Anderson Reis da Cruz

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica

Programa de P´ os Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  

Propriedades Erg´ odicas de Sistemas com

Especificac ¸˜ ao

Anderson Reis da Cruz

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2013 Propriedades Erg´ odicas de Sistemas com Especificac ¸˜ ao

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2013 Cruz, Anderson Reis da.

  Propriedades Erg´odicas de Sistemas com Especifica¸c˜ao / Anderson Reis da Cruz. – Salvador: UFBA, 2013. 59 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2013. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2. Teoria Erg´odica. 3. Especifica¸c˜ao. 4.

  

Medidas Invariantes. 5. Press˜ao Topol´ogica. I. Varandas, Paulo C´esar

R. Pinto. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica.

III. T´ıtulo.

  CDU : 517.938 : 519.218.84 Propriedades Erg´ odicas de Sistemas com Especificac ¸˜ ao.

  Anderson Reis da Cruz

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 27 de fevereiro de 2013.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Paulo C´esar Rodrigues Pinto Varandas (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Manuel Stadlbauer UFBA

  Prof. Dr. Eduardo Garibaldi UNICAMP

  A mem´oria de Victor C´esar. Agradecimentos

  Agrade¸co a Deus por tornar isto poss´ıvel. Aos meus pais, Nilda e Ambrosio, pelo apoio incondicional `as minhas decis˜oes e pela forma¸c˜ao da pessoa que hoje sou. Agrade¸co a Dayana pela compreens˜ao e incentivo.

  Ao professor Paulo Varandas pela orienta¸c˜ao, disponibilidade e paciˆencia, al´em de sua contribui¸c˜ao na evolu¸c˜ao do meu modo de pensar e estudar a Matem´atica. Aos professores Manuel Stadlbauer e Eduardo Garibaldi por terem aceitado participar da comiss˜ao julgadora desta disserta¸c˜ao.

  Agrade¸co a Marcus Morro, com quem tive a oportunidade de compartilhar bons momentos desde a gradua¸c˜ao. Aos colegas: ˆ Angela, Darlan, Edward, Elaine, Elen, Rai- mundo, pelos momentos de descontra¸c˜ao e resenhas. A Thiago Bomfim, Andressa e Roberto, por sempre estarem dispostos a ajudar durante as disciplinas das quais tive o privil´egio de cursarmos juntos. A Luiz, pelas conversas e conselhos nestes dois anos de curso.

  Aos funcion´arios e professores do Departamento de Matem´atica da UFBA, pelo seu profissionalismo. A todos aqueles que direta ou indiretamente contribu´ıram para a conclus˜ao de mais esta etapa da minha vida. Finalmente, a CAPES pelo apoio financeiro.

  “O ´ unico homem que est´a isento de erros ´e aquele que n˜ao arrisca acertar” Albert Einstein Resumo

  Neste trabalho estudamos sistemas que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao do ponto de vista da teoria erg´odica. Apresentamos duas consequˆencias interessantes dessa propriedade: a primeira, conforme Sigmund, ´e que o conjunto de medidas com suporte em ´orbitas peri´odicas ´e denso no conjunto de medidas invariantes. A partir disto teremos que o conjunto de medidas atˆomicas, de medidas abertas e de medidas erg´odicas s˜ao vazios ou residuais no espa¸co de medidas invariantes. A segunda, conforme Thompson, ´e que o conjunto dos pontos cuja m´edia de Birkhoff n˜ao converge ou ´e vazio ou tem press˜ao topol´ogica total. Apresentamos ainda uma aplica¸c˜ao deste ´ ultimo resultado a fluxos de suspens˜ao. Palavras-chave: Teoria Erg´ odica; Especifica¸ c˜ ao; Medidas Invariantes;Conjunto Irregular; Press˜ ao Topol´ ogica; Fluxos de Suspens˜ ao. Abstract

  In this work we study systems with the specification property from the pointview of ergodic theory. We present two consequences of this property: the first, as Sigmund, is that the set of measures with support in periodic orbits is dense in the set of invariant measures. From this we obtain that the set of non atomic measures, the set of open measures and the set of ergodic measures are either empty or residual in the space of invariante measures. The second, as Thompson, is that the set of points whose the Birkhoff average not exists is either empty or has full topological pressure. We give an application of this result for suspension flows. Keywords: Ergodic Theory; Specification; Invariant Measures; Irregular Set; Topological Pressure; Suspension Flows. Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares 3 1.1 O espa¸co de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Especifica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5

  1.3 Teorema Erg´odico de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  1.4 Press˜ao topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  2 Medidas Invariantes e Sistemas com Especifica¸ c˜ ao

  16

  2.1 Caracteriza¸c˜ao das Medidas para Sistemas com Especifica¸c˜ao . . . . . . . . 17

  3 Press˜ ao Topol´ ogica para o Conjunto Irregular

  27

  3.0.1 Prova do Teorema 3.0.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  3.1 Aplica¸c˜ao a Fluxos de Suspens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  3.1.1 Entropia Topol´ogica para Fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2 Rela¸c˜ao entre a entropia do fluxo de suspens˜ao e a press˜ao na base.

  54

  Introdu¸ c˜ ao

  Dado um sistema dinˆamico (X, f ) onde X ´e um espa¸co m´etrico compacto e f : X → X uma aplica¸c˜ao cont´ınua, uma quest˜ao interessante diz respeito da existˆencia de pontos peri´odicos para tal dinˆamica. Gostar´ıamos de saber, por exemplo, do ponto de vista topol´ogico, sob que condi¸c˜oes tais pontos s˜ao abundantes no espa¸co. Se (X, f ) satisfaz a especifica¸c˜ao, temos que P er(f ) := {x ∈ X; x ´e peri´odico} ´e um conjunto denso em X.

  Mas o que vem a ser a propriedade de especifica¸c˜ao? Em [3], Bowen, no estudo da distribui¸c˜ao dos pontos peri´odicos para difeomorfismos que satisfazem o Axioma A de Smale, mostrou que, para homeomorfismos cujo conjunto inst´avel de qualquer ponto peri´odico ´e denso no espa¸co, ´e poss´ıvel aproximar trechos finitos de ´orbita (em quantidade tamb´em finita) por uma ´orbita peri´odica, o que ele chamou de especifica¸c˜ao.

  Mais precisamente, seja f : X → X um homeomorfismo de um espa¸co m´etrico u compacto (X, d), dizemos que f ´e C−denso se o conjunto inst´avel de p, ou seja, W (p) :=

  −n −n

  {y ∈ X : d(f (p), f (y)) → 0 quando n → ∞} ´e denso em X para todo ponto p ∈ X peri´odico. Bowen mostrou ent˜ao que:

  Teorema 0.0.1 (Bowen,1971). Suponha f : X → X um homeomorfismo C-denso e ǫ > 0. Ent˜ao existe m(ǫ) tal que dados x , ..., x k ∈ X, I = {I , ..., I k }, onde I j := [a j , b j ] := {k ∈

  1

  1 Z : a ≤ k ≤ b }, satisfazendo a − b ≥ m(ǫ), ∀j = 2, ..., k e p ≥ m(ǫ) + b − a j j j j −1 k 1 existe

  um ponto peri´odico x ∈ X de per´ıodo p que satisfaz: k k d(f (x), f (y)) < ǫ, ∀k ∈ I j , ∀j = 1, ..., k.

  Diremos ent˜ao que uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X → X de um espa¸co m´etrico compacto (X, d) satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se satisfaz o teorema acima. Como veremos adiante, um exemplo simples de aplica¸c˜ao cont´ınua que satisfaz a especifica¸c˜ao

  N

  ´e o shift completo num alfabeto finito. Considerando X := {1, ..., n} podemos munir este espa¸co de uma m´etrica que o torna compacto e a aplica¸c˜ao σ : X → X dada por σ((i n ) n ) = ((i n ) n ) cont´ınua. Note que para este sistema ´e f´acil construirmos pontos

  ∈N +1 ∈N

  peri´odicos, basta tomarmos uma sequˆencia finita de s´ımbolos e concaten´a-la para formar uma sequˆencia em X.

  Temos que se existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetiva φ : X → Y onde (X, d) e (Y, d) s˜ao espa¸cos m´etricos compactos tal que φ ◦ f = g ◦ φ com f : X → X e g : Y → Y aplica¸c˜oes cont´ınuas, ent˜ao se f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao ent˜ao g tamb´em satisfaz. Tal fato, nos d´a outros exemplos como a fam´ılia Manneville Pomeau, indexada

  1+α

  por α ∈ [0, 1] dada por f α : [0, 1] → [0, 1], f α (t) = t + t mod 1. Vista como aplica¸c˜ao

  1

  de S temos que f α ´e cont´ınua e ´e conjugada ao shift num alfabeto de dois s´ımbolos, o

  N

  1 que significa que existe um homeomorfismo φ : S → {0, 1} tal que φ ◦ f α = σ ◦ φ.

  Em [1] temos que toda aplica¸c˜ao topologicamente mixing no intervalo satisfaz a especifica¸c˜ao. E no intervalo estas s˜ao todas as aplica¸c˜oes que satisfazem a propriedade. A no¸c˜ao de especifica¸c˜ao tornou-se uma ferramenta muito ´ util em sistemas dinˆa- micos, tanto do ponto de vista da teoria geom´etrica como da teoria da medida. Bowen em [4] mostrou que se f ´e um homeomorfismo expansivo ent˜ao dada uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : X → R, com algumas hip´oteses sobre sua varia¸c˜ao, existe e ´e ´ unico estado de equil´ıbrio de f com respeito a ϕ. Lembramos que f : X → X ´e dita ser expansiva se existe ǫ tal n n que x 6= y implica a existˆencia de n ∈ Z tal que d(f (x), f (y)) > ǫ. Em [8], Haydn e

  Ruelle mostraram que, neste mesmo contexto, este ´ unico estado de equil´ıbrio ´e um estado de Gibbs.

  No presente trabalho optamos por apresentar uma caracteriza¸c˜ao do espa¸co de medidas invariantes para sistemas que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao, desta- cando alguns subconjuntos que, do ponto de vista topol´ogico, s˜ao grandes neste espa¸co. Como, por exemplo, o conjunto de medidas com suporte em ´orbitas peri´odicas, que ve- remos ser denso nas medidas invariantes, o conjunto das medidas n˜ao atˆomicas, ou seja, cujos pontos tem medida nula e o conjunto das medidas abertas s˜ao residuais neste espa¸co. Apresentaremos ainda o teorema devido a Thompson ([19]) que diz que o conjunto dos pontos cuja m´edia de Birkhoff n˜ao converge, dado um sistema com especifica¸c˜ao ou ´e vazio ou tem press˜ao topol´ogica total.

  No cap´ıtulo 1, apresentamos alguns resultados gerais de teoria erg´odica, como o Teorema de Birkhoff e o Teorema da Decomposi¸c˜ao Erg´odica, al´em de t´opicos de teoria da medida e uma vis˜ao geral sobre o conceito de especifica¸c˜ao.

  No cap´ıtulo 2, segundo [15] vamos estabelecer a caracteriza¸c˜ao topol´ogica do espa¸co de medidas invariantes para f que satisfaz especifica¸c˜ao. Finalmente, no cap´ıtulo 3, veremos que o conjunto irregular, ou seja, dos pontos cuja m´edia de Birkhoff n˜ao converge, ou ´e vazio ou tem press˜ao topol´ogica total.

  Cap´ıtulo 1 Preliminares

  1.1 O espa¸ co de medidas Considere (X, d) um espa¸co m´etrico compacto.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1.

  Dizemos que A ⊂ P(X) ´e uma σ-´algebra de conjuntos se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (i) X ∈ A; C

  (ii) se A ∈ A ent˜ao A ∈ A;

  ∞ ∈ A.

  (iii) se A

  1 , A 2 , ... ∈ A ent˜ao ∪ A i i =1

  Observe que se A ´e uma σ-´algebra ent˜ao ∅ ∈ A, por i e ii. Temos ainda que A ser´a C C

  ∞ ∞ fechada para interse¸c˜oes enumer´aveis pois se A , A , ... ∈ A ent˜ao ∩ A i = (∪ A ) .

  1

  2 i =1 i =1 i Defini¸ c˜ ao 1.1.2.

  Uma medida µ definida numa σ-´algebra A ´e uma aplica¸c˜ao µ : A → [0, ∞] tal que:

  1. µ(∅) = 0 P ∞ P ∞

  2. µ( A i ) = µ(A i ) se A , A , ... ∈ A s˜ao dois a dois disjuntos i =1 i =1

  1

  2 Se µ(X) = 1 dizemos que µ ´e uma probabilidade. Consideraremos a partir daqui

  a σ-´algebra B(X) gerada pela topologia de X, em outras palavras B(X) ´e a menor σ- ´algebra que cont´em os abertos de X. Chamamos B(X) de σ-´algebra de Borel e a medida nela definida de boreliana. Denotaremos por M(X) o conjunto de todas as probabilidades borelianas.

  Dada µ ∈ M(X) e um conjunto Φ := {φ , ..., φ r } ⊂ C(X), C(X) o espa¸co das

  1 R R

  fun¸c˜oes cont´ınuas em X, defina V (µ, Φ, ǫ) := {ν ∈ M(X) : | φ j dµ − φ j dν| < ǫ, ∀j = 1, ..., r}. Considerando a fam´ılia V µ := {V (µ, Φ, ǫ) : Φ ⊂ C(X) ´e finito, ǫ > 0} temos uma

  base de vizinhan¸cas para cada µ ∈ M(X). Definimos ent˜ao em M(X) a topologia fraca* como a topologia gerada por essa base de vizinhan¸cas. Temos que: Teorema 1.1.3. Seja (µ n ) n uma sequˆencia em M(X). Ent˜ao µ n converge a µ na to- w ∈N ∗ R R pologia fraca*, lim n µ n = µ, se e somente se lim n φdµ n = φdµ, ∀φ ∈ C(X).

  →∞ →∞

  Ademais temos que lim sup µ n (F ) ≤ µ(F ) para todo F subconjunto fechado de X e n

  →∞ lim inf n µ n (A) ≥ µ(A) para todo A subconjunto aberto de X. →∞ Tal resultado ´e um caso particular do Teorema 6.1 do Cap´ıtulo II de [13].

  Conforme Teoremas 6.4 e 6.5 de [20] temos: Teorema 1.1.4. Se X ´e um espa¸co compacto e metriz´avel ent˜ao M(X) ´e compacto na topologia fraca* e metriz´avel.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.5. Uma aplica¸c˜ao f : X → X ´e dita mensur´avel se ∀A ∈ B(X) temos

  −1 f (A) ∈ B(X).

  Defini¸ c˜ ao 1.1.6. Seja f : X → X uma aplica¸c˜ao mensur´avel, dizemos que µ ∈ M(X)

  −1

  ´e f -invariante se µ(f (A)) = µ(A), ∀A ∈ B(X). Denotamos por M f (X) o conjunto de todas as medidas f -invariantes.

  Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao para uma medida f -invariante, conforme [20, Teorema 6.8]: Teorema 1.1.7.

  Seja f : X → X aplica¸c˜ao cont´ınua. µ ∈ M f (X) se, e somente se R R φdµ = φ ◦ f dµ, ∀φ ∈ C(X).

  Al´em disso a existˆencia de medidas invariantes ´e sempre garantida se a dinˆamica ´e cont´ınua, como em [20, Teorema 6.9]: Teorema 1.1.8. Se f : X → X ´e cont´ınua ent˜ao M f (X) 6= ∅.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.9. µ ∈ M f (X) ´e dita erg´odica com respeito a f : X → X ou f -erg´odica, C

  −1

  se dado A ⊂ X f -invariante, isto ´e, f (A) = A, ent˜ao µ(A)µ(A ) = 0. Denotemos por M e o conjunto das medidas erg´odicas.

  P n −1

  1 j

  Dada f : X → X e x ∈ X defina µ x := lim n δ f quando tal limite

  →∞ (x) n =0 j

  existir. Lembramos que δ y ´e a medida de Dirac em y ∈ X, isto ´e, δ y (A) = 0 se y / ∈ A e δ y (A) = 1 caso contr´ario. Definimos tamb´em Σ(f ) := {x ∈ X : µ x ´e f -invariante e erg´odica}.

  Conforme resultados da Se¸c˜ao 6 do Cap´ıtulo 2 de [10], mostra-se que Σ(f ) tem probabi- lidade total, ou seja, µ(Σ(f )) = 1 para toda µ ∈ M f (X). Temos o seguinte resultado.

  Teorema 1.1.10 (Decomposi¸c˜ao Erg´odica). Sejam f : X → X uma aplica¸c˜ao mensur´avel

  1

  e µ ∈ M f (X). Ent˜ao para toda φ ∈ L (X, µ) ´e µ x -integr´avel para µ q.t.p. x ∈ Σ(f ) e Z Z Z X φdµ = φdµ x dµ. X X Veja [10, Teorema 6.4].

1.2 Especifica¸ c˜ ao

  Considere M uma variedade compacta e f : M → M um difeomorfismo, por simplicidade. Alguns dos resultados e defini¸c˜oes valem para o caso f n˜ao invert´ıvel. Definimos: Defini¸ c˜ ao 1.2.1. Dizemos que p ∈ M ´e um ponto peri´odico para f se existe n ∈ N tal n que f (p) = p. Denotaremos por P er(f ) o conjunto de pontos peri´odicos para f. Dizemos n que p ∈ M, tem per´ıodo n, se n = min{m ≥ 1 : f (p) = p}. Denotaremos por P er n (f ) o conjunto do pontos peri´odicos de f de per´ıodo n. Defini¸ c˜ ao 1.2.2. Definimos o conjunto n˜ao-errante de f como n Ω(f ) := {x ∈ M : para toda vizinhan¸ca Ude x, existe n > 0 tal que f (U) ∩ U 6= ∅}.

  Claramente o conjunto de pontos peri´odicos de f est´a contido em Ω(f ). Temos ainda que Ω(f ) ´e um subconjunto fechado e f -invariante. De fato, se (x n ) n ∈N ´e uma sequˆencia em Ω(f ) com lim x n = x ∈ M, dada uma vizinhan¸ca aberta U de x, existe n

  →∞

  n ∈ N tal que x n ∈ U, ∀n ≥ n . Ent˜ao como x n ∈ U temos que existe V x ⊂ U aberto n tal que x n ∈ V x para cada n > n . Fixe n > n , como x n ∈ Ω(f ) temos que existe m ≥ 1 m m n 6= ∅, logo f tal que f (V x ) ∩ V x (U) ∩ U 6= ∅ e portanto x ∈ Ω(f ). n n

  Por outro lado temos que se x ∈ f (Ω(f )) ent˜ao x = f (y) com y ∈ Ω(f ). Seja

  −1

  V uma vizinhan¸ca de x, temos que f (V ) ´e uma vizinhan¸ca de y, logo existe n > 0 n n

  −1 −1

  tal que f (f (V )) ∩ f (V ) 6= ∅ donde f (V ) ∩ V 6= ∅. Portanto x ∈ Ω(f ), ou seja f (Ω(f )) ⊆ Ω(f ). A reciproca ´e facilmente verificada, j´a que supomos f um difeomorfismo, logo f (Ω(f )) = Ω(f ). Defini¸ c˜ ao 1.2.3. Seja µ uma medida, ent˜ao o conjunto supp(µ) := {x ∈ M : µ(U) > 0, para toda vizinhan¸ca U de x} ´e dito o suporte de µ.

  Observa¸ c˜ ao 1.2.4. Se µ ´e uma medida de probabilidade f -invariante ent˜ao suppµ ⊆ Ω(f ). De fato, se x ∈ supp(µ) e U ´e vizinhan¸ca de x, ent˜ao µ(U) > 0 e pelo teorema de recorrˆencia de Poincar´e, para µ-q.t.p. y ∈ U existe (n k ) k = (n k (y)) k com lim k n k = n k ∈N ∈N →∞ m

  ∞ tal que f (y) ∈ U. Em particular, existe m tal que f (U)∩U 6= ∅. Portanto x ∈ Ω(f ).

  Em [3], Bowen estudou a distribui¸c˜ao de pontos peri´odicos para uma classe de difeomorfismos estabelecida por Smale, cuja defini¸c˜ao segue abaixo: Defini¸ c˜ ao 1.2.5. f : M → M ´e difeomorfismo Axioma A se: 1. P er(f ) = Ω(f ).

  2. Ω(f ) ´e um conjunto hiperb´olico.

  Lembre que Λ ⊆ M ´e um conjunto hiperb´olico para f se Λ ´e compacto e f - s u M admite uma decomposi¸c˜ao T M = E ⊕ E invariante e para todo x ∈ Λ temos que T x x n n s k ≤ cλ

  Df -invariante tal que existem λ ∈ (0, 1) e c > 0 que satisfazem kDf (x)| E e n

  −n u kDf (x)| E k ≤ cλ , para todo n ≥ 1.

  Para essa classe de difeomorfismos em [17, Teorema 6.2] temos a seguinte carac- teriza¸c˜ao do conjunto n˜ao-errante para f : Teorema 1.2.6

  (Teorema da Decomposi¸c˜ao Espectral de Smale). Se f ´e um difeomor- fismo Axioma A ent˜ao existe ´ unica decomposi¸c˜ao de Ω(f ) em uni˜ao finita de subconjuntos fechados, disjuntos, invariantes e indecompon´ıveis, Ω(f ) = Ω ˙∪... ˙∪Ω k , tal que f | ´e to-

  1 Ω i

  pologicamente transitivo para i = 1, ..., k. Cada Ω i ´e chamado de conjunto b´asico para f .

  A partir deste teorema, temos que toda medida f -invariante pode ser escrita como combina¸c˜ao de medidas suportadas em conjuntos b´asicos. Isto nos permite analisar o difeomorfismo f a partir de f i := f | , i = 1, ..., l.

  Ω i u Defini¸ c˜ ao 1.2.7. n n Seja f : M → M um difeomorfismo. Definimos W (x) := {y ∈ M : d(f (x), f (y)) → 0, quando n → −∞} como o conjunto inst´avel de x. Dizemos que f ´e u C-denso se W (x) ´e denso em M, para todo x ∈ M peri´odico.

  Em [3], temos: Teorema 1.2.8

  (Teorema de Decomposi¸c˜ao C-Densa). Seja f : M → M um difeomor- fismo Axioma A, em uma variedade compacta M. Ent˜ao, dado Ω i conjunto b´asico para f da decomposi¸c˜ao espectral de Smale podemos escrever Ω i = Ω i, ˙∪... ˙∪Ω i,m com Ω i,k fe-

  1 m i i

  chado para cada k = 1, ..., m i e f (Ω i,k ) = Ω i,k (Ω i,m = Ω i, ) e f : Ω i,j → Ω i,j ´e

  • 1 +1 i i

  1 C-denso para j = 1, .., m i .

  f i

f

i

  Ω i,

  2 Ω i,

  3 Ω i,

  1 Ω i,

  2 Ω i,

  3 Ω i,

  4 Ω f i, 5 i

  Ω i,

  5 f f f i i i

  Ω Ω i, i,

  1

  6 Ω i,

  4 Ω i

  Ω i,

  6 Figura 1.2.1: Decomposi¸c˜ao C-densa de um conjunto b´asico.

  Temos ent˜ao a no¸c˜ao de especifica¸c˜ao introduzida por Bowen, e o resultado por ele obtido para transforma¸c˜oes C-densas. Defini¸ c˜ ao 1.2.9.

  }, com I Uma especifica¸c˜ao ´e um par (γ, P ), onde γ = {I

  1 , ..., I n j conjun- n

  tos finitos e disjuntos de naturais consecutivos e P uma aplica¸c˜ao tal que P : ∪ t 2 −t 1 j =1 I → X j satisfazendo que f (P (t )) = P (t ) se t , t ∈ I j . Se (γ, P ) ´e uma especifica¸c˜ao e δ > 0

  1 t n

  2

  1

  

2

  definimos U(γ, P, δ) = {x ∈ X : d(f (x), P (t)) < δ, ∀t ∈ ∪ j I j }. Ordenando γ ,sem perda

  =1

  de generalidade, de modo que, denotando I j = [a j , b j ], tenhamos a j > b j , j = 2, ..., n

  −1

  |a − b | e definimos o comprimento de dizemos que (γ, P ) ´e M-afastada se M ≤ min j j −1

  

2≤j≤n

  − a γ como L(γ) := b n 1 .

  Teorema 1.2.10 (Teorema de Especifica¸c˜ao de Bowen). Se f ´e C-denso ent˜ao para δ > 0 existe um inteiro M(δ) tal que, sempre que (γ, P ) ´e uma especifica¸c˜ao M(δ)-afastada e k um inteiro tal que k ≥ M(δ) + L(γ), existe um ponto peri´odico de per´ıodo k pertencente a U(γ, P, δ).

  A especifica¸c˜ao definida acima ´e simplesmente uma associa¸c˜ao entre intervalos de naturais e trechos de ´orbitas de f. O conjunto U(γ, P, δ) representa o conjunto dos pontos cuja ´orbita est´a δ-pr´oxima das ´orbitas associadas pela especifica¸c˜ao. E o Teorema de Especifica¸c˜ao, garante que se f ´e C-denso ent˜ao essa aproxima¸c˜ao pode ser feita por pontos peri´odicos.

  Consideremos a partir daqui f : X → X como uma aplica¸c˜ao cont´ınua de um espa¸co m´etrico compacto (X, d). Diremos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se para quaisquer trechos de ´orbita ocorre o fenˆomeno acima, ou seja, existe um ponto peri´odico cuja ´orbita aproxima as ´orbitas dadas. Mais precisamente, usaremos a seguinte formula¸c˜ao da propriedade de especifica¸c˜ao, devida a Ruelle, por simplicidade notacional.

  Defini¸ c˜ ao 1.2.11. Dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se para todo ǫ > 0 existe um inteiro m := m(ǫ) tal que dados x , x , ..., x k ∈ X, inteiros a ≤ b ≤ a ≤

  1

  2

  1

  1

  2

  ≤ ... ≤ a ≤ b − b ≥ m(ǫ), ∀j = 2, ..., k e p ≥ b b k k com a j j k + m(ǫ) existe um ponto

  2 −1

  x ∈ X peri´odico de per´ıodo p tal que j +a j i d(f (x), f (x i )) < ǫ, ∀j = 0, ..., b i − a i (1.2.1) Exemplo 1.2.12. Considere o shift completo de dois s´ımbolos

  N N

  σ : {0, 1} → {0, 1} (i , i

  1 , i 2 , ...) 7→ (i 1 , i 2 , ....) Vejamos que tal aplica¸c˜ao satisfaz a especifica¸c˜ao.

  P ∞

  N N

  1 Temos que d : {0, 1} ×{0, 1} → [0, ∞) dada por d(¯a, ¯b) = δ(a i , b i ) (onde i i =0

  2 N δ(a i , b i ) = 1 se a i = b i e δ(a i , b i ) = 0, caso contr´ario) define uma distˆancia em {0, 1} .

  ∀0 ≤ i ≤ n(ǫ), Temos ainda que d(¯a, ¯b) < ǫ se, e somente se, existe n(ǫ) ∈ N tal que a i = b i como pode ser visto em [7, Subse¸c˜ao 7.3.4].

  N

  Sejam ¯ y ∈ {0, 1} , inteiros a ≤ b e ǫ > 0, arbitr´arios. Seja m(ǫ) = a + n(ǫ) com n(ǫ) como acima. Para p ≥ b − a + m(ǫ) vamos exibir ¯ x que satisfa¸ca (1.2.1). Seja x i a i-´esima coordenada de ¯ x. Defina x i arbitrariamente para i = 1, ..., a − 1. Para i = a, ..., b, b + n(ǫ) defina x i := y i . Para i = b + n(ǫ) + 1, ..., p definamos x i aleatoriamente. Denotemos ¯ x p = (x , ..., x p ). Ent˜ao fixemos ¯ x := (¯ x p , ¯ x p , ¯ x p , ....). N˜ao ´e dif´ıcil ver que ¯ x

  1

  assim definido tem per´ıodo p e satisfaz (1.2.1). Com um argumento an´alogo verificamos que vale para qualquer conjunto finito de pontos.Conclu´ımos assim que o shift completo satisfaz especifica¸c˜ao.

  De fato o shift completo, tanto unilateral como bilateral, de k s´ımbolos satisfaz especifica¸c˜ao, qualquer que seja o k ∈ N, j´a que o racioc´ınio utilizado acima funciona independentemente da quantidade de s´ımbolos. Proposi¸ c˜ ao 1.2.13. Sejam f : X → X e g : Y → Y aplica¸c˜oes cont´ınuas nos espa¸cos

  ′

  m´etricos (X, d) e (Y, d ). Temos: k (a) Se f satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao f : X → X tamb´em satisfaz especifica¸c˜ao ∀ k ≥ 1.

  (b) Se existir φ : X → Y cont´ınua sobrejetiva tal que g◦φ = φ◦f e f satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao g satisfaz especifica¸c˜ao.

  Prova: (a)

  Suponha f : X → X satisfazendo a especifica¸c˜ao. Dado ǫ > 0 seja ˆ m(ǫ) = h i m m

  (ǫ) (ǫ)

  } onde m(ǫ) ´e dado pela propriedade de especifica¸c˜ao para k k := min{z ∈ N; z ≥

  f. Sejam x , ..., x s ∈ X e a ≤ b ≤ a ≤ b ≤ ... ≤ a s ≤ b s inteiros com a j − b j ≥ ˆ m(ǫ).

  1

  1

  1

  2 2 −1 Ent˜ao ka j − kb j ≥ m(ǫ). Dado p ≥ b s − a + ˆ m(ǫ) temos np ≥ kb s − ka + m(ǫ). −1

  

1

  1 Segue ent˜ao que existe x ∈ X peri´odico de per´ıodo kp para f tal j j

  • na i

  − ka d(f (x), f (x i )) < ǫ, ∀j = 0, ..., kb i i , ∀i = 1, ..., s Ent˜ao r r

  • a i
  • k k d(g (x), g (x i )) < ǫ, ∀r = 0, ..., b i − a i , ∀i = 1, ..., s onde g = f Portanto f satisfaz especifica¸c˜ao.

      (b) Dados ǫ > 0, y , ..., y s ∈ X e inteiros a ≤ b ≤ a ≤ b ≤ ... ≤ a s ≤ b s . Sejam

      1

      1

      1

      2

      2

      x

      

    1 , ..., x s tais que φ(x i ) = y i . Como X ´e compacto, φ ´e uniformemente cont´ınua. Logo

      existe δ > 0 tal que d(w, z) < δ ⇒ d (φ(w), φ(z)) < ǫ. Temos por hip´otese que existe m(δ) tal que para p ≥ b s − a + m(δ) existe x ∈ X peri´odico de per´ıodo p satisfazendo: j j

      1

    • a i d(f (x), f (x i )) < δ, ∀j = 0, ..., b i − a i , ∀i = 1, ..., s.

      Logo, j j

      ′ +a i d (φ(f (x)), φ(f (x i ))) < ǫ, ∀j = 0, ..., b i − a i , ∀i = 1, ..., s.

      Mas ent˜ao,

      ′ j +a j i d (g (φ(x)), g (φ(x i ))) < ǫ, ∀j = 0, ..., b i − a i , ∀i = 1, ..., s.

      Portanto, j j

      ′ +a i

      d (g (φ(x)), g (y i )) < ǫ, ∀j = 0, ..., b i − a i , ∀i = 1, ..., s ⇒ Assim tomando m(ǫ) = m(δ) encontramos y := φ(x) peri´odico de per´ıodo p satisfazendo (1.2.1). Portanto g satisfaz especifica¸c˜ao.

      ✷ No caso em que ocorre o item (b) da proposi¸c˜ao acima, dizemos que f e g s˜ao semi-conjugados. Caso φ seja um homeomorfismo dizemos que f e g s˜ao topologica- mente conjugados. Deduz-se portanto que a propriedade de especifica¸c˜ao ´e um invariante topol´ogico.

      Exemplo 1.2.14.

      Seja f : [0, 1]/ ∼→ [0, 1]/ ∼ dada por f (x) = 2x( mod 1), onde P ∞

      N a i a ∼ b ⇔ a − b ∈ Z. Considere φ : {0, 1} → [0, 1]/ ∼ dada por φ(a , a , a , ...) = .

      1 2 i i =0

      2 Temos que φ ´e cont´ınua e sobrejetiva e f ◦ φ = φ ◦ σ, portanto σ e f s˜ao semi-conjugados.

      Logo pela proposi¸c˜ao, f satisfaz a especifica¸c˜ao.

      

    f

      X X φ φ

    Y Y

    g

    Figura 1.2.2: Sistemas conjugados.

      Como no exemplo do shift, f (x) = βx( mod 1) satisfaz a especifica¸c˜ao ∀β ∈ N, valendo a semi-conjuga¸c˜ao com o shift de β s´ımbolos. Mais ainda, o conjunto dos β tal que βx( mod 1) satisfaz especifica¸c˜ao ´e denso em [1, +∞), como mostrado em [6]. Defini¸ c˜ ao 1.2.15. Dizemos que f : X → X ´e topologicamente mixing se dados quaisquer n abertos n˜ao vazios U e V existe N ∈ N tal que f (U) ∩ V 6= ∅ para todo n ≥ N.

      Temos ent˜ao o seguinte resultado devido a Blokh: Teorema 1.2.16. Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao se e somente se f ´e topologicamente mixing.

      A prova deste resultado pode ser vista em [1] ou [6]. Notamos que, em geral, se f : X → X satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao f ´e topologicamente mixing e o conjunto de pontos peri´odicos ´e denso, sendo a rec´ıproca v´alida neste contexto unidimensional.

    1.3 Teorema Erg´ odico de Birkhoff Considere um conjunto E ⊂ X e uma transforma¸c˜ao f : X → X, mensur´avel.

      Dado um ponto x ∈ X gostar´ıamos de estimar a frequˆencia de visita da ´orbita deste

      1 j

      ponto ao conjunto E. Podemos calcular o limite lim n #{0 ≤ j < n : f (x) ∈ E}

      →∞ n

      que nos fornecer´a em m´edia por quanto tempo, em termos de iterados, a ´orbita de x intersecta E. Contudo, tal limite em geral n˜ao existe. Por exemplo se considerarmos j j j +1

      10 10 +1 10 −1

      E := {f (x), f (x), ..., f (x) : j ∈ {1, 3, 5, 7, ...}} temos que tal limite n˜ao existe. Denotemos 1 j τ (E, x) := lim #{0 ≤ j < n : f (x) ∈ E}. n

      →∞

      n n P −1

      1 j

      Observe que podemos reescrever τ (E, x) como lim n χ E ◦ f (x), o que

      →∞ n j =0

      nos leva a quest˜ao mais geral: dada uma fun¸c˜ao φ : X → R e uma transforma¸c˜ao P n

      −1 j

      1

      f : X → X existe lim n φ ◦ f (x)? No contexto da F´ısica, tal limite representa o

      →∞ n =0 j comportamento de uma determinada quantidade observ´avel, φ, ao longo da trajet´oria de um ponto x no espa¸co pela dinˆamica f. Nesta dire¸c˜ao temos o seguinte resultado devido a George David Birkhoff, cuja demonstra¸c˜ao pode ser vista em [10, Teorema 1.1, Cap´ıtulo

      II]: Teorema 1.3.1

      (Birkhoff). Sejam f : X → X uma transforma¸c˜ao mensur´avel, µ ∈

    1 M

      f (X) e φ ∈ L (µ). Temos: 1 n P −1 j

      (a) ˜ φ(x) := lim n φ ◦ f (x) existe para µ q.t.p. x ∈ X

      →∞ j =0

      n R

      R ˜ (b) φdµ = φdµ

      R Ademais, se µ ∈ M e temos que ˜ φ(x) = φdµ para µ q.t.p. x ∈ X.

      P n −1 j

      1 Dada φ ∈ L (X, µ) denotaremos S n φ(x) := φ ◦ f (x) a n-´esima soma de j =0

      1 Birkhoff do ponto x. A S n φ(x) nos referimos a n-´esima m´edia de Birkhoff do ponto x. n n Note que a sequˆencia (S n φ(x)) n satisfaz S n φ(x) = S n φ(x) + S m φ(f (x)).

      ∈N +m

      1 Exemplo 1.3.2.

      Considere f : [0, 1] → [0, 1] dada por f (x) = x, temos que a ´ unica

      2

      medida invariante para tal sistema ´e a Dirac em 0, δ . De fato, em virtude do teorema de recorrˆencia de Poincar´e, se µ ∈ M f (X) ent˜ao supp(µ) ⊂ Rec(f ) := {y ∈ [0, 1] : n para toda vizinhan¸ca V de y, #{n ∈ N : f (y) ∈ V } = ∞} = {0}. Ent˜ao pelo teorema de

    1 Birkhoff, temos que dada φ ∈ L ([0, 1], δ ) existe um conjunto X φ com δ (X φ ) = 1 tal que

      o limite acima existe para todo x ∈ X φ . Mas um conjunto tal que sua medida de Dirac ´e 1, do ponto de vista topol´ogico, pode ser pequeno em [0, 1], podendo ser por exemplo {0}. Ressaltamos assim, que a existˆencia do limite das m´edias de Birkhoff, apesar de ocorrer em um conjunto grande do ponto de vista da medida, pode ser pequeno sob outras ´oticas.

      Exemplo 1.3.3. Consideremos um campo vetorial suave no plano com dois pontos de sela, a e b, cujo retrato de fase est´a indicado na figura abaixo:

      a b

      Figura 1.3.1: Olho de Bowen Como pode ser visto em [18], podemos escolher os autovalores dos campos line- arizados nas selas de modo que as ´orbitas sejam atra´ıdas para o ciclo. Al´em disso, essa

      2

      escolha pode ser feita tal que para uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕ em R com ϕ(a) 6= ϕ(b) temos

      que qualquer ponto do interior do ciclo que n˜ao seja a singularidade, n˜ao existe o limite de Birkhoff. A ideia ´e que dadas duas vizinhan¸cas arbitrariamente pequenas das selas e um ponto x no interior do ciclo, sua ´orbita passa cada vez mais tempo nestas vizinhan¸cas e muito mais r´apido fora delas.

      Defini¸ c˜ ao 1.3.4. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, definimos a distˆancia dinˆamica associada ao tempo n como: d n : X × X → [0, ∞) j j (x, y) 7→ d n (x, y) := max{d(f (x), f (y)); j = 0, ..., n − 1}.

      De fato, d n ´e uma distˆancia para todo n ∈ N. Sejam x, y, z ∈ X, temos que j j d n (x, y) = 0 ⇔ d(f (x), f (y)) = 0 para todo j = 0, ..., n − 1.

      Mas isto ocorre se, e somente se x = y. ´ E claro que d n (x, y) = d n (y, x). Finalmente j j d n (x, z) = max{d(f (x), f (z)); j = 0, ..., n − 1} j j j j ≤ max{d(f (x), f (y)) + d(f (y), f (z)); j = 0, ..., n − 1} ≤ d n (x, y) + d n (y, z).

      Assim, dado ǫ > 0 podemos definir a bola de raio ǫ segundo essa distˆancia, que denotaremos por B(x, n, ǫ) := {y ∈ X; d n (x, y) < ǫ}, a qual tamb´em denominaremos bola dinˆamica de comprimento n, raio ǫ e centro em x. Observa¸ c˜ ao 1.3.5. Considere φ : X → R uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua, ou seja, tal que dado ǫ > 0 existe δ > 0 com d(x, y) < δ implica |φ(x) − φ(y)| < ǫ, para todo x, y ∈ X. Ent˜ao j j d n (x, y) < δ ⇒ |φ(f (x)) − φ(f (y))| ≤ ǫ, ∀j = 0, 1, ..., n − 1.

      Assim, n n

      −1 −1

      X j j j j

      X |S n φ(x) − S n φ(x)| = φ ◦ f (x) − φ ◦ f (y) (x) − φ ◦ f (y)| < nǫ. j j ≤ |φ ◦ f

      =0 =0

      Portanto d n (x, y) < δ ⇒ |S n φ(x) − S n φ(y)| < nǫ. Isto nos d´a uma estimativa de qu˜ao pr´oximas ficam as m´edias de Birkhoff para pontos cujas ´orbitas permanecem tamb´em pr´oximas. Defini¸ c˜ ao 1.3.6.

      Seja φ : X → R. Dado ǫ > 0 definimos a varia¸c˜ao de φ de raio ǫ como sendo V ar(φ, ǫ) := sup{|φ(x) − φ(y)|; d(x, y) < ǫ}.

      Observa¸ c˜ ao 1.3.7. Considere φ : X → R. Podemos fazer uma estimativa an´aloga a observa¸c˜ao 1.3.5 usando a varia¸c˜ao de φ. Temos que se x, y ∈ X s˜ao tais que d n (x, y) < ǫ n P −1 j j

      |φ ◦ f ent˜ao |S n φ(x) − S n φ(y)| ≤ (x) − φ ◦ f (y)| ≤ nV ar(φ, ǫ). j

      =0 Lema 1.3.8.

      ∈ C(X), ∀n ≥ Seja φ ∈ C(X) tal que φ = lim φ n na norma do sup com φ n n

      →∞

      1

      1 1. Suponha que exista x ∈ X tal que existe lim S k φ n (x), ∀n ≥ 1. Ent˜ao existe lim S k φ(x). k n k k →∞ →∞ ǫ Prova: Fixado ǫ > 0 existe n ≥ 1 tal que n ≥ n ⇒ kφ − φ n k < . Fixe n ≥ n .

      3

      1

      1 Como, por hip´otese, existe lim S k φ n (x) temos que S k φ n (x) ´e de Cauchy em R, k k k k ∈N →∞ ǫ

      1

      1

      logo, existe k ≥ 1 tal que r, t ≥ k ⇒ S r φ n (x) − S t φ n (x) < . Assim: r t

      3

      1

      1

      1

      1

      1

      1 ≤

      S

    • r φ(x) − S t φ(x) S r φ(x) − S r φ n (x) S t φ n (x) − S r φ n (x) r t r r t r

      1

      1 S + t φ n (x) − S t φ(x) t t

      1

      1 ≤ kφ − φ n k + S t φ n (x) − S r φ n (x) + kφ − φ n k t r

      ǫ ǫ ǫ ≤

      = ǫ + +

      3

      3

      3

      1

      ∀r, t ≥ k . Como ǫ > 0 ´e arbitr´ario temos que S k φ(x) ´e de Cauchy em R, logo k k

      ∈N convergente.

      ✷

    1.4 Press˜ ao topol´ ogica

      Nesta se¸c˜ao definiremos os conceitos b´asicos de entropia, m´etrica e topol´ogica, e press˜ao topol´ogica que ser˜ao utilizados no cap´ıtulo 3. As defini¸c˜oes aqui apresentadas e resultados sem demonstra¸c˜ao podem ser consultados em [20]. A menos que se diga o contr´ario estaremos sempre considerando X um espa¸co m´etrico compacto e medidas borelianas em X. Defini¸ c˜ ao 1.4.1. Seja µ ∈ M(X). Uma parti¸c˜ao de X mod µ em borelianos ´e uma cole¸c˜ao enumer´avel P := {P i : i ∈ N ⊂ N} tal que P i ∈ B(X), ∀i ∈ N, P i ∩ P j = ∅, ∀i 6= j e µ(X\ ∪ i ∈N P i ) = 0. Dadas duas parti¸c˜oes P e Q dizemos que Q refina P (denotamos por P ≤ Q) se para cada elemento Q ∈ Q existe P ∈ P tal que Q ⊂ P. Definimos ainda a parti¸c˜ao P ∨ Q := {P ∩ Q : P ∈ P e Q ∈ Q}. Dada uma transforma¸c˜ao mensur´avel

      −1 −1 f : X → X temos f (P) := {f (P ) : P ∈ P}.

      Defini¸ c˜ ao 1.4.2.

      Seja µ ∈ M f (X) e P uma parti¸c˜ao. Definimos a entropia de P com respeito a µ com a quantidade:

      X H µ (P) := − µ(P ) log µ(P ). (1.4.1) P

      Dizemos que n

      −1

      _

      1

      −j

      H µ (f, P) := lim H( f (P)) (1.4.2) n

      →∞

      n j

      =0

      ´e a entropia de f com respeito a parti¸c˜ao P. Por fim definimos a entropia m´etrica de f com respeito a µ como sendo h (f ) := sup H (f, P) (1.4.3) µ µ P onde o supremo ´e tomado sobre todas as parti¸c˜oes finitas mod µ de X.

      De fato, o limite em (1.4.2) existe e o supremo acima pode ser tomado sobre o conjunto de todas as parti¸c˜oes tais que H µ < +∞, como pode ser visto em [10, Se¸c˜ao 4, Cap´ıtulo 4].

      Note que o c´alculo da entropia de uma dada transforma¸c˜ao pode ser uma ´ardua tarefa, j´a que ter´ıamos que fazer o c´alculo sobre todas as parti¸c˜oes poss´ıveis. Temos ent˜ao o seguinte teorema que nos permite em muitos casos analisar apenas uma parti¸c˜ao em particular.

      Teorema 1.4.3 (Kolmogorov-Sinai). Seja f : X → X mensur´avel. Se P ´e uma parti¸c˜ao S W n

      −j de X tal que f (P) = B(X) = mod µ ent˜ao H µ (f, P) = h µ (f ). n j ≥0 =0 N N

      N Exemplo 1.4.4.

      Seja σ : {0, 1} → {0, 1} o shift. Considere a parti¸c˜ao de {0, 1} } onde C dada por P := {C , C

      1 := {(i , i

    1 , i

    2 , ...); i = 0} e C 1 := {(i , i 1 , i 2 , ...); i = 1}.

      W n

      −1 n −j

      Temos que f (P) = {C i ,i ,...,i ; (i , i , ..., i n ) ∈ {0, 1} } com C i ,i ,...,i := j 1 n−1 1 −1 1 n−1 =0

      N

      {(j n ) n ∈ {0, 1} ; i k = j k , ∀k = 0, 1, ..., n − 1}. Temos ent˜ao que P ´e uma parti¸c˜ao

      ∈N

      geradora e portanto h µ (σ) := H µ (f, σ). Por exemplo se considerarmos µ a medida tal que

      1

      1

      µ(C ) = = µ(C 1 ) e µ(C i ,i ,...,i ) = n teremos que h µ (σ) = log 2. 1 n−1

      2

      2 Defini¸ c˜ ao 1.4.5. Considere f : X → X uma transforma¸c˜ao cont´ınua e E ⊂ X. Dado

      ǫ > 0 e n ∈ N dizemos que E ´e um conjunto (n, ǫ)-separado se ∀x, y ∈ E com x 6= y temos que d n (x, y) ≥ ǫ. Denotemos por s(n, ǫ) a maior cardinalidade de um conjunto (n, ǫ)-separado em X. Defini¸ c˜ ao 1.4.6. Defina:

      1 s(ǫ) = lim sup log s(n, ǫ). n n

      →∞

      Ent˜ao a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao cont´ınua f : X → X ser´a dada por: h top (f ) := lim s(ǫ). ǫ

      →0 Observa¸ c˜ ao 1.4.7.

      Para definir a entropia topol´ogica de uma transforma¸c˜ao, podemos utilizar o conceito dual de conjunto separado, que ´e o de conjunto gerador. Dizemos que

      E ⊂ X ´e um conjunto (n, ǫ)-gerador se ∀x ∈ X, ∃y ∈ E tal que d n (x, y) < ǫ. Neste caso, denotando r(n, ǫ) como a cardinalidade do menor conjunto (n, ǫ)-gerador para X, pode-se provar que:

      1 h top (f ) = lim lim sup log r(n, ǫ). ǫ

      →0 n →∞ n

      Suponha que desejamos contar as ´orbitas distingu´ıveis de comprimento n da n

      2 −1

      dinˆamica f, ou seja, conjuntos da forma {x, f (x), f (x), ..., f (x)}. Contudo, tais con- juntos s˜ao distingu´ıveis entre si, apenas se eles est˜ao a uma distˆancia maior do que ǫ. Assim, podemos interpretar s(n, ǫ) como a quantidade desse conjuntos a menos de um erro ǫ e ent˜ao h top (f ) mede a taxa de crescimento dessas ´orbitas quando aumentamos o n e a precis˜ao, ou seja, diminu´ımos o ǫ. Teorema 1.4.8 (Princ´ıpio Variacional). Seja f : X → X cont´ınua. Ent˜ao h top (f ) = sup{h µ (f ) : µ ∈ M f (X)}

      Veja [20, Teorema 8.6] Defini¸ c˜ ao 1.4.9. Seja φ : X → R uma aplica¸c˜ao cont´ınua. Para n ≥ 1 e ǫ > 0 defina:

      X P (f, φ, n, ǫ) := sup{ exp(S n φ(x)) : E ´e um conjunto (n, ǫ) − separado} x

      ∈E

      Ent˜ao a press˜ao topol´ogica de φ com respeito a f ser´a dada por:

      1 P top (f, φ) := lim lim sup log P (f, φ, n, ǫ). ǫ

      →0

    n →∞ n

    Observe que se φ ≡ 0 ent˜ao P top (f, φ) = h top (f ).

      Teorema 1.4.10 (Princ´ıpio Variacional). Seja f : X → X cont´ınua e φ : X → R tamb´em R cont´ınua. Ent˜ao P top (f, φ) := sup{h µ (f ) + φdµ; µ ∈ M f (X)}.

      Veja [20, Teorema 9.10]. Cap´ıtulo 2 Medidas Invariantes e Sistemas com Especifica¸ c˜ ao

      Na se¸c˜ao 1.1 vimos algumas propriedades do conjunto das probabilidades em um espa¸co m´etrico compacto, e destacamos dois de seus subconjuntos associados a dinˆamica do espa¸co, o das medidas invariantes por uma transforma¸c˜ao f e das medidas erg´odicas. Agora, considerando o caso espec´ıfico de aplica¸c˜oes que satisfa¸cam a propriedade de es- pecifica¸c˜ao, vamos estudar a distribui¸c˜ao, do ponto de vista topol´ogico, de determinados subconjuntos de M(X), conforme [15] e [16].

      Temos a primeira defini¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 2.0.11.

      Seja x um ponto peri´odico para f : X → X de per´ıodo k. A medida P k

      −1

      1 j j

      µ x := δ suportada na ´orbita de x ´e dita uma medida peri´odica, onde δ ´e a k =0 i f (x) j f (x) medida de Dirac no ponto f (x). Denotaremos por M p o conjunto das medidas peri´odicas.

      Observe que se µ x ´e uma medida peri´odica, ent˜ao µ x ´e invariante. De fato, dado A ∈ B(X) temos que k −1

      X

      1

      1

      −1 −1 j −1 j

      µ x (f (A)) = δ (f (A)) = #{0 ≤ j < k : f (x) ∈ f (A)} f (x) k k j

      =0

      1 j j

      1

    • 1

      = #{0 ≤ j < k : f (x) ∈ A} = #{1 ≤ j < k + 1 : f (x) ∈ A} k k k

      −1

      X

      1 j

      1 j = #{0 ≤ j < k : f (x) ∈ A} = δ f (A) = µ x (A).

      (x)

      k k k j =0 A pen´ ultima igualdade vale pois f (x) = x.

      Observa¸ c˜ ao 2.0.12.

      Uma outra forma de vermos que µ x ´e uma medida invariante ´e

      −1 −1

      atrav´es do operador f : M(X) → M(X), µ 7→ f µ = µ ◦ f . Onde µ ◦ f : B(X) →

      ∗ ∗ −1 −1

      [0, 1], µ ◦ f (A) := µ(f (A)). f µ ´e dito o push-forward de µ por f. N˜ao ´e dif´ıcil ver que

      ∗ f ´e linear e cont´ınuo. Temos que µ ´e invariante por f se e somente se µ ´e um ponto fixo

      ∗ k k

      P −1 P −1

      1 j j

      1

      para f . Assim, para µ x peri´odica, segue que: f µ x := f δ f := f δ f = k k ∗ ∗ ∗ (x) ∗ (x) k j =0 k j =0 P −1 P −1

      1 j +1 j

      1 k =0 k =0 j (x) j (x) δ f = δ f = µ x .

      Temos ainda que µ x ´e erg´odica. De fato, suponha A um conjunto f -invariante,

    • j C

      ent˜ao temos que ou O (x) := {f (x) : j ≥ 0} ⊂ A ou O (x) ⊂ A pois O (x) tamb´em ´e C invariante por f. Mas ent˜ao ou µ x (A ) = 0 ou µ(A) = 0, respectivamente.

      Vimos que se f satisfaz especifica¸c˜ao o conjunto de pontos peri´odicos ´e denso. Apesar de, a priori, n˜ao haver clara rela¸c˜ao entre a topologia do espa¸co e a topologia do conjunto das probabilidade sobre este espa¸co, veremos adiante que M p ´e um subconjunto denso de M f (X), e assim qualquer medida f invariante pode ser obtida como limite de medidas peri´odicas na topologia fraca*.

      Destacaremos ainda alguns outros tipos de medidas em M f (X). Defini¸ c˜ ao 2.0.13. Seja µ ∈ M f (X). Dizemos que: 1. µ ´e n˜ao atˆomica se µ({x}) = 0 ∀x ∈ X.

      2. µ ´e aberta se µ(A) > 0, ∀A, aberto.

      Dizemos que x ∈ X ´e um ´atomo para µ se µ({x}) > 0. Uma medida n˜ao atˆomica ent˜ao ´e uma medida sem ´atomos. Um exemplo cl´assico ´e a medida de Lebesgue. Uma medida aberta se comporta bem com a topologia do espa¸co, j´a que de seu ponto de vista, todos os conjuntos abertos s˜ao relevantes. Denotaremos por M n o subconjunto de M f (X) de medidas n˜ao atˆomicas e por

      M d o subconjunto das medidas abertas em M f (X). O que mostraremos a seguir ´e que tais subespa¸cos s˜ao residuais, ou seja, interse¸c˜ao enumer´avel de abertos e densos em M f (X). Mostraremos ainda que o conjunto M z , das medidas em M f (X) tais que h µ (f ) = 0, no caso particular em que f satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao e ´e uniformemente hiperb´olico, cont´em um residual em M f (X).

      

    2.1 Caracteriza¸ c˜ ao das Medidas para Sistemas com

    Especifica¸ c˜ ao

      As provas dos teoremas apresentados nesta se¸c˜ao podem ser vistas em [15] para difeomorfismos Axioma A, contexto estudado por Bowen em [3]. Como mencionado em [16], temos as mesmas provas v´alidas para o caso geral de uma aplica¸c˜ao que satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao, com exce¸c˜ao do teorema referente ao conjunto de medidas com entropia zero, j´a que em sua demonstra¸c˜ao utiliza-se a existˆencia de parti¸c˜oes de Markov, a qual ´e garantida para difeomorfismos Axioma A em [2].

      Temos o primeiro teorema: Teorema 2.1.1. M p ´e denso em M f (X).

      Para a prova deste teorema, assim como a prova dos seguintes, utilizaremos o lema abaixo. Al´em de mostrar que dada uma vizinhan¸ca em M (X) sempre podemos f encontrar um ponto peri´odico cuja medida correspondente pertence a esta vizinhan¸ca, ele nos dir´a que esse ponto pode ser escolhido em qualquer vizinhan¸ca do espa¸co X e de per´ıodo t˜ao grande quanto queiramos. Teremos ainda a liberdade de escolhˆe-lo de modo que sua ´orbita aproxime uma fixada ´orbita em X durante uma quantidade finita e arbitr´aria de iterados. ρ y 1 X M (X) f

      x 1 µ µ x V 1 x y 2 2 µ x 2 ρ

      Figura 2.1.1: Associa¸c˜ao entre densidade de pontos peri´odicos e densidade das medidas peri´odicas.

      Lema 2.1.2.

      Suponha f : X → X satisfazendo a propriedade de especifica¸c˜ao. Seja V uma vizinhan¸ca de µ ∈ M f (X). Seja ρ > 0 e N um inteiro positivo. Ent˜ao existe um inteiro N > 0 tal que para todo y ∈ X e todo p ∈ N, p ≥ N, existe um ponto x ∈ X k k peri´odico de per´ıodo p tal que µ x ∈ V e d(f (x), f (y)) < ρ para 0 ≤ k < N .

      Prova: } ⊂ C(X). Como X ´e compacto

      Assuma V = V (µ, Φ, ǫ), Φ = {φ , ..., φ r

      1

      est´a bem definido k = max{kφ k : 1 ≤ l ≤ r} e existe δ > 0 tal que l ǫ y , y ∈ X e d(y , y ) < δ ⇒ |φ l (y ) − φ l (y )| < (2.1.1)

      1

      2

      1

      2

      1

      2

      4 para todo 1 ≤ l ≤ r. Pelo Teorema Erg´odico de Birkhoff existe um boreliano Q com µ(Q) = 1 tal que N −1

      X

      1 i ˜

      φ l (x) = lim φ l (f (x)) N

      →∞

      N i

      =0

      existe para todo x ∈ Q, e todo l ∈ {1, ..., r}. Al´em disso: Z Z

      ˜ φ l dµ = φ l dµ. Note que ˜ φ l ´e uma fun¸c˜ao limitada pois min{ϕ l (x); 1 ≤ l ≤ r, x ∈ X} ≤ N

      P −1 i

      1

      lim φ (f (x)) ≤ max{φ (x); 1 ≤ l ≤ r, x ∈ X},para todo x ∈ Q e todo N →∞ l l N =0 i l ∈ {1, ..., r}. Consideremos ent˜ao Q , ..., Q s uma parti¸c˜ao de Q em borelianos n˜ao vazios

      1 ǫ

      tais que: V ar( ˜ φ l | Q ) := sup{| ˜ φ l (x) − ˜ φ l (y)| : x, y ∈ Q j } < , para todo 1 ≤ l ≤ r e todo j

      4

      1 ≤ j ≤ s. Escolha x j ∈ Q j . Ent˜ao: s s Z Z Z

      X X ˜ ˜ ˜

      φ l dµ − µ(Q j ) ˜ φ l (x j ) = φdµ − φ l (x j )χ Q dµ j j j

      

    =1 =1

    s

      Z

      X ǫ

      ˜ ˜ ≤

      φ − φ l (x j )χ Q dµ < . (2.1.2) j j =1

      4 Seja N ≥ 1 tal que

      1 N −1

      X 1 ǫ i φ l (f (x j )) − ˜ φ l (x j ) < (2.1.3)

      N i

      4

      =0

      para todo N ≥ N 1 , l = 1, ..., r, e j = 1, ..., s. Escolha N ≥ 1 tal que possamos escrever m ≥ N na forma:

      2

    s

      2 X

      m = m j j

      =1

      com m j ǫ − µ(Q j ) (2.1.4)

      < m 12ks para j = 1, ..., s.

      

    m )m

    i ≈ µ(Q i

    m m m m m m

      1

      2

      3 s

      4 Figura 2.1.2: Divis˜ao do inteiro m em partes proporcionais a medida dos elementos da parti¸c˜ao.

      Finalmente, escolha N maior do que N e N tal que ∀m ≥ N temos:

      3

      1

      2

      3 N + 2M(δ) + mM(δ) + N 3 ǫ

      < N + M(δ) + mM(δ) + mN 12k

      3 onde M(δ) ´e dado pelo Teorema de Especifica¸c˜ao de Bowen.

      Afirmamos que N = N [N + M(δ)] + N + M(δ) satisfaz as condi¸c˜oes do lema.

      3

      3 De fato, suponha p ≥ N dado. Podemos escrever p = m[N + M(δ)] + N + M(δ) + q com

      3

      m ≥ N e 0 ≤ q < N + M(δ). Assim

      3

      3

      p − mN

      

    3 N + 2M(δ) + mM(δ) + N

    3 ǫ

      < < (2.1.5) p N + M(δ) + mM(δ) + mN 12k

      3 Seja y ∈ X qualquer. Escolhamos inteiros, a = 0, b = N − 1 e a j,i com

      i ∈ {1, ..., m j } e j ∈ {1, ..., s}, satisfazendo: 1. a − b = M(δ).

      1,1 2. b j,i − a j,i = N fixado j e i = 1, ..., m j .

      3 3. b j,i − a j,i = M(δ) fixado j e i = 1, ..., m j − 1.

    • 1

      − b 4. a j +1,1 j,m = M(δ), j = 1, ..., s − 1 j

      m m vezes vezes m vezes

      1

      1

      2 m (δ) m m m m m

      

    (δ) (δ) (δ) (δ) (δ) m (δ) m (δ)

    N N N N N N N N N N

      3

      3

      3

      3

      

    3

      

    3

      3

      3

      3 a b 1,1 a b a b 1 a b a 2,2 a a b 1,1 1,2 1,2 1,m 1 1,m 2,1 2,1 b 2,m 2,2 2,m 2 b 2 x x 1 x x x x 1 2 2 2 y 1 Figura 2.1.3: Associa¸c˜ao entre inteiros e trechos de ´orbita de x i , para i = 1, 2.

      Pela propriedade de especifica¸c˜ao, existe um x ∈ X peri´odico de per´ıodo p tal que: t

    • a

      − a t t d(f (x), y) < δ, t = 0, ..., b

    • a j,i

      d(f (x), f (x j )) < δ, t = 0, ..., b j,i − a j,i , i = 1, ..., m j , j = 1, ..., s Em outras palavras, o ponto x especifica o trecho de ´orbita de y com comprimento

      N . Ap´os M(δ) iterados especifica o ponto x

      1 durante N 3 iterados, ap´os M(δ) iterados

      volta a especificar x

      1 durante N 3 iterados, repetindo esse processo m 1 vezes, quando

      come¸ca, ap´os mais M(δ) iterados, a especificar a ´orbita de x com comprimento N ,

      2

      3

      repetindo essa especifica¸c˜ao m vezes, e assim por diante para x , ..., x s . Na figura abaixo

      2

      3

      ilustramos esse comportamento, considerando, por simplicidade visual, as ´orbitas dos pontos como se fossem objetos cont´ınuos.

      Falta mostrarmos ent˜ao que µ x ∈ V.

      δ y x N f a1,2 (x) N 3 f f a2,1 a2,2 (x) (x) x 2 N 3 f a1,m

    f (x)

    a1,1 f 1 (x) (x) x 1 a2,m 2 Figura 2.1.4: Esquema de especifica¸c˜ao do ponto x.

      Considere φ ∈ {φ , ..., φ r }. Temos:

      1

    p

    −1

      Z

      X

      1 i φdµ x = φ(f (x)). p i

      =0 s j Denotemos I := [a , b ] e I j,k := [a j,k , b j,k ], i = 1, ..., m j , j = 1, ...s. Escrevamos m j

      ∪ I = ∪ j k k

      I . Observe que #I = mN

      3 e I ⊂ {0, 1, ..., p − 1}. Ent˜ao: =1 =1 p −1

      X X

      X

      1 i i i

      1

      1 φ(f (x)) − φ(f (x)) = φ(f (x)) p p p i =0 i ∈I i

      ∈{0,1,...,p−1}\I

      X

      1 ≤ kφk p i ∈{0,1,...,p−1}\I p − mN

      3

      kφk = p

      ǫ ≤

      . (2.1.6)

      12 Da mesma forma:

      X X

      1 i i

      1

      1

      1 φ(f (x)) − φ(f (x)) ≤ − mN kφk

      3

      p mN p mN i i

      3

      3 ∈I ∈I

      p − mN ǫ

      3

      = kφk ≤ . (2.1.7) p 12 t t Fixado j ∈ {0, 1, ..., s} e i ∈ {0, 1, ..., m j } temos da propriedade de especifica¸c˜ao t t

    • a j,i
    • a j,i que d(f (x), f (x j )) < δ, ∀ t = 0, 1, ..., b j,i −1 e portanto |φ(f (x))−φ(f (x j ))| < ǫ.

      Assim sendo: b −a −1 b −a −1 j,i j,i j,i j,i

      X X

      1 t t

      1

    • a j,i

      ≤ φ(f (x)) − φ(f (x j )) b j,i − a j,i b j,i − a j,i t =0 t =0 N −1 3 X 1 ǫ t t

    • a j,i

      φ(f (x)) − φ(f (x )) < , j N

      3 t

      4

      para todo i = 1, ..., m j e todo j = 1, ..., s. Como N ≥ N segue que: N N N

      3

      1 3 −1 −1 −1 3 3 X

      X X

      1 t t t

      1

      1

    • a +a j,i j,i

      φ(f (x)) − ˜ φ(x j ) ≤ φ(f (x)) − φ(f (x j )) N N N

      3 t t t

      

    3

      3 =0 =0 =0 N 3 −1

      X 1 ǫ t φ(f (x j )) − ˜ φ(x j ) < . (2.1.8) +

      N

      2

      3 t =0

      para todo i = 1, ..., m j e todo j = 1, ..., s. Mas ent˜ao: s s j N s m 3 −1

      X X

      X X

      X X 1 m j t 1 m j t

    • a j,i

      ˜ ˜

      φ(f (x)) − φ(x j ) = φ(f (x)) − φ(x j ) mN m mN m

      3 t j j i t =0 j

      3 ∈I =1 =1 =1 =1 s N m j 3 −1 !

      X X

      X

      1

      1 t

    • a j,i

      = φ(f (x)) − ˜ φ(x j ) m N j i t

      3 =1 =1 =0

      ǫ ≤ . (2.1.9)

      2 Temos ainda: s s s

      X X

      X m j m j ǫ ˜

      φ(x j ) − µ(Q j ) ˜ φ(x j ) ≤ kφk − µ(Q j ) . (2.1.10) ≤ j j j m m

      12

      =1 =1 =1

      Combinando as desigualdades (2.1.2), (2.1.6),(2.1.7), (??) e (??), temos que R R φdµ x − φdµ < ǫ. Como φ ´e um elemento arbitr´ario em {φ , ..., φ r } temos que µ x ∈ V.

      1

      ✷ O lema anterior, como veremos nos dois teoremas a seguir, nos permitir´a expressar o conjunto de medidas n˜ao atˆomicas e o conjunto de medidas abertas como o complementar de uma uni˜ao enumer´avel de fechados com interior vazio, ou seja, o complementar de um conjunto de primeira categoria.

      Teorema 2.1.3. M n := {µ ∈ M f (X) : µ ´e n˜ao atˆomica} ´e o complementar de um conjunto de primeira categoria em M f (X).

      Prova: Para τ > 0 defina C(τ ) := {µ ∈ M f (X) : µ({x}) ≥ τ, para algum x ∈ X}. Assim definido, C(τ ) ´e fechado. De fato, considere (µ n ) n uma sequˆencia em

      ∈N ∗

      C(τ ) convergindo na topologia fraca a µ ∈ M f (X). Para cada n ∈ N existe x n tal }) ≥ τ. Como X ´e compacto, (x que µ({x n n ) n ∈N admite uma subsequˆencia convergente, digamos, (x n ) k com lim n x n = x ∈ X. Logo, dado r > 0 existe n r tal que k ∈N →∞

      1 1

      µ n (B (x )) ≥ τ, ∀n ≥ n r , portanto lim n µ n (B (x )) ≥ τ. Como r foi escolhido ar- r 1

    →∞

    r bitrariamente temos que lim n µ n (B (x )) ≥ τ, ∀r > 0. Portanto temos µ({x }) ≥ τ e

      →∞ r µ ∈ C(τ ).

      Note tamb´em que C(τ ) tem interior vazio. Caso contr´ario existiria um aberto V ⊂ C(τ ). Pelo lema 2.1.2, tomando N o inteiro correspondente a V e p primo tal que

      1

      p ≥ N e < τ temos que existe x peri´odico de per´ıodo p com µ x ∈ V. Mas µ x {y} < p τ, ∀y ∈ X. De fato se y n˜ao pertence a ´orbita de x ent˜ao µ x ({y}) = 0 < τ e se y pertence

      1 a ´orbita de x temos µ x ({y}) = < τ. Temos uma contradi¸c˜ao pois supomos V ⊂ C(τ ). p C

      1 ∞

      1 Ora, ent˜ao ∪ C( ) ´e um conjunto de primeira categoria e (∪ C( )) = C r =1 r r =1 r

      1 ∩ (C( )) = M n . r =1 r

      ✷ Teorema 2.1.4. M d := {µ ∈ M f (X) : µ(A) > 0 para todo aberto A ⊂ X} ´e o comple- mentar de um conjunto de primeira categoria em M f (X).

      Prova: Seja G ⊂ X um subconjunto aberto. Defina D(G) := {µ ∈ M f (X) : µ(G) = 0}. Ent˜ao D(G) ´e fechado, pois, se (µ n ) n ´e uma sequˆencia em D(G) convergindo

      ∈N ∗

      a µ ∈ M f (X) na topologia fraca temos que µ(G) ≤ lim inf n µ n (G) = 0 ⇒ µ ∈ D(G).

      →∞

      Temos tamb´em que D(G) tem interior vazio. Caso contr´ario existiria um aberto V ⊂ D(G). Escolhamos y ∈ G e ρ > 0 tal que B ρ (y) ⊂ G. Aplicando o lema 2.1.2 para N = 1, existe um ponto peri´odico x ∈ X de per´ıodo p tal que µ x ∈ V e d(x, y) < ρ. Assim x ∈ G

      1

      e µ x (G) > µ x ({x}) = > 0. Donde µ x ∈ D(G). / p }

      Consideremos {G r r ∈N uma base de abertos enumer´avel do espa¸co m´etrico com- C

      

    ∞ ∞ ∞

    pacto X. Temos ∪ D(G ) ´e de primeira categoria e ∪ D(G ) = ∩ (D(G )) = M . r =1 r =1 r =1 r r r d

      ✷ O seguinte teorema mostra que as medidas erg´odicas para um sistema com espe- cifica¸c˜ao s˜ao abundantes.

      Teorema 2.1.5. M := {µ ∈ M (X) : µ ´e erg´odica} ´e um residual em M (X). e f f Prova: Vimos que M p ⊂ M e . Logo M e ´e denso em M f (X). Em [10, Proposi¸c˜ao

      2.5, Cap´ıtulo II] temos que M e ´e o conjunto de pontos extremais do espa¸co m´etrico compacto e convexo M f (X). Portanto M e deve ser um G δ , ou seja, interse¸c˜ao enumer´avel de abertos, como pode ser visto em [12]. Portanto M e ´e residual.

      ✷

      O pr´oximo resultado d´a destaque ao conjunto de medidas cuja entropia ´e nula. Mostraremos que se f satisfaz a especifica¸c˜ao este conjunto cont´em um residual em M f (X). Necessitaremos do seguinte lema:

      −1 Lema 2.1.6.

      Seja A 6= X um subconjunto fechado tal que f (A) ⊂ A ou f (A) ⊂ A. Ent˜ao existe um conjunto residual R em M f (X) tal que R ∩ M p ´e denso em M f (X) e µ(A) = 0, ∀µ ∈ R. n −n

      Prova: Denote por B o conjunto fechado ∩ n f (A) ou ∩ n f (A) de acordo

      ≥0 ≥0 −1

      com f (A) ⊂ A ou f (A) ⊂ A. B ´e invariante sobre f. O conjunto M B = {µ ∈ M f (X) : µ(B) = 1} ´e fechado em M f (X). De fato, se uma sequˆencia (µ n ) n em M B converge

      ∈N ∗

      fraca a µ ∈ M f (X), temos µ(B) ≥ lim sup µ n (B) = 1, logo µ(B) = 1. n

      →∞

      Para toda µ ∈ R := M e ∩ (M f (X)\M B ) temos que µ(B) < 1 e como B ´e inva-

      −1

      riante, devemos ter µ(B) = 0. Afirmamos que µ(A) = 0. De fato, se f (A) ⊂ A, temos

      

    −n −n+1 −1 −n −n

      ... ⊂ f (A) ⊂ f (A) ⊂ ... ⊂ f (A) ⊂ A. Da´ı f (A) ց B ⇒ lim n µ(f (A)) =

      →∞ −n −n+1

      µ(B). Mas como µ ´e f -invariante temos µ(f (A)) = µ(f (A)), ∀n ≥ 1. Assim

      −n

      µ(f (A)) = 0, ∀n ∈ N, em particular para n = 0. Caso f (A) ⊂ A temos ... ⊂ n n n n

      −1 −1 +1 f (A) ⊂ f (A) ⊂ ... ⊂ f (A) ⊂ A. Temos que f (A) ⊂ f (f (A)), ∀n ∈ N. n n n n

      −1 +1 +1

      Logo µ(f (A)) ≤ µ(f (f (A))) = µ(f (A)) ≤ µ(A). Novamente como f (A) ց B, n temos que µ(f A) = 0, ∀n ∈ N. Isto prova a afirma¸c˜ao. Como B ´e um conjunto fechado, X\B ´e aberto. Tome y ∈ X\B e ρ > 0 tal que

      B ρ (y) ⊂ X\B. Dada µ ∈ M f (X) e qualquer vizinhan¸ca V de µ existe um ponto peri´odico p P −1 p

      1 −1 j

      ∈ V e x ∈ B x tal que µ x ρ (y) ⊂ X\B. Assim µ x (B) = δ f (B) ≤ < 1. Logo p =0 p j (x) ∈ M ∈ R. Da´ı,R ∩ M µ x f (X)\M B e portanto µ x p e R s˜ao densos em M f (X).

      Note que R ´e interse¸c˜ao enumer´avel de abertos, pois M e ´e residual e M f (X)\M B ´e aberto. Segue que R ´e um residual em M f (X).

      ✷ Consideremos ent˜ao f : X → X uma aplica¸c˜ao uniformemente hiperb´olica, ou seja, f ´e um difeomorfismo e para todo y ∈ X temos que T y X admite uma decom- s u posi¸c˜ao T y X = E ⊕ E Df -invariante tal que existem λ ∈ (0, 1) e c > 0 que satisfazem n n n s u −n kDf (y)| E k ≤ cλ e kDf (y)| E k ≤ cλ , para todo n ≥ 1. Para aplica¸c˜oes deste tipo que satisfazem a propriedade de especifica¸c˜ao temos teorema seguinte: Teorema 2.1.7. M z := {µ ∈ M f (X) : h µ (f ) = 0} cont´em um conjunto residual em M f (X).

      Prova: Bowen mostrou em [2] que existe uma parti¸c˜ao de Markov para (X, f ),

      C }, satisfazendo:

      := {E , ..., E r

      1

      r

      1. ∪ E k = X k =1 ∩ E ⊂ ∂E ∩ ∂E

      2. E k l k l , ∀k 6= l

    • ∞ −i 3. Para cada bisequˆencia (E k ) i de elementos de C, # ∩ f (E k ) ≥ 1. i i =−∞ i

      ∈N s

      4. Para cada k, ∂E k pode ser escrita como uni˜ao de dois conjuntos fechados ∂ E k e u s r s u r u s s C C C C

      ∂ E k tal que, com ∂ := ∪ ∂ E k e ∂ := ∪ ∂ E k temos f (∂ ) ⊂ ∂ e k k u u =1 =1 −1 C C f (∂ ) ⊂ ∂ s u

      C C Pelo lema , existe um residual R em M f (X) tal que µ(∂ ) = µ(∂ ) = 0, ∀µ ∈ R e tal que R ∩ M p ´e denso em M f (X). Para obtermos o resultado ´e suficiente mostrar que M z ∩ R ´e um G δ denso em R, ou seja interse¸c˜ao enumer´avel de abertos densa em R.

      De fato, que M z ∩ R ´e denso em R segue imediatamente do fato que M p ⊂ M z ∩ R ´e denso em R. Para vermos que M ∩ R ´e G e M p z δ em R, observe que para cada r

      µ ∈ R, C ´e uma parti¸c˜ao µ-mensur´avel no sentido que µ(∪ E k ) = 1 e para todo k

    s u

    =1 C C k 6= l, µ(E k ∩ E l ) ≤ µ(∂E k ∩ ∂E l ) ≤ µ(∂ ∪ ∂ ) = 0. Al´em disso, pela propriedade 3,

      C ´e um gerador com respeito a f. Pelo teorema de Kolmogorov-Sinai, uma medida µ ∈ R pertence a M z se, e somente se H µ (f, C) = 0, i.e. se, e somente se: n

      _

      1

      −i n lim H µ ( f (C)) = 0.

      →∞

      2n + 1 i =−n Como o limite acima sempre existe, podemos substituir lim por lim inf nesta equa¸c˜ao. Logo: n

      _

      1

      −i

      M z ∩ R = {µ ∈ R : lim inf H µ ( f (C)) = 0} n

      →∞

      2n + 1 i =−n n _

      1

      1

      ∞ −i

      = ∩ {µ ∈ R : lim inf H µ ( f (C)) < } r

      =1 n →∞

      2n + 1 r i

      =−n

      ( ) n _

      1

      1

      ∞ ∞ ∞ −i

      ∩ ∪ = ∩ µ ∈ R : H µ ( f (C)) < . (2.1.11) r m n

      =1 =1 =m

      2n + 1 r i =−n n W

      −i

      Portanto ´e suficiente mostrarmos que H ǫ := {µ ∈ R : H µ ( f (C)) ≥ ǫ} w i =−n → µ com µ ∈ H

      ´e fechado em R, ∀ǫ > 0. Seja ent˜ao µ m m ǫ , ∀m ∈ N e µ ∈ R. Assim n W

      −i

      H µ ( f (C)) ≥ ǫ, ∀m ∈ N, ou seja, m i

      =−n

      X n n

      −i −i − µ m (∩ f (E k )) log µ m (∩ f (E k )) ≥ ǫ. i i k ...k −n n =−n i =−n i n −i

      Como µ ∈ R, os conjuntos da forma ∩ f E k s˜ao µ-cont´ınuos j´a que as i i w =−n medidas µ de seus bordos s˜ao zero. Como µ m → µ, segue que n n

      −i −i

      lim µ m (∩ f E k ) = µ(∩ f E k ) i i n =−n i =−n i e portanto

      X n n

      −i −i

      − µ(∩ f (E k )) log µ(∩ f (E k )) ≥ ǫ, i i k ...k −n n =−n i =−n i ou seja, n

      _

      

    −i

    H µ ( f (C)) ≥ ǫ. i =−n C ∞ ∞ ∞ 1

      ∩R = ∩ ∩ ∪ Portanto µ ∈ H ǫ e H ǫ ´e fechado em R. Mas ent˜ao M z (H ) r m n

      =1 =1 =m r ´e um G δ em R. Logo M z ∩ R ´e um residual em R e portanto em M f (X).

      ✷ Cap´ıtulo 3 Press˜ ao Topol´ ogica para o Conjunto Irregular Apresentaremos neste cap´ıtulo os resultados de [19].

      Defini¸ c˜ ao 3.0.8.

      Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, f : X → X uma aplica¸c˜ao cont´ınua e ϕ : X → R um potencial tamb´em cont´ınuo. Definimos o conjunto irregular para ϕ com respeito a f como o conjunto:

      1 ˆ

      X f,ϕ := x ∈ X : lim S n ϕ(x) n˜ao existe n →∞ n Temos pelo Teorema Erg´odico de Birkhoff (Teorema 1.3.1) que o conjunto irregu- lar de um potencial ϕ ∈ C(X) tem medida nula para qualquer probabilidade invariante.

      Contudo o que veremos a seguir ´e que este conjunto, quando diferente do vazio, tem press˜ao topol´ogica total. Para isto devemos utilizar uma generaliza¸c˜ao do conceito de press˜ao topol´ogica visto na defini¸c˜ao 1.4.9, uma vez que esta defini¸c˜ao aplica-se apenas quando tratamos com conjuntos compactos e invariantes pela dinˆamica. A no¸c˜ao de press˜ao topol´ogica que apresentaremos a seguir ´e uma caracter´ıstica dimensional devida a Pesin e Pitskel.

      Seja Z ⊂ X um conjunto mensur´avel arbitr´ario e ψ : X → R cont´ınua. Considere Γ := {B(x i , n i , ǫ)} i uma cole¸c˜ao enumer´avel de bolas dinˆamicas em X. Para α ∈ R defina:

      !

      X Q(Z, α, Γ, ψ) := exp −αn + i sup S n ψ(x) x ,n ,ǫ i B ,n ,ǫ ∈B(x ) i i ǫ (x )∈Γ i i Tome Γ := {{B(x i , n i , ǫ)} i : x i ∈ X, n i ≥ N, I enumer´avel, ∪ i B(x i , n i , ǫ) ⊃ Z} e N ∈I ∈I defina: ǫ M(Z, α, ǫ, N, ψ) := inf{Q(Z, α, Γ, ǫ); Γ ∈ Γ }. N Observe que se N

      1

      →∞

      X B i

      ∈Γ

      exp[N(β − α)] exp −n i β + sup x

      ∈B i

      S n i ψ(x) = exp[N(β − α)]

      X B i

      ∈Γ

      exp −n i β + sup x

      ∈B i

      S n i ψ(x) = exp[N(β − α)]Q(Z, β, Γ, ψ).

      Como Γ foi tomado arbitr´ario temos M(Z, α, Γ, N, ψ) ≥ exp[N(β − α)]M(Z, β, Γ, N, ψ). E tal desigualdade vale para todo N ∈ N pois a escolha deste tamb´em foi arbitr´aria. Portanto, fazendo N → ∞, como m(Z, β, ǫ, ψ) < ∞ e lim N

      exp[N(β − α)] = ∞ temos que m(Z, α, ǫ, ψ) = ∞, o que conclui a prova de (a). Por outro lado se α > β ent˜ao, usando a express˜ao (3.0.1), temos:

      ∈B i

      Q(Z, α, Γ, ψ) =

      X B i ∈Γ exp[−n i (α − β)] exp −n i β + sup x ∈B i

      S n i ψ(x) ≤

      X B i

      ∈Γ

      exp[−N(α − β)] exp −n i β + sup x

      ∈B i

      S n i ψ(x) = exp[−N(α − β)]

      X B i

      ∈Γ

      exp −n i β + sup x

      ∈B i

      S n i ψ(x) ≥

      exp[−n i (α − β)] exp −n i β + sup x

      < N

      X B i

      2

      ent˜ao Γ ∈ Γ ǫ N 2 ⇒ Γ ∈ Γ ǫ N 1 . Logo Γ ǫ N 2 ⊂ Γ ǫ N 1 e te- mos M(Z, α, ǫ, N

      1

      , ψ) ≤ M(Z, α, ǫ, N

      2

      , ψ). Conclu´ımos ent˜ao que M(Z, α, ǫ, N, ψ) ´e n˜ao- decrescente em N, e existe o limite (podendo ser infinito): m(Z, α, ǫ, ψ) = lim N

      

    →∞

    M(Z, α, ǫ, N, ψ).

      Lema 3.0.9.

      Se existir β ∈ R tal que m(Z, β, ǫ, ψ) < ∞ ent˜ao: (a) Para todo α < β temos m(Z, α, ǫ, ψ) = ∞.

      (b) Para todo α > β temos m(Z, α, ǫ, ψ) = 0.

      Prova: Fixe N ∈ N e ǫ > 0. Tome Γ ∈ Γ ǫ N e α ∈ R com α 6= β temos:

      Q(Z, α, Γ, ψ) =

      ∈Γ

      ∈Γ

      exp −n i α + sup x

      ∈B i

      S n i ψ(x) =

      X B i

      ∈Γ

      exp −n i (α − β + β) + sup x ∈B i

      S n i ψ(x) =

      X B i

      ∈Γ

      exp[−n i (α − β)] exp −n i β + sup x ∈B i S n i ψ(x) . (3.0.1) Assim sendo, se α < β ent˜ao:

      Q(Z, α, Γ, ψ) =

      X B i

      S n i ψ(x) = exp[−N(α − β)]Q(Z, β, Γ, ψ). Ent˜ao, aplicando racioc´ınio an´alogo ao anterior teremos que m(Z, α, ǫ, ψ) = 0, o que finaliza a prova do lema.

      ✷ O lema anterior nos permite definir P Z (ψ, ǫ) := inf{α : m(Z, α, ǫ, ψ) = 0} = sup{α : m(Z, α, ǫ, ψ) = ∞}.

      Defini¸ c˜ ao 3.0.10. Definimos a press˜ao topol´ogica de ψ em Z ⊂ X por: P Z (ψ) := lim P Z (ψ, ǫ). ǫ

      

    →0

    O limite da defini¸c˜ao acima existe como pode ser visto em [14, Teorema 11.1].

      Neste cap´ıtulo tamb´em utilizaremos uma vers˜ao mais fraca da defini¸c˜ao para es- pecifica¸c˜ao, retirando a hip´otese do ponto que aproxima as ´orbitas ser peri´odico e exigindo apenas que os pontos especificados perten¸cam a um subconjunto invariante do espa¸co. Defini¸ c˜ ao 3.0.11. Uma aplica¸c˜ao cont´ınua f : X → X satisfaz a propriedade de especi-

      ′

      fica¸c˜ao em X ⊆ X, f −invariante, se ∀ǫ > 0, existe um inteiro m(ǫ) tal que para qualquer − b ≥ m(ǫ) para cole¸c˜ao {I j = [a j , b j ] ⊂ N : j = 1, .., k} de intervalos finitos com a j +1 j

      ′

      j = 1, ..., k − 1 e quaisquer x , ..., x k ∈ X existe x ∈ X tal que: p p

      1

    • a j d(f (x), f (x j )) < ǫ para todo p = 0, ..., b j − a j e todo j = 1, ..., k.

      Defini¸ c˜ ao 3.0.12. Sejam φ , φ ∈ C(X). Dizemos que φ ´e cohom´ologa a φ se elas

      1

      2

      1

      2

      diferem por um cobordo, i.e., existe h ∈ C(X) tal que φ − φ = h − h ◦ f

      1

      2 A no¸c˜ao de cohomologia ´e mais geral e abrange cobordos descont´ınuos, mas, em

      nosso caso, a continuidade se faz necess´aria. Observe que se φ e φ s˜ao cohom´ologas,

      1

      2

      ent˜ao as m´edias de Birkhoff coincidem para as duas fun¸c˜oes. De fato, n n

      −1 −1

      X X

      1 j j j j

      1 φ (f (x)) = φ (f (x) + h(f (x)) + h ◦ f (f (x)))

      1

      2

      n n j j

      =0 =0 n −1

      X

      1 j n

      1 = φ

      2 (f (x)) + (h(x) + h(f (x)))

      n n j =0 Fazendo n → ∞, como h ´e cont´ınua em X, compacto, temos que ela ´e limi-

      1 tada, logo a segunda parcela da ´ ultima express˜ao vai `a zero. Logo lim n S n φ (x) =

      →∞

      1

      n

      1 lim n S n φ (x).

      →∞

      2

      n Para uma constante c ∈ R, denotemos por Cob(X, f, c) o espa¸co das fun¸c˜oes cohom´ologas a φ ≡ c e Cob(X, f, c) o fecho na norma do sup. Note que se ϕ ∈ Cob(X, f, c) ent˜ao ˆ X f,ϕ = ∅. O seguinte lema, mostrar´a que tais condi¸c˜oes s˜ao equivalentes. Lema 3.0.13. Quando f satisfaz especifica¸c˜ao, s˜ao equivalentes: (a) ϕ / ∈ ∪ c Cob(X, f, c).

      ∈R

      1 (b) S n ϕ n˜ao converge uniformemente a uma constante. n

      R R (c) inf{ ϕdµ; µ ∈ M f (X)} < sup{ ϕdµ; µ ∈ M f (X)}. R R e e (d) inf{ ϕdµ; µ ∈ M (X)} < sup{ ϕdµ; µ ∈ M (X)}. f f

      (e) ˆ X f,ϕ 6= ∅.

      Prova: (a) ⇒ (b)

      1 Suponha por absurdo que exista c ∈ R tal que S n ϕ convirja uniformemente para c. Tome n n

      P −1

      1 i −1

      h n (x) := (n − i)ϕ ◦ f (x). Observe que como ϕ ∈ C(X) temos que h n ∈ C(X). n i =1 Note que

      " # n −1 n −1

      X X

      1 i −1 i h n − h n ◦ f = (n − i)ϕ ◦ f − (n − i)ϕ ◦ f n i i

      =1 =1

      " n n #

      −1

      X X

      1 i i

      −1 −1

      − = (n − i)ϕ ◦ f (n − i + 1)ϕ ◦ f n i =1 i =2

      " n #

      −1

      X

      1 i n

      −1 −1

      = (n − 1)ϕ + [(n − i) − (n − i + 1)] ϕ ◦ f − ϕ ◦ f n i

      =2 n ! −1

      X

      1 i −1 n −1

      1 = ϕ − ϕ − ϕ ◦ f − ϕ ◦ f = ϕ − S n ϕ n i n

      =2

      1

      1 Segue ent˜ao que, como S n ϕ converge uniformemente a c, ϕ = lim n S n ϕ + n →∞ n − h ◦ f = lim − h ◦ f portanto ϕ ∈ Cob(X, f, c).

      h n n n c + h n n

      →∞

      (b) ⇒ (c)

    1 Se S n ϕ n˜ao converge uniformemente para uma constante, em particular, dada uma

      n R

      1

      medida invariante µ, S n ϕ n˜ao converge uniformemente a ϕdµ. Ent˜ao existe ǫ > 0 tal n R

      1 que para todo k ≥ 1 existe n k ≥ k e x k ∈ X tal que | S n ϕ(x k ) − ϕdµ| ≥ ǫ. n n k k

      P −1

      1 k j

      Consideremos ν k := δ f . Como M(X) ´e compacto, temos, que existe n =0 k k j (x ) um ponto de acumula¸c˜ao de (ν k ) k . Passando a subsequˆencia se necess´ario, consideremos

      ∈N ν := lim k ν k . →∞ Temos que ν ´e f -invariante, de fato: n n k k −1 −1

      X X

      1 j j

      1 f ν − ν = lim f δ f − lim δ f

      

    ∗ ∗ (x ) (x )

    k k k k

    →∞ →∞

      n k n k j j n n =0 =0 k k −1 −1

      X X

      1 j +1 j

      1 = lim δ − lim δ k k f (x ) f (x ) k k

      

    →∞ →∞

      n k n k j j

    n n

    =0 =0 k k −1 −1

      1 = lim δ − δ f f k (x ) (x ) k k →∞ j =0 j =0 n k

      X X j +1 j

      1 = lim (δ f nk − δ x ) = 0 k (x ) k k →∞ n k

      R Logo f ν = ν, ou seja, ν ´e f -invariante. Vimos que lim k ν k = ν ⇔ ϕdν =

      ∗ →∞

      R R R R

      1

      1

      lim k ϕdν k = lim k S n ϕ(x k ). Assim | ϕdµ − ϕdν| ≥ | ϕdµ − S n ϕ(x k )| −

      →∞ →∞ n k k n k k

      R ǫ R ǫ

      1

      1

      | S n ϕ(x k ) − ϕdν| ≥ , tomando k tal que | S n ϕ(x k ) − ϕdν| < . Portanto n k n k k

      2 k

      2 R R

      inf{ ϕdµ; µ ∈ M f (X)} < sup{ ϕdµ; µ ∈ M f (X)} (c) ⇒ (d)

      R R e e Suponhamos por absurdo que inf{ ϕdµ : µ ∈ M (X)} = sup{ ϕdµ : µ ∈ M (X)}. f f R e

      Ent˜ao ϕdµ = k ∈ R, ∀µ ∈ M (X). Temos pelo Teorema da Decomposi¸c˜ao Erg´odica f R R R e

      ∈ M (Teorema 1.1.10) que se ν ∈ M f (X) ent˜ao ϕdν = ϕdν x dν onde ν x (X). Logo f R R R

      R ϕdν = kdν = k. Ent˜ao temos que ϕdν = k, ∀ν ∈ M f (X) e portanto inf{ ϕdν :

      R ν ∈ M f (X)} = sup{ ϕdν : ν ∈ M f (X)}. (d) ⇒ (e)

      A prova desta implica¸c˜ao ser´a vista adiante, pois ser´a consequˆencia imediata da constru¸c˜ao realizada para a prova do teorema principal (Lema 3.0.26).

      (e) ⇒ (a) Suponha que ϕ ∈ Cob(X, f, c) para algum c ∈ R. Ent˜ao ϕ = lim ϕ n com ϕ n ∈ n →∞ Cob(X, f, c), ou seja, para cada n ∈ N existe h n ∈ C(X) tal que ϕ n = c + h n − h n ◦ f.

      1 Mas isto implica que para todo x ∈ X, lim S k ϕ n (x) = c. Pelo lema 1.3.8 temos que k →∞ k

      1

      para todo x ∈ X, existe lim S k ϕ(x). Portanto ˆ k →∞ k X f,ϕ = ∅.

      ✷ O resultado seguinte ´e ´ util para o c´alculo da press˜ao topol´ogica.

      Proposi¸ c˜ ao 3.0.14. Seja f : X → X cont´ınua. Seja Z ⊆ X um boreliano arbitr´ario. Suponha que existe uma constante s ≥ 0 tal que para ǫ suficientemente pequeno podemos encontrar uma medida de probabilidade µ ǫ satisfazendo:

      (i) µ ǫ (Z) > 0;

      (ii) µ ǫ (B(x, n, ǫ)) ≤ k(ǫ) exp(−ns + S n ψ(x)) para algum k(ǫ) > 0, n suficientemente grande e toda bola B(x, n, ǫ) tal que B(x, n, ǫ) ∩ Z 6= ∅. Ent˜ao P Z (ψ) ≥ s

      A prova desta proposi¸c˜ao ser´a consequˆencia imediata de: Proposi¸ c˜ ao 3.0.15 (Princ´ıpio da distribui¸c˜ao da press˜ao generalizado). Seja f : X → X cont´ınua. Seja Z ⊆ X um boreliano arbitr´ario. Suponha que existam ǫ > 0 e s ≥ 0 tais que podemos encontrar uma sequˆencia de medidas de probabilidades borelianas (µ k ) k ∈N satisfazendo:

      (i) se µ ´e um ponto de acumula¸c˜ao de (µ k ) k ent˜ao µ(Z) > 0

      ∈N

      (ii) lim sup µ k (B(x, n, ǫ)) ≤ K exp(−ns + S n ψ(x)) para algum K > 0, n suficiente- k

      →∞ mente grande e toda bola B(x, n, ǫ) tal que B(x, n, ǫ) ∩ Z 6= ∅.

      Ent˜ao P Z (ψ, ǫ) ≥ s Prova: Escolhamos ǫ > 0 e µ uma medida como nas hip´oteses do teorema. Seja Γ = {B(x i , n i , ǫ)} i uma cobertura para Z com n i ≥ N, para N suficientemente grande.

      Assuma que B(x i , n i , ǫ) ∩ Z 6= ∅, ∀i. Ent˜ao:

      X Q(Z, s, Γ, ψ) = exp(−sn i sup S n ψ(x)) + x ,n ,ǫ i B ,n ,ǫ ∈B(x ) i i (x i i )∈Γ

      X ≥ exp(−sn i + S n ψ(x i )) B ,n ,ǫ i

      (x )∈Γ i i

      X

      −1

      ≥ K B ,n ,ǫ lim sup µ k (B(x i , n i , ǫ)) k →∞

      (x )∈Γ i i

      X

      −1

      ≥ K B (x ,n ,ǫ )∈Γ i i µ(B(x i , n i , ǫ))

      −1

      ≥ K µ(Z) > 0

      −1

      Ent˜ao M(Z, s, ǫ, N, ψ) ≥ K µ(Z) para todo N suficientemente grande, o que

      −1

      implica que m(Z, s, ǫ, ψ) ≥ K µ(Z) > 0. Portanto, P Z (ψ, ǫ) = inf{α : m(Z, α, ǫ, ψ) = 0} ≥ s.

      ✷ Proposi¸ c˜ ao 3.0.16. Seja (X, d) espa¸co m´etrico compacto, f : X → X aplica¸c˜ao cont´ınua e µ uma medida erg´odica e invariante. Para ǫ > 0, γ ∈ (0, 1) e ϕ ∈ C(X) defina:

      ( ) µ

      X N (ϕ, γ, ǫ, n) = inf exp(S n ϕ(x)) x onde o ´ınfimo ´e tomado sobre todo subconjunto (n, ǫ)-gerador S para algum conjunto Z com µ(Z) > 1 − γ.

      Ent˜ao Z

      1 µ h ϕdµ = lim lim inf logN (ϕ, γ, ǫ, n). + µ ǫ n

      →0 →∞

      n Al´em disso, a f´ormula acima continua v´alida se substituirmos lim inf por lim sup . O resultado acima ´e uma generaliza¸c˜ao da f´ormula de Katok para a entropia m´etrica com respeito a uma dada medida µ ∈ M f (X) vista em [9] e sua demonstra¸c˜ao pode ser vista em [11]. Teorema 3.0.17.

      Seja (X, d) espa¸co m´etrico compacto, f : X → X uma aplica¸c˜ao

      ′

      ⊆ X subconjunto f -invariante. Suponha que f satisfaz a propriedade de cont´ınua e X R R

      ′ ′

      especifica¸c˜ao em X e ϕ ∈ C(X) ´e tal que inf{ ϕdµ : µ ∈ M f (X )} < sup{ ϕdµ : µ ∈ R

      ′ ′

    • M f (X )}. Fixe ψ ∈ C(X) e seja C := sup{h µ ψdµ : µ ∈ M f (X )}. Suponhamos ainda e

      ′

      P top (f, ψ) < ∞ e para todo γ > 0 existem µ , µ ∈ M (X ) que satisfa¸cam:

      

    1

    2 f

      R i + (i) h µ ψdµ i > C − γ para i = 1, 2; R R (ii) ϕdµ 6= ϕdµ .

      1

      2 ′

      Ent˜ao P (ψ) ≥ C. Se X = X ent˜ao C = P top (f, ψ) e tamb´em P (ψ) = X ˆ f,ϕ X ˆ f,ϕ P top (f, ψ)

      O teorema acima garante que se existem medidas erg´odicas com m´edias distintas R

    • e h µ ψdµ grande ent˜ao o conjunto irregular tem press˜ao total. Note que pelo lema

      R R

      ′ ′

      3.0.13 temos que a hip´otese inf{ ϕdµ : µ ∈ M f (X )} < sup{ ϕdµ : µ ∈ M f (X )} nos garante que tal conjunto ´e n˜ao vazio.

      Para a prova deste teorema construiremos um conjunto tipo Cantor, F ⊂ ˆ X f,ϕ e estimaremos sua press˜ao relativa. A constru¸c˜ao deste conjunto utilizar´a a propriedade de especifica¸c˜ao. De fato, pela existˆencia de medidas cujas integrais do potencial ϕ s˜ao distintas, poderemos construir uma fam´ılia {S k } de conjuntos tais que as sequˆencias das

      R m´edias de Birkhoff para pontos em S est˜ao suficientemente pr´oximas de ϕdµ en-

      2k−1

      1 R

      quanto que para pontos em S 2k , tais sequˆencias s˜ao suficientemente pr´oximas de ϕdµ 2 . Por especifica¸c˜ao, podemos obter pontos que sombreiam ora pontos de S 2k−1 , ora pontos de S . ´ E de se esperar que para pontos obtidos desta forma n˜ao exista o limite de Birkhoff,

      2k

      j´a que teremos um tipo de oscila¸c˜ao no valor das m´edias. Feito isso, construiremos uma sequˆencia de medidas que nos permitir´a estimar a press˜ao topol´ogica conforme o princ´ıpio generalizado de distribui¸c˜ao da press˜ao.

    3.0.1 Prova do Teorema 3.0.17

      Fixemos γ > 0 e tomemos µ

      1 e µ 2 como nas hip´oteses do teorema. Escolhamos

      R R − | > 4δ. δ > 0 suficientemente pequeno tal que | ϕdµ

      1 ϕdµ

      2 Sejam (δ k ) k uma sequˆencia estritamente decrescente com lim k δ k = 0 e δ < ∈N →∞

      1

      δ e (l k ) k uma sequˆencia estritamente crescente tais que:

      ∈N

      Z

      1

      ′

      Y k := x ∈ X : S n ϕ(x) − ϕdµ ρ < δ k , ∀ n ≥ l k

      (k)

      n satisfaz µ (Y ) > 1 − γ, onde ρ : N → {1, 2} ´e dada por ρ(k) = 1, se k ´e ´ımpar e ρ (k) k ρ(k) = 2, se k ´e par. Tal ´e poss´ıvel pelo Teorema de Birkhoff.

      Lema 3.0.18.

      Para qualquer ǫ > 0 suficientemente pequeno, podemos encontrar uma sequˆencia n k → ∞ e uma cole¸c˜ao enumer´avel de conjuntos finitos {S k } k tal que cada

      ∈N

      P S k ´e um conjunto (n k , 4ǫ) separado para Y k e M k := exp(S n ψ(x)) satisfaz M k ≥ x k

      ∈S k

      exp(n k (C − 4γ)). Al´em disso, a sequˆencia (n k ) k pode ser escolhida de modo que, para m k ǫ ǫ ∈N ≥ l ≥ 2 todo k ∈ N n k k e n k , onde m k := m( k ) ´e a constante de especifica¸c˜ao para k .

      2

      2 Prova: Pela f´ormula de Katok generalizada escolhamos ǫ tal que

      Z

      1 µ i − γ ≥ C − 2γ lim inf log N + (ψ, γ, 4ǫ, n) ≥ h µ ψdµ i n i

      →∞

      n para i = 1, 2. Para A ⊂ X sejam:

      P Q n (A, ψ, ǫ) = inf{ exp(S n ψ(x)) : S ´e (n, ǫ)-gerador para A} x

      ∈S

      P P n (A, ψ, ǫ) = sup{ exp(S n ψ(x)) : S ´e (n, ǫ)-separado para A} x

      ∈S

      Temos Q n (A, ψ, ǫ) ≤ P n (A, ψ, ǫ). De fato, podemos tomar o supremo P n (A, ψ, ǫ) sobre todo conjunto (n, ǫ)-separado maximal para A e se E ´e (n, ǫ)-separado maximal ent˜ao E ´e (n, ǫ)-gerador para A. Se n˜ao o fosse, existiria z ∈ A tal que z / ∈ B(x, n, ǫ) para todo x ∈ E. Mas ent˜ao d n (z, x) > ǫ para todo x ∈ A. Logo E ∪ {z} seria (n, ǫ)-separado o que contraria a maximalidade de E. Da´ı segue a desigualdade. µ ρ (k)

      Como µ ρ (Y k ) > 1 − γ, ent˜ao Q n (Y k , ψ, 4ǫ) ≥ N (ψ, γ, 4ǫ, n). Seja M(k, n) :=

      (k)

      P (Y , ψ, 4ǫ, ) temos: n k

      1

      1 µ ρ (k) lim inf log M(k, n) ≥ lim inf log N (ψ, γ, 4ǫ, n) ≥ C − 2γ. n n

      →∞ →∞

      n n

      1

      → ∞ com Podemos ent˜ao escolher uma sequˆencia n k log M(k, n k ) ≥ C − 3γ. n k Para cada k, seja S k uma escolha de um conjunto (n k , 4ǫ)-separado para Y k que satisfa¸ca:

      ( )

      X

      1

      1 log exp(S n ψ(x)) ≥ log M(k, n k ) − γ. n n k k x ∈S k

      1

      1

      ≥ Para concluirmos o lema, basta observarmos que log M k log M(k, n k ) − n n k k γ ≥ C − 4γ.

      ✷ Prosseguimos com a prova do teorema. Escolhamos ǫ suficientemente pequeno tal que V ar(ψ, 2ǫ) < γ e V ar(ϕ, 2ǫ) < δ e fixe os ingredientes do lema anterior. Escolhamos uma sequˆencia N k → ∞ tal que: k

      P N j (n j + m j ) n k +1 + m k +1 j =0 k k lim = 0; lim = 0.

      →∞ →∞

      N k N k

    • 1 Enumeremos S k := {x k,i ; i = 1, ..., #S k }.

      Feita uma escolha de k considere o conjunto de palavras de comprimento N k com entradas em {1, 2, ..., #S k }. Cada tal palavra ~i = (i , ..., i N ) corresponde a um ponto N k

      1 k

      (x k,i , x k,i , ..., x k,i ) ∈ S k . Usando especifica¸c˜ao, podemos escolher um ponto y := y(~i) 1 2 Nk que satisfaz: a j ǫ d n (x k,i , f (y)) < ∀ j ∈ {1, ..., N k } k j k

      2 onde a j := (j − 1)(n k + m k ). N k Definimos ent˜ao C k := {y(~i);~i ∈ {1, 2, ..., S k } } e denotamos c k := N k n k + (N k − 1)m k o tamanho da ´orbita de um ponto y ∈ C k usado para especificar pontos em S k . n −1 3n +2m N n +(N −1)m −1 k −1 k k k k 2n +m −1 k k k k

      (y) f (y) f f (y) k (y) n +m (N −1)(n +m ) k k k k k f (y) 2(n +m ) k k y ∈ C f

      (y) (y) ǫ k 2 f f

      2 x k,i 3 x k,i x k,i Nk x k,i 1 n −1 k n −1 n −1 n −1 k k k f (x k,i 1 ) f (x k,i 3 ) f (x k,i ) f (x k,i 2 ) Nk m k n k m k n k n k n k

    c k

    Figura 3.0.1: Esquema da constru¸c˜ao de C via especifica¸c˜ao. k N k

      } O seguinte lema nos mostra que palavras distintas em {1, 2, ..., S k d˜ao origem a pontos distintos em C k . N k

      Lema 3.0.19. Sejam ~i e ~j palavras distintas em {1, 2, ..., S k } . Ent˜ao d c (y(~i), y(~j)) > k 3ǫ. Em particular, temos que C k ´e um conjunto (c k , 3ǫ)-separado para S k .

      Prova: Seja ~i 6= ~j ent˜ao existe l ∈ {1, 2, ..., N k } tal que i l 6= j l . Temos ent˜ao: a ǫ a ǫ l l d n (x k,i , f (y(~i))) < , d n (x k,j , f (y(~j))) < e d n (x k,i , x k,j ) > 4ǫ. Esta ´ ultima pois k l k l k l l k k

      2

      2

      ∈ S x k,i , x k,j k que ´e, por defini¸c˜ao, um conjunto (n k , 4ǫ)-separado. l l a a l l ≤ c

      Ora, como a l + n k k , temos d c (y(~i), y(~j)) ≥ d n (f (y(~i)), f (y(~j))) e pela k k a a a l l l desigualdade triangular, d n (x k,i , x k,j ) ≤ d n (x k,i , f (y(~i))) + d n (f (y(~i)), f (y(~j))) + a l k l l k l k d n (f (y(~j)), x k,j ). k l Portanto, a a l l d c (y(~i), y(~j)) ≥ d n (f (y(~i)), f (y(~j))) k k a a l l

      ≥ d n (x k,i , x k,j ) − d n (x k,i , f (y(~i))) − d n (f (y(~j)), x k,j ) k l l k l k l ǫ ǫ > 4ǫ − − > 3ǫ. k k

      2

      2 N k ✷ Com o lema anterior temos que #C k := (#S k ) .

      At´e aqui escolhemos uma fam´ılia {S k } k em que cada S k ´e um subconjunto de Y k .

      ≥1

      Neste subconjunto destacamos pontos de Y k cujas ´orbitas de comprimento n k s˜ao distintas a menos de 4ǫ. Em seguida, usando especifica¸c˜ao, constru´ımos a partir de {S k } k uma

      ≥1

      } outra fam´ılia {C k k que aproxima o comportamento de N k trechos de ´orbita de tamanho

      ≥1

      n k de pontos em S k . Por hip´otese temos que para cada k as m´edias de Birkhoff para R tempos suficientemente grandes se aproximam de ϕdµ ρ . Ent˜ao, n˜ao ´e de se esperar

      (k)

      que os pontos constru´ıdos at´e ent˜ao consistam de pontos irregulares, pois as fam´ılias {S k } k e {C k } k correspondem, a grosso modo, de pontos cujas ´orbitas aproximam as

      ≥1 ≥1

      ´orbitas em Y k e estes tem suas m´edias aproximando-se de um determinado valor fixado para cada k. Mas, como este valor fixado ´e diferente para cada k, gostar´ıamos de realizar uma mistura entre esses comportamentos, ou seja, gostar´ıamos encontrar pontos cujas ´orbitas ora aproximassem ´orbitas em C ora em C . A propriedade de especifica¸c˜ao

      2k 2k+1 nos permitir´a fazer isto como veremos adiante.

      Vamos construir agora uma terceira fam´ılia T k por indu¸c˜ao. Definamos T

      1 = C 1 .

      Suponhamos que tenhamos definido T k . Seja x ∈ T k e y ∈ C k . Tome t := c e t k :=

    • 1

      1 1 +1

      t k + m k + c k . Por especifica¸c˜ao, obtemos um ponto z := z(x, y) tal que:

    • 1 +1

      ǫ ǫ t k k +1 +m d t (z, x) < , d c (f (z), y) < . k k +1 k k

    • 1 +1

      2

      2 }. Desta forma, cada T

      Definimos ent˜ao T k +1 := {z(x, y); x ∈ T k , y ∈ C k +1 k +1 corresponde a uma mistura entre T k e C k . Por sua vez, T k mistura T k e C k . Prosseguindo

    • 1 −1

      assim, temos que T k consiste de pontos cuja ´orbita aproxima trechos de ´orbita em

    • 1 C , C , ...., C k , nesta ordem.

      1 2 +1

    • 1
    • 1
    • 1

    • m k +1
    • m k +1
    • m k +1
    • m k +1
    • 1
    • 1 .
    • ǫ

      2 = 2ǫ T k ´e (t k , 2ǫ)-separado.

      ǫ

      2 −

      ≥ 3ǫ − ǫ

      2 ))

      (z

      2 , f t k

      1 )) − d c k +1

      (y

      (z

      

    1 , f

    t k

      (y

      1 , y 2 ) − d c k +1

      ≥ d c k +1 (y

      2 ))

      (z

      Que B t k (z, ǫ

      (z

      2 k ) ∩ B t k

      2 k−1 ).

      2 k−1

      ≤ ǫ

      2 k

      2 k +1

      ). Ent˜ao d t k (w, x) ≤ d t k +1 (w, z) + d t k (z, x) ≤ ǫ

      2 k

      Prova: Seja w ∈ B t k +1 (z, ǫ

      (x, ǫ

      ′

      2 k ) ⊂ B t k

      Se z ∈ T k +1 descende de x ∈ T k ent˜ao B t k +1 (z, ǫ

      Lema 3.0.21.

      descende de x ∈ T k se z = z(x, y) para algum y ∈ C k

      ✷ Diremos que z ∈ T k

      2 k ) = ∅ segue imediatamente do acima mostrado.

      , ǫ

      1 ), f t

    k

      (z

      (f t k

      ), z(x, y

      ), z(x, y

      1

      e d t k +1 (z(x, y

      2 k

      )) < ǫ

      2

      1

      )) > 2ǫ. Assim T k ´e um conjunto (t k , 2ǫ)-separado. Em particular se z, z

      temos d t k (z(x, y

      ∈ C k

      2

      6= y

      1

      Lema 3.0.20. Para todo x ∈ T k e y

      z 1 ∈ T 1 = C 1 y 2 ∈ C 2 z 2 ∈ T 2 y 3 ∈ C 3 z 3 ∈ T 3 y 4 ∈ C 4 z ∈ T 4 t 4 t 3 c 4 m 4 t 2 m 3 c 3 t 1 m 2 c 2 ǫ 2 2 ǫ 2 3 ǫ 2 4 Figura 3.0.2: Esquema de especifica¸c˜ao para pontos em T k com k = 1, 2, 3, 4.

      2

      ′

      1 , z 2 ) ≥ d c k +1

      1

      donde segue a primeira desigualdade. Temos tamb´em: d t k +1 (z

      2 k

      ) < ǫ

      2

      e d t k (x, z

      2 k

      ) < ǫ

      d t k (x, z

      ∈ T k ent˜ao B t k (z, ǫ

      1 := z(x, y 1 ) e z

    2 := z(x, y

    2 ). Por constru¸c˜ao temos que

      Prova: Sejam z

      2 k ) = ∅.

      , ǫ

      ′

      (z

      2 k ) ∩ B t k

      ✷

      Observe que dado z ∈ T k podemos represent´a-lo por uma palavra finita (~p , ..., ~p k ) i i i

      1

      onde ~p i = (p , p , ..., p ) representa um ponto em C i . Escrevemos z = z(x, y) onde N

      1

      2 i

      x ∈ T k e y ∈ C k . Temos pelo lema 3.0.20 que y ´e unicamente determinado. Deno-

      −1 temos ent˜ao ~p k := y. Tamb´em x ∈ T k −1 ´e unicamente determinado, denotemos z k −1 := x.

      Repetindo o racioc´ınio para z k temos que existem z k ∈ T k e ~p k ∈ C k unica-

      −1 −2 −2 −1 −1

      mente determinados. E ent˜ao escrevemos z = z(z k , ~p k , ~p k ). Prosseguindo com este

      −2 −1

      racioc´ınio, poderemos representar z de maneira ´ unica por z = z(~p , ~p , ..., ~p k ), ou sim-

      1

      2

      plesmente (~p

      1 , ~p 2 , ..., ~p k ). Associamos ainda para cada k ∈ N proje¸c˜oes sobre T i para todo k k

      i ∈ {1, ..., k−1}, π : T k → T i dada por π (z) = z i e tal proje¸c˜ao ´e bem definida. Note que, i i se z ∈ T k ´e dado por (~p , ~p , ..., ~p k ) ent˜ao z i ser´a dado por (~p , ~p , ..., ~p i ), ∀i ∈ {1, ..., k − 1}.

      1

      2

      1

      2 Lema 3.0.22.

      Dado z ∈ T k temos que d t (z, z i ) < ǫ para todo i ∈ {1, ..., k − 1}. i ǫ Prova:

      Por constru¸c˜ao temos que d t (z, z k ) < < ǫ. Mas, tamb´em por k−1 −1 k ǫ ǫ ǫ

      2

      constru¸c˜ao d k−2 k−2 + t (z k −2 , z k −1 ) < k−1 , donde d t (z, z k −2 ) < k k−1 < ǫ. Ent˜ao temos que ǫ ǫ ǫ

      2

      2

      2 i k k−1 i +1 + d t (z, z i ) < + ... + < ǫ, ∀i ∈ {1, ..., k − 1}. Isto prova o lema.

      2

      2

      2 ǫ

      ✷ Seja F k := ∪ z B t (z, ). Pelo lema 3.0.21 temos F k ⊂ F k . De fato, dado

      

    ∈T k +1

    k k 2 −1 ǫ ǫ x ∈ T k , x descende de algum y ∈ T k por defini¸c˜ao, logo B t (x, ) ⊂ B t (y, ).

    • 1
    • k +1 k k k−1

        2

        2 F

        Definindo F := ∩ k k temos que este pode se escrever como uni˜ao das in-

        ≥1

        terse¸c˜oes de sequˆencias decrescentes de compactos conexos (componentes conexas das bolas dinˆamicas acima) n˜ao vazios cujo diˆametro converge a zero. Temos que cada uma dessas interse¸c˜oes ´e n˜ao vazia, logo F tamb´em ´e n˜ao vazio. Al´em disso todo ponto p ∈ F pode ser unicamente representado por uma sequˆencia ~p := (~p , ~p , ...) onde cada k k k N k

        1

        2

        } ~p k = (p , p , ..., p ) ∈ {1, 2, ..., #S k . N

        1

        2 k

        O seguinte lema mostra que, como em cada passo da constru¸c˜ao acima conside- ǫ ramos a especifica¸c˜ao com erro , cada ponto em T k continua 2ǫ pr´oximo dos pontos k

        2

        iniciais em S k . Isto garante que as m´edias de Birkhoff permanecem pr´oximas para os tempos adequados. Lema 3.0.23. Dado z := z(~p , ..., ~p k ) ∈ T k temos ∀ i ∈ {1, ..., k} e ∀ l ∈ {1, ..., N i } :

        1 t i

      i−1 i i i

      +m +(l−1)(m +n )

        d n (x , f (z)) < 2ǫ i i,p l onde t := −m .

        1 Prova: }. Denotemos a := t

        Fixe i ∈ {1, ..., k} e l ∈ {1, ..., N i i −1 + m i , b := (l − 1)(m i + n i ) e z j := z(~p , ..., ~p j ). Ent˜ao: i i a +b b b a +b a +b a +b

        1

        d n (x , f (z)) ≤ d n (x , f (y(~p i ))) + d n (f (y(~p i )), f (z i )) + d n (f (z i ), f (z)) i i i i i,p i,p

        Da constru¸c˜ao de C i temos: i b ǫ d n (x , f (y(~p i ))) < (3.0.2) i i,p l i

        2 Como n i + b ≤ c i , usando a constru¸c˜ao de T i temos: b a a a ǫ

      • b

        d n (f (y(~p i )), f (z i )) ≤ d n (y(~p i ), f (z i )) ≤ d c (y(~p i ), f (z i )) < (3.0.3) i i i +b i

        2 Como n i + a + b = n i + t i + m i + (l − 1)(m i + n i ) ≤ t i + m i + c i = t i e t i < t j , ∀j > i.

        −1 −1

        Temos: a +b a +b d n (f (z i ), f (z)) ≤ d n (z i , z) ≤ d t (z i , z) i i i +a+b ≤ d t (z i , z i ) + d t (z i , z i ) + ... + d t (z k , z k ) i i i +1 +1 +2 −1

        ≤ d t (z i , z i ) + d t (z i , z i ) + ... + d t (z k , z k ) i i k−1 +1 +1 +1 +2 −1 ǫ ǫ ǫ i +1 i +2 k + < + ... + (3.0.4)

        2

        2

        2 Juntando (3.0.2),(3.0.3) e (3.0.4) temos a desigualdade enunciada. i i i N i ✷ }

        Dado ~p i = (p , p , ..., p ) ∈ {1, ..., #S i , lembremos que ~p i representa de ma- N

        1 i i i

        2 i

      N

      k

        neira ´ unica o ponto (x i,p , x i,p , ..., x i,p ) ∈ S . Definimos: 1 2 Ni N i i Y i

        L(~p i ) := exp S n ψ(x i,p ) l i l

        =1

        Ent˜ao dado z ∈ T k , digamos z = z(~p , ~p , ..., ~p k ) colocamos: k k j

        1

        2 N

        Y Y Y j L(z) := L(~p ) = exp S ψ(x ) . j =1 j =1 l j n j j,p l

        =1

        Constru´ımos ent˜ao uma medida atˆomica centrada em T k como segue:

        X ν k := δ z L(z) z

        

      ∈T

      k

        Denotemos por µ k a probabilidade obtida a partir da normaliza¸c˜ao de ν k , ou seja,

        1 µ k := ν k

        ω k P L(z). onde ω k := z

        ∈T k N

        Q N k j Lema 3.0.24. ω k = M j j

        =1

        ϕdµ ρ (j) . Os elementos de F , por constru¸c˜ao, pertencem a bolas dinˆamicas com centros em T k para todo k ≥ 1 com diˆametro suficientemente pequeno. Ent˜ao as ´orbitas dos elementos de F s˜ao aproxima¸c˜oes de trechos de ´orbitas em

        )L(~p

        1 ω k

        M N j j ✷ Lema 3.0.25. Suponha µ um ponto de acumula¸c˜ao da sequˆencia das probabilidades µ k =

        =1

        Y j

        )...L(~p k ) = N k

        2

        1

        ≥1 F k .

        L(~p

        ∈{1,...,#S k } Nk1

        X ~ p k

        N2 ...

        X ~ p 2 ∈{1,...,#S 2 }

        N1

        ν k . Ent˜ao µ(F ) = 1, onde F = T k

        Prova: Suponha µ = lim r

        X z ∈T k L(z) =

        ⊂ F l . Como cada F l ´e fechado temos que µ(F l ) ≥ lim sup r →∞ µ k r (F l ) = 1, ∀l ∈ N. Como F = ∩ l F l , segue que µ(F ) = 1.

        , ..., C k nesta ordem, e em cada C j temos que as m´edias de Birkhoff est˜ao pr´oximas de R

        2

        , C

        1

        ´orbitas aproximam pontos de C

        ✷ Como mencionamos anteriormente, para cada k, T k consiste de pontos cujas

        e F l

        →∞

        ) = 1 pela defini¸c˜ao de µ l

        (F l

        (F l ) = 1 pois µ l

        . Note que para todo l fixado e todo p ≥ 0 temos µ l

        ∈N

        µ k r para alguma subsequˆencia (k r ) r

        X ~ p 1 ∈{1,...,#S 1 }

        ω k =

        Prova:

        exp(S n i ψ(x i,p i l )) =

        =1

        X p i 1

        #S i

        exp(S n i ψ(x i,p i 1 )) exp(S n i ψ(x i,p i 2 ))... exp(S n i ψ(x i,p i Ni )) =

        ∈{1,...,#S i } Ni

        X ~ p i

        =1

        #S i

        Y l

        ∈{1,...,#S i } Ni N i

        X ~ p i

        L(~p i ) =

        ∈{1,...,#S i } Ni

        X ~ p i

        exp(S n i ψ(x i,p i 1 ))

        X p i 2

        = M N i i Ent˜ao

        exp(S n i ψ(x))

        exp(S n i ψ(x)) | {z } N i vezes

        ∈S i

        X x

        exp(S n i ψ(x))...

        

      ∈S

      i

        X x

        ∈S i

        =1

        X x

        exp(S n i ψ(x i,p i Ni )) =

        =1

        X p i Ni

        #S i

        ·

        exp(S n i ψ(x i,p i 2 )) · ...

      • p
      • p
      • p
      • p
      • p

        C , C , .... Assim sendo, o lema seguinte, nos permitir´a concluir que este comportamento

        1

        2

        dos pontos de F faz com que eles sejam irregulares, ou seja, suas m´edias de Birkhoff n˜ao convirjam. Em linhas gerais, em virtude das escolhas de n k e N k , temos que na transi¸c˜ao de C k para C k +1 o tempo de especifica¸c˜ao no seguinte ´e muito maior do que o anterior. Assim, a m´edia de Birkhoff do ponto que especifica C , C , ..., C k tende a ser pr´oxima da

        1

        2 R

        m´edia de pontos em C k , ou seja de ϕdµ ρ . Ilustramos esse comportamento na figura

        

      (k)

      abaixo. S ϕ (x) n R ϕdµ 2 δ R ϕdµ 1 δ c c 1 c 2 3 c c 4 5 n

        Figura 3.0.3: Gr´afico S n ψ(x) ×n para x ∈ F , representado de forma cont´ınua pelo car´ater ilustrativo.

        P t

        −1 i 1 k

        Lema 3.0.26. Para todo p ∈ F a sequˆencia ϕ(f (p)) n˜ao converge. t =0 k i Prova: Seja p ∈ F. Vimos que podemos escrever p := ~p = (~p , ~p , ...). Considere

        1

        2 R

        1

        y k := y(~p k ) e z k := z k (~p). Afirmamos que lim S c ϕ(y k ) − ϕdµ ρ k ) k

      k →∞

      c k = 0, onde (c k (k) ∈N corresponde ao tamanho da ´orbita de um ponto em C k utilizado para especificar sequˆencias de N k pontos em S k . Mais precisamente c k := N k n k + (N k − 1)m k . Em outras palavras, ao

        R longo da sequˆencia (c k ) k temos que as m´edias de Birkhoff est˜ao pr´oximas ora de ϕdµ

        ≥1

        1 R

        ora de ϕdµ . De fato, denote a j := (j − 1)(n k + m k ), temos ent˜ao que:

        2 N k

        Z Z

        X a j N N N S ϕ(y ) − c ϕdµ ≤ S ϕ(f (y )) − c ϕdµ + m (N − 1)kϕk k k k Z c k k ρ (k) n k k ρ (k) k k k k j =1

        X a j

        X X ≤ S n ϕ(f (y k )) − S + n ϕ(x k,i ) S n ϕ(x k,i ) − c k ϕdµ ρ +m k (N k −1)kϕk j j j k k j k j (k) =1 =1 =1 N N k k Z

        X a j

        X ≤ n k )) − S n ϕ(x k,i ) n ϕ(x k,i ) − n k ϕdµ ρ S ϕ(f (y S + j j k k j k j (k) =1 =1

      • m k (N k
      • m k (N k − 1) c k

        (z k ), y k ) < ǫ

        −c k

        1 c k S c k ϕ(f t k

        Temos ent˜ao:

        −2 .

        2 k

        ǫ

        2 k

        −1

        2 k

        −c k

        ϕdµ ρ

        (z k )) + d c k (f t k

        −c k

        (p), f t k

        −c k

        (p), y k ) ≤ d c k (f t k

        −c k

        ent˜ao d c k (f t k

        2 k−1

        Pela defini¸c˜ao de F temos que d t k (p, z k ) < ǫ

        (p)) − Z

        (k)

        (k)

        S c k ϕ(y k ) − Z

        temos que lim k →∞ c k t k = 1. Logo para γ arbitrariamente pequeno e k suficientemente grande, temos c k t k − 1

        ≥1

        e (N k ) k

        ≥1

        , (m k ) k

        ≥1

        Da afirma¸c˜ao temos que o termo da direita tende a zero quanto k → ∞. Da forma como escolhemos as sequˆencias (n k ) k

        (k) .

        ϕdµ ρ

        2 k −2

        ≤

        ǫ

        ≤ V ar ϕ,

        (k)

        ϕdµ ρ

        S c k ϕ(y k ) − Z

        1 c k S c k ϕ(y k )

        (p)) −

        −c k

        1 c k S c k ϕ(f t k

        | {z } limitado e portanto provamos a afirma¸c˜ao.

        ϕdµ ρ

        < γ. Ent˜ ao:

        n k N k c k = lim k

        −1 N k m k

        ≤ N k

        (N k −1)m k N k n k

        = 1 pois

        (N k −1) n k N k

        1 1 + m k

        →∞

        n k N k n k N k + (N k − 1)m k = lim k

        →∞

        →∞

        e lim k

        < δ k . Observe que lim k

        (k)

        ϕdµ ρ

        S n k ϕ(x k,i j ) − R

        1 n k

        por hip´otese e que x k,i j ∈ S k donde

        2 k

        ϕdµ ρ (k) A ´ ultima desigualdade segue do fato que d n k (f a j (y k ), x k,i j ) < ǫ

        − 1) kϕk + Z

        2 mk

        →∞ N k −1 N k m k

        kϕk + Z

        V ar(ϕ, ǫ

        →∞

        quando k

        

      →0

        | {z }

        →∞

        quando k

        →0

        | {z }

        2 k ) + δ k i

        | {z } limitado h

        2 mk

        ≤ n k N k c k

        (k)

        Z ϕdµ ρ

        1 c k S c k ϕ(y k ) −

        Assim

        (N k −1) = 0.

        1 1 + n k N k m k

        = lim k →∞

        = 0. Analogamente temos lim k →∞ m k (N k − 1) c k

      • ǫ
      • 1 c k
      • 1 c k

        1

        1 t

        1

        1 t k k k k −c −c S t ϕ(p) − S c ϕ(f (p)) = S t −c ϕ(p) + S c ϕ(f (p)) k k k k k t k c k t k t k

        1 t −c k k − S c ϕ(f (p)) k c k

        1 1 c k t k k −c = S t ϕ(p) + S c ϕ(f (p)) − 1 k k k −c t k c k t k t k − c k

        1 t k k −c ≤ kϕk + γ S c ϕ(f (p)) k t k c k ≤ 2γkϕk t

        1 1 −c k k

        Portanto lim S t ϕ(p) − S c ϕ(f (p)) k t c = 0 e consequentemente k k k k

        →∞

        Z

        1 lim S t ϕ(p) − ϕdµ ρ = 0 k k (k) →∞ t k

        R R

        1

        1

        mas isto significa que lim S t ϕ(p) = ϕdµ e lim S t ϕ(p) = ϕdµ . Assim k →∞ k →∞ t t 2k 2k−1 2k−1

        1 2k

        2 sendo obtemos que as m´edias de Birkhoff divergem, o que completa a prova do lema.

        ✷ O lema acima nos permite concluir que se existem medidas erg´odicas µ , µ tais

        1

        2 R R

        que ϕdµ 6= ϕdµ e f satisfaz especifica¸c˜ao ent˜ao o conjunto irregular de ϕ com

        1

        2 respeito a f ´e n˜ao vazio, o que finaliza a prova do lema 3.0.13.

        Provaremos em seguida que as medidas (µ k ) k satisfazem a propriedade de Gibbs

        ∈N ǫ

        aproximada (hip´oteses da proposi¸c˜ao 3.0.15.) Seja B := B(q, n, ) uma bola dinˆamica

        2

        arbitr´aria que tem interse¸c˜ao n˜ao vazia com F . Seja k o ´ unico n´ umero que satisfa¸ca t k ≤ n < t k . Seja j tal que j ∈ {0, ..., N

      • k − 1} ´e o ´unico natural tal que t k +
      • 1 +1
      • 1 m k )j ≤ n < t k + (n k + m k )(j + 1).
      • 1 +1 +1

        t t t t n t 1 t 2 3 4 5 6 t t 5 + 2m 6 + n 6 5 + 3m

      6 + 2n

      6 t 5 + 4m 6 + 3n 6 t t 5 + m 6 5 + 5m 6 + 4n 6 t n t 5 + 4(m 6 + n 6 ) t t t t 5 5 + n 6 + m 6 5 + 2(m 6 + n 6 ) 5 + 3(m 6 + n 6 ) 6 Figura 3.0.4: Escolha k = 5 e j = 2.

        Lema 3.0.27.

        Suponha µ k (B) > 0, ent˜ao existe uma ´ unica escolha de x ∈ T k e

      • 1

        ∈ {1, ..., #S } satisfazendo i

        1 , ..., i j k +1 j N Y k +1 −j ν k (B) ≤ L(x)M exp(S n ψ(x k )).

      • +1 +1,i

        k k +1 l
      • 1

        i

        =1

        1 Prova: Recorde que µ k = ν k . Mais ainda, se µ k (B) > 0 ent˜ao T k ∩ B 6= ∅. ω k +1 +1

        Seja z = z(x, y) ∈ T k ∩ B onde x ∈ T k e y = y(i , ..., i N ) ∈ C k . Por defini¸c˜ao

      • 1 ǫ ǫ t +m k k +1

        1 +1 k +1

        temos que d t (z, x) < k +1 e d c (f (z), y) < k +1 . Observe que como n ≥ t k ent˜ao k k +1 ǫ ǫ

        2

        2 ǫ ǫ k k k k + d n (z, q) < implica que d t (z, q) < portanto d t (x, q) ≤ d t (x, z)+d t (z, q) < k +1 <

        2

        2 ǫ

        2

        2

        ǫ. Tamb´em temos que t k + (n k + m k )j ≤ n e da´ı d n (z, q) < implica

      • 1 +1

        2 t t ǫ k k +1 k +1 k k +1 k +1 +lm +(l−1)n +lm +(l−1)n d n (f (z), f (q)) < , ∀l = 1, ..., j. k +1

        2 Mas, t t ǫ ǫ k k +1 k k +1 k +1 k +1 k +1 +m +lm +(l−1)n (l−1)(n +m ) d c (f (z), y) < ⇒ d n (f (z), f (y)) < k +1 k +1 k k

      • 1
      • 1

        2 2 para l = 1, ..., N k e

      • 1

        ǫ

        (l−1)(m +n ) k +1 k +1

        ⇒ d y ∈ C k +1 n (f (y), x k +1,i ) < , para l = 1, ..., N k +1 . k l +1 k +1

        2 Segue ent˜ao que t k k +1 k +1 +lm +(l−1)n d n (x k , f (q)) < 2ǫ, ∀l = 1, ..., j. k +1 l +1,i Seja A(x, i , ..., i j ) := {z(x, y(l , ..., l k )) ∈ T k ; l = i , ..., l j = i j }. Afirmamos que

        1

        1

        1

        1 ′

        T k ∩ B ⊆ A(x, i , ..., i j ). De fato, seja z(x , y(~l)) ∈ T k ∩ B. Pelo visto acima temos que

      • 1 1 +1 ′ ′

        d t (x , q) < ǫ mas ent˜ao d t (x, x ) < 2ǫ e como T k ´e um conjunto (t k , 2ǫ)-separado temos k k

        ′ t +lm +(l−1)n k k k +1 +1

        x = x . Tamb´em d n (x k +1,l , f (q)) < 2ǫ para s = 1, ..., j implica que k +1 s d n (x k +1,l , x k +1,i ) < 4ǫ e como S k +1 ´e (n k +1 , 4ǫ)-separado temos x k +1,l = x k +1,i para k +1 s s s s s = 1, ..., j. O que conclui a prova da afirma¸c˜ao.

        Temos ent˜ao que, como T k ∩ B ⊆ A(x, i , ..., i j ) :

      • 1

        1 X

        X ν k (B) ≤ ν k (A(x, i , ..., i j )) = L(z)δ z (A(x, i , ..., i j )) = L(z)

      • 1 +1

        1 z ∈T z ,...,i k +1 ∈A(x,i

        1 1 ) j

        X = L(x)L(~p k )

      • 1 ~ p ∈(i ,...,i )×{1,...,N } k k +1 1 j +1 j

        Nk+1−j

        Y

        X = L(x) exp(S n ψ(x k )) exp(S n ψ(x k )) l k +1 l k +1 l +1,i

      • 1,s =1

        Nk+1−j (s ,...,s )∈{1,...,N } j +1 +1 k j N #S k k +1 +1 Nk+1

        Y Y

        X = L(x) exp(S n ψ(x k +1,i )) exp(S n ψ(x k +1,s )) l l s =1 k l k l +1 +1

        =1 =j+1 l j

        Y N k +1 −j = L(x) exp(S n ψ(x k ))M , k +1 l k +1,i l =1 +1 como pretend´ıamos mostrar. Isto completa a prova do lema.

        ✷

        O lema anterior nos d´a uma estimativa para a cota superior da medida ν k em bolas dinˆamicas em termos das m´edias de Birkhoff ao longo dos pontos especificado. O seguinte lema nos d´a uma rela¸c˜ao entre essas m´edias e a m´edia do centro da bola dinˆamica B.

        Lema 3.0.28. Seja x ∈ T k e i , ..., i j como no lema anterior. Ent˜ao j

        1 k

        Y

        X L(x) i =1 exp(S n ψ(x k +1,i )) ≤ exp[S n ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ǫ) + kψk( N i m + i k l +1 i =1 (j + 1)m k +1 + n k +1 )].

        Prova: Escrevamos x = x(~p , ..., ~p ). Temos por defini¸c˜ao que

        1 k k k k N N i i !

        Y Y Y i i

        X X L(x) = L(~p i ) = exp(S n ψ(x )) = exp S n ψ(x ) i i i i i i,p i,p l l

        =1 =1 l =1 =1 l =1

        Note que: k N N i 1 −1

        X X t ln

        X i−1 i i i +m +(l−1)(n +m ) +(l−1)m 1 1 S t ψ(x) = S n ψ(f (x)) + S m ψ(f (x)) k i i l l 1

        =1 =1 =1 k N i

        X X t

      • (l−1)(m +n )
      • i l S m ψ(f (x)). i i−1 i i<
      • =2 =1 t i−1 i i i
      • m +(l−1)(m +n ) i

        O lema 3.0.23 nos diz que d n (f (x), x ) &lt; 2ǫ para todo i ∈ i i,p l {1, ..., k} e para todo l ∈ {1, ..., N i }. Ent˜ao: k N k N i i

        X X i i

        X X t i−1 +m i +(l−1)(n i +m i ) i =1 l i =1 l S n ψ(x ) − S t ψ(x) ≤ S n ψ(x ) − S n ψ((f (x)) i k i i i,p i,p l l

        =1 =1 N −1 1 X ln +(l−1)m 1 1 l S + m ψ(f (x)) 1 k N =1

      i

        X X t +(l−1)(m +n ) i S m ψ(f (x)) i i−1 i i

      • =2 l k N i

        

      =1

        X X i t i−1 +m i +(l−1)(n i +m i ) ≤ n ψ(x ) − S n ψ((f (x)) i i i,p i S l

        =1 l N −1 1 =1

        X ln +(l−1)m l =1 k N S m ψ(f (x)) i 1 1

      • 1

        X X t +(l−1)(m +n ) i S m ψ(f (x)) i i−1 i i

      • k N N −1 k N

        =2 l =1 i 1 i

        X X

        X X

        X ≤ n i V ar(ψ, 2ǫ) + m i kψk + m i kψk i i

        =1 l =1 l =1 =2 l =1 k

        X ≤ t k V ar(ψ, 2ǫ) + kψk N i m i i

      • (l−1)(n k +1 +m k +1 )
      • lm k +1 +(l−1)n k +1
      • j(n k +1
      • m k +1
      • S n
      • m

        k +1

      • lm k +1
      • (l−1)n k +1

      • 1
      • 1,i l
      • 1
      • lm k +1
      • (l−1)n k +1
      • 1,i

        l

      • 1 .
      • 1,i l
      • m k +1 +(l−1)(m k +1 +n k +1 )
      • (l−1)(m k +1
      • n k +1
      • j(n k +1
      • m k +1
      • 1
      • 1
      • >11
      • 1
      • >11 )kψk.
      • 1,i l
      • 1,i l
      • 1
      • >11 )kψk)].
      • ǫ

        S n k +1 ψ(x k

        =1

        X l

        )) = exp j

        exp(S n k +1 ψ(x k

        =1

        Portanto j Y l

        V ar(ψ, 2ǫ) + ((j + 1)m k

        )])kψk ≤ jn k

        kψk + (n − [t k + j(m k

        V ar (ψ, 2ǫ) + jm k

        (z)) ≤ jn k

        )

        ψ(f t k

        −(t k +j(n k +1 +m k +1 ))

        (z)) + S n

        )

        X l =1 S m k +1 ψ(f t k

        (z)) + j

        S n k +1 ψ(x k +1,i l ) − S n k +1 ψ(f t k

        =1

        ) !

        ≤ exp[S n

        −t k

        −t k

        2

        2 k +1

        , da´ı d t k (x, q) ≤ d t k (x, z) + d t k (z, q) &lt; ǫ

        2 k +1

        , conforme observa¸c˜ao 1.3.7. Temos ainda que, por defini¸c˜ao, d t k (z, x) &lt; ǫ

        2

        ψ(f t k (q)) + (n − t k )V ar ψ, ǫ

        

      −t

      k

        ψ(f t k (z)) ≤ S n

        . Assim temos que S n

        ψ(f t k (z)) + jn k

        2

        (f t k (z), f t k (q)) &lt; ǫ

        −t k

        e d n

        2

        , logo d n (z, q) &lt; ǫ

        

      2

        Relembre que supomos z ∈ B q, n, ǫ

        V ar(ψ, 2ǫ) + ((j + 1)m k

        X l

        −t k

        ψ(f t k (z)) ≤ j

        Analogamente temos: S n −t k ψ(f t k (z)) = j

        −(t k +j(n k +1 +m k +1 ))

        (z))

        S n k +1 ψ(f t k

        =1

        X l

        (z)) + j

        S m k +1 ψ(f t k

        =1

        X l

        X i =1 N i m i ]

        ) (z)).

        N i m i e portanto L(x) ≤ exp[S t k ψ(x) + t k V ar(ψ, 2ǫ) + kψk k

        =1

        X i

        S n i ψ(x i,p i l ) ≤ S t k ψ(x) + t k V ar(ψ, 2ǫ) + kψk k

        =1

        X l

        =1 N i

        X i

        Assim k

        ψ(f t k

        Temos por hip´otese que d c k +1 (f t k

        ) − S n

        para l = 1, ..., N k

        S n k +1 ψ(x k

        =1

        X l

        Da´ı: j

        para l = 1, ..., N k

        2 k

        ) &lt; ǫ

        (z), x k

        segue que d n k +1 (f t k

        2 k +1

        (z), y) &lt; ǫ

        ) &lt; ǫ

        (y), x k

        (l−1)(n k +1

      +m

      k +1 )

        e como d n k +1 (f

        2 k +1 para l = 1, ..., N k

        (y)) &lt; ǫ

        (l−1)(n k +1 +m k +1 )

        (z), f

        d n k +1 (f t k

        2 k +1 logo

        &lt; 2ǫ. Ent˜ao S t k ψ(x) ≤ S t k ψ(q) + t k V ar(ψ, 2ǫ).

        Segue que " k #

        X L(x) ≤ exp S t ψ(q) + 2t k V ar(ψ, 2ǫ) + kψk N i m i k i

        =1

        e j Y t k exp(S n ψ(x k )) ≤ exp S n ψ(f (q)) + (n − t k + jn k )V ar(ψ, 2ǫ)+ l =1 k +1 l k +1,i −t +1 ((j + 1)m k + n k )kψk] .

      • 1 +1

        Juntando estas duas express˜oes conclu´ımos a prova do lema, bastando observar apenas que t k + jn k + n ≤ 2n.

      • 1

        ✷ Lema 3.0.29. Para todo p ≥ 1 suponha µ k (B) &gt; 0. Seja x ∈ T k e i , ..., i j como nos

      • p

        1 lemas anteriores. Ent˜ao todo ponto z ∈ T k ∩ B descende de algum ponto em A x,i ,...,i .

      • +p

        1 j

        Temos N −j N k k +1 +2 k +p N Y j ν k (B) ≤ L(x)M M ...M exp(S n ψ(x k ))

      • +p k k k +1,i

      • 1 +2 +p k +1 l i =1

        Prova: Segue como no lema anterior. Basta observamos que como µ k (B) &gt; 0

      • 1

        ∩ B descendem de A ent˜ao os pontos de T k +p x,i ,...,i . A desigualdade segue da mesma 1 j combinat´oria utilizada na demonstra¸c˜ao do lema anterior. k ✷ P

        1 Lema 3.0.30.

        µ k (B) ≤ j exp(S n ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ǫ) + kψk( N i m i + (j +

      • p ω M k k +1 i =1 1)m k +1 + n k +1 )).

        Prova: Usando o lema 3.0.28 segue do lema 3.0.29 que: N N k +1 k −j +p ν k (B) ≤ M ...M exp{S n ψ(q) + 2nV ar(ψ, 2ǫ)}

      • p k +1 k +1
      • k !

          X

        • kψk N i m i + (j + 1)m k + n k
        • i +1 +1 =1 N N

          k +1 k +p

            1 Como µ = ν e ω = ω M ...M segue o resultado. k +p k +p k +p k ω +1 +1 k +p k k

            ✷ Lema 3.0.31. Seja t k + (n k + m k )j ≤ n &lt; t k + (n k + m k )(j + 1). Para n

          • 1 +1 +1 +1 j suficientemente grande temos ω k M ≥ exp((C − 5γ)n).
          • k<
          • 1

          • 1
          • 1
          • N
          • >... + N k n k +
          • 1
          • m
          • m

            S n ψ(q) + 2nV + kψk k

            Na terceira linha, vale a desigualdade devido ao fato que devido a escolha das sequˆencias (n k ) k ∈N e (m k ) k ∈N podemos adicionar sem perdas termos extras a express˜ao anterior.

            ✷ Lema 3.0.32. Para n suficientemente grande, lim sup k

            →∞

            µ k (B(q, n, ǫ

            2 )) ≤ exp(−n(C − 2V ar(ψ, ǫ) − 7γ) + S n ψ(q)). Prova: Pelos lemas 3.0.30 e 3.0.31 para n suficientemente grande e qualquer p ≥ 1,

            µ k

            (B) ≤

            1 ω k M j k

            exp (

            X i

            ))} = exp{(C − 5γ)(t k + m

            =1

            N i m i + (j + 1)m k

            !) ≤

            1 ω k M j k

            exp {S n ψ(q) + n(2V + γ)} ≤ exp{−n(C − 7γ − 2V ) + S n ψ(q)} onde V = V ar(ψ, 2ǫ). Novamente utilizamos que n k ´e muito maior que m k .

            ✷ Finalizamos agora a prova do 1

            o resultado principal.

            Prova do teorema 3.0.17. O lema 3.0.32 nos diz que as medidas (µ k ) k ∈N satisfazem a propriedade de Gibbs aproximada com constante s := C − 2V ar(ψ, ǫ) − 7γ. Temos ainda que qualquer ponto de acumula¸c˜ao de (µ k ) k

            ∈N

            1 + j(n k +1 + m k +1 ))} ≥ exp{(C − 6γ)n}

            ) + ... + N k (n k + m k )

            satisfaz µ(F ) = 1 (lema 3.0.25). Portanto podemos aplicar Princ´ıpio de Distribui¸c˜ao da Press˜ao Generalizado (proposi¸c˜ao 3.0.15) e temos P F (ψ, ǫ) ≥ C − 2V ar(ψ, ǫ) − 7γ. Como ǫ foi escolhido arbitrariamente pequeno tal que V ar(ψ, ǫ) &lt; γ, segue que P ˆ (ψ, ǫ) ≥ P F (ψ, ǫ) ≥ C − 9γ. X f,ϕ Como γ e ǫ foram tomados arbitr´arios temos a conclus˜ao do teorema.

            n

            Prova: Por constru¸c˜ao temos que M k ≥ exp((C − 4γ)n k ). Ent˜ao: ω k M j k

            = M N 1

            1

            ...M N k k M j k

            ≥ exp{(C − 4γ)(N

            1

            n

            1

            

          2

            2

            2

            )} ≥ exp{(C − 5γ)(N

            1

            (n

            1

            

          1

            ) + N

            2

            (n

            2

          • j>11
          • p
          • >11
          • 1
          • 1

            ✷ Observe que ao assumirmos a existˆencia de duas medidas erg´odicas tais que

            R R ϕdµ 6= ϕdµ o que nos garantiu, em virtude do teorema de Birkhoff, a convergˆencia

            1

          2 R R

            1

            das m´edias S n ϕ(x) para ϕdµ e para ϕdµ respectivamente em µ -q.t.p. x ∈ X e n

            1

            2

            1

            em µ -q.t.p. x ∈ X. Isso nos levou a constru¸c˜ao de um subconjunto relevante de ˆ X f,ϕ .

          2 Simultaneamente assumimos que estas duas medidas satisfaziam para um potencial ϕ fi-

            R

            ′ i + xado h µ ψdµ i &gt; C − γ, i = 1, 2. Se X fosse compacto, usando o princ´ıpio variacional ter´ıamos que, tais medidas, dariam uma boa aproxima¸c˜ao da press˜ao topol´ogica de ϕ com ′

            respeito ao sistema restrito a X . Contudo, em geral, a existˆencia de medidas erg´odicas satisfazendo ao mesmo tempo estas hip´oteses n˜ao ´e garantida. Ainda assim, podemos remover essas hip´oteses, fazendo pequenas modifica¸c˜oes na prova, obtendo um resultado an´alogo de enunciado mais geral.

            Teorema 3.0.33.

            Seja (X, d) espa¸co m´etrico compacto, f : X → X uma aplica¸c˜ao

            ′

            ⊆ X subconjunto f -invariante. Suponha que f satisfaz a propriedade de cont´ınua e X R R

            ′ ′

            especifica¸c˜ao em X e ϕ ∈ C(X) ´e tal que inf{ ϕdµ : µ ∈ M f (X )} &lt; sup{ ϕdµ : R

            ′ ′

            µ ∈ M f (X

          • )}. Dado ψ ∈ C(X), seja C ψ := sup{h µ ψdµ : µ ∈ M f (X )}. Ent˜ao P ˆ (ψ) ≥ C ψ . Se C ψ = P top (f, ψ) ent˜ao temos P ˆ (ψ) = P top (f, ψ)
          • X f,ϕ X f,ϕ Imitaremos a constru¸c˜ao do teorema 3.0.17 para a prova deste teorema. Iremos nos concentrar nas ideias envolvidas. Fixe ψ ∈ C(X) e γ &gt; 0 pequeno, por defini¸c˜ao

              R γ

            • podemos escolher µ erg´odica tal que h µ ψdµ &gt; C ψ − . Por hip´otese, existe ν

              1 1

              1

              2 R R

              erg´odica tal que ϕdµ 6= ϕdν. Tome ent˜ao µ := t µ + t ν com t + t = 1. Note que

              1

              2

              1

              1

              2

              1

              2 R R R R γ

              − 2 + h ψdµ (h

              2 = t 1 µ ψdµ 1 1 ) + t

            2 (h ν ψdν) &gt; t

            1 (C ψ ) + t 2 (h ν ψdµ), portanto

            • µ

              2 R + escolhendo t suficientemente pr´oximo de 1 podemos supor que h µ ψdµ &gt; C ψ − γ.

              1 2

              2 R R R R R

              Observe tamb´em que ϕdµ = t ϕdµ + t ϕdν e portanto ϕdµ 6= ϕdµ pois,

              2

              1

              1

              2

              1

              2

              caso contr´ario, Z Z Z Z Z

              ϕdµ = t ϕdµ + t ϕdν ⇔ (1 − t ) ϕdµ = t ϕdν

              2

              1

              1

              2

              1

              1

              2 Z Z Z

              ⇔ ϕdµ

              

            1 = ϕdµ

            2 = ϕdν,

              contradizendo a escolha de ν. Note no entanto que µ

              2 n˜ao ´e erg´odica, pois ´e combina¸c˜ao de medidas erg´odicas. Escolha δ &gt; 0 de modo que Z Z ϕdµ − ϕdµ &gt; 8δ.

              1

              2 Escolha uma sequˆencia estritamente decrescente δ k ց 0 com δ &lt; δ. Para k

              1

              ր ∞ tal que o ´ımpar, como antes, escolhemos uma sequˆencia estritamente crescente l k conjunto

              Z

              1

              ′

              Y k := x ∈ X : S n ϕ(x) − ϕdµ &lt; δ k , ∀n ≥ l k

              1

              n satisfaz µ (Y k ) &gt; 1 − γ para todo k ´ımpar. Para k par, escolha l k &gt; l k − 1 e defina

              1 Y k, := Y k e 1 −1

              Z

              1

              ′

              Y k, := x ∈ X ; S n ϕ(x) − ϕdν &lt; δ k , ∀n ≥ l k

              2

              n satisfazendo ν(Y k, ) &gt; 1 − γ.

            2 Lema 3.0.34. Para ǫ > 0 suficientemente pequeno e k par, podemos encontrar um

              i sequˆencia ˆ n k → ∞ tal que [t i n ˆ k ] ≥ l k para i = 1, 2 e conjuntos S ([t i n ˆ k ], 4ǫ)-separado em k i P Y k,i com M := i exp (S n ψ(x)) satisfazendo k ˆ x k

              ∈S k

              Z

              1 M ≥ exp [t n ˆ k ] h µ ψdµ − 4γ , + k

              1

            1

              1 Z

              2

              ≥ exp M [t + k 2 n ˆ k ] h ν ψdν − 4γ . m k

              ≥ 2 Al´em disso, a sequˆencia (ˆ n k ) k ∈2N pode ser escolhida de modo que ˆ n k onde ǫ m := m( ) ´e constante de especifica¸c˜ao. k k

            2 Prova: A prova deste lema segue de maneira an´aloga ao lema 3.0.18.

              i

              Para i = 1, 2 tome y i ∈ S k

              e, usando a propriedade de especifica¸c˜ao, defina x := x(y

              1 , y 2 ) tal que

              ǫ ǫ n

              [t ˆ +m ] 1 k k d n (x, y ) &lt; e d n (f (x), y ) &lt; . [t 1 ˆ ] k k 1 [t k k

            2 ˆ ]

              2

              2

              2 Definimos ent˜ao S k como o conjunto de pontos constru´ıdos desta forma. Temos que se

              1

              2

              (y , y ) 6= (w , w ) ∈ S ×S ent˜ao x(y , y ) 6= x(w , w ). Denote por n k := [t n ˆ k ]+[t n ˆ k ]+

              1

              2

              1 2 k k

              1

              2

              1

              2

              1

              2

              1

              2 m k o tamanho da ´orbita de pontos em S k utilizado para especificar os pontos de S e S . n k k k

              → 1 quando k → ∞. Observe que S Teremos n k ´e um conjunto (n k , 4ǫ)-separado e que

              ˆ k

              1

              1 #S k = #S #S . k k

              Para cada k ´ımpar, construindo S k como antes, teremos novamente uma fam´ılia (S k ) k de conjuntos (n k , 4ǫ)-separados, do qual, por especifica¸c˜ao construiremos as fam´ı-

              ∈N

              lias (C k ) k e (T k ) k , exatamente como na demonstra¸c˜ao do teorema anterior. Nos passos

              ∈N ∈N

              seguintes a prova segue sem maiores mudan¸cas. Isto termina o esbo¸co da prova do teorema 3.0.33.

            3.1 Aplica¸ c˜ ao a Fluxos de Suspens˜ ao Defini¸ c˜ ao 3.1.1.

              Considere f : X → X um homeomorfismo de um espa¸co m´etrico compacto (X, d) e ρ : X → [0, ∞). Definimos o espa¸co de supens˜ao de X por ρ como sendo o conjunto:

              X ρ := {(x, t) ∈ X × R; 0 ≤ x ≤ ρ(x)} em que identificamos para cada x ∈ X o ponto (x, ρ(x)) com (f (x), 0) Podemos definir o espa¸co de suspens˜ao de X por ρ de maneira alternativa, uti- lizando rela¸c˜ao de equivalˆencia. Considere F : X × R → X × R dada por F (x, t) :=

              (f (x), t − ρ(x)). Temos que F ´e uma aplica¸c˜ao bijetiva. De fato, se F (x, t) = F (y, s) ⇒ (f (x), t − ρ(x)) = (f (y), s − ρ(y)) ⇒ x = y e s = t ⇒ (x, t) = (y, s), donde F ´e inje-

              −1 tiva e dado (x, t) ∈ X × R temos que (x, t) = F (f (x), t + ρ(x)), logo F ´e sobrejetiva. n Definamos a seguinte rela¸c˜ao em X × R : (x, t) ∼ (y, s) ⇔ ∃n ∈ Z t.q. F (x, t) = (y, s).

              Temos que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia: (x, t) = F (x, t) ⇒ (x, t) ∼ (x, t) da´ı n

              −n

              ∼ ´e reflexiva; se (x, t) ∼ (y, s) ent˜ao ∃n ∈ N tal que F (x, t) = (y, s) ⇔ (x, t) = F (y, s) portanto (y, s) ∼ (x, t) e ∼ ´e sim´etrica; por fim, se (x, t) ∼ (y, s) e (y, s) ∼ (z, r) ent˜ao n m n

            • m

              existem n, m ∈ N tais que F (x, t) = (y, s) e F (y, s) = (z, r) logo F (x, t) = (z, r) e ent˜ao (x, t) ∼ (z, r) e ∼ ´e transitiva.

              2

              2 Observe que F (x, t) = (f (x), t − ρ(x)) ⇒ F (x, t) = (f (x), t − ρ(x) − ρ(f (x))) ⇒

              3

              3

              2 F (x, t) = (f (x), t − ρ(x) − ρ(f (x)) − ρ(f (x))). Portanto n

            −1

            n n i

              X F (x) = (f (x), t − ρ(f (x))), ∀n ∈ N. i

              

            =0

            −1 −1 −2 −2 −1

              Temos tamb´em que F (x, t) = (f (x), t+ ρ(x) ⇒ F (x, t) = (f (x), t+ ρ(f (x))) ⇒

              −3 −3 −2

              F (x, t) = (f (x), t + ρ(x) + ρ(f (x))) logo n

              X

              −n −n −i F (x, t) = (f (x), t + ρ(f (x))), ∀n ∈ N. i =1

              Podemos rescrever ent˜ao a rela¸c˜ao de equivalˆencia como (x, t) ∼ (y, s) ⇔ ou (x, t) = n i P n −1 (y, s) ou∃n ∈ N t.q. (y, s) = (f (x), t − ρ(f (x))), ou ∃n ∈ N t.q. (y, s) = i n =0

              P

              −n −i (f (x), t + ρ(f (x))). i =1

              X ρ ´e um dom´ınio fundamental para esta rela¸c˜ao de equivalˆencia, ou seja, cada classe admite um e apenas um representante em X ρ , o que ´e consequˆencia direta da defini¸c˜ao de ∼ . Podemos ent˜ao considerar a proje¸c˜ao natural Π : X × R → X × R/ ∼ tamb´em como Π : X × R → X ρ .

              Definimos ent˜ao o fluxo de suspens˜ao por Ψ = {g t } t onde g t : X ρ :→ X ρ dada

              ∈R por g t (x, s) = Π(x, s + t). Dada uma fun¸c˜ao Φ : X ρ → R associamos a fun¸c˜ao ϕ : X → R tal que ϕ(x) := R ρ

              (x) Φ(x, t)dt. Como a fun¸c˜ao ρ ´e cont´ınua temos que se Φ ´e cont´ınua ϕ tamb´em o ´e.

              Para µ ∈ M f (X) definimos a medida µ ρ como a ´ unica tal que: R Z

              ϕdµ Φdµ ρ := R

              ρdµ

              −1

              para toda Φ ∈ C(X ρ ). Temos que µ ρ ´e Ψ-invariante, isto ´e, µ ρ (g (Λ)) = µ ρ (Λ), ∀t ≥ 0 t e para qualquer conjunto mensur´avel Λ ⊂ X ρ .

              De maneira an´aloga ao caso discreto podemos definir m´edias de Birkhoff para o t R

              1

              fluxo digamos Φ(g t (x, s))dt, para cada t ∈ R. Temos o respectivo teorema erg´odico t para fluxos que nos dir´a que o conjunto dos pontos cuja m´edia n˜ao converge tem medida nula com respeito a qualquer µ ∈ M X ρ .

              Ψ

              Defini¸ c˜ ao 3.1.2. Nas condi¸c˜oes acima, definimos o conjunto irregular para o fluxo de suspens˜ao Ψ como o conjunto ρ Z T

              1 ˆ X := {(x, s) ∈ X ρ : ∄ lim Φ(g t (x, s))dt}.

              Φ T →∞

              T

            3.1.1 Entropia Topol´ ogica para Fluxos

              Definiremos a entropia topol´ogica para fluxos do ponto de vista dimensional, de maneira an´aloga a defini¸c˜ao de press˜ao topol´ogica usada anteriormente. Seja Z ⊂ X um conjunto boreliano arbitr´ario. Seja Ψ := {ψ t } um fluxo em X espa¸co m´etrico compacto. Consideremos cole¸c˜oes finitas e enumer´aveis da formal Γ := {B t ,x ,ǫ } i onde i i

              ∈ (0, ∞), x ∈ X e t i i B(t, x, ǫ) := {y ∈ X : d(ψ s (x), ψ s (y)) &lt; ǫ∀s ∈ [0, t)}. Para α ∈ R definimos as quantidades:

              X Q(Z, α, Γ) := exp(−αt i ) B (t ,x ,ǫ )∈Γ i i M(Z, α, ǫ, T ) := inf Q(Z, α, Γ)

              Γ

              } onde o ´ınfimo ´e tomado sobre toda cole¸c˜ao enumer´avel da forma Γ := {B t ,x ,ǫ i com i i x i ∈ X tal que Γ cobre Z e t i ≥ T ∀i.

              Defina m(Z, α, ǫ) := lim M(Z, α, ǫ, T ) T →∞ como na defini¸c˜ao da press˜ao topol´ogica temos que tal limite existe pela monotonicidade da sequencia M(Z, α, ǫ, T ) em T. Tamb´em de forma similar a defini¸c˜ao de press˜ao para o caso discreto temos a existˆencia de h top (Z, ǫ) := inf{α : m(Z, α, ǫ) = 0} = sup{α : m(Z, α, ǫ) = ∞}

              . Defini¸ c˜ ao 3.1.3. A entropia topol´ogica de Z com respeito a Ψ ´e dada por h top (Z, Ψ) := lim h top (Z, ǫ). ǫ

              →0 Lema 3.1.4. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto e f : X → X um homeomorfismo.

              Seja ρ : X → (0, ∞) cont´ınua. Seja (X ρ , Ψ) o correspondente fluxo de suspens˜ao associado ρ R (x)

              → R cont´ınua e ϕ : X → R dada por ϕ(x) := a f e ρ. Seja Φ : X ρ Φ(x, t)dt. Temos

              R T S ϕ

              (x) 1 n

              (a) lim inf T Φ(g t (x, s))dt = lim inf n

              →∞ →∞ T S ρ T n (x)

              R S ϕ

              (x) 1 n

              (b) lim sup Φ(g t (x, s))dt = lim sup T →∞ n →∞ T S ρ S ϕ (x) n n (x) (c) ˆ X ρ, = {(x, s) : ∄ lim n , 0 ≤ s ≤ ρ(x)}

              Φ →∞ S ρ (x) n

              Prova: Fixe γ &gt; 0. Dado T &gt; 0 seja n satisfazendo S n ρ(x) ≤ T &lt; S n +1 ρ(x). S ρ

              kρk n (x)

              Segue ent˜ao que 1 − ≤ ≤ 1. Assuma T suficientemente grande tal que T T

              −1 2T kρkkΦk &lt; γ.

              Observe que n i

              −1

              Z T Z ρ

              (f (x))

              X i Φ(g t (x, s))dt ≤ Φ(f (x), t)dt + 2kρkkΦk i

              =0

              = S n ϕ(x) + 2kρkkΦk logo T Z

              1 S n ρ(x) S n ϕ(x)

              2 S n ϕ(x) Φ(g + t (x, s))dt ≤ kρkkΦk ≤ + γ

              T T S n ρ(x) T S n ρ(x) Temos ent˜ao que o resultado segue deste c´alculo e de um inteiramente an´alogo no sentido contr´ario.

              ✷ ρ n o S ϕ (x) n O lema acima nos diz que ˆ X = ˆ X(ϕ, ρ) := x ∈ X : n˜ao existe lim

              Φ n →∞ S ρ (x) n

              Lema 3.1.5. No contexto apresentado s˜ao equivalentes: ρ (a) ˆ X 6= ∅

              Φ

              n o S ϕ n (x) (b) ˆ X(ϕ, ρ) := x ∈ X : ∄ lim 6= ∅ n S ρ n (x)

              →∞

              R R (c) inf Φdµ : µ ∈ M (X ρ ) &lt; sup Φdµ : µ ∈ M (X ρ )

              Ψ Ψ R R

              n o n o ϕdµ ϕdµ

              R R

              (d) inf : µ ∈ M f (X) &lt; sup : µ ∈ M f (X) ρdµ ρdµ

              Prova: A demonstra¸c˜ao segue de forma an´aloga ao lema 3.0.13.

              ✷ Como consequˆencia do Teorema 3.0.33 estudaremos o caso em que ρ ≡ 1 e mos- traremos que a entropia do conjunto irregular para o fluxo de suspens˜ao por ρ ´e total se tal conjunto ´e diferente do vazio. Observe que, tal fluxo n˜ao ´e topologicamente mixing pois dado, por exemplo, os conjuntos Z := A × (1/8, 2/8) e Z := A × (3/8, 4/8) onde

              1

              2

              ∀s ≥ t. Logo A ⊂ X ´e qualquer, ´e f´acil vermos que n˜ao existe t ∈ R tal que g s (Z ) ∩ Z

              1

              2

              n˜ao temos a propriedade de especifica¸c˜ao para o fluxo de suspens˜ao. Ainda assim, vale um resultado an´alogo ao apresentado no teorema 3.0.33, havendo a necessidade apenas de supormos que a dinˆamica f no espa¸co m´etrico X que d´a origem ao fluxo de suspens˜ao satisfa¸ca a especifica¸c˜ao, mesmo que o fluxo n˜ao a satisfa¸ca.

              1 Note que no caso em que ρ ≡ 1 temos que dada Φ ∈ C(X ) ent˜ao ˆ

              X = ˆ X f,ϕ onde

              1 Φ

              R

              1

              ϕ(x) := Φ(x, t)dt. O lema 3.1.5 nos diz ent˜ao que ˆ X f,ϕ 6= ∅ e estamos nas hip´oteses do teorema 3.0.33, logo, P (ψ) = P top (f, ϕ). X ˆ (ϕ,1)

            3.1.2 Rela¸ c˜ ao entre a entropia do fluxo de suspens˜ ao e a press˜ ao na base.

              Considere (X, d) um espa¸co m´etrico compacto, f : X → X um homeomorfismo e ρ : X → R, ρ ≡ 1. Tome o correspondente espa¸co de suspens˜ao X com seu res-

              1

              pectivo fluxo Ψ. Vamos definir uma m´etrica em X t

              1 . Considere X × {t} ⊂ X × [0, 1],

              defina d ((x, t), (y, t)) = (1 − t)d(x, y) + td(f (x), f (y)). Note que d ((x, 0), (y, 0)) = d(x, y)

              1

              e d ((x, 1), (y, 1)) = d(f (x), f (y)). Sejam x , x ∈ X . Consideremos poligonais finitas,

              

            1

              2

              1

              (w , w , ..., w k ) em que w i ∈ X representam os v´ertices da poligonal, x = w , w n = x

              1

              1

              1

              2

              ⊂ X × {t} para algum t ∈ [0, 1] ou w ⊂ O(x, s) = {g e sempre temos w i w i i w i t (x, s) :

            • 1
            • 1

              t ≥ 0} para algum (x, s) ∈ X 1 .

              Definiremos o comprimento da poligonal como n

              −1

              X ℓ(w , w , ..., w n ) := ℓ(w i w i )

              1 +1 i =0 t

              onde se w i w i ⊂ X × {t} ent˜ao ℓ(w i w i ) = d (w i , w i ) e se w i w i ⊂ O(x, s) ent˜ao

            • 1 +1 +1 +1

              ℓ(w i w i ) = |t−r| onde w i = g t (x, s) e w i = g r (x, s). Caso w i 6= w i mas w i , w i ∈ X ×

            • +1 +1 +1 +1

              t

              t∩O(x, s) ent˜ao ℓ(w i w i +1 ) = d (w i , w i +1 ). Definimos ent˜ao d(x

              1 , x 2 ) = inf{ℓ(w , w 1 , ...w n ) :

              (w , w , ...w ) poligonal finita e w = x , w = x }. Em [5] verifica-se que d define de fato

              1 n 1 n

              2 uma m´etrica em X a qual nos referiremos como m´etrica de Bowen-Walters.

              1 Defini¸ c˜ ao 3.1.6. Definimos a bola horizontal de raio ǫ e centro em (x, s) como sendo o conjunto H B ((x, s), ǫ) := {(y, s) : (1 − s) d(x, y) + sd(f (x), f (y)) &lt; ǫ}

              Definimos a partir deste conceito os conjuntos: [ H

              B((x, s), ǫ) := B ((x, t), ǫ) t ;|s−t|&lt;ǫ e T \ B T ((x, s), ǫ) := g (B(g t (x, s), ǫ)). t −t =0

              Note que B((x, s), ǫ) n˜ao necessariamente ´e uma bola na m´etrica de Bowen- Walters. Podemos considerar coberturas por conjuntos da forma B T ((x, s), ǫ) na defini¸c˜ao da entropia topol´ogica em substitui¸c˜ao `as bolas dinˆamicas. Isto porque existem constantes C , C &gt; 0 tais que a bola m´etrica de raio C ǫ em (x, s) ´e um subconjunto de B((x, s), ǫ),

              1

              2

              

            1

              que um conjunto de diˆametro ǫ est´a contido em algum conjunto B((x, s), C ǫ) para ǫ su-

              2

              }) → 0, ficientemente pequeno, que B((x, s), ǫ) ´e aberto e diam({B((x, s), ǫ) : (x, s) ∈ X

              1

              quando ǫ → 0. Diˆametro e topologia s˜ao tomados com respeito a m´etrica de Bowen- Walters. Lema 3.1.7.

              Seja (y, s) ∈ X × (−1, ∞) e suponha que Π(y, s) ∈ B((x, δ), ǫ), em que |δ| ≤ ǫ &lt; 1/4. Ent˜ao para ǫ suficientemente pequeno existe n ∈ N tal que n n (y, s) ∼ (f (y), s − n), |s − S n ϕ(y)| &lt; 4ǫ e d(x, f (y)) &lt; 4ǫ. H

              Prova: Suponha (y, s) ∈ B ((x, γ), ǫ) para algum γ com 0 ≤ |γ| &lt; 2ǫ. Ent˜ao s = γ e temos (1 − s) d(x, y) + sd(f (x), f (y)) &lt; ǫ, logo (1 − s)d(x, y) &lt; ǫ ou seja d(x, y) &lt;

              −1

              ǫ(1 − s) &lt; 4ǫ. Para −ǫ &lt; γ &lt; 0 aplicamos um argumento similar. Agora assuma que

              ′ ′ ′

              Π(x, s) ∈ B((x, δ), ǫ). Ent˜ao Π(x, s) tem um ´ unico representante (y , s ) com |s | &lt; 2ǫ e

              ′ n ′ ′ y = f (y). Aplicamos ent˜ao o argumento anterior a (y , s ).

              ✷ Lema 3.1.8. Suponha |s| &lt; ǫ e n ≤ T &lt; n + 1 ent˜ao B T ((x, s), ǫ) ⊂ B n (x, 4ǫ) × (−4ǫ, 4ǫ).

              Prova: Seja (y, t) ∈ B T ((x, s), ǫ), com |t| &lt; 4ǫ. Ent˜ao d(x, y) &lt; 4ǫ. Seja t i que i −1 satisfaz s + t i = i para i = 1, ..., n. Ent˜ao g t (y, t) ∈ B((f (x), 0), ǫ). Pelo lema anterior n i i

              −1 temos d(f (y), f (x)) &lt; 4ǫ para algum n ∈ N. Al´em disso, devemos ter n = i − 1.

              Suponha que n˜ao, ent˜ao para algum τ ∈ [0, i), g τ (y, t) / ∈ B(g τ (x, s), ǫ) o que ´e uma contradi¸c˜ao. Isto implica que y ∈ B n (x, 4ǫ).

              ✷ Temos ent˜ao o seguinte teorema: Teorema 3.1.9. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto e f : X → X um homeomor- fismo. Seja ρ : X → (0, ∞) constante e igual a 1. Seja (X

              1 , Ψ) o correspondente fluxo de

              suspens˜ao sobre X. Para um boreliano arbitr´ario Z ⊂ X defina Z

              1 := {(z, s) : z ∈ Z, 0 ≤ s ≤ 1}. Seja β a ´ unica solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao P Z (−t) = 0. Ent˜ao h top (Z ρ , Ψ) ≥ β.

              Prova: A fun¸c˜ao t 7→ P Z (−t) ´e cont´ınua e decrescente. Como P Z (0) ≥ 0 segue que existe ´ unica solu¸c˜ao para P Z (−t) = 0. Assuma que P Z (−βϕ) &gt; 0 e mostremos que h top (Z ρ , Ψ) ≥ β. Seja ǫ &gt; 0 arbitr´ario e suficientemente pequeno tal que o lema 3.1.8 se aplica e P Z (−βϕ, ǫ) &gt; 0. Escolha Γ = {B t ((x i , s i ), ǫ)} cobertura de Z ρ com t i ≥ T. i Tome a subcobertura ˆ Γ ⊂ Γ que cobre Z × {0} e suponha sem perda de generalidade que |s i | &lt; ǫ. Seja m i o ´ unico n´ umero tal que m i ≤ t i &lt; m i + 1. Defina m(ˆ Γ) := inf i m i . Ent˜ao m(ˆ Γ) ≥ T − 1, logo como T tende a infinito, temos o mesmo para m(ˆ Γ). Seja m(˜ Γ) := {B m (x i , 4ǫ) : B t ((x i , s i ), ǫ) ∈ ˆ Γ}. Pelo lema 3.1.8, B m (x i , 4ǫ) × (−4ǫ, 4ǫ) cobre i i i

              Z × {0} e se supusermos que ǫ foi escolhido suficientemente pequeno, ent˜ao ˜ Γ ´e uma cobertura de Z.

              Temos

              X Q(Z × {0}, β, ˆ Γ) ≥ exp[−β(m i + 1)] B i ∈ˆ Γ

              X ≥ B exp[−β(m i + 1)] i ∈˜ Γ

              ≥ exp[−β(m i + 1)]Q(Z, 0, ˜ Γ, −β) ≥ exp[−β(m i + 1)]M(Z, 0, m(ˆ Γ), −β) ≥ 1 se T e portanto m(ˆ Γ) forem escolhidos suficientemente grandes. Logo

              Q(Z , β, Γ) ≥ Q(Z × {0}, β, ˆ Γ)

              1 e como Γ foi tomado arbitr´aria, temos M(Z , β, T −1, ǫ) ≥ 1 e portanto h top (Z , Ψ, ǫ) ≥ β.

              1

              1

              ✷ Finalmente temos o seguinte teorema:

              Teorema 3.1.10. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico compacto e f : X → X um home- omorfismo que satisfaz a propriedade de especifica¸c˜ao. Considere (X , Ψ) o fluxo de

              1 R

              suspens˜ao a altura 1. Suponha que Φ ∈ C(X

              1 ) satisfaz inf Φdµ : µ ∈ M Ψ (X 1 ) &lt;

              R sup Φdµ : µ ∈ M (X ) . Ent˜ao h top ( ˆ X , Ψ) = h top (Ψ).

              Ψ

              1

              1 Prova: Pelo lema 3.1.5, ˆ X = Z onde Z = ˆ X(ϕ, 1). Lembre que h top (Ψ) ´e o

              1

              1

              ´ unico n´ umero que satisfaz P top (−t) = 0. Pelo teorema 3.0.33, P Z (−t) = P top (f, −t) para todo t ∈ R, logo, h top (Ψ) ´e o ´ unico n´ umero tal que P Z (−t) = 0. Aplicando o teorema anterior temos os resultado.

              ✷ Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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              Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

              Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

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