A Taxa de Decaimento e Transporte Otimal

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´ atica

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Orientador: Prof. Dr. Manuel Stadlbauer

A Taxa de Decaimento e Transporte Otimal

  

Alfredo Calder´ on C´ espedes

  Salvador-Bahia Janeiro de 2015 A Taxa de Decaimento e Transporte Otimal.

  Alfredo Calder´ on C´ espedes

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Ma- tem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de mestre em matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Manuel Stadlbauer Salvador-BA

  Janeiro/2015

  ..........

  C´espedes, Alfredo Calder´on A Taxa de Decaimento e Transporte Otimal / Alfredo Calder´on C´espedes. – Salvador, 2015.

  N´ umero de p´ aginas: f. : il Orientador: Prof. Dr. Manuel Stadlbauer. Disserta¸c˜ ao de Mestrado – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Ma- tem´ atica, Colegiado do Curso de Matem´ atica, 2015. Referˆencias bibliogr´aficas. [ . . .] Palavras Chaves: 1. Cadeia topol´ ogica de Markov randomizada. 2. Opera- dor de Ruelle. 3. Espa¸co de fullshift aleat´ orio. 4. Perron-Frobenius.

I. Stadlbauer, Manuel. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Ma- tem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : A Taxa de Decaimento e Transporte Otimal Alfredo Calder´ on C´ espedes

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada o dia 30 de Janeiro de 2015.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Manuel Stadlbauer (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. V´ıtor Ara´ ujo UFBA

  Prof. Dr. Te´ofilo Nascimento UNEB

  

A minha incondicional

fam´ılia...

  

Agradecimentos

.

  A minha fam´ılia, professores, muitos colegas e amigos que n˜ao s´o estiveram presentes no processo de desenvolvimento deste trabalho, muitos deles foram indispens´aveis para a conclus˜ao do mesmo. Preciso agradecer especialmente a minha m˜ae pelo apoio incon- dicional, pois ficando t˜ao longe eu sempre senti ela perto de mim, aos professores da UFBA e outras institu¸c˜oes que me ajudaram quando mais precisei, antes e durante o meu processo de forma¸c˜ao (particularmente aos professores que aceitaram conformar a banca, V´ıtor Ara´ ujo e Te´ofilo Nascimento), aos meus coleguinhas “da 18” que viraram fam´ılia ao final, devo minha vida e minha forma¸c˜ao a vocˆes (n˜ao colocarei nomes por medo a esquecer algu´em), aos meus amigos e fam´ılia do Chile que nunca esqueceram de mim, realmente foi importante sentir que n˜ao estava sozinho num pa´ıs estrangeiro; e para concluir preciso agradecer ao meu orientador Manuel que me apoio e me ajudou com cada passo complicado do desenvolvimento deste trabalho, um professional competente que me deu seguran¸ca e h´oje um amigo al´em das matem´aticas.

  Finalmente, preciso agradecer as funda¸c˜oes financiadoras que fizeram poss´ıvel este trabalho: Capes e FAPESB.

  “A matem´atica ´e a ciˆencia da ordem e da me- dida, de belas cadeias de racioc´ınio, todas sim- ples e f´aceis...”

  

..................................................... R. Descartes

  i

  

Resumo

  Apresentamos uma nova aplica¸c˜ao do recentemente popularizado m´etodo de acopla- mentos (ou transporte otimal) para obter decaimento exponencial de correla¸c˜oes. A modo de introdu¸c˜ao, enunciamos os teoremas de Perron-Frobenius e de Ruelle, como vers˜oes pre- vias ao nosso resultado e como objetos de compara¸c˜ao. Nosso objetivo ´e provar o teorema de Ruelle num contexto mais geral como sendo as cadeias cont´aveis topol´ogicas de Markov randomizadas (completas), para isso vamos introduzir o m´etodo de acoplamentos que faz uso de uma contra¸c˜ao da m´etrica de Wasserstein sobre as medidas de probabilidade defini- das num espa¸co de full-shift aleat´orio. Vamos ver que tal m´etodo mostra varias vantagens em rela¸c˜ao aos cl´assicos m´etodos conhecidos para provar decaimento de correla¸c˜oes. ii

  

Abstract

  We present a new application of the recently popularized coupling method (or optimal transport) in order to get exponential decay of correlations. As an introduction, we will state the theorems of Perron-Frobenius and Ruelle for comparison to our result. Our goal is to prove Ruelle’s theorem in the a broader context of random countable Markov chains, for this we’ll introduce the coupling method. This method uses a contraction in the Wasserstein metric on probability measures defined in a random full-shift space. We will see that this method shows several advantages over classical methods known for proving decay of correlations. Sum´ ario

   1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  . . . . . . . . . . . . . . . 14

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  

  17

  . . . . . . 17

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  . . . . . . . . . . . . . . 26

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  

  41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  . . . . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  Gloss´ ario

  (B) i,j o coeficiente na posi¸c˜ao (i, j) da matriz B ; N (a i,j ) uma matriz de dimens˜ao N i,j =1 × N, cujo coefi- ciente na posi¸c˜ao (i, j) ´e a ; i,j

  (v) i a coordenada na posi¸c˜ao i do vetor v ; M N (C) o conjunto das matrizes de dimens˜ao N

  × N com coeficientes em C ; M N (R) o conjunto das matrizes de dimens˜ao N

  × N com coeficientes em R ; diam(A) sup

  {d(x, y) : x, y ∈ A}, onde d ´e uma m´etrica ;

  

−1

  ess-inf f sup t ( , onde (Ω, P) ∈ R : P[f −∞, t)] = 0

  ´e um espa¸co de medida e f : Ω → R mens. ;

  

−1

  ess-sup f inf t (t, , onde (Ω, P) ´e ∈ R : P[f ∞)] = 0 um espa¸co de medida e f : Ω

  → R mens. ; N o conjunto N

  ∪ {0} ; mdc(A) max {k ∈ N : k divide a m, ∀ m ∈ A}, onde

  A ⊂ Z ; supp µ x x

  ∈ X : ∃ N ∈ B vizinhan¸ca de x tal que µ( x ) > 0 , onde (X, B, µ) ´e um espa¸co de

  N medida e B os borelianos sobre o espa¸co X ; Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao geral

  Dada uma matriz A n˜ao negativa, o teorema de Perron-Frobenius diz que A possui um autovalor real, positivo e maximal. Existem variados casos em que um sistema dinˆamico define uma a¸c˜ao natural sobre um espa¸co de fun¸c˜oes, em particular, quando o sistema dinˆamico que estudamos ´e dado pelo shift, nossa a¸c˜ao natural sobre um certo espa¸co de fun¸c˜oes ´e exatamente o operador de Ruelle, o qual deve ser restrito a um certo espa¸co de Banach para obter propriedades parecidas `as da matriz A

  ≥ 0. A rela¸c˜ao entre os resulta- dos de Perron e de Ruelle ´e dada pela matriz de transi¸c˜ao que define o sistema dinˆamico do subshift (de tipo finito), pois se tal matriz ´e topologicamente mixing temos que para alguma potˆencia ela ´e positiva, portanto, ela ´e aperi´odica (hip´otese forte do teorema de Perron). Desta forma, fica claro que um teorema ´e a motiva¸c˜ao do outro e em certo sen- tido, tamb´em ´e uma generaliza¸c˜ao do outro. De fato, o teorema de Perron-Frobenius ´e um resultado para uma matriz n˜ao negativa de dimens˜ao finita, a qual pode ser vista como um operador Ruelle associado a um potencial localmente constante, enquanto o teorema de Ruelle-Sarig ´e um resultado para um operador quase compacto agindo em um espa¸co de dimens˜ao infinita associado a um potencial H¨older cont´ınuo. Isto explica tamb´em a similitude de algumas das aplica¸c˜oes destos teoremas, como por exemplo, a constru¸c˜ao de medidas/densidades invariantes.

  Nosso objetivo principal neste trabalho ser´a enunciar uma generaliza¸c˜ao dos teoremas anteriores no contexto de fibrados, provar tal resultado usando o m´etodo de acoplamentos e concluir que o m´etodo de cones (usualmente usado para provar o teorema de Perron) n˜ao ´e um m´etodo adequado para este caso, pois precisa de uma sofisticada adapta¸c˜ao para sua utiliza¸c˜ao sobre um fibrado aleat´orio. Neste primeiro cap´ıtulo enunciamos o teorema de Perron-Frobenius e explicamos o m´etodo espectral cl´assico dos cones de Birkhoff para provar decaimento de correla¸c˜oes. Isso vai permitir-nos fazer uma pequena compara¸c˜ao em rela¸c˜ao ao m´etodo de acoplamentos explicado no cap´ıtulo 2. ´ E bom deixar claro que n˜ao vamos aprofundar na adapta¸c˜ao do m´etodo de cones em fibrados, s´o vamos explicar o m´etodo cl´assico usado para mostrar o teorema de Perron (para ver uma adapta¸c˜ao em

  2 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL

  1.1 Enunciado do teorema de Perron-Frobenius

  O teorema de Perron-Frobenius descreve as propriedades dos autovalores maximais e dos autovetores correspondentes quando A ´e uma matriz quadrada com entradas reais n˜ao N

  ∗

  negativas. Um autovalor maximal real ou complexo λ de uma matriz A = a i,j i,j =1

  ∗

  C M N ´e tal que

  |λ| ≤ |λ | para cada autovalor λ de A. Al´em disso, uma matriz A ´e n˜ ao negativa se a i,j i,j ∈ R e a ≥ 0 para cada i, j ∈ {1, 2, . . . , N} (que denotamos por

  A i,j i,j > 0 para cada i, j ≥ 0), e positiva se a ∈ R e a ∈ {1, 2, . . . , N} (que denotamos por A > 0). A matriz A ´e chamada irredut´ıvel se i,j > 0 , m i,j

  ∀ i, j ∈ {1, 2, . . . , N} ∃ m ∈ N : A m i,j i,j isto ´e, o coeficiente na posi¸c˜ao (i, j) da matriz A ´e positivo. Se i n ∈ {1, 2, . . . , N} ´e tal que A = 0 para cada n i,i ∈ N, ent˜ao i ´e chamado um estado desviado . Al´em disso, M A ´e chamada aperi´ odica se existe M > 0.

  ∈ N tal que A C ao:

  1 Defini¸c˜ Seja A N uma matriz irredut´ıvel e n˜ao negativa. Para cada j ∈ M

  ∈ {1, 2, . . . , N} definimos o per´ıodo q(j) como n q(j) = mdc n ; A > 0 . j,j

  Dizemos que A ´e uma matriz q-peri´ odica se q = q(j) para cada j

  ∈ {1, 2, . . . , N} (isto ´e, o per´ıodo q(j) n˜ao depende de j). R

  1 Exemplo: Considere A N dada por: ∈ M

    0 A 0 . . .

  

1

  2

    0 0 A . . .

     

  A = (1.1) ... ... ... ... ...

        0 0 0 . . . A q

  −1 A q 0 0 . . . onde q j m (C) para cada j

  ≥ 2 e A ∈ M ∈ {1, 2, . . . , q} s˜ao matrices n˜ao negativas (com qm = N ) tais que cada produto circular j

  • +q−1 (mod q)

  Y l A l ,

  =j ´e uma matriz aperi´odica para todo j

  ∈ {1, 2, . . . , q}. A matriz A definida assim ´e q-

  peri´odica e irredut´ıvel, de fato, basta notar que

    q (mod q) Q

  A l · · ·

    l =1   q +1 (mod q)  

  Q  

  A l q · · ·   l =2

  A =     . ..

  ... ... ...

      2q−1 (mod q)  Q 

  A l · · ·

1.1. ENUNCIADO DO TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS

  3 Como todo produto circular ´e aperi´odico, existem k , k , . . . , k q

  1

  2 k ∈ N tais que

    j +q−1 (mod q) j Y

   A l  ´e uma matriz positiva para cada j l =j qk ∈ {1, 2, . . . , q}.

  Seja k = max : i = 1, 2, . . . , q ´e uma matriz com cada bloco i

  {k }, ent˜ao temos que A

  (de dimens˜ao m

  × m) na sua diagonal positivo. Assim, para cada par i, j ∈ {1, 2, . . . , N} qk

  • n

  existe n > 0, isto mostra que A ´e irredut´ıvel. O fato de que A ´e

  ∈ N tal que A i,j q-peri´odica segue da seguinte proposi¸c˜ao.

  C

  1 Proposi¸c˜ ao: Seja A uma matriz irredut´ıvel n˜ao negativa e sejam os per´ıodos N ∈ M q(j), com j

  ∈ {1, 2, . . . , N} (veja a defini¸c˜ao . Ent˜ao, q = q(j) n˜ao depende de j e, A ´e aperi´odica q = 1 .

  ⇔

  Se q ≥ 2, dizemos que q ´e o per´ıodo da matriz irredut´ıvel A.

  Prova: Primeiro provemos que o periodo q(j) n˜ao depende de j. Como A ´e irredut´ıvel m m i,j j,i existem m i,j , m j,i ) i,j > 0 e (A ) j,i > 0. Dado m

  ∈ N tais que (A ∈ N, temos que N m +m+m m m m m m m i,j j,i i,j j,i i,j j,i

  X (A ) i,i = (A ) i,k (A ) k,l (A ) l,i ) i,j (A ) j,j (A ) j,i . k,l =1 m m ≥ (A i,j j,i +m+m Assim, concluimos que (A ) j,j > 0 ) i,i > 0, em outras palavras, se q(j)

  ⇒ (A m i,j j,i +m+m divide m ent˜ao q(i) divide m i,j + m + m j,i . Agora, suponha que (A ) i,i > 0, por um argumento similar ao anterior, temos que m m m

  2m +m+2m +m+m i,j j,i i,j i,j j,i j,i (A ) j,j ) i,j (A ) i,i (A ) j,i > 0 . k m ≥ (A i,j j,i +m+k m

  Indutivamente obtemos (A ) j,j > 0 para cada k ∈ N, portanto, q(j) divide k(m i,j + m j,i ) + m para cada k i,j + m j,i e q(j)

  ∈ N. Concluimos ent˜ao que q(j) divide m divide m. Pela simetria do argumento anterior, temos que q(i) divide m se e somente se q(j) divide m i,j + m + m j,i , portanto, q := q(j) n˜ao depende de j. k

  ( > 0 para cada

  ⇒) Suponha que A ´e aperi´odica, ent˜ao existe M ∈ N tal que A k ≥ M, assim o periodo q de A divide a cada k ≥ M, portanto, q = 1. n

  ( n ) j,j > 0 . Por hip´otese, temos que mdc D(j) = q = 1 ⇐) Seja D(j) := ≥ 1 : (A e pela identidade de Bezout, existem n

  1 , n 2 , . . . , n m 1 , a 2 , . . . , a m m ∈ D(j) e a ∈ Z tais que

  X i a i n i = 1 .

  =1

  Sem perda de generalidade, vamos supor que existe um inteiro positivo k ≤ m tal que a i > 0 para cada i i < 0 em outro caso. Ent˜ao, deste modo temos que

  ≤ k, e a m k

  X X K := i i K + 1 = a i n i .

  |a | n ⇒

  4 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL Como D(j) ´e fechado por somas e cada n i

  ∈ D(j), temos que K, K + 1 ∈ D(j). Pelo algoritmo de divis˜ao, para cada n ≥ K(K − 1), existem q, r ∈ N tais que n = q K + r e q

  ≥ K − 1 ≥ r, deste modo n = q K + r(K + 1 − K) = (q − r)K + r(K + 1) . Como q

  − r ≥ 0 e K, K + 1 ∈ D(j), temos que n ∈ D(j). Em outras palavras, concluimos que N # ∩ [K(K − 1), ∞) ⊂ D(j), portanto, A ´e aperi´odica.

  C Dada uma matriz A , a multiplicidade geom´ etrica m g (λ) de um autovalor N

  ∈ M N λ λ = v : (A (ou

  ∈ C da matriz A ´e a dimens˜ao do espa¸co vetorial V ∈ C − λI)v = 0 N auto-espa¸co de λ), onde I ´e o operador identidade em C . A multiplicidade alg´ ebrica m a (λ) de um autovalor λ

  ∈ C da matriz A ´e a multiplicidade de λ como zero do polinˆomio caracter´ıstico p(z) = det(A − zI). Sabemos que a multiplicidade alg´ebrica coincide com a g N d dimens˜ao do espa¸co vetorial V = v : v = 0 conhecido λ ∈ C ∃ d ≥ 1 tal que (A − λI) como auto-espa¸co generalizado de λ. No caso geral, sempre vale que m g (λ) a (λ).

  ≤ m R

  2 Teorema: (Perron - Frobenius, ) Para N N uma matriz n˜ao ≥ 1, seja A ∈ M

  negativa e sem estados desviados. Ent˜ao A admite um autovalor real, positivo e maximal

  λ (chamado autovalor de Perron), o qual tem associado um autovetor com coordenadas A

  n˜ao negativas. Se A ´e irredut´ıvel, ent˜ao a multiplicidade alg´ebrica de λ ´e igual a 1, o A correspondente autovetor ´e positivo e n˜ao existem outros autovetores com coordenadas n˜ao negativas para todo autovalor de A. Se A ´e aperi´odica, ent˜ao λ ´e o ´ unico autovalor A de m´odulo maximal.

  N´os vamos provar o teorema sob condi¸c˜oes fortes (matriz aperi´odica), o qual foi o caso tratado por Perron. ´ E poss´ıvel reduzir as hip´oteses via uma decomposi¸c˜ao espectral, quest˜ao que n˜ao vamos aprofundar neste trabalho. O m´etodo vai ser mostrar que um operador associado a uma matriz aperi´odica A tem um ´ unico ponto fixo sobre um con- veniente cone de vetores, pois isto d´a uma boa escolha de m´etrica projetiva. O fator de contra¸c˜ao vai dar uma limita¸c˜ao superior para a distˆancia entre o autovalor maximal de A e o m´odulo do(s) seguinte(s) autovalor(es) maior(es). Devemos agora descrever isto da forma mais simples poss´ıvel, come¸cando com a discuss˜ao da m´etrica projetiva.

1.2 M´ etrica projetiva sobre o quadrante n˜ ao negativo

  N

  de R N

  Considere a m´etrica sobre R dada por: k · k N

1 X

  N = i , x , . . . , x N ) .

  1

  2

  k x k |x | , ∀ x = (x ∈ R

  1 i =1

  Definimos os conjuntos N ∆ := x : x i = 1

  ∈ R ≥ 0 para cada i = 1, 2, . . . , N e k x k N

  1

  N

1.2. M ´ ETRICA PROJETIVA SOBRE O QUADRANTE N ˜ AO NEGATIVO DE R

  5 O conjunto ∆ ´e chamado simplexo n˜ ao negativo (N − 1)-dimensional e o conjunto N sem a origem . C ´e chamado cone n˜ao negativo em R

1.2.1 Constru¸c˜ ao da m´ etrica projetiva Agora vamos construir uma distˆancia sobre ∆ que chamaremos m´ etrica projetiva.

  Note que ∆ pode-se identificar com o conjunto C/ ∼ onde x ∼ y ⇔ x = λy para algum λ , e R = mediante a aplica¸c˜ao bijetora f :

  ∈ R {t ∈ R : t > 0} C/∼→ ∆ dada por y f (¯ x) = , onde y

  ∈ ¯x , ∀ ¯x ∈ C/∼ . k y k

1 Para cada x, y

  ∈ C definimos α(x, y) = α (x, y) := sup λ : y

  C

  ∈ R − λx ∈ C ∈ [0, ∞[ ,

  • e definimos

  1 β(x, y) := , ∀ x, y ∈ C .

  α(y, x)

  1 Observa¸c˜ ao: Note que α(x, x) = sup λ : (1 = 1 ,

  ∈ R − λ)x ∈ C

  • +

    e que temos um tipo de “desigualdade triangular”:

  α(x, z) (1.2) ≥ α(x, y)α(y, z) .

  De fato, como

  C ∪ {0} ´e um conjunto fechado, temos que y − α(x, y)x ∈ C ∪ {0} e z − α(y, z)y ∈ C ∪ {0} .

  Como

  z − α(x, y)α(y, z)x = z − α(x, y)α(y, z)x + α(y, z)y − α(y, z)y

  = z − α(y, z)y + α(y, z) y − α(x, y)x ∈ C ∪ {0} ,

  e dado que λ = α(x, z) ´e o valor supremo tal que z

  − λx ∈ C ∪ {0}, podemos concluir

  que

  α(x, z) ≥ α(x, y)α(y, z) . Para cada x, y

  ∈ C definimos tamb´em α(x, y)

  Γ(x, y) = Γ (x, y) := α(x, y)α(y, x) = . (1.3)

  C

  β(x, y)

  6 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL ao: ´

  2 Observa¸c˜ E claro que Γ(x, y) = Γ(y, x) para cada x, y ∈ C (condi¸c˜ao de simetria). A

  desigualdade triangular para α implica que

  Γ(x, z) ≥ Γ(x, y)Γ(y, z) ,

  e dado que Γ(x, x) = 1 para cada x

  ∈ C, ent˜ao concluimos que

  2

  Γ(x, x) = 1 ≥ Γ(x, y) ⇒ Γ(x, y) ≤ 1 , ∀ x, y ∈ C . ao:

  2 Defini¸c˜ Dados x, y ∈ C, definimos sua pseudo-distancia projetiva como

  Θ (x, y) := (1.4)

  C − log Γ(x, y) = log β(x, y) − log α(x, y) ∈ [0, ∞] .

  3 Observa¸c˜ ao: Notamos que Θ (x, y) = x, y C ∞ ⇔ ∈ ∂C e ¯x 6= ¯y .

  Por exemplo, se N = 2, para x = (1, 0) e y = (0, 1) temos que α(x, y) = 0, portanto,

  Γ(x, y) = 0 e segue que Θ (x, y) =

  C ∞.

  ✻ ✻ ✆ ☎ ✄ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ R ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ 2

✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✱ ★

  ✱

✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪

✚ ★

  ✱ (0,1) ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ★ ✱ ✚ ✑✑

  ❅ ★

  ❅ ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✚

  ✱ ✑ ✧✧ ★

  ❅ ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✚ ✑ ✧ ✱ ✟

  ★ ✑ ✧ ✚

  ❅ ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✱ ✟✟ ★ ✧ ✦

  ✑ ✚ ✱ ✧

  ❅ ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ★ ✑ ✟✟ ✦✦ ✏ ✚

  ✧ ✱ ✑ ✏✏ ★ ✦✦

  

✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✚ ✧ ✟✟ ✘

  ∆

  ✑ ✏✏ ✱ ★ ✧ ✦✦ ✚ ✘✘✘

  ❅ ✆ ☎ ✄ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✑ ✟✟ ✏✏ ✭ ✧ ✥✥✥✥

  

★ ✱ ✦✦

✚ ✘✘✘ ✑ ✏✏ ✭✭✭✭ ✧ ✥✥✥

  ✆ ✄ ☎ ✂ ☞ ✁ ✔ ✡ ✓ ✜ ✪ ✟✟ ❅ ★ ✱ ✦✦ ✚ ✘✘✘

✑ ✧ ✏✏ ✥✥✥ ✭✭✭✭

  • ✏✏ ✔ ✱ ✧ ✂ ☎ ✪ ✦✦ ✜ ✘✘✘ ✟✟ ✭✭✭✭ ✄ ✥✥✥ ✆ ✑ ✡ ✚ ☞ ★ ✁ ✓ ❅ ✲ ✲ ∂C (1,0)

  ao: 3 Proposi¸c˜ ∆, Θ ´e um espa¸co m´etrico.

  C

  Prova: Para ver que Θ ´e uma distˆancia sobre o quociente ∆

  C

  ≃ C/∼, a ´unica proprie- dade que precisamos provar ´e Θ C (x, y) = 0 ¯ x = ¯ y , (1.5)

  ⇔ ou equivalentemente, Γ(x, y) = 1 x = λy para algum λ ⇔ ≥ 0 . Notemos primeiro que se λ , λ > 0 e x, y

  1

  2

  ∈ C, ent˜ao α(λ

  1 x, λ 2 y) = sup λ : λ 2 y 1 x

  ∈ R − λλ ∈ C

  • λ

  1

  = sup λ : λ y x

  2

  ∈ R − λ ∈ C

  • λ

  2

  λ

  1

  = sup λ : y x ∈ R − λ ∈ C

  • λ

  2

  λ

  

2

  = sup λ : y ∈ R − λx ∈ C

  • λ

  

1

  λ

  2

  = sup λ : y , ∈ R − λx ∈ C

  N

1.2. M ´ ETRICA PROJETIVA SOBRE O QUADRANTE N ˜ AO NEGATIVO DE R

  7 portanto, concluimos que λ

  2

  α(λ x, λ y) = α(x, y) . (1.6)

  1

  2

  λ

  1 Al´em disso, pode-se verificar que a propriedade vale tamb´em para a fun¸c˜ao β. A

  implica¸c˜ao ( ⇐) da afirma¸c˜ao ´e dada por x = ¯ ¯ y y = λx para algum λ

  ⇒ ≥ 0

   α(x, y) = α(x, λx) = λα(x, x) = λ

  ⇒

  1

  1

  α(y, x) = α(λx, x) = α(x, x) = λ λ Γ(x, y) = 1 ,

  ⇒ e segue o resultado. Para o rec´ıproco ( ⇒) temos que

  Θ (x, y) = 0 Γ(x, y) = 1

  C

  ⇒ α(x, y)α(y, x) = 1

  ⇒

   ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  α(λ x , λ y )α(λ y , λ x ) = α(x , y )α(y , x ) = 1 ,

  1

  2

  2

  1

  ⇒

  ′ ′ onde x = x/λ e y = y/λ . Esso ´ ultimo diz que podemos assumir: α(x, y) = 1 = α(y, x).

  1

2 Assim, temos que

  x − y ∈ C ∪ {0} e y − x ∈ C ∪ {0} , portanto, x = define

  C

  − y ∈ C ∪ {0} ∩ − C ∪ {0} {0}. Logo, vale a afirma¸c˜ao e Θ uma distˆancia sobre o conjunto ∆ # ≃ C/∼. ao:

  3 Defini¸c˜ A distˆancia Θ definida sobre ´e chamada m´ etrica projetiva sobre o cone

  C positivo C.

  ao:

  4 Observa¸c˜ Notemos que i = 0 i = 0 Γ(x, y) = 0 , {i : x } 6= {i : y } ⇒

  e que, doutro modo, vale tamb´em que

  y i x j y i α(x, y) = inf Γ(x, y) = inf . i : x 6=0 i,j : x y 6=0 i i j ⇒ x i x i y j

1.2.2 Contra¸c˜ ao dada pela m´ etrica projetiva

  4 Defini¸c˜ Seja A uma matriz n˜ao negativa com a propriedade de que nenhuma N ∈ M

  R ao:

  das suas colunas ´e o vetor zero (por exemplo, se A n˜ao admite estados desviados), ent˜ao

  A A : ∆ C ⊂ C e podemos definir um operador L → ∆ dado por

  Ax L A x = . k Ax k

  1

  • : y
  • : A(y

  Representa¸c˜ ao gr´ afica da conten¸c˜ ao de cones: A C ⊂ C e pela defini¸c˜ao de α:

  ≤ β(x, y) ,

  ⇒ β(Ax, Ay)

  Ssss

  1 α(y, x)

  ≤

  1 α(Ay, Ax)

  α(Ay, Ax) ≥ α(y, x) ⇒

  Uma consequˆencia disso ´e

  − λx ∈ C = α(x, y) .

  λ ∈ R

  − λx) ∈ C ≥ sup

  ∈ R

  α(Ax, Ay) = sup λ ∈ R

  ❈❖ y −λx

y

x

  Θ C L A x, L A y = Θ C Ax k Ax k

  ❈ ❈ ❈ ❈

  ❈❖ ❈ ❈

  ❈ ❈ ❈ ❈

  ✯ ❈ ❈

  ✟✟

✟✟

✟✟ ✟✟

  ✟✟ ✟✟ ✟ ✟ ✯

  ✟✟ ✟ ✟✟

✟✟

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  ✡✡ ✣ ✟✟

✟✟

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  ✡

  ✥✥ ✡ ✡

  ❅ ✥✥✥ ✥✥✥ ✥✥✥

  e da´ı, obtemos que

  1

  ❅ ❅ ❅ ❅

  k Ay k

  diam L B ∆ = sup Θ C L B x, L B y < ∞ .

  Para uma matriz B positiva, obtemos uma desigualdade estrita na propriedade de con- tra¸c˜ao uniforme para L B . Primeiro, observamos que o diˆametro da imagem de por L B ´e finito:

  C (x, y) .

  − log α (Ax, Ay) ≤ log β(x, y) − log α(x, y) = Θ

  1

  k Ay k

  1

  − log k Ax k

  1

  k Ay k

  1

  α (Ax, Ay) = log k Ax k

  1

  1

  , Ay k Ay k

  β (Ax, Ay) − log k Ax k

  1

  k Ay k

  1

  = log k Ax k

  1

  , Ay k Ay k

  1

  − log α Ax k Ax k

  

1

  , Ay k Ay k

  1

  = log β Ax k Ax k

  1

  ❅ ❅ ❅ ❅

  ✆ ✆ ✆✆

  (1.7) N

  ✆ ✆ ✆ ✑

  ✟ ✟ ✟ ✟

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  ✟ ✟ ✟ ✟

  ✟ ✟ ✟ ✟

  C ∂C

  ✁ ✁ ✁

  ❍❍ ❍❍ ✁ ✁

  ✟ ✟ ✟

  ✲ ✠ ✟ ✟

  ❉ ❉❉

❵❵❵❵❵

❵❵❵❵❵❵ ✻

  ❉ ❉ ❉ ❉

  ❉ ❉ ❉ ❉

  ✑ ✑ ✑ ✑

  ✥✥✥ ✥✥✥✥ ✆ ✆

  ✟ ✟ ✟ ✟

  

✥✥✥ ✥✥✥

  ☎ ☎ ☎

  ☎ ☎ ☎ ☎

  ☎ ☎ ☎ ☎

  − λx) ∈ C ,

  ∈ R

  − λx ∈ C ⊂ λ

  λ ∈ R

  −λy ∈ C implica A(x − λy) = Ax − λAy ∈ C, temos que

  ´e que o operador L A define uma contra¸c˜ao em rela¸c˜ao desta m´etrica (portanto, o operador ´e cont´ınuo): Como x

  O aspecto interessante da m´etrica projetiva Θ C

  5 Observa¸c˜ ao:

  8 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL

  ✟ ✟ ✟ ✟

  ✟ ✟ ✟ ✟

  ✆ ✆ ✆ ✆

  ✁ ✁✁ ✁ ✁

  ✆ ✆ ✆ ✆

  (C) ✆ ✆

  ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ A

  ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁✁ ✁ ✁

  ✁ ✁ ✁✁ ✁

  ✁✁ ✁ ✁ ✁✁

  ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁ ✁ ✁

  ✁ ✁✁ ✁ ✁

  ✁ ✁✁ ✁ ✁

  ✟ ✟ ✟ ✟

  ✁ ✁✁ ✁ ✁

  ❍❍ ❍❍ ✁ ✁

  ❍❍❍ ❍❍❍ ❍❍ ❍❍

  ❍❍ ❍ ❍ ❍❍❍ ❍❍❍

  ❍ ❍ ❍❍ ❍ ❍

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  ✟ ✟ ✟ ✟

  ✟ ✟ ✟ ✟

  • +

    : Ay − λAx ∈ C = sup λ
  • +

    : A(y
  • +

    : y
  • log β (Ay, Ax)

1.2. M ´ ETRICA PROJETIVA SOBRE O QUADRANTE N ˜ AO NEGATIVO DE R

  9 Isso ´e equivalente a mostrar que a transforma¸c˜ao L ´e projetivamente limitada, isto ´e, B δ = inf Γ L B x, L B y > 0 , (1.8) x,y ∈∆ C

  pois n´os temos que

  diam L ∆ = sup Θ L x, L y B C B B x,y

  ∈∆

  = sup (Bx, By)

  C x,y − log Γ ∈∆

  = inf Γ (Bx, By) − log C x,y

  ∈∆

  = − log δ = log(1/δ) < ∞ .

  A condi¸c˜ao coincide com:

  B i,s B j,r δ = min > 0 . 1≤i,j,r,s≤N B j,s B i,r

  Para ver isso, notamos que

    N P

  B x s

  1,s

    s =1 N  

  X   Bx = (Bx) j = B j,s x s .

  ⇒  ...    N s =1  

  P s B N,s x s

  =1 Logo, temos que N N N N ! !

  X X

  X X (Bx) j (By) i = B j,s x s B i,r y r = B j,s B i,r x s y r s r s r

  =1 =1 =1 =1 N N N N ! !

  X X

  X X (Bx) i (By) j = B i,s x s B j,r y r = B i,s B j,r x s y r , s =1 r =1 s =1 r =1

  assim, podemos ver que essa escolha de δ implica que N N N N

  X X

  X X B i,s B j,r x s y r δB j,s B i,r x s y r s r s r

  =1 =1 =1 =1 N N

  X X = δ B j,s B i,r x s y r , s r

  =1 =1 que ´e equivalente a

  (Bx) i (By) j (Bx) i (By) j j (By) i

  ≥ δ(Bx) ⇒ ≥ δ , (Bx) j (By) i

  para cada i, j

  ∈ {1, 2, . . . , N}. Da observa¸c˜ao temos que (Bx) i (By) j x,y 1≤i,j≤N inf Γ C (Bx, By) = δ = min > 0 .

  ∈∆

  (Bx) j (By) i

  10 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL R ao:

  4 Proposi¸c˜ Seja B uma matriz positiva. Ent˜ao o operador L ´e uma con- N B ∈ M

  tra¸c˜ao, isto ´e, existe c

  ∈ (0, 1) tal que Θ C L B x, L B y C (x, y) , dd (1.9) ≤ c Θ ∀ x, y ∈ ∆ . Prova:

  Para mostrar essa afirma¸c˜ao, fixamos x, y ∈ ∆ e escrevemos

  1 α = α(x, y) e α = α(y, x) = ,

  1

  

2

  β(x, y) portanto, com essas nota¸c˜oes temos que Θ (x, y) = log(β(x, y)) ) ) = α ) .

  C

  2

  1

  1

  2

  − log(α(x, y)) = − log(α − log(α − log(α Notemos que ´e suficiente considerar o caso α α x

  1

  2

  1

  6= 0. Por defini¸c˜ao temos que y −α ∈ C e x x

  1 x − y = − y = − α(y, x)y ∈ C ,

  α α(y, x) α(y, x)

  2

  a limita¸c˜ao projetiva δ > 0 implica que existem λ , λ λ

  1

  2

  1

  2

  ≥ 0 com λ ≥ δ tais que α L B (y x), L B (x/α

  1

  2

  1

  − α − y) ≥ λ e α L B (x/α B (y x) ,

  2

  1

  2

  − y), L − α ≥ λ portanto, temos que L (x/α L (y x) B

  2

  1 B

  1

  − y) − λ − α ∈ C e L (y x) L (x/α B

  1

  2 B

  2 − α − λ − y) ∈ C .

  Dessa forma, fazendo alguns c´alculos (veja observa¸c˜ao , obtemos 1 + λ

  1 L x L y B B

  − ∈ C

  1

  • λ α
  • α 2

      

    1

    λ

      1

      α 2

    • 1 α
    • 2 L y L x B B − ∈ C .

        1 + λ

        2 Esso significa que α 1 !

        1

      • λ α

        1 + λ 2 2

        1

        Θ L x, L y = x, L y)α(L y, L x)

        C B B B B B B

        − log α(L ≤ − log ·

        1

        1

        1 + + λ α λ α 2 2

        1

        1

        ! !

        1

      • λ

        1 α α 1 + λ 1 2

        1

        = log − log

        1

        1

        1 λ α α λ 2 1 2 + 1 + 2 1 t

        Z −

        log(α1α2) λ e

        1

        − λ 2 = dt t

        1 t

        e + (e + λ ) λ 2

        1

        1

        1 − λ λ 1 2

        α )

        1

        2

        ≤ − log(α q

        1

        1 + λ λ 1 2 √ 1 δ

        − Θ (x, y) ,

        C

        ≤ √ 1 + δ

        1.3. PROVA DO TEOREMA DE PERRON

        11 ao:

        6 Observa¸c˜ Sem perda de generalidade, vamos supor que = = 1 . k Bx k k By k

        1

        1 Lembramos que na prova da proposi¸c˜ao temos

        B(x/α

        2 B(y 1 x)

        − y) − α − λ

        1 ∈ C ,

        x)

        2

        1

        k B(x/α − y) k

        1 k B(y − α k

        1 isto implica que

        1 + ˜ λ

        

      1 1 + ˜ λ

        1 Bx By = L B x L B y

        − − ∈ C ,

        1

        1

        ˜

      • α λ + ˜ λ α
      • α α 2

          1

          1 2

          1

          1 onde

          λ

          1

          2

          k B(x/α − y) k

          1

          ˜ λ = .

          1 1 x)

          k B(y − α k

          1 Analogamente, pode-se mostrar que

        λ

        ˜

          α 2

        • 1

          α

        • 2 L y L x B B

            − ∈ C , 1 + ˜ λ

            2 onde

            λ x)

            2

            1

            k B(y − α k

            1

            ˜ λ 2 = . k B(x/α

            2 − y) k

            1

            ˜

            Assim, temos que ˜ λ 1 λ 2 = λ 1 λ

            2 ≥ δ.

            1.3 Prova do teorema de Perron M Assumimos primeiro que A ´e aperi´odica. Seja M ´e positiva.

            ∈ N tal que B = A M Considere o operador L : ∆ A B = L . Pela

            → ∆ como foi definido antes e note que L A proposi¸c˜ao temos que existe c < 1 tal que M M Θ L x, L y (x, y) , dd (1.10)

            C C A A ≤ c Θ ∀ x, y ∈ ∆ .

            Provaremos que a propriedade garante que L possui um ´ unico ponto fixo x no A A M interior de ∆. Para construir tal ponto fixo, notamos que diam L ∆ < A ∞ veja e observe que M +n diam L ∆ = sup Θ (x, y) = sup Θ (x, y) A x,y ∈L ∆ x,y L M +n n C C M A A ( A ) ∈L ∆ n n = sup Θ L x, L y . M C A A

            12 n CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL Como n = M + k k < M e temos que +n · M ⌊t⌋ denota a parte inteira de t ∈ R n n M M M · +k M · +k n n M

            ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ diam L ∆ = sup Θ L x, L y = sup Θ L x, L y A C A A C A A x,y x,y M M

            ∈L ∆ ∈L ∆ A A M · M · M k M k n n

            ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ = sup Θ C L L x , L L y x,y M A A A A M n ∈L ∆ A k k

            ⌊ ⌋ sup Θ L x, L y

            C

            ≤ c A A x,y M M n ∈L ∆ A ⌊ ⌋

            = c sup Θ (x, y) M n x,y ∈L ∆ A M +k C ⌊ ⌋ sup Θ (x, y) ,

            C

            ≤ c x,y M

            ∈L ∆ A

            e concluimos ent˜ao que n n M n ⌊ ⌋ sup Θ L x, L y sup Θ (x, y) , x,y ∈L ∆ x,y ∈L ∆ M M A A

          C C

          A A ≤ c portanto, a sequˆencia de diˆametros converge exponencialmente r´apido para zero, isto ´e, n a sequˆencia L ∆ converge para um conjunto unit´ario A A

            {x } ⊂ ∆ quando n → ∞. Assim, dado ǫ > 0 existe N ∈ N tal que n

            ǫ Θ x A , L x A < ,

            C A ∀ n ≥ N ,

            c + 1 ent˜ao, para m > N tem-se que m m Θ C x A , L A x A C x A , L x A + Θ C L x A , L A x A

            ≤ Θ A A m m− 1 ǫ ǫ x , L x + c Θ L x , x = + c = ǫ .

            C A A C A A

            ≤ Θ A A c + 1 c + 1 Tomando o limite quando ǫ x , L x = 0 e, portanto, L x =

            C A A A A A

            → 0, concluimos que Θ x . Para ver que x ´e o ´ unico ponto fixo basta notar que se y temos A A A M M M 6= x

            Θ L x A , L y < Θ (x A , y) Θ x A , L y < Θ (x A , y)

            C A A C ⇒ C A C M

            L y ⇒ A 6= y . Como todo autovetor v de A no quadrante positivo possui um autovalor λ > 0 (con- v seq¨ uˆencia direta da aperiodicidade de A), temos que ´e um ponto fixo do operador

            k v k

            L A

            e, pelo feito anteriormente, temos que A possui um ´ unico autovetor x no quadrante A positivo, com um autovalor real e positivo λ A . Para ver que todo autovalor de A possui modulo estritamente menor que λ A , considere N ⋄ N u tal que Au = µu, para algum µ A . Observe que o vetor u

            ∈ C ∈ C com |µ| ≥ λ ∈ R dado por u =

            1

          2 N satisfaz:

            |u |, |u |, . . . , |u | ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄

          1.3. PROVA DO TEOREMA DE PERRON

            t

            13 J´a que a matriz transposta A tamb´em ´e aperi´odica, o autovetor y para o autovalor A λ A tamb´em tem coordenadas positivas (pois λ A ´e autovalor de A se e somente se λ A ´e N t

            P autovalor de A ). Usando v i w i de dois vetores N hv, wi para denotar o produto escalar i =1 v, w , temos por defini¸c˜ao de y A ,

            ∈ C ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ y A , A u A u = y A , A u y A , λ A u − λ − t ⋄ ⋄

            = A y , u y , λ u A A A ⋄ ⋄ − = λ y , u y , λ u = 0 . (1.11) A A A A

            − ⋄ ⋄ J´a que cada coordenada de y ´e positiva e cada coordenada de Au u ´e n˜ao negativa, A A ⋄ ⋄ ⋄ − λ ent˜ao implica que Au = λ u , em particular u e x s˜ao colineares. Resumindo, A A mostramos que ⋄ ⋄ ⋄ ⋄

            λ A u = = (Au) = Au , M ⋄ M ⋄ M |µ|u portanto, (A u) = A u , isto ´e, denotando B := A > 0, temos que N N

            X X B i,j u j = B i,j j

            (1.12) j j |u | , ∀ i ∈ {1, 2, . . . , N} .

            =1 =1

            Dado que u j = z j j j j B(0; 1) |u | para algum z ∈ C com |z | = 1 e j´a que ¯ ⊂ C ´e estritamente convexo, tem-se por que existe z j = z j

            ∈ C com |z| = 1 tal que u |u |, para cada j s˜ao colineares e µ = λ . Isto mostra que a multiplicidade A A ∈ {1, 2, . . . , N}. Assim, u e x

            ′

            geom´etrica m g (λ ) ´e igual a 1. Agora, suponha que m a (λ ) > 1, isto ´e, existe x com A A A

            2 ′ ′

            I I λ A x λ A x = 0 .

            − A A 6= 0 e − A A Assim, pode-se mostrar que n

            ′

            A x n n A ′ ′ →∞ n = Ax A − (n − 1)x A −→ ∞ , λ λ A A

            1 n n

            1

            e portanto, a norma (como operador) de A /λ n˜ao ´e limitada. Mas isso ´e imposs´ıvel, j´a A que a matriz “normalizada” ˜ A dada por A i,j (x ) j A

            ˜ A i,j := ,

            λ A (x A ) i t tem a seguinte propriedade: seja w = (1, 1, . . . , 1) , ent˜ao para cada i temos, N

            1

            1 ˜

            X A i,j (x ) j A

            Aw = = (Ax ) i = (λ x ) i = 1 , i A A A j λ (x ) λ (x ) λ (x ) A A i A A i A A i

            =1 n

            ˜ portanto, ˜ Aw = w. Desta forma, concluimos que A = 1 para cada n ∈ N. Al´em disso, notemos que n n n

            (A ) i,j (x A ) i (x A ) i ˜

            = A A sup < n i,j i,j ≤ ˜ ∞ , λ (x ) j i,j (x ) j A n n A A o que contradiz o fato de A /λ n˜ao ser limitado. Isto mostra o teorema de Perron. # A ao:

            7 Observa¸c˜ Notemos que a primeira parte desta demonstra¸c˜ao ´e exatamente a prova do teorema do ponto fixo de Banach.

            14 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL

            

          1.4 Aplica¸c˜ ao: problemas de controle para potˆ encias

            Nesta se¸c˜ao vamos falar sobre o que s˜ao os problemas de controle para potˆencias, como lev´a-los a um contexto matricial e como o teorema de Perron-Frobenius ajuda a determi- nar uma solu¸c˜ao para tais problemas.

            Para introduzir a defini¸c˜ao de um problema de controle para potˆencias, vamos supor que vocˆe est´a num restaurante com alguns amigos sentados numa mesa. Vocˆe quer falar com todos os seus amigos na mesa, tomara com um n´ıvel confort´avel de voz, mas o barulho da sua mesa faz que outras pessoas, em outras mesas pr´oximas, precisem falar mais alto para que eles possam se ouvir uns aos outros de forma mais clara. Esse novo barulho de mesas pr´oximas faz que se torne mais dif´ıcil ouvir a conversa entre os seus amigos (na sua mesa), portanto, os seus amigos v˜ao precisar falar ainda mais alto para se comunicar, e assim por diante. O que n´os queremos ´e achar um n´ıvel de voz ´otima em cada mesa para que todos possam falar confortavelmente. Num problema de controle para potˆencias, o que n´os queremos ´e p i i ,

            (1.13) P

            ≥ R ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} , j G i,j p j

            6=i

            onde G i,j ≥ 0 denota a porcentagem de aumento ou diminui¸c˜ao que afeta o som vindo `a i-´esima mesa desde a j-´esima mesa. Por exemplo, um valor de 0.5 sugere que o som que vocˆe ouve estando do lado da mesa j perde metade do seu volume no seu caminho para a mesa i. Al´em disso, p j > 0 ´e o n´ıvel de voz desejado na j-´esima mesa e R i ´e a raz˜ao aceit´avel de barulho que pessoas na mesa i est˜ao fazendo dividido pelo barulho das outras mesas que as pessoas na mesa i escutam. A equa¸c˜ao indica simplesmente que que- remos que a raz˜ao de barulho seja maior ou igual ao valor da raz˜ao aceit´avel, assim todos na mesa i podem conversar entre si confortavelmente. Se tal raz˜ao for inferior ao valor R i , ent˜ao isso significa que as pessoas na mesa i n˜ao podem-se ouvir devido ao barulho causado pelas outras mesas.

            Para cada i ∈ {1, 2, . . . , m}, pela equa¸c˜ao , tem-se que

            X p i i G i,j p j , ≥ R j

            

          6=i

            isto significa que podemos reescrever o nosso problema de modo matricial como segue         p R 0 0 G G p

            1 1 1,2 1,3 1,m

            1

            · · · 0 · · · G         p

            0 R G G p

            2 2 · · · 0 2,1 2,3 · · · G 2,m

            2

                            p

            

          3 0 0 G 3,1 G 3,2 3,m p

            3

            · · · G ≥

                                    ... ... ... . .. ... ... ... . .. ... ...

            1.4. APLICAC ¸ ˜ AO: PROBLEMAS DE CONTROLE PARA POT ˆ ENCIAS

            15 onde a desigualdade se verifica para cada coordenada. Definimos    

            R 0 0 G G

            1 1,2 1,3 1,m

            · · · 0 · · · G    

            0 R

            2 G 2,1 G 2,3 2,m

            · · · 0 · · · G         0 0 G 3,1 G 3,2 3,m

            A := · · · G

                     ... ... . .. ...   ... ... . .. ...  0 0 0 m G m, G m, G m,

            1

            2

            · · · R · · · e definimos p = (p , p , . . . , p m ) . Sabemos que A ´e uma matriz com entradas na diagonal

            3 T

            1

            2

            iguais a zero e vamos supor que ela ´e aperi´odica (a menos que determinadas propriedades de simetria na segunda matriz do produto tenham como consequˆencia que o periodo de A n˜ao seja 1). A equa¸c˜ao acima nos diz que A p

            ≤ p, e dado que A ´e uma matriz n˜ao negativa e aperi´odica, pelo teorema de Perron-Frobenius existe um vetor positivo v e um valor real λ > 0 tais que A v = λ v, assim temos que

            A v λ ≤ v ⇔ ≤ 1 , e portanto, vamos supor que λ

            ≤ 1. Um teorema ´util dado por Semyon Gershgorin vai nos ajudar a encontrar uma limita¸c˜ao aceit´avel (por acima) para os R i ’s. m

            5 Teorema: (Gershgorin,) Seja A = (a i,j ) m (C) e para cada i i,j =1 ∈ M ∈ {1, 2, . . . , m}

            defina

            X r i := i,j j 6=i |a | ,

            ent˜ao o conjunto dos autovalores de A esta contido na uni˜ao das m bolas fechadas bi- dimensionais ¯ B(a i,i ; r i ) (chamadas c´ırculos de Gershgorin). Al´em disso, enumerando de m modo certo o conjunto dos autovalores i , temos que i i,i i .

            {λ } i |λ − a | ≤ r

            =1

            2 Exemplo: Considere a matriz 3 2 A = , 4 1

            e notemos que r = 2 e r = 4. Os autovalores de A s˜ao 5 e

            1

            2

            −1, e os c´ırculos de Gershgorin s˜ao ¯ B(3; 2) e ¯ B(1; 4). ´ E claro que 5 B(3; 2) e B(1; 4). ∈ ¯ −1 ∈ ¯

            Aplicando o teorema de Gershgorin ao nosso problema de controle para potˆencias, temos que i i,i i i = i,j i G i,j , (1.14)

            X X |λ − a | = |λ | ≤ r |a | = R ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} , j 6=i j 6=i pois a i,i = 0 para cada i. Pelo teorema de Perron-Frobenius sabemos que λ

            ≤ 1, onde λ ´e o autovalor maximal de A, portanto, temos que i |λ | ≤ 1 para cada i.

            Se estabelecemos que

            1 R i , ≤ P ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} ,

            G i,j

            16 CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ ˜ AO GERAL ent˜ao podemos ver que isto nos d´a uma limita¸c˜ao aceit´avel para os R i ’s. Pelo anterior e por , temos que i i G i,j

            X |λ | ≤ R ≤ 1 , ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} , j

            6=1

            assim, todas as nossas condi¸c˜oes de limita¸c˜ao para os autovalores de A valem, temos uma limita¸c˜ao para os R i ’s e v ´e o nosso vetor solu¸c˜ao desejado.

            Para resumir, se o raio espectral de A ´e menor ou igual que 1, ent˜ao o vetor pr´oprio v da equa¸c˜ao A v = λ v vai cumprir com a desigualdade A p ≤ p e vai ser o vetor solu¸c˜ao que representa a n´ıvel de voz desejado. Al´em disso, isto ´e verdade se cada R i n˜ao exceda P

            1

            o valor . No caso de n˜ao ter esta ultima condi¸c˜ao, n˜ao temos certeza se a nossa j6 =1 G i,j solu¸c˜ao cumpre com o desejado.

          1.5 Organiza¸c˜ ao do texto

            No cap´ıtulo 2 vamos provar uma vers˜ao aleat´oria do teorema de Ruelle determin´ıstico, para isso, vamos enunciar uma vers˜ao determin´ıstica de tal teorema (o teorema , de- finir as ferramentas aleat´orias para generalizar essa ideia sobre fibrados e enunciar um importante resultado cuja prova explica o m´etodo de acoplamentos (veja o teorema . Os passos anteriores s˜ao necess´arios para provar tal vers˜ao aleat´oria do teorema de Ruelle (o teorema o qual ´e o resultado principal deste trabalho.

            Finalmente, no cap´ıtulo 3 calculamos num´ericamente as autofun¸c˜oes do operador de Ruelle associado a um sistema dinˆamico bem comportado e definido por uma aplica¸c˜ao de Markov. ´ E necessario deixar claro que tal sistema dinˆamico n˜ao ´e exatamente aleat´orio como os sistemas gerais nos que baseamos a nossa teoria, mas d´a para aplicar o nosso teorema principal e obter uma ideia sobre a convergˆencia das autofun¸c˜oes no sistema aleat´oriamente perturbado quando o suporte da medida de probabilidade tende para um conjunto unit´ario. Cap´ıtulo 2

          O teorema de Ruelle determin´ıstico

          e aleat´ orio

            Apresentamos o resultado que vamos a generalizar no seguinte cap´ıtulo: o teorema de Ruelle. Tal teorema ser´a enunciado em sua vers˜ao geral para subshift de tipo cont´avel, trabalho que foi desenvolvido em grande parte por O. Sarig.

            2.1 Ferramentas determin´ısticas b´ asicas e o teorema de Ruelle-Sarig

            Seja (X,

            B, m) um espa¸co de medida. Uma transforma¸c˜ao mensur´avel T : X → X ´e n˜ ao-singular se, dado C ∈ B vale que

            −1 m T (C) = 0 m(C) = 0 .

            ⇔ Frequentemente, se vale a condi¸c˜ao anterior, vamos dizer tamb´em que a medida m ´e n˜ao

            −1

            singular em rela¸c˜ao T . Dizemos que T preserva a medida se m T (C) = m(C) para cada C ∈ B (em tal caso, se diz que m ´e T -invariante). Al´em disso, T ´e uma transforma¸c˜ao erg´ odica se c

            −1 Dado A (A) = 0 m(A) = 0 ou m(A ) = 0 .

            ∈ B com m T △ A ⇒

            −1 Um conjunto A (A) = 0 ´e chamado T -invariante.

            ∈ B tal que m T △ A

            5 Defini¸c˜ ao: Seja α,β uma S×S S um conjunto cont´avel e seja A = A ∈ M {0, 1} α,β∈S matriz que n˜ao tem linhas nem colunas nulas (a matriz A ´e chamada matriz de transi¸c˜ao). N Seja X = , ent˜ao o subshift cont´ avel (de tipo finito ou enumer´avel) definido pela

            S A

            matriz de transi¸c˜ao A ´e a restri¸c˜ao σ da aplica¸c˜ao full-shift σ : X i )

            → X ; (x i∈N0 7→ (x i ) ao conjunto fechado e σ-invariante,

          • 1

            i∈N0 A X = (x i ) = 1 , . A i∈N0 ∈ X : A xi,xi+1 ∀ i ∈ N O conjunto X ´e munido com a topologia gerada pela cole¸c˜ao dos n-cilindros:

          A

          [a , a , . . . , a n ] := (x i ) : x i = a i , .

            1 −1

            ∈ X ∀ i ∈ [0, n − 1] ∩ N A A i∈N0

            18 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO ao: A

            8 Observa¸c˜ Notemos que a topologia definida sobre X (a topologia produto) ´e me-

            triz´avel, de fato, uma m´etrica que gera tal topologia ´e − min{n : x 6=y } n n

            2 se x 6= y d (x, y) = d (x i ) , (y i ) =

            i∈N0 i∈N0 se x = y .

            ´ A E um fato conhecido que, com respeito a esta m´etrica, o espa¸co X ´e completo e separ´avel. A

            Definimos B ) como a σ-´algebra de Borel gerada pelos abertos do espa¸co A ⊂ P(X X . Uma palavra de comprimento n sobre um alfabeto n S (cont´avel) ´e um elemento (a , a , . . . , a n ) (quando o comprimento n˜ao ´e importante, usamos a nota¸c˜ao a para

            1 −1

            ∈ S denotar uma palavra de qualquer comprimento e [a] para denotar um cilindro qualquer). Uma palavra (a , a , . . . , a n ) ´e chamada A-admiss´ıvel se

            1 −1 A = 1 .

            · A · A · . . . · A

            a0,a1 a1,a2 a2,a3 an−2,an−1 n

            Dados a, b ∈ S, usamos a nota¸c˜ao a → b para afirmar que existe uma palavra A-admiss´ıvel de comprimento n + 1 que come¸ca em a e termina em b.

            6 Defini¸c˜ ao: Dizemos que o espa¸co X A ´e topologicamente mixing se a,b a,b . n ∀ a, b ∈ S ∃ N ∈ N : a → b , para cada n ≥ N A A

            Al´em disso, dizemos que uma cadeia topol´ogica de Markov X , σ possui a proprie- A

            dade de grandes imagens e pr´ e-imagens (g.i.p.) se o espa¸co X ´e topologicamente

            mixing e existe

            F ⊂ S finito tal que ∀ c ∈ S ∃ a, b ∈ F : as palavras (c, a) e (b, c) s˜ao A-admiss´ıveis. A A A Seja (X , σ ) uma cadeia topol´ogica de Markov e seja φ : X → R uma aplica¸c˜ao. Dizemos que φ ´e α-H¨ older cont´ınua se existe M > 0 tal que α A d (x, y) , .

            |φ(x) − φ(y)| ≤ M ∀ x, y ∈ X Definimos a n-´ esima varia¸c˜ ao de φ como var n (φ) = sup

            |φ(x) − φ(y)|

            x,y∈XA t.q. xi=yi 0≤i≤n−1

            e dizemos que φ tem varia¸c˜ ao som´ avel se

            ∞

            X var n (φ) < n

            =2 A

            Seja ν uma medida σ-finita e n˜ao-singular definida sobre o espa¸co (X , B). ´ E poss´ıvel A A definir uma medida ν sobre o espa¸co X dada por ◦ σ A A

            X (ν )[E] = ν σ (E , ◦ σ ∩ [a]) ∀ E ∈ B . a

            ∈S A A A

            Note que, em geral, tem-se que (ν )[E] (E) . Pode-se mostrar que ν ) ◦σ 6= ν σ ≪ (ν ◦σ e pelo teorema de Radon-Nikodym, podemos definir o que ´e uma medida conforme: Se A

            φ : X → R ´e uma aplica¸c˜ao B-mensur´avel, dizemos que ν ´e uma medida φ-conforme

            2.1. FERRAMENTAS DETERMIN´ISTICAS B ´ ASICAS E O TEOREMA DE RUELLE-SARIG19 A

            1. ν [a] < ; ∞ para cada cilindro [a] ⊂ X

            2. Existe λ > 0 tal que dν

            −1 A = λ exp(φ) .

            d(ν ) ◦ σ

            Al´em disso, o operador de Ruelle associado a φ ´e definido por

            X

            1 A L φ (f )(x) = exp φ(y) f (y) , (ν) , .

            ∀ f ∈ L ∀ x ∈ X

            y∈XA t.q. σA(y)=x

            Se φ ´e uma aplica¸c˜ao H¨older-cont´ınua, definimos o operador dual de Ruelle associado a φ como o operador tal que Z Z

            ∗

            f dL (µ) = L φ (f ) dµ , φ para cada f : X A → [0, ∞) cont´ınua e integr´avel. Essa defini¸c˜ao de operador dual garante que ele ´e ´ unico, por consequˆencia do cl´assico teorema de Lusin (para uma defini¸c˜ao mais geral do operador dual veja p´agina 32 de ). ao: A

            9 Observa¸c˜ Quando (y) = x

            S ´e um conjunto infinito, pode acontecer que #{y : σ } = φ seja divergente. Pode-se mostrar que o operador dee que a soma na defini¸c˜ao de L A

            transferˆencia ˆ σ para uma medida n˜ao-singular ν (veja para defini¸c˜ao e propriedades de operador de transferˆencia) ´e o operador de Ruelle associado a φ = log , e como ◦σ A

            Z Z Z A A L φ (f ) dν L φ (f ) dν = σ ˆ (f ) dν = (f ) <

            ≤ k ˆσ k ≤ k f k ∞ ,

            1

            1 X A A A

            X X temos que a soma na defini¸c˜ao do operador de Ruelle associado a φ = log ´e A ◦σ A absolutamente convergente para quase todo x .

            ∈ X ao: A A

            7 Defini¸c˜ Seja X topologicamente mixing e suponha que φ : X → R ´e uma fun¸c˜ao

            B

          • -mensur´avel que ´e de varia¸c˜ao som´avel. Definimos a press˜ ao de Gurevich (veja ) associada a φ como

            1 P (φ, a) := lim log Z (φ, a) , G n n

            →∞

            n

            onde a

            ∈ S e n !

            

          −1

            X X k

            1 Z n (φ, a) := exp φ A (x) (x) , σ (x)=x =0 A n k ◦ σ [a]

            onde 1 ´e a fun¸c˜ao indicatriz em rela¸c˜ao ao cilindro [a]. Pode-se mostrar que P G (φ, a) [a] existe para cada a G (φ) para denotar

            ∈ S e que n˜ao depende de a, portanto, escrevemos P a press˜ao de Gurevich associada a φ.

            20 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO A A

            6 Teorema: (Ruelle-Sarig, ) Sejam X , σ uma cadeia topol´ogica de Markov A A

            (com X topologicamente mixing) e φ : X A

            → R uma fun¸c˜ao B-mensur´avel. Suponha que σ possui a propriedade g.i.p., que a aplica¸c˜ao log φ ´e H¨older cont´ınua, que φ (1) < k L k P (φ) G

            valem as seguintes afirma¸c˜oes:

            ∞ e que φ ´e H¨older cont´ınuo. Ent˜ao, para ρ = e

            1. Existe uma medida de probabilidade ν : B

            → [0, 1] tal que

            ∗

            L (ν) = ρ ν ; φ

            2. A medida de probabilidade ν ´e [ρ/φ]-conforme; A

            3. Existe uma fun¸c˜ao h : X

            → (0, ∞) H¨older-cont´ınua tal que Z

            L φ (h) = ρ h e h dν = 1 ;

            4. ν e h s˜ao unicamente definidas; 5. σ A ´e erg´odica em rela¸c˜ao `a medida ν; A

            6. Para cada f : X

            → R cont´ınua tem-se que n Z

            L (f ) φ n→∞ f dν n − −→ 0 ; ρ h

            ∞

            7. Para cada a

            ∈ S existem C > 0 e N ∈ N tais que

            1

          n (φ, a) e

          −nP (φ) G ≤ Z ≤ C ,

            C

            para todo n

            ≥ N; No que segue, provaremos uma vers˜ao an´aloga do teorema de Ruelle no contexto de

            “cadeias topol´ogicas de Markov cont´aveis randomizadas”, para isso usamos o m´etodo de acoplamentos ou transporte otimal que descrevemos e aplicamos na se¸c˜ao

          2.2 Uma vers˜ ao aleat´ oria do operador de Ruelle

            Definimos um sistema fibrado aleat´ orio como uma cole¸c˜ao Y, T, Ω, θ, P, π , onde Y ´e polonˆes, (Ω,

          F, P) um espa¸co de probabilidade, T : Y → Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua,

            θ : Ω → Ω uma transforma¸c˜ao n˜ao singular e π : Y → Ω ´e mensur´avel e sobrejetora satisfazendo π

            ◦ T = θ ◦ π (π ´e semi-conjuga¸c˜ao), isto ´e, que o seguinte diagrama comuta: T // π π Y Y θ // Ω Ω

            −1

            Assim, T preserva as fibras Y ω = π , no sentido que T Y ω ; a restri¸c˜ao de θ (ω) n n n {ω} ⊂ Y

          2.2. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO OPERADOR DE RUELLE

            21 ao:

            8 Defini¸c˜ Sejam Ω, um espa¸co de probabilidade e θ : Ω

          F, P → Ω uma transforma¸c˜ao

            n˜ao-singular, invert´ıvel e que preserva a medida. Al´em disso, consideramos uma vari´avel aleat´oria ℓ : Ω ≥ 2 ω = A i,j (ω) N → N ∪ {∞} e, para quase todo ω ∈ Ω, seja A ∈ i,j =1

            M ×N dada por {0, 1}

            A i,j (ω) = 1 (i) (j) , [1,ℓω [ · 1 ∀ i, j ∈ N ,

            [1,ℓθω[ isto ´e,

            ℓθω−1

            z }| { ................  

             1 1 · · · 1 · · ·

             

              . . . . . .

            ... ℓω −1

             . 1 . .  . .  

             A

             ω =  

            1

            1 · · · 1 0 · · · .

               

            . . . 0 0   . ..

            ... ... e tal que a aplica¸c˜ao ω ω ´e mensur´avel (onde 1 denota a fun¸c˜ao indicatriz). Definimos

            7→ A

            o espa¸co de full-shift aleat´ orio em rela¸c˜ao a ω N i ∈ Ω como

            X ω = (x i ) : A (θ ω) = 1 , ∈ N ∀ i ∈ N

            i∈N0 xi,xi+1 N i = (x i ) : x i < ℓ θ ω , . i∈N0 ∈ N ∀ i ∈ N

            Como vemos, ´e poss´ıvel definir o espa¸co de full-shift aleat´orio sem usar a matriz de transi¸c˜ao A ω , mas esta ´e a forma de generalizar a defini¸c˜ao no caso de um espa¸co de subshift aleat´orio. Definimos o shift completo aleat´ orio (ou full-shift aleat´orio) σ ω :

            X ω θω dado por → X σ ω (x i ) = (x i ) .

          • 1

            i∈N0 i∈N0 Seja X = (x, ω) : x ω , o anterior d´a origem a uma aplica¸c˜ao global σ : X

            ∈ X → X

            (sistema fibrado aleat´orio) tal que σ(x, ω) = σ ω (x), θω .

            Isto define o seguinte diagrama comutativo σ // // σ ω π π π π

            X X ## X ω X θω

            

          θ θ

          // //

            Ω Ω {ω} {θω}

            −1 onde π ´e uma aplica¸c˜ao mensur´avel e sobrejetora tal que π = X para quase ω

            {ω}

            todo ω

            ∈ Ω. O qu´ıntuplo (X, σ, Ω, P, θ) ´e chamado cadeia topol´ogica de Markov randomizada completa (CMRC).

            22 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO n ao:

            9 Defini¸c˜ Dizemos que um elemento (a , a , . . . , a n ) ´e uma palavra finita de

            1 −1

            ∈ N comprimento n (ou n-palavra). Uma n-palavra a = (a , a , . . . , a n ) ´e chamada ω-

            1 −1

            admiss´ıvel se i a i θ ω n ≤ ℓ − 1 , ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} .

            Denotamos por ao conjunto de todas as n-palavras ω-admiss´ıveis. Dada uma n-

            W ω

            palavra a = (a , a , . . . , a n ) e ω 1 −1

            ∈ Ω, definimos o cilindro em rela¸c˜ao a ω e a: [a] ω = [a , a 1 , . . . , a n −1 ] ω = (x i ) i∈N ω : x i = a i , .

            ∈ X ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

            Quando o comprimento n˜ao ´e importante, usamos a nota¸c˜ao a para denotar uma palavra de qualquer comprimento e [a] ω para denotar um cilindro qualquer em X ω .

            ao:

            10 Observa¸c˜ Dada (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC, temos condi¸c˜oes (an´alogas) como topolo- gicamente mixing e propriedade de grandes imagens e pre-imagens (ver defini¸c˜ao que

            sempre valem para cada fibra X ω .

            Sabemos que X ω ´e um espa¸co polonˆes (espa¸co m´etrico separ´avel e completo) em rela¸c˜ao `a topologia τ c gerada pelos cilindros. Al´em disso, a topologia τ c ´e metriz´avel. De fato, para cada r ω dada por

            ∈ (0, 1) a distˆancia (n˜ao aleat´oria) sobre X

            min{i : x 6=y } i i

            d r (x i ) , (y i ) = r , i∈N i∈N ´e tal que τ d = τ c . Por outro lado, a estrutura mensur´avel do espa¸co X = (x, ω) : x ω r N ∈ X depende e ´e induzida pela estrutura mensur´avel do espa¸co N

            × Ω, portanto, ´e poss´ıvel fazer a seguinte defini¸c˜ao: N ao:

            10 Defini¸c˜ Para quase todo ω ω : N ∈ Ω considere uma medida de probabilidade µ →

            [0, 1] tal que µ ω X ω = 1 . Dizemos que µ = ω ω∈ Ω ´e uma medida de probabilidade {µ } randomizada se para cada B ω (B) ´e mensur´avel, e µ :

            ∈ B a aplica¸c˜ao ω 7→ µ B → [0, 1]

            ´e dada por

            Z µ(B) = µ ω (B) dP(ω) ,

            ∀ B ∈ B , N

            onde neste caso, a matriz

            B ´e a σ-´algebra de Borel do espa¸co de full-shift cont´avel N de transi¸c˜ao ´e A = (1) . i,j =1 ao:

            11 Defini¸c˜ Seja (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e seja φ : X → R uma aplica¸c˜ao mensur´avel

            dada por φ(x, ω) = φ ω (x), onde cada φ ω : X ω

            → R ´e uma aplica¸c˜ao mensur´avel (dizemos

            que φ = ω definida deste modo ´e uma aplica¸c˜ ao fibrada). Definimos a n-´ esima ω∈ Ω

            {φ } varia¸c˜ ao de φ em rela¸c˜ ao a ω como ω var (φ) := sup (x) (y) n |φ − φ | x,y∈ Xω ω ω ω t.q. xi =yi 0≤i≤n−1 var (φ) := sup ω (x) ω (y) .

            |φ − φ |

          2.2. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO OPERADOR DE RUELLE

            23 Al´em disso, dizemos que φ ´e H¨ older cont´ınua com ´ındice m e constante r (ou ∈ N m-H¨older cont´ınua, quando a constante r seja subentendida) se existem r

            ∈ (0, 1) e uma R

            vari´avel aleat´oria k : Ω log k dP < ω n → [0, ∞) tal quee var (φ) ω r , n ≤ k ∀ n ≥ m , e quase todo ω ∈ Ω .

            Al´em disso, dizemos que φ ´e Lipschitz se ela ´e 0-H¨older cont´ınua (note que a defini¸c˜ao de aplica¸c˜ao fibrada m-H¨older cont´ınua ´e local, exceto quando m = 0).

            ao:

            11 Observa¸c˜ Lembrando as defini¸c˜oes usuais, dado ω ω ∈ Ω vamos supor que f : X → R

            ´e H¨older cont´ınua. Considere x, y , v , . . . , v n )] ω , ent˜ao existem c ω > 0 e α 1 −1

            ∈ [(v ∈ (0, 1)

            tais que ω d r (x, y) ω r = c ω r , α n α α n α |f(x) − f(y)| ≤ c ≤ c α como r ω , d r ).

            ∈ (0, 1), temos que f ´e Lipschitz sobre o espa¸co m´etrico (X ao:

            12 Defini¸c˜ Dada uma aplica¸c˜ao fibrada φ H¨older cont´ınua, para quase todo ω ∈ Ω defi-

            nimos o operador de Ruelle associado a φ por ω

            X (f )(x) = exp φ ω (y) f (y) , θω ,

            L φ t.q. σω (y)=x y∈ ∀ x ∈ X

            onde f : X ω

            → [0, ∞] ´e Lipschitz (tal aplica¸c˜ao φ, associada ao operador de Ruelle, ´e

            chamada potencial). Analogamente, seja µ ω uma medida de probabilidade ran- ω∈ Ω ωdomizada, ent˜ao para quase todo ω φ

            ∈ Ω definimos o operador dual de Ruelle L

            (associado ao potencial φ) como o operador tal que

            Z Z

          ω ω

          ∗ f d (µ θ ) = (f ) dµ θ ,

            L φ ω L φ ω

            para cada f : X ω → [0, ∞] Lipschitz.

            Dado ω ω como sendo ∈ Ω, definimos a n-´esima composi¸c˜ao da transforma¸c˜ao σ n n− n− 1 2 σ := σ θω ω . ω θ ω θ ω

            ◦ σ ◦ . . . ◦ σ ◦ σ n Sejam ω , a , . . . , a n ) , definimos o homeomorfismo local de σ

            ∈ Ω e a = (a

            1 −1 ∈ W ω

            composto n vezes em rela¸c˜ao a ω e a, n n− n− 1 2 σ := σ θ ω θ ω θω ω , ω,a

            ◦ σ ◦ . . . ◦ σ ◦ σ n n− 1 n− 1 [a] ω onde σ : [a] ω [a n ] . Notemos que ω,a → σ n− 1 n− θ ω −1 θ ω 1 n n− 1 n− 1 σ θ ω [a n ] θ ω = y θ ω : n ] θ ω com σ θ ω (x) = y .

            −1 −1 n n− ∈ X ∃ x ∈ [a 1 n− 1 Dado qualquer y considere x = (a , y) ] e vale que σ (x) = y, θ ω n −1 n −1 θ ω θ ω

            ∈ X ∈ [a n− 1 n− 1 n n n assim temos que σ [a n ] = X θ ω , e portanto, σ : [a] ω θ ω define um θ ω −1 θ ω ω,a → X

            24 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO ao:

            12 Observa¸c˜ Para que a composi¸c˜ao do operador de Ruelle tamb´em tenha sentido, defi-

            nimos ω θ ω θω ω n n− 1

            := , L φ L φ ◦ . . . ◦ L φ ◦ L φ

            para cada n

            ∈ N. Por um argumento de indu¸c˜ao, pode-se mostrar que a n-´esima potencia

            do operador de Ruelle ´e dada por ω S φ n

            X n ω (y) φ (f )(x) = e f (y) , L σ (y)=x ω n

            onde f : X ω

            → R e onde n

            

          −1

            X i i S n φ ω := φ θ ω , ω i ◦ σ

            

          =0

          para cada potencial φ : X

            → R. Tal express˜ao ´e conhecida como somas de Birkhoff

            do potencial φ. Analogamente, definimos a n-´esima potencia do operador dual de Ruelle como segue n n, n− 2 ∗ n− 1 ∗ ω ω ω θ ω θ ω ∗ ∗ ∗ L := L := L L L . φ φ φ φ φ

            ◦ . . . ◦ ◦ Dada uma aplica¸c˜ao fibrada f : X

            → R Lipschitz, podemos achar uma estima¸c˜ao para m as suas somas de Birkhoff S n f ω . Sejam m , para n ω e um ∈ N e a ∈ W ω ≤ m, x, y ∈ [a] potencial f (m

            −n+1)-H¨older cont´ınuo tal que a sua vari´avel aleat´oria k associada cumpre R com k dP <

            ∞, ent˜ao n −1 n −1

            X i i i i

            X S n f ω (x) n f ω (y) = f (x) f (y) θ ω ω θ ω ω − S ◦ σ − ◦ σ i i n =0 =0 −1

            X i i i i f (x) (y) θ ω θ ω ≤ ◦ σ ω − f ◦ σ ω n i =0

            −1

            X i i i i = f θ ω σ (x) θ ω σ (y) i ω,a − f ω,a n n =0 −1

            X i θ ω θ ω X n−i var (f ) = var (f ) m m ≤ −i −n+i i i

            =0 =1 n n

            X m m i m i

            X X n−i n−i n−i −n+i −n −n k θ ω r k θ ω r k θ ω r . ..... (2.1)

            ≤ ≤ r ≤ r i =1 i =1 i =1 Notemos que o lado direito da ´ ultima desigualdade ´e finito P-q.t.p., de fato, pelo teorema de convergˆencia mon´otona e dado que P ´e θ-invariante,

            ∞ ∞

            Z Z m −n i m −n i

            X n−i n−i

            X r k r dP(ω) = r r k dP(ω) i i θ ω θ ω

            =1 =1

            Z m −n+1 Z m r r

            −n

            = r k ω dP(ω) = k dP < ∞ . (2.2)

          2.2. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO OPERADOR DE RUELLE

            25 Em particular, para um potencial ϕ : X → R H¨older cont´ınuo com ´ındice menor o igual a m

            − n + 1 (e as considera¸c˜oes feitas acima), temos que m−n r m−n " !# −r " !#

            ∞ ∞

            X i S ϕ ϕ i

            X n−i n ω n ω (x)−S (y) n−i exp k θ ω r exp k θ ω r . i ≤ e ≤ i

            =1 =1

            Defina a vari´avel aleat´oria B : Ω → (0, ∞) dada por

            !

            

            X −i i B ω := exp k θ ω r , i

            

          =1

            R e notemos que log B dP < ∞. Assim, m−n m−n r

            −1 −r

          S ϕ ϕ

          n n n n

          n ω n ω

          (x)−S (y)

            B θ ω θ ω θ ω θ ω . (2.3) ≤ B ≤ e ≤ B ≤ B m

            −n

            De temos que existe uma constante L > 0 tal que S n f ω (x) n f ω (y) , isto −S ≤ L r

            ´e, o valor S n f ω (x) n f ω (y) est´a numa vizinhan¸ca da origem e, portanto, pelo teorema − S ω de Taylor temos que existe uma constante C > 0 tal que S ϕ (x)−S ϕ (y) ω n ω n ω n

            S n f ω (x) n f ω (y) S n f ω (x) n f ω (y) . (2.4) − S ≤ e − 1 ≤ C n − S

            Assim, temos que S ϕ ϕ n ω (x)−S n ω (y) ω e − 1 C = sup . n t x,y ∈[a] ω − S S n f ω (x) n f ω (y)

            Como (e − 1)/t define uma fun¸c˜ao crescente, pela desigualdade temos que

            ln B θnω n n ω − 1 − 1 e B θ ω S n f ω (x) n f ω (y) θ ω C = = .

            − S ≤ ln B ⇒ n n n ln B θ ω ln B θ ω Concluimos, por , que n S ϕ ϕ B θ ω n ω n ω (x)−S (y) − 1 e S n f ω (x) n f ω (y)

            − 1 ≤ − S n ln B θ ω n B θ ω

            − 1 m −n n n n n r ln B θ ω = B θ ω d r σ (x), σ (y) . (2.5) ω ω ≤ − 1 n ln B θ ω

            Dadas estas considera¸c˜oes, agora estamos em posi¸c˜ao de definir as ferramentas com as que vamos trabalhar no que segue. Considere (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ : X

            → R satisfazendo as propriedades: 1. ϕ ´e um potencial 2-H¨older cont´ınuo tal que a sua vari´avel aleat´oria associada k ´e

            R ω tal que k dP < (ϕ) < ω ∞, e var

            1 ∞ para quase todo ω ∈ Ω; 2. ω (1 ) ´e uma aplica¸c˜ao integr´avel.

            X ω 7→ L ϕ ω

            Se (1 ) = 1 para quase todo ω

            X X

            L ϕ ω θω ∈ Ω, ent˜ao as condi¸c˜oes 1 e 2 podem ser trocadas por ω (ϕ) <

            ˆ1. ϕ ´e um potencial 2-H¨older cont´ınuo e var

            1 ∞ para quase todo ω ∈ Ω;

            No que segue, o potencial ϕ sera considerado com estas propriedades dependendo das ω hip´oteses nas que trabalhemos por exemplo, se (1 ) = 1 , ent˜ao ϕ cumpre com

            X X

            L ϕ ω θω

            26 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO

            2.3 M´ etrica de Wasserstein e constru¸c˜ ao do trans- porte

            ao:

            13 Defini¸c˜ Seja Y um espa¸co m´etrico separ´avel e completo, e sejam µ, ν duas medidas

            de probabilidade definidas sobre Y . Dizemos que 2 ∗ ∗

            Π(µ, ν) := m : π (m) = µ e π (m) = ν , ∈ P Y

            1

            2

            2 ´e o conjunto dos transportes ou acoplamentos de µ e ν, onde P Y ´e o conjunto de

            2 ∗ ∗ todas as medidas de probabilidade de Borel definidas sobre Y e π , π s˜ao as proje¸c˜oes

            1

            2 canˆonicas que definem as medidas marginais de cada transporte, isto ´e,

            ∗ −1 ∗ −1

            π (m)(A) = m π (A) e π (m)(A) = m π (A) ,

            1

            1

            2

            2 para cada A ⊂ Y conjunto mensur´avel. P 2 ✻ ✻

            (Y ) µ •m ν ✲ ✲

            ao:

            7 Proposi¸c˜ (Villani, ) Seja d uma m´etrica compat´ıvel com a topologia de Y . De-

            fina

            Z W (µ, ν) := inf d (x, y) dm , m ∈Π(µ,ν) Y 2

            ent˜ao W define uma m´etrica sobre o espa¸co das medidas de probabilidade (de Borel) sobre Y .

            14 Defini¸c˜ ao: Definimos W como a m´ etrica de Wasserstein (tamb´em conhecida como

            m´etrica Kantorovich-Rubinstein) sobre o espa¸co das medidas de probabilidade (de Borel) definidas sobre Y .

            Pode-se mostrar que a convergˆencia de medidas na m´etrica de Wasserstein ´e uma convergˆencia fraca, isto ´e uma consequˆencia direta da dualidade de Monge-Kantorovich, Z Z

            W (µ, ν) = sup f dµ f dν , D

            (f )≤1

            onde |f(x) − f(y)| D(f ) := sup .

          2.3. M ´ ETRICA DE WASSERSTEIN E CONSTRUC ¸ ˜ AO DO TRANSPORTE

            27 Uma propriedade muito importante da m´etrica W ´e que aquele infimo na sua defini¸c˜ao sempre ´e atingido por algum transporte chamado transporte otimal, que em geral, n˜ao ´e ´ unico (veja ).

          2.3.1 O m´ etodo de acoplamento

            A seguinte proposi¸c˜ao ´e o resultado principal deste trabalho e ´e onde explicamos deta- lhadamente o m´etodo de acoplamento e a adapta¸c˜ao dele `as nossas ferramentas aleat´orias. As vari´aveis aleat´orias envolvidas s˜ao definidas como segue. Seja β

            ∈ (0, 1), r dado pela H¨older continuidade de ϕ e considere B ω como foi definida em . Para ω

            ∈ Ω defina B ω

            ˜ α ω := e d ω (x, y) := min 1, α ω d r (x, y) . β

            Isto nos d´a um modo de definir a m´etrica de Wasserstein W ω e o coeficiente de Lipschitz ˜

            D ω (f ) de uma aplica¸c˜ao fibrada f em rela¸c˜ao `a distˆancia ˜ d ω sobre o espa¸co X ω , isto ´e, ω (x) ω (y) |f − f |

            ˜ D ω (f ) := sup . x,y ∈X ω d ω (x, y) ˜ Considere a vari´avel aleat´oria n ω : Ω

            → N tal que para quase todo ω ∈ Ω, log α ω n ω + 1 ,

            ≥ − log r e notar que com essa condi¸c˜ao tem-se que log α ω n ω n ω > α ω r < 1 ,

            − ⇒ log r pois log r < 0 . O pr´oximo resultado nos d´a uma contra¸c˜ao fibrada pelo operador de Ruelle.

            8 Teorema: Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ : X ω → R definidos como

            antes e tais que (1 ) = 1 para quase todo ω

            L ϕ

            X ω X ∈ Ω. Al´em disso, suponha que θω

            f = ω ω∈ Ω ´e uma aplica¸c˜ao fibrada Lipschitz cont´ınua com constante r igual `a constante {f }

            de ϕ, e ω ω∈ Ω , ω ω∈ Ω duas medidas de probabilidade randomizadas. Ent˜ao para quase

            {µ } {ν }

            todo ω ω

            ∈ Ω temos que existe t ∈ (0, 1) tal que ω n ω +1

            i ˜ D (f ω ) ω D ω (f );

            L ϕ ≤ t · ˜ ω ω n +1,∗ n +1,∗ ω ω

          ii W ω (µ nω +1 ), (ν nω +1 ) ω W nω +1 µ nω +1 , ν nω +1 .

          θ ω θ ω θ ω θ ω θ ω L ϕ L ϕ ≤ t ω

            Prova: Primeiro vamos provar a contra¸c˜ao [i] para localmente. Para uma aplica¸c˜ao ϕ

            L fibrada f Lipschitz cont´ınua temos para quase todo ω ω , ω (x) ω (y) ω (x) ω (y) ω (x) ω (y) ω (x) ω (y) ∈ Ω e todo x, y ∈ X |f − f | |f − f | |f − f | |f − f |

            = α , ω ω ≤ ≤ α

            28 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO ˜ assim, concluimos que ˜ D ω (f ) ω (f ) ω D ω (f ). Isto nos diz que f ω ´e tamb´em

            ≤ D ≤ α Lipschitz cont´ınua sobre X ω respeito `a m´etrica ˜ d ω , para quase todo ω

            ∈ Ω. Sejam x, y ∈ n

            1 n

            [a ] θ ω para algum a , θ ω ω ω n n ∈ W

            SSSSSSSSSSss (f ω )(x) (f ω )(y)

            L ϕ − L ϕ

            X S ϕ S ϕ

            X n ω n ω (z 1 ) (z 2 ) = e f ω (z ) e f ω (z )

            1

            2 σn σn ω,v (z 1)=x ω,v (z 2)=y v∈Wn v∈Wn ω ω

            X −n −n S ϕ σ S ϕ σ n ω ◦ (x) −n n ω ◦ (y) −n ω,v ω,v f ω (x) f ω (y) ≤ ◦ σ ω,v − e ◦ σ ω,v v∈Wn ω e

            X −n −n S ϕ σ (x) −n S ϕ σ (x) −n n ω ◦ ω,v n ω ◦ ω,v = f ω (x) f ω (y)

            ◦ σ ω,v − e ◦ σ ω,v v∈Wn ω e S ϕ σ S ϕ σ −n −n n ω ◦ ω,v n ω ◦ ω,v (x) −n (y) −n

          • e f ω (y) f ω (y) ω,v ω,v

            ◦ σ − e ◦ σ X −n S ϕ σ (x) −n −n n ω ◦ ω,v e f ω (x) ω (y)

            ≤ ◦ σ ω,v − f ◦ σ ω,v v∈Wn ω −n −n −n

            X S ϕ σ S ϕ σ ϕ σ

            (y) −n n ω (x) −S n ω (y)

            ( ) ( e f ω (y) n ω ◦ ω,v ω,v ω,v ω,v ◦ σ ) − 1

          • v∈Wn ω e .

            −n −n

            Notemos que σ (x), σ (y) ω , portanto, pela desigualdade temos que ω,v ω,v n n ∈ [v] −n ω ω S ϕ σ

            X n ω ◦ ω,v (x) −n −n ϕ ϕ ω,v ω,v (f ω )(x) (f ω )(y) e f ω σ (x) ω σ (y) L − L ≤ − f v∈Wn ω

            X −n S ϕ σ e f (y) (B (x, y) ω n ω ◦ ω,v (y) −n ω θ ω r n v∈Wn −n ◦ σ ω,v − 1) d

          • X S ϕ σ
          • n ω ◦ ω,v (x) −n −n e D ω (f ) d r σ (x), σ (y) ω,v ω,v

              ≤ v∈Wn ω n ω n

            • (B θ ω r (x, y) ω (y) n ω

              − 1) d L ϕ |f | n ω (f ) r d r (x, y) (x) ϕ

              1 X ≤ D L ω n ω n ω (B θ ω r (x, y)

              1 (y) . +

              ∞ ϕ

              X ω kf k − 1) d L ω

              Como (1 ) = 1 , temos que ϕ

              X ω

              X L θω ω ω n n n

              (f ω )(x) (f ω )(y) ω (f ) r ω ∞ (B θ ω d r (x, y) . (2.6) n L ϕ − L ϕ ≤ D kf k − 1) ω

            • Pela hip´otese, n´os temos que (c) = c para cada c

              L ϕ ∈ R. Sem perda de generalidade, podemos supor que inf ω (x) : x ω {f ∈ X } = 0. Ent˜ao

            2.3. M ´ ETRICA DE WASSERSTEIN E CONSTRUC ¸ ˜ AO DO TRANSPORTE

              n ω

              29 e concluimos que ω D ω (f ). Notemos que por constru¸c˜ao r α ω < 1 e supondo que

              ∞

              kf k ≤ ˜ ˜ d θ ω (x, y) < 1, da equa¸c˜ao obtemos que ω ω n n n ω ω ϕ ϕ ∞ (f ω )(x) (f ω )(y) D ω (f ) r ω (B θ ω d r (x, y) ω

              L − L kf k − 1)

              ˜ α θ ω d r (x, y) d θ ω (x, y) n D ω (f ) r ω ∞ (B θ ω ω kf k − 1)

            • = n ω

              α θ ω ˜

              α ω D ω (f ) r + ˜ D ω (f ) (B θ ω − 1)

              ≤ n ω α θ ω ˜ α ω r + B θ ω D ω (f )

              − 1 ≤

              α θ ω ˜ B θ ω D ω (f )

              = β ˜ D ω (f ) , ≤

              α θ ω ω isto mostra [i] localmente. Agora, dados x, y ω vamos contruir um transporte ω +1,∗ ω +1,∗ x,y ω ω n n ∈ X Q ∈ Π (δ x ), (δ y ) com uma limita¸c˜ao inferior uniforme sobre uma vizi-

              L ϕ L ϕ nhan¸ca da diagonal, considerando ramos inversos passando atrav´es do cilindro [1] ω . Defina para quase todo ω

              ∈ Ω, ϕ σ 1 ω ◦ ω, 1 (x) C ω := inf e . x ∈X θω Note que 1 − 1 ϕ σ ϕ σ ω

              X ω ◦ ω ◦ ω,a ω, 1 (y) (y)

              1 C ω e = (y) (2.7) ϕ

              X ω

              ≤ e ≤ L ≤ 1 , a 1

              ∈W ω

              para quase todo ω θω . Vamos contruir um transporte das medidas ω ω n +1,∗ n +1,∗ ω ω ∈ Ω e todo y ∈ X nω +1 (δ x ) e (δ y ) mediante uma decomposi¸c˜ao do potencial. Para x θ ω

              L ϕ L ϕ n ω ∈ X e v = (v , v , . . . , v n ) , defina

              1 −1 ω ∈ W ω (1) ω ◦ S ϕ σ (y) nω +1 ω, (v,1) −nω −1

              φ := inf e , (v,1) y (2) ω ◦ (1) ∈X S ϕ σ (x) nω +1 θnω +1ω ω, (v,1) −nω −1 φ (x) := e . (v,1) − φ (v,1) Notemos que S ϕ σ −nω −1 (1) ω ◦ nω +1 ω, (v,1) (y)

              φ = inf e (v,1) y

              ∈X θnω +1ω n ω !

              X i i −n −1 ω = inf exp ϕ θ ω σ (y) y ◦ σ ω ω, (v,1)

              ∈X θnω +1ω i =0 n ! ω −1 n i

              X ω −n ω −1 −n ω −1 i = inf exp ϕ ω σ + θ (y) ϕ θ ω σ (y) . ω ω ◦ σ ω, ◦ σ ω, y ∈X θnω +1ω (v,1) (v,1) i =0

              −n −1 ω

              Como σ (y) ω , temos que ω, (v,1) ∈ [v, 1] n −n −1 n ω ω ω −1 σ σ = σ σ θ ω θ nω −1 ω θω ω ω ω ω, ◦ ◦ σ ◦ . . . ◦ σ ◦ σ

              (v,1) n ω −1 −1 −1 −1 −1 [v,1] ω

              = σ ω ◦ σ ω,v ◦ σ θω,v ◦ . . . ◦ σ nω −1 ◦ σ θ ω, θ ω, θ ω,v nω = σ nω . 1 nω −1

              1

              1

              | {z } −nω

              30 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO Do mesmo modo,

              −n ω ω,v

              ′

              , y

              ′

              , Q ω x,y {(x

              X θnω ω

              1 X ω = 1

              L ω ϕ n ω

              ∈ [1] θ ω . Assim, por e

              < 1 , (2.9) para cada v ∈ W n ω ω e x, y

              (y) ≤ α ω r n ω

              −n ω ω,v

              (x),σ

              

            −n

            ω

            ω,v

              (y) ≤ α ω d r σ

              (x),σ

              ′

              X a,b∈W nω +1 ω φ (2) a (x)φ (2) b

              (x),σ −nω −1 ω, (v,1) (y) ....................................................................

              ........................................ +

              1

              1 −

              P v∈W ω φ (1) (v,1)

              ·

              (y)δ( σ −nω −1 ω,a

              −n ω ω,v

              (x),σ −nω −1 ω,b (y)

              ) . Assumimos que

              Q ω x,y ´e uma medida de probabilidade e que ´e um acoplamento das medidas

              L ω ϕ n ω +1,∗ (δ x ) e

              L ω ϕ n ω +1,∗ (δ y ) (veja p´aginas 353 e 354 de ). Por constru¸c˜ao, temos novamente que

              ˜ d ω σ

              ) : ˜ d ω (x

              , y

              ∈W ω

              −1 θ ω

              ′ ′

              C θ ω . Agora, vamos usar essa estima¸c˜ao para obter uma contra¸c˜ao uniforme de ˜ D ω (f ). Para isto, defina ω

              −1 θ nω ω

              1 X ω (y) = B

              L ω ϕ n ω

              ∈[1] θnω ω

              C θ ω sup y

              −1 θ nω ω

              (y) = B

              −n ω ω,v

              exp S n ω ϕ ω σ

              ∈W ω

              X v

              C θ ω sup y ∈[1] θnω ω

              (y) ≥ B

              ′

              ·

              ) ≤ α ω r n ω }

              =

              X v ∈W ω φ (1) (v,1) +

              1

              1 −

              P v∈W ω φ (1) (v,1)

              X a,b∈W nω +1 ω φ (2) a (x)φ (2) b (y)

              −n ω ω,v

              ≥ B

              −1 θ ω

              C θ ω

              X v

              ∈W ω

              sup y ∈[1] θnω ω exp S n ω ϕ ω σ

              φ (1) (v,1) δ σ −nω −1 ω, (v,1)

              X v

              σ

              −1 θ ω,

              −1 θ ω,

              ◦ σ

              −n ω ω,v

              σ

              ϕ θ i ω ◦ σ i ω

              =0

              X i

              −1

              (y) + n ω

              1

              −1 θ ω,

              ◦ σ

              Assim, φ (1) (v,1) = inf y ∈X θnω +1ω exp ϕ θ ω

              1 .

              ◦ σ

              (y) !

              −1 θ ω,

              −n ω −1 ω, (v,1)

              = σ

              −1 ω,v ◦ σ −1 θω,v 1

              ◦ . . . ◦ σ

              −1 θ nω −1 ω,v nω −1

              ◦ σ

              1

              −n ω ω,v

              = σ θ nω −1 ω ◦ σ θ nω −2 ω ◦ . . . ◦ σ θω ◦ σ ω

              [v] ω −1

              ◦ σ

              −1 θ nω ω,

              1

              = σ

              1

              = inf y

              Q ω x,y :=

              −n ω ω,v ◦ σ −1 θ nω ω,

              ∈ X θ nω +1 ω , definimos a medida de probabilidade Q ω x,y sobre X ω × X ω por

              (y) . (2.8) Dados x, y

              −n ω ω,v

              exp S n ω ϕ ω σ

              ∈[1] θnω ω

              C θ ω sup y

              −1 θ ω

              ≥ B

              

              (y)

              −n ω ω,v

              · inf y ∈[1] θnω ω exp S n ω ϕ ω σ

              (y) = C θ nω ω

              1

              exp S n ω ϕ ω ◦ σ

              ∈X θnω +1ω

              −1 θ ω,

              exp ϕ θ ω ◦ σ

              −1 θ ω,

              1

              (y) + S n ω ϕ ω ◦ σ

              −n ω ω,v

              ◦ σ

              1

              ∈X θnω +1ω

              (y) ≥ inf y

              ∈X θnω +1ω

              exp ϕ θ ω ◦ σ

              −1 θ nω ω,

              1

              (y) · inf y

              2 ′ ′ n ω

            2.3. M ´ ETRICA DE WASSERSTEIN E CONSTRUC ¸ ˜ AO DO TRANSPORTE

              nω +1

              31 Ent˜ao, para x, y θ ω temos que ∈ X ω ω ω n n ω +1,∗ ω +1,∗ Z

              ′ ′ ′ ′

              ˜ W ω (δ x ), (δ y ) d ω (x , y ) d (x , y )

              L ϕ L ϕ ≤ Q x,y ω

              

              Z ω

              ′ ′ ′ ′

              ˜

              Q x,y

            • ................ d ω (x , y ) d (x , y ) 2 ω

              X \∆ ω ω r ∆ + 1 ∆ n ω ω ω ω ω

              ≤ α Q x,y − Q x,y n ω ω ω = 1 r ) ∆ ω

              − (1 − α Q x,y ω r )B C θ nω ω =: s θ nω ω < 1 . n −1 ω ≤ 1 − (1 − α θ ω

              Pela dualidade de Monge-Kantorovich, para f : X D ω (f ) < n n → R com ˜ ∞, ω ω ω ω +1 +1

              SSSSSSSSSSSSSSSS (f ω )(x) (f ω )(y) ϕ ϕ

              L − L Z Z n n ω ω ω ω +1 +1

              = (f ω ) dδ x (f ω ) dδ y ϕ ϕ L − L

              Z Z ω ω n n ω +1,∗ ω +1,∗ = f ω d (δ x ) f ω d (δ y )

              L ϕ − L ϕ Z Z f ω n +1,∗ f ω n +1,∗ ω ω ω ω

              = ˜ D ω (f ) d (δ x ) d (δ y ) L ϕ − L ϕ

              ˜ ˜ D ω (f ) D ω (f ) n n ω ω ω ω +1,∗ +1,∗

              D ω (f ) W ω (δ x ), (δ y ) ϕ ϕ ≤ ˜ L L D ω (f ) s θ ω .

              ≤ ˜ Pelo feito anteriormente, temos que ω ω n +1 n +1 ω ω

              (f ω )(x) (f ω )(y) nω +1 L ϕ − L ϕ β ˜ D ω (f ) se ˜ d θ ω (x, y) < 1

              (2.10) ≤

              ˜ ˜ nω nω +1 s θ ω D ω (f ) se ˜ d θ ω (x, y) = 1 d nω +1 (x, y) θ ω

              Assim, para t = max nω ω θ ω {β, s } temos que ω n +1 ω

              ˜ D nω +1 (f ω ) ω D ω (f ) , θ ω

              L ϕ ≤ t · ˜ o que prova a afirma¸c˜ao [i] do teorema. Para provar [ii] notemos que a dualidade de Monge-Kantorovich implica que

              Z n n n n Z ω ω ω ω ω ω ω ω +1,∗ +1,∗ +1,∗ +1,∗ W ω (δ x ), (δ y ) = sup f d (δ x ) f d (δ y ) ϕ ϕ ϕ ϕ

              L L L − L D ˜ ω (f )≤1 Z n n Z ω ω ω ω +1 +1

              = sup (f ) dδ x (f ) dδ y ϕ ϕ L − L D ˜ ω (f )≤1 o n n n ω ω ω +1 ω +1

              = sup (f )(x) (f )(y) L ϕ − L ϕ D (f )≤1 ˜ ω ω d θ ω (x, y) ˜ D ω (f ) ω d θ ω (x, y) . (2.11) ˜ ˜ nω +1 nω +1 nω +1 nω +1 ≤ t ≤ t nω +1

              J´a que µ θ ω e ν θ ω s˜ao medidas de probabilidade sobre X θ ω , sabemos que existe um acoplamento nω +1 , ν nω +1 (um transporte otimal) tal que θ ω θ ω Q ∈ Π µ

              Z nω +1 nω +1 nω +1 nω +1 ˜ W θ ω µ θ ω , ν θ ω = d θ ω (x, y) d Q(x, y) .

              32 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO n n ω ω ω ω +1,∗ +1,∗ Al´em disso, seja P x,y (δ x ), (δ y ) um trasporte otimal das medidas ϕ ϕ n n ∈ Π L L ω ω ω ω +1,∗ +1,∗ ω ϕ ϕ (δ x ) e (δ y ). Utilizando uma constru¸c˜ao semelhante `a feita para , x,y

              L L ǫ ω n +1,∗ ω Q pode-se mostrar que dado ǫ > 0 existem δ > 0 e um transporte P (δ x ), n x,y ∈ Π L ϕ ω ω +1,∗ ϕ (δ y ) constru´ıdo a partir de P x,y de um modo cont´ınuo, tal que L Z Z ǫ

              ′ ′ ′ ′

              ˜ ˜ d θ nω +1 ω (x, y) dP x,y d θ nω +1 ω (x, y) dP ǫ , , y : d r (x, x ), d r (y, y ) < δ . x,y − ∀ x n n ω +1,∗ ω +1,∗

              ′ ′ ω ω ′ ′

              Em particular, (x , y ) ω (δ x ), (δ y ) ´e cont´ınua e existe uma 7→ W L ϕ L ϕ ǫ ′ ′ ′ ′ nω +1 fam´ılia localmente cont´ınua de acoplamentos P : x , y θ ω , a qual esta ǫ ǫ ǫ ǫ x ,y ∈ X pr´oxima a tal m´etrica de Wasserstein. Seja definida por d (x, y) := P d

              Q Q x,y Q(x, y), n n ǫ ω ω ω ω +1,∗ +1,∗ ent˜ao pode-se mostrar facilmente que (µ θ nω +1 ω ), (ν θ nω +1 ω ) . ϕ ϕ Q ∈ Π L L

              Assim, ω ω ǫ n n ω +1,∗ ω +1,∗ Z nω +1 nω +1 nω +1 ˜ W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) = d θ ω (x, y) d (x, y)

              L ϕ L ϕ Q Z Z

              ˜ d nω +1 (x, y) dP x,y d θ ω ≤ Q(x, y) + ǫ

              Z n n ω ω ω ω +1,∗ +1,∗ = W ω (δ x ), (δ y ) d ϕ ϕ

              L L Q(x, y)

              .............................................................. + ǫ

              Z

               ω d θ nω +1 ω (x, y) d ˜

              ≤ t Q(x, y) + ǫ nω +1 nω +1 nω +1 = t ω W θ ω µ θ ω , ν θ ω + ǫ .

              Como ǫ > 0 ´e arbitrario, temos que vale a afirma¸c˜ao [ii]. # ao:

              13 Observa¸c˜ A prova revela que o m´etodo de acoplamento contrasta com os m´etodos

              

            espectrais (como aquele usado na prova do teorema de Perron, mas adaptado para fibrados

            - veja ), pois ´e imediatamente aplic´avel a ferramentas sobre fibrados.

              ario:

              9 Corol´ Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ : X ω → R definidos como

              antes e tais que (1 ) = 1 para quase todo ω

              L ϕ

              X ω X ∈ Ω. Ent˜ao existem constantes θω ω

              t ∈ (0, 1), c > 0 e sequˆencia aleat´oria {l n } ⊂ N tais que

              

            n∈N0

            i Dadas medidas de probabilidade randomizadas µ, ν e n

              l , l , ω ω ∈ N, ω ω ω ω n ω ω ω n n ∗ ∗ l l l l l n n n n n W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) W θ ω (µ θ ω , ν θ ω ) , ϕ ϕ

              L L ≤ c t

              para quase todo ω ∈ Ω.

            ii Dada uma aplica¸c˜ao fibrada f e n

              ω n l ∈ N, n ω D (f ω ) D ω (f ) , ϕ

              L ≤ c t

              para quase todo ω ∈ Ω.

            2.3. M ´ ETRICA DE WASSERSTEIN E CONSTRUC ¸ ˜ AO DO TRANSPORTE

              33 Prova: Aplicando o teorema escolhemos β = 1/2, C > 0 e B B,C >

              ≥ 1 tais que P Ω 0, onde Ω B,C := ω ω ω .

              ∈ Ω : B ≤ B, C ≥ C Note que isto implica que α ω = 2B ω . Redefina n n ω := min n ω B,C , n (2α ω ) . r

              ∈ N : θ ∈ Ω ≥ ⌊− log ⌋ + 1 que existe e ´e finito pela ergodicidade de θ. De segue que C C ω

              1

              1 t := 1 = β , − ≥ 1 − ≥ 1 − ≥

              2B

              2B n ω

              2B

              2 al´em disso, por constru¸c˜ao temos que α ω r < 1/2, ent˜ao nω nω nω C θ ω

              1 C θ ω C θ ω n ω t = 1 ω r ) = s θ ω , ≥ 1 − − · ≥ 1 − (1 − α

              2B nω θ ω θ ω θ ω

              2 B nω B nω ω e portanto, concluimos que t ω para quase todo ω ´e definida n ≥ t ∈ Ω. A sequˆencia {l } n∈N0 recursivamente como segue: ω l := n ω ω ω l := l + n + 1 . n n l +1 i ω

            −1 n− 1+1

            θ ω

              Assim, considerando ω i := θ ω temos que l l +n +1 n l +1 n n− ω ω ω 1 n− 1

              ωn−1 ωn−1 θ ω = θ ω = θ θ ω B,C .

              ∈ Ω Em particular, l n l n ω ω

              α θ ω = 2B θ ω ≤ 2B =: c . Agora, notemos que n

              

            −1

            ω

              X n + l = n + n ω n ω , i i ∀ n ≥ 1 ,

              =0

              e notemos que l , n n n , ω l +1 ω

            ω n ω ω θ ω θ ω ω

            ∗ ω +1,∗ nω +1 +1,∗ n−1 ∗ l n ω0 ωn−1 l n µ θ ω = µ θ ω . L ϕ L ϕ ◦ L ϕ ◦ . . . ◦ L ϕ

              Al´em disso, para uma aplica¸c˜ao fibrada f vale que ω n θ ω θ ω ω l n n n ω l +1 l +1 n−1 n−2 +1 ω +1 ω ω

              

            ωn−1 ωn−2

              (f ω ) = (f ω ) . L ϕ L ϕ ◦ L ϕ ◦ . . . ◦ L ϕ

              Pela afirma¸c˜ao [ii] do teorema temos que l , l , ω ω ω ω ω ω n n ∗ ∗ l l n n W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) ω t ω t ω ω ϕ ϕ 1 n− θ ω ω θ ω ω 2 L L ≤ t · . . . · t · l l n−1 ∗ n−1 ∗ ω ω +1 +1 n , n ,

              ωn−1 ωn−1 l n l n

              W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) n n− 1 L ϕ L ϕ ≤ t · θ ω ω θ ω ω l +1 l +1 n−1 n , ∗ n−1 n , ∗ ω ω

              ωn−1 ωn−1 l n l n

              W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) n− n 1 L ϕ L ϕ l ω l n l n ω ω

              34 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO Analogamente, mostramos que ω n n l ω

              D (f ω ) D ω (f ) , ϕ L ≤ c t e segue o corol´ario.

              # Com esse resultado ´e poss´ıvel expressar a contra¸c˜ao fibrada mais explicitamente. ario:

              10 Corol´ Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ : X ω → R definidos como

              antes e tais que (1 ) = 1 para quase todo ω

              L ϕ

              X ω X ∈ Ω. Ent˜ao existe uma constante θω

              s : Ω ∈ (0, 1) e uma vari´avel aleat´oria c → (0, ∞) tais que n, n, ω ω n ∗ ∗ n n n n n

              W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) s W θ ω (µ θ ω , ν θ ω ) , ϕ ϕ ω L L ≤ c

              onde µ, ν s˜ao medidas de probabilidade randomizadas e n ∈ N.

              Prova: Como na prova do corol´ario anterior, considere o conjunto de medida positiva ω

              Ω B,C e a sequˆencia aleat´oria . Tomando t = 1 n n∈N {l } − C/(2B) como antes, do corol´ario tem-se que ω n ω n n l , ∗ l , ∗ ω ω l n l n l n l n l n ω ω ω ω ω W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) W θ ω (µ θ ω , ν θ ω ) . ϕ ϕ

              L L ≤ 2B t ω ω Dado n

              . Se K := + 1, ∈ N, escolha k ∈ N tal que l k ≤ n ≤ l k − log(2B)/ log r

            • 1

              aplicando o teorema erg´odico duas vezes e a f´ormula de retorno de Kac (veja ), tem-se que ω 1 l k k,n→∞ k k //

              1 log t = log t ω log t . n n l k K P Ω B,C

              Por outro lado, notemos que se trocamos k por k + 1 o limite n˜ao muda. Assim, para

              ∗

              cada s K P Ω B,C , existe uma vari´avel aleat´oria c tal que ∈ (0, 1) com log s > log t/ n, n, ω ω n ∗ ∗ n n n n n

              W ω (µ θ ω ), (ν θ ω ) s W θ ω (µ θ ω , ν θ ω ) , ϕ ϕ ω L L ≤ c o que mostra o corol´ario.

              #

            2.4 Uma vers˜ ao aleat´ oria do teorema de Ruelle

              ao:

              15 Defini¸c˜ Dada uma aplica¸c˜ao fibrada g : X → R Lipschitz, para quase todo ω ∈ Ω

              defina ω := D ω (g) + ω = D ω (g) + sup ω (x) ω

              k g k k g k |g | , L ∞ x

              ∈X ω a norma aleat´ oria de Lipschitz.

              11 Teorema: (Stadlbauer, ) Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ defini- R

              

            dos como antes. Ent˜ao existe uma vari´avel aleat´oria λ : Ω log λ dP <

              → [0, ∞) com,

              uma aplica¸c˜ao fibrada h = ω e uma medida de probabilidade randomizada µ = ω∈ Ω

              {h }

              2.4. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO TEOREMA DE RUELLE

              35

              i Para quase todo ω ω : X ω

              ∈ Ω, h → R ´e uma fun¸c˜ao estritamente positiva que

              satisfaz ω Z

              (h ω ) = λ ω h θω e h ω dµ ω = 1 ; L ϕ

              

            ii Existe M > 0 tal que ω (x) ω . Al´em disto, existe uma

              |h | ≤ M para quase todo x ∈ X R

              vari´avel aleat´oria B : Ω log B dP < ω ´e

              → [1, ∞) comtal que a fun¸c˜ao log h

              1-H¨older cont´ınua em rela¸c˜ao `as constantes B ω

              − 1 e a mesma constante de H¨older r de ϕ;

              iii Para quase todo ω

              ∈ Ω, tem-se que ω ∗ (µ θω ) = λ ω µ ω ;

              L ϕ

              iv A medida ν de probabilidade definida por

              ZZ ν(A) = h ω dµ ω dP , A ∀ A ⊂ X mensur´avel,

              ´e σ-invariante e erg´odica; v µ ´e a ´ unica medida de probabilidade randomizada tal que ω

              (µ θω ) = λ ω µ ω , para quase todo ω L ϕ ∈ Ω .

              Al´em disso, h ´e a ´ unica aplica¸c˜ao fibrada n˜ao trivial positiva (a unicidade com exce¸c˜ao de mutiplica¸c˜ao por escalar) tal que ω

              (h ω ) = λ ω h θω L ϕ

              para quase todo ω

              ∈ Ω; ω

              vi Existem t n tais que para cada

              ∈ (0, 1), c > 0 e uma sequˆencia aleat´oria {l }

              n∈N0 aplica¸c˜ao fibrada f = ω Ω Lipschitz, cada n ω∈

              {f } ∈ N e quase todo ω ∈ Ω, tem-se

              que ω n l ω θ ω l n ω

              Z ϕ (f ω ) L n ω f ω dµ ω D ω (f ) ; ω l n − ≤ 2c t

              Λ l (ω)h θ ω n L ω

              vii Existem t n

              ∈ (0, 1), uma vari´avel aleat´oria K : Ω → [0, ∞) e uma sequˆencia {l } n∈N0

              tais que para cada aplica¸c˜ao fibrada f = ω ω∈ Ω Lipschitz, cada n

              {f } ∈ N e quase

              todo ω

              ∈ Ω, tem-se que ω Z l ω n θ ω l n ω (f ω )

              L ϕ n ω ω l n ω − ≤ c K · t k f k f ω dµ ω ω ω ; L Λ l (ω)h θ ω n L

              36 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO

              ∗ viii Existem s

              : Ω ∈ (0, 1) e duas vari´aveis aleat´orias K, c → [0, ∞) tais que para cada

              aplica¸c˜ao fibrada f = ω ω∈ Ω Lipschitz, cada n

              {f } ∈ N e quase todo ω ∈ Ω, tem-se

              que ω n θ ω n

              Z (f ω )

              L ϕ n ω

              ∗ f ω dµ ω K ω s ω . n − ≤ c ω k f k L

              Λ n (ω)h θ ω L Para provar tal teorema precisamos indicar alguns resultados previos.

              12 Teorema: (, teo. 4.3) Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ definidos R

              

            como antes. Ent˜ao existem uma vari´avel aleat´oria λ : Ω log λ dP <

              → [0, ∞) come

              uma medida de probabilidade randomizada ω ω ∈Ω , tal que

              {µ } dµ ω

              −1 ϕ (x) ω

              (x) = λ e , ω , ω ∀ x ∈ X d(µ θω ω )

              ◦ σ

              e para cada ω ∈ Ω.

              1

              ao:

              14 Observa¸c˜ Sejam a e A ω , ent˜ao o teorema anterior implica que ω ∈ W ⊂ [a]

              Z

              −ϕ ω

              µ σ (A) = λ e dµ , θω ω ω ω A

              para quase todo ω ω ω ´e uma medida aleat´oria conforme. Notamos que ∈Ω

              ∈ Ω. Assim, {µ }

              a conformidade neste caso da uma caracteriza¸c˜ao de ω ω em rela¸c˜ao aos autovalores ∈Ω

              {µ } ω

              do operador , o qual atua sobre o espa¸co de medidas de Radon (ver o teorema 6.1 de ϕ

              L

              ), isto ´e, ωϕ (µ θω ) = λ ω µ ω .

              L

              15 Observa¸c˜ ao: ´ E poss´ıvel reescrever o teorema anterior em fun¸c˜ao da press˜ao de Gurevich P G (ϕ) adaptada para aplica¸c˜oes fibradas, mas a proposi¸c˜ao 5.2 em garante que sob as

              nossas condi¸c˜oes temos que

              Z P G (ϕ) = log λ ω dP(ω) ,

            portanto, podemos esquecer a defini¸c˜ao de press˜ao para enunciar os nossos resultados.

            n ao:

              16 Observa¸c˜ Seja a = (a , a

              1 , . . . , a n −1 ) . Da prova do teorema pode-se

              ∈ W ω

              deducir uma estimativa para µ [a] (veja observa¸c˜ao 4.6 em ). Defina ω ω n− 1 Λ n (ω) := λ ω θω θ ω .

              · λ · . . . · λ

              Assim, para quase todo ω

              ∈ Ω e cada n ∈ N, µ ω [a] ω n n −1

              B θ ω n (ω) θ ω , ω , ≤ Λ ≤ B ∀ x ∈ X S ϕ n ω (x) e

              com B ω definido como antes (ver p´agina . O anterior ´e chamado propriedade de

            2.4. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO TEOREMA DE RUELLE

              37 Prova: [do teorema e [iv] segue da proposi¸c˜ao

              7.3 em , portanto, podemos assumir que λ e µ s˜ao conhecidos. Primeiro vamos provar as condi¸c˜oes de regularidade [i] e [ii] para uma aplica¸c˜ao fibrada h que vamos construir como segue:

              (1) Constru¸c˜ao de h ω . Para ω

              ∈ Ω e k ∈ N defina θ ω −k k ϕ

              1 X L θ−k ω f ω,k := .

              −k

              Λ k (θ ω)

            1 Dados a e x, y ω , por um argumento similar ao dado na primeira parte da

              ω ∈ W ∈ [a] prova do teorema temos que −k −k k k

              −k −1 θ ω θ ω ω,k (x) ω,k (y) k (θ ω) (x) (y)

              1

              1 X

              X

              |f − f | = Λ L ϕ − L ϕ θ−k ω θ−k ω θ ω −k k

              −k −1 k (θ ω) (B ω r (x, y) (y)

              1 ≤ Λ − 1) d L ϕ

              X θ−k ω

              = f ω,k (y) (B ω r (x, y) , − 1) d

              R pela desigualdade anterior e porque log B ω dP < ω e desigualdade ∞ (ver defini¸c˜ao de B

              ), segue que log f ω,k ´e 1-H¨older cont´ınuo com parˆametro B ω − 1, de fato, temos que ω,k (x) ω,k (y) log (B ω r (x, y) . f ω,k (x) f ω,k (x)

              |log f − log f | = − 1 − 1) d ≤ ≤ f ω,k (y) f ω,k (y) k

              Por outro lado, pela observa¸c˜ao para quase todo ω −k e x ω ∈ Ω, k ∈ N, a ∈ W ∈ [a] θ ω tem-se que S ϕ σ k ◦ (x) −k

              −k −1 θ−k ω θ−k ω,a −k −k Λ k (θ ω) e ω µ [a] . θ ω θ ω

              ≤ B Deste modo, temos que θ ω −k k −k

              X S ϕ σ

              X X ◦ (x) L θ−k ω −k −1 θ−k ω k θ−k ω,v −k −k

              1 ϕ (x)

              = Λ k (θ ω) e ω µ θ ω [v] θ ω ≤ B

              −k

              Λ k (θ ω) v∈Wk v∈Wk θ−k ω θ−k ω −k −k = B ω µ θ ω X θ ω = B ω , e assim obtemos que f ω,k (x) ω para quase todo ω

              ≤ B ∈ Ω e k ∈ N. Como consequˆencia

              

              do corol´ario 4.7 em , temos que existe Ω ω,k (x) ´e limitado por embaixo ⊂ Ω tal que f

              −k ∗

              sempre que θ ω . Assim, defina a aplica¸c˜ao fibrada h = ω ω tal que

              ∈Ω

              ∈ Ω {h } h ω (x) := lim inf f ω,k (x) , ω . θ ω ∈Ω −k ∗ k →∞ ∀ x ∈ X

              Notemos que h ω ´e limitada por cima e por baixo, para quase todo ω ∈ Ω (a limita¸c˜ao depende de ω).

              38 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO

              (2) Propriedades de h ω . Notemos que para cada x ω temos que

              ∈ X θ ω −k k !

              1 Fatou ϕ

              X ω ω ω L θ−k ω

              (h ω )(x) (f ω,k )(x) = lim inf (x) L ϕ ≤ lim inf L ϕ L ϕ k →∞ k →∞ −k θ ω ∈Ω θ ω ∈Ω −k ∗ −k ∗ −k k Λ k (θ ω) θ ω +1

              1 X (x) L ϕ θ−k ω

              = λ ω lim inf k −k →∞ Λ k (θ ω) θ ω −k ∗ +1 ∈Ω θ ω −k +1 k

              1 ϕ (x)

              X L θ−k+1ω

              = λ lim inf ω k −k+1 →∞ θ ω −k +1 ∗ Λ k (θ ω)

              ∈Ω

              = λ ω lim inf f θω,k (x) = λ ω h θω (x) , k ω θ ω ∈Ω −k +1 ∗ →∞ e assim concluimos que (h ω ) ω h θω . Desta forma, para ω

              L ϕ ≤ λ ∈ Ω e n ∈ N, pela conformidade de µ tem-se que Z Z Z ω n n n n

            −1

            h ω dµ ω = f θ ω,n dµ θ ω = Λ n (ω) (h ω ) dµ θ ω

              L ϕ Z θ ω θ ω θω n− 1 2

              

            −1

            n

              Λ n (ω) (λ ω h θω ) dµ θ ω ϕ ϕ ϕ ≤ L ◦ . . . ◦ L ◦ L

              Z θ ω θ ω n− 1 2

              

            −1

            2 n

              Λ n (ω) λ ω θω (h θ ω ) dµ θ ω ≤ · λ L ϕ ◦ . . . ◦ L ϕ

              Z

              

            −1

            n− 1 n n

              Λ n (ω) λ ω θω h θ ω dµ θ ω θ ω ≤ · λ · . . . · λ

              Z n n n = h θ ω dµ θ ω θ ω .

              ≤ B R

              Pela ergodicidade da transforma¸c˜ao θ, seque que h ω dµ ω ω B ω . Pelo mesmo

              ∈Ω

              ≤ ess-inf ω argumento dado na prova de proposi¸c˜ao 7.3 em , concluimos que (h ω ) = λ ω h θω . Das ϕ L estima¸c˜oes anteriores tamb´em temos que ω ω ´e 1-H¨older cont´ınua com parˆametro

              ∈Ω

              {log h } B ω ω < B ω para quase todo ω ω > 0, segue da sua

              − 1 e que k h k ∞ ∈ Ω. Para ver que h H¨older continuidade que 1 1 − θ ω ϕ (y) 1 −

              X θ−1ω 1 λ h ω (x) = (h )(x) = e h (y) θ ω θ ω θ ω

              L ϕ σ θ−1ω (y)=x ϕ θ−1ω (y) 1 inf e h θ ω (y) > 0 .

              ≥ y

              ∈[1] θ−1ω

              Assim, inf h ω > 0 para quase todo ω ∈ Ω. Combinando as limita¸c˜oes superior e inferior ω obtidas anteriormente, e pela positividade de , temos que 0 < inf h ω ω <

              L ϕ ≤ sup h ∞, para quase todo ω ∈ Ω. Isto prova [i] e [ii] do teorema

              

            (3) Normalizando o operador. A parte [ii] implica que log h ω ´e 1-H¨older cont´ınua, e

              portanto, log h θω ω ´e 2-H¨older cont´ınua. J´a que h ω ´e limitada por cima e por baixo, ω ◦ σ temos que var log h θω ω (x) < ω . Defina o potencial ˜ ϕ n ◦ σ ∞ para quase todo x ∈ X como segue,

            2.4. UMA VERS ˜ AO ALEAT ´ ORIA DO TEOREMA DE RUELLE

              39 para cada x ω e quase todo ω ∈ X ∈ Ω. Notemos que este potencial cumpre com a propriedade (ˆ1), de fato,

              X X ω ϕ ϕ 1 h ω (y)

              ˜ ω (y) ω (y)

              (f )(x) = e f (y) = e f (y) L ϕ ˜

              λ ω h θω ω (y) σ σ ◦ σ ω ω (y)=x (y)=x

              X

              1 ϕ ω (y) = e h ω (y)f (y)

              λ ω h θω (x) σ ω (y)=x

              1 ω = (h ω f )(x) ,

              L ϕ ω λ ω h θω (x) e portanto, concluimos que (1) = 1. Deste modo, pode-se mostrar indutivamente que ϕ L ˜ n ω ω n n

              Λ n (ω) h θ ω (f ) = (h ω f ) (2.12) L ϕ L ϕ

              ˜

              para quase todo ω ω ω ∈ Ω, cada n ∈ N e cada f : X → R fun¸c˜ao Lipschitz e limitada. Dado que (1) = 1, para a medida ν = ω ω dada por dν ω = h ω dµ ω , temos que ϕ ∈Ω

              L ˜ {ν } ω

            ω

            ϕ (ν θω ) = ν ω . Sejam t n L ˜ ∈ (0, 1), c > 0 e {l } n∈N0 ⊂ N como no corol´ario Para uma l n ω fun¸c˜ao f : X ω D(f ) θ ω , pela dualidade de

              → R Lipschitz com ˜ ≤ 1, n ∈ N e x ∈ X Monge-Kantorovich e pela parte [i] do corol´ario tem-se que ω n ω n ω n ω l l , ∗ l , ∗ ω ω ω Z Z Z l n

              (f )(x) f dν = f d (δ ) f d (ν ) ω x θ ω L ϕ ˜ − L ϕ ˜ − L ϕ ˜ l , l , ω ω ω (δ x ), (ν θ ω ) ω n ω n ω ∗ ∗ l n

              ≤ W L ϕ ˜ L ϕ ˜ n ω ω l n l n W θ ω (δ x , ν θ ω )

              ≤ c t n ω ω n Z ˜ l n l n d θ ω (x, y) dν θ ω (y) . l ω ≤ c t ≤ c t ω n n R

              Assim, temos que (f ) f dν ω . Combinando isto com a parte [ii] do L ϕ − ≤ c t

              ˜ ∞

              corol´ario que ω ∗ ν ´e a ´ unica medida de probabilidade tal que (ν θω ) = ν ω .

              L ϕ ˜

              (4) Transferindo os resultados. Da igualdade , temos que ω n

              Z Z ϕ f (f ) n L ω f dµ ω = f /h ω dν ω , (2.13) ϕ n − L ˜ −

              Λ n (ω) h θ ω h ω para cada f : X ω → R Lipschitz. Assim, ´e poss´ıvel provar as partes [vii] e [viii] do teorema estimando ˜ D f /h ω . Ent˜ao, f (x) f (y) h (x) h (y) ω ω

              ˜ D(f /h ω )

              ≤ 2 sup x,y ∈X ω d ω (x, y) ˜ h − h

              1

              1 (x) (y)

              1 ω ω |f(x) − f(y)| sup sup

              ≤ k f k

              ˜ ˜ h ω x,y ∈X x,y ∈X ω d ω (x, y) ω d ω (x, y)

              ∞

              !

              log h (x)−log h (y) ω ω

              e − 1

              ˜ = ω D(f ) + sup k 1/h k k f k

              ∞ ∞ x,y ˜ ∈X ω d ω (x, y) ω

              40 CAP´ITULO 2. O TEOREMA DE RUELLE DETERMIN´ISTICO E ALEAT ´ ORIO pois log h ω ´e 1-H¨older cont´ınua. Defina ent˜ao K ω := 2 ω max 1, ω ω , B ω , k 1/h k ∞ k h k ∞ k 1/h k ∞ − 1 para quase todo ω ω l ∈ Ω. Pela igualdade e por [vi] temos que ω θ ω n l n ω θ ω l n ω

              Z Z ω (f ) l

              L ϕ ω n f ω ϕ f dν ω = f /h ω dν ω ω l n − L ˜ − Λ l (ω) h θ ω n L n n h ω L ω

              ˜ D f /h ω K ω ,

              ≤ 2c t ≤ c t k f k L o que mostra a parte [vii]. Para provar [viii], notamos que dada uma fun¸c˜ao f : X ω → R

              Lipschitz com D(f ) ≤ 1, o corol´ario implica ω ω ω n n, ∗ n, ∗ Z n

              (f )(x) f dν ω W ω (δ x ), (ν θ ω ) L ϕ ˜ − L ϕ ˜ L ϕ ˜

              ≤ n n

              ∗ ∗ n n s W θ ω (δ x , ν θ ω ) s .

              ≤ c ω ≤ c ω Al´em disso, temos que ω ω ω ω n n n, ∗ n, ∗

              (f )(x) (f )(y) ω (δ x ), (δ y ) L ϕ ˜ − L ϕ ˜ ≤ W L ϕ ˜ L ϕ ˜

              ∗ n ∗ n n ˜ ω ω s W θ ω (δ x , δ y ) = c s d ω (x, y) , ω n n ≤ c

              portanto, concluimos que D (f ) s . Como consequˆencia das ultimas duas ϕ ω L ˜ ≤ c desigualdades, da igualdade e da estima¸c˜ao para D f /h ω , temos que vale [viii].

              

            (5) Unicidade. Finalmente, a unicidade da medida µ segue da unicidade da medida ν,

            ω

              que ´e -invariante. Assim, vale [v] e isto conclui a prova do teorema # L ϕ ˜

              Cap´ıtulo 3

            Exemplos de aplica¸c˜ ao e perspectivas

            futuras

              Nosso objetivo ser´a usar o teorema 4.1 em (resultado um pouco mais geral ao desenvolvido neste trabalho) para calcular numericamente as autofun¸c˜oes do operador de Ruelle associado a uma transforma¸c˜ao aleatoriamente perturbada que seja suficientemente bem comportada. Para aplicar tal teorema ´e necess´ario definir alguns conceitos que v˜ao ser importantes no momento de conectar o problema que queremos solucionar com a nossa teoria.

            3.1 Aplica¸c˜ ao ao decaimento de correla¸c˜ oes

              Sejam (X, σ, Ω, P, θ) uma CMRC e um potencial ϕ : X ω → R definidos como antes e tais que (1 ) = 1 para quase todo ω ϕ

              X ω

              X L θω ∈ Ω. O teorema tamb´em permite deduzir

              decaimento exponencial de correla¸c˜oes utilizando a seguinte identidade fundamental Z Z n n n n ω n f ω θ ω dµ ω = (f ω ) θ ω dµ θ ω ,

              · g ◦ σ ω L ϕ · g n n para quase todo ω θ ω θ ω < R |g

              ∈ Ω e aplica¸c˜oes fibradas f, g tais que f ´e Lipschitz e | dµ ω n ϕ (f ω ) dµ ω converge para 0 exponencialmente r´apido. ∞. O teorema implica que L

              ∞

              R Assim, para aplica¸c˜oes fibradas f Lipschitz cont´ınua com f ω dµ ω = 0 q.t.p. e g com ω ω < R |g

              | dµ ∞, n´os obtemos a seguinte estima¸c˜ao para o decaimento de correla¸c˜oes: Z Z l n l n l n ω ω ω l ω n ω n l ω f ω θ ω dµ ω (f ω ) θ ω dµ θ ω ω ϕ

              · g ◦ σ L · g ≤ ω ω ω l n ω Z l n l n ϕ (f ω ) θ ω θ ω

              ≤ L |g | dµ

              ∞ n ω ω Z l n l n D ω (f ) θ ω θ ω .

              ≤ 2c t |g | dµ Tal estima¸c˜ao pode ser muito pr´atica para estimar num´ericamente as autofun¸c˜oes h ω quando as hip´oteses do problema s˜ao suficientemente boas.

              42 CAP´ITULO 3. EXEMPLOS DE APLICAC ¸ ˜ AO E PERSPECTIVAS FUTURAS Seria bom falar sobre a importˆancia do decaimento de correla¸c˜oes. Geralmente, quando existe decaimento temos que o sistema dinˆamico comporta-se assintoticamente como um processo independente. Al´em disso, se a taxa de decaimento ´e exponencial, o sistema vai assumir o estado de equil´ıbrio com velocidade exponencial, ´e poss´ıvel garantir a existˆencia de medidas invariantes e d´a para mostrar uma vers˜ao do teorema de limite central, que ´e uma propriedade mais forte que ergodicidade ou topologicamente mixing (no sentido de medidas).

            3.2 Aplica¸c˜ oes de Markov no intervalo

              Na literatura existem varias defini¸c˜oes diferentes do que ´e uma aplica¸c˜ao de Markov, a seguinte ´e a mais adequada para a aplica¸c˜ao que queremos desenvolver.

              16 Defini¸c˜ ao: Uma transforma¸c˜ao sobrejetora T : I → I, onde I ⊂ R ´e um intervalo

              (limitado ou n˜ao), ´e chamada uma aplica¸c˜ ao de Markov em rela¸c˜ao a uma fam´ılia cont´avel k k de intervalos abertos disjuntos, se e somente se, valem as seguintes ∈K

              {I }

              afirma¸c˜oes:

              1. T ´e definida sobre o conjunto I , onde

              [

              

              I := k I k ,

              ∈K ∗ e tem-se que ¯

              I = I;

              ′

              2. Para cada k k := T ´e estritamente mon´otona, diferenci´avel e T k

              ∈ K, a fun¸c˜ao T I k

              ´e localmente Lipschitz tal que pode-se definir sobre ¯

              I k ;

              3. Para cada j, k j ) k k j );

              ∈ K, se T (I ∩ I 6= ∅, ent˜ao I ⊂ T (I

              

            2 n

              4. Para cada (j, k) , existe n k (I j );

              ∈ K ∈ N tal que I ⊂ T n 5. Existe n (T ) (t) > 1 (T ´e expansora). t ∈I ∈ N tal que inf ao:

              17 Observa¸c˜ Se λ denota a medida de Lebesgue definida sobre I, temos que λ ´e n˜ao

              singular em rela¸c˜ao a T (pois T ´e injetora). Se T ´e uma aplica¸c˜ao de Markov, para

              I , I , . . . , I defina

              1 n −1 k k ∈K

              ∈ {I } n −1 \

              −i [I , I , . . . , I n ] := T (I i ) . 1 −1 i =0

              Suponha que [I , I , . . . , I n ] 1 −1

              6= ∅, ent˜ao n n " #

              −1 −1

              \ \

              −i+1 −i+1

              T [I , I , . . . , I n ] = T (I i ) = T (I ) T (I i )

              1 −1 i i ∩ =0 =1 n −2

              \

              −i

              = T (I i ) = [I , I , . . . , I n ] ,

            • 1

              1 2 −1

            3.2. APLICAC ¸ ˜ OES DE MARKOV NO INTERVALO

              43

              

            pois I ). O anterior sugere que existe uma conex˜ao entre uma aplica¸c˜ao de Markov

              1

              ⊂ T (I A

              e uma cadeia topol´ogica de Markov, de fato, a aplica¸c˜ao τ : X

              → I tal que τ (x) = lim [I x , I x , . . . , I x ] , n →∞ 1 n− 1

              

            define uma conjuga¸c˜ao entre o sistema dinˆamico expansor T e o subshift σ A : X A A

            N

              → X

              (onde o espa¸co de full-shift ´e X = K ) de tipo finito com matriz de transi¸c˜ao A

              ∈ M K dada por

              ×K

              {0, 1} A j,k = 1 I k j )

              ⇔ ∩ T (I 6= ∅ ,

              para cada par j, k

              ∈ K. Pode-se mostrar que τ(x) esta bem definido, de fato, ´e claro que A [I x , I x , . . . , I x ] , y , x , . . . , x n ] tal 1 n− 1

              1

              2 1 −1 n 6= ∅ para cada n ∈ N, e considere y ∈ [x ⊂ X i

            que d(y , y ) = r (0 < r < 1). Defina t := τ (y ) e t := τ (y ), deste modo, T (t ) e

            i

              1

              2

              1

              1

              2

              2

              1 T (t 2 ) est˜ao no mesmo cilindro [I x , I x , . . . , I x ] para cada i i i +1 n− 1 ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Seja ′ ∗

              c > 1 tal que T (t) > c para cada t , ent˜ao ∈ I

              −n

              ) ) x , I x , . . . , I x ] diam I ,

              1

              2 1 n− 1

              |τ(y − τ(y | ≤ diam[I ≤ c

              o que mostra que n →∞

              diam[I x , I x , . . . , I x ] 1 n− 1 −→ 0 .

              

            Assim, concluimos que lim n [I x , I x , . . . , I x ] ´e um conjunto unit´ario e τ esta bem

            →∞ 1 n− 1

            definida. Al´em disso, τ ´e invert´ıvel exceto numa quantidade enumer´avel de pontos e

              −1 A

              τ : I ´e dada por → X i

              −1

              τ (t) = (x i ) , onde x i = k se T (t) k , ∈ I

              i∈N0 que tamb´em esta bem definida. O seguinte diagrama resume o anterior:

            A A

            σ

            A

            //

              X τ τ

              X T //

              I I Com a ideia da ultima observa¸c˜ao queremos generalizar a defini¸c˜ao de aplica¸c˜ao de

              

            Markov para o caso de um fibrado aleat´orio, onde cada fibra ´e um intervalo. Considere o fi-

              brado aleat´orio Y, T, Ω, θ, P, π tal que Y ω = I ω , onde cada I ω ⊂ R ´e um intervalo. Assim, ω dizemos que T ´e uma aplica¸c˜ ao de Markov em rela¸c˜ao a uma fam´ılia k ,

              ∈K

              {I k } ω ω

              ∈Ω

              com k uma fam´ılia cont´avel de intervalos abertos disjuntos para cada ω

              ∈K

              {I k } ∈ Ω, se e somente se, valem as seguintes afirma¸c˜oes:

              ∗

              1. T ω ´e definida sobre o conjunto I , onde ω [

              ∗ ω

              I := ω k k ∈K I ,

              ∗

              44 CAP´ITULO 3. EXEMPLOS DE APLICAC ¸ ˜ AO E PERSPECTIVAS FUTURAS

              2. Para cada k ω,k := T ω ´e estritamente mon´otona, diferenci´avel e ∈ K, a fun¸c˜ao T I k ω

              ′ ω

              T ´e localmente Lipschitz tal que pode-se definir sobre ¯ ω,k ω θω θω ω I ; k

              3. Para cada j, k ω (I ) ω (I ); j j ∈ K, se T ∩ I k 6= ∅, ent˜ao I k ⊂ T θ ω n ω

              2

              4. Para cada (j, k) , existe n ω (I ); k ω j ∈ K ∈ N tal que I ⊂ T n ω

              5. Existe n ω t ∈I (T ) (t) > 1; ∈ N tal que inf ω ω e as afirma¸c˜oes valem para quase todo ω

              ∈ Ω. De modo an´alogo, para cada ω ∈ Ω temos uma conjuga¸c˜ao τ ω : X ω ω tal que → I σ ω // τ τ ω θω X ω X θω

              T

            ω

            //

              I ω θω

              I

            3.3 Solu¸c˜ ao num´ erica para um problema particular

              1 Sabemos que ´e poss´ıvel identificar o toro unidimensional S com o intervalo quoci-

              ente [

              1 2 se e somente se t

              1 2 (mod: 2), em outras palavras s´o

              −1, 1]/ ∼, onde t ∼ t ≡ t estamos identificando o -1 com 1 no intervalo. No que segue vamos esquecer a rela¸c˜ao

              1

              de equivalˆencia como [ ∼ e vamos pensar S −1, 1] simplesmente. Considere a fam´ılia de aplica¸c˜oes S α : [

              −1, 1] → [−1, 1] (α ∈ [0, 1]) tais que 

              2t + 2 se t ∈ [−1, −1/2]

              

              −1

              S α (x) = τ (t) se t α ∈ (−1/2, 1/2)

               2t se t

              − 2 ∈ [1/2, 1] onde τ : ( α −1, 1) → (−1/2, 1/2) ´e dado por

              1 α τ α (t) = 1 t .

              − |t| 1.0

              2

              0.5 0.0 -1 .0 -0 .5

            • 1.0 -0.5

              Gr´ afico de S para parˆ ametros α = 0.33, 0.66, 1.

              α
            • 0.0

              0.5 1.0

              3.3. SOLUC ¸ ˜ AO NUM ´ ERICA PARA UM PROBLEMA PARTICULAR

                45 Dados ǫ > 0 e o espa¸co de probabilidade (Ω, P), seja ρ ω : [ −1, 1] → [−1, 1] a rota¸c˜ao/soma aleat´oria em ω : [

                ±ǫ, ent˜ao para cada ω ∈ Ω defina a trasforma¸c˜ao T −1, 1] → [−1, 1] dada por T ω (t) = ρ ω α (t) .

                ◦ S Defina I ω := [

                −1, 1] e considere a seguinte fam´ılia de intervalos abertos disjuntos ω := , I , I , I ( .

                1

                2

                3

              4 P {I } = −1, 1/2), (−1/2, 0), (0, 1/2), (1/2, 1)

                As propriedades (1) e (2) de uma aplica¸c˜ao de Markov s˜ao facilmente comprov´aveis neste caso. Notemos que T ω (I ) = T ω (I ) = T ω (I ) = T ω (I ) = ∅ ,

                1

                1

                1

                2

                4

                3

                4

                4

                ∩ I ∩ I ∩ I ∩ I e que para cada (i, j) (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2) =: D, temos ∈ que

                T ω (I i ) j = I j I j ω (I i ) , ∩ I 6= ∅ ⇒ ⊂ T

                2

                portanto, a propriedade (3) tamb´em vale. Al´em disso, T (I i ) = [0, 1] para cada i ω ∈ {1, 2, 3, 4} e temos a propriedade (4). Finalmente, tamb´em temos que, para cada ω ∈ Ω,

                2 ′ ∗

                existe δ ω > 1 tal que (T ) (t) > δ ω para cada t , assim concluimos que T ´e uma ω ∈ I aplica¸c˜ao de Markov. Usando o conjunto D visto anteriormente ´e poss´ıvel definir a matriz   0 0 1 1   1 1 0 0  

                A :=

                  0 0 1 1   1 1 0 0 A A A

                Desta forma, o sistema T ω ´e conjugado com o subshift de tipo finito σ : X onde N A → X X = mediante a aplica¸c˜ao τ ω : X ω , para cada ω

                {1, 2, 3, 4} → I ∈ Ω. Defina tamb´em o potencial ϕ dado por

                ′

                ϕ ω := log ω ω |T ◦ τ | .

                ′

                Pode-se mostrar que ϕ ´e H¨older cont´ınua (pois T ´e localmente Lipschitz em quase todo ω ponto e τ ω ´e H¨older cont´ınua). Dadas as considera¸c˜oes anteriores, e tomando ν a medida A

                1

                de Lebesgue definida sobre X , temos que para cada a , ∈ W ω

                Z

                [9] ωA −ϕ ω

                ν σ (E) = e dν , ω mens. (ν) = 1 ϕ E ∀ E ⊂ [a] ⇒ L · ν , O teorema 4.1 em garante unicidade da vari´avel aleat´oria λ, da medida de probabi- lidade randomizada µ e do potencial h, portanto, dado o fato anterior, podemos assumir conhecidos µ = (ν) ω e λ

                ∈Ω

                ≡ 1. Al´em disso, existem t ∈ (0, 1), uma vari´avel aleat´oria ω K : Ω tais que para cada fun¸c˜ao f : X ω n

                → [0, ∞) e uma sequˆencia {l } → R Lipschitz,

                n∈N0

                cada n ∈ N e quase todo ω ∈ Ω, temos que ω Z l ω n θ ω l n ω

                (f ) L ϕ ω n l n ω − ≤ c K · t k f k f dν ω . (3.1) L h θ ω

                46 CAP´ITULO 3. EXEMPLOS DE APLICAC ¸ ˜ AO E PERSPECTIVAS FUTURAS A vantagem de ter decaimento exponencial de correla¸c˜oes em rela¸c˜ao a subsequˆencias ´e que as constantes t e c s˜ao explicitamente dadas (por exemplo, c n˜ao depende de ω), o que poderia dar origem a uma an´alise detalhado da estabilidade estoc´astica de aplica¸c˜oes aleat´oriamente perturbadas, como as estudadas em . Dado que as contra¸c˜oes nos pontos (6) e (7) do teorema s˜ao derivadas dos retornos a um conjunto com parˆametros limitados, c pode-se escolher como qualquer valor maior que ess-inf 2B , mesmo que a ω ω escolha afeta a sequˆencia . Em particular, tal sequˆencia s´o pode ser controlada

                {l n }

                n∈N0

                em casos especiais, por exemplo, quando trabalhamos numa CMRC e B ´e uniformemente limitada. Al´em disso, notemos que a vari´avel aleat´oria K n˜ao depende da constru¸c˜ao ω n , de fato, K ω s´o depende de B ω e h ω como segue: {l }

                n∈N0 K ω = 2 ω ω ω ω .

                k 1/h k ∞ · max k h k ∞ k 1/h k ∞ − 1, B − 1, 1 Usando uma estima¸c˜ao como a dada na subse¸c˜ao ´e poss´ıvel usar tamb´em a equa¸c˜ao para calcular numericamente as autofun¸c˜oes h ω (as constantes K ω tamb´em podem

                ∗

                ser estimadas usando o m´etodo Monte-Carlo). Os seguintes gr´aficos mostram `a fun¸c˜ao h (em preto) para o sistema n˜ao aleat´oriamente perturbado (dada pelo teorema de Ruelle- Sarig) e mostra as fun¸c˜oes h ω calculadas numericamente para diferentes valores de supp P, 6 5 5 4 yy yy yy 3 4 2 3

                4 2 3 1

                2 -1.0 -0.5 0.0 y y y 0.5 1.0 -1.0 -0.5 1 0.0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 1 0.0 0.5 1.0

                A simula¸c˜ao mostra que existe uma convergˆencia “est´avel” h ω quando supp P → h tende a um conjunto unit´ario. Concluimos este trabalho com as seguintes perguntas:

                ∗

                Qu´al ser´a o tipo da convergˆencia h ω ? Qu´al ser´a sua velocidade? → h

                Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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                [10] C. Villani. Optimal transport, old and new. Grundlehren der Mathematischen Wis- senschaften 388. Springer-Verlag, Berlin, 2009. [11] M. Stadlbauer. On random topological Markov chains with big images and preimages.

                Stoch. Dyn., 10(1):7795, 2010.

                [12] W. Shen e S. van Strien. On stochastic stability of expanding circle maps with neutral fixed points. Dynamical Systems 28, 423–452, 2013. [13] M. Hochman. Notes on ergodic theory. Classroom notes, 2013. [14] M. Stadlbauer. Coupling methods and random topological Markov chains. Prepu- blica¸c˜ao, 2014.

                ´Indice Remissivo

                Acoplamento, Aplica¸c˜ao

                Matriz de full-shift, aperi´odica, de transi¸c˜ao, irredut´ıvel, n˜ao negativa, positiva,

                Autovalor q-peri´odica,

                Medida Cadeia topol´ogica de Gibbs, de Markov, de Markov randomizada completa,

                Cilindro, C´ırculos

                M´etrica de Gershgorin, de Wasserstein,

                Cone projetiva,

                Multiplicidade Conjunto alg´ebrica, geom´etrica,

                Continuidade Operador de H¨older para um potencial, de Ruelle, dual de Ruelle, projetivamente limitado,

                Contra¸c˜ao, Palavra

                Dualidade admiss´ıvel, de Monge-Kantorovich,

                Espa¸co finita, ω-admiss´ıvel,

                Per´ıodo, Estado

                Press˜ao desviado, de Gurevich,

                Propriedade Fun¸c˜ao de Gibbs, de grandes imagens e pre-imagens,

                ´INDICE REMISSIVO

                49 Simplex n˜ao negativo, Sistema fibrado aleat´orio, Somas de Birkhoff, Transforma¸c˜ao erg´odica, n˜ao singular,

                Transporte, Varia¸c˜ao de uma aplica¸c˜ao, de uma aplica¸c˜ao fibrada,

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