Manuela da Silva Souza

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Full text

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Finitude das ´

Algebras de Rees

associadas a filtrac

¸ ˜

oes monomiais

Manuela da Silva Souza

Salvador-Bahia

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Manuela da Silva Souza

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador:Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

Salvador-Bahia

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Souza, Manuela da Silva.

Finitude das ´Algebras de Rees associadas a filtra¸c˜oes monomiais /

Manuela da Silva Souza. – Salvador, 2009.

45 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de

Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. ´Algebra. 2. An´eis ( ´Algebra). 3. An´eis comutativos. I. Bahiano,

Carlos Eduardo Nogueira. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Manuela da Silva Souza

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica, em 06 de fevereiro de 2009.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jos´e Fernandes Silva Andrade UFBA

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`

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fizer a realidade.

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Agradecimentos

Agrade¸co a Deus, por iluminar a minha vida e por me dar for¸ca e empenho na conduta dos meus estudos.

Aos meus pais, meus irm˜aos e minha madrinha, pelo afeto, carinho e compreens˜ao em todos os momentos.

Ao meu amado Teles (Meu Bem), meu companheiro e c´umplice, por tornar a minha vida mais feliz e colorida.

A meu orientador, meu “teacher”Bahiano, pela disponibilidade, pela paciˆencia e por puxar as minhas orelhas, sempre que necess´ario.

Aos professores Z´e Fernandes e Paulo Brumatti, pelas sugest˜oes feitas a dis-serta¸c˜ao, em especial, a Z´e Fernandes, um conselheiro s´abio, pelo exemplo de vida.

Ao professor Enaldo, pelo incentivo, pelo carinho e principalmente pela generosi-dade.

A toda equipe do Labor´atorio de ensino de matem´atica da UFBA (LEMA-UFBA), em especial, `a professora Lina e `a Fabiana, pelo aprendizado e por todos os nossos momentos juntos.

`

A professora Cec´ılia, por ter me ensinado a olhar a matem´atica com outros olhos, ainda no tempo da escola, e pela torcida.

`

As “super-poderosas”, Fa, Liu e Vanessinha, sinˆonimos de amizade e companhe-rismo, pela parceria acadˆemica durante esses 6 anos e por tornar essa caminhada mais suave e alegre.

`

As minhas amigas da ´epoca do Serravalle, Mag e Edilene e a ´Isis, pelo carinho e por entender os momentos que n˜ao pude estar presente.

A Jo˜ao Paulo (JP), pelo apoio com o latex.

Aos meus colegas de turma, Tiago e Luide, e a todos os familiares, amigos, professores e funcion´arios do IM-UFBA que contribuiram de forma direta ou indireta nesta conquista ou que torceram por mim.

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Neste trabalho mostra-se que as ´Algebras de Rees associadas a certas filtra¸c˜oes, em particular, a filtra¸c˜ao simb´olica associada a ideais monomiais, s˜ao finitamente geradas. Al´em disso, apresenta-se um estudo introdut´orio sobre as ´algebras de cober-tura de v´ertices associadas a grafos simples e mostra-se que essas ´algebras configuram um caso particular das ´Algebras de Rees simb´olicas associadas a ideais monomiais.

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Abstract

In this work we deal with Rees algebras associated to some filtrations, in particular, we show that those associated with symbolics filtrations related to monomials ideals are finitely generated. The vertex cover algebras associated to simple graph are introduced and also presented as a particular case of symbolic Rees algebras of monomial ideals.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Ideais monomiais . . . 3

1.1.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . 3

1.1.2 Decomposi¸c˜ao prim´aria . . . 5

1.2 An´eis de semigrupos . . . 9

1.3 Potˆencias simb´olicas . . . 11

1.4 Algebras de Rees . . . 14´

1.5 Cone racional . . . 16

2 Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 20 3 Algebras de Rees simb´´ olicas de ideais monomiais 29 3.1 Gera¸c˜ao finita das ´Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais . . . . 29

3.2 Algebras de cobertura de v´ertices . . . 38´

Conclus˜ao 43

(11)

Introdu¸c˜

ao

Nas ´ultimas quatro d´ecadas, o estudo detalhado de certas ´algebras (an´eis) especi-ais ganharam muito impulso em ´algebra comutativa devido a rela¸c˜ao mespeci-ais profunda dessa ´area com a geometria alg´ebrica, a combinat´oria e a computa¸c˜ao. ´E o caso das ´Algebras de Rees associadas a uma filtra¸c˜ao. Formalmente, se B ´e um anel comutativo com unidade eℑ={In}n∈Numa filtra¸c˜ao multiplicativa de ideais em B, aAlgebra de Rees associada a´

ℑ´e a B´algebra Rℑ(B) =

M

n≥0

Intn. Essas ´algebras foram introduzidas pelo matem´atico

inglˆes David Rees para provar o lema de Artin-Rees (1956) sobre filtra¸c˜oes de m´odulos. Se considerarmos Rℑ(B) como uma sub´algebra de B[t] surge naturalmente a

per-gunta: Uma vez que B[t] ´e uma B´algebra finitamente gerada, Rℑ(B) possui gera¸c˜ao

finita? Em geral, a resposta ´e n˜ao. Um contra exemplo foi encontrado, por exemplo, por Nagata em [10]. Diante da resposta negativa, buscam-se hip´oteses razo´aveis com o intuito de encontrar uma resposta positiva que possa ser generalizada em fun¸c˜ao de caracter´ısticas e invariantes dos ideais da filtra¸c˜ao, j´a que para um mesmo anel B, a depender da escolha da ℑ, Rℑ(B) pode ter ou n˜ao gera¸c˜ao finita.

A no¸c˜ao de potˆencia simb´olica foi introduzida por W. Krull na dec´ada de 30 (do s´eculo passado). Trata-se de um objeto extremamente natural em ´algebra comutativa, cujo primeiro significado geom´etrico foi dado por Oscar Zariski. Cerca de 20 anos depois, Hochester chamou a aten¸c˜ao para o comportamento peculiar desses objetos quando se considerava o caso de certos ideais primos. Paralelamente, v´arios pesquisadores deram in´ıcio ao estudo abstrato das filtra¸c˜oes simb´olicas, isto ´e, filtra¸c˜oes dadas pelas potˆencias silmb´olicas de um mesmo ideal, introduzindo formalmente a ´Algebra de Rees simb´olica. No caso particular em que o ideal ´e primo em um anel noetheriano, em 1985 Cowsik questionou se a ´Algebra de Rees simb´olica associada seria sempre finitamente gerada. P. Roberts foi o primeiro a encontrar um contra-exemplo para essa conjectura baseado no contra-exemplo de Nagata citado no par´agrafo acima. Em 1988, gra¸cas ao trabalho de Lyubeznik –On arithmetical rank of monomial ideals – sabe-se que a ´Algebra de Rees simb´olica de ideais monomiais gerados por monˆomios livres de quadrado tem tipo de gera¸c˜ao finita (veja [8]). Tal resultado foi estendido para qualquer ideal monomial com o trabalho de Herzog, Takayuki e Trung, publicado em 2007, intituladoSymbolic Powers

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of monomial ideals and vertex cover algebras (ver ref. [6]), e esse mesmo artigo motivou o presente trabalho.

Os objetos de estudo desta disserta¸c˜ao s˜ao as ´algebras de Rees associadas a certas filtra¸c˜oes monomiais, em particular, a filtra¸c˜ao simb´olica. Nosso principal objetivo ´e mostrar que as ´Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais de K[x1, x2, . . . , xr],

Kum corpo, s˜ao finitamente geradas.

A leitura deste texto pressup˜oe, naturalmente, conhecimentos sobre a teoria de an´eis, m´odulos e ´algebras. Defini¸c˜oes e resultados dessa natureza podem ser encontrados por exemplo em [1] ou [13].E poss´ıvel que um leitor principiante considere a leitura dessas´ referˆencias um tanto dif´ıceis. Se tal acontecer, o leitor pode troc´a-las por [7].

A disserta¸c˜ao esta dividida em trˆes cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo aborda-se as ferramentas, conceitos e resultados necess´arios para a compreens˜ao dos cap´ıtulos seguintes. O cap´ıtulo 2 trata dos semigrupos afins finitamente gerados e da rela¸c˜ao que existe en-tre o fato da interse¸c˜ao de uma cole¸c˜ao finita deles ainda ser finitamente gerada e as

´

Algebras de Rees associadas a = {J1n∩J2n∩. . .∩Jsn}n∈N, no qual {J1, J2, . . . , Js} ´e

uma cole¸c˜ao de ideais monomiais, ser tamb´em finitamente geradas. No ´ultimo cap´ıtulo, mostra-se o resultado principal desta disserta¸c˜ao, apresenta-se um estudo introdut´orio sobre as ´algebras de cobertura de v´ertices associadas a grafos simples e mostra-se que o n´umero de coberturas de v´ertices indecompon´ıveis associadas a esses grafos ´e finito. A disserta¸c˜ao cont´em ainda um exemplo em que os geradores das estruturas estudadas s˜ao explicitamente calculados.

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo faremos uma breve discuss˜ao de alguns conceitos e resultados que ser˜ao muito ´uteis nesta disserta¸c˜ao. O cap´ıtulo est´a organizado em 5 se¸c˜oes cujos t´ıtulos s˜ao palavras chaves deste trabalho. As se¸c˜oes 1.1, 1.3 e 1.4 consistem, respectivamente, dos seguintes t´opicos de ´algebra comutativa: ideais monomiais, potˆencias simb´olicas e

´

Algebras de Rees. A leitura desta parte pode ser dispensada ou apenas usada para eventuais consultas, caso o leitor tenha feito um curso de ´algebra comutativa. A se¸c˜ao 1.2 aborda um pouco sobre os an´eis de semigrupos e a ´ultima se¸c˜ao, cones racionais, trata de um t´opico de an´alise convexa de muita utilidade neste contexto e grande apelo intuitivo. Lembrando mais uma vez, sempre que usarmos o termo anel estaremos nos referindo a anel comutativo com unidade.

1.1

Ideais monomiais

Seja p K[x1, x2, . . . , xr], K corpo. Da teoria elementar de an´eis, sabemos que

se cada termo de p pertence a um ideal I ent˜ao p I. No entanto, a rec´ıproca pode n˜ao ser verdadeira, mesmo quandop encontra-se em sua forma normal (sem parcelas redun-dantes). Nesta se¸c˜ao, estudaremos uma classe especial de ideais, os ideais monomiais, em que a rec´ıproca ´e sempre v´alida, desde que p esteja em sua forma normal. Al´em disso, por se tratar de uma important´ıssima ferramenta neste trabalho, caracterizaremos a decomposi¸c˜ao prim´aria desses ideais.

Denote Xα:=x

1α1. . . xrαr com α= (α1,· · · , αr)∈Nr.

1.1.1

Defini¸c˜

ao e propriedades

Defini¸c˜ao 1.1.1. SejaI K[x1, x2, . . . , xr]um ideal. Dizemos queI ´e um ideal monomial

se I =h{Xα; αΛ Nr}i, para algum Λ Nr n˜ao vazio, ou seja, I ´e gerado por uma

cole¸c˜ao n˜ao vazia de monˆomios.

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Lema 1.1.2. Seja I um ideal monomial gerado por {; α Λ Nr}. Dado f

perten-cente a K[x1, x2, . . . , xr] em sua forma normal ent˜ao f ∈I se, e somente se, cada termo

de f ´e divis´ıvel por algum.

Demonstra¸c˜ao. Se f I ent˜ao f =

s

X

i=1

giXα(i) com gi ∈ K[x1, x2, . . . , xr] eα(i) ∈ Λ.

Escrevendo cada gi como soma de termos e distribuindo os produtos, encontramos que

cada termoaβXβ de f com aβ 6= 0 temβ =α(i) +γ para algum α(i)∈Λ e γ ∈Nr.

A rec´ıproca ´e imediata.

Note que pelo teorema da base de Hilbert (ver [1]),K[x1, x2, . . . , xr],Kum corpo,

´e um anel noetheriano, ou seja, se I ´e um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] ent˜ao existe um

conjunto finito de polinˆomios que geram I. Em particular, se I ´e um ideal monomial, pelo lema 1.1.2 ´e poss´ıvel verificar facilmente que I ´e gerado por uma cole¸c˜ao finita de monˆomios, mais precisamente, pela cole¸c˜ao de monˆomios associados aos termos dos polinˆomios geradores.

O teorema a seguir apresenta uma demonstra¸c˜ao alternativa para este resultado.

Teorema 1.1.3. Se I = h{; α Λ Nr}i ent˜ao α(1), . . . , α(k) Λ tais que

I =hXα(1), . . . , Xα(k)i. Em outras palavras, todo ideal monomial ´e gerado por uma cole¸c˜ao

finita de monˆomios.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar essa afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao no n´umero de vari´aveis. Se r= 1 ent˜ao I ´e gerado por xa1

1 , x

a2

1 , . . . com ai ∈Λ⊂N.

Sejaα= min{ai; ai ∈Λ}. Ent˜aoxα1 divide todos os outros geradores deI. Logo,

I =h

1i.

Suponha a afirma¸c˜ao v´alida para r 1 e denote a vari´avel xr+1 por y.

Observe que todo monˆomio de K[x1, x2, . . . , xr, y] pode ser escrito da forma Xβym com

βNr e mN.

Seja I = h{Xβ; Xβym I para algum m N}i. Por constru¸c˜ao, I ´e um ideal monomial de K[x1, x2, . . . , xr]. Assim, por hip´otese de indu¸c˜ao, I ´e gerado por uma lista

finita de monˆomios, isto ´e:

I =hXβ(1), . . . , Xβ(s)i. (1.1)

Consequentemente, ∃m(1), m(2), . . . , m(s)∈N tais que Xβ(i)ym(i) I, i ∈ {1,2, . . . , s}.

Tomandom0 = max{m(1), m(2), . . . , m(s)} temos que

Xβ(i)ymo

∈I, i∈ {1,2, . . . , s}. (1.2)

Por outro lado, para cada k N, 0 k m0, considere Ik = h{Xβ; Xβyk ∈ I}i. Mais

uma vez, usando a hip´otese de indu¸c˜ao, para cadak temos:

(15)

Preliminares 5

Pela defini¸c˜ao de Ik,

Xβk(j)yk I, j ∈ {1,2, . . . , t

k}. (1.4)

Defina

G1 =h{Xβ(i)ymo, 1≤i≤s}i e G2 =h{Xβk(j)yk,0≤k ≤m0, 1≤j ≤tk}i.

Afirmamos que I =h{G1∪G2}i.

Com efeito, de 1.2 e 1.4 ´e imediato que I ⊃ h{G1∪G2}i.

Seja Xβym I.

Se m m0, como Xβ ∈ I, por 1.1 e pelo lema 1.1.2, Xβ ´e divis´ıvel por Xβ(i)

para algum i. Assim,Xβym ´e divis´ıvel por Xβ(i)ym

0 , o que conclui esse caso.

Se m < m0 ent˜ao Xβ ∈ Im. Usando 1.4 e o lema 1.1.2 temos que Xβ ´e divis´ıvel

porXβm(j) para algumj. Portanto,Xβym ´e divis´ıvel porXβm(j)ym e isso conclui a prova.

Fazendo uso do teorema anterior ´e poss´ıvel verificar, sem muita dificuldade, que o produto, a interse¸c˜ao e o radical de ideais monomiais s˜ao tamb´em ideais monomiais.

1.1.2

Decomposi¸c˜

ao prim´

aria

Uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em um anel A ´e uma express˜ao de I como interse¸c˜ao de um n´umero finito de ideais prim´arios. A decomposi¸c˜ao prim´aria nos permite reduzir, em certo sentido, o estudo de um ideal arbitr´ario ao estudo de ideais prim´arios. Vale ressaltar que uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em um anel qualquer pode n˜ao existir. No entanto, se I ´e um ideal em um anel de polinˆomios com coeficientes em um corpo, ou mais geralmente, se I ´e um ideal em um anel noetheriano, pelo teorema de Lasker-Noether (ref. [13]),I tem uma decomposi¸c˜ao prim´aria.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Seja I um ideal e I =

s

\

i=1

Qi uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I em que

Qi ´e Pi−prim´ario. s

\

i=1

Qi ´e dita uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal ou reduzida de I,

se satisfizer as seguintes condi¸c˜oes:

(i) Para todo i∈ {1,2, . . . , s}, Qi 6⊃ s

\

j=1, j6=i

Qj;

(ii) Se i 6= j ent˜ao Pi 6= Pj, ou seja, os primos associados aos ideais prim´arios da

decomposi¸c˜ao s˜ao dois a dois disjuntos.

(16)

interse¸c˜ao dos outros presentes na decomposi¸c˜ao e observando-se que interse¸c˜ao de dois ideais Pprim´arios ´e tamb´em Pprim´ario.

Exemplo 1.1.6. Seja I = (x2, xy) um ideal de K[x, y].

I = (x)∩(y−cx, x2) ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal,∀cK

cujos primos associados s˜ao p(x) = (x) e p(ycx, x2) = (x, y).

Isso mostra que a decomposi¸c˜ao minimal pode n˜ao ser ´unica.

O pr´oximo teorema mostrar´a que os primos associados `as componentes prim´arias da decomposi¸c˜ao de I, s˜ao unicamente determinados. O ponto importante ´e que de-terminar tais primos n˜ao depende da decomposi¸c˜ao minimal; depende apenas de uma propriedade intr´ınseca ao ideal.

Teorema 1.1.7. Seja I =

s

\

i=1

Qi uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal de I em que Pi ´e

o radical de Qi. Um ideal P ∈ Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) ´e igual a algum Pi se, e somente

se,c6∈I tal que P =p(I :c).

Demonstra¸c˜ao. Seja P Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) tal que P =Pj para algum j. Como a

decomposi¸c˜ao ´e minimal,c

s

\

i=1, i6=j

Qi tal que c6∈Qj.Assim,

(I :c) = (

s

\

i=1

Qi :c) = s

\

i=1

(Qi :c) =

" s \

i=1, i6=j

(Qi :c)

#

∩(Qj :c) = (Qj :c).

Portanto, p(I :c) =p(Qj :c) =Pj =P.

Reciprocamente, suponha que para algum c6∈I, p(I :c) = P. Como (I :c) =

s

\

i=1

(Qi :c) ent˜ao

P =p(I :c) =

s

\

i=1

p

(Qi :c) =

\

c6∈Qi

Pi.

Logo, P =Pi para algum i.

O conjunto dos primos associados `as componentes prim´arias da decomposi¸c˜ao minimal deI ´e chamado de conjunto dos primos associados deI ou simplesmente, primos deI e ´e denotado por Ass(I).

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Preliminares 7

Note que no exemplo 1.1.6 a n˜ao unicidade da decomposi¸c˜ao minimal ocorre devido a componente prim´aria associada ao primo imerso de I. De maneira geral, as componentes prim´arias associadas aos primos m´ınimos de uma decomposi¸c˜ao prim´aria s˜ao unicamente determinadas (veja ref. [1]).

Observa¸c˜ao 1.1.8. Se Pe Spec(K[x1, x2, . . . , xr]) e Pe ⊃ I ent˜ao Pe ⊃ P para algum

P Ass(I) (veja ref. [1]).

Observa¸c˜ao 1.1.9. Min(I)Ass(In),

∀n N.

De agora diante, para simplificar a nota¸c˜ao, uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal de um idealI ser´a escrita da seguinte forma:

I = \

P∈Ass(I)

Q(P) em que Q(P) ´eP-prim´ario.

O lema a seguir auxiliar´a a demostra¸c˜ao do teorema que caracterizar´a uma de-composi¸c˜ao prim´aria de um ideal monomial.

Lema 1.1.10. Seja J K[x1, x2, . . . , xr] um ideal gerado por monˆomios. SeXα, Xβ s˜ao

monˆomios tais que MDC(Xα, Xβ) = 1 ent˜ao

(XαXβ, J) = (Xα, J)

∩(Xβ, J).

Demonstra¸c˜ao. Note que (XαXβ, J)(Xα, J)(Xβ, J).

Reciprocamente, seja f (Xα, J)(Xβ, J). Ent˜ao,

f =g1Xα+h1 =g2Xβ+h2 com h1, h2 ∈J e g1, g2 ∈K[x1, x2, . . . , xr].

Sem perda da generalidade, podemos supor que g1 e g2 est˜ao em suas formas

normais e que todos os seus termos n˜ao pertencem aJ.

Se g1Xα ∈ J temos que f ∈ J ⊂ (XαXβ, J). Caso contr´ario, existe um termo

aiXγ(i)Xα deg1Xα que n˜ao pertence a J. Como

g1Xα =g2Xβ+h2−h1 ∈(Xβ, J),

temos necessariamente queXγ(i)Xα (Xβ).Uma vez que MDC(Xα, Xβ) = 1 temos que

| Xγ(i). Repetindo o argumento em todos os termos deg

1Xα que n˜ao pertencem a J

obtemos

g1Xα ∈(XαXβ, J).

Portanto, f (XαXβ, J).

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Teorema 1.1.11. Se I ´e um ideal monomial ent˜ao existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria

I =

s

\

i=1

Qi em que cada Qi ´e um ideal monomial gerado por potˆencias de vari´aveis. Em

particular, os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis.

Demonstra¸c˜ao. Seja I = (Xα(1), . . . , Xα(k)) em que {Xα(1), . . . , Xα(k)} ´e um conjunto

m´ınimo de geradores deI.

Provaremos por indu¸c˜ao no n´umero de geradores que existe tal decomposic˜ao prim´aria.

Re-enumerando os ´ındices das vari´aveis, se necess´ario, podemos supor

Xα(1) =x1α1(1). . . xtαt(1) com t ≤r.

Se k= 1 ent˜ao I = (Xα(1)).Usando recursivamente o lema 1.1.10 temos:

I = (x1α1(1))∩. . .∩(xtαt(1)).

Defina J = (Xα(2), . . . , Xα(k)). Por conseguinte, I = (Xα(1), J). Usando

nova-mente o lema 1.1.10 de forma recursiva temos:

I = (x1α1(1), J)∩. . .∩(xtαt(1), J).

Como um n´umero de geradores deJ ´ek1,por hip´otese de indu¸c˜ao,J tem uma

decomposi¸c˜ao prim´aria J =

u

\

i=1

f

Qi em que cada fQi ´e gerado por potˆencias de vari´aveis.

Portanto, para cada j ∈ {1, . . . , t},

(xjαj(1), J) = (xjαj(1), u

\

i=1

f

Qi) = u

\

i=1

(xjαj(1),fQi)

o que conclui a indu¸c˜ao.

Al´em disso, sabe-se que os primos associados s˜ao os radicais dos ideais prim´arios de uma decomposi¸c˜ao prim´aria. Assim, ´e imediato que o radical de um ideal prim´ario descrito como acima, ´e gerado por um subconjunto de vari´aveis.

Observa¸c˜ao 1.1.12. A decomposi¸c˜ao prim´aria dada acima pode n˜ao ser minimal. Por exemplo, I = (x2, xy, y2) K[x, y] ´e um ideal (x, y)prim´ario. Consequentemente, sua

(19)

Preliminares 9

1.2

An´

eis de semigrupos

Nesta se¸c˜ao, definiremos os an´eis de semigrupos afins. Comecemos relembrando o conceito de mon´oide para a partir da´ı, definirmos semigrupo afim.

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja E um conjunto n˜ao vazio onde est´a definida uma opera¸c˜ao

∗:E×E7−→E.

Dizemos que o par (E,∗)´e um mon´oide se as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

• a(bc) = (ab)c,a, b, cE (associatividade)

• ∃e E tal que ae=ea=a,aE (existˆencia do elemento neutro)

A fim de simplificar a nota¸c˜ao, usaremosEem lugar de (E,) quando n˜ao houver possibilidade de ambiguidade para *.

Exemplo 1.2.2. N´e um mon´oide com a opera¸c˜ao usual de soma.

Exemplo 1.2.3. Todo grupo ´e um mon´oide.

Exemplo 1.2.4. (Zr,+) ´e um mon´oide.

Defini¸c˜ao 1.2.5. Seja E um mon´oide e H um subconjunto de E. Dizemos que H ´e um submon´oide deE se H ´e ele pr´oprio um mon´oide com a mesma opera¸c˜ao de E.

Defini¸c˜ao 1.2.6. Dizemos queH´e um semigrupo afim, seH´e um submon´oide de(Zr,+).

Exemplo 1.2.7. Nr ´e um semigrupo afim.

O pr´oximo exemplo mostra que nem todo semigrupo afim ´e finitamente gerado. A posteriori (Cap.2) mostraremos uma condi¸c˜ao suficiente e necess´aria para que isso ocorra.

Exemplo 1.2.8. Seja H ={(i, j)∈N;ij 6= 0 ou (i, j) = (0,0)}. H ´e um semigrupo afim de Z2 que n˜ao ´e finitamente gerado.

De fato, sejam h1 = (i1, j1), h2 = (i2, j2)∈H.Note que se

i1j1+i1j2+i2j1+i2j2 = 0

ent˜ao i1j1 = 0 e i2j2 = 0 o que equivale a dizer que h1 = h2 = (0,0) ∈ H ou seja

h1+h2 ∈H.

Suponhamos por absurdo que H fosse finitamente gerado:

(20)

Considere o elemento (i, j) = (1,max{j1, j2, . . . , jm} + 1) ∈ H. Consequentemente,

∃n1, n2, . . . , nm ∈N tais que

(1,max{j1, j2, . . . , jm}+ 1) =n1(i1, j1) +n2(i2, j2) +· · ·+nm(im, jm).

Assim, determinar n1, n2, . . . , nm ∈N se resume a resolver o sistema,

  

n1i1+n2i2+· · ·+nmim = 1

n1j1+n2j2+· · ·+nmjm = max{j1, j2, . . . , jm}+ 1.

Da primeira equa¸c˜ao, ∃!r ∈ {1,2, . . . , m}tal que

nrir= 1 ⇒nr = 1 e nk= 0 para k 6=r.

Portanto, aplicando esse resultado na segunda equa¸c˜ao temos max{j1, j2, . . . , jm}+ 1 =jr

o que ´e um absurdo.

Logo, H n˜ao ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Defini¸c˜ao 1.2.9. Sejam A um anel e H um semigrupo afim. Definimos

A[H] := {f :Hr −→A; f tem suporte finito}.

em que o suporte de uma fun¸c˜ao f ´e o conjunto de elementos hHr tais que f(h)6= 0.

Dados f e g A[H], definindo-se a soma em A[H] por:

[f +g] :Hr −→ A

h 7−→ [f+g](h) =f(h) +g(h)

e o produto por:

[f. g] :Hr −→ A

h 7−→ [f. g](h) = X

v+w=h

f(v)g(w)

´e poss´ıvel verificar que, com as opera¸c˜oes acima, A[H] ´e um anel.

Tamb´em podemos definir um produto de elementos de A por elementos de A[H] da seguinte forma:

[a.f] :Hr −→ A

h 7−→ [a.f](h) =af(h)

Novamente ´e f´acil verificar que A[H]´e um Am´odulo. Mais ainda, A[H] ´e uma ´algebra sobre A.

(21)

Preliminares 11

Toda fun¸c˜ao f A[H] pode ser escrita de forma ´unica, a menos de ordem entre as parcelas, como uma soma finita de termos, isto ´e, fun¸c˜oes cujo suporte ´e unit´ario. Se m A[H] ´e um termo, com m(h) = m(h1, . . . , hr) = a podemos utilizar a nota¸c˜ao

axh1

1 xh22. . . xhrr para representar m.

Note que K[H] ´e uma sub´algebra do anel de polinˆomios de Laurent K[x1, x1−1, x2, x2−1, . . . , xr, xr−1] gerada por {xh11x

h2

2 . . . xhrr}h∈H. Se H = Nr ent˜ao K[H]

´e o anel polinˆomios em r vari´aveis sobre K.

Note ainda que se ΛNr´e n˜ao vazio eI´e um ideal monomial emK[x

1, x2, . . . , xr]

gerado por {; αΛ}, pelo lema 1.1.2, ´e poss´ıvel verificar facilmente que

I ∼=K[H] em que H ={(α1, α2, . . . , αr)∈Nr; xα11x

α2

2 · · ·xαrr ∈I} ∪ {0}.

1.3

Potˆ

encias simb´

olicas

A forma¸c˜ao do anel de fra¸c˜oes e o processo de localiza¸c˜ao associado s˜ao uma das mais importantes ferramentas usadas em ´algebra comutativa. Apesar da riqueza deste tema, para sermos objetivos, nesta se¸c˜ao daremos apenas a defini¸c˜ao e propriedades do anel de fra¸c˜oes necess´arias para definir potˆencia simb´olica.

SejaA um anel,S um sistema multiplicativo deA, isto ´e,S A´e tal que 1S, 06∈S e S ´e fechado com respeito ao produto de seus elementos.

Considere a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ no conjunto A×S dada por

(a, s)(b, t)(atbs)u= 0 para algum uS.

Note que se A´e um dom´ınio de integridade (a, s)∼(b, t) ⇔ at=bs. Defina S−1A:= A×S

∼ e denote cada classe de equivalˆencia (a, s) :=

a s. Dados a

s, b t ∈S

−1A se considerarmos a soma e o produto dados por:

a s +

b t =

at+bs st e

a s b t =

ab st;

temos queS−1A´e um anel o qual denominamos de anel de fra¸c˜oes de Aem S. Quando S=AP eP ´e um ideal primo, denotaremos S−1Apor AP.

´

E poss´ıvel verificar facilmente que

ϕ:A −→ S−1A x 7−→ = x

1

(22)

Se A ´e um dom´ınio de integridade e S = A− {0} ent˜ao o anel de fra¸c˜oes ´e um corpo, o qual denominamos de corpo de fra¸c˜oes de A. Em particular, se A = Z e S=Z− {0}ent˜ao S−1Z=Q.

Sejam I um ideal deA e J um ideal de S−1A,

Jc :=ϕ−1(J) ={xA; ϕ(x)∈J}

Ie :=hϕ(I)i={

c

X

i=0

yiϕ(xi); xi ∈I, yi ∈S−1A e c∈N}.

Os conjuntos Jc e Ie s˜ao, respectivamente, ideais deA e S−1Ae

I (Ic)e, J

⊃(Jc)e.

Al´em disso, ´e poss´ıvel ver sem muita dificuldade que

Ie={x s ∈S

−1A; x

∈I, sS}.

Na pr´oxima proposi¸c˜ao encontram-se listadas algumas propriedades que ser˜ao necess´arias mais tarde.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Sejam I1, I2, . . . , In ideais quaisquer deA e Q um idealP−prim´ario.

Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

(a) (

n

\

k=1

Ik)ec = n

\

k=1

Ikec

(b) P ∩S =∅ ⇒Qec =Q

(c) P S 6=∅ ⇒Qec =A

Demonstra¸c˜ao. (a) Basta mostrar para k = 2 e observar que o caso geral segue por indu¸c˜ao.

Claramente (I1∩I2)ec ⊂I1ec∩I2ec.

Reciprocamente, se z I1ec∩I2ec = (I1e∩I2e)c ent˜ao

z 1 ∈I1

e

∩I2e. Desta forma,

z 1 =

x s =

y

t em que x∈I1, y ∈I2 es, t ∈S.

Da segunda igualdade, v(tx sy) = 0 para algum v S. Consequentemente, vtx=vsyI1∩I2.

Assim, z 1 =

x s =

vtx

vts ∈(I1 ∩I2)

e, ou seja,z (I

1∩I2)ec.

(23)

Preliminares 13

Sef Qecent˜aoxQ es S tais quef

1 = x

s.Por sua vez, a ´ultima igualdade implica que t(x−sf) = 0 para algum t ∈ S,ou seja, tsf = tx ∈ Q. Como ts ∈ S ent˜ao ts6∈P, portanto, f Q pois,Q ´eP- prim´ario.

(c) Ses P S ent˜ao snQS para algumn > 0 e portanto s n

1 ∈Q

e. Logo,

Qe =S−1Ao que implica em Qec =A.

A defini¸c˜ao dada a seguir de potˆencia simb´olica para an´eis de polinˆomios ´e a usual em an´eis noetherianos, embora existam outros ideais que tamb´em s˜ao chamados de potˆencia simb´olica.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Dado um ideal I K[x1, x2, . . . , xr] e n ∈ N. A n-´esima potˆencia

simb´olica ordin´aria de I ´e definida como sendo o ideal

I(n) := (In)ec em que S=K[x1, x2, . . . , xr]−

[

P∈Min(I)

P.

Para simplificar, chamaremos I(n) apenas de n-´esima potˆencia simb´olica de I.

O pr´oximo teorema dar´a uma condi¸c˜ao equivalente para potˆencia simb´olica muito usada e que ser´a muito ´util neste contexto.

Teorema 1.3.3. Seja I um ideal de K[x1, x2, . . . , xr] e In =

\

P∈Ass(In)

Q(P) uma

decom-posi¸c˜ao prim´aria de In. Ent˜ao:

I(n) = \

P∈Min(I)

Q(P).

Demonstra¸c˜ao. Note que, em virtude da proposi¸c˜ao 1.3.1, segue que

(In)ec = ( \ P∈Ass(In)

Q(P))ec = \ P∈Ass(In)

Q(P)ec.

Por outro lado, como

P S =∅ ⇔ P [

P∈Min(I)

P

P [

P∈Min(I)

P P Min(I)

temosP S =equivale a P Min(I). Consequentemente, temos:

Q(P)ec = Q(P), seP Min(I) Q(P)ec = K[x

1, x2, . . . , xr], caso contr´ario.

Logo, pela observa¸c˜ao 1.1.9, I(n) = \

P∈Min(I)

Q(P).

(24)

1.4

Algebras de Rees

´

Nesta se¸c˜ao, introduziremos o principal conceito deste trabalho: as ´Algebras de Rees. Para entendermos melhor essas ´algebras, falaremos um pouco sobre uma classe de an´eis que, assim como o anel de polinˆomios, admite uma decomposi¸c˜ao de seus elementos em componentes homogˆeneas. Essa classe de an´eis ´e tratada formalmente na pr´oxima defini¸c˜ao.

Um anel A´e dito Ngraduado se podemos escrever

A=M

λ∈N

em que cadaAλ ´e um subgrupo de Ae AiAj ⊂Ai+j, ∀i, j ∈N.

Observe que como cada Aλ ´e umA0−m´odulo ent˜aoA ´e uma A0−´algebra.

Os elementos f Aλ s˜ao ditos homogˆeneos de grau λ. Um ideal homogˆeneo em

A´e um ideal que admite um conjunto de geradores composto por elementos homogˆeneos.

Note que a soma de elementos homogˆeneos de graus diferentes n˜ao ´e um elemento homogˆeneo. Assim, ideais homogˆeneos cont´em elementos n˜ao homogˆeneos.

Se A ´e um anel Ngraduado ent˜ao todo elemento f A, n˜ao nulo, ´e escrito de forma ´unica como

f =f0 +f1+f2+· · ·

com fj ∈ Aj e fj 6= 0 somente para um n´umero finito de ´ındices. Em outras palavras,

f ´e escrito de forma ´unica como soma de um n´umero finito de elementos homogˆeneos. Cadafj ´e chamada de componente homogˆenea de f em grau j.

Observa¸c˜ao 1.4.1. E poss´ıvel verificar que´ I ´e um ideal homogˆeneo se, e somente se,

f I fj ∈I, ∀j.

Exemplo 1.4.2. De imediato temos que o anel de polinˆomios S=K[x1, x2, . . . , xr] ´e um

anel Ngraduado atrav´es do grau total, isto ´e,

S=M

λ∈N

em que´e o espa¸co vetorial dos polinˆomios homogˆeneos de grau λ.

Deste ponto at´e o final da se¸c˜ao, iremos nos restringir a definir e a apresentar alguns resultados sobre um tipo especial de an´eis graduados: as ´Algebras de Rees.

Defini¸c˜ao 1.4.3. Seja B um anel. Dizemos que uma fam´ılia de ideais ={In}n∈N de B

(25)

Preliminares 15

Defini¸c˜ao 1.4.4. Seja = {In}n∈N uma filtra¸c˜ao multiplicativa de ideais em B. A

B´algebra

Rℑ(B) = ∞

M

n=0

Intn=B⊕I1t⊕I2t2⊕ · · ·

´e chamada ´Algebra de Rees associada a .

O ideal

M

n=1

Intn ´e denominado de ideal irrelevante.

Observe que Rℑ(B) ´e uma B−´algebra finitamente gerada se, e somente se, o

ideal irrelevante ´e finitamente gerado. Ironicamente, ´e o ideal irrelevante que determina a noetherianidade da ´Algebra de Rees, desde que B seja noetheriano. Em virtude desta observa¸c˜ao, apresentar um conjunto finito de geradoresG para o ideal irrelevante ´e equi-valente a dizer que G∪ {1B} ´e um conjunto de geradores da B−´algebraR(B). Por esse

motivo, sempre que apresentarmos um conjunto de geradores paraRℑ(B) omitiremos o 1.

A filtra¸c˜ao multiplicativa = {In}

n∈N ´e chamada de filtra¸c˜ao I-´adica. Neste

caso, Rℑ(B) ´e denominada Algebra de Rees de´ I ou ´Algebra de Rees ordin´aria associada

a I e ´e denotada por RI(B).

Proposi¸c˜ao 1.4.5.SejamS=K[x1, x2, . . . , xr], ℑ={In}n∈N uma filtra¸c˜ao de S e R(S)

a ´Algebra de Rees associada a ℑ. Ent˜ao, existe um conjunto de geradores da forma gntn

com gn ∈ In. Em particular, se para todo n, In ´e um ideal homogˆeneo (resp. monomial)

´e poss´ıvel tomar gn∈In homogˆeneo (resp. monˆomio).

Demonstra¸c˜ao. SejaGn um conjunto de geradores de In. Defina

e

Gn={gtn ; g ∈Gn}.

´

E imediato que [

n∈N

e

Gn ´e um conjunto de geradores de Rℑ(S). Em particular, se

cada In ´e homogˆeneo (resp. monomial) ent˜ao Gn pode ser escolhido de tal forma a ser

composto por elementos homogˆeneos (resp. monomiais).

A ´Algebra de Rees Rℑ(S) ´e uma ´algebra monomial se ela pode ser gerada por

um conjunto de monˆomios de S[t] = K[x1, x2, . . . , xr, t]. Pela proposi¸c˜ao anterior, se ℑ ´e

uma filtra¸c˜ao monomial, ou seja, In ´e um ideal monomial ∀n ∈N, Rℑ(S) ´e uma ´algebra

monomial.

Usando os mesmos argumentos da demonstra¸c˜ao do lema 1.1.2, ´e poss´ıvel verificar facilmente que se Rℑ(S) ´e uma ´algebra monomial, f tn ∈ Rℑ(S) se, e somente se, para

cada termo n˜ao nulofsdef tem-se quefstn pertence aRℑ(S).Consequentemente, temos

Rℑ(S)∼=K[H] em que

H = {(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11x

α2

2 · · ·x

αr

r t αr+1

∈Rℑ(S)} ∪ {0}

(26)

De forma geral, toda ´algebra monomial pode ser vista como um anel de semigrupo. O seguinte teorema d´a uma classe de exemplos de ´Algebras de Rees finitamente geradas.

Teorema 1.4.6. SeB ´e um anel noetheriano eI B´e um ideal ent˜ao a ´Algebra de Rees ordin´aria associada aI ´e uma B´algebra finitamente gerada.

Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que seI =hg1, g2, . . . , gsi ent˜ao

RI(B) =

M

n≥0

Intn =hg1t, g2t, . . . , gsti

ou equivalentemente que

Ψ :B[x1, x2, . . . , xs] −→ RI(B)

xi 7−→ git, ∀i∈ {1,2, . . . , s}

´e um epimorfismo deB´algebras.

Claramente, Ψ ´e um homomorfismo. Resta mostrar que Ψ ´e sobrejetiva. Seja gtn Intn, g In. Neste caso,

g = X

α1+···+αs=n

aα1···αsg1

α1

· · ·gsαs com aα1...αs ∈B.

Considere h= X

α1+···+αs=n

aα1···αsx1

α1

· · ·xsαs ∈B[x1, x2, . . . , xs]. Temos:

Ψ(h) = h(g1t, . . . , gst) =

X

α1+···+αs=n

aα1···αrg1t

α1

· · ·gstαs =gtn.

Como todo elemento de RI(B) ´e escrito como soma de um n´umero finito de

componentes homogˆeneas temos que Ψ ´e sobrejetiva.

1.5

Cone racional

(27)

Preliminares 17

Um subconjunto n˜ao vazio D do Rn ´e chamado cone se ´e fechado para

com-bina¸c˜oes lineares com coeficientes reais n˜ao negativos, isto ´e,

ax+byD sempre que x, y D ea, b0.

Uma face de um coneD´e um subconjunto convexoD′deDtal que todo segmento em D com um ponto interior em D′ esta completamente contido em D.

Se V Rn ´e n˜ao vazio, o conjunto

R+V ={

c

X

i=0

aivi;ai ∈R+, vi ∈V e c∈N}

´e obviamente o menor cone contendo V, ou equivalentemente, ´e o cone gerado por V. O cone R+V ´e dito um poliedral convexo do subespa¸co RV do Rn, se pode

ser expresso como uma interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela origem, ou seja,ω1, . . . , ωt ∈Rn, ωi 6= 0 tais que

R+V =V1+∩V2+∩. . .∩Vt+ em que Vi+={v ∈RV;hhωi, vii ≥0}

em que hhω, vii denota o produto interno canˆonico deω por v.

Enunciaremos agora um resultado que afirma que R+V ´e um poliedral convexo se, e somente se,R+V ´e um cone finitamente gerado.

Teorema 1.5.1. Seja V Rn, n˜ao vazio. S˜ao equivalentes:

(a) R+V ´e a interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela origem;

(b) R+V tem um n´umero finito de faces;

(c) v1, . . . , vs∈V tais que R+V =R+{v1, . . . , vs}, isto ´e, R+V ´e um cone finitamente

gerado.

Demonstra¸c˜ao. Veja [11].

Defini¸c˜ao 1.5.2. Seja V Rn, n˜ao vazio. O conjunto

Q+V ={

d

X

i=0

civi ; ci ∈Q+, vi ∈V e d∈N}

´e um cone racional, se existem ω1, ω2, . . . , ωm ∈Rn, ωi 6= 0 tais que

Q+V =V1+∩V2+∩. . .∩Vm+ em que Vi+ ={v ∈QV ; hhωi, vii ≥0}

(28)

O teorema a seguir ´e uma vers˜ao doteorema de Carath´eodorypara cones racionais. Essencialmente, esse resultado diz que um cone racional qualquer ´e a uni˜ao de cones racionais cujos geradores s˜ao linearmente independentes.

Teorema 1.5.3 (Teorema de Carath´eodory). Sejam v1, . . . , vm ∈ Rn. O cone

Q+{v1, . . . , vm}´e a uni˜ao dos conesQ+{vi1, vi2, . . . , vis}comvi1, vi2, . . . , vis ∈ {v1, . . . , vm}

linearmente independentes sobreR.Em particular, sev1, . . . , vm ∈Qnent˜aoQ+{v1, . . . , vm}

´e a uni˜ao de cones racionais cujos geradores s˜ao linearmente independentes sobre Q.

Demonstra¸c˜ao. Veja [11].

Proposi¸c˜ao 1.5.4. Q+V ´e um cone racional se, e somente se, ´e um cone finitamente

gerado.

Demonstra¸c˜ao. Note que Q+{v1, . . . , vs} =QV ∩R+{v1, . . . , vs} com {v1, . . . , vs} ⊂V

linearmente independente.

De fato, obviamente Q+{v1, . . . , vs} ⊂QV ∩R+{v1, . . . , vs}.

Reciprocamente, se v QV R+{v1, . . . , vs} uma vez que o sistema de equa¸c˜ao

com coeficientes em Q

v1y1+· · ·+vsys=v

tem ´unica solu¸c˜ao (y1, . . . , yr)∈Qs∩(R+)s ent˜ao (y1, . . . , yr)∈(Q+)s, isto ´e,

v Q+{v1, . . . , vr}.

Pelo teorema de Carath´eodory, Q+{v1, . . . , vm} = QV ∩R+{v1, . . . , vm} para

quaisquer v1, . . . , vm ∈V.

O resultado segue do teorema 1.5.1.

Exemplo 1.5.5. Seja H ={(c+d, b+d, a+b+c+d) ; a, b, c, dN} ⊂R3. Note que H ´e um semigrupo afim gerado pelo conjunto

{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}.

Como H ´e um semigrupo afim, o cone racional Q+H corresponde ao conjunto de pontos de R+H com coordenadas racionais.

Observe que Q+H tem quatro faces de dimens˜ao 2:

(29)

Preliminares 19

Al´em disso, Q+H =H1+∩H2+∩H3+∩H4+ em que

H1+ = {v ∈QH; hh(1,0,0), vii ≥0}

H2+ = {v ∈QH; hh(0,1,0), vii ≥0}

H3+ = {v ∈QH; hh(0,−1,1), vii ≥0}

H4+ = {v ∈QH; hh(−1,0,1), vii ≥0}.

Note ainda que

Q+H = Q+{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}

= Q+{(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} ∪Q+{(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)}

= Q+{(1,0,1),(0,0,1),(0,1,1)} ∪Q+{(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}

em que cada um dos conjuntos {(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}, {(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)},

{(1,0,1),(0,0,1),(0,1,1)}, {(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)} ´e linearmente independente sobre Q.

A figura abaixo traz um esbo¸co de R+H =R+{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}.

(30)

Gera¸c˜

ao Finita de Semigrupos Afins

Neste cap´ıtulo, mostraremos uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um semigrupo afim seja finitamente gerado. Este resultado ´e um alicerce n˜ao apenas deste cap´ıtulo mas de todo este texto, pois, dele descendem quase todos os resultados a partir deste cap´ıtulo. Nosso objetivo central aqui ´e mostrar que a ´Algebra de Rees associada a uma filtra¸c˜ao ´e finitamente gerada sempre que o n-´esimo termo desta filtra¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao de todas as potˆencias n-´esimas de uma cole¸c˜ao finita de ideais monomiais, isto ´e,

ℑ={J1n∩. . .∩Jsn}n∈N em que cada Ji ´e um ideal monomial.

Recomendamos ao leitor voltar ao cap´ıtulo anterior caso n˜ao esteja familiarizado com as defini¸c˜oes de semigrupo afim e cone racional. Iniciaremos o nosso estudo com o “teorema alicerce”.

Teorema 2.0.6. Seja H um semigrupo afim. H ´e finitamente gerado se, e somente se, Q+H ´e um cone racional.

Demonstra¸c˜ao. Se H =h{h1, . . . , hk}i ent˜ao Q+H =Q+{h1, . . . , hk}. Segue da

propo-si¸c˜ao 1.5.4 queQ+H ´e um cone racional.

Reciprocamente, como Q+H ´e um cone racional, Q+H = Q+{q1, . . . , qm} com

q1, . . . , qm ∈ H. Seja ZH = { c

X

j=0

ajhj;aj ∈ Z, hj ∈ H e c ∈ N} o menor subgrupo

de Zr contendo H. Observe que como Zr ´e um grupo abeliano de posto r, definindo

s:= posto ZH, temos sr.

Considere os cones Q+{qi1, . . . , qis} em que qi1, . . . , qis ∈ {q1, . . . , qm} ⊂ H s˜ao

linearmente independentes em Qr, ou equivalentemente, linearmente independentes em

ZH. Pelo teorema 1.5.3, Q+{q1, . . . , qm}´e a uni˜ao desses cones. Como existe apenas um

n´umero finito de cones da forma Q+{qi1, . . . , qis} e H =H∩Q+{q1, . . . , qm} ´e suficiente

mostrar que cada semigrupo afimHQ+{qi1, . . . , qis}´e finitamente gerado.

Para simplicar a nota¸c˜ao, assumiremos sem perda da generalidade que Q+H =Q+{q1, . . . , qs} em que q1, . . . , qs s˜ao linearmente independentes.

(31)

Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 21

Seja B ={

s

X

i=1

ciqi; 0≤ci <1} ∩ZH.Afirmamos que:

1) ZH = [

p∈B

Lp em que Lp =p+Z{q1, . . . , qs}

2) Lp∩Lp′ =∅, se p6=p′.

1) Obviamente ZH [

p∈B

Lp.

Observe que QH = Q{q1, . . . , qs}. Com efeito, se x∈ QH, ∃x1, x2 ∈ Q+H tais

quex=x1−x2. Consequentemente,x∈Q{q1, . . . , qs}.

Seja yZH. ComoZH QH ent˜ao yQH. Assim,

y= s X i=1 ai bi

qi com ai ∈Z ebi ∈N− {0}

Pelo algoritmo da divis˜ao, para cada i,di, ri ∈Ztais que ai =bidi+ri com 0≤ri < bi.

Desta forma temos:

y=

s

X

i=1

diqi+ s

X

i=1

ciqi com ci =

ri

bi

, 0≤ci <1

Portanto, yLp para p= s

X

i=1

ciqi.Logo, ZH ⊂

[

p∈B

Lp.

2) Se xLp∩Lp′,

x=p+

s

X

i=1

αiqi =p′+ s

X

i=1

βiqi com αi, βi ∈Z,

ou seja,

pp′ =

s

X

i=1

(αi−βi)qi ∈Z{q1, . . . , qs} o que implica em p=p′.

Como H =HZH ent˜ao H = [

p∈B

(Lp∩H) comLp∩H 6=Lp′ ∩H para p6=p′.

Definindo Hp :=H∩Lp temos que H ´e a uni˜ao disjunta dos Hp′s.

Vamos mostrar que cada Hp ´e finitamente gerado.

Defina

Ip =h{xc11· · ·xscs; (c1, . . . , cs)∈Ωp}i

em que Ωp ={(c1, . . . , cs)∈Ns; p+ s

X

i=1

ciqi ∈HP}.

Pelo teorema 1.1.3, ´e poss´ıvel extrair dentre os geradores deIp um conjunto finito

e m´ınimo que ainda geraIp. Denote por G(Ip) tal conjunto.

Afirmamos que todo elemento de Hp ´e a soma de um elemento de

Λ ={p+

s

X

i=1

(32)

De fato, seja xHp ⊂H ⊂Q+{q1, . . . , qr}.

Como x Hp temos que x = p+ s

X

i=1

αiqi com αi ∈ Z. Por outro lado, como

xQ+{q1, . . . , qs},

x =

s

X

j=1

βjqj, βj ∈Q+

= p′+

s

X

j=1

λjqj, λj ∈Z+, p′ ∈B

Assim, repetindo argumentos j´a usados anteriormente temos que p = p′. Desta forma, sexHp

x=p+

s

X

j=1

λjqj com p∈B, λj ∈Z+.

Consequentemente,xλ1

1 · · ·xλss ∈Ip. Com isso, ∃xc11· · ·xcss ∈G(Ip) tal que

xλ1

1 · · ·xλss = (x a1

1 · · ·xass)x c1

1 · · ·xcss em que ak+ck =λk, ak, ck ∈N, ∀k∈ {1, . . . , s}.

Portanto, x=p+

s

X

i=1

ciqi+ s

X

i=1

aiqi. Isso mostra que sex∈Hp ent˜ao x ´e a soma

de um elemento de Λ com um elemento deZ+{q1, . . . , qs}.Al´em disto,B ´e finito poisB ´e

um conjunto limitado em ZH Zr (note que se r

X

i=1

ciqi ∈B ent˜ao | s

X

i=1

ciqi| ≤ s

X

i=1

|qi|).

Logo, G = [

p∈B

{p+

s

X

i=1

ciqi; xc11· · ·xscs ∈ G(Ip)} ∪ {q1, . . . , qs} ´e um conjunto de

geradores deH.

O corol´ario a seguir mostra que a interse¸c˜ao finita de semigrupos afins finitamente gerados ´e tamb´em um semigrupo afim que satisfaz a mesma propriedade.

Corol´ario 2.0.7. SeH1, H2, . . . , Hss˜ao semigrupos afins finitamente gerados ent˜ao s

\

i=1

Hi

´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Demonstra¸c˜ao. SejaH =

s

\

i=1

Hi.E poss´ıvel verificar facilmente que´ H ´e um semigrupo

afim.

Resta mostrar que H ´e finitamente gerado. Para isso, provaremos que Q+H ´e um cone racional.

Afirmamos que Q+H =

s

\

i=1

Q+Hi.

De fato, como Q+H ⊂Q+Hi para todo i∈ {1,2, . . . , s}segue que

Q+H ⊂

s

\

i=1

(33)

Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 23

Por outro lado, seja p

s

\

i=1

Q+Hi. Ent˜ao, para cada i fixo,

p=

mi

X

j=1

cijhij com cij ∈Q+, ∀i, j ehij ∈Hi, ∀j.

Como cij ∈ Q+ ent˜ao ∃ aij ∈ N, bij ∈ N − {0} tais que cij =

aij

bij

. Defina ni = M M C{bi1, . . . , bimi}. Note que nip ∈ Hi. Tomando n = n1n2. . . ns temos np ∈ Hi

para todoi∈ {1, . . . , s} o que equivale a dizer que np=hH.Logo, p= 1

nh∈Q+H, o que finaliza a prova da afirma¸c˜ao.

Como a interse¸c˜ao finita de cones racionais ´e um cone racional, pelo teorema 2.0.6,H ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Agora estamos aptos a mostrar

Teorema 2.0.8. Sejam S = K[x1, x2, . . . , xr], J1, J2, . . . , Js ⊂ S ideais monomiais e

ℑ = {

s

\

i=1

Jin}n∈N. Ent˜ao a ´Algebra de Rees

M n≥0 ( s \ i=1

Jin)tn ´e uma S-´algebra finitamente

gerada.

Demonstra¸c˜ao. SejaA =M

n≥0

(

s

\

i=1

Jin)tn. Uma vez que

ℑ´e uma filtra¸c˜ao multiplicativa,

A´e uma S-´algebra.

Afirmamos que A =

s

\

i=1

Ai em que Ai = ∞

M

n=0

Jintn.

De fato, se f A ent˜ao

f =

m

X

n=0

cntn com cn∈ s

\

i=1

Jin

o que equivale a dizer quecn∈Jin para todoi∈ {1,2, . . . , s}, ou seja, f ∈ s

\

i=1

Ai.

Por outro lado, se g

s

\

i=1

Ai, para cada i fixo,

g =

ui

X

n=1

cnitn com cni∈Jin.

Considerando os coeficientes nulos, quando necess´ario, podemos escrever:

g =

u

X

n=1

(34)

Comog S[t] ent˜aog ´e escrito de forma ´unica como soma de partes homogˆeneas em t. Consequentemente cni n˜ao depende de i. Assim, definindo cn := cni para todo i

temoscn∈ s

\

i=1

Jin.Portanto, g =

u

X

n=1

cntn∈A.

Logo, A =

s

\

i=1

Ai.

Como J1, J2, . . . , Js s˜ao ideais monomiais, as ´Algebras de Rees A, A1, A2, . . . , As

s˜ao ´algebras monomiais. Portanto, A K[H] e Ai ≃ K[Hi] em que H, H1, . . . , Hs s˜ao

semigrupos afins dados por:

H ={(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11x

α2

2 · · ·xαrrtαr+1 ∈A} ∪ {0}

Hi ={(α1, α2, . . . , αr, αr+1)∈Nr+1;xα11xα22· · ·xαrrt αr+1

∈Ai} ∪ {0}.

Em outras palavras, vamos tratar A e cadaAi como an´eis de semigrupos afins.

Observe que para cada i, Ai ´e a ´Algebra de Rees associada a filtra¸c˜ao Ji−´adica.

Logo, Ai = hfi1t, fi2t, . . . , fiu(i)ti com Ji = hfi1, fi2, . . . , fiu(i)i em que cada fij ´e um

monˆomio.

Queremos mostrar que Hi ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

A fim de simplificar a nota¸c˜ao, considereAi =hf1t, f2t, . . . , futipara i fixo, por´em

arbitr´ario, e escrevafj =x hj1

1 x

hj2

2 · · ·x

hjr

r , ∀j ∈ {1,2, . . . , u}.

Como fjt ∈Ai ent˜ao (hj1, hj2, . . . , hjr,1)∈Hi para todo j.

Ademais, os vetores da base canˆonica do Rr+1, e

1, e2, . . . , er ∈Hi tendo em vista

quex1, x2, . . . , xr∈S=Ji0 ⊂Ai.

Afirmamos que Hi =he1, . . . , en,(h11, h12, . . . , h1r,1), . . . ,(hu1, hu2, . . . , hur,1)i.

De fato, se (α1, . . . , αr, αr+1) ∈ Hi ent˜ao x1α1· · ·xαrrtαr+1 ∈ Ai. Por conseguinte,

comoAi =hf1t, f2t, . . . , futi temos que∃c1, . . . , cr, d1, . . . , du ∈N tais que

xα1

1 · · ·xαrrt αr+1

= xc1

1 · · ·xcnn(f1t)d1. . .(fut)du ∈Aj

= xβ1

1 · · ·xβrrt αr+1

com βk=ck+ u

X

j=1

djhjk para k∈ {1,2, . . . , r}e αr+1 =

u

X

j=1

dj.

Assim,

(α1, . . . , αr, αr+1) = (c1+

u

X

j=1

djh1j, . . . , cr+ u

X

j=1

djhjr, u

X

j=1

dj)

= c1e1+· · ·+cnen+d1(h11, h12, . . . , h1r,1) +

+· · ·+du(hu1, hu2, . . . , hun,1).

Logo,

(35)

Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 25

Por outro lado, como A=

s

\

i=1

Ai ent˜ao H= s

\

i=1

Hi pois,

(α1, . . . , αr, αr+1)∈H ⇔ xα11· · ·xαrrt αr+1

∈A xα1

1 · · ·xαrrt αr+1

∈A xα1

1 · · ·xαrrt αr+1

∈Ai, ∀i

xα1

1 · · ·x

αr

r t αr+1

∈Ai, ∀i ⇔ (α1, . . . , αr, αr+1)∈Hi, ∀i.

Portanto, pelo corol´ario 2.0.7, H =

r

\

j=1

Hj ´e um semigrupo afim finitamente

gerado. Desta forma, considerando

H =he1, . . . , er,(c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . ,(cm1, . . . , cmr, cmr+1)i

em que {e1, . . . , er,(c11, . . . , c1r, c1r+1), . . . ,(cm1, . . . , cmr, cmr+1)} ´e um conjunto m´ınimo

de geradores de H,temos:

A=hxc11

1 · · ·xcr1rt

c1r+1, . . . , xcm1

1 · · ·xcrmrt cmr+1

i.

Com efeito, seja xβ1

1 · · ·xβrrtβr+1 ∈ A. Ent˜ao (β1, . . . , βn, βn+1) ∈ H. Se βr+1 = 0,

nada temos a mostrar. Caso contr´ario, a1, . . . , ar+m∈N tais que

(β1, . . . , βr, βr+1) = a1e1+· · ·+arer+ar+1(c11, . . . , c1r, c1r+1)+· · ·+ar+m(cm1, . . . , cmr, cmr+1).

Logo,

xβ1

1 · · ·x

βr

r t βr+1

=xa1

1 · · ·x

ar

r (x c11

1 · · ·x

c1r

r t c1r+1

)ar+1. . . (xcm1

1 · · ·x

cmr

r t

cmr+1 )ar+m.

O pr´oximo exemplo ilustrar´a num caso concreto os passos da demostra¸c˜ao do teo-rema 2.0.8 e exibir´a um conjunto de geradores para ´Algebra de Rees neste caso particular.

Exemplo 2.0.9. SejamS=K[x, y, z]eA=M

n≥0

[(x, y)n

∩(y, z)n

∩(x, z)n]tn

⊂K[x, y, z][t].

Note que A= [M

n≥0

(x, y)ntn]

∩[M

n≥0

(y, z)ntn]

∩[M

n≥0

(x, z)ntn].

Sejam

A1 =

M

n≥0

(x, y)ntn, A

2 =

M

n≥0

(y, z)ntn e A

3 =

M

n≥0

(x, z)ntn.

Temos A1 =hxt, yti, A2 =hyt, zti e A3 =hxt, zti.

Sabemos que ´e poss´ıvel tratar, a menos de isomorfismo, A, A1, A2 e A3 como os

an´eis de semigrupos K[H], K[H1], K[H2] e K[H3] em que

H = {(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(x, y)α4 ∩(y, z)α4 ∩(x, z)α4} ∪ {0}

H1 = {(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(x, y)α4} ∪ {0}=he1, e2, e3, e1+e4, e2+e4i

H2 = {(α1, α2, α3, α4)∈N4 ; xα1yα2zα3 ∈(y, z)α4} ∪ {0}=he1, e2, e3, e2+e4, e3+e4i

(36)

com e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1).

Como H =H1∩H2∩H3 ent˜ao H ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

Afirmamos queH =he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4i.

Chamemos Hb =he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+ 2e4i.

Observe que comoe1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+2e4 ∈H

ent˜ao Hb ⊂H. Resta mostrar que H ⊂H.b

Seja α = (α1, α2, α3, α4) ∈ H. Consequentemente, ∃ ai, bi, ci ∈ N, i= 1,2,3,4,5

tais que

α = a1e1+a2e2+a3e3+a4(e1+e4) +a5(e2+e4)

= (a1+a4, a2+a5, a3, a4+a5) (2.1)

α = b1e1+b2e2+b3e3+b4(e2+e4) +b5(e3+e4)

= (b1, b2+b4, b3+b5, b4 +b5) (2.2)

α = c1e1+c2e2+c3e3+c4(e1+e4) +c5(e3+e4)

= (c1+c4, c2, c3+c5, c4+c5) (2.3)

De 2.1, 2.2 e 2.3 temos (respectivamente):

        

α1+α2 ≥α4

α2+α3 ≥α4

α1+α3 ≥α4

(2.4)

Se α4 = 0 ent˜ao α =α1e1+α2e2+α3e3 ∈H.b

Se α4 ≥1 temos que existem pelo menos dois elementos do conjunto {α1, α2, α3}

n˜ao nulos. De fato, suponha que αi = αj = 0 com i 6= j. Ent˜ao, por 2.4, α4 = 0, o que

contradiz a nossa hip´otese.

Assim, temos duas possibilidades:

1) α1 = 0 ou α2 = 0 ou a3 = 0

2) α1, α2, α3 ≥1

Para a primeira possibilidade, observe que se α1 = 0,por 2.4,α2 ≥α4 e α3 ≥α4,

ou seja,α′2, α′3 ∈N tais que α2 =α4+α′2 e α3 =α4+α′3. Portanto,

α = (0, α2, α3, α4) = (0, α4+α′2, α4+α′3, α4) = α′2e2+α′3e3+α4(e2+e3+e4)∈H.b

Os outros casos s˜ao an´alogos.

Para a segunda possibilidade, sejamn1, n2, n3os maiores naturais que satisfazem

(37)

Gera¸c˜ao Finita de Semigrupos Afins 27

Como cada ni ´e maior poss´ıvel, αe−ei 6∈ H, ∀i ∈ {1,2,3} pois, caso contr´ario, se por

exemplo αee1 ∈H− {0} ent˜ao α = (n1+ 1)e1+n2e2+n3e3+αe−e1 e por sua vez n1

n˜ao seria m´aximo.

Desta forma, assumiremos sem perda que αei 6∈H, ∀i∈ {1,2,3}, ou seja,

        

(α1−1, α2, α3, α4)6∈H

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H

(α1, α2, α3−1, α4)6∈H

(2.5)

Analisemos o caso (α1 −1, α2, α3, α4)6∈H (os outros s˜ao sim´etricos).

Note que como α2+α3 ≥ α4 (por 2.4) temos que xα1−1yα2zα3 ∈ (y, z)α4, isto ´e,

(α1−1, α2, α3, α4) ∈H2. Portanto, (α1−1, α2, α3, α4) 6∈H1 ou (α1−1, α2, α3, α4) 6∈H3

o que implica em

α1−1 +α2 < α4 ou α1−1 +α3 < α4 (2.6)

Para os demais casos temos:

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H ⇒α2−1 +α1 < α4 ou α2−1 +α3 < α4 (2.7)

(α1, α2−1, α3, α4)6∈H ⇒α3−1 +α1 < α4 ou α3−1 +α2 < α4 (2.8)

Assim, de 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 temos as seguintes possibilidades:

1) α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1 +α3−1< α4

2) α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1 +α3−1≥α4

3) α1+α2−1< α4, α1 +α3−1< α4 e α2 +α3−1≥α4

4) α2+α3−1< α4, α1 +α3−1< α4 e α1 +α2−1≥α4

Se a primeira possibilidade ocorrer, ou seja, se

α1+α2−1< α4, α2 +α3−1< α4 e α1+α3−1< α4

ent˜ao usando 2.4 temos

α4 ≤α1+α2 < α4+ 1 ⇒ α1+α2 =α4

α4 ≤α2+α3 < α4+ 1 ⇒ α2+α2 =α4

α4 ≤α1+α3 < α4+ 1 ⇒ α1+α3 =α4

e conclu´ımos que α1 =α2 =α3 e α4 = 2α1.

Logo,

(38)

Se a segunda possibilidade ocorrer, usando os mesmos argumentos do item an-terior temos que α1 +α2 = α4 e α2 +α3 = α4 e portanto α1 = α3. Substituindo essas

informa¸c˜oes na desigualdade α1 +α3 − 1 ≥ α4 encontramos α1 +α1 −1 ≥ α1 + α2

o que nos leva aconcluir que α1 > α2 e ∃α1′ >0 tal que α1 =α2+α′1.

Portanto,

α = (α1, α2, α3, α4)

= (α2+α′1, α2, α2+α′1,2α2+α′1)

= (α2, α2, α2,2α2) + (α′1,0, α′1, α′1)

= α2(e1 +e2+e3+ 2e4) +α′1(e1+e3 +e4)∈H.b

As possibilidades 3) e 4) s˜ao an´alogos a 2).

Assim, H =Hb =he1, e2, e3, e1+e2+e4, e2+e3+e4, e1+e3+e4, e1+e2+e3+ 2e4i.

(39)

Cap´ıtulo 3

´

Algebras de Rees simb´

olicas de

ideais monomiais

Este cap´ıtulo trata das ´Algebras de Rees associadas a uma filtra¸c˜ao dada por potˆencias simb´olicas de um mesmo ideal monomial, denominadas ´Algebras de Rees simb´o-licas de ideais monomiais. Na se¸c˜ao 3.1, mostraremos que tais ´algebras possuem gera¸c˜ao finita. Na se¸c˜ao seguinte, introduziremos o conceito de ´algebra de cobertura de v´ertices e provaremos que essas ´algebras s˜ao um caso particular das ´Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais.

3.1

Gera¸c˜

ao finita das ´

Algebras de Rees simb´

olicas

de ideais monomiais

SejaS=K[x1, x2, . . . , xr] eI ⊂Sum ideal monomial livre de quadrado. Sabemos

que

M

n≥0

I(n)tn=M

n≥0

( \

P∈Min(I)

Pn)tn

(posteriormente falaremos mais sobre a igualdade acima) que por sua vez ´e umaS´algebra finitamente gerada, usando o teorema 2.0.8.

O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que as ´Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais s˜ao, de forma geral, um caso particular do teorema 2.0.8 e portanto s˜ao tamb´em finitamente geradas. O pr´oximo lema auxiliar´a na demostra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.1.3. Antes de enunci´a-lo, necessitamos lembrar a seguinte defini¸c˜ao:

Sejam A um anel e B um subanel de A. Um elemento x A ´e dito ser inteiro sobre Bse satisfaz uma equa¸c˜ao da forma

xn+a1xn−1+· · ·+an= 0

(40)

em queai ∈B, ∀i∈ {1, . . . , n}. Claramente, todo elemento deB´e inteiro em B.Se todo

elemento de A´e inteiro emB dizemos que A ´e inteiro emB.

Lema 3.1.1. Sejam A um anel e B um subanel de A. Se A ´e inteiro em B e A ´e uma B´algebra finitamente gerada ent˜ao A ´e um Bm´odulo finitamente gerado.

Demonstra¸c˜ao. Como A ´e uma B´algebra finitamente gerada, ∃ ω1, . . . , ωk ∈ A tais

queA=B[ω1, . . . , ωk]. Ademais, como A´e inteiro em B, ωi ´e inteiro emB para todo i.

Afirmamos que se A=B[ω1] ent˜ao A ´e umB−m´odulo finitamente gerado.

De fato, nN tal que ω1n+a1ω1n−1+· · ·+an= 0. Consequentemente,

ω1n+s =−(a1ω1n+s−1+· · ·+anω1s), ∀s≥0.

Procedendo por indu¸c˜ao em s, podemos ver que todas as potˆencias de ω1

per-tencem aoBm´odulo gerado por{1, ω1, . . . , ω1n−1}.Portanto, A=B[ω1] ´e umB−m´odulo

finitamente gerado, o que conclui a afirma¸c˜ao.

Agora, supondo B[ω1, . . . , ωu] umB−m´odulo finitamente gerado para todo utal

que 1u < k, vamos mostrar que B[ω1, . . . , ωu] umB− m´odulo finitamente gerado para

u=k.

Seja Bu =B[ω1, . . . , ωu]. Ent˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao, Bk−1 ´e um B−m´odulo

finitamente gerado. Por outro lado, como ωk ´e inteiro sobre Bk−1 (pois B ⊂ Bk−1),

Bk=Bk−1[ωk] ´e um Bk−1−m´odulo finitamente gerado.

Portanto, ´e poss´ıvel verificar facilmente que Bk =B[ω1, . . . , ωk] ´e um B−m´odulo

finitamente gerado.

Seja S = K[x1, x2, . . . , xr] e considere ℑ = {In}n∈N uma filtra¸c˜ao de ideais

ho-mogˆeneos deS.

Denote por A=M

n≥0

Intn a ´Algebra de Rees associada a ℑ. Define-se

A(d) =M

n≥0

And =

M

n≥0

Indtnd

como sendo ad-´esima veronessiana de A. ´

E f´acil ver que A(d) ´e uma sub´algebra de A.

Defini¸c˜ao 3.1.2. Seja B uma B0´algebra. Dizemos que B ´e uma B0´algebra graduada padr˜ao se ´e isomorfa ao anel quociente de B0[x1, x2, . . . , xr] por um ideal homogˆeneo.

(41)

´

Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais 31

Proposi¸c˜ao 3.1.3. S˜ao equivalentes:

(a) A ´e uma S-´algebra finitamente gerada.

(b) Existe um n´umero natural d tal que A(d) ´e uma S´algebra graduada padr˜ao.

(c) Existe um n´umero natural d tal que A(d) ´e uma S´algebra finitamente gerada.

Demonstra¸c˜ao. (a) (b) Como A ´e uma S´algebra finitamente gerada e ´e uma filtra¸c˜ao de ideais homogˆeneos, pela proposi¸c˜ao 1.4.5, A = S[f1tc1, . . . , fmtcm] em que

fi ∈Ici ´e um elemento homogˆeneo, ∀i∈ {1, . . . , m}. Sejac= MMC{c1, . . . , cm}.

Defina B=S[g1, . . . , gm] com gi =fi

c

citc.Note que B ´e um subanel de A.

Al´em disso,

B=M

j≥0

Bj

com Bj =h{uα1···αmg1

α1· · ·g

mαm; |α|:= m

X

i=1

αi =j , uα1···αm ∈S}i, ∀j >0 e B0 =S.

Observe que como fi

c ci ⊂(Ic

i) c

ci ⊂Ic ent˜ao giAc,i.

Consequentemente, uα1···αmg1

α1· · ·g

mαm ∈ (Ac)j ⊂ Ajc, ou seja, Bj ⊂ Ajc para

todoj N.

Por outro lado, como fitci ´e um elemento inteiro emB (pois ´e raiz do polinˆomio

p(x) = xcic −gi) para todo i, e A ´e em particular uma B´algebra finitamente gerada,

pelo lema 3.1.1 temos queA´e um Bm´odulo finitamente gerado. Por sua vez, comoB ´e noetheriano (pois ´e imagem homom´orfica do anel de polinˆomios em m vari´aveis sobreS) ent˜ao A(c) ´e tamb´em um Bm´odulo finitamente gerado.

Seja{ak ∈Askc;k = 1, . . . , θ}um conjunto de geradores deA

(c)comoBm´odulo

e considered =sc em que s= max{s1, . . . , sθ}.

Afirmamos que Ajd =Adj, ∀j ≥0.

Com efeito, para j = 0 ou j = 1 ´e trivial. Suponha a afirma¸c˜ao v´alida para todo j 1 e mostremos que a mesma ´e v´alida para j+ 1.

Para isso, note que BjAkc =A(j+k)c, ∀j ≥0 e k ≥s.

De fato, como Bj ⊂ Ajc tem-se BjAkc ⊂ AjcAkc ⊂ A(j+k)c. Reciprocamente,

considere f A(j+k)c ⊂A(c). Ent˜ao

f =ht(j+k)c =X

λ

bλaλ com h∈I(j+k)c, bλ ∈B eaλ ∈Asλc.

Observe que, k s sλ. Al´em disso, o grau em t de bλ ´e (j +k)c−sλc, para

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