Anderson Reis da Cruz

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Programa de P´os Graduac¸˜ao em Matem´atica

Propriedades Erg´

odicas de Sistemas com

Especificac

¸˜

ao

Anderson Reis da Cruz

Salvador-Bahia

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Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas.

Salvador-Bahia

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Reis da Cruz. – Salvador: UFBA, 2013. 59 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2013.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2. Teoria Erg´odica. 3. Especifica¸c˜ao. 4. Medidas Invariantes. 5. Press˜ao Topol´ogica. I. Varandas, Paulo C´esar R. Pinto. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Anderson Reis da Cruz

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 27 de fevereiro de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Manuel Stadlbauer UFBA

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Agrade¸co a Deus por tornar isto poss´ıvel. Aos meus pais, Nilda e Ambrosio, pelo apoio incondicional `as minhas decis˜oes e pela forma¸c˜ao da pessoa que hoje sou. Agrade¸co a Dayana pela compreens˜ao e incentivo.

Ao professor Paulo Varandas pela orienta¸c˜ao, disponibilidade e paciˆencia, al´em de sua contribui¸c˜ao na evolu¸c˜ao do meu modo de pensar e estudar a Matem´atica. Aos professores Manuel Stadlbauer e Eduardo Garibaldi por terem aceitado participar da comiss˜ao julgadora desta disserta¸c˜ao.

Agrade¸co a Marcus Morro, com quem tive a oportunidade de compartilhar bons momentos desde a gradua¸c˜ao. Aos colegas: ˆAngela, Darlan, Edward, Elaine, Elen, Rai-mundo, pelos momentos de descontra¸c˜ao e resenhas. A Thiago Bomfim, Andressa e Roberto, por sempre estarem dispostos a ajudar durante as disciplinas das quais tive o privil´egio de cursarmos juntos. A Luiz, pelas conversas e conselhos nestes dois anos de curso.

Aos funcion´arios e professores do Departamento de Matem´atica da UFBA, pelo seu profissionalismo.

A todos aqueles que direta ou indiretamente contribu´ıram para a conclus˜ao de mais esta etapa da minha vida.

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Neste trabalho estudamos sistemas que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao do ponto de vista da teoria erg´odica. Apresentamos duas consequˆencias interessantes dessa propriedade: a primeira, conforme Sigmund, ´e que o conjunto de medidas com suporte em ´orbitas peri´odicas ´e denso no conjunto de medidas invariantes. A partir disto teremos que o conjunto de medidas atˆomicas, de medidas abertas e de medidas erg´odicas s˜ao vazios ou residuais no espa¸co de medidas invariantes. A segunda, conforme Thompson, ´e que o conjunto dos pontos cuja m´edia de Birkhoff n˜ao converge ou ´e vazio ou tem press˜ao topol´ogica total. Apresentamos ainda uma aplica¸c˜ao deste ´ultimo resultado a fluxos de suspens˜ao.

Palavras-chave: Teoria Erg´odica; Especifica¸c˜ao; Medidas Invariantes;Conjunto

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In this work we study systems with the specification property from the pointview of ergodic theory. We present two consequences of this property: the first, as Sigmund, is that the set of measures with support in periodic orbits is dense in the set of invariant measures. From this we obtain that the set of non atomic measures, the set of open measures and the set of ergodic measures are either empty or residual in the space of invariante measures. The second, as Thompson, is that the set of points whose the Birkhoff average not exists is either empty or has full topological pressure. We give an application of this result for suspension flows.

Keywords: Ergodic Theory; Specification; Invariant Measures; Irregular Set;

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 O espa¸co de medidas . . . 3

1.2 Especifica¸c˜ao . . . 5

1.3 Teorema Erg´odico de Birkhoff . . . 10

1.4 Press˜ao topol´ogica . . . 13

2 Medidas Invariantes e Sistemas com Especifica¸c˜ao 16 2.1 Caracteriza¸c˜ao das Medidas para Sistemas com Especifica¸c˜ao . . . 17

3 Press˜ao Topol´ogica para o Conjunto Irregular 27 3.0.1 Prova do Teorema 3.0.17 . . . 34

3.1 Aplica¸c˜ao a Fluxos de Suspens˜ao . . . 51

(11)

Dado um sistema dinˆamico (X, f) onde X ´e um espa¸co m´etrico compacto e f :

X → X uma aplica¸c˜ao cont´ınua, uma quest˜ao interessante diz respeito da existˆencia de pontos peri´odicos para tal dinˆamica. Gostar´ıamos de saber, por exemplo, do ponto de vista topol´ogico, sob que condi¸c˜oes tais pontos s˜ao abundantes no espa¸co. Se (X, f) satisfaz a especifica¸c˜ao, temos queP er(f) :={x∈X;x´e peri´odico}´e um conjunto denso em X.

Mas o que vem a ser a propriedade de especifica¸c˜ao? Em [3], Bowen, no estudo da distribui¸c˜ao dos pontos peri´odicos para difeomorfismos que satisfazem o Axioma A de Smale, mostrou que, para homeomorfismos cujo conjunto inst´avel de qualquer ponto peri´odico ´e denso no espa¸co, ´e poss´ıvel aproximar trechos finitos de ´orbita (em quantidade tamb´em finita) por uma ´orbita peri´odica, o que ele chamou de especifica¸c˜ao.

Mais precisamente, seja f : X → X um homeomorfismo de um espa¸co m´etrico compacto (X, d),dizemos quef ´eC−denso se o conjunto inst´avel dep,ou seja, Wu(p) :=

{y∈ X :d(f−n(p), f−n(y)) 0 quando n → ∞}´e denso em X para todo ponto p X peri´odico. Bowen mostrou ent˜ao que:

Teorema 0.0.1(Bowen,1971). Suponhaf :X →X um homeomorfismo C-denso e ǫ >0. Ent˜ao existem(ǫ)tal que dados x1, ..., xk ∈X, I ={I1, ..., Ik},ondeIj := [aj, bj] :={k ∈

Z:aj ≤k ≤bj}, satisfazendo aj −bj−1 ≥m(ǫ), ∀j = 2, ..., k e p≥m(ǫ) +bk−a1 existe

um ponto peri´odico x∈X de per´ıodo p que satisfaz:

d(fk(x), fk(y))< ǫ, k I

j, ∀j = 1, ..., k.

Diremos ent˜ao que uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X → X de um espa¸co m´etrico compacto (X, d) satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se satisfaz o teorema acima. Como veremos adiante, um exemplo simples de aplica¸c˜ao cont´ınua que satisfaz a especifica¸c˜ao ´e o shift completo num alfabeto finito. Considerando X := {1, ..., n}N podemos munir

este espa¸co de uma m´etrica que o torna compacto e a aplica¸c˜ao σ : X → X dada por

σ((in)n∈N) = ((in+1)n∈N) cont´ınua. Note que para este sistema ´e f´acil construirmos pontos

peri´odicos, basta tomarmos uma sequˆencia finita de s´ımbolos e concaten´a-la para formar uma sequˆencia emX.

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Temos que se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetiva φ :X→Y onde (X, d) e (Y, d) s˜ao espa¸cos m´etricos compactos tal queφ◦f =g◦φcom f :X →X eg :Y →Y

aplica¸c˜oes cont´ınuas, ent˜ao se f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao ent˜ao g tamb´em satisfaz. Tal fato, nos d´a outros exemplos como a fam´ılia Manneville Pomeau, indexada porα ∈[0,1] dada por fα : [0,1]→[0,1], fα(t) =t+t1+α mod 1. Vista como aplica¸c˜ao de S1 temos que f

α ´e cont´ınua e ´e conjugada ao shift num alfabeto de dois s´ımbolos, o que significa que existe um homeomorfismo φ:S1 → {0,1}N tal que φf

α=σ◦φ. Em [1] temos que toda aplica¸c˜ao topologicamente mixing no intervalo satisfaz a especifica¸c˜ao. E no intervalo estas s˜ao todas as aplica¸c˜oes que satisfazem a propriedade.

A no¸c˜ao de especifica¸c˜ao tornou-se uma ferramenta muito ´util em sistemas dinˆa-micos, tanto do ponto de vista da teoria geom´etrica como da teoria da medida. Bowen em [4] mostrou que sef ´e um homeomorfismo expansivo ent˜ao dada uma fun¸c˜ao cont´ınua

ϕ:X →R,com algumas hip´oteses sobre sua varia¸c˜ao, existe e ´e ´unico estado de equil´ıbrio de f com respeito a ϕ. Lembramos que f : X → X ´e dita ser expansiva se existe ǫ tal que x 6= y implica a existˆencia de n ∈ Z tal que d(fn(x), fn(y)) > ǫ. Em [8], Haydn e Ruelle mostraram que, neste mesmo contexto, este ´unico estado de equil´ıbrio ´e um estado de Gibbs.

No presente trabalho optamos por apresentar uma caracteriza¸c˜ao do espa¸co de medidas invariantes para sistemas que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao, desta-cando alguns subconjuntos que, do ponto de vista topol´ogico, s˜ao grandes neste espa¸co. Como, por exemplo, o conjunto de medidas com suporte em ´orbitas peri´odicas, que ve-remos ser denso nas medidas invariantes, o conjunto das medidas n˜ao atˆomicas, ou seja, cujos pontos tem medida nula e o conjunto das medidas abertas s˜ao residuais neste espa¸co. Apresentaremos ainda o teorema devido a Thompson ([19]) que diz que o conjunto dos pontos cuja m´edia de Birkhoff n˜ao converge, dado um sistema com especifica¸c˜ao ou ´e vazio ou tem press˜ao topol´ogica total.

No cap´ıtulo 1, apresentamos alguns resultados gerais de teoria erg´odica, como o Teorema de Birkhoff e o Teorema da Decomposi¸c˜ao Erg´odica, al´em de t´opicos de teoria da medida e uma vis˜ao geral sobre o conceito de especifica¸c˜ao.

No cap´ıtulo 2, segundo [15] vamos estabelecer a caracteriza¸c˜ao topol´ogica do espa¸co de medidas invariantes paraf que satisfaz especifica¸c˜ao.

(13)

Preliminares

1.1

O espa¸

co de medidas

Considere (X, d) um espa¸co m´etrico compacto.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Dizemos que A ⊂ P(X) ´e uma σ-´algebra de conjuntos se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(i) X ∈ A;

(ii) se A∈ A ent˜ao AC ∈ A;

(iii) se A1, A2, ... ∈ A ent˜ao ∪∞i=1Ai ∈ A.

Observe que seA´e umaσ-´algebra ent˜ao∅ ∈ A,por i e ii. Temos ainda queAser´a fechada para interse¸c˜oes enumer´aveis pois se A1, A2, ... ∈ A ent˜ao ∩∞i=1Ai = (∪∞i=1ACi )C.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Uma medida µ definida numa σ-´algebra A ´e uma aplica¸c˜ao µ : A →

[0,∞] tal que: 1. µ(∅) = 0

2. µ(P∞i=1Ai) = P∞i=1µ(Ai) se A1, A2, ... ∈ A s˜ao dois a dois disjuntos

Seµ(X) = 1 dizemos que µ´e uma probabilidade. Consideraremos a partir daqui a σ-´algebra B(X) gerada pela topologia de X, em outras palavras B(X) ´e a menor σ -´algebra que cont´em os abertos deX. ChamamosB(X) de σ-´algebra de Borel e a medida nela definida de boreliana. Denotaremos porM(X) o conjunto de todas as probabilidades

borelianas.

Dada µ ∈ M(X) e um conjunto Φ := {φ1, ..., φr} ⊂ C(X), C(X) o espa¸co das

fun¸c˜oes cont´ınuas em X, defina V(µ,Φ, ǫ) := {ν ∈ M(X) : |R φjR φj|< ǫ, j =

1, ..., r}.Considerando a fam´ıliaVµ:={V(µ,Φ, ǫ) : ΦC(X) ´e finito, ǫ >0}temos uma

(14)

base de vizinhan¸cas para cada µ∈M(X). Definimos ent˜ao em M(X) a topologia fraca*

como a topologia gerada por essa base de vizinhan¸cas. Temos que:

Teorema 1.1.3. Seja (µn)n∈N uma sequˆencia em M(X). Ent˜ao µn converge a µ na

to-pologia fraca*, limn→∞µn w∗

= µ, se e somente se limn→∞

R

φdµn =

R

φdµ, ∀φ ∈ C(X). Ademais temos que lim supn→∞µn(F) ≤ µ(F) para todo F subconjunto fechado de X e

lim infn→∞µn(A)≥µ(A) para todoA subconjunto aberto de X.

Tal resultado ´e um caso particular do Teorema 6.1 do Cap´ıtulo II de [13]. Conforme Teoremas 6.4 e 6.5 de [20] temos:

Teorema 1.1.4. Se X ´e um espa¸co compacto e metriz´avel ent˜ao M(X) ´e compacto na

topologia fraca* e metriz´avel.

Defini¸c˜ao 1.1.5. Uma aplica¸c˜ao f : X → X ´e dita mensur´avel se ∀A ∈ B(X) temos

f−1(A)∈ B(X).

Defini¸c˜ao 1.1.6. Seja f : X → X uma aplica¸c˜ao mensur´avel, dizemos que µ ∈ M(X)

´e f-invariante se µ(f−1(A)) =µ(A), A ∈ B(X). Denotamos por M

f(X) o conjunto de todas as medidas f-invariantes.

Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao para uma medida f-invariante, conforme [20, Teorema 6.8]:

Teorema 1.1.7. Seja f : X → X aplica¸c˜ao cont´ınua. µ ∈ Mf(X) se, e somente se

R

φdµ=R φ◦f dµ, ∀φ∈C(X).

Al´em disso a existˆencia de medidas invariantes ´e sempre garantida se a dinˆamica ´e cont´ınua, como em [20, Teorema 6.9]:

Teorema 1.1.8. Se f :X →X ´e cont´ınua ent˜ao Mf(X)6=.

Defini¸c˜ao 1.1.9. µ∈Mf(X) ´e dita erg´odica com respeito a f : X X ouf-erg´odica,

se dado A ⊂ X f-invariante, isto ´e, f−1(A) = A, ent˜ao µ(A)µ(AC) = 0. Denotemos por

Me o conjunto das medidas erg´odicas.

Dada f : X → X e x ∈ X defina µx := limn→∞ n1Pnj=0−1δfj(x) quando tal limite

existir. Lembramos que δy ´e a medida de Dirac em y ∈ X, isto ´e, δy(A) = 0 se y /∈A e

δy(A) = 1 caso contr´ario. Definimos tamb´em

Σ(f) :={x∈X :µx ´ef-invariante e erg´odica}.

(15)

Teorema 1.1.10(Decomposi¸c˜ao Erg´odica).Sejamf :X →Xuma aplica¸c˜ao mensur´avel e µ∈Mf(X). Ent˜ao para toda φ∈ L1(X, µ) ´eµx-integr´avel para µ q.t.p. xΣ(f) e

Z

X

φdµ=

Z

X

Z

X

φdµx

dµ.

Veja [10, Teorema 6.4].

1.2

Especifica¸

ao

Considere M uma variedade compacta e f : M → M um difeomorfismo, por simplicidade. Alguns dos resultados e defini¸c˜oes valem para o caso f n˜ao invert´ıvel. Definimos:

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dizemos que p∈ M ´e um ponto peri´odico paraf se existe n ∈ N tal quefn(p) = p.Denotaremos por P er(f) o conjunto de pontos peri´odicos paraf. Dizemos quep∈ M, tem per´ıodo n, sen =min{m ≥1 :fn(p) =p}.Denotaremos por P ern(f) o conjunto do pontos peri´odicos de f de per´ıodo n.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Definimos o conjunto n˜ao-errante de f como

Ω(f) :={x∈ M : para toda vizinhan¸ca Ude x,existe n >0 tal que fn(U)∩U 6=∅}.

Claramente o conjunto de pontos peri´odicos de f est´a contido em Ω(f). Temos ainda que Ω(f) ´e um subconjunto fechado e f-invariante. De fato, se (xn)n∈N ´e uma

sequˆencia em Ω(f) com lim

n→∞xn = x ∈ M, dada uma vizinhan¸ca aberta U de x, existe

n0 ∈ N tal que xn ∈ U, ∀n ≥ n0. Ent˜ao como xn ∈ U temos que existe Vxn ⊂U aberto

tal quexn∈Vxn para cadan > n0.Fixe n > n0,como xn ∈Ω(f) temos que existe m≥1

tal que fm(V

xn)∩Vxn 6=∅, logo f

m(U)U 6= e portanto xΩ(f).

Por outro lado temos que se x ∈ f(Ω(f)) ent˜ao x = f(y) com y ∈ Ω(f). Seja

V uma vizinhan¸ca de x, temos que f−1(V) ´e uma vizinhan¸ca de y, logo existe n > 0 tal que fn(f−1(V)) f−1(V) 6= donde fn(V)V 6= . Portanto x Ω(f), ou seja

f(Ω(f)) ⊆Ω(f).A reciproca ´e facilmente verificada, j´a que supomos f um difeomorfismo, logo f(Ω(f)) = Ω(f).

Defini¸c˜ao 1.2.3. Seja µuma medida, ent˜ao o conjunto

supp(µ) :={x∈ M :µ(U)>0,para toda vizinhan¸ca U de x}

(16)

Observa¸c˜ao 1.2.4. Se µ ´e uma medida de probabilidade f-invariante ent˜ao suppµ ⊆

Ω(f).De fato, se x∈ supp(µ) e U ´e vizinhan¸ca de x, ent˜ao µ(U)> 0 e pelo teorema de recorrˆencia de Poincar´e, paraµ-q.t.p. y∈U existe (nk)k∈N= (nk(y))k∈Ncom limk→∞nk=

∞tal quefnk(y)∈U.Em particular, existemtal quefm(U)∩U 6=∅.Portantox∈Ω(f).

Em [3], Bowen estudou a distribui¸c˜ao de pontos peri´odicos para uma classe de difeomorfismos estabelecida por Smale, cuja defini¸c˜ao segue abaixo:

Defini¸c˜ao 1.2.5. f :M → M´e difeomorfismo Axioma A se: 1. P er(f) = Ω(f).

2. Ω(f) ´e um conjunto hiperb´olico.

Lembre que Λ ⊆ M ´e um conjunto hiperb´olico para f se Λ ´e compacto e f -invariante e para todox∈Λ temos que TxMadmite uma decomposi¸c˜ao TxM=Es⊕Eu

Df-invariante tal que existem λ ∈ (0,1) e c > 0 que satisfazem kDfn(x)|

Esk ≤ cλn e kDf−n(x)|

Euk ≤cλn, para todon ≥1.

Para essa classe de difeomorfismos em [17, Teorema 6.2] temos a seguinte carac-teriza¸c˜ao do conjunto n˜ao-errante paraf :

Teorema 1.2.6 (Teorema da Decomposi¸c˜ao Espectral de Smale). Se f ´e um difeomor-fismo Axioma A ent˜ao existe ´unica decomposi¸c˜ao deΩ(f)em uni˜ao finita de subconjuntos fechados, disjuntos, invariantes e indecompon´ıveis, Ω(f) = Ω1∪˙...∪˙Ωk, tal que f|Ωi ´e to-pologicamente transitivo para i = 1, ..., k. Cada Ωi ´e chamado de conjunto b´asico para f.

A partir deste teorema, temos que toda medida f-invariante pode ser escrita como combina¸c˜ao de medidas suportadas em conjuntos b´asicos. Isto nos permite analisar o difeomorfismo f a partir de fi :=f|Ωi, i= 1, ..., l.

Defini¸c˜ao 1.2.7. Seja f : M → M um difeomorfismo. Definimos Wu(x) := {y ∈ M :

d(fn(x), fn(y))0, quando n→ −∞} como o conjunto inst´avel de x. Dizemos que f ´e C-denso seWu(x) ´e denso em M,para todo x∈ M peri´odico.

Em [3], temos:

Teorema 1.2.8 (Teorema de Decomposi¸c˜ao C-Densa). Seja f :M → M um difeomor-fismo Axioma A, em uma variedade compacta M. Ent˜ao, dado Ωi conjunto b´asico para f da decomposi¸c˜ao espectral de Smale podemos escrever Ωi = Ωi,1∪˙...∪˙Ωi,mi com Ωi,k fe-chado para cada k = 1, ..., mi e f(Ωi,k) = Ωi,k+1 (Ωi,mi+1 = Ωi,1) e f

mi

i : Ωi,j → Ωi,j ´e

(17)

i,2

i,5

i

i,1

i,3

i,4

i,6

i,3

i,2

i,1

i,4

i,5

i,6

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

f

i

Figura 1.2.1: Decomposi¸c˜ao C-densa de um conjunto b´asico.

Temos ent˜ao a no¸c˜ao de especifica¸c˜ao introduzida por Bowen, e o resultado por ele obtido para transforma¸c˜oes C-densas.

Defini¸c˜ao 1.2.9. Uma especifica¸c˜ao ´e um par (γ, P),ondeγ ={I1, ..., In},comIj conjun-tos finiconjun-tos e disjunconjun-tos de naturais consecutivos eP uma aplica¸c˜ao tal queP :∪n

j=1Ij →X satisfazendo que ft2−t1(P(t1)) =P(t

2) set1, t2 ∈Ij.Se (γ, P) ´e uma especifica¸c˜ao eδ >0 definimosU(γ, P, δ) ={x∈X :d(ft(x), P(t))< δ,t∈ ∪n

j=1Ij}.Ordenandoγ ,sem perda de generalidade, de modo que, denotando Ij = [aj, bj], tenhamos aj > bj−1, j = 2, ..., n dizemos que (γ, P) ´eM-afastada se M ≤ min

2≤j≤n|aj−bj−1| e definimos o comprimento de

γ como L(γ) :=bn−a1.

Teorema 1.2.10 (Teorema de Especifica¸c˜ao de Bowen). Sef ´e C-denso ent˜ao paraδ >0

existe um inteiro M(δ) tal que, sempre que (γ, P)´e uma especifica¸c˜ao M(δ)-afastada e k um inteiro tal que k ≥M(δ) +L(γ), existe um ponto peri´odico de per´ıodo k pertencente a U(γ, P, δ).

A especifica¸c˜ao definida acima ´e simplesmente uma associa¸c˜ao entre intervalos de naturais e trechos de ´orbitas de f. O conjunto U(γ, P, δ) representa o conjunto dos pontos cuja ´orbita est´aδ-pr´oxima das ´orbitas associadas pela especifica¸c˜ao. E o Teorema de Especifica¸c˜ao, garante que se f ´e C-denso ent˜ao essa aproxima¸c˜ao pode ser feita por pontos peri´odicos.

(18)

Defini¸c˜ao 1.2.11. Dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se para todo

ǫ >0 existe um inteirom :=m(ǫ) tal que dados x1, x2, ..., xk ∈X,inteirosa1 ≤b1 ≤a2 ≤

b2 ≤ ...≤ ak ≤ bk com aj−bj−1 ≥ m(ǫ), ∀j = 2, ..., k e p≥ bk+m(ǫ) existe um ponto

x∈X peri´odico de per´ıodo ptal que

d(fj+ai(x), fj(xi))< ǫ, j = 0, ..., b

i−ai (1.2.1)

Exemplo 1.2.12. Considere o shift completo de dois s´ımbolos

σ : {0,1}N→ {0,1}N

(i0, i1, i2, ...)7→(i1, i2, ....) Vejamos que tal aplica¸c˜ao satisfaz a especifica¸c˜ao.

Temos qued:{0,1}N×{0,1}N→[0,∞) dada pord(¯a,¯b) =P∞i=0 1

2iδ(ai, bi) (onde

δ(ai, bi) = 1 se ai = bi e δ(ai, bi) = 0, caso contr´ario) define uma distˆancia em {0,1}N. Temos ainda qued(¯a,¯b)< ǫse, e somente se, existen(ǫ)∈Ntal queai =bi∀0≤i≤n(ǫ), como pode ser visto em [7, Subse¸c˜ao 7.3.4].

Sejam ¯y ∈ {0,1}N, inteiros a ≤ b e ǫ > 0, arbitr´arios. Seja m(ǫ) = a +n(ǫ) com n(ǫ) como acima. Para p ≥ b −a + m(ǫ) vamos exibir ¯x que satisfa¸ca (1.2.1). Seja xi a i-´esima coordenada de ¯x. Defina xi arbitrariamente para i = 1, ..., a−1. Para

i=a, ..., b, b+n(ǫ) definaxi :=yi.Parai=b+n(ǫ) + 1, ..., pdefinamosxi aleatoriamente. Denotemos ¯xp = (x1, ..., xp). Ent˜ao fixemos ¯x := (¯xp,x¯p,x¯p, ....). N˜ao ´e dif´ıcil ver que ¯x assim definido tem per´ıodo p e satisfaz (1.2.1). Com um argumento an´alogo verificamos que vale para qualquer conjunto finito de pontos.Conclu´ımos assim que o shift completo satisfaz especifica¸c˜ao.

De fato o shift completo, tanto unilateral como bilateral, de k s´ımbolos satisfaz especifica¸c˜ao, qualquer que seja o k ∈ N, j´a que o racioc´ınio utilizado acima funciona independentemente da quantidade de s´ımbolos.

Proposi¸c˜ao 1.2.13. Sejam f : X → X e g : Y → Y aplica¸c˜oes cont´ınuas nos espa¸cos m´etricos(X, d) e (Y, d′). Temos:

(a) Se f satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao fk:X X tamb´em satisfaz especifica¸c˜ao k 1.

(b) Se existirφ:X →Y cont´ınua sobrejetiva tal queg◦φ=φ◦f ef satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao g satisfaz especifica¸c˜ao.

Prova:

(a)

Suponha f : X → X satisfazendo a especifica¸c˜ao. Dado ǫ > 0 seja ˆm(ǫ) =

h

m(ǫ) k

i

(19)

f. Sejam x1, ..., xs ∈X e a1 ≤b1 ≤a2 ≤b2 ≤...≤as ≤bs inteiros com aj−bj−1 ≥mˆ(ǫ). Ent˜ao kaj−kbj−1 ≥m(ǫ). Dado p≥bs−a1+ ˆm(ǫ) temosnp ≥kbs−ka1+m(ǫ).

Segue ent˜ao que existe x∈X peri´odico de per´ıodo kppara f tal

d(fj+nai(x), fj(xi))< ǫ, j = 0, ..., kb

i−kai, ∀i= 1, ..., s Ent˜ao

d(gr+ai(x), gr(x

i))< ǫ, ∀r= 0, ..., bi−ai, ∀i= 1, ..., s onde g =fk Portanto fk satisfaz especifica¸c˜ao.

(b)

Dados ǫ >0, y1, ..., ys ∈ X e inteiros a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ ... ≤ as ≤ bs. Sejam

x1, ..., xs tais que φ(xi) = yi. Como X ´e compacto, φ ´e uniformemente cont´ınua. Logo existeδ >0 tal qued(w, z)< δ ⇒d′(φ(w), φ(z))< ǫ.Temos por hip´otese que existem(δ) tal que para p≥bs−a1+m(δ) existe x∈X peri´odico de per´ıodop satisfazendo:

d(fj+ai(x), fj(xi))< δ, j = 0, ..., b

i−ai, ∀i= 1, ..., s. Logo,

d′(φ(fj+ai(x)), φ(fj(xi)))< ǫ, j = 0, ..., b

i−ai, ∀i= 1, ..., s. Mas ent˜ao,

d′(gj+ai(φ(x)), gj(φ(xi))) < ǫ, j = 0, ..., b

i−ai, ∀i= 1, ..., s. Portanto,

d′(gj+ai(φ(x)), gj(yi))< ǫ, j = 0, ..., b

i−ai, ∀i= 1, ..., s⇒

Assim tomandom(ǫ) =m(δ) encontramos y :=φ(x) peri´odico de per´ıodo psatisfazendo (1.2.1). Portantog satisfaz especifica¸c˜ao.

No caso em que ocorre o item (b) da proposi¸c˜ao acima, dizemos que f e g s˜ao semi-conjugados. Caso φ seja um homeomorfismo dizemos que f e g s˜ao topologica-mente conjugados. Deduz-se portanto que a propriedade de especifica¸c˜ao ´e um invariante topol´ogico.

Exemplo 1.2.14. Seja f : [0,1]/ ∼→ [0,1]/ ∼ dada por f(x) = 2x( mod 1), onde

a∼b⇔a−b ∈Z.Considere φ:{0,1}N →[0,1]/∼ dada por φ(a0, a1, a2, ...) =

P∞

i=0 ai

2i.

(20)

X

X

Y

Y

f

g

φ

φ

Figura 1.2.2: Sistemas conjugados.

Como no exemplo do shift, f(x) = βx( mod 1) satisfaz a especifica¸c˜ao ∀β ∈N,

valendo a semi-conjuga¸c˜ao com o shift de β s´ımbolos. Mais ainda, o conjunto dos β tal queβx( mod 1) satisfaz especifica¸c˜ao ´e denso em [1,+∞), como mostrado em [6].

Defini¸c˜ao 1.2.15. Dizemos quef :X →X ´e topologicamente mixing se dados quaisquer abertos n˜ao vaziosU eV existe N ∈Ntal que fn(U)V 6=para todo nN.

Temos ent˜ao o seguinte resultado devido a Blokh:

Teorema 1.2.16. Seja f : [0,1] → [0,1] uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se e somente se f ´e topologicamente mixing.

A prova deste resultado pode ser vista em [1] ou [6]. Notamos que, em geral, se f : X → X satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao f ´e topologicamente mixing e o conjunto de pontos peri´odicos ´e denso, sendo a rec´ıproca v´alida neste contexto unidimensional.

1.3

Teorema Erg´

odico de Birkhoff

Considere um conjunto E ⊂ X e uma transforma¸c˜ao f : X → X, mensur´avel. Dado um ponto x ∈ X gostar´ıamos de estimar a frequˆencia de visita da ´orbita deste ponto ao conjunto E. Podemos calcular o limite limn→∞ 1n#{0 ≤ j < n : fj(x) ∈ E}

que nos fornecer´a em m´edia por quanto tempo, em termos de iterados, a ´orbita de x

intersecta E. Contudo, tal limite em geral n˜ao existe. Por exemplo se considerarmos

E := {f10j

(x), f10j+1

(x), ..., f10j+11

(x) : j ∈ {1,3,5,7, ...}} temos que tal limite n˜ao existe. Denotemos

τ(E, x) := lim n→∞

1

n#{0≤j < n:f

j

(x)∈E}.

Observe que podemos reescrever τ(E, x) como limn→∞ 1nPj=0n−1χE◦fj(x), o que nos leva a quest˜ao mais geral: dada uma fun¸c˜ao φ : X → R e uma transforma¸c˜ao

(21)

comportamento de uma determinada quantidade observ´avel, φ, ao longo da trajet´oria de um pontoxno espa¸co pela dinˆamicaf. Nesta dire¸c˜ao temos o seguinte resultado devido a George David Birkhoff, cuja demonstra¸c˜ao pode ser vista em [10, Teorema 1.1, Cap´ıtulo II]:

Teorema 1.3.1 (Birkhoff). Sejam f : X → X uma transforma¸c˜ao mensur´avel, µ ∈

Mf(X) e φ∈ L1(µ). Temos:

(a) φ˜(x) := limn→∞

1

n

Pn−1

j=0 φ◦fj(x) existe para µ q.t.p. x∈X

(b) R φdµ˜ =R φdµ

Ademais, se µ∈Me temos que φ˜(x) =R φdµ para µ q.t.p. xX.

Dada φ ∈ L1(X, µ) denotaremos S

nφ(x) := Pj=0n−1φ◦fj(x) a n-´esima soma de Birkhoff do ponto x. A n1Snφ(x) nos referimos a n-´esima m´edia de Birkhoff do ponto x. Note que a sequˆencia (Snφ(x))n∈N satisfaz Sn+mφ(x) =Snφ(x) +Smφ(fn(x)).

Exemplo 1.3.2. Considere f : [0,1] → [0,1] dada por f(x) = 1

2x, temos que a ´unica medida invariante para tal sistema ´e a Dirac em 0, δ0. De fato, em virtude do teorema de recorrˆencia de Poincar´e, se µ ∈ Mf(X) ent˜ao supp(µ) Rec(f) := {y [0,1] :

para toda vizinhan¸caV dey,#{n∈N:fn(y)V}=∞}={0}.Ent˜ao pelo teorema de Birkhoff, temos que dadaφ∈ L1([0,1], δ0) existe um conjuntoX

φcom δ0(Xφ) = 1 tal que o limite acima existe para todox∈Xφ. Mas um conjunto tal que sua medida de Dirac ´e 1,do ponto de vista topol´ogico, pode ser pequeno em [0,1], podendo ser por exemplo{0}.

Ressaltamos assim, que a existˆencia do limite das m´edias de Birkhoff, apesar de ocorrer em um conjunto grande do ponto de vista da medida, pode ser pequeno sob outras ´oticas.

Exemplo 1.3.3. Consideremos um campo vetorial suave no plano com dois pontos de sela, a eb, cujo retrato de fase est´a indicado na figura abaixo:

a

b

Figura 1.3.1: Olho de Bowen

(22)

que qualquer ponto do interior do ciclo que n˜ao seja a singularidade, n˜ao existe o limite de Birkhoff. A ideia ´e que dadas duas vizinhan¸cas arbitrariamente pequenas das selas e um pontox no interior do ciclo, sua ´orbita passa cada vez mais tempo nestas vizinhan¸cas e muito mais r´apido fora delas.

Defini¸c˜ao 1.3.4. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, definimos a distˆancia dinˆamica associada ao tempon como:

dn : X×X →[0,∞)

(x, y)7→dn(x, y) := max{d(fj(x), fj(y));j = 0, ..., n−1}.

De fato, dn ´e uma distˆancia para todo n∈N. Sejam x, y, z ∈X, temos que

dn(x, y) = 0⇔d(fj(x), fj(y)) = 0 para todo j = 0, ..., n1.

Mas isto ocorre se, e somente sex=y. E claro que´ dn(x, y) =dn(y, x).Finalmente

dn(x, z) = max{d(fj(x), fj(z));j = 0, ..., n1}

≤ max{d(fj(x), fj(y)) +d(fj(y), fj(z));j = 0, ..., n−1} ≤ dn(x, y) +dn(y, z).

Assim, dado ǫ >0 podemos definir a bola de raio ǫ segundo essa distˆancia, que denotaremos porB(x, n, ǫ) :={y∈X;dn(x, y)< ǫ},a qual tamb´em denominaremos bola dinˆamica de comprimento n, raio ǫ e centro em x.

Observa¸c˜ao 1.3.5. Considere φ:X →R uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua, ou seja, tal que dado ǫ > 0 existe δ > 0 com d(x, y) < δ implica |φ(x)−φ(y)| < ǫ, para todo

x, y ∈X.Ent˜ao

dn(x, y)< δ ⇒ |φ(fj(x))φ(fj(y))| ≤ǫ, j = 0,1, ..., n1. Assim,

|Snφ(x)−Snφ(x)|=

n−1

X

j=0

φ◦fj(x)φfj(y)

n−1

X

j=0

|φ◦fj(x)φfj(y)|< nǫ.

Portanto dn(x, y) < δ ⇒ |Snφ(x)−Snφ(y)| < nǫ. Isto nos d´a uma estimativa de qu˜ao pr´oximas ficam as m´edias de Birkhoff para pontos cujas ´orbitas permanecem tamb´em pr´oximas.

(23)

Observa¸c˜ao 1.3.7. Considere φ : X → R. Podemos fazer uma estimativa an´aloga a observa¸c˜ao 1.3.5 usando a varia¸c˜ao deφ. Temos que se x, y ∈X s˜ao tais que dn(x, y)< ǫ

ent˜ao |Snφ(x)−Snφ(y)| ≤Pnj=0−1|φ◦fj(x)−φ◦fj(y)| ≤nV ar(φ, ǫ).

Lema 1.3.8. Seja φ ∈C(X) tal que φ= lim

n→∞φn na norma dosup comφn∈C(X),∀n≥

1.Suponha que existax∈X tal que existe lim k→∞

1

kSkφn(x),∀n ≥1.Ent˜ao existenlim→∞ 1

kSkφ(x).

Prova:Fixado ǫ >0 existen0 ≥1 tal que n ≥n0 ⇒ kφ−φnk< ǫ3.Fixe n≥n0. Como, por hip´otese, existe lim

k→∞

1

kSkφn(x) temos que 1

kSkφn(x)

k∈N ´e de Cauchy em R,

logo, existe k0 ≥1 tal que r, t≥k0 ⇒

1rSrφn(x)− 1tStφn(x)< ǫ

3. Assim:

1

rSrφ(x)−

1

tStφ(x)

≤ 1

rSrφ(x)−

1

rSrφn(x)

+ 1

tStφn(x)−

1

rSrφn(x)

+ 1

tStφn(x)−

1

tStφ(x)

≤ kφ−φnk+

1

tStφn(x)−

1

rSrφn(x)

+kφ−φnk

≤ ǫ

3+

ǫ

3 +

ǫ

3 =ǫ

∀r, t ≥ k0. Como ǫ > 0 ´e arbitr´ario temos que 1kSkφ(x)

k∈N ´e de Cauchy em R, logo

convergente.

1.4

Press˜

ao topol´

ogica

Nesta se¸c˜ao definiremos os conceitos b´asicos de entropia, m´etrica e topol´ogica, e press˜ao topol´ogica que ser˜ao utilizados no cap´ıtulo 3. As defini¸c˜oes aqui apresentadas e resultados sem demonstra¸c˜ao podem ser consultados em [20]. A menos que se diga o contr´ario estaremos sempre considerando X um espa¸co m´etrico compacto e medidas borelianas emX.

Defini¸c˜ao 1.4.1. Seja µ ∈ M(X). Uma parti¸c˜ao de X mod µ em borelianos ´e uma

cole¸c˜ao enumer´avel P:={Pi :i∈N ⊂N}tal quePi ∈ B(X),∀i∈N, Pi∩Pj =∅, ∀i6=j e µ(X\ ∪i∈N Pi) = 0. Dadas duas parti¸c˜oes P e Q dizemos que Q refina P (denotamos porP ≤Q) se para cada elemento Q∈Q existe P ∈P tal que Q ⊂P. Definimos ainda a parti¸c˜ao P∨Q := {P ∩Q : P ∈ P e Q ∈ Q}. Dada uma transforma¸c˜ao mensur´avel

f :X →X temosf−1(P) :={f−1(P) :P P}.

Defini¸c˜ao 1.4.2. Seja µ ∈ Mf(X) e P uma parti¸c˜ao. Definimos a entropia de P com respeito aµ com a quantidade:

Hµ(P) :=−X

P∈P

(24)

Dizemos que

Hµ(f,P) := lim n→∞

1

nH(

n−1

_

j=0

f−j(P)) (1.4.2)

´e a entropia de f com respeito a parti¸c˜ao P. Por fim definimos a entropia m´etrica de f

com respeito aµ como sendo

hµ(f) := sup

P

Hµ(f,P) (1.4.3) onde o supremo ´e tomado sobre todas as parti¸c˜oes finitas mod µde X.

De fato, o limite em (1.4.2) existe e o supremo acima pode ser tomado sobre o conjunto de todas as parti¸c˜oes tais que Hµ <+∞, como pode ser visto em [10, Se¸c˜ao 4, Cap´ıtulo 4].

Note que o c´alculo da entropia de uma dada transforma¸c˜ao pode ser uma ´ardua tarefa, j´a que ter´ıamos que fazer o c´alculo sobre todas as parti¸c˜oes poss´ıveis. Temos ent˜ao o seguinte teorema que nos permite em muitos casos analisar apenas uma parti¸c˜ao em particular.

Teorema 1.4.3 (Kolmogorov-Sinai). Seja f :X →X mensur´avel. Se P ´e uma parti¸c˜ao de X tal que Sn0Wnj=0f−j(P) =B(X) = mod µ ent˜ao Hµ(f,P) =hµ(f).

Exemplo 1.4.4. Seja σ : {0,1}N → {0,1}N o shift. Considere a parti¸c˜ao de {0,1}N

dada por P:={C0, C1} onde C0 :={(i0, i1, i2, ...);i0 = 0} e C1 :={(i0, i1, i2, ...);i0 = 1}. Temos que Wnj=0−1f−j(P) = {C

i0,i1,...,in−1; (i0, i1, ..., in−1) ∈ {0,1}

n} com C

i0,i1,...,in−1 := {(jn)n∈N ∈ {0,1}N;ik = jk, ∀k = 0,1, ..., n−1}. Temos ent˜ao que P ´e uma parti¸c˜ao geradora e portantohµ(σ) :=Hµ(f, σ).Por exemplo se considerarmosµa medida tal que

µ(C0) = 12 =µ(C1) e µ(Ci0,i1,...,in−1) = 1

2n teremos que hµ(σ) = log 2.

Defini¸c˜ao 1.4.5. Considere f : X → X uma transforma¸c˜ao cont´ınua e E ⊂ X. Dado

ǫ > 0 e n ∈ N dizemos que E ´e um conjunto (n, ǫ)-separado se ∀x, y ∈ E com x 6= y

temos que dn(x, y) ≥ ǫ. Denotemos por s(n, ǫ) a maior cardinalidade de um conjunto (n, ǫ)-separado em X.

Defini¸c˜ao 1.4.6. Defina:

s(ǫ) = lim sup n→∞

1

nlogs(n, ǫ).

Ent˜ao a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao cont´ınua f :X →X ser´a dada por:

htop(f) := lim ǫ→0s(ǫ).

(25)

E ⊂X ´e um conjunto (n, ǫ)-gerador se ∀x ∈X,∃y ∈E tal que dn(x, y)< ǫ. Neste caso, denotandor(n, ǫ) como a cardinalidade do menor conjunto (n, ǫ)-gerador paraX,pode-se provar que:

htop(f) = lim

ǫ→0lim supn→∞ 1

nlogr(n, ǫ).

Suponha que desejamos contar as ´orbitas distingu´ıveis de comprimento n da dinˆamica f, ou seja, conjuntos da forma {x, f(x), f2(x), ..., fn−1(x)}. Contudo, tais con-juntos s˜ao distingu´ıveis entre si, apenas se eles est˜ao a uma distˆancia maior do que ǫ.

Assim, podemos interpretar s(n, ǫ) como a quantidade desse conjuntos a menos de um erroǫ e ent˜ao htop(f) mede a taxa de crescimento dessas ´orbitas quando aumentamos on

e a precis˜ao, ou seja, diminu´ımos o ǫ.

Teorema 1.4.8 (Princ´ıpio Variacional). Seja f : X → X cont´ınua. Ent˜ao htop(f) = sup{hµ(f) :µ∈Mf(X)}

Veja [20, Teorema 8.6]

Defini¸c˜ao 1.4.9. Seja φ:X →R uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Para n≥1 e ǫ >0 defina:

P(f, φ, n, ǫ) := sup{X

x∈E

exp(Snφ(x)) :E ´e um conjunto (n, ǫ)−separado}

Ent˜ao a press˜ao topol´ogica deφ com respeito a f ser´a dada por:

Ptop(f, φ) := lim

ǫ→0lim supn→∞ 1

nlogP(f, φ, n, ǫ).

Observe que se φ≡0 ent˜ao Ptop(f, φ) =htop(f).

Teorema 1.4.10(Princ´ıpio Variacional). Seja f :X →X cont´ınua eφ :X→Rtamb´em cont´ınua. Ent˜ao Ptop(f, φ) := sup{hµ(f) +R φdµ;µ∈Mf(X)}.

(26)

Medidas Invariantes e Sistemas com

Especifica¸

ao

Na se¸c˜ao 1.1 vimos algumas propriedades do conjunto das probabilidades em um espa¸co m´etrico compacto, e destacamos dois de seus subconjuntos associados a dinˆamica do espa¸co, o das medidas invariantes por uma transforma¸c˜ao f e das medidas erg´odicas. Agora, considerando o caso espec´ıfico de aplica¸c˜oes que satisfa¸cam a propriedade de es-pecifica¸c˜ao, vamos estudar a distribui¸c˜ao, do ponto de vista topol´ogico, de determinados subconjuntos deM(X), conforme [15] e [16].

Temos a primeira defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.0.11. Sejax um ponto peri´odico para f : X →X de per´ıodo k. A medida

µx := k1Pki=0−1δfj(x) suportada na ´orbita de x´e dita uma medida peri´odica, onde δfj(x) ´e a

medida de Dirac no pontofj(x).Denotaremos porM

po conjunto das medidas peri´odicas. Observe que se µx ´e uma medida peri´odica, ent˜aoµx ´e invariante. De fato, dado

A∈ B(X) temos que

µx(f−1(A)) = 1

k

k−1

X

j=0

δfj(x)(f−1(A)) =

1

k#{0≤j < k :f

j

(x)∈f−1(A)}

= 1

k#{0≤j < k :f

j+1(x)A}= 1

k#{1≤j < k+ 1 :f

j(x)A}

= 1

k#{0≤j < k :f

j(x) A}= 1

k

k−1

X

j=0

δfj(x)(A) = µx(A).

A pen´ultima igualdade vale pois fk(x) =x.

Observa¸c˜ao 2.0.12. Uma outra forma de vermos que µx ´e uma medida invariante ´e atrav´es do operador f∗ : M(X) → M(X), µ 7→ f∗µ = µ◦f−1. Onde µ◦f−1 : B(X) →

[0,1], µ◦f−1(A) :=µ(f−1(A)). f

∗µ´e dito o push-forward deµporf. N˜ao ´e dif´ıcil ver que

(27)

f∗ ´e linear e cont´ınuo. Temos queµ´e invariante porf se e somente se µ´e um ponto fixo

paraf∗.Assim, paraµxperi´odica, segue que: f∗µx:=f∗k1

Pk−1

j=0δfj(x) := 1

k

Pk−1

j=0f∗δfj(x)=

1 k

Pk−1

j=0δfj+1(x) = 1 k

Pk−1

j=0δfj(x)x.

Temos ainda que µx ´e erg´odica. De fato, suponha A um conjunto f-invariante, ent˜ao temos que ou O+(x) :={fj(x) :j 0} ⊂AouO+(x)AC poisO+(x) tamb´em ´e invariante por f. Mas ent˜ao ouµx(AC) = 0 ou µ(A) = 0, respectivamente.

Vimos que se f satisfaz especifica¸c˜ao o conjunto de pontos peri´odicos ´e denso. Apesar de, a priori, n˜ao haver clara rela¸c˜ao entre a topologia do espa¸co e a topologia do conjunto das probabilidade sobre este espa¸co, veremos adiante queMp ´e um subconjunto

denso de Mf(X), e assim qualquer medida f invariante pode ser obtida como limite de

medidas peri´odicas na topologia fraca*.

Destacaremos ainda alguns outros tipos de medidas em Mf(X).

Defini¸c˜ao 2.0.13. Seja µ∈Mf(X). Dizemos que:

1. µ´e n˜ao atˆomica se µ({x}) = 0 ∀x∈X.

2. µ´e aberta se µ(A)>0, ∀A, aberto.

Dizemos que x∈X ´e um ´atomo paraµseµ({x})>0.Uma medida n˜ao atˆomica ent˜ao ´e uma medida sem ´atomos. Um exemplo cl´assico ´e a medida de Lebesgue.

Uma medida aberta se comporta bem com a topologia do espa¸co, j´a que de seu ponto de vista, todos os conjuntos abertos s˜ao relevantes.

Denotaremos por Mn o subconjunto de Mf(X) de medidas n˜ao atˆomicas e por Mdo subconjunto das medidas abertas emMf(X).O que mostraremos a seguir ´e que tais

subespa¸cos s˜ao residuais, ou seja, interse¸c˜ao enumer´avel de abertos e densos emMf(X).

Mostraremos ainda que o conjunto Mz, das medidas em Mf(X) tais que hµ(f) = 0,

no caso particular em que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao e ´e uniformemente hiperb´olico, cont´em um residual em Mf(X).

2.1

Caracteriza¸

ao das Medidas para Sistemas com

Especifica¸

ao

(28)

Temos o primeiro teorema:

Teorema 2.1.1. Mp ´e denso em Mf(X).

Para a prova deste teorema, assim como a prova dos seguintes, utilizaremos o lema abaixo. Al´em de mostrar que dada uma vizinhan¸ca em Mf(X) sempre podemos

encontrar um ponto peri´odico cuja medida correspondente pertence a esta vizinhan¸ca, ele nos dir´a que esse ponto pode ser escolhido em qualquer vizinhan¸ca do espa¸co X e de per´ıodo t˜ao grande quanto queiramos. Teremos ainda a liberdade de escolhˆe-lo de modo que sua ´orbita aproxime uma fixada ´orbita emX durante uma quantidade finita e arbitr´aria de iterados.

ρ y1

x1

y2

x2

ρ

µ µx1

µx2

V X

Mf(X)

Figura 2.1.1: Associa¸c˜ao entre densidade de pontos peri´odicos e densidade das medidas peri´odicas.

Lema 2.1.2. Suponha f : X → X satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao. Seja V uma vizinhan¸ca de µ ∈ Mf(X). Seja ρ > 0 e N0 um inteiro positivo. Ent˜ao existe um

inteiro N > 0 tal que para todo y ∈ X e todo p ∈ N, p ≥ N, existe um ponto x ∈ X peri´odico de per´ıodo p tal que µx ∈V e d(fk(x), fk(y))< ρ para 0≤k < N0.

Prova: Assuma V =V(µ,Φ, ǫ), Φ = {φ1, ..., φr} ⊂ C(X). Como X ´e compacto est´a bem definido k= max{kφlk: 1≤l ≤r} e existe δ >0 tal que

y1, y2 ∈X e d(y1, y2)< δ ⇒ |φl(y1)−φl(y2)|<

ǫ

4 (2.1.1)

para todo 1≤l≤r.

Pelo Teorema Erg´odico de Birkhoff existe um boreliano Q com µ(Q) = 1 tal que

˜

φl(x) = lim N→∞

1

N

N−1

X

i=0

(29)

existe para todox∈Q, e todo l ∈ {1, ..., r}. Al´em disso:

Z

˜

φldµ=

Z

φldµ.

Note que ˜φl ´e uma fun¸c˜ao limitada pois min{ϕl(x); 1 ≤ l ≤ r, x ∈ X} ≤ limN→∞ N1 Pi=0N−1φl(fi(x)) ≤ max{φl(x); 1 ≤ l ≤ r, x ∈ X},para todo x ∈ Q e todo

l∈ {1, ..., r}.Consideremos ent˜ao Q1, ..., Qs uma parti¸c˜ao de Q em borelianos n˜ao vazios tais que: V ar( ˜φl|Qj) := sup{|φ˜l(x)−φ˜l(y)|: x, y ∈ Qj} <

ǫ

4, para todo 1≤ l ≤ r e todo 1≤j ≤s. Escolha xj ∈Qj. Ent˜ao:

Z ˜

φldµ− s

X

j=1

µ(Qj) ˜φl(xj)

= Z ˜ φdµ− Z s X j=1 ˜

φl(xj)χQjdµ

≤ Z ˜ φ− s X j=1 ˜

φl(xj)χQj

dµ < ǫ

4. (2.1.2)

Seja N1 ≥1 tal que

1 N

N−1

X

i=0

φl(fi(xj))−φ˜l(xj)

< ǫ 4 (2.1.3)

para todo N ≥N1, l= 1, ..., r, e j = 1, ..., s.

Escolha N2 ≥1 tal que possamos escrever m≥N2 na forma:

m= s X j=1 mj com mj

m −µ(Qj)

<

ǫ

12ks (2.1.4)

para j = 1, ..., s.

m

1

m

2

m

3

m

4

m

s

m

i

µ

(

Q

i

)

m

0

m

Figura 2.1.2: Divis˜ao do inteiro m em partes proporcionais a medida dos elementos da parti¸c˜ao.

Finalmente, escolha N3 maior do que N1 eN2 tal que ∀m ≥N3 temos:

N0+ 2M(δ) +mM(δ) +N3

N0+M(δ) +mM(δ) +mN3

< ǫ

12k

(30)

Afirmamos que N =N3[N3+M(δ)] +N0 +M(δ) satisfaz as condi¸c˜oes do lema. De fato, suponhap≥N dado. Podemos escrever p=m[N3+M(δ)] +N0+M(δ) +q com

m≥N3 e 0≤q < N3+M(δ). Assim

p−mN3

p <

N0+ 2M(δ) +mM(δ) +N3

N0+M(δ) +mM(δ) +mN3

< ǫ

12k (2.1.5)

Seja y ∈ X qualquer. Escolhamos inteiros, a0 = 0, b0 = N0 − 1 e aj,i com

i∈ {1, ..., mj}e j ∈ {1, ..., s},satisfazendo: 1. a1,1−b0 =M(δ).

2. bj,i−aj,i=N3 fixado j e i= 1, ..., mj.

3. bj,i+1−aj,i =M(δ) fixado j e i= 1, ..., mj −1. 4. aj+1,1−bj,mj =M(δ), j = 1, ..., s−1

m(δ) m(δ)

N3

m(δ)

N3

m(δ)

N3

m1 vezes

m(δ)

N3

m(δ)

N3 N3

m1 vezes

m(δ)

N3

m(δ)

N3 N3

m2 vezes

N0

y x1 x1 x1 x2 x2 x2

a0 b0 a1,1 b1,1a1,2 b1,2 a1,m1 b1,m1a2,1 b2,1a2,2 b2,2 a2,m2 b2,m2

Figura 2.1.3: Associa¸c˜ao entre inteiros e trechos de ´orbita de xi, para i= 1,2. Pela propriedade de especifica¸c˜ao, existe um x ∈ X peri´odico de per´ıodo p tal que:

d(ft+a0(x), y)< δ, t = 0, ..., b 0−a0

d(ft+aj,i(x), ft(xj))< δ, t= 0, ..., b

j,i−aj,i, i= 1, ..., mj, j = 1, ..., s

Em outras palavras, o pontoxespecifica o trecho de ´orbita deycom comprimento

N0. Ap´os M(δ) iterados especifica o ponto x1 durante N3 iterados, ap´os M(δ) iterados volta a especificar x1 durante N3 iterados, repetindo esse processo m1 vezes, quando come¸ca, ap´os mais M(δ) iterados, a especificar a ´orbita de x2 com comprimento N3, repetindo essa especifica¸c˜aom2 vezes, e assim por diante parax3, ..., xs.Na figura abaixo ilustramos esse comportamento, considerando, por simplicidade visual, as ´orbitas dos pontos como se fossem objetos cont´ınuos.

(31)

y x

N0

δ

fa1,1(x)

fa1,2(x)

fa1,m1(x)

x1

N3

fa2,1(x)

fa2,2(x)

fa2,m2(x)

x2

N3

Figura 2.1.4: Esquema de especifica¸c˜ao do ponto x.

Considere φ ∈ {φ1, ..., φr}. Temos:

Z

φdµx = 1

p

p−1

X

i=0

φ(fi(x)).

Denotemos I0 := [a0, b0] e Ij,k := [aj,k, bj,k], i= 1, ..., mj, j = 1, ...s. Escrevamos

I =∪sj=1∪mj

k=1I j

k.Observe que #I =mN3 e I ⊂ {0,1, ..., p−1}. Ent˜ao:

1 p

p−1

X

i=0

φ(fi(x))− 1

p

X

i∈I

φ(fi(x))

= 1 p X

i∈{0,1,...,p−1}\I

φ(fi(x))

≤ 1 p X

i∈{0,1,...,p−1}\I

kφk

= p−mN3

p kφk

≤ ǫ

12. (2.1.6)

Da mesma forma:

1 p X

i∈I

φ(fi(x))− 1

mN3

X

i∈I

φ(fi(x))

≤ 1 p− 1 mN3

mN3kφk

= p−mN3

p kφk ≤ ǫ

12. (2.1.7) Fixado j ∈ {0,1, ..., s} e i∈ {0,1, ..., mj} temos da propriedade de especifica¸c˜ao qued(ft+aj,i(x), ft(x

j))< δ, ∀t= 0,1, ..., bj,i−1 e portanto|φ(ft+aj,i(x))−φ(ft(xj))|< ǫ. Assim sendo: 1

bj,i−aj,i

bj,i−aj,i−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x)) 1 bj,i−aj,i

bj,i−aj,i−1

X

t=0

φ(ft(xj))

≤ 1 N3 N3−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x))φ(ft(x

j))

< ǫ

(32)

para todo i= 1, ..., mj e todo j = 1, ..., s. Como N3 ≥N1 segue que:

1 N3 N3−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x))φ˜(x

j) ≤ 1 N3 N3−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x)) 1 N3

N3−1

X

t=0

φ(ft(x j)) + 1 N3 N3−1

X

t=0

φ(ft(x

j))−φ˜(xj)

< ǫ

2. (2.1.8) para todo i= 1, ..., mj e todo j = 1, ..., s.

Mas ent˜ao: 1 mN3 X

t∈I

φ(ft(x))−

s

X

j=1

mj

m φ˜(xj)

= 1 mN3 s X j=1 mj X i=1 N3−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x))

s

X

j=1

mj

m φ˜(xj)

= 1 m s X j=1 mj X i=1 1 N3 N3−1

X

t=0

φ(ft+aj,i(x))φ˜(x

j) ! ≤ ǫ

2. (2.1.9)

Temos ainda: s X j=1 mj

mφ˜(xj)−

s

X

j=1

µ(Qj) ˜φ(xj)

≤ kφk

s X j=1 mj

m −µ(Qj)

ǫ

12. (2.1.10)

Combinando as desigualdades (2.1.2), (2.1.6),(2.1.7), (??) e (??), temos que

R φdµx−R φdµ< ǫ. Comoφ´e um elemento arbitr´ario em{φ1, ..., φr}temos queµx ∈V.

O lema anterior, como veremos nos dois teoremas a seguir, nos permitir´a expressar o conjunto de medidas n˜ao atˆomicas e o conjunto de medidas abertas como o complementar de uma uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio, ou seja, o complementar de um conjunto de primeira categoria.

Teorema 2.1.3. Mn := {µ Mf(X) : µ ´e n˜ao atˆomica} ´e o complementar de um

conjunto de primeira categoria em Mf(X).

Prova: Para τ > 0 defina C(τ) := {µ∈ Mf(X) : µ({x}) τ, para algum x

X}. Assim definido, C(τ) ´e fechado. De fato, considere (µn)n∈N uma sequˆencia em

C(τ) convergindo na topologia fraca∗ a µ M

f(X). Para cada n ∈ N existe xn tal que µ({xn}) ≥ τ. Como X ´e compacto, (xn)n∈N admite uma subsequˆencia convergente,

(33)

µn(B1

r(x0)) ≥ τ, ∀n ≥ nr, portanto limn→∞µn(B

1

r(x0)) ≥ τ. Como r foi escolhido

ar-bitrariamente temos que limn→∞µn(B1

r(x0))≥τ, ∀r > 0. Portanto temos µ({x0})≥τ e µ∈C(τ).

Note tamb´em que C(τ) tem interior vazio. Caso contr´ario existiria um aberto

V ⊂ C(τ). Pelo lema 2.1.2, tomando N o inteiro correspondente a V e p primo tal que

p ≥ N e 1

p < τ temos que existe x peri´odico de per´ıodo p com µx ∈ V. Mas µx{y} <

τ, ∀y ∈X. De fato sey n˜ao pertence a ´orbita dexent˜ao µx({y}) = 0< τ e sey pertence a ´orbita dex temos µx({y}) = p1 < τ. Temos uma contradi¸c˜ao pois supomos V ⊂C(τ).

Ora, ent˜ao ∪∞

r=1C(1r) ´e um conjunto de primeira categoria e (∪

r=1C(1r)) C =

∩∞

r=1(C(1r))

C =M n.

Teorema 2.1.4. Md :={µ Mf(X) :µ(A) >0 para todo aberto A X} ´e o

comple-mentar de um conjunto de primeira categoria em Mf(X).

Prova: Seja G ⊂ X um subconjunto aberto. Defina D(G) := {µ ∈ Mf(X) :

µ(G) = 0}.Ent˜ao D(G) ´e fechado, pois, se (µn)n∈N´e uma sequˆencia emD(G) convergindo

aµ∈Mf(X) na topologia fracatemos que µ(G)lim infn→∞µn(G) = 0 µD(G).

Temos tamb´em que D(G) tem interior vazio. Caso contr´ario existiria um aberto V ⊂

D(G).Escolhamosy∈Geρ >0 tal queBρ(y)⊂G.Aplicando o lema 2.1.2 paraN0 = 1, existe um ponto peri´odicox∈X de per´ıodoptal que µx ∈V ed(x, y)< ρ.Assim x∈G eµx(G)> µx({x}) = 1

p >0. Dondeµx ∈/ D(G).

Consideremos {Gr}r∈N uma base de abertos enumer´avel do espa¸co m´etrico

com-pactoX.Temos∪∞

r=1D(Gr) ´e de primeira categoria e ∪∞r=1D(Gr) = ∩∞r=1(D(Gr))C =Md. ✷

O seguinte teorema mostra que as medidas erg´odicas para um sistema com espe-cifica¸c˜ao s˜ao abundantes.

Teorema 2.1.5. Me:={µMf(X) :µ ´e erg´odica}´e um residual em Mf(X).

Prova: Vimos queMp Me.Logo Me ´e denso em Mf(X). Em [10, Proposi¸c˜ao

2.5, Cap´ıtulo II] temos que Me ´e o conjunto de pontos extremais do espa¸co m´etrico

compacto e convexoMf(X).Portanto Medeve ser umGδ,ou seja, interse¸c˜ao enumer´avel

de abertos, como pode ser visto em [12]. PortantoMe ´e residual.

(34)

O pr´oximo resultado d´a destaque ao conjunto de medidas cuja entropia ´e nula. Mostraremos que se f satisfaz a especifica¸c˜ao este conjunto cont´em um residual em

Mf(X). Necessitaremos do seguinte lema:

Lema 2.1.6. Seja A 6= X um subconjunto fechado tal que f(A) ⊂ A ou f−1(A) A.

Ent˜ao existe um conjunto residual R em Mf(X) tal que RMp ´e denso em Mf(X) e

µ(A) = 0, ∀µ∈R.

Prova: Denote por B o conjunto fechado ∩n≥0fn(A) ou ∩n≥0f−n(A) de acordo com f(A)⊂A ou f−1(A)A. B ´e invariante sobre f. O conjunto M

B ={µ∈Mf(X) :

µ(B) = 1} ´e fechado em Mf(X). De fato, se uma sequˆencia (µn)nN em MB converge

fraca∗ a µM

f(X), temos µ(B)≥lim supn→∞µn(B) = 1,logo µ(B) = 1.

Para toda µ∈ R:=Me(Mf(X)\MB) temos que µ(B) <1 e como B ´e

inva-riante, devemos ter µ(B) = 0. Afirmamos queµ(A) = 0. De fato, se f−1(A) A, temos

...⊂f−n(A) f−n+1(A)... f−1(A) A. Da´ıf−n(A)ց B limn

→∞µ(f−n(A)) =

µ(B). Mas como µ ´e f-invariante temos µ(f−n(A)) = µ(f−n+1(A)), n 1. Assim

µ(f−n(A)) = 0, n N, em particular para n = 0. Caso f(A) A temos ...

fn(A) fn−1(A) ... f(A) A. Temos que fn(A) f−1(fn+1(A)), n N. Logo µ(fn(A)) µ(f−1(fn+1(A))) =µ(fn+1(A)) µ(A). Novamente como fn(A)ց B, temos que µ(fnA) = 0, n N. Isto prova a afirma¸c˜ao.

Como B ´e um conjunto fechado, X\B ´e aberto. Tomey ∈X\B e ρ >0 tal que

Bρ(y)⊂X\B.Dadaµ∈Mf(X) e qualquer vizinhan¸caV deµexiste um ponto peri´odico

xtal que µx ∈V e x∈Bρ(y)⊂X\B. Assim µx(B) = 1pPpj=0−1δfj(x)(B)≤ p−1

p <1. Logo

µx ∈Mf(X)\MB e portanto µx∈R. Da´ı,R∩Mp e R s˜ao densos em Mf(X).

Note queR´e interse¸c˜ao enumer´avel de abertos, poisMe´e residual e Mf(X)\MB

´e aberto. Segue que R´e um residual em Mf(X).

Consideremos ent˜ao f : X → X uma aplica¸c˜ao uniformemente hiperb´olica, ou seja, f ´e um difeomorfismo e para todo y ∈ X temos que TyX admite uma decom-posi¸c˜ao TyX =Es⊕Eu Df-invariante tal que existem λ∈ (0,1) e c >0 que satisfazem

kDfn(y)|

Esk ≤ cλn e kDf−n(y)|Euk ≤ cλn, para todo n ≥1. Para aplica¸c˜oes deste tipo

que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao temos teorema seguinte:

Teorema 2.1.7. Mz := {µ Mf(X) : hµ(f) = 0} cont´em um conjunto residual em Mf(X).

Prova: Bowen mostrou em [2] que existe uma parti¸c˜ao de Markov para (X, f),

(35)

1. ∪r

k=1Ek =X

2. Ek∩El ⊂∂Ek∩∂El, ∀k 6=l

3. Para cada bisequˆencia (Eki)i∈N de elementos de C, #∩

+∞

i=−∞f−i(Eki)≥1.

4. Para cada k, ∂Ek pode ser escrita como uni˜ao de dois conjuntos fechados ∂sEk e

∂uE

k tal que, com ∂sC := ∪rk=1∂sEk e ∂uC := ∪rk=1∂uEk temos f(∂sC) ⊂ ∂sC e

f−1(uC)uC

Pelo lema , existe um residual R em Mf(X) tal que µ(sC) = µ(uC) = 0, µ R e tal que RMp ´e denso em Mf(X). Para obtermos o resultado ´e suficiente mostrar que MzR´e umGδ denso em R,ou seja interse¸c˜ao enumer´avel de abertos densa em R.

De fato, que MzR´e denso em R segue imediatamente do fato que Mp Mz

e Mp R ´e denso em R. Para vermos que Mz R ´e Gδ em R, observe que para cada

µ ∈ R, C ´e uma parti¸c˜ao µ-mensur´avel no sentido que µ(r

k=1Ek) = 1 e para todo

k 6=l, µ(Ek∩El)≤ µ(∂Ek∩∂El) ≤µ(∂sC∪∂uC) = 0. Al´em disso, pela propriedade 3,

C´e um gerador com respeito a f. Pelo teorema de Kolmogorov-Sinai, uma medida µR

pertence aMz se, e somente seHµ(f,C) = 0, i.e. se, e somente se:

lim n→∞

1

2n+ 1Hµ( n

_

i=−n

f−i(C)) = 0.

Como o limite acima sempre existe, podemos substituir lim por lim inf nesta equa¸c˜ao. Logo:

MzR = {µR: lim inf

n→∞

1

2n+ 1Hµ( n

_

i=−n

f−i(C)) = 0}

= ∩∞

r=1{µ∈R: lim infn→∞ 1

2n+ 1Hµ( n

_

i=−n

f−i(C))< 1

r}

= ∩∞r=1∩∞m=1∪∞n=m

(

µ∈R: 1

2n+ 1Hµ( n

_

i=−n

f−i(C))< 1

r

)

. (2.1.11)

Portanto ´e suficiente mostrarmos que Hǫ := {µ ∈ R : Hµ(

Wn

i=−nf−i(C)) ≥ ǫ} ´e fechado em R, ǫ > 0. Seja ent˜ao µm w∗ µ com µm Hǫ,m N e µ R. Assim

Hµm(

Wn i=−nf−

i(C))ǫ,m N, ou seja,

− X

k−n...kn

µm(∩n i=−nf−

i

(Eki)) logµm(∩

n i=−nf−

i

(Eki))≥ǫ.

Como µ ∈ R, os conjuntos da forma n

i=−nf−iEki s˜ao µ-cont´ınuos j´a que as

medidas µde seus bordos s˜ao zero. Como µm w∗

→µ, segue que lim

n→∞µm(∩

n i=−nf−

i

Eki) =µ(∩

n i=−nf−

i

(36)

e portanto

− X

k−n...kn µ(∩n

i=−nf− i(E

ki)) logµ(∩

n i=−nf−

i(E

ki))≥ǫ,

ou seja,

Hµ( n

_

i=−n

f−i(C))ǫ.

Portantoµ∈HǫeHǫ´e fechado emR.Mas ent˜aoMz∩R=∩∞r=1∩∞m=1∪∞n=m(H1

r)

C ´e um Gδ em R. Logo Mz∩R´e um residual em R e portanto em Mf(X).

Figure

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