Medidas SRB para aplicações com alguma

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U F  B

  I  M´ C  P ´-G¸˜  M´ D¸˜  M

  M SRB  ¸ ˜   

˜

Mariana Pinheiro Gomes da Silva

  Salvador-Bahia

  2007

2 M SRB  ¸ ˜  

   ˜ Mariana Pinheiro Gomes da Silva

  Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática Pura.

  Banca examinadora Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador).

  Prof. Dr. Joseph Nee Anyah Yartey. Prof. Dr. Paulo César Rodrigues Pinto Varandas.

4 M P G  S “M SRB  ¸ ˜   ˜” / Salvador-Ba, 2007.

  Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA).

  Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Ma- temática da UFBA, 59 páginas.

  

Palavras-Chave: Expansão não-uniforme, Ergodicidade, Medidas Invari-

antes.

  A Deus e a meus pais.

  6

  Agradecimentos

  Agradeço a Deus por me sustentar nesta caminhada e a minha família, meus pais Luiz Carlos e Wanda e a meu irmão Bernardo por todo apoio carinho e compreensão imprescindíveis a esta conquista.

  Agradeço também àqueles que estiveram comigo no dia-a-dia, ven- cendo cada obstáculo que são meus colegas de turma também conhecidos como Afarinhados.

  A Bárbara (a Binha) por toda calma e paciência na resolução de cada exercício, a Kleyber (o Keu), por suas brincadeiras o os momentos de gargalhada em nosso grupo, a Elias (o Lico) por sua docilidade e sapiência, a Eliseu (o Zeu) pela sua diplomacia em resolver as ’diligências’ e as aulas de dominó nos poucos momentos de folga, a Ricardo (o Ric) por seu terrorismo antes de cada prova, a Jarbas (o Binha) por seu jeito pacato e os momentos de descontração e a Yuri (a Ki), essa coreana meio cearence, pelo seu jeito meigo e cativante sempre estimulando a todos no estudo. Amo vocês!

  Aos colegas da turma anterior pelo acolhimento e ajuda e de maneira muito especial aos meus queridos amigos Rosane, Ariane e Abílio. Ao apoio de José Alves e ao professor Vilton, meu orientador, por sua paciên- cia, sua compreensão e ao seu eterno e fundamental estímulo aos alunos para que continuem estudando e para que não esmoreçam ao topar com obstáculos.

  Aos professores do mestrado, sempre muito pacientes, atenciosos e dedicados e de maneira muito especial a três deles: Enaldo, José Fernandes e Paulo Ruffino porque foram mais que professores, foram amigos.

  Ao LEMA (Laboratório de Ensino de Matemática) e a todos os seus professores membros porque foi lá onde tudo começou e a Lina pelo seu carinho e estímulo.

  Aos funcionários do Instituto, D. Zezé e Tânia pela paciêcia e a Selma, Alan e Jomário pelo carinho e solicitude. E a quatro pessoas muito especiais que sempre estiveram presentes,

  8

  foram companheiras, amigas, irmãs e que sem elas essa conquista não teria o mesmo sabor: Fabiana, Carla, Gabriela e Cláudia. Muito obrigada por tudo.

  Resumo

  Neste trabalho construiremos medidas Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) para difeomorfismos locais satisfazendo condições mais fracas que não uni- formemente expansores. Também provaremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas para difeomorfismos locais apenas assumindo a existência de tempos hiperbólicos para quase todo ponto da variedade com respeito a medida de Lebesgue. Para isso usaremos idéias inspiradas na dinâmica unidimensional como intervalos "nice"e compo- nentes ergódicas para medidas não-invariantes.

  10

  Abstract

  We construct SRB measures diffeomorphisms satisfying conditions far weaker than the non-uniform local expansion. We also prove the existence of an absolutely continuous invariant measure for local diffeomorphisms, only assuming the existence of hyperbolic times for Lebesgue almost every point of the manifold. We will use ideas coming from the one dimensional dynamics like "nice"interval and ergodic components for non invariant measures.

  12

  

Conteúdo

Agradecimentos

  8 Resumo

  9 Abstract

  11 Introdução

  15

  1 Teoremas 17 1.1 Aplicações não-uniformemente expansoras . . . . . . . . . .

  19

  2 Componentes Ergódicas

  29

  3 Conjuntos Nested

  41

  4 Partição de Markov e Função Tempo

  47 4.1 Estrutura de Markov Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  47 4.2 Bola Nested em Tempo Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . .

  48 4.3 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  49 4.4 Estrutura Markoviana em B . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 4.5 Integrabilidade da função R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 Referências

  56

14 Conteúdo

  Introdução

  Em [5], Alves-Bonatti-Viana, provaram a existência de medidas invari- antes absolutamente contínuas para uma aplicação f não-flat definida em uma variedade compacta Riemanniana M de dimensão d ≥ 1 com volume normalizado chamado medida de Lebesgue onde o contole de distorção foi dado pela condição de recorrência lenta ao conjunto crítico e foi assumido que X n−

  1

  1 j 1 −

  1 k lim inf log(k (D f ( f (x))) ) ≥ λ > 0 n→+∞ n j=

  1 para Lebesgue quase todo ponto x ∈ M.

  Isto é, para provar a existência de tais medidas foi preciso garantir = que para quase todo ponto da variedade M existisse n n (x) tal que j

  1 λn

  ≤ k D f ( f (x)) k e , ∀j ≥ n . Este resultado foi obtido por Alves-Araújo em [8] sob a hipótese adicional do primeiro tempo hiperbólico ser integrável com respeito à medida de Lebesgue.

  Em [14], Pinheiro, usando técnicas diferentes e sem a condição adicional de integrabilidade do primeiro tempo hiperbólico, garantiu a existência destas medidas. Ele apenas exige que para Lebesgue quase todo ponto x ∈ M tenhamos X n−

  1

  1 j − −

  1

  1 lim sup log(k D f ( f (x) ) k ) ≥ λ > 0. n→+∞ n j=

  1 Assim, é preciso somente garantir que exista n ∈ N tal que a partir do n-ésimo iterado a aplicação f expanda em alguns momentos em Lebesgue quase todo ponto da variedade compacta M. Neste trabalho provaremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas para uma apli- cação f exigindo apenas a existência de um primeiro tempo hiperbólico para Lebesgue quase todo ponto x ∈ M mas usando novos resultados e

16 Conteúdo

  técnicas de [13]. Com isto, pretendemos abordar algumas idéias dos tra- balhos citados acima evitando algumas dificuldades técnicas que algumas vezes obscurecem estas idéias. Chamamos atenção que mostraremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas as quais, por sua vez, são medidas SRB ou medidas físicas.

  Para isto, seguimos o seguinte roteiro. Construímos em uma bola topológica da variedade M uma aplicação Markoviana induzida com boas propriedades de expansão e distorção. Por teoremas clássicos da Teoria Ergódica Infinita, mostramos que esta aplicação induzida tem uma medida invariante absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue. Em seguida provamos a integrabilidade do tempo de indução (neste caso, tempo de retorno). Com isto, conseguimos projetar a medida invariante com respeito à aplicação induzida em uma medida invariante com respeito à aplicação original. Além disto, esta medida projetada é absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue.

  Este trabalho foi dividido em quatro capítulos. No primeiro deles, enunciamos os teoremas que nos permitirão provar a existência destas medidas, definimos os tempos hiperbólicos e estudamos as suas principais propriedades. Os tempos hiperbólicos foram introduzidos por Alves- Bonatti-Viana em [5] e rapidamente se tornaram ferramenta básica no estudo da hiperbolicidade não (necessariamente) uniforme.

  O capítulo 2 é dedicado ao estudo as componentes ergódicas em qual- quer dimensão para medidas não (necessariamente) invariantes. São apre- sentados critérios para garantir a decomposição da variedade em um nú- mero finito de componentes ergódicas e ainda a existência de um atrator gordo (com medida positiva) em cada uma delas. Estas informações são importantes para mostrar a integrabilidade do tempo de retorno. O con- ceito de ergodicidade para medidas não invariantes surgiu na dinâmica unidimensional (ver, [1, 2, 11, 16, 17]). Em [13] este conceito é aplicado e estudado no contexto multidimensional.

  O capítulo 3 é dedicado ao estudo dos conjuntos aninhados (nested sets ). Estes conjuntos foram introduzidos em [13] e facilitam enormemente as partições de Markov. Estas partições por sua vez, são a base para a construção da aplicação induzida acima citada.

  No capítulo 4, congregamos os elementos desenvolvidos nos capítulos anteriores de maneira a provar a existência de medida invariante absolu- tamente contínua. Neste capítulo construímos a aplicação induzida Mar- koviana, mostramos a integrabilidade do tempo de retorno e finalmente obtemos a medida invariante para a aplicação original.

  

Capítulo 1

Teoremas

  Neste capítulo enunciaremos os principais teoremas e proposições que nos permitirão concluir a existência de medidas ergódicas invariantes ab-

  2 solutamente contínuas para um difeomorfismo C f na variedade M de dimensão d ≥ 1 apenas admitindo a existência de um primeiro tempo hiperbólico para Lebesgue quase todo ponto x ∈ M.

  Seja então M uma variedade compacta Riemanniana de dimensão d ≥ 1 e Leb o volume normalizado de M que chamaremos de medida de Lebes- gue.

  2 Teorema 1.1 Seja f : M → M um difeomorfismo local C . Se f (ou algum iterado fixo) satisfaz: X n−

  1

  1 i − −

  1

  1 k ≥ lim sup log(k D f ( f (x)) ) λ > 0. n→∞ n i= para Leb-q.t.p x ∈ M então existe uma coleção finita de medidas ergódicas invari- antes absolutamente contínuas tal que Lebesgue quase todo ponto de M pertence à bacia de uma destas medidas.

  Chamamos atenção que a bacia de alguma medida invariante ν é o conjunto B(ν) dos pontos x ∈ M tal que a medida delta de Dirac ao longo da órbita converge na topologia fraca estrela, isto é, n− X

  1 Z

  1 j ∀ lim (x)) = (M). n→+∞ φ( f φdν, φ ∈ C n j=

18 Capítulo 1. Teoremas

  O Teorema 1.1 é de fato uma consequência do teorema principal abaixo que garante a existência de uma estrutura markoviana local com integra- bilidade da função tempo. Uma estrutura markoviana em uma bola topo- lógica B ⊂ M consiste em uma partição enumerável P (mod 0) por abertos desta bola B com Leb(∂P) = 0, ∀P ∈ P e para cada x ∈ ∪ P existe uma P∈P função tempo associada x 7→ R(x) ∈ N, constante em cada P ∈ P e uma R (x) aplicação induzida F(x) = f (x) definida em quase todo ponto da bola

  B. Cada elemento desta partição é enviado por F difeomorficamente em uma bola B. Pode-se provar que F tem medida invariante absolutamente contínua ν. Além disso, desde que R seja Leb-integrável também pode-se provar que existe medida f-invariante finita absolutamente contínua.

  

Teorema 1.2 (Principal) Toda aplicação satisfazendo as hipóteses do Teorema

1.1 tem estrutura markoviana local com integrabilidade da função tempo.

  Uma aplicação f : M → M é chamada não-uniformemente expansora se ela (ou algum iterado) satisfaz para Leb-q.t.p x ∈ M a seguinte condição: n− X

  1

  1 i

  1 k lim sup log(k(D f ( f (x))) ) ≤ −λ < 0. n→∞ n i= ou equivalentemente satisfaz, n− X

  1 1 − − i

  1

  1 k ≥ lim inf log(kD f ( f (x)) ) λ > 0. n→∞ n i=

  2 Teorema 1.3 Um difeomorfismo local C é não-uniformemente expansor se e somente se satisfaz as hipóteses do Teorema 1.1.

  2 Teorema 1.4 Seja f : M → M um difeomorfismo local C em uma variedade compacta M. Se a função primeiro tempo hiperbólico é definida para Leb-q.t.p x ∈ M então f é uma aplicação não-uniformemente expansora.

  1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras

  19

  1.1 Aplicações não-uniformemente expansoras

Definição 1.1 (σ-Tempo hiperbólico) Dado σ < 1, dizemos que n é um

  σ-tempo hiperbólico para um ponto x ∈ M se para todo 1 ≤ k ≤ n, Y n−

  1 i k

  1 k≤ i=n−k k D f ( f (x)) σ

  Denotaremos o conjunto dos pontos de M tal que n ∈ N é σ-tempo hiperbólico por H (σ). n −k n

  Em particular, se n é um σ-tempo hiperbólico para x, então D f ( f (x)) é uma contração para todo 1 ≤ k ≤ n: n− −k Y

  1 n i k

  1 k≤ k D f k D f

  ( f (x)) k≤ ( f (x)) σ . i=n−k − c

  (c

  2 1 ) =

  Lema 1.1 (Pliss) Dado A ≥ c

  2 > c 1 > 0, tome θ . Então, dada (A − c )

  1 qualquer sequência de números reais a , . . . a tais que: X N

  1 N a ≥ c N e a ≤ A, para todo 1 ≤ j ≤ N. j j= 2 j

  1 ≤ N tais que: existem l > θ N e 1 < n X n i 1 < . . . < n l

  ≥ c − n a j 1 (n i ), para todo 0 ≤ n < n i e i = 1, . . . , l. j=n+

  1 P n

  Demonstração: Defina S(n) = − c

  (a j 1 ) para cada 1 ≤ n ≤ N e j=

  1 também S(0) = 0. Seja 1 < n 1 < . . . < n ≤ N a sequência máxima tal que l

  (n) ≤ S(n ) para todo 0 ≤ n < n e i = 1, . . . , l. Observe que l não pode ser S i i zero já que S(N) > S(0). Além disso, a definição de S(n) significa que: X n i j=n+ a ≥ c j i i 1 (n − n ), para todo 0 ≤ n < n e i = 1, . . . , l.

  1 De fato,

20 Capítulo 1. Teoremas

  Então, falta provar que l > θ N . Fazemos esta demonstração nas quatro afirmações abaixo.

  1 (a j − c 1 ) e a j ≤ A , ∀1 ≤ j ≤ N.

  S (n) = P n j=

  ) < S(n i− 1 ) + (A − c 1 ). De fato, por definição,

  Afirmação 1.2 S (n i

  1. Contradição pois n i > 1, ∀1 ≤ j ≤ N.

  −

  − 1) pois n i é o elemento seguinte a n i− 1 para o qual a sequência máxima está bem definida. Daí, n i < n i

  − 1), logo teremos S(n i ) ≤ S(n i

  1 ) < S(n i

  De fato, por construção temos que para n i− 1 < n i , define-se uma sequên- cia máxima tal que S(n i− 1 ) ≤ S(n i ). Suponha que S(n i−

  1 ).

  − 1) < S(n i−

  Por definição, S (n i

  Afirmação 1.1

  S (n i ) ≥ S(n), ∀0 ≤ n < n i = ⇒ n i X j=

  1 (a j − c

  1 a j − nc

  1 ) ≥ n X j=

  1 (a j − c

  1 )

  = ⇒ n i X j=

  1 a j − n i c

  1 ≥ n X j=

  1 =

  1 n i X j=n+

  ⇒ n i X j=

  1 a j

  − n X j=

  1 a j

  ≥ n i c

  1 − nc

  1 a j ≥ c 1 (n i − n ).

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras

  = S

  1 ) para cada 1 < i ≤ l.

  1 ) + (A − c

  < S(n i−

  1 )

  1 ) + (a n i − c

  1 < S(n i−

  1) + a n i − c

  (n i

  1 )

  1 ) ≤ A − c

  1 ) + (a n i − c

  1 (a j − c

  1 X j=

  1 ) = n i

  1 (a j − c

  S (n i ) = n i X j=

  21 Assim,

  1 De fato,

  Afirmação 1.3 S (n

  • n

  1 − c

  • n

  | {z } 1 ) S (2)<0

  N o que implicaria em S(N) = S(n l ). Contradição. E, S(N) ≥ N(c 2 − c 1 ) pois:

  De fato, S(n l ) ≥ S(N) pois se S(N) > S(n l ), N seria o último termo da sequência máxima, então teríamos n l =

  2 − c 1 ).

  Afirmação 1.4 S (n l ) ≥ S(N) ≥ N(c

  1 .

  1 ) < A − c

  | {z } 1 ) ≤A−c 1 Logo, S(n

  (n 1 1)<0

  1 ) | {z } S

  1 − c

  1 ) | {z } S (3)<0

  3 − c

  2 − c

  1 =

  | {z } 1 ) S (1)<0

  1 − c

  S (n 1 ) = (a

  1 temos S(n) < 0. Assim,

  1 é o primeiro elemento da sequência máxima tal que S(n 1 ) ≥ 0 e para os n < n

  1 , ou seja, n

  1 ) para 0 ≤ n < n

  1 > 1, Por construção n i são elementos tais que S(n) ≤ S(n i ) para 0 ≤ n < n i e i = 1, 2, . . . , l. Em particular, para i = 1 temos S(n) ≤ S(n

  1

  1 < A − c

  1 ) = S(1) = a

  1, S(n

  • . . . + (a n
  • 1 −<
  • (a
  • (a
  • (a n
  • 1 − c

    22 Capítulo 1. Teoremas

      θ &gt; 0, dependendo apenas de f e λ, tal que: ♯{1 ≤  ≤ n; x ∈ H

      1 ).

      Assim, N(c

      2 − c

      1 ) &lt; l(A − c

      1 ) ⇒ l &gt; N

      (c 2 −c 1 ) (A−c 1 )

      = N θ .

      Proposição 1.1

      Seja f : M → M um difeomorfismo local C

      2 . Dado λ &gt; 0 existe

       (e

      1 ) + (A − c

      λ/2 )} ≥ θn sempre que P n−

      1 i= log; D f ( f i (x)))

      1 k

      1 &gt; λn.

      Isto é, se P n−

      1 i= log k D f ( f ( f i ))

      1 k

      1 &gt; λn, existe θ &gt; 0, dependendo apenas de f e λ, tal que para n ≥ 1 existem (e

      λ/2 )-tempos hiperbólicos 1 ≤ n 1 &lt; n 2 &lt;

      . . . &lt; n l ≤ n para x onde l ≥ θn.

      1 ) = l(A − c

      S (N) = N X j=

      1 (a j − c

      1 =

      1 ) = (a

      1 − c

      1 ) + (a

      2 − c

      1 ) + . . . + (a N − c

      1 )

      = N X j=

      1 a j − Nc

      1 ≥ Nc

      2 − Nc

      N (c

      2 (S(n i ) − S(n i−

      2 − c

      1 ).

      E, finalmente teremos: N (c

      2 − c

      1 ) ≤ S(n l ) = l X i=

      2 (S(n i ) − S(n i− 1 )) + S(n 1 ) &lt; l(A − c 1 ).

      De fato, como S(n i ) − S(n i−

      1 ) &lt; A − c

      1 então,

      S (n l ) = l X i=

      1 )) + S(n l ) &lt; (l − 1)(A − c

    1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras

      23 Demonstração: Sejam x ∈ M e n ≥ 1 tais que tenhamos: X n−

      1

      1 i − −

      1

      1 k log k D f ( f (x)) &gt; λ. n i= i−

      1

      1 = − k Considere a log k D f ( f (x)) onde 0 ≤ i ≤ n. i

      Logo, por hipótese, n n n− X X X

      1 i− i 1 − 1 − 1 −

      1 = − k= k a log k D f ( f (x)) log k D f ( f (x)) &gt; λn. (1.1) i i= i= i=

      1

      1

      1 k k

      ∈ M} Tomando A = sup{ (D f (x)) , teremos ∀1 ≤ i ≤ n, i− log ; x − − −

      1

      1

      1

      1 = k k k a log k D f ( f (x)) ≤ sup{ (D f (x)) ∈ M} = A . (1.2) i log ; x

      1 λ k k = =

      Assim, para A = sup{ (D f (x)) ∈ M} , c log ; x 2 λ, c 1 e pelas

      2 desigualdades (1.1) e (1.2) temos: X n a ≤ c n e a ≤ A , ∀0 ≤ i ≤ n − 1. i i= 2 i

      1 Então, pelo lema anterior, existem 1 &lt; n 1 &lt; . . . &lt; n ≤ n com l &gt; θn tal l que para todo 0 ≤ n ≤ n e j = 1, . . . , l, temos: X n j j

      λ i− 1 − 1 −

      1 k ≥ log k D f ( f (x)) (n − n ). (1.3) j

      2 i=n+

      1 Agora vamos mostrar que os tempos n tais que j = 1, . . . , l são j λ/2

      (e )-tempos hiperbólicos para x. De fato, pela desigualdade (1.3) para cada j = 1, . . . , l temos: − − − −

      1 1 n j

      1 1 λ λ k k ≥ − −

      2

    • log k D f (x) . . . + log k D f ( f (x)) n j . . . + (n j (n 1)) j

      2 λ λ λ

    • = − n (n 1) + . . . + j j P j

      2 n

      2

      2 λ

      = k= k .

      1

      2

    24 Capítulo 1. Teoremas

      Logo, da desigualdade anterior, concluímos: − − − − − − P nj λ

      1

      1

      1

      1 n j

      1 1 k k= 1 2 k k k ≥ k D f (x) k D f ( f (x)) . . . k D f ( f (x)) e Q j − − Q j n n λ k k

      1

      1 2 k ≥ k= k= k D f ( f (x)) e Q j Q j n n λ λ − −

      1 k k

      1 2 2 k≤ k D f ( f (x)) e &lt; e . k= k=

      1

      2 Corolário 1.1 Seja f : M → M um difeomorfismo local C . Dado λ &gt; 0,, existe θ &gt; 0 dependendo apenas de f e λ, tal que se A ⊂ M satisfaz P

      1 1 n− − − i

      1

      1 k lim sup log k D f ( f (x)) n n i= &gt; λ para Leb-q.t.p x ∈ A então

      1 λ/2 lim sup ♯{1 ≤  ≤ n; x ∈ H (e )} ≥ θ (1.4)

       n→+∞ n para Leb-q.t.p x ∈ A.

      2 Proposição 1.2 Seja f : M → M um difeomorfismo local C . Dado σ &lt; 1, existe

      δ e ρ &gt; 0 dependendo apenas de σ e da aplicação f , tal que para qualquer x ∈ M

      1 e n ≥ 1 um σ-tempo hiperbólico para x existe uma vizinhança V (x) de x com as n seguintes propriedades: n n (1) f manda V (x) difeomorficamente na bola B ( f (x)). n−k n δ

    n−k n−k n n

    2

    k

    n 1

    (2) dist ( f (p), f (q)) ≤ σ .dist (V (x)) ( f (p), f (q)), ∀p, q ∈ V (x)

    f n (V (x)) f n n e 1 ≤ k ≤ n. n detD f (p) n n n

      ≤ (3) log n ρ.dist ( f (p), f (q)), ∀p, q ∈ V (x). detD f (q) f (V (x)) n n

      Demonstração: Para provar os itens (1) e (2), considere a seguinte

      afirmação:

      Afirmação 1.5 Existe δ &gt; 0 tal que: − − −

      1

      1 1/2 k k D f (y) &lt; σ k D f (x) k, ∀y ∈ B (x).

      δ

    1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras

      25

      1 k Demonstração da Afirmação: Considere a função g : M ∋ x 7→ log kD f (x) .

      Claramente g é contínua. Para todo ǫ &gt; 0, em particular, para todo 1/2

      0 &lt; ǫ &lt; log σ , existe δ &gt; 0 tal que: kx − yk &lt; δ ⇒ kg(x) − g(y)k &lt; ǫ.

      Portanto, ∀y ∈ B (x), temos: − − δ

      1

      1 k − k log k D f (y) log k D f (x) &lt; ǫ

      1 k k D f (y) log &lt; ǫ

      1 k k D f (x)

      1 − −

      1 ǫ 1/2 k k &lt; e k D f (x) &lt; σ k D f (x) .

      Finalmente obtemos: − − −

      1

      1 1/2 k k k D f (y) k D f (x) ∀y ∈ B (x). (1.5)

      &lt; σ , δ

      Como n é σ-tempo hiperbólico para x então para todo 1 ≤ k ≤ n, n− Y

      1 j k

      1 k j=n−k k D f ( f (x)) &lt; σ .

      Logo, n−

      1

      1 k k D f ( f (x)) &lt; σ (1.6) n Considere agora a bola B ( f (x)) onde n é tempo hiperbólico para x.

      δ 1 Então, por (1.5) e (1.6) temos: − − − − 1 n− 1 1 n−

      1 1/2 1/2 1/2 1/2 k k k D f (y) &lt; σ k D f ( f (x)) &lt; σ .σ = σ , ∀y ∈ B ( f (x)).

      δ 1 σ 1/2 n

      Isto é, f é uma σ -contração para trás da bola de raio δ 1 centrada em f (x). n−

      1 Consequentemente, existe uma vizinhança V n− n− 1 de f (x) contida na 1/2

      1 bola B ( f (x)) que é levada difeomorficamente na bola de raio δ

      1 δ 1 σ n centrada em f (x).

    26 Capítulo 1. Teoremas

      Agora, dado qualquer j &gt; 1, podemos supor que construímos uma n−j+ 1 j−

      1 vizinhança V de f (x) tal que a restrição de f (x) a V é um n−j+

      1 n n−j+

      1 difeomorfismo na bola de raio δ i − − − 1 centrada em f (x) com

      1 n− (j−1)+i

      1 1/2 k k k D f ( f (z)) &lt; σ k D f ( f (x)) (1.7) para todo z em V n−j+ 1 e 0 ≤ i &lt; j. Então, por (1.5) e pela hipótese que n é tempo hiperbólico para x, j − Q j− Q j−

      1

      1 1 − i 1/2 n−j+i 1 − −

      1 k ≤ k ≤ k k D f (x) k D f ( f (z)) σ k D f ( f (x)) i= i= − − Q j−

      1

      1 1/2 n−j+i

      ≤ k σ k D f ( f (x)) i=

      1/2 j /2 (j−1)/2 ≤ =

      σ .σ σ j /2 &lt; σ para todo z em V n−j+ 1 e 0 ≤ i &lt; j. j

      Agora, para provar o item (2), construiremos o ramo inverso de f n na bola de raio δ centrada em f (x) pelo levantamento de geodésicas do 1 − j seguinte modo. De fato, f (γ) contém uma componente conexa γ n−j que n−j é uma curva começando em f (x). j

      /2 Como γ está contida na bola de raio δ n−j j /2 1 σ então a derivada em qual- quer ponto desta curva é uma σ -contração para trás. Isto significa que o j

      /2 comprimento desta curva é menor que δ j /2 n−j 1 σ . Logo, esta curva está intei- ramente contida na bola B ( f (x)). Isto prova que este levantamento

      δ 1 σ está bem definido em toda geodésica γ. Portanto, temos um ramo bem − j n definido de f na bola de raio δ

      1 centrada em f (x).

      Chamemos de V a imagem deste ramo inverso. Por construção, j /2 n−j n−j V ⊂ B ( f (x)) e sua imagem por f coincide com V . Então, n−j n−j+

      1 δ σ 1 recuperamos a indução suposta em (1.7) para pontos em V n−j e tempos n−j 0 ≤ i ≤ j. Deste modo, construiremos vizinhanças V de f (x) para todo n−j 1 ≤ j ≤ n. Assim,tomando V n (x) = V , concluímos: n−k n n−k n−k n n 2 k dist ( f (p), f (q)) ≤ σ .dist (V (x)) ( f (p), f (q)), f (V (x)) f n n para todos p, q ∈ V (x) e ∀1 ≤ k ≤ n. n

    1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras

      = c . h σ 1/2n /2

      = c h dist V n (x) (p, q) + . . . + dist f n− 1 (V n (x))

      ( f n−

      1 (p), f n−

      1 (q)) i ≤ c . h σ n

      /2

      (n−1)/2

      1/2 i .dist f n (V n (x)) ( f n (p), f n (q))

      1) σ 1/2

      1 X j= dist f j

      1 i .dist f n (V n (x))

      ( f n (p), f n (q)).

      Como P n j=

      1 σ j

      /2 ≤ P + ∞ j=

      1 σ j

      /2 &lt; +∞ pois σ &lt; 1 então basta tomarmos

      (V n (x)) ( f j (p), f j (q))

      = c . n−

      27 Para provar o item (3),considere a função:

      Daí, detD f n (p) detD f n (q) = n−

      h : M → R + x 7→ log | detD f (x) |

      Claramente, h é C

      1 . Como M é uma variedade compacta, então h é Lips- chitziana e portanto uniformemente contínua. Logo, existe uma constante c &gt; 0 tal que para p, q ∈ V n (x), temos: log detD f (p) detD f (q)

      = log | detD f (p) | − log | detD f (q) | ≤ c | p−q | &lt; c.dist V n (x) (p, q)

      Em particular, log detD f ( f j (p)) detD f ( f j (q))

      ≤ c | f j (p) − f j (q) |&lt; c.dist f j

      (V n (x)) ( f j (p), f j (q)), ∀1 ≤ j ≤ n.

      1 Y j= detD f ( f j (p)) detD f ( f j (q))

      1 X j= | f j (p) − f j (q) |

      ≤ n−

      1 Y j= detD f ( f j (p)) detD f ( f j (q)) log detD f n (p) detD f n (q)

      ≤ log n−

      1 Y j= detD f ( f j (p)) detD f ( f j (q))

      = n−

      1 X j= log detD f ( f j (p)) detD f ( f j (q))

      ≤ c n−

    • σ
    • . . . + σ
    • + 28
    • X j /2 Capítulo 1. Teoremas ρ = σ para concluir o item 3. j=

        1

        

      Capítulo 2

      Componentes Ergódicas

        A idéia inicial de componente ergódica foi dada dinâmica unidimen- sional. A decomposição de um intervalo em componentes ergódicas com respeito a medida de Lebesgue já é bem conhecida para aplicações multi- modais em dimensão 1. (ver [1, 2, 10, 11, 16, 17]). Neste capítulo, definire- mos as componentes ergódicas de uma variedade M de dimensão d ≥ 1 e mostraremos que é possível decompor tal variedade em um número finito de componentes ergódicas. Além disto, mostraremos a existência de um atrator gordo em cada uma delas.

        Um subconjunto U ⊂ M será chamado de conjunto invariante com

        1 respeito a aplicação f : M → M se f (U) = U e será chamado de positiva- mente invariante se f (U) ⊂ U.

        

      Definição 2.1 (Componente Ergódica) Um conjunto invariante U ⊂ M com

        medida de Lebesgue positiva será chamado de componente ergódica de M se não admitir qualquer subconjunto próprio invariante com medida de Lebesgue positiva, isto é, se A ⊂ U é invariante então Leb (A) = 0 ou Leb(U \ A) = 0.

        

      Definição 2.2 (Órbita de um ponto) Chamamos de órbita do ponto x ∈ M o

      n
      • + conjunto O (x) = { f (x); x ∈ Z} e chamamos de órbita positiva ou órbita futura de n um ponto x ∈ M o conjunto O (x) = { f (x); n ∈ N}.

        

      Definição 2.3 (Omega limite) Definimos como omega limite de um ponto x ∈

        → +∞ M e denotamos por ω(x) o conjunto ω(x) = {p ∈ M; ∃n sequência com n j j

        30 n j Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        tal que f (x) → p}, isto é, ω(x) é o conjunto dos pontos de acumulação da órbita futura de x.

        

      Definição 2.4 (Conjunto Atrator [9]) Um conjunto compacto positivamente

        invariante A será chamado de atrator se a sua bacia de atração B (A) = {x ∈ f M ; ω(x) ⊂ A} tem medida de Lebesgue positiva.

        Definição 2.5 (Partição)

        Seja P uma coleção de conjuntos com medida de Lebesgue positiva mas com bordo de medida zero, isto é, Leb (∂P) = 0, ∀P ∈ P. Tal coleção é chamada de partição de M se cobrir a variedade M em quase todo ponto, isto é, Leb (M \ ∪ P ) = 0 e P ∩ Q ⊂ ∂P ∩ ∂Q, ∀P ∋ P , Q ∈ P. P∈P

        

      Proposição 2.1 Dada uma componente ergódica U ⊂ M, existe um único atrator

        A que atrai quase todo ponto de U. Além disso, exceto num conjunto de medida zero, a componente ergódica e a bacia do atrator A são iguais e ω(x) = A para quase todo ponto de U.

        Demonstração: Por indução construiremos uma sequência de partições

        P j de M. Seja P uma partição finita formada por conjuntos compactos de

        1 M e suponha que a coleção P n− 1 está bem construída.

        1 P

        = Considere para cada P ∈ P o conjunto U {x ∈ U ; ω(x) ∩ P , ∅}. n−

        1 Como U é uma componente ergódica e f (U ) = U , já que, ω(x) = P P ω( f (x)), ∀x então ou Leb(U ) = 0 ou Leb(U \ U ) = 0. P P Seja P n um refinamento de P n− 1 formada pela coleção finita de conjuntos compactos tais que dado qualquer P ∈ P n− n 1 , os elementos Q de P contidos em P são escolhidos da seguinte forma: se Leb(U P ) = 0 tomamos Q = P, caso contrário, se particiona P por conjuntos Q ∈ P de modo que 0 &lt; n

        1 diam(Q) &lt; diam(P).

        2 Considere para cada n ∈ N, S P =

        = n {P ∈ P ; U \ U é um conjunto de medida de zero } e K P . n P n P∈P n ⊃ ⊃

        Como K 1 . . . ⊃ K n . . . é uma sequência encaixante de compactos T não vazios então A = K é também um conjunto compacto não vazio. n n

        Por construção, para quase todo ponto x ∈ U e ∀n ∈ N, ω(x) ⊂ K e n

        1 ω(x) ∩ P , ∅, ∀P ∈ P . Além disso, como diam(P) &lt; n diam(M), ∀P ∈ P , n n −n −n

        2 } temos ω(x) ⊂ K ⊂ B (A) = {p ∈ M; dist(p, A) ≤ 2 . Assim, ω(x) = A n

        2 para Leb-q.t.p x ∈ U. Componentes Ergódicas

        31 Sejam U ⊂ M um conjunto positivamente invariante. Considere para j + cada x ∈ U um subconjunto H(x) ⊂ O (x) onde H(x) = { f (x); x ∈ H (σ)}. H j H Seja a coleção H = (H(x)) . Denotemos por U ⊂ U o conjunto x∈U H

        = {x ∈ U U ; ♯{j ∈ N; x ∈ H j (σ)} = +∞}. Defina para cada x ∈ U o conjunto ω H (x) dos pontos de acumulação de H(x), isto é, o conjunto

        → +∞ dos pontos p ∈ M tal que existe uma sequência n j satisfazendo n j H ∋ f (x) → p quando j → +∞. Veja que ω H (x) é um conjunto não-vazio mas não necessariamente positivamente invariante.

        Dizemos que x ∈ M tem frequência positiva de tempos hiperbólicos se:

        1 lim sup (x)} &gt; 0 ♯{1 ≤ j ≤ n; x ∈ H j n→+∞ n para cada x ∈ U.

        

      Observação 2.1 Definimos o conjunto dos pontos de U como o conjunto dos

        pontos que tem frequência positiva usando o lim sup ao invés de lim inf como é definida geralmente a frequência positiva a um conjunto. Ressaltamos porém que de fato precisamos apenas garantir a frequência positiva em média a um conjunto, isto é, precisamos apenas assegurar que os pontos visitarão o conjunto H em alguns momentos. H +

        Caso x ∈ U , defina o conjunto ω (x) dos pontos de M que são ,H frequentemente visitados por imagens hiperbólicas de x, como os pontos

        1 j p ∈ M tal que lim sup (x) ∈ H(x) ∩ V} &gt; 0 para toda n n ♯{1 ≤ j ≤ n; f vizinhança V de p.

        

      Lema 2.1 Seja U uma componente ergódica, tome A o atrator associado a U e

        H = H (H(x)) . Existe um conjunto compacto A H ⊂ A tal que ω H (x) = A H x∈U para Leb-q.t.p x ∈ U. Além disso, se H tem frequência positiva então existe

      • + ⊂ A H também um conjunto compacto A tal que ω (x) = A para Leb- + +

        ,H ,H ,H q.t.p x ∈ U.

        Demonstração: A prova deste lema é semelhante a prova da Propo-

        sição 2.1. Construiremos uma sequência de partições P de M. Tome P j

        1 qualquer partição finita de M e suponha que a partição P n− 1 foi de fato bem construída. Dado um ponto x ∈ U e um conjunto K ⊂ M, denote a H

      • frequência de visita de x a K por

      32 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        1 j (x) = lim sup (x) ∈ K ∩ H(x)}. φ K ♯{0 ≤ j &lt; n; f n n

        = Tome, para cada P ∈ P o conjunto U {x ∈ U ; φ (x) &gt; 0}. Logo, pela n−

        1 P P definição de φ usando limsup teremos que ou φ (x) &gt; 0 ou φ (x) &gt; 0 K K M\K e portando Leb(U \ U ) = 0 ou Leb(U ) = 0 respectivamente. Tome P P P n qualquer refinamento de P n−

        1 satisfazendo as seguintes condições: Dado qualquer P ∈ P n− n 1 , os elementos Q de P contidos em P são escolhidos da seguinte forma: se Leb(U P ) = 0, tomamos P = Q, caso contrário, se particiona P por conjuntos Q ∈ P de modo que 0 &lt;diam(Q) &lt; n

        1 diam(P). Considere para cada n ∈ N o conjunto P = {P ∈ P ; Leb(U \ n n

        2 = ∪ ⊃ ⊃

        U ) = 0} e K P . Como K ⊃ K P n P∈P n

        1 2 . . . ⊃ K n . . . é uma sequência encaixante de compactos não vazios (pela definição de U ), ∀n ∈ N, então P

        = ∩ o conjunto A H K é também compacto não vazio. n n Pela construção de P , para quase todo ponto x ∈ U, ∀P ∈ P e n n

        ∀n ∈ N temos que φ (x) &gt; 0. Portanto ω H (x) = ω H ( f (x)) ⊂ K , ∀n ∈ N e H P n ω (x) ∩ P , ∅, ∀P ∈ P . n Como, para cada P ∈ P , n

        1

        1

        1

        1 diam(P) &lt; diam(P ) &lt; diam(P ) &lt; . . . &lt; diam(P ) &lt; diam(M) 1 2 n 2 n n

        2 −n

        2

        2 −n

        2 } então ω H (x) ⊂ K ⊂ B (A H ) = {p ∈ M; dist(p, A H ) ≤ 2 . n

        2 Isso implica que ω H (x) = A H (x) para Leb-q.t.p x ∈ U.

        ⊂ A Para provar que existe A H tal que ω (x) = A para +

        ,H H + + ,H ,H Leb -q.t.p x ∈ U basta trocar na prova acima, ω (x) por ω (x) observando + ,H + +

        = ∩ K que ω (x) = ω ( f (x)) e que todo ponto de A é acumulado n n ,H + ,H n n ,H pela sequência { f (x); n ∈ N e f (x) ∈ H(x)} para quase todo ponto de U.

        ⊂ A ⊂ A Então A H . + ,H

      • + , ∅

        Além disso, se B é um conjunto aberto com B ∩ A então para ,H n grande teremos algum elemento P ∈ P contido em B. E ainda, por n construção, vale: 1 j lim sup ♯{0 ≤ j &lt; n; f (x) ∈ B ∩ H(x)} ≥ n n

        1 j ≥ lim sup (x) ∈ P ∩ H(x)} &gt; 0. n n ♯{0 ≤ j &lt; n k f

        

      Proposição 2.2 Se existe algum δ &gt; 0 tal que todo conjunto positivamente

        invariante ou tem medida de Lebesgue zero ou tem medida de Lebesgue maior que

        Componentes Ergódicas 33 δ então M pode ser decomposta em um número finito de componentes ergódicas.

        Além disso, o atrator associado a cada componente ergódica tem medida de Lebesgue positiva.

        Demonstração: Seja W ⊂ M qualquer subconjunto invariante de M

        (por exemplo, W = M) com medida de Lebesgue positiva e tome F (W) a coleção de todos os conjuntos positivamente invariantes U ∈ W com medida de Lebesgue positiva, isto é,

        F (W) = {U ⊂ W; f (U) ⊆ U e Leb(U) &gt; 0} Note que F (W) , ∅ porque W ∈ F (W).

        Considere a inclusão (mod 0) como uma ordem parcial em F (W) e seja ⊂ F

        Γ (W) um subconjunto totalmente ordenado de F (W). T n Afirmação 2.1 Existe algum ξ ⊂ Γ tal que γ ⊃ f (ξ)(mod 0), ∀γ ∈ Γ. n≥ ∈ Γ Demonstração da Afirmação: Escolha qualquer conjunto inicial γ . \ ⊃ ∈ Γ \

        Então, Leb(γ γ) ≤ δ ∀γ ∈ Γ ou existe algum γ γ 1 tal que Leb(γ γ 1 ) &gt; teremos uma sequência máxima finita δ. Assumindo que existe tal γ

        1 ⊃ ⊃ \

        γ γ 1 . . . ⊃ γ s com Leb(γ k γ k+ 1 ) &gt; δ ∀k (porque Leb(M) &lt; +∞). Logo existe algum ξ = γ tal que Leb(ξ \ γ) ≤ δ, ∀γ ∈ Γ. s Consequentemente, dado qualquer γ ⊂ ξ tal que γ ∈ Γ, para quase todo n ponto x ∈ ξ \ γ teremos f (x) ∈ γ para todo n grande ( caso contrário, ξ \ γ conterá algum subconjunto invariante U com 0 &lt; Leb(U) ≤ Leb(ξ \ γ) ≤ δ). T n Então, f (ξ) ⊂ γ (mod 0), provando o afirmado. n T n

        É claro que ζ = f (ξ) é um conjunto positivamente invariante e tem n k n T k medida de Lebesgue positiva ( caso contrário, como f (ξ) = f (ξ) ց ζ, k n= teríamos 0 &lt; Leb( f (ξ)) &lt; δ para algum k grande, mas isto é impossível k pois f (ξ) é um conjunto positivamente invariante).

        Então, ζ ∈ F (W) e γ ≤ ζ, ∀γ ∈ Γ (Pela ordem parcial em F (W)).

        1 =

        Pelo Lema de Zorn existe um elemento maximal ρ ∈ F (W). Seja U S −n 1 n f (ρ).

        Afirmação 2.2 U é uma componente ergódica. 1

        1 Todo conjunto parcialmente ordenado não vazio em que toda cadeia - subconjunto

        

      totalmente ordenado - tem um limitante superior, contém ao menos um elemento maxi-

      mal.

      34 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        

        1 Demonstração da Afirmação: Seja A ⊂ U −n −n −n 1 com f (A) = A e Leb(A) &gt; 0.

        Se Leb(A ∩ ρ) = 0 então Leb(A ∩ f (ρ)) = Leb( f (A) ∩ f (ρ)) = −n Leb ( f (A ∩ ρ))=0 pois é a pré-imagem de um conjunto de medida zero. Assim, Leb(A ∩ U 1 ) = 0. Absurdo. Logo, Leb(A ∩ ρ) &gt; 0.

        1 Como f (A) = A temos A = f (A) e assim f (A∩ρ) ⊂ f (A)∩ f (ρ) ⊂ (A∩ρ).

        Logo, A∩ρ é positivamente invariante e Leb(A∩ρ) &gt; 0. Pela maximalidade de ρ, segue que A ∩ ρ = ρ (mod 0). −n −n \A

        Portanto, A ⊃ ∪ f (A∩ρ) = ∪ f (ρ) = U 1 (mod 0), ou seja, Leb(U 1 ) = 0.

        Como M \ U é um conjunto invariante, então ou tem medida de Le-

        1 besgue zero ou podemos usar o argumento acima e obter uma nova com- ponente ergódica U dentro de M \ U .

        2

        1 Indutivamente, podemos construir uma coleção de componentes er- ∪ gódicas U

        1 , . . . , U r sempre que Leb(M \ U 1 . . . ∪ U r ) &gt; 0. Mas como Leb(U ) &gt; δ, ∀j este processo irá parar, já que Leb(M) &lt; +∞ e então obtere- j mos a decomposição de M em componentes ergódicas como desejávamos.

        Segue do Lema 2.1 que cada componente ergódica U ⊂ M é a bacia de algum atrator A. Suponhamos que Leb(A) = 0. Então, podemos escolher uma vizinhança aberta V de A tal que Leb(V) &lt; δ e um inteiro n onde para n

        = } U {x ∈ U ; f (x) ∈ V, ∀n ≥ n tenhamos Leb(U ) &gt; 0. ′ ′ n Como U é positivamente invariante, f (U ) é um conjunto positiva- n mente invariante com 0 &lt; Leb( f (U )) &lt; Leb(V) &lt; δ, contradizendo a hipótese. Portanto, Leb(A) &gt; 0.

        Em particular, Leb(A) &gt; δ.

        Observe que se um dado x ∈ M tiver um número finito de tempos hiperbólicos então algum iterado deste ponto pertencerá a um conjunto de pontos em M que não tem tempo hiperbólico. Como Leb-q.t.p x ∈ M tem tempo hiperbólico e f é um difeomorfismo local então tal conjunto terá medida nula. Assim, podemos enunciar a seguinte afirmação. Componentes Ergódicas

        35 Afirmação 2.3 Se Leb-q.t.p. x ∈ M tem um primeiro tempo hiperbólico então Leb-q.t.p. x ∈ M tem uma infinidade de tempos hiperbólicos.

        

      Proposição 2.3 Se Leb-q.t.p. x ∈ M tem uma infinidade de tempos hiperbólicos

        e se U ⊂ M é um conjunto positivamente invariante com medida de Lebesgue positiva então existe p ∈ U tal que a bola B (p) de raio δ/4 centrada em p satisfaz δ/4 Leb (B (p) ∩ U) = Leb(B (p)).

        δ/4 δ/4

        Demonstração: Seja ρ &gt; 0 a constante de distorção dada pelo item (3)

        da Proposição 1.2, isto é, n det D f (x) n n n ≤ log ( f (x), f (y)), ∀x, y ∈ V (p) n ρ.dist f (V (p)) n n det D f (y) e seja K ⊂ U um compacto com medida de Lebesgue positiva.

        Dado ǫ &gt; 0, escolha uma vizinhança aberta V ⊃ K de K tal que Leb (V \ K) &lt; ǫ.

        Leb (K) Como quase todo ponto de U tem uma infinidade de tempos hiperbó- licos, então escolha para x ∈ K um tempo n(x) tal que V (x) := V (x) ⊂ V. n n (x) Como n(x) é tempo hiperbólico para x então pela Proposição 1.2, V n (x) n n (x) é levada difeomorficamente por f na bola B ( f (x)).

        δ 1 Considere para cada K, n (x) 1 n (x) |

        W (x) = ( f ) (B ( f (x))) V (x) n δ 1 /4 Por compacidade, K ⊂ W(x ) ∪ W(x ) ∪ . . . ∪ W(x ) para x ∈ K

        1 2 s 1 , x 2 , . . . , x m onde s ≤ m.

        Escrevendo {n , n . . . , n } = {n (x ), . . . , n(x )} com n &lt; n &lt; . . . &lt; n ,

        1 2 s 1 m

        1 2 s ⊂ N tome U

        1 como o conjunto maximal de {1, . . . , m} tal que se u ∈ U

        1 então n(x ) = n u u a 1 e W(x ) ∩ W(x ) = ∅ ∀u , a ∈ U 1 . Por indução definiremos U j para 1 &lt; j ≤ s do seguinte modo:

        ⊂ N Suponha que U j− j 1 está bem definido. Tome U como o conjunto maximal de {1, . . . , m} tal que se u ∈ U então n(x ) = n ) ∩ W(x ) = j u j , W(x u a

        ∅ ∪

        ,∀u , a ∈ U e também W(x ) ∩ W(x ) = ∅, ∀a ∈ U j u a j− 1 . . . ∪ U 1 .

        Pela maximalidade, cada W(x ) com s ≤ i ≤ m intersecta algum W(x ) i u ∪ para u ∈ U = U

        1 . . . ∪ U e n(x ) ≥ n(x ). Então para cada s ≤ i ≤ m, s i u tomando u ∈ U tal que W(x ) ∩ W(x ) , ∅ e n(x ) ≥ n(x ), temos que: n (x ) i u i u u f (W(x ) ∩ W(x )) , ∅ i u

      36 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        n u n u n u (x ) (x ) Como f (W(x ) ∩ W(x )) ⊂ f (W(x )) ∩ f W (x )) então, i u i u n (x ) n (x ) u u f (W(x i )) ∩ f (W(x u )) , ∅.

        Isto é, n u n u (x ) (x ) f (W(x )) ∩ B ( f (x )) , ∅ i δ /4 u 1 n (x ) u Pelo item (2) da Proposição 1.2, o diâmetro do conjunto f (W(x )) é i

        δ δ 1 n (x u )/2 1 ≤ menor que . σ

        2

        2 De fato, n (x )−n(x ) n (x )−n(x ) n (x n (x ) n (x ) i u i u u )/2 i i dist ( f (p), f (q)) ≤ σ dist( f (p), f (q)) n (x n (x ) u )/2 i

        ≤ diâmB ( f (x )) σ i n (x u )/2 δ 1 δ 1 /4

        ≤ σ

        2 δ 1 n (x ) i

        ∀p &lt; , q ∈ B ( f (x i ))

        δ 1 /4

        2 n n n (x ) δ u u u 1 (x ) (x ) Como diâm(B ( f (x ))) = então f (W(x )) ⊂ B ( f (x )). δ /4 u i δ u 1 1

        2 Portanto W(x ) ⊂ V(x ) e {V(x )} é uma cobertura de K. i u u u∈U Segue do controle de distorção a existência de uma constante γ &gt; 0, dependendo apenas de ρ tal que Leb(W(x)) &gt; γLeb(V(x)), ∀x ∈ K. Então, S P

        ( (x )) = (W(x )) Leb W u Leb u u∈U u∈U P

        )) &gt; γ.Leb(V(x u P u∈U = Leb (V(x ))

        γ u u∈U S

        V (x )) γ.Leb( u u∈U

        ≥ n o γ.Leb(K) Leb u (W(x )\K) Tomando α = min ; u ∈ U &gt; 0, teremos: Leb (W(x )) u Componentes Ergódicas

        37

        ǫ j γ

        δ 1

        4 ,

        B j =

        B δ 1 /4

        ( f n (x j )

        (x j )) = f n (x j )

        (W(x j )) tal que Leb (W(x j )\K) Leb (W(x j

        )) &lt;

        Logo, Leb (W(x j ) \ K)

        De fato, para cada ǫ j =

        Leb (W(x j )) .

        1 γ

        &lt; ǫ j

        γ .

        1 γ

        Leb (W(x j ) \ K) Leb (W(x j ))

        Leb (V(x j )) Leb (W(x j ))

        &lt; 1/γ

        2 j

        1 j existe x j ∈ K e uma bola aberta de raio

        (2.1)

        ǫ.Leb(K) &gt; Leb(V \ K) ≥ Leb ( S u∈U W (x u ) \ K) = P u∈U

        γ Então existe algum W(x u ) tal que

        Leb (W(x u ) \ K) ≥

        α.Leb( S u∈U W (x u )) ≥

        α.γ.Leb(K) Consequentemente,

        ǫ.Leb(K) &gt; min ( Leb (W(x u ) \ K)

        Leb (W(x u )) ; u ∈ U )

        .γ.Leb(K) min ( Leb (W(x u ) \ K)

        Leb (W(x u )) ; u ∈ U )

        &lt; ǫ

        Leb (W(x u ) \ K) Leb (W(x u ))

        2 j

        &lt; ǫ

        γ . Usando o controle de distorção e lembrando que K está contido num conjunto invariante U, podemos encontrar para cada ǫ j =

        1 j um ponto x j ∈ K e uma bola aberta de raio δ 1 /4, B j

        = B

        δ 1 /4 ( f n (x j

        ) (x j )) = f n (x j

        ) (W(x j )) tal que:

        Leb (B j ∩ U ) Leb (B j )

        &gt; 1 − ρ s 1/γ

        (2.2)

      38 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        2 j .

        (W(x j )) &lt; ρ s

        1/γ

        2 j .

        Isto é, Leb (B j \ U )

        Leb (B j ) &lt; ρ s

        1/γ

        Logo, 1 − Leb (B j \ U )

        ) (W(x j )) \ U)

        Leb (B j ) &gt; 1 − ρ s

        1/γ

        2 j

        Leb (B j ) − Leb(B j \ U

        ) Leb (B j )

        &gt; 1 − ρ s 1/γ

        2 j

        Leb ( f n (x j )

        E, Leb(W(x j ) \ U)

        Leb (W(x j )) !

        . (2.3) De (2.2) e (2.3), concluímos:

        2 &lt;

        Leb (W(x j ) \ U).Leb(V(x j ) \ U) (Leb(W(x j )))

        2 &lt;

        Leb (W(x j ) \ K).Leb(V(x j ) \ K) (Leb(W(x j )))

        2 &lt;

        Leb (W(x j ) \ K) Leb (W(x j ))

        Leb (V(x j )) Leb (W(x j ))

        Leb(W(x j ) \ U)

        2 j .

        Leb (W(x j )) !

        2 &lt;

        1/γ

        2 j .

        Consequentemente, Leb(W(x j

        ) \ U) Leb (W(x j )) !

        &lt; s 1/γ

        Pelo item (2) da proposição (1.2) temos: Leb ( f n (x j Componentes Ergódicas s

        39

        2 ∩ U

        Leb (B j ) 1/γ &gt; 1 − ρ .

        Leb (B ) j j }

        Como M é uma variedade compacta, existe uma subsequência { ˆB j j destas bolas que acumula em alguma bola aberta B de raio δ 1 /4. Segue de (2.1) que Leb(B \ U) = 0.

      40 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

        

      Capítulo 3

      Conjuntos Nested

        A idéia de conjuntos Nested foi inspirada na definição de intervalo nice dada por Martens em [11]. Os intervalos nice são definidos em um intervalo aberto I tal que a órbita + +

        O (∂I) do bordo de I não intersecta I, ou seja, O (∂I) ∩ I = ∅. Um exemplo é o intervalo entre dois pontos consecutivos de uma órbita periódica.

        A propriedade principal deste intervalo consiste no fato que suas pré- imagens não se intersectam. Mais precisamente, se I é tal que I e I n 1 n 2

        1

        2 são levados difeomorficamente por f e f respectivamente em I, então

        = ∅ I ∩ I ou I ⊂ I ou I ⊂ I .

        1

        2

        1

        2

        2

        1 É fácil ver que em dimensão maior, uma definição análoga não seria aplicável.

        2 Considere então f : M → M um difeomorfismo local C e K ⊂ M.

        Um conjunto P será chamado de pré-imagem de ordem n ∈ N de K se n leva P difeomorficamente em K. Denote a ordem de P por ord(P). Seja f

        λ n E = n n n n {V (x); x ∈ H (e ) e f (V (x)) = K} o conjunto das pré-imagens em tempo hiperbólico de K. n Q

        | Dado Q ∈ E denote f por f e denote o ramo inverso associado n n Q

        1 −Q | a Q, ( f ) por f . Considere a coleção E = (E ) de pré-imagens em Q n n tempo hiperbólico de um conjunto aberto conexo U ⊂ M . Um conjunto P −Q será chamado de E-pré-imagem de ordem n de W ⊂ U se P = f (W) para algum Q ∈ E n e n ∈ N.

        

      Observação 3.1 Duas pré-imagens hiperbólicas de mesma ordem de um conjunto

      X ⊂ U não se intersectam.

        42 −Q −Q 1 Capítulo 3. Conjuntos Nested 2

        = = De fato, para X ⊂ U, sejam P 1 f (X) e P n 2 f (X) onde Q 1 e ∈ E , ∅ |

        Q tais que P ∩ P . Como f é um homeomorfismo entre 2 n

        1

        2 Q ∪Q 1 2 os abertos conexos Q n 1 ∪ Q − − 2 e X então

        1 n n

        1 | | |

        ( f ) ( f (Q Q ∪Q Q ∪Q Q ∪Q 1 2 1 n 2 1 ∪ Q 2 )) = ( f ) (X). 1 2 ∈ E | Como Q , temos que f (Q ) = X.

        1 n Q ∪Q 1 2

        1 Logo, n 1 n n n 1 n

        | | | | | ( f ∪Q ) ( f ∪Q (Q Q 1 2 Q 1 2 Q 1 ) ∪ f ∪Q (Q 1 2 Q 2 )) = ( f ∪Q ) ( f ∪Q (Q 1 2 Q 1 2 1 )).

        Portanto, =

        Q ∪ Q Q

        1

        2 1 .

        2

        1 Q

        2

        1 P

        , ∅ Como Q , então Q = e consequentemente P = .

        2 Definição 3.1 (Conjunto Nested) Um conjunto V será chamado de E-nested se

        V é um subconjunto aberto conexo de U e ∂V ∩P = ∅ para qualquer E-pré-imagem P de V.

        E-pré-imagens de V.

        Lema 3.1 Sejam V ⊂ U um conjunto E-nested e P

        1 e P

        2 ,

        (i) Se P n 1 ∩ P 2 ∅ então P 1 ⊃ P 2 ou P 1 ⊂ P 2 .

        ,

        (ii) Se f (V) 1 V, ∀n ≥ 1, P

        1 ∩ P 2 ∅ e ord(P 1 ) &lt; ord(P 2 ) então P 1 ⊇ P 2 .

        Demonstração:

        , E ∅

        (i) Sejam P 1 e P 2 -pré-imagens de V tais que P 1 ∩ P 2 .

        , =

        Se P

        1 P 2 , o resultado é óbvio. Suponha então que P

        1 P 2 . Pela =

        Observação 3.1 podemos assumir que l ord (P ) ≤ ord(P ) = l . Sejam −Q −Q 1

        1 2

        1

        2

        2 ∈ E ∈ E

        = = Q 1 l e Q 1 2 l tais que P 2 1 f (V) e P 2 f (V). Como E é a coleção l 1 de pré-imagens em tempo hiperbólico de U então Q = f (Q ) ∈ E e l −Q 1

        2 l −l 2 1 P = f (P 2 ) = f (V) é uma E-pré-imagem de V. l 1 |

        A aplicação f é um homeomorfismo entre os conjuntos abertos P ∪P 1 2 l l 1 1 conexos P 1 ∪ P 2 e V ∪ P = V ∪ f (P 2 ). Logo, P ∩ V = f (P 1 ∩ P 2 ) , ∅. Por outro lado, P ∩ ∂V = ∅ porque V é E-nested. Concluimos da conexidade de l 1

        | P que P ⊂ V ou V ⊂ P. Assim, usando o homeomorfismo f P ∪P , temos 1 2 que P

        2 ⊂ P 1 (se P ⊂ V) ou P l −l 2 2 ⊃ P 1 1 (se P ⊃ V).

        (ii)Observe que como f (P) = V, se P ⊃ V (isto é, P 2 ⊃ P 1 ) então, Conjuntos Nested

        43

        2(l −l ) (l −l ) −l 2 1 2 1 l 2 1 f (P) = f (V) ⊂ f (P) = V. n mas isto é absurdo pois por hipótese f (V) 1 V, ∀n ≥ 1.

        Definição 3.2 (Cadeia de pré-imagens)

        Uma sequência finita K = (P , P 1 , ) de E-pré-imagens de um conjunto A ⊂ U será chamado de cadeia de

        . . . , P n pré-imagens de A se: ∩

        (1) P ∂A , ∅ (2) 0 &lt; ord(P ) &lt; . . . &lt; ord(P n− n 1 ) &lt; ord(P );

        , ∩ (3) P ∅, ∀ 1 ≤ j ≤ n. j ∂P j−

        1 Proposição 3.1 Seja A ⊂ U um conjunto aberto conexo e [ [ =

        A A \ P (3.1) j (P ) ∈cadeia (E) j j j

        , ∅ onde a cadeia (E) é a coleção de todas as cadeias de E-pré-imagens de A. Se A então toda componente conexa de A é um conjunto E-nested.

        Demonstração: Observe que A

        é um subconjunto aberto de U e por- = ∅ tanto precisamos apenas provar que P ∩ ∂A para toda E-pré-imagem

        P de A . Por contradição, suponha que ∃p ∈ P ∩ ∂A para alguma E-pré- −E imagem P de A . Seja ℘ = ord(P) e E ∈ E tal que P = f (A ). Tomando −E Q = f (A), teremos P ⊂ Q. Então, como A e P são conjuntos abertos e

        , ∅ assumindo que P ∩ ∂A , teremos:

        , ∅

        Q ∩ A Observe que Q ∩ ∂A = ∅ pois caso contrário, a sequência unitária (Q) seria uma cadeia de E-pré-imagem de A, o que contradiz (3.1). Como p ∈ ∂A , para um dado ǫ &gt; 0 existe (Q , . . . , Q ) ∈ cadeia(E) tal n n que dist(p, ∪ Q ) &lt; ǫ. Por outro lado, como p ∈ P ⊂ Q, tomando ǫ tão j= j n pequeno quanto se queira, P ∩ (∪ Q ) , ∅ e então, j= j

        Q ∩ Q ⊃ Q ∩ P , ∅ (3.2) m m

      44 Capítulo 3. Conjuntos Nested para algum 0 ≤ m ≤ n.

        ∪ ∩ ∩ Como Q é conexo e Q (M\Q) , ∅ pois Q∩∂A = ∅ , Q

        . . .∪Q m ∂A,

        ∩ existe 0 ≤ l ≤ m tal que Q ∂Q , ∅. Temos dois casos: l

        (i) (Q ) ≤ ord(Q)

        ord l

        (ii) ord (Q ) &gt; ord(Q) l

        Como duas E-pré-imagens de mesma ordem de um conjunto são dis- juntas então ord(Q ) = ord(Q) se somente se Q = Q . l l Caso (i): Considere a cadeia K ∈ cadeia(E) dada por

      • ( (Q , . . . , Q l , Q), se ord(Q l ) &lt; ord(Q)

        K = (Q , . . . , Q ), se ord (Q ) = ord(Q). l l Isto é, (

        (Q , . . . , Q , Q), se ord (Q ) &lt; ord(Q) l l K = (Q ) = ord(Q). , . . . , Q l− 1 , Q), se ord(Q l

        , ∅

        Como Q ∩ A , existência da cadeia K é uma contradição com a definição do conjunto A dada em (3.1) e portanto este caso não pode ocorrer.

        ℘ ℘

      • l m Caso (ii): Considere a sequência K = ( f (Q ), . . . , f (Q )).

        ℘ ℘ ℘ ∩

        Como f (Q) = A, f (Q l ) ∩ ∂A = f (Q l ∂Q) , ∅. Além disso, para ℘ cada l ≤ j ≤ m, f (Q ) é uma E-pré-imagem de A e para todo l &lt; j ≤ m j

        ℘ ℘ ∩

        = teremos f (Q j ) ∩ ∂Q j− ∗ ∗ 1 f (Q j ∂Q j− 1 ) , ∅. Então, K ∈ cadeia(E).

        ℘ ℘ ℘ =

        Mas como f (P) = A , segue de (3.2) que f (Q )∩A f (Q ∩P ) , ∅, m m o que contradiz com (3.1). = ∅

        Segue do que foi visto acima que teremos P ∩ A para toda E -pré-imagem P de A. S

        Dada uma cadeia K = (P ) , tome π(K) = P e defina o diâmetro de S j j j j K como diam(K)=diam( P ). j j

        

      Corolário 3.1 Sejam ǫ &gt; 0 e A ⊂ U um conjunto aberto conexo tal que

        A \ B (∂A) , ∅. Se toda cadeia de E-pré-imagens de A tem diâmetro menor ǫ que ǫ então toda componante conexa de A dada por ( 3.1) é um conjunto E-nested e A \ B (∂A) ⊂ A ⊂ A .

        ǫ Conjuntos Nested

        45 Demonstração: Do fato de que o diâmetro de qualquer E-pré-imagem

        de A é menor que o diâmetro de A concluimos que A não está contido em nenhuma de suas E-pré-imagens.

        Tome Γ a coleção de todas as cadeias de E-pré-imagens de A.

        ∈ Γ Observe que se K = (P ) então π(K) é um aberto conexo que inter- j j secta ∂A. Além disso, como o diâmetro de π(K) é menor que ǫ, temos que S

        = π(K) ⊂ B (∂A). Então, A A \ π(K) ⊃ A \ B (∂A) é um conjunto

        ǫ K ∈Γ ǫ não-vazio. Então toda componente conexa de A é um conjunto E-nested.

      46 Capítulo 3. Conjuntos Nested

        

      Capítulo 4

      Estrutura de Markov local,

      Partição e Integrabilidade da

      função R

      4.1 Estrutura de Markov Local

        Uma estrutura de Markov local para uma aplicação f : M → M é uma aplicação Markoviana uniformemente expansora por partes F induzida pela aplicação f , isto é, existe uma bola topológica B e uma função R : B → N ∪ {∞} chamada de função tempo de retorno que é constante nos elementos de uma partição P enumerável (mod 0) da bola topológica B R (x) tal que a aplicação induzida F : B → B dada por F(x) = f (x) é uma aplicação Markoviana expansora por partes.

        Definição 4.1 (Aplicação Markoviana expansora por partes) Seja

        : B → B onde B é uma bola topológica aberta em M. F será chamada de aplica- F

        2 ção C Markoviana uniformemente expansora por partes se existir uma partição

        } enumerável (mod 0) P = {P da bola B satisfazendo as seguintes propriedades: j j∈N (1) P j tem bordo com medida nula, ∀j ∈ N.

        1 ∃ (2) 0 &lt; κ &lt; 1 tal que k DF (x) k&lt; κ, ∀x ∈ P e ∀P ∈ P. j j

      48 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

        2 (3) F | é um difeomorfismo C na bola B, ∀P ∈ P. P j j detDF (x) (4) ∃K &gt; 0 tal que log ≤ K .dist(F(x), F(y)), ∀x, y ∈ P ∈ P. detDF (y) j

        2 O teorema seguinte assegura que toda aplicação C Markoviana uni- formemente expansora por partes F : B → B tem medida invariante abso- lutamente contínua ν cuja densidade pertence a L (Leb) (ver Lema 4.4.1 de [3]). Além disso, é fácil ver que se R é ν-integrável então X j

        µ = f ∗ (ν | {R ) j= &gt;j} é uma medida f -invariante absolutamente contínua finita. Neste caso, j ν | denota a medida dada por ν | (A) = ν(A ∩ {R &gt; j}) e f ∗ denota o {R &gt;j} {R &gt;j} j push-forward da medida por f .

        2 Teorema 4.1 [3, 4, 7]Se F : B → B é uma aplicação C Markoviana uniformente expansora por partes então existe um conjunto finito de medidas ergódicas invari- antes absolutamente contínuas tal que Leb-q.t.p x ∈ B pertence à bacia de algumas destas medidas. Além disso, a densidade de cada uma destas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limitada por alguma constante.

        Dizemos que uma Estrutura de Markov tem tempo integrável se R é in- tegrável com respeito a qualquer medida F-invariante absolutamente con- tínua. Como consequência do Teorema 4.1, se quisermos mostrar que uma Estrutura de Markov local tem função tempo integrável precisamos ape- nas checar a integrabilidade de R com respeito à coleção finita de medidas ergódicas invariantes absolutamente contínuas dadas por este teorema.

      4.2 Bola Nested em Tempo Hiperbólico Lema 4.1

        Sejam δ 1 e σ dados na Proposição 1.2. Então existe algum 0 &lt; r &lt; δ 1 /2 tal que a componente conexa da bola nested B (x) está bem definida para todo r x ∈ U ⊂ M e 0 &lt; r ≤ r . Além disto, dado 0 &lt; λ &lt; 1 existe 0 &lt; r &lt; r λ dependendo apenas de δ 1 , σ e λ tal que B (x) ⊃ B (x), ∀x ∈ U e ∀0 &lt; r ≤ r . r λr λ

        4.3. Partição P n

        49

        ∈ N

        Demonstração: Dado 0 &lt; λ &lt; 1, tome n n 1 − j 1 tal que σ &lt; 1 − λ. n &gt;n 1

        , =

        Seja a mín{d(x, y); y ∈ ∪ f (x) \ {x}}. Note que a 0 pois x j= x

        1

        1 (x); x ∈ U} = c &lt; +∞ já que f é um difeomorfismo local.

        ♯{ f

        1 } =

        Assim, tome ǫ &gt; 0 tal que in f {a &gt; ǫ, ∀x ∈ U, r mín{δ x x λ 1 , ǫ} e

        4 0 &lt; r &lt; r . Note que se j &lt; n 1 então B r (x) ∩ P = ∅ ∀P pré-imagem de B r (x)

        λ n 1 − j ǫ ǫ

        = pois P ∩ (∪ f (x)) , ∅ e diâm(P) &lt; 2r &lt; 2. . j=

        1

        4

        2 Então, toda cadeia de ǫ-pré-imagens de B (x) começa com uma pré- r imagem de ordem maior que n P n 1 . Assim, o diâmetro de qualquer cadeia é menor que ( σ )r &lt; (1 − λ)r e como uma cadeia intersecta o bordo de n &gt;n 1 B r (x) então a cadeia não intersecta B (x). Portanto, B (x) ⊃ B (x).

        λr λr r Seja U uma componente ergódica da variedade M. Considere o conjunto

        A associado a U definido no Lema 2.1. Sejam p ∈ A e r dado como ,H +

      • + ,H

        no Lema 4.1. Seja então B a componente conexa que contém p da bola nested B (p) de raio r centrada em p. r Sabemos, pela expressão (1.4) do Corolário 1.1 que ∃θ &gt; 0 tal que: λ

        1 4 lim sup ♯{1 ≤ j ≤ n; x ∈ H (e )} ≥ θ &gt; 0  n para Leb-q.t.p x ∈ U.

        Sabemos também, pelo provado no Lema 2.1, que para Leb-q.t.p x ∈ U, (x) = A . Isto é, +

        ω + ,H ,H λ

        1 j ∗ − 4 lim sup ♯{1 ≤ j ≤ n; f (x) ∈ B com x ∈ H (e )} &gt; 0. (4.1)  n n

        Os pontos x ∈ U onde (4.1) ocorre serão chamados de pontos com frequência positiva de retorno a bola B em tempo hiperbólico que por simplicidade chamaremos de pontos de retorno hiperbólico.

        4.3 Partição

        = A Proposição 1.2 nos assegura que se x ∈ H (σ) então existe V n n n n n V (x) tal que f manda V difeomorficamente na bola B centrada em f (x) e de n raio δ

        1 . E, por (4.1) temos que para Leb-q.t.p x ∈ B , existe n = n(x) um ∗ ∗ n

        1 = | tempo de retorno hiperbólico a B . Seja U f (B ). Assim, dado x V n

        

      50 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

        } x ∈ B , considere o conjunto S(x) = {U ; x ∈ B das pré-imagens em tempo x hiperbólico da bola B . Tomemos P ∈ S (x) tal que n (x) = n = ord (P ) ≤ x r r x } ord (T ), ∀T ∈ S (x). Seja P = {P ; x ∈ B . x x x ∗ ∗

        Afirmamos que P é uma partição de B . De fato, para x, y ∈ B com x , y temos pela expressão (3.1), pela Observação 3.1 e pela definição de P que ∗ ∗ ∗ ∗ x = ∅ = \ ∪

        P ∩ P . Por outro lado, ∪ P B , isto é, Leb(B P ) = 0 pois x y x∈B x x∈B x −→ N

        Leb-q.t.p x ∈ B tem tempo de retorno. Defina agora, a função R : B ∈ P por R(x) = ord(P ) onde P . Chamaremos esta função de função x x ∗ ∗ R (x)

        −→ B tempo de indução . Defina a aplicação F : B , por F(x) = f (x) onde B é a bola nested gerada da bola B (p) com p ∈ A ⊂ U e U é uma + r ,H componente ergódica de M.

        M B U

      • +,

        B* . p n r x . (x) P . . f x r p B n r f

        ∗

      4.4 Estrutura Markoviana em B

        Temos que F é uma aplicação Markoviana uniformemente expansora

        2 C por partes. De fato, pela Definição 4.1, temos:

        

      (1) P tem bordo de medida nula, já que a partição de B é uma partição

      x

        em quase todo ponto, isto é, Leb-q.t.p. x ∈ B pertence a algum ∈ P elemento da partição. Logo, os elementos do bordo de cada P x com x ∈ B , formam um conjunto de medida nula. − ∗

        1 ∃ ∈ P

        

      (2) 0 &lt; κ &lt; 1 tal que k DF (x) k&lt; κ, ∀P e x ∈ B pois como R(x) é

      ∗ − x

        λ/2 tempo hiperbólico para todo x ∈ B , basta tomarmos κ ≥ e .

      • tempo hiperbólico para x então pelo item (3) da Proposição 1.2, basta tomarmos qualquer K ≥ ρ.

        Σ n = { 0 ≤ j ≤ n; P j k= R (F k (y)) ≤ n}.

        Seja F : B → B uma aplicação dada por F (x) = f R (x) (x).

        Então, lim inf n

        1 n n−

        1 X j= R (F j (y)) ≤

        1 θ

        Demonstração: Dado n ∈ N, tome Γ n

        = { 1 ≤ j ≤ n; y ∈ H j e f j (y) ∈ B } e

        Afirmação 4.1

        1 n ♯{1 ≤ j ≤ n; y ∈ H j e f j (y) ∈ B

        ♯Γ n ≤

        ♯Σ n , ∀n ≥

        Demonstração da Afirmação: Observe que para n = 0 a desigualdade

        é verdadeira pois Γ = ∅ e Σ

        = ∅ já que R(y) &gt; 0. Logo, ♯Γ =

        ♯Σ = 0.

        Agora, por indução, suponha que ♯Γ j

        } &gt; θ &gt; 0 (4.2)

        , existe θ &gt; 0 tal que: lim sup n

        4.5. Integrabilidade da função R

        O que prova a 1 a parte do teorema principal.

        51 (3) F | P x

        é um difeomorfismo C

        2 na bola B , ∀P x

        ∈ P e x ∈ B pelo item (1) da Proposição 1.2.

        (4) ∃K &gt; 0 tal que log detDF (p) detDF (q)

        ≤ K .dist(F(p), F(q)), ∀p, q ∈ P x e P x ∈ P

        , pois como R(x) é um e λ/2

        4.5 Integrabilidade da função R

        Proposição 4.1 Para y ∈ B

        Precisamos agora mostrar que a função R é integrável para concluir a prova do Teorema Principal. Sejam U ⊂ M uma componente ergódica da variedade M e

        H j =

        H j (e

        λ/4 ) o conjunto dos pontos de x ∈ M tais que j é um

        (e λ/4 )-tempo hiperbólico para x.

        Assim, considere a coleção {H j } j∈N dos subconjuntos de U tais que f j (x) ∈ H n−j , ∀0 ≤ j &lt; n e ∀x ∈ H n e seja B

        ⊂ U a componente conexa da bola nested B r (p) dada pelo Lema 4.1.

        ♯Σ j , ∀0 ≤ j &lt; n.

      52 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

        ≤ Para provar que ♯Γ ♯Σ , podemos considerar que n ∈ Γ pois, se isso n n n

        ≤ ≤ não ocorresse, teríamos ♯Γ = e portanto ♯Γ = . n ♯Γ n− P P 1 n ♯Γ n− P 1 ♯Σ n− 1 ♯Σ n ♯ n− 1 k

        } Seja l = máx{j ∈ N; j ∈ e s = R (F (y)). n−

        1 k= l s Como y ∈ H e por definição s ≤ n − 1, temos que T (y) = f (y) ∈ H . s n−s s n n ∗ ∗ n−s Além disso, f (y) ∈ B e f ( f (y)) = f (y) ∈ B . s Assim, R( f (y)) ≤ n − s e consequentemente, l+ X 1 l k k l X k= k= R (F (y)) = R (F (y)) + R(F (y)) ≤ s + (n − s) = n

        \ Σ Portanto, l + 1 ∈ Σ n n− 1 e então

        = + + ♯Γ ♯Γ n n− n− n 1 1 ≤ ♯Σ 1 1 ≤ ♯Σ

        P n−

        1

        1 k

        1 Observe que se lim inf R (F (y)) &gt; então é porque existe algum n n k= P n− θ

        1 k

        1 ∈ N n tal que R (F (y)) &gt; n , ∀n ≥ n . k=

        θ ≤

        Caso n θn então ∀j ∈ N tal que θn ≤ j ≤ n temos, X j j j .n k

        1

        1 =

        R (T (y)) &gt; j = . n ≥ n k= θ θ n j P j k Podemos concluir então que ♯{0 ≤ j ≤ n; R (F (y)) &gt; n} &gt; n − θn = P j k k= (1 − θ)n e portanto, ♯{0 ≤ j ≤ n; R (F (y)) ≤ n} ≤ θn, ∀n ≥ n . P k=

        1 ≤

        Assim, n ♯ θ e como n 1 ∗ j

        } =

        ♯Γ n ♯{1 ≤ j ≤ n; y ∈ H j e f (x) ∈ B n P j

        1 k

        R (F (y)) ≤ n} n k= ♯{0 ≤ j ≤ n; P =

        ♯ n então temos que: 1 j

        1 } = ≤ lim inf ♯{1 ≤ j ≤ n; y ∈ H e f (y) ∈ B lim inf ♯Γ θ n j n n n n o que contradiz (4.2).

      4.5. Integrabilidade da função R

        53 Seja ν uma medida F-invariante dada pela Estrutura Markoviana em P n−

        1 1 j

        1 B . Como visto na Proposição anterior, lim inf R (F (y)) ≤ para n n θ j= Leb-q.t.p. y ∈ B . n− X

        1

        1 j Pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, temos que existe lim R (F (x)) n→+∞ n j= e além disto, X n− Z

        1

        1 j R (F (x)) → Rd ν n j= para ν-q.t.p x ∈ M. Z

        1 Logo, Rd ν ≤ . Como ν foi tomada de maneira arbitrária, podemos θ concluir que R é integrável com respeito a qualquer medida F-invariante absolutamente contínua.

        2 Demonstração do Teorema 1.3. Se f é um difeomorfismo C não- uniformemente expansor então existe λ &gt; 0 tal que: X n−

        1

        1 j

        1 k≤ lim sup log k D f ( f (x)) λ &lt; 0 n→+∞ n j= para Leb-q.t.p x ∈ M.

        Isto é, X n−

        1

        1 j − −

        1

        1 k ≥ lim inf log k D f ( f (x)) λ &gt; 0 n→+∞ n j= para Leb-q.t.p x ∈ M. X n− n−

        1 X

        1

        1

        1 j j 1 − 1 − 1 −

        1 k ≥ k

        Como lim sup log k D f ( f (x)) lim inf log k D f ( f (x)) n→+∞ n→+∞ n n j= j= então: n− X

        1

        1 j 1 −

        1 ≥ lim sup k D f ( f (x)) log k λ n→+∞ n j= para Leb-q.t.p x ∈ M.

        Portanto, f satisfaz as hipóteses do Teorema 1.1.

        1 k

        Agora, sabemos que se a aplicação x 7→ log k (D f (x)) é µ -integrável, i ∀ medida invariante absolutamente contínua então, pelo Teorema Ergó-

        µ i dico de Birkhoff, temos para µ -q.t.p x ∈ M e ∀i, i

      54 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

        X n− n−

        1 X

        1

        1 j − − − −

        1

        1 1 j

        1

        1 k = k lim inf log k D f ( f (x)) lim sup log k D f ( f (x)) n→+∞ n n j= j= n→+∞

        1

        1 Assim, resta-nos mostrar que log k (D f ) k∈ L (µ i ), já que − − −

        1

        1

        1 k = − k log k (D f ) log k (D f ) (Vide Lema a seguir).

        Como Leb-q.t.p x ∈ M pertence a bacia de alguma medida µ então, i X n− n−

        1 X

        1

        1 j − − − −

        1

        1 1 j

        1

        1 k = k lim inf log k D f ( f (x)) lim sup log k D f ( f (x)) n→+∞ n n j= j= n→+∞ para Leb-q.t.p x ∈ M.

        2

        1 k é

        Lema 4.2 Se f : M −→ M é um difeomofismo C então log k (D f ) integrável com respeito a qualquer medida invariante absolutamente contínua.

        Demonstração: Em [12](ver remark 1.2 de [12]) foi provado que Z

        −∞ &lt; log |detD f |dµ &lt; +∞ (4.3) com respeito a qualquer medida invariante absolutamente contínua µ.

        Mostremos que este resultado implica na integrabilidade de

        1 k log k (D f ) . m×m Temos que |λ| ≤k A k para qualquer λ autovalor da matriz A ∈ R . m×m

        De fato, se λ é autovalor da matriz A ∈ R então A = λI. Logo, k A k=k λI k≥ |λ| k I k= |λ|. m m Portanto, |detA| ≤ |λ| ≤k A k e consequentemente, m log |detD f | ≤ log k D f k log |detD f | ≤ m log k D f k

        1 m log |detD f | ≤ log k D f k Daí, pela expressão (4.3) e pelo fato que log k D f k&lt; +∞, temos:

        1 −∞

        &lt; R log |detDf|dµ ≤ R log k Df k dµ &lt; +∞ m

      4.5. Integrabilidade da função R

        m×m

        55 Sabemos que adj(A)A=det(A)I, ∀A ∈ R onde adj(A) é a matriz ad- junta da A, isto é, a transposta da matriz dos cofatores [9] e I é a identidade.

        Logo, k adj (D f )D f k=k det(D f )I k

        |detD f | ≤k det (D f )I k=k adj(D f )D f k≤k adj(D f ) k . k D f k |det (D f )|

        ≤k adj (D f ) k k (D f ) k !

        |det(D f )| ≤ log log k adj(D f ) k k

        (D f ) k log |det(D f )| − log k D f k≤ log k adj(D f ) k Consequentemente,

        −∞ &lt; R log k adj(Df) k dµ

        Como k adj(D f ) k é limitado, temos: −∞ &lt; R log k adj(Df) k dµ &lt; +∞

        1

        1 =

        Finalmente, de (D f ) adj (D f ) temos que detD f

        1 k= log k (D f ) log k adj(D f ) k − log(det(D f ))

        E portanto,

        1 −∞

        &lt; R log k (Df) k d µ = R log k adj(Df) k dµ − R log(det(Df))dµ &lt; +∞

        2 Demostração do Teorema 1.4. Seja f um difeomorfismo local C em uma variedade compacta M.

        Suponha que exista 0 &lt; σ &lt; 1 tal que Leb-q.t.p x ∈ M tem um σ-tempo hiperbólico, isto é, para todo 1 ≤ k ≤ n,

      • m

        1 X k= log k D f ( f k (x))

        1 ≥

        )

        1 k

        1 X j= log(k D f ( f j (x))

        1 n n−

        Logo, concluímos: lim inf n→+∞

        (e λ 4 )} &gt; 0 para Leb-q.t.p x ∈ M.

        (x) ∈ B com x ∈ H 

        1 n ♯{1 ≤ j ≤ n; f j

        λ &gt; 0 para Leb-q.t.p x ∈ M. Em virtude do Lema 2.1, temos que: lim sup n

        1 ≥

        1 k

        1 n n−

        Q n−

        Assim, lim sup n

        De fato, suponha que não, isto é, Leb-q.t.p x ∈ M tem um número finito de tempos hiperbólicos. Então, para Leb-q.t.p x ∈ M, ∃n &gt; 0 tal que f j (x) &lt; H n , ∀n, j &gt; n . Logo, para Leb-q.t.p x ∈ M, f j (x) ∈ U, ∀j &gt; n . Portanto Leb(U)&gt;0. Contradição.

        1 . Além disso, podemos concluir que Leb-q.t.p x ∈ M tem uma infinidade de tempos hiperbólicos.

        1 &gt; n

        1

        2 = n

        Pelas propriedades de tempos hiperbólicos temos que x ∈ H n 2 (σ) onde n

        1 tal que f n 1 (x) ∈ H m 1 (σ).

        1 tal que x ∈ H n 1 (σ) e m

        σ k Portanto, teremos Leb(U)=0 onde U = M \ {x ∈ M; x ∈ ∪ j H j (σ)}. Dado um ponto Lebesgue genérico x ∈ M, temos que f j (x) &lt; U, ∀j ∈ N. Tome n

        1 k≤

        1 i=n−k k D f ( f i (x))

        λ &gt; 0 para Leb-q.t.p x ∈ M.

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        Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matemática/Dept o

        . de Matemática Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 http://www.pgmat.ufba.br/

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