Um pouco de história

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Teoria dos Números

  Divisibilidade 1 Conhecimentos prévios  Sistemas de Numeração 

  Representação de números em uma base

   Visto em INFO I 

  Números Naturais e Inteiros

  

  Propriedades básicas

   Valor absoluto 

  Princípio da Indução Matemática

   Base de Indução + Suponha P(k), provar P(k+1) 2

  1

  • d

  • ⋯ + d
  • d . b

  

  Usual

  

  (1022)

  3

  = 35

   3 Exemplos de Indução 

  Mostre que: 1.

  A = 1 1 0 1 . Calcule

  1 + 2 + 3 + ... + n = ½(n(n+1)) 2. Seja

  A

  2

  e A

  3

  para determinar uma possível fórmula para A

  n

  , n ∈ IN . Demonstre a fórmula obtida por indução. 3.

  2

  n

  . b

  1

  n−1

  . b

  Sistemas de Numeração 

  Teorema: Dado um número natural x e um natural b > 1, existe e é única a representação de a na base b.

  

  Representação em uma base

  

  x = d

  n

  d

  n−1

  … d

  1

  d

  

  x = d

  n

  . b

  n

  n−1

  • – base 10 (sistema decimal)

  < n! , para todo n ≥ 4, n ∈ IN 4

  5 Um pouco de história 

  Euclides de Alexandria (aprox. 325

  • – 265 a.C.)

  Os elementos

  • – 13 volumes

  

  Livros VII, VIII e IX eram sobre Teoria dos Números

  

  Utilização de segmentos de reta representando números  Relações de múltiplos e divisores dadas por medidas de

  segmentos de acordo com unidade padrão ‘u’ 

  Interesse em estudar relações entre os números que não dividiam outros

  6 Divisão Euclidiana  Definição: Dados os números naturais a e b,

  dizemos que a é de b, se existe um número natural n tal que a = nb.

   Motivação geométrica: 

  Sejam a e b números naturais. Dispondo os múltiplos naturais de b numa semirreta, obtemos uma divisão desta em intervalos de comprimento

  b:

  a = qb + r. Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas condições. 8

  Lema da Divisão de Euclides  Sejam a e b números naturais, com b > 0. Então,

  existem inteiros q e r, com 0  r < |b|, tais que

   Lema: Sejam a e b inteiros com b  0. Então

  Conceito de múltiplo e o Lema de Euclides podem ser estendidos para os inteiros

  

   Demonstração

  existem números naturais q e r, com 0  r < b, de modo que a = qb + r.

   a = qb + r, com r < b 7 r

  Divisão Euclidiana 

  Como a distância de a até qb é menor que a distância entre dois múltiplos de b (menor que b), temos:

  

  a está compreendido entre dois múltiplos de b

  

   a é múltiplo de b a = qb, q  IN

  Duas possibilidades para a:

  • – Indução sobre a

  9 Demonstração 

  a ≥ 0 e b > 0 (para IN) 2. a

  ≥ 0 e b < 0 3. a < 0 e b > 0 4. a < 0 e b < 0

   Caso 1: Indução sobre a  Se a = 0, escolhemos q = r = 0, obtendo 0 = 0.b + 0 

  Seja então a > 0

  

  Suponha, por indução, que o lema vale para (a – 1)

  10 Demonstração Demonstração - Unicidade 

  Suponha que existam dois pares ( q’,r’) e (q”,r”) satisfazendo o Lema, i. é.:

  

  a = q’.b + r’ (0  r’ < b)

  

  a = q”.b + r” (0  r” < b) 11

  

q’.b + r’ = q”.b = r”

Demonstração

  

  Caso 4 (a < 0 e b < 0):

  (os demais são exercícios) 

  Como a < 0 e b < 0, temos

  • –a > 0, –b > 0 e |b| = -b
  • 12

  13 Definição 

  Definição: Sejam

  a, b ∈ ℤ, dizemos que se ∃ c ∈ ℤ tal que b = a. c

   Notação: a|b

   Exemplos:

   3|6, pois 6 = 2.3 (existe 2)

   2|p, para todo p par, pois p = 2n para algum n em ℤ

   Se a|b, dizemos que a é divisor de b

  

  Analogamente dizemos que b é múltiplo de a

  

  Conforme definição anterior

  14 Proposição 

  Proposição 1: Sejam

  a, b, c, x, y ∈ ℤ. Então: i) a|a ii) a|b e b|a

   a = ±b iii) a|b e b|c  a|c  (-a)|b e a|(-b) iv) a|b v) a|b e a|c  a|(bx + cy) (em particular a|(b+c)) vi) a|b  a|bx e ax|bx vii) 1|a viii) a|b e a|(b+c)  a|c Demonstração 15 Demonstração 16

  17 Critérios de Divisibilidade  Por 2:  Um número natural a é divisível por 2 se, e

  somente se, o algarismo das unidades for divisível por 2

   D]

  18 Demonstração - continuação

  19 Critérios de Divisibilidade 

  Por 9:

  

  Um número natural a é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por 9

  

  D] (exercício)

  j  Precisa antes mostrar que é um

  10 = 9b + 1(onde b

  

j j

inteiro positivo).

  20 Critérios de Divisibilidade  Por 11: 

  1 divisível por 11 se, e somente se, a soma

  Um número natural é = …

−1

  • alternada de seus algarismos −

  1 − … + (−1)

  2 for divisível por 11

   D] Para todo j temos: j j j

  

  10 = (11 − 1) = 11c + −1 , c ∈ ℤ j j

  (provar em separado

  • – exercício)
  • (−1)

  • (−1)
  • (−1)
  • ⋯ + d
  • d
  • (d − d
  • d

  Portanto 11|x se, e somente se, 11| (d − d

  n

  =

  

  = 11c + d − d

  1

  2

  − ⋯ + (−1)

  n

  d

  n 

  

1

  n

  2

  − ⋯ + −1

  n

  d

  n

  )

   De acordo com a Proposição 1, item v 21 Máximo Divisor Comum - MDC  Definição: Sejam a,b

  ∈ ℤ , d ∈ ℤ é um para a e b se: i) d|a e d|b ii)

  Se d’∈ ℤ, d’|a e d”|b, então d’|d  Ex.:

   2|12 e 2|8, mas, como 2|4 e 4|8 e 4|12, MDC(8,12) = 4  4 = (8,12)

  d

  − ⋯ + −1)

   MDC(4,5) = 1  1 = (4,5) 22

  1 ) + d =

  Demonstração 

  Temos que:

  x = d n

  (11c n

  n ) + ⋯ + d

  2 (11c

  2

  2 ) + d

  1

(11c

  1

  

  2

  = 11 d

  n

  c

  n

  2

  c

  2

  1

  c

  1

  1

  • d
  • d

  23 Resultados Importantes

  Sejam a,b tal que: ∈ ℤ, d∈ ℤ i. d|a e d|b ii.

  Existem inteiros x,y tais que d = ax + by Então d é um máximo divisor comum para a e b.

   D]

   Basta mostra a condição (ii) da definição de MDC.

  ′ ′  Seja

  d′ ∈ ℤ tal que d |a e d |b

  ′ 

  Pela Proposição 1, item (v) d |(ax + by), isto é,

  ′

  d |d

  

  Logo d é um máximo divisor comum para a e b.

  24 Resultados Importantes Sejam

  

a, b ∈ ℤ. Então a e

b possuem um máximo divisor comum

  d. Além disso, existem inteiros x, y tais que d = ax + by. Se d ≥ 0, então d é único.

   Notação: d = (a,b) ou d = MDC(a,b)  d = máximo divisor comum de a e b (

  d ≥ 0)

   Existência e Unicidade do MDC

  25 D] do Teorema - Existência Se a = b = 0 então 0 é um máximo divisor comum para a e b. Podemos supor então que a ou b é diferente de 0. (a ≠ 0).

   Seja

  S = m ∈ ℕ; m = ax + by; x, y ∈ ℤ . S ≠ ∅ pois ou a ∈ S (se a > 0) ou −a ∈ S se a < 0 .

   Fazendo y = 0 e x = 1 ou x = −1

  Seja

  

  d o menor elemento de S. d = ax + by

   Pelo algoritmo da divisão existem inteiros q e r tal

  que a = dq + r com 0 ≤ r < d . Se r ≠ 0 , então r = a − dq = a − ax + by q = a 1 − xq − byq ⇒ r ∈ S.

  Contradição pois d é o menor elemento de S e r < d. Logo r = 0 e d|a. Do mesmo jeito, mostramos que d|b. Logo para d é um MDC a e b.

  26 D] do Teorema - Unicidade  d ≥ 0

   Se são dois MDC com d e d

d, d ≥ 0.

  1

  

1

  1  Então como é MDC d ⇒ d|d

  Então como d é MDC ⇒ d |d

  1

  1  Então d = ±d

  1 

  Com

  d, d ≥ 0, temos com d = d

  1

  1

  27 Algoritmo de Euclides para MDC  MDC(a,b):

  =

  1

  1

  = < <

  1

  2

  2

  2

  1

  =

  •  ...

  1

  2

  3

  3 ...

  = ≠ 0

  −2 −1 

  =

  −1 +1 

  = ,

   Quociente

  1

  1

  2 Resposta: 10 6

  4

  2 MDC de Até o resto

   Resto 10 6 = 2

  4

  2 chegar a zero

  28 Exercícios 1.

  Para os inteiros a, b e c, prove ou dê um contraexemplo:

  b) Se a|b e a|c, então a|(b-c)

  c) Se c|(a+b), então c|a ou c|b

  d) Se a|b, então a|bx para todo x inteiro

  e) Se c|ab, então c|a ou c|b 2.

  Provar que o algoritmo de Euclides para calcular o MDC é válido (use indução).

  29 Referências 

  FERNANDES, Ângela Maria Vidigal; [et al] Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte. Editora UFMG, 2009

   GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra (Projeto Euclides). Rio de Janeiro: IMPA/SBM.

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