 0

  θ(x) =

  δ

  0, se x , ≥

  2

  então, usando a notação anterior, como θ é uma função não crescente,

  ✥ ✦

  y θ

  δ (y) = θ x δ

  n

  2

  x

  

n

  2

  (4.10)

  

✒ ✓

  y = θ (y)

  ≥ θ x −δ

  n

  x − δ

  

n

  e, portanto, Z Z

  • ∞ ∞

  ☞☞ ☞☞

  f(y)θ f(y)θ δ

  ☞☞ (y)dy − (y)dy ☞☞ x −δ

  • n

  x n

  ☞ 2 ☞ − − ∞ ∞

  Z

  ∞ ➉ ➌

  • = f(y) θ δ dy

  (y) − θ (y)

  x −δ

  • n x

  n

  2 − ∞

  (4.11)

  δ

  Z +

  x n

  2

  f(y)dy ≥

  δ − x n

  2

  δǫ ,

  ≥

2 Z

  ∞ ±

  o que contradiz nossa hipótese de existência do limite lim f(x)θ dx.

  R →∞ R −

  ∞ Então, lim f(x) = 0. x →±∞ k n

  (R ), com Nosso objetivo agora é mostrar a Proposição para ϕ ∈ X

  n

  k &gt; . Para isso assumiremos uma hipótese adicional a respeito da não linea-

  2

  ridade de f, além da seguinte notação: Sejam n = k ∈ {1,2}. Suponhamos que

  k+1 ′

  f ) e que, para algum ρ &gt; 0, tenhamos f(ρ (R ) = 0 e f (ρ ) &lt; 0. ∈ C

  • Definamos Z

  r V(r) := − f(τ)dτ. ρ

  Se n = 1, assuma que {r,V(r) = 0} é discreto; se n = 2, assuma que V é não-negativa em R .

  • ′ ′′ ′

  Temos, V(ρ ) = 0, V (ρ ) = −f(ρ ) = 0 e V (ρ ) = −f (ρ ) &gt; 0. Dado 0 &lt; δ &lt; ρ , é possível encontrar 0 &lt; C &lt; 1 &lt; C tais que

  1

  2 ′′ ′′

  V ) V ) (ρ (ρ

  2

  2 C ) ) . (4.12)

  (r − ρ (r − ρ

  1

  2

  ≤ V(r) ≤ C

  2

  2 Nestas condições, temos o seguinte resultado:

  k n

  2 1 n

  ) ) e (R ), x (x)| (R

  Teorema 4.1.2. Sejam n = k ∈ {1,2},ϕ ∈ X 7→ V(|ϕ ∈ L 0 &lt; δ &lt; δ A &gt; 0 tais que |x| suponha que existam e

  1

  ≥ A impliquem na desigual-

  2 ∗

  ) é o intervalo maximal de solução de dade || ϕ (x)| − ρ | &lt; δ . Se (T , T

  1 ∗

  então, a energia Z

  2

  2 E(u(t)) :=

  (4.13)

  • V(|u(x, t)| )]dx [|∇u(x, t)|

  n R

  t , T é finita e conservada para todo ).

  ∈ (T ∗ R

  Demonstração. Consideremos a identidade aproximada ρ ρ = 1,

  ℓ ≤ 1, com ℓ

  1

  ρ ) e ρ supp

  

ℓ ⊂ B(0, ℓ ≥ 0. Primeiramente daremos uma estimativa para

ℓ ☞☞ 2 ☞☞

  ρ − |ρ

  

☞ ☞ com ℓ suficientemente grande e |x| ≥ A. Podemos considerar

ℓ ∗ ϕ(x)|

  dois casos: √

  Caso 1) se |ρ ρ , então

  ℓ ∗ ϕ(x)| ≥

  √ √

  2

  | ρ ρ + ); |ρ − |ρ )(|ρ

  

ℓ ∗ ϕ(x)| ≤ ( kϕk ℓ ∗ ϕ(x)| −

L

  √ Caso 2) se |ρ ρ , então

  ℓ

  ∗ ϕ(x)| &lt; √ √

  2

  | ρ )( ρ |ρ − |ρ − |ρ

  • ℓ ℓ

    ∗ ϕ(x)| ≤ ( kϕk ∗ ϕ(x)|).

  L Para o primeiro caso, temos: Z

  √ √ 0 &lt; |ρ ρ ρ (x − y)(|ϕ(y)| − ρ )dy

  ℓ ∗ ϕ(x)| − ≤ ℓ n

  R

  Z (4.14) √ ρ (x − y) ||ϕ(y)| − ρ | dy. ≤ ℓ

  n R

  Já no segundo caso, note que se |x| ≥ A,

  2

  2

  | |ϕ(x)| − |ρ − |ϕ(x)|

  ≥ ρ (4.15) p − δ &gt; 0.

  ≥

  1

  √

  n

  Seja α := ρ − δ , para cada x , podemos escolher υ

  1 ∈ R ∈ C tal que |υ| = 1 n

  , podemos decompor ϕ(y), na R− base e υϕ(x) ∈ iR. Dado qualquer y ∈ R {ϕ(x), υ} de C, com

  ϕ(x) ϕ(y) = Re[ϕ(y)ϕ(x)]

  • P (ϕ(y))υ,

  υ

  2

  |ϕ(x)| onde P , λ

  (ϕ(y)) é a projeção de ϕ(y) sobre υ. Com efeito, se λ

  υ

  1

  2

  ∈ R são tais que ϕ(y) = λ ϕ(x) + λ υ então,

  1

  2

  ϕ(y)ϕ(x) = λ ϕ(x)ϕ(x) + λ υϕ(x)

  1

  2

  2

  υϕ(x), = λ |ϕ(x)| + λ

  1

  2

  1 e, pela escolha de υ,λ = Re(ϕ(y)ϕ(x)) .

  1

  2

|ϕ(x)|

  Logo: √ 0 &lt; ρ

  − |ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)|

  Z

  ☞☞ ☞☞

  √ −

  ρ ρ (x − y)ϕ(y)dy

  ☞☞ ☞☞

  ≤ ℓ

  ☞ n ☞ R

  Z Z

  ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞

  ϕ(x) √

  ρ − ρ dy − ρ (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)] (x − y)P(ϕ(y))υdy

  ☞☞ ☞☞ ☞☞ ☞☞

  ≤ ℓ

  ℓ

  2 ☞ n ☞ ☞ n ☞

  |ϕ(x)|

  R R

  Z

  ☞☞ ☞☞

  ϕ(x) √ ρ − ρ dy .

  ☞☞ (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)] ☞☞

  ≤ ℓ

  2 ☞ ☞ n

  |ϕ(x)|

  R

  Procedendo como na Proposição podemos escolher p ∈ N e ℓ ∈ N tais

  n 1−

  1 α p . p

  que |x − y| ≤ implica |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ C|x − y| k∇ϕk ≤

  ℓ L

  2

2 Como Re[ϕ(y)ϕ(x)] = |ϕ(x)|

  • 1

  Re[(ϕ(y) − ϕ(x))ϕ(x)], temos, para ℓ ≥ ℓ

  ), e y ∈ B(x,

  ℓ

  2

  − |ϕ(y) − ϕ(x)||ϕ(x)| Re[ϕ(y)ϕ(x)] ≥ |ϕ(x)|

  2 ➮

  α α

  2

  − − − δ ρ − δ = α . ≥ ρ

  1

  1

  2

  2 dx. (4.18)

  2 ★

  Z

  √ ρ + kϕk

  L

  )

  2

  × ×

  Z

  |x| ≥B ✧❶

  R n

  (ρ )

  ρ

  ℓ

  (x − y) ||ϕ(y)| − √

  ρ | dy

  ➀

  2

  χ

  A ρ0

  2 (

  2 V ′′

  ρ − |ϕ(x)|| +

  (ρ )

  R n

  V

  ⑨

  |ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)|

  2 ❾

  ≤ C

  2 V ′′

  2 (

  dx ≤ C

  √ ρ + kϕk

  L

  )

  2 Z |x| ≥B

  [|ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)| −

  √ ρ ]

  2

  | √

  Z

  , as desigualdades implicam

  dy

  2 Z |x| ≥B

  Z

  R n

  ρ

  ℓ

  (x − y) ||ϕ(y)| − √

  ρ |

  2

  √ ρ |

  L

  2

  ❶

  Z

  R n

  ρ

  

  (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy

  ➀

  )

  √ ρ + kϕk

  R n

  Então, podemos escrever Z

  ρ

  ℓ

  (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy

  ➀

  2 ✏

  1 − χ

  A ρ0

  ✑★ dx.

  R n

  2 (

  V

  ⑨

  |ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)|

  2 ❾

  ≤ ≤ C

  2 V ′′

  (ρ )

  Z

  ρ

  Ou seja, Re[ϕ(y)ϕ(x)] ≥

  ∗ ϕ

  √ ρ

  − |ϕ(x)|| + Z

  R n

  ρ

  ℓ (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy.

  (4.16) Tomemos ǫ &gt; 0, como ρ

  ℓ

  L

  

  → ϕ, existe ℓ

  1

  ≥ ℓ tal que ℓ ≥ ℓ

  1

  implica

  ✌✌ ✌

  |ρ

  ℓ ∗ ϕ|

  (x − y)Re[(ϕ(y) − ϕ(x))ϕ(x)]dy ≤ |

  ρ

  − |ϕ|

  ρ − Z

  α

  2

  2

  . Então, para ℓ ≥ ℓ

  , ≤

  √ ρ − |ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)|

  ≤ √

  R n

  R n

  ρ

  ℓ

  (x − y)Re[ϕ(y)ϕ(x)]

  1 |ϕ(x)| dy

  = √

  ρ − |ϕ(x)| +

  1 |ϕ(x)|

  Z

  2

  2 ✌✌ ✌

  denota a função característica do conjunto A

  . (4.17) Sejam B ≥ A + 1, ℓ ≥ ℓ

  (ρ )

  2

  

☞☞

☞ |ρ

  ∗ ϕ(x)|

  2

  − ρ

  ☞☞ ☞

  2

  1

  ≤ C

  , e considere o seguinte conjunto A

  ρ

  = {x ∈ R

  n

  ; |x| ≥ B e |ρ ℓ ∗ ϕ(x)| −

  √ ρ ≥ 0}.

  Se χ

  A ρ0

  2 V ′′

  2 ❾

  L

  ☞☞ ☞

  ≤ δ − δ

  1

  . Logo, sempre que |x| &gt; A e ℓ &gt; ℓ

  1

  , temos

  ☞☞ ☞ |ρ ℓ ∗ ϕ(x)|

  2

  − ρ

  ≤ δ . Portanto, para |x| &gt; A e ℓ &gt; ℓ

  ∗ ϕ(x)|

  1

  , se tomamos r = |ρ

  ℓ ∗ ϕ(x)|

  2

  em temos: ≤ V

  ⑨

  |ρ

  ℓ

  • 2 ||ϕ(x)| −
  • 2
Temos: Z Z

  √

  2

  ρ ρ | dydx (x − y)||ϕ(y)| −

  ℓ n

  |x| R ≥B

  Z Z

  2

  2

  | ||ϕ(y)| − ρ

  ρ dydx (x − y)

  ℓ

  ≤

  1

  ρ

  |x| |y| ≥B ≥B− ℓ

  Z

  

2

  2

  1

  | dy ||ϕ(y)| − ρ

  ≤

  ρ

  1 |y| ≥B−

  ℓ

  Z

  2

  2 V(|ϕ(x)| dx, (4.19)

  ≤ ′′

  ) C ρ V (ρ

  1

  1 |y| ≥B−

  ℓ

  Z √

  2

  2| ρ dx − |ϕ(x)||

  |x| ≥B

  Z

  2

  2

  2

  | dx |ρ − |ϕ(x)|

  ≤

  ρ |x| ≥B

  Z

  4

  2 V(|ϕ(x)| dx, (4.20)

  ≤ ′′

  ) C ρ V (ρ

  1 |x| ≥B

  e, para a terceira integral no segundo membro de usaremos a Proposição

  Da continuidade absoluta da aplicação t 7→ ϕ(x + t(y − x)),t ∈ [0,1], po- demos escrever Z

  1 ☞☞ ☞☞ |ϕ(y) − ϕ(x)| = .

  ☞☞ (y − x)∇ϕ(x + t(y − x))dt ☞☞ ☞ ☞ x− y

  ❡

  Daí, fazendo as mudanças de variáveis, y = ty + (1 − t)x e ❡ x = ❡ , respec-

  t

  tivamente, temos:

  ❶ ➀

  Z Z

  2

  ρ dx (x − y)|ϕ(y) − ϕ(x)|dy

  ℓ n

  R |x| ≥B

  Z Z Z

  1

  

2

  ρ (x − y)|y − x|

  ℓ ∇ϕ(x + t(y − x))dtdydx

  ≤

  n R |x|

  ≥B

  Z Z Z

  1

  y − x ❡ d y ❡

  1

  ρ ( y)) ❡ dxdt

  2 ℓ )|∇ϕ(

  ≤

  ℓ n n t t

  R |x| ≥B

  Z Z Z

  1

  1

  ρ (− ❡ y))d ❡ xd ❡ ydt ❡

  2 ℓ x)|∇ϕ(

  ≤

  ℓ n

  R |x| ≥B

k∇ϕk

  L2

  = . (4.21)

  

2

  = ϕ,

  V

  − V

  ⑨

  |ϕ(x)|

  2 ❾☞☞ ☞

  dx +

  |x| ≥B ☞☞ ☞

  ⑨

  ℓ ∗ ϕ)(x)|

  | (ρ

  

ℓ ∗ ϕ)(x)|

  2 ❾

  − V

  ⑨

  |ϕ(x)|

  2

  | (ρ

  dx, donde, após aplicar a desigualdade triangular lançando mão das desigualdades na última parcela, obtém-se, para ℓ ≥ ℓ

  − V

  ☞☞ ☞

  V

  ⑨

  | (ρ

  ℓ ∗ ϕ)(x)|

  2 ❾

  

  ⑨

  |ϕ(x)|

  2 ❾☞☞ ☞

  dx = =

  Z

  |x|&lt;B ☞☞ ☞

  V

  2 ❾☞☞ ☞

  3

  Z

  Seja ℓ ∈ N. Consideremos u ℓ (t) a solução de iu

  |ϕ(x)|

  2 ❾

  em L

  1

  (R

  n ).

  t

  → V

  x

  u + f(|u|

  2

  )u = 0, x ∈ R

  n

  , t ∈ R

  ⑨

  2 ❾

  , Z

  2 ❾

  R n

  ☞☞ ☞

  V

  ⑨

  | (ρ

  ℓ ∗ ϕ)(x)|

  − V

  ∗ ϕ)(x)|

  ⑨

  |ϕ(x)|

  2 ❾☞☞ ☞

  dx &lt; 3ǫ, o que significa que V

  ⑨

  | (ρ

  ℓ

  R n

  dx &lt; ǫ. Evidentemente,

  Tomando B suficientemente grande, podemos assumir que (

  2C

  2 . (4.22)

  Escolhidos ℓ

  2

  ≥ ℓ

  1

  tais que

  2 V ′′

  ★

  (ρ )

  2 (

  √ ρ + kϕk

  ∞

  )

  2

  &lt; ǫ

  )dx

  L

  ✧

  √ ρ + kϕk ∞

  )

  2 C

  2 C

  1

  ρ

  Z

  2

  |y| ≥B−1

  V(|ϕ|

  

2

  )dy + 2 Z

  |x| ≥B

  V(|ϕ|

  k∇ϕk

  2

  2 ❾☞☞ ☞

  V

  ≥ ℓ

  2

  tais que, para ℓ &gt; ℓ

  3

  , Z

  |x|&lt;B ☞☞ ☞

  ⑨

  e, além disso, que existem ℓ

  | (ρ

  ℓ ∗ ϕ)(x)|

  2

  − V

  ⑨

  |ϕ(x)|

  3

  )dx &lt; ǫ; (4.25)

  ℓ

  |x| ≥B

  2

  2

  &lt; ǫ

  2 . (4.23)

  De volta à desigualdade temos:

  Z

  V(|(ρ

  2

  

ℓ ∗ ϕ)(x)|

  2 )dx &lt; ǫ.

  (4.24) Como ρ

  ℓ ∗ ϕ → ϕ em L ∞

  , podemos considerar B suficientemente grande e assumir Z

  |x| ≥B

  V(|ϕ|

  • Z
  • , u(x, 0)

  ∗

  e denotemos por (T (ℓ), T (ℓ)) seu intervalo maximal de existência. Da Proposi-

  ∗ ∗

  (ℓ), T (ℓ)), vale ção temos que, para t ∈ (T ∗

  Z Z

  ➈ ➋ ➈ ➋

  2

  2

  2

  2

  ) dx = ) dx. (4.26) (t)| + V(|u (t)| + V(|ρ

  |∇u |∇ρ

  ℓ ℓ ℓ ∗ ϕ| ℓ ∗ ϕ| n n

  R R ∗ ❡ ❡

  Considere T &lt; T &lt; T &lt; T . Como vale a continuidade em relação ao dado

  1

  2 ∗

  &lt; δ implica

  k

  inicial ϕ, existem K,δ &gt; 0 tais que kρ

  ℓ ∗ ϕ − ϕk

  X ∗ ❡ ❡

  ❡ ❡

  T T &lt; T &lt; T k k , t T , T (ℓ) &lt; (ℓ) e − u(t) ].

  1 2 ℓ ℓ

  1

  2 ∗ ku k ≤ Kkρ ∗ ϕ − ϕk X ∈ [

  X k n 2 n

  Em particular, como ρ )

  (R (t) (R

  ℓ ), vale ∇u ℓ → ∇u(t) em L

  ∗ϕ → ϕ em X

  ⑨ ❾ ⑨ ❾ 2 n

  2

  2

  

ℓ ∗ ϕ = ρ ℓ → ∇ϕ em L ℓ ∗ ϕ| → V

1 n

  (R ). Resta mostrar que V |ρ |ϕ| e ∇ρ ∇ϕ

  em L ) o que faremos no que se segue.

  (R

  ⑨ ❾

  2 1 n Para o primeiro caso (n = 1), já temos que V .

  |ρ (R ), para ℓ

  ℓ

  3

  ∗ ϕ| ∈ L ≥ ℓ Tomando θ como na Proposição segue

  Z Z

  ∞ ∞

⑨ ❾ ⑨ ❾

  2

  2 ±

  lim V θ V θ ( |ρ (x)dx = |ρ

  R R →∞ − − ∞ ∞

  ℓ ℓ ∗ ϕ(x)| ∗ ϕ(x)| ±x)dx.

  Z

  ∞ ⑨ ❾

  2

±

  Além disso, lim V θ |u (x, t)| (x)dx existe para cada ℓ

  ℓ

  ∈ N e não de-

  

R

R →∞ − ∞

  

⑨ ❾

  2

  pende da escolha de θ. Portanto, V |u (x, t)|

  ℓ → 0 quando x → ±∞, por conta da Proposição acima.

  Agora, {r;V(r) = 0} é, por hipótese, um conjunto discreto e u (t) é contínua

  ℓ ℓ

  e limitada na reta, logo existe r (t)

  ∈ R tal que

  ± ⑨ ❾

  ℓ 2 ℓ V r (t) = 0 e lim (x, t)| = r (t).

  |u

  ℓ

± ±

→∞

x

  

∗ ∗

  (ℓ), T (ℓ)) e h (ℓ), T (ℓ)) sejam x Fixados t ∈ (T

  ∗ ∈ R tais que t + h ∈ (T ∗ ∈ R e

  ǫ &gt; 0. Temos da desigualdade triangular

  ☞☞ ℓ ℓ ☞☞ ☞☞ ℓ ☞☞

  r r

  

☞ (t + h) − r (t) ☞ ☞ (t + h) − u (x, t + h) ☞ + |u (x, t + h) − u (x, t)|

  ≤ ℓ ℓ ℓ

  ± ± ± ☞☞ ℓ ☞☞ u .

  • (x, t) − r (t) ☞

  

  ℓ ±

  (4.27) Podemos escolher h suficientemente pequeno de modo que

  ǫ . (t + h) − u (t) ku ell ℓ k &lt;

  3

  k ∞ ∗ ∗

  Isso é possível já que u ) (ℓ), T (ℓ), X (ℓ), T (ℓ), L ). Podemos

  ℓ

  ∈ C((T ∗ ⊂ C((T ∗ ainda escolher |x| suficientemente grande de modo que ǫ ǫ

  ☞☞ ℓ ☞☞ ☞☞ ℓ ☞☞ r (t + h) − u (x, t + h) &lt; e u (x, t) − r (t) &lt; . ☞ ☞ ☞ ☞

  ℓ ℓ ± ±

  3

  3

  • 2 ku(t)k

  • ||u(x, t)|
  • ||u
  • δ
  • V
  • V
Fazendo ℓ → ∞ na equação segue: Z Z

  |∇u

  ℓ

  (x, t)|

  2

  dx − Z

  |x|

≤D

  V

  ⑨

  |u

  ℓ

  (x, t)|

  2 ❾ dx.

  Portanto, quando ℓ → ∞, da igualdade segue que Z

  |x| ≥D

  V

  ⑨

  |u

  ℓ

  (x, t)|

  2 ❾

  dx converge para Z

  ∞ − ∞

  ➈

  |∇ϕ|

  2

  − ∞

  dx −

  Z ∞

  ⑨

  2

  − ρ |

  ≤ 2

  δ −δ

  1

  2

  1

  = δ . Logo,

  Z

  |x| ≥D

  V

  |u

  2

❾➋

  ℓ

  (x, t)|

  2 ❾

  dx =

  Z ∞

  − ∞ ➈

  |∇ρ

  ℓ ∗ ϕ|

  2

  ⑨

  |ρ

  ℓ ∗ ϕ|

  ⑨

  |ϕ|

  2 ❾➋

  e Z

  2 ❾

  converge para V

  

  |u(t)|

  2 ❾

  , V

  ⑨

  |u(t)|

  2 ❾

  ∈ L

  1

  V

  ℓ

  ⑨

  |u(t)|

  2 ❾

  dx ≤ liminf

  

ℓ →∞

  Z

  V

  ⑨

  |u

  ℓ

  (t)|

  (t)|

  |u

  dx − Z

  |u

  ∞ − ∞

  |∇u(x, t)|

  2

  dx − Z

  |x| ≤D

  V

  ⑨

  |u(x, t)|

  2 ❾

  dx, e a sequência {V

  ⑨

  ℓ

  ⑨

  ( ·,t)|

  2 ❾

  χ

  {|x| ≥D}

  }

  ℓ ≥ℓ

  

4

  é limitada em L

  1

  . Como u

  ℓ

  (t) converge para u(t), V

  (x, t)|

  4

  ℓ

  |u

  x →±∞

  |u

  ℓ

  (x, t)|

  2

  = ρ . Sejam ℓ ≥ ℓ

  4

  ≥ ℓ

  3

  , podemos afirmar

  ✌✌ ✌

  ℓ

  ∗

  (t)|

  2

  − |u(t)|

  2 ✌✌ ✌

  L

  = = k(u

  ℓ

  (t) − u(t)) · (u

  ℓ

  (t) + u(t)) k

  L

  (ℓ)) temos lim

  (ℓ), T

  L

  ℓ ±

  Portanto,

  ☞☞ ☞

  r

  ℓ ±

  (t + h) − r

  ℓ ±

  (t)

  ☞☞ ☞

  &lt; ǫ. Isso significa que a aplicação r

  ℓ ±

  é contínua assumindo valores em um conjunto discreto, isto significa que r

  é constante. Para ℓ ≥ ℓ

  3 e t ∈ (T ∗

  3

  , temos

  ✌✌ ✌ |ρ ℓ ∗ ϕ|

  2

  − |ϕ|

  2

✌✌

  

L

  ≤ δ − δ

  1

  e r

  ℓ ±

  (0) = ρ . Logo, para todos ℓ ≥ ℓ

  ≤ ku ℓ (t) − u(t) k

  ku ℓ (t) + u(t) k

  |

  ≤ ||u

  (x, t) − ρ |

  ≤ δ

  1 sempre que |x| ≥ D. Nestas con-

  dições, para ℓ ≥ ℓ

  4

  , |x| ≥ D, temos V (|u ℓ

  (x, t)|) não negativa pois: ||u

  ℓ

  (x, t)|

  2

  − ρ |

  ℓ

  ℓ

  (x, t)|

  2

  − |u(x, t)|

  2

  |

  2

  − |u

  ℓ

  4

  (x, t)|

  2

  4

  Seja D &gt; 0 e suponha ||u

  L

  ❸

  ≤ ku

  ℓ

  (t) − u(t) k

  L

  ( ku ℓ (t) − u(t) k

  L

  L

  ) ≤ Kkρ

  ℓ

  ∗ ϕ − ϕk

  X k

  K kρ

  2 .

  ℓ

  ∗ ϕ − ϕk

  X k + 2 sup t ∈[

  ❡ T

  1 ,

  ❡ T

  2 ]

  ku(t)k

  L

  ≤

  δ −δ

  1

  2 ❾ dx.

  ➈ ➋ ➈ ➋

  2

  2

  2

  2

  ) )

  • V(|u(t)| dx + V(|ϕ| dx. (4.28) |∇u(t)| |∇ϕ|

  ≤

  n R

  Analogamente, tomando t &lt; 0, é possível mostrar que Z Z

  ➈ ➋ ➈ ➋

  2

  2

  2

  2

  ) dx ) dx. (4.29)

  • V(|u(t)| + V(|ϕ| |∇u(t)| |∇ϕ|

  ≥

  n R e, portanto, vale no caso n = 1.

  a Para o caso n = 2, já temos por hipótese V ≥ 0. Além disso, para ℓ ≥ ℓ

  3 ⑨ ❾

  2

  

1

  está em L

  e, portanto, podemos repetir os mesmos |u (x, t)| aplicação x → V

  ℓ argumentos para verificar a validade de neste segundo caso.

4.2 Boa Colocação Global

  Para n = 1, as leis de conservação obtidas na seção anterior implicam a boa exis-

  1

  tência global para uma solução de

  Z

  r k+1

  , ρ &gt; 0, V(r) = − f(τ)dτ Teorema 4.2.1. Sejam n = k = 1. Suponha f ∈ C

  ρ

  1

  e ϕ (R) nas mesmas condições do Teorema Se, para algum C &gt; 0,

  ∈ X

  ⑨

  2

  1 tem-se V(r) − r) , então u R , X (R) .

  ≥ C(ρ ∈ C b

  ∗

  Demonstração. Considere (T , T ) o intervalo maximal de existência da solução

  ∗

  u de Definamos a energia em t = 0 por Z

  ➈ ➋

  

2

  2 E = ϕ(x)| ) dx.

  |∂ + V(|ϕ(x)|

  x R ∗

  , T ). Do

  O Teorema garante que a energia é conservada para t ∈ (T

  ∗ ∗

  Teorema temos que, se T é finito, então

  ∗

  1

  ou t → T Como V ≥ 0, da conservação de energia ku(t)k → ∞ quando t → T ∗

  X

  segue que, para todo t, Z

  ➈ ➋

  

2

  2 E = u(x, t)| ) dx,

  |∂ + V(|u(x, t)|

  x R

  Z

  2

  e, portanto, u(x, t)| dx . Portanto, para mostrar que

  1 não

  |∂

  x ≤ E ku(t)k

  X R

  não tende a tende a ∞ em um tempo finito, é suficiente mostrar que ku(t)k

  L ∞ em tempo finito.

  1 ∞

  Do teorema do mergulho de Sobolev temos H (R) (R), e, portanto,

  ⊂ L

  2 ✌✌ 2 ✌✌ ✌ |u(t)| − ρ ✌ ∞

  • L L

  ku(t)k ≤ ρ

  ✌✌ 2 ✌✌

  • C |u(t)| − ρ

  ✌ ✌

  ≤ ρ

  1 (4.30)

H

r✌ ⑨

  2

  2 ❾✌✌ ✌✌ ✌✌

  2

  2 ∂ .

  • o x
  • C ✌✌ |u(t)| − ρ ✌ ✌ |u(t)| − ρ ✌

  ≤ ρ

  2

  2 L L

  2

  , segue − r)

  De e da hipótese V(r) ≥ C(ρ

  s

  Z

  2 ∞ ∞

  2

  2 E u(t)| dx

  L L

  • C + 4 |∂ ku(t)k ≤ ρ ku(t)k x

  (4.31)

  R ➮ ➮ E E .

  • C + 2C ≤ ρ ku(t)k
  • L Portanto, ku(t)k não pode tender a ∞ em tempo finito, o que implica que a

      L

      solução u está definida para todo t ∈ R. Isto, juntamente com o que foi mostrado no capítulo 3, significa que o problema tem boa colocação global. Além disso,

      1 é limitada em R e, logo, (u(t)) é limitada em X (R).

      ku(t)k t

      L ∈R

    4.3 Algumas Aplicações

      Exemplo 4.3.1 (A Equação de Gross-Pitaevskii). Seja n = 1 ou n = 2 e tomemos

      2

      2

      f(|u| ) = 1 − |u| em , isto é, consideremos

      ⑨ ❾

      2

      iu 1 − |u| u = 0. (4.32)

    • ∆u +

      t

      2 ′

      r = |u| , temos f(1) = 0, f Então, fazendo (1) = −1 e

      Z

      r

      2

      (r − 1) V(r) = − f(s)ds = ≥ 0.

      2

    1 Portanto, estão garantidas as hipóteses do Teorema 4.1.2, e a energia é con- servada.

      O Exemplo é um caso particular da equação de decaimento cúbico, ob-

      2

      2

      tida ao considerar f(|u| em Mais geralmente, temos: ) = ρ − |u|

      1

      n = 1, e p se Exemplo 4.3.2. Sejam α &gt; 0, p ≥ ≥ 1, se n = 2. Tomemos em

      2 ⑨ ❾ p 2 2p

      , f(|u| ρ , isto é, consideremos ) = α − |u|

      ⑨ ❾

    p

    2p

      iu + ∆u + α ρ − |u| u = 0. (4.33)

      t

      2

      r = |u| n = 1, a Fazendo, como no Exemplo observamos que, para

      ⑨ ❾ p p

      função f(r) = α ρ − r só é diferenciável na origem quando p = 1 ou p ≥ 2; e para n = 2, f só é diferenciável se p = 1, p = 2 ou p

      ≥ 3. Portanto, a hipótese

      k+1 f ) nos é negada.

      (R ∈ C

    • Entretanto, a aplicação

      k n k n

      F : X ) − ) (R (R

      → X

      2

      u )u

      7−→ f(|u|

      1

      é de classe C , o que é suficiente para a conclusão do Teorema nos demais casos.

      No caso n = 1 e p ≥ 1, temos

      ✏ ✑

      1

      p p+1 p+1

      V(r) = αρ r (ρ − r) + − ρ p + 1

      (4.34)

      p−1

      ρ − r αρ

      p−1

      2

      = (ρ − r) (ρ − r) ,

      ≥ αρ

      2

      2 satisfazendo assim a hipótese do Teorema Portanto, neste caso, o problema tem boa colocação global. Apêndice A Mudança de Coordenadas n n

      . Uma aplicação h : Definição A.0.1. Seja Ω um subconjunto aberto de R

      → R Ω quando h é um difeormofismo em Ω; isto

      é uma mudança de coordenadas em é:

      1

      h (i) (Ω);

      ∈ C (ii) h é injetiva; h é injetiva ou, equivalentemente, det Dg(x) (iii) a derivada de

      6= 0, para todo x ∈ Ω.

      Exemplos e aplicações de mudanças de coordenadas podem ser encontradas em bons livros de Cálculo Diferencial e Integral. Dedicamos esta seção à apre- sentação da mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas que utilizamos exaustivamenste no decorrer do texto.

      n n n

      Seja f : R , sempre podemos

      → R uma aplicação integrável. Dado x ∈ R

      n−1

      , isto é, escrever x = ρυ, onde ρ ∈ R e υ ∈ S kυk = 1. Assim, considerando ρ

      n−1

      fixado na reta temos dx = ρ dυ e, portanto,

      ❶ ➀

      Z Z Z

      ∞ n−1

      f(x)dx = f(ρυ)ρ dυ dρ.

      n n−1 R S Apêndice B Teorema do Traço

      Trascrevemos abaixo algumas considerações, encontradas em a respeito do traço de uma aplicação.

      

    n

      Seja Ω um subconjunto aberto de R e considere a aplicação f : Ω → R. O traço de f é a sua restrição ao bordo de Ω, quando é possível defini=la; isto é, traço(f) = f| .

      ∂Ω n n−k k n

      Dados 0 &lt; k &lt; n em N, podemos decompor R . Se φ = R (R ),

      ×R ∈ C então a aplicação restrição

      n n−k

      ) ) R : C (R (R

      → C é definida por

      n−k

      Rφ(x) = φ(x, 0), ∀x ∈ R

      k (aqui 0 representa a origem de R ).

      Teorema B.0.1. Sejam 0 &lt; k &lt; n em N. Então, é possível extender a aplicação

      k s− k s n n−k

      2 R a uma aplicação linear limitada de H (R ) em H (R ), desde que s &gt; .

      2 s n

      Demonstração. (R ). Temos que o espaço de Schwartz é denso em Seja u ∈ H

      k k s s− s s− n

      2

      ) ).Podemos considerar, portanto, u ∈ S (R

      ⊂ H

    2 H e H (obseve que H

      n−k ).

      e, neste espaço, a aplicação R está bem definida. Considere v = Ru ∈ S (R

      n−k

      , a expressão Da transformada de Fourier segue, para y ∈ R

      Z

      n−k − i(η ·y)

      2

      v(y) = (2π) e v(η)dη. ❜

      n−k

    R

    n−k k

      , segue Fazendo ξ = (η,ζ) ∈ R

      × R Z

      n − i[ξ

      ·(y,0)]

      2

      v(y) = u(y, 0) = (2π) e u(ξ)dξ ❜

      n

    R

      ➊ ➍

      Z Z

      n−k k − − i(η

      ·y)

      2

      = (2π) (2π)

      2 e u(η, ζ)dζ ❜ dη.

      n−k k R R

    • |ζ|
    • |ζ|

    • |ζ|

    • |ζ|
    • |ζ|
    • |ζ|

      2

      2

      )

      −s

      dζ é finita para s &gt;

      k

      | ❜ u(η, ζ)|

      . Portanto, existe uma cons- tante C &gt; 0 tal que | ❜ v(η)|

      2 ⑨

      1 + |η|

      2 ❾ s− k

      2

      ≤ C

      2 Z R

    k

      2

      1 + |η|

      2 ⑨

      2

      2 ❾ s dζ.

      Integrando em relação à variável η segue: kvk

      H s− k

      2 (R n−k

      

    )

      ≤ Ckuk

      H s

      (R n

      )

      , (B.1) o que significa que R é um operador linear limitado sobre H

      s− k

      2

      (R

      (1 + |η|

      Como Z

      R k

      ≤ (2π)

      Multiplicando o integrando por (1+|η|

      2

      2

      )

      s

      2

      (1 + |η|

      2

      2

      )

      − s

      2

      e aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos: | ❜ v(η)|

      2

      −k

      −s dζ.

      s

      )

      2

      2

      (1 + |η|

      R k

      dζ Z

      )

      Z

      2

      

    2

      (1 + |η|

      2

      | ❜ u(η, ζ)|

      R k

      n−k ). Apêndice C Alguns Resultados Adicionais

      Aqui listamos alguns resultados adicionais utilizados neste trabalho. Assu- miremos aqui os conceitos de conjunto mensurável e função mensurável como conhecidos (na notação do Capítulo 1, podemos considerar as funções f ∈ L

      lim

      (x)

      ✑

      dx. (C.1)

      2. O Lema de Fatou Teorema C.0.3. Seja {f

      n

      }

      n ∈N

      uma sequência de funções mensuráveis, não negativas. Então, Z

      Ω ✏

      n →∞

      f

      f

      n

      (x)

      ✑

      dx ≤ liminf

      n →∞

      Z

      Ω

      f

      n (x)dx.

      n

      n →∞

      p

      (x) ≤ f

      .) Para detalhes consultar

      1. O Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue.

      Teorema C.0.2. Se {f

      n

      }

      n ∈N

      é uma sequência de funções mensuráveis satis- fazendo, para quase todo x

      ∈ Ω, a condição ≤ f

      1

      2

      lim

      (x) ≤ ··· ≤ f n−1

      (x) ≤ f n

      (x) ≤ ··· , então lim

      n →∞

      Z

      Ω

      f

      n

      (x)dx = Z

      Ω ✏

      (C.2)

      3. O Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue } uma sequência de funções mensuráveis e su-

      Teorema C.0.4. Seja {f

      n n ∈N

      x ponha que cada uma delas converge pontualmente, para quase todo ∈ Ω.

      Se existe uma função mensurável g tal que, para quase todo x ∈ Ω,

      (x)

      n

      kf k ≤ |g(x)|,∀n ∈ N então, Z Z

      ✏ ✑

      lim lim (C.3) f (x)dx = f (x) dx.

      n n →∞ →∞ n n Ω Ω

      4. O Teorema de Fubini

      n+m

      . Então, Teorema C.0.5. Seja f uma função mensurável em R

      ❶ ➀ ❶ ➀

      Z Z Z Z Z f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx.

      n+m m n n m R R R R R

      (C.4)

      5. A Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg tais que Teorema C.0.6. Sejam q,r ∈ [1,+∞) e j,m ∈ N ≤ j ≤ m.

      j

      θ , 1], existe uma contante C = C(j, m, q, r, θ) que Então, para todo

      ∈ [

      m

      depende de j, m, q, r, e θ tal que

      X

      θ 1−θ α γ

      u p u q r . (C.5) k∂ k ≤ C k∂ k kuk

      L L L

    |γ| ≤m&lt;|α|&lt;k Referências Bibliográficas

      [AB] ARBOGAST, Todd; BONA, Jerry. Methods of Applied Mathematics. Fall and Spring Semesters 1999-2001. Austin: University of Texas (1999) [An] ANGULO, Jaime. Existence and Stability of Solitary Wave Solutions to

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      24

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      o

      Evolução não Lineares . 18 Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio Janeiro: IMPA (1991).

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      [Li] LIMA, E. Lages. Análise Real, vol. 2. 2 ed. Rio de Janeiro: Coleção Mate- mática Universitária, IMPA (2006). [LP] LINARES, Felipe; PONCE, Gustavo. Introduction to Nonlinear Dispersive

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      Ecuaciones Diferenciales Parciales y Análisis Numérico. Santafé de Bogotá: Universidad de los Andes (1995). [Ro] ROMÃO, Darliton C. Um estudo sobre a boa colocação local da equação não linear de Schrödinger cúbica unidimensional em espaços de Sobolev pe-

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      [Zh] ZHIDKOV, P. E. Korteweg-de-Vries and nonlinear Schrödinger equati- ons: qualitative theory . Lecture Notes in Mathematics, 1756. New York: Springer-Verlag (2001).

      Índice Remissivo

      boa colocação de Shcrödinger, local, convergência integral

      ′

      em S ,

      ℓ

      no espaço de Schwartz, Lema derivada de Fatou, de Riemann-Lebesgue,

      

    p mergulho de Sobolev,

      parcial em L , desigualdade multi-índice, de Gagliardo-Nirenberg, persistência da solução, problema proveniente de uma função, de evolução, equação semi-grupo, solução clássica, espaço

      Teorema, da Convergência Monótona de Lebesgue, de da Convergência Dominada de Le- de Sobolev, besgue, de Fubini, função do Valor Médio,

      “bump”, transformada delta de Dirac,

      p

      diferenciável em L , rapidamente decrescente, no espaço de Sobolev,

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