Wellington Romero Serafim Freire

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  Aindano contexto de termos de Chern-Simons, estudamos a averigua¸c˜ao da invariˆancia de gauge ampla, quando consideramos uma configura¸c˜ao particular para o campo de1 Na verdade, com quebra de simetria de Lorentz e de CPT; contudo, em uma quebra de simetria de CPT temos sempre uma quebra de simetria de Lorentz. Ao inserirmos agora uma localidade na fase,ou seja, tomando α = α(x), a lagrangiana de Dirac (2.1) n˜ao se mant´em invariante, pois, ap´os a transforma¸c˜ao, temos µ D D µ L → LPara contrabalancear os efeitos da localidade de fase, se faz necess´aria a inser¸c˜ao de um termo de intera¸c˜ao `a lagrangiana que transforme de acordo com 1 A µ µ (x) + ∂ µ α(x).

2.2 Eletrodinˆ amica Quˆ antica

  Ao inserirmos agora uma localidade na fase,ou seja, tomando α = α(x), a lagrangiana de Dirac (2.1) n˜ao se mant´em invariante, pois, ap´os a transforma¸c˜ao, temos µ D D µ L → LPara contrabalancear os efeitos da localidade de fase, se faz necess´aria a inser¸c˜ao de um termo de intera¸c˜ao `a lagrangiana que transforme de acordo com 1 A µ µ (x) + ∂ µ α(x). A lagrangiana que descreve a dinˆamica dos campos de gauge ´e a lagrangiana de Maxwell, sendo esta dada por: 1 µν M axwell F µν F , (2.7) L = − 4 onde, F = ∂ A A ´e o tensor intensidade de campo eletromagn´etico.

2.3 Eletrodinˆ amica Quˆ antica Estendida

  O termo CS ´e AF µF µνλρ respons´avel por uma viola¸c˜ao nas simetrias de Lorentz e CPT, e perceba que o coeficiente (k ) possui dimens˜ao de massa Λ (d = 1), visto que a lagrangiana AF µ 4 ν λρ possui dimens˜ao de massa Λ (d = 4) e o operador por A F possui dimens˜ao de 3µν λρ massa Λ (d = 3). Neste trabalho nos deteremos `a lagrangiana= ¯ ψ(i/ )ψ, (2.13) b 5 L ∂ − m − e / A − /bγ com o intuito de realizarmos a indu¸c˜ao do termo CS usual e de derivada superior, al´em de efetuarmos uma discuss˜ao sobre a invariˆancia de gauge ampla e sobre otermo tipo ´eter, ambas discuss˜oes `a temperatura finita.

2.4 Viola¸ c˜ ao de Simetria de Lorentz

  No trabalho CFJ supracitado, ´e mostrado que o termo de Chern-Simons, constitu´ıdo de um quadrivetor constante (k ) , viola as simetrias de Lorentz (e AF µ de paridade (P) para (k ) , enquanto que de revers˜ao temporal (T) para (k ) ) AFAF i ao passo que preserva a invariˆancia de gauge. N˜ao obstante, a presen¸ca de um campo de fundo quebra a equivalˆencia entre essas transforma¸c˜oes,e ´e desta forma que os campos de fundo presentes no MPE violam a simetria de Lorentz, isto ´e, violando as transforma¸c˜oes de Lorentz de part´ıcula.

2.5 Viola¸ c˜ ao de Simetria de CPT

  (2.18) ≡ ¯ (x) = −α t ψ(−t, x)γE por fim, as rela¸c˜os de conjuga¸c˜ao de carga a serem usadas s˜ao: c T −1 Cψ(x)C (x) = α C ¯ ψ (x) (2.19) c ≡ ψ c T −1 ∗ C ¯ ψ(x)C ψ (x) = α ψ (x)C, (2.20)≡ ¯ c −1 CA (x)C (x), (2.21) µ µ = −A 2 onde C = iγ γ . Va- 5 mos partir de uma estrutura semelhante, no entanto ao inv´es de considerarmos inicialmente um quadrivetor constante de fundo, como o b , vamos levar em conta µ um quadrivetor B = B (x) que, tal qual o campo de gauge, transforma-se sob µ µµ ¯ conjuga¸c˜ao de carga.

5 Levi-Civita encontrado no termo de Chern-Simons

  Para o c´alculo n˜ao perturbativo, temos o resultado finito e determinado, dado por 2 3e µ µ (k ) = b , (3.7) AF 2 16π 3 Indu¸c˜ao do Termo de Chern-Simons a T 6= 0 ao passo que para o c´alculo perturbativo, temos o resultado finito e indeterminado,tal que µ µ (k ) = C b , (3.8) AF onde C ´e uma constante que assume diversos valores, inclusive, o resultado nulo. (3.14)G(p − k)γ 4 (2π) Agora, nosso pr´oximo passo ´e escolher o m´etodo perturbativo no coeficiente µ b , tal que o propagador ´e escrito como 1 1 1 1 G(p) = = /bγ (3.15) + 5 5 /p /p − m /p − m /p − m− m − /bγ µ Assim, considerando apenas termos lineares em b , os quais contribuir˜ao para a indu¸c˜ao do termo de Chern-Simons, a Eq.

5 Z D

  Desse→ D modo, obtemosZD Dd p 1 12 µν 2 µνbk2−2 Π = 4i(µ ) ǫ CS − 3 D 2 2 2 (2π) (p ) D− m ZD D 2 d p m 12 2 µνbk 2−2 D 2 2 3 (2π) (p ) D− m tal que, ao efetuarmos as integrais, usando Z D D/2 d p 1 1 iπ= (3.25)Γ(α − D/2), D 2 2 α D 2 α−D/2 (2π) (p ) (2π) )− m Γ(α)(−m µν encontramos Π = 0. (3.32) pode ser rescrita como X m µν (3−d) (−d−2) (−d/2) Π = 16 µ 2 πΓ(2 − d/2) CS 2πξ n #" (2−d/2) (3−d/2) 2 2 2 ξ ξ d − 3 (d − 4)m× − 2 2 2 2 2 2 2−d/2 3−d/2 m [(n + 1/2) + ξ ] m [(n + 1/2) + ξ ] µ0 0νb k ν0 µ0b k µνb E E E E E ǫ + δ ǫ + k ǫ , (3.35)× δ m onde ξ = .

3.3 Termos de Derivada Superior

  A maiorias dos estudos do MPE est˜ao relacionados com o operadores de dimens˜ao de massa d = 3 e d = 4, consequentemente, os coeficientes contra´ıdos pos-suem dimens˜ao de massa d = 1 e adimensional, respectivamente. ´ E interessante mencionar que o termo de derivada superior 3 Indu¸c˜ao de Chern-Simons com Derivada Superior a T 6= 0 acima (3.46) surge quando o termo bosˆonico de Myers-Pospelov [87] ´e induzidoradiativamente a partir do setor fermiˆonico [106].

5 Como as integrais acima s˜ao todas convergentes, podemos calcular o tra¸co sobre

  (3.46), temos K (5) 24m π Vale a pena comentar que o termo de Chern-Simons de derivada superior(3.52) tamb´em ´e induzido a partir de um outro termo do MPE, a saber, aquele µνρ µνρ governado pelo coeficiente g , contudo, apenas quando g ´e totalmente antis- sim´etrico [62]. Todavia, podemos usar a rela¸c˜ao de recorrˆencia(3.38) a fim de baixar o valor de λ, tal que para λ = 3/2 devemos usar a rela¸c˜ao de recorrˆencia uma vez, para λ = 5/2 duas vezes e para λ = 7/2 trˆes vezes.

2 B(ξ) = dz z tanh(πz)sech , (3.78)

  Na verdade, ao aplicarmos a transforma¸c˜ao acima, 2 8π MS W, (4.4) + → S 2 g ou seja, a sua mudan¸ca de vari´avel ´e proporcional ao chamado n´ umero de voltas datransforma¸c˜ao de gauge, Z 1 3 µνλ −1 −1 −1 W = d x ǫ tr∂ U U ∂ U U ∂ U U , (4.5) µ ν λ 2 24π 1 que de fato ´e um n´ umero inteiro . (4.8) 2 gComo W ´e um n´ umero inteiro, ent˜ao podemos escrever N = nW , tal que encontra- mos 2 gM = n, (4.9) 4π2 g ou seja, o coeficiente de Chern-Simons ´e quantizado em m´ ultiplos de , e assim a 4π integral de trajet´oria fica invariante sob transforma¸c˜oes de gauge amplas.1 Note que para transforma¸c˜ oes de gauge infinitesimais, W = 0, ou seja, neste caso a a¸c˜ ao fica invariante.

4.2 Transforma¸ c˜ ao de Gauge Ampla

  Nesta se¸c˜ao nosso objetivo ´e demonstrar que a transforma¸c˜ao de gauge ampla(4.3) possui a express˜ao (4.18), quando nos restringimos `a escolha de gauge (4.19), ou seja, a um campo el´etrico nulo e a um campo magn´etico independente do tempo. Isso pode ser encontrado, ao integrarmos novamente a express˜ao (4.30), no intervalo de 0 a τ , ou seja, Z τ Z τ τ ′ ′ ′ ′ ′ dτ A = dτ A (τ , 0) + Ω(τ , x) .

4.3 Termo de Chern-Simons

  Al´em do mais, nesse pano de fundo, acreditamos Inicialmente, vamos tomar a a¸c˜ao efetiva (3.5), rescrevendo-a no espa¸co eu- clidiano, ou seja, X S ω γ /b ), (4.38) eff n 5 E = − Tr ln(~/p + ˜ + m − ~/ A − γ n i i i i γ , /b = b γ + b γ , e onde ~/p = p Ea 2π a ω ˜ n = ω n = (n + 1/2) . (4.40) ∂a n γ 5 /b n γ 5 /b ~/p + ˜ω E ~/p + ˜ω E n Como estamos interessados apenas em contribui¸c˜oes de primeira ordem em b µ , des- tacamos a express˜ao (1) X∂S b i = Tr [S (~p)γ S /b S E E 5 E E (~p − i~∂)γ (~p − i~∂)γ∂a n i i E 5 E E E (~p − i~∂)γ−1 onde S ω γ +m) .

2 F (ξ, a ) = dz z sinh(πz) . (4.47)

  Z ∞ 2 2 ∂ ∂ 1 2z 2 sin(a )sinh(2πz) a− ξ ′ G (ξ, a ) = G(ξ, a ) = dz .p − 2 2 2 2 ∂a ∂a 12 [cos(a ) + cosh(2πz)] 12π z |ξ| − ξ(4.56) 3 i0jk 2 ~S CSDS = d x ǫ b j ∂ k A i G(ξ, a ), (4.57) ∇ ondeZ ∞ 2 2 1 2z 2 sin(a )sinh(2πz) a− ξ G(ξ, a ) = dz. (4.58) p − 2 2 2 2 12 [cos(a ) + cosh(2πz)] 12π |ξ| z − ξPortanto, como quer´ıamos demonstrar, G(ξ, a +2πN ) = G(ξ, a ), isto ´e, ) → G(ξ, a a a¸c˜ao de Chern-Simons de derivada superior ´e tamb´em invariante sob transforma¸c˜aode gauge ampla.

5.2 Anomalia do termo de Chern-Simons

  Para observarmos isso, vamos considerar o exemplo gen´erico, no qual um deslocamento a µ ´e realizado apenas no primeiro termo do integrandoabaixo: Z 4 d l∆(a) = [f (l + a) − f(l)] 4 (2π)Z 4 d l µ µ ν = [a ∂ f (l) + a a ∂ ∂ (5.7) 4 µ µ ν f (l) + · · ·]. (5.18)Seguindo os mesmo passos, para a identidade de Ward vetorial, encontramos p T 18π ) − 1 , p 2 , a) = 2mT µν (p 1 , p 2 12π µνα 2 ǫ µναβ p α 1 p β 2 (p T µνα 1α (p 1 , p 2 , a) = 1 + β4π 2 ǫ ναβγ p p α 2γ .

5.3 Gera¸ c˜ ao do Termo de Tipo ´ Eter

  Come¸camos com a EDQ estendida cuja a¸c˜ao envolve ambos acoplamentos m´ınimos e n˜ao m´ınimos (proporcional e e g respectivamente) e um termo axial nosetor fermiˆonico [14]: µ νλ ρ ψ (eA + gǫ F b /b ψ. Em particular, foi mencionado que este modelo permite a gera¸c˜ao decontribui¸c˜oes com loop finito ao termo tipo ´eter e termos de viola¸c˜ao de Lorentz com derivada superior.

5.4 Contribui¸ c˜ ao N˜ ao M´ınima

  Com isso, executamos o procedimento a seguir: µν µν 4 4 2 2 2 2 k (g ), d k , e k , de modo que, E → ik → −δ k → id → −k − ~k = −k E obtemos′ ′ ′ ′Z 4 d k 1 E δδ δδ 2 δ δ δδ 2 I = 4i m + 2k k k ). (5.39) d d/2 2 2 1−d/2 2−d/2 2 2 2 (2π) (4π) 2 (M ) (M ) n n (~k + M ) n Dando continuidade, partindo da express˜ao (5.38) que no nosso caso, devemos esco- 2 2 2 2 2 d−2 lher M = m + 4π T (n + 1/2) , e a = .

3 Ent˜ao, integramos sobre d ~k:

  (5.43) 00 − 2 2 2 3/22 2 1/2 −1/2 (4π) 2π (k + m ) (k + m )R Agora, mudamos a integra¸c˜ao sobre k tornando-se uma soma discreta, com dk→ P 2 2 2 2 2πT , e k T (n + 1/2) , como de costume. Assim, ao introduzirmos→ 4π n 2 2 2 2 2 M = m + 4π T (n + 1/2) , podemos escrever n∞ 2 2 X 4i (M )Γ(−1/2) n − m I = T(5.44) 00 − 2Γ(1/2) 3/2 2 2 1/2 −1/2 (4π) (M ) (M ) n n n=−∞ desde que Γ(1/2) = −1/2Γ(−1/2), temos ∞ 2 2 X 1 (M )4iΓ(−1/2) n − m I = T + 00 3/22 2 1/2 −1/2 (4π) (M ) (M ) n n n=−∞∞ 2 X 2 m4iΓ(−1/2) = T .

00 T (5.47)

  (5.58) − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k + m k + m k k k (k + m ) kAssim, o integrando de I parece 2 2 2 2 4 k + 2m m m 1 m 1 . Assim, a express˜ao equi- valente de I ´eZ Z 1 4 4 d k 2m x 1 4 2 2 3 2 (2π) (k + m x) k ′ Podemos apresentar esta express˜ao como I = I + I , onde,Z 4 d k x 4 ′ I dx , (5.62)= −2m 4 2 2 34 (2π) (k + m x) R d k 1 442 e I .

2 I

  Se introduzirmos d = D − 1 como uma dimens˜ao puramente espacial (em princ´ıpio, d = 3 + ǫ) e, emseguida, integrarmos sobre as componentes espaciais do momento, obtemos "# ∞ d d X) ) 2T(d − 1)Γ(1 − 2Γ(2 − 2 2 I =d d (5.76) . +d/2 1 1 2 2 2 2 1−2 2 2 2 2 2−2 (4π) (d + 1)[m + 4π T (n + ) ] [m + 4π T (n + ) ] n=−∞ 2 2 √ d−2 d−1 (2π) T π1 1 − d 3 − dI = d ) + 2Γ( ) (d − 1)Γ( d/2 2 2 −2 (4π) (d + 1) 2 2(ξ ) d d 1))f (ξ, ) 2 2 2 d d 1))f (ξ, ) , (5.77) 2 2 2 onde a express˜ao gen´erica para a fun¸c˜ao f λ (ξ, η) ´e dado pela (5.32).

2 T

  (5.80) F F 4 2 3 µν µν λ − 4b 2 Aqui, as fun¸c˜oes F (ξ), F (ξ), F (ξ), e F (ξ) podem ser observadas a partir das 1 2 3 4 express˜oes (5.34), (5.54), (5.55), e (5.68), respectivamente. No entanto, dentro do primeiro dos quatro planos, o resultado desaparece `a temperatura zero, dentro do segundo µ s´o o espa¸co ´e semelhante onde b contribui para o resultado a temperatura zero (o que reflete o fato de que a introdu¸c˜ao da temperatura finita quebra a simetria deLorentz).

5.5 Contribui¸ c˜ ao M´ınima

  (5.84)≡ −/p / / k − m k − mA express˜ao da Eq.(5.81) pode ser escrita na forma 2 ie µν 3 S (p) = A (p)Π ), (5.85) AA µ ν (−p)A (p) + O(p 2 ondeZ 4 d k µν µ ν Π (p) = tr[γ S γ /bS γ /bS γ (S + S + S ) 5 5 1 2 4 (2π) µ ν 5 1 2 5 1 2 µ ν 1 2 5 1 2 5 1 2 As contribui¸c˜oes que nos interessam s˜ao quadr´aticas em p. Estes termos s˜ao finitos por contagem de potˆencia, portanto, livre de ambiguidades.

2 E E

4 2 4 (2π) (k + m ) E 2 2 µν 2 µ ν 2 µ ν E E E E E E E · k E · p E · pE E µ ν µ ν 2 2 µν E E E E E E E E E E E · p · k E · p · k · k EE E 2 µ ν 2 2 2 2 µν µ ν 2 2 µ ν 2 b b p + 48m b p δ + 24k k b p + 48k b (b )p E E −16m E E E E E E E E · k E E E E µ ν2 µ ν 2 µ ν 2 E E E E E E E · k E E · k E E · kE E E µ ν µ ν µ ν E E E E E E E E E E E E E · p · k E · p · k E · k · kE E E µ ν µν E E E E E E E E E E E · k · k · p · k · kE Z 4 d k 1 E µν2 2 µν 2 2 2 µν Π [192(b ) (p ) δ + 192m b (p ) δ E E E E E E 3 = − · k · k E · k 2 4 2 5 (2π) (k + m ) E µ ν2 2 µ ν 2 E E E E E E E E E · k E E · k · kµ µ µ ν 2 ν 2 2 2 ν 2 2 E E E E E E E E · k · k E E · k E E E E Eµ µ ν 2 ν 2 E E E E E E E E E E · k · k E E · k · kµ µ 2 ν 2 2 ν 2 E E E E E E E · k E E E · kµ ν E E E E E E E E · p · k · k Z 4 d k 1280 µν E µ µ ν 2 2 2 ν 2 2 Π = [k k (b ) (p ) + m k k b (p (5.90) ) ].E E E E E E

4 E E · k · k E E E · k

  Ao realizarmos os somat´orios, obtemos → 1/β nZ ∞ 2 2 1 1 (ξ )− 2z 2 dz sec h (πz)tanh(πz), (5.98)A = − − 2 2 2 2 2 1/2 6m π 6m (z )− ξ |ξ| Z ∞ 1 2 2 2 2 1/2 5 π ξ dz(z ) sec h (5.99)B = −C = − ξ (πz)(sinh(3πz) − 11sinh(πz)), 2 12m |ξ| Z ∞ 1 2 2 2 2 −1/2 D = ξ dz(z ) sec h (πz)tanh(πz). A contribui¸c˜ao para a a¸c˜ao efetiva, que corresponde a (5.93) com os coeficientes dependentes da temperatura A, B, C, e D, s˜ao idˆenticos a express˜ao 2 µν µ λν 2 0µ 2 µν S = A(2b F F F b F ) + Bb F F + Db F F .

5.6 Contribui¸ c˜ ao M´ınima, N˜ ao-M´ımina

  Dentro do primeiro regime, ρ trabalhamos com a express˜ao (5.103) e consideramos separadamente o tempo e as partes do espa¸co em b , que depois de simetriza¸c˜ao correspondente obtemos, µ 1 I = b ; 4 1 1 1 I = b F + (ξ) , (5.104) i i 5 2 4 π 2 m onde ξ = , e a fun¸c˜ao F (ξ) foi discutida com detalhes em [75] e obtemos 5 2πT∞ Z 2 2 1/2 2 F (ξ) = dz(z ) sech (πz)tanh(πz). (5.105) 5 − ξ |ξ| Dentro de outro esquema, imp˜oem-se, em primeiro lugar a simetria esf´erica, fazendo ν 1 ν 2 a substitui¸c˜ao k ρ k δ k em (5.103) que permite a reescrever (5.103) como→ ρ 4 2 d k mI = 6ib , (5.106) ρ ρ 4 2 2 3 (2π) (k )− m que os rendeu 3 1 I = b + F (ξ) ; 5 2 16 2π 3 1 I i = b i + F 5 (ξ) .

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