Algebras de Rees de Ideais de Arestas

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Full text

(1)

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Normalidade das ´

Algebras de Rees de Ideais de

Arestas

B´arbara Costa da Silva

Salvador-Bahia

(2)

Arestas

B´arbara Costa da Silva

Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr.

Carlos Eduardo Nogueira Bahiano que ser´a

apresentada ao colegiado do curso de

P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade

Federal da Bahia, como requisito parcial

para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)

Prof. Dr.Aron Simis

(3)

O presente trabalho estuda a normalidade das ´algebras de Rees de ideais monomiais

I = (M1,· · · , Mr)⊂k[x1,· · · , xn] gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados.

O texto ´e dividido em trˆes cap´ıtulos: preliminares, t´opicos em ´algebra comutativa e

normalidade. O primeiro cap´ıtulo tem o objetivo de familiarizar o leitor sobre alguns conceitos

envolvidos na disserta¸c˜ao, tais como grafos e ideais monomiais. J´a no cap´ıtulo seguinte,

nor-malidade de an´eis e ideais, ´algebra de Rees e graduada associada e potˆencias simb´olicas s˜ao os

principais t´opicos comentados, almejando obter ferramentas para o desenvolvimento e conclus˜ao

dos resultados mais importantes desse trabalho. Finalmente, o cap´ıtulo sobre normalidade ´e o

ponto culminante do trabalho, em que s˜ao apresentados alguns ideais monomiais cujas algebras

de Rees s˜ao normais, assim como, exemplos de um ideal monomial cuja algebra de Rees n˜ao ´e

(4)

(Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de

p´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica), 45 p´aginas.

PALAVRAS-CHAVE: Grafos, Monˆomios, Gerador

M´ınimo Essencial, An´eis, Ideal de Arestas, ´Algebra de

(5)
(6)

(Autor Desconhecido)

(7)

Resumo iii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Grafos . . . 3

1.2 Ideais Monomiais . . . 6

1.2.1 Decomposi¸c˜ao Prim´aria de Ideais Monomiais . . . 6

1.2.2 Ideais de Arestas . . . 9

2 T´opicos em ´Algebra Comutativa 11 2.1 Ideais Normais . . . 11

2.2 Algebra de Rees e ´´ Algebra Graduada Associada . . . 15

2.3 Potˆencias Simb´olicas . . . 18

3 Normalidade 22 3.1 Normalidade de Grafos Bipartidos . . . 22

3.2 Outras ´Algebras de Rees Normais . . . 31

(8)

4 Apˆendice 37

4.1 Integralidade . . . 37

Bibliografia 40

(9)

O objetivo deste trabalho ´e estudar a normalidade das ´algebras de Rees associadas

a ideais de arestas de um grafo (n˜ao orientado, e desprovido de loops e arestas paralelas),

I = (M1,· · · , Mr) ⊂ k[x1, . . . , xn], e a sua rela¸c˜ao com a normalidade da subalgebra k[F] =

k[M1,· · · , Mr].

Um grafo simples n˜ao orientado ser´a identificado com um ideal gerado por um conjunto

de monˆomios de grau 2 e livres de quadrados, de acordo com a descri¸c˜ao a seguir: se G ´e

um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x1,· · · , xn}; A(G) seu conjunto de arestas e R

o anel de polinˆomios sobre um corpo k, cujo n´umero de vari´aveis independentes ´e igual a n

(R=k[x1,· · · , xn]), ent˜ao o ideal I deR gerado por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados,

denominado ideal de arestas, ´e dado por

I = ({xixj ; (xi, xj)∈A(G)}).

Esta ordem de id´eias foi originalmente introduzida por A. Simis, W. Vasconcelos e R.

Villarreal em [4], e este mesmo artigo motivou o presente trabalho.

Dizemos que um grafo G ´e normal se o seu ideal de arestas ´e normal, ou seja, se o fecho inteiro da n-´esima potˆencia de I ´e igual a In (In = In , ∀n 1). Os pontos chave

desta disserta¸c˜ao s˜ao: caracterizar os grafos normais em termos de sua estrutura; e relacionar

a normalidade da ´algebra de Rees com a dak-sub´algebra k[F].

Neste sentido, os principais resultados que iremos demonstrar s˜ao:

(10)
(11)

Preliminares

Neste Cap´ıtulo abordaremos, de forma resumida, algumas no¸c˜oes de grafos e ideais de

arestas. O objetivo ´e deixar o leitor familiarizado com os conceitos utilizados no decorrer do

trabalho.

1.1

Grafos

Nesta se¸c˜ao veremos uma no¸c˜ao da teoria de grafos. A teoria de grafos ´e um grande

est´ımulo para o estudo de ideais gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados em

um anel de polinˆomios sobre um corpo k, os chamados ideais de arestas. Isto ocorre porque existem alguns elementos desta teoria que podem ser associados a elementos da teoria de ideais

monomiais. Por exemplo, a cobertura m´ınima em grafos est´a associada aos primos m´ınimos

dos ideais de arestas, como veremos no teorema 1.6. Esta rela¸c˜ao serve para tornar mais com-preens´ıvel e f´acil algumas demonstra¸c˜oes, al´em de ser uma alternativa a mais para a obten¸c˜ao

dos resultados durante o trabalho.

Dado um conjuntoV 6=∅, umgrafo dev´ertices emV e arestasA´e um parG= (V, A),

em que A⊆V ×V.

Os elementos de A s˜ao chamados arestas de G. Quando n˜ao for claro escreveremos

A(G), em lugar de A, para evidenciar a dependˆencia entre G eA.

(12)

Um grafoG´efinito se o conjuntoV de seus v´ertices ´e finito. Dados v´erticesv1, v2 ∈V,

dizemos que v1 ´e adjacente a v2 em G, se (v1, v2) ∈ A(G). Um grafo ´e dito ser completo se

seus v´ertices s˜ao dois a dois adjacentes. Dois v´erticesv1, v2 ∈V, s˜ao ditos independentes emG

se, ambos, (v1, v2),(v2, v1) ∈/ A(G). Dizemos que o grafo G possui loops ou la¸cos emv ∈ V se

(v, v)∈A. O grafo ´e orientado se existev1 ,v2 ∈V tais que (v1, v2)∈A e (v2, v1)∈/ A.

Quando um grafo G ´e n˜ao-orientado, desprovido de loops, sem v´ertices isolados e o conjunto dos v´ertices ´e finito diremos queG´e simples. A partir de agora s´o trabalharemos com grafos desse tipo.

SejamG, H grafos. Dizemos queH ´e subgrafo de G, e escrevemosH ⊆G,se V(H)⊆ V(G) e A(H)⊆A(G). Al´em disto, se A(H) = A(G)∩(V(H)× V(H)) ent˜aoH ´e um subgrafo induzido deG. Neste caso, denotamos por G⊑H.

Observe que dado um grafo G = (V, A) e um subconjunto V′ V, existe um ´unico

subgrafo induzido deGcujos v´ertices s˜ao os elementos deV′. O subgrafo induzido ´e denominado

subgrafo gerado por V′.

Umcaminho de comprimentor´e um grafo cujos v´ertices e arestas s˜ao, respectivamente, a menos de nota¸c˜ao,

V ={0,1, . . . , r} e A={(0,1),(1,2), . . . ,(r−1, r)}.

Dado r ∈ N(r > 2), um ciclo de ordem r, escrito Cr, ´e um grafo cujos v´ertices e

arestas s˜ao, respectivamente, a menos de nota¸c˜ao,

V ={1, . . . , r} e A={(1,2), . . . ,(r−1, r),(r,1)}

Um grafoG´econexose para todo par de v´ertices existe um caminho emGligando-os. Um grafo ´er-conexo (r ∈ N+) se para todo subconjunto V′ ⊂ V(G), de cardinalidade menor

ou igual a r−1,o subgrafo induzido G(V(G)\V′) ´e conexo.

Um grafo G´e uma ´arvore se ´e conexo e n˜ao possui ciclos.

Sejam G um grafo e v ∈ V. O grau de incidˆencia de v em G (escrito dG(v)) ´e a

(13)

zero s˜ao chamados de v´ertices isolados. Observe que se G ´e r-conexo, ent˜ao dG(v) ≥ r para

todo v´ertice.

SejaG um grafo de v´erticesV ={v1, . . . , vn}. Uma cobertura deG´e um subconjunto

P ⊂ V tal que para toda aresta (vı, v) tem-se vı ∈ P ou v ∈ P. Uma cobertura ´e m´ınima

se nenhum de seus subconjuntos pr´oprios ´e uma cobertura de G, e ser´a minimal se n˜ao existe cobertura de cardinalidade menor. A cardinalidade de uma cobertura minimal de G, escrita

αo(G), ´e tamb´em designada como o n´umero de cobertura de G, enquanto βo(G) := #V(G)−

αo(G) ´e dito ser a dimens˜ao de G.

Da defini¸c˜ao segue que o complementar de uma cobertura ´e um conjunto de v´ertices

independentes em G,e vice-versa. Portanto, o complementar de cobertura m´ınima (resp. min-imal) corresponde a um conjunto m´aximo (resp. maxmin-imal) de v´ertices independentes em G.

A distˆancia d(v1, v2) entre dois v´ertices v1 e v2 ´e o m´ınimo do comprimento de todos

os caminhos que unev1 av2.

Dizemos que um grafo G´ebipartido se admite uma cobertura composta por v´ertices independentes.

Se G ´e bipartido, ent˜ao G admite uma cobertura minimal composta por v´ertices in-dependentes. Um ciclo de ordem ´ımpar n˜ao ´e bipartido. De fato, toda cobertura m´ınima de

G cont´em ao menos uma aresta de G. Segue-se, portanto, que um grafo bipartido n˜ao cont´em ciclos de ordem ´ımpar. Esta necessidade ´obvia tamb´em ´e uma condi¸c˜ao suficiente:

1.1 Teorema. Um grafo n˜ao trivial G ´e bipartido se, e somente se, n˜ao cont´em ciclos de ordem ´ımpar.

Demonstra¸c˜ao. Para provar a rec´ıproca do teorema basta provar que cada

compo-nente conexa deG ´e bipartida, portanto podemos supor Gconexo. Seja v1 ∈V e considere

V1 ={v ∈V;d(v, v1) ´e ´ımpar} e V2 =V −V1.

Segue que V1 e V2 n˜ao possuem dois v´ertices adjacentes, pois G n˜ao cont´em ciclos de

ordem ´ımpar. LogoG´e bipartido.

(14)

Exemplo1.1. Um exemplo simples de grafos bipartidos s˜ao as ´arvores, visto que ´arvores

n˜ao possuem ciclos.

1.2

Ideais Monomiais

Nesta se¸c˜ao estudaremos as caracter´ısticas b´asicas dos ideais monomiais e sua rela¸c˜ao

com os grafos.

1.2 Definic¸˜ao. Um ideal I ⊂ R = k[x1,· · · , xn], em que k ´e um corpo, ´e dito um ideal

monomial se I ´e gerado por monˆomios.

Como o anel de polinˆomios R ´e um dom´ınio noetheriano, ent˜ao, se I ´e um ideal monomial, existe um conjunto finito de monˆomios em R que geram I.

1.3 Definic¸˜ao. Dizemos que o monˆomio f ∈R ´e livre de quadrado se

f =xα1

1 · · ·x

αn

n , e αi = 0 ou αi = 1.

1.2.1

Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria de Ideais Monomiais

Um resultado cl´assico na teoria da ´algebra comutativa diz que seR ´e um anel Noethe-riano e I ´e um ideal pr´oprio de R, ent˜ao I possui uma decomposi¸c˜ao prim´aria irredundante [[6],Corol´ario 1.1.25]. A decomposi¸c˜ao prim´aria de ideais descreve muito bem as caracter´ısticas

do ideal. Nesta se¸c˜ao veremos a decomposi¸c˜ao prim´aria de ideais monomiais para estudarmos

as caracter´ısticas dos ideais de aresta. As demonstra¸c˜oes dos resultados desta se¸c˜ao ensinam

como fazer a decomposi¸c˜ao prim´aria destes ideais.

Para todo f ∈ R podemos escrever f =PλıMı, em que λı ∈ k\ {0} e Mı ∈ R s˜ao

monˆomios. Como o anel de polinˆomios ´e uma ´algebra graduada, utilizando a ordem lexicogr´afica

reversa, podemos considerar f =PλıMı, tal queMı < M, sempre que ı < . Usaremos Lf

para denotar o monˆomio l´ıder def, enquanto que, para um ideal I ⊂R,L(I) denotar´a o ideal gerado pelos monˆomios l´ıderes dos elementos de I.

(15)

(a) Se f =PλıMı ∈J, ent˜ao Lf ∈J. Consequentemente,Mı ∈J, sempre que λı 6= 0.

(b)Dados monˆomiosXα, Xβ R. Se MDC(Xα, Xβ) = 1, ent˜ao:

(XαXβ, J) = (Xα, J)(Xβ, J).

Demonstra¸c˜ao. (a) Neste caso,J possui uma base de gr¨obner{g1, . . . , gr} ⊂J,

com-posta por monˆomios e, portanto,J =L(J) = (Lg1, . . . , Lgr).Em particular, sef = P

λıMı ∈J,

ent˜aof′ =f−L

f ∈Je portantoLf′ ∈J.Usando recursivamente o argumento obtemosMı ∈J,

para todoı.

(b) Veja que a inclus˜ao (XαXβ, J)(Xα, J)(Xβ, J) ´e trivial. Por outro lado, dado

f ∈(Xα, J)(Xβ, J) podemos escrever

f =h1Xα+u1 =h2Xβ +u2 u1, u2 ∈J e h1, h2 ∈R.

Seh1 =PλiMı ∈J,temos f ∈J ⊂(XαXβ, J).Contudo, se algum termoMıo deh1 n˜ao

per-tence aJ, comoh1Xα =h2Xβ+u2−u1 ∈(Xβ, J),temos, obrigatoriamente, MıoX

α =XθXβ.

Uma vez que, MDC(Xα, Xβ) = 1, obtemos M

ıo ∈ (X

β), e conseq¨uentemente, se repetirmos o

mesmo argumento com todos os termos de h1 que n˜ao est˜ao em J obtemos

h1Xα ∈(XαXβ, J).

¥

1.5 Teorema. Sejam R =k[x1, . . . , xn] um anel de polinˆomios e I ⊂ R um ideal monomial.

Ent˜ao:

(a) existe uma decomposi¸c˜ao prim´ariaI =∩Qλ,em que osQλ s˜ao ideais gerados por potˆencias

de vari´aveis;

(b)I ´e primo se, e somente se, ´e gerado por um subconjunto de {x1, . . . , xn};

(c) os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis;

(16)

Demonstra¸c˜ao. (a) Sejam I = (Xα1, . . . , Xαr), em que cada Xαi ´e um monˆomio e J = (Xα2, . . . , Xαr). Ent˜ao podemos supor queXα1 =xd1

1 · · ·x

dt

t t≤n.

Usando recursivamente o lema 1.4 temos:

I = (xd1

1 , J)∩ · · · ∩(x

dt

t , J).

Pela hip´otese de indu¸c˜ao J tem uma decomposi¸c˜ao prim´aria J = ∩Qeλ, em que os Qλ s˜ao

gerados por potˆencias de vari´aveis, e portanto, para todo ∈ {1, . . . , t}, temos

(xd

 , J) = (x d

 ,∩Qeλ) =∩(xd,Qeλ).

Isto demonstra o item (a).

(b) SejaXα I o monˆomio de maior grau, que ´e um gerador m´ınimo deI e sejax ı um

divisor de Xα. Temos

xı ∈/ I. Como I ´e primo, ent˜ao xı ∈ I e, conseq¨uentemente, X

α = x ı.

Logo I ´e gerado por vari´aveis. A rec´ıproca ´e imediata.

(c) De fato, a decomposi¸c˜ao prim´aria dada no ´ıtem (a) pode ser reduzida por

elim-ina¸c˜ao dos prim´arios que j´a cont´em algum outro presente na decomposi¸c˜ao, fornecendo assim,

uma decomposi¸c˜ao prim´aria irredundante, composta por ideais prim´arios que s˜ao gerados por

potˆencias de vari´aveis. Sabe-se, entretanto, que os primos associados s˜ao os radicais dos ideais

prim´arios de uma decomposi¸c˜ao irredundante, e ´e imediato que o radical de um ideal prim´ario,

que tem a forma acima, ´e gerado por vari´aveis.

(d) Neste caso, a decomposi¸c˜ao dada pelo item (a) ´e composta por ideais gerado por

um subconjunto do conjunto de vari´aveis, e portanto, primos. O idealI´e, portanto, intersec¸c˜ao de ideias primos, logo radical. Em particular, I ´e a intersec¸c˜ao de seus primos m´ınimos, logo n˜ao tem primos imersos.

(17)

1.2.2

Ideais de Arestas

Nesta parte do trabalho indicaremos algumas correspondˆencias existentes entre um

grafo G e o ideal monomial gerado por monˆomios livres de quadrados de grau 2 em um anel de polinˆomios sobre um corpo k. Inicialmente, daremos um mecanismo para passarmos de um grafo para um ideal como descrito acima e, em seguida mostraremos as rela¸c˜oes entre eles.

Seja G um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x1,· · ·, xn}. Considere R o anel

de polinˆomios em um corpo k, cujo n´umero de vari´aveis independentes ´e igual ao n´umero de elementos em V, isto ´e, R =k[x1,· · · , xn]. O ideal de arestas de G´e o ideal I(G)⊂R gerado

pelos monˆomiosxixj, tais que (xi, xj) ´e uma aresta deG. Assim,

I(G) = ({xixj ; (xi, xj)∈A(G)}).

Exemplo 1.2. Para exemplificar a defini¸c˜ao acima, considere o grafo G= (V, A) tal que V = {x, y, z, w} e A = {(x, y),(x, z),(y, w),(z, w)}. Ent˜ao o ideal de aresta de G em

k[x, y, z, w] ´e dado por

I(G) = (xy, xz, yw, zw).

´

E claro que esta rela¸c˜ao ´e biun´ıvoca, isto ´e, para cada grafo dado existe um ´unico ideal

de arestas associado a este grafo e vice-versa.

Oanel do grafo, denominado Anel de Petersen, ´e o anel de classesk[G] := I(RG).

O teorema abaixo relaciona os primos m´ınimos do ideal de arestas de um grafoGcom as suas coberturas, e a dimens˜ao de Gcom a dimens˜ao do anel de Petersen de G.

1.6 Teorema. Dado um grafo simples G, com n v´ertices, seja I = I(G) ⊂ R seu ideal de arestas. Os conjuntos de geradores (m´ınimos) dos primos m´ınimos de I(G) correspondem a coberturas m´ınimas de G. Em particular, ht I(G) =αo(G), e dimk[G] =βo(G) = dimG.

Demonstra¸c˜ao. Uma vez que I ´e gerado por monˆomios livres de quadrados, I ´e ideal radical, e seus primos m´ınimos s˜ao gerados por vari´aveis.

Dado um primo m´ınimoP = (xı1, . . . , xıt) de I, Afirmamos que CP ={xi1,· · · , xit}´e

(18)

De fato, dada uma aresta (xı, x), temos xıx ∈I ⊂P e, portanto, xı ∈P ou x ∈ P,

o que implicaxı ∈CP oux ∈CP. Segue que CP ´e uma cobertura de G. Para mostrar queCP

´e uma cobertura m´ınima, basta observar que se P′ P ´e gerado por um subconjunto pr´oprio

de{xı1, . . . , xıt}, ent˜ao I 6⊆P

. ComoP´e primo m´ınimo e P´e primo, existe arestax

ıoxo ∈I

tal que xıo, xo∈/P

. Logo, x

ıo, xo ∈/ CP′.

Reciprocamente, dada uma cobertura m´ınima C = {xı1, . . . , xıt} do grafo G, o primo P = (xı1, . . . , xıt) cont´em I e nenhum primo P

P cont´em I, pois neste caso, P′

deveria

conter um subconjunto de vari´aveis propriamente contida emP e portanto pela primeira parte acima, teriamos uma subcoberturaCP′ ⊂C e C n˜ao seria uma cobertura m´ınima.

Para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema, observamos que as coberturas minimais

correspondem aos primos minimais e vice-versa, logo ht(I) ´e igual `a cardinalidade da menor cobertura poss´ıvel, i.´e,ht(I) =αo(G). Em particular,

dimk[G] =n−ht(I) = #V(G)−αo(G) =βo(G) = dimG.

¥

No exemplo 1.2 vemos que os primos m´ınimos deIs˜ao (x, z),(y, w) pois os subconjuntos deV dados por {x, z},{y, w} s˜ao coberturas m´ınimas de G.

Dado um monˆomioXα =xα1

1 . . . xαnn ∈k[x1,· · ·xn], o seu suporte ´e o conjunto

(19)

opicos em ´

Algebra Comutativa

Neste cap´ıtulo abordaremos alguns t´opicos em ´algebra comutativa tais como ideais

normais, potˆencias simb´olicas, ´algebra de Rees e ´algebra graduada associada, com o intuito de

fornecer ferrramentas para o pr´oximo Cap´ıtulo.

2.1

Ideais Normais

Veremos a defini¸c˜ao de normalidade de ideais e, em paralelo, estaremos provando alguns

resultados referentes a este assunto. Um resultado muito importante e utilizado bastante no

decorrer do trabalho (que demonstraremos nesta se¸c˜ao), descreve como obter o fecho inteiro de

um ideal monomialI a partir do mesmo [Proposi¸c˜ao 2.2]. Como o foco da nossa aten¸c˜ao s˜ao os ideais de arestas, a caracteriza¸c˜ao do fecho inteiro de ideais monomiais ser´a um grande passo

na busca da normalidade de tais ideais.

2.1 Definic¸˜ao. SejamR um anel eI um ideal de R. Um elemento z ∈R ´e inteiro sobre I se

z satisfaz a seguinte equa¸c˜ao:

zn+a

1zn−1+· · ·+an = 0; sendo ai ∈Ii.

O conjunto de todos os elementos z ∈ R inteiro sobre I, denotado por I, ´e chamado fecho inteiro de I. Quando I =I dizemos que I ´e integralmente fechado ou completo. Caso In seja

completo para todo n∈N ent˜ao o ideal I ´e dito normal.

(20)

Diremos que um grafoG´e normal se seu ideal de arestas for normal.

Existe uma quest˜ao natural que surge neste ponto: ser´a que o fecho inteiro de um

ideal monomial ´e ainda um ideal monomial? Em [6] podemos comprovar que a resposta desta

quest˜ao ´e afirmativa. Mais ainda, se I ⊂ k[x1,· · ·, xn] ´e um ideal monomial, em que k ´e um

corpo, ent˜aoI ´e gerado pelo conjunto

{Xα; (Xα)m ∈Im para algumm ≥1},

em queXα =xαi1

i1 . . . x

αir

ir s˜ao monˆomios emk[x1,· · · , xr] tais queαi1+· · ·+αir =α, como ser´a

provado na proposi¸c˜ao seguinte. Como estaremos interessados em encontrar grafos normais,

saber como se comporta o fecho inteiro de um ideal monomial ´e de grande importˆancia para o

desenvolvimento do trabalho.

2.2 Proposic¸˜ao. Sejam R =k[x1,· · · , xn] um anel de polinˆomios sobre um corpo k e I ⊂R

um ideal monomial. Ent˜ao o fecho inteiro de I ´e dado por:

I = ({Xα; (Xα)m Im para algum m1}),

em que=xαi1

i1 . . . x

αir

ir s˜ao monˆomios tais que αi1 +· · ·+αir =α.

Demonstra¸c˜ao. SejamJ ={Xα; (Xα)m Im para algum m1}eXα J. Ent˜ao

existe m ≥ 1 tal que (Xα)m Im. Note que Xα ´e raiz do polinˆomio f(z) = zm (Xα)m e

portanto Xα I.

Reciprocamente, sez =XαI ent˜ao

zr+a1zr−1+· · ·+ar−1z1+ar= 0 , ai ∈Ii.

ComoI ´e ideal monomial ent˜aozm Im para algum m1.

¥

Sejam R = k[x1, ..xn] o anel de polinˆomios sobre um corpo k e P ⊂ R um ideal

(21)

do fecho inteiro de um ideal I dado acima. Al´em disso, esse resultado ser´a usado em outras demonstra¸c˜oes.

Vamos mostrar que P ´e normal por indu¸c˜ao em n. Observe que Pn Pn para todo

n, logo basta mostrar que Pn Pn. Para n = 1 seja y P. Ent˜ao existe j N tal que

yj Pj P. Como P ´e primo ent˜ao yP. Portanto P =P.

Suponha que parai < n tenhamos Pi =Pi e sejay Pn. Ent˜ao existe j N tal que

yj Pnj. Como yPnPn−1 =Pn−1 ent˜ao y tem grau pelo menosn1, isto ´e,

y=xα1

i1 . . . x

αr

ir u,

em que |α|=n−1 e u ´e um monˆomio de grau maior que 0 ou u ´e uma constante. Mas, se u

for uma constanteyj =xα1j

i1 . . . x

αrj

ir u

j ter´a o grau menor que jn, absurdo. Logo y Pn.

Vamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre normalidade de um dom´ınio [ver Apˆendice]

e ideais completos.

2.3 Lema. Seja R um dom´ınio e x ∈ R− {0} tal que o anel de fra¸c˜oes Rx = {xan , a ∈ R}

seja normal. Ent˜ao, R ´e normal se, e somente se,(x) ´e completo.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que R seja normal e seja z ∈ (x). Logo, z satisfaz a equa¸c˜ao abaixo:

zn+ (a1x)zn−1+· · ·+ (anxn) = 0, com ai ∈R.

Dividindo a equa¸c˜ao porxn teremos

(z

x)

n

+a1(

z x)

n−1+· · ·+a

n = 0.

Da´ı, z

x ∈R =R e, portanto,z ∈(x).

Reciprocamente, suponha (x) completo e seja z ∈R. Como o corpo de fra¸c˜oes deR ´e igual ao de Rx e R ⊂ Rx ent˜ao R ⊂ Rx = Rx. Logo, podemos escrever z = xar, a ∈ R. Para

mostrar que z ∈R basta mostrar que a∈(x).

Comoz ∈R temos que z satisfaz a equa¸c˜ao que segue:

(22)

Multiplicando a equa¸c˜ao por xrn teremos:

an+ (b

1xr)an−1+· · ·+bnxrn= 0.

Logo a∈(x) = (x).

¥

2.4 Proposic¸˜ao. Se I ´e um ideal de um anel R e S ´e um sistema multiplicativo fechado tal que S∩I =∅ ent˜ao

S−1(I) = S−1(I).

2.5 Corol´ario. Seja R um dom´ınio e x∈R− {0}. Ent˜ao, R ´e normal se, e somente se, Rx

e Rp s˜ao normais para todo P ∈Ass(Rx).

Demonstra¸c˜ao. Sejam x∈R− {0} eB =TPAss(R

x)RP. Podemos observar que se R ´e um dom´ınio ent˜ao

R=Rx

\ B.

Portanto, R´e um dom´ınio normal se, e somente se, Rx eRP s˜ao dom´ınios normais para algum

x∈R− {0} e para todo P ∈AssR x.

¥

DadaA⊂B uma extens˜ao de an´eis, uma quest˜ao que surge ´e: seB ´e um anel normal ent˜aoAtamb´em ´e normal? Em geral, a normalidade deB n˜ao ´e herdada porA. Nos resultados abaixo daremos as condi¸c˜oes necess´arias para que o anelA seja normal.

2.6 Lema. Seja A ⊂ B uma extens˜ao de an´eis. Se B = A ⊕C, como A-m´odulos, ent˜ao

IB∩A=I para todo ideal I de A.

Demonstra¸c˜ao. Seja z ∈ IB ∩A e escreva z =Pqi=1bifi, em que bi ∈B e fi ∈I.

Por hip´otese, bi =ai+ci, comai ∈A eci ∈C. Como z ∈Asegue que z =

Pq

i=1aifi ∈I. Isso

prova o lema pois I ⊂IB∩A ´e claro.

(23)

2.7Proposic¸˜ao. SejamAeB dom´ınios de integridade comA⊂B ekA ekB seus respectivos

corpo de fra¸c˜oes. Se B =A⊕C, como A-m´odulos, ent˜ao kA∩B ⊂A.

Em particular, se B ´e normal, ent˜ao A ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. Seb = a

c ∈ B com a, c∈A, ent˜aoa ∈ (c)B∩A= (c) [Lema 2.6],

portanto a=λc=bc, com λ∈A. Logo, b=λ∈A

¥

2.2

Algebra de Rees e ´

´

Algebra Graduada Associada

Sejam R um anel e F = {In ; n ≥ 0} uma fam´ılia de ideais em R. Dizemos que F ´e

uma filtra¸c˜aose F ´e tal que

Ii+1 ⊂Ii , I0 =R eIiIj ⊂Ii+j , ∀i, j ∈N.

As potˆencias ordin´arias de um ideal I ⊂R ´e um exemplo de uma filtra¸c˜ao.

Dada uma filtra¸c˜ao F = {Ii ;n ∈ N} de um anel R podemos definir um anel N

-graduado associado aF dado por:

R(F) =R⊕It⊕ · · · ⊕Intn⊕ · · · ⊂R[t].

Chamamos o anelR(F) de´algebra de Rees da filtra¸c˜aoF. Quando nos referirmos `a ´algebra de

Rees deI estaremos considerando a filtra¸c˜ao F ={In ,n N} e usaremos a nota¸c˜ao R(I).

Se I ´e um ideal de um anel R gerado por f1,· · · , fr, ent˜ao a ´algebra de Rees de I ´e

dada por:

R(I)≈R[f1t,· · · , frt]⊂R[t],

em que t´e transcendente sobre R. De fato, basta observar que

In = ({fαi1

i1 . . . f

αir

ir ; αi1 +· · ·+αir =n}).

Da´ı, sef ∈Intn ent˜ao

f =afαi1

i1 . . . f

αir

ir t

n =a(fαi1

i1 t

αi1). . .(fαir

ir t

αir),

(24)

2.8 Definic¸˜ao. Seja I um ideal de um anel R. Definimos a ´Algebra de Rees extendida de I

por A =R[It, t−1].

2.9Proposic¸˜ao. SejamI um ideal de um anelR eAa ´algebra de Rees extendida deI. SeR´e um dom´ınio normal, ent˜ao A´e normal se, e somente se,AP ´e normal para todo P ∈Ass t−1A.

Demonstra¸c˜ao. Basta observar que Au =R[t, u], em que u =t−1 e Au ={uan; a∈ A}. Logo Au ´e um dom´ınio normal. Da´ı, a proposi¸c˜ao segue por 4.3.

¥

Sejam R um anel e I um ideal de R. Podemos definir outro anel graduado por

grI(R) =

R I ⊕

I

I2 ⊕ · · · ⊕

In

In+1 ⊕ · · · ,

em que a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida em grI(R) ´e dada por:

(a+Ii)(b+Ij) =ab+Ii+j−1,

em quea ∈Ii−1 eb Ij−1. ´E f´acil provar quegr

I(R) com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida

acima e a operara¸c˜ao usual de soma ´e de fato um anel. O anel grI(R) ´e chamado ´algebra

graduada associada a I. Veja que se I = (f1,· · · , fr) ent˜ao grI(R) ≃ RI[f1,· · · , fn], em que

fi =fi+I2.

Existe uma liga¸c˜ao entre a ´algebra de Rees de um ideal I de R e a ´algebra graduada associada de I como ser´a mostrado no lema abaixo.

2.10 Lema. Se I ´e um ideal de um anel R ent˜ao,

A

t−1A ≃grI(R),

em que A=R[It, t−1] ´e a ´algebra de Rees extendida de I.

O pr´oximo teorema mostra algumas equivalˆencias sobre normalidade. Entre elas existe

uma que associa a normalidade de um ideal de arestas e a normalidade da ´algebra de Rees deste

ideal, um resultado especial, pois permite que trabalhemos tanto com o ideal de arestas de um

(25)

2.11 Teorema. Seja I um ideal de um dom´ınio normalR. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) I ´e um ideal normal de R;

(b) a ´algebra de Rees deI ´e normal;

(c) o idealIR(I)⊂ R(I) ´e completo;

(d) o ideal (t−1)R[It, t−1] ´e completo;

(e) a ´algebra de Rees extendida de I ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b) Sejam A = R(I) e z ∈ A. Note que como R ´e um dom´ınio normal ent˜aoR[t] tamb´em ´e normal. Al´em disso o corpo de fra¸c˜oes de Ae de R[t] ´e o mesmo. Logo,A⊂R[t] implica A⊂R[t] =R[t]. Portanto, podemos escrever

z =

s

X

i=0

biti.

´

E suficiente provar que bsts ∈ A. Primeiro provaremos que bsts ∈ A. Como z ´e quase inteiro

sobre A existe f ∈A, com f 6= 0 tal que f zn A para todo n > 0. Portanto existe f

m ∈Im,

com fm 6= 0 tal que (fmtm)(bsts)n ∈ A para todo n > 0, ou seja, bsts ´e quase inteiro sobre A.

Logo, pela proposi¸c˜ao 4.5, bsts ´e inteiro sobre A. Portanto bsts satisfaz a equa¸c˜ao abaixo:

(bsts)m+a1(bsts)m−1+· · ·+am−1(bsts) +am = 0,

em que ai = Prji=0aijtj e aij ∈ Ij. Agrupando todos os termos em t de grau sm temos a

equa¸c˜ao

bm s +

m

X

i=1

ai,sib

m−i s = 0.

Portantobs ´e inteiro sobre Is e, conseq¨uentemente, bs ∈Is.

(b)⇒(c) Seja z=b0+b1t+· · ·+bsts um elemento deR(I) que ´e inteiro sobreIR(I)

(A justificativa para escrevermosz desta forma ´e a mesma dada em (a)⇒(b)). Ent˜aoz satisfaz uma equa¸c˜ao da forma

(26)

multiplicando por tm, obtemos que tz ´e inteiro sobre R(I). Portanto, tz ∈ R(I), o que prova

quez ∈IR(I).

(c)⇒(d) SejamB =R[It, t−1] e z B inteiro sobre t−1B. Como a parte negativa da

expans˜ao de Laurent dez j´a est´a em t−1B podemos escrever

z =

s

X

i=0

biti,

sendo s ≥ 0 e bi ∈ Ii para todo i ≥ 0. Por indu¸c˜ao descendente em s ´e suficiente provar que

bs ∈Is+1. Existe uma equa¸c˜ao

zm+a1zm−1+· · ·+am−1z+am = 0,em que ai ∈(t−1)iB.

Multiplicando a equa¸c˜ao por tm, obtemos que zt ´e quase inteiro sobre B. Usando o mesmo

argumento dea)⇒b) conclu´ımos quebsts+1´e quase inteiro sobreB e, portanto,bsts+1 ´e inteiro

sobre B. Por um c´alculo simples podemos provar que bsts+1 ´e inteiro sobre IR(I), que prova

quebs∈Is+1.

(d) ⇒ (e) Seja u = t−1. Como R[It, u]

u = R[t, u] ´e um dom´ınio normal, ent˜ao pelo

lema 4.3 temos que R[It, u] ´e normal.

(e)⇒(a) Se z ∈Ir, ent˜ao z satisfaz a equa¸c˜ao

zm+a

1zm−1+· · ·+am−1z+am = 0, com ai ∈Iri,

multiplicando portrm,encontramos que ztr ´e inteiro sobre R[It, t−1]. Portanto, z Ir.

¥

Exemplo 2.1. SejamR=Q[x, y]e I = (x2, y2). Observe que I = (x2, y2, xy), portanto

R(I) n˜ao ´e normal.

2.3

Potˆ

encias Simb´

olicas

Sejam I um ideal de um anel R e P1,· · ·, Pr os primos m´ınimos de I. Dado n ≥1 a

n-´esima potˆencia simbolica de I ´e definida como o ideal

I(n) =Q

(27)

em que Qi ´e a componente prim´aria de In correspondendo a Pi.

Podemos definir potˆencia simb´olica de um ideal I de um anelR por

I(n)=S−1InR ,∀n 1,

em queS =R\ ∪Pi ePi s˜ao os primos m´ınimos de I. Esta defini¸c˜ao e a outra apresentada no

in´ıcio desta sec˜ao s˜ao equivalentes, como ser´a demonstrado na proposi¸c˜ao abaixo.

2.12 Proposic¸˜ao. Sejam I um ideal de um anel R e S =R\ ∪Pi, em que Pi′s s˜ao os primos

m´ınimos de I para todo i. Ent˜ao

I(n) =S−1In∩R , ∀n≥1.

Demonstra¸c˜ao. Seja In=Q

1∩ · · · ∩Qr∩Qr+1∩ · · · ∩Qs a decomposi¸c˜ao prim´aria

deIn, em queQ

iss˜aoPi-prim´arios para todoi≤re osQ′is s˜ao componentes prim´arias imersas

para todoi > r. Como Pi∩S =∅ para i > r, ent˜ao S−1Qi =S−1R [7]. Portanto,

S−1In=S−1(

s

\

i=1

Qi) = r

\

i=1

S−1Qi.

Note que S−1Q

i∩R = Qi e, portanto, interceptando a igualdade acima com R, a proposi¸c˜ao

segue.

¥

O caso de nosso interesse ´e os ideais de arestas e, para este caso, ainda existe uma

outra maneira de encontrar a potˆencia simb´olica, como mostra a proposi¸c˜ao abaixo.

2.13 Proposic¸˜ao. Sejam I um ideal radical de um anel R e P1,· · · , Pr os primos m´ınimos

de I. Ent˜ao

I(n) =P1(n)∩ · · · ∩Pr(n).

Demonstra¸c˜ao. Seja In=Q

1∩ · · · ∩Qr∩Qr+1∩ · · · ∩Qs a decomposi¸c˜ao prim´aria

de In, em que Q

is s˜ao Pi-prim´arios ∀i ≤ r e os Q′is s˜ao componentes prim´arias imersas para

i > r. Localizando em Pi obtemos InRPi =QiRPi e, como I =P1∩ · · · ∩Pr, teremos:

InR

Pi = (IRPi)

n= (P iRPi)

(28)

Portanto,Pn

i RPi =QiRPi parai≤re, fazendo a contra¸c˜ao destes ideais, obteremos o resultado

proposto, pois Pi(n) =Qi ,∀i≤r.

¥

Observe que, se R = k[x1,· · · , xn] ´e um anel de polinˆomios sobre um corpo k e I um

ideal monomial ent˜ao seus ideais primos s˜ao da formaP = (xi1,· · · , xir) com 1≤i1 <· · ·< ir.

Assim,

Pn = ({xα1

i1 . . . x

αr

ir ;|α|=|(α1,· · · , αr)|=n})

e, portanto,Pn=T(xα1

i1 ,· · ·, x

αr

ir) com |(α1,· · · , αr)|=n+r−1. Desta forma, P

n possui um

´

unico primo associado que ´e o pr´oprio P e, conseq¨uentemente, P(n) = Pn. Assim, se I ´e um

ideal monomial radical ent˜ao

I(n)=\Pin,

em que Pi s˜ao os primos m´ınimos de I.

2.14Definic¸˜ao. Seja I um ideal de um anel R. Dizemos que I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao se Ass(R

Ii) est´a contido em Ass(

R

I) para todo i≥1 e I 6=R.

Observe que caso I seja um ideal radical ent˜ao Ass(R

I) ⊂ Ass( R

Ii) , ∀i ∈ N. Como o

nosso interesse est´a focado nos ideais de arestas e estes s˜ao ideais radicais, ent˜aoI´e normalmente livre de tor¸c˜ao se Ass(R

I) =Ass( R

Ii) , ∀i∈N.

2.15 Proposic¸˜ao. Seja I um ideal radical de um anel R. Ent˜ao I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao se, e somente se, In =I(n), para todo n 1.

Demonstra¸c˜ao. ⇒) Como I ´e um ideal radical ent˜ao I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao se

Ass(R

I) = Ass( R

Ii), para todo i∈N,

ou seja, In n˜ao tem primos imersos. Portanto In =I(n), para todo n1.

⇐) Veja que In =I(n), para todo n 1 implica em

Ass( R

I(i)) = Ass(

R

(29)

Como I ´e ideal radical ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.13 temos I(n) = P(n)

1 ∩ · · · ∩ P (n)

r , ou seja,

Ass( R

I(i)) ={P1,· · · , Pr}. Logo

Ass(R

I) = Ass( R

Ii) , ∀i∈N.

Portanto, I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

¥

2.16 Corol´ario. Seja R um anel de polinˆomios sobre um corpo k. Se I ´e um ideal de R

gerado por monˆomios livres de quadrados ent˜ao I(n) ´e integralmente fechado, para todo n1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam J =I(n) e P

1,· · · , Ps os primos associados de I. Se f ∈ J

ent˜ao existe m ∈ N tal que fm Jm, ou seja, fm Pmn

i , para todo i. Como Pin ´e completo,

f ∈pn

i para todo i e, portanto,f ∈J.

(30)

Normalidade

Sejamkum corpo eRo anel de polinˆomiosk[x1,· · · , xn]. Considere ´algebras definidas

por um conjunto finito G = {M1,· · · , Mq} de monˆomios de R. Seja k[G] = k[M1,· · · , Mq] a

k-sub´algebra de R gerada pelos Mi.Estamos interessados em estudar a ´algebra de Rees de um

idealI(G), no que diz respeito `a normalidade, e a rela¸c˜ao existente entre a ´algebra de Rees e a sub´algebra k[G].

O foco da nossa aten¸c˜ao ´e os ideais gerados por monˆomios de grau 2 e livres de

quadra-dos que podem ser definidas por grafos, como vimos no Cap´ıtulo 1, e o problema est´a em

detectar a normalidade na ´algebra de Rees destes ideais e em k[G], em que G´e o conjunto de monˆomios geradores do ideal citado.

3.1

Normalidade de Grafos Bipartidos

O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que a ´algebra de Rees do ideal de arestas de um grafo

bipartido ´e normal [Corol´ario 3.10]. Este resultado segue imediatamente como um corol´ario do teorema 3.9. Por esta raz˜ao, estaremos nesta se¸c˜ao com nossa aten¸c˜ao voltada para demonstrar esse teorema. Existem algumas demonstra¸c˜oes deste teorema, uma delas aparece em [4] e usa

a ´algebra de Rees extendida A de um anel R, o isomorfismo entre uAA e grI(R) e a igualdade

A=Au∩(

T

AP), em que P ∈ Ass(uA) vistas no Cap´ıtulo 2. Apresentaremos neste trabalho

uma outra demonstra¸c˜ao (que pode ser encontrada em [5]) e envolve mais os conceitos de

(31)

combinat´oria.

Sejam R o anel de polinˆomios sobre um corpok eI um ideal de R. Definimos como o m´odulo simb´olico essencial de I oR-m´odulo

F(I) = M

n≥2

I(n)

P

n

,

em que Pn=PI(i)I(n−i).

Chamaremos de gerador essencial (resp. gerador m´ınimo essencial) de ordemn deF(I) todo elemento, n˜ao nulo,f ∈ I(n)\P

n (resp. f ∈ I(

n)\((X)I(n)+P

n) e de subm´odulo trivial

deI(n) o m´odulo P

n. Os geradores m´ınimos essenciais s˜ao os geradores n˜ao triviais de I(n).

SejaR o anel de polinˆomios sobre um corpok. Temos que, seI ´e um ideal deR gerado por monˆomios livres de quadrados e normalmente livre de tor¸c˜ao, isto ´e,I(n) =In, ent˜ao F(I)

n˜ao possui gerador m´ınimo essencial de nenhuma ordem.

A fam´ılia de ideaisF ={I(r), ∀rN} ´e uma filtra¸c˜ao, chamada filtra¸c˜ao da potˆencia

simb´olica, pois

I(r+1) ⊂I(r) eI(r)I(s) ⊂I(r+s).

3.1 Definic¸˜ao. Seja I um ideal de um anel k[x1,· · · , xn], em que k ´e um corpo. Definimos a

fun¸c˜ao ordem associada `a filtra¸c˜ao da potˆencia simb´olica de I como

VI(f) = max{r;f ∈I(r)}.

Assim, sef ´e um gerador m´ınimo essencial ent˜ao f /∈(x1,· · · , xn)I(VI(f))+PVI(f).

Podemos observar que se I ⊂ k[x1,· · · , xn], com k corpo, ´e um ideal gerado por

monˆomios de grau 2 e livres de quadrados eXα∈k[x1,· · · , xn] ´e um monˆomio livre de

quadra-dos, ent˜ao VI(Xα) =ht(Iα), em que Iα =I∩supp(Xα) [5]. Desta forma, para provar que Xα

´e um gerador m´ınimo essencial de F(I), em que Xα ´e um monˆomio livre de quadrados, basta observar queXα / (x

1,· · · , xn)I(ht(Iα))+

P

htα.

3.2Proposic¸˜ao. Sejamk um corpo eI ⊂k[x1,· · · , xn]o ideal de arestas de um grafo simples

G. Ent˜ao,X =x1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial deF(I)se, e somente se, para qualquer

parti¸c˜ao disjunta {x1,· · · , xn}=M∪N, temos,

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

(32)

em que IN =I∩k[N] e IM =I ∩k[M].

Demonstra¸c˜ao. Considerando M∪N uma parti¸c˜ao disjunta de {x1,· · · , xn}´e f´acil

ver que IM e IN s˜ao, respectivamente, os ideais de aresta dos subgrafos induzidos por M e N.

Denotaremos por XM eXN o produto dos elementos de M eN, respectivamente.

Temos que ht(I) = VI(X), ht(IM) = VI(XM), ht(IN) = VI(XN) e naturalmente

VI(X)≥ VI(XM) +VI(XN).

Suponha que

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1.

A desigualdade acima equivale a VI(X)−1 <VI(XM) +VI(XN). Como VI(X) ≥ VI(XM) +

VI(XN)

VI(X) =VI(XM) +VI(XN).

Caso VI(XM) > 0 e VI(XN) > 0, ent˜ao, pela igualdade acima, isto equivale a X ∈

P

VI(X).

Se VI(XM) = 0, ent˜ao M ´e um conjunto de v´ertices n˜ao adjacentes e isto ´e equivalente a

X ∈(supp(XM))I(VI(X)). Portanto,

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1 ⇔X ∈(x1,· · · , xn)I(VI(X))+

X

VI(X) .

Logo, pela defini¸c˜ao, temos:

dimK[N] IN

+dimk[M] IM

≤dimk[G] + 1 ⇔X n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial.

¥

SeG ´e um grafo bipartido, ent˜ao pela defini¸c˜ao, existe uma parti¸c˜ao disjunta do con-junto de v´ertices de G, digamos V1 eV2, tal que toda aresta deG une V1 a V2, ou seja,V1 e V2

´e uma cobertura deG. Veja que ou #V1 ≤ n2 ou #V2 ≤ n2, em que n´e o n´umero de v´ertices de

G. Desta forma, a altura de um primo m´ınimo do ideal de arestasI deG, que corresponde ao n´umero de elementos de uma cobertura m´ınima de G, ´e menor ou igual a n

2, isto ´e,

ht I ≤ n

2. Mais ainda, se n for um n´umero par ent˜ao ht I ≤ n

2, por´em se n for um n´umero ´ımpar ent˜ao

(33)

3.3 Corol´ario. Seja o grafo G um ciclo ´ımpar com v´ertices em V ={x1,· · · , x2r−1}, r ≥ 2

que n˜ao tem subciclos pr´oprios. Ent˜ao, x1. . . x2r−1 ´e um gerador m´ınimo essencial.

Demonstra¸c˜ao. SejaI o ideal de arestas deG. Ent˜ao,htI =r, edim(k[G]) =r−1. Considere M e N uma parti¸c˜ao disjunta n˜ao trivial de V com o n´umero de elementos de M

´ımpar. Como G´e um ciclo de ordem ´ımpar sem subciclos pr´oprios, qualquer subgrafo de G ´e uma ´arvore ou uma floresta e, portanto, os subgrafos de G induzidos por M e N, e denotados porGM e GN, s˜ao bipartidos. Logo, 2dim(k[GM])≥#M + 1 e 2dim(k[GN])≥#N. Da´ı,

2(dim(k[GM]) +dim(k[GN]))≥#M + #N + 1 = 2r−1 + 1 = 2r= 2(dim(k[G]) + 1).

Logo, pela proposi¸c˜ao acimax1. . . x2r−1 ´e um gerador m´ınimo essencial.

¥

Este corol´ario nos permite observar que, se G ´e um ciclo de ordem ´ımpar, ent˜ao G

possui um gerador m´ınimo essencial, isto ´e, o ideal de arestas deGn˜ao ´e normalmente livre de tor¸c˜ao. Esta observa¸c˜ao mostra que estamos no caminho certo para demonstrar que o ideal de

arestas de um grafoG´e normalmente livre de tor¸c˜ao se, e somente se, G´e um grafo bipartido, pois um ciclo de ordem ´ımpar n˜ao ´e um grafo bipartido.

3.4 Definic¸˜ao. Seja x um v´ertice do grafo G. A vizinhan¸ca de x, denotado por Γ(x), ´e o subconjunto de v´ertices de G que s˜ao adjacentes a x.

Algebricamente, a vizinhan¸ca ´e equivalente ao conjunto

Γ(x) = {xi ;xi ∈Annk[G](x)}.

3.5 Proposic¸˜ao. Sejam G um grafo simples com v´ertices V = {y, x1,· · ·xn}, G′ = G−y

o subgrafo induzido por {x1,· · ·, xn} e I, J seus respectivos ideais de arestas. Se nenhuma

cobertura m´ınima de G cont´em Γ(y) ent˜ao:

1. ht(I) =ht(J) + 1

2. Sex1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial deF(J)ent˜aoyx1. . . xn´e um gerador m´ınimo

(34)

Demonstra¸c˜ao. (1) Note que I = (J, yxi1,· · · , yxir), em que Γ(y) = {xi1,· · · , xir}

e, portanto, htI ≤htJ + 1. Por outro lado, seja P um primo m´ınimo de I tal que htI =htP. Ent˜ao, P cont´em um primo m´ınimo Q ⊂ k[x1,· · · , xn] de J. Como o conjunto de cobertura

m´ınima de G′ n˜ao cont´em Γ(y), algumx

ij j 6= 1 n˜ao pertence a P e, portanto, y∈ P. Assim,

(Q, y)⊂P, ou seja, htP ≥htQ+ 1 ≥htJ+ 1. Logo, htI =htJ + 1.

(2) Note que J(r) I(r), para todo r 0. Mais ainda, I(r) k[x

1,· · · , xn] = J(r).

Suponha quex1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial deF(J). Ent˜ao, necessariamente,x1. . . xn

´e essencial no grau simb´olico h = htJ de J. Desta forma, se yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo

essencial de F(I), ent˜ao ele ´e essencial no grau simb´olico h+ 1 de I. Portanto, se yx1. . . xn

n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial de F(I), ent˜ao depois de uma rearruma¸c˜ao das vari´aveis, se necess´ario, podemos assumir que yx1. . . xn=x1. . . xtyxt+1. . . xn, em que x1. . . xty∈I(s), e

xt+1. . . xn ∈ I(h+1−s), s ≤ h. Assim, se s = 1, ent˜ao xt+1. . . xn ∈ I(h) e portanto, x1. . . xn ∈

(x1,· · · , xt)J(h), contradizendo o fato que x1. . . xn ´e m´ınimo. Se s > 1, ent˜ao x1. . . xty/y ∈

I(s−1) e portanto x

1. . . xn∈I(s−1)I(h−s+1) contradizendo a hip´otese de x1. . . xn ser essencial.

¥

Todos os resultados vistos at´e aqui que tratam sobre geradores m´ınimos essenciais

est˜ao relacionados com monˆomios livres de quadrados. A proposi¸c˜ao a seguir, permite reduzir

a verifica¸c˜ao de que monˆomio ´e, ou n˜ao, um gerador m´ınimo essencial atrav´es da verifica¸c˜ao

para um monˆomio livre de quadrados. De fato, isso ´e poss´ıvel de ser feito aplicando, sucessivas

vezes, a seguinte estrat´egia: seja I =I(G)⊂k[x1,· · · , xn] o ideal de arestas de um grafo com

n v´ertices. Dado o monˆomio x2

1x2· · ·xn, considere o grafo G′ obtido de G acrescentando-se

um novo v´ertice y com vizinhan¸ca igual a de x1. Com esta constru¸c˜ao, o monˆomio yx1. . . xn

´e essencial (com respeito a G’) se, e somente se, x2

1· · ·xn ´e essencial. Mais a frente estaremos

fazendo este mesmo processo de forma mais geral, isto ´e, para um monˆomioxα qualquer. Este

procedimento ser´a chamado m´etodo de polariza¸c˜ao.

(35)

Γ(x1). Se yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo essencial ent˜ao x1. . . xn ´e um gerador m´ınimo

essencial.

Demonstra¸c˜ao. Sejam I ⊂ k[y, x1,· · · , xn] o ideal de arestas de G, h = htI =

VI(y, x1. . . xn) e s=dim

k[y,x1,···,xn]

I . Como yx1. . . xn´e um gerador m´ınimo essencial

ht(I∩k[x1,· · ·, xn]) =VI(x1. . . xn) = h−1 e dim

k[x1,· · · , xn]

I∩k[x1,· · · , xn]

=s.

Suponha que x1. . . xn n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial e seja M ∪N = {x1,· · · , xn} uma

parti¸c˜ao n˜ao trivial de V, com x1 ∈ N e o grau de XN o maior poss´ıvel, em que XN ´e o

produto de todos os elementos de N. Ent˜ao, x1. . . xn = XNXM, com VI(XN) +VI(XM) =

h−1, ou ainda, dimIk[kM[M]]+dimIkk[N[N]] =s. Mas, yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo essencial e,

pela proposi¸c˜ao 3.2,

dim k[M]

I∩k[M] +dim

k[y, N]

I∩k[y, N] ≥s+ 1, ou seja,

dim k[y, N]

I∩k[y, N] =dim

k[N]

I ∩k[N] + 1.

Portanto, Γ(y)∩k[N] = Γ(x1)∩k[N] ´e um subconjunto dos geradores de todos os primos

m´ınimos deI ∩k[N] de altura m´ınima.

Suponha quexi ∈Γ(y)∩k[M] para algumi∈ {1,· · · , n}, ent˜ao ou VI( XM

xi ) =VI(XM)

ouVI( XM

xi ) =VI(XM)−1. O primeiro caso implica queVI(XMxi) =VI(XM) + 1 e, portanto, yx1. . . xn ∈ II(h−1), que ´e um absurdo. Caso VI(

XM

xi ) = VI(XM)−1, teremos VI(xiXN) = VI(XN) + 1 e (xiXN)XM ∈

P

h−1, portanto supp(xiXN)∪M ={x1,· · · , xn} ´e uma parti¸c˜ao

n˜ao trivial com o grau de xiXN maior que o grau de XN, contradizendo a escolha de N.

Conseq¨uentemente, Γ(y)∩k[M] =∅, isto ´e, Γ(y) = Γ(x1)⊆N.

Como yx1. . . xn ´e um gerador m´ınimo essencial, existe um primo m´ınimo P de I de

altura m´ınima tal quey , x1 ∈P eht(P∩k[x1,· · · , xn]) = h−1, portantoP∩k[N] ´e um primo

m´ınimo de I∩k[N] de altura m´ınima. Assim, {y, x1} ∪Γ(x1) ⊆ P, contradizendo o fato que

primos m´ınimos de altura m´ınima corresponde a cobertura m´ınima do conjunto de v´ertices.

(36)

A proposi¸c˜ao abaixo ´e uma importante ferramenta na prova do teorema 3.9 pois prova que se dim k[G] ≥ n

2, caso que ocorre nos grafos bipartidos, ent˜ao x1. . . xn n˜ao ´e um gerador

m´ınimo essencial.

3.7 Proposic¸˜ao. Sejam G um grafo conexo e simples com v´ertices V ={x1,· · ·, xn} e I(G)

seu ideal de arestas. Se dimK[G]≥ n

2 ent˜ao x1. . . xn∈

P

h+(X)I

(n), em que h=ht(I).

Demonstra¸c˜ao. Podemos supor sem perda de generalidade que G ´e conexo. Seja

s=dimk[G] =n−h. Para cada conjunto maximal S′ de v´ertices n˜ao adjacentes, sejaq(S) a

cardinalidade dos subconjuntos de arestas n˜ao adjacentes MS′ ⊆A(G) tal que

(xi, xj)∈MS′ ⇒xi ∈S′ ouxj ∈S′.

Sejam q = max{q(S′

)} e S o conjunto de v´ertices n˜ao adjacentes tal que q =q(S). Usaremos as seguintes nota¸c˜oes:

1. S={y1,· · ·, ys}e V(G)−S={x1,· · · , xh}

2. MS ={(x1, y1),· · · ,(xq, yq)}.

Observe que comoS ´e um conjunto m´aximo de v´ertices independentes, ent˜aoV(G)\S

´e uma cobertura m´ınima de G. Se q = h, ent˜ao x1. . . xn ∈ Ih ⊆

P

h+(X)I(

h). Suponha que

q < h ≤ s. Usando o fato que G ´e conexo podemos supor, sem perda de generalidade, que

x1 ∈Γ(yq+1,· · · , ys) =

S

q+1≤i≤sΓ(yi), digamos quex1 ∈Γ(yq+1).

Considere a seguinte cadeia de subconjuntos de A(G) definida recursivamente

N1 ={(x1, y1)} ,N2 =N1∪ {(xi, yi); (xi, yi)∈MS e xi ∈Γ(y1)},

Nr=Nr−1∪ {(xi, yi); (xi, yi)∈MS e xi ∈Γ(yb) para algum yb tal que (xb, yb)∈Nr−1}.

A seq¨uˆenciaNi ⊆Nj estabiliza, fornecendo um subconjuntoN ⊂MS tal que (xi, yi)∈/

N ⇒ xi ∈/ Γ(yb), para todo (xb, yb) ∈ N. Seja t = #N. Reenumerando os v´ertices que

aparecem como aresta que est˜ao emMS, obtemos as seguintes caracter´ısticas de N:

a. Se (xi, yi) ∈ N, ent˜ao existe um caminho x1, y1, xi1, yi1,· · · , xia, yia, xi, yi inteiramente

(37)

b. {y1,· · · , yt} ∩Γ(xt+1,· · · , xh) = ∅.

O item a segue imediatamente da defini¸c˜ao de N. Para provar o item b assuma que

xi ∈ Γ(yj) para algum i ≥ t+ 1 com (xj, yj) ∈ N. Veja que, por defini¸c˜ao de N, temos que

i > q e por a temos queyq+1, x1, y1, xi1, yi1,· · · , xia, yia, xj ´e um caminho. Se Q={(x1, y1),(xi1, yi1),· · · ,(xi, yi)} ⊆N ⊂MS,

ent˜ao o seguinte conjunto{(x1, yq+1),(xi1, y1),· · · ,(xj, yia),(xi, yj)}∪MS−Q´e um subconjunto

de arestas n˜ao adjacentes tal quexixj ∈ MS′ ⇒xi ∈S′ ouxj ∈ S′ com cardinalidadeq+ 1, o

que contradiz a maximalidade de q. Logo b´e verdade.

Considere os subgrafosG1eG2 induzidos, respectivamente, porN e porV(G)−V(G1).

Como S − {y1,· · · , yt} ⊂ V(G2) temos que dim(k[G2]) ≥ s − t. Mas, como Γ(V(G2))∩

{y1,· · · , yt} = ∅, se dim(k[G2]) > s−t, ent˜ao existiria um subconjunto de V(G) com s+ 1

v´ertices n˜ao adjacentes, o que contradiz o fato quedim(k[G]) =s. Portanto,dim(k[G2]) =s−t

e, conseq¨uentemente,

ht(I(G2)) = n−2t−(s−t) =n−s−t=h−t.

ComoI(G1) tem um produto de t arestas,ht(I(G1))≥t, mas

ht(I(G1)) +ht(I(G2))≤h

e, portanto,ht(I(G1)) =t. Assim, x1. . . xn∈I(t)I(h−t).

¥

Seja I = I(G) o ideal de arestas de um grafo simples G cujo conjunto de v´ertices ´e

{x1,· · · , xn}. Dado um monˆomio Xα = xα11. . . xαnn ∈ I, considere o anel de polinˆomios com

|α| =α1 +· · ·+αn vari´aveis k[Y] = k[y1,· · ·, yn], em que yi = yi1,· · · , yiαi ´e uma lista de αi

vari´aveis. Defina o idealJ ⊂k[Y] gerado por monˆomios livres de quadrados por:

J ={yityjs;xixj ∈I}.

Claramente, J ´e o ideal de arestas do grafo G∗

α obtido de G adicionando, para cada v´erticexi,

αi −1 novos v´ertices com a mesma vizinhan¸ca de xi. Este pocesso ´e chamado de m´etodo de

(38)

O gerador m´ınimo essencial ´e invariante pelo m´etodo de polariza¸c˜ao, isto ´e, Xα ´e

um gerador m´ınimo essencial de F(I) se, e somente se, Y∗ = Qy

iti com i ∈ {1,· · · , n} e ti ∈ {1,· · · , αi}´e um gerador m´ınimo essencial de F(J) [5].

3.8 Proposic¸˜ao. Seja G um grafo simples com ideal de arestas I. Se um monˆomio´e um gerador m´ınimo essencial de F(I) ent˜ao´e um gerador m´ınimo essencial para todo Xβ

tal que Xβ|Xα

e supp(Xα) = supp(Xβ). Em particular, o produto de todos os elementos de

supp(Xα) tamb´em ´e um gerador m´ınimo essencial.

Demonstra¸c˜ao. Basta usar a proposi¸c˜ao 3.6 sucesivamente em G∗

α.

¥

3.9 Teorema. SejamG um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Ent˜ao, G ´e bipartido se, e somente se, I(G) ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que o grafo G´e bipartido eI(G) n˜ao ´e normalmente livre de tor¸c˜ao, isto ´e, existe um monˆomio Xα tal que Xα ´e um gerador m´ınimo essencial. Pela proposi¸c˜ao 3.8, o produto de todos os elementos de supp(Xα) tamb´em ´e um gerador m´ınimo

essencial. Seja G′ o subgrafo induzido pelos elementos do supp(Xα

). Observe que G′ tamb´em

´e bipartido e o produto de seus elementos tamb´em ´e um gerador m´ınimo essencial. Podemos,

ent˜ao, assumir que o produto de todos os v´ertices de G´e um gerador m´ınimo essencial. Como

G ´e bipartido, ent˜ao dim(k[G])≥ n

2 e, pela proposi¸c˜ao 3.7, o produto de todos os v´ertices de

Gn˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial, absurdo. Portanto, I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

Suponha agora que I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao. Ent˜ao, G n˜ao possui elemento essencial de nenhuma ordem. Suponha que G n˜ao ´e bipartido, ou seja, G possui cliclos de ordem ´ımpar e, ent˜ao, existe um ciclo que n˜ao tem subciclos pr´oprios. Pelo corol´ario 3.3, G

possui um gerador m´ınimo essencial de alguma ordem, absurdo. LogoG ´e bipartido.

(39)

3.10 Corol´ario. Se G ´e um grafo bipartido, ent˜ao G ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. Como G ´e um grafo bipartido, o seu ideal de arestas I ´e normal-mente livre de tor¸c˜ao pelo teorema 3.9, ou seja,In =I(n) para todon N. Pelo corol´ario 2.16,

temos queI(n)´e integralmente fechado. Logo,In=In para todon1. Portanto, G´e normal.

¥

3.2

Outras ´

Algebras de Rees Normais

Nesta se¸c˜ao, estaremos interessados em encontrar alguns grafos cuja ´algebra de Rees

do seus ideais de arestas s˜ao normais. Devido `a proposi¸c˜ao 2.11 para provar que a ´algebra de Rees do ideal de arestasI ´e normal, provaremos que I ´e normal. Portanto pelo ´ultimo corol´ario da se¸c˜ao anterior temos que a ´algebra de Rees de ideais de arestas de grafos bipartidos s˜ao

normais. Vejamos agora outros grafos.

3.11 Lema. Sejam G um ciclo de ordem ´ımpar e I(G) o seu ideal de arestas. Se x1 e xl s˜ao

v´ertices de G, ent˜ao x1xlIs∩(Is+1 :x1)⊂Is+1.

Demonstra¸c˜ao. Faremos indu¸c˜ao ems. Paras = 0 a verifica¸c˜ao ´e simples. Suponha que a afirma¸c˜ao seja v´alida para inteiros menores que s e tome y6= 0 um monˆomio tal que

y∈ x1xlI

s(Is+1 :x 1)

Is+1 .

Existem monˆomios livres de quadrados de grau 2,

y1,· · · , ys e f1,· · · , fs+1

em I tais que y =y1. . . ysx1xly e x1y =f1. . . fs+1h para algum monˆomio h e y. Por hip´otese

de indu¸c˜ao, podemos assumir que {y1,· · · , ys} ∩ {f1,· · · , fs+1}=∅.

Vamos mostrar, por indu¸c˜ao, que dado 1 ≤ k ≤ s + 1 existem v´ertices diferentes

x1,· · · , x2k de Gtal que yi =x2ix2i+1 para i≤k−1, fi =x2i−1x2i para i≤k, e

(40)

Se k = 1, temos a equa¸c˜ao x1y = f1. . . fs+1h e usando y /∈ Is+1, obtemos fi = x1x2

para algumi. Reordenando os f′

is, teremos f1 =x1x2 e, conseq¨uentemente,

y=x2f2. . . fs+1h.

Assuma que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para k e considere a igualdade

yk. . . ysx1xly=x2kfk+1. . . fs+1h.

Observe que, se x2k = xl, ent˜ao y1. . . yk−1x1xl ∈ Ik e, portanto, y ∈ Is+1. Podemos assumir

quex1 6=x2k. Se x2k divide y, ent˜ao a igualdade

y1. . . yk−1x1x2k=f1. . . fk

implica que y ∈ Is+1. Portanto, x

2k divide yi para algum k ≤ i ≤ s e, reordenando os yi′s,

temos yk =x2kz para algum v´ertice z. Note que z 6= x1, pois G ´e um ciclo ´ımpar. Portanto,

z =x2k+1 satisfaz z /∈ {x1,· · · , x2k} e

x2k+1yk+1. . . ysx1xly =fk+1. . . fs+1h.

Comoy /∈Is+1 a ´ultima equa¸c˜ao prova quex

2k+1dividefipara algumi, digamosfk+1 =x2k+1w

para algum v´ertice w. Note que w /∈ {x1,· · · , x2k+1} e a indu¸c˜ao em k est´a completa. Para

k=s+ 1, a equa¸c˜ao yk. . . ysx1xly=x2kfk+1. . . fs+1h se reduz a y=x2s+2h.

Para completar a indu¸c˜ao em snote que se k =s+ 1 ent˜ao y1. . . yk−1x1x2k =f1. . . fk

junto com o argumento visto acima resulta em y∈Is+1, que contradiz a escolha inicial dey.

¥

3.12 Teorema. Se o grafo G´e um ciclo ´ımpar ent˜ao G ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1,· · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1,· · · , xn] um

anel de polinˆomios sobre um corpokem= (x1,· · · , xn) o ideal irrelevante deR. Vamos provar

por indu¸c˜ao em n que o ideal In ´e integralmente fechado. Para k= 0, temos que R =I0 ´e um

dom´ınio normal. Suponha que parar < n tenhamos Ir =Ir. Como estamos trabalhando com

ideais monomiais, temos que

(41)

Considere In

In diferente de zero. Note que a localiza¸c˜ao de In em qualquer primo associado de

In

In diferente de m ´e uma floresta. Portanto, usando que a ´algebra de Rees de uma ´arvore ´e

normal, obtemos quem´e um primo associado de In

In. Sejay∈

In

In um monˆomio que ´e conduzido

porm aIn. Por hip´oteses de indu¸c˜ao, temos

y∈In In−1 =In−1.

Por fim, observamos quey tem grau pelo menos 2n e, portanto,y∈x1xiIn−1∩(In :x1), que ´e

imposs´ıvel pelo lema 3.11.

¥

3.13 Proposic¸˜ao. Se G ´e um grafo completo comn v´ertices, ent˜ao G ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1,· · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1,· · · , xn] um

anel de polinˆomios sobre um corpokem= (x1,· · · , xn) o ideal irrelevante deR. Vamos provar

por indu¸c˜ao em n que o ideal In ´e integralmente fechado. Suponha que para r < n tenhamos

Ir =Ir. Seja y In

In um monˆomio que ´e conduzido por m aI

n.

Note que R(I) ⊂ R(m2) e, como R(m2) ´e integralmente fechado, todo monˆomio em

In tem grau pelo menos 2n. Por hip´otese de indu¸c˜ao, temos

y∈In In−1 =In−1,

portanto podemos escrever

y=y1. . . yn−1u,

em queu´e um monˆomio de grau pelo menos 2 eyi ∈I.Seu n˜ao ´e potˆencia de vari´aveis, ent˜ao

u ∈ I e, conseq¨uentemente, y ∈ In. Suponha que u = xr

1 , r ≥ 2. Caso x1 n˜ao ocorra em

algum dos monˆomios yi, digamos yl, ent˜aoylx21 ∈ I2, portanto a proposi¸c˜ao segue novamente.

Suponha, ent˜ao, quex1 ocorre em cada yi, ou seja,

y=z1. . . zn−1xr1+n−1,

com zi ∈ {x1,· · · , xn}. Logo x1y /∈In e isto contradiz a escolha de y.

(42)

Neste ponto, surge uma quest˜ao: ser´a que existe um grafo cuja ´algebra de Rees de seu

ideal de Arestas n˜ao ´e norma? Esta quest˜ao poder´a ser respondida na pr´oxima se¸c˜ao.

3.3

Transferˆ

encia de Normalidade

Nesta se¸c˜ao estudaremos, por fim, a normalidade da sub´algebra k[G] = k[f1,· · · , fd],

em quek´e um corpo, G´e um grafo e f1,· · · , fds˜ao os monˆomios associados `as arestas do grafo

G. No artigo [4], em que estamos baseando esta disserta¸c˜ao, est´a provado o seguinte teorema: Teorema [7.1]: SejaGum grafo. Se a ´algebra de ReesR(I(G)) ´e normal, ent˜aoK[G] tamb´em ´e normal.

Por´em, apresentaremos uma vers˜ao mais geral do teorema descrito acima. Mais

pre-cisamente, provaremos no teorema 3.16 que se G ´e um grafo conexo, ent˜ao a ´algebra de Rees

R(I) ´e normal se, e somente se, R[G] ´e normal. Esse teorema ´e demasiadamente importante pois atrav´es dele poderemos obter grafos cuja ´algebra de Rees de seus ideais de arestas n˜ao s˜ao

normal.

Como na sec˜ao anterior j´a estudamos algumas ´algebras de Rees normais, podemos,

imediatamente, obter algumas sub´algebras k[G] normais. Como de costume, veremos algumas ferramentas que nos auxiliar˜ao na prova do teorema central.

Seja G= (V(G), A(G)) um grafo, em que V(G) = {x1,· · · , xn} um grafo. Definimos

o cone de G por C(G) = (V, A), em que V = V(G) ∪ {t} com t um novo v´ertice e A =

A(G)∪ {(x1, t),· · · ,(xn, t)}.

A proposi¸c˜ao que segue ser´a usada na demonstra¸c˜ao do teorema 3.16. A prova desse resultado n˜ao ser´a apresentada neste trabalho e poder´a ser encontrada em [VER

REFEREN-CIA].

3.14 Proposic¸˜ao. Sejam G um grafo e C(G) o cone de G. Ent˜ao, existe um isomorfismo

R(I(G))≃k[C(G)].

(43)

{zs, zs+1,· · · , zt = zs}, e um caminho ligando-os, P = {zr,· · · , zs}. Neste caso, denotaremos

Mw =z1. . . zrzs+1. . . zt.

Observe que se w ´e um bow tie de um grafo G, ent˜ao Mw ´e inteiro em k[G]. De fato,

Mw ´e raiz do polinˆomio f(x) =x2−Mw2. (Veja queMw2 ∈k[G], pois tem grau par e ´e produto

de arestas por um elelmento de k.) Mais ainda, em [6] ´e provado que o fecho inteiro k[G] de

k[G] ´e uma k-sub´algebra monomial gerada pelo conjunto

B ={f1,· · ·fq} ∪ {Mw ; w´e um bow tie },

em quef1,· · · , fq s˜ao os monˆomios definidos pelas arestas deG. Assim, para verificar quek[G]

´e um dom´ınio normal, basta observar se Mw ∈ k[G] para todo w bow tie, o que torna simples

verificar a normalidade de k[G].

3.16 Teorema. Sejam G um grafo conexo simples e I seu ideal de arestas. Ent˜ao a ´algebra de Rees R(I)´e normal se, e somente se, a sub´algebra k[G] ´e normal.

Demonstra¸c˜ao. ⇒) Suponha que R(I(G)) ´e um dom´ınio normal. Denote por m

o ideal maximal irrelevante de k[x1,· · · , xn] e por A o anel k[tf1,· · · , tfq], em que I(G) =

(f1,· · · , fq). Observe que existe a decomposi¸c˜ao de A-m´odulos

R(I(G)) =k[x1,· · · , xn, tf1,· · · , tfq] =k[tf1,· · · , tfq]⊕mR(I(G)).

ComoA ≃k[G] eR(I(G)) ´e normal, k[G] ´e normal.

⇐) Seja C(G) o cone do grafo G. Pela proposi¸c˜ao 3.14, existe um isomorfismo

R(I(G))≃k[C(G)].

Assim, basta mostrar que a ´algebra k[C(G)] ´e normal, isto ´e, que para todo w bow tie de

C(G) o elemento Mw ∈ k[C(G)]. Seja w um bow tie de C(G). Para concluir a demonstra¸c˜ao

separaremos em alguns casos.

1. Set /∈Z1∪Z2∪P, ent˜aow´e um bow tie deGe, portanto,Mw ∈k[G] =k[G]⊂k[C(G)].

2. Suponha que t ∈ Z1 ∪Z2, digamos t ∈ Z1. Se Z1 ∩Z2 6= ∅, ent˜ao Mw ∈ k[C(G)]. Caso

Z1 ∩Z2 = ∅ ent˜ao Z1 e Z2 ´e unido pela aresta (t, z), em que z ´e um v´ertice de Z2 e,

Figure

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