Universidade Federal da Bahia

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

Superf´ıcies M´ınimas:

Estimativa de Curvatura e Convergˆ encia

  

Fabiana Alves dos Santos

  Salvador-Bahia Dezembro 2008 Superf´ıcies M´ınimas: Estimativa de Curvatura e Convergˆ encia Fabiana Alves dos Santos

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao Colegiado da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Salvador-Bahia Dezembro 2008 Santos, Fabiana Alves. Superf´ıcies M´ınimas: Estimativa de Curvatura e Con- vergˆ encia

  Salvador-BA, 2008.

  a a

  Orientadora : Prof . Dr . Ana Lucia Pinheiro Lima (UFBA). Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFBA, 53 p´aginas.

  Superf´ıcies M´ınimas: Estimativa de Curvatura e Convergˆ encia Fabiana Alves dos Santos

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao cole- giado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

  Aprovado em 10 de dezembro de 2008.

  Banca examinadora:

  Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima - Orientadora (UFBA) Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira (UFC) Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (UFBA)

  Aos meus pais, `as minhas irm˜as e `a mem´oria da minha querida av´o. Agradecimentos A Deus pela for¸ca di´aria.

  Aos meus pais e `as minhas irm˜as pelo apoio, confian¸ca e amor incondicional.

  ` A professora Ana Lucia pela orienta¸c˜ao, por ter acreditado em mim, por ter conduzido o desenvolvimento deste trabalho com sabedoria e paciˆencia e por ter sempre me oferecido o melhor.

  Aos professores Jorge Herbert de Lira e Enaldo Vergasta por participarem da banca examinadora deste trabalho e por suas sugest˜oes. A todos os professores do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal da Bahia por aumentarem meu encantamento por esta ciˆencia.

  ` As minhas queridas amigas Eliane, ´Isis, Manuela e Vanessa pela amizade e apoio nos ´ ultimos seis anos.

  ` As amigas n˜ao matem´aticas por compreenderem minha constante ausˆencia e pela presen¸ca nos momentos mais dif´ıceis e nos mais felizes.

  Aos funcion´arios do IM, a Tonha e a Tonho por me animarem mesmo nos dias de total desˆanimo.

  ` A minha av´o Pequena, tios, tias e primos pelo incentivo. Em especial `a tia Joana e Adriana pelo acolhimento.

  Ao colega Jo˜ao Paulo pela paciˆencia em tirar todas as minhas d´ uvidas com o L

  A TEX.

  ` A Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (CAPES) pelo apoio financeiro.

  E a todos que de alguma maneira contribuiram.

  “Grande coisa ´e haver recebido do c´eu uma part´ıcula de sabedo- ria, o dom de achar a rela¸c˜ao entre as coisas, a faculdade de as comparar e o talento de concluir.”

  Machado de Assis Resumo

  Neste trabalho, estudamos o artigo “On the Gauss Curvature of Non-Parametric Minimal Surfaces”de R. Finn e R. Osserman, publicado no J. Analyse Math., em 1964, que apresenta uma estimativa uniforme para a curvatura de Gauss de superf´ıcies m´ınimas

  3

  no espa¸co ambiente R . Para estabelecer tal resultado estudamos o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos e como consequˆencia dessa estimativa apresentamos um resultado de convergˆencia.

  Palavras-Chave : Superf´ıcies M´ınimas, Curvatura de Gauss, Convergˆencia. Abstract

  On this work, we study the paper “On the Gauss Curvature of Non-Parametric Mini- mal Surfaces”of R. Finn and R. Osserman, it was published at J. Analyse Math., in 1964,

  3

  this paper shows an uniform estimate to Gauss curvature of minimal surfaces en R . To establish this result we study the Dirichlet problem to minimal graphs equation and like consequence of this estimate we present a result of convergence.

  Key words : Minimal surfaces, Gauss curvature, Convergence. Sum´ ario

  Introdu¸ c˜ ao

  9

  1 Preliminares

  11

  2 Problema de Dirichlet para Gr´ aficos M´ınimos

  23

  3 Estimativa de Curvatura

  34

  4 Convergˆ encia de Superf´ıcies M´ınimas

  46 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  52 Introdu¸ c˜ ao

  Este trabalho est´a baseado no artigo “On the Gauss Curvature of Non-Parametric Minimal Surfaces” de R. Finn e R. Osserman, publicado no J. Analyse Math., em 1964. Nesse artigo ´e dada uma resposta para a seguinte pergunta.

3 Se S ´e um gr´afico m´ınimo em R , definido sobre um disco que cont´em a origem, ´e

  poss´ıvel limitar a curvatura de Gauss deste gr´afico na origem? A resposta ´e o teorema principal desta disserta¸c˜ao.

  Teorema (Finn-Osserman) Se uma superf´ıcie m´ınima S ´e representada na forma

  2

  2

  2

  z = f (x, y) sobre o disco x + y < R , ent˜ao a curvatura de Gauss K na origem satisfaz g (W )

  , |K| <

  2 R

  p

  2

  onde W = W (f ) = 1 + e g(W ) ´e dado por |∇f|

  " !# Ãr

  2

  µ ¶

  2

  2

  1 1 π W

  −1 − 1 g (W ) = 1 + + tan .

2 W

  2

  2

  2 Al´em disso, no caso em que S tem plano tangente horizontal na origem, isto ´e, W = 1,

  2

  π ent˜ao o valor de g(W ) ´e o melhor poss´ıvel.

  2 Uma primeira resposta para esta quest˜ao foi estabelecida por Heinz, em [He]. O resultado aqui estudado torna-se mais interessante por dar uma vis˜ao geom´etrica mais clara da raz˜ao pela qual de fato existe uma limita¸c˜ao uniforme para a curvatura de Gauss e por apresentar a melhor estimativa poss´ıvel no caso em que o plano tangente ´e horizontal.

  Para mostrar tal limita¸c˜ao, R. Finn e R. Osserman utilizam a superf´ıcie de Scherk como barreira para as demais superf´ıcies. Essa superf´ıcie atinge o valor extremo no caso em que o plano tangente ´e horizontal.

  Lembrando que a equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos ´e uma equa¸c˜ao diferencial parcial el´ıptica, podemos ent˜ao aplicar o princ´ıpio do m´aximo forte de Hopf para a solu¸c˜ao da resolver problemas de unicidade. Utilizaremos algumas vers˜oes do princ´ıpio do m´aximo para estabelecer nosso resultado. Ver Lema 1.6 e Teoremas 2.5 e 2.8.

  No caso das superf´ıcies m´ınimas, temos que quanto menor a curvatura de Gauss maior ser´a o raio do disco do plano tangente sobre o qual a superf´ıcie ´e gr´afico. Assim, uma limita¸c˜ao uniforme para a curvatura de Gauss ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para a convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas. A pr´oposito, ver Teorema 4.4.

  Este trabalho consta de quatro cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 apresenta uma s´erie de re- sultados relevantes que ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho, entre eles o Princ´ıpio do M´aximo para Gr´aficos M´ınimos, Lema 1.7 e a Descri¸c˜ao Local da Intersec¸c˜ao de Su- perf´ıcies M´ınimas, Teorema 1.9.

  No Cap´ıtulo 2, estudamos o problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao das superf´ıcies m´ınimas. Estudamos a existˆencia e a unicidade de solu¸c˜oes no caso em que a fun¸c˜ao que define o bordo ´e suave ou suave por partes, Teoremas 2.2, 2.3 e 2.5, e a unicidade de solu¸c˜oes para o caso em que consideramos dados infinitos no bordo do dom´ınio, Teorema

  2.8. Um exemplo deste tipo de superf´ıcie ´e a superf´ıcie de Scherk.

  O Cap´ıtulo 3 consiste basicamente da demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1, que ser´a dividida em trˆes partes. Primeiro, lidamos com o caso particular quando a superf´ıcie tem plano tangente horizontal na origem, Proposi¸c˜ao 3.2. Depois, o caso geral para qualquer posi¸c˜ao do plano tangente, Proposi¸c˜ao 3.6. Por fim, mostramos que a constante g(W ) ´e a melhor poss´ıvel, Proposi¸c˜ao 3.7. Ademais, aplicamos o Teorema 3.1 para dar uma demonstra¸c˜ao bastante simples do Teorema de Bernstein, Teorema 3.10.

  No Cap´ıtulo 4, estudamos a convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas. Primeiro, estu- damos um resultado cl´assico para a convergˆencia de gr´aficos m´ınimos, Teorema 4.1. E, ent˜ao, aplicamos a estimativa de curvatura estabelecida no Teorema 3.1, conseguindo estabelecer a convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, citamos alguns resultados sobre superf´ıcies m´ınimas que ser˜ao neces- s´arios para o desenvolvimento deste trabalho. Deduzimos a equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos, estabelecemos uma limita¸c˜ao local uniforme para a ´area de gr´aficos m´ınimos e, al´em disso, apresentamos o princ´ıpio do m´aximo e a descri¸c˜ao local da interse¸c˜ao entre superf´ıcies m´ınimas. Apresentamos tamb´em um desenvolvimento b´asico das ferramentas de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais que nos ser´a ´ util para a obten¸c˜ao de alguns resultados. Um estudo muito mais abrangente dessas ferramentas pode ser encontrado em [GT] ou [CH].

  3 Nosso primeiro objetivo ser´a definir superf´ıcies m´ınimas em R . Para isso, precisamos de alguns conceitos iniciais.

  3 Seja S uma superf´ıcie regular de R . Vamos supor ao longo do texto que a superf´ıcie

  2 S est´a orientada e denotar por N : S a sua aplica¸c˜ao de Gauss. Ou seja, N ´e um

  → S campo normal e unit´ario definido sobre a superf´ıcie, de modo que, para cada ponto p ∈ S, o plano tangente a S em p ´e dado por

  3 T p S = ; {v ∈ R hv, N(p)i = 0}.

  2 Dizemos que o conjunto imagem N (S) ´e a imagem esf´erica da superf´ıcie e

  ⊂ S cont´em todas as dire¸c˜oes que s˜ao perpendiculares `a superf´ıcie. Portanto, sua ´area ´e uma

  

3

medida de quanto a superf´ıcie se curva em R .

  Para cada ponto p ∈ S, a aplica¸c˜ao N ´e diferenci´avel e a derivada da aplica¸c˜ao de

  Gauss com respeito a um vetor v p S ´e dada por ∈ T d ¯

  ¯ dN N p (v) = (α(t)), t

  =0

  dt

  ′

  onde α : I (0) = v. Como N

  → S ´e uma curva qualquer em S tal que α(0) = p e α ´e unit´ario, isto ´e, p (v), N (p) p S . hN(p), N(p)i = 1, temos que hdN i = 0, para todo v ∈ T

2 S

  S Podemos ent˜ao identificar T p com T p e assim, a derivada dN p de N em p

  ∈ S determina S S uma aplica¸c˜ao linear A p : T p p definida por

  → T A p (v) = p (v)

  −dN que ´e chamada endormorfismo de Weingarten de S.

  Afirma¸ c˜ ao 1.1.

  Para cada p p ´e um aplica¸c˜ao linear autoadjunta.

  ∈ S, a aplica¸c˜ao A , A

  1 2 i = he

  1 2 i para uma

  De fato, como A p ´e linear, basta mostrar que p (e ), e p (e ) hA

  base , e p S . Sejam X(u, v) uma parametriza¸c˜ao de S em p e u (u, v), X v (u, v)

  1

  2

  {e } de T {X }

  S a respectiva base coordenada de T p . Considerando o campo N (u, v) = (N ◦ X)(u, v)

  S normal a T p , temos que A p (X u ) = p (X u ) = N u e A p (X v ) = p (X v ) = N v .

  −dN −dN Agora, derivando as igualdades u v , N , N hX i = 0 e hX i = 0 em rela¸c˜ao a v e a u, respectivamente, temos uv , N u , N v (1.1) hX i + hX i = 0 e uv , N v , N u (1.2) hX i + hX i = 0.

  Subtraindo (1.2) de (1.1), temos u , N v v , N u hX i = hX i isto ´e, p (X u ), X v u , A p (X v ) hA i = hX i.

  S Logo A p ´e autoadjunta em T p . O pr´oximo teorema diz que, dada uma aplica¸c˜ao linear autoadjunta A : V

  → V , onde V ´e um espa¸co vetorial, existe uma base ortonormal de V tal que a matriz de A relativa a esta base ´e uma matriz diagonal. Ele nos permitir´a encontrar o m´aximo e o m´ınimo da Teorema 1.2 (Teorema Espectral). Seja A : V

  → V uma aplica¸c˜ao linear autoadjunta, onde V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao dois. Ent˜ao existem uma base ortonormal , e , k e e , e tais que A(e ) = k e A(e ) = k , isto ´e, e s˜ao

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  2

  {e } de V e n´umeros reais k , k , e autovetores e k

  1 2 s˜ao autovalores de A. Na base

  1

  2

  {e } a matriz de A ´e diagonal e os valores k , k da diagonal, k , s˜ao o m´aximo e o m´ınimo, respectivamente, da forma

  1

  2

  1

  2

  ≥ k quadr´atica Q(v) = hA(v), vi sobre o c´ırculo unit´ario de V , isto ´e, sobre {v ∈ V ; |v| = 1}.

  Agora, para cada p ∈ S, aplicando o Teorema Espectral ao endomorfismo de Wein-

  1 2 p , tal que

  , e S garten A p , garantimos que existe uma base ortonormal

  {e } de T A e e . p (e ) = k e A p (e ) = k

  1

  1

  1

  2

  2

  2 Os autovalores de A p , k (p) e k (p), s˜ao chamados curvaturas principais da superf´ıcie S

  1

  2 no ponto p.

  Como dimS = 2, associados `a aplica¸c˜ao A existem dois invariantes alg´ebricos, a p saber, o tra¸co e o determinante, que s˜ao de especial importˆancia em Geometria Diferencial. Assim, a metade do tra¸co de A p define a curvatura m´edia H da superf´ıcie S no ponto p e seu determinante, a curvatura de Gauss K de S no ponto p, que s˜ao dados por k

  1

  1 (p) + k 2 (p)

  H tr (p) = (A p ) =

  2

  2 e K

  (p) = det(A p ) = k

  1 (p)k 2 (p).

  Observamos que, se mudarmos a orienta¸c˜ao da superf´ıcie, o determinante n˜ao muda. O tra¸co, contudo, muda de sinal. k

  No caso em que a superf´ıcie ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao u : Ω (Ω), k → R, u ∈ C ≥ 2,

  2

  com Ω sendo um dom´ınio aberto de R , temos as seguintes express˜oes para as curvaturas m´edia e de Gauss

  2

  2

  (1 + u )u yy x u y u xy + (1 + u )u xx 1 x y − 2u

  H = 3 (1.3)

  2 2

  2 (1 + )

  |∇u| e

  2

  u xx u yy xy − u K = .

  2

  2

  (1 + ) |∇u|

  Uma superf´ıcie regular ´e dita m´ınima se a sua curvatura m´edia ´e identicamente nula, isto ´e, k (p) = (p), para todo p

  1

  2

  −k ∈ S. Para o caso de gr´aficos, ´e necess´ario e suficiente que, a fun¸c˜ao u satisfa¸ca Originalmente a palavra m´ınima est´a relacionada com o seguinte problema proposto pelo matem´atico J. L. Lagrange, em 1760: “Dada uma curva fechada C (sem autoint- erse¸c˜oes), achar a superf´ıcie de ´area m´ınima que tem esta curva como fronteira”. Lagrange apresentou este problema sumariamente, como um mero exemplo de um m´etodo, por ele desenvolvido, para achar curvas ou superf´ıcies que minimizassem certas quantidades, tais como ´area, comprimento e energia, entre outros.

  Na verdade, superf´ıcies com H ≡ 0 s˜ao pontos cr´ıticos para o funcional ´area, n˜ao sendo poss´ıvel garantir que s˜ao de fato um m´ınimo relativo e muito menos m´ınimo absoluto de

  ´area. Se a superf´ıcie S ´e um m´ınimo relativo para o funcional ´area, ela ser´a chamada de est´avel e dizemos que a superf´ıcie S ´e minimizante para a ´area se a sua ´area for menor ou igual `a ´area de qualquer outra superf´ıcie que tenha a mesma fronteira, ou seja, se for um m´ınimo absoluto para o funcional ´area.

  Supondo que a superf´ıcie S ´e um gr´afico, vamos mostrar que o fato de S ser um ponto cr´ıtico para o funcional ´area ´e equivalente a H ≡ 0. Para tanto utilizamos o Teorema da Divergˆencia, o qual ´e um resultado bastante geral e muito importante. Ele reduz o c´alculo de uma integral ao longo de uma regi˜ao simples a uma integral de linha ao longo de sua fronteira. Por regi˜ao simples, ou de Jordan, D

  ⊂ S entende-se uma regi˜ao conexa cuja fronteira ´e uma curva fechada simples e cuja aderˆencia, em S, ´e homeomorfa a um disco plano fechado. Se a fronteira de D for regular por partes, D tamb´em se diz uma regi˜ao poligonal. A seguinte vers˜ao do Teorema da Divergˆencia ser´a suficiente para as nossas necessidades. Sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [MS], p. 192.

  Chamamos de vetor conormal unit´ario em um ponto p do bordo de uma superf´ıcie S

  , e denotaremos por ν u (p), um vetor unit´ario tal que ν S u (p) p e ν u (p) p (∂S).

  ∈ T ⊥T A componente de ν u na dire¸c˜ao do eixo Oz ser´a denotada por (ν u ) , ou seja, (ν u ) =

  3

  3 u = (0, 0, 1).

  , e

  3

  3

  hν i, com e

  Teorema 1.3 (Teorema da Divergˆencia). Seja X um campo de vetores tangentes em S,

  e D ⊂ S uma regi˜ao poligonal. Ent˜ao

  Z Z divXdσ = D γ hX, νids,

  • u

  X (t, (x, y)) = (x, y, u(x, y) + tη(x, y)) ´e uma varia¸c˜ao de Graf(u) que fixa o bordo.

  Ao longo do texto, usaremos a nota¸c˜ao W (u) = p 1 +

  |∇u|

  2

  . Assim, A (Graf(u)) =

  Z

  Ω W (u)dA.

  Considere uma fun¸c˜ao η : Ω ⊂ R

  2

  → R, η ∈ C

  2

  (Ω), tal que η se anula no bordo de Ω. Assim, a varia¸c˜ao X : (

  −ǫ, ǫ) × Ω → R

  3

  dada por

  A ´area do gr´afico de (u + tη)(x, y) ´e A

  p 1 + |∇u|

  (Graf(u + tη)) = Z

  Ω

  p 1 + |∇u + t∇η|

  2 dA.

  Assim, d dt

  ¯ ¯ t =0

  A (Graf(u + tη)) =

  Z

  

  h∇η, ∇u + t∇ηi p 1 +

  |∇u + t∇η|

  2

  dA ¯ ¯ t =0

  , o que nos d´a d ¯

  2 dA.

  Ω

  Seja D ⊂ S um dom´ınio em uma superf´ıcie regular S ⊂ R

  =0

  3

  . Uma varia¸c˜ao de D ´e uma aplica¸c˜ao X : ( −ǫ, ǫ) × D → R

  3

  de classe C

  ∞

  , para ǫ > 0, tal que

  1. cada aplica¸c˜ao X t : D

  → R

  3

  definida por X t (p) = X(t, p) ´e uma imers˜ao; 2. X (D) = D.

  Dizemos que uma varia¸c˜ao fixa o bordo, ∂D, se, para todo p ∈ ∂D, X t (p) = X (p).

  Denotamos por ξ (p) =

  ∂X t (p) ∂t

  ¯ ¯ t

  o vetor varia¸c˜ao de X t para p ∈ D.

  Z

  Uma varia¸c˜ao ´e dita normal se, para todo p ∈ D, o vetor varia¸c˜ao ´e da forma

  ξ (p) = f (p)N (p), onde f : S → R ´e uma fun¸c˜ao C

  ∞ .

  Seja u : Ω ⊂ R

  2

  → R uma fun¸c˜ao de classe C

  2

  . A ´area do gr´afico de u ´e dada por A

  (Graf(u)) = Z

  Ω

  q 1 + u

  2 x

  2 y

  dA =

  ¯ Z h∇u, ∇ηi Por outro lado, µ ¶ ¿ À µ ¶

  ∇u ∇u ∇u div η = , + ηdiv . (1.5) ∇η

  W (u) W (u) W (u) Substituindo (1.5) em (1.4), temos

  · µ ¶ µ ¶¸ Z d ¯

  ∇u ∇u ¯ A η dA.

  (Graf(u + tη)) = div (1.6) t

  − ηdiv

  =0

  dt W (u) W (u)

  Ω

  Aplicando o Teorema da Divergˆencia em (1.6) e lembrando que η | ∂Ω ≡ 0 conclu´ımos que µ ¶

  Z d ¯ ∇u

  ¯ A η dA.

  (Graf(u + tη)) = div t

  =0

  dt W (u)

  Ω

  Portanto, Graf(u) ´e um ponto cr´ıtico para o funcional ´area se, e somente se, µ ¶

  Z ∇u

  η dA div = 0, para todo η. −

  W (u)

  Ω

  Ou seja, se, e somente se, u satisfaz µ ¶

  ∇u div = 0. (1.7) W (u)

  Agora, µ ¶ µ ¶ µ ¶ u x u y

  ∇u div = + W (u) W (u) W (u) x y

  2

  2

  (1 + u )u yy x u y u xy + (1 + u )u xx x y − 2u

  = 2 3 .

  2

  (1 + ) |∇u|

  µ ¶ ∇u

  Portanto, div = 0 se, e somente se, W (u)

  2

  2

  u u (1 + u )u yy x y xy + (1 + u )u xx = 0, (1.8) x − 2u y o que, pela igualdade (1.3), equivale a H

  ≡ 0 sobre o gr´afico de u. Com isto mostramos que Graf(u) ser um ponto cr´ıtico para o funcional ´area ´e equiv- alente a H

  ≡ 0 sobre o gr´afico de u. A equa¸c˜ao (1.8) ´e chamada equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos (EGM) e a equa¸c˜ao (1.7) ´e a sua forma divergente.

  Nosso objetivo agora ´e mostrar que o gr´afico de uma fun¸c˜ao satisfazendo a EGM

  2

  sobre um dom´ınio convexo Ω , n˜ao s´o ´e um ponto cr´ıtico para o funcional ´area, mas ⊂ R

  3

  ´e na verdade a superf´ıcie de menor ´area dentre todas em R de mesmo bordo, ou seja, gr´afico m´ınimo sobre dom´ınio convexo ´e minimizante para a ´area.

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.

  Todo gr´afico m´ınimo ´e est´avel. Demonstra¸ c˜ ao. Considere ω uma 2-forma sobre Ω

  × R que, para quaisquer campos de

  3

  vetores X, Y , ´e dada por ∈ R

  ω (X, Y ) = det(X, Y, N ), onde ( x , y , 1)

  −u −u N = .

  W (u)

  ½ ¾ ∂ ∂ ∂

  3 Observe que, para a base canˆonica , , de R , temos

  ∂x ∂y ∂z   1 0 x

  −u µ ¶

    ∂ ∂

  1

  1  

  ω , = det = , 0 1  y 

  −u ∂x ∂y W (u) W (u)

    0 0 1   0 0 x

  −u µ ¶

    ∂ ∂ 1 x

  −u  

  ω , = det = 1 0 y

    −u

  ∂y ∂z W (u) W (u)   0 1 1 e

    1 0 x −u

  µ ¶  

  ∂ ∂ u 1 y  

  ω , .

  = det = 0 0 y  

  −u ∂x ∂z W W

  (u) (u)   0 1 1

  Da´ı, dx y dx x dy ∧ dy + u ∧ dz − u ∧ dz

  ω =

  W (u) que ´e o elemento de ´area de Graf(u).

  Al´em disso, #

  "µ ¶ µ ¶ x y −u −u

  = + dω dx ∧ dy ∧ dz

  W W (u) (u) x y

  · µ ¶ µ ¶¸ ∂ u ∂ u x y dx

  = − ∧ dy ∧ dz

  • ∂x W ∂y W (u) (u)

  · µ ¶¸ ∇u

  = div dx − ∧ dy ∧ dz.

  W (u)

  Uma vez que u ´e uma solu¸c˜ao da EGM, conclu´ımos que · µ ¶¸

  ∇u Logo, a forma ω ´e fechada, ou seja, existe uma 1-forma α tal que dα = ω.

  Agora, dados quaisquer vetores unit´arios ortogonais X, Y num ponto (x, y, u(x, y)), temos |ω(X, Y )| = | det(X, Y, N)| = |hX ∧ Y, Ni| ≤ |X ∧ Y ||N| ≤ 1 e a igualdade ocorre se, e somente se, X

  ∧ Y ´e paralelo a N, isto ´e, se, e somente se, X, Y Graf(u).

  

(x,y,u(x,y))

  ∈ T Se S

  ⊂ Ω × R ´e uma outra superf´ıcie tal que ∂S = ∂Graf(u), como ω ´e o elemento de ´area de Graf(u) e ω ´e uma forma fechada, temos pelo Teorema de Stokes, [EL], p. 488, que

  Z Z Z Z A ω α α ω

  (Graf(u)) = = = =

  Graf(u) ∂ Graf(u) ∂S S

  ¯ ¯ Z Z Z

  ¯ ¯ ¯ ¯

  ω 1 = A(S), ≤ |ω| ≤

  ¯ ¯ ≤ S S S ou seja, A (Graf(u)) (1.9) ≤ A(S). Isto mostra que gr´aficos m´ınimos s˜ao m´ınimos relativos para o funcional ´area, isto ´e, gr´aficos s˜ao est´aveis.

  ¥ Vamos agora estabelecer uma limita¸c˜ao local uniforme para a ´area de gr´aficos m´ınimos, essa limita¸c˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para os resultados de convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas que ser˜ao estabelecidos no Cap´ıtulo 4.

  Afirma¸ c˜ ao 1.5.

  Existe uma limita¸c˜ao local uniforme para a ´area de gr´aficos m´ınimos.

2 De fato, se Ω cont´em um disco de raio r, denotado por D r , considere uma

  ⊂ R

  3

  bola B r em R que intercepta Graf(u) e tem como proje¸c˜ao D r . Ent˜ao, uma vez que ∂B r r em duas componentes das quais pelo menos uma tem ´area no

  ∩ Graf(u) divide ∂B

2 A

  (S )

  2

  2

  3

  r m´aximo igual a , sendo S ´e a esfera unit´aria em R , temos de (1.9) a seguinte 2 estimativa

  2 A (S )

  2 A (B r r ,

  ∩ Graf(u)) ≤

  2 o que prova a afirma¸c˜ao.

  Agora vamos supor que o dom´ınio Ω ´e convexo, e vamos garantir que um gr´afico

  3

  3

  proje¸c˜ao P : R no ponto mais pr´oximo de Ω → Ω × R que leva cada ponto x ∈ R × R.

  Observe que P restrita a Ω × R ´e a identidade.

  3 ′ Sejam S uma outra superf´ıcie regular, com ∂S = ∂Graf(u) e S = P (S).

  ⊂ R

  ′ ′

  Claramente A(S ) ≤ A(S), pois S ⊂ Ω × R e S pode se estender al´em de Ω × R. Al´em

  ′ ′

  disso, ∂S = ∂S = ∂Graf(u). Ent˜ao, aplicando (1.9) a S , temos

  ′

  A (Graf(u)) ) ≤ A(S ≤ A(S).

  Conclu´ımos assim, que gr´aficos m´ınimos sobre dom´ınios convexos s˜ao m´ınimos abso- lutos para o funcional ´area. Uma equa¸c˜ao diferencial parcial ´e uma express˜ao que relaciona n vari´aveis x , x , . . . , x n ,

  1

  2

  , x , . . . , x uma fun¸c˜ao u(x n ) e um n´ umero finito de suas derivadas parciais. A ordem de

  1

  2 uma EDP ´e a ordem da maior deriva¸c˜ao que ocorre na equa¸c˜ao.

  Consideraremos EDP’s de segunda ordem represent´aveis na forma n n

  X ∂ u ∂u a

2 X

  b i,j i ∂x ∂x ∂x i j i

  • ij i + cu = d,

  =1 =1 ∞

  onde a ij , b i , c e d s˜ao fun¸c˜oes de classe C somente de x = (x , x , . . . , x n ), definidas em n

  1

  2 Ω , e a matriz (a ij ) ´e sim´etrica, ou seja, a ij = a ji .

  ⊂ R Podemos representar essa equa¸c˜ao por Lu = d, sendo que L ´e o operador definido por n n

  X ∂ ∂ a b

2 X

  • ij i + c i,j i

  ∂x i ∂x j ∂x i

  =1 =1

  Se a matriz (a ij ) ´e positiva, isto ´e, se seus auto-valores s˜ao todos n˜ao-nulos e tˆem todos o mesmo sinal, ent˜ao L ser´a dito el´ıptico em Ω. Como o determinante de uma matriz independe da base na qual ela est´a escrita, no caso onde n ´e par, a defini¸c˜ao de operador el´ıptico ´e equivalente ao fato do determinate da matriz (a ij ) ser positivo. O operador L ser´a uniformemente el´ıptico se existir uma constante λ > 0 tal que

2 X

  2

  a ij (x)ξ i ξ j ij n ≥ λ|ξ| para todo ξ = (ξ , . . . , ξ n ) pertencente ao R e para todo x em Ω, o que significa que a

  1 matriz (a ij ) tem menor auto-valor maior ou igual a λ.

  Estamos interessados no princ´ıpio do m´aximo para equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem, classifica¸c˜ao que engloba a EGM deduzida anteriormente. Este resultado ´e muito importante para o estudo de problemas de unicidade para superf´ıcies m´ınimas. Ele foi Teorema 1.6.

  Seja L um operador uniformemente el´ıptico em um dom´ınio Ω. Assuma

  2 que Lu (Ω). As seguintes afirma¸c˜oes valem.

  ≥ 0 para uma fun¸c˜ao u ∈ C

  1. Se c

  ≡ 0 e u atinge seu m´aximo no interior de Ω, ent˜ao u ´e constante;

  2. Se c

  ≤ 0 e u atinge seu m´aximo em Ω e esse m´aximo ´e n˜ao-negativo, ent˜ao u ´e constante.

  Uma vers˜ao deste princ´ıpio para gr´aficos m´ınimos ´e dada pelo seguinte lema. n

  −1

Lema 1.7 (Princ´ıpio do M´aximo para Gr´aficos M´ınimos). Sejam Ω um aberto

  ⊂ R conexo e 0 ∈ Ω. Se u, v : Ω → R s˜ao solu¸c˜oes da EGM com u ≤ v e u(0) = v(0), ent˜ao u

  = v. Demonstra¸ c˜ ao. Sendo que

  W (v)

  ∇u ∇v ∇u − W (u)∇v + W (v)∇v − W (v)∇v =

  − W (u) W (v) W (u)W (v)

  W (v)( ∇u − ∇v) + (W (v) − W (u))∇v

  = W (u)W (v)

  (W (u) + W (v))(W (u) ∇(u − v) − W (v))

  = − ∇v

  W (u) (W (u) + W (v))W (u)W (v)

  ∇(u − v) h∇(u − v), ∇(u + v)i =

  − ∇v, W

  (u) (W (u) + W (v))W (u)W (v) e como u e v satisfazem a EGM, temos µ ¶

  ∇u ∇v 0 = div −

  W (u) W (v) µ ¶ µ ¶

  ∇(u − v) h∇(u − v), ∇(u + v)i . = div

  − div ∇v W

  (u) (W (u) + W (v))W (u)W (v)

  1 ∇(u + v)

  Fazendo w = u e β = , temos − v, α =

  (W (u) + W (v))W (u)W (v) W (u) 0 = div(β ∇w) − div(h∇w, αi)∇v)

  = h∇β, ∇wi + βdiv(∇w) − h∇(∇w, α), ∇vi − h∇w, αidiv(∇v) = βdiv( ∇w) − h∇(h∇w, αi), ∇vi + h∇β − αdiv(∇v), ∇wi.

  Da´ı, conclu´ımos que w satisfaz uma equa¸c˜ao do tipo

  2

  2 X

  X i,j i i j i + 0 = a ij w x x b i w x . Como os coeficientes a ij dependem de W (u) e W (v) ent˜ao, para |∇u| e |∇v| suficien- temente pequenos, podemos encontrar λ > 0 tal que

  

2

X

  2

  λ a x x , ij i j |x| ≤ ij para todo x

  ∈ Ω\(0, 0). Logo, podemos aplicar o Teorema 1.6 `a fun¸c˜ao w. Assim, como w = u

  − v ≤ 0 e w(0) = u(0) − v(0) = 0 conclu´ımos que w assume um m´aximo interior e portanto w ¥ ≡ 0 em Ω, ou seja, u ≡ v em Ω.

  Como superf´ıcies s˜ao localmente escritas como gr´aficos de fun¸c˜oes, este lema tem como consequˆencia imediata o Princ´ıpio do M´aximo para Superf´ıcies M´ınimas, que enun- ciaremos agora.

  3 Corol´ ario 1.8 (Princ´ıpio do M´aximo para Superf´ıcies M´ınimas). Se S e S s˜ao

  1

  2

  ⊂ R superf´ıcies m´ınimas completas conexas (sem bordo), S est´a acima de S ,

  1

  2

  2

  1

  ∩ S 6= ∅ e S ent˜ao S = S .

  1

2 O pr´oximo teorema diz como deve ser a vizinhan¸ca de um ponto de tangˆencia entre duas superf´ıcies m´ınimas. Para demonstra¸c˜ao ver [CM], p. 103.

  Dizemos que duas superf´ıcies S e S , com um ponto p em comum, tˆem um contato

  1

  2

  de ordem n em p se existem parametriza¸c˜oes X (u, v) e X (u, v) em p de S e S , respec-

  1

  2

  1

  2

  tivamente, tais que todas as suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a n − 1 coincidem em p.

  Teorema 1.9 (Descri¸c˜ao Local para a Interse¸c˜ao de Superf´ıcies M´ınimas). Suponha que as

  3

  superf´ıcies S , S s˜ao m´ınimas, conexas, sem autointerse¸c˜oes, que n˜ao coincidem em

  1

  2

  ⊂ R um conjunto aberto. Ent˜ao, a interse¸c˜ao de S e S ´e transversal exceto em um conjunto

  1

  2

  de pontos isolados E. Dado x ∈ E existem um inteiro n ≥ 2 e uma vizinhan¸ca de x em

  U onde a interse¸c˜ao consiste de 2n arcos mergulhados que se encontram transversalmente em x.

  O inteiro n do teorema acima ´e a ordem de contato entre as duas superf´ıcies. Apresentaremos a seguir um corol´ario que ser´a essencial na demonstra¸c˜ao dos resul- tados de convergˆencia do Cap´ıtulo 4. Usaremos a seguinte nota¸c˜ao.

  2 ∞

  Sejam Ω um aberto e u (Ω). Dado um multi-´ındice α = (a, b), com ⊂ R ∈ C

  a, b ∈ N ∪ {0}, definimos a α-´ezima derivada parcial de u por

  |α|

  ∂ u Este color´ario nos d´a uma limita¸c˜ao uniforme para as derivadas parciais de fun¸c˜oes

  1

  cujo gr´afico apresenta curvatura m´edia H pelo menos C . Ele ´e consequˆencia de uma s´erie de resultados e pode ser encontrado em [GT], p. 407. m

  2 Corol´ ario 1.10.

  Sejam Ω um dom´ınio em R e u uma fun¸c˜ao em C (Ω) cujo gr´afico k k

  • 1

  tem curvatura m´edia H (Ω), k (Ω) e, para cada x ∈ C ≥ 1. Ent˜ao u ∈ C ∈ Ω e cada multi-´ındice α com

  |α| = k + 1, temos α u (x) |D | < C, com C = C(m, k, k, , d, sup

  Ω |H| |u|), d = dist(x, ∂Ω).

  ∞

  Observe que no caso das superf´ıcies m´ınimas temos H (Ω) e ≡ 0, logo H ∈ C portanto, o resultado vale para todo multi-´ındice.

  Por raz˜oes de completude enunciaremos a seguir o teorema de Sard, que nos diz que, dada fun¸c˜ao diferenci´avel u : Ω → R as singularidades de u, ou seja, os pontos onde o gradiente de u se anula, formam um conjunto de medida nula. Por isto, podemos considerar, sem perda de generalidade, que todos os pontos de u(Ω)

  ⊂ R s˜ao valores regulares de u. Sua demonstra¸c˜ao encontra-se em [Mi], p. 10.

  2 ∞

  

Teorema 1.11 (Sard). Sejam Ω um dom´ınio e u : Ω . Ent˜ao

  ⊂ R → R uma fun¸c˜ao C o complementar do conjunto dos valores regulares de u tem medida nula em R.

  As solu¸c˜oes da EGM s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas, por isso podemos aplicar a elas o Princ´ıpio da Extens˜ao Anal´ıtica, o qual nos assegura que, se duas superf´ıcies m´ınimas coincidem em um aberto, elas ser˜ao iguais. Para demonstra¸c˜ao, ver [Li], p. 111.

  Teorema 1.12 (Princ´ıpio da Extens˜ao Anal´ıtica). Sejam f, g : U

  ⊂ C → C fun¸c˜oes anal´ıticas, onde U ´e um aberto conexo. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes. f

  (i) ≡ g em U.

  (n) (n) (ii) Existe z (z ) = g (z ).

  ∈ U tal que, para todo n ≥ 0, f (iii) Existe um aberto n˜ao vazio V .

  | V | V

  ⊂ U tal que f ≡ g Cap´ıtulo 2 Problema de Dirichlet para Gr´ aficos M´ınimos

  Neste cap´ıtulo estudaremos princ´ıpios do m´aximo que determinam a unicidade de solu¸c˜oes para o problema de Dirichlet para a EGM nos casos em que a fun¸c˜ao que define o bordo da superf´ıcie ´e suave, suave por partes ou assume valores infinitos. Os teoremas deste cap´ıtulo aparecem, numa vers˜ao mais geral, em [Pi].

  2 Seja Ω um dom´ınio limitado de R , com bordo ∂Ω suave por partes. O problema de

  3 Dirichlet em R para a EGM em Ω consiste em determinar uma fun¸c˜ao u : Ω

  → R que, no dom´ınio Ω, satisfaz a EGM µ ¶

  ∇u Lu

  = div = 0, W (u) e que em ∂Ω assume valores de uma fun¸c˜ao f : ∂Ω

  → R dada a priori. Seja F uma classe de fun¸c˜oes suaves por partes definidas de ∂Ω em R. O problema de Dirichlet ´e dito bem posto para valores no bordo na classe F se existe uma ´ unica solu¸c˜ao para este problema, qualquer que seja f em F.

  O problema de Dirichlet para a EGM em Ω ´e bem posto se, e somente se, Ω ´e convexo. No caso em que o dom´ınio n˜ao ´e convexo, sempre existe uma fun¸c˜ao f para a qual o problema de Dirichlet ´e n˜ao sol´ uvel, ver [Ni].

  O problema de Dirichlet para a EGM est´a relacionado ao chamado problema de Plateau, que fundamenta-se em determinar uma superf´ıcie m´ınima cujo bordo ´e uma dada curva fechada sem autointerse¸c˜oes. Esses dois problemas s˜ao equivalentes se no problema de Plateau exigirmos que a superf´ıcie seja gr´afico.

2 Quando Ω ´e um aberto convexo tal que o bordo de Ω ´e uma curva suave por

  ⊂ R partes, temos que o bordo de Ω × R ´e mean-convex suave por partes. Isto ´e, ∂Ω × R

  ´e formado por um n´ umero finito de superf´ıcies suaves, com ˆangulo entre elas menor ou igual a π, cada uma com curvatura m´edia n˜ao-negativa com respeito ao vetor normal apontando para dentro. A existˆencia de solu¸c˜ao mergulhada para o problema de Plateau quando a curva do bordo ´e homotopicamente nula foi dada por W. Meeks III e S.-T.-Yau, em [MY1] e [MY2]. Eles afirmam que Ω

  × R ´e uma boa barreira para resolver o problema de Plateau.

  

Teorema 2.1 (Meeks-Yau). Seja M uma 3-variedade Riemanianna completa com bordo

  mean-convexo suave por partes. Seja Γ uma curva fechada simples em ∂M que ´e homo- topicamente nula em M . Ent˜ao existe um disco mergulhado S ⊂ M, com ∂S = Γ, que minimiza ´area dentre todos os discos com o mesmo bordo.

  Em 1930, T. Rad´o mostrou que esta solu¸c˜ao ´e gr´afico quando seu bordo ´e gr´afico sobre uma curva plana convexa.

  3 Teorema 2.2 (Rad´o). Seja S uma superf´ıcie m´ınima compacta em R cujo bordo ´e uma

  curva de Jordan que ´e projetada difeomorficamente sobre uma curva convexa C ⊂ {z = 0}. Ent˜ao S ´e gr´afico sobre o dom´ınio Ω delimitado por C.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Uma vez que C ´e convexa, podemos usar planos como barreiras para concluir que S est´a contida no cilindro s´olido Ω

  × R. Suponha por absurdo que S n˜ao ´e gr´afico, ou seja, que existem pontos a, b em S com a mesma proje¸c˜ao sobre Ω e com z >

  (a) > z(b). Isto significa que existe t 0 tal que z(a) = t + z(b). Como S ´e limitada, podemos considerar a superf´ıcie transladada S + t e que n˜ao toca S. Em particular,

  1

  3

  z (a) < z(b) + t deve acontecer.

  1 Fazemos t 1 variar continuamente at´e que ocorra o primeiro ponto de contato entre as

  superf´ıcies S + te e S, para algum t. Como t

  3

  ≥ z(a) − z(b) > 0, este ponto de contato n˜ao pode estar no bordo das superf´ıcies, ou seja, o ponto de contato ocorre no interior de ambas as superf´ıcies, o que contradiz o Lema 1.7. Assim, conclu´ımos que S ´e gr´afico sobre Ω.

  ¥ Usando a vers˜ao do princ´ıpio do m´aximo para superf´ıcies com bordo, mostra-se que u ´e suave em toda parte, isto ´e, que o vetor normal a S n˜ao ´e horizontal em ponto algum O resultado de Rad´o pode ser enunciado considerando o bordo da superf´ıcie projetado paralelamente sobre um plano P qualquer. Al´em disso, o resultado se estende ao caso em que a proje¸c˜ao, em vez de ser paralela, ´e central, isto ´e, em vez de considerarmos a intersec¸c˜ao de P com um cilindro que cont´em o bordo da superf´ıcie, consideramos a intersec¸c˜ao de P com um cone que cont´em o bordo.

  O pr´oximo teorema garante que, quando a curva ´e suave por partes, ou possui seg- mentos verticais, e sua proje¸c˜ao sobre algum plano ´e convexa, ent˜ao a solu¸c˜ao do problema de Plateau ´e um gr´afico sobre o interior de Ω Teorema 2.3.

  Seja Ω um dom´ınio convexo limitado do plano. Considere um conjunto , . . . , P finito de pontos E =

  1 k

  {P } no bordo de Ω, de modo que ∂Ω − E seja formado por

  1

  curvas suaves. Seja Γ por partes tal que Γ i ⊂ ∂Ω × R, curva C ∩ {P × R}, i = 1, . . . , k,

  ´e um segmento de reta. Ent˜ao existe um gr´afico m´ınimo em Ω com valores cont´ınuos em ∂

  Ω − E. Demonstra¸ c˜ ao. Como ∂(Ω

  × R) ´e mean-convexo, pelo Teorema 2.1 existe um disco m´ınimo mergulhado S ⊂ D × R com bordo Γ. Vamos mostrar que tal S ´e um gr´afico sobre Ω.

  Afirma¸ c˜ ao 2.4. Para todo ponto p no interior de S, o plano T p S n˜ao ´e vertical.

  S Suponha, por absurdo, que existe p p ´e vertical. Ent˜ao π

  ∈ int(S) tal que π = T possui uma base , v = (0, 0, 1) e v um vetor horizontal tal que

  3

  3

  {e }, com e |v| = 1.

3 Como transla¸c˜oes s˜ao isometrias de R , podemos transladar S de modo que tenhamos

  p ∈ {z = 0}. Sabemos que existe uma ´unica reta r de {z = 0} passando por p na dire¸c˜ao de v. Pela convexidade de Ω, a reta r intersecta ∂Ω em exatamente dois pontos.

  3 Por outro lado, o plano π tamb´em ´e uma superf´ıcie m´ınima em R

  e, como π e S s˜ao tangentes em p, usando o Teorema 1.9, podemos garantir que em uma vizinhan¸ca de p a intersec¸c˜ao I entre π e S ´e formada por, no m´ınimo, quatro arcos partindo de p.

  Suponhamos inicialmente que dois destes arcos se intersectam no interior de S, for- mando um curva fechada α. Como α ⊂ S ∩ π e S ´e um disco, conclu´ımos que existe um disco D S S fosse plano ter´ıamos S ⊂ S cujo bordo ´e α. Caso o disco D ≡ π, absurdo. Logo D S n˜ao ´e plano e ent˜ao, existe um ponto q S tal que a dist˜ancia entre D S e π ´e

  ∈ D m´axima, e tal dist˜ancia ´e estritamente positiva.

  2 Seja R a regi˜ao convexa do dom´ınio Ω limitada por r e ∂Ω que cont´em a

  ⊂ R proje¸c˜ao do ponto q S e seja β = ∂R ∈ D ∩ ∂Ω. Fixando um ponto y ∈ β, parametizamos esta curva por β : [

  −1, 1] → Ω, onde β(0) = y e β(1), β(−1) s˜ao os pontos da intersec¸c˜ao de r com ∂Ω. Consideremos a folhea¸c˜ao de R dada por F = t , sendo β t : [0, 1]

  0≤t≤1

  {β } → R o ´unico segmento de reta em R ligando os pontos β(t) e β( −t).

  r . q b(1) b t

  R W b(-1)

  < Ent˜ao, fazendo t variar de 0 a 1, existe um t 1, tal que a superf´ıcie plana β t

  × R toca o disco D S t ⊂ S no ponto q ∈ int(S). Isto implica, pelo Lema 1.7, que S = β × R. Absurdo.

  Como S ´e uma superf´ıcie com bordo Γ, as curvas do conjunto fechado I formado pela intersec¸c˜ao das superf´ıcies S e π se estendem at´e Γ, ou seja, n˜ao se acumulam no interior de Ω. Temos dois casos a considerar. O primeiro ´e quando duas ou mais curvas se encontram num mesmo ponto do bordo ou intersectam o bordo num mesmo segmento vertical. Ent˜ao, teremos novamente um disco D S ⊂ S com bordo contido em π. Observemos que D S conter´a pontos ou at´e segmentos do bordo de S. De modo an´alogo ao feito anteriormente, podemos encontrar faixas β t t s˜ao segmentos de retas

  × R, onde β de Ω, que tocam D S num primeiro ponto interior, gerando uma contradi¸c˜ao. A outra possibilidade ocorre quando as curvas de I intersectam ∂S em pontos dis- tintos, com proje¸c˜oes tamb´em distintas. Nesse caso, existem pelo menos quatro pontos distintos em (P (∂S

  ∩ π)) ∩ ∂Ω, onde P : Ω × R → Ω ´e a proje¸c˜ao vertical. Mas, como vimos antes, ∂Ω ∩ π = {β(1), β(−1)}. Temos ent˜ao uma contradi¸c˜ao. Provamos assim a afirma¸c˜ao.

  No entanto, pode existir um disco cujo plano tangente nunca ´e vertical no interior de Ω e ainda assim este disco n˜ao ser um gr´afico sobre int(Ω). Para isto acontecer, basta que o plano tangente seja vertical em um segmento de reta de ∂Ω

  × R. Vamos mostrar que De fato, com S ´e um disco mergulhado, S separa o cilindro s´olido Ω × R em duas componentes conexas. Como S ´e orient´avel, pela Afirma¸c˜ao 2.4, podemos assumir que o campo de vetores normais N aponta para cima em todos os pontos do interior de S.

  Suponha que existem dois pontos consecutivos q

  1 e q 2 na intersec¸c˜ao de int(S) com uma

  reta vertical de Ω ) e N (q ) apontam para cima em Ω

  1

  2

  × R. Por hip´otese, N(q × R. Em particular, o vetor ) aponta para baixo. Mas, como q e q s˜ao pontos consecutivos

  1

  1

  2

  −N(q de int(S) e est˜ao numa mesma reta, os vetores

  1 ) e N (q 2 ) devem apontar para a

  −N(q mesma componente de Ω × R. Mas isto ´e um absurdo e provamos assim que S ´e um gr´afico sobre Ω.

  ¥

  2 Seja u uma fun¸c˜ao cujo gr´afico S ´e m´ınimo sobre um dom´ınio Ω com ∂Ω suave

  ⊂ R

  2

  por partes. Se C ´e um arco em Ω e ν ´e um normal unit´ario a C em R , definimos o fluxo de u ao longo de C, para tal escolha de ν, como sendo Z ¿ À

  ∇u F , ν ds, u (C) = C W (u) onde ds ´e o comprimento de arco de C.

  Z µ ¶ ∇u ∇u

  Como ´e um campo limitado e div = 0, restringindo a fun¸c˜ao u ao W W

  (u) (u)

  Ω

  dom´ınio limitado por uma curva C no interior de Ω e considerando a extens˜ao do vetor conormal `as curvas no interior do dom´ınio, podemos definir o fluxo ao longo de uma curva C ⊂ Ω e escolher ν como o vetor conormal exterior a C.

  A unicidade das solu¸c˜oes dadas pelos teoremas anteriores segue da seguinte vers˜ao princ´ıpio do m´aximo.

  2 Teorema 2.5 (Princ´ıpio do M´aximo Geral). Sejam Ω um dom´ınio limitado e

  ⊂ R E , . . . , P

  = k

  1

  {P } ⊂ ∂Ω um conjunto finito. Suponha que ∂Ω − E ´e formado por arcos suaves C k . Sejam u n : Ω → R, n = 1, 2 solu¸c˜oes da EGM que se estendem continuamente em cada arco C k . Se u em ∂Ω em Ω.

  1

  2

  1

  2

  ≤ u − E, ent˜ao u ≤ u Demonstra¸ c˜ ao. Suponha, por absurdo, que existe p (p) > u (p). Logo

  1

  2

  ∈ Ω tal que u (u

  1 2 )(p) > 0 e, denotando por u a fun¸c˜ao u

  1 2 , o conjunto U=

  − u − u {p ∈ Ω; u(p) > 0}

  ´e n˜ao-vazio. Podemos assumir que u < u sobre e ∂Ω

  1

  

2

  − E depois de uma transla¸c˜ao, se necess´ario, de Graf(u ). Pelo Teorema 1.11, podemos supor, ap´os fazer uma pequena

  1

  transla¸c˜ao, se necess´ario, que as curvas contidas em ∂U = {p ∈ Ω; u(p) = 0} n˜ao tˆem singularidades, isto ´e, que o vetor

  Considere uma curva γ ⊂ ∂U. Ent˜ao γ n˜ao se acumula em Ω. De fato, se γ se acumulasse em Ω, existiria um ponto p = γ(t ) n n n n converge para p em Ω mas n˜ao converge em γ. Assim, existe uma curva β ∈ Ω e uma sequˆencia {p } ⊂ γ tais que

  {p } ⊂ Ω tal

  ′ ′

  que β(t ) = p e β liga p aos pontos p n , para todo n, e, como β (t ) e γ (t ) n˜ao podem ¯

  ′ ′

  2

  ¯ ser paralelos, (t ), γ (t ) . Como u {β } formam uma base de R ≡ 0, em particular, γ

  ′ ′

  u (p n ) = 0 para todo n, temos (du) p (β (t )) = (du) p (γ (t )) = 0 e, consequentemente,

  2

  (du) p p (v), para todo v , implica que ≡ 0. Assim, a igualdade h∇u(p), vi = (du) ∈ R ∇u(p) = 0, o que n˜ao pode ocorrer.

  Pelo Lema 1.7, γ n˜ao pode se fechar em Ω. Assim, γ se estende at´e o bordo de Ω.

  < u Como u ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e supomos u

  

1

2 em ∂Ω − E, ent˜ao γ deve ir para E.

  Afirmamos que de cada P i ∈ ∂U ∩ E deve partir um n´umero par de curvas. De fato

  , P considerando, sem perda de generalidade, que ∂U

  1

  2

  ∩ E = {P } e supondo, por absurdo, que existe um n´ umero ´ımpar de curvas partindo de P i , temos que tais curvas ligam P

  1 a

  P e dividem Ω em um n´ umero par de regi˜oes nas quais u ´e alternadamente positiva e

  2

  negativa, o que nos leva a concluir que ter´ıamos uma regi˜ao delimitada por uma dessas curvas e por um peda¸co do bordo de Ω onde u seria positiva. Absurdo, pois u ´e cont´ınua e em ∂Ω − E temos u < 0 e a afirma¸c˜ao ´e verdadeira. u<0 u<0 P 2 u=0

  P 1 u>0 u<0 W

  U U Consequentemente, existe um dom´ınio conexo e

  ⊂ Ω, com ∂e ⊂ (∂U ∪ E). Sejam U U

  ǫ > 0, pequeno, e e ǫ o dom´ınio formado pela uni˜ao do conjunto de todos os pontos ⊂ e i

  U U em ∂e cuja distˆancia a P i ǫ ∈ (e ∩ E) ´e maior que ǫ, junto com arcos de circunferˆencia C

  U com centro em cada P i ∈ (e ∩ E) e raio ǫ.

1 W

  À =

  Z ∂ e U ǫ ¿ ∇u

  2 W

  1

  2

  1 W

  ¿ ∇u

  Afirma¸ c˜ ao 2.6.

  = 0, (2.1) onde ν ´e o vetor normal exterior a ∂e U ǫ .

  , ν À

  2

  2 W

  − ∇u

  1

  2

  ¶ = 0. Pelo Teorema da Divergˆencia, isto implica que

  , ∇u

  2 W

  − ∇u

  1

  ∇u

  div µ

  U e ǫ

  Z

  ¶ = 0 em Ω, com W i = W (u i ), temos

  ∇u i W i

  Como u i , i = 1, 2, satisfaz div µ

  ~

  W C i e U e

1 W

  • W

  1 − ∇u

  • W
  • W
  • W
  • W

  • N
  • N
o que prova a afirma¸c˜ao.

  2

  1

  2 (W

  1 + W 2 )

  ||N

  1

  − N

  2

  ||

  = hW

  2

  1 N

  1

  − W

  2 N

  2

  , N

  1

  − N

  2

  = 0, temos

  2

  ||

  1

  ) hN

  1

  2

  , N

  1

  − N

  2 i .

  Como hN

  2

  ¿ (

  , N

  1

  − N

  2

  i = ||N

  1

  ||

  2

  − ||N

  i =

  1

  −∇u

  1 W

  1

  , 0) ,

  µ ∇u

  2 W

  2

  − ∇u

  1 W

  1

  ,

  1

  2

  −

  1 W

  2

  ¶À ¿

  ∇u

  1

  ∇u

  2

  À

  − ∇u

  ∇u

  − W

  1 W

  , 1)

  − (−∇u

  2

  , 1),

  µ −

  ∇u

  1 W

  1

  ,

  1

  ¿ (

  ¶ −

  µ −

  ∇u

  2 W

  2

  ,

  1 W

  2

  ¶À =

  2

  1

  2

  , N

  1

  2 (W

  1

  2

  ) hN

  1

  − N

  2

  1

  2

  − N

  2

  i =

  1

  2 hW

  1 N

  1

  − W

  2 N

  =

  ||

  2 N

  ∇u i W i

  2

  − ∇u

  2 (W

  1

  2

  ) ||N

  1 − N 2 ||

  1

  , com N i = µ

  ,

  2

  1 W i ¶ , i = 1, 2, sendo o vetor normal ao gr´afico de u i .

  De fato,

  1

  2 (W

  1

  2

  ) ||N

  1

  − N

  

2

  1

  2 (W

  1 N

  1 N

  2

  − W

  2 N

  1

  , N

  − N

  2

  i = hW

  1

  2 N

  − W

  2 N

  2

  , N

  1

  − N

  2

  i −

  1

  2

  − W

  − W

  − W

  1 N

  2

  , N

  1

  − N

  2

  i = hW

  1 N

  1

  2 N

  1

  2

  , N

  1

  − N

  2

  i −

  1

  2 hW

  1 N

  1

  1 i U

  Como W i (W + W ) ǫ i C ) por α ǫ , temos que

  1

  2

  ≥ 1 vale ≥ 1 e, denotando ∂e − (∪ ǫ ǫ . A Afirma¸c˜ao 2.6 implica que

  2 |∇u| 6= 0 em α

  ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u , > em α ǫ . (2.2)

  − ∇u W W

  1

2 U

  Por outro lado, como ǫ e u > 0 em e ǫ , o vetor ∇u 6= 0, u ≡ 0 em α ∇u aponta para o

  U interior de e ǫ e, consequentemente, ǫ . Al´em disso,

  ∇u ´e um m´ultiplo negativo de ν em α por (2.2) temos que ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u , ν < em α ǫ ,

  − W W

  1

  2

  e Z ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u , ν (2.3) − ≤ δ < 0. α W W i ǫ

  1

  

2

C

  Sobre i temos ǫ

  ¯ ¯ Z ¿ Z ¿ Z

  ¯ ¯ À¯¯ À¯¯

  1

  2

  1

  2

  ∇u ∇u ∇u ∇u ¯ ¯ ¯ ¯

  , ν , ν 2 = 2l(ǫ), − −

  ¯ i ¯ ≤ i ¯ ¯ ≤ i C W W W W

  1

2 C

  1

  2 C ∪ i ∪ i ∪ i ǫ ǫ ǫ i

  onde l(ǫ) ´e o comprimento de i C . Mas, l(ǫ) vai para zero quando ǫ vai para zero. Assim, ǫ ∪ quando ǫ ´e suficientemente pequeno, temos

  ¯ Z ¿

  ¯ À¯¯

  1

  2

  ∇u ∇u ¯ ¯

  , ν −

  ¯ i ¯ > 0 C W W

  1

  2 ∪ i ǫ

  e, junto com (2.3), conseguimos ¯ ¿

  Z ¯ À¯¯

  1

  2

  ∇u ∇u ¯ ¯

  , ν −

  ¯ ¯ > 0, ∂ e ǫ U W W

  1

  2 o que contradiz (2.1). Concluimos ent˜ao que u em Ω.

  1 2 ¥

  ≤ u Em 1966, H. Jenkins e J. Serrin [JS], estabeleceram condi¸c˜oes para que exista solu¸c˜ao do problema de Dirichlet para a EGM quando consideramos dados infinitos no bordo do dom´ınio de defini¸c˜ao. Um exemplo de tal superf´ıcie ´e a superf´ıcie de Scherk, que assume valores +

  ∞ ou −∞ alternadamente no bordo de um quadrado.

  2 Seja Ω um dom´ınio relativamente compacto, isto ´e Ω tem fecho compacto em

  ⊂ R

  2

  2 R

  , o que denotamos por Ω . Suponhamos que ∂Ω cont´em dois conjuntos de ⊂⊂ R segmentos de reta A , . . . , A k e B , . . . , B l de maneira que, nem dois segmentos de

  1

  1

  reta A i , nem dois segmentos B j tˆem pontos finais em comum. A parte restante de ∂Ω

  ¯ ¯ u

  : Ω ´e limitado e denotemos o gr´afico de u por

  → R uma solu¸c˜ao da EGM tal que u ∂D S . O lema a seguir nos fala a respeito do fluxo de u ao longo dos segmentos de reta de

  ∂ Ω e ser´a usado na demonstra¸c˜ao da unicidade de solu¸c˜oes para o problema de Plateau quando os dados do bordo s˜ao infinitos.

  Lema 2.7.

  Sejam A n n uma sequˆencia de solu¸c˜oes da ⊂ ∂Ω um segmento de reta e {u }

  EGM em Ω, cont´ınuas em Ω n o vetor conormal unit´ario ∪ A. Para cada n, denote por ν exterior ao bordo do gr´afico de u n . Se n n diverge para o infinito em subconjuntos

  {u } compactos de A e permanece uniformemente limitado em subconjuntos compactos de Ω, ent˜ao

  Z lim (ν ) n ds =

  3 n →∞ A kAk.

  O pr´oximo teorema, garante que, se existe uma solu¸c˜ao para o problema de Dirichlet para a EGM quando os valores do bordo s˜ao infinitos, ent˜ao ela ser´a ´ unica.

  Teorema 2.8 (Princ´ıpio do M´aximo para Dados Infinitos no Bordo). Sejam u n : Ω

  → R, n = 1, 2, solu¸c˜oes da EGM, assumindo os valores + i , j , e

  ∞ em cada A −∞ em cada B os mesmos valores cont´ınuos em cada arco convexo C . Ent˜ao u = u em Ω, a menos de s

  1

  2

  uma constante se s {C } = ∅. Demonstra¸ c˜ ao.

  Suponha, por absurdo, que u = u

  1

  2

  − u 6= 0. Temos duas possibilidades

  para os conjuntos u = = {p ∈ Ω; u(p) < 0} e u {p ∈ Ω; u(p) > 0}: ou s˜ao ambos n˜ao vazios, ou pelo menos um deles ´e vazio.

  Suponha, inicialmente, que u e u s˜ao n˜ao vazios. Seja ǫ > 0 suficientemente pequeno tal que Ω = ´e regular, isto ´e, ǫ ǫ {p ∈ Ω; u(p) > ǫ} 6= ∅ e ∂Ω ∇u(p) 6= 0 para todo p ǫ . A existˆencia deste ǫ ´e garantida pelo Teorema 1.11. ∈ ∂Ω

  Como u e u s˜ao solu¸c˜oes da EGM, temos que

  1

2 Z ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u (p) (p), ν(p) ds = 0, (2.4)

  − W W

  1

  

2

Ω ǫ

  onde ν ´e o normal exterior a ∂Ω ǫ .

  Por outro lado, como u s ǫ em trˆes poss´ıveis partes.

  ≡ 0 em {C }, podemos decompor ∂Ω A primeira parte de ∂Ω ǫ , que chamaremos de Ω , est´a contida em Ω e, como

  1

  ∇u(p) 6= 0 em ∂

  Ω ǫ e u(p) > ǫ > 0 em Ω ǫ , o vetor ǫ . Logo, ∇u(p) aponta para o interior de Ω ∇u(p) = kν,

  ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u para algum k < 0. Ent˜ao, pela Afirma¸c˜ao 2.6, (p) (p), ν(p) − 6= 0 e n˜ao muda

  W W

  1

  2

  de sinal em Ω

  1 , Portanto,

  ¿ À Z

  1

  

2

  ∇u ∇u ds (p) (p), ν(p) (2.5) − 6= 0. 1 W W

  1

  

2

  S A segunda parte de ∂Ω ǫ est´a contida em i , B j i,j {A }. Sejam ν o vetor conormal unit´ario horizontal exterior em ∂(Ω ǫ ǫ ǫ at´e a

  × {t}), onde Ω × {t} ´e o transladado de Ω µ ¶ n

  1 ∇u altura t n (p) = (p), (p) , n = 1, 2, o vetor normal unit´ario ao gr´afico

  ∈ R, e N − W W n n de u n . Ent˜ao, como ν ´e horizontal, temos que

  ¿ À n n (p), ν(p) (p), ν(p) ∇u hN i = − W n sobre ∂(Ω ǫ n , n = 1, 2, o gr´afico de u n . Seja ν n o

  × {t}), para cada t. Denotemos por S vetor conormal exterior a ∂(S n ), n = 1, 2, em cada segmento de reta horizontal A i × {t}. Como os vetores N n (p), ν(p), ν n (p) e e

  3 s˜ao todos unit´arios e ν(p) ´e ortogonal a e 3 , o

  fato de N n (p) ser ortogonal a ν n (p), implica que o ˆangulo θ formado entre e e ν n (p) ´e

  3

  igual ao ˆangulo entre ν(p) e N n (p). Por isso, para n = 1, 2, temos n (p), ν(p) n (p), e

  3 hN i = sin(θ) = hν i.

  Assim, Z ¿ À Z n

  ∇u (p), ν(p) ds = n (p), ν(p)

  − hN i ds

  S S ,B ,B W n i,j i,j {A i j } {A i j }

  Z = n (p), e

  3

  − hν i ds

  S ,B i,j {A i j }

  Z ds. =

  3 ) n

  −(ν

  S i,j {A i ,B j }

  Se t ´e suficientemente grande, o Lema 2.7 implica ent˜ao que ¿ À

  Z n

  X X ∇u

  (p), ν (p) ds = n i j − kA k − kB k, n = 1, 2,

  S ,B n W i,j {A i j } i j

  e ent˜ao Z ¿ À

  1

  2

  ∇u ∇u (p) (p), ν(p) = 0. (2.6)

  −

  S ,B W W

  1

  2 i,j {A i j }

  A parte restante de ∂Ω ǫ ´e composta de alguns v´ertices de ∂Ω e esta n˜ao contribui para a integral. Assim, por (2.5) e (2.6), temos que

  ¿ À Z

  1

  2

  ∇u ∇u o que contradiz (2.4).

  U Se ou u ou u ´e vazio, transladamos o gr´afico de u at´e que o conjunto e =

  1

  {p ∈ U U

  Ω; u(p) = 0 seja regular. Agora ∂e s } seja n˜ao vazio e ∂e ∩ {C } = ∅ e, utilizando o mesmo argumento do caso anterior, chegamos novamente a uma contradi¸c˜ao.

  Logo, u ´e constante e, como u s = u .

  1 2 ¥

  ≡ 0 em {C }, temos que u ≡ 0, ou seja, u Com o mesmo tipo de argumento, pode-se mostrar este teorema para o caso em que apenas uma das fun¸c˜oes assume valores infinitos. Cap´ıtulo 3 Estimativa de Curvatura

  Neste cap´ıtulo apresentaremos uma estimativa para a curvatura de Gauss de um

  

2

  2

  2 gr´afico m´ınimo definido sobre um disco x + y < R estabelecida por R. Finn e R.

  Osserman, [FO], em 1964 e, como consequˆencia deste resultado, apresentamos uma de- mosntra¸c˜ao do Teorema de Bernstein. O resultado principal ´e o seguinte.

  

Teorema 3.1. Se uma superf´ıcie m´ınima S ´e representada na forma z = f (x, y) sobre o

  2

  2

  2

  < R disco x + y , ent˜ao a curvatura de Gauss K de S na origem satisfaz g (W )

  , (3.1) |K| <

  2 R

  p

  2

  onde W = W (f ) = 1 + e g(W ) ´e dado por |∇f|

  " !# Ãr

  2

  µ ¶

  2

  2

  1 1 π W − 1

  −1

  g .

  (W ) = 1 + + tan (3.2)

2 W

  2

  2

  2 Al´em disso, no caso em que S tem plano tangente horizontal na origem, isto ´e, quando

  2

  π W = 1, ent˜ao o valor de g(W ) ´e o melhor poss´ıvel.

  2 A fun¸c˜ao g(W ) acima ´e obtida ao encontrarmos uma limita¸c˜ao para a curvatura de Gauss da superf´ıcie de Scherk. Esta superf´ıcie ter´a papel fundamental na prova do resultado, pois a nossa estrat´egia ser´a comparar a curvatura de Gauss de um gr´afico m´ınimo qualquer com a curvatura de Gauss de um determinado ponto da superf´ıcie de Scherk, dessa forma, ela servir´a como barreira para aplicarmos o princ´ıpio do m´aximo.

  A norma do endomorfismo de Weingarten A p ´e dada por t

  2

  2

  2 p = tr(A p (A p ) ) = k (p) + k (p) .

  1

  2

  |A | No caso das superf´ıcies m´ınimas, temos a igualdade t p = tr(A p (A p ) ) = k (p) + k (p) = 2k (p) =

  2

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  |A | −2K(p). Portanto, no caso de superf´ıcies m´ınimas, uma limita¸c˜ao para a curvatura de Gauss ´e equivalente a uma limita¸c˜ao para a norma do endomorfismo de Weingarten. E, como veremos no pr´oximo cap´ıtulo, quanto menor a norma do endomorfismo de Weingarten, maior o raio sobre o qual uma superf´ıcie ´e gr´afico sobre o seu plano tangente. Este resultado ´e estabelecido no Lema 4.1.

  Primeiro, faremos a prova do teorema no caso particular onde a superf´ıcie tem plano tangente horizontal na origem. Depois, para qualquer posi¸c˜ao do plano tangente. E, por fim, mostraremos que a constante do primeiro caso ´e a melhor poss´ıvel.

  Come¸caremos estabelecendo alguns resultados sobre a superf´ıcie de Scherk que ser˜ao uteis a seguir. A superf´ıcie de Scherk ´e o gr´afico da fun¸c˜ao ´ Ψ(x, y) = log(cos(y)) (3.3)

  − log(cos(x)) sobre o quadrado n o

  π π Q , . =

  (3.4) |x| < |y| <

  2

  2 A superf´ıcie de Scherk assume os valores + ∞ e −∞ em lados opostos do quadrado Q e possui uma reta vertical sobre os v´ertices de Q. Como

  Ψ x (x, y) = tan(x), Ψ y = − tan(y) e

  2

  2

  Ψ xx (x, y) = sec (x), Ψ xy (x, y) = 0, Ψ yy (x, y) = (y), (3.5) − sec o gradiente de Ψ ´e dado por

  (3.6) ∇Ψ(x, y) = (tan(x), tan(y)), ∇Ψ(0, 0) = 1

  e, em cada parte compacta de Q, o gradiente de Ψ tem norma limitada. Tamb´em,

  2

  2

  2

  2

  2

  2 W Ψ(x, y) = 1 + = 1 + tan (x) + tan (y) = sec (x) + sec (y) (3.7)

  |∇Ψ| − 1, e a curvatura de Gauss do gr´afico de Ψ ´e dada por

  2

  2

  sec (x) sec (y) Neste texto, a superf´ıcie de Scherk sempre ser´a representada como gr´afico da fun¸c˜ao Ψ(x, y). A Proposi¸c˜ao seguinte nos d´a uma estimativa para a curvatura de Gauss de gr´aficos m´ınimos que tˆem plano tangente horizontal na origem.

  2

  2

  2 Proposi¸ c˜ ao 3.2. Seja f (x, y) uma solu¸c˜ao da EGM, definida sobre o disco x + y < R ,

  cujo gradiente se anula na origem. Ent˜ao a curvatura de Gauss K na origem satisfaz

  2

  π . (3.9)

  |K| <

  2

  2R

  

Observa¸ c˜ ao 3.3. Lembrando que toda superf´ıcie pode ser localmente escrita como um

  gr´afico, este resultado quer dizer que: dados S uma superf´ıcie m´ınima, p um ponto de S e R o raio do maior disco de T p S sobre o qual S ´e gr´afico, ent˜ao a curvatura de Gauss K de S em p satisfaz (3.9).

  1 Demonstra¸ c˜ ao. f Considere a fun¸c˜ao u

  1 (x, y) = (λx, λy), λ > 0. A fun¸c˜ao u 1 est´a

  λ R definida sobre o disco de raio R = e tamb´em ´e uma solu¸c˜ao da EGM pois ao aplicarmos

  1

  λ uma homotetia a uma superf´ıcie m´ınima encontraremos uma outra superf´ıcie m´ınima.

  2 Al´em disso, temos K = λ K .

  1 Se K = 0, ent˜ao a desigualdade (3.9) ´e trivial. Caso contr´ario, tome λ tal que

  2

  π tenhamos . |K

  1 | = 1 na origem. Suponha, por absurdo, que |K| ≥

  2

  2R

  2

  2

  2

  1 π R π

2 Como λ o que ´e equivalente a , ou seja,

  1

  |K| = |K | = 1, temos ≥ ≥

  2

  2

  2

  λ λ

  2R

  2

  2

  π

2 R . Logo, o disco de raio R cont´em o quadrado Q sobre o qual a superf´ıcie de

  1 1 ≥

  2 Scherk est´a definida. Considere a fun¸c˜ao u (x, y) = u

  

1 (x, y)

  − Ψ(x, y)

  3

  definida sobre o quadrado Q. Como transla¸c˜oes s˜ao isometrias de R , podemos supor, sem perda da generalidade, que f (0, 0) = 0, assim u(0, 0) = 0. Como, por hip´otese, o gradiente de f se anula na origem e, usando (3.6), garantimos que o gradiente de Ψ tamb´em se anula na origem, temos que as superf´ıcies s˜ao tangentes. Assim, o gradiente de u tamb´em se anula na origem. Al´em disso, ambos os gr´aficos satisfazem K(0, 0, 0) =

  −1. Como as duas superf´ıcies tˆem as mesmas curvaturas m´edia e de Gauss na origem, conclu´ımos que as curvaturas principais tamb´em coincidem na origem. Rotacionando, se Desta forma, ambas ter˜ao a mesma segunda forma fundamental, ou seja, para todo (x, y) ∈

2 R

  temos

  1

  2

  2 II u u

  (x, y) = x xx (0, 0) + 2xyu xy (0, 0) + y yy (0, 0)

  1

  

1

  1 (0,0)

  2

  2

  2 = x Ψ xx (0, 0) + 2xyΨ xy (0, 0) + y Ψ yy (0, 0) = II (x, y). (0,0)

  Tomando, em particular, os vetores v = (1, 0), v = (0, 1) e v = (1, 1), conclu´ımos que

  1

  2

  3 todas as segundas derivadas de u e Ψ coincidem na origem.

1 Assim, u junto com seu gradiente e suas segundas derivadas se anulam na origem.

  Logo, o Teorema 1.9 nos diz que existe n ≥ 3 tal que, numa vizinhan¸ca da origem, a intersec¸c˜ao das superf´ıcies, ou seja, o conjunto onde a fun¸c˜ao u se anula, consiste de 2n arcos partindo da origem. Estes arcos dividem Q em 2n setores nos quais u ´e alternadamente positiva e negativa. u<0 u>0 u>0 u<0 u>0 u<0

  Q

  Vamos examinar dois de tais arcos. Suponhamos que estes arcos se intersectam no interior do quadrado Q. Neste caso, ter´ıamos dois gr´aficos m´ınimos com o mesmo bordo. Mas, isso n˜ao acontece devido ao Lema 1.7. De fato, o princ´ıpio do m´aximo para gr´aficos m´ınimos implica que u

  ≡ 0 na regi˜ao delimitada por estes arcos, e ent˜ao o Teorema 1.12 garante que u ≡ 0 em Q. Isso ´e um absurdo, uma vez que ter´ıamos uma superf´ıcie igual

  `a de Scherk em Q que se estende al´em de Q. Esses arcos podem encontrar outro ponto de tangˆencia q entre as superf´ıcies, se ao encontrarem entes pontos eles formam um disco, novamente, pelo princ´ıpio do m´aximo, temos um absurdo. Se n˜ao formarem um disco fechado, de q partem, pelo menos, mais trˆes arcos e dessa forma, os arcos se estendem at´e o bordo de Q, mais precisamente para os v´ertices de Q, pois nos demais pontos do bordo de Q temos Ψ =

  ±∞, enquanto u ´e finita. Temos ent˜ao mais de seis arcos indo para quatro v´ertices. Logo, dois ou mais arcos pela curva formada pela uni˜ao de dois destes arcos, chegamos novamente a u ≡ 0 em Q,

  π um absurdo. Portanto, nossa hip´otese de absurdo ´e falsa e .

  ¥ |K| <

  2

  2R O lema a seguir estabelece uma rela¸c˜ao entre as segundas derivadas de uma solu¸c˜ao da

  EGM com a curvatura de Gauss do seu gr´afico e suas primeiras derivadas. Ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do pr´oximo resultado, para encontrarmos a ordem de contato entre um gr´afico m´ınimo qualquer e a superf´ıcie de Scherk.

2 Lema 3.4. Se f : Ω

  ⊂ R → R ´e uma solu¸c˜ao da EGM no dom´ınio Ω, tal que em algum ponto p xy = 0, f xx yy xx e f yy em p s˜ao ∈ Ω temos f ≥ 0, f ≤ 0, ent˜ao os valores de f unicamente determinados por f x , f y e pela curvatura de Gauss K.

  Demonstra¸ c˜ ao. Usando a hip´otese f xy (p) = 0, podemos relacionar as derivadas de f (x, y) e a sua curvatura de Gauss no ponto p pelas equa¸c˜oes

  

  

4

    f f xx yy = KW

  

  2

  2

   (1 + f )f yy + (1 + f )f xx = 0. x y Resolvendo este sistema nas vari´aveis f xx e f yy e utilizando a condi¸c˜ao f xx

  ≥ 0 e f yy ≤ 0, encontramos s

  2 K

  (1 + f ) x

  

2

  f xx (x, y) = W

  2

  1 + f y e s

  2 K (1 + f ) y

  

2

  f yy (x, y) = , −W −

  2

  1 + f x ou seja, f xx e f yy s˜ao unicamente determinados por f x , f y e K.

  ¥ O pr´oximo resultado nos d´a uma estimativa para a curvatura de Gauss K em um ponto qualquer da superficie de Scherk e nos ajudar´a a estimar a curvatura de Gauss de um gr´afico m´ınimo qualquer.

  Lema 3.5.

  Num ponto arbitr´ario da superf´ıcie de Scherk a curvatura de Gauss K satisfaz a desigualdade g

  (W ) ,

  (3.10) |K| ≤

  2

  r em que g(W ) ´e dada por (3.2) e r = r(x, y) ´e a maior distˆancia entre a proje¸c˜ao de p em Q e cada um dos v´ertices de Q. A igualdade acontece nos pontos da diagonal do quadrado.

  2 Demonstra¸ c˜ ao.

  Observe primeiro que, como a fun¸c˜ao sec (x) ´e par, temos de (3.7) e (3.8) que os valores de W e K s˜ao sim´etricos com respeito aos eixos Ox e Oy, logo podemos restringir nossa aten¸c˜ao aos pontos do primeiro quadrante.

  Para limitar o valor de |K|, vamos inicialmente encontrar o m´aximo da fun¸c˜ao

  2

  2

  2

  2

  2

  sec (x) sec (y) sobre a curva sec (x) + sec (y) = 1 + W , para um valor fixo de W . Apli-

  2

  2

  cando o m´etodo do multiplicador de Lagrange, temos que o ponto cr´ıtico de sec (x) sec (y)

  2

  2

  2

  , y sobre a curva sec (x) + sec (y) = 1 + W acontece no ponto (x ) onde existe λ tal que

  2

  2

  2

  2

  (x) sec (y)) = λ (x) + sec (y)) ∇(sec ∇(sec ou, de modo equivalente,

  2

  2

  2

  2 2 sec (x ) sec (y )(tan(x ), tan(y )) = 2λ(sec (x ) tan(x ), sec (y ) tan(y )).

  2

  2

  2

  2

  2 Isso que nos d´a λ = sec (x ) = sec (y ). Al´em disso, sec (x ) + sec (y ) = 1 + W .

  2

  1 + W

  2

2 Logo 2λ = 1 + W , o que implica que sec (x ) = . Este ´e de fato um ponto de

  2

  2

  m´aximo, pois, para qualquer (x, y) , temos ∈ R

  · ¸

  2

  2

  2

  2

  2

  (sec (x) + sec (y)) 1 + W

  2

  2 sec (x) sec (y) = .

  ≤

  4

  2 Assim, para um valor fixo de W , temos de (3.8) que µ ¶

  2

  1

  1 , 1 + (3.11)

  |K| ≤

  2

  4 W com a igualdade ocorrendo na diagonal. Para pontos (x, y) no primeiro quadrante, temos

  ³ ´

  2 ³ ´

  2

  π π

  2

  r

  (x, y) = +

  • x y .

  2

  2 Novamente aplicando o m´etodo do multiplicador de Lagrange, ´e poss´ıvel ver que

  2

  2

  2

  esta fun¸c˜ao tamb´em assume seu m´aximo sobre a curva sec (x) + sec (y) = 1 + W ,

  2

  2

  para W fixo, no ponto em que x = y. Mas, nestes pontos, temos tan (x) = tan (y) =

  1

  1

  2

  2

  2

  (tan (x) + tan (y)) = (W − 1), e assim

  2

  2 " !#

  Ãr

  2

  2

  ³ ´

  2

  π π W

  2 −1 − 1

  (x, y) = 2 + r x = 2 + tan . (3.12)

  2

  2

  2 Multiplicando (3.12) por (3.11), temos ao longo de cada curva onde W ´e constante, Ã r !

  2

  µ ¶

  2

  2

  π W

  1

  1 − 1

  2 −1 .

  1 + + tan |K|r ≤ Como isto acontece para um valor arbitr´ario de W a desigualdade (3.10) ´e v´alida sobre toda a superf´ıcie.

  ¥ A proposi¸c˜ao seguinte apresenta uma estimativa para a curvatura de Gauss de um gr´afico m´ınimo independentemente da posi¸c˜ao do seu plano tangente. A Proposi¸c˜ao 3.2 ´e um caso particular dessa.

  2

  2

  2 Proposi¸ c˜ ao 3.6. Se f (x, y) satisfaz a EGM sobre um disco x + y < R , ent˜ao a curvatura de Gauss K na origem satisfaz (3.1).

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Se |K| = 0 nada temos a fazer. Considere ent˜ao |K| 6= 0. Por uma rota¸c˜ao de coordenadas que fa¸ca com que as dire¸c˜oes das curvaturas prin- cipais coincidam com os eixos coordenados, conseguimos na origem f xy = 0, f xx

  ≥ 0 e f yy ≤ 0.

  Assumindo que isto ´e feito, sejam a = f x (0, 0) e b = f y (0, 0). Considere p o ´ unico ponto da superf´ıcie de Scherk no qual Ψ x = tan(x) = a, Ψ y = − tan(y) = b. Este ponto

  ³ ´ π π

  , existe, pois a fun¸c˜ao tangente definida no intervalo ´e uma bije¸c˜ao sobre R. Por −

  2

  2 uma transla¸c˜ao, fazemos o ponto sobre a origem de nossa superf´ıcie coincidir com p, e ent˜ao, aplicando uma homotetia a f , obtemos uma fun¸c˜ao u (x, y) cujo gr´afico ´e m´ınimo

  1

  e cuja cuvatura K

  1 em p coincide com a curvatura de Gauss da superf´ıcie de Scherk em p .

  Como o gradiente de f ´e invariante por homotetias, a fun¸c˜ao u (x, y) coincide em p,

  1

  junto com o seu gradiente e a curvatura de Gauss, com a fun¸c˜ao Ψ(x, y). Desta forma, por (3.5) e pelo Lema 3.4, todas as segundas derivadas de u e Ψ coincidem no ponto p.

  1 Assim, como na prova da Proposi¸c˜ao 3.2, conclu´ımos que numa vizinhan¸ca do ponto p a

  intersec¸c˜ao dos gr´aficos de u

  1 e Ψ consiste de 2n arcos, partindo de p, com n ≥ 3.

  Supondo, por absurdo, que a desigualdade (3.1) n˜ao acontece, temos que a fun¸c˜ao u (x, y) estar´a definida sobre um disco de raio R , no qual

  1

  1

  2

  2 1 =

  |K |R |K|R ≥ g (W ) .

1 Mas K coincide com a curvatura da superf´ıcie de Scherk no ponto p, e sendo que o valor

  1

  2

  de W ´e o mesmo para ambas as superf´ıcies, temos pelo Lema 3.5 que

  1 |K |r ≤ g (W ).

  Ent˜ao conclu´ımos que r

  1 o que implica que o disco sobre o qual est´a definida a fun¸c˜ao

  ≤ R u cont´em o quadrado sobre o qual a superf´ıcie de Scherk est´a definida, pois r ´e sempre

  1

  π maior ou igual que . Mas ent˜ao voltamos `a situa¸c˜ao encontrada na demonstra¸c˜ao √

  2 da Proposi¸c˜ao 3.2 que nos levou a um absurdo. Conclu´ımos assim que (3.1) tem que acontecer.

  ¥ A seguinte Proposi¸c˜ao nos garante que, no caso em que a superf´ıcie tem plano tangente

  2

  π horizontal, a constante ´e a melhor poss´ıvel.

  2

  2

  π Proposi¸ c˜ ao 3.7. Dados quaisquer n´ umeros c < e R > 0, existe uma superf´ıcie

  2

  2

  

2

  2

  m´ınima f (x, y), definida sobre o disco x + y < R , cujo gradiente se anula na origem e c cuja curvatura de Gauss na origem satisfaz .

  |K| >

  2 R

  2 Demonstra¸ c˜ ao.

  Como j´a foi observado anteriormente, ´e invariante por homote- |K|R

  π

  2

  tias de R . Assim, podemos assumir que R = . Vamos mostrar que existe uma √

  2 superf´ıcie m´ınima tal que sua curvatura de Gauss na origem satisfaz |K| > η, para η > 1 arbitrariamente fixado.

  2

  • Para isto, vamos construir uma sequˆencia de superf´ıcies m´ınimas sobre o disco x

  2

  2

  y < R e mostrar que ela converge para a superf´ıcie de Scherk para a qual |K| = 1 na origem. Dessa forma, para cada η menor que 1 encontraremos uma superf´ıcie m´ınima com plano tangente horizontal na origem cuja curvatura de Gauss na origem ´e maior que η .

  2

  2

  2

  < R Utilizando coordenadas polares x = r cos θ, y = r sin θ, dividimos o disco x +y

  π π em setores da forma (2j < θ < (2 j + 1) , 0 < r < R, com j = 0, 1, 2, 3. − 1)

  4

  4 Denotemos por ∆ o setor ∆ . Para cada n´ umero natural n, seja u n (x, y) a solu¸c˜ao da EGM π j

  1 n < θ < sobre o disco r < R que assume o valor ( nos arcos (2j (2j +

  • n

  −1) − 1)

  4 π

  1 1) , r = R, e ´e uma reta ligando esses arcos no restante do bordo. Pelos Teoremas

  − n

  4 2.3 e 2.5 a solu¸c˜ao existe e ´e ´ unica, para cada n ∈ N.

  Observe que, se uma fun¸c˜ao u(x, y) ´e uma solu¸c˜ao da EGM, ent˜ao as fun¸c˜oes u(y, x) e u( n , temos que −y, −x) tamb´em ser˜ao solu¸c˜oes da EGM. Aplicando isso `as fun¸c˜oes u u n (x, y), n (y, x) e n (

  −u −u −y, −x) s˜ao solu¸c˜oes da EGM. Como essas fun¸c˜oes coincidem no bordo do disco de raio r < R, usando o Teorema 2.5 garantimos que elas coincidem tamb´em no interior do disco. Dessa forma, temos que u n (x, y) = n (y, x) e portanto,

  −u u n (x, x) = n (x, x). Logo u n (x, x) = 0. Tamb´em u n (x, y) = n ( −u

  −u −y, −x) implicando que u n (x, n (x, n (x, n (x, y) = 0 nas −x) = −u −x), o que nos d´a u −x) = 0. Assim, u Pela escolha de R, temos que o quadrado Q definido em (3.4) est´a contido no disco de raio R. Ent˜ao podemos aplicar o Teorema 2.8 para a diferen¸ca Ψ n na intersec¸c˜ao − u

  < de ∆ com o quadrado Q e concluir que u n Ψ em ∆ ∩ Q. Agora, aplicando o Teorema

  < u 2.5 `a fun¸c˜ao u n n +1 , temos u n n +1 , para todo n. Pelo Teorema I.1, de [Fi], p. 408,

  − u a sequˆencia n n ´e uniformemente limitada em cada parte compacta do disco r < R {|∇u |} e al´em disso, a sequˆencia n (0, 0) n ´e limitada. Assim, por um resultado cl´assico de

  {u } convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas que ser´a apresentado no pr´oximo cap´ıtulo (Teorema 4.1), existe uma subsequˆencia de n n , que tamb´em denotaremos por n n , tal que n n converge em Q, junto com todas as suas derivadas, para uma solu¸c˜ao u da EGM , {u } {u } {u } m com u n converge para u na topologia C , para todo m. ≤ Ψ. Dizemos neste caso, que u

  π Denotemos por l ǫ a intersec¸c˜ao de ∆ com cada linha x = + ǫ, ǫ > 0.

  2 Afirma¸ c˜ ao 3.8. A sequˆencia n n tende uniformemente para infinito sobre cada linha {u } l ǫ .

  Para vermos isso, considere a superf´ıcie tipo Scherk ³ ³ ´´

  ǫ Ψ n = n + log cos x

  − π − − log (cos(y))

  2 ½ ¾

  π ǫ ǫ π 3π

  ′

  < x < ,

  • definida sobre o quadrado Q = . Claramente, Ψ n (x, y) =

  |y| <

  2

  2

  2

  2

  2 π ǫ

  2

  2

  2

  • e Ψ n (x, y) < n na parte da circunferˆencia x + y = R −∞ nos pontos em que x =

  2

  2 π ǫ + onde x .

  ≥

  2

  2

  2

  2 2 ′

  < R Comparando u n com Ψ n na intersec¸c˜ao do disco x + y com o quadrado Q , temos, para n suficientememente grande, Ψ n n sobre l ǫ . Por outro lado, a fun¸c˜ao

  ≤ u ³ ³ ´´

  ǫ x log cos

  − π − − log(cos(y)) ´e limitada inferiormente por uma constante fixa em

  2 cada l ǫ , e ent˜ao Ψ n converge uniformemente para o infinito sobre l ǫ . Consequentemente, u n converge uniformemente para o infinito sobre cada l ǫ , como afirmado.

  √

  1

  2 < λ <

  Considere agora a fun¸c˜ao Ψ λ (x, y) = Ψ(λx, λy), com

  1. Se escolhermos ǫ λ

  2 π π

  π tal que = + 2ǫ, a fun¸c˜ao Ψ λ estar´a definida em um quadrado Q λ de lado = π + 4ǫ 2λ

  2 λ e podemos dizer que Ψ λ ´e limitada superiormente em cada l ǫ .

  Como o vetor gradiente n˜ao se altera de Ψ para Ψ λ , o gradiente de Ψ λ ´e finito nos π

  2

  2

  2

  pontos da circunferˆencia x + y = R com θ = . As fun¸c˜oes Ψ λ e u n coincidem em ±

  4 π

  θ = , r n λ na parte de ∆

  ± ≤ R, podemos aplicar o Teorema 2.8 para a diferen¸ca u − Ψ

  4 π

  √

  2 < λ <

  Assim, u = lim u n satisfaz u λ para

  1. Fazendo λ ≥ Ψ → 1 e, consequente-

  2 mente Q λ λ → Q, temos que Ψ → Ψ.

  Ent˜ao, Ψ = lim Ψ λ ≤ u. Mas, vimos antes que u ≤ Ψ. Concluimos portanto que u

  = Ψ em ∆ n converge para Ψ em Q e, para cada λ fixo e para n ∩ Q. Temos que u suficientemente grande, vale n λ

  |u − Ψ| ≤ |Ψ − Ψ|, ou seja, a convergˆencia ´e uniforme em m cada subconjunto compacto de Q. Como a convergˆencia ´e na topologia C , u n converge

  2

  2

  junto com suas derivadas para Ψ. Sendo 1 + u + u n x n y 6= 0 para todo n, temos que

  2

  2

  u n u n xx yy Ψ xx Ψ yy − u n xy xy

  − Ψ K n (0, 0) = (0, 0) (0, 0) = K (0, 0) =

  Ψ

  → −1,

  2

  2

  2

  2

  1 + u + u 1 + Ψ + Ψ n n x y x y o que conclui a demonstra¸c˜ao.

  ¥ Outras estimativas de curvatura foram estabelecidas anteriormente. Um primeiro resultado nesse sentido ´e devido a E. Heinz, [He], que mostrou, em 1952, que existe uma

  2

  2

  2

  constante c tal que, para qualquer gr´afico m´ınimo definido sobre um disco x + y < R , temos c . |K| ≤

  2 R

  2

  π Observando que c < g (W ) para todo W e que g(1) = , podemos relacionar a

  2 constante de Heinz com a fun¸c˜ao g(W ), da seguinte maneira.

  Corol´ ario 3.9.

  A constante c da inequa¸c˜ao de Heinz satisfaz µ ¶

  2

  1

  1

  1

  2

  π < π .

  • π

  (3.13) ≤ c

  2

  2

  2

  π Demonstra¸ c˜ ao.

  < Sabemos da Proposi¸c˜ao 3.7 que . Para mostrar que c

  ≤ c

  2 µ ¶

  2

  µ ¶

  2

  1

  1

  1

  1

  • π , basta mostrar que g(W ) definido em (3.2) ´e sempre menor que π π

  π

  2

  2 < g pois c (W ). r

2 W

  − 1 Consideremos a vari´avel x = e ent˜ao g(W ) pode ser escrita na forma

  2

  2

  g , (W ) = 2[G(x)] onde

  2

  ´ ³π 1 + x

  −1

  G (x) = + tan (x) . (3.14)

  2

  1 + 2x

  2 Claramente, π

  µ ¶

  1

  1 π

  Queremos mostrar que o m´aximo de G(x) ´e menor que , pois, como g(W ) + 2 π µ ¶

  2

  1

  • π ´e sempre positiva, isto vai implicar que o m´aximo de g(W ) ser´a menor que 2 .

  π φ

  (x)

  ′ −1

  Temos que G (x) = , com φ(x) = 1 + 2x (x). Os m´aximos − πx − 2x tan

  2

  2

  (1 + 2x )

  ′ de G(x) s˜ao os zeros de G (x) que coincidem com os zeros de φ(x).

  2

  2

  4x (2 + x )

  ′′

  Como φ (x) = > 0, para todo x, φ(x) tem no m´aximo dois zeros uma

  2

  2

  (1 + x )

  ′

  vez que φ(x) n˜ao tem pontos de m´aximo. Por (3.15), G (x) tem pelo menos um zero entre

  ′

  0 e 1, e um zero entre 1 e + (x) tem exatamente um zero em cada um desses ∞. Logo G intervalos.

  π π √

  10 π < Por outro lado, como G( 3) = , temos que G(x) < , para todo x > 1.

  21

  2

  2

  ′

  Ent˜ao o m´aximo de G(x) ocorre no ´ unico ponto x entre 0 e 1 onde G (x ) = 0. Mas,

  1

  −1

  tan (x) < x para todo x > 0 e ent˜ao φ(x) > 1 − πx. Assim, φ(x) > 0 para todo x ≤

  π

  2

  π

  1 1 + 2x

  −1

  e ent˜ao x > . Al´em disso, se φ(x ) = 0 temos + tan (x ) = o que equivale π 2 2x

  2

  1 + x a G(x ) = .

  2x µ ¶

  1

  1

  1

  Ent˜ao, para todo x ) = . Mas, como x + ∈ (0, 1), temos G(x) ≤ G(x 2 x x

  • x

  ´e uma fun¸c˜ao decrescente de x para 0 < x < 1, temos µ ¶

  1

  1

  (x) < 2 π Logo, por (3.14), temos

  • G π .

  µ ¶

  2

  1

  1

  (W ) < π

  • g π .

  2 ¥

  Este Corol´ario tamb´em nos permite concluir que a limita¸c˜ao para a curvatura de µ ¶

  2

  1

  1 Gauss ´e uniforme uma vez que temos g(W ) < + π , para todo W . π

  2 O Teorema 3.1 nos permite dar uma prova bastante simples para o seguinte resultado provado por Bernstein, em 1916.

  

Teorema 3.10 (Bernstein). Se uma superf´ıcie m´ınima S ´e um gr´afico completo, isto ´e,

  2 ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao definida sobre todo o plano R , ent˜ao ela ´e um plano.

  Demonstra¸ c˜ ao. Seja p um ponto qualquer de S. Por transla¸c˜ao, podemos considerar que p ´e a origem, e ent˜ao, j´a que S ´e gr´afico completo, para todo R ∈ R aplicamos o g (W ) grande quanto se queira, chegamos a

  1 = 2 = 0,

  |K(p)| = 0 para todo p ∈ S. Da´ı, k −k logo, S ´e totalmente umb´ılica e como S ´e m´ınima, S ´e um plano.

  ¥ Uma generaliza¸c˜ao para o Teorema 3.1, quando a superf´ıcie m´ınima ´e est´avel e o espa¸co ambiente ´e uma variedade qualquer, foi obtido por Richard Schoen, [Sc], em 1983.

  Um resultado semelhante, para o caso de superf´ıcies com curvatura m´edia constante diferente de zero, foi obtido por Joel Spruck, [Sp], em 1972.

  Cap´ıtulo 4

Convergˆ encia de Superf´ıcies M´ınimas

  Neste cap´ıtulo apresentaremos resultados sobre convergˆencia de sequˆencias de su- perf´ıcies m´ınimas. O primeiro teorema garante a convergˆencia de gr´aficos m´ınimos desde que as fun¸c˜oes que s˜ao elementos da sequˆencia tenham um ponto em que sejam limitadas e que a sequˆencia de seus gradientes seja uniformemente limitada. O segundo resultado garante a convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas, n˜ao necessariamente gr´aficos, com cur- vatura de Gauss limitada. Estes resultados encontram-se em [PR].

  ∞ m Denotaremos C (Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes diferenci´aveis de Ω em R, com a topologia

  C -uniforme sobre os subconjuntos compactos de Ω, para todo m ≥ 0, com a seguinte norma i i m i m = max sup (p) (p) u (p) |u| {|u |, |du |, . . . , |d |}. i p ∈Ω

  O pr´oximo teorema garante a convergˆencia de sequˆencias de gr´aficos m´ınimos desde que estas sejam limitadas em algum ponto e tenham gradiente uniformemente limitado em cada subconjunto compacto de Ω, e ´e uma consequˆencia do Corol´ario 1.10.

  ∞ Teorema 4.1.

  Considere uma sequˆencia n n (Ω) de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao dos {u } ⊂ C gr´aficos m´ınimos, satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes.

1. Existe p n (p) n ´e limitada;

  ∈ Ω tal que {u } 2. n n ´e uniformemente limitada em subconjuntos compactos de Ω. {|∇u |}

  ∞

  Ent˜ao, existem uma subsequˆencia k k n n e uma solu¸c˜ao u (Ω) da equa¸c˜ao {u } ⊂ {u } ∈ C m dos gr´aficos m´ınimos tais que k k converge para u na topologia C , para todo m, isto ´e,

  {u } tanto k k quanto a sequˆencia de suas derivadas parciais de todas as ordens convergem {u }

  ′ ′ Demonstra¸ c˜ ao.

  Consideremos um dom´ınio Ω . Das hip´oteses 1 e ⊂⊂ Ω tal que p ∈ Ω

  ′

  2, junto com o Teorema do valor m´edio, temos que, para todo q , n (q) n (q) n (p) n (p) n n (p) ∈ Ω |u | ≤ |u − u | + |u | ≤ ||∇u k + |u |, e o limite n˜ao depende do ponto q escolhido nem de n. Conclu´ımos ent˜ao que n n

  {sup Ω |u |} ´e uniformemente limitado. O Corol´ario 1.10 garante que para todo multi-´ındice α, a

  ′

  u sequˆencia das derivadas parcias α n n ´e uniformemente limitado em Ω . De fato, como {D } ′ garantimos que n n ´e uniformemente limitado em Ω , a constante C do Corol´ario

  {sup Ω |u |}

  ′ 1.10 independe de n e, portanto, o limite de α u n n ´e uniforme em Ω .

  {D } Nesta situa¸c˜ao, o Teorema de Ascoli-Arzel´a, ver [So], p.15, implica que existe uma

  ∞ ′ m

  subsequˆencia de n n que converge para uma fun¸c˜ao u (Ω ) na topologia C , para {u } ∈ C todo m. Tomando uma exaust˜ao por uma sequˆencia crescente de dom´ınios relativamente compactos para Ω, conseguimos uma subsequˆencia diagonal k k n n que converge

  {u } ⊂ {u }

  ∞ m

  para uma fun¸c˜ao u (Ω) na topologia C em Ω, para todo m. Para concluir a ∈ C demonstra¸c˜ao, observe que, como

  2

  2

  (1 + u )u u u + (1 + u )u = 0, k y − 2u k x k xx k x k y k xy k yy fazendo o limite quando k vai para infinito temos que

  2

  2

  u u (1 + u )u yy x y xy + (1 + u )u xx = 0, x y

  − 2u ou seja, u tamb´em satisfaz a equa¸c˜ao dos gr´aficos m´ınimos.

  ¥ Como nosso objetivo ´e garantir a convergˆencia de uma sequˆencia n n de superf´ıcies

  {S } m´ınimas usando o teorema anterior, precisamos encontrar um limite uniforme do dom´ınio no qual ´e poss´ıvel expressar um superf´ıcie m´ınima como gr´afico sobre seu plano tangente, o que ser´a poss´ıvel gra¸cas `a limita¸c˜ao da curvatura de Gauss. Para isso precisamos definir alguns objetos.

  Dado p em S e r > 0 denotamos por D S

  (p, R) = p e {p + v; v ∈ T |v| < r}

  3 S

  o disco de raio r em T p . V (p, r) representa o cilindro s´olido infinito em R de raio r, cujo eixo ´e a reta gerada por N (p), isto ´e,

  1

  3

  2

  u | ≤ 16c, para todo q

  ∈ D(p, R), onde ∇u = (u x , u y ) e

  |∇

  2

  u |

  2

  = u

  2 xx

  2 yy

  ´e a norma ao quadrado do hessiano de u.

  Demonstra¸ c˜ ao. Fixado p ∈ S. Podemos assumir que p ´e a origem de R

  , T p S = {z = 0} e N (p) = (0, 0, 1). Como S localmente ´e um gr´afico, existe um raio R com as seguintes propriedades.

  2

  i )

  S pode ser expressa como o gr´afico de uma fun¸c˜ao u ∈ C

  ∞

  (D(p, R)). Portanto, u (p) = 0 e a aplica¸c˜ao X(x, y) = (x, y, u(x, y)), (x, y) ∈ D(p, R), ´e uma parametriza¸c˜ao de S com X(0, 0) = p.

  ii ) A terceira coordenada da aplica¸c˜ao de Gauss N

  3

  = hN, e

  3

  i = (1 + |∇u|

  2

  )

  − 1 2

  satisfaz

  , |∇u(q)| ≤ 8c|p − q|, |∇

  (D(p, R)) ´e a fun¸c˜ao da qual a superf´ıcie ´e gr´afico, ent˜ao temos as seguintes estimativas |u(q)| ≤ 8c|p − q|

  Para ǫ > 0, temos a faixa compacta V (p, r, ǫ) =

  2

  {q + tN(p); q ∈ D(p, r), |t| ≤ ǫ} ⊂ R

  3 .

  Dado um conjunto aberto Ω ∈ R

  3

  , dizemos que uma superf´ıcie m´ınima S imersa em Ω ´e propriamente imersa se para qualquer subdom´ınio relativamente compacto Ω

  ′

  ⊂⊂ Ω temos S

  ∩ Ω

  ′

  ⊂⊂ S, isto ´e, se S n˜ao se acumula em Ω. Ademais, se S n˜ao tem autointerse¸c˜oes e a topologia de S ´e induzida pela topologia de Ω, diremos que S ´e propriamente mergulhada em Ω e denotaremos este fato por S p.m.

  ⊂ Ω. Recordando que, para superf´ıcies m´ınimas, temos

  |A|

  = −2K. O Lema a seguir nos mostra que, quanto menor a curvatura de Gauss em um ponto p

  ∞

  ∈ S, maior ser´a o raio do disco em T p S sobre o qual a superf´ıcie ´e gr´afico.

  

Lema 4.2 (Lema do Gr´afico Uniforme). Seja S uma superf´ıcie propriamente imersa em

  Ω. Suponha que |A| ≤ c em S, para uma constante c > 0.

  1) Para todo p

  ∈ S, considere R = R(p) dado por R

  = min µ

  1 4c

  ,

  1

  2 d (p, ∂Ω)

  ¶ . Ent˜ao, a componente de V (p, R) ∩ S em torno de p ´e um gr´afico sobre D(p, R).

  2) Se u

  ∈ C

  • u
Ent˜ao, p

  2

  ) x x ), e x 1 + u

  3 3 x

  |(N | = |hA(X i| ≤ |A||X | ≤ c ≤ cW (u) < 2c, onde A ´e o endomorfismo de Weingartein de S. Repetindo o mesmo racioc´ınio, garantimos que a mesma desigualdade ´e verdadeira para a derivada de N com respeito a qualquer

  3

  vetor unit´ario. Assim,

  3 |∇N | ≤ 2c.

  Assumimos que R ´e o raio m´aximo em p com as propriedades i), ii) acima. Note

  1 > que se u estivesse definido sobre ∂D(p, R) e tivessemos N sobre ∂D(p, R), ent˜ao u

  3

  2 poderia ser estendida a um disco de raio maior, o que contradiz a maximalidade de R. Portanto, uma das seguintes possibilidades acontece.

  a ) A fun¸c˜ao u se estende suavemente para um disco maior e existe q

  ∈ ∂D(p, R) tal

  1 que N

  3 (q) = .

  2

  b ) Existe uma sequˆencia n n n ), ∂Ω) {q } ⊂ D(p, R) com d(X(q → 0.

  No caso de a) acontecer, temos

  1 =

  3 (p) 3 (q)

  3

  |N − N | ≤ |∇N |(r)|p − q| ≤ 2cR,

  2 em que r ´e algum ponto do segmento [p, q]. Se b) acontece, ent˜ao n ) n ])), |p−X(q | ≤ s(X([p, q onde s(X([p, q n ])) ´e o comprimento da curva que ´e imagem por X do segmento [p, q n ] em

  D (p, R) ligando p a q n . Este comprimento ´e dado por

  Z |q n | s W , (X([p, q n ])) = (u)ds que satisfaz

  Z n

  

|q |

  s (X([p, q n ])) < 2ds = 2 n

  |q | < 2R, em que ds denota o elemento de comprimento no disco D(p, R). Ent˜ao d

  (p, ∂Ω) n ), ∂Ω) < 2R + d(X(q n ), ∂Ω) ≤ |p − X(q − n)| + d(X(q → 2R.

  1

  1 Em resumo, temos que D (p, ∂Ω) ≤ R ou ≤ R e por a) e b) conclu´ımos 1). Para

  4c

  2 mostrar 2), primeiro note que ¯ ¯ ¯ u ¯ xx

  2

  2

  2

  ¯ ¯ xx x x x x ) , X . i| = |hN i| ≤ |A||X | ≤ c(1 + u ≤ cW (u)

  ¯ ¯ = |hN, X W

  (u)

3 Portanto, xx

  |u | ≤ cW (u) ≤ 8c. Com argumento an´alogo, conclu´ımos que o mesmo

  2

  acontece com yy u |u |, temos ent˜ao que |∇ | < 16c em D(p, R). Usando o Teorema do valor m´edio, vemos que x (q) x (p) x (q) x

  |u | = |u − u | ≤ |∇u |(p − q) ≤ 8c|p − q| e conclu´ımos que |∇u|(q) ≤ 8c|p − q|. Finalmente,

  2

  , |u(q)| = |u(q) − u(p)| ≤ |∇u||p − q| ≤ 8c|p − q| terminando assim a demonstra¸c˜ao.

  ¥ Para formularmos a no¸c˜ao de convergˆencia de superf´ıcies m´ınimas para as quais existe uma limita¸c˜ao para a ´area e para a curvatura de Gauss, precisamos definir o tipo de convergˆencia aqui estabelecida. n o p.e. p.e.

  3 Defini¸ c˜ ao 4.3. S

  Sejam n e S .

  ⊂ Ω ⊂ Ω superf´ıcies m´ınimas num aberto Ω ⊂ R n Dizemos que converge para S com multiplicidade finita, se S ´e o conjunto de acu- n

  {S } n mula¸c˜ao da sequˆencia n e para todo p em S existem r e ǫ maiores que zero tais {S } n que

  S 1.

  ∩ V (p, r, ǫ) pode ser expressa como gr´afico de uma fun¸c˜ao u : D(p, r) → R.

2. Para todo n suficientemente grande, S n

  ∩ V (p, r, ǫ) consiste de um n´umero finito (independente de n) de gr´aficos sobre D(p, r) que convergem para u na topologia m C , para todo m.

  Na situa¸c˜ao acima, definimos a multiplicidade de um ponto p ∈ S como o n´umero de gr´aficos em S n

  ∩ V (p, r, ǫ) para n suficientemente grande. ´E claro que esta mul- tiplicidade ´e constante em cada componente conexa de S. Dada uma sequˆencia de subconjuntos n no dom´ınio aberto Ω, seu conjunto de acumula¸c˜ao ´e definido por n n com p n {F } n {p ∈ Ω; ∃ p ∈ F → p}. p.e.

  Dada uma superf´ıcie m´ınima S ⊂ Ω e uma bola B ⊂⊂ Ω, denotaremos respectiva- mente por A(S S , a ´area e a curvatura de Gauss da por¸c˜ao de S dentro de

  ∩B

  ∩ B) e K B . Mostraremos agora que uma sequˆencia de superf´ıcies m´ınimas, com ´area e curvatura de Gauss uniformemente limitadas, converge com multiplicidade finita. Lembrando que o Teorema 3.1 estabelece a limita¸c˜ao uniforme para a curvatura de Gauss, o seguinte n p.e. o

  Teorema 4.4. S

  Sejam n uma sequˆencia de superf´ıcies m´ınimas. Suponha que n tem um ponto de acumula¸c˜ao e que, para cada bola B ⊂ Ω n {S } n

  ⊂⊂ Ω, existem constantes positivas c i = c i (B), i = 1, 2, com A(S n e S n , para todo n

  1 ∩B

  2 ∩ B) ≤ c |K | ≤ c ∈ N. p.m.

  Ent˜ao existem uma subsequˆencia k n e uma superf´ıcie m´ınima S {S } k ⊂ {S } n ⊂ Ω tais que k converge para S em Ω com multiplicidade finita.

  {S } k Demonstra¸ c˜ ao. Fixe um ponto de acumula¸c˜ao p da sequˆencia n . Como, por

  {S } n hip´otese, temos uma estimativa de curvatura, podemos usar o Lema 4.2 que implica i i

  3

  que existem R = R(p) > 0 e gr´aficos disjuntos U de fun¸c˜oes u definidas sobre i i i n ⊂ R n

  ⊥ ⊥

  discos B(p, 2R) ), com n n n o espa¸co ∩ (p + hν i |ν | = 1, 1 ≤ i ≤ m = m(p, n) e p + hν i i tangente ao gr´afico U em p, tais que n i s

  i S ) n ) i i i ∩ B(p, r) = (U n ∪ . . . ∪ U n ∩ B(p, R)

  2 ii u )

  |u n |, |∇u n | |∇ n | s˜ao uniformemente limitados no disco correspondente de raio 2R, para todo n e i = 1, . . . , m.

  Como a ´area de S n dentro de B(p, 2R) ´e limitada por uma constante c = c (p) > 0,

  1

  1

  conclu´ımos que o n´ umero m de gr´aficos ´e limitado superiormente, independentemente de n , pois cada S n n˜ao se acumula em B(p, 2R). Tomando uma subsequˆencia adequada, i podemos assumir que m = m(p) n˜ao depende de n e que converge para algum vetor n i {ν } n i i unit´ario ν . Usando o Teorema 4.1, existem subsequˆencias e gr´aficos i

  {U k } ⊂ {U n } n i k

  ⊥

  m´ınimos U sobre discos de raio 2R e centro p nos planos p + , 1 i i i hν n i ≤ i ≤ m, tais que cada U converge para U . Como os gr´aficos U para cada k fixo s˜ao disjuntos, pelo Lema k k i j , U 1.7, temos que dois gr´aficos limites U ou s˜ao disjuntos ou coincidem em B(p, 2R). Se p n ent˜ao podemos escolher uma

  ∈ O n˜ao ´e um ponto de acumula¸c˜ao de {S } n subsequˆencia k e R > 0 tais que S k {S } k ∩ B(p, R) = ∅, para todo k.

  , p , . . . Agora, tome um conjunto denso enumer´avel

  A = {p

  1 2 } ⊂ O. Aplicando

  o processo acima em p , obtemos uma subsequˆencia n que converge em

  1 1,k

  {S } ⊂ {S } n k B (p , R (p )) para uma uni˜ao disjunta de no m´aximo s gr´aficos com multiplicidade finita.

  1

1 Aplicando o processo novamente para em p , obtemos uma outra subsequˆencia

  {S 1,k } k

  2

  que converge em B(p , R (p )) , R (p )) para uma superf´ıcie m´ınima

  2,k 1,k

  1

  

1

  2

  2

  {S } ⊂ {S } ∪B(p n k com multiplicidade finita. Iterando o processo e tomando uma subsequˆencia diagonal, obtemos uma subsequˆencia k n que converge em O para uma superf´ıcie m´ınima p.e. {S } k ⊂ {S } n

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