Algebras de Rees de Ideais de Arestas

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica

Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado Normalidade das ´ Algebras de Rees de Ideais de Arestas

  B´arbara Costa da Silva

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2007 Normalidade das ´ Algebras de Rees de Ideais de Arestas B´arbara Costa da Silva Disserta¸c˜ao sob orienta¸c˜ao do Prof. Dr.

  Carlos Eduardo Nogueira Bahiano que ser´a apresentada ao colegiado do curso de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador) Prof. Dr.Aron Simis Prof. Dr.Jos´e Fernandes Silva Andrade Resumo

  O presente trabalho estuda a normalidade das ´algebras de Rees de ideais monomiais I = (M , · · · , M r ) ⊂ k[x , · · · , x n ] gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados.

  1

  1 O texto ´e dividido em trˆes cap´ıtulos: preliminares, t´opicos em ´algebra comutativa e normalidade. O primeiro cap´ıtulo tem o objetivo de familiarizar o leitor sobre alguns conceitos envolvidos na disserta¸c˜ao, tais como grafos e ideais monomiais. J´a no cap´ıtulo seguinte, nor- malidade de an´eis e ideais, ´algebra de Rees e graduada associada e potˆencias simb´olicas s˜ao os principais t´opicos comentados, almejando obter ferramentas para o desenvolvimento e conclus˜ao dos resultados mais importantes desse trabalho. Finalmente, o cap´ıtulo sobre normalidade ´e o ponto culminante do trabalho, em que s˜ao apresentados alguns ideais monomiais cujas algebras de Rees s˜ao normais, assim como, exemplos de um ideal monomial cuja algebra de Rees n˜ao ´e normal.

  SILVA, B´arbara Costa. Normalidade das ´ Algebras de

  

Rees de Ideais de Arestas. Salvador-Ba, UFBA, 2007

  (Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de p´os- gradua¸c˜ao em Matem´atica), 45 p´aginas.

  PALAVRAS-CHAVE: Grafos, Monˆomios, Gerador M´ınimo Essencial, An´eis, Ideal de Arestas, ´ Algebra de Rees, Normalidade.

  

A Deus, a minha m˜ae, aos

familiares e aos amigos.

  

O futuro pertence `aqueles que acreditam na beleza de seus

sonhos.

  (Autor Desconhecido) Sum´ ario

  Resumo iii

  Introdu¸c˜ ao

  1

  1 Preliminares 3 1.1 Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Ideais Monomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2.1 Decomposi¸c˜ao Prim´aria de Ideais Monomiais . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2.2 Ideais de Arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  2 T´ opicos em ´ Algebra Comutativa 11 2.1 Ideais Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11

  ´ 2.2 Algebra de Rees e ´ Algebra Graduada Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.3 Potˆencias Simb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18

  3 Normalidade 22 3.1 Normalidade de Grafos Bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 3.2 Outras ´ Algebras de Rees Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31

  3.3 Transferˆencia de Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  34

  4 Apˆ endice 37 4.1 Integralidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37 Bibliografia

  40 Introdu¸c˜ ao

  O objetivo deste trabalho ´e estudar a normalidade das ´algebras de Rees associadas a ideais de arestas de um grafo (n˜ao orientado, e desprovido de loops e arestas paralelas), I = (M 1 , · · · , M r ) ⊂ k[x 1 , . . . , x n ], e a sua rela¸c˜ao com a normalidade da subalgebra k[F ] = k[M , · · · , M r ].

  1 Um grafo simples n˜ao orientado ser´a identificado com um ideal gerado por um conjunto de monˆomios de grau 2 e livres de quadrados, de acordo com a descri¸c˜ao a seguir: se G ´e um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x , · · · , x n }; A(G) seu conjunto de arestas e R

  1 o anel de polinˆomios sobre um corpo k, cujo n´ umero de vari´aveis independentes ´e igual a n (R = k[x , · · · , x ]), ent˜ao o ideal I de R gerado por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados,

  1 n denominado ideal de arestas, ´e dado por I = ({x i x j ; (x i , x j ) ∈ A(G)}).

  Esta ordem de id´eias foi originalmente introduzida por A. Simis, W. Vasconcelos e R. Villarreal em [4], e este mesmo artigo motivou o presente trabalho.

  Dizemos que um grafo G ´e normal se o seu ideal de arestas ´e normal, ou seja, se o n n n fecho inteiro da n-´esima potˆencia de I ´e igual a I (I = I , ∀n ≥ 1). Os pontos chave desta disserta¸c˜ao s˜ao: caracterizar os grafos normais em termos de sua estrutura; e relacionar a normalidade da ´algebra de Rees com a da k-sub´algebra k[F ].

  Neste sentido, os principais resultados que iremos demonstrar s˜ao: Teorema 3.9: Sejam G um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Ent˜ao G ´e bipartido se, e somente se, I(G) ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

  Teorema 3.16: Sejam G um grafo conexo e I seu ideal de arestas. Ent˜ao a ´algebra de Rees R(I) ´e normal se, e somente se, a sub´algebra k[G] ´e normal. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste Cap´ıtulo abordaremos, de forma resumida, algumas no¸c˜oes de grafos e ideais de arestas. O objetivo ´e deixar o leitor familiarizado com os conceitos utilizados no decorrer do trabalho.

1.1 Grafos

  Nesta se¸c˜ao veremos uma no¸c˜ao da teoria de grafos. A teoria de grafos ´e um grande est´ımulo para o estudo de ideais gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadrados em um anel de polinˆomios sobre um corpo k, os chamados ideais de arestas. Isto ocorre porque existem alguns elementos desta teoria que podem ser associados a elementos da teoria de ideais monomiais. Por exemplo, a cobertura m´ınima em grafos est´a associada aos primos m´ınimos dos ideais de arestas, como veremos no teorema 1.6. Esta rela¸c˜ao serve para tornar mais com- preens´ıvel e f´acil algumas demonstra¸c˜oes, al´em de ser uma alternativa a mais para a obten¸c˜ao dos resultados durante o trabalho.

  Dado um conjunto V 6= ∅, um grafo de v´ertices em V e arestas A ´e um par G = (V, A), em que A ⊆ V × V.

  Os elementos de A s˜ao chamados arestas de G. Quando n˜ao for claro escreveremos A(G), em lugar de A, para evidenciar a dependˆencia entre G e A.

  ∈ V, Um grafo G ´e finito se o conjunto V de seus v´ertices ´e finito. Dados v´ertices v 1 , v

  2 dizemos que v ´e adjacente a v em G, se (v , v ) ∈ A(G). Um grafo ´e dito ser completo se

  1

  2

  1

  2 seus v´ertices s˜ao dois a dois adjacentes. Dois v´ertices v , v ∈ V, s˜ao ditos independentes em G

  1

  2 ∈ A(G). Dizemos que o grafo G possui loops ou la¸cos em v ∈ V se se, ambos, (v

  1 , v 2 ), (v 2 , v 1 ) / (v, v) ∈ A. O grafo ´e orientado se existe v , v ∈ V tais que (v , v ) ∈ A e (v , v ) / ∈ A.

  1

  2

  1

  2

  2

  1 Quando um grafo G ´e n˜ao-orientado, desprovido de loops, sem v´ertices isolados e o conjunto dos v´ertices ´e finito diremos que G ´e simples. A partir de agora s´o trabalharemos com grafos desse tipo.

  Sejam G, H grafos. Dizemos que H ´e subgrafo de G, e escrevemos H ⊆ G, se V (H) ⊆ V (G) e A(H) ⊆ A(G). Al´em disto, se A(H) = A(G) ∩ (V(H) × V(H)) ent˜ao H ´e um subgrafo induzido de G. Neste caso, denotamos por G ⊑ H.

  Observe que dado um grafo G = (V, A) e um subconjunto V ⊆ V, existe um ´ unico subgrafo induzido de G cujos v´ertices s˜ao os elementos de V . O subgrafo induzido ´e denominado subgrafo gerado por V .

  Um caminho de comprimento r ´e um grafo cujos v´ertices e arestas s˜ao, respectivamente, a menos de nota¸c˜ao, V = {0, 1, . . . , r} e A = {(0, 1), (1, 2), . . . , (r − 1, r)}. Dado r ∈ N (r > 2), um ciclo de ordem r, escrito C r , ´e um grafo cujos v´ertices e arestas s˜ao, respectivamente, a menos de nota¸c˜ao,

  V = {1, . . . , r} e A = {(1, 2), . . . , (r − 1, r), (r, 1)} Um grafo G ´e conexo se para todo par de v´ertices existe um caminho em G ligando-os. Um grafo ´e r-conexo (r ∈ N ) se para todo subconjunto V ⊂ V (G), de cardinalidade menor

  • ou igual a r − 1, o subgrafo induzido G(V (G) \ V ) ´e conexo.

  Um grafo G ´e uma ´arvore se ´e conexo e n˜ao possui ciclos. Sejam G um grafo e v ∈ V. O grau de incidˆencia de v em G (escrito d G (v)) ´e a cardinalidade do conjunto de v´ertices que s˜ao adjacentes a v. Os v´ertices de grau de incidˆencia zero s˜ao chamados de v´ertices isolados. Observe que se G ´e r-conexo, ent˜ao d G (v) ≥ r para todo v´ertice.

  }. Uma cobertura de G ´e um subconjunto Seja G um grafo de v´ertices V = {v 1 , . . . , v n

  P ⊂ V tal que para toda aresta (v ı , v  ) tem-se v ı ∈ P ou v  ∈ P. Uma cobertura ´e m´ınima se nenhum de seus subconjuntos pr´oprios ´e uma cobertura de G, e ser´a minimal se n˜ao existe cobertura de cardinalidade menor. A cardinalidade de uma cobertura minimal de G, escrita α o (G), ´e tamb´em designada como o n´ umero de cobertura de G, enquanto β o (G) := #V (G) − α o (G) ´e dito ser a dimens˜ao de G.

  Da defini¸c˜ao segue que o complementar de uma cobertura ´e um conjunto de v´ertices independentes em G, e vice-versa. Portanto, o complementar de cobertura m´ınima (resp. min- imal) corresponde a um conjunto m´aximo (resp. maximal) de v´ertices independentes em G.

  A distˆancia d(v , v ) entre dois v´ertices v e v ´e o m´ınimo do comprimento de todos

  1

  2

  1

  2 os caminhos que une v a v .

  1

  2 Dizemos que um grafo G ´e bipartido se admite uma cobertura composta por v´ertices independentes.

  Se G ´e bipartido, ent˜ao G admite uma cobertura minimal composta por v´ertices in- dependentes. Um ciclo de ordem ´ımpar n˜ao ´e bipartido. De fato, toda cobertura m´ınima de G cont´em ao menos uma aresta de G. Segue-se, portanto, que um grafo bipartido n˜ao cont´em ciclos de ordem ´ımpar. Esta necessidade ´obvia tamb´em ´e uma condi¸c˜ao suficiente:

1.1 Teorema. Um grafo n˜ao trivial G ´e bipartido se, e somente se, n˜ao cont´em ciclos de ordem ´ımpar.

  Demonstra¸ c˜ ao. Para provar a rec´ıproca do teorema basta provar que cada compo- ∈ V e considere nente conexa de G ´e bipartida, portanto podemos supor G conexo. Seja v

  1 V = {v ∈ V ; d(v, v ) ´e ´ımpar} e V = V − V .

  1

  1

  2

  1 Segue que V e V n˜ao possuem dois v´ertices adjacentes, pois G n˜ao cont´em ciclos de

  1

  2 ordem ´ımpar. Logo G ´e bipartido. Exemplo

  1.1. Um exemplo simples de grafos bipartidos s˜ao as ´arvores, visto que ´arvores n˜ao possuem ciclos.

  1.2 Ideais Monomiais

  Nesta se¸c˜ao estudaremos as caracter´ısticas b´asicas dos ideais monomiais e sua rela¸c˜ao com os grafos.

  ¸˜ ao.

  

1.2 Definic Um ideal I ⊂ R = k[x , · · · , x n ], em que k ´e um corpo, ´e dito um ideal

  1 monomial se I ´e gerado por monˆomios.

  Como o anel de polinˆomios R ´e um dom´ınio noetheriano, ent˜ao, se I ´e um ideal monomial, existe um conjunto finito de monˆomios em R que geram I.

  ¸˜ ao.

  1.3 Definic Dizemos que o monˆomio f ∈ R ´e livre de quadrado se α α 1 n

  · · · x f = x , e α i = 0 ou α i = 1. n

  1

1.2.1 Decomposi¸c˜ ao Prim´ aria de Ideais Monomiais

  Um resultado cl´assico na teoria da ´algebra comutativa diz que se R ´e um anel Noethe- riano e I ´e um ideal pr´oprio de R, ent˜ao I possui uma decomposi¸c˜ao prim´aria irredundante [[6],Corol´ario 1.1.25]. A decomposi¸c˜ao prim´aria de ideais descreve muito bem as caracter´ısticas do ideal. Nesta se¸c˜ao veremos a decomposi¸c˜ao prim´aria de ideais monomiais para estudarmos as caracter´ısticas dos ideais de aresta. As demonstra¸c˜oes dos resultados desta se¸c˜ao ensinam como fazer a decomposi¸c˜ao prim´aria destes ideais.

  P Para todo f ∈ R podemos escrever f = λ ı M ı , em que λ ı ∈ k \ {0} e M ı ∈ R s˜ao monˆomios. Como o anel de polinˆomios ´e uma ´algebra graduada, utilizando a ordem lexicogr´afica

  P reversa, podemos considerar f = λ M , tal que M < M , sempre que ı < . Usaremos L ı ı ı  f para denotar o monˆomio l´ıder de f, enquanto que, para um ideal I ⊂ R, L(I) denotar´a o ideal gerado pelos monˆomios l´ıderes dos elementos de I.

1.4 Lema. Sejam R = k[x , . . . , x n ] um anel de polinˆomios e J ⊂ R um ideal monomial.

  1 P M ∈ J, ent˜ao L ∈ J. Consequentemente, M ∈ J, sempre que λ 6= 0. (a) Se f = λ ı ı f ı ı α β α β (b)Dados monˆomios X , X ∈ R. Se MDC(X , X ) = 1, ent˜ao: α β α β

  (X X , J) = (X , J) ∩ (X , J). Demonstra¸ c˜ ao. (a) Neste caso, J possui uma base de gr¨obner {g , . . . , g r } ⊂ J, com-

  1 P posta por monˆomios e, portanto, J = L(J) = (L g , . . . , L g ). Em particular, se f = λ ı M ı ∈ J, 1 r

  ∈ J e portanto L ∈ J. Usando recursivamente o argumento obtemos M ∈ J, ent˜ao f = f −L f f ı para todo ı. α β α β α β (b) Veja que a inclus˜ao (X X , J) ⊆ (X , J) ∩ (X , J) ´e trivial. Por outro lado, dado f ∈ (X , J) ∩ (X , J) podemos escrever α β f = h X + u = h X + u u , u ∈ J e h , h ∈ R.

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 P α β M ∈ J, temos f ∈ J ⊂ (X

  Se h 1 = λ i ı α β β α θ β X , J). Contudo, se algum termo M ı o de h 1 n˜ao per- tence a J, como h X = h X + u − u ∈ (X , J), temos, obrigatoriamente, M ı X = X X .

  1 α β β

  2

  2

  1 o Uma vez que, MDC(X , X ) = 1, obtemos M ı ∈ (X ), e conseq¨ uentemente, se repetirmos o o mesmo argumento com todos os termos de h α α β 1 que n˜ao est˜ao em J obtemos h X ∈ (X X , J).

  1 ¥

1.5 Teorema. Sejam R = k[x , . . . , x n ] um anel de polinˆomios e I ⊂ R um ideal monomial.

  1 Ent˜ao: (a) existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria I = ∩Q λ , em que os Q λ s˜ao ideais gerados por potˆencias de vari´aveis;

  }; (b) I ´e primo se, e somente se, ´e gerado por um subconjunto de {x 1 , . . . , x n (c) os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis; (d) se I ´e gerado por monˆomios e livres de quadrados, ent˜ao I ´e radical. Em particular, I n˜ao tem primos imersos.

  α α α 1 r i α α α t 2 r Demonstra¸ c˜ ao. (a) Sejam I = (X , . . . , X ), em que cada X ´e um monˆomio e 1 d d 1 J = (X , . . . , X ). Ent˜ao podemos supor que X = x · · · x t ≤ n. t

  1 Usando recursivamente o lema 1.4 temos: d d 1 t I = (x , J) ∩ · · · ∩ (x , J). t

  1 Pela hip´otese de indu¸c˜ao J tem uma decomposi¸c˜ao prim´aria J = ∩ e Q λ , em que os Q λ s˜ao gerados por potˆencias de vari´aveis, e portanto, para todo  ∈ {1, . . . , t}, temos d d d    (x , J) = (x , ∩ e Q λ ) = ∩(x , e Q λ ).    Isto demonstra o item (a). α

  (b) Seja X ∈ I o monˆomio de maior grau, que ´e um gerador m´ınimo de I e seja x ı um α X α α divisor de X . Temos ∈ I. Como I ´e primo, ent˜ao x / ı ∈ I e, conseq¨ uentemente, X = x ı . x ı Logo I ´e gerado por vari´aveis. A rec´ıproca ´e imediata.

  (c) De fato, a decomposi¸c˜ao prim´aria dada no ´ıtem (a) pode ser reduzida por elim- ina¸c˜ao dos prim´arios que j´a cont´em algum outro presente na decomposi¸c˜ao, fornecendo assim, uma decomposi¸c˜ao prim´aria irredundante, composta por ideais prim´arios que s˜ao gerados por potˆencias de vari´aveis. Sabe-se, entretanto, que os primos associados s˜ao os radicais dos ideais prim´arios de uma decomposi¸c˜ao irredundante, e ´e imediato que o radical de um ideal prim´ario, que tem a forma acima, ´e gerado por vari´aveis.

  (d) Neste caso, a decomposi¸c˜ao dada pelo item (a) ´e composta por ideais gerado por um subconjunto do conjunto de vari´aveis, e portanto, primos. O ideal I ´e, portanto, intersec¸c˜ao de ideias primos, logo radical. Em particular, I ´e a intersec¸c˜ao de seus primos m´ınimos, logo n˜ao tem primos imersos.

  ¥

1.2.2 Ideais de Arestas

  Nesta parte do trabalho indicaremos algumas correspondˆencias existentes entre um grafo G e o ideal monomial gerado por monˆomios livres de quadrados de grau 2 em um anel de polinˆomios sobre um corpo k. Inicialmente, daremos um mecanismo para passarmos de um grafo para um ideal como descrito acima e, em seguida mostraremos as rela¸c˜oes entre eles.

  Seja G um grafo cujo conjunto de v´ertices ´e V = {x , · · · , x n }. Considere R o anel

  1 de polinˆomios em um corpo k, cujo n´ umero de vari´aveis independentes ´e igual ao n´ umero de elementos em V , isto ´e, R = k[x

  1 , · · · , x n ]. O ideal de arestas de G ´e o ideal I(G) ⊂ R gerado pelos monˆomios x i x j , tais que (x i , x j ) ´e uma aresta de G. Assim, I(G) = ({x i x j ; (x i , x j ) ∈ A(G)}).

  Exemplo

1.2. Para exemplificar a defini¸c˜ao acima, considere o grafo G = (V, A) tal

  

que V = {x, y, z, w} e A = {(x, y), (x, z), (y, w), (z, w)}. Ent˜ao o ideal de aresta de G em

  k[x, y, z, w] ´e dado por I(G) = (xy, xz, yw, zw).

  ´ E claro que esta rela¸c˜ao ´e biun´ıvoca, isto ´e, para cada grafo dado existe um ´ unico ideal de arestas associado a este grafo e vice-versa. R O anel do grafo, denominado Anel de Petersen, ´e o anel de classes k[G] := . I

  (G) O teorema abaixo relaciona os primos m´ınimos do ideal de arestas de um grafo G com as suas coberturas, e a dimens˜ao de G com a dimens˜ao do anel de Petersen de G.

1.6 Teorema. Dado um grafo simples G, com n v´ertices, seja I = I(G) ⊂ R seu ideal de

  

arestas. Os conjuntos de geradores (m´ınimos) dos primos m´ınimos de I(G) correspondem a

coberturas m´ınimas de G. Em particular, ht I(G) = α o (G), e dim k[G] = β o (G) = dim G.

  Demonstra¸ c˜ ao. Uma vez que I ´e gerado por monˆomios livres de quadrados, I ´e ideal radical, e seus primos m´ınimos s˜ao gerados por vari´aveis.

  } ´e Dado um primo m´ınimo P = (x ı , . . . , x ı t ) de I, Afirmamos que C P = {x i , · · · , x i t 1 1 uma cobertura m´ınima de G.

  ∈ I ⊂ P e, portanto, x ∈ P ou x ∈ P, De fato, dada uma aresta (x ı , x  ), temos x ı x  ı  o que implica x ı ∈ C P ou x  ∈ C P . Segue que C P ´e uma cobertura de G. Para mostrar que C P

  ´e uma cobertura m´ınima, basta observar que se P ⊂ P ´e gerado por um subconjunto pr´oprio ′ ′ ′ }, ent˜ao I 6⊆ P

  ∈ I de {x ı , . . . , x ı t . Como P ´e primo m´ınimo e P ´e primo, existe aresta x ı o x  o 1 tal que x ı , x  ∈ P / . Logo, x ı , x  ∈ C / P . o o o o } do grafo G, o primo

  Reciprocamente, dada uma cobertura m´ınima C = {x ı , . . . , x ı t ′ ′ 1 P = (x ı , . . . , x ı ) cont´em I e nenhum primo P ⊂ P cont´em I, pois neste caso, P deveria 1 t conter um subconjunto de vari´aveis propriamente contida em P e portanto pela primeira parte ⊂ C e C n˜ao seria uma cobertura m´ınima. acima, teriamos uma subcobertura C P

  Para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema, observamos que as coberturas minimais correspondem aos primos minimais e vice-versa, logo ht(I) ´e igual `a cardinalidade da menor cobertura poss´ıvel, i.´e, ht(I) = α o (G). Em particular, dim k[G] = n − ht(I) = #V (G) − α o (G) = β o (G) = dim G.

  ¥ No exemplo 1.2 vemos que os primos m´ınimos de I s˜ao (x, z), (y, w) pois os subconjuntos de V dados por {x, z}, {y, w} s˜ao coberturas m´ınimas de G. α α 1 α n Dado um monˆomio X = x . . . x ∈ k[x , · · · x n ], o seu suporte ´e o conjunto n

  1

  1 α α }. suppX = {x ı ; x ı divide X Cap´ıtulo 2 T´ opicos em ´ Algebra Comutativa

  Neste cap´ıtulo abordaremos alguns t´opicos em ´algebra comutativa tais como ideais normais, potˆencias simb´olicas, ´algebra de Rees e ´algebra graduada associada, com o intuito de fornecer ferrramentas para o pr´oximo Cap´ıtulo.

  2.1 Ideais Normais

  Veremos a defini¸c˜ao de normalidade de ideais e, em paralelo, estaremos provando alguns resultados referentes a este assunto. Um resultado muito importante e utilizado bastante no decorrer do trabalho (que demonstraremos nesta se¸c˜ao), descreve como obter o fecho inteiro de um ideal monomial I a partir do mesmo [Proposi¸c˜ao 2.2]. Como o foco da nossa aten¸c˜ao s˜ao os ideais de arestas, a caracteriza¸c˜ao do fecho inteiro de ideais monomiais ser´a um grande passo na busca da normalidade de tais ideais.

  

2.1 Definic ¸˜ ao. Sejam R um anel e I um ideal de R. Um elemento z ∈ R ´e inteiro sobre I se

  z satisfaz a seguinte equa¸c˜ao: n n− i

  1 z + a z + · · · + a = 0; sendo a ∈ I . 1 n i

  

O conjunto de todos os elementos z ∈ R inteiro sobre I, denotado por I, ´e chamado fecho

n

inteiro de I. Quando I = I dizemos que I ´e integralmente fechado ou completo. Caso I seja

completo para todo n ∈ N ent˜ao o ideal I ´e dito normal.

  Diremos que um grafo G ´e normal se seu ideal de arestas for normal. Existe uma quest˜ao natural que surge neste ponto: ser´a que o fecho inteiro de um ideal monomial ´e ainda um ideal monomial? Em [6] podemos comprovar que a resposta desta quest˜ao ´e afirmativa. Mais ainda, se I ⊂ k[x , · · · , x n ] ´e um ideal monomial, em que k ´e um

  1 corpo, ent˜ao I ´e gerado pelo conjunto α α m m

  {X ∈ I α i1 ir α α ; (X ) para algum m ≥ 1}, em que X = x . . . x s˜ao monˆomios em k[x , · · · , x r ] tais que α i + · · · + α i = α, como ser´a i i r 1 1 r 1 provado na proposi¸c˜ao seguinte. Como estaremos interessados em encontrar grafos normais, saber como se comporta o fecho inteiro de um ideal monomial ´e de grande importˆancia para o desenvolvimento do trabalho.

  ¸˜ ao.

2.2 Proposic Sejam R = k[x , · · · , x n ] um anel de polinˆomios sobre um corpo k e I ⊂ R

  1

  um ideal monomial. Ent˜ao o fecho inteiro de I ´e dado por: α α m m α i1 ir α α I = ({X ; (X ) ∈ I para algum m ≥ 1}), em que X = x . . . x s˜ao monˆomios tais que α i + · · · + α i = α. i i 1 r α α m m α 1 r

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam J = {X ; (X ) ∈ I para algum m ≥ 1} e X ∈ J. Ent˜ao α m m α m α m existe m ≥ 1 tal que (X ) ∈ I . Note que X ´e raiz do polinˆomio f (z) = z − (X ) e α ∈ I. portanto X α

  Reciprocamente, se z = X ∈ I ent˜ao r r− i

  1

  1 ∈ I z + a

  1 z + · · · + a r− m m 1 z + a r = 0 , a i .

  Como I ´e ideal monomial ent˜ao z ∈ I para algum m ≥ 1.

  ¥ Sejam R = k[x , ..x n ] o anel de polinˆomios sobre um corpo k e P ⊂ R um ideal

  1 monomial primo. Iremos utilizar a proposi¸c˜ao acima para mostrar que P ´e normal. Embora esse resultado seja simples, este ser´a apresentado para indicar a importˆancia da caracteriza¸c˜ao do fecho inteiro de um ideal I dado acima. Al´em disso, esse resultado ser´a usado em outras demonstra¸c˜oes. n n ⊂ P

  Vamos mostrar que P ´e normal por indu¸c˜ao em n. Observe que P para todo n n n, logo basta mostrar que P ⊂ P . Para n = 1 seja y ∈ P . Ent˜ao existe j ∈ N tal que j j y ∈ P ⊂ P . Como P ´e primo ent˜ao y ∈ P . Portanto P = P . i i n j nj n− Suponha que para i < n tenhamos P = P e seja y ∈ P . Ent˜ao existe j ∈ N tal que n n−

  1

  1 y ∈ P . Como y ∈ P ⊂ P = P ent˜ao y tem grau pelo menos n − 1, isto ´e, α α 1 r y = x . . . x u, i i 1 r em que |α| = n − 1 e u ´e um monˆomio de grau maior que 0 ou u ´e uma constante. Mas, se u j α j α r j 1 j n for uma constante y = x . . . x u ter´a o grau menor que jn, absurdo. Logo y ∈ P . i i 1 r

  Vamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre normalidade de um dom´ınio [ver Apˆendice] e ideais completos. a

2.3 Lema. Seja R um dom´ınio e x ∈ R − {0} tal que o anel de fra¸c˜oes R x = { n , a ∈ R} x seja normal. Ent˜ao, R ´e normal se, e somente se, (x) ´e completo.

  Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que R seja normal e seja z ∈ (x). Logo, z satisfaz a equa¸c˜ao abaixo: n n− 1 n z + (a x)z + · · · + (a n x ) = 0, com a i ∈ R. n

  1 Dividindo a equa¸c˜ao por x teremos z z n n−

  1 ( ) + a ( ) + · · · + a n = 0.

  1 z x x ∈ R = R e, portanto, z ∈ (x).

  Da´ı, x Reciprocamente, suponha (x) completo e seja z ∈ R. Como o corpo de fra¸c˜oes de R ´e a igual ao de R x e R ⊂ R x ent˜ao R ⊂ R x = R x . Logo, podemos escrever z = r , a ∈ R. Para x mostrar que z ∈ R basta mostrar que a ∈ (x).

  Como z ∈ R temos que z satisfaz a equa¸c˜ao que segue: n n−

  1 ∈ R. z + b 1 z + · · · + b n = 0, com b i rn Multiplicando a equa¸c˜ao por x teremos: n r n−

  1 rn a + (b x )a + · · · + b n x = 0.

  1 Logo a ∈ (x) = (x).

  ¥ ¸˜ ao.

  

2.4 Proposic Se I ´e um ideal de um anel R e S ´e um sistema multiplicativo fechado tal

que S ∩ I = ∅ ent˜ao

  1

  1 S (I) = S (I).

  

2.5 Corol´ ario. Seja R um dom´ınio e x ∈ R − {0}. Ent˜ao, R ´e normal se, e somente se, R x

R e R p s˜ao normais para todo P ∈ Ass .

  (x) T R

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam x ∈ R − {0} e B = R P . Podemos observar que se P ∈Ass ( ) x R ´e um dom´ınio ent˜ao

  \ R = R x B.

  Portanto, R ´e um dom´ınio normal se, e somente se, R x e R P s˜ao dom´ınios normais para algum R x ∈ R − {0} e para todo P ∈ Ass . x ¥

  Dada A ⊂ B uma extens˜ao de an´eis, uma quest˜ao que surge ´e: se B ´e um anel normal ent˜ao A tamb´em ´e normal? Em geral, a normalidade de B n˜ao ´e herdada por A. Nos resultados abaixo daremos as condi¸c˜oes necess´arias para que o anel A seja normal.

  

2.6 Lema. Seja A ⊂ B uma extens˜ao de an´eis. Se B = A ⊕ C, como A-m´odulos, ent˜ao

IB ∩ A = I para todo ideal I de A.

  P q Demonstra¸ c˜ ao. Seja z ∈ IB ∩ A e escreva z = b i f i , em que b i ∈ B e f i ∈ I. i =1 P q

  Por hip´otese, b = a + c , com a ∈ A e c ∈ C. Como z ∈ A segue que z = a f ∈ I. Isso i i i i i i i i =1 prova o lema pois I ⊂ IB ∩ A ´e claro.

  ¸˜ ao.

  

2.7 Proposic Sejam A e B dom´ınios de integridade com A ⊂ B e k A e k B seus respectivos

corpo de fra¸c˜oes. Se B = A ⊕ C, como A-m´odulos, ent˜ao k A ∩ B ⊂ A.

  Em particular, se B ´e normal, ent˜ao A ´e normal. a

  Demonstra¸ c˜ ao. Se b = ∈ B com a, c ∈ A, ent˜ao a ∈ (c)B ∩ A = (c) [Lema 2.6], c portanto a = λc = bc, com λ ∈ A. Logo, b = λ ∈ A ¥

  ´

  2.2 Algebra de Rees e ´ Algebra Graduada Associada

  Sejam R um anel e F = {I n ; n ≥ 0} uma fam´ılia de ideais em R. Dizemos que F ´e uma filtra¸c˜ao se F ´e tal que ⊂ I ⊂ I

  I i +1 i , I = R e I i I j i +j , ∀i, j ∈ N. As potˆencias ordin´arias de um ideal I ⊂ R ´e um exemplo de uma filtra¸c˜ao.

  Dada uma filtra¸c˜ao F = {I i ; n ∈ N} de um anel R podemos definir um anel N- graduado associado a F dado por: n R(F) = R ⊕ It ⊕ · · · ⊕ I n t ⊕ · · · ⊂ R[t].

  Chamamos o anel R(F) de ´algebra de Rees da filtra¸c˜ao F. Quando nos referirmos `a ´algebra de n Rees de I estaremos considerando a filtra¸c˜ao F = {I , n ∈ N} e usaremos a nota¸c˜ao R(I).

  Se I ´e um ideal de um anel R gerado por f , · · · , f r , ent˜ao a ´algebra de Rees de I ´e

  1 dada por:

  R(I) ≈ R[f 1 t, · · · , f r t] ⊂ R[t], em que t ´e transcendente sobre R. De fato, basta observar que n α i1 ir α n n I = ({f . . . f ; α i + · · · + α i r = n}). i i 1 r 1 Da´ı, se f ∈ I t ent˜ao α α i1 ir n i1 α ir α α α i1 ir f = af . . . f t = a(f t ) . . . (f t ), i i r i i r 1 1

  ¸˜ ao.

  

2.8 Definic Seja I um ideal de um anel R. Definimos a ´ Algebra de Rees extendida de I

  1 por A = R[It, t ].

  

2.9 Proposic ¸˜ ao. Sejam I um ideal de um anel R e A a ´algebra de Rees extendida de I. Se R ´e

  1

  um dom´ınio normal, ent˜ao A ´e normal se, e somente se, A P ´e normal para todo P ∈ Ass t a A.

  1 n Demonstra¸ c˜ ao. Basta observar que A u = R[t, u], em que u = t e A u = { ; a ∈ u A}. Logo A u ´e um dom´ınio normal. Da´ı, a proposi¸c˜ao segue por 4.3.

  ¥ Sejam R um anel e I um ideal de R. Podemos definir outro anel graduado por n

  R

  I I ⊕ ⊕ · · · ⊕ ⊕ · · · , gr I (R) =

  2 n +1

  I I

  I em que a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida em gr i j i +j−1 I (R) ´e dada por: i− j− (a + I )(b + I ) = ab + I ,

  1

  1 em que a ∈ I e b ∈ I . ´ E f´acil provar que gr I (R) com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao definida acima e a operara¸c˜ao usual de soma ´e de fato um anel. O anel gr I (R) ´e chamado ´algebra R graduada associada a I. Veja que se I = (f

  1 , · · · , f r ) ent˜ao gr I (R) ≃ [f , · · · , f ], em que I 1 n

  2 f = f i + I . i Existe uma liga¸c˜ao entre a ´algebra de Rees de um ideal I de R e a ´algebra graduada associada de I como ser´a mostrado no lema abaixo.

2.10 Lema. Se I ´e um ideal de um anel R ent˜ao,

  A ≃ gr I (R),

  1 t A

  1 em que A = R[It, t ] ´e a ´algebra de Rees extendida de I.

  O pr´oximo teorema mostra algumas equivalˆencias sobre normalidade. Entre elas existe uma que associa a normalidade de um ideal de arestas e a normalidade da ´algebra de Rees deste ideal, um resultado especial, pois permite que trabalhemos tanto com o ideal de arestas de um

2.11 Teorema. Seja I um ideal de um dom´ınio normal R. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao

  equivalentes:

  (a) I ´e um ideal normal de R; (b) a ´algebra de Rees de I ´e normal; (c) o ideal IR(I) ⊂ R(I) ´e completo;

  1 −

  1 (d) o ideal (t ) ⊂ R[It, t ] ´e completo; (e) a ´algebra de Rees extendida de I ´e normal.

  Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b) Sejam A = R(I) e z ∈ A. Note que como R ´e um dom´ınio normal ent˜ao R[t] tamb´em ´e normal. Al´em disso o corpo de fra¸c˜oes de A e de R[t] ´e o mesmo. Logo, A ⊂ R[t] implica A ⊂ R[t] = R[t]. Portanto, podemos escrever s

  X i s s z = b t . i =0 i ´

  ∈ A. Primeiro provaremos que b ∈ A. Como z ´e quase inteiro E suficiente provar que b s t s t n m sobre A existe f ∈ A, com f 6= 0 tal que f z ∈ A para todo n > 0. Portanto existe f m ∈ I , m s n s com f m 6= 0 tal que (f m t )(b s t ) ∈ A para todo n > 0, ou seja, b s t ´e quase inteiro sobre A. s s

  Logo, pela proposi¸c˜ao 4.5, b s t ´e inteiro sobre A. Portanto b s t satisfaz a equa¸c˜ao abaixo: s m s m− 1 s

  (b s t ) + a (b s t ) + · · · + a m− (b s t ) + a m = 0,

  1

  1 P r i j j em que a i = a ij t e a ij ∈ I . Agrupando todos os termos em t de grau sm temos a j =0 equa¸c˜ao m m m−i

  X s s s s + b a i,s i b = 0. i =1 Portanto b s ´e inteiro sobre I e, conseq¨ uentemente, b s ∈ I . s

  (b) ⇒ (c) Seja z = b + b t + · · · + b s t um elemento de R(I) que ´e inteiro sobre IR(I)

  1 (A justificativa para escrevermos z desta forma ´e a mesma dada em (a) ⇒ (b)). Ent˜ao z satisfaz uma equa¸c˜ao da forma m m− i

  1 z + a z + · · · + a m− z + a m = 0, com a i ∈ I R(I),

  1

  1 m multiplicando por t , obtemos que tz ´e inteiro sobre R(I). Portanto, tz ∈ R(I), o que prova que z ∈ IR(I).

  1 −

  1 (c) ⇒ (d) Sejam B = R[It, t ] e z ∈ B inteiro sobre t

  B. Como a parte negativa da

  1 expans˜ao de Laurent de z j´a est´a em t B podemos escrever s

  X i z = b i t , i i =0 sendo s ≥ 0 e b i ∈ I para todo i ≥ 0. Por indu¸c˜ao descendente em s ´e suficiente provar que s

  • 1

  b s ∈ I . Existe uma equa¸c˜ao m m−

  1 1 i z + a z + · · · + a m− z + a m = 0,em que a i ∈ (t ) B.

  1 m

  1 Multiplicando a equa¸c˜ao por t , obtemos que zt ´e quase inteiro sobre B. Usando o mesmo s s

  • 1
  • 1

  argumento de a) ⇒ b) conclu´ımos que b s t ´e quase inteiro sobre B e, portanto, b s t ´e inteiro s

  • 1

  sobre B. Por um c´alculo simples podemos provar que b s t ´e inteiro sobre IR(I), que prova s +1 que b s ∈ I .

  1 (d) ⇒ (e) Seja u = t . Como R[It, u] u = R[t, u] ´e um dom´ınio normal, ent˜ao pelo lema 4.3 temos que R[It, u] ´e normal. r (e) ⇒ (a) Se z ∈ I , ent˜ao z satisfaz a equa¸c˜ao m m− ri

  1 z + a z + · · · + a m− z + a m = 0, com a i ∈ I , rm r − r

  1

  1

  1 multiplicando por t , encontramos que zt ´e inteiro sobre R[It, t ]. Portanto, z ∈ I .

  ¥

  2

  2

  2

  2 Exemplo

  2.1. Sejam R = Q[x, y] e I = (x , y ). Observe que I = (x , y , xy), portanto R(I) n˜ao ´e normal.

  2.3 Potˆ encias Simb´ olicas

  Sejam I um ideal de um anel R e P , · · · , P r os primos m´ınimos de I. Dado n ≥ 1 a

  1 n-´esima potˆencia simbolica de I ´e definida como o ideal

  (n) n em que Q i ´e a componente prim´aria de I correspondendo a P i .

  Podemos definir potˆencia simb´olica de um ideal I de um anel R por (n) − 1 n

  I = S I ∩ R , ∀n ≥ 1, em que S = R \ ∪P e P s˜ao os primos m´ınimos de I. Esta defini¸c˜ao e a outra apresentada no i i in´ıcio desta sec˜ao s˜ao equivalentes, como ser´a demonstrado na proposi¸c˜ao abaixo. ¸˜ ao.

  

2.12 Proposic Sejam I um ideal de um anel R e S = R \ ∪P i , em que P s s˜ao os primos

i m´ınimos de I para todo i. Ent˜ao

  (n) − 1 n I = S n I ∩ R , ∀n ≥ 1.

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja I = Q ∩ · · · ∩ Q r ∩ Q r ∩ · · · ∩ Q s a decomposi¸c˜ao prim´aria n ′ 1 +1 de I , em que Q s s˜ao P i -prim´arios para todo i ≤ r e os Q s s˜ao componentes prim´arias imersas i i 1 −

  1 ∩ S = ∅ para i > r, ent˜ao S para todo i > r. Como P i Q i = S R [7]. Portanto, s r − n − − \ \

  1

  1

  1 S I = S ( Q i ) = S Q i . i i =1 =1

  1 Note que S Q i ∩ R = Q i

  e, portanto, interceptando a igualdade acima com R, a proposi¸c˜ao segue.

  ¥ O caso de nosso interesse ´e os ideais de arestas e, para este caso, ainda existe uma outra maneira de encontrar a potˆencia simb´olica, como mostra a proposi¸c˜ao abaixo.

  ¸˜ ao.

2.13 Proposic Sejam I um ideal radical de um anel R e P , · · · , P r os primos m´ınimos

  1

  de I. Ent˜ao

  (n) (n) (n) I = P ∩ · · · ∩ P . r n

  1 Demonstra¸ c˜ ao. Seja I = Q ∩ · · · ∩ Q ∩ Q ∩ · · · ∩ Q a decomposi¸c˜ao prim´aria n ′ ′ 1 r r +1 s de I , em que Q s s˜ao P i -prim´arios ∀i ≤ r e os Q s s˜ao componentes prim´arias imersas para i i n i > r. Localizando em P i obtemos I R P = Q i R P i i

  e, como I = P ∩ · · · ∩ P r , teremos: n n n n

  1 n Portanto, P R P i = Q i R P i para i ≤ r e, fazendo a contra¸c˜ao destes ideais, obteremos o resultado i

  (n) proposto, pois P = Q i , ∀i ≤ r. i ¥

  Observe que, se R = k[x , · · · , x n ] ´e um anel de polinˆomios sobre um corpo k e I um

  1 ideal monomial ent˜ao seus ideais primos s˜ao da forma P = (x i , · · · , x i r ) com 1 ≤ i 1 1 < · · · < i r .

  Assim, n α α 1 r P = ({x . . . x ; |α| = |(α , · · · , α r )| = n}) i i 1 r

  1 n T α α 1 r n

  e, portanto, P = (x , · · · , x ) com |(α , · · · , α r )| = n + r − 1. Desta forma, P possui um i i 1 r

  1 (n) n unico primo associado que ´e o pr´oprio P e, conseq¨ ´ uentemente, P = P . Assim, se I ´e um ideal monomial radical ent˜ao

  \ n (n)

  I = P , i em que P i s˜ao os primos m´ınimos de I.

  ¸˜ ao.

2.14 Definic Seja I um ideal de um anel R. Dizemos que I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao R R se Ass( i ) est´a contido em Ass( ) para todo i ≥ 1 e I 6= R.

  I I R R

  Observe que caso I seja um ideal radical ent˜ao Ass( ) ⊂ Ass( i ) , ∀i ∈ N. Como o I I nosso interesse est´a focado nos ideais de arestas e estes s˜ao ideais radicais, ent˜ao I ´e normalmente R R livre de tor¸c˜ao se Ass( ) = Ass( i ) , ∀i ∈ N. I I ¸˜ ao.

  

2.15 Proposic Seja I um ideal radical de um anel R. Ent˜ao I ´e normalmente livre de

n

  (n) tor¸c˜ao se, e somente se, I = I , para todo n ≥ 1.

  Demonstra¸ c˜ ao. ⇒) Como I ´e um ideal radical ent˜ao I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao se R R

  Ass( ) = Ass( ), para todo i ∈ N, i n n

  I I (n) ou seja, I n˜ao tem primos imersos. Portanto I = I , para todo n ≥ 1. n

  (n) ⇐) Veja que I = I , para todo n ≥ 1 implica em

  R R Ass( ) = Ass( ), para todo i ∈ N.

  (i) i

  I I

  (n) (n) (n)

  ∩ · · · ∩ P r Como I ´e ideal radical ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.13 temos I = P , ou seja, R

  1 Ass( ) = {P , · · · , P r }. Logo (i) I

  1 R R Ass( ) = Ass( ) , ∀i ∈ N. i

  I I Portanto, I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

  ¥

2.16 Corol´ ario. Seja R um anel de polinˆomios sobre um corpo k. Se I ´e um ideal de R

  (n)

gerado por monˆomios livres de quadrados ent˜ao I ´e integralmente fechado, para todo n ≥ 1.

(n)

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam J = I e P m m m mn n 1 , · · · , P s os primos associados de I. Se f ∈ J ent˜ao existe m ∈ N tal que f ∈ J , ou seja, f ∈ P , para todo i. Como P ´e completo, n i i f ∈ p para todo i e, portanto, f ∈ J. i ¥ Cap´ıtulo 3 Normalidade

  Sejam k um corpo e R o anel de polinˆomios k[x , · · · , x n ]. Considere ´algebras definidas

  1 } de monˆomios de R. Seja k[G] = k[M por um conjunto finito G = {M

  1 , · · · , M q 1 , · · · , M q ] a k-sub´algebra de R gerada pelos M i . Estamos interessados em estudar a ´algebra de Rees de um ideal I(G), no que diz respeito `a normalidade, e a rela¸c˜ao existente entre a ´algebra de Rees e a sub´algebra k[G].

  O foco da nossa aten¸c˜ao ´e os ideais gerados por monˆomios de grau 2 e livres de quadra- dos que podem ser definidas por grafos, como vimos no Cap´ıtulo 1, e o problema est´a em detectar a normalidade na ´algebra de Rees destes ideais e em k[G], em que G ´e o conjunto de monˆomios geradores do ideal citado.

3.1 Normalidade de Grafos Bipartidos

  O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que a ´algebra de Rees do ideal de arestas de um grafo bipartido ´e normal [Corol´ario 3.10]. Este resultado segue imediatamente como um corol´ario do teorema 3.9. Por esta raz˜ao, estaremos nesta se¸c˜ao com nossa aten¸c˜ao voltada para demonstrar esse teorema. Existem algumas demonstra¸c˜oes deste teorema, uma delas aparece em [4] e usa A a ´algebra de Rees extendida A de um anel R, o isomorfismo entre e gr uA I (R) e a igualdade

  T A = A u ∩ ( A P ), em que P ∈ Ass(uA) vistas no Cap´ıtulo 2. Apresentaremos neste trabalho uma outra demonstra¸c˜ao (que pode ser encontrada em [5]) e envolve mais os conceitos de combinat´oria.

  Sejam R o anel de polinˆomios sobre um corpo k e I um ideal de R. Definimos como o m´odulo simb´olico essencial de I o R-m´odulo (n)

  M

  I F (I) = P , n≥ n

  2 P P (i) (n−i) em que = n

  I I . Chamaremos de gerador essencial (resp. gerador m´ınimo essencial) de ordem n de F (I)

  P P (n) (n) (n) todo elemento, n˜ao nulo, f ∈ I \ + (resp. f ∈ I \((X)I ) e de subm´odulo trivial n n

  P (n)

  (n) de I o m´odulo . Os geradores m´ınimos essenciais s˜ao os geradores n˜ao triviais de I . n Seja R o anel de polinˆomios sobre um corpo k. Temos que, se I ´e um ideal de R gerado

  (n) n por monˆomios livres de quadrados e normalmente livre de tor¸c˜ao, isto ´e, I = I , ent˜ao F (I) n˜ao possui gerador m´ınimo essencial de nenhuma ordem.

  (r) A fam´ılia de ideais F = {I , ∀r ∈ N} ´e uma filtra¸c˜ao, chamada filtra¸c˜ao da potˆencia simb´olica, pois

  (r+1) (r) (r) (s) (r+s) I ⊂ I e I I ⊂ I .

  ¸˜ ao.

  3.1 Definic Seja I um ideal de um anel k[x

  1 , · · · , x n ], em que k ´e um corpo. Definimos a

  fun¸c˜ao ordem associada `a filtra¸c˜ao da potˆencia simb´olica de I como

  (r)

  V I (f ) = max{r; f ∈ I }.

  P (V I (f )) Assim, se f ´e um gerador m´ınimo essencial ent˜ao f / ∈ (x + , · · · , x n )I .

  1 V (f ) I Podemos observar que se I ⊂ k[x , · · · , x ], com k corpo, ´e um ideal gerado por 1 n α monˆomios de grau 2 e livres de quadrados e X ∈ k[x , · · · , x n ] ´e um monˆomio livre de quadra- α α α

  1 dos, ent˜ao V I (X ) = ht(I α ), em que I α = I ∩ supp(X ) [5]. Desta forma, para provar que X α ´e um gerador m´ınimo essencial de F (I), em que X ´e um monˆomio livre de quadrados, basta α P

  (ht(I α )) observar que X ∈ (x / + , · · · , x n )I .

  1 ht α ¸˜ ao.

  3.2 Proposic Sejam k um corpo e I ⊂ k[x

  1 , · · · , x n ] o ideal de arestas de um grafo simples

  G. Ent˜ao, X = x . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial de F (I) se, e somente se, para qualquer

  1

  parti¸c˜ao disjunta {x , · · · , x n } = M ∪ N , temos,

  1 K[N ] k[M ] dim + dim ≥ dimk[G] + 1,

  em que I N = I ∩ k[N ] e I M = I ∩ k[M ].

  Demonstra¸ c˜ ao. Considerando M ∪ N uma parti¸c˜ao disjunta de {x , · · · , x n } ´e f´acil

  1 ver que I M e I N s˜ao, respectivamente, os ideais de aresta dos subgrafos induzidos por M e N .

  Denotaremos por X e X o produto dos elementos de M e N , respectivamente. M N Temos que ht(I) = V I (X), ht(I M ) = V I (X ), ht(I N ) = V M N I (X ) e naturalmente

  V I (X) ≥ V I (X ) + V M N I (X ).

  Suponha que K[N ] k[M ] ≤ dimk[G] + 1. dim + dim

  I N

  I M A desigualdade acima equivale a V I (X) − 1 < V I (X ) + V M N M I (X ). Como V I (X) ≥ V I (X ) + V (X ) I N

  V I (X) = V I (X ) + V M N I (X ).

  P Caso V I (X ) > 0 e V M N I (X ) > 0, ent˜ao, pela igualdade acima, isto equivale a X ∈ . V I (X)

  Se V I (X ) = 0, ent˜ao M ´e um conjunto de v´ertices n˜ao adjacentes e isto ´e equivalente a M (V (X)) I X ∈ (supp(X ))I . Portanto, M

  X K[N ] k[M ] (V I (X))

  ≤ dimk[G] + 1 ⇔ X ∈ (x dim + dim 1 , · · · , x n )I . +

  I N

  I M V I (X) Logo, pela defini¸c˜ao, temos:

  K[N ] k[M ] dim + dim ≤ dimk[G] + 1 ⇔ X n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial.

  I N

  I M ¥

  Se G ´e um grafo bipartido, ent˜ao pela defini¸c˜ao, existe uma parti¸c˜ao disjunta do con- junto de v´ertices de G, digamos V e V , tal que toda aresta de G une V a V , ou seja, V e V

  1

  2 n n

  1

  2

  1

  2 ´e uma cobertura de G. Veja que ou #V ≤ ou #V ≤ , em que n ´e o n´ umero de v´ertices de

  1

  2

  2

  2 G. Desta forma, a altura de um primo m´ınimo do ideal de arestas I de G, que corresponde ao n n´ umero de elementos de uma cobertura m´ınima de G, ´e menor ou igual a , isto ´e,

  2 n ht I ≤ .

  2 n Mais ainda, se n for um n´ umero par ent˜ao ht I ≤ , por´em se n for um n´ umero ´ımpar ent˜ao n−

  2

  1 ario.

  }, r ≥ 2

  3.3 Corol´ Seja o grafo G um ciclo ´ımpar com v´ertices em V = {x

  1 , · · · , x 2r−1 que n˜ao tem subciclos pr´oprios. Ent˜ao, x . . . x ´e um gerador m´ınimo essencial. 1 2r−1 Demonstra¸ c˜ ao. Seja I o ideal de arestas de G. Ent˜ao, htI = r, e dim(k[G]) = r − 1.

  Considere M e N uma parti¸c˜ao disjunta n˜ao trivial de V com o n´ umero de elementos de M ´ımpar. Como G ´e um ciclo de ordem ´ımpar sem subciclos pr´oprios, qualquer subgrafo de G ´e uma ´arvore ou uma floresta e, portanto, os subgrafos de G induzidos por M e N , e denotados por G M e G N , s˜ao bipartidos. Logo, 2dim(k[G M ]) ≥ #M + 1 e 2dim(k[G N ]) ≥ #N . Da´ı, 2(dim(k[G M ]) + dim(k[G N ])) ≥ #M + #N + 1 = 2r − 1 + 1 = 2r = 2(dim(k[G]) + 1).

  Logo, pela proposi¸c˜ao acima x . . . x ´e um gerador m´ınimo essencial.

  1 2r−1 ¥

  Este corol´ario nos permite observar que, se G ´e um ciclo de ordem ´ımpar, ent˜ao G possui um gerador m´ınimo essencial, isto ´e, o ideal de arestas de G n˜ao ´e normalmente livre de tor¸c˜ao. Esta observa¸c˜ao mostra que estamos no caminho certo para demonstrar que o ideal de arestas de um grafo G ´e normalmente livre de tor¸c˜ao se, e somente se, G ´e um grafo bipartido, pois um ciclo de ordem ´ımpar n˜ao ´e um grafo bipartido.

  

3.4 Definic ¸˜ ao. Seja x um v´ertice do grafo G. A vizinhan¸ca de x, denotado por Γ(x), ´e o

subconjunto de v´ertices de G que s˜ao adjacentes a x.

  Algebricamente, a vizinhan¸ca ´e equivalente ao conjunto Γ(x) = {x i ; x i ∈ Ann k (x)}.

  [G] ¸˜ ao.

  

3.5 Proposic Sejam G um grafo simples com v´ertices V = {y, x , · · · x n }, G = G − y

  1 } e I, J seus respectivos ideais de arestas. Se nenhuma

  o subgrafo induzido por {x

  1 , · · · , x n

  cobertura m´ınima de G cont´em Γ(y) ent˜ao: 1. ht(I) = ht(J) + 1

2. Se x . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial de F(J) ent˜ao yx . . . x n ´e um gerador m´ınimo

  1

  1

  } Demonstra¸ c˜ ao. (1) Note que I = (J, yx i , · · · , yx i r ), em que Γ(y) = {x i , · · · , x i r 1 1 e, portanto, htI ≤ htJ + 1. Por outro lado, seja P um primo m´ınimo de I tal que htI = htP .

  Ent˜ao, P cont´em um primo m´ınimo Q ⊂ k[x , · · · , x n ] de J. Como o conjunto de cobertura

  1 m´ınima de G n˜ao cont´em Γ(y), algum x i j j 6= 1 n˜ao pertence a P e, portanto, y ∈ P . Assim, (Q, y) ⊂ P , ou seja, htP ≥ htQ + 1 ≥ htJ + 1. Logo, htI = htJ + 1.

  (r) (r) (r) (r) ⊂ I

  ∩ k[x (2) Note que J , para todo r ≥ 0. Mais ainda, I 1 , · · · , x n ] = J .

  Suponha que x . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial de F(J). Ent˜ao, necessariamente, x . . . x n

  1

  1 ´e essencial no grau simb´olico h = htJ de J. Desta forma, se yx . . . x n ´e um gerador m´ınimo

  1 essencial de F(I), ent˜ao ele ´e essencial no grau simb´olico h + 1 de I. Portanto, se yx 1 . . . x n n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial de F(I), ent˜ao depois de uma rearruma¸c˜ao das vari´aveis,

  (s) se necess´ario, podemos assumir que yx . . . x n = x . . . x t yx t . . . x n , em que x . . . x t y ∈ I , e

  1 1 +1

  1 (h+1−s)

  (h) ∈ I

  ∈ I ∈ x t +1 . . . x n , s ≤ h. Assim, se s = 1, ent˜ao x t +1 . . . x n e portanto, x 1 . . . x n

  (h) (x , · · · , x t )J , contradizendo o fato que x . . . x n ´e m´ınimo. Se s > 1, ent˜ao x . . . x t y/y ∈

  1

  1

  1 (s−1) (s−1) (h−s+1)

  I e portanto x . . . x n ∈ I I contradizendo a hip´otese de x . . . x n ser essencial.

  1

  1 ¥

  Todos os resultados vistos at´e aqui que tratam sobre geradores m´ınimos essenciais est˜ao relacionados com monˆomios livres de quadrados. A proposi¸c˜ao a seguir, permite reduzir a verifica¸c˜ao de que monˆomio ´e, ou n˜ao, um gerador m´ınimo essencial atrav´es da verifica¸c˜ao para um monˆomio livre de quadrados. De fato, isso ´e poss´ıvel de ser feito aplicando, sucessivas vezes, a seguinte estrat´egia: seja I = I(G) ⊂ k[x , · · · , x ] o ideal de arestas de um grafo com

  1 n

  2 n v´ertices. Dado o monˆomio x x · · · x n , considere o grafo G obtido de G acrescentando-se

  2

  1 um novo v´ertice y com vizinhan¸ca igual a de x . Com esta constru¸c˜ao, o monˆomio yx . . . x n

  1

  1

  2 ´e essencial (com respeito a G’) se, e somente se, x · · · x ´e essencial. Mais a frente estaremos n

  1 α fazendo este mesmo processo de forma mais geral, isto ´e, para um monˆomio x qualquer. Este procedimento ser´a chamado m´etodo de polariza¸c˜ao.

  ¸˜ ao.

  Γ(x 1 ). Se yx 1 . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial ent˜ao x 1 . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial.

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam I ⊂ k[y, x k ,··· ,x 1 , · · · , x n ] o ideal de arestas de G, h = htI = [y,x 1 n ]

  V I (y, x . . . x n ) e s = dim . Como yx . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial

  1 I

  1 k[x , · · · , x n ]

  1 ht(I ∩ k[x , · · · , x n ]) = V I (x . . . x n ) = h − 1 e dim = s.

  1

  1 I ∩ k[x , · · · , x n ]

  1 } uma

  Suponha que x 1 . . . x n n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial e seja M ∪ N = {x 1 , · · · , x n parti¸c˜ao n˜ao trivial de V , com x ∈ N e o grau de X o maior poss´ıvel, em que X ´e o

  1 N N produto de todos os elementos de N . Ent˜ao, x . . . x n = X X , com V I (X ) + V I (X ) = k k

  1 N M N M [M ] [N ] h − 1, ou ainda, dim + dim = s. Mas, yx I∩k I∩k 1 . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial e,

  [M ] [N ] pela proposi¸c˜ao 3.2, k[M ] k[y, N ] dim + dim ≥ s + 1,

  I ∩ k[M ] I ∩ k[y, N ] ou seja, k[y, N ] k[N ] dim = dim + 1. I ∩ k[y, N ] I ∩ k[N ]

  Portanto, Γ(y) ∩ k[N ] = Γ(x ) ∩ k[N ] ´e um subconjunto dos geradores de todos os primos

  1 m´ınimos de I ∩ k[N ] de altura m´ınima. X M X M Suponha que x i ∈ Γ(y) ∩ k[M ] para algum i ∈ {1, · · · , n}, ent˜ao ou V I ( ) = V x i I (X ) M ou V I ( ) = V x i I (X ) − 1. O primeiro caso implica que V M X I (X x i ) = V M M I (X ) + 1 e, portanto, (h−1) M yx . . . x n ∈ II , que ´e um absurdo. Caso V I ( ) = V I (X ) − 1, teremos V I (x i X ) =

  1 x i M N P

  V I (X ) + 1 e (x i N N M N X )X ∈ , portanto supp(x i X ) ∪ M = {x , · · · , x n } ´e uma parti¸c˜ao h−

  1

  1 n˜ao trivial com o grau de x i X maior que o grau de X , contradizendo a escolha de N . N N Conseq¨ uentemente, Γ(y) ∩ k[M ] = ∅, isto ´e, Γ(y) = Γ(x ) ⊆ N .

  1 Como yx . . . x n ´e um gerador m´ınimo essencial, existe um primo m´ınimo P de I de

  1 altura m´ınima tal que y , x ∈ P e ht(P ∩ k[x , · · · , x ]) = h − 1, portanto P ∩ k[N ] ´e um primo

  1 1 n m´ınimo de I ∩ k[N ] de altura m´ınima. Assim, {y, x } ∪ Γ(x ) ⊆ P , contradizendo o fato que

  1

  1 primos m´ınimos de altura m´ınima corresponde a cobertura m´ınima do conjunto de v´ertices.

  ¥ A proposi¸c˜ao abaixo ´e uma importante ferramenta na prova do teorema 3.9 pois prova n que se dim k[G] ≥ , caso que ocorre nos grafos bipartidos, ent˜ao x . . . x n n˜ao ´e um gerador

  1

  2 m´ınimo essencial.

  ¸˜ ao.

  } e I(G)

3.7 Proposic Sejam G um grafo conexo e simples com v´ertices V = {x

  1 , · · · , x n n P (n) seu ideal de arestas. Se dimK[G] ≥ ent˜ao x . . . x n ∈ +(X)I , em que h = ht(I).

  1 h

  2 Demonstra¸ c˜ ao. Podemos supor sem perda de generalidade que G ´e conexo. Seja ′ ′ s = dimk[G] = n − h. Para cada conjunto maximal S de v´ertices n˜ao adjacentes, seja q(S ) a cardinalidade dos subconjuntos de arestas n˜ao adjacentes M S ⊆ A(G) tal que ′ ′

  ⇒ x ∈ S ∈ S (x i , x j ) ∈ M S i ou x j . Sejam q = max{q(S )} e S o conjunto de v´ertices n˜ao adjacentes tal que q = q(S). Usaremos as seguintes nota¸c˜oes:

  } e V (G) − S = {x }

1. S = {y , · · · , y s , · · · , x h

  1

  1 2. M S = {(x , y ), · · · , (x q , y q )}.

  1

  1 Observe que como S ´e um conjunto m´aximo de v´ertices independentes, ent˜ao V (G) \ S h P (h)

  ´e uma cobertura m´ınima de G. Se q = h, ent˜ao x . . . x n ∈ I ⊆ +(X)I . Suponha que

  1 h q < h ≤ s. Usando o fato que G ´e conexo podemos supor, sem perda de generalidade, que

  S ∈ Γ(y

  ∈ Γ(y x 1 q +1 , · · · , y s ) = Γ(y i ), digamos que x q 1 q +1 ).

  • 1≤i≤s

  Considere a seguinte cadeia de subconjuntos de A(G) definida recursivamente ∪ {(x ∈ Γ(y

  N 1 = {(x 1 , y 1 )} , N 2 = N 1 i , y i ); (x i , y i ) ∈ M S e x i 1 )}, N r = N r− ∪ {(x i , y i ); (x i , y i ) ∈ M S e x i ∈ Γ(y b ) para algum y b tal que (x b , y b ) ∈ N r− }.

  1

  1 A seq¨ uˆencia N i ⊆ N j estabiliza, fornecendo um subconjunto N ⊂ M S tal que (x i , y i ) / ∈ ∈ Γ(y

  N ⇒ x i / b ), para todo (x b , y b ) ∈ N . Seja t = #N . Reenumerando os v´ertices que aparecem como aresta que est˜ao em M S , obtemos as seguintes caracter´ısticas de N : a. Se (x i , y i ) ∈ N , ent˜ao existe um caminho x , y , x i , y i , · · · , x i , y i , x i , y i inteiramente

  1 1 a a 1 1

  } ∩ Γ(x

  b. {y 1 , · · · , y t t +1 , · · · , x h ) = ∅.

  O item a segue imediatamente da defini¸c˜ao de N . Para provar o item b assuma que ∈ Γ(y x i j ) para algum i ≥ t + 1 com (x j , y j ) ∈ N. Veja que, por defini¸c˜ao de N , temos que i > q e por a temos que y q , x , y , x i , y i , · · · , x i , y i , x j ´e um caminho. Se

  • 1

  1 1 a a 1 1 Q = {(x , y ), (x i , y i ), · · · , (x i , y i )} ⊆ N ⊂ M S ,

  1

  1 1 1 ent˜ao o seguinte conjunto {(x , y ), (x , y ), · · · , (x , y ), (x , y )}∪M −Q ´e um subconjunto

  1 q +1 i 1 1 j i a i j S ′ ′ de arestas n˜ao adjacentes tal que x i x j ∈ M S ⇒ x i ∈ S ou x j ∈ S com cardinalidade q + 1, o que contradiz a maximalidade de q. Logo b ´e verdade.

  Considere os subgrafos G e G induzidos, respectivamente, por N e por V (G)−V (G ).

  1

  2

  1 Como S − {y , · · · , y t } ⊂ V (G ) temos que dim(k[G ]) ≥ s − t. Mas, como Γ(V (G )) ∩

  1

  2

  2

  2 {y } = ∅, se dim(k[G

  1 , · · · , y t 2 ]) > s − t, ent˜ao existiria um subconjunto de V (G) com s + 1 v´ertices n˜ao adjacentes, o que contradiz o fato que dim(k[G]) = s. Portanto, dim(k[G ]) = s−t

  2

  e, conseq¨ uentemente, ht(I(G )) = n − 2t − (s − t) = n − s − t = h − t.

  2 Como I(G ) tem um produto de t arestas, ht(I(G )) ≥ t, mas

  1

  1 ht(I(G )) + ht(I(G )) ≤ h

  1

  2 (t) (h−t)

  e, portanto, ht(I(G )) = t. Assim, x . . . x n ∈ I I .

  1

  1 ¥

  Seja I = I(G) o ideal de arestas de um grafo simples G cujo conjunto de v´ertices ´e α α 1 α n {x , · · · , x n }. Dado um monˆomio X = x . . . x ∈ I, considere o anel de polinˆomios com

  1 n

  1 |α| = α

  1 + · · · + α n vari´aveis k[Y ] = k[y , · · · , y ], em que y = y i n i 1 , · · · , y iα ´e uma lista de α i i

  1 vari´aveis. Defina o ideal J ⊂ k[Y ] gerado por monˆomios livres de quadrados por: ∈ I}.

  J = {y it y js ; x i x j Claramente, J ´e o ideal de arestas do grafo G obtido de G adicionando, para cada v´ertice x i , α α i − 1 novos v´ertices com a mesma vizinhan¸ca de x i . Este pocesso ´e chamado de m´etodo de

  α O gerador m´ınimo essencial ´e invariante pelo m´etodo de polariza¸c˜ao, isto ´e, X ´e Q um gerador m´ınimo essencial de F(I) se, e somente se, Y = y it com i ∈ {1, · · · , n} e i t i ∈ {1, · · · , α i } ´e um gerador m´ınimo essencial de F(J) [5]. α ¸˜ ao.

  

3.8 Proposic Seja G um grafo simples com ideal de arestas I. Se um monˆomio X ´e

β

β

um gerador m´ınimo essencial de F (I) ent˜ao X ´e um gerador m´ınimo essencial para todo X

β α α β

tal que X |X e supp(X ) = supp(X ). Em particular, o produto de todos os elementos de

α supp(X ) tamb´em ´e um gerador m´ınimo essencial. Demonstra¸ c˜ ao. Basta usar a proposi¸c˜ao 3.6 sucesivamente em G . α

  ¥

3.9 Teorema. Sejam G um grafo simples e I(G) o seu ideal de arestas. Ent˜ao, G ´e bipartido se, e somente se, I(G) ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

  Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que o grafo G ´e bipartido e I(G) n˜ao ´e normalmente livre α α de tor¸c˜ao, isto ´e, existe um monˆomio X tal que X ´e um gerador m´ınimo essencial. Pela α proposi¸c˜ao 3.8, o produto de todos os elementos de supp(X ) tamb´em ´e um gerador m´ınimo α essencial. Seja G o subgrafo induzido pelos elementos do supp(X ). Observe que G tamb´em ´e bipartido e o produto de seus elementos tamb´em ´e um gerador m´ınimo essencial. Podemos, ent˜ao, assumir que o produto de todos os v´ertices de G ´e um gerador m´ınimo essencial. Como n

  G ´e bipartido, ent˜ao dim(k[G]) ≥

  e, pela proposi¸c˜ao 3.7, o produto de todos os v´ertices de

  2 G n˜ao ´e um gerador m´ınimo essencial, absurdo. Portanto, I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao.

  Suponha agora que I ´e normalmente livre de tor¸c˜ao. Ent˜ao, G n˜ao possui elemento essencial de nenhuma ordem. Suponha que G n˜ao ´e bipartido, ou seja, G possui cliclos de ordem ´ımpar e, ent˜ao, existe um ciclo que n˜ao tem subciclos pr´oprios. Pelo corol´ario 3.3, G possui um gerador m´ınimo essencial de alguma ordem, absurdo. Logo G ´e bipartido.

  ¥ ario.

  3.10 Corol´ Se G ´e um grafo bipartido, ent˜ao G ´e normal.

  Demonstra¸ c˜ ao. Como G ´e um grafo bipartido, o seu ideal de arestas I ´e normal- n (n) mente livre de tor¸c˜ao pelo teorema 3.9, ou seja, I = I para todo n ∈ N. Pelo corol´ario 2.16, n (n) n temos que I ´e integralmente fechado. Logo, I = I para todo n ≥ 1. Portanto, G ´e normal.

  ¥

  3.2 Outras ´ Algebras de Rees Normais

  Nesta se¸c˜ao, estaremos interessados em encontrar alguns grafos cuja ´algebra de Rees do seus ideais de arestas s˜ao normais. Devido `a proposi¸c˜ao 2.11 para provar que a ´algebra de Rees do ideal de arestas I ´e normal, provaremos que I ´e normal. Portanto pelo ´ ultimo corol´ario da se¸c˜ao anterior temos que a ´algebra de Rees de ideais de arestas de grafos bipartidos s˜ao normais. Vejamos agora outros grafos.

  

3.11 Lema. Sejam G um ciclo de ordem ´ımpar e I(G) o seu ideal de arestas. Se x e x l s˜ao

s s s

  1

  • 1 +1

  v´ertices de G, ent˜ao x x I ∩ (I : x ) ⊂ I .

  1 l

  1 Demonstra¸ c˜ ao. Faremos indu¸c˜ao em s. Para s = 0 a verifica¸c˜ao ´e simples. Suponha que a afirma¸c˜ao seja v´alida para inteiros menores que s e tome y 6= 0 um monˆomio tal que s s

  • 1

  x x l I ∩ (I : x )

  1

  1 y ∈ . s

  • 1

  I Existem monˆomios livres de quadrados de grau 2, y , · · · , y e f , · · · , f 1 s 1 s +1 em I tais que y = y . . . y s x x l y e x y = f . . . f s h para algum monˆomio h e y. Por hip´otese

  1

  1

  1 1 +1 } ∩ {f } = ∅. de indu¸c˜ao, podemos assumir que {y , · · · , y s , · · · , f s

  1 1 +1 Vamos mostrar, por indu¸c˜ao, que dado 1 ≤ k ≤ s + 1 existem v´ertices diferentes x , · · · , x de G tal que y i = x x para i ≤ k − 1, f i = x x para i ≤ k, e

  1 2k 2i 2i+1 2i−1 2i y k . . . y s x 1 x l y = x 2k f k +1 . . . f s +1 h. s

  • 1

  ∈ I Se k = 1, temos a equa¸c˜ao x 1 y = f 1 . . . f s +1 h e usando y / , obtemos f i = x 1 x

  2 para algum i. Reordenando os f s, teremos f = x x i

  e, conseq¨ uentemente,

  1

  1

  2 y = x 2 f 2 . . . f s +1 h.

  Assuma que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para k e considere a igualdade y k . . . y s x x l y = x f k . . . f s h.

  1 2k +1 +1 k s +1 Observe que, se x = x l , ent˜ao y . . . y k− x x l ∈ I

  e, portanto, y ∈ I . Podemos assumir 2k

  1

  1

  1 que x 6= x . Se x divide y, ent˜ao a igualdade

  1 2k 2k y . . . y k− x x = f . . . f k s

  1

  1 1 2k

  1

  • 1

  implica que y ∈ I . Portanto, x divide y i para algum k ≤ i ≤ s e, reordenando os y s, 2k i temos y k = x z para algum v´ertice z. Note que z 6= x , pois G ´e um ciclo ´ımpar. Portanto,

  2k

  1 ∈ {x } e z = x 2k+1 satisfaz z /

  1 , · · · , x 2k x y k . . . y s x x l y = f k . . . f s h. s 2k+1 +1 1 +1 +1

  • 1

  Como y / ∈ I a ´ ultima equa¸c˜ao prova que x divide f i para algum i, digamos f k = x w 2k+1 +1 2k+1 para algum v´ertice w. Note que w / ∈ {x , · · · , x } e a indu¸c˜ao em k est´a completa. Para

  1 2k+1 k = s + 1, a equa¸c˜ao y k . . . y s x 1 x l y = x 2k f k +1 . . . f s +1 h se reduz a y = x 2s+2 h.

  Para completar a indu¸c˜ao em s note que se k = s + 1 ent˜ao y . . . y k− x x = f . . . f k s +1

  1

  1 1 2k

  1 junto com o argumento visto acima resulta em y ∈ I , que contradiz a escolha inicial de y.

  ¥ 3.12 Teorema. Se o grafo G ´e um ciclo ´ımpar ent˜ao G ´e normal.

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam V = {x , · · · , x n } os v´ertices de G, R = k[x , · · · , x n ] um

  1

  1 anel de polinˆomios sobre um corpo k e m = (x n 1 , · · · , x n ) o ideal irrelevante de R. Vamos provar por indu¸c˜ao em n que o ideal I ´e integralmente fechado. Para k = 0, temos que R = I ´e um r r dom´ınio normal. Suponha que para r < n tenhamos I = I . Como estamos trabalhando com ideais monomiais, temos que n k kn

  I n n n

  Considere diferente de zero. Note que a localiza¸c˜ao de I em qualquer primo associado de I I n diferente de m ´e uma floresta. Portanto, usando que a ´algebra de Rees de uma ´arvore ´e n I I n n I normal, obtemos que m ´e um primo associado de n . Seja y ∈ n um monˆomio que ´e conduzido n I I por m a I . Por hip´oteses de indu¸c˜ao, temos n n− n−

  1

  1 ⊂ I y ∈ I = I . n−

  1 n ∩ (I

  Por fim, observamos que y tem grau pelo menos 2n e, portanto, y ∈ x 1 x i I : x 1 ), que ´e imposs´ıvel pelo lema 3.11.

  ¥ 3.13 Proposic ¸˜ ao. Se G ´e um grafo completo com n v´ertices, ent˜ao G ´e normal.

  Demonstra¸ c˜ ao. Sejam V = {x , · · · , x n } os v´ertices de G, R = k[x , · · · , x n ] um

  1

  1 anel de polinˆomios sobre um corpo k e m = (x , · · · , x n ) o ideal irrelevante de R. Vamos provar n

  1 por indu¸c˜ao em n que o ideal I ´e integralmente fechado. Suponha que para r < n tenhamos r r I n n I = I . Seja y ∈ n um monˆomio que ´e conduzido por m a I . I

  2

  2 n Note que R(I) ⊂ R(m ) e, como R(m ) ´e integralmente fechado, todo monˆomio em I tem grau pelo menos 2n. Por hip´otese de indu¸c˜ao, temos n− n n−

  1

  1 y ∈ I ⊂ I = I , portanto podemos escrever y = y . . . y n− u,

  1

  1 em que u ´e um monˆomio de grau pelo menos 2 e y i ∈ I. Se u n˜ao ´e potˆencia de vari´aveis, ent˜ao n r u ∈ I e, conseq¨ uentemente, y ∈ I . Suponha que u = x , r ≥ 2. Caso x

  1 n˜ao ocorra em

  1

  2

  2 algum dos monˆomios y i , digamos y l , ent˜ao y l x ∈ I , portanto a proposi¸c˜ao segue novamente.

  1 Suponha, ent˜ao, que x ocorre em cada y i , ou seja,

  1 r

  • n−1

  y = z . . . z n− x ,

  1

  1 n

  1 com z i ∈ {x , · · · , x n }. Logo x y / ∈ I e isto contradiz a escolha de y.

  1

  1 Neste ponto, surge uma quest˜ao: ser´a que existe um grafo cuja ´algebra de Rees de seu ideal de Arestas n˜ao ´e norma? Esta quest˜ao poder´a ser respondida na pr´oxima se¸c˜ao.

  3.3 Transferˆ encia de Normalidade

  Nesta se¸c˜ao estudaremos, por fim, a normalidade da sub´algebra k[G] = k[f , · · · , f d ],

  1 em que k ´e um corpo, G ´e um grafo e f , · · · , f d s˜ao os monˆomios associados `as arestas do grafo

  1 G. No artigo [4], em que estamos baseando esta disserta¸c˜ao, est´a provado o seguinte teorema: Teorema [7.1]: Seja G um grafo. Se a ´algebra de Rees R(I(G)) ´e normal, ent˜ao K[G] tamb´em ´e normal.

  Por´em, apresentaremos uma vers˜ao mais geral do teorema descrito acima. Mais pre- cisamente, provaremos no teorema 3.16 que se G ´e um grafo conexo, ent˜ao a ´algebra de Rees R(I) ´e normal se, e somente se, R[G] ´e normal. Esse teorema ´e demasiadamente importante pois atrav´es dele poderemos obter grafos cuja ´algebra de Rees de seus ideais de arestas n˜ao s˜ao normal.

  Como na sec˜ao anterior j´a estudamos algumas ´algebras de Rees normais, podemos, imediatamente, obter algumas sub´algebras k[G] normais. Como de costume, veremos algumas ferramentas que nos auxiliar˜ao na prova do teorema central.

  Seja G = (V (G), A(G)) um grafo, em que V (G) = {x , · · · , x n } um grafo. Definimos

  1 o cone de G por C(G) = (V, A), em que V = V (G) ∪ {t} com t um novo v´ertice e A = A(G) ∪ {(x 1 , t), · · · , (x n , t)}.

  A proposi¸c˜ao que segue ser´a usada na demonstra¸c˜ao do teorema 3.16. A prova desse resultado n˜ao ser´a apresentada neste trabalho e poder´a ser encontrada em [VER REFEREN- CIA].

  3.14 Proposic ¸˜ ao. Sejam G um grafo e C(G) o cone de G. Ent˜ao, existe um isomorfismo R(I(G)) ≃ k[C(G)].

  

3.15 Definic ¸˜ ao. Um bow tie de um grafo G ´e um subgrafo induzido w de G que consiste de

dois ciclos de ordem ´ımpar que n˜ao possui arestas em comum, Z = {z , z , · · · , z r = z } e Z =

  1

  1

  2

  {z }, e um caminho ligando-os, P = {z }. Neste caso, denotaremos s , z s +1 , · · · , z t = z s r , · · · , z s M w = z . . . z r z s . . . z t .

  1 +1 Observe que se w ´e um bow tie de um grafo G, ent˜ao M w ´e inteiro em k[G]. De fato,

  2

  2

  2 − M ∈ k[G], pois tem grau par e ´e produto

  M w ´e raiz do polinˆomio f (x) = x . (Veja que M w w de arestas por um elelmento de k.) Mais ainda, em [6] ´e provado que o fecho inteiro k[G] de k[G] ´e uma k-sub´algebra monomial gerada pelo conjunto

  B = {f , · · · f } ∪ {M ; w ´e um bow tie }, 1 q w em que f , · · · , f q s˜ao os monˆomios definidos pelas arestas de G. Assim, para verificar que k[G]

  1 ∈ k[G] para todo w bow tie, o que torna simples

  ´e um dom´ınio normal, basta observar se M w verificar a normalidade de k[G].

3.16 Teorema. Sejam G um grafo conexo simples e I seu ideal de arestas. Ent˜ao a ´algebra de Rees R(I) ´e normal se, e somente se, a sub´algebra k[G] ´e normal.

  ⇒) Suponha que R(I(G)) ´e um dom´ınio normal. Denote por m Demonstra¸ c˜ ao. o ideal maximal irrelevante de k[x , · · · , x n ] e por A o anel k[tf , · · · , tf q ], em que I(G) =

  1

  1 (f , · · · , f q ). Observe que existe a decomposi¸c˜ao de A-m´odulos

  1 R(I(G)) = k[x , · · · , x , tf , · · · , tf ] = k[tf , · · · , tf ] ⊕ mR(I(G)).

  1 n 1 q 1 q Como A ≃ k[G] e R(I(G)) ´e normal, k[G] ´e normal.

  ⇐) Seja C(G) o cone do grafo G. Pela proposi¸c˜ao 3.14, existe um isomorfismo R(I(G)) ≃ k[C(G)].

  Assim, basta mostrar que a ´algebra k[C(G)] ´e normal, isto ´e, que para todo w bow tie de C(G) o elemento M w ∈ k[C(G)]. Seja w um bow tie de C(G). Para concluir a demonstra¸c˜ao separaremos em alguns casos.

  ∈ Z ∪ Z ∪ P , ent˜ao w ´e um bow tie de G e, portanto, M ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)].

  1. Se t /

  1

  2 w ∪ Z ∩ Z 6= ∅, ent˜ao M ∈ k[C(G)]. Caso

  2. Suponha que t ∈ Z

  1 2 , digamos t ∈ Z 1 . Se Z

  1 2 w Z ∩ Z = ∅ ent˜ao Z e Z ´e unido pela aresta (t, z), em que z ´e um v´ertice de Z

  e,

  1

  2

  1

  2

  2

  ∈ Z ∪ Z

3. Se t /

  1 2 e t ∈ P , como G ´e conexo, existe um caminho em G que une Z 1 a Z 2 .

  Portanto, M w = M w para algum bow tie w de G e M w ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)]. 1

  1 ¥

  Vejamos agora um exemplo de um grafo cuja ´algebra de Rees de seu ideal de arestas n˜ao ´e um dom´ınio normal.

  Exemplo

3.1. Considere G um grafo cujos v´ertices ´e o conjunto V = {a, b, c, x, y, z, t}

  

e as arestas ´e o conjunto A = {(x, y), (y, z), (z, x), (x, t), (t, a), (a, b), (b, c), (c, a)}. Denote por

  R = k[a, b, c, x, y, z, t] o anel de polinˆomios em um corpo k, I o ideal de aresta do grafo G e M = abcxyz. Observe que M / ∈ k[G], pois todo elemento em k[G] ´e produto de arestas de G

  

por um elemento em k, o que n˜ao ocorre com M . Portanto, k[G] n˜ao ´e um dom´ınio normal,

ou seja, a ´algebra de Rees de I n˜ao ´e normal.

  Atrav´es deste exemplo obtemos uma classe de grafos cujas ´algebras de Rees de seus ideais de arestas n˜ao s˜ao normais. Outros artigos sobres normalidade das ´algebras de Rees de ideais de arestas foram escritos, e em um destes foi obtido uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um grafo conexo possua a ´algebra de Rees de seu ideal de arestas normal. Daremos esta condi¸c˜ao como estimulo para futuros estudos, antes vejamos uma defini¸c˜ao.

3.17 Definic ¸˜ ao. Seja G um grafo. Uma Configura¸c˜ao de Hochster de ordem t (ou H-

  

configura¸c˜ao) em G consiste de dois ciclos ´ımpares C e C tais que C ∩ C = ∅ e

  2r+1 2s+1 2r+1 2s+1 t = r + s + 1.

  Ent˜ao a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a ´algebra de Rees de um ideal de arestas de um grafo conexo seja normal ´e que este grafo n˜ao possua H-configura¸c˜ao. Cap´ıtulo 4 Apˆ endice

  4.1 Integralidade

  

4.1 Definic ¸˜ ao. Sejam A um dom´ınio normal e k o seu corpo de fra¸c˜oes. O fecho inteiro de

  A ´e o conjunto de todos os elementos f s ∈ k que satisfazem a equa¸c˜ao abaixo: n n−

  1 ∈ A e n ≥ 1. f + a 1 f + · · · + a n = 0, com a i Caso, A = A dizemos que A ´e integralmente fechado ou normal.

  Se A n˜ao ´e um dom´ınio, dizemos que A ´e normal se A P ´e normal, para todo P ∈ specA.

  Veja que, se R ´e um dom´ınio e x um elemento transcendente sobre R, ent˜ao R ´e normal se, e somente se, R[x] ´e normal. Isso nos permite concluir que, se R ´e um anel de polinˆomios sobre um corpo k, ent˜ao R ´e um dom´ınio normal. Outro fato interessante sobre a normalidade ´e que ela ´e invariante por um sistema multiplicativo fechado como mostraremos nos resultados abaixo.

  ¸˜ ao.

  

4.2 Proposic Se R ´e um dom´ınio de integridade e S ´e um sistema multiplicativo fechado

de R, ent˜ao

  1

  1 S (R) = S (R). − − 1 −

  1

  1 Demonstra¸ c˜ ao. Provaremos primeiro que S (R) ⊂ S (R). Seja z ∈ S (R).

  ∈ R tais que Existe s ∈ S tal que s.z ´e inteiro sobre R. Portanto, existem a n n− 1 , · · · , a n

  1 (sz) + a (sz) + · · · + a n = 0. n

  1 Dividindo a equa¸c˜ao por s temos: a a n n n−

  1

  1

  • z z + · · · + = 0, n s s a i −

  1 −

   1 sendo a i ∈ R para todo i ∈ {1, · · · , n}. Como i ∈ S (R), z ∈ S (R). s p

  1 Reciprocamente, seja z ∈ S (R), em que z = com p ∈ R , em que R ´e o corpo de q fra¸c˜oes de R. Logo, z satisfaz a equa¸c˜ao n n−

  1 z + a z + · · · + a n = 0,

  1

  1 com a ∈ S (R), para todo i = 1, · · · , n. Desta forma, podemos escrever a equa¸c˜ao acima i como: m m−

  1 p b 1 p b m m m− + · · · + + = 0,

  1 q c q c m

  1 m de modo que b i ∈ R , c i ∈ S e i ∈ {1, · · · , n}. Tome s = c . . . c m .q . Multiplicando a equa¸c˜ao

  1 por s obteremos: m m−

  1 d .p + b .d .p + · · · + b m .d m = 0 com b i ∈ R e d i ∈ S.

  1

  1 2 +1 m−

  1 Ainda multiplicando a equa¸c˜ao por d teremos m m− m−

  1

  1

  1 (d .p) + b .d .(d .p) + · · · + b .d .d = 0.

  1

  1

  2 1 m m−

  1 d .p 1 −

  1

  1 Logo d .p ∈ R e, portanto, ∈ S (R).

  1 d .q 1 ¥ ario.

  

4.3 Corol´ Se R ´e um dom´ınio normal e S ´e um sistema multiplicativo fechado, ent˜ao

  1 S (R) ´e um dom´ınio normal.

  A demonstra¸c˜ao segue diretamente da proposi¸c˜ao anterior.

  ¸˜ ao.

4.4 Definic Sejam R um dom´ınio de integridade e k o seu corpo de fra¸c˜oes. Um elemento n x ∈ k ´e quase inteiro sobre R se existe a ∈ R, com a 6= 0, tal que ax ∈ R para todo n ≥ 0.

  n Obviamente se x ´e inteiro sobre R ent˜ao x ´e quase inteiro sobre R. Basta tomar a = d , c em que x = . A rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira, como indica a proposi¸c˜ao seguinte. d ¸˜ ao.

4.5 Proposic Sejam R um dom´ınio de integridade e k o seu corpo de fra¸c˜oes. Um elemento x ∈ k ´e inteiro sobre R se, e somente se, x ´e quase inteiro sobre R.

  Observe que mostrar que um elemento x, pertencente ao corpo de fra¸c˜oes de um dom´ınio R, ´e quase-inteiro sobre R ´e uma tarefa mais f´acil que mostrar que x ´e inteiro so- bre R. A proposi¸c˜ao demonstrada acima nos d´a a condi¸c˜ao para que possamos utilizar desta facilidade para concluir que o elemento x ´e inteiro sobre R.

  Demonstra¸ c˜ ao. A condi¸c˜ao necess´aria j´a foi indicada acima. Para mostrar a n −

  1 condi¸c˜ao suficiente assuma a ∈ R com a 6= 0 tal que ax ∈ R para todo n ≥ 0. Como a R ´e

  1 um R-m´odulo noetheriano e R[x] ⊂ a R, temos que R[x] ´e um R-m´odulo finitamente gerado.

  Afirma¸c˜ao: R[x] ´e inteiro sobre R. De fato, seja f ∈ R[x]. Existem α , · · · , α n ∈ R[x] tal que R[x] = Rα + · · · + Rα n . Podemos

  1

  1 escrever n

  X f α i = m ij α j , j =1 em que m ij ∈ R. Sejam M = (m ij ), N = M − f I e α = (α , · · · , α n ), em que I ´e a matriz t

  1 identidade. Como N α = 0 podemos usar a f´ormula N adj (N ) = det (N )I para concluir que α i det (N ) ∈ Ann(R[x]) para todo i.

  Como R[x] ´e um dom´ınio de integridade, ent˜ao det (N ) = 0. Finalmente note que n g(y) = (−1) det (M − yI) ´e um polinˆomio mˆonico em R[y], em que y ´e transcendente sobre R, e g(f ) = 0.

  Como R ´e um subanel de R[x], x ´e inteiro sobre R.

  ¥ Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] M. Hochster, Rings o invariants of tori, Cohen-Macaulay rings generated by monomials,

and polytopes, Ann. of Math. 96 (1972), 318-337.

  [2] R. Villarreal, Cohen-Macaulay graphs, Manuscripta Math. 66 (1990), 277-293.

[3] J. Herzog, W. V. Vasconcelos,e R. Villarreal, Ideals with sliding depth, Nagoya Math. J.

  99 (1985), 159-172.

  [4]

  A. Simis, R. Villarreal e W. V. Vasconcelos, On the Ideal Theory of Graphs, J. Algebra 167 (1994), 389-416.

  [5] C. E. N. Bahiano, Symbolic powers of edge ideals, J. Algebra 273 (2004), 517-537.

[6] R. Villarreal, Monomial Algebras, in: Pure Appl. Math., vol. 238, Marcel Dekker, New

York, 2001.

  

[7] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley,

Reading, MA, 1969.

  [8] H. Matsumura, Commutative Algebra, Benjamin-Cummings, Reading, MA, 1980.

[9] W. V. Vasconcelos, Integral Closure , Rees Algebras, Multiplicities, Algorithms, Springer

Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, 2005.

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