UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT FLAVIA MESCKO FERNANDES

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FLAVIA MESCKO FERNANDES

  Sou grata por me dar sabedoria em cada etapa e o prazer de conquistas como esta.À minha família, que sempre esteve ao meu lado, por sempre acreditar que posso chegar onde eu nem imagino que posso e ainda se oferecer para trilharmos o caminho juntos. À Sociedade Brasileira de Matemática, que na busca da melhoria do ensino de Mate- mática na Educação Básica viabilizou a implementação do PROFMAT.À CAPES, pela recomendação do PROFMAT por meio do parecer do Conselho Téc- nico Científico da Educação Superior e pelo incentivo financeiro.

LISTA DE FIGURAS

  28 ′ ∩YY ′ = /0; (b) XX ′ ∩YY ′ ={Y } 30 ◦ caso . 56 3.4.1 A equicomposição de Perigal para o teorema de Pitágoras .

1 INTRODUđấO

  Sobre a quadratura, a Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2017) diz o seguinte: Assim, a Geometria não pode ficar reduzida à mera aplicação de fórmulas de cálculo de área e de volume e nem a aplicações numéricas imediatas de teo-remas sobre relações de proporcionalidade em situações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de Pitágoras. Finalizamos analisando livros de matemática da Educação Básica, a fim de identificar como os autores abordam os conceitos de equicomposição no plano e no espaço e também parapropor atividades diferenciadas para a sala de aula empregando materiais manipulativos, como o tangram e o cubo-tangram, este um variante tridimensional do primeiro.

2 ISOMETRIAS

  Se X .plano Π ∈ r , então, por definição de imagem, existe um ponto X ∈ r tal que T(X) = X ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Caso contrário, sejam s a perpendicular baixada de X . (a)(b) Figura 2.14: Translação no plano: (a) X ∈ AB; (b) X /∈ ABNa definição da translação T , a ordem em que os pontos A e B são mencionados é AB fundamental: no segmento orientado AB, o ponto A é a origem e o ponto B é a extremidade; no segmento orientado BA, o ponto B é a origem e o ponto A é a extremidade.

AB BA

  Assim, podemos denotar a translação por T v , a translação de vetor v, ao invés de T AB . Q = P + v = T (P) = T (P) e dizemos que o vetor v = AB transportou o ponto P para a posição AB v para indicar o vetor para o qual a origemQ .

1 Maurits Cornelis Escher (898-972), artista gráfico holandês famoso pelo emprego de isometrias em xilogra- vuras e litografias

  (a) (b)Figura 2.20: Rotação de um segmento cujos extremos X e Y são colineares ao centro O: (a) X está entre O e Y ; (b) O está entre X e Y ′ Os segmentos OX e OX são congruentes, pois são raios da mesma circunferência de ′ . Fixado um ponto A no espaço E, a simetria em torno de A é a função S A : E → E ′ que faz corresponder a cada ponto X = S (X), tal que A é o ponto médio do A ∈ E o ponto X ′ segmento X X .

2 Plano mediador de um segmento de reta é o conjunto de pontos de E que equidistam dos extremos do seg- mento. Esse plano é perpendicular ao segmento de reta e a intersecção de ambos é o ponto médio do segmento

  2º caso: Se o segmento de reta XY não está contido em Π ou em um plano paralelo a e Y Y , sendo Π, temos que XY é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são XY ′ ′ é a hipotenusa do triângulo retânguloY Y o pé da perpendicular a Π por Y . A translação T AB : E → E é a função−−→ −→ ′ ′ ′ que faz corresponder a cada ponto X tal que X X = AB, ou seja, X X∈ E o ponto X ≡ AB, ′ ′ sendo que X X é paralelo a AB e o sentido de percurso X coincide com o sentido de→ X A → B.

AB AB

  ◦ R Π Π ◦ T onde Re o segmento AB é paralelo ao : E → E é a reflexão em torno de um plano Π e T AB Π plano Π ou está contido nele - Figura 2.28. Uma rotação refletida T : E → E é a função composta T : R onde R é a reflexão em torno de um plano é a rotação de ângulo α em torno de umaΠ e ρ r ,α Π reta r perpendicular a Π - Figura 2.29.

3 POLÍGONOS EQUIDECOMPONÍVEIS

  A à reunião dos 1 2 1 2 n −1 n n 1 n segmentos A A , A A , . A é a região do plano delimi- 1 2 n tada pelos segmentos A , ou seja, é a união do polígono com o seuA , A A , .

2 A

  (P ) = A(P ) + A(P ); 1 2 1 2 ∪ P iii) se um polígono P está contido em um polígono P , então 1 2 A (P ) ); 1 ≤ A(P 2 iv) a área do quadrado unitário (lado de medida 1u.c.) é 1u.a. Uma triangulação de P é uma coleção de triângulos cujos lados são lados de P e/ou diagonais interiores de P, de modo que os triângulos, quando se intersectam, o fazem em lados comuns ouem vértices de P, e a reunião desses triângulos e seus interiores é a região determinada por P.

1 Dois polígonos P e Q são congruentes se existe uma isometria f tal que f (P) = Q, ou seja, dois polígonos são ditos congruentes quando um deles pode ser deslocado no plano, sem deformá-lo, até coincidir com o outro

  Dois polígonos P e P são equidecomponíveis ′ ′ ′ ′ ′ quando existem decomposições P = P e P = P , de tal 1 2 3 n ∪ P ∪ P ∪ ... Além disso, exige-se 2 que o polígono P tenha suas partições disjuntas , exceto suas fronteiras, o mesmo ocorrendo ′ com o polígono P .

3.2 EQUICOMPOSIđấO Proposição 3.1. Todo polígono de n lados, n ≥ 4, admite uma triangulação

  Logo, são diagonais interiores deP = A A A = A A A = A A A . O 1 1 2 3 , ∆ 2 1 3 4 , .

2 Intersecção vazia

  ◦ casoFigura 3.3: Triangulação de um polígono qualquer: 1 ◦ 1 : Os pontos A, B e C são os únicos vértices de P que pertencem à região triangular caso ′ ABC . ◦ Figura 3.6: Paralelogramos equicompostos: 1 caso ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ D e C D C D , entãoNeste caso, temos que CD = CD + D = C +CD .

4 Farkas Wolfgang Bolyai (1775-1856), matemático húngaro, interessado nos fundamentos da geometria e no

  EBG≡ d ≡ DF, uma vez que EB = AB − AE = a − c e DF = DC −CF = a − c;[ ;EB o IDF= 90 ≡ d [GEB Assim, ∆IJG ≡ ∆FCB pelo caso ALA (ângulo-lado-ângulo).ii) Como: o . Tracemos BH, tal queH ∈ AD e AH ≡ FG = k, HG e as retas r e s, perpendiculares a BH e HG nos pontos B e G, Figura 3.16: Quadrados ABCD e DEGF, equicompostos ao quadrado BIGHComo Temos ainda que[ [BHG = 90 FHG .

2 Neste caso, como ilustra a Figura 3.0, existe um segmento de medida x tal que:

  A área do triângulo de base de medida b e altura de medida h é . Pelo Teorema 3.7, a área do Sejam, na Figura 3.5, AB = b, CD = h e BF = = 2 2 retângulo ABFE éb × hA (ABFE) = AB .

3.5.3 PARALELOGRAMO Teorema 3.9. A área do paralelogramo de base de medida b e altura de medida h é b × h

  A área do losango de diagonais de medida D e d é . Marcamos os pontos P, Q, R e S tal que AP, DQ, CR e BS são perpendiculares à ←→ MN .

4 POLIEDROS EQUIDECOMPONÍVEIS

  MN e A B C . MN ⊂ α e ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ A B C .

2 V

  Além disso, exige-se i que o poliedro P tenha suas partições com os interiores disjuntos, o mesmo ocorrendo com o ′ poliedro P . Demonstração Sejam P(a, b, h ) e P (a, b, h ) os volumes de dois paralelepípedos reto retângulos de 1 1 2 2 alturas h e h , respectivamente, e bases com dimensões a e b.

2 P (a, b, h ) h

  Neste caso, como ilustra a Figura 4.3, existe um segmento de medida x tal que: h e h 1 )P 2 (a, b, h 2 )= h 1 h 2 . Como a Proposição 4.1 estabelece que a razão entre dois paralelepípedos reto retângu- los de bases congruentes equivale à razão entre as alturas, temos que: 4 (a, 1, 1) e P 3 (a, b, 1), P 2 (a, b, c), P 1 Sejam os paralelepípedos reto retângulos P 2 .

4.2.2 VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Teorema 4.1. O volume do paralelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é abc

P (a, b, c) c 1 (4.13)= = c; P (a, b, 1) 1

2 P (a, b, 1) P (a, 1, b) b

  1 P (1, 1, 1) P (1, 1, 1) 4 4 Multiplicando membro a membro (4.13), (4.14) e (4.15), concluímos que: P P P(a, b, c) (a, b, 1) (a, 1, 1) 1 2 3 = cba;· · P (a, b, 1) P (a, 1, 1) P (1, 1, 1) 2 3 4 P (a, b, c) 1 (4.16) = abc. utilizar o princípio de Cavalieri .

3 Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um mé- todo simples para determinar áreas e volumes, denominado princípio de Cavalieri

  Sejam o prisma P , de altura h e área da base A , e o paralelepípedo reto retângulo P , 1 1 2 de altura h e área da base B . Figura 4.6: Prismas equivalentesPela definição de prisma de bases paralelas, o plano β determina em P uma secção 1 poligonal convexa, de área A , congruente à base de área A ; em P , determina um retângulo de 2 1 2 área B , congruente à base de área B .

1 Como A = A , B = B e A = B , temos que A = B

  Se T é um tetraedro de base B e altura h e α α ′ ′ ′ que contém B, situado à distância h do vértice V de T , com h < h, então α intersecta T em ′ um triângulo B , semelhante a B, tal que 2 ′ ′ A(B ) h = . A(B) h Sejam o tetraedro T = V MNP, B = ∆MNP ⊂ α e B P N ′ A(∆M (B)= )A ′ A(B h(4.17) e ′ PH= h ′ H ′ V O= P ′ V O V M= ′ V M MN= ′ N ′ Logo,M ′ .

2 Teorema 4.6 temos que:

2 ′ ′ A(B ) h 1 = ; (4.18)A h (B ) 1 2 ′ ′ A(B ) h 2 (4.19) = .A (B ) h

2 Comparando (4.18) e (4.19), concluímos que

  A ′ A ′(B ) (B ) 1 2 = . (4.20)A A (B ) (B ) 1 2 Como, por hipótese, as bases de T e de T ) = A(B ), 1 2 são equivalentes, ou seja, A(B 1 2 ′ ′ e T têm temos em (4.20) que A(B ) = A(B ), isto é, as secções são equivalentes.

3 Figura 4.11: Decomposição de um prisma triangular em três tetraedros equivalentes (PAIVA

  Assim, os tetraedros T e T têm bases congruentes às bases do prisma ABCDEF e altura 1 2 congruente à altura do prisma ABCDEF. Dessa forma, considerando no tetraedro T 2 o triângulo CDF como base e a medida d (∆CDF,E) como altura, temos que os tetraedros T e T são equivalentes.

3 Como T é equivalente a T e T é equivalente a T , então, por transitividade, T é

  Seja o prisma triangular P, de base B e altura h, decomposto em três tetraedros equi- valentes T , T e T . Como B e h também são a base e a altura, respectivamente, de T (ou de T 1 2 3 1 2 ou de T ), temos que: 3 V(P) = V(T = VA Como todo polígono convexo de n lados é decomponível, a partir de um vértice, em(n − 2) triângulos, temos que toda pirâmide convexa é decomponível, a partir do vértice V , em(n − 2) tetraedros.

5 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

  Ainda sobre a área do triângulo, Silveira (SILVEIRA, 2015) deduz, no livro para o nono ano do Ensino Fundamental, a área do triângulo equilátero a partir da área de um triâ- Figura 5.11: Transformação de um triângulo em um retângulo (GAY, 2014)Figura 5.12: Área do triângulo (GAY, 2014) gulo qualquer usando o teorema de Pitágoras para calcular a medida da altura. JáBianchini (BIANCHINI, 2015), no livro para o sétimo ano do Ensino Fundamental, discute Figura 5.13: Equivalência de triângulos (BIANCHINI, 2015) 5.2.3 TRAPÉZIO E LOSANGOFinalizando o conteúdo de áreas dos principais polígonos, Gay (GAY, 2014) define, no livro para o nono ano do Ensino Fundamental, a área do trapézio e do losango como a somadas áreas de dois triângulos de mesma altura, como mostra a Figura 5.14.

6 PROPOSTAS DE ATIVIDADES

  Ressaltamos que, na questão 6.2.3, podemos construir polígonos convexos com a me- 1 1 1 tade da área do quadrado inicial empregando as frações , e . 6.3.3 Assista ao vídeo Cubic Kaleidocycle Disney, ilustrado na Figura 6.7 e disponível em https://www.youtube.com/watch?v=mP4XoFNf-a8 .

7 CONCLUSÕES

  Como o lado do quadrado mede 2 2cm, temos que a área da casinha é 2 √ 2 2 2 . √ √ √ √ √ 2 1 3 6 2 1 1 2 2 a a 3 3 3 b) V ; V .

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