Um pouco de história

15 

Full text

(1)

Teoria dos

Números

Divisibilidade

1

Conhecimentos prévios

 Sistemas de Numeração

 Representação de números em uma base

 Visto em INFO I

 Números Naturais e Inteiros

 Propriedades básicas

 Valor absoluto

(2)

Sistemas de Numeração

 Teorema: Dado um número natural x e um natural b > 1, existe e é única a representação de a na base b.

 Representação em uma base

 x = dndn−1… d1d0

 x = dn. bn+ dn−1. bn−1+ ⋯ + d1. b1+ d0. b0  Usual – base 10 (sistema decimal)  (1022)3= 35

Exemplos de Indução

Mostre que:

1. 1 + 2 + 3 + ... + n = ½(n(n+1))

2. Seja A = 1 1

0 1 . Calcule A2 e A3 para

determinar uma possível fórmula para

An, n ∈ IN. Demonstre a fórmula obtida por indução.

3. 2n< n! , para todo n ≥ 4, n ∈ IN

(3)

Um pouco de história

 Euclides de Alexandria (aprox. 325 – 265 a.C.)

Os elementos 13 volumes

 Livros VII, VIII e IX eram sobre Teoria dos Números

 Utilização de segmentos de reta representando números

Relações de múltiplos e divisores dadas por medidas de segmentos de acordo com unidade padrão ‘u’

 Interesse em estudar relações entre os números que não dividiam outros

Divisão Euclidiana

 Definição: Dados os números naturais a e b, dizemos que a é de b, se existe um número natural n tal que a = nb.

 Motivação geométrica:

 Sejam a e b números naturais. Dispondo os múltiplos naturais de b numa semirreta, obtemos uma divisão desta em intervalos de comprimento

(4)

Divisão Euclidiana

 Duas possibilidades para a:

 a é múltiplo de b

a = qb, q  IN

 a está compreendido entre dois múltiplos de b

 Como a distância de a até qb é menor que a distância entre dois múltiplos de b (menor que b), temos:

 a = qb + r, com r < b r

Lema da Divisão de Euclides

 Sejam a e b números naturais, com b > 0. Então, existem números naturais q e r, com 0  r < b, de modo que a = qb + r.

 Demonstração – Indução sobre a

 Conceito de múltiplo e o Lema de Euclides podem ser estendidos para os inteiros

 Lema: Sejam a e b inteiros com b  0. Então existem inteiros q e r, com 0  r < |b|, tais que

a = qb + r. Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas condições.

(5)

Demonstração

4 Casos:

1. a ≥ 0 e b > 0 (para IN) 2. a ≥ 0 e b < 0

3. a < 0 e b > 0 4. a < 0 e b < 0

Caso 1: Indução sobre a

 Se a = 0, escolhemos q = r = 0, obtendo 0 = 0.b + 0

 Seja então a > 0

Suponha, por indução, que o lema vale para (a – 1)

Demonstração

(6)

Demonstração - Unicidade

 Suponha que existam dois pares (q’,r’) e (q”,r”) satisfazendo o Lema, i. é.:

 a = q’.b + r’ (0 r’ < b)

 a = q”.b + r” (0 r” < b) q’.b + r’ = q”.b = r”

Demonstração

 Caso 4 (a < 0 e b < 0): (os demais são exercícios)

 Como a < 0 e b < 0, temos –a > 0, –b > 0 e |b| = -b

(7)

Definição

Definição: Sejam

a, b ∈ ℤ,

dizemos que

se

∃ c ∈ ℤ

tal que

b = a. c

Notação:

a|b

Exemplos:

3|6, pois 6 =

2

.3 (existe 2)

2|p, para todo p par, pois p = 2n para

algum n em

Se a|b, dizemos que a é divisor de b

 Analogamente dizemos que b é múltiplo de a

Conforme definição anterior

Proposição

 Proposição 1: Sejam a, b, c, x, y ∈ ℤ. Então: i) a|a

ii) a|b e b|a  a = ±b iii) a|b e b|c  a|c iv) a|b  (-a)|b e a|(-b)

v) a|b e a|c  a|(bx + cy)(em particular a|(b+c)) vi) a|b  a|bx e ax|bx

(8)

Demonstração

Demonstração

(9)

Critérios de Divisibilidade

 Por 2:

 Um número natural a é divisível por 2 se, e somente se, o algarismo das unidades for divisível por 2

 D]

Demonstração - continuação

(10)

Critérios de Divisibilidade

 Por 9:

 Um número natural a é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por 9

 D] (exercício)

 Precisa antes mostrar que 10j= 9bj+ 1(onde bj é um inteiro positivo).

Critérios de Divisibilidade

Por 11:

Um número natural

𝑥 = 𝑑

𝑛

𝑑

𝑛−1

… 𝑑

1

𝑑

0

é

divisível por 11 se, e somente se, a soma

alternada de seus algarismos

𝑑

0

− 𝑑

1

+

𝑑

2

− … + (−1)

𝑛

𝑑

𝑛

for divisível por 11

D] Para todo j temos:

 10j= (11 − 1)j= 11cj+ −1 j , cj∈ ℤ

(provar em separado – exercício)

(11)

Demonstração

 Temos que:

 x = dn(11cn+ (−1)n) + ⋯ + d2(11c2+ (−1)2) + d1(11c1+ (−1)1) + d0=

 = 11 dncn+ ⋯ + d2c2+ d1c1 + (d0− d1+ d2− ⋯ + −1)ndn =

 = 11c + d0− d1+ d2− ⋯ + (−1)ndn

 Portanto 11|x se, e somente se, 11|(d0− d1+ d2− ⋯ + −1 ndn)

 De acordo com a Proposição 1, item v

Máximo Divisor Comum - MDC

Definição: Sejam a,b

∈ ℤ

, d

∈ ℤ

é um

para a e b

se:

i)

d|a e d|b

ii)

Se

d’

∈ ℤ

,

d’|a

e

d”|b

, então

d’|d

Ex.:

(12)

Resultados Importantes

Sejam a,b∈ ℤ, d∈ ℤ

tal que:

i. d|a e d|b

ii. Existem inteiros x,y tais que d = ax + by Então d é um máximo divisor comum para a e b.

D]

 Basta mostra a condição (ii) da definição de MDC.  Seja d′ ∈ ℤ tal que d′|a e d′|b

 Pela Proposição 1, item (v) d′|(ax + by), isto é,

d′|d

 Logo d é um máximo divisor comum para a e b.

Resultados Importantes

Sejam

a, b ∈ ℤ

. Então

a

e

b

possuem um máximo divisor

comum

d.

Além disso, existem

inteiros

x, y

tais que

d = ax + by

. Se

d ≥ 0,

então

d

é único.

Notação: d = (a,b) ou d = MDC(a,b)

d = máximo divisor comum de a e b (d ≥ 0) 

Existência e Unicidade do MDC

(13)

D] do Teorema - Existência

 Se a = b = 0 então 0 é um máximo divisor comum para a e b. Podemos supor então que a ou b é diferente de 0. (a ≠ 0).

 Seja S = m ∈ ℕ; m = ax + by; x, y ∈ ℤ . S ≠ ∅ pois ou

a ∈ S (se a > 0) ou −a ∈ S se a < 0 .

 Fazendo y = 0 e x = 1 ou x = −1

 Seja d o menor elemento de S. d = ax + by

 Pelo algoritmo da divisão existem inteiros q e r tal que a = dq + r com 0 ≤ r < d. Se r ≠ 0, então

r = a − dq = a − ax + by q = a 1 − xq − byq ⇒ r ∈ S.

Contradição pois d é o menor elemento de S e r < d. Logo r = 0 e d|a. Do mesmo jeito, mostramos que d|b. Logo d é um MDCpara a e b.

D] do Teorema - Unicidade

d ≥ 0

Se

d e d

1

são dois MDC com

d, d

1

≥ 0.

Então como

d

é MDC

⇒ d

1

|d

Então como

d

1

é MDC

⇒ d|d

1

Então

d = ±d

1

Com

d, d

1

≥ 0

, temos com

d = d

1

(14)

Algoritmo de Euclides para MDC

 MDC(a,b):

 𝑎 = 𝑏𝑞1+ 𝑟1

 𝑏 = 𝑟1𝑞2+ 𝑟2 𝑟2< 𝑟1< 𝑏

 𝑟1= 𝑟2𝑞3+ 𝑟3 ... ...

 𝑟𝑛−2= 𝑟𝑛−1𝑞𝑛+ 𝑟𝑛 𝑟𝑛≠ 0

 𝑟𝑛−1= 𝑟𝑛𝑞𝑛+1  𝑟𝑛= 𝑎, 𝑏  Quociente

 Resto

1 1 2

10 6 4 2 4 2 0

Resposta: MDC de 10 𝑒 6 = 2 Até o resto

chegar a zero

Exercícios

1.

Para os inteiros a, b e c, prove ou dê um

contraexemplo:

a)

Se ac|bc, então a|b

b)

Se a|b e a|c, então a|(b-c)

c)

Se c|(a+b), então c|a ou c|b

d)

Se a|b, então a|bx para todo x inteiro

e)

Se c|ab, então c|a ou c|b

2.

Provar que o algoritmo de Euclides para

calcular o MDC é válido (use indução).

(15)

Referências

FERNANDES, Ângela Maria Vidigal; [et al]

Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte.

Editora UFMG, 2009

GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra

(Projeto

Euclides).

Rio

de

Janeiro:

Figure

Updating...

References

Updating...

Download now (15 pages)