Manuela da Silva Souza

Livre

0
0
55
1 year ago
Preview
Full text

  

Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Finitude das ´ Algebras de Rees

associadas a filtrac ¸ ˜ oes monomiais

Manuela da Silva Souza

  Salvador-Bahia Finitude das ´ Algebras de Rees associadas a filtrac ¸ ˜ oes monomiais Manuela da Silva Souza

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano.

  Salvador-Bahia Souza, Manuela da Silva.

  Finitude das ´ Algebras de Rees associadas a filtra¸c˜ oes monomiais / Manuela da Silva Souza. – Salvador, 2009. 45 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2009. Referˆencias bibliogr´aficas. 1. ´ Algebra. 2. An´eis ( ´ Algebra). 3. An´eis comutativos. I. Bahiano,

Carlos Eduardo Nogueira. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDD - 512.4 Finitude das ´ Algebras de Rees associadas a filtrac ¸ ˜ oes monomiais Manuela da Silva Souza

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica, em 06 de fevereiro de 2009.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Jos´e Fernandes Silva Andrade UFBA

  Prof. Dr. Paulo Roberto Brumatti UNICAMP

  `

A minha m˜ae.

  

Aquele que toma a realidade e faz um sonho ´e um

artista. Tamb´em ser´a um artista aquele que do sonho

fizer a realidade.

  (Malba Tahan) Agradecimentos

  Agrade¸co a Deus, por iluminar a minha vida e por me dar for¸ca e empenho na conduta dos meus estudos. Aos meus pais, meus irm˜aos e minha madrinha, pelo afeto, carinho e compreens˜ao em todos os momentos. Ao meu amado Teles (Meu Bem), meu companheiro e c´ umplice, por tornar a minha vida mais feliz e colorida. A meu orientador, meu “teacher”Bahiano, pela disponibilidade, pela paciˆencia e por puxar as minhas orelhas, sempre que necess´ario. Aos professores Z´e Fernandes e Paulo Brumatti, pelas sugest˜oes feitas a dis- serta¸c˜ao, em especial, a Z´e Fernandes, um conselheiro s´abio, pelo exemplo de vida. Ao professor Enaldo, pelo incentivo, pelo carinho e principalmente pela generosi- dade. A toda equipe do Labor´atorio de ensino de matem´atica da UFBA

  (LEMA-UFBA), em especial, `a professora Lina e `a Fabiana, pelo aprendizado e por todos os nossos momentos juntos.

  ` A professora Cec´ılia, por ter me ensinado a olhar a matem´atica com outros olhos, ainda no tempo da escola, e pela torcida.

  ` As “super-poderosas”, Fa, Liu e Vanessinha, sinˆonimos de amizade e companhe- rismo, pela parceria acadˆemica durante esses 6 anos e por tornar essa caminhada mais suave e alegre.

  ` As minhas amigas da ´epoca do Serravalle, Mag e Edilene e a ´Isis, pelo carinho e por entender os momentos que n˜ao pude estar presente.

  A Jo˜ao Paulo (JP), pelo apoio com o latex. Aos meus colegas de turma, Tiago e Luide, e a todos os familiares, amigos, professores e funcion´arios do IM-UFBA que contribuiram de forma direta ou indireta nesta conquista ou que torceram por mim.

  Para finalizar, `a CAPES pelo apoio financeiro. Resumo

  Neste trabalho mostra-se que as ´ Algebras de Rees associadas a certas filtra¸c˜oes, em particular, a filtra¸c˜ao simb´olica associada a ideais monomiais, s˜ao finitamente geradas. Al´em disso, apresenta-se um estudo introdut´orio sobre as ´algebras de cober- tura de v´ertices associadas a grafos simples e mostra-se que essas ´algebras configuram um caso particular das ´ Algebras de Rees simb´olicas associadas a ideais monomiais. Palavras-chave: ´ Algebras de Rees; Ideais monomiais; Cone racional; An´eis de semi- grupo; Potˆencias simb´olicas. Abstract

  In this work we deal with Rees algebras associated to some filtrations, in particular, we show that those associated with symbolics filtrations related to monomials ideals are finitely generated. The vertex cover algebras associated to simple graph are introduced and also presented as a particular case of symbolic Rees algebras of monomial ideals. Keywords: Rees Algebras; Monomial Ideals; Rational cone; Semigroup rings; Symbolic Powers. Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  2 Gera¸c˜ ao Finita de Semigrupos Afins

  43 Referˆ encias

  Algebras de cobertura de v´ertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Conclus˜ ao

  3.2 ´

  3.1 Gera¸c˜ao finita das ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais . . . . 29

  29

  Algebras de Rees simb´ olicas de ideais monomiais

  3 ´

  20

  1.5 Cone racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  1

  Algebras de Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1.4 ´

  1.3 Potˆencias simb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  9

  5 1.2 An´eis de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.1.2 Decomposi¸c˜ao prim´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.1.1 Defini¸c˜ao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 3 1.1 Ideais monomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  44 Introdu¸c˜ ao

  Nas ´ ultimas quatro d´ecadas, o estudo detalhado de certas ´algebras (an´eis) especi- ais ganharam muito impulso em ´algebra comutativa devido a rela¸c˜ao mais profunda dessa ´area com a geometria alg´ebrica, a combinat´oria e a computa¸c˜ao. ´ E o caso das ´ Algebras de Rees associadas a uma filtra¸c˜ao. Formalmente, se B ´e um anel comutativo com unidade e uma filtra¸c˜ao multiplicativa de ideais em B, a ´ Algebra de Rees associada a n n ∈N

  ℑ = {I } M n

  (B) = I n t . Essas ´algebras foram introduzidas pelo matem´atico

  ℑ

  ℑ ´e a B−´algebra R n

  ≥0 inglˆes David Rees para provar o lema de Artin-Rees (1956) sobre filtra¸c˜oes de m´odulos.

  Se considerarmos R (B) como uma sub´algebra de B[t] surge naturalmente a per-

  ℑ

  gunta: Uma vez que B[t] ´e uma B (B) possui gera¸c˜ao

  ℑ

  −´algebra finitamente gerada, R finita? Em geral, a resposta ´e n˜ao. Um contra exemplo foi encontrado, por exemplo, por Nagata em [10]. Diante da resposta negativa, buscam-se hip´oteses razo´aveis com o intuito de encontrar uma resposta positiva que possa ser generalizada em fun¸c˜ao de caracter´ısticas e invariantes dos ideais da filtra¸c˜ao, j´a que para um mesmo anel B, a depender da escolha da (B) pode ter ou n˜ao gera¸c˜ao finita.

  ℑ

  ℑ, R A no¸c˜ao de potˆencia simb´olica foi introduzida por W. Krull na dec´ada de 30 (do s´eculo passado). Trata-se de um objeto extremamente natural em ´algebra comutativa, cujo primeiro significado geom´etrico foi dado por Oscar Zariski. Cerca de 20 anos depois, Hochester chamou a aten¸c˜ao para o comportamento peculiar desses objetos quando se considerava o caso de certos ideais primos. Paralelamente, v´arios pesquisadores deram in´ıcio ao estudo abstrato das filtra¸c˜oes simb´olicas, isto ´e, filtra¸c˜oes dadas pelas potˆencias silmb´olicas de um mesmo ideal, introduzindo formalmente a ´ Algebra de Rees simb´olica.

  No caso particular em que o ideal ´e primo em um anel noetheriano, em 1985 Cowsik questionou se a ´ Algebra de Rees simb´olica associada seria sempre finitamente gerada. P. Roberts foi o primeiro a encontrar um contra-exemplo para essa conjectura baseado no contra-exemplo de Nagata citado no par´agrafo acima. Em 1988, gra¸cas ao trabalho de Lyubeznik – On arithmetical rank of monomial ideals – sabe-se que a ´ Algebra de Rees simb´olica de ideais monomiais gerados por monˆomios livres de quadrado tem tipo de gera¸c˜ao finita (veja [8]). Tal resultado foi estendido para qualquer ideal monomial com

  

of monomial ideals and vertex cover algebras (ver ref. [6]), e esse mesmo artigo motivou

o presente trabalho.

  Os objetos de estudo desta disserta¸c˜ao s˜ao as ´algebras de Rees associadas a certas filtra¸c˜oes monomiais, em particular, a filtra¸c˜ao simb´olica. Nosso principal objetivo ´e mostrar que as ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais de K[x , x , . . . , x r ],

  1

  2 K um corpo, s˜ao finitamente geradas.

  A leitura deste texto pressup˜oe, naturalmente, conhecimentos sobre a teoria de an´eis, m´odulos e ´algebras. Defini¸c˜oes e resultados dessa natureza podem ser encontrados por exemplo em [1] ou [13]. ´ E poss´ıvel que um leitor principiante considere a leitura dessas referˆencias um tanto dif´ıceis. Se tal acontecer, o leitor pode troc´a-las por [7].

  A disserta¸c˜ao esta dividida em trˆes cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo aborda-se as ferramentas, conceitos e resultados necess´arios para a compreens˜ao dos cap´ıtulos seguintes. O cap´ıtulo 2 trata dos semigrupos afins finitamente gerados e da rela¸c˜ao que existe en- tre o fato da interse¸c˜ao de uma cole¸c˜ao finita deles ainda ser finitamente gerada e as n n n

  ´ , , J , . . . , J

  Algebras de Rees associadas a s n no qual s

  1 2 ∈N

  1

  2

  ℑ = {J ∩ J ∩ . . . ∩ J } {J } ´e uma cole¸c˜ao de ideais monomiais, ser tamb´em finitamente geradas. No ´ ultimo cap´ıtulo, mostra-se o resultado principal desta disserta¸c˜ao, apresenta-se um estudo introdut´orio sobre as ´algebras de cobertura de v´ertices associadas a grafos simples e mostra-se que o n´ umero de coberturas de v´ertices indecompon´ıveis associadas a esses grafos ´e finito. A disserta¸c˜ao cont´em ainda um exemplo em que os geradores das estruturas estudadas s˜ao explicitamente calculados.

  Destacamos que, para os fins deste trabalho, an´eis ser˜ao sempre an´eis comutativos com unidade (n˜ao nula!). Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo faremos uma breve discuss˜ao de alguns conceitos e resultados que ser˜ao muito ´ uteis nesta disserta¸c˜ao. O cap´ıtulo est´a organizado em 5 se¸c˜oes cujos t´ıtulos s˜ao palavras chaves deste trabalho. As se¸c˜oes 1.1, 1.3 e 1.4 consistem, respectivamente, dos seguintes t´opicos de ´algebra comutativa: ideais monomiais, potˆencias simb´olicas e

  ´ Algebras de Rees. A leitura desta parte pode ser dispensada ou apenas usada para eventuais consultas, caso o leitor tenha feito um curso de ´algebra comutativa. A se¸c˜ao 1.2 aborda um pouco sobre os an´eis de semigrupos e a ´ ultima se¸c˜ao, cones racionais, trata de um t´opico de an´alise convexa de muita utilidade neste contexto e grande apelo intuitivo.

  Lembrando mais uma vez, sempre que usarmos o termo anel estaremos nos referindo a anel comutativo com unidade.

1.1 Ideais monomiais

  Seja p , x , . . . , x r ], K corpo. Da teoria elementar de an´eis, sabemos que

  1

  2

  ∈ K[x se cada termo de p pertence a um ideal I ent˜ao p ∈ I. No entanto, a rec´ıproca pode n˜ao ser verdadeira, mesmo quando p encontra-se em sua forma normal (sem parcelas redun- dantes). Nesta se¸c˜ao, estudaremos uma classe especial de ideais, os ideais monomiais, em que a rec´ıproca ´e sempre v´alida, desde que p esteja em sua forma normal. Al´em disso, por se tratar de uma important´ıssima ferramenta neste trabalho, caracterizaremos a decomposi¸c˜ao prim´aria desses ideais. α α 1 α r r . . . x , .

  Denote X := x

  1 r com α = (α 1 r )

  · · · , α ∈ N

1.1.1 Defini¸c˜ ao e propriedades

  Defini¸c˜ ao 1.1.1. Seja I , x , . . . , x r ] um ideal. Dizemos que I ´e um ideal monomial

  1

  2 α r r ⊂ K[x

se I = ; α n˜ao vazio, ou seja, I ´e gerado por uma

  α r

  Lema 1.1.2. Seja I um ideal monomial gerado por ; α {X ∈ Λ ⊂ N }. Dado f perten-

  , x , . . . , x

  cente a K[x r ] em sua forma normal ent˜ao f

  1

  2 α ∈ I se, e somente se, cada termo . de f ´e divis´ıvel por algum X s

  X α

  (i)

  g X , x , . . . , x Demonstra¸c˜ ao. Se f i com g i r ] e α(i)

  1

  2 ∈ I ent˜ao f = ∈ K[x ∈ Λ. i =1

  Escrevendo cada g i como soma de termos e distribuindo os produtos, encontramos que β r

  X . cada termo a β de f com a β

  6= 0 tem β = α(i) + γ para algum α(i) ∈ Λ e γ ∈ N A rec´ıproca ´e imediata.

  ✷ Note que pelo teorema da base de Hilbert (ver [1]), K[x , x , . . . , x r ], K um corpo,

  1

  2

  ´e um anel noetheriano, ou seja, se I ´e um ideal de K[x , x , . . . , x r ] ent˜ao existe um

  1

  2

  conjunto finito de polinˆomios que geram I. Em particular, se I ´e um ideal monomial, pelo lema 1.1.2 ´e poss´ıvel verificar facilmente que I ´e gerado por uma cole¸c˜ao finita de monˆomios, mais precisamente, pela cole¸c˜ao de monˆomios associados aos termos dos polinˆomios geradores.

  O teorema a seguir apresenta uma demonstra¸c˜ao alternativa para este resultado. α r Teorema 1.1.3. Se I = ; α α α h{X ∈ Λ ⊂ N }i ent˜ao ∃ α(1), . . . , α(k) ∈ Λ tais que

  (1) (k)

  I , . . . , X = hX i. Em outras palavras, todo ideal monomial ´e gerado por uma cole¸c˜ao

  finita de monˆomios.

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar essa afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao no n´ umero de vari´aveis. a 1 a 2 , x , . . .

  Se r = 1 ent˜ao I ´e gerado por x com a i ∈ Λ ⊂ N.

  1

α

  

1

Seja α = min ; a divide todos os outros geradores de I. Logo, i i α

  {a ∈ Λ}. Ent˜ao x

  

1

I =

  hx 1 i.

  Suponha a afirma¸c˜ao v´alida para r r por y.

  • 1

  ≥ 1 e denote a vari´avel x β m , x , . . . , x , y y

  Observe que todo monˆomio de K[x r

  1 2 r ] pode ser escrito da forma X com

  β e m ∈ N ∈ N. β β m Seja I = ; X y h{X ∈ I para algum m ∈ N}i. Por constru¸c˜ao, I ´e um ideal

  , x , . . . , x monomial de K[x r ]. Assim, por hip´otese de indu¸c˜ao, I ´e gerado por uma lista

  1

  2

  finita de monˆomios, isto ´e: β β

  (1) (s)

  I , . . . , X =

  (1.1) hX i. β (i) m (i) y Consequentemente, ∃ m(1), m(2), . . . , m(s) ∈ N tais que X ∈ I, i ∈ {1, 2, . . . , s}. Tomando m = max

  {m(1), m(2), . . . , m(s)} temos que β m

  (i) o

  X y (1.2) ∈ I, ∀ i ∈ {1, 2, . . . , s}. β β k

  Por outro lado, para cada k , considere I k = ; X y ∈ N, 0 ≤ k ≤ m h{X ∈ I}i. Mais uma vez, usando a hip´otese de indu¸c˜ao, para cada k temos:

  , Pela defini¸c˜ao de I k β k k (j)

  X y k (1.4) ∈ I, j ∈ {1, 2, . . . , t }. Defina β m β k

  (i) o k (j)

  G y , y , , = 1 = 1 k

  1

  2 h{X ≤ i ≤ s}i e G h{X ≤ k ≤ m ≤ j ≤ t }i.

  Afirmamos que I =

  1

  2 h{G ∪ G }i.

  Com efeito, de 1.2 e 1.4 ´e imediato que I

  1

  2 β m ⊃ h{G ∪ G }i.

  Seja X y ∈ I. β β β

  (i)

  Se m , como X ´e divis´ıvel por X ≥ m ∈ I, por 1.1 e pelo lema 1.1.2, X β m β (i) m y y para algum i. Assim, X ´e divis´ıvel por X , o que conclui esse caso. β β

  Se m < m ent˜ao X . Usando 1.4 e o lema 1.1.2 temos que X ´e divis´ıvel m β β m β m m (j) ∈ I m (j) por X para algum j. Portanto, X y ´e divis´ıvel por X y e isso conclui a prova.

  ✷ Fazendo uso do teorema anterior ´e poss´ıvel verificar, sem muita dificuldade, que o produto, a interse¸c˜ao e o radical de ideais monomiais s˜ao tamb´em ideais monomiais.

1.1.2 Decomposi¸c˜ ao prim´ aria

  Uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em um anel A ´e uma express˜ao de I como interse¸c˜ao de um n´ umero finito de ideais prim´arios. A decomposi¸c˜ao prim´aria nos permite reduzir, em certo sentido, o estudo de um ideal arbitr´ario ao estudo de ideais prim´arios. Vale ressaltar que uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em um anel qualquer pode n˜ao existir. No entanto, se I ´e um ideal em um anel de polinˆomios com coeficientes em um corpo, ou mais geralmente, se I ´e um ideal em um anel noetheriano, pelo teorema de Lasker-Noether (ref. [13]), I tem uma decomposi¸c˜ao prim´aria. s

  \ Defini¸c˜ ao 1.1.4. Seja I um ideal e I = Q i uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I em que i s =1

  \ Q Q i ´e P i i ´e dita uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal ou reduzida de I,prim´ario. i

  =1 se satisfizer as seguintes condi¸c˜oes: s

  \ (i) Para todo i i Q j ;

  ∈ {1, 2, . . . , s}, Q 6⊃ j =1, j6=i (ii) Se i i j , ou seja, os primos associados aos ideais prim´arios da

  6= j ent˜ao P 6= P decomposi¸c˜ao s˜ao dois a dois disjuntos. Observa¸c˜ ao 1.1.5. Toda decomposi¸c˜ao prim´aria pode ser reduzida a uma decomposi¸c˜ao

  

interse¸c˜ao dos outros presentes na decomposi¸c˜ao e observando-se que interse¸c˜ao de dois

ideais P

  −prim´arios ´e tamb´em P −prim´ario.

  2

  , xy Exemplo 1.1.6. Seja I = (x ) um ideal de K[x, y].

2 I = (x) ) ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal,

  ∩ (y − cx, x ∀ c ∈ K p p

  2 cujos primos associados s˜ao (x) = (x) e (y ) = (x, y).

  − cx, x Isso mostra que a decomposi¸c˜ao minimal pode n˜ao ser ´ unica. O pr´oximo teorema mostrar´a que os primos associados `as componentes prim´arias da decomposi¸c˜ao de I, s˜ao unicamente determinados. O ponto importante ´e que de- terminar tais primos n˜ao depende da decomposi¸c˜ao minimal; depende apenas de uma propriedade intr´ınseca ao ideal. s

  \ Q

  Teorema 1.1.7. Seja I = i uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal de I em que P i ´e i

  =1

  . , x , . . . , x

  

o radical de Q i Um ideal P r ]) ´e igual a algum P i se, e somente

  1

  

2

  ∈ Spec(K[x p

  se, (I : c).

  ∃ c 6∈ I tal que P = , x , . . . , x

  Demonstra¸c˜ ao. Seja P r ]) tal que P = P j para algum j. Como a

  1

  2

  ∈ Spec(K[x s \ Q . decomposi¸c˜ao ´e minimal, i tal que c j Assim,

  ∃ c ∈ 6∈ Q i

  =1, i6=j s s s " #

  \ \ \ Q (I : c) = ( i : c) = (Q i : c) = (Q i : c) j : c) = (Q j : c). i i i ∩ (Q

  =1 =1 =1, i6=j

  p p Portanto, (I : c) = (Q j : c) = P j = P. p Reciprocamente, suponha que para algum c (I : c) = P. s 6∈ I,

  \ Como (I : c) = (Q i : c) ent˜ao i =1 s p \ p \

  P = (I : c) = (Q i : c) = P i . i

  =1 c 6∈Q i Logo, P = P i para algum i.

  ✷ O conjunto dos primos associados `as componentes prim´arias da decomposi¸c˜ao minimal de I ´e chamado de conjunto dos primos associados de I ou simplesmente, primos de I e ´e denotado por Ass(I).

  Um primo associado de I que n˜ao cont´em nenhum outro primo de I ´e chamado de primo m´ınimo; caso contr´ario, ´e dito primo imerso. O conjunto de todos os primos

  Note que no exemplo 1.1.6 a n˜ao unicidade da decomposi¸c˜ao minimal ocorre devido a componente prim´aria associada ao primo imerso de I. De maneira geral, as componentes prim´arias associadas aos primos m´ınimos de uma decomposi¸c˜ao prim´aria s˜ao unicamente determinadas (veja ref. [1]).

  Observa¸c˜ ao 1.1.8. Se e P , x , . . . , x r ]) e e P P

  1

  2

  ∈ Spec(K[x ⊃ I ent˜ao e ⊃ P para algum P ∈ Ass(I) (veja ref. [1]). n Observa¸c˜ ao 1.1.9. Min(I) ), ⊂ Ass(I ∀ n ∈ N.

  De agora diante, para simplificar a nota¸c˜ao, uma decomposi¸c˜ao prim´aria minimal de um ideal I ser´a escrita da seguinte forma: \

  I Q = (P ) em que Q(P ) ´e P -prim´ario. P ∈Ass(I) O lema a seguir auxiliar´a a demostra¸c˜ao do teorema que caracterizar´a uma de- composi¸c˜ao prim´aria de um ideal monomial. α β

  Lema 1.1.10. Seja J , x , . . . , x ] um ideal gerado por monˆomios. Se X , X s˜ao

  1 2 r

  ⊂ K[x α β

  monˆomios tais que MDC(X , X ) = 1 ent˜ao

α β α β

  X , J , J , J (X ) = (X ) ). α β α β ∩ (X X , J , J , J Demonstra¸c˜ ao. Note que (X ) ) ). α β ⊂ (X ∩ (X

  Reciprocamente, seja f , J ) , J ). Ent˜ao, α β ∈ (X ∩ (X f = g X + h = g X + h com h , h , g , x , . . . , x r ].

  1

  1

  2

  2

  

1

  2

  1

  2

  1

  2

  ∈ J e g ∈ K[x Sem perda da generalidade, podemos supor que g e g est˜ao em suas formas

  1

  2 normais e que todos os seus termos n˜ao pertencem a J. α α β

  Se g

  X X , J ). Caso contr´ario, existe um termo

  1 γ α α ∈ J temos que f ∈ J ⊂ (X (i)

  a i

  X X de g X que n˜ao pertence a J. Como

  1

α β β

  g

  X X , J = g + h ),

  1

  2

  

2

  1 γ (i) α β α β − h ∈ (X

  X , X temos necessariamente que X ). Uma vez que MDC(X ) = 1 temos que β γ (i) ∈ (X α X . Repetindo o argumento em todos os termos de g X que n˜ao pertencem a J

  1

  | X obtemos α α β g

  X X , J ).

  1 α β ∈ (X

  Portanto, f X , J ).

  ∈ (X Teorema 1.1.11. Se I ´e um ideal monomial ent˜ao existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria s \

  I Q = i em que cada Q i ´e um ideal monomial gerado por potˆencias de vari´aveis. Em i

  =1 particular, os primos associados de I s˜ao gerados por subconjuntos de vari´aveis. α α α α (1) (k) (1) (k)

  , . . . , X , . . . , X Demonstra¸c˜ ao. Seja I = (X ) em que

  {X } ´e um conjunto m´ınimo de geradores de I. Provaremos por indu¸c˜ao no n´ umero de geradores que existe tal decomposic˜ao prim´aria. Re-enumerando os ´ındices das vari´aveis, se necess´ario, podemos supor α α α

  (1) 1 (1) t (1)

  X . . . x = x t com t

  1 α (1) ≤ r.

  Se k = 1 ent˜ao I = (X ). Usando recursivamente o lema 1.1.10 temos: α 1 (1) α t (1) I = (x ) t ).

  1 α α α ∩ . . . ∩ (x (2) (k) (1)

  , . . . , X , J Defina J = (X ). Por conseguinte, I = (X ). Usando nova- mente o lema 1.1.10 de forma recursiva temos: α α t 1 (1) (1)

  I , J , J = (x 1 ) t ).

  ∩ . . . ∩ (x Como um n´ umero de geradores de J ´e k u − 1, por hip´otese de indu¸c˜ao, J tem uma

  \ f decomposi¸c˜ao prim´aria J = Q i em que cada f Q i ´e gerado por potˆencias de vari´aveis. i

  =1

  Portanto, para cada j ∈ {1, . . . , t}, u u α α α j (1) j (1) j (1) \ \

  , J , Q f , f Q (x j ) = (x j i ) = (x j i ) i i

  =1 =1 o que conclui a indu¸c˜ao.

  Al´em disso, sabe-se que os primos associados s˜ao os radicais dos ideais prim´arios de uma decomposi¸c˜ao prim´aria. Assim, ´e imediato que o radical de um ideal prim´ario descrito como acima, ´e gerado por um subconjunto de vari´aveis.

  ✷ Observa¸c˜ ao 1.1.12. A decomposi¸c˜ao prim´aria dada acima pode n˜ao ser minimal. Por

  2

  2

  , xy, y

  exemplo, I = (x )

  ⊂ K[x, y] ´e um ideal (x, y)−prim´ario. Consequentemente, sua

  

decomposi¸c˜ao minimal ´e dada por ele pr´oprio. Desta forma, nenhuma decomposi¸c˜ao

prim´aria cujas componentes s˜ao geradas por potˆencias de vari´aveis ´e minimal.

1.2 An´ eis de semigrupos

  Nesta se¸c˜ao, definiremos os an´eis de semigrupos afins. Comecemos relembrando o conceito de mon´oide para a partir da´ı, definirmos semigrupo afim. Defini¸c˜ ao 1.2.1. Seja E um conjunto n˜ao vazio onde est´a definida uma opera¸c˜ao ∗ : E × E 7−→ E.

  Dizemos que o par (E,

  ∗) ´e um mon´oide se as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

  • a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ E (associatividade)
  • ∃ e ∈ E tal que a ∗ e = e ∗ a = a, ∀ a ∈ E (existˆencia do elemento neutro)

  A fim de simplificar a nota¸c˜ao, usaremos E em lugar de (E, ∗) quando n˜ao houver possibilidade de ambiguidade para *.

  Exemplo 1.2.2. N ´e um mon´oide com a opera¸c˜ao usual de soma. Exemplo 1.2.3. Todo grupo ´e um mon´oide. r Exemplo 1.2.4. (Z , +) ´e um mon´oide.

  Defini¸c˜ ao 1.2.5. Seja E um mon´oide e H um subconjunto de E. Dizemos que H ´e um submon´oide de E se H ´e ele pr´oprio um mon´oide com a mesma opera¸c˜ao de E. r Defini¸c˜ ao 1.2.6. Dizemos que H ´e um semigrupo afim, se H ´e um submon´oide de (Z , +). r Exemplo 1.2.7. N ´e um semigrupo afim.

  O pr´oximo exemplo mostra que nem todo semigrupo afim ´e finitamente gerado. A posteriori (Cap.2) mostraremos uma condi¸c˜ao suficiente e necess´aria para que isso ocorra. Exemplo 1.2.8. Seja H = {(i, j) ∈ N; ij 6= 0 ou (i, j) = (0, 0)}.

2 H ´e um semigrupo afim de Z que n˜ao ´e finitamente gerado.

  De fato, sejam h = (i , j ), h = (i , j )

  1

  1

  1

  2

  

2

  2

  ∈ H. Note que se i j j j j

  1 1 + i

  1 2 + i

  

2

1 + i

  2 2 = 0

  ent˜ao i j = 0 e i j = 0 o que equivale a dizer que h = h = (0, 0)

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  ∈ H ou seja h

  • h

  1

  2 ∈ H.

  Suponhamos por absurdo que H fosse finitamente gerado:

  −m´odulo. Mais ainda, A[H] ´e uma ´algebra sobre A.

  {j

  {j

  ∃! r ∈ {1, 2, . . . , m} tal que n r i r = 1 ⇒ n r = 1 e n k = 0 para k 6= r. Portanto, aplicando esse resultado na segunda equa¸c˜ao temos max

  , . . . , j m } + 1. Da primeira equa¸c˜ao,

  2

  , j

  

1

  2

  , j

  j

  2

  1

  j

  1

  · · · + n m i m = 1 n

  1

  2

  i

  e o produto por:

  Novamente ´e f´acil verificar que A[H] ´e um A

  [a.f ] : H r −→ A h 7−→ [a.f](h) = af(h)

  Tamb´em podemos definir um produto de elementos de A por elementos de A[H] da seguinte forma:

  f (v)g(w) ´e poss´ıvel verificar que, com as opera¸c˜oes acima, A[H] ´e um anel.

  X v

  [f. g] : H r −→ A h 7−→ [f. g](h) =

  −→ A h 7−→ [f + g](h) = f(h) + g(h)

  , . . . , j m }+1 = j r o que ´e um absurdo.

  ∈ A[H], definindo-se a soma em A[H] por: [f + g] : H r

  tais que f (h) 6= 0. Dados f e g

  ∈ H r

  em que o suporte de uma fun¸c˜ao f ´e o conjunto de elementos h

  {f : H r −→ A ; f tem suporte finito}.

  A [H] :=

  Logo, H n˜ao ´e um semigrupo afim finitamente gerado. Defini¸c˜ ao 1.2.9. Sejam A um anel e H um semigrupo afim. Definimos

  2 +

  2

  Considere o elemento (i, j) = (1, max {j

  , . . . , n m ∈ N tais que

  1

  , . . . , j m } + 1) = n

  2

  , j

  1

  (1, max {j

  2

  

1

  , n

  1

  ∃ n

  , . . . , j m } + 1) ∈ H. Consequentemente,

  

2

  , j

  1

  (i

  , j

  1 + n

  1

  i

  1

     n

  , . . . , n m ∈ N se resume a resolver o sistema,

  2

  , n

  , j m ). Assim, determinar n

  1

  ) + · · · + n m (i m

  2

  , j

  2

  (i

  2

  ) + n

  • n
  • · · · + n m j m = max
  • w=h
Toda fun¸c˜ao f ∈ A[H] pode ser escrita de forma ´unica, a menos de ordem entre as parcelas, como uma soma finita de termos, isto ´e, fun¸c˜oes cujo suporte ´e unit´ario.

  , . . . , h Se m

  1 r ) = a podemos utilizar a nota¸c˜ao h h 1 ∈ A[H] ´e um termo, com m(h) = m(h 2 h r ax x . . . x para representar m.

  1 2 r

  Note que K[H] ´e uma sub´algebra do anel de polinˆomios de Laurent h h 1 2 h r r

  −1 −1 −1 K , x , x , x , . . . , x , x x . . . x .

  [x r r ] gerada por h Se H = N ent˜ao K[H]

  1

  1

  2

  2 r ∈H

  {x

  1 2 } ´e o anel polinˆomios em r vari´aveis sobre K. r

  Note ainda que se Λ ´e n˜ao vazio e I ´e um ideal monomial em K[x , x , . . . , x ]

  1 2 r α ⊂ N gerado por ; α

  {X ∈ Λ}, pelo lema 1.1.2, ´e poss´ıvel verificar facilmente que r α α 1 2 α r I ∼ , α , . . . , α r ) ; x x

  = K[H] em que H =

  1

  2

  {(α ∈ N

  1 2 · · · x r ∈ I} ∪ {0}.

1.3 Potˆ encias simb´ olicas

  A forma¸c˜ao do anel de fra¸c˜oes e o processo de localiza¸c˜ao associado s˜ao uma das mais importantes ferramentas usadas em ´algebra comutativa. Apesar da riqueza deste tema, para sermos objetivos, nesta se¸c˜ao daremos apenas a defini¸c˜ao e propriedades do anel de fra¸c˜oes necess´arias para definir potˆencia simb´olica.

  Seja A um anel, S um sistema multiplicativo de A, isto ´e, S ⊂ A ´e tal que 1 ∈ S, 6∈ S e S ´e fechado com respeito ao produto de seus elementos.

  Considere a rela¸c˜ao de equivalˆencia ∼ no conjunto A × S dada por

  (a, s) ∼ (b, t) ⇔ (at − bs)u = 0 para algum u ∈ S. Note que se A ´e um dom´ınio de integridade (a, s) ∼ (b, t) ⇔ at = bs.

  A a

  × S

  −1 Defina S A := e denote cada classe de equivalˆencia (a, s) := .

  s ∼ a b

  −1

  Dados , A se considerarmos a soma e o produto dados por: ∈ S s t a b at a b ab

  • bs
  • = e = ; s t st s t st

  −1 temos que S A ´e um anel o qual denominamos de anel de fra¸c˜oes de A em S.

  −1 A .

  Quando S = A por A P

  − P e P ´e um ideal primo, denotaremos S ´

  E poss´ıvel verificar facilmente que

  −1

  ϕ A : A

  −→ S x x

  7−→ =

  1 ´e um homomorfismo de an´eis com unidade em que o n´ ucleo ´e o conjunto dos elementos Se A ´e um dom´ınio de integridade e S = A − {0} ent˜ao o anel de fra¸c˜oes ´e um corpo, o qual denominamos de corpo de fra¸c˜oes de A. Em particular, se A = Z e

  S = Z

  ) c ent˜ao z

  = y t em que x

  1 = x s

  Desta forma, z

  2 e .

  ∩ I

  1 e

  1 ∈ I

  2 e

  1

  ∩ I

  1 e

  = (I

  2 ec

  ∩ I

  1 ec

  Reciprocamente, se z ∈ I

  2 ec .

  ∈ I

  , y ∈ I

  1 ec

  ∈ (I

  ) ec . (b) Como Q ec

  2

  ∩ I

  1

  ) e , ou seja, z ∈ (I

  2

  ∩ I

  1

  = vtx vts

  2

  1 = x s

  Assim, z

  2 .

  ∩ I

  1

  ∈ I

  − sy) = 0 para algum v ∈ S. Consequentemente, vtx = vsy

  e s, t ∈ S. Da segunda igualdade, v(tx

  ∩ I

  ) ec ⊂ I

  − {0} ent˜ao S

  −1

  I e =

  ) e . Al´em disso, ´e poss´ıvel ver sem muita dificuldade que

  ) e , J ⊃ (J c

  I ⊂ (I c

  A e

  −1

  Os conjuntos J c e I e s˜ao, respectivamente, ideais de A e S

  A e c ∈ N}.

  ∈ I, y i ∈ S

  ∈ S

  X i =0 y i ϕ (x i ); x i

  I e := hϕ(I)i = { c

  (J) = {x ∈ A; ϕ(x) ∈ J}

  −1

  A , J c := ϕ

  −1

  Z = Q. Sejam I um ideal de A e J um ideal de S

  −1

  { x s

  −1

  2

  \ k

  ∩ I

  1

  Claramente (I

  = A Demonstra¸c˜ ao. (a) Basta mostrar para k = 2 e observar que o caso geral segue por indu¸c˜ao.

  (c) P ∩ S 6= ∅ ⇒ Q ec

  ∩ S = ∅ ⇒ Q ec = Q

  I k ec (b) P

  =1

  I k ) ec = n

  A ; x ∈ I, s ∈ S}.

  =1

  (a) ( n \ k

  Ent˜ao as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:

  , . . . , I n ideais quaisquer de A e Q um ideal Pprim´ario.

  2

  , I

  1

  Na pr´oxima proposi¸c˜ao encontram-se listadas algumas propriedades que ser˜ao necess´arias mais tarde. Proposi¸c˜ ao 1.3.1. Sejam I

  ⊃ Q, resta apenas mostrar que Q ec ⊂ Q.

  ec f x Se f ent˜ao = . Por sua vez, a ´ ultima igualdade

  ∈ Q ∃ x ∈ Q e s ∈ S tais que s 1 implica que t(x

  − sf) = 0 para algum t ∈ S, ou seja, tsf = tx ∈ Q. Como ts ∈ S ent˜ao ts 6∈ P, portanto, f ∈ Q pois, Q ´e P - prim´ario. n n s e . (c) Se s

  Logo, ∈ P ∩ S ent˜ao s ∈ Q ∩ S para algum n > 0 e portanto ∈ Q e −1 ec

  1 Q A = S o que implica em Q = A.

  ✷ A defini¸c˜ao dada a seguir de potˆencia simb´olica para an´eis de polinˆomios ´e a usual em an´eis noetherianos, embora existam outros ideais que tamb´em s˜ao chamados de potˆencia simb´olica.

  , x , . . . , x Defini¸c˜ ao 1.3.2. Dado um ideal I r ] e n

  

1

  2

  ⊂ K[x ∈ N. A n-´esima potˆencia

  simb´olica ordin´aria de I ´e definida como sendo o ideal n ec [ (n) I := (I ) em que S = K[x , x , . . . , x r ] P.

  1

  2

  − P

  ∈Min(I) (n)

  Para simplificar, chamaremos I apenas de n-´esima potˆencia simb´olica de I. O pr´oximo teorema dar´a uma condi¸c˜ao equivalente para potˆencia simb´olica muito usada e que ser´a muito ´ util neste contexto. n \

  Teorema 1.3.3. Seja I um ideal de K[x , x , . . . , x r ] e I = Q (P ) uma decom-

  1

  

2

P n n ∈Ass(I ) posi¸c˜ao prim´aria de I . Ent˜ao:

  \

  (n)

  I Q = (P ). P ∈Min(I) Demonstra¸c˜ ao. Note que, em virtude da proposi¸c˜ao 1.3.1, segue que n ec ec ec \ \ Q Q .

  (I ) = ( (P )) = (P ) P P n n

  ∈Ass(I ) ∈Ass(I )

  Por outro lado, como [

  P P ∩ S = ∅ ⇔ P ⊂ P

  ∈Min(I)

  [ P P

  ⊂ ⇔ P ∈ Min(I) P ∈Min(I) temos P ∩ S = ∅ equivale a P ∈ Min(I). Consequentemente, temos: ec

  Q (P ) = Q(P ), se P ec ∈ Min(I) Q , x , . . . , x (P ) = K[x r ], caso contr´ario.

  1

  2

  \

  (n) Logo, pela observa¸c˜ao 1.1.9, I = Q (P ).

  ´

1.4 Algebras de Rees

  Nesta se¸c˜ao, introduziremos o principal conceito deste trabalho: as ´ Algebras de Rees. Para entendermos melhor essas ´algebras, falaremos um pouco sobre uma classe de an´eis que, assim como o anel de polinˆomios, admite uma decomposi¸c˜ao de seus elementos em componentes homogˆeneas. Essa classe de an´eis ´e tratada formalmente na pr´oxima defini¸c˜ao.

  Um anel A ´e dito N −graduado se podemos escrever

  M A = A λ λ

  ∈N

  em que cada A λ ´e um subgrupo de A e A i A j i ,

  • j ⊂ A ∀ i, j ∈ N.

  Observe que como cada A λ ´e um A −m´odulo ent˜ao A ´e uma A −´algebra. Os elementos f λ s˜ao ditos homogˆeneos de grau λ. Um ideal homogˆeneo em

  ∈ A A ´e um ideal que admite um conjunto de geradores composto por elementos homogˆeneos.

  Note que a soma de elementos homogˆeneos de graus diferentes n˜ao ´e um elemento homogˆeneo. Assim, ideais homogˆeneos cont´em elementos n˜ao homogˆeneos. Se A ´e um anel N

  −graduado ent˜ao todo elemento f ∈ A, n˜ao nulo, ´e escrito de forma ´ unica como f

  1 + f

  2

  • = f + f

  · · · com f j j e f j ∈ A 6= 0 somente para um n´umero finito de ´ındices. Em outras palavras, f

  ´e escrito de forma ´ unica como soma de um n´ umero finito de elementos homogˆeneos. Cada f j ´e chamada de componente homogˆenea de f em grau j.

  Observa¸c˜ ao 1.4.1. ´ E poss´ıvel verificar que I ´e um ideal homogˆeneo se, e somente se, f j ∈ I ⇒ f ∈ I, ∀ j.

  , x , . . . , x Exemplo 1.4.2. De imediato temos que o anel de polinˆomios S = K[x

  1 2 r ] ´e um anel N

  −graduado atrav´es do grau total, isto ´e, M S

  S = λ λ

  ∈N em que S λ ´e o espa¸co vetorial dos polinˆomios homogˆeneos de grau λ.

  Deste ponto at´e o final da se¸c˜ao, iremos nos restringir a definir e a apresentar alguns resultados sobre um tipo especial de an´eis graduados: as ´ Algebras de Rees. Defini¸c˜ ao 1.4.3. Seja B um anel. Dizemos que uma fam´ılia de ideais n de B

  ℑ = {I } n

  ∈N Defini¸c˜ ao 1.4.4. Seja n n uma filtra¸c˜ao multiplicativa de ideais em B. A

  ∈N

  ℑ = {I } B

  −´algebra

  ∞

  M n

  2 R

  I t t t

  ℑ (B) = n = B

  1

  2 n =0 ⊕ I ⊕ I ⊕ · · · ´e chamada ´ Algebra de Rees associada a.

  ∞

  M n O ideal n =1 I t ´e denominado de ideal irrelevante. n Observe que R (B) ´e uma B

  ℑ

  −´algebra finitamente gerada se, e somente se, o ideal irrelevante ´e finitamente gerado. Ironicamente, ´e o ideal irrelevante que determina a noetherianidade da ´ Algebra de Rees, desde que B seja noetheriano. Em virtude desta observa¸c˜ao, apresentar um conjunto finito de geradores G para o ideal irrelevante ´e equi- valente a dizer que G B

  (B). Por esse

  ℑ

  ∪ {1 } ´e um conjunto de geradores da B−´algebra R motivo, sempre que apresentarmos um conjunto de geradores para R (B) omitiremos o 1. n ℑ A filtra¸c˜ao multiplicativa n ´e chamada de filtra¸c˜ao I-´adica. Neste

  ∈N

  ℑ = {I } caso, R (B) ´e denominada ´ Algebra de Rees de I ou ´ Algebra de Rees ordin´aria associada

  ℑ a I e ´e denotada por R I (B).

  Proposi¸c˜ ao 1.4.5. Sejam S = K[x , x , . . . , x r ], n n uma filtra¸c˜ao de S e R (S)

  1 2 ∈N ℑ

  ℑ = {I } n t

  a ´ Algebra de Rees associada a n

  ℑ. Ent˜ao, existe um conjunto de geradores da forma g .

  

com g n n Em particular, se para todo n, I n ´e um ideal homogˆeneo (resp. monomial)

  ∈ I ´e poss´ıvel tomar g homogˆeneo (resp. monˆomio). n n ∈ I .

  Demonstra¸c˜ ao. Seja G n um conjunto de geradores de I n Defina n G e n = ; g n {gt ∈ G }. [

  ´ e E imediato que G n ´e um conjunto de geradores de R (S). Em particular, se n ∈N ℑ cada I n ´e homogˆeneo (resp. monomial) ent˜ao G n pode ser escolhido de tal forma a ser composto por elementos homogˆeneos (resp. monomiais).

  ✷ A ´ Algebra de Rees R (S) ´e uma ´algebra monomial se ela pode ser gerada por

  ℑ

  um conjunto de monˆomios de S[t] = K[x , x , . . . , x r , t ]. Pela proposi¸c˜ao anterior, se

  1

  

2

  ℑ ´e uma filtra¸c˜ao monomial, ou seja, I n ´e um ideal monomial (S) ´e uma ´algebra

  ℑ

  ∀ n ∈ N, R monomial. Usando os mesmos argumentos da demonstra¸c˜ao do lema 1.1.2, ´e poss´ıvel verificar n facilmente que se R (S) ´e uma ´algebra monomial, f t (S) se, e somente se, para

  ℑ ℑ n ∈ R t

  cada termo n˜ao nulo f s de f tem-se que f s pertence a R (S). Consequentemente, temos

  ℑ

  R (S) ∼ = K[H] em que

  ℑ

r α

1 α 2 α r α r+1

  • +1

  H = , α , . . . , α , α ) ; x x t (S)

  1 2 r r +1 ℑ

  {(α ∈ N

  1 2 · · · x r ∈ R } ∪ {0} De forma geral, toda ´algebra monomial pode ser vista como um anel de semigrupo. O seguinte teorema d´a uma classe de exemplos de ´ Algebras de Rees finitamente geradas.

  Teorema 1.4.6. Se B ´e um anel noetheriano e I Algebra de Rees ⊂ B ´e um ideal ent˜ao a ´

  ordin´aria associada a I ´e uma B −´algebra finitamente gerada.

  , g , . . . , g Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar que se I = s

  1

  2

  hg i ent˜ao M n n

  R I (B) = = I t t, g t, . . . , g t

  1 2 s n ≥0 hg i ou equivalentemente que

  , x , . . . , x Ψ : B[x s ] I (B)

  1

  2

  −→ R x t, i i 7−→ g ∀ i ∈ {1, 2, . . . , s}

  ´e um epimorfismo de B −´algebras.

  Claramente, Ψ ´e um homomorfismo. Resta mostrar que Ψ ´e sobrejetiva. n n n n Seja gt t , g . Neste caso,

  ∈ I ∈ I

  X α α 1 s g a g a = α s s com α ...α s 1 ···α

  1 1 α s 1 +···+α =n · · · g ∈ B.

  X α 1 α s Considere h = a x , x , . . . , x ]. Temos: α 1 ···α s

  1 s

  1 2 s α 1 +···+α s =n · · · x ∈ B[x

  X α α n 1 s t, . . . , g t a g t t . Ψ(h) = h(g s ) = α s = gt

  1 1 ···α r

  1 α s 1 +···+α =n · · · g

  Como todo elemento de R I (B) ´e escrito como soma de um n´ umero finito de componentes homogˆeneas temos que Ψ ´e sobrejetiva.

  ✷

1.5 Cone racional

  Nesta se¸c˜ao, trataremos de alguns conceitos e resultados cl´assicos de an´alise con- vexa indispens´aveis neste trabalho. Nosso objetivo aqui ´e: definir cone racional, mostrar que todo cone racional ´e um cone finitamente gerado e exibir uma vers˜ao do Teorema de Carath´eodory para cones racionais. Em benef´ıcio da concis˜ao do texto, alguns resultados apresentados nesta se¸c˜ao n˜ao ser˜ao demonstrados. O leitor interessado pode encontrar tais demonstra¸c˜oes em [11]. n

  Um subconjunto n˜ao vazio D do R ´e chamado cone se ´e fechado para com- bina¸c˜oes lineares com coeficientes reais n˜ao negativos, isto ´e, ax

  • by ∈ D sempre que x, y ∈ D e a, b ≥ 0.

  ′

  Uma face de um cone D ´e um subconjunto convexo D de D tal que todo segmento

  ′ ′ .

  em D com um ponto interior em D esta completamente contido em D n Se V ´e n˜ao vazio, o conjunto

  ⊂ R c

  X R V a v , v

  • i i i i

  = ; a { ∈ R ∈ V e c ∈ N} i

  =0 ´e obviamente o menor cone contendo V, ou equivalentemente, ´e o cone gerado por V. n

  V ,

  O cone R ´e dito um poliedral convexo do subespa¸co RV do R se pode

  • ser expresso como uma interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela n origem, ou seja, , . . . , ω t , ω i

  1

  ∃ ω ∈ R 6= 0 tais que

  V , v

  R = V t em que V i = i

  1

  2

  ∩ V ∩ . . . ∩ V {v ∈ RV ; hhω ii ≥ 0}

  • em que hhω, vii denota o produto interno canˆonico de ω por v.

  V Enunciaremos agora um resultado que afirma que R ´e um poliedral convexo + se, e somente se, R V ´e um cone finitamente gerado. n

  • Teorema 1.5.1. Seja V , n˜ao vazio. S˜ao equivalentes:

  ⊂ R

  V (a) R ´e a interse¸c˜ao finita de semi-espa¸cos fechados de RV passando pela origem;

  • V (b) R tem um n´ umero finito de faces; + (c) , . . . , v s

  V = R , . . . , v s V ´e um cone finitamente

  1

  

1

+ + +

  ∃v ∈ V tais que R {v }, isto ´e, R gerado. Demonstra¸c˜ ao. Veja [11]. n

  , Defini¸c˜ ao 1.5.2. Seja V n˜ao vazio. O conjunto

  ⊂ R d

  X Q V c v , v = + + i i ; c i i

  { ∈ Q ∈ V e d ∈ N} i =0 n , ω , . . . , ω , ω

  ´e um cone racional, se existem ω m i

  1

  2

  ∈ R 6= 0 tais que

  Q

  V , v

  • m i i

  = V

  1 2 em que V =

  ∩ V ∩ . . . ∩ V {v ∈ QV ; hhω ii ≥ 0} O teorema a seguir ´e uma vers˜ao do teorema de Carath´eodory para cones racionais. Essencialmente, esse resultado diz que um cone racional qualquer ´e a uni˜ao de cones racionais cujos geradores s˜ao linearmente independentes. n Teorema 1.5.3 (Teorema de Carath´ eodory). Sejam v , . . . , v m . O cone

  1

  ∈ R Q , . . . , v m i , v i , . . . , v i i , v i , . . . , v i , . . . , v m

  1 + + 1 2 s 1 2 s

  1

  {v } ´e a uni˜ao dos cones Q {v } com v ∈ {v } n , . . . , v , . . . , v

  linearmente independentes sobre R. Em particular, se v m ent˜ao Q m

  1

  1

  ∈ Q {v }

  • ´e a uni˜ao de cones racionais cujos geradores s˜ao linearmente independentes sobre Q.

  Demonstra¸c˜ ao. Veja [11]. Proposi¸c˜ ao 1.5.4. Q V ´e um cone racional se, e somente se, ´e um cone finitamente

  • gerado.

  , . . . , v , . . . , v , . . . , v Demonstra¸c˜ ao. Note que Q +

  1 + s 1 s 1 s

  {v } = QV ∩ R {v } com {v } ⊂ V linearmente independente. De fato, obviamente Q , . . . , v s , . . . , v s

  1 + +

  1 {v } ⊂ QV ∩ R {v }.

  , . . . , v Reciprocamente, se v s

  

1

  ∈ QV ∩ R {v } uma vez que o sistema de equa¸c˜ao

  • com coeficientes em Q + v y y

  1

1 s s = v

s s s · · · + v

  , . . . , y , . . . , y , tem ´ unica solu¸c˜ao (y r ) ) ent˜ao (y r ) ) isto ´e,

  1

  1 + +

  ∈ Q ∩ (R ∈ (Q v , . . . , v

  • + r

  

1

∈ Q {v }.

  Pelo teorema de Carath´eodory, Q , . . . , v m , . . . , v m

  1 + +

  1

  {v } = QV ∩ R {v } para quaisquer v , . . . , v m

  1 ∈ V.

  O resultado segue do teorema 1.5.1.

  ✷

  3 Exemplo 1.5.5. Seja H = .

  {(c + d, b + d, a + b + c + d) ; a, b, c, d ∈ N} ⊂ R

  Note que H ´e um semigrupo afim gerado pelo conjunto {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}.

  H

  Como H ´e um semigrupo afim, o cone racional Q corresponde ao conjunto de + pontos de R H com coordenadas racionais.

  • Observe que Q H tem quatro faces de dimens˜ao 2:
  • >Q{(0, 0, 1), (0, 1, 1)}, Q {(0, 0, 1), (1, 0, 1)}, Q {(0, 1, 1), (1, 1, 1)} e Q {(1, 0, 1), (1, 1, 1)}.
  • em que

  • ∩ H
  • ∩ H
  • ∩ H

  • H = H
  • =
  • =
  • =
  • = {v ∈ QH ; hh(−1, 0, 1), vii ≥ 0}.
  • H = Q +
  • {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} ∪ Q
  • {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}
  • {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} ∪ Q
  • {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}
  • +

    H = R
  • {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}.
Cap´ıtulo 2 Gera¸c˜ ao Finita de Semigrupos Afins

  A figura abaixo traz um esbo¸co de R

  {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)}, {(1, 0, 1), (0, 0, 1), (0, 1, 1)}, {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1)} ´e linearmente independente sobre Q .

  em que cada um dos conjuntos

  = Q

  {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} = Q

  Q

  Note ainda que

  4

  {v ∈ QH ; hh(0, −1, 1), vii ≥ 0} H

  {v ∈ QH ; hh(0, 1, 0), vii ≥ 0} H

  3

  2

  {v ∈ QH ; hh(1, 0, 0), vii ≥ 0} H

  1

  H

  4

  

3

  2

  1

  Al´em disso, Q

  

Figura 1.5.5.

  Neste cap´ıtulo, mostraremos uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um semigrupo afim seja finitamente gerado. Este resultado ´e um alicerce n˜ao apenas deste cap´ıtulo mas de todo este texto, pois, dele descendem quase todos os resultados a partir deste cap´ıtulo. Nosso objetivo central aqui ´e mostrar que a ´ Algebra de Rees associada a uma filtra¸c˜ao ´e finitamente gerada sempre que o n-´esimo termo desta filtra¸c˜ao ´e a interse¸c˜ao de todas as potˆencias n-´esimas de uma cole¸c˜ao finita de ideais monomiais, isto ´e, n n s n em que cada J i ´e um ideal monomial.

  1 ∈N

  ℑ = {J ∩ . . . ∩ J } Recomendamos ao leitor voltar ao cap´ıtulo anterior caso n˜ao esteja familiarizado com as defini¸c˜oes de semigrupo afim e cone racional. Iniciaremos o nosso estudo com o

  “teorema alicerce”. Teorema 2.0.6. Seja H um semigrupo afim. H ´e finitamente gerado se, e somente se, Q H ´e um cone racional.

  • , . . . , h H , . . . , h

  Demonstra¸c˜ ao. Se H = k = Q k

  1 + +

  1

  h{h }i ent˜ao Q {h }. Segue da propo- H si¸c˜ao 1.5.4 que Q ´e um cone racional.

  • H H , . . . , q

  Reciprocamente, como Q ´e um cone racional, Q = Q

  • m

  1 c {q } com

  X q , . . . , q m a j h j ; a j j

  1

  ∈ H. Seja ZH = { ∈ Z, h ∈ H e c ∈ N} o menor subgrupo j r r =0 de Z contendo H. Observe que como Z ´e um grupo abeliano de posto r, definindo s

  := posto ZH, temos s ≤ r.

  , . . . , q , . . . , q , . . . , q Considere os cones Q + i 1 i s i 1 i s

  1 m

  {q } em que q ∈ {q } ⊂ H s˜ao r linearmente independentes em Q , ou equivalentemente, linearmente independentes em Z H . Pelo teorema 1.5.3, Q , . . . , q m

  1

  {q } ´e a uni˜ao desses cones. Como existe apenas um

  • , . . . , q , . . . , q n´ umero finito de cones da forma Q i i
  • 1 s m<

  1

  {q } e H = H ∩ Q {q } ´e suficiente , . . . , q mostrar que cada semigrupo afim H

  • i 1 i s

  ∩ Q {q } ´e finitamente gerado. Para simplicar a nota¸c˜ao, assumiremos sem perda da generalidade que s

  X c q &lt; Seja B = i i ; 0 i

  1 { ≤ c } ∩ ZH. Afirmamos que: i =1

  [ 1) ZH = L p em que L p = p + Z , . . . , q s

  1 p ∈B {q } ′ .

  2) L p p = ∩ L ∅, se p 6= p

  [ L . 1) Obviamente ZH p

  ⊃ p

  ∈B

  Observe que QH = Q , . . . , q , x H tais

  1 s 1 +

  2

  {q }. Com efeito, se x ∈ QH, ∃ x ∈ Q que x = x . Consequentemente, x , . . . , q s

  1

  2

  1 − x ∈ Q{q }.

  Seja y ∈ ZH. Como ZH ⊂ QH ent˜ao y ∈ QH. Assim, s

  X a i y = q com a i i i ∈ Z e b ∈ N − {0} i =1 b i Pelo algoritmo da divis˜ao, para cada i, , r = b d + r com 0 &lt; b . i i i i i i i i

  ∃ d ∈ Z tais que a ≤ r Desta forma temos: s s

  X X r i = + y d i q i c i q i com c i = , i &lt;

  1 ≤ c i i b i

  =1 =1 s

  X [ Portanto, y para p = c q . Logo, ZH L . p i i p ∈ L ⊂ i =1 p ∈B

  2) Se x p p , ∈ L ∩ L s s

  X X

  ′

  x α q β q , β

  ∈ Z, ou seja, s

  • = p + i i = p i i com α i i i =1 i =1

  X

  ′ ′ p , . . . , q .

  = (α i i )q i s

  1

  − p − β ∈ Z{q } o que implica em p = p i

  =1

  [ ′ .

  Como H = H (L p p p ∩ ZH ent˜ao H = ∩ H) com L ∩ H 6= L ∩ H para p 6= p p

  ∈B .

  Definindo H p := H p temos que H ´e a uni˜ao disjunta dos H p s ∩ L Vamos mostrar que cada H ´e finitamente gerado. p

  Defina c c 1 s I , . . . , c p = ; (c s ) p s

  1

  h{x

  1 · · · x ∈ Ω }i s s

  X , . . . , c c q em que Ω p = s ) ; p + i i P

  1 {(c ∈ N ∈ H }. i =1

  Pelo teorema 1.1.3, ´e poss´ıvel extrair dentre os geradores de I p um conjunto finito . e m´ınimo que ainda gera I p Denote por G(I p ) tal conjunto.

  Afirmamos que todo elemento de H p ´e a soma de um elemento de s

  , . . . , q De fato, seja x p r

  • 1 s ∈ H ⊂ H ⊂ Q {q }.

  X α q

  Como x p temos que x = p + i i com α i ∈ H i ∈ Z. Por outro lado, como

  =1

  x , . . . , q s

  1 s

  ∈ Q {q },

  • X x β q , β

  = j j j j =1 s ∈ Q

  • X

  ′ ′

  λ q , λ , p = p + j j j j

  • =1

  ∈ Z ∈ B

  ′

  Assim, repetindo argumentos j´a usados anteriormente temos que p = p . Desta forma, se x p ∈ H s

  X x λ q . = p + j j com p j j

  • λ c 1 λ s s

  ∈ B, λ ∈ Z

  =1 1 c

  Consequentemente, x p . Com isso, p ) tal que λ a c 1 λ s 1 a s 1 · · · x s ∈ I ∃ x 1 c s 1 · · · x s ∈ G(I x = (x )x em que a k + c k = λ k , a k , c k s s s

  1 · · · x 1 · · · x 1 · · · x ∈ N, ∀ k ∈ {1, . . . , s}. s s

  X X

  • c q a q .

  Portanto, x = p + i i i i Isso mostra que se x p ent˜ao x ´e a soma i i ∈ H

  =1 =1

  , . . . , q de um elemento de Λ com um elemento de Z s

  • +

    1 r s s

  {q }. Al´em disto, B ´e finito pois B ´e r

  X X

  X um conjunto limitado em ZH (note que se c q c q ⊂ Z ∈ B ent˜ao | | ≤ |q |). i i i i i s i =1 i =1 i =1 [

  X c c 1 s c q , . . . , q Logo, G = i i ; x p ) s s

  1 p i

  {p +

  1 · · · x ∈ G(I } ∪ {q } ´e um conjunto de ∈B =1

  geradores de H.

  ✷ O corol´ario a seguir mostra que a interse¸c˜ao finita de semigrupos afins finitamente gerados ´e tamb´em um semigrupo afim que satisfaz a mesma propriedade. s

  \ , H , . . . , H

  H Corol´ ario 2.0.7. Se H s s˜ao semigrupos afins finitamente gerados ent˜ao i

  1

  2 i =1 ´e um semigrupo afim finitamente gerado. s

  \ H . ´

  Demonstra¸c˜ ao. Seja H = i E poss´ıvel verificar facilmente que H ´e um semigrupo i

  =1 afim.

  Resta mostrar que H ´e finitamente gerado. Para isso, provaremos que Q H ´e

  • um cone racional. s

  \ Afirmamos que Q H = Q H . i =1 + + i De fato, como Q H H para todo i

  • i

  ⊂ Q ∈ {1, 2, . . . , s} segue que s s

  \ Q H

  Por outro lado, seja p i . Ent˜ao, para cada i fixo, m i i =1

  • X p = c h com c , , ij ij ij ij i
  • j =1 ∈ Q ∀ i, j e h ∈ H &foral
  • a ij

  Como c ij ent˜ao ij ij ij = . Defina ∈ Q ∃ a ∈ N, b ∈ N − {0} tais que c

  • b ij n , . . . , b p n . . . n i = M M C i

  1 im i i i . Tomando n = n

  1 2 s temos np i

  {b }. Note que n ∈ H ∈ H

  1 para todo i h H , o

  ∈ {1, . . . , s} o que equivale a dizer que np = h ∈ H. Logo, p = ∈ Q

  • n que finaliza a prova da afirma¸c˜ao.

  Como a interse¸c˜ao finita de cones racionais ´e um cone racional, pelo teorema 2.0.6, H ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

  ✷ Agora estamos aptos a mostrar

  , x , . . . , x , J , . . . , J Teorema 2.0.8. Sejam S = K[x r ], J s

  1

  2

  1

  2 s s ⊂ S ideais monomiais e

  \ M \ n n n J . J i n ∈N Ent˜ao a ´ Algebra de Rees ( i )t ´e uma S-´algebra finitamente

  ℑ = { } i =1 n i =1

  ≥0 gerada. s

  M \ n n Demonstra¸c˜ ao. Seja A = ( J )t . Uma vez que n i i ℑ ´e uma filtra¸c˜ao multiplicativa,

  ≥0 =1

  A ´e uma S-´algebra. s

  ∞

  \ M n n A J t Afirmamos que A = i em que A i = . i n i

  =1 =0

  De fato, se f ∈ A ent˜ao m s

  X \ n n f c t J = n com c n i n i

  =0 =1 s n

  \ A o que equivale a dizer que c n para todo i i . ∈ J i ∈ {1, 2, . . . , s}, ou seja, f ∈ s i =1

  \ Por outro lado, se g A i , para cada i fixo,

  ∈ i

  =1 u i

  X n n g c t . = ni com c ni i n ∈ J

  =1

  Considerando os coeficientes nulos, quando necess´ario, podemos escrever: u

  X n g c t , u , . . . , u = ni em que u = max s

  1

  2 n {u }.

  =1 Como g ∈ S[t] ent˜ao g ´e escrito de forma ´unica como soma de partes homogˆeneas em t. Consequentemente c ni n˜ao depende de i. Assim, definindo c n := c ni para todo i s u

  \ n n

  X J . c t temos c n Portanto, g = n ∈ i ∈ A. i n =1

  =1 s

  \ Logo, A = A i . i

  =1

  , J , . . . , J , A , . . . , A

  Como J

  1 2 s s˜ao ideais monomiais, as ´ Algebras de Rees A, A

  1 2 s

  s˜ao ´algebras monomiais. Portanto, A ] em que H, H , . . . , H s˜ao i i

  1 s

  ≃ K[H] e A ≃ K[H semigrupos afins dados por: r +1 α α 1 2 α r α r+1 H = , α , . . . , α r , α r ) ; x x t

  1 2 +1

  {(α ∈ N

r +1

α α

  1 1 2 · · · x r ∈ A} ∪ {0} 2 α r α r+1

  H i = , α , . . . , α r , α r ) ; x x t i

  1 2 +1

  {(α ∈ N

  1 2 · · · x r ∈ A } ∪ {0}.

  Em outras palavras, vamos tratar A e cada A i como an´eis de semigrupos afins. Observe que para cada i, A i ´e a ´ Algebra de Rees associada a filtra¸c˜ao J i −´adica. t, f t, . . . , f t , f , . . . , f

  Logo, A i = i

  1 i 2 iu (i) i = i 1 i 2 iu (i) ij ´e um

  hf i com J hf i em que cada f monˆomio. Queremos mostrar que H i ´e um semigrupo afim finitamente gerado. t, f t, . . . , f t

  A fim de simplificar a nota¸c˜ao, considere A i = u

  1

  2 h j1 h j2 h jr hf i para i fixo, por´em x r ,

  arbitr´ario, e escreva f j = x · · · x ∀ j ∈ {1, 2, . . . , u}.

  1

2 Como f t ent˜ao (h , h , . . . , h , 1) para todo j.

  j i j

  1 j 2 jr i

  ∈ A ∈ H r

  • 1

  Ademais, os vetores da base canˆonica do R , e , e , . . . , e r i tendo em vista

  1

  2

  ∈ H , x , . . . , x . que x r i

  1 2 i

  ∈ S = J ⊂ A , . . . , e , , h , . . . , h , , h , . . . , h ,

  Afirmamos que H i = n (h 1), . . . , (h u u ur 1)

  1

  

11

12 1r

  1

  2

  he α 1 α r α r+1 i.

  , . . . , α , α t De fato, se (α

  1 r r +1 ) i ent˜ao x i . Por conseguinte,

  ∈ H

  1 · · · x r ∈ A

  como A i = t, f t, . . . , f u t , . . . , c r , d , . . . , d u

  1

  2

  1

  1

  hf i temos que ∃ c ∈ N tais que α 1 α r α r+1 c 1 c n d 1 d u x t = x (f t ) . . . (f t )

  1 u j 1 · · · x r β 1 · · · x n ∈ A 1 β r α r+1

  = x t r u

1 · · · x

u

  X X d h d . com β k = c k j jk para k r = j +

  • 1
  • j ∈ {1, 2, . . . , r} e α j =1 =1

      Assim, u u u

      X X

      X , . . . , α , α

      d (α ) = (c + r r j r j jr j )

    • d h , . . . , c d h ,

      1 +1 1 1j j j j =1 =1 =1

      = c + e e + d (h , h , . . . , h , 1) +

      1

    1 n n

      1

      11 12 1r

      · · · + c + u (h u , h u , . . . , h un , 1).

      1

      2

      · · · + d Logo,

    • 1
    • 1
    • 1
    • 1
    • 1
    • m
    • 1
    • 1
    • m
    • >· · ·+a r e r +a r1 ).

      1

      3 como os an´eis de semigrupos K[H], K[H

      1

      ], K[H

      2

      ] e K[H

      3

      ] em que H

      = {(α

      , α

      , A

      2

      , α

      3

      , α

      4

      ) ∈ N

      4

      ; x α 1 y α 2 z α 3 ∈ (x, y) α 4 ∩ (y, z) α 4 ∩ (x, z) α 4 } ∪ {0}

      H

      2 e A

      1

      {(α

      = M n ≥0

      ≥0

      (x, z) n t n ].

      Sejam

      A

      1

      = M n ≥0

      (x, y) n t n , A

      2

      (y, z) n t n

      Sabemos que ´e poss´ıvel tratar, a menos de isomorfismo, A, A

      e A

      3

      = M n ≥0

      (x, z) n t n .

      Temos A 1 =

      hxt, yti, A

      2 =

      hyt, zti e A

      3 = hxt, zti.

      1 =

      1

      (y, z) n t n ]

      1

      2

      , α

      3

      , α

      4

      ) ∈ N

      4

      ; x α 1 y α 2 z α 3 ∈ (y, z) α 4 } ∪ {0} = he

      , e

      1

      2

      , e

      3

      , e

      2

      4

      , e

      3

      4

      , α

      = {(α

      , α

      , e

      2

      , α

      3

      , α

      4 )

      ∈ N

      4

      ; x α 1 y α 2 z α 3 ∈ (x, y) α 4 } ∪ {0} = he

      1

      2

      2

      , e

      3

      , e

      1 + e

      4

      , e

      2 + e

      4

      i H

      ∩ [ M n

      ≥0

      i

      , . . . , e r , (c

      , c

      

    1r+1

      ), . . . , (c m

      1

      , . . . , c mr , c mr

      ) i em que

      {e

      1

      11

      , . . . , c

      , . . . , c

      1r

      , c

      1r+1

      ), . . . , (c m

      1

      , . . . , c mr , c mr

      ) } ´e um conjunto m´ınimo de geradores de H, temos:

      A = hx c 11

      1r

      11

      t c 1 r+1 , . . . , x c m1

      1 · · · x α r r

      Por outro lado, como A = s \ i =1

      A i ent˜ao H = s \ i =1

      H i pois,

      1

      , . . . , α r , α r +1 ) ∈ H ⇔ x α 1

      1

      · · · x α r r t α r+1 ∈ A x α 1

      1 · · · x α r r

      t α r+1 ∈ A ⇔ x α 1

      t α r+1 ∈ A i

      , . . . , e r , (c

      , ∀ i x α 1

      1 · · · x α r r

      t α r+1 ∈ A i , ∀ i ⇔ (α

      1

      , . . . , α r , α r

      ) ∈ H i , ∀ i.

      Portanto, pelo corol´ario 2.0.7, H = r \ j =1

      H j ´e um semigrupo afim finitamente gerado. Desta forma, considerando H = he

      1

      1 · · · x c 1 r r

      1 · · · x c mr r

      ∩ [ M n

      1 · · · x c mr r

      , . . . , c mr , c mr

      Logo, x β 1

      1 · · · x β r r

      t β r+1 = x a 1

      1 · · · x a r r

      (x c 11

      1 · · · x c

    1 r

    r

      t c 1 r+1 ) a r+1 . . . (x c m1

      t c mr+1 ) a r+m .

      (c m

      ✷ O pr´oximo exemplo ilustrar´a num caso concreto os passos da demostra¸c˜ao do teo- rema 2.0.8 e exibir´a um conjunto de geradores para ´ Algebra de Rees neste caso particular.

      Exemplo 2.0.9. Sejam S = K[x, y, z] e A = M n

      ≥0

      [(x, y) n ∩(y, z) n ∩(x, z) n

      ]t n ⊂ K[x, y, z][t].

      Note que A = [

      M n

      ≥0

      (x, y) n t n ]

      1

      )+ · · ·+a r

      t c mr+1 i. Com efeito, seja x β 1

      1

      1 · · · x β r r

      t β r+1 ∈ A. Ent˜ao (β

      1

      , . . . , β n , β n

      ) ∈ H. Se β r

      = 0, nada temos a mostrar. Caso contr´ario, ∃ a

      1

      , . . . , a r

      ∈ N tais que (β

      , . . . , β r , β r

      1r+1

      ) = a

      1

      e

      1

      (c

      11

      , . . . , c

      1r

      , c

    • e
    • e

    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • 2e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • e
    • 2e
    • a
    • a
    • a
    • e
    • e
    • b
    • b
    • b
    • e
    • e

    • b
    • b
    • b
    • c
    • c
    • c
    • e
    • e
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • e
    • e

      = 0 ent˜ao α = α

      4

      Se α

      (2.4)

      4

      ≥ α

      

    3

      1

      α

      4

      ≥ α

      

    3

      2

      α

      4

      1

      1

      e

      ≥ 1 temos que existem pelo menos dois elementos do conjunto

      }

      3

      , α

      2

      , α

      1

      4

      2

      Se α

      ∈ b H.

      3

      e

      3

      2

      e

      ≥ α

      

    2

      1

      2

      4

      3

      e

      3

      2

      e

      1

      1

      e

      1

      = c

      ) (2.2) α

      5

      4

      (e

      4

      α

      2

              

      4 + c 5 ) (2.3) De 2.1, 2.2 e 2.3 temos (respectivamente):

      , c

      5

      3 + c

      , c

      , c

      ) + c

      4

      1 + c

      ) = (c

      4

      3

      (e

      5

      n˜ao nulos. De fato, suponha que α i = α j = 0 com i

      6= j. Ent˜ao, por 2.4, α

      4

      4

      ′

      ) = α

      4

      , α

      3

      ′

      , α

      e

      2

      ′

      4

      ) = (0, α

      4

      , α

      2

      2

      , α

      ) ∈ b H.

      , n

      2

      , n

      1

      Para a segunda possibilidade, sejam n

      Os outros casos s˜ao an´alogos.

      4

      ′

      3

      2

      (e

      4

      3

      e

      3

      3

      2

      = 0, o que contradiz a nossa hip´otese.

      2) α

      ≥ 1

      3

      , α

      2

      , α

      1

      = 0

      1

      3

      = 0 ou a

      2

      = 0 ou α

      1

      Assim, temos duas possibilidades: 1) α

      Para a primeira possibilidade, observe que se α

      = 0, por 2.4, α

      α = (0, α

      , α

      Portanto,

      3 .

      2 = α 4 + α

    2 e α 3 = α 4 + α ′

      ∈ N tais que α

      3

      ′

      2

      2 ≥ α

      ′

      ∃ α

      ou seja,

      ,

      4

      3 ≥ α

      4 e α

      , b

      3

      5

      3

      , e

      4

      3

      1

      , e

      4

      2

      2

      , e

      

    4

      2

      1

      , e

      3

      1

      3

      2

      2

      , e

      4

      3

      2

      , e

      

    4

      1

      4 i.

      , e

      3

      , e

      2

      , e

      1

      Observe que como e

      , e

      , e

      3

      1

      he

      Afirmamos que H =

      3 ent˜ao H ´e um semigrupo afim finitamente gerado.

      ∩ H

      2

      ∩ H

      Como H = H

      , e

      3 = (0, 0, 1).

      = (0, 1, 0), e

      2

      = (1, 0, 0), e

      1

      com e

      1

      2

      1

      1 +e 3 +e

      he

      Chamemos b H =

      4 i.

      1 +e 2 +e 3 +2e

      , e

      4

      , e

      , e

      4

      2 +e 3 +e

      , e

      4

      1 +e 2 +e

      , e

      3

      1

      4

      , b

      , a

      2

      1

      e

      1

      α = b

      4 + a 5 ) (2.1)

      

    3

      2

      , a

      5

      2 + a

      , a

      4

      1 + a

      e

      3

      4

      3

      4

      2

      , b

      1

      ) = (b

      4

      (e

      e

      5

      ) + b

      4

      2

      (e

      4

      3

      ) = (a

      2

      , e

      1

      4 )

      , α

      3

      , α

      2

      , α

      Seja α = (α

      ∈ N, i = 1, 2, 3, 4, 5

      H ⊂ H. Resta mostrar que H ⊂ b H.

      ent˜ao b

      ∈ H

      4

      3

      2

      1

      ∈ H. Consequentemente, ∃ a i , b i , c i

      tais que

      (e

      3

      5

      ) + a

      4

      1

      (e

      4

      e

      α = a

      3

      2

      e

      2

      1

      e

      1

      3 os maiores naturais que satisfazem

    • 1)e
    • n
    • n
    • e

      , α

      2

      3

      − 1 &lt; α

      4

    e

      α

      1

      3

      − 1 ≥ α

      4 3) α 1 + α

      2

      − 1 &lt; α

      4

      1 + α

      4

      3

      − 1 &lt; α

      4 e

      α

      2 + α

      3

      − 1 ≥ α

      4 4) α

      2

      3

      − 1 &lt; α

      4

      , α

      , α

      − 1 &lt; α

      3

      4 (2.8) Assim, de 2.5, 2.6, 2.7 e 2.8 temos as seguintes possibilidades: 1) α

      3

      , α

      4 )

      6∈ H ⇒ α

      3

      − 1 + α

      1

      &lt; α

      4 ou α

      3

      − 1 + α

      2

      &lt; α

      1

      2

      2

      − 1 &lt; α

      4

      , α

      2

      3

      − 1 &lt; α

      4 e α

      1

      3

      − 1 &lt; α

      4 2) α

      1

      1

      − 1 &lt; α

      2

      1 + α

      ≤ α

      2

      3

      &lt; α

      4

      ⇒ α

      2

      2

      = α

      4

      α

      4

      ≤ α

      3

      α

      &lt; α

      4 + 1

      ⇒ α

      1 + α 3 = α

      4 e conclu´ımos que α

      1

      = α

      2

      = α

      3 e α

      4

      = 2α

      

    1

    .

      4

      4

      4 e α

      4 e α

      1

      2

      − 1 ≥ α

      4 Se a primeira possibilidade ocorrer, ou seja, se

      α

      1

      2

      − 1 &lt; α

      4

      , α

      2

      3

      − 1 &lt; α

      1

      = α

      3

      − 1 &lt; α

      4 ent˜ao usando 2.4 temos

      α

      4

      ≤ α

      1

      2

      &lt; α

      4

      ⇒ α

      1

      2

      − 1, α

      , α

      Logo,

      (2.5)

      − 1, α

      3

      , α

      4 )

      6∈ H (α

      1

      , α

      2

      , α

      3

      − 1, α

      4

      ) 6∈ H

      Analisemos o caso

      , α

      1

      − 1, α

      2

      , α

      3

      , α

      

    4

      ) 6∈ H (os outros s˜ao sim´etricos).

      Note que como α 2 + α

      3

      ≥ α

      4 (por 2.4) temos que x α 1 −1

      y α 2 z α 3 ∈ (y, z) α 4

      2

      1

      isto ´e,

      3

      Como cada n i ´e maior poss´ıvel, e

      α − e i 6∈ H, ∀ i ∈ {1, 2, 3} pois, caso contr´ario, se por

      exemplo e

      α − e

      1

      ∈ H − {0} ent˜ao α = (n

      1

      1

      2

      e

      2

      3

      e

      α − e

      (α

      1 e por sua vez n

      1 n˜ao seria m´aximo.

      Desta forma, assumiremos sem perda que α

      − e i 6∈ H, ∀ i ∈ {1, 2, 3}, ou seja,         

      (α

      1

      − 1, α

      2

      , α

      3

      , α

      4

      ) 6∈ H

      ,

      (α

      1

      3

      4 ou α

      1

      − 1 + α

      3

      &lt; α

      4

      (2.6)

      Para os demais casos temos:

      (α

      1

      , α

      2

      − 1, α

      , α

      2

      4

      ) 6∈ H ⇒ α

      2

      − 1 + α

      1

      &lt; α

      4 ou α

      2

      − 1 + α

      3

      &lt; α

      4

      (2.7) (α

      &lt; α

      − 1 + α

      1

      3

      − 1, α

      2

      , α

      3

      , α

      4

      ) ∈ H

      2

      . Portanto,

      1

      − 1, α

      2

      , α

      , α

      1

      4

      ) 6∈ H

      1 ou

      1

      − 1, α

      2

      , α

      3

      , α

      4

      ) 6∈ H

      3 o que implica em

      α

    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • α
    • 1
    • α
    • α
    • 1
    • α

      Se a segunda possibilidade ocorrer, usando os mesmos argumentos do item an- .

    terior temos que α + α = α e α + α = α e portanto α = α Substituindo essas

      1

      2

      4

      2

      3

      4

      1

      3 informa¸c˜oes na desigualdade α 1 + α

      3 4 encontramos α 1 + α

      1 1 + α

      2

      − 1 ≥ α − 1 ≥ α

      ′ ′ o que nos leva aconcluir que α &gt; α e &gt; 0 tal que α = α + α .

      1

      2

      1

      2

      ∃ α

      

    1

      1 Portanto,

      α , α , α , α = (α )

      1

      2

      3

      4

    ′ ′ ′

      , α , α , = (α

      2 + α

      2

    2 + α 2α

    2 + α )

      1

      

    1

      1 ′ ′ ′

      = (α , α , α , 2α ) + (α , 0, α , α )

      2

      2

      2

      2

      1

      1

      1 ′

      = α (e + e + e + 2e ) + α (e + e + e ) H.

      2

      1

      2

      3

      

    4

      1

      3

      4 1 ∈ b As possibilidades 3) e 4) s˜ao an´alogos a 2).

      H , e , e , e , e , e , e

      Assim, H = b =

      1

      2

      3 1 + e

    2 + e

      4 2 + e 3 + e

      4 1 + e 3 + e

      4 1 + e 2 + e 3 + 2e

      4

      he i.

    2 Logo, A = hxyt, yzt, xzt, xyzt i.

      Cap´ıtulo 3 ´ Algebras de Rees simb´ olicas de ideais monomiais

      Este cap´ıtulo trata das ´ Algebras de Rees associadas a uma filtra¸c˜ao dada por potˆencias simb´olicas de um mesmo ideal monomial, denominadas ´ Algebras de Rees simb´o- licas de ideais monomiais. Na se¸c˜ao 3.1, mostraremos que tais ´algebras possuem gera¸c˜ao finita. Na se¸c˜ao seguinte, introduziremos o conceito de ´algebra de cobertura de v´ertices e provaremos que essas ´algebras s˜ao um caso particular das ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais.

      

    3.1 Gera¸c˜ ao finita das ´ Algebras de Rees simb´ olicas

    de ideais monomiais

      Seja S = K[x , x , . . . , x ] e I

      1 2 r

      ⊂ S um ideal monomial livre de quadrado. Sabemos que M M \ n n n

      (n)

      I t P n n = ( )t

      ≥0 ≥0 P ∈Min(I)

      (posteriormente falaremos mais sobre a igualdade acima) que por sua vez ´e uma S −´algebra finitamente gerada, usando o teorema 2.0.8.

      O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que as ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais s˜ao, de forma geral, um caso particular do teorema 2.0.8 e portanto s˜ao tamb´em finitamente geradas. O pr´oximo lema auxiliar´a na demostra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 3.1.3. Antes de enunci´a-lo, necessitamos lembrar a seguinte defini¸c˜ao:

      Sejam A um anel e B um subanel de A. Um elemento x ∈ A ´e dito ser inteiro sobre B se satisfaz uma equa¸c˜ao da forma em que a i ∈ B, ∀ i ∈ {1, . . . , n}. Claramente, todo elemento de B ´e inteiro em B. Se todo elemento de A ´e inteiro em B dizemos que A ´e inteiro em B.

      Lema 3.1.1. Sejam A um anel e B um subanel de A. Se A ´e inteiro em B e A ´e uma B −´algebra finitamente gerada ent˜ao A ´e um B−m´odulo finitamente gerado.

      Demonstra¸c˜ ao. Como A ´e uma B , . . . , ω k

      1

      −´algebra finitamente gerada, ∃ ω ∈ A tais , . . . , ω que A = B[ω k ]. Ademais, como A ´e inteiro em B, ω i ´e inteiro em B para todo i.

      1 Afirmamos que se A = B[ω

    1 ] ent˜ao A ´e um B

    n n −m´odulo finitamente gerado.

      −1

      De fato, + a ω = 0. Consequentemente, +

      1

      1 1 n

      ∃ n ∈ N tal que ω · · · + a n +s n +s−1 s

    • ω = ω n ω ),

      1

      1

      1

      1 −(a · · · + a ∀ s ≥ 0.

      Procedendo por indu¸c˜ao em s, podemos ver que todas as potˆencias de ω per- n −1

      1

      1

      , . . . , ω tencem ao B

      1 1 ] ´e um B

      −m´odulo gerado por {1, ω }. Portanto, A = B[ω −m´odulo finitamente gerado, o que conclui a afirma¸c˜ao. Agora, supondo B[ω , . . . , ω u ] um B

      1

      − m´odulo finitamente gerado para todo u tal , . . . , ω que 1 u ] um B

      1

      ≤ u &lt; k, vamos mostrar que B[ω − m´odulo finitamente gerado para u = k.

      , . . . , ω Seja B u = B[ω

      1 u ]. Ent˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao, B k −1 ´e um B

      −m´odulo finitamente gerado. Por outro lado, como ω k ´e inteiro sobre B k (pois B k ),

      −1 −1

      ⊂ B B k = B k [ω k ] ´e um B k

      −1 −1 −m´odulo finitamente gerado.

      , . . . , ω Portanto, ´e poss´ıvel verificar facilmente que B k = B[ω k ] ´e um B

      1

      −m´odulo finitamente gerado.

      ✷ Seja S = K[x , x , . . . , x r ] e considere n n uma filtra¸c˜ao de ideais ho-

      1 2 ∈N

      ℑ = {I } mogˆeneos de S. M n

      I t Denote por A = n a ´ Algebra de Rees associada a n ℑ. Define-se

      ≥0

      M M nd

      (d)

      A A I t = nd = nd n n

      

    ≥0 ≥0

    como sendo a d-´esima veronessiana de A. (d)

      ´ E f´acil ver que A ´e uma sub´algebra de A. Defini¸c˜ ao 3.1.2. Seja B uma B

      −´algebra. Dizemos que B ´e uma B −´algebra graduada , x , . . . , x padr˜ao se ´e isomorfa ao anel quociente de B [x r ] por um ideal homogˆeneo.

      1

      2 A proposi¸c˜ao a seguir estabelece duas equivalˆencias para que uma S

      −´algebra seja finitamente gerada. Nesse contexto, trata-se apenas de um resultado t´ecnico que ser´a ´ util Proposi¸c˜ ao 3.1.3. S˜ao equivalentes: (a) A ´e uma S-´algebra finitamente gerada.

      

    (d)

      (b) Existe um n´ umero natural d tal que A ´e uma S −´algebra graduada padr˜ao.

      

    (d)

      (c) Existe um n´ umero natural d tal que A ´e uma S −´algebra finitamente gerada. Demonstra¸c˜ ao. (a)

      ⇒ (b) Como A ´e uma S−´algebra finitamente gerada e ℑ ´e uma c 1 c m t , . . . , f t filtra¸c˜ao de ideais homogˆeneos, pela proposi¸c˜ao 1.4.5, A = S[f m ] em que

      1

      f i c i ´e um elemento homogˆeneo, , . . . , c

      1 m ∈ I ∀ i ∈ {1, . . . , m}. Seja c = MMC{c }. ci c c Defina B = S[g , . . . , g m ] com g i = f i t . Note que B ´e um subanel de A.

    1 Al´em disso,

      M B B = j j m ≥0 α 1 α m

      X g α com B j = α 1 ···α m

      1 m ; i = j , u α 1 ···α m = S.

      h{u · · · g |α| := ∈ S}i, ∀ j &gt; 0 e B ci ci c c i =1 ,

      Observe que como f i c ) c ent˜ao g i c ⊂ (I i ⊂ I ∈ A ∀ i. α 1 α m j g Consequentemente, u α 1 ···α m

      1 m c ) jc , ou seja, B j jc para

      · · · g ∈ (A ⊂ A ⊂ A todo j ∈ N. c i

      Por outro lado, como f i t ´e um elemento inteiro em B (pois ´e raiz do polinˆomio ci c p (x) = x i ) para todo i, e A ´e em particular uma B

      − g −´algebra finitamente gerada, pelo lema 3.1.1 temos que A ´e um B

      −m´odulo finitamente gerado. Por sua vez, como B ´e noetheriano (pois ´e imagem homom´orfica do anel de polinˆomios em m vari´aveis sobre S)

      (c)

      ent˜ao A ´e tamb´em um B −m´odulo finitamente gerado.

      (c)

      Seja k s c ; k = 1, . . . , θ como B k {a ∈ A } um conjunto de geradores de A −m´odulo

      , . . . , s e considere d = sc em que s = max θ

      1 j {s }.

      , Afirmamos que A jd = A d ∀ j ≥ 0.

      Com efeito, para j = 0 ou j = 1 ´e trivial. Suponha a afirma¸c˜ao v´alida para todo j ≥ 1 e mostremos que a mesma ´e v´alida para j + 1.

      A , Para isso, note que B j kc = A

      (j+k)c ∀ j ≥ 0 e k ≥ s.

      A A . De fato, como B j jc tem-se B j kc jc kc Reciprocamente,

      ⊂ A ⊂ A ⊂ A (j+k)c

      (c)

      considere f . Ent˜ao

      (j+k)c

      ∈ A ⊂ A

      X

      (j+k)c f = ht = b λ a λ com h , b λ λ s c .

      (j+k)c λ λ ∈ I ∈ B e a ∈ A

      Observe que, k . Al´em disso, o grau em t de b ´e (j + k)c λ λ λ

      c, para ≥ s ≥ s

      − s todo λ. ent˜ao

      (d)

      

    (js+ks)c

      = B j +b j , ∀ j, bj ≥ 0.

      bj

      B

      , ∀ j, k ≥ 0. Note ainda que B j

      (j+k)d

      = A

      B js A kd = B js A ksc = A

      (j+1)d

      , ∀ j ≥ 0 e k ≥ s. Em particular, trocando j por js e k por ks temos

      (j+k)c

      Com isso, conclu´ımos que B j A kc = A

      ) γ i ∈ I c γ i ⊂ I i .

      ∈ B j A kc pois, ea λ ∈ I s λ c e para cada i, (f i c ci

      ) γ m t kc ]

      Assim, A

      = B js A d = B s (B

      

    1

    c c1

      y i 7−→ e p i

      −´algebras cujo n´ucleo ´e um ideal homogˆeneo, obtemos o desejado. Com efeito, claramente ϕ ´e um homomorfismo. Se e f

      } ´e um conjunto de geradores homogˆeneos de A d como S −m´odulo. Se mostrarmos que ϕ ´e um epimorfismo de S

      , . . . , e p l

      1

      ∈ I d em que {e p

      = e q i t d com e q i

      (d)

      (j−1)s

      , . . . , y l ] 7−→ A

      1

      ϕ : S[y

      Para finalizar a demonstra¸c˜ao, considere o homomorfismo de S −´algebras induzido por

      Como a outra inclus˜ao ´e ´obvia, conclu´ımos a afirma¸c˜ao.

      = A d A d j ⊂ A d j

      A d ) = B s A jd = B s A d j ⊂ A sc A d j

      ) γ 1 · · · (f m c cm

      · · · g m β m ][ea λ (f

      Fixado λ, para simplificar a nota¸c˜ao, escreva b λ =

      1

    c

    c1

      1 c c1

      Desta forma, ´e suficiente mostrar que ea λ u α 1 ···α m (f

      e a λ = ea λ t s λ com ea λ ∈ I s λ c

      (j+k)c−s λ

      ) α m t

      ) α 1 · · · (f m c cm

      u α 1 ···α m (f

      ) α m t

      |α|=(j+k)−s λ

      X

      · · · g m α m =

      1 α 1

      u α 1 ···α m g

      |α|=(j+k)−s λ

      X

      ) α 1 · · · (f m c cm

      (j+k)c

      1 β 1

      1 c c1

      = [u α 1 ···α m g

      ) γ m t kc ]

      ) γ 1 · · · (f m c cm

      1 c c1

      ) β m t jc ][ea λ (f

      ) β 1 · · · (f m c cm

      = [u α 1 ···α m (f

      ∈ B j A kc com |α| = (j + k) − s λ .

      (j+k)c

      ) α m t

      ) α 1 · · · (f m c cm

      1 c c1

      Portanto, ea λ u α 1 ···α m (f

      |α| = j + (k − s λ ) ent˜ao ∃ β, γ ∈ N m tais que α = β + γ em que |β| = j e |γ| = k − s λ .

      Como α ∈ N m e

    • 1 .
    j

      , Para cada j fixo, j jd = A d

      ≥ 1, como A

      X λ λ 1 l e f j = v λ p p , 1 ···λ l λ e 1 · · · e l |λ| = j.

      X λ λ 1 l f v y , . . . , y = e j = λ 1 ···λ l · · · y ≤ j ≤ n em S[y 1 l para 1 1 l ]

      Assim, tomando eg e eg λ j ) = e j para todo j. Logo, ϕ ´e sobrejetiva. f tem-se ϕ(eg Seja p , . . . , y ] tal que ϕ(p) = 0. Escreva

      1 l

      ∈ S[y

      = p + p

      1 n

    • p

      · · · + p , . . . , y em que p j ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau j, em S[y l ], isto ´e,

      1 X λ λ 1 j lj p j = ω λ y l para 1 j = (λ , . . . , λ lj ) e p 1 j ···λ lj

      1 1j · · · y ≤ j ≤ n em que λ ∈ S.

      |λ j |=j

      Portanto, 0 = ϕ(p) = ϕ(p ) + ϕ(p ) + n )

      1

      · · · + ϕ(p

      X λ

      X ω q q ω q q

      = p + ( λ l )t λ l )t 11 ···λ l1 11 λ d λ l1 ln 1 n λ nd

    • ,

      1 1 l ···λ ll

      1

      e · · · e · · · + ( e · · · e

      |λ 1 |=1 |λ |=l l

      X λ λ 1 j lj jd ω q q ou seja, 0 = ( λ 1 j ···λ lj · · · e 1 l )t = ϕ(p j ) para todo j tal que 1

      ≤ j ≤ n e e

      |λ j |=j

      p = ϕ(p ) = 0. Portanto, p j

      ∈ Nuc(ϕ), ∀ j. Logo, pela observa¸c˜ao 1.4.1, Nuc(ϕ) ´e um ideal homogˆeneo.

      (b) ⇒ (c) ´E imediato. (c)

      ⇒ (a) Para cada j ∈ {0, . . . , d − 1}, defina M

      (d;j) A A .

      := nd +j n ≥0

      (d;j) (d)

      A Note que A ´e um A id nd +j para

      −m´odulo. Com efeito, basta ver que A ⊂ A (i+n)d+j todo i, n ≥ 0. Seja

      (d)

      ψ : A n nd +j nd +j nd −→ A h n t n t , h n nd nd .

    • j
    • nd nd nd nd 7−→ h ∈ I &s
    • j +j

      Se ψ (h t ) = ψ (e h t ) ent˜ao h t = e h t , isto ´e, h = e h . Portanto, ψ ´e um n n n n n n n n n homomorfismo injetor, ∀ n ∈ N. Consequentemente, definindo

      (d;j) (d)

      ψ : A 7−→ A

      (d)

      temos que ψ ´e um homomorfismo injetor de A −m´odulos.

      (d;j) (d) (d)

      Assim, A ´e isomorfo a um subm´odulo de A (como A −m´odulo) que ´e, em

      (d) (d) .

      particular, um ideal de A Consequentemente, como A ´e uma S −´algebra finitamente

      (d;j) (d)

      gerada, A ´e um (ideal) subm´odulo de A finitamente gerado, d ∀ j ∈ {0, · · · , d − 1}.

      −1

      M

      (d;j) (d)

      Portanto, A = A ´e um A j −m´odulo ´e finitamente gerado, o que ´e sufi-

      =0 ciente para concluir a prova.

      ✷ Defini¸c˜ ao 3.1.4. Sejam I, J

      ⊂ S ideais homogˆeneos. A n-´esima potˆencia simb´olica de I

      com respeito a J ´e o ideal dado por n ∞ k n

      I : J = para algum k {f ∈ S; fJ ⊂ I ∈ N}

      √ n Note se J I , como J

      ⊂ ⊂ S e S ´e um anel noetheriano, ent˜ao ∃ k ∈ N tal que k k n nn

      ∞

      J

      I ) (ver ref. [13]). Portanto, neste caso, I : J = S. ⊂ ( ⊂ I

      √ n

      I Se J ent˜ao 6⊂ n \

      ∞

      I Q : J = (P ) P ∈Ass(I ), J6⊂P n n \ n

      Q . em que I = (P ) ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I P n

      ∈Ass(I ) n ∞ k n

      Com efeito, se f : J ent˜ao f J para algum k ∈ I ⊂ I ∈ N. Consequente- n \ mente, como I = Q (P ), em particular, P n

      ∈Ass(I ) k n

      f J ) tal que J ⊂ Q(P ), para todo P ∈ Ass(I 6⊂ P. k k

      Para cada P tal que J ) ) P P P 6⊂ P, ∃g ∈ J tal que (g 6∈ P. Como f(g ∈ Q(P ) n conclu´ımos que f ) tal que J

      ∈ Q(P ), ∀ P ∈ Ass(I 6⊂ P, ou seja, \ f Q (P ). ∈ P n

      

    ∈Ass(I ), J6⊂P

    n

      Reciprocamente, para cada P ), como P k (P ) ∈ Ass(I ⊂ S e S ´e um anel noetheriano, existe k(P ) k n k k ∈ N tal que P ⊂ Q(P ). Tomando k = max{k(P ); J ⊂ P } temos que P ) com J

      ⊂ Q(P ) para todo P ∈ Ass(I ⊂ P. Ent˜ao, J ⊂ P ⊂ Q(P ) para todo n P ) tal que J

      ∈ Ass(I ⊂ P, isto ´e, k \ J Q (P ).

      ⊂ P n

      

    ∈Ass(I ), J⊂P

      \ A ´ Algebra de Rees simb´olica de I com respeito a J ´e definido como sendo a S

      −´algebra graduada M n n

      ∞ . n ≥0 (I : J )t

      Mostraremos que para ideais monomiais esta ´algebra ´e finitamente gerada. Come- cemos enunciando um lema que nos ser´a ´ util. Lema 3.1.5. Sejam I, J ideais monomiais de S, , P , . . . , P u

      1

      2 A = {P ∈ Ass(I); J 6⊂ P } e P n ∞ ∞ elementos m´aximos de

      ) = Ass(I : J ) para A (com respeito a inclus˜ao). Se Ass(I : J

      \ Q

      todo n (P ) ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I. Ent˜ao

      ∈ N e I = P ∈Ass(I) u n ∞ \ n (I : J ) = Q i , i ∀ n ∈ N

      

    =1

      \ Q com Q i := (P ) para todo i = 1, 2, . . . , u. P ∈Ass(I), P ⊂P i n \

      

      Q Demonstra¸c˜ ao. Dado n : J = n (P ) uma decomposi¸c˜ao n ∞ ∞ n ∞ ∈ N, seja I P ∈Ass(I :J ) n . prim´aria de I : J Uma vez que Ass(I : J ) = Ass(I : J ), n ∞ \ I : J = Q n (P ). P

      ∈Ass(I:J )

      \

      ∞

      Q Defina Q n,i := n (P ). Observe que ). Assim, P A = Ass(I : J

      ∈Ass(I:J ), P ⊂P i

      1 2 r s˜ao elementos m´aximos de

      , P , . . . , P como P

      A temos: u n \

      ∞ (I : J ) = Q . n i =1 n,i

      Resta mostrar que Q = Q , n,i i ∀ i ∈ {1, . . . , u}. Renomeando as vari´aveis x , x , . . . , x r , se necess´ario, assuma P i = (x , x , . . . , x s )

      1

      2

      1

      2

      em que s ≤ r (pela proposi¸c˜ao 1.1.11 os primos asssociados de I s˜ao gerados por subcon- juntos de vari´aveis).

      , . . . , x , . . . , x , . . . , x Seja R = K[x

      1 r ] = K(x s +1 r )[x P i 1 s ].

      ∗

      Para cada monˆomio f , . . . , x r ], denote por f o divisor de f, de maior

      1

      ∈ K[x

      ∗ ∗ ∗

      grau poss´ıvel, envolvendo apenas as vari´aveis x , x , . . . , x s . ´ E imediato que (f g) = f g

      1

      2

      para f, g monˆomios. Afirmamos que: ec ∗ monˆ omio 1) Q i = I = (f ) f ∈I, f

    1) Note que ec ec \ \ \ ec I Q Q .

      = (Q(P )) = (P ) = (P ) = Q i P P P

      ∈Ass(I) ∈Ass(I), P ⊂P i ∈Ass(I), P ⊂P i ∗ ∗

      . , . . . , x Seja f ) f monˆ omio Consequentemente, s r ] tal que

      

    ∈I, f +1

      ∈ (f ∃ t ∈ K[x

      ∗

      f f e

      ∗ f .

      = tf = ∈ I, ou seja, ∈ I t ec ec

      1

      ∗ ∗ Portanto, f e por sua vez (f ) f monˆ omio .

      ∈I, f

      ∈ I ⊂ I ec ec Reciprocamente, como I ´e um ideal monomial (pois, Q i = I ), ´e suficiente ec ∗ monˆ omio . provar que todo monˆomio de I est´a em (f ) f ∈I, f ec

      Seja p , p monˆomio. Ent˜ao, ∈ I p f

      , . . . , x = com f s r ],

    • 1

      ∈ I e s ∈ K[x 1 s o que implica em, sp = f

      ∈ I. Como I ´e um ideal monomial, considerando c como sendo o coeficiente do termo l´ıder de sp, o monˆomio termo l´ıder(sp) termo l´ıder(s)p h := =

      ∈ I. c c

      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .

      . Por conseguinte, h = p ) f monˆ omio Logo, como p ) f monˆ omio

      ∈I, f ∈I, f

      ∈ (f |p temos que p ∈ (f 2) ´ E an´alogo `a demonstra¸c˜ao anterior.

      ∗ n

      Portanto, como todo monˆomio g com g pode ser escrito como produto de ∈ I n n

      ∗ ∗ ∗

      n elementos da forma f com f com f = (f ) , ent˜ao n ∈ I, isto ´e, se g = f ∈ I tem-se g Q n,i = Q i .

      ✷

      ∞

      M n n

      ∞

      Teorema 3.1.6. Sejam I, J (I : J )t ´e uma

      ⊂ S ideais monomiais. Ent˜ao A = n =0 S −´algebra finitamente gerada. Demonstra¸c˜ ao. Pela proposi¸c˜ao 3.1.3, ´e suficiente mostrar que

      M dn n

      (d) ∞

      A = (I : J )t n ≥0

      ´e uma S −´algebra finitamente gerada para algum d ∈ N.

      ∞ n ∞

      I I Afirmamos que : J ) = Ass(e : J ), d ∃ d ∈ N tal que Ass(e ∀ n ∈ N com I e .

      = I d n Com efeito, como ) = Ass(I ), d dn ∃ d ∈ N tal que Ass(I ∀ n ≥ d (ver ref.[3]), em particular, Ass(I ) = Ass(I ), dn dn ∀ n ∈ N. Assim,

      ∞

      Ass(I : J ) = ); J {P ∈ Ass(I 6⊂ P } d

      = ); J {P ∈ Ass(I 6⊂ P } d

      I , Definindo e := I obtemos o desejado.

      ′

      I s

      Como e ´e um ideal monomial, considerando os Q i como no lema 3.1.5 temos: u M M \

      

    (d) n ∞ n n n

      A = (e n ≥0 n ≥0 =1 I : J )t = ( Q i )t i

      ′

      s em que os Q i s˜ao ideais monomiais (pois, cada Q i ´e uma interse¸c˜ao finita de ideais monomiais).

      (d)

      Logo, pelo teorema 2.0.8, A ´e uma S −´algebra finitamente gerada.

      ✷ M n

      (n)

      I t Corol´ ario 3.1.7. Se I

      ´e uma S

      ⊂ S ´e um ideal monomial ent˜ao´algebra n

      ≥0 finitamente gerada.

      \ n Demonstra¸c˜ ao. Seja Q (P ) uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I . P n n ∈Ass(I ) Se Ass(I ) = Min(I) para todo n

      ∈ N ent˜ao \ \ n

      (n)

      I Q Q , = (P ) = (P ) = I P P n ∀ n ∈ N

      ∈Min(I) ∈Ass(I ) e neste caso a tese segue do teorema 1.4.6. n

      Se existe n ) ∈ N tal que Ass(I 6= Min(I) ent˜ao n \

      (n) ∞

      I P, = I : J com J = P ∈Ass (I)\ Min(I)

      [

      ∗ n ∗

      em que Ass (I) = Ass(I ) (note que Ass (I) ´e um conjunto finito por [3]). Com n ≥0 n ∞ \ n Q P P efeito, como I : J = (P ) definindo D = ); J P { e ∈ Ass(I 6⊂ e } ´e

      ∈Ass(I), J6⊂P suficiente mostrar que D = Min(I). n ∗

      P P P Se e ) (I) e e ∈ Ass(I ⊂ Ass 6∈ Min(I) ent˜ao e 6∈ D. n

      P P Por outro lado, se e ent˜ao )

      ∈ Min(I) e J ⊂ e ∃ P ∈ Ass(I \ Min(I) (para algum n n P . P P . Consequentemente, I o que equivale a I

      ∈ N) tal que P ⊂ e ⊂ P ⊂ e ⊂ P ⊂ e Assim, pela observa¸c˜ao 1.1.9, P P P . Como e P

      ∃ b ∈ Ass(I) tal que b ⊂ P ⊂ e ∈ Min(I) tem-se P = e P , o que ´e um absurdo. Neste caso, o resultado segue do teorema 3.1.6.

      ✷ O corol´ario anterior mostra que as ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais mono- miais s˜ao finitamente geradas, mas n˜ao d´a informa¸c˜oes sobre os geradores dessas ´algebras.

      O exemplo a seguir explicitar´a um conjunto de geradores em um caso particular. Exemplo 3.1.8. Seja I = (xy, yz, xz)

      ⊂ K[x, y, z] um ideal monomial e

      uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I. Como I ´e gerado por monˆomios livres de quadrado,

    (n) (n) (n) (n)

    I = (x, y) .

      ∩ (y, z) ∩ (x, z)

      

    (n) n (n) n (n) n

      ,

      

    Al´em disso, (x, y) = (x, y) (y, z) = (y, z) e (x, z) = (x, z) pois (x, y), (y, z) e

    (x, z) s˜ao ideais gerados por subconjuntos de vari´aveis.

      Assim,

      M M

      (n) n n n n n

      I t = [(x, y) ]t = n ≥0 n ≥0 ∩ (y, z) ∩ (y, z) hxyt, yzt, xzt, xyzti como foi visto no exemplo 2.0.9.

      De forma geral, se I ´e um ideal radical de um anel noetheriano A, \

      

    (n) (n)

    I = P . P ∈Min(I) n (n)

      . Al´em disso, se P ´e gerado por uma sequˆencia regular ent˜ao P = P No caso particular que I ´e um ideal de S gerado por monˆomios livres de quadrado,

      \

      

    (n) n

    I = P . P ∈Min(I) O leitor interessado pode encontrar tais resultados em [3].

      ´

    3.2 Algebras de cobertura de v´ ertices Nesta se¸c˜ao estudaremos as coberturas de v´ertices associadas a grafos simples.

      Mostraremos que para cada grafo simples existe apenas um n´ umero finito de coberturas de v´ertices indecompon´ıveis. A estrat´egia usada ser´a traduzir esse problema combinat´orio para um problema alg´ebrico, mais precisamente, ao estudo do tipo de gera¸c˜ao das ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais.

      Dado um conjunto finito [r] := {1, . . . , r}, um grafo simples G de v´ertices em [r]

      ´e um par G = ([r], E(G)) em que E(G) ´e uma cole¸c˜ao de subconjuntos {i, j} com i 6= j de [r] chamados arestas.

      Um subconjunto C ⊂ [r] ´e chamado uma cobertura de v´ertices de G se para toda aresta

      {i, j} de G, i ∈ C ou j ∈ C. Exemplo 3.2.1. G = ([3], E(G)) em que E(G) =

      {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ´e um grafo simples chamado triˆangulo. C = = = =

      

    Figura 3.2.1: Grafo do triˆangulo.

    r

      Um subconjunto C C ⊂ [n] pode ser identificado com um (0, 1)−vetor a ∈ N dado por

      ( 1, se i

      ∈ C a C (i) = 0, se i

      6∈ C r . em que a C (i) denota a i-´esima coordenada do vetor a C r ∈ N

      Claramente um (0, 1) C corresponde a uma cobertura de v´ertices −vetor a ∈ N de G se, e somente se, a C (i) + a C (j)

      ≥ 1, ∀ {i, j} ∈ E(G). r De modo geral, chamaremos um vetor a = (a , . . . , a r ) de uma cobertura de

      1

      ∈ N

      v´ertice de G de ordem k se a i + a j ≥ k, ∀ {i, j} ∈ E(G).

      Uma cobertura de v´ertice ordin´aria corresponde segundo a nossa defini¸c˜ao a um (0, 1) −vetor que ´e uma cobertura de v´ertice de ordem 1.

      Dizemos que uma cobertura de v´ertice a de grau k ´e decompon´ıvel se existem coberturas de v´ertice b e c 6= a de graus i e j respectivamente tais que a = b+c e k = i+j. Caso contr´ario, a ´e dita indecompon´ıvel.

      Exemplo 3.2.2. Seja G o grafo do triˆangulo. Ent˜ao a = (1, 1, 1) ´e uma cobertura de

      v´ertices de ordem 2 indecompon´ıvel. De fato, se a = b + c com b, c

      6= a temos: a = (1, 0, 0) + (0, 1, 1) ou a = (0, 1, 0) + (1, 0, 1) ou a = (0, 0, 1) + (1, 1, 0).

      Em qualquer uma das possibilidades, a ordem de b ´e 0 e a ordem de c ´e 1. a 1 a r k r Seja A(G) uma sub´algebra de S[t] gerada pelo conjunto r t ; a = (a , . . . , a r ) ´e uma cobertura de v´ertice de G de ordem k

      1

      1

      {x · · · x ∈ N }.

      Note que M A A

      (G) = k (G) k

      ≥0

      em que A (G) = S e A k (G) ´e um S −m´odulo gerado por

      , . . . , a Com efeito, se a = (a r ) ´e uma cobertura de v´ertice de ordem k e

      1

      b , . . . , b = (b r ) ´e uma cobertura de v´ertice de ordem l ent˜ao como

      1 a a r k b b r l a +b a r +b r k +l 1 1 1 1

      (x t )(x t ) = x t

      1 r 1 r 1 r

      · · · x · · · x · · · x em que (a i + b i ) + (a j + b j ) = (a i + a j ) + (b i + b j ) ≥ k + l para todo {i, j} ∈ E(G) temos que a + b ´e uma cobertura de v´ertice de ordem k + l.

      Logo, A k (G)A l (G) k +l (G).

      ⊂ A Assim, A(G) ´e uma S

      −´algebra graduada a qual denominamos de ´algebra de cober- tura de v´ertices. Defina

      \

      ∗

      I P (G) := i,j

      {i,j}∈E(G) .

      em que P i,j ´e o ideal primo gerado pelas vari´aveis x i e x j Proposi¸c˜ ao 3.2.3. Seja G um grafo simples no conjunto de v´ertices [r]. Ent˜ao A(G)

      ∗ ´e a ´algebra de Rees simb´olica do ideal I (G). Em particular, A(G) ´e uma S

      −´algebra finitamente gerada.

      ∗ (k) k

      t Demonstra¸c˜ ao. Note que A k (G) = I (G) para todo k ∈ N.

      De fato, como a 1 a r k x . . . x r t k (G) i + a j

      1

      ∈ A ⇔ a ≥ k, ∀{i, j} ∈ E(G) a a k 1 r a . . . x , i + a j r i,j

      1

      ≥ k, ∀{i, j} ∈ E(G) ⇔ x ∈ P ∀{i, j} ∈ E(G) a a k a a k 1 r 1 r \ x . . . x , . . . x P . r i,j r i,j

      1

      1

      ∈ P ∀{i, j} ∈ E(G) ⇔ x ∈ a a k {i,j}∈E(G) 1 r e P i,j ´e gerado por um subconjunto de vari´aveis temos que x . . . x r t k (G), o que

      1

      ∈ A equivale a dizer que a a r k 1 (k) ∗ (k) \ \ x . . . x P P .

      

    1 r i,j = i,j = I (G)

      ∈

      {i,j}∈E(G) {i,j}∈E(G)

      Portanto, pelo corol´ario 3.1.7, A(G) ´e uma S −´algebra finitamente gerada.

      ✷ , . . . , a

      Seja a = (a

      1 r ) uma cobertura de v´ertices de ordem k. Por defini¸c˜ao, a ´e

      uma cobertura de v´ertices decompon´ıvel se existem b e c coberturas de v´etices disjuntas de a de ordens i e j respectivamente tais que a = b + c e k = i + j. Do ponto de vista alg´ebrico, a ´e uma cobertura de v´ertices decompon´ıvel se, e somente se, a a r k b b r i c c r j 1 1 1 x t t t

      1 r = (x 1 r )(x 1 r )

      · · · x · · · x · · · x

      ´ E f´acil ver que cada cobertura de v´ertice de G indecompon´ıvel de ordem &gt; 0 est´a associada de forma biun´ıvoca a um gerador monomial m´ınimo da S

      −´algebra A(G), ou seja, a um monˆomio que gera a S −´algebra A(G) e n˜ao ´e escrito como produto de dois elementos de A(G) diferentes de 1. Al´em disso, o conjunto formado pelos geradores monomiais m´ınimos de A(G) ´e unicamente determinado. Com efeito, se existissem dois conjuntos disjuntos com essa propriedade, teriamos um elemento que pertenceria a apenas um deles, mas que seria produto de elementos diferentes de 1 do outro, o que ´e imposs´ıvel. Ademais, as coberturas de v´ertices indecompon´ıveis de ordem 0 s˜ao apenas o vetor nulo e r os vetores da base canˆonica e , . . . , e r . De fato, se a = (a , . . . , a r ) ´e uma cobertura

      1

      1

      ∈ N de v´etices de ordem 0,

    • a = a e e

      1 1 r r

      · · · + a

    • = e r r + +

      1

      1

      · · · + e · · · + e · · · + e | {z } | {z } a a r 1 −vezes −vezes em que cada e i ´e uma cobertura de v´etices de ordem 0.

      Portanto, pelo lema 3.2.3, como A(G) ´e uma S −´algebra finitamente gerada, existe apenas um n´ umero finito de coberturas de v´ertices de G indecompon´ıveis.

      Exemplo 3.2.4. Seja G o grafo do triˆangulo. Neste caso, M n

      ∗ (n) ∗

      A I t (G) = (G) em que I (G) = (x, y) n ∩ (y, z) ∩ (x, z).

      ≥0 Pelo exemplo 3.1.8, A(G) =

      hxyt, yzt, xzt, xyzti. Note que xyt, yzt, xzt e xyzt s˜ao gera-

      

    dores m´ınimos de A(G). Com efeito, se escrevermos esses elementos como produto de

    dois outros diferentes de 1 temos as seguintes possibilidades:

      xyt = x(yt) = y(xt) = (xy)t yzt = y(zt) = z(yt) = (yz)t xzt = x(zt) = z(xt) = (xz)t

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      xyzt = x(yzt ) = y(xzt ) = z(yzt ) = xy(zt ) = yz(xt ) = xz(yt ) = xyz(t )

      ∗ (n) n n n n n

      t t

      Como I (G) = (x, y) (veja o exemplo 3.1.8), ´e poss´ıvel

      ∩ (y, z) ∩ (x, z)

      

    verificar facilmente que em nenhum dos casos os dois fatores pertencem simultaneamente

    a A(G).

      Logo, (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 1) s˜ao as ´ unicas coberturas de v´ertices

    indecompon´ıveis de ordem &gt; 0 do grafo do triˆangulo sendo que as trˆes primeiras s˜ao de

    ordem 1 e a ´ ultima de ordem 2.

      Note que no exemplo anterior o grau m´aximo (em t) dos geradores m´ınimos da ´algebra de cobertura de v´ertices associada ao grafo do triˆangulo ´e 2. De forma geral, 2 ´e

      O conceito de cobertura de v´ertices pode ser facilmente estendida para complexos simpliciais pesados. Um peso em um complexo simplicial ∆ ´e uma fun¸c˜ao ω que associa a cada faceta de ∆ um n´ umero natural. Assim, a ´algebra de cobertura de v´ertices A(∆, ω) ´e definida de forma similar ao caso do grafo (descrito nessa se¸c˜ao), al´em de ser tamb´em finitamente gerada. Em adi¸c˜ao, A(∆, ω) ´e normal e Cohen-Macaulay. Esses conceitos e resultados podem ser encontrados em [6]. Conclus˜ ao

      Embora esta disserta¸c˜ao mostre que as ´ Algebras de Rees simb´olicas de ideais monomiais tem tipo de gera¸c˜ao finita, ela n˜ao fornece informa¸c˜oes sobre esses geradores. No caso particular em que os ideais monomiais s˜ao gerados por monˆomios livres de quadrado, em 2004, Bahiano em [2] estabeleceu uma quota superior para o tipo de gera¸c˜ao das ´ Algebras de Rees associadas a esses ideais. Esse mesmo trabalho nos motivou a adaptar para a nossa linguagem um exemplo, originalmente tratado em [2], de uma

      ´ Algebra de Rees simb´olica em que um conjunto de geradores ´e explicitado.

      Para o caso em que os ideais monomiais s˜ao quaisquer, ainda n˜ao existe uma cota superior para o tipo de gera¸c˜ao nem outro tipo de informa¸c˜ao sobre os geradores. Outra quest˜ao que surgiu naturalmente ao longo deste trabalho ´e se a interse¸c˜ao finita de ´algebras finitamente geradas ´e sempre finitamente gerada. Essa pergunta tem como motiva¸c˜ao o fato de mostrarmos neste texto que, em particular, a resposta ´e po- sitiva, se a interse¸c˜ao ´e dada por um n´ umero finito de ´ Algebras de Rees ordin´arias as- sociadas a ideais monomiais. Se essa conjectura for verdadeira, isso fornecer´a uma nova demonstra¸c˜ao para o caso acima, mais simples que a apresentada no segundo cap´ıtulo desta disserta¸c˜ao. Referˆ encias Bibliogr´ aficas

      [1] ATIYAH, M. F.; MACDONALD, I. G. Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford. Reading: Addison-Wesley, 1969. [2] BAHIANO, C. E. N. Symbolic Powers of edge ideals, Journal of Algebra, v. 273, p. 517-537, 2004. [3] BRODMANN, M. Asymptotic stability of Ass(M/I n M ), Proceedings of the American Mathematical Society, v. 74, p. 16-18, 1979. [4] BRUNS, W.; HERZOG, J. Cohen-Macaulay rings, Cambridge: Cambridge University Press, 1998. [5] EISENBUD, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry,

      Berlin: Springer-Verlag, 1994. (Graduate Texts in Mathematics, 150) [6] HERZOG, J. ; HIBI, T. ; TRUNG, N. V. Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras, Advances in Mathematics, v. 210, p. 304-322, 2007.

      [7] HUNGERFORD, T. W. ; Algebra, New York: Springer-Verlag, 1980. [8] LYUBEZNIK, G. ; On the arithmrankof monomial ideals, Journal of Algebra, v. 112, p. 86-89, 1988.

      [9] MATSUMURA, H. Commutative ring theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. [10] NAGATA, M. On the fourteenth problem of Hilbert. In: PROCEEDINGS OF THE INTERNATIONAL CONGRESS OF MATHEMATICIANS, London, 1958.

      Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1960. p. 459-462. [11] ROCKAFELLAR, R. T. Convex Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1970.

      [13] ZARISKI, O. ; SAMUEL, P., Commutative Algebra, vol. 1. New York: Springer- Verlag, 1958.

Novo documento