Medidas SRB para aplicações com alguma

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Full text

(1)

U



F

 

B



I M´

C P ´-G¸ ˜ M´ D¸ ˜ M

M



SRB

 

¸

  

˜





˜

Mariana Pinheiro Gomes da Silva

Salvador-Bahia

(2)

2

M



SRB

 

¸

  

˜





˜

Mariana Pinheiro Gomes da Silva

Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial

para obtenção do Título de Mestre em Matemática Pura.

Banca examinadora

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador).

Prof. Dr. Joseph Nee Anyah Yartey.

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4

MPG S

“MSRB ¸   ˜ ˜ ”/Salvador-Ba, 2007.

Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA).

Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Ma-temática da UFBA, 59 páginas.

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Agradecimentos

Agradeço a Deus por me sustentar nesta caminhada e a minha família, meus pais Luiz Carlos e Wanda e a meu irmão Bernardo por todo apoio carinho e compreensão imprescindíveis a esta conquista.

Agradeço também àqueles que estiveram comigo no dia-a-dia, ven-cendo cada obstáculo que são meus colegas de turma também conhecidos como Afarinhados.

A Bárbara (a Binha) por toda calma e paciência na resolução de cada exercício, a Kleyber (o Keu), por suas brincadeiras o os momentos de gargalhada em nosso grupo, a Elias (o Lico) por sua docilidade e sapiência, a Eliseu (o Zeu) pela sua diplomacia em resolver as ’diligências’ e as aulas de dominó nos poucos momentos de folga, a Ricardo (o Ric) por seu terrorismo antes de cada prova, a Jarbas (o Binha) por seu jeito pacato e os momentos de descontração e a Yuri (a Ki), essa coreana meio cearence, pelo seu jeito meigo e cativante sempre estimulando a todos no estudo. Amo vocês!

Aos colegas da turma anterior pelo acolhimento e ajuda e de maneira muito especial aos meus queridos amigos Rosane, Ariane e Abílio. Ao apoio de José Alves e ao professor Vilton, meu orientador, por sua paciên-cia, sua compreensão e ao seu eterno e fundamental estímulo aos alunos para que continuem estudando e para que não esmoreçam ao topar com obstáculos.

Aos professores do mestrado, sempre muito pacientes, atenciosos e dedicados e de maneira muito especial a três deles: Enaldo, José Fernandes e Paulo Ruffino porque foram mais que professores, foram amigos.

Ao LEMA (Laboratório de Ensino de Matemática) e a todos os seus professores membros porque foi lá onde tudo começou e a Lina pelo seu carinho e estímulo.

Aos funcionários do Instituto, D. Zezé e Tânia pela paciêcia e a Selma, Alan e Jomário pelo carinho e solicitude.

E a quatro pessoas muito especiais que sempre estiveram presentes,

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8

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Resumo

Neste trabalho construiremos medidas Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) para difeomorfismos locais satisfazendo condições mais fracas que não uni-formemente expansores. Também provaremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas para difeomorfismos locais apenas assumindo a existência de tempos hiperbólicos para quase todo ponto da variedade com respeito a medida de Lebesgue. Para isso usaremos idéias inspiradas na dinâmica unidimensional como intervalos "nice"e compo-nentes ergódicas para medidas não-invariantes.

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Abstract

We construct SRB measures diffeomorphisms satisfying conditions far weaker than the non-uniform local expansion. We also prove the existence of an absolutely continuous invariant measure for local diffeomorphisms, only assuming the existence of hyperbolic times for Lebesgue almost every point of the manifold. We will use ideas coming from the one dimensional dynamics like "nice"interval and ergodic components for non invariant measures.

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Conteúdo

Agradecimentos 8

Resumo 9

Abstract 11

Introdução 15

1 Teoremas 17

1.1 Aplicações não-uniformemente expansoras . . . 19

2 Componentes Ergódicas 29 3 Conjuntos Nested 41 4 Partição de Markov e Função Tempo 47 4.1 Estrutura de Markov Local . . . 47

4.2 Bola Nested em Tempo Hiperbólico . . . 48

4.3 Partição . . . 49

4.4 Estrutura Markoviana emB∗ . . . . 50

4.5 Integrabilidade da função R . . . 51

Referências 56

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(15)

Introdução

Em [5], Alves-Bonatti-Viana, provaram a existência de medidas invari-antes absolutamente contínuas para uma aplicação f não-flatdefinida em uma variedade compacta Riemanniana M de dimensãod≥1 com volume

normalizado chamado medida de Lebesgue onde o contole de distorção foi dado pela condição de recorrência lenta ao conjunto crítico e foi assumido que

lim inf

n→+∞ 1 n

n−1 X

j=1

log(k(D f(fj(x)))−1 k−1)≥λ >0

para Lebesgue quase todo pontox∈M.

Isto é, para provar a existência de tais medidas foi preciso garantir que para quase todo ponto da variedade M existisse n0 = n0(x) tal que

kD f(fj(x))k−1eλn,jn

0. Este resultado foi obtido por Alves-Araújo em

[8] sob a hipótese adicional do primeiro tempo hiperbólico ser integrável com respeito à medida de Lebesgue.

Em [14], Pinheiro, usando técnicas diferentes e sem a condição adicional de integrabilidade do primeiro tempo hiperbólico, garantiu a existência destas medidas. Ele apenas exige que para Lebesgue quase todo ponto x∈Mtenhamos

lim sup

n→+∞ 1 n

n−1 X

j=1

log(kD f(fj(x)−1)k−1)≥λ >0.

Assim, é preciso somente garantir que existan∈ Ntal que a partir do n-ésimo iterado a aplicação f expanda em alguns momentos em Lebesgue quase todo ponto da variedade compacta M. Neste trabalho provaremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas para uma apli-cação f exigindo apenas a existência de um primeiro tempo hiperbólico para Lebesgue quase todo ponto x ∈ M mas usando novos resultados e

(16)

16 Conteúdo

técnicas de [13]. Com isto, pretendemos abordar algumas idéias dos tra-balhos citados acima evitando algumas dificuldades técnicas que algumas vezes obscurecem estas idéias. Chamamos atenção que mostraremos a existência de medidas invariantes absolutamente contínuas as quais, por sua vez, são medidas SRB ou medidas físicas.

Para isto, seguimos o seguinte roteiro. Construímos em uma bola topológica da variedade M uma aplicação Markoviana induzida com boas propriedades de expansão e distorção. Por teoremas clássicos da Teoria Ergódica Infinita, mostramos que esta aplicação induzida tem uma medida invariante absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue. Em seguida provamos a integrabilidade do tempo de indução (neste caso, tempo de retorno). Com isto, conseguimos projetar a medida invariante com respeito à aplicação induzida em uma medida invariante com respeito à aplicação original. Além disto, esta medida projetada é absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue.

Este trabalho foi dividido em quatro capítulos. No primeiro deles, enunciamos os teoremas que nos permitirão provar a existência destas medidas, definimos os tempos hiperbólicos e estudamos as suas principais propriedades. Os tempos hiperbólicos foram introduzidos por Alves-Bonatti-Viana em [5] e rapidamente se tornaram ferramenta básica no estudo da hiperbolicidade não (necessariamente) uniforme.

O capítulo 2 é dedicado ao estudo as componentes ergódicas em qual-quer dimensão para medidas não (necessariamente) invariantes. São apre-sentados critérios para garantir a decomposição da variedade em um nú-mero finito de componentes ergódicas e ainda a existência de um atrator gordo (com medida positiva) em cada uma delas. Estas informações são importantes para mostrar a integrabilidade do tempo de retorno. O con-ceito de ergodicidade para medidas não invariantes surgiu na dinâmica unidimensional (ver, [1, 2, 11, 16, 17]). Em [13] este conceito é aplicado e estudado no contexto multidimensional.

O capítulo 3 é dedicado ao estudo dos conjuntos aninhados (nested sets). Estes conjuntos foram introduzidos em [13] e facilitam enormemente as partições de Markov. Estas partições por sua vez, são a base para a construção da aplicação induzida acima citada.

(17)

Capítulo 1

Teoremas

Neste capítulo enunciaremos os principais teoremas e proposições que nos permitirão concluir a existência de medidas ergódicas invariantes ab-solutamente contínuas para um difeomorfismo C2 f na variedade M de dimensão d ≥ 1 apenas admitindo a existência de um primeiro tempo

hiperbólico para Lebesgue quase todo pontox∈ M.

Seja então M uma variedade compacta Riemanniana de dimensãod≥1

e Leb o volume normalizado de M que chamaremos de medida de Lebes-gue.

Teorema 1.1 Seja f : M → M um difeomorfismo local C2. Se f (ou algum iterado fixo) satisfaz:

lim sup

n→∞ 1 n

n−1 X

i=0

log(kD f(fi(x))−1 k)−1 ≥λ >0.

para Leb-q.t.p x∈M então existe uma coleção finita de medidas ergódicas

invari-antes absolutamente contínuas tal que Lebesgue quase todo ponto de M pertence à bacia de uma destas medidas.

Chamamos atenção que a bacia de alguma medida invariante ν é o conjuntoB(ν) dos pontos x∈ Mtal que a medida delta de Dirac ao longo da órbita converge na topologia fraca estrela, isto é,

lim

n→+∞ 1 n

n−1 X

j=0

φ(fj(x))=

Z

φdν, ∀φ∈C0(M).

(18)

18 Capítulo 1. Teoremas

O Teorema 1.1 é de fato uma consequência do teorema principal abaixo que garante a existência de uma estrutura markoviana local com integra-bilidade da função tempo. Uma estrutura markoviana em uma bola topo-lógicaB⊂Mconsiste em uma partição enumerávelP(mod 0) por abertos

desta bola B com Leb(∂P) = 0,∀P ∈ Pe para cada x ∈ ∪P∈PP existe uma função tempo associadax 7→ R(x) ∈ N, constante em cada P ∈ P e uma aplicação induzida F(x) = fR(x)(x) definida em quase todo ponto da bola

B. Cada elemento desta partição é enviado por F difeomorficamente em uma bola B. Pode-se provar que F tem medida invariante absolutamente contínuaν. Além disso, desde que R seja Leb-integrável também pode-se provar que existe medida f-invariante finita absolutamente contínua.

Teorema 1.2 (Principal) Toda aplicação satisfazendo as hipóteses do Teorema

1.1tem estrutura markoviana local com integrabilidade da função tempo.

Uma aplicação f : M → M é chamada não-uniformemente expansorase ela (ou algum iterado) satisfaz para Leb-q.t.px∈Ma seguinte condição:

lim sup

n→∞ 1 n

n−1 X

i=0

log(k(D f(fi(x)))−1k)≤ −λ <0.

ou equivalentemente satisfaz,

lim inf

n→∞ 1 n

n−1 X

i=0

log(kD f(fi(x))−1k)−1≥λ >0.

Teorema 1.3 Um difeomorfismo local C2 é não-uniformemente expansor se e

somente se satisfaz as hipóteses do Teorema1.1.

Teorema 1.4 Seja f : M → M um difeomorfismo local C2 em uma variedade compacta M. Se a função primeiro tempo hiperbólico é definida para Leb-q.t.p

(19)

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras 19

1.1 Aplicações não-uniformemente expansoras

Definição 1.1 (σ-Tempo hiperbólico) Dado σ < 1, dizemos que n é um

σ-tempo hiperbólico para um ponto x∈M se para todo1≤k≤n,

n−1 Y

i=n−k

kD f(fi(x))−1 k≤σk

Denotaremos o conjunto dos pontos de M tal que n∈Néσ-tempo hiperbólico por

Hn(σ).

Em particular, se n é umσ-tempo hiperbólico para x, então D f−k(fn(x))é uma

contração para todo1≤k≤n:

kD f−k(fn(x))k≤

n−1 Y

i=n−k

kD f(fi(x))−1 k≤σk.

Lema 1.1 (Pliss) Dado A ≥ c2 > c1 > 0, tome θ0 = (c2

−c1)

(A−c1). Então, dada

qualquer sequência de números reais a1, . . .aNtais que:

N

X

j=1

aj ≥c2N e aj ≤A, para todo1≤ j≤N.

existem l> θ0N e1<n1 < . . . <nl ≤N tais que:

ni

X

j=n+1

aj ≥c1(ni−n), para todo0≤n<ni e i=1, . . . ,l.

Demonstração: Defina S(n) = Pnj=1(aj − c1) para cada 1 ≤ n ≤ N e

tambémS(0) = 0. Seja 1 < n1 < . . . < nl ≤ Na sequência máxima tal que

S(n)≤ S(ni) para todo 0≤n <ni ei =1, . . . ,l. Observe quelnão pode ser

zero já queS(N)>S(0). Além disso, a definição deS(n) significa que:

ni

X

j=n+1

aj ≥c1(ni−n), para todo 0≤n<ni ei=1, . . . ,l.

(20)

20 Capítulo 1. Teoremas

S(ni)≥S(n),∀0≤n<ni

=⇒

ni

X

j=1

(aj−c1)≥

n

X

j=1

(aj−c1)

=⇒         ni X j=1 aj        

−nic1≥         n X j=1 aj        

−nc1

=⇒         ni X j=1 aj         −         n X j=1 aj        

≥nic1−nc1

ni

X

j=n+1

aj ≥c1(ni−n).

Então, falta provar quel> θ0N. Fazemos esta demonstração nas quatro

afirmações abaixo.

Afirmação 1.1 Por definição, S(ni−1)<S(ni−1).

De fato, por construção temos que parani−1<ni, define-se uma

sequên-cia máxima tal queS(ni−1)≤S(ni).

Suponha que S(ni−1) < S(ni −1), logo teremos S(ni) ≤ S(ni −1) pois

ni é o elemento seguinte a ni−1 para o qual a sequência máxima está bem

definida. Daí,ni <ni−1. Contradição poisni >1,∀1≤ j≤N.

Afirmação 1.2 S(ni)<S(ni−1)+(A−c1).

De fato, por definição,

(21)

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras 21

Assim,

S(ni) =

ni

X

j=1

(aj−c1) =

ni−1

X

j=1

(aj−c1)+(ani −c1)

= S(ni−1)+ani −c1

< S(ni−1)+(ani −c1)

< S(ni−1)+(A−c1)

para cada 1<i≤l.

Afirmação 1.3 S(n1)≤A−c1

De fato,

• n1=1,S(n1)=S(1)=a1−c1<A−c1

• n1>1,

Por construção ni são elementos tais que S(n) ≤ S(ni) para 0 ≤ n < ni e

i=1,2, . . . ,l. Em particular, parai=1 temos S(n)≤S(n1) para 0≤ n<n1,

ou seja,n1é o primeiro elemento da sequência máxima tal queS(n1)≥0 e

para osn<n1temosS(n)<0. Assim,

S(n1)=(a1−c1)

| {z }

S(1)<0

+(a2−c1)

| {z }

S(2)<0

+(a3−c1)

| {z }

S(3)<0

+. . .+(an1−1−c1)

| {z }

S(n1−1)<0

+(an1 −c1) | {z }

≤A−c1

Logo,S(n1)<A−c1.

Afirmação 1.4 S(nl)≥S(N)≥N(c2−c1).

De fato, S(nl) ≥ S(N) pois se S(N) > S(nl), N seria o último termo da

sequência máxima, então teríamosnl =No que implicaria emS(N)=S(nl).

(22)

22 Capítulo 1. Teoremas

S(N) =

N

X

j=1

(aj−c1) = (a1−c1)+(a2−c1)+. . .+(aN −c1)

=

       

N

X

j=1

aj

       

−Nc1

≥ Nc2−Nc1

= N(c2−c1).

E, finalmente teremos:

N(c2−c1)≤S(nl)=

l

X

i=2

(S(ni)−S(ni−1))+S(n1)<l(A−c1).

De fato, comoS(ni)−S(ni−1)<A−c1 então,

S(nl)=

l

X

i=2

(S(ni)−S(ni−1))+S(nl)<(l−1)(A−c1)+(A−c1)=l(A−c1).

Assim,N(c2−c1)<l(A−c1)⇒ l>N((cA2−−cc11)) =Nθ0.

Proposição 1.1 Seja f :M→M um difeomorfismo local C2. Dadoλ >0existe

θ >0, dependendo apenas de f eλ, tal que:

♯{1≤ ≤n;x∈H(e−λ/2)} ≥θn

sempre quePni=01log;D f(fi(x)))−1k−1> λn.

Isto é, se Pni=01log k D f(f(fi))−1 k−1> λn, existe θ > 0, dependendo apenas

de f e λ, tal que para n ≥ 1 existem (e−λ/2)-tempos hiperbólicos1 ≤ n1 < n2 <

(23)

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras 23

Demonstração: Sejamx∈Men≥1 tais que tenhamos:

1 n

n−1 X

i=0

logkD f(fi(x))−1 k−1> λ.

Considereai =−logkD f(fi−1(x))−1konde 0≤i≤n.

Logo, por hipótese,

n

X

i=1

ai =

n

X

i=1

−logkD f(fi−1(x))−1 k=

n−1 X

i=0

logkD f(fi(x))−1 k−1> λn. (1.1)

TomandoA=sup{

logk(D f(x))

−1 k

;x∈M}, teremos∀1≤i≤n,

ai =logkD f(fi−1(x))−1 k−1≤sup{

logk(D f(x))

−1k

;x∈M}=A. (1.2)

Assim, paraA =sup{

logk (D f(x))

−1 k

;x ∈ M}, c2 =λ, c1 =

λ

2 e pelas

desigualdades (1.1) e (1.2) temos:

n

X

i=1

ai ≤c2n e ai ≤A, ∀0≤i≤n−1.

Então, pelo lema anterior, existem 1 <n1 < . . . <nl ≤ ncoml > θntal

que para todo 0≤n≤nje j=1, . . . ,l, temos:

nj

X

i=n+1

logkD f(fi−1(x))−1 k−1≥ λ

2(nj−n). (1.3)

Agora vamos mostrar que os tempos nj tais que j = 1, . . . ,l são

(e−λ/2)-tempos hiperbólicos para x. De fato, pela desigualdade (1.3) para

cada j=1, . . . ,ltemos:

logkD f(x)−1k−1 +. . .+logkD f(fnj(x))−1 k−1 ≥ λ

2nj+. . .+λ2(nj−(nj−1))

= λ2nj+ λ2(nj−1)+. . .+λ2

= Pnj

(24)

24 Capítulo 1. Teoremas

Logo, da desigualdade anterior, concluímos:

kD f(x)−1 k−1kD f(f(x))−1 k−1. . . kD f(fnj(x))−1k−1e

Pnj

k=1λ2k

Qnj

k=0 kD f(fk(x))

−1k−1Qnj

k=1e λ

2k

Qnj

k=0 kD f(fk(x))−1k≤ Qnj

k=1e

−λ

2k <e−2λ.

Corolário 1.1 Seja f :M→M um difeomorfismo local C2. Dadoλ >0,,

existeθ >0dependendo apenas de f eλ, tal que se A ⊂M satisfaz

lim supn 1

n

Pn−1

i=0 logkD f(fi(x))−1 k−1> λpara Leb-q.t.p x∈A então

lim sup

n→+∞ 1

n♯{1≤ ≤n;x∈H(e

−λ/2)} ≥θ (1.4)

para Leb-q.t.p x∈A.

Proposição 1.2 Seja f : M→M um difeomorfismo local C2. Dadoσ <1, existe

δ1eρ >0dependendo apenas deσe da aplicação f , tal que para qualquer x∈ M

e n≥ 1umσ-tempo hiperbólico para x existe uma vizinhança Vn(x)de x com as

seguintes propriedades:

(1) fnmanda V

n(x)difeomorficamente na bola Bδ1(fn(x)).

(2) distfn−k(Vn(x))(fn−k(p), fn−k(q)) ≤ σ k

2.distfn(Vn(x))(fn(p), fn(q)),∀p,q ∈ Vn(x)

e1≤k≤n.

(3) log

detD fn(p)

detD fn(q)

≤ρ.distfn(Vn(x))(f

n(p), fn(q)),p,qV n(x).

Demonstração: Para provar os itens (1) e (2), considere a seguinte afirmação:

Afirmação 1.5 Existeδ >0tal que:

(25)

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras 25

Demonstração da Afirmação: Considere a funçãog:M∋x7→ logkD f(x)−1k.

Claramente g é contínua. Para todo ǫ > 0, em particular, para todo 0< ǫ <logσ−1/2, existeδ >0 tal que:

kx−yk< δ⇒ kg(x)−g(y)k< ǫ.

Portanto,∀y∈Bδ(x), temos:

logkD f(y)

−1 k −logk

D f(x)−1k

< ǫ

logkD f(y) −1 k

kD f(x)−1k < ǫ

< eǫkD f(x)−1 k< σ−1/2 kD f(x)−1 k.

Finalmente obtemos:

kD f(y)−1k< σ−1/2 kD f(x)−1k, yBδ(x). (1.5)

Como n éσ-tempo hiperbólico paraxentão para todo 1≤k≤n,

n−1 Y

j=n−k

kD f(fj(x))−1 k< σk.

Logo,

kD f(fn−1(x))−1k< σ (1.6) Considere agora a bola Bδ1(fn(x)) onde n é tempo hiperbólico para x.

Então, por (1.5) e (1.6) temos:

kD f(y)−1k< σ−1/2 kD f(fn−1(x))−1 k< σ−1/2 =σ1/2, yB

δ1σ1/2(f

n−1(x)).

Isto é, f é umaσ1/2-contração para trás da bola de raioδ

1centrada em fn(x).

Consequentemente, existe uma vizinhança Vn−1 de fn−1(x) contida na

bola Bδ1σ1/2(f

n−1(x)) que é levada difeomorficamente na bola de raio δ 1

(26)

26 Capítulo 1. Teoremas

Agora, dado qualquer j > 1, podemos supor que construímos uma vizinhançaVn−j+1 de fn−j+1(x) tal que a restrição de fj−1(x) a Vn−j+1 é um

difeomorfismo na bola de raioδ1 centrada em fn(x) com

kD f(fi(z))−1 k< σ−1/2kD f(fn−(j−1)+i(x))−1 k (1.7)

para todo z emVn−j+1 e 0≤ i < j. Então, por (1.5) e pela hipótese que n é

tempo hiperbólico parax,

kD fj(x)−1 k ≤ Qi=j−01 kD f(fi(z))−1 k ≤ Qj−1

i=0σ−1/2 kD f(fn−j+i(x))−1 k

≤ σ−1/2Qj−1

i=0 kD f(fn−j+i(x))−1 k

σ−1/2j/2 =σ(j−1)/2

< σj/2

para todo z emVn−j+1 e 0≤i< j.

Agora, para provar o item (2), construiremos o ramo inverso de fj

na bola de raioδ1 centrada em fn(x) pelo levantamento de geodésicas do

seguinte modo. De fato, f−j(γ) contém uma componente conexaγ

n−j que

é uma curva começando em fn−j(x).

Comoγn−jestá contida na bola de raioδ1σj/2então a derivada em

qual-quer ponto desta curva é umaσj/2-contração para trás. Isto significa que o

comprimento desta curva é menor queδ1σj/2. Logo, esta curva está

intei-ramente contida na bolaBδ1σj/2(fn−j(x)). Isto prova que este levantamento

está bem definido em toda geodésica γ. Portanto, temos um ramo bem definido de f−j na bola de raioδ1centrada em fn(x).

Chamemos de Vn−j a imagem deste ramo inverso. Por construção,

Vn−j ⊂ Bδ1σj/2(f

n−j(x)) e sua imagem por f coincide com V

n−j+1. Então,

recuperamos a indução suposta em (1.7) para pontos em Vn−j e tempos

0≤i≤ j. Deste modo, construiremos vizinhançasVn−jde fn−j(x) para todo

1≤ j≤n. Assim,tomandoVn(x)=V0, concluímos:

distfn−k(Vn(x))(fn−k(p), fn−k(q))≤σ k

2.distfn(Vn(x))(fn(p), fn(q)),

(27)

1.1. Aplicações não-uniformemente expansoras 27

Para provar o item (3),considere a função:

h: M → R∗+

x 7→ log|detD f(x)|

Claramente,h éC1. Como M é uma variedade compacta, então hé Lips-chitziana e portanto uniformemente contínua. Logo, existe uma constante c>0 tal que parap,q∈Vn(x), temos:

log

detD f(p)

detD f(q)

=

log|detD f(p)| −log|detD f(q)|

≤c |p−q |<c.distVn(x)(p,q)

Em particular, log

detD f(fj(p))

detD f(fj(q))

≤c | fj(p)− fj(q)|<c.distfj(V n(x))(f

j(p), fj(q)), 1 jn.

Daí,

detD fn(p)

detD fn(q)

=

n−1 Y

j=0

detD f(fj(p))

detD f(fj(q))

n−1 Y j=0

detD f(fj(p))

detD f(fj(q))

log

detD fn(p)

detD fn(q)

≤ log        

n−1 Y j=0

detD f(fj(p))

detD f(fj(q))

        =

n−1 X j=0 log

detD f(fj(p))

detD f(fj(q))

≤ c

n−1 X

j=0

| fj(p)− fj(q)|

= c.

n−1 X

j=0

distfj(V n(x))(f

j(p), fj(q))

= chdistVn(x)(p,q)+. . .+distfn−1(Vn(x))(f

n−1(p), fn−1(q))i

≤ c.hσn/2+σ(n−1)/2+. . .+σ1/2i.dist

fn(Vn(x))(fn(p), fn(q))

= c.hσ1/σ2(1σ/2n−/21−1) i

.distfn(V n(x))(f

n(p), fn(q)).

Como Pn

j=1σj/2 ≤

P+∞

(28)

28 Capítulo 1. Teoremas

ρ=

+∞

X

j=1

σj/2para concluir o item 3.

(29)

Capítulo 2

Componentes Ergódicas

A idéia inicial de componente ergódica foi dada dinâmica unidimen-sional. A decomposição de um intervalo em componentes ergódicas com respeito a medida de Lebesgue já é bem conhecida para aplicações multi-modais em dimensão 1. (ver [1, 2, 10, 11, 16, 17]). Neste capítulo, definire-mos as componentes ergódicas de uma variedade M de dimensãod ≥1 e

mostraremos que é possível decompor tal variedade em um número finito de componentes ergódicas. Além disto, mostraremos a existência de um atrator gordo em cada uma delas.

Um subconjunto U ⊂ M será chamado de conjunto invariante com respeito a aplicação f :M→ Mse f−1(U)=Ue será chamado de

positiva-mente invariante se f(U)⊂U.

Definição 2.1 (Componente Ergódica) Um conjunto invarianteU ⊂M com medida de Lebesgue positiva será chamado de componente ergódica de M se não admitir qualquer subconjunto próprio invariante com medida de Lebesgue positiva,

isto é, se A⊂ U é invariante então Leb(A)=0ou Leb(U \A)=0.

Definição 2.2 (Órbita de um ponto) Chamamos de órbita do ponto x ∈ M o

conjuntoO(x)={fn(x);xZ}e chamamos de órbita positiva ou órbita futura de

um ponto x∈ M o conjuntoO+(x)={fn(x);nN}.

Definição 2.3 (Omega limite) Definimos como omega limite de um ponto x∈

M e denotamos porω(x)o conjuntoω(x)={p∈M;∃njsequência com nj →+∞

(30)

30 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

tal que fnj(x) p}, isto é,ω(x)é o conjunto dos pontos de acumulação da órbita

futura de x.

Definição 2.4 (Conjunto Atrator [9]) Um conjunto compacto positivamente

invariante A será chamado de atrator se a sua bacia de atração Bf(A) = {x ∈

M;ω(x)⊂ A}tem medida de Lebesgue positiva.

Definição 2.5 (Partição) Seja P uma coleção de conjuntos com medida de

Lebesgue positiva mas com bordo de medida zero, isto é, Leb(∂P)=0,∀P∈ P. Tal

coleção é chamada de partição de M se cobrir a variedade M em quase todo ponto,

isto é, Leb(M\ ∪P∈PP)=0e P∩Q⊂P∩Q,∀P ∋P,Q∈ P.

Proposição 2.1 Dada uma componente ergódicaU ⊂M, existe um único atrator

Aque atrai quase todo ponto deU. Além disso, exceto num conjunto de medida

zero, a componente ergódica e a bacia do atrator A são iguais e ω(x) = A para

quase todo ponto deU.

Demonstração: Por indução construiremos uma sequência de partições

Pj de M. SejaP1uma partição finita formada por conjuntos compactos de

M e suponha que a coleçãoPn−1está bem construída.

Considere para cada P ∈ Pn−1 o conjunto UP = {x ∈ U;ω(x)∩ P , ∅}.

Como U é uma componente ergódica e f−1(U

P) = UP, já que, ω(x) =

ω(f(x)),∀xentão ou Leb(UP)=0 ou Leb(U\UP)=0.

SejaPnum refinamento dePn−1formada pela coleção finita de conjuntos

compactos tais que dado qualquerP∈ Pn−1, os elementos Q dePncontidos

em P são escolhidos da seguinte forma: se Leb(UP) = 0 tomamos Q = P,

caso contrário, se particiona P por conjuntos Q ∈ Pn de modo que 0 <

diam(Q)< 12diam(P).

Considere para cadan∈N,

P∗

n ={P∈ Pn;U\UP é um conjunto de medida de zero}eKn =

S

P∈P∗

nP. Como K1 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . . é uma sequência encaixante de compactos

não vazios entãoA=TnKné também um conjunto compacto não vazio.

Por construção, para quase todo ponto x ∈ U e ∀n ∈ N, ω(x) Kn e

ω(x)∩P, ∅,∀P ∈ P∗

n. Além disso, como diam(P) < 21ndiam(M), ∀P∈ P ∗

n,

temosω(x) ⊂ Kn ⊂ B2−n(A) = {p ∈ M;dist(p,A) ≤ 2−n}. Assim, ω(x) = A para Leb-q.t.px∈U.

(31)

Componentes Ergódicas 31

Sejam U ⊂ Mum conjunto positivamente invariante. Considere para cadax∈Uum subconjuntoH(x)⊂ O+(x) ondeH(x)={fj(x);xH

j(σ)}.

Seja a coleção H = (H(x))x∈U. Denotemos por UH ⊂ U o conjunto

UH = {x U;{j N;x H

j(σ)} = +∞}. Defina para cada x ∈ UH

o conjunto ωH(x) dos pontos de acumulação de H(x), isto é, o conjunto dos pontos p ∈ M tal que existe uma sequência nj → +∞ satisfazendo

H ∋ fnj(x) pquando j+. Veja queωH(x) é um conjunto não-vazio mas não necessariamente positivamente invariante.

Dizemos quex∈Mtemfrequência positivade tempos hiperbólicos se:

lim sup

n→+∞ 1

n♯{1≤ j≤n;x∈Hj(x)}>0

para cadax∈U.

Observação 2.1 Definimos o conjunto dos pontos de U como o conjunto dos

pontos que tem frequência positiva usando o lim supao invés de lim infcomo é

definida geralmente a frequência positiva a um conjunto. Ressaltamos porém que de fato precisamos apenas garantir a frequência positiva em média a um conjunto,

isto é, precisamos apenas assegurar que os pontos visitarão o conjunto H em

alguns momentos.

Caso x ∈ UH, defina o conjunto ω

+,H(x) dos pontos de M que são frequentemente visitados por imagens hiperbólicas dex, como os pontos p ∈ M tal que lim supn1n♯{1 ≤ j ≤ n; fj(x) ∈ H(x) V} > 0 para toda

vizinhança V de p.

Lema 2.1 Seja U uma componente ergódica, tome A o atrator associado a U e

H =(H(x))x∈UH. Existe um conjunto compactoAH ⊂ Atal queωH(x) =AH

para Leb-q.t.p x ∈ U. Além disso, se H tem frequência positiva então existe

também um conjunto compactoA+,H ⊂ AH tal que ω+,H(x) = A+,H para

Leb-q.t.p x∈ U.

Demonstração: A prova deste lema é semelhante a prova da

Propo-sição 2.1. Construiremos uma sequência de partições Pj de M. Tome P1

qualquer partição finita de M e suponha que a partição Pn−1 foi de fato

(32)

32 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

φK(x)=lim sup n

1

n♯{0≤ j<n; f

j(x)K∩ H(x)}.

Tome, para cadaP∈ Pn−1o conjuntoUP ={x∈ U;φP(x)>0}. Logo, pela

definição de φK usando limsupteremos que ou φK(x) > 0 ou φM\K(x) > 0

e portando Leb(U \UP) = 0 ou Leb(UP) = 0 respectivamente. Tome Pn

qualquer refinamento dePn−1 satisfazendo as seguintes condições:

Dado qualquer P ∈ Pn−1, os elementos Q de Pn contidos em P são

escolhidos da seguinte forma: se Leb(UP) = 0, tomamos P = Q, caso

contrário, se particiona P por conjuntosQ∈ Pnde modo que 0<diam(Q)<

1

2diam(P). Considere para cada n ∈ N o conjunto Pn∗ = {P ∈ Pn;Leb(U\

UP) = 0} eKn = ∪P∈P∗

nP. ComoK1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Kn ⊃ . . .é uma sequência

encaixante de compactos não vazios (pela definição deUP),∀n∈N, então

o conjuntoAH =∩nKné também compacto não vazio.

Pela construção de P∗

n, para quase todo ponto x ∈ U, ∀P ∈ P∗n e

∀n ∈ N temos queφP(x) > 0. PortantoωH(x) = ωH(f(x)) Kn, n Ne

ωH(x)∩P,∅,∀P∈ P∗n. Como, para cadaP∈ P∗

n,

diam(P)< 12diam(P1)< 212diam(P2)< . . . < 21ndiam(Pn)<

1

2ndiam(M)

entãoωH(x)⊂ Kn⊂B2−n(AH)={p∈ M;dist(p,AH)≤2−n}. Isso implica queωH(x)=AH(x) paraLeb-q.t.px∈U.

Para provar que existe A+,H ⊂ AH tal que ω+,H(x) = A+,H para

Leb-q.t.px∈Ubasta trocar na prova acima,ωH(x) porω+,H(x) observando

queω+,H(x) = ω+,H(f(x)) e que todo ponto deA+,H = ∩nKné acumulado

pela sequência{fn(x);n Ne fn(x) ∈ H(x)}para quase todo ponto de U.

EntãoA+,H ⊂ AH ⊂ A.

Além disso, se B é um conjunto aberto com B∩ A+,H , ∅então para n grande teremos algum elemento P ∈ P∗

n contido em B. E ainda, por

construção, vale:

lim supn 1

n♯{0≤ j<n; fj(x)∈B∩ H(x)} ≥

≥lim supnn1♯{0≤ j<nk fj(x)∈P∩ H(x)}>0.

(33)

Componentes Ergódicas 33

δentão M pode ser decomposta em um número finito de componentes ergódicas.

Além disso, o atrator associado a cada componente ergódica tem medida de Lebesgue positiva.

Demonstração: Seja W ⊂ M qualquer subconjunto invariante de M

(por exemplo, W = M) com medida de Lebesgue positiva e tome F(W) a coleção de todos os conjuntos positivamente invariantes U ∈ W com medida de Lebesgue positiva, isto é,

F(W)={U⊂W; f(U)⊆UeLeb(U)>0}

Note queF(W),∅porqueW∈ F(W).

Considere a inclusão (mod 0) como uma ordem parcial emF(W) e seja Γ⊂ F(W) um subconjunto totalmente ordenado deF(W).

Afirmação 2.1 Existe algumξ⊂Γtal queγ ⊃Tn0 fn(ξ)(mod 0),γΓ.

Demonstração da Afirmação: Escolha qualquer conjunto inicialγ0 ∈Γ.

Então,Leb(γ0\γ)≤δ∀γ ∈Γou existe algumγ0 ⊃γ1 ∈Γtal queLeb(γ0\γ1)>

δ. Assumindo que existe tal γ1 teremos uma sequência máxima finita

γ0 ⊃ γ1 ⊃ . . . ⊃ γscomLeb(γk\γk+1) > δ∀k(porqueLeb(M) < +∞). Logo

existe algumξ=γstal queLeb(ξ\γ)≤δ,∀γ∈Γ.

Consequentemente, dado qualquerγ ⊂ξtal queγ∈Γ, para quase todo pontox∈ξ\γteremos fn(x)γpara todo n grande ( caso contrário,ξ\γ

conterá algum subconjunto invariante U com 0<Leb(U)≤Leb(ξ\γ)≤δ). Então,T

n fn(ξ)⊂γ(mod 0), provando o afirmado.

É claro queζ=Tn fn(ξ) é um conjunto positivamente invariante e tem

medida de Lebesgue positiva ( caso contrário, comofk(ξ)=Tk

n=0 fn(ξ)ցζ,

teríamos 0 < Leb(fk(ξ)) < δpara algum k grande, mas isto é impossível

pois fk(ξ) é um conjunto positivamente invariante).

Então, ζ ∈ F(W) e γ ≤ ζ, ∀γ ∈ Γ (Pela ordem parcial em F(W)). Pelo Lema de Zorn1 existe um elemento maximal ρ ∈ F(W). Seja U

1 =

S

n f−n(ρ).

Afirmação 2.2 U1é uma componente ergódica.

1Todo conjunto parcialmente ordenado não vazio em que toda cadeia - subconjunto

(34)

34 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

Demonstração da Afirmação: SejaA⊂U1com f−1(A)=AeLeb(A)>0.

Se Leb(A ∩ ρ) = 0 então Leb(A ∩ f−n(ρ)) = Leb(f−n(A) f−n(ρ)) =

Leb(f−n(Aρ))=0 pois é a pré-imagem de um conjunto de medida zero.

Assim,Leb(A∩U1)=0. Absurdo. Logo,Leb(A∩ρ)>0.

Como f−1(A)=AtemosA= f(A) e assim f(Aρ) f(A)f(ρ)(Aρ).

Logo,A∩ρé positivamente invariante eLeb(A∩ρ)>0. Pela maximalidade deρ, segue queA∩ρ=ρ(mod 0).

Portanto,A⊃ ∪f−n(Aρ)=f−n(ρ)=U

1(mod 0), ou seja,Leb(U1\A)=

0.

Como M\U1 é um conjunto invariante, então ou tem medida de

Le-besgue zero ou podemos usar o argumento acima e obter uma nova com-ponente ergódicaU2 dentro deM\U1.

Indutivamente, podemos construir uma coleção de componentes er-gódicas U1, . . . ,Ur sempre que Leb(M \ U1 ∪ . . . ∪ Ur) > 0. Mas como

Leb(Uj)> δ,∀jeste processo irá parar, já queLeb(M)<+∞e então

obtere-mos a decomposição de M em componentes ergódicas como desejávaobtere-mos. Segue do Lema 2.1 que cada componente ergódica U⊂ Mé a bacia de algum atratorA. Suponhamos que Leb(A) =0. Então, podemos escolher uma vizinhança aberta V deAtal queLeb(V)< δe um inteiron0onde para

U′ ={xU; fn(x)V,nn

0}tenhamosLeb(U′)>0.

Como U′ é positivamente invariante, fn0(U′) é um conjunto

positiva-mente invariante com 0 < Leb(fn0(U′)) < Leb(V) < δ, contradizendo a

hipótese. Portanto,Leb(A)>0. Em particular,Leb(A)> δ.

(35)

Componentes Ergódicas 35

Afirmação 2.3 Se Leb-q.t.p. x ∈ M tem um primeiro tempo hiperbólico então

Leb-q.t.p. x∈M tem uma infinidade de tempos hiperbólicos.

Proposição 2.3 Se Leb-q.t.p. x ∈ M tem uma infinidade de tempos hiperbólicos

e se U ⊂ M é um conjunto positivamente invariante com medida de Lebesgue

positiva então existe p∈U tal que a bola Bδ/4(p)de raioδ/4centrada em p satisfaz

Leb(Bδ/4(p)∩U)=Leb(Bδ/4(p)).

Demonstração: Sejaρ > 0 a constante de distorção dada pelo item (3) da Proposição 1.2, isto é,

log

detD fn(x)

detD fn(y)

≤ρ.distfn(Vn(p))(f

n(x), fn(y)),x,y V n(p)

e sejaK⊂Uum compacto com medida de Lebesgue positiva.

Dado ǫ > 0, escolha uma vizinhança aberta V ⊃ K de K tal que

Leb(V\K)

Leb(K) < ǫ.

Como quase todo ponto de U tem uma infinidade de tempos hiperbó-licos, então escolha parax∈Kum tempon(x) tal queVn(x) :=Vn(x)(x)⊂V.

Comon(x) é tempo hiperbólico paraxentão pela Proposição 1.2,Vn(x)

é levada difeomorficamente por fnna bola

1(fn(x)(x)).

Considere para cada K,

W(x)=(fn(x) |Vn(x))−1(Bδ

1/4(f

n(x)(x)))

Por compacidade,K⊂W(x1)∪W(x2)∪. . .∪W(xs) parax1,x2, . . . ,xm ∈K

ondes≤m.

Escrevendo {n1,n2. . . ,ns} = {n(x1), . . . ,n(xm)} com n1 < n2 < . . . < ns,

tome U1 ⊂ N como o conjunto maximal de {1, . . . ,m} tal que se u ∈ U1

entãon(xu)=n1eW(xu)∩W(xa)=∅ ∀u,a∈ U1. Por indução definiremos

Ujpara 1 < j≤sdo seguinte modo:

Suponha queUj−1 está bem definido. TomeUj ⊂ Ncomo o conjunto

maximal de{1, . . . ,m}tal que se u ∈ Uj entãon(xu) = nj,W(xu)∩W(xa) =

∅,∀u,a∈ Uj e tambémW(xu)∩W(xa)=∅,∀a∈ U1∪. . .∪ Uj−1.

Pela maximalidade, cada W(xi) com s ≤ i ≤ mintersecta algum W(xu)

para u ∈ U = U1 ∪. . .∪ Us en(xi) ≥ n(xu). Então para cada s ≤ i ≤ m,

tomandou∈ Utal queW(xi)∩W(xu),∅en(xi)≥n(xu), temos que:

fn(xu)(W(x

(36)

36 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

Como fn(xu)(W(x

i)∩W(xu))⊂ fn(xu)(W(xi))∩ fnuW(xu)) então,

fn(xu)(W(x

i))∩ fn(xu)(W(xu)),∅.

Isto é,

fn(xu)(W(x

i))∩Bδ1/4(fn(xu)(xu)),∅

Pelo item (2) da Proposição 1.2, o diâmetro do conjunto fn(xu)(W(x

i)) é

menor que δ1

2σn(xu)/2 ≤ δ21.

De fato,

dist(fn(xi)−n(xu)(p), fn(xi)−n(xu)(q)) σn(xu)/2dist(fn(xi)(p), fn(xi)(q))

≤ σn(xu)/2diâmBδ

1/4(fn(xi)(xi))

σn(xu)/2δ1

2

< δ1

2 ∀p,q ∈Bδ1/4(fn(xi)(xi))

Como diâm(Bδ1/4(fn(xu)(xu)))= δ21 então fn(xu)(W(xi))⊂Bδ1(fn(xu)(xu)).

PortantoW(xi)⊂V(xu) e{V(xu)}u∈U é uma cobertura de K.

Segue do controle de distorção a existência de uma constante γ > 0, dependendo apenas deρtal queLeb(W(x))> γLeb(V(x)),∀x∈K. Então,

Leb(Su∈UW(xu)) =

P

u∈ULeb(W(xu))

> Pu∈Uγ.Leb(V(xu))

= γPu∈ULeb(V(xu))

≥ γ.Leb(S

u∈UV(xu))

≥ γ.Leb(K)

Tomandoα=minnLeb(W(xu)\K)

Leb(W(xu)) ;u∈ U

o

(37)

Componentes Ergódicas 37

ǫ.Leb(K) > Leb(V\K)

≥ Leb(Su∈UW(xu)\K)

= Pu∈ULeb(W(xu)\K)

≥ α.Leb(S

u∈UW(xu))

≥ α.γ.Leb(K)

Consequentemente,

ǫ.Leb(K)>min

(

Leb(W(xu)\K)

Leb(W(xu))

;u∈ U

)

.γ.Leb(K)

min

(

Leb(W(xu)\K)

Leb(W(xu))

;u∈ U

)

< ǫ γ

Então existe algumW(xu) tal que

Leb(W(xu)\K)

Leb(W(xu)) <

ǫ γ.

Usando o controle de distorção e lembrando que K está contido num conjunto invariante U, podemos encontrar para cada ǫj = 1j um ponto

xj ∈Ke uma bola aberta de raioδ1/4,Bj =Bδ1/4(fn(xj)(xj))= fn(xj)(W(xj)) tal

que:

Leb(Bj∩U)

Leb(Bj) >

1−ρ

s

1/γ2

j (2.1)

De fato, para cada ǫj = 1j existe xj ∈ K e uma bola aberta de raio δ41,

Bj =Bδ1/4(fn(xj)(xj))= fn(xj)(W(xj)) tal que

Leb(W(xj)\K)

Leb(W(xj)) < ǫj γ Logo,

Leb(W(xj)\K)

Leb(W(xj))

.1 γ < ǫj γ. 1 γ

Leb(W(xj)\K)

Leb(W(xj))

Leb(V(xj))

Leb(W(xj))

< 1/γ

2

(38)

38 Capítulo 2. Componentes Ergódicas

E,

Leb(W(xj)\U)

Leb(W(xj))

!2

< Leb(W(x(Leb(W(xj)\U).Leb(V(xj)\U)

j)))2

< Leb(W(x(Leb(W(xj)\K).Leb(V(xj)\K)

j)))2

< Leb(W(xLeb(W(xj)\K)

j))

Leb(V(xj))

Leb(W(xj)).

(2.3)

De (2.2) e (2.3), concluímos:

Leb(W(xj)\U)

Leb(W(xj))

!2

< 1/γ

2

j .

Consequentemente,

Leb(W(xj)\U)

Leb(W(xj))

!

<

s

1/γ2

j .

Pelo item (2) da proposição (1.2) temos:

Leb(fn(xj)(W(x

j))\U)

Leb(fn(xj)(W(x

j))

< ρ

s

1/γ2

j .

Isto é,

Leb(Bj\U)

Leb(Bj)

< ρ

s

1/γ2

j .

Logo,

1− Leb(Bj \U)

Leb(Bj) >

1−ρ

s

1/γ2

j

Leb(Bj)−Leb(Bj\U)

Leb(Bj)

>1−ρ

s

1/γ2

(39)

Componentes Ergódicas 39

Leb(Bj∩U)

Leb(Bj) >

1−ρ

s

1/γ2

j .

Como M é uma variedade compacta, existe uma subsequência {Bˆj}j

destas bolas que acumula em alguma bola aberta B de raioδ1/4. Segue de

(2.1) queLeb(B\U)=0.

(40)
(41)

Capítulo 3

Conjuntos Nested

A idéia de conjuntos Nested foi inspirada na definição de intervalonice dada por Martens em [11].

Os intervalosnicesão definidos em um intervalo aberto I tal que a órbita

O+(I) do bordo de I não intersecta I, ou seja,O+(I)I= . Um exemplo

é o intervalo entre dois pontos consecutivos de uma órbita periódica. A propriedade principal deste intervalo consiste no fato que suas pré-imagens não se intersectam. Mais precisamente, se I é tal que I1 e I2

são levados difeomorficamente por fn1 e fn2 respectivamente em I, então

I1∩I2=∅ouI1 ⊂I2ouI2 ⊂I1.

É fácil ver que em dimensão maior, uma definição análoga não seria aplicável.

Considere então f : M → M um difeomorfismo local C2 e K ⊂ M.

Um conjunto P será chamado de pré-imagem de ordem n ∈ N de K se fnleva P difeomorficamente em K. Denote a ordem de P por ord(P). Seja

En = {Vn(x);x ∈ Hn(e−λ) e fn(Vn(x)) = K} o conjunto das pré-imagens em

tempo hiperbólico de K. Dado Q ∈ En denote fn |

Q por fQ e denote o ramo inverso associado

a Q, (fn |

Q)−1 por f−Q. Considere a coleçãoE = (En)n de pré-imagens em

tempo hiperbólico de um conjunto aberto conexoU ⊂M. Um conjunto P será chamado deE-pré-imagem de ordem n deW⊂UseP= f−Q(W) para

algumQ∈ Enen∈N.

Observação 3.1 Duas pré-imagens hiperbólicas de mesma ordem de um conjunto

X⊂U não se intersectam.

(42)

42 Capítulo 3. Conjuntos Nested

De fato, para X ⊂ U, sejam P1 = f−Q1(X) e P2 = f−Q2(X) onde Q1 e

Q2 ∈ En tais queP1∩P2 , ∅. Como fn |Q1∪Q2 é um homeomorfismo entre

os abertos conexosQ1∪Q2eXentão

(fn|Q1∪Q2)

−1(fn|

Q1∪Q2 (Q1∪Q2))=(f

n| Q1∪Q2)

−1(X).

ComoQ1∈ En, temos que fn|Q1∪Q2 (Q1)=X.

Logo,

(fn |Q1∪Q2)

−1(fn|

Q1∪Q2 (Q1)∪ f

n |

Q1∪Q2 (Q2))=(f

n| Q1∪Q2)

−1(fn|

Q1∪Q2 (Q1)).

Portanto,

Q1∪Q2=Q1.

ComoQ2,∅, entãoQ1 =Q2e consequentementeP1=P2.

Definição 3.1 (Conjunto Nested) Um conjunto V será chamado deE-nested se

V é um subconjunto aberto conexo de U e∂V∩P=∅para qualquerE-pré-imagem

P de V.

Lema 3.1 Sejam V ⊂U um conjuntoE-nested e P1 e P2E-pré-imagens de V.

(i) Se P1∩P2 ,∅então P1 ⊃P2ou P1⊂P2.

(ii) Se fn(V)1V,n1, P

1∩P2 ,∅e ord(P1)<ord(P2) então P1⊇P2.

Demonstração:

(i) SejamP1eP2 E-pré-imagens de V tais queP1∩P2 ,∅.

Se P1 = P2, o resultado é óbvio. Suponha então que P1 , P2. Pela

Observação 3.1 podemos assumir que l1 = ord(P1) ≤ ord(P2) = l2. Sejam

Q1∈ El1eQ2∈ El2tais queP1 = f

−Q1(V) eP

2= f−Q2(V). ComoEé a coleção

de pré-imagens em tempo hiperbólico de U então Q = fl1(Q2) ∈ E

l2−l1 e

P= fl1(P2)= f−Q(V) é umaE-pré-imagem de V.

A aplicação fl1 |

P1∪P2 é um homeomorfismo entre os conjuntos abertos

conexosP1∪P2 eV∪P= V∪ fl1(P2). Logo,P∩V = fl1(P1∩P2) ,∅. Por

outro lado,P∩∂V =∅porque V éE-nested. Concluimos da conexidade de

P queP ⊂V ouV ⊂ P. Assim, usando o homeomorfismo fl1 |

P1∪P2, temos

queP2⊂P1 (seP⊂V) ouP2 ⊃P1(seP⊃V).

(ii)Observe que como fl2−l1(P)=V, sePV(isto é,P

(43)

Conjuntos Nested 43

f2(l2−l1)(P)= f(l2−l1)(V) fl2−l1(P)=V.

mas isto é absurdo pois por hipótese fn(V)1V,n1.

Definição 3.2 (Cadeia de pré-imagens) Uma sequência finita K = (P0,P1,

. . . ,Pn) de E-pré-imagens de um conjunto A ⊂ U será chamado de cadeia de

pré-imagens de A se:

(1) P0∩∂A,∅

(2) 0<ord(P0)< . . . <ord(Pn−1)<ord(Pn);

(3) Pj∩∂Pj−1 ,∅,∀1≤ j≤n.

Proposição 3.1 Seja A⊂U um conjunto aberto conexo e

A∗=A\ [

(Pj)j∈cadeia(E)

[

j

Pj (3.1)

onde a cadeia(E)é a coleção de todas as cadeias deE-pré-imagens de A. Se A∗ ,∅

então toda componente conexa de A∗é um conjuntoE-nested.

Demonstração: Observe que A∗é um subconjunto aberto de U e por-tanto precisamos apenas provar queP∩∂A∗= ∅para todaE-pré-imagem P deA∗. Por contradição, suponha que p PApara algumaE -pré-imagem P deA∗. Seja = ord(P) eE ∈ E

℘ tal queP = f−E(A∗). Tomando Q = f−E(A), teremos P ⊂ Q. Então, como A∗ e P são conjuntos abertos e assumindo queP∩∂A∗ ,, teremos:

Q∩A∗,

Observe que Q∩∂A = ∅ pois caso contrário, a sequência unitária (Q)

seria uma cadeia deE-pré-imagem de A, o que contradiz (3.1).

Como p ∈ A∗, para um dado ǫ > 0 existe (Q0, . . . ,Qn) ∈ cadeia(E) tal

que dist(p,∪n

j=0Qj) < ǫ. Por outro lado, como p ∈ P ⊂ Q, tomando ǫ tão

pequeno quanto se queira,P∩(∪n

j=0Qj),∅e então,

(44)

44 Capítulo 3. Conjuntos Nested

para algum 0≤m≤n.

ComoQ0∪. . .∪Qmé conexo eQ0∩(M\Q),∅poisQ∩∂A=∅,Q0∩∂A,

existe 0≤l≤mtal queQl∩∂Q,∅. Temos dois casos:

(i) ord(Ql)≤ord(Q)

(ii) ord(Ql)>ord(Q)

Como duasE-pré-imagens de mesma ordem de um conjunto são

dis-juntas entãoord(Ql)=ord(Q) se somente seQl =Q.

• Caso (i): Considere a cadeiaK ∈cadeia(E) dada por

K =

(

(Q0, . . . ,Ql,Q), se ord(Ql)<ord(Q)

(Q0, . . . ,Ql), se ord(Ql)=ord(Q).

Isto é,

K =

(

(Q0, . . . ,Ql,Q), se ord(Ql)<ord(Q)

(Q0, . . . ,Ql−1,Q), se ord(Ql)=ord(Q).

ComoQ∩A∗ , ∅, existência da cadeia K é uma contradição com a definição do conjuntoA∗dada em (3.1) e portanto este caso não pode ocorrer.

• Caso (ii): Considere a sequênciaK =(f℘(Ql), . . . , f℘(Qm)).

Como f℘(Q) = A, f℘(Ql)∩∂A = f℘(Ql∩∂Q) , ∅. Além disso, para

cadal≤ j≤m, f℘(Qj) é umaE-pré-imagem de A e para todol< j≤m

teremos f℘(Qj)∩∂Qj−1 = f℘(Qj ∩∂Qj−1) , ∅. Então,K ∈ cadeia(E).

Mas como f℘(P)=A∗, segue de (3.2) que f℘(Qm)∩A∗= f℘(Qm∩P),∅,

o que contradiz com (3.1).

Segue do que foi visto acima que teremos P ∩ A∗ = para toda

E-pré-imagem P de A.

Dada uma cadeiaK = (Pj)j, tomeπ(K) =SjPj e defina o diâmetro de

K como diam(K)=diam(SjPj).

Corolário 3.1 Sejam ǫ > 0 e A ⊂ U um conjunto aberto conexo tal que

A\ Bǫ(∂A) , ∅. Se toda cadeia de E-pré-imagens de A tem diâmetro menor

queǫentão toda componante conexa de A∗dada por (3.1) é um conjuntoE-nested

e

(45)

Conjuntos Nested 45

Demonstração: Do fato de que o diâmetro de qualquerE-pré-imagem

de A é menor que o diâmetro de A concluimos que A não está contido em nenhuma de suasE-pré-imagens.

Tome Γ a coleção de todas as cadeias de E-pré-imagens de A.

Observe que se K = (Pj)j ∈ Γentão π(K) é um aberto conexo que inter-secta∂A. Além disso, como o diâmetro deπ(K) é menor queǫ, temos que

π(K) ⊂ Bǫ(∂A). Então, A∗ = A\SK ∈Γπ(K) ⊃ A\Bǫ(∂A) é um conjunto

não-vazio. Então toda componente conexa deA∗é um conjuntoE-nested.

(46)
(47)

Capítulo 4

Estrutura de Markov local,

Partição e Integrabilidade da

função R

4.1 Estrutura de Markov Local

Uma estrutura de Markov local para uma aplicação f : M→ Mé uma aplicação Markoviana uniformemente expansora por partes F induzida pela aplicação f, isto é, existe uma bola topológica B e uma função R : B → N∪ {∞} chamada de função tempo de retorno que é constante nos elementos de uma partição P enumerável (mod 0) da bola topológica B

tal que a aplicação induzida F : B → B dada por F(x) = fR(x)(x) é uma

aplicação Markoviana expansora por partes.

Definição 4.1 (Aplicação Markoviana expansora por partes) Seja

F: B →B onde B é uma bola topológica aberta em M. F será chamada de

aplica-ção C2 Markoviana uniformemente expansora por partes se existir uma partição

enumerável (mod 0)P ={Pj}j∈Nda bola B satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) Pjtem bordo com medida nula,∀j∈N.

(2) ∃0< κ <1tal quekDF−1(x)k< κ,∀x∈Pje∀Pj ∈ P.

(48)

48 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

(3) F|Pj é um difeomorfismo C

2na bola B,P

j ∈ P.

(4) ∃K>0tal quelog

detDF(x)

detDF(y)

≤K.dist(F(x),F(y)),∀x,y∈Pj ∈ P.

O teorema seguinte assegura que toda aplicação C2 Markoviana uni-formemente expansora por partesF : B→ Btem medida invariante abso-lutamente contínuaνcuja densidade pertence aL∞(Leb) (ver Lema 4.4.1 de [3]). Além disso, é fácil ver que se R éν-integrável então

µ= ∞

X

j=0

f∗j(ν|{R>j})

é uma medida f-invariante absolutamente contínua finita. Neste caso,

ν|{R>j} denota a medida dada porν|{R>j} (A)=ν(A∩ {R> j}) e f∗jdenota o

push-forwardda medida por fj.

Teorema 4.1 [3, 4, 7]Se F:B→B é uma aplicação C2Markoviana uniformente expansora por partes então existe um conjunto finito de medidas ergódicas

invari-antes absolutamente contínuas tal que Leb-q.t.p x∈B pertence à bacia de algumas

destas medidas. Além disso, a densidade de cada uma destas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limitada por alguma constante.

Dizemos que uma Estrutura de Markov tem tempo integrável se R é in-tegrável com respeito a qualquer medidaF-invariante absolutamente con-tínua. Como consequência do Teorema 4.1, se quisermos mostrar que uma Estrutura de Markov local tem função tempo integrável precisamos ape-nas checar a integrabilidade de R com respeito à coleção finita de medidas ergódicas invariantes absolutamente contínuas dadas por este teorema.

4.2 Bola Nested em Tempo Hiperbólico

Lema 4.1 Sejamδ1eσdados na Proposição1.2. Então existe algum0<r0 < δ1/2

tal que a componente conexa da bola nested B∗

r(x) está bem definida para todo

x ∈ U ⊂ M e 0 < r ≤ r0. Além disto, dado 0 < λ < 1 existe 0 < rλ < r0

(49)

4.3. Partição 49

Demonstração: Dado 0< λ <1, tomen1 ∈Ntal quePn>n1σ

n <1λ.

Seja ax = mín{d(x,y);y ∈ ∪nj=11f−j(x) \ {x}}. Note que ax , 0 pois

♯{f−1(x);x U}=c<+já que f é um difeomorfismo local.

Assim, tome ǫ > 0 tal que in fx{ax} > ǫ, ∀x ∈ U, rλ = 14mín{δ1, ǫ} e

0< r<rλ. Note que se j <n1 entãoBr(x)∩P= ∅ ∀Ppré-imagem deBr(x)

poisP∩(∪n1

j=1f

−j(x)),e diâm(P)<2r<2.ǫ

4 = ǫ2.

Então, toda cadeia de ǫ-pré-imagens de Br(x) começa com uma

pré-imagem de ordem maior quen1. Assim, o diâmetro de qualquer cadeia é

menor que (P

n>n1σ

n)r< (1λ)re como uma cadeia intersecta o bordo de

Br(x) então a cadeia não intersectaBλr(x). Portanto,B∗r(x)⊃Bλr(x).

SejaUuma componente ergódica da variedade M. Considere o conjunto

A+,H associado aUdefinido no Lema 2.1. Sejamp∈ A+,H e r dado como no Lema 4.1. Seja então B∗ a componente conexa que contém p da bola

nested B∗

r(p) de raio r centrada em p.

Sabemos, pela expressão (1.4) do Corolário 1.1 que∃θ >0 tal que:

lim sup 1

n♯{1≤ j≤n;x∈H(e

−λ4)} ≥

θ >0

paraLeb-q.t.px∈U.

Sabemos também, pelo provado no Lema 2.1, que paraLeb-q.t.px∈U, ω+,H(x)=A+,H. Isto é,

lim sup

n

1

n♯{1≤ j≤n; f

j(x)Bcom

x∈H(e−λ4)}>0. (4.1)

Os pontos x ∈ U onde (4.1) ocorre serão chamados de pontos com frequência positiva de retorno a bola B∗ em tempo hiperbólico que por simplicidade chamaremos de pontos de retorno hiperbólico.

4.3 Partição

A Proposição 1.2 nos assegura que sex∈ Hn(σ) então existeVn=Vn(x)

tal que fnmandaV

n difeomorficamente na bolaB centrada em fn(x) e de

raio δ1. E, por (4.1) temos que para Leb-q.t.p x ∈ B∗, existe n = n(x) um

tempo de retorno hiperbólico aB∗. Seja Ux = fn|Vn

(50)

50 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

x∈B∗, considere o conjuntoS(x)= {U

x;x∈B∗}das pré-imagens em tempo

hiperbólico da bolaB∗. TomemosPx ∈ S(x) tal que nr(x) = nr = ord(Px) ≤

ord(Tx),∀Tx ∈S(x). SejaP ={Px;x∈B∗}.

Afirmamos quePé uma partição deB∗. De fato, parax,y Bcomx, y temos pela expressão (3.1), pela Observação 3.1 e pela definição dePxque

Px∩Py = ∅. Por outro lado, ∪x∈B∗Px = B∗, isto é,Leb(B∗\ ∪xB∗Px) = 0 pois

Leb-q.t.px∈B∗tem tempo de retorno. Defina agora, a funçãoR: B−→N

por R(x) = ord(Px) onde Px ∈ P. Chamaremos esta função de função

tempo de indução. Defina a aplicaçãoF : B∗ −→ B∗, por F(x) = fR(x)(x) onde

B∗ é a bola nested gerada da bola B

r(p) com p ∈ A+,H ⊂ U e U é uma componente ergódica de M.

P

r

p B

(x)

f

x

U

M

.

+,

p

B

.

B*

x

r

n

f

n

r

.

.

4.4 Estrutura Markoviana em

B

Temos que F é uma aplicação Markoviana uniformemente expansora C2por partes. De fato, pela Definição 4.1, temos:

(1) Pxtem bordo de medida nula, já que a partição deB∗é uma partição

em quase todo ponto, isto é, Leb-q.t.p. x ∈ B∗ pertence a algum elemento da partição. Logo, os elementos do bordo de cadaPx ∈ P

comx∈B∗, formam um conjunto de medida nula.

(2) ∃0< κ < 1 tal quekDF−1(x) k< κ,P

x ∈ Pex ∈B∗ pois comoR(x) é

(51)

4.5. Integrabilidade da função R 51

(3) F|Px é um difeomorfismoC

2na bolaB,P

x∈ Pex∈B∗pelo item (1)

da Proposição 1.2.

(4) ∃K>0 tal que log

detDF(p)

detDF(q)

≤K.dist(F(p),F(q)),∀p,q ∈PxePx ∈ P, pois

comoR(x) é um e−λ/2-tempo hiperbólico paraxentão pelo item (3) da

Proposição 1.2, basta tomarmos qualquerK≥ρ.

O que prova a 1aparte do teorema principal.

4.5 Integrabilidade da função R

Precisamos agora mostrar que a função R é integrável para concluir a prova do Teorema Principal.

Sejam U ⊂ M uma componente ergódica da variedade M e Hj = Hj(e−λ/4) o conjunto dos pontos de x ∈ M tais que j é um

(e−λ/4)-tempo hiperbólico parax.

Assim, considere a coleção {Hj}j∈N dos subconjuntos de U tais que

fj(x) H

n−j,∀0 ≤ j< n e ∀x ∈Hne sejaB∗⊂ U a componente conexa da

bolanested B∗r(p) dada pelo Lema 4.1.

Proposição 4.1 Para y∈B∗, existeθ >0tal que:

lim sup

n

1

n♯{1≤ j≤n;y∈Hje f

j(y)B}

> θ >0 (4.2)

Seja F: B∗→B∗uma aplicação dada por F(x)= fR(x)(x).

Então,

lim inf

n

1 n

n−1 X

j=0

R(Fj(y)) 1

θ

Demonstração: Dadon∈N, tomeΓn={1 jn;yHj e fj(y)B}e Σn={0≤ j≤n;Pk=j 0R(Fk(y))n}.

Afirmação 4.1 ♯Γn≤♯Σn,∀n≥0

Demonstração da Afirmação: Observe que paran= 0 a desigualdade é verdadeira poisΓ0 =∅eΣ0 =∅já queR(y)>0. Logo,♯Γ0 =Σ0=0.

(52)

52 Capítulo 4. Partição de Markov e Função Tempo

Para provar que♯Γn≤♯Σn, podemos considerar quen∈Γnpois, se isso não ocorresse, teríamos♯Γn=♯Γn−1e portanto♯Γn=♯Γn−1 ≤♯Σn−1 ≤♯Σn.

Sejal=máx{j∈ N;jP

n−1}es=P♯ P

n−1

k=0 R(Fk(y)).

Como y∈ Hne por definiçãos≤ n−1, temos queTl(y)= fs(y) ∈Hn−s.

Além disso, fs(y)Be

fn−s(fs(y))= fn(y)B.

Assim,R(fs(y))nse consequentemente,

l+1 X

k=0

R(Fk(y))=

l

X

k=0

R(Fk(y))+R(Fl(y))s+(ns)=n

Portanto,l+1∈Σnn−1e então

♯Γn=Γn−1+1≤♯Σn−1+1≤♯Σn

Observe que se lim infn 1n

Pn−1

k=0R(Fk(y))> θ1 então é porque existe algum n0∈ Ntal quePnk=−01R(Fk(y))> 1θn,∀n≥n0.

Cason0≤θnentão∀j∈Ntal queθn≤ j≤ntemos,

j

X

k=0

R(Tk(y))> 1

θj=

1

θ.

j

nn≥

j.n

j =n

Podemos concluir então que♯{0≤ j≤ n;Pk=j 0R(Fk(y))> n} >nθn =

(1−θ)ne portanto,♯{0≤ j≤n;Pj

k=0R(F

k(y))n} ≤θn,nn

0.

Assim, 1

n♯

P

n ≤θe como

♯Γn = 1n♯{1≤ j≤n;y∈Hj e fj(x)∈B∗}

≤ 1n{0≤ j≤n;Pk=j 0R(Fk(y))n}

= ♯Pn

então temos que:

lim inf

n

1

n♯{1≤ j≤n;y∈Hj e f

j(y) B}=lim inf

n

1

n♯Γn≤θ

o que contradiz (4.2).

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